Maturitní otázky Matematika

Maturitní otázky – Matematika také v tištěné verzi

Objednat můžete na www.fragment.cz.

Doporučujeme další e-knihy v edici: Maturitní otázky – Český jazyk – e-kniha Maturitní otázky – Literatura– e-kniha Maturitní otázky – Angličtina – e-kniha Maturitní otázky – Dějepis – e-kniha Eva Řídká, Dana Blahunková, Petr Chára Maturitní otázky – Matematika – e-kniha Copyright © Fragment, 2011 Všechna práva vyhrazena. Žádná část této publikace nesmí být rozšiřována bez písemného souhlasu majitelů práv.

Obsah

Obsah 1

Výroky a výroková logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1

Výrok a negace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2

Složené výroky, logické spojky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Negace složených výroků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

Kvantifikované výroky, kvantifikátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.5

Implikace, obměna, obrácená implikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6

Axiomy, definice, věty, důkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7

Důkaz matematickou indukcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1

Absolutní hodnota, geometrická interpretace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

2.2

Graf lineární funkce s absolutní hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3

Rovnice s absolutní hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4

Nerovnice s absolutní hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

Mocniny a odmocniny, rovnice s neznámou pod odmocninou . . . . . 31

3.1

Mocnina, odmocnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2

Částečné odmocnění, usměrnění zlomku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3

Iracionální rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Rovnice a nerovnice s parametrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1 Parametr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2

Lineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3

Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4

Kvadratické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5

Funkce a její vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1 Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2

Graf funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3

Vlastnosti funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.1

Definiční obor, obor hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3.2 Spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

5.4

5.3.3

Parita funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.4

Monotonie, funkce periodická . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3.5

Omezenost a extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.6

Funkce konvexní a konkávní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.7

Funkce prostá, inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Transformace grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 5.4.1

Posunutí grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3

obsah

5.4.2

„Deformace“ grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4.3

Absolutní hodnota v předpisu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

6 Lineární funkce, rovnice a jejich soustavy, nerovnice . . . . . . . . . 60 6.1

Lineární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.2

Grafické řešení rovnic a nerovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.3

Rovnice, nerovnice, soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

7 Lineární lomená a mocninná funkce, rovnice . . . . . . . . . . . . . . 68 7.1

Lineární lomená funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.2

Mocninné funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.3

Grafy lineárních lomených funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

7.4

Grafy lineárních lomených funkcí s absolutní hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.5

Grafy mocninných funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

7.6 Rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8 Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8.1

Kvadratická rovnice, kvadratický trojčlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.2

Soustavy rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.3

Kvadratická nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.4

Kvadratická funkce, graf kvadratické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

9 Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.1

Exponenciální funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.2

Grafy exponenciálních funkcí a jejich vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3

Exponenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.4

9.3.1

Exponenciální rovnice se dvěma členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.3.2

Exponenciální rovnice s více členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.3.3

Substituce v exponenciálních rovnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

Exponenciální nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

10 Logaritmické funkce, rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 100 10.1 Logaritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 10.2 Grafy logaritmických funkcí a jejich vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.3 Logaritmické rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.3.1 Rovnice využívající definici logaritmu a základních vlastností logaritmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.3.2 Věty o logaritmech a jejich užití v logaritmických rovnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.3.3 Substituce v logaritmických rovnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.3.4 Logaritmické nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11 Goniometrické funkce a rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 11.1 Definice goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 11.2 Definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 11.3 Goniometrické rovnice řešené na jednotkové kružnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4

Obsah 11.4 Grafy goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 11.5 Úpravy výrazů a řešení rovnic pomocí goniometrických vzorců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.6 Substituce v goniometrických rovnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

12 Trigonometrie, aplikace v praxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 12.1 Pravoúhlý trojúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 12.1.1 Pythagorova věta, Euklidovy věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 12.1.2 Užití goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 12.2 Obecný trojúhelník, sinová a kosinová věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12.2.1 Užití kosinové věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12.2.2 Užití sinové věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

13 Délky a plochy v rovinných útvarech, početní geometrie . . . . . . . 135 13.1 Obvody a obsahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 13.1.1 Kružnice, kruh, kruhová výseč, kruhová úseč, mezikruží . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 13.1.2 Trojúhelník, čtyřúhelník, mnohoúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 13.2 Úhly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

14 Konstrukční úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 14.1 Množiny bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 14.2 Trojúhelníky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 14.3 Mnohoúhelníky a kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

15 Shodnosti a podobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 15.1 Zobrazení v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 15.2 Shodná zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 15.2.1 Osová souměrnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 15.2.2 Středová souměrnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 15.2.3 Posunutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 15.2.4 Otočení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 15.3 Podobná zobrazení, stejnolehlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 15.3.1 Podobnost trojúhelníků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 15.3.2 Stejnolehlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

16 Vektory a jejich užití . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 17 Analytická geometrie lineárních ú tvarů . . . . . . . . . . . . . . . . 168 17.1 Přímka a její části . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 17.2 Rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 17.3 Metrické vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 17.4 Vzájemná poloha přímek a rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

18 Analytická geometrie kvadratických ú tvarů . . . . . . . . . . . . . . 181 18.1 Kuželosečky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 18.2 Tečny ke kuželosečkám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

5

obsah

19 Mnohostěny a rotační tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 19.1 Mnohostěny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 19.2 Rotační tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

20 Řezy těles, metrické vztahy v tělesech . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 20.1 Zobrazování těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 20.2 Řezy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 20.2.1 Řez krychle rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 20.2.2 Řez jehlanu rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 20.3 Průsečík přímky s rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 20.4 Průsečnice rovin v krychli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 20.5 Odchylky přímek a rovin, vzdálenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 20.5.1 Kolmost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 20.5.2 Metrické vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

21 Komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 21.1 Zobrazení komplexních čísel, operace, rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 21.1.1 Algebraický tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 21.1.2 Goniometrický tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 21.2 Kvadratické, binomické a reciproké rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

22 Posloupnosti a řady. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 22.1 Definice posloupnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 22.2 Vlastnosti posloupností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 22.3 Limita posloupnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 22.4 Věty o limitách posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 22.5 Aritmetická posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 22.6 Geometrická posloupnost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 22.7 Úlohy řešené pomocí aritmetické nebo geometrické posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 22.8 Nekonečná geometrická řada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

23 Kombinatorika a pravděpodobnost, statistika . . . . . . . . . . . . . 239 23.1 Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 23.1.1 Faktoriál, kombinační čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 23.1.2 Základní kombinatorická pravidla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 23.1.3 Variace, permutace, kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 23.1.4 Binomická věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 23.2 Pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 23.2.1 Definice pravděpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 23.2.2 Nezávislé jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 23.2.3 Podmíněná pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 23.2.4 Binomické rozdělení pravděpodobností - Bernoulliovo schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 23.3 Statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

6

Obsah 24 Derivace, průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 24.1 Limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 24.1.1 Definice limity funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 24.1.2 Výpočet limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 24.2 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 24.2.1 Definice derivace, věty o derivaci, výpočty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 24.3 Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 24.3.1 Monotonie, lokální extrémy, konvexní a konkávní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 24.3.2 Asymptoty grafů funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 24.4 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 24.5 Užití derivací při určování extrému ve slovních úlohách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

25 Integrál funkce a jeho aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 25.1 Primitivní funkce, neurčitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 25.2 Metoda substituce a per partes pro výpočty neurčitých integrálů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 25.3 Určitý integrál, výpočet obsahu plochy a objemu rotačních těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

7

ÚVOD Vážení čtenáři, kniha, kterou otevíráte, je určena středoškolákům, začínajícím vysokoškolákům, učitelům hledajícím inspiraci i zvídavým zájemcům, ale zejména maturantům. Obsahuje ucelený souhrn středoškolské matematiky rozčleněný do 25 maturitních témat. Každá kapitola začíná motivační úlohou, na níž si můžete ověřit své současné vědomosti. Postupně se seznámíte s teoretickými základy a prostřednictvím řešených úloh, jednodušších i složitějších, si proklestíte cestu k samostatnému řešení průblémů. Společně s upevňováním a prohlubováním vašich znalostí se posílí také dovednost rozumět matematickým textům. Čas strávený učením vám zpříjemní rozmanitost úloh, běžných i  nezvyklých, modelových i z praxe. Jednotlivé kapitoly poskytují možnost doplnit si učivo, které je v některých školách chápáno jako rozšířené učivo. Čtenář je pomalu seznamován s  tématem, každý další krok je podrobně popsán a následně použit v řešení. Průvodcem vám může být i množství názorných obrázků či utřídění některých důležitých pravidel v tabulkách. Každý si může najít svůj způsob přípravy. Zdatní studenti by úlohy měli řešit zcela samostatně, jednotlivé kapitoly obsahují i problémy pro náročné. Naopak méně pokročilým jsou k dispozici podrobná řešení všech úloh, včetně rozličných upozornění. Každý nový pojem matematické teorie je doložen ukázkou a následně procvičován. Není nutné vyřešit úlohy na první pokus a ani není potřeba pochopit všechno beze zbytku. Své sebevědomí si mnohem lépe upevníte, zaměříte-li se nejprve na problémy, které jsou pro vás jednodušší, nebo na témata, která vás zajímají. Úspěchu docílíte zejména tím, že samostatně vyřešíte úlohy, jež jste zpočátku dokázali pochopit jen díky nápovědě. Rozmanitost úloh od typicky školských až po praktické ukázky, rozdílnost forem jejich zadání, různá obtížnost a obsahová šíře od jednoduchých ke komplexním odpovídají požadavkům dnešní i připravované státní maturitiy. V úlohách jsou zastoupena všechna témata obsažená v Katalogu požadavků k  maturitní zkoušce uvedeného na stránkách Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání MŠMT. Všem čtenářům přejeme příjemnou a především užitečnou procházku Maturitními otázkami.



8

Autoři

Výroky a výroková logika

Rˇ esˇ´ısˇ s kamara´dem proble´m prˇ´ıpravy na maturitu z matematiky. Konstatujesˇ: Koupı´m-li si tuto sbı´rku a budu-li ” pilneˇ studovat, pak maturitu z matematiky zvla´dnu.“ Kamara´d odpovı´: No, ja´ si myslı´m, zˇ e kdyzˇ si ji koupı´sˇ ” a nezvla´dnesˇ maturitu, pak jsi pilneˇ nestudoval.“ Na to kontrujesˇ: Ty prˇece rˇ´ıka´sˇ to same´, co jsem rˇekl ja´.“ ” Rˇ ´ıka´te skutecˇneˇ tote´zˇ ? Rˇ esˇenı´: Zapisˇ symbolicky jednoduche´ vy´roky: K: Koupı´m sbı´rku. S: Pilneˇ studuji. Z: Zvla´dnu maturitu. S pouzˇ itı´m logicky´ch spojek zapisˇ oba slozˇ ene´ vy´roky: (K ∧ S) ⇒ Z: Koupı´m-li si tuto sbı´rku a budu-li pilneˇ studovat, maturitu z matematiky zvla´dnu. (K ∧ ¬Z) ⇒ ¬S: Kdyzˇ si ji koupı´sˇ a nezvla´dnesˇ maturitu, pak jsi pilneˇ nestudoval. Zapisˇ tabulku pravdivostnı´ch hodnot: K S Z ¬S ¬Z K ∧ S K ∧ ¬Z 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

(K ∧ S) ⇒ Z 1 0 1 1 1 1 1 1

(K ∧ ¬Z) ⇒ ¬S 1 0 1 1 1 1 1 1

Z poslednı´ch dvou sloupcu˚ vyply´va´, zˇ e oba rˇ´ıka´te skutecˇneˇ tote´zˇ . (Slozˇ ene´ vy´roky jsou ekvivalentnı´.)

1.1

Výrok a negace

Vy´rok je kazˇ da´ oznamovacı´ veˇ ta, ktera´ naby´va´ pra´veˇ jedne´ ze dvou pravdivostnı´ch hodnot: pravdy, je-li veˇ ta pravdiva´ (oznacˇenı´ symbolem 1), anebo nepravdy, je-li veˇ ta nepravdiva´ (oznacˇenı´ symbolem 0). Vy´rokove´ promeˇ nne´ se znacˇ´ı velky´mi pı´smeny (A–Z). Negacı´ vy´roku A je vy´rok ¬A s opacˇnou pravdivostnı´ hodnotou, ktery´ se vytvorˇ´ı z pu˚ vodnı´ho vy´roku A spojenı´m nenı´ pravda, zˇ e A“, prˇ´ıpadneˇ jinou veˇ tou te´hozˇ vy´znamu. ”

´ loha 1 U Zapisˇte libovolny´ pravdivy´ a nepravdivy´ vy´rok a vytvorˇte negaci: Rˇ esˇenı´: A 1 0

¬A 0 1

Vy´rok Cˇ ´ıslo 2 je nejmensˇ´ı prvocˇ´ıslo. Praha je hlavnı´ meˇ sto Cˇ ´ıny.

Negace vy´roku Nejmensˇ´ım prvocˇ´ıslem nenı´ cˇ´ıslo 2. Praha nenı´ hlavnı´m meˇ stem Cˇ ´ıny.

´ loha 2 U Vytvorˇte ru˚ zna´ vyja´drˇenı´ negace na´sledujı´cı´ho vy´roku a urcˇete jeho pravdivostnı´ hodnotu: Cˇ ´ıslo 9 je sude´. Rˇ esˇenı´: Nenı´ pravda, zˇ e cˇ´ıslo 9 je sude´. Neplatı´ tvrzenı´, zˇ e cˇ´ıslo 9 je sude´. Cˇ ´ıslo 9 nenı´ sude´. Cˇ ´ıslo 9 je liche´ . Cˇ ´ıslo 9 nenı´ na´sobkem cˇ´ısla 2. Pro negaci je mozˇ ne´ najı´t jesˇteˇ dalsˇ´ı vyja´drˇenı´. V te´to u´loze ma´ negace vy´roku pravdivostnı´ hodnotu 1, pu˚ vodnı´ vy´rok ma´ pravdivostnı´ hodnotu 0.

9

1. Výroky a výroková logika

1

1. výroky a výroková logika

´ loha 3 U Ktere´ z na´sledujı´cı´ch veˇ t jsou vy´roky? U vy´roku˚ urcˇete pravdivostnı´ hodnotu. a) b) c) d) e)

Pro x ∈ R platı´, zˇ e 2x − 5 = 1. Existuje x ∈ N, pro neˇ zˇ je 2x − 5 = 1. Pro x = 3 platı´ 2x − 5 = 1. Existuje za´porny´ korˇen rovnice 2x − 5 = 1. Ke kazˇ de´mu parametru a z oboru prˇirozeny´ch cˇ´ısel existuje pra´veˇ jedno prˇirozene´ cˇ´ıslo x, ktere´ je rˇesˇenı´m rovnice x4 − a(x3 + x2 + x + 1) − 1 = 0.

Rˇ esˇenı´:

a) K uvedene´mu sdeˇ lenı´ se nepodarˇ´ı prˇirˇadit jednu pravdivostnı´ hodnotu. Pro x = 3 je tvrzenı´ pravdive´, pro jine´ hodnoty promeˇ nne´ x je nepravdive´. Veˇ ta nenı´ vy´rokem. b), c), d) Vsˇechna trˇi uvedena´ tvrzenı´ jsou vy´roky. Pravdivostnı´ hodnoty jsou postupneˇ 1, 1, 0. e) Mu˚ zˇ e se sta´t, zˇ e nevyrˇesˇ´ısˇ uvedenou rovnici, a nedoka´zˇ esˇ urcˇit pravdivostnı´ hodnotu tvrzenı´. Prˇesto mu˚ zˇ esˇ doka´zat, zˇ e tvrzenı´ naby´va´ jedine´ pravdivostnı´ hodnoty, a je tedy vy´rokem. Zkus posoudit pravdivostnı´ hodnoty vsˇech mozˇ nostı´. Pokud by k neˇ ktere´ hodnoteˇ parametru a neexistovalo zˇ a´dne´ rˇesˇenı´ rovnice nebo by k neˇ ktere´ hodnoteˇ parametru a existovala alesponˇ dveˇ ru˚ zna´ rˇesˇenı´, tvrzenı´ by bylo nepravdive´. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ by se ke kazˇ de´ hodnoteˇ parametru a nasˇlo jedine´ rˇesˇenı´, pak by tvrzenı´ bylo pravdive´. Obeˇ tyto situace se vza´jemneˇ vylucˇujı´ (prvnı´ mozˇ nost je negacı´ druhe´ ) a jina´ situace jizˇ nastat nemu˚ zˇ e. Jedna´ se tedy skutecˇneˇ o vy´rok. Pokud chcesˇ zjistit odpoveˇ d’ na pravdivostnı´ hodnotu vy´roku, mu˚ zˇ esˇ nejprve zkusit za a dosadit hodnotu 1, resp. 2, a uka´zat, zˇ e k vybrane´ hodnoteˇ existuje jediny´ korˇen z oboru N (x = 2, resp. 3). Du˚ kaz pravdivosti tvrzenı´ e) provedesˇ obecneˇ. Rozlozˇ´ısˇ vy´raz x4 − 1, vytknesˇ cˇtyrˇcˇlen x3 + x2 + x + 1 a zı´ska´sˇ jeden korˇenovy´ cˇinitel x − (a + 1), tedy i prvnı´ korˇen x = (a + 1). Nulova´ hodnota druhe´ ho cˇinitele x3 + x2 + x + 1 jizˇ nevede k zˇ a´dne´mu dalsˇ´ımu kladne´mu rˇesˇenı´. Pravdivostnı´ hodnota vy´roku je 1.

1.2

Složené výroky, logické spojky

Spojenı´m jednoduchy´ch vy´roku˚ logicky´mi spojkami vzniknou slozˇ ene´ vy´roky. Konjunkce: A ∧ B, cozˇ cˇteme A a B“ cˇi A a soucˇ asneˇ B“ cˇi A i B“. ” ” ” Konjunkce je pravdiva´ jen v prˇ´ıpadeˇ , kdy jsou oba vy´roky pravdive´. Disjunkce: A ∨ B, cozˇ cˇteme A nebo B“. Pozor! Spojka nebo“ nema´ vy´znam vylucˇovacı´. ” ” Disjunkce je nepravdiva´ jen v prˇ´ıpadeˇ , kdy jsou oba vy´roky nepravdive´. Implikace: A ⇒ B, cozˇ cˇteme z A vyply´va´ B“ cˇi jestlizˇ e A, pak B“. ” ” Implikace je nepravdiva´ jen v prˇ´ıpadeˇ , zˇ e prˇedpoklad A je pravdivy´, ale tvrzenı´ B je nepravdive´. Ekvivalence: A ⇔ B, cozˇ cˇteme A, pra´veˇ kdyzˇ B“ cˇi A tehdy a jen tehdy, kdyzˇ B“. ” ” Ekvivalence je pravdiva´, majı´-li oba vy´roky stejnou pravdivostnı´ hodnotu. Pravdivostnı´ hodnoty slozˇ eny´ch vy´roku˚ jsou tedy za´visle´ na pravdivostnı´ch hodnota´ ch jednoduchy´ch vy´roku˚ , cozˇ je uvedeno v tabulce:

10

1. Výroky a výroková logika

1.3

Negace složených výroků

Slozˇ eny´ vy´rok A∧B A∨B A⇒B A⇔B nebo Ekvivalence (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) Konjunce Disjunce Implikace

Negace ¬A ∨ ¬B ¬A ∧ ¬B A ∧ ¬B A ⇔ ¬B nebo ¬A ⇔ B nebo (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)

´ loha 4 U Je da´no 5 jednoduchy´ch vy´roku˚ : A: Prˇijde Adam. B: Prˇijde Bohuslav. C: Prˇijde Cyril. D: Prˇijde Dana. E: Prˇijde Eva. Pomocı´ symbolu˚ A–E vytvorˇte za´pisy na´sledujı´cı´ch slozˇ eny´ch vy´roku˚ : Vy´rok Rˇ esˇenı´ Jiny´ zpu˚ sob vyja´drˇenı´ a) Neprˇijde Adam nebo Bohuslav. ¬A ∨ ¬B ¬(A ∧ B) b) Prˇijde pra´veˇ jedna dı´vka. D ⇔ ¬E (D ⇒ ¬E) ∧ (¬D ⇒ E) c) Prˇijde alesponˇ jeden chlapec. A∨B∨C d) Prˇijde-li Dana, neprˇijde ani Adam ani Cyril. D ⇒ (¬A ∧ ¬C) D ⇒ ¬(A ∨ C)

´ loha 5 U Vyslovte negace vy´roku˚ a) azˇ d) z prˇ´ıkladu 4. Nejprve uved’te symbolicky´ za´pis negace. Rˇ esˇenı´: a) (A ∧ B) b) D ⇔ E

c) ¬A ∧ ¬B ∧ ¬C d)

D ∧ (A ∨ C) (D ∧ A) ∨ (D ∧ C)

Prˇijde Adam i Bohuslav. Neprˇijde zˇ a´dna´ z dı´vek, anebo prˇijdou obeˇ . Dana prˇijde pra´veˇ tehdy, kdyzˇ prˇijde Eva. Neprˇijde nikdo z chlapcu˚. Neprˇijde Adam ani Bohuslav a ani Cyril. Prˇijde Dana a alesponˇ jeden z obou chlapcu˚, Adam nebo Cyril. Dana prˇijde bud’ s Adamem, nebo s Cyrilem.

Pro neˇ ktere´ vy´roky jsou v tabulce uvedeny ru˚ zne´ mozˇ nosti.

1.4

Kvantifikované výroky, kvantifikátory

Vy´roky, ktere´ uda´vajı´ pocˇet, se nazy´vajı´ kvantifikovane´ vy´roky. Obecny´ kvantifika´ tor: ∀, ktery´ se cˇte kazˇ dy´“ cˇi pro vsˇechna“ cˇi libovolny´“, v za´porne´ veˇ teˇ se cˇte zˇ a´dny´“ ” ” ” ” cˇi nikdo“. Obecny´ kvantifika´ tor prˇirˇazuje popisovanou vlastnost vsˇem objektu˚ m. ” Existencˇ nı´ kvantifika´ tor: ∃, ktery´ se cˇte existuje“ cˇi alesponˇ pro jeden“. Existencˇnı´ kvantifika´ tor vyjadrˇuje ” ” existenci alesponˇ jednoho objektu s popisovanou vlastnostı´.

11

1. výroky a výroková logika

´ loha 6 U Prˇecˇteˇ te a vysveˇ tlete na´sledujı´cı´ vy´roky: a) ∀x ∈ R; |x| ≥ 0 b) ∃m ∈ N ∀n ∈ N; m ≤ n c) ∀n ∈ Z ∃m ∈ Z; m < n

Rˇ esˇenı´:

a) Absolutnı´ hodnotou libovolne´ho rea´lne´ho cˇ´ısla je cˇ´ıslo neza´porne´. (Vlastnost se ty´ka´ vsˇech rea´lny´ch cˇ´ısel.) b) Existuje prˇirozene´ cˇ´ıslo m, ktere´ je ze vsˇech prˇirozeny´ch cˇ´ısel nejmensˇ´ı. (Sta´le stejne´ prˇirozene´ cˇ´ıslo m se porovna´va´ se vsˇemi prˇirozeny´mi cˇ´ısly n.) c) Mezi cely´mi cˇ´ısly je mozˇ ne´ k libovolne´mu z nich najı´t jesˇteˇ mensˇ´ı. (Ke kazˇ de´mu cele´ mu cˇ´ıslu n je mozˇ ne´ najı´t jine´ cele´ cˇ´ıslo m.) Zatı´mco vy´rok b) rˇ´ıka´, zˇ e v mnozˇ ineˇ prˇirozeny´ch cˇ´ısel existuje minimum, ve vy´roku c) se tvrdı´, zˇ e v mnozˇ ineˇ cely´ch cˇ´ısel minimum neexistuje. Prˇi negaci kvantifikovany´ch vy´roku˚ se obecny´ kvantifika´ tor meˇ nı´ na existencˇnı´ a opacˇneˇ . Negace neˇ ktery´ch kvantifika´ toru˚ : ∀ ∃ alesponˇ n prvku˚ je . . . (pro n ∈ N\{1}) nejvy´sˇe n prvku˚ je . . . (pro n ∈ N)

neˇ kterˇ´ı jsou. . . , alesponˇ jeden je . . . vsˇichni jsou . . . pra´veˇ n prvku˚ je . . . (pro n ∈ N\{1}) pra´veˇ jeden prvek je . . .

∃ ∀ me´neˇ nezˇ n prvku˚ je . . . , nejvy´sˇe n − 1 prvku˚ je . . . vı´ce nezˇ n prvku˚ je . . . , nejme´neˇ n + 1 prvku˚ je . . . , alesponˇ n + 1 prvku˚ je . . . zˇ a´dnı´ nejsou . . . , nikdo nenı´ . . . neˇ kterˇ´ı nejsou . . . , alesponˇ jeden nenı´ . . . me´neˇ nezˇ n prvku˚ nebo vı´ce nezˇ n prvku˚ je . . . zˇ a´dny´ prvek nenı´ nebo alesponˇ dva prvky jsou . . .

´ loha 7 U Vytvorˇte negace vy´roku˚ z prˇ´ıkladu 6. Rˇ esˇenı´: a) ∃x ∈ R; |x| < 0 b) ∀m ∈ N ∃n ∈ N; m > n c) ∃n ∈ Z ∀m ∈ Z; m ≥ n

´ loha 8 U Negujte na´sledujı´cı´ vy´roky: a) Pu˚ jdu nejvy´sˇe na 2 filmy. b) Zpozdil se nejme´neˇ o 5 minut. c) Zˇ a´dny´ poslanec nehlasoval proti. d) V konvexnı´m peˇ tiu´helnı´ku majı´ libovolne´ dveˇ u´hloprˇ´ıcˇky spolecˇny´ bod. e) Nikdy nikomu neprozradı´ vsˇechno. f) Kazˇ dy´ proble´m ho zaskocˇ´ı. g) Neˇ kterˇ´ı by sami nevyrˇesˇili vu˚ bec nic.

12

Rˇ esˇenı´: Pu˚ jdu alesponˇ na 3 filmy. (vı´ce nezˇ na 2) Pokud se zpozdil, pak me´neˇ nezˇ o 5 minut. Alesponˇ jeden poslanec hlasoval proti. V konvexnı´m peˇ tiu´helnı´ku je alesponˇ jedna dvojice u´hloprˇ´ıcˇek, ktere´ nemajı´ spolecˇny´ bod. Neˇ kdy neˇ komu vsˇechno prozradı´. Neˇ ktery´ proble´m ho nezaskocˇ´ı. Kazˇ dy´ by sa´m neˇ co vyrˇesˇil.

Implikace, obměna, obrácená implikace

´ loha 9 U Porovnej v tabulce pravdivostnı´ hodnoty slozˇ eny´ch vy´roku˚ A ⇒ B, ¬B ⇒ ¬A a ¬A ∨ B, da´le je porovnej s vy´roky B ⇒ A a A ⇔ B. Rˇ esˇenı´:

Implikace A ⇒ B ma´ stejnou pravdivostnı´ hodnotu jako obmeˇ na implikace ¬B ⇒ ¬A. Je-li slozˇ eny´ vy´rok uvozen kvantifika´ tory, prˇi obmeˇ neˇ implikace se kvantifika´ tory nezmeˇ nı´ (na rozdı´l od negace). Obra´cena´ implikace k vy´roku A ⇒ B je vy´rok B ⇒ A. Pravdivostnı´ hodnotu obra´cene´ implikace nelze z pu˚ vodnı´ implikace prˇedvı´dat. Pokud je implikace i obra´cena´ implikace pravdiva´, jsou oba jednoduche´ vy´roky dokonce ekvivalentnı´. Slozˇ eny´ vy´rok, ktery´ je vzˇ dy pravdivy´, a to neza´visle na pravdivostnı´ch hodnota´ ch jednoduchy´ch vy´roku˚ z nichzˇ je slozˇ en, se nazy´va´ tautologie. Prˇ´ıklady tautologiı´: (A ⇒ ¬B) ⇔ (B ⇒ ¬A) (A ∧ B) ⇒ (A ∨ B) A ∨ ¬A

´ loha 10 U Vytvorˇte obmeˇ ny implikacı´, obra´cene´ implikace a negace. U u´lohy b) a c) oznacˇte pravdivostnı´ hodnotu symboly 1, 0: a) Jestli nespı´, pak snı´. b) Ma´-li rovnobeˇ zˇ nı´k kolme´ u´hloprˇ´ıcˇky, ma´ i shodne´ strany. c) Shodujı´-li se libovolne´ troju´helnı´ky alesponˇ v jedne´ straneˇ a prˇ´ıslusˇne´ vy´sˇce, majı´ stejny´ obsah. Rˇ esˇenı´: Obmeˇ na implikace: a) Jestli nesnı´, pak spı´. b) Nema´-li rovnobeˇ zˇ nı´k shodne´ strany, nema´ ani kolme´ u´hloprˇ´ıcˇky. (1) c) Majı´-li libovolne´ troju´helnı´ky odlisˇny´ obsah, pak se neshodujı´ v zˇ a´dne´ dvojici – strana s prˇ´ıslusˇnou vy´sˇkou. (1) Obra´cena´ implikace: a) Jestli snı´, pak nespı´. b) Ma´-li rovnobeˇ zˇ nı´k shodne´ strany, ma´ i kolme´ u´hloprˇ´ıcˇky. (1) c) Majı´-li libovolne´ troju´helnı´ky stejny´ obsah, pak se shodujı´ alesponˇ v jedne´ straneˇ a prˇ´ıslusˇne´ vy´sˇce. (0) Negace: a) Nespı´ a nesnı´. b) Rovnobeˇ zˇ nı´k ma´ kolme´ u´hloprˇ´ıcˇky a nema´ shodne´ strany. (0) c) Existujı´ troju´helnı´ky s ru˚ zny´m obsahem, ktere´ se shodujı´ alesponˇ v jedne´ straneˇ a prˇ´ıslusˇne´ vy´sˇce. (0) Pozor! Zmeˇ na kvantifika´ toru˚ u negacı´!

13

1. Výroky a výroková logika

1.5

1. výroky a výroková logika

Pozna´mka: Vy´rok b) je mozˇ ne´ vyslovit jako ekvivalenci. Bude pravdiva´, nebot’implikace i obra´cena´ implikace je pravdiva´. Rovnobeˇ zˇ nı´k ma´ kolme´ u´hloprˇ´ıcˇky, pra´veˇ kdyzˇ ma´ shodne´ strany.

´ loha 11 U Ktera´ z na´sledujı´cı´ch ekvivalencı´ je pravdiva´? a) ∀x ∈ R; x ≥ 0 ⇔ |x| = x b) ∀n ∈ Z; 4 | n ⇔ 4 | n2

Rˇ esˇenı´: Prˇi du˚ kazovy´ch u´loha´ ch s ekvivalencı´ se posuzujı´ pravdivostnı´ hodnoty implikace a obra´cene´ implikace. a) Oba slozˇ ene´ vy´roky ∀x ∈ R; x ≥ 0 ⇒ |x| = x, ∀x ∈ R; |x| = x ⇒ x ≥ 0 (implikace a obra´cena´ implikace) jsou pravdive´, proto je pravdiva´ ekvivalence ∀x ∈ R; x ≥ 0 ⇔ |x| = x.

b) Vy´rok ∀n ∈ Z; 4 | n ⇒ 4 | n2 je pravdivy´, ale obra´cena´ implikace ∀n ∈ Z; 4 | n2 ⇒ 4 | n je nepravdiva´ (naprˇ. 4 | 36, ale 4  6). Proto je ekvivalence ∀n ∈ Z; 4 | n ⇔ 4 | n2 nepravdiva´. K du˚ kazu obra´cene´ implikace uzˇ ij obmeˇ ny: ∀n ∈ Z; 4  n ⇒ 4  n2 (neprˇ´ımy´ du˚ kaz - viz da´le).

´ loha 12 U Ktere´ z na´sledujı´cı´ch vy´roku˚ jsou vza´jemneˇ ekvivalentnı´? a) b) c) d) e) f)

Vy´rok A : ∀x ∈ R; Vy´rok B : ∀x ∈ R; Vy´rok C : ∀x ∈ R; Vy´rok D : ∃x ∈ R; Vy´rok E : ∀x ∈ R; Vy´rok F : ∀x ∈ R;

x > 1 ⇒ x2 > x x2 ≤ x ⇒ x ≤ 1 x2 > x ⇒ x > 1 x > 1 ∧ x2 ≤ x x ≤ 1 ∨ x2 > x x2 ≤ x ∨ x > 1

Rˇ esˇenı´: Vy´rok B je obmeˇ nou vy´roku A, proto jsou oba vy´roky A, B vza´jemneˇ ekvivalentnı´. Vy´roky A a C obsahujı´ obra´cene´ implikace. Vy´roky nejsou ekvivalentnı´. Vy´rok D je negacı´ vy´roku˚ A i B, proto ma´ opacˇnou pravdivostnı´ hodnotu nezˇ tyto vy´roky. Vy´rok E je negacı´ vy´roku D, vznikl tedy dvojna´sobny´m negova´nı´m vy´roku A cˇi B, proto je s obeˇ ma teˇ mito vy´roky vza´jemneˇ ekvivalentnı´. Vy´rok F vznikl dvojna´sobny´m negova´nı´m vy´roku C. Proto jsou C a F ekvivalentnı´ vy´roky. Vsˇechny trˇi vza´jemneˇ ekvivalentnı´ vy´roky A, B, E majı´ tute´zˇ pravdivostnı´ hodnotu, jsou pravdive´. Ekvivalentnı´ vy´roky C a F jsou nepravdive´ a vy´rok D je rovneˇ zˇ nepravdivy´.

´ loha 13 U Prˇedpokla´ dejme, zˇ e ponozˇ ky v pra´delnı´m kosˇi rozlisˇujeme na sveˇ tle´ a tmave´, bavlneˇ ne´ a silonove´, dı´vcˇ´ı a chlapecke´ a take´ tluste´ a tenke´. 1. Vı´me, zˇ e v prvnı´m kosˇi jsou vsˇechny tluste´ ponozˇ ky tmave´. Vyply´va´ z toho, zˇ e a) tam musı´ by´t neˇ jake´ tenke´ sveˇ tle´ ponozˇ ky? b) pokud je v kosˇi tmava´ ponozˇ ka, je tlusta´? c) pokud jsou v kosˇi jen tluste´ ponozˇ ky, musı´ by´t vsˇechny ponozˇ ky v kosˇi tmave´? d) pokud je v kosˇi neˇ jaka´ dı´vcˇ´ı sveˇ tla´ ponozˇ ka, pak je soucˇasneˇ tenka´? 2. Vı´me, zˇ e ve druhe´ m kosˇi nejsou zˇ a´dne´ tluste´ chlapecke´ ponozˇ ky ani silonove´ ponozˇ ky, ale vsˇechny ponozˇ ky jsou dı´vcˇ´ı nebo sveˇ tle´. Vylucˇuje se to s tı´m, zˇ e e) je tam neˇ jaka´ sveˇ tla´ chlapecka´ ponozˇ ka? f) je tam neˇ jaka´ dı´vcˇ´ı sveˇ tla´ tenka´ ponozˇ ka? g) je tam neˇ jaka´ chlapecka´ tmava´ ponozˇ ka? h) je tam neˇ jaka´ tmava´ chlapecka´ bavlneˇ na´ ponozˇ ka?

14

1. Výroky a výroková logika

Rˇ esˇenı´: 1.

a) b) c) d)

NE. (Neprˇedpokla´ da´ se existence zˇ a´dny´ch dalsˇ´ıch ponozˇ ek v kosˇi.) NE. (Platı´ jen obra´cena´ implikace.) ANO. (Jsou-li tluste´, jsou tmave´.) ANO. (Platı´ obmeˇ na implikace – nenı´-li ponozˇ ka tmava´, nenı´ ani tlusta´.)

2. Pro rˇesˇenı´ dalsˇ´ı cˇa´sti u´lohy mu˚ zˇ esˇ vyuzˇ´ıt na´sledujı´cı´ tabulky: svˇetl´e tmav´e Ponoˇzky bavlnˇen´e silonov´e bavlnˇen´e silonov´e tlust´e

tenk´e

2

d´ıvˇc´ı chlapeck´e

1

1, 2

d´ıvˇc´ı

f)

2

chlapeck´e

e)

2

2 1, 3

1, 2, 3 2

3

2, 3

Tabulka zna´zornˇ uje situaci ve druhe´ m kosˇi, bı´la´ jsou pole s ponozˇ kami, ktere´ v kosˇi urcˇiteˇ nebudou. (Jsou to tluste´ chlapecke´ ponozˇ ky (1), silonove´ ponozˇ ky (2) a tmave´ chlapecke´ ponozˇ ky (3), nebot’nejsou sveˇ tle´ a ani dı´vcˇ´ı). e) NE. (Zbylo vybarvene´ pole se sveˇ tly´mi chlapecky´mi ponozˇ kami.) f) NE. g) ANO. (Zbyla jen bı´la´ pole.) h) ANO. d´ıvˇc´ı 2 2 2

1

svˇetl´e

2

1

2

2 2

3

2

3 1

1.6

3

tenk´e 3 1

bavlnˇen´e

K rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu 13 je mozˇ ne´ pouzˇ´ıt i Vennovy´ch diagramu˚ pro zna´zorneˇ nı´ cˇtyrˇ mnozˇ in, ktere´ prˇedstavujı´ cˇtyrˇi charakteristiky (uzˇ ivatel, odstı´n, sı´la, materia´l), kde u kazˇ de´ charakteristiky existujı´ dveˇ mozˇ nosti. (Uzˇ ivatel je dı´vka cˇi chlapec, odstı´n je sveˇ tly´ cˇi tmavy´ apod.) Kazˇ da´ mnozˇ ina prˇedstavuje jednu mozˇ nost u vybrane´ charakteristiky (naprˇ. uzˇ ivatel je dı´vka), druhou mozˇ nost (uzˇ ivatel je chlapec) prˇedstavuje doplneˇ k te´to mnozˇ iny. Bı´le´ jsou ty mnozˇ iny ponozˇ ek, ktere´ se ve druhe´ m kosˇi nemohou vyskytovat.

Axiomy, definice, věty, důkazy

Axiom je tvrzenı´, ktere´ se nedokazuje, prˇedpokla´ da´ se, zˇ e je pravdive´. Axiomy jsou za´kladnı´mi kameny kazˇ de´ matematicke´ teorie. (Axiomem je naprˇ. tvrzenı´ Eukleidovske´ geometrie: Libovolny´m bodem, ktery´ lezˇ´ı mimo danou prˇ´ımku, mu˚ zˇ eme ve´st pra´veˇ jednu rovnobeˇ zˇ ku s touto prˇ´ımkou.) Definicı´ se zava´dı´ novy´ pojem. (Prˇ´ıklad: Rˇ ´ıka´me, zˇ e prˇirozene´ cˇ´ıslo je prvocˇ´ıslo, kdyzˇ ma´ v oboru prˇirozeny´ch cˇ´ısel pra´veˇ dva ru˚ zne´ deˇ litele – cˇ´ıslo jedna a samo sebe.) Matematicka´ veˇ ta je takovy´ pravdivy´ vy´rok (matematicka´ teorie), jehozˇ pravdivost mu˚ zˇ eme doka´zat prostrˇednictvı´m axiomu˚ a veˇ t jizˇ drˇ´ıve doka´zany´ch. (Prˇ´ıklad: V kazˇ de´m kosocˇtverci jsou u´hloprˇ´ıcˇky na sebe kolme´.) Du˚ kazem se vyvozuje pravdivostnı´ hodnota (dokazovane´ho) tvrzenı´. Vyjmenujme cˇtyrˇi za´kladnı´ typy du˚ kazu˚ : prˇ´ımy´ a neprˇ´ımy´ du˚ kaz, du˚ kaz sporem a du˚ kaz matematickou indukcı´. V prˇ´ıme´m du˚ kazu se z uvedeny´ch prˇedpokladu˚ dospeˇ je k dokazovane´mu tvrzenı´ prostrˇednictvı´m pravdivy´ch (drˇ´ıve doka´zany´ch nebo z axiomu˚ platny´ch) implikacı´. Du˚ kaz sporem zacˇ´ına´ prˇedpokladem negace dokazovane´ho vy´roku. Prˇi vyvozova´nı´ z te´to negace se dospeˇ je k neˇ jake´mu tvrzenı´, ktere´ je nepravdive´, prˇ´ıpadneˇ je v logicke´ m sporu s prˇedpokladem. Je tak doka´za´na nepravdivost negace dokazovane´ho vy´roku. Pravdivy´ je pu˚ vodnı´ vy´rok.

15

1. výroky a výroková logika

Neprˇ´ımy´ du˚ kaz se pouzˇ´ıva´ pro neˇ ktere´ vy´roky formulovane´ jako implikace a je zaha´ jen obmeˇ nou dokazovane´ implikace. Dalsˇ´ı tvrzenı´ se vyvozujı´ podobneˇ jako u prˇ´ıme´ho du˚ kazu. Prˇi vytva´rˇenı´ (matematicke´ ) teorie zpravidla vycha´ zı´me z hypote´ z. Hypote´za je tvrzenı´, u neˇ hozˇ je evidentnı´, zˇ e mu˚ zˇ e naby´vat pra´veˇ jedne´ pravdivostnı´ hodnoty, pravdivostnı´ hodnota vsˇak nenı´ v dane´m okamzˇ iku zna´ma. Hypote´za je tedy vy´rokem, u neˇ hozˇ se pravdivostnı´ hodnota teprve hleda´ .

´ loha 14 U Dokazˇ te, zˇ e v oboru N platı´: a) Libovolne´ slozˇ ene´ cˇ´ıslo lze rozlozˇ it alesponˇ na dva cˇinitele ru˚ zne´ od 1 a od sebe same´ho. b) Nejmensˇ´ı deˇ litel m libovolne´ho slozˇ ene´ho cˇ´ısla s, ktery´ je ru˚ zny´ od 1, musı´ by´t prvocˇ´ıslem. Rˇ esˇenı´: Nejprve je trˇeba nahle´ dnout zada´nı´. Zvolme neˇ kolik uka´zek: 4 = 2 · 2, 99 = 3 · 3 · 11 = 3 · 33 = 9 · 11 = 32 · 11, 35 = 5 · 7 a podobneˇ . Vsˇechna trˇi cˇ´ısla lze rozlozˇ it alesponˇ na dva deˇ litele ru˚ zne´ od 1, oba jsou mensˇ´ı nezˇ slozˇ ene´ cˇ´ıslo, ktere´ rozkla´da´me. Nejmensˇ´ı takovy´ deˇ litel je prvocˇ´ıslo (2, 3 a 5). a) Du˚ kaz (prˇ´ımy´): Slozˇ ene´ cˇ´ıslo s nenı´ prvocˇ´ıslo, proto existuje alesponˇ jeden jeho deˇ litel ru˚ zny´ od 1 a od s. Vyberme si nejmensˇ´ıho takove´ho deˇ litele m, ktery´ splnˇ uje tyto podmı´nky. Po vydeˇ lenı´ slozˇ ene´ho cˇ´ısla s jeho deˇ litelem m dostaneme podı´l d (s : m = d), ktery´ musı´ by´t mensˇ´ı nezˇ deˇ lenec s, nebot’ deˇ litel m je veˇ tsˇ´ı nezˇ 1. Platı´: (s = m · d ∧ 1 < m) ⇒ 1 · d < m · d ⇒ d < s. Pro obeˇ nalezena´ cˇ´ısla m, d platı´: 1 < m ≤ d < s. Skutecˇneˇ tedy existujı´ dva cˇinitele´ m a d splnˇ ujı´cı´ dane´ podmı´nky. b) Du˚ kaz (sporem): Prˇedpokla´ dejme negaci tvrzenı´ b), tedy zˇ e nejmensˇ´ı deˇ litel m ru˚ zny´ od 1 nenı´ prvocˇ´ıslem. (Naprˇ. u cˇ´ısla 99 bychom prˇedpokla´ dali, zˇ e jeho nejmensˇ´ı deˇ litel je 9.) V prˇedchozı´ u´loze jsme jizˇ doka´zali, zˇ e takove´ cˇ´ıslo m mu˚ zˇ eme rozlozˇ it na soucˇin dvou mensˇ´ıch cˇ´ısel ru˚ zny´ch od jedne´ (m = m 1 · d1 ). Potom libovolne´ z teˇ chto dvou cˇ´ısel je rovneˇ zˇ deˇ litelem pu˚ vodnı´ho slozˇ ene´ho cˇ´ısla (s = m · d = m 1 · d1 · d), a za´rovenˇ mensˇ´ım cˇ´ıslem, nezˇ byl prˇedchozı´ deˇ litel m. Deˇ litel m tedy nenı´ nejmensˇ´ı, cozˇ je spor. Proto nemu˚ zˇ e by´t pravdiva´ negace tvrzenı´ b), ale pravdive´ je pu˚ vodnı´ tvrzenı´.

´ loha 15 U Je da´na podmnozˇ ina prˇirozeny´ch cˇ´ısel A = {n ∈ N; 16 ≤ n ≤ 26}.

a) Porovnej hodnotu kazˇ de´ho slozˇ ene´ho cˇ´ısla s z mnozˇ iny A s druhou mocninou m 2 jeho nejmensˇ´ıho prvocˇinitele m, vy´sledky zobecni pro celou mnozˇ inu A. b) Pokud se domnı´va´sˇ, zˇ e stejne´ tvrzenı´ by meˇ lo platit v cele´ m oboru prˇirozeny´ch cˇ´ısel N, vyslov jej jako hypote´ zu. c) Dokazˇ platnost hypote´ zy z bodu b).

Rˇ esˇenı´: a) Slozˇ ene´ cˇ´ıslo s z mnozˇ iny A

Rozklad cˇ´ısla s na prvocˇinitele

16 18 20 21

24 2 · 32 22 · 5 3·7

V mnozˇ ineˇ A platı´ m2 ≤ s.

16

Druha´ mocnina nejmensˇ´ıho prvocˇinitele m 4 4 4 9

Slozˇ ene´ cˇ´ıslo s z mnozˇ iny A

Rozklad cˇ´ısla s na prvocˇinitele

22 24 25 26

2 · 11 23 · 3 52 2 · 13

Druha´ mocnina nejmensˇ´ıho prvocˇinitele m 4 4 25 4

s , tedy m 2 s = m · d, kde 1 < m ≤ d < s (tvrzenı´ z prˇ´ıkladu 14). Platı´ m ≤ d, proto je m = m · m ≤ m · d = s, tedy platı´ m2 ≤ s.

c) Du˚ kaz: Ke kazˇ de´mu slozˇ ene´mu cˇ´ıslu s a jeho nejmensˇ´ımu prvocˇiniteli m se najde podı´l d =

Hypote´za je pravdiva´. Prˇ edchozı´ hypote´zu je mozˇ ne´ zformulovat do na´sledujı´cı´ veˇ ty: Uvazˇ ujme libovolne´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n a mnozˇ inu P vsˇech prvocˇ´ısel p, jejichzˇ kvadra´t p 2 je nejvy´sˇe roven cˇ´ıslu n, tedy p2 ≤ n. Je-li dane´ cˇ´ıslo n slozˇ ene´, pak je deˇ litelne´ alesponˇ jednı´m prvocˇ´ıslem p z uvedene´ mnozˇ iny P . (Naprˇ. cˇ´ıslo 221 je slozˇ ene´, je deˇ litelne´ cˇ´ıslem 13 a platı´ 132 = 169 < 221. Podobneˇ i 289 je cˇ´ıslo slozˇ ene´, je deˇ litelne´ cˇ´ıslem 17 a platı´ 172 = 289.)

´ loha 16 U Vyslov obmeˇ nu vy´sˇe uvedene´ veˇ ty. Rˇ esˇenı´: Obmeˇ nu lze vytvorˇit k implikaci, ktera´ je ve druhe´ cˇa´sti uvedene´ veˇ ty. Prvnı´ cˇa´st zu˚ sta´va´ beze zmeˇ ny: Uvazˇ ujme libovolne´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n a mnozˇ inu P vsˇech prvocˇ´ısel p, jejichzˇ kvadra´t p 2 je nejvy´sˇe roven cˇ´ıslu n, tedy p2 ≤ n. Jestlizˇ e prˇirozene´ cˇ´ıslo n nenı´ deˇ litelne´ zˇ a´dny´m z prvocˇ´ısel p uvedene´ mnozˇ iny P , pak n nenı´ cˇ´ıslem slozˇ eny´m. (Cˇ ´ıslo n je prvocˇ´ıslo nebo cˇ´ıslo 1.).

´ loha 17 U a) Dokazˇ te, zˇ e cˇ´ıslo 211 je prvocˇ´ıslem. b) Zjisteˇ te, je-li cˇ´ıslo 1001 prvocˇ´ıslem. Rˇ esˇenı´: 2 a) Vyuzˇ ij prˇedchozı´ veˇ ty. Nejprve urcˇi nejveˇ tsˇ´ı prvoc √ ´ , zˇ e . p ≤ 211. Hledane´ cˇ´ıslo je 13. √ˇ´ıslo p takove (Prvocˇ´ıslo 13 je nejblizˇ sˇ´ı mensˇ´ı prvocˇ´ıslo k cˇ´ıslu 211, nebot’ 211 = 14,5.) Nynı´ mezi prvocˇ´ısly od 2 do 13 hledej deˇ litele cˇ´ısla 211. Podle za´kladnı´ch znaku˚ deˇ litelnosti snadno vyloucˇ´ısˇ cˇ´ısla 2, 3 a 5, zby´va´ tedy cˇ´ıslo 211 vydeˇ lit postupneˇ cˇ´ısly 7, 11 a 13. Prˇi deˇ lenı´ vzˇ dy dostanesˇ nenulovy´ zbytek. Zˇ a´dne´ ze zkoumany´ch prvocˇ´ısel nenı´ deˇ litelem cˇ´ısla 211, proto je toto cˇ´ıslo prvocˇ´ıslem. √ . b) 1001 = 31,6, zkus deˇ lit cˇ´ıslo 1001 postupneˇ prvocˇ´ısly od 2 do 31. Cˇ ´ıslo 1001 je deˇ litelne´ cˇ´ıslem 7, nenı´ tedy prvocˇ´ıslem.

Pro obeˇ tvrzenı´ byl pouzˇ it prˇ´ımy´ du˚ kaz vyuzˇ´ıvajı´cı´ vy´sˇe uvedenou veˇ tu, prˇ´ıpadneˇ jejı´ obmeˇ ny.

1.7

Důkaz matematickou indukcí

´ loha 18 U V Kocourkoveˇ na louce se konala slavnost. Meˇ la zacˇ´ıt azˇ v okamzˇ iku, kdy prˇijde vsˇech 99 obyvatel. Nikdo vsˇak neumeˇ l pocˇ´ıtat. Nechalo se vyrobit 99 tricˇek a kapesnı´ky s cˇ´ısly od 1 do 99. Na slavnost si kazˇ dy´ oble´kl tricˇko, k neˇ muzˇ meˇ l prˇisˇpendleny´ kapesnı´k s cˇ´ıslem o 1 vysˇsˇ´ım nezˇ na tricˇku. Tricˇko s cˇ´ıslem 1 zı´skal nejpotrhlejsˇ´ı obcˇan. Aby ho kazˇ dy´ poznal, lisˇilo se od ostatnı´ch na´padneˇ za´rˇivou barvou. Vrchnı´ rada, ktery´ slavnost zahajoval, si oble´kl tricˇko s nejvysˇsˇ´ım cˇ´ıslem. Kapesnı´k pana rady meˇ l vy´jimecˇneˇ cˇ´ıslo 1. Obcˇane´ se celou hodinu trousili na louku. Kazˇ dy´ z nich meˇ l na pameˇ ti radu, kterou se bezpodmı´necˇneˇ rˇ´ıdil. Jako poslednı´ prˇisˇel pan rada. Zadı´val se na louku. Kdyzˇ se do tra´vy usadil i poslednı´ obcˇan, pan rada poznal, zˇ e jsou na louce vsˇichni. Jakou radou se Kocourkovsˇtı´ ˇr´ıdili a co musel rada zkontrolovat, aby si byl jist prˇ´ıtomnostı´ vsˇech obyvatel?

17

1. Výroky a výroková logika

b) Hypote´za: V oboru N platı´, zˇ e v rozkladu libovolne´ho slozˇ ene´ho cˇ´ısla s na prvocˇinitele je druha´ mocnina nejmensˇ´ıho prvocˇinitele nejvy´sˇe rovna dane´mu cˇ´ıslu s.

1. výroky a výroková logika

Rˇ esˇenı´: I kdyzˇ se sesˇel konecˇny´ pocˇet lidı´, byl vyuzˇ ity´ princip matematicke´ indukce. Rada zneˇ la: Azˇ najdesˇ osobu, ” ktera´ ma´ na tricˇku stejneˇ vypadajı´cı´ cˇ´ıslo, jake´ je na tve´m kapesnı´ku, posad’ se. Jinak musı´sˇ zu˚ stat sta´t.“ Prˇi prˇ´ıchodu pan rada zkontroloval, zˇ e vsˇichni sedı´ a zˇ e je prˇ´ıtomna´ i osoba v za´rˇive´ m tricˇku s cˇ´ıslem 1. Prˇ´ıtomnostı´ prvnı´ osoby byl splneˇ n indukcˇnı´ prˇedpoklad. Indukcˇnı´ krok byl zajisˇteˇ n prˇ´ıtomnostı´ osoby s na´sledujı´cı´m cˇ´ıslem. Dı´ky tomu, zˇ e nikdo nesta´l, bylo jasne´, zˇ e kazˇ dy´ nasˇel na´slednı´ka, a prˇ´ıtomnost tak byla oveˇ rˇena u vsˇech osob. 1

−→

2

−→

3

−→

−→

k

k+1 −→ −→

−→

n

Neprˇ´ıtomnost prvnı´ osoby by odhalil rada (nesplneˇ ny´ indukcˇnı´ prˇedpoklad). Libovolna´ stojı´cı´ osoba (sveˇ tly´ bod s porˇadı´m k) by upozornila na neprˇ´ıtomnost na´sledujı´cı´ osoby (pra´zdny´ bod s porˇadı´m k + 1) a na prˇerusˇenı´ kontroly. (Nesplneˇ ny´ indukcˇnı´ krok znacˇ´ı prˇesˇkrtnuta´ sˇipka.) 1

−→

2

−→

3

−→

−→

k

k+1 −→ −→

−→

n

Du˚ kaz matematickou indukcı´ je vhodny´ pro neˇ ktera´ tvrzenı´ T , ktera´ jsou za´visla´ na promeˇ nne´ n z mnozˇ iny prˇirozeny´ch cˇ´ısel. (Na rozdı´l od vy´sˇe uvedene´ u´lohy mnozˇ ina hodnot promeˇ nne´ n nenı´ shora omezena.) Symbolicky´ za´pis dokazovane´ho tvrzenı´ je ∀n ∈ N; T (n), prˇ´ıpadneˇ ∀n ≥ p; T (n), kde n, p jsou prˇirozena´ cˇ´ısla. Ve shodeˇ s vy´sˇe uvedenou u´lohou se prˇi du˚ kazu matematickou indukcı´ vyuzˇ´ıva´ dvou kroku˚ – indukcˇnı´ho prˇedpokladu a indukcˇnı´ho kroku. Du˚ kaz matematickou indukcı´: 1. Indukcˇ nı´ prˇ edpoklad Tvrzenı´ se doka´zˇ e pro n = 1, tedy platı´ T (1) (resp. tvrzenı´ se doka´zˇ e pro n = p, kde p je nejmensˇ´ı hodnota promeˇ nne´ n, tedy platı´ T (p)). Neˇ kdy se tvrzenı´ dokazuje jesˇteˇ pro neˇ kolik na´sledujı´cı´ch prˇirozeny´ch cˇ´ısel. 2. Indukcˇ nı´ krok Pro libovolne´ k ∈ N (resp. pro libovolne´ k ≥ p) je trˇeba doka´zat: Platı´-li tvrzenı´ pro prˇirozene´ cˇ´ıslo k, pak platı´ i pro na´sledujı´cı´ prˇirozene´ cˇ´ıslo k + 1, tedy ∀k ∈ N; T (k) ⇒ T (k + 1).

´ loha 19 U Dokazˇ te, zˇ e pro vsˇechna prˇirozena´ cˇ´ısla n platı´: 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n · (n + 1). Rˇ esˇenı´: Levou stranu nerovnosti oznacˇ symbolem L(n), tedy L(n) = 2 + 4 + 6 + · · · + 2n. Prava´ strana je P (n) = n · (n + 1). Oveˇ rˇ oba kroky matematicke´ indukce.

1. Nejprve dokazˇ , zˇ e L(1) = P (1). Platı´, zˇ e L(1) = 2, P (1) = 1 · 2 = 2, tedy L(1) = P (1). 2. Je trˇeba doka´zat, zˇ e platı´: ∀k ∈ N; L(k) = P (k) ⇒ L(k + 1) = P (k + 1). Za prˇedpokladu, zˇ e je L(k) = P (k), platı´: L(k + 1) = 2 + 4 +· · · + 2k +2(k + 1) = L(k) + 2(k + 1) = P (k) + 2(k + 1) = L(k) = k · (k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1) · (k + 2)

P (k + 1) = (k + 1) · (k + 2) = L(k + 1)

Pro nepravdivy´ prˇedpoklad kdy L(k) = P (k), je implikace pravdiva´.

Za´veˇ r: Tvrzenı´ je pravdive´.

18

Je da´n vy´raz V (n) = 6n2 + 3n . Dokazˇ te, zˇ e a) platı´: ∀n ∈ N; 6 | V (n) ⇒ 6 | V (n + 1), b) nenı´ pravda, zˇ e ∀n ∈ N; 6 | V (n). Rˇ esˇenı´: a) V (n + 1) = 6(n + 1)2 + 3n+1 = 6n2 + 12n + 6 + 3 · 3n = 6n2 + 12n + 6 + (1 + 2) · 3n = 2 + 3n +12n + 6 + 2 · 32 = = 6n2 + 12n + 6 + 3n + 2 · 3n = 6n  

V (n) = V (n) + 12n + 6 + 2 · 3 · 3n−1 = V (n) + 6 · (2n + 1 + 3n−1 ) Pokud je prˇedpoklad nepravdivy´, tedy 6  V (n), pak je implikace pravdiva´. Pokud je prˇedpoklad pravdivy´, tedy 6 | V (n), pak platı´, zˇ e 6 | [ V (n) + 6 · (2n + 1 + 3 n−1 ) ] , nebot’ k vy´razu deˇ litelne´mu sˇesti byl prˇicˇten jen na´sobek cˇ´ısla 6. b) Hodnota vy´razu V (n) = 6n2 + 3n pro n = 1 je V (1) = 9, tedy alesponˇ jedna hodnota vy´razu nenı´ deˇ litelna´ sˇesti. Pozna´mka: Indukcˇnı´ prˇedpoklad nenı´ splneˇ n, ale indukcˇnı´ krok platı´. Za´veˇ r: Byla doka´za´na pravdivost implikace i nepravdivost druhe´ ho tvrzenı´.

´ loha 21 U

  n ru˚ zny´ch prˇ´ımek, z nichzˇ kazˇ da´ procha´ zı´ V rovineˇ je umı´steˇ no n ru˚ zny´ch bodu˚ . Dokazˇ te, zˇ e existuje nejvy´sˇe 2 alesponˇ dveˇ ma z dany´ch bodu˚ , je-li n libovolne´ prˇirozene´ cˇ´ıslo veˇ tsˇ´ı nezˇ 1. Rˇ esˇenı´: Pocˇet vy´sˇe definovany´ch ˚ zny´ch prˇ´ımek pro n ru˚ zny´ch bodu˚ roviny oznacˇ symbolem p(n). Ma´sˇ doka´zat, zˇ e  ru n . Dokazˇ oba kroky matematicke´ indukce. ∀n ∈ N\{1}, p(n) ≤ 2 1. Dveˇ ma ru˚ zny´mi body je mozˇ ne´ ve´ st  pra´veˇ jednu 2 prˇ´ımku. Pro n = 2 platı´ p(2) = 1 = . Ak 2 2. Necht’ prvnı´ch k bodu˚ je propojeno p(k) prˇ´ımkami. Z dalsˇ´ıho bodu Ak+1 vedesˇ k bodu˚ m A1 –Ak dalsˇ´ıch k prˇ´ımek, z nichzˇ nejvy´sˇe k je novy´ch (neˇ ktere´ mohou splynout s jizˇ existujı´cı´mi prˇ´ımkami). Platı´ p(k + 1) ≤ k + p(k).

A1 A2

Ak+1

A4 Je-li splne ˇ n indukcˇnı´ prˇedpoklad, pro k bodu˚ , tedy A3 k P (k) ≤ , pak platı´: 2   k k! 2k (k − 2)! + k! p(k + 1) ≤ k + p(k) ≤ k + =k + = = 2 (k − 2)! 2! 2(k − 2)! (k − 2)! (k 2 + k) (k + 1)k(k − 2)! (k − 2)! [2k + k(k − 1)] = = = 2(k − 2)! 2(k − 2)! 2(k − 2)!

Da´le rozsˇ´ırˇ´ısˇ dvojcˇlenem (k − 1):

(k + 1)! (k + 1)k(k − 1)(k − 2)! = = 2(k − 1)(k − 2)! 2!(k − 1)!



k+1 2



19

1. Výroky a výroková logika

´ loha 20 U

1. výroky a výroková logika

Tedy platı´ p(k + 1) ≤



 k+1 . 2

Pozna´mka: Tuto u´lohu je mozˇ ne´ dokazovat jednodusˇsˇ´ım zpu˚ sobem nezˇ matematickou indukcı´. Za´veˇ r: Uvedena´ nerovnost platı´ pro vsˇechna prˇirozena´ cˇ´ısla veˇ tsˇ´ı nezˇ 1.

Procvičuj 1. Oveˇ rˇte pomocı´ tabulky pravdivostnı´ch hodnot, zˇ e pro libovolne´ vy´roky A a B platı´: ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B) 2. Urcˇete negaci vy´roku: Alesponˇ dva prˇ´ıklady jsem vyrˇesˇil spra´vneˇ . a) Vyrˇesˇil jsem spra´vneˇ nejvy´sˇe dva prˇ´ıklady. b) Urcˇiteˇ jsem spra´vneˇ vyrˇesˇil jeden prˇ´ıklad. c) Vyrˇesˇil jsem spra´vneˇ nejvy´sˇe jeden prˇ´ıklad. d) Nic jsem nevyrˇesˇil spra´vneˇ .

3. Urcˇete negaci vy´roku: Nejvy´sˇe peˇ t lidı´ ze trˇ´ıdy sezˇ ene lı´stky na koncert. a) Peˇ t lidı´ lı´stky nesezˇ ene. b) Alesponˇ sˇest lidı´ lı´stky sezˇ ene. c) Maxima´lneˇ cˇtyrˇi sezˇ enou lı´stky. d) Nikdo lı´stky nesezˇ ene. 4. Urcˇete negaci vy´roku: Na vy´let pojede pra´veˇ jeden z my´ch rodicˇu˚ . a) Na vy´let pojedou oba. b) Na vy´let nepojede zˇ a´dny´ z my´ch rodicˇu˚ . c) Na vy´let pojede bud’ jeden nebo druhy´. d) Na vy´let pojedou oba nebo zˇ a´dny´ z my´ch rodicˇu˚ . 5. Urcˇete negaci vy´roku: Pu˚ jdu do kina nebo do divadla. a) Nepu˚ jdu do kina ani do divadla. b) Pu˚ jdu do kina i do divadla. c) Pu˚ jdu do kina a nepu˚ jdu do divadla. d) Nepu˚ jdu do kina, pu˚ jdu do divadla. 6. Negujte vy´roky: a) Pu˚ jdu se koupat pra´veˇ tehdy, kdyzˇ bude jasno. b) Kdyzˇ si da´m ka´vu, da´m si take´ za´kusek. 7. Negujte vy´roky: a) Jaka´ matka, taka´ Katka. b) Zˇ a´dny´ ucˇeny´ z nebe nespadl. c) Nebude-li prsˇet, nezmokneme. 8. Vyslovte obmeˇ nu a negaci implikacı´: a) Pokud se neucˇil, nic nevypocˇ´ıta´. b) Slozˇ´ım-li maturitnı´ zkousˇku, oslavı´m to s rodicˇi. 9. Urcˇete, zda na´sledujı´cı´ logicke´ souveˇ tı´ je tautologiı´: ((A ⇒ B) ∧ A) ⇒ B

20

1. Výroky a výroková logika

Klíč k procvičuj 1. Nejdrˇ´ıve sestavı´sˇ tabulku pravdivostnı´ch hodnot: A B ¬A ¬B A ∨ B ¬(A ∨ B) (¬A ∧ ¬B) 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1

¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B) 1 1 1 1

Jelikozˇ v poslednı´m sloupci nacha´ zı´me same´ jednicˇky, je tı´m tvrzenı´ oveˇ rˇeno. 2. Spra´vneˇ je c) Alesponˇ n“ neguj jako nejvy´sˇe n − 1“. ” ” 3. Spra´vneˇ je b) Nejvy´sˇe n“ neguj jako alesponˇ n + 1.“ ” ” 4. Spra´vneˇ je d) Negace vy´roku pra´veˇ jeden ze dvou“ je zˇ a´dny´ nebo oba“. ” ” 5. Spra´vneˇ je a) Negace vy´roku A ∨ B je ¬A ∧ ¬B.

6. V prˇ´ıpadeˇ a) neguj ekvivalenci A ⇔ B jako A ⇔ ¬B, prˇ´ıpadneˇ jako ¬A ⇔ B. Obeˇ tyto mozˇ nosti jsou: Pu˚ jdu se koupat, pra´veˇ kdyzˇ nebude jasno. Nepu˚ jdu se koupat, pra´veˇ kdyzˇ bude jasno. V prˇ´ıpadeˇ b) neguj implikaci A ⇒ B jako A ∧ ¬B : Da´m si ka´vu a neda´m si za´kusek. 7. V prˇ´ıpadeˇ a) negujesˇ implikaci: Takova´ (neˇ jaka´) matka a jina´ Katka. V prˇ´ıpadeˇ b) se neguje take´ kvantifika´ tor: Alesponˇ jeden ucˇeny´ z nebe spadl. V prˇ´ıpadeˇ c) negujesˇ implikaci: Nebude prsˇet a zmokneme. 8. a) Obmeˇ na: Pokud neˇ co vypocˇ´ıta´, pak se ucˇil. Negace: Neucˇil se a neˇ co vypocˇ´ıta´. b) Obmeˇ na: Kdyzˇ nebudu slavit s rodicˇi, neslozˇ il jsem maturitnı´ zkousˇku. Negace: Slozˇ´ım maturitnı´ zkousˇku a neoslavı´m to s rodicˇi. 9. Sestav tabulku pravdivostnı´ch hodnot: A B A ⇒ B (A ⇒ B) ∧ A ((A ⇒ B) ∧ A) ⇒ B 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 Uvedeny´ vy´rok je tautologiı´.

21

2. Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice

2

Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice

Silnice z Plumlova do Prosteˇ jova procha´ zı´ i vesnicemi Mostkovice, Domamyslice a Krasice. Vzda´lenosti obcı´ prˇi jı´zdeˇ po silnici jsou: Plumlov – Mostkovice 2 km, Mostkovice – Domamyslice 2 km, Domamyslice – Krasice 2 km a Krasice – Prosteˇ jov 2 km. Silnice procha´ zı´ te´zˇ obcı´ Cˇ echovice. Najdi polohu Cˇ echovic, jestlizˇ e vı´sˇ: a) Silnicˇnı´ vzda´lenost Cˇ echovic od Plumlova je veˇ tsˇ´ı nezˇ 4 km. b) Prˇi cesteˇ z Cˇ echovic do Domamyslic se ujede nejme´neˇ 1 km. c) Silnice z Cˇ echovic do Prosteˇ jova ma´ de´lku nejme´neˇ 3 km. d) Z Cˇ echovic do Krasic se neujedou ani 3 km. Rˇ esˇenı´: Prˇehledne´ je graficke´ rˇesˇenı´. Na cˇ´ıselne´ ose x s pocˇa´tkem v bodeˇ Pl (Plumlov) umı´sti body prˇedstavujı´cı´ dalsˇ´ı obce. (Zvol si naprˇ. kladnou poloosu.) Body zna´zornˇ ujı´cı´ jednotlive´ obce jsou oznacˇeny pocˇa´tecˇnı´mi pı´smeny na´zvu˚ obcı´, Prosteˇ jov je Pr . Sourˇadnice teˇ chto bodu˚ jsou prˇ´ıslusˇne´ silnicˇnı´ vzda´lenosti od Plumlova: P l [0], M [2], D[4], K[6], Pr [8], nezna´mou vzda´lenost majı´ Cˇ echovice Cˇ [x]. Nezna´mou x lze vyja´drˇit soustavou nerovnic a zobrazit na cˇ´ıselne´ ose:

a) b) c) d)

|x| > 4 |x − 4| ≥ 1 |x − 8| ≥ 3 |x − 6| < 3

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x ∈ (−∞; 4) ∪ (4; ∞) x ∈ (−∞; 3 ∪ 5; ∞) x ∈ (−∞; 5 ∪ 11; ∞) x ∈ (3; 9)

dveˇ poloprˇ´ımky bez hranicˇnı´ch bodu˚ dveˇ poloprˇ´ımky s hranicˇnı´mi body dveˇ poloprˇ´ımky s hranicˇnı´mi body u´secˇka bez krajnı´ch bodu˚

Rˇ esˇenı´m je pru˚ nik mnozˇ in v a) – b). (Hodnotu x = 5 obsahujı´ vsˇechny mnozˇ iny.) Za´veˇ r: Cˇ echovice lezˇ´ı mezi Plumlovem a Prosteˇ jovem ve vzda´lenosti 5 km od Plumlova a 3 km od Prosteˇ jova.

2.1

Absolutní hodnota, geometrická interpretace

Absolutnı´ hodnota rea´lne´ho cˇ´ısla a je neza´porne´ cˇ´ıslo |a|, ktere´ se vytvorˇ´ı podle pravidla: Neza´porne´ cˇ´ıslo se absolutnı´ hodnotou nezmeˇ nı´ (|a| = a pro a ≥ 0), ze za´porne´ho cˇ´ısla vytvorˇ´ı absolutnı´ hodnota cˇ´ıslo opacˇne´, tedy kladne´ (|a| = −a pro a < 0).

´ loha 1 U Urcˇete absolutnı´ hodnoty na´sledujı´cı´ch cˇ´ısel a vy´razu˚ : √ √ √ a 2 0 −3 −10−3 3 − π 8 − 7 3 − 10 Rˇ esˇenı´:

|a| 2 0

22

3

10−3

π−3

cos 8π 7

tg 8π 7

√ √ √ 8− 7 10 − 3 − cos 8π tg 8π 7 7

x, kde x ≤ −10−3

y, kde 1 − 2y < 0

−x, nebot’ x < −10−3 < 0

y, nebot’ y > 12 > 0

Rˇ esˇenı´:   L = −1 +

Platı´ na´sledujı´cı´ rovnosti? √ 1 a) | log 0,1 + log 10| = 2 √ √ b) | log 0,1 + log 10| = | log 0,1| + | log 10| c) |3 − π| = |π − 3| √ √ d) |3 + 10| = | − 3 − 10| |g 2 − 1| = g + 1 pro libovolne´ g ∈ R\{1} e) |g − 1| √ f) a2 − 4a + 4 = |2 − a| pro kazˇ de´ a ∈ R

 1  1 = 2 2 P = | − 1| + |0,5| = 1,5 Vy´razy uvnitrˇ | | jsou opacˇne´. Vy´razy uvnitrˇ | | jsou opacˇne´. |g − 1| |g + 1| L= = |g + 1|  |g − 1| P = (a − 2)2 = |a − 2|

Ano Ne Ano Ano Ne Ano

Absolutnı´ hodnotu rea´lne´ho cˇ´ısla a je mozˇ ne´ zna´zornit na cˇ´ıselne´ ose jako vzda´lenost obrazu cˇ´ısla a od pocˇa´tku. (Absolutnı´ hodnota komplexnı´ho cˇ´ısla z se zna´zornı´ v Gaussoveˇ rovineˇ rovneˇ zˇ jako vzda´lenost obrazu cˇ´ısla z od pocˇa´tku.) Absolutnı´ hodnota rozdı´lu dvou cˇ´ısel |m − n| se interpretuje jako vzda´lenost obrazu˚ obou cˇ´ısel m, n.

´ loha 3 U Na cˇ´ıselne´ ose zobrazte vsˇechny hodnoty cˇ´ısla x ∈ R vyhovujı´cı´ vztahu: a) d) g)

|x| = 2 b) |x − 2| = 3 |x − 1| > 0 e) |x − 3| ≥ |x + 1| 0 < |x − a| < ε, kde ε > 0, a ∈ R

c) f)

|x + 4| = |x| |x − 1| = 1 + |x + 6|

Rˇ esˇenı´: Kazˇ dy´ vy´raz nejprve spra´vneˇ interpretuj:

a) Vzda´lenost obrazu cˇ´ısla x od pocˇa´tku je 2 (jednotky). Rˇ esˇenı´m jsou obeˇ cˇ´ısla z mnozˇ iny {−2; 2}.

−2

b) Vzda´lenost obrazu cˇ´ısla x od cˇ´ısla 2 je 3. Rˇ esˇenı´m jsou obeˇ cˇ´ısla z mnozˇ iny {−1; 5}.

−2

−1

x

0

x

1

3 −6

x

3 4

ε a−ε

x

5

1

e) Obraz cˇ´ısla x je od 3 alesponˇ tak vzda´len jako od −1. Rˇ esˇenı´m je interval (−∞; 1, kde 1 (sourˇadnice strˇedu u´secˇky, jejı´zˇ krajnı´ body majı´ sourˇadnice −1 a 3) prˇedstavuje hodnotu x splnˇ ujı´cı´ rovnost obou vy´razu˚ .

g) Obraz cˇ´ısla x je od obrazu cˇ´ısla a vzda´len o me´neˇ nezˇ ε, a x = a. Rˇ esˇenı´m je (a − ε, a + ε)\{a}.

3 2

−4

d) Vzda´lenost obrazu cˇ´ısla x od 1 je veˇ tsˇ´ı nezˇ 0. Rˇ esˇenı´m jsou vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla kromeˇ cˇ´ısla 1, tj. R\{1}.

x

2

3

−1 0

c) Obraz cˇ´ısla x je stejneˇ vzda´len od cˇ´ısla −4 jako od pocˇa´tku. Rˇ esˇenı´m je jedine´ cˇ´ıslo mnozˇ iny {−2}.

f) Obraz cˇ´ısla x je od 1 o jednicˇku da´le nezˇ od −6. Rˇ esˇenı´m je pouze {−3}.

0

−3

1

x

ε a

a+ε x

23

2. Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice

´ loha 2 U

2. Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice

2.2

Graf lineární funkce s absolutní hodnotou

´ loha 4 U Porovnej trˇi funkce f1 , f2 , f3 s absolutnı´ hodnotou s jednoduchou linea´rnı´ funkcı´ f : f : y =x−1

a) f1 : y = |x − 1|

b) f2 : y = |x| − 1

c) f3 : y = ||x| − 1|

Rˇ esˇenı´: y

y

1

1

f 1

y

x

f1 1

x

y

1

f2 1

x

1

f3 1

x

a) Cely´ vy´raz na prave´ straneˇ je v absolutnı´ hodnoteˇ. Zˇ a´dna´ hodnota y proto nenı´ za´porna´. Po doplneˇ nı´ absolutnı´ hodnoty zmeˇ nı´ vsˇechny za´porne´ hodnoty vy´razu x − 1 zname´nko, neza´porne´ hodnoty nikoli. Body grafu funkce f , ktere´ lezˇ´ı pod sourˇadnicovou osou x, se zobrazı´ soumeˇ rneˇ podle te´to osy ( prˇeklopı´ ” se“ nahoru), ostatnı´ body zu˚ sta´vajı´ beze zmeˇ ny. b) V absolutnı´ hodnoteˇ je nezna´ma´ x. Pro neza´porne´ hodnoty x se doplneˇ nı´m absolutnı´ hodnoty vy´raz nezmeˇ nı´. Cˇ a´st grafu funkce f2 vpravo od sourˇadnicove´ osy y se proto shoduje s grafem funkce f . Da´le se vyuzˇ ije vlastnosti |x| = | − x|. Platı´, zˇ e f2 (−x) = f2 (x), funkce je suda´, graf je tedy soumeˇ rny´ podle osy y. Leva´ cˇa´st grafu se doplnı´ soumeˇ rneˇ podle prave´. c) Jde o kombinaci obou prˇedchozı´ch vlastnostı´. Funkci f 3 se zı´ska´ z funkce f1 jako v prˇedchozı´m prˇ´ıpadeˇ zmeˇ nou x na |x|. Funkce f3 je opeˇ t suda´. Graf funkce vpravo od osy x se oproti funkci f1 nezmeˇ nı´, leva´ cˇa´st se vytvorˇ´ı obtisknutı´m“ prave´ cˇa´sti. ”

´ loha 5 U Vy´raz V (x), kde x ∈ R, vyja´drˇete bez absolutnı´ hodnoty. a) V (x) = |2x − 5| b) V (x) = | − 2x − 4|

Rˇ esˇenı´: Vy´raz zapsany´ uvnitrˇ absolutnı´ hodnoty mu˚ zˇ e naby´vat kladny´ch (+), za´porny´ch (-), nebo nulovy´ch hodnot v za´vislosti na hodnoteˇ x. Hodnota x, pro nı´zˇ je vy´raz nulovy´, se nazy´va´ nulovy´ bod. Prˇida´ nı´m nebo odstraneˇ nı´m absolutnı´ hodnoty se neza´porny´ vy´raz nezmeˇ nı´, za´porny´ vy´raz zmeˇ nı´ zname´nko. a) Nulovy´ bod vy´razu 2x − 5 uvnitrˇ absolutnı´ hodnoty je 2,5, nebot’2x − 5 = 0 ⇔ x = 2,5. I. zpu˚ sob rˇ esˇenı´: 1. Vy´raz 2x − 5 uvnitrˇ absolutnı´ hodnoty je kladny´ pro x ∈ (2,5; ∞), nebot’2x − 5 > 0 ⇔ x > 2,5. V tomto intervalu se vy´razy s absolutnı´ hodnotou a bez absolutnı´ hodnoty nelisˇ´ı: V (x) = |2x − 5| = 2x − 5.

2. Vy´raz 2x−5 uvnitrˇ absolutnı´ hodnoty je za´porny´ pro x ∈ (−∞; 2,5), nebot’2x−5 < 0 ⇔ x < 2,5. V tomto intervalu ma´ vy´raz s absolutnı´ hodnotou opacˇne´ zname´nko nezˇ vy´raz bez absolutnı´ hodnoty, tedy V (x) = |2x − 5| = −(2x − 5) = −2x + 5.

II. zpu˚ sob rˇ esˇenı´: Urcˇ´ı se nulovy´ bod, viz vy´sˇe: x = 2,5. Uvnitrˇ intervalu ohranicˇene´ho nulovy´m bodem ma´ vy´raz bez absolutnı´ hodnoty sta´le stejne´ zname´nko. Zname´nko vy´razu se urcˇ´ı dosazenı´m libovolne´ho bodu z tohoto intervalu.

1. Naprˇ. 3 ∈ (2,5; ∞), 2 · 3 − 5 = 1 > 0, proto je pro x ∈ (2,5; ∞) vy´raz 2x − 5 > 0 a platı´ V (x) = |2x − 5| = 2x − 5. (Absolutnı´ hodnota kladny´ vy´raz neovlivnı´.)

24

Za´veˇ r: Pro x ∈ (2,5; ∞) je V (x) = 2x − 5, da´le V (2,5) = 0 a pro x ∈ (−∞; 2,5) je V (x) = −2x + 5. Pozna´mka: Nulovy´ bod je mozˇ ne´ prˇipojit k libovolne´mu z obou intervalu˚ .

b) V (x) = | − 2x − 4| (II. zpu˚ sob) Nulovy´ bod: −2x − 4 = 0 ⇔ x = −2. Nulovy´ bod rozdeˇ lı´ mnozˇ inu rea´lny´ch cˇ´ısel na dva intervaly: R = (−∞; −2) ∪ −2; ∞)

1. Naprˇ. −3 ∈ (−∞; −2), −2 · (−3) − 4 = 2 > 0, hodnota vy´razu s absolutnı´ hodnotou je stejna´: V (x) = | − 2x − 4| = −2x − 4. 2. Podobneˇ 0 ∈ −2; ∞), −2 · 0 − 4 = −4 < 0, hodnota vy´razu s absolutnı´ hodnotou je opacˇna´: V (x) = | − 2x − 4| = 2x + 4.

Za´veˇ r: Pro x ∈ (−∞; −2) je V (x) = −2x − 4, pro x ∈ −2; ∞) je V (x) = 2x + 4.

´ loha 6 U Sestrojte graf funkce f : y = |2x − 3| + |x + 1| + x − 6. Rˇ esˇenı´: Nejprve je trˇeba odstranit absolutnı´ hodnoty. Urcˇi nulove´ body obou vy´razu˚ v absolutnı´ hodnoteˇ: 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1,5; x + 1 = 0 ⇔ x = −1 Dva nulove´ body rozdeˇ lı´ definicˇnı´ obor funkce na trˇi intervaly:

1. V jednotlivy´ch intervalech nahrad’ absolutnı´ hodnotu odpovı´dajı´cı´m vy´razem bez absolutnı´ hodnoty (odstraneˇ nı´ absolutnı´ hodnoty vy´razu): x∈

I = (−∞; −1)

II = −1; 1,5)

III = 1,5; ∞)

|x + 1|

−x − 1

x+1

x+1

|2x − 3|

3 − 2x

3 − 2x

2x − 3

Do vy´razu v absolutnı´ hodnoteˇ se dosadı´ libovolne´ cˇ´ıslo z prˇ´ıslusˇne´ho intervalu (naprˇ. −2 v intervalu I, 0 v II, a 2 v III). Je-li hodnota vy´razu kladna´, absolutnı´ hodnota se odstranı´ beze zmeˇ ny, pro za´porne´ hodnoty se vy´raz na´sobı´ cˇ´ıslem −1 a zname´nka vsˇech cˇlenu˚ se zmeˇ nı´, viz prˇ´ıklad 5b).

2. Uprav prˇepis funkce v jednotlivy´ch intervalech: I. x ∈ (−∞; −1) y = 3 − 2x − x − 1 + x − 6 y = −2x − 4

II. x ∈ −1; 1,5) y = 3 − 2x + x + 1 + x − 6 y = −2

III. x ∈ 1,5; ∞) y = 2x − 3 + x + 1 + x − 6 y = 4x − 8

3. Grafy vsˇech trˇ´ı funkcı´ jsou cˇa´sti prˇ´ımek. Prˇ´ımka je urcˇena dveˇ ma body. Pro kazˇ dou funkci definovanou pro dany´ interval urcˇi sourˇadnice dvou bodu˚ (pouzˇ ij i krajnı´ch bodu˚ intervalu˚ ) a zakresli graf funkce: I. x y

II. −2 0

−1 −2

x y

III. −1 −2

1,5 −2

x y

1,5 −2

2 0

25

2. Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice

2. Podobneˇ 0 ∈ (−∞; 2,5), 2 · 0 − 5 = −5 < 0, proto je pro x ∈ (−∞; 2,5) vy´raz 2x − 5 < 0 a platı´ V (x) = |2x − 5| = −2x + 5. (Absolutnı´ hodnota za´porne´ho vy´razu je kladna´, tedy opacˇna´.)

2. Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice y

Definicˇnı´ obor funkce f je R, obor hodnot je interval −2; ∞). Graf je mozˇ ne´ nacˇrtnout bez prˇedesˇly´ch u´prav pomocı´ cˇtyrˇ bodu˚ . Z pu˚ vodnı´ho prˇedpisu funkce se urcˇ´ı hodnoty funkce v nulovy´ch bodech vy´razu˚ v absolutnı´ hodnoteˇ, v nichzˇ se graf funkce la´me“, ” a po jedne´ hodnoteˇ jesˇteˇ ve vnitrˇnı´ch bodech obou krajnı´ch intervalu˚ :

−2

1

f (−1) = |2 · (−1) − 3| + | − 1 + 1| + (−1) − 6 = −2, f (1,5) = |2 · 1,5 − 3| + |1,5 + 1| + 1,5 − 6 = −2 a podobneˇ f (−2) = 0, f (2) = 0.

2.3

f

1

−2

Rovnice s absolutní hodnotou

´ loha 7 U V R rˇesˇte: |x + 2| = |x| − 3 Rˇ esˇenı´: Uzˇ ij podobne´ho postupu jako u prˇedchozı´ u´lohy. Jednotlive´ kroky je mozˇ ne´ zaznamenat do tabulky. Nulove´ body jsou x = −2 a x = 0, a ty rozdeˇ lı´ mnozˇ inu rea´lny´ch cˇ´ısel na trˇi intervaly. x∈

I = (−∞; −2)

II = −2; 0)

III = 0; ∞)

|x|

−x

−x

x

|x + 2|

−x − 2

Rovnice:

−x − 2 = −x − 3 −2 = −3 nepravdivy´ vy´rok

Rˇ esˇenı´ v intervalu:

KI = ∅

x+2

x + 2 = −x − 3 5 x=− 2 5 / −2; 0) ⇒ KII = ∅ − ∈ 2

x+2

x+2=x−3 2 = −3 nepravdivy´ vy´rok KIII = ∅

Rovnice nema´ rˇesˇenı´.

2.4

Nerovnice s absolutní hodnotou

´ loha 8 U V R rˇesˇte: |x + 3| > |x − 2| + x Rˇ esˇenı´: Nulove´ body jsou x = −3 a x = 2, takzˇ e opeˇ t dosta´va´sˇ trˇi intervaly. x∈ |x + 3| |x − 2|

Nerovnice:

I = (−∞; −3) −x − 3 −x + 2

−x − 3 > −x + 2 + x −x > 5 x < −5 x ∈ (−∞; −5)

II = −3; 2) x+3 −x + 2

x + 3 > −x + 2 + x x > −1 x ∈ (−1; ∞)

III =2; ∞) x+3 x−2

x+3>x−2+x −x > −5 x<5 x ∈ (−∞; 5)

Rˇ esˇenı´ KI = KII = KIII = v intervalu: = (−∞; −3) ∩ (−∞; −5) = = −3; 2) ∩ (−1; ∞) = = 2; ∞) ∩ (−∞; 5) = = (−∞; −5) = (−1; 2) = 2; 5)

Rˇ esˇenı´ zı´ska´sˇ sjednocenı´m dı´lcˇ´ıch rˇesˇenı´: K = KI ∪ KII ∪ KIII Za´veˇ r: K = (−∞; −5) ∪ (−1; 5).

26

2 x

2. Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice

Procvičuj 1. Sestrojte graf funkce y = |3 − x| + |3 + x|.

2. Grafem funkce y = | − x − 1| je: a)

b)

3. Grafem funkce y = −|1 − x| je: a)

b)

c)

d)

c)

d)

4. Grafem funkce y = −|x − 1| − |x + 1| je: a)

b)

c)

d)

5. Sestrojte graf funkce y = ||x + 2| − 2| 1 6. Rˇ esˇte rovnici v R : |x − 2| = 3|x − 4| 3 ˇ 7. Resˇte rovnici v R : 2|x + 1| + |x − 3| = |5 − x| 8. Rˇ esˇte nerovnici v R : 6 − 3|1 − x| ≤ |x + 2|

9. Rˇ esˇte nerovnici v R : |x − 4| + 5|x − 1| + x − 5 > 3|x − 2|

10. Sestrojte graf funkce y = |x2 + 3x − 4|. 1 11. Rˇ esˇte nerovnici v R : ≥3 |x + 2|

27

2. Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice

Klíč k procvičuj 1. Nejdrˇ´ıve urcˇi nulove´ body absolutnı´ch hodnot; ty jsou: 3 − x = 0 ⇒ x = 3; 3 + x = 0 ⇒ x = −3. Nulove´ body rozdeˇ lı´ definicˇnı´ obor funkce. Rˇ esˇenı´ mu˚ zˇ esˇ psa´t do tabulky:

x∈

I = (−∞; −3)

II = −3; 3)

III = 3; ∞)

|3 + x|

−3 − x

3+x

3+x

|3 − x| |3 − x| + |3 + x|

3−x −2x

3−x 6

−3 + x 2x

V kazˇ de´m intervalu je funkce prˇedepsa´ na bez absolutnı´ hodnoty a mu˚ zˇ esˇ zakreslit graf. 2. Spra´vneˇ je a). Urcˇ´ısˇ nulovy´ bod absolutnı´ hodnoty: −x − 1 = 0 ⇒ x = −1 V tomto bodeˇ tedy naby´va´ funkce nulove´ hodnoty a doty´ka´ se osy x. Mimo tento bod funkce naby´va´ kladny´ch hodnot, jak vyply´va´ z definice absolutnı´ hodnoty. 3. Spra´vneˇ je b). Urcˇ´ısˇ nulovy´ bod absolutnı´ hodnoty: 1 − x = 0 ⇒ x = 1 V tomto bodeˇ opeˇ t funkce naby´va´ nulove´ hodnoty a doty´ka´ se osy x. Mimo tento bod naby´va´ za´porny´ch hodnot. 4. Spra´vneˇ je c). Urcˇ´ısˇ nulove´ body absolutnı´ch hodnot, ktere´ rozdeˇ lı´ definicˇnı´ obor funkce do trˇ´ı intervalu˚ (−∞; −1), (−1; 1), (1; ∞). Na kazˇ de´m z teˇ chto intervalu˚ ma´ funkce tvar postupneˇ y = 2x, y = −2, y = −2x. 5. Nejdrˇ´ıve sestrojı´sˇ graf funkce y = |x + 2| − 2 stejny´m zpu˚ sobem jako v prˇedchozı´ch u´loha´ ch. Na intervalu (−4; 0), kde tato funkce naby´va´ za´porny´ch hodnot, dojde kvu˚ li vneˇ jsˇ´ı absolutnı´ hodnoteˇ k prˇeklopenı´ za´porny´ch hodnot na kladne´ a vznikne charakteristicky´ tvar velke´ho pı´smene W.

y 2

−4

−2

0

x

6. Urcˇ´ısˇ nulove´ body absolutnı´ch hodnot: x − 2 = 0 ⇒ x = 2; x − 4 = 0 ⇒ x = 4 Rovnici budeme rˇesˇit zvla´sˇt’na trˇech intervalech: (−∞; 2, 2; 4, 4; ∞)

1) Pro x ∈ (−∞; 2 platı´: |x − 2| = −(x − 2) = −x + 2, |x − 4| = −(x − 4) = −x + 4 Rovnice ma´ 1 17 tvar (−x + 2) = 3(−x + 4) ⇒ x = . V dane´m intervalu vy´sledek nelezˇ´ı, proto nenı´ korˇenem. 3 4

2) Pro x ∈ 2; 4 platı´: |x − 2| = x − 2, |x − 4| = −(x − 4) = −x + 4 19 1 . Vy´sledek v dane´m intervalu lezˇ´ı, tedy je Rovnice ma´ tvar (x − 2) = 3(−x + 4) ⇒ x = 3 3 korˇenem. 3) Pro x ∈ 4; ∞) platı´: |x − 2| = x − 2, |x − 4| = x − 4 1 17 Rovnice ma´ tvar (x − 2) = 3(x − 4) ⇒ x = . Vy´sledek v dane´m intervalu lezˇ´ı, je tedy 3 4 korˇenem. 19 17 Dana´ rovnice ma´ dveˇ rˇesˇenı´ x1 = , x2 = . 5 4 7. Urcˇ´ısˇ nulove´ body absolutnı´ch hodnot x + 1 = 0 ⇔ x = −1; x − 3 = 0 ⇔ x = 3; 5 − x = 0 ⇔ x = 5. Rovnici budeme rˇesˇit zvla´sˇt’na cˇtyrˇech intervalech: (−∞; −1, −1; 3, 3; 5, 5; ∞). 1) Pro x ∈ (−∞; −1 platı´: |x + 1| = −x − 1; |x − 3| = −x + 3; |5 − x| = 5 − x Rovnice ma´ tvar 2(−x − 1) + (−x + 3) = 5 − x ⇒ x = −2. Vy´sledek lezˇ´ı v dane´m intervalu, proto je korˇenem rovnice.

28