Memóriahabok viszko-hiperelasztikus anyagmodellezése

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Műszaki Mechanikai Tanszék

Berezvai Szabolcs

Memóriahabok viszko-hiperelasztikus anyagmodellezése TDK dolgozat

Konzulens: Dr. Kossa Attila, adjunktus Műszaki Mechanikai Tanszék

Budapest, 2015

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1.1. Előszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A dolgozat célja és motivációja . . . . . . . . 1.3. A dolgozat tartalmi felépítése . . . . . . . . . 1.4. A dolgozatban használt legfontosabb jelölések

. . . .

. . . .

2. Polimer habok hiperelasztikus modellezése 2.1. Hiperelasztikus anyagmodellek áttekintése . . . . 2.2. Ogden–Hill-féle hiperelasztikus modell . . . . . . 2.2.1. Az Ogden–Hill-féle anyagmodell története 2.2.2. Megoldás egytengelyű nyomás esetén . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

3. Időfüggő anyagi viselkedés modellezése 3.1. Viszkoelasztikus anyagi viselkedés . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. A relaxáció mechanikai modellje . . . . . . . . . . 3.1.2. A feszültség válasz függvény egydimenziós terhelés 3.2. Áttérés véges alakváltozásokra . . . . . . . . . . . . . . . 4. Mérések 4.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Próbatestek . . . . . . . . . . 4.1.2. A mérési adatok feldolgozása . 4.2. Relaxációs teszt . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Eredmények . . . . . . . . . . 4.3. Ciklikus teszt . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Eredmények . . . . . . . . . . 4.4. Mérési eredmények összefoglalása . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

5. Anyagparaméterek meghatározása 5.1. Paraméterillesztés módszerei viszko-hiperelasztikus anyag 5.2. Paraméterek illesztése szétválasztott módszerrel . . . . . 5.2.1. Hiperelasztikus paraméterek . . . . . . . . . . . 5.2.2. Prony-sorozat paraméterei . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Ellenőrzés végeselemes analízissel . . . . . . . . . 5.2.4. Az illesztés eredménye . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Paraméterillesztés zárt alakban . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Zárt alakú megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Anyagparaméterek illesztése . . . . . . . . . . . . 5.4. Eredmények összehasonlítása . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . esetén . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . .

1 1 2 3 4

. . . .

5 5 8 9 10

. . . .

12 12 13 14 15

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

17 17 18 19 20 20 22 23 24

esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

25 26 27 27 28 30 31 32 32 35 37

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

i

TARTALOMJEGYZÉK 6. Összefoglalás

39

Függelék

41

A. A Hyperfoam anyagmodell kapcsolata a Hooke-törvénnyel

42

B. A nemteljes gamma függvény B.1. A (teljes) gamma függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2. A felső nemteljes gamma függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3. Speciális esetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 44 45 45

Irodalomjegyzék

47

ii

Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani konzulensemnek Dr. Kossa Attila adjunktusnak (Műszaki Mechanikai Tanszék) lelkiismeretes témavezetéséért és folyamatos segítségért a dolgozat megírása során. Köszönöm a több éves közös munka során nyújtott támogatását, ösztönzését és azt, hogy megismertette és megszerettette velem a polimer habok mechanikáját. A polimer habok gyártási technológiával és ipari felhasználásával a Furukawa Electric Technológiai Intézetnél (FETI Kft.) töltött szakmai gyakorlatom során ismerkedtem meg. Az itt szerzett tapasztalatok rendkívül hasznosnak bizonyultak a dolgozat megírása során. A kutatás az Országos Tudományos Kutatási Alapprogramok (OTKA) PD 108691. számú projektjének támogatásával valósult meg. A támogatást hálásan köszönöm.

iii

1. fejezet Bevezetés 1.1. Előszó A polimer habok széles körben elterjedt sejtszerkezetű anyagok, köszönhetően mechanikai viselkedésüknek és nagy energiaelnyelő képességüknek. Szerkezeti felépítésükből adódóan tömegük kicsi, sűrűségük alacsony, melyhez szintén relatív alacsony értékű mechanikai anyagjellemzők tartoznak: rugalmassági modulusz, térfogatváltozási (bulk) modulusz és csúsztató rugalmassági modulusz. Jellemzőjük a nagy térfogati alakváltozással járó deformációk és elmozdulások. Ezek a tulajdonságok látszólag nem kedvezőek a gyakorlati felhasználás szempontjából. Azonban az ütésvédelem területén a nagy energiaelnyelő képesség mellett olyan kis merevségű és szilárdságú anyagokra van szükség, amely mechanikai tulajdonságait a gyártás során könnyen lehet szabályozni. A polimer habok ezeknek az igényeknek megfelelnek [1]. A fenti tulajdonságaiknak köszönhetően elsősorban a csomagolástechnika és az ütésvédelem területén találkozhatunk az ipari gyakorlatban polimer habokkal, amelyek elsődleges feladata, hogy védje a terméket szállítás és raktározás közben az ütésektől és sérülésektől, valamint csillapítsa a környezeti rezgéseket és szigeteljen. Az ipari alkalmazás mellett a hétköznapi termékekben is számos helyen előfordulnak polimer habok: például sportcipők, ágymatracok, ülések, bukósisakok vagy éppen füldugók. Ezekben az esetekben a fő funkció az emberi test megfelelő védelme, alátámasztása illetve szigetelése. Az emberi test nem megfelelő alátámasztása alvás, ülés vagy futás közben súlyos ortopédiai károsodást okozhat, illetve növelheti a trombózis kialakulásának kockázatát is [2]. A nagy energiaelnyelő képesség mellett a polimer habok fontos tulajdonsága, hogy mechanikai viselkedésük időfüggő ún. viszkoelasztikus. A viszkoelasztikus anyagtulajdonságok következtében a polimer habok anyagi viselkedését nem csak a terhelés nagysága, hanem annak időbeli lefolyása is befolyásolja. Emellett a habok jellemzője a feszültség relaxáció és a kúszás is. A viszkoelasztikus anyagi viselkedés miatt a hab viselkedésének leírásához szükséges pontosan megismerni a terhelés időbeli lefolyását, amely megnehezíti a tervezést. A viszkoelasztikus tulajdonságokat használják ki például autóülések esetében is, amikor az utak egyenetlensége okozta rezgések csillapítása is feladat [3]. Ezekkel az időfüggő jelenségekkel találkozhatunk például az ágymatracok memóriahab rétegében is, ahol az emberi test okozta terhelés időtartama több órás. A memóriahabokat a NASA kezdte fejleszteni az űrhajók üléseihez, majd a kezdeti kísérleteket követően kiadták a fejlesztéseket. Az első kereskedelmi forgalomban kapható memóriahab matracot a svéd Fagerdala World Foams alkotta meg. Azóta számos gyártó bekapcsolódott 1

Bevezetés a gyártásba és a fejlesztésbe. A memóriahab matracok viszkoelasztikus tulajdonságaiknak köszönhetően képesek a testvonal követésére, amely lehetővé teszi, hogy a matrac mindenhol egyenletesen alátámassza a testet (lásd 1.1. ábra). Így csökkentett nyomás nehezedik a gerincre és a testre, ennek következtében az alvás kényelmesebb és mélyebb lesz [4].

a)

b)

1.1. ábra. Az ágymatracokban alkalmazott a) memóriahab és b) testhez illeszkedő alátámasztása Forrás: cardo.hu, matracguru.hu

1.2. A dolgozat célja és motivációja A polimer habok széleskörű alkalmazása miatt jelentős az igény arra, hogy pontos mechanikai modellt alkossunk viselkedésükről és így lehetővé tegyük a polimer habok végeselemes analízisét is. A véges rugalmas és viszkoelasztikus mechanikai viselkedés modellezésére a hiperelasztikus és a viszkoelasztikus anyagmodellek összekapcsolásával létrehozott ún. viszko-hiperelasztikus anyagmodell kellő pontosságú leírást biztosít. Ezen összetett anyagmodellek szinte az összes kereskedelmi végeselemes szoftverben, köztük az Abaqusban is elérhetőek [5]. Ebben a megközelítésben az időfüggő feszültség-relaxációs jelenséget Prony-sorozatok formájában, míg az végtelen lassú terheléshez tartozó sebesség-független viselkedést a hiperelasztikus anyagmodell segítségével írjuk le. Dolgozatom célja, hogy a matracokban előforduló poliuretán memóriahab alapanyag esetén vizsgáljam a viszko-hiperelasztikus viselkedés modellezését és analitikusan levezessem a fenti anyagmodellből adódó feszültség válaszfüggvényt egytengelyű nyomás esetén, majd mérési eredmények alapján meghatározzam az anyagmodellben szereplő anyagparamétereket. Ezen anyagmodelleknél görbeillesztés legelterjedtebb algoritmusa, hogy a végtelen lassú terhelésre adott válasz illetve a feszültség relaxáció esetén külön-külön illesztjük az anyagi paramétereket. Ez azonban jelentős hibát tartalmaz, így az illesztett anyagmodell nem lesz pontos [6],[7]. Az analitikusan meghatározott feszültség-válasz segítségével a teljes viszko-hiperelasztikus anyagmodell illesztését egy lépésben el lehet végezni a valós mérési eredmények alapján [8]. Ennek követkesztében a paraméterillesztés hibája csökken, az illesztett anyagmodell jelentősen pontosabb lesz. Dolgozatom fő motivációját az jelentette, hogy nyílt cellás polimer habok esetében lehetőség nyílik arra, hogy a feszültség választ zárt alakban felírjuk [9], [10]. Ez a zárt 2

Bevezetés alakú megoldás a szakirodalomban jelenleg nem fellelhető, így egy új lehetőség nyílik arra, hogy a polimer habok időfüggő viszkoelasztikus modellezése még pontosabb legyen. A zárt-alakú paraméterillesztés előnyeit, amely a dolgozat fő motivációját jelenti a 1.2. ábra szemlélteti. Az illesztések részeletes magyarázatát a dolgozat későbbi fejezetében részeletesen közlöm.

feszültség

Mérési eredmény

idő

Szétválasztott illesztés

+

feszültség

Időfüggetlen illesztése Relaxációmodell illesztése

Időfüggő Relaxáció modellillesztése illesztése

feszültség

Zárt alakú illesztés

alakváltozás idő

idő

Illesztett modell

feszültség

feszültség

Illesztett modell

idő

idő

1.2. ábra. A dolgozat motivációjának összefoglalása: a zárt-alakú illesztés előnyei

1.3. A dolgozat tartalmi felépítése A jelen TDK dolgozat 6 fejezetre tagolódik. Az 1. fejezetben bemutatom a polimer habok jelentőségét és vizsgálataim tárgyát: a memóriahabokat. Ezen felül megfogalmazom a dolgozat célját és motivációját, valamint összegzem a dolgozatban alkalmazott főbb jelöléseket. A 2. fejezetben áttekintem a polimer habok időfüggetlen viselkedést leíró hiperelasztikus anyagmodelleket és a leggyakrabban használt Ogden–Hill-féle összenyomható anyagmodellt. A fejezetben részletezem a feszültség megoldást egytengelyű homogén összenyomás esetén. A 3. fejezetben bemutatom az időfüggő mechanikai viselkedést kísérő jelenségeket és azok leírására szolgáló viszkoelasztikus anyagmodellezés koncepcióját. Ezt követően ismertetem a polimer-habok esetén alkalmazható véges rugalmas viszkohiperelasztikus anyagmodellt. A 4. fejezet a vizsgált memóriahab alapanyagon végzett 3

Bevezetés egytengelyű relaxációs és ciklikus méréseket mutatja be, amelyek alapján a memória habok időfüggő mechanikai viselkedéét jellemezni tudjuk. Az 5. fejezet tartalmazza az anyagparaméterek meghatározására alkalmazott különböző paraméterillesztési lehetőségeket és az illesztés eredményeinek összehasonlítását. A fejezet tartalmazza az egytengelyű terhelés esetén levezetett zártalakú a feszültség válasz függvényt is. Az dolgozat eredményeit és a konklúziókat a 6. fejezetben foglalom össze.

1.4. A dolgozatban használt legfontosabb jelölések Latin betűk A0 b C E ek F F G gi H0 I1 , I2 , I3 J K ki L0 n(a) N (a) N P P S W

Kezdeti keresztmetszet Baloldali Cauchy–Green-féle deformációs tenzor Jobboldali Cauchy–Green-féle deformációs tenzor Rugalmassági modulusz relatív rugalmassági modulusz Alakváltozási gradiens Terhelés, erő Csúsztató rugalmassági modulusz Relatív csúsztató rugalmassági modulusz Kezdeti befogási hossz C és b skalárinvariánsai Térfogatváltozás mértéke (F determinánsa) Térfogatváltozási (bulk) modulusz Relatív térfogatváltozási (bulk) modulusz Próbatest magassága b ortonormált sajátvektorai C ortonormált sajátvektorai Hiperelasztikus anyagmodell rendje Prony-sorozat rendje Első Piola–Kirchhoff-féle feszültségi tenzor Második Piola–Kirchhoff-féle feszültségi tenzor Fajlagos alakváltozási energia

Görög betűk αi , βi , µi Γ(ν, x) δ ε ε˙ λ ν σ σ τ τ τi

Az Odgen–Hill-féle anyagmodell paraméterei Felső nemteljes gamma függvény Relatív hiba Mérnöki alakváltozás Mérnöki alakváltozási sebesség Nyúlás Poisson-tényező Cauchy-féle feszültség Cauchy-féle feszültségi tenzor Krichhoff-féle feszültség Krichhoff-féle feszültségi tenzor Prony-paraméterek 4

2. fejezet Polimer habok hiperelasztikus modellezése A következő elméleti összefoglaló I. Dorghi (2000) [11], A. Bower (2010) [12], és E. A. de Souza et al. (2008) [13] munkáinak felépítését követi. A polimer habok deformációi viszkoelasztikus viselkedést mutatnak, azaz miután az alkalmazott terhelést eltávolítjuk, a test fokozatossan nyeri vissza eredeti alakját. A viszkoelasztikus anyagmodellek megértéséhez elengedhetetlen, az időfüggetlen, azaz a végtelen gyors illetve a végtelen lassú terhelés során mutatott anyagi viselkedést leíró hiperelasztikus anyagmodellek megismerése.

2.1. Hiperelasztikus anyagmodellek áttekintése Lineáris rugalmasságtanban a feszültség és az alakváltotás közti kapcsolatot a Hooketörvény segítségével írhatjuk fel:   E ν σ= ε+ εI I . 1+υ 1 − 2ν

(2.1)

Az egyszerűbb felírási mód érdekében vezessünk be egy 4-ed rendű tenzort D e az ún. Hooke-operátort, amely definíció szerint De =

E ν T + I ⊗ I, 1+υ 3 (1 − 2ν)

(2.2)

ahol T egy negyedrendű tenzor, amely a deviátoros leképezést írja le. Felhasználva a Hooke-operátort a Hooke-törvény az alábbi alakra egyszerűsödik σ = D e : ε.

(2.3)

Egy másik megközelítést alkalmazva, a Hooke-törvényt kifejezhetjük az alábbi összefüggéssel is ∂ σ= ∂ε



 1 e ε:D :ε , 2

(2.4) 5

Polimer habok hiperelasztikus modellezése amelyben W (ε) = 12 ε: D e : ε egy skalár függvény, az egységnyi térfogaton definiált alakváltozási energiasűrűség. Következésképpen a feszültségtenzort kifejezhetjük a W skalár függvény ε alakváltozási tenzor szerinti paricális deriváltjaként: σ=

∂W (ε) . ∂ε

(2.5)

Hasonlóképpen, amikor az anyagi viselkedés már nem írható le kis alakváltozások segítségével, azaz át kell térünk nagy nyúlásokra, az ún. hiperelasztikus anyagmodellek konstitutív egyenletei szintén levezethető W (F ) skalár függvényből, amely az alakváltozási energiasűrűséget fejezi ki egységnyi térfogatra viszonyítva a referencia konfigurációban az alakváltozási gradiens függvényeként, azaz W = W (F ),

(2.6)

feltételezve, hogy létezik egy ilyen W (F ) függvény a hiperelasztikus anyagmodell esetén. ˙ , megadja a feszültség teljesítméEkkor a W (F ) függvény idő szerinti deriváltja, azaz W nyét, amely kifejezhető a Cauchy- (σ), a Kirchhoff- (τ ) valamint az első Piola–Kirchhoffféle (P ) feszültségi tenzorokkal a ˙ = Jσ : d = τ : d = P : F˙ W

(2.7)

egyenlet segítségével. Az egyenletben J = det F a térfogati alakváltozás mértéke, d pedig ˙ felírható az alakváltozási energiasűrűség idő a deformációsebesség tenzor. Ezen felül W szerinti deriváltjaként, amelyet a lácszabály felhasználásával ˙ = ∂W (F ) : F˙ W ∂F

(2.8)

˙ felírását a (2.7) és (2.8) egyenletekben, majd alakban fejezhetünk ki. Összehasonlítva W egyenlővé téve azokat P :F˙ =

∂W (F ) ˙ :F ∂F

(2.9)

adódik. Ez azt jelenti, hogy az első Piola–Kirchhoff feszültségi tenzor (P ) közvetlenül kifejezhető az alakváltozási energiasűrűségből, mint P =

∂W (F ) . ∂F

(2.10)

Az alakváltozási gradiens objektív mennyiség, tehát ha egy további merev elforgatást (Q) adunk a deformációhoz, akkor F˜ = QF írja le a módosult alakváltozási gradienst. Ebből következik, hogy a W (F ) = W (QF )

(2.11)

is teljesül, hiszen a merev elforgatás során nem változik a tárolt rugalmas energia. Az alakváltozási gradiens felírható a jobboldali Cauchy–Green deformációs tenzor C segítségével felhasználva a poláris felbontást, mint √ (2.12) F = RU = R C. 6

Polimer habok hiperelasztikus modellezése Amennyiben a merev elforgatást Q = RT alapján választjuk meg, ebben az esetben √ W kifejezhető U = C segítségével is. Következésképpen W felírható C függvényeként, azaz ˜ (C), W (F ) = W

(2.13)

amelyből a feszültség teljesítményt a ˜ ˙ = ∂W (F ) :F˙ = ∂ W (C) ∂C : F˙ , W ∂F ∂C ∂F

(2.14)

egyenlet segítségével fejezhetjük ki. Felhasználva, hogy C = F T F szimmetrikus tenzor, a parciális derivált a ∂C = 2F ∂F

(2.15)

alakra egyszerűsíthető. Ezt felhasználva, a jobboldali Cauchy–Green deformációs tenzor segítségével kifejezett W (C) alakváltozási energiafüggvény esetében az első Piola– Kirchhoff-féle feszültségi tenzort a P = 2F

∂W (C) ∂C

(2.16)

egyenlet adja meg. Ezt felhasználva, a második Piola–Kirchhoff- (S), a Kirchhoff- (τ ) és a Cauchy-féle (σ) feszültségi tenzorok az alábbi módon fejezhetőek ki W (C) segítségével: S=F −1 P = 2

∂W (C) , ∂C

τ =P F T = 2F

(2.17)

∂W (C) T F , ∂C

(2.18)

1 2 ∂W (C) T σ= P F T = F F . (2.19) J J ∂C Izotrop anyag esetében az alakváltozási energiasűrűség függvény W (C) a C tenzor skalár invariánsai (I1 , I2 és I3 ) vagy a főnyúlások (λ1 , λ2 és λ3 ) függvényeként is kifejezhető, azaz W = W (I1 , I2 , I3 ) vagy

W = W (λ1, λ2 , λ3 ).

(2.20)

ahol a skalár invariáns mennyiségek a I1 = tr[C],

1 I2 = (I12 − tr[C 2 ]), 2

I3 = det C = J 2 .

(2.21)

összefüggések alapján számolhatóak. Mivel (λi )2 értékek C tenzor sajátértékei, így a skalár invariánsok felírhatóak a főnyúlások (λ1 , λ2 és λ3 ) segítségével is, mint I1 = λ21 + λ22 + λ23 ,

I2 = (λ1 λ2 )2 + (λ1 λ3 )2 + (λ2 λ3 )2 ,

I3 = (λ1 λ2 λ3 )2 . (2.22)

Feltételezzük, hogy az alakváltozási energiasűrűség függényt a főnyúlások segítségével definiáljuk, tehát W = W (λ1 , λ2 , λ3 ). Ekkor alkalmazva a láncszabályt S=2

3 X ∂W (λ1 , λ2 , λ3 ) ∂λk ∂W (λ1 , λ2 , λ3 ) =2 ∂C ∂λk ∂C k=1

(2.23) 7

Polimer habok hiperelasztikus modellezése adódik, ahol a sajátértékekre vonatkozó deriválási szabály 1 ∂λk = N (k) ⊗ N (k) , ∂C 2λk

(2.24)

melyben N (k) a C tenzor ortonormált sajátvektorai. Ezután a (2.24) egyenletet visszahelyettesítve a (2.23) egyenletbe az 3 X 1 ∂W (k) N ⊗ N (k) S= λk ∂λk k=1

(2.25)

összefüggés adódik. Felhasználva a feszültségi tenzorok (2.17)-(2.19) egyenletekben felírt kapcsolatát a feszültségi tenzorokra az alábbi összefüggések adódnak: σ=

3 X λk ∂W k=1

τ =

3 X k=1

P =

n(k) ⊗ n(k) ,

(2.26)

∂W (k) n ⊗ n(k) , ∂λk

(2.27)

J ∂λk

λk

3 X ∂W k=1

∂λk

n(k) ⊗ N (k) ,

(2.28)

ahol n(k) a baloldali Cauchy–Green deformációs tenzor (b) ortonormált sajátvektora, melyre N (k) = λa F −1 n(k) teljesül. A (2.25) - (2.28) egyenletek alapján a főfeszültségeket az alábbi alakban fejezhetjük ki Sk =

1 ∂W , λk ∂λk

σk =

λk ∂W , J ∂λk

τk = λk

∂W , ∂λk

Pk =

∂W , ∂λk

k = 1, 2, 3

(2.29)

2.2. Ogden–Hill-féle hiperelasztikus modell A szakirodalomban számos hiperelasztikus anyagmodell található, többségük ún. femonemológiai modell, de számos olyan modell is található, amelyek anyagszerkezeti alapokra épültek. Fontos hangsúlyozni, hogy általánosan elfogadott jó hiperelasztikus modell nincs. A hiperelasztikus anyagmodell választása során figyelembe kell mindig venni az anyag mechanikai viselkedését és jellemzőit, majd ennek ismeretében lehet megfelelő hiperelasztikus anyagmodellt választani. A hiperelasztikus anyagmodellek fejlődését elsősorban a gumiszerű anyagok mechanikai modellezésének igénye motiválta. A gumiszerű anyagok jellemzője, hogy nagy alakváltozásra képesek, ugyanakkor a térfogati alakváltozásuk közel zérust. Ekkor kis alakváltozások esetén a Poission-tényezőre a ν ≈ 0,5 közelítést lehet alkalmazni. Ez a kinematikai leírás szempontjából előnyös, hiszen csökken az ismeretlenek száma, ugyanakkor a végeselemes szimulációk során a térfogati alakváltozáshoz tartozó bulk modulusz értéke végtelen lesz. Emiatt a gumiszerű anyagokra felírt összenyomhatatlan (incompressible) hiperelasztikus modellek helyett egy módosítótt ún. közel összenyomhatatlan (nearlyincompressible) hiperelasztikus anyagmodellt használnak, amely egy egyszerű modell segítségével lehetővé teszi a kismértékű térfogati alakváltozást. 8

Polimer habok hiperelasztikus modellezése A gumiszerű anyagokkal szemben a polimer habok esetén a nagy deformációk nagy térfogati alakváltozással járnak, ezért a gumiszerű anyagokra kifejleszett hiperelasztikus anyagmodellek nem használhatóak a polimer habok modellezésére. A nagy térfogati alakváltozás olyan jelentős, hogy elsősorban az ún. nyílt cellás habok esetében egytengelyű nyomómérések esetén a keresztirányú alakváltozás elhanyagolható, emiatt a szakirodalomban a Poisson-tényezőt (2.30)

ν≈0

értékkel közelíthetjük [2], [3]. A vizsgálataink tárgyát képező memóriahabok is nyílt cellás habok, emiatt további számításaink során a (2.30) egyenletben szereplő közelítéssel élünk. A nagy térfogati alakváltozást kellő pontossággal modellező hiperelasztikus anyagmodellek csak korlátozott számban érhetőek el. Mindössze csak egy általánosan elfogadott ún. compressible hiperelasztikus anyagmodell érhető el a szakirodalomban, valamint a legelterjedtebb kereskedelmi végeselem szoftverekben (Abaqus [5], Ansys [14], Msc Marc [15]) is. Az anyagmodell elnevezése a végeselemes szoftverek esetében nem egységes Abaqus „Hyperfoam”, Ansys „Ogden foam” míg Msc Marc „Rubber foam” néven használja az anyagmodellt. Ennek oka, hogy az anyagmodell elnevezése a szakirodalomban sem egységes, mivel bevezetése több ember nevéhez fűződik. A legelterjedtebb elnevezése az Ogden–Hill-féle hiperelasztikus modell.

2.2.1. Az Ogden–Hill-féle anyagmodell története Ogden 1972-es publikációjában [16] összenyomható anyagok hiperelasztikus modellezését vizsgálja. Az általa felírt összenyomható hiperelasztikus anyagmodell olyan, hogy egy korábbi gumiszerű anyagokra felírt összenyomhatatlan hiperelasztikus anyagmodellt egészíti ki egy ismeretlen f (λ1 , λ2 , λ3 ) függvénnyel, amely a térfogati alakváltozásból adód alakváltozási energiasűrűséget (W ) adja meg. Ogden felírásában az anyagmodellhez tartozó alakváltozási energiasűrűség függvényt a W =

N X µ ¯i i=1

αi

(λα1 i + λα2 i + λα3 i − 3) + f (λ1 , λ2 , λ3 )

(2.31)

adja meg, amelyben N jelöli az anyagmodel rendjét, αi és µ ¯i pedig anyagi paraméterek. Ezt követően 1978-ban Hill [17] munkájában az Ogden-féle modellben (2.31 egyenlet) szereplő volumetrikus tagra az alábbi javaslatot teszi: f (λ1 , λ2 , λ3 ) =

N X µ ¯i 1 − 2ν  i=1

αi

ν

 ν J − 1−2ν αi − 1 ,

ezt visszaírva a (2.31) egyenletbe a modell  N  X 1 − 2ν  − ν αi µ ¯i αi αi αi 1−2ν λ1 + λ2 + λ3 − 3 + J W = −1 αi ν i=1

(2.32)

(2.33)

alakú lesz. Ebben a felírásban három anyagi paraméter αi , µ ¯ i és ν található, melyek közül αi és µ ¯i összetartozó anyagparaméterek, így összesen a modellben 2N +1 anyagparaméter szerepel. A felírt modellt 1986-ban Storakers [18] egy új anyagparaméter bevezetésével a   N X
1 −nαi µ ¯i αi αi αi W = λ1 + λ2 + λ3 − 3 + J −1 (2.34) α n i i=1 9

Polimer habok hiperelasztikus modellezése alakban írja fel, ahol n=

ν . 1 − 2ν

(2.35)

A (2.34) egyenleten alapul Abaqus [5] által használt felírás is, amelyben az alakváltozási energiasűrűség W =

 N X 2µi i=1

αi2

λα1 i

+

λα2 i

+

λα3 i


1 −αi βi J −1 −3+ βi

(2.36)

alakú. Fontos hangsúlyozni, hogy ebben a felírásban szereplő µi értékek nem azonosak a (2.34) egyenletben használt µ ¯ i értékekkel. Emellett számottevő különbség az is, hogy az (2.34) felírásában szereplő n paramétert is αi és µi paraméterekkel összefüggőnek definiálja, így n paraméterből is N db szerepel az anyagmodellben. Ennek megkülönböztetéséül vezeti be az Abaqus a βi paramétereket. Továbbá az Abaqus-ban található µi paraméterekből a kezdeti csúsztatórugalmassági modulusz közvetlenül számítható, mint µ0 =

N X

µi > 0,

(2.37)

i=1

amely egy feltételt is jelent a µi paraméterek lehetséges értékeire nézve. Ennek részletes magyarázatát a A. függelékben közlöm. A további számításaink során az Ogden–Hill-féle anyagmodell (2.36) egyenletben felírt alakját fogjuk használni.

2.2.2. Megoldás egytengelyű nyomás esetén Az időfüggetlen mechanikai viselkedés leírására használt Ogden–Hill-féle hiperelasztikus anyagmodellhez tartozó alakváltozási potenciálfüggvényt (2.36 egyenlet) behelyettesítve a (2.29) egyenletbe a főfeszültségekre τk =

N X 2µi i=1

αi


λαk i − J −αi βi ,

N
1 X 2µi αi λk − J −αi βi , σk = J i=1 αi

N X
1 2µi αi −αi βi Sk = λ − J , k λ 2 αi i=1 k

N X
1 2µi αi λk − J −αi βi , Pk = λ αi i=1 k

(2.38)

(2.39)

(2.40)

(2.41)

adódnak. Az anyagi paraméterezések meghatározásához egytengelyű nyomó vizsgálatot alkalmazunk (lásd. később), emiatt az egytengelyű nyomáshoz tartozó feszültség-választ kell előállítani. Az egytengelyű nyomás kinematikáját az     λ1 0 0 λ1 0 0 F =  0 λ2 0  =  0 λT 0  (2.42) 0 0 λ3 0 0 λT 10

Polimer habok hiperelasztikus modellezése

E1

e1

1 ¸1 1

E3

1

E2

¸T e2

a) deformáció előtt

e3

¸T b) deformációt követően

2.1. ábra. Az egytengelyű nyomás kinematikai leírása alakváltozási gradiens írja le, melyben az 1-es index jelöli a nyomás deformációt (lásd 2.1. ábra). Feltételezve, hogy izotrop anyagról van szó λ2 = λ3 = λT , azaz a keresztirányú (transversal ) nyúlások egyenlőek lesznek. Ekkor a térfogatváltozás mértéke J = det F =λ1 λ2T . Mivel keresztirányban szabadon deformálódhat a test, a keresztirányú feszültség zérus lesz, azaz τ2 = τ3 = 0. Ezeket felhasználva, és behelyettesítve a (2.38) egyenletbe, a Kirchhoff-féle főfeszültségre az alábbi összefüggések adódnak: N  X
2µi  αi 2 −αi βi λ1 − λ1 λT , τ1 = αi i=1 N X
−αi βi  2µi  αi τ2 = τ3 = λT − λ1 λ2T = 0. α i i=1

(2.43)

(2.44)

A fenti egyenletrendszerből az anyagi paraméterek ismeretében meg lehet határozni adott λ1 érték esetén a λT keresztirányú nyúlást és τ1 főfeszültséget. Azonban a vizsgált memóriahabok esetében (2.30) közelítéssel élhetünk, azaz a keresztirányú nyúlásokra λT = 1 teljesül. Ez azt is jelenti, hogy βi = 0, amely alapján a longitudinális irányú főfeszültségre τ1 =

N X 2µi i=1

αi

(λα1 i − 1)

(2.45)

adódik, amely segítségével a Kirchhoff-féle feszültségi tenzor az alábbi alakban írható fel:   τ1 0 0 τ =  0 0 0 . (2.46) 0 0 0

11

3. fejezet Időfüggő anyagi viselkedés modellezése A polimer habok időfüggő viselkedése speciális viszkoelasztikus anyagmodellekkel írható le. Mivel ezeket az időfüggő (vagy sebességfüggő) deformációkat nagy nyúlások és elmozdulások jellemzik, a kis nyúlások esetén érvényes lineáris viszkoelasztikus anyagmodellek nem alkalmazhatóak. Véges deformációk esetén emiatt speciális ún. viszkohiperelasztikus modellezési eljárást kell követni. Az ilyen anyagmodellek két részből tevődnek össze: egy hiperelasztikus és egy viszkoelasztikus anyagmodellből [5]. A viszkohiperelasztikus anyagmodellek megismeréséhez először a kis nyúlások esetén alkalmazott lineáris viszkoelasztikus anyagmodelleket kell elemezni, majd ezután lehet áttérni nagy nyúlások esetére.

3.1. Viszkoelasztikus anyagi viselkedés A tisztán rugalmas anyagok jellemzője, hogy a terhelés során a rugalmas energiát tárolják, majd a terhelés megszüntetése után azonnal visszanyerik eredeti alakjukat. Ezzel szemben a viszkoelasztikus anyagok rendelkeznek ún. viszkózus tulajdonságokkal is, azaz a rugalmas energia egy része a terhelés során disszipálódik. Emiatt a mechanikai viselkedés időfüggő lesz, a terhelés megszüntetése után csak „végtelen” idő alatt nyeri vissza a test az eredeti alakját. Ez ciklikus egytengelyű terhelés esetén azt jelenti, hogy a feszültségalakváltozás (σ − ε) diagrammon hiszterézis látható, azaz nem ugyanazon az úton történik a fel- és a leterhelés. Az időfüggőség azt is jelenti, hogy az deformáció sebessége (ε) ˙ is befolyásolja az anyagi viselkedést. Az egytengelyű nyomás példájánál maradva, minél gyorsabban történik az összenyomás, annál nagyobb feszültségértékek adódnak. A fenti jelenségeket az 3.1. ábra szemlélteti [3]. a)

b)

¾

¾ "

.

"

"

3.1. ábra. A viszkoelasztikus anyagi viselkedést kísérő jelenségek: a) hiszterézis a ciklikus terhelés során és b) a növekvő deformációsebesség hatása 12

Időfüggő anyagi viselkedés modellezése A viszkoelasztikus viselkedés további jelenségei a feszültség relaxáció és a kúszás. A feszültség relaxáció esetében az alakváltozás értékét konstansnak (ε0 ) tartva a feszültség exponenciális jellegűen csökken az idővel, míg kúszás esetén a feszültség értékét rögzítjük (σ0 ), ekkor pedig exponenciális jellegűen fog növekedni az alakváltozás (lásd 3.2. ábra) [2]. Mindkét jelenség esetében meg lehet határozni egy τ időléptéket, amely jellemzi a jelenség időbeli lefutását. A fenti jelenségek a viszkoelasztikus modellezés szempontjából kiemelten fontosak, hiszen az időfüggő anyagi viselkedést a két jelenségre felírt modellek segítségével tudjuk leírni. Jelen dolgozatban a relaxáció modellezésén alapuló viszkoelasztikus anyagmodelleket használjuk [8].

¾(t) ¾0

"(t) "0

t

t

¾(t)

"(t)

¿

t

a) relaxáció

¿

t

b) kúszás

3.2. ábra. A relaxáció és a kúszás jelensége

3.1.1. A relaxáció mechanikai modellje A lineáris viszkoelasztikus anyagok viselkedése egydimenziós esetben rúgókból és csillapításokból álló modellek segítségével írható le. A rendszerünk állapotváltozói a σ(t) feszültség és az ε(t) alakváltozás. Az ideális rugó (Hooke-elem) esetében az állapotváltozók közti kapcsolatot a σ(t) = Eε(t)

(3.1)

összefüggés írja le, ahol E a rugalmassági modulusz. A lineáris csillapítás (dashpot) esetében az ε(t) ˙ alakváltozási sebesség és a σ(t) feszültség között a ε(t) ˙ =

σ(t) , η

(3.2)

kapcsolat áll fenn, ahol η a viszkozitás [19]. A rugó és csillapítás soros kapcsolásából jön lérte az ún. Maxwell-elem (lásd 3.3/a ábra), amely esetében az állapotváltozók kapcsolatát leíró differenciálegyenlet ε(t) ˙ =

σ(t) σ(t) ˙ + , η E

(3.3)

alakú, míg párhuzamos kapcsolással az ún. Kelvin-Voigt-elemet kapjuk (lásd 3.3/b ábra), amelyet a σ(t) = Eε(t) + η ε(t) ˙

(3.4) 13

Időfüggő anyagi viselkedés modellezése

E1

E E

E3

EP

´

E∞

´

´1 (b) Kelvin-Voigt

(a) Maxwell

E2

´2

´3

´P

(c) Általánosított Maxwell

3.3. ábra. Időfüggő viselkedés leírására szolgáló modellek differenciálegyenlet ír le [19]. A fenti egyenletek a lineáris viszkoelasztikus anyagi viselkedés konstitutív egyenletei. A viszkoelasztikus anyagi viselkedés legelterjedtebb modelljét P darab Maxwell-elem és egy Hooke-elem párhuzamos kapcsolásából kapjuk (lásd 3.3/c ábra). Ezt a szakirodalomban „általánosított” Maxwell-elemnek (GeneralizedMaxwell ) nevezik. Ebben a felírásban a Hooke-elem a végtelen lassú terheléshez tartozó rugalmas anyagi viselkedést írja le, ahol E∞ a végtelen lassú terheléshez tartozó rugalmassági modulusz [2].

3.1.2. A feszültség válasz függvény egydimenziós terhelés esetén A viszkoelasztikus modellben szereplő P db Maxwell-elemben ηk és Ek paraméterek jelölik az anyagi paramétereket. A fenti mennyiségekből felírható egy új anyagparaméter az ún. relaxációs idő τk = ηk /Ek . Ennek segítségével az időfüggő rugalmassági modulusz kifejezhető P X



−t Ek exp E(t) = E∞ + τk k=1



(3.5)

alakban, ún. Prony-sorozatok formájában [19]. Előírt ε(t) bemenő alakváltozás jel esetén a feszültség válasz a fent definiált lineáris izotrop egydimenziós viszkoelasztikus modell megoldásával állítható elő. A megoldást az alakváltotási sebesség ε(t) ˙ és a (3.5) egyenletben felírt időfüggő rugalmassági modulusz konvulúciójakét áll elő, azaz Z t σ(t) = E(t − s)ε(s)ds. ˙ (3.6) 0

A fenti kifejezéssel ekvivalens modell találgató meg az Abaqus [5] végeselemes szoftverben, amely a végtelen lassú helyett a végtelen gyors (pillanatnyi) terheléshez tartozó anyagi viselkedésből határozza meg a feszültség választ. Az Abaqus-ban lévő felírás alapján a feszültség válasz σ(t) = σ0 (t) −

Z P X ek k=1

τk

0

t

 −s ds, σ0 (t − s) exp τk 

(3.7)

ahol a pillanatnyi tisztán rugalmas feszültség válasz σ0 (t) közvetlenül számítható a bemenő alakváltozás jelből és E0 pillanatnyi rugalmassági modulszból, mint σ0 (t) = E0 ε(t).

(3.8) 14

Időfüggő anyagi viselkedés modellezése Ezen felül a modell tartalmazza ek relatív rugalmassági moduluszokat, melyeket ek =

Ek E0

(3.9)

alakban állíthatunk elő.

3.2. Áttérés véges alakváltozásokra A vizsgálatunk tárgyát képező nyitott cellás polimer habok esetén a deformációk nagy alakváltozással és elmozdulássokal járnak, így a kis alakváltozások elméletéről át kell térnünk a nagy alakváltozásokra. Ennek következtében a (3.7) egyenletben felírt lineáris viszkoelasztikus anyagmodell nem alkalmazható. Helyette a nagy alakváltozások esetén érvényes ún. viszko-hiperelasztikus anyagmodellt használhatjuk, amely ötvözi a lineáris viszkoelasztikus és az időfüggetlen hiperelasztikus anyagmodelleket. Először a kis alakváltozásokra definiált viszkoelasztikus anyagmodellt kell felírni véges nyúlások esetére, majd a modellben szereplő pillanatnyi feszültség válasz függvényt időfüggetlen hiperelasztikus anyagmodell segítségével adjuk meg. A viszko-hiperelasztikus konstitutív egyenletek egy lehetséges felírását Abaqus dokumentációja tartalmazza. Fontos megemlíteni, hogy az Abaqus 6.9-es verzióban frissítették az anyagmodellt és egy új formalizmussal lett felírva, azonban a Hyperfoam hiperelasztikus anyagmodell esetén még a korábbi verzió van implementálva a végeselemes kódokban [9]. Az Abaqus felírása alapján konstitutív egyenlet a pillanatnyi Kirchhoff-féle feszültségi tenzorra van felírva, amelyet összenyomható anyagok esetén szétbonthatunk deviátoros és hidroszatikus részre [5]. Eszerint H ¯ τ 0 (t) = τ D 0 (F(t)) + τ 0 (J(t)),

(3.10)

amelyben a hidrosztatikus rész a J térfogatváltozás, míg deviátoros rész pedig az ún. ¯ függvénye. A torzulási alakváltozási gradiens (distorsional deformation gradient) (F) torzulási alakváltozási gradiens közvetlenül számítható az alakváltozási gradiensből, mint ¯ =FJ −1/3 . F

(3.11)

Az Abaqus 6.7-es verzója alapján [5], a nagy alakváltozáshoz tartozó viszko-hiperelasztikus anyagmodell konstitutív egyenlete az alábbi alakban írható fel: Z t ˙ G(s) −1 D D τ (t) = τ 0 (t) + SYMM Ft (t − s)τ D (3.12) 0 (t − s)Ft (t − s)ds, G0 0 H

τ (t) =

τH 0 (t)

+

Z

0

t

˙ K(s) τ D (t − s)ds. K0 0

(3.13)

A deviátoros rész integrálása során az Ft (t − s) ún. pull-back operátor segítségével először visszatranszformáluk a referencia konfiguráción keresztül t − s állapotba, majd az integrálás elvégzése után visszatértünk a pillanatnyi konfigurációba, végül a SYMM operátor segítségével vesszük a szimmetrikus részt. A pull-back operátor valójában egy relatív alakváltozási gradiens a t − s és a t időpillanatok között (lásd 3.4. ábra), amely Ft (t − s) = F(t − s)F−1 (t)

(3.14)

alakban számítható. 15

Időfüggő anyagi viselkedés modellezése

t- s

F(t-s) t=0

E1

Ft(t-s) t

E3

E2

F(t) referencia konfiguráció

3.4. ábra. Az Ft (t − s) relatív alakváltozási gradiens A deviátoros részben (3.12 egyenlet) G(t) és G0 az időfüggő valamint a pillanatnyi csúsztató rugalmassági modulusz, míg a hidrosztatikus részben szereplő (3.13 egyenlet) K(t) és K0 az időfüggő valamint a pillanatnyi térfogati alakváltozási (bulk ) modulusz. A (3.5) egyenlethez hasonlóan a moduluszok itt is felírhatóak Prony-sorozatok segítségével, azaz  !  ! PK PG X X −t −t , K(t) = K0 k∞ + kk exp K , (3.15) G(t) = G0 g∞ + gk exp G τ τ k k k=1 k=1 ahol gk és kk a relatív, míg g∞ és k∞ a végtelen lassú terheléshez tartozó moduluszok, melyekre a g∞ +

PG X

g k = k∞ +

PK X

(3.16)

kk = 1

k=1

k=1

feltételnek teljesülnie kell. Visszahelyettesítve a (3.15). egyenletben lévő összefüggést a (3.12)-(3.13) egyenletekbe megkapjuk az anyagmodell konstitutív egyenletét: " PG   # X gk Z t −s D τ D (t) = τ D ds , (3.17) F−1 0 (t)−SYMM t (t − s)τ 0 (t − s)Ft (t − s) exp G G τ τ 0 k k k=1 H

τ (t) =

τH 0 (t)

  Z PK X −s kk t D τ 0 (t − s) exp K ds. − K τ τk 0 k=1 k

(3.18)

Számításaink során feltételezzük, hogy a deviátoros és a hidrosztatikus részben a paraméterek száma megegyezik, azaz P G = P K = P . Ezen kívül nyitott cellás polimer habok esetén élhetünk azzal a közelítésésel, hogy a megfelelő relatív csúsztatórugalmassági és bulk moduluszok megegyeznek gk = kk , valamint a relaxációs paraméterek is egyenlőek τkG = τkK = τk . A feltételeket visszaírva a (3.17)-(3.18) egyenletekbe megkapjuk a nyílt cellás polimer habok esetén érvényes viszko-hiperelasztikus modellt " P   # X gk Z t −s D τ D (t) = τ D ds , (3.19) F−1 0 (t)−SYMM t (t − s)τ 0 (t − s)Ft (t − s) exp τk 0 τk k=1

H

τ (t) =

τH 0 (t)

−

Z P X gk k=1

τk

0

t

τD 0 (t

 −s ds, − s) exp τk 

(3.20)

H melyben a végtelen gyors terheléshez tartozó feszültség válasz τ D 0 (t) és τ 0 (t) a Ogden– Hill-féle Hyperfoam modellből (2.46. egyenlet) adódik.

16

4. fejezet Mérések A polimer habok pontos mechanikai modellezéséhez szükséges az anyagmodellben (3.193.20 egyenletek) szereplő paraméterek megadása, melyeket mérési eredményekből lehet meghatározni. Alkalmazási területükből kifolyólag a polimer habok jellemző terhelése az összenyomás, ezért egytengelyű teszteket végeztem annak érdekében, hogy kísérleti úton is vizsgáljam az időfüggő anyagi viselkedést, amelyből a paraméterillesztés útján meg lehet állapítani az anyagparamétereket.

4.1. Bevezetés A méréseket a Műszaki Mechanikai Tanszék laborjában lévő INSTRON 3345 egyoszlopos univerzális mérőrendszerrel végeztem. Az erőméréshez egy INSTRON 2519-107 erőmérőcellát használtam (méréshatár: 5kN). Annak érdekében, hogy a mérés során a lehető legnagyobb legyen a próbatest keresztmetszete egyedi kiegészítő nyomólapot alkalmaztam. A mérőrendszer felépítését az alábbi 4.1. ábra szemlélteti.

Keresztfej Erőmérő cella

Nyomólap

Kiegészítő nyomólap

Próbatest

4.1. ábra. A INSTRON mérőrendszer felépítése 17

Mérések

e1

w

L0 e3 w e2 4.2. ábra. A próbatestek geometriája Az időfüggő viselkedés vizsgálatára két egytengelyű nyomóvizsgálatot végeztem el: 1. Relaxációs teszt 2. Ciklikus teszt fokozatos terheléssel Mindkét mérés esetében az elmozdulás u(t) volt a vezérelt jel, míg az erő F a kimenő jel, a mintavételi idő 0, 01 s. A méréseket azonos környzeti körülmények között végeztem, a levegő hőmérséklete 22◦ C, míg a relatív páratartalom 44% volt.

4.1.1. Próbatestek A vizsgált memória hab egy kereskedelmi forgalomban kapható poliuretán hab, amelyet a Csomeszk Kft. forgalmaz. A „Memoryszivacs” lapot elsősorban ágybetétek és egészségügyi eszközök gyártása során alkalmazzák. A memóriahabot 200 × 160 × 1 ívben forgalmazzák. A próbatestek kialakításánál az ISO-3386-1 [20] nemzetközi szabványt követtem. A szabvány javaslata alapján a próbatestek szabályos téglatest alakúak, amelyben a szélesség/vastagság arány legfeljebb 2:1 lehet. A túl vékony anyag esetében a próbatestek egymásra halmozásával lehet növelni a kezdeti longitudinális hosszt (L0 ). Emellett törekedni kell arra, hogy a próbatestek keresztmetszete a lehető legnagyobb legyen, azonban az nem lóghat túl a nyomóvizsgálat során használt nyomólapok területén. A szabványoknak megfelelve a mérések során 8 × 8 cm alapterületű próbatesteket használtam, összesen 8 darabot egymásra helyezve. A próbatest jellemzőit az 4.1. táblázat tartalmazza, míg a geometriáját a 4.2. ábra szemlélteti. Anyag Poliuretán Vastagság (t) 10 mm Próbatest szélessége (w) 80 mm Keresztmetszet (A0 ) 6400 mm2 4.1. táblázat. A próbatest paraméterei

18

Mérések

F

F u

u inflexiós pont Próbatest

L0

H0 L1 korrigált

eredeti

4.3. ábra. A mérési elrendezés és a „slack correction”

4.1.2. A mérési adatok feldolgozása A mérés eredményeképpen rögzítésre kerültek minden mintavételi időpillanatban az erő (F ), és az elmozdulás (∆L) értékek. Mivel a nyomólapok kezdeti távolsága H0 = 110 mm nagyobb, mint a próbatestek magassága, így a mérés kezdetén a mért erő zérus, mivel a nyomólap nem ér a próbatesthez. A mérés tényleges kezdetét az ún. „slack correction” (lásd 4.3. ábra) módszer segítségével állapítottam meg. A módszer lényege, hogy a mérés elején a próbatest és a nyomólap nem pontos illeszkedése miatt egy inflexiós pont jelenik meg az F − ∆L diagrammon. Az inflexiós pont meghatározása után ez a hiba egy egyenessel korrigálható és a mérés kezdetéhez tartozó L1 elmozdulás meghatározható. A próbatest pontos magasságát (4.1)

L0 = H0 − L1

összefüggés segítségével számítható. A korrigált F − ∆L mérési eredményekből a longitudinális nyúlás és a feszültség értékek λ1 = 1 +

u , L0

P1 = σ1 =

F , A0

(4.2)

alapján meghatározhatóak, ahol a Cauchy- és az első Piola–Kirchhoff-féle feszültségértékek megegyeznek, mivel a (2.30) egyenlet alapján a keresztirányú alakváltozás elhanyagolható, azaz λT = 1. A mérés során alkalmazott alacsony mintavételi idő (0,01 s) miatt a mintavételi pontok olyan sűrűek, hogy a mérések eredményeket folytonos görbékkel lehet ábrázolni.

19

Mérések

4.2. Relaxációs teszt Az időfüggő anyagi viselkedés egyik jelensége a feszültség relaxáció (3.1 fejezet), ennek vizsgálatát ideális esetben az egységugrás elmozdulásjelre adott feszültség válasz alapján lehet elvégezni. Azonban a valóságban ehhez végtelen nagy alakváltozási sebesség tartozna, emiatt csak egység sebességugrás (ramp-test) bemenő jel valósítható meg. Ekkor egy nemzérus T idő alatt konstans alakváltozási sebességgel összenyomjuk a próbatestet, majd tartjuk ezt az elmozdulást, miközben a feszültség relaxálódik. Annak érdekében, hogy a relaxációs jelenség számottevő legyen, a felterhelés sebességét (ε) ˙ a lehető legnagyobbra kell választani. A memóriahabon elvégzett relaxációs teszt során v = 1000 mm/min keresztfejsebességet és umax = 85 mm maximális elmozdulást használtam, majd ezt követően 600 s-ig hagytam relaxálódni a próbatestet. A bemenő alakváltozás jelet a 4.4. ábra személteti.

u(t)

t

T

4.4. ábra. Az előírt elmozdulás jel a relaxációs teszt során A felterheléshez szükséges idő (T ), a maximális nyúlásérték (λmax ) és az alakváltozási sebesség (ε) ˙ a próbatest pontos mérete alapján (4.1. egyenlet) alapján számítható, melyet a 4.2. táblázat tartalmaz. A relaxációs mérés paraméterei Felterhelés ideje (T ) Maximális nyúlás (λmax ) Alakváltozási sebesség (ε) ˙ Próbatest kezdeti hossza (L0 )

4,792 s 0,240198 −0,1585565 1/s 104,082 mm

4.2. táblázat. A próbatest paraméterei

4.2.1. Eredmények A relaxációs teszt eredményeként a relaxációs viselkedés a Cauchy-féle feszültség-idő (σ − t) valamint a Cauchy-féle feszültség-nyúlás (σ − λ) görbék segítségével szemléltethető. A görbéket a 4.5.4.7. ábrák személtetik.

20

Mérések

¾[MPa] ¸[-]

4.5. ábra. A feszültség - nyúlás karakterisztika (σ − λ) relaxációs mérés alapján

¾[MPa] t[s]

4.6. ábra. A feszültség válasz relaxációs mérés alapján a t ∈ [0, 400] intevallumon

¾[MPa] t[s]

4.7. ábra. A feszültség válasz relaxációs mérés alapján a t ∈ [0, 40] intevallumon 21

Mérések Az ábrákról jól látszik, hogy a memória hab anyag esetén a relaxáció mértéke jelentős, emiatt helytálló az a megközelítés, hogy az mechanikai viselkedést viszko-hiperelasztikus anyagmodell segítségével írjuk le.

4.3. Ciklikus teszt A relaxáxiós teszt mellett a viszkoelasztikus anyagi viselkedést ciklikus terheléssel lehet vizsgálni. A ciklikus terhelés során alacsony deformációsebességgel fokozatosan nyomjuk össze a próbatestet, minden lépés után időt hagyva a relaxációra. A felterhelést követően a leterhelés is fokozatosan történik. A viszkoelasztikus anyagtulajdonságok miatt a fel- és a leterhelés nem ugyanazon az úton fog történni, hiszen az anyagban tárolt rugalmas energia disszipálódik. Az anyag a relaxáció során a végtelen lassú (időfüggetlen) terheléshez tartozó feszültség válaszhoz tart, így a ciklikus teszt eredményét a későbbiekben fel tudjuk használni a időfüggetlen tisztán hiperelasztikus anyagmodell illesztésekor. A ciklikus teszt során a felterhelési szakaszok során az elmozdulás ∆u = 8,5 mm, a keresztfejsebességsebesség v = 100 mm/min majd a relaxációs idő tREL = 30 s volt. A pontos bemenő elmozdulás jelet a 4.8. ábrán szemléltetem. A mérés során használt próbatest pontos méretei alapján (4.1. egyenlet) a pontos alakváltozási sebesség (ε) ˙ és a ∆ε alakváltozás lépések számíthatóak, melyeket a 4.3. táblázat tartalmazza. A ciklikus mérés paraméterei Maximális nyúlás (λmax ) Alakváltozási sebesség (ε) ˙ Alakváltozás az első lépésben (∆ε0 ) Alakváltozási lépés (∆ε) Próbatest kezdeti hossza (L0 )

0,23183 −0,01546 1/s 0,0723 0,0773 107,835 mm

4.3. táblázat. A ciklikus teszt paraméterei

u(t)

t 4.8. ábra. Az előírt elmozdulás jel a ciklikus teszt során

22

Mérések

4.3.1. Eredmények A ciklikus teszt során mutatott feszültség választ a Cauchy-féle feszültség-idő (σ − t) valamint a Cauchy-féle feszültség-nyúlás (σ − λ) görbék jellemzik. A görbéket a 4.9.4.10. ábrák szemléltetik. Az eredmények ebben az esetben is igazolják, hogy a memória hab esetén lassabb deformációsebességnél is jelentős a feszültség relaxáció. Az időfüggő viselkedésre utal az is, hogy a σ − λ grafikonon jól látható a hiszterézis, ami jelzi a disszipálódott energia mennyiségét.

¾[MPa] ¸[-]

4.9. ábra. A feszültség - nyúlás karakterisztika (σ − λ) ciklikus mérés alapján

¾[MPa] t[s]

4.10. ábra. A feszültség válasz ciklikus mérés alapján

23

Mérések

4.4. Mérési eredmények összefoglalása A viszkoelasztikus anyagi viselkedés vizsgálata során relaxációs és ciklikus tesztek jól bemutatták az anyag viszko-hiperelasztikus jellegét. A két mérés eredményeként kapott σ − λ görbéket egy ábrán bemutatva (lásd 4.11. ábra) látszik, hogy a nagyobb deformációsebességgel végrehajtott relaxációs mérés során a felterhelés lényegesen nagyobb, mint a ciklikus terhelés esetén.

¾[MPa] ¸[-]

relaxációs mérés ciklikus mérés

4.11. ábra. A feszültség - nyúlás karakterisztikák (σ − λ) a két egytengelyű mérés alapján Emellett az is észrevehető, hogy a relaxáció során mindkét esetben a végtelen lassú terheléshez tartozó, sebesség-független feszültség-válaszhoz tartanak a görbék. A mérési eredmények tehát igazolták, hogy a memória habok esetében a viszkohiperelasztikus anyagmodellezés szükséges, ezen felül a mérés során felvett adatsorok lehetőséget biztosítanak az anyagmodell paramétereinek meghatározására is.

24

5. fejezet Anyagparaméterek meghatározása A paraméterillesztés a mechnikai anyagmodellezés utolsó lépése. Célja, hogy megállapítsuk az anyag viselkedését leíró konstitutív egyenletekben szereplő anyagi paramétereket, hogy később ezek segítségével komplex összetett terhelések esetén végeselemes módszer segítségével vizsgálhassuk a mechanikai viselkedést. A végeselemes analízis során az anyagi paraméterek nagy mértékben befolyásolhatják az eredményeket kvalitatív és kvantitatív szempontból is. Ezért, a lehető legnagyobb pontossággal kell meghatároznunk az anyagparamétereket, hogy a végeselemes analízis releváns eredményekkel szolgáljon. A paraméterillesztés során a mérések útján felvett adatpontokra próbáljuk illeszteni az anyagmodellt. Azonban a paraméterillesztésnek számos módszere és megközelítése van. Jelen vizsgálataim során a legkisebb négyzetek módszerén alapuló megközelítést alkalmazom, amelyben az illesztés hibája N X  A 2 e= f (xi , p) − f M (xi ) ,

(5.1)

i=1

összefüggéssel írható fel, amelynek a minimumát keressük a paraméterek (p) által meghatározott térben. A fenti összefüggésben N a mérési pontok számát, f A az illesztendő analitikus függvényt, xi a mérési pontokhoz tartozó független változók értékeit , míg f M (xi ) ezekben a pontokban mért értékeket jelöli. Az esetek többségében a globális minimumkeresés nem végezhető el analitikusan ezért numerikus módszereket kell alkalmazni [2]. Számításaim során a Wolfram Mathematica programba beépített „NMinimize” algoritmus segítségével végeztem a minimumkeresést. Az NMinimize a legkisebb négyzetek módszerén alapuló minimumkereső algoritmus, amely sztochasztikus és determinisztikus eljárásokkal keresi a minimumot. A sztochasztikus eljárások „SimulatedAnnealing”, „NelderMead” és „RandomSearch” véletlenszerű pontokból kiindulva keresi a minimumot, míg az egyetlen determinisztikus eljárás „DifferentialEvolution” a hibafüggvény lokális gradiensei alapján halad. Fontos hangsúlyozni, hogy általánosan jó módszer a paraméterillesztésre nincs és az egyes módszerek jelentősen eltérő eredményeket adhatnak [21]. A memória hab mechanikai vizsgálatai során a paraméterillesztés célja, hogy a viszkohiperelasztikus anyagmodellben (3.19-3.20 egyenletek) szereplő valamennyi paramétert meghatározzuk. Az anyagmodellben szereplő pillanatnyi feszültség-választ leíró hiperelasztikus Hyperfoam modellt 2N (α1 , α2 ...αN ; µ1 , µ2 ...µN ) , míg az időfüggő viselkedést 2P (g1 , g2 ...gP ; τ1 , τ2 ...τP ) paraméter segítségével írjuk le. Ez összesen 2(N + P ) darab paramétert jelent, amelyet illeszteni kell a 4. fejezetben felvett mérési adatokra. 25

Anyagparaméterek meghatározása

5.1. Paraméterillesztés módszerei viszko-hiperelasztikus anyag esetén Viszko-hiperelasztikus anyagok esetén a paraméterillesztés további problémába ütközik: a pontos feszültség-válasz függvény csak a (3.19)-(3.20) egyenletekben szereplő konvolúciós integrál megoldásával érhető el, általános alakban nem lehet kifejezni a viszkohiperelasztikus anyagmodell feszültség-válasz függvényét egyszerű homogén (pl. egytengelyű nyomás) esetén sem. Emiatt a szakirodalomban egy másik eljárást alkalmaznak az ilyen anyagok modellezésére [8]. A módszer lényege, hogy a paraméterillesztés során is szétválasztják az időfüggetlen hiperelasztikus, valamint az időfüggő viszkoelasztikus anyagi paraméterek illesztését. Ebben a megközelítésben az időfüggetlen hiperelasztikus modellt a végtelen lassú terheléshez tartozó-feszültség válasz, míg a viszkoelasztikus részt a relaxációs görbe alapján illesztik. A végtelen lassú terheléshez tartozó választ a ciklikus terhelés alapján lehet felmérni, amelyben a végtelen lassú terheléshez tartozó válasz a felterhelés és a leterhelés görbéi között helyezkedik el. Azonban ennek a görbének a meghatározása interpolációval történik, amely jelentős hibát okoz paraméterillesztés során. Továbbá, ebben a megközelítésben feltételezzük azt is, hogy a relaxációs mérést egységugrás terhelés esetén végeztük el. Azonban a valóságban csak az ún. "ramp teszt" végezhető el, amely következtében jelentős a hiba a relaxációs paraméterek illesztésében. A szétválasztott illesztésben felmerülő hibákat a 5.1. ábra személteti [7], [6]. Annak érdekében, hogy az illesztés hibáját csökkentsük a teljes viszko-hiperelasztikus modellt egy lépésben kell illeszteni a mérési pontokra. Ehhez szükséges azonban a zárt alakú analitikus feszültség-válasz függvény. A szakirodalomban jelenleg nagyon kevés hiperelasztikus modell esetében érhető el a viszko-hiperelasztikus anyagmodell analitikus megoldása, azok is mind csak egyszerű, főleg összenyomhatatlan modellek esetén. Az összenyomható Hyperfoam modell esetén a zárt alakú analitikus megoldás nem érhető el [9].

"

a)

b)

c)

¾

¸

hiba

"0

¾

hiba

T

t

Ideális terhelés Valós terhelés

T Ideális válasz Valós válasz

t

Ciklikus teszt Becsült végtelen lassú válasz Végtelen lassú válasz

5.1. ábra. A szétválasztott paraméterillesztés során a) alkalmaztott bemenő jel illetve b)-c) az illesztések hibái

26

Anyagparaméterek meghatározása

5.2. Paraméterek illesztése szétválasztott módszerrel A szétválasztott paraméterillesztés során a végtelen lassú (időfüggetlen) terheléshez tartozó feszültség-válaszra, valamint az időfüggő relaxációs viselekedésre külön illesztjük az anyagmodellünkben szereplő paramétereket. A végtelen lassú terhelésre adott válaszból a hiperelasztikus anyagmodell paraméterei (α ˜i , µ ˜ i ), míg a relaxációs terhelésből a Prony-sorozatokban szereplő (gi , τi ) paraméterek adhatók meg. Fontos megjegyezni, hogy az ilyenfajta illesztés során kapott (α ˜i, µ ˜i ) paraméterek nem azonosak a viszkohiperelasztikus anyagmodell (3.19-3.20 egyenletek) szereplő (αi , µi ) paraméterekkel, hiszen azok a végtelen gyors (pillanatnyi) feszültség válaszhoz tartoznak. Azonban a végtelen gyors és a végtelen lassú terhelésre adott válaszok között a τ0 (t) =

1 τ∞ (t) g∞

(5.2)

P összefüggés áll fenn, ahol g∞ = 1 − gi szintén anyagi paraméter. Az Abaqus [5] végeselemes szoftverben a hiperelasztikus anyagi paramétereket megadásakor ki kell választani, hogy azok a végtelen lassú vagy a végtelen gyors terheléshez tartoznak, így ez a fenti eltérés nem indukál hibát a paraméterillesztés során.

5.2.1. Hiperelasztikus paraméterek A hiperelasztikus anyagparaméterek illesztéséhez, a végtelen lassú terheléshez tartozó mérési pontokat kell meghatározni. Ezeket a ciklikus teszt eredményéből lehet előállítani. A ciklikus terhelés relaxációs szakaszai a végtelen lassú terheléshez tartozó feszültségértékekhez tartanak, tehát „végtelen sok” idő elteltével elérnék a keresett pontokat. Azonban a ciklikus terhelés során a relaxáció véges ideig tartott, így a fel- és leterhelés során a görbék nem érték el a végtelen lassú terhelés görbéjét. Emiatt a relaxáció végén mért lokális szélsőértékek meghatározásával, majd lineáris intepoláció segítségével állapíthatóak meg a végtelen lassú görbe pontjai, összesen tíz darab, melyekre a hiperelasztikus anyagmodellt illeszteni lehet. Az eredményül kapott mérési pontokat a 5.2. ábra személteti. A hiperelasztikus anyagmodell illesztését során másodrendű modelllel végeztem, tehát a (2.43) egyenlet alapján az illesztendő függvény τ1 =


2µ˜2 2
2µ˜1 2 λ1 − 1 + λ1 − 1 , α˜1 α˜2

(5.3)

amely négy anyagparamétert (α˜1 , α˜2 , µ˜1 , µ˜2 ) tartalmaz. A görbeillesztés során fel kellett használni a (2.37) egyenletben szereplő feltételt is, azaz (5.4)

µ˜1 + µ˜2 > 0.

A görbeillesztést az NMinimize beépített függvény segítségével végeztem, ahol az (5.1) egyenletben lévő hibafüggvényt e¯ =

N  X 2µ˜1 i=1

α˜1

λ21

 2
2µ˜2 2 M −1 + λ1 − 1 − Pi α˜2


(5.5)

alakban írtam fel. A görbeillesztés eredményét a 5.2. ábrán személtetem, az illesztett paramétereket pedig a 5.1. táblázat tartalmazza. 27

Anyagparaméterek meghatározása Hiperelasztikus paraméterek

α˜1 α˜2 µ˜1 −7,2397 18,3649 1,417 10−7

µ˜2 0,00669

5.1. táblázat. A szétválaszott módszer szerint illesztett hiperelasztiks paraméterek

¾[MPa] ¸[-]

ciklikus mérés számított pontok illesztett görbe

5.2. ábra. Az illesztett hiperelasztikus modell végtelen lassú terhelés esetén A Hyperfoam hiperelasztikus anyagmodell paramétereit az Abaqus beépített paraméterillesztő algoritmusa segítségével is meghatározhatjuk. Az illesztés eredményét a 5.2. táblázat tartalmazza. Az eredményeket összehasonítva a saját illesztési algoritmusom eredményével (lásd 5.1. táblázat) látható, hogy az eltérés nem jelentős, így a továbbiakban a saját illesztési algoritmusom által meghatározott paramétereket használom. Hiperelasztikus paraméterek

α˜1 α˜2 µ˜1 −6,70459 19,776 2,51455 10−7

µ˜2 0,00715936

5.2. táblázat. Az Abaqus-ban illesztett hiperelasztiks paraméterek

5.2.2. Prony-sorozat paraméterei Az időfüggő viszkoelasztikus viselkedést jellemző Prony-sorozat paramétereit (lásd 3.15. egyenlet) a relaxációs mérés feszültség relaxációs görbéjére illesztve határozhatjuk meg. Az illesztés során feltételezzük, hogy a terhelés egységugrás. Ebben az ideális esetben a feszültség választ a  ! P X −t σ(t) = E0 e∞ + ek exp ε0 (5.6) τk k=1 függvény írja le. Ebből a relaxáció időbeli lefutását leíró relaxációs modulusz E(t) kifejezhető, mint  ! P X −t σ(t) , (5.7) = E0 e∞ + ek exp E(t) = ε0 τ k k=1 28

Anyagparaméterek meghatározása amely a relaxációs mérési adatokból előállítható. Felhasználva, hogy e∞ E0 = E∞ , a fenti egyenlet  ! P X −t E∞ e∞ + ek exp (5.8) E(t) = e∞ τ k k=1 alakban írható, ahol E∞ értéket az E(t) görbe határértékeként számíthatunk, esetünkben E∞ = 0.00643 MPa. Ezzel az értékkel leosztva az (5.8) egyenletet, valamint alkalmazva a (3.16) összefüggést az illesztendő függvényre  ! P P X X 1 −t ¯ =P E(t) ek + ek exp (5.9) P τk k=1 ek k=1 k=1 adódik, melyben ek és τk paraméterek az ismeretlenek. Mivel az ún. relaxációs moduluszok időbeli viselkedését ugyanazok a paraméterekkel közelítjük (ek = gk = kk ), ezért a viszko-hiperelasztikus anyagmodell jelölését használva az illesztendő függvény  ! P P X X −t 1 ¯ =P gk + gk exp . (5.10) E(t) P τ k k=1 gk k=1 k=1

A relaxációs mérés eredményeként kapott felszültség-idő (σ − t) görbét először az alakváltozás értékével ε0 = 0,7598, majd az így kapott görbe utolsó mérési pontban vett értékével E∞ = 0,00643 MPa kell elosztani. Ezt követően ismét az NMinimize beépített függvény segítségével meghatározhatóak a Prony paraméterek. Annak érdekében, hogy kellően pontos legyen a Prony-sorozat illesztése, ezért P = 3, azaz harmadrendű Pronysorozatot alkalmaztam, az illesztés során felhasználva a τk > 0, gk > 0, g1 + g2 + g3 < 1 feltételeket. A görbeillesztés eredményét az 5.3. ábra mutatja, az illesztett paraméterek értékét pedig a 5.3. táblázat tartalmazza. Hiperelasztikus paraméterek

g1 g2 g3 τ1 τ2 τ3 0,61213 0,03739 0,01586 2,3221 20,6702 242,424

5.3. táblázat. Az illesztett Prony-paraméterek értékei szétválasztott paraméterillesztés esetén

E[-] mérési adat illesztett görbe

t[s] ¯ 5.3. ábra. Az időfüggő viselkedést leíró E(t) függvény és az illesztett Prony-sorozat 29

Anyagparaméterek meghatározása Fontos megemlíteni, hogy a hiperelasztikus anyagmodellel szemben az időfüggő anyagi viselkedést leíró Prony-sorozat paramétereinek meghatározására az Abaqus-ban nem érhető el beépített illesztő algoritmus, így a saját illesztést kell alkalmazni.

5.2.3. Ellenőrzés végeselemes analízissel Az előző két pontban külön-külön meghatároztuk a memória hab viselkedését leíró viszkohiperelasztikus anyagmodellben szereplő valamennyi anyagparamétert. Az illesztett anyagmodell lehetővé teszi, hogy végeselemes analízis segítségével is vizsgálhassuk az anyag mechanikai viselkedését Abaqus-ban. A végeselemes analízis célja, hogy a mérési eredményekhez alapján ellenőrizzük az illesztett anyagmodell pontosságát. Az analízis során az időfüggő relaxációs tesztet ellenőriztem vissza.

E1 U1

8

7

2

1

1 3

4

E2

U1

6

5

1

E3

1

5.4. ábra. A végeselemes modell és az alkalmazott peremfeltételek A geometriai modell egy elemet tartalmazó nyolcadmodell, amelyet a relaxciós tesztnek megfelelő elmozdulás-függvény szerint terheltünk (lásd 2.1. ábra). A végeselemes számítás során a „háló” egy darab 8 csomópontos általános téglaelemből állt (C3D8R). Az 1-4 csomópontok esetében valamennyi irányban zérus elmozdulást U1,2,3 = 0, míg az 5-8 csomópontok esetében U2,3 = 0 elmozdulást írtam elő. A relaxációs mérés adatai alapján U1 = 0,7598 mm míg a felterhelési idő T = 4,792 s. A végeselemes modellt és a peremfeltételeket az 5.4. ábra személteti. A végeselemes számítást két lépésre (step) osztottam. Az első lépésben történik az anyag össznyomása, majd ezt követően a második lépésben az alakváltozást rögzítve történik a relaxáció. A lépések számítása megadott nagyságú növekmények (increment) szerint történik annak érdekében, hogy a nemlineáris anyagmodell számítása pontos legyen. Az egyes lépésekre vonatkozó beállításokat a 5.4. táblázat tartalmazza. Lépés Kezdés 1. lépés 0s 2. lépés 4,792 s

Vége Increment 4,792 s 0,01 s 100 s 0,2 s

Incrementek száma 480 500

5.4. táblázat. A végeselemes számítás paraméterei A számítások elvégzését követően a feszültség (σ1 ) és az alakváltozás ε1 értékeket a 6-os csomópontból lettek meghatározva minden increment esetén. 30

Anyagparaméterek meghatározása

5.2.4. Az illesztés eredménye Az analízis eredményeképpen numerikusan megállapított feszültség-idő függvényt ezt követően összevetettem a relaxációs méréssel. Az illesztett és a mért görbe összehasonlítását a 5.5. ábra mutatja. Az eredményekből jól látszik, hogy a felterhelés szakaszában a szétválasztott módszer eredménye közel van a mért adatokhoz, azonban a relaxációs részen a hiba nagyon nagy. Ennek oka, hogy a relaxációs paraméterek illesztésekor feltételeztük, hogy ideális egységugrás a bemenő elmozdulás jel, miközben csak az ún. ramp teszt valósítható meg. Fontos megjegyezni, hogy a szakirodalomban számos eljárás található, amely javítja a Prony-sorozat paramétereinek illesztését (pl. a Zapas-Phillips módszer) [22], azonban ezek további számításokat igényelnek.

¾[MPa] t[s]

mért relaxáció illesztett anyagmodell

5.5. ábra. A mért és az illeszett paraméterek alján számolt relaxációs görbe

31

Anyagparaméterek meghatározása

5.3. Paraméterillesztés zárt alakban Az előző pontban láthattuk, hogy a szétválasztott módszerrel történő paraméterillesztés útján csak jelentős hibával tudjuk illeszteni az anyagparamétereket, ennek következtében pedig a további végeselemes analízis eredményei pontatlanok lesznek, a számított anyagi viselkedés jelentősen eltért a valóstól. Annak érdekében, hogy javítsuk a paraméterillesztést, zárt alakban meg kell határoznunk a feszültség válasz függvényt, majd ezt a zárt alakú függvényt egy lépésben illeszteni a mért adatokra. Ez azt jelenti, hogy a Hyperfoam modellben lévő 2N (α1 , α2 ...αN ; µ1 , µ2 ...µN ) , valamint az időfüggő viselkedést leíró 2P (g1 , g2 ...gP ; τ1 , τ2 ...τP ) anyaparamétert egyszerre kell meghatározni. Ez jelentősen megnöveli a paraméterillesztés idejét, azonban az eredményül kapott paraméterek sokkal pontosabban közelítik az időfüggő viszko-hiperelasztikus anyagi viselkedést. A Hyperfoam hiperelasztikus anyagmodellre felírt viszko-hiperelasztikus anyagmodell esetén a szakirodalomban nem elérhető általános zárt alakú megoldás, azonban a nyílt cellás polimer habok esetén (ahol βi = 0) egytengelyű nyomás esetén előállítható a zárt alakú feszültség megoldás [9],[10].

5.3.1. Zárt alakú megoldás Egytengelyű nyomás esetén az előírt bemeneti nyúlás függvény ( 1 + εt ˙ t≤T λ(t) = 1 + εT ˙ t>T

(5.11)

alakban írható fel. A hiperelasztikus anyagmodell konstitutív egyenleteiben (3.19-3.20 egyenletek) a pillanatnyi (végtelen gyors) terheléshez tartozó feszültség-választ a Kirchhoffféle feszültségi tenzor τ 0 (t) formájában adtuk meg, amely a (2.46) egyenletet és a bemeneti nyúlás függvény alapján  N    P 2µi αi τ0 (t) 0 0 (λ (t) − 1) 0 0   α i i=1     0 0 0 = τ 0 (t) = (5.12) 0 0 0  0 0 0 0 0 0 alakban írható fel. A viszko-hiperelasztikus anyagmodell egyenleteiben a devitáros és a hidroszatikus feszültség-választ külön konvolúciós integrál segítségével adjuk meg, ehhez a pillanatnyi-feszültség választ is fel kell bontani hidroszatikus és deviátoros részre:  2   N 0 0 0 0 X 3 2µi αi  0 −1 0  = (λ (t) − 1)  0 − 13 0  , τD 0 (t) = τ0 (t) 3 αi i=1 0 0 − 13 0 0 − 13 

2 3

(5.13)

N

τH 0

X 2µi 1 (λαi (t) − 1) · I, (t) = τ0 (t) · I = 3 3α i i=1

(5.14)

ahol I a másodrendű egységtenzor. A konvolúciós integrál kiszámításához szükséges még az alakváltozási gradiens (F), valamint az ebből származtatható relatív alakváltozási 32

Anyagparaméterek meghatározása gradiens F t (t − s), amelyekre a (5.11) és (3.14) egyenletek alapján     λ(t−s) 0 0 λ (t) 0 0 λ(t) 1 0  , F t (t − s) =  0 F = 0 1 0  0 0 1 0 0 1

(5.15)

összefüggések adódnak. Mivel a konvolúciós integrálban szereplő összes tenzor τ D 0 (t) , F t (t − s) diagonális, ezért a szorzás sorrendje felcserélhető, ami azt jelenti, hogy F t (t − s) F −1 t (t − s) = I, valamint a SYM operátor is egyszerűsíthető. A fentieket visszahelyettesítve a (5.13)(5.14) egyeneletekbe a konvolúciós integrálok az alábbi alakban írhatóak  2  N 0 0 X 2µi 3 τ D (t) = (λαi (t) − 1)  0 − 13 0  αi i=1 0 0 − 13   2   Zt X N P 0 0 X 3 s 2µi αi gk 1 ds, (5.16) − (λ (t − s) − 1)  0 − 3 0  exp − τ α τ 1 k i k k=1 0 0 −3 0 i=1 t

  Z N P X gk X 2µi αi s (λ (t) − 1) · I − (λ (t) − 1) · Iexp − ds. (5.17) τ (t) = 3αi τk i=1 3αi τk i=1 k=1 H

N X 2µi

αi

0

A fenti konvolúciós integrálok nem számíthatóak ki egy lépésben, mivel a bemeneti λ (t) függvény, így τ 0 (t) is két részből áll (lásd 5.11 egyenlet). Emiatt a konvolúciós integrált is két lépésben lehet megoldani, így a feszültség választ is a felterhelés és a relaxáció szakaszára külön-külön függvény segítségével adhatjuk meg. A konvolúciós integrálás lépéseit a 5.6. ábra személteti.

a)

¸(t)

-¿(t)

b)

¿0 ¸0 T

t

t

T

c) e

d)

-s

e

-¿(t-s)

-s

-¿(t-s) I. tT

s

II. t- T

t

s

5.6. ábra. A zártalakú illesztés során használt a) előírt nyúlásfüggvény λ (t), b) pillanatnyi Kirchhoff-feszültség τ0 (t) valamint c)-d) a konvolúciós integrál a felterhelés és a relaxáció szakszán 33

Anyagparaméterek meghatározása Felterhelés szakasza A felterhelés szakaszában t ≤ T , a bemeneti függvényt λ (t) = 1 + εt ˙ visszaírva a (5.16-5.17) egyenletekbe, majd elvégezve az integrálást és összegezve a hidrosztatikus és deviátoros megoldásokat a feszültség megoldás    1  2 0 0 0 0 3 3 τ (t) = τ D (t) + τ H (t) =  0 − 13 0  τ (t) +  0 31 0  τ (t) = 0 0 − 13 0 0 13   1 0 0 =  0 0 0  τ (t) (5.18) 0 0 0 alakban adható meg. Azaz, a megoldás megfelel annak a mechanikai feltételnek, hogy a keresztirányú feszültségek zérusok. A feszültség választ leíró longitudinális főfeszültségre ! P N X X 2µi τ (t) = τ0 (t) − gk ηik (5.19) αi i=1 k=1

adódik, amelyben az anyagi paraméterek számától függő ηik függvényt a −αi       ε˙ 1 1 + tε˙ 1 − τt − t+1/ τ Γ 1 + αi , − − Γ 1 + αi , − (5.20) ηik = e k − 1 − e k − ετ ˙ k τk ε˙ τk ε˙ összefüggés definiálja, ahol Γ [a, z] az ún. nemteljes felső gamma függvény, amelyet definíció szerint a Z∞ Γ [ν, x] = tν−1 e−t dt (5.21) x

egyenlet formájában írhatunk fel [23] [24]. A nemteljes felső gamma függvény részletes leírását a B. függelékben részletezem. Relaxáció szakasza A relaxáció során a t > T intervallumon, a bemenő nyúlás függvény λ (t) = λ (T ) konstans lesz, így a pillanatnyi feszültség válasz τ 0 (t) = τ 0 (T ) is állandó. A konvolúciós integrált azonban két konvolúciós integrál összegeként állapíthatjuk meg.   t−T     Zt Z P X g −s −s k  D τ D (t) = τ D ds + τD ds , (5.22) τ 0 (T ) exp 0 (T )− 0 (t − s) exp τ τ τ k k k k=1 0

τ H (t) = τ H 0 (T )−

P X gk k=1

τk



τ H 0 (T )

t−T Z 0

t−T

exp





−s ds + τk

Zt

t−T

τH 0 (t − s) exp







−s ds , (5.23) τk

ahol először [0, t − T ] intervallumon integráljuk a konstans alakváltozás és pillanatnyi feszültséget, míg a [t − T, t] intervallumon a felterhelést leíró alakváltozás és feszültségválaszok hatását számoljuk az integrállal. Az integrálok megoldásaként a feszültség választ ismét a longitudinális főfeszültséggel tudjuk leírni (lásd 5.18 egyenlet). A megoldás függvény a második szakaszon !   ! X P P N X X t−T 2µi τ (t) = τ0 (T ) 1 − gk 1 − exp − − gk ϑik , (5.24) τ α k i i=1 k=1 k=1 34

Anyagparaméterek meghatározása ahol a paraméterek számától függő ϑik kifejezés − τt

ϑik = e

k

−e

− t−T τ k

−e

εt ˙ − 1+ ετ ˙ k



−1 ετ ˙ k

−αi      −1 −1 − T ε˙ Γ 1 + αi , − Γ 1 + αi , (5.25) τk ε˙ τk ε˙

alakban írható fel. Ez azt jelenti, hogy a konvolúciós integrálok megoldásával előállítottuk zárt alakban a feszültség válasz függvényt, amely lehetővé teszi, hogy a paramétereket egy lépésben tudjuk illeszteni. Összegezve, a zárt alakú feszültség válasz függvény nyitott cellás polimer habok egytengelyű nyomása esetén:   N P P P 2µi   ηik t≤T gk τ0 (t) − i=1 αi k=1   N τ (t) =  h i P P P P P 2µ  i  gk 1 − exp − t−T ϑik τ0 (T ) 1 − gk − τk i=1 αi k=1 k=1

(5.26) t>T

5.3.2. Anyagparaméterek illesztése A zárt alakú megoldás meghatározása után a relaxációs mérés során felvett pontokra egy lépésben illeszthető az összes anyagi paraméter. A mérési pontokat a relaxációs mérés feszültség-idő görbéjére illesztem (4.6. ábra), felhasználva, hogy a relaxációs mérés során ε˙ = −0.1585565 1/s. A paraméterillesztést ismét az NMinimize algoritmussal végeztem, ahol a minimalizálandó függvényt két részből adódik N1 N2  

 2 1 X 1 X M1 M1 2 2 τ ti τ tM − σi − σiM2 , + e= i N1 i=1 N2 i=1

(5.27)

ahol N1 és N2 a felterhelés és a relaxációs szakaszon lévő mérési pontok számát jelöli. Az anyagmodell másodrendű hiperelasztikus (N = 2) és harmadrendű Prony-sorozat (P = 3) alakjában lett megadva, az illesztés során felhasználva a µ1 + µ2 > 0

τk > 0,

gk > 0,

g1 + g2 + g3 < 1

(5.28)

feltételeket. A paraméterek meghatározása után a szétválasztott módszerhez hasonlóan Abaqus-ban ellenőriztem az illesztett modell pontosságát a relaxációs mérés végeselemes analízisével (lásd 2.3.1. alfejezet). A paraméterillesztés eredményét a 5.7. ábra szemléleti, a paramétereket pedig a 5.5. táblázat tartalmazza. Hiperelasztikus paraméterek Hiperelasztikus paraméterek

α1 α2 µ1 µ2 −2.1990 3.4435 0.000239 0.02235 g1 g2 g3 τ1 τ2 τ3 0.84226 0.05311 0.03547 0.16031 0.84929 1.92388

5.5. táblázat. A zártalakú illesztés során meghatározott anyagi paraméterek 35

Anyagparaméterek meghatározása

¾[MPa] t[s]

mért relaxáció illesztett anyagmodell

5.7. ábra. A zártalakú görbeillesztés eredménye Az időfüggő, viszko-hiperelasztikus anyagparaméterek illesztésére az Abaqus-ban nem áll rendelkezésre beépített illesztő eljárás. Emiatt a paramétereket csak saját fejlesztésű paraméterillesztő algoritmussal lehet meghatározni.

36

Anyagparaméterek meghatározása

5.4. Eredmények összehasonlítása A memória hab alapanyagra felírt viszko-hiperelasztikus anyagmodell esetén két lehetséges eljárás létezik, hogy a modellben szereplő anyagparamétereket meghatározzuk: a végtelen lassú terhelés és a relaxációs paraméterek illesztének szétválasztásával valamint a zárt alakú megoldásfüggvényre egy lépésben történő illesztéssel. A két paraméterillesztési módszerrel illesztett viszko-hiperelasztiks anyagmodell pontosságát az alábbi 5.8-5.9 ábrák személtetik.

¾[MPa] t[s]

mért relaxáció zárt alakú illesztés szétválasztott illesztés

5.8. ábra. A paraméterillesztési módszerek összehasonlítása a t ∈ [0, 100] intevallumon

¾[MPa] t[s]

mért relaxáció zárt alakú illesztés szétválasztott illesztés

5.9. ábra. A paraméterillesztési módszerek összehasonlítása a t ∈ [0, 10] intevallumon Az ábrákból jól látszik, hogy a zárt alakú paraméterillesztés szignifikánsan jobb eredményt ad, mint a szétválasztott paraméterillesztés. Ennek oka, hogy a szétválasztott módszer esetén mind a végtelen lassú, mind a relaxáció görbe meghatározásakor jelentős a hiba. A két módszer közi különbséget jól személteti az 5.10. ábra, amely az eljárás δ relatív hibáját személteti a mért relaxációs teszt feszültség értékeihez viszonyítva. 37

Anyagparaméterek meghatározása

±[%]

t[s]

zárt alakú illesztés szétválasztott illesztés

5.10. ábra. A paraméterillesztési módszerek relatív hibája Az eredményeket összefoglalva elmondhatjuk, hogy a viszko-hiperelasztikus anyagmodellezés során a paraméterek illesztését zárt alakú megoldás útján elvégezve nagy mértékben javítható az illesztett anyagmodell pontossága, így a későbbi végeselemes analízisek megbízhatóbb és pontosabb adatokkal szolgálhatnak. Természetesen a zárt alakú illesztés pontosságát növelni lehet magasabb rendű hiperelasztikus és Prony-sorozatok esetén is. Azonban, ez az egyszerű egytengelyű összenyomás esetén alkalmazott másodrendű hiperelasztikus és harmadrendű Prony-sorozatból álló modell is jól mutatta az mennyivel hatékonyabb és pontosabb a zárt alakú illesztési eljárás.

38

6. fejezet Összefoglalás A dolgozatom célja a memória habok mechanikai modellezési lehetőségeinek vizsgálata volt. A memória habok az ágybetétekben valamint a betegápolásban használt ún. „emlékező” anyagok, amelyek mechanikai tulajdonságaiknak köszönhetően növelik az alvás komfortérzetét és tehermentesítik a gerincet. A memóriahabok speciális nyitott cellás polimer habok, így a mechanikai viselkedésüket a polimer habokra felírható, időfüggő viszko-hiperelasztikus anyagmodellek segítségével írhatjuk le. Azonban általános viszkohiperelasztikus anyagmodell nem érhető el, azt csak a megfelelően megválasztott időfüggetlen viselkedést leíró hiperelasztikus és a relaxációt leíró viszkoelasztikus anyagmodellek ötvözésével állítható elő. A dolgozatomban először összefoglaltam az időfüggetlen hiperelasztikus anyagmodellek alapjait, valamint ismertettem a polimer habok esetén alkalmazható összenyomható Ogden–Hill-féle Hyperfoam anyagmodell, amelyet az Abaqus végeselemes szoftverben [5] használt formalizmus alapján írtam fel. Ezt követően levezettem a feszültség megoldást egytengelyű nyomás esetére. A hiperelasztikus anyagmodell ismertetését követően összegeztem a viszkoelasztikus anyagi viselkedés megközelítését, a Prony-sorzatok alakjában felírható anyagmodellt, melyet először kis- majd véges alakváltozások esetén definiáltam. Az így nyert viszko-hiperelasztikus konstitutív egyenlet alkalmas az időfüggő anyagi viselkedést mutató memóriahabok leírására. A memória habok viselkedésének viszko-hiperelasztikus jellegét egytengelyű nyomómérések segítségével is vizsgáltam. A mérések során két tesztet végeztem el: nagy deformációsebességgel történő relaxációs mérést, valamint egy ciklikus tesztet, amely során a próbatest fokozatosan lett fel- és leterhelve. A mérési eredmények egyértelműen igazolták a memória hab alapanyag időfüggő mechanikai tulajdonságait. A mérések alapján a felírt anyagmodellben szereplő anyagparaméterek illesztésével is foglalkoztam. A szakirodalomban jelenleg nem érhető el az általam használt anyagmodell analitikus megoldása, így a görbeillesztést az időfüggetlen (hiperelasztikus) és az időfüggő (Prony-sorozatok) anyagmodellekre külön lehet elvégezni. Ez azonban jelentős hibát tartalmaz, így az illesztett anyagmodell pontatlan lesz. A görbeillesztés hibáját a zárt alakú, analitikus úton meghatározott feszültség megoldás alapján lehet elvégezni. Dolgozatomban levezettem a fenti Hyperfoam modellen alapuló viszko-hiperelasztikus anyagmodell megoldását egytengelyű „ramp” teszt esetére, így az anyagparaméterek egy lépésben illeszthetőek a mérési adatok alapján. Összegezve, a dolgozatomban ismertettem a memória habok mechanikai modellezését, felírtam az anyagi viselkedést leíró mechanikai modellt, valamint előállítottam a zártalakú megoldást, amely lehetővé teszi az anyagparaméterek pontos illesztését. 39

Összefoglalás Továbbfejlesztési lehetőségek A dolgozatom eredményei számos továbbfejlesztési lehetőséggel szolgálnak. A legfontosabb ezek közül a zárt-alakú paraméterillesztés algoritmusának javítása, amely gépidő igénye jelenleg nagyon nagy. A paraméterillesztés hatékonysága az eljárás párhuzamosításával, valamint a keresési feltételek és beállítások finomításával jelentős mértékben javítható. Ezen kívül lehetőségként felmerült egy külső optimalizáló szoftver alkalmazása is. Ezen felül célom, hogy a többi homogén terhelés (többtengelyű összenyomás, tiszta nyírás, egyszerű nyírás, térfogati összenyomás) esetén is meghatározzam analitikus úton a feszültség-válasz függvényt. Az anyagi paraméterek illesztésekor, így lehetőség nyílik arra, hogy több terhelésre egyszerre illesszük az anyagparamétereket. Hosszabb távú terveim között szerepel egy saját paraméterillesztő algoritmus kifejlesztése Mathematica-ban implementálva, illetve Fortan-kód segítségével. Emellett terveim között szerepel a kutatási eredményeim alkalmazása az ipari gyakorlatban. Ezt elsősorban a Furukawa Electric Technológiai Intézetnél végzett kutatási munka részeként szeretném megvalósítani. A téma tehát egy hosszútávú kutatási tevékenység kezdetét jelenti. A viszko-hiperelasztikus anyagmodellezés vizsgálata után a maradandó deformációkkal járó viszkohiper-elasztoplasztikus mechanikai viselkedés modellezésével szeretnék foglalkozni. Konzulensem, dr. Kossa Attila, témához kapcsolódó PhD-kiírására decemberben szeretnék jelentkezni, hogy a kutatást a Műszaki Mechanikai Tanszéken szervezett doktori képzés keretében tudjam folytatni februártól.

40

Függelék

41

A. függelék A Hyperfoam anyagmodell kapcsolata a Hooke-törvénnyel Az Ogden–Hill féle hiperelasztikus anyagmodell esetén az anyagparamétereket nem lehet szabadon megválasztani, bizonyos fizikai feltételeknek meg kell felelniük. Az egyik ilyen feltétel, hogy a nemlineáris anyagmodell kis alakváltozások esetén linearizált alakja a Hooke-törvényt kell, hogy visszaadja. A linearizálást az alakváltozásmentes állapot, tehát λi = 1, esetén kell elvégezni. Először vezessünk be egy módosított nyúlásmértéket [25], (A.1)

λ∗i = λi J −1/3 .

Ennek felhasználásával az erdetileg felírt W (λ1 , λ2 , λ3 ) fajlagos alakváltozási energiasűrűség függvény felírható, mint W (λ1 , λ2 , λ3 ) = W ∗ (λ∗1 , λ∗2 , λ∗3 , J),

(A.2)

amelyben λ∗3 kifejezhető λ∗1 és λ∗2 segítségével mint λ∗3 = (λ∗1 λ∗2 )−1 . Ez alapján az (A.2.) egyenletben felírt összefüggést egyszerűsítve az alakváltozási energiasűrűség függvényt ˆ ∗ (λ∗ , λ∗ , J) = W ∗ (λ∗ , λ∗ , (λ∗ λ∗ )−1 , J) W 1 2 1 2 1 2

(A.3)

ˆ ∗ függvény felhasználásával az anyagmodell alakban írhatjuk fel. Az így bevezetett W kezdeti moduluszai kifejezhetőek [25], mint K=

ˆ∗ ∂2W (1, 1, 1), ∂J 2

(A.4)

µ0 =

ˆ∗ ˆ∗ ˆ∗ ∂2W ∂2W ∂2W (1, 1, 1) = (1, 1, 1) = 2 (1, 1, 1), ∂λ∗2 ∂λ∗2 ∂λ∗1 ∂λ∗2 1 2

(A.5)

ahol K a kezdeti térfogati rugalmassági (bulk ) modulusz, µ0 pedig a kezdeti csúsztató rugalmassági modulusz. Felhasználva, az anyagmodell Abaqus-ban használt felírását (2.36. egyenlet) W =

 N X 2µi i=1

αi2

λα1 i

+

λα2 i

+

λα3 i


1 −αi βi −3+ J −1 , βi

(A.6) 42

A Hyperfoam anyagmodell kapcsolata a Hooke-törvénnyel ˆ ∗ függvényre az alábbi majd visszahelyettesítve az (A.1). egyenletbeli összefüggéseket, W adódik: ˆ W

∗

(λ∗1 , λ∗2 , J)

=

 N X 2µi αi2

i=1


αi λ∗1 J 1/3

+


αi λ∗2 J 1/3

+



J 1/3 λ∗1 λ∗2

αi


1 −αi βi −3+ J −1 . βi (A.7)

Megoldva a (A.4)-(A.5) egyenletekben felírt deriváltakat a kezdeti moduluszok µ0 =

N X

(A.8)

µi

i=1

K=

N X

2µi

i=1



1 βi 3



(A.9)

alakban írhatóak fel. Felhasználva a Hooke-törvény alapján a kezdeti moduluszokra vonatkozó µ0 > 0 és K > 0 feltételeket µ0 =

N X

µi > 0,

K=

i=1

N X i=1

2µi



1 + βi 3



>0

(A.10)

adódik, amelyből az Ogden–Hill-féle Hyperfoam hiperelasztikus anyagmodell paramétereire a N X i=1

µi > 0,

βi > −

1 3

(A.11)

feltételeket adhatjuk meg. Fontos megjegyezni, hogy a βi > −1/3 az elégségesnél jóbal szigorúbb feltétel, amely jelentősen szűkíti a paramétertartományt, azonban a szakirodalomban és az Abaqus-ban is ezt a felírást használják [5].

43

B. függelék A nemteljes gamma függvény A számításaink során használt felső nemteljes gamma függvény Γ(ν, x) leírását Spanier és Oldham: An atlas of functions [23] valamint a Wolfram Mathword dokumentációi [26], [24] alapján foglaltam össze.

B.1. A (teljes) gamma függvény A (teljes) gamma függvény Γ(n) a valós és komplex számokra kiterjesztett faktoriálisként lett definiálva, amely természetes számok esetén az alábbi módon fejezi ki a faktoriálist Γ(n) = (n − 1)!.

(B.1)

Általános esetben a (teljes) gamma függvényt az alábbi határozott integrálként definiálhatjuk Re(z) > 0 esetén Γ(z) =

Z

∞

tz−1 e−t dt,

(B.2)

0

amely egy alternatív felírás szerint Γ(z) =

Z

0

1

  z−1 1 dt. ln t

(B.3)

A teljes gamma függvény Γ(ν) tovább általánosítható az ún. nemteljes gamma függvények segítségével Γ(ν) = Γ(ν, x) + γ(ν, x),

(B.4)

ahol Γ(ν, x) az ún. felső nemteljes gamma függvény, míg γ(ν, x) az alsó nemteljes gamma függvény. A függvényekben szereplő változókat ν,-t nemteljes gamma függvények paraméterének, míg x-t argumentumának nevezzük. A nemteljes jelző utal arra, hogy a az integrálás nem a teljes x > 0 tartományon történik. A felső és alsó jelző mutatja, hogy az adott nemteljes gamma függvény esetén melyik résztartományon történik az integrálás. 44

A nemteljes gamma függvény

B.2. A felső nemteljes gamma függvény A felső nemteljes gamma függvény definíció szerint az alábbi integrál segítségével írható fel Z ∞ Γ(ν, x) = tν−1 e−t dt, (B.5) x

Re(ν) > 0 és x > 0 esetén. Ebből következik, hogy a (teljes) gamma függvény az alábbi módon fejezhető ki a felső nemteljes gamma függvény segítségével (B.6)

Γ(ν) = Γ(ν, 0).

Amennyiben az argumentum első változója természetes szám, a függvény exponenciális összegfüggvényre vezethető vissza Γ(n, x) = (n − 1)!e

−x

n−1 k X x k=0

k!

.

A függvény definíciója (B.5. egyenlet) kiterjeszthető Re(z) < 0 esetre is. Z ∞ −ν −t t e xν e−x Γ(ν, x) = dt. Γ(1 − ν) 0 t + x

(B.7)

(B.8)

B.3. Speciális esetek Néhány hasznos átalakítási formula segítségével speciális ν, x értékek esetén a felső nemteljes gamma függvény felírható, mint   √ √
1 Γ , x = πerfc x , (B.9) 2 ahol erfc(x) a komplementer Gauss-hibafüggvény, valamint   −Ei(−x) − iπ, ha x < 0 . Γ (0, x) = −Ei(−x), ha x > 0

(B.10)

ahol Ei(x) az ún. exponenciális integrál függvény. Ezen felül Γ (ν + 1, x) = νΓ (ν, x) + xν e−x .

(B.11)

45

Irodalomjegyzék [1] M. Ashby, H. Shercliff, and D. Cebon. Materials: Engineering, Science, Processing and Design. Butterworth-Heinemann, 2007. [2] G. Silber and C. Then. Preventive Biomechanics. Springer, 2013. [3] N. Mills. Polymer foam handbook: Engineering and Biomechanics Applications and Design Guide. Butterworth-Heinemann, 2006. [4] Wikipedia. Memory foam Megtekintve: 2015. 10. 21. [5] Dassault Systèmes. Abaqus, version 6.14-2. 2015. URL: www.3ds.com/products-services/simulia/products/abaqus/. [6] S. Lee and W.G. Knauss. A note on the determination of relaxation and creep data from ramp tests. Mechanics of Time-Dependent Materials, (4):1–7, 2000. [7] W.G. Knauss, I. Emri, and H. Lu. Handbook of Experimental Solid Mechanics: Mechanics of Polymers - Viscoelasticity. Springer, 2008. [8] S.M. Goh, M.N. Charalambides, and J.G.Williams. Determination of the constitutive constants of non-linear viscoelastic materials. Mechanics of Time-Dependent Materials, (8):255–268, 2004. [9] A. Kossa and Sz. Berezvai. Visco-hyperelastic characterization of polymeric foam materials. In 32nd International Danubia-Adria Symposium on Advances in Experimental Mechanics. Slovakia, 2015. [10] A. Kossa and Sz. Berezvai. Visco-hyperelastic characterization of polymeric foam materials. MaterialsToday: Proceedings, (Benyújtva), 2015. [11] I. Dorghi. Mechanics of Deformable Solids. Springer, 2000. [12] A. F. Bower. Applied mechanics of solids. CRC Press, 2010. [13] EA. de Souza Neto, D. Peric, and DRJ. Owen. Computational methods for plasticity: theory and application. John Wiley & Sons Ltd., 2008. [14] ANSYS Inc. Ansys mechanical, version 13.5, 2015 URL: www.ansys.com. [15] MSC Softwares. Marc, 2015 URL: www.mscsoftware.com/product/marc. 46

IRODALOMJEGYZÉK [16] R. W. Ogden. Large deformation isotropic elasticity: On the correlation of theory and experiment for compressible rubberlike solids. Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Mathematical and Physical Sciences, (328):567–583, 1972. [17] R. Hill. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Applied Mechanics, (18):1–78, 1978. [18] B. Storakers. On material representation and constitutive branching in finite compressible elasticity. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, (34):125–145, 1986. [19] S. P. C. Marques and G. J. Creus. Computational Viscoelasticity. Springer, 2012. [20] International Organization for Standardization (ISO) EN ISO 3386-1. Polymeric materials, cellular flexible - determination of stres-strain characteristic in compression - part 1: Low-density meaterials, 1986. [21] Wolfram. Mathematica, version 9.0 URL: www.wolfram.com/mathematica. [22] L.J. Zapas and J.C. Phillips. Simple shearing flows in polyisobutylene solutions. Journal of Research of the National Bureau of Standards, 75(1), 33-41 1971. [23] J. Spanier and K.B. Oldham. An atlas of functions. Springer, 1987. [24] Wolfram. Mathword: Incomplete gamma function URL: mathworld.wolfram.com/IncompleteGammaFunction.html. [25] R. W. Ogden. Elastic deformations of rubberlike solids. Mechanics of Solids. The Rodney Hill 60th Anniversary Volume, pages 499–537, 1982. [26] Wolfram. Mathword: Gamma function URL: mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html.

47