Metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu

4. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik VŠB-TU Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra Financí

Ostrava 11.-12. září 2008

Metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu Pavla Vodová 1

Abstrakt Cílem tohoto příspěvku je charakterizovat podstatu nerovnovážného modelu a metody pro odhad poptávky a nabídky v podmínkách nerovnováhy. Nerovnovážný model vychází z předpokladu nerovnováhy trhu, kdy cena nemusí zajistit vyrovnání poptávky s nabídkou. Pro odhad poptávky a nabídky existují čtyři metody – metoda maximální věrohodnosti, směrová metoda I a II a kvantitativní metoda. Nerovnovážný model lze využít jak při analýze jakýchkoliv trhů (trhu práce, trhu komodit, trhu úvěrů, peněžního trhu aj.), tak i pro analýzu finančního sektoru dané země, analýzu celkové makroekonomické rovnováhy státu či fungování centrálně plánovaných ekonomik. Klíčová slova Nerovnovážný model, poptávka, nabídka, odhad

1 Úvod Nerovnovážný model může být používán jak při analýze jakýchkoliv trhů (trhu práce, trhu komodit, trhu úvěrů, peněžního trhu aj.), tak i pro analýzu finančního sektoru dané země, analýzu celkové makroekonomické rovnováhy státu či fungování centrálně plánovaných ekonomik. Cílem tohoto příspěvku je charakterizovat podstatu nerovnovážného modelu a charakterizovat čtyři metody, které je možno využít při odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu. V druhé kapitole je charakterizována podstata nerovnovážného modelu. V třetí kapitole jsou pak popsány metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu.

2 Podstata nerovnovážného modelu Podstatu nerovnovážného modelu popsali Fair a Jaffee (1972). Funkci nabídky jakéhokoliv statku či služby (2) a poptávky po tomto statku či službě (1) lze podle nich obecně specifikovat následujícím způsobem: Dt = α 0 X tD + α 1 Pt + µ tD (1)

St = β 0 X tS + β 1 Pt kde St Dt Pt XtS XtD 1

+ µ tS … … … … …

(2) nabízené množství v období t; poptávané množství v období t; cena statku či služby v období t; vektor proměnných, ovlivňujících nabídku; vektor proměnných, ovlivňujících poptávku;

Ing. Pavla Vodová, Slezská univerzita v Opavě, Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné, katedra financí, Univerzitní nám. 1934, 733 40 Karviná, email: [email protected]


µtS , µtD … t = 1, 2, …, T.


chybové složky;

Jelikož jde o standardní funkce nabídky a poptávky, předpokládá se pozitivní vztah mezi cenou a nabízeným množstvím (β1 > 0) a negativní vztah mezi cenou a poptávaným množstvím (α1 > 0). Protože jde o nerovnovážný model, pak navíc platí, že: • Pt nemusí v každém období vést k nastolení rovnováhy (tj. nemusí zajistit vyrovnání poptávky s nabídkou); • nabídka a poptávka jsou odhadovány za podmínky, že skutečné množství statku či služby je determinováno menší ze dvou hodnot – poptávkou po daném statku či službě či nabídkou daného statku či služby (3). Qt = min {Dt , S t } (3) kde Qt … skutečné množství statku či služby v období t.

Při odhadu poptávky a nabídky mohou být dále užitečné předpoklady o změně ceny. Jedná se zejména o: • předpoklad, že změna ceny může být indikátorem objemu převisu poptávky nebo nabídky na trhu (4); ∆Pt = f [Dt − S t ], f ´[Dt − S t ] 〉 0 (4) •

předpoklad, že směr změny ceny je indikátorem toho, zda na trhu existuje převis poptávky či nabídky (5); ∆Pt ≥ 0 když Dt − S t ≥ 0, ∆Pt ≤ 0 když Dt − S t ≤ 0 (5)

•

předpoklad, že velikost změny ceny je proporcionální k velikosti převisu poptávky či nabídky (6). ∆Pt = γ (Dt − S t ), 0≤γ ≤∞ (6) kde γ … koeficient proporcionality.

Hodnota koeficientu γ závisí na délce časového období, kdy hodnota rovna nekonečnu ukazuje na dokonalé přizpůsobení se ceny převisu poptávky či nabídky; hodnota rovna nula potom představuje situaci, kdy k žádnému přizpůsobování nedochází. Předpoklad 5 je využit při odvozování směrové metody I a II (kap. 3.2 a 3.3), předpoklad 6 se používá v rámci kvantitativní metody (kap. 3.4).

3 Metody odhadu poptávky a nabídky Při odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu je možno využít následující čtyři metody: • metodu maximální věrohodnosti; • směrovou metodu I; • směrovou metodu II; • kvantitativní metodu. 3.1 Metoda maximální věrohodnosti V případě metody maximální věrohodnosti (maximum likehood method) se předpokládá, že skutečné množství statku či služby Qt odpovídá buď poptávanému či nabízenému množství. Pak mohou být vztahy 1 a 2 zkombinovány do vztahu 7. Qt = k t α 0 X tD + α 1 Pt + µ tD + (1 − k t ) β 0 X tS + β1 Pt + µ tS (7)

(

)

(

)


kde kt = 0 … kt = 1 … t = 1, 2, …, T.


když Qt = St; když Qt = Dt;

Dále se předpokládá, že chybové složky µtS , µtD mají normální rozdělení a jsou nezávislé na XtS, XtD a Pt. Je zapotřebí odhadnout hodnoty parametrů α0, α1, β0 a β1 a také hodnoty kt. K tomuto účelu lze využít metodu, jež umožňuje určit bod zvratu (switching point), ve kterém dochází ke změně determinanty skutečného množství statku či služby Qt (z objemu poptávaného množství na objem nabízeného množství či naopak). Pravděpodobnost, že Qt je určeno nabídkou či poptávkou, zachycují vztahy 8 a 9. m (2πσ D2 )−m / 2 exp ⎡⎢− 2σ1 2 ∑ (Dt − α 0 X tD − α1 Pt )2 ⎤⎥ (8) D t ⎣ ⎦ n (2πσ S2 )−n / 2 exp ⎡⎢− 2σ1 2 ∑ (S t − β 0 X tS − β1 Pt )2 ⎤⎥ (9) S t ⎣ ⎦ kde m … počet situací, pro které Qt = Dt (tj. kt = 1); n … počet situací, pro které Qt = St (tj. kt = 0); σD, σS … směrodatné odchylky chybových složek µtD, µtS. Ze vztahů 8 a 9 lze odvodit pravděpodobnostní funkci pro celý soubor dat (vztah 10).

ψ = (2πσ D2 )

−m / 2

⎡ 1 ⎢− 2 σ 2 D ⎣⎢

∑ (D m

t

(2πσ )

2 −n / 2 S

− α 0 X tD − α 1 Pt

exp

)

2

2σ

t

∑ (S

2

n

1

−

2 S

t

t

− β 0 X tS − β 1 Pt

⎤

)⎥ ⎦⎥

(10)

Pro daný soubor dat je možno derivovat log ψ podle parametrů α0, α1, β0 a β1 . Pokud tyto derivace položíme rovny nule a vyřešíme zbývající vztahy metodou nejmenších čtverců, získáme odhady čtyř koeficientů parametrů α´0, α´1, β´0 a β´1. Parciální derivací log ψ s ohledem na nulové hodnoty σD a σS a s použitím hodnot α´0, α´1, β´0 a β´1 získáme:

∑ (D m

σ ´2D =

t

− α ´0 X tD − α ´1 Pt

)

2

t

(11)

m

a

∑ (S n

σ ´2S =

t

t

− β ´0 X tS − β ´1 Pt

)

2

(12) n Konečně, dosazením α´0, α´1, β´0, β´1, σ´D a σ´S do vztahu 10 získáme pravděpodobnostní funkci: m+n (13) logψ = − (m + n )log 2π − m log σ ´ D − n log σ ´S − 2 Řešení pak spočívá v nalezení hodnot α´0, α´1, β´0 a β´1, které budou maximalizovat log ψ. Quandt (1983) navrhuje, že získat maximální hodnotu log ψ (4.13) lze vypočítáním log ψ pro veškeré možné hodnoty bodu zvratu a vybráním takového bodu, pro který je vypočtená hodnota log ψ největší. Analogickým doporučením je vypočítat log ψ pro veškeré možné páry poptávky a nabídky v analyzovaném období a zvolit takovou kombinaci poptávky a nabídky, pro kterou je hodnota log ψ maximální. Parametry α0, α1, β0 a β1 lze potom odhadnout metodou nejmenších čtverců.



3.2 Směrová metoda I Podstatu směrové metody I (directional method I) graficky znázorňuje Obrázek 1. Při exante poptávce a nabídce je P* cenou čistící trh. Je-li skutečná cena menší než P*, na trhu existuje převis poptávky a z předpokladu 5 je patrné, že musí dojít ke zvýšení ceny. Vztah 3 potom dokumentuje, že v případě existence přebytečné poptávky je skutečné množství na trhu rovno nabízenému množství. Naproti tomu je-li skutečná cena větší než P*, skutečné množství na trhu je rovno poptávanému množství a existence převisu nabídky vede k poklesu ceny. Důsledkem toho je skutečnost, že pozorovat vývoj nabídky lze pouze v období růstu ceny a vývoj poptávky pouze v období poklesu ceny (tučné čáry v Obrázku 1). Obr.č. 1: Ex-ante a ex-post poptávka a nabídka Q D

S

P*

P

Pramen: Fair a Jaffee (1972), s. 503. Při použití směrové metody I je zapotřebí nejprve rozdělit analyzovaná data do dvou souborů, a to na základě pozorované změny ceny oddělit období charakteristická převisem poptávky od období, charakteristických převisem nabídky. Nabídková funkce pak může být odhadnuta pro soubor obsahující data z období přebytečné poptávky (za použití Q jakožto vysvětlované proměnné) a poptávková funkce pro soubor dat z období přebytečné nabídky (vysvětlující proměnnou je opět Q). Období charakteristická dočasnou rovnováhou (kdy ∆Pt = 0) se zahrnují do obou souborů dat. Touto metodou tak mohou být odhadnuty pouze tučné části obou křivek (Obrázek 1). Rozdělení dat do dvou skupin na základě pozorované změny ceny bude správné pouze při splnění veškerých předpokladů modelu, zejména pak předpokladu 5. Nicméně, dokonce i když jsou data do dvou souborů rozdělena správně, přesto existuje riziko, že použití směrové metody I nepovede ke konzistentním odhadům. A to zejména v těchto případech: • když střední hodnoty chybových složek (µtS , µtD) jsou nenulové; • když střední hodnoty chybových složek nejsou nezávislé na vektorech proměnných, ovlivňujících poptávku či nabídku (XtS, XtD) a na ceně (Pt). 3.3 Směrová metoda II Směrová metoda II (directional method II) je méně závislá na změnách cen jakožto indikátoru převisu poptávky či nabídky na trhu. Například předpoklad 5 nemusí platit zcela přesně: mohou existovat období, ve kterých je změna ceny buď tak malá nebo tak proměnlivá,



že lze jen velmi obtížně posoudit, zda je na trhu v převisu poptávka či nabídka. Ceny navíc mohou na převis poptávky či nabídky reagovat s určitým zpožděním. Směrová metoda II je tedy založena na předpokladu existence určitého počtu souborů dat, odpovídajících alternativnímu předpokladu o tom, že v průběhu „pochybných“ období je trh charakteristický převisem poptávky. Rovnice nabídky a poptávky jsou potom přiřazeny každému souboru dat a pro každý takovýto soubor je vypočítána i pravděpodobnostní funkce 13. Cílovým souborem dat je takový soubor, jenž maximalizuje log ψ (13). Směrovou metodu II lze proto považovat za verzi metody maximální věrohodnosti. Informace o změnách cen jsou použity pro redukci počtu souborů dat, na zredukovaná data je poté aplikována metodologie metody maximální věrohodnosti. 3.4 Kvantitativní metoda Při použití kvantitativní metody (quantitative method) se vychází z předpokladu 6, jehož úpravou pro přebytečnou poptávku získáme vztah 14. 1 Dt − S t = (∆Pt ) (14)

γ

Pokud lze odhadnout hodnotu koeficientu proporcionality γ, pak je možno velikost převisu poptávky přímo odvodit podle změny ceny. Poptávku i nabídku pak můžeme odhadovat pro celé sledované období. Jak vyplývá z předpokladu 14, období charakteristické růstem ceny je zároveň charakteristické převisem poptávky a proto (v souladu se vztahem 3) se skutečné množství rovná nabízenému množství. Nabídková funkce proto může být odhadnuta, pokud skutečné množství použijeme jako vysvětlující proměnnou (15). Qt = S t = β 0 X tS + β 1 Pt + µ tS , ∆Pt ≥ 0. (15) Protože je nabízené množství rovno skutečnému množství, rovnici 15 lze přepsat na 16: 1 1 Qt = Dt − Pt = α 0 X tD + α 1 Pt − ∆Pt + µ tD , ∆Pt ≤ 0 (16)

γ

γ

Pro období charakteristické poklesem cen lze přirozeně aplikovat stejný postup. Nabídková a poptávková funkce mohou být odhadnuty v podobě 17, respektive 18. 1 1 Qt = S t − ∆Pt = β 0 X tS + β1 Pt − ∆Pt + µ tS , ∆Pt ≤ 0 (17)

γ γ D D Qt = Dt = α 0 X t + α 1 Pt + µ t , ∆Pt ≤ 0

(18) Systém rovnic 15 – 18 může být zredukován na jednu rovnici poptávky (19) a jednu rovnici nabídky (20). 1 1 Qt = Dt − ∆Pt = α 0 X tD + α 1 Pt − ∆Pt + µ tD , (19)

γ

γ

kde /∆Pt / =∆Pt … když ∆Pt ≥ 0 , … v ostatních případech. /∆Pt / =0 1 1 Qt = S t − \ ∆Pt \ = β 0 X tS + β1 Pt − \ ∆Pt \ + µ tS ,

γ

γ

kde \∆Pt \ = - ∆Pt … když ∆Pt ≤ 0 , … v ostatních případech. \∆Pt \ =0 Každá z rovnic 19 a 20 je pak odhadována pro celé sledované období.

(20)



4 Závěr Cílem tohoto příspěvku bylo charakterizovat podstatu nerovnovážného modelu a metody, které je možno využít při odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnováhy. Nerovnovážný model vychází z předpokladu, že cena nemusí zajistit vyrovnání poptávky s nabídkou. Nabídka a poptávka jsou proto odhadovány za podmínky, že skutečné množství statku či služby je determinováno menší ze dvou hodnot – poptávkou či nabídkou. Pro odhad poptávky a nabídky lze využít čtyři metody. Metoda maximální věrohodnosti předpokládá, že skutečné množství statku či služby odpovídá buď poptávanému nebo nabízenému množství. Směrová metoda I a II využívá předpoklad, že směr změny ceny je indikátorem toho, zda na trhu existuje převis poptávky či nabídky. Kvantitativní metoda vychází z předpokladu, že velikost změny ceny je proporcionální k velikosti převisu poptávky či nabídky. Použití jednotlivých metod je však v praxi komplikováno tím, že je zapotřebí mít k dispozici značně obsáhlý soubor dat. Z tohoto důvodu se v podmínkách České republiky některé metody nedají využít.

Literatura [1] BAEK, EG. A Disequilibrium Model of the Korean Credit Crunch. The Journal of the Korean Economy, 2005, roč. 6, č. 2, s. 313 – 336. [2] BOWDEN, RJ. Specification, Estimation and Inference for Models of Markets in Disequilibrium. International Economic Review, 1978, roč. 19, č. 3, s. 711 – 726. [3] FAIR, RC., JAFFEE, DM. Methods of Estimation for Markets in Disequilibrium. Econometrica, 1972, roč. 40, č. 3, s. 497 – 514. [4] NEHLS, H., SCHMIDT, T. Credit Crunch in Germany? Kredit und Kapital, 2004, roč. 37, č. 4, s. 479 – 499. [5] QUANDT, RE. Switching Between Equilibrium and Disequilibrium. The Review of Economics and Statistics, 1983, roč. 65, č. 4, s. 684 – 687.

Summary Methods of estimation of demand and supply with disequilibrium model The aim of this paper is to characterize principles of disequilibrium model and methods of estimation of demand and supply in disequilibrium markets. The disequilibrium model is based on the assumption of disequilibrium market where the price does not equal demand and supply. Four methods are available for estimation of demand and supply – the maximum likehood method, directional method I, directional method II and quantitative method. Disequilibrium models are used for analysis of any markets (labour market, commodity market, credit market, money market), for analysis of financial sector of an economy, analysis of general macroeconomic equilibrium or analysis of effectiveness of central planned economies.

Metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu

Recommend Documents