MATEMATIKA NÉMET NYELVEN

ÉRETTSÉGI VIZSGA ● 2014. május 6.

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MATEMATIKA NÉMET NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

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Matematika német nyelven

emelt szint — írásbeli vizsga 1312

Matematika német nyelven — emelt szint

írásbeli vizsga 1312

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Wichtige Hinweise 1. Es steht Ihnen eine Arbeitszeit von 240 Minuten zur Verfügung, nach dem Ablauf der Zeit müssen Sie die Arbeit beenden. 2. Die Reihenfolge der Ausarbeitung der Aufgaben ist beliebig. 3. Im Teil II müssen Sie nur vier von den fünf gegebenen Aufgaben lösen. Schreiben Sie am Ende ihrer Arbeit die Nummer der nicht gewählten Aufgabe in das Kästchen! Wenn es für die Korrektoren nicht eindeutig erkennbar ist, welche Aufgabe Sie nicht wählen wollten, wird die neunte Aufgabe nicht bewertet.

4. Zur Lösung der Aufgaben sind Taschenrechner, die für die Speicherung und Darstellung von Texten nicht geeignet sind, und ein beliebiges Tafelwerk zugelassen. Weitere elektronische, gedruckte oder schriftliche Hilfsmittel sind nicht erlaubt! 5. Beschreiben Sie den Lösungsweg immer ausführlich, denn die meisten für die Aufgabe bestimmten Punkte werden dafür vergeben! 6. Achten Sie darauf, dass die Berechnungen anschaulich sind! 7. Sätze, die Sie in der Schule mit Namen gelernt haben (z. B. Satz von Pythagoras, Höhensatz), müssen nicht formuliert werden. Es reicht, wenn Sie den Namen des Satzes nennen und kurz begründen, warum der Satz hier verwendbar ist. Der Bezug auf weitere Sätze wird nur dann vollständig akzeptiert, wenn Sie den Satz mit allen Bedingungen genau formulieren (ohne Beweis) und seine Anwendung im konkreten Fall begründen. 8. Die Endergebnisse der Aufgaben, die die gestellte Frage beantworten, müssen Sie in einem Antwortsatz formulieren! 9. Schreiben sie mit Kugelschreiber oder mit Tinte, die Abbildungen können auch mit Bleistift gezeichnet werden! Außerhalb der Abbildungen werden die mit Bleistift geschriebenen Teile nicht bewertet. Wenn Sie eine Lösung oder einen Teil davon durchstreichen, kann dieses nicht bewertet werden. 10. Bei den einzelnen Aufgaben ist nur eine Lösung zu bewerten. Bei mehreren Lösungsversuchen markieren Sie bitte eindeutig, welchen Sie für richtig halten! 11. Beschreiben Sie bitte die grauen Kästchen nicht!


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I. 1.

Lösen Sie die Gleichungen in der reellen Zahlenmenge!!

π  a) sin 2 x −  = 1 6  b) log3 x + log9 x = 6


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a)

5 Punkte

b)

6 Punkte

I.:

11 Punkte

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2.

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a) In einem vollständigen Graphen mit 16 Knotenpunkten werden alle Kanten so rot oder gelb gefärbt, dass aus allen Knotenpunkten genau drei rote Kanten ausgehen. Aus den Punkten werden zufälligerweise zwei ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählten zwei Knotenpunkte durch eine rote Kante verbunden werden? b) Wenn man in einem anderen vollständigen Graphen 45 Kanten weglässt, bekommt man einen Baum(graphen). Wie viele Knotenpunkte hat dieser Graph? (Der vollständige Graph ist ein einfacher Graph, in dem alle beliebigen zwei Knotenpunkte durch eine Kante verbunden werden.)


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a)

4 Punkte

b)

8 Punkte

I.:

12 Punkte

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3.

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Der Verein der Dachdecker beschenkt alle pensionierten Mitglieder mit einer kleinen, massiven Figur aus Bronze. Die Grundfläche der Figur ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 cm. Zwei gegenüberliegende, kongruente, dreieckförmige Seitenflächen stehen senkrecht auf der Grundfläche, wie es in der Abbildung zu sehen ist. Die zwei Seitenkanten der Dreiecksflächen sind 2 cm und 3 cm lang. Die inneren Ausmaße des Verpackungskastens, der zu dieser Figur bestellt wurde, sind 4,1 cm × 4,1 cm × 1,5 cm. Die Dichte der Bronze ist kg . 8,2 dm 3 Zeigen Sie mit Rechnungen, dass die Figur aus Bronze in die Verpackung passt und dass ihr Gewicht 10 dkg nicht überschreitet!

I.:


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14 Punkte

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4.

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a) Eine Datenmenge besteht aus sieben positiven ganzen Zahlen. Sechs Elemente dieser Menge sind: 10; 2; 5; 2; 4; 2. Das siebte Element ist unbekannt. Man weiß aber, dass der Durchschnitt, der Modus und der Median der sieben Zahlen (nicht unbedingt in dieser Reihenfolge) die drei aufeinanderfolgenden Glieder einer streng monoton wachsenden arithmetischen Folge sind. Bestimmen Sie die möglichen Werte der siebten Zahl! b) Wie viele vierstellige gerade Zahlen kann man aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5 bilden, in denen alle Ziffern verschieden sind?


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a)

9 Punkte

b)

5 Punkte

I.:

14 Punkte

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II. Von den Aufgaben 5-9. müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht gewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 3! 5.

In einer Abteilung einer Firma ist das Durchschnittsalter der Männer 44 Jahre, das Durchschnittsalter der Frauen 40 Jahre, das Durchschnittsalter aller Mitarbeiter dieser Abteilung ist 41,5 Jahre. a) Das Wievielfache ist die Zahl der Männer der Zahl der Frauen dieser Abteilung?

In einer anderen Abteilung dieser Firma ist das Verhältnis der Zahl der Männer und der Frauen 2:3. Bei einer Umstrukturierung werden 7 Männer und 9 Frauen umgesetzt. So wurde das Verhältnis der Männer und der Frauen in dieser Abteilung 1:2 . b) Wie viele Männer und Frauen sind in dieser Abteilung geblieben? c) Auf wie viele verschiedene Weisen kann man aus 6 Frauen und 3 Männern drei Teams bilden, in denen jeweils 2 Frauen und 1 Mann sind? (Abgesehen von der Reihenfolge der drei Teams.)


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a)

6 Punkte

b)

5 Punkte

c)

5 Punkte

I.:

16 Punkte

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Von den Aufgaben 5-9. müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Die Nummer der nicht gewählten Aufgabe schreiben Sie bitte ins leere Kästchen auf der Seite 3! 6.

a) Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt O und der Gleichung ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 = 45 . Bezeichne man den Schnittpunkt dieses Kreises mit der Geraden e mit der Gleichung y = 2 im ersten Quadranten M. Man spiegelt die Gerade e auf der Geraden OM. Schreiben Sie die Gleichung der Spiegelgerade von e auf! b) Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung y = − x 2 + 2 x + 5 . Bezeichne man den Schnittpunkt der Parabel mit der Geraden y = 2 im ersten Quadranten mit P . Berechnen Sie die Steigung der Tangente der Parabel im Punkt P !


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a)

12 Punkte

b)

4 Punkte

I.:

16 Punkte

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a) Bestimmen Sie die reellen Parameterwerte a, b und c der Funktion f : R → R, f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c , wenn man über die Funktion folgendes weiß:

(1) (2)

f (1) = f ( −1) + 4;

f’(3) = 10 (f ’ ist die Ableitungsfunktion von f ); 2

(3)

 f ( x)dx = −8 . 0

b) Zeigen Sie, dass das Polynom x 3 − 3 x 2 + x − 3 in Produktform darstellbar ist, und mit deren Hilfe bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion g : R → R, g ( x ) = x 3 − 3 x 2 + x − 3 !


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a)

11 Punkte

b)

5 Punkte

I.:

16 Punkte

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Das Kartenspiel „Ulti“ wird mit ungarischer (deutscher) Karte gespielt, in dem es 4 Farben (Herz, Eichen, Schippen, Schellen) und in allen Farben 8 Karten (VII, VIII, IX, X, Unter, Ober, König, Ass), also insgesamt 32 Karten gibt. Dénes, Elemér und Fanni spielen Ulti: Bei jeder Teilung bekommen alle drei Spieler (zufälligerweise verteilt) je 10 Karten, die übriggebliebenen 2 Karten bleiben im Talon. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Teilung die zwei, im Talon gebliebenen Karten andere Farben haben! b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Teilung Elemér alle 8 Karten einer der Farben bekommt! c) Zeigen Sie durch Berechnung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Aufteilung Fanni mindestens 1 Ass bekommt, 0,7966 ist (auf vier Nachkommastellen gerundet)! d) Man weiß, dass Fanni bei der Teilung mindestens ein Ass bekommen hat. Bestimmen Sie die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass sie alle vier Asse bekommen hat.


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a)

4 Punkte

b)

4 Punkte

c)

3 Punkte

d)

5 Punkte

I.:

16 Punkte

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In einem Spiel beginnen alle Spieler mit der gleichgroßen Punktzahlt, die während der Runden des Spieles steigen oder fallen kann. Rita und Peter haben gut gespielt, weil sie ständig gewonnen haben. So stiegen ihre Punktzahlen. Interessanterweise stieg die Punktzahl von Rita von Runde zu Runde auf das Gleichfache. Das galt auch für Peter, obwohl bei ihm das Maß des Wachstums größer war. Nach der ersten Runde hatte Peter 20 Punkte mehr als Rita. Nach der zweiten Runde hatte er schon 70 Punkte Vorsprung vor Rita. Nach der dritten Runde hatte er schon 185 Punkte mehr als Rita. Wie groß war die gemeinsame Anfangspunktzahl?

I.:


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16 Punkte

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Die Nummer maximale erreichte maximale der Aufgabe Punktezahl Punktzahl Punktzahl 1. 11 2. 12 Teil I 51 3. 14 4. 14 16 16 64 Teil II 16 16 ← nicht gewählte Aufgabe Punktzahl des schriftlichen Teiles der Prüfung 115

Datum

erreichte Punktzahl

Fachlehrer, der korrigiert

elért programba pontszám beírt egész egész számra pontszám/ ins kerekítve/ Programm erreichte eingetragene Punktzahl ganze Punktauf ganze gezahl rundet I. rész/ Teil I II. rész/ Teil II

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