Matematika

Diferensial/Turunan

610.12.005 Matematika Diferensial/Turunan dan Aplikasinya

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia


610.12.005 Matematika

Diferensial/Turunan

Pendahuluan Turunan Teknik Diferensiasi

Pendahuluan Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan.



Diferensial/Turunan


Definisi Turunan

Definisi Turunan Diberikan fungsi f dan a ∈ Df . Turunan fungsi f di a, dinyatakan dengan f 0 (a), dan didefinisikan dengan f 0 (a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

asalkan limit ini ada.



Diferensial/Turunan


Contoh 1 a. Tentukan turunan fungsi f (x) = x2 − 3x di x = 1.



Diferensial/Turunan


Contoh 1 a. Tentukan turunan fungsi f (x) = x2 − 3x di x = 1. Solusi:



Diferensial/Turunan


Contoh 1 a. Tentukan turunan fungsi f (x) = x2 − 3x di x = 1. Solusi: f (1 + h) − f (1) h (1 + h)2 − 3(1 + h) − (12 − 3 · 1) = lim h→0 h h2 − h = lim h→0 h = lim (h − 1) = −1

f 0 (1) = lim

h→0

h→0



Diferensial/Turunan


b. Tentukan f 0 (2) jika diketahui f (x) = |x − 2|.



Diferensial/Turunan


b. Tentukan f 0 (2) jika diketahui f (x) = |x − 2|. Solusi:



Diferensial/Turunan


b. Tentukan f 0 (2) jika diketahui f (x) = |x − 2|. Solusi: f (2 + h) − f (2) h→0 h |h| |2 + h − 2| − |2 − 2| = lim = lim h→0 h h→0 h

f 0 (2) = lim

Tapi karena |h| = lim h h→0+ |h| lim = lim h→0− h h→0− lim

h→0+

|h| h→0 h

maka f 0 (2) = lim

h =1 h −h = −1 h

tidak ada.



Diferensial/Turunan


Perubahan Laju Sesaat

Perubahan Laju Sesaat Perubahan laju sesaat dari f (x) terhadap x pada saat x = c diberikan oleh f 0 (c)



Diferensial/Turunan


Contoh 2 Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya dari pusat (dalam cm) setelah t detik, diberikan √ s = f (t) = 5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah 3 detik.



Diferensial/Turunan


Contoh 2 Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya dari pusat (dalam cm) setelah t detik, diberikan √ s = f (t) = 5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah 3 detik. Solusi:



Diferensial/Turunan


Contoh 2 Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya dari pusat (dalam cm) setelah t detik, diberikan √ s = f (t) = 5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah 3 detik. Solusi: f (3 + h) − f (3) h→0 h p p 5(3 + h) + 1 − 5(3) + 1 = lim h→0 h √ 16 + 5h − 4 = lim h→0 h

v = lim



Diferensial/Turunan


Untuk mendapatkan solusi limit di atas, kalikan persamaan terakhir dengan sekawannya. √ √ 16 + 5h − 4 16 + 5h + 4 v = lim ·√ h→0 h 16 + 5h + 4 16 + 5h − 16 = lim √ h→0 h( 16 + 5h + 4) 5 = lim √ h→0 16 + 5h + 4 5 = 8



Diferensial/Turunan


Signifikansi Tanda Turunan f 0 (x)

Signifikansi Tanda Turunan f 0 (x) Jika fungsi f dapat diturunkan pada x = c, maka f naik pada x = c jika f 0 (c) > 0 dan f turun pada x = c jika f 0 (c) < 0



Diferensial/Turunan




Diferensial/Turunan


Turunan dan Kontinuitas

Turunan dan Kontinuitas Jika f mempunyai turunan di a, maka f kontinu di a. Catatan! Tidak berlaku sebaliknya. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa sebuah fungsi kontinu f tidak akan dapat diturunkan di x = a jika f 0 (x) bernilai tak hingga pada x = a atau jika fungsi f memiliki titik yang runcing/tajam pada P (a, f (a)), yaitu titik di mana kurva berubah arah secara tajam.



Diferensial/Turunan


Kurva dari empat fungsi kontinu yang tidak dapat diturunkan di x=0




Diferensial/Turunan

Latihan 1

1. Tentukan f 0 (x) jika f (x) = 2. Tentukan

f 0 (x)

x+1 x+2 ,

dengan x 6= −2

beserta domainnya apabila f (x) =

3. Tentukan f 0 (−3) jika f (x) =


1 2−x


√

x+1

Diferensial/Turunan


4. (Perilaku Hewan) Sebuah eksperiman menunjukkan bahwa ketika seekor kutu terbang, ketinggiannya (dalam meter) setelah t detik diberikan oleh fungsi H(t) = 4.4t − 4.9t2 a. Tentukan H 0 (t). Pada laju berapa H(t) berubah setelah 1 detik? Apakah naik atau turun? b. Pada t berapa nilai H 0 (t) = 0?



Diferensial/Turunan


5. (Cardiology) A study conducted on a patient undergoing cardiac catheterization indicated that the diameter of the aorta was approximately D millimeters (mm) when the aortic pressure was p (mm of mercury), where D(p) = −0.0009p2 + 0.13p + 17.81 for 50 ≤ p ≤ 120. a. Find the average rate of change of the aortic diameter D as p changes from p = 60 to p = 61. b. Use calculus to find the instantaneous rate of change of diameter D with respect to aortic pressure p when p = 60. Is the pressure increasing or decreasing when p = 60? c. For what value of p is the instantaneous rate of change of D with respect to p equal to 0? What is the significance of this preesure?



Diferensial/Turunan


Rumus-rumus Dasar dan Sifat-sifat Turunan

Fungsi Konstan Jika f (x) fungsi konstan, maka f 0 (x) = 0 Fungsi Identitas Jika f (x) = x, maka f 0 (x) = 1 Fungsi Pangkat Jika f (x) = xn , maka f 0 (x) = nxn−1



Diferensial/Turunan


Sifat-sifat Turunan Jika f dan g keduanya mempunyai turunan dan k sebarang konstan real, maka 1 2 3

4

d d d dx (f (x) ± g(x)) = dx f (x) ± dx g(x) d d dx (kf (x)) = k dx f (x) d d d dx (f (x) · g(x)) = f (x) · dx g(x) + g(x) · dx f (x) d d g(x)· dx f (x)−f (x)· dx g(x) f (x) d = asalkan g(x) 2 dx g(x) (g(x))



6= 0

Diferensial/Turunan


Contoh 3

a. Tentukan turunan dari f (x) = 3x2 − 6x + 7



Diferensial/Turunan


Contoh 3

a. Tentukan turunan dari f (x) = 3x2 − 6x + 7 Solusi:



Diferensial/Turunan


Contoh 3

a. Tentukan turunan dari f (x) = 3x2 − 6x + 7 Solusi: d (3x2 − 6x + 7) dx d d d (3x2 ) − (6x) + 7 = dx dx dx d d = 3 (x2 ) − 6 (x) + 0 dx dx = 3(2x) − 6(1) = 6x − 6

f 0 (x) =



Diferensial/Turunan


b. Tentukan f 0 (x) dari f (x) = (3x3 + 2x + 1)(4x11 + 5x)



Diferensial/Turunan


b. Tentukan f 0 (x) dari f (x) = (3x3 + 2x + 1)(4x11 + 5x) Solusi:



Diferensial/Turunan


b. Tentukan f 0 (x) dari f (x) = (3x3 + 2x + 1)(4x11 + 5x) Solusi:

f 0 (x) =

d f (x) dx

= (3x3 + 2x + 1) ·

d (4x11 + 5x) dx

d (3x3 + 2x + 1) dx = (3x3 + 2x + 1)(44x10 + 5) + (4x11 + 5x)(9x2 + 2)

+ (4x11 + 5x) ·



Diferensial/Turunan

c. Tentukan f 0 (x) dari f (x) =



x2 −1 2x


Diferensial/Turunan

c. Tentukan f 0 (x) dari f (x) = Solusi:



x2 −1 2x


Diferensial/Turunan

c. Tentukan f 0 (x) dari f (x) = Solusi:

f 0 (x) = = = = =


x2 −1 2x

d 2 dx (x

− 1) − (x2 − 1) · (2x)2 2x(2x) − (x2 − 1)(2) 4x2 2 4x − 2x2 + 2 4x2 2 2x + 2 4x2 2 x +1 2x2 2x ·



d dx (2x)

Diferensial/Turunan


Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri 1 2 3 4 5 6

d dx (sin x) = cos x d dx (cos x) = −sin x d 2 dx (tan x) = sec x d dx (sec x) = sec x tan x d 2 dx (cot x) = −csc x d dx (csc x) = −csc x cot x



Diferensial/Turunan


Contoh 4

a. Tentukan turunan dari 3 sin x − 2 cos x.



Diferensial/Turunan


Contoh 4

a. Tentukan turunan dari 3 sin x − 2 cos x. Solusi:



Diferensial/Turunan


Contoh 4

a. Tentukan turunan dari 3 sin x − 2 cos x. Solusi: d d d (3 sin x − 2 cos x) = 3 (sin x) − 2 (cos x) dx dx dx = 3 cos x + 2 sin x



Diferensial/Turunan


b. Tentukan turunan dari x2 sin x.



Diferensial/Turunan


b. Tentukan turunan dari x2 sin x. Solusi:



Diferensial/Turunan


b. Tentukan turunan dari x2 sin x. Solusi: d 2 d d (x sin x) = x2 (sin x) + sin x (x2 ) dx dx dx = x2 cos x + 2x sin x



Diferensial/Turunan

c. Tentukan turunan dari


1+sin x cos x



Diferensial/Turunan

c. Tentukan turunan dari Solusi:


1+sin x cos x




Diferensial/Turunan

c. Tentukan turunan dari Solusi: d dx

1 + sin x cos x

1+sin x cos x

d dx (1

+ sin x) − (1 + sin x) = cos2 x cos2 x + sin x + sin2 x = cos2 x 1 + sin x = cos2 x cos x



d dx (cos x)

Diferensial/Turunan


d. Tentukan turunan dari xn tan x



Diferensial/Turunan


d. Tentukan turunan dari xn tan x Solusi:



Diferensial/Turunan


d. Tentukan turunan dari xn tan x Solusi: d n d d (x tan x) = xn (tan x) + tan x (xn ) dx dx dx = xn sec2 x + nxn−1 tan x



Diferensial/Turunan


Aturan Rantai

Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, maka fungsi komposisi f ◦ g juga dapat mempunyai turunan dan: (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x) Jika y = f (u) dan u = g(x) maka dengan menggunakan notasi Leibnitz, rumus di atas dapat dinyatakan sebagai dy du dy = · dx du dx




Diferensial/Turunan

Contoh 5

a. Tentukan turunan F (x) =


√

x4 + 4



Diferensial/Turunan

Contoh 5

a. Tentukan turunan F (x) = Solusi:


√

x4 + 4


Diferensial/Turunan


Contoh 5 √ a. Tentukan turunan F (x) = x4 + 4 Solusi: Fungsi F dapat dinyatakan sebagai f (g(x)) dengan √ g(x) = x4 + 4 dan f (x) = x Karena g 0 (x) = 4x3 dan f 0 (x) =

1 √ , 2 x

maka

1 2x3 F 0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x) = p · 4x3 = √ x4 + 4 2 g(x)



Diferensial/Turunan


b. Tentukan turunan dari y = sin 2x



Diferensial/Turunan


b. Tentukan turunan dari y = sin 2x Solusi:



Diferensial/Turunan


b. Tentukan turunan dari y = sin 2x Solusi: dy = (cos 2x) dx = 2 cos 2x


d 2x dx


Diferensial/Turunan

c. Tentukan turunan dari d. Tentukan turunan dari


x2 (1−x)3 1+x 1 (2x−1)3



Diferensial/Turunan


Contoh 6 Sebuah larutan dituangkan ke dalam wadah berbentuk kerucut dengan laju 8 cm3 per menit. Jika ketinggian wadah adalah 12 cm dan jari-jari permukaan wadah adalah 6 cm, seberapa cepat ketinggian larutan meningkat ketika larutan dituangkan setinggi 4 cm?



Diferensial/Turunan


Solusi:



Diferensial/Turunan


Solusi: Volume wadah adalah V = 13 πr2 h, kita mempunyai sehingga r = h2 , maka 2 1 h V = π h 3 2 πh3 = 12



r h

=

6 12

Diferensial/Turunan


Dengan menggunakan Aturan Rantai, dV dV dh = dt dh dt 3πh2 dh = 12 dt πh2 dh = 4 dt Diketahui laju larutan dV dt = 8, maka laju ketinggian larutan ketika larutan dituangkan setinggi 4 cm adalah π(42 ) dh 4 dt 2 dh = cm/menit dt π 8=



Diferensial/Turunan


Diferensial dan Aproksimasi

Misalkan y = f (x), berdasarkan gambar di atas, penambahan ∆x menghasilkan penambahan sebesar ∆y di y, yang dapat dy diaproksimasi menggunakan dy, di mana f 0 (x) = dx . Maka f (x + ∆x) dapat diaproksimasi dengan f (x + ∆x) ≈ f (x) + dy = f (x) + f 0 (x)∆x Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Diferensial/Turunan


Contoh 7

Sisi dari suatu kubus diukur sepanjang 11.4 cm dengan kesalahan (error) yang mungkin sebesar ±0.05 cm. Evaluasi volume kubus tersebut dan berikan estimasi dari kesalahan yang mungkin pada volume tsb.



Diferensial/Turunan


2 Volume dari suatu kubus adalah V = x3 . Maka dV dx = 3x , atau 2 dV = 3x dx. Jika x = 11.4 dan dx = 0.05, maka V = (11.4)3 ≈ 1482 dan

∆V ≈ dV = 3(11.4)2 (0.05) ≈ 19 Maka, kita dapat mengatakan bahwa volume kubus adalah 1482 ± 19 cm kubik.



Diferensial/Turunan


Contoh 8

Hukum Poiseuille untuk aliran darah menyatakan bahwa volume darah yang mengalir melalui sebuah arteri sebanding dengan pangkat empat jari-jarinya, yaitu V = kR4 . Seberapa besar jari-jari harus bertambah untuk menambah aliran darah sebesar 50 %?



Diferensial/Turunan


Diketahui V = kR4 , maka dV = 4kR3 dR. Perubahan volume relatifnya adalah ∆V dV 4kR3 dR dR ≈ = =4 4 V V kR R Jadi, untuk perubahan volume sebesar 50 %, 0.5 ≈

dR dV =4 V R

Perubahan relatif jari-jarinya adalah ∆R dR 0.5 ≈ ≈ = 0.125 R R 4 Maka, dengan menambahkan jari-jarinya sebesar 12.5 %, penambahan aliran darahnya adalah sekitar 50 %. Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Diferensial/Turunan


Latihan 2



Diferensial/Turunan




Diferensial/Turunan




Matematika

Recommend Documents