Mechatronikai modellezés Dr. Szabó, Tamás Szerzői jog © 2014 Miskolci Egyetem
A tananyag a TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0042 azonosító számú „ Mechatronikai mérnök MSc tananyagfejlesztés ” projekt keretében készült. A tananyagfejlesztés az Európai Unió támogatásával és az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.
Kézirat lezárva: 2014 február A kiadásért felel a(z): Miskolci Egyetem Felelős szerkesztő: Miskolci Egyetem 2014
2
Mechatronikai Modellezés D. Schramm ZF XF P4
l4
l3
Cz
F3 F5
l5
P3
C
l2
P5
OF
YF
F4
Vehicle fixed coordinate system
F2
P2
l1
P1
F1
Wheel carriage
Direct passage x u
f
. x
∫
u
True solution x(tn+1)
x
y
g
Measuring system
Dynamic system
x
0
x = f(x, u, t)
y
y = g(x, u, t)
Tangent
Local discretisation error
x(tn) xn+1 approximate solution
x(t)
h
tn
tn+1
xn+1 = xn−1 +
t
h (251f (xn+1, tn+1) + 646f (xn, tn ) − 264f (xn−1, tn−1) + 720 106 f (xn−2, tn−2 ) − 19f (xn−3 , tn−3 )
1
Tartalomjegyzék 1 Bevezetés 7 1.1 Bevezető példák ........................................................................................................... 7 1.2 A dinamikai rendszer .................................................................................................. 10 1.2.1 Definíciók ..................................................................................................... 10 1.2.2 A rendszerek osztályozása ........................................................................... 15 1.3 Rendszermodellek ...................................................................................................... 16 1.3.1 Modelltípusok .............................................................................................. 16 1.3.2 Rendszerelemzés ......................................................................................... 17 1.3.3 Rendszer szimuláció ..................................................................................... 18 1.3.4 Rendszeridentifikáció (lásd 10. fejezet) ....................................................... 20 1.3.5 Rendszeroptimalizálás (lásd 10. fejezet)...................................................... 21 1.3.6 Modell sémák és blokkvázlatok ................................................................... 22 1.4 A rendszerdinamika feladata ..................................................................................... 26 1.5 Összefoglalás .............................................................................................................. 27 2 A dinamikai rendszerek matematikai leírása 29 2.1 Differenciál-egyenletek .............................................................................................. 29 2.2 Állapotegyenletek ...................................................................................................... 33 2.3 Állandósult megoldások és egyensúlyi helyzetek ...................................................... 36 2.4 Lineáris állapotegyenletek ......................................................................................... 37 2.5 Rendszerdinamika jellemző feladatainak elemzése az állapotegyenletek segítségével [3] ............................................................................................................................... 44 3 Differenciálagebrai-egyenletrendszer, multiport módszer 47 3.1 Differenciálalgebrai-egyenletrendszer (DAE-rendszerek) ......................................... 47 3.2 A hálózati módszer (“Cut-Set” vagy Multiport módszer) .......................................... 52 3.2.1 Alapgondolat ................................................................................................ 52 3.2.2 Az egyenlet szerkezete................................................................................. 54 3.2.3 Példák ........................................................................................................... 57 4 Az állapottér egyenletek megoldásának előállítása a fázissíkon 65 4.1 A megoldás tervezése a fázissíkon ............................................................................. 68 4.2 Lineáris állapotegyenletek megoldási módszerei ...................................................... 70 4.2.1 A homogén rendszer megoldása, alapmátrix .............................................. 70 4.2.2 Az inhomogén állapotegyenlet megoldása.................................................. 74 5 Az állapot egyenletek normál koordinátákkal 77 5.1 Normál koordináták ................................................................................................... 77 5.2 Többszörös sajátértékű rendszerek viselkedése........................................................ 87 5.2.1 Többszörös sajátértékek hatása [3] ............................................................. 87
2
5.2.2
Jordan-féle normálalak ................................................................................ 89
6 Dinamikai rendszerek numerikus módszerei 94 6.1 Bevezetés ................................................................................................................... 94 6.1.1 Taylor-sorfejtés ............................................................................................ 94 6.1.2 Numerikus algoritmusok .............................................................................. 95 6.1.3 Kerekítési hiba és a hiba terjedése .............................................................. 96 7 Kezdeti érték feladat megoldásának numerikus módszerei 98 7.1 Kezdetiérték feladat numerikus megoldása .............................................................. 98 7.1.1 Explicit Euler módszer .................................................................................. 98 7.1.2 Numerikus stabilitás és stabilitási tartomány............................................ 102 7.1.3 Módosított Euler módszer (Trapézszabály) ............................................... 103 7.1.4 Implicit Euler módszer ............................................................................... 108 7.1.5 Az Euler módszerek összefoglalása ............................................................ 108 7.1.6 Általános egylépéses eljárás ...................................................................... 109 7.1.7 Adaptív lépésválasztás ............................................................................... 117 7.1.8 Lineáris többlépéses módszerek ................................................................ 120 7.1.9 Lineáris többlépéses eljárás aktiválása ...................................................... 124 7.1.10 Differenciál egyenletrendszer .................................................................... 125 7.1.11 BDF módszerek [11] ................................................................................... 125 7.1.12 Megjegyzések a stiff differenciálegyenletekre .......................................... 127 7.1.13 Implicit Runge-Kutta módszerek................................................................ 135 7.1.14 Kezdetiérték feladatok numerikus megoldási módszerereinek összehasonlítása ........................................................................................ 137 8 Nemfolytonos rendszerek integrálása, DAE 139 8.1 Nem folytonos rendszerek integrálása .................................................................... 139 8.2 Differenciál algebrai egyenletek (DAE) .................................................................... 140 9 Nemlineáris rendszeregyenletek numerikus megoldása 146 9.1 Nemlineáris egyenletek ........................................................................................... 146 9.2 Megoldás numerikus integrálás ............................................................................... 150 9.3 Fixpont iteráció ........................................................................................................ 151 9.4 Newton-Raphson iteráció ........................................................................................ 153 10 Identifikáció és optimalizálás, stabilitás 156 10.1 Lineáris kompenzációs feladat ................................................................................. 157 10.2 Nemlineáris paraméterfüggés ................................................................................. 160 10.3 Dinamikai rendszerek stabilitása ............................................................................. 162 Szakkifejezések és meghatározások......................................................................... 162 10.4 Lineáris rendszerek stabilitási kritériumai ............................................................... 164 10.4.1 Stodola-féle stabilitási kritériumok............................................................ 165
3
10.4.2 10.4.3
Hurwitz kritérium ....................................................................................... 165 Routh-féle stabilitási kritériumok .............................................................. 167
11 Mechanikai rendszerek modellezése 169 11.1 Alapfogalmak ........................................................................................................... 169 11.1.1 Modellezés: tömeg, rugalmasság és csillapítás ......................................... 169 11.1.2 Erők, rendszerhatár, részekre bontás módszere ....................................... 171 11.1.3 Kényszerek ................................................................................................. 172 11.1.4 Virtuális elmozdulások ............................................................................... 173 11.1.5 Kinematika ................................................................................................. 176 11.2 Impulzus- és perdülettételek ................................................................................... 182 11.3 A kényszerek figyelembevétele és a d’Alembert elv ............................................... 182 11.4 Mozgásegyenletek ................................................................................................... 183 11.5 Kettős inga mozgásegyenletei.................................................................................. 184 11.6 Lineáris mozgásegyenletek ...................................................................................... 188 11.7 Állapotegyenletek .................................................................................................... 192 12 Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet
193
13 Nemlineáris egynyomvonalú modell [10] 198 13.1 Az alváz mozgásegyenlete........................................................................................ 199 13.2 Abroncsmodell ......................................................................................................... 200 13.2.1 Stacionárius abroncsmodell ....................................................................... 200 13.2.2 Dinamikus abroncsmodell.......................................................................... 202 14 Dinamikus kerékforgás [10] 204 14.1 Meghajtó nyomatékok ............................................................................................. 204 14.2 Fékező nyomaték ..................................................................................................... 205 15 A teljes modell [10] 207 15.1 Szimulációs eredmények.......................................................................................... 209 15.2 Animációk ................................................................................................................. 211 15.3 Videók....................................................................................................................... 211 16 Irodalomjegyzék
212
A Matematikai alapok 217 A.1 Mátrixszámítások ..................................................................................................... 217 A.1.1 Mátrix műveletek ....................................................................................... 219 A.1.2 Determináns............................................................................................... 224 A.1.3 Normák....................................................................................................... 225 B Feladatlapok
227
C Gyakorlatok
242
4
Ábrajegyzék 1.1 ábra: Több tudományterület rendszer leírása [1]. ............................................................................ 7 1.2 ábra: ABS-mágnesszelep, csatlakozások. .......................................................................................... 8 1.3 ábra: Fent: Fúrókalapács [2]; Lent: A fúrókalapács szimulációs modellje. ........................................ 9 1.4 ábra: A rendszer szemléltetése blokksémán. .................................................................................. 11 1.5 ábra: Egy járműrendszer (Ammon, 1997). ...................................................................................... 13 1.6 ábra: Két nyomvonalú jármű szabadságfokai [5]. ........................................................................... 13 1.7 ábra: A rendszer szimuláció alapelve. ............................................................................................. 19 1.8 ábra: A paraméter identifikáció folyamata. .................................................................................... 21 1.9 ábra: A rendszer optimalizálás folyamata. ...................................................................................... 22 1.10 ábra: Példa hatásvázlatra (egyszerű rezgőrendszer). .................................................................... 23 1.11 ábra: Kerékfelfüggesztés egyszerű modellje. ................................................................................ 23 1.12 ábra: A felfüggesztés hatásvázlata, és a lehetséges részletezési szintek. ..................................... 24 1.13 ábra: Elektromos aluláteresztő szűrő. ........................................................................................... 24 1.14 ábra: Elektromos aluláteresztő szűrő blokkvázlata, lehetséges részletezési szintek. ................... 25 1.15 ábra: Jelfolyam-ábra a) felfüggesztés és b) aluláteresztő szűrő.................................................... 26 2.1 ábra: Matematikai inga. .................................................................................................................. 29 2.2 ábra: Rúd longitudinális rezgései. ................................................................................................... 30 2.3 ábra: A longitudinális rezgéseket leíró diszkrét modell. ................................................................. 31 2.4 ábra: Koncentrált paraméterű egyszerű rezgőrendszer. ................................................................ 32 2.5 ábra: Nemlineáris állapotegyenlet blokkvázlata. ............................................................................ 34 2.6 ábra: Blokkvázlat: Logisztikus növekedés állandó terméshozamnál. .............................................. 35 2.7 ábra: Egyváltozós skalárfüggvény linearizálása. .............................................................................. 38 2.8 ábra: Az additivitás blokkvázlata. .................................................................................................... 39 2.9 ábra: Nemlineáris erő karakterisztika (hézaggal kombinálva). ....................................................... 40 2.10 ábra: A lineáris állapotegyenletek blokkvázlata. ........................................................................... 42 3.1 ábra: Nemlineáris, egyszerű inga. ................................................................................................... 48 3.2 ábra: Az állapotegyenleteken alapuló szimuláció. .......................................................................... 52 3.3 ábra: Objektum-orientált modellezés/szimuláció. .......................................................................... 52 3.4 ábra: Blokkvázlat. ............................................................................................................................ 53 3.5 ábra: Különbség mérése (keresztváltozó). ...................................................................................... 53 3.6 ábra: Áramlás mérése (átmenő változó). ........................................................................................ 53 3.7 ábra: Az objektumok összekapcsolása a (“Cut-Set“) hálózati módszerrel. ..................................... 54 3.8 ábra: Matematikai inga. .................................................................................................................. 55 3.9 ábra: Grafikus személtetés. ............................................................................................................. 56 3.10 ábra: Előjel konvenció. .................................................................................................................. 56 3.11 ábra: Ohmikus ellenállás. .............................................................................................................. 57 3.12 ábra: Induktív ellenállás. ............................................................................................................... 57 3.13 ábra: Kapacitás. ............................................................................................................................. 58 3.14 ábra: Egyszerű villamos hálózat. ................................................................................................... 58 3.15 ábra: Rugó. .................................................................................................................................... 60 3.16 ábra: Multi-port rugó modell. ....................................................................................................... 61 3.17 ábra: Tömeg................................................................................................................................... 61 3.18 ábra: Multi-port tömeg modell ..................................................................................................... 61 3.19 ábra: Rugó-tömeg rendszer. .......................................................................................................... 62 3.20 ábra: Multi-port. ............................................................................................................................ 63 4.1 ábra: Egyenletmegoldás logisztikus növekedésre (kvalitatív). ........................................................ 68 4.2 ábra: A matematikai inga fázisgörbéje. ........................................................................................... 69
5
5.1 ábra: Csökkenő viselkedés negatíve valós sajátértékkel. ................................................................ 82 5.2 ábra: Csökkenő viselkedés komplex sajátértéknél. ......................................................................... 83 5.3 ábra: Lineáris rendszerek viselkedése a sajátértékek komplex síkon való helyzetének függvényében. ....................................................................................................................................... 84 5.4 ábra: Negyed autó. .......................................................................................................................... 84 5.5 ábra: A negyed autó sajátértékei 1500 Ns/m ≤ dA ≤ 6500 Ns/m csillapításnál. .............................. 87 7.1 ábra: Explicit Euler módszer. ........................................................................................................... 99 7.2 ábra: Az explicit Euler módszer alkalmazása. ................................................................................ 101 7.3 ábra: Explicit Euler módszer; instabilitás. ...................................................................................... 101 7.4 ábra: Az Euler módszer stabilitási tartománya.............................................................................. 103 7.5 ábra: A trapézszabály származtatása. ........................................................................................... 104 7.6 ábra: Stabilitási tartomány a fixpont iteráció után. ...................................................................... 106 7.7 ábra: Az Implicit Euler módszer. .................................................................................................... 108 7.8 ábra: A 4-ed rendű Runga-Kutta módszer instabilitási tartománya.............................................. 114 7.9 ábra: A Runge-Kutta módszer átmeneti pontjai............................................................................ 115 7.10 ábra: Az 1 ≤ p ≤ 4 rendű Runge-Kutta módszerek stabilitási tartományai. .............................. 117 7.11 ábra: A lépésválasztás szabályozási feladatnak megfelelő hatásvázlata..................................... 120 7.12 ábra: Egy tömegű inga integrálása az explicit Euler módszerrel. ................................................ 130 7.13 ábra: Egytömegű rezgőrendszer integrálása implicit Euler módszerrel. ..................................... 133 7.14 ábra: A rezgés energiájának változása. ....................................................................................... 134 7.15 ábra: A(0)-stabilitás. .................................................................................................................... 135 8.1 ábra: Pattogó labda. ...................................................................................................................... 139 8.2 ábra: Pattogó Labda (szimulációs eredmény). .............................................................................. 140 9.1 ábra: Síkbeli négycsuklós mechanizmus........................................................................................ 147 9.2 ábra: A négy csuklós mechanizmus megoldásai............................................................................ 148 9.3 ábra: Öt lengőkaros kerékfelfüggesztés. ....................................................................................... 148 9.4 ábra: Az ötpontos kerékfelfüggesztés vektorai. ............................................................................ 150 9.5 ábra: Az ötpontos valós kerékfelfüggesztés kerékközéppontjának trajektóriája. ........................ 150 9.6 ábra: Konvergens fixpont iteráció; gradiens a fixpontban. ........................................................... 152 9.7 ábra: Divergens fixpont iteráció .................................................................................................... 153 9.8 ábra: Newton-Raphson iterációs lépések...................................................................................... 154 10.1 ábra: Paraméterek által meghatározott rendszer. ...................................................................... 156 10.2 ábra: Célrendszer......................................................................................................................... 159 10.3 ábra: A pszeudóinverz geometriai illusztrációja.......................................................................... 160 10.4 ábra: Szimulátor modell .............................................................................................................. 160 10.5 ábra: Az y(t) beolvasása ............................................................................................................... 161 11.1 ábra: Példák többtest rendszer elemeire. ................................................................................... 171 11.2 ábra: A részekre bontás módszere a mechanikában................................................................... 172 11.3 ábra: Példák kényszerekre........................................................................................................... 173 11.4 ábra: Gömbi inga. ........................................................................................................................ 175 11.5 ábra: Virtuális elmozdulás. .......................................................................................................... 175 11.6 ábra: A z tengely körüli forgatással nyert koordináta transzformáció. ....................................... 178 11.7 ábra: Kettős inga.......................................................................................................................... 184 13.1 ábra: Nemlineáris egynyomvonalú modell (bicikli modell), felülnézet ....................................... 198 13.2 ábra: Nemlineáris egynyomvonalú modell, oldalnézet............................................................... 198 14.1 ábra: Dinamikus kerékforgás. ...................................................................................................... 204 14.2 ábra: Motor karakterisztika. ........................................................................................................ 205 14.3 ábra: Fékező nyomaték karakterisztika. ...................................................................................... 206
6
15.1 ábra: Nemlineáris egynyomvonalú modell: különböző, ugrásszerűen beállított kormánykerék állásoknál ............................................................................................................................................. 210 B.1 ábra: Fúrókalapács [2] ................................................................................................................... 227 B.2 ábra: Matematikai inga ................................................................................................................. 231 B.3 ábra: Módosított inga.................................................................................................................... 232 B.4 ára: Prizmatikus rúd. ..................................................................................................................... 233 B.5 ábra: Kettősinga és a szétszedett inga elem ................................................................................. 237 B.6 ábra: Ötlengőkaros hátsó kerékfelfüggesztés ............................................................................... 241
Táblázatok 1.1 táblázat: Példák a különböző tudományterületeken előforduló állapotváltozókra. ...................... 12 1.2 táblázat: Példák különböző szakterületek rendszerelemeire. ........................................................ 14 3.1 táblázat: A keresztváltozók és az átmenő változók osztályozása az egyes tudományterületeken. 53 7.1 táblázat: Az átmeneti értékek száma és az elért rend. ................................................................. 116 7.2 táblázat: α nyílásszögek különböző k értékekre ........................................................................ 135
7
1
Bevezetés
Ez a tananyag a modellezési módszerek leírását tartalmazza és a komplex dinamikai rendszerek tulajdonságainak megértését célozza hatékony alkalmazásuk érdekében. Következésképp megfelelő mélységben kell megismernünk a mechatronikai rendszerek, alrendszereik és elemeik elemzésének, valamint vizsgálatának módszereit és alkalmazásukat. Ez a tananyag az alábbi témákkal foglalkozik: •
dinamikai rendszerek matematikai megfogalmazásával,
•
modellezési technikákkal,
•
szimulációval,
•
differenciál egyenletek integrálási és nemlineáris egyenletek megoldási módszereivel,
•
a rendszerparaméterek meghatározásával (identifikációjával) illetve becslésével,
•
a dinamikai rendszerek stabilitási tulajdonságaival.
Ebben az értelemben fontos hangsúlyoznunk, hogy a vizsgált rendszerek nem csupán egyetlen tudomány keretébe tartoznak, hanem leírásukhoz több tudományterületet ötvözve kell alkalmazni (lásd 1.1 ábra)
1.1 ábra: Több tudományterület rendszer leírása [1].
1.1
Bevezető példák
Az alábbi példák az előadáson ennél részletesebben kerülhetnek ismertetésre.
8
1.1. példa: ABS – Mágnesszelep, 1.2 ábra Rendszer: ABS Alrendszer (komponensek, alkatrészek): mágnesszelep Lehetséges célok: a) Az armatúra x ( t ) elmozdulás-időfüggvényének leírása működés közben. b) Hol és hogyan lehet befolyásolni a dinamikai viselkedést (pl.: a teljes út 90 %-ának gyorsabb megtételéhez)? c) Milyen más nem dinamikai természetű célkitűzések lehetségesek ebben az összefüggésben? d) Milyen más lehetőségek létezhetnek a dinamikai rendszerek pozitív módon való befolyásolására (mit jelent a "pozitív" jelző ebben a szövegkörnyezetben?)? Az ABS felépítése különböző mérnöki tudományokat foglal magában, pl.: •
mechanika (fék mechanizmusa, hajtás dinamikája),
•
hidraulika (szelepek, szivattyúk, csövek, ...),
•
elektrotechnika (vezérlés, teljesítményelektronika, …),
•
irányítástechnika (ABS-algoritmus).
1.2 ábra: ABS-mágnesszelep, csatlakozások.
9
1.2. példa: Fúrókalapács, 1.3 ábra Rendszer: fúrókalapács Alrendszer (komponens): forgattyús mechanizmus Lehetséges célok: a) Az ütés impulzusának maximalizálása. b) A szerszámfogantyú rezgésének minimalizálása az ütési teljesítmény állandó szinten tartása mellett. c) Hogyan kell a forgattyús mechanizmus elemeit megtervezni a hatékony fúrás érdekében? d) Felléphet-e törés a forgattyús mechanizmus elemeire ható nagy dinamikai terhelések következtében?
1.3 ábra: Fent: Fúrókalapács [2]; Lent: A fúrókalapács szimulációs modellje.
10
⇒ 1. feladatlap: A fúrókalapács egyszerű szimulációs modellje
1.2
A dinamikai rendszer
A rendszer kifejezés hétköznapi értelemben is gyakran alkalmazott fogalom pl. közlekedési rendszer, naprendszer, számítógéprendszer, szív és érrendszer, idegrendszer, stb. Jelen szövegkörnyezet a mérnöki és tudományos területeken a rendszer kifejezést komplex és
nem
átlátható
műveletek
és
folyamatokkal
összefüggésben
alkalmazza.
A
mechatronikában általában a különböző tudományterületek együttműködése figyelhető meg.
1.2.1
Definíciók
1.1. definíció [3]: A rendszer elemek (alkatrészek, komponensek, objektumok) halmaza, •
amelyek egymásra kölcsönösen hatnak (kölcsönhatás),
•
amelyek külső hatásoknak (input) vannak kitéve és
•
amelyek kifelé (output) is hatnak.
1.1. Megjegyzés: A tudomány a rendszer fogalomra többféle definíciót is megfogalmaz, pl.: 1.2. definíció [4]: Egy objektum mindaddig rendszerként azonosítható, amíg minden egyes részeleme és minden sajátossága az egymástól való kölcsönös függésükkel (rendszer környezetével is) valamilyen logikai értelemben egy nagyobb egésznek a komponenseiként tekinthetők. Ehhez jönnek az axiómák. Elemek lehetnek pl. építőelemek, alkatrészek, komponensek, objektumok, részek. A jellemző sajátosságok lehetnek tulajdonságok, ismertetőjelek és a rendszer, valamint környezete közötti kapcsolatok. A rendszer állapotát leíró jelek a rendszer állapotváltozói. 1.3. definíció [4]: A rendszer egymásra ható képződmények elhatárolt rendezettsége. Ezt a rendezettséget egy határfelület vagy perem határolja (környezettel kapcsolatban lévő rendszerelemek egy
11
halmaza). A burkolat a rendszert elhatárolja a hozzá kapcsolódó környezetétől. Ezen a kapcsolaton átvitt tulajdonságok és állapotok azok a mennyiségek, amelyek közötti összefüggések leírják a rendszer sajátos viselkedését. A rendszert szimbolikusan egy blokkal szemléltetjük. A blokk pereme a határfelület, amely a környezetétől való elhatárolást szimbolizálja.
1.4 ábra: A rendszer szemléltetése blokksémán. A blokk kapcsolata a környezettel, adott esetben, lehet •
r számú ui bemenő (input) mennyiség,
•
m számú yi kimenő (output) mennyiség és
•
q számú zi zavaró mennyiség.
Ha a rendszernek nincs kapcsolata a környezettel, akkor zárt rendszerről beszélünk. A rendszer teljes állapotát n számú xi állapotváltozóval írjuk le. 1.4. definíció: Állapotváltozóknak nevezzük a rendszer azon változóit, amelyek ismerete elegendő ahhoz, hogy a rendszer viselkedését teljes mértékben leírjuk. Az állapotváltozók az idő függvényei. Értékük összessége a rendszer állapotát írja le. 1.2. Megjegyzések: •
Az állapotváltozók a rendszer belső változói.
•
Az állapotváltozók megválasztása többféle is lehet. A választott állapotváltozóknak egyértelműeknek, függetleneknek és redundáns menteseknek kell lenniük. Az utóbbi tulajdonságból következik, hogy az állapotváltozók megválasztása teljesen tetszőleges lehet, azonban számuk egyértelműen rögzített.
12
•
A gyakorlati alkalmazásoknál nem minden állapotváltozó érdekes, hanem csak a mindenkori alkalmazás szempontjából szükséges változók. Ezeket a változókat nevezzük kimeneti (output) változóknak, amelyek az állapotváltozók kombinációjából is képezhetők.
Az 1.1 táblázat példákat tartalmaz a különböző tudományterületekről származó állapotváltozókra. 1.1 táblázat: Példák a különböző tudományterületeken előforduló állapotváltozókra. Elektrotechnika
Mechanika
Eljárástechnika
Környezetvédelem
áram
helyzet
hőmérséklet
népesség
feszültség
sebesség
tömegáram
környezet állapota
töltés
gyorsulás
CO2 kibocsátás
kinetikai energia
ózon érték
potenciál energia 1.3. példa: Járműrendszer Egy járműrendszeren, a vezető által meghatározott mennyiségek, mint pl. kormánykerék szöge, fékpedál és a gázpedál állásai, jelentik a rendszer bemenő jeleit (inputs). A jármű mozgását leíró változókat állapotváltozóknak nevezzük. Ezen változók kombinációit, illetve részhalmazait kimenő jeleknek (outputs) nevezzük, és az útról átadódó hatásokat pedig zavaró jeleknek nevezzük (lásd 1.5 ábra).
13
1.5 ábra: Egy járműrendszer (Ammon, 1997). Egy járműdinamikai rendszer példáját mutatja az 1.6 ábra.
1.6 ábra: Két nyomvonalú jármű szabadságfokai [5]. 1.4. példa: Rácsos szerkezet Egy rácsos szerkezet egyes rúdjai képezik a rendszer elemeit. A rudak között fellépő belső kölcsönhatások a csomóponti erők. Bemenő mennyiségek a külső terhelések, és kimenő mennyiségekként a kényszerekben fellépő kényszererőket érthetjük 1.5. példa: Az utak forgalmi rendszere Rendszerelemként felfoghatók az elhatárolt utcai- és alhálózatban közlekedő egyes járművek. Alrendszereket képezhetnek a mindenkori járműjükkel közlekedő vezetők. A belső kölcsönhatások a jármű relatív távolságainak és sebességeinek felelnek meg.
14
1.5. definíció: A több mint egy bemenő és több mint egy kimenő mennyiséggel rendelkező rendszert többváltozós rendszernek, azaz “MIMO” (multiple-input- multiple-output) rendszernek nevezzük. Az 1.2 táblázat különböző szakterületek rendszerelemeit tartalmazza. 1.2 táblázat: Példák különböző szakterületek rendszerelemeire. Elektrotechnika
Mechanika
Eljárástechnika
Népesség alakulása
ellenállás
tömeg
tartály
születés
kapacitás
rugó
szelep
halál
vezeték
csillapítás
csővezeték
betegség
tranzisztor
rúd
keverőüst
fogyasztás
erősítő
csapágy
szűrő
szűrő
vezeték
reaktor
végállás helyzet aktuátor erő aktuátor
A rendszerelemek közötti kölcsönhatások jellege meghatározza rendszer szerkezetét. A rendszer alrendszerekre (komponensekre) bonthatók. Egy rendszert alrendszerekké (komponensekké, összetevőkké, alkotórészekké) lehet felosztani és strukturálni. Egy folyamat alrendszerekké történő bontása azzal az előnnyel jár, hogy a rendszer viselkedéséről jobb áttekintést kapunk és hogy az egyes alrendszereket különböző emberek építhetik fel. A strukturálást úgy kell megvalósítani, hogy az alrendszerek a teljes rendszerbe beilleszthetők legyenek. Az illesztési felületek világos meghatározása alapvető, és ez jelenti az egyik fő problémát a komplex dinamikai rendszereknél. A rendszer határa (pereme) tetszőlegesen kijelölhető. De általában ott húzunk határokat, ahol néhány egyértelműen meghatározott kapcsolattal a környezettől való elhatárolás világos és a rendszer nem hat vissza a környezetére.
15
1.6. definíció: A dinamikai rendszerek mozgása alatt a rendszer változóinak időbeli megváltozását értjük. Ezért a mechanikai mozgás (helyváltoztatás) a mozgások összes általános típusainak egy speciális esete. A már leírt mozgások mellett, az irodalomban (lásd [6]), további mozgások is előfordulnak. A rendszerparaméterek olyan mennyiségek, amelyek állandók maradnak a rendszer megfigyelése során. Erre vonatkozó példák a természeti állandók, rugóállandók és csillapítási tényezők, ellenállások, stb. A környezeti hatások olyan mennyiségek, amelyek a rendszerre kívülről hatnak, de amelyre a rendszer nincs visszahatással (visszahatás mentesség). Erre vonatkozó példák a nagy termek hőmérsékleti változása, a kényszermozgások, stb. Az állapotváltozók kezdeti értékei. A sebesség az állapotváltozók megváltozásának mértéke, amely az állapotváltozó értékének megváltozása egységnyi idő alatt. Példák erre a sebesség, a gyorsulás, a népesség születési és halálozási rátája, a tömegáram és a nyomásváltozás, stb. Mint ahogy a sebesség példája mutatja, az állapotváltozók egyaránt lehetnek az állapotváltozók változási sebességei és az állapotváltozók önmaguk. Ez elsősorban a mechanikában bír jelentőséggel. A matematikában a dinamikai rendszereket differenciálegyenletek (DE), n -ed rendű algebrai egyenletek és differenciál-algebrai egyenletek (DAE) írják le (lásd a 3. fejezetet).
1.2.2
A rendszerek osztályozása
1.7. definíció: Egy rendszer •
statikus, ha a rendszer állapota a rendszer határán (peremén) belül nem változik a megfigyelés alatt. A statikus rendszer modellje algebrai egyenletekből áll.
•
dinamikus, ha az x ( t1 ) pillanatnyi állapot határozottan függ az x ( t0 ) kezdeti állapotától és az u ( t ) input mennyiségtől a [ t0 , t1 ] időintervallum alatt ( t1 > t0 ) . A dinamikai rendszerek mindig tartalmaznak tároló elemeket, mint pl. energia, anyag, információ, stb. A dinamikai elemek viselkedéseit ezért differenciálegyenletekkel vagy differenciál-algebrai egyenletekkel írjuk le.
16
•
koncentrált paraméterű rendszernek nevezzük, ha a rendszerváltozók, úgy, mint tömegek, kapacitások, rugók, csillapítók, stb., azaz, ha a rendszer változói a helynek nem függvényei (pl.: rugó-tömeg-inga). A dinamikában az ilyen rendszereket közönséges differenciálegyenletekkel írják le. Ha ez az egyszerűsítés nem megengedett, (ha pl. a helytől való függést figyelembe kell venni) megosztott paraméterű rendszerről beszélünk. Ebben az esetben a rendszer leírása parciális differenciálegyenlettel történik (pl.: rúd rezgése).
•
időinvariáns, ha a paraméterei időben állandóak maradnak. Ha a paraméterek változnak az időben, akkor idővariáns rendszerről beszélünk (pl.: a rakéta, amelynek a tömege az üzemanyagfogyásával megváltozik, vagy olyan műanyag alkatrészek, amelyek rugalmassági együtthatója csökken a hőmérséklet emelkedésével).
•
kauzális, ha a kimeneti jele egy tetszőleges időpontban csak a bemeneti jel értékétől függ az adott és az ezt megelőző időpontban (kauzalitás elve = ok és okozat elve). Tananyagunk kizárólag a kauzális rendszerekkel foglalkozik.
•
determinisztikus, ha matematikai egyenletek alapján elvileg egzakt módon kiszámítható a rendszer viselkedése. Ha a rendszer viselkedése csak valószínűségszámítással és statisztikai módszerrel jósolható meg előre, akkor sztochasztikus rendszerről beszélünk.
Ebben a tananyagban (elsősorban a technikai) rendszerek dinamikai viselkedését vizsgáljuk. Ezért a dinamika fogalmát is meg kell magyaráznunk. Történelmileg tekintve dinamika alatt (gör. dynamis = erő) elsősorban a mechanikai rendszerekre ható erőhatások okozta mozgásváltozások tanát értették és megfordítva (inverz dinamika). Ma már dinamika alatt általában az időbeli változások és ennek során fellépő jelenségek leírását és vizsgálatát értjük, valamint azt, hogy hogyan zajlanak le az általános gerjesztések és események (erők, feszültségek, halálozások, születések, tömegáram, stb.) hatása következtében. Valójában a dinamika mozgást, változást jelent.
1.3
Rendszermodellek
A modell a valóság leegyszerűsített mása azért, hogy bizonyos funkciókat elemezni tudjunk. Nincsen olyan modell, amely a valóság hű másolata lenne. Ugyanis mindig van eltérés a valós rendszer viselkedése és annak modellje között. Ezt az eltérést modellezési hibának nevezzük.
1.3.1
Modelltípusok
A különböző vizsgálatokhoz, különösen a különböző részletesség esetén, különböző modellek szükségesek:
17
•
kisminta modellek: kicsinyített jármű- vagy repülőgép modellek a szélcsatornában végzett kísérletekhez,
•
koncepcionális modellek, tisztán elvi modellek,
•
matematikai-fizikai modellek.
Ebben a tananyagban, a továbbiakban kizárólag a matematikai-fizikai modellekkel foglalkozunk. 1.6. példa: •
Járművek, repülőgépek vagy hajók mérethűen kicsinyített modelljei a szél- és vízcsatornában végzett aero- és fluid dinamikai tulajdonságok mérésére. Ennek során az áramlástechnikai hasonlósági törvényeket használjuk: hasonló Reynolds-szám esetén a térfogatáram hasonló, még akkor is, ha az áramló közeg léptéke eltérő.
•
Analóg számítási modellek, amelyekben az elektronikus kapcsolás a vizsgált rendszer modelljéül szolgál. Ez az eljárás a mechanikai és elektromos rendszerek közötti hasonlóságon alapszik, pl.: egy csillapított rezgő rendszer differenciálegyenlete
mx + dx + cx = F (t ) , ahol x az elmozdulás, m a tömeg, d a csillapítási tényező, c a rúgó merevsége és
F (t ) a gerjesztő erő. Ha a kondenzátorban tárolt q töltést az x elmozdulással, az L induktivitást az m tömeggel, az R ellenállást a d csillapítási tényezővel, a C kapacitást az 1 c rugómerevség reciprokjával és az U ( t ) feszültségforrást az F (t ) gerjesztő erővel azonosítjuk, akkor a következő egyenletet kapjuk:
Lq + Rq + •
1 q= U (t ) . C
A „Hardware-in-the-Loop” (HIL, valódi eszköz szimulált környezetben) szimulációban a matematikai modellek a vizsgált rendszer valós alrendszereihez kapcsolódnak, pl.: az elektromos kormányrendszer. Ebben az esetben tulajdonképpen a „fizikai” alkatrészek nem modellek, hanem a vizsgált rendszer egy része.
1.3.2
Rendszerelemzés
A vizsgált rendszer elemzése során megpróbáljuk a rendszer ki– és bemeneti viselkedését meghatározni azért, hogy így megértsük a rendszer viselkedését és adott esetben a befolyásolás lehetőségét kidolgozzuk.
18
Alapvető, hogy lehessen a rendszer gerjeszteni, miközben a bevitt adatokat tároljuk és a kimenő adatokat pedig mérjük. Ezek a folyamatok mégis gyakran nehézségeket okoznak, mert •
a vizsgált rendszer számos esetben még egyáltalán nem (új termékek fejlesztése), vagy már nem (baleseti rekonstrukció) létezik,
•
a rendszer geometriai méretei vagy túl nagyok vagy túl kicsik a mérések elvégezéséhez,
•
a rendszer tulajdonságainak megméréséhez nem állnak rendelkezésre a megfelelő szenzorok vagy túl drágák,
•
a megfelelő kísérletek túl sokáig tartanak, mert a rendszer nagyon lassú,
•
a vizsgált rendszerekkel végzett kísérletek túl veszélyesek, nagyon drágák vagy más okokból kifolyólag nem helyettesíthetők (úttartási tesztek, ütközési tesztek, biomechanika),
•
a rendszerből egy példány van és egyáltalán nem szabad vagy nem lehet gerjeszteni (gazdasági rendszerek, biológia, időjárás, …).
1.3.3
Rendszer szimuláció
Számos esetben, az 1.3.2 pont alatt bemutatott eljárást nem alkalmazzuk az éppen vizsgált rendszerre (legalábbis nem a fent említett megfontolások alapján, vagy más gyakorlati okokból). Helyette, egy alkalmas modellt választunk. Azt az eljárást, szintén rendszer szimulációnak nevezzük, amelyben a kísérleteket de facto nem a valós rendszereken, hanem a rendszermodelleken folytatjuk le. Az 1.7 ábra egy alapvető sémát szemléltet az ilyen rendszeranalízis lefolytatására:
19
1.7 ábra: A rendszer szimuláció alapelve. A szimulációs eljárás általában a valós rendszer helyett a dinamikai rendszer matematikai modelljei alapján folytatott kísérleteket jelent. A szimuláció számos előnnyel rendelkezik, mint pl. •
elmélyíthető a rendszer működésének a megértése,
•
sok esetben a rendszer szimuláció lényegesen gyorsabb és olcsóbb, mint a kísérletek lefolytatása és kiértékelése,
•
a szimulációk könnyen megismételhetők és jól összehasonlíthatók.
A matematikai szimulációs modelleken a kísérletek lefolytatásához, először is, az egyenleteket elő kell állítani és meg kell oldani. Az egyenletek felállításához különböző tudomány-területek alapvető fizikai törvényeire van szükség, pl. •
Euler egyenletek és Newton törvényei,
•
az energia megmaradásának törvénye,
•
az anyagtörvény,
•
d’ Alembert elve,
•
a Maxwell egyenletek
•
Navier-Stokes egyenletek
Ezt a témát mechanikai rendszerek vonatkozásában a 11-15. fejezetek tárgyalják. Az egyenletrendszerek megoldásával 4-9. fejezetek foglalkoznak.
20
Egy szimulációs rendszer kidolgozásához (amely az egyenletek levezetését és megoldását jelenti), a modell alapvető egyszerűsítéseket követel meg, mint pl.: •
rugalmas és megoszló tömegű testek helyettesítése merev és koncentrált tömegű testekkel (tömeg és tehetetlenségi nyomaték),
•
a nemlineáris anyagtörvények helyettesítése lineárisokkal,
•
egyszerű lineáris kinematikai összefüggések alkalmazása nemlineárisak helyett,
•
a súrlódás hatásának elhanyagolása vagy teljes leegyszerűsítése.
1.3.4
Rendszeridentifikáció (lásd 10. fejezet)
Rendszeridentifikáció (vagy a rendszer paramétereinek azonosítása) alatt a rendszer paraméterinek szisztematikus, számítógéppel segített közelítő meghatározását értjük (lásd 1.8 ábra). A megfelelő rendszermodell és a vizsgált rendszer bemenő és kimenő adatainak mérése az eljárás előfeltétele. A következőkben fizikai törvényeken alapuló fizikai modellel fogunk meghatározni egy rendszer modellt. Bonyolult kérdéseket magába foglaló helyzetekben (pl. az utastérbeli áramlási viszonyok leírása a klíma vezérlés értelmezése céljából) gyakran más leírásokat alkalmazunk, pl. neurális hálózatokat, amelyek eltekintenek a fizikai szemlélettől. Mérések alapján az ismeretlen p = [ p1 , p2 , , pn ]
T
paramétereket oly módon változtatjuk, hogy a valós rendszer és a modell között a legjobb legyen az egyezés. Megfelelő matematikai optimalizálási módszereket alkalmazunk az ismeretlen paraméterek azonosítására (lásd 10. fejezet). Ezt a módszert különösen akkor alkalmazzuk, amikor a paraméterek nehezen mérhetők, pl. •
súrlódási tényezők és anyagcsillapítás,
•
hőátadási tényezők,
•
áramlási ellenállás, stb.
A további fizikai mennyiségeket, mint a tömeget, rugómerevséget, geometriai méreteket, anyagtulajdonságokat
(rugalmassági
modulust,
viszkozitást,
prospektusokból, CAD rajzokból és modellekből vesszük ki.
stb.)
táblázatokból,
21
Általában a paramétereket, ha csak lehet, közvetlenül mérjük, a többit pedig paraméter identifikálással határozzuk meg. A paraméter identifikáció alkalmazásának sikere csak korlátozott mértékű lehet. A legtöbb esetben a siker a választott modell jóságától és a mérés minőségétől függ.
1.8 ábra: A paraméter identifikáció folyamata.
1.3.5
Rendszeroptimalizálás (lásd 10. fejezet)
A rendszeroptimalizálás egy tervezett új tulajdonságú rendszer létrehozását célozza rögzített elvárásokra való optimalizálással (lásd 1.9 ábra). A matematikai modellt úgy paraméterezzük, hogy az határozottan elégítse ki a megcélzott viselkedés kritériumait. A megcélzott viselkedést, adott bemeneti és kimeneti jelekre vonatkozó célmegoldásokkal írjuk le. Az eltéréseket, a modell pillanatnyi és a megcélzott viselkedése között, teszt jelekkel történő szimulációval határozzuk meg. A megvalósulás mértékének függvényét a pillanatnyi megoldás
és
a
célmegoldás
közötti
különbséggel
definiáljuk,
amelyet
szintén
célfüggvényként azonosítunk. Valójában hasonlóságokat figyelhetünk meg a rendszeridentifikáció és a paraméter identifikáció folyamatai között. Mind a kettő a p paraméter halmaz meghatározását célozza, amely garantálja a közelítő egyenértékűségét az yact pillanatnyi jellemzőknek az ymeas mért értékekkel (paraméter identifikáció) és az ydes elérendő értékekkel (rendszeroptimalizálás). A rendszeroptimalizálás folyamatát az 10. fejezet tárgyalja.
22
1.9 ábra: A rendszer optimalizálás folyamata.
1.3.6
Modell sémák és blokkvázlatok
A modell sémák a rendszerek részletes leírásai, amelyek erősen támaszkodnak az ábrázolásra. A modell szemléltetésének módja az adott feladat és a megfelelő mérnöki tudomány közötti kapcsolattól függ. A több tudomány integrációja (“mechatronika”) növekvő fontossága megköveteli, hogy ezeket a sémákat (szerkezeti-, működési-, hatásvázlatokat),
ha
lehetséges
univerzális
diagramokkal
(pl.
blokkvázlatokkal)
helyettesítsük. Azonban, komoly nehézségekkel kell szembenéznünk, ha egy komplex rendszerrel (pl. ha feladat mechatronikai területről származik) van dolgunk. A blokkvázlatok (tömbvázlatok) a modell egyenleteket látványosan írják le. Ez következésképp azt jelenti, hogy két mennyiség (jel) közötti kapcsolat allegorikus formában kerül szemléltetésre. A következő hozzárendelések alapvetőek: •
jel
↔
a nyíl a hatás iránya
•
művelet
↔
tömb vagy blokk
Egy blokkvázlat a következőket tartalmazza: •
a tömböket (blokkokat),
•
irányított nyilakat (hatásvonalakat), a tömb kimenő és érkező jeleit reprezentálva. A nyíl hegye a hatás irányába mutat, jelezve, hogy ki- vagy bemenő jelről van-e szó,
•
a ki- és bemenő mennyiségek jeleit,
•
az összegzéseket, amelyeket kis körök szemléltetnek,
•
a jelek elágazásait (fekete pontok).
A blokkvázlat szerkezetének és elemeinek a további részleteit a DIN19226 szabvány [7] foglalja össze.
23
1.10 ábra: Példa hatásvázlatra (egyszerű rezgőrendszer). Különösen az irányítástechnika elméletében elterjedt a blokkvázlatok (hatásvázlatok) alkalmazása. A szimulációs programok támogatják a blokkvázlatok grafikus bevitelét. A program a rendszeregyenleteket a diagram alapján automatikusan építi fel (lásd 1.10 ábra). A blokkvázlatok hierarchikusan is felépíthetők. 1.7. példa: Kerékfelfüggesztés, 1.11 ábra
1.11 ábra: Kerékfelfüggesztés egyszerű modellje. Modellegyenletek Newton-féle egyenlet (impulzus tétel) a fizikai felépítményre, ahol l0 a rugó terheletlen hossza:
m A y =−c ( y − s − l0 ) − d ( y − s ) − m A g ,
24
m A y + dy + cy = cs + ds + cl0 − m A g
⇒
h(t )
y=
1 ( h − mA g − dy − cy + cl0 ) . mA
Az s = 0 egyensúlyi feltétel értelmében kapjuk:
0= −cy + cl0 − m A g ⇒
y0 = l0 −
mA g. c
Bevezetve az új modellváltozót
y A = y − y0 = y − l0 +
mA g, c
megkapjuk a lineáris mozgásegyenletet
y A=
1 ( h − dy A − cy A ) , mA
és ez alapján megszerkesztett hatásvázlatot az 1.12 ábra mutatja.
1.12 ábra: A felfüggesztés hatásvázlata, és a lehetséges részletezési szintek. 1.8. példa: Villamos áramkör, 1.13 ábra
1.13 ábra: Elektromos aluláteresztő szűrő.
25
Modellegyenletek Kirchhoff-féle hurok törvény:
0 ⇒ u ( t ) − Ri ( t ) − u ( t ) = 0 ∑ u (t ) = i
1
2
t
1 1 Kapacitás: = u2 ( t ) = q (t ) i ( t ) dt C C ∫0
Az áram és töltés közötti összefüggés: q ( t ) = i ( t ) . Eredményül kapjuk, hogy: q ( t ) +
végül Cu2 +
1 1 u2= u1 R R
⇒ u2=
1 1 1 q= u1 , u2 ( t ) = q , RC R C
1 ( u1 − u2 ) . RC
Hatásvázlat (Blokkvázlat)
1.14 ábra: Elektromos aluláteresztő szűrő blokkvázlata, lehetséges részletezési szintek. Jelfolyam-ábrákat elsősorban az angolszász országokban kedvelik. Nagyon egyszerű szerkezetűek és könnyen megrajzolhatók. A hátrányuk abban áll, hogy alkalmazásuk alapvetően lineáris rendszerekre korlátozódik. A jelfolyam-ábra elemei: •
összekötések előjeles erősítési tényezővel
•
a kapcsolódási pontok reprezentálása rendszerváltozókkal
26
1.15 ábra: Jelfolyam-ábra a) felfüggesztés és b) aluláteresztő szűrő. ⇒2. feladatlap: Matematikai inga
1.4
A rendszerdinamika feladata
Feladat 1: Modellezés A rendszer viselkedését leíró matematikai összefüggések levezetése: A modellezés mindig együtt jár absztrakcióval és idealizálással. Példák: tömegpont, merev test, súlytalan rugó időkésés mentes pozicionáló hajtás, stb. Az adott feladattól függően, ugyanazon rendszer, különböző modellezési részletességet követel meg és éppen ezért különböző idealizálást is. 1.9. példa: Járműmodell •
Hajtásdinamikai elemzés: Komplex többtest rendszer (szabadságfok, pl., hossztengely körüli dőlési szögelfordulás, keresztirányú tengely körüli bólintási szögelfordulás, függőleges tengely körüli legyezési szögelfordulás, x −, y −, z − irányú elmozdulások). A hajtásláncot és vele együtt a hosszirányú (longitudinális) dinamikát elhanyagoljuk (helyettesítve a jármű meglévő, hosszirányú mozgásával).
•
A rángatózás elemzése: Merev test (szerkezet) négy kerékkel, a felfüggesztést elhanyagoljuk, de a hajtásláncot részletesen leírjuk.
•
Jármű szimuláció: Az egész jármű részletes dinamikai modellje.
•
Ütközési szimuláció: Az autó karosszéria és a teherviselő alkatrészek részletes végeselem modellje.
Feladat 2: Modellkutatás A rendszer tulajdonságaira vonatkozó kutatás Példák: stabilitási-, válaszidő-, működési vizsgálat, stb.
27
Feladat 3: Vezérlő jelek tervezése A rendszer bemenő jeleit úgy kell megtervezni, hogy elérjük a célrendszer megkívánt tulajdonságait. Példák: •
A helyes hegesztési pontok kijelölése érdekében, a hegesztő robotok motoráramait szabályozni szükséges.
•
A fúrókalapács elegendő nagyságú impulzusának elérése céljából, a lökő dugattyút mozgásba kell hozni.
Feladat 4: Rendszerviselkedés szimulációja Kísérletek lefolytatása a valóságban gyakran számos okból lehetetlen (pl. járműkonstrukció esetén nincs prototípus, nagyfokú veszélyhelyzet (ütközési teszt, lehetséges környezeti kár), vagy hosszú időtartam (népességváltozás)).
1.5
Összefoglalás
A modellezés és szimuláció során tárgyalt rendszerek eredetileg különböző területekről származnak. Műszaki területek: •
mechanika
•
elektrotechnika
•
hidraulika
•
pneumatika
•
informatika
•
stb.
Nem műszaki területek: •
társadalmi tudományok
•
üzleti ügyvitel
•
közgazdaságtan
•
biológia
•
matematika
•
meteorológia
28
•
stb.
A rendszerdinamikában, a rendszereket hasonló módszerekkel és egységes kritériumokkal fogjuk elemezni. Következmények: •
A rendszerdinamika egy interdiszciplináris tudomány.
•
A különböző tudományok rendszerei közötti hasonlóságokat kihasználva egységesített elemzési technikákat alkalmazunk a vizsgálatokra.
•
A különböző tudomány területekről származó egységesített rendszerekre előnybe részesítjük az általánosított leírási technikákat.
•
De: Az idők során a különböző tudományterületek (pl. mechanika, elektrotechnika) kidolgozták a saját leíró rendszereiket (és szoftver csomagjait), amelyek nem kompatibilisek egymással. Szemléltetésül említjük a mechanikát, amelyet nehéz lenne blokkvázlattal leírni. Ezért a különböző leírási módokat matematikai rendszer szintjén meg kell tartanunk, hogy a rendszereket végül összekapcsolhassuk.
•
Szükségünk van egyértelmű és könnyen megtanulható leíró nyelvekre.
•
A jelenlegi irányzat szerint a matematikai leírást ábrákkal helyettesítik: o tömbábrák, o programok folyamatábrái, o bond-gráfok [8] o hálózati módszerek (Multiport and Cut Set Method) o stb.
Az alapvető egyenletek és a megoldási formalizmusuk ismerete elengedhetetlen ahhoz, hogy garantáltan és mélyrehatóan megértsük a rendszerelemzés alkalmazásának lehetőségeit és határait.
29
2
A dinamikai rendszerek matematikai leírása
2.1
Differenciál-egyenletek
A dinamikai rendszerek viselkedésének időbeni függését differenciálegyenletekkel (DE) vagy, még
általánosabban, differenciálalgebrai
egyenletekkel
(DAE)
írhatjuk
le.
A
mi
megközelítésünk olyan rendszerekre korlátozódik, amelyek csak differenciálegyenletekkel elemezhetők. Azokkal a rendszerekkel, amelyek csak differenciálalgebrai egyenletekkel írhatók le a 3.1 pontban foglalkozunk részletesebben. 2.1. definíció: Egy közönséges differenciálegyenlet (ODE) egy olyan összefüggés, amelyben szereplő függvény egyváltozós, és ennek a független változó szerinti, ún. közönséges deriváltai lépnek fe. Koncentrált paraméterű rendszereket (pl. többtest rendszereket) ODE-kkel írjuk le. 2.1. példa: A matematikai inga differenciálegyenlete (mozgásegyenlete), 2.1 ábra
2.1 ábra: Matematikai inga. A 0 pontra felírt perdülettételből először a következő helyettesítéssel kapjuk: x1 = ϕ , x2 = ϕ , ml 2ϕ = −mgl sin ϕ ,
(2.1)
x1 x2 = x = . g x2 − l sin x1
(2.2)
A (2.1) és (2.2) egyenleteket a mozgásegyenlet minimális reprezentációinak, vagy a rendszer állapotegyenletének is szokás hívni (lásd 2.2 pontot).
30
2.2. definíció: Egy parciális differenciálegyenlet egy összefüggés, amely tartalmaz egy két vagy többváltozós függvényt és annak változók szerinti parciális deriváltjait. A (hely szerint) megoszló paraméterű rendszereket (pl. folytonos mechanikai rendszereket) parciális DE-vel írják le. 2.2. példa: Prizmatikus rúd longitudinális rezgései, 2.2 ábra
2.2 ábra: Rúd longitudinális rezgései. Mivel a rúd idevágó fizikai paraméterei (merevség, tömeg és adott esetben, ha változik a keresztmetszet) megoszlanak a rúd hossza mentén, parciális differenciálegyenlet szükséges a rendszer dinamikájának a leírására. A karcsú prizmatikus rúd longitudinális hullámegyenlete az alábbi alakú:
ρ Au ( x, t ) = EA
∂ 2u ( x, t ) ∂x 2
ahol
ρ:
a sűrűség,
E:
a rugalmassági modulus,
A:
a rúd keresztmetszetének területe,
L:
a rúd hossza,
M = ρ AL :
az össztömeg.
A u ( x, t ) rúdirányú elmozdulás t idő szerint és x hely szerinti deriváltjai is megjelennek az egyenletben. Az ilyen egyenlet egzakt megoldásával egyelőre nem foglalkozunk.
31
⇒ 3. feladatlap: Prizmatikus rúd longitudinális rezgései 2.1. Megjegyzés:
A megoszló paraméterű rendszert egy megfelelő térbeli diszkretizációval nyert koncentrált paraméterű rendszerrel közelítjük (2.3 ábra). Ebben az esetben a parciális differenciális egyenlet helyett közönséges differenciálegyenleteket kapunk.
2.3 ábra: A longitudinális rezgéseket leíró diszkrét modell. mu1 = −3cu1 mu2 = cu1 mu3 = = mu4 mu5 mu6 ahol m =
+ cu2 , − 2cu2 cu2
+
cu3 , − 2cu3 cu3
+ cu4 , − 2cu4 cu4
+ cu5 , − 2cu5 cu5
+ cu6 , − cu6 ,
AE ρ AL és c = . L/6 6
Mátrixos formában a gyorsulásokat kifejezve: 0 0 0 0 u1 u1 −3 1 u 1 −2 1 0 0 0 u2 2 u3 36 E 0 1 −2 1 0 0 u3 = = Au , u = 4 ρ L2 0 0 1 −2 1 0 u4 u u5 0 0 0 1 −2 1 u5 0 0 1 −1 u6 0 0 u6
ahol az A mátrixot szokás a rendszer „merevségi” mátrixának is nevezni. Ez a tananyag elsősorban a koncentrált paraméterű rendszereket tárgyalja. Az ilyen estekben, a dinamikai rendszerek közönséges differenciálegyenletekkel írhatók le:
(
)
Implicit alak: F i t , y ( t ) , y ' ( t ) , , y ( n ) ( t ) = 0 ,
(2.3)
32
vagy kifejezve y ( n ) ( t ) -re,
(
)
e = Explicit alak: y ( n ) ( t ) F= t , y ( t ) , y ' ( t ) , , y ( n −1) ( t ) 0
(2.4)
2.2. Megjegyzések: •
Nem minden esetben lehetséges implicit egyenletről áttérni analitikusan az explicit alakra.
•
A gyakorlatban vannak olyan rendszerek, amelyek csak kapcsolt differenciál- és algebrai egyenletekkel írhatók le. Erre a több testből álló kinematikai hurkokkal rendelkező rendszerek szolgálnak példával.
•
A differenciálegyenlet legmagasabb deriváltjának foka adja a DE rendjét.
•
Egy n -ed rendű differenciálegyenlet megoldásához meg kell határoznunk minden folytonosan differenciálható függvényt és a deriváltjait, amelyek kielégítik a DE-et.
•
A rendszerdinamikában az ismeretlen y függvény az időtől függ. Az y idő szerinti deriváltjait a következőkben a mennyiség feletti ponttal ( y ) jelöljük, a felső indexbe jelzett fordított vessző ( y ' ) helyett.
F i ( t , y , y , y ) = my + dy + cy − P ( t ) = 0 2.3. példa: Csillapított rugó-tömeg rezgőrendszer, 2.4 ábra
Implicit egyenlet: F i ( t , y , y , y ) = my + dy + cy − P ( t ) = 0
(2.5)
1 Explicit egyenlet: y ( t ) =F e ( t , y , y ) =− m ( dy + cy − P ( t ) ) . 1
(2.6)
2.4 ábra: Koncentrált paraméterű egyszerű rezgőrendszer.
33
2.2
Állapotegyenletek
Bevezetve az x1 , , xn állapotváltozókat és a következő helyettesítéseket = x1 y= , x2 y = ', xn y ( n −1) ,
(2.7)
a (2.4) egyenlet n db elsőrendű differenciálegyenletre transzformálható. 2.4. példa: Egydimenziós rezgőrendszer Az egydimenziós rezgőrendszer mozgásegyenlete a v0 csillapítatlan körfrekvenciával, δ Lehr-féle csillapítással és h ( t ) gerjesztéssel a következő alakú:
y + 2δ y + ν 0 2 y = h (t ) . Alkalmazva a következő helyettesítéseket x1 = y , x2 = y , megkapjuk az elsőrendű DE-rendszert: x1 = x2 ,
x2 = h ( t ) − 2δ x2 − ν 0 2 x1 . Általában célszerű alkalmazni ezt a transzformációt ahhoz, hogy további kutatásokat folytassunk az elsőrendű differenciálegyenlet rendszeren. 2.3. definíció: Az általános állapotegyenlet egy véges dimenziójú, nemlineáris és az időnek folytonos dinamikai rendszere, n állapotváltozóval és m kimenő mennyiséggel a következő alakú: állapotegyenlet
= x
dx = f (x (t ) , u (t ) , t ) , dt
(2.8)
34
mérési, megfigyelési vagy kimeneti egyenlet
y (t ) = g ( x ( t ) , u ( t ) , t ) , ahol x : n × 1 – állapotvektor,
y : m × 1 – a kimenő jelek vektora, u : n × 1 – a bemenő (vezérlő) jelek vektora,
f , g : rendre n × 1 , m × 1 méretű nemlineáris vektorfüggvények.
2.5 ábra: Nemlineáris állapotegyenlet blokkvázlata. 2.5. példa: Tömegpont Impulzus tétel: my = F . Helyettesítés: = x1 y= , x2 y x1 x2 x F Állapotegyenlet:= = , x 1 . , u m x F = 2 m x2
2.6. példa: Viszko-csillapítású rugó-tömeg rezgőrendszer, 2.4 ábra Helyettesítés: = x1 y= , x2 y= , x1 y= , x2 y.
(2.9)
35
x2 x1 = x = Állapotegyenlet: . 1 x2 − m ( cx1 + dx2 − P ( t ) ) Itt, a P ( t ) a gerjesztő erő képviseli az u ( t ) vezérlő tényezőt. 2.7. példa: Matematikai inga, 2.1 ábra Állapot mennyiségek: x1 = ϕ (helyzet), x2 = ϕ (sebesség). Állapotegyenletek: x1 = x2 ,
g x2 = − sin x1 . l 2.8. példa: Logisztikus növekedés állandó terméshozamnál, [9] Állapotmennyiség:
x
(termés, pl. halak) .
Vezérlő tényező:
u= h= const (eltávolítás, pl. halászat).
x Állapotegyenlet: x =a 1 − x − h, k : kapacitási határ. k
2.6 ábra: Blokkvázlat: Logisztikus növekedés állandó terméshozamnál. 2.3. Megjegyzések: •
Az állapotegyenlet nemlinearitását a dinamikai rendszer szerkezete határozza meg, pl. az állapotváltozók kitevője vagy a nemlineáris karakterisztikák.
36
•
A nemlineáris állapotegyenletek megoldása analitikusan többnyire lehetetlen. Valamilyen numerikus megoldás válik szükségessé (szimuláció).
⇒ 4. feladatlap: Ragadozó és préda modellek
2.3
Állandósult megoldások és egyensúlyi helyzetek
2.4. definíció: A dinamikai rendszer x 0 ( t ) megoldását állandósult (stacionárius) megoldásnak nevezzük, ha az u0 ( t ) gerjesztésre azt találjuk, hogy
f ( x 0 ( t ) , u0 ( t ) ) = 0 ,
(2.10)
azaz, x 0 ( t ) ≡ 0 és ahol u 0 ( t ) ≡ 0, x 0 ( t ) a szabad (nem gerjesztett, nem vezérelt) rendszer egyensúlyi helyzete. 2.4. Megjegyzés: Általában a (2.10) egyenlet nemlineáris. A megoldások többnyire numerikus közelítésekből származnak, lásd a 9. fejezetet. 2.9. példa: Tömegpont x f ( x ,u , t ) = F2 =0 ⇒ x2 =0 és F = 0 . m
Azaz, egy egyensúlyi helyzetet akkor érünk el, ha a gerjesztő erő zérus és a pont az eredeti egyensúlyi helyzetben marad. 2.10. példa: Viszkózus csillapítású rugó-tömeg rezgőrendszer
x2 = f ( x, u, t ) = 0 , ahol P ( t ) = 0 1 − m ( cx1 + dx2 − mg − P ( t ) )
mg ⇒ x2 =0 ⇒ x1 = . c A tömeg az
mg helyzetet veszi fel a gravitációs erőnek köszönhetően. c
37
2.11. példa: Matematikai inga x2 = f ( x, u, t ) = g 0 − l sin x1
= ⇒ x2 0,= sin x1 = 0, azaz x1 0,= kπ ( k 1, 2,3,... Ez a példa megmutatja, hogy az egyensúlyi helyzetek különböző tulajdonságúak, ha pl. összevetjük az x1 = 0 és x1 = π egyensúlyi helyzeteket. 2.12. példa: Logisztikus növekedés állandó terméshozamnál Az egyensúlyi helyzetet az alábbiak szerint definiáljuk:
x a f ( x, u, t ) = a 1 − x − h = 0 ⇒ ax − x 2 − h = 0 k k ⇒ x1,2 =
1 kh 2 k ± k − 4 . 2 a
Különösen érdekes, ha h = 0 , akkor ezt kapjuk: = x1 0,= x2 k .
2.4
Lineáris állapotegyenletek
Valójában nemlineáris rendszerekkel inkább gyakrabban találkozunk, mint nem. Nem triviális esetektől eltekintve, ez nagy nehézségeket okozhat. Ezért vagyunk érdekeltek abban, hogy nagy erőfeszítésekkel kutatassuk a nemlineáris összefüggések lineárissal való közelítését. Ilyen módon egy lineáris közelítést kapunk, amely tükrözi az eredeti rendszer viselkedését eltekintve egy bizonyos hibától. De ezek a közelítések elsősorban könnyen kezelhetők és megoldhatók. Általában megfigyelhetjük, hogy a lineáris közelítéssel kapott összefüggések csak bizonyos mértékig érvényesek, a hiba olyan mértékben növekszik, mint amilyen mértékben megsértjük a közelítés érvényességét. A linearizálás alapelve könnyen leírható egy elegendően sima egy változós f ( x ) függvény segítségével.
38
2.7 ábra: Egyváltozós skalárfüggvény linearizálása. Ez a függvény egy egyenessel közelíthető az adott pont közelében. A pont környezetét a rendszer viselkedése vonatkozásában vizsgáljuk.
y =y0 + k ( x − x0 ) .
(2.11)
Az alábbi koordináta transzformáció alkalmazásával ∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 ,
(2.12)
végül megkapjuk a homogén, lineáris összefüggést:
∂f ( x ) ∆y = ∆x = k ∆x . ∂x x = x0
(2.13)
A (többváltozós) függvények linearizálásának egy általános módszere a Taylor-sorfejtés (részletesen később tárgyaljuk). 2.13. példa: Szinusz függvény Linearizáljuk az f (α ) = sin (α ) függvényt α = α 0 körül, ahol α − α 0 0 1 . A fent leírtak szerint járunk el: ∂ sin α f (α ) =sin α ≈ sin α 0 + (α − α 0 ) . ∂α α =α0 ( ((( ' f '(α0 ) =cos(α0 )
A ∆α := α − α 0 transzformáció után megkapjuk a lineáris összefüggést a cos α 0 konstans meredekséggel:
39
∆f = fˆ ( ∆α ) = cos α 0 ∆α . 2.14. példa: Matematikai inga Kis ϕ szögre megkapjuk az inga lineáris egyenletét:
g ϕ = − ϕ . l A lineáris kifejezés pontosabb meghatározása érdekében a következő definíciót alkalmazzuk 2.5. definíció: Egy f ( x ) függvény lineáris, ha fennállnak a következő tulajdonságok:
f ( x1 + x2 )= f ( x1 ) + f ( x2 ) ,
(2.14)
homogenitás= : f (λ x ) λ f ( x ) , λ ∈ R .
(2.15)
additivitás:
Ez a definíció akkor is alkalmazható, ha x1 és x 2 vektor és f vektorfüggvény. Az additivitási tulajdonság leírása blokkvázlattal:
2.8 ábra: Az additivitás blokkvázlata. 2.15. példa: Nemlineáris függvények
f ( x= ) ax + b , f ( x ) = x2 , f ( x ) = a sign ( x ) . Egy példa a szakaszonként lineáris függvényre, de egészében tekintve mégis nemlineáris függvénykapcsolat, amelyet a 2.10 ábra szemléltet.
40
2.9 ábra: Nemlineáris erő karakterisztika (hézaggal kombinálva). Az állapotegyenletek linearizálását bármilyen x 0 és u0 ( t ) (nem feltétlenül konstans!) időfüggő célfolyamatok közelében hajthatjuk végre. Feladattól függően azonban ésszerű azon referencia folyamatok környezetében linearizálni, amelyek egyensúlyi helyzetben vannak, azaz állandósult rendszermegoldások. = x x 0 + Δx , = u u0 + Δu feltéve Δx 0 a0 és Δu 0 b0 , a0 - és b0 -lal, amelyek a rendszer jellemzői paraméterei. Behelyettesítve ezeket az összefüggéseket a nemlineáris állapotegyenletekbe és Taylor-sorba fejtve az f és g függvényeket a ( t , x 0 ) és ( t , u0 ) pontok körül a második taggal bezárólag, kapjuk:
x =
∂f d ( x 0 + Δx )= f ( x 0 , u0 , t ) + = dt ∂x x
u =
∂g y 0= + Δy g ( x 0 , u0 ,t ) + = ∂x xu =
∂f Δx + x= 0 ∂u xu u= 0
∂g Δx + x= 0 ∂u xu u= 0
x0 u0
x0 u0
Δu ,
(2.16)
Δu .
(2.17)
Mivel a referencia megoldásoknak is ki kell elégíteniük a (2.8) és (2.9) alapösszefüggéseket, ebből következik, hogy
d ( x 0 ) = f ( x 0 , u0 , t ) és y 0 = g ( x 0 , u0 ,t ) . dt Ha
ezt figyelembe vesszük (2.16) és (2.17)-ben,
állapotegyenleteket:
akkor
megkapjuk a
lineáris
41
d ∂f = ( Δx ) dt = ∂x x
= u
∂g = Δy = ∂x xu =
∂f Δx + x= 0 ∂u xu u= 0
∂g Δx + x= 0 ∂u xu u= 0
x0 u0
x0 u0
Δu ,
(2.18)
Δu .
(2.19)
A Jacobi mátrixok bevezetése után
∂f ∂f ∂g ∂g , B = , C = , D = A = = 0 0 ∂x xu xu= ∂u xu xu= ∂x xu xu0= ∂u xu = = = = 0
0
0
,
(2.20)
x0 u0
a lineáris egyenletek
= Δx A ( t ) Δx ( t ) + B ( t ) Δu ( t ) ,
(2.21)
= Δy C ( t ) Δx ( t ) + DΔu ( t ) .
(2.22)
Részletes formában kapjuk: ∂f1 ∂x 1 A= ∂f n ∂x1
∂f1 ∂x2 ∂f 2 ∂x2
∂f1 ∂xn ∂f n ∂xn x =x0
(2.23)
u = u0
A Δx, Δy és Δu helyett ismét x, y és u -t írunk, és végül megkapjuk a lineáris dinamikai állapotegyenleteket:
= x A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) = y (t ) C (t ) x (t ) + D (t ) u (t ) ahol a mátrixok A : n × n – rendszermátrix,
B : n × r – bemenő jelek mátrixa,
(2.24) (2.25)
42
C : m × n – megfigyelő mátrix (szintén: mérési mátrix vagy kimenő jelek mátrixa),
D : m × r – közvetlen csatolás mátrixa.
Egy még tömörebb alakot kapunk, ha az A, B, C és D mátrixokat beépítjük egy
( n + r ) × ( n + m ) méretű S
hipermátrixba:
x x A B x = y S= u C D u
(2.26)
A (2.24) and (2.25) segítségével igazoljuk a lineáris dinamikai rendszer sajátos jellemzőit: •
Arányosság: λ ∈ ℜ -rel és igaz, hogy λ u ⇒ λ x, λ y .
•
Szuperpozíció: u1 + u 2 ⇒ x1 + x 2 , y 1 + y 2
2.10 ábra: A lineáris állapotegyenletek blokkvázlata. 2.5. Megjegyzések: Idővariáns rendszerről akkor beszélünk, ha az A és B mátrixok az időnek explicit függvényei
= x ( t ) A ( t ) x + B ( t ) u .
(2.27)
Az időinvariáns rendszerről akkor beszélünk, ha az A és B mátrixok konstansok
x (= t ) Ax + Bu . Az időinvariáns rendszer gyakran abban az esetben áll elő, amikor x 0 , u0 = const .
(2.28)
43
2.16. példa: Matematikai inga
x2 x2 ≈ g = x = g sin x1 − x1 l l
0 1 g x . − 0 l A
2.17. példa: Csillapítatlan logisztikus növekedés Az x = 0 egyensúlyi pont körüli linearizálással kapjuk, hogy: x = ax ,
és a x = k körül közelítve: x = −ax .
2.18. példa: Linearizálás periodikus megoldásra x1 = x2 + x1 ( a 2 − x12 − x2 2 ) , − x1 − x2 ( x12 + x2 2 − a 2 ) , x2 =
a ≠ 0,
az a cos t x0 = −a sin t referenciával. A Jacobi mátrix: ∂f ∂x x =x0
a 2 − 3x12 − x2 2 −2a 2 cos2 t 1 − 2 x1 x2 1 + 2a 2 sin t cos t Δx = . 2 a 2 − x12 − 3x22 −2a 2 sin 2 t −1 + 2a sin t cos t −1 − 2 x1 x2
Következésképp, a lineáris rendszer állapotegyenlete az alábbi alakú −2a 2 cos2 t 1 + a 2 sin t cos t Δx = Δx . 2 2 2 1 2 a sin t cos t 2 a sin t − + −
44
2.5
Rendszerdinamika jellemző feladatainak elemzése az állapotegyenletek segítségével [3]
I. Feladat: Az állapotegyenlet megoldása (4-9. fejezet) Keressük az x = x ( t , u ) függvényt, azaz a t idő és u vezérléstől függő állapot jellemző tulajdonságait. Három estet kell megkülönböztetni: 1. Nemlineáris állapotegyenletek: •
Ebben az esetben, az állapotegyenletek megoldása vagy teljesen lehetetlen vagy közelítőleg határozható meg.
2. Lineáris idővariáns rendszer: •
Csak formális közelítés létezik a megoldásra. A nehézségek nagyon hasonlóak az 1. esethez.
3. Lineáris időinvariáns állapotegyenletek: •
Csak ebben az estben rendelkezünk explicit megoldással. De nehézségek itt is előfordulnak magasabb rendű rendszerekre.
Mivel az állapotegyenletek explicit megoldása csak ritkán lehetséges, a rendszer vizsgálatát más módon kell megtenni, és így a következőkben tárgyalt sajátos kérdésekre kell koncentrálnunk. II. Feladat: Stabilitás (10. fejezet) Egy műszaki rendszert nem engedhetünk sem elszabadulni, sem felrobbanni. Az állapotvektornak végesnek kell lennie. Ezzel összefüggésben, azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogy mely paraméter értékeknél lehet stabilitás a definíció széles értelemében:
x → const , midőn , t → ∞ , vagylagosan mikor válik a rendszer instabillá (labilissá), azaz
x → ∞ , midőn t → ∞ . A stabilitás kérdését az egyenlet megoldása nélkül is meg kell tudnunk válaszolni. Nehézségekbe ütközhetünk nemlineáris és idővariáns rendszereknél, míg lineáris rendszerekre könnyű stabilitási megállapításokat tenni.
45
III. Feladat: Irányíthatóság (átfogóan nem tárgyaljuk a következőkben) A felhasználó bizonyára egyszerű irányítási rendszer tervezésében érdekelt. Ebben a vonatkozásban felvetődik a kérdés, hogy vajon a rendszer irányítható-e vagy sem, azaz, az u vezérlő értéke megválasztható-e oly módon, hogy a rendszer egy tetszőleges x ( t0 ) állapotból átvihető legyen egy x ( t1 ) célállapotba. Ez a feladat megoldható lineáris rendszerekre, ugyanakkor még nagyok a nehézségeink nemlineáris rendszerek esetén. 2.6. definíció: Egy n -ed rendű rendszer teljesen irányítható, ha a rendszer bármilyen x ( 0 ) = x 0 kezdeti feltételből bármilyen x1 állapotba vihető véges t1 > 0 idő alatt egy u ( t ) irányítással (bemenő függvénnyel) a [ 0,t1 ] intervallumon úgy, hogy a megoldás trajektóriája, amely az x 0 -ból indul a t = t1 időpontban kielégiti az x1 értéket. A Kálmán-féle kritériumot (Kern (2002)) biztosítani kell az irányíthatóság kézbentartása céljából. IV. Feladat: Optimalizálás (átfogóan nem tárgyaljuk a következőkben) Egy rendszernek egy kezdeti állapotból egy adott végállapotba történő irányítási feladata rendszerint többféle irányítási programmal megoldható. Itt az u irányítást oly módon kell megválasztani, hogy egy olyan folyamatot érjünk el, amely a lehető legolcsóbb és olyan gyors, amilyen csak lehet. Az eredmények optimális kritériumok, amelyekre az optimális vezérlést alapozni kell. V. Feladat: Irányítás (lásd Automatika) Kétféleképpen határozhatjuk meg az irányítási módszert: •
u mint az időfüggvénye, azaz u ( t ) ,
•
u mint az állapot függvénye, azaz u ( x ) .
Az első eset a szűk értelemben vett irányítás (vezérlés), míg a második esetben visszacsatolásról beszélünk, és legegyszerűbb
és
bizonyos
u ( x ) -t a szabályozó fogja szolgáltatni. A lehető
értelemben
irányítástechnika legfontosabb feladata.
optimális
szabályozó
meghatározása
az
46
VI. Feladat: Szimuláció (5-9. fejezetek) A szimuláció (a latin “simulatio= szinlelés” kifejezésből) egy valós rendszer imitációja. A szimulálás tevékenysége nem a valós rendszer elemzésén, hanem a rendszer modelljén alapszik. Az irodalomban, a szimuláció (szűk értelemben) a (többnyire numerikus) megoldásra és a rendszeregyenletek értelmezésére vonatkozik. VII. Feladat: Identifikáció (10. fejezet) A rendszerelemzés elméleti megközelítése (deduktív modellezés; deduktív = az általánosról a speciálisra való következtetés) legtöbbször nem elegendő, mivel a rendszerparamétereket vagy nehéz meghatározni vagy teljesen lehetetlen. Ezekben az esetekben kísérlettel szükséges azonosítani a teljes szerkezetet vagy az elemzni kívánt szerkezet paramétereit.
47
3 3.1
Differenciálagebrai-egyenletrendszer, multiport módszer Differenciálalgebrai-egyenletrendszer (DAE-rendszerek)
Eddig a rendszer egyenleteket explicit alakban adtuk meg, ez azt jelenti, hogy az x állapotváltozó sebessége kifejezhető az x állapotot és az u bemenő mennyiséget tartalmazó f számítási szabállyal. Számos alkalmazásban, a rendszeregyenletek (2.3)–mal összhangban csak implicit alakban léteznek:
Fi ( t , x(t ), x (t ), u ) = 0 .
(3.1)
Ebben az esetben, x nem számítható ki a rendszer függvény egyszerű elemzésével, hanem (3.1) egyenletet meg kell oldani x -ra. A DAE-rendszerek speciális esetet képviselnek: Itt az x állapotvektor az x a és x d két részvektorból áll, lásd 3.2.2 pont: x x = d, xa
(3.2)
ahol x d azon változókat tartalmazza, amelyek deriváltjai is szerepelnek az egyenletben, míg x a mindazon változókat, amelyek deriváltjai nem fordulnak elő. A következő rendszer egy speciális eset, amely gyakran előfordul: x d = fd (x d ,x a ,u), 0 = fa (x d ,x a ,u),
(3.3)
x d ( t0 ) = x d ( 0 ) , y (t ) = g (xd , xa , u) . A differenciálegyenletek ezen speciális alakjait szokás Hessenberg-féle alaknak is nevezni. Ha fa (x d ,x a ,u) = 0 megoldható x a -ra, akkor x a beilleszthető és átvihető egy közönséges ODE-rendszerbe (ODE= közönséges differenciálegyenlet).
48
Gyakran nem pontosan ez a helyzet: Például, lehet, hogy fa nem függ x a -tól. Ebben az esetben, természetesen, x a nem eliminálható fa -val. Itt x a csak úgy eliminálható, ha (3.3) – at idő szerint egyszer vagy többször deriváljuk. 3.1. példa: Nemlineáris egyszerű inga, mint DAE rendszer Egy m tömegpont, amely csak az xy -síkban mozoghat, egy l hosszúságú súlytalan rúdra fel van függesztve egy 0 pontra, amely körül súrlódásmentesen forog. Az m és 0 pontok távolságát vízszintes irányban x , függőleges irányban y jelöli.
3.1 ábra: Nemlineáris, egyszerű inga. Az impulzus tétel x − és y − irányban:
mx = − S x , S y − mg. my =
(3.4)
A kiegészítő mennyiséggel
λ=
S Sx = − y . mx my
(3.5)
megkapjuk a következő mozgásegyenleteket:
S x= − x = −λ x, m S y =y − g = −λ y − g . m Elsőrendű differenciálegyenleteket kaphatunk az alábbi helyettesítésekkel:
(3.6)
49
v x = x , v y = y .
(3.7)
Ezután felírjuk a kinematikai kényszert x2 + y2 − l 2 = 0,
(3.8)
és a következő DAE-rendszert nyerjük: x = v x , y = v y , vx = −l x, v y = −l y − g ,
.
(3.9)
0 = x2 + y2 − l 2.
Így a (3.9) alatti öt egyenletet kaptunk az öt x, y , v x , v y és λ változóra. Az állapotváltozók szétválasztása után kapjuk, hogy: x y és x x d = = a vx v y
A
(3.9)
[λ ].
rendszeregyenletet
(3.10)
természetesen
közönséges
egyenletrendszerré
(ODE)
transzformáljuk. Ez elérhető a (3.9) idő szerinti differenciálásával és megfelelő átalakításával. Idő szerint differenciálva a (3.9) utolsó egyenletét és behelyettesítve az első kettőbe, kapjuk: = 0 x vx + y v y .
(3.11)
Ezen egyenlet további differenciálásával kapjuk:
x + yv y + xvx + yv y 0 = xv 0 = v x 2 + v y 2 − ll x 2 − y 2 − gy
(3.12)
0 = v x 2 + v y 2 − l l 2 − gy. Harmadszor is deriválva idő szerint a továbbiakat kapjuk 0= 2v x vx + 2v y v y − ll 2 − gy , 1 l
= ( −2v x x − 2v y ( y + g ) − gv y ), lll 2
(3.13)
50
és végül az ODE a következő lesz: x = v x y = v y v = −l x x −l y − g v y = = 1 ( −2v x − 2v ( y + g ) − gv ) lll x y y l2
(3.14)
Tehát (3.9) DAE-t idő szerint háromszor differenciálva végül megkaptuk a (3.14) ODE-t. A DAE szükséges differenciálásának a számát, hogy a keresett ODE-t megkapjunk, a DAE indexének nevezzük. 3.1. definíció: A DAE Indexe a szükséges differenciálások számát jelenti, amely a DAE-nek ODE-vé történő átalakításához szükséges. 3.1. Megjegyzések: 1. Az index azt a “távolságot” fejezi ki, amely a DAE és az ODE képei között van. A matematikai inga indexe 3. 2. Ezért egy ODE indexe 0. 3. Az olyan DAE, amelynek 1-nél nagyobb indexe, magasabb indexű DAE-nek nevezzük. 4. Egy DAE indexe a megoldás előrehaladtával változhat (helyi index). 5. Az index szintjével összhangban a numerikus megoldás nehézségei is növkedednek. A numerikus közelítés, különösen magasabb indexű DAE-ra gyakran nagyon nehéz és bonyolult. Így még a megoldás előtt kell megpróbálnunk lecsökkenteni a rendszer indexét (lásd 7-8. fejezetet). A bemutatott módszert leíró alaknak is nevezik. Azonban, a λ kiszámítására alkalmazhatjuk a (3.12) egyenletet
= l
1 2 (vx + vx 2 − g y ) 2 l
és ezáltal elimináhatjuk λ -t a további egyenletekből. Ebben az esetben megkapjuk az ODE-t:
51
x = v x y = vy 1 − 2 ( v x 2 + v y 2 ) x − gy vx = l 1 − 2 ( v x 2 + v y 2 ) y − gx 2 v y = l
( (
) )
Továbbá, ebben a példában x és y állapotmennyiségek egymástól nem függetlenek, és eltekintve az előjeltől kifejezhetők egymással y= ± l 2 − x2 Ezt az állapot reprezentációt ezért nem minimálisnak is nevezhetjük. 3.2. Megjegyzések: Ez a példa sokkal bonyolultabbnak látszik leíró formában, sőt még nem minimális rendszer alakjában is a (2.1) és (2.2) minimális koordinátaválasztáshoz képest. Mindazonáltal, ezen speciális állapot reprezentációkat gyakran alkalmazzuk, mert •
a bonyolult rendszerek minimális koordinátákkal való leírása néha nagyon munkaigényesek,
•
a minimális koordinátákkal az egyenletek nagyon bonyolultak és hibára hajlamosak.
A nem minimális leírás egyik nagy hátránya, hogy a kiegészítő feltételt (a matematikai inga esetére pl. x 2 + y 2 − l 2 = 0 ) csak differenciális alakban vesszük figyelembe. Szükségképpen a kezdeti feltételeket úgy kell megválasztani, hogy kielégítsék a kinematikai kiegészítő feltételeket. Továbbá, a nem minimális differenciálegyenletek numerikus megoldása során a kiegészítő feltételek megváltoznak. Ez egy stabilitási eljárás alkalmazását teszi szükségessé, amely korrigálja az állapot-egyenleteket a megoldás során, úgy, hogy az algebrai kiegészítő feltételek ismét egzaktul legyenek kielégítve. A következő fejezetben bemutatásra kerülő módszerek alkalmazásainak előnye az ilyen típusú egyenlet hatékony és pontos megoldásának képessége.
52
3.2 3.2.1
A hálózati módszer (“Cut-Set” vagy Multiport módszer) Alapgondolat
Ellentétben a blokkvázlattal, a következő modell szemlétetések nem reprezentálják a modellegyenlet szerkezetét (3.2 ábra), hanem a valós rendszer fizikai szerkezetét (3.3 ábra). Itt minden fizikai komponenst egy blokk képvisel, amely a megfelelő interfészeken keresztül kapcsolódik és kölcsönhatásban van más komponensekkel valamint a környezettel.
3.2 ábra: Az állapotegyenleteken alapuló szimuláció.
3.3 ábra: Objektum-orientált modellezés/szimuláció. Ezt a hálózati módszert objektumorientált módszernek is szokás nevezni. Minden metszés (Cut) két változó jellemez:
53
3.4 ábra: Blokkvázlat. ahol: keresztváltozó: két interfész között mért mennyiség; hasonló, mint pl. a feszültség (= egy villamos kör potenciálkülönbsége),
3.5 ábra: Különbség mérése (keresztváltozó). átmenő változó: a szerkezeten belül egy beépített eszközzel mért mennyiség; hasonló, mint a villamos áram mérése egy áramkörben.
3.6 ábra: Áramlás mérése (átmenő változó). A keresztváltozók és az átmenő változók osztályozása az egyes tudományterületeken hasonló, mint a 3.1 táblázatban. 3.1 táblázat: A keresztváltozók és az átmenő változók osztályozása az egyes tudományterületeken. Tudomány
Keresztváltozó
Átmenő változó
mechanika
sebesség
erő
elektrotechnika
feszültség (potenciál különbség)
villamos áram
hidraulika/pneumatika
nyomás
térfogatáram
termodinamika
hőmérséklet
entrópia áram
54
Az objektumok csak egyféleképpen kapcsolhatók össze a hálózati (“Cut-Set“) módszerrel:
3.7 ábra: Az objektumok összekapcsolása a (“Cut-Set“) hálózati módszerrel. A blokkok összekapcsolásánál a következő szabályokat kell betartani: 1. minden keresztváltozó azonos: ac = ac = ac = , 1 2 3 2. az átmenő változók összege zérus: th1 + th2 + th3 + = 0. 3.3. Megjegyzés: A kapcsolódás a fizikai komponensek közötti valóságos létező kapcsolatra épül. Összeszerelés egy teljes rendszerré: Az egyedi komponenseket a metszetek segítségével kapcsoljuk össze és ezek teljesítmény vesztesség nélkül viszik át a mozgást és az erőt (eltekintve disszipációtól és meghajtó hatástól, mint nyelőtől vagy forrástól). Előnyök: •
Itt a blokkok és kapcsolódások közvetlenül utalnak a fizikai komponensekre és a kapcsolódásaikra.
•
A matematikai modell közvetlenül a szemléltetés segítségével adódik.
3.2.2
Az egyenlet szerkezete
Egy általános blokk a következő két egyenletrendszer csoporton alapszik: •
közönséges differenciálegyenlet x d = fd ( x d , x a , t ) ,
•
algebrai egyenlet
(3.15)
55
fa ( x d , x a , t ) = 0 ,
(3.16)
ahol: •
x d azon változók, amelyek deriváltjait a blokkban értelmezzük ( d = differenciál),
•
x a azon változók, amelyek deriváltjai a blokkban nem jelennek meg ( a = algebrai).
Bemenő és kimenő változók: Azon változókat, amelyek idő szerinti deriváltjait a blokkban értelmezzük alapvetően bemenő változóknak tekintjük. Néhányat ezen változók közül a (3.15) egyenlet segítségével a többi változóval értelmezzük. Algebrai egyenlet példája (Matematikai inga):
3.8 ábra: Matematikai inga. x xa = 1 , x2 fa ( x a ) = x12 + x22 − l 2 = 0 .
Tehát ezt kapjuk: x2 = ± l 2 − x12
x1 : bemenő változó, x2 : kimenő változó, vagy
56
x1 = ± l 2 − x22
x2 : bemenő változó, x1 : kimenő változó. A (3.15) és (3.16) kombinációja eredményezi az ún. differenciál-algebrai egyenletrendszert (DAE): x f (x, x , t ) = 0 , ahol x = d xa
Speciális módszerek léteznek ezen rendszerek megoldására (ún. “DAE-Solver”, lásd 8.2 fejezetet). 3.4. Megjegyzés: Figyelemmel a különböző típusú fizikai komponensekre (3.15) vagy (3.16) egyenletet elhagyjuk. Grafikus szemléltetés: Itt szintén a rendszerelemek egy fajta blokkvázlatát használjuk. Azonban, ebben az esetben a blokkok nem képviselnek matematikai műveleteket (úgy, mint a klasszikus típusú blokkvázlat), de minden esetben fizikai objektumnak felelnek meg (ac: kereszt, th: átmenő).
3.9 ábra: Grafikus személtetés. Előjel konvenció:
3.10 ábra: Előjel konvenció.
57
Az átmenő változók mindig a vágás helyétől a blokkhoz mutatnak. A pozitív jel rögzítése érdekében egy vonalat rajzolunk a körhöz, a pozitív áramlási irány jelzésére.
⇒ 5. feladatlap: Kettős inga modellezése DYMOLA-val
3.2.3
Példák
3.2.3.1 Elektromos komponensek 3.2. példa: Ohmikus ellenállás
3.11 ábra: Ohmikus ellenállás. Fizikai törvény: i1 = −i2
csomóponti szabály,
V1 − V2 = Ri1
Ohm törvénye.
3.3. példa: Induktív ellenállás
3.12 ábra: Induktív ellenállás. Fizikai törvények: i1 = −i2 csomóponti szabály,
58
di L 1= V1 − V2 induktivitás. dt 3.4. példa: Kapacitás
3.13 ábra: Kapacitás. Fizikai törvény: i1 = −i2 csomóponti szabály,
C
d i1 kapacitás. (V1 − V2 ) = dt
3.5. Megjegyzés: Az (a)-tól (c)-ig példák az ún. kettős csatlakozókat szemléltetik (a villamos mérnöki feladatokban gyakran alkalmazzák). 3.5. példa: Egyszerű villamos hálózatok
3.14 ábra: Egyszerű villamos hálózat.
59
Egyenletrendszer: Feszültség forrás:
V1 − V0 = U
(algebrai).
Ohmikus ellenállás:
V1 − V2 = R1i1
(algebrai),
V1 − V3 = R2i2
(algebrai).
Induktív ellenállás:
d = dt i2
(differenciál).
Kapacitás
d dt
1 L
(V3 − V0 )
1 (V2 − V0 ) = C i1
(differenciál).
Differenciális mennyiségeket tartalmaz az egyenletrendszer: i xd = 2 V2 − V0
Algebrai mennyiségek előfordulnak az egyenletrendszerben: i1 x a = V1 V3
Ebből következik a differenciál-algebrai egyenletrendszer:
1 1 V3 − V0 i d 2 L L = = x d f= d (x d , x a ) 1 dt V2 − V0 i1 C −V0 + V1 −V + V f (x d , x a ) = 1 2 − R2i2 + V1
−
U − R1i1 = 0 − V3
⇒ 6. feladatlap: Negyed jármű rezgései 3.2.3.2 Mechanikai rendszerek
A mechanikai rendszerekben a multi portok ún. “kinetostatikus” átviteli elemeknek tekinthetők, amelyek a mozgást és az erőt viszik át. Tehát a „metszést” még jobban kiterjesztjük.
60
Helyzet Sebesség ac Gyorsulás → th Force A helyzet, sebesség és gyorsulás kinematikai mennyiségek (keresztváltozók) az erő statikai mennyiség (átmenő változó). De a következő diagram csak egy sebességet és egy erőt foglal magába (3.16 ábra). 3.6. példa: Rugó
3.15 ábra: Rugó. A pozitív erő teljesítménye pozitív a vonatkoztatási ponthoz képesti pozitív elmozdulásával. Az erők egyensúlyából (3.15 ábra) következik:
F1 = F2 =k ( l0 − ( x2 − x1 ) ) . A rugóra vonatkozó egyenletrendszer:
F1 = k ( l0 − ( x2 − x1 ) ) , F2 = k ( l0 − ( x2 − x1 ) ) .
61
3.16 ábra: Multi-port rugó modell. Ebben az esetben differenciálegyenletrendszer nem alkalmazható. 3.7. példa: Tömeg
3.17 ábra: Tömeg. A tömegre vonatkozó differenciálegyenlet: F = mx .
3.18 ábra: Multi-port tömeg modell Szokás erre “Terminál”-ként vagy “egy-Port”-ként is hivatkozni.
62
3.8. példa: Rugó-tömeg rendszer.
3.19 ábra: Rugó-tömeg rendszer. Algebrai egyenletrendszert kapunk:
F1 = k ( l0 − ( x1 − x0 ) ) , F0 = k ( l0 − ( x1 − x0 ) ) . A differenciálegyenlet: F1 = mx . A meglévő három egyenlet négy változót tartalmaz ( x0 , x1 , F0 , F1 ) . Ez azt jelenti, hogy egy változó teljesen tetszőlegesen megadható. Egy rögztés előírása az x0 ≡ 0 lenne, egy harmonikus gerjesztés pedig x0 = r cos (ω t ) lehetne. 3.6. Megjegyzés: Mechanikai, elektromechanikai, hidraulikai és hasonló alkatrészek természetes átviteli iránnyal rendelkeznek a keresztváltozó vonatkozásában, míg az átmenő változót tekintve pedig ellentétes irányú.
63
3.20 ábra: Multi-port. A metszések bal oldalon a bemenő keresztváltozóval, a jobb oldalon a kimenő átmenő változóval vannak jellemezve. A kapcsolatot a bemenő és kimenő változók között a K mátrixszal írjuk le. k11 k1n ac1′ ac 1 = . acm′ ac n km1 kmn
(3.17)
A multi-port teljesítményveszteség mentességéből következik: ac1 ⋅ th1 + + acn ⋅ thn = ac1′ ⋅ th1′ + + acm′ ⋅ thm′ .
(3.18)
Mátrix jelöléssel a bemenő és a kimenő kereszt- és az átmenő változók az alábbiak: ac1′ = , th acm′
ac1 = ac = , ac′ acn
th1 = , th′ thn
th1′ thm′
.
Ezért a (3.17) és (3.18) egyenletek tömörebb formában írhatók: ac=′ K ⋅ ac ,
(3.19)
acT ⋅ th = ac′T ⋅ th .
(3.20)
A (3.19) egyenletet beillesztve (3.20)-ba eredményül a következőt kapjuk:
acT ⋅ th = ( K ⋅ ac ) ⋅ th ' . T
Az ( AB ) = BT A T átalakítás segítségével írhatjuk, hogy: T
acT ⋅ th = acT ⋅ K T ⋅ th′ .
64
Mivel ez alkalmazható bármelyik ac vektorra, ebből következik
= th K T ⋅ th′ . Így a K transzponáltjával számítható át az átmenő változó az ellentétes oldalra.
65
4
Az állapottér egyenletek megoldásának előállítása a fázissíkon
A következő rész a differenciál-állapotegyenletek megoldásával foglalkozik. A jelölés egyszerűsítése kedvéért, vizsgáljuk meg a következő differenciálegyenletet:
= x
dx = f ( x, t ) . dt
(4.1)
Ha az f még az x -től is független és folytonos az [ a, b] intervallumon, a következő megoldást kapjuk t
x= ( t ) x(a ) + ∫ f (t ) dt ,
(4.2)
a
összhangban az analízis alapszabályával. Az x ( t ) egyértelmű megadásához, további információra van szükségünk, pl. a függvény értéke az x ( a ) = A kezdeti pontnál (kezdeti érték). Ez alapján a megoldás a következő: t
x (t )= A + ∫ f (t )dt .
(4.3)
a
A (4.1) ODE-t kombinálva a kezdeti feltétellel kezdetiérték-feladatnak nevezzük:
= x (t ) f= ( x, t ) , x ( a ) A . A differenciálegyenlet dinamikai feladatokra való alkalmazásának akkor van értelme, ha •
egy megoldás létezése (egzisztenciája) általában garantált,
•
csak egy megoldása van egy adott feladatnak (unicitás).
A következő tétel mindkettőről gondoskodik a feladatok széles körére. Picard - Lindelöf tétele: Ha az f ( x, t ) folytonos egy adott tartomány minden ( x, t ) pontjában:
= D
{( x, t ) : a ≤ t ≤ b, −∞ ≤ x ≤ ∞, a, b ∈ R},
és létezik egy L konstans (Lipschitz konstans), amivel
(4.4)
66
f ( t , x ) − f ( t , x *) ≤ L x − x *
( Lipschitz feltétel )
(4.5)
minden ( t , x ) , ( t , x *) ∈ D -re, akkor, minden x ( a ) = A kezdeti feltételhez létezik pontosan egy x ( t ) megoldás a kezdetiérték-feladatra, amely x folytonos és differenciálható minden
( t, x ) ∈ D -re. Így az állapotegyenlet pontosan egy megoldása garantált, ha az általános megkötések teljesülnek. 4.1. Megjegyzés: •
A tétel előírásai akkor teljesülnek, ha az f ( x, t ) függvény x szerinti deriváltjai korlátosak a D tartományon, ekkor élhetünk a következő választással:
L = max
( t , x )∈D
df ( t, x ) . dx
(4.6)
•
Ez a tétel, minden nehézség nélkül, általánosítható differenciálegyenlet-rendszerekre.
•
Csak a megoldás egzisztenciája és unicitása garantált. Egy általános-analitikus eljárás nem adható meg, kivéve a speciális eseteket. Egy fontos esetet képeznek a lineáris differenciálegyenletek. Ezek az alábbi formában adhatók meg
= x ax + h ( t ) , •
(4.7)
ahol a valós együttható, amely független x -től, és h ( t ) a gerjesztő függvény. Miért is garantált ebben az esetben a megoldás egzisztenciája és unicitása?
Ez a tétel n -ed rendű differenciálegyenletekre is alkalmazható, és érvényes a következő tétel. 4.1. tétel: Az n -ed rendű differenciálegyenlet
y n ( t ) = f ( t , y ( t ) , y ' ( t ) , , y n −1 ( t ) )
(4.8)
teljes megoldása n számú tetszőleges paramétert tartalmaz. A teljes megoldás felfogható, mint a differenciálegyenlet általános megoldása. Megfelelő kiegészítő feltételek választásával, ha megadjuk a paramétereket, megkapjuk a partikuláris megoldást.
67
Nemlineáris differenciálegyenletekre az általános megoldás ugyan nem lehetetlen, de legalább is nagyon nehéz. Mindazonáltal, speciális esetekre lehetséges a megoldások meghatározása. Minden más esetben az egyetlen alternatíva a numerikus közelítés. 4.1. példa: Megszakítás nélküli logisztikus növekedés
dx a = ax − x 2 . dt k
x Rendszeregyenlet: =
A változók szétválasztásával kapjuk: x
∫ x0
dχ = adt . χ (1 − χk ) ∫0 t
Az egyenlet mindkét oldalát külön-külön integrálva kapjuk: at + c=
dx
dx
1
dx
∫ x (1 − )= ∫ x + k ∫ (1 − )= (((( x k
x k
ln x − ln(1 − kx ) .
résztörtekre bontás
Az ( a t + c ) kitevőre emelve az e -t, átalakítások után x kifejezhető: c e at +=
x k at + c 1 at + c 1 x e e x ⇔ + = ⇔ = . ( ) k − at + c 1 − kx 1 + ke ( )
Az x ( 0 ) = x0 kezdeti feltétellel végül
x0 =
x=
k 1 1 ⇒ e − c = − és ezért −c x0 k 1 + ke
k . 1 + ( ( k / x0 ) − 1) e − at
A megoldás x ( t ) trajektóriája aszimptotikusan közelíti a k telítési határt nagy t értékeknél (4.1 ábra). k =k. t →∞ 1 + ( k / x ) − 1 e − at ( 0 )
lim
68
4.1 ábra: Egyenletmegoldás logisztikus növekedésre (kvalitatív).
4.1
A megoldás tervezése a fázissíkon
A dinamikai rendszerek viselkedése szemléltethető az xi ( t ) állapotváltozó időfüggvényére alkalmazott kétdimenziós diagrammal. A rendszer viselkedéséről jobb áttekintést kaphatunk, ha elimináljuk a t időt az állapotegyenletből:
= xi f= i 1, , n . i ( x1 , , xn ) ,
(4.9)
Ezt egy két állapotváltozós rendszer példáján mutathatjuk be:
x1 = f1 ( x1 , x2 ) ,
(4.10)
x2 = f 2 ( x1 , x2 ) ,
(4.11)
a két egyenlet hányadosának képzésével
dx2 f 2 ( x1 , x2 ) = dx1 f1 ( x1 , x2 )
(4.12)
a t időt formálisan elimináljuk és így x2 -re egy differenciálegyenletet kapunk, amelyben x1 a független változó. Az
( x1 , x2 )
teret általános esetben fázis térnek hívjuk, és fázis síknak
kétszabadságfokú rendszer esetén. Az ( x1 , x2 ) fázis térben a pont egy trajektória mentén halad, amely a rendszer időfüggő megoldásának folyamatát írja le. 4.2. példa: Lineáris giroszkópikus inga, matematikai inga Állapotegyenletek:
69
x1 = x2 ,
x2 = −
g x1. l
(4.13)
Az egyik egyenletet elosztva a másikkal megkapjuk a fázisgörbe egyenletét
dx1 l x2 g c = − ⇒ ∫ x2dx2 = − ∫ x1dx1 + , dx2 g x1 l 2
(4.14)
ahol c egy integrációs konstans, amely először tetszőleges, amelyet végül a megfelelő kezdeti feltételek határoznak meg. A (4.14) integrálásával kapjuk x12 x 2 + x2 2 =c =x20 2 + 10 , l/g l/g
(4.15)
ahol x1 ( 0 ) = x10 és x2 ( 0 ) = x20 kezdeti feltételeket behelyettesítettük a jobb oldalon. Ebben az esetben a fázisgörbék ellipszisek
c kis- és
cω0 nagy féltengelyek, az ω0 = g / l
a rendszer szabad rezgéseinek sajátfrekvenciája (lásd 4.2 ábra).
4.2 ábra: A matematikai inga fázisgörbéje.
70
4.2
Lineáris állapotegyenletek megoldási módszerei
4.2.1
A homogén rendszer megoldása, alapmátrix
A lineáris állapotegyenletek teljes megoldásai viszonylag egyszerűen előállíthatók. Bizonyos technikai nehézségek elkerülése céljából a következő szakasz pótlólagosan feltételezi, hogy a rendszermátrixnak csak egyszeres sajátértékei vannak, azaz minden sajátérték csak egyszer fordul elő. A homogén állapotegyenlet = x Ax,
x ∈ℜn , A ∈ℜn × ℜn ,
(4.16)
megoldását a következő alakba keressük
x ( t ) = xeλt ,
(4.17)
amelyet visszahelyettesítünk a differenciálegyenletbe:
xλ eλt = Axeλt .
(4.18)
Mivel eλt ≠ 0 , az egyenletet elosztjuk eλt -val és közvetlenül egy homogén, lineáris egyenletrendszert kapunk:
0. ( A − λE ) x =
(4.19)
A (4.19) egyenlet egy sajátértékfeladatot határoz meg λi , i = 1, , n sajátértékekkel és xi , i = 1, , n sajátvektorokkal, az utóbbiak egy tetszőleges konstans erejéig határozottak. A sajátvektorokat egységnyi hosszúra normalizáljuk:
xi = 1 . A következőkben feltételezzük, hogy a = x i Tx i
n
= ∑ xij 2 1 , j =1
Euklideszi normát alkalmazzuk. A teljes megoldást a sajátvektorok lineáris kombinációival írjuk fel:
71
n
x ( t ) = ∑ ci xi eλi t .
(4.20)
i =1
A kezdeti feltétel t = 0 -nál a következő: n
x ( 0 ) = ∑ ci x i .
(4.21)
i =1
A sajátvektorok alkotta oszlopvektorok egy ún. modális mátrixot határoznak meg X = [ x1 , x 2 , , x n ] ,
(4.22)
a λi sajátértékek egy diagonális mátrixot alkotnak
Λ = diag ( λ1 , , λn ) ,
(4.23)
és a ci konstansokat egy oszlopvektorba gyűjtjük c1 c c = 2 , cn
(4.24)
végül az x ( t ) általános megoldásra az alábbi kifejezést kapjuk: eλ1t 0 0 c1 λ t 0 e2 c2 . x ( t ) = [ x1 , x 2 , , x n ] (((( X 0 0 cn 0 eλnt (((((((( c e Λt
(
(4.25)
)
Az e Λ t = diag eλi t , , eλn t mátrix skaláris exponenciális elemeit sorba fejtjük. Nyilvánvalóan ez kielégíti a Taylor-sorfejtés definícióját: ∞ ∞ (λ t ) (λ t ) 1 2 e = E + Λt + ( Λt ) + =diag ∑ 1 , , ∑ n k 0= 2 k! k! = k 0 k
Λt
= diag ( eλit , , eλnt ) .
k
(4.26)
72
Továbbá igaz, hogy a modális mátrix inverze létezik (mivel a sajátvektorok függetlenek egymástól): x 0 Xc = = és c X −1x 0 .
(4.27)
Innen megkapjuk a teljes megoldást
x ( t ) = ( Xe Λt X −1 ) x 0 .
(4.28)
A zárójelezett kifejezés képviseli az alapmátrixot, azaz:
Φ ( t ) = Xe Λt X −1 .
(4.29)
A diagonális mátrixra vonatkozó definíciót alkalmazva szintén igaz, hogy
Φ (t ) = eA t .
(4.30)
Az alapmátrix az x ( 0 ) kezdeti állapotból az x ( t ) állapotba való átmenetet írja le. Egy még általánosabb megközelítés szerint, az x ( t0 ) kezdeti feltételből kiindulva a Φ ( t , t0 ) = e A t jelölést is alkalmazhatjuk. Az e A t
mátrix számos fontos tulajdonsággal rendelkezik, amelyek nagymértékben
egybeesnek a skaláris exponenciális függvények tulajdonságaival: 1. Differenciálhatóság:
d At ( t ) = AΦ ( t ) . e = Ae At ⇔ Φ dt
( )
2. Regularitás: det e At ≠ 0 . 3. Műveleti szabályok: e At1 e At2 = e A( 1 + 2 ) ⇔ Φ1 ( t1 ) Φ2 ( t2 ) = Φ ( t1 + t2 ) , t t
e A1t e A2t = e( A1 + A2 )t ⇔ A1A 2 = A 2 A1 ,
(e )
A t −1
= Φ( t) . e − At ⇔ Φ ( t ) =− −1
4.2. Megjegyzés: A (4.30) egyenlet csak egy speciális esete egy mátrix függvénynek; pl. az szintén igaz, hogy
sin ( A ) = X sin ( Λ ) X −1 ,
(4.31)
73
azaz, egy mátrix függvényt a (4.31)-el megadott alakkal összhangban fogjuk elemezni, az X modális mátrixszal, és a függvényt a Λ diagonális mátrix főátló elemeire egyenként alkalmazva. A további számítási módszerek a Taylor-soron és a Cayley és Hamilton tételén alapszanak. 4.3. példa: Egydimenziós rezgőrendszer Van egy rendszerünk
y + y = cos(t) , amely egy egydimenziós rezgőrendszer gerjesztett rezgéseit írja le. Ki kell számítanunk a homogén differenciálegyenlet általános megoldását. Az állapotegyenletek x1 = x2 és x2 = − x1 + cos t , vagy mátrix formában 0 1 0 = x x + cos t . −1 0 1
(4.32)
A rendszermátrix meghatározza a λ 1= i és a λ 2 = −i sajátértékeket, valamint a megfelelő sajátvektorokat:
x1 =
1 és x 2 [1 i ]T = 2
1 [1 −i ]T . 2
Ezzel megkapjuk a modális mátrixot X =
x1 , x 2 ] [=
így az alapmátrix
1 2
1 1 i −i ,
(4.33)
74
1 1 1 eit 0 1 1 −i Φ (= t ) e= 2 i −i 0 e − it 2 1 i (( (( (( AT
X
e Λt
X −1
it − it −i ( eit − e − it ) cos t sin t 1 e +e = . it − it 2 i ( eit − e − it ) − sin t cos t e + e
(4.34)
A homogén egyenlet általános megoldása, tekintettel (4.28)-ra, adott: cos t sin t x10 x10 cos t + x20 sin t At x = x0 ( t ) e= = − sin t cos t x20 − x10 sin t + x20 cos t
(4.35)
egy tetszőleges x 0 kezdeti vektorral.
4.2.2
Az inhomogén állapotegyenlet megoldása
Ha egy rendszer b ( t ) külső gerjesztésnek van kitéve, akkor a következő állapotegyenletet kapjuk:
= x Ax ( t ) + b ( t ) ,
(4.36)
Ezen kívül A -ról feltételezzük, hogy konstans. A (4.36) megoldása a (4.38) homogén és a külső gerjesztésből származó x p ( t ) inhomogén részéből áll, azaz, ezek szerint:
x (t ) Φ (t ) x0 + xp (t ) . =
(4.37)
A partikuláris megoldás meghatározására használhatjuk a konstansok variálásának módszerét. Ehhez a következőből indulunk ki:
xp (t ) = Φ (t ) c (t ) ,
(4.38)
ahol c a variált konstans. A (4.38) időszerinti differenciálása után kapjuk:
( t ) c ( t ) + Φ ( t ) c ( t ) = x p ( t ) = Φ Ax p ( t ) + b ( t ) .
(4.39)
( t ) = AΦ ( t ) , ez azt eredményezi, hogy: Mivel Φ Φ ( t ) c ( t ) =b ( t ) ⇒ c ( t ) =Φ−1 ( t ) b ( t ) =Φ ( −t ) b .
(4.40)
75
A (4.40) egyenlet idő szerint közvetlenül integrálható: t
c (t ) = c 0 + ∫ Φ ( −t ) b (t ) dt .
(4.41)
0
Mivel csak egy partikuláris megoldásra van szükségünk a c 0 = 0 -át választjuk, miután az általános és teljes megoldás: t
t
x ( t )= Φ ( t ) x 0 + Φ ( t ) ∫ Φ ( −t ) b (t ) dt = Φ ( t ) x 0 + ∫ Φ ( t − t ) b (t ) dt . 0 0 (( ((((
(4.42)
xp (t )
A jobb oldalon az első tag a rendszer szabad mozgását írja le az adott kezdeti feltétellel, míg a második összetevő a gerjesztett mozgást fejezi ki a b gerjesztés hatására. Nagyon fontos megjegyezni, hogy az összefüggéa az első tag nullához konvergál az időben. Ez az eset akkor fordul elő, ha egy szabadrendszer megfelel bizonyos stabilitási feltételeknek, lásd 10. fejezetet. Itt a rendszer állandósult viselkedését a második összetevő írja le. 4.4. példa: Egydimenziós gerjesztett rezgőrendszer A következő megoldást kapjuk a 4.3. példa rezgőrendszerére t cos ( t − t ) sin ( t − t ) 1 cos t sin t x10 x (t ) = + dt . ∫ − sin t cos t x20 0 sin ( t − t ) cos ( t − t ) cost
(4.43)
Egyenlővé tesszük a kezdeti feltételt zéróval, azaz x= x= 0 és megkapjuk a megoldást: 10 20 (t + 12 sin 2t ) sin t − sin 2 t cos t sin ( t − t ) cost x ( t ) ∫= = dt 2 1 cos ( t − t ) cost 0 (t + 2 sin 2t ) cos t − sin t sin t t =0 t sin t = . t cos t + sin t t
t
(4.44)
77
5 5.1
Az állapot egyenletek normál koordinátákkal Normál koordináták
Megfelelő
transzformációval
gyakorlatban
nyilvánvalóan
gyakran a
lineáris
egyszerűsíthetjük transzformáció
az
állapotegyenleteket.
korlátain
belül
A
maradunk.
Máskülönben, a lineáris egyenletek nemlineárissá transzformálása nagyon megbonyolítaná a számításokat. Az x állapotvektor lineáris transzformációja z állapotvektorrá a következő módon tehető meg: x = Tz ,
(5.1)
ahol T egy n × n méretű mátrix. Továbbá, léteznie kell egyértelmű inverz transzformációnak is: z = T −1x .
(5.2)
Ebből következik, hogy a T mátrix nem lehet szinguláris, azaz, kielégíti az alábbi egyenlőtlenséget:
det ( T ) ≠ 0.
(5.3)
Alkalmazzuk a (5.1) transzformációt egy lineáris állapotegyenletre: = x Ax + Bu .
(5.4)
Így először = Tz ATz + Bu ,
(5.5)
adódik és azután T −1 -el történő bal oldali szorzással a következő állapotegyenletet kapjuk
= z Az + Bu ,
(5.6)
ahol A = T −1AT
(5.7)
és
(5.8)
B = T −1 B .
78
Az (5.7) transzformációt hasonlósági transzformációnak nevezzük. A hasonlósági transzformáció fogalma abból a tényből származik, hogy az A és A = T −1AT mátrixok azonos sajátértékekkel rendelkeznek. 5.1. tétel: A hasonló rendszer sajátértékei invariánsok lineáris nemszinguláris transzformációkkal szemben. A transzformáció célja, hogy általa a megoldás és az egyenletrendszer értelmezése egyszerűbb legyen, azaz, a mátrix szerkezete “alkalmasabb” legyen, mint az A kezdeti mátrixéra. Egyik keresett jellemző az egyenletek között kapcsolódás mértéke, amely a lehető legkisebb legyen. Ha A minden sajátértéke különbözik egymástól, akkor a rendszer-egyenletek teljesen független egyenletekké transzformálhatók, azaz, az új rendszermátrix diagonális szerkezetű lesz. 5.2. tétel: Ha az
n×n
méretű
A
mátrix minden sajátértéke különbözik egymástól, és
rendelkezésünkre áll egy T nemszinguláris lineáris transzformáció, akkor a T −1AT rendszermátrix, az n db sajátértékkel a főátlóban, diagonális szerkezetű lesz. Ez alapján λ1 λ2 −1 . T AT = λn
(5.9)
Az ilyen tulajdonságú A mátrixot diagonalizálhatónak nevezzük. A sajátvektorokat oszlopokba rendezve képezhetjük a T mátrixot, azaz, a T mátrix megegyezik a 4.2.1 pont alatt bevezetett X modális mátrixszal. A transzformált irányítatlan ( u = 0 ) rendszer u darab differenciálegyenletből áll, amelyek függetlenek egymástól = zi λ= i 1, , n i zi ,
(5.10)
79
és az n -dimenziójú z ( t ) teljes mozgás az egyedi mozgásokkal fogalmazható meg zi
T 0 0 zi 0 0] , i [=
1, , n .
(5.11)
A zi koordinátát (5.11)-ben normál koordinátának nevezzük, és
= z Ti z j 0, ha i ≠ j,
(5.12)
amely azt jelenti, hogy a z i vektorok egymásra ortogonálisak. Egy normál koordinátára alapozott rendszerben minden sajátérték csak egy koordinátára van hatással, azaz minden főkoordináta időfüggő változása független a maradék főkoordináták időfüggő változásától. Az összefüggés az eredeti koordináták és a normál koordináták között egy-egy transzformációval adott: = x Xz = és z X −1x.
(5.13)
5.1. Megjegyzés: Jegyezzük meg, ha komplex sajátértékek jelennek meg (és ezért komplex sajátvektorok is) az egyenletekben komplex tagok származnak, amelyek megváltoztatják a közvetlen precíz elemzést. Ez a hátrány is megszüntethető, ha figyelembe vesszük, hogy a valós mátrixok komplex sajátértékei mindig a komplex konjugált párjaival jelennek meg:
λ1/2= δ ± iω .
(5.14)
A megfelelő egyenletek az alábbi módon írhatók
1 z=
(δ + iω ) z1 ,
(5.15)
z= 2
(δ − iω ) z2 ,
(5.16)
a megoldásokkal = e(δ ±iω )t eδ t ( cos ωt ± i sin ωt ) . A (5.15) és (5.16) összeadása és kivonása után kapjuk, hogy
(5.17)
80
z1 + z2= δ ( z1 + z2 ) + ω i ( z1 − z2 ) (( ((
(5.18)
i ( z1 − z2 )= δ i ( z1 − z2 ) − ω ( z1 + z2 ) (( (( ((
(5.19)
y1
y1
y2
y 2
y2
y1
és az új (valós!) koordináták
y1 = z1 + z2 ,
y2 = i ( z1 − z2 ) ,
(5.20)
a valós egyenletekkel = y1 δ y1 + ω y2 ,
(5.21)
y 2 = −ω y1 + δ y2 .
(5.22)
A két elsőrendű differenciálegyenletből egyetlen másodrendű differenciálegyenlet állítható elő az (5.21) egyenlet idő szerinti differenciálásával majd az (5.22) egyenletbe illesztésével
y1 = δ y1 + ω ( −ω y1 + ωδ ( y1 − δ y1 ) ) . Ez egy rezgés normál alakban felírt homogén lineáris egyenlete:
y1 − 2δ y1 + (δ 2 + ω 2 ) y1 = 0.
(5.23)
Összefoglalás Lineáris rendszerek megoldásának értelmezése a sajátértékekkel Az A rendszermátrix általában I számú = λi δ= i 1, , I i,
(5.24)
valós sajátértékkel és k számú konjugált komplex sajátértékkel
λi = δ i ± i ω,
i= I + 1, , I + k
(5.25)
rendelkezik. Tehát, az első I számú egyenlethez valós gyökök tartoznak ezért teljesen szétválaszthatók. A maradék egyenletek párokat alkotnak és helyettesíthetők k számú másodrendűvel, ezzel eliminálva minden második koordinátát. Így minden főkoordináta vagy egy nem periodikus mozgást vagy egy csillapított rezgést ír le.
81
Így, egy dinamikai rendszer mozgásairól teljes megállapítást tehetünk a sajátértékek segítségével. A sajátértékek lényeges szerepet játszanak a rendszerviselkedésben. Grafikusan a komplex számsíkon szemléltetjük a sajátértékeket, azaz a gyökhelyeket (lásd 5.2 ábra5.2 ábra: Csökkenő viselkedés komplex sajátértéknél.). A gyökhelygörbe tömör információval szolgál a sajátértékek paraméterszerinti megváltozásáról. A gyökhelygörbe közvetlenül információt szolgáltat a lineáris rendszer stabilitásáról is. Minden stabil megoldás sajátértéke a komplex sík bal oldalán található, azaz, a sajátértékek negatíve valós résszel rendelkeznek, amely garantálja a megoldási időgörbe nullához való közeledését, lásd (5.17) egyenletet. Eltekintve a stabilitási szemponttól, a gyökhelygörbe információval szolgál az autonóm rendszer hosszú idejű viselkedéséről is. Ezt a viselkedést kis csillapítású rendszer megoldásával határozzuk meg (ha a rendszert a kezdeti feltétel gerjeszti csupán). A legkisebb csillapítású megoldásokhoz tartozó gyökök a komplex sík bal oldalán a képzetes tengely közelében találhatók. Ezeket a sajátértékeket domináns sajátértékeknek nevezzük, és az állapotegyenlet megfelelő megoldásait pedig domináns megoldásnak. Kapcsolat a sajátérték, sajátfrekvencia, a rendszer csillapítása és a rendszer időállandója között Minden valós λ sajátértékhez tartozik egy ún. T időállandó
T= −
1
λ
.
A gerjesztettlen rendszer állapotváltozójának időfüggvénye rendelkezik egy alábbi alakú résszel
s(t ) = xe
−
t T
,
ahol x egy sajátvektor, amely λ -hoz tartozik, és ha T > 0 , a megoldás csökken az időben (lásd 5.1 ábra).
82
5.1 ábra: Csökkenő viselkedés negatíve valós sajátértékkel. Az 5.1 ábra 5.1 ábra: Csökkenő viselkedés negatíve valós sajátértékkel.a t0,5 ún. felezési időt szemlélteti = t0,5 ln 2T ≈ 0,69215 T .
Megfordítva, kiszámíthatjuk a valós λ sajátértéket a mért felezési időből
1 −t λ= − = −2 e , T 0,5
Ha komplex a sajátértékpár
λ , λ= δ ± iω a rendszer lengőképes, és sajátfrekvenciája
f =
1 ω 2π
Lehr-féle csillapítása pedig
D=
δ δ + ω2 2
.
Ebben az esetben az állapotváltozók időfüggvényei
= s(t ) eδ t ( u cos(2π f t ) − v sin(2π f t ) ) alakuak, a λ -hoz tartozó megfelelő sajátvektorral x= u ± vi
(5.26)
83
megfelelő sajátvektorokkal. Ez a rész csökken, ha δ < 0 , így D > 0 . A két egymást követő amplitúdó hányadosa − s i +1 = e si
2π D 1− D 2
< 1.
Az 5.2 ábra 5.2 ábra: Csökkenő viselkedés komplex sajátértéknél.személteti a megfelelő folyamatot.
5.2 ábra: Csökkenő viselkedés komplex sajátértéknél. A rendszer mátrix konjugált komplex sajátértékét kiszámíthatjuk a rendszer egy sajátfrekvenciájából és a megfelelő csillapításából: 2π fD λ, λ = − ± 2π f i . 1 − D2
84
5.3 ábra: Lineáris rendszerek viselkedése a sajátértékek komplex síkon való helyzetének függvényében. 5.1. példa: Negyed autó (lásd [10])
5.4 ábra: Negyed autó. Ebben a példában az 5.4 ábra szemléltetett negyed autót vizsgáljuk. A kerék koncentrált tömege számos alkatrész (abroncs, keréktárcsa, fék, a felfüggesztés megfelelő része) összegeként áll elő és mR helyettesíti, amelyet egy ( cR ) rugó köt az úthoz. A rugó az abroncs függőleges merevségét képviseli. A kerék csillapítását elhanyagoljuk. A kerék és a kocsi megfelelően helyettesített (az autó adott része, motor, sebességváltó, szerelvények, stb.) m A tömege között egy rugós tag ( c A , d A ) ideális rugó és csillapítás) található. Lineáris karakterisztikájú rugókat és csillapítást feltételezve, az impulzustételből származó egyenletek:
85
m A x A= c A ( xR − x A ) + d A ( x R − x A ) − m A g mR xR= cR ( xS − xR ) + c A ( xR − x A ) − d A ( x R − x A ) − mR g
x= x= x= 0 ) a következőt kapjuk A statikus egyensúlyi helyzetre ( x= A A R R
0 = c A xR0 − c A x 0A − m A g ⇒ x A0 = xR0 −
mA g , cA
úgy szintén 0 = cR xS0 − cR xR0 − c A xR0 + c A x A0 − mR g ⇒ xR0 = xS0 − = xS0 −
cA 0 cA 0 1 x R + x R − ( m A g + mR g ) cR cR cR
m A + mR g, cR
m + mR m x 0A = xS0 − A g − A g. cR cA
A lineáris rendszer egyensúlyi helyzetére a következő állapotvektort választjuk x A − x A0 xR − xR0 = x = x A x R
x1 x 2, x3 x4
ebből az alábbi egyenletek következnek
x1 = x3 , x2 = x4 , = x3
1 [ cA ( x2 − x1 ) + d A ( x4 − x3 )] , mA
= x4
1 [ cR ( xS − x2 ) − cA ( x2 − x1 ) − d A ( x4 − x3 )]. mR
Az xA gyorsulás (kényelmi fok) és a dinamikus kerékerő (vezetési biztonság) lesznek a kezdeti mennyiségeink:
Fdyn = cR ( xS − xR ) − F= c R ( x S − x2 ) 0 ahol F0 a statikus kerékerő
86
= F0
( m A + mR ) g ,
ezért x3 y= . c R ( x S − x2 )
Mátrix formában írva
x
y
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 cA dA dA cA − x + 0 xS (t ) , − m mA mA mA A cR cR + c A dA dA cA − − mR m mR mR mR R ((((( ((((((( x u B A
cA dA dA cA − − 0 m mA m A m A x + xS . A cR − cR 0 0 0 D x C
A rendszer viselkedésének elemzéséhez a következő adatokat választjuk: m A = 380 kg , mR = 35 kg , = c A 25 = N / mm, d A 1500 Ns / m , cR = 220 N / mm . Az 5.5 ábra a rendszert a komplex síkon szemlélteti, ahol megrajzoljuk a gyökhelygörbéket a csillapítási tényező
1500 Ns / m ≤ d A ≤ 6500 Ns / m
tartományban való változásának
függvényében. Nyilvánvaló, hogy a négy sajátérték távolodik a képzetes tengelytől a csillapítás növekedésével. Végül elérik a valós tengelyt, amely azt jelenti, hogy a rendszer aszimptótikusan csillapodik elegendően nagy d A értéknél.
87
5.5 ábra: A negyed autó sajátértékei 1500 Ns/m ≤ dA ≤ 6500 Ns/m csillapításnál. ⇒ 6. feladatlap: Negyed jármű rezgései
5.2
Többszörös sajátértékű rendszerek viselkedése
5.2.1
Többszörös sajátértékek hatása [3]
Az előző megfontolások kikötötték, hogy az A rendszer mátrix n db független sajátvektorral rendelkezik. Ez biztosan előfordul, ha a sajátértékek különböznek egymástól. Ha többszörös sajátértékek fordulnak elő, a diagonalizálást nem tudjuk garantálni a továbbiakban. Ezt egy másodrendű rendszeren fogjuk megmutatni: A mátrixok λ 0 λ 1 A1 = és A 2 = , 0 λ 0 λ
(5.27)
mind a kettő kétszeres λ sajátértékkel rendelkezik. Ha A 2 diagonalizálható lenne, akkor létezne egy X transzformáció, úgy, hogy A1
-1 X= A 2 X valamint XA1 A 2 X ,
(5.28)
88
ahol x X = 12 x21
x12 . x22
(5.29)
Az (5.28) egyenletben kijelölt műveletek végrehajtása után x11λ x λ 21
x12λ x11λ + x21 = x22λ x21λ
x12λ + x11 . x22λ
(5.30)
(5.30) már magába foglalja, hogy x= x= 0 , amely azt jelenti, hogy az X mátrix az alábbi 11 21 formában írható 0 X= 0
x12 x22
és ez szinguláris. Nem létezik tehát egy olyan transzformáció sem, amivel A1 áttranszformálható lenne A 2 -re, ami azt jelenti, hogy A1 és A 2 nemhasonlók. Megtalálhatjuk ennek a viselkedésnek a fizikai magyarázatát, ha az állapot egyenletek megfelelő megoldásait értelmezzük. Az A1 mátrixhoz tartozó egyenletek,
x1 x10 λt x1 x1 megoldásai = λ x = x e . x x 2 20 2 2
Az A 2 rendszermátrixhoz tartozó rendszeregyenlet: y1 λ y1 + y2 y = λ y , 2 2
és a megoldásai y1 y10 + y20t λt y = 0+ y e . 20 2
A két megoldásra teljesen különböző fizikai viselkedés tartozik. Ez még nyilvánvalóbb a λ = 0 választásnál, rendre
89
y1 y10 + y20t x1 x10 és = . y = y x x 20 2 2 20
Ez azt jelenti, hogy az első rendszer nyugalomban van, míg a másik konstans y20 sebességgel mozog. Alapvetően, ebben az esetben két különböző mozgással van dolgunk, és az nyilvánvaló, hogy egyszerű koordináta transzformációval a nyugalmi helyzetet nem tudjuk mozgásra bírni. Másfelől, ez azt mutatja, hogy egy kétszeres sajátértékkel bíró másodrendű rendszert (5.27) alatti két alapvető alak egyikére tudjuk transzformálni.
5.2.2
Jordan-féle normálalak
A rendszer mátrix diagonalizálása hasonlósági transzformációval csak akkor lehetséges, ha minden sajátvektor valóban létezik. De ha a λi többszörös sajátérték vi multiplicitással fordul elő, akkor ez az ún. többszörös sajátérték d i számú független sajátvektorral fog rendelkezni, ahol d i a rang csökkenésének vagy a vesztességének a foka, amely a következő összefüggésből határozható meg:
d i =n − Rang ( λi E − A ) ,
1 ≤ d i ≤ vi
ha
i =1, …, m < n.
(5.31)
Az A mátrix nem diagonalizálható ebben az esetben, de mindenesetre van egy X transzformációnk, amely szerint J1 J2 0 −1 = J X= AX . 0 J m J
(5.32)
A J i transzformációkat
λi 1 0 Ji = , 0 1 λi
(5.33)
90
Jordan-féle blokkoknak nevezzük. Ez annyiban különbözik a diagonálistól, hogy a felső kodiagonális elemek helyén 1-ek vannak. Az azonos sajátértékű Jordán-féle blokkok száma megegyezik a független sajátvektorok számával, amelyek a sajátértékekhez tartoznak. A (5.31) egyenlettel összhangban, minden egyes sajátérték pontosan d i számú λi főátlójú Jordan-féle blokkot tartalmaz. Legyen a rendszeregyenlet felírva (5.34)
z = Jz
normál koordinátákkal. Vizsgáljuk meg az első Jordán féle q méretű blokkot a megoldás céljából:
z1 λ1 1 z1 0 = . 0 1 λ1 zq zq
(5.35)
Ha az utolsó egyenlettel kezdjük, akkor a következő összefüggéseket kapjuk egymás után:
⇒ zq ( t ) = zq ,0 eλ1t
zq = λ1 zq zq −1= λ1 zq −1 + zq ⇒ zq −1 ( t )=
(z
q −1,0
+ zq ,0t ) eλ1t
= zq −2 λ1 zq −2 + zq −1
(5.36)
1 ⇒ zq −2 ( t ) = zq −2,0 + zq −1,0t + zq ,0t 2 eλ1t 2 stb. Az egészre a megoldást mátrix formában kapjuk
z1 1 t t2 ( qt −1)! z1,0 2 eλ1t t = 2 t zq 0 1 zq ,0 (((((((( K1 (t ) 2
q −1
Hasonlóan járunk el a további Jordan-féle blokkokkal is, és azután kapjuk
(5.37)
91
K 1 ( t ) 0 z (t) = 0 K m ( t )
(5.38)
normál koordinátákkal kifejezve, majd az eredeti koordinátákkal is
x ( t ) XK = = ( t ) X −1 x 0 Φ ( t ) x 0 . Az X = [ x1
(5.39)
x 2 … x n ] transzformációs mátrixokat az (5.32) transzformációjával egymást
követő sorokban számíthatjuk ki: AX = XJ .
(5.40)
Elkezdve ismét, az első J 1 Jordán féle blokkal a következőt kapjuk Ax1 = λ1x1 Ax = λ1x 2 + x1 2
(5.41)
Ax = λ1x q + x q −1 q
Az x1 vektort ismét a λ1 sajátérték sajátvektorának nevezzük, mint ahogy korábban is. Az x1 , x 2 , x 3 , , x q vektorokat a megfelelő fővektoroknak is nevezzük.
5.2. példa: Az 0 1 1 = A 1 1 −1 0 1 1
mátrix λ1 = 0 és λ2/3 = 1 sajátértékekkel rendelkezik. Így a sajátértékek multiplicitása rendre
ν 1 = 1 és ν 2/3 = 2 . Az első sajátérték sajátvektora az alábbi egyenletből adódik −1 −1 l1 2 −1 l − 1 −1 . 1 x1 = 0, ahol x1 = 1 −1 l1 − 1 0 1
92
A maradék sajátvektorok és a megfelelő fővektorok alkotják a feltételi egyenletet λ2/3 −1 0
−1 −1 0. λ2/3 − 1 1 x 2/3 = −1 λ2/3 − 1
De a bal oldalon a mátrix rangja kettő. Így a rangesés értéke 1, amely azt jelenti, hogy csak egyetlen független sajátvektort tudunk kiszámolni. A Jordan-féle mátrixra 0 0 0 J = J = 0 1 1 1 0 0 0 1
0 , J 2
1 1 kapunk, ahol J 1 = [ 0] és J 2 = a Jordan-féle blokkok. 0 1 A rendszeregyenlet normál koordinátákkal 0 0 0 z = 0 1 1 z . 0 0 1
Az első Jordan-féle blokkból a következő megoldás következik z1 = z10 , és ezért K ( t ) = [1] . A második Jordán-féle blokk egy egyenletláncolatra vezet
z3 = z3 ⇒ z3 = z30et , z2 = z2 + z3 = z2 + z30et ⇒ z2 = ( z20 + tz30 ) et , és ezért 1 0 0 1 t t e , z 0 1 t z 0 = K 2 ( t ) = 0 1 0 0 1
Az X transzformációs mátrix első oszlopa az x1 első sajátvektor. A maradék oszlopvektorok az alábbiak szerint állíthatók elő Ax= 1x 2 , 2
Ax= 1x 3 + x 2 , 3
93
ahol 0 1 x 2 = 0 és x 3 = 1 . 0 1
Így, megkapjuk a transzformációs mátrixot 2 1 0 X = −1 0 1 , 1 1 0
és a kiindulási egyenlet megoldása 2 + ( t − 1) et tet −2 − ( t − 1) et 2 1 0 1 0 0 2 1 0 x ( t ) = −1 0 1 0 et tet −1 0 1 x 0 = −1 + et et 1 − et x0 . 1 + ( t − 1) et tet −1 + ( 2 − t ) et 1 1 0 0 0 et 1 1 0 (((((((((((( (( ( ((( ( ((( −1 X K (t ) X Φ (t ) −1
94
6
Dinamikai rendszerek numerikus módszerei
6.1
Bevezetés
6.1.1
Taylor-sorfejtés
Elegendően sima függvények Taylor-sorfejtése alapvető szerepet fog játszani ebben a fejezetben. Ezért az első rész a definíciókat és a Taylor-sorok alkalmazását tartalmazza. A Taylor-sort, tulajdonképpen, egy hatványsorral definiálhatjuk, amely egy bizonyos pont környezetében, tökéletesen leírja a függvényt. Éppen ezért, a Taylor-sor összehasonlítása numerikusan közelített polinommal megállapításokkal szolgál a numerikus módszer pontosságára. Ezt a hibát diszkretizációs vagy csonkolási hibának nevezik. Továbbá, a Taylor-sorok lehetővé teszik az új numerikus módszerek származtatását, eltekintve a sor összes elemétől, kivéve az elsőt. A kapott polinomot nem folytatott Taylorsornak nevezzük. Egy skalárfüggvény Taylor-sora 6.1. definíció: Egy
f ( x ) függvényt analitikusnak mondjuk az x = a pontban, ha az a pont D
környezetében az f függvény a h= x − a hatványsorába fejthető. 6.1. tétel: Ahhoz, hogy f analitikus függvény legyen, egy szükséges feltétel az f minden deriváltjának létezése az x = a pontban és az a pont környezetében. 6.2. tétel: Tegyük fel, hogy f analitikus az x = a pontban. Akkor f hatványsorfejtése a következő: f ( x= ) f ( a ) + hf x ( a ) + ahol h= x − a és
h2 h3 hm f xx ( a ) + f xxx + + f xx ( a ) 2 6 m!
(6.1)
95
f
xx
m −szer
az f függvény x szerinti m -dik deriváltja lenne. 6.1. példa: Exponenciális függvény 1 Az e − x kifejtése x = 1 körül: e − x =− h 1e + h2 1e − h6 1e + h24 1e − e 2
3
4
ahol h= x − 1 . Érdekes a különféle függvények sorfejtése az x = 0 körül. 6.2. példa: Sorfejtés a nulla körül (x=0) e x =1 + x +
x2 x3 + + 2! 3!
sin ( x ) =x −
x3 x5 + − 3! 5!
x2 x4 cos ( x ) =− 1 + − 2! 4! Kétváltozós függvény Taylor-sorfejtése
1 f ( x, y= ) f ( a, b ) + h f x + g f y + h 2 f xx + 2h g f xy + g 2 f yy 2 1 + h 3 f xxx + 3h 2 g f xxy + 3 h g 2 f xyy + g 3 f yyy + 6
(6.2)
ahol h = x − a, g = y − b, ∂ = f x = , f y ∂∂y f ( x, y ) ∂x f ( x , y ) =x a= ,y b = x
a= ,y b
.
A megfelelő eljárás alkalmazható a további parciális deriváltakra is.
6.1.2
Numerikus algoritmusok
Egy numerikus algoritmus tulajdonképpen utasítások halmaza egy matematikai probléma megoldására, kizárólag aritmetikai műveletek felhasználásával. Egy numerikus algoritmus nem csak akkor alkalmazható, ha a probléma nem oldható meg analitikusan, hanem akkor is, ha a numerikus megközelítés gyakorlati okokból alkalmasabb.
96
Az algoritmusok kiválasztása főleg a sebességi tényezőtől (számítási idő) és a pontosságtól függ. Így ez az érv nem annyira fontos a kevésbé összetett feladatokban. 6.3. példa: A négyzetgyök numerikus számítása Keressük a következő egyenlet közelítő megoldását
f ( x ) = x2 − 2 = 0
(6.3)
A feladat megoldására alkalmazhatjuk a Newton-féle közelítő módszer a következő számítási előírással:
= xn xn −1 −
f ( xn −1 ) f ' ( xn −1 )
(6.4)
A (6.3)–tól a (6.4)-ig való alkalmazás az alábbi algoritmushoz vezet xn −12 − 2 1 2 x1 = 1, xn =− xn −1 2, = xn −1 + , n = 2 xn −1 2 xn −1
és a következő közelítő értékeket kapjuk (négy számjegy pontosságig)
3 17 1 17 24 x2 = = 1,500, x3 = = 1, 4167, x4 = + = 1, 4142 2 12 2 12 17
6.1.3
Kerekítési hiba és a hiba terjedése
Különbséget kell tenni a különböző hibaforrások között: •
Bemenő adatok hibája, amely azt jelenti, hogy a meglévő értékek (pl. mért és becsült értékek), amelyek a számításban szerepelnek, eleve hibával terheltek.
•
A hibák, amelyek a valós problémák közelítő módszerekkel való helyettesítéséből származnak, analitikus hibának nevezzük.
•
A hibák, amelyek a kerekítési műveletből származnak, kerekítési hibának nevezzük.
A bemenő adatok hibái nem kerülhetők el teljesen. A hibák, amelyek a közelítő eljárásokból adódnak, az alkalmazott módszerektől függnek és később fogjuk részletesen megtárgyalni. A kerekítési hibák a numerikus számításokban keletkeznek, ha végtelen tizedes számokat a számításokban véges tizedes számokkal közelítjük. A számítógépek alkalmazásakor a gépi számról beszélünk. A gépi szám nagy nehézségeket jelent, mivel azok nem kompatibilisek az
97
alapműveletekkel. Ez azt jelenti, hogy a számítási műveletek miatt nem biztos, hogy gépi számokat kapunk ismét. Sem az asszociativitási törvény sem a disztributivitási törvény, nem alkalmazható a gépi számokra. A fellépő hibák továbbterjedhetnek és növekedhetnek a számítások során. Ezért komoly eltérés adódhat az igazi eredménytől. 6.4. példa: Kerekítési hibák A következő 2 −1 2 +1
3
kifejezés számítását pontosan kielemezzük. Átalakítások után négy – analitikusan egyenértékű - formulát kapunk: 3
2 −1 = 2 +1 Ha
(
) ( 6
2 −1 = 3 − 2 2
2 -t helyettesítjük az 1.414
)
3
=99 − 70 2 .
közelítéssel, a 4-féle analitikusan egyenértékű
összefüggésre különböző eredményt kapunk: 0,005044; 0,005035; 0,005088; 0,020000. Az eredmény, amely pontosan négy értékes jegyre van kerekítve 0.005051. Mint látható az eltérés jelentős, pedig az azonos analitikus kifejezésekre azonos eredményt várnánk. Továbbá, két átalakítást elvégezve: 99 − 70 2 =
9801 − 9800 =
1 . 9801 + 9800
A következő számszerű eredményt kaphatjuk az utolsó két kifejezésre 6 számjegyű számolással: 0,005100 és 0,005051. Nyilvánvaló, hasonló nagyságrendű számok kivonása jelentős hibát foglalhat magába, amely néha elkerülhető egy megfelelő algoritmus választásával.
98
7
Kezdeti érték feladat megoldásának numerikus módszerei
7.1
Kezdetiérték feladat numerikus megoldása
Az eddig tárgyalt közönséges differenciálegyenletek megoldásainak előállításához, legalábbis a nemlineárisokhoz, szükségünk van a numerikus módszerekre a digitális számítógépek felhasználásával. A megfelelő módszerek származtatásához oldjuk meg az
x = f ( x, t ) ,
(7.1)
alakú elsőrendű differenciálegyenletet az alábbi kezdeti feltétellel
x ( 0 ) = x0 .
(7.2)
Ebben a fejezetben származtatásra kerülő módszerek kiterjeszthetők a magasabb rendű differenciálegyenletekre is a korábban bevezetett helyettesítési módszerrel. Ezen módszer differenciálegyenlet-rendszerekre történő alkalmazása is problémamentes. A kezdetiérték feladat megoldása numerikus módszerekkel, lehetővé teszi az x ( tn ) megoldások előállítását a tn diszkrét időpontok (rácspontok) egy sorozatára = tn tn −1 + hn ,
(7.3)
ahol hn az időnövekmény, amely általában minden lépésben változhat.
7.1.1
Explicit Euler módszer
Megkaphatjuk az explicit Euler módszert miután a (7.1) differenciálegyenlet bal oldalán behelyettesítettük az alábbi kifejezést:
xn ≈
xn +1 − xn . h
(7.4)
99
7.1 ábra: Explicit Euler módszer. A megoldás xn +1 -re egy közelítő formulát eredményez x -re a tn helyen
xn += xn + h f ( xn , t n ) . 1
(7.5)
Így a megoldás rekurzíven előállítható a következők szerint: x= x0 + hf ( x0 , t0 ) 1 x= x1 + hf ( x1 , t1 ) 2
(7.6)
= xn xn −1 + hf ( xn −1 , tn −1 ) Tehát egy könnyen alkalmazható és világos módszer áll rendelkezésünkre. De a gyakorlati alkalmazást tekintve számos nehézséggel kell szembenéznünk: •
A hiba, amely a diszkretizációs eljárásban keletkezik (a differenciálhányados helyettesítése differenciahányadossal) nagymértékben függ az időlépés h nagyságától .
•
Néhány esetben numerikus instabilitásra való hajlamot figyelhetünk meg. Ezt a hatást az alábbi teszt egyenlet megoldása során mutatjuk be
x = −aaa x, amikor x ( 0 ) = x0 > 0, ∈ℜ és > 0.
(7.7)
Az egzakt megoldás x = x0e −α t ,
(7.8)
100
mindig pozitív és konvergál nullához, amint t → ∞ . A minimális elvárás egy használható közelítő módszerrel szemben az, hogy az szintén legyen konvergens és mindig maradjon pozitív. Ha alkalmazzuk az Euler formulát a (7.7) egyenletre, az alábbi megoldást kapjuk tn időpontban
xn += 1
(1 − α h ) xn ,
(7.9)
amely azt jelenti, hogy t → ∞ esetén a közelítő megoldás pozitív marad ésabszolút értéke csökken, ha α h < 2 feltétel teljesül. Ha a 2 > α h > 1 feltétel teljesül a közelítő megoldás abszolút értéke valóban csökken, amint a t idő tart a végtelenhez, de a közelítő megoldás a nulla körül fog oszcillálni. Ha α h > 2 , a megoldás minden integrálási lépésben növekedni fog és előjelet vált. Csak akkor kaphatunk értelmes megoldást, ha fennáll h < α1 egyenlőtlenség. Az Euler módszer ezen tulajdonságát numerikus instabilitásnak nevezzük. 7.1. példa: Az Euler módszer numerikus instabilitása A következő egyenlet megoldását numerikusan kell kiszámolni x = −10 x .
Az Euler módszer alkalmazása a [ 0, 16] intervallumban különböző lépésközökkel a 7.2 ábra által vázolt megoldásokat eredményezte. Nyilvánvaló, hogy a hiba drasztikusan növekszik, ha a lépésközök hosszát megduplázzuk. Továbbá a megoldás oszcillál h = 0,16 értékre és végül h = 0,32 értéknél divergál, amint azt a 7.3 ábra: Explicit Euler módszer; instabilitás. mutatja.
101
7.2 ábra: Az explicit Euler módszer alkalmazása.
7.3 ábra: Explicit Euler módszer; instabilitás.
102
Oszcilláló megoldás elemzéséhez gyakran megengedünk α -ra komplex szám előírását is, lásd a következő pontot.
7.1.2
Numerikus stabilitás és stabilitási tartomány
A numerikus, integrálási módszer stabilitási vizsgálatára a következő teszt egyenletet alkalmazzuk:
x = λ x, λ ∈ − − , x ( t = 0) = x0 > 0 .
(7.10)
A kezdetiérték feladat x = x0eλt
(7.11)
egzakt megoldása mindig pozitív marad, és nullához konvergál, midőn t → ∞ . Ha a teszt egyenletet egy integráló módszerrel próbáljuk megoldani, akkor egy használható megoldástól alapelvárás, hogy ez szintén konvergáljon a nullához és pozitív maradjon. 7.1. definíció: Egy numerikus integráló módszert (numerikusan) stabilnak nevezünk, a komplex számok egy
A
{α h : α komplex mit R (α ) , h ∈ }
tartományán, ha a közelítő megoldások
{ xn }
sora
abszolút csökken a tn pontban, midőn tn → ∞ (összhangban az egzakt megoldással). Vizsgáljuk az explicit Euler módszert. Illesszük a (7.10) egyenletet a (7.5)-be, majd kapjuk
xn +1 = (1 + λ h ) xn = (1 + λ h )
n +1
x0 .
(7.12)
A stabilitási feltétellel összhangban ez a módszer numerikusan stabil, ha
lim xn +1 = 0 . n →∞
(7.13)
Ez csak a következő estben érvényes
1 + λh < 1.
R( z )= R( λ h )
(7.14)
Azaz (1 + z ) -nek az origó körüli egység sugarú körbe kell esnie. Így, z -nek pedig a ( −1,0 ) pont közepű egység sugarú körbe kell esnie, hogy az explicit Euler módszer numerikusan
103
stabil maradjon. Az explicit Euler módszer stabilitási tartományát a 7.4 ábra szemlélteti. Az explicit Euler módszer sem nem A-stabilis, sem nem F-stabilis.
7.4 ábra: Az Euler módszer stabilitási tartománya. 7.2. definíció: A differenciálegyenletek egy integrálási módszere A-stabilis vagy Abszolút stabilis, akkor és csak akkor, ha a stabilitási tartománya legalább a teljes bal oldali komplex félsíkot lefedi. 7.3. definíció: A differenciálegyenletek egy integrálási módszere F-stabilis vagy pontosan (faithfully)stabilis, akkor és csak akkor, ha a stabilitási tartománya kizárólag bal oldali komplex félsíkot fedi le.
7.1.3
Módosított Euler módszer (Trapézszabály)
A módosított Euler módszer az f ( x, t ) függvény integrálására alkalmazott trapéz szabályból származik.
104
7.5 ábra: A trapézszabály származtatása. A trapézszabályt b
∫ f ( x, t ) dt ≈ a
b−a ( f ( a ) + f (b) ) 2
(7.15)
alkalmazva f ( x, t ) -re,= a tn a= , tn b és h= a − b behelyettesítésével x= n +1 − xn
tn +1
h ∫ f ( t, x ) dt ≈ 2 ( f ( x
n +1
, tn +1 ) + f ( xn , tn ) ) ,
(7.16)
tn
átrendezés után végül megkapjuk a számítási formulát:
h xn +1 = xn + ( f ( xn +1 , tn +1 ) + f ( xn , tn ) ) . 2
(7.17)
Az Explicit Euler módszerrel szemben, ebben az estben a kapott számítási szabály nem explicite került megoldásra az xn +1 mennyiségre nézve. Ezért ezt a módszert implicit integrálási módszernek nevezzük. A gyakorlatban felvetődik a kérdés, hogyan kell (7.17)-et xn +1 -re megoldani. Eset 1: f lineáris x-ben Nyilvánvaló, hogy (7.17) könnyen megoldható xn +1 -re. 7.2. példa:
= x ax + cos ( t ) A következő számítási szabályt kapjuk:
105
xn +1 =xn +
h ( axn+1 + cos ( tn+1 ) + axn + cos ( tn ) ) . 2
Ez a speciális eset lehetővé teszi az xn +1 -re való explicit megoldást. A következő összefüggést kapjuk:
(
)
h k k −1 xn( +)1 = xn + f xn( +1 ) , tn +1 + f ( xn , tn ) . 2 Eset 2: f nemlineáris függvénye az x-nek. Csak speciális esetben lehetséges explicit megoldás xn +1 -re. Helyette, általában numerikus módszerekhez kell folyamodnunk a nemlineáris algebrai egyenletrendszerek numerikus megoldásánál. Így iteratív módszereket alkalmazunk. Egyik lehetőség az egymást követő helyettesítés módszere illetve a fixpont iteráció (lásd 9.3 pont):
h xn( k+1) = xn + f ( xn( k+−11) , tn +1 ) + f ( xn , tn ) 2
(7.18)
ahol xn( +)1 a k -dik iterációja az xn +1 -nek, and xn( +)1 egy az iterációhoz alkalmasan választott k
0
kezdetiérték. Kezdeti értéknek az xn -t választjuk. Így az első iterációs növekmény megegyezik az explicit Euler-féle szabály formulájával. Mihelyt két egymás utáni iteráció közötti különbségre igaz, hogy xn( k+)1 − xn( k+−11) < ε , leállítjuk az iterációt. Itt ε egy adott pontossági határ, amelyet a gépi pontossághoz közel célszerű megválasztani. Azonban, a stabilitási tartomány lecsökken a fixpontiteráció alkalmazásával, amint azt a 7.6 ábra 7.6 ábra: Stabilitási tartomány a fixpont iteráció után.mutatja. Ezért a Newton-Raphson iterációs ( 9.3 pont) módszert alkalmazzuk, mint alternatív szabályt.
106
7.6 ábra: Stabilitási tartomány a fixpont iteráció után. Összegezve, megkapjuk a számítási szabályt: xn(0+)1 = xn ,
( (
)
(explicit Euler módszer),
)
( Runge-Kutta 2-ed rendű ) ,
h xn(1+)1 = xn + f xn(0+)1 , tn +1 + f ( xn , tn ) 2 h xn( 2+)1 = xn + f xn(1+)1 , tn +1 + f ( xn , tn ) 2
(7.19)
stb. a konvergencia eléréséig. Felmerülhet az a kérdés, hogy a módosított Euler módszer miért magasabb rendben pontos és miért jobb a stabilitási viselkedése a numerikus, integrálási módszerek között. A kérdés megválaszolásához meg kell néznünk a x = −α x teszt egyenletet. Ebben az esetben, a következő számítási szabályt kapjuk
xn +1 = xn −
αh 1 − α2h + ⇒ = x x x xn . ( n+1 n ) n +1 2 1 + α2h
(7.20)
Ha az xn előtti együtthatót Taylor-sorba fejtjük, akkor a következőt kapjuk 2 h 1 h h (a h ) aaa = 1 − + − 1 − 1 − ah 2 1+ 2 2 (( 2 (((( 4 geometriai sor 1 1 2 3 =− 1 aaa h + ( h) − ( h) + 2 4 Ha ugyanezt az elemzést alkalmazzuk az explicit Euler módszerre, akkor az eredmény
(7.21)
107
1 − αh ,
(7.22)
ami azonos a már korábban levezetett összefüggéssel. Ha összehasonlítjuk (7.21) és (7.22) eredményeket az egzakt megoldás sorával
1 αh + e −α h =−
1 1 2 3 (α h ) − (α h ) + , 2 6
(7.23)
megkapjuk az elhanyagolásból származó hibát a módosított Euler formulára
1 3 (α h ) + , 12
(7.24)
és az explicit Euler formulára
1 2 (α h ) + ... 2
(7.25)
Így a módosított Euler formula az egzakt megoldást lokálisan két taggal, a másodrendű taggal bezárólag egyezően közelíti (másodrendű módszer). Ezzel szemben az explicit Euler módszer a közelítést csak egy taggal, a lineárissal bezárólag egyezően közelíti (elsőrendű módszer).. A trapézszabály egy további előnye a stabilitási tulajdonsága. Az n-dik lépésre a következő egyenletet kapjuk:
1 − α2h xn +1 = αh 1+ 2
n +1
x0 ,
(7.26)
és a közelítő megoldás abszolút értéke egzaktul egybeesik amikor Re (α ) > 0 , ha fennáll következő
1 − α2h < 1 + α2h .
(7.27)
De mivel minden Re (α ) > 0 , az egyenlőtlenség h-tól függetlenül teljesül, azaz a trapézszabály stabil tetszőleges nagyságú lépésekre. A trapéz szabály egyaránt A -stabil és F -stabil is.
108
7.1.4
Implicit Euler módszer
Az implicit Euler módszert megkaphatjuk, ha az explicit Euler módszer differencia hányadosát, amelyet az időlépés kezdetén lévő deriválttal képezünk, helyettesítjük azzal a differencia hányadossal, amelyet az időlépés végén lévő deriválttal képezünk.
7.7 ábra: Az Implicit Euler módszer. A módszer alkalmazásához szükség van iterációra is, hogy az xn +1 -t meghatározzuk.
7.1.5 •
Az Euler módszerek összefoglalása
Az explicit Euler módszer egy közkedvelt módszer, amely nagyon könnyen alkalmazható és könnyen programozható, különösen valósidejű műveletekben. A
(
)
lokális diszkretizációs hiba másodrendű, azaz h 2 O ( h 2 ) , midőn h → 0 , a globális hiba h -val arányos. Nagy hátránya az instabilitás, amely esettől függően eliminálható,
szélsőségesen rövid időlépés megválasztásával. •
A módosított Euler módszer (Trapéz-szabály) A -stabil, a lokális diszkretizáció hibája
O ( h 3 ) , azaz harmadrendű, a globális hiba másodrendű, vagyis O ( h 2 ) . A módszer hátránya, mint minden implicit módszernek, hogy nemlineáris egyenletrendszert szükséges megoldani minden időlépésben. •
A diszkretizációs hiba tekintetében, az implicit Euler módszer hasonlóan viselkedik, mint az explicit módszer, de ellentétben az explicit verzióval, az implicit egyik előnye, hogy A -stabil.
109
7.1.6
Általános egylépéses eljárás
A fent tárgyalt Euler módszerek a legegyszerűbb módszerek az egylépéses eljárások nagy osztályában. Itt az xn +1 közelítéseket tn +1= tn + hn időpontban csupán a tn időpontbeli xn közelítésből és a hn növekményből számoljuk. Az egylépéses eljárásokat általában a következő alakban írhatjuk fel
xn +1 = xn + hn Φ ( xn , tn , hn ) , ahol Φ az ún. folyamatszabályozás. 7.3. példa: Az explicit Euler módszerre igaz, hogy:
Φ ( xn , tn , hn ) = f ( x, t ) . Az egylépéses eljárás minősítésére a következő fogalmakat alkalmazzuk: Kezdetiérték feladat = x f= ( x, t ), x (t0 ) x0 . Ez azt jelenti, hogy
ε ( h )=: x ( tn + h ) − ( xn + h Φ ( xn , tn , hn ) ) a lokális hiba, amely a (7.28)-ben definiált módszernek egyetlen lépésében jelentkezik. Ez az eljárás konzisztens, ha a hiba
ε (h) = O (h) , a p -ed rendűnél pedig
ε ( h ) = O ( h p +1 ) . 7.1. Megjegyzések: Ha az xn ( tn ) közelítése xn , az egylépéses eljárással kiszámítható a következő
(7.28)
110
xn +1 = xn + hn Φ ( xn , tn , hn ) ,
n = 0, , N ,
ahol Φ kielégíti a Lipschitz feltételt az x ∈ [ a, b] × R szerint
Φ ( x, t , h ) − Φ ( y , t , h ) ≤ L x − y , és az egylépéses eljárás konzisztens p + 1 rendben
x ( t + h ) − ( x ( t ) + h Φ ( xn , tn , hn ) ) ≤ ch p +1 . A globális hibára fennáll a következő becslés
δ n +1 = xn +1 − x ( tn ) ≤ c ( b − a ) e h(b−a )h p , ahol h := max hj . =j 0,1,...,n +1
Szavakban kifejezve ez azt jelenti, hogy a globális hiba konzisztencia rendje mindig egy renddel kisebb, mint a lokális hiba. 7.1.6.1 Klasszikus Runge-Kutta módszerek Az Euler módszer egyik alapvető hátránya, hogy kis pontosság érhető el vele. Ez nagyon kis h integrálási időlépést követel meg, amely nagy számítási időhöz és a kerekítési hibák
halmozódásához vezet a számítások során. Nagyon korán törekvéseket tettek, hogy növeljék a pontosságot. Egyik lehetőség a differenciálegyenlet jobb oldalának kiszámítása az interpolációs pontokban. Ismét megvizsgáljuk a (7.1) differenciálegyenletet. Ha xn adott, akkor integrálhatjuk (7.1)-et a [ tn , tn +1 ] intervallumon az xn +1 kiszámítása érdekében: xn += xn + 1
tn +1
∫ f ( x, t ) dt ,
(7.29)
tn
ahol tn +1= tn + h . A Runga-Kutta módszert megkapjuk, ha (7.29) jobb oldalát közelítő módszerrel integráljuk.
111
Másodrendű Runga-Kutta módszer A következő összefüggés a (7.29) integráljának trapézszabállyal való közelítésével áll elő tn +1
h ∫ f ( x, t ) dt ≈ 2 f ( x , t ) + f ( x n
n
n +1
, tn +1 ) .
(7.30)
tn
Az xn +1 érték ismert, így az f ( xn +1 , tn +1 ) kifejezést az explicit Euler módszerrel közelítjük. Innen, megkapjuk a következő formulát
xn +1 = xn +
h f ( xn , tn ) + f ( xn + hf ( xn , tn ) ) , 2
(7.31)
amelyet a következő számítási összefüggésekkel állítunk elő: k1 = hf ( xn , tn ) , = k2 hf ( xn + k1 , tn +1 ) , xn +1 = xn +
(7.32)
1 [ k1 + k2 ]. 2
Az előállt Runga-Kutta módszert prediktor-korrektor módszernek is nevezik az Euler módszer alapján. Ebben az összefüggésben az explicit Euler módszer a prediktor szerepét játssza, míg a trapéz szabály kapja a korrektor szerepet. Fejtsük Taylor sorba x -et a tn környezetében, hogy meghatározzuk a módszer pontosságát: xn +1 =xn + h f +
h2 h3 f tt + 2 f tx f + f tt f 2 + f t f x + f x 2 f + O ( h 4 ) , f f f + + [ t x ] 2 6
(7.33)
ugyanakkor az f parciális deriváltjait az alábbi jelölésekkel rövidítjük:
∂f ∂f = f t = , f x , stb. = ∂t tx tnx= ∂x tx tnx = = n
n
Az összehasonlítás kedvéért, (7.31)-et megfelelő módon Taylor-sorba fejtjük xn +1 = xn + hf +
h2 h3 [ f t + f x f ] + f tt + 2 f tx f + f xx f 2 + O ( h 4 ) . 2 4
(7.34)
Összehasonlítva (7.33) és (7.34) összefüggéseket, világosan láthatjuk, hogy az inegrációs lépésenként fellépő hiba arányos h 3 -nal.
112
A továbbiakban, a fennmaradó Runga-Kutta módszereket és a hibákat levezetés nélkül ismertetjük. Harmadrendű Runge-Kutta módszerek Számítási összefüggések:
k1 = hf ( xn , tn ) , k h k2 = hf xn + 1 , tn + , 2 2 k3 hf ( xn − k1 + 2k2 , tn + h ) , = xn +1 =xn +
(7.35)
1 ( k1 + 4k2 + k3 ) . 6
( )
Lokális diszkretizációs hiba: O h 4 . Negyedrendű Runge-Kutta Módszer Ez a módszer a Simpson-féle 1 / 8 -os szabályt alkalmazza k1 = hf ( xn , tn ) , k h k2 = hf xn + 1 , tn + , 2 2 k h k3 = hf xn + 2 , tn + , 2 2
(7.36)
k4 = hf ( xn + k3 , tn + h ) , xn +1 =xn +
1 ( k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) . 6
( )
A módszer lokális hibája O h 5 . A Runge-Kutta módszernek ezt a verzióját klasszikus Runge-Kutta módszernek is nevezik. Stabilitási megfigyelések A Runge-Kutta módszer elemzéséhez, tekintsünk ismét a teszt egyenletre először valós α értékkel
x = −aa x, ahol >0 . Egy adott xn -hez megkapjuk xn +1 -re a pontos értéket
(7.37)
113
xn +1 = e −α h xn .
(7.38)
A (7.38) differenciálegyenlet jobb oldalának integrálására a negyedrendű Runge-Kutta módszert alkalmazva, a következő összefüggést kapjuk: 2 3 4 xn +1 =1 − α h + 12 (α h ) − 16 (α h ) + 241 (α h ) xn . (((((( ((((((((
(7.39)
γ
Az nyilvánvaló, hogy a γ tényező az e −α h függvény hatványsorának csak az első négy tagját tartalmazza. A valós értékű exponenciális függvénnyel való összevetés felfedi a valódi értéktől való eltérés növekedését, midőn α > 0 és h növekszik, és instabilitás figyelhető meg, ha α h < −2.785 (lásd 7.8 ábra ). Ez a numerikus megoldásnak köszönhető, amely minden
(γ
> 1) integrálási lépésben növekszik, míg a valódi megoldás csökken ( eα h < 1) .
Hasonló eredményeket kapunk, ha ugyanezt az elemzést a többi Runge-Kutta módszerre is elvégezzük. Hasonlóan az Euler módszerhez, általánosabban akkor vizsgálhatjuk az adott esetet, ha α komplex szám. Itt is elemezni fogjuk az oszcilláló megoldások viselkedését. Ebben az esetben nem egy intervallumot kapunk a valós tengelyen a stabil vagy instabil szakaszra, hanem egy régiót a komplex síkon (lásd 7.10 ábra).
114
7.8 ábra: A 4-ed rendű Runga-Kutta módszer instabilitási tartománya. 7.1.6.2 Általános Runga-Kutta módszerek Egy közönséges
x = f ( x, t ) ,
(7.40)
differenciálegyenlet számítási összefüggéseit a 7.1.6.1 pont alatt vizsgáltuk, amely általában m függvény kiszámítását jelenti ( m -lépéses módszer) m
xn += xn + h ∑ β j k j , 1
(7.41)
j =1
m k j = f tn + ς j h xn + h ∑ γ jl kl , l =1
j =1,.., m .
m
(7.42)
Az xnj= xn + h ∑ γ jl kl értékek úgy is értelmezhetők, mint az egy időlépésen belüli tn + ζ i h l =1
pontokra támaszkodó közelítő megoldás.
115
7.9 ábra: A Runge-Kutta módszer átmeneti pontjai. Az xn approximációjához a lehető legtöbb együtthatót alkalmazzuk. A β i , ζ i γ ij 1 ≤ i, j ≤ m együtthatókról egy jól áttekinthető képet ad a következő séma (Butcher-féle táblázat)
ς1 ς2
γ 11 γ 21
γ 12 γ 1m γ 22 γ 2 m
(7.43)
ς m γ m1 γ m 2 γ mm β1 β 2 β m Valóst kapunk az alábbiak szerint = ςi
m
= γ ij , i 1,..., m . ∑
(7.44)
j =1
Ha
γ ij 0, =
ahol
j≥i ,
(7.45)
az xi változók közvetlenül kiszámíthatók a már ismert mennyiségekből, azaz, egy explicit módszerrel van dolgunk (pl. a 7.1.6.1 pontban tárgyalt klasszikus Runge-Kutta módszerek) 7.4. példa: Butcher-féle táblázat a klasszikus Runge-Kutta módszerekre Euler módszer: 0 0 1
116
Negyedrendű Runge-Kutta módszer:
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 2 1 2
0
1 2
0 0
1 0 0 1 0 1 6
1 3
1 3
1 6
7.2. Megjegyzések: •
A 7.1.6.1-ból arra következtetünk, hogy van legalább egy olyan Runge-Kutta módszer, amely p = m rendű, ahol m ≤ 4 . Felmerül a kérdés, hogy olyankor is van-e módszer, amikor p > m és vajon mindig van-e legalább egy módszer, amikor p = m . Ezt tagadnunk kell mindkét estben.
•
Ami azt illeti, bizonyítható a következő kapcsolat (7.1 táblázat): 7.1 táblázat: Az átmeneti értékek száma és az elért rend. Közbenső értékek száma
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Az elérhető rend
1
2
3
4
4
5
6
6
7
7
•
A negyedrendű módszer bizonyos optimumot képvisel ezen megfigyelés értelmében.
7.1.6.3 Az 1≤p≤4 rendű Runge-Kutta módszerek stabilitási területei Ebben az esetben bizonyítani tudjuk, hogy a p rendű módszerek abszolút stabilitási tartományai az alábbi egyenlőtlenségből következnek:
( hλ ) 2 ( hλ ) p 1 + hλ + + ... + ≤ 1. 2! p! ((((((((
(7.46)
R ( z ) = R ( hλ )
Ez elsősorban azt jelenti, hogy minden p rendű módszer ugyan azzal a stabilitási tartománnyal rendelkezik. A stabilitási határ az alábbi egyenlet z komplex megoldása
R ( z ) = eiθ ,
117
ahol θ tetszőleges értéket vehet fel a ( 0, 2π ) intervallumon. A Runge-Kutta módszerek stabilitási tartományait negyed renddel bezárólag 7.10 ábra szemlélteti.
7.10 ábra: Az 1 ≤ p ≤ 4 rendű Runge-Kutta módszerek stabilitási tartományai.
7.1.7
Adaptív lépésválasztás
Hibák elkerülhetetlenek, ha iteratív módszereket alkalmazunk. A fellépő hiba függ az alkalmazott lépés méretétől. Gyakorlatilag azonban, többnyire, pusztán a megkívánt pontosság ismert. Így, az ember azt szeretné, hogy a pontosságot kelljen megadni a lépés nagysága helyett a numerikus integrálás bemenő adataként. Ennek megfelelően az algoritmustól elvárjuk, hogy minden iterációs lépésben automatikusan válassza meg a lépés nagyságát, úgy, hogy a lokális diszkretizációs hiba alatta maradjon a megkívánt ζ értéknek. Tehát az egy iterációs lépésben keletkező hibát előre meg kell megbecsülni. Alapvetően két különböző lehetőség áll fenn. Egyrészt, egy iterációs lépés kétszeri elvégezése különböző nagyságú lépésekkel. A számított megoldások különbségéből a helyi
118
hibát meg lehet becsülni. Másrészt, két különböző megoldás kapható két különböző integrációs algoritmussal (beágyazott módszerek). 7.1.7.1 Harmadrendű Runge-Kutta módszer, egy integrálási lépés kétféle kiszámítása A h nagyságú integrációs lépésen a harmadrendű Runge-Kutta módszer helyi diszkretizációs hibája Eh = Bh 4 ,
(7.47)
ahol B konstans és függ a vizsgált differenciálegyenlettől. Ha az időintervallumot két
h 2
hosszúságú lépéssel integráljuk, a következő diszkretizációs hiba megállapítást találjuk érvényesnek 4
h 1 4 = B Bh . 2 E h 2= 2 8 2
(7.48)
Ha a (7.47) egyenletből kivonjuk (7.48)-at, azt kapjuk, hogy
1 7 Eh − 2 E h = Bh 4 − Bh 4 = Bh 4 . 8 8 2
(7.49)
A (7.49) egyenlet bal oldala úgy számítható ki, hogy először végrehajtjuk az integrálást a h , és azt követően megismételjük a
h 2
növekménnyel.
Ha a kiválasztott eredmények rendre xh and x h eredményekre vonatkoznak, ebben az 2
esetben azt kapjuk, hogy Eh − 2 E h =xh − x h . 2
(7.50)
2
Kicserélve a (7.49) egyenletet (7.50) egyenlettel, az alábbi eredményt kapjuk B -re megoldva = B
−4 8 xh − x h h . 7 2
(7.51)
Ha B ismert, kiszámíthatjuk a becsült lépés méretét a (7.47) egyenlet segítségével
ζ h≈ . B 1
4
(7.52)
119
7.1.7.2 Beágyazott módszerek Az egyáltalán nem hatékony, ha kétszer számítjuk ki ugyanazt az integrálási lépést a lokális integrálási hiba meghatározására. Ezért a beágyazott módszerek lényegesen előnyösebbek. Innentől, két különböző algoritmust alkalmazunk, amelyek a lehető legnagyobb számú lépést alkalmazzák. A 4 5 -ös Runge-Kutta-Fehlberg algoritmus (RKF4/5) egy lehetséges választás a beágyazott algoritmusra. A Bucher séma a következő alakú: 0
0 1 4
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 2 3 8
3 32
9 32
0
12 13
1932 2197
7200 − 2197
7296 2197
0 0
0 0
0 0
1
439 216
36801 513
845 − 4104
1 2
− 278
−8 2
− 3544 2565
1859 4104
0 − 11 40
0 0
x1 x2
25 216
1408 2565
2197 4104
0
6656 12825
28561 56430
− 15 − 509
16 135
0 0
(7.53)
2 55
ahol x1 a megoldás negyedrendű Runge-Kutta módszerrel, x2 a megoldás ötöd rendű Runge-Kutta módszerrel állt elő. Ezért
ε ~ h5 ⇔ h ~ 5 ε .
(7.54)
A relatív hibát az alábbi összefüggés adja
e rel =
x1 − x2 max( x1 , x2 , δ )
(7.55)
ahol δ = 10−10 . A cél az új időlépés megválasztása, úgy, hogy a relatív hiba a relatív tolerancia közelébe essen. Így azt akarjuk, hogy teljesüljön a következő egyenlet:
ς=
x1 − x2 . max( x1 , x2 , δ )
Ezért, a javasolt lépés nagysága
(7.56)
120
= húj
5
ς ⋅ max( x1 , x2 , δ ) x1 − x2
⋅ hrégi .
(7.57)
Ha a hiba túl nagy, a lépés nagyságát csökkentjük, ha a hiba túl kicsi, a lépést növeljük. Megjegyezzük, hogy a lépéseket sohasem ismételjük meg, még akkor sem, ha a hiba túl nagy. Ezért ezt optimista lépésválasztásnak nevezik. Összevetésül, a konzervatív lépésválasztás egy lépést megismétel az új mérettel, ha a becsült hiba nagyobb, mint a tűrés. A lépésválasztás alapgondolata úgy is felfogható, mint egy szabályozási (visszacsatolási) feladat. Ebben az esetben, a fenti adott összefüggés egy P-szabályzónak felel meg (7.11 ábra).
7.11 ábra: A lépésválasztás szabályozási feladatnak megfelelő hatásvázlata Kjell Gustafsson dolgozta ki a PI-szabályzót a lépés méretének beállítására. A megfelelő összefüggés: 0.3
0.8 ⋅ tolrel n e relold = hnew ⋅ ee relnew relnew
7.1.8
0.4
n hold .
(7.58)
Lineáris többlépéses módszerek
A korábbi integrációs módszerek abban közösek voltak, hogy az xn +1 közelítő érték közvetlenül a megelőző értékből kaptuk. Egy iterációs lépésen belül, kizárólag a legutolsó lépés információját használtuk fel. Az ilyen tulajdonságú módszereket egylépéses módszereknek nevezzük. Felvetődik a kérdés, hogy elérhető-e egy nagyobb pontosság, ha a korábbi lépések xn −k , xn −k +1 , , xn −1 eredményeit is figyelembe vesszük. Ezeket a módszereket többlépéses módszernek nevezzük.
121
Az ilyen eljárások származtatása magába foglalja (7.1), (7.2) kezdetiérték feladat formális integrálását (hasonlítsa össze a Runge-Kutta módszer származtatását 7.1.6 pontban) tn +1
∫
= x (tn +1 ) x (tn −k +1 ) +
f ( x (t ),t )dt .
(7.59)
tn − k +1
Az integranduszt a tn −k +1 ,..., tn , tn +1 pontokra támaszkodó interpolációs polinom, amit a következőkben integrálunk. Ha k = 2 és h növekményű egyenközű pontokat veszünk fel, akkor megkapjuk pl. a Simpson szabályt:
4 1 1 = xn +1 − xn −1 h f ( xn +1 , tn +1 ) + f ( xn , tn ) + f ( xn −1 , tn −1 ) . 3 3 3
(7.60)
Másfelől, ha az eredeti
x (t ) = f ( x (t ), t ) t =t
n +1
(7.61)
differenciálegyenlet deriváltjára közvetlenül egy numerikus differencia összefüggésre alapozott közelítést alkalmazunk, mint pl.
x (tn +1 ) ≈
1 [3x(tn+1 ) − 4 x(tn ) + x(tn−1 )] 2h
(7.62)
a következő összefüggést kapjuk:
3 1 xn +1 − 2 xn + xn −1 = h f ( xn +1 , tn +1 ) . 2 2
(7.63)
Mindkét módszer lineáris többlépéses eljárás példái. Ez vezet el minket a következő definícióhoz. 7.4. definíció: Egy lineáris n -lépéses eljárást, amely az x ( t ) megoldásra vonatkozó xn közelítés meghatározását célozza a (7.1), (7.2) kezdetiérték feladatra, n kezdeti érték előírásával kell definiálnunk
= x (t j ) x= j 0,1,..., n − 1 , j, és a számítási szabály (differencia egyenlet)
(7.64)
122
n
n
∑α j xn− j +1 = h ∑ β j f ( xn− j +1, tn− j +1 ) ,
(7.65)
α j , β j ∈ℜ, α0 ≠ 0 és α n + β n > 0.
(7.66)
=j 0=j 0
ahol
7.3. Megjegyzések: •
A lineáris többlépéses (7.64) és (7.65) eljárásokat azért hívjuk lineárisnak, mert a növekményfüggvény lineárisan függ az f ( xn − j +1 , tn − j +1 ) függvényértékektől n
Φ ( xn −k +1 ,..., xn +1 , ti ; h ) ≡ ∑ β j f ( xn − j +1 , tn − j +1 ) .
(7.67)
j =0
•
Az α 0 ≠ 0 feltétel garantálja, hogy a (7.65) implicit differenciálegyenletre érvényes egy egzakt megoldás, legalábbis elegendően kis h növekményekre.
•
Az α n + β n > 0 feltétellel, az n lépésszám egzaktul meghatározható.
•
β 0 = 0 explicit lineáris többlépéses eljárásokra igaz.
7.5. példa: 1. Behelyettesítve α 0 = 1 és α1 = −1 -et (7.65)-be, egy implicit eljárást kapunk ( β 0 ≠ 0 ) n
xn += xn + h ∑ β j f ( xn − j +1 , tn − j +1 ) , 1
(7.68)
j =0
amelyet Adams-Moulton összefüggésnek is neveznek.
•
2. Ha úgy járunk el, mint 1. pontban, de β = 0 helyettesítéssel, a következő eljárást kapjuk n
xn += xn + h ∑ β j f ( xn − j +1 , tn − j +1 ) . 1
(7.69)
j =1
Ez az eljárás a lényege Adams-Bashford képletek osztályának.
•
3. Ha a deriváltat az időlépés végén értelmezett differencia alapján közelítjük a (7.61) differenciálegyenletben, megkapjuk az implicit integrálási eljárás kategóriáját a n
∑α x j =0
j n − j +1
= hβ 0 f ( xn +1 , tn +1 )
(7.70)
123
•
formulákkal, amelyeket BDF képleteknek nevezzük, az angol Backward Difference Formulae szavak rövidítése alapján, lásd 7.1.11 pontot. Az eljárások ezen osztálya fontos szerepet játszik az ún. stiff kezdetiérték feladatok megoldásában és a DAE-k megoldásában.
Egy kedvelt többlépéses eljárásra példa az Adams-Bashford módszer, amely a következő formulára épül:
h xn +1 = xn + ( 55 f ( xn , tn ) − 59 f ( xn −1 , tn −1 ) + 37 f ( xn −2 , tn −2 ) − 9 f ( xn −3 , tn −3 ) ) 24
(7.71)
A lokális hibára kapjuk, hogy
251 5 (5) = h x (hn ) O ( h 5 ) , ahol hn ∈ [ tn , tn +1 ] . 720
(7.72)
A gyakorlatban az explicit lineáris többlépéses módszereken túl gyakran alkalmazunk implicit eljárásokat is. Az okok a következők: •
azok gyakran pontosabbak az explicit eljárásokhoz képest,
•
jelentősen jobb stabilitási tulajdonságokkal rendelkeznek,
•
a hibabecslésre nagyon egyszerű stratégiával rendelkeznek a lépések méretének beállításához.
A nemlineáris feltételi egyenlet xn +1 megoldásához jó induló érték kiszámítása céljából, többlépéses eljárást alkalmazunk egy prediktor-korrektor módszer formájában. Egy példa az Adams-Moulton eljárás, amelyet a (7.38) prediktor és a következő korrektor határoz meg h xn +1 = xn −1 + ( 251 f ( xn+1, tn+1 ) + 646 f ( xn , tn ) − 264 f ( xn−1, tn−1 ) + 720 106 f ( xn −2 , tn −2 ) − 19 f ( xn −3 , tn −3 ) .
(7.73)
Mind a két összefüggés alkalmazható egymástól függetlenül is. Ebben az esetben az első összefüggés egy explicit módszer (a jobb oldal nem függ az xn +1 től), míg a második összefüggés egy explicit módszer (a jobb oldal függ az xn +1 -től). Az első összefüggés egy jó kezdőérték elérését célozza a második iterációs megoldási módszerhez. A második összefüggés egy implicit módszert ír le, amelyet iterációval kell megoldani. A gyakorlatban gyakran egy-két iterációs lépést alkalmazunk. A hibamódszer az Adam-Moulton eljárásra a következő:
124
−
3 6 (6) h x (hn ) = O ( h 6 ) , hn ∈ [tn , tn +1 ] . 160
(7.74)
A legtöbb esetben a prediktor-korrektor eljárás tartalmaz egy explicit módszert (prediktrort) és egy implicit módszert (a korrektort) egy olyan rendű hibával, amely legalább akkora, mint a prediktoré. Egy lehetséges hibabecslés (pl. az adaptív lépésválasztáshoz szükséges) duplanövekménnyel végzett pótlólagos számításból áll, amint azt a Runge-Kutta módszer keretin belül már leírtuk:
1 ( f h ( xn , t n ) − f 2 h ( xn , t n ) ) . 31
en ,h ≈
(7.75)
Korábban (7.71) és (7.74)-ben egy olyan problémával találkoztunk, amely többlépéses módszerek alkalmazásánál mindig előfordul: Már a számítás elkezdhetősége érdekében szükség van az x1 , x2 , x3 , x4 pontokban a megoldásokra. Ezeket a pontokat valamilyen más módszer (pl. Runge-Kutta eljárás) alkalmazásával szükséges kiszámolni. Egy további hátrány a lépésköz változás komplikált módon való számítása az integrálási eljárásban (szemben az egylépéses eljárásokkal). Egyik előnye az, hogy egy új függvény érték kiszámítása csupán a differenciálegyenlet egyszeri megoldását igényli. Ezzel szemben, hasonló hibarendnél a Runge-Kutta módszerhez alapvetően szükséges a differenciálegyenlet elemzése egy néhány pontban. Stabilitási vizsgálat többlépéses módszerekre is elvégezhető. De ez messze túlmutatna ezen tananyag keretein.
7.1.9
Lineáris többlépéses eljárás aktiválása
Mivel csak az x0 = x ( 0 ) kezdőérték adott egy kezdetiérték feladatban, további n − 1 számú elegendő pontosságú kezdetiértékre van szükség, ahhoz, hogy egy lineáris többlépéses eljárást elindítsuk. Általános szabály, hogy két alapstratégia van: 1. Egylépéses eljárást alkalmazunk automatikus lépésméret szabályozással és a t1 , , tn −1 pontokban kiszámoljuk a kezdő közelítő értékeket adott hibahatár mellett. Itt a következő probléma állhat elő: a. Az
automatikus
időlépés
választással
meghatározott
időpontok
nem
szükségszerűen egyenközűek. Ebben az esetben interpolációval szükséges az egyenközű időpontokban kiszámolni az értéketeket.
125
b. Még akkor is, ha h konstans, nem kell, hogy a növekmények pontosan megegyezzenek a lineáris többlépéses módszer pontossága által megkívántnak. •
Ezért kihasználjuk az olyan egylépéses módszer előnyét, amely hasonló konzisztencia rendű, mint a többlépéses eljárás.
2. Többlépéses eljárások egy családját alkalmazzuk növekvő konzisztencia sorrendben. Alacsonyrendű módszerrel kezdjük és fokozatosan növeljük a rendet. Amint azt az 1. pontban korábban tárgyaltuk, az időpontok lehet, hogy nem lesznek egyenközűek.
7.1.10
Differenciál egyenletrendszer
A differenciálegyenletrendszer numerikus integrálása a skalár differenciálegyenlet eljárásával analóg módon történik. Ezt a Runge-Kutta eljárás példáján keresztül mutatjuk be. Ebben az esetben a
x = f ( t , x ) ,
(7.76)
(7.76) egyenletrendszerre a számítási szabály k 1 = hf ( x n , t n ) , = k 2 hf ( x n + k 1 , tn +1 ) , x n +1 = xn +
(7.77)
1 [k1 + k 2 ] , 2
azaz a skalármennyiségeket vektorokkal helyettesítjük, vagy másképpen kifejezve, a numerikus integrációs eljárást egyenletenként alkalmazzuk.
7.1.11
BDF módszerek [11]
Az előzőekben tárgyalt többlépéses eljárások a (7.59) integrálegyenletek numerikus megoldásán alapszanak. Az BDF képletek (“Backward Difference Formulae“) osztályát a numerikus differenciálás segítségével fogjuk megalkotni. Az x ( tn +1 ) -re vonatkozó xn +1 közelítés meghatározása céljából, definiáljuk a q interpolációt a következő pontokkal
126
( tn −k +1 , xn −k +1 ) , ( t n − k + 2 , xn − k + 2 ) , (7.78)
,
( t n , xn ) , ( tn +1 , xn +1 ) .
A q (ζ ) polinomot a következő módon írhatjuk k −ς + 1 j q(ς ) = x (tn + ς h ) = ∑ ( −1) j ∇ xn +1 j =0 j
(7.79))
az időlépés végén értelmezett ∇ j +1 xn := ∇ j xn − ∇ j xn −1
∇0 xn := xn ,
(7.80)
differenciákkal. Az ismeretlen
xn + l
értéket úgy határozzuk meg, hogy a polinom kielégítse a
differenciálegyenletet = q (tn +l ) f (tn +l , xn +l ) , l ∈ {0, 1, 2, ...} ,
(7.81)
a (7.78) egyenlet egy pontjában. Ha l = 0 , akkor explicit összefüggéseket kapunk, nevezetesen, ha k = 1 az explicit Euler módszert, és ha k = 2 , akkor a középponti módszert (lásd gyakorlat). Az összefüggések instabilak, ha k = 3 . Amikor l = 1 , implicit összefüggéseket kapunk, az ún. BDF képlet k
∑α ∇ x j
j =0
j
n +1
hf n +1 , =
(7.82)
ahol az együttható
α j = ( −1) j továbbá
d −ς + 1 , dς j ς =1
(7.83)
127
−ς + 1 = ( −1) j j
1 (ς − 1) ς (ς + 1)...(ς + j − 2) , j!
(7.84)
és = aa 0,= j 0
1 ha j!
j ≥1 ,
(7.85)
így k
1
∑ j∇ x j =1
j
n +1
= hf n +1 .
(7.86)
Amikor k = 4 , pl. 25 xn +1 − 48 xn + 36 xn −1 − 16 xn −2 + 3xn −3 = 12h f n +1 .
(7.87)
Lesz. A (7.86) összefüggés stabil, ha k ≤ 6 ; amikor pedig k > 6 instabilitás lép fel.
7.1.12
Megjegyzések a stiff differenciálegyenletekre
A következő példa az irodalomban stiff elnevezésű differenciálegyenletek jellemző sajátosságának a megértését fogja segíteni. Először is nézzük meg az alábbi példát: 7.6. példa: Tekintsünk a következő differenciálegyenletre
λ1 + λ2 λ −λ λ1 − λ2 λ +λ x1 = x1 + 1 2 x2 , x2 = x1 + 1 2 x2 , 2 2 2 2
(7.88)
ahol λ1 , λ2 konstansok és λi < 0 . Ezen egyenlet egzakt általános megoldása az alábbi alakú x1 =+ c1eλ1t c2eλ2t ,
x2 =− c1eλ1t c2eλ2t .
(7.89)
Mind a két megoldás nullához konvergál midőn t → ∞ . Alkalmazva az explicit Euler módszert, megkapjuk a numerikus megoldást
128
x1n = c1 (1 + hλ1 ) + c2 (1 + hλ2 ) , i
i
x2 n = c1 (1 + hλ1 ) − c2 (1 + hλ2 ) . i
i
.
(7.90)
Ezen közelítő megoldások csak akkor konvergálnak a nullához, ha
1 + hλ1 < 1 és
1 + hλ2 < 1.
(7.91)
Itt h -t az alábbi módon kell beállítani
2 2 h < min , . λ1 λ2
(7.92)
Ezekkel az egyenletekkel leírt speciális feladatban tételezzük fel, hogy λ2 2 λ1 . Az analitikus módszer esetén az eλ2t elhanyagolhatóan kicsi, ha az eλ1t -hez hasonlítjuk. De a numerikus közelítésnél az eλ2t komponens nyílvánvalóan befolyásolja a (7.92) alatt előírt minimum megválasztását a h időlépésre. Tételezzük fel, hogy a λ1 = −1 és λ2 = −1000 , akkor h ≤ 0,005 lenne. Ha a második komponens nem létezne, akkor h ≤ 2 elegendő lenne. Tehát, habár e −1000t csak kissé befolyásolja a feladat megoldását, az 1000 -es tényező mégis meghatározó az időlépés megválasztásánál. A differenciálegyenletrendszernek ezt a tulajdonságát a numerikus megoldás során stiffnek nevezzük. Ha az adott rendszer stiff, akkor nemcsak az integrációs módszer A-stabilitását kell megvizsgálni, hanem a csillapítási tulajdonságot is. Erre a célra bevezetjük az ún. L-stabilitás fogalmát. 7.5. definíció: Differenciálegyenletek numerikus integráló módszerét L-stabilnak nevezzük, ha a módszer Astabil és továbbá fennáll még a következő feltétel:
xn → 0, ha
Re ( hλ ) → −∞ .
(7.93)
7.4. Megjegyzések: •
Minden F -stabil módszer A -stabil, de sohasem L -stabil.
•
Míg a nagy csillapítású rész numerikusan csak gyengén csillapított, amikor F -stabil módszereket használunk, addig ugyanezek a tagok numerikusan erősen csillapodnak, ha az alkalmazott módszer L -stabil.
129
Az implicit és explicit iterációs módszerek tulajdonságai közötti elvi különbséget a következőkben tárgyaljuk. 7.7. példa: Egyszerű rezgőrendszer differenciálegyenletének integrálása [10] Kezdeti kitéréssel gerjesztett, egyszerű rezgőrendszert a következő állapotegyenlettel írjuk le x1 = x2 ,
(7.94)
c d x2 = − x1 − x2 . m m
Az áttekinthetőség kedvéért legyen x := x1 , v := x2 . Így a (7.94) egyenletek az új változókkal alábbi alakban írhatók x = v, (7.95)
c d v = − x − v. m m Alkalmazva az explicit Euler módszert a (7.95)-re a következő eredményt kapjuk xk += xk + hvk , 1 vk +1 = vk − h (
c d xk + vk ). m m
(7.96)
Csillapításmentes esetben ( d = 0 ) az inga konstans amplitúdóval és frekvenciával rezeg: f0 =
ω0 , ahol ω0 = 2π
c . m
Az amplitúdó a kezdeti feltételből adódik. Adott
= m 1,= c 50,= d 0, x= ( 0) 1, v= ( 0) 0, paraméterekkel és a következő idő lépésközökkel
h = 1 ms, 5 ms, 10 ms,
130
a 7.12 ábra bemutatott eredményeket kapjuk
7.12 ábra: Egy tömegű inga integrálása az explicit Euler módszerrel. Az nyilvánvalóan látszik, hogy a rezgés amplitúdója nem marad konstans (a valósággal ellentétben), hanem nagyobb lépéshossz választásakor növekszik. Ezen tulajdonság leírása céljából, kiszámítjuk az inga teljes energiáját:
E (= x, v )
1 2 1 2 cx + mv . 2 2
Az Euler módszer megoldásának segítségével kapjuk a következő kifejezést: 1 1 cxk +12 + mvk +12 2 2 c 1 1 = c( xk + hvk ) 2 + m( vk − h xk ) 2 m 2 2 c 1 1 1 1 c2 = cxk 2 + cxk hvk + ch 2vk 2 + mvk 2 − mh xk + m 2 xk 2 m 2 2 2 2 m 2 ch 1 2 1 1 1 2 = cxk 2 + mvk 2 + cxk + mvk m 2 2 2 2
= Ek +1
ch 2 = 1 + Ek . m
(7.97)
131
(7.97) nyilvánvalóan bizonyítja, hogy a numerikus megoldás teljes energiája minden egyes lépés alatt az alábbi együtthatóval növekszik 1+
ch 2 = 1 + ( hω0 ) 2 . m
A periódusidő
1 2π = f 0 ω0
T =
és a periódusonkénti integrációs lépések száma
n=
T 2π = h hω0
alapján a periódusonkénti teljes energianövekedés tényezője az alábbi összefüggéssel számítható 2π
(1 + ( hω0 ) 2 ) n = (1 + ( hω0 ) 2 ) hω0 > 1 .
Mivel E =
1 2 cx a v = 0 -nál (visszatérési pont), az amplitúdó minden egyes rezgés során a 2 max
következő tényező szörösére változik 2π 2 hω0
(1 + ( hω0 ) )
.
Tételezzük fel, hogy ez a megfontolás alkalmazható az implict Euler módszerre is, akkor xk += xk + hvk +1 , 1
vk +1 = vk − h (
c d xk +1 + vk +1 ) . m m
Ha (7.98) egyenletet behelyettesítjük a (7.99)-ba, majd átrendezés után kapjuk, hogy
vk +1 = vk − h
c d c xk − h 2 + h vk +1 , m m m
vagy transzformációval
(7.98) (7.99)
132
d c 2 c + h vk +1 = vk − h xk 1 + h m m m és az ezt követő átalakítások után
d d 2 c 2 c c d +h +h h2 + h 1 + h h m m m m m m x vk +1 = vk − vk − d d d k 2 c 2 c 2 c h h h h h h 1 1 1 + + + + + + m m m m m m c ch + d vk − h xk + vk = 2 2 m + hd + h c m + hd + h c c d vk − h xk + h vk , = mh mh a d h= d + h c módosított csillapítással és a mh =m + h d + h 2 c =m + h d h
módosított tömeggel. Tételezzük fel, hogy az explicit Euler módszer ugyanazon paraméterei ebben az esetben is valóságosak. Így megkapjuk a 7.13 ábra vázolt eredményeket.
133
7.13 ábra: Egytömegű rezgőrendszer integrálása implicit Euler módszerrel. Nyilvánvalóan látszik, hogy a rezgés amplitúdója csökken. Az explicit módszerhez hasonlóan, elvégezve az energiára vonatkozó vizsgálatot, most a periódusonkénti energia csökkenésre a következő tényezőt kapjuk (1 + ( hω0 ) ) 2
−
2π hω0
< 1.
A teljes energia viselkedését a 7.14 ábra mutatja mind a két esetben.
134
7.14 ábra: A rezgés energiájának változása. Ez a példa az integrációs módszerek egy alapvető általános tulajdonságára mutat rá, amelyet később fogunk megtárgyalni: •
Explicit módszerek többlet gerjesztést (csak numerikusan értelmezhető) visznek a rendszerbe.
•
Implicit módszerek a rendszerben többlet csillapítást eredményeznek (numerikus értelemben).
Valójában, ezek a tulajdonságok gyakran előjönnek komplex, gyakorlati alkalmazásokban. Az A-stabil módszerek a legjobban alkalmazhatók stabil feladatok számítására (lásd a 7.1. definíciót). De korábban, mi csak az implicit Euler módszerrel és a trapézszabállyal azon belül is csak az első és második lokális konzisztencia rendűekkel foglalkoztunk mint az A -stabil rendszerek egy integrált részével. Tekintettel Dahlquist tételére, azonban nincs “jobb” módszer. 7.1. Tétel (Dahlquist): 1. Az explicit többlépéses módszerek sohasem A -stabilak. 2. Egy A -stabil implicit többlépéses módszer rendje legalább 2. 3. A trapézszabály egy másodrendű A -stabil legkisebb hiba konstansú módszer.
135
Ezért bevezetünk egy további definíciót, amely ugyan gyengíti az A -stabilitási megközelítést, de célszerűen hasznosítható lesz számos alkalmazásban. 7.6. definíció: A módszer A (α ) -stabil, ha a stabilitási tartomány magában foglalja a következő alakú szektort
{
}
A ( z ) := z ∈ C : arg ( − z ) ≤ a .
(7.100)
A módszert A -stabilnak nevezzük, ha A ( 0 ) -stabil, ahol α > 0 (lásd 7.15 ábra).
7.15 ábra: A(0)-stabilitás.
A BDF-módszerek pl. A (α ) -stabilak, α nyílás szöggel (lásd 7.2 táblázat). 7.2 táblázat: α nyílásszögek különböző k értékekre k
α α
7.1.13
1
2
3
4
5
6
90
90
86
73,3
51,8
17,8
Implicit Runge-Kutta módszerek
Összehasonlítva az explicit Runge-Kutta módszerekkel, amelyekkel a 7.1.6 pont alatt foglalkoztunk, a Γ mátrix a (7.43) alatt teljesen feltölthető. Ez azt jelenti, hogy a ki értékei a (7.42) egyenletben nem számíthatók ki sorban egymást követően, hanem minden integrációs lépésben meg kell oldanunk egy nemlineáris egyenletrendszert.
136
Péda 7.7.8: Implicit Euler módszer Az implicit Euler módszer
xn += xn + h f ( xn +1 , tn +1 ) 1 nyilvánvalóan egy egylépéses Runge-Kutta módszer. A
h xn +1 = xn + ( f ( xn , tn ) + f ( xn +1 , tn +1 ) ) 2 trapézszabály úgy tekinthető, mint egy kétlépéses implicit Runge-Kutta módszer
k1 = f ( xn , tn ) , 1 1 k2 = f xn + h k1 + k2 , tn + h , 2 2
1 1 xn +1 = xn + h k1 + k2 . 2 2 A Butcher-féle táblázat (7.43)-el összhangban az alábbiak szerint írható: Implicit Euler módszer 1 1 1
trapézszabály 0
0
0
1 0,5 0,5 0,5 0,5
Az implicit Runge-Kutta módszerek egy nagy hátránya, hogy meg kell oldani egy nemlineáris egyenletrendszert az m ⋅ N számú hi ismeretlenre ( N jelöli a megoldandó egyenletrendszer méretét). Másfelől, a további konstansok (7.43)-ben a következő célokra használhatók: •
azonos m lépés számra magasabb konzisztencia rend elérése.
•
jelentősen javítani a numerikus módszer stabilitását, amely “majdnem” A -stabil.
137
7.9. példa: A középponti módszer A középponti módszer
h h k1 =f xn + hk1 , tn + , 2 2
1 1 xn +1 = xn + h k1 + k2 , 2 2 nyilvánvalóan egylépéses módszer, amelynek a konzisztencia rendje 2. A tantárgy keretein belül nem fogunk részletesen foglalkozni az implicit Runge-Kutta módszerek megkonstruálásával és alkalmazásával. Részletes ismereteket közöl pl. Jumann, M. (2004).
7.1.14
Kezdetiérték feladatok numerikus megoldási módszerereinek összehasonlítása
A leírt módszereket a következő három osztályba lehet sorolni •
Euler módszer,
•
Runge-Kutta módszer,
•
Többlépéses módszerek,
•
BDF módszer
Továbbá, vannak még más osztályok is (pl. extrapolációs technika), amelyet ebben a tananyagban nem tárgyalunk. Runge-Kutta módszerek és többlépéses eljárások lehetővé teszik a hibák becslését és a lépésnövekmény szabályozását. Továbbá, a többlépéses eljárások nyitva állnak a módszer rendjének variálására. A kereskedelemi forgalomban programokat, könyvtárakat (pl. IMSL, NAG) kínálnak, minden feladatosztályra kifinomult számítógépes programok állnak rendelkezésre. Ezen kívül vannak olyan programok, közzétett forráskódok, amelyek szabadon hozzáférhetők [12]. Ezen alkalmazások előnyei és hátrányai: A differenciálegyenlet megoldásának tekintetében, a többlépcsős eljárás igényli a legkisebb erőfeszítéseket. Az explicit többlépéses eljárás integrációs lépésenként az ún. jobb oldalnak gyakran csak egyetlen kiszámítását teszi szükségessé. Az implicit módszerek, másrészt
138
további megfelelő kiszámításokat követelnek meg, amelyek az ún. "kevés" iterációhoz szükségesek. Ezen kívül további erőfeszítés szükséges a többlépéses eljárás lépésközének megválasztásához. Többlépcsős eljárások viszonylag nagy erőfeszítéseket foglalnak magukba a számítási igény miatt. Összefoglalva, azaz előny, ami egy komplex szerkezetű differenciálegyenlet megoldásakor az egyes módszerekhez köthetők, a viszonylag magas számítási ráfordítás erőfeszítési többletnek köszönhető. Az alacsonyabb rendű Runge-Kutta módszerek bizonyulnak előnyösebbnek azokban az esetekben, ahol egyszerű szerkezetűek a differenciálegyenletek, vagy diszkontinuitás lép fel a jobb oldalon. Másrészt, bonyolúlt differenciálegyenletek esetén sokkal kedvezőtlenebbé válnak. Továbbá a Runge-Kutta módszerek lehetővé teszik a nagyon egyszerű lépésnövekmény szabályozását. Az elmúlt években, az Euler módszer egyfajta reneszánszon ment keresztül a valós idejű alkalmazások terén. Mindazonáltal, az explicit Euler módszernek a potenciálisan negatív stabilitási jellemzőit figyelembe kell venni. Ezért Euler módszer ajánlható stabilitási problémák esetén, amelyek nehézségeket is okozhatnak a valós idejű alkalmazásokban a szükséges iterációk miatt. Továbbá az Euler módszerek nagyon rövid integrációs lépéseket igényelnek, mert alacsony a konzisztencia rendjük.
139
8
Nemfolytonos rendszerek integrálása, DAE
8.1
Nem folytonos rendszerek integrálása
Az integrációs módszerek adaptív lépésválasztása nem folytonos differenciál-egyenletekre hibásan működik. Ezen kívül a definit megoldás egzisztenciája szintén nem garantált. A nem folytonos differenciál egyenletek fizikai okai a következők pl. •
Ütközés: sebességi szakadás.
•
Coulomb súrlódás: a súrlódó erő előjelváltása.
•
Tapadás-csúszás-átmenet: az állapotegyenlet dimenziójának megváltozása.
Ebben az esetben gyakran módosíthatjuk a fizikai folyamat modelljét. Példa a fúrókalapács: Az ütődugattyú és a szerszám ütközésének modellezése a közéjük helyezett rendkívül merev rugó és csillapítás kombinációjával. Egy jobb megoldás az lehet, ha egzaktul sikerül megállapítani azt a t ∗ időpontot, ahol folytonosság éppen megszakad, és leállítani az integrációt pontosan ebben a pontban. Ezt követően
az
integráció
újraindul
pontosan
ezen
a
ponton,
a
megváltozott
differenciálegyenlettel. 8.1. példa: Pattogó labda
8.1 ábra: Pattogó labda. A nem folytonosság jelensége a z = 0 -nál lép fel. Itt megfigyelhetünk egy részlegesen rugalmas ütközést az ε ütközési tényezővel, azaz azt kapjuk, hogy z= (tε+ ) z= (tε− ) 0, z (tε+ ) = −ε z (tε− ).
140
8.2 ábra: Pattogó Labda (szimulációs eredmény). ⇒1. feladatlap: A fúrókalapács egyszerű szimulációs modellje
8.2
Differenciál algebrai egyenletek (DAE)
Különösen a mechatronikai rendszerek vagy azok a rendszerek, amelyek a különböző tudományágakból származó komponenseket tartalmaznak, implicit alakú rendszer egyenleteken alapulnak, (lás 3.1 pont)
F( x, x , t ) = 0 .
(8.1)
Ha a (8.1) egyértelműen megoldható x -re, akkor visszaállíthatjuk a következő egyenletet
x = f ( x, t ) és az előző pontokban bemutatott módszereket, ismét alkalmazhatjuk. Ám ez a legtöbb esetben lehetetlen és (8.1)-öt az adott alakban kell megoldani. Ez a tananyag most arra az esetre koncentrál, amikor a (8.1) megoldható úgy, hogy x d = f ( x d , x a , t ), 0 = g( x d , x a , t ).
(8.2)
141
A DAE ezen speciális alakját szemi-explicit alaknak nevezzük. Ebben a felírásban az x d = f ( x d , x a , t )
(8.3)
egy differenciálegyenlet-rendszer, míg a 0 = g(x d , x a , t )
(8.4)
egy tisztán algebrai egyenletrendszer. Ha (8.4) explicite megoldható x a -ra, akkor x a eliminálható (8.3)-ből, és behelyettesíthető (8.4)-ba, amely végül egy egyszerű differenciálegyenlet-rendszerre vezet. Általában azonban nem erről az esetről van szó. Néha az is előfordulhat, hogy x a nincs is jelen a (8.4) -ben. Ilyenkor a DAE-t más módon kell megoldani. Ebből a célból, mindenek előtt definiáljuk a DAE indexét. 8.1. definíció: A DAE i differenciálási indexe a 0 = g( x d , x a , t ) egyenlet differenciálásának minimális száma, azért, hogy (8.3) és (8.4) egyenleteket megfelelő differenciálegyenlet rendszerré alakítsuk. Index értéke 1: Ebben az esetben definíció szerint egy differenciálás elegendő, hogy (8.3) és (8.4)-at ODE-vá alakítsuk: x d = f ( x d , x a , t ) ,
(8.5)
0 = g(x d , x a ) .
(8.6)
A (8.6) időszerinti differenciálásával kapjuk, hogy:
∂g ∂g x a + x d = 0. ∂x a ∂x d
(8.7)
Behelyettesítve (8.5)-öt (8.7)-ba, az egyenletet rendezzük x a -ra: −1
∂g ∂g x a = f (x d , x a , t ) . ∂x a ∂x d
(8.8)
142
Jegyezzük meg, hogy az 1 indexű rendszer kezelhetőségének garantálása érdekében nem szabad, hogy a
∂g szinguláris legyen. ∂x a
Index értéke 2: Ebben az esetben g nem függ az x a tól, vagy legalább a
∂g ∂x a mátrix rangcsökkenése 1 . Vizsgáljuk meg a következő rendszert x d = f ( x d , x a , t ),
(8.9)
0 = g( x d ). Feltételezzük, hogy g nem függ x a -tól, akkor idő szerint differenciálva
= 0
∂g ∂g = x d f (x d , x a , t ) , ∂x d ∂x d
(8.10)
ahol f = f ( x d , x a , t ) , amelyet idő szerint tovább differenciálva kapjuk ∂ 2g ∂g 0 =2 f 2 + ∂x d ∂x d
∂f ∂f f+ x a . ∂x a ∂x d
(8.11)
Ha létezik a ∂g ∂f ∂x , ∂x a d
(8.12)
inverze, akkor (8.11) megoldható x a -ra és a következőt kapjuk −1
∂g ∂f ∂ 2g 2 ∂g ∂f , = x a 2 f + ∂x ∂x f . d d ∂x d ∂x a ∂x d
(8.13)
143
Index értéke 3: Analóg a 2-es indexűvel, ugyan azt a (8.13) egyenletet kapjuk időszerinti kétszeres deriválás után. További differenciálással kapjuk ∂ 3g 3 ∂ 2g ∂f ∂f ∂ 2g ∂g 0= f + 2 f f + + 2 f + 3 2 ∂x d ∂x d ∂x d ∂x a ∂x d ∂x d
2 ∂ 2f ∂f 2 2 f + f + ... ∂x d ∂x d
(8.14)
Ebben az esetben egy egyenletrendszer adódik az alábbi formában x d f ( x d , x a , t ) = x = , x a h( x d , x a )
(8.15)
ahol a h függvény a rendszer indexétől függ. A mechatronikában előforduló feladatok normális esetben 3-as indexüek. Számos esetben, sokkal hatékonyabb a DAE közvetlen megoldása ahelyett, hogy ODE-vá alakítanánk. Ez különösen igaz az 1-es indexű DAE feladatokra. Ezért számos szimulációs feladatban az indexet 1-re redukáljuk, és azt követően megoldjuk a DAE-t. A legtöbb estben vagy az implicit Runge-Kutta vagy a BDF módszert alkalmazzuk a DAE-k megoldására. Először a DAE megoldását a BDF segítségével mutatjuk be. Közönséges differenciálegyenletek megoldását a (7.86) egyenlet x n+1 -re való megoldásával állítjuk elő. Ebből a célból az utolsó j számú x n− j pont és az x n+1 is szükséges, ahol az x pont könnyen meghatározható f kiszámításával. A DAE-ek esetében, x meghatározása f kiszámításával már nem tehető meg. Helyette a (8.1) egyenletet használjuk. Mivel a (8.1) általában nem oldható meg x -ra, ezért x kiszámításához minden alkalommal meg kell oldanunk egy nemlineáris egyenletrendszert. Ezen felül, még egy nemlineáris egyenletrendszert kell megoldani az implicit számítási szabály miatt. Mindazonáltal, ezt az óriási számítási ráfordítást elkerülhetjük a (7.86) egyenlet x n+1 -re való megoldásával és az eredmény (8.1)-be való helyettesítésével. Ekkor, csupán az alábbi k 1 0 F x n+1 , ∑ ∇ j x n+1 , t = j =0 jh
(8.16)
144
nemlineáris egyenletrendszert kell megoldani az x n+1 -re. Ezért csak az x állapotvektor n méretű nemlineáris differenciálegyenletének a megoldására van szükségünk az integrálási szabály modellegyenletbe való behelyettesítésével. A DAE-k megoldására gyakran alkalmazott módszer a DASSL. Ez a módszer az 1-5-öd rendű BDF összefüggéseket használja, adaptív lépésválasztással. A DASSL nagyon jól illeszkedik a stiff DAE-k megoldására, és ezért biztosan alkalmas a nem stiff feladatok megoldására is. Ebben az esetben azonban, a DASSL viszonylag kevésbé hatékony a BDF-k rossz hibaegyütthatóinak köszönhetően. Ha egy feladat nem stiff, akkor hatékonyabb az implicit Runge-Kutta módszer használata. A legnépszerűbb implicit Runge-Kutta módszer az ODE-k és DAE-k megoldására a Radau-féle ötöd rendű módszer. Ennek a módszernek a Butcher táblázata is adott 4− 6 10 4+ 6 10
88 − 7 6 360 296 + 169 6 1800 16 − 6 36
296 − 169 6 1800 88 + 7 6 360 16 + 6 36
−2 + 3 6 225 −2 − 3 6 225 1 9
16 − 6 36
16 + 6 36
1 9
A DAE-k megoldása implicit Runge-Kutta módszerek segítségével emlékeztet az ODE-ek megoldási módjára. Csupán a lépések kerülnek a DAE segítségével kiszámításra 3 F x k + ∑ai ,l k i , k i , t = 0, i= 1, 2,3 , l =1
(8.17)
ahol ai ,l a Bucher séma elemei. Következésképpen, ötöd rendű Radau módszer használatakor egy 3n méretű nemlineáris differenciálegyenlet megoldására van szükség. Így egy integrációs lépésnek a számítási igénye kissé nagyobb, mint a DASSL-é. Azonban, a Radau-féle módszer hiba konstansa kisebb, mint a BDF módszerek hiba konstansai, ezért a Radau-féle módszer nagyobb integrációs lépést tesz lehetővé. Ezen felül, a Runge-Kutta módszerek sokkal könnyebben indíthatók a fent leírtaknak megfelelően. Megjegyezzük, hogy az x -re vonatkozó kezdeti értékeken túl az x -re is meg kell adni a kezdeti értékeket a DASSL és Radau-féle módszer alkalmazásához. Ezek a kezdeti értékek, kell, hogy légítsék a (8.1) egyenletet, és ekkor ezeket konzisztenseknek nevezzük. A
145
konzisztens kezdeti értékek meghatározása szoros kapcsolatban van az index redukcióval, de ezt nem tárgyaljuk ebben a tananyagban.
146
9
Nemlineáris rendszeregyenletek numerikus megoldása
9.1
Nemlineáris egyenletek
A nemlineáris egyenletrendszerek megoldásának az igénye gyakran előfordul a mechatronikai rendszerekben, pl. •
az egyensúlyi helyzetek meghatározására,
•
a kinematikai kapcsolatok megoldására,
•
a rendszer paraméterek becsléséhez.
Egy nemlineáris egyenletrendszert vizsgálunk meg a megfelelő megoldási módszer megtárgyalására
f1 ( x1 ,..., xn ) . f ( x) = = . 0. . f n ( x1 ,..., xn )
(9.1)
9.1. definíció: Egy nemlineáris egyenletrendszer megoldása egy x vektor, amely egzaktul kielégíti a (9.1) egyenletet; x az f gyöke (zéró pontja is). 9.1. példa:
= n 1,= f ( x ) sin x 2 .
A nemlineáris egyenletrendszerek megoldása sokszor okoz problémákat a gyakorlatban. Az okok a következők:
147
•
általában nincs analitikus megoldás, azaz, numerikus közelítésre (iterációra) van szükség,
•
a közelítő eljárás konvergenciája általában nem garantálható,
•
általában nem létezik olyan módszer, amelyik minden gyököt meghatározna.
9.2. példa: Síkbeli négycsuklós mechanizmus, 9.1 ábra
9.1 ábra: Síkbeli négycsuklós mechanizmus. Egy adott mérési sorozattal, a β 2 szöget a β1 szög függvényében ki kell számolni. A hurok záródási (zárt hurok) feltétele:
f ( β1 , β 2 ) = ( l + s − r ) − d 2 = 0 , 2
ahol l = 0 , l = r 0
r cos β1 r sin β= s 1 , 0
s cos β 2 s sin β , 2 0
amelyek behelyettesítése után kapjuk
f ( β1 , β 2 )= 2 s(l − r cos β1 ) cos β 2 + ( −2r sin β1 )sin β 2 + (l 2 + s 2 + r 2 − d 2 − 2lr cos β1 )= 0 (((( (( (((((((((( A
B
Ebben az esetben létezik analitikus (de nem egyedüli) megoldás
cos β 2
(k )
sin β 2 ( k )
− AC − ( −1) k B D = A2 + B 2 k = 1, 2 , − BC − ( −1) k A D = A2 + B 2
C
148
ahol D = A2 + B 2 − C 2 . Több eset létezik (lásd 9.2 ábra).
9.2 ábra: A négy csuklós mechanizmus megoldásai. 9.3. példa: Öt lengőkaros kerékfelfüggesztés, 9.3 ábra
9.3 ábra: Öt lengőkaros kerékfelfüggesztés. A fenti 9.3 ábra egy öt lengőkaros kerékfelfüggesztést illusztrál, amely egy szabadságfokú, és ezt a rugó cz lehajlásával írjuk le.
149
Ki kell még számolnunk a kerék tengelycsonk maradék cx és c y koordinátáit a kocsihoz rögzített koordinátarendszerben, valamint a kerék tengelycsonk ψ , θ , ϕ Bryant szögeit. A geometria meghatározásához, bevezetjük a c vektort a járműhöz kötött {OF , xF , y F , z F } koordinátarendszer origójában, amely a következő koordinátákkal rendelkezik cx c = c y . cz
(9.2)
További pi , i = 1, ,5
(9.3)
rFi , i = 1, ,5
(9.4)
és
vektorai rendre adottak, a kerék tengelycsonk nyúlványok és a lengőkaroknak a járműhöz rögzített csukló helyeire vonatkozó konstrukciós adatai alapján (lásd 9.4 ábra). Feltételezve, hogy a lengőkarok azonos hosszúságúak, a következő 5 kényszeregyenletet kapjuk: l i2 ( cx , c y , cz ,y , θ , ϕ ) − li2 = ( c + pi − rFi ) − li2 = 0 2
i = 1, ,5
(9.5)
Ez az öt egyenletünk van a cx , c y , cz ,y , θ and ϕ ismeretlenekre. Mátrixos alakban a következő egyenletet kapjuk
cx pix rFix c + F T (y , θ , φ ) p − r li = R y iy Fiy piz rFiz cz const
(9.6)
const
A (9.5) egyenletrendszer a (9.6)-al együtt analitikusan nem oldható meg. Helyette, egy numerikus módszert kell alkalmazni.
150
9.4 ábra: Az ötpontos kerékfelfüggesztés vektorai.
9.5 ábra: Az ötpontos valós kerékfelfüggesztés kerékközéppontjának trajektóriája. ⇒ 7. feladatlap: Egy ötlengőkaros hátsó kerékfelfüggesztés kinematikája
9.2
Megoldás numerikus integrálás
Ezt a módszert alkalomszerűen alkalmazzuk a gyakorlatban, ha az
f (x) = 0
(9.7)
151
nemlineáris egyenletrendszer megadja az
x = f ( x )
(9.8)
dinamikai rendszer x= x= 0 nyugalmi helyzetét, és ez a nyugalmi helyzet aszimptotikusan 0 0 stabil. Kiindulva az x s kezdeti értékből, addig folytatjuk a numerikus integrálást, amíg x ( t ) ingadozása a tolerancia határon belül marad. Nagy előnye ennek a módszernek az egyszerűség, ami azon tényből következik, hogy csak az állapotegyenlet integrálására van szükség, amelyet minden esetre be kell programozni. A hátrányok a következők: •
a megoldásnak aszimptotikusan stabil nyugalmi helyzetben kell lennie; instabil nyugalmi pontok nem határozhatók meg,
•
néha a konvergencia nagyon lassú (“kúszás” a nyugalmi pontba),
•
a kezdeti sebesség a nyugalmi helyzet közelében kell legyen.
9.3
Fixpont iteráció
A nemlineáris egyenlet ismét az ismert formában adott
f (x) = 0 .
(9.9)
(9.9)-et “mesterségesen” fogjuk fixpont egyenletté átalakítani, az egyenlet mindkét oldalához hozzáadva x -et
x = f ( x ) + x → x = g(x ) ((
(9.10)
g(x)
Most iterációval meg próbáljuk megoldani a (9.10) egyenletet x(
0)
kezdő érték
( )) x( ) = g ( x( ) ) x( ) = g x( 1
0
2
1
(
x( ) = g x( n
n−1)
(9.11)
)
152
Az iterációt addig folytatjuk, amíg a következő feltétel nem teljesül x ( n ) − x ( n −1) ≤ ε
(9.12)
az ε > 0 adott pontossági határra. Az iteráció csak akkor konvergál egy x ∗ fix ponthoz, ha az x ( ) kezdetiérték elegendően közel 0
van az x ∗ -hoz, és a Jakobi mátrix minden sajátértéke ∂g ∂x x*
vagy
∂f +E ∂x x*
hozzá rendelhető a komplex számsíkon egy egységnyi sugarú körhöz.
9.6 ábra: Konvergens fixpont iteráció; gradiens a fixpontban.
(9.13)
153
9.7 ábra: Divergens fixpont iteráció
9.4
Newton-Raphson iteráció
A Newton-Raphson iteráció széles körben elterjedt módszer. Az alapelv az f ( x ) a megfelelő kezdeti pontnál végzett linearizálásán és a linearizált függvény gyökének számításán alapszik. Az alapelv nagyon érzékeny egydimenziós esetben:
f ( x) = 0 1. Az x (0) kezdőérték meghatározása. 2. Az f ( x ) függvény x (1) gyökének, amelyet az x (0) pontnál linearizálunk
f ( x (0) + ∆x (0) ) ≈ f ( x (0) ) +
∂f ∂x
∆x (0) =0 x
(0)
−1
∂f (0) ⇒ ∆x (0) = − f (x ) (0) x ∂ x (1) (0) ⇒ ∆x= x + ∆x (0) . 3. A konvergencia feltétel ellenőrzése
( )) ≤ ε ,
f x(
k
154
(
ha f x (
k +1)
) > f ( x( ) ) . k +1
(
A ∆x ( k ) felezése addig, míg f x (
k +1)
) < f ( x( ) ) nem áll fenn k
9.8 ábra: Newton-Raphson iterációs lépések. A kiterjesztés n -dimenziós esetre nyilvánvaló 1. Az x ( ) kezdőérték meghatározása. 0
2. Az f ( x ) függvény x ( ) gyökének számítása, amelyet az x ( ) -nál linearizálunk: 1
0
f ( x (0) + ∆x (0) ) ≈ f ( x (0) ) +
•
∂f ∂x x( 0 )
∂f ∂x
ahol a derivált ∂f1 ∂x 1 : = : ∂f n ∂x 1
és a megoldás
.
.
.
.
∂f1 ∂xn : : ∂f n ∂xn
∆x (0) =0 , x
(0)
155 −1
⇒ ∆x
(0)
∂f = − f ( x (0) ) ⇒ x (1) = x (0) + ∆x (0) . ∂x x( 0 )
3. A megszakítási feltétel ellenőrzése
( )) ≤ ε
f x(
k
(
ahol f x (
k +1)
pl. f ( x ) =
(f
2 1
12
(Euklideszi norma)
) > f ( x( ) ) . k
(
A ∆x ( ) felezése addig, amíg f x ( k
•
+ + f n2 )
k +1)
) < f ( x( ) ) k
nem áll fenn.
A Newton-Raphson iteráció pontosan az x ∗ gyökhöz konvergál, ha az x ( ) érték 0
elegendően közel van x ∗ -hoz és az n × n Jacobi mátrix •
∂f ∂x x*
•
nem szinguláris.
156
10 Identifikáció és optimalizálás, stabilitás A dinamikai rendszerek modellezésének és szimulációjának fontos kérdése az identifikáció (azonosítás), vagy legalább a modellparaméterek becslése. Képzeljünk el egy rendszert egy kimeneti-, egy bemeneti vektorral és a jellemző paraméterek vektorával.
10.1 ábra: Paraméterek által meghatározott rendszer.
paraméter vektor output vektor input vektor p1 y1 p y 2 p 2 = y (t ) = u = pm yn
u1 u . 2 ul
Példák paraméterekre: •
rugó merevsége,
•
aerodinamikai ellenállási tényező,
•
tömegek, tehetetlenségi nyomaték,
•
amplitúdó intervallum,
•
csillapítási és súrlódási konstansok, stb.
A paraméter identifikáció a p paraméterek meghatározását (azonosítását) célozza oly módon, hogy a modell y (t ) megoldása jó megegyezést mutasson a mért ySoll (t ) megoldással, azaz !
y (t ) − ySoll (t ) = min .
(10.1)
Feltételezzük, hogy legalább a modell szerkezete a priori legyen ismert, vagy legalábbis előre meghatározott. Általában, ha a megfelelő modellt először méréssel hozzuk létre, akkor azt modell identifikációnak nevezzük.
157
10.1. példa: 1. Lineáris rendszerekben: Az átviteli függvények meghatározása mérésekre alapozva történik: an x ( n ) + + a1 x + a0 = b0 + b1u , (((((((((( ↓ L{}
(10.2)
b0 + b1s + G( s) = . a0 + a1s + + an s n
2. Nemlineáris rendszerekben: “Akvizíciós (tanulási)” neurális hálózatokat alkalmaznak. •
Itt: A modell alapszerkezetének elképzelése adott (vagy feltételezett).
•
Keressük: a modell paramétereknek a valóságra vonatkozó legjobb közelítését.
10.1 Lineáris kompenzációs feladat Ez a pont a paraméter identifikáció lineáris közelítését dolgozza fel. A kezdeti vektort és az
y ( p, t ) megoldást mindenekelőtt Taylor-sorba fejtjük a p0 vektor körül ∂y 2 y ( p, t ) =y ( p0 + Δp, t ) =y ( p0 , t ) + Δp + O ( Δp ) , ∂p p = p0 a0 ( t ) ((
(10.3)
ismeretlen
ahol p0 -lal az első becsült értékeket jelöltük. A linearizáláskor a másod és harmad vagy magasabb rendű tagokat el lehet hanyagolni, és az alábbi első közelítést kapjuk y1 (t ) ≈ a10 (t ) + a11 (t ) ∆ p1 + + a1m (t ) ∆ pm , y2 (t ) ≈ a20 (t ) + a21 (t ) ∆p1 + + a2 m (t ) ∆pm , yn (t ) ≈ an 0 (t ) + an1 (t ) ∆p1 + + anm (t ) ∆ pm ,
(10.4)
aij ( t ) , i 1,= , n, j 0, , m időfüggő együtthatók. ahol = Az aij együtthatók meghatározása érdekében, először bevezetjük a paraméter variációját
= ∆p( j ) [0,= , ej , ,0]T , j 1, , m . j-edi paraméter variációja
(10.5)
158 j Végül a szimulációt az új p0 + ∆p( ) paraméterekkel hajtjuk végre. Az új y ( j ) kimenő vektor
y1( j ) (= t ) a10 + a1 j ε j , y 2 ( j ) (= t ) a20 + a2 j ε j ,
(10.6)
y n ( j ) (= t ) an 0 + anj ε j .
Az y ( j ) (t ) − a0 (t ) -ból megkapjuk y1 (t ) − a10 = a1 j ε j , ( j)
y 2 (t ) − a20 = a2 j ε j , ( j)
(10.7)
y n (t ) − an 0 = anj ε j . ( j)
Így az A mátrix j -dik oszlopa kifejezhető a1 j a y ( j ) (t ) - a0 (t ) 2j [a j ] = , = εj anj ↑ a mátix j -dik oszlopa
(10.8)
azaz a11 (t ) a1 j (t ) a1m (t ) A (t) = . an1 (t ) anj (t ) anm (t )
(10.9)
Az A (t) mátrixot szokás a ∆p paraméterek érzékenységi mátrixának nevezni. Ezzel felírhatjuk y ( t ) -re a következő összefüggést
y (t ) = a 0 + A ( t ) ∆p .
(10.10)
A p vektor meghatározására méréseket végzünk különböző időpontokban t1 , , tk .
(10.11)
159
Innen megkapjuk a kimenő vektor referencia (cél) értékeket tekintettel a kiválasztott ti mérési pontokra = y (céli ) y= i 1, , k . mért ( ti )
(10.12)
A p vektort úgy kell megválasztani, hogy az (10.13)
y (céli ) = a0 (ti ) + A (ti ) ∆p a0
(i )
A
(i )
egyenletrendszerek ugyanakkor kielégüljenek. Összefoglalva A (1) (2) A ; = A = b (k ) A
(1) y (1) Soll − a 0 (2) (2) y Soll − a0 ; (k ) (k ) y Soll − a0
(10.14)
10.2 ábra: Célrendszer. Az A és b sorainak száma k ⋅ n , ahol k a mérések száma, n a kimenetek száma.
A k ⋅ n > m feltétellel egy túlhatározott egyenletrendszert kapunk, amely nem oldható meg közvetlenül és pontosan. A legjobb megoldás céljából, a pszeudó-inverz mátrix koncepcióját alkalmazzuk, azaz, p -t úgy választjuk meg, hogy !
A ∆p − b 2 = min ,
(10.15)
azaz
( A ∆p − b ) T ( A ∆p − b ) .
(10.16)
160
Mivel
f ( x ) = min , az is igaz, hogy f ( x ) = min , így a feladat következővel egyenértékű !
F ( ∆p)= ( A ∆p − b)T ( A ∆p − b)= min .
(10.17)
Minimalizálva F ( ∆p) -et ∆p szerint, következőt kapjuk ∂F =0 ∂ ∆p ⇒ F =∆pT A T A ∆p − ∆pT A T b − bT A ∆p + bT b =∆pT A T A ∆p − 2bT A ∆p + bT b (( bT A ∆p
∂F ⇒= ∂ ∆p
∑A
T
T A ∆p − ∑ ( b= A )T 0
T ⇒ A A ∆p = AT b m×m − matrix
vadratius → invertálható ⇒ ∆p = ( A T A ) −1 A T b. (( = A + ... ps zeudóinverz
10.3 ábra: A pszeudóinverz geometriai illusztrációja.
10.2 Nemlineáris paraméterfüggés 1. Dolgozzon ki egy szimulátor modellt (lásd 10.4 ábra)
10.4 ábra: Szimulátor modell
(10.18)
161
2. Olvassa be a megoldás minden yi ( t ) komponensét egy adott időpontra (lásd 10.5 ábra) ⇒ Adja össze az értékeket y j (i )
← i − dik időpoint
↑ y vektor j − dik komponense.
(10.19)
3. Építse fel a FCN ( p ) függvényt •
Folytasson le egy szimulációt FCN ( p ) -re az 1-es modellel, adott p paraméterekre. Diszkretizálja a megoldást a 2-es beolvasás szerint, és állítsa elő a következő értéket:
= FCN
k
n
y −(y ) ) ∑∑ ((( ((((
=j 1 =i 1
( j) i
( j) 2 i mérés
(10.20)
négyzetes hibamodell mérés
10.5 ábra: Az y(t) beolvasása 4. Vigye be az FCN ( p ) -t egy optimalizáló módszerbe az alábbi feladattal: •
Optimalizálja az FCN ( p ) célfüggvényt a másodlagos feltételek mellett
pi ,min ≤ pi ≤ pi ,max
• •
1,..., m i=
(10.21)
⇒ Nemlineáris feladat egyoldalú másodlagos feltételek mellett,
ahol FCN ( p ) a költségfüggvény, p a modellparaméterek vektora.
Az optimális paraméterek megkeresése érdekében, számos módszert alkalmazhatunk. Ezek különböző stratégiákra épülnek, amelyek minden esetben a jobb paramétereket választják. A teljes szimulációs folyamat számítási igénye arányos az iteráció számával. Ezért van annak nagyon nagy jelentősége, hogy milyen minőségű módszereket alkalmazunk.
162
Az optimalizáló módszerek a következő fontos kategóriáit különböztetjük meg: •
Newton-féle módszerek és variációi: Ezek a módszerek a célfüggvény első deriváltjának a gyökét választják a Newton módszerek segítségével.
•
Gradiens módszerek: Ezek a módszerek a legmeredekebb lejtő menti irányt (gradiens irány) választják a jobb paraméterek p vektorának meghatározására.
•
Genetikus algoritmus: Ezek a módszerek a jobb paraméter értékeket a mutáció és a szelekció biológiai optimalizálási elveinek segítségével matematikai algoritmusokra alapozva választják.
10.3 Dinamikai rendszerek stabilitása Szakkifejezések és meghatározások Az egyensúlyi megoldások ismerete nem elegendő ahhoz, hogy jellemezzük a dinamikai rendszerek viselkedését. A megoldások viselkedéséről további információkra van szükség az egyensúlyi megoldások közelében. A következőkben az alábbiakkal foglalkozunk •
az egyensúlyi helyzet stabilitása x = 0 ,
•
a mozgások stabilitása = x x= 0. S
Annak érdekében, hogy a stabilitási fogalomnak egy pontosabb definíciójához jussunk, mindenekelőtt egy egyértelmű mérték kell a valóságos megoldási trajektória és a cél állapot közötti különbség mérésére. Ebben az összefüggésben, a norma definíciója kerül bevezetésre. 10.1. definíció: Egy norma az x állapotmennyiségek .
mértéke, amely következő tulajdonságokkal
rendelkezik:
x = 0 ⇔ x= 0,
(10.22)
pozitív definitség
x > 0 ⇔ x ≠ 0, homogenitás
(10.23)
163
λx = λ x ,
(10.24)
háromszög egyenlőtlenség
x+y ≤ x + y ,
(10.25)
stb. Példák normákra: euklideszi norma = ∑ xi 2
= xE
xT x
(10.26)
súlyozott euklideszi norma x
R
= x T Rx
(10.27)
aritmetikai norma
x a = ∑ xi
(10.28)
maximum norma x
m
= max xi i =1,,n
(10.29)
10.2. definíció: Az x = f ( t , x ) állapotegyenlet x 0 ( t ) gerjesztetlen megoldását stabilnak nevezzük, ha minden
ε > 0 -hoz, létezik egy δ = δ (ε ) , amely általában ε függvénye, úgy, hogy minden x ( t ) megoldásra
x 0 ( 0) − x ( 0) < δ (ε )
(10.30)
minden t > 0 esetén, a következő feltétel teljesül
x0 (t ) − x (t ) < ε .
(10.31)
164
10.3. definíció: x S -et állandósult megoldásnak, vagy egyensúlyi helyzetnek nevezzük, ha f ( t , x S ) = 0 . Az állandósult megoldás stabilitását a tetszőleges megoldás stabilitásával összefüggésben definiáljuk. A megoldás egyébként aszimptotikusan stabil, ha emellett létezik egy δ > 0 úgy, hogy
lim x ( t ) = x S , t →∞
(10.32)
igaz minden megoldásra a következő feltétellel
x ( 0) − xS < δ .
(10.33)
10.4 Lineáris rendszerek stabilitási kritériumai Lineáris rendszerekre érvényesek a következő állítások (Ljapunov tételei): 10.1. tétel: A lineáris időinvariáns rendszer x ( t ) = 0 egyensúlyi állapota
= x ( t ) Ax = (t ) , x ( t 0 ) x0 . •
(10.34)
aszimptotikusan stabil, ha az A mátrix minden λi sajátértéke negatív valós résszel rendelkezik Re ( λi ) < 0 ,
•
instabil, ha A legalább egyik sajátértéke pozitív valós résszel rendelkezik.
A sajátértékek segítségével történő stabilitási kiértékeléshez szükség van a sajátértékek kiszámítására, amely meglehetősen komplikált lehet. Sajátértékek származhatnak pl. az A mátrix karakterisztikus egyenletéből:
p ( λ )= det ( λ E − A )= a0λ n + a1λ n −1 + + an −1λ + an= 0
(10.35)
Ez többnyire csak numerikusan hajtható végre. A paraméterek megváltozásának hatása lehet a rendszer stabilitására, így előnyös lehet egy olyan módszer, mely analitikusan képes a stabilitás létét vizsgálni. Így érdekes lehet olyan módszerek keresése, amelyek lehetővé teszik következtetések levonását magából a szerkezetből, vagy még pontosabban a megoldás stabilitására a karakterisztikus egyenletek együtthatóiból.
165
10.4.1
Stodola-féle stabilitási kritériumok
10.2. tétel: A következő feltételek szükségesek ahhoz, hogy a (10.35) karakterisztikus polinom megoldásai kizárólag negatív valós részekkel rendelkezzenek. ai > 0,
(10.36)
0,1,> , nai i=
Ezért, az általánosság csorbítása nélkül igaz, hogy a0 = 1 . Megfordítva, ez a tétel azt állítja, hogy a rendszer biztosan nem aszimptotikusan stabil, ha előfordul egy előjelváltozás a karakterisztikus egyenletben. Ez a kritérium nem elegendő, ha n = 2 , azaz a kvadratikus egyenlet megoldását vizsgáljuk: (Kvadratikus egyenlet)
λ 2 + a1λ + a2 = 0
(10.37)
(Megoldás)
1 λ1,2 = − a1 ± a12 − 4a2 2
(10.38)
A magasabb rendű (10.36) rendszer stabilitásának csak egyetlen szükséges feltétele van. 10.2. példa:
p ( λ ) = λ 3 + 8λ 2 + 81λ + 1010 =
10.4.2
( λ + 10)( λ − 1 − 10i )( λ − 1 + 10i )
(10.39)
Hurwitz kritérium
10.4. definíció: Az A mátrix karakterisztikus polinomjának együtthatóiból alábbi módon felépített mátrixot
166
a1 a3 a a 2 0 0 a1 H= 0 a0 0
a5
a7
a4
a6
a3 a2
a5 a4
0 0 0 an
(10.40)
Hurwitz mátrixnak nevezzük. Az első főelemhez tartozó Hi mátrixok H i determinánsait Hurwitz determinánsoknak nevezzük. A Hurwitz mátrix felépítése a következő: •
Az index minden egyes oszlopban 2-vel növekszik.
•
Az index soronként 1-el csökken.
•
Ha i > n vagy i < 0 akkor ai = 0 .
10.3. tétel: A karakterisztikus egyenlet zérus helyei kizárólag negatív valós részekkel rendelkeznek, ha minden H i Hurwitz determinánsra fennáll: H i > 0,
i= 1,> , n
(10.41)
0 0 0 a4
(10.42)
10.3. példa: n=4 a1 a H= 0 0 0
a3 a2 a1 a0
0 a4 a3 a2
H= a1 > 0 1 H 2 = a1a2 − a0a3 > 0 H 3 = a1a2a3 − a12a4 − a0a32 > 0
(10.43)
= H 4 a4 H 3 > 0
10.1. Megjegyzések: •
A Hurwitz-féle feltétel egyszerre szükséges és elegendő feltétele is a stabilitásnak.
•
A H i > 0 -ból következik, hogy ai > 0 is fennáll.
167
•
Megfordítva, ha feltételezzük, hogy ai > 0 igaz, akkor csak minden második Hurwitz determinánst kell kiszámolni (Cremer tétele).
Az utóbbi megjegyzés végül elvezet a Lienard-Chipard-féle kritériumhoz: A (10.34) aszimptotikus stabilitásának szükséges és elégséges feltétele az an > 0, H n −1 > 0, an −2 > 0, H n −3 > 0, > , H1 = a1 > 0
(10.44)
alakban teljesül. Ez minden második Hurwitz determináns kiszámítását szükségtelené teszi.
10.4.3
Routh-féle stabilitási kritériumok
A Hurwitz-féle kritériumok (különösen a Lienard-Chipard-féle kritériumok) alkalmasak a rendszer paramétereitől függő stabilitási tartomány analitikus kiszámítására. A Routh-féle kritérium a magasabb rendű rendszerek stabilitásának numerikus ellenőrzésére jobban megfelel. A (10.34) aszimptotikus stabilitásának egy szükséges és elégséges feltétele, hogy az Ri Routh-féle számok pozitívak. Az Ri számokat a Routh-féle sémával számoljuk ki.
168
A karakterisztikus polinom együtthatóit behelyezzük az első két sorba. A séma további mennyiségeit soronként számoljuk ki. Ennek során, az i -dik sor az ri segédmennyiséggel a jobb oldali szomszédos oszlopnak az ( i − 2 ) -dik és az ( i − 1) -dik sor értékeiből származik a következő rekurzív képlet szerint = cik ci −2,k +1 − rc i i −1,k +1
A számítási séma ott szakad félbe, ahol = ri c= 0 az i -dik sorral, vagy ahol R= c= an . il n n1 Példák: Lásd a Gyakorlatok függeléket.
169
11 Mechanikai rendszerek modellezése A mechanikai rendszereket rugalmas és merev, tehetetlenséggel rendelkező elemek (testek) jellemzik. Továbbá, általános szabályként ott vannak a mozgás ellenállásából (súrlódásból) és a viszkozitásból (csillapításból) származó hatások, valamint a külső erők gerjesztése.
11.1 Alapfogalmak 11.1.1
Modellezés: tömeg, rugalmasság és csillapítás
Tömeg: A tömeg függ az alkatrész sűrűségétől és a geometriai méreteitől. A klasszikus mechanika tekintetében fennállnak a következők: •
A tömegek pozitívak: m > 0 .
•
Egy test tömege időtől független, m = 0 .
•
= m1 + m2 ) . A tömegek feloszthatók és összeadhatók ( m
A tömegek modellezése igazodik az adott célhoz. A testek tömeg modelljei növekvő bonyolultsági sorrendben lehetnek: tömegpontok, merev testek, rugalmas testek, általános alakváltozási képességekkel bíró testek. Az alkalmazandó mechanikai törvények egyre összetettebbek a sorrendnek megfelelően. Rugalmas elemek: Megfelelő szerkezeti kialakítással elérhetjük, hogy az alkatrészek rugalmassága nagyon nagy legyen. Ilyen estben rugó elemnek tekintjük az alkatrészeket (pl. lap-, spirál- és torziós rugó). Csillapítási és súrlódó elemek: A csillapítás és a súrlódás okai a következők lehetnek: •
Szerkezeti (anyag) csillapítás az alkatrészekben.
•
Az egymáshoz képest viszonyítva mozgó alkatrészek közötti súrlódás.
•
Megtervezett és beépített csillapító elemek.
•
Folyadékban mozgó alkatrészek.
170
Külső erők: Külső erők fellépésének forrásai: •
Erőterek hatásai (gravitáció, mágnesesség, stb).
•
Meghajtó elemek (szervomotor, belsőégésű motor, stb.).
•
Ismert elmozdulások (csapágyazásból adódó).
Modellezés: A mechanikus rendszer jellemzőit idealizált (esetleg egyszerű) modellel kell leírni. Itt különbséget kell tennünk, a megoszló paraméterű modellek és a koncentrált paraméterű modellek között. Megoszló paraméterű modellek: Kontinuum mechanika (kulcsszavak: rugalmas testek, rudak, megoszló erők, stb.). Koncentrált paraméterű modellek: Tömegpontok és merevtestek dinamikája (kulcsszavak: súlytalan rugók, súlytalan csillapító, egyszerű mozgás, stb.) Ebben a tananyagban a koncentrált paraméterű rendszerek részletes tárgyalására korlátozzuk a vizsgálatokat. A következőkben mechanikai rendszerek modellezésével foglalkozunk. Így egy alapvető modellezési technikára, az ún. többtest rendszerekre, fogunk koncentrálni. Többtest rendszerek 11.1. definíció: A többtest rendszerek tömeggel rendelkező, merev testek halmaza, amelyek egymáshoz néhány elemmel kötődnek, mint pl. rugókkal, lengéscsillapítókkal, csapágyakkal és vezérpályákkal. Ezen csatlakozó elemek az egyes testekre diszkrét pontokban erővel és nyomatékkal fejtik ki a hatásukat. Ezen felül, térben és felületen megoszló erők is hatnak a testekre.
171
11.1 ábra: Példák többtest rendszer elemeire. A többtest rendszerek módszere azon a tényen alapszik, hogy a mechanikai tulajdonságok (tehetetlenség, rugalmasság, csillapítás, súrlódás, erő, stb.) a különálló elemekhez rendeljük. A viszonylag egyszerű mozgás egyenleteket (közönséges differenciálegyenletek) a diszkretizációnak köszönhetők. A többtest rendszereken kívül más idealizálást is alkalmazhatunk, mint pl. a végeselem-módszert és folytonos rendszereket. De ezek túlmennek a jelen tananyag látókörén, és ezért itt nem foglalkozunk velük.
11.1.2
Erők, rendszerhatár, részekre bontás módszere
11.2. definíció: Az erő olyan kölcsönhatás a rendszerelemek között, amely gyorsulást és/vagy alakváltozást okoz. 11.3. definíció: Azon erőket, amelyek a rendszerre kívülről hatnak külső erőknek nevezzük. Azon erőket, amelyek a rendszeren belül lépnek fel belső erőknek nevezzük. A külső és belső erők megkülönböztetése az adott rendszerhatártól függ.
172
11.2 ábra: A részekre bontás módszere a mechanikában. Az 1. rendszerre az mg és az F21 külső erők hatnak. A 2. rendszerre (alváz, kerekek) Mg , F12, F3 és F4 külső erők hatnak, míg F32, F23, F42 és F24 a rendszer belső erői. A belső erők ellentétes irányúak és azonos nagyságuak, így kioltják egymást (F32-F23=0 és F42-F24=0) és ezért nem jelennek meg a rendszeren kívül. Ha az 1. és 2. rendszert összegezzük egy teljes rendszerbe, akkor az F12 és F21 erők szintén belső erőkké válnak.
11.1.3
Kényszerek
A legtöbb mechanikai rendszer kényszereknek van kitéve, amelyek általános esetben függemnek a helykoordinátáktól, sebességkoordinátától és az időtől. A kényszereket algebrai egyenletek írják le. 11.4. definíció: Egy kényszer reonom, ha az idő explicite megjelenik a kényszeregyenletben; máskülönben szkleronomnak nevezzük. A kényszerek kényszer- vagy reakcióerőket keltenek, amelyek nem is lépnének fel, ha ezek nem léteznének.
173
11.3 ábra: Példák kényszerekre. Ha általánosítjuk a 11.3 ábra által bemutatott példákat, arra a következtetésre juthatunk, hogy
a
kényszererők
merőlegesek
a
kényszerek
által
meghatározott
felületre
(súrlódásmentes esetben). Ez a kiindulási pontja a d’Alembert-féle elvnek.
11.1.4
Virtuális elmozdulások
11.5. definíció: Egy mechanikai rendszer virtuális elmozdulása a rendszer helyzetének egy olyan áthelyezése, amely a test egy (elképzelt) tetszőleges elmozdulásának az eredménye. De ennek kompatibilisnek kell lenni a kényszerekkel. A virtuális elmozdulást, amely megvalósítja a helyzet megváltozását, δ -val jelöljük. 11.1. példa: Gömbi inga, 11.4 ábra A térbeli matematikai inga (gömbi inga) mozgását Descartes-koordinátarendszerben x, y , z koordináták segítségével írjuk le: r = [ x, y , z ] T .
Megjegyezzük, hogy az inga tömegközéppontja csak a gömbi felületen mozog. Ezt a következő egyenlet írja le: Φ (r ) = x 2 + y 2 + z 2 − l 2 = 0 .
(11.1)
Így az inga tömegközéppontjának helykoordinátái között összefüggés van, azaz nem teljesen tetszőlegesek.
174
Ha az inga tömegpontját kimozdítjuk virtuálisan x y = δ r δ= z
δ x δ y , δ z
az elmozdulás csak a gömbfelületen jöhet létre. Máskülönben a (11.1) kényszert megsértenénk, amely definíció szerint lehetetlen. Ha r megváltozik δ r -rel, akkor Φ ( r ) is megváltozik az alábbi virtuális értékkel
∂Φ ∂Φ δ Φ (r= ) δ= r ∂r ∂x
∂Φ ∂y
∂Φ δ= r ∂z
δ x r 0. [ 2 x 2 y 2 z ] δ y= 2rT δ= δ z
(11.2)
Ezáltal a következő számítási szabályt alkalmazzuk (amelyet itt nem bizonyítunk)
∂Φ ∂r
δ Φ (r ) = δ r . A (11.1) egyenlet azt jelzi, hogy az x, y , z koordináták a tömegpont helyzetére nézve redundáns információt tartalmaznak, mivel nyilvánvalóan bármelyik koordináta a másik kettővel kifejezhető. Valójában, a 11.4 ábra azt mutatja, hogy a helyzetet leírhatjuk két alkalmasan választott koordinátával is, pl. a ψ és θ gömbi koordinátákkal. A (11.1) alakú kényszeren kívül további kényszer természetesen nem jelenik meg. Az új koordináták már magukban foglalnak egy mozgási kényszert, amelyet az adott választás előtt megfontoltunk. Kevesebb, mint két koordináta nem elegendő az egyértelmű helyzet leírására. Ezért ψ és θ szögeket minimális koordinátáknak, vagy általános koordinátáknak nevezzük. A kényszer csak úgy jelenik meg, mint egy explicit kifejezés a helyvektor és az új általános koordináták között. x (y ,ϑ ) = r (y , θ ) = y (y ,ϑ ) z (y ,ϑ )
l sin ϑ cosy l sin ϑ cosy . −l cos ϑ
(11.3)
175
11.4 ábra: Gömbi inga. A (11.2) összefüggés azt jelenti, hogy a δ r merőlegesen áll r -re, az inga tömegközéppontja nem hagyja el a gömb felületét. A virtuális elmozdulás során, az időt rögzítettnek képzeljük el (az óra áll), ellentétben a valós elmozdulással, amely természetesen d t véges időintervallum eltelte alatt megy végbe. Így mi a rendszer egy pillanatfelvételét képzeljük el. Ezt grafikusan egy tömegpont mozgó lejtőn való mozgásával szemléltethetjük (lásd 11.5 ábra).
11.5 ábra: Virtuális elmozdulás.
176
11.1.5
Kinematika
11.1.5.1
Koordinátarendszerek és koordináták
11.6. definíció: Egy koordinátarendszer három vektor halmaza, amelyek merőlegesek egymásra. Ezek bázisvektorokat alkotnak, amelyek az R 3 elképzelt térben értelmezünk. Ezt a bázisvektor teret hozzárendeljük az Euklideszi térben egy origóhoz. Az új koordinátarendszert az alábbi módon jelöljük
K = {O; e x , e y , e z }
(11.4)
11.7. definíció: Egy K koordinátarendszert inerciarendszernek nevezünk, ha bázisvektorai időben állandók. A K koordinátarendszer testhez rögzített, ha azt, egy test egy pontjához kötjük (pl. a test tömegközéppontjához) és ha a test pontjainak koordinátái megegyeznek a koordináta rendszer szerintivel. 11.1. Megjegyzések: Egy merev test helyzete és orientációja hat koordinátával írható le, pl. a tömegközéppont x, y és z eltolási koordinátáival és az inerciarendszer irányába mutató α , β , γ Bryant
koordinátákkal. A testhez kötött koordinátarendszernek az inercia rendszerhez képesti forgatását csak azután adhatjuk meg, ha egy tetszőleges a ≅ a xK a yK a zK
T
≅ a xI a yI a zI
T
vektor mind a két
koordinátarendszerben definiálható. Ez az összefüggés egy mátrixszorzással írható le:
a I = Sa K . Megjegyezzük, hogy a K és a I ugyanazt a vektort képviseli. Az S transzformációs mátrix (forgató mátrix) elemeit a vizsgált esettől függetlenül kell kiszámolni. 11.2. példa: Ha egy merev test egy rögzített z tengely körül γ szöggel fordul el (11.6 ábra), a forgató mátrixra a következőt kapjuk:
177
cosγ Sγ = sinγ 0
− sinγ
0 0 . 1
cosγ 0
Így, ezek szerint a xK cos γ − a yK sin γ K K a x sin γ + a y cos γ . a zK
a xI a xK I K a I = = a y Sγ a= y a zI a zK
Az x − és y − tengelyek körüli forgatást az alábbi forgató mátrixok írják le: 0 1 Sα = 0 cos β 0 sin β
cos β − sin β és S β = 0 cos β − sin β 0
0 sin β 1 0 . 0 cos β
A kartéziuszi koordináta rendszerek forgatási transzformációi a következő tulajdonságokkal rendelkeznek S −1 (γ = ) ST (γ )
=( S( −γ )) ,
azaz a forgató mátrix egy ortogonális mátrix. Általában, egy merev testet maximum három egymást követő forgatással (azaz három forgási tengely és három forgatási szög előírásával) bármilyen helyzetbe vihetünk. A forgatási sorrendtől függően, a forgatási szögeket Bryant szögeknek (egymást követő x, y , z tengelyek körüli forgatás, vagy megfordítva) és Euler szögeknek (egymást követő z, y , z körüli forgatás) nevezzük. Az eredő mátrixot az egyes mátrixok összeszorzásával kapjuk meg, pl.: S Kardan (a , β , γ ) S= = x (a ) S y ( β ) S z (γ ) cos β cos γ sin a sin β cos γ + cos a sin γ − cos a sin β cos γ + sin a sin γ
− cos β sin γ − sin a sin β sin γ + cos a cos γ cos a sin β sin γ + sin a cos γ
sin β − sin a cos β . cos a cos β
178
11.6 ábra: A z tengely körüli forgatással nyert koordináta transzformáció. Ha K1 , K 2 , , K p többtest helyzetét és orientációját egy koordinátarendszerben írjuk le, a megfelelő ri tömegközéppontba mutató helyvektorral és a αi , β i , γ i szögelfordulásokkal (pl. Bryant és Euler szögekkel) felírt Si forgatási mátrixszal, akkor ezeket a koordinátákat egy közös helyvektorba gyűjthetjük
z = x1 , y1 , z1 , α1 , β1 , γ 1 , , x p , y p , z p , α p , β p , γ p
T
.
(11.5)
Az adott kapcsolódások miatt a testek koordinátái közötti összefüggést q számú algebrai egyenlet írja le (11.6)
Φ i ( z ) = 0, i = 1, , q; q < 6 p.
f 6 p − q számú y = y1 y f A többtest rendszer helyzetét egyértelműen = koordináta határozza meg. A mechanikában ezeket az
T
független
yi koordinátákat általános
koordinátáknak nevezzük (lásd 11.1.4 pont). Ez azt is jelenti, hogy általában nem szükségképpen kell, hogy derékszögű koordinátákat kezeljünk az elképzelt térben. Az általános koordináták •
függetlenek legyenek,
•
egyértelműen határozzák meg a rendszer helyzetét,
•
a kényszerekkel összeegyeztethetők legyenek.
Ezeket a koordinátákat minimális koordinátáknak, vagy helyzet változóknak is nevezzük.
179
A minimális koordináták bevezetése szükségessé teszi, hogy a rendszer testjeinek helyzetvektorai ki legyenek fejezve y -nal. A z helyzet vektor explicit kifejezhetősége (11.3)ból az y -nal egy előfeltétel. A többtest rendszer teljes meghatározásához, szükséges az y = y1 , , y f
T
sebességek
felírása is. Így egy mechanikai szabadságfok két állapotváltozó mennyiséghez vezet. A többtest rendszer állapotvektoraira: y = x ∈ ℜ2 f . y
(11.7)
Az x ( t ) vektor egyértelműen megadja a többtest rendszer helyzetét és a sebességét minden egyes t időpontban. Az x -szel leírható teret, állapottérnek nevezzük (lásd 2.2 pont). 11.1.5.2
Haladó mozgás
Egy i -dik merev test helyzetét leírhatjuk a tömegközéppontjának helyvektorával ri = ri (t , y ) .
(11.8)
A sebességet és a gyorsulást, rendre megkapjuk az egymást követő idő szerinti deriválásokkal ∂r ∂r v i =ri = Ti y + i =J Ti y + vi , i =1, , p , ∂y ∂t
∂r ∂ri ∂r ai == v i y + Ti y + i = J Ti y + ai , i = 1, , p , T ∂y ∂t ∂y
(11.9)
(11.10)
ahol J Ti egy 3 × f méretű függvény mátrix a haladó mozgás Jacobi mátrixa. Reonom viszonyok között, pótlólagosan megjelenik a 3 × 1 méretű vi vektor. Az ai vektor
= ai
f ∂ 2 ri ∂ 2 ri ∂ 2ri y y + 2 y + ∑∑ ∑ j k j ∂t 2 =j 1 = k 1 ∂y j ∂yk =j 1 ∂y j ∂t f
f
(11.11)
a rendszer gyorsulásának centrifugális, Coriollis és giroszkópikus részét írja le. Hasonlóan a tömegközéppont haladó mozgásához, a merev test mozgása is korlátozható kényszerekkel. Ebben az esetben akövetkezőt kapjuk:
180
ωi =J Ri y + ωi , i = 1, , p ,
(11.12)
αi =J Ri y + αi , i =1; , p ,
(11.13)
ahol J Ri a 3 × f függvénymátrix vagy Jacobi-féle forgási mátrix. A αi vektor emlékeztet a centrifugális, Coriollis és giroszkópikus gyorsulási részre. Reonom kényszerek estén a 3 × 1 méretű lokális ωi szögsebesség vektor is megjelenik. 11.1.5.3
Kinematikai Differenciálok
A Jacobi mátrixok számítása formális deriválással, a (11.9) és (11.13) összefüggések szerint, nagyon bonyolulttá válhat. Még a szimbolikus formula manipulátorok (pl. MATHEMATICA, MAPLE) alkalmazása is problematikus lehet, mivel az eredményül kapott kifejezések esetleg nagyon terjedelmesek és nehezen használhatók fel később. Ezért megvizsgálunk egy alternatív megoldási utat, amelynél nincs szükség analitikus deriválásra. Ezt a haladó mozgás példáján fogjuk bemutatni. Első derivált Minden test abszolút koordinátáinak r i időszerinti deriváltja, tetszőleges általánosított koordinátasebességekre,
adott
helyzetben,
elemi
kinematikai
összefüggésekkel
is
kifejezhető. Ezt az általános mechanizmus globális kinematikájának alkalmazása teszi lehetővé. Különösen ri (j) pszeudo- sebességeket határozhatjuk meg az általános koordináták speciális dimenziótlan pszeudo-sebességeire (j) , e (j) 0,..., 1 ,0, ...,0 = y (j) e= j
(11.14)
amelyben az [ f × 1] méretű egységvektor minden eleme nulla, kivéve a j -dik elem, amely “ 1 ”. Mivel az r i valósidejű derivált lineáris kombinációja az általánosított y sebességeknek,
és ezek ismét függetlenek egymástól, így
ri = ∑ ri (j) y (j) .
(11.15)
j
A (11.15) és (11.9) egyenletek összehasonlítása végül egy egyszerű szabályt eredményez:
181
j − dik oszlop
J ri = ri (j)
(11.16)
Második derivált A rendszer egy adott helyzetében és adott sebességénél meghatározható minden test gyorsulása az összefüggések
y
általános gyorsulás tetszőleges értékére, egyszerű kinematikai
alkalmazásával.
Különösen
az
ri
pszeudo-gyorsulásokat
különböző
általánosított gyorsulásokra, azaz, ahol y = 0 meghatározható. A (11.10) egyenletből közvetlenül kapjuk ari = ri .
(11.17)
A (11.16) és (11.17) egyenletek magukba foglalnak minden szükséges összefüggést, ami a test általános és abszolút koordinátáinak deriváltjai között van. Ezek csak elemi kinematikai összefüggésekkel határozhatók meg (a relatív mozgások megfelelő összefüggései). Így ezeket kinematikai deriváltaknak nevezzük. Kinematikai differenciálok Az abszolút koordináták összesített időszerinti deriváltjai felbonthatók haladó mozgású ri , ri részekre. A megfelelő összefüggések a következő módon írhatók:
= ri
∑ r
i
(j)
y j= ri ;
j
∑ r
i
(j)
y j + ri .
(11.18)
j
A (11.18) összefüggések rámutatnak egy további előnyre: A kinematikai megközelítés lehetővé teszi az összefüggések koordinátarendszerektől független fizikai vektorokkal való megfogalmazását. Ellentétben az analitikus megközelítéssel, amikor a differenciálok között összefüggések az egyes komponensek differenciálásával csak akkor állíthatók elő, ha azokat közös koordinátarendszerben írjuk fel. Az átmenetet az alkatrészekre tetszőlegesen késleltethetjük, azaz a koordinátarendszer megválasztását a vizsgált rendszerre szabhatjuk, amely szintén számítási művelet csökkenéssel jár. Ez nagyon rövid formában megtehető az általános többtest rendszerek egyenleteinek felírásánál.
182
11.3. példa: lásd 11.5 pont, “Kettős inga mozgásegyenletei”.
11.2 Impulzus- és perdülettételek Newton törvénye (az impulzus tétel) egy Ki merev testre (11.19)
mi ai = fi .
Az Euler egyenletek (a perdület megmaradásának tétele) egy inercia rendszerben adott I xx Ii = I yx I zx
I xy I yy I zy
I xz I yz , I zz
(11.20)
3 × 3 -as méretű tehetetlenségi tenzorral, és a Ci tömegközéppontban ható 3 × 1 méretű
nyomatékvektorral a következő alakban írhatók I i α i + ωi × ( I i ωi ) = � mi .
(11.21)
Ezek az egyenletek megegyeznek a testhez kötött koordinátarendszerben felírt alakkal. 11.4. példa: Egy m nyomatékvektorral terhelt szabad test Euler egyenletei a test főtengelyeinek koordinátarendszerében is felírható: I xxω x + ( I zz − I yy )ω yωz = mx I yyω y + ( I xx − I zz )ωxωz = my,
( Dinamikai Euler egyenletek )
I zzω z + ( I yy − I xx )ωxω y = mz.
11.3 A kényszerek figyelembevétele és a d’Alembert elv A 11.2 pontban tárgyalt külső erők és nyomatékok felbonthatók kívülről alkalmazott erőkre és nyomatékokra, valamint a kényszerek által kifejtett reakcióerőkre és nyomatékokra. f= fie + fir , i
(11.22)
m = m ie + m ir . i
(11.23)
Így a teljes Newton Euler egyenletek:
183
mi a= f= fi e + fi r , i i
(11.24)
Ii αi + ωi × ( Ii ωi ) = m i = m ie + m ir .
(11.25)
Ha figyelembe vesszük a (11.5) - (11.10) egyenleteket, megkapjuk a Newton-Euler egyenleteket az alábbi alakban mi J Ti y + k Ti (t , y, y ) = fie + fir ,
(11.26)
Ii J Ri y + k Ri (t , y, y ) = mie + m ir .
(11.27)
D’Alembert-féle elv biztosítja, hogy a reakció erők virtuális munkája eltűnik
δ A=
p
∑δ r f i =1
T r i i
r + δ sTi = 0, i
(11.28)
ahol T
∂ri ∂r = δ r = δ y δ yT i ∂y ∂y
T
T i
így: p ∂r T r ∂s T r T T r δ y ∑ i fi + i = δ y J TiT fir + J= 0. ∑ i Ri i ∂y ∂ y i 1= i 1 p
T
(11.29)
Mivel δ y tetszőleges, ezért
∑(J p
f + J TRi ri ) = 0.
(11.30)
T r Ti i
i=1
11.4 Mozgásegyenletek A (11.28) egyenlet azt mutatja, hogy a reakcióerőket eliminálhatjuk, ha a (11.24) és (11.25) öt rendre, minden i -re megszorozzuk transzponált J TTi haladó mozgási és J TRi forgási Jacobi mátrixokkal, majd összegezünk minden egyes tagot:
J TTi mi J Ti + J TRi Ii J Ri y + ∑ ( J TTi k Ti + J TRi k Ri ) = ∑ ( J TTi fie + J TRi ei ) . ∑ =i 1 =i 1 i 1 ((( ((((( (((((( (((( M(t , y ) k (t , y, y ) q(t , y, y ) p
p
p
(11.31)
184
Így egy általános, nemlineáris mozgásegyenletet kapunk a (holonom) többtest rendszerre:
M(t , y ) y + k (t , y, y ) = q(t , y, y ) ,
(11.32)
ahol M egy pozitív definit f × f méretű tömegmátrix, k a Coriolis, centrifugális és giroszkopikus erők vektora, q pedig az általánosított erők vektora. Ugyanezt az egyenletrendszert kapjuk a Lagrange-féle másodfajú egyenletek alkalmazásakor is, (lásd 12. fejezet).
11.5 Kettős inga mozgásegyenletei Egy többtest rendszer mozgásegyenleteinek felírására egy egyszerű példaként levezetjük a kettős inga nemlineáris egyenleteit. A kettős inga két homogén prizmatikus rúdból áll, a rudak egyenkénti tömege m és hossza 2l . A rudak egyszerűen súrlódásmentesen vannak az A és B pontokban csapágyazva.
11.7 ábra: Kettős inga. A tömegközéppontok helyvektorai: l sin α −l cos α , r1 = 0
2l sin α + l sin β −2l cos α − l cos β . r2 = 0
A sebességeket a helyvektorok időszerinti deriválásával állítjuk elő:
(11.33)
185
l cos α v1 l sin= = α α , v 2 0 0 = ω1 = 0 α , ω2 1
2l cos α l cos β 2l sin α α + l sin β β , 0 0
0 0 β . 1
(11.34)
(11.35)
A (11.34) és (11.35) további differenciálásával előállíthatók a gyorsulások l cos α −l sin α l sin α α + l cos α α 2 , = α1 0 0 2l cos α l cos β −2l sin α −l sin β 2 l sin β β + 2l cos α α + l cos β β 2 , α2 =2l sin α α + 0 0 0 0 0 0 α1 = 0 α, α 2 = 0 β. 1 1
(11.36)
Megoldások kinematikai differenciállással Sebesség 0 l sin α v1= ω1 × rAS1 = 0 × −l cos α = α 0
α l cos α α l sin α , 0
(11.37)
Legyen α = 1 és β = 0 . Így megkapjuk a Jakobi mátrix első oszlopát l cos α l sin α , 0
(11.38)
majd legyen α = 0 és β = 1 , amely a Jacobi mátrix második oszlopát adja 0 0 , 0
(11.39)
186
így, l cos α 0 J T 1 = l sin α 0 . 0 0
(11.40)
Ezután a v 2 sebességre kapjuk v 2 = ω1 × rAB + ω2 × rBS 0 2l sin α 0 l sin β = 0 × −2l cos α + 0 × −l cos β = 0 α β 0
2l cos α l cos β 2l sin α α + l sin β β . 0 0
(11.41)
Ha α = 1 és β = 0 , a Jacobi mátrix első oszlopára azt kapjuk, hogy 2l cos α 2l sin α , 0
(11.42)
ha α = 0 és β = 1 -re a Jacobi mátrix második oszlopára pedig l cos β l sin β , 0
(11.43)
innen,
JT 2
2l cos α l cos β = 2l sin α l sin β . 0 0
(11.44)
Gyorsulás l cos α −l sin α α1= J T 1 y + ω1 × ( ω1 × r1 )= l sin α α + l cos α α 2 0 0
(11.45)
187
(
α2= J T 2 y + ω1 × ( ω1 × rAB ) + ω2 × ω2 × rBS2 2l cos α 2l sin α α + = 0
)
l cos β −2l sin α −l sin β . l sin β β + 2l cos α α 2 + l cos β β 2 0 0 0
(11.46)
Az alkalmazott külső erők és nyomatékok 0 −mg , m e = f = f = m e2 = 0. 1 0 e 1
e 2
(11.47)
A (11.30) és (11.31)-ből megkapjuk a Jacobi mátrixokat: l cos α 0 = J T 1 = l sin α 0 , J T 2 0 0
2l cos α l cos β 2l sin α l sin β , 0 0
(11.48)
és 0 0 0 0 , J R 2 = J R1 = 1 0
0 0 0 0 . 0 1
(11.49)
Végül megkapjuk a kettős inga Newton-Euler egyenleteit
l cos α l cos β m l sin α l sin β 0 0 JT 1
-l cosα 0 Z1x - Z 2 x α 2 -mg + Z1 y - Z 2 y , β + m l cos α α = 0 0 Z1z - Z 2 z y e T1 f1 f1r
2l cos α l cos β m 2l sin α l sin β 0 0 JT 2 Ix 0 0 0 I 0 y 0 0 I z I1
0 0 0 0 1 0 J R1
α β= y
−2l sin αα 2 − l sin ββ 2 0 Z 2 x α 2 2 −mg + Z , β + m 2l cos αα + l cos ββ = 2y 0 0 Z 2 z y f2r T 2 f2e
(11.50)
(11.51)
0 0 0 + 0 , (11.52) 0 −l cos α Z1 x − l sin α Z1 y − l cos α Z 2 x − l sin α Z 2 y r 1e 1
188
Ix Iy I z I2
0 0 0 0 0 1 JR2
α β= y
0 −l cos β Z 2 x − l sin β Z 2 y 0 + . 0 0 0 e 1 1r
(11.53)
Ha a (11.50) - (11.53) egyenleteket megszorozzuk rendre a (11.48) és (11.49) Jacobi mátrixokkal, összhangban (11.31)-el, a nemlineáris mozgásegyenletrendszer az alábbi alakra vezet: I z + 5ml 2 2ml cos(α − β ) I z + ml 2 2ml cos(α − β ) ((((( ((((((( M( y, t )
α −2ml 2 β 2 sin(α − β ) −3mgl sin α = β + . (11.54) −2ml 2α 2 sin(α − β ) −mgl sin β (((((( (((( y q y y t ( , , ) ( y, y, t )
A reakcióerőket elimináltuk a szorzások folyamán és ezért már akkor elhagyhatjuk, amikor a Newton-Euler egyenleteket felírjuk. Az itt bemutatott módszer szintén alkalmas a mozgásegyenletek számítógépes megoldására. A módszert úgy is hatékonyan alkalmazhatjuk, ha a Jacobi mátrixokat explicite nem állítjuk elő és a reakcióerőket nem elimináljuk algebrai transzformációval. Ebben az estben azonban az összes reakcióerőt be kell venni az egyenletrendszerbe.
11.6 Lineáris mozgásegyenletek Az általános nemlineáris egyenleteken túl a linearizált mozgásegyenletek is fontos szerepet játszanak a gyakorlatban és különösen az irányítástechnikában. A mechanikai rendszerek linearizálását célszerűen, egy egyensúlyi helyzet körül, vagy még általánosabban, a referencia-, vagy célmegoldás körül végezzük. A referencia- vagy célmegoldás önmagára a rendszerre épül, vagy pedig kívülről a visszacsatolási szabályozás szolgáltatja.
A
rendszert
jellemző
referencia
(cél)
megoldások
a
nemlineáris
mozgásegyenletek partikuláris megoldásai: M(t , y s ) y s + k (t , y s , y s ) = q(t , y s , y s ) ⇒ y s (t ) . A referencia (cél) megoldások közelében a rendszer csak kis zavarást szenved:
h (t ) ahol
h (t ) < < y s (t ) .
(11.55)
189
Ezért y (t= ) y s + η (t ) .
(11.56)
Egy megfelelő szétválasztást kell alkalmaznunk a külsőleg működtetett “szabályzó” erőkre e f= (t ) f se (t ) + fηe (t ) .
(11.57)
Ha ezt behelyettesítjük az eredeti nemlineáris mozgásegyenletbe, akkor lineáris tagokkal bezárólag a bevezetett mennyiségekre a következőt kapjuk: f ∂M M(t , y s += ηη ) M( y s , t ) + ∑ ( y s ) i + , i =1 ∂ y i ∂ k (t , y s , y s ) k (t , y s + ηηη + s ) k (t , y s , y s ) + + , y = ∂y ∂ k (t , y s , y s ) + η + , ∂ y
∂ q(t , y s , y s , f se ) q(t , y s , y s + ηηη , y s + s= , f + fη ) q(t , y s , y s , f ) + ∂y e s
e
(11.58)
e s
∂ q(t , y s , y s , f se ) η + + ∂ y +
∂ q(t , y s , y s , f se ) e fη + , ∂ f se
Ezek végrehajtása után, egy egyenletet kapunk külön a referencia (cél) mozgásra és külön egy egyenletet az attól való eltérésre. A célmegoldás: M(t , y s ) y s + k (t , y s , y s ) = q(t , y s , y s , f se ) .
A zavarás mozgásegyenlete:
(11.59)
190
∂ k (t , y s , y s ) ∂ q(t , y s , y s , f se ) M(t , y s ) η + − η + y y ∂ ∂ (((((((((((( P(t , y y , f e ) y, s s (11.60) ∂ k (t , y s , y s ) ∂ q(t , y s , y s , f se ) ∂ M ∂q e fη . ys η = + − + ∂ f se ∂y ∂y ∂y (((((((( k (((((((( η( t ) Q(t , y , y , y ,f e) s s s s Vagy, ha ismét helyettesítjük η -t y -nal:
+ Py + Qy = My h.
(11.61)
11.2. Megjegyzések: A nemlineáris mozgásegyenletből tagonkénti linearizálással is megkaphatjuk a (11.59) egyenletet. A P és Q mátrix (és minden más négyzetes mátrix) felbontható egy szimmetrikus és egy ferdeszimmetrikus összetevőre:
P=
1 1 ( B + BT ) + ( B − BT ) , ( ( (( 2 2 D G
(11.62)
Q=
1 1 (C + CT ) + (C − CT ) . (( 2 (( 2 K N
(11.63)
Így megkapjuk a mechanika klasszikus lineáris mozgásegyenletét
+ ( D + G) y + ( K + N ) y = My h.
(11.64)
Az alábbi mátrix tulajdonságok nyilvánvalóan érvényesek: D= DT , G = −GT , K = KT , N = − NT .
(11.65)
Itt a mátrixok határozottan ugyanazzal a fizikai tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a rendszer. Ha megszorozzuk y T -vel a bal oldalról, akkor a rendszer energiaviszonyaira egy egyenletet kapunk
191
+ y T Dy + y T Gy + y T Ky + y T Ny = y T My y T h d T + dt
2R
+
0
+
d U + dt
2S
(11.66)
= Ph
Az M szimmetrikus tömegmátrix meghatározó a kinetikai energia megváltozásában, és így a tömegerők vonatkozásában fontos a szerepe. A D csillapítási mátrix a Rayleigh-féle függvényen keresztül képviseli a csillapító erőket, G a giroszkópikus erőket képviseli, amely az energiaegyensúlyra nincs hatással. A K mátrix a potenciális energián keresztül képviseli a konzervatív helytől függő erőket, míg N a nem konzervatív helytől függő erőket. A rendszer konzervatív, ha D= N= 0 , azaz, a h külső erő hiányában a rendszer T + U energiája konstans lenne. 11.5. példa: A kettős inga linearizált mozgásegyenletei. A 11.5 pontban kapott kettős inga kis kilengéseire feltételezzük
α , β , α , β 1 . Ha ezt figyelembe vesszük a (11.54) mozgásegyenletben, megkapjuk a linearizált mozgásegyenletet I z + 5ml 2
2ml 2 α −3mglα , = I z + ml 2 β −mgl β
(11.67)
vagy a (11.64) szabályos formájában I z + 5ml2
2ml 2 α 3mgl + I z + ml 2 β 0
A tömegmátrix: I + 5ml 2 M= z
2ml 2 I z + ml 2
és a “merevségi mátrix”: 0 3mgl . K= mgl 0
0 α 0 . = mgl β 0
(11.68)
192
11.7 Állapotegyenletek A következőkben tekintettel a többtest rendszerekre, a másodrendű mozgásegyenletek átalakítását állapotegyenletté az alábbi helyettesítéssel célszerű megtenni x1 y nagyság x = = = . x 2 y sebesség
Figyelembe véve x= x= y összefüggéseket, a nemlineáris állapotegyenletek 1 2
y = x = y
x2 M −1 ( q − k ) . (( (( f ( x, x , u, t )
(11.69)
Lineáris esetben azt kapjuk, hogy x2 y x = = −1 y M ( Px 2 + Qx1 − h)
(11.70) E 0 −M −1Q −M −1P (((((( A
x1 0 x + M −1h . (( 2 x b
193
12 Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet A mozgásegyenlet előállításának egy fontos alternatívájával a Lagrange-féle módszer (1788) szolgál. Ellentétben a szintézisen alapuló módszerekkel, amelyeket a fentiekben már részleteztük (a testek szétszedése után az impulzus- és perdülettételek alkalmazásával és a reakcióerők eliminálásával kapjuk meg az egyenleteket), ebben az esetben analitikus módszert alkalmazunk amely, a rendszer teljes energia kifejezéseinek vizsgálatán alapul. Kinetikai energia A Ki merev test Ti kinetikai energiáját az mi tömeggel, az Ii tehetetlenségi tenzorral, a súlypontjának v Mi sebességével és az ωi szögsebességgel írjuk fel = T
1 1 T ωi I i ωi . mi v 2Mi + 2 2 haladó mozgás forgó mozgás
(12.1)
A kinetikai energia egy haladó mozgási- és egy forgó mozgási részből áll. Mivel a kinetikai energia független az alkalmazott koordinátarendszertől, így az egyáltalán nem fontos, hogy milyen koordinátarendszerben fejezzük ki az adott energiamennyiséget. Másfelől az is világos,
hogy
a
szögsebesség
vektort
és
a
tehetetlenségi
tenzort
azonos
koordinátarendszerben kell felírni. Az egyes testek tömegközéppontját választjuk referencia pontnak. A többtest rendszer kinetikai energiáját az egyes testek kinetikai energiájának összege adja:
T =
1 p mi v 2Mi + ωTi Ii ωi ) . ( ∑ 2 i =1
(12.2)
Potenciális energia Ha az alkalmazott erők munkája független az általuk megtett úttól, akkor az erők, mint közismert, potenciállal rendelkeznek és így differenciálással meghatározhatók, azaz − ∂∂Ux f e = −∇U = − ∂∂Uy , ∂U − ∂z
ahol U = U ( x, y , z ) a potenciális energia, amely egy skaláris helyfüggvény.
(12.3)
194
Egy többtest rendszer potenciális energiája az egyes testek potenciális energiájának az összegéből számíthatók p
U = ∑U i .
(12.4)
i =1
12.1. Megjegyzések: Azok az erők amelyek, a (12.3) összefüggéssel egy potenciál függvény differenciálásával számíthatók, rendelkeznek energia tárolási képességgel és ezért konzervatívnak nevezzük. A nem konzervatív erők módosítják a rendszer teljes energiáját. Ha speciálisan olyan erőkkel foglalkozunk, amelyek elnyelik (disszipálják) az energiát, akkor azokat disszipatív erőknek nevezzük. Konzervatív erőkre példákkal szolgálnak a súlyerők f G = −mg , és rugóerők f F = −cs , felírhatók a megfelelő potenciálok U G = mgz , és
UF =
1 2 cs . 2
A potenciálok egy konstans erejéig határozottak, azaz, a potenciál nulla pontja tetszőlegesen felvehető. Ha egy többtest rendszerre csak konzervatív erők hatnak, az egész rendszert konzervatívnak nevezzük. Így jutunk el a mechanikai energia megmaradási tételéhez: T + U = T0 + U 0 = const.
(12.5)
A fent bevezetett energiamennyiségeket a mozgásegyenletek származtatására használjuk fel. Ennél a módszernél, a szintézisen alapulóval ellentétben a rendszert nem szedjük szét alkotóelemeire, hanem a rendszert, mint egészet vizsgáljuk.
195
Mindenekelőtt, a kinetikai energiát az általános koordináták, és ha szükséges, az idő függvényeként fejezzük ki
= T ( y, y , t )
1 p mi v 2Mi ( y, t ) + ωTi ( y, t )Ii ( y ) ωi ( y, t ) ) . ( ∑ 2 i =1
(12.6)
Az általánosított erők az alkalmazott erőkből és nyomatékokból származnak T ∂ r T ∂ si e p e i Qk = ∑ f + I = ∂ yk i ∂ yk i ∑ i 1= i1 p
Ezen
mennyiségek
segítségével
( [J
]
T Ti k
)
fie + [ J Ri ]k Iie .
megkaphatjuk
T
a
Lagrange-féle
(12.7)
másodfajú
mozgásegyenleteket d ∂T dt ∂ y k
∂T k 1, , f . − = Qk , = ∂ yk
(12.8)
12.2. Megjegyzések: •
A mozgásegyenletek száma azonos a szabadságfokok számával. Továbbá nem szükséges a rekcióerők bevezetése. Így ezek nem is számíthatók ki.
•
A mozgásegyenletek előállítása céljából, ki kell számolnunk a T ( y, y , t ) függvény parciális és teljes deriváltját. A láncszabályt kell alkalmaznunk a T -nek a t időszerinti teljes deriváltjának előállításához.
Konzervatív rendszerekben az általánosított erők (12.5) szerinti számítása elkerülhető, mivel ezek a (12.2)-höz hasonlóan) kiszámíthatók az U
potenciális energia általánosított
koordinátái szerinti deriválásaival is. Így kapjuk
Qk = −
∂U . ∂ yk
(12.9)
Ha bevezetjük az L= T − U Lagrange-féle függvényt, akkor klasszikus formában áll elő a Lagrange-féle mozgásegyenlet
d (∂ L) ∂ L − = 0 , k= 1, , f . dt (∂ y k ) ∂ yk
(12.10)
Ha a konzervatív erőkön túl nem konzervatív erők is fellépnek, ezeket (és csak ezeket) a (12.5) kifejezéssel vesszük figyelembe a (12.8) egyenlet jobb oldalán.
196
12.1. példa: Kettős inga, 11.7 ábra A kettős inga haladó és forgómozgási sebességeire rendre a (11.34) és (11.35) kifejezéseket használjuk. A rendszer teljes kinetikai energiájára az alábbi kifejezést kapjuk 1 2 1 2 1 1 mv1 + mv 2 + I zω12 + I zω12 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 cos(α − β ) + I zα 2 + I z β 2 , = ml α + ml 4α 2 + β 2 + 4αβ 2 2 2 2 T=
(
)
(12.11)
és a potenciális energiára pedig
U= −mgl (3cos α + cos β ) . A parciális deriváltakra az alábbi kifejezések adódnak
∂L = ( I z + 5ml 2 ) α 2 − 2ml 2 β cos(α − β ) + I zα , ∂α ∂L = 2ml 2α cos(α − β ) + ml 2 β + I z β , ∂β
∂L sin(α − β ) − 3mgl sin α , = −2ml 2αβ ∂α ∂L sin(α − β ) − mgl sin β , = 2ml 2αβ ∂β
d ∂L sin(α − β ) − 2ml 2 β 2 sin(α − β ) , = ( I z + 5ml 2 ) α + 2ml 2 β cos(α − β ) + 2ml 2αβ dt ∂ α d ∂L sin(α − β ) + 2ml 2α 2 sin(α − β ) . 2ml 2α cos(α − β ) + ml 2 β + I z β + 2ml 2αβ = dt ∂ β Ha a fenti kifejezéseket a (12.8) Lagrange egyenletekbe helyettesítjük, akkor a keresett mozgásegyenletek
−3ml sin α , ( I z + 5ml 2 )α + 2ml 2 β cos(α − β ) − 2ml 2 β2 sin(α − β ) =
2ml 2α cos(α − β ) + ( I z + ml 2 ) β − 2ml 2α 2 sin(α − β ) = −mgl sin β .
197
Ebben az esetben a mozgásegyenleteket a (11.54)-gyel megegyező alakban kapjuk, ahol I z + 5mI 2 2ml 2 cos(α − β ) M( y, t ) = , 2 2 2 cos( ) ml ml α β − −2ml 2 β 2 sin(α − β ) k ( y, y , t ) = , 2 2 −2ml β sin(α − β )
−3mgl sin α q( y, y , t ) = . −mgl sin β 12.3. Megjegyzések: •
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletből származó egyenletek teljesen azonosak a 11.5 pontban ugyanezen általánosított koordinátákra levezetett egyenletekkel, amelyeket a Newton-Euler egyenletekből a d’Alembert elv segítségével kaptunk. Ez általános esetre is fennáll. A két módszer csupán a megközelítés útjaiban különbözik és nem az eredményekben.
•
Ellentétben a Lagrange formalizmussal a Newton-Euler egyenletek (ebben a formában) lehetővé teszik a reakcióerők kiszámítását. Megfordítva, ezen erők figyelembe vétele nem szükségesek az egyenletek felállításánál, amely nagy előnyt jelent a gyakorlatban.
198
13 Nemlineáris egynyomvonalú modell [10] A 13.1 ábra egy nemlineáris egynyomvonalú járműmodellt szemléltet.
13.1 ábra: Nemlineáris egynyomvonalú modell (bicikli modell), felülnézet
13.2 ábra: Nemlineáris egynyomvonalú modell, oldalnézet
199
13.1 Az alváz mozgásegyenlete A newtoni mozgásegyenlet az alvázra az 13.1 ábra és 13.2 ábra szerint a következő alakú m rV = Ff + Fr + Fszél + FG ,
(13.1)
ahol Ff és Fr az első és hátsó kerekekre ható erők, FG a gravitációs erő, míg az aerodinamikai erőt a következő módon számoljuk
V V , Fszél = − 12 cw ρ Aρρ
(13.2)
amely a jármű haladási irányával szemben hat. A jellemző vektorokat az E inerciarendszerben írjuk fel xV rV = = y , rV V lz
xV = rV y , V 0
xV y , V 0
− 1 c r Ax x 2 + y 2 V V V Fxf Fxr 0 2 w 2 2 1 , Ff = F , F = F , F = 0 , F = − c r Ay x + y r G Wind V V V 2 w yf yr 0 Fzr −mg Fzf
(13.3)
(13.4)
így mxV my = V 0
F + F − 1 c r Ax x 2 + y 2 xr V V V 2 w xf Fyf + Fyr − 12 cw r AyV xV 2 + yV 2 . Fzf + Fzr − mg
(13.5)
Az Fxf és Fxr jelentik a kerületi irányú erőket, az Fyf és Fyr az oldalirányú erőket, Fzf és Fzr fejezik ki az első és hátsó kerékre ható erőket. A jármű súlypontjára felírt Euler egyenletek a következő formában írhatók V + ωV × (θV ωV ) = θV ω
V
rr × Fr +V r f × Ff .
A mennyiségeket felírhatjuk a járműhöz kötött V koordinátarendszerben is
(13.6)
200
0 0 0 = θV 0 0 = 0 , V ωV 0 0 θ zz
− lr 0 , V r = V f −lz
V
= r V V r
V
0 = V 0, V ω ψ
0 0, ψ
lf 0 , −lz
(13.7)
(13.8)
így lz V Fyf + lz V Fyr 0 V V V V 0 = −l F − l F − l F + l F , z xf v zf z xr h zr lv V Fyf − lh V Fyr θ zzy
(13.9)
ahol nem vesszük figyelembe az első egyenletet, mivel eltekintünk a modellünk oldalra billenési dinamikájától.
13.2 Abroncsmodell 13.2.1
Stacionárius abroncsmodell
Erre az esetre egy egyszerűsített abroncsmodellt használunk, amelyet “Csoda formulának” szokás nevezni Pacejka nyomán [13]. A modell alapötlete az abroncs nemlineáris viselkedésének trigonometrikus függvényekkel (pl. sin és arctg) való közelítésén alapszik, amelyet méréssekkel határoztak meg. Az abroncs profilján és anyagán kivül az abroncs tulajdonsága függ a longitudinális csúszástól, a csúszási szögtől és a kerékerőtől. Az első kerékre ható állandósult abroncserőre a következőt kapjuk
V Fxf ,stat µ xf sin( cxf arctan(bxf s f )) V V = Fzf , Fyf ,stat µ yf sin( c yf arctan(byf a f ))
(13.10)
és hasonlóan a hátsó kerékre
V Fxr ,stat µ xr sin( cxr arctan(bxr sr )) V V = Fzr . Fyr ,stat µ yr sin( c yr arctan(byra r ))
(13.11)
201
A µ , c és b paraméterek nem rendelkeznek fizikai jelentéssel, mivel ezeket csak a matematikai közelítésekben használjuk. Az s és α jelöli a longitudinális csúszást és a csúszási szöget, Fz pedig a kerékerőt. Az s és α számítására szükségünk van az első és hátsó kerék tengelyeinek sebességeire. Ezek megkaphatók abszolút kinematikai összefüggésekből, azaz r f =rV + ωV × V r f
(13.12)
az első tengelyre, rr =rV + ωV × V rr
(13.13)
a hátsó tengelyre. Így a következőkben megkapjuk az első tengely sebességét az inercia rendszerben ) − sin( ) 0 l f xV 0 cos(yy r f =rV + ωV × RV (yyy ) r f = yV + 0 × sin( ) cos( ) 0 0 , 0 1 −lz 0 y 0 V V
(13.14)
azaz x f f y= z f
sin( ) xV − l fyy y + l yy cos( ) , f V 0
(13.15)
illetve a hátsó tengely sebességét is ) − sin( ) 0 −lr xV 0 cos(yy rr =rV + ωV × RV (yyy ) r = yV + 0 × sin( ) cos( ) 0 0 , 0 1 −lz 0 y 0 V V r
(13.16)
ennek megfelelően x r y= r zr
sin( ) xV + lryy y − l yy cos( ) . V r 0
Ezután a kerék sebességeket a jármű koordinátarendszerébe is át kell számítani
(13.17)
202
f x f cos(y + δ ) sin(y + δ ) 0 x f f − sin(y + δ ) cos(y + δ ) 0 y f , y f = f z f 0 0 1 z f
(13.18)
) sin( ) 0 x r cos(yy − sin(yy ) cos( ) 0 y r . 0 1 zr 0
(13.19)
és r x r r y r = r zr
V x r V y r = V zr
Az s és α paraméterek kinematikai mennyiségek és az alábbiak szerint számíthatók az első-
sf =
rω f − f x f max( rω f , x f ) f
, af = −
f
y f
rω f
,
(13.20)
és hátsó tengelyekre
sr =
r rωr − r x r y r , a = − . r r max( rωr , x r ) rωr
(13.21)
Az első és hátsó kerekekre ható Fzf és Fzr erőket, amelyek a stacionárius abroncsmodellhez szükségesek a következőkben tárgyaljuk. Ezeket az alvázra felírt (13.5) Newton egyenletek közül a harmadik és a (13.9) Euler egyenletek közül a második segítségével kaphatjuk meg. Az egyenleteket azért nem kell a jármű koordinátarendszerébe transzformálni, mert mindkettő a közös inerciarendszerben van felírva. Továbbá feltételezzük, hogy a tengelyerők egyenletesen megoszlanak az abroncson. Így megkapjuk az első kerékre ható erőket V
Fzf =
mglr − lz ( V Fxf + V Fxr ) 2(l f + lr )
,
(13.22)
és a hátsóra
= Fzr
V
13.2.2
1 2
mg − V Fzf .
(13.23)
Dinamikus abroncsmodell
Az előző pontban tárgyalt stacionárius kerékerők az abroncs rugalmasságának köszönhetően bizonyos késleltetéssel alakulnak. Ez a viselkedés egy elsőrendű differenciálegyenlettel írható le. Az első kerékre kapjuk, hogy
203
f Fxf = f Fyf
T1xf 0
0 f F f Fxf xf , stat = − f 1 Fyf ,stat f Fyf Tyf
rω f tx 0
0 f Fxf ,stat f Fxf − f , rω f f F yf , stat Fyf ty
(13.24)
és hasonlóan a hátsó kerékre is 1 r Fxr Txr = r Fyr 0
0 r Fxr ,stat r Fxr − r = 1 r T yr Fyr ,stat Fyr
rtωr x 0
0 r Fxr ,stat r Fxr − r . rωr r Fyr ,stat Fyr ty
(13.25)
A τ x és τ y értékei konstansok, ahol ττ x < y , mivel az utóbbi kerék oldalirányú rugalmassága nagyobb, mint a hosszirányú.
204
14 Dinamikus kerékforgás [10] Az első és a második kerék dinamikus forgását a következő differenciálegyenletekkel vesszük figyelembe, amelyeket rendre az első és hátsó kerekek koordinátarendszerében írunk fel.
14.1 ábra: Dinamikus kerékforgás. A 14.1 ábra alapján kapjuk
θ f ω f = M af − M bf sign(ω f ) − r f Fxf , θ rω r = M ar − M br sign(ωr ) − r r Fxr ,
(14.1)
ahol az első és hátsó kerekekre
θ f , θ r a tehetetlenségi nyomatékokat,
ω f , ω r szöggyorsulásokat, M af , M ar hajtó nyomatékokat, M bf , M br a kerékforgási irányától függő fékező nyomatékokat jelöli.
14.1 Meghajtó nyomatékok Az első és hátsó tengelyek meghajtó nyomatékait a hátsó tengely hajtási nyomatékának f ar ∈ [ 0,1] tényezőjével (így f ar = 1 hátsó kerék hajtást jelent) és az M a nyomatékkal hozzuk létre:
M ar = f ar M a , M af = (1 − f ar ) M a = M a − M ar .
(14.2)
205
Az M a hajtónyomaték ismét az M m motor nyomatéktól függ az alábbiak szerint M a = id ig (G ) M m (ωm , p f ) .
(14.3)
ahol id a differenciálmű áttétele, ig ( G ) a sebességváltó áttétele, amely a pillanatnyilag hajtásban lévő fogaskerekektől függ. A p f a gázpedál mozgása
( p = [0,1]) . f
M m -et a motor karakterisztikán keresztül
valósíthatjuk meg (14.2 ábra).
14.2 ábra: Motor karakterisztika. A motor szögsebességére az alábbi egyszerűsített összefüggést feltételezzük:
ω= id ig (G ) ((1 − f ar )ω f + f arωr ) . m
(14.4)
A közbenső értékeket lineáris interpolációval határozhatjuk meg.
14.2 Fékező nyomaték Feltételezzük, hogy a fékezőnyomaték karakterisztikája a 14.3 ábra szerint valósul meg, ahol az M b féknyomatékot a pb fékpedál út függvényében ábrázoltuk.
206
14.3 ábra: Fékező nyomaték karakterisztika. Az első és hátsó kerékre ható nyomatékok aránya a hajtó nyomatéki viszonyhoz hasonlóan határozható meg a hátsókerék f bh tényezőjével:
M br = f br M b , M bf = M b − M bf , (1 − f bf ) M b =
(14.5)
ahol M br és M bf a fékező nyomatékok nagysága. A súrlódást a Coulomb-féle súrlódási törvénnyel vehetjük figyelembe, megfelelő előjel alkalmazásával.
207
15 A teljes modell [10] Az alváz, abroncs és a kerék forgás dinamikai modelljeinek birtokában (lásd 14. fejezet) most már elkezdhetjük az átfogó teljes modell felépítését. Először is foglaljunk össze minden (nemlineáris) egyenletet. 1. Newton törvénye az alvázra inercia rendszerben felírva: 2 2 mxV Fxf + Fxr − 12 cw r AxV xV + yV . my = 2 2 1 V Fyf + Fyr − 2 cw r AyV xV + yV
(15.1)
2. Euler törvénye az alvázra a rendszerhez kötött koordinátarendszerben:
= θVy lv F Fyv − lh F Fyh .
(15.2)
3. A kerékforgás dinamikája a megfelelő kerékhez kötött koordinátarendszerben felírva:
θ f ω f = M af − M bf sign(ω f ) − r f Fxf ,
(15.3)
θ rω r = M ar − M br sign(ωr ) − r r Fxr . 4. Az abroncsra ható erők a megfelelő kerékhez kötött koordinátarendszerben: rω f f Fxf t x = f Fyf 0
r Fxr = r Fyr
rtωr x 0
0 f Fxf ,stat f Fxf − f , rω f f F F ty yf ,stat yf
(15.4)
0 r Fxr ,stat r Fxr − r . rωr r F yr , stat Fyr ty
(15.5)
Ezek az első és másodrendű differenciálegyenletek, áttranszformálhatók elsőrendű differenciálegyenletrendszerré, azaz a modell nemlineáris állapotegyenletének a következő alakjára
x = f (t , x, u) ,
(15.6)
ahol x az állapotvektor és T
x = xV , yV ,yy , xV , yV , , ω f , ωr , f Fxf , f Fyf , r Fxr , r Fyr ,
(15.7)
208
u a bemenő változók vektora, amelytől az állapotváltozók nemlineárisan függenek: T
u = δ L , p f , pb , G ,
(15.8)
ahol
δ L a kormánykerék szöge [ rad ] , δ = isδ L , a kerék szöge, is a kormánymű áttétele, p f gázpedálút a [ 0;1] intervallumban,
pb fékpedálút a [ 0;1] intervallumban, G a tényleges sebességi fokozat (-1 (hátra menet); 0 (üres járat); 1; 2; 3; 4; 5).
Végül a nemlineáris állapotváltozós modell
xV yV y 1 Fxf + Fxr − 12 cw r AxV xV 2 + yV 2 m xV 1 2 2 y Fyf + Fyr − 12 cw r AyV xV + yV V m y 1 V V l f Fyf − lr Fyr ) ( θ zz xV yV 1 f θ ( M af − M bf sign(w f ) − r Fxf ) y = f w f 1 M ar − M br sign(wr ) − r r Fxr ) ( w r θ r f F rw f f f f xf − F F ( xf ,stat xf ) Fyf tx r F rw f v r xr Fyf ,stat − v Fyf ) ( Fyr ty x . rwr r Fxr ,stat − r Fxr ) ( tx rwr r Fyr ,stat − r Fyr ) ( ty (((((( (((((((( f ( t , z, u )
( (
) )
(15.9)
209
15.1 Szimulációs eredmények A következőkben néhány szimulációs eredményt mutatunk be a kormánykerék különböző ugrásszerűen beállított értékeire. A sebesség szabályzó a modelljármű sebességét közel konstans
értéken
tartja.
A
kormánykerék
szögének
ugrásszerű
állítása
alapján
megbecsülhetjük a jármű viselkedését. A 15.1 ábra a legfontosabb járműdinamikai változókat, az oldalirányú gyorsulást, kanyarodási szögsebességet és az oldalirányú csúszást szemléltetik az idő függvényében.
210
15.1 ábra: Nemlineáris egynyomvonalú modell: különböző, ugrásszerűen beállított kormánykerék állásoknál
211
15.2 Animációk Az alábbi animációs fájlok járművek és robotok mozgásait szimulálják: •
Jármű borulása rézsün: 3erBoschungRO.avi
•
Jármű mozgása keresztszélben: Crosswind.avi
•
Előzés valósidejű szimulációja: Echtzeit_Video.avi
•
ESP vezérlés szimuláció: ESP_Video_verteilt.avi
•
Jáművilágítás dinamikai szimulációja: Hella_ohne.avi
•
Lépegető robot szabad járása lejtőn: Simulation_freegait_DIVXv5.avi
•
Lépegető robot haladó járása: Simulation_gehen_schreiten_DIVXv5.avi
•
Exkavátor forgása optimalizás nélkül: Terex_1_PTP_ohne_Optimierung.avi
•
Exkavátor
forgása
optimalizálással:
Terex_2_PTP_mit_Optimierung.avi,
Terex_3_PTP_mit_Optimierung.avi, Terex_4_PTP_mit_Optimierung.avi
15.3 Videók Az alábbi video fájlok járművek és robotok mozgásait mutatják: •
Jármű borulása 1: RolloverVideoschnitt_3.avi
•
Jármű borulása 2: L148-Vergleich.avi
•
ESP video: ESP_Video.avi
•
Kanyarodási manőver Bosch ESP-vel: Maneuver_Bosch_ESP_320_240.avi
•
Kikerülési manőver: Maneuver_presentation.avi
•
Robot láb hajlítása: Pruefstand_Arbeitsraum_DIVXv5.avi
•
Robot láb körzése: Pruefstand_Kreis_Joystick_DIVXv5.avi
•
Robot láb letámasztása: Video_FussHuefte_DIVXv5.avi
•
Robot láb lépése: Video_Vergleich_DIVXv5.avi
212
16 Irodalomjegyzék
[1] C. Walteros, S. Hartmann, T. Bertram und M. Hiller, Startersimulation. Abschlussbericht, Institut für Mechatronik und Systemdynamik, Universität Duisburg-Essen, 2003. [2] Bosch, Kraftfahrtechnisches Taschenbuch, 25. Auflage szerk., Wiesbaden: Vieweg, 2003. [3] M. Hiller, Mechanische Systeme – Eine Einführung in die analytische Mechanik und Systemdynamik, Berlin: Springer - Hochschultexte, 1983. [4] D. Möller, Modellbildung, Simulation und Identifikation Dynamischer Systeme, Berlin: SpringerLehrbuch, 1992. [5] D. Schramm, M. Hiller und R. Bardini, Modellbildung und Simulation der Dynamik von Kraftfahrzeugen, Heidelberg, New York.: Springer, Berlin, 2010. [6] H. Bossel, Systemdynamik, Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1987. [7] DIN, 1226 Regelungstechnische Systeme. [8] R. C. Rosenberg und D. C. Karnopp, Introduction to Physical System Dynamics, McGraw-Hill, 1983. [9] H. Bossel, Modellbildung und Simulation, Braunschweig: Vieweg, 1992. [10] M. Gipser, Systemdynamik und Simulation, Stuttgart: Teubner, 1999. [11] M. Hermann, Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, München: Oldenbourg, 2004. [12] L. F. Shampine and M. K. Gordon, Computer Solution of Ordinary Differential Equations: The Initial value problem, San Francisco: W.H. Freeman & Co., 1975. [13] H. B. Pacejka, Tyre and Vehicle Dynamics, Butterworth-Heinemann, 2002. [14] E. Freund, Regelungssysteme im Zustandsraum I, München: Oldenbourg, 1987. [15] J. D. Lambert, Computational Methods in Ordinary Differential Equations, Chichester: Wiley, 1979. [16] F. Pfeiffer, Einführung in die Dynamik, Stuttgart: Teubner, 1989. [17] H. Schlitt, Regelungstechnik, Würzburg: Vogel-Fachbuch, 1988. [18] J. Stoer, Numerische Mathematik 1, Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2004. [19] U. Ascher and L. Petzold, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, Philadelphia: Siam, 1998. [20] K. Popp und W. Schiehlen, Fahrzeugdynamik, Stuttgart: Teubner, 1993.
213
[21] P. C. Müller and W. O. Schiehlen, Lineare Schwingungen, Wiesbaden: Aka¬de¬mi¬sche Verlagsanstalt, 1976. [22] J. Stoer und R. Bulirsch, Numerische Mathematik 2, Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2005.
215
217
A Matematikai alapok A.1
Mátrixszámítások
n × k mátrix:
Sorvektor ⇒ 1 × k mátrix: = x
[ x1
x2 … xk ] .
Oszlopvektor ⇒ n × 1 mátrix: y1 y 2 . … yn
Zéró mátrix: 0 0 0= 0
0 … 0 0 … 0 . 0 … 0
Definíció szerint A ≠ 0 , ha A nem zéró mátrix, ha legalább egyetlen mátrix elem aij ≠ 0 .
A.1 MÁTRIXSZÁMÍTÁSOK
218
Egység mátrix: 1 0 E= I= 0
0 … 0 1 … 0 . 0 … 1
Diagonális mátrix: * * . * Felső háromszög mátrix: * * … * * … * . * Alsó háromszög mátrix: * * * . * * … * Szalagmátrix: * * * * . * * * *
A.1 MÁTRIXSZÁMÍTÁSOK
219
Ciklikus szalagmátrix: * * * * * . * * * * *
A.1.1
Mátrix műveletek
Két mátrix összeadása és kivonása a11 a1k A = , B = an1 ank
b11 b1k bn1 bnk
a11 + b11 a1k + b1k . ⇒C= A+B= an1 + bn1 ank + bnk
Mátrix szorzása skalár számmal a11 a1k A= an1 ank ra11 ra1k ⇒ rA = Ar = . ran1 rank
Skaláris szorzás/pontszorzás/belső szorzás ( sorvektor oszlopvektor )
= x
⇒ s= x ⋅ y =
[ x1
x2
n
∑x y = i
i =1
i
y1 y … xk ] , 2 … yn
x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn .
A.1 MÁTRIXSZÁMÍTÁSOK
220
Két vektor, x és y ortogonális, ha a skaláris szorzatuk nulla:
0. x⋅y = Keresztszorzás ( oszlopvektor × oszlopvektor ), csak 3D-ben x1 = x = x , y 2 x3
y1 y 2 y3
x1 y1 x2 y3 − x3 y2 ⇒ z = x × y = x2 × y2 = x3 y1 − x1 y3 . x3 y3 x1 y2 − x2 y1
A z keresztszorzat ortogonális az x és y vektorokra:
z ⊥x ∧ z ⊥ y. Két mátrix szorzása a11 a1k , B = A = an1 ank
b11 b1m , bk 1 bkm
k k a b a1i bim ∑ ∑ 1i i1 =i 1 =i 1 = C AB = . k k ∑ani bi1 ∑ani bim i 1 =i 1 =
A mátrixszorzás tipikusan nem kommutatív: AB ≠ BA .
Alapműveletek
( AB ) C ( A + B) C A ( B + C) Szorzás egységmátrixszal
=
A ( BC ) ,
= AC + BC, = AB + AC.
A.1 MÁTRIXSZÁMÍTÁSOK
221
IA = AI = A
I n×n A n= A n×k I n= A n ×k ×k ×n
Lineáris egyenletrendszer Adott a11 a12 a1k a a22 a2 k 21 , b = A = an1 an 2 ank
b1 b 2, bn
és az egyenletrendszer Ax = b ,
vagy a11 x1 a21 x1 an1 x1
+ a12 x2 + a22 x2 + a n 2 x2
+ + a1k xk + + a 2 k xk + + ank xk
= b1 , = b2 , = bn .
a megoldásvektor x1 x x = 2 . xk
Egy mátrix transzponáltja a11 a12 a1k A = ⇒ AT = an1 an 2 ank
a11 an1 a a n2 12 . a1k ank
Alapműveletek
(A )
T T
=A,
( rA)
T
=rAT ,
( A ± B)
Egy mátrix szimmetrikus, ha fennáll
T
=AT ± BT ,
( AB )
T
=BT AT .
A.1 MÁTRIXSZÁMÍTÁSOK
222
AT = A és ferdén szimmetrikus ha AT = −A fennáll. Minden kvadratikus mátrix felbontható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus mátrix összegére: A= B + C
ahol
= B
1 A + A T ) (szimmetrikus) ( 2
és
C =
1 ( A − AT ) (ferdén szimmetrikus). 2
Egy mátrix inverze (csak négyzetes mátrixokra!) −1 −1 A= A AA = I.
Az olyan mátrixot, amelynek létezik az inverze, nem szinguláris- vagy invertálhatómátrixnak nevezzük. Máskülönben szingulárisnak nevezzük. Minden mátrixnak legfeljebb egy inverze van: AB =AC =I ⇒ B =C =A −1 . Egy kvadratikus A mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha det A ≠ 0
fennáll. Alapműveletek (feltéve, ha létezik az inverze)
(A )
−1 −1
= A,
A.1 MÁTRIXSZÁMÍTÁSOK
223
I −1 = I ,
( rA )
( AB )
(A ) T
1 = A −1 , r
−1
−1
= B −1A −1 ,
−1
= ( A −1 ) . T
Ha egy lineáris rendszer együtthatómátrixa négyzetes, akkor az inverze segítségével megoldható:
Ax ⇔ A
−1
( Ax )
=
b
A −1b =
⇔
(A A) x
A −1b =
⇔
Ix
⇔
x
A −1b = A −1b. =
−1
2 × 2 mátrixok könnyen invertálhatók: −1
a11 a12 a22 −a12 1 = . a a11a22 − a12a21 −a21 a11 21 a22 Egy n × n mátrix inverzének a kiszámítása n ≥ 3 esetén igen számításigényes( pl. Gauss-féle elimináció alkalmazásával). Gauss-féle eliminációs algoritmus a11 Adott: A = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 . a33
* * a11 a12 * * Keresett: A −1 = a21 a22 * * a31 a32
* a13 * a23 . * a33
A.1 MÁTRIXSZÁMÍTÁSOK
A.1.2
224
Determináns
A determinánsokat csak négyzetes mátrixokra értelmezzük. A determinánsok számítását a legkönnyebben a következő rekurzív algoritmussal, az ún. Laplace-féle formulával tudjuk elmagyarázni: Az 1 × 1 méretű A mátrix determinánsa a mátrix egyetlen eleme: = det A det = [ a11 ] a11 . Egy n × n méretű A mátrix determinánsát, az A mátrixból vett n darab ( n − 1) × ( n − 1) méretű almátrix determinánsaiból kapjuk meg, pl. „ az első sor szerinti kifejtésével“ det A a11 det A11 − a12 det A12 + … ± a1n det A1n . = Az A mátrix i -dik oszlopának törlésével kaphatjuk meg az Aij mátrixot. A fenti összegzésben az előjel alternál, az utolsó + lesz páratlan n -re és – páros n -re. A számítási idő csökkentése érdekében, természetesen azon sor illetve oszlop szerint célszerű kifejteni, amelyik a lehető legtöbb nullát tartalmazza. A 3 × 3 méretű mátrix determinánsának egyszerű számítása
A.1 MÁTRIXSZÁMÍTÁSOK
225
Alapműveletek
det A T = det A , det A −1 =
1 , det A
det ( AB ) = det A det B , det rA = r n det A .
A.1.3
Normák
A.1.3.1
Vektorok normái
Abszolút összeg norma ("Taxicab" norma, vagy Manhattan norma, vagy 1 -norma) n
x 1 = ∑ xi . i =1
Euklideszi norma, vagy a vektor 2 -normája x2=
n
∑x
2 i
.
i =1
Általános: p -norma 1
x
p
n p p = ∑ xi . i =1
Maximumnorma vagy ∞ -norma x
Alapműveletek
∞
= max xi ) . 1≤i ≤ n
A.1 MÁTRIXSZÁMÍTÁSOK
226
x ≥ 0,
x =0⇒ x =0, rx= r ⋅ x , x±y ≤ x + y , x±y ≥ x − y . A.1.3.2
Mátrixnormák
Az A mátrix minden olyan mátrixnormájára, amellyel az x vektor normája kompatibilis, fennáll a következő egyenlőtlenség
Ax ≤ A ⋅ x . Oszlopössszegnorma, vagy a mátrix 1 -normája n
A 1 = max ∑ aij . 1≤ j ≤ n
i =1
Spektrálnorma (a mátrix euklideszi normája)
A 2 = max λi ( A T A ) . 1≤i ≤ n
Sorösszegnorma (a mátrix ∞ normája) n
A
∞
= max ∑ aij . 1≤i ≤ n
j =1
Spektrális sugár:
( A ) max λi ( A ) ≤ A . = 1≤i ≤ n
A ( A ) spektrális sugár, amely az A mátrix legnagyobb sajátértékének az abszolút értéke, a legkisebb mátrixnorma.
227
B
Feladatlapok 1. feladatlap: A fúrókalapács egyszerű szimulációs modellje
A következőkben a fúrókalapács egyszerű modelljének megalkotásával és a SIMULINK-kal való szimulációjával foglalkozunk. Ez egy elektromos kéziszerszám, amely beton, kő és aszfalt vésésére és törésére, valamint az építőiparban tömörítésre és üregek kialakítására tervezték. A fúrókalapács egy beépített kalapácsmechanizmussal rendelkezik. Az ütési energia független a kezelő erőkifejtésétől. Az elektromos vezérlés teszi lehetővé kalapácserő szabályozását, hogy megfeleljen a különböző anyagok kezelésére vagy a föld alatt [2].
B.1 ábra: Fúrókalapács [2] A működés leírása: Az (1) lökő dugattyút a (2) forgattyús mechanizmus periodikus mozgással működteti. Az erőátvitel a lökő dugattyúról (3) kalapács dugattyúra a (4) légpárnán keresztül történik. Ennek a gerjesztésnek köszönhetően az ütődugattyú tengelyirányú rezgőmozgást végez és megüt egy közbeiktatott dugattyút, amely maga ütközik a szerszámmal (a következőkben a közbenső dugattyútól és a szerszámtól eltekintünk).
B FELADATLAPOK
228
Hasonló modell:
Rendszeregyenletek: Feltételezzük, hogy a hajtókar konstans sebességgel forog (reonom kényszer). A lökő dugattyú helyzetét explicite fejezi ki az s paraméter, amely függ az r és q paraméterektől, valamint a hajtókar ω szögsebességétől:
s ( t= ) r cos ωt + q 1 − ( qr sin ωt ) . 2
Az kalapács dugattyú szabadon mozoghat x -irányban. A modellezés megfontolásai, feladatai: a) Határozza meg a rendszer szabadságfokát! b) Egy súrlódó erőt elhanyagoljuk a kalapács dugattyú és a hengeres fal között. c) A levegőpárna következtében egy erő ébred a lökő dugattyú és a kalapács dugattyú között, amely a dugattyúk felületei közötti h − xs − s távolságtól nemlineárisan függ: 1.4 l0 . = Fl Ap0 1 − h − xs − s
•
ahol A a henger keresztmetszetének területe, p0 a környezeti légnyomás.
d) Az impulzustétel alkalmazásával megkapjuk a mozgásegyenletet 1.4 l0 . mx= F= Ap0 1 − S l h − xs − s
B FELADATLAPOK
229
Az ütközési folyamat modellezése Amikor a kalapács dugattyú ütközik a szerszámon, illetve a fejen, egy impulzus erő lép fel, amelyet c rugóállandóval és a d csillapítási tényezővel jellemezett rugó-lengéscsillapító együttes ír le: Fütközés = −cxS − dx S . Azonban ez az erő csak akkor hat, amikor az ütőkalapács a szerszámba hatol ( xs < 0 ) . e) Vegye figyelembe ezt a körülményt egy megfelelő logikai tömbbel a blokkvázlatban. A szimuláció megvalósítása f) Dolgozzon ki egy blokkvázlatot, amely alapul szolgál a SIMULINK program megírásakor. Először állítsa elő a különálló blokkvázlatokat a lökő dugattyú mozgására, a súrlódási erőre, a levegő által kifejtett erőre és az impulzusra. Azután a mozgásegyenletre dolgozzon ki blokkvázlatot, amely magába foglalja a kombinált alrendszerek xs ( t ) és
s ( t ) -től függő erőit. g) Vigye be a SIMULINK rendszerbe a blokkvázlatot és különböző kezdeti feltételekre hajtsa végre a szimulációt! Mélyedjen el a forgattyú szögsebességének a kalapács működésére kifejtett hatásának elemzésében! h) A kalapács egy fontos jellemzője a kalapács ütősebességének változása. Hogyan játszódik le a kalapács sebességváltozási folyamata? i) Határozza meg a kalapács dugattyú és a szerszám közötti ütközési tényezőt a kalapács dugattyú ütközés előtti és utáni sebessége alapján! A szimulációra a következő numerikus értékeket alkalmazza: •
Kalapács tömege:
ms = 0.6 kg ,
•
A légpárna keresztmetszetének területe:
A = 0.00151976 m 2 ,
•
A légpárna hossza a szobahőmérsékleten:
l0 = 0.0365 m ,
•
Környezeti nyomás:
p0 = 100000 N m 2 ,
•
Hajtókar sugár:
r = 0.022 m ,
•
A hajtórúd hossza:
q = 0.076 m ,
•
A kalapács kezdeti helyzete:
•
Súrlódási tényező:
•
Rugóállandó az ütközés modellezésére:
xs 0 = 0.0001 m ,
µ = 0.2 , c = 108 N m ,
B FELADATLAPOK
230
•
Csillapítás az ütközés modellezésére: d = 7610.8 Ns m ,
•
Bemenő fordulatszám: ns = 1300 min −1 ,
•
A henger hossza:
h = 0.2 m .
B FELADATLAPOK
231
2. feladatlap: Matematikai inga Matematikai inga Az adott matematikai inga (tömeg m , hosszúság l ) az idő-függő mozgását kell vizsgálni. Feltételezzük, hogy az inga forgatható az A pont körül, és csak a síkbeli mozgást végezhet. A gravitációs gyorsulás függőleges irányban hat. Az inga mozgását egy csillapító nyomaték befolyásolja, amely arányos a megfelelő szögsebességgel: M d = −dϕ
B.2 ábra: Matematikai inga A matematikai inga modellezése a) Hány állapotváltozóval írható le egyértelműen a mozgásegyenlet? Ez hány mechanikai szabadságfoknak felel meg? b) Határozza meg a mozgásegyenletet, és transzformálja az állapotegyenlet alakjára! c) Állítsa fel a matematikai inga rendszerének blokkvázlatát. Az állapotegyenlet megoldása MATLAB / SIMULINK rendszerrel: d) Vigye be SIMULINK rendszer alá a blokkvázlatot, és tanulmányozza a rendszert a következő paraméterekkel: •
m = 1 kg ,
•
l =1m ,
•
d = 0.1 Nms az alábbi kezdeti feltételekkel
•
•= ϕ 0,= ϕ 2 rads , •= ϕ
= , ϕ 0 rads ,
π
2
•= ϕ π= , ϕ 0.001 rads .
B FELADATLAPOK
232
e) Ábrázolja az elfordulásiszöget és szögsebességet, a megfelelő ábrákon az idő függvényében, valamint a fázis diagramokat is. Végezzen numerikus kísérleteket a különböző paraméterekre, és további kezdeti feltételekkel. Linearizált mozgásegyenlet: Ha ϕ 1 , azaz kis szögekre, az inga mozgását közelítőleg a linearizált mozgásegyenlettel is leírhatjuk. f) Milyen linearizálást kell alkalmazni? Állítsa fel a lineáris állapotegyenleteket mátrixos alakban! g) Határozza meg az inga ω0 és f 0 sajtátrezgéseit a fent adott paraméterekkel! h) Igazolja a sajátfrekvencia értékét numerikusan MATLAB rendszerrel, végezzen nemlineáris és lineáris szimulációkat megfelelő kezdeti feltételekkel! Számítsa ki a linearizálás hibáját! Módosított inga: Az ingát most kiegészítjük egy rugóval ( c = 10 N m ) (lásd B.3 ábra).
B.3 ábra: Módosított inga i) Állítsa fel a rendszer nemlineáris mozgásegyenleteit és transzformálja nemlineáris állapotegyenletté! j) Mi a rendszer új egyensúlyi egyenlete? Ha léteznek, határozzon meg további egyensúlyi helyzeteket! k) Módosítsa a modelljét alkalmasan és végezzen vele további szimulációkat!
B FELADATLAPOK
233
3. feladatlap: Prizmatikus rúd longitudinális rezgései A prizmatikus rúd longitudinális rezgései a következő parciális differenciálegyenlettel írható le ∂ 2u ( x, t ) . ρ Au ( t ) = EA ∂x 2 Ez analitikus vagy numerikus módszerrel is vizsgálható.
B.4 ára: Prizmatikus rúd.
(
L 1 m, = E 2.1 ⋅ 1011 N m 2 ρ 7850 kg m 3 , = Egy acélrúd segítségével =
)
vizsgálja meg,
hogy milyen a sajátfrekvenciák pontossága a helyszerinti diszkretizáció (vagyis a tömegelemek számának) függvényében.
B FELADATLAPOK
234
4. feladatlap: Ragadozó és préda modellek Állatfajok B (= zsákmány) és R (= ragadozó) egyedei viszonyát biotópban (zárt élettérben) vizsgáljuk. A kapcsolat a két faj között olyan, hogy R elsősorban B -vel táplálkozik. Erre példa lehet a róka és a nyúl fajok egyedei közötti kapcsolat. Milyen időfüggő folyamatot kapunk a B és R egyedek népességeire, ha a B népessége
xB ( t ) , és az R népessége xR ( t ) ? A következőkben, ezt a feladatot lépésről-lépésre oldjuk meg. Az egyedek népességének dinamikája Szigorúan véve, az
xB ( t )
és
xR ( t )
népességek csak egészszámok lehetnek. A
differenciálszámítás módszereinek alkalmazásához feltételezzük, hogy xB ( t ) és xR ( t ) differenciálható függvények. a) Mikor lehet ezt a feltételezést igazolni? b) Határozza meg egy tenyészet x ( t ) népességnek jelenlegi növekedési rátáját! c) Határozza meg a w ( t ) növekedési sebességet (differenciálegyenlet), amely a következő összefüggéssel definiálható:
növekedési ráta . jelenlegi népesség
Konstans növekedési ráta d) Határozza meg az egyszerűsített differenciálegyenletet w ( t ) ≡ a -ra. Mi az általános megoldás erre a feladatra, ha x0 = x ( 0 ) a kezdeti népességet jelenti? e) Melyik három esetet kell megkülönböztetni? A természeti erőforrások korlátai miatt, a népesség exponenciális növekedése gyakorlatilag lehetetlen. Emiatt egy reálisabb növekedési folyamatot kell vizsgálni. Logisztikus növekedési sebesség Itt feltételezzük, hogy a konstans növekedési sebességét egy tényező ( b > 0 tényező) gyengíti, amely arányos a népességgel.
B FELADATLAPOK
235
f) Állítsa fel az egyenletet erre az esetre (amely szintén ismert, mint a logisztikus növekedési ráta ( w ( t ) ) ). Melyik népesség egyenletét kapjuk most? g) Határozzuk meg az általános megoldást erre a problémára. Tipp: Alkalmazza a résztörtekre bontás módszerét. Ez milyen állandó érték felé konvergál ha t → ∞ ? Ragadozó-zsákmány közösség népességi dinamikája Két egyedet vizsgálunk, amelyek népességeit R (ragadozó) és B (préda) indexekkel jelölünk. A megfelelő növekedési törvények származtatásához a következő egyszerűsített feltételezéseket tesszük: Ragadozók hiányában a préda populációját állandó növekedési sebességű törvénnyel definiáljuk. A ragadozók (csökkentő) hatása a préda populációra arányos a ragadozó populációval ( b tényező). h) Mi a prédapopuláció wB ( t ) növekedési rátája? Préda nélkül a ragadozó népesség kipusztul egy c állandó (negatív) növekedési ütemmel. A ragadozó populáció növekedési ütemének felfrissülése arányos a préda népességgel ( d tényező). i) Mi a ragadozó népesség wR ( t ) növekedési aránya? j) Milyen differenciálegyenletet kapunk most? Legyen xB a jelenlegi préda népesség és xR pedig a ragadozók jelenlegi népessége. Ezeket az egyenleteket Volterra típusú egyenleteknek nevezzük (Vito Volterra nyomán (1860-1940)). Volterra volt az első, aki a populációk dinamikájára matematikai modellt állított fel. A Volterra-egyenleteket analitikusan nem tudjuk megoldani. Numerikus módszereket kell igénybe vennünk. Ezért MATLAB/SIMULINK programrendszert alkalmazunk. Volterra-egyenletek megoldása MATLAB/SIMULINK-kal k) állítsa fel a rendszer blokkvázlatát! l) Vigye be a blokk diagramot SIMULINK-ba és tanulmányozza a differenciálegyenletet különböző paraméter értékekre! Válassza pl.
B FELADATLAPOK
•
236
a= b= c= d= 1
• xB 2,= = xR 0.5
(mindegyik 1000 egységgel)
• tStart 0,= = tEnd 20 (időegységek). m) Hasonlítsa össze az elszigetelt populációkat! A ragadozók és a préda népességek periódikusan változnak. Empirikusan határozza meg a ragadozók és prédák népességeinek periódus idejeit, és mutassa meg, hogy azok megegyeznek. A ragadozó-préda modell logisztikus növekedése Ha logisztikus növekedést feltételezünk, akkor egy reálisabb modellt hozhatunk létre:
wB = ( a − e xB ) − b xR ,
wR = ( −c + f xR ) + d xB , e, f a, b, c, d . Az x = wx alapegyenlettel a logisztikus Volterra-rendszer a következő x B = axB − bxR xR − exB2 and x R = cxR + dxB xR − fxR2 .
Változtassa meg a modellt ! Megfelelően változtassa meg a modellt ennek és elemezze a rendszer viselkedését, megismételve a szimulációt különböző paraméterekre! Különösen ellenőrizze, hogy a népességi kronológiai folyamata továbbra is periodikus.
B FELADATLAPOK
237
5. feladatlap: Kettős inga modellezése DYMOLA-val
B.5 ábra: Kettősinga és a szétszedett inga elem Az B.5 ábra egy síkbeli kettősingát mutat. Minden ingához súlytalan rúd (hossza l ) és a végén m tömegű pont tartozik. Az ingák rendszerének a modellezését a hálózati módszerrel (Multiport / Cut-Set, 3. fejezet) kell megvalósítani. Erre a célra vizsgáljuk meg a teljes inga rendszer felső (1-2)-es részét, valamint az alsó (2-3)-as részét (B.5 ábra b.). A következő feladatok a B.5 ábra b. részéhez kapcsolódnak: a) Határozza meg az alrendszer geometriai kényszerét! b) Rajzolja meg a hálózati modellt (Multiport/Cut-Set-model). Mik a rendszer kereszt és átmenő változói? c) Határozza meg az inga mozgásegyenleteit! d) Állítsa elő a B.5 ábra a. részén látható teljes rendszer hálózati modelljét (Multiport/Cut-Set-model). A kettősinga modellezése DYMOLA-val: e) Állítsa elő az alrendszerének a modelljét DYMOLA környezetben: 1. Építse fel a kapcsolódásokat (Portok) bemenő és kimenő jelekhez (File/New/Connector)! Tipp: átmenő változókat a flow előtagúakkal valósítjuk meg. 2. Építse fel a rendszer inerciarendszerét! Mik a kényszerek a keresztváltozókra ebben az inerciarendszeren (File/New/Model)? 3. Állítsa elő az inga alrendszerét az egyenletekkel összhangban, amelyeket korábban
kg , l 1= m, g 9.81 m s ) ! határozott meg= ( m 1=
B FELADATLAPOK
238
f) Ellenőrizze az Ön alrendszerét az egyszerű inga modellezésével és ellenőrizze a szimulációs eredményeket! g) Állítsa fel a kettős inga modelljét és hasonlítsa össze az új eredményeket a 2. sz. részfeladat eredményeivel! h) Fűzzön hozzá további inga elemeket és elemezze viselkedését!
B FELADATLAPOK
239
6. feladatlap: Negyed jármű rezgései Egy negyed jármű modelljének egyenletei a következők
x
y
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 c c d d A A A − A x + 0 xS (t ) , − m mA mA mA A cR cR + c A dA dA cA − − mR m mR mR mR R ((((( ((((((( x u B A
cA dA dA cA − − 0 m mA m A m A x + xS , A cR 0 0 0 − cR D x C
ahol x A − x 0A xR − xR0 = x = x A x R
x1 x 2. x3 x4
a) Számítsa ki MATLAB segítségével a sajátértékeket és sajátvektorokat! b) Határozza meg a rendszer sajátkörfrekvenciáit! c) Határozza meg a rendszer sajátfrekvenciáit!
B FELADATLAPOK
240
d) Rajzolja meg a rendszer blokkvázlatát! e) A blokkvázlattal összhangban készítse el a SIMULINK modelljét! f) A rendszert a sajátfrekvenciával egyező szinuszos rezgéssel gerjesztjük. Milyen jelenség lép fel? Modellezési paraméterek •
g = 9.81
gravitációs gyorsulás m s 2 ,
•
m A = 380
az alváz tömege [ kg ] ,
•
mR = 35
a kerék tömege [ kg ] ,
•
c= 25 ⋅ 103 A
a felfüggesztés rugómerevsége [ N m ] ,
•
d A = 250
a felfüggesztés csillapítási tényezője [ Ns m ] ,
•
c= 25 ⋅ 103 R
a kerék rugómerevsége [ N m ] .
B FELADATLAPOK
241
7. feladatlap: Egy ötlengőkaros hátsó kerékfelfüggesztés kinematikája Modellezze egy ötlengőkaros hátsó kerékfelfüggesztés kinematikáját (B.6 ábra).
B.6 ábra: Ötlengőkaros hátsó kerékfelfüggesztés A
tengelycsonk
cz
függőleges
elmozdulását
tekintjük
általános
koordinátának
(szabadságfoknak). a) Hány kényszeregyenlet szükséges a tengelycsonk helyzetének és orientációjának meghatározására?
Mik
lesznek
a
tengelycsonk
függő
koordinátái?
Adottak a K1 , , K5 , R1 , , R5 , RC és RA felerősítési pontok helyvektorai a járműhöz kötött OF (lásd MATLAB file ‚main.m’) referencia koordinátarendszerben. b) Határozza meg az adott rögzítési pontok alapján az l1 - l5 lengőkarok hosszát. Állítsa elő a tengelycsonk csuklópontjainak az RC -től R1 − R5 -ig mutató vektorait. c) Határozza meg a kényszeregyenleteket F ( x ) = 0 formában. Tippek: Töltse fel a kényszer egyenleteket az előkészített ‘FiveLink.m’ fájlba. A numerikus megoldás a kényszer egyenlet segítségével állítható elő az ‘fsolve’ MATLAB függvény segítségével. Ez hívja a ‘FiveLink.m’ fájlt és belül megoldja a (nemlineáris) egyenletrendszert
F (x) = 0 . d) Rajzolja meg a kerék mozgási pályáját, és a felfüggesztés elmozdulását a kerékdőlés és a tengelycsap szögének függvényében! e) Animálja a kerékfelfüggesztést MATLAB segítségével.
242
C
Gyakorlatok
1. gyakorlat Linearizálja a következő kifejezéseket a megfelelő munkapontok körül! a) sin (ϕ ) ; ϕ 0 körül b) cos (ϕ ) ; ϕ = 0 körül c) e x ; x = 0 körül d) e)
1 + x2 ; x = 1 2 körül 1 a +x 2
; a ∈ R körül.
2. gyakorlat A henger alakú medencébe ( A a keresztmetszete, a vízszint h ) folyamatos a qi beáramlás és q A kifolyás (a kimenet A ' keresztmetszete). a) Állítsa elő a h állapotváltozóra a differenciálegyenletet! b) Rajzolja fel a blokkvázlatot a rendszerre! c) Vázolja a lehetséges a h ( t ) megoldást qi = 0 -ra! Milyen további információ szükséges egy határozott megoldáshoz? 3. gyakorlat Transzformálja a differenciálegyenletet y + y 2 y + ky = 0 elsőrendű differenciálegyenletrendszerré! 4. gyakorlat Linearizálja a rendszert x1 = x1 (2 − cos x2 ) + 81 x2 x3 , x2 = ( x1 − x2 + 2a )( x3 + 4) , a ≠ 0, x3 =a 2 − ( x2 − a ) 2 ,
C GYAKORLATOK
243
az egyensúlyi helyzet körül. 5. gyakorlat Számítsa ki a mátrix sajátértékeit és sajátvektorait! 2 1 A= . 2 3 6. gyakorlat Adott a következő mátrix: 2 5 A= . 5 3 a) Számítsa ki a mátrix λi , i = 1, 2 sajátértékeit és az x i , i = 1, 2 sajátvektorait! b) Ezen a példán keresztül igazolja a sajátvektorok x1T x 2 = 0 ortogonális tulajdonságát! Hogyan tudná bizonyítani ezt általánosan bármilyen n × n szimmetrikus mátrixra? c) Mutassa meg, hogy a T = [ x1 x 2 ] -vel az alábbi összefüggés λ 0 T −1AT = 1 0 λ2
•
érvényes, azaz, a T hasonlósági transzformáció az A mátrixot diagonális alakra transzformálja.
d) Az a) - c) alpontok segítségével számítsa ki a következő összefüggéseket sin ( A ) , cos ( A ) , •
A
és igazolja következő összefüggéseket
sin 2 ( A ) + cos2 ( A ) = E és 2A = 2 A Mutassa meg, hogy a különböző megoldásokat úgy kapjuk meg, hogy a különböző sin, cos és függvényeket az A mátrixon elemenként alkalmazzuk. 7. gyakorlat Az adott időinvariáns rendszerre
C GYAKORLATOK
244
−5 x 2 x = x10 , x1 (0) = x1 = −5 x1 , x1 (0) = x10 és 1 − x1 − 2 x2 , x2 (0) =x20 x2 = x2 = − x1 − 2 x2 , x2 (0) =x20 Határozza meg: a) a sajátértékeket és sajátvektorokat, b) a megoldásokat az adott kezdeti feltételekre! 8. gyakorlat Adott a kezdetiérték feladat: x = −10 x + 7e − t ,
x (0) = 10 .
a) Számítsa ki a kezdetiérték feladat analitikus megoldását! b) Számítsa ki a numerikus megoldást a [0 < t ≤ 0.05] intervallumon, h = 0.01 integrációs lépéssel, az explicit Euler módszer alkalmazásával! c) Ismételje meg a számítást b)-ben h = 0.001 és 0.0001 lépésekkel. Hasonlítsa össze a numerikus megoldások hibáit és a megoldásokat az analitikus megoldással! 9. gyakorlat A x − 0.01x + 0.5 x = 0 differenciálegyenlet, az x (0) = 1 and x (0) = 0 kezdeti feltételek adottak: a) Állítsa elő a feladat elsőrendű differenciálegyenletrendszerét és az analitikus megoldását! b) Határozza meg a kezdetiérték feladat megoldását a t = 0.5 és t = 1.0 időpontokban az explicit Euler módszerrel! Az integrációt a h = 0.5 lépéssel alkalmazza! 10. gyakorlat Adott egy rugó-tömeg rezgőrendszer mozgásegyenlete 0. mx + dx + cx =
Határozza meg= az m 0.5 = kg , d 1= kg s , c 100 kg s 2 paraméterekre és az x ( 0 ) = 1 ,
x (0) = 0 kezdeti értékekre a numerikus megoldást a [0, 10] intervallumon a) a másodrendű Runge-Kutta módszerrel, b) az explicit Euler módszerrel! c) Oldja meg a)-t és b)-t a d = 0 -ra!
C GYAKORLATOK
245
Változtassa a részfeladatokra az integrációs lépéseket és tanulmányozza a megoldások viselkedését! 11. gyakorlat Az alábbi
x x = − , x ( 0) = 1 1 + t2 kezdetiérték feladatot oldja meg numerikusan negyedrendű Runge-Kutta módszerrel! Keresse meg a h lépést úgy hogy a lokális diszkretizációs hiba legyen kisebb, mint 0.00001.
