Metoda konečných prvků
6. přednáška – Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn)
Martin Vrbka, Michal Vaverka
Diskretizace Analýza pomocí MKP vyžaduje rozdělení řešené oblasti na konečný počet podoblastí prvků - které ji spojitě a jednoznačně vyplňují (tvorba sítě - meshing).
1D
2D
3D
Bázové funkce v 1D - opakování
Prvek:
Posuv nad prvkem jsme v 1D aproximovali lineárně lineární kombinací bázových funkcí a neznámých posuvů v uzlech
Posuv nad prvkem:
U
Bázové funkce:
Posuv nad prvkem:
u( x ) = N 1 ( x ). u1 + N 2 ( x ). u2
Příklad výsledků:
Diskretizace a bázové funkce ve 2D Příklad prvku ve 2D:
Posuv nad prvkem ve 2D:
Příklad výsledků: Bázové funkce:
Síť trojúhelníkových prvků:
Lineární trojúhelník • Nejjednodušším reprezentantem tělesových (solid) prvků ve 2D je trojúhelníkový prvek s lineárními bázovými funkcemi •Trojúhelníkové prvky umožňují spojitě pokrýt jakoukoli tvarově nepravidelnou rovinnou oblast •Prvek má tři uzly a v každém uzlu tři deformační parametry:
v2 2
u2
v3 u3
v1
3
u1 1
Základní tvar aproximační funkce pro posuv u: u(x,y) = a1 + a2 . x + a3 . y = GT.a , (… spojitou funkci posuvů chceme aproximovat nad prvkem lineárně)
Lineární trojúhelník
Spojité funkce posuvů u a v nad prvkem jsou funkcí x a y, např. pro u: u(x,y) = a1 + a2 . x + a3 . y = GT.a kde matice
G = [ 1, x, y ]T a = [ a1, a2, a3 ]T
...aproximace posuvů (rovnice roviny) ...udává tvar polynomu, …neznámé koeficienty.
Jestliže zapíšeme vodorovné složky posuvů ve 3 vrcholech prvku do matice deformačních parametrů δu
δu = [ u1, u2, u3 ]T můžeme tyto posuvy v uzlech vyjádřit pomocí známých souřadnic vrcholů prvku x1 až y3
δu = S . a S je matice, sestavená ze souřadnic vrcholů prvku:
⎡1 x1 S = ⎢⎢1 x 2 ⎢⎣1 x3
y1 ⎤ y 2 ⎥⎥ y 3 ⎥⎦
Lineární trojúhelník
Spojité funkce posuvů u nad prvkem: u(x,y) = a1 + a2 . x + a3 . y = GT.a Neznámé posuvy u ve třech uzlech:
δu = S . a matici a neznámých koeficientů a1, a2 a a3 odtud vyjádříme a dosadíme je do u(x,y)
Lineární trojúhelník Dostaneme tak funkci posuvů vyjádřenou opět jako lineární kombinaci bázových funkcí N a posuvů v uzlech δ. bázové funkce
u(x,y) = GT.S-1.δu = Nu.δu
N u = [N 1
a
N2
N3 ]
δu = [ u1, u2, u3 ]T neznámé posuvy v uzlech Každá bázová funkce Ni je lineární funkce nad trojúhelníkem, která má jednotkovou hodnotu v i-tém vrcholu a nulové hodnoty ve zbývajících dvou vrcholech: 3
N2(x,y)
N1(x,y) 3
3
N3(x,y)
2 2 1
1
2 1
Lineární trojúhelník
Sousední prvky sdílejí na společné hranici kromě krajních uzlů i odpovídající deformační parametry, pole posuvů je spojité ve funkčních hodnotách a po částech lineární:
Lineární trojúhelník Podobně aproximujeme i funkci posuvů v(x,y) Spojité funkce posuvů u a v pak máme vyjádřeny přibližně jako lineární kombinaci neznámých parametrů (posuvů v uzlech sítě) a bázových funkcí
⎡u ⎤ u = ⎢ ⎥ = N.δ ⎣v ⎦ kde
δ = [ u1, v1, u2, v2, u3, v3 ]T , ⎡ N1 N=⎢ ⎣0
0
N2
0
N3
N1
0
N2
0
0⎤ N 3 ⎥⎦
Lineární trojúhelník K sestavení matice tuhosti musíme nejprve vyjádřit napětí a přetvoření prostřednictvím nezávislé funkce posuvů. S využitím geometrických rovnic aplikovaných na rovinnou úlohu, získáme složky přetvoření.
ε = L.N.δ = B.δ , ε = [εx, εy, γxy]T je matice složek přetvoření,
kde
⎡∂ ⎢ ⎢ ∂x L=⎢ 0 ⎢ ⎢∂ ⎢ ⎢⎣ ∂y
⎤ 0⎥ ⎥ ∂⎥ ∂y ⎥ ∂⎥ ⎥ ∂x ⎥⎦
B je matice získaná z bázových funkcí Ni parciálními derivacemi.
Lineární trojúhelník
S využitím konstitutivních vztahů získáme složky napětí. Za předpokladu platnosti Hookova zákona:
σ = D.ε = D.B.δ Matice materiálových konstant D může nabývat různých tvarů podle toho, zda řešíme úlohu rovinné napjatosti, rovinné deformace nebo úlohu rotačně symetrickou.
Lineární trojúhelník
Vzhledem k derivacím lineárních bázových funkcí jsou průběhy složek přetvoření, ale i napětí po prvcích konstantní, s nespojitostmi na hranicích mezi prvky:
V místech s vysokými gradienty napětí může proto dojít k odřezání špičkových hodnot, důležitých z hlediska posuzování pevnosti a životnosti. Méně zkušený uživatel to může snadno přehlédnout, protože postprocessorem graficky zpracované výsledky jsou obvykle předkládány ve druhotně vyhlazené podobě, která nespojitosti v napětích stírá. Proto je nutné v oblastech očekávaných koncentrací napětí výrazně zjemnit síť prvků.
Lineární trojúhelník
Prvek se hodně používá, ale vzhledem ke konstantním průběhům napětí a přetvoření není příliš přesný ve srovnání s jinými rovinnými prvky stejné velikosti. V systému ANSYS je lineární trojúhelník chápán jako tvarově degenerovaná podoba čtyřúhelníkového prvku PLANE42, resp. PLANE182 Uživatelé ANSYSU jsou vybízeni k přednostnímu využívání vhodnějších prvků:
Lineární trojúhelník Všechny rovinné prvky je možno použít nejen pro geometricky rovinné úlohy (rovinná napjatost a deformace), ale i pro analýzu rotačně symetrických problémů. Rovinná oblast, která je diskretizována, je potom meridiánovým (osovým) řezem rotačně symetrického tělesa. Osou rotační symetrie bývá zpravidla souřadnicová osa y. Zde jsou významné složky ležící kolmo na rovinu osového řezu – obvodová napětí a přetvoření. Podobné je to v případě rovinné deformace εz = 0 s nenulovou složkou napětí ve směru z.
y
Prostorová rotačně symetrická úloha se může řešit jako 2D s využitím rovinných prvků
Lineární trojúhelník Příklad rotačně symetrické úlohy
Diskretizujeme pouze rovinný meridiánový řez
Lineární trojúhelník
RD, RN, axisymetrie?
Lineární trojúhelník Správné zařazení rovinného případu (rovinná napjatost nebo deformace) a odpovídající volba při tvorbě výpočtového modelu MKP je zásadním krokem, na který se často zapomíná. Nevědomky se pak řeší jiná, v systému primárně nastavená varianta rovinné úlohy.
Doporučujeme nevěřit slepě počítačově získaným výsledkům a prověřit jejich spolehlivost elementárními vztahy pružnosti – stačí řádové odhady velikostí složek napětí a posuvů.
Lineární trojúhelník
σx = 100 MPa
Př.: Rovinná tenká stěna s kruhovým otvorem je namáhána nominálním napětím σx = 100 MPa. Určete napjatost v okolí otvoru. Využijeme symetrie úlohy a modelujeme jen ¼.
Konstantní průběhy napětí po prvcích
10
200
Vyhlazené průběhy napětí v uzlech
Lineární čtyřstěn
Za rozšíření lineárního trojúhelníka do prostoru můžeme považovat lineární prostorový čtyřstěn (tetraedr):
v1 v4
u1 w1
u4 w4
v2 y
u2 x
z
Posuv nad prvkem je funkcí tří souřadnic:
v3
w2
u3 w3
u(x,y,z) = a1 + a2 . x + a3 . y + a4 . z = GT.a
Lineární čtyřstěn
Opět platí, že prvek není příliš přesný a k jeho používání jsou výhrady. V systému ANSYS lze tento prvek použít pouze jako speciální degenerovaný tvar šestistěnového prvku SOLID45. Ovšem žádný jiný tvar není použitelný k plně automatickému vykrytí tvarově složitých objemů těles (Síť ze šestistěnů vyžaduje vždy komplikovanou topologickou přípravu a má jen omezené možnosti lokálního zhušťování). Lze místo něj použít čtyřstěny s vyššími bázovými funkcemi (jsou přesnější, ale mají více uzlů – větší výpočetní nároky).
y x z
a)
b)
c)
d)
Osmiuzlový šestistěn SOLID 45 a jeho tvarově degenerované podoby
Lineární čtyřstěn
100 (2 prvky)
1000 (20 prvků) 120 (2 prvky)
Průběh ohybových napětí po prvcích – lineární čtyřstěn
Průběh ohybových napětí po prvcích – lineární šestistěn s doplňkovými bázovými funkcemi (viz příště)
