Fizika 10.
1. ELEKTROSZTATIKA 1.1 Elektromos kölcsönhatás 1. Elektromosság a görög (elektron) borostyánkő megdörzsölve magához vonz kisebb testeket.
szóból
származik,
amely
2. A foncsorozott bőrrel megdörzsölt üvegrúd, a szőrmével megdörzsölt ebonitrúd a közelében elhelyezett papírszeletkék, vagy a selyemszálra felfüggesztett bodzabél golyót magához vonzza, majd érintkezés után eltaszítja. 3. Függesszünk fel selyemszálra foncsorozott bőrrel megdörzsölt üvegrudat és közelítsünk hozzá egy másik, ugyancsak megdörzsölt üvegrúddal. Azt tapasztaljuk, hogy a két üvegrúd taszítja egymást. 4. Ugyanez figyelhető meg ebonitrúddal is. 5. A foncsorozott bőrrel megdörzsölt üvegrúd és a szőrmével megdörzsölt ebonitrúd között viszont vonzást tapasztalunk. 6. Kétféle elektromos töltés van: A) foncsorozott bőrrel dörzsölt üvegrúd töltése pozitív ( + ) . B) szőrmével megdörzsölt ebonitrúd töltése negatív ( - ) . 7. Azonos elektromos töltésű testek taszítják, a különböző töltésű testek vonzzák egymást. 8. Dörzsöléskor nemcsak az üveg vagy az ebonit nyer töltést, hanem a foncsorozott bőr és a szőrme is. A kísérletek azt mutatják, hogy két különböző anyagú test összedörzsölésekor a két testen ellentétes előjelű töltések halmozódnak fel, abszolút értékre nézve egyenlő mennyiségben. Ebből arra következtethetünk, hogy az elektromos töltés két test dörzsölése során nem keletkezik, hanem a kétféle elektromos töltés szétválik. 9. Fémeket dörzsölés útján csak úgy tudjuk elektromossá tenni, ha pl. ebonit vagy plexinyélhez rögzítve tartjuk. Ekkor viszont teljes felületük elektromos lesz, ellentétben az ebonit vagy az üvegrúddal, amelyek csak a dörzsölt helyen nyernek elektromos töltést. Ebből arra következtethetünk, hogy egyes anyagokban a töltések könnyen elmozdulnak, míg másokban nem. 10. A) Az olyan anyagokat, amelyeken a töltések szabadon elmozdulhatnak, elektromos vezetőknek nevezzük. B) Az olyan anyagokat, amelyek csak a dörzsölés helyén lesznek elektromosak és megérintve csak az érintés helyén adják le töltésüket, elektromos szigetelőknek nevezzük. 11. Jó vezetők: fémek, grafit, savak, bázisok. Jó szigetelők: kén, gyanta, üveg, ebonit, száraz levegő. 12. Annak a kimutatására, hogy egy test elektromosan töltött vagy sem, igen alkalmas eszköz az elektroszkóp. Ez azon az elven működik, hogy az azonos töltésű testek taszítják egymást. Fém házba szigetelten bevezetünk egy fémlapot, amelyhez egy vékony fémlemezkét vagy fóliát rögzítünk. Az elektroszkópra felvitt töltés nagyságától függően a fólia illetve a tengely körül elforduló fémlapocska nagyobb
1
Fizika 10. vagy kisebb mértékben eltávolodik a rögzített fémelektródától. A töltések előjele is meghatározható az elektroszkóp segítségével, pl. a pozitívan töltött elektroszkópra ismeretlen előjelű töltést viszünk, akkor a fólia jobban vagy kevésbé tér ki attól függően, hogy ez pozitív vagy negatív előjelű.
13. A töltéseket nemcsak dörzsöléssel lehet szétválasztani, hanem ún. influencia (megosztás) révén is. Az elektroszkóp mutatója már akkor is kitérést mutat, ha töltött testet közelítünk feléje, és az elektroszkóp lemezkéi összeesnek, ha a töltött testet eltávolítjuk. Ezt a jelenséget az alábbi módon értelmezhetjük: Normális feltételek mellett a vezetők semlegesek, egyenlő mennyiségű pozitív és negatív töltést tartalmaznak, és mindkét töltés egyenletesen oszlik el. Amikor a vezető közelébe pl. pozitív töltésű testet viszünk, ennek a vezető pozitív és negatív töltéseire gyakorolt taszító és vonzó hatása miatt a vezetőnek a töltött test felöli részén a negatív, a túlsó részén a pozitív töltések lesznek túlsúlyban, mivel a vezetőben a töltések szabadon elmozdulhatnak. A töltött test eltávolítása után a vezetőben levő töltések eloszlása ismét egyenletes lesz. Megosztás révén egyenlő mennyiségű pozitív és negatív töltést választhatunk szét. Két szigetelő állványon lévő fémgömböt érintsünk össze, és vigyünk közelükbe egy töltött testet. A töltött test jelenlétében válasszuk szét a két fémgömböt. Azt tapasztaljuk, hogy a két fémgömbön egyenlő mennyiségű, ellentétes előjelű töltések vannak, amit elektroszkóppal ellenőrizhetünk.
2
Fizika 10.
Egyetlen szigetelő állványon lévő fémgömböt is feltölthetünk megosztás révén. A töltött test közelében a szigetelő állványon lévő fémgömböt egy pillanatra megérintve, a fémgömb a megosztó test töltésével ellentétes előjelű töltést nyer, mivel a megosztó test töltésével azonos előjelű töltéseket elvezettük, az ellentétes influenciatöltést a megosztó test lekötve tartja. Tehát a megosztó test töltésével azonos előjelű töltés elvezethető a fémből.
1.2 Coulomb törvénye 1. Pontszerű töltött testek között fellépő erőhatásról először Coulomb adott kvantitatív összefüggést. Méréseit torziós mérleggel végezte. Azt tapasztalta, hogy töltött gömbök esetén az erőhatás arányos a gömbök töltésének szorzatával, ha a távolság közöttük állandó. (A töltések felezhetők, ha egy töltött gömbhöz ugyanolyan nagyságú töltetlen gömböt érintünk.) A töltésmennyiséget állandó értéken tartva, az erőhatás a távolság négyzetével fordított arányban csökken. Az erő iránya a töltéseket összekötő egyenes irányába esik, azaz az erő centrális.
3
Fizika 10.
Azonos előjelű töltések taszítják, az ellentétes előjelű töltések pedig vonzzák egymást, a taszítás pozitív, a vonzás pedig negatív előjelű erőt fejezi ki. F ~ Q1 . Q2 1 F~ 2 r Q Q F~ 1 2 2 r
F= k
Q1 Q2 r2
A töltés mértékegysége: 1 C Egységnyi az a töltés, amely a vele egyenlő nagyságú töltésre 1 méter távolságból 9 . 109 N erőt fejt ki.
9 10 9 N 1 m 2 F r2 k= Q1 Q2 1C 1C
Nm 2 k = 9 10 C 2 .
9
Feladatok: 1. Mekkora távolságra van egymástól az a két pontszerű test, amelynek töltése 2 . 10-6 C és 3 . 10-8 C, és 60 N nagyságú erővel taszítják egymást? Megoldás: Q1 = 2 . 10-6 C Q2 = 3 . 10-8 C F = 60 N Q Q F=k. 1 2 2 r r=
k Q1 Q2 3 10 3 m F
4
Fizika 10. 2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés taszítja egymást 10 m távolságból 100 N nagyságú erővel? Megoldás: r = 10 m F = 100 N
Q2 F= k 2 r
F r2 = 1,054.10-3 C k
Q=
3. Mekkora erővel hat egymásra 2 m távolságból egy 10-3 C és egy 10-4 C pontszerű töltés? Megoldás: Q1 = 10-3 C Q2 = 10-4C r=2m F= k
Q1 Q2 = 225 N r2
4. 90 cm hosszú vízszintes helyzetű szigetelőrúd két végén 2 . 10-8 C és 8 ..10-8 C nagyságú, azonos előjelű töltéssel rendelkező gömbök vannak. A rúdon súrlódásmentesen csúszhat egy töltött, a rúdra fűzött kis golyó. Hol van egyensúlyban a rúdon ez a golyó? Megoldás: Q1 = 2 . 10-8 C Q2 = 8 . 10-8 C l = 0,9 m A golyó töltése legyen Q. A golyó ott van egyensúlyban, ahol a rá ható erők eredője 0.
k
Q1 Q x
2
k
Q2 Q (l x) 2
2 10 8 8 10 8 x2 (0,9 x) 2 6x2 + 3,6x – 1,62 = 0 x1 = 0,3 m
x2 = -0,9 m
nem megoldás
5
Fizika 10. 5. Mennyivel változik két töltött gömb között a taszítóerő, amikor az egyikről a másikra ΔQ töltést viszünk át, ha kezdetben egyenlő töltésük volt? Megoldás: ΔF = F1 – F2 F1 = k
Q2 r2
Q 2 (Q) 2 (Q Q) (Q Q) F2 = k k r2 r2 ΔF = k
(Q) 2 r2
6. 2 . 10-8 C és –3 . 10-8 C nagyságú pontszerű töltések távolsága 10 cm. Mekkora erő hat a 6 . 10-8 C nagyságú töltésre, ha azt az előbbi két töltés közötti távolság felezőpontjában helyezzük el? Megoldás: Q1 = 2 . 10-8 C Q2 = -3 .10-8 C Q = 6 . 10-8 C r’ = 0,1 m r = 0,05 m F1 = k F2 = k
Q Q1 4,32.10 -3 N 2 r
Q Q2 = -6,48 .10 -3 N 2 r
F = F2 – F1 = -2,16 . 10 -3 N
6
Fizika 10. 7. Egy négyzet mindegyik csúcsában egyenlő Q = 2 . 10-7 C nagyságú és egynemű töltés helyezkedik el. Mekkora töltést kell elhelyezni a négyzet középpontjában, hogy az így nyert töltésrendszer egyensúlyban legyen? Megoldás: Q = 2 . 10-7 C
Az A csúcsban levő töltésre a többi három csúcsban levő töltés által kifejtett erők eredője:
k Q2 k Q2 Q2 1 2 k 2 2 Fe = 2 2 2 a 2a a
k
Q2 1 Q Q' 2 = k 2 a2 a2 2
Q’ = Q
2 2
1 2 = 1,91 . 10 -7 C
7
Fizika 10. 8. Három kicsi fémgömböt Q1 , Q2 , Q3 töltéssel látunk el. Határozzuk meg e három töltés nagyságát, ha a gömböcskéket páronként egymáshoz 20 cm-re közelítve közöttük páronként F1,2 = 100 N , F1,3 = 200 N illetve F2,3 = 300 N nagyságú erő hat! Megoldás: r = 0,2 m F1,2 = 100 N F1,3 = 200 N F2,3 = 300 N F1,2 = k
Q1 Q2 r2
F1,3 = k
Q1 Q3 r2
F2,3 = k
Q2 Q3 r2
(1) : (2) Q3 F1,3 2 Q2 F1, 2
Q3 = 2 . Q2 (3)-ba helyettesíteni:
2 Q22 300 = 9 10 4 10 2 .
9
Q2 = 2,582 . 10-5 C Q3 = 5,164 . 10-5 C (1)-ből :
Q1 =
F1, 2 r 2 k Q2
= 1,72 . 10-5 C
1.3 Az elektromos mező fogalma, térerősség, elektromos fluxus 1. Azt a teret, amelyben elektromos erőhatások észlelhetők, elektromos erőtérnek (mező) nevezzük. Q Q 2. Elhelyezünk két nyugvó egyneműen töltött testet, F2,1 = k 1 2 2 . r2,1 Ha az 1-es test több nyugvó töltött testtel van egyszerre elektromos kölcsönhatásban, és figyelembe vesszük Newton IV. axiómáját: n n Q Q Q Fi,1 = k 1 2 i Q1 k 2i ri ,1 ri ,1 i 1 i 1 1-es töltött testre ható elektrosztatikus erő két tényezőre bontható: Q1 : a töltött testre jellemző
8
Fizika 10. n
Qi
k r i 1
2 i ,1
: a töltött test tulajdonságaitól független vektormennyiség.
E
F Q
A térerősség iránya a pozitív töltésre ható erő irányával egyezik meg. Mértékegysége: N VAs V 1 1 1 C Asm m 3. Az erőteret homogénnek nevezzük, ha a tér minden pontjában a térerősség nagysága ugyanakkora, és az iránya is megegyezik. 4. Adott Q’ töltés elektromos terében tetszőleges Q töltésre: Q' Q F = k 2 r F=E.Q Q' Q E.Q=k 2 r Q' E= k 2 r 5. Az elektromos teret az elektromos erővonalakkal szemléltetjük. Az elektromos erővonalak olyan görbék, amelyek érintői a tér minden pontjában az ottani E elektromos térerősség irányába esnek. Megállapodás szerint az erővonalak a tér minden helyén gondolatban olyan sűrűn húzzuk, hogy a rájuk merőlegesen felvett egységnyi felületen annyi erővonal haladjon át, mint amekkora az elektromos térerősség nagysága a kérdéses helyen. Így az elektromos erővonalak iránya és sűrűsége az E elektromos térerősség irányát és nagyságát jellemzi.
9
Fizika 10.
6. Adott felületen merőlegesen átlépő elektromos térerősségvonalak számát elektromos fluxusnak nevezzük. Jele: EA
7. Q ponttöltés köré írt gömbfelület egységnyi területű részén E = k
Q számú r2
erővonal megy át.
Q 4r 2 4kQ számú erővonal indul ki vagy r2 torkollik be aszerint, hogy a töltés pozitív vagy negatív. Az egész gömbfelületen k
10
Fizika 10. 8. Gauss tétel (Maxwell I. törvénye) Elektrosztatikus térben egy tetszőleges zárt felületen átmenő elektromos fluxus egyenlő a zárt felületen belüli töltések algebrai összegének 4 k – szorosával. 1 k= 4 0 1 As C 0 8,85 10 12 8,85 10 12 4k Vm Vm 0 : vákuum dielektromos állandója 1 1 4k Q 4 Q Q 4 0 0 1 ( NE = Q ) 0 ( A tér V térfogatának forráserőssége egyenlő e térfogatba zárt töltések algebrai 1 összegének - szorosával. ) 0 9. Megjegyzés:
11
Fizika 10.
12
Fizika 10.
Feladatok 1. Két elektromosan töltött pontszerű test távolsága 1 m, töltésük 2 . 10-6 C és –5 . 10-6 C. Számítsuk ki, hogy a térnek melyik pontjában lesz a két töltéstől származó térerősség eredője zérus! Megoldás: Q1 = 2 . 10-6 C Q2 = -5 . 10-6 C r=1m
E1 + E2 = 0 Q Q2 k 21 k x ( x 1)2 x = 1,72 m 2. Pontszerű töltés nagysága 3 . 10-7 C. Milyen távol van tőle az a pont, amelyben a térerősség 12 N/C nagyságú? Megoldás: Q = 3 . 10-7C E = 12 N/C Q E = k 2 r k Q 15 m r= E 3. Pontszerű test töltése 5 . 10-6 C. Mekkora a térerősség tőle 20 cm távolságban? Megoldás: Q = 5 . 10-6 C r = 0,2 m Q E = k 2 = 1,125 . 106 N/C r
13
Fizika 10. 4. Mekkora annak a pontszerű testnek a töltése, amelytől mért 30 cm távolságban a térerősség 300 N/C nagyságú? Megoldás: r = 0,3 m E = 300 N/C Q E = k 2 r E r2 Q= 3 10 9 C k 5. Vékony, súlytalannak vehető fonálon 20 g tömegű kicsi fémgolyó van felfüggesztve. A golyó töltése 10-8 C. Mekkora az így nyert 15 cm hosszú fonálinga lengésideje függőlegesen lefelé irányuló, 9 . 105 V/m erősségű homogén elektromos mezőben? Megoldás: M = 0,02 kg Q = 10-8 C l = 0,15 m E = 9 . 105 N/C m T = 2 D Itt a visszatérítő erő (az érintőleges erővetület) x x Ft = F . sin = F mg QE l l mg QE D= l ml T = 2 = 0,75 s mg QE 6. Mekkora a térerősség abban az elektromos mezőben, amelyben egy elektron gyorsulása 2,5 . 1014 m/s2 nagyságú? Megoldás: a = 2,5 . 1014 m/s2 Q = 1,6 . 10-19 C m = 9,1 . 10-31 kg F = ma = 2,275 . 10-16 N F E= = 1,42 . 103 N/C Q 7. Egymástól 12 cm-re 2 . 10-7 C és 5 . 10-6 C pontszerű töltést helyezünk el. Hol válik nullává a két töltés által keltett mező térerőssége? Megoldás: d = 0,12 m Q1 = 2 . 10-7 C Q2 = 5 . 10-6 C Q Q k 21 k 22 r1 r2 d = r1 + r 2
14
Fizika 10.
r1 Q1 0,2 r2 Q2 r1 = 0,2 . r2 0,12 = r2 + 0,2 .r2 0,12 = 1,2 . r2 r2 = 0,1 m r1 = 0,02 m 8. Derékszögű háromszög csúcsaiban 10-9 C nagyságú pontszerű töltések vannak. A háromszög befogói 40 cm és 30 cm. Mekkora az elektromos térerősség az átfogó és az átfogóhoz tartozó magasságvonal metszéspontjában? Megoldás: Q = 10-9 C
c = 30 2 40 2 50 cm 302 = x . c 900 900 x= 18 cm c 50 c – x = 50 – 18 = 32 cm m = 900 324 = 24 cm Q N E1 k 2 2,78 10 2 C x Q N E2 k 0,88 10 2 2 C (c x) Q N E3 k 2 1,56 10 2 C m N E = ( E1 E2 )2 E32 = 245 C
15
Fizika 10. 9. Két pontszerű töltés egymástól 0,5 m távolságban van rögzítve. Mekkora és milyen irányú az elektromos térerősség a töltéseket összekötő egyenes szakasz felező merőlegesén, a szakasztól 1 méter távolságban? ( Q1 = 2 . 10-6 C ; Q2 = -2 . 10-6 C ) Megoldás: Q1 = 2 . 10-6 C Q2 = -2 . 10-6 C r = 0,5 m l=1m
y= 1 0,25 2 = 1,031 m tg = 0,25 = 140
= 1520 E1 = E2 = k
Q1 N =16933,83 2 C y
E12 E22 2 E1 E2 cos E 2 N E = 8191,46 C
16
Fizika 10. 10. Két egynemű ponttöltés 25 cm távolságra van egymástól. A töltések értéke: Q1 = 10-8 C és Q2 = 15 . 10-9 C. van-e olyan pont, ahol a térerősség zérus? Megoldás: Q1 = 10-8 C Q2 = 1,5 . 10-8 C r = 0,25 m
E1 = k
Q1 x2
E2 = k
Q2 ( 0,25 x )2
E1 = E2 Q Q2 k 21 k x ( 0,25 x )2 2 x + x – 0,125 = 0 x1 = 0,1124 m
x2 =-1,11235 m
nem megoldás
11. Homogén elektrosztatikus tér pontjaiban a térerősség 100000 V/m. Mekkora erő hat a térben levő 2 . 10-8 C töltésű kicsi fémgolyóra? Mennyi a golyó gyorsulása, ha tömege 5 g? Megoldás: V E = 105 m m = 5 . 10-3 kg Q = 2 . 10-8 C F = EQ = 0,002 N F m 0,4 2 a= m s
17
Fizika 10. 12. Két pontszerű töltés egymástól 0,5 m távolságban van rögzítve. Mekkora és milyen irányú az elektromos térerősség a töltések összekötő egyenesében, a negatív töltéstől 2 m távolságban jobbra? ( Q1 = 2 . 10-6 C ; Q2 = -2 . 10-6 C ) Megoldás: Q1 = 2 . 10-6 C Q2 = -2 . 10-6 C
Q1 r12 Q E2 = k 22 r2 E1 = k
Q Q E = E2 – E1 = k 22 21 r1 r2 N E = 1620 C 13. Egy mozgásban levő elektronra sebességével egyirányban ható 3000 N/C homogén elektromos tér hat. Mekkora utat tesz meg a megállásig, ha az elektron kezdeti sebessége 3000000 m/s? Megoldás: E = 3000 N/C m = 9,1 . 10-31 kg v0 = 3 . 106 m/s Q = 1,6 . 10-19 C v2 mv02 s 0 = 8,53 . 10-3 m 2a 2eE
18
Fizika 10. 14. Egy 10 cm oldalhosszúságú, egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban 5 . 10-7 C nagyságú, pontszerű pozitív töltéseket helyezünk el. Mekkora az elektromos térerősség a háromszög oldalainak felezőpontjában? Megoldás: a = 0,1 m Q = 5 . 10-7 C
a 3 0,0865 m 2 Q N E3 = k 2 601423,37 C m m=
15. Mekkora sebességre gyorsul fel vákuumban, homogén elektrosztatikus térben, „s” úton az eredetileg nyugvó elektromos részecske? (m = 10-6 g ; Q = 10-7 C ; s = 10 cm ; E = 10000 V/m ) Megoldás: m = 10-9 kg s = 0,1 m Q = 10-7 C E = 104 V/m F = EQ F = ma a s = t2 2 v = at v2 a= 2s
19
Fizika 10.
mv 2 2s mv 2 EQ = 2s 2QEs v= = 447 m/s m 16. Homogén mezőben 0,05 C töltésű test mozog. A térerősség nagysága 2 . 106 V/m. Mekkora utat tett meg a test a térerősség irányában, ha az elektromos mező által végzett munka 120 J? Megoldás: Q = 0,05 C W = 120 J E = 2 . 106 V/m W = Fs = QEs W s= 1,2 10 3 m QE F=
1.4 Feszültség 1. Elektromos mező a benne levő töltésre erőhatást gyakorol.
A) WAB = Fs cos F = EQ WAB = EQs cos B) WAC = EQs1 WCB = EQs2 s cos 1 s
20
Fizika 10. s1 = s . cos WAC = EQs cos WCB = 0 , mert az erő és az elmozdulás merőleges. WABC = WAC + WCB WABC = EQs cos WAB = WACB B
Általánosan: WAB = Q E s A
2. Ha a pozitív töltések az erővonalak irányába mozdulnak el, az erőtér végez munkát. Ha az erővonalak irányával szemben történik a pozitív töltések elmozdulása, akkor nekünk kell munkát végeznünk az erőtér ellenében. 3. Adott elektromos erőtér által végzett munka független attól az úttól, amelyen egy adott töltés mozgott, csak a kezdő –és végpontok erőtérbeli helyzetétől függ. 4. W ~ Q W állandó Q
U=
W AB Q
Az elektromos erőtérben a tetszőlegesen választott A kezdő –és B végpont között a Q elektromos töltés mozgása közben végzett WAB munka és a mozgatott Q töltés hányadosával meghatározott fizikai mennyiséget az A és B pontok közötti feszültségnek nevezzük. J Mértékegysége: 1 = 1 V C A tér két pontja között 1 V a feszültség, ha az egyik pontból 1 C töltés 1 J-nyi munka árán jut a másikba.
1.5 Potenciál 1. Megállapodhatunk azonban abban, hogy az erőtér összes pontjának a feszültségét egy kiválasztott ponthoz viszonyítva mérjük. Ezek a feszültségek az erőtér egyes pontjaira jellemző mennyiségeket határoznak meg, vagyis a tér minden egyes pontját jellemezhetjük a kérdéses pont és a választott pont közötti feszültséggel. 2. Az elektromos erőtér bármely pontjának a tér választott pontjához viszonyított feszültségét potenciálnak nevezzük.
21
Fizika 10.
A választott pont potenciálja – a meghatározás értelmében – zérus. Ezért ezt a pontot zérus potenciálú helynek vagy egyszerűen zéruspontnak is hívjuk. A gyakorlatban többnyire a földet ( pontosabban a föld nedves rétegével vezető összeköttetésben levő testeket) választjuk zérus potenciálú helynek. 3. A tér valamely pontjának potenciálját pozitívnak tekintjük a zérusponthoz képest, ha a pozitív töltésnek az adott pontból a nullapontba való átvitele közben az erőtér végez munkát. Negatív potenciálon van a tér valamely pontja, ha a pozitív töltés elmozdításához az erőtér ellenében nekünk kell munkát végeznünk. Tehát a pozitív töltés az erőtér hatására a pozitív potenciálú helyről halad a zérus vagy a negatív potenciálú hely felé. A negatív töltés mozgási iránya ezzel ellentétes.
22
Fizika 10. 4.
Az elektromos erőtér bármely két (A és B) pontja közötti feszültség:
W AB , ahol WAB bármely úton az erőtér által végzett munka. Ha a töltés az Q A O B úton mozdul el, akkor WAB = WAO + WOB . De WOB = - WBO (mert az erő ugyanakkora, de az út ellentétes irányú lett), tehát UAB =
UAB =
W WBO W W W AB AO AO BO Q Q Q Q
UAB = UA - UB Az elektromos erőtér két pontja közötti feszültség egyenlő a két pont potenciáljának különbségével. 5. Az elektromos erőtérnek azok a pontjai, amelyekben a potenciál ugyanakkora, egyetlen felületen, az ekvipotenciális felületen helyezkednek el. 6. W = Fd = EQd
U
W Q
W = UQ UQ = EQd U = Ed
E
U d
23
Fizika 10.
Mértékegység:
1
N Nm J V 1 1 1 C Cm Cm m
1.6 Maxwell II. törvénye 1. Az elektromos mező bármely zárt görbén végigvezetett töltésen végzett munkája tehát 0
E s szorzatösszeg is mindig nulla. (A O a pályagörbe zártságára utal.)
a
0
2. A
E s összeget a mező adott zárt g görbéjére vonatkozó örvényerősségének
nevezzük. Elektromos örvényerősség jele: ÖE 0
ÖE =
E s
Az örvényerősség tehát a zárt görbén egyszer végigvezetett töltésen végzett elektromos munka osztva a töltéssel. 3. Maxwell II. törvénye: Nyugvó töltések által keltett elektromos mezőben nincsenek örvények, vagyis az örvényerősség bármely g zárt görbére zérus. 0
E s = 0
bármely zárt görbén
g
ÖE = 0
minden görbére
Feladatok 1. Szalaggenerátorral feltöltött, egymástól 10 cm távolságban levő párhuzamos lemezek között homogén erőtér van. Mekkora a térerősség, ha a lemezek között a feszültség 5000 V? Megoldás: U = 5000 V d = 0,1 m W = Fd = EQd W = UQ UQ = EQd U = Ed U V E= = 50000 d m
24
Fizika 10.
2. Mekkora sebességre tesz szert két pont közötti elmozdulása közben a 9,1 . 10-28 g tömegű, 1,6 . 10-19 C töltésű, kezdetben nyugvó elektron, ha a két pont között a feszültség 5000 V? Megoldás: m = 9,1 . 10-31 kg U = 5000 V Q = 1,6 . 10-19 C 1 m v 2 UQ 2 2UQ m 4,2 10 7 v= m s 3. Mekkora sebességgel csapódik egy elektron a televíziókészülék képernyőjébe, ha a képcsőben a gyorsító feszültség 10000 V? Megoldás: U = 10000 V Q = 1,6 . 10-19 C m = 9,1 .10-31 kg 1 2 mv = UQ 2 2UQ m 5,93 10 7 v= m s 4. Mekkora a feszültség a mező két pontja között, ha miközben az egyikből a másikba egy 10 C töltésű test kerül, az elektromos mező munkája 600 J? Megoldás: Q =10 C W = 600 J W U 60 V Q 5. Mennyi munkát végez az elektromos mező, ha az 50 V potenciálú pontból 80 V potenciálú pontba kerül egy pontszerű 6 . 10-5 C töltésű test? Megoldás: UAB = 30 V Q = 6 . 10-5 C W = UQ = 1,38 . 10-3 J 6. Mekkora az elektromos mező potenciálja abban a pontban, amelybe helyezett 8,4 . 10-4 C töltésű test elektromos helyzeti energiája 2,52 J? Megoldás: Q = 8,4 . 10-4 C W = 2,52 J W U 3000 V Q
25
Fizika 10. 7. Mekkora elektromos erő hat egy 5 . 10-7 C töltésű testre abban a homogén mezőben, amelyben a potenciálesés a térerősség irányában cm-enként 2500 V? Megoldás: Q = 5 . 10-7 C V E = 2,5 . 105 m U F = EQ = Q = 0,125 N d 8. Mekkora a munkavégzés, ha egy 0,01 C nagyságú töltés 1000 V feszültségen halad át? Mekkora erő hat a töltésre, ha a feszültség 10 cm úton egyenletesen növekszik? Mekkora a térerősség? Megoldás: Q = 0,01 C s = 0,1 m U = 1000 V W = UQ = 10 J W = Fs W F= = 100 N s F N E= 10000 Q C
1.7 A töltés elhelyezkedése, a térerősség és a potenciál a vezetőkön
1. Az elektromos töltések – egyensúly esetén – a vezető külső felületén helyezkednek el. Erről sok kísérlettel meggyőződhetünk. Töltsünk fel szigetelő állványon lévő dróthálót, amelyen két oldalt több helyen könnyű fémlemezkék vannak felerősítve. A töltés hatására a könnyű fémlemezkék elállnak a dróthálótól. Ha a dróthálót a szigetelő állványok segítségével hengerré hajlítjuk össze, a belül lévő fémlemezkék a dróthálóhoz tapadnak, míg a kívül lévők jobban elállnak a dróthálótól. Helyezzünk az elektroszkópra egy hengeres edényt (pohárelektroszkóp). Töltsük fel az elektroszkópot és érintsünk a pohárelektroszkóp belsejéhez egy szigetelő nyélen lévő fémgolyót. A fémgolyót egy másik elektroszkóphoz érintve azt tapasztaljuk, hogy a fémgolyónak nincs töltése. Ha ugyanezt a kísérletet úgy végezzük el, hogy a fémgolyót a pohárelektroszkóp külső felületéhez érintjük, akkor azt tapasztaljuk, hogy a fémgolyónak van töltése. A kísérletet úgy is elvégezhetjük, hogy szigetelő nyélen lévő töltött fémgömböt érintünk a töltetlen pohárelektroszkóphoz először kívülről, majd belülről. Ha kívülről érintjük a pohárelektroszkóphoz, azt tapasztaljuk, hogy a töltött fémgömb nem vesztette el teljesen a töltését, ha belülről érintettük a pohárelektroszkóphoz, akkor a fémgolyó teljesen elveszíti a töltését. Vegyünk egy szigetelő állványon lévő dróthálóból készült hengert. Helyezzünk a belsejébe egy elektroszkópot, és kössük össze fémesen a fémhálóval. A fémhálón kívül helyezzünk el egy másik elektroszkópot és ugyancsak kössük össze fémesen a dróthálóval. Adjunk töltést a dróthálónak. Azt tapasztaljuk, hogy a belső elektroszkóp nem, míg a külső jelez töltést. Ha a kísérletet úgy végezzük el, hogy a belső
26
Fizika 10. elektroszkópra viszünk fel töltéseket, akkor is csak a külső elektroszkóp mutat töltést. A fenti kísérletek meggyőznek bennünket arról, hogy a töltések a vezető külső felületén helyezkednek el. Ezt beláthatjuk, mivel a vezetőben a töltések könnyen elmozdulhatnak, a vezetőre bárhol töltést felvive, azok igyekeznek egymást a lehető legtávolabb eltaszítani. Ez az egyensúly beállta után csak a vezető felülete lehet, mert a fémet nem tudják elhagyni, tehát a töltések a vezető külső felületén helyezkednek el. 2. Töltésegyensúly esetén az elektromos térerősség a vezető belsejében mindenütt zérus, a vezető külső felületén pedig a felületre merőleges. Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne zérus, illetve a vezető felületén a térerősségnek lenne érintőleges komponense, akkor a töltések a térerősség hatására elmozdulnának, nem lehetnének nyugalomban. 3. Nyugalomban lévő töltések esetén a homogén vezető minden pontjában ugyanakkora a potenciál, a vezető felülete pedig ekvipotenciális felület (a vezetőn belüli bármely felület is.) 4. A vezetőben lévő üregben a térerősség zérus, ha az üregben nincsenek izolált elektromos töltések. A vezető belsejében a térerősség is és a többlet töltés is zérus, a töltésegyensúly nem változik meg, ha a vezető belsejéből egy részt eltávolítunk. A fenti állítást a fémhálós kísérletünkkel pl. úgy tudjuk igazolni, ha a belső elektroszkópot nem kötjük össze a hálóval. Ha egy töltött testet közelítünk a hálóhoz, vagy a hálót feltöltjük, a belső elektroszkóp nem jelez töltést. Ugyanezt a kísérletet háló nélkül elvégezve a töltött test elektromos terének megosztó hatása miatt az elektroszkóp töltést jelez, a fémháló jelenléte esetén nem, igazolván, hogy a fémhálón belül elektromos tér zérus. Ez az úgynevezett Faraday-kalitka. Zárt fémburkolattal az elektrosztatikus terek kirekeszthetők. Ez az elektrosztatikus árnyékolás. 5. Nyugalomban lévő töltések esetén a vezető felülete mint láttuk, ekvipotenciális felület. Ebből nem következik a vezető felületén a térerősség állandósága, csak merőlegessége. Ez azzal magyarázható, hogy a vezető felületén a töltéseloszlás általában nem egyenletes, kivéve néhány speciális vezető formát. A tapasztalat szerint a vezető felületének különböző helyein a felületi töltéssűrűség annál nagyobb, minél nagyobb a görbülete. Legnagyobb a csúcsoknál és az éleknél. A felületi töltéssűrűség és a térerősség kapcsolatát a Gauss-tétel használatával állapíthatjuk meg. Vegyünk fel a vezető felületén egy nagyon lapos téglatestet. A téglatest oldal és véglapjaira merőleges térerősség komponens zérus. A téglatest belső fedőlapján átmenő fluxus zérus, mert a vezető belsejében a térerősség zérus. A téglatest külső fedőlapjára a térerősség merőleges, így EA =4 Q , ahol Q a téglatest fedőlapján lévő töltés. Így a térerősség és a felületi töltéssűrűség kapcsolata: E = 4
illetve
E=
0
Ezzel magyarázható az úgynevezett csúcshatás vagy elektromos szél. Csúccsal rendelkező vezetőt, ha nagyon feltöltünk, akkor a csúcstól elirányuló légmozgás mutatható ki. Pl. erősen feltöltött csúcs közelébe égő gyertyát helyezve az erős légáram a gyertyát elfújhatja. A csúcshatás azzal magyarázható, hogy az erős inhomogén elektromos térben, ami a csúcs körül kialakul, a levegő molekulái dipólusokká válnak, és elmozdulnak a csúcs, azaz a legnagyobb térerősségű hely felé. A csúcson a töltött testével megegyező többlet töltést nyernek, és ezután a csúcs (a
27
Fizika 10. levegő molekuláit) eltaszítja őket. Ezen taszítóerő reakcióereje hozza forgásba az úgynevezett elektromos Segner-kereket. A csúcshatással magyarázhatók az alábbi jelenségek is: Csúccsal rendelkező töltött vezető hamar elveszti a töltését, a közelében lévő semleges vezető pedig a töltött vezetővel azonos töltést nyer, amit akkor is megtart, ha a csúccsal ellátott vezetőt a közeléből eltávolítjuk, jelezvén azt, hogy nem megosztásról van szó. A kísérletet meg is fordíthatjuk. Ha csúccsal ellátott semleges vezetőt helyezünk egy töltött test közelébe, a csúccsal rendelkező semleges vezető a töltött testével megegyező előjelű töltést nyer. Megosztás folytán a csúcs ellentétes töltésű lesz, az inhomogén elektromos térben a levegőmolekulák dipólokká válnak, a csúcs felé vándorolnak, ott a csúcstól töltést nyernek, így a csúcs eltaszítja azokat. A csúcs ottmarad ellentétes előjelű töltés hiánnyal, azaz a közelében lévő töltött test töltésével megegyező töltésű lesz. 6. A villámhárító egy – a környezetéből kiemelkedő csúcsban végződő földelt fémvezető. Az elektromos töltésű felhő megosztó hatást gyakorol a villámhárítóra, és annak csúcsa erősen feltöltődik. A csúcshatás folytán a környező levegő vezetővé válik, és ily módon jó vezető út alakul ki a talaj felé a felhő elektromos kisüléséhez. A villámhárító ezek szerint nem elhárítja, hanem éppen ellenkezőleg, magába gyűjti a villámokat, és ezzel védi meg a környező testeket a villámcsapástól.
1.8 Kapacitás, kondenzátorok 1. A kapacitás a vezető töltést befogadó képességének a mértéke. 2. A tapasztalat szerint kétszer akkora feszültség létrehozásához ugyanazon fémvezető esetében kétszer akkora töltés szükséges. Valamely vezetőre vitt töltés és a töltés hatására létrejött potenciál között egyenes arányosság áll fenn. Q~U
Q állandó U C=
Q U
A vezetőre vitt töltés és a vezető potenciáljának a hányadosával meghatározott fizikai mennyiséget az adott vezető kapacitásának nevezzük. C Mértékegysége: 1 1F V 1 F a kapacitása annak a vezetőnek, amelyen 1 C töltés 1 V potenciált hoz létre. 1 F 10 6 F 1 nF = 10-9 F 1 pF = 10-12 F
28
Fizika 10. 3. Kondenzátor: Legyen két nagyméretű sík fémlemez egymással szemben párhuzamosan elhelyezve és a közöttük levő távolság a szélességükhöz képest kicsi. 4. A kondenzátor kapacitása a töltésének és a feszültségének a hányadosával meghatározott fizikai mennyiség. Jele:
┤├
5. Kondenzátor kapacitása függ: A szemben álló lemezek felületétől, azzal egyenesen arányos. (A két lemez teljes szembenállása esetén legkisebb a feszültség, tehát legnagyobb a kapacitás.) A két lemez távolságától, azzal fordítottan arányos. (A felső lemez közelítésével csökken a feszültség, tehát növekszik a kapacitás.) A kondenzátor lemezei között levő szigetelőanyagtól. (Nő a kapacitás, ha pl. műanyag lapot helyezünk a lemezek közötti légtérbe.) 6. Kondenzátorok kapcsolása Párhuzamos kapcsolás:
Párhuzamos kapcsolás esetén az azonos jellegű töltéssel rendelkező lemezeket kapcsoljuk össze. Az egyik lemezt földelve és a másikat U potenciálra töltve, a feszültség mindegyik kondenzátoron ugyanakkora. U = U1 = U2 Az egyes kondenzátorokon a töltések: Q1 = C1U
és
Q2 = C 2 U
A két kondenzátoron az összes töltés: Q = Q1 + Q2 = C1U + C2U = U( C1 + C2 ) Az eredő kapacitás, vagyis annak az egyetlen kondenzátornak a kapacitása, amelyet a két adott kondenzátor helyére kötve, az össztöltés és a feszültség nem változik:
29
Fizika 10. C
Q U(C1 C 2 ) U U
C = C1 + C2 Kondenzátorok párhuzamos részkapacitások összege:
kapcsolása
esetén
az
eredő
kapacitás
a
C = C1 + C2 + … + Cn Soros kapcsolás:
Soros kapcsolás esetén az ellentétes jellegű töltéssel rendelkező lemezeket kötjük össze. Az egyes kondenzátorok töltése a megosztás folytán egymással egyenlő, és a két kondenzátoron levő feszültségek összege egyenlő a teljes feszültséggel. U = U1 + U2 Q = Q1 = Q2 Az egyes kondenzátorok feszültségei U 1 A teljes feszültség U = U1 + U2 =
1 Q Q 1 Q C1 C 2 C1 C 2
30
Q C1
és
U2
Q . C2
Fizika 10. Az eredő kapacitás:
C
Q U
Q 1 1 Q C C 2 1
1 1 1 C1 C 2
1 1 1 C C1 C 2
Kondenzátorok soros kapcsolása esetén az eredő kapacitás reciproka egyenlő a részkapacitások reciprokának összegével: 1 1 1 1 ... C C1 C 2 Cn
7. Kondenzátor kapacitása másképpen:
E
U d
U = Ed
E
A
Gauss-tétel szerint: E
1 Q 0 A
U
1 Q d 0 A
C
C
1
0
Q 4 kQ
A Q Q 0 Qd U d 0 A 0 A d
8. Kondenzátor energiája: Q töltésű síklapból oldaláról. Így az
1
0
1
0
Q számú erővonal indul ki merőlegesen a lemez mindkét
Q két egyenlő részre osztható, amelyek közül az egyik éppen az
A területen áthaladó fluxust adja.
31
Fizika 10.
1 Q 0 2
E
Q A 20 A
F = EQ
F
Q2 20 A
W Fd C
W
1 Q2 d 0 2A
0 A d
1 Q2 1 1 QU CU 2 2 C 2 2
1.9 Elektrosztatikus tér szigetelőkben 1. A feltöltött síkkondenzátor lapjai között legyen először vákuum (levegő). Ekkor a kondenzátorhoz kapcsolt elektrométer U0 feszültséget jelez, ha a kondenzátoron Q0 töltés van. Q U0 0 C0 Helyezzünk a kondenzátor lapok közé valamilyen szigetelőt pl. üveget, paraffint. Ekkor az elektrométer az U0 feszültségnél kisebb U feszültségeket mutat a különböző szigetelő anyagok esetén. A szigetelő kivétele után az elektrométer ismét az eredeti U0 feszültséget mutatja, jelezvén azt, hogy a kondenzátoron felhalmozódott Q0 töltés nem változott meg. Emiatt a kondenzátor kapacitásának kellett megváltoznia a dielektrikum behelyezésével, a vákuumhoz képest, mert Q0 = C0U0 = CU U C 0 C0 U Mivel U0 > U , ezért C > C0 .
U C 0 r C0 U r : relatív dielektromos állandó Az r a mérések szerint csak a dielektrikum anyagi minőségétől függ, független a kondenzátor típusától és méretétől. Az r egy dimenzió nélküli szám, amely pl. kapacitás mérésekkel határozható meg. A dielektrikummal kitöltött kondenzátor
32
Fizika 10. kapacitása r -szer nagyobb, mint az üres (levegővel töltött) kondenzátoré. Azonos anyagi minőség esetén a halmazállapottól is függ az r értéke, pl. víz esetén r =81, míg jégre r = 3. 2. Az alapkísérletünket úgy is elvégezhetjük, hogy a kondenzátor lapjai között pl. egy akkumulátor segítségével állandó feszültséget biztosítunk. A körbe iktatott ballasztikus galvanométer segítségével kimutatható, hogy a dielektrikum behelyezésével a kondenzátor töltése Q0 –ról Q r Q0 -ra nő.
Q0 r Q0 Q C Q . - ből következik, hogy r C0 Q0 C0 C C Ha Q0 töltéssel feltöltött kondenzátor lapjai közé dielektrikumot helyeztünk, miközben a lapok geometriáját változatlanul hagyjuk, akkor a kondenzátor feszültsége lecsökken. Ez csak úgy lehetséges, hogy ha a térerősség is lecsökken: U0 = E0d U = Ed U E r 0 0 U E E0 E Az U 0
0
A vákuumba helyezett bármilyen töltésrendszertől eredő elektrosztatikus tér térerőssége mindenütt r -szer kisebb lesz, ha – a töltéseket változatlanul hagyva – a teret r dielektromos állandójú, végtelen kiterjedésű homogén közeggel töltjük ki. Azaz egy ilyen rendszerbe behelyezve egy töltést az erőhatás ( QE < QE 0 ) olyan, mintha kevesebb töltés lenne jelen a térben. Ezért a Gauss-tétel vákuumbeli alakja végtelen homogén dielektrikum esetén csak úgy érvényes, ha a Q v valódi töltések Q helyébe a v úgynevezett szabad töltéseket írjuk, vagy dielektrikumok esetében a
r
tapasztalat E térerősség helyett az r E (CGS) illetve 0 r E 4 Qvi
(SI)
Qvi . r 0 r Ebből arra kell következtetnünk, hogy a zárt felületen belül a töltések összege kisebb, mintha a dielektrikum nem volna ott. Ez csak úgy lehetséges, hogy a dielektrikum behelyezésével olyan töltéseknek kell megjelenni, amelyek térerőssége az eredeti töltések térerősségének egy részét kompenzálja és így csökken az eredő térerősség. A Gauss-tétel formáját változatlanul hagyhatjuk, ha bevezetünk egy újabb fizikai mennyiséget az úgynevezett dielektromos eltolódási vagy gerjesztettségi vektort D 0 r E (SI) D r E (CGS) illetve ahol E a dielektrikumban a térerősség.
illetve
A D dielektromos eltolódási vektor ugyanúgy jellemezhető erővonalakkal mint az E vektor. A definícióból következik, hogy végtelen homogén dielektrikumban a D és E vektorok egyirányúak, de a D vonalak sűrűsége bármely helyen r -szer (CGS) illetve 0 r -szer (SI) nagyobb mint az E vonalak sűrűsége.
33
Fizika 10. A D bevezetésével a Gauss-tétel: Dn df 4 Qvi ; ' 4 Qvi
(CGS)
g
D
n
df Qvi
;
' Qvi
(SI)
g
Egy tetszőleges zárt felületen átmenő eltolódási fluxus egyenlő a zárt felületen belüli valódi töltések algebrai összegének 4 -szeresével (CGS) illetve a töltések algebrai összegével (SI). Ez azt jelenti, hogy a D vektor forrásai a Qvi valódi töltések, míg az E vektor forrásai a Qvi szabad töltések.
r
Feladatok 1. Mekkora lesz a kondenzátorok eredő kapacitása, ha 1 μF és 5 μF kapacitású kondenzátorokat először párhuzamosan, majd sorba kapcsoljuk egymással? Megoldás: C1 = 10-6 F C2 = 5 . 10-6 F Párhuzamos: C = C1 + C2 = 6 . 10-6 F C1C 2 8,3 10 7 F Soros: C C1 C 2 2. Mekkora feszültséget kell egy 16 μF-os kondenzátorra kapcsolni, hogy energiája 20 J legyen? Megoldás: C = 1,6 . 10-5 F W = 20 J 1 W CU 2 2 2W U 1581,14 V C 3. Sorosan kapcsolunk egy 4 μF-os és egy 6μF-os kondenzátort. Mekkora töltéstől töltődik fel a rendszer 220 V-ra? Megoldás: C1 = 4 . 10-6 F C2 = 6 . 10-6 F U = 220 V C1C 2 C 2,4 10 6 F C1 C 2 Q = CU = 5,28 . 10-4 C
34
Fizika 10. 4. Mekkora annak a kondenzátornak az elektrosztatikus energiája, amelyet 250 V-os feszültségre 8 . 10-2 C töltés tölt fel? Megoldás: U = 250 V Q = 0,08 C 1 W QU 10 J 2 5. Kondenzátorlemezek közé, a lemezekkel párhuzamosan 10000 km/s sebességű elektron érkezik. Mekkora az elektron eredeti mozgásirányától számított eltérülése, miközben a lemezek közötti homogén elektromos térben az eredeti irányban 5 cm-t mozdul el? (d = 6 cm ; U = 300 V) Megoldás: v0 = 107 m/s d = 6 cm x = 0,05 m U = 300 V U F = EQ = Q d Newton II. törvénye szerint:
a
U Q ma d
UQ dm
Az elektron y irányú elmozdulása t idő alatt: y x irányú elmozdulása: x = v0 . t a UQx2 y 2 x2 1,1 10 2 m 1,1 cm 2v0 2mdv02
a 2 t 2
6. Mekkora lesz az eredetileg 250 μF-os kondenzátor kapacitása, ha lemezei közé a távolság 1/5 részében a lemezekkel párhuzamosan az előzőekkel egyenlő területű és alakú vékony vezető lemezt helyezünk? Megoldás: C = 2,5 . 10-4 F A fémlemez behelyezésével két egymással sorosan kapcsolt kondenzátor együttesét kapjuk. 5 25 5C C C C1C 2 4 4 C C 5 25 C1 C 2 (5 )C 4 4
35
Fizika 10. 7. Egy 150 V-ra töltött 2 μF-os és egy 100 V-ra töltött 3 μF-os kondenzátort párhuzamosan kapcsolunk úgy, hogy az egynemű töltéseket tároló fegyverzeteket kötjük össze. Mekkora a feszültség az így kapott kondenzátor fegyverzetei között? Megoldás: U1 = 150 V U2 = 100 V C1 = 2 . 10-6 F C2 = 3 . 10-6 F Q1 = U1C1 Q2 = U2C2 Q U C Q = Q1 + Q2 = U1C1 + U2C2 C = C1 + C 2 U C U 2C2 U 1 1 120 V C1 C 2 8. Az egymástól d távolságra levő, egyenként A területű kondenzátorlemezek közötti teret fele-fele arányban 1 , illetve 2 dielektromos állandójú szigetelőanyag tölti ki. Mekkora a kondenzátor kapacitása? Megoldás: Ezt a két dielektrikumos kondenzátort két párhuzamosan kapcsolt kondenzátor együttesének foghatjuk fel: C C1 C 2
C
1 0 A 2d
2 0 A 2d
0 A 1 2 2d
A nevezőben azért szerepel a 2-es szorzó, mert A/2 felületű lemezek kapacitását számítottuk.
36
Fizika 10.
2. AZ ELEKTROMOS EGYENÁRAM 2.1 Az elektromos áram 1.
A fapálca mentén elhelyezett papírcsíkok a feltöltött fémtesthez közelebbi helyeken nagyobb, a földeléshez közelebb eső helyeken pedig kisebb feszültséget jeleznek. Itt a töltések egy fapálca – mint kismértékben vezető anyag – mentén jönnek áramlásba, a töltést hordozó anyagi közeg (a fapálca) azonban nem vesz részt a mozgásban. Az ilyen módon kialakuló áramlásokat vezetési áramoknak nevezzük. A vezetési áramban csak a töltés mozog, a töltéshordozó anyag nem vesz részt a mozgásban. 2. Az elektromos töltések meghatározott irányú áramlása a vezetőben az elektromos áram. 3. A) Az elektromos áram iránya (megállapodás szerint) a pozitív töltéshordozók haladási iránya.
37
Fizika 10.
B) Az elektromos áram iránya megállapodás szerint a pozitív potenciálú hely felől, a negatív, illetve a kisebb mértékben pozitív potenciálú hely felé mutat. Megjegyzés: Ha negatív töltések áramlanak, akkor az egyezményes áramirány épp ellentétes a töltések valóságos mozgási irányával. A fémes vezetőket mindig ez jellemzi, mert a fémekben csak negatív töltések (elektronok) képesek áramlásra. 4. A vezető keresztmetszetén áthaladó töltésmennyiség és a töltés áthaladásához szükséges idő hányadosával meghatározott fizikai mennyiség az áramerősség. Jele: I
I
Q t
Mértékegysége:
1
C 1A s
5. Azt az áramot, amelynek az iránya nem változik, egyenáramnak nevezzük. Amennyiben az áram erőssége is minden időben ugyanakkora, az áramlás stacionárius. I (A)
t (s) Feladatok 1. Hány elektron halad át a 4,5 V-os zseblámpa izzószálán 1 perc alatt, 0,2 A áramerősség mellett? Megoldás: U = 4,5 V t = 60 s I = 0,2 A Q = It = 12 C Q N 7 ,5 1019 db e
38
Fizika 10. 2. A 2000 V-ra feltöltött 5 μF-os kondenzátor fegyverzeteit rézhuzallal összekötve, a vezetőben 0,001 s-ig folyik áram. Mekkora az átlagos áramerősség? Megoldás: U = 2000 V t = 0,001 s C = 5 . 10-6 F Q = CU = 0,01 C Q I 10 A t 3. Egy akkumulátor 5 órán keresztül 10 A erősségű áramot képes szolgáltatni (az akkumulátor 50 amperórás). Hány coulomb töltés halad át az akkumulátor áramkörén? Megoldás: t = 18000 s I = 10 A Q = It = 1,8 . 105 C 4. 50 Ah töltéssel rendelkező feszültségforrást (akkumulátort) 12 A erősségű árammal terhelünk. Mennyi ideig folyik az áram? Megoldás: I = 12 A Q = 1,8 .105 C Q t 1,5 10 4 s 4,167 h I 5. Egy tranzisztoros rádiókészüléket 0,1 amperórás gombakkumulátor táplál. Mennyi ideig tud üzemeltetni az akkumulátor egy 5 mA áramfelvételű készüléket? Megoldás: I = 0,005 A Q = 360 C Q t 72000 s 20 h I
39
Fizika 10.
2.2 Az elektromos ellenállás (Ohm törvénye) 1. Kísérlet Kapcsoljunk különböző feszültségeket kb. 0,5 m hosszú krómnikkel huzal végpontjaihoz, és mérjük meg minden esetben a huzalban folyó áram erősségét! Készítsük el a feszültség-áramerősség grafikont! Ismételjük meg a mérést, és készítsünk grafikont több különböző anyagú és különböző méretű huzallal! Anyag: l= U (V)
Anyag: l= U (V)
I (A)
I (A)
Anyag: l= U (V)
I (A)
1. 2. 3. 4. 5.
U (V)
I (A) I
U
2. Ohm törvénye Valamely vezetőre kapcsolt feszültség és az abban haladó áram erőssége között egyenes arányosság van. U~I U állandó I U R I
40
Fizika 10. A feszültség és az áramerősség hányadosával meghatározott fizikai mennyiség jellemző az adott vezetőre, az adott vezető ellenállása. V Mértékegysége: 1 1 A 1 az ellenállása annak a vezetőnek, amelyben 1 V feszültség 1 A erősségű áramot tart fenn. 3.
I állandó U
I G U G : vezetőképesség
1 G R Feladatok 1. Mekkora annak a vezetőnek az ellenállása, amelyben a végeire kapcsolt 6,8 V feszültség hatására 1,4 A erősségű áram folyik? Megoldás: U = 6,8 V I = 1,4 A U R 4,86 I 2. Árammérő belső ellenállása 0,05 ohm. A műszer végkitérésben 6 A-t jelez. Mekkora a feszültség a műszertekercs két kivezetése között? Megoldás: R = 0,05 I=6A U = RI = 0,3 V
41
Fizika 10.
2.3 A fémes vezető ellenállása 1. Kísérlet Állandó feszültség mellett változtassuk a huzalhosszat, és a mért áramerősségből határozzuk meg az egyenes huzalhosszakhoz tartozó ellenállásokat! l (m)
I (A)
U (V)
R ( )
1. 2. 3. 4. 5.
R ()
l (m) R
l
Azonos hosszúságú, de különböző keresztmetszetű huzalokkal ismételjük meg az előbbi kísérletet! l=
m
A (m2)
I (A)
1. 2. 3. 4. 5.
42
U (V)
R ( )
Fizika 10.
R ()
A (m2) R
R ~
1 A
l A
R
l A
ρ : fajlagos ellenállás Mértékegysége: 1 m 2. Megjegyzés: A) A vezetők ellenállása függ a hőmérséklettől. B) Növekedő hőmérséklettel a fémek ellenállása nő, a széné, a félvezetőké általában csökken. C) R R 0 t
R R 0 1 t 0,004
1 C
0
43
Fizika 10. Feladatok 1. A 4 km hosszú, kétvezetékes katonai híradóvonal ellenállása 80 ohm. A vezeték zárlatos. Mekkora távolságra van a zárlat a vezeték végétől, ha ott 5 V mm 2 feszültség mellett 0,2 A-t mértek? ( 0,0175 ) m Megoldás: R = 80 I = 0,2 A l = 4000 m U=5V
0,0175 R'
U 25 I
R A
l A
l R
R'
l'
mm 2 m
R' A
0,875 mm 2 l' A
1250 m
2. Egy főzőlap fűtőszála 20 0C-on 76 ohm. Mekkora az ellenállás üzem közben, ha az üzemi hőmérséklet 380 0C? A krómnikkel huzal hőmérsékleti 1 együtthatója 0,00025 0 . C Megoldás:
t 360 0 C
2,5 10 4
1 C
0
R0 = 76
R R0 1 t 82,84
44
Fizika 10. 3. Mekkora hőmérsékletre melegedett fel az a motor, amelynek tekercselése – közvetlenül az üzemeltetés után mérve - , 1,36 ohm ellenállású? A tekercs ellenállása 20 0C-on 1,2 ohm. A rézhuzal hőmérsékleti együtthatója 1 3,92 . 10-3 0 . C Megoldás:
R20 1,2 Rt 1,36 3,92 10 3
1 C
0
R R 20t R t 34 0 C R 20 t = t + t 54 0 C 4. Egy távbeszélőkábel érpárja zárlatos. A kábel 1 mm átmérőjű rézhuzalból készült. Egy csatlakozási ponton 6 V feszültség mellett 2,4 A-es áramot mértek. Mekkora távolságra van a zárlat helye a mérési ponttól? mm 2 ( 0,0175 ) m Megoldás: U=6V I = 2,4 A d = 1 mm mm 2 0,0175 m U R 2,5 I
45
Fizika 10.
2.4 Ellenállások kapcsolása
1. Ellenállások soros kapcsolása:
A megfigyelések szerint az áramkörbe sorba kapcsolt n számú ellenállás mindegyikében ugyanakkora erősségű áram folyik. Az áram erőssége az áramkör minden pontjában azonos. I1 = I2 = I3 = I A sorba kapcsolt ellenállásokon mért feszültségek összege egyenlő a két szélső pont között mért, vagyis az áramot fenntartó feszültséggel: U = U1 + U2 + …+ Un . Ha e sorosan kötött fogyasztók ellenállása R1, R2 , … , Rn , akkor – minthogy valamennyi fogyasztón keresztül ugyanaz az I áram folyik: U1 U 2 U ... n I . R1 R 2 Rn Eszerint a sorosan kapcsolt fogyasztók végpontjai között mért feszültségek egyenesen arányosak az egyes fogyasztók ellenállásával. Az az R ellenállás, amelyet az összes R1, R2, … , Rn ellenállás helyére kötve az áramkörben az áramerősség nem változik, a sorosan kötött ellenállások eredője.
46
Fizika 10.
Az egyes fogyasztókon mért részfeszültségek: U1 = I . R1 ; U2 = I . R2 ; … ; Un = I . Rn A sorosan kapcsolt ellenállások két szélső pontja között mért feszültség: U = IR U = U1 + U2 + U3 + … + Un IR = IR1 + IR2 + IR3 + … + IRn = I . ( R1 + R2 + … + Rn ) R = R1 + R2 + R3 + … + Rn Az ellenállások soros kapcsolása esetén az eredő ellenállás egyenlő a részellenállások összegével. 2. Ellenállások párhuzamos kapcsolása:
A mérések szerint – áramelágazás esetén – az egyes ágakban mért áramerősségek összege egyenlő a főágban mért áramerősséggel. n számú párhuzamosan kapcsolt fogyasztó esetén: I = I1 + I2 + …+ In Valamennyi párhuzamosan kapcsolt fogyasztó végpontjai között a feszültség ugyanakkora (U): U1 = U2 = … = Un = U
47
Fizika 10. Ha a párhuzamosan kötött fogyasztók ellenállása R1 , R2 , … , Rn , akkor Ohm törvénye szerint: I1R1 = I2R2 = … = InRn = U Eszerint áramelágazás esetén az egyes ágakban mért áramerősségek fordítottan arányosak az egyes ágak ellenállásával. Az az R ellenállás, amelyet az összes R1 , R2 , … , Rn ellenállás helyére kötve, a főágban az áramerősség nem változik, a párhuzamosan kötött ellenállások eredője. Az egyes ágakban az áramerősségek: U U U . I1 ; I2 ; ... ; I n R1 R2 Rn A főágban folyó áram erőssége: U I R Kirchhoff törvénye szerint: U U U U ... R R1 R 2 Rn 1 1 1 1 ... R R1 R 2 Rn
Az ellenállások párhuzamos kapcsolása esetén az eredő ellenállás reciproka egyenlő az egyes ellenállások reciprokainak összegével.
Feladatok 1. Egy 300 ohmos ellenállással párhuzamosan kapcsolunk egy ismeretlen ellenállást, majd ezekkel sorosan egy 150 ohmos ellenállást. Mekkora az ismeretlen ellenállás értéke, ha az egész rendszer eredő ellenállása 300 ohm? Megoldás:
48
Fizika 10.
Re = 300 Ω Re = R’ + 150 R’ = 150 Ω R R R’ = 1 R1 R R = 300 Ω 2. Három ellenállást párhuzamosan kapcsolunk. Közülük kettő értékét ismerjük. 20 ohm, illetve 5 ohm. Mekkora a harmadik ellenállás, ha az eredő ellenállás 1 ohm? Megoldás:
Re = 1 Ω 1 1 1 1 Re R1 R2 R3 R1 R2 R3 Re R2 R3 R1 R3 R1 R2 R3 1,33 3. Egy 600 ohm ellenállású fogyasztóban 20 mA erősségű áram folyik. Mekkora ellenállást kell vele sorba kapcsolni, hogy változatlan feszültség mellett az áramerősség 12 mA legyen? Megoldás: R1 = 600 Ω U = állandó I1 = 0,02 A I2 = 0,012 A U = R1I1 = 12 V U Re 1000 I 49
Fizika 10. Re=R1+R2 R2 = 400 Ω 4. 220 V-os hálózatra sorba kapcsolunk egyenként 60 ohm ellenállású és 0,2 A-es izzókat. Hány db izzót kell a hálózatra sorba kapcsolnunk? Megoldás: R1 = 60 Ω U’ = 220 V I1 = 0,2 A U = R1I1 = 12 V U’ = nU U' n 18,33 U 5. Mekkora az ábrán látható hálózat ellenállása?
Megoldás: Jobbról balra haladva a két R/2 értékű ellenállás sorosan, hozzájuk R párhuzamosan kapcsolódik. Az így kapott részeredő ismét R/2, majd a következő ellenállást is figyelembe véve az eredő R, aztán újból R/2 és így tovább, minden ismétlődik elölről. Az eredő ellenállás értéke tehát R/2-vel egyenlő, amikor az utolsó ellenállás, amelyen mérünk R, és R-rel, amikor az utolsó ellenállás R/2.
50
Fizika 10. 6. Mekkora az ábrán látható lánc eredő ellenállása?
Megoldás: R R R Re R .... 2 4 8 1 1 1 Re = R 1 ... 2 4 8 q = 0,5 a1 = R q n 11 Re R q 1 Ha n , akkor q n 0 , mert q <1 R Re 2R 1 q 7. Egy gépkocsiizzó adatai 6 V és 5 A. Mekkora ellenállás sorbakapcsolásával használhatnánk 220 V feszültségen? Mekkora az eredő ellenállás? Megoldás: U1 = 6 V U2 = 214 V I=5A U R1 1 1,2 I U R2 2 42,8 I Re = R1 + R2 = 44 Ω
51
Fizika 10. 8. Kapcsoljunk 100 ohm és 150 ohm ellenállásokat párhuzamosan. Mekkora a mellékágban folyó áram erőssége, ha a főágban folyó áram erőssége 100 mA? Megoldás: R1 = 100 Ω R2 = 150 Ω I = 0,1 A RR R 1 2 = 60 Ω R1 R2 U = RI = 6 V U I1 0,06 A R1 U I2 0,04 A R2
1.5 Ohm törvénye teljes áramkörre 1. Kísérlet: Mérjük meg a zsebtelep feszültségét fogyasztó nélkül, majd akkor, ha az izzót is rákapcsoljuk! (Az utóbbi esetben mért feszültség kisebb.) 2. A) A terheletlen áramforrás sarkain mért U0 feszültség üresjárási feszültség vagy elektromotoros erő ( ε ). B) A terhelt áramforrás sarkain mért Uk feszültség a kapocsfeszültség. C) Zárt áramforrás esetén nemcsak a fogyasztóban, vezetéken, az úgynevezett külső ellenálláson át folyik áram ( Rk ), hanem az áramforráson keresztül is, aminek szintén van ellenállása, az úgynevezett belső ellenállása ( Rb ).
52
Fizika 10.
A külső ellenállásra jutó feszültség: Uk = IRk , ahol Rk a külső ellenállás. A feszültségforrás belső Rb ellenállására jutó feszültség: Ub = IRb , ahol Rb a belső ellenállás. Az üresjárási feszültség megoszlik a külső és belső ellenálláson: U0 = Uk + Ub U0 = I . ( Rk + Rb ) A zárt áramkörben folyó áram erőssége:
I
U0 Rk Rb
Ez az összefüggés Ohm törvénye a teljes áramkörre. 3. Áramforrások kapcsolása: Soros kapcsolás
U0e = n. U0 Rbe = n . Rb
I
U 0e n U0 R be R k n R b R k
53
Fizika 10.
Párhuzamos kapcsolás
U0e = U0 R Rbe = b n U0 U0 I Rb R b nR k Rk n n
I
nU 0 R b nR k
54
Fizika 10.
Feladatok 1. Mekkora feszültségre töltődtek fel a kondenzátorok az ábra szerinti kapcsolásban, ha tudjuk, hogy a 8 V elektromotoros erejű telepen rövidzár esetén négyszer akkora áram folyik, mint amikor az R ellenállást kapcsoljuk rá? A két kondenzátor kapacitásának aránya 1:2.
Megoldás: 0 = U = 8 V U I max (1) Rb U (2) I R Rb Imax = 4I (1) + (2) :
Rb
R 3
U R 6V R Rb Kondenzátorok: Q Q U1 U2 C1 C2 U1 C2 U 2 C1 A feszültségek fordítottan arányosak a kapacitásokkal, tehát a 6 V a két kondenzátoron 2:1 arányban oszlik meg: U1 = 4 V ; U2 = 2 V
Uk = IR =
55
Fizika 10. 2. Egy 15 V elektromotoros erejű telep sarkaira kapcsolt 10 ohm ellenállású fogyasztón 1 A erősségű áram folyik. A) Mekkora a telep belső ellenállása? B) Mekkora a feszültség a belső ellenálláson? C) Mekkora a kapocsfeszültség? Megoldás: 0 15 V I=1A Rk = 10 Ω 0 A) I Rk Rb I Rk Rb 0 5 I B) Ub = Rb I = 5 V C) Uk = Rk I = 10 V 3. Mekkora a belső ellenállása a lapos zseblámpatelepnek, ha sarkain terhelés nélkül 4,5 V, 18 ohmos zsebizzón keresztül zárva 3 V feszültség mérhető? Megoldás:
I
Uk 1 A Rk 6
I
Ub Rb
1 1,5 6 Rb Rb = 9 Ω
56
Fizika 10. 4. 20 db 10 V-os akkumulátort használnak. Az akkumulátorok belső ellenállása 0,1 ohm. A külső ellenállás 60 ohm. Mekkora erősségű áramot kaptunk, ha az akkumulátorokat sorba kapcsolták? Mekkorát, ha párhuzamosan? Megoldás: n = 20 U0 = 10 V Rb = 0,1 Ω Rk = 60 Ω Soros
U 0e n U 0 3,226 A Rbe Rk n Rb Rk Párhuzamos U0 n U 0 I 0,1666 A Rb Rb n Rk Rk n I
5. Mekkora az áramforrás elektromotoros ereje és belső ellenállása, ha sarkaira 6 ohm ellenállást kötve 1 A, 16 ohm ellenállást kötve 0,5 A az áramerősség az áramkörben? Megoldás: I1 = 1 A I2 = 0,5 A Rk1 = 6 Ω Rk2 = 16 Ω
I1
U0 Rk1 Rb
I2 =
U0 Rk 2 Rb
Rb = 4 Ω U0 = 10 V
57
Fizika 10. 6.
Mekkora a feszültség a kondenzátoron? Az ellenállás 20 ohmos, a telep elektromotoros ereje 6V, belső ellenállása 4 ohm. Megoldás:
= 6 V R = 20 Ω Rb = 4 Ω I ( R Rb ) IR IRb U k U b I R Rb R Uk 5 V R Rb
58
Fizika 10. 7.
Az ábrán látható kapcsolásban a K kapcsoló 1 állásában az ampermérő 1,2 A áramot jelez. Amikor a kapcsolót a 2 állásra fordítjuk, a mért áramerősség 1 A. Mekkora az R ellenállás és a telep elektromotoros ereje? A telep belső ellenállása elhanyagolható, míg az ellenállások értéke: R1 = 1 Ω, R 2 = 6 Ω , R3 = 12 Ω . Megoldás: R1 = 1 Ω R2 = 6 Ω R3 = 12 Ω I1 = 1,2 A I2 = 1 A 1 állás:
R2 R3 5 R2 R3 I1 Re1 6 V 2 állás: R R3 R Re 2 R1 2 R2 R3 R Re2 = 6 Ω R = 18 Ω Re1 R1
59
Fizika 10. 8. A telepre kapcsolt R1 = 28 ohm értékű ellenálláson I1 = 0,2 A, a második esetben pedig az R2 = 13 ohm értékű ellenálláson I2 = 0,4 A erősségű áram folyik. Mekkora a telep elektromotoros ereje és belső ellenállása? R1 = 28 Ω R2 = 13 Ω I1 = 0,2 A I2 = 0,4 A U0 I1 R1 Rb U0 I2 = R2 Rb Rb = 2 Ω 9. 19 db 12 V-os akkumulátort használnak. Az akkumulátorok belső ellenállása 0,1 ohm. A külső ellenállás 50 ohm. Mekkora erősségű áramot kaptunk, ha az akkumulátorokat sorba kapcsolták? Mekkorát, ha párhuzamosan? Megoldás: N = 19 U0 = 12 V Rb = 0,1 Ω Rk = 50Ω Sorosan: U 0e nU 0 I 4,4 A Rbe Rk nRb Rk Párhuzamosan:
I
U0 Rb Rk n
nU 0 0,24 A Rb n Rk
1.6 Az áram hőhatása, munkája és teljesítménye 1. Ha a fogyasztón U feszültség és Q töltés halad át rajta, akkor W = UQ. A töltésmennyiség kifejezhető az áramerősséggel és az idővel: Q = I t . Az elektromos munka: W U I t
Mértékegysége:
1 Vas = 1 J
60
Fizika 10. 2. Elektromos teljesítmény:
P
W t
P
U I t UI t
P = UI Mértékegysége:
1 VA = 1 W 1 Wh = 3600 J 1 kWh = 3,6 . 106 J
3. Az elektromos áram hőhatását molekulárisan értelmezve:
Ha az együttesen Q töltéssel rendelkező elektronok az U feszültség következtében akadály nélkül haladnának a vezetőben, akkor gyorsuló mozgással mind nagyobb sebességre tennének szert. Ebben az esetben az elektromos tér munkája teljes egészében az elektronok mozgási energiáját növelné.
A vezető felmelegedését úgy magyarázzuk, hogy az elektromos térben a töltések a feszültség hatására nem gyorsulnak, hanem a sűrűn ismétlődő ütközések révén az elektromos tér munkájával egyező mozgási energiájuk nagy részét átadják a vezető rendezetlen hőmozgást végző részecskéinek. A vezető részecskéinek átlagsebessége és így mozgási energiája is növekszik. Ezzel a vezető belső energiája és hőmérséklete is növekszik.
4. Joule-Lenz törvény: Az R ellenállású vezetékszakaszon leadott energia egyenesen arányos a szakasz ellenállásával, az áramerősség négyzetével és az idővel. W=Q Q = UIt
W I2 R t
U2 t R
61
Fizika 10. Feladatok 1. Mekkora árammal terhelhető az 5000 ohmos, 2 W jelzésű huzalellenállás? Megoldás: R = 5000 Ω P=2W P = R . I2 P I 0,02 A R 2. Mekkora hőmennyiség melegíti fel 1 óra alatt azt a főzőlapot, amelynek izzószálában 220 V feszültség mellett 2,5 A áram halad? Megoldás: t = 3600 s U = 220 V I = 2,5 A W = UIt = 1,98 . 106 J 3. Két 200 W-os 220 V-ra készült fütőtestet A) sorba, majd B) párhuzamosan kapcsolva 220 V-os hálózatra kötünk. Mekkora teljesítményt szolgáltat a rendszer az első, illetve a második esetben? Megoldás: A) Soros U2 P1 R1 R1 : eredő ellenállás Egy fűtőtest ellenállása: U2 R P R1 = 2R U2 P P1 100 W 2 2 U 2 P B) Párhuzamos R R2 2 U2 U2 P2 2 2 P 400 W R U 2 2P
62
Fizika 10. 4. A) Mekkora ellenállást kell sorbakötni az R = 3 ohmos külső ellenállással, hogy az Rb = 6 ohm belső ellenállású telep által a külső eredő ellenálláson leadott teljesítmény ne változzék? B) Mekkora ez a teljesítmény, amikor az elektromotoros ereje 90 V? C) Mekkora a telep hatásfoka? Megoldás: R=3Ω = 90 V Rb = 6 Ω P1 = I 12 R R’ = R + Rx P2 I 22 R' I1 Rb R I2 Rb R' P1 = P2 2 R 2 R' ( Rb R )2 ( Rb R' )2
Rb2 12 R Rx = 9 Ω 2 R 300 W B) P ( Rb R )2 P R 1 C) 1 Pö Rb R 3 R' 2 2 Rb R' 3 R'
5. Sorba kapcsolunk egy 10 ohm ellenállású, 9 W teljesítményre tervezett és 20000 ohm ellenállású, 8 W teljesítményre tervezett fogyasztót. Mekkora feszültség kapcsolható a rendszerre, hogy egyik fogyasztó se legyen túlterhelve? Megoldás: R1 = 10 Ω R2 = 20000 Ω P1 = 9 W P2 = 8 W P I2 R P I R I1 = 0,9487 A I2 = 0,02 A U = I2 . (R1 + R2) = 400,2 V
63
Fizika 10. 6. 220 V feszültségre sorosan kapcsolunk egy 110 V, 40 W-os és egy 110 V, 60 W-os izzót. Mi történik? Megoldás: U = 220 V U1 = 110 V U2 = 110 V P1 = 40 W P2 = 60 W U2 R1 1 302,5 P1
U 22 201,6 P2 Re = R1 + R2 = 504,16 Ω U I 0,436 A Re U I 1 1 0,36 A R1 R2
U2 0 ,54 A R2 A kisebb teljesítményű izzó kiég, mert a megengedettnél nagyobb erősségű áram halad át rajta. I2
7. Párhuzamosan kapcsolunk egy 225 ohm ellenállású, 100 W névleges teljesítményű és egy 160 ohm ellenállású, 90 W névleges teljesítményű fogyasztót. Mekkora feszültséget kapcsolhatunk a rendszerre? Megoldás: R1 = 225 Ω R2 = 160 Ω P1 = 100 W P2 = 90 W U 12 P1 R1
U 1 P1 R1 150 V U 2 P2 R2 120 V Tehát 120 V.
64
Fizika 10.
1.7 Kirchhoff törvényei 1. Kirchhoff I. törvénye: Stacionárius árammal átjárt hálózat bármely P csomópontjába befolyó áramok erősségének összege egyenlő a P-ből kilépő áramok erősségének összegével.
I2 + I1 = I3 + I4 + I5 A csomópontba befolyó és onnan elfolyó áramok erősségének algebrai összege zérus.
I
k
0
65
Fizika 10. 2. Kirchhoff II. törvénye: Stacionárius árammal átjárt hálózat bármely zárt áramkörében az egyes szakaszokhoz tartozó I k Rk feszültségesések összege egyenlő az áramkörben ható k elektromotoros erők összegével, ha az Ik –kat és az k -kat a választott körüljárási iránynak megfelelő előjellel látjuk el. Ik –t és k -t akkor vesszük pozitív előjellel, ha Ik iránya és k iránya (amely az áramforrás negatív sarkától a pozitív felé mutat, vagyis annak az áramnak az iránya, amelyet k létrehozna), megegyezik a körüljárási iránnyal.
I1R 1 I 2 R 2 I 3 R 3 I 4 R 4 I 5 R 5 2 3 4 Ha viszont a megfelelő előjeleket magukba az Ik –ba és k -ba beleértjük, akkor a huroktörvény általános alakja:
I
k
R k k
66
Fizika 10.
Feladatok 1. Határozzuk meg az ábrán látható hálózat eredő ellenállását az A és B pontok között!
Megoldás:
67
Fizika 10.
( I1 I 2 ) 1 ( I1 I 3 ) 2 ( I 2 I1 ) 1 I 2 2 ( I 2 I 3 ) 3 0 ( I 3 I1 ) 2 ( I 3 I 2 ) 3 I 3 1 0 I1 R I 2 I 1 2 I 2 3I 2 3I 3 0 6 I 2 I 1 3I 3 0
(1 )
2 I 3 2 I 1 3I 3 3I 2 I 3 0 6 I 3 2 I 1 3I 2 0
(2)
( 1 ) : 6 I 2 I 1 3I 3 I 1 3I 3 6 I 3I 6I 3 2I1 1 3 0 2 2 12 I 3 4 I 1 I 1 3I 3 0 I2
9 I 3 5I1 0 5 I 3 I1 9 4 I 2 I1 9 5 4 13 I1 2 I1 I1 9 9 9 I1 R R
13 9
68
Fizika 10. 2. Mekkora áram folyik az ábra szerinti A és B pontokat összekötő rövidzáron? = 6 V ; R = 3 Ω
Megoldás:
( I 2 I1 ) 2R I 2 R 0 ( I 3 I1 ) R I 3 2R 0 ( I1 I 2 ) 2R ( I1 I 3 ) R I1 = 1,5 A I2 = 1 A I3 = 0,5 A IAB = I2 – I3 = 0,5 A
69
Fizika 10.
3. Mekkora áram folyik az R3 ellenálláson az ábra szerinti kapcsolásban?
1 12 V; 2 4 V ; R b1 3 ; R b 2 1 ; R 1 8 ; R 2 10 ; R 3 5 Megoldás:
1 I1Rb1 I1R1 ( I1 I 2 ) R3 2 I 2 Rb 2 I 2 R2 ( I 2 I1 ) R3 I 2 0,0173 A I1 0,7446 A R3 :
I1 – I2 = 0,7612 A 70
Fizika 10.
4. Mekkora az áramerősség az ábra szerint összekapcsolt áramkörben?
R 1 20 ; R 2 40 ; R 3 10 ; R b1 0,2 ; R b 2 R b3 0,1 R b 4 0,01 ; 1 2 10 V; 3 6 V; 4 20 V . Megoldás:
I R1 1 I Rb1 2 I Rb 2 3 I Rb3 I R2 I R3 4 I Rb 4 0 I = 0,0852 A
71
Fizika 10. 5. Az ábra szerinti kapcsolásban 1 2 2 V , Rb1 = 1 Ω , Rb2 = 2 Ω . Mekkora a fogyasztó R3 ellenállása, ha az első elemen átfolyó áram erőssége I1 = 1 A? Mekkora a másik elemen átfolyó I2 és a fogyasztón átfolyó I3 áramerősség?
Megoldás:
72
Fizika 10.
2 ( I 2 I 1 ) R3 I 2 Rb 2 0 ( I 1 I 2 ) R3 1 I 1 Rb1 0 2I 2 1 0 I 2 0 ,5 A R3 0 ,5 R3 1 0 2 3 R3 : I 3 I 1 I 2 1 0 ,5 1,5 A R3
6. Az ábrán látható hálózatban az ellenállások értéke R1 = 50 ohm, R2 = 80 ohm, R3 = 100 ohm. A telepek elektromotoros ereje 1 1,5 V; 2 1 V és a belső ellenállásuk elhanyagolható. Határozzuk meg az AB ágban folyó áram erősségét!
Megoldás:
73
Fizika 10.
1 I1 R1 ( I1 I 2 ) R3 0 2 I 2 R2 ( I 2 I1 ) R3 0 I2 = 0 A I1 = 0,01 A IBA = I1 – I2 = 0,01 A 7. Mekkora az ábrán látható rendszer eredő (az A és B pontok közötti) ellenállása?
74
Fizika 10. Megoldás:
I = I1 + I2 I2 = I3 + I5 I4 = I1 + I5 I 2 R I 3 2R
I2 R I5 R I4 R 2R I1 I 2 R I 5 R 0 I 4 R I 5 R 2I 3 R 0 I 7 Re R 5 Re
75
Fizika 10.
1.8 Mérőműszerek méréshatárának kiterjesztése 1. A mérőműszerek fontos jellemzője, hogy milyen méréshatárig használhatók. Egy áramerősségmérő vagy egy feszültségmérő méréshatárán azt az áramerősséget, illetve feszültséget értjük, amelynél a műszer mutatója végkitérésbe kerül. 2.
Áramerősség mérésnél sorosan kapcsoljuk a műszert a fogyasztóhoz, hogy a mérni kívánt áram átfolyjon rajta. A műszer akkor mér helyesen, ha kicsi a műszer ellenállása a fogyasztóéhoz képest. 3.
A feszültségmérő műszer belső ellenállása nagy, azért hogy a fogyasztón áthaladó áramerősséget ne csökkentse. 76
Fizika 10. 4. Árammérő műszer méréshatárának kiterjesztése:
Rs : sönt ellenállás I = Ia + Is
Ia R b Is R s
Rs
Ia R b Is
5. Feszültségmérő műszer méréshatárának kiterjesztése:
U = Ue + Uv Re : előtét ellenállás
Ue U v Re Rb 77
Fizika 10.
Re
Ue R b Uv
Feladatok 1. Egy árammérő méréshatára 5 mA, belső ellenállása 20 ohm. Mekkora az árammérővel párhuzamosan kapcsolt ellenállás, ha 500 mA-es áramerősség mellett az árammérő végkitérést mutat? Megoldás: I1 = 5 mA Rb = 20 Ω I = 500 mA I = I1 + I2 I2 = 495 mA U = RbI1 = 0,1 V U Rs 0,202 I2 2. Egy feszültségmérő végkitérésben 5 V-ot mér. Hány ohmos előtét ellenállás szükséges, hogy a műszerrel 50 V feszültségig lehessen mérni? A műszer belső ellenállása 1500 ohm. Megoldás: U1 = 5 V U = 50 V Rb = 1500 Ω Ue = 45 V U R Re e b =13500 Ω U1
78
Fizika 10. 3. Egy mérőműszeren 10 mA és 35 mV adatok láthatók. Mekkora ellenállású söntöt kell készíteni, hogy 2 A-ig mérjen a műszer? Mekkora előtétet kell készíteni, hogy 5 V-ig mérjen a műszer? Megoldás: I= 2 A I1 = 0,01 A I2 = I – I1 = 1,99 A U=5V U1 = 0,035 V U2 = 4,965 V U Rb 1 3,5 I1 I R Rs = 1 b = 0,0176 Ω I2 U R Re 2 b = 496,5 Ω U1 4. Iskolai árammérő belső ellenállása 20 ohm. Mutatóját 5 mA-es áram téríti ki teljesen. Mekkora söntökkel mérhető 1 A és 10 A? Megoldás: I = I1 + I2 Rb = 20 Ω I1 = 0,005 A I2 = 0,995 A I 2' = 9,995 A I R Rs 1 b 0,1 I2
Rs'
I 1 Rb 0,01 I 2'
5. Az 50 mV végkitérésű, 20000 ohm belső ellenállású feszültségmérővel 100 V-ig akarunk feszültséget mérni. Milyen védőellenállást alkalmazzunk? Mekkora a mért feszültség, amikor a műszer mutatója 30 mV-nak megfelelő skálaosztásnál állapodik meg? Megoldás: Rb = 20000 Ω U1 = 0,05 V U2 = 99,95 V U = 100 V U R Re 2 b 4 10 7 U1 B) 50 egység 100 V 30 egység x x = 60 V
79
Fizika 10. 6. A 10 mA végkitérésű, 0,01 ohm belső ellenállású áramerősségmérővel 2 A-ig akarunk áramerősséget mérni. Milyen védőellenállást alkalmazzunk? Mekkora a mért áramerősség, amikor a műszer mutatója a 3 mA-nek megfelelő skálaosztásnál állapodik meg? Megoldás: I=2A I1 = 0,01 A Rb = 0,01 Ω I2 = 1,99 A I R Rs 1 b = 5,025 . 10-5 Ω I2 B) 10 egység 3 egység
2A y
y = 0,6 A
80
Fizika 10.
3. MÁGNESES MEZŐ 3.1 Mágnese alapjelenségek 1. Az iránytű a Föld felszínén megközelítőleg az Észak-déli irányba áll be.
2. Közelítsünk a mágnestű felé mutató végéhez egy rúdmágnessel! Azt tapasztaljuk, hogy a rúdmágnes egyik vége maga felé vonzza, a másik vége pedig taszítja a tű végét, és a mágnestű ennek megfelelően előbb az egyik, majd az ezzel ellentétes irányba fordul.
Ismételjük meg a kísérletet a mágnestű dél felé mutató végénél! Itt is ugyanezt fogjuk tapasztalni, de a rúdmágnesnek az a vége, amelyik a mágnestű északi végét vonzotta, a déli végét eltaszítja magától, és fordítva: a rúdmágnes másik vége, amelyik a mágnestű északi végét taszítja, most a déli végét vonzza. A kísérletek eredményei arra engednek következtetni, hogy a mágneseknek kétféle pólusuk van, északi és déli. A mágneses pólusokra érvényes, hogy az azonosak egymást kölcsönösen taszítják, a különbözőek pedig egymásra kölcsönös vonzó hatást fejtenek ki.
81
Fizika 10. 3. Feszítsünk ki szigetelő állványok között egy vezetőt észak-déli irányba. Helyezzünk közelébe iránytűt!
4. Az ábrán egy állványra függesztett tekercset látunk, amely a felfüggesztő fonal mint tengely körül elforoghat.
Ha a tekercsbe megfelelően hajlékony vezetékek segítségével áramot vezetünk, a tekercs iránytűként viselkedik. Ha megfordítjuk a tekercs áramának irányát, a tekercs is 1800-ot fordul, jelezve, hogy a rúdmágnesként viselkedő tekercs mágneses pólusai és az áramirány között egyértelmű kapcsolat van. Mivel az áramjárta tekercs a
82
Fizika 10. rúdmágnessel egyenértékűen viselkedik, a tekercs mágneses pólusait is az iránytűnél kialakult módon nevezzük el. 5. A tekercs meneteiben folyó áram iránya és a tekercs mágneses északi pólusának iránya közötti kapcsolatot úgynevezett „jobbkéz szabály”-al is megfogalmazhatjuk.
Az ábrán látható, hogy jobb kezünk behajlított ujjai a tekercs meneteiben folyó áram irányát mutatják, kinyújtott hüvelykujjunk iránya pedig a tekercs északi pólusának irányát adja meg. 6. Áramok kölcsönhatása: Ha a vezető huzalban áram folyik az egyenes vezető környezetében, akkor az odavitt kis iránytűk mágnességet jeleznek. Az eddig elvégzett kísérletekből arra következtethetünk, hogy a mágnességet a töltések mozgásával, áramlásával kell kapcsolatba hozni. A párhuzamos és egyirányú áramok között vonzó, párhuzamos és egymással ellentétes irányú áramok között taszító erők hatnak, az egymásra merőleges áramok között pedig nincs kölcsönhatás.
83
Fizika 10.
Az erő mérése:
Az ábra szerinti mérést úgy állítottuk össze, hogy egy végtelen hosszúnak vehető és I0 erősségű árammal átjárt vezető közelében, attól r távolságra és párhuzamosan elhelyeztünk egy l hosszúságú huzalt, amelyben Im erősségű mérőáram folyt. A két áram (I0 és Im) egymással párhuzamos. Az l hosszúságú huzaldarab végei higanyba merülnek, így biztosítjuk az áramkör záródását és azt, hogy a huzalon fellépő erőhatást a dinamométerrel mérni lehessen. A mérések szerint az árammal átjárt vezetők közötti erő nagysága mindkét áramerősséggel és a mérőhuzal hosszával egyenesen, a huzalok közötti távolsággal pedig fordítottan arányos: 2 I0 Im l F k' r 84
Fizika 10. Vs Am 0 Vs k’ = 10 7 4 Am 0 4 10 7
Feladatok 1. Két áramátjárta 1 méter hosszú egyenes vezető egymástól 1 méter távolságra van. A bennük folyó áram erőssége 1 A. Mekkora erővel hat egymásra a két vezető? Megoldás: l=1m I=1A r=1m F k'
2I 0 I m l r
k' 10 7
Vs Am
F 2 . 10-7 N 2. Egy gépteremben két vezetéksín egymástól való távolsága 50 cm. A sínek alátámasztási szigetelői egymástól 120 cm távolságra vannak. A zárlati áramerősség pillanatnyi értéke 50000 A. Mekkora erő hat ekkor egy támszigetelőre? Megoldás: r = 0,5 m I = 50000 A l = 1,2 m 2I I l Vs F k' 0 m k' 10 7 r Am . 3 F = 1,2 10 N 3. Egy alumíniumkohóban két vezetéksín egymástól való távolsága 50 cm. A síneket tartó támszigetelők 1 méter távolságra vannak egymástól. Üzem közben az áramerősség 60000 A. Mekkora erő hat ekkor egy támszigetelőre? Megoldás: r = 0,5 m I = 60000 A l=1m 2I I l Vs F k' 0 m k' 10 7 r Am F = 1440 N
85
Fizika 10.
3.2 Mágneses tér 1. Permanens mágnes vagy áramátjárta tekercs környezetében a mágnestű mindenütt meghatározott irányba áll be.
Az ábra szaggatott vonala a meghatározott irányba beálló egyes mágnestűk hossztengelyét jelöli. Ha mágnestű helyett tengellyel ellátott kicsiny áramátjárta körvezetővel járjuk be a mágnes körüli teret, a kicsiny körvezető is mindenütt ugyancsak meghatározott irányba áll be. Észrevehetjük, hogy a tér ugyanazon a helyén a mágnestű hosszanti tengelye és a kis körvezető síkja egymásra merőleges. 2. Azt a teret, amelyben a mágneses erők hatnak, mágneses erőtérnek nevezzük. 3. Szórjunk permanens mágnes fölé helyezett üveglapra vasreszeléket. Ha az üveglapot gyengén megkopogtatjuk, a vasreszelék a rúdmágnes és patkómágnes környezetében jól kivehető vonalak mentén helyezkedik el.
86
Fizika 10.
87
Fizika 10.
3.3 A mágnese indukcióvektor 1. A mágneses térben elhelyezett dipólusra (mágnestű két pólusára vagy egy kis áramátjárta körvezető egyes darabjaira) erők hatnak, melyek kizárólag forgatónyomatékot eredményeznek. A mágneses teret a benne elhelyezett dipólusra ható mágneses erők forgatónyomatékával jellemezhetjük. Eszköz: magnetométer
88
Fizika 10.
2. Vizsgáljuk meg, hogy adott mágneses térnek adott pontjában mitől függ a magnetométer mérőkeretére ható M forgatónyomaték! Változtassuk a mérőkeretben folyó áram erősségét (Im) és a keret geometriai méreteit ( l hosszát, d szélességét, vagyis az l . d = Am területét! A mérési eredmények szerint, ha A) Am állandó és Im változik, akkor M ~ Im B) Im állandó és Am változik, akkor M ~ Am Adott tér adott pontjában a mérőkeretre ható erők forgatónyomatéka egyenesen arányos a mérőkeretben folyó áram erősségével és a mérőkeret területével: M ~ Im . Am M állandó Im Am
M B Im Am
89
Fizika 10. A mágneses tér megadott pontjában elhelyezett kicsiny áramátjárta mérőkeretre ható mágneses erők forgatónyomatéka és az ImAm szorzat hányadosával meghatározott fizikai mennyiséget mágneses indukciónak nevezzük. N Mértékegysége: 1 1 T (Tesla) Am J Ws VAs 1N=1 1 1 m m m N Vs 1 1 2 Am m 3. A mágneses indukció vektormennyiség. Irányát – megállapodás alapján – „ a jobbkézszabály” adja meg: markoljuk át jobb kezünkkel a mérőkeretet úgy, hogy négy ujjunk a keretben folyó áram irányába mutasson, akkor kinyújtott hüvelykujjunk a mérőkeretre merőlegesen megadja a mágneses indukció irányát. 4. Az olyan mágneses erőteret, amelyben a mágneses indukció iránya és nagysága minden pontban azonos, homogén mágneses térnek nevezzük. 5. Azokat a vonalakat, amelyeknek érintői megadják az érintési pontban a mágneses indukció irányát, mágneses indukcióvonalaknak nevezzük. 6. Megállapodás szerint az indukcióvonalakra merőlegesen elhelyezett egységnyi felületen annyi mágneses indukcióvonalakat képzelünk el, amennyi az illető helyen a mágneses indukció mérőszáma. Adott felületen áthaladó indukcióvonalak számát kifejező fizikai mennyiség a mágneses fluxus. B A
Vs m 2 1 Vs 1 Wb 2 m Mértékegysége: N Nm 1 1 m 2 1 mA A 7. B A cos 1
90
( Weber )
Fizika 10. 8. Megjegyzés: A) I.
A' A A' A sin B A sin
sin
91
Fizika 10. II.
A' A 0 A' A sin(90 ) A' A cos B A cos
sin (90 0 )
92
Fizika 10. B) I.
B' B 0 B' B cos(90 ) B' B sin
cos ( 90 0 )
II.
B' B B' B cos
cos
93
Fizika 10.
C) Forgatónyomaték számításnál: 1. A vezetőkeretre ható nyomaték maximális, ha a keret normálisa merőleges az indukcióvektorra. n ┴ B 2. A forgatónyomaték zérus, ha n ║ B . Forgatónyomatékot csak az n –re merőleges B hoz létre. 3.
B B 0 B B sin (90 )
sin (90 0 ) B B cos
M I A B cos
94
Fizika 10. 4.
B B B B sin
sin
M I A B sin
Feladatok 1. A 0,36 Vs/m2 mágneses indukciójú térben 0,5 A erősségű áram folyik a 10 cm x 20 cm méretű tengelyezett huzalkeretben. Mekkora maximális forgatónyomaték hat a keretre? Megoldás: M B IA M BIA 3,6 10 3 Nm 2. Egy 30 cm2 keresztmetszetű tekercs belsejében 0,12 Vs/m2 mágneses indukciót létesítettünk. Mekkora a mágneses fluxus? Megoldás: BA 3,6 10 4 Vs
95
Fizika 10. 3. Nagyméretű patkómágnes sarkai között a szárak hossza mentén 8 cm x 8 cm alapú és elegendő hosszúságú téglatest alakú térrészben a mágneses tér homogén: a fluxus 3,2 . 10-4 Vs. Mekkora forgatónyomatékkal hat a tér a belehelyezett vezető keretre, ha abban 0,4 A erősségű áram folyik? A keret síkja párhuzamos az indukcióvonalakkal, forgástengelye merőleges azokra és felülete 30 cm2. Megoldás: A1 = 6,4 . 10-3 m2 A2 = 3 . 10-3 m2 I = 0,4 A 3,2 10 4 Vs Vs B 5 10 2 2 A1 m M B I A2 I A2 6 10 5 Nm A1 4. Egy forgótekercses ampermérőben a mágnes sarkai között a tér mágneses indukciója 0,2 N/Am. A forgó tekercs mérete 3 cm x 2 cm. Mekkora a forgatónyomaték, ha a 100 menetes tekercsben 10 mA erősségű áram folyik? Megoldás: B = 0,2 Vs/m2 N = 100 I = 0,01 A A = 6 . 10-4 m2 Iö = 1 A M = B . Iö . A = 1,2 . 10-4 Nm 5. Vezetőkeret síkja párhuzamos a homogén mágneses tér indukcióvonalaival, forgástengelye merőleges azokra. Mekkora forgatónyomatékkal hat a tér a keretre, ha abban 0,4 A erősségű áram folyik, és az indukcióvonalak fluxusa 3,2 . 10-4 Vs? Megoldás: I = 0,4 A 3,2 10 4 Vs M BI A I A I 1,28 10 4 Nm A 6. Mekkora forgatónyomaték hat a 100 cm2 felületű vezetőkeretre, ha benne 1 A erősségű áram folyik, és a 0,2 Vs/m2 indukciójú homogén mágneses térben úgy helyezkedik el, hogy síkjának normálisa az indukcióvonalakkal 60 fokos szöget zár be? Megoldás: A = 10-2 m2 B = 0,2 Vs/m2 I=1A 60 0 M B I A sin 1,73 10 3 Nm
96
Fizika 10. 7. Egy 30 cm hosszú fémhuzalból négyzetet illetve egyenlő oldalú háromszöget alakítunk ki. Az így elkészített keretet síkjával párhuzamos, 0,02 Vs/m2 indukciójú homogén mágneses mezőbe helyezzük és 2 A erősségű áramot bocsátunk át rajta. Mekkora forgatónyomaték hat a keretre az egyes esetekben? Megoldás: B = 0,02 T l = 0,3 m Im = 2 A M =BIA
A = a2 = 5,625 . 10-3 m2 M = 2,25 . 10-3 Nm
a 3 0,0865 m 2 am t A 4,325 10 3 m 2 2 M BIA 1,73 10 4 Nm m
97
Fizika 10.
3.4 Mágneses térerősség 1. Határozzuk meg árammal átjárt tekercs belsejében a mágneses indukció nagyságát és irányát magnetométerrel.
A magnetométer mérőkeretének felülete és a benne folyó áram erőssége legyen állandó (az ImAm szorzat állandó). Változtassuk a tekercsben folyó áram erősségét ( I ), a tekercs menetszámát (N), a tekercs hosszát ( l ) és keresztmetszetét ( A ). Mérésünk szerint, ha A) N, l és A állandó, és I változik, akkor B ~ I B) I, l és A állandó, és N változik, akkor B ~ N 1 C) I, N és A állandó, és l változik, akkor B ~ l D) I, N és l állandó, és A változik, akkor B független A-tól. A tekercs belsejében a mágneses indukció egyenesen arányos a tekercsben folyó áram erősségével és a tekercs menetszámával, fordítottan arányos a tekercs hosszával, és független a tekercs keresztmetszetétől. B~
IN l
B = 0
IN l
0 4 10 7
98
Vs Am
Fizika 10.
IN kifejezés a tekercs belsejében kialakuló, a tekercsben folyó áram által l gerjesztett mágneses térre jellemző mennyiséget határoz meg, amelyet mágneses térerősségnek nevezünk. Jele: H IN H l
2. Az
A mágneses indukció és a mágneses térerősség közötti kapcsolat (légüres térben, illetve levegőben): B 0 H
3. A mágneses térerősség vektormennyiség. Iránya a mágneses tér egy kiválasztott pontjában megegyezik a mágneses indukció irányával, amelyet a jobbkézszabály ad meg. A Mértékegysége: 1 m 4. az áramjárta tekercs belsejében a tér homogén. 5. A toroid középpontjától R távolságban a térerősség: IN IN H R : a toroid sugara l 2R 6. Hosszú, egyenes vezetőtől r távolságban a térerősség: I H 2r 7. R sugarú, I erősségű áram által járt körvezető középpontjában a mágneses tér erőssége: I H 2R 8. B r 0 H
r : relatív mágneses permeabilitás r megmutatja, hogy hányszorosára növekszik a tekercs mágneses indukciója, ha a belsejét légüres tér helyett az illető anyag tölti ki. 9.
Ferromágneses anyagok: r >>>1 ( Co; Ni; Fe) Paramágneses anyagok: r > 1 (fa; Al; platina) Diamágneses anyagok: r < 1 (Bi; S; Au)
99
Fizika 10.
Feladatok 1. Szétszedhető iskolai transzformátor 6 cm hosszú 300 menetes tekercsében 1 A erősségű áram folyik. Mekkora a térerősség és a mágneses indukció a tekercs belsejében? Megoldás: l = 0,06 m I=1A N = 300
B 0
IN Vs 6,28 10 3 2 l m
2. Egy l hosszúságú, N menetes tekercs meneteiben 0,04 A erősségű áram folyik. Mekkora áramerősséggel érhető el egy másik tekercsben az előbbivel egyenlő mágneses térerősség, ha annak hossza kétszer és menetszáma háromszor akkora, mint az elsőé? Megoldás: IN H l I1 N I 3N 2 l 2l 3 I1 I 2 2 2 8 I 2 I 1 10 2 A 3 3 3. Mekkora a mágneses tér erőssége egy áramjárta, hosszú egyenes vezetőtől 0,5 m távolságban, ha a vezetőben 100 A erősségű áram folyik? Megoldás: I A H 31,8 2r m 4. Mekkora a térerősség a 0,5 A erősségű árammal átjárt 1,5 cm sugarú körvezető középpontjában? Megoldás: I A H 16,7 2R m 5. Lemezelt vasmagos tekercs mágneses terének indukciója 1,35 Vs/m2; a mágneses térerősség 1800 A/m. Mekkora a lemez relatív mágneses permeabilitása? Megoldás: B 0 r H r
B 597 0 H
100
Fizika 10.
6. Egy 80 cm hosszú légmagos tekercs 60 menetből áll, ellenállása 8 ohm. Mekkora lesz a tekercs belsejében kialakuló homogén mágneses mező indukciója, ha 12 V-os áramforrást a tekercs két vége közé kapcsoljuk? Megoldás: l = 0,8 m R=8Ω N = 60 U = 12 V N I NU Vs B 0 0 1,41 10 4 l lR m2 2 7. Mekkora forgatónyomaték hat a 100 cm felületű vezetőkeretre, ha benne 2 A erősségű áram folyik, és a 0,2 Vs/m2 indukciójú homogén mágneses térben úgy helyezkedik el, hogy síkjának normálisa az indukcióvonalakkal 300-os szöget zár be? Megoldás: M I A B sin 0,002 Nm 8. A 0,1 m oldalhosszúságú, négyzet alakú vezetőhurok normálisa 300-os szöget zár be az 1,5 Vs/m2 indukciójú mágneses tér indukcióvektorával. A hurokra ható forgatónyomaték 0,05 Nm. Mekkora a hurokban folyó áramerősség? Megoldás: M I A B sin M I 6,67 A A B sin 9. A tekercs hossza 15 cm, meneteinek száma 850. A tekercs huzalának mm 2 vastagsága 0,3 mm, fajlagos ellenállása 0,0175 . Egy menet hossza m 6 cm. Mekkora a mágneses térerősség a tekercs belsejében, ha sarkaira 20 V feszültséget kapcsolunk? Megoldás: l R 3,16 A U R I U I 6 ,33 A R IN A H 35870 l m
101
Fizika 10.
3.5 A mágneses mező forrásmentessége 1. A hosszú egyenes vezető mezejét jellemző indukcióvonalak a vezetővel koncentrikus körök, melyek síkja merőleges az egyenes vezetőre.
Ha jobb kezünk kinyújtott hüvelykujját az áram irányába állítjuk, akkor begörbített ujjaink éppen az áramot körülvevő indukcióvonalak irányába mutatnak. A mágneses mező indukcióvonalai zárt, önmagukba visszatérő görbék. Ez pedig azt jelenti, hogy a mágneses mező forrásmentes, vagyis nincsenek mágneses töltések, amelyekből az indukcióvonalak kiindulnának. 2. Maxwell III. törvénye: Ha bárhogyan is veszünk fel egy zárt felületet a mágneses mezőben, az abból kilépő és oda belépő mágneses indukcióvonalak számának algebrai összege mindig nulla, más szóval a mágneses mező forráserőssége nulla. NB = 0 minden térfogatra. 0
B
n
A 0
A
102
Fizika 10.
3.6 A mágneses mező örvényerőssége 1. Az áramok keltette mágneses mezőben áramokat körül nem hurkoló indukcióvonal nincsen, vagyis minden indukcióvonal – hurkon belül folyik áram. Más szóval nemcsak zártak az indukcióvonalak, hanem az áramokat meg is kerülik. A mágneses mező örvényes, és B örvényeit az áramok keltik. 2. A mágneses mező örvényerősségét nem értelmezhetjük zárt görbén mozgatott töltésen végzett munka segítségével, mint ahogyan azt az elektromos mezőben tettük, mivel mágneses töltések nincsenek. Mégis szeretnénk a mezőnek ezt az „örvénylő” tulajdonságát mennyiségileg is jellemezni. A mágneses mező örvényerősségét az 0
elektromos mezőben értelmezett
E s mintájára az ÖB =
0
B s
zárt görbére
számított összeggel mérjük. 3.
2 I0 Im l r I I l F 0 0 m 2 r F B Im l F k'
k'
0 4
0 I0 2 r Egyenes vezetőben folyó áram mágneses mezejében B egy indukcióvonal mentén állandó nagyságú. Az örvényerősségre gondolva az az ötletünk támadhat, hogy szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a megfelelő indukcióvonal hosszával, azaz 2r - vel. B
2r B 0 I 0 Az egyenlet jobb oldala már csak a körülhurkolt áram erősségétől függ. Az egyenlet bal oldala nem más, mint a mező örvényerősségének az a speciális esete, hogy egy indukcióvonal görbére számoltunk. Mivel méréseink azt mutatták, hogy B a kör sugarának reciprokával arányos, ezért – állandó erősségű áram mezejében – az indukcióvonal hosszának és B-nek szorzata, vagyis az örvényerősség a kör sugarától függetlenül állandó, csak az áram erősségétől függ. 4. Maxwell IV. törvénye ( Ampere-féle gerjesztési törvény): Ha az áramot körülvesszük egy tetszőleges alakú görbével, akkor az erre a görbére számított örvényerősség a körülvett áram erősségével egyenesen arányos, függetlenül a görbe alakjától és az általa körülhatárolt területtől: ÖB = 0 I 0
B s
0 I
103
Fizika 10.
3.7 Lorentz-féle erő 1. Az ábrán látható elrendezésben, egy erős patkómágnes szárai közé egy olyan l hosszúságú vezetőt függesztünk, amelyben I erősségű elektromos áram folyik, azt tapasztaljuk, hogy a vezető huzal az ábrán nyíllal jelölt irányba kissé elmozdul. A huzal kimozdulásából erőhatásra következtethetünk.
Ha a vezetőben folyó áram irányát, vagy ha a mágnes pólusait felcseréljük, a vezető kimozdulása, azaz a vezetőre kifejtett erőhatás iránya is az ellenkezőjére változik. A mágneses mező erőhatást gyakorol az indukcióvonalakkal nem párhuzamos, árammal átjárt egyenes vezetőre. 2. Legyen az áramátjárta tekercs homogén terében a magnetométer mérőkeretének l hosszúságú része az indukcióvonalakra merőleges d hosszúságú része azokkal párhuzamos I a mérőkeretben folyó áram erőssége Erő csak az l hosszúságú vezetődarabra hat. A mérőkeretre a mágneses tér forgatónyomatéka: M = BIA = BIld M = Fd Fd = BIld F=B.I.l A mágneses térben levő áramátjárta vezetőre ható erő egyenesen arányos a tér mágneses indukciójával, a vezetőben folyó áram erősségével és a vezetőnek a mágneses térben levő, az indukcióvonalakra merőleges hosszával.
104
Fizika 10. 3. Az erő iránya: Ha jobb kezünk három ujját egymásra merőlegesen tartjuk: hüvelykujjunk : B mutatóujjunk : F középső ujjunk: I
4. A B mágneses indukciójú erőtérben az l hosszúságú, I erősségű, áram által átjárt vezetőre ható erő, ha l B , F = B . I . l . I erősségű az áram, ha a vezető keresztmetszetén t másodperc alatt Q = It elektromos töltés halad át. Tegyük fel, hogy ez a töltés éppen t másodperc alatt fut végig az l hosszúságú vezetőn. l A töltés mozgási sebessége v . t l F B Il B I t BQ v t A B mágneses indukciójú erőtérben v sebességgel mozgó Q töltésre ható erő: F B Q v
105
Fizika 10.
Feladatok 1. Patkó alakú elektromágnes 15 cm x 15 cm méretű homogén terében a mágneses fluxus 0,036 Vs. Mekkora erő hat arra a vezetőre, amely merőleges a tér mágneses indukció vektorára, és amelyben 10 A erősségű áram folyik? Megoldás: A = 2,25 . 10-2 m2 I = 10 A l = 0,15 m
= 0,036 Vs F BIl
I l 2,4 N A
2. Homogén mágneses mezőben egy 2 cm oldalhosszú, 10 A erősségű árammal átjárt négyzet alakú vezetőkeretre ható maximális forgatónyomaték 0,006 Nm. Mekkora erő hat ebben a mezőben egy, az indukcióvonalakra merőlegesen elhelyezett 15 cm hosszú, 3 A erősségű árammal átjárt vezetőszakaszra? Megoldás: M = 0,006 Nm l = 0,15 m a = 0,02 m Im = 10 A I=3A
A a 2 4 10 4 m 2 B
M 1,5 T Im A
F BIl 0,675 N
3. Mekkora erővel hat a 0,5 Vs/m2 indukciójú homogén mágneses tér az egyenes vezető 1 méter hosszú szakaszára, ha abban 20 A erősségű áram folyik, és A) a vezető merőleges az indukcióvonalakra; B) a vezető párhuzamos az indukcióvektorral; C) a vezető 30 fokos szöget zár be az indukcióvektorral? Megoldás: A) F = BIl = 10 N B) F = BIl . sin = 0 N C) F = BIl . sin = 5 N
106
Fizika 10. 4. Elektront 1000 V potenciálkülönbséggel felgyorsítunk, és sebességére merőleges homogén mágneses erőtérbe irányítjuk. A mágneses indukció erőssége 0,012 Vs/m2. Határozzuk meg a pálya görbületi sugarát és az elektron keringési idejét! ( m = 9,1 . 10-31 kg ; Q = 1,6 . 10-19 C ) Megoldás: U = 1000 V B = 0,012 Vs/m2 F = BQv BQv = mrω2 = mvω
QB m
T
2m 3 10 9 s QB
QU
1 m v2 2
BQv = mrω2 r = 8,9 . 10-3 m 5. Mekkora mágneses indukciójú tér hat 10-12 N erővel az indukcióvonalakra merőlegesen, 200000 km/s sebességgel mozgó elektronra? Megoldás: F = 10-12 N v = 2 . 108 m/s F = BQv
B
F 3,125 10 2 T Qv
107
Fizika 10.
4. A MÁGNESES INDUKCIÓ 4.2 A mozgási indukció 1. Kísérlet:
Ha egyenes vezetőt állandó homogén mágneses térben az indukcióvonalakra merőlegesen állandó sebességgel mozgatunk, akkor a vezető két végére kapcsolt galvanométer mutatója kitér, jelezve, hogy a körben áram folyik. Ha a vezetőt ellentétesen mozgatjuk, vagy a mágnes sarkait felcseréljük, a galvanométer kitérése is az előzőhöz képest ellentétes lesz. Ha a vezetőz a mágneses térben az indukcióvonalakkal párhuzamosan mozgatjuk, a galvanométer mutatója nem mozdul el, a körben áram nincs. 2. Állandó mágneses térben az indukcióvonalakkal nem párhuzamosan mozgó vezető végei között feszültség keletkezik. A jelenséget mozgási indukciónak, az így kapott feszültséget indukált feszültségnek nevezzük. 3. Értelmezése: A vezető mozgatásával a benne levő szabad elektronok is mozognak a mágneses térben. A mágneses tér a benne mozgó töltésekre a vezető mozgási sebességére és a tér mágneses indukciójára merőleges erővel hat. Ezért a szabad elektronok a vezető egyik végében felhalmozódnak, a másik végén elektronhiány lép fel, tehát feszültség keletkezik. Ha a mozgatott vezető két végét vezetővel összekötjük, a vezetőben áram folyik mindaddig, amíg a feszültség, illetve a mozgás tart.
108
Fizika 10. 4. Ha l hosszúságú vezetőt B indukciójú térben mozgatunk v sebességgel t ideig, akkor a keletkezett U feszültség a vezetőben I erősségű áramot hoz létre.
B, l, v mindegyike merőleges a másik kettőre.
Welektromos U I t Wmechanikus F s A mozgatáshoz szükséges erő éppen egyenlő a mágneses tér által az áramátjárta vezetőre ható F = BIl erővel.
Wmechanikus B I l s Welektromos Wmechanikus U I t B I l s B I l s U I t
U B l v Ha állandó mágneses térben egyenes vezetőt mozgatunk, az indukált feszültség egyenesen arányos a mágneses tér indukciójával, a mozgatott vezető hosszával és a mozgatás sebességével.
109
Fizika 10. Feladatok 1. Mekkora feszültséget indukál a Föld mágneses tere a 108 km/h sebességgel haladó gépkocsi 1,2 m hosszú tengelyében, ha a földi mágneses erőtér indukciójának függőleges összetevője 5 . 10-5 T? Megoldás: U = Blv = 1,8 . 10 -3 V 2. Mekkora feszültség indukálódik az 5 Vs/m2 mágneses indukciójú térben 10 m/s sebességgel haladó 1,5 m hosszú vezetőben? A mágneses indukció vektora merőleges a vezető által súrolt síkra. Megoldás: U = Blv = 75 V 3. Számítsuk ki az 1 m hosszú rúd végein indukált feszültség értékét, ha a rúddal a Föld homogénnek feltételezett mágneses terét az indukcióvonalakra merőlegesen 1 m/s sebességgel szeljük át. A Föld mágneses terében levegőben az indukció abszolút értéke 2 . 10-5 Vs/m2. Megoldás: U = Blv = 2 . 10 –5 V 4. Vízszintes síkban fekvő, egymástól l távolságban levő, párhuzamos vezető sínek egyik végét C kapacitású kondenzátorral kötöttük össze. Mekkora gyorsulással mozog a síneket merőlegesen összekötő m tömegű rúd, miközben a rúdra merőlegesen állandó, vízszintes F erőt fejtünk ki? A rúd B indukciójú függőleges homogén mágneses térben mozog és a súrlódástól eltekintünk. Megoldás: U Blv
Q CU t t CBl v I C B l a t Mivel a vezetőre a húzóerőn kívül F’ = BIl ellentétes erő is hat. F – F’ = ma F – BIl = ma F CB 2 l 2 a ma I
F ( m CB 2 l 2 ) a F a m CB 2 l 2
110
Fizika 10. 5. Vízszintes síkban fekvő, egymástól l távolságban levő, párhuzamos vezető sínek egyik végét R ellenállással kötöttük össze. A sínekre merőlegesen összekötő fémrudat húzunk vízszintes, a rúdra merőleges, állandó F erővel. A rúd függőleges B indukciójú homogén mágneses térben mozog. Mekkora sebességre gyorsul fel? A súrlódástól eltekintünk. Megoldás: U = Blv U I R F’ = BIl , a húzóerővel ellentétes irányú erőt fejt ki. F – F’ = 0 U Blv I R R B2 l 2 v F' BIl R 2 2 B l v F F' R FR v 2 2 B l
111
Fizika 10.
4.2 Nyugalmi indukció 1. Kísérlet:
Kapcsoljuk a bal oldali tekercset egy tolóellenálláson és egy ampermérőn keresztül egy zseblámpaelem áramkörébe, a jobb oldali tekercs végeit pedig kössük össze egy galvanométerrel. A bal oldali ampermérő áramot jelez, a jobb oldali galvanométer nem jelez áramot. A ( K) kapcsoló ki-, illetve bekapcsolásakor azonban a ( G ) galvanométer először az egyik, majd a másik irányba kilendül. Hasonló jelenséget észlelünk akkor is, ha a bal oldali tekercs áramkörébe iktatott ( R ) ellenállást változtatjuk. Amíg az I áramot növeljük, a galvanométer abba az irányba tér ki, mint amit a bekapcsoláskor észleltünk, az I áram csökkentésekor viszont az ellenkező irányú áramot jelez a műszer. Kísérletünkben változtattuk az 1 (primer) tekercsben folyó áramot és ezzel a 2 (szekunder) tekercs által körülvett mágneses mezőt. A fluxus-változás hatására a szekunder tekercs kivezetései között feszültség jelentkezett, ami a galvanométer áramkörében áramot hozott létre. Ezt a jelenséget nyugalmi indukciónak nevezzük. 2. A mérések szerint a változó mágneses térben nyugvó tekercsben indukált feszültség egyenesen arányos a mágneses indukció megváltozásával, és fordítottan arányos a mágneses indukció megváltozásának idejével. Az indukált feszültség a tekercs menetszámától ( N ) és keresztmetszetétől ( A ) is függ; mindkettővel egyenesen arányos: U ~ B 1 U~ t U~ N U~ A
B A t U ~ N t U ~ N
112
Fizika 10. A változó mágneses térben nyugvó tekercsben indukált feszültség egyenesen arányos a tekercs menetszámával, az általa körülfogott felület mágneses fluxusának a megváltozásával, és fordítottan arányos a mágneses fluxus megváltozásának idejével.
U N
t
3. A nyugalmi indukció jelenségét a következő megfontolások alapján érthetjük meg: A szekunder tekercs áramkörében csak akkor folyik áram, ha a környezetében a mágneses fluxus változik. Állandó fluxusú mezőben 8azaz ha a primer tekercsben állandó az áramerősség) a jelenség nem lép fel. Ez azt az ismert tényt tükrözi, hogy a nyugvó elektromos töltéseket a mágneses mező nem képes mozgásba hozni. Ebből viszont arra kell következtetni, hogy az időben változó mágneses mező elsődlegesen valamilyen elektromos mezőt hozott létre maga körül, és az általunk észlelt indukált áramot ez az elektromos mező indította meg a zárt vezető körben. 4. Faraday indukciós törvénye:
Az időben változó fluxusú mágneses mező örvényes elektromos mezőt létesít maga körül. (Forrása nincs, térerősségvonalai önmagukba záródnak.)
Ha a mágneses mező fluxusa időben változik, akkor elektromos mező keletkezik. A mezőben felvett tetszőleges A felület elektromos örvényerőssége arányos a g határgörbéje által körülfogott mágneses fluxus változási gyorsaságával: ÖE =
t
A negatív előjel azt fejezi ki, hogy az indukált elektromos mező erővonalai ellentétes körüljárásúak, mint ami a „jobbkézszabálynak” megfelelne, vagyis E irányát a „balkézszabály” adja meg: ha bal kezünk hüvelykujja a mágneses fluxusváltozás irányában áll, begörbített ujjaink az elektromos erővonalak irányába mutatnak.
113
Fizika 10.
5. A felfüggesztett alumínium gyűrű szabadon lenghet egy tekercsből kinyúló vasmag előtt. Az áram bekapcsolásakor a tekercs mágneses tere taszítja az alumínium gyűrűt, kikapcsoláskor pedig vonzza. Az alumínium gyűrű elmozdulása arra utal, hogy a gyűrűben is áram folyik, és a két mágneses tér hat egymásra. A) az áram bekapcsolásakor fellépő taszításból arra következtetünk, hogy a gyűrűben és a tekercsben az áram ellentétes irányú. B) kikapcsoláskor a vonzás jelensége egyirányú áramok jelenlétére utal. 6. Lenz szabály: Az indukált feszültség által létrehozott áram iránya mindig olyan, hogy mágneses hatásával akadályozza az indukáló folyamatot. 7. Kísérlet:
Hozzuk az ingát lengésbe – lassan csillapodni fog. Ha a tekercsbe áramot vezetünk, hirtelen lefékeződik a lengés. Az ingához erősített alumínium lemezben mozgási indukció révén örvényáramok keletkeznek, amelyek a Lenz törvénynek megfelelően a létrehozó változást (a lengést) akadályozzák. 114
Fizika 10.
Feladatok 1. Négyszögletes 50 cm x 20 cm méretű huzalhurkot síkjával a 2 T mágneses indukciójú térre merőlegesen helyezünk el és 0,01 s alatt átfordítjuk a tér irányával párhuzamos helyzetbe. Mekkora az indukált feszültség? Megoldás: U N B A t NBA U 20 V t 2. Egy 20 cm hosszú, 1,5 cm átmérőjű, 300 menetes tekercsben 5 A áram folyik. Az áramkört hirtelen megszakítva, az áram 0,01 s alatt nullára csökken. Mekkora feszültség indukálódik a tekercsben, ha az áram csökkenését egyenletesnek tekintjük? Megoldás: U N t IN B 0 9 ,42 10 3 T l 2 A r 1,76625 10 4 m 2
A B 1,664 10 6 Vs 300 1,664 10 6 U 0 ,0499 V 0 ,01 3. Egy 50 cm átmérőjű 500 menetes tekercs 900 1/min fordulatszámmal forog mágneses térben. Az indukált feszültség 11,5 V. Mekkora a tér mágneses indukciója? Megoldás: U N t U t N B A U t B 0 ,002 T NA
115
Fizika 10. 4. Egy zárt vezetőkeret felületén az indukcióvonalak fluxusa 0,05 s alatt 1,5 Vs-mal változik. Mekkora elektromotoros erő indukálódik a vezetőben? Megoldás: U N 30 V t 5. Mekkora áramot mutat az 1 m2-es felületű vezetőkeret áramkörébe iktatott galvanométer, ha a keret felületét, amely a 150 Vs/m2 indukciójú mágneses tér vonalaira merőleges, 0,1 s alatt a felére csökkentjük? A galvanométer belső ellenállása 1000 ohm, a keret ellenállása 100 ohm. Megoldás: U t B A 75 Vs U 750 V Re 1100
I
U 0 ,68 A Re
4.3 Kölcsönös indukció 1. A primer tekercsben változtattuk az áram erősségét és ennek hatására a szekunder tekercsben feszültség indukálódott. Ez a kölcsönös indukció jelensége. 2.
0 I N1 A N N A I l U2 N2 N2 0 1 2 t t l t 0 N1 N 2 A L1, 2 l L1,2 : kölcsönös indukciós együttható
116
Fizika 10.
Vs 1H A 1 H annak a tekercsnek az indukciós együtthatója, amelyben az 1 s alatt bekövetkező 1 A-es egyenletes áramerősség-változás 1 V indukciós feszültséget hoz létre. Mértékegysége: 1
4.4 Önindukció 1. Kísérlet:
Kössük a transzformátor tekercsét párhuzamosan egy ködfénylámpával, és kapcsoljuk rá egy zseblámpa telepre. A telep bekapcsolt állapotában a ködfénylámpa nem izzik, mivel gyújtási feszültsége 100 V felett van, a telep pedig csak 4,5 V feszültségű. Ennek ellenére kikapcsoláskor a lámpa felvillan, ugyanis az áram megszűnése és ezzel a mágneses fluxus csökkenése a tekercsben magában is feszültséget indukál. 2. Kísérlet:
117
Fizika 10.
Kapcsoljunk egymással párhuzamosan egy L induktivitású tekercset, és egy, tekercshuzal ellenállásával megegyező értékű R ellenállást. Mindkét ág áramkörébe iktassunk be egy-egy sorosan kapcsolt zsebizzót, és a közös végeket egy kapcsolón keresztül kössük egy megfelelő feszültségforráshoz. Ha a K kapcsolóval zárjuk az áramkört, azt tapasztaljuk, hogy az L induktivitású tekerccsel sorba kapcsolt izzólámpa mintegy 0,5 – 1 s idővel később gyullad ki, mint az R ellenállás áramkörében elhelyezett másik izzó. A kísérlet tapasztalata szerint az áramkör zárásakor az L induktivitású tekercs áramkörében csak némi időkéséssel alakul ki az Ohm törvénynek megfelelő erősségű áram. Az észlelt jelenséget a Faraday-féle indukciós törvény alapján érthetjük meg. Bekapcsoláskor a tekercs időben állandó mágneses fluxusának teljes felépülésig (a Lenz törvénynek megfelelően) olyan önindukciós ellenfeszültség jelenik meg a tekercs végei között, amely csökkenti a tekercsen átfolyó áramot. Kikapcsoláskor viszont, a tekercs mágneses fluxusának teljes összeomlásig, a fluxusváltozás folytán helyben indukált feszültség az áramot egy kis ideig még fenntartja. Úgy is magyarázhatjuk, hogy a telep bekapcsoláskor az áramforrás munkájának egy része a tekercs mágneses mezejének kiépítésére fordítódik, majd az áramforrás kikapcsolását követően, (a mágneses mező leépülése során), a mágneses mezőnek ezzel a munkával egyenlő energiáját kapjuk vissza az indukált áram által végzett munka (az izzólámpa felvillantása) formájában. 3. A jelenséget az indukció jelensége alapján magyarázhatjuk:
Az áramátjárta tekercsben és környezetében mágneses tér van. Ha az áramerősség állandó, akkor a tekercshez csatlakozó mágneses fluxus is állandó. Ha a tekercsben folyó áram erőssége változik – növeljük vagy csökkentjük, az áramkört megszakítjuk vagy zárjuk -, a tekercsben és környezetében a mágneses tér is változik; a tekercs által körülölelt indukcióvonalak száma megváltozik. Ez a fluxusváltozás a tekercsben önmagában feszültséget indukál.
Az elektromágneses indukciónak azt a formáját, amelyben az indukált feszültség oka magában a vezetőben folyó áram erősségének a megváltozása miatt létrejött fluxusváltozás, önindukciónak nevezzük.
Önindukciós feszültség létrejön bármely áramkör zárásakor és megszakításakor. A zárási önindukciós feszültség a megszakítási önindukciós feszültséggel ellentétes irányú. Lenz törvénye szerint bekapcsolás esetén a bekapcsolt feszültséggel ellentétes feszültség indukálódik, így az eredő feszültség kisebb a bekapcsolt feszültségnél. Megszakítás esetén pedig a keletkezett feszültség az eredetivel megegyező irányú, és annál nagyobb is lehet.
118
Fizika 10.
0 N I A 0 N 2 A I l U N N 4. t t l t 2 AN L 0 l L : önindukciós együttható Az önindukciós feszültség egyenesen arányos az áramerősség–változással, és fordítottan arányos az áramerősség-változás idejével.
U L
I t
4.5 A mágneses mező energiája 1. Az áramforrás t idő alatt végzett munkája a W U I t összefüggés alapján számítható, figyelembe kell vennünk azonban, hogy az áram változik az időben és a tekercsben valóban megjelenő feszültséget az Uk kapocsfeszültség és az Ui önindukciós feszültség együtt határozza meg. A tekercs feszültsége: U U k L
L
I , ahonnan t
I Uk U . t
Mivel U = I . R és Uk . I . t az áramforrás munkája, írhatjuk, hogy
I
L t I t U
k
I t I 2 R t
A jobb oldalon az áramforrás által végzett összes munka ( U k I t ) és a tekercsen
átfolyó áram Joule-hő formájában végzett munkájának ( I 2 R t ) különbsége szerepel. Ezt a különbséget tekintjük egyenlőnek a létrejött mágneses mező energiájával, amelynek mértékét a L I I kifejezés határozza meg. ( A jelekre azért van szükség, mert a változó áramerősség miatt valamennyi felsorolt munka csak elemi részmunkák összegeként számítható.) A keresett energia: WM = L I I ahol I és L . I az ábrának megfelelő egyenes arányosság áll fenn.
119
Fizika 10.
Egy tekercs mágneses mezőjének teljes energiája egyenesen arányos a tekercs önindukciós együtthatójával és a benne folyó áram erősségének négyzetével:
Wm
1 L I2 2
2. A teljes mágneses energiát akkor tartalmazza a tekercs, ha a teljes mágneses mezőt is tartalmazza. Ez az eset valósul meg körtekercsben. Így a tekercs térfogatát kitöltő teljes mágneses energia: 1 1 N2 A 2 Wm L I 2 0 I 2 2 l ahol l a toroid középkörének a hossza. Fejezzük ki a mező energiáját a mező adataival! Mivel a tekercs indukciója IN B 0 l Bl áramerőssége helyére az írható, hogy I . 0 N Ezzel a mágneses mező energiája: 1 1 1 Wm B2 A l B 2 V , ahol V = A . l mező által kitöltött teljes 2 0 2 0 térfogat. Homogén térrész mágneses energiája egyenesen arányos a mágneses indukcióvektor négyzetével és a térrész térfogatával:
Wm
1 B2 V . 2 0
120
Fizika 10. Energiasűrűség a térfogattal való osztás után adódik: m
Wm V
m
1 B2 . 2 0
Feladatok 1. Mekkora az önindukciós együtthatója annak a tekercsnek, amelyben 0,5 s alatt egyenletesen bekövetkező 0,5 A áramerősség-változás 0,12 V önindukciós feszültséget hoz létre? Megoldás: I U L t U t L 0,12 H I 2. Mekkora önindukciós feszültség keletkezik egy 25 cm hosszú, 7 cm2 keresztmetszetű, 1500 menetes légmagos tekercsben, ha 1,2 A áramerősségváltozás 0,012 s alatt következik be? Megoldás: l = 0,25 m A = 7 . 10 –4 m2 N = 1500 I 1,2 A t 0,012 s
I A N 2 I 0 0,78 V t l t 3. Egy 0,1 H önindukciójú tekercsben 8 A-es áram folyik. Kikapcsolva az áramforrást, az áram 0,04 s alatt megszűnik. Mekkora feszültség indukálódik a tekercsben, ha az áram megszűnését egyenletesnek tételezzük fel? Megoldás: L = 0,1 H t = 0,04 s I = 8 A I 20 V U = L t U L
121
Fizika 10. 4. Határozzuk meg egy L hosszúságú, A keresztmetszetű, N menetből álló tekercs önindukciós együtthatóját, ha a tekercs belsejét r relatív permeabilitású anyag tölti ki! Megoldás: IN H l IN B A 0 r A l I N 0 r A l N A I U N N 0 r t l t I U L t N2 A L 0 r l 5. Egy 600 menetes, 20 cm hosszú tekercs belsejében elhelyezünk egy, az előzővel párhuzamos tengelyű, 5 cm átmérőjű, 500 menetes, hengeres tekercset. A külső tekercset feszültségforrásra kapcsoljuk, és egy tolóellenállás alkalmazásával 0,3 s alatt 2 A-ról 5 A-re változtatjuk a rajta átfolyó áram erősségét. Mekkora feszültség indukálódik az áramerősség változása idején a belső tekercsben? Megoldás: N1 = 600 N2 500 l = 0,2 m t = 0,3 s r = 2,5 cm I 3 A I N1 0 A N N I A l U2 N2 N2 0 1 2 0,037 V t t l t 6. Egy 0,6 m hosszú és 0,1 ohm ellenállású szigetelt vezetékből először egy zárt kört, másodszor pedig olyan 8-as alakú síkbeli zárt hurkot hajlítunk, amely hurok két, 1:3 sugárarányú kört alkot. A) A körvezető a síkjára merőleges irányú homogén mágneses mezőben van. Mennyi töltés áramlik át a vezeték valamely keresztmetszetén azalatt, amíg a mágneses indukciót a kezdeti 0,314 T értékről egyenletesen a kétszeresére növeljük? B) Ha a fenti kísérletet a 8-as alakú vezetővel végezzük el, akkor mennyi lesz a keresztmetszeten átáramló töltésmennyiség?
122
Fizika 10. Megoldás: Q I t
U R U t B 2 B0 B0 B0 I
A B0 ( 2 r ) 2 l2 4 4 A B0 l 2 B 0 U Q I t t t t 9 10 2 C R R R R 4R B) 1 l1 l 4 3 l2 l 4 A két hurok ker ülete : l1 , l 2 A r2
l12 1 l2 A 4 16 4 16 2 2 l 9 l 9 A2 2 A 4 16 4 16 1 1 1 B0 A1 B0 A 16 16 9 9 2 B0 A2 B0 A 16 16 1 1 1 U1 U t 16 t 16 2 9 9 U2 U t 16 t 16 1 U 2 U1 U 2 Tehát feleakkora feszültség hajtja át az áramot a vezetőn, mint az előbb. Ezért feleakkora áram folyik, és a töltéselmozdulás is feleakkora, mint a kör alakú vezetőhurok esetén. Q = 4,5 . 10 - 2 C. A1
123
Fizika 10.
7. Vízszintes síkban fekvő, egymástól l távolságra levő párhuzamos vezető sínek egyik végét L önindukciós együtthatójú tekerccsel kötjük össze. A síneket merőlegesen összekötő m tömegű fémrudat a sínek mentén v sebességgel meglökjük és magára hagyjuk. Milyen mozgást végez a rúd a B indukciójú függőleges homogén mágneses térben? A súrlódástól eltekintünk. Megoldás: U = Blv I A tekercsben : U i L t A kör eredő elektromotoros ereje (Kirchhoff II. törvénye) egyenlő a kör ellenállásán eső feszültséggel. Mivel R = 0, akkor I U L 0 t I Blv L t Blv t L I Bl x L I Az áramerősség megváltozása egyenesen arányos a változás ideje alatt létrejött elmozdulással, az áramerősség pillanatnyi értéke pedig a megfelelően választott kitéréssel. Mivel a rúdra ható erő az áramerősséggel arányos, az erő és a kitérés egyenesen arányosak egymással, továbbá az erő az elmozdulással ellentétes irányú, akkor harmonikus rezgőmozgás. Blx I L B2 l 2 F BIl x L B2 l 2 D L m mL mL T 2 2 2 2 2 D B l B l
124
Fizika 10.
8. Vízszintesen fekvő, párhuzamos fémsíneken, azokra merőlegesen egy 0,2 m hosszú fémrúd fekszik, majd nyugalomból elindulva, egyenletesen gyorsuló mozgást végez úgy, hogy 0,05 s alatt 1 méteres utat tesz meg. Függőlegesen, a sínek síkjára merőlegesen 0,3 T indukciójú homogén mágneses mező van. A) Írjuk fel a fémrúd végei között indukálódó feszültség időfüggését a 0 – 0,05 s időtartamra! B) Írjuk fel az áram időfüggését, ha a sínpárt egy 2 μF kapacitású kondenzátorral zárjuk! Megoldás: l = 0,2 m B = 0,3 T t = 0,05 s s=1m a s t2 2 2s m a 2 800 2 t s U Blv Blat U 1 0 ,48 V
U 2 0 ,96 V U 3 1,44 V U 4 1,92 V U 5 2 ,4 V
U = Blv Q C U I t t CBlv I CBla 9,6 10 5 A t
125
Fizika 10.
9. Egy 700 menetes, 25 cm hosszú tekercs belsejében elhelyezünk egy, az előzővel párhuzamos tengelyű, 4 cm átmérőjű, 600 menetes, hengeres tekercset. A külső tekercset feszültségforrásra kapcsoljuk, és egy tolóellenállás alkalmazásával 0,5 s alatt 2 A-ról 7 A-ra változtatjuk a rajta átfolyó áram erősségét. Mekkora feszültség indukálódik az áramerősség változása idején a belső tekercsben? Megoldás: N1 = 700 N2 = 600 l = 0,25 m t = 0,5 s r = 0,02 m I 5 A I N1 0 A N N I A l U N2 N2 1 2 0 0,0265 V t t l t 10. Az ábra szerinti elrendezésben a 0,0628 T indukciójú homogén mágneses mezőben egy 16 cm sugarú kör alakú vezetőhurok van.
A hurok végeit úgy húzzuk ellentétes irányban, hogy a hurok területe 0,1 s alatt egyenletesen felére csökken. A húzás közben a hurok síkja merőleges a B irányára. Határozzuk meg a vezető két vége közötti feszültséget, és ábrázoljuk az idő függvényében a 0 és 0,1 s időközben!
126
Fizika 10.
Megoldás: B A A U B t t 2 A0 r 0 ,08 m 2
A0 A m2 2 0 ,04 t t0 s A U B 2,52 10 3 V t
127
Fizika 10.
5. A VÁLTAKOZÓ ÁRAM 5.1 A váltakozó feszültség és áram 1. Kísérlet:
A fluxusnövelés és- csökkentés váltakozva is történhet. Ha rúdmágnest forgatunk tekercsek előtt, a tekercsekhez kapcsolt műszer váltakozva ellentétes irányú kitéréseket jelez. A mágnes egy körülfordulása alatt a műszer kétszer mutat zérus és kétszer ellentétesen maximális értéket. A kapott feszültség váltakozó feszültség. A váltakozó feszültséget egyszerűbben vizsgálhatjuk, ha mágneses térben vezetőkeretet forgatunk. Forgatás közben a vezetőkeret két szembenfekvő oldala, a vezetőkeret „hatásos” részei folyamatosan metszik az indukcióvonalakat. Ha a keret síkja az indukcióvonalakra merőleges, kicsiny elfordulás esetén indukcióvonal – metszés nincs. Ebben a helyzetben ugyanis a keret „hatásos” oldalai rövid szakaszon az indukcióvonalakkal párhuzamosan mozdulnak el. Így a feszültség zérus. Továbbfordulás közben az egymást követő kicsiny egyenlő időközökben metszett indukcióvonalak száma és ezzel a feszültség növekszik. Az első negyedfordulat után az indukcióvonal metszés sebessége maximális (a keret síkja az indukcióvonalakkal párhuzamos), így a keletkezett feszültség is maximális. A következő negyedfordulat után a feszültség ismét zérus. Alaphelyzethez viszonyítva 2700-os elfordulás esetén a feszültség újból maximális, de az előző maximumhoz képest ellentétes előjelű. A 3600-os elfordulás után a feszültség megint zérus.
128
Fizika 10.
Az U = Blv összefüggésben v az indukcióvonalakra merőleges sebességet jelenti. A forgatott vezetőkeretre vonatkoztatva ebből az következik, hogy az indukcióvonalakat metsző oldalak kerületi sebességnek csak az indukcióvonalakra merőleges összetevője ( v’) jön számításba. v' v sin Tehát a folytonosan változó indukált feszültséget az U B l v' B l v sin összefüggés fejezi ki. 90 0 esetében a keret síkja az indukcióvonalakkal párhuzamos.
129
Fizika 10.
Ekkor a feszültség maximális: U max B l v . Tehát U = U max sin vagy t helyettesítéssel, ahol a fázisszög, és a körfrekvencia
U U max sin t A körben folyó áram, ha az áramkör ellenállása R : U I max sin t I max sin t R A mágneses térben forgatott tekercsben (vezetőkeretben) indukált váltakozó feszültség nagysága és iránya – szinuszfüggvénnyel leírható módon – periodikusan változik.
2. A hálózati feszültség: f = 50
1 s
1 1 0,02 s f 50 3. A váltakozó áram hőhatását ugyanúgy tapasztaljuk, mint az egyenáramét. A vezető felmelegedése független az áram irányától. 4. Vegyi hatás szempontjából az áram irányának igen gyakori változása miatt a váltakozó áram az elektrolitekből az egyes alkotórészek tiszta kiválasztására nem alkalmazható. Az egyenáram időben állandó mágneses teret kelt. A váltakozó áram mágneses tere viszont az áram egy periodusa alatt felépül, majd megszűnik, azután ellentétes irányban újra létesül, majd ismét megszűnik. A váltakozó áram tehát időben változó mágneses teret kelt. T
130
Fizika 10.
5.2 A váltakozó áram effektív jellemzői 1. A váltakozó áram által a fogyasztón leadott teljesítmény nyilvánvalóan nem zérus, amit a fogyasztó melegedése egyértelműen elárul. A váltakozó áram pillanatnyi teljesítményét az egyenáramra érvényes : P U I I 2 R képlet alapulvételével a összefüggésből határozhatjuk meg. P R I 2max sin 2 t
Az időben változó teljesítmény helyettesíthető egy olyan átlagos és időben állandó teljesítménnyel, amelynek az egy periódus idő alatt végzett munkája ugyanannyi, mint amennyi a váltakozó áram által egy periódus alatt végzett összes munka. 2.
R I 2max Peff 2 P Peff max 2 Az effektív teljesítmény annak az egyenáramnak a teljesítményével egyenlő, amely adott idő alatt ugyanannyi munkát végezne a fogyasztón, mint amennyit a kérdéses váltakozó áram végez.
131
Fizika 10.
3.
R I 2max 2 2 I eff R
Peff Peff
R I 2max 2 I eff R 2 I I eff max 2 Valamely vezetőben folyó váltakozó áram effektív áramerőssége annak az egyenáramnak az erősségével egyenlő, amelynek hatására a vezető ugyanannyi idő alatt ugyanannyi hőt ad át a környezetének. 4.
U 2max 2R U2 Peff eff R 2 2 U max U eff 2R R U U eff max 2 Peff
5. Megjegyzés: P Peff max 2 P P T Ttéglalap max T max 2 2 1 1 2 sin ax dx 2 x 4a sin 2ax T
W R I 0
T
T
2 max
sin t dt R I 2
2 max
sin t dt R I 2
2 max
0
P T 1 2 1 1 Pmax T sin 2 T Pmax T max 4 T 2 2 2 0
132
1 1 t sin 2t 4 2 0
Fizika 10.
5.3 Induktív ellenállás 1. Kísérlet:
Önindukciós tekerccsel sorba kapcsolt izzót egyszer egyenáramú, majd váltakozó áramú körbe kapcsolunk, mindkét esetben ugyanakkora feszültségre. Az izzó a váltakozó áramú körben gyengébben világít. Az önindukciós tekercset tartalmazó vezetőkör ellenállása váltakozó áram esetén nagyobb, mint egyenáram esetén. A jelenség oka az önindukció. A tekercsben az áramerősség folytonos változása következtében olyan önindukciós feszültség indukálódik, amely Lenz törvénye értelmében akadályozza az indukáló folyamatot. Ezért nagyobb a tekercs ellenállása váltakozó áram esetén. 2. Az önindukció miatt fellépő ellenállást induktív ellenállásnak nevezzük. Jele: XL 3. Ha az áramforrás frekvenciáját változtatjuk – pl. ugyanakkora váltakozó feszültséget adó telefoninduktort alkalmazunk -, az induktív ellenállás is változik; nagyobb frekvencia esetén nagyobb. Az induktív ellenállás egyenesen arányos a tekercs önindukciós együtthatóval és a váltakozó feszültség frekvenciájával. XL ~ L XL ~ f XL ~ f . L
133
Fizika 10.
X L 2 f L XL L 4. Kísérlet:
Kapcsoljunk váltakozó feszültségű áramforrás sarkaira párhuzamosan önindukciós tekercset és tolóellenállást, mindegyikkel sorba egy-egy zsebizzót. A tolóellenállással beszabályozzuk, hogy a két izzó azonos fénnyel világítson. Az izzók a frekvencia ütemében felvillannak, de a tekerccsel sorba kötött izzó mindig később. A tolóellenállással sorba kötött izzó felvillanásai a feszültségmaximumokkal egyező fázisban láthatók (ohmos ellenálláson a feszültség és az áram fázisban van). A tekerccsel sorba kötött izzó felvillanásai a fellépő önindukció miatt késnek a feszültségmaximumokhoz képest. A tolóellenállással sorba kötött izzó a feszültséget, a másik az áramerősséget jelzi. A tekercsben az áramerősség és a feszültség nem azonos fázisban váltakozik, hanem fáziseltolódás van közöttük. Az áram késik a feszültséghez képest. A fáziskésés szöge: φ Ha az áramkör ohmikus ellenállása elhanyagolhatóan kicsiny, akkor az áram éppen 900-kal késik a feszültséghez képest. 134
Fizika 10.
A váltakozó áramú áramkörben a sorba kötött önindukciós tekercsnek kettős szerepe van: növeli az áramkör ellenállását; késlelteti az áramerősséget az áramforrás feszültségéhez képest.
5.4 Kapacitív ellenállás 1. Kísérlet:
135
Fizika 10. Egyenfeszültség esetén a ködfénylámpa a forgókondenzátor egyik állása mellett sem világít. Váltakozó feszültség esetén egy periódus alatt kétirányú folyamat megy végbe. Az első félperiódusban a kondenzátor feltöltődik, majd a kondenzátor fegyverzeteit összekötő vezetéken keresztül a töltések kiegyenlítődnek. A következő félperiódusban ellentétesen töltődik fel, és ismét kiegyenlítődik. A kondenzátor tehát nem akadályozza meg, hogy az izzólámpán keresztül az elektromos töltések a váltakozó feszültség periódusának megfelelően ide-oda történő áramlást végezzenek. Ha változtatjuk az izzólámpával sorba kötött kondenzátor kapacitását, az izzó fényének erőssége is változik. Növekvő kapacitás esetén az izzó jobban világít, jelezve, hogy az áramkör ellenállása kisebb lett. Ha változtatjuk az áramforrás frekvenciáját, az izzó fényében szintén változás következik be. Növekvő frekvencia esetén az izzó szintén jobban világít. Az áramkör ellenállása ismét kisebb. 2. A váltakozó áramú áramkörben a kondenzátor ellenállásként szerepel. Ezt az ellenállást kapacitív ellenállásnak nevezzük. Jele: XC 3. A kapacitív ellenállás fordítottan arányos a kondenzátor kapacitásával és a váltakozó feszültség frekvenciájával. 1 XC ~ f 1 XC ~ C 1 XC ~ f C
1 2 f C 1 XC C XC
136
Fizika 10. 4. Kísérlet:
Kapcsoljunk tolóellenállással párhuzamosan kondenzátort kis frekvenciájú váltakozó feszültségre. Kössünk sorba mind a tolóellenállással, mind a kondenzátorral egy-egy zsebizzót. A zsebizzók a feszültséget, illetve az áramerősséget jelzik. A tolóellenállás változtatásával elérjük, hogy az izzók fénye azonos legyen. Az áramkör zárásakor az áramjelző izzó ( 1 ) mindig előbb villan, mint a feszültségjelző izzó ( 2 ), jelezve, hogy az áram siet a feszültséghez képest.
137
Fizika 10.
5. A fázissietés magyarázata: A kondenzátor feltöltődése a feszültségforrásból nagy kezdeti áramerősséggel indul. Ekkor még a kondenzátor sarkain a feszültség zérus. A feltöltődés során a kondenzátor sarkain mérhető feszültség fokozatosan nő. A töltések áramlása akkor szűnik meg, amikor a kondenzátor feszültsége elérte a rákapcsolt feszültséget. Ekkor az áramerősség zérus. A kisülés során a töltések a kondenzátorról eláramlanak; az áramirány az előzővel ellentétes. Amikor az áram eléri a maximális értéket, a kondenzátor feszültsége zérusra esik, és a folyamat kezdődik elölről, de ellentétes irányban. Ez a fáziseltolódás az áram és a feszültség között a töltés és a kisülés folyamán mindvégig megmarad. Ha az áramkör ohmos ellenállása elhanyagolhatóan kicsiny, akkor az áram éppen 900-kal siet a feszültséghez képest. A váltakozó áramú áramkörben a sorba kötött kondenzátornak kettős szerepe van: növeli az áramkör ellenállását; sietteti az áramerősséget az áramforrás feszültségéhez képest.
138
Fizika 10.
5.5 Sorosan kapcsolt váltakozó áramú ellenállások 1. Az eredő ellenállást impedanciának nevezzük. Jele: Z U Z eff I eff 2. Soros RL-kör:
Mérések szerint: U < UR + UL
és
Z < R + XL
139
Fizika 10.
U 2 U 2R U 2L Az áramerősség mindkét ellenálláson I . UR I R
UL I XL U IZ I 2 Z 2 I 2 R 2 I 2 X 2L Z R 2 X 2L Z R 2 (L ) 2 cos
UR R U Z
3. Soros RC-kör:
Mérések szerint: U < UR + UC
Z < R + XC
140
Fizika 10.
U 2 U C2 U 2R U IZ UC I XC UR I R I 2 Z 2 I 2 X C2 I 2 R 2 Z 2 X C2 R 2 Z
R 2 X C2
1 C 2 U R cos R U Z Z
R2
2
4. Soros LC-kör:
141
Fizika 10.
U UL UC I Z I XL I XC
Z XL XC Z L
1 C
5. Soros RLC-kör:
142
Fizika 10.
U 2 U 2R ( U L U C ) 2 I 2 Z 2 I 2 R 2 I 2 (X L X C ) 2 Z R 2 (X L X C ) 2 Z R 2 (L cos
1 2 ) C
R UR Z U
143
Fizika 10.
5.6 A váltakozó áram munkája és teljesítménye 1.
U U max sin t 2 U eff sin t
I I max sint 2 I eff sint P=U.I
P 2 U eff I eff sin t sin t U eff I eff 2 sin t sint 2 sin sin cos cos 2 sin t sin t cost t cost t cos cos2t P U eff I eff cos cos2t 2
Pt U eff I eff cos U eff I eff cos2t
144
Fizika 10. A Pt egy állandó és egy periódikusan változó részből tevődik össze. T
W Pt dt 0 T
W
U
eff
I eff cos U eff I eff cos 2t dt
0 T
W1 U eff I eff cos dt U eff I eff cos t 0 U eff I eff cos T T
0 T
W2 U eff I eff cos 2t dt U eff I eff 0
sin 2t 0 cos2t dt U eff I eff 2 0
sin 2T sin 2 0 W2 U eff I eff U eff I eff 2 2
T
2
sin 4 sin W2 U eff I eff 0 2 2 sin 2 0
W = W1 + W2 W U eff I eff cos T
W UIt Pt W P t 1 P U eff I eff cos T T P U eff I eff cos cos : teljesítménytényező
145
T
T
sin 2T sin 2 2
Fizika 10. 2.
146
Fizika 10.
Ha 0 val, vagyis csak ohmos ellenállás van az áramkörben, akkor cos 1 és S U eff I eff S: látszólagos teljesítmény
Ha 0 < < 900 , vagyis fáziseltolódás van az áramkörben, akkor P U eff I eff cos P : hatásos vagy wattos teljesítmény (ohmos és induktív ellenállás van, vagy ohmos és kapacitív ellenállás van)
Ha 90 0 , vagyis ohmos ellenállás nincs az áramkörben, akkor cos 900 = 0 és Q = 0. Q : meddő teljesítmény Q U eff I eff sin
S
P2 Q2
5.7 Transzformátor 1.
147
Fizika 10. Ha a primer tekercsben váltakozó áram folyik, a szekunder tekercsben azonos frekvenciájú váltakozó feszültség indukálódik. 2. A jelenség oka: a nyugalmi indukció. (A primer tekercsben a váltakozó áram által létrehozott fluxusváltozás – a közös zárt vasmag miatt – a szekunder tekercsben is ugyanakkora.
t
U N 3.
Up U sz
Np N sz
Pp Psz U p I p U sz I sz Up U sz
Np I sz Ip N sz
Feladatok 1. Rádiókészülék áramköreinek táplálására szolgáló transzformátor primer tekercsének menetszáma 1200. Hány menetes a csövek fűtését tápláló szekunder tekercs, ha a hálózati feszültség 220 V, és a csövek 6,3 V feszültséget igényelnek? Megoldás: Np = 1200 Up = 220 V Usz = 6,3 V Nsz =? Np Up N sz U sz
N sz
N p U sz
34,36 Up 2. 220 V feszültséget 12,5 V-ra kívánunk átalakítani transzformátorral. A primer tekercs menetszáma 880. Hány menetes a szekunder tekercs? Megoldás: Np = 880 Up = 220 V Usz = 12,5 V Up Np U sz N sz N sz
U sz N p Up
50
148
Fizika 10.
6. ELEKTROMÁGNESES REZGÉSEK 6.1 Csillapított elektromágneses rezgések előállítása 1. Töltsük fel a kondenzátort egyenfeszültségű telepről, majd kapcsoljuk le a telepet, és zárjuk a kondenzátort a tekercsen keresztül!
Ha érzékeny és kicsiny belső ellenállású ampermérőt kapcsolunk a körbe, akkor azt tapasztaljuk, hogy a kondenzátor rövidre zárását nem pillanatszerű áramlökés kíséri, hanem olyan váltakozó áram indul meg a körben, amelynek amplitúdója fokozatosan csökken. Az áram tehát nem szűnik meg a kondenzátor töltéseinek elvesztése után, hanem tovább folyik, miközben az előzővel ellenkező töltéssel látja el a kondenzátor lemezeit. A jelenség okát az indukciós tekercsben, illetve a mágneses mező tehetelenségében kell keresni.
149
Fizika 10.
2. Kondenzátorból és önindukciós tekercsből álló körben a kondenzátor egyszeri feltöltésével váltakozó áram keletkezik. 3. A kondenzátorból és tekercsből álló vezetőkört elektromos rezgőkörnek nevezzük. 4. A tekercs és a kondenzátor együttes hatása révén létrejött rezgések kialakulását a következőképpen magyarázhatjuk:
A t = 0 időpillanatban a feltöltött kondenzátor lemezei között a feszültség maximális, az áramerősség a körben zérus. A kondenzátor lemezei között elektromos erőtér van.
T időközben a kondenzátor lemezei között levő feszültség a körben áramot 4 hoz létre. Az áramerősség az önindukció miatt csak fokozatosan növekszik. Mialatt a 0t
150
Fizika 10. kondenzátor lemezei között a feszültség és az elektromos térerősség csökken, a tekercsben az áramerősség és a mágneses indukció növekszik.
T időpillanatban a kondenzátor lemezei között a feszültség és az elektromos 4 térerősség zérusra csökken, az áramerősség maximumot ér el. Maximális a mágneses indukció is. Csak mágneses tér van. t
T T t időközben az önindukció következtében az áram tovább fennmarad, és 4 2 a kondenzátort ellentétesen feltölti. (A csökkenő mágneses tér miatt az önindukciós feszültség az eredeti feszültséggel azonos irányú.) Így, miközben az áramerősség és a mágneses indukció csökken, a kondenzátor feszültsége és az elektromos térerősség nő.
151
Fizika 10.
T időpillanatban létrejön olyan állapot, amikor csak elektromos tér van a 2 kondenzátor lemezei között. A térerősség azonban ellentétes irányú, mint kiinduláskor. t
T időközben újból kezdődik a feszültségkiegyenlítődés. Ez az előzővel 2 ellentétes irányú áram kialakulásához vezet. A folyamat T időközönként ismétlődik. t
152
Fizika 10.
5. A kondenzátor elektromos térerősségének és a tekercs mágneses indukciójának nagysága és iránya periodikusan változik. Így változó elektromos és mágneses tér alakul ki. Ennek következtében az elektronok a vezetőben rezgőmozgást végeznek. A folyamat során az elektromos és mágneses energia periodikusan egymásba alakul át. Az egész rezgési jelenséget elektromágneses rezgésnek nevezzük. 6. Ha a rezgőkörben ohmos ellenállás nem lenne, akkor az elektromos és mágneses energia összege az átalakulás során állandó lenne, és csillapítatlan rezgések keletkeznek. Ohmos ellenállás jelenléte a Joule-törvény alapján jelentkező energiaveszteség miatt a rezgések csillapodásához vezet: csillapított rezgéseket kapunk.
153
Fizika 10.
6.2 Rezgőkör saját frekvenciája; Csillapított elektromágneses rezgések
1. Ha az elektromos rezgőkörben megváltoztatjuk a tekercs önindukciós együtthatóját vagy a kondenzátor kapacitását, más frekvenciájú rezgést nyerünk. 2. A rezgőkörben a kondenzátor egyszeri feltöltés következtében létrejövő rezgést szabad vagy saját elektromágneses rezgésnek nevezzük. Minden elektromos rezgőkör bizonyos saját frekvenciával (f0) és saját rezgésidővel (T0) rendelkezik. 3. Ahhoz, hogy a létrejött rezgések amplitúdója állandó legyen, vagyis csillapodásmentes rezgések jöjjenek létre, az energiát a veszteségek miatt megfelelő ütemben pótolni kell. Iktassunk trióda anódkörébe L önindukcióval és C kapacitással jellemzett rezgőkört.
Az anódkör zárásakor a kondenzátor feltöltődik, és a rezgőkörben csillapított rezgés jön létre. Ezt a csillapított rezgést – kis frekvencia esetén – jelzi a rezgőkörben elhelyezett érzékeny áramjelző. A rezgőkörben folyó áram egyszer az anódárammal egyirányú, a következő félperiódusban azzal ellentétes irányú.
154
Fizika 10. Ha az anódáram azokban az időpillanatokban, amikor a rezgőköri árammal megegyező irányú, hírtelen megnövekszik, akkor a rezgés olyan ütemben kap lökéseket az anódáramtól, hogy az felerősödik. Ezzel a csillapodást ellensúlyozzuk, és eredményképpen csillapítatlan rezgéseket állítunk elő. A csillapítatlan rezgéseket előállító kapcsolás az ún. Meissner-féle visszacsatolás. Ha zárjuk az anódkört, akkor a rezgőkörben létrejött rezgések a rácskör L’ tekercsében ugyanakkora frekvenciájú feszültséget indukálnak. Ennek következtében a rács feszültsége növekszik vagy csökken. Ezek a változások visszahatnak az anódáramra, melynek erőssége a rácsfeszültségnek megfelelően ingadozik. Ha az anódáram –ingadozások a rezgőkör áramingadozásaival fázisban vannak, akkor a rezgések a rezgőkörben csillapítatlanokká válnak. Az anódkörben levő árammérőről látható, hogy az anódáram lüktető és szaggatott egyenáram. A rezgőkörben levő árammérő mutatója viszont váltakozó áramot jelez. Az olyan rezgőrendszereket, melyekben magának a rezgőkörnek a rezgései szabályozzák állandó forrásból (pl. egyenáramú áramforrásból) az energia pótlását, önvezérelt elektromos rezgőrendszereknek nevezzük.
6.3 Rezonancia 1. A rezgőkörben a rezgéseket külső, periodikusan változó feszültség is fenntarthatja: ekkor a rezgőkörben külső vezérlésű, más néven kényszerrezgések jönnek létre. A gerjesztő rezgés lehet a hálózati váltakozó feszültség is.
155
Fizika 10.
2. Ha a külső gerjesztés frekvenciája és a rezgőkör saját frekvenciája megegyezik (f = f0), akkor rezonanciajelenség lép fel. Rezonancia esetén a tekercs és a kondenzátor ellenállása megegyezik, így 1 1 L vagy 2 f L C 2 f C Itt olyan ideális rezgőkört tételeztünk fel, amelyben nincs ohmos ellenállás. Az f frekvencia annak a rezgésnek a frekvenciája, amelynél a rezonancia bekövetkezik. A fenti egyenlőségből a rezgőkör saját frekvenciája:
f
1 2 L C
T 2 L C Thomson-formula 3.
csillapítatlan rezgés
156
Fizika 10. Indukció folytán a II. rezgőkörben a ködfénylámpa világít. A C2 változtatásával elérhetjük, hogy a II. körben a ködfénylámpa fénye maximális legyen. Ebben az esetben a II. kör saját rezgésideje megegyezik az I. gerjesztőkör rezgésidejével. A két rezgőkör rezonanciában van: T1 T2 vagyis L1 C1 L 2 C 2 A két, egymással induktív csatolásban levő rezgőkör akkor van rezonanciában, ha önindukciós együtthatójuk és kapacitásuk szorzata egyenlő. 4. Megjegyzés: Határozzuk meg a rezgőkörben létrejövő áram frekvenciáját! Induljunk ki a kondenzátorral közölt és át –meg átalakuló energia kifejezéséből! E C ,max E L ,max
1 1 C U 2max L I 2max 2 2 I U eff I eff X C eff C I U max max C 2 I 1 1 C 2 max 2 L I 2max 2 C 2 1 L C 2 1 LC Sajátfrekvencia:
f
1 2 LC
T 2 LC
157
Fizika 10.
6.4 Az elektromágneses hullámok terjedési tulajdonságai 1. Visszaverődés: Az ábra egy parabolatükörrel irányított adó és vevő sematikus képét mutatja.
Ha az adó és a vevő adási, illetve vételi iránya nem egyezik, nincs vagy igen gyenge a vétel. Ha ezen irányok szögfelezőjére merőleges síkú fémlapot helyezünk el, a vétel erőssége megnő. A fémfelületről az elektromágneses hullámok visszaverődnek, a hullámtanban megismert visszaverődési törvény szerint. 2. Az ábra egy adót és egy vevőt ábrázol, amelyek vételi, illetve adási irányai nem esnek egy egyenesbe: igen gyenge a vétel.
Ha azonban pl. paraffinból készített hasábot (prizmát) megfelelően közéjük helyezünk, megnő a vétel erőssége, jelezve, hogy az elektromágneses hullám az új közegben belépéskor is, kilépéskor is megtört. A szigetelőanyag nemcsak átengedi az elektromágneses hullámot, hanem annál nagyobb szögben, minél nagyobb a permittivitása, meg is töri. A törés törvénye megegyezik a mechanikai hullámoknál megismerttel. A törés jelensége arra mutat, hogy az elektromágneses hullám terjedési sebessége a különböző anyagi közegekben más és más.
158
Fizika 10.
3. Interferencia: Ha az adóantennáról érkező elektromágneses hullám síklapra érkezik, arról visszaverődik.
Az ábra elrendezésében az adóból merőlegesen érkeznek a hullámok a sík felületre, amelyről önmagukba verődnek vissza. Ha az adó és a sík távolságát megfelelően választjuk (a fél hullámhossz egész számú többszöröseire), akkor a vevőantennával végigszondázva az adó és a síklap közötti térrészt erősödő és gyengülő vételt tapasztalunk váltakozva. Az egymással találkozó hullámok interferálnak. Ennek az interferenciának érdekes eredménye: szabad elektromágneses állóhullámok létrejötte. A vevő duzzadóhelyeket és csomópontokat mutatott ki. 4. Elhajlás:
159
Fizika 10.
Az ábra ismét két, nem egy egyenesbe eső tengelyű parabolatükörrel ellátott adót, illetve vevőt mutat. Az adó a fókuszált hullámot a vevő mellett sugározza el, mégis érzékelhetjük a sugárzást, ha egy réssel ellátott fémlapot helyezünk a hullám útjába. A Huygens-elvnek megfelelő elhajlás az elektromágneses hullámok esetén is létrejön, ha a rés szélessége összemérhető a hullámhosszal. Így ott is észlelünk hullámokat, ahová azok egyenes vonalú terjedés esetén nem jutnának el. 5. Polarizáció:
Az ábra olyan kísérleti elrendezést mutat, amellyel a kisugárzott hullám térerősségének iránya vizsgálható. A vevő dipólantennájára eső elektromágneses hullám E térerőssége az antenna elektronjait e . E erővel rezgésbe hozza. Az a) ábra elrendezésében van vétel, mert a két dipólantenna egymással párhuzamos, így kialakulhat a vezeték mentén a nagyfrekvenciás áram, amit az erősítő helyi energiaforrásból táplálva felerősít, és a mérőműszer jelez. Ha a b) ábra szerint egymásra merőlegesen helyezzük el az adó –és a vevőantennát, nincs vétel, mert az E térerősségnek nincs vezetékirányú összetevője. A kísérletből következik, hogy mind az E vektor, mind a B vektor egy-egy (egymásra merőleges) síkban rezeg. A dipólsugárzás tehát síkban poláros hullám. Ez azt jelenti, hogy az elektromágneses hullám transzverzális hullám.
160
Fizika 10.
Felhasznált irodalom
1. Budó Ágoston: Kísérleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1979 2. Holics László: Fizika Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986 3. Holics László: Fizika III. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984 4. Juhász Sándor: Elektrosztatika KLTE Kísérleti Fizikai Tanszéke, Debrecen, 1983 5. Jurisits József – Paál Tamás – Venczel Ottó: Fizika V. Tankönyvkiadó, Budapest, 1990 6. Nagy János – Nagy Jánosné – Bayer István: Fizika IV. Tankönyvkiadó, Budapest, 1980 7. Raics Péter: A mágneses tér KLTE Kísérleti Fizikai Tanszéke, Debrecen, 1981 8. Sas Elemér – Skrapits Lajos: Elektromosság – Mágnesség Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973
161
Fizika 10.
Tartalomjegyzék 1. ELEKTROSZTATIKA ...................................................................................................... 1 1.1 Elektromos kölcsönhatás ............................................................................................ 1 1.2 Coulomb törvénye ...................................................................................................... 3 1.3 Az elektromos mező fogalma, térerősség, elektromos fluxus .................................... 8 1.4 Feszültség ................................................................................................................. 20 1.5 Potenciál ................................................................................................................... 21 1.6 Maxwell II. törvénye ................................................................................................ 24 1.7 A töltés elhelyezkedése, a térerősség és a potenciál a vezetőkön ............................ 26 1.8 Kapacitás, kondenzátorok ........................................................................................ 28 1.9 Elektrosztatikus tér szigetelőkben ............................................................................ 32 2. AZ ELEKTROMOS EGYENÁRAM ...................................................................... 37 2.1 Az elektromos áram ................................................................................................. 37 2.2 Az elektromos ellenállás (Ohm törvénye) ................................................................ 40 2.3 A fémes vezető ellenállása ....................................................................................... 42 2.4 Ellenállások kapcsolása ............................................................................................ 46 2.5 Ohm törvénye teljes áramkörre ................................................................................ 52 2.6 Az áram hőhatása, munkája és teljesítménye ........................................................... 60 2.7 Kirchhoff törvényei .................................................................................................. 65 2.8 Mérőműszerek méréshatárának kiterjesztése ........................................................... 76 3. MÁGNESES MEZŐ ................................................................................................ 81 3.1 Mágnese alapjelenségek ........................................................................................... 81 3.2 Mágneses tér ............................................................................................................. 86 3.3 A mágnese indukcióvektor ....................................................................................... 88 3.4 Mágneses térerősség ................................................................................................. 98 3.5 A mágneses mező forrásmentessége ...................................................................... 102 3.6 A mágneses mező örvényerőssége ......................................................................... 103 3.7 Lorentz-féle erő ...................................................................................................... 104 4. A MÁGNESES INDUKCIÓ .................................................................................. 108 4.1 A mozgási indukció ................................................................................................ 108 4.2 Nyugalmi indukció ................................................................................................. 112 4.3 Kölcsönös indukció ................................................................................................ 116 4.4 Önindukció ............................................................................................................. 117 4.5 A mágneses mező energiája ................................................................................... 119 5. A VÁLTAKOZÓ ÁRAM ...................................................................................... 128 5.1 A váltakozó feszültség és áram .............................................................................. 128 5.2 A váltakozó áram effektív jellemzői ...................................................................... 131 5.3 Induktív ellenállás .................................................................................................. 133 5.4 Kapacitív ellenállás ................................................................................................ 135 5.5 Sorosan kapcsolt váltakozó áramú ellenállások ..................................................... 139 5.6 A váltakozó áram munkája és teljesítménye .......................................................... 144 5.7 Transzformátor ....................................................................................................... 147 6. ELEKTROMÁGNESES REZGÉSEK ................................................................... 149 6.1 Csillapított elektromágneses rezgések előállítása .................................................. 149 6.2 Rezgőkör saját frekvenciája; Csillapított elektromágneses rezgések ..................... 154 6.3 Rezonancia ............................................................................................................. 155 6.4 Az elektromágneses hullámok terjedési tulajdonságai ........................................... 158 Felhasznált irodalom .............................................................................................. 161 Tartalomjegyzék ..................................................................................................... 162 162
Fizika 10.
163
