Ke Daftar Isi
METODA NUMERIK RUNBE-KUTTA UNTUK MENYELESAIKAN PROBLEMA HAMBURAN KUANTUM SENTRAL Budi Santoso Pusat Pengkajian Teknologi Nuklir ABSTRAK Dalam Runge-Kutta
tulisan ini disajikan pemakaian
metoda
numerik
untuk menyelesaikan persamaan di+erensial
yang
timbul dalam problema dalam hamburan kuantum dengan potensial sentral. Persamaan di+erensial yang melukiskan gelombang terhambur dapat diselesaikan se~ara·numerik untuk memperoleh geser fasa. Beser fasa masing-masing gelombang parsial yang diperoleh digunakan untuk menghitung amplitudo hamburan. Penulisan program dilakukan dalam bahasa BASIC dan di "run" dalam komputer PC agar se~ara praktis program tersebut dapat digunakan diberbagai tempat di mana komputer besar tidak tersedia. Hasil perhitungan dibandingkan dengan perhitungan sebelumnya memakai komputer ICL 1900, dan beda hasil perhitungan ·menunjukkan kesalahan < 0.17.dalam beberapa ~ontoh yang diberikan di sini. ABSTRACT The Runge-Kutta numerical method is present to solve 'differential equation for central potensial quantum scattering problems. The dif+erential equation for the wave fun~tions representing the scattered waves can be solved numeri~ally +or obtaining the phase ·shifts. The phase shifts are needed to compute the s~attering amplitudes. The ~omputer programme is written in BASIC and run using PC for pra~ti~al purposes, sin~e such computer ~an be easily available in many pla~es. Results of ~omputations are ~ompared with those from ICL 1900. In this example found that the differen~e is only less than 0,17..
1
it
is
.. 2
I.
PENDAHULUAN
Metoda Runge-Kutta banyak digunakan untuk memecahkan eror di-ferensial secara karena persamaan numerik, (kesalahan) yang timbul menurut pengalaman sangat' kecil sehingga hasil yang diperoleh cukup akurat. Metoda RungeKutta dapat dipakai untuk memecahkan persamaan di-ferensial linier orde n (n)1) melalui proses pengko~elan n kali persamaan di-ferensialorde satu. Khususnya untuk problema hamburan, persamaan di-ferensial yang akan dipecahkan berorde dua yang dapat dipecah menjadi dua persamaan di-ferensial ordesatu yang saling berkopel (gayut). Untuk dapat memahami metoda Runge-Kutta. pada bab berikut akan dibahaslebih II.
dahulu penjabarannya.
METODARUNBA-KUTTA'" Tinjaulah persamaan di-ferensialberikut ~
(1) dimana -f(x,y)adalah Tungsi yang diketahui dalam variabel x dan y. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut secara numerik, dapat dilakukan ekspansi Taylor di sekitar ~itik x o yang harga y(xo ) telahdiketahuisebagai titik awal. y<x000 +h) = y<x ) + hy"<x ) + (h2/2!)y"(x0 )
+
+•••••••••• (2)
(hn/n!) yn(xo )+._•••••••_ ••_~ •••
Deret ini dapat dipotong sampai derivat ke n.
Pada
h diambil harga yang kecil, 1t.1<1, sehingga eror timbul dari pemotongan diatas sebanding dengan hn_
umumnya yang Karena
y sampai y
dapat dijabarkan dari Tungsi -f(x,y>, maka harga y(xo + h) dapatdihitung secara numerik.
3
Penyelesaian
titik
dengan
mengambil
Taylor
ini
dijabarkan
selanjutnya
(xo + h), y(x 0 + h). kurang praktis karena y'
dapat dilakukan
Metoda
penderetan
sampai
y
harus
lebih dahulu.
Runge-Kutta empat
per titik
mengusulkan
(orde pendekatan
disajikan
suatu pendekatan,
dalamorde
boleh dipilih sekehendak,
tapi
yang
disini hanya orde empat yang banyak dipakai).
(3)
y(x o +h) = y(x 0 ) + (k1 + 2ak Z +2bk 3 + k4· )/6 dimana
k 100 = hf(x
,y );
k3 = hf(x 0 .+ 0,5h, k~ = hf(x 0 Apabila
persamaan
+
+
kZoo == hf(x
0.,5h., y
y 0 + ck 1 + dk Z);
+
h., y023 + ck
(3) dideretkan
bk )
dan sampai"orde
koinsiden
dengan
koefisien
a., b, c, d., dan e yaitu a = 1.,b
d = 0~5~
dan e
ada penyelesaian b =
1+1/i2~
yangke
c
dua
Dalam
deret Taylor, maka O.
==
Pemilihan
inidisebut
pendekatan
=
ke empat koefisien-
diperoleh
1,
==
c
inipun tidak ~unggal
lain yang memenuhi~
= -O.,5+1/i2,d
+ 0.,5k1).,
misalnya
a dan e
==
a =
-1/i2.
==
0.,
karena. l-l/i2.
Pemilihan
metoda6ill.
orde -4., metoda Runge-Kutta
+ 0 1 4 a+ (x 0kZ Z o 0 + k(k = +)/6 )hf(x 2k 2k k 0.,5k )., l!.y + 0.,5h., =Yo+3);O.,5k l!.y Y (x = hf + h) h, ,Y y= )Z + y O.,5h., Yo
menjadi
(4)
di.••• ana
Dengan titik
maka di titik x' o = x 0 + h., untuk sebagai titik awal
.mengetahui penyelesaian x
o
dapat
dipakai
4
menyelesaikan demikian
persamaan
\ Runge-Kutta diferensial
gayut
Penyelesaian
dapat dilakukan
Untuk
prob~ema
y(x'o +h).
secara rutin oleh program
diferensial
selalu
dapat
tersebut
selalu
dua persamaan
sebagai
titik per titik dengan orde
dipakai dapat
diferensial
karena dikembalikan orde satu
Ke dua persamaan
ini
dengan pendekatan
sebagai berikut
y<x o + h) = Y 0 + ~y;
yang
yang diketahui.
dapat diselesaikan
+
z(x 0
zZy" 0o i. 2k0,5k ., 2o 2+ 0 h., 30,5k s(1 i.~ o 2.-+ 2.)+ .,Z ,Z y 0z 0z, + k 1 1 21 = c:: +0))hf(x h'f(x 0,51 1/6(k 21 z+ , )+ 1/6 y h-f<x hg(x 2k ,,' 0,5h, Y +zh, 0.,5h., Y., 2k +J:a. = + + 0,5k .., ~y )0,51 +y0-40,51 )); ~ +
0
ke
dalam saling-
(5)
h) = z 0
+~
dimana
0
metoda
persamaan
= g(X.,y,z)
dimana 9 dan f adalah fungsi-fungsi
s'
maka
berikut
y' = f(x.,y.,z)., z
k
dua
komputer.
"I
zy + 0 diketahui 0dan harus h. +<x' mak. Sudah tentu =0z x titik x h), awal diketahui dahulu. (x +y + h),+ h) barang Dengan (x dapat dihitung harga y(x' 0" h) z
titik
per
ti ti k ' (6)
.•
5
III. PROBLEMA
Suatu
HAM BURAN KUANTUM
partikel
medan sentral relativistik
UCr)
+ k o 2)
C~
SENTRAL
yang dihamburkan secara mengikuti
persamaan
kuantum
oleh
Schrodinger
......
non (7)
~Cr) = UCr) ~Cr)
dimana k o adalah nomer gelombang partikel terhambur, dan ..• ~Cr) adalah fungsi gelombangnya. Berdasar analisis gelombang parsial ..•
~Cr)
(8)
= E
l
dapat dipisahkan persamaan radialnya yaitu (9)
Apabila
= 0 maka penyelesaian persamaan
U(r)
ini
adalah
-l,
fungsi Bessel Sferisorde sedang apabila UCr) ~ O,maka akan terjadi pergeseran fasa-gelombang yang besaran geser amplitude fasanya (6l) merupakan besaran dalam menghitung hamburan
f (8) =
1 2Ti<
00 1::
o l=o
C21+1)
e - 1 { 2i6 1 }
Pt(cos 8)
(10)
Kelakuan
dimana
6l menjadi nol untuk
UCr) = O.
Penyelesaian ut(r ~ 00 ) dapat penyelesaian titik per titik. Setiap
dilakukan melalui saat dicari harga
6
rn dimana u.t = 0,. kemudian diselisihkan antara harga 6ln = sedemikian r n (U=O) - r n (U~O). Apabila untuk r cukup jauh dikehendaki < maka presisi yang 166 .tn+i. . .tn <50 untuk penyelesaian dihentikan. Dalam praktek harga n
r
ko=l.
Sebagai
titik awal dapat diambil
di sekitar r=O dimana ul berkelakuan dan
u~
00
~
(l+l)rl•
Dalam praktek
harga u.t dan
sebagai
vl=ul
ul(r-O)
dapat diambil
- rl+~,
l
r = e <0,001 0
sebagai titik awal sehingga u~~o = el+~ dan v~~o =(I+l)e ; r 0 = e <0,001. Dalam problema hamburan ini persamaan diferensial = z yang dikopel adalah (12) rorde = satu o·vl I (1+1> + U(r»ul ul (-k 2 +
IV.
HASIL KOMPUTASI Model-model
. .
potensial
disini
adalah model-model
dengan
komputer
besar
potensial -exr -ar Screened A~ U(r) = = A = A Coulomb E>:ponensial r z
:
di
mana
Penulisan dengan
yang
dipakai
komputer
:
-ar
U(r)
dilakukan PC.
komputasi
sederhana yang telah dihitung pula ICL 1900. Model-model tersebut adalah
A dan ex adalah konstanta program
dalam
numerik
dalam bahasa
Maksud penulisan
yang
BASIC dan di run untuk ini adalah
mempermudah para mahasiswa dan pemula belajar hamburan atom-nuklir. Bahasa BASIC dan komputer mudah tersedia di berbagai sulit disediakan.
tempat
diketahui.
dimana
numerik/ PC
komputer
lebih besar
,
•.
7
Untuk diambil
tujuan praktis
h = 0,1 dan dibandingkan
dengan h = 0,1, kesalahan contoh
panjang
yang diberikan
length)
dengan h = 0,001.
hanya menyimpang
}
{
<Step
dalam menghitung
dapat diperoleh perhitungan e =k r, 2 menurut = ditransformasikan A' menghasilkan -cc x Xada maka diferensial perlu yang y ang ul(x) ul(X) u(l+1)
dx2 0
langkah
Ternyata
f(8) dari contoh-
sekitar 0,1%.
dan panjang
h
Agar
langkah yang seragam
d2
ini diambil untuk A' = A/k o , ccl = cc/k0 • Contoh potensial bentuk Yukawa. Untuk bentuk lain harga A' dan cc
dengan
perlu disesuaikan. sekitar
disamping
x = 50, harga I cukup diambil
Sebagai
gambaran
dengan mengambil
k
Dalam praktek dapat
U(r) = 2,365
sampai
sampai 1 = 20.
diberikan
-r e /r,
x diambil
contoh
komputasi
A = 0
Born 1 Born2 f 2.562+iO.716 f 2. 2.365 3. 379+i 1.134 1.188+iO.737 134+iO. 673 1. 2. 134+iO.670 187+iO.739 (fRK)PC
16
Born!
f f
ke dua pendekatan Born pertama == penyelesaian numerik Runge-Kutta komputer dengan
PC,
h = O,!
(fRK>ICL = penyelesaian numerik ICL, h = 0.01
Runge-Kutta
Kecepatan komputasi (dengan komputer adalah lebih kecil dari 10 menit.
dengan
komputer
PC buatan NEC - 10 MHz)
v.
KESIMPULAN Dapat
disimpulkan
Runge-Kutta
bahwa dengan memakai
dapat dilakukan
akurat bila dibandingkan Pemakaian
dengan
komputasi
sederhana
dengan komputer
komputer
metoda
besar
numerik
yang
cukup
ICL atau IBM.
PC dalam bahasa BASIC
memberikan
kepraktisan untuk perhitungan dimana komputer PC tersedia di laboratorium atau di kantor/Universitas. Metoda ini memberikan
harapan
model-model analitik
baik
potensial
yang
dengan pendekatan
untuk model-model menghitung Kesalahan lebih
bagi
tidak
yang timbul
angka ini
tak
dapat
Born.
dari 0,17.
sudah
yang
diselesaikan analitik
dijamin para
lebih dari cukup sebagai
secara Born dalam
keakuratannya.
contoh-contoh bagi
dengan
pendekatan
penyelesaian
dapat
dalam
hamburan
Bahkan
yang mempunyai
f(A),
kecil
problema
perhitungan
eksperimentator pembanding
bagi
data eksperimen.
ACUAN 1. Santoso 2. Berezin Pergamon ~. Pachner with
B., 1973, Ph D thesis Essex University 1.5., Press
NP,
Computing
programs F.
Methods,
Oxford
1965
J, Hand book of Numerical
Book Company 4. Salvat (1987)
Zhidkov
for engineers
Analysis
and scientists
Applications, Mc Graw
Hill
1984 et aI, J. Phys B, At. and Malec.
Physics
20
TANYA JAWAB
1. Engkir S. Bagaimana
pengaruh
momen
amplitudo
hamburan
dari
magnetik bahan
neutron
magnetiky
terhadap bagaimana
?
menghitungnya Budi Santoso Hamburan nuklir
neutron
oleh inti atom terjadi
dan momen magnet.
dalam model potensial 2. Pramudita
karena
Kedua interaksi
ini
interaksi diratakan
U(r)
Anggraita
a. Menanggapi
pertanyaan
menjelaskan Serpong
tentang
di
memasukkan dimasukkan
mana
efek
pertama
mungkin
Proyek ENDF yang paket-paket
spin
dalam
b. Bagaimana beda, kecepatan besar TCL dan PC ?
penyaJi
direncanakan
program
hamburan
perhitungan
dapat
yang
dapat
neutron dengan
di dapat
komputer
Budi Santoso a. Proyek
ENDF
yang
direncanakan
di
adalah
Serpong
ENDF = menginstalasikan data hamburan neutron-nuklir. Evaluated Nuclear Data Files. Daridata ini dapat dipelajari termasuk
interaksi
b. Kecepatan operasi
model-model
potensial
hamburan
yang
tepaty
spin.
komputasi
memang
biner dari komputer.
tergantung
kecepatan
Untuk PC dengan clock
MHz akan 10 'kali' lebih cepat dari yang 1 MHz. ICL 1900 kecepatannya
10
Untuk
seld tar 10 x lebih besar.
Ke Daftar Isi
