MEREDUKSI VIBRASI PADA SISTEM MANIPULATOR FLEKSIBEL MENGGUNAKAN KONTROL H∞
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh: Dede Tarwidi 10103057
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007
MEREDUKSI VIBRASI PADA SISTEM MANIPULATOR FLEKSIBEL MENGGUNAKAN KONTROL H∞
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh : Dede Tarwidi 10103057
Telah Diperiksa dan Disetujui, Bandung, September 2007 Dosen pembimbing
Dr. Roberd Saragih NIP. 131803264
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007
Abstract The main object of this study is concentrated on vibration and position control of a single link flexible manipulator. Robot link manipulators are widely used in various industrial applications. It is desirable to build light weight flexible manipulators. Light flexible manipulators have a variety of applications, most significantly in space exploration, manufacturing automation, construction, mining, and hazardous operation. Timoshenko beam theory is used to derive mathematical model of a flexible manipulator. The dynamic equations of motion are obtained using the Lagrange’s formulation of dynamics. The H∞ controller is designed for vibration and position control of the system. Simulations are presented and show that vibration and position control of a single flexible link can be controlled with the designed H∞ controller. Key words: H∞ control, flexible link manipulator, Timoshenko beam theory.
iii
Abstrak Objek utama dari studi dalam tugas akhir ini dikonsentrasikan pada kontrol posisi dan vibrasi dari manipulator fleksibel. Manipulator-manipulator robot banyak digunakan dalam berbagai aplikasi industri. Manipulator yang diinginkan adalah manipulator fleksibel yang mempunyai bobot ringan. Manipulator fleksibel mempunyai mempunyai aplikasi penting terutama dalam eksplorasi luar angkasa, industri otomasi, konstruksi, pembuatan miniatur, dan operasi-operasi beresiko seperti menjinakkan bom. Teori balok Timoshenko digunakan untuk menurunkan model matematika dari manipulator fleksibel. Persamaan dinamik dari manipulator fleksibel diperoleh dengan menggunakan persamaan gerak Lagrange. Pengontrol H∞ didesain untuk mengontrol posisi dan vibrasi dari sistem manipulator fleksibel. Simulasi untuk manipulator fleksibel akan diberikan dan menunjukkan bahwa kontrol posisi dan vibrasi dari manipulator fleksibel dapat dikontrol menggunakan pengontrol H∞ yang telah didesain. Kata kunci: Kontrol H∞ , manipulator fleksibel, teori balok Timoshenko.
iv
Prakata Alhamdulillaahi Rabbil’aalamiin. Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, Tuhan semesta alam karena hanya atas karunia-Nya dan izin-Nya lah penulis diberi kesempatan untuk dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir yang berjudul ”Mereduksi Vibrasi Pada Manipulator Fleksibel Menggunakan Kontrol H∞ ” ini disusun untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung. Dalam menjalani masa perkuliahan di Institut Teknologi Bandung, khususnya saat menyusun tugas akhir, penulis mendapatkan banyak bantuan dari berbagai pihak dalam menghadapi berbagai masalah yang menghadang. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada : 1. Ayah dan Ibu, Sukiman dan Surwi atas segala doa, kesabaran, dan kasih sayang mereka kepada penulis. 2. Dr. Roberd Saragih selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan, bantuan, saran, dan kritik sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan. 3. Dr. Johan Mattheus Tuwankotta selaku dosen wali penulis yang telah berperan sebagai bapak bagi penulis selama berada di kampus ini serta seluruh staf dosen matematika ITB yang telah memberikan ilmu dan pengalamannya kepada penulis. 4. Kakak-kakak penulis atas segala doa dan bantuannya selama penulis kuliah di ITB. v
PRAKATA
vi
5. Ibu Diah serta seluruh staf Tata Usaha dan Perpustakaan Matematika ITB yang telah membantu penulis terutama dalam hal yang berkaitan dengan masalah administrasi. 6. Kru wisata kuliner dan PES yaitu Syahril, Indra, Cima (Ismail), Gustian, Hendra, Gita, dan Dani, terima kasih atas bantuan, nasehat dan kebersamaan kita selama ini. 7. Islah dan Viska, terima kasih untuk contoh penulisan tugas akhir dengan LATEX. 8. Aseng (Agus), Yudhis, dan Adolf, terima kasih atas kerjasamanya selama ini. 9. Teman-teman SMA yaitu Tita, Nanan, dan Uun atas dorongannya untuk menyelesaikan tugas akhir ini. 10. Sahabat-sahabat KM3 ITB yang mengingatkan penulis untuk selalu dekat dengan yang maha Kuasa. 11. Kawan-kawan HIMATIKA ITB, tempat penulis belajar memahami arti suatu kebersamaan. 12. Teman-teman dari angkatan 2001 sampai dengan 2004 yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah membantu dalam penyelesaian tugas akhir ini secara langsung maupun tidak langsung. 13. Serta seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah membantu penulis dalam menjalani hidup di dunia ini. Semua perhatian, semangat, dukungan, bantuan dan pengorbanan dari bapak, ibu, serta seluruh rekan-rekan sangat berarti bagi penulis. Semoga Allah SWT membalasnya dengan hal yang lebih baik. Hasil yang baik dan memuaskan adalah harapan dari penulis dalam menyusun tugas akhir ini. Namun semua hal tersebut tidak akan terwujud tanpa saran dan kritik
PRAKATA
vii
dari pembaca untuk lebih menyempurnakan tugas akhir ini. Penulis memohon maaf atas semua kekhilafan yang dilakukan baik yang sengaja maupun yang tidak sengaja. Semoga tugas akhir ini bermanfaat bagi kita semua.
Bandung, September 2007 Penulis
Dede Tarwidi
Daftar Isi Abstract
iii
Abstrak
iv
Prakata
v
Daftar Isi
viii
1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Sistematika Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 TEORI KONTROL H∞
4
2.1 Sistem Dinamika Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2 Operator Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3 Masalah Kontrol H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL
22
3.1 Teori Balok Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Defleksi Terhadap Koordinat X − Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Defleksi Terhadap Koordinat X0 − Y0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Energi Kinetik dan Energi Potensial Balok . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5 Persamaan Ruang Keadaan Gerak Balok . . . . . . . . . . . . . . . . 32
viii
Daftar Isi
ix
4 HASIL SIMULASI
36
4.1 Pengontrol Suboptimal H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Keterkontrolan dan Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3 Unjuk Kerja Sistem Manipulator Fleksibel . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3.1
Respon Terhadap Waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.2
Respon Terhadap Frekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Kesimpulan
51
Daftar Pustaka
52
Lampiran A
54
Lampiran B
55
Daftar Tabel 4.1 Norm H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Respon terhadap waktu untuk sudut rotasional . . . . . . . . . . . . 46 4.3 Respon terhadap waktu untuk posisi ujung link . . . . . . . . . . . . 46 4.4 Respon frekuensi untuk sudut rotasional . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.5 Respon frekuensi untuk posisi ujung link . . . . . . . . . . . . . . . . 50
x
Daftar Gambar 2.1 Diagram blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.1 Link fleksibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Sebuah elemen dari link fleksibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1 Diagram blok untuk masalah kontrol manipulator fleksibel . . . . . . 37 4.2 Diagram blok masalah kontrol H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Contoh step response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4 Step response sudut rotasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5 Step response posisi ujung link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.6 Step response defleksi ujung link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.7 Magnitude untuk G(iω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.8 Magnitude untuk sudut rotasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.9 Magnitude untuk posisi ujung link
xi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
