Megoldási útmutató Elektrosztatika 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Meghatározzuk az E1 és E2 térerősség-vektorok nagyságát külön-külön (függetlenségi Q elv) az E i = k 2i képlet alapján, és berajzoljuk a megadott pontokba. Mivel mindkét ri pontban két ellentétes irányú vektor van, az eredő térerősség a két térerősség különbsége. (mivel a két pont Q2-től különböző távolságra van, az eredő térerősség is más a két pontban!) Q Meghatározzuk a pont távolságát a töltésektől, majd az E i = k 2i képlet alapján ri külön-külön a térerősségeket. Berajzoljuk a két térerősség-vektort az ábrába, és paralelogramma módszerrel összeadjuk őket. Mivel a nagyságuk azonos, az eredő párhuzamos lesz a töltéseket összekötő szakasszal. Az erdő térerősség nagyságát pl. koszinusz-tétellel számíthatjuk ki. Mivel Q2 < Q1 , ez a pont a töltéseket összekötő egyenesen, Q2-n kívül található. Itt ugyanis a két térerősség ellentétes irányú, és a nagyságuk csak itt lehet egyenlő. A térerősségek egyenlőségéből meghatározható a pontnak valamelyik töltéstől mért távolsága. Az adott helyeken felveszünk egy-egy gömböt, és alkalmazzuk rá a Gauss-tételt. A gáztárolón belül a térerősség zérus, a gáztárolón kívül pedig olyan, mintha az összes töltés a középpontjában lenne. Q A potenciálokat az U = ∫ Edr formula alapján az U = k képlettel számíthatjuk ki a r gömbön kívüli pontokban. A gáztárolón belül a potenciál állandó, és a felszín potenciáljával egyezik meg. Mivel a potenciál előjeles skalár mennyiség, a függetlenségi elv alapján a potenciálok Q Q összeadódnak: U = k 1 + k 2 . Ebből Q2 kiszámítható r1 r2 A megosztás miatt a gömbhéj belső felületén – Q, külső felületén + Q töltés lesz. A Gauss-tételt alkalmazva E1, E2, E3 térerősségek kiszámíthatók. E E1 E2 E3
r1
r2
r3
r
A potenciálokat a térerősség távolság szerinti integráljával kapjuk. A fémen belül a konstans.
U U1
U2
r1
r2
r
r3
E E1
Ha a gömbhéjat leföldeljük, akkor a megosztó töltéssel E2 egynemű töltések semlegesítődnek, így gömbhéj belső felületén – Q töltés lesz, a külső felületén pedig nem r r r lesz töltés. A gömbhéj r1 2 3 belső felületén kívül emiatt a térerősség zérus. A fémgömb belsejében is nulla a térerősség. A gömb és gömbhéj között ugyanúgy U változik, mint a földeletlen esetben.
r1 7.
r2
r3
r
A megosztás miatt a fémlap Q töltés felőli oldala pozitív töltésű lesz. A fémlapon azonban a töltés nem egyenletesen oszlik el. A E megadott körön a térerősség a –Q fém felületére merőlegesen kifelé mutat, és a tükörtöltés E2 E1 segítségével határozható meg. + + + + ++ +++ ++ + + + + E1és E2 a pontszerű töltés - - - - -- --- -- - - - térerőssége képletével számítható. +Q
tükörtöltés
8.
A lemez széleinél, csúcsinál fellépő csúcshatástól el kell tekintenünk, egyenletes töltéseloszlást tételezünk fel. Ha a lemezt egy vele párhuzamos oldallapú keskeny téglatesttel vesszük körül, akkor a két oldallapján lépnek ki merőlegesen erővonalak. Q Q A Gauss-tétel alapján 2 EA = , amiből a töltés ε0 A kiszámítható.
9.
Egy dλ hosszúságú töltésszakasz dE = k E α r
10.
11.
12.
13.
R
λ
λ cosαdl , a kör síkjára merőleges irányú R2 térerősséget létesít a megadott pontokban. A kör síkjával párhuzamos komponensek az integráláskor kioltják egymást. A körvezető kerületére elvégezzük az integrálást, és megkapjuk a keresett térerősséget. λ A potenciál skalár mennyiség, ezért dU = k dl . R A kör kerületére elvégezve az integrálást, megkapjuk a potenciált.
Vegyük körül a vezetőt egy r sugarú hengerrel, amelynek a vezető a hossztengelye. Az erővonalak a henger palástra merőlegesen mennek. A Gauss-tételt alkalmazva megkapjuk a vezetőtől r távolságra a térerősséget. Mivel mindkét test negatív töltésű, taszítják egymást. A villamos térerősség értelmező egyenletéből az elektronra ható erő, Newton II. törvényéből pedig a kezdeti gyorsulás kiszámítható. A sebesség kiszámításához először a két pont potenciálkülönbségét kell kiszámítani. A munkatétel alapján a feszültség által végzett villamos munka egyenlő az elektron mozgási energiájának megváltozásával. Q Az elektromos vonzóerő: Fel = k 2 R mm A gravitációs vonzóerő: Fgrav = γ 1 2 2 R A két erőt egymással elosztva a távolság kiesik, és megkapjuk a keresett arányt. Az adatok táblázatból (pl.: Négyjegyű függvénytáblázat) kikereshetők. A körpályán tartáshoz szükséges centripetális erő egyenlő az elektromos vonzóerővel. Az elektron potenciális energiáját megkapjuk, ha a pontszerűnek tekintett protontól R távolságban meghatározzuk a potenciált, majd ezt megszorozzuk az elektron töltésével. (Ez egy negatív energia, ami a kötött állapotot fejezi ki.) A földelt lemez a megosztás miatt a másik lemez töltésével egyenlő nagyságú, de ellentétes töltésű lesz. A töltések a vonzóerő miatt a lemezek belső felületén Q σ helyezkednek el. σ = − A térerősség E = konstans. A ε A potenciál a földeletlen lemezen kívül zérus, a lemezek között lineárisan növekvő ( U = Ed ) a lemezen kívül konstans. Vegyük körül a kötelet egy koaxiális hengerrel, és alkalmazzuk a Gauss-tételt: Q Ebből E meghatározható. E 2 πrl = ε0 E r szerinti integrálja r1 r2 határok között megadja a feszültséget.
14.
15.
16. 17.
18.
19.
20.
A Coulomb-törvényből kiszámíthatjuk a kezdeti vonzóerő nagyságát, és ezzel Newton II. törvénye alapján számítható a kezdeti gyorsulás. r2 1 U = kQ ∫ 2 dr képletből megkapjuk a két pont közötti feszültséget, amiből r r1 kiszámíthatjuk a végzett munkát, majd a munkatételből az elért sebességet (A testen végzett munka egyenlő a mozgási energiája megváltozásával.) Egyensúlyi helyzetben a gyűrűre ható eredő erő a körívre merőleges, tehát sugár irányú lesz. A erők felírhatók Coulomb-törvénnyel: F Q tgα = 2 F1 α R1 Az egyenlő szárú háromszög R2 R α szögfelezőjét meghúzva tgα = 2 R1 Q2 Q1 Ebből a két egyenletből a távolságok aránya kifejezhető a töltésekkel, majd kiszámítható a keresett szög. A geometriai adatokból kiszámítható a töltések távolsága. A vízszintes Coulomb-erő és a függőleges nehézségi erő eredőjének fonalirányúnak kell lennie. Ebből a feltételből a töltés meghatározható. A töltés-szétválasztás addig tart, amíg az indukált térerősség a külső térerősséggel egyenlő nem lesz, mert ekkor lesz a fém Ekülső belsejében a villamos térerősség nulla. Q = EAε 0 Eindukált –Q +Q
Az alufóliát félbe kell vágni, rátenni egy azonos méretű műanyag fóliát, másik alufóliát, másik műanyag fóliát, majd feltekerni. Az így készített kondenzátor fegyverzeteinek mindkét oldala hasznos a töltéstárolás szempontjából. A A kapacitás: C = ε 0 ε r d A tárolt töltés: Q=CU 1 A tárolt energia: W = CU 2 2 A U C = ε 0 , Q=CU, a lemezek közötti térerősség E = d d Ha beteszünk egy fémlemezt a generátorról leválasztott kondenzátorba, akkor az eredetileg töltött lemezek töltése változatlan marad, a betett lemezben pedig megosztás jön létre. A szigetelőben a térerősség változatlan marad. d−x , a szélső lemezek között A keletkezett 2 részkondenzátor feszültsége: U x = E 2 pedig Uy=2Ux. A térerősség kívül és a lemezekben nulla, a szigetelőben pedig konstans. Ebben az esetben a generátor állandó feszültséget biztosít, és ezért a lemezek töltése, valamint a lemezek közötti villamos térerősség változik. Kiszámítjuk a két sorba kapcsolt kondenzátor eredő kapacitását a geometriai adatokból, majd meghatározzuk a
21.
22. 23.
24.
25.
26.
27.
tárolt töltést. A sorba kapcsolt kondenzátorok lemezein a megosztás miatt a töltés azonos, tehát ennyi az indukált töltés is. Ez a rendszer 3 sorba kapcsolt kondenzátornak tekinthető a szigetelő lap betétele után. A generátor állandó feszültséget biztosít. Kiszámítjuk a 3 sorba kapcsolt kondenzátor eredő kapacitását a geometriai adatokból, majd meghatározzuk a tárolt töltést. A sorba kapcsolt kondenzátorok lemezein a töltés azonos, tehát ennyi a polarizációs töltés is. A földelt henger belső felületén – Q1 töltés lesz. A Gauss-tételt alkalmazva megkapjuk a villamos térerősséget a távolság függvényében. Ennek integrálja adja a hengerkondenzátor feszültségét. A hengerkondenzátor kapacitását az előző feladat alapján levezethetjük, vagy 2πε ⋅ l alkalmazhatjuk a C = képletet, majd a kapacitás értelmező egyenletéből r2 ln r1 megkapjuk a tárolt töltést. A párhuzamosan kötött kondenzátorok (C1, C2) kapacitása összeadódik, Ezek eredőjével van sorba kötve C3. Az erdő kapacitás C = C12 × C 3 . A sorba kapcsolt kondenzátorok töltése állandó: Q = Q 3 = CU . Ezzel a töltéssel U3 kiszámítható. A párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok feszültsége közös, és kiszámítható a huroktörvényből, vagy az erdő kapacitásuk (C12) és Q segítségével. Töltéseiket a feszültség és a saját kapacitás határozza meg. 1 A tárolt energiákat a Wi = C i U i2 képlettel számíthatjuk. 2 Két-két kondenzátor, C1és C3 valamint C2 és C4 párhuzamosan vannak kapcsolva, ezek eredői pedig soros kapcsolásúak. Az eredő kapacitásból és a generátor feszültségéből kiszámítható C1és C3, illetve C2 és C4 össztöltése (soros kondenzátorok töltése közös): Q = Q13 = Q 24 = CU A párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok közös feszültsége a töltésük és eredő Q kapacitásuk ismeretében kiszámítható: U13 = 13 . A feszültség és kapacitás C13 ismeretében a kondenzátor töltése határozható meg: Q1 = C1 U 13 1 A tárolt energiákat a Wi = C i U i2 képlettel számíthatjuk. 2 Egy csúcspontban levő töltésre a másik 3 töltés átló irányú taszító eredő erőt fejt ki. Az erőket egyenként kiszámítjuk, majd vektoriálisan összegezzük. A centrumba helyezett töltésnek negatívnak kell lennie, hogy ezt az eredő erőt kiegyensúlyozza. Az erők egyensúlyából a töltés kiszámítható. Az eredetileg nyugvó részecske a taszítás miatt gyorsulni kezd, a kezdetben mozgó pedig fékeződni (lassulni). Addig közelednek egymáshoz, amíg a sebességük közös nem lesz, ezután már távolodnak egymástól. Ez egy zárt mechanikai rendszer, tehát érvényes a lendület-megmaradás tétel: mv0=2mvk. Ebből a közös sebesség kiszámítható. Megmarad a rendszer összes energiája is, ami kezdetben a mozgó részecske mozgási energiája, ami átalakul a két részecske mozgási energiájává és az egymáshoz 1 1 Q2 2 2 viszonyított potenciális energiává: mv 0 = 2 mv k + k . Ebből r kiszámítható. 2 2 r
28.
29.
30.
31.
32.
33.
A . A generátor állandó feszültséget d 1 U biztosít. A térerősség: E = , a tárolt energia: W = CU 2 . d 2 A A A szigetelő berakása előtt a kapacitás C 0 = ε 0 , utána a kapacitás: C = ε 0 ε r . d d Q A tárolt töltés: Q=C0U0, a lemezek közötti villamos térerősség pedig E = A . Mivel a ε0 kondenzátort a generátorról leválasztottuk, a töltés és a villamos térerősség állandó. A Q 1 feszültség így U = , a tárolt energia: W = CU 2 . C 2 Kiszámítjuk a Q=CU képlettel a kondenzátorok eredeti töltéseit. A párhuzamos kapcsolás miatt az eredő kapacitás a részkapacitások összege. Az erdő kapacitáson jelenik meg az összes töltés. Ebből a közös feszültség kiszámítható. A geometriai méretekből kiszámíthatjuk a kondenzátor kapacitását. W W A tárolt energia W=0,5CU2 . Az energiasűrűség: w = = V Ad Az energiasűrűség kifejezhető a térerősséggel és a dielektromos eltolással: 1 1 w = ED = D 2 . Ebből kiszámítható a dielektromos eltolás, melynek nagysága a 2 2ε 0 határfelületen megegyezik a felületi töltéssűrűséggel. A gyorsító feszültség által végzett villamos munka egyenlő az elektron mozgási energiájának megváltozásával: 1 - - - - l- - - - - U gy e = m e v 2 Ebből az elektron 2 v sebessége (v) kiszámítható. v A lemezekkel párhuzamos irányú α sebessége állandó, ezért v és az l +++++++ hosszúság ismeretében kiszámítható a vy l repülési idő: t = , majd az y irányú v Ee Ee l sebesség: v y = at = t= me me v vy Az eltérülés szöge az ábra alapján kiszámítható ( tgα = v Egyenáramú hálózatok
A szigetelő berakása után a kapacitás: C = ε 0 ε r
Átrajzolás után azt kapjuk, hogy a 2 kΩ, 3 kΩ és 4 kΩ ellenállások párhuzamosan vannak kötve, ezek eredőjével pedig az 1 kΩ-os 1 kΩ 2 kΩ ellenállás sorba van kapcsolva. Az eredő ellenállás kiszámítása után az Ohmtörvényből kiszámíthatjuk a generátor áramát, majd a 3 kΩ 12 V P=UI képletből a teljesítményét is. U2=IR234. 4 kΩ U2 Az ellenálláson fejlődő hőmennyiség: Q 2 = 2 t R2
34.
35.
36.
37. 38.
39.
Egy generátor leadott teljesítménye akkor maximális, ha a belső ellenállása egyenlő a terhelő ellenállással (illesztés). A párhuzamosan kötött ellenállások eredőjének képletéből tehát az egyik ellenállás és az eredő ismert, a másik kiszámítható. U A generátor árama ekkor I = , a hasznos teljesítmény pedig P=I2Rb. 2R b A terhelt potenciométernél az 500 Ω-os ellenállással párhuzamosan kapcsolódik a poti adott százalékú ellenállása. Ezek eredője sorba kapcsolódik a apoti maradék részével és a 100 Ω-os ellenállással. Az áramot a 24 V-os feszültségből é az eredő ellenállásból Ohm törvénye alapján számíthatjuk. A kimeneti feszültség az áram és a párhuzamos ellenállások eredőjének szorzataként számítható. A 400 Ω-os, 500 Ω-os és 200 Ω-os ellenállások párhuzamosan kapcsolódnak, és ezek eredőjével sorba kapcsolódik a 100 Ω-os ellenállás. A generátor feszültségéből és az eredő ellenállásból számítható a generátor árama és teljesítménye. Az áram, és a párhuzamos ellenállások eredőjének szorzata megadja a 200 Ω-os ellenállás feszültségét (párhuzamos kapcsolásnál a feszültség közös!). Ebből az árama és a teljesítménye meghatározható. U2 A meleg ellenállás R t = . Az R t = R 0 (1 + αΔt) összefüggésbél a P hőmérsékletkülönbség, ebből pedig az izzás hőmérséklete kiszámítható. A szobahőmérsékletű ellenállást az előző feladathoz hasonlóan határozhatjuk meg. l Ezután az R 20 = ρ képletből számíthatjuk a keresztmetszetet. A l U A vezeték ellenállása: R = ρ . Az áramerősség: I = A R A vezeték térfogata: V=Al. A vezeték tömege: m = ρ m V m A rézatomok és a szabad elektronok száma: N = NA M Ne A szabad elektronok töltéssűrűsége: ρ Q = V 3 1 Az ekvipartició tétel alapján: kT = m e v T2 , és ebből a termikus sebesség 2 2 kiszámítható. Ne Az áramerősség a driftsebességgel felírva: I = v D , melyből a driftsebesség l meghatározható. Ee Ue Az elektromos tér két ütközés között gyorsítja a szabad elektronokat : a = . = m e lm e A gyorsítási idő a szabad úthosszból és a termikus sebességből számítható, mert a λ termikus sebesség sokkal nagyobb a driftsebességnél: t = vT Ütközéskor az elektronok leadják az energiájukat, így az átlagos driftsebesség: at vD = 2
t
40.
U − τ=RC. I C = e τ R Kondenzátor feszültsége és árama 25 20 240 mA 15
Uc [V] i [mA]
10 5 t[us]
0 0 −
50
100
150
200
250
t
U C = U(1 − e τ )
Statikus mágneses tér 41.
42.
A gyorsító feszültség munkája mozgási energiává alakul: Ue=0.5mv2 . A mágneses térben az elektronra a mágneses Lorentz-erő hat, ami a körpályán maradáshoz szükséges centripetális erőt biztosítja: evB=mv2/r Mindkét összefüggésben a fajlagos töltés (e/m) szerepel. Mivel a Lorentz-erő merőleges a sebességre, csak a mozgás irányát változtatja meg, de nem változtatja meg a sebesség nagyságát. Az egyenletes körmozgás sebességének és sugarának ismeretében a periódusidő és a fordulatszám kiszámítható. Természetesen a feladat csak a mágneses erőre vonatkozik, a nehézségi erő ezekből az adatokból nem határozható meg. Az ellentétes irányú áramok egymásra taszító erőt fejtenek ki. Az I1 áram a másik vezetőnél B1=μ0I1/2πd indukciót létesít, ami a másik vezetőre F=B1I2l mágneses Lorentz-erőt fejt ki. A hatás-ellenhatás törvény értelmében mindkét vezetékre ekkora erő hat. A vezeték keresztmetszetéből kiszámítható az átmérője. Az N menetű tekercs hossza NI , ami független a l=N*dvez. A tekercs belsejében az indukció: B = μ 0 l menetszámtól. Mivel a vezeték merőleges az indukcióra mágneses Lorenz-erő képletéből az erő számítható. Az I1 áramú vezetővel párhuzamos vezetékekre ható erő I2 az F= B1I2l képlettel számítható. A távolabbi vezetékre I1 kisebb erő hat. F Az I1-re merőleges vezetékek mentén az indukció nem állandó, ezért az erő nagysága integrállal számítható: x +z μ +– 1 F = 0 I1 I 2 ∫ dr 2π r x Az I1 áramú vezetőre ezen erők eredőjének ellenereje hat, ami a vezetőre merőleges erők különbsége. A rögzített tekercs adataiból kiszámíthatjuk a mágneses indukció nagyságát, ami a tengelyével párhuzamos irányú. Ennek a lengő tekercs tengelyével párhuzamos komponense B1=Bsin30°. A lengő tekercsre ható kitérítő nyomaték: M=B1A2N2I2. B
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
Az indukció mindenütt merőleges a vezetőkeretre, de a nagysága a vezetőtől x +a μ 1 távolodva csökken. A fluxus így integrálással számítható: Φ = 0 aI ∫ dr 2π x r A mágneses kör (fluxuscső) állandó keresztmetszete miatt a mágneses indukció is mindenütt azonos, ami a fluxusból és a keresztmetszetből számítható. Az indukcióból a permeabilitásokkal számítható a mágneses térerősség a vasban, ill. a légrésben. A gerjesztési törvényből kiszámíthatjuk a menetszámot. Az áram dx hosszúságú részére az ábrán látható irányú dF=BIdx nagyságú erő hat, ami a tengelyre dM=xdF elemi forgatónyomatékot fejt ki. Ennek B x integrálja adja a tárcsára ható forgatónyomatékot. I dF A Deprez (döpré) műszer légrésében a mágneses indukció radiálisan homogén (mindenütt sugár irányú, mert a vasból az indukcióvonalak a felületre merőlegesen lépnek ki, ill. be, és a nagysága állandó), ezért M=BANI. Ugyanekkora visszatérítő nyomatékot fejt ki a torziós rugó egyensúlyi helyzetben: M=CRα Kiszámítjuk a tekercs keresztmetszetét. NI Φ = μ0 A .és m=ANI l I Az a ábrán az egyenes vezető és a I körvezető mágneses indukciója a körvezető középpontjában azonos B Bk Be irányú, míg a b ábrán ellentétes irányúak. Külön-külön kiszámítjuk az indukciókat, majd előjelesen összegezzük. b.) ábra
a.) ábra 52.
A szaggatott vonalakkal rajzolt sugarakra merőleges indukciókat kiszámítjuk, majd a paralelogramma módszerrel összegezzük.
P
R1 I1
R2 B1
B2 P
I2
