MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

Bemutatjuk a NAT 2012 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9

Mindennapok tudománya

110 0


112 2





MATEMATIKA

1 2 3 4 5

A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR 1.

A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK ALAPJÁN KÉSZÜLNEK 4-osztályos gimnáziumi alap (3.2.04.) szakközépiskolai alap (6.2.03.)

9

10 0

12 2

11 12 11 2 LT SZINT

9 KIEGÉSZÍTŐ TANANYAG







A SOROZAT KONCEPCIÓJA j szemlélet és tananyag-feldolgozású kiadványainkban azt szeretnénk megmutatni, hogy a matematika ezer szállal szövi át a természettudományokat és ezáltal a mindennapjainkat. E kötetekben a hétköznapi jelenségek úgy kerülnek középpontba, hogy a hozzájuk kapcsolható matematikai tartalom nemcsak szigorú logikai rendben kifejtett tudományos magyarázatként, hanem lehet ség szerint a gyakorlati alkalmazásokon keresztül is megmutatkozik. Els sorban a matematika iránt kevésbé érdekl d , átlagos képesség diákok számára készültek a kötetek, melyek mellé a kiadó 9. évfolyamra ingyenes digitális kiegészít anyagot kínál. A kiegészítés használatával a tankönyv magasabb óraszám mellett a tantárgy iránt érdekl d diákok számára is megfelel . 11. osztálytól kezd d en a tankönyvcsalád a tanítási gyakorlatnak megfelel en kettéválik, és alternatívát kínál a középszinten, illetve az emelt szinten érettségiz k számára. Emelt szint , 11-12. évfolyamos könyvünk az t a tudáshoz tankönyvcsalád Matematika 11-12. emelt szint tankönyvének (M 350) átdolgozása.

EGYÉB FONTOS INFORMÁCIÓK A 9.-es tankönyv M -737 kiadói kóddal elérhet a tankönyvjegyzéken. Folytatása, a 10.-es (M -739) tankönyv teljes terjedelmében elkészült. Az t a tudáshoz sorozatba tartozó 10.-es (M -265), a 11.-es (M -267), a 12.-es (M -269) és a 11-12.-es emelt szint (M -350) tankönyveink változatlan formában elérhet ek a tankönyvjegyzéken.

A KÖTETEK ELKÉSZÍTÉSÉNEK FONTOSABB ALAPELVEI 1. 2. 3. 4. 5.

Els sorban a matematika iránt nem érdekl d tanulókat készíti fel a középszint érettségire. A tudományos ismeretek hétköznapi jelenségekb l és a gyakorlati alkalmazásokból kiindulva jelennek meg. A komplex gondolkodást a többi tantárgyhoz való kapcsolódás segítségével fejleszti. A mindennapokban jól alkalmazható gyakorlati ismereteket tartalmaz. Fokozatosan nehezed feladatok teszik lehet vé a differenciált foglalkoztatást.

DIGITÁLIS TANANYAGOK A tankönyvcsaládhoz digitális tananyagot fejlesztünk. Ezekben a hagyományos tanári kézikönyv elemein túl olyan animációkat, videókat és interaktív feladatokat kínálunk, amelyekkel akár a teljes tanítási órát is ki lehet tölteni.

2.

áhangolásként minden lecke igyelemfelkelt fotóval illusztrált, hétköznapi problémával indul.

I. HALMAZOK

4.

MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL

Egy játék győztese két jutalom közül választhat: 3 2 a) 5000 euró részének 4 részét vagy 5 5 b) 1000 euró részének 120 4 százalékát. Segítsünk neki a választásban!

A jelentésteremtéshez fokozatosan nehezed , kidolgozott példákon keresztül vezet az út.

1. PÉLDA

lvassuk ki az alábbi jelöléseket!

Miskolc skolc lc Gy Gyôr

Buda st Budapest

Nyíregyháza yír Debrecen

S Székesfehérvár s r Szeged g Pécs

a) B ^Budapest; Debrecen; y r; Miskolc; Nyíregyháza; Pécs; Szeged; Székesfehérvár`, b) C ^hélium; neon; argon; kripton; xenon; radon`, c) D [3; 6; 9; 12; {; 99].

MEGOLDÁS

a) B ^Budapest, Debrecen, y r, Miskolc, Nyíregyháza, Pécs, Szeged, Székesfehérvár`– a B halmaz a Budapest, Debrecen, y r, Miskolc, Nyíregyháza, Pécs, Szeged, Székesfehérvár városok halmaza.

3.

A de iníciókat és tételeket jól megkülönböztethet módon jelöljük.

4.

A többi tantárgyhoz való kapcsolódást érdekességeken, életrajzi momentumokon és „Járj utána!” feladatokon keresztül mutatjuk be.

5.

A leckék végén található feladatok nehézségi szintjét is megadjuk. A feladatokat általában rejtvények, fejtör k vagy találós kérdések zárják.

1.

Végezzük el a kijelölt m veleteket!

§§ · 2 ·§ 2 1 · ¨ 1 ¸¨ ¸ ¸ 23 1 ¨ ¨© 3 ¹© 5 4 ¹ 5 ¸ : c) 1 12 4 ¨ 4¸ ¨ ¸ 5 © ¹ Találós kérdés: Egy tört számlálója kisebb, mint a nevez je. Egyenl lehet-e egy olyan törttel, 11. melynek a nevez je kisebb a számlálójánál? §4 4· §4 · § 2 7 · 30 a) ¨ ¸ : ¨ 2 ¸ ¨ ¸ ; b) ©5 3¹ ©3 ¹ © 15 20 ¹ 29

3 9 3 1 5 20 4 ; 3 1 4 5

FORMAI JELLEMZŐK B 5-ös méret 200-276 oldal Szöveg és kép szerves egységben Puhatáblás és tartós, keménytáblás kivitelek 2

3


MATEMATIKA 9. - TARTALOM

I. HALMAZOK

1. A halmazokkal kapcsolatos fogalmak, jelölések ....................................................................................................................................... 2. A halmaz elemszáma ....................................................................................... 3. Számhalmazok .............................................................................................................. 4. M veletek racionális számokkal ............................................ 5. A részhalmaz fogalma, jelölések, elnevezések ......................................................................................................................... 6. M veletek halmazok között ............................................................... 7. Ponthalmazok ................................................................................................................... 8. Logikai szita, egyszer összeszámlálások ...........

8 12 15 20 24 28 33 35

MATEMATIKA 9. - TARTALOM

14. Két tag összegének, illetve különbségének a négyzete .............................................................................................................................. 15. Ugyanazon két tag összegének és különbségének a szorzata .................................................................... 16. Két tag összegének, illetve különbségének a köbe .............................................................................................................................................. 17. Polinomok szorzattá alakítása kiemeléssel ..... 18. Szorzattá alakítás azonosságok használatával .................................................................................................................. 19. Szorzattá alakítás teljes négyzetté kiegészítéssel .................................................................................................................. 20. Algebrai törtek egyszer sítése, helyettesítési értékének kiszámítása .......................... 21. Algebrai törtek szorzása, osztása, összevonása ....................................................................................................................... 22. szthatóság ....................................................................................................................... 23. szthatósági szabályok, prímszám, összetett szám, a számelmélet alaptétele .................................................. 24. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös ............................................................................................................................ 25. Számrendszerek .......................................................................................................

59

64 66 68 70

9. Bet s kifejezések a matematikában ................................ 10. Pozitív egész kitev j hatvány ................................................... 11. Egész kitev j hatványok ..................................................................... 12. Számok normálalakja .................................................................................... 13. Algebrai egész kifejezések (polinomok) ................

4

38 43 49 52

I

L

R

Á

T

B

D

26. A függvény fogalma, jelölések, elnevezések ... 27. A koordináta-rendszer I. .......................................................................... 28. Valós függvények szemléltetése ............................................. 29. Lineáris függvények, egyenes arányosság ........ 30. A másodfokú függvény .............................................................................. 31. A négyzetgyök fogalma, négyzetgyökfüggvény .................................................................................. 32. Az abszolútérték-függvény ................................................................ 33. Fordított arányosság, lineáris törtfüggvény 34. A koordináta-rendszer II. ........................................................................

218 221 225 231 234 239 242 249 253 260

72 74 77 80 84 88

II. ALGEBRA, SZÁMELMÉLET E

52. Az egyenlet fogalma ........................................................................................... 53. Egyenletek megoldása gra ikus úton ............................. 54. Az egyenletek megoldása algebrai úton I. ........... 55. Az egyenletek megoldása algebrai úton II. ......... 56. Egyenl tlenségek, egyenl tlenségrendszerek ................................................................. 57. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek ............... 58. Szöveges feladatok I. ........................................................................................ 59. Szöveges feladatok II. ...................................................................................... 60. Els fokú egyenletrendszerek ........................................................ 61. Egyenletrendszerrel megoldható feladatok ...

IV. GEOMETRIA

62

III. FÜGGVÉNYEK

K


A

35. Térelemek kölcsönös helyzete, szöge ........................... 36. Sokszögek I. (Konvex, konkáv sokszögek, átlók száma) ........................................................................................................................ 37. Sokszögek II. (Sokszögek szögei) ............................................. 38. Térelemek távolsága .......................................................................................... 39. Speciális sokszögek ............................................................................................. 40. A kör és részei ................................................................................................................. 41. A háromszög köré írható kör ........................................................... 42. A háromszögbe írható kör ..................................................................... 43. A Pitagorasz-tétel I. ............................................................................................ 44. A Pitagorasz-tétel II. .......................................................................................... 45. eometriai transzformációk (bevezetés) ............ 46. eometriai transzformációkkal kapcsolatos szerkesztések ................................................................................................................... 47. eometriai transzformációkkal kapcsolatos bizonyítások ........................................................................................................................ 48. Thalész tétele ................................................................................................................... 49. Körív hossza, körcikk területe, ívmérték .............. 50. Vektorok, m veletek vektorokkal ....................................... 51. Síkidomok egybevágósága ....................................................................

136

VI. STATISZTIKA

141 144 147 151 157 162 165 168 174 180 187

62. Adatok megadása, szemléltetése ........................................ 266 63. Középértékek ............................................................................................................... 272

190 195 201 207 214

90 95

V. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

99 103 109 116 121 126 133

56

5


Kidolgozott példák

II. ALGEBRA, SZÁMELMÉLET

2. PÉLDA

17. POLINOMOK SZORZATTÁ ALAKÍTÁSA KIEMELÉSSEL

s

Kiemelé

2

-4 · 1 2-

2·

Alakítsuk szorzattá kéttagú kifejezések kiemelésével a következ ket! a) a x y b x y ; b) x z y r z y ; c) 2a y 1 b y 1 ;

ö× ráhangoló probléma

=0 23

0

d) 3x 2 y 3 23 2 y ; MEGOLDÁS

a) a x y b x y

x y a b ; b) x z y r z y z y x r ; c) 2a y 1 b y 1 y 1 2a b ; d) 3x 2 y 3 23 2 y 3x 2 y 3 2 2 y 3 2 y 3 3x 2 ; e) 2x y 1 31 y 2x y 1 3 y 1 y 1 2x 3 . Ha az el z feladat a) részében szerepl a x y b x y kifejezésben felbontjuk a záróje-

Válasszuk ki az ábrán látható számok közül azokat, amelyeknél a 2x2 4x kifejezés helyettesítési értéke 0!

2

leket, akkor az ax ay bx by kifejezéshez jutunk. Ha ebben egymás mellé tesszük az x-et tartalmazó tagokat és az y-t tartalmazó tagokat, akkor a kifejezést az következ módon is szorzattá alakíthatjuk: a x y b x y ax ay bx by ax bx ay by x a b y a b a b x y .

A polinomok helyettesítési értékének de iníciója alapján olyan alaphalmazbeli számokat keresünk, melyeket az x helyébe helyettesítve a kifejezés értéke nulla lesz, azaz 2x 2 4 x 0. Az ilyen számokat a polinom gyökeinek nevezzük. A magasabb fokú polinomok gyökeinek keresésében az egyik leghasznosabb módszer a szorzattá alakítás, mert egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényez je nulla. Tanultuk, hogy a szorzás disztributív az összeadásra nézve, azaz c a b ca cb. Ha az egyenl ség jobb oldalából indulunk ki, akkor a ca cb c a b összefüggés azt fejezi ki, hogy a c-t kiemeltük azokból a tagokból, ame±±ÚÀÝ lyekben szorzótényez ként szerepelt, és ezzel a ca cb kifejezést szorzattá alakítottuk. magyarázatok Ezok alapján alakítsuk szorzattá a 2x 2 4 x polinomot! MEGOLDÁS

A kifejezés mindkét tagjában szerepel x.

Alakítsuk át a polinomot úgy, hogy a tagokban megjelenjen szorzótényezőként a 2x !

2x 2 4 x

2x x 2

2x x 2x 2

Mindkét tag együtthatója páros.

Emeljük ki a 2x-et!

3. PÉLDA

Alakítsuk szorzattá csoportosítással és kiemeléssel! a) ax az bx bz ; b) 4ax 3bx 4ay 3by ; c) 12ab 18ac 2b 3c ; d) 10x 2 21dc 14 xd 15xc; e) a3 3a2 3a 9. MEGOLDÁS

a) ax az bx bz a x z b x z

x z a b ; b) 4ax 3bx 4ay 3by x 4a 3b y 4a 3b 4a 3b x y ; c) 12ab 18ac 2b 3c 6a 2b 3c 1 2b 3c 2b 3c 6a 1 ; d) 10x 2 21dc 14 xd 15xc 10x 2 14 xd 21dc 15xc 2x 5x 7d 3c 7d 5x 2x 5x 7d 3c 5x 7d 5x 7d 2x 3c ; e) a3 3a2 3a 9 a2 a 3 3 a 3 a 3 a2 3 .

Ezzel kaptunk egy háromtényezős szorzatot

2 x

x 2

0

A feladat szerint azt keressük, hogy ez a szorzat mikor lesz nulla.

Használjuk fel, hogy egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényez je 0, így x 0, vagy x 2 0, azaz x 2! Tehát az egyenlet gyökei a 0, illetve a 2. Akkor lesz a kifejezés értéke 0, ha x 0 vagy x 2.

Alakítsuk szorzattá kiemeléssel az alábbi polinomokat! a) 15ax 20ay ; b) 8 x 4 y 12x 2 y ; c) 25x 2 y 15xy 10xy 2. MEGOLDÁS

c) 25x y 15xy 10xy

66

6

2

A nehézségi szintet a színes vonalak száma jelzi

Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket! a) 3ax 9a; b) 14a3 21a2 ; c) 18 x 6 24 x 4 ;

5xy 5x 5xy 3 5xy 2 y 5xy 5x 3 2 y .

d) ab3 a4 b2 ;

e) 25a4 b3 15a2b2 35a3b4 .

2. Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket a kéttagú kifejezések kiemelésével!

a) x y a x y b; b) 2x y 2a 2x y b ;

d) 1 y z y 1 2;

b) 8 x 4 y 12x 2 y 4 x 2 y 2x 2 4 x 2 y 3 4 x 2 y 2x 2 3 ; 2

Feladatok 1.

1. PÉLDA

a) 15ax 20ay 5a 3x 5a 4 y 5a 3x 4 y .

e) 2x y 1 31 y .

e) 3 2c a 2c 3 4;

c) c 2 4 c 2 y ;

f) 2 y x 3c x 2 y b.

3. Alakítsuk szorzattá csoportosítással és kiemeléssel az alábbi kifejezéseket!

a) 4ax 4bx 3ay 3by ; b) x 2 xa 4 x 4a; c) 21a2 20bc 28ab 15ac ; d) 24 xa 12xy 5 yb 10ab; e) y y 2 y3 y 4.

Ý megoldandó feladatok

67

7


I. HALMAZOK

5.

Természetesen teljesül az is, hogy az A minden eleme eleme a B-nek is, azaz A B , és az is, hogy a B minden eleme eleme az A-nak is, azaz A B. Be lehet bizonyítani az alábbi tételt.

A RÉSZHALMAZ FOGALMA, JELÖLÉSEK, ELNEVEZÉSEK

Mi a közös az alábbiakban? a) Egy futballcsapat csatársora. b) Egy állatkert csimpánzai. c) Egy zenekar vonós szekciója.

A

TÉTEL: Ha A és B tetsz leges halmazokra teljesül, hogy A B , akkor A B és B A. Igaz a megfordítása is. TÉTEL: Ha A és B tetsz leges halmazokra teljesül, hogy A B és B A, akkor A B. Az el z ek alapján bevezetjük a valódi részhalmaz fogalmát. DEFINÍCIÓ: Az A halmaz a B halmaz valódi részhalmaza, ha az A részhalmaza B-nek, de nem egyenl vele. Jelölés: A B (Kiolvasás: A halmaz valódi részhalmaza B halmaznak.) A de iníció jelekkel: Ha A B de A z B akkor A B .

MEGOLDÁS

a) A csatársor minden futballistája tagja a csapatnak. b) Az összes csimpánz az állatkert állata. c) A vonós szekció minden zenésze a zenekar muzsikusa.

Ebb l a de inícióból következik, hogy bármely halmaz önmagának nem valódi részhalmaza. Ez alapján: ` ] _ \. A részhalmaz de iníciójából következik, hogy bármely halmaz részhalmaza önmagának A A , valamint az üres halmaz bármely halmaznak részhalmaza A .

A számhalmazokról tanultak alapján nyilvánvaló, hogy a természetes számok halmazának bármely eleme az egész számok halmazának is eleme, de az egész számok halmazának nem minden eleme van benne a természetes számok halmazában. Ez alapján egy olyan kép alakulhat ki bennünk, hogy a természetes számok halmaza része az egész számok halmazának. Ennek kapcsán bevezetünk egy új fogalmat, a részhalmaz fogalmát.

Mivel a természetes számok halmazának minden eleme beletartozik az egész számok halmazába, és az egész számok halmazának minden eleme beletartozik a racionális számok halmazába is, ezért a részhalmaz de iníciója alapján a természetes számok halmaza részhalmaza a racionális számok halmazának is. Ez az összefüggés a részhalmazfogalom egy fontos tulajdonsága, amit általánosan az alábbi módon fogalmazhatunk meg jelölésekkel.

DEFINÍCIÓ: Adott az A és a B halmaz. Ha az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, akkor az A halmazt a B halmaz részhalmazának nevezzük. Jelölés: A B. (Kiolvasás: A halmaz részhalmaza B halmaznak.) Jelölésekkel: Ha minden x A esetén x B , akkor A B. Az új jelölés segítségével a számhalmazok között a következ kapcsolatot írhatjuk fel: ` ] _ \. Ezt szemléltethetjük halmazábrák, úgynevezett Venn-diagramok segítségével. A halmazokat egy-egy kör, ellipszis, téglalap vagy valamilyen síkbeli ponthalmaz szimbolizálja, és ezek segítségével jelenítjük meg a halmazok közötti kapcsolatot.

TÉTEL: Legyen az A, B, C halmaz olyan, hogy A B és B C , ekkor A C . \

_

Az állítás bizonyítható.

] `

2. PÉLDA

Legyen az A [a három testôr]! Határozzuk meg az A halmaz összes részhalmazát! El ször adjuk meg a halmaz elemeit: A Âthos At. ; Porthos Po. ; Aramis Ar. `. Ha olyan problémát oldunk meg, akár a hétköznapi életben is, ahol fel kell sorolnunk adott tulajdonsággal rendelkez objektumokat, célszer olyan módszert követni, amely alapján könnyen tudjuk ellen rizni, hogy kihagytunk-e valamit a felsorolásból vagy sem. Most célszer az elemszámok alapján számba venni a részhalmazokat. A korábbiak alapján az üres halmaz részhalmaza A-nak. A. Az egyelem részhalmazok: Ât .` , ^Po.` , Âr.` . Kételem részhalmazok: Ât .; Po.` , Ât .; Ar.` , ^Po.; Ar.` . Háromelem részhalmazból csak egy van, az A halmaz. Így az A halmaz összes részhalmazának a száma: 8. MEGOLDÁS

1. PÉLDA

Legyen az A ^2k | 4 k 10 és k `` és B ^10 x | x ^0; 2; 4; 6; 8``! Adjuk meg a két halmaz elemeit! Ábrázoljuk mindkét halmazt Venn-diagramon! Milyen kapcsolat áll fenn az A és B halmaz között? Az A ^10; 12; 14; 16; 18` és B ugyanazok az elemei, azaz A B. MEGOLDÁS

24

8

^10; 12; 14; 16; 18` ; tehát a két halmaznak

25

9


I. HALMAZOK

3. PÉLDA

Legyen B [a négy testôr]! Határozzuk meg a B halmaz öszszes részhalmazát! Keressünk kapcsolatot egy halmaz elemszáma és részhalmazainak a száma között! A B halmaz: B Âthos At. ; Porthos Po. ; Aramis Ar. ; D'Artagnan D. `. Az nyilvánvaló, hogy A B , ezért a korábbiak alapján A öszszes részhalmaza részhalmaza B-nek is. Ez eddig 8 részhalmaz, melyeket az el z feladatban már felsoroltunk. MEGOLDÁS

Vegyük észre, hogy ezek és csak ezek a részhalmazok nem tartalmazzák D.-t! Most határozzuk meg azon részhalmazokat, amelyeknek eleme D.!

Feladatok ÉRDEKESSÉG

A három testőr című regény Alexandre Dumas (1802-1870) francia író romantikus kalandregénye, amely a XVII. század elején, XIII. Lajos uralkodása idején játszódik. A három testőr: Athos, Porthos és Aramis, akikhez negyedikként csatlakozik D’Artagnan. A későbbiekben őt is testőrré avatják.

Kövessük az el z feladatbeli logikát! Egyelem halmaz: ^D.` . Kételem halmaz: ^D.; At.` , ^D.; Po.` , ^D.; Ar.` , amelyeket megkaphatunk az el z feladatbeli egyelem részhalmazokból, ha mindegyiket kételem vé egészítjük ki D. hozzávételével. Háromelem halmazok: Ât.; Po.; D.` , Ât.; Ar.; D.` , Âr.; Po.; D.` , amelyeket az el z höz hasonló módon kapunk a 2. példabeli kételem részhalmazokból. Négyelem halmaz: Ât.; Po.; Ar.; D.` , amelyet az A halmazból kapunk D. hozzávételével. Ez újabb 8 részhalmaz, tehát a B halmaznak összesen 8 8 16 részhalmaza van. B azon részhalmazai, melyek nem tartalmazzák D.-t

B azon részhalmazai, melyek tartalmazzák D.-t

1.

Legyen K = â negyvenötnél kisebb, húsznál nagyobb egész számok` , L ^10x y | x y 1 és y ^1, 2,3``! Adjuk meg a két halmaz elemeit! Ábrázoljuk a két halmazt Venn-diagramon! Milyen kapcsolat van a két halmaz között?

2. Az alábbi halmazok között vannak olyanok, amelyek közül az

egyik részhalmaza a másiknak. Írjuk fel ezeket a kapcsolatokat! a) A ^páros számok` , B ^12 pozitív többszörösei` , C ^0` ;

^trapézok` , D ^deltoidok` , R ^rombuszok` ; c) T ^trapézok` , P ^paralelogrammák` , Q ^téglalapok` , N ^négyzetek` ; d) C ^növények országai` , M ^zárvaterm k törzsei` , N= ^magyar n szirom`, L ^n sziromfélék családjai`. b) T

3. Legyen H [egyjegyû pozitív páratlan számok]! Hány olyan

részhalmaza van, amelynek a 3 és az 5 közül legalább az egyik eleme?

^5k 2 | 2 k 8 és k ``! Fogalmazzuk meg szavakkal az A halmaz megadási utasítását! Adjuk meg az A halmaz három-, illetve kételem részhalmazait!

4. Legyen A

5. Az alábbi intervallumok között találunk-e olyat, amely valame-

lyik másik itt szerepl intervallumnak a részhalmaza? Ha igen, írjuk fel azokat részhalmaz jelöléssel! a) ; 1; 3=; b) = 1; 4=;

Ât.`

^D.`

^D.; At.`

^Po.`

Âr.`

^D.; Po.`

^D.; Ar.`

d) = 2; 3=;

Ât.; Po.`

Ât.; Ar.`

^D.; At.; Po.`

^D.; At.; Ar.`

e) ;0; 2008=.

Âr.; Po.`

Ât.; Po.; Ar.`

^D.; Ar.; Po.`

^D.; At.; Po.; Ar.`

Vegyük észre, hogy a 8 is, és a 16 is kett hatvány: 8 23 és 16 24 . Láttuk, hogy egy háromelem halmaznak 23 , egy négyelem halmaznak 24 darab részhalmaza van. Így arra gondolhatunk, hogy egy n elem halmaz részhalmazainak a száma 2n . Tehát az új elem hozzávételével megkétszerez dött a részhalmazok száma. A kétszerez dés ténye független attól, hogy hány elem halmazhoz vettük hozzá az új elemet. Felhasználva ezt a tényt és azt, hogy az üres halmaznak egy részhalmaza van – önmaga –, be lehet bizonyítani az alábbi állítást.

JÁRJ UTÁNA!

Hol találkozhatunk a mindennapokban leggyakrabban magyar nőszirommal?

c) ;0, 6; 2,3;;

6. Két halmaz elemszámának különbsége 4. Adjuk meg a részhalmazaik számának arányát! 7. Melyik nagyobb? Egy öt elem halmaz három elem

vagy kételem részhalmazainak száma.

8. Melyik nagyobb? Egy hatelem halmaz két elem vagy

három elem részhalmazainak száma.

ÉLETRAJZI MOMENTUMOK n

TÉTEL: Az n elem halmaz részhalmazainak a száma 2 , ahol n `.

26

10

Georg Cantor (1845–1918) Német matematikus, a halmazelmélet megteremtésével a matematika egyik igen termékeny ágát nyitotta meg. 27

11


IV. GEOMETRIA Természetesen egy konvex szög két szárától egyenl távolságra lév pontok halmaza a szögtartományban a szögfelez félegyenes. Azt már tudjuk, hogy azok a pontok, amelyek két oldalegyenest l vannak egyenl távolságra, a két oldalegyenes által bezárt szög szögfelez jén helyezkednek el. Így az O pontnak rajta kell lennie az Ƚ szög szögfelez jén fD is, és a Ⱦ szög szögfelez jén f E is. A két szögfelez met-

42. A HÁROMSZÖGBE ÍRHATÓ KÖR

Az Altrinomi vándorcirkusz járja az országot, minden héten más településen vernek sátrat. Mivel a geometriához nem értenek, segítsünk nekik a sátor középpontját megkeresni!

szi egymást, csak ez a pont lehet az O. s ez valóban jó is, hiszen az O pont egyenl távol van a b és a c oldalegyenest l, valamint a c és az a oldalegyenest l, vagyis a háromszög mindhárom oldalegyenesét l. A gondolatmenetb l az is kiderül, hogy az O ponton kívül nincs más pont, amely mindhárom oldalegyenest l egyenl távolságra lenne. A cirkuszi sátor alapjának középpontját tehát úgy határozhatjuk meg a háromszög alakú telken, hogy megkeressük a háromszög valamelyik két szöge szögfelez jének a metszéspontját. 1. PÉLDA

Milyen szöget zár be egymással két metsz egyenes két szögfelez egyenese? A probléma a következ : a sátor méreteit bizonyos keretek között tudják változtatni, de az alap minden esetben kör alakú. A fellépésük helyszínén egy kicsi, háromszög alakú telek áll rendelkezésre, és úgy kell felállítaniuk a sátrat, hogy az mindhárom oldalon a telek széléig érjen! ajzoljunk, majd fogalmazzuk meg a problémát matematikai nyelven! Adott egy háromszög (ABC), és olyan kör középpontját keressük (O), amely a háromszög minden oldalát érinti.

Az ábrán is szépen látszik, de néhány további rajzzal meger síthetjük a sejtésünket, hogy a két szögfelez egyenes mer leges egymásra. Valóban, hiszen az egyenesek által bezárt szomszédos szögek egyenesszögre egészítik ki egymást, vagyis D E 180q, így D E a szögek felének összege: 90q, ami éppen a szögfe2 2 lez k hajlásszöge. MEGOLDÁS

MEGOLDÁS

Ha van ilyen kör, akkor a középpontja sugárnyi távolságra van a háromszög mindhárom oldalától, hiszen korábban megállapítottuk, hogy az érintési ponthoz tartozó sugár mer leges az érint re. lyan pontot keresünk tehát, amely egyenl távol van az ABC háromszög minden oldalától.

A bevezet példában találtunk egy olyan kört, amely érinti egy háromszög oldalait.

Itt is két állítást fogalmaztunk meg egyszerre: a) Ha egy pont rajta van a két egyenes által meghatározott szögek két szögfelez je közül valamelyiken, akkor a pont egyenl távolságra van a két metsz egyenest l.

12

A

A

B

Vegyük észre, hogy mivel az O pont egyenl távol van az a és a b oldaltól is, ezért rajta van a C csúcsból induló szögfelez n ( fJ ) -n is!

B

G A

TÉTEL: A háromszög szögfelez i egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög beírt körének középpontja. Az el z példában leírtakból az is kiderül, hogy minden háromszögnek pontosan egy beírt köre van.

b) Ha egy pont egyenl távolságra van két metsz egyenest l, akkor rajta van a két egyenes által meghatározott szögek valamelyik szögfelez jén. (Hasonló megállapítást kerülgettünk a 40. leckében, amikor a garázsbejáró ívét próbáltuk elkészíteni.)

165

A A

Foglalkoztunk még a háromszög bels szögeinek szögfelez jével is, ezeket röviden a háromszög szögfelez inek is mondjuk.

Az eddigiek alapján kimondhatjuk a következ tételt:

B

G

A halmazelméleti tanulmányaink során már láttuk, hogy két metsz egyenest l egyenl távolságra lév pontok halmaza a síkjukban a két egyenes által meghatározott szögek szögfelez egyenesei.

B

DEFINÍCIÓ: Az olyan kört, amely érinti a háromszög mindhárom oldalát, a háromszög beírt körének (vagy a háromszögbe írható körnek) nevezünk.

B

166

13


IV. GEOMETRIA

Feladatok

1.

43. A PITAGORASZ-TÉTEL I.

Szerkesszük meg az ABC háromszög AB oldalának azt a pontját, amelyik a másik két oldalegyenest l egyenl távolságra van!

2. Szerkesszük meg egy háromszög beírt körét! 3. Szerkesszünk olyan félkört, amely érinti egy

háromszög két oldalát, átmér je pedig a háromszög harmadik oldalára illeszkedik!

4. Hány olyan kör van a síkon, amelyik egyszerre

érint két párhuzamos egyenest és egy azokat metsz harmadik egyenest? Válaszunkat indokoljuk!

A korábbi tanulmányainkból már ismert Pitagorasz-tételt alkalmazhatjuk mindkét esetben. Jelöljük a befogókat a-val és b-vel, a keresett átfogót pedig c-vel! Ekkor a tétel szerint tudjuk, hogy a2 b2 c 2. Ebbe az összefüggésbe helyettesítsük be az adatokat! MEGOLDÁS

5. Hány olyan kör van a síkban, amelyik egyszer-

re érint három, egymást három különböz pontban metsz egyenest? A válaszunkat indokoljuk!

82 152

c 2.

64 225 c 2.

6. Szerkesszük meg az ABC háromszög körülírt körének azokat a pontjait, amelyek egyenl tá-

volságra vannak az AB és a BC oldal egyenesét l! Szerkesszük meg a körülírt kör azon pontjait is, amelyek egyenl távolságra vannak az A és a C ponttól! Mit igyelhetünk meg?

7. A Heged s család a költözés után virágoskertet tervez. Ehhez egy paralelogramma alakú

földterület áll rendelkezésükre, amelynek az átlója mentén egy kis átkel utat meg akarnak hagyni. Az átkel két oldalán pedig egy-egy kör alakú ágyást szeretnének, melyekbe árvácskát fognak ültetni. Segítsünk nekik megtervezni az árvácskák helyét! (A lehet legnagyobb ágyást képzelték el, amely az egyes részekben elfér.)

289 c 2. Két olyan számot is találnánk, amelynek 289 a négyzete: a 17-et és a 17-et. De mivel a c hoszszúságot jelöl, így csak a pozitív szám jöhet szóba: c 17. Tehát az a) kérdésre a válasz: a derékszög háromszög átfogója 17 cm hosszú. Ugyanezt kell végigcsinálnunk a b) kérdésnél is, csak itt végül nem kapunk egész számot. 102 62

vagy metszéspontjaik téglalapot határoznak meg!

c 2.

100 36 c 2. 136 c 2. 136

8. Mutassuk meg, hogy egy paralelogramma szögfelez i vagy egy pontban metszik egymást,

c.

9. Egy háromszög egyik szöge 38 -os. Mekkora szöget zárnak be egymással a másik két csúcsra

A négyzetgyök segítségével könnyen tudjuk jelölni ilyenkor is a keresett számot. Közelít értékét pedig számológéppel vagy függvénytáblázat segítségével meghatározhatjuk. c 136 | 11, 66. Válasz a b) kérdésre: az átfogó hossza 136, vagyis kb. 11,66 cm.

10. Egy háromszög két szögének nagysága: 74 és 42 . Mekkora szöget zárnak be egymással a

A következ példát egy kb. 4000 évvel ezel tti babiloni agyagtáblán találták.

illeszked bels szögfelez egyenesek? háromszög szögfelez i?

11. Egy háromszög szögeit jelölje D , E és J ! Mekkora szöget zárnak be egymással a háromszög

szögfelez i?

167

14

Számítsuk ki, milyen hosszúak az átfogói az ábrán látható derékszögű háromszögeknek?

1. PÉLDA

„Egy gerenda 0;30 hosszú. Felül 0;6-tal lecsúszott. Lentr l mennyivel távolodott el?” A szöveg igen sz kszavú (bár még így is némiképpen ki van egészítve ahhoz képest, ami az agyagtáblán fönnmaradt). Ma valahogy így fogalmaznánk meg ugyanezt a feladatot: Egy 30 egység hosszú gerenda fels széle 6 egységnyit csúszott le a fal mellett. Milyen messzire csúszott el így a gerenda alja a faltól?

168

15

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

Recommend Documents