Miskolci Egyetem, Áramlás- és Hőtechnikai Gépek Tanszéke

Miskolci Egyetem, Áramlás- és Hőtechnikai Gépek Tanszéke _________________________________________________________

KÖNÖZSY LÁSZLÓ A KÁRMÁN-FÉLE ÖRVÉNYSOROK KELETKEZÉSÉNEK MAGYARÁZATA FILMFELVÉTELEK KÉPANALÍZISE ALAPJÁN

_________________________________________________________ Miskolc 1998.

TARTALOM 1. Bevezetés (Tudománytörténeti előzetes).....................................................................2.oldal 2. A Kármán-féle örvénysorok keletkezésének Fáy-féle elmélete kavitációs áramlások esetén (Az örvényképződés mechanizmusa filmfelvételek képanalízise alapján)..........................5.oldal 3. A folyadéksugár keletkezésének feltételei a Fáy-féle számítógépes modell alapján (Alapegyenletek, az átcsapás periódusidejének kiszámítása, Strouhal-szám)..................11.oldal 4. Az örvényképződés dinamikájának kvalitatív leírása..................................................18.oldal 5. A turbulencia jelenségére vonatkozó hidromechanikai hipotézisek.............................21.oldal 6. Melléklet (Sebestyén filmfelvételei Könözsy számítógépes feldolgozásában)..............25.oldal 7. Hivatkozások, felhasznált szakirodalmak...................................................................36.oldal

1

Jelen tudományos értekezés tárgya egy olyan alapprobléma, amelynek átfogó megoldása csupán jelenkorunk számítógépes világában lehetséges. Ez a Kármán-féle örvénysorok keletkezésének egyik elmélete mind kavitációs, mind pedig nem-kavitációs áramlások esetében, amelyet Dr. Fáy Árpád Explanation of how the Kármán vortices are generated [1,2] című cikkének alapján fogok tárgyalni, és ennek kapcsán hipotéziseket kívánok megfogalmazni. Mindezt nem csak teoretikusan, hanem olyan univerzális matematikai összefüggésekre építve, amelyek teljességgel összeegyeztethetők az e szakterületen végzett kísérletekkel és nem félempírikusak. Célom, hogy ismertessem az örvényképződés egyik lehetséges elméletét, amelyet Dr. Sebestyén Gyula általam számítógéppel feldolgozott filmfelvételei alapján reprezentálok és ezt öszszevetem e jelenséget vizsgáló Fáy-féle kétdimenziós számítógépes modellel [11,12,13,14,15]. E modell esetén levezetem a sebességpotenciál változó kontúr menti új értékeire vonatkozó egyenletet, amelynek csupán a végeredménye található az [1,2] cikkben. Ennek a levezetésnek a gondolatmenete a Fáy-féle elmélet gyakorlati következményeinek megvilágítása szempontjából nélkülözhetetlen. A filmfelvételek alapján az örvényképződést okozó folyadéksugarak átcsapásának periódusidejét kiszámítom, és így egy nagyon fontos műszaki paraméter adódik, mégpedig a Strouhal-szám, ami kapcsolatot teremt a frekvencia, az ellenállástest geometriája és az áramlási sebesség között. Mindezen vizsgálatokat elvégezve és az örvényképződés dinamikájának kvalitatív tárgyalása után lehetőség nyílik a turbulencia jelenségére vonatkozó hidromechanikai hipotézisek kimondására. Hipotéziseim alapgondolata, hogy a turbulencia jelenségének leírásában nagy segítséget nyúlthatnának az általunk bevezetendő bináris operátorok, amelyek engedelmeskednek a már létező - Boole-algebrán nyugvó - bináris logikai alapműveleteknek, és így egyszerűbbé válhatnának a számítások és a jelenség számítógépi grafikus megjelenítése, hiszen a Navier-Stokes másodrendű parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása és ábrázolása igencsak gépidő igényes.

1. Bevezetés (Tudománytörténeti előzetes) A műszaki gyakorlatban legtöbbször turbulens áramlásokkal találkozunk, amelyet elsőként Osborn Reynolds (1842-1912) angol fizikus-mérnök vizsgált 1883-ban, és kísérletekkel kimutatta, hogy egy meghatározott áramlási sebesség felett minden áramlás turbulenssé válik, amelyben a belső súrlódással jellemzett (viszkózus) folyadék részecskéi egymással állandóan keverednek és azok forgó illetve örvénylő mozgást végeznek. Ezt úgy mutatta ki, hogy az álta2

la vizsált folyadékot egy átlátszó csőben megfestette, és egy kritikus áramlási sebesség felett a megfestett folyadékrészek elkeveredtek a vizsgálat kiindulópontjául szolgáló festetlen folyadékkal. E kísérletek által világossá vált, hogy minél nagyobb a csőátmérő, annál kisebb az a kritikus sebességérték, amelynél fellép a turbulencia jelensége, és az áramlási tér bármely pontjában a sebesség- és a nyomásértékek időben igen gyorsan, periodikusan, nagy frekvenciával változnak, így a turbulens áramlás minden esetben instacionárius. Az egymással érintkező folyadékrészecskék között folyamatos impulzuscsere jön létre, és mivel a kialakuló örvények a folyadék energiájának jelentős részét felemésztik, ezért a turbulens áramlásoknál általában sokkal nagyobb ellenállással kell számolnunk, mint a lamináris áramlások esetében. A turbulens áramlások tulajdonságainak ismeretében szükségessé vált e jelenség még átfogóbb vizsgálata, de nemcsak azért, hogy magát a jelenséget jobban megértsük, hanem azért is, hogy ez az áramlástani probléma a műszaki gyakorlat számára kezelhetőbbé váljon. Mindezért előtérbe kerültek azok a turbulens mérések, amelyek elvezethetnek e jelenség mozgásegyenleteinek felírásához, a feszültségi- és az alakváltozási tenzor kapcsolatának megállapításához - ami még napjainkban is ismeretlen -, különféle hidromechanikai peremfeltételek mellett a sebességeloszlás meghatározásához, valamint az örvényképződés okainak kinematikai és dinamikai leírásához. E szakterületen jelentős eredményeket ért el a német származású Ludwig Prandtl (18751953) és a magyar származású Kármán Tódor (1881-1963), és félempírikus hipotéziseik, elméleteik, méréseik napjainkig is meghatározók. Prandtl 1904-ben félempírikus hipotézisekre alapozva kidolgozta a határréteg-elméletet, miszerint levegő vagy víz áramlása esetén, hogyha a viszkozitás kicsi, a közeg belső súrlódását csak a szilárd falak közelében, a határrétegben kell figyelembe venni, és ezen kívül az áramlási tér bármely pontjában az áramlás súrlódásmentesnek tekinthető, tehát a határrétegen kívül az ideális folyadékokra vonatkozó törvények érvényesek. A szilárd felület mellett elhelyezkedő határrétegben a folyadék sebessége a határrétegtől távolabb érvényes sebességére változik, és ez a változás e vékony rétegen belül igen intenzív. A határrétegen belül az áramlás hasonló a viszkózus folyadék csőben való áramlásához, így megkülönböztethetünk lamináris és turbulens határréteget, amelyek között az átmenet nem állandó, hanem egy meghatározott szakaszon belül változó helyen megy végbe [17]. Az örvényképződés folyamata pedig a párhuzamos áramlásba elhelyezett, általános értelemben vett hengeres ellenállástest körül úgy megy végbe, hogy az általunk vizsgált részecske a henger felületén kialakuló határrétegben halad, először egy nagy nyomású ponttól egy kis nyomású pontig, majd pedig fordítva. A belső súrlódás, valamint a nyomásnövekedés miatt a részecske forgásba jön, és a kialakuló visszaáramlás követ3

keztében a henger körül egy bizonyos idő után egymással ellentétes forgásirányú örvények keletkeznek, amelyek az ellenállástest felületéről leválnak [16,17,18]. Kármán 1911-ben vizsgálatokat végzett az örvényképződés folyamatával kapcsolatban, és továbbfejlesztette Prandtl elméletét. Azt a megállapítást tette, hogy az általános értelemben vett hengeres ellenállástestek körül az örvényleválás felváltva megy végbe, mert leválik egy az óramutató járásaval megegyező és egy vele ellentétes forgásirányú örvény, és e folyamat ismétlődésének következtében az ellenállástest mögött egy örvényút figyelhető meg. Ez a Kármánféle örvényút vagy örvénysor egymás után sorakozó örvényekből tevődik össze, amelyre Kármán levezetett egy stabilitási kritériumot [3,4,42], miszerint meghatározta az egymással ellentétes forgásirányú örvények elhelyezkedésének viszonyszámát, miközben azok periodikusan válnak le és egymással dinamikai egyensúlyt tartva folyamatosan haladnak. Prandtl és Kármán félempírikus hipotézisein alapuló elméleteiket a megfelelő érvényességi tartományon belül a kísérleri eredmények szinte teljes pontossággal igazolták, azonban elméleteik nem foglalkoznak az ellenállástestet követő örvénytér áramlástani tulajdonságaival, és a határréteg egyenletek csupán a leválás helyéig írják le jelenséget, amíg a határréteg a falról le nem válik [16,17,18]. Az örvények kialakulásának elméletével sokan foglalkoztak, többek között Sebestyén, Fáy és Ranky [1,2,10] (1979) mind kavitációs, mind pedig nem-kavitációs örvénysorok kialakulásának esetén. Fáy elmélete szerint az örvények keletkezését alternáló folyadéksugarak okozzák, amelyek mozgása kitűnően követhető egy kavitációs áramlásban elhelyezett 60°-os ékalakú testre kifeszülő kavitációs főüregben, amely főüreg minden kifejlett kavitációs áramlásban jelen van és jól látható az ellenállástestet követően. Ezt kísérleti tények is alátámasztják, amelyeket Dr. Sebestyén Gyula (1970) filmfelvételeinek képanalízise alapján jelen értekezésben tárgyalni fogok. A kísérletek nem-kavitációs áramlások esetén is azt bizonyítják, hogy az örvények kialakulásának mechanizmusa ugyanaz, mint a kavitációs áramlásoknál. Ezt Sebestyén egy másik filmje [6] is bizonyítja, amelyet olyan kavitációs számnál vett fel, ahol a főüreg még nem fejlődött ki, de már láthatók kis kavitációs buborékok és megjelennek ugyanazok az alternáló folyadéksugarak, amelyek a kavitációs áramlások esetén megfigyelhetők. A nemkavitációs áramlásokban az alternáló folyadéksugarak keresztáramait további publikált áramképek [7,8] is megerősítik, amelyek a Gerrard-féle [9] turbulens mérések alapján régóta ismertek [1,2]. Ugyan a Prandtl-féle örvényképződés elmélete az egyik lehetséges magyarázatát adja annak, hogy az örvények miért is válnak le a párhuzmos áramlásba helyezett ellenállástestről, de arra nem ad választ, hogy ezek hogyan válnak le. A Fáy-féle elmélet (1968-1987) azonban arra 4

az alapvető kérdésre ad választ, hogy az örvénysorok hogyan alakulnak ki, vizsgálva az ellenállástestet követő örvénytér hidrodinamikai törvényeit, és ezt egy kavitációs áramlás esetén reprezentálja, hogy a folyamat vizuálisan szemléletesebb legyen. 2. A Kármán-féle örvénysorok keletkezésének Fáy-féle elmélete kavitációs áramlások esetén (Az örvényképződés mechanizmusa filmfelvételek képanalízise alapján) A kavitáció jelensége a műszaki életben igen gyakran előfordul, amely esetenként komoly károkat okozhat, ezért bármely megnyilvánulásának és annak következményeinek ismerete a tudomány számára nélkülözhetetlen. A kavitáció (üregképződés) jelensége nagy kinetikus energiával rendelkező folyadékok áramlása esetén fordul elő, amikor a folyadék sztatikai nyomása annyira lecsökken - az adott hőmérséklethez tartozó telített gőz nyomásának értékére -, hogy a folyadékáramlás belsejében halmazállapotváltozás - párolgás - megy végbe, és a folyadék gőzével telített üregek, gőzbuborékok keletkeznek. E folyamat elkezdődéséhez a műszaki gyakorlatban előforduló folyadékokban elegendő mennyiségű mikroszkópikus méretű gőzbuborék - párolgási mag - mindig jelen van. Ha pedig az áramló folyadék kinetikus energiája hirtelen lecsökken, tehát a Bernoulli-egyenlet értelmében a nyomása megnő - az adott hőmérséklethez tartozó telített gőz nyomásától nagyobb értékre, fellép a kondenzáció jelensége -, akkor a folyadékban lévő gázbuborékok összeomlanak (kollapszálnak), amely következtében igen nagy erejű lökéshullámok keletkeznek, és e kavitációs ütéseknek roncsoló hatásuk van, anyagkárosodást, adott esetben bizonyos idő elteltével törést okozhatnak - ilyen jelenség léphet fel például az áramlási teret határoló falaknál, vagy hajócsavarok-, szivattyú járókerék- és turbinalapátok felületén. Ha például egy szivattyúban az áramlás kavitációs, akkor ez rezgésekhez, nyugtalan és zajos működéshez vezet, valamit a keletkező buborékok összeomlása roncsolódást, egy idő után pedig tönkremenetelt okoz [19,20,21,22,23,24]. A kavitációs csatornákban megfigyelhető Kármán-féle kavitációs örvénysorok bonyolultabbnak tűnnek mint a nem-kavitációs áramlások örvénysorai, mert kavitációs áramlás esetén a forgásban lévő örvények magjaiban az üregek gőzzel telítettek, azonban az elméleti és egyben a gyakorlati modellalkotás ebben az esetén jóval egyszerűbb, vizuálisan is igen szemléletes, mert a kavitációs csatornában elhelyezett ellenállástesthez minden esetben hozzákapcsolódik egy főüreg, amely állandóan jelen van [1,2]. A hetvenes években a Sebestyén által készített filmfelvételek nem kerülhettek teljeskörű kiértékelésre, mert a számítástechnika multimédiás eszközei nem álltak olyan szinten, amelynek 5

segítségével a mérések eredményeképpen az áramlás kinematikáját matematikailag pontosan le lehetett volna írni. Ezért Fáy a filmfelvételekre alapozva a főüreg mozgásállapotának változását és benne a folyadékrészecskék mozgásának kinematikáját kvalitatíve írta le. Az eredeti filmfelvételekből a későbbiek során világosan ki fog derülni, hogy kvalitatíve a valós esetet írjuk le akkor is, hogyha elhanyagoljuk a turbulencia zavaró hatásait, a képződő buborékfelhőket, és az áramlást két dimenzióban szemléletjük, mert a kvalitatív leírás szempontjából itt a háromdimenziós vonatkozások indifferensek. Az 1. ábra egy ékprofilú ellenállástestet követő áramlás kvalitatív kinematikai leírásához készült grafikus vázlat az eredeti filmfelvételek alapján [1,2,5]. Az 1. ábra elemzése során a továbbiakban kiderül, hogy az ékprofilú modellhez kapcsolódó főüreg a kísérlet hidromechanikai peremfeltételeinek és ellenállástest alakjának függvényében meghatározott görbék által leírható felület, esetünkben az ábrán ennek csupán az elölnézete látszik. Fáy egy számítógépes modell [11,12,13,14,15] segítségével két dimenzióban vizsgálta a folyadéksugarak kialakulásának dinamikáját és egyben a főüreg mozgásállapotának változását, de azzal az elhanyagolással, hogy a 60°-os ékhez kapcsolódó kezdeti főüreg kontúrját körívnek választotta, tehát nem a valós esetet vizsgálta, hanem inkább magának a folyamatnak a szemléltetésére törekedett, mint ez az [1]-es értekezésből kiderül. Ez viszont az előző évtizedekben kétségessé tette ezen elmélet általános elfogadtatását, azonban itt egy jelenség kvalitatív magyarázatáról volt szó, ahol ez a modell a folyamat szemléltetésének segédeszközeként szolgált. Ugyan a Kármán-féle örvénysorok keletkezésének Fáy-féle elmélete a főüregben alternáló folyadéksugarak mozgásának kinematikáját kvalitatíve írja le, és ezt egy idealizált dinamikai modellen számítógép segítségével vizsgálja, mégis olyan univerzális matematikai összefüggéseket tár fel, amelyek által az ellenállástest mögött kialakuló örvénytérben az instacionárius áramlás esete, a sebesség- és nyomásértékek számíthatóvá válnak, így az ott létrejövő sebességtér és nyomáseloszlás is jellemezhető, miközben érthető maga az örvényképződés jelensége is. Azonban ma, a mikroszámítógépek korszakában, a multimédiás lehetőségekkel élve, az áramlástan tudományterületén olyan távlatok nyílnak, amelyek az ellenállástestet követő örvénytérben történő jelenségeknek nemcsak kvalitatív, hanem kvantitatív leírását és vizsgálatát is lehetővé teszik. Esetünben is a valós folyamatokat elemezve, meghatározhatóvá válik a főüreg mozgásállapotának és tényleges geometriájának változása. Most pedig vizsgáljuk kvalitatíve a főüregben alternáló folyadéksugarak mozgásállapotát, és ezáltal az örvényképződés jelenségét. Az alábbi 1. ábra Varga József és Sebestyén Gyula filmfelvételei alapján az ékprofilú ellenállástestet követő örvénytér grafikus vázlata [1,2,5]. A főüreg az ábrán látható 60°-os nyí6

lásszögű ékprofil két csúcspontjában végződő görbe által határolt zárt terület, amelyben alternáló folyadéksugarak áthaladása okozza a főüreg mozgásállapotának változását, valamint az örvényképződést, ami a kavitációs áramlások esetében egy alapvető felfedezés. A főüreg minden esetben hozzákapcsolódik a kavitációt keltő ellenállástesthez, amelyben az örvényképződés létrejön. Az 1.a ábrán a főüreg felső peremén egy folyadéksugár képződmény látható, amely magában a főüregben alakul ki. Ez a főüregen áthaladó folyadéksugár kezdeti formája, és ebben a vizsgált régióban a nyomás lényegében állandó, ezért a folyadék részecskéi minimális irányváltoztatással, szinte egy egyenes szakasz mentén haladnak át a főüregen. A folyadéksugár átjut a főüreg túloldalára, és érinti ennek az alsó peremét, 1.b ábra, és ebben a pillanatban egy örvényüreg válik le a főüregről, amely örvényüreg magja gőzzel telített. Az ékprofil alsó csúcspontjától az óramutató járásával ellentétes irányban követve a leváló üreg kontúrját, a tangenciális sebességkomponens minen esetben pozítiv előjelű lesz, és egyben a létrejövő új örvényüreg cirkulációja is ilyen irányú. A főüreg alsó peremén egy alig látható kis dudor keletkezik 1c. ábra -, mert a lefelé haladó folyadéksugár áramlása lökést ad az üreg túloldalának - itt a főüreg alsó peremének -, ame1. ábra Varga és Sebestyén filmjének grafikus vázlata [1,2,5]

lyet az 1.c ábra szemléltet. Rövid idő elteltével ismét egy folyadéksugár kezdemény jelenik meg a főüregnek ezen az alsó peremén, 1.d ábra, és ahogyan a folyadékrészecskék továbbhaladnak az 1a. ábra tükörképe, az 1e. ábra alakul ki. Ugyanezen

folyamat újra ismétlődik, és olyan alternáló folyadéksugarak keletkeznek, amelyek örvényüregek sorozatát hozzák létre [1,2]. Az 1. ábrán látható grafikus vázlat elemei valós esetben a 2. ábrán és a mellékletben találhatók, és ezek a Sebestyén által készített és az általam számítógépen feldolgozott filmfelvételek, amelyeken a fehéren látszó részek az üregeket, a feketén látszók pedig az áramló folyadékot szemléltetik. A felvételeken a 60°-os ék profilja nem látszott, mert az éket körtárcsákkal rögzítették. Itt azonban ezt szaggatott vonallal feltűntettem. A filmfelvételek egy kavitációs csatornában készültek. A méréseket hideg vízzel végezték, valamint az áramlásba helyezett objektum előtt ismeretes volt a nyomás (referencianyomás,

7

pref) és a sebesség (referenciasebesség, vref), amely mérési paraméterek konstansként adottak, és megegyeznek a vizsgált kavitációs csatorna valós feltételeivel. A 2.a. ábra nagyjából megfelel az 1c. szerinti grafikus vázlatnak. Az 1c. ábrán az ék után berajzolt átcsapott folyadéksugárnak a 2a. ábrán csak a töve látszik, mert a kavitációs buborékfelhő - ami a fényképen is fehér - eltakarja a vékony folyadéksugarat, amely három dimenziós hatást az 1. ábra két dimenziós egyszerűsítése nem vett figyelembe. A 2b. felvételen a felülről érkező folyadéksugár töve már jobban látszik, és jelenlétét a fehér tartomány alsó peremének különösen erőteljes kidomborodása jelzi.

2.a ábra Sebestyén filmfelvétele Könözsy számítógépes feldolgozásában

8

2.b ábra Sebestyén filmfelvétele Könözsy számítógépes feldolgozásában

2.c ábra Sebestyén filmfelvétele Könözsy számítógépes feldolgozásában 9

2.d ábra Sebestyén filmfelvétele Könözsy számítógépes feldolgozásában A 2.a. ábra nagyjából megfelel az 1c. szerinti grafikus vázlatnak. Az 1c. ábrán az ék után berajzolt átcsapott folyadéksugárnak a 2a. ábrán csak a töve látszik, mert a kavitációs buborékfelhő - ami a fényképen is fehér - eltakarja a vékony folyadéksugarat, amely három dimenziós hatást az 1. ábra két dimenziós egyszerűsítése nem vett figyelembe. Azonban a 88 képkockából álló filmfelvételekből egy mellékletet készítettem, amelyben a valós esetet reprezentáló nagyon fontos felvételek találhatók. A 17., 18., 19. és 20. képkocka esetén arra törekedtem, hogy néhány felvételt - különböző színekben - egymáshoz képest eltolva térhatást érjek el, és a főüregen áthaladó folyadéksugár útját és átcsapását igen szemléletessé tegyem. A 2b. felvételen a felülről érkező folyadéksugár töve már jobban látszik, és jelenlétét a fehér tartomány alsó peremének különösen erőteljes kidomborodása jelzi. A 2c. felvételen pedig már a másik irányból - az alulról felfelé - érkező folyadéksugár kialakulását szemlélhetjük. A felső kontúrvonal kicsiny megváltozása arra utal, hogy az alulról jövő folyadéksugár már átért, bár a fehér tartomány alsó peremén a folyadéksugárnak ismét csak a töve látható. A folyadéksugár átcsapása a 2d. ábrán már határozottabb, amelyet a felső kontúrvonal további kidomborodása igen jól mutat. Ekkor a főüreg felső peremén ismét egy folyadéksugár kezdemény jelenik meg - ami az alulról jövő folyadéksugár átcsapásának következtében áll elő -, és ez áthalad 10

a főüregen, amelynek következtében ismét egy örvényüreg válik le. Mindezért kavitációs áramlások esetében az alternáló folyadéksugarak mechanizmusa nem más, mint az alulról és felülről érkező folyadéksugarak áthaladása a főüregen, amik örvényüregek sorozatát hozzák létre. A 88 felvétel alapján az átcsapások időpontja, így egy periódusidő és egy frekvencia, valamint az ék magasságának ismeretében a Strouhal-szám meghatározható, amelyre a következő 3. szakaszban kerül sor. 3. A folyadéksugár keletkezésének feltételei a Fáy-féle számítógépes modell alapján (Alapegyenletek, az átcsapás periódusidejének kiszámítása, Strouhal-szám) Az ellenállástest mögött kialakuló alternáló folyadéksugarakat Fáy számítógép segítségével egy kétdimenzós módszerrel szimulálja [11,12,13,14,15], amely számítógépes program kis időközönként vizsgálja a főüreg mozgásállapotát és minen egyes lépes előtt meghatározza a sebességpotenciál új értékeit. Ezt a szoftvert először ELLIOTT autokódban írta, és később FORTRAN programozási nyelven készültek el az első publikálható eredmények 1971-ben. A program ezen verziója a Southamptoni Egyetem ELLIOTT 2000-es és a Ganz gyár R40-es lyukkártyás számítógépén futott. A számítógépes modell vázlata Fáy által [11,12] a következő:

3. ábra A számítógépes modell vázlata [2].

A "W" (Wedge) az ékprofilú modell nedvesített felületének rögzített kontúrja, az "S" (Surface) pedig a főüreg időben változó kontúrja. Azt feltélelzzük továbbá, hogy az rΓ pontban egy örvény, az rQ pontban pedig egy forrás helyezkedik el, és a cirkuláció rΓ-nál egyensúlyt tart a "W+S" cirkulációjával, valamint az áramlási tér belsejében az áramlás összenyomhatatlan és örvénymentes [1,2]: div v = 0 , rot v = 0.

(1)

Az (1)-es egyenlet az áramlási probléma alapja, amely a ϕ időfüggő sebességpotenciál segítségével hagyományos módszerrel megoldható [1,2]. Keressük azonban azokat a matema11

tikai összefüggéseket, amelyekkel kapcsolatot teremthetünk a mérések által ismert mennyiségek és az ellenállástestet követő áramlási teret jellemző mennyiségek között (sebesség, nyomás). Az [1,2] értekezések ugyan tartalmazzák az erre vonatkozó egyenleteket, de ezeket nem vezetik le. Itt azonban levezetem ezeket az egyenleteket, hogy az örvényképződés dinamikája a továbbiakban érthető legyen. A kavitációs csatornában ismerjük a referncianyomást és a referenciasebességet, az üreg nyomását pedig állandónak tekintjük és a (pgőz) gőznyomás értékének vesszük, valamint tudjuk, hogy az ellenállástest előtti áramlás közel stacionárius, utána pedig instacionárius. Ezért kiindulásként a kavitációs szám és az instacionárius áramlásra vonatkozó időfüggő Bernoulli-egyenlet állnak rendelkezésre. A kavitációs szám egy meghatározott konstans az instacionárius áramlásban, és keressük a kavitációs állandó és az időfüggő Bernoulliegyenletben szereplő sebességpotenciál közötti kapcsolatot, hogy a párhuzamos áramlásban elhelyezett objektum után az instacionárius sebességtér jellemezhető legyen. Az összefüggések a következők: K=

pref − pgőz , 2 1 ⋅ ρ ⋅ vref 2

(2)

a kavitációs állandó, és az időfüggő Bernoulli-egyenlet: ∂ϕ 1 2 p + ⋅ v + = Konstans. ∂t 2 ρ

(3)

A sebességpotenciál mindig csak egy konstans erejéig van meghatározva, ezért ezt a konstanst válasszuk úgy, hogy a referencia-pontban a ϕ legyen állandó. Ekkor a következő megfelelés írható fel az időfüggő Bernoulli-egyenlet alapján: ∂ϕ 1 2 p gőz 1 2 p ⋅ v ref + ref = + ⋅v + , ρ ∂t 2 ρ 2

(4)

p ref − p gőz 1 2 ∂ϕ 1 2 = ⋅ v ref + − ⋅v . ∂t 2 ρ 2

(5)

és ebből:

12

A kavitációs számra vonatkozó összefüggést (2) felhasználva: p ref − p gőz ρ

=

1 2 ⋅ v ref ⋅ K , 2

(6)

amelyet visszahelyettesítve az (5) egyenletbe: ∂ϕ 1 2 1 2 1 2 = ⋅ v ref + ⋅ v ref ⋅ K − ⋅ v , ∂t 2 2 2

(7)

egyenletet kapjuk, amely kapcsolatot teremt a ϕ sebességpotenciál időbeni változása és a mérhető és számítandó sebességértékek között, és magában foglalja a K kavitációs állandót. Mint tudjuk ∂ϕ/∂n zérus a rögzített "W" kontúron, és a számítógépes algoritmus minden egyes időlépés után kiszámítja ϕ új értékét "S"-en, és az "S" mentén a sebesség értékeket a v = grad ϕ összefüggésből kaphatjuk meg [1,2]. Mivel minden egyes időlépés után a kontúrpontok egy meghatározott út mentén mozdulnak el, így:

( ∆t ) ∆r = v ⋅ ∆t + a ⋅ 2

2

,

ahol az adott út mentén az egymást követő v értékekből megkapjuk a gyorsulás a =

(8)

dv értédt

keit. A ϕ új értékei pedig az új "S" kontúron a következőképpen számíthatók:

∆ϕ =

2 ∂ϕ ∂ϕ dr ∂ϕ dϕ ⋅ ∆t = ( + ⋅ ) ⋅ ∆t = ( + v ) ⋅ ∆t , ∂t ∂r dt ∂t dt

és ha a (7) egyenlet által kifejtett

(9)

∂ϕ -t a behelyettesítjük a (9) egyenletbe, akkor az új ϕ érté∂t

keit az új üreg kontúrja mentén minden egyes időlépésre vonatkoztatva:

1 2 1 2 ∆ϕ = [ ⋅ vref ⋅ (1 + K) + ⋅ v ] ⋅ ∆t , 2 2

(10) 13

egyenletet nyerjük, amely által ϕ értékei az adott mérési feltételeknek megfelelő kavitációs szám mellett, adott időlépéssel, a referencianyomás és referenciasebesség, valamint a főüreg időben változó kontúrja mentén ismeretes sebességértékekből (v = grad ϕ) - figyelembe véve, hogy a gőznyomás állandó - számíthatóvá válik a (4) egyenlet alapján az ellenállástestet követő instacionárius sebességtér. Mindezen egyenleteknek az az előnyük, hogy nem félempírikus öszszefüggések, és általuk az ellenállástestet követő instacionárius sebességtér problematikája a kavitációs örvénysorok kialakulásának esetén megoldható. A 3. ábrán [2] látható számítógépes modell vázlata szerint feltételeztük, hogy az rΓ pontban egy örvény és az rQ pontban egy forrás helyezkedik el, és a cirkuláció az rΓ pontban egyensúlyt tart a "W+S" Γ cirkulációjával, valamint az áramlási tér belsejében érvényes az (1) egyenlet. A számítógépes algoritmus egyik bemenő paramétere a Γ, mivel súrlódásmentes áramlásokban a zárt görbéken számított cirkuláció időben változatlan (Helmholtz II. örvénytétele). Ezzel szemben a forrás rQ pontban ellensúlyozza az instacionárius üregtérfogat időbeli változását, a Q forráserősség pedig egy időfüggő változó, amelyet az üreg felszínének mozgása határoz meg [1,2]. Az örvény rΓ és rQ pontokban reprezentálja a kavitációs örvénysorok hatását, amelyet itt elhanyagolunk, mert a vizsgálat szempontjából magának a főüregnek az időbeni változása a meghatározó. Mivel az üregnyomást állandónak tekintjük, amelynek értéke megegyezik a gőznyomás (pgőz) értékével, és a vonatkoztatási pontban, az ékprofilú objektum előtt ismeretes a referencianyomás (pref) és referenciasebesség (vref), amelyek szintén időben változatlanok, ezért az (1), (2), (3), (4), (8), (10) egyenletek érvényesek. Az algoritmus a numerikus hibákat úgy csökkenti, hogy minden egyes időlépésben újrarendezi a kontúrpontokat [1,2,11,12]. A futtatás eredménye és a bemenő paraméterek értéke a soron következő 4. ábrán látható, amely esetén a főüreg kezdeti kontúrja körívnek választott és érintőlegesen csatlakozik a 60°-os ékprofilú ellenállástesthez, ami a korábbiakban már említésre került, és azt a célt szolgálja, hogy a főüregben történő változásokat szemléltesse egy megszokott geometriájú síkidom által. Mivel erre a körívnek választott kezdeti kontúrra merőleges sebességkomponens zérus, ezért sem az üreg alakja, sem pedig a kezdeti sebesség eloszlása nem utal semmiféle folyadéksugár kezdeményre, és így a kezdeti üreg körül a sebességeloszlás nagyon hasonlít a klasszikus hengerkörüli áramláshoz, amelyet a Γ cirkuláció határoz meg, mint ahogy a 4. ábrán látható nulla sebességpont is Γ-tól függ [1,2]. A futtatás eredménye a következő:

14

4. ábra [2], Γ = 6, K = 1, rΓ = (5;0), rQ = a végtelenbe tart, rref = (-10;0), vref = (1;0), ∆t=0.05. Az algoritmus futásából is látható, hogy a folyadéksugár keletkezésének folyamata a nulla sebességponthoz közel megy végbe, és ha a kezdeti kontúrra merőleges sebességkomponens zérus, akkor sem a kezdeti üreg alakja, sem pedig a kezdeti sebesség eloszlása nem utal semmiféle folyadéksugár kezdeményre. A nulla sebességponthoz közel, ugyanúgy ahogy az 1.e ábrán, ami az 1a. ábra tükörképe, kicsiny folyadéksugár kezdemény jelenik meg. A 4. ábráról leolvasható, hogy ez a (t = 0.3) időpillanatban történik, hogyha a ∆t = 0.05 időlépés alapján futtatjuk az algoritmust. Tovább követve a folyadéksugár útját, a 4. ábrán láthatjuk, hogy csúcspontjának elmozdulása ∆t = 0.1 időlépésenként szinte ugyanannyi, tehát a folyadéksugár sebessége, amikor áthalad a főüregen majdnem állandó. Ez azért van, mert a főüreg nyomását állandónak tekintettük - ami a valóságban is közel konstans - és változása elhanyagolhatóan kicsiny, valamint értéke megegyezik az adott hőmérséklethez tartozó telített gőz nyomásával, így a vékony folyadéksugárra alig hat erő a főüregben. Mivel a folyadéksugár sebességét is állandónak tekintjük, és vele szemben alig történik erőkifejtés, ezért a nagyon kis irányváltoztatásokat elhanyagolva a folyadékrészecskék útja közel egyenes szakasz, így pedig érthető az 1b. ábra. A Fáy-féle számítógépes modell 4. ábrán látható futtatása azt is mutatja, hogy kavitációs áramlások esetében a főüreg alakja miért is nem egy körív, és ez nemcsak a filmfelvételekből derül ki (2. ábra és a melléklet képkockái), hanem abból is, hogy ha a kezdeti főüreg alakját körívnek választjuk, akkor a rajta áthaladó folyadéksugarak az ék hátsó falába ütköznek - ami egyben ellent is mond a kavitációs áramlásokban megfigyelt állandó főüreg mozgásállapot változásának. Most pedig vizsgáljuk meg, hogy mi történik valóságos esetben, amikor is a főüreg alakja nem egy körív, és vegyük alapul a Sebestyén által készített filmfelvételek számítógéppel feldolgozott képkockáit, amelyek a 2. ábra részletein és a mellékletben található képsorozaton jól láthatók. Mivel ismerjük a kísérleti paramétereket, ezért ezen valóságos kavitációs áramlás 15

esetében a folyadéksugarak átcsapásának periodusideje pontosan kiszámítható és reprezentálható az örvények kialakulásának mechanizmusa is. Sebestyén a filmfelvételeket a következő kísérleti paramétereknél vette fel: K = 1,87 , pgőz ≈ 0 , mert a kísérletet hideg vízzel végezték , vref  = 14,07 [m/s] , ρvíz = 1000 [kg/m3] , Az ékprofilú ellenállástest magassága dék = 48 [mm] = 0,048 [m] , A kamera felvevő sebessége 8000 [kép/s] , Két képkocka között eltelt idő, ∆t = 0,125 ⋅ 10-3 [s] , (2) egyenletből pedig p ref =

1 1 2 ⋅ K ⋅ ρ ⋅ v ref = ⋅ 1,87 ⋅ 1000 ⋅ 14,072 = 185097,18 [Pa] , 2 2

pref = 1,8509718 [bar]. A melléklet ábráit követve az 1. felvételt tekintsük vonatkoztatási képnek, mert még itt semmilyen folyadéksugár átcsapás nem figyelhető meg a főüreg felső peremén. Követve a további felvételeket - amelynek grafikus vázlatát az 1e.ábra szemlélteti -, az alulról érkező folyadéksugár közel állandó sebességgel halad át a főüregen. A 2. felvételnél a főüreg felső peremén egy kicsiny dudor már megjelenik, amely az alulról érkező folyadéksugár átcsapását jelenti, de ez még ezen a felvételen alig látható, viszont két képkockával később (4. felvétel) már nagyon jól kivehető, hogy az alulról érkező folyadéksugár átcsapott. Ezt tekintjük most az átcsapás t0 időpontjának, és ehhez viszonyítjuk a felülről érkező folyadéksugár átcsapásának időpontját. A mellékletben közölt, számítógép segítségével feldolgozott felvételek között azért nem találhatunk az 1b. grafikus ábrához hasonló képet, amelyen teljesen látható, hogy a felülről érkező folyadéksugár áthaladt a főüregen, mert a felvételek két dimenzósak, és a keletkező buborékfelhő eltakarja a felülről áthaladt folyadéksugár és a főüreg alsó peremének metszéspontját. A t0 időponthoz képest a következő átcsapás - a felülről érkező folyadéksugár átcsapása később történik, mégpedig n = 39 képkockával később (8. felvétel), és mivel ismerjük a két képkocka között eltelt (∆t) időt, ezért ezt az n1 = 39 értékkel megszorozva, a filmfelvételek alapján, megkapjuk a következő t1 átcsapási időpontot:

16

t1 = n1 ⋅ ∆t = 39 ⋅ 0,000125 = 0,004875 [s] = 4,875 [ms].

(11)

A 8. kép után ismét láthatjuk, hogy az alulról érkező folyadéksugár ugyanúgy, mint a felülről érkező áthalad a főüregen. Az eredeti felvételek között ez esetben sem találhatunk olyan képet, amelyen teljesen látható lenne az alulról jövő folyadéksugár és a főüreg felső peremének a metszéspontja, mert itt is jelen van a buborékfelhő, amely eltakarja ezt a pontot. Így az alulról és a felülről érkező folyadéksugarak átcsapása a két dimenziós felvételek alapján, mindkét esetben úgy állapítható meg, hogy követjük a főüregen áthaladó folyadéksugarat és figyeljük a főüregnek a vele szemben lévő oldalát, és bármilyen kis dudor megjelenése az ellentétes irányból jövő folyadéksugár átcsapását jelenti. A melléklet 17., 18. képei az alulról érkező folyadéksugár különböző színűre festett egymáson elcsúsztatott mozgásfázisai, a 19., 20. képek pedig a felülről érkező folyadéksugáré, és ezeken a képeken a térhatás következtében jól láthatók az alulról és felülről jövő folyadéksugarak útjai és intenzív átcsapásuk. Az átcsapás időpontját matematikai módszerekkel is meg lehet határozni, felhasználva az (1), (2), (3), (4), (8), (10) egyenleteket, miközben az ellenállástest után minden esetben jelenlévő főüreg alakját nem körívnek választjuk, hanem generáljuk a kísérleti paraméterek ismeretében a valóságos főüreg alakjának megfelelő görbét, amelynek mozgásállapot változását a képkockák között eltelt időhöz igazítjuk. Ez azt jelenti, hogy a főüreg időbeli változását vizsgáló számítógépes programban az időlépést a két képkocka között eltelt időnek vesszük, és ezáltal számítjuk ki a főüreg terében változó fizikai mennyiségeket. Így leírhatóvá válik az ellenállástest utáni áramlási tér, mert a főüreg valós alakjára vonatkoztatjuk a fizikai mennyiségek megváltozását. Ezen valóságos esetet vizsgáló számítógépes programnak az elkészítése folyamatban van, amelynek működési algoritmusa az utolsó szakaszban tárgyalt hidromechanikai hipotéziseken alapszik. A 8. kép után a következő igen erőteljes átcsapás a 13. képen látható, amely két felvétel között n2 = 34 képkocka különbség van, és így a t1 időpontbeli átcsapás analógiájára a t0-hoz képest a következő t2 időpontban bekövetkező is meghatározható: t2' = n2 ⋅ ∆t = 34 ⋅ 0,000125 = 0,00425 [s] = 4,25 [ms] ,

(12)

t2 = t1 + t2' = 4,875 + 4,25 = 9,125 [ms].

(13)

A 13. képen látható ismét alulról érkező folyadéksugár átcsapása valójában igen jól csak néhány képkockával később látható, ezért az alulról és felülről jövő folyadéksugarak átcsapását közel periodikusnak tekinthetjük, mert a t1 és t2' időpontok közötti átcsapás időkülönbsége 17

0,625 [ms], ami csupán 5 képkocka differenciát jelent. Ezért ha a számítógépes algoritmusban az időlépést konstans értéknek választjuk és a kontúrpontokat ennek megfelelően ábrázoljuk, valamint a valós főüreg alakjának változását vizsgáljuk, akkor vizuálisan semmiféle különbség sem fedezhető fel a filmfelvételek és a számítógépes szimuláció között, így a numerikus hibák relatív értékei elhanyagolhatóan kicsinyek lesznek, ami azt jelenti, hogy a kapott fizikai menynyiségek a műszaki gyakorlat követelményeinek megfelelnek. Tekintsük a t2 értéket a kváziperiodikus átcsapások periódusidejének, tehát: T = t2 = 9,125 [ms] = 0,009125 [s].

Tudjuk, hogy ω = 2⋅π⋅f =

(14)

2⋅π , és ebből következik a frekvencia összefüggése és értéke: T

f=

1 1 = = 109,58904 [Hz]. T 0,009125

(15)

Mivel ismerjük az áramlás sebességét (14,07 [m/s]), az ékprofilú ellenállástest geometriai adatát (dék = 0,048 [m]) és a frekvencia értékét, így a Strouhal-szám könnyen meghatározható:

Sth =

f ⋅ d é k 109,58904 ⋅ 0,048 = = 0,3738645 , v ref 14,07

(16)

amely jelentős paramétere a kavitációs áramlásoknak, mert kapcsolatot teremt a frekvencia, az ellenállástest geometriája és az áramlási sebesség között. Így ez a műszaki paraméter kavitációs áramlások esetén kialakuló Kármán-féle örvénysorok további vizsgálatánál felhasználható. 4. Az örvényképződés dinamikájának kvalitatív leírása A Sebestyén által készített filmfelvételek fényképeit egy szkennerrel grafikus képformátumúvá alakítottam, és a Paint Shop Pro 5.0, az Adobe PhotoShop 5.0 és az Adobe PhotoDeluxe rajzolóprogramok segítségével képtranszformációkat, kivágásokat, beillesztéseket hajtottam végre, így képkockánként előállítva a felvételeket. Az eredeti felvételeken feke18

tén látszottak a kavitációs áramlásban képződő üregek, fehéren pedig az áramló folyadék, és hogy a felvételek minden eleme tisztán kivehető legyen, ezért az egyes képkockákat invertáltam, ezáltal a fekete és fehér részek felcserélődtek, és így kaptam azokat az áramlási felvételeket, amelyeket ebben az értekezésben publikálok. Korunk technikai színvonalán a számítógépes és multimédiás lehetőségek megengedik, hogy a feldolgozott képformátumú állományokat mozgóképpé alakítsuk, így rekonstruálva Sebestyén eredeti gyorsfilmjét. Ehhez mozgóképszerkesztő programok állnak rendelkezésre, azonban a mi szempontunkból, az örvényképződést vizsgálva elsőbbséget kapnak egyenként maguk a képkockák, mert ezeket tetszőlegesen kicsinyítve vagy nagyítva (zoom), részleteiben megvizsgálva, a fent leírt kísérleti paramétereknek megfelelően vizsgálhatóvá válik a folyadékrészecsékék útja a főüregben, az átcsapások időpillanatai, amelyek nélkülözhetetlenek a dinamikai modell megalkotásának szempontjából. Az örvényképződés dinamikáját a továbbiakban az 1., 5., 6. ábrák [1,2] segítségével szemléltetem. A nyomásmezőt és a sebességteret, valamint a dinamikai kölcsönhatásokat itt csupán kvalitatíve írjuk le, mert a már említett és készülőben lévő, a főüreg valóságos mozgásállapotát vizsgáló számítógépes program algoritmusa szolgáltatja a nyomásmező, a sebességtér és a dinamikai viszonyok matematikai leírását mind az itt analizált kavitációs, mind pedig a nem-kavitációs áramlások esetében, amelyet egy későbbi értekezésben természetesen részletesen és kvantitavíve is tárgyalni fogok. Ha a Fáy-féle számítógépes modell alapján vizsgáljuk a nyomáseloszlát és egy kezdetben kör alakú üreg körül, akkor az izobár vonalak koncentrikus körök, amelyek alább az 5. ábrán láthatók, és a nyomásgradiens abszolútértéke a köralakú kontúr minden egyes pontjában állandó. Az áramlás feltételei közel ugyanazok, mint az előző szakaszban tárgyaltak, ami a 4. ábrán látható, és a kezdeti üreg hátulján is a nyomásgradiens kvázi állandó. Az áramlástan sok szaktudósa azt gondolja, hogy a folyadéksugarak kialakulásához nagy nyomás szükséges [1,2]. A kísérletek azonban kimutatták, hogy ez nem így van, mert a (3) egyenletben található ∂ϕ/∂t tag azt eredményezi, hogy a stacionárius és az instacionárius nyomáseloszlás között lényeges különbségek van5. ábra [1,2] Nyomáseloszlás

nak, és ezt a kísérleti tényt a 4. ábrán látható számítógépes algoritmus futásának eredményei is igazolják.

A nyomásmező kvalitatíve jellemezhető a következő módon. Az ék előtti áramlás kvázistacionárius a már megszokott izobár vonalakkal, amelyek alább a 6. ábrán [1,2] is látha19

tók, és ez a 6. ábra az 1c. ábra izobárokkal kibővített grafikus vázlata. A nyomás az ürgekben megegyezik a gőznyomással, és az üregekhez közeli izobár vonalak követik az üregek kontúrjait, amelyek áthaladnak a folyadéksugarakon, mert a folyadéksugarakban a nyomás közel azonos a gőznyomás értékével. Az örvényzónától messze pedig (Y irányban) a nyomás maga a referencianyomás [1,2]. A kavitációs csatornában, amikor a keletkező folyadéksugár eléri a főüreg kontúrját, akkor ennek az impulzusa kétféleképpen befolyásolja az ellenállástest felőli főáramlást. Egyrészt a főáramlást ellöki a főüregtől, másrészt pedig az ütközési pont felé tartó áramlást lelassítja - azon pontnál ahol a folyadéksugár behatol a főüreg melletti áramlásba -, ezért a főáramlás nyomása lokálisan megnő. Mivel a főüreg nyomása közel megegyezik a gőznyo-

6. ábra [1,2] Állandó nyomású vonalak

mással, ami kisebb érték, mint főáramlás megnövekedett nyomásértéke, ezért az itt jelenlévő folyadékrészecskék a főáramlás nagyobb nyomású helyeitől a főüreg kisebb nyomású helyei felé fordulnak, megkezdve útjukat a főüreg belsejében. A főüreg nyomását állandónak tekintjük, így a rajta áthaladó folyadéksugarak nyomása is közel megegyezik a főüreg nyomásával, ami maga a gőznyomás. A főáramlás szükségképpen behatol a nála kisebb nyomású főüregbe. A folyadéksugarak kialakulását a főüreget elérő folyadéksugár impulzusából kifolyólag a kinetikus energiájukból veszített, lelassult folyadékrészecskék okozzák, amelyek a kisebb nyomású főüreg felé fordulnak. A főüregtől távolabb haladó nagyobb kinetikus energiával rendelkező részecskék kevésbé lassulnak le és ezen a régión lényegesebb irányváltozás nélkül túlhaladnak. Ha egy folyadéksugár áthalad a főüregen, akkor átcsapás következett be. Kis idő múlva a főüreg ellentétes oldalán a megérkezett folyadéksugár impulzusa a főáramlást ellöki és ebben a régióban is lelassítja a főáramlás folyadékrészecskéit. Ezért a lelassult folyadékrészecskék irányt változtatnak, ismét az üreg felé fordulnak, és megkezdik útjukat az üreg túloldalára. Mindez az alternáló folyadéksugarak keletkezésének a mechanizmusa, amelyet kavitációs áramlások esetén a Sebestyén által készített filmfelvételek igazolnak (lásd [5] és a mellékletben található felvételeket). A kvalitatív elemzés alapján elképzelt izobárokat (6. ábra) tovább tanulmányozva a következők állapíthatók meg. Az ellenállástest mögött az örvényképződés miatt egy hosszan elnyúló alacsony nyomású terület alakul ki, és efelett az izobár áramvonalak csaknem az X tengellyel párhuzamosak. Csak néhány periodikus eltérés figyelhető meg az üregek közelében. Itt lokálisan néhány nyomáscsúcs jelenik meg, amelyet a 6. ábrán az üregek közelében a zárt 20

nyomásgörbék jelölnek. E nyomáscsúcsok a főáramlásra fékező hatást gyakorolnak ugyanúgy mint egy folyadéksugár impulzusa, amely eléri a főüreg valamelyik peremét, hiszen e lokális nyomáscsúcsok a főáramlást ellökik valamilyen irányban. A folyadéksugár és a főáramlás között egy kicsiny szakadási felület helyezkedik el, amely felületen a sebesség gyorsan változik és ezért viszkózus nyírófeszültség ébred, valamint turbulens nyomatékátvitel valósul meg, amely a főáramlásra ismét csak fékező hatást fejt ki [1,2]. Áttérve a nem-kavitációs örvénysorok vizsgálatára, az itt kvalitatíve leírt dinamikai analízis alapjaiban érvényes, mert az ellenállástest után elhelyezkedő áramlási holttérben a nyomás csaknem konstans, így a nyomásmező és az alternáló folyadéksugarak keletkezésének feltételei kvázi megegyeznek a fent tárgyaltakkal. A kavitációs és nem-kavitációs örvénysorok keletkezésének mechanizmusa között csupán annyi a különbség, hogy amíg a kavitációs esetben a folyadéksugár gyakorlatilag akadálytalanul áthalad a főüregen, addig a nem-kavitációs áramlásoknál a folyadéksugár mozgását a holttér folyadéktömege késlelteti [1,2,10]. A örvényképződés Fáy-féle elmélete kavitációs áramlások esetén kimondja, hogy az örvényképződés okozói az ellenállástest mögött mindig jelenlévő főüregen áthaladó alternáló folyadéksugarak. Az örvénytérben ugyanezt a mechanizmust, a keresztáramok meglétét nem kacitációs áramlások esetén az 1. szakaszban már említett kísérletek is igazolják: Sebestyén [6], Gerrard [9], Zdravkovich [7], Koopman [8]. Az előbbiekben bemutattam a Fáy-féle elméletet és a Sebestyén-féle filmfelvételek analízisét korunk számítástechnikai módszereivel. 5. A turbulencia jelenségére vonatkozó hidromechanikai hipotézisek Mint tudjuk a turbulencia jelensége igen összetett, mert ebben az esetben az áramlás nem stacionárius, a sebesség- és a nyomásértékek egy meghatározott átlagérték körül gyorsan ingadoznak, valamint a folyadékrészecskék állandóan keverednek egymással. A turbulens áramlási probláma megoldását csak néhány speciális esetben ismerjük, de általános turbulencia-elmélet eleddig még nem született, de számtalan eljárás létezik, amellyel ezt a jelenséget a műszaki gyakorlatban kezelik, mert a valóságban ez az áramlás a leggyakoribb. Mindezért igen sok olyan elméleti modell van, amely ezt a jelenséget próbálja megragadni, kézzel foghatóvá tenni. Az utóbbi tíz évben a kaotikus jelenségek tanulmányozása húzóágazattá vált [25,26]. A kutatók egyrésze arra esküszik, hogy a turbulencia jelenségére érvényesek a Navier-Stokes másodrendű parciális differenciálegyenletek időfüggő megoldásai, és ezek általános esetekre 21

való kiterjesztése megoldja a régóta kutatott problémát, mások pedig ezt az álláspontot elvetik. Sokan pedig úgy gondolják, hogy a turbulencia egy igen bonyolult sztochasztikus jelenség, ahol a kinetikus gázelmélet analógiájára statisztikus mechanikai módszereket kell alkalmazni. Az utóbbi időben - különösen az USA-ban - vetődött fel egy újkeletű teória, mégpedig a káosz-elmélet, amelyhez egy nagyon sajátos kozmológiai, természet- és életfilozófiai szemlélet társul. Meglátásom szerint ennek az kozmológiai, természet- és életfilozófiai - egyben kutatói szemléletnek az a lényege, hogy a természeti jelenségek intellektuális megismerésének öröme kapcsolódjék össze egy profit orientált pragmatikus felfogással, amely hozzájárul a tudományos kutatás és az ipar erőteljes egységéhez. Így nem véletlenül törnek felszínre az olyan interdiszciplináris tudományterületek mint a neurális számítástechnika és a minősítő (fuzzy) halmazelmélet, amelynek alapjait a sejtbiológiában kell keresnünk [27], de következményei a matematikában, biofizikában, pszichológiában, kibernetikában, gazdasági-társadalmi modellekben lassan nélkülözhetetlenek. Úgy gondolom, ahogyan a XX. század elején Max Planck [29,30] hatáskvantumja óta a fizikai világképben - pl. a determinizmus és indeterminizmus kérdésében, a későbbi kvantummechanikában -, egy paradigmaváltás következett be, úgyanígy indokolt lehet egy szemléletváltás a kontinuummechanikában is, amelyet a számítástechnika fejlettségi foka teljességgel elősegít. Mivel az interdiszciplinaritás korunkban kétségbevonhatatlan, és ilyen irányú törekvésekkel bőven találkozhatunk (lásd például a [25,26,27,28] műveket), így a turbulencia jelenségénél is helyesebbnek bizonyulhat, hogyha felhagyunk a teljes folyamatot leíró egyetlen pontos egyenlet keresésével, és inkább az összes lehetséges modell közös tulajdonságaiban keressük a megoldások széleskörű lehetőségeit. A 3. szakaszban tárgyaltuk folyadéksugár keletkezésének feltételeit és a Fáy-féle számítógépes algoritmus működését. A fent elemzett modellben azonban a kezdeti főüreg alakja körívnek választott, és ezáltal reprezentálja a folyadékrészecskék útját. Jelenkorunk számítógépes, multimédiás- és programfejlesztő rendszerei lehetővé teszik - és én személy szerint a C nyelv [37,38,39] és a gépi kódú eljárások ötvözését tartom erre alkalmasnak -, hogy kísérleteket végezve a főüreg valós alakját generáló szoftvert készítsünk, amely egyben bemutatja a Kármán-féle örvénysorok keletkezését és vizsgálja az ellenállástest utáni örvénytér tulajdonságait. Már nem hagyhatjuk figyelmen kívül a számítógépeink adta grafikus lehetőségeket, valamint olyan eljárások szükségesek, amelyek mind matematikai szempontból korrektek, mind pedig algoritmizálhatók és a hidrodinamikában akár direkt, akár pedig indirekt módon alkalmazhatók. Ha elfogadjuk a Fáy-féle örvényképződés elméletét és az alternáló folyadéksugarak keletkezésén keresztül ragadjuk meg a jelenség gyökereit, akkor itt a folyadékrészecskék matemati22

kai leírásának szempontjából célszerűbb a Lagrange-féle módszert alkalmazni, és az örvényteret pedig egy teljesen új eljárás alapján jellemezni - ami aztán természetesen konvertálható és kompatibilis a hagyományos hidromechanikai leírásokkal, csupán formalista eszközeiben különbözik. Ezért úgy gondolom, hogy a következőkben lefektetett négy hipotézisem alapja lehet egy lehetséges turbulencia modellnek, és más leírási módszerekkel operál mint a hagymányos kontinuummechanika. E modell leíró apparátusa alkalmas lehet arra, hogy a műszaki gyakorlatban kielégítő pontosságú számításokat végezhessünk és egyben az adott turbulens jelenség esetét számítógép segítségével könnyen szimuláljuk. Hipotéziseim a következők: 1. A turbulens áramlások esetén az alakváltozások és a feszültségek közötti kapcsolat nem tenzor alakban keresendő, hanem olyan egyenletek formájában, amelyekben bináris operátorok szerepelnek, és e bináris operátorok olyan kifejezések, amelyek a már létező bináris logika alapműveleteinek (És, Vagy, Kizáró Vagy stb.) engedelmeskednek. 2. A turbulens áramlás problémái a kontinuummechanika hagyományos eszközeivel csupán részlegesen oldhatók meg. A fent említett, általunk akár fiktíve is bevezetett bináris operátorok segítségével egy olyan matematikai modellel lehet dolgozni, amely analógiában áll a számítógép memóriájában közvetlenül végezhető műveletekkel. Így a direkt grafikus ábrázolás lehetőségei kiaknázhatók és a számítások gépidő igénye tetemesen csökkenthető. 3. A Fáy-féle örvényképződés elméletének és a Sebestyén által készített eredeti filmfelvételek számítógépes feldolgozásának alaján készíthető egy olyan számítógépi algoritmus, amely bináris operátorok a folyadékrészecskék Lagrange-féle leíró módszerének segítségével együtt előállítanak egy háromdimenziós bináris tömböt. Ez a tömb pedig az ellenállástest utáni örvénytér geometriai jellemzőit képpontonként tartalmazza, és e tömb előállításának algoritmusa kiszámítja az adott ellenállástest utáni sebességtér fizikai mennyiségeit. Ha ezt a matematikai eljárást analógiába állítjuk a feszültségviszonyokkal, akkor ez az analógia turbulens áramlások esetén az alakváltozások és a feszültségviszonyok kapcsolatát egzakt módon tartalmazza.

23

4. Mindegyik turbulencia modell tartalmaz olyan elemeket, amelyek átvihetők egy másik modellbe, ezért a turbulens áramlási modellek kölcsönösek, egymásba átírhatók, és ezeket öszszefogva megkapható a turbulencia jelenségének modell nélküli átfogó magyarázata. E hipotézisek alapját képezhetik a turbulencia- és az örvényképződés jelenségének egyik lehetséges kvantitatív tárgyalásának, amelyet egy későbbi értekezésben algoritmikusan is részletezek, és a fent leírt kvalitatív leírást egy egységes matematikai modellbe foglalom, mégpedig bináris operátorok alkalmazásával. Mivel az algoritmus, amely előállítja a háromdimenziós bináris tömböt jellemzi magát az örvényeteret, és e tömb az örvénytér geometriai jellemzőit képpontonként tartalmazza, ezért ennek alapján matematikailg potosan meghatározható lehet például azon test geometriája, amellyel a turbulenciát csökkenteni kívánjuk. E módszer esetlegesen az áramlástechnikai gépek tervezésére is kiterjedhet (pl. a hatásfok növelésének céljából). Jelenleg e problémát azért vetettem fel, hogy közvetítsek egy olyan lehetséges hidromechanikai leírást, amely reálisnak bizonyulhat, és a felvetődő vitalehetőségekkel elősegítsem e szakterület fejlődését. Miskolc, 1998. október 20. ..................................... KÖNÖZSY LÁSZLÓ ME, G-508

24

MELLÉKLET (Sebestyén filmfelvételei Könözsy számítógépes feldolgozásában)

25

1. Sebestyén filmfelvétele Könözsy számítógépes feldolgozásában

2. Sebestyén filmfelvétele Könözsy számítógépes feldolgozásában 26



27









31





33



34



35

7. Hivatkozások, felhasznált szakirodalmak: [1] Dr. Fáy Árpád: Explanation of how the Kármán vortices are generated, Proceedings of the eighth Conference on Fluid Machinery, Bp. 1987, pages 211-218. [2] Dr. Fáy Árpád: A Kármán-féle örvénysorok keletkezésének magyarázata, Ford.: Könözsy László, ME, Áramlás- és Hőtechnikai Gépek Tanszéke, Miskolc 1998. [3] Kármán Tódor (1911) Nachr.Wiss.Ges.Göttingen Math.Phys. 509. [4] Kármán Tódor-Maurice A. Biot: Mathematical methods in engineering, An introduction to the mathematical treatment of engineering problems, McGraw-Hill Book Company, Inc. New York - London 1939. [5] Varga J. - Sebestyén G. "Cavitation", film (1970), ASME Cav.Forum, ASME Film, Library. [6] Sebestyén G. - Fáy Á. (Shut No. 841). (1979) EUROMECH Coll. 116. [7] Zdravkovich, M.M. (1969) Journal of Fluid Mechanics. vol. 37. p. 491. [8] Koopman, G.H. (1967) Journal of Fluid Mechanics. vol. 28. p. 501. [9] Gerrard, J.H. (1966) Journal of Fluid Mechanics. vol. 25. p. 401. [10] Sebestyén G. Fáy Á. Ranky M.F.: Cavity vortex shedding behind bodies, ASME Winter Annual Meeting "Poliphase Flow in Turbomachinery", San Francisco 1978. [11] Dr. Fáy Árpád: Kutatási jelentés az MTA részére, 1968. [12] Dr. Fáy Árpád: Manuscript sent for Journal of Fluid Mechanics., 1972. [13] Furness R.: Reports ME/72/8 and ME/72/18 University Southampton, 1972. [14] Dr. Fáy Árpád: Computation of jet formations in wake cavities, Symp IAHR, Grenoble, 1976. [15] Dr. Fáy Árpád: Computation of jet formations in wake cavities, Ganz-Mávag, Budapest 1985. [16] Dr. Czibere Tibor: Áramlástan, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993. [17] Dr. Gruber József - Dr. Blahó Miklós: Folyadékok mechanikája, Tankönyvkiadó, Bp. 1973. [18] Dr. Budó Ágoston: Kísérleti fizika I. (Mechanika, Hangtan, Hőtan), Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. 1997. [19] Dr. Nyíri András: Erő- és Munkagépek I., Miskolci Egyetemi Kiadó, 1995. [20] Dr. Nyíri András: Erő- és Munkagépek II., Miskolci Egyetemi Kiadó, 1996. 36

[21] Dr. Fűzy Olivér: Áramlástechnikai Gépek, Tankönyvkiadó, Bp. 1974. [22] Knapp R.T. - Daily J.W. - Hammitt F.G.: Cavitation, 1970. [23] Sebestyén Gyula: A kavitációs áramlás és kavitációs roncsolás, BME Tudományos Ülésszaka, 1967.X.31-XI.4. I.pp. 228-244. [24] Hans Breuer: SH atlasz Fizika, Springer Hungarica, Bp. 1993. [25] John D. Barrow: The World within the World, Oxford University Press, 1990. [26] Roger Penrose: A császár új elméje (Számítógépek, gondolkodás és a fizika törvényei), Akadémiai Kiadó, Bp.1993. [27] Dr. Vörös Gábor: Bevezetés a Neurális és minősítő számítástechnikába (Alapismeretek a neurális hálókról és a fuzzy logikáról), LSI Oktatóközpont A Mikroelektronika Alkalmazásának Kultúrájáért Alapítvány, Bp. 1997. [28] Michael F. Jischa: Herausforderung ZUKUNFT, Technischer Fortschritt und ökologische Perspektiven, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, Berlin, Oxford, 1993. [29] Max Plack: Physikalische Abhandlungen und Vorträge, Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1958. [30] Max Plack: Válogatott tanulmányok (Az új fizika világképe), Gondolat Kiadó, Bp. 1982. [31] H. Tennekes - J.L. Lumley: A first course in turbulence, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, and London, England, 1980. [32] Dr. Budó Ágoston: Mechanika, Tankönyvkiadó, Bp. 1965. [33] Béda Gyula, Kozák Imre, Verhás József: Kontinuummechanika, Műszaki Könyvkiadó, Bp. 1985. [34] Dr. Takács Csaba: Analitikus mechanika I. (Klasszikus mechanika), Nemzeti Tankönyvkiadó, 1994. [35] Lőcs Gyula-Vigassy József: A Fortran programozási nyelv, Műszaki Könyvkiadó, Bp. 1973. [36] Control Data Corporation: MASTER ANSI FORTRAN VERSION 1.1, 1973. [37] Benkő Tiborné - Benkő László - Tóth Bertalan: Programozzunk C nyelven! ANSI C, TURBO C, Grafika, Numerikus módszerek, ComputerBooks, Bp. 1994. [38] Benkő Tiborné - Poppe András - Benkő László: Bevezetés a BORLAND C++ programozásba, ComputerBooks, Bp. 1995. [39] Benkő Tiborné - Benkő László - Poppe András: Objektum-orientált programozás C++ nyelven, ComputerBooks, Bp. 1998. 37

[40] W. J. Yang: Flow visualization III., University of Michigan, Ann Arbor, Michigan, USA, 1983. [41] Rafael C. Gonzalez - Richard E. Woods: Digital Image Processing, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1992. [42] Kármán Tódor - Lee Edson: Örvények és repülők, Akadémiai Kiadó, Bp. 1994. [43] Sain Márton: Matematikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Bp. 1980. [44] Ifj. Gazda István - Sain Márton: Fizikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Bp. 1978. [45] Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete, Gondolat Kiadó, Bp. 1981.

38

Miskolci Egyetem, Áramlás- és Hőtechnikai Gépek Tanszéke

Recommend Documents