APLIKASI H- KONTROL PADA SISTEM MASSA PEGAS. Kasbawati 1)

Paradigma, Vol. 14 No. 2 Agustus 2010 hlm. 113–122

APLIKASI H- KONTROL PADA SISTEM MASSA PEGAS Kasbawati1) 1) Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, Makassar 90245 E-mail: [email protected]

ABSTRAK Pada penelitian ini akan dibahas mengenai aplikasi pengontrol, dalam hal ini kontrol H-tak hingga, pada sistem massa pegas. Masalah kontrol yang akan dibahas adalah analisis kestabilan atau performa dari sistem loop tertutup dan menentukan pengontrol yang tepat yang dapat menstabilkan sistem secara menyeluruh sesuai dengan output yang diinginkan. Kontrol H-tak hingga merupakan pengontrol yang dapat menstabilkan plant secara internal dan memberikan jaminan ke-robust-an sistem dan kestabilan sistem. Kata kunci: kontrol feedback, sistem massa pegas, kontrol H-tak hingga ABSTRACT This paper discuss about application of controller, H-infinity control, in a spring mass system with two mass damped systems. The control problem that will be studied here is to analyze the stability or performance of a closed loop feedback system and to find a controller that will stabilize the closed loop feedback system internally in a certain condition based on the output that we want. H-infinity control will be use to find the controller that can stabilize system internally. H infinity control can guarantee the robustness system and stabilize system internally. Keywords: feedback control, spring mass system, H infinity control Diterima: 31 Mei 2010 Disetujui untuk dipublikasikan: 27 Agustus 2010

1. Pendahuluan Pengembangan metode kontrol robust telah menjadi fokus utama dalam dua dekade terakhir ini khususnya dalam komunitas kontrol (control community). Kerobustan suatu sistem kontrol terhadap gangguan (disturbance) dan ketidakpastian (uncertainty) selalu menjadi topik utama dalam pembahasan masalah feedback control. Masalah feedback tidak akan terlalu menarik pada kebanyakan sistem kontrol jika didalamnya tidak terdapat gangguan dan ketidakpastian [1]. Pemberian pengontrol pada suatu sistem bertujuan untuk membuat sistem tersebut robust terhadap gangguan sesuai dengan keinginan. Desain kontrol dengan H kontrol atau dengan H2 kontrol menjamin kerobustan suatu sistem tetapi pada umumnya desain pengontrol dengan menggunakan H lebih banyak diminati dibanding desain kontrol

Aplikasi H- Kontrol pada Sistem Massa Pegas

114

dengan H2 karena kontrol yang dihasilkan oleh H tak hingga lebih robust dibandingkan dengan H2 [2]. Sistem massa pegas merupakan salah satu sistem sederhana yang banyak diterapkan dalam dunia teknologi. Salah satu contohnya adalah sistem massa pegas pada mobil dimana pengontrol didesain dengan tujuan untuk mengurangi faktor guncangan yang terjadi jika sebuah mobil melewati sebuah lubang di jalan dengan cara memberi pengontrol pada pegas mobil, sehingga mobil dapat robust terhadap guncangan tersebut. Akibatnya pengendara tetap akan merasa nyaman saat melewati jalanan yang berlubang. Semakin robust kontrol yang didesain maka orang akan semakin nyaman berkendara karena guncangan tersebut dapat di atasi. Dalam makalah ini, masalah kontrol yang akan dibahas adalah mendesain suatu pengontrol pada sistem massa pegas dengan menggunakan H tak hingga (H) kontrol dan membandingkan hasil antara sistem yang telah diberi pengontrol dengan sistem yang belum dikontrol untuk melihat apakah sistem menjadi robust dan stabil secara internal setelah diberi pengontrol. 2. Eksistensi Pengontrol yang Menstabilkan Sistem Misalkan terdapat plant umum berupa fungsi transfer G(s) yang memetakan input w dan kontrol input u ke kontrol output z dan output terukur y, dengan bentuk ª z º = G ( s ) ª w º , « y» ¬ ¼

«u » ¬ ¼

dimana G(s) mempunyai bentuk realisasi sebagai berikut:

Dalam bentuk close-loop system fungsi transfer G(s) yang diberi pengontrol dapat digambarkan dalam bentuk diagram Gambar 1.

Gambar 1. Diagram sistem umum terhubung (general system interconnected)


115

G merupakan plant yang diperumum, K adalah pengontrol yang akan didesain, w merupakan semua input external yang meliputi: disturbances, commands, u merupakan input kontrol, y merupakan sensor output/output terukur dan z berupa regulated output, untuk suatu u ∈ R m , w ∈ R 1 , z ∈ R p , y ∈ R q , x ∈ R n , , A∈Rnxn , B1 ∈Rnx1, B2 ∈ Rnxm, C1 ∈Rpxn , C2 ∈Rqxn, D12 ∈Rpxm, D21 ∈Rqx1.

Jika plant G tertutup (closed-loop system) oleh output feedback u = K ( s) y , seperti pada Gambar 1, maka lup tertutup dari input w ke z dapat dinyatakan dalam bentuk lower linear fractional transformation (LFT) yaitu Tzw = Fl (G, K ) = G11 + G12 K (I − G22 K )−1 G21 . Tinjau sistem umpan balik dalam Gambar 1 dengan plant G yang diasumsikan stabilizable dan detectable dengan bentuk realisasi di atas. Masalah kestabilan disini adalah menemukan pengontrol K agar sistem lup tertutup stabil secara internal sehingga syarat well-posedness dapat dipenuhi. Definisi 1 Sistem G dikatakan stabilizable jika terdapat pengontrol K yang menstabilkan G secara internal [3]. Lemma 1 Terdapat pengontrol K (yang proper) yang dapat menstabilkan G secara internal jika dan hanya jika (A,B2) stabilizable dan (A,C2) detectable [3]. Jika terdapat F dan L sedemikian sehingga A+B2F dan A+LC2 stabil maka pengontrol K dapat dibentuk menjadi: ª A + B2 F + LC2 + LD22F − Lº K(s) = « F 0 »¼ ¬

Bukti: ( ⇐ ) Dari asumsi bahwa sistem stabilizable dan detectable maka terdapat K dan L sedemikian sehingga A+B2F dan A+LC2 stabil. Misalkan K(s) merupakan pengontrol yang dapat menstabilkan G secara internal, maka matriks A dari sistem loop tertutup di atas berbentuk ª A + LC2 « − LC 2 ¬

~ ª A A=« ¬− LC2

0 º. A + B2 F »¼

B2 F º. A + B2 F + LC2 »¼

Matriks di atas mempunyai bentuk yang sama dengan

Akibatnya spektrum dari matriks A sama dengan gabungan dari spektrum

A+B2F dan A+LC2. Ini mengakibatkan A juga stabil karena A+B2F dan A+LC2 stabil.


116

( ) Andaikan (A,B2) tidak stabilizable dan (A,C2) tidak detectable. Akibatnya terdapat ~

nilai eigen dari A yang real partnya positif sedemikian sehingga sistem tidak stabil. Hal ini kontradiksi dengan adanya pengontrol K yang dapat menstabilkan sistem secara internal berdasarkan Definisi 1.

€

3. Aplikasi Pengontrol pada Sistem Massa Pegas Tinjau sistem massa pegas dalam Gambar 2.

Gambar 2. Sistem massa pegas (two mass damped system)

Model matematika dari sistem massa pegas dalam Gambar 2 dapat diturunkan dengan menggunakan konsep gaya yang bekerja pada suatu sistem massa pegas sebagai berikut:

dengan F1 dan F2 sebagai masukan berupa input kontrol dan gangguan, x1 dan x2 sebagai keluaran. Dengan memisalkan state x1 = x3 , x 2 = x4 diperoleh persamaan ruang keadaan (state space equation) sebagai berikut: x = Ap x + B p u

(1)

y = C p x + Dpu ª 0 ª x1 º « 0 «x » « x F dimana ª º ª º 1 1 2 x = « », u = « », y = « » A = «− k1 p « x3 » F x ¬ 2¼ ¬ 2¼ « m1 « » « k1 ¬ x4 ¼ « ¬ m2

0

1

0 k1 m1 k1 + k 2 − m2

0 b − 1 m1 b1 m2

0 º ª0 «0 1 »» , « b1 » B =« 1 p m1 » « m1 « b1 + b2 » − » «0 m2 ¼ ¬

0 º 0 »» 0 » » 1 » » m2 ¼

,


ª 0

« 0 ª1 0 0 0º , ª0 0 º . Cp = « « k » D p = «0 0 » 0 1 0 0 ¼ ¬ ¼ x = «− 1 ¬

« m1 « k1 « ¬ m2

117 0 0 k1 m1 k +k − 1 2 m2

1 0 b − 1 m1 b1 m2

0 º ª0 x 1 »» ª 1 º « 0 «x » « b1 »« 2 » « 1 m1 » « x3 » + « m1 b + b »« » « − 1 2 » ¬ x4 ¼ « 0 m2 ¼ ¬

0 º 0 »» ªF º 0 » « 1 », » ¬ F2 ¼ 1 » » m2 ¼

(2)

dengan output: ª x1 º « » x 1 0 0 0 ª 1º ª º « x 2 » ª0 0º ª F1 º y=« »=« +« » »« » . ¬ x 2 ¼ ¬0 1 0 0¼ « x3 » ¬0 0¼ ¬ F2 ¼ « » ¬ x4 ¼

(3)

Misalkan pada sistem tersebut diberikan fungsi bobot (weighting function) dengan tujuan untuk mengurangi error yang terjadi pada masing-masing input dan output maka diperoleh bentuk lup tertutup secara umum sebagai berikut:

K

Gambar 3. Sistem loop tertutup dari plant yang diperumum

Sistem lup tertutup diatas, dapat dibawa ke dalam bentuk lower Linear Fractional Transformation (LFT) sebagai berikut:

Gambar 4. LFT dari plant sistem massa pegas yang diperumum

Input dan output dalam LFT di atas adalah


118

ª w1 º ª F2 º ªy º ªz º . u = F1 , w = «« w2 »» = «« n1 »», y = « 1 », z = « 1 » y ¬ 2¼ ¬ z2 ¼ «¬ w3 »¼ «¬ n2 »¼ ª z1 º

W1 P11 º ª F2 º , Wu »» «« n1 »» « P12 P11 » « n 2 » »« » « 0 F P W P n 22 2 ¬ 21 ¼ ¬ 1 ¼ ªW1 P12

Bentuk realisasi dari plant yang diperumum adalah « » « «z2 » = « 0 « y1 » « » ¬ y2 ¼

0 0 W n1

0 0 0

G

dengan fungsi bobot adalah fungsi bobot untuk input: Wu = s + 5 ; fungsi bobot untuk s + 50

output: W1 = 10 ; fungsi bobot untuk noise: W n1 = W n 2 = 0.01s + 0.1 . s+2

s + 100

4. Hasil dan Pembahasan Misalkan diberikan nilai untuk tiap parameter pada sistem massa pegas yaitu m1 = 1, m2 = 2, k1 = 1, k2 = 4, b1 = 0.2, b2 = 0.1. Dengan menggunakan software Matlab 7 diperoleh hasil sebagai berikut. Fungsi transfer untuk plant P dari

Fungsi transfer dari plant G dari

§ F2 · ¨ ¸ ¨ n1 ¸ ¨ n2 ¸ ¨ ¸ © F1 ¹

ke

§ Z1 · ¨ ¸: ¨ Z2 ¸ ¨ y1 ¸ ¨ ¸ © y2 ¹

§ F1 · ¨ ¸ © F2 ¹

ke

§ x1 · : ¨ ¸ © x2 ¹


Norm tak hingga dari Tzw, yaitu T1

∞

119

= 0.2309 ≤ γ subopt ; γ subopt = 0.2309 . Hasil kerja dari

kontrol sub optimal yang diperoleh dengan menggunakan kontrol H∞ terhadap sistem massa pegas dalam Gambar 2 dapat dilihat dalam plot step respon, impulse respon dan plot frekuensi respon atau bode plot dalam gambar berikut.


120 6 WHSUHV SRQV HSDGDNRQWUROLQSXW) NHV LPSDQJDQ[

6 WHSUHV SRQV HSDGDNRQWUROLQSXW) NHV LPSDQJDQ[

6 LV WHP7DQSD. RQWURO 6 LV WHP'HQJDQ. RQWURO


[

[

WGHWLN

WGHWLN

(a) (b) Gambar 5. Pengaruh kontrol input (F1) terhadap output berupa simpangan x1 (Gambar a) dan x2 (Gambar b) pada saat sistem yang diberikan step response 6 WHSUHV SRQV HSDGDJDQJJXDQ) NHV LPSDQJDQ[

6 WHSUHV SRQV HSDGDJDQJJXDQ) NHV LPSDQJDQ[



[

[

WGHWLN

WGHWLN

(a) (b) Gambar 6. Pengaruh gangguan (F2) terhadap output berupa simpangan x1 (Gambar a) dan x2 (Gambar b) pada saat sistem yang diberikan step response ,PSXOVHUHVSRQVHSDGDNRQWUROLQSXW) NHVLPSDQJDQ[

,PSXOVHUHVSRQVHSDGDNRQWUROLQSXW) NHVLPSDQJDQ[

6 LVWHP7DQSD.RQWURO 6 LVWHP'HQJDQ.RQWURO


[

[

WGHWLN

WGHWLN

(a) (b) Gambar 7. Pengaruh kontrol input (F1) terhadap output berupa simpangan x1 (Gambar a) dan x2 (Gambar b) saat sistem diberikan impulse response


121

,PSXOVHUHVSRQVHSDGDJDQJJXDQ) NHVLPSDQJDQ[

,PSXOVHUHVSRQVHSDGDJDQJJXDQ) NHVLPSDQJDQ[



[

[

WGHWLN

WGHWLN

(a) (b) Gambar 8. Pengaruh gangguan (F2) terhadap output berupa simpangan x1 (Gambar a) dan x2 (Gambar b) saat sistem diberikan impulse response )UHTXHQF\UHVSRQVH

* DLQ>G% @

)UHTXHQF\>UDGVHF@

Gambar 9. Frekuensi response (bode plot) antara sistem yang belum dan telah dikontrol

Berdasarkan gambar step response dapat dilihat bahwa jika sistem diberi respon berupa fungsi step maka sistem yang telah diberi pengontrol berupa H tak hingga kontrol, akan lebih cepat mencapai kondisi yang stabil dibandingkan sistem yang belum diberi pengontrol. Selain itu pengaruh input F2 yang berupa gangguan, terhadap state x1 dan x2 yang merupakan keluaran berupa simpangan dari pegas, dapat dikurangi. Selanjutnya jika sistem diberi respon berupa fungsi impulse yaitu rangsangan yang diberikan secara tibatiba pada sistem, maka sistem yang telah diberi pengontrol juga akan lebih cepat mencapai kondisi yang stabil dibandingkan sistem yang belum diberikan pengontrol. Begitupula dengan pengaruh input F2 yang berupa gangguan, terhadap state x1 dan x2 yang merupakan keluaran berupa simpangan dari pegas dapat dikurangi. Di samping itu, waktu yang


122

diperlukan untuk mencapai kestabilan dari sistem yang terkontrol tidak terlalu lama dibandingkan dengan sistem yang belum dikontrol. Hal ini disebabkan oleh norm tak hingga dari fungsi transfer sistem yang terkontrol lebih kecil dari gamma suboptimal sehingga dapat dikatakan bahwa pengontrol yang dihasilkan dapat menstabilkan sistem secara internal. Berdasarkan gambar fungsi respon (bode plot) dapat dilihat bahwa peak time saat sistem pegas dikenakan kontrol, mengalami penurunan dibandingkan dengan peak time dari sistem yang belum dikenakan kontrol. Dari sini dapat disimpulkan bahwa kontrol H tak hingga yang diberikan pada sistem pegas dapat bekerja dengan baik sehingga dapat merobustkan sistem terhadap gangguan (F2) serta H tak hingga kontrol dapat menstabilkan sistem secara internal. 5. Kesimpulan Desain kontrol dengan H tak hingga kontrol menghasilkan suatu pengontrol yang akan menjamin kerobustan sistem. Hal ini disebabkan oleh kontrol yang dihasilkan dengan H tak hingga kontrol mengalami optimalisasi sehingga norm dari fungsi transfernya dapat diminimumkan. H tak hingga kontrol dapat bekerja dengan baik pada sistem massa pegas yang diberikan dalam Gambar 2, sehingga sistem yang telah dikontrol menjadi lebih robust atau tahan terhadap gangguan. Hal ini dapat dilihat dari pengaruh disturbance F2 pada keluaran yaitu state x1 dan x2 yang berupa simpangan pegas dapat dikurangi. Selain itu, pengontrol juga dapat menstabilkan sistem secara internal. Hal ini dapat dilihat dari hasil plot grafik fungsi respon dimana untuk sistem yang terkontrol, waktu yang diperlukan untuk mencapai kestabilan tidak terlalu lama jika dibandingkan dengan sistem yang belum dikontrol. DAFTAR PUSTAKA [1] Zhou, K., Doyle, J.C., and Glover, K. 1998. Robust and Optimal Control. New Jersey: Prentice Hall. [2] Hakim, A.R. 2002. Parameterisasi Pengontrol Suboptimal H ∞ , Tesis Magister. Bandung: Institut Tekhnologi Bandung. [3] Ogata, K. 1997. Modern Control Engineering, Third Edition. London: Prentice Hall. [4] Lewis, F.L. and Syrmos, V.L. 1995. Optimal Control, Second Edition. New York: Wiley.

APLIKASI H- KONTROL PADA SISTEM MASSA PEGAS. Kasbawati 1)

Recommend Documents