Az egymással érintkező felületek között fellépő, az érintkező testek egymáshoz viszonyított mozgását akadályozó hatást csúszási súrlódásnak nevezzük. A csúszási súrlódási erő nagysága a felületeket összenyomó erőtől és a felületek minőségétől függ: Fs ~ Fny , Fs = m × F . A csúszási súrlódási együttható jele m, a két érintkező felületre jellemző állandó, mértékegység nélküli mennyiség. A csúszási súrlódási erő iránya mindig olyan, hogy akadályozza az érintkező felületek egymáshoz képest történő mozgását. •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Megjegyzés: az egymással érintkező, egymáshoz képest mozgó testek között valójában egyetlen kényszererő lép fel. Ennek van egy felületre merőleges (nyomó) komponense és egy felülettel párhuzamos (súrlódási) komponense. Ezeket a komponenseket az egyszerűbb tárgyalhatóság miatt kezeljük különálló erőként. Tapadási súrlódás Miért kell az autók kerekén a gumit az időjárásnak megfelelően téli, illetve nyári gumira cserélni?
A különböző évszakokban változnak az útviszonyok. Télen a vizes, jeges úton sokkal könnyebben megcsúsznak az autók kerekei. A csúszó kerék nem forog, az autó irányíthatatlanná válik. Ahogy télen vastagabb, bordázott talpú cipőket vásárolunk, a téli gumikon is más alakúak a futófelületen a bordák. A téli gumik más összetételű keverékből is készülnek, mint a nyári gumik. A nyári gumik keményebbek, így kevésbé kopnak. A téli gumik puhábbak, hogy az alacsonyabb hőmérsékleten ne váljanak merevvé. A nyári gumik bordái főleg a víz kerék alóli elvezetését, kiszorítását szolgálják. A téli gumikon a bordák szerepe inkább az, hogy kinyíljanak, amikor az úttesthez érnek. A szétnyílt bordák, mint sok kis karom, kapaszkodnak az út felületébe, ezért alapvetően jobb tapadást eredményeznek (9.40. ábra).
A cipőt a rugós erőmérővel húzva azt tapasztalhatjuk, hogy csak bizonyos nagyságú húzóerő hatására mozdul el. Amikor pedig elindul, akkor egy kicsit „túllendül”. Az egyenletes húzáshoz kisebb erőhatásra van tehát szükség, mint az elindításhoz. Az érintkező felületek között nemcsak akkor lép fel mozgást akadályozó hatás, amikor a két felület már mozog egymáshoz képest, hanem akkor is, amikor még nyugalomban van. Az egymással érintkező felületek között fellépő, a testek egymáshoz képest történő elmozdulását akadályozó hatás
9.39. A gyufa fejében a kémiai folyamat a súrlódás hatására indul el
9.40. Nyári és téli gumi futófelülete
111
Erôtan
µ
µ0
Autógumi száraz aszfalton
0,6
0,7
Autógumi nedves aszfalton
0,3
0,4
Autógumi száraz betonon
0,4
0,5
Fa jégen
0,01
0,035
Fa vason
0,4
0,6
Fa olajozott vason
0,1
0,11
Vas jégen
0,014
0,028
Vas havon
0,04
0,1
Vas olajozott vason
0,01
0,11
a tapadási súrlódás*, jellemzője a tapadási súrlódási erő. A tapadási súrlódási erő mindig akkora nagyságú, hogy megakadályozza az elmozdulást. Egyre nagyobb húzóerő hatására egyre nagyobb akadályozó erő lép fel. A tapadási súrlódási erőnek van egy maximális értéke, amelynél nagyobb erőt nem tud ellensúlyozni. Ha a húzóerő meghaladja a tapadási erő maximumát, a két felület elmozdul egymáshoz képest. Rugós erőmérő vagy gumiszál segítségével megvizsgálhatjuk, hogy mely tényezőktől függ a tapadási súrlódási erő maximális nagysága. Azt tapasztalhatjuk, hogy a tapadási súrlódási erő maximuma annál nagyobb, minél nagyobb nyomóerő szorítja a cipőt a padlóra, illetve minél érdesebb vagy tapadósabb a két érintkező felület. A tapadási súrlódási erő nagysága egyenes arányban változik a nyomóerő függvényében: Ft max. Fny . Ezért hányadosuk állandó:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Érintkezô felületek
9.41. Csúszási és tapadási súrlódási együtthatók
Ft max. Fny
= állandó = m0 .
Ez az állandó a tapadási súrlódási együttható, amely mértékegység nélküli mennyiség. Jele: µ0. Értéke annál nagyobb, minél érdesebb a két érintkező felület. Ft max. = m0 × Fny .
9.42. Az egymásba hajtogatott könyvek
9.43. Próbáld ki, mekkora erővel lehet a két könyvet széthúzni!
9.44. A bogáncs felülete alapján tervezték az első tépőzárakat
112
A cipő húzásakor tapasztalhattuk, hogy a tapadási súrlódási erő maximuma nagyobb, mint a súrlódási erő: Ft max. > Fs . Ez azt jelenti, hogy adott testek, felületek esetén a tapadási súrlódási együttható nagyobb, mint a csúszási súrlódási együttható: m0 > m (9.41. ábra). Két könyvet laponként fűzzünk egymásba a 9.42. ábrán látható módon! Ha megpróbáljuk a két könyvet kihúzni egymásból, azt tapasztalhatjuk, hogy szinte lehetetlen ezt megtenni. A könyvek sok-sok lapja között fellépő tapadási súrlódási erő olyan nagy, hogy még több diák együtt sem tudja a két könyvet széthúzni (9.43. ábra). A tapadási súrlódási erő miatt tudunk járni és tudnak a járművek mozogni. Ha nem tapad az autó kereke, hanem csúszik, akkor nem tud elindulni, illetve nem lehet kormányozni. Ezért ma már szinte minden új autóba beépítenek számítógép által vezérelt blokkolásgátlót (ABS) és menetstabilizátort. A tapadási súrlódási erőt szükség esetén megnövelhetjük. Télen a jeges útra azért szórunk homokot, hogy jobban tapadjon a kerék. A teherautók rakodóterének felületét rendszeresen portalanítják, zsírtalanítják, hogy a szállított rakomány jobban tapadjon a felülethez és fékezéskor lehetőleg ne csússzon meg. A téli cipők talpa azért érdesebb a nyári cipők talpánál, hogy a nagyobb tapadási súrlódási együttható miatt biztonságosabban tudjunk bennük járni. A természetben a bogáncs felülete azért tartalmaz sok apró kampót, hogy könnyedén beleakadjon az állatok szőrébe, és így nagy távolságokban szétterjedhessen (9.44. ábra). A tépőzár feltalálója, egy svájci mérnök is egy bogáncs felületéből merítette a tépőzár ötletét.
Az egymással érintkező felületek között fellépő, a testek egymáshoz képest történő elmozdulását megakadályozó hatás a tapadási súrlódás, jellemzője a tapadási súrlódási erő. A tapadási súrlódási erő mindig akkora nagyságú, hogy megakadályozza az elmozdulást. A tapadási súrlódási erő maximuma a felületeket összenyomó erőtől és a felületek minőségétől függ: Ft max. ~ Fny , Ft max. = m0 × Fny . A tapadási súrlódási együttható jele µ0 , a két érintkező felületre jellemző állandó, mértékegység nélküli mennyiség. A tapadási súrlódási erő iránya mindig olyan, hogy akadályozza az érintkező felületek egymáshoz képest történő elmozdulását. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Gördülési ellenállás
Tegyünk a cipő alá fogpiszkálókat vagy hengeres ceruzákat (görgőket) a 9.46. ábrán látható módon! A rugós erőmérő egyenletes húzásnál sokkal kisebb erőt jelez, mint görgők nélkül. A fényképen jól látható, hogy a gördüléskor fellépő súrlódási erő, a gördülési súrlódási erő ugyanazon a felületen jóval kisebb, mint a csúszási súrlódási erő. Kísérletekkel bizonyítható, hogy a gördülési súrlódási erő a két felületet összenyomó erő nagyságától, illetve a két érintkező felület minőségétől függ. Fgörd. = mg × Fny , ahol mg a gördülési súrlódási együttható, mely mindig kisebb, mint a csúszási súrlódási együttható. Ugyanazon a felületen a gördülési súrlódási együttható nagysága körülbelül az ötvenedrésze a csúszási súrlódási együttható nagyságának. Ez azt jelenti, hogy ötvenszer könnyebb egy tárgyat elgörgetni, mint elcsúsztatni! Ezért okozott a kerék feltalálása gyökeres változást a civilizációban: forradalmasította a közlekedést, az emberek és a tárgyak mozgatását. A kerék egyik alkalmazása a mindennapokban a golyóscsapágy (9.47. ábra), melynek alapgondolata Leonardo da Vinci jegyzeteiben található meg először a történelem folyamán. Azóta az alapötletet továbbfejlesztették és az élet számos területén alkalmazzák a görkorcsolyáktól az épületek földrengésbiztossá tételéig.
9.48. A görgők megkönnyítik a nehéz testek mozgatását!
9.45. Kőkereket tartó ősember
9.46. A fogpiszkálók gördülési ellenállása jóval kisebb, mint a csúszási súrlódási erő
9.47. A golyóscsapágy belsejében egy kis sínen kis golyók kapcsolják össze a külső és belső gyűrűt
A gördüléskor fellépő súrlódási erő, a gördülési súrlódási erő a két felületet összenyomó erő nagyságától, illetve a két érintkező felület minőségétől függ: Fgörd. = mg × Fny , ahol mg a gördülési súrlódási együttható, mely mindig jelentősen kisebb, mint a csúszási súrlódási együttható.
113
Erôtan
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Közegellenállás* Egyforma magasságból elejtett labda és papírlap közül a labda ér le hamarabb az asztalra (9.49. ábra). A nehézségi erő a labdára és a papírlapra is ugyanakkora hatást fejt ki. Azonban a papírlapra ható közegellenállási erő jóval nagyobb, mint a labdára ható, ezért a labda nagyobb gyorsulással mozog, így hamarabb teszi meg ugyanazt a távolságot. A papírlapot a labda méretére összegyűrve azt tapasztaljuk, hogy mindkét test egyszerre ér az asztalra.
9.49. Egyforma magasságból elejtett papírlap és labda közül a labda ér rövidebb idő alatt az asztalra. A papírlapot a labda méretére összegyűrve, mindkét test egyszerre ér az asztalra
9.50. Az ábrán látható testek közül a szögletes lapra hat a legnagyobb, az áramvonalas, csepp formájú testekre a legkisebb közegellenállási erő. Ezért csepp keresztmetszetű a repülőgépek szárnya
114
A környezet (pl. a víz, a levegő) olyan erőhatást fejt ki a hozzá képest mozgó testre, amely csökkenteni igyekszik a test és a közeg egymáshoz viszonyított sebességét. Ezt az akadályozó hatást közegellenállásnak nevezzük és a közegellenállási erővel jellemezzük. Egy hajszárító segítségével vizsgáljuk meg, hogy milyen tényezőktől függ a közegellenállási erő nagysága! Használhatjuk a kezünket erőmérőként, de rugós erőmérővel könnyebb megsejteni a közegellenállási erőt befolyásoló tényezőket. Kapcsoljuk be a hajszárítót és tegyünk a hajszárító útjába egy papírlapot! A kifújt levegő magával sodorná a papírt, ha nem tartanánk ellent a kezünkkel. Gyűrjük össze a papírt, és tegyük ismét a légáramba! Azt tapasztaljuk, hogy amikor nagyobb volt a papír felülete, nehezebb volt a papírlapot a légáramban tartani. Pontosabb vizsgálatok alapján megállapítható, hogy a közegellenállási erő nagysága függ a test homlokfelületétől (vagyis a test mozgásra merőleges legnagyobb keresztmetszetének nagyságától): Fköz. A. A közegellenállási erő nagysága függ a mozgó test alakjától is (9.50. ábra). A közegellenállási erőnek a test alakjától való függését az alak-tényezővel jellemezzük, mely egy mértékegység nélküli viszonyszám, jele c vagy k. Ekkor: Fköz. c. Állítsuk nagyobb fokozatra a hajszárítót, amivel a két közeg egymáshoz viszonyított, vagyis relatív sebességét növeljük meg. Minél nagyobb a relatív sebesség, annál nehezebb a légáramban tartani a papírt,
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
vagyis annál nagyobb a közegellenállási erő. Pontos mérések alapján a legtöbb egyszerű esetben a közegellenállási erő a sebesség négyzetével arányosan változik, vagyis kétszer akkora sebességnél négyszer akkorára nő: Fköz. v 2 . A közegellenállási erő ezenkívül még a közeg sűrűségétől is függ. Minél sűrűbb a közeg, annál jobban akadályozza a benne elmozduló testek mozgását: Fköz. r.
Mérések és tapasztalatok alapján tehát a közegellenállási erő nagysá1 ga a következő összefüggéssel számolható: Fköz. = c × A × r × v 2 . A közeg2 ellenállási erő kifejezhető a test és a közeg jellemzőitől függő közegellenállási tényező és a sebesség négyzetének a szorzatával is: Fköz. = C × v 2. A közegellenállási erő szándékos csökkentése miatt egyre áramvonalasabb autók, repülőgépek, vonatok jelennek meg a közlekedésben. A versenyúszók ruháit is nagyon gondosan megtervezik, hogy a lehető legkisebb legyen a rájuk ható közegellenállás. Van olyan úszódressz, mely a cápa bőrének tanulmányozása alapján készül. A cápa bőre mikroszkopikus nagyságú, a közegellenállást csökkentő fogazatot rejt, mely könnyebbé és gyorsabbá teszi a ragadozó mozgását a vízben. A torpedók speciális bevonatát pedig a delfinek bőrének alaposabb vizsgálatával fejlesztették a tudósok tovább. A mindennapokban a közegellenállási erő szándékos növelésére is találhatunk példát. Az ejtőernyősök a közegellenállási erő nagyságát növelik meg a hatalmas felületű ejtőernyővel (9.53. ábra). A közegellenállási erő segítheti is a mozgást. Például a vitorláshajókon a vitorlába fújó szél mozgatja a hajót előre (9.54. ábra).
9.54. A vitorlába fújó szél mozgatja a hajót előre a vízen
9.51. A versenykerékpárosok bukósisakja különleges, csepp formájú
9.52.
A
kínai
mágnesvasút
km sebességgel száguld pá430 h
lyájának egy részén
F
t 9.53. A grafikon alapján vizsgáld meg a zuhanó ejtőernyős sebességének változását!
Környezetünk (pl. a víz, a levegő) olyan erőhatást fejt ki a hozzá képest mozgó testekre, mely csökkenteni igyekszik a test és a közeg egymáshoz viszonyított sebességét. Ezt az akadályozó hatást közegellenállásnak nevezzük és a közegellenállási erővel jellemezzük. Tapasztalatok alapján a közegellenállási erő nagysága függ a közeg sűrűségétől, a test alakjától és homlokfelületétől, valamint a közeg és a test egymáshoz viszonyított sebességétől.
115
Erôtan
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
1. Mekkora súrlódási erő hat Mártira korcsolyázás közben, amikor állandó sebességgel siklik a jégen (9.55. ábra)? Márti súlya 500 N, a korcsolya éle és a jég közötti csúszási súrlódási együttható értéke 0,01. Megoldás: Adatok: m = 0, 01, Fny = 500 N.
9.55. Márti korcsolyázik
Fs = ? Fs = m × Fny = 0, 01× 500 N = 5 N.
Mártira 6 N nagyságú súrlódási erő hat. 2. Az 50 N súlyú szánkót vízszintes irányban 20 N nagyságú erővel m mozgatjuk állandó 1 2 nagyságú gyorsulással. Mekkora a talaj és s a szánkó talpa közötti csúszási súrlódási együttható?
Megoldás: Adatok: m a =1 2 , s Fsúly = 50 N,
Fny Fh
Fs Fneh.
9.56. A vízszintesen húzott testre ható erők
Fh = 20 N. m=? Fneh. = m × g , amiből m =
Fneh. = 5 kg. g
Rajzoljuk be a testre ható erőket (9.56. ábra)! A szánkóra függőleges irányban a nehézségi erő és a vele ellentétes irányú tartóerő hat. Ez a két erő kiegyenlíti egymást, mert függőleges irányban a test nem mozog. Fny - Fneh. = 0 , amiből Fny = Fneh. .
A szánkóra vízszintes irányban a húzóerő és a vele ellentétes irányú súrlódási erő hat. A dinamika alapegyenlete szerint: å F = m × a, Fh - Fs = m × a.
Mivel m =
116
Fneh = 5 kg, ezért g
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
m = 15 N. s2 F 15 N Fs = m × Fny , amiből m = s = = 0, 3. Fny 50 N Fs = Fh - m × a = 20 N - 5 kg ×1
A talaj és a szánkó közötti csúszási súrlódási együttható 0,3. (Ez a nagy súrlódási együttható azt is jelenti, hogy nem igazán jó a pálya!)
3. Az osztályteremben álló, 60 kg tömegű szekrényt szeretné az osztály elmozdítani (9.57. ábra). A szekrény és a padló közötti tapadási súrlódási együttható 0,6, a csúszási súrlódási együttható pedig 0,4. Mekkora lesz a szekrény gyorsulása, ha Marci egyedül próbálja meg eltolni? Marci átlagosan 200 N nagyságú erőt tud kifejteni a szekrényre. Mekkora lesz a szekrény gyorsulása, ha Levente is besegít, aki szintén átlagosan 200 N nagyságú erőt fejt ki? Megoldás: Adatok: m = 0, 4, m0 = 0, 6, m = 60 kg, Ftoló = 200 N. a=?
Rajzoljuk be a szekrényre ható erőket (9.58. ábra)! Függőleges irányban a szekrény nem gyorsul, vagyis a nehézségi erő és a nyomóerő kiegyenlíti egymást. m Fny = Fneh. = m × g = 60 kg ×10 2 = 600 N. s Vízszintes irányban a tolóerőt a súrlódási erő ellensúlyozza. Határozzuk meg a tapadási erő maximumát! Ha a tolóerő kisebb ennél az értéknél, akkor a szekrény nem mozdul el, ha pedig nagyobb, akkor a szekrény elindul és a talajon csúszik. Ft.max. = m0 × Fny = 0, 6 × 600 N = 360 N. ivel Marci csak 200 N erővel nyomja a szekrényt, a tapadási erő M képes ellensúlyozni ezt a hatást. A szekrény tehát nem mozdul el, így gyorsulása 0. Második esetben a két fiú együtt 400 N nagyságú erőt fejt ki, melyet a tapadási erő már nem tud ellensúlyozni. Ezért a szekrény elmozdul és csúszik a padlón. Mozgásában a csúszási súrlódási erő akadályozza. A dinamika alapegyenletét vízszintes irányú mozgásra felírva: 2Ftoló - Fs = m × a. a=
2 Ftoló - Fs 400 N - 240 N 160 N m = = = 2, 67 2 . 60 kg 60 kg m s
9.57. Hány diák tudja megmozdítani a szekrényt?
Fny Ftoló
Fneh.
Ft
9.58. A szekrényre ható erők
117
Erôtan
Fx Fy 30° Fneh.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
4. Egy 5 kg tömegű dobozt egy 30° hajlásszögű lejtőre helyezünk. a) Mekkora gyorsulással csúszik le a lejtőn, ha a súrlódástól eltekintünk? b) Legalább mekkora legyen a tapadási súrlódási együttható, hogy a doboz ne induljon meg a lejtőn?
Fny
9.59. A dobozra csak a nehézségi és a nyomóerő hat
Fy mgcosa
Fx mgsina
a
Fneh. 9.60. Bontsuk fel a nehézségi erőt
a) A doboz a nehézségi erő hatására kezd el mozogni. Rajzoljuk be a dobozra ható erőket (9.59. ábra)! A nehézségi erőt bontsuk fel egy lejtővel párhuzamos Fx és egy lejtőre merőleges Fy összetevőre (9.60. ábra)! Írjuk fel a dinamika alapegyenletét a lejtővel párhuzamos és arra merőleges irányokra! A doboz a lejtőre merőleges irányban nem gyorsul. A lejtő által kifejtett kényszererő ellensúlyozza a nehézségi erőt: Fny - Fy = 0 , amiből Fny = Fy = mg cos 30° . A doboz a lejtővel párhuzamosan a nehézségi erő hatására gyorsuló mozgást fog végezni. Fx = m × a . mg sin 30° = m × a . m 1 m a = g sin 30° = 10 2 × = 5 2 . s 2 s
b) A doboz akkor nem csúszik meg a lejtőn, ha a tapadási súrlódási erő ellensúlyozza a nehézségi erő hatását. Rajzoljuk be a dobozra ható erőket (9.61. ábra)! Írjuk fel a dinamika alapegyenletét a lejtővel párhuzamos és arra merőleges irányokra! A doboz a lejtőre merőleges és párhuzamos irányban sem mozog. y irányban: Fny - Fy = 0 , amiből Fny = Fy = mg cos 30° .
Fny
x irányban: Fx - Ft.max. = 0, amiből Fx = Ft.max. . Mivel Ft.max. = m0 Fny = m0 mg cos 30°, a dinamika alapegyenletét fel-
Ft Fx Fy 30° Fneh.
9.61. A dobozra már három erő hat (Fneh., Fny, Ft)
118
Megoldás: Adatok: m = 5 kg, a = 30o.
használva: mg sin 30° = m0 mg cos 30° , amiből m0 =
3 sin 30° = tg 30° = » 0, 58. 3 cos 30°
Általánosítsuk a feladatot! 30o hajlásszögű lejtő helyett α szögű lejtő esetében keressük a tapadási súrlódási erő minimális értékét ahhoz, hogy a lejtőre helyezett doboz ne csússzon meg. Az előbbi gondolatmenetet felhasználva: mg sin a = m0 mg cos a , amiből m0 = tg a.
3 . 2 F mg Fx = neh. = . 2 2 Fy = mg
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Megjegyzés: a feladatot a szögfüggvények ismerete nélkül is megoldhatjuk. Egészítsük ki az ábrát szabályos háromszöggé (9.62. ábra). Tud3 -szerese, a juk, hogy a szabályos háromszög magassága az oldal 2 belső szögek szögfelezői pedig felezik a szemközti oldalakat.
5. E gy 40 kg tömegű zsákra kötelet kötünk és egy deszkán mint lejtőn óvatosan leengedjük a pincébe. A deszka a talajjal 30o-os szöget zár be. Mekkora erővel tartsuk a kötelet ahhoz, hogy a zsák egyenletesen csús�szon, ha a lejtő és a zsák között a csúszási súrlódási együttható 0,2? Megoldás: Adatok: m = 40 kg, a = 30o, m = 0,2.
Rajzoljuk be a zsákra ható erőket (9.63. ábra)! A zsákra a nehézségi erő (Fneh.), a lejtő által kifejtett kényszererő (Fny), a súrlódási erő (Fs ) és a tartóerő (Ft ) hat. Bontsuk fel a nehézségi erőt a lejtővel párhuzamos és arra merőleges összetevőkre! Írjuk fel a dinamika alapegyenletét x és y irányú komponensekre! A zsák egyenletesen mozog, tehát nincsen gyorsulása. Az előző feladat alapján: y irányban: Fny - Fy = 0, amiből Fny = Fy = mg cos 30°. x irányban: Fx - Fs - Ft = 0, amiből Ft = Fx - Fs . Mivel Fs = m Fny = mmg cos 30°, Ft = Fx - Fs = mg sin 30°- mmg cos 30°. Az adatokat behelyettesítve: m1 m 3 Ft = 40 kg ×10 2 - 0, 2 × 40 kg ×10 2 × » 130, 7 N. s 2 s 2
1. Hogyan működik a kerékpár fékrendszere? 2. A hétköznapi életben mikor hasznos és mikor káros a súrlódás? 3. Hogyan növelhető, illetve csökkenthető a súrlódás? 4. Milyen hasznos és káros hatásai vannak a közegellenállásnak? 5. Hogyan növelhető, illetve csökkenthető a közegellenállás? 6. Miért nem lehet zsíros táblára krétával írni? 7. Miért esünk el, ha banánhéjra lépünk?
szabályos háromszög
Fx 30°
Fy
Fneh.
Fx
9.62. A nehézségi erő felbontása szögfüggvények nélkül
Fny Ft Fs
Fx
Fy 30° Fneh.
9.63. A zsákra négy erő hat (Fneh., Fny, Ft, Fs)
119
Erôtan
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
9.64. Oly jól csúszik ez a banánhéj …
9.65. Mérjük a lejtőn mozgó testre ható erőket!
120
1. A tapadási súrlódási együttható az autó kerekei és az úttest között száraz időben 0,6. Mi az a maximális gyorsulás, amellyel az autó el tud indulni? 2. Mekkora a csúszási súrlódási együttható, ha az adott felületen egy 250 kg tömegű ládát 500 N nagyságú erővel lehet vízszintes talajon egyenletesen tolni? km 3. Egy 1700 kg tömegű autó 72 sebességgel halad. A forgalom h miatt hirtelen fékez, és megcsúsznak a kerekei. Mekkora a fékútja, vagyis az a távolság, amelyet a fékezéstől a megállásig megtesz, ha a csúszási súrlódási együttható 0,5? 4. Két ejtőernyős, egy apa és a fia teljesen egyforma ernyővel egyszerre indulva ugranak. Melyikük ér hamarabb földet, ha az apa tömege 80 kg, a fiú tömege 50 kg? 5. Egy kikötői rakodómunkás megfigyelte, hogy egy 20 kg tömegű dobozt, mely a hajó vízszintes padlóján nyugalomban van, 75 N nagyságú vízszintes irányú erővel tud megmozdítani. Miután a láda mozog, már csak 60 N nagyságú erő szükséges a mozgásban tartásához. Mekkora a padló és a láda közötti tapadási és csúszási súrlódási együttható? 6. Egy 5 kg tömegű táska csúszik a padlón, miközben a súrlódási erő lassítja mozgását. A táska és a padló között a csúszási súrlódási együttható 0,1. Határozd meg a nehézségi erőt, a nyomóerőt, a súrlódási erőt, az eredő erőt és a gyorsulást! km 7. Egy 4 tonnás, 72 sebességgel haladó teherautó csúszásmentes h fékezéskor 50 m hosszú út megtétele után áll meg. Mekkora a tapadási súrlódási együttható a felület és a kerekek között? m 8. Egy 60 kg tömegű robogó 4 s alatt 10 sebességet ér el. Mekkora s a húzóerő, ha a súrlódási erő 40 N? 9. Mekkora sebességgel halad az az autó, melynek homlokfelülete 1,4 m2, közegellenállási tényezője c = 0,4, a rá ható közegellenálkg lási erő pedig 70 N? A levegő sűrűsége 1,29 3 . m 10. 30°-os lejtőn egy 20 kg tömegű ládát húzunk felfelé egyenletesen a lejtő síkjával párhuzamos erővel. Mekkora ez az erő, ha a láda és a lejtő között 0,2 a súrlódási együttható? 11. Egy 30°-os hajlásszögű lejtőn 1 s alatt csúszik le egy test, ha nincsen súrlódás. Mennyi idő alatt csúszik le akkor, ha a csúszási súrlódási együttható 0,4?
9.5. Általános vonzódás Newton gravitációs erőtörvénye (Kiegészítő anyag) •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Egy anekdota szerint Newton a kertjében gondolkodott azon, hogy vajon mi tartja a Holdat a Föld körüli pályáján, amikor egy alma leesett a fáról (9.66. ábra). Newton az alma esését látva ekkor döbbent rá, hogy ugyanaz a hatás vonzza az almát a Föld felé, ami miatt a Hold a Föld körüli pályáján kering. Ez a kijelentés ma nagyon egyszerűen hangzik, de akkoriban nem volt még ilyen egyértelmű, hogy a Földtől olyan távol is érződik a Föld gravitációs mezeje. Newton akkor még nem tudta számításokkal igazolni az általa megsejtett gravitációs erőtörvényt. A Föld sugarát és a Hold Földtől való távolságát akkor még nem tudták pontosan, ezért nem egyezett a számítás az elmélettel. Húsz évvel később Newton a Londoni Tudományos Társaság egyik ülésén előadást hallott arról, hogy egy francia földmérő, Picard pontosabban mérte meg a Föld sugarát. Ezzel az új adattal már sikerült igazolnia az égitestek közötti tömegvonzást.
Minden tömeggel rendelkező testnek van gravitációs mezeje, így bármely két test között fellép a gravitációs kölcsönhatás. Pontszerűnek tekinthető testek esetén a gravitációs erő nagysága egyenesen arányos a testek tömegével és fordítottan arányos a közöttük levő távolság négyzetével. m ×m Fg = f × 1 2 2 . r
Ez az összefüggés a Newton-féle gravitációs erőtörvény, ahol f a gravitációs állandó, m1 és m2 a két test tömege, r pedig a közöttük levő távolság. A gravitációs állandó értéke: N × m2 f = 6, 67 ×10-11 . kg 2 MF mH r
9.66. Newton és az alma
9.67. Földfelkelte a Holdon
9.68. Mekkora a gravitációs vonzóerő a Föld és a Hold között? (A Föld tömege 6 ⋅1024 kg , a Hold tömege 7, 5 ⋅1022 kg , távolságuk 384 000 km.)
Ha bármely két test között gravitációs vonzás van, akkor miért nem érzem, hogy a testvérem és közöttem létezik ez a vonzás?
9.69. Egyesek olykor erős vonzást éreznek, de ez nem a gravitáció
121
Erôtan
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
F
1 F 2 1 F 4
r
2r
Számoljuk ki, hogy mekkora erővel jellemezhetjük a közöttetek fellépő erő nagyságát, ha 1 méter távolságban álltok egymástól! Körülbelül 40 kg és 60 kg a tömegetek. Ezért a gravitációs erőre vonatkozó összefüggést használva azt N × m 2 40 kg × 60 kg kapjuk, hogy Fg = 6, 7 ×10-11 = 1, 6 ×10-7 N = × 2 kg 2 (1 m) = 0, 000 000 16 N. Ez egy 0,016 mg tömegű test súlya a Földön. Egy mákszem átlagos tömege 10-6 kg, vagyis 1 mg. A közöttetek fellépő gravitációs erő nagysága tehát a mákszem súlyának hatvanad része! Ez egy nagyon kicsi érték, ezért nem érezhető a mindennapjainkban.
9.70. A gravitációs erő nagysága a távolság négyzetével fordított arányban csökken. A Föld középpontjától 2 r távolságban (r a Föld sugara) a Föld felszínén tapasztalható gravitációs erő nagysága a negyedére csökken. Mekkora a gravitációs erő a Föld középpontjától 4 r távolságban?
4r h
Bármely két test között gravitációs kölcsönhatást tapasztalhatunk. A két pontszerű test között ható gravitációs erő nagysága egyenesen arányos a testek tömegével és fordítottan arányos a közöttük levő távolság négyzetével. Ez az összefüggés a Newton-féle gravitációs erőtörvény (más néven az általános tömegvonzás erőtörvénye), ahol f a gram ×m vitációs állandó, m1 és m2 a két test tömege, r pedig a közöttük levő távolság. Fg = f × 1 2 2 . r N × m2 A gravitációs állandó értéke: f = 6, 67 × 10-11 . kg 2 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Ne csak nézd! Számold ki, hogy a padtársad és közted jelenleg mekkora a gravitációs vonzás!
9.71. Egy 40 kg és egy 60 kg tömegű diák közötti vonzóerő nagysága egy mákszem súlyának hatvanad része
122
1. Számoljuk ki a Föld tömegét a nehézségi gyorsulás felhasználásával, ha a Föld átlagos sugara 6370 km!
Megoldás: A Földön a testekre ható nehézségi gyorsulás nagysága körülbelül m 9,81 2 . A Földön bármely testre hat a nehézségi erő, amelynek nagys sága egyenesen arányos a test tömegével: Fneh. = mtest × g . A Newton-féle gravitációs törvény általánosságban bármely két test közötti gravitációs erő nagyságának kiszámolására alkalmas. A Föld és az adott test között m ×M fellépő gravitációs vonzás tehát Fg = f × test 2 Föld , ahol r a Föld sur garának és az adott test földfelszín feletti magasságának összege. Mivel azonban a Föld sugara jóval nagyobb, mint a testek Föld feletti magassága, elegendő csak a Föld sugarával számolni.
