Maturitní otázky Matematika

Maturitní otázky – Matematika také v tištěné verzi

Objednat můžete na www.fragment.cz.

Doporučujeme další e-knihy v edici: Maturitní otázky – Český jazyk – e-kniha Maturitní otázky – Literatura– e-kniha Maturitní otázky – Angličtina – e-kniha Maturitní otázky – Dějepis – e-kniha Eva Řídká, Dana Blahunková, Petr Chára Maturitní otázky – Matematika – e-kniha Copyright © Fragment, 2011 Všechna práva vyhrazena. Žádná část této publikace nesmí být rozšiřována bez písemného souhlasu majitelů práv.

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Obsah

Obsah 1

Výroky a výroková logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1

Výrok a negace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2

Složené výroky, logické spojky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Negace složených výroků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

Kvantifikované výroky, kvantifikátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.5

Implikace, obměna, obrácená implikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6

Axiomy, definice, věty, důkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7

Důkaz matematickou indukcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1

Absolutní hodnota, geometrická interpretace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

2.2

Graf lineární funkce s absolutní hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3

Rovnice s absolutní hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4

Nerovnice s absolutní hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

Mocniny a odmocniny, rovnice s neznámou pod odmocninou . . . . . 31

3.1

Mocnina, odmocnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2

Částečné odmocnění, usměrnění zlomku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3

Iracionální rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Rovnice a nerovnice s parametrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1 Parametr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2

Lineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3

Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4

Kvadratické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5

Funkce a její vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1 Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2

Graf funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3

Vlastnosti funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.1

Definiční obor, obor hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3.2 Spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

5.4

5.3.3

Parita funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.4

Monotonie, funkce periodická . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3.5

Omezenost a extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.6

Funkce konvexní a konkávní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.7

Funkce prostá, inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Transformace grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 5.4.1

Posunutí grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz, UID: KOS179693

obsah

5.4.2

„Deformace“ grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4.3

Absolutní hodnota v předpisu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

6 Lineární funkce, rovnice a jejich soustavy, nerovnice . . . . . . . . . 60 6.1

Lineární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.2

Grafické řešení rovnic a nerovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.3

Rovnice, nerovnice, soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

7 Lineární lomená a mocninná funkce, rovnice . . . . . . . . . . . . . . 68 7.1

Lineární lomená funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.2

Mocninné funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.3

Grafy lineárních lomených funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

7.4

Grafy lineárních lomených funkcí s absolutní hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.5

Grafy mocninných funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

7.6 Rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8 Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8.1

Kvadratická rovnice, kvadratický trojčlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.2

Soustavy rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.3

Kvadratická nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.4

Kvadratická funkce, graf kvadratické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

9 Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.1

Exponenciální funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.2

Grafy exponenciálních funkcí a jejich vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3

Exponenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.4

9.3.1

Exponenciální rovnice se dvěma členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.3.2

Exponenciální rovnice s více členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.3.3

Substituce v exponenciálních rovnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

Exponenciální nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

10 Logaritmické funkce, rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 100 10.1 Logaritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 10.2 Grafy logaritmických funkcí a jejich vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.3 Logaritmické rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.3.1 Rovnice využívající definici logaritmu a základních vlastností logaritmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.3.2 Věty o logaritmech a jejich užití v logaritmických rovnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.3.3 Substituce v logaritmických rovnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.3.4 Logaritmické nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11 Goniometrické funkce a rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 11.1 Definice goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 11.2 Definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 11.3 Goniometrické rovnice řešené na jednotkové kružnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116


Obsah 11.4 Grafy goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 11.5 Úpravy výrazů a řešení rovnic pomocí goniometrických vzorců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11.6 Substituce v goniometrických rovnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

12 Trigonometrie, aplikace v praxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 12.1 Pravoúhlý trojúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 12.1.1 Pythagorova věta, Euklidovy věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 12.1.2 Užití goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 12.2 Obecný trojúhelník, sinová a kosinová věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12.2.1 Užití kosinové věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12.2.2 Užití sinové věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

13 Délky a plochy v rovinných útvarech, početní geometrie . . . . . . . 135 13.1 Obvody a obsahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 13.1.1 Kružnice, kruh, kruhová výseč, kruhová úseč, mezikruží . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 13.1.2 Trojúhelník, čtyřúhelník, mnohoúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 13.2 Úhly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

14 Konstrukční úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 14.1 Množiny bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 14.2 Trojúhelníky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 14.3 Mnohoúhelníky a kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

15 Shodnosti a podobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 15.1 Zobrazení v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 15.2 Shodná zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 15.2.1 Osová souměrnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 15.2.2 Středová souměrnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 15.2.3 Posunutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 15.2.4 Otočení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 15.3 Podobná zobrazení, stejnolehlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 15.3.1 Podobnost trojúhelníků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 15.3.2 Stejnolehlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

16 Vektory a jejich užití . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 17 Analytická geometrie lineárních ú tvarů . . . . . . . . . . . . . . . . 168 17.1 Přímka a její části . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 17.2 Rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 17.3 Metrické vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 17.4 Vzájemná poloha přímek a rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

18 Analytická geometrie kvadratických ú tvarů . . . . . . . . . . . . . . 181 18.1 Kuželosečky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 18.2 Tečny ke kuželosečkám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187


obsah

19 Mnohostěny a rotační tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 19.1 Mnohostěny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 19.2 Rotační tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

20 Řezy těles, metrické vztahy v tělesech . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 20.1 Zobrazování těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 20.2 Řezy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 20.2.1 Řez krychle rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 20.2.2 Řez jehlanu rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 20.3 Průsečík přímky s rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 20.4 Průsečnice rovin v krychli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 20.5 Odchylky přímek a rovin, vzdálenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 20.5.1 Kolmost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 20.5.2 Metrické vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

21 Komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 21.1 Zobrazení komplexních čísel, operace, rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 21.1.1 Algebraický tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 21.1.2 Goniometrický tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 21.2 Kvadratické, binomické a reciproké rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

22 Posloupnosti a řady. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 22.1 Definice posloupnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 22.2 Vlastnosti posloupností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 22.3 Limita posloupnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 22.4 Věty o limitách posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 22.5 Aritmetická posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 22.6 Geometrická posloupnost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 22.7 Úlohy řešené pomocí aritmetické nebo geometrické posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 22.8 Nekonečná geometrická řada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

23 Kombinatorika a pravděpodobnost, statistika . . . . . . . . . . . . . 239 23.1 Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 23.1.1 Faktoriál, kombinační čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 23.1.2 Základní kombinatorická pravidla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 23.1.3 Variace, permutace, kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 23.1.4 Binomická věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 23.2 Pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 23.2.1 Definice pravděpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 23.2.2 Nezávislé jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 23.2.3 Podmíněná pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 23.2.4 Binomické rozdělení pravděpodobností - Bernoulliovo schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 23.3 Statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253


Obsah 24 Derivace, průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 24.1 Limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 24.1.1 Definice limity funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 24.1.2 Výpočet limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 24.2 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 24.2.1 Definice derivace, věty o derivaci, výpočty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 24.3 Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 24.3.1 Monotonie, lokální extrémy, konvexní a konkávní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 24.3.2 Asymptoty grafů funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 24.4 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 24.5 Užití derivací při určování extrému ve slovních úlohách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

25 Integrál funkce a jeho aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 25.1 Primitivní funkce, neurčitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 25.2 Metoda substituce a per partes pro výpočty neurčitých integrálů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 25.3 Určitý integrál, výpočet obsahu plochy a objemu rotačních těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279


ÚVOD Vážení čtenáři, kniha, kterou otevíráte, je určena středoškolákům, začínajícím vysokoškolákům, učitelům hledajícím inspiraci i zvídavým zájemcům, ale zejména maturantům. Obsahuje ucelený souhrn středoškolské matematiky rozčleněný do 25 maturitních témat. Každá kapitola začíná motivační úlohou, na níž si můžete ověřit své současné vědomosti. Postupně se seznámíte s teoretickými základy a prostřednictvím řešených úloh, jednodušších i složitějších, si proklestíte cestu k samostatnému řešení průblémů. Společně s upevňováním a prohlubováním vašich znalostí se posílí také dovednost rozumět matematickým textům. Čas strávený učením vám zpříjemní rozmanitost úloh, běžných i nezvyklých, modelových i z praxe. Jednotlivé kapitoly poskytují možnost doplnit si učivo, které je v některých školách chápáno jako rozšířené učivo. Čtenář je pomalu seznamován s tématem, každý další krok je podrobně popsán a následně použit v řešení. Průvodcem vám může být i množství názorných obrázků či utřídění některých důležitých pravidel v tabulkách. Každý si může najít svůj způsob přípravy. Zdatní studenti by úlohy měli řešit zcela samostatně, jednotlivé kapitoly obsahují i problémy pro náročné. Naopak méně pokročilým jsou k dispozici podrobná řešení všech úloh, včetně rozličných upozornění. Každý nový pojem matematické teorie je doložen ukázkou a následně procvičován. Není nutné vyřešit úlohy na první pokus a ani není potřeba pochopit všechno beze zbytku. Své sebevědomí si mnohem lépe upevníte, zaměříte-li se nejprve na problémy, které jsou pro vás jednodušší, nebo na témata, která vás zajímají. Úspěchu docílíte zejména tím, že samostatně vyřešíte úlohy, jež jste zpočátku dokázali pochopit jen díky nápovědě. Rozmanitost úloh od typicky školských až po praktické ukázky, rozdílnost forem jejich zadání, různá obtížnost a obsahová šíře od jednoduchých ke komplexním odpovídají požadavkům dnešní i připravované státní maturitiy. V úlohách jsou zastoupena všechna témata obsažená v Katalogu požadavků k maturitní zkoušce uvedeného na stránkách Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání MŠMT. Všem čtenářům přejeme příjemnou a především užitečnou procházku Maturitními otázkami.

8 Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Autoři

Výroky a výroková logika

Rˇ esˇ´ısˇ s kamara´dem proble´m prˇ´ıpravy na maturitu z matematiky. Konstatujesˇ: Koupı´m-li si tuto sbı´rku a budu-li ” pilneˇ studovat, pak maturitu z matematiky zvla´dnu.“ Kamara´d odpovı´: No, ja´ si myslı´m, zˇ e kdyzˇ si ji koupı´sˇ ” a nezvla´dnesˇ maturitu, pak jsi pilneˇ nestudoval.“ Na to kontrujesˇ: Ty prˇece rˇ´ıka´sˇ to same´, co jsem rˇekl ja´.“ ” Rˇ ´ıka´te skutecˇneˇ tote´zˇ ? Rˇ esˇenı´: Zapisˇ symbolicky jednoduche´ vy´roky: K: Koupı´m sbı´rku. S: Pilneˇ studuji. Z: Zvla´dnu maturitu. S pouzˇ itı´m logickyćh spojek zapisˇ oba slozˇ ene´ vy´roky: (K ∧ S) ⇒ Z: Koupı´m-li si tuto sbı´rku a budu-li pilneˇ studovat, maturitu z matematiky zvla´dnu. (K ∧ ¬Z) ⇒ ¬S: Kdyzˇ si ji koupı´sˇ a nezvla´dnesˇ maturitu, pak jsi pilneˇ nestudoval. Zapisˇ tabulku pravdivostnıćh hodnot: K S Z ¬S ¬Z K ∧ S K ∧ ¬Z 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

(K ∧ S) ⇒ Z 1 0 1 1 1 1 1 1

1. Výroky a výroková logika

1

(K ∧ ¬Z) ⇒ ¬S 1 0 1 1 1 1 1 1

Z poslednıćh dvou sloupcu˚ vyply´va´, zˇ e oba rˇ´ıka´te skutecˇneˇ tote´zˇ . (Slozˇ ene´ vy´roky jsou ekvivalentnı´.)

1.1

Výrok a negace

Vy´rok je kazˇ da´ oznamovacı´ veˇ ta, ktera´ naby´va´ pra´veˇ jedne´ ze dvou pravdivostnıćh hodnot: pravdy, je-li veˇ ta pravdiva´ (oznacˇenı´ symbolem 1), anebo nepravdy, je-li veˇ ta nepravdiva´ (oznacˇenı´ symbolem 0). Vy´rokove´ promeˇ nne´ se znacˇ´ı velky´mi pı´smeny (A–Z). Negacı´ vy´roku A je vy´rok ¬A s opacˇnou pravdivostnı´ hodnotou, ktery´ se vytvorˇ´ı z pu˚ vodnı´ho vy´roku A spojenı´m nenı´ pravda, zˇ e A“, prˇ´ıpadneˇ jinou veˇ tou te´hozˇ vy´znamu. ”

´ loha 1 U Zapisˇte libovolny´ pravdivy´ a nepravdivy´ vy´rok a vytvorˇte negaci: Rˇ esˇenı´: A 1 0

¬A 0 1

Vy´rok Cˇ ´ıslo 2 je nejmensˇ´ı prvocˇ´ıslo. Praha je hlavnı´ meˇ sto Cˇ ´ıny.

Negace vy´roku Nejmensˇ´ım prvocˇ´ıslem nenı´ cˇ´ıslo 2. Praha nenı´ hlavnı´m meˇ stem Cˇ ´ıny.

´ loha 2 U Vytvorˇte ru˚ zna´ vyja´drˇenı´ negace na´sledujıćı´ho vy´roku a urcˇete jeho pravdivostnı´ hodnotu: Cˇ ´ıslo 9 je sude´. Rˇ esˇenı´: Nenı´ pravda, zˇ e cˇ´ıslo 9 je sude´. Neplatı´ tvrzenı´, zˇ e cˇ´ıslo 9 je sude´. Cˇ ´ıslo 9 nenı´ sude´. Cˇ ´ıslo 9 je liche´ . Cˇ ´ıslo 9 nenı´ na´sobkem cˇ´ısla 2. Pro negaci je mozˇ ne´ najı´t jesˇteˇ dalsˇ´ı vyja´drˇenı´. V te´to u´loze ma´ negace vy´roku pravdivostnı´ hodnotu 1, pu˚ vodnı´ vy´rok ma´ pravdivostnı´ hodnotu 0.


1. výroky a výroková logika

´ loha 3 U Ktere´ z na´sledujıćıćh veˇ t jsou vy´roky? U vy´roku˚ urcˇete pravdivostnı´ hodnotu. a) b) c) d) e)

Pro x ∈ R platı´, zˇ e 2x − 5 = 1. Existuje x ∈ N, pro neˇ zˇ je 2x − 5 = 1. Pro x = 3 platı´ 2x − 5 = 1. Existuje za´porny´ korˇen rovnice 2x − 5 = 1. Ke kazˇ de´mu parametru a z oboru prˇirozenyćh cˇ´ısel existuje pra´veˇ jedno prˇirozene´ cˇ´ıslo x, ktere´ je rˇesˇenı´m rovnice x4 − a(x3 + x2 + x + 1) − 1 = 0.

Rˇ esˇenı´:

a) K uvedene´mu sdeˇ lenı´ se nepodarˇ´ı prˇirˇadit jednu pravdivostnı´ hodnotu. Pro x = 3 je tvrzenı´ pravdive´, pro jine´ hodnoty promeˇ nne´ x je nepravdive´. Veˇ ta nenı´ vy´rokem. b), c), d) Vsˇechna trˇi uvedena´ tvrzenı´ jsou vy´roky. Pravdivostnı´ hodnoty jsou postupneˇ 1, 1, 0. e) Mu˚ zˇ e se sta´t, zˇ e nevyrˇesˇ´ısˇ uvedenou rovnici, a nedoka´zˇ esˇ urcˇit pravdivostnı´ hodnotu tvrzenı´. Prˇesto mu˚ zˇ esˇ doka´zat, zˇ e tvrzenı´ naby´va´ jedine´ pravdivostnı´ hodnoty, a je tedy vy´rokem. Zkus posoudit pravdivostnı´ hodnoty vsˇech mozˇ nostı´. Pokud by k neˇ ktere´ hodnoteˇ parametru a neexistovalo zˇ a´dne´ rˇesˇenı´ rovnice nebo by k neˇ ktere´ hodnoteˇ parametru a existovala alesponˇ dveˇ ru˚ zna´ rˇesˇenı´, tvrzenı´ by bylo nepravdive´. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ by se ke kazˇ de´ hodnoteˇ parametru a nasˇlo jedine´ rˇesˇenı´, pak by tvrzenı´ bylo pravdive´. Obeˇ tyto situace se vza´jemneˇ vylucˇujı´ (prvnı´ mozˇ nost je negacı´ druhe´ ) a jina´ situace jizˇ nastat nemu˚ zˇ e. Jedna´ se tedy skutecˇneˇ o vy´rok. Pokud chcesˇ zjistit odpoveˇ d’ na pravdivostnı´ hodnotu vy´roku, mu˚ zˇ esˇ nejprve zkusit za a dosadit hodnotu 1, resp. 2, a uka´zat, zˇ e k vybrane´ hodnoteˇ existuje jediny´ korˇen z oboru N (x = 2, resp. 3). Du˚ kaz pravdivosti tvrzenı´ e) provedesˇ obecneˇ. Rozlozˇ´ısˇ vy´raz x4 − 1, vytknesˇ cˇtyrˇcˇlen x3 + x2 + x + 1 a zı´ska´sˇ jeden korˇenovy´ cˇinitel x − (a + 1), tedy i prvnı´ korˇen x = (a + 1). Nulova´ hodnota druhe´ ho cˇinitele x3 + x2 + x + 1 jizˇ nevede k zˇ a´dne´mu dalsˇ´ımu kladne´mu rˇesˇenı´. Pravdivostnı´ hodnota vy´roku je 1.

1.2

Složené výroky, logické spojky

Spojenı´m jednoduchyćh vy´roku˚ logicky´mi spojkami vzniknou slozˇ ene´ vy´roky. Konjunkce: A ∧ B, cozˇ cˇteme A a B“ cˇi A a soucˇ asneˇ B“ cˇi A i B“. ” ” ” Konjunkce je pravdiva´ jen v prˇ´ıpadeˇ , kdy jsou oba vy´roky pravdive´. Disjunkce: A ∨ B, cozˇ cˇteme A nebo B“. Pozor! Spojka nebo“ nema´ vy´znam vylucˇovacı´. ” ” Disjunkce je nepravdiva´ jen v prˇ´ıpadeˇ , kdy jsou oba vy´roky nepravdive´. Implikace: A ⇒ B, cozˇ cˇteme z A vyply´va´ B“ cˇi jestlizˇ e A, pak B“. ” ” Implikace je nepravdiva´ jen v prˇ´ıpadeˇ , zˇ e prˇedpoklad A je pravdivy´, ale tvrzenı´ B je nepravdive´. Ekvivalence: A ⇔ B, cozˇ cˇteme A, pra´veˇ kdyzˇ B“ cˇi A tehdy a jen tehdy, kdyzˇ B“. ” ” Ekvivalence je pravdiva´, majı´-li oba vy´roky stejnou pravdivostnı´ hodnotu. Pravdivostnı´ hodnoty slozˇ enyćh vy´roku˚ jsou tedy za´visle´ na pravdivostnıćh hodnota´ ch jednoduchyćh vy´roku˚ , cozˇ je uvedeno v tabulce:



1.3

Negace složených výroků

Slozˇ eny´ vy´rok A∧B A∨B A⇒B A⇔B nebo Ekvivalence (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) Konjunce Disjunce Implikace

Negace ¬A ∨ ¬B ¬A ∧ ¬B A ∧ ¬B A ⇔ ¬B nebo ¬A ⇔ B nebo (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)

´ loha 4 U Je dańo 5 jednoduchyćh vy´roku˚ : A: Prˇijde Adam. B: Prˇijde Bohuslav. C: Prˇijde Cyril. D: Prˇijde Dana. E: Prˇijde Eva. Pomocı´ symbolu˚ A–E vytvorˇte za´pisy na´sledujıćıćh slozˇ enyćh vy´roku˚ : Vy´rok Rˇ esˇenı´ Jiny´ zpu˚ sob vyja´drˇenı´ a) Neprˇijde Adam nebo Bohuslav. ¬A ∨ ¬B ¬(A ∧ B) b) Prˇijde pra´veˇ jedna dı´vka. D ⇔ ¬E (D ⇒ ¬E) ∧ (¬D ⇒ E) c) Prˇijde alesponˇ jeden chlapec. A∨B∨C d) Prˇijde-li Dana, neprˇijde ani Adam ani Cyril. D ⇒ (¬A ∧ ¬C) D ⇒ ¬(A ∨ C)

´ loha 5 U Vyslovte negace vy´roku˚ a) azˇ d) z prˇ´ıkladu 4. Nejprve uved’te symbolicky´ za´pis negace. Rˇ esˇenı´: a) (A ∧ B) b) D ⇔ E

c) ¬A ∧ ¬B ∧ ¬C d)

D ∧ (A ∨ C) (D ∧ A) ∨ (D ∧ C)

Prˇijde Adam i Bohuslav. Neprˇijde zˇ a´dna´ z dı´vek, anebo prˇijdou obeˇ . Dana prˇijde pra´veˇ tehdy, kdyzˇ prˇijde Eva. Neprˇijde nikdo z chlapcu˚. Neprˇijde Adam ani Bohuslav a ani Cyril. Prˇijde Dana a alesponˇ jeden z obou chlapcu˚, Adam nebo Cyril. Dana prˇijde bud’ s Adamem, nebo s Cyrilem.

Pro neˇ ktere´ vy´roky jsou v tabulce uvedeny ru˚ zne´ mozˇ nosti.

1.4

Kvantifikované výroky, kvantifikátory

Vy´roky, ktere´ uda´vajı´ pocˇet, se nazy´vajı´ kvantifikovane´ vy´roky. Obecny´ kvantifika´ tor: ∀, ktery´ se cˇte kazˇ dy´“ cˇi pro vsˇechna“ cˇi libovolny´“, v za´porne´ veˇ teˇ se cˇte zˇ a´dny´“ ” ” ” ” cˇi nikdo“. Obecny´ kvantifika´ tor prˇirˇazuje popisovanou vlastnost vsˇem objektu˚ m. ” Existencˇ nı´ kvantifika´ tor: ∃, ktery´ se cˇte existuje“ cˇi alesponˇ pro jeden“. Existencˇnı´ kvantifika´ tor vyjadrˇuje ” ” existenci alesponˇ jednoho objektu s popisovanou vlastnostı´.



´ loha 6 U Prˇecˇteˇ te a vysveˇ tlete na´sledujıćı´ vy´roky: a) ∀x ∈ R; |x| ≥ 0 b) ∃m ∈ N ∀n ∈ N; m ≤ n c) ∀n ∈ Z ∃m ∈ Z; m < n

Rˇ esˇenı´:

a) Absolutnı´ hodnotou libovolne´ho rea´lne´ho cˇ´ısla je cˇ´ıslo neza´porne´. (Vlastnost se ty´ka´ vsˇech rea´lnyćh cˇ´ısel.) b) Existuje prˇirozene´ cˇ´ıslo m, ktere´ je ze vsˇech prˇirozenyćh cˇ´ısel nejmensˇ´ı. (Sta´le stejne´ prˇirozene´ cˇ´ıslo m se porovna´va´ se vsˇemi prˇirozeny´mi cˇ´ısly n.) c) Mezi cely´mi cˇ´ısly je mozˇ ne´ k libovolne´mu z nich najı´t jesˇteˇ mensˇ´ı. (Ke kazˇ de´mu cele´ mu cˇ´ıslu n je mozˇ ne´ najı´t jine´ cele´ cˇ´ıslo m.) Zatı´mco vy´rok b) rˇ´ıka´, zˇ e v mnozˇ ineˇ prˇirozenyćh cˇ´ısel existuje minimum, ve vy´roku c) se tvrdı´, zˇ e v mnozˇ ineˇ celyćh cˇ´ısel minimum neexistuje. Prˇi negaci kvantifikovanyćh vy´roku˚ se obecny´ kvantifika´ tor meˇ nı´ na existencˇnı´ a opacˇneˇ . Negace neˇ kteryćh kvantifika´ toru˚ : ∀ ∃ alesponˇ n prvku˚ je . . . (pro n ∈ N\{1}) nejvy´sˇe n prvku˚ je . . . (pro n ∈ N)

neˇ kterˇ´ı jsou. . . , alesponˇ jeden je . . . vsˇichni jsou . . . pra´veˇ n prvku˚ je . . . (pro n ∈ N\{1}) pra´veˇ jeden prvek je . . .

∃ ∀ meńeˇ nezˇ n prvku˚ je . . . , nejvy´sˇe n − 1 prvku˚ je . . . vıće nezˇ n prvku˚ je . . . , nejmeńeˇ n + 1 prvku˚ je . . . , alesponˇ n + 1 prvku˚ je . . . zˇ a´dnı´ nejsou . . . , nikdo nenı´ . . . neˇ kterˇ´ı nejsou . . . , alesponˇ jeden nenı´ . . . meńeˇ nezˇ n prvku˚ nebo vıće nezˇ n prvku˚ je . . . zˇ a´dny´ prvek nenı´ nebo alesponˇ dva prvky jsou . . .

´ loha 7 U Vytvorˇte negace vy´roku˚ z prˇ´ıkladu 6. Rˇ esˇenı´: a) ∃x ∈ R; |x| < 0 b) ∀m ∈ N ∃n ∈ N; m > n c) ∃n ∈ Z ∀m ∈ Z; m ≥ n

´ loha 8 U Negujte na´sledujıćı´ vy´roky: a) Pu˚ jdu nejvy´sˇe na 2 filmy. b) Zpozdil se nejmeńeˇ o 5 minut. c) Zˇ a´dny´ poslanec nehlasoval proti. d) V konvexnı´m peˇ tiu´helnı´ku majı´ libovolne´ dveˇ u´hloprˇ´ıcˇky spolecˇny´ bod. e) Nikdy nikomu neprozradı´ vsˇechno. f) Kazˇ dy´ proble´m ho zaskocˇ´ı. g) Neˇ kterˇ´ı by sami nevyrˇesˇili vu˚ bec nic.

Rˇ esˇenı´: Pu˚ jdu alesponˇ na 3 filmy. (vıće nezˇ na 2) Pokud se zpozdil, pak meńeˇ nezˇ o 5 minut. Alesponˇ jeden poslanec hlasoval proti. V konvexnı´m peˇ tiu´helnı´ku je alesponˇ jedna dvojice u´hloprˇ´ıcˇek, ktere´ nemajı´ spolecˇny´ bod. Neˇ kdy neˇ komu vsˇechno prozradı´. Neˇ ktery´ proble´m ho nezaskocˇ´ı. Kazˇ dy´ by sa´m neˇ co vyrˇesˇil.


Implikace, obměna, obrácená implikace

´ loha 9 U Porovnej v tabulce pravdivostnı´ hodnoty slozˇ enyćh vy´roku˚ A ⇒ B, ¬B ⇒ ¬A a ¬A ∨ B, da´le je porovnej s vy´roky B ⇒ A a A ⇔ B. Rˇ esˇenı´:


1.5

Implikace A ⇒ B ma´ stejnou pravdivostnı´ hodnotu jako obmeˇ na implikace ¬B ⇒ ¬A. Je-li slozˇ eny´ vy´rok uvozen kvantifika´ tory, prˇi obmeˇ neˇ implikace se kvantifika´ tory nezmeˇ nı´ (na rozdı´l od negace). Obraćena´ implikace k vy´roku A ⇒ B je vy´rok B ⇒ A. Pravdivostnı´ hodnotu obraćene´ implikace nelze z pu˚ vodnı´ implikace prˇedvı´dat. Pokud je implikace i obraćena´ implikace pravdiva´, jsou oba jednoduche´ vy´roky dokonce ekvivalentnı´. Slozˇ eny´ vy´rok, ktery´ je vzˇ dy pravdivy´, a to neza´visle na pravdivostnıćh hodnota´ ch jednoduchyćh vy´roku˚ z nichzˇ je slozˇ en, se nazy´va´ tautologie. Prˇ´ıklady tautologiı´: (A ⇒ ¬B) ⇔ (B ⇒ ¬A) (A ∧ B) ⇒ (A ∨ B) A ∨ ¬A

´ loha 10 U Vytvorˇte obmeˇ ny implikacı´, obraćene´ implikace a negace. U u´lohy b) a c) oznacˇte pravdivostnı´ hodnotu symboly 1, 0: a) Jestli nespı´, pak snı´. b) Ma´-li rovnobeˇ zˇ nı´k kolme´ u´hloprˇ´ıcˇky, ma´ i shodne´ strany. c) Shodujı´-li se libovolne´ troju´helnı´ky alesponˇ v jedne´ straneˇ a prˇ´ıslusˇne´ vy´sˇce, majı´ stejny´ obsah. Rˇ esˇenı´: Obmeˇ na implikace: a) Jestli nesnı´, pak spı´. b) Nema´-li rovnobeˇ zˇ nı´k shodne´ strany, nema´ ani kolme´ u´hloprˇ´ıcˇky. (1) c) Majı´-li libovolne´ troju´helnı´ky odlisˇny´ obsah, pak se neshodujı´ v zˇ a´dne´ dvojici – strana s prˇ´ıslusˇnou vy´sˇkou. (1) Obraćena´ implikace: a) Jestli snı´, pak nespı´. b) Ma´-li rovnobeˇ zˇ nı´k shodne´ strany, ma´ i kolme´ u´hloprˇ´ıcˇky. (1) c) Majı´-li libovolne´ troju´helnı´ky stejny´ obsah, pak se shodujı´ alesponˇ v jedne´ straneˇ a prˇ´ıslusˇne´ vy´sˇce. (0) Negace: a) Nespı´ a nesnı´. b) Rovnobeˇ zˇ nı´k ma´ kolme´ u´hloprˇ´ıcˇky a nema´ shodne´ strany. (0) c) Existujı´ troju´helnı´ky s ru˚ zny´m obsahem, ktere´ se shodujı´ alesponˇ v jedne´ straneˇ a prˇ´ıslusˇne´ vy´sˇce. (0) Pozor! Zmeˇ na kvantifika´ toru˚ u negacı´!



Pozna´mka: Vy´rok b) je mozˇ ne´ vyslovit jako ekvivalenci. Bude pravdiva´, nebot’implikace i obraćena´ implikace je pravdiva´. Rovnobeˇ zˇ nı´k ma´ kolme´ u´hloprˇ´ıcˇky, pra´veˇ kdyzˇ ma´ shodne´ strany.

´ loha 11 U Ktera´ z na´sledujıćıćh ekvivalencı´ je pravdiva´? a) ∀x ∈ R; x ≥ 0 ⇔ |x| = x b) ∀n ∈ Z; 4 | n ⇔ 4 | n2

Rˇ esˇenı´: Prˇi du˚ kazovyćh u´loha´ ch s ekvivalencı´ se posuzujı´ pravdivostnı´ hodnoty implikace a obraćene´ implikace. a) Oba slozˇ ene´ vy´roky ∀x ∈ R; x ≥ 0 ⇒ |x| = x, ∀x ∈ R; |x| = x ⇒ x ≥ 0 (implikace a obraćena´ implikace) jsou pravdive´, proto je pravdiva´ ekvivalence ∀x ∈ R; x ≥ 0 ⇔ |x| = x.

b) Vy´rok ∀n ∈ Z; 4 | n ⇒ 4 | n2 je pravdivy´, ale obraćena´ implikace ∀n ∈ Z; 4 | n2 ⇒ 4 | n je nepravdiva´ (naprˇ. 4 | 36, ale 4 6). Proto je ekvivalence ∀n ∈ Z; 4 | n ⇔ 4 | n2 nepravdiva´. K du˚ kazu obraćene´ implikace uzˇ ij obmeˇ ny: ∀n ∈ Z; 4 n ⇒ 4 n2 (neprˇ´ımy´ du˚ kaz - viz da´le).

´ loha 12 U Ktere´ z na´sledujıćıćh vy´roku˚ jsou vza´jemneˇ ekvivalentnı´? a) b) c) d) e) f)

Vy´rok A : ∀x ∈ R; Vy´rok B : ∀x ∈ R; Vy´rok C : ∀x ∈ R; Vy´rok D : ∃x ∈ R; Vy´rok E : ∀x ∈ R; Vy´rok F : ∀x ∈ R;

x > 1 ⇒ x2 > x x2 ≤ x ⇒ x ≤ 1 x2 > x ⇒ x > 1 x > 1 ∧ x2 ≤ x x ≤ 1 ∨ x2 > x x2 ≤ x ∨ x > 1

Rˇ esˇenı´: Vy´rok B je obmeˇ nou vy´roku A, proto jsou oba vy´roky A, B vza´jemneˇ ekvivalentnı´. Vy´roky A a C obsahujı´ obraćene´ implikace. Vy´roky nejsou ekvivalentnı´. Vy´rok D je negacı´ vy´roku˚ A i B, proto ma´ opacˇnou pravdivostnı´ hodnotu nezˇ tyto vy´roky. Vy´rok E je negacı´ vy´roku D, vznikl tedy dvojna´sobny´m negovańı´m vy´roku A cˇi B, proto je s obeˇ ma teˇ mito vy´roky vza´jemneˇ ekvivalentnı´. Vy´rok F vznikl dvojna´sobny´m negovańı´m vy´roku C. Proto jsou C a F ekvivalentnı´ vy´roky. Vsˇechny trˇi vza´jemneˇ ekvivalentnı´ vy´roky A, B, E majı´ tute´zˇ pravdivostnı´ hodnotu, jsou pravdive´. Ekvivalentnı´ vy´roky C a F jsou nepravdive´ a vy´rok D je rovneˇ zˇ nepravdivy´.

´ loha 13 U Prˇedpokla´ dejme, zˇ e ponozˇ ky v pra´delnı´m kosˇi rozlisˇujeme na sveˇ tle´ a tmave´, bavlneˇ ne´ a silonove´, dı´vcˇ´ı a chlapecke´ a take´ tluste´ a tenke´. 1. Vı´me, zˇ e v prvnı´m kosˇi jsou vsˇechny tluste´ ponozˇ ky tmave´. Vyply´va´ z toho, zˇ e a) tam musı´ by´t neˇ jake´ tenke´ sveˇ tle´ ponozˇ ky? b) pokud je v kosˇi tmava´ ponozˇ ka, je tlusta´? c) pokud jsou v kosˇi jen tluste´ ponozˇ ky, musı´ by´t vsˇechny ponozˇ ky v kosˇi tmave´? d) pokud je v kosˇi neˇ jaka´ dı´vcˇ´ı sveˇ tla´ ponozˇ ka, pak je soucˇasneˇ tenka´? 2. Vı´me, zˇ e ve druhe´ m kosˇi nejsou zˇ a´dne´ tluste´ chlapecke´ ponozˇ ky ani silonove´ ponozˇ ky, ale vsˇechny ponozˇ ky jsou dı´vcˇ´ı nebo sveˇ tle´. Vylucˇuje se to s tı´m, zˇ e e) je tam neˇ jaka´ sveˇ tla´ chlapecka´ ponozˇ ka? f) je tam neˇ jaka´ dı´vcˇ´ı sveˇ tla´ tenka´ ponozˇ ka? g) je tam neˇ jaka´ chlapecka´ tmava´ ponozˇ ka? h) je tam neˇ jaka´ tmava´ chlapecka´ bavlneˇ na´ ponozˇ ka?

14 Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz


Rˇ esˇenı´: 1.

a) b) c) d)

NE. (Neprˇedpokla´ da´ se existence zˇ a´dnyćh dalsˇ´ıch ponozˇ ek v kosˇi.) NE. (Platı´ jen obraćena´ implikace.) ANO. (Jsou-li tluste´, jsou tmave´.) ANO. (Platı´ obmeˇ na implikace – nenı´-li ponozˇ ka tmava´, nenı´ ani tlusta´.)

2. Pro rˇesˇenı´ dalsˇ´ı cˇa´sti u´lohy mu˚ zˇ esˇ vyuzˇ´ıt na´sledujıćı´ tabulky: svˇetlé tmavé Ponoˇzky bavlnˇené silonové bavlnˇené silonové tlusté

tenké

2

d´ıvˇc´ı chlapecké

1

1, 2

d´ıvˇc´ı

f)

2

chlapecké

e)

2

2 1, 3

1, 2, 3 2

3

2, 3

Tabulka zna´zornˇ uje situaci ve druhe´ m kosˇi, bı´la´ jsou pole s ponozˇ kami, ktere´ v kosˇi urcˇiteˇ nebudou. (Jsou to tluste´ chlapecke´ ponozˇ ky (1), silonove´ ponozˇ ky (2) a tmave´ chlapecke´ ponozˇ ky (3), nebot’nejsou sveˇ tle´ a ani dı´vcˇ´ı). e) NE. (Zbylo vybarvene´ pole se sveˇ tly´mi chlapecky´mi ponozˇ kami.) f) NE. g) ANO. (Zbyla jen bı´la´ pole.) h) ANO. d´ıvˇc´ı 2 2 2

1

svˇetlé

2

1

2

2 2

3

2

3 1

1.6

3

tenké 3 1

bavlnˇené

K rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu 13 je mozˇ ne´ pouzˇ´ıt i Vennovyćh diagramu˚ pro zna´zorneˇ nı´ cˇtyrˇ mnozˇ in, ktere´ prˇedstavujı´ cˇtyrˇi charakteristiky (uzˇ ivatel, odstıń, sı´la, materia´l), kde u kazˇ de´ charakteristiky existujı´ dveˇ mozˇ nosti. (Uzˇ ivatel je dı´vka cˇi chlapec, odstıń je sveˇ tly´ cˇi tmavy´ apod.) Kazˇ da´ mnozˇ ina prˇedstavuje jednu mozˇ nost u vybrane´ charakteristiky (naprˇ. uzˇ ivatel je dı´vka), druhou mozˇ nost (uzˇ ivatel je chlapec) prˇedstavuje doplneˇ k te´to mnozˇ iny. Bı´le´ jsou ty mnozˇ iny ponozˇ ek, ktere´ se ve druhe´ m kosˇi nemohou vyskytovat.

Axiomy, definice, věty, důkazy

Axiom je tvrzenı´, ktere´ se nedokazuje, prˇedpokla´ da´ se, zˇ e je pravdive´. Axiomy jsou za´kladnı´mi kameny kazˇ de´ matematicke´ teorie. (Axiomem je naprˇ. tvrzenı´ Eukleidovske´ geometrie: Libovolny´m bodem, ktery´ lezˇ´ı mimo danou prˇ´ımku, mu˚ zˇ eme ve´st pra´veˇ jednu rovnobeˇ zˇ ku s touto prˇ´ımkou.) Definicı´ se zava´dı´ novy´ pojem. (Prˇ´ıklad: Rˇ ´ıka´me, zˇ e prˇirozene´ cˇ´ıslo je prvocˇ´ıslo, kdyzˇ ma´ v oboru prˇirozenyćh cˇ´ısel pra´veˇ dva ru˚ zne´ deˇ litele – cˇ´ıslo jedna a samo sebe.) Matematicka´ veˇ ta je takovy´ pravdivy´ vy´rok (matematicka´ teorie), jehozˇ pravdivost mu˚ zˇ eme doka´zat prostrˇednictvı´m axiomu˚ a veˇ t jizˇ drˇ´ıve doka´zanyćh. (Prˇ´ıklad: V kazˇ de´m kosocˇtverci jsou u´hloprˇ´ıcˇky na sebe kolme´.) Du˚ kazem se vyvozuje pravdivostnı´ hodnota (dokazovane´ho) tvrzenı´. Vyjmenujme cˇtyrˇi za´kladnı´ typy du˚ kazu˚ : prˇ´ımy´ a neprˇ´ımy´ du˚ kaz, du˚ kaz sporem a du˚ kaz matematickou indukcı´. V prˇ´ıme´m du˚ kazu se z uvedenyćh prˇedpokladu˚ dospeˇ je k dokazovane´mu tvrzenı´ prostrˇednictvı´m pravdivyćh (drˇ´ıve doka´zanyćh nebo z axiomu˚ platnyćh) implikacı´. Du˚ kaz sporem zacˇ´ına´ prˇedpokladem negace dokazovane´ho vy´roku. Prˇi vyvozovańı´ z te´to negace se dospeˇ je k neˇ jake´mu tvrzenı´, ktere´ je nepravdive´, prˇ´ıpadneˇ je v logicke´ m sporu s prˇedpokladem. Je tak doka´zańa nepravdivost negace dokazovane´ho vy´roku. Pravdivy´ je pu˚ vodnı´ vy´rok.


Maturitní otázky Matematika

Recommend Documents