MICROCURSUS KUNST EN WETENSCHAP
KRACHTEN SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN
door
HET WETENSCHAPSFORUM
Geschreven ter gedeeltelijke verrijking van de FYSICA 2007
KRACHTEN SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN HET WETENSCHAPSFORUM
ABSTRACT Op verschillende plaatsen op het wetenschapsforum kom je zogenaamde microcursussen of minicursussen tegen. Een dergelijke cursus is een naslagwerk dat over een bepaald onderwerp uitleg geeft. Het doel is: • ‘Domme’ vragen die al vele malen gesteld zijn over het onderwerp uit te leggen. • Mensen die wat willen weten over het onderwerp snel vooruit te helpen. • Vraagstellingen omtrent het onderwerp behandelen. • Een diepere theoretische achtergrond te bieden die mensen aan het denken zet. Een microcursus, zoals deze, gaat uit van zo weinig mogelijk voorkennis. Ze zijn bedoeld voor leerlingen die nog moeite hebben met de onderwerpen die behandeld worden. Er wordt een praktijkgerichte aanpak gehanteerd met veel nadruk op voorbeelden en het toepassen in oefeningen, terwijl de theorie minder uitgediept wordt. Leerlingen die de behandelde stof reeds begrijpen en hierin al gevorderd zijn, zullen in deze cursussen weinig nieuws leren, maar misschien wel stukken uit een ander oogpunt leren zien. Mensen die in het huiswerkforum helpen kunnen mogelijk naar de microcursussen verwijzen voor wat achtergrond bij hun uitleg.
2
Inhoudsopgave
1 Afspraken: we kunnen niet zonder
5
1.1
Grootheden en eenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Krachten hebben een grootte, richting en zin . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Krachten tekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Aangrijpingspunt van een kracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Krachten die in ´ e´ en lijn op een voorwerp werken
9
2.1
Resulterende kracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Grafisch oplossen: ´e´en-voor-´e´en-methode . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Berekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3 Meerdere krachten die in ´ e´ en vlak op een voorwerp werken
15
3.1
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2
Grafisch oplossen: ´e´en-voor-´e´en-methode . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3
Grafisch oplossen: parallellogram-methode . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.4
Grafisch oplossen; ´e´en-voor-´e´en-methode voor meer dan twee krachten
18
3.5
Grafisch oplossen; parallellogram-methode voor meer dan 2 krachten .
19
3.6
Berekenen van krachten onder een rechte hoek: Pythagoras . . . . . .
20
3.7
Berekenen van krachten onder andere hoeken: goniometrie . . . . . .
22
3
4 Ontbinden van een kracht
26
4.1
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2
Grafisch oplossen met bekende richtingen . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.3
Berekenen met bekende richtingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.4
Grafisch oplossen met bekende groottes . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.5
Berekenen met bekende groottes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4
Hoofdstuk 1 Afspraken: we kunnen niet zonder
1.1
Grootheden en eenheden
Voor de grootheid “kracht” wordt het symbool “F”1 gebruikt. De eenheid van kracht is de newton2 met als SI-symbool “N”. Verder is het soms handig als je weet wat cosinus, sinus en tangens van een hoek zijn, en hoe je die uitrekent. Ook zonder kennis van dergelijke wiskundige functies kom je in deze microcursus al ver.
1.2
Krachten hebben een grootte, richting en zin
Een kracht is een invloed op een voorwerp, die aan dat voorwerp een versnelling geeft. Een versnelling van een voorwerp betekent dat de snelheid van een voorwerp verandert, m.a.w. het voorwerp versnelt of vertraagt. Logischerwijs noemen we een vertraging, of het afremmen, dus een negatieve versnelling.
1 2
Van het Engelse “Force” Voluit en in kleine letters geschreven, genoemd naar Isaac Newton
5
Een grotere kracht heeft een grotere versnelling tot gevolg, en een grotere negatieve kracht heeft dus een grotere vertraging tot gevolg. Bijgevolg kunnen we ons een racewagen en een “kever” voorstellen; twee auto’s, waarvan ´e´en duidelijk een grotere kracht kan uitoefenen. Deze grotere kracht resulteert in een grotere versnelling; hieruit kunnen we dus afleiden dat een kracht gekenmerkt wordt door haar grootte. Om ons de volgende kenmerken van een kracht voor te stellen, denken we aan twee groepen jongeren die tegen elkaar “touwtrekken”. We zien duidelijk dat het touw horizontaal gespannen hangt, de kracht van de andere groep jongeren oefent geen verticale of diagonale kracht uit, maar een horizontale kracht: dit noemen we de richting van een kracht. Toch heeft een kracht ook nog een derde kenmerk. De vlugge lezer zal al opgemerkt hebben dat wanneer twee groepen touwtrekken, ze beide met eenzelfde horizontale richting trekken, maar toch oefenen beide groepen een kracht uit met tegengestelde zin. De beste manier om een zin te omschrijven, is door ons een toeschouwer voor te stellen die naar het gebeuren kijkt. Voor de toeschouwer trekt de ene groep jongeren naar links, de andere groep naar rechts.
Bijgevolg kunnen we samenvatten dat een kracht gekenmerkt wordt door: • De grootte • De richting • De zin
6
1.3
Krachten tekenen
Je wilt voorspellen hoe snel een voorwerp gaat bewegen, en welke kant op, als er een kracht op werkt. Van een kracht moet je dus zowel de grootte, de richting als de zin kennen. Een pijl voldoet aan deze drie eigenschappen: • De grootte wordt weergegeven door de lengte; • De richting wordt weergegeven door de pijlrechte; • De zin wordt weergegeven door de pijlpunt. Deze kan twee zinnen aanduiden. Als we dit begrijpen kunnen we pijlen gebruiken om krachten weer te geven. We noemen een dergelijke pijl met een moeilijk woord een vector. Vergelijk maar even de vectoren in de volgende afbeelding:
6
~F1
6
~F2
Voorbeeld 1
@ I @
~F2
@ ~F1 @ @
~F2 - ~F
1
Voorbeeld 2
Voorbeeld 3
In elk van deze voorbeelden zien we twee krachten, ~F1 en ~F2 , uitgebeeld door vectoren. We defini¨eren dat kracht een vectorgrootheid is. Om aan te geven dat het om een dergelijke vectorgrootheid gaat, zetten we een pijl (vector) boven de grootheid, in dit geval F, en bekomen we ~F. Om nu terug te komen op de drie kenmerken van een kracht, verduidelijken we even de drie voorbeelden. In het eerste voorbeeld zien we twee krachten met een verschillende grootte, maar met een gelijke richting en zin. In het tweede voorbeeld 7
zien we twee krachten met gelijke grootte, maar met een verschillende richting en dus ook zin. In het derde voorbeeld zien we ook twee krachten, maar deze keer hebben ze een gelijke groote en richting, maar een tegengestelde zin.
1.4
Aangrijpingspunt van een kracht
Een kracht zal tegen een voorwerp duwen, of er aan trekken. Per definitie noemen we het exacte punt waar de kracht werkelijk op het voorwerp inwerkt het aangrijpingspunt.
~Fvinger = 1.5N -
@
We stellen ons de volgende situatie voor: een persoon drukt een deurbel in, waarbij zijn vinger een kracht uitoefent van 1.5N op het aangrijpingspunt van de deurbel. Op dat aangrijpingspunt tekenen we de voet van de vector. Hierboven is dat het middelpunt van het oppervlak van de belknop. Zoals je ziet op de afbeelding geven we vaak nog met kleine letters aan wat de oorzaak van een grootheid is, in dit geval wordt de kracht F uitgeoefend door de vinger uitgedrukt als ~Fvinger . Andere voorbeelden zijn ~Felastiek of ~Fslinger . Per definitie hebben veel gebruikte krachten een vaste benaming, zoals de zwaartekracht ~Fz , normaalkracht ~Fn , wrijvingskracht ~Fw , etc.
8
Hoofdstuk 2 Krachten die in ´ e´ en lijn op een voorwerp werken
2.1
Resulterende kracht
Het komt niet vaak voor dat er op een voorwerp maar ´e´en kracht werkt. Meestal zijn het er meerdere. Toch kan een voorwerp, zonder uit elkaar te vallen, maar in ´e´en richting gaan bewegen. Hieronder werken twee krachten die even groot zijn, maar tegengesteld van zin, op elkaar in:
~ F1
~F2 -
Hierboven zien we twee identieke locomotieven. Laten we stellen dat beide locomotieven een kracht uitoefenen van 5000N op de wagon in het midden. Doordat ze identiek zijn, kunnen ze evenhard trekken, en leveren ze beide een kracht van gelijke grootte. We zeggen dat de krachten ~F1 geleverd door Locomotief1 en ~F2 geleverd door Locomotief2 , een gelijke grootte hebben. Doordat ze op hetzelfde spoor staan, is ook hun richting gelijk. Omdat ze echter beiden een andere kant oprijden, is hun zin 9
tegengesteld. Maar wat gebeurt er nu precies als twee locomotieven met een gelijke kracht van 5000N van elkaar wegrijden? Schematisch stellen we dat als volgt voor:
~F1 = 5000N
c
~F2 = 5000N
-
Het resultaat zal zijn dat de wagon niet in beweging komt, en dus geen versnelling ondervindt. Dat betekent dat het resultaat van ~F1 en ~F2 samen op de wagon nul is. Het resultaat van alle krachten die samen op een voorwerp werken noemen we de resultantekracht of de nettokracht. De resultantekracht ~Fres van het locomotievengevecht is dus 0N. Maar hoe stellen we ons zoiets als een proces voor? Wel, we denken eerst eens even Locomotief1 weg, en laten bijvoorbeeld ´e´en seconde lang enkel Locomotief2 werken. Laten we zeggen dat de wagon in het midden daardoor daardoor 6cm naar rechts gaat. Dan leggen we de motor van Locomotief2 stil, en laten we Locomotief1 ook precies ´e´en seconde trekken. Omdat de kracht even groot is, zal die hetzelfde effect hebben, maar dan in tegengestelde zin. De wagon rijdt in die ene seconde dan ook weer 6cm de andere kant op. Ook dit kunnen we schematisch voorstellen: ~F2 -
Na 0s bevindt de wagon zich in het midden van het spoor. Na 1s bevindt de wagon zich 6cm naar rechts.
~ F1
Nu stoppen we Locomotief2 , en starten we Locomotief1 . Na 1s bevindt de wagon zich weer in het midden van het spoor.
Het resultaat is dat de wagon weer precies op zijn oude plaats staat. Het is net of hij niet bewogen heeft. In de schematische voorstelling hierboven breken we het 10
proces op in stappen. Daarom noemen we het de ´ e´ en-voor-´ e´ en-methode of de stappenmethode. Let wel op: dit mag je enkel toepassen wanneer alle krachten in het systeem hetzelfde aangrijpingspunt hebben. De stappenmethode verdeelt het proces in stappen, wat het voor ons gemakkelijker maakt om het te begrijpen. In de realiteit trekken deze locomotieven gelijktijdig, waardoor de verschuivingen van 6cm naar links en naar rechts ook gelijktijdig gebeuren, waardoor de wagon in het midden blijft staan en niet beweegt.
2.2
Grafisch oplossen: ´ e´ en-voor-´ e´ en-methode
De ´e´en-voor-´e´en-methode of stappenmethode is een vorm van redeneren, zodat we het concept gemakkelijker begrijpen. Willen we echter het geheel grafisch uitdrukken, dan dienen we een stappenplan te maken. Het stappenplan bestaat uit drie stappen, hieronder ge¨ıllustreerd met het locomotievengevecht:
~F1 = 5000N
~F1 + ~F2
~F2 = 5000N
c
-
-c
Stap 1: Het systeem schematisch voorstellen Stap 2: Vectoren met elkaar verbinden
~Fres c
Stap 3: Resultantekracht tekenen
Het stappenplan werkt ook wanneer beide krachten dezelfde zin hebben: c c
~F1 en ~F2 -
Stap 1: Het systeem schematisch voorstellen
-
~F1 + ~F2 -
c
~Fres
11
-
Stap 2: Vectoren met elkaar verbinden
-
Stap 3: Resultantekracht tekenen
Theoretisch defini¨eren we het stappenplan als volgt: • Maak een schematische voorstelling van het systeem, waarbij alle vectoren voldoen aan dezelfde vectorschaal (vb. 1cm = 10N). • Verschuif de vectoren zodat er slechts ´e´en vector het aangrijpingspunt uitgaat, en alle andere vectoren een vectorpunt uitgaan. Er mag hoogstens ´e´en vector vanuit een vectorpunt uitgaan. • De gevormde keten van vectoren levert ons de resultante vector. Hierboven toonden we je hoe je een dergelijke vraagstelling oplost als twee krachten op ´e´en lijn werken. Het stappenplan werkt natuurlijk ook voor m´e´er dan twee krachten:
~F1 , ~F2 en ~F3
~F1 + ~F2 + ~F3
c
-
~Fres
-
Stap 1: Het systeem schematisch voorstellen
c
Stap 2: Vectoren met elkaar verbinden
c
Stap 3: Resultantekracht tekenen
Verder doet het er ook niet toe welke vector je met welke vector verbindt: de volgorde maakt helemaal niets uit.
2.3
Berekenen
Hieronder beelden we weer het locomotievengevecht uit, maar nu zetten we de vectoren eens in een assenstelsel met hun aangrijpingspunten in de oorsprong:
a -5kN a
a-2kN
1kN
a0 a -1kN
12
a 2kN
-a5kN
Nu we de twee krachten van de locomotieven in een assenstelsel afbeeldden, zien we dat de ´e´en negatief is ten opzichte van de ander. Wanneer we deze twee krachten, respectievelijk ~F1 = −5kN = −5000N en ~F2 = 5kN = 5000N, bij elkaar optellen, bekomen we het volgende:
~Fres = ~F1 + ~F2 = −5000N + 5000N = 0N
Daaruit concluderen we het volgende: Krachten die op ´ e´ en lijn werken (die dezelde richting hebben) kunnen we bij elkaar optellen. Uiteraard werkt deze berekeningsmethode ook voor twee krachten die in dezelfde zin werken, zoals hieronder afgebeeld:
1N -4N
a0
-2N
2N
4N
a - -
Hieruit kunnen we het volgende opmaken:
~Fres = ~F1 + ~F2 = 1N + 2N = 3N
Begrijp je ook dat het aangrijpingspunt van krachten zich niet noodzakelijk in de oorsprong moet bevinden? Toch kan de vectoren de oorsprong laten uitgaan veel verwarring voorkomen en raden wij dus aan altijd (indien mogelijk) het aangrijpingspunt in de oorsprong van het assenstelsel te situeren.
13
Ook voor drie of meer krachten die werken op ´e´en lijn geldt hetzelfde:
1.5N -6N
-3N
a -
a0
3N
6N
-
En, indien we nauwkeurig ons assenstelsel construeerden, kunnen we het volgende opmaken: ~Fres = ~F1 + ~F2 + ~F3 = −3N + 1.5N + 4.5N = 3N Let wel op: valt het je op dat we de krachten dus steeds optellen, maar een kracht die een andere zin heeft een ander teken (-) geven? Zo raak je minder gauw in de war. Ook wiskundig is dat logischer.
14
Hoofdstuk 3 Meerdere krachten die in ´ e´ en vlak op een voorwerp werken
3.1
Inleiding
We stellen ons de volgende situatie voor:
I @ @
@ @ @
A A A
A A A
@ @ @ @ ~F1 = 7N @ @
~F2 = 7N
@ @
Op de afbeelding zien we twee personen aan een touw trekken dat aan een paal bevestigd is. De ene persoon trekt schuin naar links, terwijl de ander schuin naar rechts trekt; ze trekken dus beiden in een andere richting. Je ziet het al aankomen: als de paal gaat vallen zal dat recht vooruit zijn, tussen de twee personen in. 15
3.2
Grafisch oplossen: ´ e´ en-voor-´ e´ en-methode
Om dit te verduidelijken zullen we het geheel weer in stappen opbreken:
Stap 1, het systeem schematisch voorstellen:
@ I @
~F1 = 7N @ @a
~F2 = 7N
Stap 2, vectoren met elkaar verbinden:
~F2 = 7N @ I @
~F1 = 7N @ @a
Stap 3, resultantekracht tekenen: 6
~Fres a
Indien je een correcte schaalverdeling hebt toegepast bij het tekenen, zal je na meten opmerken dat de resultantekracht een grootte heeft van ≈ 10N.
16
Vreemd? Twee krachten van 7N elk, die samen een resultantekracht leveren van ≈ 10N in plaats van 14N? Heel logisch eigenlijk: De personen trekken ook een beetje opzij, en zijn dus eigenlijk ook een beetje een locomotievengevecht aan het voeren, en daar gaat dan ook een deel van hun kracht naar toe. Teken nog maar eens zo’n schema, maar nu met twee personen die nog verder uit elkaar trekken (de vectoren komen vlakker te staan in je schema). Je zal zien: de resultantekracht recht vooruit wordt kleiner. En nog vlakker, en nog vlakker, net zo lang tot beide krachten net als de locomotieven lijnrecht tegen elkaar inwerken. Dan heb je twee krachten van gelijke grootte, en een resultante van maar 0N.
3.3
Grafisch oplossen: parallellogram-methode
Hierboven zagen we hoe je aan de resultantevector komt. Er is nog een andere methode met hetzelfde resultaat: de parallellogram-methode. Als de krachten in ´e´en lijn werken maakt het niet uit welke kracht je ´e´erst laat werken in de ´e´en-voor-´e´enmethode. Ook hier geldt dat: 6 @ I @
~F1@
@a
~F2
wordt:
6 I @ @
~F1@ @
of
@ I @
~F2
~F@ ~ 1 @ a Fres
17
~Fres a
~F2
Het komt er eigenlijk op neer dat elke vector parallel aan zichzelf verschuift:
@ 6
@
@
@ @ @ I @
@
@a
@ @ @ @
@ I @ @
wordt:
@ @a
@ @
Indien we goed naar de afbeeldingen kijken, zien we een vierhoek, waarvan de tegenoverstaande zijden parallel aan elkaar lopen. Zo’n bijzondere vierhoek heet een parallellogram. In de bovenstaande afbeelding zien we dat de resultantevector precies in het snijpunt van die parallelle lijnen uitkomt. Grafisch werkt de parallellogram-methode nauwkeuriger, omdat dan geen lengtes hoeven gemeten te worden. Bij het ontbinden van vectoren is de parallellogrammethode een niet weg te denken hulpmiddel.
3.4
Grafisch oplossen; ´ e´ en-voor-´ e´ en-methode voor meer dan twee krachten
Voor meerdere krachten werkt het net eender; we stellen ons voor dat ze ´e´en voor ´e´en werken. Stap 1, het systeem schematisch voorstellen:
6 ~F2 = 5N I @ @ ~F1 = 3N ~ a F3 = 1N @- ~F = 4N ~F6 = 2NR ~F5 = 1N 4 @ R @
18
Stap 2, vectoren met elkaar verbinden: ~F3 = 1N 6
~F4 = 4N R ~F5 = 1N @ R ~F6 = 2N @
~F2 = 5N I @ @ ~F1 = 3N @a
Stap 3, resultantekracht tekenen:
~ Fres a
De lengte van de resultantevector kunnen we met behulp van onze schaalverdeling verkrijgen, indien we alles netjes afgemeten hebben.
Online kan een mooie applet van Fendt en Koops gevonden worden op http: //www.walter-fendt.de/ph14nl/resultant_nl.htm waar je kan zien hoe je meerdere
krachten samenstelt met de ´e´en-voor-´e´en-methode. Speel er eens mee, heel leerzaam!
3.5
Grafisch oplossen; parallellogram-methode voor meer dan 2 krachten
Deze gaan we hier niet helemaal uitleggen en uittekenen, aangezien het idee z´o uitgelegd is. Wat je doet is het volgende: je neemt eerst twee krachten, en bepaalt hiervan de (voorlopige) resultante met de parallellogram-methode. Dan teken je w´e´er 19
een parallellogram, maar deze keer met de voorlopige resultante en de derde kracht. Daaruit komt dan je uiteindelijke resultante. Deze methode kan toegepast worden op een oneindig aantal krachtvectoren, maar bestaat eigenlijk uit dezelfde stappen als de parallellogram-methode voor twee krachten, waardoor we ze niet illustreren.
3.6
Berekenen van krachten onder een rechte hoek: Pythagoras
De eerdergeziene grafische oplossing heeft echter ´e´en nadeel. Een gr´o´ot nadeel: we moeten wel h´e´el nauwkeurig tekenen om de uitkomst precies te verkrijgen. Een tikje afwijken in een grootte of een richting geeft gelijk een afwijking in je uitkomst. Dat wil niet zeggen dat die grafische oplossing waardeloos is; soms is het genoeg als je het ongeveer weet, en het kan ook een handige methode zijn om de uitkomst van een (nauwkeurigere) berekening te controleren. We gaan eerst eens kijken naar het eenvoudige geval van twee krachten die werken in richtingen loodrecht op elkaar, en proberen hiervoor een nauwkeurigere berekeningsmethode te vinden.
Onder een hoek van 90◦ (een rechte hoek):
wordt:
6 ~F1 = 30N a
~F2 = 40N
20
~Fres > 6 a -
We hebben de vectoren alvast met elkaar verbonden en de resultante getekend. Zo zien we dat een rechthoekige driehoek gevormd wordt:
c b a
Indien je deze driehoek ook wilt tekenen, stellen we voor dat je een nauwkeurige schaalverdeling (bv. 1N = 1mm) gebruikt. Van de driehoek benoemen we de rechthoekszijde van 40N vanaf nu de zijde a en we benoemen de rechthoekszijde van 30N vanaf nu de zijde b. De schuine zijde, of de resultante die we willen berekenen, noemen we vanaf nu zijde c. Volgens de stelling van Pythagoras geldt nu dat a2 + b2 = c2 . Nu vullen we de verschillende waarden in:
c 2 = a2 + b 2 c2 = (40N)2 + (30N)2 c2 = 1600N + 900N c2 = 2500N √ c = 2500N c = 50N
Indien je je driehoek correct op schaal zou getekend hebben, op een schaal van 1N = 1mm, zou onze resultante ~Fres = 50N een lengte van 50mm moeten hebben. Meet maar na...
21
In de bovenstaande voorbeelden komen we steeds op mooie ronde getallen uit. Dat is alleen omdat de groottes en richtingen van de vectoren precies z´o door ons gekozen zijn dat je desnoods uit het hoofd zou kunnen meerekenen. Panikeer dus niet als je in een andere oefening decimale getallen uitkomt, hoewel een controle altijd op zijn plaats is.
3.7
Berekenen van krachten onder andere hoeken: goniometrie
Vanaf hier zul je moeten weten wat sinus, cosinus en tangens van een hoek betekenen. Indien deze je nog niet bekend zijn, raden we je aan eerst ´e´en van onze andere microcursussen te lezen; “Sinus, cosinus & tangens”.
Om verder te gaan met het berekenen van krachten onder andere hoeken, kijken we nog even naar onze twee touwtrekkers die aan de paal trekken: we zien twee krachten die gelijk zijn van grootte, en die onder gelijke hoeken aan de paal trekken. Samen gaven die twee krachten van 7N een kracht recht vooruit met een grootte van ≈ 10N. Ze waren elk even groot, en weken evenveel af van de uiteindelijke richting van de resultante. Het is dan ook logisch om te zeggen dat elk van hen ≈ 5N in de goede richting meehielp.
22
In het vorige plaatje kun je dat met behulp van Pythagoras nog zelf narekenen, zoals we je hierboven aanleerden. Dat komt omdat de hoeken waaronder de personen touwtrekken ten opzichte van de paal, in het vorige plaatje, beide gelijk zijn aan 45◦ . Hieronder zie je dezelfde afbeelding schematisch voorgesteld: 6 ~Fres ≈ 10N @ I @ ~F1 = 7N
~F2 = 7N
@ @a
Vaak zal de kracht echter gemanifesteerd zijn onder een andere hoek. Zo zien we hier een voorbeeld waarbij beide hoeken nog steeds even groot zijn, maar niet meer gelijk zijn aan 45◦ : 6 ~Fres ≈ 8000N 7 S o S S α S ~F1 = 5000N ~ S a F2 = 5000N
Maar hoe berekenen we nu precies die ~Fres ≈ 8000N? Wel, we geven de hoek α = 36.9◦ . Dan kijken we naar de driehoek die gevormd wordt door de krachtvector, de resultante en de lijn door de punt van de krachtvector loodrecht op de resultantevector, zoals hieronder ge¨ıllustreerd: 6 ~Fres ≈ 8000N 7 α ~ a F2 = 5000N
23
Stap 1, zijden benoemen vanuit de bekende hoek:
overstaande zijde 7 6 aanliggende zijde αschuine zijde a
Stap 2, zet op een rijtje wat je weet en wat gevraagd wordt: Gegegeven: • α = 36.9◦ • schuine zijde = ~F2 = 5000N Gevraagd: • aanliggende rechthoekszijde = ?
Stap 3, zoek de goniometrische formule die je nodig hebt: Aan tangens of sinus heb je niets, want daarvoor heb je de overstaande rechthoekszijde van hoek α nodig. De cosinus van een hoek kun je berekenen door de aanliggende rechthoekszijde te delen door de schuine zijde:
cos α =
aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
24
Stap 4, vul in en reken uit:
cos α =
cos (36.9◦ ) =
aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
resultante kracht 5000N
resultante kracht = 5000N · cos (36.9◦ ) resultante kracht = 5000N · 0.7997 resultante kracht ≈ 4000N
Op dezelfde manier kun je ~F1 bewerken. Je krijgt dan twee vectoren met een grootte van elk ≈ 4000N die op ´e´en lijn in dezelfde richting werken, en die mag je dus gewoon optellen: 4000N + 4000N = 8000N. 6 ~Fres ≈ 8000N S o 6 6 7 S S α α S ~ ~F1 = 5000N S a F2 = 5000N
25
Hoofdstuk 4 Ontbinden van een kracht
4.1
Inleiding
Hierboven kenden we twee krachten, en stelden die samen tot ´e´en resultantekracht. Andersom kan ook. Dan kennen we ´e´en kracht, en willen die splitsen in twee krachten. Kijken we bijvoorbeeld weer naar de touwtrekkers: we weten dat we een kracht van ≈ 10N nodig hebben om de paal omver te trekken:
@ @
@
6 @ @
A A A
~Fres = 10N A A A
@ @ @ @
@ @
@ @
De vraag wordt nu, hoe hard moet elk van de personen trekken zodat ze samen die paal omver krijgen? Dat kunnen we oplossen als we ´of de richtingen, ´of de grootte van die krachten kennen. 26
4.2
Grafisch oplossen met bekende richtingen
Kijk we even terug naar de parallellogrammethode: dat gaan we eens even andersom doen. We nemen even een ander voorbeeld, om met andere getallen te werken. Deze keer trekken twee tractoren aan de paal. Beiden leveren ze een evengrote kracht onder een gelijke hoek om een gezamelijke kracht van 8000N uit te oefenen. Stap 1, teken de richting waarin de tractoren trekken:
~Fres = 8000N S S 6 S S S S S S S S S a
Nu moeten we nog de grootte van de kracht uitgeoefend door elke tractor bepalen. Bij het samenstellen van krachten zag je de parallellogram-methode; je weet dus dat het snijpunt van die parallelle lijnen op de punt van onze resultantevector kwam te liggen. Daaruit volgt stap 2, het tekenen van de parallellen door de punt van de resultante:
S S S S 6 S S S S S S S S ~Fres S S S S S S S S S S S a S
27
Stap 3, teken je vectoren naar de hoeken van de parallellogram:
S S S S S S 6 S S S S ~Fres S S S S o 7S S S S S S S S ~F1 ~ S a F2 S
Stap 4, opmeten en omrekenen via schaal: Indien je je schematische voorstelling met een correcte schaalverdeling tekende, zul je na een meting vinden dat ~F1 en ~F2 beiden even groot zijn, namelijk ≈ 5000N. Als je bijvoorbeeld de schaal 5mm = 100N toepaste, zul je na meten vinden dat ~F1 en ~F2 ongeveer een lengte hebben van 250mm. Op die schaal betekent dat een grootte van 5000N.
Nu lijkt dat natuurlijk leuk, zo met die gelijke hoeken. Het werkt ook prima voor ongelijke hoeken:
A A A A A A6 A AKA A A A *A A a
Dit betekent echter wel dat de linkse tractor veel harder zal moeten trekken.
28
4.3
Berekenen met bekende richtingen
Nu keren we weer terug naar onze touwtrekkers. Het is altijd slim t´och even een schetsje te maken. Dit leidt ons tot stap 1, het tekenen van de richting waarin de touwtrekkers trekken: 6 ~Fres = 10N S S S S S α α S ~F1 ~ S a F2
We hebben dus een kracht ~F1 die trekt onder hoek α, en een kracht ~F2 die trekt onder hoek α. Hoek α = 45◦ . De twee vectoren die samen ~Fres gaan vormen zullen dezelfde richting hebben als ~Fres . Stap 2, schets de twee vectoren en de rechthoekige driehoeken waarvan ze een onderdeel zijn, voor je overzicht. Dit hoeft niet nauwkeurig te gebeuren: 6 ~Fres = 10N
6 ~F16 ~F2
@ @ @
@α α @a
Omdat de hoeken waaronder de personen trekken gelijk zijn, weten we ook dat de grootte van hun krachten gelijk moet zijn. (Dit hoef je niet te onthouden, dat zie je als je het parallellogram tekent.) Hierdoor geldt dat 2~F1 = 10N waaruit weer volgt dat ~F1 = 5N. Aangezien je de aanliggende rechthoekszijde van hoek α kent (= ~F1 ), en je kent hoek α, kun je lengte van de schuine zijde berekenen. En deze lengte is de grootte van de gevraagde kracht ~F1 . 29
Stap 3, zoek de goniometrische formule waarin de gegevens en het gevraagde voorkomen:
cos α =
aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
Stap 4, vul in en reken uit:
cos α =
cos (45◦ ) =
aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
5N resultante kracht
resultante kracht =
5N cos (45◦ )
resultante kracht =
5N 0.7071
resultante kracht ≈ 7N
4.4
Grafisch oplossen met bekende groottes
En als laatste voorbeeld keren we weer terug naar de tractoren. Gegeven wordt nu hoe hard elke tractor trekt, en welke kracht nodig is om de paal omver te krijgen. De vraag is nu: onder welke hoek moet elke tractor trekken om de paal de goede kant op te laten vallen?
30
We gebruiken nu eens ongelijke krachten van 200N en 300N, en een resultantekracht van 400N groot. We willen de hoeken waaronder de tractoren moeten trekken berekenen. Daarvoor breken we de berekeningen op in vijf stappen. Stap 1, teken op schaal de resultantevector ~Fres :
a
-
Stap 2, eerste kracht afpassen. De vector van onze eerste kracht heeft een onbekende richting. Maar, als we alle punten bedenkt waar die vector zou kunnen uitkomen, vormen die punten een cirkel rond de voet van ~Fres . De straal van die cirkel is gelijk aan de grootte van de kracht van de ene tractor:
a
Stap 3, tweede kracht afpassen. Doe hetzelfde voor de kracht van de tweede tractor, maar nu vanuit de punt van ~Fres :
# a "!
31
Stap 4, teken je vectoren door de snijpunten van de cirkels te verbinden met voet en punt van ~Fres :
# j H a H "!
Stap 5, meet je hoeken.
4.5
Berekenen met bekende groottes
De drie krachten kun je tekenen in een driehoek zoals hier:
~F1 H ~F2 HH j H a ~Fres
De te berekenen hoeken zijn de hoeken α en β:
H H j H a α β H -
Hieruit kan je met behulp van de cosinusregel de hoeken α en β oplossen, omdat alledrie de zijden van de driehoek bekend zijn. (Voor verdere uitleg over de cosinusregel moet je in een aparte cursus wezen.) 32
Voor het driehoekje hierboven is de standaard-cosinusregel even voor je omgewerkt: !
α = arccos
(~F1 )2 + (~Fres )2 − (~F2 )2 2 · ~F1 · ~Fres
!
β = arccos
(~F2 )2 + (~Fres )2 − (~F1 )2 2 · ~F2 · ~Fres
De functie arccos (boogcosinus) vind je op je rekenmachine onder de aanduiding cos−1 .
33
