Matematikai geodéziai számítások 9

Matematikai geodéziai számítások 9. Szabad álláspont kiegyenlítése Dr. Bácsatyai, László

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Matematikai geodéziai kiegyenlítése

számítások

9.:

Szabad

álláspont

Dr. Bácsatyai, László Lektor: Dr. Benedek , Judit Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 „Tananyagfejlesztéssel a GEO-ért” projekt keretében készült. A projektet az Európai Unió és a Magyar Állam 44 706 488 Ft összegben támogatta. v 1.0 Publication date 2010 Szerzői jog © 2010 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Kivonat Ez a modul a mérőállomásokban opcionálisan jelenlévő szabad álláspont meghatározás közvetett mérések szerinti kiegyenlítését és a megbízhatósági mérőszámok meghatározását mutatja be. Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI. törvény védi. Egészének vagy részeinek másolása, felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges.

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Tartalom 9. Szabad álláspont kiegyenlítése ....................................................................................................... 1. 9.1 A feladat megfogalmazása .............................................................................................. 2. 9.2 Szabad álláspont meghatározása ..................................................................................... 3. 9.3 Számpélda .......................................................................................................................

iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

1 1 2 7

9. fejezet - Szabad álláspont kiegyenlítése 1. 9.1 A feladat megfogalmazása

1. ábra Az ábrán látható hálózatban adottak az A és B pontok vetületi koordinátái. Mértük az távolságokat, valamint ismerjük a mérési eredmények előzetes középhibáit, a

irányokat és a és a

értékeket.

Meghatározandók: • a P pont koordinátái és a z tájékozási szög közelítő értékei, • a javítási egyenletrendszer, • a mérési eredmények súlymátrixa, • a normálegyenlet rendszer együtthatómátrixa és a tisztatag vektor, • a P pont koordinátái és a tájékozási szög kiegészítő értékei, • a P pont kiegyenlített koordinátái m-ben és a tájékozási szög kiegyenlített értéke, • a mérési javítások és kiegyenlített mérési eredmények, • a súlyegység középhibája és az ismeretlenek kiegyenlítés utáni középhibái. A normál-egyenletrendszer megoldásához szükséges inverz mátrixot az adjungált mátrix segítségével kell meghatározni. Dimenziók: • szögmásodpercben: részben a javítási egyenletek tisztatagjai, a tájékozási szög kiegészítő értéke, • mm-ben: részben a javítási egyenletek tisztatagjai, mérési javítások, a P pont koordinátáinak kiegészítő értékei, a kiegyenlített ismeretlenek középhibái, • m-ben: a P pont koordinátáinak közelítő értékei és kiegyenlített koordinátái. Az itt fel nem sorolt mértékegységek megtalálhatók a mintapéldában.

1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Szabad álláspont kiegyenlítése

Leadandók különálló borítólapba foglalva: • A feladatkiírás és a kiinduló adatok (feladatlapba foglalva), • Számítások listája a rész- és végeredményekkel együtt, A feladatot, a felhasznált képletekkel és tájékoztató szöveges információkkal együtt – különálló borítólapba foglalva - kézzel írott, vagy Microsoft Word formátumban kell leadni.

2. 9.2 Szabad álláspont meghatározása Tudjuk, hogy a szabad álláspont meghatározásakor a meghatározandó ponton a mérőállomással belső irányokat és távolságokat mérünk az ismert pontokon felállított prizmákra. Ha csak belső irányokat mérnénk, legalább 3 belső irány esetén hátrametszésről, 2 belső irány és 2 távolság esetén pedig a beillesztett sokszögvonal egy speciális esetéről beszélnénk, nevezetesen arról, amikor a 2 adott pont közötti egyetlen sokszögpontról mérünk irányt és távolságot a sokszögvonal kezdő- és végpontjára (ábra). Természetesen, a szabad álláspontnak még egyéb variációi is elképzelhetők. A szabad álláspont koordinátáit a mérőállomás mikroszámítógépe számítja, a felhasználó már csak a kész eredményeket olvassa le, ill. rögzíti.

2. ábra: Beillesztett sokszögvonal 2 sokszögoldallal 3 belső irány esetén nincs fölös mérésünk, 2 belső irány és 2 távolság esetén a mérési eredmények száma n = 4, a meghatározandó ismeretlenek száma pedig m = 3, a pont két koordinátája és a tájékozási szög. A fölös mérések száma n – m = 1, tehát fennáll a kiegyenlítés feltétele. Válasszuk mintapéldaként ezt az egyszerű esetet! Fejezzük ki a mérési eredményeket a meghatározandó ismeretlenek függvényében! Közvetítő egyenletek az iránymérésekre:

;

. Közvetítő egyenletek a távolságmérésekre:



;

. A fenti egyenletekben ismeretlenek az álláspont

koordinátái és a z tájékozási szög.

Legyenek még adottak a mérési eredmények és azaz eltekintünk attól, hogy az elektronikus távmérés pontossága függ a mért távolságtól.

előzetes középhibái,

A koordináták közelítő értékeit∗ a fenti ábra alapján, a beillesztett sokszögvonal számításának megfelelően kapjuk. A sokszögvonal AB záróoldalának irányszöge:

. induló irányszöggel számítjuk a sokszögvonalat, ill. a sokszögoldal összegek tengely-irányú komponenseit az y’, x’ segédkoordináta-rendszerben, majd meghatározzuk az α szöget:

. A

irányszög:

3. ábra: A

irányszög számítása A

irányszög:

A

irányszög:

.

A koordináták közelítő értékei:

.

∗

A sorba fejtés korlátai miatt itt feltétlenül szükséges jó közelítő értékek bevezetése!



A z tájékozási szög közelítő értéke:

.

Képezzük az alábbi parciális deriváltakat:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

. A javítási egyenletek:



;

; ; . A javítási egyenletek tiszta tagjai:

;

;

;

. A megoldás:

;

, ahol

az ismeretlenek kiegészítő értékeit;

a keresett ismeretleneket;

pedig az ismeretlenek közelítő értékeit;



a javítási egyenletek tisztatagjait tartalmazza. Továbbá

a javítási egyenletrendszer együttható mátrixa;

a súlymátrix; a normálmátrix; a tisztatagok vektora. A P mátrixról feltételezzük, hogy az egyes mérési eredmények egymástól függetlenek. Megbízhatósági mérőszámok: Kofaktor-, vagy súlykoefficiens mátrix:

. Kovariancia-mátrix: . A keresett ismeretlenek utólagos középhibái: .

j = 1, 2, 3, a mátrix j - ik főátló-beli eleme, a μ0 pedig a súlyegység utólagos középhibája. A mátrix nem diagonális, hiszen a matematikai megoldás az ismeretlenek között korrelációkhoz vezet. A súlyegység középhibája: 6 Created by XMLmind XSL-FO Converter.


,

mert most f = 4 – 3 =1 a fölös mérések száma. A μ0 értékének számításához szükség van a számítása a

vektor ismeretében a

javítási egyenletrendszer figyelembe vételével történhet.

3. 9.3 Számpélda

Adott pontok koordinátái:

Pontszám

y (m)

x (m)

A

457403,26

259799,79

B

458170,52

259654,24

Mérési eredmények:

A mérési eredmények előzetes középhibái: ;

.

1. Közelítő értékek számítása:

; 7 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

vektorra. Ennek


;

; ;

. A koordináták közelítő értékei: ; . A z tájékozási szög közelítő értéke: . 2. A javítási egyenletrendszer együttható mátrixa:

Az mátrix A(1,1), A(1,2), A(2,1) és A(2,2) elemeinek dimenziója ”/mm, ha a távolságokat mm-ben helyettesítjük be. A többi elemnek nincs dimenziója. 3. A javítási egyenletrendszer tisztatagjai:



Az l1 és l2 elemek dimenziója szögmásodperc (”), az l3 és l4 elemek dimenziója mm. 4. A javítási egyenletek: ; ; ; . A megállapodott dimenzióknak megfelelően az első két egyenlet tagjai ”, a 3. és 4. egyenlet tagjai mm dimenziójúak. 5. A súlymátrix:

. A

súlyok

meghatározásánál

De

a

súlyegység

középhibájának

-öt

választottunk,

, ezért a súlymátrix főátlójának első két eleme


ahonnan

. A


távolságmérés előzetes középhibája

A főátló utolsó két eleme ekkor -

. 6. A normál egyenletrendszer együttható-mátrixa és a tisztatag vektor:

; 7. A normál egyenletrendszer megoldása:

. 8. Adjungált mátrix képzése:

a) Az

mátrix elemeihez tartozó aldeterminánsok:

b) Az aldeterminánsokból képzett mátrix:

.

c) Az eredeti mátrix determinánsa:


mellett -


d) Az inverz mátrix:

.

9. A keresett ismeretlenek kiegészítő értékei:

. A két első kiegészítő érték dimenziója mm, a harmadiké szögmásodperc ”. 10. Kiegyenlített ismeretlenek (a P pont koordinátái m-ben és a tájékozási szög ”-ben):

. 11. Mérési javítások és kiegyenlített mérési eredmények:

;

.

Az 1. és 2. mérési javítás ”, a 3. és 4. mérési javítás mm dimenziójú. 12. Megbízhatósági mérőszámok:

; A súlyegység középhibája:

.

Az ismeretlenek kiegyenlítés utáni középhibái:

;

.

Irodalomjegyzék Bácsatyai László: Kiegyenlítő számítások, elektronikus jegyzet pdf formátumban, NYME Geoinformatikai Kar, Székesfehérvár,


Matematikai geodéziai számítások 9

Recommend Documents