Mikropoláris kontinuum alkalmazása a gépészeti modellezésben Ákos Gombos Budapesti M½uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, H-1111 Budapest, M½uegyetem rkp. 5. email:
[email protected] May 14, 2008 Abstract
A cikk els½osorban áttekintést kíván nyújtani a mikrokontinuum modellek témakörében. A klasszikus kontinuum mechanikában megismert fogalmakra alapozva, betekintést nyújt a magasabb szabadságfokú kontinuum modellek világába. Rövid áttekintés után, a mikropoláris kontinuum részletesebb összefoglalására kerül sor, ahol a modell sajátosságaiként említhet½o kinematikai kapcsolatok, konstitutív összefüggések, egyensúlyi egyenletek, valamit az anyagparaméterek kerülnek bemutatásra. Ezt követ½oen a cikk egy szemléletes analitikus példán keresztül mutatja meg az ugynevezett "méret hatást", azaz a jelenséget ami indokolhatja a mikrokontinuum modellek használatát, nevezetesen, hogy bizonyos mérettartományban már szükséges …gyelembe venni az anyag bels½o strukturájából adódó inhomogenitást. Kulcsszavak: cosserat, mikropoláris, rugalmas, kontinuum 1. Bevezetés A gépészetben használt szerkezeti anyagok -hagyományosan acélok és más fémek -többségének mechanikai modellezésére a mai napig kielégít½o eredményeket kapunk a klasszikus kontinuum mechanika segítségével. Az anyagtudomány fejl½odésével azonban újabb és újabb anyagok honosodnak meg a mindennapi gépészeti alkalmazásokban, melyek további modellezési kérdéseket vetnek fel. A miniatürizálás korszakában az egyik ilyen kihívás lehet az anyagon belüli szerkezeti hibák, szabálytalanságok esetleg szándékosan kialakított mikrostrukturák hatásainak …gyelembevétele. A mikroszerkezet nem csupán a molekuláris és atomi szerkezetet jelentheti, ide tartoznak mindazon hatások modellezései, melyek abból adódnak, hogy „kis” és „nagy” - mikro és makro - méreteikben …zikailag vagy geometriailag eltér½o sajátosságokat mutatnak. Duhem már a XIX század végén felvetette , hogy a kontinuum nemcsak anyagi pontok összessége, hanem az anyagi ponthoz rendelt olyan irányok összessége is, melyek a pontok elmozdulásaitól függetlenül változtathatjákják irányukat. Ennek az elképzelésnek a szellemében, nem sokkal kés½obb a Cosserat [3] testvérpár egy újabb elméletet dolgozott ki. Elméletükben az anyagi ponthoz hat független kinematikai változót rendeltek. A megnövekedett szabadságfok és az ezzel együtt járó bonyolultabb matematikai összefüggések sok esetben gátolták a mérnöki alkalmazásokban való elterjedést, így a modellezés ilyen irányú kezdeményezései hamar alábbhagytak. Újabb fordulat a számítógépek és számítástechnika térhódításával jöhetett. A 60-70-es években sorra jelentek meg az újabb és újabb elméletek. Az utóbbi évtizedekben már az alkalmazásokban is különös …gyelmet kaptak az egyre összetettebb, ki…nomultabb mikrokontinuum modellek . Eringen a mikrokontinumok elméletének egy részletes összefoglalását adja az 1999ben megjelent könyvében [4]. Az ismertetett mikrokontinuum modellek közül a mikopoláris modell amelyik már napjainkban is leginkább teret nyert a gyakorlati alkalmazások modellezésében (pl. szemcsés folyadékok, 1
porózus anyagok, fémhabok, orientált anyagok, stb.). Ez szoros összefüggésbe hozható a Cosserat …vérek által bevezetett elmélettel. Ez a cikk egy rövid áttekintés próbál nyújtani a mikrokontinuum modellekr½ol és azok hierarhikus kapcsolatairól, külön kiemelve a mikropoláris modellt. Részletesebben bemutatja a kis rugalmas alakváltozást végz½o mikropoláris test elméleti és numerikus vizsgálati lehet½oségeit. A használt jelölések és mennyiségek értelmezése Eringen [4] munkáját követik. Bemutatásra kerülnek a modell sajátosságai, mint például a nem szimmetrikus alakváltozás, feszültség és feszülségpár tenzor, valamint a rugalmassági modulus és a Poisson tényez½o mellett megjelen½o további négy anyagjellemz½o (polár tényez½o, kapcsolási szám, hajlítási és csavarási karakterisztikus hossz). A szerz½o egy korábbi cikkjére támaszkodva [9], a Mises féle egyenérték½u feszültség egy lehetséges kiterjesztése is bemutatásra kerül. 2. Mikrokontinuum modelek Mint arra már a bevezet½oben is kitértem, a klasszikus kontinuumelmélet feltevései sokszor nem adnak reális közelítéseket a valóságos anyagok viselkedésére. Duhem felvetéseit követ½oen, (miszerint a kontinuum nemcsak anyagi pontok, hanem az anyagi ponthoz rendelt olyan irányok összessége is, melyek a pontok elmozdulásától függetlenek) a Cosserat testvérpár újabb elmélettel állt el½o. A róluk elnevetett kontinuumban az anyagi ponthoz hat független kinematikai változót rendeltek. Ezek az elmozdulás-vektor és az elfordulásvektor 3-3 komponense. A számítástechnika el½oretörésével, a 60-as évekt½ol kezd½od½oen nagy számban jelentek meg (elnevezésben, jelölésrendszerben, kinematikai szabadság fokszámban) újabb magasabb szabadságfokú elméletek. Ezen elméletek közös sajátossága, hogy különbséget tesznek az anyag makro-, és mikroszerkezete között. Ez nem csupán a molekuláris és atomi szerkezetet jelenti, ide tartozhatnak azon hatások modellezései is, melyek a „kis” és „nagy”- mikro és makro - méreteikben, …zikailag vagy geometriailag eltér½o sajátosságokaiból adódnak. Ezekkel az elméletekkel kifejezetten a mikroszerkezetb½ol adódó hatások vehet½ok …gyelembe. A mérnöki alkalmazásokba való elterjedéshez feltétlenül szükséges anyagjellemz½ok kisérleteki úton való meghatározása rendkívül bonyolult feladatnak bizonyult. Az anyagállandók mérési módszereivel számos szerz½o foglalkozott. [11], [19]. Különösen nagy szerepe lehet ezeknek a építészeti anyagok modellezésében. A klasszikus elmélet nyírási feszültség esetén nem mutat ki térfogatváltozást, ugyanakkor kísérletek bizonyítják, hogy a szemcsés anyagnál ilyen esetben pozitív, negatív és zérus térfogatváltozás jelentkezik a kezdeti állapottól függ½oen [10]. A feszültségek tekintetében is alapvet½o különbségek adódnak. A klasszikus elmélet szerint az elemi kocka lapjain megoszló er½oket jó közelítéssel konstansnak tekinthetjük, így azok ered½oje egyetlen feszültség-komponens ( , ).Ez akkor igaz, ha a valóságos, modellezend½o kockát minden határon túl di¤erenciális méret½uvé zsugoríthatjuk, és eközben az anyagi tulajdonságok változatlanok maradnak. Kevés ilyen anyag van. Ha egy valóságos anyagból „kivágunk” egy véges méret½u kockát — olyat, ami még mutatja a makroméret½u anyagi tulajdonságokat, és azt elkezdjük zsugorítani, elérünk egy olyan véges méretig, ahonnan a határátmenet már nem folytatható anélkül, hogy az anyagi és kinematikai viselkedés alapvet½oen ne változna meg. (Pl. a beton esetében a még makro viselkedésben azonos kocka „sok” kavicsot és köztük köt½oanyagot kell, hogy tartalmazzon. Amikor — végletes példaként — az elemi kocka egy kavicsból áll: szilársági és alakváltozási szempontból alapvet½oen eltér½o viselkedést mutat.) Az alábbi ábra egy ilyen "kis kocka" térfogata és az átlagos s½ur½usége közötti viszonyt mutatja, szemléltetve az anyag inhomogenitásából származó estetleges tulajdonságváltozást, valamint azt, hogy milyen mérettartományon milyen modellezési elvek követése célszer½u.
2
ρ
molekuláris és atomi szint
mikro kontinuum
klasszikus kontinuum ∆V*
∆V
1.ábra:az anyag szerkezeti inhomogenitásából adódó modellezési kérdések (jobb oldalon egy durva szemcés beton kocka)
Egy kell½oen nagy térfogatból kiindulva azt tapasztalhatjuk, hogy annak méretét folyamatosan csökkentve, az adott térfogatunk közel azonos átlagos s½ur½uséggel fog rendelkezni. Ekkor úgy t½unhet, hogy homogén testtel van dolgunk, azonban létezik egy olyan V térfogati szint, ami alatt a = V viszony többé már nem lesz állandó. Ez a határ egy lényeges választóvonal az alkalmazandó modelleink között. Mivel meg akarjuk tartani az in…nitezimális számítások nyújtotta el½onyöket, matematikai értelemben a határátmenetet a di¤erenciálisan kis méret½u kockáig folytatjuk, de ezen kocka lapjain az ismert feszültségek mellett megjelenik feszültségpár is. Ezek az el½oz½oek értelmében az anyag mikroszerkezetének pontosabb modellezését jelentik. Kinematikai oldalról fentiek következménye, hogy az anyagi ponthoz a klasszikus elméletben szerepl½o elmozdulásvektor mellett új független kinematikai változókat kell rendelni. Fizikai értelemben a határátmenet a „kis kocka” véges méretéig folytatható, mely kocka lapjain m½uköd½o feszültségek nem konstans eloszlásúak, tehát ered½ojük egy er½o és egy nyomaték lesz.
2.ábra:húzással terhelt "kiskocka" lapjain keletkez½o feszültségek ered½oje
Ez az elv, legáltalánosabb esetben azt jelenti, hogy minden anyagi ponthoz rendel három direktort. Ezeknek a direktoroknak a geformaciójával írják le a mikro részek mozgását. Ez kilenc új szabadsági fokot jelent a hagyományos kontinuumhoz képest. Az alábbi ábra szemlélteti az anyagi pont mozgását leíró kinematikai változókat.
3
Kezdeti konfiguráció Pillanatnyi konfiguráció D3 D2
Makro rész
D1
Mikro rész d3 d2 d1
X3
Mikro rész
X
Makro rész
x X2 X1
3. ábra: mikrokontinuum kinematikai leírása
Az ábrán látható X és x a anyagi pont (mikro rész) helyvektora, és az anyagi pont (mikro elem) relativ helyvektora valamint D és d az anyagi ponthoz rendelt direktor hármas a kezdeti és a pillanatnyi kon…guración, Így minden kontinuum pont 12 szadasági fokkal rendelkezik. Ezzek változásaival írhatók le az anyagi pont mozgasai deformációi, mikrodeformációi. A direktrorok által kifeszített térfogat kezdeti alakját kockának feltételezve, jól szemléltethet½ok az elemi deformációs típusok. Egy általános deformáció a 4/A-tól 4/I-ig bemutatott elemi deformációk lineáris kombinációival írhatók fel.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
4. ábra: elemi mikrodeformációk: A,B,C merevtest szer½u forgások; D,E,F f½oirányú nyúlások;G,H,I szögdeformációk, J térfogati nyúlás
A mikrokontinuumok osztályozás történhet ezen direktorokra el½oírt kinematikai kényszerek szerint, azaz a mikrodeformáció szabadsági foka szerint. Az alábbi táblázat egy osztályozást mutat.
Szabadsági fokok száma
mikrodeformáció
Referencia
Cauchy
Elnevezés
3
nincs
Mikrodilation
4
J
Cosserat vagy Micropolar Mikrostretch Mikrostrain Mikromorphic
6 7 9 12
A,B,C A,B,C,J D,E,F,G,H,I A,B,C,D,E,F,G,H,I
Cauchy, 1823 Goodman, Covin, 1972 Steeb, Diebels, 2003 Kafadar, Eringen, 1976 Eringen, 1990 Forest, Siever, 2006 Eringen, Midlin 1964
1.táblázat:mikrokontinuum modellek összehasonlítása szabadsági fokuk alapján
4
2.1 Mikromorf kontinuum A legáltalánosabb eset a mikromorf. Ebben a modellben a direktorokra semmilyen kényszert nem írunk el½o, ami azt jelenti, hogy a mikrorészbén kialakuló deformációk nincsenek korátozva, tehát a kontinuum egy pontját 3+9 szabadsági fokkal jellemezhetjük, ami 3 elmozdulás, valamint a direktorok 3 merevetest szerint½u forgásának (4/A, 4/B, 4/C ábra), 3 f½oirányú nyúlásának (4/D, 4/E, 4/F ábra) és 3 irányú szögtorzulásnak (4/G, 4/H, 4/I ábra) a szuperpoziciójából adódik. Annak ellenére, hogy ez a legbonyolúltabb mikrokontinuum model, számos alkalmazás jelent már meg. Többek közt említhet½o a rugalmas molekulájú polimerek (5/G.ábra), folyadékkristályok (5/F ábra), állati vér (5/B ábra), sejt deformáció (5/J ábra), szuszpenzió, turbulens folyadékok modellezése. 2.2 Mikrostrain kontinuum A mikromorf modellhez képest, ebben a modelben azt feltételezzük, hogy a modellezni kívánt anyagunk mikro részében a forgások elhanyagolhatók. Így egy kontinuum pontunk 3+6 szabadsági fokkal rendelkezik. A 3 elmozduláson kívül 3 nyúlás (4/D, 4/E, 4/F ábra) és 3 szögtorzulás (4/G, 4/H, 4/I ábra) : Alkalmazási területeiként említhet½ok a biologiai szövetek (5/D, 5/J ábra), polikristályos fémek (5/I ábra) mechanikai modellezései. 2.3 Mikrostretch kontinuum Ebben a modellben a mikro részek mozgását olyan kinematikai kényszerek akadályozzák, melyek a mikro résznek csak 4 szabadsági fokot hagynak. Ezzel a megkötéssel a kontinuum pontjai 3+4 szabadsági fokkal jellemezhet½ok, nevezetesen 3 makroszkópikus elmozdulás, a direktorok 3 merevtest szer½u elfordulása (4/A, 4/B, 4/C ábra) és 1 térfogati megnyúlása (4/J ábra). Alkalmazási területei közt emlíhet½o: állati tüd½o, buborékos folyadékok, zagy, szennyezet leveg½o és víz, porozus anyagok valamint rovarok (5/L ábra), hal rajok (5/K ábra) mozgásának modelleze. 2.4 Cosserat vagy Micropolaris kontinuum Ebben az esetben a merevtest szer½u forgásokon (4/A, 4/B, 4/C ábra) kív½ul minden más mikrodeformáció el van hanyagolva. Így egy kontinuum pontunk 3+3 szabadsági fokkal rendelkezik. Alkalmazásai területei között említhet½ok: folyadék kristály merev molekulákkal (5/F ábra), állati vér merev sejtekkel (5/B ábra), szemcsés kompozitok (5/C ábra), csont (5/A ábra), mágneses folyadék (5/H ábra), poros felh½o, beton (1.ábra), iszapos folyadék, habok (5/E ábra) modellezése. 2.5 Mikrodilatációs kontinuum A kinematikai szabadságfokok számát tekintve ez a legegyszer½ubb mikrokontinuum modell. A három makroszkópikus elmozduláson túl, mikro résznek csak 1 (4/J ábra) szabadsági foka van, az úgynevezett térfogati nyúlás. Ez azt jelenti hogy a mikro rész mindegyik f½oirányában azonos mértékben nyúlik, így felfogható a (4/D,E,F ábrán) feltüntetett deformációk speciális eseteként. Alkalmazható például sejtnövekedés (5/J ábra), kémiai folyamatok miatti lokális térfogatváltozás mechanikai modellezésére. 2.6 Cauchy féle kontinuum A Cauchy vagy klasszikus kontinuum modell a 3 makroszkópikus elmozduláson túl nem veszi …gyelembe a mikro strukturából származó deformációkat így ez a modell alapjaiban eltér a fent említettekt½ol. Egyszer½usége miatt, a napjainkban fellelhet½o szilárdtest mechanikai modellezésekre szánt kereskedelmi szoftverek (többnyire végeselemes programok) túlnyomó része ezt a modellt alkalmazza. Az egyszer½ubb matematikai implementációja miatt, számos …zikai probléma megoldására léteznek már jól bevált eljárásokat. (kis és nagy alakváltozások, anyagi vagy geometriai nemlineáritások, anyagi anizotropia, csatolt …zikai mez½ok, dinamikus hatások... ), melyek a modern ipar számára is mindennapi eszközökké váltak.
5
A
B
C
D
E
F
G
H
I J K L 5. ábra: mikrokontinuumok alkalmazási területei a modellezésben, A: emberi felkarcsont (humerus), B: állati vér, C: titán kompozit (Ti-MMCs), D: fás növényi szövet, E: fém hab (aluminium), F: folyékony kristály polarizált fényben,G: polimer stuktura légbuborékokkal, H: mágneses folyadék, I: 0.3% széntartalmú acél, J: tetrarch gyökér központi hengere, K: tengeri halraj, L: hangyaboly
3. Rugalmas, izotróp, mikropoláris alapegyeneletek Ebben a fejezetben kerülnek bemutatásra a rugalmas mikropoláris testre vonatkozó alapegyneletek. A képletekben használt u jelöli az elmozdulás vektort, az elfordulás vektort, " és jelenti az alakváltozás és görbületi tenzor, t és m jelöli a feszültség és feszültségpár tenzort. 3.1. Kinematikai egyenletek A mozgás leírásához minden anyagi pontban értelmezünk egy u elmozdulás és egy töle független elfordulás vektort. Ezek segítségével a [4] p. 104., eqn (5.1.7) alapján de…niált " alakváltozási és görbületi tenzor az alábbi képlet szerint határozható meg. "ab = ub;a +
bac c ;
ab
=
a;b :
(1)
ahol abc jelöli a (Levi-Civita) permutációs szimbólumot. Megjegyzend½o, hogy a klasszikus estett½ol eltér½oen sem " és sem nem szimetrikus tenzor. 6
3.2. Anyagtörvény Az izotróp mikropoláris testre vonatkózó anyagegyenletek és azok inverz alakjait az alábbi formában írhatjuk fel, a negyedrend½u rugalmas anyagtenzor segítségével. tab
= Aabcd "cd ;
"ab
1 = Aabcd tcd ;
mab = Bbacd ab
cd ;
(2)
1 = Bbacd mcd ;
(3)
ahol tij feszültség és mij feszültségpár tenzorok nem szimmetrikusak. Az Aabcd , Babcd negyedrend½u rugalmas anyag tenzorok és inverzeik a következ½o alakokban irhatók fel az ; ; ; ; és anyagparamétereket felhasználva. A képletekben szerepl½o a ab jelöli (Kronecker delta) másodrend½u egységtenzort, ; ; ; ; ; anyagparaméterek.
Aabcd
=
ab cd
+( + )
Babcd
=
ab cd
+
1 Aabcd
=
1 Babcd
=
ad bc
ac bd
+
+
+ )
(4)
ac bd ;
(2 + ) (3 + 2 + ) ( + ) (3 +
ad bc ;
(5)
ab cd
ab cd
+ (2 + )
+
+
2
ac bd
2 ad bc
(2 + ) 2
ad bc ;
: 2 ac bd
(6) (7)
3.3 Egyensúlyi egyenletek A rugalmas mikropoláris test egyensúlyi egyenletei statikus esetben a következ½o módon írhatók fel. tij;j + fi = 0;
mij;i
ijk tjk
+ li = 0
(8)
ahol fi és li jelöli a térfogaton megoszló er½o és nyomaték rendszert. 3.4.Anyagparaméterek Lakes [11] által végzett kisérleti mérések rámutattak arra, hogy a Eringen által használt hat anyagparaméter ( ; ; ; ; ; ) helyett bizonyos esetekben érdemes egy másik anyagparaméter hatost (Gm ; m ; lt ; lb ; ; N ) használni. Ezek természetesen teljesen egyenranguak egymassal, oda vissza kifejezhet½ok egymásból. A Lakes paramétereket gyakorlati, mérési szempontok alapján nevesítették is. Az Eringen és a Lakes féle paraméter átszámítását az alábbi képletek foglalják össze.
7
1 = (2 + ) ; ; m = 2 2 +2 + s r + = ; lb = ; 2 + 2 (2 + )
Gm
lt
=
=
) lt2
2Gm (1 2Gm 1 2
m
;
;
=
m
= 2Gm (lt2
r N =
+
=
+
2lb2 );
Gm 1 2N 2 ; 1 N2
2( + )
+
;
(9)
;
= 4Gm lb2 ;
=
2Gm N 2 : 1 N2
Ahol a Lakes parameterek a következ½ok. Gm er½o/hossz2 jelenti a csúsztató rugalmassági moduluszt , m [-] jelöli a Poisson tényez½ot, lt és lb [hossz] jelenti a csavarási és hajlítási karakterisztikus hosszat, N [-] a kapcsolási számot és [-] a Polár tényez½ot.Ezen anyagparaméterek hatásait [14] tanulmányozta részletesebben. Felhasználva, hogy az U rugalamas alakváltozási energia nem lehet negativ, az alábbi kritériumokat kapjuk az anyagparaméterekre. 0
3 +2 + ;
0
2 + ;
0
;
0;
2lb
0
3 +2 + ;
0
+ ;
0
;
(10)
ugyanezen feltételek a Lakes féle paraméterekre: 0
3 ; 2
lt
0;
lb
lt ;
0
N
1;
1
m
1 : 2
(11)
4. Egyenérték½u feszültség A szerz½o egy korábban megjelent cikkében [9] részletezi a Mises típusú egyenérték½u feszülség elmélet lehetséges kiterjesztését mikropoláris testekre. Az elmélet lényege, hogy az egytengely½u és egy általános feszülségállapothoz tartozó alakváltozási energiát veti egybe. Különböz½o …zikai megfontolásokat és ezeknek köszönhet½oen elhanyagolásokat követve, három lehetsége alak került bemutatásra. Ezek közül a legegyszer½ubb: r 3 = (sS : sS + a2 sA : sA + a3 mdS : mdS + a4 mdA : mdA ); (12) 2 ahol 2 + 1 N2 2 + 1 2 + 1 a2 = ; a3 = ; a4 = ; (13) 2 2 2 N + lt 4lb lt2 továbbá sS és sA a feszültség tenzor deviátoros részének a szimmetrikus illetve antiszimmetrikus része, hasonlóan mdS és mdA a feszültségpár tenzor deviátoros részének a szimmetrikus illetve antiszimmetrikus része. 5. Numerikus példa, feszültségkoncentráció furattal ellátott lemezben Furattal ellátott lemez húzásával kapcsolatos számításokkal számos szerz½o foglalkozik a szakirodalomban [16], [18], [5]. A lemezben kialakuló feszültségeket egy 2 dimenziós polárkoordináta-rendszerben értelmezve, négy független feszültség ( rr ; ; r ; r ) ; és két feszültségpár komponens írja le (mrz ; mzr ) : Az úgynevezett feszültségkoncentrációs számot bevezetve, mely a terhelés és annak hatására kialakuló feszültség viszonyából
8
de…niálható, az N kapcsolási szám hatását vizsgálja. Azért választottam ezt a példát, mert gyakorlatias valamint azért,mert jól mutatja a klasszikus, és mikropoláris elmélet által kapott eredmények közötti különbségeket. Az R sugarú furattal ellátott végtelen nagy kiterjedés½u lemez terhelési vázlatát a 14 ábrán láthatjuk, ahol T a húzás intenzitása, a polárkoordináta tangenciális komponense, R a furat sugara.
R (14)
5.ábra: furattal ellátott lemez terhelése
A [5]-b½ol idézett képletb½ol kiindulva a tangenciális feszültséget a lemezben a (15) képlet alapján számolhatjuk.
=
A1 =
T (1 2 T 2 R 2
F1 = 8 (1
cos 2 )
;
A1 + r2
A2 =
0
B )N2 B @4 +
6A2 r4
6A4 r4
cos 2
T R4 (1 F1 ) 4 (1 + F1 )
;
2
K0
RN lb
+
2RN lb
K1
A4 =
2A5 N lb r 4 (1
1 RN lb C C RN A lb
3lb rN
rN lb
K0
) R2 lb2 T 1 + F1
;
+ 1+
A5 =
6lb2 r2 N 2
K1
rN lb
T Rlb F1 N (1 + F1 ) K1
RN lb
cos 2 ;
;
1
;
(15) ahol Kn [ ] másod fajú, n-ed rend½u módosított Bessel függvény. A furat peremén (r = R) ; a tangenciális feszültség (16) alakra egyszer½usödik, amely a = 2 helyen veszi fel a maximális értékét ( max ). =T
2 cos 2 1 + F1
1
:
(16)
Ezzel a maximális értékkel és a terhelésként használt húzófeszültséggel de…niálhatjuk a Kt feszültség koncentrációs számot, max 3 + F1 (17) = ; Kt = T 1 + F1 mely függ a furat R sugarától, Poisson tényez½ot½ol, N kapcsolási számtól és lb hajlítási karakterisztikus hossztól. Az alábbi két ábra kapcsolási szám valamint a karakterisztikus hossz hatását mutatja a feszültség koncentrécióra. Míg bal oldali ábra állandó R=lb viszonyszámok mellett az N -t½ol való függést, addig a jobb oldali ábra állandó
9
N -ekkel az R=lb viszonyszámoktól való függést mutatja. Mindkét esetben a Poisson tényez½o értéke 0.34. R lb 100
N 0 3.0
3.0
N 0.25
R lb 5
2.8
2.8
2.6
2.6
0.5
Kt
Kt
Rl b 2
N
2.4
lb
2.2
0
2.0
1
R 2.0
1
lb
N
R 2.2
N
0.7
5
2.4
1.8
1.8 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
2
4
6
8
10
R lb
N
6.ábra: az N és az R=lb vizsony hatása a Kt feszültségkoncentrációra
Látható, hogy a hagyományos kontinuumnak megfelel½o N =0 kapcsolási szám mellett a feszültségkoncentráció nem függ az R=lb hányados értékét½ol. Azonban az N növelésével egyre nagyobb mérték½u függés tapasztalható, ami azt jelenti hogy a mikroszerkezet deformációinak …gyelembevételével jelent½os külömbségek adódhatnak a feszültségekben. Ezt a jelenséget "méret hatás"-nak (size e¤ect) hívják a szakirodalomban. Továbbá érdemes meg…gyelni, hogy a klasszikus (N=0) eset nagyobb feszültségkoncentrációt eredményez, ami azt jelenti, hogy a méret hatás …gyelmen kív½ul hagyása ugyan nem hoz olyan pontos eredményeket, de legalább a biztonság irányába módositja azokat. 6. Eredmények értékelése A cikk a teljesség igénye nélkül betekintést nyújt a magasabb rend½u kontinuum modellek elméletébe és azok gyakorlati alkalmazásaiba. Kinemaitikai szabadságfokuk alapján rendszerezi azokat. Kiemelve a mikropoláris modellt, részletesen összefoglalja a lineárisan rugalmas izotróp anyagra vonatkozó alapegyenleteket. A szakirodalom már jól ismert példán keresztül megmutatja az úgynevezett méret hatás okozta külömbségeket hagyományos és mikropoláris kontinuum modellt használva. Köszönetnyilvánítás A szerz½o köszönetét fejezik ki az OTKA T046488 projekt keretében kapott támogatásért.
References [1] Besdo, D.: Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat-Kontinuums, Acta Mech., 20 (1974), pp. 105-131. 10
[2] De Borst, R.: A generalisation of J2 -‡ow theory for polar continua, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 103 (1993), pp. 347-362. [3] Cosserat, E— Cosserat F.: Theorie des Corps Déformables. Paris, 1909. [4] Eringen, A.C.: Microcontinuum Field Theories. I : Foundations and Solids, Springer Verlag, Berlin, 1999. [5] Eringen, A.C.: Theory of Micropolar Elasticity, Fracture, Liebowitz, H. ed., Vol. 2, New York, Academic Press, (1968), pp. 621-729. [6] Forest, S.: Cosserat Media, Encyclopedia of Materials: Science and Technology, Elsevier, (2001), pp. 1715-1718. [7] Forest,S., Sievert,R.: Nonlinear microstrain theories: International Journal of Solids and Structures 43, Elsevier, (2006) pp. 7224–7245 [8] Gauthier, R.D.- Jashman, W.E.: A Quest for Micropolar Elastic Constans, ASME J. Appl. Mech,. 43 (1975), pp. 369-374. [9] Gombos, Á., Equivalent stress for micropolar solids, Periodica Politechnika, (2008) [10] Kézdi Á.: Talajmechanika I, II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1969. [11] Lakes, R.S.: Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized elastic continua., In: Mühlhaus, H.-B. (Ed.), Continuum Models for Materials with Microstructure. John Wiley & Sons, Chichester, (1995), pp. 1-25. [12] Lippmann, H.: Cosserat plasticity and plastic spin, ASME Appl. Mech. Rev., 48 (1995), pp. 753-762. [13] Lippmann, H.: Eine Cosserat-Theorie des plastischen Fließ ens, Acta Mech., 8 (1969), pp. 255-284. [14] Nakamura, S.- Lakes, R.S.: Finite lement analysis of Saint Venant end e¤ect in micropolar elastic solids, Engineering Computations, 12 (1995), pp. 571-587. [15] Neuber, H.: Über Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-Körper, Acta Mechanica, 2 (1966), pp. 48-69. [16] Rosenberg, J., Cimrman R., Microcontinuum approach in biomechanical modeling. Mathematics and Computers in Simulation 61, 249-260 (2003) : [17] Cimrman R., Rosenberg J., Bone Tissue modelling Based on the Ortotropic Micropolar Continuum. Inzenyrska Mechanika 2002, 13-16 (2002) : [18] Sladek, J., Sladek, V., Application of local boundary integral equation method into micropolar elasticity. Engineering Analysis with Boundary Elements 27, 81-90 (2003) : [19] Schaefer.M.: Das Cosserat-Kontinuum. ZAMM 47., 1967.
11
