MATHunesa Volume 2 No.6 Tahun 2017
Jurnal Ilmiah Matematika ISSN 2301-9115
IDEAL ANTI FUZZY PADA ALJABAR_CI Siti Nur Laili (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya) Email :
[email protected] Raden Sulaiman (Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya) Email :
[email protected] Abstrak Struktur aljabar merupakan himpunan yang tak kosong dengan satu atau lebih operasi dan memenuhi aksiomaβ aksioma yang berlaku. Pulak Sabhanpandit dan Biman Ch.Chetia memperkenalkan ideal anti fuzzy dalam aljabar-CI. Aljabar-CI merupakan suatu himpunan tak kosong π, elemen khusus 1 dan operasi biner β memenuhi aksioma : (i) π₯ β π₯ = 1, (ii)1 β π₯ = π₯, (iii) π₯ β (π¦ β π§) = π¦ β (π₯ β π§), untuk semua π₯, π¦, π§ β π. Misal π΄ himpunan fuzzy pada aljabar-CI, π΄ disebut ideal anti fuzzy jika untuk setiap π₯, π¦, π§ β π memenuhi ππ΄ (π₯ β π¦) β€ ππ΄ (π¦) dan (ππ΄ ((π₯ β (π¦ β π§)) β π§)) β€ max{ππ΄ (π₯), ππ΄ (π¦)}. Hasil penelitian menjelaskan konsep dan struktur yang terkait dari ideal anti fuzzy pada aljabar-CI. Kata Kunci: Aljabar-CI, ideal anti fuzzy, homomorfisme, hasil kali kartesius Abstract The structure of algebra is a non empty set with one or more operations and satisfy axioms. Pulak Sabhanpandit and Biman Ch.Chetia introduced anti fuzzy ideals in CI-algebras. CI-algebra is a non empty set of π, a fixed element 1 and a binary operation β satisfies axioms : (i) π₯ β π₯ = 1, (ii) 1 β π₯ = π₯, (iii) π₯ β (π¦ β π§) = π¦ β (π₯ β π§), for all π₯, π¦, π§ β π. Let π΄ fuzzy set of kcI-algebra π, π΄ is called an anti fuzzy ideasl of π if ππ΄ (π₯ β π¦) β€ ππ΄ (π¦) and (ππ΄ ((π₯ β (π¦ β π§)) β π§)) β€ max{ππ΄ (π₯), ππ΄ (π¦)} for every π₯, π¦, π§ β π. The research results explain the concept and associated structure of anti fuzzy ideal in CI-algebra. Keywords: CI-algebra, anti fuzzy ideal, homomorphism, cartesian product Pada tahun 1965, Prof. Lotfi A. Zadeh memperkenalkan konsep himpunan fuzzy, yaitu perluasan dari himpunan klasik. Jika himpunan klasik mempunyai derajat keanggotaan 0 dan 1, lain halnya dengan himpunan fuzzy. Himpunan fuzzy mempunyai derajat keanggotaan yang terletak pada interval [0,1]. Gagasan ideal fuzzy pada aljabar-CI diperkenalkan oleh Samy AM. Mostafa, Mokthar Ac. Abdel Naby, dan Osama R.Elgedy. Misal π΄ himpunan fuzzy pada aljabarCI, π΄ disebut ideal fuzzy jika untuk setiap π₯, π¦, π§ β π
PENDAHULUAN Struktur aljabar merupakan himpunan yang tak kosong dengan satu atau lebih operasi dan memenuhi aksiomaβ aksioma yang berlaku. Materi dari struktur aljabar yaitu grup dan ring. Namun, terdapat contoh lain dari struktur aljabar yang umumnya belum diketahui, yaitu aljabar-CI. Aljabar-CI adalah himpunan tak kosong dengan sebuah operasi biner dan memenuhi aksioma pada aljabar-CI. Beberapa bagian yang terkain dengan dari aljabar-CI salah satunya yaitu, ideal. Seiring dengan perkembangan zaman, penelitian tentang ideal dari aljabar-CI mulai dipadukan dengan konsep lain, salah satunya adalah konsep himpunan fuzzy.
memenuhi ππ΄ (π₯ β π¦) β₯ ππ΄ (π¦) dan (ππ΄ ((π₯ β (π¦ β π§)) β π§)) β₯ min{ππ΄ (π₯), π₯ππ΄ (π¦)}.
Para
peneliti
mengembangkan konsep fuzzy yang dipadukan dalam berbagai teori, salah satunya gagasan fuzzy subgrup dan
48
Volume 2 No.6 Tahun 2017 (Joseph A. Gallian, 2010:200)
anti fuzzy subgrup diperkenalkan oleh R. Biswas. Berdasarkan gagasan R. Biswas dapat dimodifikasi untuk diterapkan pada konsep ideal dari aljabar-CI. Ideal anti fuzzy pada aljabar-CI diperkenalkan oleh Pulak Sabhapandit, dan Biman Ch. Chetia. Misal π΄ himpunan fuzzy pada aljabar-CI, π΄ disebut ideal anti fuzzy jika untuk setiap π₯, π¦, π§ β π memenuhi ππ΄ (π₯ β π¦) β€ ππ΄ (π¦)
dan
E.
(ππ΄ ((π₯ β (π¦ β π§)) β π§)) β€
Definisi 2.5 Homomorfisme suatu grup ke grup yang sama dinamakan endomorfisme.
max{ππ΄ (π₯), ππ΄ (π¦)}. Ideal anti fuzzy pada aljabar-CI memiliki banyak sifat-sifat yang terkait, seperti homomorfisme, hasil kali kartesius dan seterusnya. Pada jurnal ini akan dibahas lebih lanjut tentang ideal anti fuzzy pada aljabar-CI, yaitu sifat-sifat dan karakteristik yang terkait dengan ideal anti fuzzy pada aljabar-CI.
(Joseph A. Gallian, 2010:200) F.
Operasi Biner Definisi 2.1
Definisi 2.8
Misalkan πΉ adalah πΉ β β
. Operasi biner " β " di πΊ adalah fungsi dari πΊ Γ πΊ β πΊ . (Joseph A. Gallian, 2010 : 40) B.
Misal πΉ dan π» adalah himpunan fuzzy pada semesta π. π΄ dikatakan irisan π΅ jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai berikut: πΉ β© π» = {(π₯, ππΉβ©π» (π₯))βΈ ππΉβ©π» = πππ(ππΉ (π₯), π»(π₯))}
Operasi Uner Definisi 2.2
(Zimmerman, 1996:16)
Fungsi dari πΊ β πΊ disebut operasi uner. (Ana Sokolova, 2013 : 1) C.
Definisi 2.9 Misal πΉ dan π» adalah himpunan fuzzy pada semesta π. πΉ dikatakan gabungan π» jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai berikut: πΉ βͺ π» = {(π₯, ππΉβͺπ» (π₯))βΈππππππ ππΉβͺπ» (π₯) = πππ₯(ππΉ (π₯), ππ» (π₯))} (Zimmerman, 1996:17)
Grup Definisi 2.3 Suatu grup (πΊ,β) adalah pasangan terurut dengan πΊ β β
dan operasi biner β sebagai berikut: 1. a * (b * c) = (a * b) * c, untuk semua π, π, π β πΊ 2. Ada π β πΊ β a * e = e * a = a, untuk semua π β πΊ. Elemen e ini disebut elemen identitas. 3. Ada π β1 β πΊ β a * a-1 = a-1 * a = e, untuk semua π β πΊ. Elemen a-1 disebut elemen invers dari a.
Definisi 2.10 Misalkan π΄ himpunan fuzzy pada semesta π. π΄ dikatakan komplemen jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai berikut : π΄π = {(π₯, ππ΄π (π₯))βΈππ΄π (π₯) = 1 β ππ΄ (π₯)} Komplemen himpunan fuzzy π΄ dinotasikan dengan π΄π . (Zimmerman, 1996:17)
(Herstein, 1995 : 40) D.
Kernel Homomorfisme Definisi 2.6 Misalkan homomorfisme π dari πΊ ke πΊ β² dengan identitas π didefinisikan kernel π adalah {π₯ β πΊβΈπ(π₯) = π}. Kernel π dinotasikan dengan πΎπππ. (Joseph A. Gallian, 2010:200)
LANDASAN TEORI A.
Endomorfisme Grup
Homomorfisma Grup Definisi 2.4 Pemetaan π dari suatu grup (πΊ,β) ke grup (πΊ β² , π) dikatakan homomorfisme jika π(π β π) = π(π) π π(π) untuk semua π, π β πΊ.
G.
49
Hasil Kali Kartesius Himpunan Fuzzy
Volume 2 No.6 Tahun 2017 Definisi 2.11
Lemma 3.2 Jika (π,β ,1) aljabar-CI, maka (π₯ β π¦) β π1 = (π₯ β π1) β (π¦ β π1) untuk semua π₯, π¦ β π. (Sabhapandit dan Ch. Chetia, 2016 : 135)
Hasil kali kartesius himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut : Misalkan π΄1 , π΄2 , β¦ , π΄π merupakan himpunan fuzzy yang berturut-turut pada π1 , π2 , β¦ , ππ . Hasil kali kartesius himpunan fuzzy π΄1 Γ π΄2 Γ β¦ Γ π΄π didefinisikan sebagai berikut: π΄1 Γ π΄2 Γ β¦ Γ π΄π
Definisi 3.2 Suatu aljabar-CI (π,β ,1) bersifat transitif, jika (π β π) β ((π β π) β (π β π)) = 1 untuk semua π, π, π π π (Mostafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485)
= {(π₯, π(π΄1Γπ΄2 Γβ¦Γπ΄π ) )βΈπ(π΄1 Γπ΄2Γβ¦Γπ΄π ) (π₯) = πππ{ππ΄π (π₯π )βΈπ₯ = (π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π ), π₯π β ππ }} (Zimmerman, 1996:28)
Definisi 3.3 Suatu aljabar-CI (π,β ,1) bersifat komutatif, jika (π β π) β π = (π β π) β π untuk semua π. ππ π (Borumand dan Rezaei, 2012 : 16)
PEMBAHASAN A.
Aljabar-CI Definisi 3.4 Suatu aljabar-CI (π,β ,1) bersifat distributif diri jika π β (π β π) = (π β π) β (π β π) untuk semua π, π, π π π. (Mostafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485)
Definisi 3.1 Aljabar-CI (π,β ,1) adalah suatu himpunan tak kosong π, dengan operasi biner " β " dan elemen khusus 1 yang memenuhi aksioma sebagai berikut: (i) π β π = 1, untuk semua π β π (ii) 1 β π = π, untuk semua π β π (iii) π β (π β π) = π β (π β π), untuk semua π. π. π β π Selanjutnya, jika π. π β (π,β ,1) maka kita tulis π β€ π jika π β π = 1 (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 1) Contoh 3.1 Misalkan π = {1, π, π, π, π, 0} dengan operasi β didefinisikan sebagai berikut:
B.
II
I
Ideal Pada Aljabar-CI Definisi 3.5 Suatu subhimpunan tak kosong πΌ pada aljabar-CI (π,β ,1) disebut ideal pada π, βπ β π dan π, π β πΌ memenuhi : (i) π β π β πΌ. (ii) (π β (π β π)) β π β πΌ (Sabhapandit dan Ch. Chetia, 2016 : 135) Contoh 3.5 Misalkan π = {1, π, π, π, π, 0} dengan operasi β didefinisikan sebagai berikut:
β
π
π
π
π
π
π
π
1
π
π
π
π
0
β
π
π
π
π
π
π
π
1
1
π
π
π
π
π
1
π
π
π
π
0
π
1
1
1
π
π
π
π
1
1
π
π
π
π
π
1
π
π
1
π
π
π
1
1
1
π
π
π
π
1
1
π
1
1
π
π
1
π
π
1
π
π
π
1
1
1
1
1
1
π
1
1
π
1
1
π
π
1
1
1
1
1
1
II
I
π adalah aljabar-CI. Karena π memenuhi semua aksioma pada aljabar-CI.
π adalah aljabar-CI. Karena π memenuhi semua aksioma pada aljabar-CI. Lemma 3.3
Lemma 3.1 Jika (π,β ,1) aljabar-CI, maka π β ((π β π) β π) = 1 untuk semua π₯, π¦ β π. (Sabhapandit da n Ch. Chetia, 2016 : 135)
Jika (π,β ,1) aljabar-CI. Maka berlaku: (i) Setiap ideal dari (π,β ,1) aljabar-CI memuat 1
50
Volume 2 No.6 Tahun 2017 (ii) Jika πΌ adalah ideal dari (π,β ,1), maka (π β π) β π β πΌ, untuk semua π β πΌ dan π β π.
C.
Misalkan π΄ merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI (π,β ,1). Maka π΄ disebut subaljabar fuzzy π, jika ππ΄ (π β π) β₯ πππ{ππ΄ (π), πππ΄ (π)}. Untuk semua π, π β π.
Ideal Fuzzy Dan Ideal Anti Fuzzy pada Aljabar-CI
Definisi 3.6 Misalkan π΄ merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI (π,β ,1). Maka π΄ disebut ideal fuzzy jika β π. π. π β π berlaku kondisi : (i) ππ΄ (π β π) β₯ ππ΄ (π)
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
Definisi 3.10 Misalkan π΄ merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI (π,β ,1). Maka π΄ disebut subaljabar anti fuzzy π, jika ππ΄ (π₯ β π¦) β€ πππ₯{ππ΄ (π₯), ππ΄ (π¦)} untuk semua π₯, π¦ β π.
(ii) (ππ΄ ((π β (π β π)) β π)) β₯ min{ππ΄ (π), ππ΄ (π)} (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
Definisi 3.7 Misalkan π΄ merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI (π,β ,1). Maka π΄ disebut ideal anti fuzzy jika untuk setiap π, π β π memenuhi kondisi : (i) ππ΄ (π β π) β€ ππ΄ (π)
Teorema 3.3 Misalkan π΄ merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI (π,β ,1). Maka setiap subaljabar anti fuzzy π selalu memenuhi ideal anti fuzzy pada π.
(ii) ππ΄ ((π β (π β π)) β π) β€ max{ππ΄ (π), ππ΄ (π)} (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
Teorema 3.1 Jika π΄ ideal anti fuzzy pada aljabar-CI (π,β ,1), maka ππ΄ (1) β€ ππ΄ (π₯), untuk setiap π₯ β π.
Definisi 3.12 Misalkan π΄ merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI (π,β ,1). Subhimpunan level pada himpunan fuzzy π΄ adalah himpunan
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
ππ΄ π‘ = {π₯ β πβΈππ΄ (π₯) β€ π‘} Teorema 3.2 Jika π΄ ideal anti fuzzy pada aljabar-CI (π,β ,1), maka ππ΄ ((π β π) β π) β€ ππ΄ (π), untuk setiap π. π β π. (Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3) Bukti: ππ΄ ((π β π) β π)
(R.Biswas, 1990 : 121)
Teorema 3.4 Misal π΄ = {(π₯, ππ΄ (π₯)); π₯ β π} merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI (π,β ,1). Jika ππ΄ π‘ merupakan subaljabar anti fuzzy untuk setiap π‘ β [0,1], maka ππ΄ π‘ memenuhi salah satu dari ππ΄ π‘ = β
atau ππ΄ π‘ subaljabar (π,β ,1).
= ππ΄ ((π β (1 β π)) β π) β€ πππ₯{ππ΄ (π), ππ΄ (1)} β€ ππ΄ (π)
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2) Bukti:
Definisi 3.8 Suatu subhimpunan tak kosong πΌ β π pada aljabarCI (π,β ,1) disebut subaljabar dari π, jika π₯ β π¦ β πΌ, untuk setiap π₯, π¦ β πΌ. (Mostafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485) D.
Misalkan ππ΄ merupakan subaljabar anti fuzzy pada π dan ππ΄ β β
. Misal π, π β ππ΄ π‘ berdasarkan definisi 3.11 berlaku : ππ΄ (π) β€ π‘ Maka, ππ΄ (π) β€ π‘ Untuk π β π β ππ΄ π‘ berlaku: ππ΄ (π β π) β€ π‘
Subaljabar fuzzy dan Subaljabar Anti Fuzzy pada Aljabar-CI Definisi 3.9
51
Volume 2 No.6 Tahun 2017 Karena ππ΄ merupakan subaljabar anti fuzzy, maka untuk setiap π₯, π¦ β ππ΄ berlaku : ππ΄ (π β π) β€ πππ₯{ππ΄ (π), ππ΄ (π)} Diperoleh ππ΄ (π β π) β€ πππ₯{ππ΄ (π), ππ΄ (π)} β€ π‘ dengan π β π β ππ΄ π‘ , dan ππ΄ π‘ subaljabar Jadi ππ΄ π‘ subaljabar anti fuzzy pada aljabar-CI
= π (π ((π β (π β π)) β π)) = π (π(π β (π β π))Β°π(π)) = π ((π(π)Β°π(π β π))Β°π(π)) = π ((π(π)Β°(π(π)Β°π(π))) Β°π(π))
Karena π΄ ideal anti fuzzy pada π, E.
Homomorfisme dan Anti Homomorfisme Pada Aljabar-CI Definisi 3.13 Misalkan (π,β ,1) dan (π, β, 1β² ) merupakan aljabarCI. Suatu pemetaan π: π β π disebut homomorfisme, jika π(π β π) = π(π)βπ(π) untuk semua π, π β π. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3)
π (π ((π β (π β π)) β π)) β€ max {π ((π(π)Β°(π(π)Β°π(π))) Β°π(π))} β€ max{π(π(π)), π(π(π))} Sehingga,
ππ ((π β (π β π)) β π) β€
max{π(π(π)), π(π(π))} Jadi, ππ ideal anti fuzzy pada π. Definisi 3.14 Misalkan (π,β ,1) dan (π, β, 1β² ) merupakan aljabarCI. Suatu pemetaan π: π β π disebut anti homomorfisme, π(π β π) = π(π)βπ(π) untuk semua π, π β π. (selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3)
Teorema 3.6 Misalkan π: π β π epimorfisme pada aljabar-CI π. Jika ππ ideal anti fuzzy pada π, maka π΄ ideal anti fuzzy pada π. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
Definisi 3.15 Misalkan π aljabar-CI π: π β π merupakan homomorfisme dan π΄ merupakan himpunan fuzzy pada π. Didefinisikan suatu himpunan fuzzy baru pada π yaitu ππ dengan ππ (π₯) = ππ΄ (π(π₯)) untuk semua π₯ pada π. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3) Teorema 3.5 Misalkan π: aljabar-CI π: π β π merupakan endomorfisme. Jika π΄ ideal anti fuzzy pada π, maka ππ ideal anti fuzzy pada π.
Bukti : Misalkan π¦ β π, maka π₯ β π π sehingga π(π₯) = π¦ Misalkan π¦1 , π¦2 , π¦3 β π (i) Karena π΄ ideal anti fuzzy pada π, sehingga ππ΄ (π¦1 β π¦2 ) β€ ππ΄ (π¦2 ) ππ (π¦1 βπ¦2 ) = π(π(π₯1 βπ₯2 )) ππ (π₯ β π¦) = π(π(π₯1 ) β π(π₯2 )) ππ (π₯ β π¦) β€ π(π(π₯2 )) = π(π(π¦2 )) = ππ (π¦2 ) Jadi ππ (π¦1 Β°π¦2 ) β€ π(π(π¦2 )) (ii) ππ ((π¦1 Β°(π¦2 Β°π¦3 ))Β°π¦3 )
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
= π (π ((π₯1 Β°(ππ₯2 Β°π₯3 ))Β°π₯3 ))
Bukti:
= π (π(π₯1 Β°(ππ₯2 Β°π₯3 )) β π(π₯3 ))
Misalkan π, π, π β π, π homomorfisme, dan π΄ ideal
= π ((π(π₯1 ) β π(ππ₯2 Β°π₯3 )) β π(π₯3 ))
anti fuzzy pada π maka berlaku :
= π ((π(π₯1 ) β (π(ππ₯2 ) β π(π₯3 ))) β π(π₯3 ))
(i)
ππ΄ (π β π) β€ ππ΄ (π)
Karena π΄ ideal anti fuzzy pada π,
ππ (π β π) = π(π(π β π))
π (π ((π₯1 Β°(π₯2 Β°π§))Β°π₯3 ))
ππ (π₯ β π¦) = π(π(π) β π(π))
β€ max {π ((π(π₯1 ) β (π(π₯2 ) β π(π₯3 ))) β
ππ (π₯ β π¦) β€ π(π(π)) = ππ (π)
π(π₯3 ))}
Jadi ππ (π β π) β€ π(π(π)) (ii)
= max{π(π(π₯1 )), π(π(π₯2 ))} β€ max{π(π(π₯1 )), π(π(π₯2 ))}
ππ ((π β (π β π)) β π)
52
Volume 2 No.6 Tahun 2017 = max{π(π(π¦1 )), π(π(π¦2 ))} Sehingga,
Teorema 3.8
ππ ((π¦1 β(π¦2 βπ¦3 ))βπ¦3 ) β€
Misalkan (π,β ,1) dan (π, β, 1β² ) aljabar-CI dan π: π β π homomorfisme pada aljabar-CI. Maka πΎππ(π) merupakan ideal
max{π(π(π¦1 )), π(π(π¦2 ))} Jadi, π΄ ideal anti fuzzy pada π
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2) Teorema 3.7
Bukti :
Misalkan π: π β π homomorfisme pada aljabar-CI π. Jika π΄ ideal anti fuzzy pada π, maka ππ ideal anti fuzzy pada π.
Misalkan π β (π β π) β πΎππ(π) dan π¦ β πΎππ(π) Maka π(π β (π β π)) = 1β² dan π(π¦) = 1β² 1β² = π(π β (π β π))
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3)
1β² = π(π)βπ(π β π)
Bukti : Misalkan π, π, π β π, π homomorfisme, karena π΄ ideal anti fuzzy pada π maka berlaku : (i) ππ΄ (π β π) β€ ππ΄ (π) berdasarkan definisi 3.14 ππ (π) = π(π(π))
1β² = π(π)β(1βπ(π)) 1β² = π(π)βπ(π) 1β² = π(π β π) Sehingga π₯ β π§ β ker(π)
ππ (π β π) = π(π(π β π))
Maka ker(π) merupakan ideal
ππ (π₯ β π¦) = π(π(π)Β°π(π)) ππ (π₯ β π¦) β€ π(π(π)) = ππ (π)
F.
Jadi ππ (π β π) β€ π(π(π)) (ii) ππ ((π β (π β π)) β π) = π (π ((π β (π β π)) β π)) = π(π(π β (π β π))Β°π(π)) = π ((π(π)Β°π(π β π))Β°π(π))
=
π ((π(π)Β°(π(π)Β°π(π))) Β°π(π))
Hasil Kali Kartesius pada Ideal Anti Fuzzy dari Aljabar-CI Definisi 3.16 Misalkan π΄ dan π΅ merupakan ideal fuzzy pada π. Hasil kali kartesius π΄β¨π΅: πβ¨π β [0,1] (π΄β¨π΅)(π, π) =min didefinisikan dengan {ππ΄ (π), ππ΅ (π)}, untuk semua π, π β π. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4) Definisi 3.17 Misalkan π΄ dan π΅ merupakan ideal anti fuzzy pada π. Hasil kali kartesius π΄β¨π΅: πβ¨π β [0,1] (π΄β¨π΅)(π, π) =max didefinisikan dengan {ππ΄ (π), ππ΅ (π)}, untuk semua π, π β π. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4)
Karena π΄ ideal anti fuzzy pada π, π (π ((π β (π β π)) β π)) β€ max {π ((π(π)Β°(π(π)Β°π(π))) Β°π(π))} = max{π(π(π)), π(π(π))} β€ max{π(π(π)), π(π(π))} Jadi
Teorema 3.9 Jika π΄ dan π΅ ideal anti fuzzy pada aljabar-CI π, maka π΄β¨π΅ ideal anti fuzzy pada πβ¨π.
ππ ((π β (π β π)) β π) β€
max{π(π(π)), π(π(π))} Maka ππ ideal anti fuzzy pada π
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4)
PENUTUP Lemma 3.4 Suatu subhimpunan tak kosong πΌ β π pada aljabarCI (π,β ,1). Jika πΌ ideal maka memenuhi 1 β πΌ dan (π₯ β (π¦ β π§) β πΌ βΉ π₯ β π§ β πΌ) untuk semua π₯, π§ β π dan π¦ β πΌ
A. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan di atas terdapat beberapa teorema yang berkaitan dan sudah dibuktikan adalah:
53
Volume 2 No.6 Tahun 2017 1.
2.
3.
4.
5.
Misalkan π΄ merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI (π,β ,1). Maka setiap subaljabar anti fuzzy π selalu memenuhi ideal anti fuzzy pada π. Misalkan π: aljabar-CI π: π β π merupakan endomorfisme. Jika π΄ ideal anti fuzzy pada π, maka ππ ideal anti fuzzy pada π. Misalkan π: π β π homomorfisme pada aljabar-CI π. Jika π΄ ideal anti fuzzy pada π, maka ππ ideal anti fuzzy pada π. Misalkan (π,β ,1) dan (π, β, 1β² ) aljabar-CI dan π: π β π homomorfisme pada aljabarCI. Maka πΎππ(π) merupakan ideal Jika π΄ dan π΅ ideal anti fuzzy pada aljabar-CI π, maka π΄β¨π΅ ideal anti fuzzy pada πβ¨π.
ysteme2015/Algebraicstructure.pdf. Diakses tanggal 28 Desember 2016). T. Priya, dan T. Ramachandran. 2012. βAnti Fuzzy Ideals of CI-algebras and its lower level cutsβ. International Journal of Mathematical Archive. Vol. 3 (7) : hal. 2524-2529. Zimmerman. 1996. Fuzzy Set Theory and itβs Application. Third Edition. Bostom: Kluwer Academic.
B. Saran Pada jurnal ini hanya membahas tentang sifat-sifat karakteristik ideal anti fuzzy pada aljabar-CI. Penulis menyarankan bagi pembaca untuk mengkaji lebih dalam tentang ideal anti fuzzy pada aljabar-CI.. DAFTAR PUSTAKA Biswas, R. 1990. βFuzzy Subgroups and Anti Fuzzy Subgroupsβ. Fuzzy Set and System. Vol.35 : hal. 121-124. Gallian, Joseph A. 2010. Cotemporary Abstract Algebra. Seventh Edition. Duluth: University of Minnesota Duluth. Herstein, I.N. 1995. Abstract Algebra. Third Edition. USA: Prentice-HAll, Inc. Mostafa, Samy M, Mokhtar A. Abdel Naby dan Osama R. Elgendy. 2011. βFuzzy Ideal On CI-algebrasβ. Journal of American Science. Vol.7 : hal. 485-488. Sabhanapandit, Pulak dan Biman Ch. Chetia. 2016. βCIalgebras and its Fuzzy Idealβ. International Journal of Mathematics Trends and Technology. Vol 33 (2): hal. 135-141. Saeid, A. Borumand dan A. Rezaei. 2012. βQuotient CIalgebrasβ. Bulletin of The Transilvania University of Brasov . Vol 54 (5): hal. 15-22. Selvam, P. M. Sithar, T. Priya, dan T. Ramachandran. 2012. βAnti Fuzzy subalgebra and Homomorphism of CI-algebrasβ. International Journal of Engineering Research and Technology. Vol. 1 (5) : hal. 1-6. Sokolova, Ana. 2013. Algebraic Structure, (online). (http://cs.unisalzburg.at/~anas/teaching/FormaleS
54
