Brenyó Mihály Pontszerző Matematikaverseny Megyei döntő – 2015. február 14.
Megoldások – 4. osztály 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől, hogy a négyzet alakú mezőkbe számjegyeket kell írni (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9). A sorok előtt, illetve az oszlopok fölött látható számok a sorban illetve oszlopban szereplő számjegyek összegét mutatják. Egy sorba vagy oszlopba több helyre is bekerülhet ugyanaz a számjegy. Néhány mezőt üresen hagytunk. Írj a mezőkbe számjegyeket úgy, hogy valamennyi megadott összeg helyes legyen! Add meg az összes megoldást!
25
25
25
2
2
7
7
7
2 25
4
3
3
2 5
25
6
3 3
4
4 2
1
Megoldás: Három lehetséges megoldás van.
25
7
25
25
2
2 7
4
7
2 25
4
3
3
7
2
25
6
7
3
8
4
4
2
25
25
2
2 7
3
7
25
6
7
3
8
2
4
3
8
4
6
4
3
2
25
25
2
2 7
2
7
2 3
3
9
2
7 5
5 25
8 5
2 25
1 3
4 25
4
3
2 25
9 5
3 25
0
3
8 3
4
4 2
Minden jó megoldás 3 pont. Ha egy megoldásban van hiba, akkor az 0 pont. Így maximum: 3×3 pont, azaz
2
Összesen: 9 pont
2. Az alábbi ábrán látható számtábla bal felső négyzetéből indulva jobbra vagy lefelé lépegetve juss el az alsó sor jobbszélére úgy, hogy a 9 négyzetben lévő számok összege 22 legyen! Keresd meg az összes megoldást! Mennyi lehet jobbra vagy lefelé lépegetve a legnagyobb és a legkisebb összeg?
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
1
1
1
Megoldás: 1
1 2
2
2
2
2
3
1
1
1
1
legkisebb 15
1
1
1
2 3
1 2
3
3
4
4
4
5
5
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
5
5
4 5
5
legnagyobb 35
Minden jó megoldás 2 pont. Ha egy megoldásban van hiba, akkor az 0 pont. Így maximum: 5×2 pont, azaz Összesen: 10 pont
3. Három különböző színű dobókockával egyszerre dobunk. Hányféleképpen dobhatunk 9-et, ha a kockán felül lévő pöttyöket adjuk össze? Válaszod indokold! Megoldás: Legyen a három kocka piros, zöld és fehér. A megfelelő pöttyhármasokat írjuk az alábbi táblázatba. Piros 6 6 2 2 1 1 5 5 3 3 1 1 5 2 2 4 4 3 3 2 2 4 4 1 3 Fehér 2 1 6 1 6 2 3 1 5 1 5 3 2 5 2 3 2 4 2 4 3 4 1 4 3 Zöld 1 2 1 6 2 6 1 3 1 5 3 5 2 2 5 2 3 2 4 3 4 1 4 4 3 A különböző tagú összegek 1-1 pontot, az egynél több lehetőségek hibátlan megadása újabb 11 pont, ami 6 + 5. 11 pont Több lehetőség nincs, így huszonöt féleképpen dobhatunk 9-et 1 pont Összesen: 12 pont
3
4. Négy számkártyára leírtuk a tavalyi évszám számjegyeit, a 2-öt, a 0-át, az 1-et és a 4-et. A négy számkártyából hármat egymásmellé téve rakjunk ki, majd írjuk le a kapott háromjegyű számokat. (A háromjegyű szám 0-val nem kezdődhet.)
a) Írd le az összes ilyen háromjegyű számot! b) Az így kapott háromjegyű számokból válassz ki legalább hatot úgy, hogy a kiválasztott számok összege 2015 legyen! Keress több megoldást! Megoldás: a) A keresett háromjegyű számok: 421; 412; 241; 214; 142; 124, 2 pont 420; 402; 240; 204, 2 pont 410; 401; 140; 104, 1 pont 210; 201; 120; 102. 1 pont b) A megfelelő összegek közül három: 420+421+401+412+241+120=2015, 402+410+401+420+142+140=2015, 420+421+402+412+240+120=2015. A különböző tagú összegek 1-1 pontot. Összesen: 6 +… pont
5. Logikai feladat: A következő stratégiai játékban két kupacban kavicsok vannak. Két játékos felváltva vesz el a kupacokból kavicsokat az alábbi szabályok szerint. A szabályok: - A két játékos felváltva vesz el kavicsokat, mégpedig egy kupacból egyet vagy kettőt. - Egy lépés során a játékos csak egy kupacból vehet el kavicsot. - Az nyer, aki az utolsó kavicsot vagy kavicsokat elveszi.
A feladat Két kupacban 4 és 1 kavics van. Anna és Béla játszik. Anna kezd. Biztosan tudjuk, hogy Béla fog nyerni, ha feltételezzük, hogy mindkét játékos tökéletesen játszik és nyerni akar. Igazold, hogy Anna valóban nem nyerhet! Vizsgáld meg Anna minden kezdési lehetőségét, és Béla válaszlépését! Add meg a játék lehetséges befejezésének leírását!
Megoldás: Béla fog nyerni. Összesen háromféle kezdési lehetősége van Annának. 1. kupac (kavicsok száma)
2. kupac (kavicsok száma)
4 3 3 2 vagy 1 0
1 1 0 0 0
Lépés Anna elvesz az 1. kupacból 1 kavicsot Béla elveszi a 2. kupacot (1 kavics) Anna elvesz az 1. kupacból 1 vagy 2 kavicsot Béla elveszi az 1. kupacot (2 vagy 1 kavics) Béla nyert
4
1. kupac (kavicsok száma)
2. kupac (kavicsok száma)
4 2 1 0 vagy 1 0
1 1 1 1 vagy 0 0
1. kupac (kavicsok száma)
2. kupac (kavicsok száma)
4 4 3 2 vagy 1 0
1 0 0 0 0
Lépés Anna elvesz az 1. kupacból 2 kavicsot Béla elvesz az 1. kupacból 1 kavicsot Anna elveszi az 1. vagy 2. kupacot (1 kavics) Béla elveszi a 2. vagy 1. kupacot (1 kavics) Béla nyert
Lépés Anna elveszi a 2. kupacot (1 kavics) Béla elvesz az 1. kupacból 1 kavicsot
Anna elvesz az 1. kupacból 1 vagy 2 kavicsot Béla elveszi az 1. kupacot (2 vagy 1 kavics) Béla nyert
Minden táblázat első négy sora 1-1 pont. Ha egy megoldásban van hiba, akkor az 0 pont. Így: 3×4 pont, azaz Összesen: 12 pont
5
