Mechanikai rezgések – Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek? 2. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen jellegű a megnyúlt rugó mechanikai energiája? 4. Hogyan jut érvényre a mechanikai energia megmaradásának törvénye a rezgő testek esetére? 5. Mi a feltétele annak, hogy a fonálinga mozgását harmonikus rezgőmozgásnak tekinthessük? 6. Milyen típusú erők hatására jön létre harmonikus rezgőmozgás? 7. Mitől függ, és hogyan számítható ki a fonálinga periódusa? 8. Hogyan hasonlíthatjuk az egyenletes körmozgást végző testre jellemző fizikai mennyiségeket a rezgéseket jellemző fizikai mennyiségekkel? 9. Mik azok a csillapított rezgések? 10. Melyek a csatolt rezgések? 11. Mit értünk a rezgések összetételén és hogyan számítható ki az azonos irányú és frekvenciájú rezgések eredője? 12. Mik a kényszerrezgések? 13. Mi a rezonancia és hol kell figyelembe venni? 14. Hogyan számíthatjuk ki a rezgő rendszerek energiáját? (levezetés)
Feladatok
1. Egy rugóra akasztott 1 kg tömegű test rezgésideje 0,628 s. Mennyivel nyúlna meg a rugó, ha egy 2 kg tömegü testet akasztanánk rá, és mekkora lenne ekkor a rezgésidő? (0,885 s) 2. Két gravitációs inga ugyanazon a földrajzi helyen végzi lengéseit, az egyik 28 Hz, a másik 7 Hz frekvenciával. Milyen arány áll fenn az ingák hossza között ? (l1/l2=1/16) 3. Vízszintes síkon mozgó 20 dag tömegű kocsi olyan rugóhoz van rögzítve, amely összenyomódáskor is erőt tud kifejteni. 0,24 J munka befektetésével a kocsit 5 cm-re távolítjuk el egyensúlyi helyzetétől. Mekkora frekvenciájú rezgőmozgás alakul ki, ha elengedjük a kocsit? (15,6 Hz) 4. Egy test 10 cm-es amplitúdóval 5 Hz frekvenciával harmonikus rezgőmozgást végez. Hányszorosa a mozgási energia a rugó energiájának 2 cm-es kitérésnél? (24) 5. Egy daru függesztőkötelén levő teher percenként végez tíz teljes lengést. Számítsuk ki a kötél hosszát? (8,94 m) 6. Elhanyagolható tömegű harmonikus rugóból és a hozzá kapcsolt 172 g tömegű testből mechanikai renszert készítünk. A rendszer szabadrezgéseinek periódusideje 1,2 s. mekkora a rugóállandó? (4,71 N/m) 7. Harmonikus rezgőmozgást végző pontszerű test rezgéseinek amplitúdója 4 cm, a periódusidő 1,57 s. mekkora a test kitérése, sebessége és gyorsulása a 45 és 120 fázisú helyeken? (2·√2 cm, 8·√2 cm/s, -32·√2 cm/s2, 2·√3 cm, -8 cm/s, -32·√3 cm/s2) 8. A harmonikus rezgőmozgást végző anyagi pont y1 = 6 cm, és y2 = 4 cm kitéréseihez, v1 = 3 cm/s és v2 = 5 cm/s sebességek tartoznak. Határozzuk meg a rezgések amplítúdóját, frekvenciáját, maximális sebességét és maximális gyorsulását? (6,87 cm, 0,14 Hz, 6,159 cm/s, 5,52 cm/s2)
A kérdések kidolgozása 1. A rezgéseket elsősorban a frekvencia, periódus és az amplitudó jellemzi. A frekvencia megegyezik a másodpercenkénti teljes rezgések számával. A fizikai mennyiséget a görög ν (nű) betűvel jelöljük, mértékegysége a Hertz (Hz). A periódus az egy teljes rezgéshez szükséges időtartam, melyet T-vel jelölünk és másodpercben (s) mérünk. A periódus és a frekvencia egymás reciprok értéke 1 T = . Az amplitudó az a maximális kitérés távolsága, amit a rezgést végző
ν
részecske a szélső helyzetében elér. A betűvel jelöljük, mértékegysége a m. 2. A rezgés során a sebességnek akkor van maximum, amikor a koszinuszfüggvény értéke maximális, vagyis 1. Ez akkor van, amikor a fázis nulla vagy pí (180 fok), más szóval, amikor a test az egyensúlyi helyzeten megy át. A gyorsulásnak akkor van értéke, amikor a szinuszfüggvény értéke maximális, vagyis ha 90 vagy 270 fok, amikor a test a maximális kitérés helyzetében van. 3. A megnyúlt rugó, amikor a test a maximális kitérés állapotában van, csak helyzeti energiával rendelkezik, amikor a kitérés nem maximális, akkor a helyzeti energia mellett a mozgási energia is jelen van, amikor pedig az egyensúlyi helyzeten megy át, akkor csak mozgási energiája van. 4. A maximális kitérés állapotában a rezgő test csak helyzeti, az egyensúlyi állapoton keresztülhaladva pedig csak mozgási energiával rendelkezik, ezek az energiák ezekben a helyzetekben maximálisak. A közbenső helyzetekben a rezgő test mindkét energiával rendelkezik. Mivel itt eltekintünk a súrlódási és közegellenállási erőktől, a mozgási és helyzeti enrgiák összege, vagyis a mechania energia értéke állandó marad. 5. A fonálinga rezgéseit akkor tekinthetjük harmonikus rezgéseknek, ha a kitérés nagysága nem túl nagy, szögekben kifejezve, a kitérés szöge ha nem haladja meg az 5 fokot. 6. A harmonikus rezgéseket mindig olyan típusú erő okozza, amely egyenesen arányos a kitérés nagyságával és azzal ellentétes irányítású F = -kx. Egy m tömegű test egy ilyen erő hatására T = 2π ⋅
m k
periódusú rezgést végez.
7. Ha a kitérés nagysága nem túl nagy, akkor a rezgéseket harmonikus rezgéseknek tekinthetjük. A rezgések periódusa csak az inga hosszától, és az adott helyre jellemző gravitációs állandó értékétől függ. A periódust az alábbi képlettel számíthatjuk ki: T = 2π ⋅
l g
8. A körmozgás szögsebessége megfelel a rezgés körfrekvenciájának, a kör sugara a rezgés amplitúdójának, a periódus és a frekvencia megegyeznek a körmozgás periódusával és frekvenciájával. 9. Egy test szabad rezgést végez, ha rá egyetlen indítóerő hat és utána magára hagyjuk. Ebben az esetben a rezgés amplitúdója folyamatosan csökken, tehát csillapodó rezgés jön létre. 10. Egy rezgőmozgást végző test, ha valamilyen fizikai kapcsolatban van egy másik, eredetileg nyugalomban lévő testtel, a rezgőmozgását átviszi a másik testre. Az így létrejövő mozgást, csatolt rezgésnek nevezzük. 11. Több olyan jelenséggel is találkozhatunk, amikor valamely test, vagy egy test adott pontja, két- vagy akár több rezgés hatásának van egyidejűleg kitéve. Ha a rezgések iránya és frekvenciája azonos, akkor az eredő rezgés természetesen szintén azonos frekvenciájú harmonikus rezgés lesz, melynek amplitúdója a következő képlettel számítható ki: A =
2 2 A1 + A2 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cos(ϕ1 − ϕ 2 ) a rezgés
kezdőfázisának tangensét pedig a tgϕ =
A1 ⋅ sin ϕ1 + A2 ⋅ sin ϕ 2 képlet adja meg. A1 ⋅ cosϕ1 + A2 ⋅ cosϕ2
12. Ha egy rezgő rendszerre valamilyen periódikus gerjesztőerő hat, akkor a rendszer rezgésbe jön. Néhány rezgés után a rendszer periódikus mozgást végez a gerjesztőrezgés frekvenciájával. Az így létrejött rezgést kényszerrezgésnek nevezzük. 13. A rezonancia fizikai jelenség, mely gerjesztett rezgéseknél lép fel olyankor, ha a gerjesztés frekvenciája és a lengőrendszer szabad lengéseinek frekvenciája közel van egymáshoz. A rezonanciát a gyakorlatban is figyelembe kell venni. A forgómozgást végző gépek tengelyei és az ezekre szerelt tömegek nem teljesen egyenletes eloszlásúak. Ezért a forgórészek bizonyos helyzetben nagy erőt (ütést) gyakorolnak a
tengelyre. Ha a gép fordulatszáma akkora, hogy a tengely önrezgésszámával megegyező időközökben hatnak az ütések, a tengely kilengései annyira fokozódhatnak, hogy a tengely el is törhet. A forgó géprész önrezgésszámával megegyező fordulatszámot kritikus fordulatszámnak nevezzük. Nem ajánlatos a gépeket a kritikus fordulatszámon üzemeltetni. A hidak esetén a katonáknak nem szabad egy ütemre lépkedni, mert ha ez megegyezne a híd önrezgészszámával, akkor a rezonancia folytán a híd akár le is omolhatna. 14. A rendszer energiája a mozgási és a helyzeti energiák összegéből tevődik össze. 2
2
2
2
2
2
2
2
m ⋅ A ⋅ ω ⋅ cos ωt k ⋅ A ⋅ sin ωt = k ⋅ A (sin 2 ωt E = Em + Eh = m ⋅ v + k ⋅ y = + cos2 ωt ) + 2 2 2 2 2 k⋅y 2
E=
2
2
2
2
2
2
k⋅A m ⋅ω ⋅ A m ⋅ A ⋅ 4π 2 ⋅ m ⋅ A ⋅π = = = = 2 ⋅ m ⋅ A2 ⋅ν 2 2 2 2 ⋅T 2 T2
