Matematika összefoglaló

Matematika összefoglaló A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése, gyakorló feladatok

Összeállította:

Deák Ottó mestertanár Általános- és Felsőgeodézia Tanszék

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

1

A bemutató vázlata • Bemutatkozás, a konzultáció célja • Tapasztalatok a matematika középiskolai oktatásáról • A középiskolai tananyag vázlatos és gyors áttekintés • A Matematika Tanszék mintadolgozatának megoldása • További mintapéldák megoldása • Tanácsok a matematika tanulásához Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

2

Bemutatkozás • Deák Ottó mestertanár, BME Építőmérnöki Kar, Általános- és Felsőgeodézia Tanszék • ELTE TTK Matematikus diploma • 33 év egyetemi oktatói tapasztalat • Kb. 40 év matematika korrepetálás középiskolásoknak • Az I. évf. 7. tankör osztályfőnöke a 2010/2011. tanévben • Segítőim az évfolyam mentorai (diák patrónusai) • Letöltés: http://www.agt.bme.hu/staff_h/deak Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

3

Tapasztalatok I. • A BME-n a matematika kiemelt fontosságú alaptárgy – – – –

A felvételin döntő jelentősége van Minden műszaki szaktárgy rá épül Alapkészségeket és gondolkodásmódot tanít Az egyik első szűrő a mérnökké válás folyamatában

• Szerepe és súlya a középiskolában – Megnövekedett tananyag – Csökkenő követelmények – Az érettségi szerepe a tudás kontrolljában Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

4

Tapasztalatok II. • Az elmúlt évek tapasztalata az egyetemi oktatásban: – egyre alacsonyabb szintű matematika-ismeretekkel érkeznek a hallgatók az I. évre; – a lexikális ismeretek nagy része hiányzik („benne van a függvény-táblában”!); – gyenge számolási készség (számológépek használata); – a feladat-megoldási rutin hiánya (időhiány, más elfoglaltság miatt); – a felvételinél nem követelmény az emelt szintű matematika érettségi. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

5

Következmények • Az előbb felsorolt tényezők hatása az egyetemi oktatásra: – az alapozó tárgyakban magas bukási arány; – az egyetemen gyakran középiskolai anyagot is tanítani kell; – a nem kimondottan matek-alapú tárgyakban is nagy lemorzsolódás (pl. geodézia).

• Védekezési mechanizmusok az egyetem részéről: – matematika-felmérő íratása; – felzárkóztató matematika-oktatás (középiskolás anyag megtanítása). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

6

Matematika összefoglaló • Tematikus összeállítás • A középiskolai tananyag fontos fejezetei • Alapfogalmak, definíciók, főbb képletek, fontos tételek • Nem pótolja a tankönyveket! • Szerepe: – gondolatébresztés, – hiány-feltárás, – figyelmeztetés


7

Matematikai jelölések az anyagban • Szimbolikus jelölések az anyagban: – : a megadott értékek közelítően egyenlőek – : minden olyan elem, amely… – : létezik olyan elem, amely… – : az előzőekből következik – : eleme a magadott halmaznak – : nem eleme a halmaznak – : a megadott halmaz részhalmaza (valódi) –  : halmazok egyesítése (uniója) –  : halmazok közös része (metszete) – : a megadott elemek összege Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

8

Algebrai kifejezések I. • Algebrai kifejezés fogalma, elemei – – – – –

Számok Változók Paraméterek Műveleti jelek Zárójelek

• Számok a kifejezésekben, számítási élesség – – – –

Természetes számok Egész számok Racionális számok Valós számok (irracionális szám fogalmával) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

9

Algebrai kifejezések II. • Műveletek algebrai kifejezésekkel – – – –

Zárójelek szerepe, felbontása Racionális kifejezések, műveletek törtekkel Kiemelés, összevonás, egynemű kifejezés fogalma Fontosabb algebrai azonosságok a

b

2

a2

2 a b b2

a

b

3

a3

3 a2 b 3 a b2

a

b

a

a2

b

b3

b2

an

bn

a

b

an

1

an

2

b  a bn

2

bn

1

, n

N

an

bn

a

b

an

1

an

2

b  a bn

2

bn

1

,n

N , n páros

an

bn

a

b

an

1

an

2

b  a bn

2

bn

1

,n

N , n páratlan


10

Hatványozás • Ismételt szorzás, egyszerűbb jelölés • Azonosságok a definíció alapján, kiterjesztése an a

n

a

a a  a a

m

a

n m

an am

a b a b

n

a

a

n m

m n

an

m

n

an bn

an m

a a

an an

0

n

p q

a0 q

1 n

a0 an

1 an

ap

an bn Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

11

Gyökvonás • Négyzetgyök, n-dik gyök fogalma n

a

x

a

x2

a

y

a

yn

• Műveletek gyökös kifejezésekkel a b a b

b

a b

a n m

a

n

a

an nm

a


12

Törtek gyöktelenítése • Azonos átalakítások, a tört értéke nem változik a b

a b

b b

a b

a c

b

a b

b c b c

a

b

n

b

c

n

bn

1

n

bn

2

n

c 

n

cn

1

n

bn

1

n

bn

2

n

c 

n

cn

1

a n

c

n

a

b n

n

c

bn

1

b c b c

a

n

bn

2

n

c 

n

cn

1

b c Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

13

Oszthatóság I. • Az egész számok körében értelmezzük: – Osztandó, osztó, hányados, maradék fogalma – Maradék nélküli és maradékos osztás – Összetett és prím szám

• Az algebra alaptétele Minden egész szám (sorrendtől eltekintve) egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára

• Prímfelbontás előállítása n

p1k1 p2k2  prkr ,

pi prímszám

• Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

14

Oszthatóság II. • Oszthatósági szabályok – – – – – – – – – –

2: páros számok 3: számjegyek összege osztható 3-mal 4: utolsó két jegy osztható 4-gyel 5: utolsó számjegy 0 vagy 5 6: páros és osztható 3-mal 7: 3-as csoportok váltakozó előjelű összege osztható 7-tel 8: utolsó három jegye osztható 8-cal 9: számjegyek összege osztható 9-cel 10: utolsó jegye 0 11: páros helyiérték összege – páratlan helyiérték összege osztható 11-gyel Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

15

Függvények I. • Kapcsolat 2 halmaz elemei között f :A

B; y

f ( x ), ahol x

A, y B

• Általában számhalmazok közötti művelet – Alaphalmaz, képhalmaz – Értelmezési tartomány • Df

A, azon A-beli pontok halmaza, ahol az f értelmezhető

– Értékkészlet • Rf B, azon B-beli pontok halmaza, amelyeket az f az Rf-beli pontokban felvesz értékként

• Függvény inverze (megfordítása) f :A

B

f

1

:B

A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

16

Függvények II. • Függvények tulajdonságai – Monotonitás • Szigorúan monoton növő, monoton növő x1 , x2 D f , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ), illetve f ( x1 ) f ( x2 ) • Szigorúan monoton fogyó, monoton fogyó x1 , x2 D f , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ), illetve f ( x1 ) f ( x2 )

– Korlátosság • Felülről korlátos K1 , x Df

f ( x ) K1

• Alulról korlátos K2 , x Df

f ( x ) K2

• Korlátos K1, K2

, x Df

K1

f ( x ) K2


17

Függvények III. • Függvények tulajdonságai – Paritás • Páros f : , x • Páratlan f : , x

Df

f x

Df

f

f x

x f x

– Határérték lim f ( x ) A

A

x x0

,

0

0, x D f , x x0

f(x) A

– Folytonosság • Az f : lim f ( x )

x

x0

f x0

függvény folytonos az x0 ,

D f pontban, ha

– Periodikusság Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

18

Függvények IV. • Függvények megjelenítése, grafikonja f :

,x

Df

y

f(x)

P( x, f ( x ))

• Függvények megadása – – – –

táblázattal kifejezéssel egyenlettel grafikonnal Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

19

Függvények V. • Függvények transzformációja – f(λ·x) – f(x+a) – c·f(x) – f(x) + t

- széthúzás λ-szorosra az X tengely irányába - eltolás balra a-val az X tengely irányába - széthúzás c-szeresre az Y tengely irányába - eltolás t-vel az Y tengely irányába


20

Elemi függvények • Tulajdonságok ismerete: a korábbi fogalmak értelmezése az adott függvényre • Fontosabb függvények: – – – – – – – –

Konstans függvény; Lineáris függvény; Abszolutérték függvény; Másodfokú (parabola) függvény; Egészrész, törtrész függvény; Lineáris törtfüggvény; Logaritmikus, exponenciális függvények; Trigonometrikus függvények. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

21

Elsőfokú (lineáris) egyenletek • Olyan algebrai kifejezések, amelyeket = jel kapcsol össze, és benne betűvel jelzett mennyiségek is szerepelnek. • Ezek lehetnek paraméterek és ismeretlenek is. • Az egyenlet megoldása az ismeretlen(ek) azon értékének meghatározása, amelyeket az egyenletbe helyettesítve, az egyenlőség két oldala azonosságot fejez ki. • A megoldást a mérleg-elv segítségével kapjuk meg (mi az?). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

22

Lineáris egyenlőtlenségek • Megoldásuk: mint az egyenleteknél • Eltérés: ha negatív számmal osztunk vagy szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik • A megoldás általában egy halmaz (intervallum)


23

Többismeretlenes egyenletek • Megoldási módszerek: – kiküszöböléssel – helyettesítéssel

• Lehetnek ellentmondásosak (nincs megoldásuk) vagy összefüggőek (végtelen sok megoldásuk van).


24

Másodfokú egyenletek • Általános alakjuk: a x2 b x c 0

• Megoldásukhoz a mérleg-elv nem elegendő • Megoldóképlet: b2 4 a c 2 a

b

x1, 2

• Összefüggések (Viéte-formulák, gyöktényező): x1

x2

b a

x1 x2

c a


x x1

x x2

0

25

Exponenciális egyenletek • Az ismeretlen a kitevőben található • Azonosságok használatával: x

ax

– átalakítás a kifejezés1 a kifejezés2 alakra, amiből az a fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt kifejezés1 kifejezés2 következik, ami megoldható; – új ismeretlen bevezetésével visszavezetés másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit.


26

Logaritmikus egyenletek • Az ismeretlen a logaritmus alatt található • Azonosságok használatával:

ax

– átalakítás log a kifejezés1 log a kifejezés2 alakra, amiből a log a x fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt kifejezés1 kifejezés2 következik, ami megoldható; – új ismeretlen bevezetésével visszavezetés első- vagy másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit.


27

Szögfüggvények I. • Derékszögű háromszögekben értelmezzük sin cos

a c b c

tg ctg

a b b a

• Néhány elemi összefüggés: sin tg tg

cos ctg sin cos

sin 2

cos 2


1 28

Szögfüggvények II. • Addíciós azonosságok:

sin cos

sin cos cos cos cos  sin tg tg 1  tg tg

tg

• Kétszeres szögek:

sin 2

2 sin

cos

cos 2

cos 2 2 tg 1 tg 2

sin 2

tg 2

sin sin

• Egyszerű átalakítások: sin

1 cos 2 2

cos Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

1 cos 2 2 29

Szögfüggvények III. • További összefüggések: sin

sin

2 sin

sin

sin

2 sin

cos

cos

2 cos

cos

cos

2 sin

cos

2

cos

2 2 2

2 2

cos sin s

2 2


30

Trigonometrikus egyenletek • Megoldásukhoz használni kell a trigonometrikus azonosságokat! • Az egyenletet átalakítjuk, hogy csak egy szögfüggvény szerepeljen benne. • A kapott egyenletet megoldjuk vagy visszavezetjük új ismeretlen bevezetésével másodfokú egyenletre. • A megoldás értelmezése: – periódikusság miatti additív konstansok alkalmazása; – a megoldás általában párban jelenik meg (két szögnegyedben is azonos a szögfüggvény értéke). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

31

Sorozatok I. • Számok rendezett (sorszámozott) halmaza, más szóval egy leképezés a természetes számok halmazáról a valós számok halmazára: a:N

, ai ,i 1,2,...,n

• Jellemző mennyiségei: – a1 : a sorozat első tagja – –

an : a sorozat n-dik tagja S n : az első n tag összege

• Definiálása – explicit képlettel – implicit (rekurzióval) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

32

Sorozatok II. • Fontosabb számsorozatok: – Számtani • a szomszédos tagok különbsége állandó a1 an 2 a1 an a1 n 1 d ; Sn n 2

– Mértani

n 1 d n 2

• a szomszédos tagok hányadosa állandó qn 1 n 1 an a1 q ; S n a1 q 1

– Fibonacci

• minden tag az előző kettő összege

a1 1; a2

1;

an

an

2

an

1


( n 3,4,...)

33

Vektorok • Irányított szakasz a síkban vagy a térben • Jellemzői: – állása (melyik egyenessel párhuzamos); – iránya (merre mutat); – hossza (távolság a kezdő- és a végpont között).

• Nem jellemző: – kezdő- vagy támadási pontjának helye

• Műveletek vektorokkal – – – –

Számmal való szorzás Összeadás, kivonás Skaláris szorzás (két vektor szorzata egy szám) Vektoriális szorzás (két vektor szorzata egy újabb vektor)

• Ábrázolása koordinátarendszerben – helyvektor (kezdőpontja az origóI Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

34

Geometria I. • Fontosabb geometriai témák és fogalmak: – Síkidomok osztályozása – Háromszögek tulajdonságai, fontosabb tételei: • Thalesz tétel, Pithagorasz tétel • Számítási módszerek: sinus- és cosinus tétel

sin us tétel :

a sin

cos inus tétel : c 2

b sin

c sin

2

a 2 b 2 2 a b cos

• Szögfelező tétel • Derékszögű háromszögben befogó- és magasság tétel • Súlypont, magasságpont, oldalfelező, szögfelező tulajdonságai Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

35

Geometria II. • A kör és fontosabb tulajdonságai: – A kör részei: középpont, sugár, átmérő, körív, körszelet, körcikk – Középponti- és kerületi szögek tétele – Külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok tétele – Húrnégyszög, érintőnégyszög tétele – Háromszögbe, háromszög köré írt kör


36

Geometria III. • További fontosabb fogalmak és tételek: – Párhuzamos szelők tételei és megfordításuk – Síkidomok, háromszögek hasonlósága és egybevágósága – Síkidomok, háromszögek kerülete, területe – Szabályos sokszögek tulajdonságai – Síkbeli transzformációk


37

Koordinátageometria I. • A geometria számszerűsítése, geometriai alakzatok egyenletekkel történő megadása • Alkalmazásával a geometriai feladatok analitikus megoldást nyernek (egyenletek használata, megoldása) • Egy geometriai objektum egyenlete egy olyan azonosság, amelyet csak az objektum pontjai elégítenek ki (a koordinátájukat az egyenletbe helyettesítve azonosságot kapunk)


38

Koordinátageometria II. • Az egyenes egyenletei: – Irány vektoros egyenlet • Adott:

v v1 ; v2 , P0 x0 ; y0

• Egyenlet:

v2 x v1 y

v2 x0 v1 y0

– Normál vektoros egyenlet • Adott:

n A; B , P0 x0 ; y0

• Egyenlet:

A x B y

A x0

B y0

– Két pontos átmenő egyenes egyenlete • Adott: • Egyenlet:

P1 x1 ; y1 , P2 x2 ; y2 y2

y1

x x1

x2

x1

y y1

– Meredekségével adott egyenes egyenlete • Adott:

m, P0 x0 ; y0

• Egyenlet:

y y0

m x x0


39

Koordinátageometria III. • A kör egyenlete • Adott: • Egyenlete:

C u; v , r x u

2

y v

2

r2

• A kör egyenletének általános alakja A x2

A y2

B x C y D


0

40

Polinomok I. • A polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. • A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomoknak (vagy egytagoknak) nevezzük. • A monomokban lévő számszorzókat a polinom együtthatóinak hívjuk. • A polinomokkal műveletek végezhetők – összeadás, kivonás, szorzás, osztás Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

41

Polinomok II. • Polinomok (maradékos) osztása: – Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük – Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból – A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást – A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó – Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

42

Polinomok III. • Polinomok (maradékos) osztása: – Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük – Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból – A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást – A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó – Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

43

Mintazárthelyi • A feladatlapon csak egy helyes választ lehet megadni • A feladat szövegét figyelmesen olvassák el! • Csak a biztos megoldásokat írják be, ne tippeljenek! • A részszámításokat minden esetben el kell végezni, de külön lapon. • A megoldás sorrendje nem feltétlenül a számsorrend.


44

Mintazárthelyi feladatlap


45

1. feladat

Megoldás: a 1

a a

1

1 a 1

a a

a 1 a 1 a

a a 1 a

Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

46

2. feladat

Megoldás: 10

4 lg 25

10 4 10 lg 25

10000 25

400

20

Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

47

3. feladat

Megoldás:

Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

48

4. feladat

Megoldás:

1. a

b

a

c

3. log a b c

a

b c

ab ac

b

2. a a

log a b log a c

b

a

b b

a

2b

a

b2

log a b c


49

5. feladat

Megoldás: lg x

értelmezhető , ha x

1 0 x 1 x / x , ha x 1 x / x , ha x

0, ezért :

x

0

x2

1

x 0

x2

1

x

1 x 1 x 0


50

6. feladat

Megoldás: sin 75 cos 75

1 1 2 sin 75 cos 75 sin 2 75 2 2 1 1 1 1 1 sin150 sin 30 2 2 2 2 4


51

7. feladat

Megoldás: f(x)

g(x) h(x)


52

8. feladat

Megoldás: T4

T2

2 T1 T2

T4 2 T1

T3 1

1 4

T1 T4

1 1 2 4 20

4 T1 4 T2

1

T1 T4

3 20 1 3 4 4 20 20

1 2

2

2

5 2

1 5

1 20

T1

1 5


53

9. feladat

Megoldás: t1

s1 v1

v

s t

s2 46 km 46 46 km 46 h t2 h km 100 v2 60 km 60 100 h h 92 km 92 km 92 300 km km 75 46 46 138 230 h 368 h h h h 100 60 300

Helyes válasz: A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

54

10. feladat

Megoldás: x

1 14 x

x2

2 x

x2

2

x

1 x

2

14 2

1 1 196 2 x x 1 2 196 x x2

1 x2

194


55

11. feladat

Megoldás: Vössz c

darabössz

p q

c p q c p c p n q m q m n

c n p m q


56

12. feladat

Megoldás:

sin( x )

Helyes válasz: A

sin

x 2

sin


x 2

sin

x 2

1

57

13. feladat

Megoldás: x2 8 x

y2

4 y 4 0

x 4

2

x 4

2

y 2

2

16

x 4

2

y 2

2

42

16

y 2

2

4 4 0

O( 4, 2 ); r

4

Helyes válasz: E Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

58

14. feladat

Megoldás: A( 5; 2 )

B( 2;7 )

e: 3 x 9 y 3

F(

7 2

21 2 3 x 9 y 12 3 x 9 y

9

7 5 ; ) 2 2

n( 3;9 )

5 2

45 2 x 3 y

4

Helyes válasz: A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

59

15. feladat

Megoldás: Eredeti érték : x Évente 20 % csökkenés 0,8 x 2 év után : 0,64 x 3 3 Ennek e: 0,64 x 0,48 x 4 4


60

További mintapéldák • Az alábbi feladatok megoldását külön oldalon közöljük • A példák önálló megoldását javasoljuk, a kidolgozott megoldást ellenőrzésre használják • További feladatok megoldása segít a felkészülésben • Ajánlott segédlet: Egységes érettségi feladatgyűjtemény – Matematika (Konsept-H Könyvkiadó, 2002)


61

Példák I. 1) Egy matematika versenyen két feladatot tűztek ki. Az elsőt az indulók 70 %-a, a másodikat pedig az indulók 60 %-a oldotta meg. Minden induló megoldott legalább egy feladatot, és kilencen mindkét feladatot megoldották. Hányan indultak a versenyen? 2) Számológép használata nélkül állapítsa meg, melyik nagyobb a következő számok közül: 9 4 2 vagy 1 2 2


62

Példák II. 3) Fejezze ki c-vel az alábbi kifejezéseket, ha c log a b . Tegye meg a szükséges kikötéseket is! a 3 log b c loga ( a b ) log a a b

4) Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: 3 a 1 1 a a2 (a 1) 1 1 1 a 1 3 5 s 2 s 1 s 2 s2

1

2


1 a 63

Példák III. 5) Végezze el az alábbi polinomos osztást. Mennyi lesz a művelet maradéka? 4 x6 7 x 4 5 x3 5 x 2

4 x 1 : 2 x2 3 x 1

6) Egy háromszög egyik szöge a másik két szög számtani közepe. A két nagyobbik szög együttvéve akkora, mint a legkisebb szög háromszorosa. Mekkorák a háromszög szögei? 7) Melyik az az ötjegyű szám, amely után egy 1est írva, háromszor akkora számot kapunk, mintha az elejére írnánk egy 1-est? Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

64

Példák IV. 8) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget: 2 x 4 3 x

2

9) Melyik az a legbővebb halmaz, amelyen az alábbi f(x) függvény értelmezhető? f(x)

tg ( x ) 1 2 sin( x )

10) Három szám összege 114. Lehetnek egy mértani sorozat első három tagja, vagy egy számtani sorozat 1., 4. és 25. tagja is. Mely számokról van szó? Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

65

Példák V. 11) Vízszintes sík talajon álló 100 m magas felhőkarcolóból megmérjük egy egyenes útszakasz két végpontjának depressziószögét és az útszakasz látószögét. A mért értékek rendre 4,5º; 5,5 º és 75 º. Mekkora az útszakasz hossza? 12) Adja meg annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C(0;5) pont és érinti a g :5 x 3 y 19 egyenest.


66

Megoldások 1) Az egyik feladatot 60%, a másodikat 70% oldotta meg, ezért mindkét feladattal 30% foglalkozott. Tudjuk, hogy ez 9 főt jelent, így a teljes létszám 30 tanuló. Ennyien indultak a versenyen.

2) Azonos átalakításokkal kapjuk: 9 4 9 4 9

??

2 2

?? 1 2

2

/ " 2"

?? 1 4

2 4 2

9

Vagyis a ?? helyére = írható! Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

67

Megoldások 3)

loga ( a b ) loga a loga b 1 c

a log a a log a b 1 c b loga b3 3 loga b 3 c log a

4)

a3 1 a 1 a a2 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 a3 a3 1 1 a 1 a

a3

2

1

1

1

1

1

1 1

1

1 a

1

a 1 2 a 1

1

1

1 a 1 a a 1

a 1 a 2 a 1 a 1 2 a 1


a 2 a 1 68

Megoldások 4) (folytatás) 3 5 s 2 s 2

x

1 s 2 s2

x

1

2 1 2

x 3 x 1

x 3 x 1 1

mert : x1,2

5

25 4 ( 2 ) 3 2 ( 2)

3 1

x1,2

1

1 4 ( 2) 1 2 ( 2)


2

2

1

69

Megoldások 5)

4 x6 7 x 4 5x3 5x 2

4 x 1 : 2 x 2 3x 1 2 x 4 3x 3

x 1

4 x6 6 x5 2 x 4 6 x5 9 x 4 5x3 5x 2 6x

5

9x

4

3x

4x 1

3

2 x3 5x 2

4x 1

2 x 3 3x 2

x

2 x 2 3x 1 2 x 2 3x 1 0 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

70

Megoldások 6)

;

2 5 3 4 3 45;

7)

3

;

180

4

;

3 5

12 180 3 3 60 ; 75

180

10 x 1 3 100000 x 10 x 1 300000 3 x 7 x 299999 x 42857 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

71

Megoldások 8)

2 x 3 4 x 3

4 x 10 x

4 x 10 3 x

2 0

0

2 x 4 2 3 x 3 x 4 x 10 0

3 x

0

4 x 10 x 2 ,5

3 3

4 x 10 0

3 x 0

4 x 10 x 2 ,5

3 x 3 x

x x

2 ,5

x 3

nincs megoldás!


72

Megoldások 9)

tg ( x ) 1 2 sin( x )

f(x)

tg ( x ) értelmezett

1 2 sin( x ) 0

x

1 2 sin( x )

2

k

1 2

2 k

x

6

2 k

sin( x )

5 6

2 k

x


2

2 k

x

2

k

73

Megoldások 10)

I.

a a q a q2 a 1 q q2

a q a II. 3 q 1 a 3 21 q 3 I. a 1 7 q d a

114 114

a q2 a q 21 q 1 a q 21 q

7

49 114 a 2 1 2 6 d 4 3 3

a1

2

a2

2 7 14

a3

2 72

98 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

74

Megoldások 11)

sin 4,5

100 t1

t1

100 sin 4,5

1274 ,55

sin 5,5

100 t2

t2

100 sin 5,5

1043 ,34

t2

t12 t22 2 t1 t2 cos 75

t 2 1274 ,55 2 1043 ,34 2 2 1274 ,55 1043 ,34 cos 75 t 1422 ,91


75

Megoldások 12)

k : x2 x2

y 5

2

r2

y 2 10 y 25

r2

g :5 x 3 y 19 19 3 y x 5

361 114 y 9 y 2 y 2 10 y 25 r 2 25 361 114 y 9 y 2 25 y 2 250 y 625 34 y 2 136 y 986 25 r 2

0

D 136 2 4 34 986 25 r 2 18496 134096 3400 r 2 r2

3400 r 2

25 r 2

0

0

115600

34

k : x2

y 2 10 y 25 34

k : x2

y 2 10 y 9 0 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

76

Tanácsok a matematika tanulásához • • • •

• • • •

Részvétel az előadásokon Jegyzet készítése – ha nem ért valamit, akkor is! Óra után az anyag átnézése és megértése Problémás részekről konzultálás évfolyamtárssal, felsőbb évessel A gyakorlaton aktív részvétel (kérdezés!) A feladatok önálló megoldása az óra után Mintapéldák megoldása (begyakorlás) Zárthelyire készülés (csoportos feladatmegoldás) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

77

Matematika összefoglaló

Recommend Documents