Měření objemu v 3D datech UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍ FAKULTA

U NIVERZITA K ARLOVA V P RAZE ´ Í FAKULTA M ATEMATICKO - FYZIK ALN

´ PRACE ´ DIPLOMOVA

Václav Kraj´ıcˇ ek

Mˇerˇ en´ı objemu v 3D datech Duben 2007

Kabinet software a výuky informatiky Vedouc´ı diplomové práce: RNDr. Josef Pelikán Studijn´ı program: Informatika

Dˇekuji RNDr. Pelikánovi za cenné rady a pˇripom´ınky k této práci. MUDr. Horákovi za poskytnut´ı lékaˇrských znalost´ı a dat. Mgr. Marˇsa´ lkovi za pomoc a podporu.

Prohlaˇsuji, zˇ e jsem svou diplomovou práci napsal(a) samostatnˇe a výhradnˇe s pouˇzit´ım citovaných pramen˚u. Souhlas´ım se zap˚ujˇcován´ım práce. V Praze dne 20. Dubna 2007

Václav Kraj´ıcˇ ek vlastnoruˇcn´ı podpis

Obsah 1

´ Uvod 11 1.1 C´ıle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Struktura textu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2

Zobrazovac´ı metody v lékaˇrstv´ı 2.1 Poˇc´ıtaˇcová tomografie . . . . . . 2.2 Zobrazen´ı tomografických sn´ımk˚u 2.3 Zpracován´ı a analýza dat . . . . . 2.4 Mˇeˇren´ı objemu . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

14 15 16 17 17

Metody segmentace 3.1 Prahován´ı . . . . . . . . . . 3.2 Nar˚ustán´ı oblast´ı . . . . . . 3.3 Deformovatelné modely . . 3.4 Obecné vlastnosti algoritm˚u

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

18 18 19 20 20

Deformovatelné modely 4.1 Active Contour Models - Snakes . . . . . . . . . 4.1.1 Diferenciáln´ı rovnice a jejich ˇreˇsen´ı . . . 4.1.2 Odvozen´ı Active Contours . . . . . . . . 4.1.3 Optimalizace . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Balónky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Dalˇs´ı vylepˇsen´ı pro Aktivn´ı kontury . . . . . . . 4.3.1 Modely zohledˇnuj´ıc´ı topologii - T-Snakes 4.3.2 Segmentace série ˇrez˚u . . . . . . . . . . 4.3.3 Aktivn´ı plochy . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Geodesic contours . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Optimalizace - Sniˇzován´ı gradientu . . . 4.5 Level-sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Narrow-band . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Fast Marching Level-sets . . . . . . . . . 4.6 Modely ˇr´ızené statistikou oblasti . . . . . . . . . 4.6.1 Vyuˇzit´ı Greenovy vˇety . . . . . . . . . . 4.7 Apriorn´ı znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 22 22 23 24 26 27 28 28 29 29 29 30 31 34 35 35 36 38

3

4

. . . .

. . . .

3

. . . .

4.7.1 Statistická analýza - PCA . . . . . . 4.7.2 Point Distribution Model . . . . . . 4.7.3 Active Shape Model . . . . . . . . 4.7.4 Active Appearance Model . . . . . 4.8 Kombinace vˇseho - Shape Based Approach 4.9 B-Spline a Free-Form Deformace . . . . . 4.10 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6

7

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

38 38 41 42 42 45 46

Zvolený postup rekonstrukce 5.1 Rekonstrukce postupnou segmentac´ı ˇrez˚u . . . . . 5.1.1 Reprezentace kontury . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Energetický model . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Optimalizace . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Heuristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Mˇeˇren´ı objemu poˇc´ıtán´ım voxel˚u . . . . . 5.2 Rekonstrukce modelován´ım B-Spline plochy . . . 5.2.1 Definice B-Spline plochy . . . . . . . . . . 5.2.2 Optimalizace . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Algoritmus a konvergence . . . . . . . . . 5.2.4 Mˇeˇren´ı objemu z ohraniˇcuj´ıc´ı plochy . . . 5.2.5 Pˇrevod hraniˇcn´ı reprezentace na objemovou 5.3 Porovnán´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

47 48 48 54 58 64 65 65 65 67 68 68 69 71 71

Mˇerˇ en´ı a výsledky 6.1 Pouˇzitá data . . . . . . . . . . . . . 6.2 Mˇeˇren´ı ledvin . . . . . . . . . . . . 6.3 Mˇeˇren´ı sleziny . . . . . . . . . . . 6.4 Výsledky segmentace a rekonstrukce 6.5 Rychlost, pˇresnost a konvergence . . 6.6 Diskuse . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

73 74 74 76 76 77 80

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Závˇer

A Implementace A.1 Reprezentace dat . . A.2 Lékaˇrská data . . . . A.3 Uˇzivatelské rozhran´ı A.4 Vizualizace . . . . . A.5 Paralelizace . . . . . B Obsah DVD

85

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

87 87 88 88 88 89 92

Seznam obrázku˚ 1.1

Anatomický atlas - horn´ı cˇ a´ st bˇricha zepˇredu . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 2.2

Ukázka dat poˇc´ıtaˇcové tomografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Nehomogenita voxel˚u a interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 3.2

Prahován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Deformovatelné modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Chyby a problémy aktivn´ıch kontur . . . Balónkový model . . . . . . . . . . . . . Ukázka nadrovin v reprezentaci level-sety Trénovac´ı mnoˇzina ASM . . . . . . . . . Diagram znárorˇnuj´ıc´ı pr˚ubˇeh algoritmu .

. . . . .

26 27 32 39 44

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14

Schéma procedury rekonstrukce orgánu postupnou segmentac´ı ˇrez˚u B-Spline báze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇr´ıklady B-Spline kˇrivek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vkládán´ı uzlových bod˚u do B-Spline kˇrivky . . . . . . . . . . . . . Kˇr´ızˇ en´ı B-Spline kˇrivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hranová energie zohledˇnuj´ıc´ı smˇer gradientu . . . . . . . . . . . . Vliv polohy kˇrivky na energii oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . . Vliv délky u´ sek˚u B-Spline kˇrivky na celkovou hladkost . . . . . . . Sniˇzován´ı gradientu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvergence optimalizaˇcn´ı metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alternativn´ı konstrukce optimalizaˇcn´ıho kroku . . . . . . . . . . . B-Spline plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inicializace B-Spline plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ plochy rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rez

49 50 52 53 54 55 56 57 58 63 64 67 69 72

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Statistika oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fáze nasycen´ı kontrastn´ı látkou . . . . . . . . . . . . Výsledek rekonstrukce ledviny . . . . . . . . . . . . Postupná segmentace ledviny . . . . . . . . . . . . . Rekonstrukce sleziny modelován´ım B-Spline plochy Konvergence aktivn´ıch kontur s konstantn´ım krokem Konvergence aktivn´ıch kontur s adaptivn´ım krokem .

75 76 77 78 78 78 79

5

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

6.8

Dopad propagace v algoritmu postupné segmentace ˇrez˚u . . . . . . 83

7.1

Rekonstrukce orgán˚u bˇriˇsn´ı dutiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.1 Laboratorn´ı rozhran´ı - segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 A.2 Srovnán´ı rychlost´ı paraleln´ı a sériové verze algoritmu . . . . . . . . 90 A.3 Srovnán´ı rychlosti podle OS a CPU . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Seznam tabulek 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Výsledky mˇeˇren´ı - pravá ledvina . . . . . . . . . . . . . Výsledky mˇeˇren´ı - slezina . . . . . . . . . . . . . . . . Porovnán´ı výsledk˚u pˇri adaptivn´ım a konstantn´ım kroku Výsledky konvergence s r˚uzným prahem . . . . . . . . . Porovnán´ı mˇeˇren´ı kontrastn´ı a nativn´ı série . . . . . . . . Invariance mˇeˇren´ı v˚ucˇ i statistice . . . . . . . . . . . . . Invariance mˇeˇren´ı v˚ucˇ i vstupu . . . . . . . . . . . . . .

7

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

80 81 81 82 82 83 84

Seznam algoritmu˚ 1 2 3 4 5 6

Level-sets - segmentace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PDM - zarovnán´ı trénovac´ıch tvar˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . Active Shape Model - algoritmus rekonstrukce tvaru . . . . . . . Rekonstrukce orgánu postupnou segmentac´ı ˇrez˚u. . . . . . . . . . Rekonstrukce orgánu modelován´ım plochy. . . . . . . . . . . . . Z´ıskán´ı objemové reprezentace z hranice reprezentované plochou.

8

. . . . . .

34 40 41 66 70 72

Název práce: Mˇerˇen´ı objemu v 3D datech Autor: Václav Kraj´ıcˇ ek ´ Katedra (ustav): Kabinet software a výuky informatiky Vedouc´ı diplomové práce: RNDr. Josef Pelikán e-mail vedouc´ıho: [email protected] Abstrakt: Diagnostika prostˇrednictv´ım poˇc´ıtaˇcové tomografie, nebo magnetické rezonance je uˇz delˇs´ı dobu bˇezˇnou souˇca´ st´ı komplexn´ıho lékaˇrského vyˇsetˇren´ı. Tato zaˇr´ızen´ı chrl´ı velké objemy dat, které mus´ı být následnˇe prostudovány lékaˇrem odborn´ıkem. Zde se nab´ız´ı velký prostor pro vyuˇzit´ı poˇc´ıtaˇcu˚ k podpoˇre diagnostiky, nebo vizualizaci. Tato práce si bere za u´ kol zmˇerˇit objem specifických orgán˚u v lidském tˇele jako jsou ledviny, nebo slezina. K mˇerˇen´ı objemu orgánu je nutné provést rekonstrukci objektu z trojrozmˇerných dat. Rekonstrukce je zaloˇzena na segmen´ taci obrazových dat, která oddˇeluje rekonstruované orgány od pozad´ı. Uloha segmentace je speciálnˇe pˇrizp˚usobena pro tento typ dat, která jsou, exemplárˇ od exemplárˇe, charakteristická velkou podobnost´ı v obecném tvaru, ale také velkou r˚uznorodosti v drobných detailech. Byly zvolený deformovatelné modely jakoˇzto primárn´ı nástroj pro segmentaci trojrozmˇerného objemu. Deformovatelné modely jsou hlavn´ım tématem této práce. Programy mˇerˇ´ıc´ı objem v lékaˇrských datech existuj´ı, ale d´ıky vzr˚ustaj´ıc´ımu výkonu poˇc´ıtaˇcu˚ bylo moˇzné implementovat algoritmy, které zat´ım tento software neobsahuje. Výsledkem této práce je systém, který segmentuje a poˇc´ıtá objem v lékaˇrských datech. Zároveˇn byla provedena srovnávac´ı mˇerˇen´ı odhaduj´ıc´ı chybu vzhledem ke skuteˇcným hodnotám. Kl´ıcˇ ová slova: segmentace, mˇerˇen´ı objemu, deformovatelné modely

Title: Volume measurement in 3D data Author: Václav Kraj´ıcˇ ek Department: Department of Software and Computer Science Education Supervisor: RNDr. Josef Pelikán Supervisor’s e-mail address: [email protected] Abstract: Medical diagnostics using computed tomography or magnetic resonance is a common part of complex medical checkup for a long time. These devices produce vast volumes of data, which must be analyzed by an expert physician. There is a big space for utilising computers to aid medical diagnosis, or visualization. This work aims to measure volume of a specific organ in the human body, like kidneys or spleen. To measure volume of the organ it is necessary to reconstruct the object from three-dimensional data. Reconstruction is based on segmentation of the image data, which separates reconstructed organs from the background. The task of segmentation is specially adapted to this kind of data, which are, from specimen to specimen, characterized by big similarity in common shape, but also by big heterogeneity in tiny details. Deformable models were chosen as a primary tool for the segmentation of three-dimensional volumes. They are also the main topic of this work. Programs measuring volume in medical data exist, but thanks to increasing performance of modern computers it is possible to implement new algorithms, which are not present in today’s software tools. The result of this work is a system which segments and measures volume in medical data. We also perform benchmarks, which expose an error of the measurement with respect to ground truth. Keywords: segmentation, volume measurement, deformable models

Kapitola 1 ´ Uvod Pˇresná a rychlá diagnostika je d˚uleˇzitou a nepostradatelnou souˇca´ st´ı práce lékaˇre. Dlouhou dobu patˇr´ı radiologické metody mezi základn´ı bˇezˇ nˇe dostupné diagnostické prostˇredky. Samotný rentgen oslavil svoj´ı stovku uˇz dávno. Rentgen a poˇc´ıtaˇcová tomografie jsou vˇsak jen pouz´ı dva cˇ lenové vˇetˇs´ı skupiny zobrazovac´ıch metod v lékaˇrstv´ı, které nám umoˇzn´ı nahlédnout do u´ trob lidského tˇela. Velikou výhodou tˇechto metod je, zˇ e jsou nedestruktivn´ı a neinvazivn´ı a témˇeˇr v˚ubec neohroˇzuj´ı zˇ ivot ani pohodl´ı pacienta. Na druhou stranu, informace takto z´ıskané maj´ı horˇs´ı kvalitu neˇz nˇekteré destruktivn´ı metody. Rentgenové sn´ımky jsou pro laika neˇcitelnou zmˇet´ı cˇ ernob´ılých skvrn. K uˇzitku mohou tedy být jen trénovanému oku odborn´ıka. I znalosti a zkuˇsenosti specialisty maj´ı vˇsak své hranice. Moˇznosti a diagnostické postupy lze dále vylepˇsit a rozˇs´ıˇrit s pouˇzit´ım modern´ıch poˇc´ıtaˇcu˚ . Jiˇz mnoho let slouˇz´ı výpoˇcetn´ı technika k vizualizaci dat vˇsech typ˚u zobrazovac´ıch metod v lékaˇrstv´ı. Obzvlásˇt’ posledn´ı vývoj v oblasti grafických akcelerátor˚u umoˇznil promˇenit ve vyˇsetˇrovac´ı stanici kaˇzdý osobn´ı poˇc´ıtaˇc. Vizualizaˇcn´ı prostˇredky slouˇz´ı jak k výuce, k diagnostice a plánován´ı chirurgických zákrok˚u, tak i k prezentac´ım pro sˇirokou laickou veˇrejnost. V posledn´ıch letech se dostávaj´ı do povˇedom´ı odborné veˇrejnosti pojmy jako Poˇc´ıtaˇcem podporovaná diagnóza (CAD - Computer Aided Diagnosis), nebo Poˇc´ıtaˇcem podporovaná chirurgie (CAS - Computer Aided Surgery). Endoskopické operace jsou bˇezˇ nou záleˇzitost´ı, dokonce byly realizovány prvn´ı operace pacient˚u z cˇ a´ sti ˇr´ızené poˇc´ıtaˇcem. Poˇc´ıtaˇc mˇel v takových pˇr´ıpadech za u´ kol s vyuˇzit´ım sn´ımk˚u ze zobrazovac´ıch metod optimálnˇe vybrat a asistovat pˇri um´ıstˇen´ı kloubn´ı náhrady tak, aby pacientova rehabilitace trvala co nejkratˇs´ı dobu a mˇel co nejménˇe obt´ızˇ´ı. Vizualizace je nezbytným prostˇredkem procesu diagnostiky, protoˇze cˇ lovˇek pˇrij´ımá osmdesát procent vˇsech informac´ı ve formˇe viditelného svˇetla. Lidský mozek je velmi dobrý ve vizuáln´ım hodnocen´ı obrazu. Je dokonce mnohem lepˇs´ı neˇz poˇc´ıtaˇc. Dokázˇ e tˇezˇ it ze znalost´ı a zkuˇsenost´ı, i z oborovˇe u´ plnˇe jiné oblasti. Mozek analyzuje obraz nesystematicky, d´ıky tomu m˚uzˇ e doj´ıt k pˇrehlédnut´ı. Nav´ıc cˇ lovˇek podléhá u´ navˇe. V hodnocen´ı kaˇzdého obrazu je tedy výraznˇe subjektivn´ı. Dneˇsn´ı

11

´ KAPITOLA 1. UVOD

12

bˇezˇ nˇe rozˇs´ıˇrené zobrazovac´ı metody generuj´ı ohromné mnoˇzstv´ı dat. Nen´ı pochyb o tom, zˇ e jich bude v´ıc, neˇz by cˇ lovˇek s nejvˇetˇs´ım u´ sil´ım zvládl bez pouˇzit´ı poˇc´ıtaˇce analyzovat. Systémy CAD tvoˇr´ı podp˚urnou s´ılu a jaksi druhý názor, s jehoˇz pomoc´ı se daˇr´ı zvyˇsovat spolehlivost a efektivitu vyˇsetˇren´ı prostˇrednictv´ım nˇekteré ze zobrazovac´ıch metod. Pˇr´ıkladem pouˇzit´ı CAD m˚uzˇ e být podpora analýzy mamografických sn´ımk˚u. Systém zde funguje jako hloupý ”spell checker”, který oznaˇc´ı vˇsechny podezˇrelé pˇr´ıpady a pˇredloˇz´ı je vyˇsetˇruj´ıc´ımu lékaˇri k pozornému posouzen´ı. Podpora diagnostiky nemus´ı spoˇc´ıvat jen ve sledován´ı optických (kvalitativn´ıch) vlastnost´ı sn´ımku. K zjiˇstˇen´ı toho, co se s organismem v dané chv´ıli dˇeje, mohou pˇrispˇet i kvantitativn´ı mˇeˇren´ı. Napˇr´ıklad mˇeˇren´ım teploty lze detekovat, zda pacient˚uv organismus zápas´ı s virovou nákazou. Mˇeˇren´ım hustoty kostn´ı dˇrenˇe se dá odhalit stupeˇn osteoporózy a náchylnosti ke zlomeninám dlouhých kost´ı. Zvˇetˇsené uzliny signalizuj´ı prob´ıhaj´ıc´ı onemocnˇen´ı. Z mnoˇzstv´ı protilátek v krvi, sedimentace, lze odhalit nabuzen´ı imunitn´ıho systému pˇri boji s konkrétn´ı nemoc´ı. Mˇeˇren´ı je i tématem této práce.

1.1

C´ıle

C´ılem této práce je implementovat algoritmy mˇerˇ´ıc´ı objem orgán˚u v lidském tˇele z dat 3D zobrazovac´ıch metod. Primárnˇe budeme pracovat se sn´ımky z poˇc´ıtaˇcové tomografie. Výsledky vˇsak mohou být aplikovatelné i napˇr´ıklad na data z magnetické rezonance. Naˇs´ı pozornost konkrétnˇe zaostˇr´ıme na mˇeˇren´ı objemu ledvin a pˇr´ıpadnˇe dalˇs´ıch orgánu v bˇriˇsn´ı dutinˇe, jako jsou slezina, játra nebo slinivka. Obt´ızˇ nost u´ kolu stoupá v poˇrad´ı vyjmenovaných. Zm´ınˇené orgány jsou zobrazeny na Obrázku 1.1. Mˇeˇren´ı objemu je realizováno prostˇrednictv´ım rekonstrukce orgánu v objemových datech. Hlavn´ım prostˇredkem rekonstrukce jsou segmentaˇcn´ı algoritmy zaloˇzené na deformovatelných modelech. Kvalita výsledk˚u této segmentace a rekonstrukce, jejich pˇresnost, je posuzována pˇri porovnán´ı se segmentac´ı provedenou cˇ lovˇekem. Na druhou stranu, d˚uleˇzitým poˇzadavkem na celou proceduru je i rychlost. Pokud má být tedy algoritmus v praxi pouˇz´ıván, mus´ı být kompromisem mezi rychlost´ı, pˇresnost´ı a nezávislost´ı na vstupu uˇzivatele. Proto se budeme snaˇzit námi implementované algoritmy otestovat na reálné mnoˇzinˇe testovac´ıch dat a urˇcit relativn´ı chybu mˇeˇren´ı. Analýza lékaˇrských dat a jejich segmentace je obt´ızˇ ná u´ loha. Je tomu tak, protoˇze data jsou nepˇresná d´ıky nedokonalým, pˇresto stále pˇresnˇejˇs´ım zobrazovac´ım metodám. Vlastnosti tˇechto metod také nezabrán´ı vzniku r˚uzných artefakt˚u, které komplikuj´ı správnou interpretaci obrazové informace. Ani lidské vnitˇrnosti nejsou snadno rozpoznatelné objekty. I zdrav´ı lidé vykazuj´ı velkou variabilitu tvar˚u svých orgán˚u a pacienti, kteˇr´ı jsou nemocn´ı, mohou m´ıt nepˇredv´ıdatelnˇe deformované a poˇskozené vnitˇrnosti. Proto neexistuje univerzáln´ı algoritmus a kaˇzdý vyzkouˇsený postup má své meze. Aby se v praxi dosáhlo lepˇs´ıch výsledk˚u, tak si kaˇzdá u´ loha zˇ a´ dá speciáln´ı algoritmus.

´ KAPITOLA 1. UVOD

13

Obrázek 1.1: Anatomický atlas - horn´ı cˇ a´ st bˇricha zepˇredu. Jsou zde dobˇre vidˇet ledviny (zelenˇe). Pravá je cˇ a´ steˇcnˇe pˇrekrytá dvanáctern´ıkem. Slezina (ˇcervenˇe) leˇz´ı vlevo zhruba v u´ rovni ledvin a játra (modˇre) leˇz´ı vpravo vepˇredu o nˇeco výsˇe. Na obrázku je vidˇet jen jejich cˇ a´ st.

1.2

Struktura textu

V prvn´ı cˇ a´ sti této práce (kapitola 2) bude vysvˇetlena situace okolo zobrazovac´ıch metod v medic´ınˇe. Struˇcnˇe budou pˇredstaveny a charakterizovány tomografické metody. Seznámen´ı se s touto látkou je kl´ıcˇ ové pro prvotn´ı smˇeˇrován´ı práce. Budou také bl´ızˇ e probrány specifika ˇreˇsené u´ lohy. Druhá cˇ a´ st práce (kapitola 3 a 4) se zabývá segmentac´ı obrazových dat. Bl´ızˇ e se zamˇeˇruje na jednu skupinu algoritm˚u - algoritmy zaloˇzené na deformovatelných modelech. Budou zde probrány nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı myˇslenky, principy a z nich vyplývaj´ıc´ı výhody a nevýhody. Jejich popisu je vˇenováno dost prostoru, protoˇze z nˇeho cˇ erpá zbytek práce. Ve tˇret´ı cˇ a´ sti (kapitola 5) této práce jsou popsány implementované algoritmy segmentace a rekonstrukce objekt˚u z lékaˇrských dat postavené na základˇe deformovatelných model˚u. Bude vysvˇetleno, zˇ e rekonstrukce je pˇrirozenou cestou ke zmˇeˇren´ı objemu. K rekonstrukci pouˇz´ıváme dva principiálnˇe odliˇsné algoritmy. Kapitola 6 obsahuje výsledky test˚u implementovaných algoritm˚u. Popisujeme zde testovac´ı mnoˇzinu a specifika jednotlivých pˇr´ıpad˚u. Jsou zde pˇredstaveny jak výsledky rekonstrukce, tak výsledky mˇeˇren´ı objemu porovnané mezi sebou a se správným výsledkem ruˇcn´ı segmentace. Z tˇechto pozorován´ı jsou uˇcinˇeny závˇery. V kapitole 7 je pak shrnuta práce jako celek. Nakonec jsou uvedeny námˇety k vylepˇsen´ı a dalˇs´ımu smˇeˇrován´ı výzkumu. V dodatku jsou pak shrnuty detaily popisované implementace. Je zde popsáno technické ˇreˇsen´ı, pouˇzité knihovny a rozhran´ı implementovaného software.

Kapitola 2 Zobrazovac´ı metody v lékaˇrstv´ı Zobrazovac´ı metody v lékaˇrstv´ı jsou sˇiroký obor zahrnuj´ıc´ı techniky zaloˇzené na mˇeˇren´ı r˚uzných forem fyzikáln´ıho vlnˇen´ım (akustické, r˚uzná spektra elektromagnetického vlnˇen´ı) a pol´ı (magnetické, elektrické). Metody m˚uzˇ eme rozdˇelit na ty, které mapuj´ı: 1. funkci tkánˇe 2. strukturu tkánˇe Mezi zobrazovac´ı techniky mapuj´ıc´ı funkci tkánˇe patˇr´ı metody nukleárn´ı medic´ıny jako jsou pozitronová emisn´ı tomografie (Positron emission tomography, zkrácenˇe PET), nebo jednofotonová emisn´ı tomografie (Single photon emission computed tomography, zkrácenˇe SPECT), které mˇeˇr´ı záˇren´ı kontrastn´ı radioaktivn´ı látky aplikované pacientovi pˇri vyˇsetˇren´ı, které se vstˇrebávaj´ı v biologicky aktivn´ıch tkánich, nádorech, sr˚ustaj´ıc´ıch kostech, nebo hoj´ıc´ıch se ranách. Mezi základn´ı metody mapuj´ıc´ı strukturu tkánˇe patˇr´ı rentgen. Funguje na principu záznamu pr˚uchodu rentgenových paprsk˚u tkánˇemi lidského tˇela ze záˇriˇce, takzvané rentgenky, na citlivý film. Výsledek je dvojrozmˇerný obraz, který je projekc´ı celého objemu mezi rentgenkou a filmem. Ztrat´ıme tak prostorovou informaci. Zaznamenat prostorovou informaci dokázˇ´ı aˇz tomografické metody. Zachycuj´ı 3D obraz sn´ımaného objemu jako sérii rovnobˇezˇ ných ˇrez˚u, viz Obrázek 2.2a. Podle toho je nakonec odvozen i jejich název z ˇreˇctiny (tomos = plátek, graphia = psát). ˇ ım menˇs´ı tato Vzdálenost mezi kaˇzdými dvˇema sousedn´ımi ˇrezy je konstantn´ı. C´ vzdálenost je a cˇ´ım vˇetˇs´ı je rozliˇsen´ı samotných ˇrez˚u, t´ım pˇresnˇejˇs´ı je zachycená informace. Mezi hlavn´ı zástupce tomografických metod patˇr´ı axiáln´ı výpoˇcetn´ı tomografie (Computed axial tomography, zkrácenˇe CAT, nebo CT) a nebo také magnetická rezonance (MR). Bˇezˇ nˇe pouˇz´ıvané lékaˇrské CT vytváˇr´ı série ˇrez˚u, které jsou kolmé k ose lidského tˇela. Bˇezˇ ná MR dokázˇ e zachytit ˇrezy v libovolném smˇeru. Podstatný rozd´ıl je také ve fyzikáln´ım principu, na kterém CT a MR pracuj´ı. CT sn´ımá rentgenové paprsky po pr˚uchodu lidským tˇelem a MR mˇeˇr´ı magnetické pole vybuzených vod´ıkových atom˚u. 14

´ ˇ KAPITOLA 2. ZOBRAZOVACI´ METODY V LEKA RSTV I´

15

Obrázek 2.1: Ukázka dat poˇc´ıtaˇcové tomografie. Vlevo je sn´ımek jednoho rˇezu. Uprostˇred je v detailu vidˇet hvˇezdicový artefakt. Vpravo jsou hrany nalezené hranovým detektorem. Pro detekci hran se jako nejlepˇs´ı z jednoduchých metod ukázala konvoluce s vertikáln´ım a horizontáln´ım Sobelovým filtrem velikosti 3.

2.1

Poˇc´ıtaˇcová tomografie

V této práci budou pouˇzity hlavnˇe sn´ımky z CT. Pˇr´ıklad je vidˇet na Obrázku 2.1. Z tohoto d˚uvodu se krátce zm´ın´ıme o jejich vlastnostech. Na rozd´ıl od jednoduchého rentgenu jsou data z CT prostorovˇe normovaná. Jsou pˇresnˇe známé vzdálenosti bez ohledu na polohu pacienta uvnitˇr zaˇr´ızen´ı. Normované jsou i hodnoty výsledné obrazové funkce, které pˇresnˇe odrázˇ ej´ı hustotu tkánˇe. Takovou vlastnost nemá zˇ a´ dná jiná zobrazovac´ı metoda. Pro hodnoty obrazu existuje takzvaná Hounsfieldova stupnice, pojmenovaná podle konstruktéra prvn´ıho poˇc´ıtaˇcového tomografu Godfrey Newbold Hounsfielda. Obrazová funkce nabývá na této stupnici hodnot -1000 aˇz 3095 HU (Hounsfield unit) a je tedy uloˇzena ve 12 bitech. Voda má hodnotu 0 HU, vzduch -1000 HU a kostn´ı tkánˇ 600 aˇz 1000 HU. Podle mˇeˇren´ı hustoty vody a vzduchu se poˇc´ıtaˇcový tomograf kalibruje. CT sn´ımkován´ı nen´ı dokonalé a obraz vykazuje nˇekteré chyby, se kterými je tˇreba poˇc´ıtat pˇri dalˇs´ım zpracován´ı. Chyby, které se zde vyskytuj´ı, jsou 1. Partial volume efekt 2. Hvˇezdicový artefakt ˇ 3. Sum 4. Rozmazán´ı pohybem Partial volume efekt je zp˚usoben zachycen´ım obrazu ve vˇetˇs´ıch objemových elementech, neˇz jaké jsou nejmenˇs´ı detaily v obraze. Napˇr´ıklad malé struktury jako zˇ ilky a okol´ı dotyku dvou orgán˚u se zpr˚umˇeruj´ı do jediné hodnoty. Kv˚uli tomu nemaj´ı sn´ımky ostré hrany, jak ukazuje obrázek 2.1. Hvˇezdicový artefakt je zp˚usoben nepˇresnost´ı metody zpˇetné projekce výpoˇctu pˇr´ıcˇ ného ˇrezu. Vzniká v m´ıstech s velkým rozd´ılem intenzity sousedn´ıch oblast´ı. Tato chyba poˇskozuje velkou cˇ a´ st okoln´ıho obrazu.


16 ci,j+1,l

ci+1,j

ci,j

ci,j+1,l+1

ci+1,j+1,l+1

v

v

ci,j,l ci,j+1

u

ci+1,j+1

b)

ci+1,j,l

w ci,j,l+1

a)

ci+1,j+1,l

c)

ci+1,j,l+1

u d)

Obrázek 2.2: Nehomogenita voxel˚u a interpolace. a) Pravidelná mˇr´ızˇ ka voxel˚u. b) Ukázka pomˇeru stran voxelu v datech z CT. V nˇekterých pˇr´ıpadech je pomˇer základny a výsˇky aˇz 1:10. c) Bi-lineárn´ı interpolace na 2D obrázku poˇc´ıtá hodnotu ze cˇ tyˇr nejbliˇzsˇ´ıch soused˚u. d) Trilineárn´ı interpolace v 3D datech poˇc´ıtá hodnotu aˇz z osmi soused˚u. ˇ Sum je klasický problém ve zpracován´ı obrazu a plat´ı pro nˇej známá pravidla. Brán´ı v detekci hran. Na druhou stranu jeho redukce vede ke ztrátˇe hranové informace. Vˇetˇs´ı rozliˇsen´ı zvýsˇ´ı subjektivnˇe pod´ıl sˇumu a malé rozliˇsen´ı vede k výsˇe popsanému partial volume efektu. Rozmazán´ı pohybem je zp˚usobeno t´ım, zˇ e sn´ımac´ı procedura trvá nˇejakou dobu. I kdyˇz je to jen nˇekolik vteˇrin, nen´ı moˇzné u´ plnˇe zastavit veˇskerý pohyb v lidském tˇele. Pacient m˚uzˇ e zadrˇzet na krátkou dobu dech, ale nezastav´ı tlukot srdce, nebo peristaltické pohyby. Samozˇrejmˇe, d´ıky technickému vývoji se pr˚umˇerná doba sn´ımán´ı tomografu poˇra´ d sniˇzuje. U tomografie je vˇetˇsinou vzdálenost sousedn´ıch ˇrez˚u jiná, a cˇ asto mnohem vˇetˇs´ı, neˇz rozmˇer obrazového elementu ˇrezu. Série takových ˇrez˚u pˇredstavuje znaˇcnˇe nehomogenn´ı s´ıt’ voxel˚u. Proto se nedaj´ı napˇr´ıklad zkonstruovat stejnˇe kvalitn´ı ˇrezy v libovolném smˇeru. S´ıt’ voxel˚u zachycuje p˚uvodn´ı obrazovou funkci v diskrétn´ıch kroc´ıch. Pokud chceme znát hodnotu funkce i mezi tˇemito kroky, mus´ıme ji interpolovat z hodnot okoln´ıch bod˚u mˇr´ızˇ ky. Nejjednoduˇssˇ´ı interpolace hodnotou nejbliˇzsˇ´ıho souseda vytvoˇr´ı schodovitou aproximaci obrazové funkce. Lineárn´ı interpolac´ı z hodnot nˇekolika soused˚u z´ıskáme o nˇeco lepˇs´ı stˇrechovitou aproximaci. Situace je znázornˇena na Obrázku 2.2.

2.2

Zobrazen´ı tomografických sn´ımku˚

Stupnice 4096 hodnot intenzity se nedá zobrazit na bˇezˇ ných zobrazovac´ıch ˇ ek sám nen´ı schopen rozliˇsit mezi tolika u´ rovnˇemi sˇedi. Proto je zaˇr´ızen´ıch. Clovˇ nutné mapovat tuto stupnici na tradiˇcn´ı 8bitovou, 256hodnotovou stupnici sˇedi. Mapován´ı se realizuje prostˇrednictv´ım takzvané Look-Up-Table (LUT). Nejjednoduˇssˇ´ı LUT lineárnˇe mapuje jeden souvislý u´ sek, takzvané okénko, Hounsfieldovy stup-


17

nice na stupnici sˇedi. Hodnoty pˇred t´ımto okénkem se zobraz´ı na cˇ ernou barvu a hodnoty za t´ımto okénkem na b´ılou. V praxi okénko definuj´ı pouhé dvˇe hodnoty, stˇred a polomˇer. Série sn´ımk˚u z CT pˇredstavuje objemová data. Je mnoho zp˚usob˚u, jak zobrazit objemová data, ale v souˇcasné dobˇe vˇetˇsina grafických systém˚u pracuje efekˇ tivnˇe s hraniˇcn´ı reprezentac´ı a s objekty reprezentovanými s´ıt´ı trojúheln´ık˚u. Casto se proto pouˇz´ıvá pˇrevod objemových dat na hraniˇcn´ı reprezentaci algoritmem marching cubes, nebo vytváˇren´ım hraniˇcn´ı reprezentace napojován´ım kontur objekt˚u v jednotlivých ˇrezech. Na druhé stranˇe spektra zobrazovac´ıch metod stoj´ı raytracing. Moˇzné jsou i r˚uzné hybridn´ı pˇr´ıstupy k zachycen´ı pr˚uhlednosti a vrstevnatosti objekt˚u, takzvané metody pˇr´ımého renderován´ı objemu (Direct volume rendering).

2.3

Zpracován´ı a analýza dat

Jediná série tomografických dat obsahuje velké mnoˇzstv´ı informace. Jej´ı prozkoumán´ı zabere cˇ lovˇeku ˇra´ dovˇe v´ıce cˇ asu neˇz prohlédnut´ı sn´ımku z rentgenu. C´ılem poˇc´ıtaˇcového zpracován´ı je extrahovat a vizualizovat d˚uleˇzité informace z mnoha sn´ımk˚u, a usnadnit tak cˇ lovˇeku zdlouhavou analýzu. Sloˇzitý u´ kol se dá rozdˇelit na nˇekolik obecných a nezávislých u´ loh. Registrace je u´ loha nalezen´ı mapován´ı mezi dvˇema i v´ıce mnoˇzinami dat, kdy kaˇzdá mnoˇzina obsahuje r˚uzné informace a jejich fúz´ı z´ıskáme lepˇs´ı a na informaci bohatˇs´ı obraz. Obvyklé jsou napˇr´ıklad registrace CT a MR, nebo CT a SPECT. Segmentace je rozdˇelen´ım obrazu na logické celky. M˚uzˇ e j´ıt o nejjednoduˇssˇ´ı cˇ lenˇen´ı obrazu na popˇred´ı a pozad´ı. Segmentace je nejˇcastˇejˇs´ı u´ loha provádˇená na lékaˇrských sn´ımc´ıch, protoˇze tvoˇr´ı prvn´ı krok pˇri ˇreˇsen´ı sloˇzitˇejˇs´ıch u´ loh, jako je klasifikace, nebo rekonstrukce. Klasifikace pojmenovává a urˇcuje nalezené objekty v obraze. Klasifikaci m˚uzˇ eme provádˇet na r˚uzné u´ rovni, od pixel˚u pˇres tvary aˇz po celé obrazy. Rekonstrukce lékaˇrských objemových dat vytváˇr´ı zpˇetnˇe pˇresnou geometrickou reprezentaci objekt˚u v obraze.

2.4

Mˇerˇ en´ı objemu

Pravˇe rekonstrukce je kl´ıcˇ ová pro mˇerˇen´ı objemu orgán˚u. Pokud se podaˇr´ı rekonstruovat mˇeˇrený orgán O a urˇcit, které voxely jsou jeho souˇca´ st´ı (patˇr´ı do mnoˇziny MO ), pak jeho objem je dán vztahem Volume(O) = |M f | × ob jem voxelu

Kapitola 3 Metody segmentace Segmentace lékaˇrských dat je specifická u´ loha v oblasti poˇc´ıtaˇcového vidˇen´ı, proto jsou pro n´ı nˇekteré algoritmy vhodnˇejˇs´ı neˇz jiné. V posledn´ıch dvaceti letech bylo k segmentaci dat z poˇc´ıtaˇcové tomografie, nebo magnetické rezonance, pouˇzito mnoho r˚uzných metod. V podstatˇe kaˇzdou metodu segmentace obrazu lze upravit a s jistým u´ spˇechem pouˇz´ıt pro segmentaci CT, MR, sonografických sn´ımk˚u, nebo digitalizovaných rentgenových sn´ımku (RTG). Struˇcný pˇrehled tˇechto metod nab´ız´ı napˇr´ıklad [27], nebo [31]. Pro kaˇzdou specifickou u´ lohu je potˇreba jiný, pˇr´ıpadnˇe jinak parametrizovaný algoritmus. Univerzáln´ı algoritmus pro segmentaci neexistuje. V praxi se dá vypozorovat pouˇz´ıván´ı tˇr´ı hlavn´ıch pˇr´ıstup˚u: Prahován´ı, Nar˚ustán´ı oblast´ı a Deformovatelné modely.

3.1

Prahován´ı

Prvn´ım pˇr´ıstupem jsou metody zaloˇzené na prahován´ı (tresholding). Prahován´ı je nejstarˇs´ı a nejjednoduˇssˇ´ı metoda segmentace. Tyto metody se cˇ asto pouˇz´ıvaj´ı pˇri ruˇcn´ı segmentaci nebo vizuáln´ı analýze sn´ımk˚u. Zde se spoléhá na vlastnosti zobrazovac´ı metody, která pˇriˇrad´ı kaˇzdé tkáni takovou intenzitu, jakou má tato tkánˇ hustotu. Proto se také ve spojitosti s lékaˇrskými sn´ımky z CT hovoˇr´ı o hodnotˇe obrazové funkce jako o denzitˇe (z angl. density - hustota). Prahován´ı stav´ı na jednoduché myˇslence, zˇ e segmentovaný objekt má celý stejnou hustotu odliˇsnou od hustoty pozad´ı, tedy v obraze se projevuje jako oblast o stejné intenzitˇe odliˇsné od intenzity pozad´ı. Výbˇerem element˚u, jejichˇz hodnota intenzity pˇresahuje urˇcitý práh, nebo spadá do intervalu mezi dvˇema prahy, se z´ıská mnoˇzina element˚u spadaj´ıc´ıch do segmentované oblasti. Ukázku výsledku z´ıskaného jednoduchým prahován´ım je moˇzné vidˇet na Obrázku 3.1. Samotné prahován´ı neprodukuje pˇr´ıliˇs kvalitn´ı výsledky, zvlásˇt’ pokud je obraz hodnˇe zaˇsumˇený. Proto se prahován´ı cˇ asto kombinuje napˇr´ıklad s morfologickými operacemi, jako jsou dilatace a eroze, nebo bývá souˇca´ st´ı nˇejakého sloˇzitˇejˇs´ıho algoritmu. Metody automatického hledán´ı prahu si berou za u´ kol nalézt práh analýzou distribuce intenzity v segmentovaném obraze. Prahován´ı je globáln´ı metoda a jeden práh se pouˇzije pro vˇsechny body obrazu. Existuj´ı i lokáln´ı, nebo hierarchické 18

KAPITOLA 3. METODY SEGMENTACE

19

Obrázek 3.1: Ukázka prahován´ı. Na obrázku vlevo jsou zobrazeny pouze voxely maj´ıc´ı hodnotu odpov´ıdaj´ıc´ı denzitˇe k˚uzˇ e a mˇekkých tkán´ı, tj. -150-0 HU (Hounsfield Unit). Vpravo jsou voxely 1000-1500 HU, coˇz zhruba odpov´ıdá kostem. metody prahován´ı, které pro kaˇzdou cˇ a´ st obrazu pouˇzij´ı jiný práh. Nástroje pro prahován´ı obsahuje vˇetˇsina systém˚u pro práci s lékaˇrskými sn´ımky, protoˇze jejich pouˇz´ıván´ı je jednoduché a intuitivn´ı. Vyˇcerpávaj´ıc´ı pˇrehled prahovac´ıch algoritm˚u skýtá práce [37]. Prahován´ı v kombinaci s morfologickými operacemi pouˇzil i Pavel Campr ve své diplomové práci [5] na segmentaci kostry a tˇela z CT sn´ımk˚u.

3.2

˚ an´ı oblast´ı Narust´

Druhou skupinou jsou metody zaloˇzené na nar˚ustán´ı oblast´ı (region growing). Základem tˇechto metod je záplavové procházen´ı z poˇca´ teˇcn´ıch zárodeˇcných bod˚u, urˇcených napˇr´ıklad uˇzivatelem, nebo jiným zp˚usobem v pˇredchoz´ıch fáz´ıch analýzy. Elementy obrazu se procházej´ı jako graf, do sˇ´ıˇrky, pˇriˇcemˇz sousedn´ı vrcholy jsou dány 4-,8- souvislost´ı v 2D pˇr´ıpadˇe, nebo 6-,18-,26- souvislost´ı v 3D pˇr´ıpadˇe. Nejvˇetˇs´ım problémem jsou zde zaˇsumˇená data. To je cˇ asto pˇr´ıpad CT sn´ımk˚u s vˇetˇs´ım rozliˇsen´ım. Algoritmus si z principu nedovede poradit s pˇreruˇsenými hranami, nebo promˇenlivou intenzitou objektu, který má vysegmentovat. V jádru pˇredpokládá, zˇ e souˇca´ st´ı segmentovaného objektu je vˇsechno, co leˇz´ı bl´ızko a má stejnou, cˇ i podobnou intenzitu. Bˇehem pr˚uchodu pˇridává do segmentované mnoˇziny navˇst´ıvené vrcholy splˇnuj´ıc´ı jisté kritérium a pˇrecház´ı na jejich sousedy. V pˇr´ıpadˇe nesplnˇen´ı kritéria se pˇres vrchol neˇs´ıˇr´ı. Toto rozhodovac´ı pravidlo se nazývá kritérium homogenity. Existuj´ı modifikace základn´ıho algoritmu. Napˇr´ıklad adaptivn´ı nar˚ustán´ı oblast´ı [32] si dokázˇ e poradit s nerovnomˇernou intenzitou. V porovnán´ı s prahován´ım, kde je hlavn´ım jmenovatelem pouze intenzita, je u nar˚ustán´ı oblast´ı brána v potaz i poloha. Nar˚ustán´ı oblast´ı má lokáln´ı charakter. Na podobném základu, rozhodo-


20

Obrázek 3.2: Deformovatelné modely. Postupný vývoj z výchoz´ıho tvaru aˇz po výslednou konturu. vac´ım kritériu, jsou postaveny i metody sluˇcován´ı a dˇelen´ı oblast´ı, nebo metody vyuˇz´ıvaj´ıc´ı transformaci rozvod´ı (watershed).

3.3

Deformovatelné modely

Posledn´ı d˚uleˇzitou a zároveˇn nejzaj´ımavˇejˇs´ı skupinou jsou metody zaloˇzené na deformovatelných modelech (deformable models). Pro tyto algoritmy je charakteristický pˇr´ıstup shora-dolu, cˇ´ımˇz se podstatnˇe odliˇsuj´ı od tradiˇcn´ıch pˇr´ıstup˚u ˇ ejˇs´ım postupem je nejprve extrahovat primitiva a poté k poˇc´ıtaˇcovému vidˇen´ı. Castˇ se je pokusit slepit ve vyˇssˇ´ı celky. Deformovatelné modely zaˇcnou prvotn´ım odhadem celého tvaru, který pak porovnávaj´ı a pod vlivem fyzikálnˇe definovaných sil upravuj´ı tak, aby lépe odpov´ıdal segmentovanému obrazu. Princip segmentace je realizován napˇr´ıklad tak, zˇ e deformovatelný model popisuje tvar uzavˇrenou kˇrivkou, nebo plochou, která oddˇeluje segmentovanou oblast uvnitˇr od pozad´ı vnˇe, jak je vidˇet na Obrázku 3.2. Obecnˇe lze deformovatelné modely pouˇz´ıt i k hledan´ı hran, rozpoznávan´ı vzor˚u, registraci a jiným u´ lohám. Oproti prahován´ı a nar˚ustán´ı oblast´ı pracuj´ı deformovatelné modely explicitnˇe i s tvarem segmentované oblasti. Tyto metody jsou výpoˇcetnˇe nároˇcné, ale maj´ı potenciál vytvoˇrit plnˇe automatické systémy pro segmentaci lékaˇrských dat. Jejich velkou výhodou je, zˇ e v sobˇe dokázˇ´ı integrovat r˚uzné mnoˇzstv´ı apriorn´ıch informac´ı. Typickým pˇr´ıkladem je segmentace pomoc´ı sˇablon (template matching), kdy algoritmus zaˇcne výpoˇcet se znalost´ı reálného exempláˇre, nebo exempláˇru˚ , tˇr´ıdy objektu, který se snaˇz´ı v pˇredloˇzeném obraze nalézt. Dalˇs´ı text bude zamˇeˇren pˇredevˇs´ım na vysvˇetlen´ı deformovatelných model˚u, zkoumán´ı jejich vlastnost´ı a pouˇzitelnosti k ˇreˇsen´ı u´ loh z kapitoly 1.1.

3.4

Obecné vlastnosti algoritmu˚

´ Uloha mˇeˇren´ı objemu se realizuje na objemových, tedy tˇr´ırozmˇerných datech. D˚uleˇzité hledisko, podle kterého se daj´ı vˇsechny algoritmy rozdˇelit, je jejich


21

pouˇzitelnost k segmentován´ı 3D dat, nebo dokonce univerzálnost, kdy na dimenzionalitˇe dat v˚ubec nezáleˇz´ı. S rostouc´ı dimenz´ı dat roste vˇzdy výpoˇcetn´ı nároˇcnost kaˇzdého algoritmu. Univerzáln´ı algoritmy mohou být uˇziteˇcné pˇri segmentaci a trackovan´ı zábˇer˚u ze sonografu, kdy k prostorovým dimenz´ım pˇribude jeˇstˇe cˇ as. Lékaˇrské sn´ımky z CT a MR dávaj´ı trojrozmˇernou informaci, jsou to vˇsak série dvourozmˇerných obrázk˚u. Takto z´ıskaná trojrozmˇerná mˇr´ızˇ ka nen´ı vˇetˇsinou u´ plnˇe homogenn´ı a to m˚uzˇ e ovlivnit i bˇeh algoritmu. Algoritmy v kapitole 4 jsou vysvˇetleny pˇrevázˇ nˇe na 2D obraze. Jejich pouˇzitelnost pro 3D data bude explicitnˇe zm´ınˇena. Mnoho algoritm˚u je cˇ asto závislých na nastaven´ı parametr˚u, na pˇresnosti uˇzivatelského vstupu, nebo na uˇzivatelské interakci v pr˚ubˇehu segmentace. Segmentace se dá podle stupnˇe interakce dˇelit na: manuáln´ı, poloautomatickou, plnˇe automatickou, nebo interaktivn´ı. Od poloautomatických a automatických metod segmentace se oˇcekává chytrý algoritmus, který má dost cˇ asu na to, aby vˇsechno spoˇc´ıtal. Od metod manuáln´ı a interaktivn´ı segmentace se naopak oˇcekává pohodlné uˇzivatelské rozhran´ı, intuitivn´ı význam parametr˚u pouˇzitých algoritm˚u a rychlá odezva pˇri bˇehu výpoˇctu. Interaktivn´ı algoritmy by se mˇely snaˇzit redukovat m´ıru subjektivity typickou pro manuáln´ı segmentaci. To znamená, zˇ e by mˇely maximálnˇe sn´ızˇ it rozd´ıl mezi výsledky segmentace provedené r˚uznými uˇzivateli, nebo dokonce mezi dvˇema pokusy jednoho uˇzivatele.

Kapitola 4 Deformovatelné modely 4.1

Active Contour Models - Snakes

Aktivn´ı kontury, oznaˇcované tézˇ jako hadi, patˇr´ı do skupiny deformovatelných model˚u. P˚uvodn´ı algoritmus aktivn´ıch kontur spatˇril svˇetlo svˇeta v roce 1988 v práci [25]. Stal se základem pro mnoho dalˇs´ıch dˇel o deformovatelných modelech. Aktivn´ı kontury naˇsly uplatnˇen´ı v aplikac´ıch trackovan´ı videa, stereovize, ale pˇredevˇs´ım v segmentaci lékaˇrských dat. Následuj´ıc´ı text shrnuje jejich p˚uvodn´ı matematické odvozen´ı.

4.1.1

Diferenciáln´ı rovnice a jejich rˇ eˇsen´ı

Aktivn´ı kontury, stejnˇe jako ostatn´ı algoritmy deformovatelných model˚u, jsou velmi preciznˇe matematicky formulované. Základn´ı myˇslenka algoritmu je pˇrevedena na diferenciáln´ı rovnice. Algoritmus samotný pak v podstatˇe numericky ˇreˇs´ı soustavu diferenciáln´ıch rovnic. Proto je uˇziteˇcné uvést nˇekteré výchoz´ı pojmy, na které se bude následuj´ıc´ı text odkazovat. Obyˇcejná diferenciáln´ı rovnice prvn´ıho ˇra´ du s poˇca´ teˇcn´ı podm´ınkou F(y, x) = y0 , y(x0 ) = y0 Návod k ˇreˇsen´ı tˇechto rovnic poskytuje diferenciáln´ı poˇcet. Nˇekdy je ale i ˇreˇsen´ı obyˇcejné diferenciáln´ı rovnice velice sloˇzité. Na poˇc´ıtaˇci se nav´ıc nedaj´ı analytické metody ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic efektivnˇe implementovat. Vˇetˇsinou ani nen´ı moˇzné splnit nˇekteré základn´ı podm´ınky, jako je tˇreba spojitost obrazové funkce. Proto nám nab´ız´ı numerická matematika nejjednoduˇssˇ´ı algoritmus pro pˇribliˇzné ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic, takzvanou Eulerovu metodu. y(x + h) = y(x) + h · F(y(x), x)

(4.1)

Metoda se snadno implementuje, má vˇsak nˇekteré nevýhody souvisej´ıc´ı s pˇresnost´ı a numerickou stabilitou. O nˇeco lepˇs´ı je implicitn´ı Eulerova metoda y(x + h) = y(x) + h · F(y(x + h), x + h) 22

(4.2)

KAPITOLA 4. DEFORMOVATELNE´ MODELY

4.1.2

23

Odvozen´ı Active Contours

Idea Aktivn´ıch kontur je zaloˇzena na minimalizaci energetického funkcionálu ∗ ∗ Esnake . Funkcionál Esnake je zobrazen´ı z prostoru parametrických kˇrivek do R. Tento funkcionál popisuje ”vˇerohodnost” výskytu konkrétn´ı kontury v obraze. Aktivn´ı kontura je tedy reprezentována jako parametrická kˇrivka v(t). Funkcionál integruje vˇerohodnost kaˇzdého bodu t kontury v(t), která je dána Esnake = Eint + Eimage + Econ ˇ Clen Eint je takzvaná ”vnitˇrn´ı” energie formuj´ıc´ı konturu. Jeho c´ılem je zajistit hladkost ve smyslu n´ızkých hodnot prvn´ıch a druhých derivac´ı v(t). ∂2 v(t) ∂v(t) + β(t) 2 (4.3) ∂t ∂t Váhové funkce α(t) a β(t) definuj´ı, jak má být aktivn´ı kontura hladká a pruˇzná. Jinak ˇreˇceno, tyto parametry maj´ı vliv na tvar aktivn´ı kontury v prudkých zatácˇ kách. Napˇr´ıklad je tak moˇzné regulovat, zda se bude kontura ”lepit” na hrany v obraze, nebo sp´ısˇe zachová hladký tvar. Vnˇejˇs´ı energie Eimage se skládá z v´ıce sloˇzek. Eint = α(t)

Eimage = wline Eline + wedge Eedge + wterm Eterm Sloˇzky Eline , Eedge a Eterm kvantifikuj´ı matematicky snadno popsatelné detaily obrazu. P˚uvodn´ı Eline je nejjednoduˇssˇ´ı a definuje pˇritaˇzlivost kontury k tmavˇs´ım, nebo svˇetlejˇs´ım oblastem obrazu v závislosti na váhovém faktoru wline . To je efektivn´ı v pˇr´ıpadˇe tenkých hran mezi stejnˇe barevnými oblastmi. Eline = f (v(t)) Zaj´ımavˇejˇs´ım cˇ lenem je Eedge , který pˇritahuje kontury k hranám, tzn. k m´ıst˚um s vysokou hodnotou velikosti gradientu. Energetické minimum (nejvˇetˇs´ı gradient) m˚uzˇ e být ménˇe výrazné, m˚uzˇ e se vyskytovat ve vˇetˇs´ı vzdálenosti od výchoz´ı polohy kontury, nebo m˚uzˇ e být zast´ınˇeno sˇumem. Kv˚uli snazˇs´ı konvergenci je dobré pˇred výpoˇctem gradientu obraz rozmazat, nebo pouˇz´ıt nˇejaký speciáln´ı hranový filtr. Eedge = −|∇ f (v(t))|2 Nejsloˇzitˇejˇs´ım termem je Eterm . Jeho u´ kolem je detekovat ostré rohy, nebo konce hran. Toho se dosahuje zkoumán´ım kˇrivosti kontury. Kˇrivost se kv˚uli pˇredpokládanému sˇumu poˇc´ıtá na rozmazaném obraze C. Obraz lze rozmazat konvoluci gausiánu Gσ s f , tzn. C = Gσ (x, y) ∗ f (x, y). Obraz C je pˇreveden na obraz ∂C eru u´ hl˚u gradientu C, tedy θ = tan−1 (Cx /Cy ), kde Cx = ∂C ∂x a Cy = ∂y . Vektor ve smˇ gradientu je pak definován n = (cosθ, sinθ). Normála gradientu, která vlastnˇe odpov´ıdá smˇeru hrany, je n⊥ = (−sinθ, cosθ). Derivac´ı θ podle normály n⊥ zjist´ıme zmˇenu smˇeru gradientu, ve smˇeru normály. Poˇc´ıtán´ım hodnoty této derivace na kˇrivce v(t) se zjist´ı zmˇena smˇeru hrany v obraze podél kontury. Pokud kontura kop´ıruje hladkou, rovnou hranu je celková hodnota Eterm malá.


Eterm = =

24

∂2C/∂n2⊥ ∂θ = ∂n⊥ ∂C/∂n 2 CyyCx − 2CxyCxCy +CxxCy2 (Cx2 +Cy2 )3/2

Teoreticky by bylo moˇzné do Eimage zahrnou i jiné termy podle libosti a poˇzadavk˚u ˇreˇsené u´ lohy. Právˇe na pruˇznosti toho rámce stav´ı mnoho dalˇs´ıch prac´ı. Pokud je v literatuˇre na p˚uvodn´ı algoritmus aktivn´ıch kontur odkazováno, má se na mysli pouze term Eint s prvn´ı a druhou derivac´ı kˇrivky a hranový term Eedge .

4.1.3

Optimalizace

Pro u´ plnost zbývá uvést optimalizaˇcn´ı schéma z p˚uvodn´ıho cˇ lánku [25], podle ´ kterého lze aktivn´ı kontury implementovat. Ukolem je nalézt takovou kˇrivku v, aktivn´ı konturu, která pˇres celou svou délku minimalizuje hodnotu Esnake . Provede se tedy minimalizace funkcionálu ∗ (v) = Esnake

Z 1 0

Esnake (v(t))dt

(4.4)

Toto je u´ loha pro variaˇcn´ı poˇcet. Diferenciáln´ı poˇcet se zabývá hledán´ım extrém˚u reálných funkc´ı, hodnot v definiˇcn´ım oboru reálných cˇ´ısel. Variaˇcn´ı poˇcet se oproti tomu zabývá hledán´ım extrém˚u funkcionál˚u na jejich definiˇcn´ım prostoru, ∗ kterým jsou funkce. Pro nalezen´ı extrému funkcionálu Esnake je nutnou podm´ınkou rovnost jeho variace (obdoba derivace reálné funkce) nule. Tato rovnost je ekvivalentn´ı s takzvanou Euler-Lagerangeovou rovnic´ı, pro jej´ızˇ ˇreˇsen´ı jsou postaˇcuj´ıc´ı následuj´ıc´ı podm´ınky, za pˇredpokladu konstantn´ıch faktor˚u α a β. ∂Eext =0 ∂x ∂Eext αytt + βytttt + =0 ∂y αxtt + βxtttt +

Kde xtt , ytt , xtttt a ytttt jsou druhé a cˇ tvrté derivace sloˇzek v(t) podle parametru ˇ sen´ı nemus´ı, kv˚uli pouhé nutné podm´ınce, dát minimum. Vˇety variaˇcn´ıho kˇrivky. Reˇ poˇctu hovoˇr´ı o stacionárn´ım bodu. Pˇresto je to dobrý výchoz´ı pˇredpoklad pro implementaci. Aby bylo moˇzné toto schéma prakticky implementovat, pˇrevede se (4.4) do diskrétn´ıho tvaru. n

∗ Esnake = ∑ Eint + Eext i=1

Derivace x(t) a y(t) v Eulerových rovnic´ıch se aproximuj´ı koneˇcnými diferencemi. Pro kˇrivku v(t) = (x(t), y(t)) rozdˇelenou na n bod˚u (v1 , v2 , . . . , vn ) plat´ı n


25

rovnic pro kaˇzdou ze souˇradnic x a y. Rovnice pro jeden bod vi , tedy dvˇe skalárn´ı rovnice, má tvar αi (vi − vi−1 ) − + − + +

αi+1 (vi+1 − vi ) βi−1 (vi−2 − 2vi−1 − vi ) 2βi (vi−1 − 2vi − vi+1 ) βi+1 (vi − 2vi+1 − vi+2 ) ( fx (i), fy (i)) = 0

(4.5)

Derivace fx (i) a fy (i) se spoˇc´ıtá bud’ analyticky, nebo numericky. Kˇrivka je uzavˇrená a plat´ı vn+i = vi , i ∈ {−1, 0, 1, 2}. Rovnice (4.5) se dá napsat v maticovém tvaru. Ax + fx (x, y) = 0 Ay + fy (x, y) = 0 Tato diferenciáln´ı rovnice se vyˇreˇs´ı implicitnˇe-explicitn´ı Eulerovou metodou. Dosazen´ım do (4.1) a (4.2) a následným seˇcten´ım z´ıskáme Axt + fx (xt−1 , yt−1 ) = −γ(xt − xt−1 ) Ayt + fy (xt−1 , yt−1 ) = −γ(yt − yt−1 ) Intern´ı energie se ˇreˇs´ı dle schématu implicitn´ı Eulerovy metody, kdy je derivace vyjádˇrena násoben´ım aktuáln´ıho kroku matic´ı A. Extern´ı energie se poˇc´ıtá expli´ citn´ı Eulerovou metodou pouhým pˇriˇcten´ım derivace f . Upravou se z´ıská ˇreˇsen´ı této lineárn´ı soustavy rovnic xt = (A + γI)−1 (γxt−1 − fx (xt−1 , yt−1 )) yt = (A + γI)−1 (γyt−1 − fy (xt−1 , yt−1 ))

(4.6)

Matice Q = (A + γI) je 5-diagonáln´ı a jej´ı inverze také. Inverzn´ı matici Q−1 lze snadno z´ıskat napˇr´ıklad LU rozkladem. Staˇc´ı Q−1 spoˇc´ıtat jednou na zaˇca´ tku bˇehu algoritmu. V pˇrehledu nebyl u´ myslnˇe zm´ınˇen posledn´ı term Econ . Umoˇznˇ uje uˇzivatelský vstup do výpoˇctu algoritmu, kdy uˇzivatel zadá kl´ıcˇ ové body, na které se maj´ı kontury uchytit, nebo oblasti, kterým se maj´ı vyhnout. Mohou být takto definovány omezuj´ıc´ı podm´ınky dané apriorn´ı znalost´ı konkrétn´ı u´ lohy, okraje obrazu, zaˇca´ tek a konec kˇrivky, atd. Algoritmus aktivn´ıch kontur je jednou ze základn´ıch metod pouˇzit´ı deformovatelných model˚u. Výklad ukazuje dvˇe oddˇelené fáze návrhu, které jsou spoleˇcné pro vˇetˇsinu deformovatelných model˚u. Prvn´ı je formulace kritéri´ı, poˇzadavk˚u a parametr˚u a druhá je optimalizaˇcn´ı výpoˇcet. Hledán´ı optimáln´ıch kˇrivek ve smyslu minimáln´ı energie je u´ loha známá z fyziky, napˇr´ıklad Optiky, nebo Obecné teorie relativity. Eulerovy rovnice a variaˇcn´ı poˇcet patˇr´ı mezi základn´ı prostˇredky k jejich ˇreˇsen´ı.


26

Obrázek 4.1: Ukázka chyb pˇri bˇehu základn´ıho algoritmu aktivn´ıch kontur. Vlevo je vidˇet, zˇ e se u´ seky s ˇr´ıdkým rozloˇzen´ım bod˚u neudrˇz´ı na ostrých výcˇ nˇelc´ıch. Uprostˇred se dá pozorovat, jak u´ sek nepˇrilne dokonale k hranám d´ıky ’vyhlazuj´ıc´ımu’ vlivu funkcionálu Eint . Vpravo je výsledek lepˇs´ı z d˚uvodu hustˇs´ıho rozloˇzen´ı bod˚u ve vykrojené oblasti.

4.1.4

Vlastnosti

Implementace dané metody a jej´ı pouˇzit´ı na umˇelých datech ukazuje na nˇekteré podstatné nevýhody. Prvn´ı z nich zp˚usobuje, pro poˇc´ıtaˇce charakteristická, diskretizace. Na poˇca´ tku mus´ı být znám poˇcet bod˚u, pro které se bude ˇreˇsit soustava rovnic. Pro body na konturách se cˇ a´ steˇcnˇe vˇzilo oznaˇcen´ı ’snaxel’ (snake pixel). Snaxel˚u mus´ı být tolik, aby byl výpoˇcet dostateˇcnˇe pˇresný, ale ne mnoho, aby nebyl pˇr´ıliˇs cˇ asovˇe nároˇcný. Asymptotická sloˇzitost algoritmu je pˇritom ˇra´ du O(pocet kroku · n2 ). Pokud se tvar kˇrivky v pr˚ubˇehu iterace pˇr´ıliˇs zmˇen´ı a dojde napˇr´ıklad k nataˇzen´ı a v nataˇzeném u´ seku dojde k zˇr´ıdnut´ı bod˚u, docház´ı k chybám, ˇ asteˇcnˇe se dá jak ukazuje Obrázek 4.1. K chybám dojde i pˇri zhuˇstˇen´ı bod˚u. C´ tˇemto problém˚um vyhnout, pokud se kˇrivka cˇ as od cˇ asu reparametrizuje. To je nepˇr´ıjemné, protoˇze si to vynut´ı znovu spoˇc´ıtán´ı matice Q−1 . Dalˇs´ım problémem je stanoven´ı vhodných hodnot parametr˚u α, β, γ. K tomu vˇsemu je moˇzné definovat zvlásˇt’ αi a βi , pro kaˇzdý bod na kˇrivce. Vˇetˇsinou se to nedˇelá. Správná hodnota parametr˚u je závislá na typu u´ lohy a cˇ asto se dá urˇcit pouze experimentálnˇe. Taková je realita u vˇetˇsiny deformovatelných model˚u. D˚uleˇzitá je také poˇca´ teˇcn´ı poloha kˇrivky. Výsledek je jiný pro kaˇzdou poˇca´ teˇcn´ı polohu. I pro dvˇe podobné poˇca´ teˇcn´ı polohy se m˚uzˇ e podstatnˇe liˇsit. Vˇetˇsina algoritm˚u deformovatelných model˚u odvozených od aktivn´ıch kontur se proto snaˇz´ı co nejv´ıce omezit závislost na poˇca´ teˇcn´ı poloze. Posledn´ım tématem je podm´ınka pro ukonˇcen´ı výpoˇctu a moˇznost uv´ıznut´ı v lokáln´ım minimu. Výpoˇcet se dá ukonˇcit ve chv´ıli, kdy jsou zmˇeny poloh snaxel˚u


27

∇P

∇P/|P|

n(v)

F

Obrázek 4.2: Balónkový model. Pohled na konturu jako na posloupnost hmotných bod˚u spojených pruˇzinami. dostateˇcnˇe malé. Napˇr´ıklad ve sledovaném okénku posledn´ıch iterac´ı je výchylka poloh menˇs´ı neˇz dané ε. Ale i z principu algoritmu se m˚uzˇ e stát, zˇ e ˇreˇsen´ı uv´ızne v lokáln´ım minimu a ukonˇcovac´ı podm´ınka výpoˇcet pˇreruˇs´ı dˇr´ıv, neˇz se povede algoritmu z minima vyváznout.

4.2

Balónky

Balónkový model je prvn´ım vylepˇsen´ım základn´ıch aktivn´ıch kontur. V práci [10], kde je pˇredstaven, se pohl´ızˇ´ı na kontury jako na ˇretˇezce hmotných bod˚u spojených ∗ lze pohl´ız ˇ et jako na pruˇzinami nulové délky. Na vyhlazuj´ıc´ı vliv funkcionálu Eint silové p˚usoben´ı tˇechto pruˇzin, viz Obrázek 4.2. Tuhost pruˇzin je dána parametry, které zhruba odpov´ıdaj´ı parametr˚um α, β z rovnice (4.3). Autor také odhalil, zˇ e v maticovém vyjádˇren´ı 4.6 se skrývá konvoluce posloupnosti sousedn´ıch bod˚u s filtrem, který má omezený support. Staˇc´ı si uvˇedomit, zˇ e i-tý ˇra´ dek matice Q−1 obsahuje nenulové hodnoty ve sloupc´ıch i − 2 aˇz i + 2. V pˇr´ıpadˇe, zˇ e plat´ı βi = β, αi = α ∀i, pak má filtr nejvˇetˇs´ı hodnotu v i-tém sloupci postupnˇe klesaj´ıc´ı v (i ± 1)-tém a (i ± 2)-tém sloupci. V jednom kroku výpoˇctu tak docház´ı k vyhlazen´ı vázˇ eným souˇctem sousedn´ıch bod˚u. To se dá pozorovat na tom, zˇ e samotný vyhlazuj´ıc´ı vliv Eint kontrahuje vˇsechny body kˇrivky do jednoho stˇredu. Pokud bychom se snaˇzili detekovat nˇejaký tvar v obrázku pomoc´ı uzavˇrené aktivn´ı kontury, mus´ıme konturu inicializovat okolo pˇredpokládaného tvaru a oˇcekávat, zˇ e se pˇri smrˇst’ován´ı zachyt´ı na hranách tvaru. Balónkový model pˇriˇsel s ideou, zˇ e pro vˇetˇsinu aplikac´ı by byl lepˇs´ı opaˇcný smˇer pohybu kontury v pr˚ubˇehu výpoˇctu. M´ısto smrˇst’ován´ı pouˇz´ıt rozp´ınán´ı. Odtud také název balónkový model. Definuje ”nafukovac´ı” s´ılu zahrnuj´ıc´ı sloˇzku, která p˚usob´ı kolmo na kˇrivku. F = k1 · n(v) − k

∇P k∇Pk

Kde ∇P je vektor pohybu bodu podle p˚uvodn´ıho algoritmu. Tato s´ıla je nor-


28

malizovaná, takˇze pohyb dál nezávis´ı na velikosti gradientu, ale pouze na zvolené konstantˇe k. Vektor n je kolmice na konturu v v daném bodˇe. Pomˇerem a velikost´ı k1 a k se reguluje rychlost a smˇer pohybu (nafukovan´ı, splaskáván´ı). Vektor F pak urˇcuje zmˇenu polohy bodu kˇrivky. Je nutné pr˚ubˇezˇ nˇe reparametrizovat kˇrivku. Bud’ pravidelnˇe po kaˇzdých h kroc´ıch, nebo aˇz vzdálenost nˇejakých dvou sousedn´ıch bodu pˇrekoná dané δ. Standardn´ı hranový operátor daný velikost´ı gradientu je nahrazen CannyhoDeriche hranovým detektorem. Cannyho detektor má schopnost non-maximáln´ı suprese, která zvýrazn´ı gradient tvoˇr´ıc´ı souvislé hrany a potlaˇc´ı sˇum (suprese). Umoˇznˇ uje z´ıskat kvalitnˇejˇs´ı hrany, na kterých se rozp´ınaj´ıc´ı kontury modelu snáze zastav´ı. Aby bylo dosaˇzeno rovnovázˇ ného stavu, je nutné vhodnˇe nastavit konstanty k1 a k. Bˇehem výpoˇctu hraj´ı roli cˇ asového kroku Eulerovy metody. Jelikoˇz vektory, které násob´ı, maj´ı jednotkovou velikost, samy by nemˇely pˇresáhnout velikost strany jednoho pixelu. Tak se pˇredejde pˇreskoˇcen´ı nˇekterých tenkých hran, nebo vyskoˇcen´ı z nalezeného minima. V navazuj´ıc´ım cˇ lánku [11] jsou uvedeny i pˇr´ıklady segmentace 3D objekt˚u v objemových datech. Nav´ıc je zde prezentována metoda koneˇcných prvk˚u pro ˇreˇsen´ı variaˇcn´ı rovnice p˚uvodn´ıch aktivn´ıch kontur a balónkového modelu. Ta pomáhá bojovat s velkou výpoˇcetn´ı sloˇzitost´ı, která se naplno projev´ı aˇz pˇri poˇc´ıtán´ı v 3D datech. Balónkový model byl uˇz pˇr´ımo navrˇzen pro segmentaci lékaˇrských dat. Poˇc´ıtá s vývojem uzavˇrené kˇrivky, která je v prvn´ım kroku um´ıstˇena dovnitˇr segmentovaného objektu. D´ıky tomu nen´ı výpoˇcet tolik závislý na poˇca´ teˇcn´ı poloze. Výchoz´ı kˇrivka m˚uzˇ e být um´ıstˇena, s témˇeˇr stejným výsledkem, na libovolném m´ıstˇe uvnitˇr objektu. Kˇrivku je vˇsak nutné cˇ asto reparametrizovat. Výsledek výpoˇctu také stále hodnˇe závis´ı na konstantách k1 a k. Nav´ıc algoritmus dobˇre segmentuje pouze objekty s jednoduchou souvislou topologi´ı, v´ıceménˇe konvexn´ıho tvaru.

4.3

Dalˇs´ı vylepˇsen´ı pro Aktivn´ı kontury

Základn´ı algoritmus aktivn´ıch kontur je moˇzné vylepˇsit v kaˇzdé jeho problematické oblasti a pˇrizp˚usobit kaˇzdé konkrétn´ı aplikaci, jak ukazuj´ı následuj´ıc´ı pˇr´ıklady.

4.3.1

ˇ ıc´ı topologii - T-Snakes Modely zohlednuj´

Problém segmentace sloˇzité topologie deformovatelnými modely je rˇeˇsen v práci [30]. Autor si rozdˇelil obrazový prostor na cˇ tvercovou s´ıt’ a dˇelen´ım kaˇzdého cˇ tverce diagonálou v jednom smˇeru z´ıská simplexovou s´ıt’. Simplexová s´ıt’ má mnoho výhod, protoˇze existuje jej´ı dobrá algebraická formalizace. Mezi jej´ı zaj´ımavé vlastnosti patˇr´ı, zˇ e pozice bodu v simplexové buˇnce lze vyjádˇrit jednoznaˇcným zp˚usobem pomoc´ı vrchol˚u simplexu. T´ım pádem je i jednoznaˇcná reprezentace kontur, ploch a sloˇzitˇejˇs´ıch struktur. Jeden simplex je nejmenˇs´ı jednotkou prostoru. Jeho velikost odpov´ıdá velikosti nejmenˇs´ıch detail˚u, které algoritmus um´ı zachytit.


29

Konturu definuje posloupnost simplex˚u, kterými procház´ı. Pˇritom je jednoznaˇcnˇe urˇceno, kterou stˇenou simplexu vstupuje dovnitˇr a kterou stˇenou vystupuje ven. Jedn´ım simplexem m˚uzˇ e procházet maximálnˇe jedna kontura. Iterativn´ı algoritmus v kaˇzdém kroku pohne s konturou a vytvoˇr´ı novou posloupnost simplex˚u, pˇriˇcemˇz je schopen detekovat zmˇeny topologie. Napˇr´ıklad kolize, nebo dˇelen´ı. Simplexovou s´ıt’ je moˇzné pˇrirozenˇe sestrojit v i prostoru vyˇssˇ´ı dimenze, aniˇz by se zkomplikovaly algoritmy pro procházen´ı hranice a detekci topologických zmˇen.

4.3.2

Segmentace série rˇ ezu˚

V pˇr´ıpadˇe segmentace série sn´ımk˚u, které dohromady tvoˇr´ı trojrozmˇernou mˇr´ızˇ ku, je moˇzné pouˇz´ıt pˇredchoz´ı algoritmy pro segmentaci kaˇzdého sn´ımku v sérii. Z vysegmentovaných ˇrez˚u se zrekonstruuje 3D objekt. Omezen´ım segmentace pouze na ˇrezy se bohuˇzel ztrác´ı mnoho informace, která je obsaˇzena napˇr´ıcˇ sn´ımky, napˇr´ıklad v hranách vedouc´ıch mimo rovinu sn´ımk˚u. Jedno schéma, jak poˇc´ıtat v ˇrezech oddˇelenˇe a zároveˇn neignorovat informaci obsaˇzenou v jiných rovinách, je popsáno v práci [9]. Autor nechává postupnˇe zkonvergovat uzavˇrené kˇrivky v jednotlivých ˇrezech série, poté zmˇen´ı orientaci osy a vygeneruje novou sérii ˇrez˚u. V této sérii zrekonstruuje z p˚uvodn´ı mnoˇziny uzavˇrených kontur nové kontury leˇz´ıc´ı v rovinách sn´ımk˚u nové série. Pˇri rekonstrukci se mus´ı ˇreˇsit situace, kdy vznikne v´ıce uzavˇrených kontur, nebo i kontury uvnitˇr kontur (d´ıry). Opˇet se spust´ı algoritmus aktivn´ıch kontur na kaˇzdém sn´ımku zvlásˇt’. Zmˇena orientace, pˇrepoˇcet a opˇetovná konvergence aktivn´ıch kontur se opakuj´ı tak dlouho, dokud se celkový tvar z´ıskaný spojen´ım oblast´ı ze vˇsech sn´ımk˚u významnˇe mˇen´ı.

4.3.3

Aktivn´ı plochy

Kontura je dána posloupnost´ı vrchol˚u spojených u´ seˇckami, kdy má kaˇzdý vrchol uzavˇrené kontury dva své sousedy. V pˇr´ıpadˇe 3D plochy je to m´ırnˇe sloˇzitˇejˇs´ı. Plochu lze aproximovat trojúheln´ıkovou s´ıt´ı. Takovou dostateˇcnˇe jemnou trojúheln´ıkovou s´ıt’ je pak moˇzné pouˇz´ıt pˇri segmentaci v 3D datech. Mus´ı se nav´ıc vyˇreˇsit zjemˇnován´ı a hrubnut´ı plochy bˇehem reparametrizace. Jedna metoda aktivn´ıch ploch vˇcetnˇe výpoˇcetn´ıho schématu je popsána napˇr´ıklad v [29].

4.4

Geodesic contours

Drobných vylepˇsen´ı p˚uvodn´ıho algoritmu aktivn´ıch kontur, jako jsou ty z pˇredchoz´ı kapitoly, se dá nalézt jeˇstˇe mnohem v´ıce. Nemˇen´ı nic na základn´ı myˇslence minimalizace energetického funkcionálu. Zaj´ımavý ideový pˇrerod pˇrinesla práce [6]. Autor nejprve zd˚uraznil d˚uleˇzitost parametrizace kˇrivky v p˚uvodn´ım modelu. Velice totiˇz záleˇz´ı, jak rychle je kˇrivka v integrálu (4.4) prob´ıhána. Pro r˚uzné zp˚usoby prob´ıhán´ı je moˇzné, zˇ e vyjdou jiné výsledky. Souvis´ı to s nedostatkem zm´ınˇeným v popisu implementace základn´ıho modelu, který se týkal hustoty bod˚u. Problém se dá matematicky vyˇreˇsit tak, zˇ e se kˇrivkový integrál parametrizuje ”podle oblouku”.


30

Reparametrizace je t´ımto zahrnuta pˇr´ımo do modelu a nen´ı umˇele ˇreˇsena aˇz bˇehem výpoˇctu. Z Tq

x0 (t)2 + y0 (t)2 dt

`(T ) = 0 −1

L(l) = ` (l), l ∈ [0, length] ∗ Eedge = −

Z length 0

|∇ f (v(L(l)))|dl

Nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı poznatek je, zˇ e teoretický problém minimalizace funkcionálu se dá pˇrevést na nalezen´ı geodetických kˇrivek. Geodetická kˇrivka je definovaná jako nejkratˇs´ı (lokálnˇe) cesta mezi dvˇema body. Tento pojem je pˇrevzat z geodezie, vˇedy, která se zabývá mˇeˇren´ım zemského povrchu. Navrˇzený algoritmus tedy stav´ı na hledán´ı geodetických kˇrivek. Alternativnˇe lze na geodetickou kˇrivku pohl´ızˇ et jako na spojnici dvou bod˚u, která minimalizuje vázˇ enou vzdálenost. Tato u´ vaha umoˇznila spojit termy vnitˇrn´ıch a vnˇejˇs´ıch sil, Eint a Eimage , do jednoho, který bere v u´ vahu jak vlastnosti obrazu (hrany), tak vlastnosti kˇrivky (hladkost, délka). ∗ Egeodesic

4.4.1

=−

Z 1 0

q |∇ f (v(t))| x0 (t)2 + y0 (t)2 dt | {z } | {z } váha hrany váha vzdálenosti

(4.7)

Optimalizace - Sniˇzován´ı gradientu

Matematická optimalizace je tˇr´ıda algoritm˚u, pomoc´ı kterých se hledá minimum dané funkce f : A → R. Jde o systematický výbˇer hodnot vedouc´ı co nejrychleji ke globáln´ımu minimu (obecnˇe extrému). Tento výbˇer lze provádˇet mnoha zp˚usoby, které odpov´ıdaj´ı r˚uzným optimalizaˇcn´ım algoritm˚um. Jedn´ım z takových algoritm˚u je napˇr´ıklad sniˇzován´ı gradientu (gradient descent). Sniˇzován´ı gradientu provád´ı výbˇer od poˇca´ teˇcn´ıho prvku ve smˇeru gradientu optimalizované funkce f . ∂f ∂x Sniˇzován´ı gradientu je pouˇzito k nalezen´ı geodetických kˇrivek. Poˇca´ teˇcn´ı prvek tvoˇr´ı výchoz´ı kˇrivka v cˇ ase q = 0, v0 (t) = v(0,t). K optimalizaci potˇrebný gradient je v [6] odvozen derivac´ı (4.7). xn+1 = xn + δ

∗ ∂Egeodesic

∂v

≈

∂v(q,t) = g( f )κ n − (∇g · n) n ∂q

Funkce g je metrika vlivu gradientu v obraze. Plat´ı pro ni, zˇ e g(r) → 0 pro r → ∞. Vektor n je normála jednotkové velikosti a κ je kˇrivost kˇrivky v. Tento model formalizuje pˇrechod od minimalizace energie k hledán´ı geodetických kˇrivek. Zaj´ımavˇejˇs´ı je reprezentace prostˇrednictv´ım takzvaných level-set˚u, ve které je tento model poˇc´ıtán, protoˇze nab´ız´ı elegantn´ı ˇreˇsen´ı mnoha problém˚u aktivn´ıch kontur.


4.5

31

Level-sets

Level-sety jsou numerické výpoˇcetn´ı schéma, které nalézá aplikace v mnoha oblastech. Pouˇz´ıvá se napˇr´ıklad v simulac´ıch dynamiky kapalin, výpoˇctu animac´ı, nebo ve vizuáln´ıch efektech. Metody level-set˚u jsou výsledkem mnohaleté práce a bádán´ı v oblasti propagace rozhran´ı. Zde jde uvedena implementace level-set˚u pro hledán´ı tvar˚u v obraze podle [1] a [28]. Hlavn´ı výhodou level-set˚u je nezávislost výsledku na poˇca´ teˇcn´ı poloze a tvaru kˇrivky. Level-sety um´ı segmentovat i velmi sloˇzité tvary, které obsahuj´ı d´ıry, nebo maj´ı hodnˇe cˇ lenitou hranici. Nen´ı problém segmentovat v´ıce objekt˚u najednou. D´ıky tˇemto vlastnostem se dá této metody vyuˇz´ıt pˇri segmentován´ı videa, kde objekty v obraze mˇen´ı topologii mezi jednotlivými sn´ımky. Stejnˇe výhodná je aplikace na lékaˇrská data z CT a MRI. Princip segmentace levelsety se nejlépe ilustruje na dvojrozmˇerném obraze. Ale sám výpoˇcetn´ı rámec nen´ı dimenz´ı dat nijak omezen. Proto lze level-sety pouˇz´ıt i pro segmentaci objemových dat. V textu, kde to je moˇzné, se bude za obrazový prostor brát obecnˇe prostor dimenze N. Zpracován´ı data vyˇssˇ´ı dimenze je moˇzné samozˇrejmˇe výmˇenou za delˇs´ı dobu výpoˇctu. Výpoˇcetn´ı sloˇzitost je jednou z nevýhod level-setových metod. Jak tedy level-sety funguj´ı? Na zaˇca´ tku je výchoz´ı hladká uzavˇrená kˇrivka v(0) v Eukleidovském prostoru. Funkce v(q) dává mnoˇzinu kˇrivek tak, jak se vyv´ıjej´ı v cˇ ase q z poˇca´ teˇcn´ı v(0) pod vlivem sil F. Body na kˇrivce v(q) jsou dány funkc´ı v(q,t) pro t ∈ (0, S). Aˇz sem je situace stejná jako v pˇredchoz´ıch algoritmech. Kˇrivka m˚uzˇ e být reprezentována body a s tˇemi lze pohybovat v drobných diskrétn´ıch kroc´ıch. To vede k ˇradˇe problém˚u popsaných v pˇredchoz´ım odstavci. Druhou moˇznost´ı je chápat v(q) pro pevné q jako podmnoˇzinu nadroviny ψ(x, q) : RN → R danou rovnic´ı ψ(v, q) = 0. Poˇca´ teˇcn´ı kˇrivka je v(q = 0) = {x| ψ(x, q = 0) = 0}. Takˇze se m´ısto poˇc´ıtán´ı samotné kˇrivky v v obraze poˇc´ıtá nadrovina ψ a kˇrivka v se z n´ı odeˇcte aˇz v momentˇe, kdy je ji potˇreba zobrazit. Hranice objektu, kˇrivka v(q), je implicitnˇe zadaná výrazem ψ(v, q) = 0. Bude na ni v textu odkazováno jako na vrstevnici nulté hladiny ψ. Stejnˇe jako u p˚uvodn´ım aktivn´ıch kontur jde o vývoj funkce pod vlivem sil odvozených z analyzovaného obrazu a pˇr´ıpadnˇe vnitˇrn´ıch vlastnost´ı, jako je kˇrivost, nebo derivace. Hlavn´ı otázkou je, jak reprezentovat nadrovinu ψ(v, q) a jak definovat s´ıly, které s n´ı budou hýbat. Na zaˇca´ tku se zavede ψ(x, q = 0) jako nejkratˇs´ı vzdálenost bodu x od kˇrivky v(0). Pro x ∈ RN tedy plat´ı ψ(x,t = 0) = ±d Znaménko d znaˇc´ı, nacház´ı-li se bod x uvnitˇr (m´ınus), nebo vnˇe (plus) uzavˇrené kˇrivky ve vzdálenosti d. Ukázka nadroviny pro obrazová data dimenze N = 2 je vidˇet na Obrázku 4.3. Odvozen´ı rovnice pro výpoˇcet nadroviny ψ zaˇcne u definice x(q), q ∈ [0, ∞) jako polohy bodu, na vrstevnici nulté hladiny funkce ψ závislé na cˇ ase. x(0) je bod výchoz´ı kˇrivky. Tato funkce se dosad´ı do rovnice nadroviny ψ a vyjde následuj´ıc´ı podm´ınka


120

80

80

40

40

0

0

-40

-40 128

96

64

32

0 128

96

64

32

0

-80 128

96

32

64

32

0 128

96

64

32

0

Obrázek 4.3: Vlevo je nadrovina ψ na zaˇca´ tku segmentace. Vpravo je nadrovina ψ na konci bˇehu algoritmu. Je jasnˇe vidˇet, zˇ e vnitˇrek objektu leˇz´ı pod nulovou hladinou a hranice objektu je definována jako vrstevnice na hladinˇe nula.

ψ(x(q), q) = 0

(4.8)

Jak je vidˇet, hodnota ψ se v (x(q), q) se v cˇ ase nemˇen´ı. Derivac´ı (4.8) za pouˇzit´ı ˇret´ızkového pravidla dostáváme ∂ψ ∂ψ ∂x ∂ψ N ∂ψ ∂xi + = +∑ =0 ∂q ∂x ∂q ∂q i=1 ∂xi ∂q

(4.9)

Do této rovnice se dosad´ı výraz odvozený z obrazových dat. Nejlépe se vyjádˇr´ı velikost rychlosti bodu nadroviny, tzn. zmˇena jeho polohy v cˇ ase, ve smˇeru normály. Oznaˇcme ji F. Pro implicitnˇe definovanou funkci, ve tvaru f (x, y) = 0, plat´ı, zˇ e jej´ı normála (kolmice v bodˇe je) je dána gradientem ∇ f . Tedy pokud je ∂x/∂q zmˇena polohy bodu x v cˇ ase a ∇ψ normála ψ v bodˇe x, pak velikost rychlosti ve smˇeru normály je ∇ψ ∇ψ ∂x/∂q · = · ∂x/∂q F = |∂x/∂q| |∇ψ| |∂x/∂q| |∇ψ| Ve skalárn´ım souˇcinu dvou jednotkových vektor˚u se skrývá kosinus, který ˇr´ıká, jak hodnˇe se smˇer pohybu bodu x v rovinˇe pod´ıl´ı na pohybu ve smˇeru normály. Tato velikost rychlosti se vyskytuje i ve vztahu (4.9). ∂ψ ∂x ∂ψ ∂ψ/∂x ∂x ∂ψ · = = F (4.10) ∂x ∂q ∂x |∂ψ/∂x| ∂q ∂x Dosazen´ım (4.10) do (4.9) se dostane ∂ψ ∂ψ + F =0 ∂q ∂x

(4.11)

Výraz (4.11) je parciáln´ı-diferenciáln´ı rovnice Hamilton-Jacobiho typu. Z toho vyplývaj´ı i vlastnosti ˇreˇsen´ı (ψ je hladká funkce) a zároveˇn i vlastnosti vˇclenˇené


33

funkce v. Teorie okolo rˇeˇsen´ı parciáln´ıch-diferenciáln´ıch rovnic je za rámec této práce, proto je zde zm´ınˇen jen numerický algoritmus z [28]. Hodnoty funkce ψ se aproximuj´ı v diskrétn´ım rastru dˇeleném uniformˇe v x a y krokem velikosti h a v q krokem ∆q. Hledaj´ı se tedy hodnoty ψ(ih, jh, n∆q). Nahrazen´ım derivac´ı diferencemi v rovnici (4.11) dostáváme ψi j(n+1) − ψi jn + |∇ψi jn |F(x(n∆q)) = 0 ∆q ! ψ −ψ (i+1) jn

∇ψi jn =

(4.12)

i jn

h

ψi( j+1)n −ψi jn h

Zbývá tedy formulovat F. Hodnota F se rozdˇel´ı na dvˇe komponenty FA a FG . FA je velikost s´ıly, která zapˇr´ıcˇ iˇnuje neustálý pohyb hranice. Odpov´ıdá vlastnˇe nafukovac´ı s´ıle u balónk˚u. FG je velikost s´ıly, která vycház´ı z geometrie hranice. Stará se o jej´ı vyhlazen´ı. Má stejný význam jako Eint u aktivn´ıch kontur. ∂ψ ∂ψ ∂ψ + FA (x(q)) + FG (x(q)) = 0 ∂q ∂x ∂x Dále jsou dvˇe moˇznosti, jak nové termy pouˇz´ıt. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe nebude do výpoˇctu zahrnuta vyhlazuj´ıc´ı FG , tzn. FG = 0. M´ısto FA se definuje nová s´ıla FI , která p˚usob´ı proti FA a zároveˇn je ˇr´ızena obsahem obrazu. −FA (|∇Gσ ∗ f (x, y)| − M2 ) M1 − M2 Kde M1 a M2 jsou maximum a minimum z gradientu vyhlazeného obrázku ∇Gσ ∗ f (x, y). S´ıla FI ted’ m˚uzˇ e nabývat hodnot (−FA , 0). V takovém pˇr´ıpadˇe dosahuje FI minima tzn. −FA v m´ıstˇe, kde je nejsilnˇejˇs´ı hrana, plat´ı F = 0 a hranice se na takovém m´ıstˇe zastav´ı. Kde je gradient maximáln´ı, tedy M1 je FI = 0 a hranice se posunuje ve smˇeru normály silou FA . V pˇr´ıpadˇe, zˇ e se pouˇzije i vyhlazovac´ı s´ıly FG , je pˇr´ıstup ponˇekud odliˇsný. Obˇe dvˇe nenulové s´ıly FG a FA se vynásob´ı hodnotou kI . FI =

kI (x, y) =

1 1 + |∇Gσ ∗ f (x, y)|

Výraz kI nabývá hodnot bl´ızkých nule v m´ıstech, kde je vysoký gradient. A naopak bl´ızˇ´ı se k jedniˇcce v m´ıstech, kde je intenzita obrazu témˇeˇr konstantn´ı. Výraznˇeji k nule padá kI ve tvaru kI (x, y) = e|∇Gσ ∗ f (x,y)| Pˇredchoz´ı definice sil pro vývoj nadroviny ψ se vztahovaly pouze na nultou hladinu. Protoˇze se hovoˇrilo o silách odvozených z obrazu, který se vyskytuje v rovinˇe nulté hladiny, mus´ı se s´ıly dodefinovat na celém ψ. Proto termy FI a kI odvozené


34

z obrazu rozˇs´ıˇr´ıme na celou ψ a vzniknou tak rozˇs´ıˇrené FÎ a kÎ . Rovnice pro plochu v obou diskutovaných pˇr´ıpadech tedy budou vypadat takto. ∂ψ ˆ ∂ψ + FI = 0 ∂q ∂x ∂ψ ∂ψ ˆ + kI (FA + FG ) = 0 ∂q ∂x Pro rozˇs´ıˇrenou funkci FÎ mus´ı platit rovnost s p˚uvodn´ı funkc´ı FI na nulté hladinˇe. Mimo nultou hladinu lze funkci dodefinovat napˇr´ıklad hodnotou s´ıly FI nejbliˇzsˇ´ıho bodu na vrstevnici nulté hladiny. Iterativn´ı algoritmus z pˇredchoz´ıho výkladu je struˇcnˇe shrnut na výpisu algoritmu 1. Algoritmus 1 Level-sets - segmentace 1. Vstupn´ı kˇrivka v(q = 0) tvoˇr´ıc´ı vrstevnici nulté hladiny. 2. Konstrukce mˇr´ızˇ ky hodnot funkce ψ(x, q = 0): hodnoty na kˇrivce v jsou nastaveny na 0. Hodnoty mimo kˇrivku jsou inicializovány vzdálenost´ı nejbliˇzsˇ´ıho bodu kˇrivky. Nav´ıc vzdálenost se poˇc´ıtá záporná pro body uvnitˇr kˇrivky a kladná pro body vnˇe. 3. Konstrukce rozˇs´ıˇrené Fˆ pro vˇsechny body mˇr´ızˇ ky. 4. Updatován´ı mˇr´ızˇ ky podle rovnice (4.12). 5. Konstrukce nové kontury v(q) z mˇr´ızˇ ky ψ. 6. Pokud nen´ı splnˇeno konvergenˇcn´ı kritérium, pokraˇcuje se (n + 1). krokem od bodu 3 pro q = (n + 1)∆q.

Je dost pravdˇepodobné, zˇ e pˇr´ımo nulové hodnoty se po kroku 4 algoritmu v mˇr´ızˇ ce vyskytovat nebudou. Rekonstrukce kontury se provede bˇehem pr˚uchodu mˇr´ızˇ ky nalezen´ım bod˚u, ve kterých se mˇen´ı znaménko oproti soused˚um. Za hraniˇcn´ı bod lze tedy prohlásit napˇr´ıklad ten, jehoˇz soused ve 4-okol´ı, nebo 8-okol´ı je opaˇcného znaménka. Pˇresnˇejˇs´ı výsledek lze z´ıskat bilineárn´ı interpolac´ı. Jinou moˇznost´ı je trackován´ı hranice záporné oblasti funkce ψ.

4.5.1

Narrow-band

Jak je vidˇet, jeden krok algoritmu zahrnuje konstrukci funkce rychlosti Fˆ tak, zˇ e hodnota v (x, y) je rovna hodnotˇe v nejbliˇzsˇ´ım bodˇe vrstevnice nulté hladiny. To znamená, zˇ e pro kaˇzdý bod diskrétn´ı mˇr´ızˇ ky se hledá nejbliˇzsˇ´ı bod na kˇrivce v(q). To zp˚usobuje v praxi témˇeˇr neúnosnou výpoˇcetn´ı sloˇzitost. Proto se hledalo ˇreˇsen´ı,


35

jak celý algoritmus urychlit. Prvn´ım trikem, který uvád´ı [28], je definovat si u´ zký pásek (narrow-band) okolo hladiny nulté u´ rovnˇe a updatovat ψ a Fˆ bˇehem kaˇzdého kroku pouze v nˇem. Jednou za cˇ as, napˇr´ıklad po 20 kroc´ıch v závislosti na sˇ´ıˇrce pásku, reinicializovat ψ na celém obraze.

4.5.2

Fast Marching Level-sets

Algoritmus segmentace pomoc´ı level-set˚u je i s pouˇzit´ım narrow-bandu stále pomˇernˇe dost pomalý. Proto byla odvozena slabˇs´ı varianta [36], co do schopnost´ı segmentace, která je vˇsak jeˇstˇe o nˇeco rychlejˇs´ı. V prvn´ı ˇradˇe pˇredpokládá, zˇ e hodnota F má na celém oboru stejné znaménko. Bud’ je vˇsude kladná, nebo vˇsude záporná. Chován´ı algoritmu je moˇzné si pˇredstavit tak, zˇ e hranice oblast´ı se sˇ´ıˇr´ı jako hranice rozlévaj´ıc´ı se kapaliny. Nikdy se nevrac´ı zpˇet, neustupuje z jiˇz zaplaveného u´ zem´ı. D´ıky tomu lze zúzˇ it narrow-band na sˇ´ıˇrku jednoho pixelu ve smˇeru sˇ´ıˇren´ı. Bˇehem sˇ´ıˇren´ı vlny se pak zároveˇn mˇen´ı i narrow-band. Pokaˇzdé, kdyˇz je pixel narrow-bandu zaplaven, jsou jeho sousedé do narrow-bandu pˇridáni. Rozhodnut´ı, který pixel zaplavit, je dáno nejmenˇs´ı hodnotou funkce T (x, y). Funkce T (x, y) má význam cˇ asu, ve kterém se vlna dostane nad bod (x, y). Tato funkce splˇnuje |∇T |F = 1 Funkce T je inicializována na poˇca´ tku pouze v narrow-bandu výchoz´ı kˇrivky. V pr˚ubˇehu algoritmu se pak dopoˇc´ıtává pro vˇsechny nové body narrow-bandu. T´ımto zjednoduˇsen´ım se v jednom kroku m´ısto procházen´ı plochy procház´ı pouze body kˇrivky. Plat´ı, zˇ e bˇehem celého výpoˇctu je kaˇzdý bod obrazu navˇst´ıven maximálnˇe jednou.

4.6

Modely rˇ´ızené statistikou oblasti

Vˇsechny pˇredchoz´ı algoritmy deformovatelných model˚u mˇely jednu charakteristickou a zcela zásadn´ı vlastnost. Jejich výpoˇcet byl ˇr´ızen hranami v obraze. To vˇsak pˇredpokládá, zˇ e obraz bude m´ıt kvalitn´ı hrany a málo sˇumu. Segmentované objekty a tvary budou relativnˇe ostˇre ohraniˇceny. To právˇe vˇetˇsinou nen´ı pˇr´ıpad lékaˇrských sn´ımk˚u, jak je vidˇet v u´ vodu na Obrázku 2.1. Data z CT jsou v´ıce zaˇsumˇená pˇri vˇetˇs´ım rozliˇsen´ı a tenˇc´ıch ˇrezech. Na druhou stranu data s n´ızkým rozliˇsen´ım jsou málo pˇresná. Objekty na nich mohou splývat a hrany mohou být rozmazané. Proto nen´ı dobré spoléhat jen na schopnost hran zastavit vyv´ıjej´ıc´ı se aktivn´ı konturu. Hrany mohou být podél okraj˚u objekt˚u velmi nerovnomˇerné a nevýrazné. I to je dobˇre vidˇet na Obrázku 2.1. Právˇe proto deformovatelné modely ˇr´ızené hranami cˇ asto selhávaj´ı na lékaˇrských datech, nebo jsou hodnˇe závislé na parametrech vnitˇrn´ıch vyhlazuj´ıc´ıch sil, zásahu uˇzivatele, cˇ i apriorn´ı informaci. V práci [8] byl pˇredveden model postavený cˇ istˇe na statistice rozloˇzen´ı intenzity v segmentované oblasti a mimo ni. Celou oblast obrazu oznaˇc´ıme ω. Pokud máme uzavˇrenou kˇrivku v, pak výraz int(v) znaˇc´ı oblast uvnitˇr kˇrivky a výraz ext(v) =


36

ω\int(v) oblast vnˇe kˇrivky. Energetický funkcionál modelu, který poˇc´ıtá s t´ım, zˇ e se obraz skládá ze dvou oblast´ı definovaných relativnˇe konstantn´ı intenzitou, je ∗ Eregion (v) = α

Z int(v)

Z

β ext(v)

( f (x, y) − µint(v) )2 dxdy + ( f (x, y) − µext(v) )2 dxdy

(4.13)

Kde v je kˇrivka ohraniˇcuj´ıc´ı segmentovaný objekt. f (x, y) je hodnota intenzity obrazu v bodˇe (x,y). Termy µint a µext jsou stˇredn´ı hodnoty intenzit oblast´ı int a ext. Parametry α a β je moˇzné ˇr´ıdit váhu obou oblast´ı v celkovém souˇctu energie. ´ Uloha je opˇet stejná jako u aktivn´ıch kontur, minimalizovat energetický funkcionál (4.13). Minimalizac´ı hodnoty energie docház´ı k tomu, zˇ e se oblasti formuj´ı tak, aby obsahovaly pouze ty body s intenzitou, která je nejbl´ızˇ stˇredn´ım hodnotám. Hranice v expanduje a pohlcuje body s podobnou intenzitou, zachovávaj´ıc homogenitu celé oblasti int. Trochu to pˇripom´ıná nar˚ustán´ı oblast´ı z kapitoly 3.2. Algoritmus zde má vˇsak plnou kontrolu nad tvarem prostˇrednictv´ım jeho hranice. Hodnoty µint (v) a µext (v) m˚uzˇ e zadat uˇzivatel, napˇr´ıklad d´ıky hlubˇs´ım znalostem o segmentovaném objektu. Nebo mohou být poˇc´ıtány v pr˚ubˇehu algoritmu z aktuáln´ıho stavu vývoje kˇrivky v(t). Stˇredn´ı hodnota intenzity v oblasti je dána vztahem R

µR =

R Rf (x, y)dxdy R 1dxdy

Model je moˇzné obohatit pˇridán´ım dalˇs´ıch term˚u, jakými jsou délka hrany a obsah oblast´ı. T´ım ovˇsem pˇribudou váhové parametry, na jejichˇz nastaven´ı bude výpoˇcet citlivý. Volba takových parametr˚u se podobá pˇr´ısloveˇcnému sˇc´ıtán´ı jablek s hruˇskami. ∗ ∗ ECV (γ) = Eregion (v, α, β) + ν Length(v) + λ Area(v)

Praktická implementace narázˇ´ı na velkou nevýhodu tohoto modelu. Je j´ı výpoˇcetn´ı nároˇcnost pˇri poˇc´ıtán´ı ploˇsných, nebo objemových integrál˚u. V [8], kde je tento model pouˇzit, jsou kontury reprezentovány prostˇrednictv´ım level-set˚u. D´ıky tomu se výpoˇcet ploˇsného integrálu snadno ztrat´ı pˇri vyhodnocován´ı ψ. Algoritmus nav´ıc zadarmo z´ıská mnohé výhody level-set˚u, jako je libovolná zmˇena topologie v pr˚ubˇehu výpoˇctu, nebo nezávislost na poloze výchoz´ı kˇrivky.

4.6.1

Vyuˇzit´ı Greenovy vˇety

Problém cˇ asové nároˇcnosti pˇri výpoˇctu ploˇsného integrálu se dá elegantnˇe vyˇreˇsit vyuˇzit´ım matematické teorie, konkrétnˇe Greenovy vˇety.


37

Vˇeta 1 (Greenova) Je-li G ⊂ R2 horizontálnˇe a vertikálnˇe jednoduchá (G lze v horizontáln´ım a vertikáln´ım smˇeru ohraniˇcit funkcemi f1 , f2 , tak, zˇe f1 < f2 ) ¯ a otevˇrená. C = G/G je po cˇ a´ stech hladká, jednoduchá, uzavˇrená cesta. Necht’ n ¯ Pak plat´ı F : G → R je spojité a má spojité parciáln´ı derivace 1. rˇa´ du na G. I C

ZZ

F1 dx + F2 dy =

∂F2 ∂F1 − dxdy ∂y G ∂x

ZZ

I

(4.14)

Nav´ıc plat´ı I C

∂F1 − dxdy, ∂y G

F1 dx =

C

ZZ

F2 dy =

∂F2 dxdy G ∂x

(4.15)

Greenova vˇeta je speciáln´ı verz´ı obecnˇejˇs´ı Stokesovy vˇety. Jde vlastnˇe o pˇrevod výpoˇctu rotac´ı na mnoˇzinˇe G na výpoˇcet cirkulace kolem mnoˇziny G. Greenova vˇeta je klasický prostˇredek pro výpoˇcet kˇrivkových a ploˇsných integrál˚u. V praxi se lze setkat se zaˇr´ızen´ım jménem planimetr, který funguje na principu Greenovy vˇety. Dokázˇ e mˇeˇrit obsah oblasti trackován´ım jej´ıho obvodu. Matematicky se to dá vyjádˇrit takto 1 1 − (−1)dxdy 2 G Z I Z 1 −1dy dx + 1dx dy 2 C I 1 −ydx + xdy 2 C ZZ

ZZ

=

1dxdy G

Green

=

=

Greenova vˇeta se dá vyuˇz´ıt k výpoˇctu modelu podobného (4.13). Nejprve si ∗ uvˇedom´ıme, co je vlastnˇe tˇreba spoˇc´ıtat. Minimalizace funkcionálu Emodel nˇejakého modelu s integrálem pˇres mnoˇzinu se dosáhne metodou sniˇzován´ı gradientu. K tomu ∗ jsou potˇreba derivace Emodel podle souˇradnic bod˚u kˇrivky. ∗ Emodel

Z

=

Fdxdy

Green

=

G

=

I Z

Fdy dx C I Z − Fdx dy

(4.16)

C

∗ ∂Emodel ∂x

=

−

I

Fdy

(4.17)

C

Pˇri derivován´ı pravé strany (4.17) byla pouˇzita vˇeta o derivaci integrálu s parametrem. Derivace podle y se spoˇc´ıtá analogicky. D´ıky uˇzit´ı Greenovy vˇety je dosaˇzeno sn´ızˇ en´ı výpoˇcetn´ı sloˇzitosti pˇri vyhodnocen´ı parciáln´ı derivace podle jedné souˇradnice ze zhruba O(vyska obrazu × sirka obrazu) na O(delka krivky).


4.7

38

Apriorn´ı znalosti

Doposud se pracovalo pouze s intenzitou a s gradientem daného segmentovaného obrazu. Nepoˇc´ıtalo se zˇ a´ dnými jinými vstupn´ımi informacemi a tvoˇrené modely hledaly a rekonstruovaly tvary bez povˇedom´ı, o jaké objekty se zhruba jedná. Informace o tom, jaký maj´ı pˇribliˇznˇe tvar, nebo jaké je pˇredpokládané rozloˇzen´ı intenzity by mohlo pomoci v jejich nalezen´ı a pˇresné segmentaci. Tato data ”nav´ıc” se nazývaj´ı apriorn´ı znalosti. Typ˚u apriorn´ıch znalost´ı a zp˚usob˚u, jak s nimi pracovat pˇri analýze obrazu, je mnoho, viz [38]. Pro u´ cˇ ely segmentace obrazu a rekonstrukce objekt˚u se hod´ı hlavnˇe statistické informace o tvaru a intenzitˇe.

4.7.1

Statistická analýza - PCA

Analýza hlavn´ıch komponent (Principal Component Analysis, PCA) je nástrojem statistické matematiky v boji s mnoˇzinami mnohodimenzionáln´ıch dat s c´ılem je co nejv´ıc zjednoduˇsit. Struˇcnˇe ˇreˇceno, c´ılem PCA je zjistit korelace r˚uzných sloˇzek vzork˚u dat napˇr´ıcˇ celou mnoˇzinou X. PCA je lineárn´ı transformace, stejnˇe tak jako Fourierova transformace. Pˇrevád´ı hodnoty z p˚uvodn´ıho systému souˇradnic do takového, kde projekce analyzovaných vektor˚u s nejvˇetˇs´ı variabilitou bude zobrazena do prvn´ı souˇradnice. Ty, co maj´ı druhou nejvˇetˇs´ı variabilitu se zobraz´ı do druhé souˇradnice, atd. Z toho vyplývá, zˇ e na rozd´ıl od ostatn´ıch lineárn´ıch transformac´ı nemá PCA explicitnˇe definovánu bázi. Jej´ı báze se odvod´ı z dat. Pro prvn´ı bázový vektor w1 odpov´ıdaj´ıc´ı prvn´ı nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı souˇradnici plat´ı w1 = argmax|w|=1 E{(wT (x − E(X)))2 } Posledn´ı souˇradnice odpov´ıdaj´ı smˇer˚um s nejmenˇs´ı variabilitou, které jsou pro zachován´ı informace nejménˇe d˚uleˇzité. Redukce dimenzionality lze dosáhnout zahozen´ım tˇech nˇekolika posledn´ıch, ménˇe významných, souˇradnic. V praxi se PCA báze mnoˇziny X z´ıská spoˇcten´ım vlastn´ıch vektor˚u a vlastn´ıch cˇ´ısel kovarianˇcn´ı matice mnoˇziny X. PCA se kromˇe jiného pouˇz´ıvá napˇr´ıklad k redukci poˇctu charakteristických vlastnost´ı v teorii rozpoznán´ı vzor˚u, nebo k nalezen´ı optimáln´ıch obálkových tˇeles v poˇc´ıtaˇcové geometrii.

4.7.2

Point Distribution Model

Model distribuce bod˚u je jedna moˇznost, jak zachytit tvar 2D nebo i 3D objekt˚u. Perfektnˇe se hod´ı k integraci do deformovatelných model˚u. Nepˇredpokládá, zˇ e objekty maj´ı pevný, nedeformovatelný tvar. Základem modelu je rozloˇzen´ı sledovaných bod˚u (landmarks) na hranici, nebo povrchu objekt˚u, pˇr´ıpadnˇe na jeho vnitˇrn´ıch strukturách. V základn´ı verzi jsou to nav´ıc taková m´ısta, která v obraze tvoˇr´ı hrany. Rozloˇzen´ım tˇechto bod˚u je moˇzné zd˚uraznit d˚uleˇzitost nˇekterých cˇ a´ st´ı objektu, nebo zvýraznit detaily. Poloˇzen´ı bod˚u se v horˇs´ım pˇr´ıpadˇe provád´ı manuálnˇe, nebo v lepˇs´ım pˇr´ıpadˇe pomoc´ı nˇejakého poloautomatického [17], cˇ i


39

Obrázek 4.4: Ukázka oznaˇckován´ı trénovac´ı mnoˇziny plnˇe automatického [21] algoritmu. Snahou je oznaˇckovat takto vˇetˇs´ı mnoˇzinu exempláˇru˚ jedné tˇr´ıdy objekt˚u. Aby se tyto exempláˇre daly mezi sebou srovnávat, mus´ı si body na r˚uzných exempláˇr´ıch odpov´ıdat. Pˇrirozenˇe, znaˇcek mus´ı být na kaˇzdém exempláˇri stejný poˇcet. Pokud by byly znaˇcky oˇc´ıslovány pˇrirozenými cˇ´ısly, tak znaˇcky konkrétn´ıho cˇ´ısla mus´ı být na dvou exempláˇr´ıch um´ıstˇeny na ”stejném” m´ıstˇe. Na Obrázku 4.4 je vidˇet nˇekolik neoznaˇckovaných exempláˇru˚ javorového listu a jeden oznaˇckovaný. Znaˇcka cˇ´ıslo 9 oznaˇcuje vrchol prostˇredn´ıho výbˇezˇ ku listu na kaˇzdém exempláˇri. Variabilita tvaru exempláˇru˚ se pˇredpokládá a bude následnˇe podrobena statistické analýze. Co vˇsak vad´ı, je jejich r˚uzná poloha, natoˇcen´ı a uniformn´ı zvˇetˇsen´ı. Nejprve mus´ı být mnoˇzina exempláˇru˚ zarovnána. Uvedený postup je z [14]. Tedy hledaj´ı se takové hodnoty parametr˚u transformace tuhého tˇelesa, kterými jsou: u´ hel otoˇcen´ı, vektor posunut´ı a faktor zvˇetˇsen´ı, aby se minimalizovala m´ıra T daná souˇctem cˇ tverc˚u rozd´ıl˚u souˇradnic. Je-li tvar exempláˇru˚ popsán N body, pak mohou být souˇradnice znaˇcek naskládány do jednoho vektoru délky 2 × N. Pro exempláˇr i tedy vi = (x1 , y1 , . . . , xN , yN ). Zarovnán´ı dvou exempláˇru˚ i a j se dosáhne minimalizac´ı výrazu T = (vi − M j (v j ))T W (vi − M j (v j )) Matice W je volitelná diagonáln´ı matice parametr˚u, která umoˇznˇ uje dát pˇri zarovnáván´ı r˚uzným znaˇckám jinou váhu. Napˇr´ıklad by bylo vhodné, aby pˇri zarovnáván´ı list˚u z Obrázku 4.4 byl kladen d˚uraz na pˇrekryv u´ st´ı ˇrap´ıku a vrcholu prostˇredn´ıho cˇ lánku (ˇc´ıslo 9 a 3). Niˇzsˇ´ı váhy maj´ı vˇetˇsinou znaˇcky, které exempláˇr od exempláˇre nejv´ıce mˇen´ı svoji polohu. Vyˇssˇ´ı váhu oproti tomu maj´ı takové, které jsou polohou stabiln´ı. V [14] je popsán iterativn´ı algoritmus, jak zarovnat postupnˇe vˇsechny exempláˇre. Algoritmus je shrnut ve výpisu algoritmu 2. Nyn´ı jsou exempláˇre zarovnány a daj´ı se spoˇc´ıtat napˇr´ıklad stˇredn´ı hodnoty souˇradnic jednotlivých znaˇcek. Tak se z´ıská pr˚umˇerný tvar v¯ . Spoˇc´ıtán´ım rozptyl˚u souˇradnic znaˇcek se dostanou meze, ve kterých se dané znaˇcky vyskytovaly napˇr´ıcˇ trénovac´ı mnoˇzinou. Také se dá spoˇc´ıtat rozloˇzen´ı pravdˇepodobnosti jejich poloh.


40

Algoritmus 2 PDM - zarovnán´ı trénovac´ıch tvar˚u 1. Zarovnej kaˇzdý exempláˇr v˚ucˇ i prvn´ımu. 2. Spoˇc´ıtej pr˚umˇerný tvar z celé mnoˇziny prostým pr˚umˇerován´ım souˇradnic znaˇcek. 3. Zarovnej pr˚umˇerný tvar na nˇejakou pevnˇe danou velikost, orientaci a polohu. Tento krok se provád´ı, aby se v pr˚ubˇehu algoritmu pr˚umˇerný tvar napˇr´ıklad neustále nezmenˇsoval. Nedoˇslo by ke konvergenci. 4. Zarovnej kaˇzdý exempláˇr v˚ucˇ i pr˚umˇernému tvaru. 5. Dokud se pr˚umˇerný tvar mˇen´ı, opakuj od kroku 2.

Tyto meze a pravdˇepodobnosti pak mohou slouˇzit k omezen´ı pohybu aktivn´ıch kontur. Omezen´ı se vztahuje vˇzdy jen na jednu znaˇcku v rámci pr˚umˇerného tvaru nezávisle na ostatn´ıch. Lepˇs´ı by bylo nalézt vztahy mezi v´ıce znaˇckami tak, aby pohyb jedné znaˇcky byl omezen pohybem a polohou ostatn´ıch. K z´ıskán´ı tˇechto vztah˚u poslouˇz´ı PCA. Analýza mnoˇziny exempláˇru˚ zapoˇcne sestrojen´ım kovarianˇcn´ı matice (dimenze 2N × 2N) odchylek exempláˇru˚ vi od pr˚umˇerného tvaru v¯ S =

1 N ∑ (vi − v¯ )(vi − v¯ )T N i=1

Spoˇc´ıtaj´ı se vlastn´ı vektory pi a vlastn´ı cˇ´ısla λi této matice, pro nˇezˇ plat´ı S pi = λi pi , λi ≥ λi+1 Dá se ukázat, zˇ e vlastn´ı vektor pi s vˇetˇs´ım vlastn´ım cˇ´ıslem λi odpov´ıdá smˇeru s vˇetˇs´ı variabilitou souˇradnic. Tyto smˇery se nazývaj´ı módy variace. Vektor pi reprezentuje odchylku mnoˇziny znaˇcek. Jakoby svazuje mnoˇzinu znaˇcek dohromady. Protoˇze módy variace odpov´ıdaj´ı odchylkám od pr˚umˇerného tvaru, je moˇzné pomoc´ı nich a vektoru koeficient˚u b nakombinovat libovolný tvar v v mnoˇzinˇe exempláˇru˚ . vi = v¯ + bP, P = (p1 , . . . , pN ) Zvˇetˇsován´ım a zmenˇsován´ım hodnot bi se mˇen´ı jednotlivé charakteristické rysy analyzovaného objektu. V pˇr´ıpadˇe list˚u z Obrázku 4.4 by to mohla být velikost nebo poloha ˇrap´ıku, velikost výcˇ nˇelk˚u listu, cˇ i velikost mezer mezi výcˇ nˇelky. Tyto charakteristické rysy jsou dány souhrou poloh nˇekolika znaˇcek. Pˇr´ıpustné hodnoty √ √ parametr˚u bi se pohybuj´ı v intervalu h−3 λi , 3 λi i. D´ıky tomu, zˇ e jsou vektory pi seˇrazené podle d˚uleˇzitosti, je zajiˇstˇeno, zˇ e pˇri vynechán´ı posledn´ıch vektor˚u dojde k nejmenˇs´ı chybˇe. Pouˇzije se tedy jen prvn´ıch nˇekolik vektor˚u a vlastn´ıch cˇ´ısel,


41

ˇreknˇeme k. Právˇe vysvˇetlená fáze odpov´ıdá trénován´ı modelu a mnoˇzina pouˇzitých exempláˇru˚ se nazývá trénovac´ı mnoˇzina.

4.7.3

Active Shape Model

Active Shape Model (ASM) z [12] [15] je model vycházej´ıc´ı z aktivn´ıch kontur a PDM. Pohyb kˇrivek prob´ıhá, pod vlivem gradientu, podobnˇe jako u aktivn´ıch kontur, je vˇsak omezený pˇr´ıpustnými parametry modelu PDM. Samotný postup pˇri hledán´ı tvaru je struˇcnˇe shrnut v algoritmu 3. Algoritmus 3 Active Shape Model - algoritmus rekonstrukce tvaru 1. Inicializace x pr˚umˇerným tvarem v¯ . 2. Hledán´ı hrany na kolmici ke kˇrivce v m´ıstˇe znaˇcek. Z´ıskáme posunut´ı dx 3. Nalezen´ı parametr˚u transformace tuhého tˇelesa M, která minimalizuje souˇcet cˇ tverc˚u souˇradnic rozd´ılu M(x) a (x + dx). 4. Zbytek M(x) − (x + dx) je deformac´ı tvaru. 5. Nalezen´ı transformace vektor˚u M(x) a (x + dx) do prostoru modelu. Tedy T (M(x)) a T (x + dx). 6. Urˇc´ı se b a b + db. Kdy plat´ı v¯ + bP = T (M(x)) a v¯ + (b + db)P = T (x + dx). 7. Update tvarového vektoru, b → b + db 8. Omez´ı se vektor parametr˚u b, aby nepˇresahoval pˇr´ıpustné hodnoty. Tedy splnˇen´ı Dm = ∑ti=1 (b2i /λi ) ≤ Dmax (= 3) se dosáhne naˇskálován´ım bi → bi · DDmax m 9. Rekonstrukce tvaru x s novým b v obrazovém prostoru. Z´ıská se tak pˇr´ıpustný tvar v bl´ızkosti hran. 10. Dokud se tvar x mˇen´ı opakuje se od kroku 2

ASM v sobˇe elegantn´ım zp˚usobem integruje apriorn´ı znalosti. S t´ım je spojená vˇetˇs´ı sloˇzitost algoritmu jak konstrukˇcnˇe, tak výpoˇcetnˇe. Algoritmus se skládá z typické fáze uˇcen´ı, která zpracuje trénovac´ı data a vytváˇr´ı z nich statistickou reprezentaci tvaru, pouˇzitou následnˇe k segmentaci objekt˚u. Nevýhodou je nutnost m´ıt dostatek dat pouˇzitelných k nauˇcen´ı PDM. Data mus´ı splˇnovat kritéria statistického vzorku. Nepˇr´ıjemná práce je i s rozloˇzen´ım znaˇcek, obzvlásˇt’ kdyˇz se mus´ı dˇelat manuálnˇe. Skuteˇcným problémem se vˇsak stává v pˇr´ıpadˇe rozˇs´ıˇren´ı algoritmu pro segmentaci 3D dat. Pokud jsou trojrozmˇerná data prezentována v ˇrezech, jak je to typické pro tomografické zobrazovac´ı metody, kˇrivka prob´ıhaj´ıc´ı v jednom ˇrezu u jednoho exempláˇre m˚uzˇ e u jiného prob´ıhat napˇr´ıcˇ nˇekolika ˇrezy, coˇz uˇzivatel nemá


42

sˇanci sledovat. Na trojrozmˇerném modelu je ˇra´ dovˇe v´ıc znaˇcek, proto jsou potˇreba ˇra´ dovˇe vˇetˇs´ı trénovac´ı mnoˇziny. Ruˇcnˇe oznaˇckovat takové mnoˇziny je témˇeˇr nadlidský u´ kol. Výsledky segmentace 3D dat pomoc´ı ASM byly publikovány v práci [17], nebo [22].

4.7.4

Active Appearance Model

Active Appearance Model (AAM) popsaný v [13] rozˇsiˇruje statistický popis tvaru z PDM pouˇzitý v ASM o statistický popis intenzity v obraze. Algoritmus segmentace opˇet pˇredcház´ı tvorba modelu. Model se vytváˇr´ı analýzou trénovac´ı mnoˇziny a skládá se z vektor˚u popisuj´ıc´ıch módy variace, stˇredn´ıho tvaru, intenzity a rozsahu koeficient˚u. Prvn´ı cˇ a´ st tvorby modelu je totoˇzná s tvorbou modelu PDM. Druhá cˇ a´ st vyˇzaduje zdeformován´ı (warping) vˇsech trénovac´ıch exempláˇru˚ tak, aby znaˇcky leˇzely na pozic´ıch stˇredn´ıho tvaru x. ¯ Zdeformované exempláˇre se navzorkuj´ı. Tyto vzorky se normalizuj´ı, aby se odstranil vliv r˚uzného jasu. Normalizace vlastnˇe odpov´ıdá zarovnán´ı vzork˚u v PDM. Na normalizované vzorky se provede PCA. Vzniknou tak dva modely. Prvn´ı je totoˇzný s PDM a popisuje tvar, druhý pak popisuje distribuci intenzity. vi = v¯ + bv Pv , gi = g¯ + bg Pg Aplikac´ı PCA na parametry exemplárˇu˚ (bx , bg ) v tˇechto modelech sloˇzených dohromady se z´ıská jeden sjednocený (appearance) model popisuj´ıc´ı i vztahy mezi intenzitou a tvarem napˇr´ıcˇ trénovac´ı mnoˇzinou. Napˇr´ıklad pˇri nauˇcen´ı na mnoˇzinˇe fotografii lidského obliˇceje se odhal´ı korelace typu, delˇs´ı nos vrhá vˇetˇs´ı st´ın a podobnˇe. Rekonstrukce objektu v obraze následnˇe prob´ıhá hledán´ım parametr˚u modelu tak, aby model co nejlépe odpov´ıdal pˇredloˇzenému obrazu. Pˇritom nesm´ı parametry pˇrekroˇcit povolené rozptyly zjiˇstˇené ve fázi uˇcen´ı.

4.8

Kombinace vˇseho - Shape Based Approach

V cˇ lánku [39] byl uveden algoritmus segmentace zaloˇzený na deformovatelných modelech, zahrnuj´ıc´ı vˇetˇsinu doposud uvedených pˇr´ıstup˚u. Základ tvoˇr´ı opˇet minimalizace energetického funkcionálu. Tentokrát je energie poˇc´ıtaná ze statistiky intenzity v oblasti. Tvar je reprezentován level-sety a výpoˇcet prob´ıhá podobnˇe jako v kapitole 4.5. Výpoˇcet tvaru je omezen a ˇr´ızen apriorn´ı znalost´ı stejný zp˚usobem, jako tomu bylo v kapitole 4.7 o ASM. Metoda je demonstrována na 2D i 3D umˇelých a reálných lékaˇrských datech. Výsledky, se kterými je metoda prezentována jsou p˚usobivé. Algoritmus je rozdˇelen na dvˇe fáze. Prvn´ı je fáze uˇcen´ı, která probˇehne nad vysegmentovanou trénovac´ı mnoˇzinou. Jej´ı smysl a pr˚ubˇeh odpov´ıdá trénovac´ı fázi PDM. Liˇs´ı se pˇredevˇs´ım zp˚usobem reprezentace trénovac´ıch tvar˚u a metodou jejich zarovnán´ı. PDM pouˇz´ıvalo mnoˇzinu znaˇcek. Zde je tvar i reprezentován bitovou


43

mapou I i , kde kaˇzdý obrazový element odpov´ıdá bitu. Bity pixel˚u tvoˇr´ıc´ıch pozad´ı maj´ı hodnotu nula a bity pixel˚u, které odpov´ıdaj´ı objektu, maj´ı hodnotu jedna. Zarovnán´ı je se provád´ı minimalizac´ı sniˇzován´ım gradientu následuj´ıc´ıho výrazu. n n RR (I j − I i )2 dA ω (4.18) T = ∑ ∑ RR j i 2 ω (I + I ) dA i=1 j=1 j6=i

Výraz (4.18) tvoˇr´ı vlastnˇe souˇcty cˇ tverc˚u. Normalizace v sumˇe má zajistit, aby se tvary bˇehem minimalizace nezmenˇsovaly. Gradient z (4.18) se poˇc´ıtá podle parametr˚u transformac´ı tuhého tˇelesa, neboli posunut´ı, otoˇcen´ı a uniformn´ı zvˇetˇsen´ı kaˇzdé bitové mapy. Proces zarovnán´ı je výpoˇcetnˇe nároˇcný, protoˇze pomalu konverguje, nav´ıc se m˚uzˇ e stát, zˇ e pˇredˇcasnˇe zkonverguje k lokáln´ımu minimu. Zlepˇsen´ı v obou pˇr´ıpadech je moˇzné dosáhnout hierarchickou optimalizac´ı. Nejprve se zarovnávaj´ı tvary v redukovaném rozliˇsen´ı a následnˇe se dorovnaj´ı v origináln´ım rozliˇsen´ı pomoc´ı výraznˇe menˇs´ıho poˇctu krok˚u. Sledován´ım analogie s algoritmem uˇcen´ı PDM bude sestrojen pr˚umˇerný tvar a mnoˇzina nejd˚uleˇzitˇejˇs´ıch mód˚u variac´ı, pˇredstavuj´ıc´ı spoleˇcné charakteristické znaky tvar˚u v trénovac´ı mnoˇzinˇe. Oboj´ı vˇsak mus´ı být ve formˇe level-set˚u, tedy jako nadroviny procházej´ıc´ı nultou hladinou. Tato nadrovina v prostoru dimenze N + 1 se dá reprezentovat hodnotami (N + 1). souˇradnice v diskrétn´ım N-dimenzionáln´ım rastru. V kapitole 4.5 byla hotnota této souˇradnice urˇcena nejkratˇs´ı vzdálenost´ı od vrstevnice v N-dimenzionáln´ım prostoru nulté hladiny. Hodnota má záporné znaménko, pokud je uvnitˇr tvaru. Zarovnané tvary I i se pˇrevedou na tuto reprezentaci Ψi a vypoˇcte se pr˚umˇerný tvar Φ. Φ=

1 N i ∑Ψ N i=1

Módy variace se z´ıskaj´ı proveden´ım PCA. Pro kaˇzdé Ψi se spoˇc´ıtá rozd´ılová ˜ i = Ψi − Φ. Vˇsechny Ψ ˜ i se podle souˇradnic lexikograficky uspoˇra´ daj´ı hodnota Ψ do vektor˚u ψi . Vytvoˇr´ı se matice S = [ψ1 . . . ψn ]. Z´ıskaj´ı se vlastn´ı cˇ´ısla λi a vlastn´ı vektory pi kovarianˇcn´ı matice N1 SST . Pˇreveden´ım vlastn´ıch vektor˚u zpˇet na diskrétn´ı rastr se dostanou pˇr´ısluˇsné módy variace Φi , pˇripravené k nakombinován´ı s pr˚umˇerným tvarem Φ. Vlastn´ı cˇ´ısla zároveˇn urˇcuj´ı pod´ıl vlivu daného módu na charakteristických vlastnostech tvaru. Pro u´ cˇ ely modelu se zachová k mód˚u variace s nejvˇetˇs´ı hodnotou vlastn´ıho cˇ´ısla. Ty se pak pouˇzij´ı k nakombinován´ı tvar˚u tak, zˇ e pokryj´ı pˇrevázˇ nou vˇetˇsinu pˇr´ıpustných odchylek. Do výpoˇctu se daj´ı zahrnout i parametry p transformace tuhého tˇelesa, t´ım se dostane model pro zachycen´ı objektu v libovolné pozici a libovolného tvaru v pˇr´ıpustných mez´ıch. k

Φ[w, p] = Φ(T [p](x, y)) + ∑ wk Φi (T [p](x, y)) i=1

Bˇehem samotné segmentace se minimalizuje funkcionál popisuj´ıc´ı ”vˇerohodnost” výskytu tvaru sniˇzován´ım gradientu podle parametr˚u w a p.


44

F´ aze uˇ cen´ı bitmapy Ii

Φ+

Pk

i=1

level-sety Ψi

˜i odchylky Ψ

pr˚ umˇerný tvar Φ

PCA

vlastn´ı vektory Φi

vlastn´ı ˇc´ısla λi

zarovnán´ı

wk Φi

F´ aze segmentace inicializace Φ

tvar I

gradient ∇w,p E

level-set Φ[w, p]

nové w, p sn´ıˇzen´ım gradientu

Obrázek 4.5: Diagram znárorˇnuj´ıc´ı pr˚ubˇeh algoritmu Minimalizovaný funkcionál bude zahrnovat statistiku oblasti, podobnˇe jako metoda popsaná v cˇ a´ sti 4.6. Autoˇri této metody pˇriˇsli s dalˇs´ımi typy funkcionál˚u 1 ∗ Ebinary = − (µI − µω/I )2 2 ∗ Evariance

1 = − 2

2 f 2 dA ω/I f dA RRI − RR I 1dA ω/I 1dA

RR

RR

!

!2 − (µ2I − µ2ω/I )

(4.19)

Bˇehem kaˇzdého kroku optimalizace se opakovanˇe mus´ı spoˇc´ıtat gradient. K tomu je nutné z´ıskat tvar I z implicitn´ı reprezentace Φ a pomoc´ı nˇej pak spoˇc´ıtat gradient zvoleného funkcionálu (4.19). Bˇehem výpoˇctu nedocház´ı k zˇ a´ dnému omezován´ı parametr˚u wk tak, jako tomu bylo u ASM. Zde metoda tˇezˇ´ı pouze z vývoje tvaru povolenými smˇery mód˚u variace. Vˇsechny kroky algoritmu jsou pˇrehlednˇe znázornˇeny diagramem 4.5. Výhody tohoto algoritmu vyplývaj´ı z vlastnost´ı d´ılˇc´ıch metod, jsou shrnuty v následuj´ıc´ım výcˇ tu: 1. Apriorn´ı znalost nedovol´ı, aby se výsledek segmentace významnˇe liˇsil od exempláˇru˚ z trénovac´ı mnoˇziny. 2. D´ıky apriorn´ı znalosti a samotnému principu deformovatelných model˚u se metoda snadno vypoˇra´ dává se zaˇsumˇeným obrazem.


45

3. Reprezentace tvaru objektu level-sety dovoluje libovolnou zmˇenu topologie v pr˚ubˇehu výpoˇctu. 4. Pouˇzit´ı level-set˚u také vede k menˇs´ı závislosti na poloze výchoz´ıho tvaru. 5. D´ıky uˇcen´ı modelu z trénovac´ı mnoˇziny reprezentované pomoc´ı bitmap odpadá problém se znaˇckován´ım. 6. Snadné rozˇs´ıˇren´ı algoritmu pro práci s daty libovolné dimenze. 7. Algoritmus je výpoˇcetnˇe nároˇcný.

4.9

B-Spline a Free-Form Deformace

V p˚uvodn´ım algoritmu aktivn´ıch kontur byla hranice reprezentována jako posloupnost bod˚u. Implicitn´ı reprezentace vn´ımala konturu tvaru jako nultou vrstevnici jisté nadroviny. Alternativn´ım ˇreˇsen´ım k tˇemto dvou extrém˚um je pouˇzit´ı aproximaˇcn´ıch spline kˇrivek, nebo ploch známých z geometrie a poˇc´ıtaˇcem podporovaného návrhu (CAD - Computer Aided Design). Nejvhodnˇejˇs´ım nástrojem jsou B-Spline kˇrivky. B-Spline kˇrivka je urˇcena stupnˇem, nˇekolika málo ˇr´ıd´ıc´ımi vrcholy a uzlovými body, které definuj´ı bázové funkce. B-Spline nab´ız´ı volitelnˇe vysokou u´ roveˇn kontroly tvaru kˇrivky, který je pˇri popisu hranice r˚uzných objekt˚u potˇreba. Velkou výhodou pˇri výpoˇctu aktivn´ıch kontur v této reprezentaci je malý poˇcet optimalizovaných parametr˚u. Výpoˇcet se redukuje z optimalizace souˇradnic kaˇzdého bodu kˇrivky, snaxelu, pouze na optimalizaci souˇradnic ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u. D´ıky tomu je bˇeh algoritmu s B-Spline rychlejˇs´ı. Jak je ukázáno v práci [4], dovoluje pouˇzit´ı B-Spline kˇrivek u´ plnˇe vynechat vnitˇrn´ı vyhlazuj´ıc´ı term Eint zavedený rovnic´ı (4.3). Samotné pouˇzit´ı B-Spline neˇreˇs´ı bohuˇzel segmentaci tvar˚u se sloˇzitˇejˇs´ı topologi´ı. Dokonce i výpoˇcet pr˚useˇc´ık˚u B-Spline m˚uzˇ e být problém. Efektivn´ı výpoˇcetn´ı schéma pro B-Spline zahrnuj´ıc´ı statistiku oblast´ı uvád´ı [24]. Myˇslenku B-Spline kˇrivek, kdy je tvar ovládán jen nˇekolika málo ˇr´ıd´ıc´ımi body sleduj´ı i algoritmy rekonstrukce zaloˇzené na vyuˇzit´ı Free Form Deformac´ı (FFD). FFD je nástroj známý z CAD, hojnˇe vyuˇz´ıvaný pro své snadné ovládan´ı a pˇekné modelovac´ı výsledky. Do prostoru obrazu je um´ıstˇen objekt pˇredpokládaného tvaru a topologie, napˇr´ıklad z atlasu. Následnˇe se pak optimalizuj´ı ˇr´ıd´ıc´ı body FFD s´ıtˇe okolo tohoto objektu. P˚uvodn´ı objekt se tak zdeformuje, aby nejlépe odpov´ıdal pˇredloˇzenému obrazu. Výhodou je, zˇ e FFD s´ıt’ nem˚uzˇ e libovolnˇe zmˇenit topologii a pohyb ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u samotných se dá umˇele omezit, aby se zamezilo kˇr´ızˇ en´ı a kontrakc´ım. Exempláˇr z atlasu m˚uzˇ e obsahovat kromˇe hranice i hodnoty intenzit obrazu uvnitˇr a v okol´ı objektu, které lze také zahrnout do optimalizovaného kritéria. Jedno pouˇzit´ı FFD lze nalézt v cˇ lánku [2].


4.10

46

Shrnut´ı

Tˇr´ıda algoritm˚u segmentace zaloˇzených na deformovatelných modelech je velmi rozsáhlá a nen´ı moˇzné uvést vˇsechny existuj´ıc´ı pˇr´ıklady a modifikace. Dobrým zdrojem informac´ı m˚uzˇ e být napˇr´ıklad kniha o aktivn´ıch konturách [3], nebo seznam vˇsech prac´ı [40] cituj´ıc´ıch p˚uvodn´ı cˇ lánek o aktivn´ıch konturách. Pˇredchoz´ı text mapuje nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı myˇslenky okolo deformovatelných model˚u. Zmiˇnuje podrobnˇeji p˚uvodn´ı cˇ lánek a uvád´ı nˇekterá vylepˇsen´ı pokouˇsej´ıc´ı se ˇreˇsit problematické otázky. Prob´ırá se i významná implicitn´ı reprezentace aktivn´ıch kontur. V druhé polovinˇe je pak pˇredstavena revoluˇcn´ı zmˇena kritéria ze sledován´ı hran, na sledován´ı oblast´ı se specifickou intenzitou. Poté je detailnˇe vysvˇetleno, jak lze vytvoˇrit model tvaru zahrnuj´ıc´ı apriorn´ı znalost a pouˇz´ıt ho k rekonstrukci objektu ve smyslu deformovatelných model˚u. Výklad konˇc´ı syntézou vˇsech pˇredstavených myˇslenek v konkrétn´ı metodˇe segmentace. Na u´ plný závˇer jsou uvedeny dalˇs´ı zaj´ımavé alternativy reprezentace tvaru. Jediná teze popisuj´ıc´ı deformovatelné modely by mohla zn´ıt takto: Deformovatelné modely jsou zaloˇzeny na optimalizaci vztahu mezi abstrakc´ı a reálnými daty. Vztahem jsou zde energetické funkcionály. Abstrakc´ı pak zp˚usob reprezentace tvar˚u. Optimalizac´ı mohou být r˚uzné metody od ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic, po numerickou nelineárn´ı optimalizaci, cˇ i r˚uzné heuristiky. Daty pak m˚uzˇ eme chápat jak segmentovaný obraz, tak apriorn´ı znalosti.

Kapitola 5 Zvolený postup rekonstrukce Celou mnoˇzinu pˇredstavených algoritm˚u pro deformovatelné modely se pokus´ıme posoudit i z praktického u´ hlu pohledu. Podle rychlosti a sloˇzitosti ji m˚uzˇ eme seˇradit a rozdˇelit na dvˇe kategorie. Prvn´ı z nich jsou algoritmy rychlé a jednoduché. Takové se hod´ı pro implementaci v rozhran´ı s poˇzadavkem na rychlou uˇzivatelskou odezvu. Mezi nˇe patˇr´ı pˇredevˇs´ım r˚uzné implementace aktivn´ıch kontur bez apriorn´ı znalost´ı v základn´ım explicitn´ım tvaru. Druhou kategorii tvoˇr´ı algoritmy sloˇzitˇejˇs´ı, výpoˇcetnˇe nároˇcnˇejˇs´ı, ovˇsem slibuj´ıc´ı lepˇs´ı výsledky. K takovým algoritm˚um m˚uzˇ eme poˇc´ıtat ASM, AAM a jiné algoritmy silnˇe vyuˇz´ıvaj´ıc´ı apriorn´ı znalosti, jako je reprezentace v PDM. Extrémnˇe pomalé jsou algoritmy, které pouˇz´ıvaj´ı k reprezentaci tvaru implicitn´ı funkce, levelsety. Ale i z tˇech pomalejˇs´ıch jsou vhodnˇejˇs´ı ty, které nám dovoluj´ı rozdˇelit výpoˇcet na nezávislé fáze, kdy je moˇzné nˇekteré výpoˇcty provést dopˇredu jen jednou a poté v´ıcekrát pouˇz´ıt jejich výsledku. Trénován´ı statistického modelu je toho dobrým pˇr´ıkladem. Rychlost algoritmu ovlivˇnuj´ı pˇredevˇs´ım dvˇe vˇeci. Prvn´ı z nich je poˇcet parametr˚u modelu. Tento poˇcet pˇr´ımo urˇcuje dobu jednoho kroku optimalizaˇcn´ıho procesu. Poˇcet parametr˚u je pˇrirozenˇe vˇetˇs´ı pˇri zpracován´ı trojrozmˇerných dat. Druhý aspekt ovlivˇnuj´ıc´ı rychlost optimalizaˇcn´ıho kroku je mnoˇzstv´ı práce vˇenované optimalizaci jednoho parametru. Zejména m˚uzˇ e j´ıt o spoˇc´ıtán´ı derivace, vyhodnocen´ı funkcionálu, nebo nˇejakého kritéria. Do bˇehu výpoˇctu jsou cˇ asto zahrnuty i r˚uzné kontroln´ı a konsoliduj´ıc´ı operace. Pˇr´ıkladem m˚uzˇ e být pˇrepoˇcet narrowbandu u algoritmu level-set˚u, nebo reparametrizace u balonkového modelu aktivn´ıch kontur. Tyto operace se vˇetˇsinou neˇ pro jejich vykonán´ı m˚uzˇ e nastat bud’ provádˇej´ı v kaˇzdém kroku optimalizace. Cas po pevnˇe daném poˇctu krok˚u, nebo v pˇr´ıpadˇe, zˇ e je splnˇena nˇejaká snadno vyhodnotitelná podm´ınka. Po této u´ vaze a s ohledem na zadanou u´ lohu a charakter vstupn´ıch dat, které jsou popsané v kapitole 1.1, jsme zvolili vhodné algoritmy segmentace. Vytvoˇrili jsme s jejich pomoc´ı dvˇe rekonstrukˇcn´ı procedury. Jsou si vzájemnˇe pˇr´ıbuzné, ale koneˇcného c´ıle, mˇeˇren´ı objemu, dosahuj´ı rozd´ılným zp˚usobem.

47

KAPITOLA 5. ZVOLENY´ POSTUP REKONSTRUKCE

5.1

48

Rekonstrukce postupnou segmentac´ı rˇ ezu˚

Prvn´ı procedura rekonstrukce objektu v CT datech podle [7] je motivována faktem, zˇ e poskytnutá trojrozmˇerná data jsou silnˇe nehomogenn´ı. Jednotlivé ˇrezy jsou od sebe pˇr´ıliˇs vzdálené, neˇz aby algoritmus mohl s výhodou tˇezˇ it stejnou mˇerou ze vˇsech tˇr´ı rozmˇer˚u. Proto jsme se rozhodli rozdˇelit výpoˇcet algoritmu na fáze, ve kterých prob´ıhá 2D segmentace jednoho ˇrezu. Po ukonˇcen´ı fáze se práce pˇresune na sousedn´ı ˇrez. Pˇritom se provedou koriguj´ıc´ı výpoˇcty, které maj´ı za u´ kol co nejpˇresnˇeji inicializovat segmentaci v následuj´ıc´ım ˇrezu. Segmentace samotná je postavená na implementaci aktivn´ıch kontur podle [24]. Aktivn´ı kontury jsou reprezentovány B-Spline kˇrivkami nam´ısto pouhé posloupnosti bod˚u. Optimalizace je ˇr´ızena nˇekolika typy energetických funkcionál˚u, ze kterých je nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı funkcionál zahrnuj´ıc´ı statistiku rozloˇzen´ı intenzity v oblasti. Procedura je zahájena vstupem uˇzivatele, který oznaˇc´ı takzvané póly segmentovaného orgánu. Jde vlastnˇe o oznaˇcen´ı orgánu v prvn´ım a posledn´ım ˇrezu, ve kterém se vyskytuje. Poté uˇz pokraˇcuje rekonstrukce sama bez vnˇejˇs´ıho zásahu. Tuto m´ıru uˇzivatelského vstupu nepovaˇzujeme za pˇrehnanou. Praxe cˇ asto ukazuje, zˇ e uˇzivatel sp´ısˇe vynaloˇz´ı u´ sil´ı, neˇz aby musel delˇs´ı dobu cˇ ekat, coˇz by byla cena za plnˇe automatickou inicializaci. Obrázek 5.1 schématicky ukazuje pr˚ubˇeh algoritmu od uˇzivatelského vstupu pˇres posloupnost fáz´ı, aˇz k výsledné rekonstrukci. Vedlejˇs´ım produktem rekonstrukce je i vypoˇc´ıtaná hodnota objemu, která je naˇs´ım c´ılem. V následuj´ıc´ıch odstavc´ıch budou podrobnˇe probrány detaily jednotlivých krok˚u. Nejprve se zamˇeˇr´ıme na algoritmus segmentace v jednom ˇrezu.

5.1.1

Reprezentace kontury

Jak jiˇz bylo ukázáno v pr˚ubˇehu kapitoly 4, deformovatelné modely se skládaj´ı ze tˇr´ı hlavn´ıch komponent: reprezentace, modelu a optimalizace. Reprezentace je kl´ıcˇ ová jak pro vlastnosti algoritmu, tak pro rychlost výpoˇctu. Napˇr´ıklad reprezentace prostˇrednictv´ım level-set˚u pˇrinásˇ´ı pro segmentaci neocenitelné výhody, jako je libovolná zmˇena topologie v pr˚ubˇehu algoritmu, nebo rozˇsiˇritelnost do libovolné dimenze. Parametrické kˇrivky Nˇekolik prac´ı z pozdˇejˇs´ı doby, napˇr´ıklad [24] [4], ukazuj´ı, zˇ e právˇe pouˇzit´ı B-Spline kˇrivek jako reprezentace v algoritmech aktivn´ıch kontur, je dobrou alternativn´ı variantou explicitn´ı reprezentace. B-Spline kˇrivky jsou hojnˇe pouˇz´ıvány v geometrickém modelován´ı a maj´ı ˇradu dobrých vlastnost´ı, které se skvˇele hod´ı i k naˇsemu u´ cˇ elu. Budeme se drˇzet p˚uvodn´ıho znaˇcen´ı a povaˇzujme od ted’ v(t) = (x(t), y(t)) za B-Spline kˇrivku. Obecnˇe nalézaj´ı parametrické spline kˇrivky vyuˇzit´ı v mnoha oblastech, nejen v poˇc´ıtaˇcové grafice. Nab´ızej´ı jednoduchý zp˚usob, jak vnést spojitost a hladkost ve

KAPITOLA 5. ZVOLENY´ POSTUP REKONSTRUKCE Vstupní data

Konvergence ve vrstvě

49

Vstup uživatele

Propagace do sousední

Výsledek

Obrázek 5.1: Schéma procedury rekonstrukce orgánu postupnou segmentac´ı ˇrez˚u. smyslu derivac´ı do diskrétn´ıch dat. Takový byl c´ıl pˇredevˇs´ım interpolaˇcn´ıch kˇrivek, které mˇely za u´ kol poskytnout odhad hodnoty mezi dvˇema kontroln´ımi mˇeˇren´ımi. Interpolaˇcn´ı kˇrivky procházej´ı tˇemito ˇr´ıd´ıc´ımi body a propojuj´ı je jednou spojitou a hladkou funkc´ı. V pˇr´ıpadˇe, zˇ e nejde tolik o pˇresnou hodnotu funkce, ale hlavnˇe o jej´ı tvar, hladkost a spojitost, mohou se hodit aproximaˇcn´ı kˇrivky. Aproximaˇcn´ı kˇrivky neprocházej´ı vˇsemi svými ˇr´ıd´ıc´ımi body. Pro mnohé interpolaˇcn´ı a aproximaˇcn´ı kˇrivky vˇsak plat´ı, zˇ e se daj´ı vyjádˇrit pomoc´ı ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u ck a takzvaných bázových funkc´ı. M−1

v(t) =

∑ ck Basek (t) k=0

B-Spline kˇrivka Obecnou teori´ı okolo spline kˇrivek se nebudeme dále zabývat a zamˇeˇr´ıme se pouze na námi pouˇz´ıvané B-Spline kˇrivky a jejich vlastnosti. B-Spline kˇrivka v stupnˇe N je aproximaˇcn´ı kˇrivka definovaná na M bodech, kdy M > N > 0. Kˇrivka v má spojité derivace do ˇra´ du N −1. Bázové funkce B-Spline kˇrivky jsou nenulové na omezeném souvislém u´ seku jejich definiˇcn´ıho oboru. Tyto u´ seky jsou dány takzvaným vektorem uzl˚u t = (t0 , · · · ,tM ). Posloupnost tn je neklesaj´ıc´ı, tzn. t0 ≤ t1 . . . ≤ tM . Podle hodnot tn se B-Spline kˇrivky dˇel´ı na uniformn´ı, kdy ti+1 − ti = h, ∀i, 0 ≤ i ≤ M − 1,

KAPITOLA 5. ZVOLENY´ POSTUP REKONSTRUKCE 1.2

1.2

B0(t)

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

-0.2 -0.5

0

0.5

1.2

1

B1(t)

-0.2 -0.5

1.5

0

0.5

1

1.2

B2(t)

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

-0.2 -0.5

50

1.5

2

2.5

B3(t)

-0.2 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

1

2

3

4

Obrázek 5.2: Prvn´ı báze uniformn´ıch B-Spline ˇra´ du kˇrivek N = 1, . . . 3 s vektorem uzl˚u t = (0, 1, 2, 3, 4, . . .). B-Spline báze ˇra´ du N je lineárn´ı kombinac´ı posunutých báz´ı ˇra´ du N − 1. a neuniformn´ı v ostatn´ıch pˇr´ıpadech. Bázi lze zavést mnoha zp˚usoby, záleˇz´ı na pouˇzit´ı. Nejobecnˇejˇs´ı je rekurzivn´ı forma. tk+n+1 − t t − tk Bn−1,k+1 (t) Bn−1,k (t) + tk+n − tn tk+n+1 − tn+1 1 tk ≤ t < tk+1 B0,k (t) = 0 jinak Bn,k (t) =

Obrázek 5.2 ukazuje grafy báz´ı uniformn´ıch B-Spline. D´ıky tomu, zˇ e je kaˇzdá bázová funkce nenulová jen na omezeném intervalu definiˇcn´ıho oboru, má kaˇzdý ˇr´ıd´ıc´ı bod vliv pouze na omezený kus kˇrivky. Vlivy ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u podél kˇrivky se vzájemnˇe pˇrekrývaj´ı. Na jeden bod kˇrivky má najednou vliv N + 1 ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u. Proto je moˇzné optimalizovat vztah pro výpoˇcet bodu kˇrivky následuj´ıc´ım zp˚usobem. v(c,t) = c · BN (t) =

j+N

M−1

∑ k=0

ck BN,k (t) =

∑ ck BN,k (t),

t ∈ (t j+N−1 ,t j+N )

(5.1)

k= j

Souˇcet nenulových báz´ı lze pouˇz´ıt pokud známe j. To lze ale zjistit v pˇr´ıpadˇe uniformn´ıch B-Spline kˇrivek snadno, j = b(t −t1 )/hc. V takové situaci je smysl parametru k v posunut´ı bázové funkce. Plat´ı tedy Bn,k (t) = Bn,0 (t − kh). Pro uniformn´ı


51

B-Spline lze nahradit rekurzivn´ı výpoˇcet báze Bn,i jednoduchým posunut´ım nerekurzivn´ı báze Bn . M˚uzˇ eme také vyuˇz´ıt symetrie a toho, zˇ e kaˇzdá báze je prolnut´ım dvou totoˇzných, cˇ a´ steˇcnˇe se pˇrekrývaj´ıc´ıch báz´ı niˇzsˇ´ıho ˇra´ du. Uvád´ıme vzorec pro bázi kubického B-Spline, který je pouˇzit v naˇs´ı implementaci.   2/3 + |t|3 /2 − t 2 , 0 ≤ |t| < 1 B¯ 3 (t) = (2 − |t|)3 /6, 1 ≤ |t| < 2  0 jinak Tento vzorec dává bázi B3 posunutou doleva tak, zˇ e je symetrická kolem stˇredu. S t´ım se mus´ı poˇc´ıtat pˇri vyhodnocován´ı B-Spline. Parametrické kˇrivky jsou vˇetˇsinou uvádˇeny v maticovém tvaru. I pro B-Spline kˇrivku se dá takový tvar odvoˇ dit. Casto se vyskytuj´ıc´ım pˇr´ıkladem je kubický B-Spline.    −1 3 −3 1 pi−1   1  3 −6 3 0    pi  vi (t) = [t 3 ,t 2 ,t, 1]  3 0   pi+1  6  −3 0 1 4 1 0 pi+2 Derivace kˇrivky K dalˇs´ı práci s B-Spline kˇrivkami v naˇsich algoritmech budeme potˇrebovat jejich derivace podle parametru t. Protoˇze kontroln´ı body samy nejsou na parametru t závislé, dojde pouze na derivován´ı bázových funkc´ı. Derivac´ı rekursivn´ıho vzorce za pouˇzit´ı matematické indukce se dá dokázat [34], zˇ e B0n,k (t) =

n n Bn−1,k (t) − Bn−1,k+1 (t) tk+n − tk tk+n+1 − tk+1

Uzavˇrená kˇrivka Naˇse u´ loha vyˇzaduje pouˇzit´ı uzavˇrených B-Spline kˇrivek. Hladké spojen´ı zaˇca´ tku a konce kˇrivky se realizuje ztotoˇznˇen´ım N posledn´ıch bod˚u s N prvn´ımi, tedy ci = cM−N+i , 0 ≤ i ≤ N − 1. Pokud se nav´ıc jedná o neuniformn´ı B-Spline kˇrivku, mus´ı se shodovat rozteˇc prvn´ıch a posledn´ıch uzl˚u, ti+1 − ti = tM−N+i+1 − tM−N+i , 0 ≤ i ≤ N − 1. Tak se zajist´ı, zˇ e prvn´ıch N bázových funkc´ı se bude shodovat tvarem s posledn´ı N-tic´ı bázových funkc´ı. B-Spline kˇrivka a uzavˇrená B-Spline kˇrivka je vidˇet na Obrázku 5.3. Dˇelen´ı kˇrivky Dalˇs´ı d˚uleˇzitou operac´ı, kterou budeme u B-Spline kˇrivek potˇrebovat, je jejich zjemˇnován´ı pˇridáván´ım nových ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u a uzl˚u. Vkládán´ı nových bod˚u se dá provést pˇri zachován´ı p˚uvodn´ıho tvaru. Na druhou stranu, pˇri odeb´ırán´ı ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u m˚uzˇ e ke zmˇenˇe tvaru doj´ıt. Zjemnˇen´ı se provede vloˇzen´ım uzlu t mezi dva existuj´ıc´ı uzly tk < t < tk+1 . Poté dojde k nahrazen´ı ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u maj´ıc´ıch vliv na dˇelenou cˇ a´ st kˇrivky. Nové body se vypoˇc´ıtaj´ı podle následuj´ıc´ıho schématu.

KAPITOLA 5. ZVOLENY´ POSTUP REKONSTRUKCE c1

52

c1

c0

c2

c1=c6

c0

c2

c0=c5

c4

c4

c2=c7

c4 c3

c3

a)

c3

b)

c)

Obrázek 5.3: Pˇr´ıklady B-Spline kˇrivek. a) Kvadratický B-Spline. b) Kubický Bˇ Spline. c) Uzavˇrený kubický B-Spline. Ctvereˇ cky oznaˇcuj´ı ˇr´ıd´ıc´ı body a koleˇcka oznaˇcuj´ı takzvané uzlové body, m´ısta na kˇrivce kdy t = ti pro nˇejaké i.

(t0 , . . . ,tk ,tk+1 , . . . ,tM ) −→ (t0 , . . . ,tk ,t,tk+1 , . . . ,tM ) ck−N ,

ck−N+1 , . . . , ck−1 , ck −→ ck−N , c0k−N+1 , . . . , c0k−1 , c0k , ck {z } | {z } | N − 1 starých vrchol˚u N nových vrchol˚u c0i = (1 − ai−1 )ci + ai ci , ai =

t − ti , ti+p − ti

k−N +1 ≤ i ≤ k

k−N +1 ≤ i ≤ k

Schéma vkládán´ı jednoho nového uzlového bodu je znázornˇeno na Obrázku 5.4. Pokud je tˇreba vytvoˇrit B-Spline kˇrivku z uzlových bod˚u, tedy vstupem jsou vrcholy, kterými má vytvoˇrená kˇrivka procházet, mus´ıme spoˇc´ıtat polohu vˇsech ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u a vyrobit i vektor uzl˚u. Pro spoˇc´ıtán´ı ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u uniformn´ı, uzavˇrené B-Spline máme dostatek informaci. V ostatn´ıch pˇr´ıpadech bychom museli pˇrij´ıt s dalˇs´ımi podm´ınkami. Pokud je kˇrivka uniformn´ı, bude vektor uzl˚u odpov´ıdat posloupnosti pˇrirozených cˇ´ısel. Spoleˇcnˇe se zadanými uzlovými body ui máme rovnice ti = i,

ui = v(ti ),

0 ≤ i ≤ M−1

Dosazen´ım kaˇzdého uzlového bodu do (5.1) z´ıskáme dvˇe soustavy lineárn´ıch rovnic. Jednu pro souˇradnici x a druhou pro y.       

B(1) . . . B(N) . . . 0 0 0 0 B(1) . . . B(N) . . . 0 0 .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . B(3) . . . B(N) . . . 0 B(1) B(2) B(2) B(3) . . . B(N) . . . 0 B(1)



c0,x c1,x .. .

       cM−2,x cM−1,x





u0,x u1,x .. .

      =     uM−2,x uM−1,x

      

KAPITOLA 5. ZVOLENY´ POSTUP REKONSTRUKCE c1

c'1

c1

53 c'1 c'2

c'2 c0

c2

c0

c2

c0

c'3

c'3

a)

c3

b)

c3

c)

c3

Obrázek 5.4: Vkládán´ı uzlových bod˚u do B-Spline kˇrivky. a) Na m´ıstˇe dˇelen´ı u´ seku B-Spline vznikne nový uzlový bod. b) Nové ˇr´ıd´ıc´ı body vzniknou na spojnic´ıch p˚uvodn´ıch. c) Výsledná kˇrivka má stejný tvar jako výchoz´ı. K ˇreˇsen´ı této soustavy rovnic m˚uzˇ eme pouˇz´ıt nˇekterou z existuj´ıc´ıch metod numerické matematiky. V naˇs´ı implementaci byl pouˇzit LU rozklad z [33]. Poˇc´ıtán´ı kˇrivky z uzlových bod˚u je také výhodný nástroj pouˇzitelný pˇri interaktivn´ı editaci kˇrivky. M´ısto manipulace ˇr´ıd´ıc´ımi body m˚uzˇ eme hýbat pˇr´ımo uzlovými body a um´ıstit je pˇr´ımo v m´ıstˇe, kde bude kˇrivka procházet. V naˇs´ı implementaci se pouˇzije ˇ sen´ı soustavy metoda dopoˇc´ıtán´ı ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u pokaˇzdé, kdyˇz se mˇen´ı poˇcet uzl˚u. Reˇ pˇri dˇelen´ı kˇrivky je sice výpoˇcetnˇe nároˇcnˇejˇs´ı neˇz vkládán´ı jednotlivých uzl˚u, ale tento postup je univerzáln´ı a pouˇzitelný pˇri v´ıce operac´ıch. Kolize kˇrivky Posledn´ı oblast týkaj´ıc´ı se pouˇzit´ı B-Spline kˇrivek v naˇsem algoritmu je detekce ´ kˇr´ızˇ en´ı kˇrivky samé se sebou a zp˚usob, jak takovou situaci vyˇreˇsit. Uloha skrývá dvˇe podotázky, a to zdali se kˇrivka nˇekde kˇr´ızˇ´ı sama se sebou a kde pˇresnˇe se kˇrivka kˇr´ızˇ´ı. Ideáln´ı by bylo, kdyby se dala otázka pouhé existence ˇreˇsit samostatnˇe a efektivnˇeji neˇz hledán´ı kˇr´ızˇ en´ı. Pˇri pozitivn´ım výsledku by se pak zjistilo pˇresné m´ısto kˇr´ızˇ en´ı cˇ asovˇe nároˇcnˇejˇs´ım postupem. Pˇri cˇ astém opakován´ı s negativn´ım výsledkem by jednoduchý test uˇsetˇril mnoho cˇ asu. Autoˇri [24] se spokojili se zjiˇstˇen´ım, jestli kˇrivka obsahuje smyˇcky, viz Obrázek 5.5a. Smyˇcky se daj´ı detekovat integrac´ı u´ hlu smˇernice podél kˇrivky. U uzavˇrené kˇrivky nám vˇzdy vyjde násobek 2π. Pokud je výsledek jiný, neˇz ±2π, je na kˇrivce nˇekde smyˇcka, tud´ızˇ i kˇr´ızˇ en´ı. Postup selˇze v pˇr´ıpadˇe dvou smyˇcek opaˇcnˇe orientovaných. Nav´ıc, jak ukazuje Obrázek 5.5b, ne kaˇzdé kˇr´ızˇ en´ı je zapˇr´ıcˇ inˇeno smyˇckou. Rozhodli jsme se detekovat kˇr´ızˇ en´ı nároˇcnˇejˇs´ı, ale o nˇeco spolehlivˇejˇs´ı metodou. Prvnˇe navzorkujeme kˇrivku krokem δt = 1/R. T´ım z´ıskáme uzavˇrenou lomenou cˇ a´ ru. Kaˇzdou u´ seˇcku této lomené cˇ a´ ry pak testujeme oproti vˇsem ostatn´ım. Metoda se dá urychlit vyuˇzit´ım vlastnost´ı konvexn´ıho obalu B-Spline kˇrivky. Plat´ı totiˇz, zˇ e kaˇzdý u´ sek B-Spline kˇrivky je uvnitˇr konvexn´ıho obalu ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u, které tento u´ sek ovlivˇnuj´ı. Pokud by se vzorkovaly a kontrolovaly pouze ty u´ seky, jejichˇz konvexn´ı obaly koliduj´ı, doˇslo by k dalˇs´ımu urychlen´ı. Nutné je poznamenat, zˇ e obaly


54

I1

I1

I2 vi vi+k

a)

b)

c)

Obrázek 5.5: Kˇr´ızˇ en´ı B-Spline kˇrivky. a) Jednoduchá smyˇcka. b) Kˇr´ızˇ en´ı, které nen´ı smyˇckou. c) Jedno kˇr´ızˇ en´ı navzorkovaných u´ seˇcek podél kˇrivky se pˇri testu kaˇzdý s kaˇzdým vyskytne dvakrát. N soused´ıc´ıch u´ sek˚u vˇzdy koliduj´ı. Pr˚useˇc´ıky uzavˇrené kˇrivky se sebou samou ji rozdˇel´ı na nˇekolik samostatných uzavˇrených kˇrivek. Tyto kˇrivky z´ıskáme dopoˇc´ıtán´ım ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u z uzlových bod˚u uvedeným algoritmem. Jako vstup pouˇzijeme posloupnost uzlových bod˚u, které leˇz´ı na souvislé cˇ a´ sti rozdˇelené kˇrivky a pr˚useˇc´ıky, které ji ohraniˇcuj´ı. Uˇz nˇekolikrát bylo v pˇredchoz´ıch odstavc´ıch zm´ınˇeno, zˇ e pouˇzit´ı uniformn´ıch B-Spline je rychlejˇs´ı a vede k jednoduˇssˇ´ı implementaci. V [4] je dokázáno, zˇ e uniformn´ı kubický B-Spline je ekvivalentn´ı klasicky reprezentovaným aktivn´ım konturám. Proto tedy v naˇs´ı implementaci pouˇzijeme uniformn´ı kubické B-Spline kˇrivky s hodnotami uzl˚u danými uniformn´ı posloupnost´ı celých cˇ´ısel.

5.1.2

Energetický model

Vztah, který vyhodnocuje m´ıru ”vˇerohodnosti” kˇrivky jakoˇzto kontury tvar˚u v obraze, je zformulován podobnˇe jako u p˚uvodn´ıch aktivn´ıch kontur. Zahrnuje citlivost na pˇr´ıtomnost hran v obraze. D˚uleˇzitˇejˇs´ı vˇsak je, zˇ e zohledˇnuje distribuci intenzity oblast´ı uvnitˇr a vnˇe kˇrivky. Vnitˇrn´ı energie kˇrivky se podstatnˇe liˇs´ı a má zde trochu jinou interpretaci, neˇz v p˚uvodn´ıch aktivn´ıch konturách. V posledn´ı ˇradˇe je zahrnut i term zapoˇc´ıtávaj´ıc´ı vliv vnˇejˇs´ıch podm´ınek. Tento term nalezne své vyuˇzit´ı aˇz pˇri pouˇzit´ı v rekonstrukˇcn´ı proceduˇre. Shrnut´ım do jednoho vztahu z´ıskáme energetický model, který je kompozic´ı vˇsech tˇechto vliv˚u. ∗ ∗ ∗ ∗ EB−Snake = Eedge + Eregion + Eint + Ec∗

Nejprve se zamˇeˇr´ıme na hrany. Pro volbu hranového termu máme dvˇe moˇznosti. Prvn´ı z nich je totoˇzná s termem v základn´ıch aktivn´ıch konturách. Tento term


55

∇f(v(t)) |dv| n(v(t))

|dv| n(v(t))

a)

∇f(v(t))

b)

Obrázek 5.6: Hranová energie zohledˇnuj´ıc´ı smˇer gradientu. a) Kˇrivka procház´ı ve smˇeru hrany a skalárn´ı souˇcin roste. b) Kˇrivka procház´ı kolmo na hranu a skalárn´ı souˇcin klesá. poˇc´ıtá pouze velikost gradient˚u podél kˇrivky. ∗ Eedge mag

=−

Z

|∇ f (v(t))|2 dt

Druhou zaj´ımavou moˇznost´ı je term, který vyuˇz´ıvá i smˇerovou informaci obsaˇzenou v gradientu. Toho je dosaˇzeno tak, zˇ e kˇrivka procházej´ıc´ı bodem sniˇzuje hodnotu termu t´ım v´ıc, cˇ´ım menˇs´ı u´ hel sv´ırá gradient s normálou kˇrivky v daném bodˇe. Jinými slovy, term se sniˇzuje, kdyˇz kˇrivka procház´ı ve smˇeru hrany. Hranová energie ˇr´ızená smˇerem gradientu je znázornˇena na Obrázku 5.6. ∗ Eedge dir

=−

Z

∇ f (v(t)) · |dv| · n(v(t))dt

Nejvýznamnˇejˇs´ı je term pracuj´ıc´ı se statistikou intenzity objekt˚u a pozad´ı obrazu. D˚uvody a výhody pouˇzit´ı tohoto termu jsou z cˇ a´ sti vysvˇetleny uˇz v kapitole 4.6. Pouˇzijeme podobnou energii, jako je ta daná výrazem (4.13). Na rozd´ıl od n´ı nebudeme pracovat s odchylkou od stˇredn´ı hodnoty, ale pˇr´ımo s hodnotou pravdˇepodobnosti. ∗ Eregion

=−

Z int

log(P( f (s)|s ∈ int(v)))ds −

Z ext

log(P( f (s)|s ∈ ext(v)))ds (5.2)

Hustota pravdˇepodobnosti P bude jeden ze vstupn´ıch parametr˚u algoritmu. M˚uzˇ eme ji aproximovat pomoc´ı normáln´ıho rozdˇelen´ı, které je dané rozptylem σ a stˇredn´ı hodnotou µ. Dosazen´ım do známého vzorce pro normáln´ı rozdˇelen´ı z´ıskáme hodnotu P. (x−µ)2 1 − P(x) = √ e 2σ2 σ 2π Druhou moˇznost´ı je definovat funkci P tabulkou pro vˇsechny hodnoty obrazové funkce. V implementaci jsme zvolili právˇe tuto cestu jako nejspolehlivˇejˇs´ı zp˚usob, jak poskytnout algoritmu apriorn´ı znalost o segmentovaném objektu. Logaritmus ve vzorci (5.2) slouˇz´ı jako m´ıra, která dilatuje hodnotu pravdˇepodobnosti


56

Pext Pint

a)

b)

c)

d)

e)

Obrázek 5.7: Vliv polohy kˇrivky na energii oblasti. a) Pˇredpokládá se obrázek obsahuj´ıc´ı oblast s rozloˇzen´ım pravdˇepodobnosti odpov´ıdaj´ıc´ı Pint a doplnˇek této oblasti s rozloˇzen´ım Pext . b) Oblast vnˇe kˇrivky obsahuje hodnˇe prvk˚u s malou pravdˇepodobnost´ı. c) Oblast uvnitˇr i vnˇe obsahuje prvky s malou pravdˇepodobnost´ı, tud´ızˇ je moˇzné zvˇetˇsovat energii. d) Oblast uvnitˇr kˇrivky obsahuje nepravdˇepodobné prvky. e) Oblast uvnitˇr i v nˇe obsahuje jen pravdˇepodobné prvky. Energie je maximáln´ı. na neomezený interval (−∞, 0i, cˇ´ımˇz se dosahuje lepˇs´ı separace oblast´ı. Model je d´ıky tomu stabilnˇejˇs´ı v˚ucˇ i sˇumu. Zároveˇn logaritmus usnadˇnuje výpoˇcet pˇri pouˇzit´ı normáln´ıho rozloˇzen´ı. Výraz integruj´ıc´ı dvˇe funkce pˇres dvˇe oblasti celého obrazu lze zjednoduˇsit následuj´ıc´ım zp˚usobem. ∗ Eregion

= −

Z

int Z

log(Pint ( f (s)))ds −

+ int

= −

Z ext

log(Pext ( f (s)))ds −

Z

log(Pext ( f (s)))ds

Z int


log(Pint ( f (s))) − log(Pext ( f (s)))ds − Z Pint ( f (s)) ds +C = − log Pext ( f (s)) int int

Z int∪ext


Hodnota C = − int∪ext log(Pext ) nen´ı závislá na kˇrivce v, nebude se tedy ∗ mˇenit bˇehem vývoje kˇrivky, proto ji m˚uzˇ eme z termu Eregion vynechat. Pˇri zmˇenˇe kˇrivky definuj´ıc´ı oblast int a ext se hodnota termu zmenˇsuje, pokud se zvˇetˇsuje pravdˇepodobnost intenzity v oblasti int, daná hustotou Pint , a pravdˇepodobnost intenzity v oblasti ext, daná hustotou Pext . Oba integrály pracuj´ı jako spojité nádoby. Prvky, které pˇri zmˇenˇe kˇrivky odejdou z int, se pˇresunou do ext. Chován´ı hodnoty tohoto energetického termu demonstruje Obrázek 5.7. Term vnitˇrn´ı energie kˇrivky se podstatnˇe mˇen´ı oproti tomu popsanému v kapitole 4.1.2. V algoritmu p˚uvodn´ıch aktivn´ıch kontur byla snaha minimalizovat prvn´ı a druhou derivaci, t´ım vyhladit kˇrivku a sn´ızˇ it kˇrivost podél celé jej´ı délky. Zde vˇsak pracujeme s B-Spline kˇrivkou, která má spojité derivace. S ohledem na parametrizaci je kˇrivka vˇzdy dostateˇcnˇe hladká. Co ovlivˇnuje kˇrivost, tedy i hladkost bez ohledu na parametrizaci, je délka kˇrivky mezi uzlovými body. Jinými slovy, hodnˇe malých B-Spline u´ sek˚u vede k cˇ lenitosti kˇrivky a velké celkové kˇrivosti. Na Obrázku 5.8 se dá pozorovat, zˇ e nejmenˇs´ı kˇrivost podél celé kˇrivky lze zajistit stejnou délkou vˇsech B-Spline u´ sek˚u. R


a)

57

b)

Obrázek 5.8: Vliv délky u´ sek˚u B-Spline kˇrivky na celkovou hladkost. a) Pokud jsou vˇsechny u´ seky stejnˇe dlouhé, kˇrivka má nejmenˇs´ı celkovou kˇrivost. b) Krátké u´ seky zp˚usobuj´ı cˇ lenitost kˇrivky. V [4] je dokonce term pro vnitˇrn´ı energii u´ plnˇe vynechán a hladkost je regulována rozestupem uzl˚u. My se budeme podle [24] snaˇzit udrˇzovat stejnˇe dlouhé B-Spline u´ seky. Nejprve mus´ıme zjistit délku celé kˇrivky Z M

Length(v) = 0

0

|v (t)|dt =

Z Mq

x0 (t)2 + y0 (t)2 dt

0

Délka jednoho u´ seku kˇrivky z celkového poˇctu M je zachycena konstantou c. c=

Length(v) M

2

Term, jenˇz postihuje cˇ a´ sti kˇrivky delˇs´ı, nebo kratˇs´ı neˇz kolik je pr˚umˇerná délka takové cˇ a´ sti, je vlastnˇe souˇctem cˇ tverc˚u chyb, které se snaˇz´ıme minimalizovat. ∗ Eint =

Z M 0

(|v0 (t)|2 − c)2 dt

Posledn´ı term, který zbývá definovat, je term vyhodnocuj´ıc´ı vliv vnˇejˇs´ıch podm´ınek na vývoj kˇrivky. Prostˇrednictv´ım tohoto termu se ovlivˇnuje vývoj kˇrivky v pr˚ubˇehu rekonstrukce po ˇrezech tak, zˇ e se pˇri propagaci kˇrivky do sousedn´ıho ˇrezu vytvoˇr´ı sˇablona, od které se kˇrivka bˇehem svého vývoje nesm´ı pˇr´ıliˇs vzdálit. Minimalizace tohoto termu odpov´ıdá minimalizaci skalárn´ı funkce podél kˇrivky. Ec∗ =

Z M

dist f ield(v(t))dt 0

Tato skalárn´ı funkce je v naˇsem pˇr´ıpadˇe pˇredpoˇc´ıtaná nejkratˇs´ı vzdálenost k dané sˇablonˇe temp. dist f ield(x,temp) = mint |x − temp(t)| Pˇritom nepoˇc´ıtáme jen sˇablonu jednoho sousedn´ıho ˇrezu, ale zahrneme do výpoˇctu i ˇrezy vzdálenˇejˇs´ı, samozˇrejmˇe s menˇs´ı vahou. To vˇsechno pro pˇr´ıpad, zˇ e


Ck,y

58

Ck,y

-∂E/∂ck,y C3k C1k

-∂E/∂ck,x

C4k

C2k C0k

Ck,x

Ck,x

Obrázek 5.9: Sniˇzován´ı gradientu. Vlevo: Výbˇer je ˇr´ızen záporným gradientem optimalizované funkce. Vpravo: Pˇr´ıklad procesu optimalizace. Vývoj silnˇe závis´ı na inicializaci. segmentace pˇredchoz´ıho sousedn´ıho ˇrezu selhala a sˇablona z nˇej samotného by byla sˇpatná. dist f ield(x) =

∑

weight(v)dist f ield(x, v)

v∈neighbours

5.1.3

Optimalizace

K optimalizaci definovaného modelu jsme pouˇzili sniˇzován´ı gradientu, které bylo popsáno v kapitole 4.4.1. Pro zopakován´ı, sniˇzován´ım gradientu iterativnˇe minimalizujeme funkci F(x) tak, zˇ e systematicky vyb´ıráme jej´ı parametr z definiˇcn´ıho oboru proti smˇeru gradientu. Na Obrázku 5.9 je znázornˇen tento proces. xn+1 = xn − δ∇Fn V limitˇe xn tak z´ıskáme lokáln´ı minimum funkce. Existuje vˇsak nebezpeˇc´ı, zˇ e pˇri bˇehu algoritmu uv´ızneme v lokáln´ım minimu. Proto je celý proces závislý na dobré inicializaci x0 . Velikost kroku se dá ˇr´ıdit parametrem δ. Menˇs´ı hodnota zp˚usob´ı pomalou konvergenci a zvýsˇ´ı sˇanci, zˇ e proces nˇekde uv´ızne. Vˇetˇs´ı hodnota zase vede k nepˇresnostem. ∗ V naˇsem pˇr´ıpadˇe zastupuje funkci F energetický funkcionál EB−Snake . Parametry, které optimalizujeme, jsou ˇr´ıd´ıc´ı body B-Spline kˇrivky v. ∗ ∗ F(x) = EB−Snake (v(c,t)) = EB−Snake,v (c)


59

Parciáln´ı derivace Kl´ıcˇ ové jsou parciáln´ı derivace energetického funkcionálu, tedy vˇsech term˚u v jeho souˇctu. Protoˇze hodnota funkcionálu nen´ı v proporcionáln´ım vztahu k prostoru parametr˚u, je lepˇs´ı gradient normalizovat. Hodnota parametru δ pak odpov´ıdá velikosti zmˇeny vektoru parametr˚u. T´ımto zp˚usobem se lépe kontroluje optimalizaˇcn´ı proces. Na druhou stranu ztrat´ıme informaci o velikosti gradientu.

n+1

c

= c − δ · step(c ) = c − δ n

= c −δ n

n

n

∗ ∇c EB−Snake,v ∗ |∇c Esnake,v |

∗ ∗ ∗ ∗ + ∇c Ec,v + ∇c Eint,v ∇c Eedge,v + ∇c Eregion,v ∗ ∗ ∗ ∗ | |∇c Eedge,v + ∇c Eregion,v + ∇c Eint,v + ∇c Ec,v

V následuj´ıc´ıch odstavc´ıch odvod´ıme gradienty jednotlivých term˚u. Zaˇcneme urˇcen´ım gradientu termu Eedge mag , který se skládá z parciáln´ıch derivac´ı. " ∗ # ∗ ∗ ∂Eedge mag,v ∂Eedge ∂Eedge mag,v mag,v ∗ ∇c Eedge mag,v = , ,..., ∂c1,x ∂c1,y ∂cn,y Odvod´ıme parciáln´ı derivaci podle souˇradnice x rˇ´ıd´ıc´ıho bodu ck . Derivace podle druhé souˇradnice se bude ˇr´ıdit symetrickým schématem. ∗ ∂Eedge mag,v

∂ck,x

VoDIsP

Z

∂(|∇ f (v(t))|2 ) dt ∂ck,x

RP

Z

∂(|∇ f (v(t))|2 ) ∂x(t) ∂(|∇ f (v(t))|2 ) ∂y(t) + dt ∂x ∂ck,x ∂y ∂ck,x

Z

∂(|∇ f (v(t))|2 ) B(t − k)dt ∂x

=

=

=

Prvn´ı rovnost je pouˇzit´ım ”Vˇety o derivaci integrálu s parametrem” (pˇredpoklad konvergence integrálu, diferencovatelnosti a majorizovatelnosti funkce je splnˇen). Druhá rovnost je pouˇziti ˇret´ızkového pravidla pro derivován´ı sloˇzené funkce. Druhý sˇc´ıtanec se derivován´ım nuluje. Pouˇzit´ı zm´ınˇené vˇety a pravidla uˇz nebude pˇri dalˇs´ım odvozován´ı pokaˇzdé zd˚urazˇnováno. Abychom mohli výpoˇcet daného integrálu naprogramovat, mus´ıme ho pˇrevést na sumu. Vzorkujeme s frekvenc´ı R vzork˚u na B-Spline u´ sek a vyuˇz´ıváme toho, zˇ e B(t)(= Bn (t)) koeficient je nenulový pouze na intervalu (0, n + 1). ∗ ∂Eedge mag,v

∂ck,x

1 NR ∂ fx2 i i = ∑ v +k B R i=0 ∂x R R

Nejzaj´ımavˇejˇs´ı a nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı je derivace termu poˇc´ıtaj´ıc´ı pravdˇepodobnost oblast´ı. Jde totiˇz o integrál pˇres vˇetˇs´ı mnoˇzinu, neˇz jsou body kˇrivky. Jeho výpoˇcet pˇri


60

kaˇzdé iteraci by byl cˇ asovˇe nároˇcný. Vyuˇzijeme tedy Greenovu vˇetu a pˇrevedeme integrál pˇres oblast na integrál pˇres hranici této oblasti. ∗ Eregion,v

Pint ( f (s)) ds − log Pext ( f (s)) int | {z } F I Z Z Z Fdx · dydt = Fdx · y0 (t)dt

Z

=

Green

=

v

∂int

Derivace tohoto integrálu podle hranice, kterou je B-Spline kˇrivka v, je uˇz témˇeˇr stejnˇe snadná jako derivace termu Eedge mag . ∗ ∂Eregion,v

∂ck.x

VoDIsP

=

RP

=

=

Z ∂ Fdx · y0 (t)dt ∂c v k,x Z Z Z ∂v(t) 0 ∂y0 (t) ∂ Fdx · Fdx · · y (t)dt + dt ∂ck,x ∂ck,x v ∂x Z ∂v(t) 0 · y (t)dt (5.3) F· ∂ck,x v Z

Z

= v

M

F · B(t − k) · ∑ cl,y B0 (t − l)dt l=0

M

= ≈

∑ cl,y ·

Z v

l=0 M

F · B(t − k) · B0 (t − l)dt

1 NR ∑ cl,y · R ∑ F i=0 l=0 |

i + kR · B(t − k) · B0 (t − l) | {z } R bkli {z } Qkl

Pro urychlen´ı výpoˇctu si termy bkli pˇredpoˇc´ıtáme. Jejich hodnota se v podstatˇe nemˇen´ı v pr˚ubˇehu celého algoritmu. Metoda pˇredpoˇc´ıtán´ı nˇekterých hodnot ve výrazech, napˇr´ıklad navzorkován´ım aktuáln´ı kˇrivky, nebo hodnot obrazu, kudy kˇrivka procház´ı, velice urychl´ı celý výpoˇcet. Zdaleka nejsloˇzitˇeji vypadá derivace termu vnitˇrn´ı energie. Pˇresto to nen´ı tak sloˇzité, jak se zdá. Nejprve se zaˇcne roznásoben´ım výrazu uvnitˇr integrálu Eint . ∗ Eint,v

Z M

= 0

Z M

= 0

(x0 (t)2 + y0 (t)2 − c)2 dt x0 (t)4 + y0 (t)4 + 2x0 (t)2 y0 (t)2 dt −

Z M

0

2

0

2

Z M

x (t) + y (t) dt +

2c 0

c2 dt

(5.4)

0

Je dobré pˇripomenout, jak vypadá derivace B-Spline kˇrivky podle parametru t.


M

x0 (t) = y0 (t) =

61

∑ ci,x B0(t − i)

(5.5)

∑ ci,yB0(t − i)

(5.6)

i=0 M i=0

Dosazen´ım derivace komponent kˇrivky (5.5) a (5.6) do výrazu (5.4), zderivován´ım celého výrazu podle ck,x a dalˇs´ı u´ pravou z´ıskáme ∗ ∂Eint,v

∂ck,x

M ∂x0 (t) ∂x0 (t) dt − 4c (x0 (t)) dt ∂ck,x ∂ck,x 0 0 Z M Z M Z M 0 0 ∂x0 (t) 0 3 ∂x (t) 0 0 2 ∂x (t) 0 = 4 x (t) dt + 4 x (t)y (t) dt − 4c (x (t)) dt ∂ck,x ∂ck,x ∂ck,x 0 0 0

Z M

=

(4x0 (t)3 + 4x0 (t)y0 (t)2 )

Z

Z M M

( ∑ ci,x B0 (t − i))3 B0 (t − k)dt

= 4 0

i=0

Z M M 0

−4c

M

( ∑ ci,x B0 (t − i))( ∑ ci,y B0 (t − i))2 B0 (t − k)dt

+4

i=0

i=0

Z M M

( ∑ ci,x B0 (t − i))B0 (t − k)dt

0

i=0

Z M

= 4

∑ cl,x cm,x cn,x l,m,n

B0 (t − l)B0 (t − m)B0 (t − n)B0 (t − k)dt

0

Z M

+4

∑ cl,x cm,ycn,y l,m,n

−4c ∑ cl,x l

Z M 0

0

B0 (t − l)B0 (t − m)B0 (t − n)B0 (t − k)dt

B0 (t − l)B0 (t − k)dt

Zde je jedinou d˚uleˇzitou u´ pravou pˇreveden´ı souˇcinu sum na trojitou sumu, neboli sumu vˇsech kombinac´ı prvk˚u sum. Opˇet m˚uzˇ eme výrazy, které nejsou závislé na kˇrivce, pˇredpoˇc´ıtat. Z M

h1 (l, m, n) =

0

B0 (t − l)B0 (t − m)B0 (t − n)dt

Z M

h2 (l) =

0

B0 (t − l)B0 (t − k)dt

Na závˇer jeˇstˇe zbývá doplnit derivaci termu vnˇejˇs´ıch podm´ınek Ec . Postup je opˇet u´ plnˇe stejný jako u Eedge mag . Jeho pˇreveden´ı na sumu, zde kv˚uli tomu ani neuvád´ıme. Z M ∗ ∂Ec,v ∂dist f ield(v(t)) = B(t − k)dt ∂ck,x ∂x 0


62

Kritérium zastaven´ı Existuje celá teorie zabývaj´ıc´ı se optimalizaˇcn´ımi algoritmy. Mnoho z nich je modifikac´ı zaloˇzenou na sniˇzován´ı gradientu, napˇr´ıklad metoda konjugovaného gradientu, nebo BFGS. Základn´ı popis algoritmu vˇetˇsinou nezahrnuje podm´ınku zastaven´ı. Podm´ınka zastaven´ı algoritmu cˇ asto m˚uzˇ e záviset na charakteru ˇreˇsené u´ lohy. Nejobvyklejˇs´ı podm´ınky zastaven´ı jsou takové, které algoritmus ukonˇc´ı po: 1. pevném poˇctu krok˚u. 2. pevném poˇctu vyhodnocen´ı optimalizované funkce. 3. splnˇen´ı podm´ınky na hodnotu optimalizované funkce. 4. splnˇen´ı podm´ınky na hodnotu parametru. 5. splnˇen´ı jiného kritéria. Nen´ı tˇreba zd˚urazˇnovat, zˇ e ve správný cˇ as ukonˇcený algoritmus m˚uzˇ e podstatnˇe urychlit bˇeh celé rekonstrukce. Nejjednoduˇssˇ´ı je empiricky zjistit, jak dlouho pˇribliˇznˇe trvá bˇeh algoritmu na konkrétn´ı tˇr´ıdˇe u´ loh a stanovit podle toho maximáln´ı poˇcet krok˚u s jistou rezervou. Algoritmus by mˇel vˇzdy obsahovat podm´ınku zastaven´ı po pevném poˇctu krok˚u. Zabrán´ı to nekoneˇcné oscilaci, nebo divergenci procesu. Sledován´ım hodnoty energetického funkcionálu vede k nár˚ustu výpoˇct˚u v pr˚ubˇehu kaˇzdého iteraˇcn´ıho cyklu. Jednou se provede výpoˇcet derivac´ı a podruhé výpoˇcet hodnoty funkce. Je vhodnˇejˇs´ı rozhodovat o zastaven´ı podle nˇejaké relativizované, statistické veliˇciny, proto se sleduje pr˚umˇerný rozptyl v malém okénku posledn´ıch mˇeˇren´ı. Sn´ızˇ´ı se t´ım závislost kritéria na dané u´ loze a také náchylnost ke zmaten´ı náhodným sˇumem. Poklesem hodnoty sledovaného kritéria pod nˇejakou mez se algoritmus ukonˇc´ı. Stejnˇe se dá postupovat i u sledován´ı parametr˚u c kˇrivky v. Parametry B-Spline kˇrivky jsou pomˇernˇe dost nestabiln´ı, protoˇze v´ıce výraznˇe odliˇsných konfigurac´ı m˚uzˇ e definovat podobné kˇrivky. Pokud je detekovaná hranice hladká, algoritmus má tendenci, hlavnˇe pod vlivem termu Eint , klouzat ˇr´ıd´ıc´ımi body po tˇechto konfigurac´ıch. Nejvhodnˇejˇs´ım kritériem je odvozený nepˇr´ımý ukazatel zmˇen, napˇr´ıklad obvod, nebo obsah kontury, pˇr´ıpadnˇe kombinace obou. Sledován´ım rozptylu v okénku posledn´ıch namˇeˇrených hodnot m˚uzˇ eme detekovat jejich poklesnut´ı pod urˇcitou hranici. Naˇs´ı ukonˇcuj´ıc´ı podm´ınkou bude tedy pod´ıl obsahu a obvodu. M˚uzˇ eme vˇsak pozorovat, a je to logické, zˇ e hodnota odvozená z obvodu a obsahu v´ıce kol´ısá, má vˇetˇs´ı rozptyl, pˇri segmentaci menˇs´ıch objekt˚u. Pˇr´ıcˇ inou je konstantnˇe velký krok δ. Pod´ıl zmˇeny pˇri jednom kroku velikosti δ je vˇetˇs´ı u objekt˚u s ménˇe parametry. M˚uzˇ e se tak stát, zˇ e algoritmus zkonverguje snáze na vˇetˇs´ıch a sloˇzitˇejˇs´ıch tvarech a na malých nezkonverguje v˚ubec.


∇Ek

a)

b)

63

∇Ek+1

c)

Obrázek 5.10: Konvergence optimalizaˇcn´ı metody. a) Konvergence s konstantnˇe dlouhým krokem. b) Konvergence s adaptivn´ım krokem. c) Nerovnomˇerné zvˇetˇsován´ı a zmenˇsován´ı kroku (α = 0.95, β = 0.1). Pohyb ve stejném smˇeru je cˇ astˇejˇs´ı neˇz oscilace, proto prodluˇzujeme pomaleji, neˇz zkracujeme. Krok optimalizace Odpovˇed´ı na tento problém je adaptivn´ı krok pˇri sniˇzován´ı gradientu. Modifikujeme vývoj vektoru parametr˚u c následuj´ıc´ım zp˚usobem cn+1 = cn − δn · step(cn ) Obrázek 5.10a ukazuje chován´ı algoritmu v krajinˇe parametr˚u pˇri konstantn´ım kroku. V bl´ızkosti ˇreˇsen´ı gradient zmˇen´ı smˇer v kaˇzdém kroku témˇeˇr o 180◦ . Zaj´ımavá myˇslenka je sniˇzovat nebo zvyˇsovat omezenˇe krok podle toho, jaký u´ hel ´ sv´ıraj´ı dva posledn´ı gradienty. Uhel gradient˚u odpov´ıdá skalárn´ımu souˇcinu. Pokud je skalárn´ı souˇcin záporný, dojde ke sn´ızˇ en´ı, pokud kladný, tak ke zvýsˇen´ı. Kdyˇz se u´ hel gradientu zmˇen´ı napˇr´ıklad o 90◦ , z˚ustane krok zachován. Takto formulovaný adaptivn´ı krok zachyt´ıme hodnotou δn následovnˇe δn = α + β · step(cn−1 ) · step(cn ) Konvergence s adaptivn´ım krokem je vidˇet na Obrázku 5.10b. Parametr α nastavený bl´ızko 1 ovlivˇnuje pomˇer rychlosti zkracován´ı a prodluˇzován´ı kroku a parametr β zachycuje m´ıru zkracován´ı a prodluˇzován´ı. Vliv parametr˚u na zkracován´ı a prodluˇzován´ı je vidˇet na Obrázku 5.10c. Pokud se krok sniˇzuje bˇehem oscilace gradientu na konci optimalizaˇcn´ıho procesu, ke splnˇen´ı podm´ınky pro ukonˇcen´ı s jistotou dojde. V pr˚ubˇehu algoritmu m˚uzˇ e kˇrivka podstatnˇe zmˇenit tvar, hlavnˇe se m˚uzˇ e výraznˇe zkrátit, nebo prodlouˇzit. Mus´ıme proto pˇridávat nové uzlové body do nejdelˇs´ıch u´ sek˚u, pokud jejich délka pˇrekroˇc´ı urˇcitou mez. Naopak mus´ıme i odeb´ırat uzlové body mezi nejkratˇs´ımi u´ seky, jejichˇz spoleˇcná délka klesne pod jistou hranici. K vytvoˇren´ı nové série parametr˚u zmˇenˇené kˇrivky pouˇzijeme metodu pro dopoˇc´ıtán´ı ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u z kapitoly 5.1.1.

KAPITOLA 5. ZVOLENY´ POSTUP REKONSTRUKCE ck-1

ck

ck-1

δck

64 ck

δck

ck+1

ck+1

a)

b)

c)

d)

Obrázek 5.11: Alternativn´ı konstrukce optimalizaˇcn´ıho kroku. a) Pˇr´ıspˇevky podél vlivu intenzity. b) Pˇr´ıspˇevky podél vlivu parametrizace. c) Vliv koeficientu pˇr´ıspˇevku ˇr´ıd´ıc´ıho bodu. d) Superpozice pˇr´ıspˇevk˚u.

5.1.4

Heuristika

Inovativn´ım jádrem této práce je návrh alternativn´ı konstrukce optimalizaˇcn´ıho procesu pro ˇr´ızen´ı pohybu kˇrivky. Z experiment˚u se dá vypozorovat, zˇ e nejvˇetˇs´ı vliv ∗ na vývoj kˇrivky má energie ˇr´ızená statistikou oblasti, Eregion . Pˇri studiu chován´ı kˇrivky pod vlivem tohoto termu s r˚uznou výchoz´ı polohou si vˇsimneme, zˇ e body kˇrivky se pohybuj´ı dovnitˇr a ven ve smˇeru normály podle toho, jestli se nacház´ı v oblasti s malou, nebo velkou pravdˇepodobnost´ı Pint . Pokud bychom tedy um´ıstili normálové vektory podél celé kˇrivky, sˇkálovali a orientovali je tak, jak ˇr´ıká apriorn´ı pravdˇepodobnost a sˇc´ıtali jejich pˇr´ıspˇevky v rámci ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚um, z´ıskali bychom vektory posunu pro ˇr´ıd´ıc´ı body. Situace je nast´ınˇena na Obrázku 5.11a. Jsou zde vektory naˇskálované podle velikosti pˇr´ıspˇevku. Velikost pˇr´ıspˇevku je z cˇ a´ sti dána B-Spline koeficientem vlivu daného ˇr´ıd´ıc´ıho bodu pˇri výpoˇctu souˇradnice kˇrivky a z cˇ a´ sti hodnotami Pint a Pext . Jak B-Spline koeficient ovlivˇnuje velikost vektoru, je znázornˇeno na Obrázku 5.11c. Za pˇredpokladu nehomogenn´ı parametrizace kˇrivky bychom mohli do pˇr´ıspˇevku zapoˇc´ıtat i velikost prvn´ı derivace. Pˇr´ıspˇevky se sloˇz´ı dle principu superpozice a t´ım z´ıskáme výsledný posun ˇr´ıd´ıc´ıho bodu, jak je vidˇet na Obrázku 5.11d. Evoluˇcn´ı schéma pro ˇr´ıd´ıc´ı body tedy vypadá cn+1 = cni + λ i

δcni |δcni |

Kde δcni je posun jednoho ˇr´ıd´ıc´ıho bodu ci v kroku n. Tento posun se dle


65

pˇredchoz´ıho popisu spoˇc´ıtá δcni

Z

=

Pint ( f (v)) log · B(t − i) · n(v(t))dt Pext ( f (v))

∗ potˇrebná pro optimaliPokud si pˇripomeneme, jak vypadala derivace Eregion zaci sniˇzován´ım gradientu po pouˇzit´ı Greenovy vˇety, mˇel integrál (5.3) tvar, který se pˇresnˇe rovná naˇsi optimalizaci, kdy je pohyb bod˚u dán superpozic´ı pˇr´ıspˇevk˚u normál. ∗ m˚ uzˇ e m´ıt podobnˇe jednoduchou interpreZjiˇst’ujeme, zˇ e i intern´ı energie Eint taci. Obrázek 5.11b ukazuje, zˇ e v pˇr´ıpadˇe intern´ı energie m˚uzˇ e být posun ˇr´ıd´ıc´ıho bodu dán souˇctem pˇr´ıspˇevk˚u ve smˇeru kˇrivky vázˇ ený jak B-Spline koeficientem, tak rozd´ılem skuteˇcné a pr˚umˇerné délky vzorku. Tento rozd´ıl kol´ısá kolem nuly, takˇze optimálnˇe dlouhý vzorek nepˇrisp´ıvá nijak. Z toho se dá odhadnout chován´ı u´ sek˚u, které se smrˇst’uj´ı a natahuj´ı ve smˇeru prob´ıhán´ı kˇrivky.

δcni =

5.1.5

Z

(|v0 (t)|2 − c) · B(t − i) · v0 (t)dt

Algoritmus

Nyn´ı je cˇ as shrnout celý algoritmus rekonstrukce. V pˇredchoz´ım textu jsme prezentovali vˇsechny komponenty, ze kterých se algoritmus sloˇz´ı. Je popsáno jedno schéma postupné segmentace smˇerem z pól˚u, které se zdá být nejvhodnˇejˇs´ı pro segmentaci ledvin. Pro jiné orgány a u´ lohy mohou být výhodnˇejˇs´ı jiná schémata. Algoritmus se snaˇz´ı uˇsetˇrit cˇ as a vyuˇz´ıt výsledku z pˇredchoz´ıho výpoˇctu. Zároveˇn tu z˚ustává moˇznost dalˇs´ıho urychlen´ı paralelizac´ı dvou nezávislých výpoˇct˚u. Výpis 4 uvád´ı vˇsechny kroky algoritmu.

5.1.6

Mˇerˇ en´ı objemu poˇc´ıtán´ım voxelu˚

Mˇeˇren´ı objemu se realizuje poˇc´ıtán´ım pixel˚u uvnitˇr uzavˇrených kˇrivek v kaˇzdém ˇrezu. Pixely uvnitˇr kˇrivky z´ıskáme algoritmem ˇra´ dkového vyplˇnován´ı pro kreslen´ı polygon˚u (scanline polygon fill). Polygon je tvoˇren uzavˇrenou lomenou cˇ a´ rou vzniklou navzorkován´ım B-Spline kˇrivky. Volume(O) = ob jem voxelu ∑ |pixely tvaru v rezu| rezy

5.2

Rekonstrukce modelován´ım B-Spline plochy

Algoritmus rekonstrukce postupnou segmentac´ı vrstev je syntézou segmentace dvojrozmˇerného obrázku a nˇekolika vylepˇsen´ı. Mˇeˇren´ı objemu se zde provád´ı jednoduchým poˇc´ıtán´ım voxel˚u. Na základˇe pˇredchoz´ıho algoritmu m˚uzˇ eme navrhnout nové schéma, které pracuje plnˇe s trojrozmˇernou informac´ı, neoddˇeluj´ıce zpracován´ı v jednotlivých ˇrezech. Zároveˇn pˇricház´ıme s u´ plnˇe jiným zp˚usobem


66

Algoritmus 4 Rekonstrukce orgánu postupnou segmentac´ı ˇrez˚u. 1. Volba profilu pro danou tˇr´ıdu orgán˚u obsahuj´ıc´ı parametry: meze pro konvergenci, hustotu pravdˇepodobnosti Pext , Pint , váhy energi´ı, mezn´ı velikosti B-Spline u´ sek˚u, poˇca´ teˇcn´ı velikost kroku. 2. Vstup od uˇzivatele oznaˇcuj´ıc´ı póly orgánu: bod p1 v ˇrezu start0 a bod p2 v ˇrezu end0 . Plat´ı start0 < end0 . 3. Nastaven´ı i = 0. Inicializace výchoz´ı kˇrivky v ˇrezu start0 a end0 tvarem malé kruˇznice. 4. Konvergence algoritmu aktivn´ıch kontur v ˇrezu starti a endi (a) Výpoˇcet ∇EB−snake podle vztah˚u popsaných v kapitole 5.1.3. ´ (b) Uprava vektoru parametr˚u cn+1 = cn − δn · step(cn ). (c) Kontrola pr˚useˇc´ık˚u. V pˇr´ıpadˇe kˇr´ızˇ en´ı, zachová nejdelˇs´ı uzavˇrený u´ sek. (d) Kontrola délky u´ sek˚u. V pˇr´ıpadˇe pˇrekroˇcen´ı povolených mez´ı rozdˇel/sluˇc nejdelˇs´ı/nejkratˇs´ı u´ sek/y. Na kˇrivce se novˇe navzorkuj´ı uzlové body a dopoˇc´ıtaj´ı se vˇsechny ˇr´ıd´ıc´ı body (viz 5.1.1). (e) Pokud nen´ı splnˇeno konvergenˇcn´ı kritérium zvyˇs n o 1 a opakuj od 4a. (f) Pˇredpoˇc´ıtán´ı sˇablony pro poˇc´ıtán´ı vzdálenost´ı dist f ield(x, v) od zkonvergované kˇrivky v. 5. Propagace z ˇrezu starti do ˇrezu starti+1 a z ˇrezu do endi do ˇrezu endi−1 . (a) Koregistrace - provede se jednoduchá registrace spoˇc´ıvaj´ıc´ı v posunu a rotaci tvaru (kˇrivky) do polohy s nejvˇetˇs´ı apriorn´ı pravdˇepodobnost´ı. (b) Pˇrepoˇc´ıtán´ı statistiky - pˇrepoˇc´ıtá se pravdˇepodobnost Pext , protoˇze se mˇen´ı bˇehem pr˚uchodu orgánu tˇelem (viz Obrázek 6.4). (c) Inicializace kˇrivky v ˇrezu starti+1 kˇrivkou z ˇrezu starti a kˇrivky v ˇrezu endi+1 kˇrivkou z ˇrezu endi . 6. Pokud se starti 6= endi , zvyˇs i o 1 a opakuj od kroku 4


67

c0,0 c0,1 c0,2

c1,0 v

c1,2

c1,1 V

c0,3

Vv

u N Vu

c2,0

c2,1

c2,2 c1,3

c3,1 c2,3

c3,0

c3,2

c3,3

Obrázek 5.12: B-Spline plocha. Ukázka jednoho bikubického B-Spline plátu, který je definován celkovˇe 16 ˇr´ıd´ıc´ımi body. mˇeˇren´ı, neˇz je poˇc´ıtán´ı voxel˚u. P˚uvodn´ı segmentaci pomoc´ı B-Spline aktivn´ıch kontur rozˇs´ıˇr´ıme na B-Spline aktivn´ı plochy.

5.2.1

Definice B-Spline plochy

B-Spline plocha je definována podobnˇe jako B-Spline kˇrivka. Pouˇz´ıvá stejné bázové funkce. M´ısto vektoru ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u pouˇz´ıvá rovnou celou matici ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u ci, j . Budeme pracovat s uniformn´ımi bikubickými B-Spline plochami, proto ani nemá smysl hovoˇrit o uzlech a matici uzl˚u. Jak vypadá jeden u´ sek B-Spline plochy, BSpline plát, je vidˇet na Obrázku 5.12. B-Spline plocha má obdéln´ıkovou topologii a bod na ploˇse v R3 je parametrizován dvˇema souˇradnicemi u a v podle výsˇky a sˇ´ıˇrky tohoto obdéln´ıku. V(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Plocha je definována N

V(u, v) = ∑

N

∑ ci, j Bn,i(u)Bn, j (v)

i=0 j=0

Budeme také potˇrebovat derivace plochy podle obou jej´ıch parametr˚u. Pˇredstavuj´ı teˇcné vektory ve smˇeru daného parametru. N

Vu (u, v) = ∑

N

∑ ci, j B0n,i(u)Bn, j (v)

i=0 j=0 N

Vv (u, v) = ∑

N

∑ ci, j Bn,i(u)B0n, j (v)

i=0 j=0

Vektorovým souˇcinem tˇechto teˇcných vektor˚u z´ıskáme vektor N kolmý na plochu. Normalizac´ı pak normálu n.


68

N(u, v) = Vu (u, v) × Vv (u, v) n(u, v) = N(u, v)/|N(u, v)|

5.2.2

Optimalizace

S vyuˇzit´ım heuristiky odvozené interpretac´ı derivace energie ˇr´ızené statistikou oblasti, jak je popsána v kapitole 5.1.4 odvod´ıme jednoduchou evoluˇcn´ı rovnici pro výpoˇcet plochy. cn+1 i, j

= cni, j + λ

δcni, j |δcni, j |

Posun δcni, j ˇr´ıd´ıc´ıho bodu cni, j plochy je dán pˇr´ır˚ustky kolmými na plochu vázˇ ené souˇcinem B-Spline koeficient˚u a koeficientem odvozeným z pravˇepodobnost´ı intenzity bodu, kterým kˇrivka procház´ı. Souˇcin B-Spline koeficient˚u je nenulový na omezené podmnoˇzinˇe definiˇcn´ıho oboru parametr˚u u a v. ZZ Pint ( f (V)) n · B(i − u) · B( j − v) · N(u, v) du dv δci, j = log Pext ( f (V)) V

5.2.3

Algoritmus a konvergence

Pouze s pˇr´ır˚ustky odvozenými z intenzity oblasti m˚uzˇ eme postavit funkˇcn´ı algoritmus, který zrekonstruuje tvar orgánu podobnˇe jako v algoritmu rekonstrukce segmentac´ı ˇrez˚u. Inicializace spoˇc´ıvá, stejnˇe jako u pˇredchoz´ıho algoritmu, v um´ıstˇen´ı ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u ve vzdálených oblastech objektu. Mezi tˇemito body se vytvoˇr´ı uzavˇrená výchoz´ı B-Spline plocha. Topologie tohoto u´ tvaru se bˇehem algoritmu mˇenit nebude, proto mus´ı uˇzivatel pˇredem urˇcit poˇcet ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u. Poté uˇz bˇezˇ´ı algoritmus sám. K vytvoˇren´ı uzavˇrené B-Spline plochy, zhruba tvaru protáhlé koule, kapsle, nebo uzavˇreného válce, jsou potˇreba dvˇe operace definuj´ıc´ı jej´ı topologii. Nejprve zabal´ıme plochu v jednom smˇeru podobnˇe, jako jsme to provedli s kˇrivkou. Tedy ztotoˇzn´ıme posledn´ıch N sloupc˚u ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u s prvn´ımi N sloupci ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u, ci,M−N+k = ci,k , 0 ≤ k ≤ N, 0 < i < Mu . Vznikne tak válec bez podstav. Zabalen´ım plochy v obou dvou smˇerech nevznikne koule ale torus. Pro uzavˇren´ı válce mus´ıme ztotoˇznit N prvn´ıch ˇrad ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u do jednoho vrcholu, pólu. Stejnˇe to provedeme i s posledn´ı N-tic´ı ˇrad a z´ıskáme druhý pól. Programovˇe se to realizuje oddˇeleným jednorozmˇerným polem pro souˇradnice bod˚u a dvourozmˇerným polem ukazatel˚u na tyto souˇradnice. Výsledek popsaného modelován´ı je vidˇet na Obrázku 5.13. V pr˚ubˇehu algoritmu plocha nemˇen´ı topologii, ani poˇcet parametr˚u. Nekontroluj´ı se kˇr´ızˇ en´ı plochy samé se sebou. Ani se neoptimalizuj´ı velikosti jednotlivých plát˚u. Algoritmus zkonverguje po pevnˇe daném poˇctu krok˚u, nebo kdyˇz roz-


69

Obrázek 5.13: Inicializace B-Spline plochy. Um´ıstˇen´ı výchoz´ı plochy do objemových dat (vlevo). Problematická topologie uzavˇrené B-Spline plochy v pólech (vpravo). ptyl objemu v okénku nˇekolika posledn´ıch mˇerˇen´ı klesne pod stanovenou hranici. Princip mˇeˇren´ı objemu je popsán v následuj´ıc´ı kapitole. Celý algoritmus je shrnut v pˇrehledu 5

5.2.4

Mˇerˇ en´ı objemu z ohraniˇcuj´ıc´ı plochy

Mˇeˇren´ı objemu se neprovád´ı sˇc´ıtán´ım voxel˚u, jako tomu bylo u pˇredchoz´ıho algoritmu. M´ısto toho vyuˇz´ıváme poznatk˚u z teorie ploˇsného integrálu. Konkrétnˇe jde o vˇetu o divergenci. Nejprve zopakujeme nˇekolik definic. Definice 1 (Ploˇsný integrál skalárn´ı funkce) Pro f : R3 → R na ploˇse S parametrizované V plat´ı ZZZ

ZZ

f da = V

S

f (V(u, v)) · |Vu × Vv | du dv

Definice 2 (Ploˇsný integrál vektorové funkce) Pro vektorovou 3 3 F = (F1 , F2 , F3 ) : R → R na ploˇse S parametrizované V plat´ı ZZZ

ZZ

Fda = S

ZZS

= V

funkci

F · n da F(V(u, v)) ·

Vu × Vv · |Vu × Vv | du dv |Vu × Vv |

Definice 3 (Divergence) Pro vektorovou funkci F = (F1 , F2 , F3 ) : G ⊆ R3 → R3 je divergence definována ∂F1 ∂F2 ∂F3 ∇·F = + + ∂x ∂y ∂z


70

Algoritmus 5 Rekonstrukce orgánu modelován´ım plochy. 1. Uˇzivatel oznaˇc´ı póly orgánu. 2. Uˇzivatel vybere profil s nastaven´ım parametr˚u, topologie plochy a hustotami pravdˇepodobnost´ı. 3. Nastav´ı se k = 0. Vytvoˇren´ı výchoz´ı uzavˇrené B-Spline plochy (Obrázek 5.13). 4. Spoˇc´ıtá se vektor posunut´ı ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u δcki, j . 5. Updatuj´ı se ˇr´ıd´ıc´ı body cki, j → ci,k+1 j . 6. Provede se konsolidace plochy. Spoˇc´ıvá v dopoˇc´ıtán´ı ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u v pólech pr˚umˇerován´ım okoln´ıch. To cˇ a´ steˇcnˇe kompenzuje problematickou topologii a zajist´ı, zˇ e plocha nebude m´ıt sˇpiˇcaté póly. 7. Pokud nebylo splnˇeno konvergenˇcn´ı kritérium a neprobˇehl stanovený poˇcet krok˚u, zvyˇs k o 1 a opakuj od kroku 4.

Vˇeta 2 (O Divergenci) Mnoˇzina G je otevˇrená mezi grafy funkc´ı ve vˇsech tˇrech ¯ smˇerech. Plocha Φ = G\G je po cˇ a´ stech jednoduchá, regulárn´ı, kladnˇe orientovaná (tj. normály smˇerˇuj´ı vnˇe). Mnoˇzina H ⊃ G¯ je otevˇrená. F má spojité derivace prvn´ıho rˇa´ du a F : H → R3 . Pak ZZZ G

(∇ · F) dG =

ZZ

F dS

(5.7)

Φ

Pomoc´ı vˇety o divergenci m˚uzˇ eme snadno spoˇc´ıtat objem mnoˇziny ohraniˇcené uzavˇrenou B-Spline plochou. Staˇc´ı pouze dosadit vhodnou vektorovou funkci F, aby na levé stranˇe vyˇsel integrál konstanty pˇres objem mnoˇziny. Taková funkce je x y z , , F= 3 3 3 Divergence této funkce vycház´ı ∂Fx ∂Fy ∂Fz ∇·F = + + =1 ∂x ∂y ∂z Dosazen´ım do vˇety o divergenci (5.7) dostaneme na levé stranˇe objem mnoˇziny G a na pravé stranˇe integrál vektorové funkce F pˇres plochu ohraniˇcuj´ıc´ı G.


ZZZ

ZZZ

Volume(V ) =

1dV = ZZ V

= ZZ∂V

=

V

VoD

(∇ · F) dV =

71

ZZ

F dS ∂V

F(T (u, v))(Tu × T v) du dv

(Tx (u, v), Ty (u, v), Tz (u, v))(Tu × T v) du dv

∂V

Diskretizac´ı tohoto výrazu z´ıskáme sumu pˇres navzorkované hodnoty pokrývaj´ıc´ı tuto plochu. Jako vzorky mohou slouˇzit napˇr´ıklad trojúheln´ıky z trojúheln´ıkové aproximace plochy. N

Volume(V ) =

∑ Txi(u, v)Nxi + Tyi(u, v)Nyi + Tzi(u, v)Nzi

i=0 N

=

∑ ∇T i · N i

i=0

5.2.5

Pˇrevod hraniˇcn´ı reprezentace na objemovou

Na závˇer této cˇ a´ sti o modelován´ı B-Spline plochy ukázˇ eme algoritmus pˇrevodu hraniˇcn´ı reprezentace na mnoˇzinu voxel˚u, které se nalézaj´ı uvnitˇr uzavˇrené plochy. Pouˇzit´ım tohoto algoritmu z´ıskáme reprezentaci výsledku rekonstrukce, kterou m˚uzˇ eme srovnat s výsledkem rekonstrukce postupnou segmentac´ı ˇrez˚u. Samozˇrejmˇe m˚uzˇ eme i z této reprezentace zmˇeˇrit objem poˇc´ıtán´ım voxel˚u. Algoritmus pˇrevede uzavˇrenou plochu V(u, v) na s´ıt’ trojúheln´ık˚u. Poté se provede ˇrez rovinami totoˇznými s rovinami ˇrez˚u tomografických sn´ımk˚u. Z´ıskáme tak kontury leˇz´ıc´ı v tˇechto ˇrezech. Vnitˇrek kontur spoˇc´ıtáme ˇra´ dkovým vyplˇnován´ım, jako pˇri mˇeˇren´ı objemu u algoritmu postupné segmentace ˇrez˚u. Výsledkem sjednocen´ı vnitˇrku vˇsech ˇrez˚u bude mnoˇzina voxel˚u spadaj´ıc´ı dovnitˇr uzavˇrené plochy. Algoritmus je názornˇe demonstrován na Obrázku 5.14. Pˇresný popis algoritmu je v pˇrehledu 6.

5.3

Porovnán´ı

V této kapitole jsme pˇredstavili dva implementované algoritmy, které rekonstruuj´ı tvar orgánu z lékaˇrských dat a umoˇznˇ uj´ı spoˇc´ıtat jeho objem. Oba dva jsou zaloˇzené na stejném principu deformovatelných model˚u. Rozd´ılné jsou napˇr´ıklad ve zp˚usobu práce s daty, kdy prvn´ı pracuje v oddˇelených ˇrezech a druhý se pohybuje najednou ve vˇsech tˇrech dimenz´ıch. Nejzaj´ımavˇejˇs´ı je vˇsak odliˇsnost v poˇc´ıtán´ı objemu z r˚uzných reprezentac´ı. Prvn´ı metoda poˇc´ıtá pˇr´ımo voxely objemových dat. Druhá na rozd´ıl od toho integruje hranici orgánu reprezentovanou B-Spline plochou. Porovnán´ı výsledk˚u mˇeˇren´ı vlastnost´ı, pˇresnosti a rychlosti algoritm˚u jsou shrnuty v následuj´ıc´ı kapitole.


R

72

vz

R

sl

ˇ plochy rovinou. Rovina ˇreˇze nˇekteré trojúheln´ıky aproximace. Obrázek 5.14: Rez

Algoritmus 6 Z´ıskán´ı objemové reprezentace z hranice reprezentované plochou. 1. Zjist´ı se nejbliˇzsˇ´ı a nejvzdálenˇejˇs´ı ˇr´ıd´ıc´ı bod cn a c f k rovinˇe 0. Pˇredpokládá se, zˇ e objekt leˇz´ı nad rovinou 0. 2. Vytvoˇr pole seznam˚u pro u´ seˇcky LinesVects pˇredpokládané velikosti sl = (c f ,z − cn,z )/vz. 3. Projdi plochu V se vzorkovac´ı periodou R odpov´ıdaj´ıc´ı poˇzadované pˇresnosti. (a) Vzorek (i, j) tvoˇr´ı dva trojúheln´ıky t1 = {(i, j), (i + R, j), (i + R, j + R)} a t2 = {(i, j), (i, j + R), (i + R, j + R)}. (b) Zjisti vzdálenosti vrchol˚u t1 od roviny 0. (c) Do seznamu LinesVects[i] vloˇz´ıme pr˚useˇcnice trojúheln´ıku t1 s rovinami i pro ∀i ”rovina nad nejbliˇzsˇ´ım vrcholem” ≤ i ≤ ”rovina pod nejvzdálenˇejˇs´ım vrcholem”. Pr˚useˇcnice je u´ seˇcka spojuj´ıc´ı pr˚useˇc´ıky dvou stran trojúheln´ıku s rovinou. (d) Zopakuje 3c pro t2 . 4. Kaˇzdý neprázdný seznam u´ seˇcek tvoˇr´ı uzavˇrenou lomenou cˇ a´ ru. Provede se vyplˇnován´ı polygonu po ˇra´ dc´ıch. Kaˇzdý takto z´ıskaný pixel vloˇz do mnoˇziny voxel˚u.

Kapitola 6 Mˇerˇ en´ı a výsledky V pˇr´ıpadˇe nasazen´ı popsaných metod v lékaˇrské praxi mus´ıme dbát na nˇekolik d˚uleˇzitých kritéri´ı. Jsou jimi pˇredevˇs´ım rychlost, robustnost a pˇresnost. Rychlost je d˚uleˇzitá, protoˇze napˇr´ıklad lékaˇr pracuj´ıc´ı se softwarem, který je zaloˇzen na naˇs´ıch algoritmech, si nem˚uzˇ e dovolit cˇ ekat pˇr´ıliˇs dlouho na standardn´ı vyˇsetˇren´ı. Jiná situace m˚uzˇ e nastat pˇri hromadném zpracován´ı dat, kdy se kaˇzdá uˇsetˇrená sekunda pˇri zpracován´ı jedné u´ lohy násob´ı v uˇsetˇrené minuty pˇri zpracován´ı vˇsech dat. Robustnost se dá posuzovat ze dvou hledisek. Pˇredevˇs´ım by mˇel algoritmus uspokojivˇe fungovat na co nejˇsirˇs´ı tˇr´ıdˇe vstupn´ıch dat dané u´ lohy. Na druhou stranu je algoritmus stále závislý na vstupu od uˇzivatele, proto by mˇel správnˇe fungovat i s málo pˇresným uˇzivatelským vstupem. Mˇel by dávat stejné výsledky na stejných datech pro r˚uzné vstupy. Protoˇze jde o mˇeˇren´ı objemu, rekonstrukce je pouze prostˇredkem k jeho zjiˇstˇen´ı. V testech se budeme soustˇredit na chybu mˇeˇren´ı a ne na správnost rekonstrukce. V urˇcitých situac´ıch nen´ı d˚uleˇzitá ani pˇresná hodnota mˇeˇren´ı. M˚uzˇ eme pracovat i s pouhou zmˇenou této hodnoty na r˚uzných sn´ımc´ıch jednoho sledovaného subjektu. Pokud by se nám podaˇrilo odhalit relativn´ı chybu naˇseho algoritmu na vˇetˇs´ı mnoˇzinˇe subjekt˚u, m˚uzˇ eme správnou hodnotu objemu odvodit i z chybného mˇeˇren´ı. Výsledky rekonstrukce a mˇeˇren´ı algoritmy budeme srovnávat jednak mezi sebou a jednak s mˇeˇren´ım manuáln´ı segmentac´ı provedenou cˇ lovˇekem. Ani mˇeˇren´ı provedené cˇ lovˇekem nemus´ı být u´ plnˇe pˇresné. Vˇzdy záleˇz´ı na zkuˇsenostech, znalostech, kvalitˇe sn´ımk˚u a kondici uˇzivatele, který mˇeˇren´ı provád´ı. Jiné výsledky bude generovat kaˇzdý jednotlivý uˇzivatel. Dokonce i jeden uˇzivatel bude generovat r˚uzné výsledky v jinou denn´ı dobu, v jiný pracovn´ı den, nebo napˇr´ıklad i v závislosti na tom, jestli uˇzivatel uˇz obˇedval, nebo jeˇstˇe ne. Z tohoto pohledu se do mˇeˇren´ı zavád´ı subjektivn´ı faktor a to je vˇec, kterou by násˇ systém pro automatické mˇeˇren´ı objemu orgán˚u mˇel eliminovat. Bohuˇzel jsme srovnán´ı této subjektivity manuáln´ıho mˇeˇren´ı do naˇsich test˚u nezahrnuli. Vyˇza´ dalo by si to u´ cˇ ast vˇetˇs´ı skupiny sˇkolených uˇzivatel˚u. Pro manuáln´ı segmentaci vyuˇzijeme tu hlavn´ı výhodu algoritmu postupné segmentace ˇrez˚u, zˇ e uˇzivatel m˚uzˇ e snadno kontrolovat tvar kˇrivky v kaˇzdém ˇrezu pomoc´ı uzlových bod˚u. Nejprve tedy necháme zkonvergovat bˇezˇ ný algoritmus a

73

ˇ I´ A VYSLEDKY ´ KAPITOLA 6. MEˇ REN

74

výsledek pak ruˇcnˇe domodelujeme. Mˇerˇen´ı objemu z manuáln´ı segmentace se provád´ı stejnˇe jako u automatického algoritmu. Pro kaˇzdou specifickou u´ lohu mˇeˇren´ı je tˇreba jinak nastavit parametry algoritm˚u. Bˇehem mˇeˇren´ı celé mnoˇziny testovac´ıch dat se parametry dál nemˇen´ı.

6.1

Pouˇzitá data

Doktorem Horákem nám byla poskytnuta data anonymn´ıch pacient˚u r˚uzné kvality a vlastnost´ı. U CT sn´ımk˚u je rozhoduj´ıc´ım atributem tlouˇst’ka ˇrezu. Pˇri práci s tomografem je moˇzné nastavit jeˇstˇe mnoho jiných parametr˚u (kolimace, filtr, expozice, . . .) My jsme se omezili na ˇrezy o tlouˇst’ce 5 milimetr˚u, které se v souˇcasné dobˇe pouˇz´ıvaj´ı pˇri standardn´ım vyˇsetˇren´ı bˇriˇsn´ı dutiny a hrudn´ıku. Ve speciáln´ıch pˇr´ıpadech je moˇzné poˇr´ıdit i jemnˇejˇs´ı data. Nen´ı pochyb o tom, zˇ e s technickým pokrokem se bude sniˇzovat sˇ´ıˇrka ˇrez˚u pro bˇezˇ né standardn´ı vyˇsetˇren´ı. Je jasné, zˇ e pˇresnost výsledk˚u závis´ı na rozliˇsen´ı tˇechto dat. Pro testován´ı jsme vybrali datové série dvanácti pacient˚u z ne o mnoho vˇetˇs´ı mnoˇziny dostupných dat. Vˇetˇsinou se jedná o sn´ımky starˇs´ıch a nemocných lid´ı. To se na datech projevuje r˚uznými vadami, od deformac´ı, sr˚ust˚u aˇz po chybˇej´ıc´ı orgány, které bychom rádi mˇeˇrili. Vzhledem k tomu, zˇ e vyˇsetˇren´ı podstupuj´ı pˇrevázˇ nˇe nemocn´ı lide, je násˇ test v podstatˇe velice reálný. Data nav´ıc cˇ asto obsahuj´ı dalˇs´ı vady typické pro CT sn´ımkován´ı. Projevuje se zde silnˇe partial volume efekt. V nˇekterých pˇr´ıpadech m˚uzˇ eme pozorovat hvˇezdicový artefakt, zp˚usobený napˇr´ıklad kontrastn´ı látkou v sousedn´ıch orgánech, ve stˇrevech a zˇ aludku. Moˇzná bychom mohli poˇc´ıtat s lepˇs´ımi daty, kdyby operátor tomografu pˇredem vˇedˇel, k jakému u´ cˇ elu je chceme pouˇz´ıt. Jednotlivé série oznaˇc´ıme pacient 01 aˇz pacient 12. U vˇsech pacient˚u se pokus´ıme zmˇeˇrit pravou ledvinu a slezinu. Mˇeˇren´ı provedeme jak metodou postupné segmentace ˇrez˚u, tak modelován´ım B-Spline plochy.

6.2

Mˇerˇ en´ı ledvin

Nejprve se pokus´ıme zmˇeˇrit objem ledvin vˇsech dvanácti pacient˚u. Naˇstˇest´ı vˇsichni maj´ı pravou ledvinu na svém m´ıstˇe. Ledvina má z vnˇejˇs´ıho pohledu hezký a jednoduchý fazolovitý tvar, takˇze se zdá, zˇ e mˇeˇren´ı bude bez problém˚u. Nav´ıc se nalézá v cˇ a´ sti tˇela obalená kontrastn´ım tukem, orientovaná ve smˇeru osy. Zaj´ımavou výjimku tvoˇr´ı pacient 10, jehoˇz pravá ledvina je lehce vytoˇcená doln´ım koncem dopˇredu pod u´ hlem 45◦ . V centráln´ı cˇ a´ sti ledviny se nacház´ı takzvaná pánviˇcka (renal pelvis), na kterou navazuje moˇcovod. V prostoru pánviˇcky se napojuje také zˇ´ıla a tepna. Tento prostor má hustotu okoln´ıho tuku a nˇekdy je na sn´ımc´ıch výraznˇe vidˇet a nˇekdy témˇeˇr ne. Naˇse algoritmy si se sloˇzitˇejˇs´ı topologi´ı poradit neum´ı. V ˇrezu, kde je pánviˇcka obklopena tkán´ı ledvin, ji algoritmus zahrne jako souˇca´ st orgánu. V ˇrezech, kde je pánviˇcka spojena s okoln´ım prostorem, ji algoritmus správnˇe ”vykroj´ı”, viz Obrázek 6.4.


75 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 0

0.012

0.035

0.01

0.03

200 400 600 800 100012001400

0.025

0.008

0.02

0.006

0.015

0.004

0.01

0.002

0.005

0 0

200 400 600 800 100012001400

0 900 950 1000 1050 1100 1150 1200

Obrázek 6.1: Statistika oblasti. Prvn´ı graf (vpravo nahoˇre) zachycuje rozloˇzen´ı pravdˇepodobnosti v celém obrázku vnˇe ohraniˇceného objektu. Druhý graf (vlevo dole) ukazuje rozloˇzen´ı, pokud se omez´ıme pouze na bl´ızké okol´ı objektu znázornˇené obdéln´ıkem v obrázku. Posledn´ı graf (vpravo dole) je pˇredpokládané rozloˇzen´ı intenzity uvnitˇr objektu. Z chován´ı popsaném v pˇredchoz´ım textu je vidˇet, jak se algoritmus rˇ´ıd´ı oˇcekávanou intenzitou oblasti. Informace o oˇcekávané intenzitˇe mus´ı být pˇredem známa a slouˇz´ı jako vstupn´ı parametr pro oba diskutované algoritmy. Nejlepˇs´ıch výsledk˚u dosáhneme, kdyˇz provedeme jednoduché pˇredmˇeˇren´ı intenzity v jednom ˇrezu série. Mˇeˇren´ı intenzity spoˇc´ıvá v konstrukci histogramu intenzity v oblasti uvnitˇr a vnˇe orgánu. Ze závislosti na intenzitˇe celé oblasti vyplývá d˚uleˇzité omezen´ı. Algoritmy takto ˇr´ızené dokázˇ´ı dobˇre segmentovat objekty s homogenn´ı intenzitou. Pro u´ cˇ el rekonstrukce mus´ı být rozloˇzen´ı intenzity uvnitˇr objektu stejné ve vˇsech ˇrezech. U rozloˇzen´ı intenzity vnˇe objektu se ˇr´ıd´ıme jinými pravidly. Lepˇs´ı výsledky pˇri segmentaci dostaneme, kdyˇz statistiku poˇc´ıtáme pouze z bl´ızkého okol´ı objektu, takzvané oblasti zájmu (ROI - region of interest). V opaˇcném pˇr´ıpadˇe se pravdˇepodobnost rozmˇeln´ı na sˇirˇs´ım intervalu stupnice intenzity. T´ım se sn´ızˇ´ı citlivost rozhran´ı pˇri pohybu pˇres ménˇe pravdˇepodobné oblasti. Na Obrázku 6.1 je vidˇet, jak vypadá statistika celého sn´ımku a jak se liˇs´ı pˇri omezen´ı na oblast zájmu. Posledn´ı uˇziteˇcnou vlástnost´ı sn´ımk˚u ledvin je pouˇzit´ı kontrastn´ı látky bˇehem standardn´ıho vyˇsetˇren´ı. Kontrastn´ı látka na bázi jódu je pacientovi aplikována injekc´ı do krevn´ıho obˇehu. Do ledviny se dostává z aorty, ledvina ji postupnˇe filtruje a poté vylouˇc´ı v moˇci. Proces nasycen´ı trvá 1 aˇz 2 minuty. Vyˇsetˇren´ı vˇetˇsinou za-


76

Obrázek 6.2: Fáze nasycen´ı kontrastn´ı látkou. Nativn´ı fáze (vlevo) demonstruje homogenn´ı intenzitu orgánu. Bˇehem arteriáln´ı fáze (uprostˇred) je ledvina silnˇe prokreslená, coˇz znesnadˇnuje práci popsaným algoritm˚um. V pr˚ubˇehu venózn´ı fáze (vpravo) je orgán homogennˇe nasycen kontrastn´ı látkou. hrnuje tˇri skenován´ı tomografem v r˚uzných fáz´ıch nasycen´ı kontrastn´ı látkou. Kontrastn´ı látka zp˚usob´ı zvýsˇen´ı kontrastu ledviny na sn´ımku. D´ıky tomu se objev´ı i struktury, které na sn´ımku bez kontrastn´ı látky vidˇet nejsou, jako napˇr´ıklad cysty, nádory, nebo rozdˇelen´ı tkánˇe ledviny na dˇreˇn a k˚uru. Bohuˇzel to naruˇs´ı základn´ı pˇredpoklad pro fungován´ı naˇsich algoritm˚u, zˇ e segmentovaný orgán mus´ı m´ıt homogenn´ı rozloˇzen´ı intenzity. Vnásˇ´ı to také dalˇs´ı faktor do procesu mˇeˇren´ı, kterým je správné naˇcasován´ı sken˚u po aplikaci kontrastn´ı látky. Mˇeˇren´ı na sn´ımc´ıch zvýraznˇených kontrastn´ı látkou je realizovatelné a m˚uzˇ e dávat i lepˇs´ı výsledky. My se v testech soustˇred´ıme pˇredevˇs´ım na mˇeˇren´ı v datech bez kontrastn´ı látky. Pro lepˇs´ı pˇredstavu ukazuje Obrázek 6.2 jednotlivé fáze nasycen´ı.

6.3

Mˇerˇ en´ı sleziny

Slezina je orgán, který má z vnˇejˇs´ıho pohledu sloˇzitˇejˇs´ı tvar neˇz ledvina. Je o nˇeco vˇetˇs´ı a mˇen´ı sv˚uj tvar pomˇernˇe výraznˇe ˇrez od ˇrezu. Nav´ıc intenzita tkánˇe sleziny je velice bl´ızká intenzitˇe tkánˇe okoln´ıch orgán˚u, srdce, stˇrev nebo sval˚u. Na druhou stranu na sn´ımc´ıch nen´ı vidˇet, zˇ e by mˇela nˇejakou vnitˇrn´ı strukturu. Význam mˇeˇren´ı sleziny je dost sporný, protoˇze je známo, zˇ e slezina mˇen´ı svoji velikost v závislosti na cˇ innosti organismu. Tvoˇr´ı jakousi vyrovnávac´ı nádrˇz na cˇ ervené a b´ılé krvinky a zároveˇn je to m´ısto jejich zániku. Velikost je ovlivnˇena zánˇetem cˇ i infekc´ı, vˇekem, nemoc´ı krve. Napˇr´ıklad i intenzivn´ı práce sval˚u zp˚usob´ı jej´ı odkrven´ı. Pacient 12 z testovac´ı mnoˇziny nemá slezinu v˚ubec a sn´ımek pacienta 10 byl tak poˇskozený, zˇ e nebylo moˇzné orgán zmˇeˇrit.

6.4

Výsledky segmentace a rekonstrukce

Výslednou rekonstrukci, na které je zaloˇzen násˇ postup pro mˇeˇren´ı objemu je moˇzné vizualizovat. Oba dva prezentované postupy mˇeˇren´ı rekonstrukci provádˇej´ı. Na


77

Obrázek 6.3: Výsledek rekonstrukce ledviny. Rekonstrukce postupnou segmentac´ı ˇrez˚u (vlevo). Rekonstrukce modelován´ım B-Spline plochy (vpravo). Obrázku 6.3 je vidˇet rekonstrukce ledviny pomoc´ı obou tˇechto metod. K zobrazen´ı dat pouˇz´ıvá násˇ program knihovnu VTK. Tato knihovna implementuje marching cubes pro zobrazen´ı objemových dat, které jsou výstupem algoritmu postupné segmentace ˇrez˚u. Poskytuje také prostˇredky pro zobrazen´ı hraniˇcn´ı reprezentace, s´ıtˇe trojúheln´ık˚u, které jsou výstupem algoritmu modelován´ı B-Spline plochy. Na Obrázku 6.4 je vidˇet, jak vypadá rekonstrukce ledviny postupnou segmentac´ı v nˇekolika vybraných ˇrezech. Na závˇer jeˇstˇe uvád´ıme rekonstrukci sleziny modelován´ım plochy, která je zobrazena na Obrázku 6.5.

6.5

Rychlost, pˇresnost a konvergence

Testy byly provádˇeny na poˇc´ıtaˇci Athlon 2600+ s 1GB RAM v OS Linux. Uˇz v kapitole 5.1.3 bylo ˇreˇceno, zˇ e rychlost algoritmu je odvozena od rychlosti konvergence. Bylo vysvˇetleno, podle jakých kritéri´ı lze konvergenci detekovat. Obrázek 6.6 ukazuje, jak vypadá pr˚ubˇeh konvergence procesu optimalizace v prvn´ım algoritmu, kde je pouˇzit konstantn´ı krok ve smˇeru gradientu. Práh, kolem kterého se ustál´ı konvergenˇcn´ı kritérium, se liˇs´ı podle velikosti u´ lohy. Proto je nutné spolehnout se na zastaven´ı algoritmu po pevném poˇctu krok˚u. Na Obrázku 6.7 je vidˇet jak vypadá proces v pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı adaptivn´ıho kroku. Kritérium zde klesá aˇz k nule. D´ıky tomu je moˇzné odhalit konvergenci pomoc´ı témˇeˇr libovolnˇe malého prahu a ukonˇcit algoritmus dˇr´ıv. M˚uzˇ eme nav´ıc pozorovat, zˇ e algoritmus s adaptivn´ım krokem konverguje rychleji. Uˇz po 60. iteraci je konvergenˇcn´ı kritérium témˇeˇr ploché, kdeˇzto u konstantn´ıho kroku se graf zlom´ı aˇz po 80. iteraci. Tabulka 6.1 ukazuje výsledky testu mˇeˇren´ı pravé ledviny. Mˇeˇren´ı metodou postupné segmentace ˇrez˚u dopadlo celkem uspokojivˇe. Oˇsklivá a poˇskozená data


78

Obrázek 6.4: Postupná segmentace ˇrez˚u pravé ledviny (ren dexter).

Obrázek 6.5: Rekonstrukce sleziny (splen) modelován´ım B-Spline plochy

5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

2800 2600 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 0

20

40

60

80

100

120

0

20

40

60

80

100 120

Obrázek 6.6: Konvergence aktivn´ıch kontur s konstantn´ım krokem. Prvn´ı graf (vlevo) ukazuje, zˇ e stejné konvergenˇcn´ı kritérium jako u adaptivn´ıho kroku se ustál´ı na jedné hladinˇe. Tato hladina je nav´ıc závislá na aktuáln´ı velikosti kˇrivky. Je to zp˚usobeno oscilac´ı hodnoty obsahu oblasti ke konci bˇehu algoritmu, jak ukazuje druhý graf (vpravo).

ˇ I´ A VYSLEDKY ´ KAPITOLA 6. MEˇ REN 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110

79 2800 2600 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000

0

20

40

60

80

100

120

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

20

40

60

80

100 120

60

80

100

4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

20

40

60

80

100

120

0

20

40

120

Obrázek 6.7: Konvergence aktivn´ıch kontur s adaptivn´ım krokem. Prvn´ı graf (vlevo nahoˇre) ukazuje zmˇenu délky bˇehem vývoje kontury. Druhý graf (vpravo nahoˇre) zachycuje obsah. Tˇret´ı graf (vlevo dole) demonstruje, jak konvergenˇcn´ı kritérium klesá, kdyˇz se obsah a obvod ustál´ı. Na posledn´ım grafu (vpravo dole) je vidˇet velikost adaptivn´ıho kroku v pr˚ubˇehu algoritmu. dávaj´ı horˇs´ı výsledky. Chyba se tak pohybuje mezi 1-4%. Mnohem h˚urˇ dopadla metoda modelován´ı B-Spline plochy. V nˇekterých pˇr´ıpadech se nepovedlo orgán zmˇeˇrit v˚ubec. B-Spline plocha zdeformovala nepˇr´ıpustným zp˚usobem, pˇriˇcemˇz kˇr´ızˇ ila sama sebe. Je to zapˇriˇcinˇeno hlavnˇe vˇetˇs´ı sloˇzitost´ı vnitˇrn´ı struktury ledviny. Na metodˇe modelován´ı B-Spline plochy je jeˇstˇe mnohé co zlepˇsovat. Pˇri mˇeˇren´ı jsme se snaˇzili, aby oba algoritmy mˇely stejné startovn´ı podm´ınky, tedy stejná data a vstupn´ı parametry. Ukázalo se, zˇ e v nˇekterých pˇr´ıpadech bylo dosaˇzeno lepˇs´ıch výsledk˚u na sn´ımc´ıch s kontrastn´ı látkou, viz n´ızˇ e. Mˇeˇren´ı sleziny shrnuté v tabulce 6.2 dopadlo celkovˇe h˚uˇr. Ukazuje se na nˇem, zˇ e modelován´ı B-Spline plochy dává lepˇs´ı výsledky neˇz prvn´ı metoda. Mohou za to vˇetˇs´ı rozd´ıly ve tvaru mezi jednotlivými ˇrezy, kterým nevyhovuje naˇse schéma pro postupnou segmentaci. Modelován´ı plochy pouˇz´ıvá ke stanoven´ı hranice vhodnˇejˇs´ım zp˚usobem informaci napˇr´ıcˇ ˇrezy. Na druhou stranu, pokud nebudeme v prvn´ım algoritmu inicializovat nové kˇrivky kˇrivkami z propagovaného ˇrezu, tedy zbav´ıme se dobrovolnˇe informace ze sousedn´ı ˇrezu, dosáhneme lepˇs´ıch výsledk˚u. Namˇeˇrená chyba je i tak za hranic´ı u´ nosnosti. K obhajobˇe sˇpatných výsledk˚u je tˇreba dodat, zˇ e i ruˇcn´ı segmentace sleziny nen´ı u´ plnˇe jednoznaˇcná. Na sn´ımc´ıch je sˇpatnˇe vidˇet jej´ı hranice, splývá s ostatn´ımi orgány a je rozmazaná kv˚uli

ˇ I´ A VYSLEDKY ´ KAPITOLA 6. MEˇ REN manuál slicealg Pacient Objem Objem Chyba (cm3 ) (cm3 ) (%) 01 145,75 143,25 -1,71 02 178,60 181,27 +1,50 03 193,61 193,55 -0,03 04 132,14 129,64 -1,89 05 126,76 124,05 -2,14 06 195,79 189,88 -3,02 07 101,81 97,99 -3,75 08 250,46 250,94 +0,19 09 150,62 156,56 +3,94 10 159,99 159,28 -0,44 11 207,31 203,61 -1,79 12 157,12 158,63 +0,96 Stˇredn´ı hodnota (%) -0,68 Smˇerodatná odchylka (%) 2,15

ˇ Cas (s) 27,31 28,60 26,67 21,38 23,21 23,34 19,81 29,44 25,23 27,64 29,06 21,32

80 surfacefit ˇ Objem Chyba Cas 3 (cm ) (%) (s) 144,13 -1,11 26,38 algoritmus selhal 190,47 -1,62 35,51 123,93 -6,21 25,08 111,67 -11,91 42,68 197,12 0,68 23,41 96,42 -5,30 17,86 264,66 +5,67 18,42 157,75 +4,73 40,68 150,66 -5,83 64,13 200,61 -3,23 59,85 162.00 +3,11 24,50 -1,91 5,30

Rozd´ıl metod (%) +0,61 -1,59 -4,40 -9,98 +3,82 -1,61 +5,47 +0,76 -5,42 -1,47 +2,13 -1,38 4,50

Tabulka 6.1: Výsledky mˇeˇren´ı pravé ledviny (ren dexter) u dvanácti subjekt˚u. partial volume efektu. Výsledná rychlost algoritm˚u nen´ı optimáln´ı pro praktické pouˇzit´ı. V pˇr´ıpadˇe postupné segmentace ˇrez˚u je pˇr´ımo závislá na velikosti u´ lohy. Neboli jak velký orgán se mˇeˇr´ı, tak dlouho rekonstrukce trvá. V naˇs´ı implementaci výpoˇcet nejv´ıce zatˇezˇ uje mˇeˇren´ı vzdálenost´ı k sˇablonˇe dist f ield, potˇrebné pˇri vyhodnocen´ı ∇Ec∗ . Vynechán´ım tohoto termu se doba výpoˇctu zkrát´ı skoro na polovinu. Modelován´ı B-Spline plochy vyˇzaduje znát na poˇca´ tku mˇeˇren´ı topologii plochy a poˇcet ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u. Pˇri pevnˇe daném vzorkován´ı je délka jedné iterace konstantn´ı. Celková doba výpoˇctu je tak závislá hlavnˇe na rychlosti konvergence. Jeden krok konvergence se poˇc´ıtá pomˇernˇe dlouho. Pˇri této konfiguraci je ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚u modelován´ı plochy pomalejˇs´ı neˇz postupná segmentace ˇrez˚u.

6.6

Diskuse

Dále jsme provedli nˇekolik test˚u, pˇri kterých jsme zkouˇseli robustnost a stabilitu, pˇredevˇs´ım u algoritmu postupné segmentace. Prvn´ı test se soustˇredil na vyhodnocen´ı rozd´ılu pˇri konvergenci algoritmu s adaptivn´ım a s konstantn´ım krokem. Test jsme provedli na menˇs´ı skupinˇe pacient˚u a výsledky shrnuje Tabulka 6.3. Pˇres omezený rozsah testován´ı jsme vyvodili dva moˇzné závˇery. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe dává výpoˇcet s konstantn´ım krokem stejné výsledky, jen konverguje delˇs´ı dobu (pacient 03 a pacient 11). Je totiˇz zastaven aˇz po vykonán´ı maximáln´ıho poˇctu krok˚u. V druhém pˇr´ıpadˇe uv´ızne algoritmus v lokáln´ım minimu a dá horˇs´ı výsledek (pacient 05 a pacient 08). Pˇritom se m˚uzˇ e stát (pacient 08), zˇ e zkonverguje dˇr´ıv neˇz

ˇ I´ A VYSLEDKY ´ KAPITOLA 6. MEˇ REN manuál Objem (cm3 ) 312.40 132.45 234.41 193.09 316.19 280.51 116.09 1027.26 118.40

81

slicealg Chyba (%) -1,01 +8,49 -5,73 +2,86 +4,95 -3,04 +4,17 -0,79 -5,66

surfacefit ˇ ˇ Pacient Objem Cas Objem Chyba Cas 3 3 (cm ) (s) (cm ) (%) (s) 01 309,23 10,44 299,69 -4,07 96,83 02 143,69 9,19 135,09 +1,99 41,03 03 220,97 11,43 219,29 -6,45 80,18 04 198,61 14,00 193,63 +0,28 56,70 05 331,84 14,40 263,87 +0,28 41,34 06 272,00 12,77 256,23 -8,66 44,76 07 120,93 6,17 117,40 +1,12 47,78 08 1019,19 14,66 1016,64 -1,03 70,51 09 111,70 18,28 111,63 -5,72 58,30 10 poˇskozená data 11 442.50 444,68 +0,49 16,66 448,78 +1,42 73,30 12 slezina nenalezena, pacient po splenektomii Stˇredn´ı hodnota (%) +0,47 -2,08 Smˇerodatná odchylka (%) 4,66 3,81

Rozd´ıl metod (%) -3,09 -5,99 -0,76 -2,51 -20,48 -5,80 -2,93 -0,25 -0,06 +0,92 -4,09 6,21

Tabulka 6.2: Výsledky mˇeˇren´ı sleziny (splen) u dvanácti subjekt˚u. v pˇr´ıpadˇe adaptivn´ıho kroku, coˇz je zp˚usobeno t´ım, zˇ e bˇehem mˇeˇren´ı se optimalizuje menˇs´ı poˇcet parametr˚u. Výsledný objem je pak zákonitˇe menˇs´ı. Adaptivn´ı krok tedy urychluje výpoˇcet a cˇ a´ steˇcnˇe brán´ı uv´ıznut´ı v lokáln´ım minimu. Hodnota prahu konvergenˇcn´ıho kritéria se také významnˇe pod´ıl´ı na rychlosti a pˇresnosti výpoˇctu. Provedli jsme opˇet test konvergence s adaptivn´ım krokem a r˚uznými prahy na menˇs´ı vybrané mnoˇzinˇe pacient˚u. Výsledky jsou shrnuty v Tabulce 6.4. Je zde vidˇet, jaký vliv má rostouc´ı práh na pˇresnost výsledku a na rychlost konvergence. Jako rozumná hranice se nám jev´ı práh 0.1. Výsledkem prah˚u vˇetˇs´ıch neˇz 1.0 je uˇz viditelnˇe nepˇresná rekonstrukce. Jak uˇz bylo ˇreˇceno, nˇekteré sn´ımky jsou bud’ poˇskozené, nebo na nich jsou orgány nevýraznˇe separované meziorgánovým tukem. V takových pˇr´ıpadech se

Pacient 03 05 08 11

Adaptivn´ı krok ˇ Objem Cas 3 (cm ) (s) 193,55 26,85 124,05 23,25 250,94 29,63 203,61 29,16

Konstantn´ı krok ˇ Objem Cas 3 (cm ) (s) 193,62 29,56 117,20 29,51 246,06 27,63 201,64 31,45

Rozd´ıl ˇ Objem Cas (%) (%) +0,04 +10,09 -5,52 +26,92 -1,95 -6,75 -0,97 +7,85

Tabulka 6.3: Porovnán´ı výsledk˚u algoritmu postupné segmentace pravé ledviny pˇri pouˇzit´ı adaptivn´ıho kroku optimalizace. Práh konvergence je nastaven na 0.1, parametry adaptivn´ıho kroku jsou α = 0.99, β = 0.1 a maximáln´ı poˇcet krok˚u je 250.

ˇ I´ A VYSLEDKY ´ KAPITOLA 6. MEˇ REN Pacient 01 02 06 12

Veliˇcina Objem ˇ Cas Objem ˇ Cas Objem ˇ Cas Objem ˇ Cas

82 Práh

0 144,17 32,78 183,26 37,09 192,84 27,29 159,27 24,69

0.05 142,41 30,4 184,62 33,98 192,57 26,72 158,87 22,39

0.1 143,25 27,31 181,27 28,60 189,88 23,34 158,63 21,32

0.15 143,02 25,45 179,68 26,65 183,78 21,68 158,20 19,66

0.4 142,31 19,33 177,69 21,71 182,61 16,07 153,31 14,14

1.0 137,63 15,27 177,38 19,96 176,65 13,45 153,70 11,51

Tabulka 6.4: Výsledky konvergence postupné segmentace pravé ledviny s r˚uzným prahem konvergenˇcn´ıho kritéria za pouˇzit´ı adaptivn´ıho kroku. Pacient 02 04 09 10

Nativn´ı série ˇ Objem Cas 181,27 28,60 129,64 21,38 156,56 25,23 159,28 27,64

Kontrastn´ı série ˇ Cas Objem 165,71 30,74 120,09 18,80 150,86 23,08 157,95 27,14

Rozd´ıl objemu (%) -8,58 -7,37 -3,64 -0,84

Tabulka 6.5: Mˇeˇren´ı pravé ledviny v kontrastn´ı a nativn´ı sérii na výbˇeru pacient˚u. m˚uzˇ eme u ledviny pokusit zmˇeˇrit objem na sn´ımc´ıch ve venózn´ı fázi nasycen´ı kontrastn´ı látkou. Jaké jsou výsledky ve srovnán´ı s mˇeˇren´ım v nativn´ıch datech? Kontrastn´ı látka zvýsˇ´ı kontrast orgánu na sn´ımc´ıch a umoˇzn´ı tak algoritmu odliˇsit ho od okoln´ıch tkán´ı, nezvýrazn´ı vˇsak kaˇzdou cˇ a´ st stejnˇe. Tabulka 6.5 ukazuje, zˇ e výsledek mˇeˇren´ı na nativn´ıch sn´ımc´ıch je o 3-6% menˇs´ı, neˇz nativn´ı pˇr´ıpad. Pacient 10 je výjimka, zˇrejmˇe kv˚uli nestandardn´ı orientaci orgánu. Tento rozd´ıl by se dal vysvˇetlit t´ım, zˇ e kontrastn´ı látka prokresl´ı vnitˇrn´ı strukturu ledviny a oddˇel´ı v n´ı tkánˇ , která se ale v nativn´ı sérii mˇeˇr´ı jako souˇca´ st orgánu. Nakonec jsme zkusili test invariance. Protoˇze metoda je závislá na poˇca´ teˇcn´ım vstupu od uˇzivatele, je uˇziteˇcné provést v´ıce mˇeˇren´ı jednoho orgánu a zjistit, jak se výsledky liˇs´ı. Odhal´ıme t´ım, jak je metoda invariantn´ı k poˇca´ teˇcn´ımu uˇzivatelskému vstupu, volbˇe pól˚u. Tabulka 6.7 ukazuje výsledky sedmi mˇeˇren´ı metodou postupné segmentace na vˇsech pacientech. Výsledky prokazuj´ı, zˇ e metoda je docela stabiln´ı. Vˇsechna mˇeˇren´ı u jednoho pacienta se provádˇela s jednou pˇredmˇeˇrenou statistikou rozloˇzen´ı intenzity. Zkusili jsme jeˇstˇe vliv pˇredmˇeˇren´ı statistiky, která je také souˇca´ st´ı rekonstrukˇcn´ı procedury. U vybraných pacient˚u jsme provedli pˇet mˇeˇren´ı s r˚uznou statistikou jak na seri´ıch v nativn´ı, tak kontrastn´ı fázi. Výsledky v Tabulce 6.6 ukazuj´ı, zˇ e metoda je na pˇredmˇeˇren´ı statistiky citlivˇejˇs´ı, neˇz na volbu pól˚u. U nativn´ı série výraznˇeji neˇz u kontrastn´ı. M´ıra invariance se u kontrastn´ı série bl´ızˇ´ı invarianci k volbˇe pól˚u. Výsledky mˇeˇren´ı ukazuj´ı, zˇ e algoritmus modelován´ı B-Spline plochy nen´ı do-

ˇ I´ A VYSLEDKY ´ KAPITOLA 6. MEˇ REN Pacient 02 04 09 10

Série Nativn´ı Kontrastn´ı Nativn´ı Kontrastn´ı Nativn´ı Kontrastn´ı Nativn´ı Kontrastn´ı

1 173.73 163.22 133.45 119.83 158.30 151.08 153.01 156.31

Mˇeˇren´ı objemu (cm3 ) 2 3 4 173.24 184.38 172.37 165.06 169.74 162.67 130.54 126.02 126.42 119.19 119.44 119.93 146.41 157.62 159.85 152.17 155.71 151.20 141.52 149.32 148.98 154.56 157.12 155.05

83

5 186.36 160.39 128.44 119.98 155.27 150.88 151.67 157.67

Odchylka (%) 3.80 2.14 2.39 0.29 3.43 1.33 2.99 0.85

Tabulka 6.6: Invariance mˇeˇren´ı pravé ledviny v˚ucˇ i statistice pˇredmˇeˇrené uˇzivatelem na vybraných kontrastn´ıch i nativn´ıch séri´ıch.

Obrázek 6.8: Dopad propagace v algoritmu postupné segmentace ˇrez˚u. Správnˇe segmentovaný ˇrez ledvinou (vlevo). Segmentace bez vlivu termu Ec∗ (uprostˇred). Výsledek segmentace bez pˇrepoˇc´ıtán´ı hustoty pravdˇepodobnosti Pext (vpravo). stateˇcnˇe zralý, aby se mohl rovnat postupné segmentaci. Jde vˇsak o zaj´ımavý, alternativn´ı pˇr´ıstup z pohledu mˇeˇren´ı objemu. Postupná segmentace ˇrez˚u je znaˇcnˇe sloˇzitˇejˇs´ı. Pro rekonstrukci je kl´ıcˇ ový krok propagace, který je vlastnˇe origináln´ım pˇr´ınosem této práce. Na závˇer bychom podtrhli vliv akc´ı prob´ıhaj´ıc´ıch v rámci propagace výsledk˚u mezi ˇrezy. Pˇrepoˇc´ıtán´ı hustoty pravdˇepodobnosti, se dá pˇrirovnat metodám hierarchického prahován´ı. Jeho vliv na výslednou segmentaci jediného ˇrezu je vidˇet na Obrázku 6.8 spolu s vlivem vazby na sousedn´ı ˇrezy. Implementované algoritmy jsme vyzkouˇseli na mnoˇzinˇe reálných testovac´ıch dat. Pˇredevˇs´ım výsledky rekonstrukce ukazuj´ı na pouˇzitelnost daných algoritm˚u. Mˇeˇren´ı odhalila pˇredpokládanou chybu pro pˇr´ıpady dvou orgánu, ledviny a sleziny. Dalˇs´ı mˇeˇren´ı tˇechto orgán˚u tak mohou být zpˇresnˇeny d´ıky tomuto u´ daji. Pokud by mˇely být algoritmy pouˇzity pro zmˇeˇren´ı jiných orgán˚u, bude tˇreba provést nejprve sérii mˇeˇren´ı, jako v naˇsem experimentu, s konkrétn´ımi parametry na testovac´ı mnoˇzinˇe a urˇcit chybu. Teprve pak je moˇzné vyhodnotit pˇresnost dané metody. Výsledkem experiment˚u je zjiˇstˇen´ı, zˇ e algoritmus postupné segmentace ˇrez˚u se dá pouˇz´ıt celkem uspokojivˇe k mˇeˇren´ı ledvin. Na rozd´ıl od toho modelován´ı ploch ve své momentáln´ı podobˇe nen´ı pˇr´ıliˇs spolehlivé. V závˇeru této práce jsou shrnuty nˇekteré myˇslenky, které by mohly vést k lepˇs´ım výsledk˚um.

1 149.80 176.35 193.47 135.20 121.76 191.54 97.80 245.96 155.17 152.11 212.82 154.29

2 148.76 173.54 193.35 136.57 121.68 193.53 98.13 246.39 156.16 152.72 212.49 154.76

3 149.90 172.28 193.50 135.31 121.76 192.31 98.15 247.10 154.10 154.02 213.04 156.19

Mˇeˇren´ı 4 150.12 175.61 193.31 136.41 122.19 191.53 97.26 245.60 155.33 152.50 212.44 154.15 5 149.05 175.74 193.73 135.71 121.82 191.77 98.19 245.90 153.67 152.19 212.92 154.04

6 147.55 177.81 192.94 136.38 121.87 191.80 97.89 245.44 155.85 153.02 212.48 157.85

7 149.57 174.71 193.44 136.96 121.61 191.83 98.06 247.57 156.40 153.05 213.06 155.83

Pr˚umˇer (cm3 ) 149.25 175.15 193.39 136.08 121.81 192.04 97.90 246.28 155.24 152.80 212.75 155.30

Odchylka (cm3 ) 0.89 1.83 0.24 0.67 0.19 0.70 0.33 0.79 1.03 0.65 0.27 1.4

Odchylka (%) 0.60 1.04 0.12 0.49 0.16 0.36 0.34 0.32 0.66 0.43 0.13 0.90

Tabulka 6.7: Invariance mˇerˇen´ı v˚ucˇ i uˇzivatelskému vstupu v algoritmu postupné segmentace pravé ledviny. Pˇredmˇeˇrená statistika oblasti se nemˇen´ı. Mˇeˇren´ı prob´ıhá pouze na nativn´ı sérii.

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

Pacient

ˇ I´ A VYSLEDKY ´ KAPITOLA 6. MEˇ REN 84

Kapitola 7 Závˇer V této práci byly pˇredstaveny deformovatelné modely jakoˇzto nástroj k segmentaci lékaˇrských dat. Tyto metody dokázˇ´ı u´ spˇesˇnˇe modelovat nelineárnˇe deformovatelné objekty. Deformovatelné modely jsou ty obt´ızˇ nˇejˇs´ı z technik uvedených v kapitole 3. Mnoˇzstv´ı existuj´ıc´ıho výzkumu v této oblasti znaˇc´ı, zˇ e skýtaj´ı mnoho otevˇrených problém˚u a velký potenciál pro praktické vyuˇzit´ı, obzvlásˇtˇe v lékaˇrských aplikac´ıch. Pro objekty sledované na lékaˇrských sn´ımc´ıch jsou totiˇz nelineárn´ı deformace pˇrirozenou vlastnost´ı. Algoritmy zaloˇzené na deformovatelných modelech v praxi provádˇej´ı optimalizaci vztahu abstrakce a reálných dat. V prvn´ı cˇ a´ sti práce byly ukázány r˚uzné kombinace optimalizace, vztah˚u a abstrakc´ı. Zjistili jsme, zˇ e B-Spline kˇrivky a plochy jsou zaj´ımavým médiem pro reprezentaci segmentovaných objekt˚u v lidském tˇele. B-Spline kˇrivky je moˇzné vyjádˇrit malým poˇctem parametr˚u, a proto je jejich optimalizace rychlá. Ukázali jsme, zˇ e algoritmy zaloˇzené na optimalizaci B-Spline ploch a kˇrivek dokázˇ´ı s jistou pˇresnost´ı segmentovat orgány lidského tˇela z pomˇernˇe hrubých dat poˇc´ıtaˇcové tomografie. Výsledky mˇeˇren´ı, která jsme provedli, ukazuj´ı, zˇ e konkrétn´ı algoritmus se lépe hod´ı k segmentován´ı orgánu, pro který je navrˇzen. Je to v souladu s tez´ı v u´ vodn´ı kapitole. Jediný univerzáln´ı algoritmus pro segmentaci zat´ım neexistuje. Ve své práci jsem se vˇsak snaˇzil ukázat, prostˇrednictv´ım obsáhlé reˇserˇse, zˇ e deformovatelné modely jsou univerzáln´ı tˇr´ıdou algoritm˚u pro segmentaci lékaˇrských dat. Vybudovaná rekonstrukˇcn´ı schémata na takto zaloˇzené segmentaci jsou pouˇzitelná k mˇeˇren´ı objemu orgánu v bˇriˇsn´ı dutinˇe popsaných v kapitole 1 a ukázaných na Obrázku 1.1 z lékaˇrského atlasu. Nab´ız´ı se srovnán´ı s výsledkem rekonstrukce na Obrázku 7.1. Bohuˇzel metody nejsou stoprocentnˇe spolehlivé. Existuj´ı pˇr´ıpady poˇskozených obrazových dat, cˇ i obraz˚u pacient˚u, kteˇr´ı jsou nemocn´ı, nebo poranˇen´ı, proto na nich algoritmy vˇetˇsinou selhávaj´ı. Takové pˇr´ıpady si vyˇza´ daj´ı opakovaná mˇeˇren´ı, vˇetˇs´ı pozornost uˇzivatele a pˇripadnou manuáln´ı korekci. V pr˚ubˇehu zkoumán´ı deformovatelných model˚u a pˇri jejich implementaci bylo odkryto mnoho zaj´ımavých problém˚u, jejichˇz ˇreˇsen´ı by se mohlo stát tématem dalˇs´ıho výzkumu. Pˇredevˇs´ım model v algoritmu modelován´ı plochy by se dal

85

´ ER ˇ KAPITOLA 7. ZAV

86

Obrázek 7.1: Rekonstrukce orgán˚u bˇriˇsn´ı dutiny. Ledviny (zelené) a slezina (ˇcervená) odpov´ıdaj´ı tvar˚um na CT sn´ımc´ıch s vysokou pˇresnost´ı. Játra (modˇre) maj´ı sloˇzitˇejˇs´ı strukturu a na obrázku chyb´ı cˇ a´ st menˇs´ıho levého laloku. rozˇs´ıˇrit o dalˇs´ı funkcionály. Napˇr´ıklad podobnˇe, jako tomu bylo u B-Spline kˇrivek, by mohla být pˇridána energie, která pˇrinut´ı jednotlivé pláty plochy, aby mˇely stejnou velikost. Analogicky s B-Spline kˇrivkami to m˚uzˇ e vypadat následovnˇe. 2 area2 (V) du dv Eint = |N(u, v)| − (N × N)2 Bohuˇzel tomuto rozˇs´ıˇren´ı brán´ı pevná rigidn´ı válcová topologie plochy zdegenerovaná v pólech. Aby bylo moˇzné zachytit sloˇzitˇejˇs´ı topologii orgán˚u, mohla by se jednoduchá cˇ tvercová mˇr´ızˇ ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u plochy nahradit jiným systémem. Libovolnou topologii bychom mohli reprezentovat napˇr´ıklad trojúheln´ıkovou s´ıt´ı ˇr´ıd´ıc´ıch bod˚u. Zároveˇn bychom mohli klást i menˇs´ı poˇzadavky na poˇca´ teˇcn´ı polohu a tvar, pokud bychom do rekonstrukˇcn´ıho schématu zahrnuli adaptivn´ı dˇelen´ı (subdivision). Algoritmus postupné segmentace na druhou stranu pracuje pomˇernˇe spolehlivˇe a v´ıce lokálnˇe bez potˇreby najednou pˇristupovat k vˇetˇs´ı oblasti dat. Je tedy moˇzné uvaˇzovat o tom, jestli by se dala implementovat schémata segmentace pˇrizp˚usobená pro paraleln´ı poˇc´ıtán´ı na v´ıceprocesorových stroj´ıch a modern´ıch stroj´ıch s v´ıcejádrovými procesory. Paralelizaci si lze snadno pˇredstavit v pˇr´ıpadˇe algoritm˚u zaloˇzených na reprezentaci kˇrivek level-sety z kapitoly 4.5. V takové situaci se v´ıce výpoˇcetn´ıch jednotek pod´ıl´ı na vyhodnocen´ı jednoho kroku optimalizace. Existuj´ı implementace level-set˚u vyuˇz´ıvaj´ıc´ı výpoˇcetn´ı výkon GPU [20]. Z

2

Dodatek A Implementace Naˇse implementace zahrnuje oba algoritmy popsané v kapitole 5. Program je rozdˇelen na následuj´ıc´ı cˇ a´ sti 1. jádro obsahuj´ıc´ı kl´ıcˇ ové datové struktury a algoritmy (core) 2. uˇzivatelské rozhran´ı (gui) 3. rozhran´ı pro naˇc´ıtán´ı dat (readers). 4. rozhran´ı pro vizualizaci (vtk iface). 5. data v extern´ıch souborech obsahuj´ıc´ı parametry (config). Software byl napsán v jazyce C++ za pouˇzit´ı nˇekolika knihoven a extern´ıch nástroj˚u.

A.1

Reprezentace dat

Program pracuje s nˇekolika základn´ımi datovými typy, jako jsou TArray*, TVector, P*F pro uloˇzen´ı pol´ı a tˇr´ısloˇzkových vektor˚u. TMatrix se pouˇz´ıvá pro uloˇzen´ı pol´ı a velkých matic pro filtry a soustavy rovnic tak, aby se daly pouˇz´ıt v numerických algoritmech z knihy [33]. Pro implementaci transformaˇcn´ıch matic slouˇz´ı TTransformationMatrix a TVector4. Obrazová data m˚uzˇ eme reprezentovat mnoha zp˚usoby. Bud’ jako 2D rastrové mapy v TRasterData, nebo jako mnoˇziny obrazových element˚u reprezentuj´ıc´ı 2D tvar v P2IVect. K reprezentaci série sn´ımk˚u DICOM je urˇcen TDataSet. Mnoˇzinu voxel˚u m˚uzˇ eme uloˇzit bud’ po ˇrezech v TVoxelsSliceMap, a nebo jako seznam prostorových souˇradnic v TVoxelsVect. K uchován´ı sloˇzitˇejˇs´ıch objekt˚u jako jsou kˇrivky a plochy, slouˇz´ı TSurface, TBSpline a TContour.

87

DODATEK A. IMPLEMENTACE

A.2

88

Lékaˇrská data

K ukládán´ı lékaˇrských dat se pouˇz´ıvalo mnoho proprietárn´ıch formát˚u, vˇetˇsinou vázaných na spoleˇcnosti vyrábˇej´ıc´ı diagnostické pˇr´ıstroje. Nakonec zv´ıtˇezil univerzáln´ı formát DICOM (Digital Imaging and Communications in Medicine), který je výsledkem standardizaˇcn´ıho procesu severoamerické asociace výrobc˚u elektrických zaˇr´ızen´ı (NEMA) a radiologické spoleˇcnosti (ACR). Jedna jeho cˇ a´ st popisuje ukládán´ı obrazových dat z CT, MRI, nebo rentgenu. Trojrozmˇerná data z CT jsou ukládána po axiáln´ıch 2D ˇrezech. Kaˇzdý do samostatného souboru, vˇetˇsinou s koncovkou .dcm. Kaˇzdý soubor kromˇe obrazových dat obsahuje kompletn´ı paletu metainformac´ı o pacientovi, vyˇsetˇren´ı a popis sn´ımku. Práci s daty tohoto standardu implementuje multiplatformn´ı C++ knihovna DICOM Toolkit [16]. Pouˇz´ıváme j´ı v naˇs´ı implementaci zabalenou do modulu dcmReader. Kromˇe toho na testovac´ı, umˇelé obrázky ve formátu TGA pouˇz´ıváme tgaReader.

A.3

Uˇzivatelské rozhran´ı

Aˇckoliv byla u´ loha motivována praktickými potˇrebami doktora Horáka, nebylo c´ılem této práce implementovat uˇzivatelské rozhran´ı pouˇzitelné v praxi. Pˇresto vˇsak z d˚uvodu snadného mˇeˇren´ı, prezentace výsledk˚u a testován´ı bylo tˇreba vytvoˇrit minimáln´ı prostˇred´ı, které nám vˇsechny tyto operace umoˇzn´ı. Toto experimentáln´ı rozhran´ı je tvoˇreno mnoˇzstv´ım oken s ovládac´ımi prvky, které umoˇznˇ uj´ı nastavovat vstupn´ı parametry a spouˇstˇet r˚uzné cˇ a´ sti algoritm˚u modifikuj´ıc´ı intern´ı datové struktury. Výsledky se zobrazuj´ı ve formˇe 2D a 3D grafiky a textového výstupu. Nazvali jsme toto rozhran´ı segmentation a je zobrazeno na Obrázku A.1. Rozhran´ı je naprogramované s pouˇzit´ım multiplatformn´ıho toolkitu GTK [19], coˇz je knihovna pro vytváˇren´ı uˇzivatelského rozhran´ı s okénky a tlaˇc´ıtky. D´ıky tomu program, který byl vyv´ıjen na systému Linux, bˇezˇ´ı i v OS Windows. Na DVD pˇriloˇzeném k této práci je binárn´ı spustitelná verze tohoto rozhran´ı. V´ıce informac´ı je také moˇzné naj´ıt v uˇzivatelské pˇr´ıruˇcce na DVD. Pro praktické pouˇz´ıván´ı by bylo vhodné vytvoˇrit uˇzivatelské rozhran´ı, nebo rozˇs´ıˇren´ı, plugin, nˇekterého existuj´ıc´ıho nástroje. Zaj´ımavým vzorem m˚uzˇ e být program ITK-SNAP [23] urˇcený pro interaktivn´ı segmentaci lékaˇrských dat pomoc´ı deformovatelných model˚u.

A.4

Vizualizace

Na výstup jednoduchých 2D obraz˚u, napˇr´ıklad jednotlivých rˇez˚u CT dat, postaˇc´ı pixbuffer knihovny GTK, do kterého kresl´ıme prostˇrednictv´ım vlastn´ıch kresl´ıc´ıch rutin implementovaných v modulu RasterOp. K zobrazen´ı výsledk˚u rekonstrukce ve 3D pouˇz´ıváme knihovnu VTK (Visualization Toolkit) [26], [35]. Tato rozsáhlá knihovna je urˇcena právˇe pro vi-


89

Obrázek A.1: Laboratorn´ı rozhran´ı - segmentation zualizaci vˇedeckých dat. Nˇekteré obrázky v této práci jsou výstupem VTK. Rozhran´ı k VTK je implementováno v modulu vtk iface. Z VTK vyuˇz´ıváme hlavnˇe vtkMarchingCubes k vizualizaci objemových dat a také pˇr´ımé vykreslován´ı polygonáln´ıch dat vtkPolyData. V nˇekterých pˇr´ıpadech k zobrazen´ı jednorozmˇerných, nebo i dvourozmˇerných dat bohatˇe poslouˇz´ı program gnuplot [18]. Pouˇz´ıváme ho napˇr´ıklad ke sledován´ı hodnot konvergenˇcn´ıch kritéri´ı v pr˚ubˇehu algoritm˚u, nebo k prohl´ızˇ en´ı histogram˚u.

A.5

Paralelizace

Dnes bˇezˇ nˇe dostupné v´ıcejádrové procesory dovoluj´ı urychlit výpoˇcet algoritm˚u, které se povede rozb´ıt do oddˇelených vláken a minimalizovat reˇzii spojenou s jejich synchronizac´ı a vzájemnou komunikac´ı. O rozloˇzen´ı zátˇezˇ e mezi jádra se pak staraj´ı plánovac´ı algoritmy operaˇcn´ıho systému. D˚uleˇzitým pˇredpokladem je právˇe moˇznost nechat algoritmus pracovat na oddˇelených cˇ a´ stech dat bez potˇreby si vymˇenˇ ovat aktuáln´ı informace. Naˇse schéma postupné segmentace ˇrez˚u je pro tyto u´ cˇ ely témˇeˇr ideáln´ı. M˚uzˇ eme


40

90

paralelní verze WinXP x64 seriová verze WinXP x64

35 30 čas (s)

25 20 15 10 5 0 1

2

3

4

5

6 7 8 pacient

9 10 11 12

Obrázek A.2: Srovnán´ı rychlost´ı paraleln´ı a sériové verze algoritmu postupné segmentace ˇrez˚u na testovac´ı mnoˇzinˇe pacient˚u. algoritmus rozdˇelit na dva nezávislé bˇehy, kaˇzdý postupuj´ıc´ı z jednoho pólu. Kaˇzdý z tˇechto bˇeh˚u vykonává samostatné, takzvané ”pracovn´ı”, vlákno. Kdyˇz se bˇehy dostanou pˇri propagaci v ˇrezech bl´ızko k sobˇe, vlákna se ukonˇc´ı a pokraˇcuje algoritmus podle p˚uvodn´ıho sériového schématu stˇr´ıdán´ım bˇeh˚u. Pˇredpokládáme, zˇ e je systém k vlákn˚um spravedlivý a pˇridˇeluje jim cˇ as rovnomˇernˇe. Pak by mˇel být výsledek algoritmu témˇeˇr totoˇzný jako v sériové verzi, protoˇze oba bˇehy jdou ke stˇredu stejnˇe rychle jako pˇri sériovém stˇr´ıdán´ı. Paraleln´ı verzi jsme otestovali v OS Windows XP x64 na poˇc´ıtaˇci s procesorem AMD Athlon 64 X2 Dual Core 3800+ na 2,01GHz a s 4GB RAM. Program byl zkompilován v MS Visual Studiu 8.0 s plnou optimalizac´ı (-Ox). Optimalizace a pouˇzit´ı ostrých verz´ı run-time knihoven má obzvlásˇt’ velký význam. Bez nich by byl paraleln´ı algoritmus dokonce dvakrát pomalejˇs´ı neˇz ekvivalentn´ı sériová verze. Graf na Obrázku A.2 ukazuje rozd´ıl rychlost´ı paraleln´ı a sériové verze algoritmu na testovac´ı mnoˇzinˇe pacient˚u. Pr˚umˇerné zrychlen´ı se pohybuje okolo 55,5%. Testován´ı na OS Windows nám poskytlo pˇr´ıleˇzitost srovnán´ı výkonu algoritm˚u na r˚uzných operaˇcn´ıch systémech. Porovnali jsme sériové verze algoritmu z OS Windows a OS Linux na stejném stroji. Graf 1 na Obrázku A.3 ukazuje výrazný rozd´ıl v kaˇzdém testovac´ım pˇr´ıpadˇe. Linuxová verze byla pˇreloˇzena v gcc 4.1 s maximáln´ı optimalizac´ı na rychlost (-O3). Aniˇz bychom chtˇeli cˇ init nˇejaké radikáln´ı závˇery, naˇse testy ukazuj´ı, zˇ e algoritmus je pod OS Windows v pr˚umˇeru o 24,9% pomalejˇs´ı. Paraleln´ı algoritmus je na v´ıcejádrovém poˇc´ıtaˇci rychlejˇs´ı. Jak se chová na jed-

DODATEK A. IMPLEMENTACE 40

91

seriová verze Linux seriová verze WinXP x64

35

paralelní verze Win2000 seriová verze Win2000

50

30

40 čas (s)

čas (s)

25 20 15

30 20

10 10 5 0

0 1

2

3

4

5

6 7 8 pacient

9 10 11 12

1

2

3

4

5

6 7 8 pacient

9 10 11 12

Obrázek A.3: Srovnán´ı rychlost´ı sériové verze algoritmu postupné segmentace podle operaˇcn´ıho systému (vlevo). Srovnán´ı rychlost´ı sériové a paraleln´ı verze algoritmu na jednojádrovém stroji (vpravo). nojádrovém stroji AMD Athlon XP 2600+, ukazuje, pro zaj´ımavost, Graf 2 na Obrázku A.3. Rozd´ıly jsou neznatelné, pr˚umˇernˇe v ˇra´ du 1% v neprospˇech paraleln´ı verze. Z toho se dá vyvodit, zˇ e nasazen´ı verze optimalizované pro modern´ı procesory do výsledného produktu v tomto pˇr´ıpadˇe nezp˚usob´ı výrazné zhorˇsen´ı výkonu na starˇs´ıch poˇc´ıtaˇc´ıch.

Dodatek B Obsah DVD src\ Obsahuje zdrojové kódy aplikace core\ Jádro implementace. Kl´ıcˇ ové algoritmy a datové struktury. gui\ Uˇzivatelské rozhran´ı. dcmReader\, tgaReader\ Naˇc´ıtán´ı soubor˚u TGA a DCM. win\ Projekt pro MSVC 8.0. vtkgtk\ Rozhran´ı pro VTK. makefile Projekt pro linux a gcc 4.1. data\ Anonymizovaná testovac´ı data dvanácti pacient˚u ve formátu DICOM. patient01\, . . ., patient12\ doc\ Text diplomové práce, programátorská (doxygen) a uˇzivatelská dokumentace. lib\ Knihovny tˇret´ıch stran nutné k pˇreloˇzen´ı a spuˇstˇen´ı projektu. Pˇredevˇs´ım knihovny GTK, VTK a DCMTK. bin\ Pˇreloˇzený projekt a binárn´ı verze knihoven. README.txt Obsahuje popis obsahu a jiné aktuáln´ı informace.

92

Literatura [1] D. Adalsteinsson and J. Sethian. A fast level set method for propagating interfaces, 1995. [2] Eric Bardinet, Laurent D. Cohen, and Nicholas Ayache. A parametric deformable model to fit unstructured 3D data. Computer Vision and Image Understanding: CVIU, 71(1):39–54, 1998. [3] Andrew Blake and M. Isard. Active Contours: The Application of Techniques from Graphics,Vision,Control Theory and Statistics to Visual Tracking of Shapes in Motion. Springer-Verlag New York, Inc., Secaucus, NJ, USA, 1998. [4] P. Brigger, J. Hoeg, and M. Unser. B-Spline snakes: A flexible tool for parametric contour detection. IEEE Transactions on Image Processing, 9(9):1484– 1496, September 2000. [5] Pavel Campr. Z´ıskáván´ı 3D modelu lidských tkán´ı z obrazových dat CT. Masˇ Plzeˇn, 2005. ter’s thesis, ZCU, [6] Vincent Caselles, Ron Kimmel, and Guillermo Sapiro. Geodesic active contours. In ICCV, pages 694–699, 1995. [7] Václav Kraj´ıcˇ ek, Josef Pelikán, and Martin Horák. Measuring and segmentation in CT data using deformable models. WSCG, 15:149, 2007. [8] T. Chan and L. Vese. Active contours without edges. IEEE Trans. Image Processing, 10(2):266–277, 2001. [9] R. Chung and K-K. Ho. Using 2D active contour models for 3D reconstruction from serial sections. icpr, 01:849, 1996. [10] L. D. Cohen. On active contour models and balloons. Computer Vision, Graphics, and Image Processing. Image Understanding, 53(2):211–218, 1991. [11] L.D. Cohen and I. Cohen. Finite-element methods for active contour models and balloons for 2-D and 3-D images. PAMI, 15(11):1131–1147, November 1993. [12] T. Cootes and C. Taylor. Active shape models - Smart Snakes, 1992.

93

LITERATURA

94

[13] T. F. Cootes, G. J. Edwards, and C. J. Taylor. Active appearance models. Lecture Notes in Computer Science, 1407:484–??, 1998. [14] T. F. Cootes, C. J. Taylor, D. H. Cooper, and J. Graham. Training models of shape from sets of examples. In Proc. British Machine Vision Conference, pages 266–275, Berlin, 1992. Springer. [15] Timothy F. Cootes, A. Hill, Christopher J. Taylor, and J. Haslam. The use of active shape models for locating structures in medical images. In IPMI, pages 33–47, 1993. [16] DCMTK. DCMTK - DICOM Toolkit. http://dicom.offis.de/, 2007. [17] Molly M. Dickens, Shaun S. Gleason, and Hamed Sari-Sarraf. Volumetric segmentation via 3D active shape models. In SSIAI, pages 248–, 2002. [18] Gnuplot. Gnuplot homepage. http://www.gnuplot.info/, May 2006. [19] GTK. GTK - Gimp Toolkit. http://www.gtk.org/, 2007. [20] Markus Hadwiger, Caroline Langer, Henning Scharsach, and Katja Buhler. State of the art report 2004 on GPU-based segmentation, 2004. [21] Y. Hicks. Automatic landmarking for building biological shape models, 2002. [22] A. Hill, A. Thornham, and C. Taylor. Model-based interpretation of 3D medical images, 1992. [23] ITK-SNAP. ITK-SNAP: Software tool for interactive segmentation. http: //www.itksnap.org/, 2007. [24] Mathews Jacob, Thierry Blu, and Michael Unser. Efficient energies and algorithms for parametric snakes. IEEE Transactions on Image Processing, 13(9):1231–1244, 2004. [25] M. Kass, A. Witkin, and D. Terzopoulos. Snakes: Active contour models. International Journal of Computer Vision, 1(4):321–331, 1988. [26] Kitware Inc. VTK Home Page. http://public.kitware.com/VTK/, 2007. [27] Sarang Lakare. 3D Segmentation Techniques for Medical Volumes, 2000. [28] Ravi Malladi, James A. Sethian, and Baba C. Vemuri. Shape modeling with front propagation: A level set approach. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 17(2):158–175, 1995. [29] T. McInerney and D. Terzopoulos. A finite element model for 3D shape reconstruction and nonrigid motion tracking. In Proc. Fourth International Conf. on Computer Vision (ICCV’93), Berlin, Germany, 1993.

LITERATURA

95

[30] Tim McInerney and Demetri Terzopoulos. Topologically adaptable snakes. In ICCV, pages 840–845, 1995. [31] D.L. Pham, C. Xu, and J.L. Prince. A survey of current methods in medical image segmentation, 1998. [32] R. Pohle and K. Toennies. Segmentation of medical images using adaptive region growing, 2001. [33] William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, and Brian P. Flannery. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, New York, NY, USA, 1992. [34] Jana Prochazkova. Derivative of B-Spline function. In 25th Conference on Geometry and Graphics, Czech, 2005. [35] Will Schroeder, Ken Martin, and Bill Lorensen. The Visualization Toolkit, 4th Edition. Kitware Inc., 2006. [36] J. Sethian. A fast marching level set method for monotonically advancing fronts. In Proc. Nat. Acad. Sci., volume 93, pages 1591–1595, 1996. [37] M. Sezgin and B. Sankur. Survey over image thresholding techniques and quantitative performance evaluation, 2004. ˇ [38] Milan Sonka, Václav Hlávácˇ , and Roger Boyle. Image Processing, Analysis, and Machine Vision. International Thomson Publishing, 2002. [39] Andy Tsai, Anthony Yezzi, William Wells, Clare Tempany, Dewey Tucker, Ayres Fan, Eric Grimson, and Alan Willsky. A shape-based approach to the segmentation of medical imagery using level sets, 2003. [40] Chenyang Xu and Jerry L. Prince. ”Snakes - Active Contour Models” Citations. http://iacl.ece.jhu.edu/projects/gvf/gvf_cite/snake_cite_ citation.html, 2005.

Měření objemu v 3D datech UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍ FAKULTA

Recommend Documents