METODA TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

METODA TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

1.

Pendahuluan Karakteristik dasar tanggapan peralihan suatu sistem lingkar tertutup

ditentukan oleh pole-pole lingkar tertutup. Jadi dalam persoalan analisis, perlu ditentukan letak pole-pole lingkar tertutup pada bidang s. Dalam disain sistem lingkar tertutup, akan diatur pole dan zero lingkar terbuka sedemikian rupa sehingga pole dan sero lingkar tertutup pada posisi yang diinginkan. Pole-pole lingkar tertutup adalah akar-akar persamaan karakteristik. Untuk mencarinya diperlukan penguraian persamaan polinomial karakteristik atas faktor-faktornya. Pada umumnya ini sulit jika derajat polinomial karakteristiknya tiga atau lebih tinggi. Teknik klasik penguraian polinomial atas faktor-faktornya adalah kurang ampuh karena penguatan fungsi alih lingkar terbuka berubah maka perhitungan arus diulang. Metoda tempat kedudukan akar merupakan suatu metoda dengan menggambar akar-akar persamaan karakteristik untuk semua harga dari suatu parameter sistem. Akar-akar untuk suatu harga tertentu dari parameter ini selanjutnya terletak pada grafik yang diperoleh. Perhatikan bahwa parameter ini biasanya adalah penguatan tetapi setiap variabel lain dari fungsi alih lingkar terbuka juga dapat digunakan. Jika tidak disebutkan, dianggap bahwa penguatan fungsi alih lingkar terbuka merupakan parameter yang diubah di seluruh daerah harganya yaitu dari nol sampai tak terhingga. Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik sistem lingkar tertutup jika penguatan diubah dari nol sampai tak terhingga memberikan latar belakang pemberian nama metoda ini. Diagram ini secara jelas menunjukkan konstribusi tiap pole dan zero lingkar terbuka pada letak pole-pole lingkar tertutup. Metoda tempat kedudukan akar memungkinkan untuk mencari pole-pole lingkar tertutup dari pole dan zero lingkar terbuka dengan penguatan sebagai parameter. Metoda ini menghilangkan

1

kesulitan-kesulitan yang timbul pada teknik klasik dengan memberikan peragaan grafis semua pole lingkar tertutup untuk semua harga penguatan fungsi alih 2.

Contoh Soal

Contoh 1. : Diketahui fungsi alih pada persamaan (6.15) berikut G (s ) =

s + 0.2 s3 + 3.6s 2

(1)

Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar dari fungsi alih pada persamaan (1) Jawab : Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 1. adalah clc clear all close all % Contoh 1. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 1 0.2]; den = [ 1 3.6 0 0]; sys = tf(num,den) % % Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den) v = [ -4 2 -4 4]; axis(v) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function: s + 0.2 ------------s^3 + 3.6 s^2

Diagram tempat kedudukan akar persamaan (1) pada Gambar 1. berikut

2

Root Locus 4 0.66 3

0.52

0.4

0.26

0.12 3.5 3

0.8

2.5 2

Imaginary Axis

1

2 0.9

1.5 1

0.97

0.5 0 0.5 -1

-2

0.97

1 1.5

0.9

2 2.5

-3

0.8

3 0.66

-4 -4

0.52 -3

0.4

0.12 3.5

0.26

-2

40

-1

1

2

Real Axis

Gambar 1. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Persamaan (1)

Contoh 2. : Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 6.3 berikut R(s)

K (s2 + 2s + 5)

+

2

s(s+3)(s+5)(s +1(s+1)

-

C(s)

Gambar 2. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup

Tentukan a.

Jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil

b.

Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada Gambar 2.

Jawab : a.

Untuk menentukan jangkauan nilai K

Fungsi alih sistem lingkar terbuka sistem pada Gambar 2. adalah

G (s ) =

(

K s 2 + 2s + 5

(

)

)

s ( s + 3)( s + 5 ) s 2 +1.5s + 1

=

(

K s 2 + 2s + 5

)

s5 + 9.5s 4 + 28s3 + 20s 2 + 15s

(2)

Untuk menentukan titik potong tempat kedudukan akar pada sumbu imajiner jω dilakukan dengan mensubstitusi s = jω ke dalam persamaan karakteristik pada persamaan (2) dan diperoleh persamaan (3) dan (4) berikut

3

( jω)

5

+ 9.5 ( jω ) + 28 ( jω ) + 20 ( jω ) + 15 ( jω ) + K 4

3

2

(( jω) + 2 ( jω) + 5) = 0 (3) 2

9.5ω4 − ( 20+K ) ω2 + 5K  + j ω5 − 28ω3 + (15+2K ) ω = 0

(4)

Berdasarkan persamaan (4) diperoleh persamaan (5) dan persamaan (6) berikut 9.5ω 4 − ( 20 + K ) ω 2 + 5K = 0

(5)

ω5 − 28ω3 + (15 + 2K ) ω = 0

(6)

Berdasarkan persamaan (5) diperoleh persamaan (7) berikut ω4 − 28ω2 + (15 + 2K ) = 0 → K =

-ω4 + 28ω2 -15 2

(7)

dengan substitusi persamaan (7) ke persamaan (5) diperoleh persamaan (8) dan (9) berikut

 -ω4 + 28ω2 -15  2 4 2 9.5ω4 −  20 +  ω − 2.5ω + 70ω − 37.50 = 0 2   0.5ω6 − 2ω 4 + 57.50ω 2 − 37.50 = 0

(8) (9)

Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (9) sebagai berikut ω1 = 2.4786 - j2.1157

(10)

ω2 = 2.4786 + j2.1157

(11)

ω3 = -2.4786 + j2.1157

(12)

ω4 = -2.4786 - j2.1157

(13)

ω5 = -0.8155

(14)

ω6 = 0.8155

(15)

Akar-akar dari persamaan (9) menunjukkan bahwa tempat kedudukan akar memotong sumbu khayal pada ω = 0.8155 dengan nilai

-ω4 + 28ω2 -15 − ( 0.8155) + 28 ( 0.8155) − 15 K= = = 1.5894 2 2 4

2

(16)

Dengan demikian jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil adalah (17)

0 < K < 1.5894

4

b.

Gambar diagram tempat kedudukan akar untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 2.

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 2. adalah clc clear all close all % Contoh 2. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 0 1 2 5]; den = [ 1 9.5 28 20 15 0]; sys = tf(num,den) % % Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den) v = [ -8 2 -5 5]; axis(v) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function: s^2 + 2 s + 5 -------------------------------------s^5 + 9.5 s^4 + 28 s^3 + 20 s^2 + 15 s Diagram tempat kedudukan akar untuk sistem lingkar tertutup Gambar

6.2

berikut Root Locus 5 0.86

0.76

0.64

0.5

0.34

0.16

4 3

0.94

2 Imaginary Axis

0.985 1 8 0

7

6

5

-7

-6

4

3

2

1

-1 0.985 -2 -3

0.94

-4 0.86 -5 -8

0.76

0.64 -5

0.5

-4

-3

0.34 -2

0.16 -1

0

1

2

Real Axis

Gambar 3. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Lingkar Tertutup Pada Gambar 6.2

5

Contoh 3. : Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 4. berikut +

R(s)

K -

s+3 s+5

3 s 2 (s+3)

C(s)


Tentukan a.

Jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil

b.

Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada Gambar 6.4

Jawab : a.

Untuk menentukan jangkauan nilai K

Fungsi alih sistem lingkar terbuka pada persamaan (18) berikut G (s ) =

3K ( s + 3 )

(18)

4

s + 8s 3 + 15s 2

Persamaan karakteristik sistem pada persamaan (19) berikut s 4 + 8s 3 + 15s 2 + 3Ks + 9K = 0

(19)

Untuk menentukan titik potong tempat kedudukan akar pada sumbu imajiner jω dilakukan dengan mensubstitusi s = jω ke dalam persamaan karakteristik (6.33) dan diperoleh persamaan (20) dan (21) berikut

( jω)

4

+ 8 ( jω) + 15 ( jω ) + 3K ( jω ) + 9K = 0 3

2

ω4 − 15ω2 + 9K  + jω  −8ω2 + 3K  = 0

(20) (21)

Berdasarkan persamaan (21) diperoleh persamaan (22) dan (23) berikut ω 4 − 15ω 2 + 9K = 0

(22)

ω −8ω3 + 3K  = 0

(23)

Berdasarkan persamaan (23) diperoleh persamaan (24) berikut ω  −8ω2 + 3K  = 0 → K =

8ω2 3

(24)

Dengan substitusi persamaan (24) ke persamaan (22) diperoleh persamaan (25) dan (26) berikut

 8ω2  ω4 − 15ω2 + 9  =0  3 

6

(25)

ω4 + 9ω2 = 0

(26)

Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (26) sebagai berikut ω1 = 0

(27)

ω 2 = ± j3

(28)

Dari akar-akar persamaan (26) terlihat bahwa tempat kedudukan akar memotong sumbu khayal pada ω = 3 dengan nilai berikut

K=

8 ( 3)

2

3

= 24

(29)

Dengan demikian jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil adalah (30)

0 < K < 24

c.

Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 3. adalah

clc clear all close all % Contoh 3. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 0 1 3]; den = [ 1 8 15 0 0]; sys = tf(num,den) % % Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den) v = [ -2 2 -5 5]; axis(v) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function: s + 3 -------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2

7

Diagram tempat kedudukan akar pada Gambar 5. berikut Root Locus 5 4 3

Imaginary Axis

2 1

0.32 0.42

0.22

0.14

0.07 4 3

0.56 2 0.74 1

0.9

0 -1 -2 -3 -4

0.9

1

0.74 2 0.56 3 0.42 0.32

-5 -2

-1.5

4 0.22

0.14

-1

0.07 50

-0.5

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Gambar 5. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Diagram Blok Pada Gambar 4.

Contoh 4. : Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 6.7 berikut + -

K s(s+3)(s+5)


Tentukan a.

Nilai K jika rasio redaman dari pole lingkar tertutup bernilai 0.6

b.

Dengan menggunakan Matlab, tentukan pole-pole sistem lingkar tertutup

c.

Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada Gambar 6.

d.

Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan

Jawab : a.

Nilai K jika rasio redaman ( ς ) dari pole lingkar tertutup bernilai 0.6

Gambar 7. Posisi Sudut

8

Persamaan karakteristik sistem Gambar 6. pada persamaan (31) berikut s ( s + 3 )( s + 5 ) + K = 0

(31)

ςωn =ς ωn

(32)

sin θ =

Berdasarkan Gambar 7. Jika ς = 0.6 diperoleh persamaan (33) berikut (33)

s = -0.75a + ja

Dimana a adalah variabel yang nilainya berkisar antara 0 < a < ∞ . Dengan mensubstitusi persamaan (33) ke persamaan (31) diperoleh persamaan (34) dan (35) berikut

( -0.75a + ja )( -0.75a + ja+ 3)( -0.75a + ja + 5 ) + K = 0

(1.8281a

3

) (

(34)

)

- 2.1875a 2 - 3a + K + j 0.6875a 3 - 7.50a 2 +15a = 0

(35)

Berdasarkan persamaan (35) diperoleh persamaan (36) dan (37) berikut 1.8281a 3 - 2.1875a 2 - 3a + K = 0

(36)

0.6875a 3 - 7.50a 2 +15a = 0

(37)

Dari persamaan (37) diperoleh persamaan (38) berikut 0.6875a 2 - 7.50a +15 = 0 atau a 2 - 10.9099a + 5.8182 = 0

(38)

Persamaan (38) difaktorkan menjadi persamaan (39) berikut

( a - 0.5623)( a - 10.3468 )

=0

(39)

Berdasarkan persamaan (39) diperoleh persamaan (40) berikut a1 = 0.5623 dan a 2 = 10.3468

(40)

Dari persamaan (36) diperoleh persamaan (41) berikut K = -1.8281a 3 + 2.1875a 2 + 3a

(41)

Dengan mensubstitusi nilai-nilai pada persamaan (40) ke dalam persamaan (41) diperoleh persamaan (42) dan (43) berikut

K1 = -1.8281( 0.5626) + 2.1875( 0.5626) + 3( 0.5626) = 2.0535 untuk a1 = 0.5623 3

2

(42) K2 = -1.8281(10.3468) + 2.1875(10.3468) + 3(10.3468) = -1759.7400 untuk a 2 = 10.3468 3

2

(43)

9

Dari persamaan (42) dan (43) terlihat bahwa nilai K bernilai positif untuk a1 = 0.5623 dan bernilai negatif untuk a 2 = 10.3468 . Dengan demikian diambil nilai K = 2.0535 . b.

Pole-pole sistem lingkar tertutup

Dengan mensubstitusi Nilai K = 2.0535 persamaan (42) diperoleh persamaan (44) berikut s ( s + 3 )( s + 5 ) + 2.0535 = 0 atau s3 + 8s 2 + 15s + 2.0535 = 0

(44)

Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (44) berikut

c.

s1 = -5.1817

(45)

s 2 = -2.6699

(46)

s3 = -0.1484

(47)

Diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada Gambar 8.

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 4. adalah clc clear all close all % Contoh 4. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 0 1]; den = [ 1 8 15 0]; sys = tf(num,den) % % Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den) v = [ -2 2 -5 5]; axis(v) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function: 1 -----------------s^3 + 8 s^2 + 15 s Gambar 8. merupakan diagram tempat kedudukan akar dari diagram blok pada Gambar 6. berikut

10

Root Locus 5 0.32 4 3

Imaginary Axis

2 1

0.22

0.14

0.07 4

0.42

3 0.56 2 0.74 1

0.9

0 -1 -2 -3 -4

0.9

1

0.74 2 0.56 3 0.42

4 0.32

-5 -2

-1.5

0.22 -1

0.14

0.07 50

-0.5

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Gambar 8. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk diagram blok pada Gambar 6.

d.

Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 4. adalah clc clear all close all % % Fungsi Alih Lingkar Tertutup disp('Fungsi Alih Lingkar Tertutup') num1 = [ 0 0 0 2.0535]; den1 = [ 1 8 15 2.0535]; sys = tf(num1,den1) % % Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan step(num1,den1) grid on title('Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan') Gambar 9. merupakan tanggapan sistem pada Gambar 6. terhadap masukan undak satuan

11

Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan 1 0.9 0.8 0.7

Amplitude

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

10

20

30

40

50

60

Time (sec)

Gambar 9. Tanggapan Diagram Blok Pada Gambar 6. Terhadap Masukan Undak Satuan

Contoh 5. : Untuk sistem dengan fungsi alih pada persamaan (48) berikut G (s ) =

s+5 s + 7s + 25 2

(48)

Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar dari persamaan (48)

Jawab : Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 5. adalah clc clear all close all % Contoh 5. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 1 5]; den = [ 1 7 25]; sys = tf(num,den) % % Diagram Tempat Kedudukan Akar figure rlocus(num,den) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function:

12

s + 5 -------------s^2 + 7 s + 25 Gambar 10. merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada persamaan (48) berikut Root Locus 5 0.96

0.92

0.86

0.76

0.58

0.35

4 3

0.984

2 Imaginary Axis

0.996 1 18 0

16

14

12

10

-14

-12

8

6

4

2

-1 0.996 -2 -3

0.984

-4 0.96 -5 -18

0.92

-16

0.86 -10

0.76

-8

0.58

-6

-4

0.35 -2

0

2

Real Axis


Contoh 6. : Untuk sistem dengan fungsi alih pada persamaan (49) berikut

G (s) H (s) =

K ( s + 3)

( s + 3s + 4 )( s + 2s + 7 ) 2

2

=

K ( s + 3) 4

3

s + 5s +17s 2 + 29s + 28

(49)

Dengan menggunakan Matlab tentukan gambarkan diagram tempat kedudukan akar dari persamaan (49)

Jawab : Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 6. adalah clc clear all close all % Contoh 6. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 0 1 3]; den = [ 1 5 17 29 28]; sys = tf(num,den) % % Diagram Tempat Kedudukan Akar K1 = 0:0.1:2; 13

K2 = 2:0.02:5; K3 = 2.5:0.5:10; K4 = 10:1:50; K5 = 50:5:800; K = [K1 K2 K3 K4 K5]; r = rlocus(num,den,K); plot(r,'o'); v = [ -10 5 -8 8]; grid on title('Tempat Kedudukan Akar') xlabel('Sumbu Real') ylabel('Sumbu Imaginer') Gambar 11. merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada persamaan (49) berikut Tempat Kedudukan Akar 10 8 6

Sumbu Imaginer

4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -10

-8

-6

-4 -2 Sumbu Real

0

2

4


Contoh 7. : Untuk sistem kendali umpan balik satu dengan fungsi alih pada persamaan (50) berikut

G (s ) =

K s s + 5s + 9

(

2

)

(50)

Tentukan a.

Pole-pole untuk sistem lingkar tertutup dengan menggunakan Matlab jika

K=3 b.

Dengan menggunakan Matlab, Gambarkan diagram tempat kedudukan akar persamaan (50)

14

c.

Tanggapan sistem lingkar tertutup terhadap masukan undak satuan

Jawab : a.

Pole-pole untuk sistem lingkar tertutup jika K = 3

Persamaan karakteristik sistem pada persamaan (50) adalah s3 + 5s 2 + 9s + 3 = 0

(51)

Dengan menggunakan Matlab diperoleh persamaan (52) s/d (54) berikut p1 = -2.2874 + j1.3500

(52)

p 2 = -2.2874 - j1.3500

(53)

p3 = -0.4253

(54)

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 7. adalah clc clear all close all % Contoh 7. % disp('Pole - Pole Sistem Lingkar Tertutup') P = [ 1 5 9 3]; roots(P) Hasil program Pole - Pole Sistem Lingkar Tertutup ans =

-2.2874 + 1.3500i -2.2874 - 1.3500i -0.4253 b.

Gambarkan diagram tempat kedudukan akar persamaan (50)

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 7a. adalah

clc clear all close all % Contoh 7a. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 0 1]; den = [ 1 5 9 0]; sys = tf(num,den) % % 15

% Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den) grid on title('Diagram Tempat Kedudukan Akar') xlabel('Sumbu Real') ylabel('Sumbu Imaginer') Hasil program Fungsi Alih Transfer function: 1 ----------------s^3 + 5 s^2 + 9 s Gambar 6.13 merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada persamaan (6.65) Diagram Tempat Kedudukan Akar 5 0.8

0.68

0.56

0.42

0.28

0.14

4 3

0.91

2 Sumbu Imaginer

0.975 1 0

6

5

-6

-5

4

3

2

1

-1 0.975 -2 -3

0.91

-4 0.8 -5 -7

0.68

0.56 -4

-3

0.42 -2

0.28

0.14 -1

0

1

Sumbu Real


c.

Tanggapan sistem lingkar tertutup terhadap masukan undak satuan

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 7b. adalah clc clear all close all % Contoh 7b. % % Fungsi Alih Lingkar Tertutup disp('Fungsi Alih Lingkar Tertutup') num = [ 0 0 0 3]; den = [ 1 5 9 3]; sys = tf(num,den) % % Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan 16

step(num,den) grid on title('Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan') Gambar 13. merupakan tanggapan sistem pada persamaan (50) terhadap masukan undak satuan Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan 1 0.9 0.8 0.7

Amplitude

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

5

10

15

Time (sec)

Gambar 13. Tanggapan Persamaan (50) Terhadap Masukan Undak Satuan


G (s) =

1 1 = 3 s + 3s 2 + 2s s s + 3s + 2

(

2

)

(55)

Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar persamaan (55) dengan rasio redaman berkisar antara 0.5 s/d 0.7 dan frekwensi alami sebesar 0.5 rad sec

Jawab : Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 8. adalah clc clear all close all % Contoh 8. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = 1; den = [ 1 3 2 0]; 17

sys = tf(num,den) % % Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den) sgrid([0.5:0.1:0.7],0.5) axis([-1 1 0 3]) Hasil program Fungsi Alih Transfer function: 1 ----------------s^3 + 3 s^2 + 2 s Gambar 14. merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada persamaan (55) berikut Root Locus 5 4 3

Im aginary Axis

2 1 0.5 0.6 0.7 0.5

0

0.7 0.6 0.5 -1 -2 -3 -4 -5 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Real A xis



G (s) =

1 1 = 3 s + 3s 2 + 2s s s + 3s + 2

(

)

2

(56)

Dengan menggunakan Matlab, tentukan penguatan dan pole-pole dari sistem lingkar tertutup jika lokasi pole dari kedudukan akar terletak di −0.5 dan −0.7

Jawab : Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 9. adalah clc clear all close all 18

% Contoh 9. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = 1; den = [ 1 3 2 0]; sys = tf(num,den) % % Diagram Tempat Kedudukan Akar [k,clpoles] = rlocfind(num,den,[-0.5

-0.7])

Hasil program Fungsi Alih Transfer function: 1 ----------------s^3 + 3 s^2 + 2 s

k = 0.3750

0.2730

clpoles = -2.1514 -0.5000 -0.3486

-2.1157 -0.7000 -0.1843


G (s) =

1 1 = 3 s + 3s 2 + 2s s s 2 + 3s + 2

(

)

(57)

Dengan menggunakan Matlab Tentukan pole-pole dari sistem lingkar tertutup untuk penguatan dari 0.3

a.

sampai 0.7 b.

Analisa hasil simulasi pada bagian (a)

c.

Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan untuk penguatan 0.25 , 0.40 , 1.50 , 6.00 dan 8.00 secara bersamaan

Jawab : a.

Pole-pole dari sistem lingkar tertutup untuk penguatan dari 0.3 sampai 0.7 0.3000 0.4000 0.5000

-2.1254 -2.1597 -2.1915

-0.6611 -0.2135 -0.4201 - 0.0932i -0.4201 + 0.0932i -0.4043 - 0.2544i -0.4043 + 0.2544i 19

0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.9000 2.0000 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 2.5000 2.6000 2.7000 2.8000 2.9000 3.0000 3.1000 3.2000 3.3000 3.4000 3.5000 3.6000 3.7000 3.8000 3.9000 4.0000 4.1000 4.2000 4.3000 4.4000 4.5000 4.6000 4.7000 4.8000 4.9000 5.0000 5.1000 5.2000 5.3000

-2.2212 -2.2492 -2.2756 -2.3007 -2.3247 -2.3477 -2.3697 -2.3909 -2.4114 -2.4311 -2.4503 -2.4688 -2.4868 -2.5043 -2.5214 -2.5380 -2.5542 -2.5700 -2.5855 -2.6006 -2.6154 -2.6299 -2.6441 -2.6580 -2.6717 -2.6851 -2.6983 -2.7113 -2.7240 -2.7365 -2.7489 -2.7610 -2.7729 -2.7847 -2.7963 -2.8078 -2.8190 -2.8302 -2.8411 -2.8520 -2.8627 -2.8732 -2.8837 -2.8940 -2.9042 -2.9142 -2.9242 -2.9340

-0.3894 - 0.3442i -0.3754 - 0.4127i -0.3622 - 0.4694i -0.3496 - 0.5186i -0.3376 - 0.5623i -0.3262 - 0.6018i -0.3151 - 0.6380i -0.3045 - 0.6715i -0.2943 - 0.7028i -0.2844 - 0.7322i -0.2749 - 0.7599i -0.2656 - 0.7862i -0.2566 - 0.8112i -0.2478 - 0.8350i -0.2393 - 0.8579i -0.2310 - 0.8798i -0.2229 - 0.9009i -0.2150 - 0.9213i -0.2073 - 0.9409i -0.1997 - 0.9599i -0.1923 - 0.9783i -0.1851 - 0.9962i -0.1780 - 1.0136i -0.1710 - 1.0304i -0.1642 - 1.0469i -0.1574 - 1.0629i -0.1508 - 1.0785i -0.1444 - 1.0938i -0.1380 - 1.1087i -0.1317 - 1.1232i -0.1256 - 1.1375i -0.1195 - 1.1514i -0.1135 - 1.1651i -0.1076 - 1.1785i -0.1018 - 1.1917i -0.0961 - 1.2046i -0.0905 - 1.2172i -0.0849 - 1.2297i -0.0794 - 1.2419i -0.0740 - 1.2539i -0.0687 - 1.2658i -0.0634 - 1.2774i -0.0582 - 1.2889i -0.0530 - 1.3001i -0.0479 - 1.3112i -0.0429 - 1.3222i -0.0379 - 1.3330i -0.0330 - 1.3436i

20

-0.3894 + 0.3442i -0.3754 + 0.4127i -0.3622 + 0.4694i -0.3496 + 0.5186i -0.3376 + 0.5623i -0.3262 + 0.6018i -0.3151 + 0.6380i -0.3045 + 0.6715i -0.2943 + 0.7028i -0.2844 + 0.7322i -0.2749 + 0.7599i -0.2656 + 0.7862i -0.2566 + 0.8112i -0.2478 + 0.8350i -0.2393 + 0.8579i -0.2310 + 0.8798i -0.2229 + 0.9009i -0.2150 + 0.9213i -0.2073 + 0.9409i -0.1997 + 0.9599i -0.1923 + 0.9783i -0.1851 + 0.9962i -0.1780 + 1.0136i -0.1710 + 1.0304i -0.1642 + 1.0469i -0.1574 + 1.0629i -0.1508 + 1.0785i -0.1444 + 1.0938i -0.1380 + 1.1087i -0.1317 + 1.1232i -0.1256 + 1.1375i -0.1195 + 1.1514i -0.1135 + 1.1651i -0.1076 + 1.1785i -0.1018 + 1.1917i -0.0961 + 1.2046i -0.0905 + 1.2172i -0.0849 + 1.2297i -0.0794 + 1.2419i -0.0740 + 1.2539i -0.0687 + 1.2658i -0.0634 + 1.2774i -0.0582 + 1.2889i -0.0530 + 1.3001i -0.0479 + 1.3112i -0.0429 + 1.3222i -0.0379 + 1.3330i -0.0330 + 1.3436i

5.4000 5.5000 5.6000 5.7000 5.8000 5.9000 6.0000 6.1000 6.2000 6.3000 6.4000 6.5000 6.6000 6.7000 6.8000 6.9000 7.0000 b.

-2.9437 -2.9534 -2.9629 -2.9723 -2.9816 -2.9909 -3.0000 -3.0090 -3.0180 -3.0269 -3.0357 -3.0444 -3.0530 -3.0615 -3.0700 -3.0784 -3.0867

-0.0281 - 1.3541i -0.0233 - 1.3645i -0.0186 - 1.3747i -0.0138 - 1.3847i -0.0092 - 1.3947i -0.0046 - 1.4045i 0.0000 - 1.4142i 0.0045 - 1.4238i 0.0090 - 1.4333i 0.0134 - 1.4426i 0.0178 - 1.4519i 0.0222 - 1.4610i 0.0265 - 1.4701i 0.0308 - 1.4790i 0.0350 - 1.4879i 0.0392 - 1.4966i 0.0434 - 1.5053i

-0.0281 + 1.3541i -0.0233 + 1.3645i -0.0186 + 1.3747i -0.0138 + 1.3847i -0.0092 + 1.3947i -0.0046 + 1.4045i 0.0000 + 1.4142i 0.0045 + 1.4238i 0.0090 + 1.4333i 0.0134 + 1.4426i 0.0178 + 1.4519i 0.0222 + 1.4610i 0.0265 + 1.4701i 0.0308 + 1.4790i 0.0350 + 1.4879i 0.0392 + 1.4966i 0.0434 + 1.5053i

Analisa hasil simulasi pada bagian (a)

Kasus 1 : Untuk 0 < K < 0.4 maka pole – pole dari sistem lingkar tertutup bersifat real dan berbeda serta rasio redaman besar dari 1 ( teredam lebih) Kasus 2 : Untuk K = 0.4 , titik break away terjadi pada saat penguatan ini serta rasio redaman sama dengan nol (teredam kritis) Kasus 3 : Untuk 0.4 < K < 0.6 , pole – pole dari sistem lingkar tertutup bersifat komplek dan rasio redaman kecil dari 1 (teredam kurang) Kasus 4 : Untuk kasus K = 6 , pole – pole dari sistem lingkar tertutup terletak pada sumbu khayal dan sistem bersifat stabil marginal. Kasus 5 : Untuk kasus K > 6 , pole – pole dari sistem lingkar tertutup terletak di sebelah kanan sumbu khayal dan sistem bersifat stabil Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 10. adalah clc clear all close all % Contoh 10. %

21

% Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = 1; den = [ 1 3 2 0]; sys = tf(num,den) % % Diagram Tempat Kedudukan Akar clpoles = rlocus(num,den,[0.3:0.1:7]); range = [ 0.3:0.1:7 ]'; [range clpoles]; % rangek = [0.25 0.4 1.5 6 8]; t =[0 : 0.2 : 20]; % % Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan for j= 1: 5; [ntc,dtc] = cloop(num*rangek(j),den); y(:,j) = step(ntc,dtc,t); end figure subplot(211) plot(t,y(:,1:3)) grid on title('Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan') xlabel('detik') ylabel('Keluaran') subplot(212) plot(t,y(:,4:5)) grid on xlabel('detik') ylabel('Keluaran')

Hasil Program Fungsi Alih Transfer function: 1 ----------------s^3 + 3 s^2 + 2 s Gambar 15. merupakan tanggapan sistem pada persamaan (57) terhadap masukan undak satuan

22

Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan 1.5

Keluaran

1

0.5

0

0

2

4

6

8

10 detik

12

14

16

18

20

0

2

4

6

8

10 detik

12

14

16

18

20

Keluaran

5

0

-5

Gambar 15. Tanggapan Terhadap Masukan Undak Satuan Untuk Sistem Pada Persamaan (57)

Contoh 11. : Untuk sistem kendali lingkar tertutup pada Gambar 16. berikut R(s)

+

G(s) = -

K (s + 1) s (s + 2)

H(s) =

C(s)

1 s+3

Gambar 16. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup Untuk Variasi Nilai K

Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar diagram blok pada Gambar 16.

Jawab : Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 11. adalah clc clear all close all % Contoh 11. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [1 1]; den = [1 5 6 0]; sys = tf(num,den) % % Diagram Tempat Kedudukan Akar

23

rlocus(num,den) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function: s + 1 ----------------s^3 + 5 s^2 + 6 s Gambar 17. merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada diagram blok Gambar 16. Root Locus 8 0.4

0.28

0.2

0.14

0.09

0.04

7 6

6

5

0.56

4

4

3 0.8

2

Imaginary Axis

2

1 0 1 -2

2

0.8

3 -4

4 0.56

5

-6 0.4 -8 -3.5

6 0.28 -3

-2.5

0.2 -2

-1.5

0.14 -1

0.09 -0.5

0.04

7 80

0.5

Real Axis

Gambar 17. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Diagram Blok Gambar 16.

24

METODA TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

Recommend Documents