MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012
HIPERELASZTIKUS ANYAGMODELLEK KONTINUUM-MECHANIKAI HÁTTERE, OPTIMALIZÁLÁSI LEHETŐSÉG MOONEY-RIVLIN ANYAGÁLLANDÓKRA CONTINUUM MECHANICS BACKGROUND OF HYPERELASTIC MATERIAL MODELS, OPTIMIZATION POSSIBILITY OF MOONEYRIVLIN’S MATERIAL PERMANENTS HURI Dávid1, MANKOVITS Tamás2 egyetemi hallgató1, adjunktus2 Debreceni Egyetem Műszaki Kar 4028 Debrecen, Ótemető u. 2-4.
[email protected] [email protected] Kivonat: Jelen cikk összefoglalja a gumiszerű anyagok számítási lehetőségeit. A dolgozat második része bemutatja az NX NASTRAN megoldó által használt kontinuummechanikai összefüggéseket. Végül egy gumirugó végeselemes analízisének optimalizálási lehetőség kerül bemutatásra. Kulcsszavak: végeselem-módszer, gumirugó, Mooney-Rivlin anyagmodell Abstract: This paper presents the calculation possibilities for elastic materias. Continuum mechanics to be used for The NX NASTRAN solver which is also presented. Finally a finite element analysis of a rubber spirng is evaluted as a numerical example. Keywords: finite element method, rubber spring, Mooney-Rivlin material model
1. BEVEZETÉS A rugóknak nagyon jelentős szerepe van a gépészetben, és ez tovább bővül, ha fém helyett elasztikus anyagot használunk az adott feladatra. Ha egy tengelyszimmetrikus gumi tömbön nyomó igénybevétellel munkát végzünk, azt belső deformációs munka alakjában felhalmozza majd a terhelés megszűnése után újra külső mechanikai munkává tudja alakítani a tömb speciális alakkiképzése nélkül, akkor ezt a rugót anyagrugónak nevezzük. Ilyen esetben jellemzően progresszív rugókarakterisztikát kapunk, ami következtetni enged minket a tervezési nehézségekre. További problémát okoz, hogy a gumi rugalmasságát nagymértékben befolyásolja a tömb alakja, anyaga valamint alakváltozásának mértéke is. Fontos jellemzője a nagy fajlagosmunka-felvétel ami nagy pontosságot követel számításaink során [1]. A gépészetben az évek alatt elterjedt kézi számítások csak elhanyagolások útján, kis alakváltozások esetére (ε < 25%), korábban már felvett diagramokkal és tapasztalati tényezőkkel számíthatóak statikus terhelésekre. Ezen okok miatt mindig is megoldatlan probléma maradt a gumirugók tervezésének feladata. Azonban a számítógépes végeselemes szoftverek megjelenésével, soha nem látott lehetőségek nyíltak meg a gumiszerű anyagok analízisében. Cikkemben bemutatom a már ismert számításokat, majd összehasonlítom az általam használt végeselemes szoftver analízisének eredményeivel.
MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012
2. MÉRETEZÉS NYOMÓ IGÉNYBEVÉTELRE HAGYOMÁNYOSAN Az acéloknál jól ismert Hooke-törvény gumi esetén csak a nyírófeszültségre érvényes, a húzónyomó feszültségeket bonyolult elméleti összefüggések írják le. Nyomásnak kitett gumitömbben a feszültség eloszlása inhomogén. Az igénybevétel karakterisztikája progresszív, de azt a műszaki gyakorlatban a számítások megkönnyítése miatt a valóságot jól megközelítő egyenessel helyettesítik. A közelítő egyenest úgy vették fel, hogy nulla és 20%-as deformációnál megegyezzen a valós rugókarakterisztika értékével, így az egyenlete: ∗
=
ℎ
(1)
ahol a nyomóerő, a rugóút, a gumirugó nyomást átadó felülete, ℎ a magassága végül ∗ pedig a gumirugó látszólagos rugalmassági modulusza. A látszólagos ∗-modulusz függ a - nyírómodulusztól és a gumi alakjától is. Az alaki függést a alaki tényezővel vesszük figyelembe: =
(2)
ahol a deformációban gátolt, pedig a deformációban résztvevő szabad felület. Szakirodalmakban találunk olyan diagramokat (1.ábra), melyek megteremtik a kapcsolatot ∗ − között különböző keménységű gumik esetén. Ezen modulusz bevezetésével a számítás egyszerűvé válik és a közelítésből származó hiba nem jelentős 25%-os deformációig.
1. ábra
∗
−
kapcsolata különböző Shore leménységekre
3. GUMISZERŰ ANYAGOK VÉGESELEMES LEÍRÁSÁHOZ ALKALMAZOTT KONTINUUM-MECHANIKAI ALAPOK A FEMAP 9.3 szoftver NASTRAN megoldója a gumiszerű anyagok vizsgálatához a mechanikában jól ismert elméleti alapokat tartalmazza. Ahhoz, hogy egy nagy alakváltozásra képes alkatrészt szimulálni tudjunk, tisztában kell lennünk az ide vonatkozó kontinuummechanikai háttérrel. A 2. ábra egy nagy alakváltozásra képes rugalmas testet ábrázol a = 0 és = időpillanatban. A test nyomó igénybevételnek van kitéve, a mechanikai modellje pedig ideális állapotot modellez.
MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012
2. ábra rugalmas szilárd test nyomásának ideális esete Az ábra alapján kifejezhető a fajlagos megnyúlás, a három koordinátatengely irányában =
=
=
=
−
=
(3)
−
(4)
A deformáció meghatározására szolgáló nyúlási arányt ( ) bevezetve [2] =
= 1+
−
(5)
= 1+
<0
ahol
= ahol
+ −
=
,
=
=
+
−
=1+
−
= 1+
=1+
(6)
> 0, így nyomás esetén a nyúlási arány a három főirányban = = =
A kapcsolatot a pillanatnyi és az azonosító állapot között az szolgáltatja [3]
=
(7) az alakváltozási gradiens, (8)
MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012
Azonban az általunk tárgyalt ideális esetben a deformáció alatt nincs szögtorzulás, így a mátrixa leegyszerűsödik: 0 = 0 0
0 0
(9)
0
A gumi molekulájának elasztikus tulajdonságát legjobban az egységnyi térfogatra vonatkoztatott deformációs energia sűrűséggel lehet jellemezni =
( )+
( )
(10)
( ) a térfogatváltozásból származó deformációs energia sűrűség, míg ( ) a ahol, térfogatállandóságból származó deformációs energia sűrűség. A nemlineáris feladatokban tehát függvénye -nek azaz a jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzornak, mely a kontinuum elem alakváltozási állapotának leírására szolgál, továbbá felírható (11)
= majd a mátrixszorzást elvégezve 0 = 0 0
0 0
(12)
0
Ahhoz, hogy általánosan kezelhető legyen a feszültség-deformáció összefüggése, feltételezem, hogy az anyag rugalmas tulajdonságai deformálatlan állapotban izotropok (azaz a vizsgált anyag minden irányban azonos tulajdonsággal bír és a deformáció alatt térfogata változatlan). Így a deformáció jellemzésére három fő skalár invariánsa használható, melyek rendre = = =
+
+
+
(13) +
=
(14) (15)
A gumira jellemző, hogy közel összenyomhatatlan anyagként viselkedik, így alakváltozása során térfogata nem változik. Ezért felírható a nyúlás arányokra az alábbi összefüggés =1
(16)
így következik, hogy =1
(17)
azaz a deformáció két független értékkel, és -vel jellemezhető. Ebből következik, hogy a deformációs energiasűrűség csak ezen két változó függvénye = ( ;
)
(18)
MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012
A gumitest deformálatlan állapotára felírható az alábbi összefüggés =
=
=1
(19)
így, =
=3
(20)
ahhoz, hogy fennállhasson az alábbi egyenlőség =0
(21)
a deformációs energiasűrűség változóit módosítanom kell, így függvénye a = ( − 3;
− 3)
(22)
( ) deformációs energia sűrűséget Az alakváltozás nemlineáris elméletének segítségével a kifejeztem. Ebből kiindulva különböző anyagmodellek definiálásával, a egységnyi térfogatra vonatkoztatott deformációs energia sűrűség számítható. Ezt a kontinuummechanikai hátteret használva, a végeselemes diszkretizáció után a szoftver képes arra, hogy alakváltozási- és feszültségi állapotot számoljon a megfelelő peremfeltételek mellett. 4. HIPERELASZTIKUS ANYAGOK ANALÍZISE FEMAP 9.3-AL A hiperelasztikus anyagok az NX Nastran speciális, Advanced Nonlinear (solution 601 és 701) megoldó moduljában érhetőek el. Az alkalmazható anyagmodellek a Mooney-Rivlin, Ogden, ArrudaBoyce, Hyperfoam, és a Sussman-Bathe. Ezen anyagmodellek csak 2D-s térfogati és 3D-s térfogati elemek használata esetén elfogadottak [4]. 4.1 Mooney-Rivlin anyagmodell Ez esetben a térfogatváltozásból származó deformációs energia sűrűség () =
1 ( − 1) 2
(23)
ahol az ún. térfogati rugalmassági modulusz. Míg a térfogatállandóságból származó deformációs energia sűrűség =
( − 3) + ( − 3) + ( − 3) + ( − 3)( ( − 3) + ( − 3) + ( − 3) ( − 3) + ( − 3) ( − 3)( − 3) +
− 3) + (24)
ahol, Mooney-Rivlin anyagállandók. Láthatjuk, hogy a Mooney-Rivlin anyagtörvény leírásához használható 9 állandó, és a Bulk modulusz. De nem feltétlenül szükséges ennyire magasrendű anyagtörvényt alkalmazni. Ha úgy választunk, hogy csak ≠ 0 akkor a neo-Hookean anyagtörvényt kapjuk. Megkaphatjuk a hagyományos kétváltozós Mooney-Rivlin anyagtörvényt, ha úgy választunk, hogy csak ≠ 0 és ≠0 =
( − 3) +
(
− 3)
(25)
MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012
Ha feltételezzük, hogy nyírási modulusz:
= ∞ akkor az előző két állandó segítségével leírható a rugalmassági és = 2(
+
)
(26)
= 6(
+
)
(27)
A Bulk modulusz az anyag összenyomhatóságát fejezi ki. Ha értéke nagyobb mint 2000 akkor összenyomhatatlan anyagot feltételezünk. Nagysága 601-es megoldó alakalmazása esetén, számítható közel összenyomhatatlan ( = 0,499) anyagra: 2 (1 + 2 ) 3(1 − 2 )
= ahol
a nyírási rugalmassági modulusz,
(28)
a Poisson-tényező
4.2 Ogden anyagmodell Ez esetben a térfogatállandóságból származó deformációs energia sűrűség =
+
+
= ( − 3;
−3
− 3)
=0
(29)
ahol és az Ogden anyagállandók. Láthatjuk, hogy az Ogden anyagtörvény leírásához 19 állandó használható: , , = 1, … ,9 és a bulk modolusz. Ha úgy választunk, hogy a , ≠ 0 csak = 1,2,3 esetén akkor a hagyományos 3 változós Ogden anyagtörvényt kapjuk meg. Ha feltételezzük, hogy = ∞ akkor a rugalmassági és nyírási modulusz leírható az alábbi összefüggésekkel: =
1 2
(30)
=
3 2
(31)
A bulk moduluszra érvényesek a Mooney-Rivlin anyagtörvénynél elmondottak. 4.3 Arruda-Boyce anyagmodell 1 1 ( − 3) + ( 2 20
=
19 7000 ahol
egy anyagállandó,
(
− 81) +
− 9) +
519 673750
11 1050
(
− 27) + (32)
− 243
egy paraméter mely képviseli a kapcsolatot az anyagi láncok között.
MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012
4.4 Hyperfoam anyagmodell =
+
+
−3+
1
−1
(33)
ahol az anyagállandók a , , , = 1, … , − . maximális értéke 9. Ez az anyagmodell erősen összenyomható elasztomerekhez lett létrehozva, így ha a bulk modulusz nagy (nagyobb mint 10), más anyagmodellt kell alkalmazni. 4.5 Sussman-Bathe anyagmodell =
( )+ ( )+ ( )
(34)
5. NUMERIKUS PÉLDA Numerikus példának egy egyszerűen kezelhető hengeres gumi alkatrészt vettem melynek átmérője = 25,3 vastagsága pedig ℎ = 17,8 . A próbatest előírt elmozdulással lett összenyomva a szoftverben, melynek hatására a létrejött alakváltozást a 3.ábra szemlélteti
3. ábra Alakváltozás FEMAP-ban 5 mm-nél 5.1 Anyagmodell optimalizálása Egy optimalizálási lehetőséget fogok bemutatni Mooney-Rivlin anyagmodellre. Célom olyan és anyagállandók felvétele melyek helyesen írják le az anyag viselkedését nyomásra. Az optimalizálás lépései rendre: - Vizsgálatunk tárgyát egy 32 Shore A keménységű gumi képezi, melynek rugókarakterisztikája hagyományos méretezési módszerrel számítható. - Közel összenyomhatatlan állapotra a = 250 értéket veszem fel
MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012 -
Felveszem
és
anyagállandók értékét úgy, hogy teljesüljön az alábbi egyenlőség
=4 -
(35)
Próbafuttatással felveszem a rugókarakterisztikát 20%-as deformációig Mindaddig változtatom a és értékét, míg a 20%-as deformációhoz tartozó nyomóerő közel azonos nem lesz a hagyományos módszerrel számított értékkel Így anyagállandókat rendelhetek adott Shore keménységű gumianyagokhoz
4. ábra Optimalizálás során felvett rugókarakterisztikák 5.2 Eredmények Végeselemes futtatásokkal az optimalizálást elvégezve, különböző keménységű gumidarabokra a rugókarakterisztikák az alábbi képet mutatják
5. ábra optimalizált rugókarakterisztikák
MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-KELET MAGYARORSZÁGI RÉGIÓBAN 2012
így, az alábbi összefüggések állapíthatóak meg ℎ
[°] [MPa] [MPa] 32 0,259 0,065 44 0,436 0,109 54 0,586 0,147 67 0,736 0,184 72 0,92 0,23 1. táblázat anyagállandók értékei
Nagyobb alakváltozást modellezve, jól látszik a rugókarakterisztika progresszív jellege, és jelentős eltérések figyelhetőek meg a hagyományos számítás, és a végeselemes analízissel felvett karakterisztikák között
6. ábra Rugókarakterisztikák 40%-os összenyomásig 5. ÖSSZEFOGLALÁS Feldolgozva az NX NASTRAN által gumiszerű anyagokra alkalmazott kontinuummechanikai hátteret, az anyagmodellek és állandóik definiálása érthetővé vált. Optimalizálással sikerült anyagállandókat megállapítani Mooney-Rivlin anyagmodell esetén, és a végeselemes analízisből kiderült, hogy a valóságot reprezentáló rugókarakterisztika érhető el nyomó igénybevételre. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A cikkben ismertetett kutató munka a TÁMOP-4.2.2/B-10/1-2010-0008 jelű projekt részeként - az Új Magyarország Fejlesztési Terv keretében – az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg. 6. FELHASZNÁLT IRODALOM [1] [2] [3] [4]
DR. BARTHA ZOLTÁN, Gumiipari Kézikönyv I. kötet, Budapest, 1988 MSC. SOFTWARE, Nonlinear Finite Element Analysis of Elastomers BONET, J., WOOD R.D., Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis, Cambridge University Press, 1997. NX NASTRAN 7.1, Advanced Nonlinear Theory and Modeling Guide
