ˇ ESKÁ ZÁPADOC UNIVERZITA V PLZNI
Katedra mechaniky
Mikrostruktura tkáně a matematické modely cév
Ing.
Vladimír LUKEŠ
školitel: doc. Dr. Ing. Eduard ROHAN
Plzeň, leden 2005
Fakulta aplikovaných veˇd
Obsah 1. Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Stavba a struktura cévní stěny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Matematický model cévní stěny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Dvouškálová asymptotická metoda homogenizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1. Rovnice rovnováhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. Hyperalastický materiál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3. Homogenizovaný model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3.1. Mikroskopický problém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.2. Makroskopický problém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4. Algoritmus výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5. Paralelizace algoritmu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Rozšíření metody homogenizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1. Inkluze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.1. Nestlačitelná inkluze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2. Trojdimenzionální úloha s periodicitou v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3. Zavedení elastických vláken do modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.1. Elastické vrstvy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.2. Vlákna cytoskeletonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. Numerické řešení úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.1. Prostorová diskretizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2. Programová ralizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5. Numerické simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1. Úlohy ve 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1.1. Různé uspořádání buněk na mikrostruktuře . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1.2. Elastická vlákna na mikrostruktuře . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2. Úlohy ve 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2.1. Vliv periodicity buněk na mechanické vlastnosti – 3D . . . . . . . . . . . . . 27 1
5.2.2. Elastická vlákna a elastické vrstvy – 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6. Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2
1. Úvod Mechanické vlastnosti cévní stěny jsou v posledních několika letech v centru zájmu mnoha výzkumných týmů a na dané téma je možno najít velké množství publikovaných prací. Je to především tím, že cévní stěna představuje velmi složitý komplexní systém, můžeme zde najít mnoho struktur s různými materiálovými vlastnostmi a také zde probíhá současně mnoho různých vzájemně provázaných procesů jako je růst, remodelace a difúze kapalných složek skrz buněčné membrány, jejichž vhodné matematické modely jsou stále vyvíjeny. Mnoho stávajících modelů (např. [12]) je založeno na superpozici deformačních energií, které přísluší jednotlivým složkám buněčné stěny. Těmito složkami může být mezibuněčná hmota, svalová vlákna tvořená buňkami hladké svaloviny a další struktury složené z elastinových a kolagenních vláken. Tento přístup zohledňuje kromě základních mechanických vlastností tkáně cévy i její anizotropii při zachování relativní jednoduchosti matematického modelu a vcelku snadného numerického řešení. Mnoho materiálových nelinearit, které jsou pozorovány na makroškále, mají svůj původ v geometrických nelinearitách a také v interakcích, jež se odehrávají na buněčné úrovni v průběhu deformace. Zahrnutí některých jevů na buněčné úrovni do matematického modelu cévní stěny lze provést pomocí víceškálového modelování, které dovoluje respektovat hierarchické uspořádání cévy od nanostruktur vláknitých komponent, přes buněčnou úroveň, až po makroskopické měřítko. Dvouškálová metoda homogenizace je jednou z možností hierarchického modelování. V této práci je představen zjednodušený model cévní stěny, který je založen na předpokladu existence periodicky se opakující základní buňky, obsahující matrici a nestlačitelnou inkluzi, na mikroskopické škále. Na základě tohoto předpokladu lze použít asymptotickou metodu homogenizace pro určení materiálových vlastností na mikroskopické úrovni. Navázáno je na výsledky předchozího studia metody homogenizace (s uvažováním velkých deformací) pro popis měkkých tkání ([25],[23]). Uvedený přístup je možné dále rozšířit o viskoelastické chování některých složek mikrostruktury i o popis svalové kontrakce ([25],[27]). V úvodní části této práce je stručně objasněna struktura cévní stěny a buněk hladké svaloviny, které představují její důležitou část, a je uveden popis matematického modelu cévy. V další části jsou uvedeny základní rovnice nelineární metody homogenizace spolu s popisem algoritmu řešení úlohy a je zmíněna možnost paralelizace procesu výpočtu. Poté následuje rozšíření základní teorie o nestlačitelné inkluze a elastická vlákna, to nám umožní v modelu respektovat některé podstatné složky nacházející se ve struktuře cévy. Dále je provedena prostorová diskretizace rovnic metodou konečných prvků a je popsán počítačový program řešící dané úlohy. Na konci práce jsou prezentovány některé provedené numerické simulace.
1.1. Stavba a struktura cévní stěny V lidském těle můžeme najít dva typy cév, tepny (artérie), které rozvádí okysličenou krev (s výjimkou plicní tepny) od srdce, a žíly (vény), jež vedou neokysličenou krev (opět s výjimkou plicní žíly) zpět k srdci. Stěna arterií se skládá ze tří základních vrstev. Velmi tenká vnitřní vrstva (tunica intima) je složena z pojivové tkáně přecházející v suben3
dotelovou vrstvu a z endotelových buňek, které vystýlají vnitřní povrch cév. Buňky mají protáhlý tvar a jsou orientovány ve směru osy cévy. Střední vrstvu (tunica media) tvoří elastický materiál, kolagenní vlákna a hladké svalové buňky. U velkých arterií je hodně elastického materiálu, ten je uspořádán do vrstev, které jsou proloženy mezi hladkými svalovými buňkami. U svalových arterií je ve střední části elastického materiálu relativně málo a souvislou vrstvu lze najít pouze na rozhraní střední vrstvy s vnitřní a vnější částí cévní stěny. Svalové buňky jsou ve střední vrstvě orientovány v obvodovém směru nebo spíše ve směru pomalu stoupající spirály. Poslední vnější vrstva (tunica adventitia) obsahuje převážně podélně orientovaná kolagenní, která zamezují nadměrné deformaci cévní stěny v důsledku působení tlaku krve. Dále jsou zde elastická vlákna, nervy Obr. 2 : Schéma struktury cévní stěny. a cévky vyživující tuto vrstvu. U žil je struktura cévní stěny podobná jako u arterií, ale všechny tři vrstvy se nachází pouze u velkých a středních žil. Prostřední část cévní stěny je u vén většinou tenčí než u arterií a rozhraní mezi vrstvami není tak ostré. Mechanické vlastnosti středně velkých (svalových) arterií určuje především jejich střední vrstva (tunica media) tvořená převážně buňkami hladké svaloviny, které jsou zde téměř pravidelně uspořádány, viz obr 2.3.
Obr. 3 : Struktura cévní stěny. Buňky hladké svaloviny, jež můžeme najít v cévní stěně, mají protáhlý tvar a uvnitř se nachází buněčné jádro tvořené převážně kapalnými složkami. Ve struktuře buňky lze 4
identifikovat buněčný cytoskeleton, který jednak udržuje geometrii buňky při její deformaci v patřičných mezích a u svalových tkání se aktivně podílí na samotné její deformaci. Cytoskeleton představuje organizovanou síť různých vláken, především je tvořen mikrotubuly, aktinovými filamnety a intermediálními vlákny.
Obr. 4 : Buňka hladké svaloviny v nekontrahovaném a kontrahovaném stavu.
Obr. 5 : Struktura buněčného cytoskeletonu.
1.2. Matematický model cévní stěny Cévní stěna je modelována pomocí dvouškálové asymptotické metody homogenizace s uvažováním velkých deformací, pro pevné složky cévní stěny je použit hyperelastický materiálový model. Na mikroskopické škále je za základní periodicky se opakující jednotku zvolen zjednodušený model hladké svalové buňky. Svalová buňka je převážně složena z elastického cytoskeletonu a vlastního endoplazmatu, ve zde uvažované matematické abstrakci je základní referenční buňka tvořena hyperelastickou matricí, nestlačitelnou inkluzí a elastickými vlákny cytoskeletonu, tyto komponenty dovolují aproximovat pouze pasivní chování buňky. Cévu zde pro zjednodušení (nezjednodušený model cévní stěny ve spojení s metodou homogenizace je výpočetně velmi náročný) považujeme za osově symetrickou a na makroskopické škále modelujeme pouze malý výřez stěny s okrajovými podmínkami odpovídajícími osové symetrii. Výřez reprezentuje střední svalovou vrstvu artérie, médii, jejíž mikrostruktura je tvořena z buněk hladké svaloviny. Na výřezu jsou též definována elas5
6. Závěr V této práci jsou stručně shrnuty možnosti modelování cévní stěny pomocí dvouškálové nelineární metody homogenizace. Metoda homogenizace, jakožto jedna z metod víceškálového modelování, umožňuje respektovat hierarchické uspořádání cévy. Cévní stěna, jak již zde bylo několikrát zdůrazněno, je velmi složitý a komplexní systém, který je složen z mnoha komponent s odlišnými mechanickými vlastnostmi. Některé prvky tohoto složitého systému lze do matematickém modelu začlenit zde uvedenými postupy. Na mikroskopické škále (buněčné úrovni cévy) je za základní periodicky se opakující jednotku zvolen zjednodušený model hladké svalové buňky, tento model je tvořen hyperelastickou matricí, nestlačitelnou inkluzí a elastickými vlákny cytoskeletonu. Uvedené komponenty zohledňují pouze pasivní chování svalové buňky. Cévu na makroskopickém měřítku považujeme za osově symetrickou a v matematickém modelu uvažujeme pouze malý výřez stěny s okrajovými podmínkami odpovídajícími osové symetrii. Výřez představuje střední svalovou vrstvu artérie, médii. Na výřezu definujeme elastická vlákna, která odpovídají elastickým vrstvám na vnějším a vnitřním povrchu stěny cévy. Práce je členěna do několika částí, na začátku nalezne čtenář zevrubný popis stavby cévní stěny a hladké svalové buňky, která hraje důležitou roli při budování matematického modelu. V další části je představena dvouškálová nelineární metoda homogenizace, uvedené jsou základní rovnice nutné k řešení mikroskopického a makroskopického problému. Následuje rozšíření teorie o nestlačitelné inkluze a elastická vlákna, pomocí kterých modelujeme buněčný cytoskeleton a elastické lamely v cévní stěně. Zmíněna je též problematika vrstevnatých 3D struktur s periodicitou pouze v rovině. Dále je naznačena prostorová diskretizace rovnic metou konečných prvků a je vysvětlen algoritmus a způsob řešení. Na závěr jsou uvedeny numerické simulace vybraných problémů. I když současný stav dvouškálového modelování měkkých tkání umožňuje vytvářet odpovídající matematické modely, přesto do budoucna zbývá mnoho otevřených otázek, kterými je potřeba se zabývat. Především je nutné věnovat pozornost následujícím problémům: • Z důvodu redukce počtu řešených mikroskopických úloh u složitých trojdimenzionál-
ních problémů je nutné ve 3D implementovat tzv. makroelementy, počet mikroúloh je redukován na základě „podobných deformacíÿ na makrooblasti a následně je provedena interpolace homogenizovaných parametrů a průměrných napětí (viz [23]). • Použití vrstevnatého modelu cévní stěny. Snahou je vytvořit model cévy skládající se
z několika vrstev s různými materiálovými vlastnostmi a odlišnou geometrií. • Vytvořit matematický model s více inkluzemi. • Citlivostní analýza a identifikace materiálových parametrů. • Uvedený postup umožňuje modelovat pouze pasivní chování jednotlivých komponent,
proto je nutné do 3D modelu zahrnout aktivní prvky, jako jsou kontraktilní vlákna. • Možnost použití nelineárního modelu na jiné biologické tkáně, např. stěnu ureteru nebo
spongiózní část kostí. • Numerické experimenty zkoumající škálovou závislost při ε −→ 0.
30
• Vytvořený počítačový program není zdaleka optimální a zahrnutí dalších rozšíření si
vynutí důkladnější přepracování programového kódu a úpravu některých algoritmů. Závěrem bych rád poděkoval svému školiteli Eduardu Rohanovi za cenné rady a připomínky k práci a za neutuchající inspiraci.
31
Literatura [1] Anthoine A.: Derivation of the in-plane elastic characteristics of masonry through homogenization theory. Int. J. Solids Struct., 32(2), 137–163 (1995). [2] Aoubiza B., Crolet J.M., Meunier A.: On the mechanical characterization of compact bone structure using the homogenization theory. Journal of Biomechanics, Vol. 29, 1539–1547, 1996. [3] Beatty M. F.: Topics in finite elasticity: Hyperelasticity of rubber, elastomers and biological tissues. Appl. Mech. Rev. vol. 40, no. 12. 1987. [4] Carvelli V., Poggi C.: A homogenization procedure for the numerical analysis of woven fabric composites. Compos. Part A: Appl. Science and Manufact., Vol. 32, 1425–1432, 2001. [5] Cioranescu D., Donato P.: An Introduction to Homogenization. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications 17. Oxford University Press, Oxford 1999. [6] Crisfield M. A.: Non-linear Finite Element Analysis of Solid and Structures (Essentials), vol. I.. John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 1997. [7] Crisfield M. A.: Non-linear Finite Element Analysis of Solid and Structures (Advanced Topics), vol. II.. John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 1997. [8] Hollister S.J., Brennan J.M., Kikuchi N.: A homogenization sampling procedure for calculating trabecular bone effective stiffness and tissue level stress. Journal of Biomechanics, Vol. 27, 433–444, 1994. [9] Hollister S.J., Fyhrie D.P., Jepsen K.J., Goldstein S.A.: Application of homogenization theory to the study of trabecular bone mechanics. Journal of Biomechanics, Vol. 24, 825–839, 1991. [10] Holmberga S., Kent Perssona K., Petersson H.: Nonlinear mechanical behaviour and analysis of wood and fibre materials. Computers & Structures, Vol. 72, 459–480, 1999. [11] Holzapfel G. A.: Nonlinear Solid Mechanics – A Continuum Approach for Engineering. John Wiley & Sons Ltd, Chichester, England, 2000. [12] Holzapfel G. A., Gasser T. C., Ogden R. W.: A new constitutive framework for arterial wall mechanics and comparative study of material models. Biomech preprint series, Graz, 2000. [13] Hughes T. J. R.: The Finite Element Method – Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Prentice-Hall, New Jersey, 1987. [14] HumphreyJ. D.: Cardiovascular Solid Mechanics – Cells, Tissues, and Organs. Springer, New York, 2002. 32
[15] Luciano R., Sacco E.: Homogenization technique and damage model for old masonry material. Int. J. of Solids and Struct., Vol. 34, 3191–3208, 1997. [16] Lukeš V.: Šíření vln v cévách. Diplomová práce. ZČU Plzeň, 2002. [17] Lukeš V.: Interakce cévní stěny s proudící kapalinou. Sborník Výpočtová mechanika 2004. Nečtiny, 2003. [18] Lukeš V., Rohan E.: Matematický model cévní stěny – dvouškálová metoda homogenizace s uvažováním velkých deformací. Sborník Výpočtová mechanika 2004. Nečtiny, 2004. [19] Lukeš V., Rohan E., Cimrman R.: Computational Algorithm for homogenized coefficients of hyperelastic heterogenous materials undergoing large deformations. (submitted for publication, 2004). [20] Maršík F.: Termodynamika kontinua. Academia, Praha, 1999. [21] Maršík F., Dvořák I.: Biotermodynamika. Academia, Praha, 1998. [22] Matsui K., Terada K., Yuge K.: Two-scale finite element analysis of heterogeneous solids with periodic microstructures. Computers & Structures, Vol. 82, 593–606, 2004. [23] Rohan E.: Mathematical modelling of soft tissues. Habilitation thesis. University of West Bohemia, Plzeň 2002. [24] Rohan E.: Sensitivity strategies in modelling heterogenous media undergoing finite deformation. Math. and Computers in Simul., 61, 261–270. [25] Rohan E.: Modelling large deformation induced microflow in soft biological tissues. (submitted for publication, 2004). [26] Rohan E., Cimrman R.: Sensitivity analysis and material identification for activated smooth muscle. Computer Assisted Mechanics and Engrg. Science 9, 519–541, 2002. [27] Rohan E., Cimrman R.: Numerical Modelling and Homogenized Constitutive Law of Large Deforming Porous Media. Proc. of the Seventh International Conference on Computational Structures Technology, B.H.V. Topping and C.A. Mota Soares (Eds.). Civil-Comp Press 2004. [28] Rohan E., Cimrman R.: Numerical modelling and homogenized constitutive law of large deforming porous media. Proceedings of Seventh International Conference on Comp. Struct. Tech.. 2004. [29] Rohan E., Lukeš V.: Modelling of microscopic heterogenous medium undergoing large deformation. Proceedings of ICTAM04. Warsaw, 2004. [30] Rohan E., Cimrman R., Lukeš V.: Homogenization applied in modelling coupled diffusion-deformation processes in arterial wall. Proceedings of ESB 2004. ’s-Hertogenbosch, 2004. [31] Rohan E., Lukeš V.: Homogenization based modelling of arterial wall mechanics. Proceedings of Biomechanics of Man 2004. Plzeň, 2004. 33
[32] Simo J.C., Huges T.J.R: Computational Inelasticity. Springer-Verlag, New York, 1998. [33] Sanchez-Palencia E.: Non-Homogeneous Media and Vibration Theory. Lecture Notes in Physics 127. Springer, Berlin, 1980. [34] Takano N., Ohnishi Y., Zako M., Nishiyabu K.: The formulation of homogenization method applied to large deformation problem for composite materials. Int. J. of Solids and Struct., Vol. 37, 6517–6535, 2000. [35] Takano N., Zako M., Okazaki T., Terada K.: Microstructure-based evaluation of the influence of woven architecture on permeability by asymptotic homogenization theory. Composites Science and Technology, Vol. 62, 10-11, 1347–1356,2002. [36] Takano N., Zako M., Kubo F., Kimura K.: Microstructure-based stress analysis and evaluation for porous ceramics by homogenization method with digital image-based modeling. Int. J. of Solids and Struct., Vol. 40, 1225–1242, 2003. [37] Telega J.J., Galka A., Gambin B., Tokarzewski S.: Homogenization methods in bone mechanics. Orthopaedic Biomechanics. AMAS Conf. Proceedings 5., 227–276, 2003. [38] Terada K., Ito T., Kikuchi N.: Characterization of the mechanical behaviors of solid– fluid mixture by the homogenization method. Comput. Methods in Appl. Mech. and Engrg., Vol. 153, 223–257, 1998. [39] Valenta J., Konvičková S.: Biomechanika srdečně cévního systému člověka. ČVUT Praha, 1997. [40] Weiss L.: Histology – Cell and Tissue Biology. Elsevier Science Publishing, New York, 1983. [41] Young B., Heath J. W.: Functional Histology – Text and Colour Atlas. Churchill Livingstone, 2000. [42] Zeman J., Šejnoha M.: Určení periodické jednotkové buňky kompozitů vystužených tkaninou plátnové vazby. Eng. Mech., Vol. 9, 65–74, 2002. [43] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.: The Finite Elementh Method, Vol. 2: Solid Mechanics. Butterworth–Heinemann, Oxford, 2000.
34
