Matematika tantervjavaslat, évfolyam A nyolcosztályos gimnáziumok kerettantervének évfolyamonkénti bontása 5 6. évfolyam

Matematika tantervjavaslat, 5–12. évfolyam A nyolcosztályos gimnáziumok kerettantervének évfolyamonkénti bontása 5–6. évfolyam A nyolcosztályos gimnáziumok matematika kerettanterve az egyes témaköröket az általános iskolában a szokásosnál mélyebben tárgyalja, néhány ismerettel korábban foglalkozik. Ugyanakkor a fogalmak kialakítására, megerősítésére ebben az iskolatípusban is különös gondot fordítunk, kellő időt szánunk, a későbbi években sok témára magasabb szinten visszatérünk. Az erre az életkorra jellemző érdeklődést, kíváncsiságot, játékosságot felhasználjuk a megismerési, tanulási folyamatban. Gyakran indulunk ki konkrét tevékenységekből, a tapasztalatok elemzéséből, játékból. Az 5–6. évfolyam fontos feladata a biztos számolási készség kialakítása. Támaszkodunk az alsó tagozaton szerzett ismeretekre, fokozatosan bővítjük azt a számkört, amelyben műveleteket végzünk. Számolunk fejben és írásban az egész számok és a racionális számok halmazán, a megszerzett tudást alkalmazzuk a mindennapi életben. Szöveges feladatokat oldunk meg, a hétköznapi és gyakorlati problémákat megfogalmazzuk a matematika nyelvén. A várható eredményekre becsléseket adunk, megoldásunkat ellenőrzünk. A geometria témakörben méréseket, szerkesztéseket végzünk, egyszerű síkbeli és térbeli alakzatokat ismerünk meg. A konkrét tárgyak vizsgálata a térszemlélet fejlesztését jelenti, amely része az esztétikai nevelésnek is. A geometriai transzformációk megismeréséhez tevékenységeken keresztül jutunk el. A matematikai gondolkodásmódot fel kell használni a problémamegoldások során. Ehhez szükséges megfelelő szemléltető ábrákat, diagramokat, grafikonokat készíteni, ilyeneket értelmezni, elemezni és felhasználni; halmazokat jellemezni, szabályszerűségeket észrevenni, általánosító sejtéseket, állításokat megfogalmazni, igazságtartalmukat vizsgálni. Az érvelés, a cáfolás, a vitakészség, a helyes kommunikáció fejlesztése folyamatos feladatunk. Ehhez szükséges másokkal problémamegoldásban együttműködni, gondolatainkat, a megismert fogalmakat rendszerezni. A modellalkotás fontos eszköz, amely segítséget nyújt a problémák megoldásában. Fontos, hogy a tanulók a modellalkotásaik során a megértett és megtanult fogalmakat és eljárásokat fel tudják használni és a modelljeikbe szervesen be tudják építeni. Szükséges, hogy problémahelyzetet leíró szöveg alapján a probléma lényegét felismerjék, majd annak megfelelő, a probléma megoldását elősegítő modelleket alkossanak. Fokozatosan fejlesztjük a matematikai szaknyelv és jelölésrendszer használatát, alkalmazását. Az értékelés változatos módszereit alkalmazzuk. Ebben az életkorban a legkisebb teljesítményt is észrevesszük, a szóbeli dicséret ösztönző erejére is építünk. Felhívjuk a figyelmet az általános bevezető egy gondolatára: „A NAT néhány matematikus ismeretét előírja minden tanuló számára: Euklidész, Pitagorasz, Descartes, Bolyai Farkas, Bolyai János, Thalész, Euler, Gauss, Pascal, Cantor, Erdős, Neumann.” Ezeknek a matematikusoknak a munkásságával a nyolc év folyamán kell megismertetni a tanulókat. „ A kerettanterv ezen kívül is sok helyen hívja fel a tananyag matematikatörténeti érdekességeire a figyelmet. Ebből a tanárkollégák csoportjuk jellegének megfelelően szabadon válogathatnak.”

1

A kerettanterv az 5. évfolyamon minimum heti 4, évi 144 matematikaórát, míg a 6–8. évfolyamon minimálisan heti 3, évi 108 matematikaórát ír elő. Az általános rendelkezés szerint a kerettantervek által előírt tartalmak a tantárgyak számára rendelkezésre álló időkeret mintegy 90%-át fedik le, beleértve a számonkérésre és ismétlésre biztosított óraszámot is. Tehát 5. osztályban az évi 144 matematikaórából a tematikus egységekre javasolt óraszámok összege 118 óra, a számonkérésre és ismétlésre biztosított időkeret 12 óra, továbbá a tantárgyon belüli 10%-nyi szabadon felhasználható időkeret 14 óra lehet. 6–8. évfolyamon, heti 3 óra mellett a tematikus egységekre javasolt óraszámok összege – a számonkérésre és ismétlésre biztosított 12 órával együtt – 97 óra, így a tematikus egységek feldolgozására javasolt óraszámok összege 85 óra, a szabadon felhasználható időkeret 11 óra lehet. A tantárgy óraszámán belül jelentkező szabad időkeretet a pedagógus, a helyi igényeknek megfelelően, kerettanterven kívüli tantárgyi tartalommal töltheti meg (lásd a „kiegészítő tananyagot”) vagy gyakorlásra, a tanultak elmélyítésére, a kapcsolódási lehetőségek kiaknázására stb. fordíthatja. Megjegyzések: (1) A kerettanterv a Gondolkodási módszerek … tematikus egységhez is órakeretet ír elő. Mivel a gondolkodási módszerek alkalmazására minden matematikaórán szükség van, ezért az itt rögzített óraszámok nem tükrözik a témakör tényleges súlyát. (2) Az évfolyamokra bontás egyértelműségét több esetben csak úgy érhettük el, hogy a kerettantervben leírtaknál részletesebben (de nem kibővítve) fogalmaztuk meg az egyes témakörökhöz tartozó ismereteket, fejlesztési feladatokat, követelményeket.

2

5. évfolyam A nyolcosztályos gimnáziumok 5. évfolyamán heti 4 órával számoltunk. Szögletes zárójelbe írt óraszám jelzi a szabad órakeret felhasználására vonatkozó javaslatainkat. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok utolsó oszlopa tartalmazza. A tematikus egységeket a Műszaki Kiadó kiadásában megjelent, Hajdu Sándor: Matematika 5. Gondolkodni jó! tankönyv megfelelő fejezeteivel konkretizáljuk (lásd a táblázatok harmadik oszlopát). Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Órakeret: 5 óra + folyamatos

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika

Előzetes tudás

Adott tulajdonságú elemek halmazba rendezése. Halmazba tartozó elemek közös tulajdonságainak felismerése, megnevezése. Annak eldöntése, hogy egy elem beletartozik-e egy adott halmazba. A változás értelmezése egyszerű matematikai tartalmú szövegben. Több, kevesebb, ugyanannyi fogalma. Állítások igazságtartalmának vizsgálata. Néhány elem sorba rendezése, az összes eset megtalálása (próbálgatással).

A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Elemek halmazba rendezése több szempont szerint – hétköznapi életből vett példák, illetve matematikai tulajdonságok alapján. A halmazba tartozó és a halmazba nem tartozó elemek vizsgálata – halmaz, alaphalmaz, részhalmaz. Adatok elhelyezése halmazábrában. Állítások megfogalmazása, igazságtartalmának eldöntése.

Ismeretek/fejlesztési követelmények

Kapcsolódási pontok Informatika: könyvtárszerkezet a számítógépen.

Halmazok Halmazok megadása, részhalmaz, komplementer halmaz. Halmazok uniója, metszete. Üres halmaz, egyenlő halmazok. Adott tulajdonság alapján elemeket csoportba foglalunk: példák a mindennapi életből és a számhalmazok területéről. Halmazok megadása elemek felsorolásával. Halmazábra használata. Adott véges halmaz részhalmazainak a felírása. Halmazműveletek elvégzése véges halmazokon.

Technika, életvitel és gyakorlat: tárgyak kiválasztása.

3

Tankönyv

Órakeret

Például: 5. tankönyv: 20–22., 25., 52., 70., 71., 82., 84., 154–156., 160., 173., 177., 181., 239., 254. oldal

2 óra + folyamatos


Kapcsolódási pontok

Matematikai logika. Logikai állítások. Igaz, hamis állítás. És; vagy. minden; van olyan, legalább, legfeljebb. Állítások megfogalmazása a hétköznapi életből és a matematika területéről. Definíciók megértése, alkalmazása. Állítások igazságtartalmának eldöntése. Értő, elemző olvasás fejlesztése. . Kommunikáció fejlesztése a nyelv logikai elemeinek használatával. Vitakultúra fejlesztése.

Technika, életvitel és gyakorlat: Tanuljunk érvelni!

Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás

Órakeret

5. tankönyv 20–22. oldal. A matematika minden témakörében.

Megoldások megtervezése, eredmények ellenőrzése. a műveleti sorrendnek, a szöveges feladatok megoldásának a geometriai szerkesztések lépéseinek megtervezése. Kulcsfogalmak/fogalmak

Tankönyv

A matematika minden témakörében. Például: 5. tankönyv 34., 38., 61– 62., 156–162. oldal.

1 óra + folyamatos

2 óra + folyamatos

Halmaz, elem, eleme, alaphalmaz, üres halmaz, részhalmaz, egyesítés, közös rész. Igaz, hamis. Nem, és, vagy. Minden, van olyan. Legalább, legfeljebb.

2. Számtan, algebra

Órakeret: 71 óra

2.1. Természetes számok

Órakeret: 18 óra

Számok írása, olvasása (10 000-es számkör). Helyiérték, alaki érték, valódi érték. Számok helye a számegyenesen. Természetes számok nagyság szerinti összehasonlítása. Matematikai jelek: +, –, •, :, =, <, >, ( ) ismerete, használata. A hosszúság, az űrtartalom, a tömeg és az idő mérése. Átváltások szomszédos mértékegységek között. Mérőeszközök használata. A matematika különböző területein az ésszerű becslés és a kerekítés alkalmazása. Fejben számolás százas számkörben. A szorzótábla biztos tudása. Analógszámítások kerek számokkal fejben. Négyjegyű számok összeadása, kivonása, szorzás és osztás egy- és kétjegyű számmal írásban. Műveletek ellenőrzése. Szöveges feladat: a szöveg értelmezése, adatok kigyűjtése, megoldási terv, becslés, ellenőrzés, az eredmény realitásának vizsgálata.

4


A tízes számrendszer fogalmának elmélyítése. Elemek csoportosítása más számrendszerben is. A számegyenes használata, alkalmas egység megválasztása. A műveletek biztos elvégzésének erősítése – fejben és írásban. Műveleti tulajdonságok felismerése, alkalmazása. A műveleti sorrend alkalmazásának készségszintre emelése. Mértékegységek helyes használata és pontos átváltása. Szövegértelmező képesség fejlődése. Pénzügyi ismeretek alapozása.



A tízes számrendszer. A számfogalom fejlesztése milliós számkörben. Helyi érték, alaki érték ismerete, számok kiolvasása. A számok helyesírásának ismerete. Kapcsolat a kombinatorikával (számok kirakása). Kapcsolat a mindennapi élettel (pénzegységek, mértékegységek átváltása). Matematikatörténet: A számírás kialakulása, római számírás.

Magyar nyelv és irodalom: a magyar helyesírás alapelvei.

A számegyenes. Számok összehasonlítása. Számok elhelyezése számegyenesen. Megfelelő beosztás választása. Kerekítés, becslés. A kerekítés szabályainak ismerete. Összeadás, kivonás, szorzás. Osztó, többszörös, oszthatóság. Osztás, maradékos osztás. Műveletek elvégzése fejben és írásban. Műveletek ellenőrzése A tanulók gyakorlati feladatokban ismerjék fel, hogy melyik művelet alkalmazására van szükség. Az 1 és a 0 a szorzásban és az osztásban. Műveletek tulajdonságai, zárójelek használata, műveletek sorrendje. Műveleti sorrend, ha a kifejezés nem tartalmaz zárójelet. Tagok, tényezők felcserélhetőek, csoportosíthatóak. Zárójelek szerepének felismerése. Szorzás, osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel. Alkalmazásuk mértékegységek átváltása során.

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés.

5

Tankönyv

Órakeret

5. tankönyv: 9–17., 29–34., 48–49. oldal.

4 óra

5. tankönyv: 18–22., 26–28. oldal.

2 óra

5. tankönyv: 23–25., 34–47., 50–65., 70–74. oldal.

10 óra



Számrendszerek. A tízestől különböző számrendszerek kialakítása. Matematikatörténet: 12-es, 60-as számrendszer. Kulcsfogalmak/fogalmak


Órakeret

5. tankönyv: 66–69. oldal.

2 óra

Tízes számrendszer, helyi érték, alaki érték, számegyenes, összeadandó, összeg tag, kisebbítendő, kivonandó, különbség, szorzandó, szorzó, szorzat, tényező, osztandó, osztó, hányados, maradék, számrendszer. Római számírás.

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

Informatika: 2-es számrendszer.

Tankönyv

2.2. Egész számok

Órakeret: 12 óra

Negatív számok a mindennapi életben - hőmérséklet, adósság. Ellentétes mennyiségek szemléletes fogalma. Mennyiségi jellemzők kifejezése negatív számokkal. Az egész számokkal végzett összeadás és kivonás fogalmának szemléleti megalapozása. Szabályok megsejtése. A derékszögű koordináta-rendszer megismerése.



A természetes számkör bővítése: az egész számok halmaza. Miért van szükségünk egész számokra? Ellentétes mennyiségek ismerete, felfedezése az életünkben. Negatív szám értelmezése tárgyi tevékenységgel, szemléletes modellek segítségével. Egész számok a számegyenesen. Egy szám ellentettje, abszolútértéke. Nagyobb, kisebb fogalma az egész számok körében. A számegyenest segédeszközként használjuk a fogalmak megértésére, a szükséges absztrakció érdekében.

Természetismeret: hőmérséklet, időjárás-jelentés, tengerszint feletti magasság.

6

Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: időszámítás – i.e.

Tankönyv 5. tankönyv: 249–255., 264–267. oldal.

Órakeret 3 óra



A derékszögű koordináta-rendszer. I., II., III., IV. síknegyed. Első jelzőszám, második jelzőszám. A jelzőszámok nem cserélhetőek fel. Példák: színházjegy, sakk, táblázatok.

Természetismeret: helymeghatározás, térképek.

. Egész számok összeadása, kivonása a szemléletre támaszkodva. A műveletek elvégzése előtt a várható eredmény, és előjelének becslése. A kivonás átírható összeadásra. Kulcsfogalmak/fogalmak

Tankönyv

Órakeret


3 óra

5. tankönyv: 256–260., 264–268. oldal.

6 óra [+ 2 óra]

Negatív szám,pozitív szám, egész szám, előjel, ellentett, abszolútérték, koordináta-rendszer, síknegyed, első, második jelzőszám.


2.3. Törtek, tizedestörtek, racionális számok

Órakeret: 36 óra

Előzetes tudás

Törtek a mindennapi életben: 2, 3, 4, 10, 100 nevezőjű törtek megnevezése, lejegyzése szöveggel, előállítása hajtogatással, nyírással, rajzzal, színezéssel.


A törtfogalom elmélyítése a szemléletre támaszkodva. Képi és fogalmi gondolkodás összhangja. Törtek többféle alakjának ismerete. Műveletvégzés a törtszámok körében. A helyiértékes írásmód általánosítása.



A törtek kétféle értelmezése. Közönséges tört, vegyes szám. Felismerés szöveges környezetben. Mennyiségek törtrésze. Törtek egyszerűsítése, bővítése. Az egyszerűsítés és a bővítés tudatos alkalmazása. Törtek ábrázolása a számegyenesen. Törtek összehasonlítása.

Ének-zene: a hangjegyek értékének és a törtszámoknak a kapcsolata.

7

Tankönyv 5. tankönyv: 119–132. oldal.

Órakeret 6 óra



Törtek összeadása, kivonása. Közös nevező keresése. Törtek szorzása, osztása természetes számmal. Számolási készség fejlesztése. Az ellenőrzés igénye, a becslés képességének fejlesztése. Műveleti tulajdonságok, zárójelek használata, műveleti sorrend.

Tankönyv

Órakeret

5. tankönyv: 133–141., 144–151. oldal.

10 óra

A tizedestörtek értelmezése, használata. Tizedestörtek jelentése, kiolvasása, leírása. Helyiérték-táblázat használata. Mértékegységek kifejezése tizedestörtekkel: dm, cl, mm, … Tizedestörtek a számegyenesen. Tizedestörtek leolvasása a számegyenesről. Tizedestörtek elhelyezése a számegyenesen. Mérés a milliméter beosztású vonalzóval, mérőszalaggal. Tizedestörtek egyszerűsítése, bővítése. A tizedestört végére nullákat írhatunk, illetve a szám végén lévő nullákat elhagyhatjuk. Tizedestörtek összehasonlítása. Számegyenest használva és a szám írott alakja alapján összehasonlítunk. Matematikai jelek használata ( <,> =). Tizedestörtek kerekítése. A mérés pontosságának jelzése.

Természetismeret: Mérések különböző nagyságrendekben.


4 óra

Mérés, mértékegységek. Hosszúság, tömeg, idő mérése, mértékegységek átváltása. A mértékegység és mérőszám kapcsolata. Mérések elvégzése csoportmunkában, együttműködés a társakkal. A váltópénz fogalma. Euró, cent.

Természetismeret: mérés, mértékegységek.

Folyamatos

4 óra + folyamatos

8



Tizedestörtek összeadása, kivonása. Tizedestörtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel. Alkalmazás a mértékegységekkel való számolásban: kerület, terület, űrtartalom, átváltások. Tizedestörtek szorzása, osztása egész számmal. A műveletek elvégzése fejben kisebb számokon. A műveletek eredményének előzetes becslése, írásbeli elvégzése. A műveletek ellenőrzése. Tört alakban írt szám tizedestört alakja. Két egész szám hányadosaként felírható számok. Véges, végtelen szakaszos tizedes törtek előállítása osztással. Kulcsfogalmak/fogalmak


5. tankönyv: 197–215., 218–225. oldal.

2.4. Oszthatóság

12 óra [+ 1 óra]

Órakeret: 2 óra

Osztás, osztó, maradékos osztás. Az osztó, többszörös fogalmának elmélyítése. Számolási készség fejlesztése.



Osztó, többszörös. Osztók meghatározása, osztópárok. Osztók, többszörösök halmaza – halmazábra készítése. Kulcsfogalmak/fogalmak

Órakeret

Tört, számláló, nevező, közös nevező, tizedestört, közönséges tört, véges és végtelen szakaszos tizedes tört, egyszerűsítés, bővítés.


Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: statisztikai adatok.

Tankönyv

Osztó, többszörös, osztható. 9

Tankönyv

Órakeret



2.5. Arányos következtetések, egyenletek, egyenlőtlenségek

Egyszerű szöveges feladatok megoldása: a szöveg értelmezése, adatok kigyűjtése, megoldási terv készítése, becslés, ellenőrzés, az eredmény realitásának vizsgálata. Jelek, szimbólumok használata összefüggések leírására, az ismeretlen szimbólum kiszámítása. Arányos következtetések. Betűk használata összefüggések leírására. Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása: próbálgatás, következtetés, lebontogatás. Szövegértő, szövegértelmező képesség fejlesztése – szöveges feladatok megoldása.



Az aktuális számkörben értelmezett műveletek alkalmazása szöveges feladatok megoldásában. Arányos következtetések. Egyenes arányosság. A mindennapi életben felmerülő, egyszerű arányossági feladatok megoldása következtetéssel. Egyszerű elsőfokú egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek Egyenletek megoldása tervszerű próbálgatással, következtetéssel, lebontogatással. Ellenőrzés. A megoldások ábrázolása számegyenesen. Kulcsfogalmak/fogalmak

Órakeret: 3 óra

Technika, életvitel és gyakorlat: vásárlás, takarékosság. Természetismeret: Változások a környezetünkben; táblázatok, grafikonok.

Tankönyv

Órakeret

Például 5. tankönyv: 114., 159., 172–173., 212., 222. oldal, továbbá a függvények témakörben: 235–238. oldal.

Folyamatos, az adott témakör órakeretébe beszámítva.


3 óra

Arányos következtetés. Nyitott mondat, egyenlet, egyenlőtlenség. Alaphalmaz, igazsághalmaz (megoldáshalmaz).

10


Előzetes tudás


Szabályfelismerés, szabálykövetés. Növekvő és csökkenő számsorozatok. Összefüggések keresése az egyszerű sorozatok elemei között. A szabály megfogalmazása egyszerű formában, a hiányzó elemek pótlása. Tapasztalati adatok lejegyzése, táblázatba rendezése. Táblázat adatainak értelmezése. Sorozat megadása szabállyal. A koordináta-rendszer biztonságos használata. Függvényszemlélet előkészítése. Probléma felismerése. Összefüggés-felismerő képesség fejlesztése. Szabálykövetés, szabályfelismerés képességének fejlesztése.


Kapcsolódási pontok Technika, életvitel, gyakorlat: osztálynévsor, tornasor.

Sorozatok. Néhány elemével adott egyszerű sorozatok folytatása adott vagy felismert szabály szerint. Sorozatok készítése. Algoritmusok játékokon keresztül. A Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer, grafikonok. Összetartozó adatok táblázatba rendezése. Táblázat hiányzó elemeinek pótlása ismert vagy felismert szabály alapján, ábrázolásuk grafikonon. Egyszerű grafikonok értelmezése. Egyszerű kapcsolatok ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben. Az egyenes arányosság függvény grafikonja (előkészítő jelleggel). Kulcsfogalmak/fogalmak

Órakeret: 6 óra + folyamatos

3. Sorozatok, függvények

Sorozat, egyenes arányosság, grafikon.

11

Tankönyv 5. tankönyv 232–234., 265. oldal.

Például: 5. tankönyv 17., 77., 143., 111., 190., 202–203., 215., 225., 227–233., 235–238., 243–248. oldal.

Órakeret 2 óra

4 óra + folyamatos, minden témakörben

4. Geometria

Órakeret: 30 óra

4.1. Geometriai alapfogalmak

Órakeret: 13 óra


Előzetes tudás

Pont, egyenes, görbe vonalak szemléletes fogalma. Párhuzamos és metsző egyenesek. Háromszög, négyzet, téglalap, sokszög felismerése, jellemzőik, előállításuk másolással, hajtogatással, nyírással. Körvonal és körlap. Kocka, téglatest, gömb felismerése a mindennapi életben.


Térelemek fogalmának elmélyítése – környezetünk tárgyainak vizsgálata. Távolság szemléletes fogalma, meghatározása. Körző, vonalzó, szögmérő használata, szerkesztés. Esztétikai érzék fejlesztése. Sokszögek belső és külső szögeinek mérése, szögek összegének meghatározása. A kör vizsgálata.



Pont, egyenes, sík, félegyenes, szakasz. Síkidom, sokszög, oldal, átló, konvexitás. Háromszög, négyszög. Speciális négyszögek ismerete: tulajdonságainak vizsgálata, négyzet, téglalap. A környezetünkben lévő tárgyakon ismerjük fel a vizsgált geometriai fogalmakat. Test, csúcs, él, lap. Testek szemléltetése. Merőleges egyenesek. Párhuzamos egyenesek. Merőleges és párhuzamos egyenesek szerkesztése vonalzóval. Ponthalmazok távolsága. Két pont, pont és egyenes, távolsága. Két egyenes távolsága. Kitérő egyenesek. Síkok és egyenesek, síkok és síkok kölcsönös helyzete a térben.

5. tankönyv: 75–77., 82–84., 87–88., 96–99. oldal.

Technika, életvitel és gyakorlat: vízszintező, mérőón.

12

Tankönyv

5. tankönyv: 78–81.; 98–99. oldal.

Órakeret 4 óra + folyamatos

2 óra



Tankönyv

Órakeret 1 óra + folyamatos

Geometriai szerkesztés. A ceruza, vonalzó, körző használata. Díszítőminták szerkesztése körzővel, vonalzóval. A szög. Szögek fajtái. A szög jelölése, betűzése, görög betűk. Nullszög, hegyesszög, derékszög, tompaszög, egyenesszög, homorúszög, teljesszög. Szögmérés szögmérővel. Fok, szögperc, szögmásodperc. Tájékozódás terepen, térképen. Kulcsfogalmak/fogalmak


Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: görög „abc” betűinek használata.

5. tankönyv: 166–173.; 174–175. oldal.

6 óra [+ 2 óra]

Természetismeret: Tájékozódás térképen és terepen. Iránytű, alaprajz, fővilágtájak, térkép.

Pont, félegyenes, szakasz, sík, síkidom, sokszög, test, csúcs, él, lap. Merőlegesség (egyenesek), párhuzamosság (egyenesek). Szög, nullszög, hegyesszög, derékszög, tompaszög, egyenesszög, homorúszög, teljesszög. Fok.

4.2. Kerület, terület, felszín, térfogat

Órakeret: 10 óra

Előzetes tudás

Hosszúság mérése (egyszerű gyakorlati példák). Négyzet, téglalap kerülete – mérés, számítás, mértékegységek. Négyzet, téglalap területének mérése különféle egységekkel, területlefedéssel. A test és a síkidom közötti különbség megértése. Kocka, téglatest, felismerése, létrehozása, jellemzői.


Hosszúság mérésének gyakorlása – mérőeszközök használata, becslés. A kerület meghatározása méréssel és számolással. A téglalap (négyzet) területének kiszámítása. A terület mértékegységeinek ismerete. A kocka, téglatest hálójának elkészítése, felszínüknek és térfogatuknak kiszámítása. A térfogat és az űrtartalom mértékegységeinek ismerete Mértékegységek használata, átváltása. Számolási készség fejlesztése. A térszemlélet fejlesztése.

13



A kerület mérése, mértékegységei. A téglalap, a négyzet, kerülete. Adott alakzatok kerületének meghatározása méréssel, számolással. Méterrúd, mérőszalag használata.

5. tankönyv 84., 86. oldal:

A terület mérése, mértékegységei. A téglalap, négyzet, területe. Adott alakzatok területének meghatározása - az adott egységgel összehasonlítunk, közelítünk, számolunk. A gyakorlati élettel kapcsolatos szöveges feladatok megoldása. Mérőeszközök használata.

Technika, életvitel és gyakorlat: számítások tapétázáshoz, csempézéshez. Vizuális kultúra: díszítőminták periodikus ismétlése.

A téglatest hálója, felszíne. A térfogat, űrtartalom mérése. Mértékegységek. A téglatest térfogata. Üvegek, üdítős dobozok térfogata. A gyakorlati élettel kapcsolatos szöveges feladatok megoldása. Szövegértelmezés. A térszemlélet fejlesztése. Testek építése, ábrázolása. Építőjátékok használata. Térszemlélet fejlesztése. Kulcsfogalmak/fogalmak

Tankönyv

Vizuális kultúra: egyszerű tárgyak, geometriai alakzatok tervezése, modellezése.

Kerület, terület, felszín, térfogat, test hálója.

14

Órakeret 1 óra + folyamatos.


4 óra


3 óra

164–165. oldal.

2 óra

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

4.3. Adott tulajdonságú ponthalmazok A távolság fogalma. Körvonal, körlap. Párhuzamos és merőleges egyenesek rajzolása. Szakaszfelező merőleges szerkesztése. Egyszerű szerkesztések végrehajtása.



Távolsággal jellemzett ponthalmazok. Szerkesztési feladatok, a szerkesztés lépéseinek megtervezése.: Adott térelemtől adott távolságra lévő pontok halmaza – síkban és térben (kör és gömb). Sugár, átmérő, húr, szelő, érintő Háromszög szerkesztése három oldalából. Két ponttól egyenlő távol lévő pontok halmaza a síkban és térben. Szakaszfelező merőleges. A háromszög oldalfelező merőlegesei tulajdonságának megsejtése konkrét feladat megoldásával, szerkesztőprogram alkalmazása. Adott egyenesre merőleges, adott egyenessel párhuzamos egyenes szerkesztése. Téglalap szerkesztése.

Informatika: Szerkesztőprogram alkalmazása (ismerkedés szintjén)

Kulcsfogalmak/fogalmak

Órakeret: 6 óra

Két pont távolsága. Kör, gömb, szakaszfelező merőleges.

15

Tankönyv 5. tankönyv: 156–163. oldal.

Órakeret 6 óra [+ 2 óra]


4.4. Geometriai transzformációk. Tengelyes szimmetria Tükrös alakzatok és tengelyes szimmetria előállítása hajtogatással, nyírással, rajzzal, színezéssel. A tengelyes szimmetria felismerése.



Egybevágó (ugyanolyan alakú és méretű) síkidomok. Kicsinyítés, nagyítás. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok felismerése, tulajdonságainak megfogalmazása a szemlélet alapján. A téglalap, a négyzet, a kör tulajdonságainak vizsgálata, illetve a szakaszfelező merőleges előállítása során a tengelyes szimmetria felismerése. Kulcsfogalmak/fogalmak


Órakeret: 1 óra

Tankönyv

Órakeret

5. tankönyv: 85–87., 154–155., 158–160., oldal.

1 óra + folyamatos

Egybevágó, tengelyesen tükrös (szimmetrikus)

5. Statisztika, valószínűség

Órakeret: 6 óra

Előzetes tudás

Adatgyűjtés, adatok lejegyzése, diagram leolvasása. Valószínűségi játékok, kísérletek, megfigyelések - biztos, lehetetlen, lehet, de nem biztos állítások.


Adatok gyűjtése, értelmezése, jellemzése. Valószínűségi játékokon és kísérleteken keresztül a valószínűség fogalmának alapozása.

16



Adatok ábrázolása. Adatok gyűjtése, elemzése. Oszlopdiagram, vonaldiagram elemzése. Átlag. Az átlag kiszámítása, értelmezése.

Természetismeret: Népesség alakulása, összetétele. Technika, életvitel és gyakorlat; természetismeret: lázmérés, lázgörbe, időjárás.

Valószínűségi játékok. Biztos esemény, lehetetlen esemény. Esélyek mérlegelése. Adatok tervszerű gyűjtése.

Tankönyv 5. tankönyv 216–217., 227–231. oldal.

4 óra

5. tankönyv 142–143. oldal.

2 óra

Gondolkodási és megismerési módszerek

A fejlesztés elvárt eredményei az 5. évfolyam végén

      

Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján. Részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének, uniójának felírása, ábrázolása. Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése különféle módszerekkel, az összes lehetséges sorrend felsorolása. Állítások igazságának eldöntésére, igaz és hamis állítások megfogalmazása. A nyelv logikai elemeinek és az összehasonlításhoz szükséges kifejezéseknek a helyes használata.

17

Órakeret

Számtan, algebra     

A fejlesztés elvárt eredményei az 5. évfolyam végén

  

Az 1 000 000-nál nem nagyobb természetes számok írása, olvasása, összehasonlítása, ábrázolása számegyenesen, a tízes számrendszer ismerete. Természetes számok kerekítése. A természetes számok összeadása, kivonása, szorzása többjegyű szorzóval, osztása kétjegyű osztóval. Ellenőrzés, műveleti sorrend ismerete, zárójelek alkalmazása. Számok osztóinak, többszöröseinek felírása. A 2-vel, 5-tel, 10-zel, 100-zal, 1000-rel osztható számok felismerése. Törtek kétféle értelmezése, ábrázolásuk többféleképpen. Kis nevezőjű törtek összehasonlítása, összeadása, kivonása, szorzása, osztása természetes számmal. Tizedestörtek értelmezése, írása, olvasása, összehasonlításuk. Tizedestörtek kerekítése. Tizedestörtek összeadása, kivonása, szorzása, osztása természetes számmal. Két-három műveletet tartalmazó műveletsor eredményének kiszámítása, a műveleti sorrendre vonatkozó szabályok ismerete, alkalmazása. Zárójelek alkalmazása. Egész számok, negatív, pozitív számok ismerete, ellentett, abszolútérték meghatározása. Egész számok összeadása, kivonása szemléletes feladatokban. A mindennapi élettel kapcsolatos egyszerű szöveges feladatok megoldása (szövegértelmezés, adatok kigyűjtése, terv, becslés, számítás; ellenőrzés segítségével a kapott eredmények helyességének megítélése). A hosszúság, terület, térfogat, űrtartalom, idő, tömeg szabványmértékegységeinek ismerete, helyes alkalmazása. Mérőeszközök ismerete. Becslés. Mértékegységek egyszerűbb átváltásai gyakorlati feladatokban.

Összefüggések, függvények, sorozatok   

Tájékozódás a koordinátarendszerben: pont ábrázolása, adott pont koordinátáinak leolvasása. Egyszerűbb grafikonok, elemzése, oszlopdiagramok, vonaldiagramok értelmezése, megrajzolása. Táblázatok értelmezése, készítése. Néhány tagjával elkezdett sorozathoz szabály(ok) keresése, megfogalmazása. Egyszerű sorozatok folytatása adott, illetve felismert szabály alapján.

18

Geometria         A fejlesztés elvárt eredményei az 5. évfolyam végén

    

Térelemek felismerése: pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, test szemléletes fogalmának ismerete. Törekvés a szaknyelv és az anyanyelv helyes használatára. Párhuzamos, metsző, kitérő, merőleges egyenesek fogalmának ismerete. Párhuzamos és merőleges egyenesek rajzolása egyélű és derékszögű vonalzó segítségével. A geometriai ismeretek alkalmazásával az ábrák helyes értelmezése. Pont és egyenes távolsága, két párhuzamos egyenes távolsága. A körző, vonalzó célszerű használata. A sokszög szemléletes fogalma. Sokszögek tulajdonságainak vizsgálata, csoportosításuk különböző szempontok szerint. Konkrét sokszögek kerületének kiszámítása. A téglalap, négyzet fogalma, tulajdonságaik vizsgálata, kerületük kiszámítása konkrét feladatokban. Sokszögek területének meghatározása alkalmai mértékegységgel történő lefedéssel. A terület szabványos mértékegységei, átváltásuk. A téglalap (négyzet) területe. A téglatest, kocka ismerete, az elnevezések (csúcs, él, lap) helyes használata. A téglatest hálója, felszínének meghatározása. A téglatest térfogata, a térfogat szabványos mértékegységei. A térfogat és az űrtartalom mértékegységei közti kapcsolat ismerete. A kerület-, a terület- és a térfogatszámításról tanultak alkalmazása gyakorlati jellegű feladatokban. Testek ábrázolása; építése. A szögtartomány fogalma, a szögek nagyságának megmérése, a mértékegységek ismerete. Adott nagyságú szög megrajzolása szögmérő segítségével. A szögfajták ismerete.

Valószínűség, statisztika   

Egyszerű diagramok készítése, értelmezése, táblázatok olvasása. Néhány szám számtani közepének kiszámítása. Valószínűségi játékok, kísérletek során adatok tervszerű gyűjtése, rendezése, ábrázolása.

19

6. évfolyam A nyolcosztályos gimnáziumok 6. évfolyamán heti 3 órával számoltunk. Kerek zárójelben beírtuk a heti 4 órával számított órakeretet is. Szögletes zárójelbe írt óraszám jelzi a szabad órakeret felhasználására vonatkozó javaslatainkat. A szabad órakeret nagyobb hányadát a tanultak gyakorlására fordítsuk. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok utolsó oszlopa tartalmazza. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok utolsó oszlopa tartalmazza. A tematikus egységeket a Műszaki Kiadó kiadásában megjelent, Hajdu Sándor: Matematika 6. Gondolkodni jó! tankönyv megfelelő fejezeteivel konkretizáljuk (lásd a táblázatok harmadik oszlopát). Tematikai egység/ Fejlesztési cél

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika

Órakeret: 2 (3) óra + folyamatos

Előzetes tudás

Adott tulajdonságú elemek halmazba rendezése. Halmazba tartozó elemek közös tulajdonságainak felismerése, megnevezése. Annak eldöntése, hogy egy elem beletartozik-e egy adott halmazba. A változás értelmezése egyszerű matematikai tartalmú szövegben. Több, kevesebb, ugyanannyi fogalma. Állítások igazságtartalmának vizsgálata. Néhány elem sorba rendezése, az összes eset megtalálása (próbálgatással).


Elemek halmazba rendezése több szempont szerint – hétköznapi életből vett példák, illetve matematikai tulajdonságok alapján. A halmazba tartozó és a halmazba nem tartozó elemek vizsgálata – halmaz, alaphalmaz, részhalmaz. Adatok elhelyezése halmazábrában. Állítások megfogalmazása, igazságtartalmának eldöntése.



Halmazok megadása, részhalmaz, komplementer halmaz. Halmazok uniója, metszete. Üres halmaz, egyenlő halmazok. Adott tulajdonság alapján elemeket csoportba foglalunk: példák a mindennapi életből és a számhalmazok területéről. Halmazok megadása elemek felsorolásával. Halmazábra használata. Adott véges halmaz részhalmazainak a felírása. Halmazműveletek elvégzése véges halmazokon.

Informatika: könyvtárszerkezet a számítógépen. Technika, életvitel és gyakorlat: tárgyak kiválasztása.

20

Tankönyv

Órakeret

Például: 6. tankönyv 16., 31., 32., 36., 38., 91-, 98., 101., 105., 108– 109., 115., 117., 123., 174., 183., 187., 195– 196., 215. oldal.

Folyamatos



Tankönyv

Órakeret

A matematika minden témakörében. Például: 6. tankönyv 36., 142., 156–157. oldal.

Folyamatos

Kombinatorika. Sorba rendezések. Kiválasztások. Néhány elem sorba rendezése különféle módszerekkel. Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint.

Például: 6. tankönyv 15–17., 85., 110. oldal.

2 (3) óra + folyamatos

Megoldások megtervezése, eredmények ellenőrzése. a műveleti sorrendnek, a szöveges feladatok megoldásának a geometriai szerkesztések lépéseinek megtervezése.

A matematika minden témakörében. Például: 6. tankönyv 100., 106., 116., 132., 138., 140., , 141., 144., 146., 176–178., 199–203., 208–211. oldal.

Folyamatos

Matematikai logika. Logikai állítások. Igaz, hamis állítás. A nyelv logikai elemeinek helyes használata : „Nem”, „és”, „vagy”, „ha …, akkor …”, „minden”, „van olyan”, „legalább”, „legfeljebb Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban. Definíciók megértése, alkalmazása. Állítások igazságtartalmának eldöntése. Kommunikáció fejlesztése a nyelv logikai elemeinek használatával. Vitakultúra fejlesztése Értő, elemző olvasás fejlesztése..


Technika, életvitel és gyakorlat: Tanuljunk érvelni!

Halmaz, elem, eleme, alaphalmaz, üres halmaz, részhalmaz, egyesítés, közös rész. Igaz, hamis. Nem, és, vagy. Minden, van olyan. Legalább, legfeljebb.

21


Előzetes tudás


2. Számtan, algebra

Órakeret: 52 (72) óra

2.1. Természetes számok, tizedestörtek


Természetes számok írása, olvasása (1 000 000-s számkör), helyesírása, kerekítésük. Helyiérték, alaki érték, valódi érték. A négy alapművelet végrehajtása szóban és írásban a természetes számok körében. Műveletek ellenőrzése. Törtek, tizedestörtek fogalma, helyük a számegyenesen. Törtek, tizedestörtek egyszerűsítése, bővítése, nagyság szerinti összehasonlítása. Törtek, tizedestörtek összeadása, kivonása, szorzásuk, osztásuk természetes számmal. A hosszúság, az űrtartalom, a tömeg és az idő mérése. Mértékegységek átváltása. Mérőeszközök használata. A matematika különböző területein az ésszerű becslés és a kerekítés alkalmazása. Műveletek tulajdonságai. Zárójelek használata, műveleti sorrend. Egyszerű szöveges feladatok megoldása (a szöveg értelmezése, a szükséges adatok kiválasztása, tervkészítés, a számítások végrehajtása és ellenőrzése a szöveg alapján, szöveges válasz). A tízes számrendszer fogalmának elmélyítése. Biztos számfogalom kialakítása. Számolási készség fejlesztése . A számegyenes használata, alkalmas egység megválasztása. Mértékegységek helyes használata és pontos átváltása. Szövegértelmező képesség fejlődése. Pénzügyi ismeretek alapozása.



A természetes számok értelmezése milliós számkörben, kitekintés billióig. A tizedestörtek fogalmának felelevenítése. Tizedestörtek jelentése. Helyiérték, alaki érték ismerete. Helyiérték-táblázat használata. Számok kiolvasása, leírása. A természetes számok, tizedestörtek helyesírásának ismerete. Kapcsolat a mindennapi élettel Számok elhelyezése számegyenesen. Megfelelő beosztás választása. Kerekítés, pontos érték, közelítő érték. Becslés. A mérés pontosságának jelzése.

Magyar nyelv és irodalom: a magyar helyesírás alapelvei. Természetismeret: Magyarország, Európai Unió, Kína lakosainak száma. Európa területe stb.

22

Tankönyv

Órakeret

6. tankönyv 9–11., 26–29. oldal.

3 (5) óra



Tankönyv

Órakeret

Kiegészítő tananyag: A hatványozás fogalmának előkészítése. A természetes számok helyiértékének hatványalakja.


[2 óra]

Tizedestört alakban írt számok szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel, … (tíz hatványaival).


1 (1) óra


1 (2) óra

Mérés. Szabvány mértékegységek és átváltásuk: Hosszúság, terület, térfogat, űrtartalom, idő, tömeg. Mérések elvégzése, mérőeszközök ismerete. A mértékegységek alkalmazása algebrai, geometriai és függvénytani problémák megoldásában. Kulcsfogalmak/fogalmak



Természetismeret: mérés, mértékegységek.

+ folyamatos

Tízes számrendszer, helyiérték, alaki érték, számegyenes. Kerekítés, pontos érték, közelítő érték., becslés. Mértékegység, mérőszám.

2.2. Egész számok


Negatív számok a mindennapi életben - hőmérséklet, adósság. Egész számok, pozitív, negatív számok. Ellentett, abszolútérték. Egész számok nagyság szerinti összehasonlítása, összeadása, kivonása a szemléletre támaszkodva. Ellentétes mennyiségek szemléletes fogalma. Mennyiségi jellemzők kifejezése negatív számokkal. A korábban szemléletes úton kialakuló fogalmak magasabb absztrakciós szintre emelése. A műveletvégzés szabályainak ismerete és követése. A műveletek biztos elvégzése az egész számok körében. Műveleti tulajdonságok felismerése, alkalmazása. A műveleti sorrend és a zárójel alkalmazásának készségszintre emelése. Ellenőrzés, önellenőrzés. A derékszögű koordináta-rendszer megismerése.

23



A természetes számkör bővítése: az egész számok halmaza. Ellentétes mennyiségek ismerete, felfedezése az életünkben. Egész számok a számegyenesen. Egy szám ellentettje, abszolútértéke. Nagyobb, kisebb fogalma az egész számok körében. A számegyenest segédeszközként használjuk a fogalmak megértésére, a szükséges absztrakció érdekében.

Természetismeret: hőmérséklet, tengerszint feletti magasság, ellentétes elmozdulások.

Egész számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása. Szabályok megfogalmazása és követése. A műveleti tulajdonságok kiterjesztése az egész számokkal végzett műveletekre. Zárójelhasználat, műveleti sorrend. A negatív számok műveleti szabályainak kiterjesztése a törtalakban és tizedestört alakban adott racionális számokra. A derékszögű koordináta-rendszer. Kulcsfogalmak/fogalmak


Tankönyv

Órakeret

6. tankönyv 39–40.

1 (2) óra

6. tankönyv 41–49., 50., 51–52., 80–83. oldal.

10 (13)

Negatív szám, előjel, ellentett, abszolút érték, koordináta-rendszer, síknegyed, első, második jelzőszám

2.3. Műveletek törtekkel, tizedestörtekkel


Előzetes tudás

Törtek a mindennapi életben: 2, 3, 4, 10, 100 nevezőjű törtek megnevezése, lejegyzése szöveggel, előállítása hajtogatással, nyírással, rajzzal, színezéssel.


A törtfogalom elmélyítése a szemléletre támaszkodva. Képi és fogalmi gondolkodás összhangja. Törtek többféle alakjának ismerete. Műveletvégzés a törek és tizedestörtek körében. A korábban szemléletes úton kialakuló fogalmak magasabb absztrakciós szintre emelése. Szabályok megfogalmazása és követése. A helyiértékes írásmód általánosítása.

24



A törtek kétféle értelmezése. A törttel kapcsolatos elnevezések használata. Közönséges tört, vegyes szám. Felismerés szöveges környezetben. Mennyiségek törtrésze. A törttel kapcsolatos elnevezések használata. Törtek egyszerűsítése, bővítése. Az egyszerűsítés és a bővítés tudatos alkalmazása. Az oszthatóságról tanultak alkalmazása. Törtek ábrázolása a számegyenesen. Törtek összehasonlítása. Törtek egyszerűsítése és bővítése, nagyság szerinti összehasonlításuk. A tizedestörtek egyszerűsítése és bővítése.

Órakeret


2 (2) óra

Törtek összeadása, kivonása. Közös nevező keresése. Tizedestörtek összeadása, kivonása. Tört szorzása törttel, tört osztása törttel. A reciprok fogalma. Szorzás, osztás tizedestört alakú számmal. A természetes számokra tanult algoritmusok általánosítása. Műveleti tulajdonságok, helyes műveleti sorrend, zárójelek használata. Műveletek eredményeinek előzetes becslése, ellenőrzése, kerekítése. A tanultak alkalmazása szöveges feladatok megoldásában.


11 (13) óra

A racionális szám fogalma: Negatív törtek értelmezése, ábrázolásuk számegyenesen. Számolás negatív törtekkel és negatív tizedestörtekkel. Véges és végtelen szakaszos tizedes törtek.


1 (2) óra


Ének-zene: a hangjegyek értékének és a törtszámoknak a kapcsolata.

Tankönyv

Tört, számláló, nevező, közös nevező, reciprok, tizedestört, közönséges tört, véges és végtelen szakaszos tizedestört, racionális szám, egyszerűsítés, bővítés.

25

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Megjegyzés Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

2.4. Oszthatóság

A „spirális” építkezés elve alapján 7. osztályban magasabb szinten visszatérünk ennek az anyagrésznek a tárgyalására. Osztás, osztó, maradékos osztás. Az osztó, többszörös fogalmának elmélyítése. Számolási készség fejlesztése.



Osztó, többszörös. Osztók meghatározása, osztópárok, valódi osztók. Osztók, többszörösök halmaza – halmazábra készítése. Táblázat, grafikon az osztók számáról. Prímszám, összetett szám.. A prímtényezős felbontás lehetőségének felfedeztetése. Matematikatörténet: Eratoszthenész szitája. Oszthatósági szabályok. 2-vel, 4-gyel, 8-cal, 5-tel, 25-tel, 125-tel, 10-zel, 100-zal való oszthatóság eldöntése a szám végződése alapján. 3-mal, 9-cel való oszthatóság eldöntése a számjegyek összege alapján. Közös osztók. Közös többszörösök. Közös osztók, közös többszörösök meghatározása konkrét számok esetén. A tanult ismeretek alkalmazása törtek egyszerűsítésére, bővítésére. Kulcsfogalmak/fogalmak


Természetismeret: ciklusok a természetben.

Tankönyv 6. tankönyv 30., 33–38. oldal.

5 (6) óra + [2 óra]

6. tankönyv 31–32., például 58. oldal.

2 (3) óra

Osztó, többszörös, osztható. prímszám, összetett szám. Közös osztó, közös többszörös.

26

Órakeret



2.5. Arányos következtetések, százalékszámítás, egyenletek, egyenlőtlenségek


Egyszerű szöveges feladatok megoldása: a szöveg értelmezése, adatok kigyűjtése, megoldási terv készítése, becslés, ellenőrzés, az eredmény realitásának vizsgálata. Jelek, szimbólumok használata összefüggések leírására, az ismeretlen szimbólum kiszámítása. Arányos osztás. Arányos következtetések. Egyenes és fordított arányosság felismerése. Törtrész, százalékérték meghatározása. Betűk használata összefüggések leírására. Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása: próbálgatás, következtetés, lebontogatás, mérlegelv - ismerkedés a megoldási módszerekkel. Szövegértés fejlesztése – szöveges feladatok megoldása.



Két szám aránya. Az arány fogalma – mindennapi életből vett példákon keresztül. Arányos osztás. Szöveges feladatok mennyiségek adott arányban való felosztására. Egyenes arányosság. Fordított arányosság.

Tankönyv

Technika, életvitel és gyakorlat: vásárlás, takarékosság.

Táblázatok, grafikonok elemzése arányosság szempontjából.. A mindennapi életben felmerülő, egyszerű arányossági feladatok megoldása következtetéssel. Törtrész, egészrész. A törtrész kiszámítása következtetéssel és törtek használatával. Az egészrész meghatározása. Százalékszámítás: Százalékérték, százalékalap, százalékláb. Százalékszámítás arányos következtetéssel.

Például 6. tankönyv: 21., 68., 71., 127–129. oldal, továbbá a függvéHon- és népismeret; természetisnyek témakörben: meret: Magyarország térképéről 129–139.; 153–154. méretarányos távolságok meghatá- oldal. rozása. A saját település, szűkebb lakókörnyezet térképének használata.. Technika, életvitel és gyakorlat: áremelkedés, árengedmény, családi gazdálkodás, takarékosság.

27


Órakeret 3 (4) óra + folyamatos az adott témakör órakeretébe beszámítva.

5 (6) óra + [2 óra]



Egyenlet, azonosság, egyenlőtlenség, azonos egyenlőtlenség. Alaphalmaz, megoldás (gyök), megoldáshalmaz, ellenőrzés. Mérlegelv. Az összefüggések megértése. Alaphalmaz felismerése. Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása próbálgatással, lebontogatással, következtetéssel, mérlegelvvel. A megoldás ábrázolása számegyenesen. Szövegértés, a nyelv logikai elemeinek helyes használata. A kapott eredmény értékelése, ellenőrzése. Szöveges feladatok. Adatok meghatározása, terv készítése, becslés, egyenlet, megoldás, válasz, ellenőrzés. Az ismeretlen mennyiség jelölésére kezdetben jelet, majd betűt használhatunk. A megoldást segítése ábrával. Önellenőrzés igénye és képessége. Matematikatörténet: Pólya György. Kulcsfogalmak/fogalmak

Magyar nyelv és irodalom: olvasási és megértési stratégiák kialakítása (szövegben megfogalmazott helyzet, történés megfigyelése, értelmezése, lényeges és lényegtelen információk szétválasztása).

Tankönyv

Órakeret


7 (10) óra

A matematika minden témakörében. Például: 6. tankönyv 15–17., 21., 37., 84., 86., 128., 133–134., 137–139., 142., 154., 159., 192., 208–211. oldal.

Folyamatos

Arány, arányos osztás, egyenes arányosság, fordított arányosság, törtrész, százalék: százalékérték, százalékalap, százalékláb. Egyenlet, azonosság, egyenlőtlenség, alaphalmaz, megoldás, igazsághalmaz (megoldáshalmaz), mérlegelv.

28


Előzetes tudás


3. Sorozatok, függvények

Órakeret 5 (7) óra

Szabályfelismerés, szabálykövetés. Összefüggések keresése. Összetartozó számpárok ábrázolása Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben. Egyszerű grafikonok értelmezése, megrajzolása. A szabály megfogalmazása egyszerű formában. A hiányzó tagok pótlása adott vagy felismert szabály alapján. Tapasztalati adatok lejegyzése, táblázatba rendezése, táblázatban adott adatok értelmezése. Arányossági következtetések. Egyenes arányosság. Sorozat megadása szabállyal. A koordináta-rendszer biztonságos használata. Függvényszemlélet előkészítése. Probléma felismerése. Összefüggés-felismerő képesség fejlesztése. Szabálykövetés, szabályfelismerés képességének fejlesztése.


Tankönyv

Órakeret

Példák konkrét sorozatokra. Sorozatok folytatása adott szabály szerint. Szabálykövetés, szabályfelismerés.

6. tankönyv 19., 37., 52., 68., 76., 86. oldal.

Folyamatos

A Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer, grafikonok. Összetartozó adatok táblázatba rendezése. Táblázat hiányzó elemeinek pótlása ismert vagy felismert szabály alapján, ábrázolásuk grafikonon. Egyszerű grafikonok értelmezése. Egyszerű kapcsolatok ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben. Az egyenes arányosság függvény grafikonja (előkészítő jelleggel).

6. tankönyv 125–126., 137., 139., 158–159. oldal.

2 (3) óra + folyamatos, minden témakörben

Az egyenes arányosság függvény, fordított arányosság függvény vizsgálata, grafikonja. Gyakorlati példák elsőfokú függvényekre.

6. tankönyv 129–134., 134–139. oldal.

3 (4) óra + [1 óra]



Sorozat, egyenes arányosság, fordított arányosság, grafikon.

29

4. Geometria 4.1. Geometriai alapfogalmak


Órakeret: 24 (32) óra Órakeret: 12 (16) óra

4.3. Adott tulajdonságú ponthalmazok Előzetes tudás


Pont, egyenes, görbe vonalak szemléletes fogalma. Párhuzamos és metsző egyenesek. Háromszög, négyzet, téglalap, sokszög felismerése, jellemzőik, előállításuk másolással, hajtogatással, nyírással, derékszögű vonalzó segítségével. Körvonal és körlap. Kocka, téglatest, gömb felismerése a mindennapi életben. Térelemek fogalmának elmélyítése – környezetünk tárgyainak vizsgálata. Távolság szemléletes fogalma, meghatározása. Körző, vonalzó, szögmérő használata, szerkesztés. Esztétikai érzék fejlesztése. Sokszögek belső és külső szögeinek mérése, szögek összegének meghatározása. Kör vizsgálata



A tér elemei: pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, test (él, csúcs, lap), felület. Test, csúcs, él, lap. Testek szemléltetése. Merőleges egyenesek. Párhuzamos egyenesek. Eszközeink használata. Körző, vonalzók helyes használata, két vonalzóval párhuzamosok, merőlegesek rajzolása, alapszerkesztések. A környezetünkben lévő tárgyakon ismerjük fel a vizsgált geometriai fogalmakat. Alakzatok kölcsönös helyzetének vizsgálata. Párhuzamosság, merőlegesség. Ponthalmazok távolsága. Két pont, pont és egyenes, távolsága. Két egyenes távolsága. Kitérő egyenesek. Matematikatörténet: Eukleidész, Bolyai Farkas és Bolyai János.

30

Technika, életvitel és gyakorlat: vízszintező, mérőón.

Tankönyv 6. tankönyv 89–97. oldal.

Órakeret 2 (3) óra + folyamatos



Adott feltételeknek megfelelő ponthalmazok: körvonal, körlap. Sugár, átmérő, húr, szelő, érintő. Körív, körcikk, körszelet. A fogalmak felismerése környezetünk tárgyain. Díszítőminták szerkesztése körzővel.

Hon- és népismeret: népművészeti motívumok.

Tankönyv

Órakeret


1 (1) óra

Két ponttól egyenlő távolságra levő pontok. Szakaszfelező merőleges. Adott egyenesre merőleges szerkesztése. Adott egyenessel párhuzamos egyenes szerkesztése. Téglalap, négyzet szerkesztése. A szerkesztési feladatok megoldásának a lépései (Pólya nyomán).


2 (2) óra

A szög. A szög jelölése, betűzése, görög betűk. Szögek fajtái. Nullszög, hegyesszög, derékszög, tompaszög, egyenesszög, homorúszög, teljesszög. Szögmérés szögmérővel; fok, szögperc, szögmásodperc. Szögmásolás, szögfelezés. Nevezetes szögek szerkesztése. (Például: 60°, 30°, 90°, 45°, 120°.)

6. tankönyv 104–107., 114. oldal.

2 (3) óra

A sokszög szemléletes fogalma. Tulajdonságaik vizsgálata: átlók száma (általános összefüggés megkeresése), konvexitás.


1 (2) óra

Háromszögek: csúcs, belső szög, külső szög. A belső szögek összegének, a külső szög és a belső szögek közti kapcsolatnak megsejtése, parkettázással, hajtogatással, szögmásolással, méréssel. Háromszögek szögeinek meghatározása méréssel. Hegyesszögű, derékszögű, tompaszögű háromszög. Egyenlőszárú háromszög, egyenlő oldalú háromszög. Háromszögek szerkesztése. Háromszög-egyenlőtlenség.

6. tankönyv 111–114., 119., 121–123. oldal.

2 (3) óra

31



Speciális négyszögek ismerete: négyzet, téglalap, trapéz, húrtrapéz, paralelogramma, rombusz, deltoid. Az alakzatok előállítása hajtogatással, nyírással, rajzzal, tulajdonságaiknak kiemelése, összehasonlítás, azonosítás, megkülönböztetés, osztályokba sorolás különféle tulajdonságok szerint. A négyszög (sokszög) belső és külső szögeinek összege. Speciális négyszögek szerkesztése.

Lásd még a tengelyesen szimmetrikus négyszögeket.



Tankönyv 6. tankönyv 115–117., 121., 123. oldal.


Pont, egyenes, szakasz, félegyenes, sík. Egyenesek kölcsönös helyzete (metsző, merőleges, párhuzamos, kitérő); sík és egyenes, két sík kölcsönös helyzete. Távolság, szakaszfelező merőleges, szögfelező. Síkidom, sokszög. Háromszög, hegyesszögű, tompaszögű, derékszögű háromszög; egyenlő szárú, egyenlő oldalú háromszög. Négyszög, téglalap, négyzet, trapéz, paralelogramma, rombusz. Kör (körvonal, körlap, körív, körcikk, körszelet), átmérő, sugár, érintő. Szögtartomány, szögfajták (nullszög, hegyesszög, derékszög, tompaszög, egyenesszög, homorúszög, tompaszög). Kerület, terület, a terület mértékegységei. Test, csúcs, él, lap. Gömb. Téglatest, kocka felszíne, hálója, térfogata.

4.4. Tengelyes tükrözés


Tükrös alakzatok és tengelyes szimmetria előállítása hajtogatással, nyírással, rajzzal, színezéssel. Szimmetria felismerése a természetben, építészetben, művészetben. A tengelyes tükrözés végrehajtása. Szerkesztés. Alakzatok csoportosítása tengelyes szimmetria szempontjából.

32



A síktükör képalkotása. A tengelyes tükrözés. Szimmetrikus ábrák, alakzatok készítése. A tükörkép szerkesztése. Tükrözés körzővel, vonalzóval. Tükrözés koordináta-rendszerben. A tengelyes tükrözés tulajdonságai. Pont, egyenes, szög, háromszög, kör képe, irányításváltás.

Vizuális kultúra: szimmetria a természetben, képzőművészetben, építészetben.

Tankönyv

Órakeret

6. tankönyv 161–169., 114. oldal.

3 (4) óra

Tengelyesen szimmetrikus alakzatok felismerése, tulajdonságainak megfogalmazása a szemlélet alapján. Kör. Egyenlő szárú és egyenlő oldalú háromszögek, tulajdonságai. Szerkesztési feladatok az egyenlőszárú háromszög tulajdonságai alapján. Tengelyesen szimmetrikus négyszögek: deltoid, rombusz, húrtrapéz, téglalap, négyzet. A kapcsolatok szemléltetése halmazábrával. Szabályos sokszögek.

6. tankönyv 170–173., 174–178., 179–180., 181–182., 183–194. oldal.

8 (10) óra

Derékszögű háromszög és tengelyesen szimmetrikus háromszögek, négyszögek területe. A terület meghatározása átdarabolással.


1 (2) óra


Természetismeret: a síktükör.

Tengelyes tükrözés, szimmetria, egyenlő szárú háromszög, egyenlő oldalú háromszög, deltoid, rombusz, húrtrapéz.

33




Adatgyűjtés, adatok lejegyzése, oszlopdiagram leolvasása. Valószínűségi játékok, kísérletek, megfigyelések. „Biztos”, „lehetetlen”, „lehetséges, de nem biztos”. A statisztika szerepének felismerése. Megfigyelőképesség, az összefüggés-felismerő képesség, elemzőképesség fejlesztése.



Tankönyv

Órakeret

Valószínűségi játékok és kísérletek dobókockák, pénzérmék segítségével. Biztos esemény, lehetetlen esemény. Esélyek mérlegelése. Adatok tervszerű gyűjtése.


1 (2) óra

Adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. Egyszerű diagramok (oszlopdiagramok, vonaldiagramok, kördiagramok), értelmezése, készítése. Táblázatok olvasása, készítése.

6. tankönyv 26.. 125., 143., 158., 225–230. oldal.

1 (2) óra + Folyamatos


Adat, grafikon, átlag, biztos esemény, lehetetlen esemény.


A fejlesztés elvárt eredményei a 6. évfolyam végén

     

Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének, uniójának felírása, ábrázolása. Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése, az összes lehetséges sorrend felírása. Állítások igazságának eldöntésére, igaz és hamis állítások megfogalmazása. A nyelv logikai elemeinek és az összehasonlításhoz szükséges kifejezéseknek a helyes használata.

34

Számtan, algebra    

  A fejlesztés elvárt eredményei a 6. évfolyam végén

  



A tízes számrendszer fogalma, a tízes számrendszer helyiértékeinek ismerete. Számok osztóinak, többszöröseinek felírása. Közös osztók, közös többszörösök megkeresése. Oszthatósági szabályok (2, 3, 5, 9, 10, [4, 25] 100) ismerete, alkalmazása. Egész számok fogalmának ismerete, ellentett, abszolútérték meghatározása. Egész számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása. Az egész számokkal végzett műveletek szabályainak alkalmazása. Törtek, tizedestörtek értelmezése, írása, olvasása, egyszerűsítése, bővítése, összehasonlításuk. Tizedestörtek kerekítése. Törtek, tizedestörtek összeadása, kivonása, szorzása, osztása. A racionális szám fogalma. Műveletek a racionális számok körében (negatív törtekkel, tizedestörtekkel is). Két-három műveletet tartalmazó műveletsor eredményének kiszámítása, a műveleti sorrendre vonatkozó szabályok ismerete, alkalmazása. Zárójelek alkalmazása. Két szám aránya. A mindennapi életben felmerülő egyszerű arányossági feladatok megoldása következtetéssel, az egyenes arányosság [és a fordított arányosság] értése, használata. A százalék fogalmának ismerete, a százalékérték kiszámítása. Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása szabadon választott módszerrel. Egyszerű szöveges feladatok megoldása következtetéssel, egyenlet felírásával. Szövegértelmezés, adatok kigyűjtése, terv (szimbólumok, betűkifejezések segítségével összefüggések felírása a szöveges feladatok adatai között), becslés, számítás; ellenőrzés segítségével a kapott eredmények helyességének megítélése. A hosszúság, terület, térfogat, űrtartalom, idő, tömeg szabványmértékegységeinek ismerete. Mértékegységek egyszerűbb átváltásai gyakorlati feladatokban. Algebrai kifejezések gyakorlati használata a terület, kerület, felszín és térfogat számítása során.

Összefüggések, függvények, sorozatok    

Tájékozódás a koordinátarendszerben: pont ábrázolása, adott pont koordinátáinak leolvasása. Egyszerűbb grafikonok, elemzése, oszlopdiagramok, vonaldiagramok értelmezése, megrajzolása. Táblázatok értelmezése, készítése. Az egyenes arányosság mint függvény. Az egyenes arányosság grafikonjának értelmezése. Néhány tagjával elkezdett sorozathoz szabály(ok) keresése, megfogalmazása. Egyszerű sorozatok folytatása adott, illetve felismert szabály alapján.

35

Geometria        A fejlesztés elvárt eredményei a 6. évfolyam végén

     

Térelemek felismerése, a szaknyelv és az anyanyelv helyes használata. Párhuzamos, metsző, kitérő, merőleges egyenesek fogalmának ismerete. Párhuzamos és merőleges egyenesek rajzolása egyélű és derékszögű vonalzó segítségével. Alapszerkesztések végrehajtása; pont és egyenes távolsága, két párhuzamos egyenes távolsága, szakaszfelező merőleges, szögfelező, szögmásolás, merőleges és párhuzamos egyenesek. Téglalap szerkesztése. Adott tulajdonságú ponthalmazok felismerése. A körrel kapcsolatos fogalmak, elnevezések ismerete. A szögtartomány fogalma, a szögek nagyságának megmérése, a mértékegységek ismerete. Adott nagyságú szög megrajzolása szögmérő segítségével. A szögfajták ismerete. Speciális szögek szerkesztése. Alakzatok tengelyese tükörképének szerkesztése, a tengelyes szimmetria felismerése. A sokszög szemléletes fogalma. Sokszögek tulajdonságainak vizsgálata a geometriai ismeretek alkalmazásával (átlók száma, konvex és konkáv sokszögek megkülönböztetése, tengelyes szimmetria stb.). A sokszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Konkrét sokszögek kerületének kiszámítása. A háromszögek osztályozása szögeik szerint. A háromszög-egyenlőtlenség felismerése. Tengelyesen szimmetrikus háromszög szerkesztése, tulajdonságainak felismerése, területének kiszámítása (átdarabolás, kiegészítés). A négyszög, a speciális négyszögek fogalmának ismerete, tulajdonságaik vizsgálata, Tengelyesen szimmetrikus négyszögek tulajdonságainak felismerése adott ábrák segítségével. A négyszög kerületének kiszámítása. A téglalap (négyzet) területe, a korábban tanultak alkalmazása geometriai problémák és gyakorlati jellegű feladatok megoldásában. A téglatest, kocka ismerete, az elnevezések (csúcs, él, lap) helyes használata, tulajdonságaik vizsgálata. A téglatest térfogata, a térfogat szabványos mértékegységei. A térfogat és az űrtartalom mértékegységei közti kapcsolat ismerete. A korábban tanultak alkalmazása gyakorlati jellegű feladatokban. Testek ábrázolása, az ábrák helyes értelmezése. Testek építése.

Valószínűség, statisztika   

Egyszerű oszlopdiagramok, vonaldiagramok kördiagramok értelmezése, készítése, táblázatok olvasása. Néhány szám számtani közepének kiszámítása. Valószínűségi játékok, kísérletek során adatok tervszerű gyűjtése, rögzítése, rendezése, ábrázolása.

36

Nyolcosztályos gimnáziumok 7–8. évfolyam A nyolcosztályos gimnázium második szakaszában is a matematikai problémák megközelítése során a konkrét tapasztalatszerzésből indulunk ki. Ugyanakkor a gyerekek fokozatosan képessé válnak elvonatkoztatásra, absztrakcióra. Erre alapozva bátrabban fogalmazhatunk meg definíciókat, már hangsúlyt helyezhetünk arra, hogy a megsejtett összefüggések bizonyításának igénye is kialakuljon. Tizenhárom éves kortól a tanulók mindinkább általánosító elképzelésekben, elvont konstrukciókban gondolkoznak. Elméleteket gyártanak, összefüggéseket keresnek, próbálják értelmezni a világot. Az iskolai tanítás csak akkor lehet eredményes, ha alkalmazkodik ezekhez a változásokhoz, illetve igyekszik azokat felhasználva fejleszteni a tanulókat. A matematika kiválóan alkalmas arra, hogy a rendszerező képességet és hajlamot fejlessze. Ebben a két évfolyamában mind inkább szükséges matematikai szövegeket értelmezni és alkotni. Segítsük, hogy a tanulók a problémamegoldásaik részeként többféle forrásból legyenek képesek ismereteket szerezni. Ebben a korban a tanításban már meg kell jelennie az elvonatkoztatás és az absztrakciós készség felhasználásának, fejlesztésének. A matematika tanításában itt jelenik meg a konkrét számok betűkkel való helyettesítése, a tapasztalatok általános megfogalmazása. Algebrai kifejezéseket használunk, egyenleteket oldunk meg. A változó mennyiségek közötti kapcsolatok vizsgálata a függvényfogalomhoz vezet el, grafikonokat rajzolunk. Ezekben az évfolyamokban már komoly hangsúlyt kell helyeznünk arra, hogy a megsejtett összefüggések bizonyításának igénye is kialakuljon. A definíciókat és a tételeket mind inkább meg kell tudni különböztetni, azokat helyesen kimondani, problémamegoldásban mind többször alkalmazni. A mindennapi élet és a matematika (korosztálynak megfelelő) állításainak igaz vagy hamis voltát el kell tudni dönteni. A feladatok megoldása során fokozatosan kialakul az adatok, feltételek adott feladat megoldásához való szükségessége és elégségessége eldöntésének képessége. A tanítás része, hogy a feladatmegoldás előtt mind gyakrabban tervek, vázlatotok készüljenek, majd ezek közül válasszuk ki a legjobbat. Esetenként járjunk be több utat a megoldás során, és ennek alapján gondoljuk végig, hogy létezik-e legjobb út, vagy ennek eldöntése csak bizonyos szempontok rögzítése esetén lehetséges. A feladatmegoldások során lehetőséget kell teremteni arra, hogy esetenként a terveket és a munka szervezését a feladatmegoldás közben a tapasztalatoknak megfelelően módosítani lehessen. Egyes feladatok esetén szükséges általánosabb eljárási módokat, algoritmusokat keresni. Kis abszolút értékű egész és tört számok esetében számoljunk fejben is. A zsebszámológép használata akkor jelenjen meg, amikor a tanulók már jól számolnak fejben és írásban. A geometriai transzformációk vizsgálata a természetben, építészetben megtalálható szimmetriát magyarázza. A geometriai szerkesztések megértését számítógépes szoftver használatával tehetjük érdekesebbé, érthetőbbé. Testek felszínét, térfogatát meghatározzuk, ezzel javítjuk, fejlesztjük a gyerekek térszemléletét. Változatos módszerekkel oldunk meg kombinatorikai feladatokat. Statisztikai adatokat vizsgálunk, egyszerű valószínűségi kísérleteket végzünk. Az esetek szisztematikus összeszámolása tervszerűségre nevelés, egyben erősíti a rendszerező képességet. Figyelhetünk a célszerű stratégia kiválasztására. A sejtések, hibák megbeszélése az érvelés kultúráját alakítja. A matematika egyes területei más-más módon adnak lehetőséget ebben az életkorban az egyes kompetenciák fejlesztésére. A különböző matematikatanítási módszerek minden tananyagrészben segíthetik a megfelelő önismeret, a helyes énkép kialakítását.

37

A tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességek hozzásegítenek az egyetemes kultúra, a magyar tudománytörténet megismeréséhez. A gyakorlati élethez kapcsolódó szöveges feladatok segítik a gazdasági nevelést, a környezettudatos életvitelt, az egészséges életmód kialakítását. A definíciók megtanulása fejleszti a memóriát, a szaknyelv precíz használatára ösztönöz. A geometriai ismeretek elsajátítása közben a tanulók térszemlélete fejlődik, megtanulják az esztétikus, pontos munkavégzést. A halmazszemlélet alakítása és fejlesztése a rendszerező képességet erősíti. Az érdeklődés specializálódása természetes dolog. Akinél ez a reál tárgyak felé fordul, ott igényes feladatanyaggal, kiegészítő ismeretekkel kell elérni, hogy az ilyen irányú továbbtanuláshoz szükséges alapok kialakuljanak, az érdeklődés fennmaradjon. Akinél a matematika, illetve a reál tárgyak iránti érdeklődés csökken, ott egyrészt sok érdeklődést felkeltő elemmel: matematikatörténeti vonatkozással, játékokkal, érdekes feladatokkal lehet ezt az érdeklődést visszaszerezni, másrész célszerű sok olyan feladatot beiktatni, amelyek jól mutatják, hogy az életben sokszor előnybe kerülhetnek, jobb döntést hozhatnak azok, akik jól tudják a matematikát. A kerettanterv a 7. és 8. évfolyamon minimálisan heti 3, évi 108 matematikaórát ír elő. Az általános rendelkezés szerint a kerettantervek által előírt tartalmak a tantárgyak számára rendelkezésre álló időkeret mintegy 90%-át fedik le, beleértve a számonkérésre és ismétlésre biztosított óraszámot is. Tehát 7–8. évfolyamon, heti 3 óra mellett a tematikus egységekre javasolt óraszámok összege – a számonkérésre és ismétlésre biztosított 12 órával együtt – 97 óra, így a tematikus egységek feldolgozására javasolt óraszámok összege 85 óra, a szabadon felhasználható időkeret 11 óra lehet. A tantárgy óraszámán belül jelentkező szabad időkeretet a pedagógus, a helyi igényeknek megfelelően, kerettanterven kívüli tantárgyi tartalommal töltheti meg (lásd a „kiegészítő tananyagot”) vagy gyakorlásra, a tanultak elmélyítésére, a kapcsolódási lehetőségek kiaknázására stb. fordíthatja. Megjegyzések: (1) A kerettanterv a Gondolkodási módszerek … tematikus egységhez is órakeretet ír elő. Az itt rögzített óraszámok csak a halmazelméleti és kombinatorikai ismeretek összefoglalására szánt óraszámot tartalmazzák. (2) Az évfolyamokra bontás egyértelműségét több esetben csak úgy érhettük el, hogy a kerettantervben leírtaknál részletesebben (de nem kibővítve) fogalmaztuk meg az egyes témakörökhöz tartozó ismereteket, fejlesztési feladatokat, követelményeket.

38

7. évfolyam 7. évfolyamon heti 3 órával számoltunk, de kerek zárójelben beírtuk a heti 4 órával számított órakeretet is. Szögletes zárójelbe írt óraszám jelzi a szabad órakeret felhasználására vonatkozó javaslatainkat. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok utolsó oszlopa tartalmazza. A tematikus egységeket a Műszaki Kiadó kiadásában megjelent, Hajdu Sándor: Matematika 7. Gondolkodni jó! tankönyv megfelelő fejezeteivel konkretizáljuk (lásd a táblázatok harmadik oszlopát). Tematikai egység/ Fejlesztési cél

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok

Órakeret: folyamatos

Előzetes tudás

Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján. A részhalmaz fogalma. Két véges halmaz közös része, egyesítése. Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban. Állítások igazságának eldöntése. Igaz és hamis állítások megfogalmazása. Összehasonlításhoz szükséges kifejezések értelmezése, használata. Definíció megértése és alkalmazása. Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése különféle módszerekkel.


Az önálló gondolkodás igényének kialakítása. Halmazok eszköz jellegű használata, halmazszemlélet fejlesztése. A hétköznapi beszédben használt logikai elemek felismerése, helyes használata. Szóbeli és írásbeli kifejezőkészség fejlesztése, a matematikai szaknyelv pontos használata. Szövegértés, gondolataink lefordítása a matematika nyelvére. Saját gondolatok megértetésére való törekvés (szóbeli érvelés, szemléletes indoklás). Rendszerszemlélet, kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. Fogalmak egymáshoz való viszonyának, összefüggéseknek a megértése. A rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok használatának fejlesztése. A bizonyítás, az érvelés iránti igény felkeltése, a kulturált vitatkozás gyakoroltatása.



A halmazokról korábban tanultak eszköz jellegű alkalmazása a matematika különböző témaköreiben. Két véges halmaz uniója, különbsége, metszete. Részhalmaz elemeinek kiválasztása. Csoportosítás, válogatás különböző szempontok szerint. Számhalmazok és ponthalmazok használata, a halmazműveletek alkalmazása.

Informatika: információgyűjtés.

39

Tankönyv

Órakeret

Például: 7. tankönyv 21., 29–30., 67., 70–71., 131., 155., 190–191., 208., 211., 217., 233., 241. oldal.

Folyamatos



Logikai állítások és azok tagadása. Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor”, „nem”, „van olyan”, „minden” („bármely”), „legalább”, legfeljebb” kifejezések használata. Egyszerű („minden”, „van olyan” típusú) állítások igazolása, cáfolata konkrét példák kapcsán. Definíció, tétel kimondása. Matematikai bizonyítások. A bizonyítás igénye és módszerei a matematikában. A lényeges és lényegtelen megkülönböztetése. Kulturált érvelés a csoportmunkában. A gondolatok pontos szóbeli és írásbeli megfogalmazása.

Magyar nyelv és irodalom: kommunikációs helyzetek; szövegalkotás.

A gyakorlati élethez és a társtudományokhoz kapcsolódó szöveges feladatok megoldása. Matematikai játékok, játékos feladatok. Szövegelemzés, értelmezés, lefordítás a matematika nyelvére. Ellenőrzés, önellenőrzés iránti igény erősödése. Igényes grafikus és verbális kommunikáció. A lényeges és lényegtelen megkülönböztetése.


Kombinatorikus módszerek eszközszerű alkalmazása (fadiagram, táblázatok készítése). Sorbarendezési feladatok. Kiválasztási feladatok. Szemléltetés gráfokkal. A korábban megismert módszerek, stratégiák alkalmazása: szisztematikus próbálkozás, esetek rendszerezése gráffal is. Hatványok használata az eredmény leírására. Kulcsfogalmak/fogalmak

Tankönyv Folyamatos, például: 7. tankönyv 12., 61., 67., 103., 114–115., 131., 191., 208., 210–211., 217., 224., 241., 245. 29–30., 192–195.,

Órakeret Folyamatos

222–224., 234–235., 248–249. oldal-

Például 7. tankönyv 31.,

Folyamatos

45–49., 53–55., 61., 67., 71 – 72.,76., 91., 94–95., 145., 147., 171–176., 230., 231., 237., 252., 256., 258. oldal. Például 7. tankönyv 28., 61., 63., 64., 66., 69., 72., 109. oldal.

Folyamatos

Halmaz, elem, részhalmaz, egyesítés, metszet. Alaphalmaz. Igaz, hamis, nem, és, vagy, minden, van olyan, biztos, lehetséges, lehetetlen. A nyelv logikai elemei (nem, és, vagy, ha …, akkor …, mindig, van olyan, legalább, legfeljebb).

40


2. Számelmélet, algebra


2.1. Racionális számok


Előzetes tudás

Racionális számkör (természetes számok, egész számok, racionális számok). Számok írása, olvasása, összehasonlítása, ábrázolása számegyenesen. Műveletek racionális számokkal. Ellentett, abszolút érték, reciprok. Alapműveletek racionális számokkal írásban. A zárójelek, a műveleti sorrend biztos alkalmazása. Helyes és értelmes kerekítés, az eredmények becslése, a becslés használata ellenőrzésre is. A százalékszámítás alapjai. A mindennapi életben felmerülő egyszerű arányossági feladatok megoldása következtetéssel arányosság. Szöveges feladatok megoldása. Mérés, mértékegységek használata, átváltás egyszerű esetekben.


Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. A mennyiségi jellemzők kifejezése számokkal, a számok értelmezése a valóság mennyiségeivel. A matematikai ismeretek és a mindennapi élet történései közötti kapcsolat tudatosítása. Szavakban megfogalmazott helyzethez, történéshez matematikai modellek választása, keresése, készítése, értelmezése adott szituációkhoz. Konkrét matematikai modellek értelmezése a modellnek megfelelő szöveges feladat alkotásával. A számfogalom elmélyítése: a számegyenes – a valós számok. A szabványos mértékegységekhez tartozó mennyiségek és többszöröseik, törtrészeik képzeletben való felidézése. Az együttműködéshez szükséges képességek fejlesztése páros és kiscsoportos tevékenykedtetés, feladatmegoldás során – a munka tervezése, szervezése, megosztása. Az ellenőrzés, önellenőrzés iránti igény, az eredményért való felelősségvállalás erősítése.



A racionális szám fogalmának elmélyítése. A természetes, egész és racionális számok halmazának kapcsolata. A racionális számok tizedestört alakja (véges, végtelen tizedestörtek), példák nem racionális számra (végtelen, nem szakaszos tizedes törtek).

41

Tankönyv

Órakeret


2 (2) óra



Tankönyv

Órakeret

Műveletek racionális számkörben írásban és számológéppel. Az eredmény helyes és értelmes kerekítése. Eredmények becslése, ellenőrzése. A zárójel és a műveleti sorrend biztos alkalmazása a hatványozás figyelembevételével A negatív szám és a racionális szám Összevonás gyakorlása a racionális számok halmazában. Szorzás és osztás gyakorlása a racionális számok halmazában. A zárójelek használata, műveletek sorrendje. Műveletek tulajdonságainak felismerése és alkalmazása.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz: számításos feladatok.


5 (8) óra

Hatványozás. A hatvány jelölése: alap, kitevő, hatványérték. Hatványozás azonosságai. Számolás 2, 3, 5, 10 hatványaival – a hatványozás azonosságainak „felfedezése”. Azonos alapú hatványok szorzata, hányadosa. Szorzat, hányados hatványozása. Hatvány hatványozása. A 0 kitevőjű hatvány. 10 természetes szám kitevőjű hatványai. 1-nél nagyobb számok normálalakja. Kerekítés, pontosság. A mennyiségek nagyságrendjének becslése.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz: a tér, az anyagmennyiség, az idő mértéke normálalakban. Az SI előtagok.


4 (5) óra

Arány, arányos osztás. (Az egyenes arányosságot és a fordított arányosságot lásd a függvények témakörben.). Mértékegységek átváltása.

Földrajz: Térképek értelmezése.


1 (1) óra

Az alap, a százalékérték és a százalékláb fogalmának ismerete, értelmezése, kiszámításuk következtetéssel, a megfelelő összefüggések alkalmazásával. A mindennapjainkhoz köthető százalékszámítási feladatok. Feladatok az árképzés: árleszállítás, áremelés, áfa, betétkamat, kamatos kamat, hitelkamat, bruttó bér, nettó bér stb..

Fizika; kémia: számítási feladatok. 7. tankönyv 50–55. oldal. Technika, életvitel és gyakorlat: pénzügyi ismeretek.

3 (5) óra


Informatika: A bájt többszöröseinek (kilobájt, megabájt, gigabájt, terabájt) értelmezése 2 hatványai segítségével.

Racionális szám, hatványalap, kitevő, normálalak, négyzetgyök, valós szám, arány, százalék (alap, a százalékérték és a százalékláb), kamat, kamatos kamat..

42


2.2. Oszthatóság

Osztó, többszörös felismerése, meghatározása. Oszthatósági szabályok. Prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás. Közös osztók, közös többszörösök felismerése, alkalmazásuk törtekkel végzett műveletekben. Periodikus jelenségek megfigyelése. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös magadása hatványok segítségével. Alkalmazásuk törtek egyszerűsítésében, közös nevezőre hozásában.



Osztó, többszörös. Oszthatósági szabályok. Számolás a maradékokkal. Összetett oszthatósági szabályok: pl. 6-tal, 12-vel. Prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás. A prímtényezős felbontást hatványok segítségével adjuk meg. Számelméleti alapú játékok. Matematikatörténet: Eukleidész, Eratoszthenész, Püthagorasz. Érdekességek a prímszámok köréből (végtelen sok prímszám van, ikerprímsejtés, barátságos számok fogalma és története). Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, relatív prímek. A legnagyobb közös osztó, a legkisebb közös többszörös meghatározása. Felhasználás törtek egyszerűsítése, közös nevezőre hozása során. Kulcsfogalmak/fogalmak


Informatika: Matematikatörténeti érdekességek keresése az interneten.

Tankönyv

Órakeret

7. tankönyv 21–25., 31. oldal.

2 (3) óra

7. tankönyv 26–31., 36–37. oldal.

3 (4) óra [+ 2 óra]

Osztó, maradék, többszörös, prímszám, összetett szám, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, relatív prím.

43


2.3. Algebrai kifejezések

Jelek, szimbólumok és betűk használata a beszédben és a matematikai szövegekben található összefüggések leírására. Szövegértés fejlesztése, betűk, képletek használata. A műveleti tulajdonságok alkalmazása algebrai kifejezésekre.



Az algebrai egész kifejezés fogalma; változó, együttható. Egytagú, többtagú, egynemű , különnemű kifejezés fogalma. Helyettesítési érték kiszámítása. Algebrai egész- és törtkifejezések. Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel – példák a hétköznapi életből és a matematika területéről. Egyszerű szimbólumok megértése és alkalmazása a matematikában. Betűk használata szöveges feladatok általánosításánál. Képletek értelmezése.

Fizika: definíciók, kölcsönhatások, változások megfogalmazása képletek segítségével.

Egynemű kifejezések összevonása. Egytagú és többtagú algebrai egész kifejezések szorzása racionális számmal, egytagú egész kifejezéssel. Változók, együtthatók felismerése. Többtagú kifejezés szorzattá alakítása kiemeléssel, osztása egytagú kifejezéssel. Matematikatörténet: az algebra kezdetei, az arab matematika. Kutatómunka könyvtár, internet használattal.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan: Képletek átalakítása.





6 (7) óra + [2 óra]

Algebrai egész kifejezés, változó, együttható, helyettesítési érték, egynemű kifejezés, összevonás, zárójelfelbontás. Kiemelés. Egytagú, többtagú kifejezés.

44


2.4. Algebrai elsőfokú egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek


Előzetes tudás

Egyszerű egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. A megoldás ábrázolása számegyenesen. A módszerek alkalmazása egyszerű szöveges feladatokban.


A probléma megfogalmazása a matematika nyelvén. Az alaphalmaz megadása. Algebrai átalakítások használata a megoldás során. Ábra, rajz, táblázat alkalmazása az összefüggések szemléltetésére. Az ellenőrzés és becslés igénye önellenőrzés fejlesztése.



Tankönyv

Elsőfokú, illetve elsőfokúra visszavezethető egyismeretlenes egyenletek, elsőfokú egyismeretlenes egyenlőtlenségek algebrai megoldása. Mérlegelv alkalmazása. Alaphalmaz, megoldáshalmaz. Azonosság. Azonos egyenlőtlenség. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel, egyenlőtlenséggel. Számok, mennyiségek közötti összefüggések felírása egyenlettel, egyenlőtlenséggel. A megoldás folyamata: adatok lejegyzése, megoldási terv, becslés, ellenőrzés. Egyenletmegoldás grafikusan.

Magyar nyelv és irodalom: Szövegértés, a nyelv logikai elemeinek helyes használata. A kapott eredmény értékelése.


A matematikából és a mindennapi életből vett egyszerű szöveges feladatok megoldása a tanult matematikai módszerek használatával. Ellenőrzés. Egyszerű matematikai problémát tartalmazó hosszabb szövegek feldolgozása. Feladatok például a környezetvédelem, az egészséges életmód, a vásárlások, a család jövedelmének ésszerű felhasználása köréből.

Magyar nyelv és irodalom: gyakori szövegtípusok megértési stratégiái.

Például 7. tankönyv 24., 31., 35., 43., 45–49., 53–55., 63–64., 67., 72., 76., 81., 94–95., 109., 130., 145., 147., 150., 152., 171–176., 237., 252., 256., 258. oldal.


Folyóiratok. Internet.


Folyamatos

Egyenlet, változó, egyenlőtlenség, alaphalmaz, megoldáshalmaz, azonosság, mérlegelv, ellenőrzés.

45



3. Függvény, sorozat


Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint. Biztos tájékozódás a derékszögű koordináta-rendszerben. Egyszerű grafikonok értelmezése. Egyszerű kapcsolatok ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben. Egyenes arányos mennyiségek. Függvények megadása, jellemzése. Néhány függvénytípus megfigyelése, használata. Függvények ábrázolása értéktáblázat használatával. A mindennapi életből vett kapcsolatok leírása függvényekkel. Megoldás a matematikai modellen belül. Matematikai modellek ismerete, alkalmazásának módja, korlátai (sorozatok, függvények, függvényábrázolás).



Tankönyv

Órakeret

Két halmaz közötti hozzárendelések megjelenítése konkrét esetekben. Táblázat, grafikon használata. Példák egyértelmű, többértelmű hozzárendelésekre. Függvények értelmezése. Az alapfogalmak felismerése, alkalmazása gyakorlati problémákban. Függvényvizsgálat (értékkészlet, zérushely, monotonitás, szélsőérték). Időben lejátszódó valós folyamatok elemzése a grafikon alapján..

Fizika; biológia-egészségtan; kémia; földrajz: függvényekkel leírható folyamatok.


2 (2) óra

Az egyenes arányosság függvény grafikonja. Lineáris függvények. A lineáris függvény grafikonja. Lineáris függvények jellemzése konkrét példák alapján: növekedés, fogyás. Elsőfokú függvény, nulladfokú függvény. A lineáris függvény meredeksége. Modellek alkotása: lineáris kapcsolatok felfedeztetése. Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek grafikus megoldása.

Fizika; kémia: egyenesen arányos mennyiségek. út-idő; feszültségáramerősség.

7. tankönyv 78–90., 177–181. oldal.

5 (7) óra

46



A sorozat mint függvény. Egyszerű sorozatok vizsgálata.

Fordított arányosság: x 

;

(a  0; x  0)

Grafikonok olvasása, értelmezése, készítése: szöveggel vagy matematikai alakban megadott szabály grafikus megjelenítése értéktáblázat segítségével.



Előzetes tudás

Tankönyv

Órakeret

7. tankönyv 90–91. oldal, más témakörben például 64–65. oldal.


Fizika: Boyle–Mariotte-törvény; adott út esetén a sebesség és az út megtételhez szükséges idő kapcsolata


2 (3) óra

Földrajz: adatok hőmérsékletre, csapadék mennyiségére. Kémia: értékek a levegő és a víz szennyezettségére vonatkozóan.

7. tankönyv 98–100. oldal. Adatgyűjtés folyóiratok, internet segítségével.

0 (2) óra

Hozzárendelés, függvény, alaphalmaz, képhalmaz, független változó, függvényérték, értelmezési tartomány, értékkészlet. Egyenes arányosság. Lineáris függvény, elsőfokú függvény, nulladfokú függvény. Lineáris függvény grafikonja, meredekség, növekedés, fogyás. Sorozat. Fordított arányosság.

4. Geometria


4.1. Geometriai transzformációk


Egybevágó alakzatok. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok; háromszögek, négyszögek, szabályos sokszögek, kör. Egyszerű alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése. Szerkesztési eszközök használata. Szimmetrikus ábrák rajzolása, szerkesztése, szimmetrikus alakzatok építése. Koordináta-rendszer, pont ábrázolása, adott pont koordinátáinak a leolvasása.

47


Geometriai transzformációk megadása és elvégzése változatos szabállyal. A transzformációk tulajdonságainak felismerése. Az egybevágóság felismerése. A tengelyesen szimmetrikus alakzatok felismerése környezetünkben, esztétikai érzék fejlesztése.



Pont-pont függvények. Geometriai transzformáció. Az egybevágóság szemléletes fogalma. Az egybevágósági transzformációk fogalmának megalapozása játékos példák és ellenpéldák segítségével. Az egybevágóság jelölése. 

Vizuális kultúra: festmények, művészeti alkotások egybevágó geometriai alakzatai.


2 (3) óra

A vektor (irányított szakasz) szemléletes fogalma. Eltolás. A transzformáció tulajdonságainak „felfedezése”. Távolságtartás, szögtartás, alakzat és képének irányítása. Alakzatok eltolt képének megszerkesztése körzővel, vonalzóval.

Fizika: Elmozdulás.


3 (4) óra

Tengelyes tükrözés. Tengelyes szimmetria. A transzformáció tulajdonságainak felismerése. Irányításváltás. a tengelyes tükrözés nem síkmozgás. A tengelyes tükörkép megszerkesztése.

Fizika: Síktükör.


2 (2) óra

Középpontos tükrözés. A transzformáció tulajdonságai. Egyszerű alakzatok középpontos tükörképének megszerkesztése. Középpontosan szimmetrikus alakzatok a síkban.

Vizuális kultúra: művészeti alkotások megfigyelése a tanult transzformációk segítségével. Informatika: Művészeti alkotások keresése a világhálón


3 (4) óra

Például 7. tankönyv 194., 210., 214–216., 226–228.

Folyamatos

Tengelyes és középpontos szimmetria alkalmazása szerkesztésekben, bizonyításokban, fogalmak kialakításában, sokszögek csoportosításában. Szimmetrián alapuló játékok.

48

Tankönyv

Órakeret



Tankönyv

Órakeret

Kiegészítő tananyag. Ismerkedés a forgatással, forgásszimmetriával. A pozitív, illetve a negatív elfordulás fogalma, mérése.


[2 óra]

Párhuzamos szárú szögek: egyállású szögek, társszögek, mellékszögek. Fordított állású szögek: csúcsszöge, váltószögek. Merőleges szárú szögek. A szögpárok felismerése. Szögmérés gyakorlása. A tanult transzformációk felhasználása a fogalmak kialakításánál.


1 (1) óra



Előzetes tudás


Geometriai transzformáció. Egybevágóság: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás. Vektor. Tengelyes szimmetria, középpontos szimmetria. Egyállású szög, mellékszög, váltószög, csúcsszög.

4.2. Síkgeometria


Pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, szögtartomány. Háromszög-egyenlőtlenség. Háromszögek, csoportosításuk. Négyszögek, speciális négyszögek (trapéz, paralelogramma, deltoid). Kör és részei. Szakaszfelezés, szögfelezés, szögmásolás. Merőleges és párhuzamos egyenesek szerkesztése. Nevezetes szögek szerkesztése. Szerkesztési eszközök használata. A téglalap és a deltoid kerületének és területének kiszámítása. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok alapján. Rendszerező készség fejlesztése. Számítási feladatok elvégzése a geometria területéről – a lépések átgondolása, megtervezése. Az igény felkeltése az állítások megsejtésére, megfogalmazására, bizonyítására. A problémamegoldás lépéseinek megismertetése (szerkesztésnél: vázlatrajz, adatfelvétel, a szerkesztés terve, a szerkesztés végrehajtása; igazolás, diszkusszió).

49



A síkidomokról, sokszögekről tanultak felelevenítése. Háromszögek csoportosítása oldalak, illetve szögek szerint. A háromszögek kerületének kiszámítása. A háromszögek magassága, magasságvonala. A korábban szemléletre támaszkodó sejtések bizonyítása: háromszög-egyenlőtlenség; a szögek közti kapcsolatok; szögek és oldalak közti kapcsolat. A geometriai transzformációkról tanultak alkalmazása. A háromszögek egybevágóságának esetei. Háromszögek szerkesztése. Nevezetes szögek szerkesztése: 15°, 45°, 75°, 105°, 135°.

Földrajz: szélességi körök és hosszúsági fokok.

Órakeret


2 (3) óra


5 (6) óra [+ 2 óra]

Informatika: Szerkesztőprogram alkalmazása.

Négyszögek, belső és külső szögeik összege, kerületük. A speciális négyszögek, trapéz, deltoid, húrtrapéz, paralelogramma, speciális paralelogrammák definíciója, tulajdonságai. A középpontos és a tengelyes tükrözés tulajdonságainak felhasználása a tulajdonságok vizsgálatánál. Speciális négyszögek szerkesztése. A sokszög területének szemléletes fogalma, téglalap, paralelogramma, deltoid, trapéz, háromszög területe. Szabályos sokszögek. Átdarabolás, kiegészítés. Eredmények becslése. A képletek értelmezése, alkalmazásuk a számításokban. A területképletből az ismeretlen adat kifejezése

Technika, életvitel és gyakorlat: A hétköznapi problémák területtel kapcsolatos számításai (lefedések, szabászat, földmérés).

A kör és részei. Sugár, átmérő, szelő, húr, érintő. A kör kerülete, területe. A kör kerületének közelítése méréssel. A kör területének közelítése „átdarabolással”.

Informatika: tantárgyi szimulációs program.

50

Tankönyv


4 (6) óra


3 (4) óra


3 (4) óra



4.3. Térgeometria


Térelemek, kölcsönös helyzetük. Testek építése szemléltetése, csúcs, él, lap, átló fogalma. Testek felismerése a környezetünkben. A hosszúság, terület, térfogat mértékegységeinek ismerete. A téglatest, kocka fogalma, hálója. A téglatest felszínének és térfogatának a kiszámítása. A térelemekhez kapcsolódó fogalmak elmélyítése. Egyenes hasáb, henger, tetraéder, gúla, kúp, gömb leírása, jellemzőinek mérése, felszín-, térfogat-számítási problémák megoldása.



Sokszöglapokkal határolt testek. Környezetünk tárgyainak megfigyelése. Egyenes hasáb; alaplap, oldallap, alapél, oldalél, magasság, lapátló, testátló. Kocka, négyzetes oszlop, téglatest. Egyenes hasáb hálója, felszíne, térfogata. Forgáshenger származtatása, hálója, tulajdonságai, felszíne, térfogata.

Technika, életvitel és gyakorlat: modellek készítése, tulajdonságainak vizsgálata. Történelem, társadalmi és állampolgári: történelmi épületek látszati képe és alaprajza közötti összefüggések megfigyelése. Vizuális kultúra: térbeli tárgyak síkbeli megjelenítése.



Mértékegységek átváltása racionális számkörben. Hosszúság, terület, térfogat, űrtartalom, tömeg, idő mérése.

Folyamatos

Folyamatos

Egyszerű számításos feladatok a geometria különböző területeiről; kerület-, terület-, felszín- és térfogatszámítás. Szögekkel kapcsolatos számítások.

Például 7. tankönyv. 125., 184., 188., 190., 196–197., 211., 226., 231., 237., 250–252., 256., 258–261. oldal.

Folyamatos


Hasáb; alaplap, alapél, oldallap, oldalél, testátló, lapátló. Henger, alkotó, palást. Felszín, térfogat.

51





Egyszerű diagramok készítése, értelmezése, táblázatok olvasása. Néhány szám számtani közepének kiszámítása. Valószínűségi játékok és kísérletek, az adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. A statisztikai gondolkodás fejlesztése. A valószínűségi gondolkodás fejlesztése. Gazdasági nevelés.



Adatok gyűjtése, rendszerezése, elemzése, becslés. Táblázat, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram. Adathalmazok szemléltetése táblázat és diagramok segítségével. A célszerű diagram típusának kiválasztása. Középértékek (számtani közép, módusz, medián) számolása, megállapítása. A középértékek segítségével az adatok elemzése, következtetések levonása. Valószínűségi kísérletek. Valószínűség előzetes becslése, szemléletes fogalma. Valószínűségi kísérletek, eredmények lejegyzése. Gyakoriság, relatív gyakoriság fogalma. A valószínűség kiszámítása egyszerűbb esetekben – a valószínűség klasszikus modellje.

Informatika: táblázatos adattárolás, grafikus adatábrázolás.

Tankönyv 7. tankönyv 56–59. oldal. Adatgyűjtés folyóiratok, internet segítségével.


Matematikatörténet: Érdekességek a valószínűség-számítás fejlődéséről. Kulcsfogalmak/fogalmak

Diagram, táblázat, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség. Középérték, átlag, módusz, medián.

52

Órakeret 2 (3) óra [+ 2 óra]

2 (2) óra [+ 2 óra]

Gondolkodási és megismerési módszerek     

Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata. Állítások igaz vagy hamis voltának eldöntése, állítások tagadása. Állítások, feltételezések, választások világos, érthető közlésének képessége, egyszerűbb szövegek értelmezése. Egyszerű sorba rendezési, leszámlálási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének elmondása, leírása. Gráfok használata feladatmegoldások, összefüggések szemléltetése során.

Számtan, algebra


 A racionális számokkal kapcsolatos fogalomrendszer ismerete. A négy alapművelet végrehajtása az egész számok és a törtalakban vagy tizedestört alakban adott racionális számok körében.  A természetes szám kitevőjű hatványozás fogalma, hatványértékek kiszámítása. Műveletek konkrét természetes szám kitevőjű hatványokkal. Számolás normál alakkal.  A műveleti sorrendre, zárójelezésre vonatkozó szabályok ismerete, helyes alkalmazása (a hatványozást is figyelembe véve). Számológép ésszerű használata a számolás megkönnyítésére.  Az oszthatósággal kapcsolatos definíciók, tételek (osztó, többszörös, oszthatósági szabályok, közös osztó, közös többszörös) ismerete. A legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös meghatározása. Pozitív egész számok prímtényezőkre bontása. Egyszerű oszthatósági problémák vizsgálata. Az oszthatóságról tanult ismereteik megszerzése során kialakult a bizonyítás iránti igény.  Az arány fogalmának ismerete, alkalmazása gyakorlati jellegű feladatokban is. Arányos osztás végrehajtása. Az egyenes és fordított arányosság felismerése és alkalmazása matematikai és hétköznapi feladatokban.  A százalékszámítás fogalomrendszerének ismerete, a tanult összefüggések alkalmazása. A kamatos kamat fogalma, kiszámítása. A mindennapjainkhoz kapcsolódó százalékszámítási feladatok megoldása.  Algebrai egész kifejezések helyettesítési értékének meghatározása. Algebrai egész kifejezések összevonása, szorzása egytagú kifejezéssel. A betűkifejezések és az azokkal végzett műveletek alkalmazása matematikai, természettudományos és hétköznapi feladatok megoldásában.  Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása, a kapott eredmény ellenőrzése.  Az egyenletmegoldás különböző módszereinek sikeres alkalmazása a matematikából és a mindennapi életből vett egyszerű szöveges feladatok megoldására. (Szöveges feladatok értelmezése, összefüggések lefordítása a matematika nyelvére, a számítások végrehajtása, az eredmény ellenőrzése a szöveg alapján.) .

53

Összefüggések, függvények, sorozatok


 A hozzárendelés (reláció) megadása diagrammal, táblázattal, grafikonnal, szabállyal. Alaphalmaz, képhalmaz fogalmának ismerete.  Egyértelmű hozzárendelés, függvény fogalmának, valamint az értelmezési tartomány, értékkészlet fogalmának ismerete, konkrét függvény értelmezési tartományának, értékkészletének meghatározása.  Valós (szám-szám) függvény grafikonjának elemzése a tanult szempontok szerint: a függvény alaptulajdonságainak (adott helyen felvett függvényérték, adott függvényértékhez tartozó független változók, növekedés, csökkenés, legnagyobb érték, legkisebb érték) grafikonról való leolvasása.  Az egyenes arányosság mint szám-szám függvény tulajdonságainak felismerése. Az egyenes arányosság grafikonjának felismerése, adott egyenes arányosság grafikonjának ábrázolása. A grafikon meredekségének vizsgálata.  A lineáris függvénnyel kapcsolatos fogalomrendszer ismerete, konkrét lineáris függvény grafikonjának megrajzolása (esetleg összegtartozó számpárok segítségével). A lineáris kapcsolatokról tanultak alkalmazása természettudományos feladatokban is.  A fordított arányosság függvényének ismerete (tulajdonságok, grafikon).  Megadott sorozatok folytatása adott szabály szerint. . Geometria  A tanuló a geometriai ismeretek segítségével képes jó ábrákat készíteni, pontos szerkesztéseket végezni.  Ismeri a vektor fogalmát.  Az egybevágó alakzatok felismerése. Tengelyes és középpontos tükörkép, eltolt alakzat képének megszerkesztése. A tanult egybevágósági transzformációk vizsgálata, tulajdonságaik felsorolása. A tengelyesen szimmetrikus, a középpontosan szimmetrikus alakzatok felismerése, e fogalmak alkalmazása geometriai vizsgálatokban.  A szögpárok ismerete, alkalmazásuk geometriai vizsgálatokban.  Ismeri a háromszög tulajdonságait (háromszög-egyenlőtlenség, háromszög szögei és oldalai közötti összefüggések, háromszög belső és külső szögeire vonatkozó összefüggések), háromszögek csoportosítása szögeik és oldalaik szerint. Tudását alkalmazza a feladatok megoldásában.

54

 Ismeri a nevezetes négyszögek (deltoid, trapéz, húrtrapéz, paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet) fogalmát, e fogalmak közti kapcsolatrendszert. Ismeri a négyszög (speciálisan a nevezetes négyszögek) belső és külső szögeire vonatkozó összefüggéseket, továbbá a nevezetes négyszögek szimmetriatulajdonságait. Tudását alkalmazza feladatok megoldásában.  Ismeri a sokszög területének fogalmát, szabványos mértékegységeit, helyesen váltja át a mértékegységeket. Kiszámítja a háromszög, a nevezetes négyszögek és a kör kerületét, területét. A területszámításról tanultakat képes alkalmazni térgeometriai számításokban, illetve a mindennapi gyakorlattal kapcsolatos feladatok megoldásában.


 A tanuló képes térbeli alakzatok axonometrikus képét felvázolni, és ennek segítségével sikeresen old meg problémákat.  Ismeri az egyenes hasáb és az egyenes körhenger fogalmát, tulajdonságait. Képes felvázolni a tanult testek hálóját, kiszámítani a felszínüket.  Ismeri a sokszöglapokkal határolt test térfogatának fogalmát, a térfogat szabványos mértékegységeit, helyesen váltja át a mértékegységeket. A háromszög és négyszög alapú egyenes hasáb, továbbá a forgáshenger térfogatképleteinek ismeretében ki tudja számítani sok, a mindennapjainkban előforduló test felszínét, térfogatát, űrmértékét. Valószínűség, statisztika  Valószínűségi kísérletek eredményeinek tudatos megfigyelése, lejegyzése, relatív gyakoriságok kiszámítása. Konkrét feladatok kapcsán a tanuló érti az esély, a valószínűség fogalmát, felismeri a biztos és a lehetetlen eseményt. Események valószínűségének kiszámítása vagy becslése egyszerűbb esetekben.  Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, táblázatok készítése. Adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. A középértékek (középső érték, átlag, leggyakoribb érték) és a terjedelem meghatározása. Vonaldiagram, oszlopdiagram olvasása, készítése, szalag-, kördiagram olvasása.

55

8. évfolyam 8.évfolyamon heti 3 órával számoltunk, de kerek zárójelben beírtuk a heti 4 órával számított órakeretet is. Szögletes zárójelbe írt óraszám jelzi a szabad órakeret felhasználására vonatkozó javaslatainkat. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok utolsó oszlopa tartalmazza. A tematikus egységeket a Műszaki Kiadó kiadásában megjelent, Hajdu Sándor: Matematika 8. Gondolkodni jó! tankönyv megfelelő fejezeteivel konkretizáljuk (lásd a táblázatok második oszlopát). Tematikai egység/ Fejlesztési cél

1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Órakeret 8 (10) + folyamatos

Előzetes tudás

Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján. A részhalmaz fogalma. Két véges halmaz közös része, egyesítése. Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban. Állítások igazságának eldöntése. Igaz és hamis állítások megfogalmazása. Összehasonlításhoz szükséges kifejezések értelmezése, használata. Definíció megértése és alkalmazása. Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése különféle módszerekkel.


Az önálló gondolkodás igényének kialakítása. Halmazok, halmazműveletek eszköz jellegű használata, halmazszemlélet fejlesztése. A hétköznapi beszédben használt logikai elemek felismerése, helyes használata. Szövegértés, gondolataink lefordítása a matematika nyelvére, a matematikai szaknyelv pontos használata. Rendszerszemlélet. A fogalmak egymáshoz való viszonyának, összefüggéseknek a megértése. A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. A rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok használatának fejlesztése. A bizonyítás, az érvelés iránti igény felkeltése, a kulturált vitatkozás gyakoroltatása.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Halmazelméleti alapfogalmak. Alaphalmaz, halmaz komplementere, halmaz részhalmaza, két halmaz uniója, különbsége, metszete. A korábban tanultak rendszerezése. A fogalmak definiálása. Csoportosítás, válogatás különböző szempontok szerint. Számhalmazok és ponthalmazok használata, a halmazműveletek alkalmazása Részhalmaz elemeinek kiválasztása. Az összefüggések megfogalmazása.

56


Tankönyv

Órakeret

Informatika: Matematikatörténeti ismeretek gyűjtése könyvtárból, internetről.

Például: 8. tankönyv 9–15., 29., 45., 80., 91., 93., 94., 113., 116–117., 123., 160., 189., 247. oldal.




Tankönyv

Órakeret

Matematikai logika. Logikai állítások és azok tagadása. Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor”, „nem”, „van olyan” („létezik”), „minden” („bármely”), „legalább”, legfeljebb” kifejezések használata. Van olyan, létezik… A logikai műveletek és a halmazműveletek kapcsolata. Definíció, tétel kimondása, a tétel bizonyítása. Sejtések, kísérletezés, módszeres próbálkozás, cáfolás. A bizonyítás igénye és módszerei a matematikában. A lényeges és lényegtelen megkülönböztetése. Kulturált érvelés a csoportmunkában. A gondolatok pontos szóbeli és írásbeli megfogalmazása.


Például: 8. tankönyv 9–15., 21–24., 29., 93., 97–104., 113., 116–117., 123., 156–157., 160., 265–266. oldal.

Folyamatos

A gyakorlati élethez és a társtudományokhoz kapcsolódó szöveges feladatok megoldása. Szövegelemzés, értelmezés, lefordítás a matematika nyelvére. Ellenőrzés, önellenőrzés iránti igény erősödése.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; technika, életvitel és gyakorlat: számításos feladatok.

Például 8. tankönyv 54., 57., 110., 177–185., 265–266., 268., 277. oldal.

Folyamatos

Kombinatorika. Sorbarendezési feladatok. Kiválasztási feladatok. Szemléltetés gráfokkal. A korábban megismert módszerek, stratégiák alkalmazása: szisztematikus próbálkozás, esetek rendszerezése (fagráf, útdiagram, táblázatok készítése). Tapasztalatszerzés az összes eset rendszerezett felsorolásában. Hatványok használata az eredmény leírására.

Informatika: Matematikai játékok keresése internet segítségével.

8. tankönyv 31., 58–63., 65., 85., 96., 247. oldal.



Halmaz, elem, részhalmaz, komplementer, két halmaz egyesítése, metszete, különbsége. Alaphalmaz. Igaz, hamis. A nyelv logikai elemei (nem, és, vagy, ha …, akkor …, mindig, van olyan, legalább, legfeljebb). Gráf.

57




2.1. Racionális számok


Előzetes tudás

Racionális számkör: természetes számok, egész számok, racionális számok. Számok írása, olvasása, összehasonlítása, ábrázolása számegyenesen. Műveletek racionális számokkal. Ellentett, abszolút érték, reciprok. Alapműveletek racionális számokkal írásban. A százalékszámítás alapjai. Mérés, mértékegységek használata, átváltás egyszerű esetekben. Szöveges feladatok megoldása. A mindennapi életben felmerülő egyszerű egyenes és fordított arányossági feladatok megoldása következtetéssel, egyenes arányosság. A zárójelek, a műveleti sorrend biztos alkalmazása. Helyes és értelmes kerekítés, az eredmények becslése, a becslés használata ellenőrzésre is.


A matematikai ismeretek és a mindennapi élet történései közötti kapcsolat tudatosítása. Szavakban megfogalmazott helyzethez, történéshez matematikai modellek választása, keresése, készítése, értelmezése adott szituációkhoz. Konkrét matematikai modellek értelmezése a modellnek megfelelő szöveges feladat alkotásával. A szabványos mértékegységekhez tartozó mennyiségek és többszöröseik, törtrészeik képzeletben való felidézése. Az együttműködéshez szükséges képességek fejlesztése páros és kiscsoportos tevékenykedtetés, feladatmegoldás során – a munka tervezése, szervezése, megosztása. Az ellenőrzés, önellenőrzés iránti igény, az eredményért való felelősségvállalás erősítése.



Tankönyv

Órakeret

A racionális szám fogalma. A természetes, egész és racionális számok halmazának kapcsolata. A racionális számok tizedestört alakja (véges, végtelen szakaszos tizedestörtek). A negatív szám és a racionális szám fogalmának elmélyítése. Műveletek racionális számkörben írásban és számológéppel. Az eredmény becslése, helyes és értelmes kerekítése, ellenőrzése. Összevonás gyakorlása a racionális számok halmazában. Szorzás és osztás gyakorlása a racionális számok halmazában. A zárójel és a műveleti sorrend biztos alkalmazása. Műveletek tulajdonságainak felismerése és alkalmazása.

Gyakorlati alkalmazás: számolás zsebszámológéppel. Fizika, Kémia, biológia, egészségtan, földrajz: számítási feladatok.

8. tankönyv 16., 17–19., 34–39., 40–47. oldal.


58

Alkalmazás a matematika minden témakörében.



Hatványozás, a 0 és a pozitív egész kitevőjű hatvány fogalmának áttekintése. A hatvány jelölése: alap, kitevő, hatványérték. A hatványozás azonosságainak általános bizonyítása. Azonos alapú hatványok szorzata, hányadosa. Szorzat, hányados hatványozása. Hatvány hatványozása. A 10 negatív egész kitevőjű hatványai. A negatív egész kitevőjű hatvány fogalma. A 0-nál nagyobb számok normálalakja.. Nagy és kis számok írása. A mennyiségek nagyságrendjének becslése.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz: a tér, az anyagmennyiség, az idő mértéke normálalakban. Mértékegységek átváltása.

Számok négyzete, négyzetgyöke. Négyzetgyök meghatározása számológéppel.




2 (2) óra

2 szerkesztése (lásd például Pitagorasz tétele). Racionális számok tizedestört alakja. Létezik nem racionális szám is. Vannak végtelen nem szakaszos tizedestörtek is. A 2 , a π irracionális. Valós számok elhelyezése a számegyenesen. Néhány irracionális szám pontos helyének megszerkesztése a számegyenesen (lásd például a 8. tankönyv 48. oldal, 72. feladat). Arány, aránypár, arányos osztás, arányossági következtetések. Százalékszámítás. A mindennapjainkhoz köthető százalékszámítási feladatok. Zsebszámológép célszerű használata. Kulcsfogalmak/fogalmak

Technika, életvitel és gyakorlat: pénzügyi ismeretek: kamat, kamatos kamat.

8. tankönyv 52–57. , 75–76., 212–214. oldal.


Racionális szám. Hatvány, alap, kitevő. Normálalak. Négyzetgyök. Arány, aránypár, arányos osztás, egyenes és fordított arányosság. Százalékalap, százalékláb, százalékérték. Kamat. Kamatos kamat.

59



2.2. Oszthatóság

Osztó, többszörös felismerése, meghatározása. Oszthatósági szabályok. Prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás. Közös osztók, közös többszörösök felismerése kis számok esetében, alkalmazásuk törtekkel végzett műveletekben. Periodikus jelenségek megfigyelése. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös magadása hatványok segítségével.



Osztó, többszörös. Oszthatósági szabályok. Összetett oszthatósági feladatok. Prímszám, összetett szám. Prímtényezős felbontás. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Felhasználás törtek egyszerűsítése, törtek bővítése során. Matematikatörténet: Mersenne, Euler, Fermat munkássága.

Informatika: Matematikatörténeti érdekességek keresése az interneten.

Számrendszerek. A hatványjelölés használata a helyiértékes felírásban.

Informatika: 2-es számrendszer.






1 (1) óra

Osztó, maradék, többszörös, osztható, prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Számrendszer.

2.3. Algebrai kifejezések


Előzetes tudás

Algebrai kifejezések helyettesítési értékének kiszámítása, egyszerű kifejezések összevonása, többtagú kifejezés szorzása egytagú kifejezéssel.


Szövegértés fejlesztése, betűk, képletek használata. A műveleti tulajdonságok alkalmazása algebrai kifejezésekr. Matematikai modellek választása, keresése, készítése, értelmezése adott szituációkhoz. Konkrét matematikai modellek értelmezése a modellnek megfelelő szöveges feladat alkotásával.

60



Algebrai kifejezések: változó, együttható. Helyettesítési érték. Algebrai egész- és törtkifejezések. Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel – példák a hétköznapi életből és a matematika területéről. Képletek értelmezése. Elnevezések, jelölések megértése, rögzítése, definíciókra való emlékezés.

Fizika: definíciók, kölcsönhatások, változások megfogalmazása képletek segítségével.

Tankönyv

Órakeret


3 (4) óra

Műveletek többtagú egész algebrai kifejezésekkel. Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezésekkel - zárójelfelbontás, előjelszabályok. Többtagú kifejezés szorzattá alakítása kiemeléssel, osztása egytagú kifejezéssel.


2 (3) óra

Nevezetes azonosságok: (a + b)2; (a –b )2; (a + b)(a - b). Azonosságok szemléltetése területtel.


4 (6) óra [+ 2 óra]

Egynemű, különnemű algebrai kifejezések. Egynemű kifejezések összevonása. Változók, együtthatók felismerése. Matematikatörténet: az algebra kezdetei, az arab matematika. Kutatómunka könyvtár, internet használattal.

Összetett feladatok megoldása. Kulcsfogalmak/fogalmak

Algebrai egész kifejezés, algebrai törtkifejezés, változó, együttható, helyettesítési érték, egynemű kifejezés, összevonás, zárójelfelbontás. Kiemelés. Egytagú, többtagú kifejezés. Nevezetes azonosságok.

61


2.4. Egyenletek, egyenlőtlenségek

Egyszerű egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. A megoldás ábrázolása számegyenesen. A módszerek alkalmazása egyszerű szöveges feladatokban. Szövegértés fejlesztése, betűk, képletek használata. A műveleti tulajdonságok alkalmazása algebrai kifejezésekre. Matematikai modellek választása, keresése, készítése, értelmezése adott szituációkhoz. A racionális számokkal végzett műveletek és az algebrai átalakítások biztos alkalmazása az egyenletek megoldása és a megoldás ellenőrzése során.



Nyitott mondat. Megoldás. Alaphalmaz, megoldáshalmaz. Elsőfokú, illetve elsőfokúra visszavezethető egyenletek, elsőfokú egyenlőtlenségek megoldása. Mérlegelv. Azonosság. Azonos egyenlőtlenség. Egyenletmegoldás grafikusan. A megoldások ábrázolása számegyenesen. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel, egyenlőtlenséggel. Terv, becslés, ellenőrzés a szöveg alapján. Szöveges válasz. Egyenlettel megoldható típusfeladatok egyszerű példákkal: számok helyiértékével kapcsolatos feladatok; geometriai számításokkal kapcsolatos feladatok; fizikai számításokkal kapcsolatos feladatok; százalékszámítási feladatok (leértékelés, béremelés, kamatszámítás); keverési feladatok; együttes munkavégzéssel kapcsolatos feladatok. Pénzügyi ismeretek: áremelkedés, árengedmény, kamat. Kulcsfogalmak/fogalmak


Fizika; kémia: számításos feladatok.


3 (4) óra


10 (14) óra

Magyar nyelv és iroda lom: Szövegértés, szövegértelmezés. A gondolatmenet tagolása.

Egyenlet, változó, egyenlőtlenség, alaphalmaz, megoldáshalmaz, azonosság, mérlegelv, ellenőrzés.

62

Órakeret


Előzetes tudás


3. Függvények, sorozatok

Órakeret 10 (13)óra

Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint. Biztos tájékozódás a derékszögű koordináta-rendszerben. Egyszerű grafikonok értelmezése. Egyszerű kapcsolatok ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben. Egyenesen arányos mennyiségek, lineáris függvénykapcsolat. Függvények megadása, jellemzése. A mindennapi életből vett kapcsolatok leírása függvényekkel. Néhány függvénytípus megfigyelése, használata. Függvények ábrázolása értéktáblázat használatával. Általános tagjával (képlettel) adott sorozat tetszőleges tagjának meghatározása.



Tankönyv

Órakeret

Két halmaz közötti hozzárendelések megjelenítése konkrét esetekben. Mennyiségek közti kapcsolatok ábrázolása, táblázat, grafikon használata. Szöveggel vagy matematikai alakban megadott szabály grafikus megjelenítése értéktáblázat segítségével. Függvények és ábrázolásuk a derékszögű koordinátarendszerben. Példák egyértelmű, többértelmű hozzárendelésekre. Függvények értelmezése. Az alapfogalmak felismerése, alkalmazása gyakorlati problémákban. Konkrét függvények (lásd alább) vizsgálata; értékkészlet, zérushely, monotonitás, szélsőérték. Grafikonról való leolvasás. Matematikatörténet: A függvényfogalom fejlődése. René Descartes.

Fizika; biológia-egészségtan; kémia; földrajz: függvényekkel leírható folyamatok.

8. tankönyv 247–251., 258–262. oldal.

2 (3) óra

A korábban tanultak áttekintése, kiegészítése, rendszerezése: lineáris függvény, egyenes arányosság fogalma grafikus képe. Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek grafikus megoldása.

Fizika; kémia: egyenesen arányos mennyiségek.

8. tankönyv 252–257., 275–279. oldal.

3 (3) óra

63



Példák nem lineáris függvényre: Az abszolútérték függvény:

x  x ; x  ‫׀‬x + b‫ ;׀‬x  ‫׀‬x‫ ׀‬+ c;

Tankönyv

Informatika: számítógépes program használata függvények ábrázolására.

8. tankönyv 269–275., 279–285. oldal.

Technika, életvitel és gyakorlat: Kamatos kamat.



a másodfokú függvény:

x  x2 ;

2 x  ( x  b) 2 ; x  x  c;

a fordított arányosság függvénye: x

a ; ax  0 x

Függvények jellemzése növekedés, fogyás szélsőérték. Elemi függvénytranszformációk alkalmazása (x tengely menti eltolás, y tengely menti eltolás, x tengelyre vonatkozó tükrözés). Egyszerű sorozatok vizsgálata. A sorozat mint speciális függvény. Sorozatok készítése, vizsgálata. A számtani sorozat. A számtani sorozat megadása az első taggal és a differenciával. Az első n tag összegének kiszámítása Gauss-módszerrel. Ismerkedés a mértani sorozattal. Matematikatörténet: Gauss.


2 (3) óra [+ 1 óra]

Hozzárendelés, függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, egyenes arányosság, fordított arányosság, sorozat, számsorozat, számtani sorozat, differencia. Lineáris függvény, elsőfokú függvény, nulladfokú függvény, abszolútérték-függvény, másodfokú függvény, fordított arányosság függvénye.

64

4. Geometria





Előzetes tudás


Szerkesztési eszközök használata. Geometriai transzformáció. Egybevágóság: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás. Vektor. Tengelyesen és középpontosan szimmetrikus alakzatok (háromszögek, négyszögek). Egyszerű alakzatok tengelyes tükörképének, középpontos tükörképének és eltolással kapott képének megszerkesztése. Speciális háromszögek, speciális négyszögek szimmetriaviszonyai. Geometriai transzformációk megadása és elvégzése változatos szabállyal. A transzformációk tulajdonságainak felismerése. Egybevágóság és hasonlóság felismerése környezetünkben, esztétikai érzék fejlesztése. A mindennapi élethez kapcsolódó egyszerű geometriai számítások elvégzése. Szerkesztések végrehajtása.



Tankönyv

Órakeret

A korábban tanultak áttekintése, rendszerezése kiegészítése: Geometriai transzformáció. Egybevágóság. Az egybevágóság tulajdonságai. A háromszögek egybevágóságának alapesetei. Tengelyes tükrözés és szimmetria, középpontos tükrözés és szimmetria, eltolás és elforgatás. A vektor szemléletes fogalma. Egyszerű szerkesztési feladatok. Pontos, precíz munka elvégzése a szerkesztés során. Thalész-tétele. A kör érintői. Matematikatörténet: Thalész.

Informatika: geometriai szerkesztőprogram.


5 (7) óra

Hasonlóság, kicsinyítés és nagyítás. A hasonlóság arányának fogalma. Kiegészítő tananyag: A háromszögek hasonlósága. Hasonló síkidomok területének, hasonló testek felszínének és térfogatának aránya.

Vizuális kultúra, technika, életvitel és gyakorlat: Tervrajzok. Földrajz: Térképi ábrázolás. Méretarány értelmezése.


3 (4) óra

65

[+ 2 óra]



Középpontos nagyítás, kicsinyítés. Középpontos nagyítás, kicsinyítés értelmezése, elvégzése. A középpontos hasonlóság tulajdonságainak felismerése: aránytartás, szögtartás, alakzat és képének irányítása.



Fizika: lencsék képalkotása, nagyítás. Biológia-egészségtan: Mikroszkóp.



Geometriai transzformáció. Egybevágóság: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás. Vektor. Tengelyes szimmetria, húrtrapéz, deltoid. Középpontos szimmetria, paralelogramma, rombusz. Egyállású szög, váltószög, csúcsszög. Hasonlóság, hasonlóság aránya, kicsinyítés, nagyítás. Középpontos hasonlóság..

4.2. Síkgeometria


Előzetes tudás

Pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, szögtartomány. Két pont, pont és egyenes távolsága, két egyenes távolsága. Szakaszfelezés, szögfelezés, szögmásolás. Merőleges és párhuzamos egyenesek szerkesztése. Adott feltételeknek megfelelő ponthalmazok. Nevezetes szögek szerkesztése. Szerkesztési eszközök használata. Háromszögek, csoportosításuk. Négyszögek, speciális négyszögek. Háromszög, négyszög belső és külső szögeinek összegére vonatkozó ismeretek. Kör és részei. A háromszög, a speciális négyszögek és a kör kerületének és területének kiszámítása. Geometriai szerkesztés, körző, vonalzó, szögmérő használata.


A mindennapi élethez kapcsolódó egyszerű geometriai számítások elvégzésének fejlesztése. A gyakorlatban előforduló geometriai ismereteket igénylő problémák megoldására való képesség fejlesztése. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok alapján. Az igény felkeltése az állítások megsejtésére, megfogalmazására, bizonyítására. Számítási feladatok elvégzése a geometria területéről – a lépések átgondolása, megtervezése. Kör és részeinek vizsgálata. A pontos munkavégzés igényének fejlesztése. A problémamegoldás lépéseinek megismertetése (szerkesztésnél: vázlatrajz, adatfelvétel, a szerkesztés menete, szerkesztés, diszkusszió). Rendszerező képesség fejlesztése.

66



A síkidomokról, sokszögekről tanultak felelevenítése. Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai, körei. Középvonalak. Oldalfelező merőlegesek – a háromszög köré írható kör. Szögfelezők – a háromszög beírható köre. Magasságok – magasságpont. Súlyvonalak – súlypont. Háromszögek szerkesztése. Speciális négyszögek definíciója, tulajdonságai, nevezetes vonalai, szerkesztése. Paralelogramma, rombusz, trapéz, húrtrapéz, deltoid. Sokszögek. Belső és külső szögek összege. Átlók száma.

Informatika: Geometriai szerkesztő program alkalmazása.

Pitagorasz-tétel. A tétel és megfordításának kimondása. Számítási és egyszerű bizonyítási feladatok. Matematikatörténet: Érdekességek életéről és a Pitagorasz-tétel történetéből. A pitagoraszi számhármasok.

Tankönyv

Órakeret

8. tankönyv 94–102., 113–161. oldal.

4 (6) óra


3 (4) óra

Mérés. Mértékegységek. Mértékegységek átváltásának gyakorlása. Hosszúság, terület. Sokszögek kerülete, területe. A háromszög, paralelogramma, rombusz, trapéz, deltoid kerülete, területe. A Pitagorasz-tétel alkalmazása.

Fizika; kémia: mérés, mértékegységek, mértékegységek átváltása.



A kör és részei. A kör kerülete, területe. Körív hossza, körcikk területe. Arányossági következtetések.

Vizuális kultúra: a kör mint díszítőelem.


1 (1) óra


Szögfelező, háromszögbe írható kör, oldalfelező merőleges, háromszög köré írható kör. magasságvonal, magasságpont, súlyvonal, súlypont, középvonal, kör, kerület, terület, mértékegység.

67


4.3. Térgeometria


Térelemek, kölcsönös helyzetük. Testek építése szemléltetése, csúcs, él, lap, átló fogalma. Testek felismerése. A térelemekhez kapcsolódó fogalmak elmélyítése. Egyenes hasáb, henger, tetraéder, gúla, kúp, gömb leírása, jellemzőinek mérése, felszín-, térfogat-számítási problémák megoldása.



Sokszöglapokkal határolt testek. Szabályos testek. Egyenes hasáb – alaplap, oldallap, alapél, oldalél, magasság, lapátló, testátló. Sokszöglapokkal határolt testek felszíne. Egyenes hasáb hálója, felszíne, térfogata. A térfogat mértékegységei. A forgáshenger tulajdonságai, hálója, palástja, alkotója, felszíne, térfogata.

Órakeret


2 (3) óra

Gúla hálója, felszíne, térfogata. Tetraéder. A kúp származtatása, alaplap, alkotó, palást. Egyenes körkúp felszíne, térfogata. Képletek ismerete pontos levezetés nélkül.


4 (5) óra

A gömb. A gömb felszíne, térfogata. Képlet ismerete pontos levezetés nélkül. Matematikatörténet: Arkhimédész.


1 (2) óra

Egyszerű számításos feladatok a geometria különböző területeiről; kerület-, terület-, felszín- és térfogatszámítás. Szögekkel kapcsolatos számítások. A Pitagorasz-tétel és a hasonlóság alkalmazása.

Például 8. tankönyv 95., 101., 105–112., 126., 128., 214., 226–227., 235., 241–242. oldal.


Vizuális kultúra: építészeti formák.

Tankönyv

[+ 1 óra] Folyamatos

Hasáb; alaplap, alapél, oldallap, oldalél, testátló, lapátló. Henger, alkotó, palást. Gúla, kúp, gömb. Felszín, térfogat, űrtartalom.

68



Adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. Egyszerű diagramok, grafikonok készítése, értelmezése, elemzése, táblázatok olvasása. A számtani közép kiszámítása. Valószínűségi játékok és kísérletek. Adathalmazok elemzése, értelmezése, ábrázolásuk. A statisztikai és a valószínűségi gondolkodás fejlesztése. Gazdasági nevelés. A valószínűség meghatározása egyszerű esetekben.



Adatok gyűjtése, elemzése, becslés. Táblázat, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram. Adathalmazok szemléltetése táblázat és diagramok segítségével. A célszerű diagram típusának kiválasztása. Középértékek (számtani közép, módusz, medián) számolása, megállapítása. A középértékek segítségével az adatok elemzése, következtetések levonása. Gazdasági statisztikai adatok, grafikonok értelmezése, elemzése. Valószínűségi kísérletek. Valószínűségi kísérletek kimeneteleinek lejegyzése. Gyakoriság, relatív gyakoriság fogalma. A relatív gyakoriság számolása. Mire lehet következtetni a relatív gyakoriságból? A valószínűség szemléletes fogalma, előzetes becslése. A valószínűség kiszámítása egyszerűbb esetekben – a valószínűség klasszikus modellje. Galton-deszka. Kulcsfogalmak/fogalmak


Informatika: táblázatos adattárolás, grafikus adatábrázolás.

Tankönyv

Órakeret


2 (3) óra


2 (3) óra

Diagram, gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag, módusz, medián, terjedelem. adatok tervszerű gy6űjtése, rendezése. Valószínűség.

69



 Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete, eszköz jellegű alkalmazásuk számelméleti, geometriai vizsgálatokban. Elemek halmazba rendezése több szempont alapján.  A nyelv logikai elemeinek („nem”, „és”, „vagy”, „ha …, akkor …”, „legalább”, „legfeljebb”, „pontosan akkor …, ha …”, „minden”, „van olyan”) helyes értelmezése, tudatos használata. Állítások igaz vagy hamis voltának eldöntése, állítások tagadása.  Állítások, feltételezések, választások világos, érthető közlésének képessége, szövegek értelmezése. A szaknyelv tudatos használata.  Kombinatorikai feladatok megoldása az összes eset szisztematikus összeszámlálásával, a megoldás gondolatmenetének elmondása, leírása, szemléltetése fagráffal. Kombinatorikai gondolatmenetek alkalmazása a matematika különböző területein (például oszthatósági problémák megoldásában, geometriai feladatok megoldásának diszkussziójában, valószínűség-számítási feladatokban a lehetséges, illetve a kedvező esetek összeszámlálásában).  Gráfok használata a matematika különböző témaköreiben, a feladatmegoldások gondolatmenetének követése, öszszefüggések, fogalmak közti kapcsolatok szemléltetése során.  Néhány kiemelkedő magyar matematikus, esetleg kutatási területének, eredményének megnevezése Számtan, algebra  A számhalmazok (természetes, egész, racionális számok) ismerete. Biztos számolási ismeretek a racionális számkörben. A műveleti sorrendre, zárójelezésre vonatkozó szabályok ismerete, helyes alkalmazása. Számológép ésszerű használata a számolás megkönnyítésére.  A természetes szám kitevőjű hatványozás fogalma, hatványértékek kiszámítása számológép használatával. Műveletek természetes szám kitevőjű hatványokkal, a hatványozás azonosságainak felismerése, alkalmazása.  Az 1-nél nagyobb számok normálalakjának értelmezése. Számolás normálalakkal egyszerűbb esetekben.  Konkrét számok egész kitevőjű hatványainak értelmezése, 0-nál nagyobb számok normálalakja. Számolás normálalakkal, számológép segítségével.].  Az oszthatósággal kapcsolatos definíciók, tételek, számolási eljárások ismerete, alkalmazása egyszerű oszthatósági feladatok megoldásában, törtek egyszerűsítésében, törtekkel végzett műveletek végrehajtásában.

70


 A négyzetgyökvonás fogalmának ismerete, pozitív számok négyzetgyökének (közelítő) meghatározása számológép segítségével. A négyzetgyökvonás biztos alkalmazása a matematika különböző témaköreiben..  Az arány fogalmának ismerete, alkalmazása gyakorlati jellegű feladatokban, geometriai számításokban. Arányos osztás végrehajtása. Az egyenes és fordított arányosság felismerése és alkalmazása matematikai és hétköznapi feladatokban. A mindennapjainkhoz kapcsolódó százalékszámítási feladatok megoldása. Kamatos kamat kiszámítása.  Algebrai egész kifejezések helyettesítési értékének meghatározása. Algebrai egész kifejezések összevonása, szorzása. A betűkifejezések és az azokkal végzett műveletek alkalmazása matematikai, természettudományos és hétköznapi feladatok megoldásában. A geometriában és a természettudományos tárgyakban előforduló képletek értelmezése, alkalmazása, az ismeretlen változó kifejezése a képletből.  Az elsőfokú egyenlet, egyenlőtlenség, azonosság, azonos egyenlőtlenség fogalmának ismerete. Gyakorlottság az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásában, a mérlegelv alkalmazásában, a kapott eredmény ellenőrzésében. Egyenlőtlenség megoldáshalmazának ábrázolása számegyenesen.  Az egyenletmegoldás különböző módszereinek sikeres alkalmazása a matematikából és a mindennapi életből vett egyszerű szöveges feladatok megoldására. (Szöveges feladatok értelmezése, összefüggések lefordítása a matematika nyelvére, a számítások végrehajtása, az eredmény ellenőrzése a szöveg alapján.) Összefüggések, függvények, sorozatok  A hozzárendelés (reláció) megadása diagrammal, táblázattal, grafikonnal, szabállyal. Alaphalmaz, képhalmaz fogalmának ismerete.  Egyértelmű hozzárendelés, függvény fogalmának, valamint az értelmezési tartomány, értékkészlet fogalmának ismerete, konkrét függvény értelmezési tartományának, értékkészletének meghatározása.  Mennyiségek közti kapcsolatok ábrázolása grafikonnal. Valós (szám-szám) függvény grafikonjának ábrázolása, elemzése, a függvény alaptulajdonságainak (adott helyen felvett függvényérték, adott függvényértékhez tartozó független változók, növekedés, csökkenés, legnagyobb érték, legkisebb érték) grafikonról való leolvasása.  Az egyenes arányosság mint szám-szám függvény tulajdonságainak ismerete. Adott egyenes arányosság grafikonjának ábrázolása. A grafikon meredekségének vizsgálata.  A lineáris függvénnyel kapcsolatos fogalomrendszer ismerete, konkrét lineáris függvény grafikonjának megrajzolása. A lineáris kapcsolatokról tanultak alkalmazása természettudományos feladatokban is.

71

 Az abszolútérték függvény, a másodfokú függvény, a fordított arányosság függvényének ismerete (tulajdonságok, grafikon).  Egylépéses függvénytranszformációk végrehajtása (eltolás, az x tengelyre tükrözés).  Megadott sorozatok folytatása adott szabály szerint. Sorozatok néhány jellemzőjének vizsgálata.  A számtani sorozat felismerése. Geometria


 Ismeri a geometria alapvető fogalmait és a hozzájuk kapcsolódó elnevezéseket. Felismeri a térelemek kölcsönös helyzetét, továbbá az adott tulajdonságú ponthalmazokat. Képes értelmezni és meghatározni a térelemek távolságát. Szögek értelmezése, mérése, a szögfajták, valamint a szögpárok ismerete. Az alapvető szerkesztések (szakaszfelezés, szögmásolás, szögfelezés, stb.) végrehajtása. Ismeri a vektor fogalmát. Ezeket az ismereteket képes alkalmazni sokszögek, testek, geometriai transzformációk tulajdonságainak vizsgálatában, feladatok megoldásában. Helyesen használja a szaknyelvet.  A tanuló a geometriai ismeretek segítségével képes jó ábrákat készíteni, pontos szerkesztéseket végezni, képes térbeli alakzatok axonometrikus képét felvázolni, és ennek segítségével sikeresen old meg problémákat.  Ismeri a háromszög tulajdonságait (háromszög-egyenlőtlenség, háromszög szögei és oldalai közötti összefüggések, háromszög belső és külső szögeire vonatkozó összefüggések), háromszögek csoportosítása szögeik és oldalaik szerint.  Háromszög-szerkesztések lépéseinek leírása, a szerkesztések elvégzése.  Háromszögek nevezetes vonalainak, pontjainak, köreinek meghatározása, megszerkesztése.  A Pitagorasz-tétel kimondása és alkalmazása számítási feladatokban.  A Thalész-tétel ismerete, egyszerű alkalmazásai.  Ismeri a nevezetes négyszögek fogalmát, e fogalmak közti kapcsolatrendszert. Ismeri a négyszög (speciálisan a nevezetes négyszögek) belső és külső szögeire vonatkozó összefüggéseket, továbbá a nevezetes négyszögek szimmetriatulajdonságait. Tudását képes alkalmazni feladatok megoldásában.  Ismeri a kerület és a terület szemléletes fogalmát, szabványos mértékegységeit, helyesen váltja át a mértékegységeket. Kiszámítja a háromszög, a nevezetes négyszögek és a kör kerületét, területét. A területszámításról tanultakat képes alkalmazni térgeometriai számításokban és a mindennapi gyakorlattal kapcsolatos feladatok megoldásában.  Ismeri az egyenes hasáb, az egyenes körhenger és a gúla fogalmát, tulajdonságait. Képes felvázolni a tanult testek hálóját, kiszámítani a felszínüket. Felismeri a körkúpot és a gömböt.

72

 Ismeri a térfogat szemléletes fogalmát, mértékegységeit, helyesen váltja át a mértékegységeket. A térfogatképletek ismeretében kiszámítja a tanult testek térfogatát, képes a tanultak gyakorlati alkalmazására.  Az egybevágó alakzatok felismerése. Tengelyes és középpontos tükörkép, eltolt alakzat képének megszerkesztése. A tanult egybevágósági transzformációk vizsgálata, tulajdonságaik felsorolása. A tengelyesen szimmetrikus és a középpontosan szimmetrikus alakzatok felismerése, e fogalmak alkalmazása geometriai vizsgálatokban.  Kicsinyítés és nagyítás felismerése, a hasonlóság alkalmazása hétköznapi helyzetekben (szerkesztés nélkül). A középpontos hasonlóság felismerése, tulajdonságainak ismerete. A fejlesztés elvárt eredményei a 8. évfolyam végén

Valószínűség, statisztika  A véletlen jelenségek tudatos megfigyelése, az eredmények lejegyzése, relatív gyakoriságok kiszámítása. A tapasztalatok levonása, ezek alapján a valószínűségi szemlélet fejlődése.  Konkrét feladatok kapcsán a tanuló érti az esély, a valószínűség fogalmát, felismeri a biztos és a lehetetlen eseményt. Események valószínűségének kiszámítása a klasszikus valószínűségi modell alkalmazásával egyszerűbb esetekben.  Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, táblázatok készítése. Adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. A középértékek (középső érték, átlag, leggyakoribb érték) és a terjedelem meghatározása.  Táblázatok, diagramok (vonal-, oszlop-, szalag-, kördiagram) olvasása, készítése.  Zsebszámológép célszerű használata statisztikai számításokban.

73

Nyolcosztályos gimnáziumok 9–10. évfolyam A 9–10. évfolyamban a szemlélet alapján, a tevékenységeken, felfedeztetéseken keresztül korábban kialakított fogalmak pontos definiálására, az összefüggések felismerésére, modellek készítésére kell helyezni a fő hangsúlyt. Szükséges a matematika alkalmazási területeinek széles körű bemutatása a matematikán belüli problémák megoldásában, illetve más tudományok segítőjeként való közreműködésben. Ezekben az években erősödik a tanulók önismerete, és megfelelő képességfejlesztéssel és módszertani változatossággal mind több tanulóban kialakulhat a matematika, illetve a természettudomány valamely ága iránti érdeklődés. A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az ismertszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. Ezeken az évfolyamokon a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségeik megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok igazolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények elemzése.) A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak, ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elérni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (szimmetriák, aranymetszés) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek következtében növekvő érdeklődés, javuló motiváció miatt. Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú feladatokkal, számos geometriai és algebrai szélsőértékfeladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimális megoldásokat keresni. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen követelmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugyanúgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A számítógép által nyújtott határtalan lehetőségeket képesek legyenek felismerni, és hatékonyan felhasználni. Fontos célkitűzés, hogy a feladatmegoldások közben a számológépet segédeszközként tudják használni. Ebben az életkori szakaszban már elvárható, hogy a tanulók a leírt szöveget pontosan megértsék, a gondolataikat igyekezzenek szabatosan kifejteni. A matematikai gondolkodásmód fejlődésével egyre magabiztosabban képesek véleményt nyilvánítani, érvelni, mások gondolatait megérteni. A kerettanterv a 9. és 10. évfolyamon minimálisan heti 3, évi 108 matematikaórát ír elő. Az általános rendelkezés szerint a kerettantervek által előírt tartalmak a tantárgyak számára rendelkezésre álló időkeret mintegy 90%-át fedik le, beleértve a számonkérésre és ismétlésre biztosított óraszámot is. Tehát 9–10. évfolyamon, heti 3 óra mellett a tematikus egységekre javasolt óraszámok összege – a számonkérésre és ismétlésre biztosított 12 órával együtt – 97 óra, így a tematikus egységek feldolgozására javasolt óraszámok összege 85 óra, a szabadon felhasználható időkeret 11 óra lehet. 74

9. évfolyam 9. évfolyamon heti 3 órával számoltunk, de kerek zárójelben beírtuk a heti 4 órával számított órakeretet is. Szögletes zárójelbe írt óraszám jelzi a szabad órakeret felhasználására vonatkozó javaslatainkat. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok utolsó oszlopa tartalmazza. A tematikus egységeket a Műszaki Kiadó kiadásában megjelent, Hajdu Sándor: Matematika 9. Gondolkodni jó! tankönyv megfelelő fejezeteivel konkretizáljuk (lásd a táblázatok második oszlopát). A tantárgy óraszámán belül jelentkező szabad időkeretet a pedagógus, a helyi igényeknek megfelelően, kerettanterven kívüli tantárgyi tartalommal töltheti meg (lásd a „kiegészítő tananyagot”) vagy gyakorlásra, a tanultak elmélyítésére, a kapcsolódási lehetőségek kiaknázására stb. fordíthatja.


Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai


Órakeret 8 (10)

1.1. Halmazok, ponthalmazok.

Órakeret 6 (8)

Csoportosítás különböző szempontok alapján. Halmazműveletek véges halmazokon. Halmazábra. Részhalmaz. Számhalmazok, ponthalmazok.

A halmaz fogalmának ismerete, alkalmazása problémamegoldásra, matematikai modellek alkotására. Több szempont alkalmazása – megosztott figyelem. Definíciók, jelölések használata – az emlékezet fejlesztése.



Ismétlés: A naiv halmazelmélet alapfogalmai. Alaphalmaz, üres halmaz. Halmazok közötti viszonyok megjelenítése Részhalmaz. Halmaz komplementere. Halmazműveletek: unió, metszet, különbség. Korábbi ismeretek felhasználása, a tanult jelölések alkalmazása. Matematikatörténet: Georg Cantor. Halmazműveletek alkalmazása több halmazra, végtelen elemszámú halmazokra. Halmazok felbontása diszjunkt halmazok uniójára. Definíciók megfogalmazása, megértése. Számhalmazok. Intervallumok: zárt, nyílt, félig zárt, félig nyílt. A fogalom szemléletes kialakítása, majd definiálása. 75

Magyar nyelv és irodalom: mondatok, szavak, hangok rendszerezése.

Tankönyv

Órakeret


3 (4) óra


1 (1) óra



Nevezetes ponthalmazok: adott térelemtől adott távolságra lévő pontok halmaza – síkban és térben; két térelemtől egyenlő távol lévő pontok halmaza – síkban és térben; Vegyes feladatok ponthalmazok és halmazműveletek alkalmazására, szerkesztéssel is.

Informatika: geometriai szerkesztőprogram.

Ponthalmazok a koordinátasíkon. Koordinátákkal megadott feltételek. A Descartes-féle szorzat fogalmának szemléleti megalapozása. Matematikatörténet: René Descartes. Kulcsfogalmak/fogalmak


Tankönyv

Órakeret


2 (3) óra

9. tankönyv 49–55. , 117–121., 233–236. oldal.

Folyamatos

Halmaz, elem, eleme, alaphalmaz, üres halmaz, részhalmaz, unió, metszet, különbség, komplementer halmaz. Intervallum.

1.2. Matematikai logika


Előzetes tudás

Állítások megfogalmazása a hétköznapi életből. Matematikai állítások vizsgálata. Igaz és hamis állítások. Állítás tagadása.


A köznapi életben használt logikai következtetések és a matematikai logikában használt kifejezések összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendszerezése a célnak megfelelően. Matematikai állítások helyes megfogalmazása.

76



Matematikai tartalmú szöveg értelmezése. Tétel kimondása, bizonyítása. Állítás és megfordítása. Direkt, indirekt bizonyítás. Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel. Állítások megsejtése, bizonyítás vagy cáfolat megadása.

Tankönyv

Órakeret

Például 9. tankönyv 38–40., 57–60., 177., 200., 220–227. oldal.

Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY, „Minden”, „van olyan”, ha….,akkor. A köznapi szóhasználat és a matematikai kifejezés kapcsolatának megértése. Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, alkalmazása. Érvelés és vita, ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás során kulturált érvelés. Kulcsfogalmak/fogalmak


Folyamatos

Logikai művelet (NEM, ÉS, VAGY, Ha….akkor). Szükséges és elégséges feltétel. Sejtés, bizonyítás.



Órakeret 1 (2)

1.3. Kombinatorika

Elemek sorba rendezése, adott szempont szerinti kiválasztása, gráf használata egyszerű leszámolási feladatokban. A kombinatorikai problémák felfedezése a hétköznapi életben, modellek alkalmazása. A rendszerező képesség, a figyelem fejlesztése. Gráfok segédeszközként való használata a gondolkodásban.



Egyszerű kombinatorikai feladatok: leszámlálás, sorba rendezés, gyakorlati problémák A szorzási és összeadási szabály. Az összeszámlálás technikáinak megértése, alkalmazása.


77




Gráfok: csúcs, él, fokszám. Gráfok alkalmazása feladatmegoldásban. Gondolatmenet megjelenítése gráffal. Kulcsfogalmak/fogalmak

Kémia: molekulák szerkezete. Informatika: számítógépes hálózatok felépítés.

Tankönyv

Órakeret

9. tankönyv 15–17., 119--120. oldal.

Folyamatos

Szorzási szabály, összeadási szabály, gráf, csúcs, él, fokszám.



Órakeret 34 (49)

2.1. Valós számok

Órakeret 4 (8)

Előzetes tudás

Természetes számok, egész számok, racionális számok halmaza. Műveletek elvégzése a racionális számok halmazán fejben, írásban. Műveletek sorrendje, zárójelek használata. Hatványozás. A négyzetgyök fogalma.


A számkörbővítés elveinek belátása. Gondolkodás: ismeretek rendszerezésének fejlesztése. Az absztrakciós készség fejlesztése.



Racionális számok. Számok tizedestört alakja. Véges, végtelen szakaszos, végtelen nem szakaszos tizedestörtek. Irracionális számok. A valós számkör. Műveletek racionális számokkal (egész számokkal, törtekkel, tizedestörtekkel). Műveleti tulajdonságok alkalmazása: kommutativitás, aszszociativitás, disztributivitás. Műveletek sorrendje, zárójelek alkalmazása.

78


Órakeret 1 (2) óra folyamatos, a számítások végrehajtása során.



Tankönyv

Órakeret

Hatványozás, egész kitevőjű hatvány. Permanencia-elv. A hatványozás azonosságai. Számok normálalakja. Számolás normálalakkal írásban és számológép segítségével A valós számok és a számegyenes kapcsolata. A racionális számok halmaza nem elegendő a számegyenes pontjainak jelölésére. A négyzetgyök fogalma. Számok négyzetgyökének meghatározása számológéppel.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan: a tér, az idő, az anyagmennyiség nagy és kis méreteinek megadása normálalakkal.


Szöveges számítási feladatok a természettudományokból, a mindennapokból. Arány, arányosság, arányos osztás, százalékszámítás

Fizika; kémia; biológiaegészségtan: Számítási feladatok. Informatika: Problémamegoldás táblázatkezelővel. Földrajz: A pénzvilág működése.

9. tankönyv 28., 32., 33–36. oldal.





Természetes szám, egész szám, racionális szám (számok tört alakja, tizedestört alakja) valós szám, kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. Arány, százalék. Hatvány. Normálalak. Négyzetgyök

2.2. Algebrai kifejezések használata

Órakeret 10 (14)

Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel, (a  b) 2 , a 2  b2 , helyettesítési érték, zárójelfelbontás. Algebrai kifejezések biztonságos használata, célszerű átalakítási módok megtalálása, elvégzése. Direkt bizonyítási módszer alkalmazása. Ismeretek tudatos memorizálása, az emlékezet fejlesztése.

79



Algebrai kifejezések. Egész kifejezések, polinomok, törtkifejezések. A törtkifejezés értelmezési tartománya. Helyettesítési érték. Műveleti tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás) vizsgálata.

Fizika; kémia: mennyiségek kiszámítása képlet alapján, képletek átrendezése.

Nevezetes azonosságok: (a  b)3 ; (a  b  c)2 ; a 3  b3 ; a 3  b3 Ismeretek (képletek) tudatos memorizálása. Geometria és algebra összekapcsolása az azonosságok igazolásánál. Azonos átalakítások. Polinomok összeadása, kivonása, szorzása, hatványozása. Kiemelés, szorzattá alakítás. Polinomok szorzattá alakítása. Kifejezések legnagyobb közös osztója, legkisebb közös többszöröse. Algebrai törtek összeadása, kivonása, szorzása, osztása. Egyszerűsítés. Bővítés. A tanult azonosságok, tulajdonságok felhasználása algebrai átalakítások, egyszerűsítések során. Matematikatörténet: algebra – Al-Hvarizmi. Kulcsfogalmak/fogalmak


Fizika; kémia: képletek értelmezése, egyenletek rendezése.

Tankönyv

Órakeret


2 (3) óra


2 (3) óra

9. tankönyv 72–76., 80–86. oldal.

6 (8) óra

Algebrai kifejezés, polinom, algebrai tört, azonosság..

2.3. Oszthatóság

Órakeret 5 (7)

Osztó, többszörös, prímszám, prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Algebrai azonosságok alkalmazása oszthatósági feladatokban, az ismeretek kapcsolatának felfedezése.

80



Tankönyv

Órakeret

Osztó, többszörös, oszthatóság, oszthatósági szabályok. Algebrai azonosságok alkalmazása oszthatósági feladatokban. A tanult ismeretek felidézése: prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás. Végtelen sok prímszám van. A számelmélet alaptétele. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Osztók számának meghatározása a prímtényezős felbontásból. Matematikatörténet: Eukleidész, Püthagorasz, Fermat, Wiles; néhány számelméleti fogalom fejlődésének története (pl. tökéletes szám, ikerprím, prímszámok számossága).


5 (7) óra

Ajánlott tananyag: Számrendszerek. A helyiértékes írásmód lényege. Átírás tízes számrendszerből más alapú számrendszerbe. Kettes számrendszer. Matematikatörténet: Neumann János.


[+ 2 óra]




Oszthatóság, osztó, többszörös, prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás; legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Számrendszerek, 2-es számrendszer.

2.4. Egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer

Órakeret 15 (19)

Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Alaphalmaz vizsgálata, ellenőrzés. Azonosság. Szöveges feladatok – matematikai modell alkotása. Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; az ellenőrzés fontosságának belátása. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép használata.

81



Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek. Alaphalmaz, megoldáshalmaz, igazsághalmaz. Ekvivalens átalakítások. Mérlegelv. Egyenletek, egyenlőtlenségek algebrai megoldása, grafikus megoldása. Digitális technikák használata az egyenletmegoldás során.

Tankönyv

Órakeret

9. tankönyv 87–89., 129–130. oldal.

2 (2) óra


3 (4) óra

Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek. Törtek előjelének vizsgálata.


2 (3) óra

Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek.

9. tankönyv 110–113., 153. oldal.

2 (3) óra

9. tankönyv 97–100., 131–132.. oldal.

5 (7) óra

Elsőfokú egyenlettel, egyenlőtlenséggel megoldható szöveges feladatok. A korábban tanult feladattípusok megoldási módszereinek elmélyítése. A mindennapokhoz kapcsolódó problémák matematikai modelljének elkészítése, egyenlet felírása; a megoldás ellenőrzése, a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?).

Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek. Különböző módszerek megismerése és alkalmazása ugyanarra a problémára: Egyenletrendszerek grafikus megoldása. Behelyettesítő módszer. Egyenlő együtthatók módszere. Új ismeretlen bevezetése. Egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok. A kapott eredmény értelmezése, valóságtartalmának vizsgálata. Egyismeretlenes egyenlőtlenségrendszer. Kulcsfogalmak/fogalmak

Fizika: kinematika, dinamika. Kémia: oldatok összetétele.

Informatika: számítógépes program használata.

Elsőfokú egyismeretlenes egyenlet, egyenlőtlenség. Ekvivalens átalakítás. Alaphalmaz, megoldáshalmaz. értelmezési tartomány. Azonosság, azonos egyenlőtlenség. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer.

82


3. Függvények

Órakeret 14 (19)

Előzetes tudás

Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Lineáris függvények, fordított arányosság függvénye, abszolútérték függvény, másodfokú függvény ismerete.


Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvénymodell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Számítógép bevonása a függvények ábrázolásába, vizsgálatába.



Tankönyv

Órakeret

Függvény fogalma. Értelmezési tartomány, értékkészlet. A függvény megadási módjai, ábrázolása, jellemzése.

Informatika: függvényábrázolás, grafikonkészítés számítógépes program segítségével.


2 (2) óra

Egyenes arányosság. Elsőfokú függvények, lineáris függvények. Lineáris kapcsolatok felfedezése a hétköznapokban. Elsőfokú egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer grafikus megoldása.

Fizika; kémia: egyenesen arányos mennyiségek.

9. tankönyv 122–128., 129–132. oldal.

2 (3) óra

Abszolútérték-függvény. Másodfokú függvény. Hatványfüggvények. Négyzetgyökfüggvény. Gyökfüggvények. Konkrét függvények inverze. Egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény. A grafikon elkészítése és használata a függvény jellemzésére. A monoton növekedés, csökkenés, zérushely . Szélsőértékek, minimumhely, minimumérték; maximumhely, maximumérték. Zérushely. Korlátosság. Új fogalmak: periodicitás, paritás, korlátosság. Fordított arányosság, elsőfokú törtfüggvény.

Informatika: függvényábrázolás, grafikonkészítés számítógépes program segítségével.


6 (9) óra

83

Fizika; kémia: fordítottan arányos mennyiségek.



A tanult függvények (abszolútérték-függvény, másodfokú függvény, fordított arányosság függvénye) többlépéses transzformációi az alábbiak összetételé-



vel: f x   c ; f x  c  ; c  f x  ; f c  x  ; f x  .

Az x  ax 2  bx  c a  0 másodfokú függvény ábrázolása az

x  a( x  u) 2  v alak segítségével (teljes négyzetté kiegészítéssel).



Függvény. Valós függvény. Független változó, függvényérték. Értelmezési tartomány, értékkészlet. Függvénytulajdonságok: zérushely, növekedés, fogyás, szélsőértékhely, szélsőérték, korlátosság, paritás, periodicitás. Alapfüggvény. Függvénytranszformáció. Lineáris kapcsolat. Meredekség. Grafikus megoldás.

4. Geometria


4.1. Sokszögek


Előzetes tudás

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel és a Thalész-tétel ismerete.


Geometriai szemlélet, látásmódfejlesztés. A térbeli tájékozódás fejlesztése, tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal; a valóságos tárgyak formájának és a tanult formáknak az összevetése. Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata. Bizonyítási igény kialakítása.

84



Tankönyv

Órakeret

Geometriai alapfogalmak. Euklideszi szerkesztés fogalma. Térelemek távolsága, hajlásszöge (pont távolsága a síktól, két egyenes távolsága, hajlásszöge, egyenes és sík hajlásszöge, két sík hajlásszöge.) A szög ívmértéke. Átváltás fok és radián között. Adott tulajdonságú ponthalmazok.



A háromszög oldalai és szögei. Háromszög-egyenlőtlenség. Összefüggések a háromszög szögei között – belső szögek, külső szögek. Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között. A háromszögek szögeiről, oldalairól tanult tételek bizonyítása, alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban.


2 (3) óra

Informatika: geometriai szerkesztő 9. tankönyv 220–228.; 233–236. oldal. program használata.

3 (4) óra

9. tankönyv 237–244. oldal,

2 (2) óra

A háromszögek nevezetes vonalai: A háromszög oldalfelező merőlegesei, a háromszög köré írt köre. A háromszög magasságvonalai, magasságpontja. A háromszög szögfelező egyenesei, a háromszög beírt köre, hozzáírt körei. A háromszög súlyvonalai, súlypontja. A háromszögek nevezetes vonalairól és köreiről tanult tételek bizonyítása, alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Euler egyenes, Feuerbach kör bemutatása grafikus programmal. Négyszögek. Négyszögek csoportosítása szimmetriáik szerint. Érintőnégyszög.

85



Pitagorasz tétel és megfordításának bizonyítása és alkalmazása. Számítási feladatok síkban és térben. A tételt és megfordítását alkalmazzuk bizonyítási feladatokban. Matematikatörténet: Püthagorasz.

Órakeret


2 (3) óra

Thalész tétele és a tétel megfordításának bizonyítása és alkalmazása. Szerkesztési és bizonyítási feladatok. Körérintő szerkesztése. Matematikatörténet: Thalész.


2 (3) óra

Sokszögek, szabályos sokszögek. Belső és külső szögek összege. Átlók száma. A sokszög területe.

9. tankönyv 213–214., 245–248. oldal,

2 (2) óra

Átismétlésre ajánlott tananyag (a fejlesztés várt eredményei között szerepel) Kör és részei, kör és egyenes. Ív, húr, körcikk, körszelet. Szelő, érintő. A körív hossza. Egyenes arányosság a középponti szög és a hozzá tartozó körív hossza között (szemlélet alapján). A körcikk területe. Egyenes arányosság a középponti szög és a hozzá tartozó körcikk területe között (szemlélet alapján).

9. tankönyv 52., 249–251. oldal.


Fizika: vektor felbontása merőleges összetevőkre.

Tankönyv

[2 óra]

Térelem. Tér, sík, egyenes, pont. Szög, ívmérték. Axióma. Euklideszi szerkesztés. Sokszög, átló, belső szög, külső szög. Szabályos sokszög. Háromszög (speciális háromszögek). A háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Hozzáírt kör. Pitagorasz-tétel, Thalész-tétel. Négyszög (négyzet, téglalap, rombusz, paralelogramma, trapéz, deltoid, húrtrapéz; érintőnégyszög). Kör, ív, húr, körcikk, körszelet. Szelő, érintő.

86





Geometriai transzformációk fogalmának ismerete. Az egybevágó alakzatok, valamint a tengelyes szimmetria és a középpontos szimmetria felismerése a környezetünkben, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. A hasonló alakzatok felismerése, a hasonlóság (nagyítás, kicsinyítés) alkalmazása. A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepe a matematikában és a valóságban. Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számítógép használata.



A geometriai vektorfogalom. Vektorok összege, két vektor különbsége. Vektor szorzása valós számmal. A vektor fogalmának alkalmazása geometriai fogalmak (eltolás, csúsztatva tükrözés) értelmezésében, feladatok megoldásában. Geometriai transzformáció fogalma. Az egybevágóság fogalma. Egybevágó alakzatok felismerése. Szögpárok. Alakzatok egybevágósága. A háromszögek egybevágóságának alapesetei. Egybevágósági transzformációk rendszerezése. Tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás, csúsztatva tükrözés, identitás. A geometriai transzformációk tulajdonságai: fixpont, fixegyenes, fixsík; zögtartás, távolságtartás, irányítástartás; szimmetrikus és nem szimmetrikus transzformáció. Geometriai transzformációk szorzata. Egyszerű szerkesztési feladatok.

87

Tankönyv 9. tankönyv 64–68., 168.; 170.; 177.; 185–186. oldal.

Informatika: Tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

9. tankönyv 165–173., 177–181., 181–183., 183–188. oldal.


7 (9) óra



Szimmetrikus alakzatok. A szimmetrián alapuló tulajdonságok felismerése: szögek, szakaszok egyenlősége A paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala. A középpontos tükrözés alkalmazása. Háromszögek, négyszögek csoportosítása szimmetriaviszonyaik alapján.



Órakeret

9. tankönyv 174–177., 237–244. oldal.

2 (2) óra

Geometriai transzformáció, egybevágósági transzformáció, a háromszög egybevágóságának alapesetei. Egybevágó alakzatok. Szimmetrikus alakzat. Vektor, nullvektor, ellentett vektor, egyenlő vektorok; vektorok összeadása (paralelogramma-módszer, láncmódszer), kivonása, számmal való szorzása.


Vizuális kultúra: Kifejezés, képzőművészet; művészettörténeti stíluskorszakok.

Tankönyv



Adatok elemzése. Táblázatok, diagramok, grafikonok olvasása. Százalékszámítás. Adatsokaság, gyakoriság, relatív gyakoriság, módusz, medián, átlag. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Adatok gyűjtése. Táblázat értelmezése, készítése. Az adatsokaság kiértékelése (relatív gyakoriság, eloszlás, átlag, szórás), következtetések. Diagram, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram készítése, olvasása. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában.



Statisztikai adatok gyűjtése, rögzítése, rendszerezése, ábrázolása és jellemzése (gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás, kördiagram, oszlopdiagram, vonaldiagram). Diagramok rajzolása számítógéppel. Adatok rendezése, osztályokba sorolása, táblázatba rendezése, ábrázolása. Következtetések levonása. Számítógép használata: adatkezelés, adatfeldolgozás, információmegjelenítés. Adathalmazok jellemzői: terjedelem, átlag, medián, módusz, szórás.

Földrajz: időjárási, éghajlati és gazdasági statisztikák. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: történelmi, társadalmi témák vizuális ábrázolása (táblázat, diagram).

88




Kiegészítő tananyag Harmonikus közép, mértani közép, négyzetes közép (hogy az adatsor nem mindig jellemezhető a számtani átlag és a szórás segítségével). Kulcsfogalmak/fogalmak:

[2 óra]

Adat. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Diagramok, táblázat. Módusz, medián, átlag (számtani közép), szóródási mutatók.



 Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése. A számhalmazok ismerete. A halmazelmélet fogalmainak eszközszerű alkalmazása matematikai (aritmetikai, algebrai, függvénytani, geometriai) fogalomrendszerek értelmezésében, a fogalmak közti kapcsolatok feltárásában. A halmazműveletek ismerete, alkalmazásuk konkrét számhalmazok, intervallumok, ponthalmazok, geometriai alakzatok halmazai stb. esetén.  Értsék és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétköznapi életben.  Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése.  Kiválasztási és sorba rendezési feladatok megoldása szisztematikus összeszámlálással. A megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban.  Gráffal kapcsolatos alapfogalmak ismerete. A gráfokról tanult ismereteiket alkalmazása gondolatmenet szemléltetésére, elemek közti kapcsolatok szemléltetésére, probléma megoldására. Számtan, algebra  A valós számkör fogalomrendszerének ismerete, e számkörben megismert műveletek alkalmazása. Biztos műveletvégzés a racionális számkörben. A műveleti tulajdonságok alkalmazhatóságának és a helyes a műveleti sorrendnek a felismerése, zárójelek használata. A számológép biztos használata.  Az egész kitevőjű hatványok értelmezése, a hatványozás azonosságainak ismerete, alkalmazása.  Számok normálalakja. Számolás normálalakkal írásban és számológép segítségével.  A négyzetgyökvonás fogalmának ismerete.  A számelmélet elemeinek ismerete. Az oszthatóság alkalmazása egyszerű feladatok megoldásában.  A matematikai szöveg értő olvasása, szövegekből a lényeg kiemelése.

89

 Polinom fogalmának ismerete. Az algebrai kifejezések helyettesítési értékének kiszámítása. Algebrai törtkifejezés átalakítása, értelmezési tartományának meghatározása. Műveletek algebrai kifejezésekkel. A tanultak alkalmazása a matematikában, a társtantárgyakban és a mindennapi gyakorlatban előforduló problémák megoldásában. Például modellalkotás szöveg alapján, egyenletek megoldása, képletek értelmezése, ismeretlen változó kifejezése képletből.  Elsőfokú egyismeretlenes egyenlet, egyenlőtlenség algebrai és grafikus megoldása; ilyen egyenletre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz egyenletek felírása és azok megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése.  Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai és grafikus megoldása; ilyen egyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz az egyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. Összefüggések, függvények, sorozatok


 A reláció, az egyértelmű reláció, a függvény fogalmának ismerete. A függvény megadása. A szereplő halmazok (értelmezési tartomány, értékkészlet) ismerete.  A függvényfogalom mélyülése új ismeretek során. Új függvényjellemzők ismerete (zérushely, monoton növekedés, csökkenés, szélsőértékhely, szélsőérték, korlátosság, paritás, periodicitás) ismerete.  A lineáris függvény (speciálisan egyenes arányosság, konstans függvény) fogalmának és tulajdonságainak ismerete. A meredekség értelmezése. A lineáris függvény grafikonjának megrajzolása paramétereinek ismeretében. A paraméterek leolvasása a grafikon segítségével.  A lineáris kapcsolatok felismerése a matematika különböző területein, a társtantárgyakban és a mindennapi gyakorlatban. Függvénymodell készítése lineáris kapcsolatokhoz.  Elsőfokú egyenlet és egyenlőtlenség, elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása.  A tanult alapfüggvények (az abszolútérték-függvény, a másodfokú függvény, a négyzetgyökfüggvény, a fordított arányosság függvénye) ismerete, a grafikonok megrajzolása, jdellemzése a grafikon segítségével.  Többlépéses függvénytranszformációk végrehajtása: f ( x)  c; f ( x  c); c  f ( x); f ( x) ; f (c  x) .  Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzése a megfelelő függvény grafikonja alapján.  A tanulók tudják az elemi függvényeket ábrázolni koordináta-rendszerben, és a legfontosabb függvénytulajdonságokat meghatározni, nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, és különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is.

90

Geometria


 Térelemek ismerete; a térelemek egymáshoz való viszonyának felismerése. A távolság és a szög fogalma, mérése. A szög ívmértéke. A pozitív, illetve a negatív elforgatás fogalmának ismerete, megszerkesztése.  Síkbeli nevezetes ponthalmazok (szakaszfelező merőleges, szögfelező, adott egyenessel párhuzamos egyenespár, körvonal, körlap) ismerete, szerkesztésük, alkalmazásuk egyszerű szerkesztésekben. Nevezetes ponthalmazok felismerése a térben. A kör és részeinek ismerete. Az érintőnégyszögek tétele.  Az egybevágósági transzformáció fogalmának ismerete. A tanult egybevágósági transzformációk (identitás, eltolás, középpontos tükrözés, forgatás; tengelyes tükrözés, csúsztatva tükrözés) végrehajtása. Az egyes egybevágósági transzformációk legfontosabb tulajdonságainak (irányítástartás, irányításváltás, fixpont, fixalakzat stb.) ismerete.  Egybevágó alakzatok felismerése; a háromszögek egybevágóságának alapesetei, két egybevágó alakzat több szempont szerinti összehasonlítása (pl. távolságok, szögek, kerület, terület, térfogat). A tengelyes szimmetria, középpontos szimmetria, forgásszimmetria [eltolásszimmetria] ismerete, alkalmazása.  Háromszögek tulajdonságainak (szögekkel, oldalakkal kapcsolatos alaptulajdonságok, nevezetes vonalak, pontok, körök, Thalész-tétel) ismerete, alkalmazásuk számításokban, szerkesztésekben. Szerkesztőprogramok alkalmazása.  A Pitagorasz-tétel ismerete, alkalmazása derékszögű háromszögre visszavezethető számításokban, a tanultak alkalmazása gyakorlati problémák megoldásában.  A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesek számítási feladatokat, szerkesztéseket elvégezni. A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontos munkavégzésre.  Szimmetrikus négyszögek, illetve a szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete.  Konvex sokszögek általános tulajdonságainak ismerete.  Vektor geometriai fogalmának ismerete; vektorok összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal.  Kerület, terület szemléletes fogalmának kialakulása, a jellemzők kiszámítása képlet alapján; mértékegységek ismerete; valós síkbeli, illetve térbeli probléma geometriai modelljének megalkotása. Valószínűség, statisztika  Statisztikai adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. Táblázatok olvasása és készítése, diagramok olvasása és készítése.  Adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának (számtani közepének) értelmezése, meghatározása.  A statisztikai feladatok megoldása során a diákok rendszerező képessége fejlődött. A tanulók képesek adatsokaságot jellemezni, ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni.

91

10. évfolyam 10. évfolyamon heti 3 órával számoltunk, de kerek zárójelben beírtuk a heti 4 órával számított órakeretet is. Szögletes zárójelbe írt óraszám jelzi a szabad órakeret felhasználására vonatkozó javaslatainkat. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok utolsó oszlopa tartalmazza. A tematikus egységeket a Műszaki Kiadó kiadásában megjelent, Hajdu Sándor: Matematika 10. Gondolkodni jó! tankönyv megfelelő fejezeteivel konkretizáljuk (lásd a táblázatok második oszlopát). A tantárgy óraszámán belül jelentkező szabad időkeretet a pedagógus, a helyi igényeknek megfelelően, kerettanterven kívüli tantárgyi tartalommal töltheti meg (lásd a „kiegészítő tananyagot”) vagy gyakorlásra, a tanultak elmélyítésére, a kapcsolódási lehetőségek kiaknázására stb. fordíthatja. Tematikai egység/ Fejlesztési cél


Órakeret 6 (10)

1.1. Halmazok, ponthalmazok

Órakeret 3 (6)

1.2. Matematikai logika Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Csoportosítás különböző szempontok alapján. Halmazműveletek véges halmazokon. Halmazábra. Részhalmaz. Számhalmazok, ponthalmazok.

A halmaz fogalmának ismerete, alkalmazása problémamegoldásra, matematikai modellek alkotására. Több szempont alkalmazása – megosztott figyelem. Definíciók, jelölések használata – az emlékezet fejlesztése.



Halmazok számossága. Véges és végtelen halmazok, megszámlálható, nem megszámlálható halmazok. A halmazelmélet eszközszerű alkalmazása a számfogalom felépítésében, kombinatorikában, ponthalmazok értelmezésében és vizsgálatában, sokszögek rendszerezésében stb. Matematikatörténet: Georg Cantor.

92

Magyar nyelv és irodalom: mondatok, szavak, hangok rendszerezése.


Órakeret 2 (3) óra + folyamatos a matematika minden témakörében.



Matematikai tartalmú szövegek értelmezése. Tétel kimondása, bizonyítása. Állítás és megfordítása. Direkt és indirekt bizonyítás, skatulyaelv, logikai szita. Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel. Állítások megsejtése, bizonyítás vagy cáfolat megadása.


Magyar nyelv és irodalom: retorikai alapismeretek.

Folyamatos, minden témakörben.


Folyamatos

Halmazelméleti fogalmak és jelölések. Logikai művelet (nem, és, vagy. ha…., akkor …; akkor és csak akkor …, ha). Minden, van olyan. Feltétel és következmény. Definíció. Sejtés, tétel, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás.


Órakeret

Például: 10. tankönyv 9–11., 15–17., 27–29., 72., 87–88., 142–146., 254–255. oldal.

Logikai műveletek, „nem”, „és”, „vagy”, „ha …, akkor …”, valamint a „minden” és a „van olyan” helyes használata. „Akkor és csak akkor” típusú állítások értelmezése, helyes használata. Kulcsfogalmak/fogalmak

Tankönyv


1.3. Kombinatorika

Elemek sorba rendezése, adott szempont szerinti kiválasztása, gráf használata egyszerű leszámolási feladatokban. A kombinatorikai problémák felfedezése a hétköznapi életben, modellek alkalmazása. A rendszerező képesség, a figyelem fejlesztése. Gráfok segédeszközként való használata a gondolkodásban.



Egyszerű kombinatorikai feladatok. Általános összeszámlálási szabályok felismerése a konkrét példákra támaszkodva. Gráfok alkalmazása. Ismétlés nélküli és ismétléses permutáció. A faktoriális fogalma. Ismétlés nélküli és ismétléses variáció. Ismétlés nélküli kombináció. A binomiális együttható jelentése, kiszámítása. Matematikatörténet: Pascal. 93




Szorzási szabály, permutáció, faktoriális, variáció, kombináció, binomiális együttható. Gráf, gráf csúcsa, éle, a csúcs fokszáma.





2.1. Valós számok

Órakeret 7 (10)óra

Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Számolás racionális számkörben, zárójelhasználat, műveletek sorrendje. Mértékegység-átváltás. Az egész kitevőjű hatványozás fogalma, azonosságai. Normál alak fogalma. Számolás normál alakkal. A négyzetgyök fogalma. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelési és –megoldási képesség fejlesztése. Számológép készségszintű használata.



Tankönyv

Órakeret

Ismétlés: Hatványozás 0 és negatív egész kitevőre. Permanencia-elv. A hatványozás azonosságai.


1 (1) óra

A négyzetgyök definíciója, hatványalakja. A négyzetgyök azonosságai. Indirekt bizonyítás: a irracionális szám. Négyzetgyökös betűkifejezések értelmezési tartományának vizsgálata. Négyzetgyököt tartalmazó algebrai kifejezések átalakításai: Bevitel a gyökjel alá, kiemelés a gyökjel alól. A nevező gyöktelenítése. Ismétlés: A négyzetgyökfüggvény.

10. tankönyv 14–23., 34–41. oldal.

4 (7) óra

Az n-edik gyök fogalma. A gyök hatványalakja. A gyökvonás azonosságainak bizonyítása a hatványalak segítségével. Bevitel a gyökjel alá, kiemelés a gyökjel alól.


94

[+ 1 óra]

2 (4) óra [+ 2 óra]


Hatvány. Négyzetgyök, n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Bevitel a gyökjel alá, kivitel a gyökjel alól. A nevező gyöktelenítése.


2.2. Algebrai kifejezések használata

Órakeret 8 (10)

Előzetes tudás

Egyszerű algebrai egész és törtkifejezések ismerete, kiemelés. Az algebrai kifejezésekkel végzett műveletek szabályinak alkalmazása, a nevezetes azonosságok ismerete, a helyettesítési érték meghatározása. Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel. Zárójelfelbontás.


Algebrai egész és törtkifejezések biztonságos használata, helyettesítési érték meghatározása, a célszerű átalakítási módok megtalálása, elvégzése. Az irracionális algebrai kifejezés fogalmának ismerete, irracionális kifejezések átalakításai. Algebrai kifejezések értelmezési tartományának megállapítása. Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel, a nevezetes azonosságok alkalmazása feladathelyzetekben. Direkt bizonyítási módszer alkalmazása. Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés igényének erősítése. Ismeretek tudatos memorizálása.



Tankönyv

Órakeret

Két szám számtani- és mértani közepe, a köztük lévő egyenlőtlenség. Algebrai bizonyítás. Szélsőérték-feladatok. Másodfokú függvények vizsgálata, a másodfokú kifejezés teljes négyzeté alakítása (a nevezetes azonosság alkalmazásával).


3 (4) óra

Algebrai törtek. Racionális, irracionális algebrai kifejezések fogalma. Gyököket tartalmazó algebrai kifejezések átalakításai a tanult eljárások, azonosságok felhasználásával. Törtkifejezés, irracionális kifejezés értelmezési tartománya.

10. tankönyv 34–41., 95 – 97. oldal.

5 (6) óra

95


Irracionális algebrai kifejezés. Négyzetgyök, n-edik gyök. Bevitel a gyökjel alá, kivitel a gyökjel alól. A nevező gyöktelenítése. Algebrai kifejezés értelmezési tartománya.


2.4. Egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer


Előzetes tudás

Elsőfokú egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer algebrai és grafikus megoldása. Egyszerű szöveg alapján egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése. Egyszerű algebrai egész és törtkifejezésekkel végzett műveletek eszközszerű alkalmazása az egyenletek megoldása során. A másodfokú kifejezés teljes négyzeté alakítása. A másodfokú függvény grafikonjának megrajzolása.


Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; az ellenőrzés fontosságának belátása. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép használata.



Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek. Grafikus megoldás. Teljes négyzetté kiegészítés. Egyenletmegoldás szorzattá alakítással. Algoritmus keresése a megoldásra. A másodfokú egyenlet megoldóképlete. A megoldóképlet készségszintű alkalmazása. Számológép használata. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa. Diszkusszió. Gyöktényezős alak, Viete-formulák. Törtes egyenletek.


96




Másodfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok. Modellalkotás, megoldási módszerek. Szövegben történő ellenőrzés. Másodfokú függvények vizsgálata. Teljes négyzetté alakítás. Számítógépes program használata. Másodfokú egyenlőtlenségek. Szélsőérték feladatok. Másodfokú függvény vizsgálatával, számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség felhasználásával. Másodfokú azonos egyenlőtlenségek.

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás leírása. Informatika: számítógépes program használat.



Lásd még az előző témakörben: 10. tankönyv 99–102. oldal.

Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek.


2 (3) óra

Másodfokúra visszavezethető egyenletek. Új ismeretlen bevezetése. Matematikatörténet: magasabb fokú egyenletek megoldhatósága.


2 (2) óra

Négyzetgyökös egyenletek. Ekvivalens és nem ekvivalens egyenlet-megoldási lépések. Hamis gyök, gyökvesztés.


2 (3) óra

Paraméteres egyenletek. Egyszerű első- és másodfokú egyenletek.


2 (2) óra


2 (3) óra

Másodfokú egyenletrendszer. Másodfokú egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok. A korábban megismert módszerek alkalmazása az adott környezetben. Kulcsfogalmak/fogalmak

Fizika: ütközések.

Másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség, teljes négyzetté alakítás, megoldóképlet, diszkrimináns, diszkusszió. Egyenletrendszer. Négyzetgyökös egyenlet. Paraméteres egyenlet. 97


3. Függvények


Előzetes tudás

Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. A valós függvények alaptulajdonságainak (zérushely, monoton növekedés, csökkenés, szélsőértékhely, szélsőérték, korlátosság, paritás, periodicitás) felismerése a grafikon segítségével. A lineáris függvény (speciálisan egyenes arányosság, konstans függvény) fogalmának és tulajdonságainak ismerete. A meredekség értelmezése. A lineáris függvény grafikonjának megrajzolása paramétereinek ismeretében. A paraméterek leolvasása a grafikon segítségével. A másodfokú függvény, a fordított arányosság, az abszolútérték-függvény és a négyzetgyökfüggvény fogalmának, grafikonjának ismerete.


Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvénymodell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Számítógép bevonása a függvények ábrázolásába, vizsgálatába.



A függvényekről tanultak eszközszerű alkalmazása (grafikonok megrajzolása, zérushely, szélsőértékhely, szélsőérték, adott független változóhoz tartozó függvényérték megadása, egyszerű függvénytranszformációk végrehajtása) másodfokú és másodfokúra vezető egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldásában, illetve a megoldhatóság vizsgálatában. Az f(x) típusú transzformáció. Kulcsfogalmak/fogalmak

Tankönyv 10. tankönyv 70., 74–75., 78., 99–102., 104–106., 109., 229–233. oldal.

Abszolútérték-függvény, másodfokú függvény, négyzetgyökfüggvény, Függvénytulajdonságok: monoton növekvés, csökkenés, szélsőértékhely, szélsőérték, zérushely, paritás, korlátosság, alsó korlát, felső korlát. Függvénytranszformáció. Grafikus megoldás.

98

Órakeret 1 (3) óra folyamatos

4. Geometria





Előzetes tudás


Geometriai transzformációk fogalmának ismerete, az egybevágósági transzformációk megszerkesztése, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. Az egybevágó alakzatok, valamint a tengelyes szimmetria és a középpontos szimmetria felismerése a környezetünkben, alkalmazásuk geometriai vizsgálatokban. A hasonló alakzatok felismerése, a hasonlóság (nagyítás, kicsinyítés) alkalmazása. A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepe a matematikában és a valóságban. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számológép, számítógép használata.



Tankönyv

Ismétlés: Geometriai transzformációk. Háromszögek egybevágósága, síkidomok, testek egybevágósága. Egybevágósági transzformációk vizsgálata a térben.


A vektor. Ellentett vektorok, nullvektor, egyenlő vektorok, vektor abszolútértéke. Műveletek vektorokkal: A vektorműveletek tulajdonságai. összeadás, kivonás; számmal való szorzás. Vektor felbontása összetevőkre. Szerkesztési feladatok. Vektorműveletek gyakorlása síkbeli és térbeli ábrákon is. Analógia a számhalmazokon végzett műveletekkel. Bázisvektorok, bázisrendszer. Vektorok koordinátái. Helyvektor, szabadvektor. Vektor hosszának számítása konkrét feladatban.


99

Órakeret [2 óra]

3 (4) óra + [1 óra]



A párhuzamos szelők tétele és megfordítása. A párhuzamos szelőszakaszok tétele. Szakasz arányos osztása. Számítási és bizonyítási feladatok.

Tankönyv

Órakeret


2 (3) óra


2 (3) óra

10. tankönyv 161–168., 175–180. oldal.

2 (3) óra

Arányossági tételek háromszögekben. Szögfelező tétel, magasságtétel, befogótétel. A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség geometriai bizonyítása. Mértani közép szerkesztése. Egyszerű szélsőérték- feladatok. Aranymetszés.

10. tankönyv 147–149., 166–175., 180. oldal.

3 (4) óra + [1 óra]

Kerületi és középponti szögek és a hozzá kapcsolódó tételek. Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak jegyzése, következtetések levonása. Húrnégyszögek és érintőnégyszögek definíciója, tételei. Speciális érintőnégyszögek, húrnégyszögek. Látókörív. Látókörív szerkesztése. Körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele. Egyszerű számítási és bizonyítási feladatok.


A középpontos hasonlóság fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. Aránytartó transzformáció. Szerkesztési, számítási, bizonyítási feladatok megoldása.

Informatika: Tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

Hasonló alakzatok. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. A sokszögek hasonlósága. A hasonlóság alkalmazása szerkesztésekben, számításokban. A hasonló síkidomok területének aránya. A hasonló testek felszínének és térfogatának aránya.

Fizika: Súlypont, tömegközéppont. A lejtőn történő mozgás leírása során hasonló háromszögek keresése.

Fizika: Lencsék képalkotása.

100

(Lásd korábban: 9. tankönyv 226–228. oldal.)

2 (3) óra + [1 óra]


Vektor, nullvektor, ellentett vektor, egyenlő vektorok; vektorok összeadása (paralelogramma-módszer, láncmódszer), kivonása, számmal való szorzása. vektorfelbontás. Bázisvektor, bázisrendszer, vektorkoordináta. Helyvektor. Geometriai transzformáció, középpontos hasonlóság, hasonlósági transzformáció, aránytartás. A háromszög egybevágóságának alapesetei. A háromszög hasonlóságának alapesetei. Hasonló alakzatok. Számtani és mértani közép.


5. Szögfüggvények


Megjegyzés

A 11. évfolyamon (a „spirális építkezés” és a fogalmak „hosszú érlelésének” elvét követve) a kerettanterv visszatér a szögfüggvények részletes tárgyalására. Ezért a pedagógusnak el kell döntenie, hogy melyik évfolyamon milyen mélységben foglalkozzanak az egyes témakörök feldolgozásával.

Előzetes tudás

Hasonlóság alkalmazása számolási feladatokban, vektorok koordinátáinak használata. Függvényjellemzők vizsgálata.


Síkbeli és térbeli ábra készítése a valós geometriai problémáról. Számítási feladatok, a megoldáshoz alkalmas szögfüggvény megtalálása. Számológép, számítógép használata.



Távolságok, magasságok meghatározása arányokkal. A valóság kicsinyített ábrájáról szögek és szakaszok meghatározása méréssel és számolással. A hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciója. Szögfüggvény értékének és szögek értékének meghatározása számológéppel. Számítási feladatok szögfüggvények használatával síkban és térben. Nevezetes szögek szögfüggvényei: 30°; 60°; 45°.

101

Fizika: lejtőn mozgó testre ható erők kiszámítása.





Tankönyv

Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között. Pótszögek szögfüggvényei. Egyszerű trigonometrikus összefüggések bizonyítása. Területszámítás szögfüggvényekkel. Számítások síkban és térben.


A szög ívmértéke. A radián mint mértékegység. Átváltás fok és radián között.

Lásd 9. tankönyv 56. oldal.

A szögfüggvények általános értelmezése. Forgásszög, egységvektor, vektorkoordináták, egységkör. A szögfüggvények előjele a különböző síknegyedekben. Szögfüggvények közötti összefüggések: (pitagoraszi, tört és reciprok összefüggés, pótszög és mellékszög szögfüggvényei). Egyszerű trigonometrikus összefüggések bizonyítása. A trigonometrikus függvények ( x  sin x; x  cos x; x  tg x ) ábrázolása, jellemzése. A szögfüggvények értelmezési tartománya, értékkészlete, zérushelyek, szélsőérték, periódus, monotonitás, korlátosság, paritás. Függvénytranszformáció, függvényvizsgálat. Egyszerű trigonometrikus egyenletek. A szögfüggvény definíciójának felhasználása a megoldáshoz. Az egyenletnek végtelen sok megoldása van. Kulcsfogalmak/fogalmak

Fizika: harmonikus rezgőmozgás, hullámmozgás leírása.


Folyamatos

10. tankönyv 211–225., 233–241. oldal.

8 (10) óra


3 (4) óra

Informatika: grafikonok elkészítése számítógépes programmal.

Egységvektor, egységkör, ívmérték, radián, szögfüggvény, szinusz, koszinusz, tangens, periódus, trigonometrikus egyenlet.

102



Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok készítése, olvasása. Százalékszámítás. Gyakoriság, relatív gyakoriság, esély. Ismeretek rendszerezése. Tapasztalatszerzés újabb kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése (relatív gyakoriság, eloszlás), következtetések. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában. A valószínűségi gondolkodás fejlesztése, a fogalmak mélyítése. A kritikus gondolkodás, a döntéshozatal képességének fejlesztése..



Véletlen jelenségek megfigyelése. Kockadobások, pénzérme. Véletlen jelenségek számítógépes szimulációja. Esemény, eseménytér, biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Műveletek eseményekkel (események metszete, egyesítése, különbsége), konkrét feladatok megoldásához kapcsolódva. Kétváltozós műveletek értelmezése. Egyszerűbb események valószínűségének kiszámítása. Klasszikus valószínűségi modell. A valószínűség meghatározása kombinatorikus eszközökkel. Matematikatörténet: Érdekességek a valószínűség-számítás történetéből, de Méré lovagtól Myron Scholesig. . Kulcsfogalmak/fogalmak




Véletlen tömegjelenség, kísérlet. Esemény. Elemi események. Biztos esemény, lehetetlen esemény. Gyakoriság, relatív gyakoriság, esély, valószínűség, lehetséges eset, kedvező eset..

103

Gondolkodási és megismerési módszerek  Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete. Halmazműveletek alkalmazása számhalmazokra, ponthalmazokra, intervallumokra, véges és végtelen halmazokra.  Értsék és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétköznapi életben.  Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése.  Bizonyítási módszerek ismerete, a logikai szita és a skatulyaelv alkalmazása feladatmegoldás során.  Kiválasztási és sorba rendezési feladatok megoldása szisztematikus összeszámlálással, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban. Szorzási és összeadási szabály alkalmazása.  Gráffal kapcsolatos alapfogalmak ismerete. A gráfokról tanult ismereteiket alkalmazása gondolatmenet szemléltetésére, probléma megoldására. Számtan, algebra A fejlesztés elvárt eredményei a 10. évfolyam végén

 Racionális és irracionális számok - a valós számok halmazának szemléletes fogalma. Biztos műveletvégzés a racionális számkörben, műveletek sorrendje, zárójelek használata. A számológép biztos használata.  Az egész kitevőjű hatványok értelmezése, a hatványozás azonosságainak ismerete, alkalmazása. Számok normálalakjának értelmezése, normálalakkal műveletek végzése.  Négyzetgyökvonás, műveletek négyzetgyökös kifejezésekkel, a négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása. Bevitel a gyökjel alá, kiemelés a gyökjel alól. A nevező gyöktelenítése. Az értelmezési tartomány meghatározása.  A természetes szám kitevőjű gyökvonás fogalmának ismerete, a gyökvonás azonosságainak alkalmazása átalakítások során.  Polinom fogalmának ismerete. Algebrai törtkifejezések átalakítása, értelmezési tartományának meghatározása.  Algebrai kifejezésekkel végzett műveletek, azonosságok alkalmazása.  Négyzetgyökös kifejezések értelmezési tartományának meghatározása; a tanultak alkalmazása a matematikai problémák megoldásában (pl. modellalkotás szöveg alapján, egyenletek megoldása, képletek értelmezése).  Elsőfokú, másodfokú egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása; ilyen egyenletre, egyenlőtlenségre vezető szöveges és gyakorlati feladatban a helyes modell megtalálása, az egyenlet felírása és megoldása, a megoldás ellenőrzése.  A másodfokú egyenlet diszkriminánsának vizsgálata. A gyökök és együtthatók közötti összefüggés, a gyöktényezős alak alkalmazása.

104

– Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák megoldása teljes négyzetté alakítással.  Egyismeretlenes törtes egyenletek megoldási módszereinek ismerete, alkalmazása.  Egyszerűsítő eljárások alkalmazása speciális magasabbfokú egyenletek megoldásánál (új ismeretlen bevezetése, szorzattá alakítás). – Egy-két négyzetre emeléssel megoldható négyzetgyökös egyenletek megoldása. Az ekvivalens átalakítások felismerése. A hamis gyök felismerése, a gyökvesztés lehetőségének kizárása.  Elsőfokú és másodfokú (egyszerű) kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása; ilyen egyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz az egyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése.  Egyszerű trigonometrikus egyenletek [ k  f c  x   d ] megoldása. A megoldások számának vizsgálata.  A grafikus egyenletmegoldási módszer ismerete és alkalmazása.  A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek, keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényeg kiemelésére. A fejlesztés elvárt eredményei a 10. évfolyam végén

Összefüggések, függvények, sorozatok  A függvényfogalom mélyülése új ismeretek során. A függvény megadása, értelmezési tartomány, értékkészlet; valós függvények korábban és újonnan megismert jellemzőinek ismerete, felismerése a grafikon segítségével.  Függvénymodell készítése lineáris kapcsolatokhoz; a meredekség értelmezése.  Az x  ax 2  bx  c (a  0) másodfokú függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással, geometriai transzformációk alkalmazásával. Másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer grafikus megoldása. Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák megoldása.  A négyzetgyök függvény, abszolútérték-függvény ismerete (tulajdonságok, grafikon).  A trigonometrikus alapfüggvények ( x  sin x; x  cos x; x  tg x ) értelmezése, ábrázolása, jellemzése.  Többlépéses függvénytranszformációk végrehajtása: f ( x)  c; f ( x  c); c  f ( x); f ( x) ; f (c  x) .  Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzése a megfelelő függvény grafikonja alapján.  A tanulók tudják az elemi függvényeket ábrázolni koordináta-rendszerben, és a legfontosabb függvénytulajdonságokat meghatározni, nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, és különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is.

105

Geometria      

 A fejlesztés elvárt eredményei a 10. évfolyam végén

    

Térelemek ismerete; távolság és szög fogalma, mérése. Nevezetes ponthalmazok ismerete, szerkesztésük. A kör és részeinek ismerete. Háromszögek tulajdonságainak ismerete (alaptulajdonságok, nevezetes vonalak, pontok, körök). Körrel kapcsolatos tételek alkalmazása (kerületi és középponti szögek tétele, húrnégyszögek tétele). A tanult egybevágósági transzformációk és ezek tulajdonságainak ismerete, alkalmazásuk szerkesztési és bizonyítási feladatokban, valamint új fogalmak értelmezésében. A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete. A középpontos hasonlóság és a hasonlósági transzformáció ismerete. A háromszög hasonlósági alapeseteinek ismerete, alkalmazásuk számításokban, bizonyításokban. A háromszög súlyvonalai, súlypontja. A háromszögekre vonatkozó arányossági tételek alkalmazása. Hasonló síkidomok területének aránya. Vektor; vektorok összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal. Bázisvektorok, bázisrendszer fogalmának ismerete, a vektor felbontása, vektorkoordináták meghatározása adott bázisrendszerben. Vektor hossza Hegyesszögek, forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése, számolás szögfüggvényekkel. A szögfüggvények ismeretének felhasználása gyakorlati problémák megoldásánál. Szögfüggvények közötti összefüggések ismerete. Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakulása, a jellemzők kiszámítása (képlet alapján); mértékegységek ismerete; valós síkbeli, illetve térbeli probléma geometriai modelljének megalkotása. A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődött a tanulók dinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége. Derékszögű háromszögre visszavezethető (gyakorlati) számítások elvégzése Pitagorasz-tétellel és a hegyesszögek szögfüggvényeivel; magasságtétel és befogótétel ismerete. A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontos munkavégzésre.

Valószínűség, statisztika  Véletlen esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata. A műveletek elvégzése az eseménytérben.  Nagyszámú véletlen kísérlet kiértékelése, az előzetesen „jósolt” esélyek és a relatív gyakoriságok összevetése.  A valószínűség-számítási feladatok megoldása során a diákok rendszerező képessége fejlődött. A tanulók (egyszerűbb esetekben) szisztematikus esetszámlálással, a valószínűség klasszikus modelljét alkalmazva, meg tudják határozni egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét.

106

Nyolcosztályos gimnáziumok, 11–12. évfolyam A nyolcosztályos gimnázium utolsó két évében a témakörök feldolgozásánál a matematika látásmódjának, alkalmazhatóságának a bemutatása a cél. Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző és összegző képesség alakítása. Ebben a két évfolyamban áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyanokat, amelyekhez kell az előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A koordinátageometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például alkalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát. A kerettanterv mind a két évfolyamon minimálisan heti 3, így 11. évfolyamon évi 108 órát, 12. évfolyamon évi 96 matematikaórát ír elő. Az általános rendelkezés szerint a kerettantervek által előírt tartalmak a tantárgyak számára rendelkezésre álló időkeret mintegy 90%-át fedik le. Tehát heti 3 óra mellett mintegy 97 (12. évfolyamon 86) órát. Amiből számonkérésre és ismétlésre legalább 12 órát célszerű igénybe venni. Így a tematikus egységekre javasolt óraszámok összege 85 (12. évfolyamon 74) óra lehet. A tantárgy óraszámán belül jelentkező 10–11 óra szabad időkeretet a pedagógus (a helyi igényeknek megfelelően) a kerettanterven kívüli tantárgyi tartalommal töltheti meg (lásd a javasolt „kiegészítő tananyagot”). Dönthet úgy a tanár, hogy nem választ újabb témaköröket, hanem az egyes tematikai egységek között osztja el a rendelkezésre álló 10%-nyi időkeretet az alkalmazható tudás megszerzése vagy a képességek fejlesztése céljából. Ha a szabadon tervezhető órakeret terhére a matematika óraszámát heti 4, évi 144 (12. évfolyamon 128) órában állapítja meg a helyi tanterv, akkor a tematikus egységekre javasolt óraszámok összege 118 (12. évfolyamon 103) óra, a számonkérésre és ismétlésre biztosított óraszám 12 óra, továbbá a tantárgyon belüli szabad órakeret 14 (12. évfolyamon 13) óra lehet. A szögfüggvények általánosítása a négyosztályos gimnáziumok kerettantervei szerint 11. évfolyam számára előírt tananyag, a nyolcosztályos és a hatosztályos gimnáziumokban viszont már 10. évfolyamon követelménnyé válik. Ezért ezt az anyagrészt a Matematika 10. Gondolkodni jó! tankönyv 6. fejezetében (211–242. oldal) és az átdolgozott Matematika 11. Gondolkodni jó! tankönyv 3. fejezetében (81–112. oldal) egyaránt feldolgozzuk. Emiatt a 11. évfolyam számára készült könyvben a 81. oldaltól kezdve 32-vel növekszik az oldalak sorszáma. A táblázatokban található oldalszámok a jelenlegi, átdolgozás előtti lapszámozást követik. Pirossal írtuk azokat az oldalszámokat, amelyek az átdolgozást követően megváltoznak (32-vel nőnek).

107

11. évfolyam 11. évfolyamon heti 3 órával számoltunk, de zárójelben közöljük a heti 4 órára számított óraszámokat is. Szögletes zárójelbe írt óraszám jelzi a szabad órakeret felhasználására vonatkozó javaslatainkat. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok utolsó oszlopa tartalmazza. A tematikus egységeket a Műszaki Kiadó kiadásában megjelent, Hajdu Sándor: Matematika 11. Gondolkodni jó! tankönyv megfelelő fejezeteivel konkretizáljuk (lásd a táblázatok második oszlopát). Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás




Matematikai állítások elemzése, igaz és hamis állítások. Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY. Skatulya elv, logikai szita. Sorba rendezési és kiválasztási feladatok, gráf használata feladatmegoldásban. Gráf, csúcs, él, fokszám. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Ponthalmazok ábrázolása a koordináta-rendszerben. Szövegértés, szövegalkotás fejlesztése: állítások megfogalmazása, tagadása, megfordítása. Kombinatorikai és gráfelméleti módszerek alkalmazása a matematika különböző területein, felfedezésük a hétköznapi problémákban., a gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása konkrét példák alapján. A modellhasználati, modellalkotási képesség fejlesztése.



Vegyes kombinatorikai feladatok, kiválasztási feladatok. A kombinatorika alkalmazása egyszerű geometriai feladatokban. Permutáció – ismétlés nélkül és ismétléssel; a faktoriális fogalma, jelölése. Variáció – ismétlés nélkül és ismétléssel. Kombináció – ismétlés nélkül; a binomiális együttható fogalma, jelölése. Binomiális együtthatók, néhány alapvető tulajdonsága. Pascal háromszög vizsgálata, állítások sejtések megfogalmazása, igazolása. Matematikatörténet: Blaise Pascal, Erdős Pál. Mintavétel visszatevés nélkül és visszatevéssel.

108

Biológia-egészségtan: genetika.





A halmazokkal kapcsolatos ismeretek, valamint a matematikai logika műveleteinek (negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia ) eszközszerű alkalmazása a matematika különböző témaköreiben. A köznapi szóhasználat és a matematikai szóhasználat összevetése. Logikai és halmazelméleti műveletek kapcsolata. Ponthalmazok a koordinátasíkon. Gráfelméleti alapfogalmak: csúcs, él, fokszám. Gráfok alkalmazása leszámolás feladatokban – rendszerező ismétlés. Fagráf, felhasználása feladatmegoldásban. Fokszámra vonatkozó összefüggések. Matematikatörténet: Euler.



Biológia-egészségtan: rendszertan. Technika, életvitel és gyakorlat: útvonaltervezés. Kémia: molekulák szerkezeti rajza. Informatika: könyvtárkészítés az operációs rendszerben, adattárolási technológia.

Tankönyv

Órakeret



11. tankönyv 217–236., 237., 279. oldal..

4 (6) óra

Permutáció, variáció, kombináció, binomiális együttható. Gráf, csúcs, él, fokszám, fagráf, teljes gráf.

2. Hatvány, gyök. logaritmus


Hatványozás egész kitevővel, hatványozás azonosságai, n-edik gyök, gyökvonás azonosságai. Valós számok halmaza. A matematika belső fejlődésének felismerése, új fogalmak alkotása: a racionális kitevő értelmezése. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: exponenciálisan, logaritmikusan változó mennyiségek. A matematikai ismeretek alkalmazásának felismerése más tudományágban és mindennapjainkban.

109



Tankönyv

Az egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságainak ismétlése. Számológép használata hatványok értékének kiszámításában, normálalak használatában. Azonos átalakítások, a célszerű módszer, lépés megválasztása. Kamatszámítás, hitelfelvétel, törlesztőrészlet-számítás. A hatványfogalom kiterjesztése - törtkitevőjű hatványok.– permanencia elv. Az exponenciális függvény fogalma, ábrázolása, vizsgálata . Irracionális kitevőjű hatvány fogalma szemléletes alapon.

Technika, életvitel és gyakorlat: kamatszámítás, hitelfelvétel, törlesztő-részlet számítás.

Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek. Megoldás a definíció és az azonosságok alkalmazásával. Exponenciális egyenletre vezető valós problémák megoldása.

Földrajz; biológia-egészségtan: globális problémák (pl. demográfiai mutatók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás).

11. tankönyv 26., 31–39. oldal.

4 (6) óra

Számolás 10 hatványaival, 2 hatványaival. A logaritmus fogalma. A logaritmus értékének meghatározása a definíció alapján és számológéppel. A logaritmus azonosságai: – szorzat, hányados, hatvány logaritmusa; – áttérés más alapú logaritmusra. A logaritmus azonosságainak alkalmazása kifejezések számértékének meghatározására, kifejezések átalakítására. Matematikatörténet: a logaritmus fogalmának kialakulása, változása. Logaritmustáblázat.

Technika, életvitel és gyakorlat: zajszennyezés. Kémia: pH-számítás.


4 (5) óra

110



Fizika: radioaktivitás.

Fizika: radioaktivitás számítási feladatai.



A logaritmusfüggvény, értelmezése, vizsgálata, jellemzése. A logaritmusfüggvény ábrázolása, vizsgálata. A logaritmusfüggvény transzformáltjai. Feladatmegoldás számítógéppel. Adott alaphoz tarozó exponenciális és logaritmus függvény kapcsolata. Inverz függvény-kapcsolat szemléletes fogalma.

11. tankönyv 54–60., 76–80. oldal.

Logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek. Megoldás a definíció és az azonosságok alkalmazásával. Értelmezési tartomány vizsgálata. Számológép használata. Valós problémák matematikai modelljének megadása. Kulcsfogalmak/fogalmak


Tankönyv

Életvitel és gyakorlat: Zajszenynyezés. Biológia-egészségtan: Érzékelés, az inger és az érzet.



6 (9) óra

Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus. Függvény inverze.

Trigonometria


Előzetes tudás

Vektorokkal végzett műveletek. Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények általános értelmezése, szögmérés fokban és radiánban, szögfüggvények közötti egyszerű összefüggések, trigonometrikus függvények.


A geometriai látásmód fejlesztése. A művelet fogalmának bővítése egy újszerű művelettel, a skaláris szorzással. Az algebrai és a geometriai módszerek közös alkalmazása számítási, bizonyítási feladatokban. A tanultak más tudományterületeken történő alkalmazása. A függvényszemlélet alkalmazása az egyenletmegoldás során, végtelen sok megoldás keresése.

111



A vektor fogalma, vektorműveletek, vektorfelbontás vektorkoordináták. A tanult ismeretek felidézése. A vektorok koordinátáival végzett műveletek és tulajdonságaik. A vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái. Két pont távolsága, szakasz hossza.


2 (2) óra

4 (6) óra

Két vektor hajlásszöge. Két vektor skaláris szorzata. A „művelet” újszerűségének bemutatása. Jelölések megjegyzése. A skaláris szorzat tulajdonságai. A skaláris szorzás alkalmazása számítási és bizonyítási feladatokban. Merőleges vektorok skaláris szorzata. Szükséges és elégséges feltétel. Két vektor skaláris szorzatának kifejezése a koordináták segítségével.

Fizika: munka, elektromosságtan.


Kiegészítő tananyag: Két vektor vektoriális szorzata.

Fizika: Forgatónyomaték.


A háromszög területének kifejezése két oldal és a közbezárt szög segítségével. Szinusztétel. Koszinusztétel. A tételek pontos kimondása, bizonyítása. Kapcsolat a Pitagorasz-tétellel. Ábra és terv készítése a számítási feladatokhoz. Szög távolság, terület meghatározása gyakorlati problémákban is. Bizonyításokban egyszerű gondolatmenet követése. Számológép használata. Szögfüggvények közötti összefüggések. Szögfüggvényekről tanultak ismétlése. Trigonometrikus függvények.


[1 óra]

11. tankönyv 100–115., 138. oldal.



2 (3) óra

Átdolgozás után!

112

Órakeret



Tankönyv

Órakeret

Addíciós tételek: két szög összegének és különbségének szögfüggvényei. egy szög kétszeresének szögfüggvényei. A trigonometrikus azonosságok megértése, használata, az alkalmas összefüggés megtalálása. Függvénytáblázat használata feladatok megoldásában.


3 (4) óra

A tanult azonosságok alkalmazását igénylő egyszerű trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek. Egységkör, illetve trigonometrikus függvény grafikonjának felhasználása az egyenlet, egyenlőtlenség megoldásához. Az összes megoldás megkeresése. Időtől függő periodikus jelenségek vizsgálata. Trigonometrikus egyenletre vezető háromszöggel kapcsolatos valós problémák.

10. tankönyv 226 – 229. oldal.

4 (5) óra



11. tankönyv 124–134., 138. oldal.

Skaláris szorzat.

4. Koordinátageometria


Előzetes tudás

Koordinátarendszer, vektorok, vektorműveletek megadása koordinátákkal. Helyvektor, szabadvektor. Ponthalmazok koordináta-rendszerben. Függvények ábrázolása. Elsőfokú, másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása.


Elemi geometriai ismeretek megközelítése új eszközzel. Geometriai problémák megoldása algebrai eszközökkel. Számítógép használata.

113



A további tananyag feldolgozásához szükséges ismeretek áttekintése: A Descartes-féle koordináta-rendszer. Két pont távolsága. A Pitagorasz-tétel alkalmazása. Vektor abszolút értékének kiszámítása. Két vektor hajlásszöge. Skaláris szorzat használata.

Tankönyv

Órakeret

11. tankönyv 141–144., 81–95. oldal.


Szakasz osztópontjának koordinátái. A háromszög súlypontjának koordinátái. Elemi geometriai ismeretek alkalmazása vektorok használata, koordináták kiszámolása.

Fizika: testek tömegközéppontja.


3 (3) óra

Az egyenes helyzetét jellemző adatok: irányvektor, normálvektor, irányszög, iránytangens. A különböző jellemzők közötti kapcsolat értése, használata. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének a feltétele. Az egyenes egyenlete: normálvektoros egyenlet; irányvektoros egyenlet; iránytényezős egyenlet; két ponton átmenő egyenes egyenlete. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A feladathoz alkalmas egyenlettípus kiválasztása. Két egyenes metszéspontja. Egyenletrendszerek megoldási módszereinek felidézése. Pont és egyenes távolsága. Két egyenes szöge. Skaláris szorzat alkalmazása. Elemi geometriai feladatok megoldása koordinátageometriai eszközökkel.

Fizika: mérések értékelése.


8 (12) óra

114




A kör egyenlete. Kör egyenletének felírása a középpont és a sugár ismeretében. A kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintőjének egyenlete. Két kör közös pontjainak meghatározása. Másodfokú, kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. A diszkrimináns vizsgálata, diszkusszió. A koordinátageometriai ismeretek alkalmazása egyszerű síkgeometriai feladatok megoldásában.


Kiegészítő tananyag: A parabola mint függvénygrafikon A parabola mint adott tulajdonságú ponthalmaz. A parabola egyenlete. Matematikatörténet: Kúpszeletek. Menaikhmosz, Eukleidész, Apollóniosz. Kepler. Kulcsfogalmak/fogalmak

Vektor, irányvektor, normálvektor, iránytényező.

115

Tankönyv

Órakeret


8 (12) óra


[2 óra] Olvasmány




Adatok elemzése, táblázatok, grafikonok használata. Kísérlet, esemény, relatív gyakoriság. A nagy számok törvényének szemléleten alapuló megsejtése. Klasszikus valószínűségi modell.


A valószínűség fogalmának bővítése, mélyítése. A kombinatorikai ismeretek alkalmazása valószínűség meghatározására.

Megjegyzés

Az egyértelműség kedvéért (az érettségi követelményeket is figyelembe véve) célszerű a témakör höz tartozó tananyagot részletesebben kifejteni.



Tankönyv

Órakeret

Véletlen esemény, elemi események, valószínűség. Események előállítása elemi események egyesítéseként. Eseményekkel végzett műveletek. Példák események egyesítésére (összegére), metszetére (szorzatára), komplementer eseményre, egymást kizáró eseményekre. Események függetlensége.


2 (3) óra

A valószínűség klasszikus modellje.


2 (3) óra

Statisztikai mintavétel. Valószínűségek visszatevéses mintavétel esetén, a binomiális eloszlás. Visszatevés nélküli mintavétel.


3 (4) óra

Egyszerű valószínűség-számítási problémák. Geometriai valószínűségek.


3 (4) óra


Valószínűség matematikai fogalma. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Klasszikus valószínűség-számítási modell. Visszatevés nélküli mintavétel, visszatevéses mintavétel, binomiális eloszlás.

116

Gondolkodási és megismerési módszerek – – – – – – – –

Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete. Halmazműveletek alkalmazása ponthalmazok értelmezésében, események közti műveletek fogalmának kialakításában. Értsék és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétköznapi életben is. A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása. A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani. A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában. Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. A szöveghez illő matematikai modell elkészítése.

Számtan, algebra A fejlesztés elvárt eredményei a 11. évfolyam végén

– – – – – – – – – – –

A matematika különböző területein és a mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult műveletek felhasználásával. Első- és másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek biztos megoldása, eszközszerű alkalmazásuk a koordinátageometriai vizsgálatokban. A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom, a hatványozás és a gyökvonás azonosságainak ismerete, alkalmazásuk konkrét problémák megoldásában, például a logaritmus azonosságainak felismerésében. A logaritmus fogalmának, azonosságainak ismerete. A logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából. A definíciók és a hatványozás azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható egyszerű exponenciális egyenletek megoldása, ellenőrzése. A definíciók és a logaritmus azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható egyszerű logaritmusos egyenletek megoldása, ellenőrzése. Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletekre vezető valós problémák megoldása; az egyenlet felírása, megoldása, a megoldás ellenőrzése a szöveg alapján. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása, az azonosságok alkalmazása, az összes gyök megtalálása. Trigonometrikus egyenletre vezető, háromszögekkel kapcsolatos valós problémák megoldása. Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban.

117

Összefüggések, függvények, az analízis elemei – – – – – –

A lineáris függvényekről tanultak biztos alkalmazása a koordinátageometriai számításokban. Forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése, számolás szögfüggvényekkel. Szögfüggvények közötti összefüggések ismerete. Függvénytranszformációk végrehajtása. Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete. Exponenciális folyamatok matematikai modelljének értelmezése, alkalmazása. Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról.

Geometria


– – – – – – – – – –

Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták, vektorműveletek ismerete. Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása. A vektorokról tanultak alkalmazása trigonometriai, koordinátageometriai vizsgálatokban, feladatok megoldásában. A szinusztétel és a koszinusztétel pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében, a valós problémákhoz geometriai modell alkotásában, a Pitagorasz-tétel, a szögfüggvények, a szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazásában. Hosszúság, szög, kerület, terület kiszámítása. A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek ismerete: két pont távolsága, szög kiszámítása a koordináta-rendszerben. A szakasz felező-, harmadoló pontjának, a háromszög súlypontjának koordinátái. Az egyenes egyenleteinek különböző alakjainak ismerete, a megfelelő egyenlet alkalmazása. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytényező fogalmának, valamint a párhuzamosság és a merőlegesség feltételeinek ismerete. Egyenesek metszéspontjának meghatározása. A kör egyenletének felírása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének megállapítása. Kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása. Koordinátageometriai ismeretek alkalmazása egyszerű síkgeometriai feladatok megoldásában.

Valószínűség, statisztika – – – –

A valószínűség matematikai fogalma. A valószínűség klasszikus kiszámítási módjának ismerete, alkalmazása. A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni. A valószínűség kiszámítása visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel esetén, binomiális eloszlás. Mintavétel és valószínűség kapcsolata, alkalmazása. Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok érvényességi körét.

118

12. évfolyam 12. évfolyamon heti 3 órával számoltunk, de zárójelben közöljük a heti 4 órára számított óraszámokat is. Szögletes zárójelbe írt óraszám jelzi a szabad órakeret felhasználására vonatkozó javaslatainkat. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok utolsó oszlopa tartalmazza. (A rendszerező összefoglalás órakeretébe beszámítottuk az ismétlésre szánt órakeretet is.) A tematikus egységeket a Műszaki Kiadó kiadásában megjelent, Hajdu Sándor: Matematika 12. Gondolkodni jó! tankönyv megfelelő fejezeteivel konkretizáljuk (lásd a táblázatok második oszlopát). Tematikai egység/ Fejlesztési cél

5. Sorozatok


Előzetes tudás

Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Sorozat folytatása adott vagy felismert szabály alapján. Lineáris függvény, exponenciális függvény, logaritmus.


A hétköznapi életben és a matematikai problémákban a sorozattal leírható mennyiségek felismerése. Sorozatok megadási módszereinek alkalmazása. Összefüggések, képletek hatékony alkalmazása. A folyamatok elemzése. A matematika és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata.



A számsorozat fogalma. A függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. a számsorozat tulajdonságainak vizsgálata (monotonitás, korlátosság, ciklikusság). Sorozat megadása rekurzióval. Fibonacci sorozat Matematikatörténet: Fibonacci.

Informatika: algoritmusok.

Számtani sorozat. A számtani sorozat n-edik tagja. A számtani sorozat első n tagjának összegének kiszámítási módja. A számtani közép tulajdonság. Számítási feladatok a számtani sorozat felismerésére, az összefüggések alkalmazására. Szöveges faladatok gyakorlati alkalmazásokkal. Matematikatörténet: Gauss. 119

Tankönyv

Órakeret


2 (3) óra


3 (5) óra



Mértani sorozat. A mértani sorozat n-edik tagja. A mértani sorozat első n tagjának összegének kiszámítási módja. A mértani közép tulajdonság. Számítási feladatok a mértani sorozat felismerésére, az összefüggések alkalmazására. Szöveges faladatok gyakorlati alkalmazásokkal. Exponenciális folyamatok a természettudományban és a társadalomtudományokban.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: exponenciális folyamatok.


6 (8) óra

Gyakorlati alkalmazások – kamatszámítás Pénzügyi alapfogalmak – kamatos kamat, törlesztő részlet, hitel, THM, gyűjtőjáradék.

Földrajz: világgazdaság, hitel, adósság, eladósodás.


3 (4) óra



Előzetes tudás


Tankönyv

Órakeret

Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, a számtani közép tulajdonság. Mértani sorozat, a mértani közép tulajdonság. Az első n tag összege. Kamat, kamatos kamat.

6. Térgeometria, felszín, térfogat


Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Térelemek illeszkedése, távolsága, szöge. Szögfüggvények. Vektorok, vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. testek hálója. A térbeli testek jellemzői: csúcs, lap, él, átló. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata.

A korábban kísérletezéssel, méréssel, szemlélet alapján megszerzett ismeretek mélyítése, elméleti hátterének megteremtése. A térszemlélet, az esztétikai érzék fejlesztése.

120



Térelemek. Két kitérő egyenes hajlásszöge. Síkra merőleges egyenes. Egyenes és sík hajlásszöge. Két sík hajlásszöge. Pont távolsága síktól. Két párhuzamos sík távolsága. Két kitérő egyenes távolsága. A fogalmak bemutatása modelleken és a környezetünk tárgyain. Modellezőkészletek használata. Digitális technikák használata térbeli ábrák megjelenítéséhez.

Vizuális kultúra: axonometria.

Kerület- és területszámítás eddig tanult részeinek áttekintése, rendszerezése, feladatok megoldása. Sokszögek (háromszögek, speciális négyszögek, szabályos sokszögek) kerülete, területe. A kör kerülete, területe, körív hossza, körcikk és körszelet területe. Képi emlékezés, ismeretek felidézése. Képzeletben történő mozgatás, átdarabolás, szétvágás. Mértani testek csoportosítása. Hengerszerű testek (hasábok és hengerek), kúpszerű testek (gúlák és kúpok), csonka testek (csonka gúla, csonka kúp), gömb. Térbeli modellek használata, készítése. A poliéder fogalma. Poliéder modellek vizsgálata (lapok, élek, csúcsok számának meghatározása.) A szabályos testek tulajdonságainak vizsgálata modellek segítségével. Számítógép használata ábrázoláshoz. Ábrakészítés térbeli testekről. Testek ábrázolása.

121

Informatika: számítógépes szimulációs program használata.

Tankönyv

Órakeret


3 (4) óra


3 (3) óra

12. tankönyv 52., 54., 58., 61., 66., 67., 70., 74.., 77., 219–220. oldal.

4 (3) óra



Poliéder fogalma. A poliéder térfogatának fogalma, a térfogatszámítás alapelvei. A téglatest térfogata. A térfogatszámítás mértékegységei. A poliéder felszíne.

Tankönyv

Órakeret


2 (2) óra


3 (4) óra

A gúla származtatása, a szabályos gúla felszíne, térfogata. Forgáskúp felszíne, térfogata. Kúpszerű testek. Az összefüggések alkalmazása térgeometriai feladatokban, gyakorlati problémák megoldásában.


4 (5) óra

A csonkagúla, csonkakúp fogalma, térfogata és felszíne. A hasonlóság alkalmazása.


5 (7) óra

A gömb síkmetszetei. A gömb térfogata és felszíne.


3 (4) óra

Egyenes hasáb származtatása, felszíne, térfogata. Forgáshenger fogalma, felszíne, térfogata. Az összefüggések alkalmazása változatos térgeometriai feladatokban, gyakorlati alkalmazások.


Kiegészítés: A ferde hasáb térfogata.


Poliéder, él, lap, csúcs. Szabályos testek (tetraéder, hexaéder, oktaéder, dodekaéder, ikozaéder). Háló, felszín, térfogat. Hasáb, egyenes hasáb, alaplap, alapél, oldallap, oldalél, forgáshenger, hengerszerű test. Gúla, szabályos gúla, forgáskúp, alkotó, palást, kúpszerű test. Csonkagúla, csonkakúp. Gömb.

122

Összefüggések, függvények, sorozatok – – – – A fejlesztés elvárt eredményei a 12. évfolyam első félévének végén

A számsorozat fogalmának ismerete, elemi tulajdonságaiknak vizsgálata a szemlélet alapján. A számsorozatok jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról. A számtani sorozat képzési szabályának, számtani közép tulajdonságának, az első n tag összege kiszámításának ismerete, alkalmazásuk egyszerű feladatok megoldásában. A mértani sorozat képzési szabályának, mértani közép tulajdonságának, az első n tag összege kiszámításának ismerete, alkalmazásuk gyakorlati jellegű feladatok megoldásában is. Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése. Alapvető pénzügyi fogalmak ismerete, pénzügyi számítások megértése, reprodukálása. A kamatos kamat fogalmának, kiszámítási módjának ismerete, elvégzése, a tanultak gyakorlati alkalmazása. A hitelfelvétel kockázatai, előnyei, hátrányai.

Geometria – – – – –

Térbeli viszonyok felismerése, térelemek távolságának, térelemek szögének értelmezése, meghatározása, Ezen ismeretek eszközszerű alkalmazása testek vizsgálatában, térgeometriai számításokban. Háromszögek, speciális négyszögek, szabályos sokszögek, kör (körgyűrű, körcikk, körszelet) kerületének és területének kiszámítása. A kerület- és területszámítás eszközszerű alkalmazása térgeometriai számításokban. A poliéderrel kapcsolatos fogalmak, elnevezések ismerete, a szaknyelv helyes használata. A poliéder térfogatának tulajdonságait képes alkalmazni speciális poliéderek térfogatának kiszámítása során.. A hasáb (speciálisan a kocka, a téglatest), a körhenger, a gúla, a forgáskúp, a csonkagúla, a csonkakúp, a gömb felismerése, értelmezése, felszínének és térfogatának kiszámítása. A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. A trigonometria eszközszerű alkalmazása térgeometriai számításokban. A valós problémákhoz geometriai modell alkotása.

123

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Megjegyzés Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Rendszerező összefoglalás


A 12. évfolyamon a tematikus egységek feldolgozására a kerettanterv 74 órát biztosít. Ehhez az óraszámhoz hozzáadtuk az ismétlésre fenntartott 6 órát. A nyolcosztályos gimnázium matematika tananyaga. A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése.



Gondolkodási és megismerési módszerek Logikai ismeretek. A matematikai szövegek értelmezésének erősítése. Pontos fogalmazásra való törekvés, a definíciókban, tételekben szereplő feltételek szerepének, jelentésének tudatosítása. A logikai műveletek során a bizonyítások, feladatmegoldások tudatos alkalmazása. Halmazok. Számhalmazok. A halmazok alkalmazási területei a matematika különböző ágaiban. A halmazok szemléltetésre, az összefüggések áttekintésére, közös tulajdonságok kiemelésére való használata. A matematikában tanult módszerek. A bizonyítási módszerek rendszerezése feladatokon, gyakorlati alkalmazásokon keresztül: a direkt, indirekt bizonyítás, logikai szita formula, skatulya elv. Kombinatorika, gráfelmélet. A sorba rendezési és leszámolási feladatok alaptípusainak felismerése. A kombinatív készség fejlesztése, gráfok alkalmazása a problémamegoldás során.

124





Számelmélet, algebra Számhalmazok. A valós számok halmaza fogalmának megerősítése, a számkörbővítés lépéseinek az áttekintése. Számrendszerek. A valós számok halmazán értelmezett műveletek, műveleti tulajdonságok biztonságos használata. Az eredmények várható értékének becslése – annak vizsgálata, hogy reális-e az eredményünk. A racionális kitevőjű hatványozás, a pozitív egész kitevőjű gyökvonás. Logaritmus.

Tankönyv

Órakeret


12 (16) óra


6 (8) óra

A számelmélet elemei. Algebrai alapfogalmak, azonosságok. Átalakítások algebrai kifejezésekkel. A zsebszámológép használata. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. Változatos módszerek alkalmazása, többféle megoldás keresése. Gyakorlati problémákat tartalmazó szöveges feladatok megoldása. A különböző témakörökhöz tartozó problémák közötti kapcsolatok észrevétele. Adott egyenlethez illő megoldási módszer önálló kiválasztása. Sorozatok, függvények

Függvények grafikonjai, jellemzésük. Függvényjellemzők (értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, szélsőértékhely, szélsőérték, paritás, periodicitás, zérushely) vizsgálata. Inverz függvény. Függvénytranszformációk. Függvények a matematikában, a természettudományokban és hétköznapjainkban. Számtani és mértani sorozat, kamatos kamatszámítás.

125




Geometria Mérés és mérték. A hosszúság -, terület -, térfogatmérés, a szögmérés fontos kérdése: mi a problémához illő egység, milyen pontosan adjuk meg az eredményt.

Tankönyv

Órakeret

Informatika: szerkesztőprogram használata.


11 (14) óra

Informatika: táblázatkezelő, adatbázis-kezelő program használata.


4 (6) óra

A geometriai szerkesztések. Megengedett szerkesztési lépések és eszközök használata. A geometriai transzformációk. Az esztétikai érzék fejlesztése. A geometriai transzformációk előfordulásainak keresése környezetünkben. A szimmetria és a harmónia észrevétele a művészetekben. A háromszögekre, négyszögekre, körre vonatkozó ismeretek. Az alakzatok tulajdonságainak, nevezetes vonalainak felidézésével az emlékezet fejlesztése, az absztrakciós készség fejlődésének segítése. Trigonometria. Gyakorlati jellegű feladatok megoldása a trigonometriai fogalmak, összefüggések alkalmazásával. Vektorok, koordinátageometria. A trigonometria és a koordinátageometria a geometriai és az algebrai készségeket együtt fejleszti. Statisztika, valószínűség Adatsokaságok elemzése. Véletlen jelenségek vizsgálata. A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban. Vélemények megbeszélése, érvelés, sejtések megfogalmazása, azok elfogadása vagy elvetése.

126

A követelmények részletes felsorolását a középszintű érettségi követelményei tartalmazzák. Összességében – –


– – – – – – –

A matematikai tanulmányok végére önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat. Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat. Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni. Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket. Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni. A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket. A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége. A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek a matematika alapvető kultúrtörténeti ismereteivel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire.

127

Matematika tantervjavaslat, évfolyam A nyolcosztályos gimnáziumok kerettantervének évfolyamonkénti bontása 5 6. évfolyam

Recommend Documents