Matice
Definice: Soubor A =
(a ) ij
a11, a21, = ..., a m1,
a12, a22, ..., am 2,
..., ..., a1n ..., ..., a2 n ..., ..., ..., prvků z tělesa T (tímto ..., ..., amn
tělesem T bude v naší praxi nejčastěji těleso reálných čísel ℝ , resp. těleso racionálních čísel ℚ či těleso komplexních čísel ℂ ) nazýváme maticí typu (m, n) (nad tělesem T).
(Poznamenejme, že někdy se v literatuře hovoří o matici typu m x n , resp. i o matici m / n ). Matici A typu (m, n) nazýváme čtvercovou, pokud m = n. Hovoříme pak o matici řádu m. Vektor ( ai 1,
ai 2, ..., ai n ) nazýváme i – tým řádkovým vektorem matice A a vektor
a1 j a2 j nazýváme j – tým sloupcovým vektorem matice A. (Stručně hovoříme o řádcích či . am j sloupcích matice A).
a11, a21, Součtem matic A = ..., a m1,
a12, a22, ..., am 2,
..., ..., a1n b11, ..., ..., a2 n b21, ..., ..., ..., a B = ..., b ..., ..., amn m1,
a11 + b11 , a12 + b12 , a +b , a +b , 22 22 21 21 téhož typu (m, n) je matice A + B = ..., ..., a +b m1 m1 am 2 + bm 2 , Je -li
ra11, ra21, rA = ..., ra m1,
b12, b22, ..., bm 2,
..., ..., b1n ..., ..., b2 n ..., ..., ..., ..., ..., bmn
a1n + b1n a2 n + b2 n ..., ..., ..., . ..., ..., amn + bmn ..., ..., ..., ...,
r œ T libovolný, pak r – násobkem matice A rozumíme matici
ra12, ra22, ..., ram 2,
..., ..., ra1n ..., ..., ra2 n ..., ..., ..., . ..., ..., ramn
1
1, 2 4, 3 Příklad: Je –li A = , B = dvojice čtvercových matic řádu 2, potom 3, 4 2, 1 5, 5 −3, −6 A + B = a (–3). A = . 5, 5 −9, −12 Lehko se ověří, že množina Tm, n všech matic typu (m, n) tvoří vzhledem k operacím sčítání matic a násobení skalárem z T vektorový prostor dimenze m n. (Označme E
(i, j )
matici typu (m, n), mající v průsečíku i – tého řádku a j – tého sloupce prvek 1 a jinde prvek 0). Těchto m . n matic zjevně generuje vektorový prostor Tm, n a lehko se ověří, že jde o prvky lineárně nezávislé.
Definice: Nechť je dána matice A typu (m, n). O prvcích a 11 , a 22 , …, a k k , kde k = min {m, n} , říkáme, že leží v hlavní diagonále, nebo také, že tvoří hlavní diagonálu matice A.
Definice: Řekneme, že dvě matice A = ( ai j ) a B = ( bi j ) téhož typu (m, n) se rovnají, jestliže ai j = bi j pro všechna i = 1,…, m, j = 1,…, n. Píšeme A = B.
Definice: Buď A = ( ai j ) matice typu (m, n) a B = ( bi j ) matice typu (n, p). Součinem A . B matic A , B (pozor na pořadí!!) rozumíme matici C
=
(c ) ij
typu (m, p), kde
n
ci j =
∑a k =1
ik
bk j .
Poznámka: 1. Může se stát, že součin A . B je definován, ale součin B . A ne.
3 1 2 3 1.3 + 2.5 + 3.7 Kupříkladu pro A = , B = 5 je A . B = = 4.3 + 5.5 + 7.6 4 5 6 7
34 , součin B . A 79
ale není definován. 2. Součin A . B matice A typu (m, n) a matice B typu (k, p) tedy bude definován pouze v případě, kdy n = k a bude jím matice typu (m, p) . Oba dva součiny A . B , B . A budou definovány právě tehdy, když A je typu (m, n) a matice B je typu (n, m). V tomto případě bude součin A . B čtvercovou maticí řádu m a součin B . A čtvercovou maticí řádu n. A dokonce ani v případě, kdy obě matice A , B jsou čtvercovými maticemi téhož řádu n a kdy jsou sice oba součiny A . B , B . A definovány, zdaleka nemusí nastat rovnost A . B = B . A.
2
1 2 2 1 4 7 5 8 Kupř. pro A = , B = je A . B = , B . A = . Násobení matic 3 4 1 3 10 15 10 14 tedy není komutativní. Má tedy násobení matic alespoň nějaké „rozumné“ vlastnosti? Věta: Buď A matice typu (m, n), B, C matice typu (n, p), D matice typu (p, q), a dále r œ T libovolný prvek. Potom (i)
A . (B + C) = A . B + A . C,
(ii)
(A . B). D = A . (B . D),
(iii)
(r A ) . B = r (A . B).
Vzhledem k tomu, že platí asociativní zákon, můžeme definovat mocninu čtvercové matice na přirozený exponent. Definice: Nechť n œ ℕ je přirozené číslo a A je čtvercová matice. Pak přirozenou mocninu matice A definujeme indukcí A2 = A. A An= A. An-1. Matici A, pro kterou existuje číslo n œ ℕ tak, že An = O, kde O je tzv. nulová matice, obsahující samé nuly, nazýváme nilpotentní maticí. 1 1 2 Příklad: Je dána matice A = . Máme A = A. A = O, tudíž matice A je −1 −1 nilpotentní. Definice: Čtvercovou matici A = ( ai j ) řádu n nazveme diagonální, jestliže má mimo n
diagonálu samé nuly, tj. ai j = 0 pro i ∫ j. Číslo tr (A) =
∑a i =1
ii
nazýváme stopou matice A.
Jednotková matice řádu n je čtvercová matice I = ( ei j ) řádu n mající všude v hlavní diagonále prvek 1 a všude jinde prvek 0, tj. platí eii = 1, i = 1, 2,…, n a eij = 0 pro i ∫ j, i, j = 1, 2,…, n.
Definice: Buďte A , B čtvercové matice řádu n. Řekneme, že B je inverzní matice k matici A (nebo že A je inverzní matice k matici B), jestliže A . B = B . A = I. Pokud inverzní matice k matici A existuje, je určena jednoznačně a značí se A-1 . 3
Matice A, k níž existuje inverzní matice, se nazývá matice regulární, v opačném případě hovoříme o matici singulární. 2 1 1 −1 -1 -1 Příklad: Matice A = je regulární, neboť pro matici A = platí A . A 1 1 −1 2 1 0 = A-1 . A = I = . Matice A = 0 1
1 −1 je singulární. −2 2
Věta: Jsou –li A , B regulární čtvercové matice řádu n, pak (i)
součin A . B je regulární matice a platí (A B) -1 = B-1. A-1,
(ii)
matice A-1 je regulární a (A-1) -1 = A.
Důkaz: (i) Je jednak (A B). (B-1. A-1) = A.( B. B-1). A-1 = A.I. A-1 = A . A-1= I, obdobně vyjde i (B-1. A-1). (A B) = B-1.I. B = B-1. B= I, odkud (A B) -1 = B-1. A-1. (ii) Rovnosti A . A-1 = A-1 . A = I lze rovněž přečíst tak, že A je matice inverzní k A-1.
a11, a21, Definice: Buď A = ..., a m1,
a12, a22, ..., am 2,
..., ..., a1n ..., ..., a2 n ..., ..., ..., ..., ..., amn
matice typu (m, n). Maticí
transponovanou k matici A rozumíme matici
a11, a12, AT = ..., a 1n
a21, a22, ..., a2 n ,
..., ..., am1 ..., ..., am 2 ..., ..., ..., typu (n, m), kterou dostaneme z matice A výměnou ..., ..., amn
řádků za sloupce (resp. sloupců za řádky). Zřejmě platí: 1) (AT )T = A, 2) (λ A) T = λ AT, λ œ T libovolný, 3) (λ1 A + λ2 B ) T = λ1 AT + λ2 BT, λ1, λ2 œ T libovolné, 4) (A B) T = BT.AT, je -li součin A B definován,
4
5) je –li matice A regulární, je i AT regulární a platí (AT )-1 =(A-1 )T. Definice: Nechť A je čtvercová matice řádu n. Matice A se nazývá symetrická, jestliže A = AT.
5
Determinanty Definice: Nechť A je čtvercová matice řádu n. Determinantem matice A nazýváme číslo det (A ), které vypočteme takto: Pro n = 1 je det (A ) = det (a11 ) = a11, pro n = 2 je det (A ) =
a11 a21
a12 = a11 .a22 − a12 .a21 a22
a pro n > 2 lze provést rozvoj podle zvoleného řádku nebo sloupce. Jestliže A je čtvercová matice řádu n, pak symbolem Aij budeme značit matici, která vznikne z matice A vynecháním i –tého řádku a j–tého sloupce. Rozvojem podle i – tého řádku definujeme det (A) = ai1. ( −1) .det ( A i1 ) i +1
+ ai 2 .( −1) .det ( Ai 2 ) +…+ ain . ( −1) i +2
i+n
.det ( A in ) .
1 2 3 Kupř. rozvojem podle prvního řádku máme 4 5 6 = 1. ( –1)1+1
7 8 9 4 6 7 9
+ 3. ( –1)1+3
4 5 7 8
5 6 8 9
+ 2. ( –1)1+2
= 1. ( –3) + 2. ( –1) ( –6) + 3.1. ( –3) = 0.
Číslo Aij = (–1)i + j . det ( A ij ) se nazývá algebraický doplněk prvku aij. Obecně lze s využitím algebraických doplňků zapsat rozvoj podle i – tého řádku takto: det (A ) = ai1 . A i1 + ai2 . A i2 + … + ain . A in. Nedostatkem této definice je její nejednoznačnost, není určeno, podle kterého řádku provádíme rozvoj. Lze dokázat, že výsledek výpočtu nezávisí na zvoleném řádku a navíc lze determinant matice počítat stejným postupem rozvojem podle libovolně zvoleného sloupce. Při praktickém výpočtu volíme řádek či sloupec s co největším počtem nul. Sarussovo pravidlo pro výpočet determinantu matice řádu 3:
a11
a12
a13
det A = a21
a22 a32
a23 = a11. a22 . a33 + a21. a32 . a13 + a12. a23 . a31 – a31. a22 . a13 a33
a31
6
– a32. a23 . a11 – a33. a21 . a12. Důkaz rozvojem podle determinantu matice A podle prvního
a11
a12
řádku. Pišme det (A) = a21 a31
a22 a32
a13 .(–1)1+3.
a21 , a22 a31 , a32
a13
a , a23 a21 , a23 a23 = a11 .(–1)1+1. 22 + a12 .(–1)1+2. + a32 , a33 a31 , a33 a33
= a11 .(a22.a33 – a32.a23) – a12 .(a21.a33 – a31.a23) + a13 .(a21.a32 – a31.a22).
Pro snazší zapamatování sdružíme kladné a záporné členy: det (A) = a11.a22. a33 + a12. a31. a23 + a13.a21. a32 – a31.a22. a13 – a11.a32. a23 – a21.a12. a33. Sarussovo pravidlo pro výpočet determinantu matice řádu tři tedy říká, že je třeba sečíst tři kladné sčítance tvořené součinem prvků v hlavní diagonále, resp. součinem dvou členů nad hlavní diagonálou se členem v levém dolním rohu a součinem dvou členů pod hlavní diagonálou se členem v pravém horním rohu. (Schématicky směr násobení ց je svázán se znaménkem +). Dále sčítanci získaní násobením členů „ve směru vedlejší diagonály“ (směr ր ) jsou opatřeni znaménkem –. Bohužel pro determinanty matic vyšších řádů již není k dispozici analogické pravidlo. Věta: Pro každou čtvercovou matici A platí det A = det AT . Lze tedy provádět i rozvoj podle sloupce!! Výsledek se nezmění. Věta: Nechť matice B vznikne z matice A přehozením dvou řádků (sloupců). Potom det B = – det A. Důsledek: Jsou –li dva řádky (sloupce) matice A stejné, potom det A = 0. Důkaz: Podle předchozí věty je det B = – det A, (zde ale B = A), odkud det A = 0. Věta: Nechť matice B vznikne z matice A přičtením c- násobku j –tého řádku (sloupce) k i – tému řádku (sloupci). Potom det B = det A.
Důkaz: B =
a11 a j1
a12 aj2
... ai1 + c.a j1 ... an1
... ai 2 + c.a j 2 ... an 2
a13 ... ... a j 3 ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...
7
a1n a jn
... ... . ... ain + c.a jn ... ... ... ann
det B = ( ai1 + c.a j1 ).Ai1 +( ai 2 + c.a j 2 ).Ai2 + …+ ( ain + c.a jn ).Ain = ai1 . A i1 + ai2 . A i2 +
a11 a j1 … + ain . A in + c.( a j1 . Ai1 + a j 2 . Ai2 + … + a jn . Ain ) = det A + c.det ... a j1 a n1
a12 ... ... a1n a j 2 ... ... a jn ... ... ... ... a j 2 ... ... a jn an 2 ... ... ann
= det A + 0 = det A .
Věta o násobení determinantů: Buďte A, B dvě čtvercové matice řádu n. Potom det(A.B) = det (A) . det (B).
Věta: Buď A čtvercová matice řádu n. Jestliže matice B
vznikne z matice A
vynásobením libovolného řádku prvkem c œ T, pak det (B) = c. det (A). 3, 1, 1, 1
Příklad: Vypočtěte D =
1, 3, 1, 1 1, 1, 3, 1
.
1, 1, 1, 3
Řešení: Je D =
3, 1, 1, 1
0,
1, 3, 1, 1
−8, 3, −2, −2 −2, 1, 2, 0 −2, 1, 0, 2
1, 1, 3, 1
=
1, 1, 1, 3
1,
0,
0
−8 −2 −2 = 1.(–1). −2
−2
2 0
0 = 2
−10 −2 0 – −2
2 0
−2
−10 −2 0 = –2.( –1)6. = 48. −2 2 2
Věta: Buď A čtvercová matice řádu n. A je regulární právě tehdy, když det (A) ≠ 0.
x 0 1 Příklad: Rozhodněte, kdy je matice A = 2 x 3 singulární. 4 5 6 x 0 1 Řešení: det A = 2 x 3 = 6x2 + 0 + 10 – 4x –15 x – 0 = 6x2 –19 x +10 = 0. Kořeny
4 5 6 jsou x1 =
5 2 , x2 = . Pro tyto dvě hodnoty parametru x je matice A singulární maticí. 2 3
8
2, Příklad: Vypočtěte D =
−4, −3, 5
1, 3, 5, 1 . 2, 5, −2, 3 −3, −2, 1, 0
Řešení: Budeme směřovat k rozvoji podle čtvrtého sloupce, kde se již vyskytuje jedna nula. Další zde vytvoříme tím, že odečteme pětinásobek druhého řádku od řádku prvního a také trojnásobek druhého řádku od řádku třetího: −3, −19, −28, 1, 3, 5, D= −1, −4, −17, −3, −2, 1,
0 −3, −19, −28 1 2+4 = 1.( –1) . −1, −4, −17 . 0 −3, −2, 1 0
Nyní bychom již mohli užít Sarrusovo pravidlo, ale můžeme ještě např. přičíst (–3) - násobek druhého řádku jak prvnímu, tak i ke třetímu řádku provést pak rozvoj podle prvního sloupce:
0,
−7,
D = −1 −4 0, 10,
23
−7, 23 −17 = –1.( –1)1+2. = – (–364 – 230) = 594. 10, 52 52
−2, 0, 1, 2, 2 2, 5, 2, 6, 1 Příklad: Vypočtěte D = 5, 13, 1, 12, 7 . 2, 6, 3, 8, 1 −4,
9,
5, 10, 8
Řešení: Připravíme si rozvoj podle prvního řádku. Nejprve přičteme první sloupec ke sloupci čtvrtému a pátému, pak přičteme dvojnásobek třetího sloupce ke sloupci prvnímu: −2,
0,
1,
0,
0
0,
0,
1,
0,
0
6, 5, 8, 3 5, 2, 8, 3 6, 5, 2, 8, 3 7, 13, 17, 12 . 13, 1, 17, 12 = 7, 13, 1, 17, 12 = 1.(–1)1+3. 8, 6, 10, 3 6, 3, 10, 3 8, 6, 3, 10, 3 6, 9, 6, 4 −4, 9, 5, 6, 4 6, 9, 5, 6, 4
2, D = 5, 2,
Nyní budeme chtít připravit rozvoj determinantu podle prvního sloupce. Můžeme například odečíst čtvrtý řádek od všech ostatních řádků - tím se jednak vytvoří v prvním řádku nula, jednak se zmenší čísla vyskytující se v determinantu, což usnadní výpočet:
9
0, −4, D =
2,
−1
1, 4, 11, 8 . Poté ještě odečtením dvojnásobku druhého řádku od řádku 2, −3, 4, −1 6, 9, 6, 4
třetího, resp. odečtením šestinásobku druhého řádku od řádku třetího dostaneme D = −4,
0,
−1
2,
−4,
1, 4, 11, 8 = 1.(–1)2+1. = 0, −11, −18, −17 0, −15, −60, −44
2,
−1
4,
2,
−1
−11, −18, −17 = 11, −18, −17 . −15, −60, −44 15, −60, −44
Nakonec
známým způsobem připravíme rozvoj determinantu podle prvního řádku – přičteme k prvnímu sloupci čtyřnásobek sloupce třetího a ke druhému sloupci dvojnásobek sloupce třetího:
4,
−1
2,
11, −18, −17 15, −60, −44 =–
0, =
0,
−1
−57, −52, −17 −161, −148, −44
=
–1.
(–1)1+3.
−57, −52 −161, −148
=
( ( −57 ) . ( −148) − ( −52 )( −161) ) = – 64. Zakončíme jednoduchým příkladem, ukazujícím, že determinanty budou mít jisté
využití i při řešení soustav lineárních rovnic. Příklad: Vyřešme soustavu 2x+5y=8 3 x + y = –1. Řešení: Je téměř zpaměti vidět, že x = –1, y = 2 je jediným řešením dané soustavy. Užijme však k řešení determinantů (Cramerovo pravidlo). Z koeficientů u neznámých na levé straně sestavme tzv. determinant soustavy Ds = 2, 5 3, 1
= –13 ∫ 0. Nyní v tomto determinantu nahradíme koeficienty u neznámé x sloupcem
8, 5 8 D pravé strany, tj. vektorem , tedy Dx = = 13. Vypočteme x = x = –1. Obdobně −1, 1 Ds −1 máme Dy =
2,
8
3, −1
= –26, y =
Dy Ds
= 2.
Více o soustavách lineárních rovnic příště.
10
