3/4/2011
Persamaan Matematis LP Minimumkan (minimized) n
Zj = Σ cj xj j=1
Aplikasi Linear Program (LP) dalam Formulasi Ransum M.K. Teknik Formulasi Ransum dan Sistem Informasi Pakan
Linear Programming 9 Model hubungan linear antara fungsi tujuan (objective function) dan keterbatasan sumberdaya (resource constraints) serta 9 Fungsi tujuan memaksimumkan keuntungan atau meimimumkan biaya 9 Dapat menggunakan metode Simplek
Faktor pembatas : n
Σ aij xij > b1 j=1
dan x1, x2, .. , xn > 0
Persamaan Matematis LP Maksimumkan (maximized) n
Zj = Σ cj xj j=1
Faktor pembatas : n
Σ aij xij < b1 j=1
dan x1, x2, .. , xn > 0
Persamaan Matematis LP Memaksimumkan atau Meminimumkan: a. Fungsi Tujuan : b. Fungsi Kendala :
Z = c1x1 + c2x2 + ….+cnxn a11x11 + a21x21 + …. + an1xn1 > b1 a12x12 + a22x22 + …. + an2xn2 > b2 : :
: :
a1mx1m + a2mx2m + …. + anmxnm > bm c. Asumsi
Persyaratan LP a. LP harus memiliki fungsi tujuan ((objective objective function) function) berupa garis lurus dengan persamaan fungsi Z atau f(Z), c adalah cost coefficient b Harus ada kendala (constraints b. (constraints), constraints)), ) yang dinyatakan garis lurus, dimana a = koefisien inputinput-output dan b = jumlah sumberdaya tersedia c. Nilai X adalah positif atau sama dengan nol. Tidak boleh ada nilai X yang negatif.
x1, x2, …., xn > 0
1
3/4/2011
Linear Programming KEBUTUHAN SUMBERDAYA PRODUK A B
SDM (jam/unit) 1 2
Grafik
x2 50.000 – 40.000 –
Bahan Keuntungan (kg/unit) (Rp/unit) 4 40.000 3 50.000
4 x1 + 3 x2 ≤ 120 kg
30.000 –
Daerah yang feasible
20.000 –
Tersedia 40 jam tenaga kerja dan 120 kg bahan yang tersedia setiap hari
10.000 –
Variabel: x1 = jumlah produk A yang diproduksi x2 = jumlah produk B yang diproduksi
0–
Fungsi Tujuan (Objective Function) Pembatasan (Constraints)
x1 + 2 x2 ≤ 40 jam | | | | | | 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000
x1
Ploting Fungsi Tujuan x2 40.000 –
Maximize Z = Rp 40.000 x1 + Rp 50.000 x2
30.000 –
Rp 800.000 = 40.000x 40.000x1 + 50.000x 50.000x2
Subject to x1 + 2x2 ≤ 40 jam (pembatas TK) 4x1 + 3x2 ≤ 120 kg (pembatas bahan) x1 , x2 ≥ 0
20.000 –
Optimal point 10.000 –
Solusinya
B
x1 = 24 unit produk A x2 = 8 unit produk B Keuntungan = Rp 1.360.000,1.360.000,-
Metode Grafik 1. Plot model faktor pembatas dalam sebuah grafik 2. Identifikasi solusi y yang g feasibel dimana setiap pembatas dapat terpenuhi 3. Plot fungsi tujuan untuk titik untk mendapatkan fungi tujuan maksimum atau minimum
0–
| | | | 10.000 20.000 30.000 40.000
x1
Perhitungan Nilai Optimal x2
x1 + 2x2 = 40 4x1 + 3x2 = 120
40.000 –
4x1 + 3x 3x2 = 120
30.000 –
4x1 + 8x2 = 160 -4x1 - 3x2 = -120
20.000 –A 10.000 – 0–
.B
x1 + 2x 2x2 = 40 C |
| | | 10.000 20.000 30.000 40.000
5x2 = x2 =
40 8
x1 + 2(8) = = x1
40 24
x1
Z = Rp 50.000 (24) + Rp 50.000 (8) Z = Rp 1.360.000, 1.360.000,--
2
3/4/2011
Aplikasi LP dengan QM - Iterasi
Titik Ekstrim x2
x1 = 0 unit A x2 = 20 unit B Z = Rp 1.000.000
40.000 – 30.000 –
x1 = 24 unit A x2 = 8 unit B Z = Rp 1.360.000
20.000 – A 10.000 – 0–
x1 = 30 unit A x2 = 0 unit B Z = Rp 1.200.000
B C
| | | | 10.000 20.000 30.000 40.000
x1
Aplikasi LP dengan QM
Sensitivity Analysis ; How sensitive the results are to parameter changes ; Change g in the value of coefficients ; Change in a right right--hand hand--side value of a constraint
; Trial Trial--and and--error approach ; Analytic postoptimality method
Aplikasi LP dengan QM - Solution
Kasus I: Memaksimumkan Produksi Ransum Ternak ; Sebuah industri pakan memproduksi 3 macam produk, yaitu Ransum A, Ransum B dan Ransum C. C Waktu yang diperlukan memproduksi ketiga ransum berbeda--beda (Tabel 1), dengan tingkat berbeda keuntungan masingmasing-masing Rp 550.000, Rp 600.000,600.000,- dan Rp 650.000, 650.000,--/ton
3
3/4/2011
Tabel 1. Waktu Prosesing dan Waktu yang Tersedia untuk Memproduksi Ransum Waktu / Ton (min) Ransum A
Ransum B
Rasum C
Kapasitas Waktu Tersedia (min)
Grinding Mixing Pelleting
10 8 20
15 7 15
15 8 20
180 140 240
Keuntungan (Rp ribuan)
550
600
650
Tahapan Prosesing
Permasalahan ; Berapa ton produksi masingmasingmasing Ransum A, B dan C yang harus diproduksi oleh Industri Pakan tsb? ; Berapa keuntungan maksimum yang diperoleh industri pakan ?
Solution using QM
Produksi Ransum A
Produksi Ransum B
Solusi ; Produksi Ransum Produksi Ransum A = 6 ton/hari Produksi Ransum B = 8 ton/hari Ransum C tidak diproduksi Total Produksi 14 ton/hari
; Keuntungan Total Perusahaan Rp 8.100.000/hari
Model Matematis Produksi Ransum Ternak Fungsi Tujuan : Maximize Z = 550 A + 600 B + 650 C Faktor Kendala : 10 A + 15 B + 15 C < 180 8 A + 7 B + 8 C < 140 20 A + 15 B + 20 C < 240 Asumsi: A, B dan C > 0
Kasus II: Meminimumkan Biaya Transportasi ; Sebuah industri pakan memiliki 2 buah PABRIK yang berlokasi di Pasuruan dan Malang, dengan produksi masingmasing-masing 120 dan 140 ton/minggu. ; Produk ransum tersebut distribusi ke Sidoarjo, Surabaya dan Jakarta, masingmasing-masing kota tersebut kebutuhannya minimal 100, 60 dan 80 ton/minggu. ; Biaya pengiriman pada masingmasing-masing lokasi diperlihatkan pada Tabel 2.
4
3/4/2011
Tabel 2. Biaya per ton Pengiriman Barang ke Tempat Tujuan Pabrik
Aplikasi QM
Gudang Sidoarjo (X1)
Surabaya (X2)
Jakarta (X3)
Pasuruan
50
70
190
Malang
60
80
200
;
Sebuah industri pakan memiliki 2 buah PABRIK yang berlokasi di Pasuruan dan Malang, dengan produksi masingmasing-masing 120 dan 140 ton/minggu.
;
Produk ransum tersebut distribusi ke Sidoarjo, Surabaya dan Jakarta, masingmasing-masing kota tersebut kebutuhannya minimal 100, 60 dan 80 ton/minggu.
;
Biaya pengiriman pada masingmasing-masing lokasi diperlihatkan pada Tabel 2.
Permasalahan
Solution using QM
; Berapa ton/minggu produksi ransum di masingmasing-masing Pabrik Pasuruan dan Malang ? ; Kemana saja produksi ransum kedua pabrik tersebut dikirim dan berapa ton/minggu ? ; Berapa biaya tranportasi yang minimum ?
Model Matematis Biaya Transportasi Ransum
Solusi ; Produksi Pabrik Pasuruan 120 ton/mg
Fungsi Tujuan : Minimize Z = 50 X11 + 70 X12 + 190 X13 + 60 X21 + 80 X22 + 200 X23
dikirim ke Surabaya 50 ton/mg dikirim ke Jakarta 70 ton/mg
Faktor Kendala : X11 + X12 + X13 < 120 X21 + X22 + X23 < 140 X11 + X21 > 100 X12 + X22 > 60 X13 + X23 > 80
(Produksi Pabrik Pasuruan) (Produksi Pabrik Malang) (Jumlah Ransum dikirim ke Sidoarjo) (Jumlah Ransum dikirim ke Surabaya) (Jumlah Ransum dikirim ke Jakarta)
Asumsi:
; Produksi Pabrik Malang 110 ton/mg dikirim ke Sidoarjo 100 ton/mg dikirim ke Surabaya 10 ton/mg
; Biaya transportasi total Rp 23.600.000,23.600.000,-/minggu
X11, X12, X13, X21, X22, X23 > 0
5
3/4/2011
Linear Programming Minimization
15
X2
(0,15) Feasible
Unit Nutrient/Unit Feed Nutrient
Ingred X1
Ingred X2
10
Region
Requiremt
Calcium
1
1
10
Protein
3
1
15
Calories
1
6
15
(2.5,7.5)
= Rp 1.000 (9) + Rp 2.000 (1) = Rp 11.000,-
5
SOLUTION (9,1)
Cost per Unit of Feed Rp 1.000,-
Cost =1.000 X1 + 2.000 X2
Rp 2.000,5
Minimization Model • Minimize cost = 1.000 X1 + 2.000 X2 • Subject to: 1X1 + 1X2 >=10 (Calcium) 3X1 +1X2 >=15 (Protein) 1X1 +6X2>=15 (Calories)
• And
10
(15,0) X1
15
Formulasi Ransum • Susunlah ransum ayam broiler dari bahan makanan berikut: Jagung, Dedak Halus,, CGM,, Tepung p g Ikan,, CPO, CaCO3, DCP • Kandungan Nutrien: EM 3100 kkal/kg, CP 21%, Ca 0.9%, P 0,45%
X1>=0, X2>=0
15
X2
(0,15)
Persamaan Matematik:
3X1 + 1X2 = 15 Feasible (Protein) 10
• Minimize cost = 1500 JG + 1000 DH + 5100 CGM + 6000 TI + 4750 CPO + 200 CC + 2500 DCP
Region
• Subject to:
1X1 + 1X2 = 10 (2.5,7.5) (Calsium) ( ) 5 (9,1)
5
10
1X1 + 6X2 = 15 (Calories) (15,0) X1 15
– 8 JG + 11.32 DH + 64 CGM + 55 TI > 21 (Protein) – 3300 JG + 3100 DH + 3500 CGM + 2853 TI + 7500 CPO > 3100 ( (EM) ) – 0.02 JG + 0.07 DH + 0.05 CGM + 7.19 TI + 40 CC + 22.7 DCP > 0.9 (Ca) – 0.28 JG + 1.50 DH + 0.50 CGM + 2.88 TI + 17.68 DCP > 0.45 (P) – JG + DH + CGM + TI + CPO + CC + DCP = 1
• and JG, DH, CGM, TI, CPO, CC, DCP > 0
6
3/4/2011
Formulasi Ransum dengan QM
Changes in Resources ; Shadow prices are often explained as answering the question “How much would you pay for one additional unit of a resource?” resource? ; Shadow prices are only valid over a particular range of changes in right--hand right hand--side values ; Sensitivity reports provide the upper and lower limits of this range
Formulasi Ransum dengan QM
Changes in the Objective Function ; A change in the coefficients in the objective function may cause a different corner point to become the optimal solution ; The sensitivity report shows how much objective function coefficients may change without changing the optimal solution point
Changes in Resources ; The right right--hand hand--side values of constraint equations may change as resource availability changes ; The shadow price of a constraint is the change in the value of the objective function resulting from a one--unit change in the right one right--hand hand-side value of the constraint
QM for Window
7
3/4/2011
QM for Windows
Main Screen
• QM for Windows is a package for quantitative methods, management science,, or operations p research
The Program Group
Main Screen
• The installation program will add a program group with seven options to the Start Menu. .
Starting the Program
Creating a New Problem
8
3/4/2011
Creating a New Problem
Result
Entering and Editing Data
Ranging
The Solution Screen
Solution List
9
3/4/2011
Iteration
Graph
Terima Kasih
10
