Miskolci Egyetem. Baksa Attila okleveles mérnök-informatikus. Doktori Iskola vezető: az MTA rendes tagja

Miskolci Egyetem

´pe ´szme ´rn¨ Ge oki Kar

´ ´si feladatok numerikus vizsga ´lata Erintkez e Ph.D. értekezés

´sz´ıtette: Ke Baksa Attila okleveles mérnök-informatikus

´lyi Istva ´ n Ge ´pe ´szeti Tudoma ´ nyok Doktori Iskola Sa ´pe ´szeti Alaptudoma ńyok Te ´mater¨ Ge ulet ´rd Testek Mechanika ´ja Te ´macsoport Szila ˝: Doktori Iskola vezeto Dr. P´ aczelt Istv´ an az MTA rendes tagja ´macsoport vezeto ˝: Te Dr. Koz´ ak Imre az MTA rendes tagja ´mavezeto ˝: Te Dr. P´ aczelt Istv´ an az MTA rendes tagja

Miskolc, 2005.

Baksa Attila

´ ´si feladatok numerikus vizsga ´lata Erintkez e

Doktori (Ph.D.) értekezés

Miskolc, 2005.

Tartalomjegyz´ ek

T´ emavezet˝ o aj´ anl´ asa

iv

El˝ osz´ o

vi

Alkalmazott jel¨ ol´ esek

vii

´s 1. Bevezete 1.1. R¨ ovid t¨ orténeti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Irodalmi a´ttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Célkit˝ uzések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´rintkeze ´si feladat 2. Mechanikai e 2.1. Rugalmass´ agtani feladat . . . . . . . . . . . . . 2.2. Kinematikai megfontol´ asok . . . . . . . . . . . 2.3. S´ url´ od´ as figyelembevétele . . . . . . . . . . . . 2.4. Vari´ aciós formalizmus . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Lagrange-féle multiplik´ atoros technika 2.4.2. B¨ untet˝ oparaméteres technika . . . . . . 2.4.3. Kombin´ alt technika . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

´ ´si feladat diszkretiza ´la ´sa 3. Erintkez e 3.1. Rugalmass´ agtani egyenletek . . . . . . . . . . . . . 3.2. Vari´ aciós egyenletek végeselemes tárgyal´ asa . . . . 3.3. K¨ ozel´ıt˝ o megoldás Green-f¨ uggvények seg´ıtségével as . . . . . . . . 3.3.1. Kalker-féle iterációs eljár´ 3.3.2. Hat´ asmátrix el˝ o´ all´ıt´ asa . . . . . . . . . . . 3.3.3. T¨ ukr¨ ozési technika . . . . . . . . . . . . . . ´rg¨ ´teres le´ıra ´sa 4. Te orbe parame 4.1. B-spline alapf¨ uggvény . . . . . . . . . . . . . . 4.2. A B-spline defin´ıciója . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. NURBS térg¨ orbék . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Homogén koordin´ at´ ak . . . . . . . . . . 4.3.2. NURBS térg¨ orbe el˝ o´ all´ıt´ asa . . . . . . . 4.4. Interpol´ ació paraméteres térgörbével . . . . . . 4.4.1. Egyenletes paraméterezés . . . . . . . . 4.4.2. H´ urhossz alap´ u paraméterezés . . . . . 4.4.3. Paraméterezés zárt interpol´ al´ o görbéhez 4.4.4. Csomóérték vektor el˝ oáll´ıt´ asa . . . . . . 4.4.5. Interpol´ al´ o NURBS el˝oáll´ıt´ asa . . . . . 4.5. Sz´ ampélda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

1 3 5 7

. . . . . . .

9 9 10 12 13 13 13 14

. . . . . .

17 17 20 23 27 27 28

. . . . . . . . . . . .

32 32 35 38 38 39 40 41 42 43 43 45 46

´la ´s 5. Alakoptimaliza 5.1. Nyom´ asmegoszlást vezérl˝o f¨ uggvény . . . . . . . . 5.2. Iterat´ıv megold´ asi módszer . . . . . . . . . . . . . 5.3. Optimaliz´ aciós érintkezési feladatok fel´ all´ıt´ asa . . . 5.3.1. Tengelyszimmetrikus feladatok vizsg´ alata . 5.3.2. G¨ org˝ o alakoptimaliz´ al´ asa . . . . . . . . . . 5.4. Numerikusan kisz´ am´ıtott optimaliz´ aciós feladatok 5.4.1. Bélyegfeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Nem k¨ ozépen terhelt görg˝ o . . . . . . . . . 5.4.3. K¨ ozépen terhelt görg˝ o . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

48 49 51 53 53 58 60 60 68 70

´ ´s vizsga ´lata ha ´romdimenzio ´ ban 6. Erintkez e 6.1. Szimmetrikus terhelés˝ u feladatok . . . . . 6.1.1. Analitikus megold´ asok . . . . . . . 6.1.2. Numerikus megold´ asok . . . . . . . 6.2. Nemszimmetrikus elrendezés˝ u feladat . . . ´ 6.3. Altal´ anos geometriáj´ u bélyegfeladat . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

74 75 76 76 86 90

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

¨ ´s 7. Osszefoglal a 96 ´ 7.1. Uj tudom´ anyos eredmények összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.2. Tov´ abbfejlesztési irányok, lehet˝ oségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Summary

100

T´ abl´ azatok jegyz´ eke

104

´ Abrajegyz´ ek

105

ńyek tere A. fu ek: Hierarchikus alakf¨ uggve ¨ ggel´ A.1. A h-, p- és a hp-verzió alapvet˝ o jellemz˝ oi . . . . . . . A.2. Egydimenzi´ os feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1. Legendre-polinomok . . . . . . . . . . . . . A.2.2. Hierarchikus alakf¨ uggvények egydimenzióban A.3. Kétdimenziós feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Háromdimenziós feladatok . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

´le o ´sek e ´rintkezo ˝ testekre ¨ sszef¨ B. fu ek: Hertz-fe ugge ¨ ggel´

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

108 108 110 110 112 115 118 122

´m´ıta ´sok eredme ńyei C. fu ek: Numerikus sza 127 ¨ ggel´ C.1. Kétváltoz´ os optimaliz´ aciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 C.2. Szimmetrikus terhelés˝ u 3D-s feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 C.3. Nemszimmetrikus terhelés˝ u 3D-s érintkezési feladatok . . . . . . . . . . . . 138 ćio ´ k az e ´rtekeze ´s te ´ma ´ja ´ban D. fu ek: Publika ¨ ggel´

146

´ sok Hivatkoza

148

iii

T´ emavezet˝ o aj´ anl´ asa ´ Baksa Attila Erintkez´ esi feladatok numerikus vizsg´ alata” ” c´ım˝ u Ph.D. ´ ertekez´ eshez

Az érintkezési feladatok numerikus mechanik´ an bel¨ uli megold´ asa napjaink egyik kiemelt kutat´ asi ter¨ ulete. Sz´ amos kérdés mer¨ ul fel, pl. hogyan lehet nagy megb´ızhatóság´ u eredményeket elérni, hogyan lehet a megold´ as pontosságát megbecs¨ ulni, hogyan lehet osszekapcsolni és továbbfejleszteni a korábbi eredményeket a jelen által felvetett problé¨ mákkal és megoldásokkal? Az értekezésben Baksa Attila nagy energi´ aval, szorgalommal és kör¨ ultekintéssel végezte vizsgálatait. Kutat´ asainak egyik ir´ anya érintkezési optimalizál´ asi feladatokkal van kapcsolatban, m´ıg másik része a háromdimenziós testek közötti s´ url´ od´ asnélk¨ uli érintkezési viszonyok tisztázásával. Az optimaliz´ al´ asi feladatok egyik csoportja forg´ astestekkel kapcsolatos, másik része görg˝ ok kialak´ıt´ asával. G¨ org˝ ok feladatain´ al a féltérre vonatkoz´ o rugalmasságtani alapösszef¨ uggések nyernek felhaszn´ al´ ast, m´ıg a többi feladatn´ al a p-verziój´ u végeselem-módszer. A forg´ astestek optimalizációs feladatin´ al u ´jdons´ agként a fesz¨ ultségi korl´ at figyelembevétele, a korábbi iter´ aciós módszer kib˝ ov´ıtése jelent u ´ j eredményt. A görg˝ o optim´ al´ asán´ al a nyom´ asvezérlési f¨ uggvény módos´ıt´ asával és ebb˝ol adód´ oan u ´j optim´ alis alakok meghat´ arozásával j´ arult hozz´ a az érintkezési optimalizációs feladatok irodalm´ ahoz. A háromdimenziós érintkezési feladatok p-verziós végeselemeket felhasznál´ ou ´j t´ıpus´ u megold´ asával elérte, hogy az eredeti un. C t´ıpus u ´ feladatosztályba sorolhat´ o problémát at tudta vinni lényegesen magasabb konvergencia sebességet adó un. B t´ıpus u ´ ´ feladatt´ a. Ezt B-spline, illetve NURBS térg¨ orbék felhaszn´ al´ asával, az érintkezési határ mozgatásával, pozicion´ al´ asával lehet biztos´ıtani. Az egyszeresen o¨sszef¨ ugg˝ o érintkezési tartományok le´ır´ asára szolgál´ o spline-ok ¨ osszef¨ uggéseinek gondos elemzésével, az irodalomban tal´ alhat´ o pontatlans´ agok felt´ ar´ asával, azok pontos´ıt´ asával, a vezérlési (interpol´ aciós) pontok koordin´ at´ ainak iter´ aciós u ´ton t¨ ortén˝ o meghatározásával olyan algoritmust dolgozott ki, amely a szokványos p-verziós végeselem programokba könnyen beép´ıthet˝ o. Baksa Attila eredményeir˝ ol rendszeresen beszámolt k¨ ulönböz˝o hazai és nemzetközi f´ orumokon eleget téve a Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola publik´ aciós k¨ ovetelményeinek. iv

Elvégzett szám´ıt´ asai, azok bemutatása a kidolgozott elvek helyességét bizony´ıtj´ ak, al´ at´ amasztják. Az értekezés gondos munk´ at t¨ ukröz, szövegezése jól érthet˝o, ábr´ ai a mondanival´ ot jól al´ at´ amasztják, tézisei a Ph.D. c´ım elnyeréséhez sz¨ ukséges k´ıv´ analmakat messzemen˝oen kielég´ıtik.

Miskolc, 2005. okt´ ober 3.

Prof. P´ aczelt István akadémikus

v

El˝ osz´ o A mai mérn¨ oki problémák megold´ asa során sok esetben kell szilárd testek érintkezési feladataival foglalkozni, de a hétk¨ oznapi életben is találkozhatunk ezen feladatkörrel. Tulajdonképpen senki sem tudna j´ arni ha nem volna s´ url´ od´ asos érintkezés, illetve az autók sem k¨ ozlekedhetnének hasonló okok miatt. Ebb˝ ol kiindulva az érintkezési feladatoknak – mérn¨ oki szempontb´ ol – nagy m´ ultja van. Gondoljunk csak az egykori Egyiptomi Birodalomra, ahol hatalmas k˝ ot¨ omb¨ oket kellett a hely¨ ukre illeszteni a piramisok ép´ıtése során. Kés˝obb számos tud´ os foglalkozott az érintkezéssel, mint például Leonardo da Vinci, aki már a XV. században mért s´ url´ od´ asi er˝ot; majd a XV III. században Coulomb már a fel¨ uleti érdesség szerepére h´ıvta fel a figyelmet. A disszertáció a bevezetés után r¨ oviden áttekinti és rendszerezi az érintkezési feladatok nagy terjedelm˝ u irodalm´ at. Természetesen ezt korántsem lehet teljes érték˝ unek nevezni, csak megprób´ aljuk a tervezett alkalmazás céljáb´ ol a lényeges szempontokat vizsgálni, bemutatva a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o technik´ akat és azok alkalmazhatóságát, tov´ abb´ a r´ amutatunk azok hi´ anyosságaira, esetleges gyengeségeikre. A következ˝okben le´ırjuk az érintkezési feladatok vizsgálat´ ahoz sz¨ ukséges mechanikai hátteret. Ezen feladatok megold´ asára k¨ ulönböz˝o technikai megold´ asok léteznek, amiket szintén ismertet¨ unk, természetesen a teljesség igénye nélk¨ ul. A tov´ abbi fejezetekben a kutat´ asok eredményeit foglaltuk össze témakörönként, bemutatva benn¨ uk az elvégzett elméleti és gyakorlati munk´ at. A disszertáció két f˝ o ter¨ uletr˝ ol tartalmaz u ´ j eredményeket. Az els˝o, melyet az 5. fejezetben ´ırunk le, alakoptimaliz´ al´ assal foglalkozik, ahol sz´ amos, gyakorlati szempontból hasznos optim´ alizál´ asi problémát áll´ıtunk fel és oldunk meg numerikus u ´ton. A m´ asik ter¨ ulet, a háromdimenzi´ os érintkezéssel kapcsolatos, err˝ol szól a 6. fejezet. Ezekhez a részekhez nagy mennyiség˝ u numerikus szimul´ ació is tartozik, melyek köz¨ ul néhányat, a terjedelm¨ ukre val´ o tekintettel, a mellékletekben helyezt¨ unk el.

vi

Alkalmazott jel¨ ol´ esek A skalár mennyiségeket normál vastagság´ u latin, vagy görög, d˝olt kisbet˝ ukkel (péld´ aul k, ρ), a vektormennyiségeket vastagon szedett, d˝olt kisbet˝ ukkel (például u, r), a tenzor mennyiségeket vastagon szedett, d˝olt nagybet˝ ukkel jelölt¨ uk (péld´ aul T , D). A végeselemes fel´ır´ asban szerepl˝o mátrixokat vastagon szedett, a´ll´ o, latin nagybet˝ ukkel szedt¨ uk (például K, B), kivételt jelentenek ez alól a görög bet˝ ukkel jelölt mátrixok, amelyeket vastagon szedett, d˝olt kisbet˝ uk jel¨ olnek (péld´ aul σ, ε). Azokat a mátrixokat, melyeknek csak egy oszlopa van – a továbbiakban vektornak nevezz¨ uk –, a szedésben megk¨ ul¨ onb¨ oztetésként vastagon szedett, álló kisbet˝ ukkel ´ırtuk (péld´ aul q, k). Alkalmazott matematikai jelo esek ¨l´ ∀

– bármely halmazelem

·

– skal´ aris szorzás

◦

– diadikus szorzás

×

– vektori´ alis szorzás

··

– kétszeres skaláris szorzás

(·, ·)

– két f¨ uggvény skal´ aris vagy bels˝o szorzata

f (x) ⊥g (x)

– (f (x) , g (x)) = 0

∇

– a nabla differenci´ al oper´ ator

δΠ

– els˝o vari´ aciója Π-nek

|·|

– skalár abszol´ ut értéke

|| · || T

– vektor abszol´ ut értéke

A , A A

−1

T

, A

– az A tenzor, illetve az A mátrix transzpon´ altja

−1

– az A tenzor, illetve az A mátrix inverze

∂

– parci´ alis differenci´ aloper´ ator mátrix

∂(·) ∂x

– a (·) mennyiség parci´ alis deriváltja x szerint

˙ (·)

– id˝ o szerinti deriv´ al´ as, azaz

∂(·) ∂t

Kaligrafikus bet˝ uvel jel¨ olt mennyis´ egek LLA

– Lagrange féle multiplik´ atoros technik´ aban haszn´ alt funkcion´ al

PE

– b¨ untet˝ oparaméteres technikán´ al alkalmazott funkcion´ al

AU

L

– kombin´ alt vagy ”augmented Lagrangian” módszernél haszn´ alt funkcion´ al

Stsξ

– csonkolt tér – truncated space – (négysz¨ ogelemeknél)

L

p ,pη

p ,p Spsξ η p ,p ,p Stsξ η ζ p ,p ,p Spsξ η ζ

– teljes tér – tensor product space – (négysz¨ ogelemeknél) – csonkolt tér – truncated space – (hexaéder elemeknél) – teljes tér – tensor product space – (hexaéder elemeknél)

vii

Go og bet˝ uvel jel¨ olt mennyis´ egek ¨r¨ ∆

– érintkez˝o testek z ir´ any´ u k¨ ozeledése

Ω

– feltételezett érintkezési tartomány

Ω0

– tényleges réstartomány

Ωc

– Scα tartom´ any azon része, ahol nyomásvezérlés t¨ orténik

Ωnc

– Scα tartom´ any azon része, ahol nem t¨ orténik nyom´ asvezérlés

Ωp

– Scα tartom´ any azon része, ahol ténylegesen érintkezés alakul ki

Π

– teljes potenci´ alis energia

α

– fels˝o index, a test jele, értéke 1 – a fels˝o testre, vagy 2 – az alsó testre

β

– pozit´ıv álland´ o

γ


γxy , γxz , γyz

– fajlagos sz¨ ogtorzul´ asok

δnm

– Kronecker-szimbólum

εp

– el˝ore defini´ alt hibakorl´ at

ε x , εy , εz

– fajlagos ny´ ul´ asok

ε

α

– alakv´ altozási vektor

θ


λ


λ

– merevtestszer˝ u elmozdul´ asvektor

λF

– elmozdulás-koordin´ at´ ak vektora

λM

– sz¨ ogelfordul´ as-koordin´ at´ ak vektora

µ

– s´ url´ od´ asi tényez˝o

ν

– Poisson-tényez˝o

ρ

α

– α test t¨ omegs˝ ur˝ usége

α

– fesz¨ ultségi tenzor koordin´ at´ aib´ ol alkotott oszlopvektor

σ

σnα

– norm´ al ir´ any´ u érintkezési fesz¨ ultség

σU

– anyagra megengedett maximális fesz¨ ultség

σeq

– reduk´ alt fesz¨ ultség

σϕ

– ϕ ir´ any´ u norm´ alfesz¨ ultség hengerkoordin´ ata rendszerben

σr

– r ir´ any´ u norm´ alfesz¨ ultség hengerkoordin´ ata rendszerben

σz

– z ir´ any´ u norm´ alfesz¨ ultség hengerkoordin´ ata rendszerben

τταn

– eτ ir´ any´ u n norm´ alis´ u fel¨ uleten értelmezett cs´ usztató fesz¨ ultség

τϕz

– cs´ usztatófesz¨ ultség hengerkoordin´ ata rendszerben

Latin bet˝ uvel jel¨ olt mennyis´ egek AI A

– az A tenzor els˝o skal´ ar invari´ ansa

α α

– alakv´ altozási tenzor α

D , D

– anyag´ alland´ ok tenzora, mátrixa

E

– rugalmassági modulus

F

– er˝o

FT

– s´ url´ od´ asi er˝o

G

– cs´ usztató rugalmass´ agi modulus

GR α

H (x, s)

viii

– geometriai mátrix – Green-f¨ uggvény

Latin bet˝ uvel jel¨ olt mennyis´ egek H

– hat´ asmátrix

I

– egységtenzor

Li

– nyom´ aseloszlás vezérl˝ o f¨ uggvény paraméterei (i = 1, 2, 3, 4)

Lα nc

– nc ir´ any´ u elmozdul´ askoordin´ at´ ak szám´ıt´ asához sz¨ ukséges alakf¨ uggvények mátrixa

Lα t

– tx vagy ty ir´ any´ u elmozdul´ askoordin´ at´ ak szám´ıt´ asához sz¨ ukséges alakf¨ uggvények mátrixa

∞ {Ln (x)}n=0

– Legendre polinomok

N

– ismeretlenek száma

Nip (u) p,p Nts p,p Nps i N1,1 ek Ni,1 b Nij i N1,1,1 ek Ni,1,1 fk Ni,j,1 b Ni,j,k Nip (ξ) α

– p-ed fok´ u B-spline alapf¨ uggvény – ismeretlenek száma, p-ed fok´ u csonkolt tér esetén – ismeretlenek száma, p-ed fok´ u teljes tér esetén – i-edik csomóponthoz tartoz´ o alakf¨ uggvény (négysz¨ ogelemnél) – ek élhez tartozó alakf¨ uggvény (négysz¨ ogelemnél) – bels˝o alakf¨ uggvény (négysz¨ ogelemnél) – i-edik csomóponthoz tartoz´ o térbeli alakf¨ uggvény (hexaéder elemnél) – ek élhez tartozó térbeli alakf¨ uggvény (hexaéder elemnél) – fk oldallaphoz tartoz´ o térbeli alakf¨ uggvény (hexaéder elemnél) – bels˝o alakf¨ uggvény (hexaéder elemnél) – p-ed fok´ u Lagrange polinomok

N

– α testhez tartozó approxim´ aciós mátrix

Pn (x)

– polinom

P

– approxim´ aciós mátrix

S

α

– az α-adik test fel¨ uleti tartom´ anya

Scα Suα Spα α

– az α-adik test feltételezett érintkezési tartománya

T

– az α-adik testre vonatkoz´ o fesz¨ ultségi tenzor

Pgl

– glob´ alis-lokális transzform´ ació mátrix

P

– transzform´ ació mátrix

V

α

– az α-adik test fel¨ uleti tartom´ anya, ahol el˝ o´ırt az elmozdulás – az α-adik test fel¨ uleti tartom´ anya, ahol el˝ o´ırt a fel¨ uleti terhelés

– az α-adik test térfogati tartom´ anya

V (x)

– nyom´ aseloszlás vezérl˝ o f¨ uggvény

a

– érintkezési tartomány jellemz˝o (sug´ ar) mérete

c

– b¨ untet˝ o paraméter

c (u)

– az u paraméterhez tartozó pont helyvektora a B-spline térg¨ orbén

cr (u)

– az u paraméterhez tartozó pont helyvektora a NURBS térg¨ orbén

d

– testek k¨ oz¨ otti alakv´ altoz´ as ut´ ani hézag

di

– az i-edik interpol´ aciós pont helyvektora

e

– szám´ıt´ asi hiba (a végeselem módszernél)

ex , ey , ez

– Descartes-féle koordin´ atarendszer egységvektorai

er , eϕ , ez

– hengerkoordin´ ata rendszer egységvektorai

{fn (x)}

– egymástól line´ arisan f¨ uggetlen f¨ uggvények halmaza

f2 , f3

– nyom´ aseloszlás vezérl˝ o f¨ uggvény paraméterei

ix

Latin bet˝ uvel jel¨ olt mennyis´ egek {gn (x)}

– ortogon´ alis b´ azis f¨ uggvények halmaza

h

– testek k¨ oz¨ otti kezdeti hézag α

h

– testek k¨ oz¨ otti hézag meghatározásához sz¨ ukséges paramétervektor

{hn (x)}

– ortonorm´ alt f¨ uggvények halmaza

istep

– ciklusv´ altozó

iterh

– terhelési lépés sorszáma

k


k

– ciklusv´ altozó

kα

– az α-adik testre vonatkozó egységnyi t¨ omegen m˝ uk¨ od˝ o terhelési vektor

l

– k¨ uls˝ o terhelésb˝ol származó elmozdulásvektor

n

– az alakf¨ uggvények száma

ne

– egy elemen értelmezetett alakf¨ uggvények száma

α

n

– az α-adik test fel¨ uleti norm´ alisa

nc

– fel¨ uleti norm´ alis

p

– polinom foksz´ ama

p0

– maximális érintkezési nyomás

pi

– az i-edik kontrollpont helyvektora

pw i

(u)

– homogén koordin´ at´ aival megadott kontrollpont helyvektora

p

– diszkrét pontbeli nyom´ asértékek vektora

pmax

– maximális érintkezési nyomás

pn

– Lagrange-féle multiplik´ ator, érintkezési nyomás

pξ

– ξ f¨ uggvények polinom foksz´ ama

pη

– η f¨ uggvények polinom foksz´ ama

pτ

– tangenciális ir´ any´ u teher vektor

α p

– az α-adik testre el˝o´ırt fel¨ uleti terhelés

qα

– az α-adik testhez tartoz´ o paramétervektor

qα 0

– Scα tartom´ anyon k´ıv¨ uli elmozdul´ asmez˝o szám´ıt´ asához sz¨ ukséges paramétervektor

qα c qα lc

– Scα tartom´ anyba es˝ o glob´ alis rendszerbeli elmozdulásmez˝o paramétervektora

r

– helyvektor

r

– sug´ ar ir´ any´ u koordin´ ata

r

x

α

– Scα tartom´ anyba es˝ o lok´ alis rendszerbeli elmozdulásmez˝o paramétervektora

– az α-adik test sugara

rbα

– az α-adik test bels˝o sugara

rkα

– az α-adik test k¨ uls˝o sugara

(r, ϕ, z)

– hengerkoordin´ at´ ak

s

– helyvektor

t

– paraméterérték

(tx , ty , nc )

– lok´ alis alaps´ıkhoz k¨ ot¨ ott koordin´ at´ ak

u

– paraméterérték

ux , u y , u z

– x, y, z ir´ any´ u elmozdul´ as koordin´ at´ ak

u˙ τ

– slip

u˙ α τ

– tangenciális sebesség vektor

Latin bet˝ uvel jel¨ olt mennyis´ egek u α

– csomóértékek vektora

u

– az α-adik testre vonatkoz´ o elmozdulásmez˝o

uα 0

– az α-adik testre el˝o´ırt elmozdulásmez˝o

ui

– csomóértékek

uα n uα n,terh (x) uα n,merev uα τ

– norm´ alis ir´ any´ u elmozdul´ as

uex

– nem ismert, tényleges megoldás az elmozdulásmez˝ore

uV EM

– végeselem módszer által szolgáltatott megoldás az elmozdulásmez˝ore

uα l

– alaps´ıkhoz k¨ ot¨ ott lok´ alis koorditarendszerbeli elmozdul´ asmez˝o

w

– f¨ ugg˝ oleges ir´ any´ u elmozdul´ askoordin´ ata

w0

– el˝o´ırt z ir´ any´ u elmozdul´ askoordin´ ata

x = (x, y, z)

– helyvektor koordin´ at´ ait tartalmazza

(x, y, z)

– Descartes-féle koordin´ at´ ak

– terhelésb˝ol származó norm´ al ir´ any´ u elmozdul´ as – merevtestszer˝ u mozgásáb´ ol származó norm´ al ir´ any´ u elmozdul´ as – érint˝ o ir´ any´ u elmozdul´ as

xi

1. fejezet ´s Bevezete

M´ ara megn˝ ott a jelent˝ osége az olyan peremérték feladatok vizsg´ alat´ anak, melyek magukba foglalj´ ak az érintkezési problémakört is. Ezek nemcsak ipari feladatokn´ al, hanem k¨ ornyezetvédelmi vagy orvosi alkalmaz´ asokban is felmer¨ ulnek. Lényegében minden mozg´ as, ami ezen a bolygón t¨ orténik kapcsolatban van az érintkezéssel és a s´ url´ od´ assal. A j´ ar´ as, a fut´ as, a kerékp´ aroz´ as, az autóval vagy vas´ uttal történ˝o közlekedés, mind-mind érintkezés révén val´ osulhat meg. Ha a s´ url´ od´ as nem volna jelen – l´ asd péld´ aul a jégen val´ o aut´ ovezetés –, akkor ezek a mozgások nem jöhetnének létre azon a módon, ahogy azt megszoktuk és elvárjuk. Abb´ ol ad´ od´ oan, hogy az a fel¨ ulet, amellyel a cip˝ onk talpa, vagy az aut´ o abroncsa val´ oj´ aban érintkezik, kezdetben nem ismeretes, egy egyszer˝ unek t˝ un˝ o all´ıt´ asához vezet. hétk¨ oznapi probléma is nemlineáris peremérték feladat fel´ Az érintkezés jelensége a mérnöki feladatokban leggyakrabban a k¨ ulönböz˝o mechanikai alkatrészek egymással val´ o érintkezésekor mer¨ ul fel. Sz´ amos mechanikai terhelés ilyen jelleg˝ u kapcsolatokból származik. Ennek a folyamatnak a vizsg´ alata, a mérnöki tervezés és elemzés során kulcsfontoss´ ag´ u. Az által´ anos mechanikai modellekben ennek ellenére nem mindig tal´ alkozunk az érintkezési feltételek figyelembevételének lehet˝ oségével. Az érintkezési feladat komplexit´ asát a következ˝o megállap´ıt´ asok jellemzik: 1. Nemline´ aris jelleg, mely abb´ ol fakad, hogy az érintkezési tartom´ any, illetve az ott érvényes peremfeltételek el˝ore nem ismertek. 2. Az érintkezési és s´ url´ od´ asi törvények nem egyszer˝ uek, kezelés¨ uk speci´ alis matematikai alapokat és eszk¨ oz¨ oket igényel. 3. A vizsg´ alt mechanikai rendszer geometriai és anyagi felép´ıtéséb˝ol adód´ oan más nemlinearit´ asok is megjelenhetnek. 4. Bizonyos esetekben dinamikai hat´ asok figyelembevétele is sz¨ ukséges. Az érintkezési – vagy kontakt – feladatokat, er˝ os nemlineáris jelleg¨ uk miatt, kor´ abban csak speciális feltételezések mellett tudták figyelembe venni a tervezési folyamat során. A szám´ıt´ astechnika és a mérn¨ oki tudom´ anyok fejl˝ odésének köszönhet˝ oen, ma már számtalan lehet˝oség áll rendelkezésre a numerikus mechanika eszköztár´ aban arra, hogy az érintkezési jelenségeket kezelj¨ uk. Ezek között az elj´ ar´ asok között számtalan olyan van, mellyel megfelel˝o pontoss´ aggal megoldhatjuk a kontakt feladatot azért, hogy m´ ar a tervezéskor figyelembe vehess¨ uk a m˝ uk¨ odés közbeni érintkezések hatásait. Itt kell megállap´ıtani azonban azt a tényt, hogy a ma elérhet˝o által´ anosan haszn´ alt végeselemes programrendszerek nem minden esetben alkalmazhatóak az érintkezés problémakörének vizsgálat´ ara, péld´ aul ha s´ url´ od´ as is jelen van, vagy ha valamilyen optimaliz´ al´ ast kell végrehajtani az érintkezésben résztvev˝o gépelemek alakjára. Ezért a végeselem-módszerrel foglalkozó kutat´ ok számára komoly kih´ıv´ ast jelent az, hogy hatékony, megb´ızhat´ o módszereket, eljár´ asokat dolgozzanak ki az érintkezési feladatok numerikus megold´ asa érdekében.

2

´s 1. Bevezete

Kezdetben nagyon egyszer˝ u érintkezési feladatokat fogalmaztak meg. Ilyen lehetett péld´ aul a has´ ab alak´ u ép´ıt˝ oelemek f¨ oldr˝ ol val´ o felemelése, vagy ugyanez talajon val´ o könnyebb mozgatása (l´ asd: 1.1 ábra). Kés˝obb megjelentek a még ma is aktuális legk¨ ulönböz˝obb gépelemek érintkezési problémái. Gondoljunk csak a klasszikusnak sz´ am´ıt´ o csapágyakra, vagy a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o k¨ ot˝ oelemek kapcsolód´ asára. Ezeknél a feladatokn´ al ma már apr´ o” kér” dések adják a megoldand´ o problémát, mint például azt, hogy hogyan hozzunk létre egy olyan g¨ ord¨ ul˝ oelemet, melynek hossza mentén egy általunk k´ıv´ ant fesz¨ ultség eloszlás alakul ki. Ezen feladatok megold´ asa során általában kis alakv´ altozást tételez¨ unk fel. Ennek any kezdetben nem ismert, minden esetben ellenére, mivel a tényleges érintkezési tartom´ nemlineáris feladatot kell megoldani, melyekhez speciális algoritmusok sz¨ ukségesek. F1

F2

1.1. ´ abra: Hasáb alak´ u test mozgatása

Az érintkezési feladatok alkalmaz´ asára a gépészmérnöki gyakorlatban sz´ amtalan he´ lyen láthatunk péld´ akat. Igy tal´ alkozhatunk a problémával a legk¨ ulönfélébb gépelemek, péld´ aul a fogaskerekek tervezésénél, vagy a hidegalak´ıt´ o elj´ ar´ asokn´ al, a forg´ acsolással j´ ar´ o megmunk´ al´ asokn´ al, tov´ abb´ a érintkezési feladat lép fel a járm˝ uvek töréstesztjei során is. Fontos alkalmaz´ asi ter¨ ulet a vas´ uti kerekek és s´ınek tervezése, vagy a járm˝ uabroncsok viselkedésének elemzése. Az élet más ter¨ uletein is megfigyelhetj¨ uk azonba az alkalmaz´ as jelent˝ oségét, u ´gymint a biomechanikában, amikor az él˝o szövet és a beép´ıtett protézisek, vagy implantátumok al már nem elhanyaviselkedését szeretnénk megjósolni. Az ilyen feladatok vizsg´ alat´ an´ golhat´ o az a tény, hogy a feladat megold´ asához nagy alakv´ altoz´ asok figyelembevétele is sz¨ ukségessé válhat. Ezzel a ter¨ ulettel a disszertáció nem foglalkozik. A k¨ ul¨ onböz˝o ter¨ uletekr˝ ol származó kontakt feladatok tov´ abb vizsg´ alhat´ ok még bonyolultabb esetekben is, amikor a nagy alakv´ altoz´ as mellett figyelembe vehet˝ok még péld´ aul a képlékeny alakv´ altoz´ as, vagy az id˝ ot˝ ol val´ o f¨ uggés hatásai is. Természetesen a legtöbb ipari alkalmaz´ asban numerikus m´ odszereket kell használni, mivel az érintkezésben résztvev˝o testeknek igen komplex a geometriai kialak´ıt´ asa. Az érintkezési feladatok vonatkoz´ asában a mai szám´ıt´ ogéppel seg´ıtett elj´ ar´ asokat négy f˝ o csoportba lehet osztani: • Végeselem-módszer (Finite element method) – kis- vagy nagyalakváltozás mellett is alkalmazható, mind rugalmas, mind képlékeny alakv´ altoz´ as esetén. oen akkor haszn´ alj´ ak, • Diszkrét elemek módszere (Discrete element method) – alapvet˝ ha az érintkezésben rendk´ıv¨ ul nagy sz´ am´ u alkatrész vesz részt. • Peremelem-módszer (Boundary element method) – a végeselem-módszerhez hasonl´ oan a feladatok széles köre kezelhet˝o vele. • T¨ obb testb˝ ol áll´ o rendszer (Multi body system) – amely a testek merevként val´ o le´ır´ asán alapszik. A gépészeti szerkezetek egyszer˝ us´ıtett dinamikai modelljénél alkalmazzák, ahol érintkezést is figyelembe kell venni. H˝ otani feladat csatol´ asa is sz¨ ukségessé válhat az olyan feladatok vizsg´ alatakor, amikor péld´ aul h˝ uteni kell elektronikus eszközöket, vagy egy nukle´ aris berendezés h˝ocserél˝oit kell szabályozni, vagy amikor h˝ oszigetelést akarunk létrehozni u ´gy, hogy a vizsg´ alt mechanikai reakci´ o és a h˝ovezetés az érintkezési tartom´ anyon is kapcsol´ odik egym´ ashoz. Hasonlóan uli fontoss´ ag´ uv´ a, a lavin´ ak érdekes feladat, amely f˝oleg magashegységekben vált rendk´ıv¨

R¨ ovid t¨ orténeti ´ attekintés

3

szimulációja. Ebben a feladatban az érintkezés problémája egy¨ utt jelentkezik a lavina mozgásának pontos le´ır´ asával, melyhez a kontinuummechanika eszköztár´ at kell seg´ıtség¨ ul h´ıvni. Mindezekb˝ ol l´ athat´ o, hogy a numerikus érintkezési mechanika (Computational Contact Mechanics) a tribol´ ogia tudom´ any´ at is érinti, beleértve a s´ url´ od´ ast, a kenést vagy a kop´ ast is. Ezért ez a tudományter¨ ulet egy multidiszciplin´ aris ter¨ ulet, mely felhaszn´ alja a tribol´ ogusok, matematikusok, szám´ıt´ astechnikusok, tov´ abb´ a a mechanik´ ahoz ért˝o szakemberek eredményeit és kapcsolódik olyan kutat´ ok munk´ aj´ ahoz is, akik a h˝ ovezetéssel, vagy elektrom´ agnesesség kutatásával foglalkoznak. A disszertációban a végeselem-módszer használat´ ara fogunk szor´ıtkozni, hogy az a´ltalunk vizsg´ alt szorosan vett problémákat elemezz¨ uk. Természetesen az alapvet˝o elméleti anoh´ attér ismertetésére is sor ker¨ ul. Vannak olyan formalizmusok azonban, melyek a´ltal´ sak és az alkalmazott módszert˝ol f¨ uggetlen¨ ul érvényesek. Ezeket k¨ ulön fejezetekben fogjuk ismertetni. A diszkrét elemek módszerér˝ol olvashatunk péld´ aul Atting és Esser könyvében [3], illetve a t¨ obb testb˝ ol álló rendszerek és az érintkezési feladatok kapcsolat´ ar´ ol Pfeiffer és Glocker k¨ onyvében [53]. Mérnöki feladatok peremelem-módszerrel történ˝ o megold´ asára például Banerjee [7] könyve ny´ ujt u ´tmutat´ ast. A vizsgált feladatok alapj´ an fel´ all´ıtott mechanikai modelleket megk¨ ulönböztetj¨ uk aszerint, hogy az eredetileg h´ aromdimenziós problémát hogyan kezelhetj¨ uk. Kétdimenziósnak, vagy r¨ oviden 2D-s feladatnak nevezz¨ uk péld´ aul a hengerszimmetrikus feladatokat, melyek ok. A szimmetria jellemz˝oket nem mutató problékétdimenziós végeselemekkel szám´ıthat´ mák esetén pedig h´ aromdimenziós végeselemek sz¨ ukségesek a numerikus szimuláció végrehajt´ asához, ezeket a feladatt´ıpusokat nevezz¨ uk h´ aromdimenziósnak, vagy röviden 3D-s feladatnak.

1.1.

R¨ ovid t¨ ort´ eneti ´ attekint´ es

Tekintettel a technikai fontoss´ agra, az érintkezés problémaköre már a m´ ultban is sok kutat´ ot foglalkoztatott. Mindannyian ismerj¨ uk a tényt, hogy már az ókori Egyiptomban sz¨ ukség volt arra, hogy hatalmas k˝ otömböket mozgassanak a piramisok felép´ıtéséhez. Ezzel kapcsolatban fel kellett, hogy mer¨ uljön az érintkezés, illetve az egyszer˝ ubb mozgat´ as problémája. Ezt mutatja az 1.2 a´bra, melyen l´ athat´ o hogy már az ókori egyiptomiak is tudtak a kenési folyamat jelent˝oségér˝ol. A képen l´ athat´ o egy férfi, aki a sz´ an szélér˝ol folyadékot ¨ ont k¨ ozvetlen¨ ul a szán orra elé.

1.2. ´ abra: K˝ ot¨ omb mozgatása az ókori Egyiptomban

4

´s 1. Bevezete

Mivel a s´ url´ od´ asnak komoly technikai jelent˝ osége van, ezt a jelenséget már számtalan tud´ os vizsgálta. K¨ ozt¨ uk tal´ an legels˝ oként Leonardo da Vinci (1452-1519) eml´ıthet˝ o ˝ meg, akit a mai modern tribol´ ogia atyjaként is emlegetnek. O már 150 évvel Amontons s´ url´ od´ asi t¨ orvényei el˝ott le´ırta kéziratában az Amontons–féle megállap´ıt´ asokat. A tribol´ ogia u ´tt¨ or˝ oihez tartozik Leonardo da Vinci mellett még Guillaume Amontons (1663-1705) lásd [1], John Thoephilius Desanguliers (1683-1744), Leonard Euler (1707-1783) és Charles-Augustin Coulomb (1736-1806). Még mindig ezen u ´ttör˝ ok munk´ aja jelenti a szabványt és a t¨ orvényszer˝ uséget a mai mérnöki problémákhoz. Meg´ allap´ıt´ asaikat a k¨ ovetkez˝o három t¨ orvény foglalja össze: od´ asi er˝o ar´ anyos az érintkez˝o fel¨ uleteket összenyomó er˝ovel. (Amontons 1. 1. A s´ url´ t¨ orvénye) 2. A s´ url´ od´ asi er˝o nagys´ aga f¨ uggetlen a hozzá rendelhet˝ o érintkezési tartomány nagyság´ at´ ol. (Amontons 2. t¨ orvénye) 3. A mozgási s´ url´ od´ as f¨ uggetlen a cs´ uszási sebességt˝ol. (Coulomb t¨ orvénye) Ez a h´ arom t¨ orvény csak száraz s´ url´ od´ as esetén érvényes, mint ahogy az már régóta ismeretes, a ken˝oanyag jelent˝osen módos´ıthatja a tribol´ ogiai jellemz˝ oket. Ha a fentieket osszegezz¨ uk, akkor eljutunk egy minden mérnök által ismert formul´ ahoz, mely Coulomb ¨ mozgási s´ url´ od´ asi t¨ orvényeként ismert: FT = µ N,

(1.1)

url´ od´ asi er˝o, N a norm´ al ir´ any´ u er˝ o és µ a s´ url´ od´ asi egy¨ utthat´ o. ahol FT a s´ Az els˝o, matematikai szempontb´ ol elvégzett elemzés Euler nevéhez f˝ uz˝odik, aki h´ a˝ vonta le a következtetést a tömeg romsz¨ ogekkel k¨ ozel´ıtette a fel¨ ulet egyenetlenségét [16]. O mozgási egyenletének megoldásáb´ ol arra vonatkoz´ oan, hogy a kinetikai s´ url´ od´ asi egy¨ utthat´ onak kisebbnek kell lennie a tapad´ asi s´ url´ od´ asi egy¨ utthat´ on´ al. Val´ oj´ aban Euler volt, aki el˝ osz¨ or haszn´ alta a µ szimbólumot a s´ url´ od´ asi egy¨ utthat´ o jelölésére, mely mind a mai napig elfogadott jel. Coulomb átfog´ o k´ısérleti tanulm´ anyt végzett 1785-ben [13] és a következ˝ot állap´ıtotta meg. A s´ url´ od´ as kapcsolatban áll a norm´ al nyom´ assal, a fel¨ ulet nagys´ agával, az anyagjellemz˝ okkel, a fel¨ uleti bevonattal, a környezeti feltételekkel – u ´ gymint nedvesség, h˝ omérséklet és légnyomás – és a s´ url´ od´ asi er˝o id˝ of¨ uggésével. De kés˝obb azt is Coulomb állap´ıtotta meg, hogy a µ majdnem f¨ uggetlen a norm´ al ir´ any´ u er˝ ot˝ ol, a cs´ uszási sebességt˝ol, az érintkezési tartom´ anyt´ ol és a fel¨ uleti érdességt˝ol. Hertz 1882-es klasszikusnak szám´ıt´ o analitikus munk´ aj´ aban a rugalmass´ agtant alkalmazta az érintkezési mechanikában [23]. Hertz két rugalmas gömb érintkezését vizsgálta oan. Azonban és analitikus megoldást adott az érintkezési nyomás eloszlására vonatkoz´ csak nagyon kevés valóságos érintkezési feladat oldhat´ o meg analitikus módon. Johnson 1985-ben megjelent k¨ onyve áttekintést ad ezekr˝ol a feladatt´ıpusokr´ ol [26]. A végeselem-módszer egy¨ utt fejl˝ odött ki az egyre gyorsul´ o modern szám´ıt´ ogépekkel. Az ¨ otvenes évek végén jelent meg egy publik´ ació melyben arr´ ol ´ırtak, hogy végeselemek seg´ıtségével oldottak meg szerkezeti problémákat (l´ asd Turner és munkatársai 1956-ban megjelent cikkét [64]). Ezt k¨ ovet˝oen az irodalom hihetetlen mértékben n˝ oni kezdett, mivel az iparban nagy sz¨ ukség volt olyan feladatok megold´ asára is, amelyeket analitikus u ´ton már nem tudtak kezelni. Ezut´ an még nagyj´ ab´ ol 10 év telt el, m´ıg megjelentek olyan publik´ aciók, melyekben már érintkezési feladatok végeselemes megoldásár´ ol szóltak. Ezek k¨ oz¨ ul is tal´ an az els˝o, az 1970-es Wilson és Parsons publik´ aciója [65].

Irodalmi ´ attekintés

1.2.

5

Irodalmi ´ attekint´ es

Az érintkezés jelenségével kapcsolatos kutatások gyökerei legalább a 18. sz´ azadig ny´ ulnak vissza. Akkoriban az érintkezésben résztvev˝o testeket merevnek tekintették, alapvet˝ oen azért, hogy a formul´ akat egyszer˝ uen tudj´ ak kezelni. Ennek következtében azonban a testekben ébred˝o fesz¨ ultségeket és az alakváltoz´ asokat nem tudt´ ak meghat´ arozni. Az els˝o analitikus megold´ as, mely már rugalmas testekkel foglalkozott, Hertzt˝ ol származik [23]. A Hertz-féle érintkezési elmélet seg´ıtségével csak az érintkezési pont, vagy vonal k¨ ozvetlen k¨ ornyezetében hat´ arozhat´ ok meg a fesz¨ ultségek és az alakváltoz´ asok. Ezzel a módszerrel tehát csak nagyon speciális feladatokat tudunk vizsg´ alni. Ezt a te´ ori´ at azonban a kontakt mechanika fontos mérföldkövének tekinthetj¨ uk. Az egyoldal´ u érintkezési feladatok a´ltal´ anos érvény˝ u formalizmusát Signorini publik´ alta 1933-ban [56], fel´ all´ıtva a peremérték feladatot egy rugalmas és egy merev test érintkezésekor. Néhány speciális statikai és dinamikai rugalmas érintkezést vizsgált Goldsmith 1960-ban, u ´gymint két r´ ud vagy egy rugalmas test és egy s´ık kontakt feladata [18]. Ebben analitikus megold´ asokat szolgáltatott a problémákra, csatolva hozzájuk k´ısérleti eredményeket is. Az érintkez˝ o alkatrészek szilárds´ agi vizsg´ alat´ ahoz nem elegend˝ o az érintkezési helyeken létrej¨ ov˝ o maximális érintkezési nyomás meghatározása; a fesz¨ ultségi állapot teljes jellemzéséhez sz¨ ukséges a testek minden pontj´ aban a f˝ ofesz¨ ultségek ismerete. Korábbi munk´ akban a fesz¨ ultségi állapotot a k¨ or alak´ u és a párhuzamos egyenesekkel határolt s´ av alak´ u érintkezési tartom´ any eseteiben vizsgálták, melyek elemzéséhez zárt alak´ u képleteket kaptak, mind a kialakul´ o érintkezési tartomány jellemz˝ o méreteire, mind az érintkezési nyomás eloszlására. Ezek ¨ osszefoglalását Ponormajov tette meg 1958-ban [55], oly módon, hogy a mérn¨ ok¨ ok matematikai t´ ajékozottságának megfelel˝ o részletességgel mutatja be az elliptikus érintkezési tartom´ anyhoz tartoz´ o geometriai és szilárds´ agi jellemz˝ok meghat´ arozásának módj´ at. Timoshenko és Goodier 1970-ben megjelent rugalmass´ agtan könyvében [63] az érintkezési alakváltoz´ asok elmélete kör alak´ u érintkezési fel¨ ulet esetében ker¨ ul bemutat´ asra. Ebben a t´ argyal´ asi módban az érintkezési feladatot a rugalmas féltérre – mely igen nagy kiterjedés˝ u test és a m˝ uk¨ od˝ o er˝ore mer˝oleges s´ık hat´ arol – hat´ o koncentr´ alt er˝o által feluk. Az érintkezési fesz¨ ultségek és alakv´ altozások ´ırhat´ o hat´ asmátrix seg´ıtségével kezelj¨ vizsgálat´ anak ezen módszere a mérnökök és technikusok széles köre számára hozzáférhet˝o, mellyel lehetséges két ¨ osszenyomód´ o alkatrész elliptikus érintkezési tartomány´ anak elemzése által´ anos esetben is. A testek érintkezési alakváltozásainak vizsgált kérdéséhez szorosan kapcsolódik a rugalmas test alakváltozásának problémája tetsz˝oleges alak´ u merev bélyeg benyom´ od´ asa esetén. A k¨ or és elliptikus, s´ık és térbeli bélyegekkel kapcsolatban több feladatot Lur’e vizsg´ alt meg 1964-es [38] munkáj´ aban. Két rugalmas test kezdeti pontszer˝ u érintkezési feladat´ aval matematikailag egyenérték˝ u feladatot, a térbeli elliptikus bélyeg feladat´ at is vizsg´ alta. asával lehet˝ oség van minden kapcsol´ od´ o peremfeltétel Vari´ aciós egyenl˝otlenségek feláll´ıt´ – beleértve az érintkezés és elvál´ as feltételeit is – figyelembevételére. Kikutchi és Oden vari´ aciós egyenl˝otlenségek seg´ıtségével vizsgálja a s´ url´ od´ as nélk¨ uli érintkezési feladat esetén a megoldás létezését és egyérték˝ uségét az 1988-as [33] publik´ acióban. Kimutatt´ ak, hogy a rugalmasságtani problémákn´ al az érintkezési feladat virtu´ alis munka elvb˝ ol származtatott megold´ asa ugyanazt az eredményt adja, mint az, amely az érintkezési feltételekkel megfogalmazott potenciális energia minimuma elvb˝ol származik. Ezért a hagyom´ anyos optimaliz´ al´ o elj´ ar´ asok lehet˝ oséget adnak arra, hogy ezeket a vari´ aciós egyenl˝otlenségek megold´ asára is alkalmazzuk. Kikutchi és Oden ugyanebben a cikkben végeselemek seo érintkezési g´ıtségével kezelte az egyoldal´ u érintkezési feladatokat, melyeknél a kialakul´ fesz¨ ultség csak nyomófesz¨ ultség lehet. Ez a gyakorlat szempontj´ ab´ ol azt jelenti, hogy a fel¨ uletek nincsenek egym´ ashoz rögz´ıtve például ragaszt´ oval.

6

´s 1. Bevezete

A Lagrange-féle multiplik´ atoros módszert, a b¨ untet˝ oparaméteres technikát és a módos´ıtott Lagrange-féle multiplik´ atoros módszert ismerteti Zhong az 1993-ban megjelent k¨ onyvében a s´ url´ od´ as nélk¨ uli érintkezési feladatok megold´ asára [67]. A Lagrange-féle multiplik´ atoros m´ odszer keretein bel¨ ul az érintkezési-elvál´ asi feltételek egzakt módon kielég´ıthet˝ oek, a módszer által igényelt pótlólagos ismeretlenek révén. Ezeket az ismeretlen szorzótényez˝oket Lagrange-féle multiplik´ atornak nevezz¨ uk. A b¨ untet˝ oparaméteres technika u ´gy ismert, mint a legegyszer˝ ubb fizikai tartalommal is rendelkez˝ o módszer. Ennek az eljár´ asnak k¨ onny˝ u a programozhat´ osága, h´ atr´ anya viszont, hogy a megold´ as pontossága untet˝ oparaméter megválasztását´ ol, mivel annak nagys´ aga jelennagymértékben f¨ ugg a b¨ t˝ osen befoly´ asolja a megoldand´ o egyenletrendszer kond´ıciój´ at. Ez azért van ´ıgy, mert az érintkezési feltételek akkor lennének nagy pontossággal biztos´ıtva, ha a b¨ untet˝ oparaméter végtelen nagyság´ u lenne. A m´ odos´ıtott Lagrange-féle multiplik´ atoros technika egy olyan iterat´ıv elj´ ar´ as, mely magába foglalja a hagyom´ anyos b¨ untet˝ oparaméteres tagot és az el˝oz˝o iterációs lépésben kapott elmozdul´ as alapján kisz´ amolt Lagrange-féle multiplik´ atoros tagot. Ezen m´ odszerek jellemz˝oit Arora és szerz˝ot´ arsai foglalt´ ak össze az [2] cikkben. Ha a norm´ al ir´ any´ u er˝ ok eloszlását ismertnek tételezz¨ uk fel a kontakt tartom´ any mentén, akkor a s´ url´ od´ asos feladat vari´ aciós egyenl˝otlenségeit is defini´ alhatjuk, u ´gy ahogyan aciós egyenl˝otlenség megoldása lényegében egy nem Panagiotopoulos tette [48]. A vari´ differenciálhat´ o optimalizációs probléma megoldását jelenti. A nem differenci´ alhat´ o természetét a feladatnak az adja, hogy jelen van a nem differenci´ alhat´ o s´ url´ od´ asi energia tag a célf¨ uggvényben. Minden érintkezésnél megfigyelhet˝o a s´ url´ od´ asi jelenség és sok esetben ez nem hanyagolhat´ o el. A gyakorlatban a s´ url´ od´ as nélk¨ uli feladatok viszonylag kevés helyen haszn´ alhat´ ok fel, ezért a s´ url´ od´ asos érintkezési feladatok sokkal nagyobb fontoss´ aggal b´ırnak. Ezen feladatok megold´ asa azonban, a vari´ aciós egyenl˝otlenségek felhaszn´ al´ asával, sz´ amos nehézséget is magában hordoz. Ez annak tudhat´ o be, hogy a tényleges érintkezési tartomány, az elmozdul´ asi peremfeltételek ezen a tartományon, az érintkezési nyomás és a ugg, mind-mind ismerets´ url´ od´ asi, érint˝ o ir´ any´ u fesz¨ ultség, ami az el˝oz˝o nyom´ asértékt˝ol f¨ lenként szerepel. Természetesen még ehhez tartozik az is, hogy a Coulomb-féle s´ url´ od´ asi t¨ orvény nem sima, hanem t¨ obbérték˝ u f¨ uggvényt ad. Az ilyen t´ıpus´ u feladat azért még ˝ a ter´ıgy is megoldhat´ o, ahogy azt például Kikutchi és Oden tette a [33] cikkben. Ok helést n¨ ovekményekben helyezték a testre és ezekben a terhelési lépcs˝okben k¨ ulön-k¨ ulön elvégezték az egyens´ ulyi iter´ aciót. Az érintkezési feladatok kezelésének egy másik lehetséges módja az, amikor vari´ aciós egyenl˝ oségeket áll´ıtunk fel, melyeket a virtu´ alis munka elvéb˝ol származtatunk. A numerikus elj´ ar´ as során a terhelést apr´ o növekmények form´ aj´ aban teszik a testre, és iterat´ıv módon keresik a megoldást, lásd a Huges és kollégái által ´ırt 1976-ban megjelent cikket [25]. Ez a megk¨ ozel´ıtés fontos állom´ ast jelent els˝osorban a mérnökök számára. A vari´ aciós egyenl˝ oségek alapj´ an m˝ uk¨ odik számtalan végeselemes programrendszer, mint az ANSYS, vagy az ABAQUS. Sz´ amtalan megold´ asi módszer látott napvil´ agot ezen a ter¨ uleten, melyek azonban csak bizonyos gyakorlati érintkezési feladatok megold´ asát seg´ıtik [67]. S´ url´ od´ as nélk¨ uli érintkezési feladatokat oldottak meg variációs egyenletek seg´ıtségével Simo és munkatársai [57]. Az egyoldal´ u érintkezési feltételeket a perturbált Lagrangeféle multiplik´ atoros módszerrel biztos´ıtott´ ak a megoldáshoz. Ebben a megold´ asi módszerben a klasszikus Lagrange-funkcion´ alt kvadratikus kifejezéssel regularizált´ ak. Ugyanezt aa módszert alkalmazta Ju és Taylor a [27] cikkben, de már a s´ url´ od´ asos feladat megold´ sára. A s´ url´ od´ ast a Coulomb-féle t¨ orvény módos´ıt´ asával vették tekintetbe. A nemlineáris egyenletrendszer megoldásához inkrement´ alis iterat´ıv egyenletrendszer megoldót haszn´ altak fel. A numerikus sz´ am´ıt´ asi péld´ ak merev/rugalmas bélyeg, illetve rugalmas alapzat

Célkit˝ uzések

7

érintkezését, tov´ abb´ a rugalmas gömb és merev alapzat érintkezését vizsgálták két dimenzióban. A vari´ aciós egyenl˝oségek fel˝ol közel´ıtve az érintkezési feladatok megold´ asához, egy viszonylag j´ ol m˝ uk¨ od˝ o technik´ at kapunk még nagyméret˝ u gyakorlati problémák esetén is. Ez a megk¨ ozel´ıtés azonban matematikailag nem olyan jól megalapozott, mint a vari´ aciós egyenl˝ otlenségek alkalmaz´ asa, tovább´ a a numerikus megoldás során számtalan megold´ asi nehézség mer¨ ul fel. A terhelési lépcs˝o vagy az id˝ olépés megválasztása a megold´ as szempontj´ ab´ ol igen kritikus, nemcsak a konvergencia biztos´ıt´ asa miatt, de az érintkezési és s´ url´ od´ asi feltételek megfelel˝oen pontos betart´ asa miatt is. Tovább´ a nem elhanyagoland´ o szempont asok tekintetében. A a megoldási technika hatékonys´ aga sem, a sz¨ ukséges hardver er˝oforr´ megold´ as még számos numerikus paraméter f¨ uggvénye – mint péld´ aul az érintkezési merevség, tapad´ asi jellemz˝ok stb. –, melyek j´ o része feladatf¨ ugg˝ o is. Természetesen ezeknek a paramétereknek a beáll´ıt´ asára lehet˝ oséget k´ın´ al a legtöbb által´ anos céllal kész´ıtett végeselemes programrendszer, de ezek beáll´ıt´ asa nagyfok´ u kör¨ ultekintést igényel, hogy az adott problémára kapott eredmény ténylegesen az általunk tervezett feladat megold´ asát jelentse. A végeselem-módszer három t´ıpus´ ar´ ol szokás beszélni annak alapj´ an, hogy milyen m´ odon lehetséges a megoldás pontos´ıt´ asa. A megoldás jav´ıt´ asát elérhetj¨ uk u ´gy, hogy a végeselemek méretét cs¨ okkentj¨ uk – azaz növelj¨ uk a végeselemek számát –, ekkor h-verziós módszerrel dolgozunk. A szám´ıt´ as pontos´ıt´ asa azonban elérhet˝o oly módon is, hogy az elemek méretét változatlanul hagyjuk, ellenben az elemeken m˝ uköd˝ o alakf¨ uggvények p foksz´ amát v´ altoztatjuk. Ezzel tulajdonképpen szintén a feladatban szerepl˝o ismeretlenek számát n¨ ovelj¨ uk, és ´ıgy jutunk az u ´gynevezett p-verziós végeselemekhez. E két technika p´ arhuzamos, ¨ osszehangolt alkalmazásával kapjuk a hp-verziós végeselem-módszert. ´ és Babuˇ A p-verzi´ os végeselem-módszer alapjait Szabo ska foglalta o¨ssze az 1991-ben megjelent k¨ onyvben [60]. Bebizony´ıtott´ ak, hogy a p-verziós elemek alkalmazása – ugyanannyi ismeretlensz´ am mellett – által´ aban jobb megold´ ast ny´ ujt, mint a h-verziós elemeké. A szingularit´ asokat is tartalmaz´ o feladatok esetében a hp-verziós elemek seg´ıtségével exponenci´ alis konvergenci´ at érhet¨ unk el az energianorma tekintetében [60]. ´ és Babuˇ Egy tov´ abbi Szabo ska által bevezetett osztályozás a végeselem-módszerrel kezelt feladatokat három t´ıpusba sorolja aszerint, hogy az uex tényleges megoldás milyen a vizsgált tartom´ anyon [60]. A feladat az A t´ıpusba tartozik, ha a v´ alasztott felosztástól f¨ uggetlen¨ ul a teljes elemen analitikus megoldást kapunk. A B t´ıpus u ´ feladatban az elemfelosztás oly módon t¨ orténik, hogy véges szám´ u pontot, vagy élet kivéve a megoldás az elemen analitikus, azaz a nem analitikus helyek a végeselem-határra, vagy csomópontba ker¨ ulnek. Ha azonban az elemfelosztás nem lehetséges u ´ gy, hogy az uex tényleges megold´ asban tapasztalhat´ o ugr´ asszer˝ u v´ altoz´ as az elemhatárra vagy a csomópontba ker¨ ulj¨ on, ´ akkor C t´ıpus u ´ feladatot vizsg´ alunk. Erintkez´ esi feladatoknál sz¨ ukséges az elemhatárok v´ altoztatása, mellyel elérhet˝o, hogy az u ń. C t´ıpus u ´ feladat B t´ıpus u ´ legyen. Az elemhat´ a´ rok ilyen cél´ u mozgatásával els˝ oként Paczelt és szerz˝ot´ arsai a [44] cikkben foglalkoztak. K¨ ul¨ onb¨ oz˝o t´ıpus´ u kétdimenziós érintkezési feladatokat vizsg´ altak a [42] publik´ ació szerz˝oi. Kétdimenziós érintkezési feladatok esetén iter´ aciós technik´ aval a p-verziós elemek igen j´ o megoldást szolgáltatnak az érintkezési tartomány hat´ ar´ anak keresésekor.

1.3.

C´ elkit˝ uz´ esek

Jelen értekezés az érintkezési feladatok numerikus vizsg´ alat´ at tekinti els˝ odleges feladat´ anak. Két alapvet˝o ir´ anyban folytatunk kutat´ ast. Egyrészt megvizsgáljuk a tengelyszimmetrikus érintkezési feladatok kapcsán fel´ all´ıtott alakoptimaliz´ al´ asi feladatokat. M´ asrészt a térbeli érintkezés problémak¨ orét k´ıv´ anjuk a´ttekinteni és u ´ jfajta szemlélettel kezelni.

8

´s 1. Bevezete

´ t´ıpus´ • Uj u optimaliz´ al´ asi feladatokat k´ıv´ anunk fel´ all´ıtani arra vonatkoz´ oan, miszerint a gyakorlati feladatokn´ al mindig tekintettel kell lenni arra, hogy a val´ oságos anyag nem terhelhet˝ o tetsz˝oleges mértékben. A k¨ ulönböz˝o rugalmas anyag´ u gépelemek t¨ onkremenetelét a mérn¨ oki gyakorlatban els˝ osorban az anyagra megengedett és az anyagban kialakul´ o reduk´ alt maximális fesz¨ ultségek egymáshoz képesti viszonya szabja meg. • A fel´ all´ıtott alakoptimaliz´ aciós feladatokra megold´ asi elj´ ar´ ast k´ıv´ anunk kidolgozni, mely beép´ıthet˝o a létez˝o p-verziós szám´ıt´ ogépi programunkba a kidolgozott elvek m˝ uk¨ odésének illusztrál´ asa érdekében. • G¨ org˝ o alak´ u testek alakoptimaliz´ al´ asi kérdéseit szeretnénk megvizsgálni olyan teabb kintetben, hogy a m´ ar létez˝o optimaliz´ al´ asi lehet˝oségek hogyan fejleszthet˝ok tov´ a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelési esetek f¨ uggvényében. Meg k´ıv´ anjuk vizsg´ alni a görd¨ uléses érintkezés problémak¨ orét is azzal a céllal, hogy meggy˝ oz˝odj¨ unk arr´ ol, hogy a s´ url´ od´ as hat´ asa az alakoptimaliz´ al´ as során a görg˝ o alak´ u testek érintkezésekor valóban elhanyagolhat´ o-e. • A tengelyszimmetrikus feladatokon t´ ullépve, háromdimenziós érintkezési feladat numerikus vizsgálat´ at k´ıv´ anjuk megoldani p-verziós végeselemes program kifejlesztésével. Térbeli érintkezés esetén a kialakul´ o érintkezési tartomány már nem egy vonal hanem eset¨ unkben, egy egyszeresen összef¨ ugg˝ o fel¨ ulet, amelyet sima, zárt görbe haasa kulcskérdés e nemlineáris feladat t´ arol. Ennek a fel¨ uletnek a pontos azonos´ıt´ hatékony és prec´ız megoldása érdekében. Az érintkezési fel¨ ulet hat´ ar´ at szeretnénk oly módon le´ırni, hogy az a numerikus szimulációk sor´ an szám´ıt´ ogépi program a´ltal o¨n´ allóan – adapt´ıv” módon – v´ altoz” tathat´ o legyen azért, hogy a kezdeti C t´ıpus u ´ feladot B t´ıpus u ´v´ a alak´ıtsuk át, mivel ily m´ odon a p-verzi´ os elemek alkalmazása továbbra is exponenci´ alis konvergenciát ny´ ujt a hibanorma tekintetében. Ennek érdekében meg k´ıv´ anjuk vizsg´ alni a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o paraméteres g¨ orbele´ır´ asi módszereket, els˝osorban a B-spline és a NURBS g¨ orbéket, mivel ezek a geometriai modellezési technik´ ak kielég´ıt˝ o rugalmasságot muonnyen, néhány paraméter seg´ıtségével változtatható. tatnak, azaz a g¨ orbék alakja k¨

2. fejezet ´rintkeze ´si feladat megfogalmaza ´sa Mechanikai e

2.1.

Rugalmass´ agtani feladat

Tekints¨ unk egy rugalmas testekb˝ ol felép´ıtett h´ aromdimenziós mechanikai rendszert. A k¨ olcs¨ onhat´ asoknak csak a mechanikai jellegét vizsgáljuk, nem vessz¨ uk teh´ at figyelembe a testek mágneses, elektromos, termikus kölcsönhat´ asait, tovább´ a a testek egymásra gyakorolt gravit´ aciós vonz´ oerejét is elhanyagoljuk. Feltételezz¨ uk, hogy a felmer¨ ul˝ o elmozdulások és alakv´ altoz´ asok kicsik, tov´ abb´ a a terhelés hatására létrejöv˝ o alakv´ altozás rugalmas. M´ asként fogalmazva, a line´ aris rugalmasságtan keretei között keress¨ uk a megold´ ast. A rugalmas rendszer két testb˝ol áll (α = 1, 2), ahogy azt a 2.1 ábra egy s´ıkmetszet felt¨ untetésével szemlélteti. 1 p

1

Sp1 Su1 u 10

V

1

Sc1 Sc2 p

2

Sp2

2 V

2

Su2

2.1. ´ abra: Két test érintkezési feladata

A testek V α térfogat´ at az S α fel¨ uletek hat´ arolj´ ak. Ezek k¨ ul¨ onböz˝o résztartományokra α α fel¨ uleti terhelés van el˝o´ırva; oszthatók fel: Su -n az uα0 elmozdulásmez˝o adott; Spα -n a p α Sc pedig az érintkezés feltételezett tartománya. Az α fels˝o index azt jelöli, hogy a két test köz¨ ul melyikr˝ ol van konkrétan szó (α = 1 jelenti a fels˝o, m´ıg α = 2 az alsó testet.) ur˝ usége, kα pedig az A testekre ható térfogati terhelést a ρα kα jelöli, ahol ρα a testek s˝ egységnyi t¨ omegen m˝ uk¨ od˝ o terhelés. Feladatunk, hogy meghatározzuk azt az uα = uα (r)

10

´rintkeze ´si feladat 2. Mechanikai e

elmozdulásmez˝ot – ∀ r ∈ V α , ahol r a helyvektor –, mely kielég´ıti a rugalmasságtani alapegyenletrendszert. Teljes¨ ulnie kell teh´ at a T α · ∇ + ρα kα = 0

∀r ∈Vα

(2.1)

egyens´ ulyi egyenletnek, ahol T α = T α (r) a fesz¨ ultségi tenzor. Az elmozdulásmez˝o és a kismérték˝ u alakv´ altozások k¨ oz¨ ott a kinematikai egyenlet ´ırja le a kapcsolatot: Aα =

1 α (u ◦ ∇ + ∇ ◦ uα ) 2

∀r ∈ Vα,

(2.2)

ahol Aα = Aα (r) az alakv´ altoz´ asi tenzor. A fesz¨ ultségek és az alakváltoz´ asok közötti viszonyt az anyagegyenlet fejezi ki: T α = D α · · Aα

∀r ∈ Vα,

(2.3)

ahol D α az anyag´ alland´ ok – esetenként helyt˝ ol is f¨ ugg˝ o – negyedrend˝ u tenzora. Homogén, α alland´ ot´ ol f¨ ugg, az E rugalmass´ agi modulusizotróp anyagokn´ al D tenzor csak két anyag´ t´ ol, és a ν Poisson-tényez˝ot˝ ol. Az el˝oz˝oekben .” jelöli a skal´ aris, ··” a kétszeres skaláris, ” ” m´ıg ◦” a diadikus, vagy tenzori´ alis szorzást. ” A rugalmasságtani feladat megold´ asa teljes´ıti egyrészt a kinematikai peremfeltételt u = u0

∀ r ∈ Suα ,

(2.4)

ahol u0 el˝o´ırt elmozdul´ asmez˝o az Suα fel¨ uleten, másrészt a dinamikai peremfeltételt α T α · nα = p

∀ r ∈ Spα ,

(2.5)

α az el˝o´ırt fel¨ ahol p uleti terhelés az Spα fel¨ uleten. A (2.1)-(2.3) mez˝oegyenletek mindkét testre 15 skalár egyenletet defini´ alnak, 15 ismeretlennel. A fenti mez˝oegyenleteket és peremfeltételeket ki kell egész´ıteni az Scα tartományra vonatkoz´ ou ń. érintkezési feltételekkel. Ezeket a 2.2. szakaszban részletezz¨ uk. A (2.1)-(2.3) mez˝oegyenletek és a csatlakozó (2.4) és (2.5) perem-, illetve a kés˝obb fel´ırt (2.10a-c) érintkezési feltételek által meghat´ arozott feladatnak nem ismeretes által´ anos esetben a pontos megold´ asa. Sz´ amos közel´ıt˝ o módszer létezik, melyekb˝ol néhány a teljes potenciális energia minimuma elvre ép¨ ul. A teljes potenci´ alis energia a következ˝o alakban ´ırhat´ o fel: Π = Π (u) =

2 1 α=1

2

Vα

Aα · · D α · · Aα dV − Vα

ρα kα · uα dV −

0 dS . uα · p

(2.6)

Spα

A teljes potenci´ alis energia minimuma elv értelmében – mely azt áll´ıtja, hogy a kinematikailag lehetséges elmozdulásmez˝okh¨ oz tartozó teljes potenciális energia szigor´ u minimummal rendelkezik az egzakt megoldás esetén –, a (2.6) funkcion´ al minimaliz´ al´ asa a feladatunk. Az érintkezési feltételek figyelembevételéhez ezt a funkcionált módos´ıtani kell. Ennek lépéseit a k¨ ovetkez˝o szakaszokban vizsgáljuk.

2.2.

Kinematikai megfontol´ asok a s´ url´ od´ as figyelembev´ etele n´ elku ¨l

Jel¨ olje nα az α jel˝ u test k¨ uls˝ o norm´ alisát. Az érintkezés lehetséges Scα tartom´ any´ a2 1 uk az nc érintkezési norm´ alist. Jelölje ebben a ban nc = −n ∼ = n képlettel értelmezz¨

Kinematikai megfontol´ asok

11

tartom´ anyban h az nc mentén mért hézagot a két test között a terhelés kezdete el˝ott. A terhelési folyamat végére, a testek közötti d t´ avolság a d = d(u) = u2n − u1n + h ≥ 0

∀ r ∈ Scα ,

(2.7)

értékre módosul. A felhaszn´ alt mennyiségek értelmezéséhez lásd a 2.2. ábr´ at. Itt uαn = α u érintkezés feltételét ad´ o egyenl˝ otlenség. u · nc . A (2.7) képlet az egyoldal´ a.) Q u1n

Sc1

1

b.)

1 1

1

Q

n1 u1

Sc1

h

u˙ 1τ

−pτ

2

n

Q2

Sc2 u2

Q2

u˙ 2τ

pτ

eτ

Sc2

u2n

2 2 nc

nc

2.2. ´ abra: Két test lehetséges érintkezése: a.) norm´ al; b.) érint˝ o ir´ any´ u mennyiségek

Az Sc lehetséges érintkezési tartomány felbonthat´ o egy Ωp tényleges érintkezés és egy anval´ o ugyanis, hogy: Ω0 réstartományra, azonban Sc = Ωp ∪ Ω0 . Nyilv´ (a) a d > 0 esetben nem érintkezik a két test a terhelés után; (b) a d = 0 egyenl˝ oség meghatározza azokat a perempontokat, ahol létrejön a két test érintkezése (ezt a tartományt Ωp jelöli); (c) a d < 0 eset nem lehetséges, ugyanis a két test nem hatolhat egymásba. Ha nincs s´ url´ od´ as, akkor a két test között csak nyomófesz¨ ultségek ébredhetnek ebben a tartom´ anyban (a két test egymásnak fesz¨ ul). A fesz¨ ultségi állapot ismeretében az anyon a következ˝o módon ´ırhat´ o fel érintkezési norm´ al ir´ any´ u fesz¨ ultség az Scα tartom´ σnα = nα · T α · nα .

(2.8)

Maga az érintkezési nyomás a norm´ al fesz¨ ultség seg´ıtségével defini´ alt: pn = −σn1 = −σn2 .

(2.9)

Az elmondottakat ¨ osszegezve (a) érintkezési feltételr˝ol beszél¨ unk, ha a testek érintkeznek egymással, azaz d = 0,

pn ≥ 0

∀ r ∈ Ωp ,

(2.10a)

(b) elv´ al´ asi feltételr˝ol beszél¨ unk, ha hézag van a testek között, azaz d > 0,

pn = 0

∀ r ∈ Ω0 ,

(2.10b)

(c) t¨ om¨ oren ¨ osszefoglalva, illetve egyes´ıtve a (2.10a,b)-t d ≥ 0,

pn ≥ 0,

pn · d = 0 ,

∀ r ∈ Sc = Ωp ∪ Ω0 .

(2.10c)

12


A (2.10c)-ben fel´ırt formul´ akat egy¨ uttesen Hertz-Signorini-Moreau-féle feltételeknek h´ıvj´ ak a szakirodalomban. Ezek a feltételek jelentik a kiindul´ asi alapot a s´ url´ od´ as nélk¨ uli érintkezési feladatok kezeléséhez.

2.3.

S´ url´ od´ as figyelembev´ etele

A s´ url´ od´ asos érintkezés kapcsán vizsg´ alt fel¨ uletek közötti viselkedés nagyon lényeges a legt¨ obb gyakorlati alkalmaz´ as során. Az ehhez kapcsol´ od´ o tudom´ anyter¨ uletet tribol´ ogi´ anak h´ıvj´ ak, ami els˝osorban olyan rendszerekkel foglalkozik, ahol s´ url´ od´ as is jelen van, mint a fékek vagy csapágyak esetén. A tribol´ ogia vizsgálja az adhézió, a s´ url´ od´ as, a kop´ as jelenségét, illetve a kenés hatását is. Ez a tudom´ anyter¨ ulet kezeli a h˝otani feladattal kapcsolt érintkezési feladatokat is. Gazdas´ agi szempontból is lényes kérdéseket tárgyal ez a tudom´ any´ ag, például megpr´ ob´ alja megbecs¨ ulni azt, hogy egy gépalkatrész mennyi ideig lesz még használhat´ o. Annak ellenére, hogy a s´ url´ od´ asi jelenséget már régóta vizsgálj´ ak, kezdve Leonardo amtalan elmélet látott már napDa Vinci, Amontons és Coulomb munk´ asságával. Sz´ vil´ agot, a s´ url´ od´ asi folyamat kezelése azonban még mindig nem teljesen tisztázott. Ez els˝osorban azzal magyar´ azhat´ o, hogy a fel¨ uletek s´ url´ od´ assal kapcsolatos viselkedése egészen atomi szint˝ u kémiai, elektromágneses, illetve mechanikai folyamatokra vezethet˝o vissza. Tovább´ a az érintkezésben résztvev˝o fel¨ uletek szerkezete meglehet˝osen bonyolult, mivel pél´ d´ aul egy fémes fel¨ ulet számos réteget tartalmaz, ami befolyásolja a s´ url´ od´ ast. Altal´ aban a s´ url´ od´ asi egy¨ utthat´ o f¨ ugg a fel¨ uleteket összeszor´ıt´ o norm´ al nyom´ astól, a fel¨ uletek relat´ıv tangenciális sebességét˝ol, a fel¨ uleti érdességt˝ol, a h˝omérséklett˝ol és még számtalan egyéb paramétert˝ol. asos érintkezés vizsgálat´ ahoz a Coulomb-féle A formalizmus áttekintésére, a s´ url´ od´ száraz s´ url´ od´ asi modellt haszn´ aljuk. A kontakt tartom´ any a tangenci´ alis ir´ any´ u mozgásokat tekintve kétféle reakciót mutat. Az els˝o eset az amikor nincs tangenci´ alis ir´ any´ u elmozdul´ as a terhelés hatására, ahogy ezt a 2.3 ábra baloldali része mutatja. Ezt a jelenséget tapad´ asnak (angol sz´ oval stick-nek) h´ıvjuk. A m´ asik esetben a terhelés hatására tangenci´ alis ir´ any´ u mozgás is bekövetkezik, ezt illusztr´ alja a 2.3 a´bra jobboldali része. Ez utóbbi jelenséget cs´ uszásnak (angol kifejezéssel slip-nek) nevezz¨ uk.

F

F

2.3. ´ abra: Tapad´ as és cs´ uszás az érintkezési tartományon

A s´ url´ od´ as hat´ asának vizsg´ alata megk´ıv´ anja teh´ at a cs´ uszás defini´ al´ asát, ami két test egymáshoz viszony´ıtott sebessége: u˙ τ = u˙ 1τ − u˙ 2τ ,

(2.11)

ahol u˙ ατ az α jel˝ u test tangenciális sebessége. Az érintkezési tartom´ any azon részén, ahol csak tapad´ as van, a k¨ ovetkez˝o feltétel teljes¨ ul: u˙ τ = 0 , (2.12) ||pτ || ≤ µ pn , ahol pτ = −T 1 · n1 − pn nc = T 2 · n2 − pn nc ≡ p − pn nc .

(2.13)

Vari´ aci´ os formalizmus

13

A cs´ uszási tartom´ anyban defini´ alt a tangenci´ alis tehervektor pτ = µ pn

u˙ τ , ||u˙ τ ||

(2.14)

ahol pτ a (2.11) alatti u˙ τ relat´ıv sebességre tekintettel az alsó testre van kiszám´ıtva, azaz 2 testre. a 2.2 ábra szerinti

2.4.


Az érintkezési feladatok kapcs´ an fel´ all´ıtott peremértékfeladat megoldását k¨ ulönb¨ oz˝o vari´ aciós elvek seg´ıtségével kaphatjuk meg. Ezen elvek alapvet˝ oen a teljes potenciális energi´ aval kapcsolatosak [10], azzal a k¨ ulönbséggel, hogy az érintkezés-elvál´ as kapcsán felmer¨ ult (2.10a)-(2.10c) feltételeket hogyan veszik figyelembe. A következ˝okben h´ arom k¨ ozismert módszert ´ırunk fel, melyeknek egyar´ ant vannak el˝ onyeik és hátrányaik. Ezek a Lagrange-féle multiplik´ atoros módszer, a b¨ untet˝ oparaméteres technika, illetve ezen két módszer el˝onyeit ¨ otv¨ oz˝o, h´ atr´ anyait kik¨ uszöböl˝ o kombin´ alt technika, melyet az angol nyelv˝ u szakirodalomban augmented Lagrangian technique néven találhatunk meg.

2.4.1.

Lagrange-f´ ele multiplik´ atoros technika

Az érintkezési feladat megoldásakor a (2.7) egyenlet által defini´ alt hézagf¨ uggvény teljes´ıtését az u ´.n. Lagrange szorzótényez˝o (multiplik´ ator) biztos´ıtja. A multiplik´ ator akkor akt´ıv, ha a megold´ as teljes´ıti a (2.10a) feltételt, azaz ekkor a Lagrange-féle multiplik´ atoros technika kiegész´ıti a rendszer teljes potenciális energiáj´ at egy taggal, mely tartalmazza az érintkezési feltételt LA (2.15) L = Π (u) − pn d (u) dS , Sc

amelyben a Lagrange-féle ismeretlen pn ≥ 0 multiplik´ ator ebben az esetben az érintkezési nyom´ ast adja meg. A (2.15) által fel´ırt funkcion´ alt minimalizálni kell azzal a mellékfeltétellel, hogy a tényleges érintkezési tartom´ anyon a d hézagf¨ uggvény azonosan zérus érték˝ u, illetve ekkor pn ≥ 0. Ezzel a módszerrel az u elmozdulásmez˝o mellett a pn érintkezési nyomásmez˝o is ismeretlenként jelenik meg az Sc érintkezési tartomány felett, azaz a módszer n¨ oveli a feladatban szerepl˝ o ismeretlen mez˝ok számát.

2.4.2.

Bu oparam´ eteres technika ¨ ntet˝

A módszer nem hoz u ´ j ismeretleneket a feladatba, itt csak az elmozdulásmez˝ot kell meghat´ arozni. A k¨ ovetkez˝o funkcion´ al minimaliz´ al´ asa szolgáltatja a feladat megold´ asát 2 1 1 c d− (u) dS , c >> 0 , d− (u) = (|d (u)| − d (u)) , (2.16) LP E = Π (u)+ 2 2 Ωp

alt hézagf¨ uggvény negat´ıv ahol c jel¨ oli a b¨ untet˝ oparamétert, d− (u) pedig a (2.7) a´ltal defini´ értékeit. Tehát ennél a módszernél a (2.16) alatti utolsó tag akkor b¨ unteti a kielég´ıtend˝ o feltételt, ha a két test látszólag egymásba hatol”, azaz d negat´ıv értéket vesz fel. ” A c b¨ untet˝ oparaméternek fizikai jelentést is tulajdon´ıtunk, nevezetesen az érintkezési tartom´ anyon elhelyezett megoszló rugalmas közeg – továbbiakban rug´ ok – rug´ omerevségét. Ez az oka annak, hogy a (2.16)-ban szerepl˝ o b¨ untet˝ o tag alakilag hasonl´ o, a rug´ ora fel´ırhat´ o alakv´ altoz´ asi energi´ ahoz. Az érintkezési feltétel természetesen akkor lesz teljesen kielég´ıtve, ha c → ∞, mely azt jelenti, hogy d− (u) → 0. A gyakorlatban azonban nem v´ alaszthatunk korl´ atlanul nagy b¨ untet˝ oparaméter értéket, mivel ez rontja az

14


el˝o´ all´ o line´ aris egyenletrendszer megoldhat´ oságát azáltal, hogy nagy lesz az egy¨ utthat´ o mátrix kond´ıciószáma. Az elvégzett numerikus szám´ıt´ asok alapján azt mondhatjuk, hogy a c = 100 E .. 1000 E k¨ oz¨ otti értékek már jó megoldást adnak. A numerikus szám´ıt´ as során a d (u) hézagf¨ uggvény el˝ojele alapj´ an módos´ıtjuk a c b¨ untet˝ oparaméter értékét oly módon, hogy a negat´ıv d érték˝ u helyeken nem változtatjuk c nagys´ ag´ at, m´ıg a pozit´ıv hézagoknál elt´ avol´ıtjuk a képzeletbeli rugókat. Ez egy iter´ aciós algoritmust eredményez, ami egészen addig tart, am´ıg a tényleges érintkezési tartom´ any at alá nem csökken. Az ´ıgy kapott d hat´ ar´ an szám´ıthat´ o érintkezési nyomás egy adott korl´ hézagf¨ uggvény természetesen nem azonosan zérus a teljes érintkezési tartományon – mivel ez csak c → ∞ hat´ aresetben állna el˝ o –, tov´ abb´ a ez a f¨ uggvény szolgáltatja a kialakult aciós egyenletb˝ ol adód´ oan a következ˝o érintkezési nyomást is, mely az δu LP E = 0 vari´ osszef¨ uggés alapj´ an ´ırhat´ o fel: ¨ pn = −c d− (u)

2.4.3.

∀ r ∈ Ωp .

(2.17)

Kombin´ alt technika

Ez a módszer lényegében az el˝oz˝o két részben ismertetett technikák h´ azas´ıt´ asáb´ ol származtathat´ o. Az elj´ ar´ as oly módon alakult ki, hogy meg˝ orizte mind a Lagrange-féle multiplik´ atoros, mind a b¨ untet˝ oparaméteres technikák el˝onyeit. A következ˝o funkcion´ al ´ırhat´ o fel a módszerhez: 1 AU = Π (u) − pn d (u) dS + c [d (u)]2 dS . (2.18) L 2 Ωp

Ωp

Tudjuk, hogy a (2.15), (2.16) és a (2.18) által defini´ alt funkcion´ alok minimumukat vari´ aciójuk elt˝ unésekor kapj´ ak. Azaz, ha a fenti funkcion´ alok u szerinti variációj´ at képezz¨ uk akkor a k¨ ovetkez˝o egyenletekhez jutunk: (2.19) δu LLA = δu Π (u) − pn δd dS = 0 , Sc

δu L

PE

= δu Π (u) +

c d− (u) δd− dS = 0 ,

(2.20)

(pn − c d) δd dS = 0 .

(2.21)

Ωp

δu L

AU

= δu Π (u) − Ωp

al nemcsak u f¨ uggvénye, hanem ismeretlenként szerepel benne a pn -nel Mivel LLA funkcion´ jel¨ olt érintkezési nyomás is, ´ıgy az ismeretlenek meghatározásához a (2.15) funkcion´ al pn LA szerinti vari´ aciój´ at is képezni kell, a δp L ≤ 0 és a pn ≥ 0 nem negativitási követelmény betart´ asa mellett. A Π (u) teljes potenciális energia variációj´ at (2.6) alapj´ an ´ırhatjuk fel: δu Π (u) =

2 α=1 V α

δAα · · D α · · Aα dV − Vα

ρα kα · δuα dV − Spα

α0 · δuα dS , p

(2.22)


15

mely a szokásos átalak´ıt´ asok és összevonások ut´ an a következ˝o alakra hozhat´ o: δu Π =

2

δuα · (T α · ∇ + ρα kα ) dV +

−

α=1

Vα

+

α0 ) dS + δuα · (T α · nα − p

Spα

δuα · (T α · nα ) dS . (2.23)

Scα

Most tekints¨ uk a (2.18) egyenlettel defini´ alt funkcion´ alt. Ha fel´ırjuk a vari´ aciój´ at, az lényegében defini´ alja a (2.19) és a (2.20) által fel´ırt funkcion´ alok vari´ aciój´ at is. δu L

AU

=

2 α=1

− Vα

α

α α

δuατ eτ · T α · nα dS −

+

α0 ) dS+ δuα · (T α · nα − p

δu · (T · ∇ + ρ k ) dV + α

Scα

Ωp

+

Spα

δu2n nc · T 2 · n2 + (pn − c d) dS+ δu1n nc · T 1 · n1 + (pn − c d) dS = 0 , (2.24)

Ωp

melynek átalak´ıt´ asakor figyelembe vett¨ uk, hogy δuα = δuαn nc + δuατ eτ , ahol δuαn és δuατ az anyokba es˝ o koordin´ at´ ai, tov´ abb´ a nc = −n2 ∼ elmozdul´ asmez˝o vari´ aciój´ anak nc és eτ ir´ = n1 2 1 és δd = δun − δun . A funkcion´ al vari´ aciój´ anak elt˝ unése a következ˝o tartalmat hordozza: mivel δuα értéke uleten tetsz˝oleges, null´ at´ ol k¨ ulönböz˝o, ´ıgy a (2.24)-ben fel´ırt a V α térfogaton és az Spα fel¨ els˝o két integr´ al csak u ´ gy lehet nulla, ha teljes¨ ul, hogy T α · ∇ + ρα kα = 0 ,

illetve

T α · nα − pα0 = 0 .

Tehát a (2.18) vari´ aciós elv tartalmazza a (2.1) egyens´ ulyi egyenletet és a (2.5) dinamikai peremfeltételt. Ezzel láthat´ o, hogy egy kinematikailag lehetséges elmozdulásmez˝o – mely teljes´ıti a (2.4) kinematikai peremfeltételt, illetve a (2.2) geometriai egyenletet, tov´ abb´ a fenn´ all a (2.3) anyagegyenlet – u ´gy biztos´ıtja a teljes potenci´ alis energia minimum´ at, hogy kielég´ıti az egyens´ ulyi egyenletet és a dinamikai peremfeltételt, valamint az érintkezési tartom´ anyon az illesztési feltétel is igaz, azaz a rugalmasságtani egyenletrendszer minden egyenlete és peremfeltétele fenn´ all. Az érintkezési fel¨ uleten, a vari´ aciós elv alapj´ an, tov´ abbi feltételeknek kell teljes¨ ulni¨ uk. Mivel a feladat s´ url´ od´ as nélk¨ uli érintkezés vizsgálat´ at jelenti, ezért az eτ · T α · nα = τταn cs´ usztató fesz¨ ultség is zérus érték˝ u az egész Scα érintkezési tartományon. Az láthat´ o (2.24) α α ultség csak az Ωp tényleges érintkezési tartom´ anyon alapj´ an, hogy nc ·T ·n érintkezési fesz¨ k¨ ul¨ onb¨ ozik zérustól. Ezen a fel¨ uleten az érintkezési nyomást, vagyis a normál ir´ any´ u 1 2 fesz¨ ultséget a k¨ ovetkez˝o képletekkel hat´ arozhatjuk meg (mivel nc = n = −n ): σn1 = nc · T 1 · n1 = − (pn − c d) , σn2 = −nc · T 2 · n2 = − (pn − c d) , azaz σn1 = σn2 = nc · T 1 · n1 = − (pn − c d) .

(2.25)

A feladat megold´ asát iter´ aciós algoritmus alapj´ an keress¨ uk. Az els˝o lépésben az érint(1) kezési nyomás minden¨ utt azonosan zérus: pn = 0, ahol a fels˝ o indexbeli sz´ am jelöli az

16


iter´ ació sorszámát. A (k)-adik lépésben egy b¨ untet˝ oparaméteres feladatot oldunk meg fel(k−1) tételezve, hogy a (k − 1)-edik lépésben meghatározott pn érintkezési nyomás a vari´ aciós egyenletben ismert. Így a szám´ıt´ as alapj´ at képez˝o vari´ aciós egyenlet a következ˝o form´ aban ´ırhat´ o fel:

(k) − c d u (2.26) p(k−1) δd(k) dS = 0 k = 2, 3, . . . . δu LAU = δΠ u(k) − n (k)

Ωp

Az érintkezési nyomás szám´ıt´ asára defini´ aljuk a következ˝o oper´ atort: x =

1 (x + |x|) , 2

mely seg´ıtségével a (k)-adik lépéshez tartozó érintkezési nyomás

(k−1) (k) = p − c d u . p(k) n n

(2.27)

A szám´ıt´ as során iter´ aciór´ ol-iterációra egyre közelebb ker¨ ul¨ unk a tényleges érintkezési tartom´ anyhoz, illetve a kialakul´ o érintkezési nyomáshoz. Kilépési feltételként megfogalmazzuk, hogy az iter´ aciót egészen addig folytatjuk, am´ıg az érintkezési nyomás változása aton bel¨ ulre nem ker¨ ul: egy el˝ore defini´ alt εp hibakorl´ (k) Ωp

(k)

(k−1)

|pn − pn

(k)

|pn | dS

| dS ≤ εp .

(2.28)

(k)

Ωp

A kombin´ alt technika használat´ aval elker¨ ulhet˝ o az el˝oáll´ o line´ aris algebrai egyenletrendszer rosszul kondicion´ altsága, mivel nemcsak a b¨ untet˝ oparaméter nagysága, hanem az el˝oz˝o (k−1) érintkezési nyomás is jav´ıtja a megoldást. iter´ aciós lépésben meghatározott pn

3. fejezet ´ ´si feladat diszkretiza ´la ´sa Erintkez e

Az érintkezési feladat megold´ asához els˝osorban végeselem-módszert használunk, pontosabban a módszer p-, illetve hp-verziój´ at részes´ıtj¨ uk el˝ onyben. A vizsg´ alataink sor´ an olyan h´ aromdimenziós feladatokat tekint¨ unk, melyek egyrészt hengerszimmetrikus elrendezés˝ uek, ´ıgy a hengerkoorin´ ata-rendszer használat´ aval végzett szám´ıt´ asokn´ al kétdimenziós feladatot kapunk, m´ asrészt háromdimenziós térbeli feladatok esetén derékszög˝ u Descartes-féle koordinátarendszert vesz¨ unk alapul. Jelen fejezetben a´ttekintj¨ uk a kor´ abbiakban fel´ırt rugalmass´ agtani feladatban szerepl˝o ismeretlenek diszkretizál´ asi folyamat´ at, illetve az érintkezés jelenségének numerikus vizsgálat´ at seg´ıt˝ o vari´ aciós technik´ ak által kapott integr´ al kifejezések végeselemes formalizmusát. A kontakt feladatok egy m´ asik lehetséges vizsgálata u ´gynevezett hatásmátrixok seg´ıtségével történik, amelyeket a rugalmas féltérre vonatkoz´ o megoldások alapján áll´ıtunk el˝ o [31, 14]. Ennek bemutat´ asa is röviden összefoglal´ asra ker¨ ul ebben a fejezetben, melyet els˝osorban az általunk tekintett hengergörg˝ os érintkezési feladatok esetén használunk. Itt a közel´ıt˝ o megold´ as a Signorini-t´ıpus´ u érintkezési feltételek kielég´ıtését t˝ uzi ki célul egy matematikai programozási feladat fel´ all´ıt´ asával.

3.1.

Rugalmass´ agtani egyenletek v´ egeselemes t´ argyal´ asa

Az ismeretlen vektor- és tenzormez˝ok az r helyvektor f¨ uggvényeként ´ırhat´ ok fel. Tetsz˝oleges P pontba mutat´ o helyvektor a v´ alasztott koordin´ atarendszert˝ol f¨ ugg˝ oen megadhat´ o az (3.1) r = x ex + y ey + z ez alakban, ha deréksz¨ og˝ u Descartes-féle koordin´ atarendszert tekint¨ unk, vagy az r = r er (ϕ) + z ez

(3.2)

alakban, ha hengerkoordin´ ata rendszerben vizsg´ aljuk a feladatot. A fenti egyenletekben az x, y, z az ex , ey , ez egységvektorok által defini´ alt tengelyek irány´ aban mért koordin´ at´ ak, ata m´ıg az r, ϕ, z g¨ orbevonal´ u koordin´ at´ ak és az er , eϕ és ez egységvektorok a koordin´ vonalak érint˝ oi. Hengerkoordin´ ata-rendszer használata akkor célszer˝ u, ha a feladat hengerszimmetrikus elrendezés˝ u. Ekkor ugyanis az ismeretlen mennyiségek csak az r és z koordin´ ata f¨ uggvényeiként tekinthet˝ ok, ´ıgy elegend˝o s´ıkbeli – kétváltoz´ os – szám´ıt´ asokat végezni, mert a kialakul´ o elmozdul´ as-, alakv´ altoz´ as- és fesz¨ ultségmez˝o is hengerszimmetrikus lesz. A tov´ abbiakban deréksz¨ og˝ u Descartes-féle koordin´ atarendszerben tekintj¨ uk át az ismeretlen mennyiségek végeselemes fel´ır´ asát. Az uα elmozdulásmez˝o az r = r (x, y, z)

´ ´si feladat diszkretiza ´ la ´sa 3. Erintkez e

18

helyvektor f¨ uggvénye, ahol α = 1 a fels˝o, α = 2 az alsó test azonos´ıt´ asára szolgál. Az elmozdulásmez˝ot a k¨ ovetkez˝o módon közel´ıtj¨ uk ⇒

uα = uα (r)

uα (x, y, z) = Nα (x, y, z) qα ,

(3.3)

aciós mátrix, m´ıg qα az ismeretlen paraméterek vektora. M´ atrixokkal ahol Nα az approxim´ fel´ırva értelmezhetj¨ uk ezek elemeit ⎡ 1 ⎤α qx ⎢ qy1 ⎥ ⎥ ⎡ ⎤α ⎡ ⎤α ⎢ ⎢ qz1 ⎥ 0 N2 0 0 . . . Nn 0 0 N1 0 ux ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣uy ⎦ = ⎣ 0 N1 0 0 N2 0 . . . 0 Nn 0 ⎦ ⎢ ... ⎥ . (3.4) ⎢ ⎥ uz 0 N2 . . . 0 0 Nn ⎢q n ⎥ 0 0 N1 0 x⎥ ⎢ ⎣qyn ⎦ uα Nα qzn qα

Ni jelenti az i-edik alakf¨ uggvényt, m´ıg qxi , qyi , qzi jelölik az i-edik alakf¨ uggvényhez tartozó at´ ak kiismeretlen paramétereket, rendre az x, y, z ir´ any´ u ux , uy , uz elmozdulás-koordin´ szám´ıt´ asához, melyben (i = 1, . . . , n). Az alakf¨ uggvények száma n. El˝ oáll´ıt´ asuk p-verziós végeselem-módszer használata esetén az A. f¨ uggelékben összefoglalt hierarchikus f¨ uggvények seg´ıtségével t¨ orténik.

Az izoparametrikus leképzés értelmében az x, y, z koordin´ at´ ak a következ˝o módon szám´ıthat´ ok ne Nie (ξ, η, ζ) xi x ↔ y ↔ z. (3.5) x= i=1

Vizsgálataink sor´ an line´ arisan rugalmas, homogén, izotr´ op tulajdons´ ag´ u anyagokat tekint¨ unk, melyekre érvényes a Hooke-törvény E ν α α α (3.6) A + A I , T = 1+ν 1 − 2ν I altoz´ asi tenzor els˝ o skalár invari´ ansa, azaz AαI = εx + εy + εz , tov´ abb´ a ahol AαI az Aα alakv´ I a másodrend˝ u egységtenzort jel¨ oli.

A (2.6)-ban fel´ırt teljes potenciális energia vizsgálat´ ahoz sz¨ ukség¨ unk van az Aα alakaltoz´ asi vektorra: v´ altozási tenzorra, illetve a bel˝ole átrendezéssel kapott εα alakv´ Aα ahol

⇒

αT , εα = εx εy εz γxy γxz γyz

∂uy ∂ux ∂uz , εy = , εz = , ∂x ∂y ∂z ∂uy ∂ux ∂uy ∂ux ∂uz ∂uz = + , γxz = + , γyz = + . ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y

(3.7)

εx = γxy

(3.8)

Rugalmass´ agtani egyenletek

19

Bevezetve a ∂ differenci´ al oper´ ator m´ atrixot, ´ırhatjuk, hogy ⎡∂ ⎤ 0 0 ∂x ⎢ ⎥ ∂ 0 ⎥⎡ ⎤ ⎢ 0 ∂y α ⎢ ⎥ ∂ ⎥ ux ⎢0 0 ⎢ ⎥ ∂z εα = ⎢ ∂ ⎥⎣uy ⎦ . ∂ ⎢ ∂y ∂x 0⎥ ⎢ ⎥ uz ∂ ⎥ ⎢∂ 0 ⎣ ⎦ ∂z

∂x ∂ ∂y

∂ ∂z

0

∂

(3.9)

uα

Figyelembe véve a (3.3) egyenletet, fel´ırhat´ o, hogy εα = ∂ Nα qα = Bα qα ,

(3.10)

ahol a Bα deriv´ alt mátrix az Ni alakf¨ uggvények parci´ alis deriv´ altjaib´ ol ép´ıthet˝ o fel ⎡ ∂N1 ∂x

⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ α B = ⎢ ∂N1 ⎢ ∂y ⎢ ⎢ ∂N1 ⎣ ∂z 0

0

0

∂N2 ∂x

0

0

...

∂Nn ∂x

0

∂N1 ∂y

0

0

∂N2 ∂y

0

...

0

∂Nn ∂y

0

∂N1 ∂z

0

0

∂N2 ∂z

...

0

0

∂N1 ∂x

0

∂N2 ∂x

0

...

∂N1 ∂x ∂N1 ∂y

0

...

0

∂N2 ∂z

∂N2 ∂x ∂N2 ∂y

∂Nn ∂y ∂Nn ∂z

∂Nn ∂x

0

∂N2 ∂y ∂N2 ∂z

...

0

∂Nn ∂z

∂N1 ∂z

0

0

⎤α

⎥ 0 ⎥ ⎥ ∂Nn ⎥ ∂z ⎥ ⎥ . 0 ⎥ ⎥ ∂Nn ⎥ ∂x ⎦

(3.11)

∂Nn ∂y

Az εα alakv´ altozási vektorhoz hasonlóan, a T α fesz¨ ultségi tenzorb´ ol felép´ıt˝ o a σα fesz¨ ultségi vektor: Tα

⇒

αT σ α = σx σy σz τxy τxz τyz ,

ahol a (3.6) a´ltal fel´ırt Hook-t¨ orvényt felhasználva kapjuk, hogy ∂ux ∂ux ∂uy ν ∂ux ∂uy ∂uz σx = 2G + + + , τxy = G + , ∂x 1 − 2ν ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂uy ∂ux ∂uz ν ∂ux ∂uy ∂uz σy = 2G + + + , τxz = G + , ∂y 1 − 2ν ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂uy ∂uz ν ∂ux ∂uy ∂uz ∂uz σz = 2G + + + , τyz = G + . ∂z 1 − 2ν ∂x ∂y ∂z ∂z ∂y G=

E 2(1+ν)

(3.12)

(3.13)

a cs´ usztató rugalmassági modulus.

(3.12) m´ atrixos form´ aban a következ˝o módon ´ırhat´ o fel: ⎡ 2(1−ν) ⎤α 1−2ν σx ⎢ 2ν ⎢ 1−2ν ⎢ σy ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 2ν ⎢ σz ⎥ E ⎢ 1−2ν ⎢ ⎥ = ⎢τxy ⎥ 2(1 + ν) ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣τxz ⎦ ⎣ 0 τyz 0 σα ⎡

2ν 1−2ν 2(1−ν) 1−2ν 2ν 1−2ν

0 0 0

Dα

2ν 1−2ν 2ν 1−2ν 2(1−ν) 1−2ν

0 0 0

⎤α 0 0 0 ⎡ ε ⎤α x ⎥ ⎢ εy ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0⎥ ⎢ εz ⎥ , ⎥ ⎢γxy ⎥ ⎢ ⎥ 1 0 0⎥ ⎥ ⎣γxz ⎦ 0 1 0⎦ γyz 0 0 1 εα

(3.14)


20

ahol az all´ o Dα az anyag´ alland´ ok (6×6)-os mátrixa, melyben – homogén, izotr´ op anyagokra – csak az anyagtól f¨ ugg˝ o ν Poisson-szám és E rugalmass´ agi modulus szerepel. Ezek alapj´ an a (2.6) teljes potenci´ alis energia a szokásos mátrixos form´ aban a következ˝o módon ´ırhat´ o fel 2 1 αT α αT α , (3.15) q Kq − q f Π= 2 α=1

melyben

α

BαT Dα Bα dV

K = V

(3.16)

α

a merevségi mátrixot és α

α

f =

ρ N

αT

α

k dV +

Vα

α0 dS NαT p

(3.17)

Spα

a terhelési vektort jel¨ oli.

3.2.

Vari´ aci´ os egyenletek v´ egeselemes t´ argyal´ asa

Az érintkezési feltételek figyelembe vételéhez tekints¨ uk a (2.18) a´ltal defini´ alt LAU funkcion´ alt. Az ebben szerepl˝o két integr´ al végeselemes diszkretizál´ asához sz¨ ukséges a (2.7)-ben fel´ırt d hézagf¨ uggvény mátrixos alakba val´ o átalak´ıt´ asa. Tekints¨ unk egy lok´ alis koordin´ atarendszert, mely a feltételezett Scα érintkezési tartományok k¨ oz¨ ott elhelyezked˝o alaps´ıkhoz van rögz´ıtve. A 3.1. ábra általános helyzetben alis koordin´ at´ ak értelmezését. A vizsszemlélteti az (x, y, z) glob´ alis és a (tx , ty , nc ) lok´ g´ alataink sor´ an végre kell hajtani egy koordin´ ata-transzform´ aciót ezen globális és lokális rendszerek k¨ oz¨ ott, annak érdekében, hogy az alakv´ altozás ut´ ani d hézagf¨ uggvényt ki tudjuk sz´ am´ıtani (2.7) alapj´ an. 1 Sc1

ty nc

ty

tx

z tx x

Sc2

y nc

2

3.1. ´ abra: Térbeli glob´ alis (x, y, z) és térbeli lok´ alis (tx , ty , nc ) koordin´ atarendszerek

Az eredeti uα elmozdulásmez˝o fel´ırhat´ o a fenti lok´ alis rendszerben is, azaz uαl = utx

uty

unc

T

,

T uα = ux uy uz ,

(3.18)

melyek között értelmezhet˝o a uα = Pgl · uαl ,

uαl = PTgl · uα

(3.19)

Vari´ aci´ os egyenletek végeselemes t´ argyal´ asa

21

transzform´ ació, ahol Pgl a glob´ alis-lok´ alis transzformáció mátrix. Ezt a´t´ırva végeselemes formalizmusra a lok´ alis és globális rendszerben értelmezett elmozdulásmez˝ore azt kapjuk – uggvények köz¨ ul melyek adnak zérustól k¨ ulönböz˝o ha figyelembe vessz¨ uk, hogy az Ni alakf¨ értéket a feltételezett érintkezési tartományon, tov´ abb´ a a qα paramétereket is a szerint anyhoz és melyek nem – csoportos´ıtjuk, hogy melyek tartoznak az Scα tartom´ α q0 α α α α α ul ⇒ ul = N ql = N0 Nc , qlc (3.20) α q0 α α α α α u ⇒ u = N q = N0 Nc . qc N0 jel¨ oli azon alakf¨ uggvényeket, melyeknek Scα tartom´ anyon nincs hat´ asuk – azaz zérus értéket vesznek fel, vagy nem az érintkezési fel¨ uleten lév˝o elemekhez tartoznak –, m´ıg Nc azon alakf¨ uggvényeket tartalmazza, melyek a feltételezett kontakt tartományon lév˝o elemekhez tartoznak és ´ıgy null´ at´ ol k¨ ulönböz˝o értéket vesznek fel. Mivel a transzform´ ació anyon sz´ am´ıtott elmozelvégzése a d hézagf¨ uggvény kiszám´ıt´ asa miatt, csak az Scα tartom´ dul´ asmez˝o esetében sz¨ ukséges, ´ıgy a tov´ abbiakban elegend˝ o a qc és qlc paramétervektorok k¨ oz¨ otti kapcsolat tisztázása. Ehhez tekints¨ uk a következ˝o Nαc qαlc = PTgl Nαc qαc

(3.21)

transzform´ aciós egyenletet, melyben a qαc ismeretlen paraméterek meghatározása például a legkisebb hibanégyzetek elve értelmében történhet. Így jutunk a 2

χ=

Nαc qαlc − PTgl Nαc qαc

2

dS

→

min χ = 0

(3.22)

α=1 S α c

egyenlethez. Képezve qαc szerinti parciális deriv´ altj´ at kapjuk, hogy −1 T α α α α α qαc = NαT P P N dS NαT gl c c Pgl Nc dS qlc = P qlc . gl c Scα

Scα

Pα

(3.23)

A végeselemes szám´ıt´ asokhoz sz¨ ukséges a Kαl merevségi mátrix és az flα tehervektor meghatároz´ asa – a fentiekben bemutatott particion´ al´ as bevezetése után – ezen Pα transzform´ aciós mátrix seg´ıtségével már egyértelm˝ uen elvégezhet˝o. A 3.1. ábr´ an jelzett (tx , ty , nc ) lok´ alis rendszerben értelmezett nc ir´ any´ u elmozduuggvényeket. Jelölj¨ uk Lαt -val azon alakl´ as meghatározásához bontsuk fel az Nαc alakf¨ any´ u – elmozdul´ as-koordinát´ akhoz f¨ uggvényeket, melyek az alaps´ıkba es˝o – tx vagy ty ir´ α al ir´ any´ u elmozdutartoznak, m´ıg Lnc -val azokat, melyek az alaps´ıkhoz képesti nc norm´ al ir´ any´ u elmozdul´ as-koordin´ at´ ak l´ ashoz tartoznak. Teh´ at a (2.7)-ben szerepl˝ o uαn norm´ kiszám´ıt´ asához a k¨ ovetkez˝o kifejezést használjuk uαn = Lαnc qαlc .

(3.24)

Ezt k¨ ovet˝ oen ´ırjuk fel a (2.7)-ben szerepl˝ o h kezdeti hézagot is mátrixos form´ aban. Tehát 2 Lαnc hα , (3.25) h= α=1

hα

melyben a ismeretlen paramétervektor seg´ıtségével a h kezdeti hézag is az izoparametarozásához a rikus leképzésnél használt alakf¨ uggvényeken kereszt¨ ul ´ırhat´ o fel. hα meghat´


22

legkisebb hibanégyzetek elvét haszn´ aljuk fel. Így a testek közötti, alakv´ altozás ut´ ani d hézagf¨ uggvény a k¨ ovetkez˝o végeselemes formában adhat´ o meg d = L2nc q2lc − L1nc q1lc + L1nc h1 + L2nc h2 .

(3.26)

Vegy¨ uk észre, hogy a szám´ıt´ asok megkönny´ıtése érdekében érdemes elvégezni a következ˝o atalak´ıt´ ´ asokat d fel´ır´ asakor q20 q10 0 0 2 1 1 2 + 0 Lnc = d = 0 Lnc 2 − 0 Lnc 1 + 0 Lnc h1 h2 qlc qlc L2 L1 l

l

h1l

= −L1l

h2l

1 h1l q1l 2 2 Ll + Ll Ll . (3.27) q2l h2l

A (2.18)-ban szerepl˝o b¨ untet˝ oparaméteres tag diszkretizált form´ aban – (3.27) alapj´ an – a k¨ ovetkez˝o módon ´ırhat´ o fel 1 11 1 1 1T −fh −C12 q1l C 2 2T ql ql +´ all. , (3.28) c d dS = 21 22 2 + 2 f2 −C C q 2 2 l h Ωp

ahol

β LαT l c Ll dS ,

Cαβ =

α, β = 1, 2 ,

(3.29)

Ωp

a kontakt elemek merevségi mátrixa, illetve az 1 1 2 2 c L dS h + L1T fh1 = L1T l l l l c Ll dS hl Ωp

Ωp

fh2

1 L2T l c Ll dS

=

h1l

Ωp

(3.30) 2 2 L2T l c Ll dS hl

+ Ωp

vektorok a kezdeti hézagból származó tehervektorok, az ´ all.” tag a vari´ ació szempontj´ ab´ ol ” alland´ ´ o, ´ıgy itt elhagyhat´ o.

Hasonl´ o lépésekkel ´ırhat´ o át a (2.15)-ben és a (2.18)-ban szerepl˝ o, érintkezési nyomásb´ ol származó integr´ al a végeselemes formalizmusra 1 −fp1 2 +´ all. , (3.31) d pn dS = ql ql fp2 Ωp

ahol fpα

Lαl pn dS

= Ωp

az érintkezési nyomásb´ ol származó tehervektor.

(3.32)

K¨ ozel´ıt˝ o megold´ as Green-f¨ uggvények seg´ıtségével

23

Ezek alapj´ an a (2.18) által fel´ırt LAU funkcion´ alt diszkretiz´ alt alakban a következ˝o módon ´ırhatjuk fel L

AU

1 1T q = 2 l

q2T l

K1l

0

0 +

K2l

q1l q2l

−2

fl1

C11

−C12

fl2 q1l

−C21

C22

q2l

+ +2

−fh1 fh2

−2

−fp1 fp2

+´ all. , (3.33)

melynek minimalizál´ asához képezni kell a ∂LAU =0 ∂qαl

(3.34)

parci´ alis deriv´ altat. Ez a k¨ ovetkez˝o lineáris egyenletrendszerhez vezet −fp1 q1l fl1 −fh1 K1l + C11 −C12 = − + . fp2 −C21 K2l + C22 q2l fl2 fh2

(3.35)

Az uα elmozdulásmez˝o kiszám´ıt´ asához sz¨ ukséges qαl paraméterek meghatározása a 2.4.3 alfejezetben le´ırt iter´ aciós elven történik. A (3.35) egyenletben szerepl˝ o Cαβ és fhα a Gauss kvadrat´ ura alapj´ an szám´ıthat´ o ki, oly m´ odon, hogy a vizsg´ alt Gauss integr´ al´ asi pontokban meghat´ arozott d hézag el˝ojelét˝ol f¨ ugg˝ oen csökkentj¨ uk vagy növelj¨ uk a c b¨ untet˝ o paraméter értékét. Ugyanis ahol az els˝o iter´ aciós lépésben a hézag értéke negat´ıv odik ott pedig lett, ott c értékét n¨ ovelni kell, m´ıg ahol d > ε, (ε = 10−6 mm) hézag ad´ zérus b¨ untet˝ oparaméter k´ıv´ anatos. A módos´ıt´ asok elvégzése után u ´jra megoldjuk a (3.35) egyenletet, mely egyre pontosabb közel´ıtést ad az uα elmozdulásmez˝ore. Az iterációt addig kell folytatni, m´ıg az egyes integrál´ asi pontokban v´ altozás mutatkozik c értékében. A változás megsz˝ unése azt jelenti, hogy a d hézagból (2.27) seg´ıtségével unk a következ˝o iterációs lépésre. Az iterációt a (2.28) módos´ıthatjuk fpα értékét és léphet¨ feltétel áll´ıtja le.

3.3.

Ko o megold´ as Green-fu enyek seg´ıts´ eg´ evel ¨zel´ıt˝ ¨ ggv´

Az érintkezési feladat k¨ ozel´ıt˝ o megoldásának el˝ oáll´ıt´ asa olyan módon is elképzelhet˝o, hogy a (2.10c) feltételt integr´ al értelemben k´ıv´ anjuk kielég´ıteni – a pn ≥ 0 és a d ≥ 0 egyenl˝ otlenségi mellékfeltételeket betartva –, matematikai programozási feladatot áll´ıtunk fel és megoldjuk. Természetesen, ha egy testnek merevtestszer˝ u elmozdul´ asa is megengedett, akkor az egyens´ uly teljes¨ ulésr˝ol k¨ ulön kell gondoskodni, mivel itt nem haszn´ aljuk ki a potenci´ alis energia minimuma elvet. Az egyens´ ulyi egyenletek a fels˝o rugalmas testre a k¨ ovetkez˝o alakban ´ırhat´ ok fel M = M 0 − pn r × nc dS = 0 , (3.36) F = F 0 − pn nc dS = 0 , Sc

Sc

uls˝o er˝orendszer orig´ ora szám´ıtott reduk´ alt vektorkett˝osének ahol F 0 és M 0 az ismert k¨ ered˝o er˝oje, illetve nyomatéka. Ekkor az érintkezési feladat közel´ıt˝ o megoldását az alábbi feladat jel¨ oli ki ! pn d dS ! pn ≥ 0, d ≥ 0, r ∈ Sc , F = F (pn ) = 0, M = M (pn ) = 0 . (3.37) min Sc


24

A (3.37) feladat numerikus megold´ asához diszkretizál´ ast kell végrehajtani. pn

pnm

konstans elem pn1 1 2 3

m

x

pn pnm lineáris elem pn1 1 2 3

m x

3.2. ´ abra: pn nyom´ asértékek k¨ ozel´ıtései

A diszkretizál´ as során a pn nyom´ ast valamilyen f¨ uggvénnyel közel´ıtj¨ uk, de tekintettel ´ asra kell lenni arra, hogy a nyom´ as csak pozit´ıv lehet. Altal´ anosan fel´ırva a pn nyom´ kapjuk, hogy ⎡ ⎤ pn1 ⎥ ⎢ ⎢ pn2 ⎥ (3.38) pn = pn (x) = P1 P2 . . . Pm ⎢ . ⎥ = PT (x) p , ⎣ .. ⎦ pnm ahol Pi (i = 1, . . . , m) koordin´ ataf¨ uggvényeket jelöli a P (x) approxim´ aciós mátrixban. Az altartom´ anyokhoz rendelt – diszkrét helyeken értelmezett – nyomásértékek p-ben szerepelnek. x az érintkezési tartomány pontjainak koordin´ at´ ait jelöli. Vonalmenti érintkezést tekintve a 3.2. ábra a lehetséges közel´ıtések egy csoportját szemlélteti. Konstans elemeknél minden kis tartom´ any felett álland´ o nyom´ ast feltételearis közel´ıtésnél elemenként line´ arisak, m´ıg kvadz¨ unk, ´ıgy Pi = 1 (i = 1, . . . , m). Line´ ratikusn´ al elemenként négyzetes polinomok a közel´ıt˝ o f¨ uggvények. Tartókn´ al, illetve héjakn´ al szokás még az u ´ gynevezett diszkrét elemeket is alkalmazni, amikor a közel´ıtésnél egy-egy altartományon ered˝ ot szám´ıtunk és azt a tartomány közepén helyezz¨ uk el. A konstans, a line´ aris és a kvadratikus elemeknél az ismeretlen az elemek csomópontjain´ al fellép˝ o nyom´ asnak felel meg. Térbeli feladatokn´ al által´ aban konstans, illetve line´ aris elemeket haszn´ alunk. A programoz´ asi feladat fel´ all´ıt´ asának két f˝ o, lehetséges u ´ tj´ at k¨ ulönböztetj¨ uk meg: ugg• A rugalmasságtani egzakt megold´ as ismeretes, egyrészt a H α (x, s) Green-f¨ α any´ aba es˝o un,terh (x) elmozduvényre, másrészt az adott terhelésb˝ol származó nc ir´ anyon l´ asra. Itt feltételezz¨ uk, hogy a merevtestszer˝ u mozgást végz˝o test Sc tartom´ St. Venant-i értelemben t´ avoli helyen, képzeletbeli támasszal van megfogva. uggvény és az ismert terhelésb˝ol származó uαn,terh (x) elmozdu• A H α (x, s) Green-f¨ l´ as közel´ıt˝ ou ´ton hat´ arozhat´ o meg, péld´ aul végeselem-módszerrel. Ez ut´ obbi esetben a szóban forg´ o mennyiségek diszkrét pontbeli értékei állnak rendelkezésre [40].


25

A H α (x, s) Green-f¨ uggvény megadja az s helyen m˝ uköd˝ o, nc ir´ anyba hat´ o konanyba es˝ o elmozdulást. A H α (x, s) centrált egységnyi er˝ob˝ ol származó, x pontbeli, nc ir´ as ismeretében az Green-f¨ uggvény és az adott terhelésb˝ol származó uαn,terh (x) elmozdul´ α alir´ any´ u elmozdul´ asok az alábbiak szerint sz´ am´ıthat´ ok un norm´ 1 un (x) = − H 1 (x, s) pn (s) dS + u1n,terh (x) + u1n,merev (x) , u2n (x) =

Sc1

(3.39)

H 2 (x, s) pn (s) dS + u2n,terh (x) , Sc2

u elmozdul´ asáb´ ol származó nc ir´ any´ u elmozduahol u1n,merev (x) a fels˝o test merevtestszer˝ l´ as. Ez´ altal a (2.7) a´ltal defini´ alt alakváltozás ut´ ani d hézag a következ˝o módon ´ırhat´ o fel d (x) = H (x, s) pn (s) dS + u2n,terh (x) − u1n,terh (x) + h (x) − u1n,merev (x) ≥ 0 , (3.40) Sc

ahol a H (x, s) hat´ asf¨ uggvény H (x, s) = H 1 (x, s) + H 2 (x, s) .

(3.41)

A merevtestszer˝ u mozgásb´ ol u1n,merev (x) = (λF + λM × r (x)) · nc

(3.42)

norm´ al ir´ any´ u elmozdul´ as származik, melyben λF , λM vektorok koordin´ at´ ai a viszony´ıt´ asi koordin´ atarendszer tengelyeinek irány´ aba es˝o elmozdul´ ast, illetve a tengelyek kör¨ uli sz¨ ogelfordul´ ast tartalmazzák. A (3.37)-ben szerepl˝o minimaliz´ aland´ o integr´ al helyett a (3.38) nyom´ asf¨ uggvény közel´ıtésére is tekintettel az alábbi kifejezés ´ırhat´ o fel pn d dSx ≈ pT P (x) d (x) dSx = pT (H p − l − GR λ) = 0 , (3.43) Sc

Scx

uls˝ o terhelésb˝ol ad´ od´ o elmozdumelyben a H hat´ asmátrix, a GR geometriai mátrix, a l k¨ l´ asvektor és a λ merevtestszer˝ u elmozdul´ asvektor miatt az alábbi értelmezéseket tekintj¨ uk. A H pozit´ıv definit hat´ asmátrix szám´ıt´ asához a P (x) H (x, s) PT (s) dSs dSx H=

(3.44)

Scx Scs

altoz´ o szerinti integegyenletet ´ırhatjuk fel, amelyben dSs , illetve dSx az s, illetve az x v´ r´ al´ asra utal. Az el˝o´ırt k¨ uls˝ o terhelésb˝ol és a kezdeti hézagból nyert diszkretiz´ alt alakban fel´ırt elmozdulásvektort l-lel jel¨ olt¨ uk és a következ˝o módon értelmezz¨ uk (3.45) l = P (x) u1n,terh (x) − u2n,terh (x) − h (x) dSx . Sc


26

A merevtestszer˝ u elmozdul´ asból, tekintetbe véve (3.42)-t kapjuk, hogy P (x) u1n,merev (x) dSx = P (x) (λF + λM × r (x)) · nc dSx → GR λ , Sc

(3.46)

Sc

melyben

λF λ= λM

(3.47)

a fels˝o test merevtestszer˝ u elmozdul´ asvektora. λF az elmozdulást, m´ıg λM a szögelfordul´ ast jelenti. Descartes-féle koordin´ atarendszert feltételezve ´ırhatjuk fel a GR geometriai mátrix értelmezését, azaz (3.48) GR λ = P (x) nT I ψ T (x) dSx λ , Sc

GR

melyben I a másodrend˝ u egységtenzor, tov´ abb´ a ψ (x) a ferdeszimmetrikus forgat´ astenzor, melynek értelmezése a k¨ ovetkez˝o ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 −z y 0 z −y 0 −x⎦ = ⎣−z 0 x⎦, ψ = −⎣ z (3.49) −y x 0 y −x 0 ulet norm´ alisa. tov´ abb´ a nT = ncx ncy ncz az érintkezési fel¨ Ily módon a két test k¨ oz¨ ott az alakv´ altozás ut´ an kialakul´ o d t´ avols´ ag diszkretiz´ alt vektora (3.50) d = H p − GR λ − l ≥ 0 . A (3.36)-n´ al fel´ırt egyens´ ulyi egyenleteket diszkretizált form´ aba át´ırhatjuk, figyelembe véve a (3.38) és a (3.48) formul´ akat GTR p − fR = 0 ,

ahol

F0 fR = M0

(3.51)

(3.52)

az el˝o´ırt k¨ uls˝o terhelés redukált vektorkett˝ ose. Ezek ut´ an a matematikai programozási feladat diszkretiz´ alt form´ aban a következ˝o módon fogalmazhat´ o meg ! (3.53) min pT d ! p ≥ 0, d = H p − GR λ − l ≥ 0, GTR p − fR = 0 , illetve az ebb˝ol származtatható algebrai egyenlet-/egyenl˝otlenségi rendszer a következ˝o H −GR p d l = − −GTR 0 0 λ −fR (3.54) p ≥ 0,

d ≥ 0,

pT d = 0 .

A (3.54) egy kvadratikus programoz´ asi feladat, mely k¨ ulönféle modifikált szimplex t´ıpus´ u algoritmusokkal oldhat´ o meg [37], mi azonban a rendk´ıv¨ ul hatékony Kalker-féle iterációs eljár´ ast alkalmazzuk [30].


3.3.1.

27

Kalker-f´ ele iter´ aci´ os elj´ ar´ as

Az ebben a részben bemutatott megoldási módszer alapjául a Kalker által ´ırt [30] k¨ onyvben bemutatott technika szolg´ al. A diszkretiz´ al´ as révén a p érintkezési nyomás vektora m szám´ u taggal rendelkezik. A (2.10a) és (2.10b) képletek által defini´ alt érintkezési oké Ω0 -val van jelölve. tartom´ anyba es˝ o pontok halmaza Ωp -vel, a réstartományba es˝ A numerikus sz´ am´ıt´ asok miatt bevezetj¨ uk a következ˝o diagon´ alis vezérl˝omátrixokat

EΩp = 0 . . . 0 1 . . . 10 . . . 0 EΩ0 = 1 . . . 10 . . . 0 1 . . . 1 (3.55) i∈Ωp

i∈Ω0

i∈Ω0

melyek az érintkezési, illetve a réstartom´ anyba es˝ o tartom´ anyokat jelölik ki a f˝ oátlóba helyezett egységnyi elemekkel. alis mátrixok seg´ıtségével mó1. lépés: A program ind´ıt´ asakor be´ all´ıtott EΩp és EΩ0 diagon´ dos´ıtott egyenletrendszer fel´ all´ıt´ asa és megoldása, mely a következ˝o módon ´ırhat´ o fel: EΩp l EΩp H EΩp + EΩ0 −GR p = . (3.56) T −GR 0 λ −fR 2. lépés: A p érintkezési nyomásvektor elemeinek ellen˝orzése. Ez u ´ gy történik, hogy ha az Ωp érintkezési tartom´ anyhoz tartoz´ o pni < 0 akkor ezt a pontot az Ω0 réstartom´ anyba asértéket áll´ıtunk be. Ez´ altal u ´j EΩ0 és EΩp vekell áthelyezni, és pni = 0 nyom´ zérl˝omátrixokat kapunk. A (3.56) egyenletrendszert ekkor u ´jra meg kell oldani a módos´ıtott adatok alapj´ an. A következ˝o lépésre akkor mehet¨ unk, ha m´ ar az Ωp , anyok nem v´ altoznak. illetve az Ω0 tartom´ 3. lépés: Az i ∈ Ω0 réstartományba tartoz´ o pontokra meghat´ arozzuk a di alakv´ altozás ut´ ani t´ avols´ agot a (3.50) egyenlet alapj´ an. 4. lépés: El˝ ofordulhat, hogy egy-egy pont di hézag értéke negat´ıv. Ebben az esetben ez a anyon b´ armely pontra pont átker¨ ul az Ωp érintkezési tartományba, mivel a réstartom´ teljes¨ ulni kell a di ≥ 0 egyenl˝otlenségnek, azaz a testek egymásba nem hatolhatnak. 5. lépés: Amennyiben a 4. lépés során az Ωp és az Ω0 tartom´ anyok megv´ altoztak, akkor u ´j omátrixokat kell beáll´ıtani és vissza kell térni az 1. lépésre. EΩp és EΩ0 vezérl˝ 6. lépés: Ha az Ωp és Ω0 tartom´ anyok nem v´ altoznak akkor a sz´ am´ıt´ as befejez˝odött. Az iter´ aciós folyamat sor´ an a (3.56) alatti egyenletrendszert oldjuk meg az EΩ0 és az ol val´ o kilépéskor az i ∈ Ωp helyeken tényEΩp vezérl˝omátrixok seg´ıtségével. A ciklusb´ legesen érintkezés áll fenn. A 2. lépés alapj´ an a pni érintkezési nyomás pozit´ıv, m´ıg a u. Az i ∈ Ω0 réstartományban pedig pni = 0 értéket testek k¨ oz¨ otti di hézag zérus érték˝ an szám´ıthat´ o ki. Teh´ at összefoglalva azt kapjuk (3.56) szerint, tov´ abb´ a di a (3.50) alapj´ T ul a teljes Sc = Ω0 ∪ Ωp allap´ıthatjuk meg, hogy a p d = 0 feltétel automatikusan teljes¨ ´ tartom´ anyon.

3.3.2.

Hat´ asm´ atrix el˝ o´ all´ıt´ asa

Tekints¨ uk most csak a H1 hat´ asmátrixot, melynek el˝ oáll´ıt´ asa a (3.41) és a (3.44) osszef¨ uggések alapj´ an a k¨ ovetkez˝o módon ´ırhat´ o fel ¨ P (x) H 1 (x, s) PT (s) dSs dSx = P (x) H 1 (x, s) PT (s) dSs dSx . H1 = Scx Scs

Scx

Scs

(3.57)


28

Jel¨ olje Wi (x) (i = 1, . . . , m) a Pi (x) koordin´ ataf¨ uggvény szerint megoszló terhelésb˝ol alis ir´ any´ u elmozdul´ ast. Ekkor a H1 hat´ asmátrix j-edik oszlopa ad´ od´ o nc norm´ 1 P (x) H 1 (x, s) PT (s) dSs dSx ej = H ej = Scx

Scs

=

P (x)

Scx

= Scx

⎡

1

H (x, s) Pj (s) dSs dSx = Scs

P (x) Wj (x) dSx = Scx

⎤

(3.58)

P1 (x) ⎢ P2 (x) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ . . . ⎦ Wj (x) dSx , Pm (x)

ahol ej olyan vektor, amelynek j-edik tagja egységnyi, a többi zérus. u eleme A H1 mátrix ij index˝ 1 T 1 Hij = ei H ej = Pi Wj dS .

(3.59)

Sc

A Maxwell-féle felcserélhet˝oségi tétel alapj´ an H 1 (x, s) = H 1 (s, x), vagyis az el˝ o1 1 all´ıtott hat´ ´ asmátrix szimmetrikus, azaz Hij = Hji . uggA kapott ¨ osszef¨ uggésekb˝ol láthat´ o, hogy a hat´ astényez˝ok meghat´ arozásán´ al a Pj f¨ ataf¨ uggvények szorvény szerint változó terhelésb˝ol ad´ od´ o Wj elmozdulás és a Pi koordin´ abb´ a az l zatának integr´ alja adja a hat´ asmátrix elemeit. A H2 és a GR mátrixok, tov´ vektor meghat´ arozása is hasonl´ oan t¨ orténik. asmátrix Hijα elemén az xj pontban, az nc (xj ) norm´ alis Diszkrét elem esetén, a Hα hat´ alis ir´ any´ u, ir´ anyba hat´ o egységnyi nagys´ ag´ u er˝ ob˝ ol származó xi pontbeli, nc (xi ) norm´ elmozdulást értj¨ uk. anyt N darab altarHa konstans elemet haszn´ alunk, akkor az Sc érintkezési tartom´ tományra bontjuk fel. Ebben az esetben a P approxim´ aciós mátrixban szerepl˝ o koordin´ ataf¨ uggvények elemenként álland´ o, egységnyi magasság´ u f¨ uggvények. Következésképp astényez˝o alatt, az Scj (j = 1, . . . , N ) altartom´ any felett, nc (x) ir´ anyba m˝ ua Hijα hat´ uggvény k¨ od˝ o, egységnyi intenzit´ as´ u megoszló terhelésb˝ol származó Wj (x) elmozdulási f¨ any felett vett integr´ alértékét kell tekinteni. A többi – GR , l – Sci (i = 1, . . . , N ) altartom´ mennyiség is hasonlóan szám´ıthat´ o. Amennyiben az egyes altartományok kicsinyek, u ´gy uggvények az integr´ alszám´ıt´ as k¨ ozépérték tétele értelmében a Wj (x), uαn,terh (x), h (x) f¨ Sci altartom´ anyok feletti integr´ alja helyett vehetj¨ uk azok értékét az Sci altartom´ anyok egy bels˝o, péld´ aul a k¨ ozéps˝o pontj´ aban lév˝o elmozdulás, kezdeti hézag és a tartomány méretének a szorzataként.

3.3.3.

Tu esi technika ¨ kro ¨z´

Rugalmas alakv´ altoz´ asokat feltételezve, a terhelt henger és a rugalmas féltér között kialakul´ o érintkezés által´ aban a henger hossztengelyére mer˝oleges irányban, kicsiny szakaszra terjed ki. Ezért gyakran a hengerre vonatkoz´ o hat´ asf¨ uggvény el˝oáll´ıt´ asára is használj´ ak a féltérre vonatkoz´ o¨ osszef¨ uggéseket, a henger véges hossz´ uságáb´ ol ad´ od´ oan u ´gynevezett t¨ ukr¨ ozési technikát is alkalmazva. any´ u mérete A rugalmas féltér z = 0 fel¨ uletén Sc feltételezett érintkezési tartomány x ir´ any´ u mérete pedig Scy . Tov´ abb´ a Sc tartom´ anyt x és y tengelyek irány´ aban Dx , Scx , y ir´ u kis téglalapokra bontjuk fel, ahogy ezt a 3.3. a´bra szemlélteti. A hailletve Dy méret˝ t´ asf¨ uggvények felép´ıtésére konstans elemeket használunk, azaz a kicsiny téglalapok felett


29

Scx

y

Dy

Scy

k

1 Dx

x

3.3. ´ abra: Feltételezett érintkezési tartom´ any jellemz˝ o méretei

egységnyi megoszló intenzit´ as´ u terhelést m˝ uk¨ odtetve, Kalker ´ altal levezetett ¨ osszef¨ uggések révén tudjuk kisz´ amolni a hat´ asmátrix elemeit [30]. A szerkezet geometriai és terhelési szimmetriáj´ ab´ ol adód´ oan 4 alesetet k¨ ul¨ onb¨ oztet¨ unk meg, ami egyrészt a feladatok méretének cs¨ okkentését, másrészt a pontosabb eredmény elérését teszi lehet˝ové. A 3.4. ábr´ an s¨ otét´ıtéssel jel¨ olt¨ uk a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o lehetséges szimmetria eseteket. y

1. t´ıpus

x

y

2. t´ıpus

x

y

3. t´ıpus

x

y

4. t´ıpus

x

3.4. ´ abra: Figyelembe vehet˝o szimmetria esetek

A H hat´ asmátrix (i, j) koordin´ at´ aj´ anak meghat´ arozása a következ˝o módon történhet, melyet el˝osz¨ or 1929-ben Love elemzett, majd jóval kés˝obb Johnson [26]-ben, Kalker u, (xj , yj ) középpont´ u, tartom´ anyon egységnyi [30]-ben foglalt ¨ ossze. Egy Dx × Dy méret˝ alland´ ´ o nagys´ ag´ u megoszló terhelés m˝ uködik, melynek hat´ asára létrejöv˝ o elmozdulás egy ovetkez˝o képlet alapj´ an szám´ıthat´ o: tetsz˝oleges (xi , yi ) pontban a k¨ " (yij + b) + (yij + b)2 + (xij + a)2 1 − ν 2 " + H (i, j) = xij + a ln πE (yij − b) + (yij − b)2 + (xij + a)2 " (xij + a) + (yij + b)2 + (xij + a)2 " + + yij + b ln (xij − a) + (yij + b)2 + (xij − a)2 (3.60) " (yij − b) + (yij − b)2 + (xij − a)2 " + + xij − a ln (yij + b) + (yij + b)2 + (xij − a)2 " (xij − a) + (yij − b)2 + (xij − a)2 " + yij − b ln , (xij + a) + (yij − b)2 + (xij + a)2


30

melyben xij = xj − xi , illetve yij = yj − yi és az egyszer˝ ubb fel´ır´ as érdekében felhaszn´ altuk Dy Dx az a = 2 , illetve a b = 2 jel¨ oléseket.

C

A

B

D

3.5. ´ abra: Fikt´ıv hengerek hozzáad´ asa

y

3. t´ıpus 4

y

y 1. t´ıpus

2. t´ıpus

2

4

3

3

1

2

1

1

x

3

x

6

5

x

2

5

6

3.6. ´ abra: Fikt´ıv hengerek k¨ ulönböz˝o szimmetriák esetén

A henger hat´ asmátrix´ anak sz´ am´ıt´ asakor tekintettel kell lenn¨ unk arra is, hogy a véglapok ténylegesen fesz¨ ultségmentesek. A cs´ usztatófesz¨ ultségek zérus értékét az u ´ gynevezett t¨ ukrözési technik´ aval biztos´ıtani lehet. A konkrét szám´ıt´ askor ez azt jelenti, hogy a tényleges hengerhez további fikt´ıv” hengereket toldunk, és a terheléseket a k¨ ozéps˝o – a tényleges ”


31

– henger véglapjaira vonatkoztatva szimmetrikusan m˝ uködtetj¨ uk, ahogy a 3.5. a´bra szemlélteti. A t¨ ukr¨ ozési technika sajnos a véglapokon a norm´ alfesz¨ ultségek zérus volt´ at nem biztos´ıtja. Az A és B véglapokkal jellemzett henger hat´ asmátrix´ anak meghat´ aroz´ asához az A, C és B, D véglap´ u fikt´ıv” hengerek felvételére van sz¨ ukség az A és B véglapokra vonatkoz´ o ” szimmetrikus terhelés mellett. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o szerkezeti szimmetriák eseteinél alkalmazott t¨ ukrözési technikát a 3.6. abra szemlélteti. A 4. t´ıpus az ábr´ ´ an v´ azolt 3. t´ıpust´ ol annyiban tér el, hogy az y tengely ast a hat´ asmátrix elemeinek is szimmetriatengely, ´ıgy 12 helyen kell m˝ uködtetni a nyom´ kiszám´ıt´ asakor. A (3.60) o sszef¨ u gg´ e st a t¨ u kr¨ o z´ e si technik´ a nak megfelel˝ o szám´ u terheléshez ¨ kell alkalmazni.

4. fejezet ´rgo ´teres le´ıra ´sa ¨ rbe parame Te

A térbeli érintkezési feladatok vizsg´ alata esetén feltételezz¨ uk, hogy az érintkezési tartományt egy sima, zárt térg¨ orbe hat´ arolja. Ebben a fejezetben bemutatjuk a térgörbéknek egy lehetséges paraméteres le´ır´ asi módj´ at, melyek napjainkban fontos szerepet j´ atszanak. A B-spline görbéket, illetve ezek racion´ alis által´ anos´ıt´ asát a NURBS – Non-Uniform Rational B-spline angol elnevezésb˝ol – térg¨ orbéket széles k¨ orben haszn´ alj´ ak, els˝osorban a sz´ am´ıt´ ogéppel seg´ıtett tervezés során. A g¨ orbék képzési módszer¨ uk alapj´ an rendk´ıv¨ ul alkalmasak u ´j objektumok defini´ al´ asára, u létez˝o alakzatok pontos le´ır´ asára, fontos jellemz˝ oj¨ uk tov´ abb´ a a létez˝o alakzatok könny˝ módos´ıthat´ osága. A NURBS g¨ orbéket defini´ al´ o adathalmaz egy egyszer˝ u strukt´ ur´ at jelent. Három alapvet˝o elemet sorolhatunk itt fel: a kontrollpontok, a csom´ oértékek vektora és a kontrollpontokhoz rendelt s´ ulyértékek vektor´ at – ezen utóbbi s´ ulyértékhalmaz a nem racion´ alis B-spline-oknál nem szerepel. Így a g¨ orbe módos´ıt´ asát ezen három strukt´ uraelem valamelyikének v´ altoztatásával érhetj¨ uk el. Egyik legrészletesebb összefoglaló err˝ ol a ter¨ uletr˝ ol a Piegl és Tiller által ´ırt k¨ onyv [54], melyben az alakv´ altoztat´ ast kontrollpontok a´trendezésével, illetve a hozzájuk tartoz´ o s´ ulyértékek módos´ıt´ asával érik el. Sz´ amunkra ezen paraméteres g¨ orbék az érintkezési tartom´ any le´ır´ asakor játszanak központi szerepet a térbeli érintkezési feladatok vizsg´ alatakor. A NURBS görbék a k´ upszeletekt˝ol kezdve tetsz˝oleges térbeli nyitott és zárt alakzatok le´ır´ asára alkalmasak, módos´ıt´ asuk egyszer˝ uen néh´ any paraméter változtat´ asával elérhet˝o.

4.1.

B-spline alapfu eny ¨ ggv´

A B-spline alapf¨ uggvények, mint s´ ulyok szerepelnek a következ˝o szakaszban fel´ırt Bspline g¨ orbék el˝oa´ll´ıt´ asakor, de az el˝oáll´ıt´ asuk komplex volta megköveteli a részletes bemutat´ ast. Két lényeges tulajdons´ ag´ at szokás a B-spline alapf¨ uggvényeknek kiemelni: 1. az alapf¨ uggvények értelmezési tartománya u ´gynevezett csomóértékek által tov´ abbi részintervallumokra van bontva. 2. az alapf¨ uggvények zérustól val´ o eltérése nem jellemz˝o az egész tartományon, ez val´ oj´ aban csak néh´ any részintervallumon teljes¨ ul. Azt szok´ as mondani, hogy a B-spline alapf¨ uggvények meglehet˝osen lok´ alisak. Tekints¨ uk az u csomóértékek vektor´ at, mely l darab nem csökken˝ o val´ os szám sorozatát tartalmazza, azaz T u = u1 . . . , ul ,

ahol u1 ≤ u2 ≤ · · · ≤ ul−1 ≤ ul ,

(4.1)

B-spline alapf¨ uggvény

33

ahol az ui értékeket csomóértékeknek nevezik. Az ui , ui+1 jobbr´ ol nyitott intervallumot az i-edik csomóértékhez tartozó csomóintervallumnak nevezz¨ uk. Mivel a csomóértékek k¨ oz¨ ott fenn´ allhat egyenl˝ oség is, ´ıgy el˝ofordulhat, hogy némely csomóintervallum nem létezik. Ha egy csomóérték k-szor szerepel – azaz ui = ui+1 = · · · = ui+k−1 – akkor a csomóérték multiplicit´ asa k, ahol k > 1. Egyébként, ha a csomóérték csak egyszer t˝ unik fel az u csomóvektorban, akkor az egyszeres csom´ oérték. Ha a csomóértékek közötti k¨ ulönbség all. ∀ 1 ≤ i ≤ l – akkor a csomóvektorr´ ol azt mondjuk, hogy alland´ ´ o – azaz ui+1 − ui = ´ egyenk¨ oz˝ u. Ellenkez˝o esetben azt, hogy nem, idegen szóval non-uniform. A csomóértékek tehát u ´gy értelmezhet˝oek, mint az u1 , ul intervallum oszt´ opontjai. Minden B-spline alapf¨ uggvénynek megvan a saját értelmezési tartom´ anya az u1 , ul intervallumon. Gyakran él¨ unk azzal a v´ alasztással, mely nem sérti az által´ anoss´ agot, hogy at a zárt értelmezési tartom´ any ebben az esetben a 0, 1 . u1 = 0 és ul = 1, teh´ A B-spline alapf¨ uggvény defin´ıciója megk´ıv´ an egy tov´ abbi paramétert, a fokszámot. A p-ed rend˝ u, azaz (p − 1)-ed fok´ u, i-edik B-spline alapf¨ uggvény a következ˝o rekurz´ıv formul´ aval defini´ alt: # 1 ha ui ≤ u < ui+1 1 Ni (u) = 0 egyébként (4.2) ui+p − u u − ui p p−1 p−1 N (u) + N (u) i = 1, . . . , l . Ni (u) = ui+p−1 − ui i ui+p − ui+1 i+1 Ezt a képzési módszert a szakirodalomban Cox-de Boor-féle rekurz´ıv elj´ ar´ asnak nevezik [54, 28]. Az alapf¨ uggvények defin´ıciója komplex, de viszonylag könnyen értelmezhet˝o. Ha a foksz´ am zérus (p = 1), akkor ezek az alapf¨ uggvények – a (4.2) els˝o képlete szerint – egységnyi konstans f¨ uggvények. Például, ha az egym´ ast követ˝ o csomóértékek: abb, akkor a csom´ oérték intervallumok u 1 = 0, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3 és ´ıgy tov´ 0, 1 , 1, 2 , 2, 3 . Az intervallumokon ´ e rtelmezett 0-ad fok´ u B-spline uggvények: alapf¨ 1 (u) = 1 ∀ u ∈ 1, 2 , egy´ e bk´ e nt z´ e rus ´ e rt´ e k˝ u ; N e bk´ ent zérus N11 (u) = 1 ∀ u ∈ 0, 1 , egy´ 2 1 u; ahogy ezt a 4.1. ábra mutatja. érték˝ u; N3 (u) = 1 ∀ u ∈ 2, 3 , egyébként zérus érték˝ N11

N21

N31

u u1

u2

u3

u4

u5

u u1

u2

u3

u4

u5

u u1

u2

u3

u4

u5

4.1. ´ abra: Három 0-ad fok´ u B-spline alapf¨ uggvény

A magasabb fok´ u Nip (u) alapf¨ uggvények el˝oáll´ıt´ asának értelmezéséhez hasznos a 4.2. abr´ ´ an szemléltetett szám´ıt´ asi strukt´ ura. Az ábr´ an az els˝o oszlopban a csomóérték intervallumok vannak felsorolva, m´ıg a második oszlopban a 0-ad fok´ u B-spline alapf¨ uggvények. 2 1 1 asához teh´ at sz¨ ukség van az Ni (u), illetve az Ni+1 (u) f¨ uggvényekre. Az Ni (u) meghatároz´ Ez´ altal minden 1. fok´ u alapf¨ uggvény kiszám´ıthat´ o. Az 1. fok´ u B-spline alapf¨ uggvények a harmadik oszlopban vannak felsorolva. E rekurz´ıv folyamat egészen addig folytat´ odik ah´ anyad fok´ u alapf¨ uggvény meghat´ aroz´ asa sz¨ ukséges. u Most hat´ arozzuk meg a fenti példáb´ ol kiindulva N12 (u)-t és N22 (u)-t – azaz az 1. fok´ o, hogy alapf¨ uggvényeket. (4.2) alapj´ an – mivel u1 = 0, u2 = 1 és u3 = 2 – fel´ırhat´ N12 (u) =

u − u1 1 u3 − u 1 N1 (u) + N (u) = u N11 (u) + (2 − u) N21 (u) , u2 − u1 u3 − u2 2

(4.3)

34

´rg¨ ´teres le´ıra ´sa 4. Te orbe parame

u1 , u 2

u2 , u 3

u3 , u 4 u4 , u 5

N11 (u)

N12 (u)

N21 (u)

N13 (u)

N22 (u)

N31 (u)

N32 (u)

N41 (u)

N14 (u)

N23 (u)

4.2. ´ abra: (p − 1)-ed fok´ u B-spline alapf¨ uggvények el˝oa´ll´ıt´ asi sémája

illetve N22 (u) =

u − u2 1 u4 − u 1 N2 (u) + N (u) = (u − 1) N21 (u) + (3 − u) N31 (u) . u3 − u2 u4 − u3 3

(4.4)

Ebb˝ ol l´ athat´ o, hogy ezen alapf¨ uggvények ent line´ aris f¨ uggvényekb˝ ol állnak szakaszonk´ 2 ol nyitott intervallumon vesz fel, össze. N1 (u) nem-zérus értéket csak az u1 , u3 jobbr´ ezen k´ıv¨ uli értéke pedig nulla, ahogy ezt a 4.3. a´bra szemlélteti. A további 1. fok´ u alap2 (u) B-spline f¨ uggvények képzése is ily módon t¨ o rt´ e nik. A 4.3. a ´ bra bemutatja az N 2 ulönböz˝o éralapf¨ uggvényt is, mely m´ ar az u2 , u4 intervallumon rendelkezik zérustól k¨ tékkel. N12

N22

1

1 u u1

u2

u3

u4

u5

u u1

u2

u3

u4

u5

4.3. ´ abra: Két 1. fok´ u B-spline alapf¨ uggvény

(4.2) szerint a 2. fok´ u alapf¨ uggvények el˝o´ all´ıt´ asa megk¨ oveteli az 1. fok´ u alapf¨ uggvények 3 2 2 ´ o N1 (u) és N2 (u) seg´ıtségével: meglétét. Igy N1 (u) fel´ırhat´ N13 (u) =

u − u1 2 u4 − u 2 N1 (u) + N (u) , u3 − u1 u4 − u2 2

(4.5)

mely az ui (i = 1, . . . , 4) csomóértékek alapján 1 1 (4.6) N13 (u) = u N12 (u) + (3 − u) N22 (u) 2 2 alakban adhat´ o meg. Mivel N12 (u) a 0, 1 és a 1, 2 intervallumon vesz fel zérust´ ol 2 arom esetet kell k¨ ul¨ onb¨ oz˝o értéket, m´ıg N2 (u) a 1, 2 és a 2, 3 intervallumon, ´ıgy h´ megk¨ ul¨ onböztetn¨ unk: ⎧ 1 2 ⎪ u ha u ∈ 0, 1 , ⎪ 2 ⎪ ⎨ N13 (u) = 12 u (2 − u) + 12 (3 − u) (u − 1) = −u2 + 3u − 1.5 ha u ∈ 1, 2 , (4.7) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩1 1 2 ha u ∈ 2, 3 . 2 (3 − u) (3 − u) = 2 u − 3u + 4.5 Ha a h´ arom k¨ ul¨ onb¨ oz˝o esetben kapott g¨ orbeszakaszt egy koordinátarendszerben ábr´ azoljuk, akkor l´ athatjuk, hogy a g¨ orbeszakaszok pontosan a csomóértékeknél kapcsolódnak egymásba, ´ıgy alkotva egy folytonos f¨ uggvényt (4.4. ábra). Az olvashat´ o le, hogy a g¨ orbeszakaszok folytonosan csatlakoznak egymáshoz, azonban itt meg kell jegyezni, hogy ez nincs mindig ´ıgy, tekintetbe véve a csomóértekek lehetséges multiplicitását.

A B-spline defin´ıci´ oja

35

N13 1 u u1

u2

u3

u4

u5

4.4. ´ abra: Egy 2. fok´ u B-spline alapf¨ uggvény

Meg´ allap´ıthat´ o teh´ at, hogy Nip (u) B-spline alapf¨ uggvény csak ui , ui+p intervallu , , u mon ad z´ e rust´ o l k¨ u l¨ o nb¨ o z˝ o ´ e rt´ e ket, vagyis p darab csom´ o ´ e rt´ e k intervallumon u i i+1 ui , ui+2 , . . . , ui , ui+p . Vég¨ ul tekints¨ uk át a B-spline alapf¨ uggvény néhány fontos tulajdons´ agát [17]: u polinom f¨ uggvénye. • Nip (u) az u paraméter (p − 1)-ed fok´ • Nip (u) nem negat´ıv, azaz Nip (u) ≥ 0 ∀ i, p, u.

• Nip (u) csak lokális hatással b´ır, azaz Nip (u) > 0 az ui , ui+p intervallumon. uggvények összege egy az ui , ui+p inter• A nem-zérus (p − 1)-ed fok´ u Nip (u) alapf¨ vallumon i+p−1 p Nj (u) = 1 p > 1 . j=i

• Az Nip (u) alapf¨ uggvény (p − 1)-ed fok´ u polinomok összegeként áll el˝o az ui , ui+p intervallumon u ´gy, hogy a csatlakoz´ asi pont mindig csomóértékre esik. • Ha egy csomóérték multiplicit´ asa k, akkor az adott csomóértéknél az alapf¨ uggvény u folytonos görbe. C p−1−k osztály´ • Ha a csomóértékek száma l, az alapf¨ uggvények rendje p, akkor a (p − 1)-ed fok´ u alapf¨ uggvények száma n, teh´ at l = n + p. Ami könnyen bel´ athat´ o, ha figyelembe u alapf¨ uggvény, mely nem-zérus értéket vessz¨ uk, hogy Nnp (u) az utolsó (p − 1)-ed fok´ csak az un , un+p intervallumon vesz fel. Mivel az utols´ o csomóérték ul , mely megegyezik un+p -vel, ezért l = n + p.

4.2.


Adott n térbeli kontrollpont p1 , . . . , pn és egy csomóértékeket tartalmazó u vektor, ahol u = [u1 , . . . , ul ]T . A c (u) B-spline görbe a pi kontrollpontok és az u csomóvektor alapj´ an a k¨ ovetkez˝o módon áll´ıthat´ o el˝o [28]. c (u) =

n

Nip (u) pi ,

(4.8)

i=1

ahol Nip (u) az u paraméterhez tartozó p-ed rend˝ u – (p−1)-ed fok´ u – B-spline alapf¨ uggvény, melynek képzése (4.2) alapján történik. okken˝ o val´ os számsorozatot alkotnak. A defin´ıcióban el˝ oAz ui csomóértékek nem cs¨ 0 anyadost zérusnak tekintj¨ uk. A p rendsz´ am, az l csomóértékek száma és az fordul´ o 0 h´ n kontrollpontok sz´ ama k¨ oz¨ ott fenn kell állni a következ˝o összef¨ uggésnek: l = n + p. Pontosabban, ha n kontrollponttal k´ıv´ anunk defini´ alni egy p-ed rend˝ u B-spline térgörbét, akkor biztos´ıtanunk kell n + p darab csom´ oértéket. Másfel˝ol, ha adott n kontrollpont, l csomóérték akkor az általuk gener´ alt B-spline térgörbe p rendje l − n.

36


Tehát a paraméteres p-ed rend˝ u B-spline görbe a B-spline alapf¨ uggvények lineáris kombin´ aciójaként áll´ıthat´ o el˝o. A p = 4 rend v´ alasztás azt jelenti, hogy köbös – azaz 3-ad fok´ u – alapf¨ uggvényekkel ´ırjuk le a B-spline-t. Ez a görbe – a csomóérték vektor strukt´ ur´ aj´ at´ ol és a kontrollpont elhelyezkedését˝ol f¨ ugg˝ oen – lehet nyitott (open), z´ art (closed) vagy r¨ ogz´ıtett (clamped) t´ıpus´ u. p3 p4 p10

p9

p5

p2

p8

p6

p1

p7

4.5. ´ abra: Nyitott 3-ad fok´ u B-spline görbe

p3 p4 p9

p10 p5

p2

p8 p1

p6 p7

4.6. ´ abra: Rögz´ıtett vég˝ u 3-ad fok´ u B-spline g¨ orbe

Nyitott görbét akkor kapunk, ha sem a csom´ oérték vektornak, sem a kontrollpoligonnak nincs speci´ alis jellemz˝oje, azaz minden csomóérték és kontrollpont k¨ ul¨ onb¨ oz˝o. Ezt mutatja a 4.5. a´bra. Ha az els˝ o és az utolsó csomóértéket megt¨ obbsz¨ or¨ ozz¨ uk, akkor a r¨ ogz´ıtett vég˝ u B-spline-hoz jutunk, mely befut az els˝ o és az utolsó kontrollpontba (l´ asd a 4.6. ábr´ at). Ha a kontrollpontok a´ltal létrehozott kontrollpoligon z´ art, azaz az els˝o és utolsó néh´ any kontrollpont egybeesik – konkrét számuk a v´ alasztott p rendszámtól f¨ ugg –, tov´ abb´ a a csomóvektor speci´ alis ciklikus szerkezetet mutat [50, 29], akkor z´ art B-spline g¨ orbét kapunk. Erre mutat példát a 4.7. ábra. A r¨ ogz´ıtett vég˝ u B-spline görbe el˝ o´ all´ıt´ asakor a csomóértékek a k¨ ovetkez˝o speciális at mutatj´ ak. Az els˝o és az utolsó csomóértékek ismétl˝odve szerepelnek a végeken, a form´ multiplicit´ asuk pedig a B-spline alapf¨ uggvény p rendjével megegyez˝o, teh´ at T u = u1 = u2 = · · · = up , up+1 , . . . , ul−p , ul−p+1 = ul−p+2 = · · · = ul , p

(4.9)

p

ahol u1 értékét 0-ra, illetve ul értékét gyakran 1-re v´ alasztjuk, ´ıgy normaliz´ alt csomóértékekkel dolgozhatunk. A ciklikus csom´ ovektort Park és Kim vezette be a [50] cikkben.


37

p3 = p10 p4

p5

p2 = p9

p6 p1 = p8

p7

4.7. ´ abra: Zárt 3-ad fok´ u B-spline görbe

Ennek haszn´ alata akkor el˝ ony¨ os, ha zárt B-spline görbéket kell le´ırni [49]. Ebben az esetben az u csomóértékek vektora a következ˝o módon ´ırhat´ o: T u = u−(p−1) , . . . , u−1 , u1 , . . . , un−p+2 , un−p+3 , . . . , un+1 . (4.10) ahol

u−i = u1−i + un−p−i+2 − un−p−i+3 u1 = 0 un−p+2 = 1 un−p+2+i = un−p+1+i + ui+1 − ui

i = 1, . . . , p − 1 .

A végeken egybeejtve (p − 1) darab kontrollpontot, azaz pi = pi

mod (n−p+2)

i = 1, . . . , n ,

(4.11)

egy olyan z´ art g¨ orbét kapunk, mely C (p−2) rend˝ u folytonoss´ agot mutat a görbe értelmezési tartom´ any´ an. A (i mod j) m˝ uvelet i-nek j-vel való osztási maradékát adja. A B-spline fontosabb tulajdons´ againak a´ttekintéséhez, tekints¨ unk egy n kontrollpont altal defini´ ´ alt, r¨ ogz´ıtett vég˝ u p-ed rend˝ u – azaz (p − 1)-ed fok´ u – B-spline térgörbét. • A (4.8)-ban fel´ırt c (u) B-spline térgörbe (p − 1)-ed fok´ u görbék folytonos összekap´ csolásával j¨ on létre. Altal´ anosan az mondhat´ o el, hogy minél kisebb a fokszám, a g¨ orbe ann´ al k¨ ozelebb ker¨ ul a kontrollpoligonhoz. Hat´ aresetben, ha a fokszám egy, akkor a B-spline g¨ orbe a kontrollpoligont adja. u B-spline térgörbe áthalad a p1 els˝o és a pn utols´ o kontrollponton. • A r¨ ogz´ıtett vég˝ • A konvex burok tulajdons´ agot kielég´ıti. A c (u) B-spline térgörbe a kontrollpoligon által létrehozott konvex burokban tal´ alhat´ o. E konvex burok konvex kontrollpoligon esetén maga a poligon, konk´ av konrollpoligon esetén l´ asd a [8] könyv 32. oldal´ at. • Lok´ alis változtathat´ oság, mely azt jelenti, hogy ha változtatjuk a pi kontrollpont helyzetét, akkor ennek csak az ui , ui+p intervallumon van hat´ asa. Ez a tulajdons´ ag rendk´ıv¨ ul fontos a tervezés során, ui. egy-egy kontrollpont mozgat´ asa nem módos´ıtja az egész g¨ orbe alakj´ at, csak a kontrollpont környezetében v´ altoztat. • Sima, oszcilláció mentes g¨ orbe. • Ha egy u csomóérték multiplicit´ asa k, akkor abban a c (u) pontban a görbe C (p−k) rendben folytonos. • A g¨ orbe alakj´ at befoly´ asolhatjuk a pi kontrollpontok, a p fokszám, illetve az ui csomóértékek által. Például elérhet˝o – a csomóértékek alkalmas megválasztásával –,

38

´rg¨ ´teres le´ıra ´sa 4. Te orbe parame p3 p2 p3 p4

p4 p1

p2

p10

p9

p5

p8

p6

p10

p9

p5

p8

p6

p1 p7

p7

4.8. ´ abra: 3-ad fok´ u B-spline g¨ orbe kontrollpontjainak mozgat´ asa

hogy a B-spline g¨ orbe tartalmazzon egyenes szakaszt is, u ´ gy hogy a kontrollpontok nem esnek egy egyenesbe. A B-spline g¨ orbék el˝oa´ll´ıt´ asa megk¨ oveteli számos jellemz˝o el˝ore meghatározását, u ´gymint a foksz´ am, vagy a megfelel˝o szám´ u csomóértékek rögz´ıtése. Egy további h´ atr´ any a görbe létrehozásának komplex m´ odja. Cserébe azonban egy nagyon j´ ol haszn´ alhat´ o eszközt jelent a tervez˝ o mérn¨ ok¨ ok számára. Sajnos meg kell azonban eml´ıteni egy lényeges fogyatékosságát ezen térgörbe t´ıpusnak: mivel polinomok ép´ıtik fel, ´ıgy a legegyszer˝ ubbnek t˝ un˝ o, általánosan haszn´ alt görbék, péld´ aul a k´ upszeletek, nem ´ırhat´ oak le vele egzakt módon. Ezen seg´ıt a B-spline által´ anos´ıt´ asának tekintett NURBS térg¨ orbe.

4.3.

NURBS t´ erg¨ orb´ ek

Azok a paraméteres térg¨ orbele´ır´ asi módszerek, melyek csak polinomok lineáris kombin´ aciójaként áll´ıtanak el˝ o g¨ orbéket, nem jók minden esetben, mivel sok görbe – u ´gymint a kör, az ellipszis, vagy a parabola – nem adhat´ o meg egzaktul ilyen módon. A kör csak racion´ alis f¨ uggvények által reprezentálhat´ o, teh´ at olyan f¨ uggvényekkel, melyek polinomok h´ anyadosai. Ennek hat´ asára alakult ki a B-spline görbék által´ anos´ıtott v´ altozata, melyet angol elnevezéssel Non-Uniform Rational B-spline-nak – a tov´ abbiakban röviden NURBS-nek – nevez¨ unk [54].

4.3.1.

Homog´ en koordin´ at´ ak

Egyik fontos célja a homogén koordin´ at´ ak haszn´ alat´ anak az, hogy a végtelen távoli pontot értelmezni tudjuk. Az Euklideszi koordin´ atarendszerben végtelen hely nincs értelmezve. Azonban számtalan esetben lényegesen leegyszer˝ usödik egy-egy elv, illetve az elvégzend˝o szám´ıt´ as, ha rendelkezésre áll a végtelen távoli hely fogalma. Ez a meg´ allap´ıt´ as a görbe és fel¨ ulet tervezésnél is érvényben van. Homogén koordin´ at´ ak nélk¨ ul számtalan bonyodalommal ker¨ ulnének szembe a modellezéssel foglalkozók a szám´ıt´ ogépes grafika és a szám´ıt´ ogéppel seg´ıtett tervezés ter¨ uletén. Gondoljunk csak egy hétköznapi kock´ ara, melyet a szám´ıt´ ogép monitor´ an k´ıv´ anunk megjelen´ıteni centr´ alis vet´ıtéssel. Még egy laikus szemlél˝onek is felt˝ unik, hogy a kocka élei, mintha egy végtelen távoli pont felé tartva assal. találkozn´ anak egym´ A végtelen távoli pont bevezetésének érdekében tekints¨ uk az u és w két val´ os száuk rögz´ıtettnek, w-t pedig mot, majd képezz¨ uk ezek h´ anyados´ at wu . Most u értékét vegy¨ anyados egyre nagyobb lesz. Ha w eléri a zérus értéket, akkor wu csökkents¨ uk, akkor wu h´

NURBS térg¨ orbék

39

h´ anyados végtelen nagy lesz! Ez adja a lehet˝ oséget arra, hogy egy tetsz˝oleges a = wu val´ os számot két másik val´ os számmal, u-val és w-vel ´ırjunk fel. Ugyanis, ha w = 0, akkor a o esetben, ha w = 0, akkor a szám a = ∞, azaz a végtelen értéke pontosan a = wu . Ellenkez˝ t´ avoli pontot (u, 0) = ∞ módon azonos´ıthatjuk. Térpontokat tekintve a homogén koordin´ at´ akat a következ˝o módon értelmezz¨ uk: a tér végesben és a végtelen távolban fekv˝ o P pontjait az r = xex + yey + zez helyvektor és a ξ skalár jellemzi, mely csak a 0 és 1 értékeket veszi fel, azaz az (x, y, z, ξ) a P ponthoz rendelt homogén koordin´ at´ akat jelenti. W Y

(x, y, w)

( wx , wy , 1)

X

4.9. ´ abra: Az (x, y, w) homogén koordin´ at´ ak értelmezése

Ezt a módszert haszn´ aljuk a két-, illetve a háromdimenziós tér pontjainak homogén koordin´ at´ akkal val´ o megadásához is. A k¨ onnyebb megértés érdekében most egy kétdimenziós (x, y, w) homogén koordin´ at´ as alakban fel´ırt pont sz´ armaztatását mutatjuk be [28] alapj´ an. Ahogy a 4.9. a´bra szemlélteti, az (x, y, w) egy térbeli pont X, Y és W tengely ir´ any´ u koordin´ at´ ait jelenti. A koordin´ atarendszer orig´ oj´ at és az (x, y, w) pontot ¨ osszek¨ ot˝ o ofi át. Nyilv´ anval´ o, hogy ez a transzform´ ació, egyenes a w = 1 s´ıkot az ( wx , wy , 1) ponton d¨ b´ armely homogén koordin´ at´ akkal megadott pontn´ al elvégezhet˝o és az is láthat´ o, hogy a u homogén koordin´ at´ akkal megadhat´ oak, ha minden s´ıkon lév˝o pontok az ( wx , wy , 1) alak´ ´ıgy értelmezett pontra elvégezz¨ uk a fent le´ırt transzform´ aciót. A 4.9. ábr´ ab´ ol az is láthat´ o, hogy ez a transzform´ ació nem k¨ olcs¨ on¨ osen egyértelm˝ u, mivel az orig´ ot és az (x, y, w) pontot ¨ osszek¨ ot˝ o egyenes minden pontj´ at csak az ( wx , wy , 1) pontra tudjuk leképezni. Ezért amikor a hagyom´ anyos Euklideszi koordin´ at´ aival adott pontot transzform´ aljuk homogén koordin´ at´ as alakba, akkor a´ltal´ aban azt tessz¨ uk, hogy a w = 1 feltevéssel él¨ unk – azaz egy térbeli (x, y, z) pont homogén koordin´ at´ as alakban a k¨ ovetkez˝o (1 · x, 1 · y, 1 · z, 1) = (x, y, z, 1). Teh´ at észrevehet˝o az, hogy a homogén koordin´ at´ ak száma 3, illetve 4, amikor egy xy-s´ıkbeli, illetve egy térbeli pontot k´ıv´ anunk vel¨ uk le´ırni.

4.3.2.

NURBS t´ erg¨ orbe el˝ o´ all´ıt´ asa

Tekints¨ uk a (4.8) a´ltal defini´ alt c (u) B-spline g¨ orbét, de a pi (i = 1, . . . , n) kontrollat´ as alakra u ´gy, hogy a negyedik koordin´ at´ at pont esetében térj¨ unk át phi homogén koordin´ v´ alasszuk 1-re ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ xi xi ⎢ yi ⎥ ⎥ (4.12) pi = ⎣ yi ⎦ phi = ⎢ ⎣ zi ⎦ . zi 1 altal homogén koordin´ at´ asként kezelhetj¨ uk, mivel ha megszorozzuk A pi pontokat ez´ a – homogén koordin´ at´ aival adott – pont minden koordin´ at´ aj´ at egy nem-zérus értékkel,

40


akkor az a pont helyzetét nem változtatja meg, tehát wi s´ ullyal szorozva megkapjuk a pi pont egy másik homogén koordin´ at´ as alakj´ at: ⎤ ⎡ wi xi ⎢ wi yi ⎥ ⎥. ⎢ pw (4.13) i =⎣ wi zi ⎦ wi ırva a (4.8) egyenletbe kapjuk a következ˝o formul´ at: Ezen pw i pontot vissza´ ⎡(n ⎤ ⎤ ⎡ Nip (u) wi xi i=1 wi xi ⎢ (n ⎥ p n n ⎢ i=1 Ni (u) wi yi ⎥ ⎢ wi yi ⎥ p p w w ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ = (n Ni (u) pi = Ni (u) ⎣ c (u) = p ⎥ wi zi ⎦ ⎢ N (u) w z i i ⎣ (i=1 i ⎦ i=1 i=1 p n wi N (u) w i i=1 i

(4.14)

mellyel megkaphatjuk az eredeti c (u) B-spline görbe homogén koordin´ at´ akkal fel´ırt alaku. Vissza´ırva ezen formul´ at Euklideszi koordin´ at´ as alakba, a NURBS j´ at, ha wi = 1 érték˝ at´ aj´ aval kell elosztérg¨ orbe defin´ıciój´ ahoz jutunk [51], melyhez a cw (u) negyedik koordin´ tani minden koordin´ at´ at: (n (n p Nip (u) wi phi h i=1 i=1 Ni (u) wi pi ( cr (u) = (n , c (u) = , (4.15) r p p n j=1 Nj (u) wj j=1 Nj (u) wj melyben chr (u) a homogén, cr (u) pedig az Euklideszi koordin´ at´ aival fel´ırt NURBS térg¨ orbét jelenti. A (4.15) által defini´ alt (p−1)-ed fok´ u NURBS térgörbe el˝ oáll´ıt´ asához sz¨ ukség van tehát T abb´ a a a p1 , p2 , . . . , pn kontrollpontokra, az u = u1 , u2 , . . . , ul ] csomóértékekre, tov´ ulyokra is. Mivel a wi s´ ulyérték a pi kontrollponthoz van rendelve, ezért a w1 , . . . , wn s´ s´ ulyértékek száma meg kell egyezzen a kontrollpontok számával. ´ ulyértékek pozit´ıvak, de van néhány érdekes Altal´ anosan az mondhat´ o el, hogy a wi s´ uly zérus, akkor az azt alkalmaz´ as, ahol negat´ıv s´ ulyértékek is szerepelhetnek. Ha egy wi s´ asa a cr (u) térgörbe meghat´ arozására – azaz jelenti, hogy a pi kontrollpontnak nincs hat´ olyan mintha a pi kontrollpont nem szerepelne a kontrollpontok között. A (4.15) defin´ıciób´ ol két fontos k¨ ovetkeztetés vonhat´ o le: • A NURBS térg¨ orbe racion´ alis, mivel a pi kontrollpont egy¨ utthat´ oja két (p − 1)-ed fok´ u polinom h´ anyadosa. uly értéke 1, akkor a NURBS térgörbe B-spline térgörbére reduk´ a• Ha az ¨ osszes wi s´ l´ odik. Ezek alapj´ an azt mondhatjuk, hogy a B-spline görbék a NURBS görbék speciális esetei. Tovább´ a a NURBS g¨ orbe alkalmas arra, hogy egzakt m´ odon le´ırja a kört, a parabol´ at és sok más egyéb olyan térg¨ orbét is, melyeket B-spline-okkal nem volt lehetséges egzakt módon megadni [54].

4.4.

Interpol´ aci´ o param´ eteres t´ erg¨ orb´ evel

Egy interpol´ al´ o NURBS létrehozásakor a kiindul´ asi adatot egy ponthalmaz jelenti, mely pontokon a létrehozand´ o térg¨ orbének kereszt¨ ul kell haladnia, ezek az interpol´ aciós pontok. Ezért az els˝o lépés minden esetben az, hogy keress¨ unk egy paramétersokaságot ezen pontokhoz, melyek hozzárendelik a megadott pontokat a térgörbéhez. Egészen ponaciós pontsokas´ ag, akkor n tosan arr´ ol van szó, hogy ha adott a d1 , d2 , . . . , dn interpol´

Interpol´ aci´ o paraméteres térg¨ orbével

41

darab t1 , t2 , . . . , tn paramétert kell keresni a görbe értelmezési tartom´ any´ ab´ ol u ´gy, hogy uk hozz´ a. Ez azt jelenti, hogy a létrea di ponthoz a ti (i = 1, . . . , n) paramétert rendelj¨ hozott interpol´ aciós térg¨ orbe – mely áthalad a megadott pontokon a felvett sorrendben – teljes´ıti a k¨ ovetkez˝o egyenletet 1 ≤ i ≤ n,

di = cr (ti )

(4.16)

ahol cr (t) alatt a (4.15) egyenlet által defini´ alt görbét értj¨ uk. A 4.10. a´br´ an 5 megadott o ponton kell a g¨ orbének áthaladni, ´ıgy a t1 , . . . , t5 paramétereket kell meghatározni els˝ ashoz rendelésére számtalan lehet˝ oség lépésben. A ti paraméterek és a di pontok egym´

d3

d4

d2

d5

d1

t1

t2

t3

t4

t5

4.10. ´ abra: Interpol´ al´ o g¨ orbe és a ti paraméterek kapcsolata

k´ın´ alkozik. Például feloszthatjuk a görbe értelmezési tartomány´ at valamilyen szempont alapj´ an, vagy csak véletlenszer˝ uen v´ alasztunk ki n paramétert a lehetséges tartományb´ ol. Ha azonban a paraméterek és a pontok o¨sszerendelése véletlenszer˝ uen, nem el˝ ore tervezett módon történik, akkor a létrehozott térgörbe alakja megjósolhatatlann´ a v´ alik. A következ˝okben két általunk haszn´ alt technik´ at mutatunk be arra, hogy hogyan lehet a paramétereket és az interpolációs pontokat egym´ ashoz rendelni: az egyenletes paraméterkiosztás technik´ aj´ aval, illetve a h´ urhossz alap´ u paraméterezéssel, mely a kontrollpoligon oldaléleivel arányos paraméterkiosztást jelenti. Ha a paraméterkiosztás megtörtént, akkor T asa. a k¨ ovetkez˝o lényeges lépés az u = u1 , . . . , ul csomóérték vektor el˝oáll´ıt´

4.4.1.

Egyenletes param´ eterez´ es

A legegyszer˝ ubb paraméterezési technika az, amikor a paramétereket az értelmez´ esi tartom´ anyban egyenletesen osztjuk el. Tegy¨ uk fel az egyszer˝ uség kedvéért, hogy a 0, 1 értelmezési tartom´ anyt kell n részre egyenletesen felosztani. Azt szeretnénk, hogy az el˝oa´ll´ıtott görbe mind az els˝ o, mind az utols´ o interpol´ aciós ponton áthaladjon, ezért a unk. t1 = 0 és a tn = 1 paraméter választással él¨ Mivel n paramétert kell meghat´ arozni ´ıgy a 0, 1 tartom´ anyt (n − 1) részre kell fel1 at a paraméterek osztani, melyek hossza álland´ o n−1 , teh´ t1 = 0 , i n−1 tn = 1 .

ti =

1 < i < n − 1,

(4.17)

42


Természetesen, ha az értelmezési tartomány nem a 0, 1 intervallum, hanem az a, b , akkor a felosztás a k¨ ovetkez˝o módon történik t1 = a , ti = a + i

b−a n−1

1 < i < n − 1,

(4.18)

tn = b . Sajn´ alatos módon, ezen egyszer˝ u paraméterkiosztás nem minden esetben eredményez kielég´ıt˝ o interpol´ aciós g¨ orbét. Például, ha a megadott interpol´ aciós pontok nem egyenletesen helyezkednek el, akkor az egyenletes paraméterkiosztás által létrehozott interpol´ aciós g¨ orbe nagy hull´ amokat, éles cs´ ucsokat és akár hurkokat is tartalmazhat, ami az esetek t¨ obbségében elker¨ ulend˝ o [49].

4.4.2.

H´ urhossz alap´ u param´ eterez´ es

Ha egy interpol´ al´ o g¨ orbét˝ol azt v´ arjuk, hogy a lehet˝ o legközelebb haladjon az interpol´ aciós pontok által kifesz´ıtett nyitott poligonhoz, akkor két egymást követ˝o interpol´ aciós pont k¨ oz¨ otti t´ avols´ ag k¨ ozel azonos a létrehozott görbe azon szakaszának ´ıvhosszával. Ezek alapj´ an az is teljes¨ ul, hogy az interpol´ aciós pontok által létrehozott poligon hossza és az interpol´ al´ o g¨ orbe hossza k¨ ozel van egymáshoz. Ha a paramétereket aszerint osztjuk ki, hogy az interpol´ aciós pontok milyen t´ avols´ agra vannak egym´ astól, akkor jutunk a h´ urhossz alap´ u paraméterezéshez. aciós pontokat. A di−1 és a di pontok közötti t´ avols´ ag !uk a d1 , . . . , dn interpol´ ! Tekints¨ !di − di−1 !, illetve a teljes nyitott poligon hossza ezen t´ avols´ agok összege L=

n ! ! !di − di−1 ! .

(4.19)

i=2

Egy tetsz˝oleges i-edik interpol´ aciós pont paraméterértékét u ´ gy hat´ arozzuk meg, hogy urpoligon teljes L osszegezz¨ uk a h´ urpoligon oldalait di pontig és elosztjuk a nyitott h´ ¨ hosszával. Ezek alapj´ an a paraméterkiosztás a következ˝o: t1 = 0 , ! 1 !! dj − dj−1 ! L i

ti =

1 < i < n − 1,

(4.20)

j=2

tn = 1 . Ezáltal a paraméterek a g¨ orbe értelmezési tartom´ any´ ata h´ urhosszal arányosan osztj´ ak fel. Természetesen, ha az értelmezési tartomány nem a 0, 1 intervallum, hanem az a, b , akkor a felosztás a k¨ ovetkez˝o módon történik t1 = a , ! (b − a) !! dj − dj−1 ! L i

ti = a +

1 < i < n − 1,

(4.21)

j=2

tn = b . A h´ urhossz alap´ u paraméterezést széles körben haszn´ alj´ ak és gyakran j´ o eredményt szolgáltat. Azonban a m´ odszer hátránya akkor jelentkezik, ha egy-két h´ ur j´ oval hoszszabb, mint a t¨ obbi. Így ezen szakaszokon az interpoláció sokszor hosszabb görbét eredményez, mint v´ arn´ ank.


4.4.3.

43

Param´ eterez´ es z´ art interpol´ al´ o g¨ orb´ ehez

Amennyiben az el˝ o´ all´ıtani k´ıv´ ant interpol´ al´ o görbe zárt, tehát d1 és dn+1 interpol´ aciós pont egy és ugyanaz a pont, akkor az interpol´ aciós pontok által meghat´ arozott poligon ulönböz˝oek, csak a fikt´ıv” dn+1 egyezik meg az is zárt. A megadott d1 , . . . , dn pontok k¨ ” els˝o interpol´ aciós ponttal. Ebben az esetben a paraméterkiosztás u ´ gy történik, hogy a t1 = 0 paramétert a d1 ponthoz, m´ıg a tn+1 = 1 paraméter értéket pedig a dn+1 ponthoz rendelj¨ uk hozz´ a. A tov´ abbi ti (i = 2, . . . , n) paraméterértékek pedig a következ˝o módon szám´ıthat´ ok: t1 = 0 , ti =

i ! 1 !! dj − dj−1 ! Lz

1 < i < n + 1,

(4.22)

j=2

ahol Lz a zárt poligon ker¨ ulete Lz =

n+1

! ! !di − di−1 ! .

(4.23)

i=2

Term´ ebben az esetben is lehets´ eszetesen eges, hogy a görbe értelmezési tartománya nem a 0, 1 intervallum, hanem az a, b . Ekkor a paraméterek kiosztása hasonló az el˝oz˝oekben fel´ırtakkal: t1 = a , ! (b − a) !! dj − dj−1 ! Lz i

ti = a +

1 < i < n + 1,

(4.24)

j=2

tn+1 = b .

4.4.4.

Csom´ o´ ert´ ek vektor el˝ o´ all´ıt´ asa

Az alábbiakban két esetet k¨ ulönböztet¨ unk meg. Els˝ oként azt az esetet vizsgáljuk, amikor nyitott interpol´ al´ o g¨ orbe el˝ oáll´ıt´ asa a cél. Ebben az esetben a csomóértékek el˝oáll´ıt´ asa a k¨ ovetkez˝o elvek alapj´ an t¨ orténhet. Ha már rendelkez¨ unk az interpol´ aciós pontokhoz rendelt ti (i = 1, . . . , n) paraméterértékekkel, tov´ abb´ a adott a B-spline görbe p rendszáma, akkor el˝ o lehet áll´ıtani az T at. A csomóértékek darabszáma l = n + p. Ha az u = u1 , . . . , ul csomóértékek vektor´ interpol´ al´ o g¨ orbe a végeken r¨ ogz´ıtett, akkor az els˝ o és utolsó p csomóérték egymással megegyezik, pontosabban az els˝ o p darab csom´ oérték u1 = u2 = · · · = up = 0, az utolsó p darab o n − 2p csomóértéket csomóérték pedig ul−p+1 = ul−p+2 = · · · = ul = 1. A fennmarad´ v´ alaszthatjuk egyenl˝o osztásk¨ oz¨ okkel, vagy valamilyen m´ as technika seg´ıtségével. Ha egyenl˝ o osztásk¨ ozzel hozzuk létre az u csomóérték vektort, akkor a csom´ oértékek a k¨ ovetkez˝o módon hat´ arozhat´ ok meg u1 = u2 = · · · = up = 0 , i up+i = i = 1, . . . , n − p , n−p+1 ul−p+1 = ul−p+2 = · · · = ul = 1 .

(4.25)

L´ athat´ o, hogy ha ilyen m´ odon hozzuk létre a csomóérték vektort, akkor nincs sz¨ ukség a ti paraméterértékekre, tehát ez egy nagyon egyszer˝ u módszer, ami azonban a szakirodalom által nem javasolt, mivel az interpol´ ació során fel´ all´ıtand´ o line´ aris egyenletrendszer szingul´ arissá v´ alhat [49].

44


Sz´ amtalan más módszer létezik, mely képes a ti paraméterkiosztás figyelembevételére [50, 51, 49]. Ilyen péld´ aul a de Boor által bevezetett átlagol´ asi módszer, vagy a Park altal fel´ırt eltol´ ´ asos – idegen szóval shifting-method – technika. Az átlagol´ asos módszer szerint a tp+i csomóérték az egymást követ˝o p paraméterértékek atlaga, azaz ´ u1 = u2 = · · · = up = 0 up+i =

p+i−1 1 tj p

i = 1, 2, . . . , n − p

(4.26)

j=i

ul−p+1 = ul−p+2 = · · · = ul = 1 . M´ asodik esetként tekints¨ uk azt, amikor z´ art interpolál´ o görbéhez keres¨ unk csomóérték vektort. A (4.10)-ben fel´ırt ciklikus csomóérték vektor el˝oáll´ıt´ asa a célunk, oly m´ odon, hogy figyelembe vegy¨ uk a már létez˝o t1 , t2 , . . . , tm paraméterkiosztást – azaz itt m a megadott interpol´ aciós pontok száma –, mely azt is jelenti, hogy d1 , d2 , . . . , dm interpol´ aciós pont adott. Z´ art B-spline, vagy NURBS térgörbe esetén tudjuk, hogy a végeken (p − 1) darab kontrollpont egybeesik, teh´ at az interpol´ al´ o zárt térgörbéhez n = m + p − 1 uk. Teh´ at o¨sszesen l = m + 2 p − 1 kontrollpont tartozik. Ezeket p1 , p2 , . . . , pn -el jelölj¨ csomóérték meghatározása a célunk. Ebben az esetben nincsenek olyan csom´ oértékek, melyek k > 1 multiplicit´ as´ uak. Minden csomóérték egyszeres. A (4.10) képzéséhez ismert képlet alapj´ an, csak az u2 . . . un−p+1 csomóértékek ismeretlenek. Ezek el˝oáll´ıt´ asához tekints¨ uk a következ˝o összef¨ uggéseket [51]: ui =

i+d 1 sj 2d + 1

i = 2, . . . , n − p + 1 ,

(4.27)

j=i−d

ahol d = p−1 esz számot, mely nem nagyobb 2 – melyben x jelentse a legnagyobb eg´ asára felhaszn´ aljuk, hogy mint x –, tov´ abb´ a sj (j = −(d + 2), . . . , m + d) szám´ıt´ ⎧ ⎪ ha − (d − 1) ≤ j ≤ −1 , u + tm+1+j − tm+1 ⎪ ⎨ 1 sj = tj (4.28) ha 1 ≤ j ≤ m + 1 , ⎪ ⎪ ⎩ un−p+2 + tj−m−1 − t1 ha m + 2 ≤ j ≤ m + d , ahol un−p+2 = tm+1 = 1. Az el˝oz˝oekben fel´ırt képletek k¨ onnyebb értelmezéséhez tekints¨ uk a következ˝o egyszer˝ u péld´ at. Adott m = 8 interpol´ aciós pont, célunk, hogy létrehozzunk egy harmadfok´ u aciós ponton (p = 4) zárt interpol´ aciós B-spline g¨ orbét, mely mindegyik d1 , . . . , d8 interpol´ athalad. Ismert tov´ ´ abb´ a az, hogy a megadott pontok t´ avols´ aga alapj´ an meghat´ arozott abl´ azat). Feladatunk most paraméterhalmaz t1 , . . . , t8 milyen értékeket tartalmaz (4.1. t´ az, hogy meghatározzuk a ciklikus csomóérték vektort. 4.1. t´ abl´ azat: Paraméterértékek m = 8 interpol´ aciós ponthoz

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

t9

0

1 8

2 8

3 8

4 8

5 8

6 8

7 8

1

Az ismert ¨ osszef¨ uggések szerint a kontrollpontok száma n = m + p − 1 = 11, ezért a csomóértékek száma l = n + p = 15. Az u1 = 0, illetve az un−p+2 = u9 = 1, a hi´ anyz´ o csomóértékek pedig meghatározhat´ oak (4.10) és (4.27) alapj´ an. A csomóértékeket a 4.2. t´ abl´ azat tartalmazza.


45

(1) u−3

(2) u−2

4.2. t´ abl´ azat: Ciklikus csomóérték vektor (p = 4, m = 8) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) u−1 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10

− 38

− 28

− 18

4.4.5.

0

1 8

2 8

3 8

4 8

5 8

6 8

7 8

9 8

1

(14) u11

(15) u12

10 8

11 8

Interpol´ al´ o NURBS el˝ o´ all´ıt´ asa

Feladatunk a k¨ ovetkez˝o: adott a d1 , d2 , . . . , dm interpol´ aciós pontsokaság és keress¨ uk orbét, mely kielég´ıti a következ˝o egyenleteket azt a cr (ti ) NURBS térg¨ (n p k=1 Nk (ti ) wk pk di = cr (ti ) = ( 1 ≤ i ≤ m, (4.29) p n j=1 Nj (ti ) wj ahol pi -k a (4.15) egyenlet által defini´ alt térgörbe kontrollpontjai. Az n darab B-spline alapf¨ uggvény meghat´ arozhat´ o a már ismert ti paraméterértékek és az u csomóértékek vektora alapj´ a( n, tov´ abb´ a figyelembe véve, hogy a (4.29) a´ltal fel´ırt egyenletek mindegyikében utthat´ o mátrix áll el˝ o szerepel a nj=1 Njp (ti ) wj tag, ´ıgy a következ˝o egy¨ ⎡

w1 N1p (t1 ) w2 N2p (t1 ) . . . ⎢ w1 N p (t2 ) w2 N p (t2 ) . . . 1 1 2 ⎢ N p (t) = (n ⎢ .. .. p ⎣ N (t ) w i j . . j=1 j w1 N1p (tm ) w2 N2p (tm ) . . .

⎤ wn Nnp (t1 ) wn Nnp (t2 ) ⎥ ⎥ ⎥. .. ⎦ .

(4.30)

wn Nnp (tm )

Láthat´ o, hogy ez egy m × n-es egy¨ utthat´ o mátrix. Tov´ abb´ a, mind a di (1 ≤ i ≤ m) interulönböz˝o ir´ any´ u koordin´ at´ aik polációs pontok, mind a pk (1 ≤ k ≤ n) kontrollpontok – a k¨ alapj´ an – egy-egy mátrixba rendezhet˝ ok, azaz ⎡ d1x d2x . . . ⎣ d = d1y d2y . . . d1z d2z . . .

⎤T dmx dmy ⎦ , dmz

⎡ p1x p2x . . . ⎣ p = p1y p2y . . . p1z p2z . . .

⎤T pnx pny ⎦ . pnz

(4.31)

A megoldand´ o line´ aris algebrai egyenletrendszer teh´ at, ha nem z´ art interpol´ al´ o térgörbét k´ıv´ anunk létrehozni: (4.32) Np · p = d , amelynek akkor létezik megoldása, ha m ≤ n fenn´ all [51]. E fenti egyenletrendszer teh´ at azt jelenti, hogy mind az x, mind az y, mind a z koordin´ at´ ak tekintetében ugyanazzal az egy¨ utthat´ o mátrixszal kell a feladatot megoldani ahhoz, hogy az ismeretlen pk kontrollpontokat meghat´ arozzuk. Amikor z´ art interpol´ al´ o NURBS térgörbét k´ıv´ anunk meghat´ arozni, akkor a (4.29) kiindul´ asi feladat módosul. Az el˝oz˝o szakaszban fel´ırt ciklikus csomóérték vektort haszn´ aljuk fel, tov´ abb´ a tudjuk, hogy az el˝ o´ alló kontrollpontok a p rendszámtól f¨ ugg˝ o mérték˝ u átfedést ´gy is fel´ırhat´ o, hogy mutatnak, azaz p1 = pm+1 , . . . , pp = pm+p−1 . Ez u pi

# pi = pi

mod (m+1)+1

ha 1 ≤ i ≤ m , ha m < i ≤ m + p − 1 ,

mely alapján a (4.29) a´t´ırhat´ o a következ˝o egyszer˝ ubb alakba (n p k=1 Nk (ti ) wk pk ( di = cr (ti ) = 1 ≤ i ≤ m. p n j=1 Nj (ti ) wj

(4.33)

(4.34)

46


Ebben az esetben az el˝o´ all´ıtott egy¨ utthat´ o mátrix már egy m × m-es négyzetes mátrix. Tehát m interpol´ aciós pont által n kontrollpont egyértelm˝ uen meghatározható, mivel az m+1., m+2., . . . kontrollpontok megegyeznek az 1., 2., . . . kontrollpontokkal. Tekintettel utthat´ o mátrix el˝ oáll´ıt´ asakor az 1., 2., . . . , p − 1. kell azonban lenni arra, hogy az N p egy¨ p p p (u)-b´ ol származó oszlopokhoz még hozzá kell adni az Nm+1 (u) , Nm+2 (u) , . . . , Nm+p−1 tagokat, azaz a mátrixba rendezés a k¨ ovetkez˝o módon történhet meg: ⎤ ⎡ p p (t1 ) . . . wm Nm (t1 ) w1 N1p (t1 ) + wm+1 Nm+1 p ⎢ w1 N p (t2 ) + wm+1 N p (t2 ) . . . wm Nm (t2 ) ⎥ 1 1 m+1 ⎥ ⎢ p ( N (t) = n ⎥ . (4.35) ⎢ .. .. p ⎦ ⎣ N (t ) w i j . . j=1 j p p p w1 N1 (tm ) + wm+1 Nm+1 (tm ) . . . wm Nm (tm )

4.5.

Sz´ amp´ elda

A zárt interpol´ al´ o térg¨ orbe létrehozására ´ırt program m˝ uködését egy egyszer˝ u s´ıkbeli számpéld´ aval k´ıv´ anjuk bemutatni. Az ilyen jelleg˝ u térgörbe le´ır´ asi és létrehozási technikát az általunk kifejlesztett végeselemes programban használjuk majd fel, térbeli érintkezési feladatok érintkezési-elvál´ asi hat´ ar´ anak egy sima görbével való pontos le´ır´ asára. ol áll´ o Tekints¨ unk egy olyan feladatot, melyben adott a di , (i = 1, 2, . . . , 8) pontokb´ interpol´ aciós pontsokas´ ag, l´ asd a 4.3. t´ abl´ azatot.

4.3. t´ abl´ azat: Interpol´ aciós pontok koordin´ at´ ai

di

x √ − 2

y √ − 2

5.0

0.0

5.0

2 + 0.2

5.0

3.0

5.0

2 + 0.2

5.0

0.0 √ − 2

5.0

d7

2.0 √ 2

d8

0.0

−2.0

5.0

d1 d2 d3 d4 d5 d6

−2.0 √ − 2 − 0.2 √

0.0 2 + 0.2

√ √

z

5.0

Célunk, els˝ o lépésként az, hogy meghatározzuk az ezen pontokhoz tartozó zárt interpol´ al´ o NURBS térg¨ orbe pi (i = 1, 2, . . . , 11) kontrollpontjait. A B-spline alapf¨ uggvények rendjét p = 4-re választottuk, azaz 3-ad fok´ u f¨ uggvényekkel áll´ıtjuk el˝ o a k´ıv´ ant térgörbét. Így az els˝o és utolsó h´ arom kontrollpont egybeesik. Az egyszer˝ uség kedvéért itt wi = 1 s´ ulyértékeket alkalmazunk, ´ıgy val´ oj´ aban egy B-spline görbe meghat´ arozása a feladat. A megold´ askor h´ urhossz alap´ u paraméterezést használunk fel. Az elkész´ıtett program seg´ıtségével a 4.4. t´ abl´ azatban ¨ osszefoglalt értékeket kaptuk.

Szemléltetésként megrajzoljuk az el˝oáll´ıtott kontrollpontok a´ltal generált görbét. Ehhez a térg¨ orbén tal´ alhat´ o pontokat kell gener´ alni a kirajzol´ as pontossága által megk´ıv´ ant számban. Itt 303 pontnak a´ll´ıtjuk el˝ o a koordin´ at´ ait, és ezen pontok felhasznál´ asával, line´ aris interpol´ ació seg´ıtségével jelen´ıtj¨ uk meg a térgörbét.

Sz´ ampélda

47

4.4. t´ abl´ azat: Numerikusan el˝ o´ all´ıtott kontrollpontok

pi

x

y

z

0.0

−2.21321307831708

5.0

p2 = p10

−1.58342432392788

−1.57357384336584

5.0

p3 = p11

−2.16753687904293

0.067034006487873

5.0

p4

−1.72789358108819

1.75406491835431

5.0

p5

0.0

3.69991654328768

5.0

p6

1.72789358108819

1.75406491835431

5.0

p7

2.16753687904293

0.067034006487873

5.0

p8

1.58342432392788

−1.57357384336584

5.0

p1 = p9

×

3.80

p5

⊕

d4 2.58

p4

y koordináta [mm]

×

⊕

d5 ⊕

d3

×

p6

1.36

0.14 ×

d6

.

p3⊕ d2

−1.08 ×

⊕

×

p7

d7

d1

p2

⊕

⊕

d8 ⊕ ×

×

interpolációs pontok

×

kontrollpontok

p8

p1

−2.30 −2.2

⊕

B-spline −1.1

0.0

1.1

2.2

x koordináta [mm]

4.11. ´ abra: Numerikusan el˝ o´ all´ıtott z´ art interpol´ al´ o térg¨ orbe

A 4.11. ábr´ an felt¨ untett¨ uk a megadott interpol´ aciós pontok mellett az általuk gener´ alt kontrollpontok elhelyezkedését is, tov´ abb´ a megrajzoltuk a létrehozott 3-ad fok´ u zárt ulyértékkel. A kapott g¨ orbe, mint l´ athat´ o a 4.11. interpol´ aciós NURBS térg¨ orbét, wi = 1 s´ aciós abr´ ´ ab´ ol, szép, sima és folytonos, val´ oban kereszt¨ ulmegy a di (i = 1, 2, . . . , 8) interpol´ pontokon.

5. fejezet ´ la ´ s az e ´rintkeze ´si nyoma ´s veze ´rle ´se ´vel Alakoptimaliza

A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o gépelemek fesz¨ ultségállapot´ at jelent˝osen befoly´ asolja az érintkez˝o elemek geometriai kialak´ıt´ asa, form´ aja. Nemcsak a legáltal´ anosabban haszn´ alt gépalkatrészek – u ´gymint illesztett szár´ u csavarok, g¨ org˝ os-, vagy goly´ oscsapágyak elemei –, hanem akár a legbonyolultabb szersz´ amgépek esetében is rendk´ıv¨ uli jelent˝ osége van az egymással érintkezésbe ker¨ ul˝ o gépelemek, alkatrészek optimális tervezésének. A szingularitások elker¨ ulése, illetve a m˝ uk¨ odés k¨ ozben felmer¨ ul˝ o, terhelés következtében létrejöv˝ o fesz¨ ultségállapotot hossz´ u t´ avon elvisel˝ o szerkezetek létrehozása az els˝odleges cél, melyhez sok esetben specialis megfontol´ ´ asok sz¨ ukségesek. an gyakran tekintj¨ uk tervezési paraméternek például az Optimaliz´ al´ asi feladatok sor´ anyagjellemz˝ oket, az alakot és méretet jellemz˝o mér˝oszámokat, terheléseket, a gépelemek k¨ oz¨ otti kapcsolatok jellegét, illetve a kapcsolód´ o gépelemek topológi´ aj´ at, amivel részlete´ sen foglalkozott Mroz a [39] dolgozatban. A mérnöki gyakorlatban a gépelemek közötti kapcsolatokat sok esetben egyoldal´ u érintkezési feladatként modellezik, err˝ ol olvashatunk számtalan munk´ at, ha a kontakt feladatok irodalm´ at vizsgáljuk [35, 24]. Haslinger és Neittaanmaki [22] k¨ onyve szélesk¨ or˝ uen ismerteti az érintkezési feladatok kapcsán felall´ıthat´ ´ o optimaliz´ aciós problémák matematikai h´ atterét. Találkozhatunk kor´ abbi munk´ akkal, melyekben célf¨ uggvényként a maxim´ alis érintkezési nyomást vizsgálták, u ´gymint ćzelt és Herpai munk´ aja [43]. Az érintkezési nyoConry és Seireg cikke [12], vagy Pa más azonban egy nem folytonosan differenci´ alhat´ o f¨ uggvény, mely az optimalizál´ as során problémákat vet fel. A [34], [36] és a [52] cikkek a teljes potenciális energiát veszik fel költségf¨ uggvénynek, m´ıg a hézagf¨ uggvény integr´ al értelemben vett mellékfeltételként szerepel az optimaliz´ aciós feladatban. Rugalmas vagy merev testként modellezett henger és egy line´ arisan rugalmas test érintkezési feladat´ at vizsg´ alta optimalizál´ asi szempontból számtalan szerz˝o, u ´gymint Kikuchi ´ ´ [45, 47]. Az és Taylor [34], Klarbring és Haslinger [36], vagy Paczelt és Szabo érintkezési nyomás megoszlásának vezérlésével valós´ıtottak meg alakoptimaliz´ al´ ast, h- és aban p-verzi´ os végeselem-módszer használat´ aval a szerz˝ok [46]-ban. Egy o¨sszefoglaló munk´ ´ czelt mutat k¨ Pa ul¨ onb¨ oz˝o gyakorlati problémákra megoldást, az érintkezési nyomás megoszlásának vezérlésével, amikor az érintkez˝o testek egyike merevtestszer˝ u elmozdul´ assal és elfordul´ assal is rendelkezik [41]. Jelen fejezetben az érintkezési nyomás megoszlásának vezérlésével valós´ıtunk meg optimalizál´ ast, k¨ ul¨ onb¨ oz˝o szempontok alapj´ an. Bemutatunk egy a´ltalunk tov´ abbfejlesztett vezérl˝ o f¨ uggvényt [42], melyet alkalmassá tett¨ unk térbeli feladatok alakoptimaliz´ al´ asára is. A k¨ ovetkez˝o optimaliz´ aciós feladatokat t˝ uzt¨ uk ki: 1. Az érintkezési nyomás maximumának minimaliz´ al´ asa. 2. Merevtestszer˝ u elmozdul´ as maximalizál´ asa. 3. Reduk´ alt nyomaték vagy er˝ o maximaliz´ al´ asa.

Nyom´ asmegoszl´ ast vezérl˝ o f¨ uggvény

49

4. S´ url´ od´ asi (kop´ asi) teljes´ıtményb˝ ol származ´ o veszteség minimaliz´ al´ asa. 5. G¨ ord¨ ul˝ o test alakoptimaliz´ al´ asa az érintkezési nyomás megoszlásának vezérlésével. A 2 –5. feladatokat u ´gy is megoldjuk, hogy az érintkezésben résztvev˝o testekre megengedett Huber-Mises-Henky, vagy röviden a tov´ abbiakban von Mises-féle reduk´ alt fesz¨ ultséget is figyelembe véve hajtunk végre alakoptimaliz´ al´ ast. Az els˝o négy optimalizál´ asi feladat esetében p-verziós végeselem-módszert alkalmazunk az érintkezési tartom´ any diszkretiz´ al´ asához, m´ıg a görd¨ ul˝ oelem optimalizál´ asakor a 3.3 részben fel´ırt hat´ asmátrix seg´ıtségével oldjuk meg az érintkezési feladatot, melynek során aljuk. a t¨ ukr¨ ozési technikát is felhaszn´

5.1.

Nyom´ asmegoszl´ ast vez´ erl˝ o fu eny ¨ ggv´

Az 5.1 ábr´ an jelzett Sc -vel jelölt feltételezett érintkezési tartomány, – a kor´ abbi 2. fejeo felbont´ asa zetben már bemutatott érintkezési-elvál´ asi altartom´ anyokra Sc = Ωp ∪ Ω0 val´ mellett – itt egy másik lényeges szempont szerint is két részre van bontva. Nevezetesen aszerint, hogy az adott részen t¨ orténik-e nyom´ asvezérlés vagy sem. Ennek értelmében Ωc jel¨ oli azon résztartományt – itt az s koordin´ atavonal egy szakaszát –, ahol nyom´ asvezérlés any másik részét képezi az Ωnc , ahol nem történik nyot¨ orténik. Tov´ abb´ a az Sc tartom´ másvezérlés ezen az altartományon csak a vezérelt részr˝ol származó hat´ asok érzékelhet˝oek. Így teh´ at a feltételezett érintkezési tartom´ any egyrészt felbonthat´ o Ωp érintkezési és Ω0 eluk v´ al´ asi, vagy rés altartományokra, azaz Sc = Ωp ∪ Ω0 ; de más szempont szerint tekinthetj¨ ast is, amelyb˝ol Sc = Ωc ∪ Ωnc . a vezérelt Ωc és a nem vezérelt Ωnc résztartományra bont´ Feltételezz¨ uk, hogy az érintkez˝o testek az Ωc résztartományon érintkezésben vannak. anynak azon részét, ahol a d hézagf¨ uggvény A teljes Sc feltételezett érintkezési tartom´ olj¨ uk, teh´ at Sc = Ω0 ∪ Ωp . Itt az s és t fel¨ uleti koordin´ at´ akat vezett¨ uk pozit´ıv, Ω0 -val jel¨ be, és feltételezz¨ uk, hogy az s koordin´ ata mentén az alakoptimaliz´ al´ as eredményeként a k¨ ovetkez˝o nyom´ asmegoszlást kapjuk: pn (s) = V (s) pmax = V (s, t = 0) pmax = V (x) pmax

x ∈ Ωc ,

(5.1)

ahol a kiv´ alasztott V (s) nyom´ asmegoszlást vezérl˝o f¨ uggvény – a tov´ abbiakban vezérl˝ o f¨ uggvény – kielég´ıti azt a feltételt, hogy 0 ≤ V (s) ≤ 1 ,

pmax = max pn (s) ,

x = [s, t = 0] ∈ Ωc .

V (s, t)

Sc

t s Ωc f2 L1

f3 L3

L4

L

L2 Ωnc

5.1. ´ abra: A V (x) nyom´ asmegoszlást vezérl˝o f¨ uggvény

(5.2)

50

´ la ´s 5. Alakoptimaliza

A vezérl˝o f¨ uggvényt a k¨ ovetkez˝o módon értelmezz¨ uk V (x) = V (s) · V (t) ,

(5.3)

ahol V (t) = 1 (∀ t) a´lland´ o f¨ uggvény, mely azt jelenti, hogy 0 ≤ V (x) ≤ 1

x = [s, t] ∈ Ωc .

(5.4)

anyon az érintkezési nyomást nem vezérelj¨ uk, ezen a tartományon nem Az Ωnc tartom´ teljes¨ ul az (5.1) egyenlet, azaz χ (x) = V (x) pmax − pn (x) ≥ 0

x ∈ Ωnc ,

(5.5)

melyben Ωnc két részb˝ol áll, egyik részén érintkezés lép fel, m´ıg a másik részén hézag van, azaz Ωc ∪ Ωnc = Ωp ∪ Ω0 . A legt¨ obb esetben, u ´gymint s´ıkbeli vagy hengerszimmetrikus érintkezési feladatokn´ al, elegend˝o, ha csak az s-koordin´ ata f¨ uggvényében változik a vezérl˝o f¨ uggvény, m´ıg a tkoordin´ ata szerint álland´ o értéket mutat, ahogy azt az 5.1. ábra szemlélteti. Feltételezz¨ uk, 1 anyon a következ˝o C osztály´ u V (s) hogy az érintkezési nyomás változása az Ωc tartom´ f¨ uggvény által ´ırhat´ o le: ⎧ ⎪ 0 ha 0 ≤ s ≤ L1 , ⎪

⎪

⎪ 2 3 ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ V ∗ (s) 3 Ls−L ha L1 ≤ s ≤ L2 , − 2 Ls−L ⎪ 2 −L1 2 −L1 ⎪ ⎨ (5.6) V (s) = V ∗ (s) ha L2 ≤ s ≤ L3 , ⎪

2 3 ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ V ∗ (s) 1 − 3 Ls−L ha L3 ≤ s ≤ L4 , + 2 Ls−L ⎪ 4 −L3 4 −L3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 ha L4 ≤ s ≤ L , ahol V ∗ (s) a k¨ ovetkez˝o általunk felvett C 1 osztály´ u f¨ uggvény V ∗ (s) = f2 + (f3 − f2 )

s − L2 L3 − L2

f2 ≥ 0 ,

f3 ≥ 0 ,

(5.7)

tov´ abb´ a f2 , f3 , Li (i = 1, 2, 3, 4) mind a vezérl˝o f¨ uggvény paraméterei. Ezen paraméterek k¨ oz¨ ul néh´ anyat el˝ ore r¨ ogz´ıt¨ unk, m´ıg a többit csak az optimalizál´ asi folyamat végén hat´ arozzuk meg, hogy pontosan melyeket, az att´ ol f¨ ugg, hogy mi az optimaliz´ al´ asi feladat célf¨ uggvénye. Ha tekintj¨ uk péld´ aul a k¨ ovetkez˝o esetet f2 = f3 ,

L1 = L2 = 0 ,

L3 = L4 = L ,

(5.8)

ekkor álland´ o nyom´ asmegoszlást kapunk az egész Ωc tényleges érintkezési tartományon. Részletes tanulmányt mutat be a [42] cikk mind a kétdimenziós, mind a háromdimenziós érintkezési-optimalizációs feladatok vonatkoz´ asában. Néh´ any esetben sz¨ ukséges lehet, hogy az érintkezési nyomásmegoszlást, a feltételezett anyon, vari´ aciós elvekb˝ ol szám´ıtsuk. Ekkor az érintkezési nyomás a Sc érintkezési tartom´ k¨ ovetkez˝o módon áll´ıthat´ o el˝o pn (x) = Vi (x) Vi , (5.9) i

uggvények, m´ıg Vi -k az egyens´ ulyi egyenletekb˝ol szám´ıthat´ ok [42]. ahol Vi (x)-k ismert f¨

Iterat´ıv megold´ asi m´ odszer

5.2.

51

Iterat´ıv megold´ asi m´ odszer

Az egyszer˝ uség kedvéért, el˝oször a terhelés hatására létrejöv˝ o fesz¨ ultségekb˝ol szám´ıtott reduk´ alt fesz¨ ultségre nem vagyunk tekintettel és a megoldást egy ismert iterációs módszer´ czelt publik´ rel keress¨ uk, melyet érintkezési feladatok kapcsán Pa alt a [41] cikkben. Ez részletesen le´ırja az iter´ aciós elj´ ar´ as felép´ıtését, itt most csak a számunkra fontos egymást k¨ ovet˝ o lépéseket emelj¨ uk ki, és a továbbiakban 1. t´ıpus´ u –iter´ aciónak nevezz¨ uk ezen eljár´ ast. Az iter´ aciós szám´ıt´ as kiterjesztésével foglalkoztunk a [42] cikkben, pontosabban azzal, hogy hogyan lehet a terhelések hatására létrejöv˝ o fesz¨ ultségekb˝ ol származtatott reduk´ alt al´ as során. Ezen ut´ obbi munka részletesen fesz¨ ultséget is figyelembe venni az alakoptimaliz´ kitér a 2. t´ıpus´ u –iter´ acióra, melyet itt szintén felhasználunk a megold´ ashoz. Az iterat´ıv megold´ as a k¨ ovetkez˝o séma szerint ép´ıthet˝o fel: 1. t´ıpus´ u–iter´ ació: (0)

(0)

1. Az eredeti érintkezési feladat megold´ asa, illetve a pn = pn (s) érintkezési nyomás (0) meghatározása; maximális érintkezési nyomás meghatározása pmax ; k = 0. 2. k = k + 1, azaz n¨ ovelj¨ uk a k ciklusv´ altoz´ o értéket. 3. Célunk az, hogy az érintkezési nyomásmegoszlás az (5.1), vagy az (5.9) szerint v´ al(k) ∗ tozzon, azaz pn (s) = V (s) p . Ha a feladatot adott elmozdul´ ashoz tartozóan kell megoldani, akkor p∗ paraméter értéke az el˝oz˝o (k − 1). ciklusban megoldott érint(k−1) kezési feladatból származik, p∗ = max pn (s). Ha a terhelést nem egy el˝o´ırt elmozdul´ as generálja, akkor nincs sz¨ ukség az érintkezési feladat megold´ asára, mivel ulyb´ ol származtatható: a p∗ paraméter értéke minden lépésben a terhelési egyens´

F0 = 2πp

∗

L V (s) (rb + s) ds , 0

melyben F0 a testeket ¨ osszeszor´ıt´ o ered˝o er˝o. (k)

(k)

4. Az egymástól elv´ alasztott testek itt a pn (s) és −pn (s) érintkezési nyomással nor(k) (k) mális ir´ anyban, illetve s´ url´ od´ asos érintkezés feltételezésekor a µpn (s) és −µpn (s) ulet mentén. Az cs´ usztató fesz¨ ultséggel érint˝ o ir´ anyban terheltek az Sc érintkezési fel¨ 1(k) 2(k) un és un elmozdulások ekkor meghatározhat´ ok. 5. Kisz´ am´ıtjuk a norm´ al ir´ any´ u elmozdul´ asbeli szakadások értékét: − u2(k) . m(k) (s) = u1(k) n n 6. Ezek k¨ oz¨ ul kiv´ alasztjuk a minim´ alis érték˝ ut: min m(k) (s) = m(k) (s∗ ) . 7. Ezek ut´ an az u ´j hézagf¨ uggvény a következ˝o módon áll´ıthat´ o el˝o: h(k) (s) = m(k) (s) − m(k) (s∗ ) . 8. A kinematikai peremfeltétel biztos´ıt´ asa érdekében megoldjuk az érintkezési feladatot az u ´j hézagf¨ uggvénnyel és megkapjuk az érintkezési nyomásmegoszlást: (k) p(k) n = pn (s) .

52


9. A 2-8 lépéseket addig ismételj¨ uk, m´ıg a következ˝o kilépési feltétel nem teljes¨ ul htol

! rk !! (k) (k−1) ! h − h ! ! = 2π ! ! r dr ≤ θ = 10−4 . ! ! h(k) rb

2. t´ıpus´ u–iter´ ació: A [42] cikkben bevezetett p´ otl´ olagos feltétel arra szolgál, hogy a kialakul´ o fesz¨ ultségállapotot az adott anyag még el tudja viselni, teh´ at ne hozzunk létre olyan optimaliz´ alt gépelemet, amelyben a maximális reduk´ alt fesz¨ ultség az anyagra megengedettnél magasabb: (5.10) max σeq ≤ σU . Ha az (5.10) által defini´ alt mellékfeltételt is tartalmazza az optimalizációs feladat, akkor az 1. t´ıpus´ u –iter´ ación bel¨ ul egy másik iter´ aciós ciklust is el kell helyezni. Ez annyit jelent, hogy b´ armely Gauss integr´ aciós pontban teljes´ıteni kell az (5.10) feltételt. Az optimaliz´ al´ as során el˝ osz¨ or mindig az 1. t´ıpus´ u –iter´ acióval hat´ arozunk meg egy optim´ alis alakot, mely azonban még nem veszi figyelembe, hogy ez mekkora fesz¨ ultséget okoz az anyagban. A k¨ ovetkez˝o lépésben az 1. t´ıpus´ u –iter´ ació által optim´ alis eredményt létrehozó paramétereket tovább kell v´ altoztatni annak érdekében, hogy az (5.10) mellékfeltételt is ki tudjuk elég´ıteni. Ez azt jelenti, hogy a nyom´ asmegoszlást befoly´ asoló vezérlési paramétert vagy tov´ abb kell n¨ ovelni, vagy éppen csökkenteni kell, a feladatt´ıpust´ ol f¨ ugg˝ oen. u– Jel¨ olje f az általunk keresett tetsz˝oleges paramétert, melynek végs˝o értékét a 2. t´ıpus´ iter´ ació fogja megkeresni u ´gy, hogy a létrejöv˝ o optim´ alis alak már teljes´ıti az (5.10) egyenl˝ otlenségi mellékfeltételt. A terhelési folyamat jellemz˝ o ciklusv´ altozója istep , mely az egymást k¨ ovet˝ o–u ´gynevezett glogáblis – iter´ aciós lépések során növekszik: istep = 1, 2, 3, . . . . Ez´ altal f paraméter értékét a k¨ ovetkez˝o képlet szerint áll´ıtjuk be az iter´ ació során: f = f0 + ∆f (istep − 1) ,

(5.11)

ahol f0 és ∆f értéke el˝ore r¨ ogz´ıtett feladatf¨ ugg˝ o álland´ o. Az optimaliz´ al´ asi feladat iter´ aciós megold´ asa a k¨ ovetkez˝o lépésekkel jellemezhet˝o: al´ asa az adott optimaliz´ al´ asnak megfelel˝oen. 1. istep = 0, f0 és ∆f inicializ´ 2. (5.11) értelmében v´ altoztatjuk f értékét, melyhez u ´ jabb és u ´ jabb fels˝ o test alakot hat´ arozunk meg. Az optimaliz´ al´ as során rögz´ıtett f érték mellett 1. t´ıpus´ u –iter´ aciót hajtunk végre. 3. A kapott alak´ u testekre – lineárisan rugalmas rendszert tekintve – a von-Misesalt fesz¨ ultséget a használt véges elemek minden Gauss-integr´ aciós féle σeq reduk´ pontj´ aban kiértékelj¨ uk, azaz σeq = σeq (ξ, η)

ahol ξ = −1, ξ1 , . . . , ξN G , 1 és η = −1, η1 , . . . , ηN G , 1 ,

ahol ξ, η fel¨ uleti helyi koordin´ at´ ak, m´ıg N G az integr´ aciós pontok száma ξ, illetve η ir´ anyban. 4. Jel¨ olje i∗∗ alis iter´ aciós lépést, amikor step azt a glob´ ∗∗ max σeq > σU

Optimaliz´ aci´ os érintkezési feladatok fel´ all´ıt´ asa

53

el˝osz¨ or teljes¨ ul. Ehhez a lépéshez tartozik az f ∗∗ paraméterérték. Tehát az el˝oz˝o ∗ eg a ciklusban (istep = i∗∗ step − 1 = istep ) m´ ∗ max σeq ≤ σU

feltélel igaz volt, melyhez az f ∗ érték tartozott. 5. Az fopt optim´ alis alakhoz tartoz´ o paramétert az f ∗ < fopt < f ∗∗ intervallumb´ ol a k¨ ovetkez˝o line´ aris approxim´ acióval hat´ arozzuk meg (j)

(j)

σU − σ ∗ eq (j) fopt = f ∗ + f ∗∗(j) − f ∗ ∗∗(j) ∗ σeq − σeq ∗∗(1)

ahol f ∗∗(1) = f ∗∗ , σeq

j = 1, 2, . . . ,

∗∗ . = σeq

6. Az 5. el˝oz˝o pontban fel´ırt, u ´gynevezett 2. t´ıpus´ u –iter´ aciót addig folytatjuk, am´ıg a ! ! ! ∗∗(j) ! !σU − σeq ! ≤ 0.015 σU kilépési feltétel nem teljes¨ ul.

5.3.

Optimaliz´ aci´ os ´ erintkez´ esi feladatok fel´ all´ıt´ asa

Ebben a részben az általunk optimaliz´ alt érintkezési feladatok körét tekintj¨ uk át. K¨ ul¨ on megvizsgálva a henger alak´ u bélyeg érintkezését egy rugalmas vagy merev testtel, illetve az els˝osorban csap´ agyakn´ al el˝ofordul´ o mechanikai érintkezési feladat modellezésére alkalmas hengerszer˝ u g¨ ord¨ ul˝ o elem és rugalmas féltér kapcsolat´ at. Mindkét esetben ismert egy h = h (x) ≥ 0 hézagf¨ uggvény, mely az érintkez˝o testek kiindul´ asi alakj´ at hat´ arozza meg. A h = 0 feltétel azt jelenti, hogy vannak olyan kiindul´ asi pontok, amelyek már kezdetben érintkeznek. M´ıg h pozit´ıv volta azt mutatja, hogy a nem érintkez˝o pontok köz¨ ott any´ u t´ avols´ ag van. mekkora nc ir´ Rugalmasságtani feladatokr´ ol lévén szó, a kinematikai és/vagy dinamikai peremfelté´ telek el˝o´ır´ asa alapvet˝oen megk¨ ulönbözteti a megoldani k´ıv´ ant feladatokat. Altal´ aban az mondhat´ o el, hogy h´ arom t´ıpus´ u el˝ o´ır´ ast szokás megadni: • el˝o´ır´ as lehetséges az elmozdulásmez˝o vonatkoz´ asában (tiszt´ an kinematikai), • fel¨ uleti megoszló terhelést adhatunk meg a kiválasztott fel¨ uleteken (csak dinamikai), • valamint ezen kett˝o t´ıpus kombin´ al´ asával is rögz´ıthet¨ unk peremfeltételeket (vegyes peremfeltétel).

5.3.1.

Tengelyszimmetrikus feladatok vizsg´ alata

Tekints¨ uk két lineárisan rugalmas anyag´ u hengernek az 5.2. ábr´ an v´ azolt elrendezését. A vizsgált 1-es jel˝ u fels˝ o és 2-es jel˝ u als´ o henger anyaga megegyezik, a numerikus számagi modulus és ν = ν 1 = ν 2 = 0.3 péld´ akn´ al ezt az E = E 1 = E 2 = 2 · 105 M P a rugalmass´ Poisson-tényez˝o beáll´ıt´ asával biztos´ıtottuk. Az anyagokra megengedett maximális reduk´ alt fesz¨ ultség nagysága σU = σU1 = σU2 = 250 M P a. A v´ azolt helyzetben jelzett geometriai jellemz˝ok a következ˝ok. Az érintkez˝o hengereko henger k¨ uls˝ o sugara rk1 = 120 mm, ben lév˝o furat sugara rb = rb1 = rb2 = 20 mm, a fels˝ 2 ant b1 = b2 = 50 mm. m´ıg az alsó hengeré rk = 140 mm. A hengerek magassága egyar´

54


rk1

z ω

p w0 b1

rb

1

b2

2

r u=v=w=0 τrz = 0

rk2

´ 5.2. ´ abra: Erintkez˝ o hengerek geometriai és terhelési jellemz˝oi

A 2-es jel˝ u als´ o test z = 0 s´ıkj´ aban azzal a feltevéssel él¨ unk, hogy ott a test u ´gy van rögz´ıtve, hogy z és r-re mer˝oleges irány´ u elmozdul´ asa zérus érték˝ u, azaz u = v = w = 0, usztató fesz¨ ultség is zérus érték˝ u ezen a fel¨ uleten. tov´ abb´ a nem köthetj¨ uk ki, hogy a τrz cs´ A terhelésekre majd az egyes optimalizációs feladatok kapcs´ an fogunk kitérni, de ahogy azt az 5.2. ábra jelzi, terhelési el˝o´ır´ ast az 1-es jel˝ u test fels˝o lapj´ an fogunk megadni, ahol ω jelenti a szögsebességet, p a f¨ ugg˝ oleges irány´ u megoszló terhelést, illetve w0 a fels˝o lap −z ir´ any´ u elmozdul´ asát. A következ˝o optimaliz´ aciós feladatokat vizsg´ aljuk: – Kinematikai terhelés esetén:

P1: Az 1 -es jel˝ u fels˝o test – továbbiakban bélyeg – fels˝o peremén w0 = 0.1 mm f¨ ugg˝ oleges elmozdulást ´ırunk el˝ o. Az érintkezési nyomás vezérlésekor az Li (i = 1, 2, 3, 4) paraméterértékek el˝ore rögz´ıtettek, oly m´ odon, hogy az optimalizált érintkezési nyomásmegoszlás az el˝o´ırt sima vezérl˝o f¨ uggvény szerint változzon. Ehhez a bélyeg alakj´ at a k´ıv´ ant mértékben m´ odos´ıtjuk u ´gy, hogy a bélyeg eredeti magassága ne válat´ at, és a ∆h hézagf¨ uggvényt akkor a tozzon. Ha bevezetj¨ uk az s = r − rb koordin´ következ˝o optimaliz´ aciós feladatot kapjuk [41] ! ) # ! p ≥ 0, d = d (p , ∆h) = 0 x ∈ S 1 , w = −w x ∈ S 1 , n 0 ! n c u . (5.12) min pmax ! ! χ = V (s) pmax − pn (s) = 0, min ∆h = 0 x ∈ Ωc A feladat megold´ asát az 1. t´ıpus´ u –iter´ aciós algoritmussal keress¨ uk meg.

P2: A P1 optimaliz´ acióhoz képest egy további mellékfeltételként tekintj¨ uk azt, hogy alt fesz¨ ultséget nem haladhatja meg az anyagban az anyagra megengedett σU reduk´ alt fesz¨ ultség, azaz ébred˝o σeq legmagasabb reduk´ σeq ≤ σU

x∈V1∪V2 =V .

(5.13)


55

Így a kezdetben el˝o´ırt w0 elmozdulást kell maximalizálni u ´gy, hogy a reduk´ alt fesz¨ ultségre vonatkozó feltételt is teljes´ıts¨ uk. Az optimaliz´ ació matematikai formában a k¨ ovetkez˝o módon ´ırhat´ o fel * ⎫ ⎧ ! ! ⎪ ⎬ ⎨ ! min pmax | pn ≥ 0, d = d (pn , ∆h) = 0, min ∆h = 0 ⎪ ! χ = V (s) p − p (s) = 0 x ∈ Ω , , (5.14) max w0 ! max n c ⎪ ⎪ + ⎭ ⎩ !! 1 w = −w0 x ∈ S ; σeq ≤ σU x ∈ V u

ahol a bels˝ o optimalizációt a P1 esetben használt algoritmussal oldjuk meg, m´ıg w0 esetében 2. t´ıpus´ u –iterációs elj´ ar´ asra is sz¨ ukség van. P3: Ebben az esetben a P1 feladatn´ al alkalmazott elj´ ar´ ast követj¨ uk, azaz el˝o´ırjuk a w0 elmozdul´ ast, tov´ abb´ a a vezérl˝o f¨ uggvény Li paramétereit, és u ´ gy hajtjuk végre az o er˝o egy el˝ore v´ alasztott értéket alakoptimaliz´ al´ ast, hogy az ered˝o Fp összeszor´ıt´ adjon [41]. Az optimaliz´ al´ asi feladatot ekkor a következ˝o form´ aban ´ırhatjuk el˝ o ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ min

⎪ ⎪ ⎪ ⎩

pmax

⎫ ! ! pn ≥ 0, d = d (pn , ∆h) = 0, χ = V (s) pmax − pn (s) = 0, x ∈ Ωc , ⎪ ⎪ ! ⎪ ⎬ ! rk1 ! . ! ! w = −w0 x ∈ S 1 , Fp = 2π r pn dr ⎪ ⎪ u ⎪ ! ⎭ ! rb

(5.15) P4: Ha az anyagra megengedett σU maximális fesz¨ ultséget is figyelembe vessz¨ uk, akkor osszeszor´ıt´ o er˝o nem választhat´ o meg tetsz˝oleges nagyság´ ura. nyilv´ anval´ o, hogy az Fp ¨ Így ennek értéke ismeretlenként szerepel az optimaliz´ aciós elj´ ar´ asban. A megoldand´ o matematikai feladat a k¨ ovetkez˝o ) # ! 1 ! min *p max | pn ≥ 0, d = d (pn , ∆h) = 0, w = −w0 x ∈ Su , ! + . (5.16) max Fp ! ! χ = 0 x ∈ Ωc ; σeq ≤ σU x ∈ V – Adott f¨ ugg˝ oleges ir´ any´ u terhelés esetén P5: A bélyeg fels˝o fel¨ uletén p álland´ o intenzitás´ u megoszló terhelés m˝ uködik. Ennek ered˝oje p. (5.17) F0 = π(rk1 − rb2 ) Adott f2 , f3 és Lj (j = 1, 2, 3, 4) vezérl˝o paraméterek esetén χ = χ(s, pn , r¨ ogz´ıtett vez. paraméterek) = V (s) pmax − pn (s) = 0 ,

(5.18)

és ´ıgy a bélyegre fel´ırhat´ o egyens´ ulyi egyenletb˝ ol L F0 = Fp = 2π

L (rb + s)pn (s) ds = 2πpmax

0

V (s)(rb + s) ds

(5.19)

0

a nyom´ as pmax maximális értéke kiszámolhat´ o, és az 1. t´ıpus´ u iteráción´ al a bélyeg kezdeti alakja, azaz a ! ! min pmax ! pn ≥ 0, d = 0, χ = 0, min ∆h = 0, F0 = Fp , x ∈ Ωc (5.20) feladat megoldhat´ ov´ a v´ alik. – Vegyes peremfeltételek mellett

56


P6: Tételezz¨ uk fel, hogy a fels˝ o bélyeget a f¨ ugg˝ oleges eltolód´ as mellett a z forg´ astengely k¨ or¨ ul el k´ıv´ anjuk ford´ıtani. Ezzel határhelyzetben 1

rk r2 pn dr

MT = 2πµ

(5.21)

rb

csavaró nyomaték vihet˝o át a testek között, a µ s´ url´ od´ asi tényez˝o esetén. K¨ onnyen bel´ athat´ o, hogy az egyens´ ulyi viszonyok miatt 1

rk Fp = 2π

r pn dr = F0 .

(5.22)

rb

Így egyrészt 1

rk MT ≤ 2πµ

r pn dr rk1 ≤ rk1 µF0 ,

(5.23)

rb

másrészt

1

rk r pn dr rb ≤ MT ,

(5.24)

rb µF0 ≤ MT ≤ rk1 µF0 .

(5.25)

2πµ rb

vagyis

Az nyilv´ anval´ o, hogy maxim´ alis nyomatékátvitel akkor érhet˝o el, ha az érintkezési tartom´ any csak a bélyeg k¨ uls˝ o peremének közelében alakul ki, azaz r = rk1 , illetve a minim´ alis érték akkor áll el˝ o, ha csak a bels˝o perem közelében érintkeznek a hengerek, azaz r = rb . Annak érdekében, hogy sima fesz¨ ultségeloszlást kapjunk az optimaliz´ al´ as eredményeként, a bélyeg alakj´ at a vezérl˝o f¨ uggvény néhány paraméterével tudjuk be´ all´ıtani. ulönbség is Pontosabban az L3 és L4 paraméterek rögz´ıtettek, illetve az L2 − L1 k¨ el˝ore be van áll´ıtva az egyenletes nyomásmegoszlás érdekében. Tehát a vezérl˝o f¨ uggoként, mivel az L2 = L2 (L1 ). Így vényben csak az L1 paraméter marad meg változ´ jutunk a (5.26) χ = χ (s, pn , L1 ) = V (s, L1 ) pmax − pn (s, L1 ) = 0 egyenlethez, melyb˝ol kifejezhet˝o a pn (s, L1 ) = V (s, L1 ) pmax

(5.27)

érintkezési nyomásmegoszlás f¨ uggvény. A fels˝o testre fel´ırhat´ o az 1

rk F = F (L1 , pmax r¨ ogz´ıtett) = F0 − 2π

r V (s, L1 ) pmax dr = 0 rb

(5.28)


57

egyens´ ulyi egyenlet, melyb˝ ol L1 értéke kifejezhet˝o, mivel a pmax érintkezési nyomás értéke itt r¨ ogz´ıtett. Ez´ altal az optimalizál´ asi feladat ! # ) MT !! pn = pn (s, L1 ) ≥ 0, d = d (pn , ∆h) = 0, χ = χ (s, pn , L1 ) = 0, , max ! L1 µ ! min ∆h = 0 x ∈ Ωc , F = F (L1 , pmax rögz´ıtett) = 0 (5.29) ahol L1 , ∆h és pn paraméterek jelentenek ismeretlen változókat [41]. P7: Az anyagra vonatkoz´ o σU megengedett maximális fesz¨ ultséget is tekintetbe vessz¨ uk a uk kialakul´ o fesz¨ ultségállapot vizsg´ alatakor, azaz a σeq ≤ σU betartása mellett végezz¨ el a P6-ban fel´ırt optimaliz´ aciós feladatot. Ekkor m´ ar a pmax maximális érintkezési nyom´ ast nem lehet el˝ore r¨ ogz´ıtett értéknek tekinteni a nyomaték maximalizál´ asakor. avols´ agot maximaliz´ alni, hogy közben teAz optimaliz´ ació során u ´gy kell az L1 t´ ultségre is, ezáltal a megoldand´ o kintettel legy¨ unk a σU megengedett maximális fesz¨ feladat ´ıgy ´ırhat´ o fel: ⎧ ⎫ ! ! ⎪ ⎨ M ! pn = pn (s, pmax (L1 )) ≥ 0, d = d (pn , ∆h) = 0, ⎪ ⎬ T ! min ∆h = 0, χ = χ (s, p , L ) = 0 x ∈ Ω . (5.30) max ! n 1 c ⎪ L1 ⎪ ⎩ µ !! ⎭ F = F (pmax (L1 )) = 0; σeq ≤ σU x ∈ V −L2 avols´ ag értékét ∆L1 = L310 konstans értékkel válAz optimaliz´ ació során az L1 t´ kiv´ alasztása két toztatjuk az iter´ aciós megoldás során, m´ıgnem az optim´ alis Lopt 1 (i) (i+1) között line´ aris approxim´ acióval történik, a 2. t´ıpus´ u egymást k¨ ovet˝ o L1 és L1 iter´ acióval.

P8: Ennél a feladatn´ al feltételezz¨ uk, hogy a bélyeg ω relat´ıv szögsebességgel forog. Célunk az, hogy a bélyeg érintkezési tartományba es˝ o részét u ´ gy alak´ıtsuk ki, hogy a s´ url´ od´ as k¨ ovetkeztében fellép˝o s´ url´ od´ asi teljes´ıtmény-veszteség minimális legyen. Ezért a vezérl˝ o f¨ uggvény paramétereit a következ˝o módon áll´ıtjuk be: L1 = L2 = 0 ul¨ onbség el˝o´ırt érték˝ u a sima fesz¨ ultségeloszlás érdekében. és az L4 − L3 k¨ url´ od´ asi tényez˝o µ, illetve Az érintkez˝o hengerek k¨ oz¨ otti relat´ıv sebesség vr = r ω, a s´ ol τn = µ pn érintkezési cs´ usztató fesz¨ ultség keletkeaz érintkezési nyomás pn , melyb˝ zik. A testek egymáson val´ o elcs´ uszásáb´ ol származó s´ url´ od´ asi teljes´ıtmény-veszteség ekkor a k¨ ovetkez˝o képlet szerint szám´ıthat´ o: 1

rk

r2 pn dr = MT ω ,

τn vr dS = 2πµω

D= Sc

(5.31)

rb

oz¨ ott átvihet˝ o nyomaték. A s´ url´ od´ asi teljes´ıtmény-veszteség ann´ al ahol MT a testek k¨ kisebb lesz, minél k¨ ozelebb ker¨ ul a megoszló érintkezési nyomás ered˝ oje az rb bels˝o sugárhoz, ´ıgy az optimalizál´ as a következ˝o form´ aban ´ırhat´ o fel: ⎧ ⎫ ! ! pn = pn (s, L4 ) ≥ 0, d = d (pn , ∆h) = 0, ⎪ ⎪ ⎨D ! ⎬ ! min ! χ = V (s, L1 , L2 rögz´ıtett, L3 (L4 ) , L4 ) pmax − pn (s, L4 ) = 0 , ⎪ L4 ⎪ ⎩ µω !! ⎭ min ∆h = 0 x ∈ Ωc , F = F (L4 , pmax rögz´ıtett) = 0 (5.32) alis érték. ahol az L4 , a ∆h és a pn ismeretlen paraméterek, m´ıg pmax az el˝o´ırt maxim´ P9: Ennél az optimalizáción´ al tekintettel vagyunk az anyagra megengedett σU maximális reduk´ alt fesz¨ ultségre is, miközben keress¨ uk L4 minimumát, annak érdekében

58


hogy a P8-ban fel´ırt optimaliz´ aciónak megfelel˝oen minimálisra csökkents¨ uk a s´ url´ od´ asb´ ol származó teljes´ıtmény-veszteséget. Hasonlóan a P7 megold´ asi módszeréhez, itt is két egymásba ágyazott iter´ acióval tudjuk az optim´ alis megold´ ast megkeresni. Matematikailag a k¨ ovetkez˝o feladatot kell vizsg´ alnunk: ⎧ ⎫ ! ! ⎪ ⎨ D ! pn = pn (s, pmax (L4 )) ≥ 0, d = d (pn , ∆h) = 0, ⎪ ⎬ ! . (5.33) min ! χ = χ (s, pn , L4 ) = 0, min ∆h = 0 x ∈ Ωc ⎪ L4 ⎪ ⎩ µω !! ⎭ F = F (pmax (L4 )) = 0; σeq ≤ σU x ∈ V A feladat megoldásához – a 2. t´ıpus´ u –iter´ aciós séma használatakor – a következ˝o paraméter beáll´ıt´ asokat használtuk 1 rk − rb1 1 1 f0 = rk − rb = L, ∆f = − . f = L4 , 10 – Tiszt´ an kinematikai el˝ o´ır´ asok A vegyes peremfeltételek mellett megfogalmazott feladatokat könnyen a´t tudjuk fogalmazni azokra az esetekre, amikor a f¨ ugg˝ oleges p terhelés helyett a bélyeg fels˝o peremének w0 eltol´ od´ asa van megadva. Ekkor a P7 és P9 helyett az alábbi optimaliz´ al´ asi feladatok ´ırhat´ ok fel. P10: Az átvihet˝ o nyomaték maximalizál´ asához: ⎧ ! ! ⎪ ⎨ M ! p = pn (s, pmax (L1 )) ≥ 0, d = d(pn , ∆h) = 0, T ! max ! min ∆h = 0, χ = χ(s, pn , L1 ) = 0 x ∈ Ωc ! L1 ⎪ µ ⎩ ! w = −w0 x ∈ S 1 ; σeq ≤ σU u

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

P11: A s´ url´ od´ asi teljes´ıtmény-veszteség minimalizál´ asához: ⎧ ! ! ⎪ ⎨ D ! p = pn (s, pmax (L4 )) ≥ 0, d = d(pn , ∆h) = 0, ! min ∆h = 0, χ = χ(s, p , L ) = 0 x ∈ Ω min ! n 4 c ! L4 ⎪ µω ⎩ ! w = −w0 x ∈ S 1 ; σeq ≤ σU u

.

(5.34)

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

.

(5.35)

Az el˝oz˝oekben fel´ all´ıtott optimaliz´ acós feladatokat numerikus u ´ton p-verziós végeselem módszer seg´ıtségével oldjuk meg. Erre néhány példa kapcsán a 5.4.1. részben láthatunk eredményeket.

5.3.2.

G¨ org˝ o alakoptimaliz´ al´ asa

G¨ org˝ oszer˝ u gépelemeket – mint például henger-, vagy k´ upgörg˝ oket a csapágyakban – számtalan gépszerkezetben haszn´ alnak. A görd¨ ul˝ o elemek élettartamát nagy mértékben n¨ oveli, ha a benn¨ uk ébred˝ o fesz¨ ultségértékeket minél alacsonyabb, kis változást mutató értéken tudjuk tartani, a teljes g¨ ord¨ ul˝ o elem mentén. Elker¨ ulve ´ıgy, az egyébként szingul´ aris helyet jelent˝o, hengervégeken adód´ o rendk´ıv¨ ul magas fesz¨ ultségeket. Sz´ amtalan publik´ ació foglalkozott m´ ar a görd¨ ul˝ o testek végein sz¨ ukséges lekerek´ıtésekkel [45, 58, 21, 11]. Azonban az itt felsorolt cikkek mindegyike el˝ ore rögz´ıtett lekerek´ıtési sug´ arral dolgozik, és eredményként azt adj´ ak, hogy a kialakul´ o fesz¨ ultségállapot – mely az érintkezési nyomásb´ ol származik – nem sima. A [41] cikk megvizsgálta a görd¨ ul˝ o testek optimalizál´ asát, lényegében az (5.1)-(5.9) összef¨ uggések alapján, azonban a vezérl˝o f¨ uggvény f2 , f3 paramétereit nem használta fel, hanem egységnyinek feltételezte. A g¨ org˝ oszer˝ u elem merevtestszer˝ u elmozdul´ assal és elfordul´ assal is rendelkezik, illetve feltételezz¨ uk azt is, hogy tiszta, s´ url´ od´ asmentes érintkezésr˝ol van szó. Az érintkezésben


59

résztvev˝o fels˝o test tehát egy henger, mely a fels˝ o test pal´ astj´ an megoszló terheléssel renan vázolt – er˝ o, amely delkezik. Ebb˝ ol származtatható az ered˝o F0 -val jelölt – az 5.3. ábr´ a henger pal´ astj´ an hat. Ezen er˝ ob˝ ol egy reduk´ alt vektorkett˝ost szám´ıthatunk a koordin´ atarendszer kezd˝ opontj´ aban F0 -val, illetve M0 -val jelölve. y L

z

s

Dt

y Y0

F0

2

Scs r0 1

Ds x

M0 = Y0 F 0 t

Sct

a.)

b.)

5.3. ´ abra: a.) Hengerszer˝ u test és rugalmas féltér érintkezése geometria és terhelés, b.) Feltételezett érintkezési tartomány jellemz˝ oi

Az 5.3. ábra hengeres, line´ arisan rugalmas test és féltér érintkezésének geometriai és er˝otani jellemz˝oit szemlélteti, valamint leolvashatjuk a diszkretiz´ al´ asn´ al haszn´ alt paraméterek értelmezését is. A rugalmas féltér z = 0 fel¨ uletén tal´ alhat´ o a kiindul´ askor feltételezett téglalap alak´ u érintkezési tartomány – mérete, ahogy az 5.3. ábr´ an l´ athat´ o, Sct × Scs –, ulet˝ u téglalapokra van bontva. mely tov´ abbi Dt × Ds ter¨ A hengerre vonatkoz´ o H hat´ asmátrix felép´ıtéséhez ezen kis téglalapokra m˝ uk¨ odtet¨ unk egységnyi nagys´ ag´ u norm´ al, vagy x ir´ any´ u érint˝ o ir´ any´ u terhelést, és a 3.3 részben elmondottakat haszn´ aljuk fel. A henger végein adód´ o ny´ır´ ofesz¨ ultségek kik¨ usz¨ ob¨ olése érdekében a már kor´ abban bemutatott t¨ ukr¨ ozési technikát haszn´ aljuk fel. Két k¨ ul¨ onböz˝o ir´ anyban vizsg´ altuk meg ezen t´ıpus´ u érintkezési optimalizál´ asi feladatokat [42]: 1. A g¨ org˝ o alakoptimaliz´ al´ asát oly módon hajtjuk végre, hogy a hengerre m˝ uk¨ od˝ o megorg˝ o k¨ ozepére oszló terhelés nem szimmetrikus, azaz az F0 ered˝o er˝o nem esik a g¨ Y0 <

Scs . 2

(5.36)

Azonban feltételezz¨ uk a s´ url´ od´ asmentes állapotot, µ = µ0 = 0. Ez azt jelenti, hogy az optimaliz´ alt alakot u ´gy kell létrehozni, hogy az ekkor kialakul´ o érintkezési nyomás teljes´ıtse a k¨ ovetkez˝o egyenletet: Y0 pn dS = y pn dS . Ωp

Ωp

Képezve ezen két oldal k¨ ul¨ onbségét azt kapjuk, hogy az M∗ = Y0 pn dS − y pn dS Ωp

Ωp

(5.37)

60


nyomaték minimalizál´ asával érhetj¨ uk el a kit˝ uzött célt. Két lehetséges algoritmust vizsgáltunk: • El˝ osz¨ or az (5.9) vezérl˝o f¨ uggvényben szerepl˝o paraméterek értékét f2 = f3 = 1re v´ alasztjuk, és az ´ıgy kialakul´ o érintkezési tartomány nem ér végig a henger teljes pal´ astján. • M´ asodszor az a célunk, hogy a görd¨ ul˝ o elem teljes hossza mentén biztos´ıtsuk as sz¨ ukséges. az érintkezést, ehhez azonban f2 = 1 és f3 < 1 paraméterbeáll´ıt´ 2. A g¨ ord¨ ulés pontos vizsgálata érdekében a ny´ır´ ofesz¨ ultségeket is tekintetbe vessz¨ uk az optimalizál´ as elvégzésekor, vagyis µ = 0, illetve µ0 = 0. Azonban ekkor m´ ar azzal a feltételezéssel él¨ unk, hogy a g¨ ord¨ ul˝ o henger szimmetrikus terhelés˝ u, azaz az ered˝o astjának közepére esik. F0 er˝o pontosan a henger pal´ Az optimaliz´ alt érintkezési nyomást az (5.6) vezérl˝o f¨ uggvény Li (i = 1, 2, 3, 4) paraméterértékekkel áll´ıtjuk el˝ o. A görd¨ uléses érintkezési feladat megoldásakor a Kalker ´ altal – FORTRAN nyelven – elkész´ıtett programot fejlesztett¨ uk tov´ abb, felhaszn´ alva a KOMBI elj´ ar´ ast, mely az F0 el˝o´ırt terhelést és elmozdulást szolgáltatja x ir´ anyban. A programmal kapcsolatos elméleti hátteret a [31, 32] munk´ ak tartalmazzák. A g¨ org˝ o alak´ u testek alakoptimaliz´ al´ asára az 5.4.2. és 5.4.3 részekben mutatunk be numerikus szám´ıt´ asi eredményeket.

5.4. 5.4.1.

Numerikusan kisz´ am´ıtott optimaliz´ aci´ os feladatok B´ elyegfeladatok

P4-ben defini´ alt optimaliz´ aci´ o Az el˝oz˝oekben megadott geometriai és anyagjellemz˝okkel tekints¨ unk el˝ oször a P4ben fel´ırt optimaliz´ acióra egy numerikus sz´ ampéld´ at. Az 1-es jel˝ u test fels˝o peremén anyban el˝ o´ırt elmozdul´ asmez˝o. Az (5.6)-ban fel´ırt vezérl˝o f¨ uggvény w0 = 0.1 mm a −z ir´ paramétereit a k¨ ovetkez˝o értékekre választottuk: L1 = 0 mm ,

L2 = 4 mm ,

L3 = 96 mm ,

L4 = 100 mm .

Az alakoptimaliz´ al´ ast teh´ at u ´gy hajtuk végre, hogy figyelembe kell venn¨ unk az (5.10) egyenletet, melyhez a 2. t´ıpus´ u –iter´ aciót alkalmazzuk. Ehhez rögz´ıtj¨ uk az (5.11)-ben szerepl˝o paramétert ∆f = 5000 N értékre. Az optimalizációs lépéseket a második megold´ astól szám´ıtjuk. Az (5.10) p´ otlólagos feltétel az els˝o optimalizációs lépésben – a megoldások sorszámát tekintve a második megold´ askor (l´ asd az 5.4. ábr´ at) –, teljes¨ ul, azonban istep = 4-nél már a program a´ltal szám´ıtott alt fesz¨ ultség maximuma meghaladja az anyagra megengedett σU = 250 M P a σeq reduk´ értéket. Így a 2. t´ıpus´ u –iter´ aciós elj´ ar´ as szerint határozzuk meg az optim´ alis eredményt. Az 5.4. ábra szemlélteti a bal fels˝ o sarokban az érintkez˝o testeknél felvett végeselemes h´ al´ ot. A numerikus szám´ıt´ asi tapasztalatok azt mutatt´ ak, hogy a sima, oszcillációmentes fesz¨ ultségeloszlások meghatározása csak az érintkezési tartomány hat´ ar´ an felvett, kis méret˝ u elemekkel lehetséges. altoz´ asát, a max σeq értéA 5.4. ábr´ an l´ athatjuk még az Fp érintkezési ered˝o er˝o v´ alt mennyiségb˝ ol származtatott mér˝oszámot a k¨ ulönböz˝o két, valamint az MT /µ optimaliz´ iter´ aciós lépésekhez tartozóan. Az optim´ alis megoldást a 4. optimaliz´ aciós lépésben szám´ıtotta ki a program. Az 5.4. a´br´ an jelzett els˝o oszlopok az eredeti érintkezési feladat kezdeti hézag nélk¨ uli megold´ asához tartoznak, teh´ at ekkor még nincs optimalizál´ as.

Numerikusan kisz´ am´ıtott optimaliz´ aci´ os feladatok

61

5.4. ´ abra: A testek végeselemes felosztása és k¨ ul¨ onb¨ oz˝o szám´ıtott jellemz˝ ok a P4-es optimalizációra

5.5. ´ abra: A testek k¨ oz¨ otti kezdeti távols´ ag a P4-es optimalizációra

62


Az 5.5. ábra a fels˝o testre vonatkoz´ o alakokat mutatja be, az egym´ ast követ˝o iterációs alni k´ıv´ ant Fp er˝o k¨ ulönböz˝o érlépésekben (istep = istep). Ezek az alakok a maximaliz´ alis megoldás). tékeihez tartoznak Fp = 5000 N , 10000 N , 15000 N és a 10761.1 N (optim´ Az ábr´ ab´ ol leolvashat´ o optim´ alis alak – melyet o” jelez – elérése érdekében az eredeti ” bélyeg méretét a vázolt módon kell megnövelni, hogy az érintkezési nyomásmegoszlás a alt vezérl˝ o f¨ uggvény szerint alakuljon, figyelembe véve az anyagra megengedett σU reduk´ fesz¨ ultségi korl´ atot. A megold´ ashoz tartozó σϕ = σf , σz = σz és σeq = σeq fesz¨ ultségeloszlásokat az r = r és z = z koordin´ at´ ak f¨ uggvényében szemlélteti az 5.6. ábra. Az érintkezési tartom´ any hat´ ar´ an felvett kis elemek miatt a fesz¨ ultségmez˝ok eloszál´ asában nem tapasztalunk oszcill´ aciót.

5.6. ´ abra: A fels˝ o testre meghatározott fesz¨ ultségeloszlások a P4-es optimalizációra

P7-ben defini´ alt optimaliz´ aci´ o A k¨ ovetkez˝o optimaliz´ aciós feladat, melyet numerikusan megvizsg´ alunk, a P7-ben defini´ alt alakoptimaliz´ al´ as. Itt is az el˝ore rögz´ıtett geometriai és anyagjellemz˝oket használjuk fel, a vezérl˝o f¨ uggvény paramétereit pedig a P4-nél fel´ırt értékekkel vessz¨ uk szám´ıt´ asba. Célunk itt az a´tvihet˝ o MT nyomaték maximaliz´ al´ asa, melyhez az (5.11)-ben szerepl˝o an mértékben. Teh´ at ∆f értéke a vezérl˝o f¨ uggvény L1 paraméterét változtatja a k´ıv´ ∆f = ∆L1 =

L3 − L2 = 9.2 mm . 10


63

Az 1-es jel˝ u test fels˝o peremén az el˝o´ırt fel¨ uleti terhelés p = 100 M P a. Az optimaliz´ al´ asi feladat megold´ asa ut´ an a k¨ ovetkez˝o eredményeket kaptuk: Lopt 1 = 19.42 mm ,

L2 = Lopt 1 + 4,

MT = 377.68 · 106 N mm . µ

Az 5.7. ábra a testek optimalizáció el˝otti végeselemes felosztását és a megoldási folyamat során szám´ıtott mennyiségeket illusztrálja grafikus form´ aban. A jobb fels˝ o részábr´ an alt fesz¨ ultség maximum értékét látjuk, m´ıg a bal als´ o részben a vezérl˝o L1 a σeq reduk´ t´ avols´ ag v´ altoztatását k¨ ovethetj¨ uk nyomon. A jobb als´ o oszlopdiagramm az optimalizált MT atékból származtatott mér˝oszámot jelen´ıti meg. µ nyom´

5.7. ´ abra: Végeselemes felosztás és k¨ ul¨ onb¨ oz˝o szám´ıtott jellemz˝ok a P7-es optimalizációra

64


5.8. ´ abra: A testek k¨ oz¨ otti kezdeti távols´ ag v´ altoz´ asa a P7-es optimalizációra

A megoldást a program a 2. t´ıpus´ u –iter´ ació 1. lépésében megtalálta. Az 5.7. ábr´ an jelzett els˝o lépésben az érintkezési feladat optimaliz´ al´ as nélk¨ uli megold´ asa történik, majd uk az optim´ alis alakot és a k¨ ovetkez˝o istep = 1 lépésben az eredeti L1 = 0 értékkel keress¨ ezt k¨ ovet˝oen az 1. t´ıpus´ u –iter´ acióval dolgozunk, am´ıg az (5.10)-beli korl´ at igaz. Mivel az 5. lépésében a reduk´ alt fesz¨ ultség maximuma nagyobb, mint a σU anyagra megengedett legnagyobb fesz¨ ultség, ´ıgy itt indul a 2. t´ıpus´ u iter´ ació, mely egy lépés alatt el˝oáll´ıtja – az (5.10) feltételt is kielég´ıt˝ o – optim´ alis alakot. Az érintkezési feladat ebben az esetben osszeségében 6-szor ker¨ ult megold´ asra. ¨

Az alakoptimaliz´ al´ as során a testek közötti kezdeti t´ avols´ agot, mely val´ oj´ aban a fels˝ o test alakját jelenti a gyakorlatban, folyamatosan v´ altoztatjuk. Ezt az alakm´ odos´ıt´ ast szemlélteti az 5.8. ábra. Az optimális megoldást az ábr´ an jelzett istep = 5 lépéshez tartozó kis k¨ or¨ ok mutatj´ ak.

odik lépésben a feladat megold´ asához tartoz´ o σr = σr , σz = σz , τϕz = Az istep = 5-¨ ultségeloszlásokat is kiszám´ıtottuk, melyet az 5.9. ábra τfz = µpn = −µσz és σeq = σeq fesz¨ szemléltet az r = r és z = z hengerkoordin´ at´ ak f¨ uggvényében. Láthat´ o, hogy a kapott fesz¨ ultségképek oszcillációmentesek, melyek az érintkezés-elvál´ asi hat´ ar közelében felvett kis méret˝ u elemekkel kaphatók csak meg.


65

5.9. ´ abra: A fels˝ o testre meghatározott fesz¨ ultségeloszlások a P7-es optimalizációra

5.1. t´ abl´ azat: K¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelések esetén szám´ıtott megoldások a P7 feladatra

p [M P a]

L1 [mm]

40

48.932

60

MT µ

· 10−6 [N mm]

pmax [M P a]

max σeq [M P a]

169.646

62.968

249.98

33.454

238.869

77.468

252.69

80

24.569

307.771

95.210

248.12

100

19.418

377.677

114.480

249.35

A P7-ben fel´ all´ıtott optimaliz´ aciót tov´ abbi p terhelési esetekre vonatkozóan is kisz´ a¨ m´ıtottuk, ahogy az 5.1. t´ abl´ azat mutatja. Osszességében megállap´ıthatjuk, hogy b´ ar a terhelés nagyság´ at line´ aris módon növelt¨ uk, a k¨ ulönböz˝o terhelésekhez tartozó MT nyomaték értékek nem lineáris módon v´ altoztak.

P9-ben defini´ alt optimaliz´ aci´ o A bélyegfeladatok k¨ oz¨ ul vég¨ ul tekints¨ uk a P9-ben defini´ alt optimaliz´ al´ ast, amikor a s´ url´ od´ asb´ ol származó D teljes´ıtmény-veszteséget minimalizáljuk. Ez azt jelenti, hogy a ant feltételek betartásával. vezérl˝o f¨ uggvény L4 paraméterértékét kell minimalizálni a k´ıv´ Jelen esetben is a korábbiakban fel´ırt geometriai és anyagjellemz˝oket használjuk fel. Az 1-es test fels˝o peremén p = 100 M P a terhelést alkalmazunk, az iter´ ación´ al pedig a k¨ ovetkez˝o paramétereket áll´ıtjuk be: f = L4 ,

f0 = rk1 − rb1 = 100 mm ,

∆f = −

rk1 − rb1 = 10 mm . 10

66


Az optimaliz´ al´ asi folyamat végrehajt´ asa a P7-nél elmondottakhoz hasonlóan történik. Az 5.10. ábra az alkalmazott végeselemes felosztást és a megoldási folyamat sor´ an kiszám´ıtott jellemz˝oket mutatja be.

5.10. ´ abra: Végeselemes felosztás és k¨ ul¨ onb¨ oz˝o szám´ıtott jellemz˝ok a P9-es optimalizációra

Az optimaliz´ ació során az L4 vezérl˝o paraméter minimalizál´ asát végezz¨ uk el. Az 5.10. abra bal als´ ´ o oszlopdiagrammja mutatja, hogy az érintkezési feladat megold´ asa ut´ an az u –iterációval v´ altoztatjuk L4 paramétert beáll´ıtjuk a legnagyobb értékre és azt az 1. t´ıpus´ aban az érintkezési feladat 3. az optimalizáció során. Az istep = 2. lépésben – mely valój´ megold´ asát jelenti, ahogy ezt az 5.10. ábra jelzi –, az (5.10) feltétel nem teljes¨ ul, ´ıgy ekkor indul a 2. t´ıpus´ u –iter´ ació, mely két lépésben megadja az optimális eredményt. A megold´ ashoz tartozó vezérl˝o paraméterek, és az optimalizált mennyiség a következ˝ok: L4 = 93.90 mm ,

L1 = L2 = 0 mm ,

L3 = L4 − 4 ,

D = 337.09 · 106 N mm . ωµ

Minden iter´ aciós lépésben u ´ jabb alakot hat´ arozott meg az általunk ´ırt program, ezeket az 5.11. ábra jelen´ıti meg. Ennél a feladatn´ al a program a 2. t´ıpus´ u –iter´ aciót kétszer hajtotta végre az alakoptimalizál´ as érdekében, ahogy ezt az 5.11. ábra bemutatja. Az 5.12. ábra az optim´ alis alakkal kiszám´ıtott elmozdulásmez˝ob˝ ol származtatott σr = ultség eloszlásokat mutatja az r = r σr , σz = σz , τϕz = τfz = µpn = −µσz és σeq = σeq fesz¨ és z = z koordin´ at´ ak f¨ uggvényében. A fesz¨ ultségértékek ilyen sima, oszcillációmentes meghatározásához az eredeti végeselem hál´ ozat – mely nagy méret˝ u p-verziós elemeket használ – nem elegend˝o. Az érintkezési és réstartomány hat´ ar´ an elems˝ ur´ıtést kell felvenni a pontos megold´ as kiszám´ıt´ asának érdekében. Az elemhál´ ozat módos´ıt´ asát és s˝ ur´ıtését a kidolgozott program fut´ asi id˝ oben adapt´ıv” módon végzi. ”


67

5.11. ´ abra: A testek k¨ oz¨ otti kezdeti távols´ ag változása a P9-es optimalizációra

5.2. t´ abl´ azat: K¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelések esetén szám´ıtott megoldások a P9 feladatra

p [M P a]

L4 [mm]

40

78.15

60

D µω

· 10−6 [N mm]

pmax [M P a]

max σeq [M P a]

116.839

63.29

249.18

86.81

190.064

79.34

247.47

80

91.27

263.595

97.06

247.64

100

93.90

337.091

115.45

250.46

A P9 optimaliz´ aciót végrehajtottuk k¨ ulönböz˝o p terhelések mellett, melyek eredményeit az 5.2. t´ abl´ azat foglalja ¨ ossze. A lineárisan növekv˝ o terhelés nemlineáris v´ altoz´ ast okoz az optimális alakra vonatkoz´ o D terhelési teljes´ıtmény-veszteségben.

Az 5.2. t´ abl´ azatban nem szerepl˝o p = 50 M P a terhelés mellett is megvizsgáltuk ezen P9-es optimalizációt annak érdekében, hogy összehasonl´ıtsuk az iter´ aciós feladatmegold´ asokat.

68


5.12. ´ abra: Fesz¨ ultségmez˝o v´ altozása a P9-es optimalizációra

A P10 és P11 optimaliz´ aciós feladatok numerikus megold´ asát w0 = −0.11 mm kinematikai terhelés mellett határoztuk meg és a hozzájuk tartoz´ o eredményképeket a C. f¨ uggelékben helyezt¨ uk el, lásd a C.1. – C.4. ábr´ akat.

5.4.2.

Nem k¨ oz´ epen terhelt g¨ org˝ o

A vizsgált feladatn´ al azt a célt t˝ uzt¨ uk ki, hogy az optimaliz´ al´ as nélk¨ uli görg˝ o végén tapasztalhat´ o nagy fesz¨ ultségcs´ ucsot cs¨ okkents¨ uk az (5.6) vezérl˝o f¨ uggvény felhaszn´ al´ asával, a bélyegfeladatokn´ al ismertetett módszer seg´ıtségével. A vizsgált g¨ org˝ o sugara r0 = 60 mm, hossza L = 35 mm. Az Sc = Sct × Scs feltételezett érintkezési tartomány 0.6 · 35 mm méret˝ u és 10 × 40 db részre van felbontva. A g¨ org˝ ore m˝ uk¨ od˝ o terhelést a k¨ ovetkez˝o adatok jellemzik, lásd az 5.3. ábr´ an felt¨ untetett mennyiségeket: F0 = 2500 N ,

M0 = 33000 N mm ,

Y0 = 13.2 mm .

Az érintkez˝o testekre vonatkozó anyagjellemz˝ ok rendre a rugalmass´ agi modulus és a Poisson-szám ν = 0.3 . E = 2.1 · 105 M P a , Az (5.6) vezérl˝o f¨ uggvény paramétereit az L1 = 0 mm ,

L2 = 4 mm ,

L4 = L ,

L3 = L4 − 4

értékekre választottuk meg. Az Sc feltételezett érintkezési tartom´ anyt 10 · 60 téglalapra bontottuk fel a hat´ asmátrixokkal végzett megoldási folyamat érdekében.


69

A optimaliz´ al´ ast kétféle módon végezt¨ uk el. Az els˝o esetben a vezérl˝o f¨ uggvény f2 = alt nyomatékot oly módon, hogy f3 = 1 értéke mellett minimalizáljuk az (5.37) a´ltal defini´ a kialakul´ o érintkezési tartomány méretét az L4 paraméter változtatásával áll´ıtjuk be. Ebben az esetben a k¨ ovetkez˝o eredményeket kapjuk, a fenti kiindul´ asi adatokat felhasználva: M ∗ = −6.65 N m ,

L4 = 26.44 mm ,

pmax = 368.9 M P a .

A kiszám´ıtott eredményekr˝ol grafikus form´ aban az 5.13. ábra számol be. Az ábra bal asát alsó részében – a c.) részábr´ an – az optimaliz´ al´ as nélk¨ uli pn érintkezési nyomás változ´ l´ atjuk az érintkezési fel¨ uleten felvett s és t koordin´ at´ ak f¨ uggvényében (l´ asd az 5.3. ábr´ at). Ez esetben a feltételezett téglalap alak´ u érintkezési tartomány megváltozott. A b.) és d.) részábr´ an felt¨ untett nyom´ asmegoszlás eléréséhez az a.) részábr´ an bemutatott optimaliz´ alt kezdeti alakkal kell a g¨ ord¨ ul˝ oelemnek rendelkezni.

5.13. ´ abra: G¨ org˝ o alakoptimaliz´ al´ asa álland´ o pn nyom´ as mellett

A második esetben az alakoptimaliz´ al´ ast oly módon hajtjuk végre, hogy a görg˝ o L hossza mentén lineárisan változó érintkezési nyomásmegoszlást hozunk létre az (5.6)-ban asa haszn´ alt f2 = 1 és f3 < 1 paraméterek által. Ekkor az L4 = L paraméterérték változtat´ okkentésével k´ıv´ anjuk az alakoptimaliz´ al´ ast elvégezni oly módon, hogy nélk¨ ul, csak az f3 cs¨ az (5.37)-ben fel´ırt M ∗ nyomatékot minimalizáljuk. A numerikus sz´ am´ıt´ as a k¨ ovetkez˝o eredményeket szolgáltatta: M ∗ = 47.58 N m ,

f3 = 0.3995 ,

pmax = 425 M P a .

azi álland´ o pn Ha figyelembe vessz¨ uk az eredetileg kit˝ uzött min pmax célt, akkor a kv´ nyom´ as mellett kiszám´ıtott eredmények jelentik a két vizsgált eset köz¨ ul a jobb megold´ ast, tehát az optim´ alis alakot.

70


Az 5.14. ábra az 5.13. ábr´ ahoz hasonl´ oan mutatja be a kisz´ am´ıtott optim´ alis görg˝ oalakot, és az ehhez kapcsolód´ o pn érintkezési nyomásmegoszlást.

5.14. ´ abra: G¨ org˝ o alakoptimaliz´ al´ asa változ´ o pn nyom´ as mellett

5.4.3.

K¨ oz´ epen terhelt g¨ org˝ o

Ebben a sz´ ampéldában k¨ ozépen terhelt görg˝ o és rugalmas féltér érintkezését tekintj¨ uk oly módon, hogy figyelembe vessz¨ uk a s´ url´ od´ asb´ ol származó hat´ asokat is. A megoldáshoz felhaszn´ altuk, hogy a g¨ org˝ o sugara r0 = 60 mm, hossza L = 35 mm, – tekintve az 5.3. abra jel¨ ´ oléseit – tovább´ a a g¨ org˝ ore k¨ ozépen m˝ uköd˝ o terhelés adatai: F0 = 5000 N ,

M0 = 87500 N ,

Y0 = 17.5 mm .

A vezérl˝o f¨ uggvény paraméterei L1 = 0 mm ,

L2 = 4 mm ,

L4 = L ,

L3 = L4 − 4 ,

f2 = f3 = 1 .

A feltételezett érintkezési tartom´ any szélessége Sct = 1 mm, hossza Scs = 35 mm, melyet 14 × 25 téglalapra bontunk fel a diszkretiz´ al´ asi folyamat sor´ an. A tapad´ asi és o középvonal´ anak a cs´ uszási s´ url´ od´ asi tényez˝o értéke egyaránt µ = µ0 = 0.2. A görg˝ elmozdulása x ir´ anyban ux = 0.005 mm. Az 5.15. ábra a k¨ ozépen terhelt, s´ url´ od´ as mellett elvégzett alakoptimalizál´ as el˝otti és ut´ ani pn érintkezési nyomásmegoszlást szemlélteti. Ezen ábra a.) részlete az optimalizált g¨ org˝ o alakot szemlélteti.


5.15. ´ abra: G¨ org˝ o alakoptimaliz´ al´ asa s´ url´ od´ as mellett

´ 5.16. ´ abra: Erintkez´ esi nyomás és a cs´ usztató fesz¨ ultség

71

72


5.17. ´ abra: Cs´ uszási és tapad´ asi tartom´ anyok

Az 5.16. ábra a.) és c.) része az alakoptimalizál´ as ut´ ani érintkezési nyomásmegoszlást mutatja be k¨ ul¨ onb¨ oz˝o nézetekb˝ol. A b.) és a d.) alrésze pedig a cs´ usztató fesz¨ ultséget szemlélteti a fel¨ uleten defini´ alt s és t koordin´ at´ ak f¨ uggvényében (l´ asd az 5.3. ábra jelöléseit).

5.18. ´ abra: Optim´ alis alak s´ url´ od´ asos és s´ url´ od´ as nélk¨ uli érintkezéskor

A cs´ uszási és tapad´ asi tartom´ anyok azonos´ıt´ asát seg´ıti az 5.17. ábra, melyen k¨ ulönböz˝o t koordin´ at´ aj´ u helyeken vett metszeteket ábr´ azoltunk a cs´ usztató fesz¨ ultség és a µ · pn f¨ uggvényekb˝ ol. Pontok jelzik a cs´ usztató fesz¨ ultség szám´ıtott értékeit, m´ıg folyamatos anyn´ al a pontok a folytonos vonallal ábr´ azoltuk a µ · pn eredményeket. A tapadási tartom´


73

f¨ uggvény alatt vannak. A hengergörg˝ o középpontja a görd¨ ulés folyamán t tengely ir´ any´ u mozgást végez. Az 5.18. ábra azt mutatja be, hogy a s´ url´ od´ as nélk¨ uli sz´ am´ıt´ as, melyet a pontozott vonal ábr´ azol, illetve a s´ url´ od´ as hat´ asát figyelembe vev˝ o, folyamatos vonallal jelzett alakoptimaliz´ al´ as eredményei mennyire hasonlóak. Meg´ allap´ıthatjuk, hogy a gyakorlat szempontjáb´ ol elhanyagolhat´ o a s´ url´ od´ as hat´ asa az ilyen jelleg˝ u feladatok vizsg´ alatakor.

6. fejezet ´ ´s vizsga ´ lata ha ´romdimenzio ´ ban Erintkez e

Ebben a fejezetben az a célunk, hogy térbeli érintkezési feladatokat oldjunk meg numerikus u ´ton, az A. f¨ uggelékben ¨ osszefoglalt p-verziós végeselem-módszer seg´ıtségével. Ezen technika fontos jellemz˝oje, hogy a sz´ am´ıt´ asi elj´ ar´ as kielég´ıt˝ o pontoss´ aga a polinomok p fokszámának v´ altoztatásával érhet˝o el. Ekkor a végeselemek száma változatlan, de a p fokszám n¨ ovelésével jelent˝osen n¨ ovekszik az egyes elemekhez rendelt ismeretlen paraméterek száma, ezáltal n¨ ovekszik a megoldand´ o feladat mérete és jelent˝os adminisztr´ aciós feladatokat jelent programoz´ astechnikai szempontb´ ol. A végeselemekt˝ol elv´ art tulajdons´ ag, hogy az elemhat´ ar tetsz˝oleges görbe vonalra tudjon illeszkedni. Ezt a legegyszer˝ ubb m´ odon az elemhez rendelt él- és lapmenti paramétereken kereszt¨ ul, az elemen m˝ uk¨ od˝ o hierarchikus alakf¨ uggvények seg´ıtségével val´ os´ıthatjuk at a legkisebb hibanégyzetek elve szerint végezz¨ uk el. meg. Az elemhatár approxim´ aciój´ A kialakul´ o érintkezési tartomány alakj´ ara nem tesz¨ unk megszor´ıt´ ast – csup´ an azt feltételezz¨ uk, hogy az érintkezési fel¨ ulet egyszeresen összef¨ ugg˝ o –, ´ıgy a 4. fejezetben ismertetett zárt paraméteres térg¨ orbe interpol´ aciót haszn´ aljuk a kialakul´ o kontakthat´ ar pontos le´ır´ asára. Ez a le´ır´ asi módszer azzal az egyértelm˝ u el˝ onnyel j´ ar, hogy a vizsg´ alat t´ argy´ at képez˝o érintkezési és elvál´ asi hat´ ar sima, folytonos paraméteres térgörbe lesz, mely k¨ onnyen, néhány kontrollpont a´ltal módos´ıthat´ o annak érdekében, hogy a végeselemek pontosan az elv´ al´ asi hat´ arra illeszkedjenek. ´ és Babuˇ A Szabo ska ´ altal bevezetett osztályozás [60] szerint három alapvet˝ o felaul¨ onb¨ oztethet˝o meg a végeselem-módszerben aszerint, hogy az uex tényleges datt´ıpus k¨ megold´ as hogyan alakul ki a vizsg´ alt tartom´ anyon: A. A teljes elemen analitikus megoldást kapunk, f¨ uggetlen¨ ul az elemfelosztás módj´ at´ ol. B. Véges szám´ u pontot, vonalat, vagy fel¨ uletet kivéve, az uex tényleges megoldás analitikus. Ebben az esetben a végeselemes felosztás oly módon történik, hogy a nem analitikus helyekre elemhat´ ar, csomópont, illetve hat´ arol´ o él ker¨ uljön. C. A végeselemes felosztást nem lehet u ´gy kialak´ıtani, hogy a nem analitikus helyek elemhat´ arra essenek. A felsorolt oszt´ alyozásb´ ol k¨ ovetkezik, hogy az eredeti nemline´ aris érintkezési feladat egyértelm˝ uen a C t´ıpusba sorolhat´ o, mivel az érintkezési és elvál´ asi tartom´ anyok hat´ ara el˝ ore nem ismert, vagyis a szám´ıt´ as során a kezdetben létrehozott végeselemes felosztást folyamatosan módos´ıtani kell annak érdekében, hogy B t´ıpus´ u feladatot kapjunk, mely nagyobb pontoss´ aggal oldhat´ o meg. A B-spline, illetve a NURBS térgörbe le´ır´ asi módszerek ehhez biztos´ıtanak j´ ol haszn´ alhat´ o eszk¨ ozt. A klasszikus rugalmass´ agtanb´ ol jól ismert módon lehet˝ oség¨ unk van arra, hogy két, ulettel hat´ arolt test érintkezését vizsgáljunk bizonyos speci´ alis tetsz˝oleges térbeli g¨ orbe fel¨ esetekben [55]. Ekkor a fel´ all´ıtott feladat oly m´ odon ker¨ ul defini´ al´ asra, hogy az alakv´ altozás el˝ott egy pontban érintkez˝o testeket olyan er˝okkel terhelj¨ uk meg, melyek hatásvonala

Szimmetrikus terhelés˝ u feladatok

75

a testek érintkezési pontjaihoz tartoz´ o közös fel¨ uleti norm´ alis egyenesében hatnak és a testeket o sszenyomj´ a k. Az alakv´ a ltoz´ a s k¨ o vetkezt´ e ben a testek kezdeti, pontszer˝ u érintke¨ zése átalakul fel¨ uleti érintkezéssé. A rugalmas alakv´ altoz´ asok elmélete alapján a fel¨ uletek érintkezési pontjaiban a f˝ o g¨ orb¨ uleti sugaraknak, az érintkez˝o testek anyagjellemz˝oinek és a terheléseknek az ismeretében megállap´ıthatjuk [63]: • az érintkezési fel¨ ulet alakj´ at és jellemz˝o méreteit az alakváltozás után, agát, • a kialakul´ o pn érintkezési nyomás nagys´ • a testek k¨ ozeledését az alakváltoz´ as ut´ an. Fontos tudni azonban, hogy ezen mennyiségek csak bizonyos feltételek megléte esetén szám´ıthat´ ok ki pontosan, melyek sajnos a gyakorlatban nem minden esetben a´llnak fenn, s˝ot még elhanyagol´ asokkal sem biztos´ıthat´ ok. A Hertz-féle elmélet alapján elvégezhet˝o vizsgálatok összes következtetésének és megallap´ıt´ ´ asának alapj´ at a k¨ ovetkez˝o feltételezések alkotják: 1. az érintkez˝o testek anyaga homogén és izotróp, 2. a testekre hat´ o terhelés az érintkezés következtében csak olyan rugalmas alakv´ altozásokat hoz létre, amelyek a Hooke-törvénnyel le´ırhat´ ok, 3. az érintkezési fel¨ ulet kicsi, a kölcsönhat´ asban résztvev˝o testek teljes fel¨ uletéhez képest, 4. a nyom´ oer˝ ok az érintkezési fel¨ uletre mer˝olegesek, és az érintkezési fel¨ uleten a s´ url´ od´ asb´ ol származó hat´ asokat elhanyagoljuk. A gyakorlati életben megtal´ alhat´ o számtalan érintkezési feladat, melyek t¨ uzetes megvizsgál´ asakor azt tapasztaljuk, hogy a Hertz által megalapozott elmélet nem alkalmazhat´ o egyértelm˝ uen pontos sz´ am´ıt´ asok elvégzésére. Elegend˝ o csak arra gondolnunk, hogy a gépelemek nem tekinthet˝ok végtelen kiterjedés˝ ueknek, méreteik az esetek t´ ulnyom´ o részében véges dimenziókkal rendelkeznek, melyhez képest a kialakul´ o érintkezési tartomány nem feltétlen¨ ul elhanyagolhat´ o méret˝ u. Jelen fejezetben el˝osz¨ or olyan t´ıpus´ u érintkezési feladatokat fogunk megoldani, melyek a Hertz-elméletb˝ol származtatott zárt képletekkel összevethet˝o eredményeket adnak. Ilyen feladat péld´ aul egy merev g¨ omb és egy rugalmas hatoldal´ u has´ ab érintkezési feladata. Célunk itt az, hogy a rugalmass´ agtani elmélet alapján v´ arhat´ o kör alak´ u érintkezési tartományt és érintkezési nyomást meghatározzuk, kiszám´ıtva a kialakul´ o elmozdulás- és fesz¨ ultségmez˝ot. A fejezet további számpéld´ ai az elj´ ar´ as által´ anos volt´ at k´ıv´ anj´ ak bemutatni, nem g¨ omb alak´ u merev bélyegeken kereszt¨ ul, illetve megvizsg´ aljuk még a nemszimmetrikus bélyegelrendezés hatását az érintkezési tartom´ anyra és a kialakuló fesz¨ ultségmez˝ore.

6.1.

Szimmetrikus terhel´ es˝ u feladatok

A 6.1. ábr´ an vázolt módon kezdetben egy pontban érintkezik az 1-es jel˝ u merev gömb és a 2-es jel˝ u rugalmas has´ ab, majd a terhelés hatására kialakul´ o érintkezési fel¨ ulet hat´ ara kis alakváltozások mellett jó k¨ ozel´ıtéssel kör alak´ u lesz. Ezt u ´gy val´ os´ıtjuk meg, hogy a merev g¨ omb¨ ot pontosan a rugalmas has´ ab közepébe nyomjuk a terhelési esetnek megfelel˝o ugg˝ oleges irányban nem engedj¨ uk elmozdulni, w0 elmozdulással, m´ıg a 2-es test alsó lapját f¨ azaz w = 0. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy az als´ o test oldallapjai fesz¨ ultségmentesek, usztatófesz¨ ultségek zérus tov´ abb´ a a has´ ab als´ o lapj´ an teljes¨ ul, hogy a τxz = τyz = 0 cs´ érték˝ uek.

´ ´s vizsga ´lata ha ´romdimenzio ´ ban 6. Erintkez e

76

R800

1 z

y x 5

10

10

2

6.1. ´ abra: Háromdimenziós érintkezési feladat

¨ terhelési esetet tekint¨ Ot unk, melyeket a 6.1. t´ abl´ azat foglal o ¨ssze, a jellemz˝o w0 el˝o´ırt, lefelé mutató – azaz −z ir´ any´ u – elmozdul´ asok felsorolásával. ab geometriai adatai a A merev gömb görb¨ uleti sugara R1 = 800 mm, a rugalmas has´ 6.1. ábr´ ab´ ol leolvashat´ ok. A Hertz-féle elmélet szerinti szám´ıt´ asokhoz sz¨ ukséges geometriai jellemz˝o, hogy az als´ o, 2-es jel˝ u test g¨ orb¨ uleti sugara az érintkezési hely k¨ ornyezetében R2 = ∞. 6.1. t´ abl´ azat: K¨ ulönböz˝o terhelési esetekhez tartozó w0 el˝o´ırt elmozdul´ as

iterh

w0 [mm]

1

4.0 · 10−3

2

4.5 · 10−3

3

5.0 · 10−3

4

5.5 · 10−3

5

6.0 · 10−3

A merev gömb anyagjellemz˝ oit u ´gy tekintj¨ uk, hogy a g¨ ombre vonatkoz´ o rugalmass´ agi ag´ u, m´ıg a vizsgált 2-es testre vonatkoz´ o rugalmassági modulus modulus E1 = ∞ nagys´ E2 = 2.1 · 105 M P a, a Poisson-számot pedig ν2 = 0.3 értékre választottuk.

6.1.1.

Analitikus megold´ asok

A kit˝ uzött feladat közel´ıt˝ o megoldását a Hertz-féle elmélettel el˝ oa´ll´ıtott zárt képletek – b˝ovebben l´ asd a B. f¨ uggelék – seg´ıtségével ´ırjuk fel, melyet a 6.2. t´ abl´ azat foglal o testek −z ir´ any´ u k¨ ozeledését, F az ¨ osszeszor´ıt´ o er˝o, a a össze, ahol ∆ jelenti az érintkez˝ as maximuma. Tehát kialakul´ o érintkezési tartom´ any sugara és p0 pedig a kontakt nyom´ azzal a feltételezéssel élt¨ unk, hogy a v´ art érintkezési tartom´ any ebben a szimmetrikus esetben kör, azonban meg kell jegyezz¨ uk, hogy az itt vizsg´ alt feladatban szerepl˝ o alsó test nem tekinthet˝o rugalmas féltérnek a nagyméret˝ u merev g¨ ombh¨ oz képest, illetve a kialakul´ o érintkezési tartom´ any nem elhanyagolhat´ o méret˝ u az alsó testhez viszony´ıtva. Tehát a Hertz által fel´ all´ıtott o¨sszef¨ uggések csak k¨ ozel´ıt˝ oleg teljes¨ ulnek.

6.1.2.

Numerikus megold´ asok

A numerikus megold´ ast p-verziós végeselem-módszer által hat´ arozzuk meg, ´ıgy ar´ anylag nagyméret˝ u elemekkel dolgozhatunk, szemben a h-verzión´ al alkalmazott igen kisméret˝ u


77

6.2. t´ abl´ azat: K¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelési esetekhez tartozó Hertz-féle k¨ ozel´ıt˝ o megoldások

iterh

∆ = w0 [mm]

F [N ]

a [mm]

p0 [M P a]

1

0.0040

2201.67

1.789

328.51

2

0.0045

2627.12

1.897

348.43

3

0.0050

3076.92

2.000

367.28

4

0.0055

3549.81

2.097

385.20

5

0.0060

4044.72

2.190

402.34

elemekkel [66]. A v´ alasztott végeselemes felosztásokat a 6.2. ábra mutatja be, fel¨ ulnézetb˝ ol. 6 5

ζ 8 2

ξ

7

1

9

9 6

4 1 5

4 3

8

6

η

1

3

5

8

y

y

2

2

7

7

4 3

x

x

6.2. ´ abra: A kijel¨ olt végeselem-felosztások, egyenes és görbe oldal´ u elemekkel

A 6.1 részben megfogalmazott peremfeltételek biztos´ıt´ asa érdekében a 2-es jel˝ u test alsó lapj´ an lév˝o csomópontok f¨ ugg˝ oleges, azaz z ir´ any´ u, elmozdul´ asát zérusra ´ırtuk el˝ o. A merevtestszer˝ u elmozdul´ as és forgás megakadályoz´ asa érdekében pedig az 1-es jel˝ u elem els˝o csomópontj´ anak x és y ir´ any´ u elmozdul´ asát, tov´ abb´ a a 4-es jel˝ u csomópont y ir´ any´ u elmozdul´ asát is megakadályoztuk. A 6.2. ábra szemlélteti az 1-es elem vonatkozásában az általunk haszn´ alt jel¨ olési szab´ alyt, mely a p-verzi´ os elemeknél haszn´ alt élmenti-, oldalmenti és bels˝o alakf¨ uggvények számozását is defini´ alja, ahogy ezt az A. mellékletben bemutatjuk. an defini´ alhat´ o egy A (2.9) által fel´ırt érintkezési nyomás értelmezése (σz = σn2 ) alapj´ hibaindik´ ator, mely a kapott megold´ as pontosság´ at jelzi: / (σz + pn )2 dS e=

Sc

/

p2n dS

· 100 % .

(6.1)

Sc

Egyenes oldal´ u elemek haszn´ alata A feladatot el˝ osz¨ or csak az els˝o terhelési esetre, iterh = 1 – azaz w0 = 0.004 mm – egyenes oldal´ u elemekkel k´ıv´ anjuk megoldani. A b¨ untet˝ oparaméter értékét c = 100 · E2 re választottuk. A megold´ as pontos´ıt´ asára a p k¨ ozel´ıt˝ o polinomok foksz´ amát, p = 2t˝ ol p = 8-ig tudjuk v´ altoztatni az általunk kifejlesztett programban. Természetesen a p = 8 fokszámhoz tartozó szám´ıt´ asok jelentik az adott feladathoz tartozó legpontosabb megoldásokat (l´ asd a 6.3. ábr´ at), de még ebben az esetben is 29 %-os relat´ıv hib´ at kapunk, ami az egyenes oldal´ u elemek alkalmazása miatt ilyen jelent˝os.


78

90

e relat´ıv hiba %

80 ◊

◊

70 ◊

60 ◊

50 ◊

40

◊ ◊

30 20 2

3

4

5

6

7

8

p polinomfokszám 6.3. ´ abra: Relat´ıv hiba v´ altozása, k¨ ul¨ onb¨ oz˝o p fokszám alkalmaz´ asakor

Az elmozdulási és fesz¨ ultségi eredményeket a 6.4. és a 6.5. ábr´ ak szemléltetik. A 6.4. ábr´ an az elmozdul´ asmez˝ot 100-szoros nagy´ıt´ asban jelen´ıtett¨ uk meg az alsó test vonatkozáultségmez˝ot szemlélteti. Az ábr´ akb´ ol leolvashat´ o, hogy sában, m´ıg a 6.5. ábra a −σz fesz¨ mind az elmozdul´ as-, mind a fesz¨ ultségmez˝o jelent˝os oszcillációt mutat. Ez els˝ osorban annak a következménye, hogy a végeselemek nincsenek lokalizálva az érintkezési és elvál´ asi tartom´ any hat´ ar´ ara, ´ıgy vannak olyan elemek, melyek egyszerre tartoznak az érintkezésiés a réster¨ uletekhez. Ezen az egyenes elemhatárok mozgat´ asával sem tudtunk jelent˝ os mértékben jav´ıtani.

[mm] 4.00 · 10−3 3.129 · 10−3

2.092 · 10−3

1.054 · 10−3

1.678 · 10−5

6.4. ´ abra: A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o (w0 = 4.0 · 10−3 mm, p = 8)


79

[M P a] 342.5

256.9

171.3

85.63

1.608 · 10−4

6.5. ´ abra: A −σz fesz¨ ultségmez˝o (w0 = 4.0 · 10−3 mm, p = 8)

Go u elemek haszn´ alata ¨rbeoldal´ A kit˝ uz¨ ott feladatot ezut´ an olyan g¨ orbe oldal´ u elemek kel oldjuk meg, ahol az elemek hat´ ar´ at egy B-spline g¨ orbe defini´ alja. Az elemhat´ arok approxim´ aciój´ at a legkisebb hibanégyzetek elve seg´ıtségével határozzuk meg, az elem megfelel˝o oldalélein m˝ uk¨ od˝ o alakf¨ uggvényeken kereszt¨ ul. A kidolgozott program képes arra, hogy a fut´ asid˝ oben meghat´ arozott érintkezési és elvál´ asi hat´ arg¨ orbéhez adapt´ıv” módon illessze az elemhatárokat, ezáltal ” érve el a lehet˝o legpontosabb numerikus megold´ ast. A megoldás során a 4. fejezetben ismertetett zárt interpol´ al´ o paraméteres térg¨ orbéket használjuk fel arra, hogy az érintkezési tartom´ any hat´ ar´ at k¨ ozel´ıts¨ uk. Ehhez sz¨ ukség¨ unk ol tudjuk, hogy a hézag van a tartom´ any hat´ ar´ an olyan interpol´ aciós pontokra, melyekr˝ értéke azon pontokban zérus. A B-spline g¨ orbék alkalmazásával elegend˝ o véges szám´ u – az általunk fejlesztett programban ez 8 db – ellen˝orz˝o pontot felhaszn´ alni a tér- vagy s´ıkg¨ orbék defini´ al´ asára és ezáltal tetsz˝ oleges alak´ u zárt, sima g¨ orbét lehet létrehozni. A hat´ arg¨ orbén elhelyezked˝o interpol´ aciós pontokat az 1 − 6, a 2 − 7, a 3 − 8 és a 4 − 9 elemek érintkezési vonal´ an tekintj¨ uk, az érintkezés s´ıkj´ aban (l´ asd a 6.2. ábr´ at). Ellen˝ orzési pontokként v´ alasztjuk az ezen elemek érintkezési s´ıkj´ aban fekv˝ o egybees˝o csomópontokat, és az érintkezési s´ıkban fekv˝ o tal´ alkoz´ o élek felez˝opontjait. Az érintkezési-elvál´ asi hat´ aros elj´ ar´ ast fejlesztett¨ unk ki. pontok kereséséhez egy iter´ aci´ A kérdést u ´ gy tudjuk megv´ alaszolni, ha az elemhat´ arokat folyamatosan v´ altoztatva vizsg´ aljuk a kapott megold´ as pontosság´ at és hib´ aj´ at. Azt ugyanis tudjuk, hogy a szabad fel¨ uleteken zérus érték˝ u fesz¨ ultségeket kell kapnunk, teh´ at az érintkezési tartomány hat´ ara ozel´ıt˝ o jelmentén zérus nagys´ ag´ u érintkezési nyomást várunk, azaz pn 0 a megoldás k¨ legéb˝ol ad´ od´ oan. Ez a gyakorlat szemponj´ ab´ ol azt jelenti, hogy a maxim´ alis fesz¨ ultségnek csak a t¨ oredéke elfogadhat´ o érték. Az alkalmazott iteráció során a kontakt elemek határ´ at els˝o lépésben a Gauss pontokban sz´ am´ıtott hézagértékek alapján becs¨ ulj¨ uk meg. Pontosabban a (2.7)-ben defini´ alt f¨ uggvény el˝ojelv´ altási helyét keress¨ uk és u ´ gy mozgatjuk az elemek hat´ ar´ at, hogy csak a


80

kontakt elemek ellen˝orz˝o pontjaiban kapjunk, a b¨ untet˝ oparaméteres technika miatt, negat´ıv hézagot. Minden más helyen pozit´ıv d értéket ér¨ unk el. Ha ezt a célt a program teljes´ıti, akkor k¨ ovetkezik egy finomkeres˝ o elj´ ar´ as, melynek a célja, hogy a kontaktelem méretét egészen addig változtatjuk, am´ıg a kontaktelem hat´ ar´ an szám´ıthat´ o, (2.9) által a nem csökken. defini´ alt pn érintkezési nyomás maximuma egy el˝ore meghatározott korlát al´ Erre a k¨ ovetkez˝o formul´ at vezett¨ uk be: pn ≤

pn max . 400

(6.2)

Ez a korl´ at gyakorlatilag azt jelenti, hogy azokat, az érintkez˝o testeken, közös normálison – z-vel p´ arhuzamosan – elhelyezked˝o pontok alkotta pontp´ arokat, melyek t´ avols´ aga nagyobb, −8 uk érintkez˝ oknek. Tehát ezen pontokat a réstartom´ anyba mint 10 mm, már nem tekintj¨ soroljuk és ezzel az elemtopológi´ aval tekintj¨ uk a feladatot megoldottnak. Ekkor a hat´ aron az kapjuk, hogy ! ! max |pn | = !c d− ! = 100 E · 10−8 = 0, 21 M P a .

pn (i)

rv

r (i)

rG rv

(i)

pn,v

(i)

rv r

(i)

pn,G

r

rG

6.6. ´ abra: Sug´ ar keresése interpol´ acióval

Az iter´ ació az alábbi lépések alapj´ an t¨ orténik, l´ asd a 6.6. ábr´ at. Jel¨ olje az i-edik (i) o allapotban kialakul´ ´ o elemhat´ ar általunk v´ alasztott ir´ anyban vett sugar´ at rv , az itt fellép˝ (i) nyom´ ast pedig pn,v . A pillanatnyi réstartom´ anyon a v´ alasztott ir´ anyban elhelyezked˝ o els˝o (i) (i) ellen˝orz˝ o pontj´ anak sugar´ at rG és az itt számolt fikt´ıv” nyom´ ast pn,G = −c dG jel¨ oli, ” melyben dG a G pontbeli hézagot jelenti. Ekkor a line´ aris interpol´ acióval keresett u ´ j sug´ ar az (i)

rv(i+1) = rv(i) +

pn,v (i)

(i)

pn,v − pn,G

(i) rG − rv(i)

(6.3)

osszef¨ uggés szerint szám´ıthat´ o. ¨ A 6.7. ábra a h´ aromdimenziós végeselemes program m˝ uk¨ odési vázlatát mutatja be, a végrehajt´ as szempontjáb´ ol fontos lépések kiemelésével. A bemeneti adatokat a program sz¨ ovegfile-okb´ ol olvassa be és a szám´ıt´ asok elvégzése után az eredményeket olvashat´ o sz¨ oveges állom´ anyokba menti el. Az eredmények grafikus form´ aban val´ o megjelen´ıtését ezen kimeneti file-ok seg´ıtségével, további saj´ at fejlesztés˝ u segédprogramok felhaszn´ al´ asával végezt¨ uk el. A szám´ıt´ asi eljár´ ast és az azt k¨ ovet˝o grafikus megjelen´ıtést Fortran 90 nyelven kifejlesztett programok végzik. Az eredmények grafikus ábr´ azolásához az OpenGL f¨ uggvényal´ asra ker¨ ult. k¨ onyvt´ ar, valamint a Gnuplot segédprogram is felhaszn´


81

start 0. Paraméterek inicializálása 1. Preprocessing – input file beolvasása, végeselemes hálózat generálása

icall == 1

igen egyenes oldal´ u elemek

nem A korábbi h´ıvás alapján el˝oa´ll´ıtott határgörbe seg´ıtségével hibanégyzet minimuma elv alapján 2. Elemi merevségi, kontakt merevségi mátrixok és terhelési vektorok el˝oa´ll´ıtása 3. Egyenletrendszer felép´ıtése, megoldása ´ 4. Erintkez´ esi-elválási határ vizsgálata a.) pn érintkezési nyomás és d hézag értékek meghatározása a Gauss–pontokban b.) d el˝ojelváltási helyének meghatározása 8 k¨ ulönböz˝o irányban, linearizálás alapján c.) A 8 határpontra interpolációs spline létrehozása d.) Az érintkezési tartományon k´ıv¨ uli integrációs pontokból a c b¨ untet˝oparaméter törlése 5. A kialakult határgörbe mentén (az interpolációs spline-on) az érintkezési nyomás kiszám´ıtása Kilépési feltétel vizsgálat:

pn d ds < ε

nem

igen postprocessing – – – –

végleges kontakt határ rögz´ıtése elmozdulásmez˝o szám´ıtásához sz¨ ukséges paraméterek fesz¨ ultségmez˝o el˝oáll´ıtása eredmények grafikus megjelen´ıtése stop

6.7. ´ abra: A kidolgozott 3D-s program egyszer˝ us´ıtett végrehajt´ asi sémája

A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelési esetekhez tartozó iterációs megoldások eredményeit a 6.3. t´ abl´ azatban foglaltuk ¨ ossze. Láthat´ o, hogy a 6.2. t´ abl´ azatban fel´ırt analitikus eredményekhez képest mind a kialakul´ o érintkezési tartomány sugar´ aban, mind a maxim´ alis érintkezési nyom´ as nagyság´ aban eltérést tapasztalunk. Ez a Hertz-féle elmélet alkalmazásakor tett elhanyagol´ asokkal magyar´ azhat´ o.


82

6.3. t´ abl´ azat: K¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelési esetekhez tartozó numerikus megold´ asok (p = 8)

iterh

∆ = w0 [mm]

a [mm]

−σz [M P a]

pn = −c · d− [M P a]

istep

1

0.0040

1.912

349.38

358.24

5

2

0.0045

2.045

372.90

383.78

5

3

0.0050

2.168

395.98

408.12

5

4

0.0055

2.281

418.60

431.64

5

5

0.0060

2.395

440.85

454.35

5

pn érintkezési nyomás [M P a]

360 324 288 252 216 180 144 108 72 36 0 −5

−4

−3

−2

−1

. 0

Hertz

1

2

3

4

x koordináta [mm]

5

−σz −c · d−

´ 6.8. ´ abra: Erintkez´ esi nyomás eloszlása (iterh = 1)

A kiszám´ıtott eredmények könnyebb értelmezését és ¨ osszehasonl´ıthat´ oság´ at szolgálj´ ak a 6.8., a 6.9. és a 6.10. ábr´ ak. A 6.8. és a 6.9. ábr´ ak csak az els˝o terhelési esetre vonatkozó érintkezési nyomás x ir´ any´ u változ´ asát (az y = 0 mentén), és az iterációs lépések során meghat´ arozott érintkezési tartom´ anyt szemléltetik. A további terhelési esetekre vonatkozó eredményképeket a C. f¨ uggelék: C.5 – C.20. ábr´ ak mutatj´ ak be. A 6.8. ábr´ ar´ ol leolvashatjuk a Hertz-féle eredmény és a numerikus szám´ıt´ as k¨ oz¨ otti eltéréseket. Az érintkezési nyom´ asra vonatkoz´ o numerikus sz´ am´ıt´ asi eredményeket egyrészt az elmozdulásmez˝o deriuntet˝ oparaméteres technika által v´ al´ asával el˝ oáll´ıtott −σz érintkezési nyomás, másrészt a b¨ uggvény alapj´ an hat´ aroztuk meg. szolgáltatott pn = c d− hézagf¨


83

2.1

y koordináta [mm]

1.4

0.7

.

−0.0

−0.7

istep = 2 −1.4

istep = 3 −2.1 −2.1

−1.4

−0.7

−0.0

0.7

1.4

2.1

x koordináta [mm]

istep = 4 istep = 5

6.9. ´ abra: Az érintkezési tartomány változása (iterh = 1)

A 6.10. ábra a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelési esetekre, numerikusan meghatározott, érintkezési tartom´ any hat´ ar´ at jelent˝ o B-spline-okat szemlélteti. A zárt B-spline-nal le´ırt, mozgat´ assal el˝oáll´ıtott érintkezési határra lokaliz´ alt végeselemes szám´ıt´ assal kapott elmozdulás- és fesz¨ ultségmez˝ot a 6.12. és 6.13. ábr´ ak szemléltetik. Itt az els˝o terhelési lépcs˝oh¨ oz tartoz´ o eredményeket jelen´ıtett¨ uk meg, a tov´ abbi terhelési esetekre vonatkozó elmozdulásmez˝o- és fesz¨ ultségképek a C. f¨ uggelékben tekinthet˝ ok meg. Minden esetben csak a p = 8 – általunk beprogramozott – legpontosabb sz´ am´ıt´ asi lehet˝oséghez tartozó numerikus eredményeket közölj¨ uk. Az alacsonyabb polinomfoksz´ amokhoz tartoz´ o eredmények pontoss´ ag tekintetében elasoktól. Ennek illusztr´ al´ asához maradnak a legjobb p = 8 foksz´ amhoz tartozó szám´ıt´ tekints¨ uk a 6.11. a´br´ at, melyen a p = 2 és p = 8 közötti polinomfoksz´ amok használat´ aval el˝oáll´ıtott numerikus eredmények (6.1) összef¨ uggés által defini´ alt e relat´ıv hib´ aj´ at szemléltett¨ uk. J´ ol láthat´ o a hat´ asa a végeselemek érintkezési határra val´ o lokaliz´ al´ asának, ha tekintj¨ uk a 6.3. és a 6.11. ábr´ akat, a relat´ıv hiba közel 30%-ról 5% al´ a csökkent. A 6.12. és a 6.13. ábr´ akb´ ol j´ ol láthat´ o a megoldás simasága. Itt az elmozdulásmez˝oben – melyet 100-szoros nagy´ıt´ assal ábr´ azoltunk – egy´ altal´ an nem tal´ alkozunk oszcillációval, u hull´ amzás, melyet m´ıg a fesz¨ ultségmez˝oben csak a tartom´ any hat´ ar´ an van kismérték˝ legjobban a 6.8. a´bra szemléltet. Az érintkezési tartom´ any hat´ ar´ ara mozgatott végeselemekkel ilyen kevés szám´ u elemmel is lehetséges nagy pontosság´ u megoldás el˝oáll´ıt´ asa. Az érintkezési feladatokra vonatkoz´ o kétváltoz´ os tapasztalataink azt mutatj´ ak, hogy tov´ abbi pontos´ıt´ ast kisméret˝ u elemek elhelyezésével lehet elérni az érintkezési határon.


84

2.4

y koordináta [mm]

1.6

0.8

.

0.0

w0 = 6.0 · 10−3 mm

−0.8

w0 = 5.5 · 10−3 mm −1.6

w0 = 5.0 · 10−3 mm −2.4 −2.4

−1.6

−0.8

−0.0

0.8

1.6

2.4

x koordináta [mm]

w0 = 4.5 · 10−3 mm w0 = 4.0 · 10−3 mm

´ 6.10. ´ abra: Erintkez´ esi tartomány alakja k¨ ulönböz˝o terhelésekre (iterh = 1, . . . , 5)

100 ◊

◊

90

e relat´ıv hiba [%]

80 70 60 50 40 ◊

30

◊

20

◊

10

◊

◊

7

8

0 2

3

4

5

6

p polinomfokszám 6.11. ´ abra: Az e relat´ıv hiba v´ altoz´ asa (iterh = 1)


85

[mm] 4.0 · 10−3 3.0 · 10−3

2.0 · 10−3

1.0 · 10−3

1.7 · 10−5

6.12. ´ abra: A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o (iterh = 1, p = 8)

[M P a] 349.37

262.03

174.69

87.35

1.706 · 10−2

6.13. ´ abra: A −σz fesz¨ ultségmez˝o (iterh = 1, p = 8)


86

6.2.

Nemszimmetrikus elrendez´ es˝ u feladat

A k¨ ovetkez˝okben olyan térbeli érintkezési feladatot vizsg´ alunk, melynél tov´ abbra is g¨ omb alak´ u a merev bélyeg, de nem a vizsgált rugalmas test közepébe nyom´ odik. A 2-es test alsó fel¨ ulete v´ altozatlanul f¨ ugg˝ oleges irányban rögz´ıtett. Továbbra is feltételezz¨ uk, hogy kezdetben egy pontban érintkeznek a testek, a terhelés hatására azonban egy kezdetben nem ismert méret˝ u és alak´ u, de folytonos z´ art görbével határolt egyszeresen o¨sszef¨ ugg˝ o érintkezési fel¨ ulet alakul ki. (−3, −3)

(−3, 12) 9

1

4 5

6

3

y 8

2

7

(10, −3)

(10, 12) x

6.14. ´ abra: Geometriai adatok és kezdeti végeselem-hál´ o nemszimmetrikus elrendezésnél

A 6.1. t´ abl´ azat szerinti iterh = 1 terhelési esetre vizsgáljuk meg a kialakul´ o érintkezési tartom´ any méretét és a létrejöv˝ o érintkezési nyomás eloszlását. Mivel a Hertz-féle elmélet feltételezései itt sem teljes¨ ulnek, ´ıgy a kialakul´ o érintkezési tartom´ anyra csak közel´ıt˝ o becslést tudunk adni. A vizsgált 2-es jel˝ u als´ o test geometriai adatait és a kiindul´ asi végeselemes hál´ ozatot a 6.14. ábra mutatja fel¨ ulnézetb˝ol, a test magassága az el˝oz˝o feladatban felvett 5 mm. Az alsó testre a korábban megadott anyagjellemz˝ oket használjuk, teh´ at E2 = 2.1 · 105 M P a,

ν2 = 0.3 .

Az érintkezési feladat megoldására az általunk ´ırt programot haszn´ aljuk fel, melyben a b¨ untet˝ oparaméteres technika alkalmazásán´ al v´ alasztott b¨ untet˝ oparamétert c = 50 · E2 -re r¨ ogz´ıtj¨ uk. A nemline´ aris feladat megold´ asa iterációs algoritmus alapj´ an történik oly móu elemeket használunk az érintkezési don, hogy az istep = 1 lépésben még csak egyenes oldal´ tartom´ any hat´ ar´ at le´ır´ o paraméteres térgörbe interpol´ aciós pontjainak meghat´ arozása érdekében. Ezt követ˝oen már görbe oldal´ u elemhál´ ozatot generál a program adapt´ıv” m´ o” don – a legkisebb hibanégyzetek elve alapján –, zárt interpol´ al´ o B-spline görbe seg´ıtségével. Az iterációs eljár´ ast addig folytatjuk, m´ıg az érintkezési- és réstartomány hat´ ar´ an kiabbiakban defini´ alt (6.2) feltételt nem szám´ıtott pn érintkezési nyomás maximuma a kor´ teljes´ıti. A fel´ all´ıtott feladatot numerikusan többféle p fokszám´ u közel´ıt˝ o polinom haszn´ alat´ aval megvizsgáltuk, és a kapott eredmények szerinti legjobb megold´ as, az elv´ ar´ asoknak megfelel˝oen, a p = 8 fokszámhoz tartozóan állt el˝ o. A 6.15. ábra a (6.1) a´ltal defini´ alt e relat´ıv

Nemszimmetrikus elrendezés˝ u feladat

87

hiba v´ altozását mutatja a k¨ ul¨ onböz˝o p = 2, . . . , 8 fokszám´ u közel´ıt˝ o polinomokhoz tartoz´ o megold´ asok vonatkoz´ asában.

36

◊

◊

32

e rela´ıv hiba [%]

28 24 ◊ 20 ◊ 16 ◊

12 8

◊ ◊

4 2

3

4

5

6

7

8

p polinomfokszám 6.15. ´ abra: Az e relat´ıv hiba v´ altoz´ asa a p polinomfoksz´ am f¨ uggvényében (iterh = 1)

2.00

1.33

y koordináta [mm]

0.67

.

0.00

−0.67

Hertz istep = 2 istep = 4

−1.33

istep = 6 −2.00 −2.00

−1.33

−0.67

0.00

0.67

1.33

2.00

x koordináta [mm]

6.16. ´ abra: Az érintkezési tartomány v´ altoz´ asa nemszimmetrikus esetre (iterh = 1)


88

370

Hertz pn érintkezési nyomás [M P a]

333 296

−σz

259

−c · d−

222 185 148 111 74 37 0 −3.0

. −1.7

−0.4

0.9

2.2

3.5

4.8

6.1

7.4

8.7

10.0

x koordináta [mm] ´ 6.17. ´ abra: Erintkez´ esi nyomás eloszlása nemszimmetrikus esetre (iterh = 1)

Mivel a legkisebb e relat´ıv hib´ at a p = 8-n´ al kaptuk, a tov´ abbiakban a fenti érintkezési feladat k¨ ozel´ıt˝ o megoldásának a p = 8 foksz´ am alkalmazásával kapott eredményeket fogjuk tekinteni. A 6.16. a´bra megjelen´ıti a Hertz-féle ¨ osszef¨ uggések által szám´ıthat´ o érintkezési tartományt – amely kör alak´ u –, illetve a numerikus u ´ton meghat´ arozott érintkezési tartom´ any hat´ ar´ at le´ır´ o zárt B-spline g¨ orbét az iterációs folyamat során, az istep = 2, 4, 6 lépésekben. Az ábr´ ab´ ol l´ athat´ o, hogy a 4. és a 6. lépés k¨ oz¨ ott val´ oj´ aban már nem v´ al¨ tozik a kialakult érintkezési tartomány. Osszességében azonban azt állap´ıthatjuk meg, hogy a Hertz-féle elmélet alapj´ an szám´ıthat´ o k¨ orh¨ oz képest minden ir´ anyban jelent˝ os k¨ ulönbségeket tapasztalunk, mely csak azzal magyarázhat´ o, hogy a vizsg´ alt tartom´ any és a kialakult érintkezési tartomány méretei ¨ osszemérhet˝ok egymással, mivel az alsó test véges méret˝ u. L´ athat´ o tov´ abb´ a, hogy a kontaktelemek hat´ ar´ anak érintkezési tartományhat´ arra val´ o pozicion´ al´ asával nagy pontoss´ ag´ u numerikus eredményeket kapunk. A 6.17. ábra a k¨ ul¨ onoz˝o módon meghat´ arozott pn érintkezési nyomás eloszlását szemlélteti az x koordin´ ata b¨ f¨ uggvényében (az y = 0 mentén). Az ábr´ ab´ ol kiolvashat´ o, hogy az aszimetrikus benyomód´ as miatt a Hertz-t˝ol származtatott nyom´ asképhez viszony´ıtva eltérést tapasztalunk ennél a feladatn´ al. A nemszimmetrikus elrendezés˝ u feladatra vonatkoz´ o elmozdulásmez˝ot grafikus form´ aban a 6.18. a´bra jelen´ıti meg. Láthat´ o, hogy a kialakul´ o érintkezési tartomány alakj´ at befoly´ asolja a hasáb oldallapjain tapasztalhat´ o deform´ ació, ezzel magyarázhat´ o a kialakult kontakttartom´ any jellege. Az elmozdulásmez˝ohöz hasonl´ o nézetben szemlélteti a 6.19. ábra a származtatott fesz¨ ultségmez˝ot. Mint az leolvashat´ o ezen térbeli ábr´ ab´ ol, a kialakult fesz¨ ultség eloszlása kismérték˝ u oszcillációval terhelt az érintkezési tartom´ any hat´ ar´ an. Ennek a hull´ amzásnak a csökkentésére csak az érintkezési határ menti elems˝ ur´ıtéssel volna lehet˝oség.

Nemszimmetrikus elrendezés˝ u feladat

89

[mm] 4.00 · 10−3 3.04 · 10−3 2.08 · 10−3 1.12 · 10−3 1.61 · 10−4

6.18. ´ abra: A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o nemszimmetrikus elrendezésnél (iterh = 1, p = 8)

[M P a] 335.37 251.53 167.69 83.84 2.520 · 10−3

6.19. ´ abra: A −σz fesz¨ ultségmez˝o nemszimmetrikus elrendezésnél (iterh = 1, p = 8)

A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelési esetekhez tartozóan (l´ asd a 6.1. tábl´ azatot) – hasonlóan a szimmetrikus terhelési esethez –, el˝oáll´ıtottuk az eredményeket, de az ezekhez tartozó eredményképeket a C. f¨ uggelék: C.21 – C.36. ábr´ ai mutatj´ ak. Itt csak egy, a szám´ıt´ asok asát seg´ıt˝ o ábr´ at k¨ ozl¨ unk arra vonatkoz´ oan, hogy az érintkezési tartom´ any összehasonl´ıt´ mérete hogyan v´ altozik a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelési esetekhez tartozóan. A 6.20. a´bra szemlélan j´ osolt kör alak´ u teti, hogy az iterh = 1 terhelési esethez felrajzolt Herz-féle elmélet alapj´ érintkezési tartományhoz képest hogyan alakul a numerikusan meghat´ arozott eredmény.


90

A 6.20. ábr´ ab´ ol kit˝ unik, hogy a terhelés növelésével az érintkezési tartomány alakja a u k¨ orh¨ oz viszony´ıtva, nem line´ aris módon, torzul. Az iterh = 1 terhelési esetre sem kör alak´ érintkezési tartom´ anyt szám´ıtott ki a program, ahogy ez az a´br´ ab´ ol l´ athat´ o.

2.47

y koordináta [mm]

1.68

0.89

Hertz, iterh = 1

.

0.10

iterh = 5 iterh = 4

−0.69

iterh = 3 iterh = 2

−1.48

iterh = 1 −2.27 −2.28

−1.49

−0.70

0.10

0.89

1.68

2.47

x koordináta [mm] ´ 6.20. ´ abra: Erintkez´ esi tartom´ any változása, nemszimmetrius terhelési esetekre

6.3.

´ Altal´ anos geometri´ aj´ u b´ elyegfeladat

Ebben a részben olyan érintkezési feladatot vizsg´ alunk meg, amikor a fels˝ o merev bélyeg fel¨ ulete két paraboloid szuperpoz´ıciój´ aval áll´ıthat´ o el˝o. A bélyeg elhelyezése olyan, hogy terhelés el˝ott az alsó rugalmas has´ ab közepével egy pontban érintkezik. A bélyeg fel¨ uletét a k¨ ovetkez˝o ¨ osszef¨ uggéssel definiáltuk: # z = a0 x2 + b1 (y − yc )2 ha y ≤ yc , (6.4) z = a0 x2 + b2 (y − yc )2 ha y > yc , uk: melyben a0 , b1 , b2 és yc paramétereket a következ˝o értékre rögz´ıtett¨ a0 = 6 · 10−4 ,

yc = 0 mm ,

b1 = 7 · 10−4 ,

b2 = 3 · 10−4 .

A 6.21. és 6.22. ábr´ akon e f¨ uggvény x és y tengelyek menti meridi´ an metszeteit l´ athatjuk, m´ıg a 6.23. ábra a merev bélyeg paraboloid fel¨ uletét térben szemlélteti. ugg˝ oleges −z-ir´ any´ u elmozA terhelés a merev bélyegre megadott w0 = 5 · 10−3 mm f¨ dul´ asmez˝o. A létrej¨ ov˝ o alakv´ altoz´ asok kicsik, azonban a kialakul´ o érintkezési tartomány mérete nem elhanyagolhat´ o a rugalmas als´ o test méretéhez képest, illetve a kialakuló érintkezési

´ Altal´ anos geometri´ aj´ u bélyegfeladat

91

tartom´ any alakj´ ara sem tudunk el˝ ozetes feltételezéseket tenni, mint a kor´ abbi péld´ akn´ al. Tehát ezen nem-Hertz-feladat megold´ asához csak numerikus u ´ton fogunk közel´ıteni.

16e−3

z koordináta [mm]

14e−3 12e−3 10e−3 8e−3 6e−3 4e−3 2e−3 0 −5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x koordináta [mm] 6.21. ´ abra: A paraboloid fel¨ ulet˝ u bélyeg x tengely menti meridián metszete

18e−3

z koordináta [mm]

16e−3 14e−3 12e−3 10e−3 8e−3 6e−3 4e−3 2e−3 0 −5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

y koordináta [mm] 6.22. ´ abra: A paraboloid fel¨ ulet˝ u bélyeg y tengely menti meridi´ an metszete

A rugalmas testre vonatkozó anyagjellemz˝ok: E2 = 2.1 · 105 M P a a rugalmass´ agi ab geometriai adatok tekintetében modulus és ν2 = 0.3 a Poisson-szám. A rugalmas has´ megegyezik az el˝oz˝o problémán´ al megadottakkal (l´ asd a 6.1. ábr´ an). A szám´ıt´ as során a untet˝ oparaméter értékkel dolgozunk. A numerikus sz´ am´ıt´ as pontos´ıt´ asát a c = 50 · E2 b¨ közel´ıt˝ o polinomok p fokszámának növelésével érj¨ uk el. A legpontosabb megold´ ast jelen esetben is a p = 8 közel´ıt˝ o polinomfoksz´ amhoz tartozóan kaptuk meg. Az iterációs megoldás során kisz´ amolt érintkezési tartom´ anyok alakoan. Az és méretváltozását szemlélteti a 6.24. ábra az istep = 2, . . . , 5 iterációkhoz tartoz´


92

istep = 5 lépésben teljes¨ ult a (6.2) érintkezési nyomásra vonatkoz´ o kilépési feltétel, mely altal megkaptuk a feladat megold´ ´ asát.

z

x y

6.23. ´ abra: A paraboloid fel¨ ulet˝ u merev bélyeg alakja

3.88

y koordináta [mm]

2.85

1.82

0.79

. −0.24

istep = 2

−1.27

istep = 3 −2.30 −2.59

−1.73

−0.87

−0.00

0.86

1.73

2.59

x koordináta [mm]

6.24. ´ abra: Az érintkezési tartomány v´ altoz´ asa (w0 = 5.0 · 10−3 mm)

istep = 4 istep = 5


93

Az ekkor kiszám´ıtott megoldáshoz tartozó x tengely mentén v´ altozó érintkezési nyomást – az y = 0 mentén – a 6.25. ábra mutatja. Az a´bra szemlélteti még a Hertz-féle osszef¨ uggések alapj´ an kisz´ am´ıthat´ o maximális nyom´ asértékhez tartozó nyom´ aseloszlást, ¨ ovalamint az általunk ´ırt program seg´ıtségével meghatározott −σz és −c d− alapján el˝ oáll´ıtott érintkezési nyomás között all´ıtott pn érintkezési nyomást. A kétféle módon el˝ ´ tapasztalhat´ o eltérés a p polinomfoksz´ am változtatásával jelent˝ os mértékben csökkent. A 6.26. ábra a (6.1) ¨ osszef¨ uggéssel feláll´ıtott e relat´ıv hiba értékeit mutatja k¨ ulönböz˝o polinomfoksz´ amokhoz tartoz´ oan.

pn – érintkezési nyomás [M P a]

370 333 296 259 222 185 148 111 74 37 0 −5

. −4

−3

−2

−1

0

Hertz 1

2

3

4

5

−σz c · d−

y koordináta [mm]

6.25. ´ abra: Az érintkezési nyomás változ´ asa az x tengely mentén (w0 = 5.0 · 10−3 mm)

40 36 ◊

e relat´ıv hiba [%]

32 28

◊

24 20 ◊ 16 12

◊

8

◊

4

◊

◊

7

8

0 2

3

4

5

6

p polinomfokszám 6.26. ´ abra: Az e relat´ıv hiba v´ altoz´ asa (p = 2 . . . 8)

94


[mm] 5.00 · 10−3 3.84 · 10−3

2.67 · 10−3

1.51 · 10−3

3.42 · 10−4

6.27. ´ abra: A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o (w0 = 5.0 · 10−3 mm, p = 8)

[M P a] 355.22

266.42

177.61

88.81

8.18 · 10−3

6.28. ´ abra: A −σz fesz¨ ultségmez˝o (w0 = 5.0 · 10−3 mm, p = 8)


95

Az el˝oz˝oekben fel´ all´ıtott és megoldott péld´ akhoz hasonl´ oan, itt is el˝ oáll´ıtottuk az als´ o testre vonatkoz´ o z tengely ir´ any´ u elmozdul´ asokat és fesz¨ ultségeket. A kialakult mez˝oket grafikus form´ aban a 6.27. és a 6.28. ábr´ ak jelen´ıtik meg. Nagyon j´ ol láthat´ o az elmozdul´ asi-, illetve a bel˝ ole származtatott fesz¨ ultségképekb˝ ol az alakv´ altozás jellege és a kialakult nyom´ aseloszlás térbeli lefut´ asa, melynek a mindössze 4 %-os hibával val´ o megold´ asához csak az elemhatárok pontos érintkezési-elvál´ asi hat´ arra val´ o illesztésével és p = 8 nagyfok´ u k¨ ozel´ıt˝ o polinomok alkalmaz´ asával jutottunk el. A 6.27. ábr´ an kirajzolt elmozdul´ asmez˝o jelen esetben is 100-szoros nagy´ıt´ asban ker¨ ult ábr´ azolásra a jobb l´ athat´ oság miatt, de az ábr´ an jelzett skála mutatja a val´ oságos at. elmozdul´ asok nagyság´ A kiszám´ıtott elmozdul´ asmez˝ob˝ ol deriv´ al´ assal el˝oáll´ıtott fesz¨ ultségmez˝o z tengely ir´ any´ u értékében kismérték˝ u hull´ amzást tapasztalunk az érintkezési tartom´ any hat´ ar´ an, mely az alkalmazott elemek kis számával magyar´ azható. A s´ıkbeli péld´ akban tapasztaltak alapj´ an azt mondhatjuk, hogy ez jelent˝ os mértékben csökkenthet˝ o azáltal, ha a rés-érintkezési hat´ aron tov´ abbi kisméret˝ u elemeket vesz¨ unk fel.

7. fejezet ¨ ´s Osszefoglal a

A line´ aris rugalmass´ agtan keretei között vizsgált érintkezési feladatok nagypontoss´ ag´ u numerikus megold´ asára jól haszn´ alhat´ o a p-verziós végeselem-módszer. A kontaktfeladat p-verzi´ os elemekkel t¨ ortén˝o diszkretizál´ asa rendk´ıv¨ ul el˝ onyös, mivel az eredmények tekintetében gyors konvergenci´ at mutat, másrészt a magasfok´ u leképzés pontos geometriát ny´ ujt az alakoptimaliz´ al´ as elvégzéséhez. Azokn´ al a feladatokn´ al, ahol a kialakul´ o érintkezési tartomány jellemz˝ o mérete a kölcs¨ onhat´ asban résztvev˝o testek méretéhez képest jóval kisebb – ilyen az általunk vizsg´ alt g¨ org˝ o alak´ u testek érintkezési feladata –, a rugalmas féltérre vonatkoz´ o megoldások j´ ol alkalmazhat´ ok. altunk meg: A végeselem-módszer felhasznál´ asával két f˝o érintkezési feladatt´ıpust vizsg´ 1. Bélyegszer˝ u (forg´ astestek) alakoptimalizál´ asa kapcsán számos u ´ j, optimaliz´ al´ asi feladat ker¨ ult fel´ all´ıt´ asra, és megoldásra az anyagra megengedett fesz¨ ultségi korl´ at figyelembevételével. 2. A h´ aromdimenziós érintkezési feladatok kapcs´ an teljesen u ´jszer˝ u hat´ arpoz´ıcionál´ asi technik´ at vezett¨ unk be annak érdekében, hogy az elemek teljes egészében a kialakult érintkezési tartományon bel¨ ul vagy k´ıv¨ ul helyezkedjenek el. Az általunk fel´ all´ıtott alakoptimaliz´ al´ asi feladatokat az érintkezésben résztvev˝o anyagokra vonatkoz´ o fesz¨ ultségi mellékfeltétellel láttuk el. Ennek a figyelembevételéhez egy meglév˝o iterációs alakoptimaliz´ asi algoritmust kiegész´ıtett¨ unk, ez´ altal egy u ´j, lineariz´ aciu iter´ ació. ora ép¨ ´ ul˝ o iter´ aciós elj´ ar´ ast dolgoztunk ki, ez a 2. t´ıpus´ A tengelyszimmetrikus testek érintkezési feladat´ anak megold´ asa ut´ an, az általunk vizsg´ alt mennyiségek optimaliz´ al´ asa érdekében az érintkez˝o testek alakját nyom´ asvezérlés seg´ıtségével oly módon v´ altoztatjuk, hogy a kit˝ uzött célf¨ uggvénynek megfeleljen a numerikus megold´ as. A g¨ org˝ o alak´ u testek alakoptimaliz´ al´ asát módos´ıtott nyom´ asvezérl˝ o f¨ uggvény seg´ıtségével hajtjuk végre olyan esetekre, amikor a testek terhelése nem szimmetrikus és emiatt az optimalizál´ as nélk¨ uli g¨ org˝ ok terheléshez közeli végeinél a norm´ al fesz¨ ultségekben nagy szingul´ aris értékeket tapasztaltunk. Megvizsgáltuk a s´ url´ od´ as hat´ asát a görd¨ ul˝ o elemek optim´ alis alakj´ anak meghat´ arozásakor. A numerikus szám´ıt´ asi tapasztalatok j´ ol mutatj´ ak, hogy p-verziój´ u végeselemek haszn´ alatakor a magasfok´ u polinomok feler˝ os´ıtik a szingularit´ asok hat´ asát, oszcillációt okoznak ´ a megoldásban. Erintkez´ esi feladatok esetén ez a fesz¨ ultségmez˝oben tapasztalhat´ o hull´ amzás jelent˝osen cs¨ okkenthet˝ o, ha az Sc érintkezési tartományt teljesen lefedik a végeselemek, ul azaz nincs olyan elem, amelynek egy része az Ωp tényleges érintkezési tartományon bel¨ anyba esik. van, m´ıg a másik része az Ω0 réstartom´ Ez más szóval azt jelenti, hogy a kezdeti C t´ıpus u ´ feladatot – mely alatt azt értj¨ uk, hogy a deriv´ altbeli szakad´ as nem esik az elemhatárra, azaz az elemen bel¨ ul van – a´t kell

´ tudom´ Uj anyos eredmények ¨ osszefoglal´ asa

97

alak´ıtani B t´ıpus u ´ feladatra, amikor is az eml´ıtett szakadás az elemhatárra esik. Ehhez az anyra kifut´ o elemek alakját meg kell változtatni. Sc tartom´ A térbeli érintkezési tartomány hat´ ar´ at egyetlen, paraméteres térgörbével ´ırjuk le. A spline technika alkalmazása nagy hatékonys´ ag´ u, u ´jszer˝ u modellezési módszer az érintkezés problémáj´ anak kezelésére. Nagy el˝onye, hogy tetsz˝ oleges alak´ u sima görbét lehet vele el˝o´ all´ıtani és mind¨ ossze néhány vezérl˝o paraméterrel rendk´ıv¨ ul rugalmas módon v´ altoztathat´ o. Az elemhatár-mozgatási technik´ at mind a tengelyszimmetrikus kétváltozós alakoptimalizál´ asi példákn´ al, mind a h´ aromv´ altoz´ os érintkezésre vonatkozó kontakt feladatokn´ al ´ felhaszn´ aljuk. Altal´ anos, h´ aromdimenziós érintkezésre vonatkozó feladatmegold´ as a splineuttes alkalmazásával ezid´ aig az irodalomban ok és az iterációs pontos´ıt´ o poz´ıcion´ al´ as egy¨ nem ismert. Sz´ am´ıt´ ogépes program ker¨ ult kidolgoz´ asra mind a kétváltozós optimalizál´ as, mind a h´ aromdimenzi´ os érintkezés p-verziós végeselem módszerrel történ˝o vizsgálat´ ara. A bemutatott technik´ ak iter´ aciós eljár´ asokra ép¨ ulnek, melyek során az érintkezésben szerepet j´ atszó elemek mozgatását az algoritmus adapt´ıv” módon finom´ıtja a lehet˝ o legjobb megol” d´ as elérése érdekében. A numerikus sz´ am´ıt´ asok a két-, illetve a h´ aromv´ altoz´ os feladatokn´ al egyar´ ant igazolt´ ak, hogy nagypontoss´ ag´ u megoldás p-verziój´ u elemek használat´ aval csak alt – akkor érhet˝o el, ha a szám´ıt´ asokat az Ωp tényleges érintkezési altartományra lokaliz´ transzform´ alt – elemhat´ arokkal végezz¨ uk el.

7.1.

´ tudom´ Uj anyos eredm´ enyek ¨ osszefoglal´ asa

Az értekezés u ´ j tudom´ anyos eredményeit az alábbi tézisek foglalj´ ak össze: 1. Nyom´ asvezérlést felhasználva u ´j érintkezési-optimalizációs feladatok nyertek megfogalmazást a bélyeg t´ıpus´ u érintkezési feladatok esetén, a reduk´ alt fesz¨ ultségre vonatkozó korl´ attal, melyeket a 7.1. t´ abl´ azat sorol fel 1, 2, 6, 7.

7.1. t´ abl´ azat: Optimaliz´ alt mennyiségek

w0

el˝o´ırt elmozdulás maximalizál´ asa

Fp

o o er˝o maximaliz´ al´ asa ¨sszeszor´ıt´ atvihet˝ ´ o csavarónyomaték maximalizál´ asa

MT D

s´ url´ od´ asi veszteség minimalizál´ asa

2. Az 1. tézisben megfogalmazott optimalizációs feladatokra iter´ aciós módszer ker¨ ult kifejlesztésre. A kidolgozott technika több egym´ ast követ˝ o iterációb´ ol áll. Az 1. t´ıpus´ u iter´ ació végzi az alakoptimalizál´ ast – lerögz´ıtett vezérl˝oparaméterek mellett –, m´ıg a 2. t´ıpus´ u iter´ ació a bevezetett fesz¨ ultségi korl´ at kielég´ıtését szolgálja, mely alapvet˝oen a linearizál´ as elvén m˝ uködik. A nemline´ aris optimaliz´ al´ asi feladat megold´ as´ ara javasolt iter´ aciós technika konvergenci´ aj´ at a kidolgozott végeselemes program numerikus sz´ am´ıt´ asai igazolj´ ak 1, 7, 12. u testek u ´ jszer˝ u alakoptimaliz´ al´ asa a rugalmas féltér hatásmátrixa alapj´ an 3. G¨ org˝ o alak´ 1, 5: (a) A g¨ org˝ o alak´ u testek nyomásvezérl˝o f¨ uggvénnyel történ˝o alakoptimaliz´ al´ asára u ´j, módos´ıtott vezérl˝o f¨ uggvény ker¨ ult kidolgoz´ asra az f2 és f3 paraméterek bevezetésével, s´ url´ od´ as nélk¨ uli esetben. A nyomásvezérléssel m˝ uköd˝ o optimalizál´ ast a kidolgozott szám´ıt´ ogépi program numerikus szimul´ acióval mutatja be.

¨ ´s 7. Osszefoglal a

98

(b) A g¨ org˝ o alak´ u testek alakoptimaliz´ al´ asa a nyomás vezérlése mellett, a s´ url´ od´ as hat´ asának figyelembevételével történt. Ehhez szám´ıt´ ogépes program kész¨ ult, a Kalker ´ altal kidolgozott FORTRAN nyelv˝ u program felhaszn´ al´ asával. 4. A háromdimenziós érintkezési feladat u ´j numerikus kezelése 3, 4, 9, 10. (a) Az egyszeresen ¨ osszef¨ ugg˝ o tényleges érintkezési tartom´ anyok esetén a kialakul´ o térbeli érintkezési tartom´ any hat´ argörbéje egyetlen paraméteres – B-spline, vagy NURBS – térg¨ orbével ker¨ ult le´ır´ asra. A véges szám´ u érintkezési-elvál´ asi o görbe el˝oáll´ıt´ asa a kontrollpontokat egyérpontokra illeszked˝o zárt interpol´ al´ telm˝ uen meghat´ arozó algebrai egyenletrendszer fel´ all´ıt´ asával és annak megold´ asával t¨ orténik, ennek elvégzésére szám´ıt´ ogépes program ker¨ ult kifejlesztésre. arra val´ o pozicion´ al´ ashoz egy u ´j tech(b) Az Ωp tényleges érintkezési tartományhat´ nika ker¨ ult kidolgoz´ asra. Az elemhatárok elv´ al´ asi- és réshatárra val´ o illesztéséhez egy adapt´ıv” elven m˝ uköd˝ o, hatékony iter´ aciós algoritmus lett létrehozva, ” mely a linearizál´ as elvén alapszik. Ezáltal a p-verziós elemek alkalmazása tov´ abbra is exponenci´ alis konvergenci´ at eredményez a hibanorma tekintetében. (c) A p-verziój´ u végeselemeket felhasznál´ o, Fortran 90 nyelven meg´ırt szám´ıt´ ogépi programban, olyan – az irodalomb´ ol nem ismert – algoritmus ker¨ ult kidolgozásra, amely a b¨ untet˝ oparaméteres technikával megoldott érintkezési feladat eredményeinek birtok´ aban – lineariz´ al´ assal, ler¨ ogz´ıtett vonalak mentén megkeresi az interpolációs pontokat, – el˝oa´ll´ıtja az interpol´ aciós spline-t, anyt – a hibanégyzet minimuma elv révén megkeresi az érintkezési tartom´ magába foglal´ o végeselemek leképzési paramétereit, – el˝o´ all´ıtja az u ´j méret˝ u végeselemeket, azaz az u ´ j elemhál´ ozatnak megfelel˝ oen felép´ıti az elemek merevségi mátrix´ at, reduk´ alt terhelési vektorát, majd a kor´ abbi végeselemes programokban is szerepl˝ o lépések (algoritmus) révén megoldja az érintkezési feladatot.

7.2.

Tov´ abbfejleszt´ esi ir´ anyok, lehet˝ os´ egek

Els˝ osorban a h´ aromv´ altoz´ os feladatok tekintetében adunk meg tov´ abbfejlesztési lehet˝oségeket. Az elvégzett numerikus szimulációk sor´ an utaltunk r´ a, hogy a fesz¨ ultségmez˝oben tapasztalhat´ o hull´ amzás – kétdimenziós tapasztalataink alapj´ an – annak tudhat´ o be, hogy az érintkezés-elvál´ asi tartom´ anyhat´ aron nagyméret˝ u elemeket alkalmaztunk. Egyik tov´ abbfejlesztési cél, hogy ezen hat´ ar közelében adapt´ıv” elems˝ ur´ıtést hajtsunk ” végre a további pontos´ıt´ as érdekében. A vizsgált feladatokban a kialakul´ o érintkezési tartományt u ´gy tekintett¨ uk, hogy az egyszeresen ¨ osszef¨ ugg˝ o. Elviekben lehetséges azonban olyan geometriai kialak´ıt´ as is a k¨ olcs¨ onhat´ asban résztvev˝o testeknél, amikor az érintkezési helyek nem ´ırhat´ ok le egyetlen folytonos zárt g¨ orbével. Ekkor sz¨ ukség lehet több zárt térgörbe bevezetésére az érintkezési tartom´ anyok azonos´ıt´ asa miatt. További lehet˝ oség az is, hogy s´ url´ od´ asos érintkezési feladatokn´ al, az egyetlen zárt érintkezési tartományon bel¨ ul vizsg´ aljuk a tapad´ asi és a cs´ uszási altartom´ anyok elhelyezkedését. Ezek azonos´ıt´ asa szintén csak t¨ obb z´ art, vagy kapcsol´ od´ o térgörbével lehetséges. A rugalmas-képlékeny anyagmodell˝ u feladatok vizsg´ alata is megköveteli a képlékeny alakv´ altozási altartományok pontos azonos´ıt´ asát. A hat´ arvonalak, fel¨ uletek prec´ız le´ır´ asára szintén alkalmasak a paraméteres térgörbék.

Tov´ abbfejlesztési ir´ anyok, lehet˝ oségek

99

Nyitott kérdés a rugalmas-képlékeny anyag´ u testekb˝ ol felép´ıtett mechanikai rendszerek érintkezési feladat´ anak poz´ıcionál´ asi technikát alkalmaz´ o – p-verziós elemek melletti – megold´ asa el˝osz¨ or kétdimenziós, majd háromdimenziós feladatokn´ al. Ez ut´ obbi esetben a képlékenyen alakv´ altozott testrész zárt fel¨ ulettel hat´ arolt, melynek le´ır´ asára az interpol´ al´ o NURBS fel¨ uletek alkalmasak lehetnek. Természetesen térbeli feladatok kapcs´ an is fel´ all´ıthat´ ok érintkezési-optimalizációs feladatok, melyek vizsgálata szintén egy lehetséges továbbfejlesztési iránya a jelen disszertációban elért eredményeknek.

Summary

The p-extension of the finite element method can be well applicable for solving contact problems in linear elasticity with high accuracy. The discretization of the contact domain with these elements is advantageous since it results in fast convergence and the high order mapping assures accurate geometry for shape optimization. In the case of problems, where the resulting contact domain is much smaller than the bodies in contact, the solution can be achieved by using the formulae based on the elastic half space theory. In the thesis two different contact tasks are examined with the use of finite element method. 1. In connection with shape optimization of punch (axially symmetric) problems several new contact optimization tasks are presented with an additional condition for taking the ultimate stress of the real material into account. 2. For three dimensional contact problems a new border positioning technique is introduced to ensure that the edges of elements coincide with the border of the contact domain. The new contact optimizations have a stress based condition. To take the stress condition into account during shape optimization a new iterative procedure – named as 2nd -type iteration – is introduced which is based on a simple linearization. To carry out axially symmetric optimizations the shape of the contacting particles are modified by a control function which controls the contact pressure distribution. The shape optimization of non-centrally loaded rollers are also investigated. The peak values in stresses at the ends of the rollers can be minimized by controlling the contact pressure. The effect of friction is also examined in the case of centrally loaded rolling elements. However, the conclusion is that the influence of friction is not significant for the optimal shape. Numerical experiments show that the use of high order p-extension finite elements results in oscillation near singular points or edges. In the case of contact problems the calculations can be achieved more precisely by using finite elements which are aligned along the border of contact and separation zones. It means that the numerical procedure ensures that an element is either in full contact, or non-contacting at all, i.e. the initial C-type problem is transformed into B-type task. To describe the contact border in three dimensions a spline curve is used. The application of spline technique ensures high effectiveness and a new modelling method for solving problems in contact mechanics. A general solution for three dimensional contact problems using spline positioning is not known in scientific literature so far. A computational program is developed for solving shape optimizations in two dimensions and for handling contact problems with p-extension elements in three dimensions. The proposed algorithms are based on iterational techniques in which the elements are positioned automatically i.e. adaptively in order to achieve more precise results.

101

Summary

The numerical experiments, both in two and three dimensions, prove that highly accurate solutions can only be given with p-extension finite elements if the calculations use only the elements which are transformed to the contact border. The new scientific results of the dissertation are summarized by the following theses 1. By controlling the contact pressure new contact optimization tasks are defined in the case of the contact of axially symmetric bodies which allow for considering the stress constraint of the material. The optimized quantities are llisted in Table 1. Table 1 Quantities to be optimized w0

maximization of the prescribed displacement

Fp

maximization of the compression force

MT D

maximization of torque minimization of frictional power lost

2. For the solution of the optimization tasks defined in thesis 1 a new iterational technique is developed. The introduced method consists of two different sequential iterations. The 1st -type iteration performs shape optimization with fixed control parameters; while the 2nd -type iteration fulfills the condition for the stress constraints, which operates mainly in a linear way. The convergence of the proposed iterational technique, which solves a non-linear optimization, is proved by numerical experiments resulting from finite element calculations. 3. The shape optimization of rolling elements is achieved on the basis of the elastic half space theory. (a) When friction is not taken into account, by controlling the contact pressure distribution the shape of a rolling element is optimized by a modified control function. The optimization process is illustrated by numerical experiments. (b) The shape of a rolling element is optimized by pressure control in which the effect of friction is also taken into account. Numerical calculations demonstrate the results of the proposed algorithm. 4. Handling three dimensional contact problems in a new numerical way. (a) The border of the resulting single connected contact domain is limited by a parametric curve which can be a closed B-spline or NURBS curve. To ensure the interpolation through the contact separation points, a linear algebraic equation system is set and must be solved. A computational program is developed to illustrate interpolation numerically. (b) To position the contact elements along the resulting contact border, a new iterational technique is introduced. The edges of the elements are aligned to the contact separation zone in an adaptive way which ensures accurate convergence in the solution. Henceforward the application of the p-extension finite elements in three dimensions with elements’ positioning produces exponential convergence. (c) Using three dimensional p-extension finite elements a new – previously unknown in scientific literature – algorithm is developed which is coded in Fortran 90. On the basis of the solution of the contact problem, which is resolved by a penalty method, the program operates in the following way: – the interpolation points are searched along a prescribed direction with linear approximation,

102

Summary

– an interpolation spline is generated, – the parameters for the approximation of the finite elements are produced on the basis of least square method, – the newly formed finite elements and the mesh are generated together with the element stiffness and load matrices, then the contact problem is solved on the basis of the steps (algorithm) used in previous finite elements programs.

ń´ıta ´s ¨ szo ¨ netnyilva Ko

Mindenekel˝ ott szeretném k¨ oszönetemet ez´ uton is kifejezni témavezet˝omnek, Páczelt István professzornak, aki bevezetett engem a tudom´ anyos életbe, és u ´ tmutat´ ast ny´ ujtott sz˝ ukebb kutat´ asi ter¨ uletem kiválasztásához. A disszertációm elkész´ıtéséhez sz¨ ukséges szakmai alapokat a Miskolci Egyetem Mechanikai Tanszéke jelentette, ´ıgy köszönet illeti a Tanszék szinte valamennyi munkatársát. K¨ ul¨ on kiemelném azonban els˝o mechanika tan´ aromat Nándori Frigyest, aki két éven át oktatott szakirányos hallgat´ oként, és a Mechanikai Tanszéken marasztalt. ¨ om volt számomra, hogy a Tanszék vezet˝ojét˝ol Szeidl György professzort´ Or¨ ol az értekezés meg´ır´ asa során folyamatos t´ amogatást kaptam. Köszönöm Kozák Imre és Ecsedi István professzorok ép´ıt˝ o kritikai megjegyzéseit, melyeket a disszertációm alapos átolvasása ut´ an kaptam. A numerikus k´ısérletek sikeres elvégzéséhez ny´ ujtott legnagyobb t´ amogatást Szab´ o Tamás tudom´ anyos f˝ omunkat´ arsnak köszönhetem, aki idejét nem k´ımélve seg´ıtett nekem a programhib´ ak felder´ıtésében. K¨ osz¨ onettel tartozom tov´ abb´ a az Országos Tudom´ anyos Kutat´ asi Alap által az OTKA T037759 pályázaton ny´ ujtott t´ amogatásért, valamint a Magyar Tudom´ anyos Akadémia fiatal kutat´ oi ¨ oszt¨ ond´ıjjal nyert munka lehet˝ oségért. S vég¨ ul, de nem utols´ o sorban köszönöm feleségemnek Erik´ anak, hogy amellett, hogy a disszertációm alapos nyelvi lektor´ al´ asát” els˝oként elvégezte, folyamatos biztos t´ amaszt ” jelent számomra.

T´ abl´ azatok jegyz´ eke

4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Paraméterértékek m = 8 interpol´ aciós ponthoz Ciklikus csom´ oérték vektor (p = 4, m = 8) . . . Interpol´ aciós pontok koordin´ at´ ai . . . . . . . . Numerikusan el˝ o´ all´ıtott kontrollpontok . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

44 45 46 47

5.1. K¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelések esetén szám´ıtott megoldások a P7 feladatra . . . . . 65 5.2. K¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelések esetén szám´ıtott megoldások a P9 feladatra . . . . . . 67 as . . . . . . . . . . 76 6.1. K¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelési esetekhez tartozó w0 el˝o´ırt elmozdul´ 6.2. K¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelési esetekhez tartozó Hertz-féle közel´ıt˝ o megold´ asok . . . 77 6.3. K¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelési esetekhez tartozó numerikus megold´ asok (p = 8) . . . . 82 7.1. Optimaliz´ alt mennyiségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A.1. A.2. A.3. A.5.

Egydimenzi´ os Lagrange-féle alakf¨ uggvények p = 1, 2, 3 . . . . Egydimenzi´ os Legendre-féle alakf¨ uggvények p = 1, . . . , 6 . . . asában haszn´ alt indexértékek . . . . . . . . . . Az f1 él vonatkoz´ Az elem bels˝o alakf¨ uggvényeinél haszn´ alt indexértékek . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

113 114 120 120

´ Abrajegyz´ ek

1.1. Hasáb alak´ u test mozgatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. K˝ot¨ omb mozgatása az ókori Egyiptomban . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3

2.1. Két test érintkezési feladata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2. Két test lehetséges érintkezése: a.) norm´ al; b.) érint˝ o ir´ any´ u mennyiségek . 11 2.3. Tapad´ as és cs´ uszás az érintkezési tartom´ anyon . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

atarendszerek . Térbeli glob´ alis (x, y, z) és térbeli lok´ alis (tx , ty , nc ) koordin´ asértékek k¨ ozel´ıtései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pn nyom´ Feltételezett érintkezési tartom´ any jellemz˝ o méretei . . . . . . . . . . . . . Figyelembe vehet˝o szimmetria esetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fikt´ıv hengerek hozzáad´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fikt´ıv hengerek k¨ ul¨ onböz˝o szimmetriák esetén . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1. Három 0-ad fok´ u B-spline alapf¨ uggvény . . . . . . . . . . 4.2. (p − 1)-ed fok´ u B-spline alapf¨ uggvények el˝oáll´ıt´ asi sémája 4.3. Két 1. fok´ u B-spline alapf¨ uggvény . . . . . . . . . . . . . 4.4. Egy 2. fok´ u B-spline alapf¨ uggvény . . . . . . . . . . . . . 4.5. Nyitott 3-ad fok´ u B-spline görbe . . . . . . . . . . . . . . 4.6. R¨ ogz´ıtett vég˝ u 3-ad fok´ u B-spline görbe . . . . . . . . . . 4.7. Zárt 3-ad fok´ u B-spline görbe . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. 3-ad fok´ u B-spline g¨ orbe kontrollpontjainak mozgat´ asa . . 4.9. Az (x, y, w) homogén koordin´ at´ ak értelmezése . . . . . . 4.10. Interpol´ al´ o g¨ orbe és a ti paraméterek kapcsolata . . . . . 4.11. Numerikusan el˝ oa´ll´ıtott z´ art interpol´ al´ o térgörbe . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

5.1. A V (x) nyom´ asmegoszlást vezérl˝o f¨ uggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.2. Erintkez˝ o hengerek geometriai és terhelési jellemz˝oi . . . . . . . . . . . . 5.3. a.) Hengerszer˝ u test és rugalmas féltér érintkezése geometria és terhelés, b.) Feltételezett érintkezési tartom´ any jellemz˝ oi . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. A testek végeselemes felosztása és k¨ ulönböz˝o szám´ıtott jellemz˝ok a P4-es optimaliz´ acióra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. A testek k¨ oz¨ otti kezdeti távols´ ag a P4-es optimalizációra . . . . . . . . . 5.6. A fels˝ o testre meghatározott fesz¨ ultségeloszlások a P4-es optimalizációra 5.7. Végeselemes felosztás és k¨ ulönböz˝o szám´ıtott jellemz˝ok a P7-es optimalizációra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. A testek k¨ oz¨ otti kezdeti távols´ ag v´ altozása a P7-es optimalizációra . . . 5.9. A fels˝ o testre meghatározott fesz¨ ultségeloszlások a P7-es optimalizációra 5.10. Végeselemes felosztás és k¨ ulönböz˝o szám´ıtott jellemz˝ok a P9-es optimalizációra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. A testek k¨ oz¨ otti kezdeti távols´ ag v´ altozása a P9-es optimalizációra . . . 5.12. Fesz¨ ultségmez˝o v´ altoz´ asa a P9-es optimalizációra . . . . . . . . . . . . . as mellett . . . . . . . . . . . . 5.13. G¨ org˝ o alakoptimaliz´ al´ asa álland´ o pn nyom´

. . . . . . . . . . .

20 24 29 29 30 30 33 34 34 35 36 36 37 38 39 41 47

. 49 . 54 . 59 . 61 . 61 . 62 . 63 . 64 . 65 . . . .

66 67 68 69

´ ´k Abrajegyz e

106

5.14. G¨ org˝ o alakoptimaliz´ al´ asa változó pn nyom´ as mellett . . . 5.15. G¨ org˝ o alakoptimaliz´ al´ asa s´ url´ od´ as mellett . . . . . . . . . ´ 5.16. Erintkez´ esi nyomás és a cs´ usztató fesz¨ ultség . . . . . . . 5.17. Cs´ uszási és tapad´ asi tartom´ anyok . . . . . . . . . . . . . . 5.18. Optim´ alis alak s´ url´ od´ asos és s´ url´ od´ as nélk¨ uli érintkezéskor

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

70 71 71 72 72

6.1. Háromdimenziós érintkezési feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. A kijel¨ olt végeselem-felosztások, egyenes és görbe oldal´ u elemekkel . . . . . 6.3. Relat´ıv hiba v´ altozása, k¨ ul¨ onböz˝o p fokszám alkalmazásakor . . . . . . . . . 6.4. A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o (w0 = 4.0 · 10−3 mm, p = 8) . . . . . . . . . . . 6.5. A −σz fesz¨ ultségmez˝o (w0 = 4.0 · 10−3 mm, p = 8) . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Sug´ ar keresése interpol´ acióval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. A kidolgozott 3D-s program egyszer˝ us´ıtett végrehajt´ asi sémája . . . . . . . ´ 6.8. Erintkezési nyomás eloszlása (iterh = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Az érintkezési tartomány v´ altozása (iterh = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 6.10. Erintkezési tartom´ any alakja k¨ ulönböz˝o terhelésekre (iterh = 1, . . . , 5) . . . 6.11. Az e relat´ıv hiba v´ altozása (iterh = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12. A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o (iterh = 1, p = 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13. A −σz fesz¨ ultségmez˝o (iterh = 1, p = 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.14. Geometriai adatok és kezdeti végeselem-hál´ o nemszimmetrikus elrendezésnél 6.15. Az e relat´ıv hiba v´ altozása a p polinomfoksz´ am f¨ uggvényében (iterh = 1) . . 6.16. Az érintkezési tartomány v´ altozása nemszimmetrikus esetre (iterh = 1) . . . ´ 6.17. Erintkez´ esi nyomás eloszlása nemszimmetrikus esetre (iterh = 1) . . . . . . . 6.18. A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o nemszimmetrikus elrendezésnél (iterh = 1, p = 8) 6.19. A −σz fesz¨ ultségmez˝o nemszimmetrikus elrendezésnél (iterh = 1, p = 8) . . . ´ 6.20. Erintkez´ esi tartom´ any változása, nemszimmetrius terhelési esetekre . . . . . 6.21. A paraboloid fel¨ ulet˝ u bélyeg x tengely menti meridi´ an metszete . . . . . . . 6.22. A paraboloid fel¨ ulet˝ u bélyeg y tengely menti meridián metszete . . . . . . . 6.23. A paraboloid fel¨ ulet˝ u merev bélyeg alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.24. Az érintkezési tartomány v´ altozása (w0 = 5.0 · 10−3 mm) . . . . . . . . . . . 6.25. Az érintkezési nyomás változása az x tengely mentén (w0 = 5.0 · 10−3 mm) 6.26. Az e relat´ıv hiba v´ altozása (p = 2 . . . 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.27. A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o (w0 = 5.0 · 10−3 mm, p = 8) . . . . . . . . . . . 6.28. A −σz fesz¨ ultségmez˝o (w0 = 5.0 · 10−3 mm, p = 8) . . . . . . . . . . . . . .

76 77 78 78 79 80 81 82 83 84 84 85 85 86 87 87 88 89 89 90 91 91 92 92 93 93 94 94

A.1. A h-, p- és hp-verziós VEM konvergenci´ aja szingularit´ asokat tartalmazó, kétdimenziós line´ aris rugalmasságtani feladatokra . . . . . . . . . . . . . . . 109 A.2. Kétdimenziós négysz¨ og elem: csomópontok és élek sorszámozása . . . . . . 115 p ,p p ,p A.3. Pascal-h´ aromsz¨ og, pξ = pη = 3 esetén az Stsξ η csonkolt és az Spsξ η teljes tér polinomi´ alis f¨ uggvényeinek halmaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 1 (ξ, η) = 1 (1 − ξ) (1 − η)117 A.4. A (−1, −1) csomóponthoz tartoz´ o alakf¨ uggvény N1,1 4 e1 A.5. Az η = −1 élhez tartozó N2,1 alakf¨ uggvény i = 2 esetén . . . . . . . . . . . 117 A.6. Az i = j = 2-h¨ oz tartoz´ o bels˝o alakf¨ uggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 A.7. a.) Szabads´ agfokok számának v´ altozása egy kétdimenziós négycsomópont´ u p-verzi´ os elem esetén b.) Bels˝ o alakf¨ uggvények aránya százalékosan . . . . 118 A.8. Egy hagyom´ anyos hatoldal´ u térbeli elem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 A.9. a.) Szabads´ agfokok sz´ amának v´ altozása egy háromdimenziós 8 csomópont´ u p-verziós elem esetén b.) A bels˝ o alakf¨ uggvények ar´ anya százalékosan . . . 120 B.1. A tehelés megoszlását félg¨ omb ordin´ at´ ak jellemzik . . . . . . . . . . . . . . 122 B.2. Nemszinguláris pontban érintkez˝o testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 B.3. Rugalmas g¨ omb¨ ok érintkezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

´ ´k Abrajegyz e

C.1. A testek k¨ oz¨ otti távols´ ag v´ altoz´ asa a P10-es optimalizációra . . . . . . . C.2. A fels˝ o testre meghatározott fesz¨ ultségeloszlások a P10-es optimalizációra C.3. A testek k¨ oz¨ otti távols´ ag v´ altoz´ asa a P11-es optimalizációra . . . . . . . C.4. A fels˝ o testre meghatározott fesz¨ ultségeloszlások a P11-es optimalizációra ´ C.5. Erintkezési nyomás eloszlása, szimmetrikus esetben (iterh = 2) . . . . . . . C.6. Az érintkezési tartom´ any v´ altoz´ asa, szimmetrikus esetben (iterh = 2) . . . C.7. A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o, szimmetrikus esetben (iterh = 2) . . . . . . . ultségmez˝o, szimmetrikus esetben (iterh = 2) . . . . . . . . . . . C.8. A −σz fesz¨ ´ C.9. Erintkez´ esi nyomás eloszlása, szimmetrikus esetben (iterh = 3) . . . . . . . C.10.Az érintkezési tartom´ any v´ altoz´ asa, szimmetrikus esetben (iterh = 3) . . . C.11.A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o, szimmetrikus esetben (iterh = 3) . . . . . . . ultségmez˝o, szimmetrikus esetben (iterh = 3) . . . . . . . . . . . C.12.A −σz fesz¨ ´ C.13.Erintkez´ esi nyomás eloszlása, szimmetrikus esetben (iterh = 4) . . . . . . . C.14.Az érintkezési tartom´ any v´ altoz´ asa, szimmetrikus esetben (iterh = 4) . . . C.15.A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o, szimmetrikus esetben (iterh = 4) . . . . . . . ultségmez˝o, szimmetrikus esetben (iterh = 4) . . . . . . . . . . . C.16.A −σz fesz¨ ´ C.17.Erintkez´ esi nyomás eloszlása, szimmetrikus esetben (iterh = 5) . . . . . . . C.18.Az érintkezési tartom´ any v´ altoz´ asa, szimmetrikus esetben (iterh = 5) . . . C.19.A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o, szimmetrikus esetben (iterh = 5) . . . . . . . ultségmez˝o, szimmetrikus esetben (iterh = 5) . . . . . . . . . . . C.20.A −σz fesz¨ ´ C.21.Erintkezési nyomás eloszlása, nemszimmetrikus esetben (iterh = 2) . . . . . C.22.Az érintkezési tartom´ any v´ altoz´ asa, nemszimmetrikus esetben (iterh = 2) . C.23.A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o, nemszimmetrikus esetben (iterh = 2) . . . . . ultségmez˝o, nemszimmetrikus esetben (iterh = 2) . . . . . . . . C.24.A −σz fesz¨ ´ C.25.Erintkez´ esi nyomás eloszlása, nemszimmetrikus esetben (iterh = 3) . . . . . C.26.Az érintkezési tartom´ any v´ altoz´ asa, nemszimmetrikus esetben (iterh = 3) . C.27.A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o, nemszimmetrikus esetben (iterh = 3) . . . . . ultségmez˝o, nemszimmetrikus esetben (iterh = 3) . . . . . . . . C.28.A −σz fesz¨ ´ C.29.Erintkezési nyomás eloszlása, nemszimmetrikus esetben (iterh = 4) . . . . . C.30.Az érintkezési tartom´ any v´ altoz´ asa, nemszimmetrikus esetben (iterh = 4) . C.31.A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o, nemszimmetrikus esetben (iterh = 4) . . . . . ultségmez˝o, nemszimmetrikus esetben (iterh = 4) . . . . . . . . C.32.A −σz fesz¨ ´ C.33.Erintkez´ esi nyomás eloszlása, nemszimmetrikus esetben (iterh = 5) . . . . . C.34.Az érintkezési tartom´ any v´ altoz´ asa, nemszimmetrikus esetben (iterh = 5) . C.35.A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o, nemszimmetrikus esetben (iterh = 5) . . . . . ultségmez˝o, nemszimmetrikus esetben (iterh = 5) . . . . . . . . C.36.A −σz fesz¨

107

. 127 128 . 128 129 . 130 . 130 . 131 . 131 . 132 . 132 . 133 . 133 . 134 . 134 . 135 . 135 . 136 . 136 . 137 . 137 . 138 . 138 . 139 . 139 . 140 . 140 . 141 . 141 . 142 . 142 . 143 . 143 . 144 . 144 . 145 . 145

A. fu ek ¨ ggel´ ńyek tere ¨ggve Hierarchikus alakfu

Az ut´ obbi években megn˝ott az érdekl˝odés a magasfok´ u approxim´ aciót alkalmaz´ o végeselemek iránt. Ez els˝ osorban a módszer nagy konvergencia sebességével magyarázhat´ o, másrészt a magasfok´ u végeselemek megb´ızhat´ o – locking mentes, azaz a megoldási folyamatot nem gátló – eredményt szolgáltatnak. Ebben a részben a végeselem-módszer k¨ ul¨ onb¨ oz˝o diszkretizál´ asi elj´ ar´ asait ismertetj¨ uk röviden, k¨ ulönös tekintettel a magasfok´ u végeselemekre. Szemléltetj¨ uk egy-, két- és háromdimenzióban a legelterjedtebben haszn´ alt alakf¨ uggvényekre ép¨ ul˝ o végeselemek el˝oáll´ıt´ asának módszerét.

A.1.

A h-, p- ´ es a hp-verzi´ o alapvet˝ o jellemz˝ oi

A végeselem-módszernek három k¨ ulönböz˝o t´ıpus´ ar´ ol szokás beszélni, annak alapj´ an, hogy milyen m´ odon t¨ orténik a megoldás pontos´ıt´ asa. Ezek szerint megk¨ ulönböztetj¨ uk a h-verzi´ ot, a p-verziót és a kett˝o kombin´ aciój´ at jelent˝ o hp-verziót. Ha a megold´ as jav´ıt´ asát u ´gy érj¨ uk el, hogy a végeselemek számát növelj¨ uk – azaz csökkentj¨ uk az elemek méretét – akkor h-verzi´ os végeselem-módszerr˝ol van szó. A p-verzió esetén a h´ al´ o v´ altozatlanul marad, de az elemeken m˝ uk¨ od˝ o alakf¨ uggvények p fokszámát növelj¨ uk, ami szintén a feladatban szerepl˝ o ismeretlenek számának emelését jelenti, amivel u ´gyszintén pontosabb megold´ ashoz jutunk. T¨ obb publik´ ació bizony´ıtja, hogy a p-verziós technika hatékony approxim´ aciót ny´ ujt, és gyakran jobb megold´ ast szolgáltat, mint a h-verziós elemek használata [6, 44, 60, 62]. A p-verziós végeselemek még a szingularitásokat tartalmaz´ o feladatok esetén is exponenci´ alis konvergenci´ at mutatnak az energianorma tekintetében [61]. Gyakorlati szempontb´ ol kielég´ıt˝ o pontoss´ ag u ´gy érhet˝o el, ha a szingul´ aris pontok, vonalak elemhat´ arra ker¨ ulnek, valamint ha a szingularit´ asokat tartalmazó helyek, vonalak környezetében megfelel˝o finom´ıt´ ast hajtunk végre a végeselem hál´ ozaton [44]. ast találjon pélA végeselem-módszer alapvet˝o feladata, hogy közel´ıt˝ o uV EM megold´ d´ aul egy érintkezési feladat kapcsán fel´ all´ıthat´ o rugalmasságtani feladatra. Természetesen ez a megoldás a kinematikailag lehetséges elmozdulásmez˝ok köz¨ ul ker¨ ul ki, amiket a végeselem-módszer ny´ ujtotta lehet˝ oségek seg´ıtségével közel´ıt¨ unk és ezekb˝ol v´ alasztjuk ki a uk, de tudjuk azt, hogy legmegfelel˝obbet. A feladat tényleges uex megoldását nem ismerj¨ e két mennyiség k¨ oz¨ ott eltérés van, amit a szám´ıt´ as hib´ aj´ anak nevez¨ unk: e = uex − uV EM

∀r ∈V .

(A.1)

as hib´ aj´ anak becslésére többféle lehet˝oség van, de mivel a végeselemAz uV EM megold´ módszer az alakv´ altoz´ asi energia hib´ aj´ anak minimaliz´ al´ asán alapul, ezért ez a leggyakoribb mennyiség, amivel jellemzik a k¨ ozel´ıtés pontosságát. Az nagyon hasznos inform´ ació, ha a végeselemes szám´ıt´ as elvégzése el˝ott tisztában vagyunk azzal, hogy a hiba milyen m´ odon fog cs¨ okkenni h-, p-, vagy hp-verzió választása esetén. Több publik´ aciót tal´ alhatunk a hiba el˝ozetes meghatároz´ asára vonatkoz´ oan, mind a h´ arom t´ıpus´ u végeselem-módszer kapcsán

109

ńyek tere Hierarchikus alakf¨ uggve

[4, 5, 19, 20], illetve tekinthetj¨ uk az ezekben találhat´ o hivatkoz´ asokat is. Az itt bemutatott ´ és Babuˇ konvergencia jelleg Szabo ska könyve [60] alapj´ an ker¨ ul bemutat´ asra.

log ||e||E

h-verzió, egyenletes háló finom´ıtás 1 β = 12 min(p, λ) p-verzió, durva hálóval

1 β=λ

p-verzió, háló finom´ıtással

1 β=λ

hp-verzió vagy p-verzió sima”megoldásoknál ”

log N

A.1. ´ abra: A h-, p- és hp-verzi´ os VEM konvergenci´ aja szingularit´ asokat tartalmaz´ o, kétdimenziós line´ aris rugalmasságtani feladatokra

Az A.1. ábr´ an logaritmikus sk´ al´ an l´ athat´ o a szingularit´ asokat is tartalmaz´ o kétdimenziós rugalmasságtani feladatokra vonatkoz´ o energianorm´ aban vett hiba alakul´ asa a feladatban szerepl˝o ismeretlenszám f¨ uggvényében. Algebrai megfogalmaz´ asban az egyenletes hál´ ora ép¨ ul˝ o h-verzi´ os és a durva h´ al´ oval végzett p-verziós szám´ıt´ asokn´ al a következ˝o feltételt tudjuk a hiba norm´ aj´ ara: ||e||E ≤

k , Nβ

(A.2)

ahol k és β pozit´ıv álland´ ok, m´ıg N a feladatban szerepl˝ o ismeretlenek száma. Logaritmikus form´ aba át´ırva az (A.2) egyenl˝ otlenséget, azt kapjuk, hogy log ||e||E ≈ log k − β log N,

(A.3)

melyb˝ol kiolvashatjuk, hogy logaritmikus sk´ al´ an β a konvergencia egyenes vonal´ anak negat´ıv a meredeksége. Ezért β a konvergencia asszimpt´ otikus mértéke, mely a közel´ıt˝ o polinomok foksz´ amát´ ol és a megoldás simaságát´ ol f¨ ugg. Ha a h-verzi´ os szám´ıt´ asokat tekintj¨ uk, mégpedig egyenletes, vagy közel egyenletes végeselem-hál´ oval, akkor a konvergeno polinomok foksz´ ama, cia mértékére azt kapjuk, hogy β = 12 min (p, λ), ahol p a közel´ıt˝ λ a megoldás simaság´ anak mér˝oszáma. A p-verziós elemek konvergencia mértéke β = λ éppen dupl´ aja a h-verziós elemekének abban az esetben, ha a szingularit´ ast okozó pontok csomópontokba esnek. Ellenkez˝ o esetben a két módszer hasonló konvergenci´ at mutat. A line´ aris rugalmasságtani feladatok esetében legtöbbször éles sarkok, élek hordozzák a szingularit´ ast, azonban ezekre a helyekre rendszerint csomópontok ker¨ ulnek. Így azt v´ arjuk, hogy az egyenletes elemfelosztással rendelkez˝ o p-verzi´ os szám´ıt´ asok kétszer olyan gyorsan konverg´ alnak a megold´ ashoz, mint a hasonl´ oan egyenletes felosztás´ u h-verzi´ os

110

´k A. f¨ uggele

elemek. Léteznek azonban olyan h-verziós elj´ ar´ asok – az adapt´ıv” h-verziós módszerek ” –, amikor elemekre vonatkozó ut´ olagos hibaanal´ızis seg´ıtségével u ´ gy történik, illetve addig t¨ orténik az elemhál´ ozat módos´ıt´ asa, am´ıg minden elemre közel azonos hiba nem adódik. Ekkor a konvergencia mértéke csak a közel´ıt˝ o polinomok foksz´ amát´ ol f¨ ugg, azaz β = 12 p. Megfigyelhetj¨ uk, hogy a hp-verziós módszer energianorm´ aban vett hib´ aja gyorsabb konvergenci´ at mutat, mint a tiszt´ an h- vagy p-verziós szám´ıt´ asok; b˝ovebben l´ asd az [60] k¨ onyvet. L´ athat´ o, hogy a g¨ orbe negat´ıv meredeksége a szabadsági fokok számának emelkedésével n¨ ovekszik. Az optimális elemméret és fokszám kiv´ alasztásához nincs általános érvény˝ u elv. Azonban meg´ allap´ıthat´ o, hogy a szingul´ aris helyek környezetében kis elemméret választása k´ıv´ anatos, tov´ abb´ a a közel´ıt˝ o polinomok foksz´ ama is az elemmérettel ar´ anyosan v´ altozzon, u ´gy hogy a legnagyobb elemeken a nagyobb foksz´ am´ u f¨ uggvényeket, m´ıg a legkisebb elemeken a kis foksz´ am´ u közel´ıtést alkalmazzuk. Az A.1. ábr´ an l´ athat´ o ovetkez˝o f¨ uggvénnyel jellemezhet˝o: exponenci´ alis hibacs¨ okkenés a k¨ ||e||E ≤

k , exp (γN θ )

(A.4)

ahol k, γ és θ ismert pozit´ıv álland´ ok. Az A.1. ábr´ an tal´ alhat´ o negyedik görbe azt mutatja, hogy a tiszt´ an p-verziós elemek alkalmazása, melyeket egy több lépcs˝oben finom´ıtott végeselem-hál´ ozatra m˝ uk¨ odtet¨ unk, még megfelel˝oen gyors konvergenci´ at ny´ ujt. A megold´ as hib´ aja kezdetben – a j´ ol megválasztott végeselem-hál´ ozatnak köszönhet˝ oen – exponenciális változást mutat, azonban az ismeretlenek számának növekedésével a konvergencia lelassul az (A.2)-ben fel´ırt algebrai mértékre. Itt a szabadsági fokok számának emelkedése attól k¨ ovetkezik be, hogy egységesen minden elemen növelj¨ uk a p fokszámot, azaz nem ag könnyen elemmérett˝ol f¨ ugg˝ oen. Teh´ at a p-verziós szám´ıt´ asokkal a megfelel˝o pontoss´ elérhet˝o, ha el˝ ozetesen rendelkez¨ unk inform´ acióval a megval´ osul´ o egzakt megoldásról, és ´ıgy a végeselem-hál´ ozat ennek megfelel˝oen kész´ıthet˝o el. A p-verzi´ os végeselem-módszernél, a magas konvergencia sebesség mellett, további el˝onyként szokás eml´ıteni a szám´ıt´ as megb´ızhatóságát a locking” – vagy le´ allás – je” lenségével szemben. Ugyanis számtalan, a gyakorlat szempontj´ ab´ ol lényeges feladatn´ al kimutatt´ ak, hogy a polinom foksz´ amának egy bizonyos mérték fölé emelésével a p-verziós technika locking” mentes [9, 60]. Például a vékony lemezek Reissner-Midlin elméle” tében ismeretes ellentmondás – idegen szóval shear locking” – nem áll fenn tov´ abb, ha ” az alakf¨ uggvényekben szerepl˝o polinomok foksz´ amát p ≥ 4-re választjuk [59]. A p-verziós elemek el˝o´ all´ıt´ asakor elengedhetetlen az alakf¨ uggvényeket szolgáltat´ o terek megvizsgál´ asa, melyr˝ol a k¨ ovetkez˝o szakaszokban lesz szó.

A.2.

Egydimenzi´ os feladatok

A.2.1.

Legendre-polinomok

A p-verziós szám´ıt´ asokn´ al alapvet˝ o szerepet játszanak az ortogon´ alis polinomok. A hierarchikus alakf¨ uggvények alapját az ortogon´ alis Legendre polinomok egy halmaza jelenti. Miel˝ ott a Legendre polinomokat megvizsgáln´ ank, tekints¨ uk át röviden az ortogon´ alis polinomok f˝ obb, sz´ amunkra lényeges tulajdons´ agait [15]. alisak a w (x) s´ ulyf¨ uggvény szerint az I = (a, b) A Pn (x) és a Pm (x) polinomok ortogon´ véges vagy végtelen intervallumon, ha a következ˝o egyenlet teljes¨ ul ∀ m, n-re b a

# = 0 ha n = m , w (x) Pn (x) Pm (x) dx = 0 egyébként .

(A.5)

111


Egy tov´ abbi megszor´ıt´ ast jelent, ha a következ˝o kifejezés is teljes¨ ul b w (x) Pn (x) Pm (x) dx = δnm .

(A.6)

a

Ekkor az mondjuk, hogy a Pn (x) és a Pm (x) polinomok ortonorm´ altak egym´ asra. A δnm Kronecker szimbólum defin´ıciója # 1 ha n = m , δnm = (A.7) 0 egyébként . alt b´ azisf¨ uggvények könnyen el˝ oáll´ıthat´ oak egy {fn (x)} tetsz˝oleA {hn (x)} ortonorm´ ges lineárisan f¨ uggetlen f¨ uggvényhalmazb´ ol Schmidt algoritmusa alapj´ an. alis b´ azisrendszer létrehozása az {fn (x)} f¨ uggvé1. Az els˝o lépés egy {gn (x)} ortogon´ nyek egy line´ aris kombin´ aciój´ aval, melynek m´ odja a következ˝o: g1 (x) = f1 (x) (f2 (x) , (g1 (x) , (f3 (x) , g3 (x) = f3 (x) − (g1 (x) , .. . g2 (x) = f2 (x) −

gn (x) = fn (x) −

n−1 i=1

g1 (x)) g1 (x) g1 (x)) g1 (x)) (f3 (x) , g2 (x)) g1 (x) − g2 (x) g1 (x)) (g2 (x) , g2 (x))

(fn (x) , gi (x)) (gi (x) , gi (x))

⊥g1 (x) ⊥g1 (x) , ⊥g2 (x)

⊥g1 (x) , . . . , ⊥gn−1 (x)

ahol (·, ·) szimbólum két f¨ uggvény bels˝o vagy skal´ aris szorzatát jelenti, azaz 1 (f (x) , g (x)) =

f (x) g (x) dx ,

(A.8)

−1

tov´ abb´ a g1 (x) ⊥ g2 (x) azt jelenti, hogy (g1 (x) , g2 (x)) = 0.

(A.9)

2. A második lépésben a {gn (x)} b´ azis normalizál´ asa történik, azaz 1 hn (x) = " gn (x) . (gn (x) , gn (x))

(A.10)

Ebben az elj´ ar´ asban feltételezt¨ uk, hogy a s´ ulyf¨ uggvény értéke w (x) = 1 álland´ o. azisrendszer ortogon´ alis tulajdons´ aga könnyen ellen˝ oEzen elj´ ar´ assal el˝o´ all´ıtott {gn (x)} b´ arszorzatba j = 1, . . . , i − 1 és rizhet˝ o egyszer˝ u visszahelyettes´ıtéssel a (gi (x) , gj (x)) skal´ i = 2, . . . , n-re. alegyenletet Az Ln (x) Legendre polinomok kielég´ıtik a Legendre differenci´

1 − x2 y + n (n + 1) y = 0,

x ∈ (−1, 1) ,

n = 0, 1, 2, . . . .

(A.11)

112

´k A. f¨ uggele

Az (A.11) egyenlet megoldásait megkaphatjuk egyrészt a Rodriguez formula alapj´ an Ln (x) =

1

dn

2n n! dxn

n x2 − 1 ,

x ∈ (−1, 1) ,

n = 0, 1, 2, . . . ,

(A.12)

másrészt a Bonnet-féle rekurz´ıv formula seg´ıtségével: Ln (x) =

1 [(2n − 1) x Ln−1 (x) − (n − 1) Ln−2 (x)] , n

x ∈ (−1, 1) ,

n = 2, 3, 4, . . .

(A.13) A Legendre polinomok ortogon´ alisak egymásra – az (A.5) alapj´ an – az I = (−1, 1) intervallumon, w (x) = 1 s´ ullyal: #

1 Ln (x) Lm (x) dx = −1

2 2n+1

0

ha n = m , egyébként .

(A.14)

Az els˝o kilenc Legendre polinom a következ˝o form´ aban ad´ odik: L0 (x) = 1, L1 (x) = x, 3 1 L2 (x) = x2 − , 2 2 5 3 3 L3 (x) = x − x, 2 2 35 4 15 2 3 L4 (x) = x − x + , 8 4 8 63 5 35 3 15 L5 (x) = x − x + x, 8 4 8 231 6 315 4 105 2 5 L6 (x) = x − x + x − , 16 16 16 16 429 7 693 5 315 3 35 L7 (x) = x − x + x − x, 16 16 16 16 6435 8 3003 6 3465 4 315 2 35 L8 (x) = x − x + x − x + . 128 32 64 32 128

A.2.2.

Hierarchikus alakfu enyek egydimenzi´ oban ¨ ggv´

´ és Babuˇ A Szabo ska által ´ırt k¨ onyvet követve [60], ebben a szakaszban bemutatjuk a hierarchikus f¨ uggvények implementál´ asát, mely b´ armely polinomfoksz´ amra érvényes. Nyilv´ anval´ o, hogy t¨ obbféle bázisf¨ uggvény-rendszer létezik, melyek alkalmasak a végeselemen bel¨ uli approxim´ acióra. Most el˝ osz¨ or tekints¨ uk a hagyom´ anyosnak mondhat´ o, egyszer˝ uen felép´ıthet˝o Lagrange polinomok halmaz´ at: Nip (ξ) =

p+1 0 j=1, j=i

ξ − ξj . ξi − ξj

(A.15)

Azon ξj pontokat, ahol teljes¨ ul, hogy Nip (ξj ) = δij ,

(A.16)

113


A.1. t´ abl´ azat: Egydimenzi´ os Lagrange-féle alakf¨ uggvények p = 1, 2, 3

p=1

p=2

p=3

´ csomópontoknak nevezz¨ uk. Altal´ aban a csomópontokat u ´gy v´ alasztjuk meg, hogy között¨ uk egyenl˝ o t´ avols´ ag legyen, azaz ξj = −1 + 2

j−1 , p

j = 1, . . . , p + 1 .

(A.17)

Az (A.15) által defini´ alt f¨ uggvények minden p fokszámra más-más f¨ uggvényhalmazt adnak. Péld´ aul • p = 1 esetén 1 (1 − ξ) , 2 1 N21 (ξ) = (1 + ξ) , 2

N11 (ξ) =

• p = 2 esetén 1 N12 (ξ) = ξ (ξ − 1) , 2 N22 (ξ) = (1 + ξ) (1 − ξ) , 1 N32 (ξ) = (ξ + 1) ξ , 2 • p = 3 esetén N13 (ξ) = −

1 (3ξ + 1) (3ξ − 1) (ξ − 1) , 16

9 (ξ + 1) (3ξ − 1) (ξ − 1) , 16 9 N33 (ξ) = − (ξ + 1) (3ξ + 1) (ξ − 1) , 16 1 N43 (ξ) = (ξ + 1) (3ξ + 1) (3ξ − 1) . 16 N23 (ξ) =

Bármely kiv´ alasztott p polinomfoksz´ amra teljes¨ ul, hogy az adott polinomfoksz´ amhoz tartozó alakf¨ uggvények ¨ osszege egy, azaz p+1 i=1

Nip (ξ) = 1 .

(A.18)

114

´k A. f¨ uggele

Nyilv´ anval´ o, hogy minden f¨ uggvény – mely megadható a hagyom´ anyos b´ azisf¨ uggvények által – ugyan´ ugy k¨ ozel´ıthet˝ o hierarchikus b´ azisf¨ uggvények seg´ıtségével is. Az alapvet˝o k¨ ul¨ onbség a két bázis k¨ oz¨ ott az, hogy hierarchikus esetben az összes alacsonyabb fok´ u f¨ uggvény szerepel a magasabb fok´ u bázisf¨ uggvények halmaz´ aban, ahogy ezt az A.2. ´ és t´ abl´ azat is illusztr´ alja. Az egydimenzi´ os hierarchikus alakf¨ uggvények halmazát Szabo Babuˇ ska [60] k¨ onyve alapj´ an a k¨ ovetkez˝o form´ aban adjuk meg: 1 (1 − ξ) , 2 1 N2 (ξ) = (1 + ξ) , 2 Ni (ξ) = φi−1 (ξ) ,

N1 (ξ) =

(A.19) (A.20) i = 3, 4, . . . , p + 1 ,

(A.21)

ahol √ ξ 2i − 1 1 φi (ξ) = [Li (ξ) − Li−2 (ξ)] , Li−1 (x) dx = √ 2 4i − 2

i = 2, 3, . . . , (A.22)

−1

melyben Li (ξ) az el˝oz˝oekben bemutatott Legendre polinomok (A.12) halmaza. aris alakf¨ uggvényeket csom´ oponti alakf¨ uggvények nek – idegen szóval N1 (ξ), N2 (ξ) line´ nodal modes-nak – nevezz¨ uk, mivel a többi f¨ uggvénynek a csomópontbeli értéke zérus, azaz i = 3, 4, . . . . (A.23) Ni (−1) = Ni (1) = 0, Ezeket az Ni (ξ), i = 3, 4, . . . f¨ uggvényeket bels˝ o vagy buborék alakf¨ uggvényeknek – idegen szóval internal-, bubble modes-nak – nevezz¨ uk. A Legendre polinomok ortogonalit´ asi tulajdons´ aga abban a´ll, hogy teljes¨ ul a következ˝o egyenlet 1 −1

dNi dNj dξ = δij , dξ dξ

i, j ≥ 3 .

A.2. t´ abl´ azat: Egydimenziós Legendre-féle alakf¨ uggvények p = 1, . . . , 6

p=1

p=2

p=3

p=4

p=5

p=6

(A.24)

115


A hierarchikus alakf¨ uggvények p = 1, 2, 3, . . . , 8 fokszámra a következ˝o alak´ uak: N1 (ξ) = N2 (ξ) = N3 (ξ) = N4 (ξ) = N5 (ξ) = N6 (ξ) = N7 (ξ) = N8 (ξ) = N9 (ξ) =

1 (1 − ξ) , 2 1 (1 + ξ) , 2 √ 6 2 ξ −1 , √4 10 2 ξ ξ −1 , √4 14 4 5ξ − 6ξ 2 + 1 , 16 √ 3 2 4 ξ 7ξ − 10ξ 2 + 3 , √16 22 6 21ξ − 35ξ 4 + 15ξ 2 − 1 , √32 26 6 ξ 33ξ − 63ξ 4 + 35ξ 2 − 5 , √32 30 429ξ 8 − 924ξ 6 + 630ξ 4 − 140ξ 2 + 5 . 256

Ezek ut´ an m´ ar k¨ onny˝ u a két-, illetve háromdimenziós feladatok alakf¨ uggvényeit el˝oáll´ıtani, egyszer˝ uen csak az egydimenziós hierarchikus alakf¨ uggvények szorzatait kell képezni. A k¨ ovetkez˝okben a két-, illetve a háromdimenziós alakf¨ uggvényeket áll´ıtjuk el˝ o a 2D-s négysz¨ og, illetve a 3D-s hatoldal´ u elemekre.

A.3.

K´ etdimenzi´ os feladatokn´ al haszn´ alt alakfu enyek ¨ ggv´

´ és Babuˇ A kétdimenziós p-verziós elemekre vonatkozó alakf¨ uggvényeket a Szabo ska [60] könyvében bemutatott approxim´ aciós f¨ uggvények alapján ´ırjuk fel. Az A.2. a´br´ an egy hagyom´ anyos négysz¨ ogelemet ábr´ azoltunk a ξ − η tartom´ anyon, ahol ξ = [−1, 1] és η = [−1, 1]. η

4

3

3 2

ξ

4 1 1

2

A.2. ´ abra: Kétdimenziós négyszög elem: csomópontok és élek sorszámozása

Két k¨ ul¨ onb¨ oz˝o t´ıpus´ u approxim´ aciós tér alakf¨ uggvényeit fogjuk vizsg´ alni: p ,pη

- az Stsξ

p ,pη

- az Spsξ

csonkolt tér, vagy idegen szóval truncated space, teljes tér, vagy az angolsz´ asz elnevezés szerint tensor product space.

116

´k A. f¨ uggele

p ,p Az Spsξ η teljes tér az ¨ osszes ξ − η ξ = [−1, 1] és η = [−1, 1] tartom´ anyon fel´ırhat´ o polinomot tartalmazza, mely a ξiηj ,

ahol i = 0, 1, . . . , pξ

ill. j = 0, 1, . . . , pη

hatv´ anyf¨ uggvényekb˝ ol fel´ırhat´ o. A pξ és pη a polinomok foksz´ ama ξ, illetve η vonatkoz´ asáp ,p uggvényeket tartalmazza, amelyek ban. M´ıg az Stsξ η csonkolt tér csak azokat a polinomf¨ a k¨ ovetkez˝o feltételek szerint képezhet˝oek: ξ i ηj

ahol i = 0, 1, . . . , pξ

ξη

ha

pξ = pη = 1 ,

ξ η

ha

pξ ≥ 2 ,

pη

ha

pη ≥ 2 .

pξ

ξη

3,3 Sps

ξ

2

ξ3 ξ4

ξ6

η

ξ 3η

ξη 2 ξ 2η2

ξ 3η2 ξ 4η2

η2

ξη ξ 2η

ξ 4η ξ 5η

3,3 Sts

1 ξ

ξ5

de i + j = 0, . . . , max {pξ , pη } ,

és j = 0, 1, . . . , pη

η3 ξη 3

ξ 2η3 ξ 3η3

η4 ξη 4

ξ 2η4 p ,pη

A.3. ´ abra: Pascal-h´ aromszög, pξ = pη = 3 esetén az Stsξ polinomi´ alis f¨ uggvényeinek halmaza

η5 ξη 5

η6 p ,pη

csonkolt és az Spsξ

teljes tér

A két tér k¨ oz¨ otti k¨ ul¨ onbség k¨ onnyen értelmezhet˝o, ha tekint¨ unk egy Pascal-h´ aromszö3,3 f¨ uggvényei, get. Az A.3. ábr´ an a szaggatott vonallal keretezett ter¨ uleten l´ athat´ oak az Sts p ,p o m´ıg a folytonos vonallal jelzett részen – pξ = pη = 3 esetén vett – Spsξ η halmazba tartoz´ polinomf¨ uggvények ker¨ ultek ábr´ azolásra. A kétdimenzióban haszn´ alt alakf¨ uggvényeknek h´ arom csoportj´ at k¨ ulönböztetj¨ uk meg aszerint, hogy az elem mely részére fejti ki hat´ asát. Ezek szerint beszél¨ unk: csom´ oponti, élmenti és bels˝ o alakf¨ uggvények r˝ ol. Most tekints¨ uk ezeket részletesebben egy-egy példával bemutatva: asz elnevezéssel nodal modes, számuk s´ıkbeli 1. Csomóponti alakf¨ uggvények – angolsz´ négycsomópont´ u esetben négy darab. Defin´ıciójuk a következ˝o által´ anos formul´ aval ´ırhat´ o fel: 1 i (ξ, η) = (1 + ξi ξ) (1 + ηi η) , i = 1, . . . , 4 (A.25) N1,1 4 ahol i a csomópont jele. Ezeket a f¨ uggvényeket szokás alkalmazni a négycsomópont´ u izoparametrikus négysz¨ ogelemeknél is, h-verziós szám´ıt´ as esetén. A (ξi , ηi ) jelenti az i. csomópont lok´ alis koordin´ at´ aj´ at. Az A.4. ábr´ an az 1. csomóponthoz tartoz´ o alakf¨ uggvényt ábr´ azoltuk. ´ 2. Elmenti alakf¨ uggvények – angolszász elnevezés szerint edge modes. p ≥ 2 esetén léteznek, számuk a p polinomfoksz´ amtól és a felhasznált tér f¨ uggvényeit˝ ol f¨ ugg. Ezek az alakf¨ uggvények egy kiv´ alasztott élt˝ol eltekintve minden élre zérus értéket adnak.

117


1 0.5

1 0.5

0 0 -1

-0.5

-0.5

0

0.5

1

-1

1 A.4. ´ abra: A (−1, −1) csomóponthoz tartoz´ o alakf¨ uggvény N1,1 (ξ, η) =

1 4

(1 − ξ) (1 − η)

Azaz hat´ asuk csak egy élre, és abb´ ol kiindulva az elem bels˝ o fel¨ uletére korl´ atozódik. Az élmenti alakf¨ uggvények defini´ al´ asa teh´ at élt˝ol f¨ ugg˝ oen v´ altozik: e1 Ni,1 (ξ, η) =

1 (1 − η) φi (ξ) , 2

(A.26)

1 (A.27) (1 + ξ) φi (η) , 2 1 e3 Ni,1 (ξ, η) = (1 + η) φi (ξ) , (A.28) 2 1 e4 (ξ, η) = (1 − ξ) φi (η) , (A.29) Ni,1 2 alasztott p polinom foksz´ amtól f¨ ugg. A φi f¨ uggvény ahol ek az él sorszáma, i a v´ (A.22) alapj´ an hat´ arozhat´ o meg. Az A.5. ábr´ an az i = 2 esetre vett e1 élhez tartozó alakf¨ uggvény láthat´ o. e2 Ni,1 (ξ, η) =

0

1

-0.5 0.5 0 -1

-0.5

-0.5 0

0.5

1

-1

e1 A.5. ´ abra: Az η = −1 élhez tartozó N2,1 alakf¨ uggvény i = 2 esetén

3. Bels˝o alakf¨ uggvények – angolszász elnevezés szerint internal, vagy bubble modes. Ezek a f¨ uggvények csak az elem belsejében fejtik ki hat´ asukat, és zérus értéket adnak az élekre és a csomópontokra. Defin´ıci´ ojuk: Nijb = φi (ξ) φj (η) ,

(A.30)

118

´k A. f¨ uggele

ahol i, j a v´ alasztott p polinomfoksz´ amtól f¨ ugg. A φi f¨ uggvény (A.22) szerint hat´ arozhat´ o meg. Az A.6. ábr´ an az i = j = 2-höz tartoz´ o alakf¨ uggvényt ábr´ azoltuk.

0.5

1 0.5

0 0 -1

-0.5

-0.5

0

0.5

1

-1

A.6. ´ abra: Az i = j = 2-h¨ oz tartozó bels˝o alakf¨ uggvény p,p p,p Az A.7. a.) ábr´ an az Sts és az Sps approxim´ aciós tér v´ alasztása esetén láthat´ oa feladat egyetlen eleméhez tartozó szabadságfokok sz´ amának v´ altoz´ asa a ξ és η voam f¨ uggvényében. natkoz´ asában egységesnek választott p = pξ = pη polinomfoksz´ M´ıg az A.7. b.) ábra azt mutatja, hogy ebb˝ ol az ismeretlensz´ amb´ ol mennyi a bels˝ o alakf¨ uggvényekhez tartoz´ o. Nyilv´ anval´ o, hogy a bels˝ o alakf¨ uggvények számának k¨ ul¨ onb¨ oz˝osége okozza a szabadságfokokban mérhet˝o k¨ ulönbséget a csonkolt és a teljes alakf¨ uggvénytér alkalmazása esetén. Azonban a bels˝ o alakf¨ uggvényekt˝ol származó ismeretlenek csak lokálisak, azaz mindig csak egy adott elemre vonatkoznak. Ezért ennek a tulajdons´ agnak szerepe van az elemhez kötött jellemz˝o p´ arhuzamos szám´ıt´ asa során. 100

900

csonkolt: teljes:

csonkolt: teljes:

800

80 700

Nint/N [%]

600

N

500 400

60

40

300 200

20

100

0

0 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

p

p

a.)

b.)

A.7. ´ abra: a.) Szabads´ agfokok sz´ amának v´ altoz´ asa egy kétdimenziós négycsomópont´ u p-verziós elem esetén b.) Bels˝o alakf¨ uggvények ar´ anya százalékosan

A.4.

Hierarchikus alakfu enyek hexa´ eder elemekn´ el ¨ ggv´

A leggyakrabban alkalmazott két elemt´ıpus h´ aromdimenzióban a hatoldal´ u – hexaéder –, vagy a négyoldal´ u – tetraéder – térbeli elem. Most a hatoldal´ u nyolc-csomópont´ u térbeli elemekhez tartozó alakf¨ uggvényeket vizsgáljuk meg az [60] könyv alapj´ an. Egy ilyen elemet mutat be az A.8. ábra, melyen karik´ azva vannak az élek, illetve keretezve a lapok sorsz´ amai. A nyolc-csomópont´ u elemek alkalmazása két fontos el˝ onyt jelent a végeselem-módszer szempontjáb´ ol:

119

ńyek tere Hierarchikus alakf¨ uggve ζ 5

5 6

ζ 5 8 6

9 7

6

2

8 3

8 7

7

10

12

5

1 ξ

1 2

11

ξ

4

η

2

1

6 4

1

4

2

η 4

3 3

3

A.8. ´ abra: Egy hagyom´ anyos hatoldal´ u térbeli elem

• a haszn´ alt formalizmus nagyfok´ u pontoss´ agot ny´ ujt, • az elemeken történ˝o integr´ al´ ashoz alkalmazható – Gauss integr´ aciós pontok felhaszn´ al´ asával történ˝o – numerikus integr´ al´ as könnyen programozhat´ o. A kétdimenziós hierarchikus alakf¨ uggvényekb˝ ol kiindulva a h´ aromdimenzióban haszn´ alt alakf¨ uggvények egyszer˝ uen csoportos´ıthat´ ok. Az alakf¨ uggvények számozására többféle lehet˝oség k´ın´ alkozik, melyek között azonban alapvet˝ oen csak programoz´ astechnikai k¨ ulönbségek vannak. Itt négy f˝ o t´ıpust k¨ ulönböztethet¨ unk meg az alapj´ an, hogy a f¨ uggvények csomóponton, élen, lapon, illetve az elem belsejében fejtenek ki hat´ ast. Mind a ξ, mind az at´ ak a [−1, 1] intervallumban v´ altozhatnak. η, mind a ζ koordin´ 1. Csomóponti alakf¨ uggvények – idegen szóval nodal modes. Nyolc darab csomóponti alakf¨ uggvény van, ugyanazok a f¨ uggvények, mint amelyeket a h-verziós végeselemmódszernél haszn´ alnak. Képzés¨ uk a következ˝o módon történik: i (ξ, η, ζ) = N1,1,1

1 (1 + ξi ξ) (1 + ηi η) (1 + ζi ζ) , 8

i = 1, . . . , 8 ,

(A.31)

ahol i jelenti a csomóponti sorszámot, illetve (ξi , ηi , ζi ) pedig az i. csomópont koordin´ at´ ait. ´ uggvények egy 2. Elmenti alakf¨ uggvények – idegen szóval edge modes. Ezek az alakf¨ kiv´ alasztott élt˝ol eltekintve minden élre zérus értéket adnak, ´ıgy k¨ ulön defin´ıciójuk van élt˝ol f¨ ugg˝ oen. Például ha tekintj¨ uk az 1. és 2. csomópont között h´ uzott e1 élt, akkor az erre fel´ırhat´ o alakf¨ uggvény a következ˝o e1 Ni,1,1 (ξ, η, ζ) =

1 (1 − η) (1 − ζ) φi (ξ) . 4

(A.32)

Itt i értéke a kiválasztott polinomfoksz´ amtól f¨ ugg, φi pedig (A.22) alapj´ an szám´ıthat´ o. A többi 11 élhez tartozó alakf¨ uggvény anal´ og módon képezhet˝o. Az élekhez fel´ırhat´ o f¨ uggvények száma 12 (p − 1) f¨ uggetlen¨ ul a választott approxim´ aciós tért˝ol, mivel p ≥ 2 esetén mindig léteznek. 3. Oldalmenti alakf¨ uggvények – idegen szóval face modes. Defin´ıciójukat az oldallap szabja meg. Ezek az alakf¨ uggvények csak egy kiv´ alasztott lapra adnak zérust´ ol k¨ ulönböz˝o értéket, ennek megfelel˝oen például az 1, 2, 3, 4 csomópontok a´ltal megoak a következ˝o t´ıpus´ u f¨ uggvények: hat´ arozott f1 lapra fel´ırhat´ f1 Ni,j,1 (ξ, η, ζ) =

1 (1 − ζ) φi (ξ) φj (η) , 2

(A.33)

120

´k A. f¨ uggele

ahol i és j lehetséges értékét egyrészt a polinomfokszám, másrészt a választott appp ,p ,p roxim´ aciós tér defini´ alja. A f¨ uggvények száma tehát más lesz az Stsξ η ζ csonkolt és pξ ,pη ,pζ teljes tér esetén. Az A.3. t´ abl´ azatban láthatjuk az (A.33) a´ltal fel´ırhat´ o az Sps alakf¨ uggvényekre vonatkoz´ o i és j lehetséges értékeit, melyek valój´ aban a ξ, illetve az η ir´ anyban vett polinomfoksz´ amot jelentik az f1 lapra. A.3. t´ abl´ azat: Az f1 él vonatkozásában haszn´ alt indexértékek

csonkolt t´ er

teljes t´ er

i = 2, . . . , pξ − 2

i = 2, . . . , pξ

j = 2, . . . , pη − 2

j = 2, . . . , pη

i + j = 4, . . . , max{pξ , pη }

uggvények csak 4. Bels˝o alakf¨ uggvények – idegen szóval internal, bubble modes. Ezek a f¨ az elem belsejében fejtenek ki hat´ ast. Defin´ıciójuk a következ˝o b Ni,j,k (ξ, η, ζ) = φi (ξ) φj (η) φk (ζ) .

(A.34)

Az i, j, k indexértékeket – hasonlóan az oldalmenti alakf¨ uggvényeknél ´ırtakkal –, a pξ , amok, tovább´ a a v´ alasztott approxim´ aciós tér határozza a pη és a pζ polinomfoksz´ meg. Ebb˝ ol adód´ oan magas fokszámoknál a térbeli bels˝ o alakf¨ uggvények, illetve az ebb˝ ol ad´ od´ o ismeretlenek száma igen nagy. Az A.5. t´ abl´ azatban a lehetséges indexértékeket adtuk meg. A.5. t´ abl´ azat: Az elem bels˝o alakf¨ uggvényeinél haszn´ alt indexértékek

csonkolt t´ er

teljes t´ er

i = 2, . . . , pξ − 4

i = 2, . . . , pξ

j = 2, . . . , pη − 4

j = 2, . . . , pη

k = 2, . . . , pζ − 4

k = 2, . . . , pζ

i + j + k = 6, . . . , max{pξ , pη , pζ }

4500

60

csonkolt: teljes:

4000

csonkolt: teljes:

50 3500 40 Nint/N [%]

3000

N

2500 2000 1500

30

20

1000 10 500 0

0 2

3

4

5

6 p

7

a.)

8

9

10

2

3

4

5

6 p

7

8

9

10

b.)

A.9. ´ abra: a.) Szabads´ agfokok sz´ amának v´ altozása egy háromdimenziós 8 csomópont´ u p-verziós elem esetén b.) A bels˝ o alakf¨ uggvények ar´ anya százalékosan

Az A.9. ábr´ an egy háromdimenziós elem esetén mutatjuk be a foksz´ am változásának hat´ asát az ismeretlenek számára. Az elemre minden ir´ anyban egységesen p a polinomok


121

foksz´ ama. Így az egy elemre vonatkozó szabadságfok a következ˝o módon sz´ am´ıthat´ o ki a csonkolt tér esetén: 1 p,p Nts = 3 8 + 12(p − 1) + 3 (p − 2) (p − 3) + (p − 3) (p − 4) (p − 5) , 6 illetve a teljes térre: p,p Nps = 3 8 + 12(p − 1) + 6 (p − 1) (p − 1) + (p − 1) (p − 1) (p − 1) . Az A.9. b.) ábr´ an a bels˝ o alakf¨ uggvények által gener´ alt ismeretlenek sz´ ama láthat´ o, százalékosan kirajzolva a teljes ismeretlenszám arány´ aban. Mivel az approxim´ aciós tér f¨ uggvényei nem ir´ anyf¨ uggetlenek ezért a végeselem-hál´ ozat kész´ıtésekor figyelembe kell venni az adott élek, fel¨ uletek ir´ any´ıt´ asát, hogy az elemek illesztésekor ne k¨ ovess¨ unk el elemi hib´ at. Az is megfontoland´ o, hogy a p-verziós szám´ıt´ as magában hordozza a lehet˝ oséget arra, hogy ak´ ar mind a h´ arom ξ, η és ζ ir´ anyban m´ as-más oség módot polinomfoksz´ ammal rendelkez˝o f¨ uggvényeket alkalmazzunk. Ezen ut´ obbi lehet˝ nyit arra, hogy egy-egy feladatn´ al finomabban tudjuk befoly´ asolni a feladat méretét a megold´ as megfelel˝o pontoss´ ag´ u eléréséhez.

B. fu ek ¨ ggel´ ´le o ´sek e ´rintkezo ˝ testekre ¨ sszefu ¨ gge Hertz-fe

Ebben a f¨ uggelékben az érintkez˝o testek Hertz-féle elmélettel való kezelését ´ırjuk le r¨ oviden, melynek gondolatmenete a Ponormajov által kész´ıtett összefoglalót követi [55]. Tekints¨ uk a pontszer˝ u érintkezés megfogalmazását, mely szerint két sima görg¨ ult fel¨ ulettel hat´ arolt homogén és izotróp test az alakváltozásig egy pontban érintkezik. A testeket olyan er˝ ok nyomj´ ak ¨ ossze, melyek hatásvonala a fel¨ uletek érintkezési pontjaihoz tartoz´ o k¨ oz¨ os fel¨ uleti norm´ alis egyenesében hatnak. Eközben a testek alakváltozást szenvednek, és a kezdeti pontszer˝ u érintkezés átalakul fel¨ uleten val´ o érintkezéssé. A testekre ható nyom´ oer˝ ok nagys´ ag´ ar´ ol feltételezz¨ uk, hogy a testek érintkezésének környezetében csak line´ arisan rugalmas alakv´ altozásokat okoznak. Ha azt áll´ıtjuk, hogy a kialakul´ o érintkezési tartom´ any mérete nagyon kicsi az érintkez˝o testek bármelyikéhez képest, akkor által´ anos esetben az érintkezési és elvál´ asi hat´ argörbe egy ellipszis, mely hat´ aresetben kör vagy két p´ arhuzamos egyenessel határolt s´ av. Az érintkez˝o testek fel¨ uletét teljesen simának feltételezve, az egyik testr˝ol a másikra ´tad´ a od´ o és az érintkezési tartományon megoszló nyom´ oer˝ ok erre a fel¨ uletre mer˝olegesek. A testek érintkezési helyén a rugalmas elmozdulások és a fesz¨ ultségállapot vizsg´ alat´ ahoz el˝ozetesen az érintkezési fel¨ uleten megoszló pn érintkezési nyomás eloszlását és az általa okozott elmozdul´ asokat kell tekinteni. El˝ osz¨ or a k¨ orfel¨ uleten megoszló és a gömbfel¨ ulet ordin´ at´ aival ar´ anyos nyom´ aseloszlást ´ırjuk fel, l´ asd a B.1. ábr´ at. Ehhez vegy¨ unk olyan terhelésmegoszlást az a sugar´ u körfel¨ uleten, melyet ezen fel¨ uletre emelt félg¨ omb ordin´ at´ ai jellemeznek, azaz /

x 2 y 2 ξ − , (B.1) pn = p0 = p0 1 − a a a uleti nyom´ as nagys´ aga az Sc érintkezési tartom´ any középpontj´ aban. ahol p0 a fel¨ ξ

a

x

z y

B.1. ´ abra: A tehelés megoszlását félg¨ omb ordin´ at´ ak jellemzik

123

´le rugalmassa ´gtani o ´sek ¨ sszef¨ Hertz-fe ugge

A maximális p0 nyom´ ast k¨ onnyen ki lehet fejezni az F terhelés seg´ıtségével: p0 ξ dA F = p dA = a Sc

ahol

(B.2)

Sc

u félgömb által hat´ arolt térfogat. Következésképpen: ξ dA = 23 πa3 az a sugar´ p0 =

3 F . 2 πa2

(B.3)

as 1.5-szer nagyobb a közepes Tehát a terhelés g¨ ombi eloszlásakor a p0 maximális nyom´ értéknél. Egy féltér s´ık hat´ arfel¨ uletén lév˝o pontok z ir´ any´ u w elmozdulását a hat´ arfel¨ uleten m˝ uk¨ od˝ o z ir´ any´ u F er˝o hat´ asára a w=

1 − ν2 F , πE r

(B.4)

osszef¨ uggés adja meg, ahol r az F koncentr´ alt er˝ o t´ amad´ aspontj´ anak a t´ avols´ aga att´ ol ¨ uleti nyom´ as hat´ asát u ´gy a pontt´ ol, ahol az elmozdul´ as w. A fel¨ uleten megoszló pn fel¨ vehetj¨ uk, mint azon elemi elmozdulások összegét, melyek a dA fel¨ uletelemekre m˝ uköd˝ o pn nyom´ as hat´ asára keletkeznek, azaz pn 1 − ν2 dS , (B.5) w= πE r Sc

ahol r a w elmozdulás´ u pont t´ avols´ aga a p dS elemi er˝ot˝ ol. A k¨ ovetkez˝okben vizsg´ aljuk meg két rugalmas test érintkezését. Ehhez tekints¨ uk a B.2. ´br´ a at, amely az érintkezés pontj´ anak környezetében szemlélteti az érintkez˝o testeket. Az abra azzal a feltételezéssel o ´ ¨sszhangban mutatja a viszonyokat, hogy sima a két test határfel¨ ulete az érintkezési pontban (folytonosan v´ altozik a norm´ alis az O pont környezetében). V´ alasszuk az O érintkezési pontot a koordin´ atarendszerek kezd˝opontj´ anak. z1 1

O

x1 x2

y1 2 y2 z2

B.2. ´ abra: Nemszinguláris pontban érintkez˝o testek

A vizsgált testek hat´ arfel¨ uleteinek egyenletei z1 = S1 (x, y) alak´ uak az érintkezési pont közelében.

és

z2 = S2 (x, y) .

(B.6)

124

´k B. f¨ uggele

Az S1 és S2 f¨ uggvényeket sorbafejtj¨ uk az x1 y1 és x2 y2 f¨ uggetlen v´ altoz´ ok növekv˝ o hatasában. v´ anyai szerint. Nyilv´ anval´ o, hogy azonos a sorbafejtések képzése S1 és S2 vonatkoz´ Így teh´ at ´ırhatjuk, hogy 2 ! 2 ! ∂S !! ∂S !! 1 ∂ 2 S !! 2∂ S! 2∂ S! + + 2xy + y x S (x , y) = S0 + x ! + y ! ! + . . . . (B.7) ! ! ∂x 0 ∂y 0 2! ∂x2 0 ∂x∂y 0 ∂y 2 0 atarendszer kezd˝ opontj´ aban vett helyettes´ıtési értékeket jelöli. Mivel a A 0 index a koordin´ uletek fel¨ uletek a koordin´ atarendszer kezd˝opontj´ an átmennek, az S0 = 0 és az xy s´ık a fel¨ k¨ oz¨ os érint˝ os´ıkja a koordin´ atarendszer kezd˝opontj´ aban, ezért érvényes, hogy ∂S !! ∂S !! ! = ! = 0. ∂x 0 ∂y 0

(B.8)

Ennek k¨ ovetkeztében a sorbafejtésnek nincs sem álland´ o, sem pedig els˝ofok´ u tagja. Figyelembe véve, hogy benn¨ unket csak az érintkezési tartom´ any érdekel, mely az egész fel¨ uletnek csak kicsiny része, ezért x és y kis értékeire az x és y harmadik és magasabb hatvány´ u tagjait a m´ asodfok´ u tagokhoz képest el lehet hanyagolni. Teh´ at az érintkez˝o testek fel¨ uleteinek egyenletei az érintkezési pont közelében: ! 2 ∂ 2 S1 !! ∂ 2 S1 !! 2 ∂ S1 ! + 2x y + y ! ! ! 1 1 1 ∂x1 ∂y1 0 ∂x21 0 ∂y12 0 ! 2 ∂ 2 S2 !! ∂ 2 S2 !! 2 ∂ S2 ! 2z2 = x22 + 2x y + y ! ! ! . 2 2 2 ∂x2 ∂y2 0 ∂x22 0 ∂y22 0

2z1 = x21

(B.9)

További egyszer˝ us´ıtés érhet˝o el, ha az x1 , y1 és x2 , y2 tengelyeket alkalmasan v´ alasztjuk os´ık és a fels˝o test norm´ al metszetei s´ıkjainak meg. Például ha az x1 , y1 tengelyeket az érint˝ o vegyes parciális deriv´ alt elt˝ unik. metszésvonal´ aba helyezz¨ uk, akkor az S1 -re vonatkoz´ Hasonlóan elj´ arva als´ o testnél fel´ırhatjuk, hogy ∂ 2 S1 !! ! = k11 ; ∂x21 0 ∂ 2 S2 !! ! = k21 ; ∂x22 0

∂ 2 S1 !! ! = k12 ; ∂y12 0 ∂ 2 S2 !! ! = k22 , ∂y22 0

(B.10)

melyben k11 és a k12 a fels˝o test, m´ıg a k21 és a k22 az alsó test f˝o norm´ al metszeteinek g¨ orb¨ uletei a koordin´ atarendszer kezd˝opontj´ aban. Ezekkel a jelölésekkel 2z1 = k11 x21 + k12 y12 ,

(B.11)

2z2 = k21 x22 + k22 y22 . a vizsgált testek egyenletei az O érintkezési pont környezetében. Speci´ alis eset az R1 és egy R2 sugar´ u gömb érintkezése. Ekkor k11 = k12 =

1 R1

k21 = k22 =

1 . R2

(B.12)

Az R1 sugar´ u g¨ ombnek s´ıkkal val´ o érintkezése esetén R2 végtelenné válik, ´ıgy k21 = k22 = 0.

Az egyszer˝ uség kedvéért a tov´ abbiakban két rugalmas gömb érintkezési feladat´ at tekintj¨ uk (l´ asd a B.3. ábr´ at). Célunk, hogy meghat´ arozzuk a ∆ közeledési távols´ agot, az a

125

´le rugalmassa ´gtani o ´sek ¨ sszef¨ Hertz-fe ugge

érintkezési tartomány hat´ arg¨ orbéjének sugarát, valamint a p0 maximális érintkezési nyoany´ u elmozdul´ asát. mást. Jel¨ olj¨ uk w1 , illetve w2 -vel a P1 , illetve P2 pontok z1 , illetve z2 ir´ ozeledése a következ˝o összef¨ uggéssel ´ırhat´ o fel: Ekkor a P1 és P2 pontok k¨ ∆ = (z1 + w1 ) + (z2 + w2 ) .

(B.13)

Ezáltal érintkezni azon pontok fognak, melyekre teljes¨ ul, hogy z1 + z2 = ∆ − (w1 + w2 ) .

(B.14)

F z1

z1 R1 R1

1 z2

P1

w1

y

∆

w2

r

r z1

R2

P2

2

x

a

z2

z2

F

B.3. ´ abra: Rugalmas gömbök érintkezése

A B.3. ábra alapj´ an ´ırhatjuk, hogy R12 − r2 = (R1 − z1 )2 = R12 − 2R1 z1 + z12 .

(B.15)

Itt z12 másodrend˝ uen kicsiny érték, amit elhanyagolhatunk. Így jutunk a z1 =

r2 , 2R1

z2 =

r2 , 2R2

(B.16)

aosszef¨ uggésekhez. A (B.14) egyenletben szerepl˝o w1 és w2 rugalmas elmozdulások kisz´ ¨ m´ıt´ asához a (B.5) kifejezést lehet felhasználni a pn pn dS és w2 = k2 dS (B.17) w1 = k1 r r Sc

Sc

126

´k B. f¨ uggele

alakban, ahol k1 =

1 − ν12 πE1

és

k2 =

1 − ν22 πE2

ulet. Ezt k¨ or hat´ arolja. m´ıg Sc az érintkezési fel¨ Felhasználva a (B.1) ¨ osszef¨ uggést ´ırhatjuk, hogy p0 1 ξ dS . w1 + w2 = (k1 + k2 ) a r

(B.18)

(B.19)

Sc

Elvégezve a kijel¨ olt m˝ uveleteket, és azonos átalak´ıt´ asokat végrehajtva kapjuk a P1 és P2 pontok z1 , illetve z2 ir´ any´ u elmozdul´ asaira, hogy 1 − ν12 1 − ν22 3F 2a2 − r2 w1 + w2 = + . (B.20) E1 E2 8a3 Ezt vissza´ırjuk a (B.14) ¨ osszef¨ uggésbe és bevezetj¨ uk a k=

1 − ν12 1 − ν22 + E1 E2

(B.21)

anyagjellemz˝ okt˝ol f¨ ugg˝ o álland´ ot. Tekintetbe véve a (B.3) és a (B.16) összef¨ uggéseket, asra és a ∆ közeledésre kifejezhet˝ ok az érintkezési fel¨ ulet a sugar´ ara, a p0 legnagyobb nyom´ a k¨ ovetkez˝o ¨ osszef¨ uggések / 3 R1 R2 , a= 3 Fk 4 R1 + R2 1 √ 3 63 F R1 + R2 2 (B.22) p0 = , π k2 R1 R2 / 9 R1 + R2 (F k)2 . ∆= 3 16 R1 R2 A (B.22) képletek g¨ omb és s´ık érintkezésekor is fenn´ allnak. Ha péld´ aul a 2-es jel˝ u als´ o test s´ık, azaz R2 = ∞, akkor R1 + R2 1 = R1 R2 R1

és

R1 R2 = R1 . R1 + R2

(B.23)

Az egymással érintkez˝o testek egyikének merev voltát a (B.21)-ben fel´ırt, anyagf¨ ugg˝ o paraméter seg´ıtségével vehetj¨ uk figyelembe. Például, ha a fels˝ o test merev, akkor a (B.21)ben szerepl˝o 1 − ν12 =0 (B.24) E1 tag elt˝ unik, ´ıgy csak a k= képlettel kell számolnunk.

1 − ν22 E2

(B.25)

C. fu ek ¨ ggel´

´m´ıta ´sok eredme ńyei Numerikus sza

C.1.

K´ etv´ altoz´ os optimaliz´ aci´ ok

P10-es feladat

Az 5. fejezetben definiált P10-es feladathoz tartozó numerikus sz´ am´ıt´ asi eredményeket mutatjuk be, w0 = −0.11 mm-es kinematikai terhelés esetén.

mesh 7*5, istep=1(−),istep=2(− −),istep=3(+),istep=4(...),istep=5(o) 0.12

Optimal gap (o), second type iteration i=0 0.1

Gap [mm]

0.08

0.06

0.04

0.02

0 20

30

40

50

60

70 r [mm]

80

90

100

110

C.1. ´ abra: A testek k¨ oz¨ otti t´ avols´ ag v´ altozása a P10-es optimalizációra

120

128

´k C. f¨ uggele Load w =−0.11 mm,µ=0.25

L1=33.45 mm, L2=37.45 mm, L3=96 mm, L4=100 mm

0

0

0

−20

−50

−100 20

−τtz [MPa]

σr [MPa]

50

100

60

80

100 120 r [mm]

60

100

−60 20

80 40

−40 80 40

60

80

100 120 r [mm]

z [mm]

60

z [mm]

0 σeq [MPa]

σz [MPa]

200

−100

100

100

−200 20

80 40

60

80

100 120 r [mm]

60

100 0 20

80 40

60

80

100 120 r [mm]

z [mm]

60

z [mm]

C.2. ´ abra: A fels˝ o testre meghatározott fesz¨ ultségeloszlások a P10-es optimalizációra

P11-es feladat Ebben a részben az 5. fejezetben definiált P11-es feladathoz tartozó numerikus eredményeket k¨ oz¨ olj¨ uk, w0 = −0.11 mm-es kinematikai terhelés esetén. mesh 7*5, istep=1(−),istep=2(− −),istep=3(+),istep=4(..) 0.12

Optimal gap (o), second type iteration i=0 0.1

Gap [mm]

0.08

0.06

0.04

0.02

0 20

30

40

50

60

70 r [mm]

80

90

100

110

120

C.3. ´ abra: A testek k¨ oz¨ otti t´ avols´ ag változása a P11-es optimalizációra

129

´m´ıta ´ sok eredme ńyke ´pei Numerikus sza Load w =−0.11 mm,µ=0.25

L1=0 mm, L2=0 mm, L3=61.09 mm, L4=65.09 mm

0

0

−50

−100 −150 20

100

60

80

100 120 r [mm]

60

−40 −60 20

80 40

−20

tz

0

−τ [MPa]

σr [MPa]

50

100 80 40

60

80

100 120 r [mm]

z [mm]

60

z [mm]

0 σeq [MPa]

σz [MPa]

200

−100

100

100

−200 20

80 40

60

80

100 120 r [mm]

60

z [mm]

100 0 20

80 40

60

80

100 120 r [mm]

60

z [mm]

C.4. ´ abra: A fels˝o testre meghatározott fesz¨ ultségeloszlások a P11-es optimalizációra

C.2.

Szimmetrikus terhel´ es˝ u 3D-s feladatok

Ebben az alfejezetben a k¨ ulönböz˝o szimmetrikus elrendezés˝ u terhelésekhez tartozó eredményeket jelen´ıtj¨ uk meg a teljesség kedvéért grafikus form´ aban. Az itt bemutatott abr´ ´ ak egym´ as ut´ an ábr´ azolj´ ak az érintkezési nyomás k¨ ulönböz˝o elvek szerint származtatott eloszlását; majd ezt k¨ ovetik az adott terhelési esetre vonatkozó érintkezési tartomány hat´ ar´ at le´ır´ o B-spline g¨ orbék k¨ ul¨ onböz˝o iter´ aciós lépésekhez tartozó képei; ezután l´ athatjuk a z tengely ir´ any´ u elmozdul´ asok és vég¨ ul a z tengely irány´ u fesz¨ ultségek diagrammjait. A térbeli z tengely ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝ot a jobb elemezhet˝oség miatt 100-szoros naassal ábr´ azoltuk, azonban az a´br´ ak melletti elmozdulás értékek a ténylegesen kiszámolt gy´ıt´ eredmények alapján ker¨ ultek fel´ır´ asra. ulnek bemutaItt az iterh = 2, 3, 4, 5 terhelési lépésekhez tartozó eredményképek ker¨ t´ asra, melyek alapvet˝ oen abban k¨ ulönböznek, hogy mekkora nagys´ ag´ u elmozdul´ asi el˝o´ır´ as adott a merev bélyeg vonatkoz´ asában. A k¨ ulönböz˝o terhelési esetekre vonatkozó el˝o´ır´ asokat a 6. fejezetben tal´ alhat´ o 6.1. t´ abl´ azat tartalmazza. Az itt k¨ oz¨ olt eredményképek minden terhelési esetben az elérhet˝o legpontosabb sz´ am´ıt´ ashoz tartoznak, azaz minden esetben a közel´ıt˝ o polinomok foksz´ ama p = 8. A k¨ ovetkez˝o C.3. alfejezetben a nem szimmetrikus elrendezés˝ u terhelés esetén mutatjuk be a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o terhelési esetekhez tartozó eredményeket. Az ott megjelen´ıtett ábr´ ak hasonl´ o sorrendben k¨ ovetik egymást, illetve a r´ ajuk vonatkoz´ o megjegyzések is hasonlóak. Azzal a k¨ ul¨ onbséggel, hogy csak a nem szimmetrikus terhelési eseteknél rajzoltuk meg a Hertz-féle szám´ıt´ asok szerinti k¨ or alak´ u érintkezési tartományt, az ehhez képesti eltérés érzékeltetése érdekében.

130

´k C. f¨ uggele

346.5 308.0 269.5 231.0 192.5 154.0 115.5 77.0 38.5 0.0 −5

−4

−3

−2

−1

. 0

Hertz

1

2

3

4

−σz

5

−c · d−

x koordináta [mm]

´ C.5. ´ abra: Erintkez´ esi nyomás eloszlása, szimmetrikus esetben (iterh = 2)

2.24

1.50

y koordináta [mm]


385.0

0.75

.

−0.00

−0.75

istep = 2 −1.50

istep = 3 −2.24 −2.24

−1.50

−0.75

−0.00

0.75

x koordináta [mm]

1.50

2.24

istep = 4 istep = 5

C.6. ´ abra: Az érintkezési tartomány v´ altoz´ asa, szimmetrikus esetben (iterh = 2)

131

´m´ıta ´ sok eredme ńyke ´pei Numerikus sza

[mm] 4.50 · 10−3 3.38 · 10−3

2.26 · 10−3

1.14 · 10−3

1.83 · 10−5

C.7. ´ abra: A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o, szimmetrikus esetben (iterh = 2)

[M P a] 372.91

279.69

186.47

93.25

3.594 · 10−2

C.8. ´ abra: A −σz fesz¨ ultségmez˝o, szimmetrikus esetben (iterh = 2)

132

´k C. f¨ uggele


410 369 328 287 246 205 164 123 82 41 0 −5

−4

−3

−2

−1

. 0

Hertz

1

2

3

4

−σz

5

−c · d−

x koordináta [mm]


2.4

y koordináta [mm]

1.6

0.8

.

−0.0

−0.8

istep = 2 −1.6

istep = 3 −2.4 −2.4

−1.6

−0.8

−0.0

0.8

x koordináta [mm]

1.6

2.4

istep = 4 istep = 5

C.10. ´ abra: Az érintkezési tartomány változása, szimmetrikus esetben (iterh = 3)

133


[mm] 5.00 · 10−3 3.76 · 10−3

2.51 · 10−3

1.26 · 10−3

1.7 · 10−5


[M P a] 395.98

269.99

197.99

98.99

4.081 · 10−3


134

´k C. f¨ uggele

391.5 348.0 304.5 261.0 217.5 174.0 130.5 87.0 43.5 0.0 −5

−4

−3

−2

−1

. 0

Hertz

1

2

3

4

−σz

5

−c · d−

x koordináta [mm]


2.59

1.72

y koordináta [mm]


435.0

0.86

.

−0.00

−0.86

istep = 2 −1.72

istep = 3 −2.59 −2.59

−1.72

−0.86

−0.00

0.86

x koordináta [mm]

1.72

2.59

istep = 4 istep = 5


135


[mm] 5.50 · 10−3 4.13 · 10−3

2.76 · 10−3

1.39 · 10−3

2.06 · 10−5


[M P a] 418.59

313.96

209.32

104.68

4.998 · 10−2


136

´k C. f¨ uggele


460 414 368 322 276 230 184 138 92 46 0 −5

−4

−3

−2

−1

. 0

Hertz

1

2

3

4

−σz

5

−c · d−

x koordináta [mm]


2.72

y koordináta [mm]

1.82

0.91

.

−0.00

−0.91

istep = 2 −1.82

istep = 3 −2.72 −2.72

−1.82

−0.91

−0.00

0.91

x koordináta [mm]

1.82

2.72

istep = 4 istep = 5


137


[mm] 6.0 · 10−3 4.51 · 10−3

3.01 · 10−3

1.52 · 10−3

2.16 · 10−5


[M P a] 440.852

330.640

220.420

110.217

5.892 · 10−3


138

´k C. f¨ uggele

C.3.

Nemszimmetrikus terhel´ es˝ u 3D-s ´ erintkez´ esi feladatok

365


Hertz −σz

304

−c · d−

243

182

122

61

0 −3.00

. 0.25

3.50

6.75

10.00

x koordináta [mm] ´ C.21. ´ abra: Erintkez´ esi nyomás eloszlása, nemszimmetrikus esetben (iterh = 2)

2.20

1.47

y koordináta [mm]

0.73

.

0.00

−0.73


−1.47

istep = 6 −2.20 −2.20

−1.45

−0.70

0.05

0.80

1.55

2.30

x koordináta [mm] C.22. ´ abra: Az érintkezési tartomány v´ altozása, nemszimmetrikus esetben (iterh = 2)

139


[mm] 4.50 · 10−3 3.42 · 10−3 2.34 · 10−3 1.25 · 10−3 1.73 · 10−4

C.23. ´ abra: A z ir´ any´ u elmozdul´ asmez˝o, nemszimmetrikus esetben (iterh = 2)

[M P a] 357.97 268.48 178.99 89.49 4.478 · 10−4

C.24. ´ abra: A −σz fesz¨ ultségmez˝o, nemszimmetrikus esetben (iterh = 2)

140

´k C. f¨ uggele

390


Hertz −σz

325

−c · d−

260

195

130

65

0 −3.00

. 0.25

3.50

6.75

10.00


2.4

1.6

y koordináta [mm]

0.8

.

0.0

−0.8


−1.6

istep = 6 −2.4 −2.4

−1.6

−0.8

0.0

0.8

1.6

2.4


141


[mm] 5.00 · 10−3 3.79 · 10−3 2.59 · 10−3 1.38 · 10−3 1.84 · 10−5


[M P a] 380.32 285.24 190.16 95.09 1.063 · 10−4


142

´k C. f¨ uggele

415


Hertz −σz

346

−c · d−

277

208

138

69

0 −3.00

. 0.25

3.50

6.75

10.00


2.50

1.67

y koordináta [mm]

0.83

.

0.00

−0.83


−1.67

istep = 6 −2.50 −2.50

−1.67

−0.83

0.00

0.83

1.67

2.50


143


[mm] 5.50 · 10−3 4.17 · 10−3 2.85 · 10−3 1.52 · 10−3 1.96 · 10−5


[M P a] 402.40 301.81 201.25 100.64 9.57 · 10−4


144

´k C. f¨ uggele

435


Hertz −σz

362

−c · d−

290

218

145

72

0 −3.00

. 0.25

3.50

6.75

10.00


2.60

1.73

y koordináta [mm]

0.87

.

0.00

−0.87


−1.73

istep = 6 −2.60 −2.60

−1.73

−0.87

0.00

0.87

1.73

2.60


145


[mm] 6.00 · 10−3 4.55 · 10−3 3.12 · 10−3 1.65 · 10−3 2.06 · 10−5


[M P a] 424.19 318.14 212.09 106.05 2.915 · 10−4


D. fu ek ¨ ggel´ ´ cio ´ k az e ´rtekeze ´ s te ´ma ´ ja ´ban Publika

Idegen nyelv˝ u foly´ oiratban megjelent szakcikk: 1 P´ aczelt, I. & Baksa, A. (2002). Examination of contact optimization and wearing problems. Journal of Computational and Applied Mechanics, 3(1), pp. 61-84. Magyar nyelv˝ u foly´ oiratban megjelent szakcikk: 2 Baksa, A. & P´ aczelt, I. (2001). Some new contact optimization problems with ´ 52(3-4), pp. 38-42. iteration. GEP, 3 Baksa & Páczelt, I. (2004). Approximation of contact domain with the use of B´ 55(1), pp. 8-13. splines. GEP, ´ 4 Baksa, A. (2005). Erintkez´ esi feladat megold´ asa háromdimenziós p-verziój´ u végese´ 56(5), pp. 1-12. lemek seg´ıtségével. GEP, Tudom´ anyos k¨ ozlemény, idegen nyelv˝ u konferencia kiadv´ anyban: 5 Baksa, A. & Páczelt, I. (2001). Optimization problem of rolling body contacts. 3rd International Conference of PhD Students, University of Miskolc, pp. 1-8. 6 Baksa, A & Páczelt, I. (2001). Some new contact optimization problems. microCAD’2001 International Scientific Conference, Section N: Applied Mechanical Engineering Sciences, University of Miskolc, pp. 7-12. 7 P´ aczelt, I. & Baksa, A. (2001). Solution of contact optimization problems with iteration. ECCM 2001 European Conference on Computational Mechanics, Cracow, Poland, CD Proceedings. 8 Baksa, A. & P´ aczelt, I. (2002). Solution of contact problems with FEM and parallel technique. microCAD’2002 International Scientific Conference, Section D1: Mechanical Engineering Sciences, University of Miskolc, pp. 1-5. 9 Baksa, A. & Páczelt, I. (2004). Approximation of contact domain with the use of B-splines. microCAD 2004, International Scientific Conference, Section E: Applied Mechanics, University of Miskolc, pp. 7-12. 10 P´ aczelt, I. & Baksa, A. (2005). Solution of contact problems with high rate convergence. 8th U.S. National Congress on Computational Mechanics, Austin, Texas, July 24-28. Minisympozia: Computational Contact Mechanics, Conference CD Proceedings.

ćio ´ k az e ´rtekeze ´ s te ´ma ´ ja ´ban Publika

147

Szakmai tudom´ anyos el˝ oad´ as idegen nyelven: 11 Baksa, A. & P´ aczelt, I. (2002). Solution of contact problems using parallel technique. nmcm2002, Numerical Methods and Computational Mechanics, University of Miskolc. 12 Baksa, A. & P´ aczelt, I. (2002). Different solution methods for contact optimization problems. Solmech2002, 34th Solid Mechanics Conference, Zakopane, Poland. Szakmai tudom´ anyos el˝ oad´ as magyar nyelven: 13 P´ aczelt, I. & Baksa, A. (1999). Programrendszer érintkezési feladatok megold´ asára, VIII. Magyar Mechanikai Konferencia, Miskolci Egyetem. 14 Baksa, A. & Páczelt, I. (2003). Iterációs technik´ ak érintkezési optimalizál´ asi feladatok megold´ asához. OGET2003, XI. Nemzetk¨ ozi Gépész Tal´ alkoz´ o, Sz´ am´ıt´ ogépes tervezés és gy´ art´ as, Erdélyi Magyar Társaság, Kolozsv´ ar, pp. 26-30. ´ 15 Baksa, A. & P´ aczelt, I. (2003). Erintkez´ esi feladatok vizsg´ alata magasfok´ u approximáció seg´ıtségével. IX. Magyar Mechanikai Konferencia, Miskolci Egyetem. 16 Baksa, A. & P´ aczelt, I. (2005). Térbeli érintkezési feladat vizsg´ alata. OGET2005, XIII. Nemzetk¨ ozi Gépész Tal´ alkoz´ o, Fogaskerékhajt´ asok, Modern Megmunk´ al´ asok, Erdélyi Magyar T´ arsaság, Szatm´ arnémeti, pp. 39-42.

´sok Hivatkoza

[1] G. Amontons. On the resistance originating in machines. Mem. Acad. Roy., pages 206–222, 1699. [2] J.S. Arora, A.I. Chahande, and J.K. Paeng. Multiplier methods for engineering optimization. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 7:1485–1525, 1991. [3] N. Atting and R. Esser. Molecular Dynamics on Parallel Computers. World Scientific, 1999. [4] I. Babuˇska and B.Q. Guo. Approximation properties of the hp-version of the finite element method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 133:319– 346, 1996. [5] I. Babuˇska and W.C. Rheinboldt. Error estimates for adaptive finite element computations. SIAM Journal of Numerical Analysis, 15:736–754, 1978. [6] I. Babuˇska and M. Suri. The p- and hp-versions of the finite element method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 80:5–26, 1990. [7] P.K. Banerjee. The Boundary Element Methods in Engineering. McGraw – Hill Book Company, 1994. [8] R.H. Bartels, J.C. Beatty, and B.A. Barsky. An Introduction to Splines for use in Computer Graphics & Geometric Modeling. Morgan Kaufmann Publishers, Inc., 1987. [9] K.J. Bathe. Finite Element Procedures. Precentice Hall, 1996. [10] Gy. Béda, I. Koz´ ak, and J. Verh´ as. Kontinuummechanika. Akadémiai Kiad´ o, 1995. [11] Y.P. Chiu and M.J. Harnett. A numerical solution for the contact problem involving bodies with cylindrical surface considering cylinder effect. ASME Journal for Tribology, 109:479–486, 1987. [12] T.F. Conry and A. Seireg. A mathematical programming method for design of elastic bodies in contact. Journal of Applied Mechanics, 38:1293–1307, 1971. [13] C.A. Coulomb. The theory of simple machines. Mem. Math. Phys. Acad. Sci., 10:161– 331, 1785. [14] B.M. Csizmadia and E. N´ andori. Mechanika Mérn¨ ok¨ oknek, Modellalkot´ as. Nemzeti Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 2003. [15] A. D¨ uster. High order finite elements for three-dimensional, thin-walled nonlinear continua. Shaker Verlag, Aachen, 2001. [16] L. Euler. Sur le frottement des corps solides. Mem. Acad. Sci. Berlin, 4:122–132, 1748. 148

´sok Hivatkoza

149

[17] J. Gallier. Curves and Surfaces in Geometric Modeling, Theory and Algorithms. Morgan Kaufmann Publishers, San Fransisco, California, 2000. [18] W. Goldsmith. Impact: The theory and physical behavior of colliding solids. London: Edward Arnold, 1960. [19] W. Gui and I. Babuˇska. The h-, p- and hp-versionns of the finite element mehod in on dimension. Part I: The error analysis of the p-version. Numerische Mathematik, 49:577–612, 1986. [20] W. Gui and I. Babuˇska. The h-, p- and hp-versionns of the finite element mehod in on dimension. Part II: The error analysis of the h- and hp-versions. Numerische Mathematik, 49:613–657, 1986. [21] M.J. Harnett. The analysis of contact stresses in rolling element bearings. ASME, Journal for Lubrication Technology Series F, 98:105–109, 1979. [22] J. Haslinger and P. Neittaanmaki. Finite Element Approximation for Optimal Shape Design. John Wiley & Sons Ltd., London, 1996. ¨ [23] H. Hertz. Uber die Ber¨ uhrung fester elastischer Körper. Journal f¨ ur die Reine und Angewandte Mathematik, 29:156–171, 1882. [24] D. Hilding, A. Klarbring, and J. Peterson. Optimization of structures in unilateral contact. Applied Mech. Rev., 52(4):139–160, 1999. [25] T.J.R. Huges, R.L. Taylor, J.L Sackman, A. Curner, and W. Kanaknukulchai. A finite element method for a class of contact-impact problems. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 8:249–276, 1976. [26] K.L. Johnson. Contact Mechanics. Cambridge University Press, 1985. [27] J.-W. Ju and R.L. Taylor. A perturbed Lagrangian formulation for the finite element solution of nonlinear frictional contact problems. Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 7:1–14, 1988. [28] I. Juh´ asz. Sz´ am´ıt´ ogépes geometria és grafika. Miskolci Egyetemi kiadó, 1995. [29] I. Juh´ asz and Zs. Bancsik. Increasing the degree of closed B-spline curves. Mathematical and Computer Modeling, 38:877–882, 2003. [30] J.J. Kalker. A Course of Contact Mechanics. TU Delft, Neatherland, 1985. [31] J.J. Kalker. Three Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact. Academic Publisher, Doordrecht, 1990. [32] J.J. Kalker. User’s Manual, Listing CONPC. TU Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics, 1990. [33] N. Kikutchi and J.T. Oden. A study of variational inequalities and finite element methods. In Contact problems in elasticity. Philadelphia: SIAM, 1988. [34] N. Kikutchi and J.E. Taylor. Shape optimization for unilateral elastic bodies in contact. In Num. Meth. Coupl. Probl. (Proceeding for International Conference, held at University College, Swansea, Wales), pages 430–441, 1981. [35] A. Klarbring. Contact, friction, discrete mechanical structures and mathematical programming. In CISM course: Contact problems: Theory, Methods, Applications, pages 1–51, 1997.

150

´sok Hivatkoza

[36] A. Klarbring and J. Haslinger. On almost constant stress distribution by shape optimization. Structural Optimization, 5:213–216, 1993. [37] B. Krek´ o. Optimum sz´ am´ıt´ as. K¨ ozgazdasági és Jogi Könyvkiad´ o, Budapest, 1972. [38] A.I. Lur’e. Three-dimensional Problems of the Theory of Elasticity. English translation by J.R.M. Radok, Interscience, 1964. [39] Z. Mr´ oz. Sensitivity analysis of distributed and discretized systems. Advanced TEMPUS Course on Numerical Methods in Computer Aided Optimal Design, Zakopane, 1:1–60, 1992. [40] I. P´ aczelt. Végeselem-m´ odszer a mérn¨ oki gyakorlatban, I. k¨ otet. Miskolci Egyetemi Kiad´ o, Miskolc, 1999. [41] I. P´ aczelt. Iterative methods for solution of contact optimization problems. Archives of Mechanics, 52(4-5):685–711, 2000. [42] I. P´ aczelt and A. Baksa. Examination of contact optimization and wearing problems. Journal of Computational and Applied Mechanics, III(1):61–84, 2002. [43] I. P´ aczelt and B. Herpai. Some remarks on the solution of contact problems of elastic shells. Archivum Budowy Maszyn XXIV, pages 197–202, 1977. [44] I. P´ aczelt, B. Szabó, and T. Szab´ o. Solution of contact problem using the hp-version of the finite element method. Computers and Mathematics with Applications, 38:49–69, 1999. [45] I. P´ aczelt and T. Szab´ o. Optimal shape design for contact problems. Structural Optimization, 7(1/2):66–75, 1994. [46] I. P´ aczelt and T. Szab´ o. Application of the augmented Lagrangian technique for solution of contact optimization problems. Second International Conference on Contact Mechanics, Computational Mechanics Publications, London, II:249–256, 1995. [47] I. P´ aczelt and T. Szab´ o. Solution of contact optimization problems of cylindrical bodies using the hp-fem. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 53:123–146, 2002. [48] P.D. Panagiotopoulos. Inequality Problems in Mechanics, Convex and Nonconvex Energy Functions. Birkh¨ aser Verlag, Boston, Basel, 1985. [49] H. Park. Choosing nodes and knots in closed B-spline curve interpolation to point data. Computer-Aided Design, 33:967–974, 2001. [50] H. Park and K. Kim. Smooth surface approximation to serial cross-sections. Computer-Aided Design, 28:995–1005, 1999. [51] H. Park, K. Kim, and S-C. Lee. A method for approximate NURBS curve compatibility based on multiple curve refitting. Computer-Aided Design, 32:237–252, 2000. [52] J. Peterson. Behaviorally constrained contact force optimization. Structural Optimization, 9:189–193, 1995. [53] F. Pfeiffer and C. Glocker. Multibody Dynamics with Unilateral Contact. John Wiley & Sons, New York, 1996. [54] L. Piegl and W. Tiller. The NURBS Book. Berlin: Springer, 1995.

´sok Hivatkoza

151

[55] Sz.D. Ponormajov. Szil´ ards´ agi sz´ am´ıt´ asok a gépészetben: 3. k¨ otet, Lemezek. Héjak. ´ Vastag fal´ u cs¨ ovek. Erintkez´ esi fesz¨ ultség. M˝ uszaki Könyvkiad´ o, Budapest, 1965. [56] A. Signorini. Sopra akune questioni di elastostatica. Atti della Societa Italiana per il Progresso delle Scienze, 1933. [57] J.C. Simo, P. Wriggers, and R.L. Taylor. A perturbed Lagrangian fomulation for the finite element solution of contact problems. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 50:163–180, 1985. [58] N. Str¨ omberg, L. Johanson, and A. Klarbring. Derivation and analysis of a generalized standard model for contact, friction and wear. International Journal for Solids and Structures, 33:1817–1836, 1996. [59] M. Suri, I. Babuˇska, and C. Schwab. Locking effects in the finite element approximation of plate models. Mathematics of Computation, 64:461–482, 1996. [60] B. A. Szab´ o and I. Babuˇska. Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, 1991. [61] B.A. Szab´ o. Mesh design for the p-version of the finite elemen method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 55:181–197, 1986. [62] B.A. Szab´ o and R.L. Actis. Finite element analysis in professional practice. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 133:209–228, 1996. [63] S.P. Timoshenko and J.N. Goodier. Theory of Elasticity. McGraw-Hill, New York, 1970. [64] M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, and L.J. Topp. Stiffness and deflection analysis of complex structures. Journal of the Aeronautical Sciences, 23:805–823, 1956. [65] E.A. Wilson and B. Parsons. Finite element analysis of elastic contact problems using differential displacements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2:387–395, 1970. [66] P. Wriggers. Computational Contact Mechanics. John Wiley & Sons, Ltd, 2002. [67] Z.H. Zhong. Finite element procedures for contact-impact problems. New York: Oxford University Press, 1993.

Miskolci Egyetem. Baksa Attila okleveles mérnök-informatikus. Doktori Iskola vezető: az MTA rendes tagja

Recommend Documents