Matematika munkafüzet

A teljes munkafüzet interneten keresztül is megtekinthető az Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet honlapján (ofi.hu).

Kísérleti tankönyv

Raktári szám: FI-503010702 ISBN 978-963-682-821-9

7

Matematika munkafüzet

7

A kiadvány megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet: 2. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5–8. évfolyama számára 2.2.03. előírásainak. Tananyagfejlesztő: Gedeon Veronika, Paróczay Eszter, Számadó László, Tamás Beáta, dr. Wintsche Gergely Alkotószerkesztő: dr. Wintsche Gergely Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Tudományos szakmai szakértő: Rózsahegyiné dr. Vásárhelyi Éva Pedagógiai szakértő: Illés János Olvasószerkesztő: Darcsiné Molnár Edina Fedélterv: Orosz Adél Látvány- és tipográfiai terv: Gados László, Orosz Adél IIlusztráció: Létai Márton Szakábra: Szalóki Dezső Fotók: Flickr, WikimediaCommons, Wikipedia, Alan Light, Kováts Borbála, Márton Tünde, Wintsche Gergely A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN 978‐963‐682‐821‐9 © Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József főigazgató Raktári szám: FI‐503010702 Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála, Márton Tünde Nyomdai előkészítés: Gados Dániel, Lőrinczi Krisztina Terjedelem: 16,48 (A/5 ív), tömeg: 297,1 gramm 1. kiadás, 2016 A kísérleti tankönyvek az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program 3.1.2-B/13-2013-0001 számú, „A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Köznevelési Portál fejlesztése” című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Nyomtatta és kötötte: Felelős vezető: A nyomdai megrendelés törzsszáma:

Európai Szociális Alap

Matematika 7 MF_0 cimnegyed.indd 2

2016.02.13. 18:52:56

TARTALOM

I. Gondolkodjunk! . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

III. Geometriai transzformációk I. Gondolkodjunk! ..................

397

1. Számold össze! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Rendezd sorba! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Kiválasztások. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Igazold! Cáfold! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Matematikai játékok. . . . . . . . . . . . . . . . 6. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 7 9 10 12 14

1. Fontos geometriai fogalmak . . . . . . . 2. Síkidomok, testek . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Geometriai transzformációk. . . . . . . . 4. Középpontos tükrözés . . . . . . . . . . . . 5. A középpontos tükrözés alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Szögpárok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Középpontos és tengelyes szimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Paralelogramma és deltoid . . . . . . . . . 9. A paralelogramma területe . . . . . . . . . 10. A háromszög területe. . . . . . . . . . . . . . 11. A trapéz területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. A deltoid területe . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Középpontosan szimmetrikus alakzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Szerkesztések. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 41 43 44

II. Racionális számok I. Gondolkodjunk! . . .és . . hatványozás ............. 1. Az egész számok tulajdonságainak áttekintése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. A törtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Törtek összeadása, kivonása . . . . . . . . 4. Törtek szorzása, osztása. . . . . . . . . . . . 5. Törtek tizedes tört alakja . . . . . . . . . . . 6. Műveletek tizedes törtekkel . . . . . . . . 7. Szöveges feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Zárójelfelbontások, összetett műveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Nagy számok és a hatványalak . . . . . . 10. A hatványozás azonosságai I. . . . . . . . 11. A hatványozás azonosságai II. . . . . . . 12. Normálalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

46 47 48 49 51 53 54 56 57 59 60 61

16 17 20 22 24 25 26 29 32 33 34 35 36

3

Matematika 7 MF_Book.indb 3

2015.04.13. 20:19:21

TARTALOM

IV. Oszthatóság, egyenletek I. Gondolkodjunk! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 .7

V. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Gondolkodjunk!

947

1. Számelmélet – A tanult ismeretek áttekintése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Összetett számok prímtényezős felbontása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Osztó, többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Legnagyobb közös osztó . . . . . . . . . . . 5. Legkisebb közös többszörös . . . . . . . . 6. Egy kis logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Oszthatósági szabályok . . . . . . . . . . . . 8. Készítsünk magunknak oszthatósági szabályokat! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Matematikai játékok. . . . . . . . . . . . . . . 10. Arányosságról még egyszer . . . . . . . . 11. Mi tudunk a százalékszámításról? . . . 12. Összetett százalékszámítási feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Szöveges feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Számok és betűk használata . . . . . . . . 15. Egyenletek megoldása . . . . . . . . . . . . . 16. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Egybevágó háromszögek . . . . . . . . . . . 2. Összefüggések a háromszög oldalai, szögei között . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. A háromszög és a köré írt köre . . . . . . 4. A háromszög és a beírt köre . . . . . . . . 5. Magasságvonalak a háromszögben . . 6. Súlyvonalak és középvonalak a háromszögben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Sokszögek szögei és átlói . . . . . . . . . . . 8. A kör kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. A kör területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. A hasáb felszíne és térfogata . . . . . . . . 11. A henger felszíne és térfogata . . . . . . . 12. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

63 65 67 68 69 71 72 74 75 76 77

95 97 98 99 101 103 105 107 109 110 112

79 81 83 85 88 90 VI. Függvények, statisztika . . . . . . . . . . . 114 I. Gondolkodjunk! 1. Két halmaz közötti hozzárendelések . . 2. Függvények és grafikonjaik . . . . . . . . . . 3. Olvassunk a grafikonról! . . . . . . . . . . . . 4. Ábrázoljunk képlet alapján! . . . . . . . . . 5. Keressünk szabályokat! . . . . . . . . . . . . . 6. Átlag, módusz, medián . . . . . . . . . . . . . 7. Gyakoriság, relatív gyakoriság . . . . . . . 8. Valószínűség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114 116 118 120 122 125 126 127 128

4


2015.04.13. 20:19:22

1. 1

SZÁMOLD ÖSSZE!

I.

Válaszolj az alábbi kérdésekre!

a) Hány darab kétjegyű páratlan szám van? ................................................................................... b) Hány darab háromjegyű páros szám van? .................................................................................. c) Hány darab hárommal osztható négyjegyű szám van? ................................................................. 2 A Vas családnak piros és sárga tányérkészlete van, de minden színből már csak négy darab. A kör alakú ebédlőasztalra ezekkel a piros és sárga tányérokkal szeretnének megteríteni öt személy részére. Add meg az összes terítési lehetőséget! A forgatással egymásba átvihető terítéseket nem tekintjük különbözőeknek. Lehet, hogy több ábrát rajzoltunk, mint amennyire szükséged lesz.

Vagyis összesen …….……. lehetőség van. 3 Az ábra négyzeteibe az A, B, E, F, O, P betűket kell beírnod a következők szerint: − sem két magánhangzó, sem két mássalhangzó nem kerülhet oldalukkal szomszédos négyzetekbe; − a betűknek balról jobbra haladva mindkét sorban ábécésorrendben kell szerepelniük; Egy beírásnál mind a hat betűt pontosan egyszer kell felhasználnod. Hány kitöltést tudsz készíteni a megadott szabályok szerint? Lehet, hogy több ábrát rajzoltunk, mint amennyire szükséged lesz. Vagyis összesen …….……. kitöltés készíthető.

GONDOLKODJUNK!


5

2015.04.13. 20:19:23

1.

I.

SZÁMOLD ÖSSZE!

4 A bűvös négyzeteket a középkorban a különleges tulajdonságaik miatt tartot16 3 2 13 ták bűvösnek, és talizmánként is hordták. Voltak, akik úgy gondolták, hogy ezek 5 10 11 8 a négyzetek megóvják viselőjüket mindenféle bajtól. A tankönyvben Dürer híres Melankólia című metszetén is láthatsz egy ilyen négyzetet. Az alsó sor középső két 9 6 7 12 száma a kép készítésének az évét is megadja: a metszet 1514-ben készült. Ennek a 4 15 14 1 négyzetnek a bűvös száma a 34, azaz minden sorban, minden oszlopban és a két átlóban is ennyi a négy szám összege. A tankönyv egyik feladatában olyan további számnégyeseket is találtunk, amelyeknek az összege szintén 34. Színezz be olyan számnégyeseket, amelyek nem egy sort, oszlopot vagy átlót alkotnak, és a számok összege 34! 16 3

2 13

16 3

2 13

16 3

2 13

16 3

2 13

16 3

2 13

5 10 11 8

5 10 11 8

5 10 11 8

5 10 11 8

5 10 11 8

9

9

9

9

9

6

7 12

4 15 14 1

6

7 12

4 15 14 1

6

7 12

4 15 14 1

6

7 12

4 15 14 1

6

7 12

4 15 14 1

5 Az ábra négyzeteibe az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokat kell beírnod a következők szerint: − a szomszédos páros számok (például a 2 és a 4) nem kerülhetnek oldalukkal szomszédos négyzetekbe; − az 1, 3, 5 számoknak balról jobbra haladva a megadott sorrendben kell egymás mellett szerepelniük.

Egy beírásnál mind a hat számot pontosan egyszer kell felhasználnod. Hányféle, a szabályoknak megfelelő beírás létezik? Rajzold le az eseteket!

Vagyis összesen …….……. kitöltés készíthető.

6

Matematika 7 MF-T_150316_GL.indd 6

GONDOLKODJUNK!

2015.05.06. 12:20:57

1.

I.

SZÁMOLD ÖSSZE!

6 A harminckét lapos magyar kártyából kivesszük a négy ászt. A piros, zöld, makk és tök ászhoz még hozzávesszük a piros és a makk királyt is. Ezt a hat lapot az ábrán látható elrendezésben az asztalra kell rakni (két sor, három oszlop). A piros ász és a piros király a felsősorban, a makk ász és a makk király pedig az alsó sorban kell egymás mellett legyen, sőt a két királynak mindig egy oszlopban kell elhelyezkednie. A mellékelt ábra mutat egy megfelelő elhelyezést. Keresd meg a megadottól különböző összes helyes elrendezést! Lehet, hogy több ábrát rajzoltunk, mint amennyire szükséged lesz. P K

P Á

T Á

M K

M Á

Z Á

Vagyis összesen …….……. elhelyezés létezik.

2.

I.

RENDEZD SORBA!

1 Készíts háromjegyű számokat a képen látható számkártyák mindegyikének felhasználásával! Sorold fel az összes esetet! Hány esetben kaptál négyzetszámot? Háromjegyű számok: ………………………….……….…….……. Négyzetszámok: ………………………….…….…

GONDOLKODJUNK!


Ez összesen: …….……. darab.

Vagyis …….……. négyzetszám van közöttük.

7

2015.04.13. 20:19:27

I. 2

2.

RENDEZD SORBA!

a) Add meg a 3, 4, 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával kapható háromjegyű számokat!

.................................................................................................................................................. Vagyis …….……. darab van. b) Add meg a 6, 7, 8, 9 számjegyek mindegyikének felhasználásával kapható négyjegyű számokat! .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. Vagyis …….……. darab van. 3 A tanterem előtt három lány és négy fiú áll. Hányféle sorrendben léphetnek a terembe, ha a fiúk előre engedik a lányokat? A lányok belépési sorrendjeinek a száma: ..................................................................................... A fiúk belépési sorrendjeinek a száma: ......................................................................................... Az összes sorrend: ..................................................................................................................... 4 Az A, B, C és D pontok egy négyszög négy csúcsát adják. Valamilyen sorrendben összekötöttünk közülük hármat, így rajzoltunk egy háromszöget. Hányféleképpen rajzolhattunk háromszöget, ha az összekötés sorrendje is számít? Az esetek száma: ………………………. Indoklás: ................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. 5 A számpiramisban a sorokon belül tetszőlegesen megváltoztathatod a számjegyek sorrendjét. Hányféle piramis van, ha ragaszkodsz ahhoz, hogy minden sor kettessel kezdődjön, és az 5-ös helyét sem változtatod? Töltsd ki a piramisokat szemléltető ábrákat! Lehet, hogy több ábra van, mint amennyire szükséged van.

Vagyis …….……. darab ilyen piramis van.

8


GONDOLKODJUNK!

2015.04.13. 20:19:28

2.

I.

RENDEZD SORBA!

6 A tankönyvben olvashattál a Négyszögletű Kerek Erdő lakóinak költői versenyéről (Lázár Ervin: A Négyszögletű Kerek Erdő). Ezen a versenyen Aromo, a fékezhetetlen agyvelejű nyúl ezt írta: bálömböki bag ú fan balámbökö big a fún búlambákö bög i fan balúmbaká bög ö fin bilambúka bág ö fön bölimbakú bag á fön bölömbika búg a fán

.................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. ..................................................................................

Figyeld meg a „vers” szerkezetét! Hány soros írás készíthető ezzel a módszerrel, ha az utolsó mondatát megadjuk? Írd le az így kapott „verset”!

3.

.................................................................................. a szobában lakik itt bent .................................................................................. Lehetséges, hogy több vonal van, mint amennyire szükséged lesz. Vagyis a sorok száma: …….……. darab.

KIVÁLASZTÁSOK

I.

1 Egy kisiparos az alábbi szöveggel hirdeti magát: Olcsón, jól és gyorsan dolgozom! Ön ezek közül kettőt választhat! Hányféle választásod lehet, ha ezzel az iparossal szeretnél dolgoztatni? Sorold fel az eseteket! .................................................................................................................................................. Vagyis …….……. eset van. 2 A 16 fős csoportban az óra elején két kiválasztott fog felelni. Hányféleképpen történhet a kiválasztás, ha a feleletek sorrendje nem számít? A kiválasztások száma: …….……. 3 A PÉTER név betűiből ki kell választanod kettőt minél több módon, és azokat abc sorrendben felsorolva leírni. Sorold fel a kiválasztásaidat! .................................................................................................................................................. Vagyis …….……. a választások száma.

GONDOLKODJUNK!


9

2015.04.13. 20:19:29

I.

3.

KIVÁLASZTÁSOK

4 Az ÁGNES név betűiből ki kell választanod hármat minél többféleképpen, és azokat abc sorrendben felsorolva leírni. Sorold fel a kiválasztásaidat! Megtaláltad az összeset? .................................................................................................................................................. Vagyis …….……. a választások száma. 5 A fagylaltozóban kilencféle fagylalt kapható. Egy osztály tanulói fagyizni mentek, s mindenki két különböző ízű fagylaltot kért. Hány fős lehet az osztály, ha senki sem kért ugyanolyan párosítást? Az osztály létszáma: …….……. 6 Egy sakkfeladványt hét bábuval lehet kirakni a táblára: négy világossal és három sötéttel. Tudjuk, hogy a világos és a sötét királynak is a táblán kell lenni, továbbá nincs két azonos világos és nincs két azonos sötét bábu sem a táblán. Hányféle módon választhatjuk ki a bábukat ehhez a feladványhoz? A sötét bábuk ezek lehetnek: …….………….…….…….…….…… Az esetek száma: …….……. darab. A világos bábuk ezek lehetnek: …….…….…….……….…….…… Az esetek száma: …….……. darab. Az összes eset száma: …….…….

I.

4.

IGAZOLD! CÁFOLD!

1 Fogalmazd meg a következő állítások megfordítását! Döntsd el, hogy melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H)! Cáfold a hamis állításokat! a) Ha egy négyszög két-két szemközti oldala egyenlő hosszúságú, akkor az téglalap. Megfordítása: ........................................................................................................................ Cáfolat: ................................................................................................................................. b) Ha egy gyümölcs piros, akkor az alma. Megfordítása: ........................................................................................................................ Cáfolat: .................................................................................................................................

10


GONDOLKODJUNK!

2015.04.13. 20:19:30

4.

IGAZOLD! CÁFOLD!

I.

2 A következő mondatokat szedd szét két állításra! Döntsd el, hogy igazak-e az így kapott állítások! a) Egy háromszög akkor és csak akkor hegyesszögű, ha a legnagyobb szöge hegyesszög. .................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) Egy hányados, akkor és csak akkor egyenlő 1-gyel, ha az osztó és az osztandó egyenlő. .................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 3 A Van olyan négyzet, amelyik nem téglalap állítás tagadása: Nem igaz, hogy van olyan négyzet, amelyik nem téglalap. Ezt a mondatot így is mondhatjuk: Minden négyzet téglalap. Az eredeti állítás hamis, a tagadása igaz! Ezek alapján fogalmazd meg a következő állítások tagadását! Dönts, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Van olyan deltoid, amelyik nem rombusz. Tagadása: .............................................................................................................................. b) Van olyan állat, amelyik nem kétlábú. Tagadása: .............................................................................................................................. c) Van olyan test, amelyik nem négycsúcsú. Tagadása: .............................................................................................................................. 4 A Van olyan háromszög, amelyben két tompaszög található állítás tagadása: Nem igaz, hogy van olyan háromszög, amelyben két tompaszög található. Ezt a mondatot így is mondhatjuk: Nincs olyan háromszög, amelyben két tompaszög található. Az eredeti állítás hamis, a tagadása igaz! Ezek alapján fogalmazd meg a következő állítások tagadását! Dönts, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Van olyan négyszög, amelyben két derékszög van. Tagadása: .............................................................................................................................. b) Van olyan közlekedési eszköz, amelyiknek két kereke van. Tagadása: .............................................................................................................................. c) Van olyan konvex sokszög, amelyiknek öt átlója van. Tagadása: ..............................................................................................................................

GONDOLKODJUNK!


11

2015.04.13. 20:19:31

I.

5.

MATEMATIKAI JÁTÉKOK

1 Az ábrán a beszorítós nevű játék tábláját láthatod. A játékban az ellenfél mozgásának megakadályozása a cél. Mindkét játékosnak két bábuja van, ami lehet például két-két kupak is. Kezdéskor az egyik játékos a négyzet két alsó sarkába két kék kupakot helyez, a másik játékos pedig a négyzet két felső sarkába két piros kupakot. (A lényeg, hogy két-két azonos színűt.) A kupakok a vonalak mentén tolhatók át az egyik szomszédos mezőről a másikra. Az a játékos győz, amelyik „beszorítja” a társát, vagyis megakadályozza a mozgását. Szinte gondolkodás nélkül, gyorsan kell játszani! Ha sokáig nem sikerül egymást beszorítani, akkor egyezzetek meg a döntetlenben! Ez azt jelenti, hogy mindketten nagyon figyelmesek voltatok. Ebben a játékban csakis a figyelemnek van szerepe, mivel a győzelem tévesztésen alapul. Hányféleképpen helyezkedhet el a tábla öt mezőjén a két piros és a két kék korong? Az esetek száma: …….……. Indoklás: ................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. Rajzold le vázlatosan azokat az eseteket, amikor a bal felső sarok piros!

Ezek száma: …….…….

12


GONDOLKODJUNK!

2015.04.13. 20:19:32

5.


I.

2 Ismered a malom nevű játékot? Most megismerheted ennek az egyszerű változatát. A neve is ez: egyszerű malom. A játék táblája könnyen elkészíthető: az ábrán látható módon összekötött kilenc körből áll. A játékhoz négy-négy azonos színű bábu kell. Az egyikk játékosé legyen négy piros kupak, a másik játékosé négy kék. A játék célja, hogy három bábunkat vízszintesen vagy függőlegesen egy vonalba állítsuk, azaz malmot hozzunk létre. A játékosok a játék első részében egy-egy bábut helyeznek a táblára felváltva. A kezdő lépésben nem szabad a középső mezőt elfoglalni! (Ebben az esetben a játékot a kezdő és figyelmesen játszó játékos nyerné.) Ha már mind a nyolc bábu a táblán van, akkor azok a vonalak mentén áttolhatók valamelyik szomszédos mezőre. Az a játékos lesz a győztes, aki előbb épít malmot! A játék nehezíthető, ha a bábuk számát három-háromra csökkentjük. a) A piros bábukkal játszó játékos kezd. Hányféle táblakép alakulhat ki két piros és egy kék bábu felhelyezése után, ha a kék bábuval játszó játékos azonnal elfoglalja a középső mezőt? Az esetek száma: …….……. Indoklás: ................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. b) Hányszorosára nő az esetek száma, ha az előzőek után még egy kék bábu felkerül a táblára? .................................................................................................................................................. 3 Két játékos felváltva ejti be színes korongjait az általuk elgondolt helyre a képen látható játék tetején lévő nyílásokon keresztül. Az lesz a győztes, akinek előbb lesz négy egyforma színű korongja egy sorban, egy oszlopban vagy átlósan. a) Hányféle változat alakulhat ki a képen egy sárga korong bedobása után? Esetek száma: …….……. b) Hányféle változat alakulhat ki a képen egy sárga, majd egy piros korong bedobása után? Esetek száma: …….……. c) Hányféleképpen képzelhető el egy sorban két piros és öt sárga korong úgy, hogy az öt sárga korong ne legyen egymás mellett? Esetek száma: …….…….

GONDOLKODJUNK!


13

2015.04.13. 20:19:33

I. 1

6.

ÖSSZEFOGLALÁS

Írd fel a 0, 5, 7, 9 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával képezhető összes négyjegyű

a) páros számot: ......................................................................................................................... b) páratlan számot: ..................................................................................................................... c) öttel osztható számot: .............................................................................................................. 2 Anna, Borbála, Csilla és Dorka egyaránt a hónap utolsó napján született, de mindegyikük születési dátumában eltérő a nap sorszámát jelölő szám. Ki hányadikán születhetett, hányféle eset lehetséges? Az esetek száma: …….……. darab. Indoklás: .................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 3 Ágnes karkötőjén négy különböző medál van: csillagos szív, ragyogó levelek, szikrázó virágok és szerencsekocka. Hányféle sorrendben fűzheti fel ezeket a karkötőjére? A sorrendek száma: …….……. Indoklás: ..................................................................................... .................................................................................................... 4 Anna újításként a hatlapú sütemény három lapját csokikrémmel, három lapját pedig lekvárral szeretné bekenni. A süti felvágása után a csokicsíkok barnának, a lekváros csíkok pirosnak látszanak. Hányféle változatban készítheti el Anna a süteményt? Két sütemény különböző, ha bennük a rétegek színei eltérnek egymástól. A változatok száma: …….……. Indoklás: ................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. 5 Hány darab 4-gyel osztható szám készíthető az 0, 2, 4, 6, 8 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával? Az esetek száma: …….……. Indoklás: ................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................

14


GONDOLKODJUNK!

2015.04.13. 20:19:35

6.

ÖSSZEFOGLALÁS

I.

6 Fogalmazd meg a következő mondatok megfordításait! Minden esetben dönts, hogy melyik igaz és melyik hamis! Az állításokban szereplő számok egészek. a) Ha egy kéttagú összeg osztható hárommal, akkor a két tag is osztható hárommal. Megfordítása: ............................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) Ha egy kéttényezős szorzat osztható öttel, akkor legalább az egyik tényező osztható öttel. Megfordítása: ............................................................................................................................. ............................................................................................................................................. c) Ha egy egész szám osztható 50-nel, akkor a végződése 50. Megfordítása: ............................................................................................................................. ............................................................................................................................................. d) Ha egy számban minden számjegy pontosan egyszer szerepel, akkor az nagyobb, mint 1023 millió.

Megfordítása: ............................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 7

Fogalmazd meg a következő állítások tagadását!

a) Minden medve szereti a mézet. Tagadása: ................................................................................................................................... b) Nincs olyan medve, amelyik fehér. Tagadása: ................................................................................................................................... c) Van olyan medve, amelyik barna. Tagadása: ................................................................................................................................... d) Minden medve tud fára mászni. Tagadása: ...................................................................................................................................

GONDOLKODJUNK!


15

2015.04.13. 20:19:38

II. 1

1.

AZ EGÉSZ SZÁMOK TULAJDONSÁGAINAK ÁTTEKINTÉSE

Fogalmazd meg, mit értünk egy szám abszolút értékén!

.................................................................................................................................................. 2 Válaszolj az alábbi kérdésekre! Melyik az a szám, a) amelyet hozzáadva egy számhoz az eredeti számot kapjuk; .................................................................................................................................................. b) amellyel megszorozva a számot, az eredeti számot kapjuk; .................................................................................................................................................. c) amelyet hozzáadva a számhoz 0-t kapunk; .................................................................................................................................................. d) amelyet hozzáadva az eredeti számhoz a szám ellentettjét kapjuk? .................................................................................................................................................. 3 Egy dolgozat javításakor az alábbiakat olvastuk. Döntsd el, melyek az igaz állítások! A hamisakat javítsd ki! a) Két pozitív szám közül az a nagyobb, amelyiknek az abszolút értéke nagyobb. .......................... b) Egy pozitív és egy negatív szám közül az a nagyobb, amelyiknek az abszolút értéke nagyobb. ..... c) Minden egész szám abszolút értéke pozitív egész szám. .......................................................... d) Két negatív egész szám abszolút értéke közül az a nagyobb, amelyik távolabb van a 0-tól. .......... 4 Csoportosítsd az alábbi műveletsorok tagjait úgy, hogy minél egyszerűbben elvégezhesd a műveleteket! Kösd össze nyilakkal a műveletsorokat, a nyíl a nagyobb végeredményű művelet felé mutasson! 456 – 268 + 554 – 732 1285 + 521 + 2479 + 1715

5632 + 4287 + 1368 + 2713

1897 – 4315 – 1685 + 2103 –1028 + 3470 – 972 + 4530

16


RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS

2015.04.13. 20:19:38

1.

AZ EGÉSZ SZÁMOK TULAJDONSÁGAINAK ÁTTEKINTÉSE

5 Töltsd ki a számpiramis üres tégláit úgy, hogy mindegyik téglalapban lévő szám az alatta lévő két téglalapban szereplő szám összege legyen!

II.

28 456 135 2031

6

Összeadtunk 9 egymást követő egész számot, így 0-t kaptunk. Melyik volt a legnagyobb szám?

.................................................................................................................................................. 7

Összeadtunk 11 egymást követő egész számot, így 121-et kaptunk. Melyik volt a legnagyobb szám?

.................................................................................................................................................. 8 a) Töröljünk a 2959-es számból egy számjegyet úgy, hogy a megmaradó háromjegyű szám a lehető legkisebb legyen! .................................................................................................................................................. b) Töröljünk a 291 919-es számból két számjegyet úgy, hogy a megmaradó négyjegyű szám a lehető legnagyobb legyen! ..................................................................................................................................................

2. 1

A TÖRTEK

II.

Fogalmazd meg, mit nevezünk racionális számnak!

.................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................



17

2015.04.13. 20:19:39

II. 2

2.

A TÖRTEK

a) Tegyél -t, ha igaz és -et, ha hamis az állítás!

(−2)-nél nagyobb (−1)-nél nagyobb 0-nál nagyobb

1-nél nagyobb 2-nél nagyobb b) Állítsd a táblázatban megadott számokat növekvő sorrendbe! .................................................................................................................................................. 3 Írd fel a következő számok két-két törtalakját! Húzd alá kékkel az egész számokat, pirossal a törtszámokat! a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

4

.

Ábrázold a törteket a számegyenesen! Írd a számokat a legkönnyebben ábrázolható alakba!

a)

-2

-1

0

-2

-1

0

1

2

b)

18


1

2


2015.04.13. 20:19:39

2. 5

II.

A TÖRTEK

Állítsd növekvő sorrendbe az előző feladat a) részében felsorolt számok abszolút értékét!

.................................................................................................................................................. 6

Írd fel csökkenő sorrendben a 4. feladat b) részében megadott számok ellentettjét!

.................................................................................................................................................. 7

Hasonlítsd össze a két számot, és tedd ki a megfelelő relációs jelet (<; >; =)!

a)

b)

c)

d)

8 Keress két olyan racionális számot, amely a megadott két racionális szám közé esik! Rajzold meg helyüket a számegyenesen! a)

0

1

2

b)

0

1

2

c)

0

1

2

9

Töltsd ki a pontozott helyeket úgy, hogy az egyenlőségek igazak legyenek!

a) 30 perc = …….……. óra = …….……. nap; b) 15 mp = …….……. perc = …….……. óra; c) 12 perc = …….……. óra = …….……. nap; d) 4 óra = …….……. nap = …….……. hét. 10 Egy tört értéke , a számlálójának és nevezőjének összege pedig egy kétjegyű négyzetszám. Melyik ez a tört? ..................................................................................................................................................



19

2015.04.13. 20:19:46

II. 1

3.

TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA

Számítsd ki a következő összegeket és különbségeket!

a)

b)

…….…….

c)

…….…….

d)

…….…….

…….…….

2 Számolj és pótolj! Melyik gyerekk mennyit adott hozzá a jobb oldalán álló számhoz, hogy megkapja a bal oldalit? Írd az üres helyre az eredményeidet!

3

Számold ki a hiányzó értékeket!

a)

b)

c)

d)

e)

f)

20



2015.04.13. 20:19:49

3.

4 Végezd el az alábbi műveleteket és pótold a hiányzó számokat! A nyilak a műveletvégzés irányát mutatják.

5 Töltsd ki a sudokut úgy, hogy minden sorban, oszlopban és kék 2x2-es négyzetben 10 legyen a számok összege!

+ .... 1 4

+ ....

6 +1 7 7 3 4

+ ....

+ ....

1 16 +1 56

5 +1 3 8 8 5 +2 7 7

18 3

3 - 20

- 12 6

21 - 11 5 5

29 -2 1 21 -11 15 -3 3 7 7 5 5 2 6

- .... 6

II.

TÖRTEK ÖSSZEADÁSA, KIVONÁSA

Tegnap megtettük a háromnapos biciklitúra részét, ma pedig az

-át. Az út hányad része

marad holnapra? ........................................... 7

A kenutúra első napján

napján

km-t, a második

km-t, a harmadik napján pedig

km-t tettünk meg. Mennyi maradt a negyedik napra, ha a túra összesen 65 km volt? .................................................................... 8

Számítsd ki a következő összeget!



21

2015.04.13. 20:19:53

II.

4.

TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA

1

Számítsd ki az itt látható műveletek eredményét! Kösd össze az egyenlőket!

2

Egy téglalap egyik oldala

méter, másik oldala ennek

része.

a) Mekkora a téglalap másik oldala? .............................................................................................. b) Mekkora a kerülete? ................................................................................................................ c) Lefedhető-e a téglalap egy fél négyzetméteres kartonlappal? Válaszodat számítással indokold! .................................................................................................................................................. 3 Írd be a művelet után azt a betűt, amely a műveletsor eredményét adja! Honnan ismered ezt a szót? (Nem feltétlenül kell minden betűt felhasználnod.) M= ; Á=

; L= ; C= ; O= ; U=

4 Az egymásra rakott kártyalapok a melléjük írt szabály alapján követik egymást. Számítsd ki a kártyalapról hiányzó számokat! Rajzolj nyilakat, amelyek az első sorban lévő lapoktól a megfelelő helyre mutatnak! Melyik kártyalapnak nincs helye?

11 14

1 3 14

3 13

1 5 16

: 23

; T=

5

-6 17

135 8


× (- 12 )

-2 16

-338

.

2 14

12 27

× (- 23 )

7 12 - 43 28

22

1

; R=

-3 2

43 56


2015.04.13. 20:19:56

4. 5

TÖRTEK SZORZÁSA, OSZTÁSA

Vasárnap reggel a fagyizó pisztáciás fagyitartályában 5 kg fagylalt volt. Délelőtt elfogyott az

délután és este pedig a maradék

II. része,

része.

a) Az eredeti mennyiség hányad része fogyott el délután és este? ...................................................... b) Hányadrésze maradt az edényben a záráskor? ............................................................................. A fagyizó tulajdonosa azt tapasztalta, hogy hétfőn csak harmadannyi fagyit tudnak eladni, mint vasárnap. Érdemes-e egy újabb edény pisztáciás fagyit rendelni hétfőre, vagy inkább keddre kérjenek frisset? Mit gondolsz? ............................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 6 A kincsesláda felnyitásához egy 15 jegyű számsort kell megadni. Ez a számsor öt háromjegyű szám egymás utáni leírásával adható meg. A kincskeresők megtalálták a térkép egy részletét, amelyen rajta volt az első háromjegyű szám. Később azt is kiderítették, hogy minden ezt követő háromjegyű szám az előző -szerese. Keresd meg a helyes utat és írd fel a zár kódját!



23

2015.04.13. 20:20:05

5.

II. 1

TÖRTEK TIZEDES TÖRT ALAKJA

Írd le az alábbi számokat növekvő sorrendben!

.................................................................................................................................................. 2

Írd le a számokat csökkenő sorrendben!

.................................................................................................................................................. 3 Add meg a számegyenesen szereplő betűkhöz tartozó számokat! Írd le tizedes tört és közönséges tört alakban is! 0

4

a

b

c

d

0,05

e

Igaz vagy hamis?

a) Minden tört felírható tizedes tört alakban. b) Minden tizedes tört felírható tört alakban. c) Az

tizedes tört alakja végtelen szakaszos tizedes tört.

d) A racionális számok tizedes tört alakja nem lehet egész szám. e) Minden racionális szám felírható két egész szám hányadosaként.

II.

6.

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL

1 Tedd ki a hiányzó tizedesvesszőket! a) 8,6 · 7,3 = 6278; b) 9,63 · 0,7 = 6741; d) 945,8 · 2,92 = 2 761 736; e) 103,9 · 0,754 = 783 406;

c) 20,15 · 1,94 = 39 091; f) 29,360 · 4,57 = 1 341 752.

2 Állítsd növekvő sorrendbe az alábbi műveletek eredményeit! A: 2,5 · 4,6 = B: 7,3 · (–4,19) = D: 36,1 : 3,8 = E: (–120,06) : 6,9 =

C: (–0,76) · 11,3 = F: 76,756 : (–3,1) =

..................................................................................................................................................

24



2015.04.13. 20:20:10

6.

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL

II.

3 A műveletek elvégzése nélkül állapítsd meg, melyik műveletsor eredménye pozitív szám! Az összevonások elvégzése után állítsd csökkenő sorrendbe a kapott eredményeket! Dolgozz a füzetedben! a) 4,7 + 5,67 + 0,7 = b) 13,5 + 4,9 + 7,84 = c) 45,92 – 4,605= d) 65,9 – 7,324 = e) 94,203 – 217,85 = f) –8,92 – 73,884 = g) 357,8 – 2,401 – 96,54 = h) 14,73 – 27,258 + 3,9023 = 4 Lépj a huszárral a mini sakktáblán úgy, hogy miután elvégezted a műveleteket, nullát kapj eredményül! Keresd meg a megfelelő lépéssorrendet! A bal alsó mezőről indulj és a jobb felsőre érkezz! (A sakktáblán a huszár vízszintesen két mezőt lép, majd függőlegesen egyet, vagy fordítva, vízszintesen egyet és függőlegesen kettőt.) a)

b)

5 Végezd el a műveleteket! Számolhatsz a füzetedben is. a) 8,76 – 4,1 · 0,24 = b) 3,75 : 0,2 + 74,507 = c) (–23,782) : 4,6 – 1,443 = d) 2,8 · 3,24 · 7,5 – 58,04 = e) –23,06 –12,8 · 4,9 = f) 7,83 · (–3,4) + (–17,52) : (–0,3) = 6 Az ékszerész egy 5,3 kg tömegű aranyrúdból először 1,25 kg-ot használt fel, majd pedig a maradék harmadát. a) Számold ki, hány kg aranyat használt fel az ékszerész összesen! .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. b) Hány eurót ér a megmaradt arany, ha 1 g arany 6938 forintot ér? Nézz utána, hány forintba kerül 1 euro! .......................................................................................................................................



25

2015.04.13. 20:20:13

7.

II.

SZÖVEGES FELADATOK

Dolgozatjavítás Javítsd ki Móricka témazáró dolgozatát! Használj piros tollat! Hibás megoldás esetén írd le a hibátlan számolásokat és eredményeket. Osztályozd is a dolgozatot az alábbi százalékban megadott ponthatárok alapján!

Eredmény 100%–90% 89%–75% 74%–50% 49%–33% 32%–

Érdemjegy 5 4 3 2 1

1 Végezd el az alábbi számításokat! Ahol tudsz, egyszerűsíts! (3-3 pont) a) Melyik az a szám, amelyik az

és a

összegénél -del nagyobb?

Figyelek a műveleti sorrendre, először a zárójelen belül közös nevezőre hozok, majd elvégzem az összeadást, végül a szorzást.

( ) ( 5

12

+

2 3

⋅

1

2

=

5 12

+

8 12

)

⋅

1 2

=

13 1 13 ⋅ = 12 2 24

b) Melyik az a szám, amelyik a

és a

hányadosának a -szerese?

A műveleteket balról jobbra hajtom végre, először az osztást, aztán a szorzást. Ahol tudok, keresztben egyszerűsítek. 1

1

6 18 3 /6 7 3 1 7 / 3 1 7 1 7 : ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 5 7 4 5 18 / 4 5 /3 4 5 1 4 20 3

2

1

Szofi és Csilla új társasjátékot szeretnének venni. Szofi már összegyűjtötte a játék árának

Csilla pedig a

részét,

részét. Kisöccsük megígérte, hogy kifizeti a maradék 2625 forintot, ha őt is beveszik a

játékba. (4-2-2 pont) a) Mennyibe került a társasjáték? Először kiszámolom, hányad részét fizette ki Szofi és Csilla, abból kiszámolom, hányad részét fizette ki a kisöcsi, majd válaszolok a kérdésre. 8 9 32 27 59 részét fizette ki + = + = 21 28 84 84 84 84 59 25 } = részét fizette ki a kisöcsi, 84 84 84

26


Szofi és Csilla. ami 2625 forint.


2015.04.13. 20:20:15

7.

SZÖVEGES FELADATOK

II.

A társasjáték ára tehát:

(2625 : 25) ⋅ 59 = 105 ⋅ 59 = 619 5 forint volt.

b) Mennyit fizetett Szofi? 32 részét fizette ki, 84 ami 105 ⋅ 32 = 3360 forint.

Szofi a játék

c) Mennyit fizetett Csilla? 27 részét fizette ki, 84 ami 105 ⋅ 27 = 2835 forint.

Csilla a játék

3

Nagymamáék telkén Zsolti be szeretett volna keríteni magának egy négyzet alakú kiskertet. Nagy-

papa beleegyezett, de kicsit változtatott a kiskert méretein: az egyik oldalát a a másik oldalát az

részére csökkentette,

-szeresére növelte. Hogyan változott a kiskert

területe? (4 pont) Az eredeti kiskert területe: T = a ⋅ a Az új kiskert területe: T =

3 5 3 5 15 ⋅a ⋅ ⋅a = ⋅ ⋅a ⋅a = ⋅a ⋅a 4 4 4 4 16

Zsolti kertjének területe sajnos kisebb lett az eredeti kiskert

4

1 részével. 16

„Apa megette a kis húsgombócok

részét, nagypapa pedig az részét. Én csak 4 gombócot ettem,

a többi a tied.” – mondta Beni az öccsének. A kicsi ragyogó arccal szaladt a konyhába, de szomorúan sétált vissza. Vajon miért? (4 pont) Ez eddig a legkönnyebb feladat. Összeadom, ki mennyit evett és a maradék a kicsié lesz. 6 1 18 11 29 4 33 + +4 = + +4 = + = 11 3 33 33 33 33 33 33 Mivel a = 1 egész tál gombóc, így szegény kicsinek 33

semmi sem maradt, ezért jogosan szomorú.



27

2015.04.13. 20:20:19

II. 5

7.

SZÖVEGES FELADATOK

Regő így szólt ikertestvéréhez, Hunorhoz: „Harmadannyi idő alatt hazaérek a biciklimmel, mint te

a rolleroddal!” Hunor

óra alatt megtette a 9

a) Hány perc alatt ért haza Regő?

3 km-es hazafelé vezető utat. (2-4 pont) 4

Én is nagyon gyorsan biciklizek , Regő

3 1 :3= óra, azaz 15 perc alatt otthon volt. 4 4

b) Add meg a testvérek sebességét Regő 15 perc alatt megtett 9 perc alatt 9

-ban!

3 km-t, így 60 4

3 39 ⋅4 = ⋅ 4 = 39 km-t tett meg, 4 4

tehát a sebessége 39 km/h. Hunor negyed óra

3 1 :3=3 km-t tett meg, tehát négyszer ennyi idő alatt négyszer ennyi km-t rollerozik, azaz 4 4 1 4 3 ⋅ 4 = 3 = 4 km sebességgel gurul. h 4 4

alatt 9

6

A nagymama két fazékban főzi a bodzaszörpöt. Az egyik fazékban

liter szörp készül. Hány

liter, a másikban pedig

literes üvegbe tölthető ez a mennyiség? Lesz olyan üveg, amelyik nem lesz

tele? (5 pont) 3 Kiszámolom, összesen mennyi szörp van, annak veszem a részét. Vegyes törtté alakítom, hogy lássam, 4 hány teli üveg lesz és van-e maradék. 1 73 5 73 78 1 68 9 + =9 + =9 = 10 10 10 10 2 10

/168 ⋅ 3 = 42 ⋅ 3 = 126 = 12 6 42

10

Tehát 12 üveg teli lesz és marad egy olyan üveg, melynek csak a

28


/4 1

10 1

10

10

6 részéig van szörp. 10


2015.04.13. 20:20:25

8. 1

ZÁRÓJELFELBONTÁSOK, ÖSSZETETT MÛVELETEK

II.

Végezd el az alábbi műveleteket!

a) (–17 – 13) : (–5) = ................................................................................................................... b) (11 + 31) : (–5) = .................................................................................................................... c) (–11 + 8) · (–3) = .................................................................................................................... d) –7 + 20 · (–4) = ...................................................................................................................... e) 5 · (–7) + (–6) · (–5) = .............................................................................................................. f) (–9) · 8 – (–32) : (–2) = ............................................................................................................ g) –13 – 16 : (–4) + 8 · 5 = ............................................................................................................ 2 Melyik műveletsor eredményének abszolút értéke kisebb, mint 20? a) (–9) – (–7) + (–2) : 2 + 18 = ..................................................................................................... b) 14 – (–49) : 7 + (–4) · (+6) = ..................................................................................................... c) 24 – (–7) · (+3) + (–11) – (–24) : (+4) = ..................................................................................... d) 18 : (–6) + (–5) – (–44) : (+11) – 3 = ......................................................................................... e) 49 – (–49) : (–7) + (–16) · 2 – (–19) · (–1) = ............................................................................... 3

Írd be a hiányzó számokat!

c)

;

b)

a) ;

d)

.

4

Zárójelek felhasználásával írd fel a lehető legtöbb műveletsort úgy, hogy az eredmények különbözők legyenek! a)

b) c) d)

..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................



29

2015.04.13. 20:20:35

8.

II. 5

Végezd el a műveleteket!

a)

........................................................................................................................

b)

.........................................................................................................................

c)

.........................................................................................................................

d)

...................................................................................................................

e)

...................................................................................................................

f)

6


................................................................................................................... és

számok közül valamelyik kettőt összeadtam, majd az összeget a harmadik számmal

elosztottam, így

-ot kaptam. Írd fel a műveletsort! .....................................................................

Az 1,5;

.................................................................................................................................................. 7 A kézenjárás világcsúcsa az etiópiai származású Tameru Zegeye nevéhez fűződik, aki 1 perc alatt 76 métert tett meg. Tételezzük fel, hogy egyenletes tempóban haladt. a) Hány másodperc alatt tett meg 1 métert? ................................................................................... b) Hány métert tett meg 1 másodperc alatt? ...................................................................................

30



2016.02.13. 18:55:40

8. 8

II.


Egy sorozat első eleme 9,4, a második eleme pedig

.

A sorozat következő elemét úgy kapjuk meg, hogy az előző két elem összegét elosztjuk -del. a) Add meg a sorozat első hat elemét! ........................................................................................... b) Lehet-e a sorozat valamelyik eleme nulla? .................................................................................. c) Van-e a sorozatnak olyan eleme, amelyik száznál nagyobb? ......................................................... d) Kaphatunk-e negatív tagot? Ha igen, hányadik tag lesz az? .......................................................... 9

Egy sorozat első eleme egy 1 és 20 közé eső szám. Válassz egyet, majd ebből kiindulva képezd a 1 sorozat tagait a következő szabály szerint, amíg egyet nem kapsz! Ha páros, szorozd meg -del, ha 2 páratlan szorozd meg 3-mal és adj hozzá egyet. Például az 5-ből kiindulva az 5, 16, 8, 4, 2, 1 számokat kapjuk. Mindegyik kiindulási szám esetén eljutottál az 1-hez? Nézz utána a feladatnak az interneten! .................................................................................................................................................. 10 – Az

Lili, Sári, Berta és Marci szájtátva figyelik a fejszámolóbajnok nagypapát. -hoz … – kiált Berta.

– … adj hozzá 2,5-t! – szól Lili. – Szorozd meg

-del … – teszi hozzá Marci.

– … és adj hozzá … – súgja Sári. – A végeredmény 6,5. – válaszolja mosolyogva a nagypapa. Számold ki, mit súgott Sári!



31

2015.04.13. 20:20:41

9.

II.

NAGY SZÁMOK ÉS A HATVÁNYALAK

1 Mondd ki és írd le többféleképpen az itt látható hatványokat! Például: 72 = 7 ∙ 7 = 7 a négyzeten = 7 második hatványa = 49. a) 43= ........................................................................................................................................ b) (−3)2= .................................................................................................................................... c)

= ...................................................................................................................................

d)

= ..................................................................................................................................

2

Számold ki a hatványok értékét, majd tedd ki a megfelelő relációs jelet!

a) 23

32;

b)

;

c) (−5)3

−53;

d)

;

e) −42

(−4)2.

3 Volt egy titkom. Hétfőn megsúgtam két osztálytársamnak. Másnap ők is elmondták két újabb osztálytársnak, és ez így folytatódott napokig. Hány nap múlva tudja az egész osztály a titkomat, ha 28 fős az osztályunk? .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 4 Igaz vagy hamis? a) Minden szám nulladik hatványa nulla. b) A negatív számok minden hatványértéke negatív szám. c) Egy pozitív egész szám második hatványának értéke mindig kisebb, mint a harmadik hatványának értéke. d) A 3 minden hatványértéke páratlan. 5

Kösd össze az egyenlőket!

32



2015.04.13. 20:20:44

10.

II.

A HATVÁNYOZÁS AZONOSSÁGAI I.

1

Pótold a hiányzó számokat, hogy igaz legyen az egyenlőség! a) 104 ∙ 10 = tízmilliárd; b) 23 ∙ 2 = százhuszonnyolc; c) 3 : 37 = kétszáznegyvenhárom; d) 28 + 2 = ötszáztizenkettő. 2

Pótold a hiányzó kitevőket úgy, hogy az egyenlőség igaz legyen! a) 3 = 34 ∙ 3 = 38 ∙ 3 = 315 : 3 = 3 : 36; b) 518 = 59 ∙ 5 = 530 : 5 = 54 ∙ 58 ∙ 5 = 516 ∙ 54 : 5 ; c) 711 ∙ 74 = 7 ∙ 78 = 719 : 7 = 73 ∙ 76 ∙7 = 7 ; d) 118 : 112 = 11 ∙ 11 = 113 ∙ 117 : 11 = 11 . 12

3

Válaszd ki a következő kifejezések közül a 27-tel egyenlőket!

a) 39 : 33; 4

b)

;

c)

;

d)

.

Számítsd ki a hatványok értékeit!

a) (23 ∙ 2)2 = .................................................

b) (20 ∙ 22)3 = ................................................

c) (24 ∙ 22)2 = ................................................

d)

= ....................................................

e)

f)

= .................................................

= ................................................

5 Pótold a hiányzó kitevőket! a) (3 )5 = 315; d) (116)5 = 11 ∙ 1117;

b) (138) = 1324; e) (2 )5 = 210 ∙ 25;

c) (74) = (72)14 ; f) (54 ∙ 53)2 = 5 .

6 Keresd meg és karikázd be a helyes értékeket! Melyik hatvány hiányzik az alsó nyílról? a) b) 1 1 5 4 58 1 5 3 5 2 2 4 2 2 5 2 15 7 5 3 9 6 :512 12 :56 15 ×52 12 ×53 24 1 2 2 ×2 :2 ×2 :2 2 8 5 5 5 2 56 2 5 13 24 2 10 2 1 53 4 2 5 30 12 2 2 2 5 6 512 21 1 5 2



24

5 1 5 511

33

2015.04.13. 20:20:47

11.

II. 1

A HATVÁNYOZÁS AZONOSSÁGAI II.

Keresd a párját!

a) 54 ∙ 74; b) 128 : 68; c) 36 ∙

: 32.

d) 2

;

Pótold a hiányzó számokat!

a) 510 ∙ 810 = 3

10

b) 168 :

;

= 48;

b) 407 = (

5

=(

∙

) =(

∙

=(

∙

7

∙

c) (6 ∙ 8)4 = 24 ∙

4

)

5

d) 54∙

= 513.

5

=

;

) =( 7

∙

∙

) =( 4

∙ ∙

)7 = ( ∙

∙

∙

)

∙ 4

=

∙

); 7

4

.

Kisebb vagy nagyobb? Tedd ki a megfelelő relációs jegyet!

a) (5 ∙ 7)8

128;

b) 46 ∙ 56

c) (8 : 2)5

45;

d)

5

= 324;

c)

Pótold a hiányzó számokat! Keress több megoldást!

a) 25 ∙ 185 = 65 ∙

4

8

2036; (32)3 ∙ (173)2.

Számítsd ki a hányadosokat a legegyszerűbb módon! =

a) c)

34


=

b) d)

= =


2015.04.13. 20:20:49

12.

II.

NORMÁLALAK

1

Írd be a hiányzó kitevőket a négyzetekbe! a) 387 000 000 000 = 3,87 ∙ 10 ; c) 2,3 ∙ 104 ∙ 1,9 ∙ 106 = 4,37 ∙ 10 ; e) 8 170 000 ∙ 3 200 = 26,144 ∙ 10 ;

b) 926 300 000 000 000 000 = 9,263 ∙ 10 ; d) 25,2 ∙ 1013 : 4,2 ∙ 108 = 6 ∙ 10 ; f) 98 000 000 000 : 245 000 = 4 ∙ 10 .

2 Keresd a párját! a) 582 ∙ 107 b) 2539 ∙ 105 c) 0,0582 ∙ 109 d) 25,39 ∙ 103 e) 58 200 ∙ 102 f) 0,25∙1011

2,5 ∙ 1010 5,82 ∙ 107 5,82 ∙ 109 5,82 ∙ 106 2,539 ∙ 108 2,539 ∙ 104

Írd a számokat növekvő sorrendbe! .................................................................................................................................................. 3

Írd fel a mondatokban lévő adatokat normálalakban!

a) Egy googol, ami nagyobb az ismert univerzum részecskéinek számánál: ....................................... b) A Föld népessége megközelítőleg 7 125 000 000 főből áll: ............................................................ c) Becslések szerint havonta 6 091 200 fővel él több ember a Földön, bár ez a növekedés az utóbbi időben folyamatosan lassul: .............................................................................................................. d) Megközelítőleg háromnegyed milliárd írástudatlan felnőtt ember él a Földön: ............................... e) Az élővilágban körülbelül 8 700 000 különböző faj létezik: .......................................................... 4 Az Anna-kolibri 50 szárnycsapást végez másodpercenként. Ez olyan gyors, hogy az emberi szem képtelen megkülönböztetni az egyes szárnymozgásokat. Számold ki, hány szárnycsapást végezhet egy év alatt! A végeredményt add meg normálalakban is! ........................................................................................... 5 Neumann János feltételezése szerint az emberi agyban lévő, megközelítőleg 1010 darab idegsejt 14 ∙ 1010 bit információval foglalkozik másodpercenként. a) Mennyi információval foglalkozik az agyad 1 perc, 1 óra, illetve 1 nap alatt? ...................................................................... b) Nézz utána, hány bit fér rá egy DVD-re! ...........................................................................................



35

2015.04.13. 20:20:53

12. NORMÁLALAK

II.

c) Hány DVD szükséges ahhoz, hogy az agyadban 1 perc alatt megforduló információkat rögzítse? ..........................................................................................

6 Az emberi test megközelítőleg százezermilliárd sejtet tartalmaz. Ez körülbelül a Tejútrendszer összes csillagai számának ezerszerese. a) Hány csillag van megközelítőleg a Tejútrendszerben? .......................................................................................... b) Hány sejt van az osztályodba járó gyerekekben összesen? .......................................................................................... Az eredményeket add meg normálalakban is!

13.

II. 1

ÖSSZEFOGLALÁS

Írd az alábbi állítások betűjelét abba a halmazba, amelyikre igaz az állítás! Egész számok

Negatív számok

Pozitív számok

A: Van legnagyobb eleme. B: Bármely két elemét összeadjuk, a halmaz valamely elemét kapjuk. C: Van olyan szám a halmazban, amelynek reciproka is eleme a halmaznak. D: Minden halmazban lévő szám abszolút értéke is eleme a halmaznak. E: Bármely két szám szorzata is eleme a halmaznak. F: Vannak olyan számok a halmazban, amelyek hányadosa is a halmazban van. G: Bármely két szám hányadosa is a halmazban van. H: Nincs olyan szám, amelynek a reciproka is a halmazban van.

36



2015.04.13. 20:20:54

13.

II.

ÖSSZEFOGLALÁS

2 Alakítsd át a törteket, majd a megadott számegyenesen ábrázold őket! -2

-1

0

1

2

Válaszd ki, mely törtek értéke egyezik meg

3

-del, -dal, illetve

-del, és írd be a számokat

az ábra megfelelő helyére!

4

Hasonlítsd össze a két számot, és tedd ki a megfelelő relációs jelet (<; > ; =)!

;

a) 5

Számolj fejben!

a)

;

6

;

c)

;

b) ;

d)

;

b)

c) ;

e)

.

d)

f)

; .

Végezd el az alábbi műveleteket!

a)

b)

c)

d)

e)



37

2015.04.13. 20:20:55

II.

13.

ÖSSZEFOGLALÁS

7 Számolj és pótolj! Melyik gyerek mennyit adott hozzá a bal oldalon álló számhoz, hogy megkapja a jobb oldalit? Írd az üres helyre az eredményeidet!

9

8 Végezd el az alábbi műveleteket és pótold a hiányzó számokat! A nyilak a műveletvégzés irányát mutatják.

Végezd el az átváltásokat!

a) 2,2 km = …………… m;

g) 0,9 dm = …………… mm;

b) 430 cm = …………… m;

h) 195 000 mm = …………… km;

c) 0,75 óra = …………… perc;

i) 4,25 óra = …………… perc;

d) 744 perc = …………… óra;

j) 1 hét 23 óra = …………… óra;

e) 29 800 g = …………… kg;

k) 6,4 t = …………… kg;

f) 2700 g = …………… dkg = …………… kg = …………… t. 10 Váltsd át a felsorolt mértékegységeket! Ha tudod, add meg a normálalakjukat is! Ha valamelyik mennyiséggel még nem találkoztál, akkor nézz utána az interneten vagy a könyvtárban! a) 100 km2 = ………………………… m2 = ………………………… cm2 = ………………………… mm2 b) 164 000 000 m3 = ……………………… cm3 = ……………………… mm3 = ……………………… km3 c) 9,5 · 1012 km = ……………………… m = ……………………… mm = ……………………… fényév d) 1 hüvelyk = ………………………… coll = ………………………… inch = ………………………… mm e) 1000 orosz verszt = ……………… km = ……………… angol mérföld = ……………… görög stadion

38



2015.04.13. 20:21:04

1. 1

III.

FONTOS GEOMETRIAI FOGALMAK

Kösd össze! 45° 180° 100° 90°

18°

198°

200°

0°

270° 282°

hegyesszög

202°

homorúszög

360°

nullszög

268°

a)

derékszög egyenesszög

teljesszög

60° 2

tompaszög

Milyen pozitív egész számot írhatsz a négyzetbe, hogy homorúszöget, illetve tompaszöget kapj? ;

b)

;

a) Homorúszöget kapunk, ha

= ................................................................................................

Tompaszöget kapunk, ha

= ................................................................................................

b) Homorúszöget kapunk, ha

= ................................................................................................

Tompaszöget kapunk, ha

= ................................................................................................

3 Add össze párosával a következő szögeket az összes lehetséges módon. Mindegyik esetben add meg a szög típusát! a) 13°42';

b) 162°52';

c) 27°12'52";

d) 102°.

A lehetséges párok száma: ........................................................................................................... A kapott összegek: ...................................................................................................................... A felsorolt szögek típusa a felsorolás sorrendjében: ......................................................................... .................................................................................................................................................. 4 Vond ki a nagyobb szögből a kisebbet az összes lehetséges módon. Mindegyik esetben add meg a szög típusát! a) 13°42';

b) 162°52';

c) 27°12'52";

d) 102°.

A lehetséges párok száma: ........................................................................................................... A kapott különbségek: ................................................................................................................. A felsorolt szögek típusa a felsorolás sorrendjében: ......................................................................... ..................................................................................................................................................

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK


39

2015.04.13. 20:21:07

III.

1.

FONTOS GEOMETRIAI FOGALMAK

5

Rajzolj olyan síkidomokat, amelyek nem sokszögek!

6

Rajzolj konkáv sokszögeket!

7 Vágd szét a síkot négy, közös pontból induló félegyenessel! Milyen szögtartományokat kaphatsz? Rajzolj és nevezd el a kapott szögek típusait!

8

Döntsd el, hogy igaz vagy hamis!

a) Egy háromszögben lehet mindhárom szög hegyesszög.

Igaz

Hamis

b) Egy négyszögnek nem lehet pontosan három derékszöge.

Igaz

Hamis

c) Egy ötszögben nem lehet három tompaszög.

Igaz

Hamis

d) Nincs olyan sokszög, amelyben hegyes-, tompa- és homorúszög is van.

Igaz

Hamis

9

Rajzold le a sorban következő két sokszöget a füzetedbe!

Hány oldalú sokszögeket rajzoltál? ...................... Hány oldalú lesz a 21. sokszög? .......................... Hányadik lesz az 1600 oldalú sokszög? ................ Lehet-e a sorban 102 oldalú sokszög? .................

40



2015.04.13. 20:21:09

2.

III.

SÍKIDOMOK, TESTEK

1

Melyik állítás igaz, melyik hamis? Húzd alá a megfelelő szót! a) Van olyan rombusz, amelyik nem trapéz. b) Ha egy négyszög négyzet, akkor az paralelogramma. c) Ha egy négyszög rombusz, akkor az paralelogramma. d) Van olyan téglalap, amely rombusz. e) Ha a trapéz szárai párhuzamosak, akkor az paralelogramma. f) Ha a trapéznak két szöge is derékszög, akkor az téglalap. g) Ha a rombusznak van derékszöge, akkor az négyzet. h) Van olyan deltoid, amelyik trapéz.

Igaz Igaz Igaz Igaz Igaz Igaz Igaz Igaz

Hamis Hamis Hamis Hamis Hamis Hamis Hamis Hamis

2 A következő képletekben a szokásos jelölést alkalmaztuk: a, b, c oldalt, e, f átlót jelent. Karikázd be a területképleteket, húzd alá a kerületképleteket! Kösd össze a sokszög nevét és a hozzá tartozó képletet! négyzet

a+b+c a

téglalap derékszögű háromszög

ab

2

4a

deltoid 3

2(a+b)

Írd be a hiányzó képleteket!

Téglatest: A= .................................................... V= ................................................................... Kocka:

A= .................................................... V= ...................................................................

4 Egy 216 cm kerületű négyzet két szemközti oldalát 14-14 cm-rel meghosszabbítjuk. Mennyivel lesz nagyobb az így kapott téglalap területe a négyzet területénél? A négyzet oldalának hossza: ................................A négyzet területe: ............................................ A téglalap oldalainak a hossza: ............................ A téglalap területe: ............................................ Vagyis a téglalap területe …….……. cm2-rel nagyobb, mint a négyzet területe. Hogyan tudnád meghatározni a többletet a négyzet és a téglalap területének kiszámítása nélkül? .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................



41

2015.04.13. 20:21:09

III.

2.

SÍKIDOMOK, TESTEK

5 Egy derékszögű háromszög két hegyesszögének különbsége 14°20". Mekkorák a háromszög hegyesszögei? Egyik szög: ................................................................................................................................. Másik szög: ................................................................................................................................ 6 Egy deltoidnak pontosan egy derékszöge van. A legnagyobb szöge 30°-kal nagyobb, mint a legkisebb szöge. Mekkorák a deltoid szögei?

A deltoid szögei: ......................................................................................................................... 7 Darabolj egy téglatestet csakis a lapjaival párhuzamos vágásokkal úgy, hogy közben a részeket nem mozdítod el egymástól! Milyen vágásokkal érheted el, hogy a keletkezett kisebb testek felszínének összege pontosan az eredeti téglatest felszínének a kétszerese legyen? Rajzold be a vágásokat az ábrába! Milyen testeket kaptál és hány darabot? …….…….…….……. és …….……. darabot. 8 Foglald téglalapba a következő rácssokszögeket! Határozd meg a területüket! A négyzethálós papír rácsnégyzete legyen a területegység! Például: A hegyesszögű háromszög területe:

(területegység). a) A trapéz területe: .................................................................................................................... b) A hatszög területe: ..................................................................................................................

42



2015.04.13. 20:21:11

2. 9

III.

SÍKIDOMOK, TESTEK

Mekkora részekre vágják a szabályos ötszög egy csúcsából kiinduló átlói a csúcsnál lévő szöget? E a

A

g

α = …….……. ; D

b

B

β = …….……. ; γ = …….……. .

C

3.

III.


E¢

1 Bármely pont képét megkaphatod, ha a pontot az K pont körül az óramutató járásával egyező irányban 90°-kal elforgatod. Szerkeszd meg az ábrán látható pontok képét, illetve a képpontok ősét!

A

K B

Véleményed szerint hol lesz a K pont képe?

D¢

.................................................................................... C E¢ A K

B

2 Bármely pont képét megkaphatod, ha az adott K pontból a ponton át félegyenest rajzolsz, és erre a K pontból kiindulva felméred a K pont és a pont által meghatározott szakasz kétszeresét. Szerkeszd meg az ábrán látható pontok képét, illetve a képpontok ősét! Véleményed szerint hol lesz a K pont képe?

C

D¢

............................................

A

t C

3 Az ábrán bejelöltünk néhány pontot és néhánynak a transzformáció utáni helyét is. Mi lehet a hozzárendelési szabály? Rajzold meg a hiányzó képpontokat is!

A¢

B¢

C¢

E

A hozzárendelési szabály: .........................................................

B

............................................................................................... D



43

2015.04.13. 20:21:11

III.

3.


4 Tükrözd a sokszögeket a t tengelyre! a) t

b)

t

5 Ábrázold az A (–2; 2), B (–2; –4), C (6; –2), D (6; 0), E (4; 6), F (0; 4) pontokat! Minden pont képét úgy kapod, hogy mindkét koordináta felének az ellentettjét veszed. Ábrázold a képpontokat is!

y

A képpontok:

1 0

A'(….; ….), B'(….; ….), C'(….; ….),

1

x

1

x

D'(….; ….), E'(….; ….), F'(….; ….).

6 Ábrázold az A (–4; 5), B (–3; –2), C (2; 2), D (1; 6), E (-5; -4), F (2; 4) pontokat! Minden pont képét úgy kapod, hogy az első koordinátáját 4-gyel növeled, a második koordinátáját pedig 1-gyel csökkented. Ábrázold a képpontokat is!

y

1

A képpontok:

0

A'(….; ….), B'(….; ….), C'(….; ….), D'(….; ….), E'(….; ….), F'(….; ….).

III.

4.

KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS

1 Valaki szerette volna középpontosan tükrözni az ábrán látható szakaszt. Az egyik végpontnak már látható a tükörképe. Fejezd be a szerkesztést! Hány esetet kaptál? …….…….

44


A

B


2015.04.13. 20:21:12

4. 2

III.

KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS

Melyik ábra mutat középpontos tükrözést?

a)

b)

c)

Válasz: …….…….



3 Tükrözd az ABC háromszöget a P pontra! Az így kapott A'B'C' háromszöget tükrözd a Q pontra! Figyeld meg az ABC és a második képként kapott A"B"C" háromszög egymáshoz való viszonyát! Mit tapasztalsz?

C P

A

Q

B

Válasz: ....................................... D C

E¢

4 Az ABCD négyszög AC és BD átlójának metszéspontja egy középpontos tükrözés hatására az E' pontba került. Tükrözd a négyszög csúcsait is! A

B C

5 Az ABC háromszög B csúcsa kilóg a munkafüzetből. Tükrözd a K pontra a háromszöget!

K

A

6 Az a egyenes tükörképe O-ra az a'. Az egyeneseket nem látjuk az ábrán, de tudjuk, hogy P az a egyenesre, Q' pedig az a' egyenesre illeszkedik. Szerkeszd meg a két egyenest!



Q¢

P O

45

2015.04.13. 20:21:13

III.

5.

A KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS ALKALMAZÁSA

1

Melyik állítás igaz, melyik hamis? Húzd alá a megfelelő szót! Ha egy négyszög két-két szemközti oldala egyenlő, akkor az paralelogramma. Ha egy négyszög egyik átlója felezi a másikat, akkor az paralelogramma. Minden paralelogrammának van két tompaszöge. A paralelogramma két átlója egyenlő hosszúságú. Ha egy négyszögben két-két szög egyenlő, akkor az paralelogramma. Ha egy négyszögben két oldal egyenlő hosszú, akkor az paralelogramma. 2 Ábrázold az A(2; 1), B(1; 4), C(4; 7), D(8; 7) pontokat!

Igaz Igaz Igaz Igaz Igaz Igaz

Hamis Hamis Hamis Hamis Hamis Hamis

y

Milyen négyszög az ABCD? ........................................ Tükrözd az ABCD négyszöget az F (6; 7) pontra! A képpontok: A'(….; ….), B'(….; ….), C'(….; ….), D'(….; ….). Milyen négyszög az ABA'B'? ........................................ Tükrözd az ABCD négyszöget a P(5; 4) pontra! A képpontok: A"(….; ….), B"(….; ….), C"(….; ….),

1

D"(….; ….). Milyen négyszög az ABB"C"? .......................................

0

1

x

3 Adj meg az egyenesre és a körre illeszkedő olyan pontpárokat, amelyek az adott pontra tükrösek! Hány párt találtál? …….…….

4 Adj meg a körökön olyan pontokat, amelyek az adott pontra tükrösek! Hány párt találtál? …….…….

46



2015.04.13. 20:21:14

6.

III.

SZÖGPÁROK

1 Tükrözz egy AB szakaszt egy K pontra! Rajzolj olyan ábrákat, amelyek véleményed szerint eltérnek egymástól!

2 Fejezd be a jobb oldali ábrát zölddel, úgy hogy az α-val egyállású, és kékkel, hogy az α-val fordított állású szöget kapj!

a

3 Rajzolj három szöget úgy, hogy az α-val három különböző típusú szögpárt alkosson, de a megfelelő szögszárak párhuzamosak legyenek egymással!

a

4 Igaz? Hamis? Húzd alá a megfelelő szót! a) Van olyan párhuzamos szárú szögpár, ahol a két szög különböző. b) Minden egyállású hegyesszögpárban a két szög egyenlő. c) Egy 135°-os és egy 65°-os szög nem alkothat párhuzamos szárú szögpárt. d) Ha két szög egyenlő, akkor fordított állásúak. e) Ha két szög váltószögpár, akkor csúcsszögek. f) A csúcsszögek fordított állásúak.

Igaz Igaz Igaz Igaz Igaz Igaz

Hamis Hamis Hamis Hamis Hamis Hamis

5 Nevezd el az ábrán bejelölt szögeket! Sorold fel az összes lehetséges párosítást, ha nevezetes szögpárt alkotnak! Minden ilyen esetben add meg a szögpár nevét! .......................................................................................................... .......................................................................................................... ..........................................................................................................



47

2015.04.13. 20:21:14

III. 1

7.

KÖZÉPPONTOS ÉS TENGELYES SZIMMETRIA

Rajzold be a szimmetria-középpontokat a következő ábrákba!

a)

b)

c)

d)

2 Egy négyszögnek csak két pontját ismerjük: A(3; 4), B(5; –1). Készíts ábrát, majd add meg a hiányzó két pont koordinátáját úgy, hogy

y

a) az ABCD négyszög a K(1; 2) pontra középpontosan szimmetrikus legyen;

1

b) az ABEF négyszög az y tengelyre tengelyesen szimmetrikus legyen!

0

1

x

A hiányzó pontok koordinátái: C(….; ….), D(….; ….), E(….; ….), F(….; ….). 3 A következő ábrák négy egybevágó részletből állnak. Melyik az a két részlet, amelyik középpontosan szimmetrikus?

................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ 4 A koordináta-rendszerben az ABCDEF középpontosan szimmetrikus hatszög AB oldalának egyik végpontja (3; –1), a másik (4; 2). Az (1; 3) és a (–1; 1) pontok közül az egyik a C csúcs, a másik a K középpont. Rajzolj, majd add meg a hatszög csúcsainak koordinátáit! A hatszög csúcsainak koordinátái:

y

1

.................................................................................................

0

1

x

................................................................................................. .................................................................................................

48



2015.04.13. 20:21:15

7. 5

KÖZÉPPONTOS ÉS TENGELYES SZIMMETRIA

III.

Írj a négyzetbe I-t ha igaz, H-t ha hamis az állítás!

a) Két egyenlő sugarú kör mindig középpontosan szimmetrikus. b) Ha egy kört a körvonal egyik pontjára tükrözöl, akkor a tükörkép és az eredeti kör érinti egymást. c) Két egymást metsző, egyenlő sugarú kör középpontosan szimmetrikus az egyik metszéspontra. d) Két egymást metsző kör középpontosan szimmetrikus a közös húr felezőpontjára. 6 Készítsd el a középpontosan szimmetrikus ábrát úgy, hogy a nagy kör belsejében hat félkör legyen! Rajzold és színezd úgy, hogy a kép azt a hatást keltse, mintha a félkörök nem lennének átlátszóak!

8. 1

III.

PARALELOGRAMMA ÉS DELTOID

A rajzon egy középpontosan szimmetrikus sokszög két oldala látható. Fejezd be a rajzot úgy, hogy

a) paralelogramma;

b) konvex hatszög;

c) konkáv hatszög;

d) nyolcszög legyen!

Minden esetben jelöld a szimmetria-középpontot is! a)

b)



c)

d)

49

2015.04.13. 20:21:16

III.

8.


2 Az ábrákon látható szabályos sokszögeket egybevágó deltoidokra vágtuk. Mekkorák a szögei egyegy deltoidnak? a)

3

...............................

b)

...............................

...............................

...............................

...............................

...............................

...............................

...............................

...............................

...............................

Pótold a mondatok hiányzó részét!

Ha egy négyszög középpontosan szimmetrikus, akkor az ............................................................... . Ha egy négyszög tengelyesen szimmetrikus valamelyik átlójára, akkor az ........................................ . A középpontosan szimmetrikus deltoid a ..................................................................................... . Az a paralelogramma, amely tengelyesen szimmetrikus az átlójára, az a .......................................... . Írd be a rajzok betűjelét a halmazábrába!

síkidomok

es e ely

n tük

középpontosan

rös

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

50


tü k

s rö

ten g

4


2015.04.13. 20:21:16

8.


III.

5 A következő állítások melletti első négyzetbe akkor tegyetek X-et, ha az állítás a tengelyes tükrözésre igaz, a második négyzetbe pedig akkor, ha az állítás a középpontos tükrözésre igaz! a) Egy szakasz és a képe párhuzamos egymással. b) Az alakzat és a képének a körüljárása ellentétes. c) Csak egy olyan pont van, amelynek a képe önmaga. d) Végtelen sok olyan egyenes van, amelynek a képe önmaga. e) Van olyan félegyenes, amelyiknek a képe önmaga. f) Van olyan deltoid, amelyiknek a képe önmaga. g) Van olyan paralelogramma, amelyiknek a képe önmaga. h) Van olyan szakasz, amelyiknek a képe önmaga.

9. 1

A PARALELOGRAMMA TERÜLETE

III.

Számold ki a paralelogrammák területét!

a) a = 26 m, ma = 10 m;

t = ..................................................................................................

b) b = 9 dm, mb = 4 dm;

t = ..................................................................................................

c) a =105 cm, ma = 0,6 m;

t = ..................................................................................................

d) b = 3,28 m, mb = 152 cm. t = .................................................................................................. 2 Mekkora az előző feladat megfelelő paralelogrammájának a hiányzó oldala, illetve magassága, ha a) b = 13 m;

mb = ................................................................................................

b) a = 5 dm;

ma = ................................................................................................

c) mb = 50 cm;

b = .................................................................................................

d) ma = 16,2 dm?

a = ..................................................................................................



51

2015.04.13. 20:21:17

III. 3

9.

A PARALELOGRAMMA TERÜLETE

Szerkesztéssel és méréssel határozd meg a paralelogrammák magasságait!

a)

b)

ma = …….…….

ma = …….…….

mb = …….…….

mb = …….…….

Egy oldal hosszának megmérésével számold ki a paralelogrammák területét! t = …….…….

t = …….…….

Mérés nélkül határozd meg a hiányzó oldalhosszt! …….…….

…….…….

4 Az ábrán egy könyv borítójának a vázlata látható. A sárga árnyalatú, téglalap alakú részben helyezték el a szerző nevét, a zöld árnyalatú, paralelogramma alakú síkidomban olvasható a könyv címe. Véleményed szerint melyik színű terület a nagyobb, ha a vázlat jobb szélén látható barna és zöld szakaszok egyenlő hosszúak? ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 5 Egy nyolcszor tizenkettes négyzethálóra betűket terveztünk. A szomszédos rácsvonalak távolsága 4 mm. Mekkora a betűk területe? Használd a szürke segédvonalakat! Az N szárának a területe: ............................................ Az N közepének a területe: ......................................... Az N területe: ............................................................ A Z szárának a területe: .............................................. A Z közepének a területe: ........................................... A Z területe: .............................................................. 6 Egy paralelogramma középpontja a 2,5 cm-es oldalától 1 cm-re található. a) Számítsd ki a paralelogramma területét! b) Milyen messze van ez a középpont a paralelogramma 3 cm-es oldalától? a) .............................................................................................................................................. b) ..............................................................................................................................................

52



2015.04.13. 20:21:17

10. 1

III.

A HÁROMSZÖG TERÜLETE

Számold ki a háromszögek területét!

a) a = 18 m, ma = 12 m;

t = ..................................................................................................

b) b = 11 dm, mb = 6 dm;

t = ..................................................................................................

c) a = 21 mm, mc = 17 mm; t = .................................................................................................. 2

Add meg az adott területű háromszög hiányzó magasságait!

a) t = 270 cm2, a = 25 cm, b = 27 cm, c = 30 cm; b) t = 360 dm2, a = 36 dm, b = 45 dm, c = 60 dm. a) ma = ............................................................ b) ma = ..............................................................

3

mb = ............................................................

mb = ..............................................................

mc = ............................................................

mc = ..............................................................

Rajzold be és mérd meg a háromszögek magasságait!

a)

b) b

c

c b

a

ma = …….…….

ma = …….…….

mb = …….…….

mb = …….…….

mc = …….…….

mc = …….…….

a

Egy oldal hosszának megmérésével számold ki a háromszögek területét! t = …….…….

t = …….…….

Mérés nélkül határozd meg a hiányzó oldalak hosszát! ……………………

……………………

4

Írd be a hiányzó szavakat! a) A háromszög csúcsa és a vele szemközti oldalegyenes távolságát a háromszög …………… nevezzük. b) A háromszögeknek ………………… darab magasságuk van. c) A háromszög területét megkapjuk, ha az egyik oldalának a hosszát megszorozzuk a ………………… magasság hosszával. d) A derékszögű háromszög befogójához tartozó magasság megegyezik a …………………………. e) A szabályos háromszögnek három darab ………………… hosszúságú magassága van. f) Minden egyenlő szárú háromszögnek van ………………… darab egyenlő hosszúságú magassága.



53

2015.04.13. 20:21:18

III.

10.

A HÁROMSZÖG TERÜLETE

5 Egy háromszög egyik oldala 125 cm, a hozzá tartozó magasság pedig 10 cm. Mekkora a vele egyenlő területű négyzet kerülete? A háromszög területe: ......................................................... A négyzet oldalának hossza: ................................................. A négyzet kerülete: .............................................................

6 Egy háromszög és egy téglalap alakú virágágyás egyenlő területű. A háromszög egyik oldala 36 m, a hozzá tartozó magasság 16 m. A téglalap egyik oldala kétszerese a másiknak. Mekkora a téglalap kerülete?

A téglalap kerülete: …………………..

III. 1

11.

A TRAPÉZ TERÜLETE

Mekkora a trapéz területe, ha

a) a = 62 dm, c = 54 dm, m = 30 dm;

b) a = 43 mm, c = 19 mm, m = 28 mm?

a) t = ............................................................... b) t = ................................................................ 2

Mekkora a trapéz magassága, ha

a) a = 36 m, c = 28 m, t = 460,8 m2;

b) a = 34,2 m, c = 11,4 m, t = 364,8 m2?

a) m = ............................................................. b) m = ............................................................... 3

Mekkora a trapéz hiányzó alapjának hossza, ha

a) c = 16,6 m, m = 28 cm, t = 1618,4 m2;

b) c = 8,4 m, m = 10,5 m, t = 181,65 m2?

a) a = .............................................................. b) a = ................................................................

54



2015.04.13. 20:21:19

11.

III.

A TRAPÉZ TERÜLETE

4 A mellékelt térképvázlaton egy gyümölcsöskert alakját és méreteit láthatod. A bal oldali részen almafák, a jobb oldalin barackfák vannak. Melyik rész nagyobb és mennyivel? Mekkora a két rész közötti út területe? 38 m

22 m

5m

46 m

36 m

5m

32 m

Mindkét telek ………………… alakú. A rövidebb szár mindkettőnél egyben ………………… is. Az almafás rész területe: …………………………………… A barackfás rész területe: …………………………………… A nagyobb mennyiségből vonjuk ki a kisebbet: …………………………………… Vagyis ………………… rész területe ………… m2-rel nagyobb, mint ………………… rész területe. A térképvázlaton látható út alakja: ………………… A területe: ………………… 5 A következő trapézok csúcsait koordináta-rendszerben adtuk meg. Rajzolj, majd számítsd ki a trapézok területét, ha a rácsnégyzetek oldalhossza 1 cm! a) A(–2; –1), B(4; –1), C(3; 4), D(1; 4);

b) A(–5; –3), B(3; –3), C(6; 5), D(0; 5).

y

y

1

1

0

1

x

0

1

x

a = ….….…… , c = …….….… , m = …….….… a = …..…….… , c = …….….… , m = ……..….… t = ................................................................... t = ....................................................................



55

2015.04.13. 20:21:19

III.

12. A DELTOID TERÜLETE

1 Számold ki a deltoid területét az e és az f átlójának ismeretében! a) e = 12 m, f = 32 m; b) e = 23 cm, f = 42 cm; c) e = 21,3 mm, f = 33,2 mm; d) e = 35,2 dm, f = 51,6 dm. a) t = ............................................................... b) t = ................................................................ c) t = ............................................................... d) t = ................................................................ 2

Melyik deltoid a nagyobb, és hányszorosa a másiknak?

a) Az első átlói 14 cm és 29 cm, a második átlói 28 cm és 29 cm hosszúak. ………………… a nagyobb, és ………………… a másiknak. b) Az első átlói 44 cm és 120 cm, a második átlói 88 cm és 40 cm hosszúak. ………………… a nagyobb, és ………………… a másiknak. c) Az első átlói 12 cm és 19 cm, a második átlói 36 cm és 57 cm hosszúak. ………………… a nagyobb, és ………………… a másiknak. d) Az első átlói 100 cm és 200 cm, a második átlói 25 cm és 50 cm hosszúak. ………………… a nagyobb, és ………………… a másiknak. 3 A képen látható test 60 darab (egybevágó) deltoidból rakható össze. Egy ilyen deltoidnak megmértük az átlóit: a rövidebb 3,3 cm, a hosszabb 3,6 cm hosszú. Mekkora területű papírt használnál fel, ha ki szeretnéd vágni a test hálózatát? Egy deltoid területe: .......................................... A 60 darab deltoid területe: ................................

4

Milyen címkét tennél a halmazábra középső színes részére?

négyszögek

oidok delt

56


má k

A középső rész címkéje: …………………

paralelogram


2015.04.13. 20:21:20

12.

III.

A DELTOID TERÜLETE

5 Az óvodások termének díszítésére hat egybevágó deltoidból álló „napocskát” terveztek az óvónők. Az ábrán látható kör sugara 18 cm, és a forma legtávolabbi pontjai 46 cm-re vannak a kör középpontjától. Mekkora területű kartonpapírt használtak összesen? Egy deltoid területe: ………………… A síkidom területe: …………………

6 Milyen távolságra van egymástól az AB és a PQ szakasz? Csak az ábrán látható adatokat használhatod a számoláshoz!

55 cm

A

A távolság: ………………… 48 cm

73 cm

48 cm

B

55 cm

P

73 cm

Q

13.

KÖZÉPPONTOSAN SZIMMETRIKUS ALAKZATOK

III.

1 Igazak-e a következő állítások? a) Ha egy síkidom középpontosan szimmetrikus, akkor tengelyesen is az. b) Ha egy síkidom tengelyesen szimmetrikus, akkor középpontosan is az. c) Van olyan középpontosan szimmetrikus síkidom, amelyik tengelyesen is szimmetrikus. d) Nincs olyan tengelyesen szimmetrikus síkidom, amelyik középpontosan is szimmetrikus. e) Van olyan síkidom, amelyiknek egynél több szimmetria-középpontja van. f) Van olyan síkidom, amelyiknek egynél több szimmetriatengelye van.

2 Elemezd az ábrát, majd körző és vonalzó segítségével készítsd el a másolatát! Színezd ki több szín felhasználásával úgy, hogy a színek is középpontosan szimmetrikusan helyezkedjenek el!



57

2015.04.13. 20:21:21

III.

13.


3 A tankönyvben olvashattál a pentominókról. A következő ábrán látható mind a tizenkettő. Milyen méretű téglalap fedhető le ezzel a tizenkét síkidommal? .................................................................................... Véleményed szerint valóban kivitelezhető a lefedés, ha a pentominók nem darabolhatók? Próbáld megvalósítani valamelyik lefedést! Rajzold le a négyzethálóra! Érdemes a formákat kartonpapírból kivágni, és úgy kísérletezni. Nem könnyű a feladat, ezért ne keseredj el, ha nem sikerül! A világhálón kereshetsz segítséget.

4 Egy középpontosan szimmetrikus rajz töredékét látod. Készítsd el az egész ábrát!

5 A 3. feladatban megtapasztalhattad, hogy milyen nehéz a pentominókat egy téglalapba rendezni. A következő kérdést sem kell kötelező házi feladatnak tekintened. Csak akkor kísérletezz vele, ha szereted az ilyen rejtvényeket! Egy nyolcszor nyolcas táblára felrakjuk az öszszes pentominót. Természetesen így mindig kimarad négy mező. A mi ábránkon a négy mező tengelyesen szimmetrikusan helyezkedik el. Próbáld a pentominókat úgy elhelyezni, hogy a négy lyuk középpontosan szimmetrikus helyzetű legyen a tábla középpontjára!

58



2015.05.13. 12:24:09

13.


III.

6 A pentominók segítségével különböző képeket rakhatsz össze. Készíts te is ilyeneket a füzetedbe! A legjobban sikerülteket rajzold le a négyzethálóra!

14.

SOKSZÖGEK

III.

1 Igaz vagy hamis? Írj a négyzetbe I vagy H betűt! a) Egy sokszög csak akkor lehet szabályos, ha tengelyesen szimmetrikus. ...................................... b) Ha egy sokszög szabályos, akkor középpontosan szimmetrikus. .............................................. c) A páros oldalszámú szabályos sokszögeknek legalább négy szimmetriatengelyük van. ................. d) Ha egy sokszög szabályos, akkor tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus. ....................... e) Egy nem szabályos sokszög is lehet középpontosan szimmetrikus. ............................................ f) Egy nem szabályos sokszög is lehet tengelyesen szimmetrikus. .................................................. g) A rombusz szabályos sokszög. .............................................................................................. h) Ha egy sokszög minden belső szöge egyenlő, akkor az szabályos. .............................................. 2 Egy egyenlő szárú háromszög szögei: 20°, 80°, 80°. Hány darab egybevágó példányra lenne szükséged, ha szabályos sokszöget szeretnél összerakni belőlük? A háromszögek száma: ………………… Vázlatrajz az összeillesztésről: 3 Egy egyenlő szárú háromszög mindhárom szöge fokban mérve egész szám. Több ilyen háromszög felhasználásával szabályos sokszöget rakhatsz össze. Hány fokosak lehetnek a háromszög szögei? Adj meg legalább hat ilyen háromszöget! .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................



59

2015.04.13. 20:21:22

14.

III.

SOKSZÖGEK

4 Készítsd el papírból az ábrán látható egyenlő szárú háromszögeket a megadott darabszámban! Milyen szabályos sokszöget tudsz kirakni az összes papír háromszög felhasználásával? A sokszög oldalainak száma: ………………… Vázlatrajz az összeillesztésről:

6 db

3 db

15.

III. 1

3 db

SZERKESZTÉSEK

Szerkessz háromszöget az adatok alapján! A szerkesztést a füzetedben végezd el! a

a) Adatok: b, c, α c

Vázlat:

b

ma

g

b a

b a

c

b

b) Adatok: b, c, mc c

Vázlat:

mc

2

Szerkessz négyzetet, ha adott az átlójának a hossza!

Adat: e

60


e

Vázlat:


2015.04.13. 20:21:23

15. 3

III.

SZERKESZTÉSEK

Szerkeszd meg a paralelogrammát a füzetedben a rendelkezésedre álló adatok alapján!

Adatok: e, f, φ

Vázlat:

f j e e

f

4

j

Szerkessz háromszöget a füzetedben, ha adott az a, b, sc! Vázlat:

Adatok: a, b, sc sc b

a

sc

b a

16. 1

ÖSSZEFOGLALÁS

III.

Tükrözd a betűket a megadott középpontra!

2 Rajzolj a megadott szög mellé négy különböző szöget, amelyik vele a) csúcsszöget; b) váltószöget; c) kiegészítő szöget;



d) egyállású szöget alkot!

61

2015.04.13. 20:21:23

III. 3

16.

ÖSSZEFOGLALÁS

Mekkora a sokszögek területe?

a) A háromszög területe: t = …………………

7 cm 12 cm

b) A paralelogramma területe: t = …………………

8 cm 15 cm

c) A deltoid területe: t = …………………

23 cm

12 cm 28 cm

d) A trapéz területe: t = …………………

13 cm 42 cm

4 Egy 3 hektáros, paralelogramma alakú búzatábla egyik oldala 200 méter hosszú. Milyen messze van a búzatáblának ettől az oldalától a másik 200 méteres oldala? A keresett távolság: …………………

5 A 450 m2 területű trapéz rövidebb alapja egyenlő hosszúságú a trapéz magasságával, a hosszabb alapja pedig háromszorosa a rövidebb alapnak. Milyen hosszúak a trapéz alapjai? Az alapok hossza: …………………

6 A 143 cm2 területű deltoid átlóinak hossza centiméterben mérve egész szám. Mekkorák lehetnek ezek az átlók? Az átlók lehetséges hossza: e f

62



2015.04.13. 20:21:24

1 1

IV.

SZÁMELMÉLET – A TANULT ISMERETEK ÁTTEKINTÉSE Állapítsd meg, melyik szám osztható 3-mal, illetve 9-cel! 3-mal

9-cel

3∙2∙6 7 ∙ 24 ∙ 5 15 ∙ 37 ∙ 42 8 + 11 + 7 23 + 59 + 74 8100 + 81 + 9 794 − 117 283 + 154 − 302 193 − 81 − 67 2

Igaz vagy hamis?

a) Ha egy szám osztható 8-cal, akkor a szám kétszerese is osztható 8-cal. b) Ha egy szám osztható 6-tal, akkor a fele is osztható 6-tal. c) Ha két szám osztható 7-tel, akkor az összegük is osztható 7-tel. d) Ha két szám összege osztható 5-tel, akkor mindkét szám osztható 5-tel. e) Ha két szám osztható 4-gyel, akkor a szorzatuk is osztható 4-gyel. f) Ha két szám közül egyik sem osztható 3-mal, akkor az összegük biztosan nem osztható 3-mal. 3 A megadott számok közül pirossal húzd alá, ami 3-mal, és kékkel, ami 9-cel osztható! Mi jellemzi azokat a számokat, amelyeket pirossal és kékkel is aláhúztál? Írd a számokat a halmazábrába és jelöld, melyik halmaz mit jelent! 24; 37; 69; 153; 495; 2871; 53 160; 830 672; 73 263 186.

4

Döntsd el, hogy igaz vagy hamis! Ha egy számot elosztunk 16-tal, és a hányados 9, akkor ez a szám

a) osztható 3-mal;

b) osztható 30-cal;

c) osztható 4-gyel;

d) osztható 14-gyel;

e) osztható 10-zel;

f) osztható 6-tal;

g) osztható 32-vel;

h) osztható 72-vel?

OSZTHATÓSÁG, EGYENLETEK


63

2015.04.13. 20:21:24

IV.

1

SZÁMELMÉLET – A TANULT ISMERETEK ÁTTEKINTÉSE

5 Helyes vagy helytelen? Döntsd el az alábbi következtetésekről, melyik csoportba tartoznak! Adj példát a helytelen következtetésre! Helyes

Helytelen

Példa

Ha egy szám osztható 2-vel és 3-mal, akkor osztható 6-tal is. Ha egy szám osztható 2-vel és 4-gyel, akkor 8-cal is. Ha egy szám osztható 9-cel, akkor a fele osztható 3-mal. Ha egy szám osztható 12-vel, akkor 4-gyel is. Ha egy szám osztható 18-cal, akkor a fele osztható 9-cel. Ha egy szám osztható 7-tel, akkor a négyszerese osztható 2-vel. Ha egy szám osztható 32-vel, akkor páros. Ha egy szám osztható 11-gyel, akkor páratlan. 6

Keresd a párját! 2 3 a) ; b) 1 ; 3 5 80 104 A) ; B) ; 64 48

5 ; 4 72 C) ; 66 c)

9 ; 7 28 D) ; 42 d)

1 e) 2 ; 6 72 E) ; 56

12 . 11 96 F) . 60 f)

7 Többszöröse-e az A = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 7 szám az alábbi számoknak? Ha többszöröse, állapítsd meg, hogy hányszorosa! a) 12-nek: .................................................

b) 20-nak: ...........................................................

c) 35-nek: .................................................

d) 49-nek: ...........................................................

e) 2 ∙ 3 ∙ 5-nek: ..........................................

f) 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7-nek: ................................................

8

Van-e olyan szám, amelyben a számjegyek szorzata 77? Válaszodat indokold!

.................................................................................................................................................. 9 Írj a 2015 elé és mögé is egy számjegyet úgy, hogy a kapott szám osztható legyen 45tel! Hány megoldást találtál?

64



2015.04.13. 20:21:26

2

IV.

ÖSSZETETT SZÁMOK PRÍMTÉNYEZÔS FELBONTÁSA

1 Három különböző prímszámnak vedd az első és a második hatványát! Szorozz össze két így kapott hatványt minden lehetséges módon! a) Hány különböző számot kaptál? ............................................................................................... b) Hány négyzetszám van közöttük? Mely számoknak a négyzetei? .................................................. 2

Hány különböző számot tudsz felírni szorzat alakban, ha a prímkártyákon az alábbi számok láthatók?

a) 2; 3; 5 ...................................................

b) 3; 5; 11 ............................................................

c) 3; 3; 5 ...................................................

d) 5; 5; 5 .............................................................

3 Néhány számot prímek szorzataként írtunk fel, némelyik szorzótényező azonban elmosódott. Melyik számra igazak az állítások? a) Biztosan páros. ......................................... b) Lehet, hogy osztható 4-gyel. .................................................................................................... c) Lehet négyzetszám. ................................................................................................................ d) Lehet 9 többszöröse. ............................................................................................................... e) Biztos, hogy legalább háromjegyű. ........................................................................................... 4 Bontsd fel prímtényezők szorzatára az alábbi számokat! ; b) 720 ; c) 360 ; d) 2016 a) 54

; e) 1001

.

Írd fel prímhatványok szorzataként! a) 54 = ..........................................................

b) 720 = ........................................................

c) 360 = ........................................................

d) 2016 = .......................................................

e) 1001 = .......................................................



65

2015.04.13. 20:21:27

IV.

2

ÖSSZETETT SZÁMOK PRÍMTÉNYEZÔS FELBONTÁSA

5 Egy összetett számot prímszámok szorzatára bontottunk, de a negyedik szorzótényező elmosódott. Milyen prímszám lehet a hiányzó tényező, ha tudjuk, hogy a) a szám nullára végződik? ........................

b) a szám osztható 9-cel? ......................................

c) a szám osztható 4-gyel? ..........................

d) legalább 8 osztója van? .....................................

e) osztható 6-tal? ....................................... 6 Add meg az alábbi szorzatok végeredményét prímtényezős alakban! a) 144 ∙ 420; b) 240 ∙ 420; c) 630 ∙ 4500; ............

IV.

............

3

..............

OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS

1 Felsoroltuk néhány szám osztóit párokba rendezve. Töltsd ki a hiányzó mezőket! Keresd meg az osztókat és magát a számot is!

1

1

1 65

40 5

20 5

16

75

26

5

13

9

25

8

2

Húzd át azokat a számokat, amelyek nem többszörösei a középen álló számnak! 2 ×3 2

2

20

162 2×34

432

25×32 2×2×3

66


22×33×54 190

2×3 ×7 2


2015.04.13. 20:21:28

3

IV.

OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS

3 Húzd át azokat a számokat, amelyek nem osztói a középen álló számnak!

2×3×5

2

2 ×3 ×5 2

2

200

35 2 ×5×7

2

2

2×3×5

2 ×5 3

50

23×3×52

2 ×5 2

2

2

4 Felsoroltuk néhány szám öszszes valódi osztóját. Keresd meg a számokat!

............. 5 Írd a nyilakra, hányszor van meg a középső osztó az őt körülvevő többszörösökben! 960

7

101

5

2

102

23×3×5

600

2 ×3 ×5

2 ×3 ×5 100

2 ×3 ×5

6

4

2 ×3 ×5 4

6

3

240

2

2 ×3×5 3

.............

.............

.............

6 Írd a nyilakra, hányszorosa a középen álló többszörös az őt körülvevő osztóknak! 2 ×3×5 2

2×3×5

2 ×3×5 3

450

4

2 ×3 ×5

30

2 ×3 ×5

3

3

2

2

3

4

4

1000

2 ×3 ×5 2

2

2

Írd az ábrába a 72 osztóit úgy, hogy a nyíl mindenütt egy többszörösre mutasson!



67

2015.04.13. 20:21:29

IV. 1

4

LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ

Döntsd el, hogy igaz-e vagy hamis! Példán keresztül mutasd meg, ha egy állítás hamis!

a) Két szám legnagyobb közös osztója az osztók közül a legnagyobb. b) Két szám legnagyobb közös osztója nagyobb, mint egy. c) Két szám legnagyobb közös osztója megegyezik a kisebb szám legnagyobb osztójával. d) A számok legnagyobb közös osztója kisebb a nagyobb számnál. e) Két szám legnagyobb közös osztója kisebb, mint a kisebb szám. 2

Írd fel a megadott számok közös osztóit!

a) 32 és 40: ....................................................

b) 68 és 102: ...................................................

c) 75 és 60: ....................................................

d) 33 és 34: ....................................................

e) 45 és 46: ....................................................

f) 120 és 216: .................................................

3

Határozd meg a megadott számok legnagyobb közös osztóját!

a) (18; 22): ................................................................................................................................. b) (12; 30): ................................................................................................................................. c) (1600; 2500): .......................................................................................................................... d) (36; 48; 64): ............................................................................................................................ 4 Megadtuk két szám közös osztóit, kivéve a legkisebbet és a legnagyobbat. Mely számok közös osztóit írtuk fel? a) 2; 3; 4; 6: ............................................................ b) 3; 5: ................................................................... c) 2; 3; 6; 7; 14; 21: .................................................. 5 Gondoltam egy kétjegyű számra. A gondolt szám és a 36 legnagyobb közös osztója 9, a gondolt szám és a 49 legnagyobb közös osztója pedig 7. Melyik számra gondolhattam? 6 Egy téglalap területe 108 cm2. Oldalainak hossza 1-nél nagyobb természetes szám. Mekkorák lehetnek a téglalap oldalai? Rajzolj! Mekkorák legyenek az oldalai, hogy a kerülete a legkisebb legyen?

68



2015.04.13. 20:21:31

4

LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ

IV.

7 A hetedikesek ajándékcsomagot készítenek az elsősök számára. Összesen 120 kifestőkönyv, 180 grafitceruza és 300 darab cukorka áll a rendelkezésükre. a) Legfeljebb hány csomagot tudnak elkészíteni, ha azt szeretnék, hogy minden csomag egyforma legyen? .................................................................................................................................................. b) Hány db kifestőkönyv és hány db grafitceruza került ekkor egy csomagba? .................................................................................................................................................. 8 60 sárga és 84 vörös rózsát egyforma csokrokba kötöttünk úgy, hogy egy sem maradt ki, és minden csokorba ugyanannyi szál sárga és vörös rózsa került. a) Legfeljebb hány csokor rózsát készíthettünk ilyen módon? b) Hány sárga és hány vörös rózsa lesz egy csokorban?

5 1

LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS

IV.

Döntsd el, hogy igaz vagy hamis! Példán keresztül mutasd meg, ha egy állítás hamis!

a) Két szám legkisebb közös többszöröse a többszörösök közül a legkisebb. b) Van két különböző pozitív egész szám, amelyek legkisebb közös többszöröse 1. c) Két szám legkisebb közös többszöröse megegyezhet a két szám közül a kisebb számmal. d) Két szám legkisebb közös többszöröse megegyezhet a két szám közül a nagyobb számmal. e) A számok legkisebb közös többszöröse nagyobb, mint a nagyobb szám. 2

Írd fel a megadott számok 4-4 közös többszörösét!

a) 16 és 40: ....................................................

b) 68 és 102: ...................................................

c) 75 és 60: ....................................................

d) 33 és 15: ....................................................

e) 8 és 9: ........................................................

f) 12 és 16: ....................................................



69

2015.04.13. 20:21:32

IV.

5

LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS

3 Számítsd ki az alábbi számok legkisebb többszörösét! b) [396; 312]: ................................................. a) [24; 30]: ..................................................... c) [120; 44]: ................................................... 4

d) [36; 48; 108]: ..............................................

Mely számok írhatók a téglalap helyére?

a) [

; 6] = 24; ............................................

b) [16;

] = 144 ..........................................

] = 60; ...........................................

d) [20;

] = 20; ...........................................

c) [30;

5 Olvadásnak indultak az ereszcsatornáról lelógó jégcsapok. Az egyikről 20, a másikról 28 másodpercenként esik le egy vízcsepp. Ha egy adott pillanatban egyszerre halljuk a két csepp becsapódását, akkor mennyi idő múlva halljuk ezt egyszerre legközelebb?

6 Marci és Berci hétvégenként uszodába járnak. Berci 72 másodperc, Marci 108 másodperc alatt tesz meg egy oda-vissza távot. A medencébe egyszerre ugranak be. a) Hány perc múlva találkoznak először a startkőnél? .................................................................................................................................................. b) Hányszor találkoznak az indulási oldalnál, ha 40 percet úsznak? .................................................................................................................................................. 7 Egy autóbusz-végállomásról reggel 5 óra 20-kor egyszerre indítanak két különböző útvonalon közlekedő buszt. Az A jelzésű busz 18, a B jelzésű 15 percenként indul. a) Mikor indítják egyszerre a két buszt legközelebb? .................................................................................................................................................. b) Este 23 óráig hány olyan indítási időpont van, amikor az A és a B jelzésű busz egyszerre indul? ..................................................................................................................................................

70



2015.04.13. 20:21:33

6

IV.

EGY KIS LOGIKA

1 Húzd alá a helyes választ! Ha a és b osztható 4-gyel, akkor a) a + b lehet, hogy osztható 4-gyel;

c) a − b

b) a ∙ b

biztos, hogy osztható 4-gyel;

biztos, hogy osztható 4-gyel;

nem osztható 4-gyel.

nem osztható 4-gyel.

lehet, hogy osztható 4-gyel; biztos, hogy osztható 4-gyel;

d)

a b

nem osztható 4-gyel. 2

lehet, hogy osztható 4-gyel;

lehet, hogy osztható 4-gyel; biztos, hogy osztható 4-gyel; nem osztható 4-gyel.

Karikázd be a helyes állítások betűjelét! Igazold példával a hamis állításokat !

Ha a 5-tel osztva 2, b pedig 5-tel osztva 3 maradékot ad, akkor a) a + b osztható 5-tel: ................................................................................................................ b) a ∙ b osztható 5-tel: ................................................................................................................. c) a − b osztható 5-tel: ................................................................................................................ a d) osztható 5-tel: .................................................................................................................... b 3

Egészítsd ki a mondatokat!

a) Ha a szám 11-gyel osztva 7 maradékot ad, és b szám 11-gyel osztva ................ maradékot ad, akkor a + b osztható 11-gyel. b) Ha az a szám 9-cel osztva 3 maradékot ad, és a b szám 9-cel osztva ................ maradékot ad, akkor a ∙ b osztható 9-cel. c) Ha az a szám 7-tel osztva 5 maradékot ad, és a b szám 7-tel osztva ................ maradékot ad, akkor az a − b osztható 7-tel. 4

Írj fel a 2; 3; 5; 7; 9 számjegyek legfeljebb egyszeri felhasználásával

a) kettő darab: ........................................................................................................................... b) három darab: ......................................................................................................................... c) négy darab: ............................................................................................................................ olyan háromjegyű számot, amelyek egyike sem osztható hárommal, de az összegük osztható hárommal.



71

2015.04.13. 20:21:34

IV.

6

EGY KIS LOGIKA

5 Töltsd ki a táblázatot!  jelenti azt, hogy a vizsgált szám osztható 2-vel, 3-mal, 5-tel, 10-zel vagy 25-tel, X jelenti azt, ha nem osztható az adott számokkal. Az X jel melletti szám a maradékot jelöli. Tegyél  -t, ha osztható, és X-et, ha nem osztható a kifejezés az adott számmal! A

B

C

2-vel







3-mal

X 1

X 2



5-tel



X 3

X 3

10-zel



X 5



25-tel





X 7

IV.

7

A+B+C

A∙B∙C

(A + B) ∙ C

OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOK

1 Melyik oszthatósági szabályból mi hiányzik? Keresd meg azt a megoldási lehetőséget, amelyik igazzá teszi az állítást, és a betűjelét írd a pontozott helyre! a) Egy pozitív egész szám pontosan akkor osztható 2-vel, ha ................ 2-vel. b) Egy pozitív egész szám pontosan akkor osztható 3-mal, ha ................ 3-mal. c) Egy pozitív egész szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha ................ 4-gyel. d) Egy pozitív egész szám pontosan akkor osztható 5-tel, ha ................ 5-tel. e) Egy pozitív egész szám pontosan akkor osztható 8-cal, ha ................ 8-cal. f) Egy pozitív egész szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha ................ 9-cel. g) Egy pozitív egész szám pontosan akkor osztható 10-zel, ha ................ 10-zel. h) Egy pozitív egész szám pontosan akkor osztható 25-tel, ha ................ 25-tel. i) Egy pozitív egész szám pontosan akkor osztható 125-tel, ha ................ 125-tel. A: az utolsó két számjegyéből álló szám osztható

B: számjegyeinek összege osztható

C: az utolsó számjegye osztható

D: az utolsó 3 számjegyéből álló szám osztható

72



2015.04.13. 20:21:35

7 2

IV.

OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOK

Töltsd ki a táblázatot! Milyen számot írhatunk a  helyére, hogy teljesüljenek az oszthatóságok? 2678 + 521

8693 − 341

197 ∙ 56

3-mal 4-gyel 8-cal 25-tel 3 Az asztalon 10; 20; 50; 100 és 200 forintos pénzérmék vannak, mindegyikből egy darab. Állíts össze belőlük olyan összegeket, hogy oszthatók legyenek a) 3-mal; ................................................................................................................................... b) 4-gyel; ................................................................................................................................... c) 8-cal; ..................................................................................................................................... d) 9-cel; ..................................................................................................................................... e) 10-zel! ................................................................................................................................... Ahol tudsz, keress több megoldást is! 4 Milyen számjegyet írhatunk a 9475 számban a helyére, ha azt szeretnénk, hogy ne változzon a szám a) 2-es; ................................. b) 3-as; ................................. c) 4-es; ................................. d) 8-as; .................................

e) 9-es maradéka? .................

A szorzatok kiszámítása nélkül húzd alá kékkel a 8-cal, pirossal a 9-cel osztható számokat! 2∙3∙4∙6 34 ∙ 15 ∙ 20 10 ∙ 13 ∙ 27 10 ∙ 30 ∙ 6 21 ∙ 12 ∙ 6 4 ∙ 6 ∙ 12 22 ∙ 13 12 ∙ 9 2 ∙ 27 ∙ 52

5

6 A gyerekek versenyeztek. Mindegyikük gondolt egy számra. A verseny végén mindenki annyi pontot kapott, ahány osztója van az általa kigondolt számnak. Ki nyerte a versenyt? Ki lett az utolsó? ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ........................................



73

2015.04.13. 20:21:36

8

IV. 1

KÉSZÍTSÜNK MAGUNKNAK OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOKAT!

Az alábbi számok közül pirossal húzd alá, amelyik 12-vel, kékkel, amelyik18-cal osztható!

1236;

2654;

3972;

8316;

7362;

5472.

2 Apró papírlapokra felírtuk az egytől százig terjedő egész számokat, és bedobtuk egy kalapba. Legalább hány számkártyát kell kihúzni ahhoz, hogy biztos legyen köztük olyan, amelyik nem osztható 15-tel? .................................................................................................................................................. 3

A 0; 1; 2; 3; 4; 5 számkártyák segítségével készíts olyan háromjegyű számot, amelyik

a) 10-zel osztható, de 15-tel nem! ................................................................................................. b) 24-gyel osztható, de 6-tal nem! ................................................................................................ c) 12-vel osztható, de 24-gyel nem! .............................................................................................. 4

Milyen szabályt lehet megfogalmazni a következő oszthatóságokkal kapcsolatban?

a) Egy pozitív egész szám osztható 55-tel, ha… ............................................................................. b) Egy pozitív egész szám osztható 20-szal, ha… ........................................................................... c) Egy pozitív egész szám osztható 180-nal, ha… ........................................................................... 5

Pipáld ki a helyes, vagy javítsd ki a hibás oszthatósági szabályokat!

a) Ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor osztható 24-gyel is. ................................................... b) Ha egy szám osztható 3-mal és 12-vel, akkor osztható 36-tal is. ................................................... c) Ha egy szám osztható 5-tel és 8-cal is, akkor osztható 40-nel is. ................................................... d) Ha egy szám osztható 5-tel és 12-vel, akkor osztható 60-nal is. .................................................... 6 Írd a halmazábrába az alábbi számokat! Fogalmazd meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a metszetbe! Írj mindenhová néhány általad választott háromjegyű számot is! a) 4215; 3742; 9830; 53 280; 221 100 3

74


10

b) 4768; 5238; 7137; 7236; 8326 4

9


2015.04.13. 20:21:37

9 1

IV.


a

Válaszolj az alábbi kérdésekre!

a) Lefedhető-e egy 8×8-as sakktábla b) Lefedhető-e

d

e

f

g

h 8

7

7

6

6

5

5

dominókkal, ha valame- 4

4

3

3

2

2

1

1

dominókkal abban az esetben, ha az a1 és h8

és

c

8

dominókkal? ............

mezőket levágjuk? .................................................................... c) Lefedhető-e

b

lyik sarokmezőjét levágjuk? ....................................................... ................................................................................................ 2 Hány bástya rakható a sakktáblára úgy, hogy ne üssék egymást? (A bástya vízszintesen és függőlegesen mozoghat a sakktáblán. Egy lépésnél tetszőleges számú mezőt haladhat egy irányba.)

a

b

c

d

e

f

g

h

.............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. 3 Hány huszár rakható a sakktáblára úgy, hogy ne üssék egymást? (A huszár vízszintesen két, majd függőlegesen egy lépést tehet, vagy függőlegesen lép két mezőt és vízszintesen egyet.) .................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. 4 A következő játékot párban játszhatjátok. Az a1 mezőn áll egy bábu, amit felváltva mozgathattok jobbra vagy lefelé. Egyszerre csak egy irányba, de tetszőleges számú mezővel tolhatjátok arrébb a bábut. Az nyer, aki elsőként lép a h8 mezőre. Mit gondolsz, a kezdő vagy a második játékosnak van nyerő stratégiája? ................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. 5 Az a1 mezőn most egy huszár áll, így pároddal lólépésben léphettek felváltva. Most is az nyer, aki elsőként lép a h8 mezőre. a) Mit gondolsz, nyerhet-e a kezdő játékos? .................................................................................. .............................................................................................................................................. b) Keresd meg a táblán azokat a „nyerő” mezőket, ahonnan egy lépésben beérhetünk a célba! .................................................................................................................................................. c) Ki nyerhet abban az esetben, ha az a1 mezőről indulunk, és a cél az a8 mezőn van? ....................... ..............................................................................................................................................



75

2015.04.13. 20:21:38

10

IV.

1 Írd fel a képek alapján az elfogyott és a megmaradt pizzaszeletek arányát!

ARÁNYOSSÁGRÓL MÉG EGYSZER

a)

b)

............................

c)

............................

............................

A táblázatban lévő a és b számok aránya 3 : 4. Add meg a hiányzó számokat!

2 a b

6 5

6 24

0,75 0,8

17

1,2

10

4 5

3

Keresd az arányok egyszerűsített formáját, és írd a betűjelét a megfelelő helyre! 5 1 3 4 12 a) 14 : 18; b) 20 : 25; c) 26 : 39; d) 4,2 : 5,4; e) 2 : ; f) : ; g) : 2; h) : 3. 2 2 4 3 5 • 2 : 3 ....................................................................................................................................... • 4 : 5 ....................................................................................................................................... • 7 : 9 ....................................................................................................................................... 4

Írd fel egész számokkal a megadott arányokat! 3 7 5 5 a) : = b) : = ............................. 9 9 6 6 ............................. 3 8 1 13 = e) 1 : = d) : 2 .......................... 5 20 ......................... 2 8

1 7 : = 2 8 ............................. 3 7 f) : = 7 3 .............................

c)

5 Alma és Zoé két különböző osztályba járnak, és különböző helyekre mennek osztálykirándulásra. A kirándulásokra befizetendő összegek aránya 11 : 13. A két kirándulás összesen 14 400 Ft-ba kerül. Alma kirándulása kerül kevesebbe. a) Mennyit kell fizetni Zoé kirándulására? ..................................... b) Mennyivel drágább Zoé kirándulása Alma kirándulásánál? ............ 6 Két testvér életkorának összege 42 év, életkoruk aránya pedig 8 : 6. Mennyi idős a fiatalabb testvér?

76



2015.04.13. 20:21:38

10 7

ARÁNYOSSÁGRÓL MÉG EGYSZER

IV.

Melyik az a két szám, amelynek aránya 4 : 9, összege pedig 546?

8 Egy téglalap oldalainak aránya 3 : 8, kerülete 66 cm. Számítsd ki a) mekkorák a téglalap oldalai! b) mekkora a téglalap területe! 9 Minden gyerek szeretett volna pénzt gyűjteni nyárra, anya pedig segíteni akart ebben, ezért rengeteg házimunkát összeírt, majd melléírta, mennyit fizet ezekért összesen. – Ezt nem bírja egy ember egyedül – morgolódott Eszter. – Osztozzunk meg a munkán is, a pénzen is! – javasolta a testvéreinek. Eszter négyszer annyit dolgozott, mint Kristóf, aki pedig kétszer annyit, mint Kisbence. Kisbence nagyon örült az így szerzett 200 forintjának. a) Hány forintot keresett Kristóf? ................................................................................................. b) Hány forintot ajánlott a munkájukért anya? ...............................................................................

11

MIT TUDUNK A SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSRÓL

Hibás dolgozatok Péter és Paula ikrek. Hasonlítsd össze és javítsd ki a dolgozatukat, hibás megoldás esetén pedig írd le a hibátlan számolásokat és eredményeket! Osztályozd színes tollal a dolgozatokat az alábbi, százalékban megadott ponthatárok alapján!

IV. 90 – 100 75 – 89 50 – 74 33 – 49 0 – 32

5 4 3 2 1

1 Egy pohár 150 grammos epres joghurt gyümölcstartalma 24%. Hány gramm epret tartalmaz egy pohár joghurt? (3 pont) (150 : 100) ∙ 24 = 36 g a joghurt epertartalma.

24 3800 = = 38g eper van a 100 100 joghurtban.

150 ∙

2 Számítsd ki, mennyit kellene fizetni egy 3400 Ft-os könyvért, ha megvehetnénk a) 50%-kal (3 pont); b) 24%-kal (3 pont); c) 37,5%-kal olcsóbban (3 pont)? a) (3400 : 100) ∙ 50 = 1700 Ft-ot. b) (3400 : 100) ∙ 24 = 816 Ft-ot. c) 3400 ∙ 0,375 = 1275 Ft-ot.



a) 3400 ∙ 0,5 = 1700 Ft-ot. b) 3400 ∙ 0,76 = 2584 Ft-ot. c) (3400 : 100) ∙ 62,5 = 2125 Ft-ot.

77

2015.04.13. 20:21:41

IV.

11

MIT TUDUNK A SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSRÓL

3 Egy négyzet kerülete 14 000 cm. Oldalait 40%-kal megnöveltük. (5 pont) a) Hány méter lett így a kerülete? b) Hány százalékkal változott a kerülete? a) Először átváltom a hosszúságokat: 14 000 cm = 140 m. Az oldala: 140 : 4 = 35 m. Az új négyzet oldala: 35 ∙ 1,4 = 49 m. A kerülete: Kúj = 4 ∙ 49 = 196 m. b) 196 - 140 = 56%-kal változott a négyzet kerülete. 4 a) b) c)

a) A négyzet oldala: 14 000 : 4 = 3500 cm. Az új oldal hossza: (3500 : 100) 140 = 4900 cm. Az új négyzet kerülete: K = 4 ∙ 4900 = 19 600 cm = 196 m. b) 196 : 140 = 1,4 = 140%. Tehát 40%-kal nőtt a területe.

Hány kg-nak a (6 pont) 40%-a 108 g? 97,5%-a 819 g? 144,7%-a 65 115 g? a) (108 : 40) ∙ 100 = 270 g = 0,27 kg b) (819 : 97,5) ∙ 100 = 840 g = 8,4 kg c) (65 115 : 144,7) ∙ 100 = 45 000 g = = 45 kg

a) (40 : 108) 100 = 37,037 g = 0,037 kg b) (97,5 : 819) 100 = 11,9 g = 0,0119 kg c) Ilyen kicsi számot nem lehet ilyen nagy számmal elosztani. Kb. 0 kg.

5 Egy tanévben átlagosan 183 tanítási nap van. A tanév hány százaléka van még hátra, ha ma van az 50. nap? (4 pont) 50 = 0,273 = 27,3%–on vagyunk túl. 183 100 - 27,3 = 72,7%–a van még hátra.

183 - 50 = 133 nap van még hátra a nyári szünetig. 133 = 72,6%-a van még hátra a 183 tanévnek.

6 „Minden fiúval jóban vagyok az osztályban” – meséli boldogan Attila. „Gazsival, Zsombival, Jerrivel, Zozóval, Matyival, Zsigával, sőt még Dáviddal is.” Az osztály 68%-a lány. Hányan járnak az osztályba? (5 pont) A fiúk száma 100 - 68 = 32%-a az osztálynak. 7 fiú - 32% 7 darab gyerek 1% 32 7 700 100% ∙ 100 = = 21,875 32 32 darab gyerek.

Zsolti + 7 fiú = 8 fiú 100 - 68 = 32%-a az osztálynak fiú. 8 fiú = 32% (8 : 32) ∙ 100 = 25 gyerek jár az osztályba.

Nincs egész megoldása, ilyen osztály nincs!

78



2015.04.13. 20:21:42

12

ÖSSZETETT SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSI FELADATOK

IV.

1

Melyik műveletsor írja le helyesen 61 000-nek a 12%-kal megnövelt értékét? Karikázd be a megfelelőt! 12  12 12  112   ; B: 61 000   1  ; C: 61 000   1  ; D: 61 000  0,12 ; E: 61 000  ; A: 61 000    100 100  100   100 

F: 61 000  1,12 ; G: 61 000 : 100  12 ;

H: 61 000  61 000  0,12 ; I:  61 000  112  : 100 .

a) Nézd meg, melyeket nem karikáztad be, és fogalmazd meg néhány szóban, mit jelentenek ezek a műveletsorok! ............................................................................................................................ b) Válassz ki kettőt a bekarikázottak közül, amellyel legszívesebben számolod ki a keresett értéket, és végezd is el a műveleteket! .................................................................................................................................................. 2 Egy jótékonysági koncert bevételét árvízkárosultak megsegítésére ajánlották fel. A szervezők egyetlen kikötése az volt, hogy az összegyűjtött pénzről a segélyt elosztó szervezetnek kötelessége elszámolni. A bevétel másfél millió Ft volt, ebből 1 275 000 Ft-ot pénzben osztottak szét az árvízkárosultak között. Dolgozz a füzetedben! a) A koncertbevétel hány százaléka került pénzben kiosztásra? ....................................................... b) Írj a sárga téglalapokba számokat úgy, hogy a megmaradt pénzösszeget kapjuk eredményül! 1 500 000 ×

100

1 500 000 ×

1 500 000 : 100 ×

c) A megmaradt pénz 15%-án takarókat, 10%-án lábbelit, 25%-án tisztítószert vásároltak, a maradék összegen élelmiszert és vizet vettek. A koncertbevétel hány százalékáért vásároltak élelmiszert és vizet? 3

Töltsd ki a következő táblázatot!

Eredeti érték 15%-kal növelt érték A kapott érték 25%-kal növelt értéke Egy műveletsorral felírva 1500 54 2875 x 1 részét labdákra, 4 15%-át szőnyegekre, a maradék összeg harmadát pedig korcsolyák vásárlására fordította. A maradék 180 000 Ft-ért síléceket vásároltak.

4

A Toldi-tanya iskola egy sportszerfejlesztési pályázaton nyert támogatása

a) Hány Ft-ot nyert az iskola? ...................................................................................................... b) Mennyit költöttek labdákra? .................................................................................................... c) Mire költöttek többet, korcsolyára vagy szőnyegekre? Hány százalékkal? ......................................



79

2015.04.13. 20:21:44

IV.

12


5 Egy 25 cm oldalú négyzet egyik oldalát 40%-kal csökkentjük. A másik oldalát annyival növeljük, hogy a kapott téglalap területe egyenlő legyen a négyzet területével. a) Mekkora a négyzet területe? .................................................................................................... b) Mekkorák a kapott téglalap oldalai, mekkora a kerülete? ............................................................ 6 Az alábbi ábra azt mutatja, hogyan alakult egy elektrotechnikai szakbolt árukészlete. Írd a hiányzó értékeket az ábrába! ......... %-os a) változás

150 db laptop 180 db mobiltelefon

megvásároltak ......... db-ot

érkezett az üzletbe 30 db

megvásárolták a 18 %-át

......... %-os változás

megvásároltak 36 db-ot

érkezett az üzletbe ....... db

megvásárolták a ....... %-át


194 db


b)

......... %-os változás megvásároltak ......... db-ot

560 db pendrive 320 db fülhallgató


434 db

érkezett az üzletbe 30 db ......... %-os változás

érkezett az üzletbe ....... db

magvásároltak 203 db-ot

45%-os változás

......... %-os változás ......... %-os változás

80



2015.04.13. 20:21:45

12 7

IV.


Párosítsd azokat, amelyek ugyanazt fejezik ki!

B: 134 : 100  17 83   D: 134   1    100  F: 134  134 : 100  17

13

A: 134 

17   G: 134   1    100 

100  83 100

C: 134  134 : 100  83 E: 134  0, 83

H: 134 

100  17 100

I: 134  0,17

IV.

SZÖVEGES FELADATOK

1 A téglalap egyik oldala 15, másik oldala 10 egység hosszúságú. A hosszabbik oldalát 30%-kal csökkentettük, a rövidebbik oldalát 20%-kal növeltük. a) Rajzold le a téglalapot a füzetedbe, majd rajzold be az ábrába, hogyan változtak a téglalap oldalai! b) Mekkora volt az eredeti téglalap területe? .............................................................................................................................................. c) Mekkora lett az új téglalap területe? .............................................................................................................................................. d) Hány százalékkal változott a téglalap területe? ........................................................................... e) Hány százalékkal változott a kerülete? .............................................................................................................................................. 2 Az alábbi oszlopdiagram a hetedikesek matematikadolgozatának eredményét mutatja. a) Hány gyerek jár az osztályba? ............................... b) Az osztály hány százaléka írt ötös dolgozatot? ............................................................................. c) A hetedikesek hány százaléka írt legalább hármas dolgozatot? .............................................................

Fő 8 7 6 5 4 3 2 1 0

5

4 3 osztályzat

2

1

nem írt

d) Számold ki az osztály átlagát! ...................................................................................................



81

2015.04.13. 20:21:45

IV.

13

SZÖVEGES FELADATOK

3 A Margarita pizzázóban négyféle pizzát lehet kapni: sajtosat, sonkásat, hawaiit és zöldségeset. A ma vásárolt pizzák 16%-a sajtos, 20%-a hawaii és fele sonkás volt. Zöldséges pizzából 35 darabot rendeltek. a) A ma elkészült pizzáknak hány százaléka volt zöldséges? ............................................................ b) Hány pizza készült ma a pizzériában? ....................................................................................... c) Mennyi volt a sajtos pizzákból származó bevétel, ha egy pizza 750 Ft-ba kerül? ............................. 4

Az amerikai átlagember 23-szor több chipset eszik, mint a magyarok: 8 kg-ot évente. Hány száza-

léka a magyar chipsfogyasztás az amerikainak? .............................................................................. 5 Szofi jegyeinek 65%-a ötös, 25%-a négyes és van két hármasa is. Más jegye nincs. Számold ki az átlagát! .................................................................................................................................................. 6 A Fogorvosok Egyesülete felmérést készített a gyerekek fogmosási szokásairól. a) Hány százalékkal vannak többen azok, akik napon-

5%

15% napi 3-szor napi 2-szer napi 1-szer nem mos fogat

35%

ta 3-szor fogat mosnak, mint azok, akik nem szoktak fogat mosni? ........................................................ b) Igaz-e, hogy a gyerekek fele naponta legalább két-

45%

szer fogat mos? ..................................................... c) 1000 gyerekből átlagosan hány gyerek nem mossa a fogát? .......................................................... d) Hány gyereket kérdeztek meg, ha 5400 gyerek azt válaszolta, hogy naponta átlagosan kétszer mos fogat? ........................................................................................................................................ 7

Eszter egyedül 6 óra alatt takarítja ki a lakást. Ha az öccse, Kristóf is segít, akkor 50%-kal hatéko-

nyabbak. Mennyi idő alatt végeznek ketten? .................................................................................. 8 A gyümölcssaláta elkészítéséhez 4 főre 40 dkg alma, 20 dkg narancs, 30 dkg banán és 25 dkg meggy szükséges. a) Az elkészült gyümölcssaláta hány százaléka alma? ..................................................................... b) Hány százaléka lenne alma abban az esetben, ha a saláta négyszeresét készítenénk el? ................... c) Mennyi banánra van szükség 5,75 kg gyümölcssaláta elkészítéséhez? ........................................... d) Add meg a gyümölcssalátában lévő összetevők tömegének arányát! .............................................

82



2015.04.13. 20:21:46

13

SZÖVEGES FELADATOK

IV.

9 Számold össze, hány tanórád van egy héten, és mennyi időt töltesz ezen felül az iskolára készüléssel egy hét alatt! Határozd meg, a heti 168 órának hány százalékát töltöd tanulással! .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. Az iskolai kosárlabdadobó bajnokságon a három pontos dobásokból 120 pontot lehetett 9 részét, Dóri pedig 6 ponttal szerzett megszerezni. Dávid a pontok 85%-át szerezte meg, Anna a 10 kevesebbet Annánál. 10

a) Melyik gyerek hány pontot szerzett a versenyen? ....................................................................... b) Hány százalékra teljesített Lali, aki 78 pontot szerzett? ................................................................

14 1

SZÁMOK ÉS BETÛK HASZNÁLATA

IV.

Írd a pontozott vonalra az algebrai kifejezéseket!

a) Van 580 forintom, neked 240 forinttal több: .............................................................................. b) Van 970 pontom, neked x-szel kevesebb: ................................................................................... c) Van x euróm, neked háromszor annyi van: ................................................................................ d) Van z darab négyesem, neked feleannyi van: ............................................................................. e) Van k darab barátom, neked a kétszeresénél 4-gyel kevesebb: ...................................................... f) A testvéreim számának kétszerese megegyezik a te testvéreid számának háromszorosával: .............................................................................................................................................. 2

Írd a pontozott vonalra az algebrai kifejezéseket!

a) Egy szám ötszöröse: ................................................................................................................ b) Egy szám és a nagyobb számszomszédjának szorzata: ................................................................. c) Egy szám harmadánál 5-tel nagyobb szám: ............................................................................... d) Egy szám reciproka: ................................................................................................................ e) Egy szám és a nála 4-gyel kisebb szám hányadosa: ..................................................................... f) Egy szám ellentettje: ...............................................................................................................



83

2015.04.13. 20:21:46

14

IV.


3

Karikázd be az alábbi egytagú algebrai kifejezések együtthatóit! 4 d 3 d) xyz; e) 6,4gh2i3; f) ; g)  k ; a) 3a; b) –8b; c) c2; 9 17 7 4

h)

2m ; 5

i) x   2, 8  .

Végezd el az összevonásokat a következő algebrai kifejezésekben!

a) 7 x  4 y  3x  7 y  5x  8 y  .................................................................................................. b) 3x  5 y  2z  11x  3 y  ...................................................................................................... c) x  xy  4 y  2 x  6 yx  ......................................................................................................... d) 3xy  4 xy  x  y  .............................................................................................................. Végezd el az összevonásokat a következő algebrai kifejezésekben, majd számold ki a helyettesítési 1 értéküket, ha tudod, hogy a = –2 és b = ! 2 a) 4a + 3b – 2ab + 5a – 7b – 8ab = ............................................................................................... 5

b) –2a – 4b + 3ab – 2a – 4b = ...................................................................................................... c) 6a + 7b – 4a – 2ab + 5b – 4ab – 3a + 5ab = ............................................................................... d) 2a2 – b2 – ab + a2b – 5a2 + 2b2 + 5a2b = ..................................................................................... 6

Írd be a hiányzó együtthatókat!

a) 3x – 4y + c) 5,2p – 7

x = 7x – 4y q+

p + 1,4q = p – q

b) 7a – d)

r–

b + 3a + 11b =

a+b

s – 7,9s – 3,7r = –1,4r – 18,3s

Végezd el a szorzásokat!

a) 7(x + y) = .............................................

b) x(y + 9) = ........................................................

c) y(6 – x) = ..............................................

d) xy(x + y) = ......................................................

e) 2x(3y + 4z) = ........................................

f) x(2x – 5y – 8) = ...............................................

g) (x + 3y – 4z) ∙ v = ...................................

h) (xy – 6x + 7y – 11z) ∙ (–2s) = .............................

8 A sulibüfében a szendvics s forintba, a pogácsa p forintba, a kakaós csiga pedig k forintba kerül.

a) Mennyi pénzt fizet Julcsi, ha mindháromból vesz egyet-egyet? .................................................... b) Mennyit fizetnek a Kárpáti ikrek, ha összesen 4 pogácsát, 3 szendvicset és 1 kakaós csigát vesznek? ..................................................................................................................................................

84



2015.04.13. 20:21:47

14

IV.


c) Mennyi pénzt hagy a büfében Jancsi, ha egész héten napi egy szendvicset és egy kakaós csigát vásárol? ........................................................................................................................................ d) Miből mennyit vásárolhatott a 7.a osztály, ha 12k + 8p + 23s forintot fizettek? ............................... A szendvics 110 Ft, a pogácsa 80 Ft és a kakaós csiga 140 Ft. e) Számítsd ki, mennyit fizetett Julcsi! .......................................................................................... f) Számítsd ki, mennyit fizettek a Kárpáti ikrek! ............................................................................ g) Számítsd ki, mennyit költött a büfében Jancsi! ........................................................................... h) Számítsd ki, mennyit fizettek a 7.a-sok! ..................................................................................... 9 a) c) e) 10

Javítsd ki a hibákat, a hibátlanokat pedig pipáld ki! 5(a + b) = 5a + b b) a(b + 3) = ab + 3a d) a(2b + 5ab) = b(2a + 5a2) (4 – a) ∙ (–2) = –8 – 2a 2(ab + a + b) = 4ab f) ab(2a – 3b + ab) = 2a2b – 3ab2 + a2b2 Először végezd el a zárójelen belüli összevonásokat, majd szorozd be a kapott eredményt!

a) 4(5a – 3b + 11a – 9ab + 7b – 9a + 5ab) = .................................................................................. b) 3xy(2x + 4y2 – 2xy – x + 5y2 + xy + 4x) = ................................................................................... c) (4ab – 3a2 + 2ab + b2 + 6a2 – 3ab)(–a2b) = .................................................................................

15

EGYENLETEK MEGOLDÁSA

IV.

1 Döntsd el, melyik egyenlethez melyik összevont alak tartozik! Segítségképp az összevonásokat már elvégeztük helyetted. Oldd meg az egyenleteket a füzetedben! a) 4x – 7 + 5x – 3 – 2x + 8 = 5x + 6

A) 5 + 4x = x + 8

b) 11 – 3x + 8 + 7x – 14 = –2x + 10 + 3x – 2

B) x – 22 = 5x + 16

c) 7x – 9 – 4x – 8 – 2x – 5 = 8 – 3x + 7 + 5x + 1 + 3x

C) 7x – 2 = 5x + 6

2 Csilla életkorának ötszöröse 26-tal kevesebb a hétszeresénél. Hány éves Csilla?



85

2015.04.13. 20:21:48

IV.

15


3 Összekeveredtek az egyenletmegoldás lépései. Állítsd a lépéseket megfelelő sorrendbe! Írd az egyenlet jobb oldala mellé, milyen lépés következik az egyenletmegoldás során! a) 4(x – 3) + 3(2x + 5) = 2(x – 7) + 57

b) 8 – 2(3x + 5) – 3(4x – 1) = 7 – 5(2 – x)

x 5 10 x  3  2 x  43 8 x  40 4 x  12  6 x  15  2 x  14  57 8 x  3  43 1  18 x  5x  3 4  23x 8  6 x  10  12 x  3  7  10  5x 4 23 1  23x  3

x

4

Írd le az egyenletmegoldás lépéseit! x  2 x  1 2x a)   3 4 6 4  x  2  3  x  1 4 x   12 12 12 4  x  2   3  x  1  4 x 4 x  8  3x  3  4 x 7x  5  4x 7x  4x  5 3x  5 5 x 3 2  x  4  3x  1 7  2 x b)    0, 5 4 2 5 10  x  4  10  3x  1 4  7  2 x     0, 5 20 20 20 10  x  4   10  3x  1  4  7  2 x   10 10 x  40  30 x  10  28  8 x  10 20 x  30  18  8 x 30  18  12x 48  12x x  4

86


/................ /................ /................ /................ /................ /................ /................

/................ /................ /................ /................ /................ /................ /................


2015.04.13. 20:21:49

15


IV.

5 Megoldottuk az egyenletet a lebontogatás módszerével. Válaszd ki, melyik felírás adja meg helyesen az x értékét! a) 2(4x – 7) – 8 = 13 I. x = [(13 – 8) ∙ 2 + 7] : 4 II. x = [(13 + 8) ∙ 2 + 7] : 4 III. x = [(13 + 8) : 2 + 7] : 4 b) 2 ∙ [4 ∙ (8x + 5) – 7] = 26

6

IV. x = {[(26 + 7) : 2] : 4 – 5} ∙ 8 V. x = [(26 : 2 + 7) : 4 – 5] : 8 VI. x = [(26 : 2 + 7) ∙ 4 – 5] : 8

Oldd meg az egyenleteket a mérlegelv segítségével az egész számok halmazán! Dolgozz a füzetedben!

a) 1  4  x  1  3  2 x  1  2 b) 3  2 x  3   6  2  x    x  8    2  c) 2  3x  2   8  5  2 x   4  x  6   7  2 x  8   4 x 2 3x 12 x d) 5 x 1 5 2 8 5  x  2  2  4  3x  7 x  15 e)     5x  4  3 6 2 4  3  2x  3  x  4  5  x  4   1  x  f) 1   x  5 2 4 2 7 Gondoltam egy számra. Ha a négyszereséből 7-et elveszek, a felénél 14-gyel nagyobb számot kapok. Melyik számra gondoltam? 8 A sarki Copy Központban öt fekete-fehér oldal fénymásolása 4 Ft-tal olcsóbb, mint egy színes oldal másolása. Öt színes oldal másolása 320 Ft-ba kerül. Mennyit kell fizetnem, ha 1 színes és 1 fekete-fehér oldalt másoltam?



87

2015.04.13. 20:21:50

IV. 1

16

SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA EGYENLETTEL

Gergő négyszer annyi idős, mint Dani. Ketten együtt 60 évesek.

a) Melyik egyenlet írja fel helyesen a feladat feltételeit? ................................................................... b) Oldd meg az összes egyenletet! Ellenőrizd a feladat szövege alapján a kapott megoldásokat! A: 4x = 60 .............................................................................................................................. B: x + 4x = 60 ........................................................................................................................ C: x = 60 – 4x ........................................................................................................................ D: 4x = 60 + x ........................................................................................................................ 2 Anya távolsági buszbérlete 3340 Ft-tal drágább, mint a hetedikes Klárié. A két bérlet együtt 7580 Ftba kerül. a) Melyik egyenlet írja fel helyesen a feladat feltételeit? ................................................................... b) Fogalmazd meg, mit jelöltünk ismeretlennel! ............................................................................ c) Oldd meg a kiválasztott egyenleteket! Ne felejtsd el az ellenőrzést! A: 7580 – 3340 = 2x B: x + x + 3340 = 7580 C: x + x – 3340 = 7580 Válaszd ki, melyik szöveg tartozik az alábbi egyenlethez! Fogalmazd meg, mit jelöltünk ismeretlennel! (x – 4) + x + (x + 6) = 23 a) Laci 4 évvel idősebb, mint Vera, de 6 évvel fiatalabb, mint Gedeon. A három gyerek együtt 23 éves. b) Gellértnek negyedannyi, Zsófinak pedig hatszor annyi pénze van, mint Katának. A három gyerek összvagyona 23 euró. c) A háromszög egyik oldala 4 cm-rel rövidebb, a másik oldala pedig 6 cm-rel hosszabb, mint a harmadik oldal. A háromszög kerülete 23 cm. 3

Válaszd ki, melyik szöveg tartozik az alábbi egyenlethez! 2x + 3x – 8 = 152 a) Egy szám kétszeresének és 8 híján a háromszorosának az összege 152. b) Egy szám kétszeresének és háromszorosának az összege 8 híján 152. c) Egy szám kétszeresének és háromszorosának az összege 8-cal több, mint 152. 4

5 Gazsi zsebpénze 3-szor annyi, mint Matyié és 100 Ft-tal több, mint Jakabé. Hármójuknak együtt 1300 forintja van. Mennyi pénzük van külön-külön? ..................................................................................................................................................

88



2015.04.13. 20:21:53

16 6


IV.

Írj szöveget az alábbi egyenletekhez!

a) x + 3x + 7x = 110 .................................................................................................................... .................................................................................................................................................. b) (x – 200) + x + (x + 850) = 11 288 ............................................................................................ .................................................................................................................................................. 7 Dédi hatszor annyi idős, mint Janka, és 10 év híján kétszer annyi idős, mint anya. Hárman együtt 105 évesek. a) Hány éves Janka? ............................................................. b) Hány éves volt anya, amikor Janka született? ...................... c) Hány éves volt Dédi, amikor anya született? ....................... 8 Három gyerek páronként mérlegre állt. Számold ki, milyen nehezek külön-külön?

........................................................................................... 9 Gondoltam egy számra. Ha a hatszorosából elveszek 40-et, a különbséget elosztom 7-tel, és a hányadosból elveszek 2-t, az eredmény 0 lesz. Melyik számra gondoltam? ........................................................................................... 10 Gondoltam egy számra. Ha a kilencszeresét hozzáadom a számhoz, és az összeget elosztom 2-vel, a gondolt szám ötszörösét kapom. Melyik számra gondoltam? ........................................................................................... 11

Egy derékszögű háromszögben a két hegyesszög különbsége 50°.

a) Mekkorák a háromszög belső szögei? ....................................................................................... b) Mekkora a legnagyobb külső szöge? .........................................................................................



89

2015.04.13. 20:21:53

IV. 12

16


Egy háromszög belső szögeinek aránya 2 : 4 : 6. Mekkorák a háromszög külső szögei?

.................................................................................................................................................. 13 Megadtuk a háromszögek belső szögeinek arányát. Húzd alá a derékszögű háromszögeket! a) α : β : γ = 1 : 4 : 5; b) α : β : γ = 2 : 3 : 5; c) α : β : γ = 5 : 6 : 7; d) α : β : γ = 3 : 4 : 5. 14 Mekkora annak a téglalapnak a területe, melynek a kerülete 16,8 dm és a két oldalának különbsége 16 cm? Készíts vázlatot!

IV. 1

17

ÖSSZEFOGLALÁS

Töltsd ki a táblázatot! Igaz

Nem igaz

Ha egy szám osztható hárommal, akkor a szám osztható kilenccel. Egy szám osztható 6-tal, ha számjegyeinek összege osztható 6-tal. Egy szám osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 9-cel. Három prímszám összege páratlan. Három egymást követő szám szorzata osztható 6-tal. Két szomszédos természetes szám összege osztható néggyel. Van páros prímszám. Ha egy számnak a 7 osztója, akkor a szám lehet prím. Van olyan prímszám, amelynek a 14 osztója. Ha egy szám 0-ra végződik, akkor osztható 4-gyel. Minden háromnál nagyobb prímszám szomszédainak szorzata osztható 6-tal. Minden háromnál nagyobb prímszám szomszédainak szorzata osztható 12-vel.

90



2015.04.13. 20:21:57

17

ÖSSZEFOGLALÁS

IV.

2 Mely számok oszthatók az alábbiak közül 242-vel? A választ az osztás elvégzése nélkül add meg! d) 22 ∙ 113 ∙ 52. a) 1452; b) 7128; c) 22 ∙ 11 ∙ 7; 3

Sorold fel a számok osztópárjait! Húzd alá a valódi osztókat!

a) 72: ........................................................................................................................................ b) 147: ...................................................................................................................................... c) 104: ...................................................................................................................................... 4

Számítsd ki az alábbi számok legkisebb többszörösét!

a) [72; 30]: ................................................................................................................................. b) [198; 312]: ............................................................................................................................. c) [60; 22]: ................................................................................................................................. 5

Mely számok írhatók a betűk helyére?

a) [A; 6] = 24

A = .........................................................................................................

b) [8; B] = 72

B = ..........................................................................................................

c) [15; C] = 120

C = ..........................................................................................................

6 Egy téglalap oldala 30 cm és 45 cm. A rövidebb oldalát 15%-kal növeltük, a hosszabb oldalát 20%kal csökkentettük. a) Mekkorák lettek a téglalap oldalai? ........................................................................................... b) Hány cm2-rel változott a területe? ............................................................................................. c) Hány százalékkal változott a területe? ....................................................................................... 7

Egy négyzet oldala 3 m. Hány százalékkal változtattuk a négyzet oldalait, ha kerülete 15 m-re

változott? ................................................................................................................................... 8

Hány százalékos az a sóoldat, amelynek tömege 800 gramm és 120 gramm só van benne?

.................................................................................................................................................. 9

700 gramm vízbe 140 gramm sót teszünk. Hány százalékos lesz a keletkezett sóoldat?

..................................................................................................................................................



91

2015.04.13. 20:21:58

IV.

17

ÖSSZEFOGLALÁS

10 500 000 Ft-ot kötöttünk le a bankban. Az első évben 6% a kamat, majd minden következő évben – három éven keresztül – fél százalékkal alacsonyabb. a) Hány forint kamatot kaptunk az első év végén? .......................................................................... b) Meg tudjuk-e venni a bankban tartott pénzből és kamataiból az általunk kiválasztott 610 000 Ft-os konyhabútort? ............................................................................................................................ 11 Egyre több a túltáplált gyerek hazánkban is, ami sok esetben a mozgás hiányára utal. A kamasz gyerekek kalóriaszükséglete 2000-2200 kcal naponta, ami igen könnyen átléphető a túlzott nassolással. Ha figyelsz arra, hogy egészségesen étkezz és rendszeresen sportolj, nem kell aggódnod a súlyfelesleg miatt. Az alábbi táblázatban megtalálod, mennyi kalóriát égethet el egy körülbelül 60 kilogrammos gyerek fél óra alatt az alábbi mozgásformákkal. mozgásforma futás gyaloglás hólapátolás kalória

303

90

181

kerékpározás 228

kirándulás focizás porszívózás úszás 195

242

75

217

a) Te mit sportolsz? Nézz utána, mennyi kalóriát égetsz el vele alkalmanként! .................................. b) Egy óra porszívózással, vagy fél óra hólapátolással égetsz el több kalóriát? .................................... c) Hány százalékkal égetsz el több kalóriát fél óra futással, mint fél óra gyaloglással? ......................... d) Ha megeszel egy tábla csokit (kb. 550 kcal), az hány százaléka a szükséges kalóriabevitelednek? .............................................................................................................................................. e) Gergő egy kis nassolással 2750 kalóriát fogyasztott. Délután 14:00‒17:30-ig hatalmasat kirándult a barátaival. A bevitt kalóriák hány százalékát égette el így? ............................................................... 12

Fogalmazd meg, hogyan vonhatunk össze egynemű kifejezéseket! ...........................................

.................................................................................................................................................. Jelöld be színessel a láthatatlan szorzásjeleket és színezd ki az együtthatókat! 5 a) 3 x 2; b) x y; c) – 2,5 a; d) 3 x – 5 y; e) 2 a – 5 b – 3 a + 8 b. 2

13

14

Gondoltam egy számra. Ha a szám 3-szorosánál 5-tel nagyobb számot elvesszük a szám 9-szereséből,

épp 1000-t kapunk. Egész számra gondoltam? ............................................................................... 15 A háromszög egyik belső szöge ötször akkora, mint a másik belső szöge. A harmadik szögének nagysága megegyezik a másik két belső szög összegével. Határozd meg a háromszög belső szögeit! ..................................................................................................................................................

92



2015.04.13. 20:21:58

17 16

IV.

ÖSSZEFOGLALÁS

Végezd el a zárójelfelbontásokat és a lehetséges összevonásokat!

a) 5x + 2(x + 4) + 5x + 1 = .......................................................................................................... b) 14 + (16 + 3x) – 3(5x – 4) + 8 = ............................................................................................... c) 4x + (x – 2) – 3(x – 11) = ......................................................................................................... d) 3(x – 6) + 2(2x + 5) = .............................................................................................................. e) 5 ∙ (4 – 3x) – (x + 2) + 1 = ........................................................................................................ f) 27 – 4(4,5x + 5) – 13,5 = ......................................................................................................... 17

Oldd meg az alábbi egyenleteket a füzetedben!

5 x  13  12 ; 7 3 4 1 c) x   ; 5 7 2

a)

e) 4 x  22, 4  3x  2  x  2, 4   44 ; g)

x 2 x 2   x  1; 2 5

1 5 x  x 5; 3 12 3x  6 d) 2  7 ; 5 x 1 x 1 3 f)     ; 2 2 3 3 2 x x x h)    4  2  3x . 2 3 6 b)

18 A hetedikesek hatodának fekete a mobiltelefon-hátlapja, a 25%-ának fehér. Az évfolyam felének mintás hátlap van a telefonján. 6 gyereknek nincs mobilja. a) Hány hetedikesnek van fehér mobiltelefonja? ........................................................................................... b) Hányan járnak a hetedik évfolyamra? ........................................................................................... c) A 7. a-sok 4-gyel többen vannak, mint a 7. b-sek. (Az iskolában két hetedik osztály van.) Hány 7. b-s jár a suliba? ........................................................................................... 19

Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 11. Ha ebből a

számból elvesszük a számjegyeinek felcserélésével kapott számot, a különbség 45 lesz. Melyik ez a kétjegyű szám? ...........................................................................................



93

2015.04.13. 20:21:59

V.

1

EGYBEVÁGÓ HÁROMSZÖGEK

1 Két egyenlő szárú derékszögű háromszöget rajzoltunk. Mindkettőnek 4 cm a leghosszabb oldala. Egybevágó-e a két háromszög? Válasz: ................................. Indoklás: ................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 2 Az ABC szabályos háromszög minden oldalát az ábrán látható módon meghosszabbítottuk az oldal hosszának a negyedrészével. Igazold, hogy az így kapott P, Q és R pontok ismét szabályos háromszöget határoznak meg!

P A

Indoklás: ....................................................................................... ......................................................................................................

C

...................................................................................................... ...................................................................................................... 3 Rajzolj az ABCD négyzet CD oldalára kifelé B egy DCE szabályos háromszöget! Igazold, hogy az ABE háromszög egyenlő szárú háromszög!

C

A

D

B

R

Q

Indoklás: ................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 4 Az ABCD téglalapot elvágtuk egy az AC átlójával párhuzamos egyenes mentén. Igazold, hogy KL = MN!

N

Indoklás: ................................................................

D

...............................................................................

L

M

C

............................................................................... ...............................................................................

K

A

B

..................................................................................................................................................

94


GEOMETRIA

2015.04.13. 20:22:00

1

V.

EGYBEVÁGÓ HÁROMSZÖGEK

C

D

5 Az ábrán látható ABCD húrtrapézt (egyenlő szárú trapézt) elvágtuk egy az AC átlójával párhuzamos EF egyenes mentén. Igazold, hogy DE = BF!

F

Indoklás: .............................................................................. .............................................................................................

E

A

B

.................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

2

V.

ÖSSZEFÜGGÉSEK A HÁROMSZÖG OLDALAI, SZÖGEI KÖZÖTT

1 Pótold a hiányzó adatokat! (Az α, β, γ a háromszög belső szögeit, az α', β', γ' pedig a megfelelő külső szögeket jelentik.) α

β

16° 41°

γ

α'

β'

115°

123°

95° 48°

29°11'

117° 98°43'

2

γ’

90°30'

Melyik igaz, melyik hamis?

a) Minden háromszögben két oldal hosszának az összege nagyobb a harmadiknál. b) Minden háromszögben két szög összege nagyobb a harmadiknál. c) Van olyan háromszög, amelyben két szög összege egyenlő a harmadikkal. d) A derékszögű háromszögben két oldal hosszának összege egyenlő lehet a harmadik hosszával. e) Nincs olyan háromszög, amelynek két külső szöge is tompaszög. f) Van olyan háromszög, amelynek két külső szöge is hegyesszög.

GEOMETRIA


95

2015.04.13. 20:22:01

V. 3

2

ÖSSZEFÜGGÉSEK A HÁROMSZÖG OLDALAI, SZÖGEI KÖZÖTT

Egy háromszögben α – β = β – γ = 21°. Mekkorák a háromszög külső szögei?

α' = .................................

β' = .................................

γ' = .................................

4 Egy háromszög legnagyobb szöge a legkisebb szögének a háromszorosával egyenlő. A középső szög egyenlő a legnagyobb szög kétharmadával. Mekkorák a háromszög külső és belső szögei? α = .................................

β = .................................

γ = .................................

α' = .................................

β' = .................................

γ' = .................................

5 A derékszögű háromszög egyik szöge 32°18'-cel nagyobb egy másik szögénél. Mekkorák a háromszög külső szögei? Válasz: ....................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................

6 Rajzolj olyan háromszöget (ha van), amelyben az egyik belső szög nagysága egyenlő az egyik külső szög nagyságával! Válasz: ........................................................... Indoklás: ....................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... 7

Rakd növekvő sorrendbe a háromszög a, b és c oldalát, ha α = 42° 21', γ' = 102° 46'!

..................................................................................................................................................

96


GEOMETRIA

2015.04.13. 20:22:01

3 1

V.

A HÁROMSZÖG ÉS A KÖRÉ ÍRT KÖRE

Pótold a hiányzó részeket!

A háromszög három oldalának felezőmerőlegese ................................. metszi egymást. Minden háromszöghöz létezik olyan kör, amelyre a háromszög ............................ csúcsa illeszkedik. Ez a kör a háromszög .................................................. . 2 Jelöld be pirossal, hogy hol lehet az ábrán látható háromszögek köré írt körének a középpontja! Szerkeszd meg a középpontokat! Mérd meg, hogy mennyit tévedtél!

Eltérés: ......................

Eltérés: ......................

Eltérés: ......................

3 Szerkessz egy szabályos háromszöget, amelynek az ábrán látható kör a köré írt köre!

4 Szerkeszd meg azt a háromszöget, amelynek egyik oldala 3 cm, egy másik oldala 4 cm, a köré írt kör sugara pedig 3,2 cm hosszú!

Kivitelezés:

Vázlat:

GEOMETRIA


97

2015.04.13. 20:22:02

V.

3

A HÁROMSZÖG ÉS A KÖRÉ ÍRT KÖRE

5 Rajzolj olyan háromszöget, amelynek az ábrán látható kör a köré írt köre, és a kör középpontja a) a háromszög belsejében van; b) a háromszögön kívül van; c) a háromszög határvonalára illeszkedik!

Milyen háromszöget rajzoltál? a) .....................................

V. 1

4

b) .................................

c) ....................................................

A HÁROMSZÖG ÉS A BEÍRT KÖRE

Pótold a hiányzó részeket!

A háromszög három szögfelezője ................................. metszi egymást. Ez a metszéspont mindig a háromszög ................................. van. Minden háromszöghöz létezik olyan kör, amely a háromszög ................................. oldalát érinti. Ez a kör a háromszög .................................................. 2 Szerkeszd meg a háromszögek beírt körét!

3 Figyeld meg a bal oldali ábrát! Egy szabályos háromszöget és két kört látsz. Ennek mintájára szerkeszd meg a két kört a jobb oldali szabályos háromszögbe is, anélkül, hogy bármit megmérnél az eredeti ábrán!

98


GEOMETRIA

2015.04.13. 20:22:03

4

V.

A HÁROMSZÖG ÉS A BEÍRT KÖRE

4 Mekkora szöget zár be egymással a háromszög 68°-os és 52°-os szögének szögfelezője? Készíts vázlatrajzot!

Vázlatrajz:

A szögfelezők szöge: .......................................

5 Mekkora szöget zár be egymással a háromszög két szögfelezője, ha tudjuk, hogy a harmadik szög 96°-os? Készíts vázlatrajzot!

Vázlatrajz:

A szögfelezők szöge: .......................................

6 Az ábrán látható derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 32°-os. Képzeld el, hogy a kör közepén állsz. Mekkora szögben látod a háromszög oldalait? Az átfogót: .................................................................................. A rövid befogót: .......................................................................... A hosszú befogót: ........................................................................

5

V.

MAGASSÁGVONALAK A HÁROMSZÖGBEN

1 Az ABC tompaszögű háromszög magasságpontja M. Hol van az ABM, BCM és CAM háromszögek magasságpontja? Készíts ábrát! C

Az ABM háromszög magasságpontja: ....................... A BCM háromszög magasságpontja: ......................... A CAM háromszög magasságpontja: .........................

GEOMETRIA


A

B

99

2015.04.13. 20:22:03

V.

5


2 Dönts ránézésre, és írd oda, hogy melyik lehet a háromszög beírt körének K középpontja, a köré írt körének O középpontja és az M magasságpontja!

3

Az ábrán látható ABCD négyszög egy négyzet. Válaszolj a kérdésekre, de előtte rajzolj is! C

D

a) Mekkora szöget zár be az ABD háromszög D csúcsból induló szögfelezője a BCD háromszög C csúcsából induló magasságvonallal? A keresett szög: ............. . b) Mekkora az AEB szög, ha az E pont az előző kérdésben szereplő két vonal metszéspontja? A keresett szög: ............. .

A

B

c) Hol található a CDE háromszög magasságpontja? Fogalmazd meg röviden! ..................................................................................................... .....................................................................................................

4

Add meg a kérdőjellel jelölt szög nagyságát!

80°

A keresett szög: .................... ? 72°

5

Add meg a kérdőjellel jelölt szög nagyságát!

A keresett szög: ....................

80° ?

44°

100


GEOMETRIA

2015.04.13. 20:22:04

5

V.


6 A következő kérdésekre megadott válaszok közül mindig pontosan egy igaz. Keresd meg a helyes válaszokat! a) Hol található a háromszög magasságpontja? 1) Mindig a háromszög belsejében található. 2) Lehet, hogy valamelyik oldal felezőpontjában van. x) Lehet kint és bent is, sőt van olyan eset, amikor a határvonalra esik. b) Hány magasságvonala van a háromszögeknek? 1) A derékszögű háromszögek kivételével három darab. 2) Minden háromszögnek három magasságvonala van. x) Lehet három, kettő vagy egy darab. c) Melyik a hamis állítás? Mindegyik állítás háromszögre vonatkozik. 1) A magasságpont az oldalegyenesektől egyenlő távolságra van. 2) A beírt kör középpontja az oldalegyenesektől egyenlő távolságra van. x) A köré írt kör középpontja a csúcsoktól egyenlő távolságra van. d) Maximum hány fős lehet az a csoport, ahol előfordulhat, hogy az előző három kérdésre mindenki másféle választ adott? Két tanuló válaszát különbözőnek tekintjük, ha már legalább egy kérdésben eltér a válaszuk, és azt is feltételezzük, hogy mindenki mindhárom kérdésre válaszolt. 1) Maximum 6 fős. 2) Maximum 9 fős. x) Maximum 27 fős.

6 1

V.

SÚLYVONALAK ÉS KÖZÉPVONALAK A HÁROMSZÖGBEN Hogyan kapjuk meg a háromszög súlyvonalát?

.................................................................................................................................................. 2

Hogyan kapjuk meg a háromszög középvonalát?

.................................................................................................................................................. 3 Ha az ábrán látható ABC háromszög kerülete 48 dm, akkor mennyi a PQR háromszög kerülete? (A P, Q és R pontok felezőpontok.)

A R

P

A PQR háromszög kerülete: ............................................................. Indoklás: ....................................................................................... ......................................................................................................

GEOMETRIA


B

Q

C

101

2015.04.13. 20:22:04

6

V.

SÚLYVONALAK ÉS KÖZÉPVONALAK

4 Rajzolj és számolj! Az ABC háromszögben AP, az ABP háromszögben PQ, az AQP háromszögben QR súlyvonalak. A PQR háromszög területe 248,25 cm². Mekkora az ABC háromszög területe? A Q

R

B

P

C

Az ABC háromszög területe: .................. . 5 Rajzolj és számolj! Az ABC háromszögben S a súlypont, F pedig az AB oldal felezőpontja. Az ABC háromszög területe 73,44 cm². Mekkora az AFS háromszög területe? A F S B

C

Az AFS háromszög területe: .................... 6 Egy háromszög oldalainak a hossza 16 cm, 19 cm és 21 cm. Milyen hosszú vonalat kell rajzolnunk összesen, ha szeretnénk megrajzolni a háromszöget és a három középvonalát? A vonal hossza: .......................................................................................................................... 7 Ha az ábrán látható ABC háromszög területe 104 dm², akkor menynyi a PQR háromszög területe? (A P, Q és R pontok felezőpontok.)

A R

P

A PQR háromszög területe: .............................................................. Indoklás: ....................................................................................... ......................................................................................................

B

Q

C

8 A karikákba az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 pozitív számjegyeket kell írnod. a) Töltsd ki úgy az ábrát, hogy mindegyik súlyvonal mentén ugyanannyi legyen a három számjegy összege!

102


GEOMETRIA

2015.04.13. 20:22:05

6

V.

SÚLYVONALAK ÉS KÖZÉPVONALAK A HÁROMSZÖGBEN

b) Hány különböző kitöltést tudsz elképzelni, ha a tükrözéssel és forgatással egymásba vihető háromszögeket nem tekintjük különbözőnek? Lehet, hogy több ábra van, mint amennyire szükséged van.

c) Melyik esetben lesz az oldalakra írt három-három szám összegének összege a legnagyobb? Karikázd be! Ekkor az oldalakra írt számok összegének összege: ..................................................................................................................................................

7 1 a) b) c) d) e)

V.

SOKSZÖGEK SZÖGEI ÉS ÁTLÓI

Válaszolj a következő kérdésekre tizennégyszög, tizennyolcszög és harminchatszög esetén! Hány átló húzható egy csúcsból? Hány háromszögre vágják az egy csúcsból húzható átlói? Hány darab átlója van összesen? Mennyi a belső szögeinek összege? Mennyi a külső szögeinek összege? tizennégyszög

tizennyolcszög

harminchatszög

a) b) c) d) e)

GEOMETRIA


103

2015.04.13. 20:22:06

V.

7


2 Töltsd ki a táblázatot! Az α, β, γ, δ egy konvex négyszög belső, az α', β', γ', δ' pedig a megfelelő külső szögeket jelenti. α

β

52°

43°

40°

58°

γ

δ

α'

γ'

δ'

110° 91° 100°

48°30' 3 a) c) e)

β'

112°

125° 93°40’

120°

Hány oldala van a konvex sokszögnek, ha egy csúcsból 37 átló húzható; b) az egy csúcsból húzott átlók 22 darab háromszöget hoznak létre; összesen 119 átló van; d) a belső szögek összege 4860o; o a belső szögek összege 3150 ?

a) .................................

b) .................................

d) .................................

e) .................................

c) .................................

4 Egy sokszög belső szögeinek összege egy négyjegyű szám. A benne szereplő számjegyek: 0, 2, 3, 4. Hány oldala van a sokszögnek? Melyik lehet az utolsó számjegy? ............ . Ezek szerint a szóba jöhető négyjegyű számok: .............................................................................. Ezek közül a megfelelőek: ............................................................................................................ Vagyis a megfelelő sokszögek oldalainak a száma: .......................................................................... 5 Az ABCDE konvex ötszöget két átlójával háromszögekre bontottuk. A BE átlója 12 cm, a BD átlója 9 cm hosszú. A BE átlótól az A csúcs 3 cm-re, a D csúcs 4,5 cm-re, a BD átlótól a C csúcs pedig 2 cm távolságra található. Készíts vázlatrajzot! a) Mekkora az ötszög területe? b) Milyen messze van a BD átlótól az E csúcs?

a) Az ötszög területe: ............................................. . b) A BD átló és az E csúcs távolsága: ........................ .

104


GEOMETRIA

2015.04.13. 20:22:06

7


V.

6 Add meg az ábrán látható konkáv sokszögek belső szögeinek összegét háromszögekre darabolással! a) b)

A belső szögek összege:

A belső szögek összege:

........................................

........................................

7 Egy nyolcszögben négy pontot helyeztünk el az ábrán látható módon. (Semelyik három pont nem esik egy egyenesre). A tizenkét pont közül bármelyik kettő összeköthető egy szakasszal, de egy már berajzolt szakaszt nem keresztezhet új vonal. A behúzott szakaszokkal oszd háromszögekre a nyolcszöget! Az első ábrát megrajzoltuk. Készíts többféle ábrát! Te hány darab háromszögre vágtad ilyen módon a nyolcszöget? Írd az ábrák alá! Minden esetben ugyanannyi lett a háromszögek száma? ................................................................. Keress magyarázatot az észrevételedre!

.......... db háromszög

8 1


A KÖR KERÜLETE



V.

Add meg a kör kerületét, ha

a) r = 13 cm;

k = ..........................................................................................................

b) d = 14,2 dm!

k = ..........................................................................................................

2

Add meg a kör sugarát, ha

a) k = 26,4 ⋅ π cm;

r = ..........................................................................................................

b) k = 124,2 ⋅ π mm!

r = ..........................................................................................................

GEOMETRIA


105

2015.04.13. 20:22:07

V.

8

A KÖR KERÜLETE

3 Az 1 cm-szer 8 cm-es téglalapokra egybevágó félköröket rajzoltunk. Melyik síkidom kerülete nagyobb és mennyivel?

Az első síkidom kerülete: ............................................................................................................. A második síkidom kerülete: ....................................................................................................... Vagyis: ...................................................................................................................................... 4 A képen látható céltábla szélessége és magassága is 40 cm. a) Mekkora az átmérője a nagyobbik sárga körlapnak? b) Mekkora a sugara a nagyobbik fekete körgyűrű külső szélének? c) Milyen hosszú a két fehér körgyűrű határvonala? d) Hányszorosa a két piros körgyűrű határvonalának a két fekete körgyűrű határvonala? a) ...................................................................................................... b) ...................................................................................................... c) ...................................................................................................... d) ...................................................................................................... 92 142 25 és a közelítéseket, Mezopotámiában pedig a -ot használ29 45 8 ták. Szemléltesd a számegyenesen a szövegben szereplő számok körülbelüli helyét!

5

A π értékére az ősi Kínában a

3

p

Melyiket tartod a három közelítés közül a legjobbnak? Válasz: ....................................................................................................................................... 6 Ebben a rejtvényben egyetlen gyufaszál áthelyezésével igaz egyenlőséget kell kapnod. Az egyenlőség csak közelítő érték lesz.

106


GEOMETRIA

2015.04.13. 20:22:08

9 1

V.

A KÖR TERÜLETE

Add meg a kör területét, ha a sugara

a) 12 cm;

t = ...........................................................................................................

b) 21 cm;

t = ...........................................................................................................

c) 0,9 cm

t = ...........................................................................................................

d) 3,5 cm!

t = ...........................................................................................................

2

Számítsd ki az ábrákon színessel jelölt területeket! A négyzetek oldalhossza 4 cm.

a)

b)

c)

d)

a) Terület: ........................... b) Terület: ........................... c) Terület: ........................... d) Terület: ........................... 3 Mekkora a sugara annak a körnek, amelynek a kerülete méterben megegyezik a négyzetméterben kifejezett területével? Válasz: ................................. 4 Elkészítettünk egy 2,5 méteres átmérőjű virágágyást a tulipánoknak. Hány darab tulipánhagymát vásároljunk, ha egy m²-re 64 darabot szeretnénk ültetni? Darabszám: .......................... 5 Egy 18 méter átmérőjű, kör alakú medence körül 2 méter széles járdát szeretnénk burkolattal ellátni. Hány m2 területű a járda? A járda területe: .................... 6 Az egyik lakótelepen a házak között egy 400 méter hosszú, kör alakú sétányt készítettek. Mekkora területű a sétány belső része? A kérdéses terület: ................

GEOMETRIA


107

2015.04.13. 20:22:10

V.

9

A KÖR TERÜLETE

7 Az ábrán egy tepsi alja látható. A tepsi közepe egy 16 cm oldalhosszúságú négyzetből áll, amelyhez két oldalt egy-egy félkör illeszkedik. Mekkora a tepsi alapterülete? A négyzet területe: ...................................................................................................................... A félkörök területe: ..................................................................................................................... Az alapterület összesen: ............................................................................................................... 8 A 10 cm sugarú kör területét négyzetrács segítségével 10-en is meghatározták. A kapott eredmények cm²-ben a következők lettek: 313, 312, 314, 313, 314, 316, 314, 317, 314, 316. a) Készíts a kapott eredményekről gyakorisági táblázatot! b) Készíts a gyakorisági táblázat alapján oszlopdiagramot! c) Mennyinek vette a π-t ez a csoport, ha átlagot számoltak? d) Mennyinek vette a π-t ez a csoport, ha a leggyakoribb eredményt fogadták el legjobb közelítésnek? a)

b)

c) Ebben az esetben a π közelítése: ........................... d) Ebben az esetben a π közelítése: ...........................

108


GEOMETRIA

2015.04.13. 20:22:11

10

V.

A HASÁB FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA

1 Olyan szabályos sokszög alapú hasábok élvázát szeretnénk elkészíteni, amelyek magassága és alapéle is 1,5 cm hosszú. Hány centiméter lesz az élek összege, ha az alaplap háromszög, négyszög, ötszög és hatszög? Az élek száma

Az élek hosszának összege

Háromszög alapú Négyszög alapú Ötszög alapú Hatszög alapú 2 a) b) c) d)

A kérdések hétszög alapú hasábra vonatkoznak. Hány lapja van? Milyen alakú lapok határolják? Hány oldallapja van? Milyen esetben lesznek egybevágók az oldallapok?

a) .............................................................................................................................................. b) .............................................................................................................................................. c) .............................................................................................................................................. d) .............................................................................................................................................. 3 Mekkora a hasáb felszíne és térfogata, ha a) Kalaplap = 14 cm, Talaplap = 12 cm², m = 16 cm; b) Kalaplap = 55 cm, Talaplap = 198 cm², m = 21 cm? a) A = ..................... V = ..................... b) A = ..................... V = ..................... 4 Hány hektoliter víz fér abba a 0,8 km hosszú árokba, amelynek keresztmetszetét az ábra mutatja? A trapéz területe: .................................................................

120 cm

50 cm

Az árok térfogata: ................................................................ Válasz: ................................................................................

60 cm

5 Mekkora a 42 cm magas, ötszög alapú hasáb palástjának felszíne, ha alapéleinek hossza 5,2 cm, 4,4 cm, 4,8 cm, 6,1 cm és 6,7 cm? A palást felszíne: ........................................................................................................................ .

GEOMETRIA


109

2015.04.13. 20:22:12

V.

10

A HASÁB FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA

6 A munkások egy trapéz keresztmetszetű, 140 méter hosszú árok kiásását kezdték el. Az árok felül 1,8 méter, alul 0,8 méter széles kell legyen, mélysége pedig 1,4 méter. Hány m3 földet kell megmozgatni az árok kialakításához? A megmozgatott föld térfogata: ................................

7

Egy hasáb oldaléleit megdupláztuk, az alapterületét pedig feleztük. Hogyan változik a térfogata?

A térfogatváltozás: .................................................. 8 Egy hasáb oldaléleit megháromszoroztuk. Mit tegyünk az alaplap területével, ha azt szeretnék, hogy a térfogata feleződjön? Válasz: ...................................................................

V.

11

A HENGER FELSZÍNE ÉS TÉRFOGATA

1 Számítsd ki a henger felszínét és térfogatát, ha a) r = 13,5 cm, m = 43 cm; b) r = 16 cm, m = 54,2 cm! a) A = ....................................................................................................................................... V = ....................................................................................................................................... b) A = ....................................................................................................................................... V = ....................................................................................................................................... 2 Egy négyhengeres motor adatai: a hengerek átmérője 79,96 mm, magasságuk 64,52 mm. Mit mondhatunk, hány köbcentiméteres ez a négyhengeres motor? Egy henger térfogata: .................................................................................................................. Vagyis a négyhengeres motor ................ cm³-es.

110


GEOMETRIA

2015.04.13. 20:22:13

11


V.

3 A képen látható címke pontosan befedi egy henger alakú konzervdoboz palástját. a) Mekkora a doboz alapkörének területe? b) Mekkora a doboz térfogata? a) Az alapkör területe: .......................................................... b) A doboz térfogata: ............................................................ 4 Mekkora plakát ragasztható egy 3,2 méter magas, 1 méter átmérőjű hirdetőoszlopra? A plakát területe: ................................................................................. 5 Egy henger alapkörének sugarát felezzük, magasságát duplázzuk. Hogyan változik a felszíne és a térfogata? Először tippelj, aztán számolj! Tipp a felszín változására: ........................................ Tipp a térfogat változására: ...................................... Felszín a változtatás előtt és után: A1 = ......................... ;

A2 = ......................... .

Vagyis: ................................................................. . Térfogat a változtatás előtt és után: V1 = ......................... ;

V2 = ......................... .

Vagyis: ................................................................. . 6 Egy henger alapkörének sugarát duplázzuk, magasságát felezzük. Hogyan változik a felszíne és a térfogata? Felszín a változtatás előtt és után: A1 = .........................

A2 = .........................

Vagyis: .................................................................. Térfogat a változtatás előtt és után: V1 = .........................

V2 = .........................

Vagyis: ..................................................................

GEOMETRIA

Matematika 7 MF_5 fej.indd 111

111

2015.05.28. 10:15:42

V.

11


7 A képen látható játék úthenger hengerének átmérője 4,2 cm, szélessége 8 cm. A járművel egy 24 cm széles, 5 méter hosszú út felületét kellene egy rétegben mindenütt hengerelni. Legkevesebb mekkora utat kell megtennie az úthengernek? Számolj a füzetedben! Az út hossza: .................................................................. 8 Mekkora átmérőjű fedő kell egy 8 cm magas, 3,2 literes, henger alakú edényre? A fedő átmérője: ....................................

9 Egy 6,8 cm-szer 6,8 cm-es alapú, négyzetes oszlop alakú dobozból átöntjük a benne lévő 6 dl almalevet egy 8 cm-es belső átmérőjű, henger alakú kancsóba. Milyen magasan a) lesz a kancsóban az almalé; b) volt a dobozban az almalé? a) Az almalé magassága a kancsóban: ........................................................................................... b) Az almalé magassága a dobozban: ............................................................................................

V.

12

ÖSSZEFOGLALÁS

Vigyázz! Előfordulhat, hogy több válasz is helyes! 1 Egy háromszög egyik oldalának hossza 11,3 cm, egy másiké pedig 13,7 cm. Melyik lehet a harmadik oldal hossza a megadottak közül? (A) 250 mm; (B) 3 cm; (C) 1 dm; (D) 25 cm; (E) 0,3 m. 2 Hány oldalú lehet az a sokszög, amelyben a belső szögek összege nagyobb a külső szögek összegénél? (A) 3; (B) 4; (C) 5; (D) 6; (E) 8. 3 Melyik három lehet egy háromszög három külső szöge? (A) 71°; (B) 85°; (C) 204°; (D) 125°;

(E) 164°.

4 Ha egy háromszögben az egyik belső szög 32°, az egyik külső szög pedig 64°, akkor a háromszög (A) derékszögű; (B) egyenlő szárú; (C) tompaszögű; (D) hegyesszögű; (E) szabályos.

112


GEOMETRIA

2015.04.13. 20:22:15

12

V.

ÖSSZEFOGLALÁS

5 Egy háromszögbe berajzoltuk az öt nevezetes vonal mindegyikét. Hány egyenest rajzolhattunk? (A) 3; (B) 6; (C) 12; (D) 14; (E) 15. 6 Melyik állítás igaz a háromszög egyik csúcsából induló súlyvonalra, szögfelezőre és magasságra? (A) Az egyik biztosan felezi a háromszög területét. (B) Egyik sem merőleges a szemközti oldalegyenesre. (C) Közülük mindig a szögfelező a legrövidebb. (D) Lehet, hogy mindhárom egybeesik. (E) Lehet, hogy közülük pontosan kettő egybeesik. 7 Egy háromszög három középvonala egy 42 cm² területű háromszöget alkot. Ekkor az eredeti háromszög területe (A) 21 cm²; (B) 42 cm²; (C) 84 cm²; (D) 126 cm²; (E) 168 cm². 8 Hány oldalú nem lehet az a sokszög, amelybe már egy csúcsból kiindulva berajzoltunk 5 átlót? (A) 5; (B) 6; (C) 7; (D) 8; (E) 9. 9 Hány oldalú az a sokszög, amelyben a belső szögek összege 18 000°? (A) 98; (B) 99; (C) 100; (D) 101; (E) 102. 10 Egy konvex sokszögben az oldalak és az átlók száma egyenlő. Mennyi a sokszög belső szögeinek összege? (A) 360°; (B) 540°; (C) 720°; (D) 900°; (E) 1080°. 11 Hány átlója van a szabályos tízszögnek? (A) 40; (B) 40-nél kevesebb; (C) 36;

(D) 35;

(E) 30.

12 Egy kör területe 0,64π. Mennyi a kerülete? (A) 0,8π; (B) 1,6π; (C) 0,4π;

(D) 0,64π;

(E) 0,32π.

13 Az egyik kör sugarának hossza r, a másik kör sugarának hossza R. Tudjuk, hogy területösszegük 50π. Mennyi lehet az r + R? (A) Ilyen körök nincsenek; (B) 10; (C) 8; (D) 6; (E) 4. 14 Az ábrán egy 2 m magas oszlop keresztmetszete látható. Az alaplap élei 3 cm, illetve 6 cm hosszúságúak. Mennyi az oszlop felszíne? (A) 9600 cm²; (B) 9708 cm²; (C) 9816 cm²; (D) 21 600 cm²; (E) 28 800 cm³. 15 Az ábrán egy 2 m magas oszlop keresztmetszete látható. Az alaplap élei 3 cm, illetve 6 cm hosszúságúak. Mennyi az oszlop térfogata? (A) 216 cm²; (B) 9000 cm³; (C) 9816 cm³; (D) 21 600 cm³; (E) 28 800 cm³. 16 Egy fazék aljáról lekopott az űrtartalmát literben megadó egész szám. Az átmérője és a magassága is 20 cm. Melyik szám lehetett az alján? (A) 6; (B) 6,2; (C) 6,3; (D) 7; (E) 8.

GEOMETRIA


113

2015.04.13. 20:22:17

VI.

1

KÉT HALMAZ KÖZÖTTI HOZZÁRENDELÉSEK

1 Igaz vagy hamis? Válaszodat indokold! a) A hozzárendelés egyértelmű, ha az alaphalmaz egy eleméhez rendeljük hozzá a képhalmaz összes elemét. b) Ha az alaphalmaz minden eleméhez hozzárendeljük a képhalmaz egy elemét, akkor a hozzárendelés egyértelmű. c) A hozzárendelés nem egyértelmű, ha több alaphalmazbeli elemhez is ugyanaz a képhalmazbeli elem tartozik. d) Ha az alaphalmaz egy eleméhez a képhalmazból csak egy elem rendelhető, akkor a hozzárendelés egyértelmű. e) A hozzárendelés nem egyértelmű, ha az alaphalmaz egy eleméhez több képhalmazbeli elem is hozzárendelhető. 2 Melyik egyértelmű és melyik nem egyértelmű hozzárendelés az alábbi megfeleltetések közül? Jelöld nyíllal a két halmaz közötti hozzárendelést! Ha nem vagy biztos egy-egy válaszban, nézz utána az interneten! Főváros

Olimpia Peking

1908 2008

London Athén

2004 2000 2012

Sydney

1896

Anglia

Bécs

Németország

Párizs

Finnország

Berlin

Franciaország

Helsinki

Ausztria

Reykjavík

Izland

London

Nemzetközi gépkocsijelek

Földrészek

Belgium

E

Botswana

Ausztria

C

Szlovénia

Magyarország Spanyolország Kuba

114


B Q A H

Afganisztán

Európa Ázsia

Olaszország Banglades

Afrika

FÜGGVÉNYEK, STATISZTIKA

2015.04.13. 20:22:17

1 3

KÉT HALMAZ KÖZÖTTI HOZZÁRENDELÉSEK

VI.

Add meg az alaphalmazt, a képhalmazt és a hozzárendelés szabályát!

a)

Alaphalmaz: ........................................... Képhalmaz: ............................................ Hozzárendelési szabály: ........................... 0

b)

A(2; 5)

1

2

3

B(–4; 3) C(–1; –6)

5

D(3; –4)

..............................................................

E(0; 2)

A'(–2; 5) B'(4; 3) C'(1; –6) D'(–3; –4) E'(0; 2)

Alaphalmaz: ........................................... Képhalmaz: ............................................ Hozzárendelési szabály: ........................... ..............................................................

4 Add meg az alaphalmazt, a képhalmazt és a hozzárendelés szabályát! a) Alaphalmaz: ........................................... –4 0 3 7,5 10 Képhalmaz: ............................................ –13 –1 8 21,5 29 Hozzárendelési szabály: ........................... .............................................................. b)

2

6

10

18

25

1; 2 1; 2; 3; 6 1; 2; 5; 10 1; 2; 3; 6; 9; 18 1; 5; 25


c)

2

9

15

24

133

2

4

0

4

3


5 Létesíts egyértelmű hozzárendelést az alábbi halmazok elemei között, majd szemléltesd Venndiagramon! a) A = {emu; kígyó; termesz; zebra}; B = {6; 2; 4; 0}; b) A = {Szondi két apródja; Nemzeti dal; A Reményhez; Szeptember végén; Arany Lacinak}; B = {Arany János; Csokonai Vitéz Mihály; Petőfi Sándor}; c) A = {bit; byte; kilobit; kilobyte; megabit; megabyte}; B = {8388608 bit; 1024 bit; 8 bit; 8192 bit; 1 bit; 1048576 bit}.



115

2015.04.13. 20:22:18

2

VI.

FÜGGVÉNYEK ÉS GRAFIKONJAIK

1 a) b) c)

Válaszd ki a függvényeket az alábbi hozzárendelések közül! Minden számhoz hozzárendeljük az abszolút értékénél 5-tel nagyobb számot. Minden 0-tól különböző számhoz hozzárendeljük az előjelét. Minden egész számhoz hozzárendeljük a tízes számszomszédját.

2 a) b) c) d)

Válaszd ki a helyes állításokat! A hozzárendeléseket más néven függvényeknek nevezzük. A függvény minden képhalmazbeli elemhez hozzárendel egy alaphalmazbeli elemet. A függvényt a derékszögű koordináta-rendszerben a grafikonjával szemléltethetjük. A függvényt Venn-diagrammal és táblázattal is megadhatjuk.

3 A Venn-diagram alapján döntsd el, függvény-e a megadott hozzárendelés! a) b) 8

1

-1

2 -2

-1

9

1

16

27

3 -4

4

-8 3

1

1

2

-1 -3 4

-2

Ábrázold a függvényt koordináta-rendszerben a füzetedben! 4

Ábrázold az alábbi függvényeket!

a) Minden számhoz hozzárendelem az abszolút értékét.

b) Minden számhoz hozzárendelem a kétszeresénél 4-gyel kisebb számot.

y

y

1

1

0

1

x

0

1

x

5 Minden tanult számhoz rendeljük hozzá a kettővel nagyobb szám háromszorosát! Húzd alá, melyik képlet írja le helyesen a függvény hozzárendelési szabályát! a) f :  x + 2 ⋅ 3; b) g :  (x + 2) ⋅ 3; c) h :  x ⋅ 3 + 2; d) l :  3 ⋅ (x + 2). Készítsd el a táblázatot a füzetedben a b) és c) hozzárendelésekhez, és ábrázold a függvényeket koordináta-rendszerben!

116



2015.04.13. 20:22:19

2 6

FÜGGVÉNYEK ÉS GRAFIKONJAIK

VI.

Készíts táblázatot a grafikon alapján, majd fogalmazd meg a hozzárendelés szabályát! y

a)

Első jelzőszám: Második jelzőszám:

1 0 1

x

y

b)

A hozzárendelés szabálya:


1 0 1

x


c)

y

G

F


E

D C1

A 0 1

7


B x

Készíts táblázatot az alábbi nyíldiagramok alapján, és fogalmazd meg a hozzárendelés szabályát!

a) -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6 x

-5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6 y

Első jelzőszám: Második jelzőszám: A hozzárendelés szabálya:

b)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6 x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6 y

Első jelzőszám: Második jelzőszám: A hozzárendelés szabálya:



117

2015.04.13. 20:22:20

3

VI.

OLVASSUNK A GRAFIKONRÓL!

1 Egy színház parkolójába folyamatosan érkeznek az autók. Egy szombat estén 18 és 19 óra között az alábbi grafikon szerint változott a parkolóban lévő autók darabszáma. a) Függvény-e az eltelt idő és az autók darabszáma közti kapcsolat? b) Töltsd ki az alábbi táblázatot a grafikon alapján! eltelt idő (perc) az autók darabszáma c) d) e) f)

10

20

30

40

50

60

Hány autó állt a parkolóban 18.00 órakor? Leolvasható-e a grafikonról, mikor kezdődött az előadás? Hány darab autó érkezett 18.00 és 18.30 között? Hány órakor volt 80 autó a parkolóban?

db 160 140 120 100 80 60 40 20 0

0

20

40 idő (perc)

2 Dávidék vitorlásversenyen voltak a Balatonon. A grafikon a hajó sebességének változását mutatja az idő függvényében. sebesség (km/h) 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

a) Mennyi volt a hajó kezdő sebessége? b) Mikor mentek a leggyorsabban? c) Mikor mentek a leglassabban? km -val? h e) Mekkora volt a sebességük az indulás után 2,5 órával? f) A szél egyenetlenül fújt. Lehet-e a grafikonból következtetni arra, mikor fújt erősebben és mikor kevésbé? g) A verseny 10 órakor kezdődött. Miidő (óra) kor ért célba Dávidék hajója? d) Mikor mentek 16

0

1

2

3

3 Sári a hatodik óra után gyalog indult haza. Útközben bement a pékségbe és vett egy kenyeret vacsorára. a) Hány perc alatt ért haza Sári? b) Milyen messze van Sáriéktól az iskola? c) Hány percet töltött Sári a pékségben? d) Melyik időintervallumban haladt a leggyorsabban?

118


4 út (m) 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

0

2

4

6

8

10

12

14 idő (min)


2015.04.13. 20:22:21

3

VI.

OLVASSUNK A GRAFIKONRÓL!

Sári testvére, Palkó 10 perccel később indult haza az iskolából és 15

km sebességgel biciklizett Sári után. h

e) Ábrázold Palkó sebességét a fenti grafikonon! f) Hány perc alatt érte utol Palkó Sárit? g) Milyen messze voltak az iskolától, amikor találkoztak? 4 Találj ki egy történetet az alábbi grafikonhoz, majd tegyél fel kérdéseket róla a társaidnak!

út (km) 60 40 20 0

3

5

7

9 idő (h)

Tivadar szörfözni indult a Balatonra. A grafikon a szél sebességét mutatja az idő függvényében.

5 a szél sebessége (km/h)

01

a) Mennyi időt tudott Tivadar a vízben tölteni, ha felszerelésével és tudásával a 50 km 40 -s szélsebesség-tartományban 15–25 h 30 tud szörfözni? 20 b) Hány órakor fújt a legerősebben a szél? 10 km c) Hány -s szél volt 13.00 órakor? 0 h 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 idő (h) 60

km -val a szél? h e) Töltsd ki a táblázatot a grafikon alapján!

d) Körülbelül hány órakor fújt 38

idő

8.00

8.30

9.00

9.30

10.00

km  a szél sebessége    h  f) A táblázat adatainak felhasználásával becsüld meg, átlagosan hány

km -s szél fújt 8 és 10 óra között! h

6 Botond nyári diákmunkát vállalt, egy zöldségesnek segített. Napi 800 Ft-ot keresett. Három héten keresztül minden hétköznap dolgozott. A harmadik hét szombatján az addig megkeresett pénzből befizetett a balatoni sakktáborba, és evett egy fagyit is, így nap végére egy fillérje sem maradt. Ábrázold Botond pénzügyi helyzetének változásait a füzetedben!



119

2015.04.13. 20:22:21

4

VI.

ÁBRÁZOLJUNK KÉPLET ALAPJÁN!

1 Válaszd ki a helyes állításokat! a) Két mennyiség egyenesen arányos, ha az egyik mennyiséget a felére csökkentem, a másik mennyiség a kétszeresére nő. b) Ha egy függvény egyenes arányosság, akkor a grafikonja egyenes. c) Minden függvény grafikonja áthalad az origón. d) Az f : x  x és a g : x  x + 8 függvények grafikonja párhuzamos. 2 Készíts táblázatot az alábbi hozzárendelésekhez, majd ábrázold közös koordináta-rendszerben a függvények grafikonjait! Válaszd ki az egyenes arányosságot leíró grafikont! 1 a) a : x  x y 2 x 1 x 2 b) b : x 

1 x+3 2

1 0

x

1

x

1 x+3 2 c) c : x 

1 x–4 2

x 1 x–4 2 d) d : x  –1 +

1 x 2

x –1 +

1 x 2

120



2015.04.13. 20:22:22

4

VI.


3 Ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi függvények grafikonjait! Mi a közös az alábbi grafikonokban? a) x  2x – 3; b) x  2x + 2; c) x  –(2 – 2x); d) x  –1 + 2x.

y

1 0

1

x

4

Ábrázold a füzetedben közös koordináta-rendszerben az alábbi függvények grafikonjait! 1 1 2 2 a) a : x  x; b) b : x  x; c) c : x  x; d) d : x  x. 3 4 5 3 Állítsd sorrendbe a grafikonokat meredekségük szerint! Kezdd a legmeredekebbel! Add meg annak a háromszögnek a csúcsait, amelynek oldalegyenesei a képlettel megadott függvények! 1 3 3 a : x  x – 1; b : x  – x + 3; c : x  x + 3. 2 2 2 Számítsd ki a háromszög területét! Dolgozz a füzetedben!

5

6 Ábrázold az f : x  4 – 2x függvény grafikonját! 7 Nagyi messze lakik; 195 km-t kell megtennünk az autópályán, ha hozzá utazunk ‒ meséli Iván. km -val, egyenletes tempóban haladunk a) 130 h az autónkkal ‒ fűzi még hozzá. Ábrázold a füzetedben grafikusan a hátralévő utat a megtett idő függvényében!

y

1 0

1

x

b) Persze a dedós öcsém miatt már fél óra autózás után meg kellett állnunk 20 percre – közli vigyorogva. Hogyan módosul ebben az esetben a függvény grafikonja? Rajzold be a módosított grafikont más színnel!



121

2015.04.13. 20:22:23

4

VI.


8 Egy mobiltelefont 4 óra alatt lehet teljesen feltölteni. Ha megszakítás nélkül beszélünk rajta, akkor 8 óra alatt lemerül. Ha folyamatosan internetezünk rajta, az gyorsabban lemeríti az akkumulátort, így már 5 óra alatt lemerül. A telefon jelenleg 100%-on áll. a) Két órát telefonáltam, majd gyorsan újra feltöltöttem a mobilom. Ábrázold a füzetedben grafikonon a telefon feltöltöttségét az idő függvényében! b) Két órát beszéltem rajta, majd nekiálltam internetezni. Mennyi idő alatt merült le a telefonom? Oldd meg a feladatot a füzetedben grafikusan is! c) Három órát interneteztem és fél órát beszéltem rajta, majd bedugtam a töltőbe. Hány perc alatt tudom így teljesen feltölteni a telefonomat? Oldd meg a feladatot a füzetedben grafikusan is!

5

VI.

KERESSÜNK SZABÁLYOKAT!

4 Ábrázold az a : x  3x + 8, b : x  x – 2, 5 1 c : x  –7x + függvényeket koordináta-rendszer3 ben! Hol metszi az y tengelyt az a) a : x  3x + 8 függvény? III. A(3; 0) pontban; II. B(0; 8) pontban; III. C(3; 8) pontban. 1

b) b : x 

4 x – 2 függvény? 5

1

4 4 III. A 0; pontban; II. B ; –2 pontban; 5 5 III. C(0; –2) pontban.

( )

c) c : x  –7x +

y

( )

0

1

x

1 függvény? 3

1 1 ; 0 pontban; II. B 0; pontban; 3 3 1 pontban. III. C –7; 3

( ) ( )

III. A

2

( )

Add meg, melyik függvény grafikonjára melyik pont illeszkedik!

a : x  4x – 7;

b : x  –5x + 3;

c : x  5 – 5x;

d : x  1 – 4x;

A(–2; 15);

B(–2; –15);

C(–2; 9);

D(–2; 13).

122



2015.04.13. 20:22:24

5 3

VI.


Keresd meg és javítsd ki a hibát!

Hozzárendelési szabály

Helyettesítési érték



f (x) = 6x – 7

f (0) = –7

f (5) = 37

f (–3) = –11

2 x 3

f (0) = 1

f (3) = –1

f (–9) = –7

h(0) = 1

h(6) = 36

h(–9) = –81

g(x) = 1 –

h(x) = x2 4

Add meg képlettel a grafikonok hozzárendelési szabályát! y

g

f

........................ i

1 0

1

y

Hozzárendelési szabályok:

h

x

k

l

j 1

........................

0

1

........................



Hozzárendelési szabályok: ........................

........................

5 Egy paralelogramma két csúcsa A(–1; –1) és B(2; –1). A C csúcs az f : x  x és a g : x  –2x + 3 függvények grafikonjának metszéspontja. a) Ábrázold a pontokat! b) Ábrázold a függvényeket! c) Határozd meg a C csúcs koordinátáit! d) Határozd meg a paralelogramma negyedik csúcsát!

m n

........................

x

........................ ........................

y

1 0

1

x

123

2015.04.13. 20:22:25

5

VI. 6


Készíts táblázatot a grafikon alapján, és add meg képlettel a hozzárendelési szabályt! y 1 0 1

a)

y

b) x

1 0 1

x y

x

x y Hozzárendelési szabály:

c)

Hozzárendelési szabály:

y 1 0 1

y

d)

1 0 1

x

x y

x

x y Hozzárendelési szabály:

7 Ábrázold az alábbi pontokat! A(3; –4); B(0; 1); C(–3; 2)!

Hozzárendelési szabály:

y

Írd fel a háromszög oldalegyeneseit meghatározó függvények hozzárendelési szabályát! 1 0

124


1

x


2015.04.13. 20:22:26

6

VI.

ÁTLAG, MÓDUSZ, MEDIÁN

1 Az állatkertben több állat is lakik: 42 prérikutya, 131 flamingó, 3 zsiráf, 4 oroszlán, 13 kecske. Mi a felsorolt állatok módusza? 2 Olvasd le a grafikonról az adatokat, határozd meg az átlagukat, móduszukat, mediánjukat! Melyik értéket a legkönnyebb meghatározni? 10 8 6 4 2 0

1

2

3 Jegyek

4

5

3 A Békés családban 6 gyerek volt. Magasságaik 92 cm, 96 cm, 101 cm, 172 cm, 172 cm és 177 cm. Hány cm az átlaguk? Jó-e, ha anya 6 átlagos méretű nadrágot vásárol? .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 4

Számítsd ki az alábbi mennyiségek átlagát kg-ban: 32,5 kg;

31,04 kg;

28,3 kg;

33 600 g;

29 kg;

3180dkg!

Az átlag: ................................. kg. Melyik mennyiséget (mennyiségeket) hagyhatjuk el, hogy az átlag ne változzon: .............................................................................................................................. csökkenjen: ................................................................................................................................ növekedjen: ............................................................................................................................... 5

Meg lehet-e adni öt darab 10-nél kisebb, különböző egész számot, amelyek átlaga 7,6?

Igen, a számok: ........................................................................................................................... vagy Nem, mert .................................................................................................................................


Matematika 7 MF_6 fej_125old-jav.indd 125

125

2015.04.27. 8:52:57

7

VI.

GYAKORISÁG, RELATÍV GYAKORISÁG

1 Testnevelésórán felmérés volt: 30 másodperc alatt kellett minél többet ugrókötelezni. A következő eredmények születek: 8; 14; 14; 16; 20; 20; 22; 25; 25; 30; 30; 32; 33; 33; 33; 33; 42; 56; 56; 68. Rendezd az adatokat 5 csoportba, a táblázatnak megfelelően! 8–20

21–33 34–46 47–59 60–72

gyakoriság relatív gyakoriság a) Készíts oszlopdiagramot a táblázat adatai alapján! b) Határozd meg az egyes tartományok gyakoriságát! c) Határozd meg az egyes tartományok relatív gyakoriságát! d) Számítsd ki az adatok átlagát! .................................................................................................. e) Melyik érték az adatok módusza? ............................................................................................. f) Mennyi az adatok mediánja? ................................................................................................... 2 Készíts el egy „hamis” dobókockát, aminek a hálóját megadtuk! Másold át a pöttyöket is! Az 1-es melletti üres lapot hajtsd belülre, és erre ragaszd a 4-es lapot! Mire tippelsz, melyik szám fog legtöbbször kijönni? Dobjátok fel százszor, és számoljátok meg, melyik szám hányszor jött ki! dobott szám

1

2

3

4

5

6

darab 3

Jelöld meg, melyik igaz (I), melyik hamis (H)!

a) Egy esemény relatív gyakorisága –0,4. b) A biztos esemény relatív gyakorisága 1. c) Egy esemény relatív gyakorisága lehet 0,23. d) Egy esemény gyakorisága lehet 3,25. e) Ha egy esemény gyakorisága 0, akkor az egy lehetetlen esemény. f) Ha egy esemény relatív gyakorisága 1, akkor az egy biztos esemény. g) Ha egy esemény lehetetlen, akkor a gyakorisága 0.

126



2015.04.13. 20:22:28

8

VI.

VALÓSZÍNÛSÉG

CSOPORTMUNKA

Alkossatok 4 fős csoportokat! Számozzátok meg mindannyian egy gyufásdoboz lapjait úgy, ahogy az ábrán látjátok! Mindegyikőtök dobja fel 30-szor a gyufásdobozát, majd töltsétek ki együtt a táblázatot! 1

2

3

4

5

5

1

6

Gyakoriságok az én dobássorozatomban

3

2

4

6

2. Gyakoriságok a többieknél

a) Mi lett a módusz? b) Milyen becsléseket kaptatok az egyes esetek valószínűségeire vonatkozóan? c) Hasonlítsátok össze a csoportok eredményeit!

3. 4.

Gyakoriságok összesen Relatív gyakoriságok

1 A logikai készlet képen látható 5 darabjából véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott darab a) piros: ................

b) kék: ................

c) sárga: ................

d) zöld: ................

e) lyukas: ................

f) négyzet alakú vagy lyukas: .............

g) kör alakú vagy zöld: ................

h) kör alakú vagy piros: ...................

i) négyzetalakú és piros: ................ ? 2

Mi a valószínűsége annak, hogy egy számjegyet véletlenszerűen választva, az

a) osztható 5-tel: ................ 3

b) négyzetszám: ................

c) prímszám: ................ ?

Tippeld meg az alábbi események valószínűségeit! Két érmét feldobva az eredmény

a) 2 fej: ................

b) 2 írás: ................

c) 2 különböző: ................

Végezd el a kísérletet 100-szor! Az egyes események gyakoriságai és relatív gyakoriságai: d) 2 fej: ................

e) 2 írás: ................

f) 2 különböző: ................

Akarod-e módosítani a tippedet? .................................................................................................



127

2015.04.27. 8:58:41

9

VI. 1

ÖSSZEFOGLALÁS

Fogalmazd meg, milyen típusú függvényeket nevezünk lineáris függvénynek! y

2 Ábrázold a megadott függvényeket! Készíts értéktáblázatot az ábrázoláshoz! a) Minden számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. x y b) Minden számhoz hozzárendeljük a kétszeresénél 4-gyel kisebb számot.

1 0

x y c) f : x 

x

1

2 x + 1. 3

x y Válaszd ki, melyik függvény grafikonjára illeszkedik az A(–2; 1) pont! 7 5 a) a : x  7x + 15; b) b : x  –4x – 7; c) c : x  x + 6; d) d : x   x – 1,5. 2 4

3

4

Határozd meg az alábbi függvények hozzárendelési szabályát!

a

y

b: ........................................................................................................ c: ........................................................................................................ d: ........................................................................................................

e

d

a: ........................................................................................................ 1 0 1

x b c

e: ........................................................................................................ 5 Julcsi hét képet töltött fel az internetes oldalára, melyeket rendre 24, 63, 58, 127, 82, 63, 96 ismerőse lájkolt. Az egyik tetszett a barátnőjének, Bertának is. a) Készíts a füzetedben oszlopdiagramot az adatok alapján! b) Mennyi a valószínűsége, hogy a századik like a negyedik képre érkezett? ...................................... c) Átlagosan hány like-ot kapott egy képre? .................................................................................. d) Határozd meg az adatok móduszát és mediánját! .......................................................................

128



2015.05.04. 10:37:38

Jó ha tudod az átváltásokat!

Mértékegység táblázat Hosszúság

mm

101 < 10

cm

101 < 10

cm2

102 < 100

cm3

103 < 1000

dm

101 < 10

dm2

102 < 100

dm3

103 < 1000

m

103 < 1000

km

m2

106 < 1 000 000

km2

m3

109 < 1 000 000 000

km3

Terület

mm2

102 < 100

Térfogat

mm3

103 < 1000

Űrmérték

ml

101 < 10

cl

101 < 10

dkg

102 < 100

dl

101 < 10

kg

102 < 100

l

102 < 100

hl

q*

101 < 10

t

Tömeg

g

101 < 10

*A mázsa (q) nem hivatalos mértékegység, de Magyarországon gyakran használjuk.

Idő

másodperc

60 <

perc

60 <

óra

24 <

nap

365 <

év

Matematika munkafüzet

Recommend Documents