METODE
BEDA
HINGGA
DISPERSI RADIOAKTIVITA,S
PADA
KAJIAN
PEMODELAN
KE LINGKUNGAN TANAH
Supriyono Pendidikan
Ah/i Teknik Nuk/ir-BATAN.
J/.Babarsari
Po. Box 1008 Yogyakarta
Sudarti Pusa/ Pene/i/ian
Tekn%gi
Maju-BATAN.
JI.Babarsari
Po. Box 1008 Yogyakarta
ABSTRAK METODE BEDA HINGGA PADA KAJIAN PEMODELAN DISPERSI RADIOAKTIVITAS KE UNGKUNGAN TANAH. Telah dihasilkan persamaan matematis sebagai modal penyusunan algoritma komputer yang berasal dari persamaan transpol1 yang merupakan bentuk dari konsep dispersi radionuklida di lingkungan tanah akibat proses difusi dan adveksi. Persamaan matematis tersebut penurunannya menggunakan metode beda hingga dengan tiga buah skema, yaitu skema eksplisit, skema implisit dan skema Crank-Nicholson. Algoritma komputer ini kelak akan digunakan sebagai dasar pembuatan perangkat lunak dalam rangka pembuatan suatu sistem pemantauan dispersi radionuk/ida secara otomatis pads daerah sekitar fasilitas nuklir. Dengan dipunyainya ketigamendekati skema tersebut, kelak dalam memilih sistem perangkaf . lunak dapat memilih yang paling keadaanmaka sebenamya.
ABSTRACT FINITE DIFFERENCE METHOD OF THE STUDY ON RADIOACTIVITIES DISPERSION MODELING IN ENVIRONMENT OF GROUND. It has been resulted the mathematics equation as model of constructing the computer algorithm deriving from the transport equation having been the fonn of radionuclides dispersion in the environment of ground as a result of diffusion and advection process. The derivation of mathematics equation used the finite difference method into three schemes, the explicit scheme, implicit scheme and Crank-Nicholson scheme. The computer algorithm then would be used as the basic of making the software in case of making a monitoring system of automatic radionuclides dispersion on the area around the nuclear facilities. By having the three schemes, so it would be, in choosing the software system, able to choose the more approximate with the fact.
PENDAHULUAN
S eperti diketahui agar dipenuhi standar kesehatan dan keamanan untuk lingkungan dan kesehatan manusia, kadar radioaktivitas lingkungan disekitar fasilitas nuklir harus selalu terpantau, baik dengan dilakukannya pemeriksaan oleh petugas kesehatan dan keselamatan kerja maupun melalui pantauan inforrnasi secara otomatis. Inforrnasi tersebut salah satunya adalah tentang keberadaan radionuklida lingkungan secara akurat yang merupakan radionuklida yang berasal dari alam dan yang berasal dari kegiatan manusia yang menggunakan radionuklida. Seperti polutan lainnya, radionuklida dapat pula menyebar ke lingkungan sekitar melalui udara, tanah maupun air. Untuk mendapatkan inforrnasi tersebut secara otomatis, perlu dibuat suatu sistem pemantauan dispersi radioaktivitas ke lingkungan
tanah. Pekerjaan pembuatan sistem otomatisasi bukan pekerjaan yang mudah dan sederhana. Pekerjaan ters~but adalah pekerjaan yang be~aryang harus meialul proses pentahapan dan dldukung dengan sumber daya manusia dari berrnacammacam disiplin ilmu misalnya, disiplin ilmu elektronika, lingkungan. komputasi. matematika. n.uklir, dsb. Sebagai tahap awal dari pembuatan slstem tersebut adalah studi tentang dispersi radionuklida ke lingkungan tanah beserta proses penyelesaian matematis dan numeris. Studi tersebut dimulai dengan melihat persamaan diferensial tentang keseimbangan transport massa. Persamaan tersebut menggunakan konstanta fisis dari keadaan lingkungan daerah studi yang dipakai. Persamaan diferensial dari transport massa secara teoritis merupakan bentuk persamaan diferensial parsial yang berbentuk parabola. Salah satu cara untuk menyelesaikan secara numeris persamaan diferensial parsial tersebut adalah
P3TM-BATAN Yogyakarta. 25-26 Juli 2000
I dimana i-l,1I radionuklida
. digunakannya metode hecla hingga (Finite Difference Method)II.2]. Dengan diketahuinya metode-metode tersebut, maka langkah berikutnya adalah pembuatan algoritma sebagai langkah awal dari pemrograman komputer. Tulisan pada makalah ini adalah rnenyusun bentuk persamaan matematis agar dapat diciptakan algoritma pemrograman dari penggunaan metode hecla hingga untuk menyelesaikan persamaan transport secara numeris beserta pencarian variabeJvariabel yang kelak akan digunakan dalam pembuatan sistem pemantauan dispersi radionuklida secara otomatis.
DASAR
berpasir
ataupun tanah
Seperti telah diketahui bersama bahwa potensi bahaya terutama untuk radionuklida umur panjang dapat berasal dari rantai makanan melalui jalan pemafasan clan pencemaan. Dalam kaitan dengan rantai makanan, faktor pencemaran radionuklida dalam tanah di sekitar fasilitas nuklir perlu diperhitungkan. Radionuklida yang mungkin terdeposisi dalam tanah sekitar fasilitas, terutama pada daerah perakaran akan dapat berlanjut masuk ke rantai makanan melalui rantai seperti gambar I
atau
a. Bentuk skema eksplisit. Pada skema eksplisit, variabel pada waktu n+ J dihitung berdasarkan variabel pada waktu n yang sudah diketahui seperti pada gambar berikut : i,n+1
.o 1
~---1I,n ..
I- ,n
Q1+1,n
Dengan menggunakan skema seperti pada
gambar 2, beserta turunannya dalam ruang dan waktu didekati dengan bentuk beda hingga berikut : q(X,t)::::q~1
( )
berikut : Fall 001dalam bemlJ<
Fall out dalam ber1~ 1
aerosollerlarlA
RadlonlA
radortlklda dari produk~1
Radionuklida yang
L~tan Tanah
n
-qi
6.t{)q(x~t2 (2)
= .9cl.:-9l:J. 26.x n
2
n
0
qj +qj+1 = qi-l- 6.x2
/).t adalah perubahan waktu clan L1xadalahperubahanjarak Bentuk skema implisit. Pada skema implisit mas kanan dari persamaan (1) ditulis pada waktu n+ 1 yang nilainya belum diketahui. Gambar berikut menunjukkan jaringan bentuk implisit.
U H A N
bermg~si
Gambar1. Rantai radionuklida dari produk fisi sampaike tumbuhan Konsep dasar dispersi radionuklida di lingkungan tanah adalah karena terjadinya proses difusi dan adveksi yan~ dinyatakan dengan persamaan transport berikuf ]:
'(x,t)~-
qj
at
[. ~~ T U
n+1
~t~=
{}2q(;
=0
berlumut
Gambar2. BentukSkemaEksp/isit
TEORI
p~kel d~1produk~
yang
berumput. Ada tiga skema dasar untuk menyelesaikan persamaan parabola (I), yaitu skema el,<splisit, skema implisit clan skema crank-NichoISOnl4)
" )
i-l,n+l
i,n+l
l+l,n+l
-,
i,n
i+l,n
Gambar3. BentukSkemalmpisit Denganmenggunakanskema seperti gambar 3, q(x,t) besertaturunannya dalam ruang dan waktu didekatidenganbentukbedahingga berikut :
at dimana dalam tanah q(x,t) : Konsentrasi (Bq/L). D(x,t) : Koefisien dispersi (cm1/tahun). co : Kecepatan dispersi dalam tanah (cmltahun). A : Konstanta peluruhan radioaktif (per detik). D clan v bergantung pada macam tanah, nilai tersebut akan berbeda untuk tanah berlempung,
q(x, t) = q~+1 ..I _.1 -
(3)
c. BentukskemaCrank-Nicholson. Skema Crank-Nicholsonini menggunakan paduan antara bentuk skema eksplisit daD bentuk skema implisit, sehingga skema Crank-Nicholson menulis ruaskananpersamaan(1) padawaktun+ 1/2 yang merupakannilai reratadari skemaeksplisitdaD implisit. Jaringan bentuk skema Crank-Nicholson adalahsebagaiberikut
i-l,n+l
i +l,n +1
i,n+l
matematis yang berasal dari ketiga skema di atas, yang nantinya dipilih untuk dipakai yang paling sesuai dengan kondisi di lapangan. Oleh karena itu, sebelum dilakukan proses penyusunan algoritma dan pemrograman komputer pacta penelitian mendatang, perlu dilakukan langkah-langkah penyelesaian matematis sebagai berikut : I. Bentuk persamaan matematis dari skema eksplisit. Substitusikan persamaan (2) kedalam persamaan (I), maka :
~n+l/2
9i "+1"-qi
["
tlt
i9,n
~,n
i+J:n
= D(x, t
{
" 2" qj-1 -qj
" + qi+\
6,x2
"
(j)~
~
(5)
-i.,q(x,t)
Gambar4. Ben/ukSkemaCrank-Nicholson Dengan menggunakan skema seperti pada gambar 4, q(x,t) beserta turunannya dalam rnang dan waktu didekati dengan bentuk beda hingga berikut : q(x,t)=
( )
M
~
n+1
= 9i
-qi
n+1
I~-
Ox
2
persamaan
".,
"+1
clan q(x,t)=q"i (5)
menjadi
I
"
.
Dengan
n+\
~=qi+l-qi-1
(
D(x,t)=D"j
iterasi,
n
~t
( ) n+\
mengelompokkan
suku-suku
q~.1.q~ .q~1 seperti pada bentuk skema gambar 2,
2~x
1 n+1 2 -qj 02q(X,t) = -qi-1
bentuk
proses
q~+1
at
M
Dengan merubah kebentuk bentuk
n+\
n
2
+ qi+1 + qj-l-
~X2
n
n'
qj + qi+\
maka persamaan akhir
dengan skema eksplisit
adalah:
~x2
(4) Dari ketiga bentuk skema di atas beserta persamaannya, makajika persamaan (2), (3) dan (4) disubstitusikan ke dalam persamaan (1) akan dihasilkan suatu bentuk sistem persamaan biasa maupun bentuk bentuk sistem persamaanlinier.
PENYELESAIAN Dengan persamaan tentang
(1)
menggunakan dapat
syarat
diperlukan. persamaan
MATEMATIS ketiga
dieliminir
awal
dan
dan
skema dapat
syarat
Dengan dihasilkannya dalam bentuk iterasi
beserta
syarat-syarat
disusun
algoritma
yang
batas
yang
maka
pembuatan
dapat
program
komputer. Dalam makalah ini hanya dibatasi pada bentuk persamaan matematis dan khusus untuk metode
eksplisit
algoritma. penelaahan diperlukan
Selain
dilengkapi hal
dengan
bentuk
dapat
disusun
tersebut,
ukuran-ukuran serta
persyaratan
DO n=OTO k
DOi=1TOI q(n+1,i)=(D(n,i)*(dVdx)-(1/2)*omg)*q(n,i-1 )+
penyelesaian yang lengkap
diperlukan,
untuk
diatas,
diselidiki
besaran
fisis
penyelesaian
yang iterasi
(1-2*D(n,i)*(dVdx"2)-Lamd)q(n,i)+ (D(n,i)*(dVdx"2)-(1/2)*omg*( dVdx))q(n,i+1)
ENDDO ENDJ;!9
~-
Algorimat J. Skema Eksplisit Jika n=O, maka q(O,i-J), q(O,i) dan q(O,i+ J) merupakan nilai awal yang harus ditetapkan sejak awal. Nilai ini merupakan ni!ai observasi dari obyek penelitian di lapangan.
lainnya.
yang
Agar dihasilkan algoritma pemrograman optimal, maka perlu disusun persamaan
~Prosiding Pertemuan dan Presentasi Ilmiah Penelitian Dasar Ilmu Pengetahuan dan Teknologi Ni:Jklir P3TM.BATAN Yogyakarta. 25-26 Juli 2000
skema ~
ISSN0216-3128
Supriyono.dkk
2. Bentuk Implisit. persamaan matematis
dari
~'~
Substitusikan persamaan (3) kedalam persamaan (I), maka: .. q~+1 -q!' L\t
(x,t
=0
{
..; -t~,~i~ qj.1 n+1 -2q~+I+
315
q ~+Iq'=-D(X,tXq'-1 ~ 1 I
~+I- 2 q I~+1+ At 2 Ax2 0 2 0 0 0+1 0-1 qj-1 -~i2 + qi+l] -C1) ~i!:l_:gj-1
q 1+1+ ~+1
[
q 1+1 ~+1
(9)
I
2L\x
I
I q~+1-n-! 1+1
Dengan
L\x2
(7)
qj-1
merubah
Oengan merubah bentuk O(x, t) = or
dan
q(x, t) = q~ kebentuk proses iterasi, persamaan (7)
(
" ,
.~J
6.t "
q ~+1 = q ~+ lDn . I I 2 i ..2
'
-
n+1 + qi-\ n + qi+\
6.x suku-suku
.
,qj+1 sepertl pada bentuk serna k gambar 4,
qj-1 ,qj
maka persamaan akhir dengan skema CrankNicholson adalah :
mengelompokkan
n+1 n+1 n+1
q!I
mengelompokkan
n+1 n+1 n+1
Oengan
I-I
(-6.t
2qin +qi+J--O) n 1 Dengan
l
{ q ?+1 -2
ux
2
!:!.tJf n+1 n+l ) n 2(1) ~ \qj+1-qj-1 -Aqj I
dan
q(x, t) = q~ kebentuk proses iterasi, persamaan (9)
menjadi bentuk -,
D(x, t) = Dr
menjadi bentuk
2L1x
q~+I,--
bentuk
suku-suku
.
qi-1 ,qj ,qj+\ sepertlpad a bentukskemagambar3, makapersamaanakhir denganskemaimplisit adalah
) (~ 6.x
_l
120)
2..Dn I
(~ 2 })qw!,+I + (I+D. (~ 2 )+/1.,,)q.!,+l !1
6.x
6.x
(~ ) _lDn2 i (~6.x2))qj+ln+I= (!D!1 (~ )) !1 + 2 I 6.x2 q,+1
+ '!O) 2 6.x (~(I)(*)-or(-!jr + ( ~(I)(*
))qi.tl+(
)-or( -!jr)
1+20r(-!jr
)qr+il = q~
)+A)qr+1 (8)
(~ ))q!,.2.+ (lD~(~6.x2 ))q!'-I 1 Persamaan (10) di atas jika
Persamaan
(8)
di
(~~~}Dr(-!;r
))=1'
(1+2Dr(~ )+>.)= b
(H~}q{~)r
atas
misalkan
dan
jika disusundengan;=1 sampai
j, maka persamaan(8) akanberubahmenjadibentuk sistempersamaanlinier berikut: n+1
bcO
O q~+1
abc Gab
O q2
...:::::.
0
OOO b
n+1
q3 ~+I
n
a
n+1
q\ -n qo q2 -n
-q3 n'
n+1
qj qj -cqj , sehinggaada suatuprosesmanipulasimatrik dan ada prosesGaussian.Algoritma denganmanipulasi matrik dan proses Gaussianakan dibahas pada penelitiankami berikutnya. Bentuk persamaanmatematisdari skema CrankNicholson Substitusikan persamaan (4) kedalam persamaan(1), maka:
(10)
'1-2D!1 , .6.x2
dengan i=l
dijalankan
sampai j temyata juga merupakan
bentuk sistem persamaan linier seperti halnya pacta skema implisit, sehingga seperti pactaskema implisit di atas proses skema Crank-Nicholson juga acta suatu proses manipulasi matrik dan proses Gaussian. Algoritma proses skema Crank-Nicholson akan dibahas pactapenelitian kami berikutnya.
HASIL
DAN
PEMBAHASAN
Dari ketiga bentuk penurunan matematis di atas,maka dapat dianalisis tentang variabel-variabel clan konstanta-konstanta yang diperlukan. Untuk membahas hal tersebut, dalam makalah ini dibahas pada masing-masing skema.
Skema eksplisit. Dari persamaan (6) ada beberapa besaran yang harus ditentukan sebelum dilakukannya proses iterasi, yaitu : a. Dj merupakan koefisien dispersi pada seluruh bidang penelitian (cm2Itahun), (J) adalah kecepatan dispersi dalam tanah (cmltahun) dan )., adalah konstanta peluruhan radioaktif (per detifc). Data tersebut merupakan data sekunder
Prosiding Pertemuan dan Presentasi Ilmiah Penelitian Dasar Ilmu ?engetahuan P3TM-BATAN Yogyakarta, 25-26 Juli 2000
dan Teknologi Nuklir
., 1
yang berasal dari pihak lain, sehingga faktor kerjasama dengan pihak lain perlu sekali. b. L\t sebagai konstanta yang ditentukan sejak awal merupakan nilai yang agak tleksibel. Nilai ini merupakan
besaran
perubahan
waktu
yang
besamya tergantung dari konstanta di atas. L\x sebagai konstanta perubahanjarak juga demikian halnya, yaitu bergantung dari domain obyek penelitian. Dipandang dari disiplin ilmu analisis numerik, perlu ada kehati-hatian dalam menentukan
L\t
dan
L\x.
Karena
faktor
ini
menentukan akurasi hasil perhitungan, stabilitas komputasi dan besaran memori komputer yang diperlukan dalam proses otomatisasi sistem informasi kelak, Logika penentuan L\t dan L\x.adalah menentukan nilai sekecil mungkin, tetapi tidak sampai pad a angka batas stabilitas, Tentang angka stabilitas akan disampaikan pada makalah lain, Perhitungan batas stabilitas memerlukan pengkajian yang mendalam dan bersifat khusus, karena diperlukan penurunan rumus-rumus matematika yang rumit dan agak teoritis. c, Harga awal (initial value) merupakan nilai yang ditentukan sejak awal berdasarkan proses iterasi, Adapun
harga
awal
muncul
akibat
diidentifikasi. Atau sebaliknya, untuk perhitungan iterasi konsentrasi radionuklida dalam tanah pada daerah seperti gambar 5, nilai-nilai konsentrasi radionuklida dalam tanah mana saja yang sejak awal harus disediakan sebagui nilai awal dan syarat batas.
Skema implisit. Untuk pembahasan skcma ini, titik tolaknya adaJahpersamaan (8). Nilai-nilai konstanta Dr. (J) dan A.mcrupakan konstanta awal yang harus tersedia seperti halnya pada pembahasan skema eksplisit. Sedangkan perubahan jarak Llx dan perubahan waktu ~t .dapat ditentukan sejak awal. Hanya saja secara teoritis ads perbedaan teknik penentuan nilai ~t dan Llx .antara skema eksplisit dan skema implisit. Dari persamaan (8), penentuan nilai awal dan syarat batas mempunyai bentuk domain sebagai berikut : "q,
""
~c""--oj~
/
'V
"",q'i '-4.
proses
berikut. Pada saat 11=0, nampak bahwa pada persamaan (6) ada nilai
q., ~
y
C-
cj/
--xr"
q~.I,q~,q~+I' yang
diperlukan agar muncul nilai q:, Sedangkan untuk iterasi berikutnya, misalnya n= 1, hasilnya adalah q~ dengan syarat batas yang harus d' b .k . k I ' 0 I 2 n I erl an seJa awa, yaltu qo,qo,qo,...",qo dan q0 , I d .(' ) d 2 I Imana m -max I an m q m , q m ,.,.." q m l=max(t), Daerah harga awal dan syarat batas untuk langkah iterasi skema eksplisit adalah :
Skema Crank-Nicholson. Seperti skema
halnya
dasar pijakan setelah
mirip
sehingga
semua
sekali
proses
domainnyapun sedikit Nicholson lebih skema
persamaan
penentuan awal
daTi pada
Sehingga
radionuklida
i1nplisit, niiai-nilai
skema
bentuk
skema
eksplisit
akurasi daerah
dalam
~t
maupun
perhitungan penelitian
akan lebih bagus. ~-~-
ada
Crankkesalahan
pad a suku
pada
batasnya
sarna. Hanya
~x tertentu
error) dalam
tersebut temyata
Bahkan
dalam
jarak
untuk
menjadi
dan syarat
implisit.
yaitu
(truncation
implisit.
konsentrasi
dengan
dapat dikatakan
ini perubahan
kecil
(10)
seksama
skema
perbedaan,
pemotongan
Persamaan
dengan
nilai
pada
di atas, (10)
proses
konstanta-konstanta,
skema
ini persamaan
pembahasan.
diperhatikan
bentuknya
seperti
kedua
Crank-Nicholson
--
Prosiding Pertemuan dan Presentasi IImiah Penelitian Dasar IImu Pengetahuan dan Teknologi Nuklir P3Tr~.BATAN YoQvakarta. 25-26 Juli 2000
Supriyono. dkk
ISSN0216-3128
Setelah berhasil mengidentifikasi nilai-nilai konstanta, nilai awal dan syarat batas dari ketiga skema diatas, maka langkah berikutnya adalah menyusun algoritma dan pembuatan program komputer, agar dihasilkan nilai konsentrasi radionuklida dalam tanah secara otomatis dengan modalnya adalah persamaan(6), (8)dan (10).
KESIMPULAN I.
Dengan menggunakan metode beda hingga, maka dapat dihasilkan persamaanmatematis dari skema eksplisit, implisit dan Crank-Nicholson guna dijadikan modal dasar penyusunan algoritma pemrograman komputer dalam rangka pembuatan otomatisasi sistem pemantauan konsentrasi radionuklida ke lingkungan tanah. 2. Dari ketiga skema tersebut temyata masingmasing mempunyai kelebihan dan kekuarangan, misalnya jika ditinjau dari kemudahan pembuatan algoritma pemrograman komputer nampak bahwa skema eksplisit lebih mudah dibanding dengan skema implisit maupun skema Crank-Nicholson. Karena skema eksplisit tidak memerlukan proSes manipulasi matriks maupun proses Gaussian. Tetapi jika yang dilihat adalah fleksibelitas nilai awal dan syarat batas, skema implisit dan skema Crank-Nicholson lebih luwes dibandingkan dengan skema eksplisit. Sehingga dalam aplikasi kelak daerah pengamatan konsentrasi radionuklida dalam tanah lebih dapat memilih seperti keadaan yang sebenamya.3. Akibat adanya keterbatasan dari masing-masing skema, maka tersedianya data-data awal. sistem perangkat keras dan bentuk daerah pengamatan akan mempengaruhi pengambilan keputusan tentang skema apa yang akan digunakan.
PENUTUP Kerumitan dan keakurasian persamaan matematis beserta algoritma pemrograman komputer dan sistem perangkat lunak kelak, tidak akan ada manfaatnya jika tidak tersedia data-data nuklir seperti yang diharapkan dalam tulisan ini. Oleh karena itu pintu kerjasama kepada semua pihak yang mempunyai data nuklir tersebut dibuka lebarlebar, agar terciptanya suatu sistem pemantauan dispersi radionuklida secara otomatis yang bermanfaat bagi kesehatan dan keamanan untuk lingkungan dan manusia di sekitar fasilitas nuklir.
DAFTAR
PUS TAKA
I. CHAPRA,S.C; CANALE,R.P., Methods For Engineers", Company Singapore, 1989.
"Numcrical McGraw-HilI
317
2. SEWELL,G., "The Numerical Solution Of Ordinary And Partial Differential Equations", Academic PressInc London, 1988. 3. BELLI,M.; TIKHOMIROV,F., "Behavior Of Radionuclides In Natural And Semi-Natural Environments", International SQientific Collaboration On The Consequences Of The Chernobyl Accident (1991-1995), ECSC-ECEAEC, Brussels, Luxembourg, 1996. 4. TRIA TMODJO,B.; "Metode Numerik", Beta Offset Y ogyakarta, 1995. 5. AXELSSON,O. ; BARKER,V.A, "Finite Element Solution of Boundary Value Problems", Academic Press,Inc, London, 1984. 6. SINCERO,A.P.; SINCERO,G.A., "Environmental Engineering", Prentice Hall, New Jersey,
1996.
TANYA
JAWAB
Sudarmadji )- Dari ketiga skema ini ma_nayang terbaik ?
Suprlyono
-9- Dari ketiga skema,yaitu skema eksplisit, implisit don Crank-Nicholson,untuk..L1tdon Ax yang lebih kecil, skemaCrank-Nicholson lebih bait Tetapidalampemilihan skemaini tergantungdari persoalannya.
Tono Wibowo )- Bagaimana langkah-langkah metode hingga pada penelitian saudara ?
beda
Suprlyono
-9- Menentukanskema(eksplisit,implisit, cranknicholson),menurunkanskematersebutpada persamaan awal menjadi persamaan matematis,menentukannilai awal (IVP), menentukansyarat balas, perhitungan don komputasi.
Sahat Simbolon )- Bagaimana dapat dibuktikan bahwa salah satu dari persamaanmatematis di atas paling baik ?
Supriyono
-9- Vntuk membuktikan skema mana yang terbaik, skemaeksplisit, implisit don cranknicholson mempunyaikarakteristik sendirisendiri. Oleh karena itu dalam pemilihan skema tergantung dari persoalan masingma.\'ing(caseby ca.\'e)
Prosiding Per1emuan dan Presentasi IImiah Penelitian Dasar IImu Pengetahuan dan Teknologi Nuklir P3TM-BATAN Yogyakar1a. 25-26 Juli 2000
