Matematika. Matematika MÁSODIK KÖTET MÁSODIK KÖTET. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Matematika Matematika MÁSODIK KÖTET

MÁSODIK KÖTET

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

A tankönyv megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet: 3. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9–12. évfolyama számára 3.2.04 Matematika 6. sz. melléklet: Kerettanterv a szakközépiskolák 9–12. évfolyama számára 6.2.03 Matematika megnevezésű kerettantervek előírásainak. Tananyagfejlesztő: Barcza István, Basa István, Tamásné Kollár Magdolna, Bálint Zsuzsanna, Kelemenné Kiss Ilona, Gyertyán Attila, Hankó Lászlóné Alkotószerkesztő: Tamásné Kollár Magdolna Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Tudományos szakmai lektor: Pálfalvi Józsefné, Rózsahegyiné dr. Vásárhelyi Éva Pedagógiai lektor: Bánky Judit Olvasószerkesztő: Darcsiné Molnár Edina, Mikes Vivien Fedél: Orosz Adél, Korda Ágnes Látvány- és tipográfiai terv: Gados László, Orosz Adél Illusztráció: Létai Márton Szakábra: Szalóki Dezső Fotók: PIXABAY; FLICKR; WIKIPEDIA; 123RF; Kováts Borbála, Létai Márton, Orosz Adél A tankönyv szerkesztői köszönetet mondanak a korábban készült tankönyvek szerzőinek. Az ő általuk megteremtett módszertani kultúra ösztönzést és példát adott e tankönyv/munkafüzet készítőinek is. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. Köszönjük azoknak a tanároknak és diákoknak a munkáját, akik hasznos észrevételeikkel és javaslataikkal hozzájárultak e tankönyv/munkafüzet végső változatának kialakításához. ISBN 978-963-682-980-3 © Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Felelős kiadó: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI-503010902/1 Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála, Orosz Adél Nyomdai előkészítés: Gados László Terjedelem: 25,75 (A/5 ív), tömeg: 505 gramm A könyvben felhasználásra került a Matematika 9. Közel a mindennapokhoz című mű, Konsept-H Könyvkiadó, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 2013, Szerzők: dr. Korányi Erzsébet, dr. Marosvári Péter és Dömel András. Alkotószerkesztő: Környei László. Felelős szerkesztő: Bognár Edit. Lektor: Somfai Zsuzsa. 1. kiadás, 2016 Az újgenerációs tankönyv az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás operatív Program 3.1.2-B/13-2013-0001 számú, A nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és nemzeti Köznevelési Portál fejlesztése című projektje keretében készült. A projekt az Európai unió támogatásával, az Európai szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Kónya István, Király Ildikó Engedélyszám: TKV/2865-17/2016 (2016.03.25–2021.08.31)

Nyomtatta és kötötte: Felelős vezető: A nyomdai megrendelés törzsszáma:

Európai Szociális Alap

A TANKÖNYV TÉMAKÖREI 4 . A d a t o k é s f ü g g v é n ye k – HOGYAN KEZELJÜNK Ü SOK-SOK ADATOT? Mennyi szám!? Van értelme?... Tanuld meg, hogyan igazodj ki egy adatsokaságban! – ÁBRÁZOLJUNK FOLYAMATOKAT! Szigorú és monoton? Olvass az ábrákról! Értelmezd a grafikonokat! – ALAPFÜGGYVÉNYEK MEGISMERÉSE Mitől függ? …és hogyan? – SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA FÜGGVÉNNYEL Szövegből grafikon…ábrázoljuk! Na látod, hogy látod!

5 . E g ye n l e t e k é s e g ye n l e t r e n d s z e r e k – NEVEZETES AZONOSSÁGOK Á Nevezetességek az algebrában. Hát, ezt be kell vágni… – OLDJUNK MEG EGYENLETEKET, EGYENLŐTLENSÉGEKET, EGYENLETRENDSZEREKET! Csak mérlegelni kell tudni… – SZÖVEGES FELADATOK Hány éves a kapitány? …utoléri-e Tom Jerryt?...mennyi idő alatt telik meg a medence?...

6. Egybevágóság és síkidomok – SZIMMETRIÁK, Á TÜKRÖZÉSEK, Ü Ö É ELTOLÁSOK Á Tükör. Billiárdasztal. Fényterjedés. … Tudod, hogy mi ezekben a közös? … a témakör végén már tudni fogod! – HÁROMSZÖGEK NEVEZETES PONTJAI ÉS VONALAI Vonalakból pontok, pontokból körök, körökből… Nem árt ügyelni a háromszögek vonalaira sem. – DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG A KÖRBEN (THÁLÉSZ TÉTELE) …már a görögök is tudták…

A TA N K Ö N Y V T É M A K Ö R E I

3

40

TÁBLÁZATOK

BEVEZETŐ A matematika egyik fontos feladata, hogy nagy mennyiségű összegyűjtött adatból általános következtetéseket vonjon le, ezek segítségével tájékozódjon a jelenben, illetve megpróbálja jövőbeni események lefolyását megjósolni. Az adatok összegyűjtésével, rendszerezésével és elemzésével foglalkozik a statisztika.

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Egy rendőrségi traffipax (sebességmérő radar) az autópályán tíz perc alatt a következő sebességeket mérte (az adatok km -ban értendők): h 130, 130, 128, 128, 120, 115, 130, 127, 127, 125, 130, 130, 132, 140, 132, 127, 125, 128, 130, 127, 130, 125, 128, 132, 130, 130, 127, 128, 162, 130, 135, 132, 130, 120, 125, 127, 130, 128, 132, 128, 127, 125, 130, 130, 128, 130, 125, 130, 132, 128, 128, 130, 140, 135, 130, 130, 120, 130, 130, 127. Mennyire jellemző az elhaladó autósokra a 130 km sebességhatár megszegése? h

Megoldás Az adatok így ömlesztve szinte áttekinthetetlenek. Foglaljuk őket olyan táblázatba, amely megmutatja, hogy bizonyos sebességgel hány autós közlekedett! A táblázat alapján könnyen megállapíthatjuk, hogy 11 autó lépte túl a sebességhatárt. Sebesség (km/h)

115

120

125

127

128

130

132

135

140

162

Összesen:

Autók száma (gyakoriság)

1

3

6

8

10

21

6

3

2

1

60

Más szavakkal: a mérések között a 130 km -t meghaladó sebességek gyakorisága 11 volt. h Önmagában ez a szám nem sokat árul el arról, hogy az autósok általában betartják-e a szabályt, mert nem mindegy, hogy pl. 60 megmért sebesség között volt 11 szabálytalan, vagy mondjuk 22 megmért sebesség között találtak 11-et. Szemléletesebbé tehetjük a szabálysértések számát úgy, ha megadjuk, hogy a vizsgált esetek mekkora részében voltak szabálytalanok az autóvezetők. 11 A 11 a 60-nak a része, azaz kb. 18%-a. Ez az arány a 130 km -t átlépők számának relatív gyakorisága a 60 mért sebesség h 60 között. 1 A sebességhatárt jelentősen, azaz 10%-ot meghaladó mértékben túllépők gyakorisága 1, relatív gyakorisága pedig ≈ 0,017 60 (≈ 1,7%) volt.

4

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

ELMÉLET Ha egy kísérletet, megfigyelést n-szer végeztünk el, és k-szor kaptunk meg egy eredményt, akkor azt mondjuk, hogy k ennek az eredménynek a gyakorisága k, a relatív gyakorisága pedig . n Itt az n pozitív, a k nemnegatív egész szám és k ≤ n. A relatív gyakoriság jobban jellemzi az eseményt, mint a gyakoriság, mert azt mutatja meg, hogy az esetek hányadrészében kaptuk meg a vizsgált eredményt. Az olyan táblázatot, amely az egyes adatok előfordulásának arányát mutatja, relatív gyakorisági táblázatnak nevezzük. A relatív gyakoriságot a könnyebb érthetőség kedvéért sokszor százalékban adják meg.

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

2.

Egy cipőbolt eladói egy délután statisztikát készítettek a náluk vásárolt cipők méretéről. A táblázatban azt is feltüntették, hogy a vevők milyen arányban vásárolták az egyes méreteket. A táblázat alapján válaszoljunk a következő kérdésekre! a) Milyen méretű cipőből vettek a legtöbbet (melyik volt a leggyakoribb eladott méret)? b) Az összes eladott pár cipő hányadrésze volt 40-es (mekkora volt az eladott cipők között a 40-es méretűek relatív gyakorisága)? c) Az eladások között mekkora volt a 42-es vagy annál kisebb méretű lábbeli eladásának gyakorisága?

Megoldás a) A táblázat alapján 43-asból. 6 b) 60 párból 6, azaz az eladott cipők része volt 40-es. 60 6 1 Megjegyzés: Mivel = = 0,1, válaszunkat így is 60 10 megfogalmazhatjuk: az eladott cipők 0,1 része (10%-a) volt 40-es.

Relatív gyakoriság

Cipőméret

Vásárlók száma (gyakoriság)

38

2

2/60

39

3

3/60

5

40

6

6/60

10

41

8

8/60

13

42

11

11/60

18

43

13

13/60

22

44

9

9/60

15

45

8

8/60

13

Összesen:

60

60/60

100

Arány

% 3

c) 2 + 3 + 6 + 8 + 11 = 30. A relatív gyakoriság kiszámítását táblázatkezelő pprogramra is bízhatjuk.

F E L A DAT

1.

Egy osztály tanulói egy 20 pontos röpdolgozatra a következő pontszámokat kapták: 15, 16, 10, 15, 13, 12, 17, 15, 16, 20, 19, 15, 16, 13, 10, 6, 10, 19, 16, 13, 14, 17, 12, 17, 15, 14, 16, 19, 10, 12. Rendezd az adatokat gyakorisági táblázatba!

4 0 . l e c ke

T Á B L Á Z AT O K

5

2.

Megkérdeztek 25, harminc év alatti fiatalt, hogy 2008-ban hány alkalommal voltak színházban. A válaszok a következők voltak: 5, 3, 0, 4, 7, 5, 6, 2, 0, 4, 10, 4, 6, 8, 4 ,2, 0, 1, 5, 3, 6, 9, 3, 5, 0. a) Rendezd a válaszokat gyakorisági táblázatba, és add meg az egyes válaszok relatív gyakoriságát is! A füzetedben dolgozz! b) Az adatok feldolgozásakor megvizsgálták, mennyi a megkérdezettek között azoknak a relatív gyakorisága, akik legfeljebb egyszer, legfeljebb kétszer, …, legfeljebb 10szer voltak színházban. Töltsd ki a táblázatot te is! A füzetedben dolgozz!

Gyakorisága

Relatív gyakorisága

Legfeljebb 0-szor Legfeljebb 1-szer Legfeljebb 2-szer Legfeljebb 3-szor Legfeljebb 4-szer Legfeljebb 5-ször Legfeljebb 6-szor Legfeljebb 7-szer Legfeljebb 8-szor Legfeljebb 9-szer Legfeljebb 10-szer

H Á Z I F E L A DAT a) Hány jármű haladt el az egyes fajtákból? b) Az elhaladó járművek hányadrésze volt teherautó, és mekkora volt az autóbuszok relatív gyakorisága? c) Készítsd el az adatok gyakorisági és relatív gyakorisági táblázatát!

December

November

Október

Szeptember

Augusztus

Július

Június

Május

Április

Március

Hónap

Február

Egy autókereskedő hónapról hónapra feljegyezte az eladott autók számát:

Január

1.

Eladott 14 16 20 19 11 12 12 18 20 17 11 18 autók száma

3.

a) Összesen hány autót adott el a kereskedő az év során? b) Hány autót adott el az első negyedévben? c) Egészítsd ki a táblázatot egy harmadik sorral, amely azt mutatja, hogy az adott hónap végéig összesen hány autót adott el a kereskedő az év során összesen! Melyik hónapban lépte át az addig eladott autók száma a 100-at? d) Melyik hónap folyamán érte el az éves eladás 50%-át?

2.

6

Egy főút mentén 15 percen keresztül forgalomszámlálást végeztek. Az eredmények nyers formában itt láthatók: Személyautó: Teherautó: Autóbusz: Motorbicikli: Egyéb jármű:

4.

500 készüléket ellenőriznek úgy, hogy véletlenszerűen kiválasztanak közülük harmincat, és megszámolják, hogy hány hibás van közöttük. Ezt a vizsgálatot tízszer végzik el. A táblázat a vizsgálatsorozat eredményét mutatja. Töltsd ki a táblázatot a füzetedben! Hibás készülékek száma a mintában (db)

Gyakorisága

0

1

1

4

2

3

3

2

4 vagy több

0

Relatív gyakorisága

Teri mama szerencseszámai a 3, a 7 és a 13. A hatoslottón a 2000–2007 évek 426 húzási eredményét összesítve Bence azt látta, hogy ezeket a számokat rendre 59, 56, illetve 63 alkalommal húzták ki (a hatoslottón az első 45 pozitív egész szám közül húznak ki 6-ot). a) Számítsd ki Teri mama szerencseszámainak relatív gyakoriságát a 426 húzás alapján!

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

b) Ugyanezt a 426 húzást vizsgálva látható, hogy a leggyakrabban kihúzott szám a 35 (69 alkalommal húzták ki), a legritkábban kihúzott pedig a 19 volt (42-szer húzták ki). Mekkora a 35 és a 19 relatív gyakorisága a vizsgált húzások során? c) Mennyi lenne az egyes lottószámok gyakorisága, illetve relatív gyakorisága a 426 húzás során, ha mindegyiket ugyanannyiszor (vagy legalábbis majdnem ugyanannyiszor) húzták volna ki? Ennek alapján valóban szerencseszámoknak nevezhetőek-e Teri mama kedvenc számai?

5.

A következő táblázat azt mutatja, hogyan sikerült a legutóbbi matematika felmérő dolgozat egy gimnázium három kilencedikes osztályában: A dolgozatjegyek Osztály

5

4

3

2

1

5

4

gyakorisága 9. A

7

6

4

1

1

9. B

3

4

10

2

0

9. C

3

2

1

0,333

0,083

relatív gyakorisága

12

0,083

0,5

Mi kerül a táblázat üres helyeire? (A füzetedben dolgozz!)

RÁADÁS A legjobb autó Egy autósújság az új autók értékeléséhez egy pontrendszert használ, és az Év autója címet annak az autónak adja, amelyik a legtöbb pontot éri el. Öt új autót értékelnek, amelyek pontszámait a mellékelt táblázatban láthatjuk. Autó

Biztonsági felszereltség (B)

Üzemanyagfelhasználás (Ü)

Külső megjelenés (K)

Belső felszereltség (F)

Ca

3

1

2

3

M2

2

2

2

2

Sp

3

1

3

2

N1

1

3

3

3

KK

3

2

3

2

A pontszámok jelentése a következő: 3 pont = kitűnő; 2 pont = jó; 1 pont = közepes.

a) Egy autó összpontszámának kiszámításához az újság az alábbi szabályt használja, ami tulajdonképpen az egyes pontszámok súlyozott összesítése: összpontszám = (3 ∙ B) + Ü + K + F. Számítsd ki a „Ca” autó összpontszámát, és írd a választ a füzetedbe! b) A „Ca” autó gyártója úgy gondolja, hogy az összpontszám kiszámításának szabálya nem igazságos. Írj egy olyan számítási szabályt, amely alapján a „Ca” autó lenne a győztes! Az általad megadott szabályban szerepelnie kell mind a négy változónak. Úgy add meg a szabályt, hogy az alábbi egyenlet négy pontozott vonalára pozitív számokat írsz! A füzetedben dolgozz! Összpontszám = ................. ∙ B + ................. ∙ Ü + ................. ∙ K + ................. ∙ F. 4 0 . l e c ke

T Á B L Á Z AT O K

7

41

DIAGRAMOK

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Egy érmét 20-szor feldobva a következő sorozatot kaptuk: F, F, F, I, I, F, I, I, I, I, I, I, F, I, I, F, I, F, F, I. (Az F azt jelenti, hogy „fejet” dobtunk, az I pedig azt, hogy „írást”.) a) Mennyi a fejek és az írások relatív gyakorisága? b) Ábrázoljuk a relatív gyakoriságokat oszlopdiagramon és kördiagramon! c) Minden egyes dobás után adjuk meg a fejek gyakoriságát az addigi dobások közül, és számítsuk ki a fejek relatív gyakoriságát is! Az eredményeket foglaljuk táblázatba, majd ábrázoljuk vonaldiagramon a relatív gyakoriság változását!

c)

0,7 0,6 0,5 fej 40%

0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

fej

írás

írás 60%

fejek relatív gyakorisága

relatív gyakoriság

Megoldás a) A 20 dobásból álló sorozatban a fejek gyakorisága 8, az írásoké pedig 12. A fejek relatív gyakorisága 8 12 = 0,4, az írásoké pedig = 0,6. 20 20 b) A kördiagram elkészítéséhez a 360°-ot 0,4 : 0,6 arányban fel kell osztani. 0,4 : 0,6 = 4 : 6, ezért a 360°-ot 4 + 6 = 10 egyenlő részre kell felosztani (1 rész = 36°), majd ezt az értéket 4-gyel, illetve 6-tal szorozni (144°, 216°).

Dobások száma

Fejek gyakorisága

Fejek relatív gyakorisága

1

1

1

2

2

1

3

3

1

4

3

0,75

5

3

0,60

6

4

0,67

7

4

0,57

8

4

0,50

9

4

0,44

10

4

0,40

11

4

0,36

12

4

0,33

13

5

0,38

14

5

0,36

15

5

0,33

16

6

0,38

17

6

0,35

18

7

0,39

19

8

0,42

20

8

0,40

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

2

4

6

8

10

12

14

16 18 20 dobások száma

A ábrázolás megoldható a Graph program segítAz sségével is.

8

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

F E L A DAT

1. 2.

3.

4.

Ábrázold vonaldiagramon az írások relatív gyakoriságának változását az előző példában! Egy iskola menzáján 270-en ebédelnek. Ezen a héten 150-en választották az A menüt és 120-an a B menüt. Számold ki a kétféle menü választásának relatív gyakoriságát százalékban, és ábrázold a kapott értékeket oszlopdiagramon és kördiagramon is! Egy iskola menzáján 270-en ebédelnek. Ezen a héten 90-en választották az A menüt, 135-en a B menüt és 45-en a C menüt. Számold ki a háromféle menü választásának relatív gyakoriságát százalékban, és ábrázold a kapott értékeket oszlopdiagramon és kördiagramon is! Foglaljuk táblázatba az oszlopdiagramon megjelenített adatokat! Egészítsük ki a táblázatot az érettségizők számának az előző évhez viszonyított változását szemléltető mezőkkel!

érettségizettek száma

120 000 100 000 80 000

84 539

88 158

90 249

92 098

92 770

1995

1996

1997

1998

1999

98 000

68 604

60 000 40 000 20 000 1994

5.

év

Egy iskolában öt 17 fős diákcsoport ugyanazt a témazáró dolgozatot írta matematikából. A diagramok az egyes csoportok eredményét mutatják. a) Készíts táblázatot az egyes csoportok érdemjegyeinek eloszlásáról (gyakoriságáról)! b) Egészítsd ki a táblázatot az egyes csoportok átlagosztályzatával! c) Készíts gyakorisági táblázatot a 85 tanuló osztályzatairól, és számítsd ki a témazáró dolgozatból elért átlagos osztályzatot! 1. csoport

12 10 8 6 4 2 0

5

4

3

2. csoport

12 10 8 6 4 2 2

0

1

3. csoport

5

4

41 . l e c ke

4

3

2

1 5. csoport

12 10 8 6 4 2 5

3

4. csoport

12 10 8 6 4 2 0

2000

2

D I AG R A M O K

1

0

12 10 8 6 4 2 5

4

3

2

1

0

5

4

3

2

1

9

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy osztály tanulói körében a testvérek száma a táblázat szerinti gyakorisággal fordul elő. a) Add meg a testvérek számának relatív gyakoriságát százalékban! (A füzetedben dolgozz!) b) Készíts oszlopdiagramot a relatív gyakoriságokról!

2.

Testvérek száma

0

1

2

3

Gyakoriság

7

11

5

2

Relatív gyakoriság

Egy iskola menzáján 240-en ebédelnek, és háromféle menü közül választhatnak. A táblázat az egyes menüket „A” menü választók relatív gyakoriságát mutatja. „B” menü a) Számold ki, hányan választották az egyes menüket! „C” menü (A füzetedben dolgozz!) b) Ábrázold kördiagramon az egyes menüket választók gyakoriságát!

3.

A menüt választók száma

Relatív gyakorisága 0,55 0,3 0,15

A kördiagram egy 5500 lakosú település lakosságának megoszlását mutatja. a) Add meg a férfiak, a nők és a gyermekek százalékos eloszlását és létszámát! b) Készíts sávdiagramot (lásd a 16. lecke bevezető feladatát az első kötet 58. oldalon) a lakosság eloszlásáról!

4.

férfi

gyermek 144°

nő 118°

A következő táblázat azt mutatja, hogyan sikerült a legutóbbi matematika felmérő dolgozat egy gimnázium négy kilencedikes osztályában: Az osztály

jele

létszáma

A hiányzók száma

A

28

9

B

24

0

C

22

3

D

31

1

A dolgozatjegyek 5

7

4

3

2

1

5

4

gyakorisága 4

1

1

4

10

2

0

8

14

0,083

4

3

2

1

0,333

0,083

relatív gyakorisága

0,5

1

a) Mi kerül a táblázat üres helyeire? A füzetedben dolgozz! b) Ábrázold közös grafikonon más-más színnel a négy osztály jegyeinek relatív gyakoriságát! c) Készíts táblázatot arról, hányan kaptak az egyes osztályokban legalább egyest, legalább kettest, legalább hármast, legalább négyest, legalább ötöst! Számítsd ki a relatív gyakoriságokat is! Készíts grafikont!

RÁADÁS A diagramok fő célja, hogy segítségükkel könnyen értelmezhető, áttekinthető formába rendezzük az adatokat. Szemléletes, jó diagramot készíteni azonban sokszor nem is olyan egyszerű feladat.

1.

Az adatok ábrázolásának egyik legnagyobb problémája a kiugró (a többi adathoz képest túl nagy vagy túl kicsi) értékek kezelése. Legyenek például az adataink: 1, 2, 1, 1000, 1.

Ha ezeket az adatokat oszlopdiagramon ábrázoljuk, akkor az 1000-es adat oszlopához képest a többi olyan kicsi, hogy nemhogy a köztük lévő különbségeket, de még magukat az oszlopokat sem látjuk. 10

1200

1000

1000 800 600 400 200 0

1

2

1

1

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

Ha akkora diagramot rajzolnánk, amelyiken már jól látható a kis adatok közti eltérés, akkor meg az 1000-es oszlop „lógna ki” az ábrából. Ennek a problémának egy lehetséges – bár nem túl elegáns – megoldása, hogy „meg1000 törjük” a diagramot: Ezen a diagramon jól megférnek egymással az adatok, csakhogy a figyelmetlen szemlélőnek könnyen úgy tűnhet, hogy a negyedik oszlop csak kb. 4 egység magas. Ezért különösen fontos, hogy a grafikon (és a függőleges tengely) megtörése nyilvánvaló és feltűnő legyen.

2.

Problémát okoz a másik véglet is, amikor az adatok közötti különbségek túl kicsik. Az ilyen diagramokon minden oszlop egyformának tűnik, pont a lényeg – a különbségek – nem láthatók. Év

2004

2005

2006

2007

Munkanélküliek száma

996

998

1000

1009

Ezen a problémán sokan úgy próbálnak segíteni, hogy kivágják a diagram „tetejét”, azaz itt a függőleges tengely beosztása nem nulláról indul. Ez a megoldás viszont azért veszélyes, mert az eredmény könnyen megtévesztheti a felületes olvasót.

2 1 0

1000 800 600 400 200 0

2004 2005 2006 2007 „Városunkban a munkanélküliek száma nem változott jelentősen az elmúlt években.” 1010 1005 1000 995

2004 2005 2006 2007 „Városunkban a munkanélküliség az elmúlt években drasztikusan növekedett”

3.

Ügyelnünk kell arra is, hogy egy túlzsúfolt grafikonról semmit nem lehet érdemben leolvasni. Nem szabad tehát rengeteg adatot belezsúfolni egyetlen ábrába! 1000 800 600 400 200 0

Az ilyen diagramok értelmezhetetlenek. Ha túl sok adatunk van, meg kell próbálnunk csoportokba (ún. osztályokba) sorolni őket.

4.

Ma már a legegyszerűbb számítógépes adatkezelő programok is lehetőséget adnak látványos térbeli diagramok készítésére. A térbeli perspektíva azonban furcsa optikai csalódásokhoz vezethet! A két alábbi, henger alakú grafikon ugyanaz a kördiagram, de különböző szögekből nézve! Az értelmezés mégis teljesen különböző.

„Piaci részesedésünk alig töredéke a vezető cégek részesedésének”

41 . l e c ke

D I AG R A M O K

„Piaci részesedésünk körülbelül a többi cégével azonos arányú”

11

42

SZÁMSOKASÁGOK STATISZTIKAI JELLEMZŐI

BEVEZETŐ Egy munkahelyen 20-an dolgoznak és 5-féle fizetést kapnak. Az igazgató 300 ezer forintot, 5 főmunkatárs 250 ezret, 5 tisztviselő 200 ezret, 6 adminisztrátor 120 ezret, 3 takarító 80 ezret keres havonta. Mit olvashatunk ki ezekből az adatokból? Megoldás A fizetések jegyzéke 20 adatot tartalmaz. Ezek az adatok (ezer forintokban kifejezve) a következők: 300, 250, 250, 250, 250, 250, 200, 200, 200, 200, 200, 120, 120, 120, 120, 120, 120, 80, 80, 80.

Legtöbbször a 120 fordul elő, ez a számsokaság módusza. A felsorolásban középen, a 9. és a 10. helyen 200 áll, ezeknek az átlaga szintén 200, ami a számsokaság mediánja. A fizetéseket gyakorisági grafikonon (diagramon) is ábrázolhatjuk. A legmagasabb oszlop a 120-hoz tartozik, a legalacsonyabb a 300-hoz.

gyakoriság

Most fogyó sorrendben írtuk fel a számokat.

6 5 4 3 2 1 0

80

120

200 ezer Ft

250

300

A számsokaság terjedelme a legnagyobb és a legkisebb szám különbsége: 300 – 80 = 220. A terjedelem a grafikon vízszintes tengelyén olvasható le. Számítsuk ki a fizetések átlagát! Az átlagot úgy kapjuk meg, hogy a 20 szám összegét elosztjuk 20-szal. A 20 szám összege 3510, a 20 szám átlaga ezért: 3510 : 20 = 175,5. A 20 dolgozó fizetésének átlaga 175 500 forint. 11-en ennél többet keresnek, 9-en ennél kevesebbet. Az átlagtól kevéssel tér el az 5 tisztviselő fizetése, de az igazgató és a takarítók fizetése nagyon messze van az átlagtól. Azt is mondhatjuk, hogy nagy a fizetések szóródása.

ELMÉLET Egy véges számsokaság legfőbb statisztikai jellemzői: Leírása Átlag

a sokaság elemeinek az összegét elosztjuk az elemek számával

Módusz

a legtöbbször előforduló elem

Medián

a nagyság szerinti felsorolásban középen álló szám, vagy a középen álló két szám átlaga

Terjedelem

a legnagyobb és a legkisebb szám különbsége

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Egy számsokaságot gyakorisági táblázattal adunk meg.

12

Számok

1

2

5

6

12

15

20

21

22

Gyakoriság

8

20

1

7

3

10

2

10

4

a) Mik a számsokaság statisztikai jellemzői? b) Készítsünk gyakorisági diagramot!

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

b) A diagramot így készítjük: a vízszintes tengelyen a számokat jelöljük, a függőlegesen a gyakoriságokat. gyakoriságok

Megoldás a) A gyakoriságok összege 65, tehát ez a számsokaság 65 számból áll. Ha ezt a 65 számot növekvő sorrendbe írjuk, akkor a 33. szám lesz középen, ez a számsokaság mediánja. Melyik szám most a medián? Az 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, …, 2, 5, 6, 6, 6 számok vannak a medián előtt (32 szám). Mivel hétszer fordul elő a 6, ezért a középső szám is 6 lesz, vagyis ez a medián. A számsokaság módusza 2, mert a 2 fordul elő a legtöbbször, a számsokaság terjedelme: 22 – 1 = 21. Az átlag kiszámítása: a 65 szám összege: 8 · 1 + 20 · 2 + 1 · 5 + 7 · 6 + + 3 · 12 + 10 · 15 + 2 · 20 + 10 · 21 + 4 · 22 = 619. A 65 szám átlaga: 619 : 65 ≈ 9,52.

25 20 15 10 5 0

1

2

5

6

12 15 számok

20

21

22

A megoldáshoz használhatunk táblázatkezelő pprogramot is (diagram megjelenítése, átlag kiszámítása).

ELMÉLET Az átlag meghatározásához a számok súlyozott számtani középét számítottuk ki. A számokat megszoroztuk a gyakoriságukkal, ezeknek a szorzatoknak az összegét elosztottuk a gyakoriságok összegével.

F E L A DAT

1.

2.

Add meg a következő számsokaságok főbb statisztikai jellemzőit! a) 2, 2, 4, 9, 12, 3, 4, 2, 9, 3, 2, 9, 9, 5, 8, 9, 3, 5, 9, 4 b) 20, 20, 40, 90, 120, 30, 40, 20, 90, 30, 20, 90, 90, 50, 80, 90, 30, 50, 90, 40 c) 120, 320, 504, 900, 120, 320, 442, 600, 900, 120, 320, 440, 504, 900, 120

3.

Egy általános iskolában 8 osztály van. Az osztálylétszámokat a táblázat mutatja: Osztály

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Létszám

26

24

21

25

16

15

17

16

4.

Tizenegy tanuló olyan tesztdolgozatot írt, amelyben 100 pontot lehetett elérni. A tanulók elért pontszámai: 100; 100; 100; 63; 62; 60; 12; 12; 6; 2; 0. a) Add meg az elért pontszámok főbb statisztikai jellemzőit! b) A csoportban az a vélemény van többségben, hogy nehéz volt a teszt. Tudsz-e érvelni a többség véleménye mellett a statisztikai mutatókra támaszkodva? Röviden elemezd, hogyan változik az év során a levegő virágportartalma (mennyiség, tartam, időpont, együttes előfordulás stb.)! A levegő virágportartalma (5 év átlaga)

a) Mennyi az átlagos osztálylétszám A) az alsó tagozatban; B) a felső tagozatban; C) az iskolában? b) Mennyi a nyolc osztálylétszám mediánja és terjedelme? II.

4 2 . l e c ke

S Z Á M S O K A S Á G O K S TAT I S Z T I K A I J E L L E M Z Ő I

III.

IV.

V. VI. hónapok

VII.

fák füvek üröm parlagfű

VIII.

IX.

13

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy szabálytalan dobókockát egymás után 120szor feldobtunk, a dobott számokat pedig sorban feljegyeztük: Pontszám Gyakoriság

1

2

3

4

5

6

21

18

4

45

22

10

a) Mennyi a dobott pontok átlaga? b) Mennyi a 120 számból álló számsokaság módusza, mediánja, terjedelme? c) Egészítsd ki a táblázatot a pontszámok relatív gyakoriságával! d) Készítsd el a pontszámok relatív gyakorisági diagramját a táblázat alapján! e) Melyik pontszám lehet a kockán a hármassal szemben? Miért?

2.

3.

A kördiagram a 2007/2008-ban óvodai nevelésben, illetve iskolai oktatásban részesülők eloszlását szemlélteti. óvoda

felsőoktatás

65° 53° középiskola

86°

szakiskola

133° általános iskola

a) Készíts táblázatot az egyes nevelési-oktatási fajtákban részesülők eloszlásáról! Az arányokat százalékban add meg! b) Egészítsd ki a táblázatot az egyes nevelési-oktatási fajtákban részesülők számával, ha az összlétszám 2,2 millió fő!

2000 januárjában az egyik meteorológiai megfigyelőhelyen a táblázat szerinti napi középhőmérsékleteket mérték. Nap

Napi középhőmérséklet

Nap

Napi középhőmérséklet

Nap

Napi középhőmérséklet

1.

–7

12.

–1

22.

–4

2.

–5

13.

–5

23.

–4

3.

–2

14.

–3

24.

–5

4.

–2

15.

–1

25.

–7

5.

–1

16.

–2

26.

–4

6.

–4

17.

0

27.

1

7.

–3

18.

2

28.

0

8.

–2

19.

1

29.

1

9.

–2

20.

0

30.

5

10.

–1

21.

1

31.

7

11.

1

a) Melyik napon volt a leghidegebb, illetve a legmelegebb a napi középhőmérsékletek alapján ítélve? b) Add meg a napi középhőmérsékletek móduszát, terjedelmét és átlagát! c) Milyen módon mérnéd a „napi középhőmérsékletet”?

14

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

RÁADÁS Export Az alábbi diagramok Zedország exportjáról szolgálnak adatokkal. Zedországban zed a pénznem. Zedország teljes évi exportja millió zedben kifejezve, 1996–2000 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Zedország exportjának megoszlása 2000-ben 42,6

25,4

egyéb 21%

pamutszövet 26%

37,9 27,1

20,4

hús 14%

gyapjú 5% dohány 7% 1996

1997

1998

1999

2000

év

gyümölcslé 9%

tea 5% rizs 13%

a) Mennyi volt Zedország exportjának összértéke (millió zedben) 1998-ban? b) Milyen értékben exportált gyümölcslevet Zedország 2000-ben? A) 1,8 millió zed. B) 2,3 millió zed. C) 2,4 millió zed. D) 3,4 millió zed. E) 3,8 millió zed.

4 2 . l e c ke

S Z Á M S O K A S Á G O K S TAT I S Z T I K A I J E L L E M Z Ő I

15

43

OSZTÁLYBA SOROLÁS, ÁTLAGOK ÁTLAGA

BEVEZETŐ A táblázatban ezresekre kerekítve megadták egy város lakóinak életkor és nem szerinti megoszlását. A város legidősebb embere 93 éves. Életkor

0–9

10–19

20–29

30–39

40–49

50–59

60–69

70–93

Nők (ezer fő)

7

9

10

10

12

11

10

12

Férfiak (ezer fő)

8

10

11

10

10

8

7

7

a) Hány nő és hány férfi él ebben a városban? b) Készítsünk az adatok alapján oszlopdiagramot! c) Számítsuk ki a város lakosai életkorának átlagát! A táblázat életkoruk szerint nyolc osztályba sorolta a város lakosait. Az első osztály határai a 0 és a 9, a második osztály határai a 10 és a 19, végül a nyolcadik osztály határai a 70 és a város legidősebb lakosának életkora, azaz 93. (A hivatalos felmérésekben az ilyen típusú osztályba sorolás úgy történik, hogy – például – 9 éves az, akinek a felmérés évében van a tizedik születésnapja, 25 éves az, akinek a felmérés évében van a 26. születésnapja és így tovább.)

Megoldás a) A nők száma 7 + 9 + 10 + … + 12 = 81 ezer, a férfiaké 8 + 10 + 11 + … + 7 = 71 ezer. b) A diagram vízszintes tengelyén az osztályokat, függőleges tengelyén az adott osztályba tartozó lakosok számát tüntetjük fel. ezer fő 12

nők férfiak

10 8 6 4 2 0

0–9

10–19

20–29

30–39 40–49 életkor (év)

50–59

60–69

70–93

c) Az átlag kiszámításánál gyakran használt (közelítő) módszer az, hogy az egyes emberek valódi életkora helyett osztályközepekkel számolunk. Az osztályközép az adott osztály két határának a számtani közepe. Az átlag kiszámításához tehát ezt a gyakorisági táblázatot használjuk: Életkor Lakosok száma (ezer fő)

4,5 15

14,5

24,5

34,5

44,5

54,5

64,5

81,5

19

21

20

22

19

17

19

Az életkorok súlyozott számtani közepe: 4,5 ⋅ 15 + 14,5 ⋅ 19 + 24,5 ⋅ 21 + 34,5 ⋅ 20 + 44,5 ⋅ 22 + 54,5 ⋅ 19 + 64,5 ⋅17 + 81,5 ⋅ 19 6207 = ≈ 40,8 (év). 15 + 19 + 21 + 20 + 22 + 19 + 17 + 19 152 A város lakosai életkorának átlaga tehát körülbelül 41 év.

16

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

Megjegyzések 1. Feladatunkban egy város lakosságát osztályokba sorolták. Vegyük észre: minden lakos benne van az egyik osztályban, de egyik lakos sincs benne két különböző osztályban! 2. Az osztályba sorolt adatok átlagának kiszámítása természetesen nem feltétlenül adja ugyanazt, mintha minden egyes ember életkorát megkérdeztük volna, majd a 152 ezer szám összegét elosztottuk volna 152 ezerrel. A statisztika olykor megelégszik a kevésbé pontos értékekkel is, főleg ha – a pontos értékek meghatározása túlságosan időigényes (például azért, mert a 152 ezer számot be kell gépelni a számítógépbe), vagy – túl sokba kerül, és nem „térül meg” a pontossággal nyert többletinformáció.

F E L A DAT

1.

b) Készíts oszlopdiagramot a bélyegek értékéről! c) Mennyit ér a bélyeggyűjtemény a gyűjtő szerint, ha az általa létrehozott osztályok osztályközepével számol? (Az osztályközép most is az osztály két határának számtani közepe.) d) Kiszámította a bélyegek értékének átlagát. Van-e olyan bélyeg a gyűjteményében, amelynek pontosan ennyi az értéke?

Egy gyűjtő rendezte a bélyeggyűjteményét, és közben feljegyezte, milyen értékű bélyegei vannak. Az alábbi táblázatot készítette el.

Érték (Ft) Darab

500–1000

1000–1500

1500–2500

2500–5000

42

47

36

7

Az 1000 Ft értékű bélyegeket a második, az 1500 Ft értékűeket a harmadik, a 2500 Ft értékűeket a negyedik osztályba sorolta. a) Hány bélyegből áll a gyűjtemény?

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Bencének az egyik házi feladatában ki kellett számítania az 5, 7, 2, 3, 4 számok átlagát. Bence jó fejszámoló, ezért így „gyorsította meg” a megoldást: 5+7 Az 5 és a 7 átlaga 6 (mert = 6), a 2, 3, 4 számok átlaga 2 2+3+4 pedig 3 (mert = 3). Tehát az 5, 7, 2, 3, 4 számok 3 6+3 átlaga 4,5 (mert a 6 és a 3 átlaga = 4,5). 2 Az iskolában meglepődve tapasztalta, hogy másoknak nem ugyanez „jött ki”. Jó-e Bence „gyors módszere”? Megoldás Bence gyors munkája sajnos hibás volt.

4 3 . l e c ke

O S Z T Á LY B A S O RO L Á S , Á T L AG O K Á T L AG A

Ki kellett volna számolnia az ami

21 = 4,2. 5

5+7+2+3+4 tört értékét, 5

5+7 2+3+4 + : 2. 2 3 Ezt közös nevezőre hozás után így írhatjuk: 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 7 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 54 9 = = = 4,5, 12 2 12 5+7+2+3+4 és ez nem egyenlő az törttel. 5 Bence az öt szám átlaga helyett az öt számból képzett két csoport átlagának átlagát számította ki, így hibás eredményt kapott. Az „átlagok átlaga” tehát ebben az esetben nem egyenlő az eredeti átlaggal. Ehelyett Bence ezt számolta ki:

17

F E L A DAT

2.

Bence arra gondolt, biztosan csak azért kapott hibás eredményt, mert rosszul csoportosította a számokat. Ezért megvizsgált más csoportosításokat is. Mindegyik esetben kiszámította a csoportok átlagának átlagát, abban reménykedve, hogy valamelyik éppen 4,2 lesz. Talált-e ilyet? a) Egyik csoport: 5, 3; másik csoport: 7, 2, 4. b) Egyik csoport: 5, 2; másik csoport: 7, 3, 4. c) Egyik csoport: 5, 7, 3; másik csoport: 2, 4. d) Egyik csoport: 5, 7; másik csoport: 2, 4; harmadik csoport: 3. e) Vizsgálj meg más csoportosításokat is! Bence nem adta fel a próbálkozást, és keresett olyan példát, amelyben az ő gyors módszere helyes eredmény5+7+2+3+4+9 re vezetett. Talált is ilyet: az 5, 7, 2, 3, 4, 9 számok esetén például a hat szám átlaga = 5; 6 14 16 az 5, 7, 2 számok átlaga ; a 3, 4, 9 számok átlaga . 3 3 30 14 16 E két átlag átlaga pedig: + :2 = : 2 = 10 : 2 = 5. 3 3 3 Keress más csoportosításokat is az 5, 7, 2, 3, 4, 9 számokhoz, amelyek esetén működik Bence „gyors módszere”, és olyanokat is, amelyekben továbbra is rossz eredményre vezet! Mit tapasztalsz?

3.

Egy utánpótlás focicsapatban minden gyerek új edzőcipőt kap. A méretek: Méret Gyakoriság

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

5

7

4

9

2

10

8

3

7

12

8

5

11

13

5

a) Van-e értelme osztályokba sorolni a cipőket, és az osztályközepek szerint vásárolni? b) Mennyi a cipőméretek átlaga? c) Jó-e valamire, ha tudjuk a cipőméretek átlagát?

H Á Z I F E L A DAT

1.

A minőségellenőr gyártósorról lekerült, kész izzók élettartamát vizsgálta. Mérési eredményeit táblázatban rögzítette. A véletlenszerűen kiválasztott és megvizsgált izzók osztályba sorolásakor az első osztályba azok kerültek, amelyeknek az élettartama elérte a 950 órát, de az 1000 órát már nem. A második osztályba azok az izzók kerültek, amelyeknek az élettartama elérte az 1000 órát, de az 1050 órát már nem és így tovább. Élettartam

950– 1000

1000– 1050

1050– 1100

1100– 1150

1150– 1200

Gyakoriság

28

40

61

45

26

A megvizsgált izzók mindegyike legalább 950 órát világított, és nem volt olyan, amelynek az élettarta-

18

ma elérte volna az 1200 órát. a) Hány izzót vizsgált meg a minőségellenőr? b) Készíts gyakorisági diagramot a táblázathoz! c) Egészítsd ki a táblázatot a relatív gyakoriságokkal! A vizsgált izzók hány százaléka felelt meg a „legalább 1000 órás üzemidő” követelménynek? d) Számítsd ki az izzók élettartamának átlagát az osztályközepek segítségével!

2.

Egy kisvállalatnál hatan dolgoznak. A havi bruttó bérek ezer forintban kifejezve: 150, 150, 160, 165, 180, 200. a) Add meg a bruttó bérek terjedelmét, móduszát, mediánját és átlagát! A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

b) Csoportosítsd a béreket (legalább 2, legfeljebb 5  csoportba) úgy, hogy a csoportok átlagának átlaga egyenlő legyen a bérek átlagával! Legalább két különböző csoportosítást adj meg! c) Csoportosítsd a béreket (legalább 2, legfeljebb 5 csoportba) úgy, hogy a csoportok átlagának átlaga ne legyen egyenlő a bérek átlagával! Legalább két különböző csoportosítást adj meg!

3.

Figyeld meg a következő gondolatmenetet! „Alig van olyan matematikadolgozat, amely esetén az osztályátlag nem 3. A legtöbbször ugyanis van közöttük ötös, négyes, hármas, kettes és egyes is. Az ötös osztályzatok átlaga nyilván 5, a négyes osztályzatok átlaga nyilván 4, a hármasoké 3, a ketteseké 2, az egyeseké pedig 1. Ennek az öt számnak az átlaga adja az osztályátlagot, ami tehát 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 = 3 . 5 5 Helyesnek találod-e az átlagszámítás ilyen módját? Válaszod indokold!

4.

Egy osztály 25 tanulójának testmagassága cm-ben mérve a következő: 151, 156, 158, 158, 164, 164, 164, 164, 164, 166, 166, 168, 168, 168, 170, 170, 171, 171, 171, 171, 172, 173, 174, 176, 182.

a) Mennyi a 25 adat módusza és mediánja? b) Végezd el a 25 adat osztályba sorolását! Legalább 4, legfeljebb 6 osztályt alkoss! c) Számold ki az osztályközepek segítségével a testmagasságok átlagát, majd számítsd ki a 25 szám átlagát is! Hasonlítsd össze a két számot! A házi feladat elkészítéséhez, ellenőrzéséhez táblázatkezelő programot is használhatsz. tá

RÁADÁS Keress példát olyan tíz elemből álló adatsokaságra, amelyet ki lehet egészíteni egy újabb elemmel az alábbi módon: a) a módusz nem változik, de az átlag igen; c) a medián nem változik, de az átlag igen; b) az átlag nem változik, de a módusz igen; d) az átlag nem változik, de a medián igen?

4 3 . l e c ke

O S Z T Á LY B A S O RO L Á S , Á T L AG O K Á T L AG A

19

44

VÁLTOZÁSOK ÁBRÁZOLÁSA

BEVEZETŐ A minket körülvevő világ állandóan mozgásban van, folyamatosan változik. Változik az időjárás, a hőmérséklet a nap folyamán, de éves periódusokban is. Változik a boltok kínálata, az árak, változnak az ismerőseink és mi magunk is. Természetesen lehetetlen mindezt együttesen leírni, de bizonyos kiszemelt mennyiségek változását könnyen nyomon követhetjük. Sokszor megkönnyíti a dolgunkat, ha grafikonon ábrázoljuk a folyamatot.

F E L A DAT A tachográf (menetíró) olyan készülék, amely mozgó járművek – elsősorban buszok, teherautók – sebességadatait jegyzi későbbi ellenőrzés céljából.

páig. Ott olyan hirtelen állt meg, hogy elestem. A következő megállónál le is szálltam.” Az autóbusz-társaság bekérte a vezetőtől a busz tachográfját, amely a kérdéses időtartamról a következő grafikont rögzítette: sebesség (km/h)

1.

80 70 60 50 40 30

Egy helyközi autóbuszjárat egyik utasa zúzódásos sérüléssel jelentkezett a városi kórházban. Állítása szerint a busz hirtelen fékezett, ő pedig elesett. A közlekedési vállalatnál jegyzőkönyvet vettek fel a panaszról, ebben az utas a következőképpen mesélte el a történteket: „A kövespusztai megálló után egy darabig még úgy 70-nel mehettünk az országúton, aztán a város szélén a busz 50-re lassított. 2-3 perc után a piros lámpánál a vezető fékezett, aztán megállt. A lámpa elég hamar zöldre váltott, mehettünk tovább az alsóvárosi megállóig, ami kb. negyedórányi út a kövespusztaitól számítva. Itt nem volt senki, így a vezető lassítás nélkül, 50nel ment tovább, egészen a következő jelzőlám-

20

20 10 0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 idő (perc)

a) Azonosítsd a grafikonon az út szakaszait a panaszos utas beszámolója alapján! b) A beszámoló melyik részei igazak, és hol állított valótlant az utas? c) Mi történt valójában azon a szakaszon, amellyel kapcsolatban nem mondott igazat az utas? d) Tudjuk, hogy a busz a kövespusztai megállótól indulva általában 7-8 perc alatt éri el a városhatárt. Ezt figyelembe véve megszegte-e valahol a busz vezetője a sebességhatárokat? (Az autó-

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

buszok számára megengedett maximális sebeskm km ség városban 50 , városon kívül 70 .) h h

2.

A grafikon a 95-ös benzin árváltozásait mutatja egy benzinkútnál a 2008-as év során.

dec.

nov.

okt.

szept.

aug.

júl.

jún.

ápr.

máj.

márc.

febr.

jan.

forint/liter

Benzinár alakulása 2008-ban 320 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220

a) Röviden írd le, mi történt a benzinárakkal az év folyamán! Térj ki arra, hogy melyik időszakban milyen irányú és mértékű a változás, mennyit változott a benzin ára az egyes időszakokban, illetve összesen!

b) Foglald táblázatba a benzinárakat! A növekedést pozitív, a csökkenést negatív számokkal jelöld! A grafikon és a táblázat alapján válaszolj a következő kérdésekre! A) Mennyit csökkent a benzin ára a) január és december között; b) július és december között? B) Mennyi volt január és július között a) a legnagyobb; b) a legkisebb; c) az átlagos havi növekedés? C) Mennyi volt július és december között a) a legnagyobb; b) a legkisebb; c) az átlagos havi csökkenés? D) Megállapítható-e a grafikon alapján, hogy mennyibe került egy liter benzin május 17-én, illetve november 20-án?

ELMÉLET A grafikonok készítéséhez a derékszögű koordináta-rendszert használjuk. Ismételjük át, mit tanultunk erről! Derékszögű koordináta-rendszert kapunk, ha két számegyenest úgy helyezünk merőlegesen egymásra, hogy a 0 jelzésű pontjuk közös legyen. Ezt a közös pontot origónak nevezzük. Rajzunkon a vízszintes számegyenes az első tengely (x tengely), a függőleges a második tengely (y tengely).

ordinátatengely II. síknegyed

I. síknegyed 1 0

1

III. síknegyed

abszcisszatengely IV. síknegyed

A két tengely a síkot négy negyedre vágja. Ezek számozását az ábra mutatja. (2)

Ha egy síkban koordináta-rendszert veszünk fel, akkor e sík minden pontját egy rendezett számpárral (olyan számpárral, amelyben fontos a számok sorrendje is) jellemezzük. Például: az ábránkon lévő A pontot a (3; 2) rendezett számpárral, a B pontot a (–2; 4) rendezett számpárral. A rendezett számpárok tagjait a pontok koordinátáinak nevezzük.

B

4 A

2

–2

0

3

(1)

Az első koordinátát abszcisszának, a második koordinátát ordinátának, ebből adódóan az első tengelyt abszcisszatengelynek, a másodikat pedig ordinátatengelynek is nevezzük.

4 4 . l e c ke

V Á LT O Z Á S O K Á B R Á Z O L Á S A

21

F E L A DAT

3.

A grafikon egy versenyautó sebességének változását mutatja, amikor az egy 3 kilométeres vízszintes pálya második körét futja. a) Megközelítőleg mekkora a távolság a startvonal és a pálya leghosszabb egyenes szakaszának kezdőpontja között? A) 0,5 km C) 2,3 km 180 B) 1,5 km D) 2,6 km b) A pálya mely pontján mérték a legalacso- 160 140 nyabb sebességet a második körben? 120 A) a startvonalnál C) kb. 1,3 km-nél 100 B) kb. 0,8 km-nél D) a pálya felénél 80 c) Mit lehet mondani az autó sebességéről 60 a 2,6 km és a 2,8 km közötti szakaszon? 40 20 A) Az autó sebessége állandó. C) Az autó sebessége csökken. 0 B) Az autó sebessége növekszik.

D) Az autó sebességét nem lehet meghatározni a grafikon alapján. d) Az alábbi ábrán öt különböző pálya rajza látható. A korábban szereplő sebességgrafikon alapján állapítsd meg, melyik pályán haladt a  versenyautó! sebesség (km/h)

0,5

2,5

1,5

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 pályán megtett távolság (km) startvonal

Start Start

Start

Start A

B Start

C

D

E

H Á Z I F E L A DAT

1.

A két grafikon egy cég várható kiadásait és bevételeit szemlélteti a legyártott termékek számának függvényében. (A vízszintes tengelyen 100 darab, a függőleges tengelyen ezer forint egységek vannak.) a) Mivel magyarázható, hogy kisszámú termék esetén a kiadások felülmúlják a bevételeket? b) Mi az a termékszám, aminél a cég nullszaldós, azaz a bevételek pont fedezik a kiadásokat? c) Készíts olyan grafikont, amely a cég által termelt profitot szemlélteti a legyártott termékek számának függvényében! (Veszteség esetén a profit negatív érték!)

ezer Ft 20 16 kiadás

14 12 10 8 6 4 2 0

22

bevétel

18

2

4

6

8

10

12

14 100 darab

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

2.

Egy üzletház parkolójában az első két óráért nem kell parkolási díjat fizetni, utána viszont minden megkezdett óráért 100 forintot számolnak fel., A maximális díj csak 400 forint lehet. a) Készítsd el a táblázatot a füzetedbe, és töltsd ki! Parkolási idő (óra)

1

Parkolási díj (Ft)

0

2

2,5

3

3,8

4,5

6

b) Melyik grafikon mutatja helyesen a parkolásért fizetendő öszszeget? × 100 Ft

× 100 Ft

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

óra

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

óra

c) Miért helytelen a másik grafikon? Milyen körülmények között lenne az a helyes? A grafikon az acél világpiaci árának alakulását mutatja. Me× 100 lyik igaz, melyik hamis az alábbi állítások közül? Válaszodat 7 6 indokold! 5 a) 2005-ben az acél ára év végén alacsonyabb volt, mint év ele4 jén. 3 b) Az acél ára 2005-ben folyamatosan csökkent. 2 c) 2004-ben folyamatosan nőtt az acél ára. 1 d) 2003-ban volt a legalacsonyabb az acél ára a vizsgált négy 0 2003 2004 évben. e) Az acél tonnánkénti ára mindvégig 500 USA-dollár fölött volt a vizsgált években. f) A 2004-es év nagyobbik részében az acél tonnánkénti ára 500 USA-dollár fölött volt. USA-dollár tonnánként

3.

4.

Az ábrán egy üzletközpont parkolójában fizetendő díjak láthatók. a) Mennyi a parkolásért fizetendő összeg, ha a parkolási idő A) 45 perc; B) 2,5 óra; C) 4 óra 20 perc; D) 8 és fél óra? b) Jelenítsd meg grafikonon a parkolásért fizetendő összeget a parkolási idő függvényében! c) Lehet-e a (megszakítás nélküli) parkolásért fizetendő öszszeg 1000 forint? d) Mennyi ideig parkolt (megszakítás nélkül) a jármű, ha a parkolásáért 1550 forintot kellett fizetni?

4 4 . l e c ke

V Á LT O Z Á S O K Á B R Á Z O L Á S A

2005

2006

P Parkolási idő 0–1. óra 2. óra 3. óra 4. óra 5. óra minden további óra

Parkolási díj Ingyenes 200 Ft 200 Ft 250 Ft 300 Ft 300 Ft

23

Ráadás

GRAFIKONOK A MINDENNAPOKBAN

CSOPORTMUNKA

1.

2.

24

Egy felmérésben 1500-1500 véletlenszerűen kiválasztott 10 és 70 év közötti férfi és nő alvással töltött óráinak számát vizsgálták az életkoruk függvényében. Az eredményeket átlagolták, és így a következő grafikont kapták: a) Az alábbi állítások közül melyik mennyire alvással töltött idő naponta (óra) pontosan írja le a grafikonon látható jelen10,5 séget? – A nők többet alszanak, mint a férfiak. 10 – A nők kb. 60 éves korukig több órát töl9,5 tenek naponta alvással, mint a hasonló korú férfiak. 9 – A fiatal férfiak általában kevesebbet alfériak 8,5 szanak, mint a hasonló korú nők. nők – Az idősebb férfiak kevesebbet alszanak, 8 mint a fiatalok. 7,5 b) Magyarázd meg, hogyan jelentkezik a graéletkor (év) fikonon az a tény, hogy 40 és 60 éves koruk 0 között a férfiak nagyjából ugyanannyi időt 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 töltenek naponta alvással! c) Mivel tudnád alátámasztani a következő állítás igazságát? „A nők alvással töltött óráinak száma 10–15 éves korukban jóval erőteljesebben csökken, mint 20–25 éves korban.” Magyarországon a személyi jövedelemadó 2004 mértéke 2011 előtt az éves jövedelem nagy0–800 000 Ft 18% ságától függően ún. többkulcsos rendszerben 800 001–1 500 000 Ft 144 000 Ft és a 800 000 Ft-on felüli rész 26%-a változott. Ez azt jelenti, hogy magasabb jöve1 500 001 Ft-tól 326 000 Ft és a 1 500 000 Ft-on felüli rész 38%-a delmek esetén az adóalap egyre nagyobb és nagyobb százalékát kellett adóként megfizetni. 2005 Az adókulcsok szerkezetét 2005-ben módosí0–1 500 000 Ft 18% tották jelentősen, ekkor tértek át a korábbi há1 500 001 Ft-tól 270 000 Ft és a 1 500 000 Ft-on felüli rész 38%-a rom jövedelmi sávról kettőre. a) 2005 elején Arany apuka így beszélgetett egy barátjával: Arany apuka: „Én jól jártam ezzel a váltással. Évente 1 200 000 forintot keresek, eddig 26%-ot adóztam, most majd csak 18-at fogok, a 8% ennél a fizetésnél 96 000 Ft megtakarítás.” A barátja: „Én bezzeg jól megjártam! 2004-ben 1 460 000-et kerestem egy évben, 2005-ben 1 520 000-et, ezzel pont átkerültem a 38%-os sávba. Mire levonják az adót, kevesebb marad, mintha nem is emeltek volna.” Valójában egyiküknek sincs igaza. Számítsd ki, kinek mennyi adót kellett fizetnie 2004-ben, és mennyit 2005-ben! b) Ábrázold grafikonon az egyes években a fizetendő adó mennyiségét az éves jövedelem függvényében! Hogyan olvasható le a grafikonról, hogy kik jártak jól a változással? c) Magyarázd meg a grafikon alapján, miért nem lehetséges az, hogy valakinek 2005-ben több adót kelljen fizetnie, mint 2004-ben, miközben a jövedelme változatlan maradt! d) Mekkora az az éves adóalap, amelynél a változás a legnagyobb különbséget okozta? A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

3.

A grafikon egy bizonyos árufajta egységára és az áru iránti kereslet közötti kapcsolatot szemlélteti. egységár

0

mennyiség (kereslet)

Melyik kijelentés igaz, és melyik hamis? Indokold a válaszaidat! a) Ha nő a termék ára, akkor csökken az áru iránti kereslet. b) Nagyobb kereslethez alacsonyabb ár tartozik. c) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kereslet egyenesen arányos. d) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kereslet fordítottan arányos. e) Ha az áru ára növekszik a piacon, akkor a fogyasztók kevesebbet vesznek ebből a termékből.

H Á Z I F E L A DAT

1.

A grafikon egy bizonyos árufajta egységára és az áru piaci kínálata közötti kapcsolatot szemlélteti. egységár

2.

Egy alapanyagot gyártó cég a gyártás során felmerülő költségeket a gyártott mennyiség függvényében vizsgálja. Az eredményt grafikonon ábrázolják. millió forint 7 6 5 összköltség

4 3 0

2 mennyiség (kínálat)

Melyik kijelentés igaz, és melyik hamis? Indokold a válaszaidat! a) Ha nő a termék ára, akkor nő az áru piacon felkínált mennyisége. b) Alacsonyabb árhoz nagyobb kínálat tartozik. c) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kínálat egyenesen arányos. d) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kínálat fordítottan arányos. e) Ha az áruért a fogyasztók magasabb árat is hajlandóak fizetni, akkor a piacon nő a kínálat az adott áruból.

Ráadás

G R A F I KO N O K A M I N D E N N A P O K B A N

1 0

egyéb költség előállítási költség 1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 11 12 mennyiség (ezer kg)

a) Hogyan változik az előállítási költség az előállított mennyiség növekedésével? b) Hogyan változik az egyéb költség az előállított mennyiség növekedésével? c) Mekkora előállított mennyiség esetén a legalacsonyabb az összköltség, és mennyi ez? Mennyi ebben az esetben az előállítási költség, és menynyi az egyéb költség? d) Mekkora gyártott mennyiség esetén lesz 4 millió forint az összköltség? Miből tevődik ez össze?

25

45

A FÜGGVÉNY FOGALMA

BEVEZETŐ Rajzoljunk be a koordináta-rendszer síkjába 10 olyan pontot, amelynek a) a második koordinátája 3-mal nagyobb az elsőnél; b) a második koordinátája az első koordináta abszolút értéke. Válasszuk első koordinátának a –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 számokat! Töltsük ki a táblázatokat! a) Első koordináta (x)

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Második koordináta (y)

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

y 7 6 5 4

Az alsó sorban lévő számok mind 3-mal nagyobbak a felettük lévő számnál. A megrajzolt 10 pont egy egyenesre esik. Ha a pontok első koordinátáját x-szel, a második koordinátáját y-nal jelöljük, akkor itt minden pontnál: y = x + 3. Azt is szoktuk mondani, hogy a táblázat felső számaihoz az alattuk lévő számokat rendeljük hozzá. Ennek a jelölése: x x + 3. b)

Első koordináta (x)

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Második koordináta (y)

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

3 2 1 –5

–4

–3

–2

–1 0 –1

1

2

3

4

5

x

1

2

3

4

5

x

–2

y 6 5

A felső sorban lévő számok alá az abszolút értéküket írtuk. Az ábrán a 10 pont nem esik egy egyenesre. Ha a pontok első koordinátáját x-szel, a második koordinátáját y-nal jelöljük, akkor itt minden pontnál y = | x |. Azt is szoktuk mondani, hogy a táblázat felső számaihoz az alattuk lévő számokat rendeljük hozzá. Ennek a jelölése: x  | x |.

4 3 2 1 –5

–4

–3

–2

–1 0 –1 –2

ELMÉLET Definíció: Adott két nem üres halmaz, A és B. Ha A halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a B halmaz pontosan egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya, a B halmaz a függvény képhalmaza. A B halmaz azon elemeinek halmazát, melyeket hozzárendeltük valamely értelmezési tartománybeli elemhez, a függvény értékkészletének nevezzük. 26

értelmezési tartomány képhalmaz értékkészlet

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

A függvényeket gyakran egy-egy betűvel jelöljük. Egy f -fel jelölt függvény értelmezési tartományának a jele: Df , értékkészletének a jele: Rf . Ha egy f -fel jelölt függvény esetében x ∈ Df , akkor az x-hez hozzárendelt elemet a függvény x helyhez tartozó helyettesítési értékének nevezzük, és így jelöljük: f (x). A függvény meghatározásakor meg kell adni az értelmezési tartományát, képhalmazát, és valamilyen formában a hozzárendelést is. Sokszor ezt úgy tesszük, hogy megadjuk a hozzárendelés szabályát. Például: Amikor minden egész számhoz az abszolút értékét rendeljük, ezt így írhatjuk: f : Z " R; x 7 x vagy f : Z " R; f ^ x h = x

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

A halmazábra egy osztályzenekar összetételét mutatja. a) Mit olvashatunk le az ábráról? b) Hogyan változna a hozzárendelés, ha Kati zongorázni is tudna? c) Hogyan változna a hozzárendelés, ha Béla nem játszana az együttesben?

gitár dob

zongora

Kati Lajos

Béla

Andi Megoldás a) Az ábrán egy függvényt adtunk meg. Jelöljük f -fel! Most D f = {Kati, Lajos, Béla, Andi}, R f = {zongora, gitár, dob}. A nyilak azt mutatják, hogy Andi zongorázik, Kati és Béla gitározik, Lajos pedig dobol. A kapcsolatokat táblázattal is szemléltethetjük:

Kati

Lajos

Béla

Andi

gitár

dob

gitár

zongora

Helyettesítési értékekkel leírva: f (Kati) = gitár;

f (Lajos) = dob;

f (Béla) = gitár;

f (Andi) = zongora.

Itt a függvényt megadhatjuk szavakkal, halmazábrával, a helyettesítési értékekkel vagy táblázattal is. Grafikont természetesen nem készíthetünk, mert nem számokról van szó. b) Ebben az esetben nem beszélhetünk függvényről, mert Katihoz két értéket (gitár, zongora) rendelünk. A függvény minden esetben egyértelmű hozzárendelés, azaz egy értelmezési tartománybeli elemhez egyetlen képhalmazbeli elem tartozhat. c) Azért érdekes ez az eset, mert ekkor minden hangszerről el tudjuk dönteni, hogy ki játszik rajta. Visszafelé is egyértelmű a kapcsolat, azaz függvény lenne az a hozzárendelés is, ha a hangszerhez rendeljük hozzá, hogy ki játszik rajta.

2.

Egy függvény minden a) egész számhoz; b) valós számhoz a nála 3-mal kisebb szám abszolút értékét rendeli hozzá. Mi az értelmezési tartományuk és értékkészletük? Add meg a hozzárendelési szabályukat! Ábrázold a függvényeket koordináta-rendszerben!

Megoldás a) Df = Z; Rf = N; x 7 x - 3 b) Dg = R; Rg = R0+ (így jelöljük a nemnegatív valós számokat); x 7 x - 3

4 5 . l e c ke

A F Ü G GV É N Y F O G A L M A

27

Az első f függvény helyettesítési értéke például a 3 helyen f ^ 5 h = 5 - 3 = 2 . A második függvény helyettesítési értéke például a -2,4 helyen g ^- 2, 4h = - 2, 4 - 3 = 5, 4 . Az f függvény pontjait a piros pontok, a g függvény pontjait a zöld grafikon adja.

y

2 0

x

2

ELMÉLET Megállapodás Ha egy függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza (R), azt nem kötelező kiírni. Ha tehát egy függvény megadásakor csak a hozzárendelési szabályt látjuk, akkor ennek a függvénynek az értelmezési tartománya R.

F E L A DAT

1.

b)

Táblázatba foglaljuk, mennyibe kerül 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg, 6 kg, 7 kg, 8 kg, 9 kg, 10 kg savanyú káposzta: Tömeg (kg)

1

2

3

Ár (forint)

4

2 1

5 –2

390

Tömeg (kg)

6

7

y

8

9

10

c)

a) Készítsd el a táblázatot a füzetedben, és töltsd ki! b) Ezzel a táblázattal megadtunk egy függvényt. Mi ennek az értelmezési tartománya, mi az értékkészlete? c) Készíts a táblázat alapján grafikont!

1

2

3

4

x

3 2 1

3.

3 2 1 –2

–1 0 –1 –2 –3

1

2

3

y

–2

4

28

2

4

Mit olvashatsz le a grafikonokról? a) y

–3

1

–2

Ár (forint)

2.

–1 0 –1

4

x

–1 0

3

4

5

x

Folytasd az előző feladatot! a) Melyik függvénynek mi az értelmezési tartománya? b) Melyik függvénynek mi az értékkészlete? c) Melyik függvénynek lehet képhalmaza a pozitív számok halmaza? d) Melyik függvénynek lehet képhalmaza az egész számok halmaza? e) Készíts táblázatot és halmazábrát a b) grafikon alapján!

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

H Á Z I F E L A DAT

1.

4.

Add meg táblázattal is mindkét függvényt! y 2 1 –5

–4

–3

–2

–1 0 –1

1

2

3

4

Értelmezési tartomány

x

5.

1 –2

–1 0 –1

1

2

3

4

x

–2

2.

3.

0

–4

–6

3

b) Rajzold meg a függvény grafikonját! c) Add meg az Rg halmazt!

2

–3

2

Megfelelő pont a koordinátarendszerben

y

–4

4

Értékkészlet

–2

–5

A g-vel jelölt függvény értelmezési tartománya a Dg = {4; 2; 0; –4; –6} halmaz, hozzárendelési szax bálya: x  3 − . 2 a) Töltsd ki a táblázatot a füzetedben!

Az f -fel jelölt függvény grafikonja 5 pontból áll. A pontok: (–4; 1), (5; 1), (0; –1), (1; 0), (–2; 1). a) Rajzold meg a függvény grafikonját! b) Add meg a D f és az R f halmazt! c) Mennyi f (5), és mennyi f (1)? d) Melyik helyhez tartozik az 1, és melyikhez a –1 helyettesítési érték? Foglald táblázatba, hány különböző módon lehet sorba állítani x tanulót, ha x ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}! Mi az értékkészlete a táblázattal megadott függvénynek?

6.

András és Bence kedvenc szabadidős elfoglaltsága a zenehallgatás, Réka a számítógépes játékokkal szeret legjobban játszani, Nóra könyveket olvas, Erzsi pedig úszni szeret. Ábrázold halmazábrával azt a függvényt, amely mindenkihez a kedvenc szabadidős elfoglaltságát rendeli hozzá! Add meg a függvényt táblázattal is! Kerékpárral állandó sebességgel tekersz. a) Töltsd ki a táblázatot arról, mekkora időre van szükséged az egyes távolságok megtételéhez! A füzetedben dolgozz! Távolság (m) Idő (s)

100

150

250

350

400

500

70

b) Ezzel a táblázattal megadtunk egy függvényt. Mi ennek az értelmezési tartománya, mi az értékkészlete? c) Készíts a táblázat alapján grafikont!

RÁADÁS Az A halmaznak 8 eleme van, a B halmaznak 6. Hány különböző függvény készíthető, amelynek a) értelmezési tartománya A, képhalmaza B; b) értelmezési tartománya B, képhalmaza A?

4 5 . l e c ke

A F Ü G GV É N Y F O G A L M A

29

46

KÉSZÍTSÜNK GRAFIKONT!

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Egy hosszú és unalmas autóbuszos utazás során Gyula azt számolgatta, hogy miKm-tábla Megtett út (km) Idő (mp) lyen gyorsan mehet a busz. Egyszerre figyelve az órája másodpercmutatóját és az út 85 0 0 mentén feltűnő kilométertáblákat felírogatta az összetartozó értékpárokat, és ebből 87 2 120 próbálta megállapítani a busz sebességét. Néhány kilométertáblánál elbambult, így 90 5 303 csak a következő adatokat jegyezte fel. 91 6 360 A táblázatból azt vette észre, hogy érdemes másodpercről percekre kerekíteni, ezzel 93 8 481 nem veszít semmit az amúgy is kétséges pontosságból. Az így nyert eredményeket egy grafikonon ábrázolta. A pontok egy egyenesre esnek, ebből arra következtetett, hogy a busz egyenletes tempóban (állandó sebességgel) haladt, az eltelt idő és a megtett út egyenes arányos. a) Mi az összefüggés az eltelt idő és a megtett kilométerek száma között? b) Hogyan változik meg a grafikon, ha Gyula nem a megtett utat, hanem a kilométertáblán lévő számot ábrázolja az eltelt percek függvényében? Add meg most is az összefüggést a kilométertáblán lévő számok és az eltelt idő között! c) Bár pontosan nem tudta leolvasni, Gyula elgondolkozott azon, hol metszheti ez az egyenes az x tengelyt. megtett út (km)

Megoldás a) A táblázat első két sora alapján hamar megkapta, hogy a busz 2 km-t 120 másodperc, azaz 2 perc alatt tett meg, tehát percenként nagyjából egy kilométert haladt. (Azt is megállapította, hogy a táblázat másik két sorát vizsgálva ugyanerre az eredményre jut.) Kilométerek száma = percek száma. Ha az eltelt percek számát x-szel jelöljük, a megtett kilométerek számát pe1 dig y-nal, akkor y = x. A busz sebessége pedig 60 km , hiszen egy óra, azaz h idő (perc) 0 1 60 perc alatt 60 km-t tesz meg. b) Gyula sehogy sem tudott átlátható grafikont készíteni, de azt észrevette, hogy az előző egyenest 85 egységgel feljebb kellett tolni, azaz 85-nél metszi az y tengelyt. Ha az eltelt percek számát továbbra is x-szel jelöljük, y-nal a pedig kilométertáblán szereplő számokat, akkor: y = x + 85. hely (km)

20 0

10 idő (perc)

c) Hamar rájött, hogy ez a pont a 0 kilométertáblának felelne meg, ha továbbra is azt feltételezzük, hogy a busz egy egyenes mentén, állandó sebességgel haladt. Azaz 85 perccel korábbi időponthoz tartozik. Ezt fejezi ki a negatív előjel: x = -85. Azt a helyet, ahol egy egyenes vagy más grafikon az x tengelyt metszi, zérushelynek nevezzük, mert itt lesz éppen 0 a függvényérték. Ennek az egyenesnek a -85 a zérushelye. 30

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

ELMÉLET Definíció: Egy f függvény értelmezési tartományának azon elemeit, amelyekhez a függvény a 0-t rendeli (azaz f(x) = 0) az f függvény zérushelyeinek nevezzük.

F E L A DAT

1.

2.

Az, hogy egy fazék víz mennyi idő alatt forr fel a tűzhelyen, alapvetően a víz menynyiségétől függ. Megmértük, hogy különböző nagyságú fazekakat megtöltve meddig tart felforralni a bennük lévő vizet az otthoni gáztűzhelyen. Az adatokat a táblázat mutatja. a) Készítsünk grafikont a táblázat alapján! b) Körülbelül mennyi vizet lehet felforralni ezen a tűzhelyen 1 perc alatt? c) Írjunk fel összefüggést a víz mennyisége és a felforraláshoz szükséges idő között! d) Körülbelül mennyi ideig tartana ezen a tűzhelyen felforralni 1,5 liter vizet? e) Maximum mennyi vizet szabad a fazékba tölteni, ha 15 perc alatt fel kell forralnunk?

Vízmennyiség (liter)

Egy taxi utasa időnként a taxiórára pillantva a következő számokat látta a kijelzőn: a) Ábrázoljuk az összetartozó értékeket grafikonon! b) Hol metszi a grafikon az y tengelyt? Mit fejez ki ez az érték? c) Mi a kapott függvény zérushelye?

km

Viteldíj (Ft)

3

1020

6

1740

Idő (perc)

0,2

2

1

10

2,5

24

3

29

9,8

102

8

2220

11

2940

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Egy grafikon pontjait táblázattal adtuk meg. Rajzold meg derékszögű koordináta-rendszerben a pontokat, és keress kapcsolatot/összefüggést a grafikon pontjainak első (x) és második (y) koordinátái között! Pont neve

A

B

Első (x) koordinátája

–2

0

Második (y) koordinátája

0

2

5

1

4

4

3

6

K É S Z Í T S Ü N K G R A F I KO N T !

d) y = |x – 4| e) x = |y – 4| f) 5 – y = |x + 1|

y

D

C

Válaszd ki, a felsoroltak közül melyik képlettel jellemezhetjük a grafikon pontjait! Ha segít, foglald táblázatba a pontok koordinátáit! Vigyázz, több megoldás van!

4 6 . l e c ke

a) y = 4 x b) x = y – 4 c) y = 4 – x

3 2 1 –1 0

1

2

3

4

5

6

x

31

3.

Az 2. feladatban szereplő díjszabáshoz olyan grafikonvázlatot készítettünk, amelyik azt mutatja meg, hogy egy bizonyos összegből hány km-t utazhatunk taxival. Válaszd ki a megfelelő grafikont! Miért nem felel meg a többi vázlat? távolság (km)

távolság (km)

összeg (Ft)

4.

távolság (km)

összeg (Ft)

távolság (km)

összeg (Ft)

összeg (Ft)

Keress kapcsolatot/összefüggést a grafikon pontjainak első (x) és második (y) koordinátái között! a)

–2

b)

y

–1

y

y

c)

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

1

2

3

x

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

–1

–1

–1

–2

–2

–2

1

2

x

RÁADÁS A természettudományokban gyakran nevezik a grafikont görbének, még akkor is, ha az egyenes. Most mutatunk néhány példát, amikor a grafikon valóban egy görbe vonal.

1.

32

Nedves, csúszós úton különösen fontos a gépkocsik sebességének mérséklése, hiszen ilyenkor a gumikerekek kevésbé tapadnak az aszfalton. A táblázat azt mutatja, hogy ilyen körülmények között, különböző sebességek mellett körülbelül milyen hosszú lesz a fékút állóra fékezett – blokkolt – kerekekkel. Milyen összefüggés áll fenn a sebesség Sebesség Fékút és a fékút között? Ábrázoljuk az ada(km/h) (m) tokat grafikonon! 30 9 (Figyelem! Ez csak a fékezés utolsó sza40 16 kasza! A biztonságos megálláshoz ennél 50 25 hosszabb út kell, hiszen a kocsi azalatt 60 36 is halad, amíg észleljük az akadályt és 70 49 benyomjuk a fékpedált! Ezt a hosszabb 80 64 utat nevezzük féktávolságnak.) A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

fékút (m)

Megoldás A grafikonon jól látható, hogy ez az összefüggés nem lineáris, azonban még így sem különösebben nehéz kitalálni: 2 Sebesség 2 Sebesség , Fékút = , vagy Fékút = 10 100 ahol a fékutat méterben, a sebességet pedig km/h-ban mérjük.

70 60 50 40 30 20 10

Ha a sebességet v-vel, a fékutat s-sel jelöljük, akkor 2 v2 v vagy s = . s= 100 10

2.

3.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 sebesség (km/h)

Egy nemzetközi telefonhívásokra specializálódott vállalkozás reklámjában az USA-ból Magyarországra irányuló hívásdíjakra a következő táblázatot találtuk: a) Ábrázold az adatokat grafikonon! b) Írd fel azt a képletet, amely megadja a fizetendő összeg nagyságát a beszélgetési idő függvényében! c) Mennyibe kerülne egy hétperces beszélgetés? d) Mennyi ideig lehetne három dollárért beszélgetni?

Beszélgetési idő (perc)

Díj ($)

2

1,70

5

2,00

9

2,40

14

2,90

22

3,70

Keress kapcsolatot/összefüggést a grafikon pontjainak első (x) és második (y) koordinátái között! a) b) y y

–2

4.

0

–1

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

x

–2

–1

0

1

2

x

Bence írható DVD-lemezt szeretne venni, erre van 2400 Ft-ja. A közeli üzletben ötféle lemezt lehet kapni, ezek egységára 200 Ft, 300 Ft, 400 Ft, 600 Ft és 800 Ft. Melyik grafikon szemlélteti Bence lehetséges választásait, ha csak az egyik fajtából vásárol, és mind a 2400 forintját elkölti? a) darabszám b) darabszám 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

4 6 . l e c ke

egységár 200

400

600

800

1000

K É S Z Í T S Ü N K G R A F I KO N T !

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

egységár 200

400

600

800

1000

33

47

AZ EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG FÜGGVÉNYE

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Magyarországon a gépkocsik üzemanyag-fogyasztását legtöbbször liter/100 km-ben adják meg. Az egyes autók fogyasztása így könnyen összehasonlítható. Az üzemben tartás költségének kiszámításánál ez fontos tényező. Tapasztalataink alapján kijelenthetjük, hogy – állandó fogyasztást feltételezve – kétszer akkora hosszúságú úton kétszer annyi üzemanyag fogy, háromszor akkora hosszúságú úton háromszor annyi stb. Ez azt jelenti, hogy az elhasznált üzemanyag-mennyiség és a megtett út egyenesen arányos, hányadosuk állandó. Ez a hányados az arányossági tényező.

Vizsgáljuk táblázattal, képlettel és grafikonnal egy 6 liter/100 km jellemzőjű gépkocsi üzemanyag-fogyasztását! Megoldás Táblázattal: Megtett út (100 km) (x) Üzemanyag-fogyasztás (liter) (y)

fogyasztás (liter) 20

15

0,5

1

2

3

3

6

12

18

Képlettel: y = 6 x, ahol x jelöli a megtett út hosszát 100 km-ekben mérve, y pedig az x-hez tartozó, literben mért üzemanyag-mennyiséget. y Az y = 6 x egyenlet átírható = 6 alakba is. Itt olyan egyenes arányosságról van szó, amelynek x arányossági tényezője 6. A grafikont olyan pontok alkotják, amelyeknek második koordinátája a pont első koordinátájának éppen a 6-szorosa. Az ilyen tulajdonságú pontok egy origón átmenő egyenesre illeszkednek. Mivel a megtett út csak nemnegatív szám lehet, ezért a grafikon egy origó kezdőpontú félegyenes.

y = 6x

10

5

távolság (100 km) 0

5

Ez a félegyenes az x  6 x (x ≥ 0) függvény grafikonja.

34

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

F E L A DAT

1.

2.

A kék félegyenes azt szemlélteti, hány cm az x cm oldalú szabályos háromszög kerülete, a rózsaszínű félegyenes pedig azt, hogy hány cm az x cm oldalú négyzet kerülete. Olvasd le a grafikonról, a) mekkora az x, ha az x cm-es oldalú négyzet és háromszög kerületének a különbsége 1 cm; b) mennyivel nagyobb a háromszög oldala, mint a négyzeté, ha mindkettőnek 4 cm a kerülete; c) mit jelent az, hogy a (0,5; 1,5) pont rajta van a kék félegyenesen; d) mit jelent az, hogy a (0,5; 2) pont rajta van a rózsaszínű félegyenesen! Mindkét félegyenes egy-egy függvény grafikonja. Mindkét függvény egy egyenes arányosság. Mi ennek a két függvénynek az értelmezési tartománya és az értékkészlete?

y 5 4,5

y = 4x

4 3,5

y = 3x

3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

0,5

1

1,5

2

x

ELMÉLET Ha egy függvény értelmezési tartománya valós számokból áll, és a hozzárendelési szabálya x  ax alakba írható (a adott valós szám, de a ≠ 0), akkor ezt a függvényt egyenes arányosságnak nevezzük. Ha az egyenes arányosság értelmezési tartománya az R halmaz, akkor értékkészlete is az R halmaz, grafikonja pedig egy az origón átmenő egyenes. Az egyenes egyenlete: y = ax. Ha a > 0, akkor f szigorúan monoton növekedő, a  grafikonját alkotó pontok egy emelkedő egyenesen helyezkednek el.

y

y

(Az egyenes arányosság értelmezési tartománya a  valós számok halmazának részhalmaza, ezért a grafikonja nem feltétlenül egy teljes egyenes. Ezt szemlélteti a két ábra.) Ha a < 0, akkor f szigorúan monoton fogyó, a grafikonját alkotó pontok egy süllyedő egyenesen helyezkednek el.

x

x

y

y

x

x

Definíció: Egy f függvény szigorúan monoton növekedő az értelmezési tartományának egy intervallumán, ha az intervallum bármely két elemére teljesül, hogy a nagyobb elemhez nagyobb függvényérték tartozik: x1 1 x2 esetén f(x1) 1 f(x2). Definíció: Egy f függvény szigorúan monoton fogyó (csökkenő) az értelmezési tartományának egy intervallumán, ha az intervallum bármely két elemére teljesül, hogy a nagyobb elemhez kisebb függvényérték tartozik: x1 1 x2 esetén f (x1) 2 f(x2). Ha függvényértékek között az egyenlőség is fennállhat, akkor monoton növekedő, illetve monoton csökkenő függvényekről beszélünk. 47. l e c ke

A Z E GY E N E S A R Á N YO S S Á G É S A F O R D Í T O T T A R Á N YO S S Á G F Ü G GV É N Y E

35

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

2.

Az Egyesült Államokban máshogy számítják ki, mennyire takarékos egy autó. Ott az 1 gallon (1 USA gallon = kb. 3,8 liter) üzemanyaggal megtehető mérföldek számát adják meg (1 mérföld = kb. 1,6 km).

Az alábbi táblázat néhány tipikus értékre vonatkoztatva megmutatja, hogy minek felel meg liter/100 km-ben mérve a mérföld/gallonban megadott fogyasztásérték: mérföld Fogyasztás -ban (x) gallon Fogyasztás

liter -ben (y) 100 km

10

15 (SUV terepjárók)

18 (nagyobb amerikai városi kocsik)

23,7

39,5 (kisebb európai városi kocsik)

23,7

15,8

13,17

10

6

Grafikonon ábrázolva: A táblázatból (különösen az első és az utolsó előtti oszlopból) arra következtethetünk, hogy itt az összetartozó értékpárok szorzata állandó, mindig 237. A két mennyiség között tehát fordított arányosság van, az arányossági tényező 237. A grafikont olyan pontok alkotják, amelynek első (x) és második (y) koordinátája között az x · y = 237 összefüggés áll fenn. A grafikon egyenlete írható 237 így is: y = . x

y 40

liter/100 km

35 30 25 20 15 10 5

mérföld/gallon

0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

x

ELMÉLET Ha egy függvény értelmezési tartománya 0-tól különböző valós számokból áll, és a hozzárendelési szabálya x 

a x

alakba írható (a valós szám, de a ≠ 0), akkor ezt a függvényt fordított arányosságnak nevezzük. Ha a fordított arányosság értelmezési tartománya R \ {0}, akkor az értékkészlete is az R \ {0} halmaz, grafikonja pedig a egy hiperbola. A hiperbola egyenlete: y = . x y y Például 4

4

3

3

y = x4

2

2

1 –4 –3 –2 –1 0

1 1

2

3

4

5

6 x

–4 –3 –2 –1 0

–2

–2

–3

–3

–4

–4

(az összetartozó értékek szorzata 4)

x 1

2

3

4

5

y = - x2

(az összetartozó értékek szorzata –2)

F E L A DAT

3.

36

Ábrázold az 6 1 4 a) x  ; b) x  ; c) x  − x x x fordított arányosságokat, ha az értelmezési tartomány mindegyik esetben R \ {0}!

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

Ellenőrizd a Graph program segítségével, hogy jók-e a grafikonjaid! E

H Á Z I F E L A DAT

1.

Mennyi az ábrázolt egyenes arányosságok arányossági tényezője? y 4

y 4

y 4

y 4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

–2 –1 0 –1

2.

1

2

3

4

x

–3 –2 –1 0 –1

1

2

x

–3 –2 –1 0 –1

1

2

3

0 –1

–2

–2

–2

–2

–3

–3

–3

–3

1

2

4 x

3

Fizikaórán Bence egy elzárt levegőbuborék térfogatának (V) és a buborékban lévő levegő nyomásának (p) kapcsolatát vizsgálta. Azt tapasztalta, hogy az összetartozó térfogat- és nyomásértékek szorzata nagyon jó közelítéssel minden esetben 3 lett (a mértékegységeket Bence nem jegyezte fel). a) Van-e egyenes vagy fordított arányosság az elzárt levegő nyomása és térfogata között? b) Melyik grafikont mellékelhette Bence a kísérletről írt jegyzőkönyvéhez? V

V

4

4

3 2

3

1

2

–3 –2 –1 0 –1

1

1

2

3

V

V

4

4

3

3

2

2

4 p 1

1

–2 0

3.

x

4

1

2

p

–3

p 0

1

2

3

0

1

2

p

Ábrázold közös koordináta-rendszerben azokat az egyenes arányosságokat, amelyeknek értelmezési tartománya 1 1 3 a [0; 4] zárt intervallum, hozzárendelési szabályuk pedig x  x, x  x, x  x és x  x! 4 2 2

RÁADÁS Egy álló helyzetből induló test sebessége 2 másodpercen át egyenes arányosság szerint nő 4 m sebességig, majd fordított s arányosság szerint csökkenni kezd. Ábrázold grafikonon a sebességet az idő függvényében! Fogalmazd meg, mit olvashatsz le a test mozgásáról a grafikon alapján! Jellemezd a grafikont a monotonitás szempontjából! Melyik pillanatokra igaz, hogy a test sebessége 1,5 m ? s 47. l e c ke

A Z E GY E N E S A R Á N YO S S Á G É S A F O R D Í T O T T A R Á N YO S S Á G F Ü G GV É N Y E

37

48

EGYENESEK MEREDEKSÉGE

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Egy robogó üzemanyag-fogyasztása 2 liter/100 km, egy nagyobb motorkerékpáré pedig 3 liter/100 km. Ábrázoljuk a két jármű által felhasznált üzemanyag mennyiségét a megtett út függvényében! (A távolságot 100 km-es egységekben, az elfogyasztott üzemanyag mennyiségét literben fejezzük ki!)

Megoldás 9

y (liter)

8 7 6

y = 2x y = 3x

A fogyasztást az x  2 x és az x  3 x (x ≥ 0) egyenes arányosságok írják le, grafikonjuk egyenlete tehát y = 2 x, illetve y = 3 x. Mindkét egyenes arányosság grafikonja félegyenes. Azt mondjuk, hogy az y = 3 x egyenletű egyenes meredeksége 3, az y = 2 x egyenes meredeksége pedig 2. A nagy motorkerékpár grafikonjának egyenese meredekebben emelkedik, mint a robogóé.

5 4 3 2 1 0

x (100 km) 1

2

3

4

5

F E L A DAT

1.

38

Három izzó energiafogyasztását vizsgálták. Az egyik izzó másodpercenként 0,5 joule energiát fogyaszt, a második 1 joule energiát, a harmadik 1,5 joule energiát, és feltételezhető, hogy az energiafogyasztásuk egyenesen arányos az idővel. a) Ábrázold közös koordináta-rendszerben az izzók energiafogyasztását az idő függvényében! b) Írd fel a grafikonok egyenletét! c) Mekkora a grafikonok egyenesének meredeksége?

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

2.

A két ábrán egyenes arányosságokat ábrázoltunk. A bal oldali ábrán látható piros (a) egyenes meredeksége 2, a kék (b) egyenesé 3 pedig − . 2 Adjuk meg a jobb oldali ábra c, d, e egyeneseinek meredekségét!

y 1 -3 2 b

7 6 5 4 3 2 1

y 7 4

2

e

6 d

5

2

4

1 3

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x Megoldás –1 Mit mutat egy egyenes meredeksége? Azt, hogy –2 2 –3 ha az egyenes valamelyik pontjából 1 egységet mea –4 –3 gyünk az első tengellyel párhuzamosan, pozitív –5 irányba, akkor mennyit kell mennünk a második –6 tengellyel párhuzamosan, hogy újra az egyenes egy pontjához jussunk. A jobb oldali ábrán a kék (d) egyenes meredeksége 1, a zöld egyenes (e) meredeksége 3.

2

c

1 –1 0 –1

1

2

3

4

x

A piros (c) egyenesnél a (3; 1) pont is és az origó is rajta van a piros egyenesen, tehát 3 egység „jobbra” haladáshoz 1 egység 1 „emelkedés” tartozik. Ez úgy lehetséges, hogy valójában 1 egység „jobbra” haladáshoz egység „emelkedés” tartozik. Tehát 3 1 a piros egyenes meredeksége . 3 Ha egy egyenes egy függvény grafikonja, akkor meredeksége m, ha a változó (x) értékét 1-gyel növelve a függvényérték m-mel változik.

F E L A DAT

2.

a) Add meg az ábrán látható három egyenes meredekségét! b) A három egyenes mindegyike egy-egy függvény képe. Melyik függvény hozzárendelési szabályát találod meg az alábbiak között? 1 1 1 x  −x; x  − x; x  − x; x  x; x  −2x 2 4 4 c) Told el a három egyenest az y tengely mentén 3 egységgel, pozitív irányba! Melyik függvények grafikonja a három új egyenes?

4 8 . l e c ke

E GY E N E S E K M E R E D E K S É G E

y c b

4 3 2

a

–5

–4

1 –3

–2

–1 0 –1

1

2

3

4

x

–2

39

ELMÉLET Két egyenes meredekségét összehasonlítva könnyen látható, hogy az egyenesek párhuzamosak-e vagy sem. Ha két egyenes párhuzamos, akkor a két egyenes meredeksége egyenlő. Az előbbi állítás megfordítása is igaz. Ha két egyenes meredeksége egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos. y 10

y 6

2

9

–1

2

8

5 4

1

3

7 2

6 5

2

1

- 21

–6 –5 –4 –3 –2

4

1

2

3 2

–1

2

1 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

–1

–1 0 –1

2

2

3

5 x

4 1

–2

- 12

–3

1 1

1

3

4

–4

5 x

1

–5

–2

–6

–3

–7

–4

–8

- 12

1 − meredekségű egyenesek 2

2 meredekségű egyenesek

A meredekség jelentését vizsgálhatod GeoGebra programmal is.

F E L A DAT

3.

Állapítsd meg az ábrázolt egyenesek meredekségét! a) Vannak-e az egyenesek között párhuzamosak? b) Melyik egyenes meredeksége a negatív? c) Melyik egyenes meredeksége a legkisebb?

f

y 7 6

b

5 c

4 3

d e

1

–4 –3 –2 –1 0 –1

4.

a) Egy egyenes áthalad a (3; 1) ponton és az (5; 4) ponton is. Rajzold meg ezt az egyenest, és számold ki a meredekségét!

a

2 x 1

2

3

4

5

–2 –3

1 b) Egy egyenes áthalad a (3; 1) ponton, a meredeksége pedig . Rajzold meg ezt az egyenest, és állapítsd meg, 2 hogy áthalad-e a (–7; –4) ponton! 40

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

a) Ábrázold a következő egyenes arányosságokat: (R " R): x 7- x ; x 7- 3 x ; x 7- 4 x ! 2 3 b) Írd fel a grafikonok egyenletét! c) Add meg az egyenesek meredekségét! Két kisebb edényben víz van. A vizet mindkét edényben addig hűtjük, amíg el nem éri a 0 °C hőmérsékletet. Az ábra a hőmérséklet változását mutatja az idő függvényében. y

(°C)

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

a c egyenes az S(3; 6) ponton, a d egyenes pedig a T(4; 0) ponton. a) Rajzold meg az egyeneseket egy koordinátarendszerben! b) Mekkora az egyenesek meredeksége?

4.

Távirányítású játékautókat teszteltek. A kocsikat egyenes pályán futtatták és azt mérték, mekkora utat tesznek meg akkor, amikor már elérték a végsebességüket. A mérés mindegyik esetben 10 másodpercig tartott. y

(m)

12

2.

1. e

ed

11

én y

4. autó

10 9

dén y

3. autó

8 x (perc)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

7

2. autó

6 5

a) Mekkora volt az egyes edényekben a víz hőmérséklete a hűtés kezdetekor? b) Mennyi a grafikonok egyenesének meredeksége? c) Hány fokot hűl az első, illetve a második edényben lévő víz percenként? d) Hány perc alatt hűl 1 °C-ot az első, illetve a második edényben lévő víz? e) Melyik edényben gyorsabb a hűlési folyamat?

3.

A P(1; 3) pont rajta van az a, b, c, d egyenesek mindegyikén. A P ponton kívül az a egyenes átmegy a Q(0; 1) ponton, a b egyenes az R(3; 5) ponton,

1. autó

4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 x (sec)

a) Írd fel mindegyik grafikon egyenletét! b) Mennyi a grafikonok egyenesének meredeksége? m c) Mekkora az egyes autók végsebessége -ban, s km m km illetve -ban kifejezve (1 = 3,6 )? h s h

RÁADÁS

1. 2.

Egy egyenesnek ismerjük két pontját: P(152; -355) és Q(-233; -104). Mennyi az egyenes meredeksége? Készíts számítógépes programot, amely két pont koordinátáiból kiszámolja a rajtuk átmenő egyenes meredekségét! Figyelj arra, hogy két pontra nem biztos, hogy illeszthető olyan egyenes, amely egy függvénynek a képe. Ebben az esetben a program azt válaszolja, hogy nincs ilyen függvény!

4 8 . l e c ke

E GY E N E S E K M E R E D E K S É G E

41

49

LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

F E L A DAT

1.

Ábránkon a piros és a kék félegyenes azt mutatja, hogy hány tallért kell fizetnünk a megtett út hoszszától függően a Kisgáz, illetve a 7 × 7 fuvarozócég taxijába ülve. y (tallér) 4

z

gá Kis

3

7×7 2 1 x (km) 0

1

2

3

4

5

6

7

a) Melyik céggel érdemes taxizni? (Úgy képzeljük, hogy sehol sem kell megállnunk, csak a célállomáson.) b) Az alapdíjon felül mekkora a megtett kilométerenként fizetendő díj az egyik, illetve a másik cég esetében? c) Mekkora a grafikonok meredeksége? d) Összesen hány tallért kell fizetnünk az egyik, illetve a másik cégnél, ha x km-t taxizunk? Add meg képlettel! e) Számítsd ki a képleteddel, hogy mennyit mutat a taxióra a két cégnél 2,8 km, 4,8 km, 6,8 km megtétele után! f) Olvasd le a grafikonról, hogy hány km-t taxizhatunk 4 tallérért az egyik, illetve a másik cégnél!

ELMÉLET Definíció: Egy függvényt elsőfokú függvénynek nevezünk, ha – értelmezési tartománya a valós számok halmaza, és – hozzárendelési szabálya x ax + b alakú, ahol a és b adott szám, a ≠ 0. Az x ax + b hozzárendelési szabályú elsőfokú függvény grafikonja olyan egyenes, amely mindkét koordinátatengelyt metszi. Ennek az egyenesnek a meredeksége a, az ordinátatengelyt pedig a b jelű pontban metszi. Ha a koordináta-rendszer tengelyeit az x és az y betűvel jelöljük, akkor ennek a grafikonnak az egyenlete: y = ax + b. Például Az x –0,5 x – 1 elsőfokú függvény grafikonja egy olyan egyenes, amelynek meredeksége –0,5, az ordinátatengelyt pedig a –1 jelű pontban metszi. Az egyenes egyenlete: y = –0,5 x – 1.

y 3 2 y = -0,5x - 1

–4

–3

–2

1 –1

0

1

2

–1 –2

Az olyan függvényeket, amelyek grafikonja egy egyenes vagy annak egy részhalmaza, lineáris függvényeknek nevezzük. Az a és a b szerepét vizsgálhatod a GeoGebra programmal is. A 42

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

x

F E L A DAT

2. 3.

Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő elsőfokú függvényeket! 2 x 1,5 x + 2; az x –x + 2 és az x  x + 2 3

y 1

Az ábrákon megadott három egyenes egy-egy elsőfokú függvény grafikonja. Mi a függvények hozzárendelési szabálya?

0

1

x

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Van-e olyan elsőfokú függvény, amely a 2-höz 1-et, a 4-hez pedig 5-öt rendel?

Megoldás A függvény grafikonjából két pontot ismerünk: P(2; 1) és Q(4; 5). Ez a két pont egy egyenest határoz meg. Az x ax + b hozzárendelési szabályú elsőfokú függvény grafikonja egyenes. Az egyenes meredeksége a, és az ordinátatengelyt b-nél metszi. A grafikonról leolvashatjuk, hogy az egyenes meredeksége 2, és az y tengelyt a -3 pontban metszi. Az egyenlete ezért: y = 2x - 3. A két ismert pontból számolással is megkaphatjuk az egyenletet: második koordináták különbsége 5 - 1 = = 2. Meredeksége = 4- 2 első koordináták különbsége Miután a meredekséget már kiszámoltuk, akkor az y = 2x + b egyenletből csak a b-t nem ismerjük. Az adott pontok bármelyikének koordinátái azonban behelyettesíthetőek az egyenletbe. P(2; 1) pont esetén x = 2 és y = 1. Ezeket behelyettesítve: 1 = 2 ⋅ 2 + b. Ebből b = -3. A keresett elsőfokú függvény tehát: R " R; x 7 2x - 3. (Ellenőrzés: 2 2 · 2 – 3 = 1 és 4 2 · 4 – 3 = 5.)

y 7 6 5

Q

4 3

4

2 P

1 –1 0 –1

2 1

2

3

4

5 x

–2 –3 –4

F E L A DAT

4.

Egy elsőfokú függvény grafikonjának két pontja: A(1; 2) és B(3; 3). Add meg a függvény hozzárendelési szabályát!

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

2.

A hőmérsékletet a legtöbb országban – így pl. Kanadában is – Celsius-fokban (°C) mérik. Az Egyesült Államokban és még néhány más országban azonban az úgynevezett Fahrenheit-fokot (°F) használják. Így aztán a kanadai időjárásjelentésben egészen más számok hangzanak el, mint az egyesült államokbeliben, még akkor is, ha a határ két oldalán, egymástól alig néhány km-re fekvő városokról van szó, ahol nyilvánvalóan ugyanolyan az idő.

4 9 . l e c ke

L I N E Á R I S F Ü G GV É N Y E K

43

Például: Kanada (°C)

–10

0

20

25

USA (°F)

14

32

68

77

a) Adjuk meg képlettel, milyen összefüggés áll fenn a Celsius- és a Fahrenheit-skála között! b) Mennyi a jég olvadáspontja Fahrenheit-fokban? c) A Fahrenheit-skála egyik alappontja eredetileg a 96 °F volt. Mi szolgálhatott alapul ehhez az értékhez? Mennyi Celsius-fokban a 96 °F? Megoldás a) Ábrázoljuk az adatokat koordináta-rendszerben: A pontok egy egyenesen vannak. Ha tehát egy kanadai hőmérőn x °C a hőmérséklet, és ugyanitt, ugyanekkor egy egyesült államokbeli hőmérő y °F-et mutat, akkor y = a · x + b. Az a meredekséget megállapíthatjuk pl. az első két pont alapján: 18 9 a= = , a b tengelymetszet pedig a táblázat alapján pontosan 32. 10 5 9 9 Így a keresett képlet: y = ⋅ x + 32, vagy „beszédes” formában: F = ⋅ C + 32. 5 5 9 b) A jég olvadáspontja: ⋅ 0 + 32 = 32 (°F). 5 9 5 c) Az F = ⋅ C + 32 egyenlet átrendezhető a C = ⋅ (F − 32) alakba is, így a két 5 9 hőmérsékleti skála szerinti bármelyik értéket át tudjuk váltani a másikba. 5 A 96 °F értéke °C-ban: ⋅ (96 − 32) ≈ 36, ami körülbelül az emberi test hőmér9 séklete.

y 80 70 60 50 40 30 20 10 –20

–10

0

10

20

30 x

Példánkban a kétféle hőmérsékleti skála kapcsolatát egy olyan képlet írja le, amelyhez a koordináta-rendszerben egy egyenes tartozik. Az egyenes latin neve linea. Ennek nyomán a kétféle hőmérsékleti skála közötti kapcsolatot lineárisnak nevezzük.

F E L A DAT

5.

b) Ha a kanadai időjárás-jelentésben az hangzik el, hogy a határ menti településeken 10 °C-kal (5 °C-kal, 1 °C-kal) csökken a hőmérséklet, akkor az USA-ban élők hány °F-os csökkenésre számíthatnak?

a) „Fahrenheit 451 fok – az a hőmérséklet, amelynél a könyvnyomó papír tüzet fog és elég. Ha vonalazott papírt tesznek eléd – másra írj.” (Juan Ramun Jiminez) Az idézet Ray Bradbury Fahrenheit 451 című regényének bevezetője. Hány °C-on fog tüzet a könyvnyomó papír?

H Á Z I F E L A DAT

1.

44

Add meg egy olyan lineáris függvény hozzárendelési szabályát, a) amely a 0-hoz 2,5-et, az 1-hez 4,5-et rendel; b) amely a 0-hoz 10-et, az 1-hez 8,5-et rendel; c) amely a 0-hoz 2-t, és az 5-höz is 2-t rendel!

2.

Egy elsőfokú függvény grafikonja átmegy a P és a Q ponton. Add meg a függvény hozzárendelési szabályát, ha a) P(–1; 5) és Q(0; 4); b) P(–3; 1) és Q(3; 5)! A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

3.

2 2 Töltsd ki a füzetedben a táblázat üres mezőit, ha f (x) = − x és g(x) = − x + 4 (x ∈ R)! 3 3 x

f (x)

Megfelelő pont a grafikonon

–6

2 − ⋅ (−6) = 4 3

(–6; 4)

Megfelelő pont a grafikonon

g(x)

–3 (0; 4) 0 8

4.

Van-e olyan hőmérséklet, amely °F-ben és °C-ban mérve is ugyanannyi?

RÁADÁS Halmazábrával így szemléltethetjük a lineáris függvények fajtáit:

Lineáris függvények konstans függvények y

0

Emeljük ki azokat a lineáris függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ezek grafikonja egy egyenes. Táblázatunk megmutatja, mit érdemes megjegyeznünk ezekről a speciális esetekről: a és b változása

y

x

0

y

0

x

y

y

0

elsőfokú függvények

x

0

x

y

0

x

x

egyenes arányosságok

a=0

a ≠ 0 és b = 0

a ≠ 0 és b ≠ 0

A hozzárendelési szabály

x b

x ax

x ax + b

Milyen függvény?

konstans függvény

elsőfokú függvény és egyenes arányosság is

elsőfokú függvény, nem egyenes arányosság

A grafikon egy egyenes, amely

merőleges az y tengelyre

átmegy az origón, de nem az x és nem az y tengely

metszi az x és az y tengelyt is

Igaz az is, hogy egy x–y koordináta-rendszer minden egyenese, amely nem merőleges az x tengelyre, egy elsőfokú vagy egy konstans függvénya grafikonja.

y 4 3 2

Az y tengely egyenese és a vele párhuzamos egyenesek nem függvénygrafikonok. Miért? Mert nem igaz rájuk, hogy mindegyik pontnak más szám az első koordinátája.

1 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5 x

–2 –3

4 9 . l e c ke

L I N E Á R I S F Ü G GV É N Y E K

45

50

ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY

BEVEZETŐ Péter egy egyenes országúton állandó, 15 km sebességgel biciklizik. Egy óra után h keresztülhalad egy vonalon, amelyet egy kerékpáros verseny startvonalaként festettek az útburkolatra. Ábrázoljuk grafikonon Péter távolságát a startvonaltól az idő függvényében!

Megoldás Péter az első egy órában közeledett a startvonalhoz. Mivel egy óra alatt 15 km-t tekert, 15 km távolról indult, s ez a távolság egyenletesen csökkent: fél óra után már csak 7,5  km volt. 1 óra elteltével a vonaltól mért távolsága 0 km. Ezután megint egyenletesen nőtt a távolság. Az indulástól számítva 1,5 óra múlva 7,5 km, 2 óra múlva 15 km, 3 óra múlva 30 km. Foglaljuk táblázatba az adatokat: idő (óra) távolság(km)

0

0,5

1

1,5

2

3

15

7,5

0

7,5

15

30

30

távolság (km)

20

10

Ábrázoljuk grafikonon az adatokat, majd a teljes utazást! 0

1

2

3

idő (óra)

ELMÉLET Definíció: Egy valós szám abszolút értéke nemnegatív számok esetén maga a szám, negatív számok esetén a szám ellentettje. Jele: x x, ha x $ 0 x =) - x, ha x 1 0

y

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Ábrázoljuk a következő függvényeket: a) f : R " R; x 7 x ;

b) g : R " R;

x 7 2x + 2 !

Megoldás a) Ábrázoljuk először az x 7 x függvényt a valós számok halmazán!

46

1 0

1

x

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

Az, hogy a függvényérték az abszolút értékét vesszük, azt jelenti, hogy amikor a függvényérték pozitív vagy 0, akkor az értéke nem változik. Ez a grafikonon azt jelenti, hogy azon a részen, amikor az x 7 x függvény grafikonja az x tengely „fölött” van vagy éppen metszi azt, akkor x 7 x grafikonja megegyezik vele.

b) Ugyanígy gondoljuk végig g függvény esetében is! 1. Ábrázoljuk y az R " R; x 7 2x + 2 függvényt! 1 0

y

1

x

1

x

1 0

1

x

Amikor pedig a függvényérték negatív, akkor az ellentettjét kell vennünk, azaz ugyanekkora értéket, pozitívban. Ez a grafikonon azt jelenti, hogy azon a részen, amikor az x 7 x függvény grafikonja az x tengely „alatt” van, akkor tükröznünk kell az x tengelyre.

2. Amikor a függvényértékek nem negatívak, akkor értékük nem változik.

y

1 0

3. Amikor a függvényértékek negatívak, akkor értékük ugyanekkora lesz, pozitívban. Tükrözzük a grafikon megfelelő részét az x tengelyre!

y

y 1 0

1

x 1 0

Az f : R " R;

1

x

1

x

x 7 x grafikonja tehát: y

4. g : R " R; x 7 2x + 2 grafikonja:

1 0

1

x

y

1 0

5 0 . l e c ke

A B S Z O L Ú T É R T É K - F Ü G GV É N Y

47

F E L A DAT

1.

Ábrázold a következő függvényeket! a) R " R; x 7 3x és R " R; x 7 3x

b) R " R; x 7 0,5x + 2

és

R " R; x 7 0,5x + 2

ELMÉLET Definíció: Azt a függvényt, amely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, abszolútérték-függvénynek nevezzük. f : R " R; x 7 x ; Az abszolútérték-függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete pedig a nem negatív számok halmaza. Ha x # 0; akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő, ha x $ 0; akkor a függvény szigorúan monoton növekvő. Az abszolútérték-függvény x = 0 esetén veszi fel az értékkészlet legkisebb elemét, ezt úgy mondjuk, hogy x = 0-ban az abszolútérték-függvénynek minimuma van.

y

1 0

x

1

Definíció: Egy f függvénynek minimuma van az értelmezési tartomány egy x0 helyén, ha a függvény az ott felvett f(x0) függvényértéknél sehol sem vesz fel kisebb értéket. Ekkor x0 egy minimumhely, f(x0) pedig a függvény minimuma. Definíció: Egy f függvénynek maximuma van az értelmezési tartomány egy x0 helyén, ha a függvény az ott felvett f(x0) függvényértéknél sehol sem vesz fel nagyobb értéket. Ekkor x0 egy maximumhely, f (x0) pedig a függvény maximuma. A minimumot és a maximumot szélsőértékeknek is nevezzük.

F E L A DAT

2.

3.

4.

Olvasd le az abszolútérték-függvény grafikonjáról! a) Melyik számok abszolút értéke 4,5? b) Melyik szám abszolút értéke egyenlő a nála 3-mal nagyobb szám abszolút értékével? Ábrázold a függvényeket, majd olvasd le a grafikonról, hol veszi a függvény a minimumát? a) f : R " R; f ^ x h = 1,5x + 4 b) g : R " R; g ^ x h = 3x - 6 c) h : R " R; h ^ x h = - 2x + 2 a) Ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi függvényeket!

5.

Határozd meg, melyik függvény grafikonja látható az ábrán! a) b) c) y

1 0

1

x

A hozzárendelések szabályát kétféleképpen is fel lehet írni. Vajon hogyan?

f^ x h = - 2 x 3 g : R " R; g ^ x h = 2x + 8 b) Olvasd le a metszéspontok koordinátáit! c) Mit fejeznek ki a metszéspontok koordinátái? f : R " R;

48

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

H Á Z I F E L A DAT

1.

Ábrázold a következő függvényeket! R " R; x 7- 0,5x + 2 és R " R; x 7 - 0,5x + 2

3.

Határozd meg, melyik függvény grafikonja látható az ábrán! a) b) c) y

2.

Ábrázold a függvényeket, majd olvasd le a grafikonról, hol veszi a függvény a minimumát? a) f : R " R; f ^ x h = 4x + 8 b) g : R " R; g ^ x h = - 3x - 3 2 0

2

x

RÁADÁS

1.

2.

3.

Ha ismerjük egy f(x) függvény grafikonját, akkor hogyan készíthetjük el egyszerűen az f(x) - 2 függvény grafikonját? a) Ábrázold közös koordinátarendszerben: R " R; x 7 x és R " R; x 7 x - 2 ! b) Ábrázold közös koordinátarendszerben: R " R; x 7 2x és R " R; x 7 2x - 2 ! Ábrázold a következő függvényt! a) R " R;

x 7 2x - 2

b) R " R;

x7 x+ 3 - 2

Határozd meg, melyik függvény grafikonja látható az ábrán! y

1 0

5 0 . l e c ke

1

x

A B S Z O L Ú T É R T É K - F Ü G GV É N Y

49

51

FÜGGVÉNYEK JELLEMZÉSE

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Az ábrán egy f függvény grafikonját látod. Olvasd le a grafikonról a függvény értelmezési tartományát, növekedési viszonyait, szélsőértékeit, zérushelyét és értékkészletét!

már nem rendelt értéket a függvény, de a 4-hez még igen. Df = ]-1; 4] . A függvény a ]-1; 1] intervallumon szigorúan monoton csökkenő, majd az [1; 4] intervallumon szigorúan monoton növekvő. A grafikonról az is látszik, hogy van a függvénynek legkisebb és legnagyobb értéke. Ezek a függvény szélsőértékei. Minimuma 0; minimumhelye 1; maximuma 6; maximumhelye 4. A függvény a 0 értéket az x = 1 helyen veszi fel, ezért zérushelye csak egy van: az 1. Az y tengelyen olvasható le a függvény értékkészlete. Minden 0 és 6 közötti valós számot felvesz valahol a függvény. A függvény értékkészlete: Rf = [0; 6] Érdekessége, hogy van azonban olyan szám az értékkészletben, amelyet több helyen is felvesz a függvény. Például f(x) = 3-hoz kétféle elem is tartozik az értelmezési tartományból: x1 = -0,5 és x2 = 2,5.

y

1 0

1

x

Megoldás A függvény értelmezési tartománya az x tengelyről olvasható le. Mindazok a számok beletartoznak, amelyekhez a függvény rendelt valamit, azaz amelyekhez tartozik függvényérték. Ez most egy nyílt intervallum: a -1-hez

ELMÉLET Definíció: Egy függvény kölcsönösen egyértelmű, ha az értelmezési tartomány különböző elemeihez a képhalmaz különböző elemeit rendeli. Az ilyen függvény azért is különleges, mert a megfordítása is függvény: az a hozzárendelés, amely az értékkészlet minden eleméhez az „ősét” rendeli, azt az elemet, amelyhez eredetileg hozzárendeltük. Ha egy függvény értelmezési tartománya és értékkészlete számhalmaz, akkor van grafikonja. Akárhol állítunk merőlegest a koordináta-rendszer x-tengelyére (az abszcissza tengelyre), annak legfeljebb egy közös pontja van ezzel a grafikonnal. Ha egy függvény olyan, hogy a grafikonjának az y-tengelyre (az ordinátatengelyre) állított merőlegesekkel is legfeljebb egy közös pontja van, akkor ez a függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés.

y 5

y 5

4

4

3

3

2

2

1

1

–3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5 x

–2

–2

–3

–3

kölcsönösen egyértelmű leképezés 50

–3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5 x

nem kölcsönösen egyértelmű leképezés A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

F E L A DAT

1.

Olvasd le a függvények értelmezési tartományát, növekedési viszonyait, szélsőértékeit! Melyik ezek közül kölcsönösen egyértelmű függvény? a) b) c) d) y

3.

4. 5.

y 4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

0

2.

y

y

1

2

3

4

x

–2 –1 0 –1

1

2 x

–1 0

1

2

3

4

x

–2 –1 0 –1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

1

2

3

4

x

Az f függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés, értelmezési tartománya pedig a {10; 20; 30; 40; 50} halmaz. Melyik halmaz lehet az f értékkészlete az alábbiak közül? a) {0; 1; 5; 11; 9} b) {m} c) {–4; –3; 0; 2; 3} d) {A; B; C; D} Biztos-e, lehetséges-e, lehetetlen-e, hogy az f függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés, ha a) Df is és Rf is 5 elemű halmaz; c) Df is és Rf is végtelen halmaz? b) Df 10 elemű és Rf 7 elemű halmaz; Adj meg egy-egy olyan függvényt, amelynek a hozzárendelési szabálya x  x , és a függvény a) kölcsönösen egyértelmű leképezés; b) nem kölcsönösen egyértelmű leképezés! Jellemezd a függvények növekedési viszonyait grafikonjuk alapján! Emlékezz: Ha egy függvény nagyobb elemhez nagyobb vagy egyenlő értéket rendel, akkor monoton növekvő; nagyobb értéket rendel, akkor szigorúan monoton növekvő; kisebb vagy egyenlő értéket rendel, akkor monoton csökkenő; kisebb értéket rendel, akkor szigorúan monoton csökkenő az adott intervallumon. y

1 1

5 1 . l e c ke

x

F Ü G GV É N Y E K J E L L E M Z É S E

–3

–2

y

1

y 4

y

3

3

2

2

1

1

–1 0 –1

1

x

3

4 x

4

1

2

3

4 x

–3

–2

–1 0 –1

1

2

51

6.

Döntsd el, melyik állítás igaz, ha az f függvény értelmezési tartománya és értékkészlete is számhalmaz! a) Ha az f szigorúan monoton függvény, akkor kölcsönösen egyértelmű leképezés. b) Ha az f kölcsönösen egyértelmű leképezés, akkor f szigorúan monoton függvény.

ELMÉLET A valós számokon értelmezett függvények vizsgálatakor eddig ilyen kérdésekre kerestük a választ: – Mi a függvény értelmezési tartománya, képhalmaza és hozzárendelési szabálya? – Mi jellemzi a függvény növekedési viszonyait? – Vannak-e szélsőértékei? Mely helyeken? – Vannak-e zérushelyei, melyek ezek? – Kölcsönösen egyértelmű-e a függvény? – Mi az értékkészlete? Ezt nevezzük függvényvizsgálatnak. Sok olyan függvény van azonban, amelyek esetén még nem tudjuk a pontos választ minden kérdésre. Vagy azért, mert még kevés az ismeretünk, vagy azért mert a felsőbb matematika eszközeivel sem lehet pontos választ adni.

H Á Z I F E L A DAT

1.

Grafikonja alapján állapítsd meg, melyik függvény monoton, és melyik nem az! A monoton függvények szigorúan monotonok-e? a) b)

Add meg f értékkészletét, és állapítsd meg, igazak-e az alábbi kijelentések! a) f monoton függvény. b) f szigorúan monoton növő függvény. c) f kölcsönösen egyértelmű leképezés.

y

y

3. x

x

c)

d) y

y

x

2.

52

Bence egy 15 × 15 cm-es rajzlapból a legnagyobb térfogatú felül nyitott dobozt szeretné elkészíteni. Ha a rajzlap sarkainál 2 cm-es négyzeteket vágna le, akkor a doboz térfogata 242 cm3 lenne. Hajni azt mondta, hogy ez biztosan nem a legnagyobb térfogatú, mert ő tudna ennél 1 cm3-rel nagyobb térfogatút is készíteni. a) Igaza van-e Hajninak? Miért? b) Igaz-e, hogy nem lehet 243 cm3-nél nagyobb térfogatú dobozt készíteni?

x

4. Az f függvény értelmezési tartománya az {1; 2; 3; 4} 1 halmaz, hozzárendelési szabálya pedig: x  x. 2

Hány olyan függvény van, amelynek értelmezési tartománya az {1; 2; 3} halmaz, értékkészlete pedig az {2; 4; 9} halmaz? Add meg mindegyiket egy-egy táblázattal! Közülük melyik kölcsönösen egyértelmű leképezés?

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

E M E LT S Z I N T ELMÉLET A függvényt úgy is definiálhatjuk, hogy olyan rendezett párok nem üres halmaza, amelyek első tagja mind különböző. Ha egy függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés, akkor ebben a rendezett párok második komponense is mind különböző. Ebben az esetben akkor is függvényt kapunk, ha mindegyik rendezett párban felcseréljük az első és a második komponenst. Ez a függvény az eredetinek az inverze.

y 9 8 7 6 5

Például a {(0,5; 0,25); (1,5; 2,25); (2; 4); (2,5; 6,25); (3; 9)} függvény kölcsönösen egyértelmű leképezés, mert a rendezett párok első tagja is csupa különböző szám, és a második tagja is csupa különböző szám. Ennek a függvénynek az inverze: {(0,25; 0,5) (2,25; 1,5); (4; 2); (6,25; 2,5); (9; 3)}.

4 3 2 1

Definíció: Ha az f : x 7 f^ x h kölcsönösen egyértelmű függvény értel1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 0 mezési tartománya A, értékkészlete pedig B halmaz, akkor azt a függvényt, melynek értelmezési tartománya B, értékkészlete pedig A halmaz, és B halmaz minden y eleméhez azt az A-beli x elemet rendeli, melyre f^ x h = y , az f függvény inverzének nevezzük. Az inverz függvény jelölése: f -1.

F E L A DAT

1.

Adjunk meg egy olyan kölcsönösen egyértelmű leképezést, amelynek az értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, és értékkészlete az egész számok halmaza!

Megoldás Írjuk fel növekvő sorrendben a természetes számokat, alájuk pedig a 0-t és utána felváltva a pozitív és a negatív egész számokat, növekedő abszolút értékek szerint: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

…

0

1

–1

2

–2

3

–3

4

–4

…

Ha mindegyik természetes számhoz hozzárendeljük azt az egész számot, amely a táblázatban alatta van, akkor megkapjuk feladatunknak egy lehetséges megoldását. A hozzárendelési szabályt képlettel is felírhatjuk:

x

x − , ha x páros pozitív egész szám, 2 0, ha x = 0, x 1 + , ha x páratlan pozitív egész szám. 2 2

Feladatunknak más megoldásait is előállíthatjuk. Cseréljük fel például a táblázat alsó sorában a 3-at és a (–4)-et! Ekkor 5 1 . l e c ke

F Ü G GV É N Y E K J E L L E M Z É S E

egy másik függvényt kapunk, de ez is megfelel a feladatunk követelményeinek. Azzal azonban ne próbálkozzunk, hogy – a táblázat alsó sorában – először „felsoroljuk” az összes természetes számot és utánuk a negatív egész számokat!

2.

3.

4.

Adj meg olyan kölcsönösen egyértelmű leképezést, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, és értékkészlete a) a negatív egész számok halmaza; b) a természetes számok halmaza; c) az 5-nél nagyobb egész számok halmaza! Igaz-e, hogy ha egy függvény szigorúan monoton növekvő, akkor a) van inverze; b) az inverze is szigorúan monoton növekedő? Ábrázold közös koordináta-rendszerben az f függvényt és az inverzét, ha Df = {0; 1; 2; 3; 4; 5} és az f hozzárendelési szabálya: x  x 2! Mi az inverz függvény hozzárendelési szabálya?

53

52

MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

BEVEZETŐ Szökőkutak kedvelt látványeleme a medence széléről vagy közepéről ferdén „fellőtt” vízsugár. A vízcseppek pályája, ez az érdekes görbe egy parabola. Foglalkozzunk olyan függvényekkel, amelyeknek grafikonja egy ilyen görbe!

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Hogy változik a négyzet területe, ha az oldalak hosszúságát egyre növeljük?

Megoldás Ha egy négyzet oldala x cm-es, akkor a területe x 2 cm2. Itt az x tetszőleges pozitív szám lehet. Tehát a változást az a függvény írja le, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza (R +), hozzárendelési szabálya pedig x x 2. Jelöljük ezt a függvényt f -fel! Adjunk az x-nek néhány értéket, készítsünk ehhez a függvényhez táblázatot! Oldalhosszúság (x cm)

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Terület (x 2 cm2)

0,25

1

2,25

4

6,25

9

12,25

2.

Rajzoljuk meg annak a függvénynek a grafikonját, amely minden számhoz a négyzetét rendeli hozzá! Jelöljük ezt a függvényt g-vel!

y 13 12 11 10 9 8

f

7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5 x

4

5 x

y 13 12

Megoldás Azt a függvényt kell ábrázolnunk, amelynek az értelmezési tartománya a valós számok halmaza (R), hozzárendelési szabálya pedig x x 2. Ez egy másodfokú függvény. Az előző és a mostani függvény hozzárendelési szabálya ugyanaz, értelmezési tartományuk azonban különböző. Az előző feladatban már láttuk, milyen ennek a grafikonnak a pozitív számokhoz tartozó része. Készítsünk most olyan táblázatot, amelyben a 0 és néhány negatív szám szerepel! x g(x) = x

2

11 10 9 8

g

7 6 5 4

0

–0,5

–1

–1,5

–2

–2,5

–3

–3,5

3

0

0,25

1

2,25

4

6,25

9

12,25

2 1

A táblázat alapján megrajzoljuk a grafikon 15 pontját. A pontokat összekötjük. Tengelyesen szimmetrikus görbét, egy parabolát kaptunk. 54

–4 –3 –2 –1 0

1

2

3

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

ELMÉLET A parabola szimmetriatengelyén lévő pontját tengelypontnak nevezzük. Az előző feladat esetében a szimmetriatengely az ordinátatengely, a tengelypont pedig az origó. 1. Hogyan változik a függvény grafikonja, ha az x x 2 helyett az x x 2 + 3 hozzárendelési szabályt alkalmazzuk? Ekkor minden függvényérték 3-mal nagyobb lesz, mint az első esetben. Grafikonon ez azt jelenti, hogy a parabolát az y tengely mentén felfelé kell tolni 3 egységgel.

y 5 4 3 2

x  x 2 + 3; x  x 2 + 1; x  x 2; x  x 2 – 2 y = x 2 + 3; y = x 2 + 1; y = x 2; y = x 2 – 2

1

–5

–4

–3

–2

–1 0 –1

1

2

3

4

5

x

1

2

3

4

5

x

–2

2. Hogyan változik a függvény grafikonja, ha az x x 2 helyett az x (x + 2)2 hozzárendelési szabályt alkalmazzuk? Ekkor nem az x = 0 helyen veszi fel a függvény a 0-t, hanem a 2-vel kisebb számnál, az x = -2 helyen. Grafikonon ez azt jelenti, hogy a parabolát az x tengely mentén balra kell tolni 2 egységgel.

y 5 4 3 2

x  (x + 2) 2; x  x 2; x  (x – 1) 2; x  (x – 3) 2 y = (x + 2) 2; y = x 2; y = (x – 1) 2; y = (x – 3) 2

1

–5

–4

–3

–2

–1 0 –1 –2

Az itt ábrázolt függvények mind másodfokúak. A függvények ábrázolásához a GeoGebra vagy a Graph programot is használhatod.

F E L A DAT

1.

Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f : R " R x 7 x2 - 1 b) g : R " R x 7 (x + 1)2 értelmezési tartomány

értékkészlet

zérushelyek

minimum

minimumhely

növekedési viszonyok

f g

5 2 . l e c ke

M Á S O D F O K Ú F Ü G GV É N Y E K

55

2.

Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben a másodfokú függvények hozzárendelési szabályával! Függvény neve

f

g

h

k

m

Hozzárendelési szabálya

x

x

x

x

x

y m

6

h

5 f

4

k

3 2

3.

1

Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) Hogyan változik a függvény grafikonja, ha minden számhoz a függvényérték ellentettjét, (–1)-szeresét rendeljük? f:R"R x 7 -x2 b) Hogyan változik a függvény grafikonja, ha minden számhoz a függvényérték kétszeresét rendeljük? g:R"R x 7 2x2 c) Hogyan változik a függvény grafikonja, ha minden számhoz a függvényérték felét rendeljük?

–4

–3

–1 0 –1

–2

1

2

3

4

x

–2 –3

g

–4

y

g

5

x 7 1 x2 2

g:R"R

4.

–5

f

h

4 3

3 a) Melyik függvény hozzárendelési szabálya az x  x 2 2 az alábbi ábrán?

2 1

b) Add meg a másik két másodfokú függvény hozzárendelési szabályát is!

–5

–4

–3

–1 0

–2

1

2

3

4

x

H Á Z I F E L A DAT

1.

Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben! Függvény neve f

y

x

g

x

h

x

k

x

m

x

h

6

Hozzárendelési szabálya

m

5 4

f

k

3 2 1 –4

–3

–2

–1 0 –1

1

2

3

4

5

x

g

–2

56

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

2.

Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f : R " R b) g : R " R értelmezési tartomány

értékkészlet

x 7 1 x2 4 x 7 - 1 x2 4 zérushelyek

y minimum/ maximum

minimumhely/ maximumhely

4

növekedési viszonyok

3

f

k

2

g

1 h

3.

Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben! Függvény neve

–3 –2 –1 0 m 1 –1 –2

Hozzárendelési szabálya

f

x

g

x

h

x

k

x

m

x

2

3 x

g

–3 –4

f

–5 –6 –7

E M E LT S Z I N T

1.

2.

3.

4.

Ábrázold közös koordináta-rendszerben! Olvasd le a grafikonok metszéspontjait! Mit jelentenek a metszéspontok koordinátái? a) f : R " R; f(x) = x2 és g : R " R; g(x) = |2x| 2 b) h : R " R; h(x) = x - 2 és k : R " R; k(x) = x + 1 2 Egy R " R függvényről tudjuk, hogy a hozzárendelési szabálya x " x2 - p, ahol p egy valós számot jelöl. Tudjuk a függvényről azt is, hogy grafikonja átmegy a Q(–1, –2,5) ponton. a) Melyik számot jelöli a p? a b) Oldd meg a feladatot számítógépes programmal, például a GeoGebra programmal! b Egy kapu alakja lefelé fordított parabola ív. A kaput egy koordináta-rendszerben ábrázoltuk. A kapu magassága 8 m, szélessége az aljánál 8 m. Add meg azt a függvényt, amelynek grafikonja a kapu ívét adja!

y

8m

a) Ábrázold és jellemezd a függvényt: f : R " R; f ^ x h =

x 2, ha x $ 0; * 1 x , ha x 1 0! 3

b) Ábrázold és jellemezd a függvényt: ^ x - 3h2, ha x $ 2;

g : R " R; g ^ x h = ) - 2x + 2, ha x 1 2!

5 2 . l e c ke

M Á S O D F O K Ú F Ü G GV É N Y E K

1 0

1

x

8m

57

53

SZÉLSŐÉRTÉKEK

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Három függvénynek, az f-nek, a g-nek és a h-nak ugyanaz a hozzárendelési szabálya, de más-más halmaz az értelmezési tartománya: Df = [–2; 2], Dg = [–2; 0], Dh = ]–2; 2]; f (x) = g(x) = h(x) = x 3. Van-e a függvények értékkészletének legnagyobb, illetve legkisebb eleme? Ha van, akkor melyik szám az?

Megoldás Nagyobb számnak nagyobb a köbe is, ezért az x  x 3 hozzárendelési szabályú függvények mind szigorúan monoton növekvők.

f

g

h

Legnagyobb érték

8

0

8

Legkisebb érték

–8

–8

nincs

2.

y

y

8 7 6 5 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2 1

–3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 f –7 –8

y 1 1 2 3

x

–3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 g –7 –8

1 2

x

–3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 h –7 –8

1 2 3

Legyen Df = Dg = Dh = [–1; 4[ és f (x) = x – 2, g(x) = 2 x – 2, h(x) = 0,5 x – 2. a) Rajzoljuk meg a függvények grafikonját, adjuk meg f , g és h legnagyobb és legkisebb értékét (ha van)!

Megoldás y 6 5 4 3 2 1

y 3 2 1 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4

f 1 2 3 4 5

x

f

–2 –1 0 –1 –2 –3 –4

g

y 2 1

g 1 2 3 4 5

x

–2 –1 0 –1 –2 –3 –4

1 2 3 4 5

x

h

h

Legnagyobb érték nincs nincs nincs Legkisebb érték

58

–3

–4

–2,5

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

x

b) Rajzoljuk meg az f , g és a h függvény abszolút értékének grafikonját, és keressük meg az | f |, | g |, | h | függvények legnagyobb és legkisebb értékét! Megoldás Itt a függvények hozzárendelési szabálya: x | x – 2 |, x | 2 x – 2 |, x | 0,5 x – 2 |. Az új grafikonokat úgy kapjuk meg, hogy az eredeti grafikonok x tengely „alatti” részét tükrözzük az x tengelyre, a többi részt pedig a helyén hagyjuk. y

6 5 y

y 4

–1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

1

0

2

3

4

x

–1

0

1

|f |

|g|

|h|

Legnagyobb érték

3

nincs

2,5

Legkisebb érték

0

0

nincs

2

3

4

x

–1

0

1

2

3

4

x

A Az intervallumon értelmezett függvények ábrázolásához is használható a Graph program.

ELMÉLET Egy függvény abszolút értéke azt jelenti, hogy az értelmezési tartomány mindegyik eleméhez az eredeti helyettesítési érték abszolút értékét rendeljük hozzá.

F E L A DAT

1.

Legyen Df = [–3; 1], Dg = [–1; 2], Dh = ]–2; 3[; f (x) = g(x) = h(x) = x 3. Van-e a függvények értékkészletének legnagyobb, illetve legkisebb eleme? Ha van, akkor melyik szám az?

2.

1 Legyen Df = Dg = Dh = [–1; 4[ és f (x) = – x + 2, g(x) = –2 x + 2, h(x) = − x + 2. 2 a) Rajzoljuk meg a függvények grafikonját, adjuk meg f , g és h legnagyobb és legkisebb értékét, ha van! b) Rajzoljuk meg az f , g és a h függvény abszolút értékének grafikonját, és keressük meg az | f |, | g |, | h | függvények legnagyobb és legkisebb értékét, ha van!

5 3 . l e c ke

SZÉLSŐÉRTÉKEK

59

3.

a) Olvasd le a grafikonokról a függvények legnagyobb és legkisebb értékét, ha ezek léteznek! y 3

–3

f

y

3

3

2

2

1

1

–1 0 –1

–2

y

1

2

3

4 x

–3

h 1

–1 0 –1

–2

2

g

1

2

3

–1 0 –1

4 x

1

2

x

b) Vázold a – f , –g és –h függvények grafikonját, és állapítsd meg e három függvény legnagyobb és legkisebb értékét! (A – f jelölés azt a függvényt adja meg, amely az f értelmezési tartományának mindegyik eleméhez az eredeti helyettesítési érték ellentettjét rendeli hozzá.) c) Mennyi az | f |, | g |, | h | függvények legnagyobb és legkisebb értéke?

4.

Grafikonjával adtuk meg az f függvényt. a) Írd fel az f hozzárendelési szabályát! y b) Válaszd ki az | f |, a – f , a | – f | és a –| f | függvény grafikonját a megadottak közül! 4

f

y

y

2

5

5

1

4

4

3

–1 0 –1

1

2

3

a

–2

–1 0 –1

b

3

–2

2

2

–3

1

1

–4

3

x

y

–3 –4

–3 –2 –1 0

1

x

–1 0

1

2

3

x

3

x

1

–5

2

x

3

c

–5

d

y

y

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

–3 –2 –1 0 –1

1

x

–1 0 –1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

e

1

2

c) Írd fel legalább két ábrázolt függvény hozzárendelési szabályát!

H Á Z I F E L A DAT

1.

Legyen az f függvény értelmezési tartománya az [1; 3] zárt intervallum, és f (x) = a) Számold ki az f (1), f (2,8) és f (3) függvényértékeket!

60

1 x − 4. 2

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

b) Ábrázold az f függvényt! Állapítsd meg a legnagyobb és a legkisebb függvényértéket! 1 c) Rajzold le a g függvény grafikonját, ha Dg = [6; 10] és g(x) = x − 4 ! 2

2.

Olvasd le a grafikonról a függvények maximumát és minimumát, ha léteznek! y

y

y 1

1 0

3.

1

x

0

3 1

x

–r

– r2

–3

0

r 2

r

3r 2

2r

x

a) Rajzold meg az x  x 2 – 3 függvény grafikonját, ha az értelmezési tartománya a ]–1; 3] intervallum! Mekkora a legnagyobb és a legkisebb függvényérték? b) Tükrözd a függvény grafikonját az abszcisszatengelyre! Melyik függvény grafikonját kaptad meg így? Mennyi ennek a függvénynek a legnagyobb és a legkisebb értéke?

RÁADÁS

1. 2.

3.

Az f függvénynek az x = -2 helyen minimuma van. Milyen valós szám állhat p helyén? f : R " R; f ^ x h = 2x - p - 1 - 1 A g függvénynek az x = -2 helyen minimuma van. Milyen valós szám állhat p helyén? a) g : R " R; g ^ x h = x 2 - p b) g : R " R; g ^ x h = x 2 - p - 1 c) g : R " R; Hányféle lehetőség van? Ábrázoltuk egy f függvény grafikonját. Tekintsük a függvény leszűkítését egy [a; b] intervallumra! Ez azt a függvényt jelenti, amely az [a; b] intervallumon van értelmezve, és az intervallum elemeihez ugyanazt rendeli, mint az eredeti f függvény. h : [a; b] " R; x 7 f ^ x h

g^ x h = x 2 - p - 1

y

1 0

1

x

Add meg a és b értékét úgy, hogy egész számok legyenek, és a h függvénynek a) 3 maximumhelye és 2 minimumhelye legyen; e) 1 maximumhelye és 1 minimumhelye legyen! b) 2 maximumhelye és 2 minimumhelye legyen; f) Melyik kérdések azok, amelyekre csak véges számú megoldás van? c) 2 maximumhelye és 1 minimumhelye legyen; g) Határozd meg a függvények hozzárendelési szabályát! d) 1 maximumhelye és 2 minimumhelye legyen;

5 3 . l e c ke

SZÉLSŐÉRTÉKEK

61

54

NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Ábrázoljuk azt a függvényt, amely az x m2 (x ≥ 0) területű négyzethez hozzárendeli a négyzet méterben mért oldalhosszát! Megoldás Az x m2 területű négyzet oldala x méter hosszúságú, tehát az x  Néhány esetben táblázatba foglaljuk az összetartozó számokat: x

0

0,25

1

2,25

4

9

0

0,5

1

1,5

2

3

(0; 0)

(0,25; 0,5)

(1; 1)

(2,25; 1,5)

(4; 2)

(9; 3)

x Pont a grafikonon

x (x ≥ 0) függvényt kell ábrázolnunk.

A grafikon: y 3 y = Öx 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

Szemléletünk és a grafikon is azt mutatja, hogy ez a függvény szigorúan monoton növekvő (két négyzet közül a nagyobb területűnek nagyobb az oldala). ELMÉLET Definíció: A nemnegatív valós számok halmazán értelmezett x  x hozzárendelési szabállyal megadott függvényt négyzetgyökfüggvénynek nevezzük. Jelöléssel: R0+ " R; x  x . A négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton növekvő, értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. A legkisebb függvényérték a 0, legnagyobb függvényérték nincs. A négyzetgyökfüggvény grafikonja egy olyan parabolának a fele, amelynek a tengelypontja az origó, tengelye pedig az abszcisszatengely. F E L A DAT

1.

62

a) A megadott pontok közül melyek vannak rajta a négyzetgyökfüggvény grafikonján? A(4; 16), B(25; 5), C(100; –10), D(0; 0), E(–64; – 8), F(3,5; 12,25), G(51,84; 7,2) b) Melyik nemnegatív számhoz rendel a négyzetgyökfüggvény 0-t, 2,8-et, 5,1-et, illetve 12-t? c) Melyik számot rendeli a négyzetgyökfüggvény a 0-hoz, a 2,8-hez, az 5,1-hez, illetve a 12-höz?

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

2.

Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f : R0+ " R; f ^ x h = x + 2 b) g : R0+ " R;

3.

4.

g^ x h =

5.

x -1

A négyzetgyökfüggvényt az y tengely mentén lefelé toltuk a koordináta-rendszerben. Olyan függvényhez jutottunk, amelynek zérushelye 9. Mennyi a függvény minimuma? Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f : R0+ " R; f ^ x h = 3 x b) g : R0+ " R;

g^ x h = - 2 x

Ábrázold közös koordináta-rendszerben a két függvényt! Keresd meg a grafikonok metszéspontját, olvasd le a koordinátáit! f : R0+ " R; f ^ x h = x + 3 és g : R0+ " R; g ^ x h = 5 x - 5 2 a) Behelyettesítéssel ellenőrizd, hogy a leolvasott koordinátákkal megadott pont rajta van-e mindkét grafikonon! b) Mondj olyan egyenletet, amelynek megoldása a  metszéspont első koordinátája! Mit mutat meg a második koordináta?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Grafikonon ábrázoltunk két függvényt! Melyek ezek?

2.

y f

1 0

1

x g

3.

Ábrázold a függvény grafikonját, majd olvasd le a választ! f : R0+ " R; f ^ x h = 2 x Melyik az a szám, amely a) négyzetgyökének kétszerese 6; b) négyzetgyökének kétszerese egyenlő magával a számmal! Ábrázold és jellemezd a következő függvényt! f : R0+ " R; f ^ x h = x

RÁADÁS

1. 2. 3.

Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! R " R; és R " R; x 7 x 2 x7 x Ábrázold és jellemezd a következő függvényt! f : R0+ " R; f ^ x h = x - 2 - 2 A következő függvény esetén b olyan valós számot jelöl, hogy a függvény grafikonja nem szakad két részre, hanem egy folytonos vonal. Mennyi b értéke? ^ x + 1,5h2, ha x # 0 h : R " R; h ^ x h = ) ha x 2 0 - x + b,

4.

Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f : R " R; f ^ x h = x - 1 + x - 3 b) g : R " R;

5 4 . l e c ke

N É GY Z E T GY Ö K F Ü G GV É N Y

g ^ x h = 2x + 2x + 4

63

55

A MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNY SZÉLSŐÉRTÉKE

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Állapítsuk meg az f függvény zérushelyeit, rajzoljuk meg a grafikonját, és határozzuk meg az értékkészletét, ha f értelmezési tartománya a valós számok halmaza, és f (x) = (x + 1) (x – 3)! Megoldás f (x) = (x + 1) (x – 3) = 0, ha x + 1 = 0 vagy x – 3 = 0. x + 1 = 0, ha x = –1; x – 3 = 0, ha x = 3. A zérushelyek tehát a –1 és a 3. A grafikon megrajzolásához készítsünk táblázatot! x

–2

f (x)

5

Pont (–2; 5) a grafikonon

–1

y 5

3

0

1

2

0

–3

–4

–3

0

5

(–1; 0)

(0; –3)

(1; –4)

(2; –3)

(3; 0)

(4; 5)

zérushely

zérushely

4

4

f

3 2 1

A grafikon:

A függvény értékkészlete a (–4)-nél nem kisebb valós számok halmaza (jelölése: [–4; +∞[). A parabola szimmetriatengelye éppen a két zérushelyet jelző pont között középen metszi az x tengelyt.

–2

–1 0 –1

1

2

3

4

5

x

–2 –3 –4

ELMÉLET A másodfokú függvények grafikonja parabola. Ha a parabola felfelé nyitott, akkor a függvénynek minimuma van, ha lefelé nyitott, akkor maximuma. A parabola szélsőértékének megfelelő pont rajta van a parabola szimmetriatengelyén. Ezért ha ismerjük, hogy a szimmetriatengely hol metszi az x tengelyt, akkor ez lesz a szélsőérték helye, s a függvény ezen a helyen felvett értéke pedig a szélsőérték. Ha a parabolának van két különböző zérushelye: x1 és x2, akkor a másodfokú függx + x2 vény szélsőértékének helye: 1 . A szélsőértéket megkapjuk, ha ezt behelyette2 sítjük a hozzárendelés képletébe.

y

minimumhely x1

x1 + x2 2

x2

minimum

F E L A DAT

1.

64

Határozd meg a valós számok halmazán értelmezett f , g és h függvény zérushelyeit és értékkészletét, ha f (x) = x 2 – 9, g(x) = x 2 – 6,25 és h(x) = x 2 + 4!

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

x

2. 3.

Állapítsd meg a g függvény zérushelyeit, rajzold meg a grafikonját, ha értelmezési tartománya a valós számok halmaza, és g(x) = x (3 – x)! Add meg a g értékkészletét is! m m a gravitációs gyorsulás nagysága, de az IM nevű bolygón csak 2 2 . Kiszámították, hogy ha ezen s2 s m a bolygón 6 sebességgel függőlegesen fellövünk egy lövedéket, és az x másodperc múlva y méter magasan lesz, s akkor y = 6 x – x 2. a) Töltsd ki a táblázatot a füzetedben! A Földön 9,81

x

0

1

2

2,5

3

3,5

4

5

6

y b) A táblázat alapján grafikont készítettünk a lövedék helyzetéről a [0; 6] intervallumban. Válaszd ki az alábbiak közül a megfelelőt! A) B) C) y 9 8 7 6 5 4 3 2

y 9 8 7 6 5 4 3 2

y 9 8 7 6 5 4 3 2

1

1

1

0

1 2 3 4 5 6 7

x

0

1 2 3 4 5 6 7

x

0

1 2 3 4 5 6 7

x

c) Mennyi idő alatt érkezik vissza a kilövés helyére a lövedék? d) Milyen magasra emelkedik a lövedék? e) A kilövéstől számítva mikor lesz 5 méter magasságban a lövedék?

4. 5.

Az f másodfokú függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. f (x) = x (6 – x). a) Add meg a függvény zérushelyeit! b) Rajzold meg az f grafikonját! c) Add meg az f értékkészletét! d) Oldd meg az f grafikonjának felhasználásával az x (6 – x) = 8 egyenletet! Határozd meg a következő függvények szélsőértékhelyét és szélsőértékét! Melyik függvénynek van minimuma, melyiknek maximuma? a) R " R; x 7 (2x - 3) ⋅ (4x + 3) b) R " R; x 7 (5 - 3x) ⋅ (3x - 10)

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Állapítsd meg a g függvény zérushelyeit, rajzold meg a grafikonját, ha értelmezési tartománya a valós számok halmaza, és g(x) = x (x + 4)! Add meg a g értékkészletét is!

3. 4.

Add meg a következő függvények zérushelyeit! a) Négyzetgyökfüggvény b) x | x | e) x 9 – x 2 c) x 5 x + 12 f) x (x + 2,8) (x – 4,8) 2 d) x x

5 5 . l e c ke

A M Á S O D F O K Ú F Ü G GV É N Y S Z É L S Ő É R T É K E

Határozd meg a következő függvény minimumhelyét és minimumát! R " R; x 7 (x - 3) ⋅ (x + 8) Ábrázold a következő függvényeket koordinátarendszerben, majd olvasd le az értékkészletüket és a zérushelyeiket (ha vannak): a) Df = {0; 1; 4, 9} x  x 1 b) Dg = R \ {0} g(x) = x 3 c) Df = ]–4, 2] f(x)= – x – 3 2 65

56

GYAKORLATI FELADATOK

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Egy díszdoboz „alsó” részének elkészítéséhez egy 24 cm hosszú, 10 cm széles kartonlapból „vályút” készítünk úgy, hogy a két szélét derékszögben felhajtjuk. Milyen széles részt hajtsunk fel, hogy a vályú keresztmetszetének a területe a lehető legnagyobb legyen?

x cm 10 – 2x cm

24 cm

m xc –2 10

x cm

x cm

x cm

10 cm

10 – 2x cm

x cm

24 cm

Megoldás A keresztmetszet olyan téglalap, amelynek az oldalai x cm és (10 – 2 x) cm hosszúak, ezért a területe x(10 – 2 x) cm2. Az x egy 5-nél kisebb pozitív szám lehet. y Ábrázoljuk az x ∈ R, x  x(10 – 2 x) függvényt, vizsgáljuk meg, hol veszi 13 fel a legnagyobb értékét a ]0; 5[ intervallumon! 12 Ez egy másodfokú függvény (hiszen a hozzárendelési szabálya x 10 x – 2 x 2 11 alakban is megadható, és ez másodfokú kifejezés). A grafikonja lefelé nyitott 10 parabola. Hol metszi a parabola az x tengelyt? 9 8 x (10 – 2 x) = 0, ha x = 0, illetve ha 10 – 2 x = 0, vagyis ha x = 5. 7 Azt látjuk, hogy a függvényünk zérushelyei 0 és 5, a parabola tengelye pedig 6 ezek között középen, 2,5-nél metszi az x tengelyt. Éppen ez a szám a ten5 gelypont első koordinátája. Itt a legnagyobb a függvény értéke, vagyis a vályú 4 keresztmetszetének a területe. 3 2

Tehát a 10 cm-es oldalból kétfelől egy-egy 2,5 cm-es darabot kell felhajtanunk, hogy a legnagyobb keresztmetszetű vályú keletkezzen. Mekkora ekkor a keresztmetszet területe? Ha x = 2,5, akkor 10 – 2 x = 10 – 5 = 5, a téglalap területe pedig 2,5 · 5 = 12,5 (cm2).

66

1 0 –1

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

x

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

F E L A DAT

1.

2.

Ravaszdi úr alkalmi munkást keres egy munka elvégzésére. Azt mondja Okos Tóninak, hogy ha x óra alatt sikerül elvégeznie a munkát, akkor (6 – 2 x) tallér órabért fizet neki (ha 3 óra alatt sem végez, akkor fizetség nélkül kell távoznia). a) Mennyi órabér és mekkora fizetség járna akkor, ha Tóni 0,5 óra alatt elvégezné a munkát? És ha 2 óra alatt végezné csak el? Okos Tóni egy kis ideig gondolkodott, majd rájött, hogyan lehet a lehető legnagyobb összeget felvenni a munka elvégzéséért. b) Mennyi idő alatt végzett Tóni, ha valóban a legnagyobb összeget vette fel? c) Mekkora összeget kapott ekkor? Szilveszter este egy 5. emeleti erkélyről (kb. 15 m magasból) kilövünk egy tűzijátékot. A fizikai törvények szerint, ha a kilövéstől számítva x másodperc telt el, és ekkor a rakéta az erkély szintjétől számítva y méter magasságban van, akkor y = 5 x (2 – x). a) A kilövéstől számítva mennyi idő alatt esik vissza a rakéta az erkély szintjére? b) Mekkora magasságig emelkedik a rakéta az erkély szintjéhez viszonyítva? c) A kilövéstől számítva mennyi idő múlva esik le a rakéta a földre?

4.

A(0; 7), B(7; 0), és a P pont az AB szakasz pontja. y 8 A

7 6

P

5 4 3 2 1

B 0

1

2

3

4

5

6

7

8 x

a) Írd fel azt a hozzárendelési szabályt, amellyel a zöld grafikon pontjait jellemezhetjük! b) Ha P első koordinátája x, akkor a második koordinátája az a) pontban talált szabállyal felírható. Írd fel ekkor a rózsaszín téglalap területét! c) Melyek a P koordinátái, ha a színezett téglalap területe a lehető legnagyobb? Mekkora ez a terület?

5.

A grafikon egy bankszámlán lévő összeg alakulását mutatja az idő függvényében. P (ezer Ft) 120 110

3.

A Spedor nevű fuvarozócég a következő képlettel számítja ki a szállítási díjat egy teherautó igénybevétele esetén: f (x) = 2,5 x + 8. A képletben x jelöli a szállítás során megtett utat km-ben (x ≥ 0), f (x) pedig az érte fizetendő összeget tallérban. a) Hány tallérba kerül a szállítás 12 km távolságra [azaz mennyi az f (12)]? b) Mennyi a kiállási díj (amit a megrendelőnek akkor is meg kell fizetnie, ha végül nem veszi igénybe a szolgáltatást)? c) Hány km-t számlázott a Spedor, ha 53 tallért kellett fizetnünk? d) Ábrázold az f : x 2,5 x + 8, x ≥ 0 függvényt! e) A Padlógáz nevű konkurens szállítócég így adja meg az ajánlatát: egy teherautó igénybevétele esetén, ha x km a megtett út, akkor az érte fizetendő összeg 3x tallér. Mekkora távolságok esetén kedvezőbb a Padlógáz ajánlata?

5 6 . l e c ke

GYA KO R L AT I F E L A DAT O K

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

1

5

10

t (hét)

a) Mekkora a hetenkénti növekedés az utolsó szakaszban? b) Mi az itt szereplő függvény értelmezési tartománya, értékkészlete és hozzárendelési szabálya? c) Lineáris-e a bankszámlán lévő összeg és a számlára helyezés óta eltelt idő kapcsolata? 67

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Egy vidámparkban különösen kedvelt a sárkányrepülő. Két cimbora közül az egyik 15 menetért és a belépőért fizetett összesen 1600 forintot, a másik 18 menetért és a belépőért összesen 1840 forintot. a) Mennyi egy menet ára, és mennyi a belépődíj? b) Add meg a menetszám–összköltség összefüggést! c) Mennyit kellene fizetnünk 8 menetért? d) Hány menetre lenne elég 2000 forint? e) Igaz-e, hogy a menetszám és az összköltség kapcsolata lineáris?

3.

x

Egy tartályban a töltőanyag mennyisége az időnek lineáris függvénye. Ha a gyártási folyamat kezdetétől eltelt idő x óra, akkor a töltőanyag menynyisége y kilogramm. A kettő közötti kapcsolat: y = 500 – 2,5 x. Jelenítsd meg koordináta-rendszerben a „kapcsolatot”! a) Hány kilogramm töltőanyag fogy óránként? b) Mennyi idő alatt ürül ki a tartály? c) A gyártási folyamat indulása után mennyi idővel lesz a tartályban levő töltőanyag mennyisége 150 kilogramm?

(Egy teljes lengés történik például akkor, ha az inga a szélső helyzetéből ugyanebbe a szélső helyzetbe tér vissza.) a) Készítsd el az x  2 x (x ≥ 0) függvény grafikonját! b) Mekkora annak az ingának a hossza, amelynél egy teljes lengés 1 másodpercig (0,5 másodpercig, 2 másodpercig, 3 másodpercig) tart? c) Mekkora az 50 cm hosszú inga lengésideje? d) Bence azt mondja, hogy most már ő is tudja, hogyan lehet egy vékony fonál hosszát stopperórával megmérni. Te is tudod?

4.

68

Ha egy x méter hosszúságú vékony fonálra egy kisméretű (de elég „súlyos”) fémdarabot kötünk, és ezt az „ingát” lengésbe hozzuk, akkor egy teljes lengés ideje nagyon jó közelítéssel 2 x másodperc lesz.

Viliék egy téglalap alakú baromfiudvart akarnak elkeríteni 12 m hosszú drótkerítéssel. A baromfiudvar egyik oldala a hátsó kőkerítéshez támaszkodik. Mekkorák legyenek a téglalap oldalai, hogy a baromfiudvar a lehető legnagyobb legyen?

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

RÁADÁS Postai díjszabás Zedországban a postai díjak a küldemények tömegétől függnek a mellékelt táblázat szerint: Tömeg (egész grammra kerekítve)

Díj

20 g-ig

0,46 zed

21 g–50 g

0,69 zed

51 g–100 g

1,02 zed

101 g–200 g

1,75 zed

201 g–350 g

2,13 zed

351 g–500 g

2,44 zed

501 g–1000 g

3,20 zed

1001 g–2000 g

4,27 zed

2001 g–3000 g

5,03 zed

a) Az alábbi grafikonok közül melyik mutatja legjobban a postai díjszabást Zedországban? (A vízszintes tengelyen a tömeg grammokban, a függőleges tengelyen a díj zedben van ábrázolva.) A) C) 6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1000

2000

3000

4000

0

B)

2000

4000

3000

D)

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1000

1000

2000

3000

4000

0

20

50

100

200

350

500

1000

2000

3000

b) Gyurka két levelet akar küldeni (Zedországból) egy barátjának. A levelek tömege 40 g, illetve 80 g. A zedországi postai díjszabás alapján döntsd el, melyik esetben kell kevesebbet fizetnie Gyurkának: ha egy borítékban adja postára a két levelet, vagy ha külön-külön adja postára őket! Támaszd alá számolással az állításodat! c) Illeszkednek-e az A) jelű grafikon pontjai az y = 0,1 ⋅ x egyenletű görbére (a vízszintes tengelyt x-szel, a függőlegeset y-nal jelölve)?

5 6 . l e c ke

GYA KO R L AT I F E L A DAT O K

69

57

ABSZOLÚT ÉRTÉKES EGYENLETEK I.

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Lajos kerékpárversenyző. Napi edzése részeként a 45-ös kilométertáblánál álló házától állandó km 30 sebességgel elkarikázik a megyeszékhelyig, h ahol a kilométertáblák számozása kezdődik. Innen rögtön visszafordulva ugyanakkora sebességgel hazahajt. A mellékelt grafikon megmutatja, hogy Lajos az edzése melyik pillanatában mekkora távolságra volt a megyeszékhelytől. Az időpontokat az x tengelyről, a távolságokat az y tengelyről olvashatjuk le. A grafikon egyenlete: y = | 30 x – 45 |.

(

)

Megjegyzés: grafikus úton megoldottuk az | 30 x – 45 | = 25 egyenletet. y 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0,5

y 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0,5

1

1,5

2

2,5

3

x

a) Mikor hajt el Lajos a 25-ös kilométertábla mellett? b) Lajossal egy időben a barátja, Tibor is elindul egy kempingbiciklivel. Ő az 5-ös kilométertáblától indulva a megyeszékhellyel ellentétes irányban, km 10 sebességgel halad. Mikor és hol találkozik h Tibor Lajossal? Megoldás a) A második grafikonról leolvasható, hogy Lajos 20 2 odafelé = órakor (vagyis a 40. percben), 30 3 25 7 visszafelé pedig 1,5 + = órakor (vagyis a 2. óra 30 3 20. percében) halad el a 25-ös tábla mellett.

70

1

1,5

2

2,5

3

x

b) Az alsó koordináta-rendszerben ábrázoltuk azt a függvényt is, amely a kempingkerékpár helyzetét írja le. Ennek a hozzárendelési szabálya: x  10 x + 5. A két grafikon két helyen metszi egymást, tehát kétszer fognak találkozni. Először indulásuk után 1 órával (ekkor Lajos a városközpont felé halad), a 15-ös táblánál, aztán pedig indulásuk után 2,5 órával, a 30-as táblánál (ekkor Lajos már hazafelé kerékpározik). Megjegyzés: grafikus úton megoldottuk az | 30 x – 45 | = 10 x + 5 egyenletet. y 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0,5

1

1,5

2

2,5

3

x

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

2.

Melyik számot jelölheti az x, ha | 3 x + 2 | = 8?

Ezután a grafikonnak az x tengely alatti részét az x tengelyre tükrözzük. Így kapjuk az x |3 x + 2| függvény grafikonját. Ez a kék, V betűhöz hasonlító ponthalmaz. Ugyanitt megrajzoltuk az x 8 függvény grafikonját, a piros egyenest. A két grafikon metszéspontjainak első koordinátái adják meg az |3 x + 2| = 8 egyenlet gyökeit.

Megoldás Első (algebrai) módszer Két olyan szám van, amelynek az abszolút értéke 8: a 8 és a –8. Ezért 3 x + 2 = 8 vagy 3 x + 2 = –8. Az első egyenletből 3 x = 6, vagyis x = 2, a második egyen10 1 letből 3 x = –10, vagyis x = − = −3 . 3 3 Tehát az x két különböző számot jelenthet: a 2-t vagy 1 a −3 -ot. 3

y y=8

8 7 6 5 4

y = |3x + 2|

3

Második (grafikus) módszer Rajzoljuk meg az x |3 x + 2| függvény grafikonját, és olvassuk le, melyik számhoz rendeli ez a függvény a 8 értéket! Először az x 3 x + 2 elsőfokú függvényt ábrázoljuk:

2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

x

y

Az ábráról természetesen csak közelítőleg olvashatjuk le 1 a 2 és a −3 számot. 3 Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, megkaptuk-e az egyenlet gyökeit. Ha x = 2, akkor | 3 x + 2 | = | 6 + 2 | = 8, tehát a 2 gyöke az adott egyenletnek. 1 Ha x = −3 , akkor | 3 x + 2 | = | –10 + 2 | = 8, tehát 3 1 a −3 is gyöke az adott egyenletnek. 3 A grafikon jól mutatja, hogy az x más számot nem jelölhet.

9 8

y = 3x + 2

7 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

x

–2

E Egyenlet megoldásához használhatók a függvvényábrázoló programok is. F E L A DAT

1. 2.

Oldd meg a következő abszolút értékes egyenleteket (x ∈ R)! a) | x + 2 | = 3 b) | x + 2 | = 2,3 c) | x + 2 | = 0

d) | x + 2 | = –1,8

Írj fel egy-egy olyan egyenletet, amelynek a megoldása leolvasható a megadott grafikonról! Behelyettesítéssel ellenőrizd, hogy a leolvasott számok valóban megoldások! y a) y b) c) y 1

0

1 0

57. l e c ke

1

x

1 1

x

A B S Z O L Ú T É R T É K E S E GY E N L E T E K I .

0

1

x

71

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

3.

Oldjuk meg grafikus úton az | 3 x + 2 | = 0,5 x – 1 és az | 3 x + 2 | = 0,5 x + 5 egyenletet (x ∈ R)!

y 11

Megoldás Az előző feladat megoldása során már megrajzoltuk az x | 3 x + 2 | függvény grafikonját. Most berajzoljuk ugyanabba a koordináta-rendszerbe az x 0,5 x – 1 és az x 0,5 x + 5 elsőfokú függvény grafikonját is. Az első egyenesnek nincs közös pontja az x | 3 x + 2 | függvény grafikonjával. Ez azt jelenti, hogy az | 3 x + 2 | = 0,5 x – 1 egyenletnek nincs gyöke.

y = |3x + 2|

10 9 8

,5x

7

0 y=

+5

6 5 4

A második egyenesnek 2 közös pontja van az x | 3 x + 2 | függvény grafikonjával. Ez azt jelenti, hogy az | 3 x + 2| = 0,5x + 5 egyenletnek 2 gyöke van, e közös pontoknak az első koordinátája: –2 és 1,2. Az ábráról csak közelítőleg olvashatjuk le a metszéspontok első koordinátáit. Hogy pontosan ezek a gyökök, azt behelyettesítéssel ellenőrizhetjük: Ha x = –2, akkor | 3 x + 2 | = | –6 + 2 | = 4 és 0,5 x + 5 = –1 + 5 = 4, vagyis a –2 gyöke az egyenletnek; ha x = 1,2, akkor | 3 x + 2 | = | 3,6 + 2 | = 5,6 és 0,5 x + 5 = 0,6 + 5 = 5,6, vagyis az 1,2 is gyöke az egyenletnek. A grafikonról leolvashatjuk, hogy egyenletünknek több gyöke nem lehet.

3 2 1

y=

–4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

0,5x

-1

3

x

–2 –3

F E L A DAT

3.

Oldd meg a következő abszolút értékes egyenleteket (x ∈ R)! a) | 2 x – 6 | = 3

2 c) | 2 x – 6 | = − x + 6 5

b) | 2 x – 6 | = x

d) | 2 x – 6 | = x – 3

4.

Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket (x ! R)! Behelyettesítéssel ellenőrizd a megoldásokat! a) 2,5x - 4 = - 3 x + 4 b) 9 - 2 x = 1,8x - 2 2 5

5.

Oldd meg grafikusan az alábbi egyenleteket (x ∈ R)! a) | x | = x 2 b) | x | = x 2 – 2

c) | x | = (x – 2) 2

d) | x | = – x 2 + 6

H Á Z I F E L A DAT

1.

Írj fel egy-egy olyan egyenletet, amelynek a megoldása leolvasható a megadott grafikonokról! Behelyettesítéssel ellenőrizd, hogy a leolvasott számok valóban megoldások-e! a) b) c) y

y

y

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

–4 –3 –2 –1 0

72

1

2

3

4 x

–4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4 x

–4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4 x

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

2.

Oldd meg a következő egyenleteket (x ∈ R)! a) | x – 2,7 | = 3,5 c) | 70,4 + 22 x | = 30,8 b) | 5,7 – 3 x | = 5,7 d) | 4 – x | + 9 = 0

3.

Oldd meg grafikusan az alábbi egyenleteket (x ∈ R)! a) | 2 x | = x + 2 c) | 2 x – 2 | = 3 – x 1 2 b) | 2 x | = 3 – x d) x−2 = − x+2 3 3 M Megoldásaidat függvényábrázoló programmal is ellenőrizheted.

RÁADÁS Vizsgáljuk meg, hogy az a értékének más-más megválasztása esetén hány gyöke van a |3 x + 2| = x + a egyenletnek! y 9 8

y=x+2 3

7 6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5

6

7

x

–2 –3 –4

Adjunk az a-nak több értéket! Ábrázoljuk az x  x + a elsőfokú függvényeket az x | 3 x + 2 | függvénnyel közös koordináta-rendszerben! Látjuk, hogy 2 ha a = , akkor az egyenesnek 1 közös pontja van az x | 3 x + 2 | 3 2 függvény grafikonjával, vagyis az 3x + 2 = x + egyenletnek egy 3 2 gyöke van, a − ; 3

2 , vagyis ha a piros egyenest „feljebb” toljuk, akkor az új egyenesnek 2 közös pontja van az x | 3 x + 2 | függ3 vény grafikonjával, vagyis az | 3 x + 2 | = x + a egyenletnek két gyöke van; 2 ha a < , vagyis ha a piros egyenest „lejjebb” toljuk, akkor az új egyenesnek nincs közös pontja az x | 3 x + 2 | függvény 3 grafikonjával, vagyis az | 3 x + 2 | = x + a egyenletnek nincs gyöke.

ha a >

F E L A DAT

1.

2.

A p paraméter egy valós szám. Mennyi p értéke, ha a 2 x + p = 1,5x - 4,5 egyenletnek 3 a) nincs megoldása; b) pontosan egy megoldása van; c) két megoldása van? Ábrázold a következő függvény grafikonját! a) f : [0; 4] " R; f ^ x h = )

x, ha 0 # x 1 1 f ^ x - 1h, ha x $ 1

b) g : [0; 4] " R; g(x) = 1, ha 0 # x 1 1 ; 57. l e c ke

és g(x + 1) = g(x) + x; ha 0 # x # 3

A B S Z O L Ú T É R T É K E S E GY E N L E T E K I .

73

58

GYAKORLÁS; TUDÁSPRÓBA

F E L A DAT

1.

3.

Egy napilapban találtuk ezt a grafikont: Közvetlen családtagjain kívül hány olyan ismerőse van, akitől szükség esetén komolyabb segítséget kérhet? (1000 válasz alapján, százalékban kifejezve) 30

26

25

22

20 15

13

14

10

2003. dec. 2008. dec.

25 20

15

15 11 6

10 8

8

3,8 2,5

4.

átlag 7

5 0

egy sincs

egy

kettő három négy

öt

5.

hat vagy több

a) Mit állapíthatsz meg ezekből az adatokból? b) Készíts másféle grafikont ehhez a problémához!

2.

7.

Egy dobókockával 50-szer dobtunk, és a következő eredményeket kaptuk: 6, 3, 2, 5, 2, 2, 1, 5, 4, 1, 3, 2, 5, 6, 2, 2, 1, 5, 4, 1, 6, 1, 5, 6, 2, 2, 3, 5, 2, 1, 6, 2, 5, 6, 2, 6, 1, 5, 4, 1, 4, 2, 5, 6, 1, 3, 3, 5, 4, 1. a) Készíts gyakorisági táblázatot! b) Ábrázold a gyakoriságokat oszlop- és körgrafikonon! c) Melyik szám a módusz, és melyik a medián? (Válaszodat indokold meg!) d) Mennyi a módusz dobásának a relatív gyakorisága? e) Mennyi a dobott pontok átlaga?

Add meg azt a függvényt, amelynek grafikonja az az egyenes, amely áthalad a P(-1;-3) és Q(3; 3) pontokon! Ábrázold a következő függvényeket! Add meg az értékkészletüket, a zérushelyeiket, a legnagyobb és a legkisebb függvényértéküket, ha ezek léteznek! Jellemezd a növekedési viszonyaikat! 3 a) x ∈ [0; 5], x  x + 1 2 b) x ∈ ]–3; 4[, x  x 2 – 8 c) x ∈ [–1; +∞[, x  –2 x Közülük melyik elsőfokú függvény, melyik egyenes arányosság?

6.

Az f függvény értelmezési tartománya a [–4; 6[ intervallum, hozzárendelési szabálya: x  |2 x – 3|. Rajzold meg az f grafikonját, sorold fel néhány tulajdonságát (legnagyobb függvényérték, legkisebb függvényérték, értékkészlet, zérushely, növekedő, csökkenő, monoton)!

Olvasd le a grafikonjukkal megadott függvények értelmezési tartományát, legnagyobb és legkisebb értékét (ha van!), értékkészletét, zérushelyeit! y 4 3 2

y 4 3 2

y 4 3 2

y 4 3 2

1

1

1

1

–4 –3 –2 –1 0 –2 –3 –4

74

Egy elsőfokú függvény grafikonja olyan egyenes, amely áthalad a (0; –3) ponton, és a meredeksége 2. Az alább felsoroltak közül melyik a függvény hozzárendelési szabálya? a) x –3 x + 2 c) x 2 x – 3 b) x 3 x – 3 d) x 2 x

1 2 3 4 5 6

x

–1 0 –2 –3 –4 –5

1 2 3

x

–1 0 –2 –3 –4

1 2 3 4

x

–4 –3 –2 –1 0

1 2

x

–2 –3 –4

A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

TUDÁSPRÓBA

1.

A grafikon egy osztály matematikadolgozatának eredményeit szemlélteti. Mennyi lett a jegyek átlaga?

darabszám

10

– Értékkészletének eleme a 0. – Ha x zérushelye, akkor |x| is zérushelye.

5.

8 6 4

y (méter)

2 0

2.

Egy kisebb folyó vízállását 24 órán keresztül folyamatosan mérték, majd grafikonon ábrázolták.

1

2

3 érdemjegy

4

5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5

5

a) A megadott egyenesek közül melyik egyenlete az 2 y = x + 2? 3 b) Melyik lehet egyenes arányosság grafikonja? y

–8

–6

1

7 6 5 4 3 2 1

A

–4

–2

0

B

4

6

8

x

c) Add meg a többi grafikon egyenletét is!

4.

15

20

x (óra)

a) Ezen a folyón a harmadfokú árvízvédelmi készültséget akkor rendelik el, ha a vízállás eléri a  3,5 métert. Mikor rendelték el, illetve mikor szüntették meg a harmadfokú készültséget? b) Óránként hány méterrel nőtt a vízszint, amikor a növekedés sebessége a legnagyobb volt? c) Óránként hány méterrel változott a vízszint, amikor a változás (növekedés vagy csökkenés) a leggyorsabb volt?

–2 –3 –4 –5 –6

3.

10

C

D

2

5

Egy f lineáris függvényről tudjuk, hogy értelmezési tartománya a valós számok halmaza, f(-2) = 5, és f(2) = -1. a) Ábrázold a függvény grafikonját! b) Add meg a függvény hozzárendelési szabályát! c) Ábrázold és jellemezd az f függvényt!

6.

Egy újszülött koala kb. 2 cm hosszú. Az ezt követő 4 év alatt – havonta átlagosan 1,5 cm-t növekedve – fejlődik ki teljesen. a) Add meg azt a függvényt, amely a koala hosszát a születése óta eltelt hónapok számának függvényében írja le! b) Milyen hosszú egy 1 éves koala? c) Mennyi idősen lesz 50 cm hosszú?

Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvényeket! f : R " R; f (x) = x2 - 4 és g : R " R; g(x) = (x - 4)2 Melyik függvényre igazak a kövezkező állítások: f-re, g-re, mindkettőre vagy egyikre sem? – A negatív számok halmazán szigorúan monoton csökkenő. – A pozitív számok halmazán monoton nővekvő. – Az x = -4 helyen minimuma van. – Az x = 2,5 helyen az értéke 2,25.

5 8 . l e c ke

GYA KO R L Á S ; T U D Á S P R Ó B A

75

TÉMAZÁRÓ FELADATGYŰJTEMÉNY 1.

Egy felmérés során 1000 véletlenszerűen kiválasztott embert kérdeztek meg arról, hogy milyen közlekedési eszközzel jár reggelente munkába. A válaszok számát a táblázat mutatja: Gyalog

7.

125

Kerékpár, motorkerékpár

75

Autó

425

Tömegközlekedés

375

8.

a) Számítsd ki az adatok relatív gyakoriságát! b) Ábrázold a megoszlást kördiagramon!

2.

Egy 35 pontos matematika dolgozatban a következő pontszámok születtek: Pontszám Gyakoriság

0–5 6–10 11–15 16–20 21–25 25–30 31–35 2

2

8

5

8

6

5

a) Ábrázold oszlopdiagramon az adatokat! b) Készíts táblázatot a relatív gyakoriságokról! c) Számítsd ki a pontszámok átlagát az osztályközepek segítségével!

3.

4.

5.

6.

76

9.

Ha egy nyolcoldalú dobó-oktaéderrel dobunk, az eredmény egy 1 és 8 közötti egész szám. Egy dobássorozat: 2, 4, 4, 6, 4, 1, 7, 8, 7, 3, 1, 3, 5, 5, 8. Határozd meg a dobások átlagát, móduszát, mediánját! 12 szám módusza 3, átlaga 4. Hozzávettünk még egy számot, így az átlag 5-re növekedett. Melyik számot tettük a számsokasághoz? Mit mondhatunk az új számsokaság móduszáról? Adott két halmaz: Hány különböző függvény van, amelynek a) értelmezési tartománya A és képhalmaza B; b) értelmezési tartománya B és képhalmaza A; c) értelmezési tartománya A és értékkészlete B; d) értelmezési tartománya B és értékkészlete A? Ábrázold a következő függvények grafikonját! a) f : {-2; -0,5; 0,5; 1; 2} " R; f(x) = 2x b) g : {-2; -0,5; 0,5; 1; 2} " R; g(x) = 2 x

10 .

11 .

12 .

13 .

14 .

Ábrázold a következő függvények grafikonját! a) {-2; -0,5; 0,5; 1; 2} " R; x 7 x + 3 b) [-2; 2] " R; x 7 x + 3 c) ]-1; 3] " R; x 7 x + 3 d) R+ " R; x 7 x + 3 Add meg az elsőfokú függvényt, ha a) grafikonjának meredeksége 1 és az y tengelyt 3 -2-nél metszi; b) grafikonjának meredeksége -4 és az y tengelyt 2 -nél metszi! 5 Add meg az elsőfokú függvényt, ha a) grafikonjának meredeksége -3 és egyik pontja P(4; 1); b) grafikonjának meredeksége 2,5 és egyik pontja P(1,5; 3)! Add meg az elsőfokú függvényt, ha a) grafikonjának két pontja P(2; 1) és Q(7; 4); b) grafikonjának két pontja P(-8; -2) és Q(6; 2)! Add meg az elsőfokú függvényt, ha a) grafikonjának két pontja P(102; 13) és Q(17; 21); b) grafikonjának két pontja P(-41; -9) és Q(56; 92)! Mennyi Fahrenheit-fokban mérve a) a glicerin fagyáspontja (18 °C); b) az etanol forráspontja (78,4 °C)? Egy f elsőfokú függvényről tudjuk, hogy f(-4) = 10 és f(2) = 8. Add meg a függvény hozzárendelési szabályát! Egy biciklis állandó, 5 m sebességgel halad. Indulás sa után 1 másodperccel egy másik kerékpáros is elindul ugyanazon az úton, ugyanarról a kezdőpontról, ugyanabban az irányban. A  második biciklis sebessége 6 m . s Ábrázold közös koordináta-rendszerben, hogy mekkora utat tesznek meg az idő függvényében (az első A DAT O K É S F Ü G GV É N Y E K

biciklis indulásától számítva)! Olvasd le a grafikonról, hogy mikor, és milyen távol éri utol a második kerékpáros az elsőt!

15 .

16 .

17 .

18 .

Egy időben két gyertyát gyújtunk meg. Az első gyertya 16 cm magas, és 4 óra alatt égne le teljesen. A második gyertya 12 cm magas, és 6 óra alatt égne le teljesen. Ábrázold közös koordináta-rendszerben, hogy milyen magasak a gyertyák az idő függvényében (a meggyújtásuk pillanatától számítva)! Mikor lesznek egyforma magasak? Milyen magasak ekkor? Ábrázold a függvények grafikonját! a) R " R; x 7 2x - 3 és R " R; x 7 2x - 3 b) R " R; x 7 2 x - 3 és R " R; x 7 2 x - 3 3 3 c) R " R; x 7 1 x - 3 és R " R; x 7 1 x - 3 2 2 Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! a) R " R; x 7 3x - 5 b) R " R; x 7 1 - 2,5x Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! Határozd meg szélsőértékeieket, növekedési viszonyaikat, értékkészletüket, zérushelyüket! a) {-1; 5} " R; x 7 6 - 2x b) [-1; 5] " R; x 7 6 - 2x c) ]-1; 5] " R; x 7 6 - 2x

21 .

22 . 23 .

25 .

26 . 27 .

Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) R " R; x 7 x 2 - 1 b) R " R; x 7 x 2 + 2,5 c) R " R; x 7 ^ x - 0,5h2 Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! R0+ " R; x 7 x ; R0+ " R; x 7 x + 1; R0+ " R; x 7 x - 1,5 Hol van zérushelye és szélsőértéke a következő függvényeknek? Határozd meg a szélsőértékeiket! a) R " R; x 7 ^ x - 3h $ ^ x - 6h b) R " R; x 7 ^ x - 1h $ ^ x + 4h c) R " R; x 7 ^2x - 5h $ ^ x + 3h Egy termék gyártása során a gyártósor legfeljebb 400 terméket készít naponta. x db termék gyártásakor a nyereség 600x - x2. Hány termék előállításakor keletkezik a legnagyobb nyereség? A valós számok mely legbővebb részhalmazán teljesül, hogy f(x) 1 g(x), ha f(x) = ;x - 2; + 1 és g(x) = -(x - 3)2 + 2? A grafikon egy „challenge day” napi kirándulás mozgásgrafikonja. Vizsgáld meg a grafikont, és válaszolj a következő kérdésekre! távolság (km)

18 16 14 12 10

19 .

20 .

Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! Határozd meg szélsőértékeieket, növekedési viszonyaikat, értékkészletüket, zérushelyüket! a) {-3; 3} " R; x 7 5 x + 5 2 b) [-3; 3] " R; x 7 5 x + 5 2 5 c) ]-3; 3] " R; x 7 x + 5 2 Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) R " R; x 7 x 2 ; R " R; x 7 x 2 + 3,5 ; R " R; x 7 x 2 - 9 b) R " R; x 7 x 2 ; R " R; x 7 ^ x + 4h2 ; R " R; x 7 ^ x - 1,5h2

T É M A Z Á R Ó F E L A DAT GY Ű J T E M É N Y

8 6 4 2 0

9

11

idő (h)

a) Milyen messzire jutottak a kirándulók a kiindulási helyüktől? b) Hazaérkezésig összesen hány kilométert gyalogoltak? c) Mikor (mely időpontok között) haladtak a leggyorsabban? d) Hány km volt a sebességük egyes esetekben? h e) Hányszor tartottak pihenőt? f) Összesen mennyi ideig pihentek? g) Hány órakor indultak hazafelé? h) Hány órakor érkeztek haza? 77

59

A BETŰK SZEREPE A SZÁMOLÁSBAN

BEVEZETŐ Egy sokszög átlóinak száma 27. Határozzuk meg, hogy hány oldalú a sokszög! Megoldás Jelöljük n betűvel a sokszög oldalainak számát! Korábban láttuk, hogy az n oldalú sokszög összes átlóinak száma n^n - 3h . 2 Keressük tehát azt az n $ 3 egész számot, amelyre teljesül, n^n - 3h = 27! hogy 2

Ezt átalakítva: n $ ^n - 3h = 54 . Mivel n most csak egy 3-nál nagyobb egész számot jelölhet, az 54 összes osztóját felírva az egyenlet könnyen megoldható. 9 ⋅ 6 = 54 alapján az egyenlet megoldása: n = 9. Tehát a keresett sokszög kilencoldalú. Fontos megjegyezni, hogy ha nem vesszük figyelembe, mi volt a kérdés, és az n $ ^n - 3h = 54 egyenlet megoldását az egész számok halmazán keressük, akkor a -6 is megoldása az egyenletnek. Jövőre azt is látni fogjuk, hogy több megoldás nincsen (a valós számok halmazán).

ELMÉLET Mikor használunk számok helyett betűket a matematikában? – Betűk használatával röviden írhatunk fel általános összefüggéseket. Például: ^a + bh $ c = a $ c + b $ c , minden a, b, c valós szám esetén. – A gyakran használt számításokat képlettel adhatjuk meg. Például: az A Ft kezdeti tőke p%-os kamat mellett n év alatt p n A $ c1 + m forintra nő. 100 – Feladatok megoldása során az ismeretlen számot jelölhetjük egy betűvel, mint azt a Bevezetőben tettük. – Geometriai számításokat és összefüggéseket is sokszor betűkkel írunk le. Nagyon figyelj oda, hogy az adott esetben melyik betűvel mit jelölünk. Például az ábra szerinti háromd m szög oldalaira így írható fel a Pitagorasz-tétel: d 2 + m2 = k2. – A r irracionális számot azért jelöljük egy betűvel, mert így pontosan beszélhetünk róla, k mint a kör kerületének és átmérőjének a hányadosáról, de számjegyekkel csak közelítő értékét írhatnánk fel. – A valós számok halmazán vagy annak egy részhalmazán értelmezett függvény megadásakor a hozzárendelési szabályt megadhatjuk egy betűvel jelölt kifejezéssel: f^ x h = ^ x - 1h2 (x ! R). A képletekben szereplő betűket nevezhetjük változóknak vagy ismeretleneknek. (Később majd találkozunk még paraméternek nevezett betűkkel.) A betűs kifejezések használatakor minden esetben fontos megadni, hogy az általunk használt betűk melyik számhalmaz elemeit helyettesítik. Ezt a kifejezés alaphalmazának nevezzük. Bevezető példánkban a kifejezés alaphalmaza a 3-nál nagyobb egész számok halmaza volt. Az alaphalmaznak azt a részhalmazát, amelyekkel a jelölt műveletek elvégezhetők, a kifejezés értelmezési tartományának nevezzük. Például ha a 2x - 1 kifejezés alaphalmaza a valós számok halmaza, a kifejezés értelmezési tartománya R \ {-3}. x+ 3 Ha a betűs kifejezésben a változók helyére az értelmezési tartományból konkrét számokat helyettesítünk, akkor a műveletek elvégzése után egy számot, a kifejezés helyettesítési értékét kapjuk. Például 100 000 Ft-ot elhelyezve a bankban évi 10 6%-os kamatra, 10 év után 100 000 $ c1 + 6 m = 105 $ 1, 0610 . 179 085 Ft-ot vehetünk fel. 100 78

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

F E L A DAT

1.

2.

Válaszodat fejezd ki a szövegben szereplő betűk (változók) segítségével! a) A bodzaszörp üveggel együtt b Ft-ba kerül, az üveg betétdíja ü Ft. Mennyit fizetünk, ha x üveg bodzaszörpöt vásárolunk úgy, hogy y darab üveget viszünk vissza? b) Riska tehén x liter tejet ad naponta. A tej 2 5 részéből túrót csinálnak, a többit eladják. 1 liter tejből 1 kg túró lesz. 1 liter tej ára a forint, 4 a túró kilója b forint. – Hány liter tejet adnak el naponta, és ebből mennyi bevételük származik? – Hány kg túrót csinál a gazda, és ezért hány forintot kap? – Hány forint bevételt hoz a gazdának Riska tehén naponta? – Válaszolj a kérdésekre, ha tudod, hogy Riska naponta 22 liter tejet ad! c) Fejezd ki k segítségével a k kerületű szabályos háromszög területét! Melyik egyenlőség igaz minden esetben, ha a betűk bármely számot jelölhetik? a) a 5 · a 3 = a 15 d) a 2 + 5 2 = (a + 5) 2 5 5 5 b) a · b = (ab) e) –a 2 = (–a) 2

( ) = (a )

c) a

4 3

3 4

3.

a) Mekkora a nagy téglalap és a négy kisebb téglalap területe, ha x = 4?

x

2

x

6

x2

6x

x

12

2

2x x

6

b) Melyik egyenlőség tartozik a rajzhoz? A) (x + 6) + (x + 2) = x 2 + 8 x + 12 B) (x + 6) x + 2 = x 2 + 6 x + 2 x + 12 C) (x + 6) (x + 2) = x 2 + 8 x + 12 D) x + 6 (x + 2) = x 7 + 12

4.

Bizonyítsd be, hogy ha három szomszédos egész számot összeadunk, akkor eredményül mindig a középső szám háromszorosát kapjuk!

5.

Add meg – algebrai kifejezéseket használva – azokat a pozitív egész számokat, amelyek a) 5-tel osztva 3 maradékot adnak; b) két nullára végződnek; c) 23-ra végződnek.

6.

Egy kétjegyű számhoz hozzáadtuk számjegyeinek összegét, és így 81-et kaptunk. Mi lehetett az eredeti kétjegyű szám?

2.

Bizonyítsd be a következő állításokat algebrai kifejezések segítségével! a) Ha két szám összegéhez hozzáadjuk a különbségüket, akkor a kisebbítendő kétszeresét kapjuk. b) Ha két szám összegéből kivonjuk a különbségüket, a kivonandó kétszeresét kapjuk.

3.

Melyik az a 3-mal osztható háromjegyű szám, amelynek középső számjegye 0, az első számjegye pedig az utolsónál 1-gyel kisebb?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Fejezd ki x segítségével a következő mennyiségeket! a) Az x számnál 25-tel nagyobb szám köbének a négyzete. b) Egy kocka összes élének együttes hossza x cm. Mekkora a felszíne? c) Egy „kutyástalálkozón” az állatok és emberek száma 200 volt. Hány lábuk volt a résztvevőknek összesen, ha x kutya volt? d) Marci heti zsebpénze x Ft. Hétfőn elköltötte zsebpénzének a negyed részét, kedden pedig a  maradék 2 részét. Mennyi pénze maradt 3 a hét hátralévő napjaira?

5 9 . l e c ke

A BETŰK SZEREPE A SZÁMOLÁSBAN

79

60

SZÁMOLÁS AZ ALGEBRÁBAN

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 4 $ a 2 $ b $ 5 $ a $ b3 $ 2 $ a ! 8 3

Megoldás Alkalmazzuk a felcserélhetőség és a csoportosíthatóság tulajdonságát, majd a hatványozás azonosságait! 4 $ a 2 $ b $ 5 $ a $ b3 $ 2 $ a = ` 4 $ 5 $ 2 j $ ^a 2 $ a $ ah $ ^b $ b3h = 5 a 4 b 4 8 3 8 3 3

ELMÉLET Az algebrai kifejezésekben a betűk számokat jelölnek. A számok között megismert műveleti szabályokat alkalmazhatjuk rájuk. Ugyanaz a betű ugyanazt a számot jelöli. A példában szereplő kifejezést egytagú kifejezésnek nevezzük. Egytagú algebrai kifejezések azok, amelyekben csak szorzás szerepel. (A hatványozás is szorzás, a számmal való osztás pedig törtszámmal való szorzásként is felírható.) Ezeket célszerű olyan alakra hozni, amelyben egyetlen szám szerepel – mégpedig a kifejezés első tényezőjeként –, a betűk ábécérendben követik egymást, és egy betű csak egyszer fordul elő. Az ilyen alakú kifejezést nevezzük rendezett egytagú kifejezésnek. Az ilyen alakú kifejezésben a számtényezőt együtthatónak nevezzük. Például: az 5 a 4 b 4 kifejezés együtthatója 5 , az a 4 b 4 vagy az x kifejezések együtthatója 1. 3 3

F E L A DAT

1.

Írd fel az alábbi kifejezések rendezett alakját, és állapítsd meg az együtthatójukat! a) 3 $ x $ x $ x3 c) x 4 $ ^-1h $ x b) 2x $ y 2 $ x 2 3

d)

2.

3 2 ^-1h $ x $ ^- 2h $ x $ y

-2

Írd fel az alábbi kifejezések rendezett alakját! Melyik két-két kifejezés az, amelyik összeadva egytagú kifejezésként is felírható? Végezd el ezt a két összeadást! 2 $ x3 $ y 2 1 $ y $ x $ y2 ; ; 5 7 2 2 y $ ^- 3h $ x $ y ; 4$x $y$x$y

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

2.

Végezzük el a kivonást: ^3x5 - 4x + x 2 - 8h - ^15 + 6x 2 - 8xh !

Megoldás ^3x5 - 4x + x 2 - 8h - ^15 + 6x 2 - 8xh = 3x5 - 4x + x 2 - 8 - 15 - 6x 2 + 8x =

5 2 2 5 2 = 3x + ^6x + x h + ^- 4x - 8xh + ^- 8 + 15h = 3x + 7x - 12x + 7

80

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

3.

Végezzük el a kijelölt műveleteket, bontsuk fel a zárójeleket! a) 2x $ ^3x 2 - 2x + 1h b) ^ y 2 + 3yh^ y 2 + y - 2h

Megoldás Alkalmazzuk a széttagolási (disztributív) tulajdonságot, a zárójel felbontási szabályait, továbbá az azonos alapú hatványok szorzásáról tanultakat! Figyeld meg! Azokat a tagokat tudjuk összevonva (azaz összeadva vagy kivonva) egy tagként felírni, amelyek legfeljebb az együtthatójukban különböznek. a) 2x $ ^3x 2 - 2x + 1h = 2x $ 3x 2 + 2x $ ^- 2xh + 2x $ 1 = 6x3 - 4x 2 + 2x b) ^ y 2 + 3yh^ y 2 + y - 2h = ^ y 2 + 3yh y 2 + ^ y 2 + 3yh y + ^ y 2 + 3yh^- 2h = y 4 + 3y3 + y3 + 3y 2 - 2y 2 - 6y = y 4 + 4y3 + y 2 - 6y

F E L A DAT

3.

4.

5.

Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredményekben vond össze és rendezd a tagokat! a) 3a - a + 3 5 4 5 2 x 5 b) - x+1 3 6 c) ^5 - 3x 2 + 8xh + ^- 2x3 + x 2 - 9h d) a - b - ^a - bh - ^2a - bh Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredményekben vond össze és rendezd a tagokat! a) ^-15x3 yh $ c 3 xy3 m 5 b) ^2a 2 - 3ab + b 2h + 2ab c) 4^5 + yh + 6^2 - y - y3h

c) ^2a - 4h^5 - a3 - ah d) ^2xy - 3x 2h^5x + 4yh

6.

Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges öszszevonásokat, majd számítsd ki a kifejezések helyettesítési értékét is (a megadott értékek mellett)! a) ^- 3x + 2h 4x + 6^1 - xh - 4x^ x - 5h ; x = 3 4 1 1 1 1 b) c x - y m 6x - c x + y m 12y ; 2 3 3 2 x = -2, y = 3

7.

Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredményekben vond össze és rendezd a tagokat! a) p^ p 4 - 2h + p^1 - p 4h

A következő kifejezések közül melyek azok, amelyek a bennük lévő betűk bármely értékénél pozitívok? a2 + b2; a2 - b2; -a2b2; (a - b)2; a2 + 1;

-a2 – 1;

a3 - 1

b) ^- 7x 2 + 1h^2x - 4h

H Á Z I F E L A DAT

1.

Írd fel az alábbi kifejezések rendezett alakját, és állapítsd meg az együtthatójukat! 3x3 $ xy $ y5 x ;

2.

Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges öszszevonásokat! a) x 2 (5 – 2 x + 3 x 2 – x 3) b) (a 2 + 2 a + 4) (a – 2) c) (b 3 + 3 b 2 + 3 b + 1) (b + 1) d) (3a - 7)(-5a + 3)

4.

Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges öszszevonásokat, majd utána számítsd ki a kifejezés helyettesítési értékét, ha x = 2 és y = -1! ^3x - yh $ ^2y + 1h $ ^ x - 2yh

a 4 $ b 2 $ 4a $ 5b 4 2

Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges öszszevonásokat! a) (x + 1) – 2 (x + 2) + 3 (x + 3) – 4 (x – 4) b) x (x + 1) – x 2 (x – 2) + x 3 (x – 3) – x 4 (x – 4) c) 5 (5 – 3 a – 2 a 3 + a 2) – 4 (7 + 2 a 2 – a 3 – a 4)

6 0 . l e c ke

3.

SZÁMOLÁS AZ ALGEBRÁBAN

81

61

NEVEZETES SZORZATOK I.

BEVEZETŐ Végezzük el a kijelölt műveleteket, és figyeld meg, hogy milyen tagok jelennek meg az eredményben a szorzás (vagy négyzetre emelés) és összevonás után! a) ^2a + 3h^2a + 3h

b) c x + 5 mc x + 5 m 2 2

c) ^ y 2 + xh^ y 2 + xh

Megoldás a) ^2a + 3h^2a + 3h = ^2a + 3h $ 2a + ^2a + 3h $ 3 = 2a $ 2a + 3 $ 2a + 2a $ 3 + 3 $ 3 = 4a 2 + 6a + 6a + 9 = 4a 2 + 12a + 9 2 b) c x + 5 mc x + 5 m = x $ x + 5 $ x + x $ 5 + 5 $ 5 = c x m + 2 $ c x $ 5 m + 25 2 2 2 2 2 2 2 2 c) ^ y 2 + xh^ y 2 + xh = y 2 $ y 2 + x $ y 2 + y 2 $ x + x $ x = y 4 + 2y 2 x + x 2

ELMÉLET 1. Ha a és b két tetszőleges valós szám, akkor (a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = a2 + ba + ab + b2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2, vagyis (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Két szám összegének négyzete megegyezik az első tag négyzetének, a két szám kétszeres szorzatának és a második tag négyzetének az összegével. Ha (a + b)2 kifejezést egy (a + b) oldalhosszúságú négyzet területének tekintjük, akkor a fenti azonosságot jól szemlélteti a következő ábra: a

b

a

a2

ab

a

b

ab

b2

b

a

b

A nagy négyzet területe megegyezik az ábra szerinti feldarabolással keletkezett négyzetek és téglalapok területének összegével.

2. Írjuk fel két szám különbségének a négyzetét! (a - b)2 = (a - b) ⋅ (a - b) = (a - b) ⋅ a - (a - b) ⋅ b = a ⋅ a - b ⋅ a - (a ⋅ b - b ⋅ b) = = aa - ba - ab + bb = a2 - 2ab + b2 Tetszőleges a és b valós számok esetén: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 82

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

F E L A DAT

1.

Végezd el a következő műveleteket! a) ^a + 10h2 c) ^ x - 5h2 b) ^3x + 7h2 d) ^2c - 5d h2

2.

Végezd el a következő műveleteket! 2 a) c x + 7 m 3 2 1 b) c x + 2 y m 2 3

3.

2 c) c 2 a - 1 b m 5 4 2 2 1 d) c x - 1 m + c2 + 3 x m 2 2

Végezd el a következő műveleteket! a) ^- 3 + xh2 c) ^- 3 - xh2 b) - ^3 + xh2 d) 6- ^3 + xh@2

4.

Végezd el a következő műveleteket! a) ^ x3 - 1h2 c) ^4a 2 + 5b5h2 2 b) ^a + 2b3h2 d) c 7 x 4 - 3 y3 m 9 4

5.

Végezd el a következő műveleteket! 2 a) ^3a 4 - 2ab3h2 c) ^ x k + xh 2 b) c 5 x3 y 2 + 3 xy m d) ^an + 1 - an h2 6 5

6.

Hány négyzetméterrel kisebb az x - 2 méter oldalú, négyzet alakú telek területe, mint az x + 2 méter oldalú, négyzet alakú telek területe? a) Fejezd ki a különbséget x segítségével! b) Mennyi ez a különbség, ha x = 35?

7.

Írd fel a következő háromtagú kifejezéseket kéttagú kifejezések négyzeteként! a) a 2 - 20a + 100 c) 4x6 - 12x3 y 2 + 9y 4 b) y 4 + 8y 2 + 16 d) 1 x 2 - 1 xy + 1 y 2 9 3 4

8.

Egészítsd ki a következő kifejezéseket úgy, hogy egy kéttagú kifejezés négyzetével legyenek egyenlők! a) x 2 + 14x + f c) 9x6 - f + 36y 4 b) 25a 2 + f + 9b 2 d) x 4 + x 2 + f

3.

Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket, és számítsd ki a helyettesítési értéküket, ha x = 1 2 és a = -10 ! a) 2^3x - 2h2 - 3^2x + 1h2

H Á Z I F E L A DAT

1.

Végezd el a következő műveleteket! a) ^11x - 5h2 c) ^7x + 3h2 2 b) c 3 a + 5b m 2

2.

d) ^3a3 + 2ab 2h2

Egészítsd ki a következő kifejezéseket úgy, hogy egy kéttagú kifejezés négyzetével legyenek egyenlők! a) a 2 - 5a + f c) 100x10 + 40x5 y3 + f 2 2 b) 16x - f + y d) b 2 + 1 + f

2 2 b) c 5 a + 3 m - c 3 a - 2 m 4 4

RÁADÁS Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza három egymást követő páros szám. Számítsd ki a háromszög oldalhosszúságait!

61 . l e c ke

N E V E Z E T E S S Z O R Z AT O K I .

83

62

NEVEZETES SZORZATOK II.

BEVEZETŐ Végezzük el a következő szorzásokat! a) ^2x - 5h^2x + 5h

b) ^ x 2 + 1h^ x 2 - 1h

c) c x - 2 mc x + 2 m 3 3

Megoldás a) ^2x - 5h^2x + 5h = 2x $ 2x + 2x $ 5 - 5 $ 2x - 5 $ 5 = 4x 2 + 10x - 10x - 25 = 4x 2 - 25 b) ^ x 2 + 1h^ x 2 - 1h = x 2 $ x 2 + x 2 $ ^-1h + 1 $ x 2 - 1 $ 1 = x 4 - 1 c) c x - 2 mc x + 2 m = x 2 + x $ 2 - 2 $ x - 2 $ 2 = x 2 - 4 3 3 3 3 3 3 9 Mindegyik feladatban a két számnak az összegét és a különbségét kellett összeszorozni. Figyeld meg, milyen tagokból áll az átalakítások után kapott kifejezés!

ELMÉLET Ha a és b két tetszőleges valós szám, akkor 2 2 ^a + bh^a - bh = ^a + bh a - ^a + bh b = a $ a + b $ a - ^a $ b + b $ bh = a $ a + b $ a - a $ b - b $ b = a - b

Tehát: (a + b)(a - b) = a2 - b2 Két szám összegének és különbségének szorzata egyenlő a kisebbítendő négyzetének és a kivonandó négyzetének különbségével.

F E L A DAT

1.

2.

3.

84

Végezd el a következő műveleteket! a) ^t + 3h^t - 3h c) ^5b - 2ah^5b + 2ah b) ^2x - 5h^2x + 5h d) ^2xy + 1h^2xy - 1h Végezd el a következő műveleteket! a) ^t - 3h^3 + t h c) ^a - 1h^1 + ah b) ^t + 3h^3 - t h d) ^3x + 2h^2 - 3xh Végezd el a következő műveleteket! a) ^ x 2 + 3xh^ x 2 - 3xh

b) c 1 x - 7 mc 1 x + 7 m 5 5 c) ^3a 2 b + 5ab 2h^5ab 2 - 3a 2 bh d) ^ x k - yh^ x k + yh

4.

Az eddig megismert nevezetes azonosságok segítségével – számológép használata nélkül – számítsd ki a következő műveletek eredményét! a) 41 $ 39 c) 412 b) 198 $ 202 d) 412 - 392

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

x

y

z

x

x2

x× y

x× z

y

x× y

y

y× z

z

x× z

y× z

z

Mennyivel nagyobb az x + y + z oldalhosszúságú négyzet területe, mint az x, y, z oldalhosszúságú négyzetek területeinek összege?

Megoldás Az x + y + z oldalhosszúságú négyzet területe: 2 ^ x + y + z h2 = 6^ x + yh + z @2 = ^ x + yh2 + 2^ x + yh z + z = 2 2 2 2 2 2 = x + 2xy + y + 2xz + 2yz + z = x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz

2

Ha ebből kivonjuk a három négyzet területét, a különbség: 2xy + 2xz + 2yz

2.

2

Kocka alakú tartály élhossza x méter. Mennyivel nő meg a térfogata, ha a kocka éleinek hosszát 2 méterrel megnöveljük? Mekkora ez a különbség, ha x = 5?

Megoldás Ha a kocka élhosszúsága x méter, akkor térfogata x3, ha pedig x + 2 méter, akkor térfogata (x + 2)3 m3. 2 3 2 2 3 2 ^ x + 2h3 = ^ x + 2h2 $ ^ x + 2h = ^ x + 4x + 4h^ x + 2h = x + x $ 2 + 4x + 4x $ 2 + 4x + 8 = x + 6x + 12x + 8

Ennek a különbségnek az értéke x = 5 esetén: 53 + 6 $ 52 + 12 $ 5 + 8 = 343 . Tehát ha egy 5 m élhosszúságú kocka éleit 2 méterrel megnöveljük, a térfogata 343 m3-rel lesz nagyobb.

3.

Végezd el a kijelölt műveleteket! a) ^a + bh^a 2 - ab + b 2h

b) ^a - bh^a 2 + ab + b 2h

Megoldás a) ^a + bh^a 2 - ab + b 2h = a3 - a 2 b + ab 2 + ba 2 - ab 2 + b3 = a3 + b3 b) ^a - bh^a 2 + ab + b 2h = a3 + a 2 b + ab 2 - ba 2 - ab 2 - b3 = a3 - b3

H Á Z I F E L A DAT

1.

Végezd el a kijelölt műveleteket! a) ^7y - 1h^7y + 1h

3.

Legyen k és l két pozitív egész szám, és k 2 l. Igazold, hogy a 2kl, k2 - l2 és k2 + l2 számok pitagoraszi számhármast alkotnak!

4.

Végezd el a kijelölt műveleteket! a) c 1 x + 1 y m^0, 25x - 0,5yh 4 2 b) ^c 2 + c - 1h^c 2 + c + 1h c) 5^ x - 2h2 - 2 ^10x + 1h^10x - 1h + 5x^3x + 4h 5

b) c 2 a + 1 b mc 2 a - 1 b m 3 2 3 2 c) ^ x3 - y3h^ y3 + x3h d) ^ x + y h^ x - y h n

2.

n

n

n

Két egymást követő egész szám négyzetének különbsége 33. Melyik ez a két szám? Hány megoldása van a feladatnak?

6 2 . l e c ke

N E V E Z E T E S S Z O R Z AT O K I I .

85

E M E LT S Z I N T ELMÉLET 1. Polinomok Egyváltozós polinomoknak nevezzük például a következő kifejezéseket: 3x 4 - 2 x + 4 ; x2 - 2 ; 6y6 - 8y3 - y 2 . 5 Az x változó valamely polinomjának a jelölésére gyakran a P(x), Q(x), … szimbólumokat szoktuk használni. Például P^ x h = x5 + 2x3 - 7 - 4x5 - 6x + 3x5 az x változó polinomja. P(x) az egynemű tagok összevonásával egyszerűbb alakra hozható: P^ x h = 2x3 - 6x - 7 . Egy egyváltozós, n-edfokú polinomnak a változó csökkenő hatványai szerint rendezett általános alakja: an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + f + a3 x3 + a2 x 2 + a1 x + a0 , ahol n ! N; minden együttható (ai; i = 1, 2, …, n) valós szám és an ! 0. Ha figyelembe vesszük, hogy az elsőfokú és a konstans tagot írhatjuk a1 x1 + a0 x 0 alakban is, a polinom ai xi alakú tagok összegeként írható fel. (A konstans tag a nulladfokú tag együtthatója.) A fenti P^ x h = 2x3 - 6x - 7 polinom harmadfokú polinom, amelyben a3 = 2, a1 = -6 és a0 = -7. Ebben a polinomban nem szerepel másodfokú tag, ami azt jelenti, hogy a2 = 0. A többváltozós polinomban több változó is szerepel. Kétváltozós polinomok például: a2 + 2ab + b2; 4x3y - 5xy - 7. Az olyan algebrai kifejezéseket, melyekben változóknak (betűk) és állandóknak (számok) az összege, különbsége, szorzata, hányadosa, hatványa szerepel véges sokszor, és az osztóban nem fordul elő változó, polinomoknak (többtagú egész algebrai kifejezés) nevezzük. 2. További nevezetes azonosságok A kidolgozott feladatban szereplő feladatok megoldása során észrevehettük, hogy az eddig felírt nevezetes azonosságokon kívül további szorzatok polinom alakja is milyen egyszerű. A 1. kidolgozott feladatban egy háromtagú kifejezés négyzetét kellett kiszámolni, amit polinom alakba írva egy könynyen megjegyezhető kifejezést kaptunk. Ez alapján: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc A 2. kidolgozott feladatban egy kéttagú kifejezés harmadik hatványát kellett felírni. Írjuk ezt fel általánosan! ^a + bh3 = ^a + bh2 ^a + bh = ^a 2 + 2ab + b 2h^a + bh = a3 + a 2 b + 2a 2 b + 2ab 2 + b 2 a + b3 = 3 2 2 3 = a + 3a b + 3ab + b

Tehát: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + a3 A fentihez hasonló módon számolhatjuk ki két szám különbségének a köbét is: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3. A 3. kidolgozott feladatban láttuk, hogy a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) A 3. kidolgozott feladat eredményei is általánosíthatók: Ha a és b valós számok, és az n pozitív egész szám, akkor an - bn = (a - b)(an - 1 + an - 2b + an - 3b - … + abn - 2 + bn - 1) = an - bn Ha a és b valós számok, és az n páros pozitív egész szám, akkor an - bn = (a + b)an - 1 - an - 2b + an - 3b - … + abn - 2 - bn - 1) = an - bn Ha a és b valós számok, és az n páratlan pozitív egész szám, akkor an + bn = (a + b)an - 1 - an - 2b + an - 3b - … - abn - 2 + bn - 1) = an + bn 86

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

3. A Pascal-háromszög A háromszög minden sora 1-gyel kezdődik, és 1-gyel végződik. Ebben a háromszög elrendezésben a 2. sortól kezdve a sorok bármely belső száma a felette lévő sorban balról és jobbról álló két számnak az összege. a) Ezen számok megegyeznek az (a + b)n felbontásában szereplő együtthatókkal, az úgynevezett binomiális együtthatókkal: (a + b)0 = 1 (a + b)1 = 1a1 + 1b1 (a + b)2 = 1a2 + 2a1b1 + 1b2 3 3 (a + b) = 1a + 3a2b1 + 3a1b2 + 1b3 4 4 (a + b) = 1a + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1b3

1 1 1 1 1

1 2

3 6

1

1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1

4

1 3 4

5

(ezt hívjuk nulladik sornak) (ezt hívjuk első sornak) (ezt hívjuk második sornak) …

Feladat: Folytasd a hatványozást! Írd fel a következő két sorban szereplő tagokat! Hogyan lehetne ezzel a módszerrel felírni két tag tizenhetedik hatványát, századik hatványát, ötszázadik hatványát? Elvi akadálya nincs, hogy tovább számoljuk a Pascal-háromszög újabb sorait a meglévők alapján, de pl. a századik hatvány felírásához kellene ismernünk az összes addigi sort. Létezik más módszer is a binomiális együtthatók felírására, ezt majd a kombinatorika témakörében fogjuk megtanulni. b) A Pascal-háromszög megfelelő soraiban lévő számok alkalmasak arra is, hogy az adott sorból kiolvassuk véges elemű halmaz részhalmazainak számát. Például a hatodik sorban szereplő számok: 1 6 15 20 15 6 1 rendre megmutatják azt, hogy egy 6 elemű halmaznak hány nulla, egy , kettő, három, négy , öt, hat elemű részhalmaza van. A sorban szereplő számok összege alapján pedig meghatározhatjuk, hogy egy 6 elemű halmaznak összesen 64 részhalmaza van. Feladat: Olvasd ki a háromszögből, hogy hány három elemű részhalmaza van egy hét elemű halmaznak; és hány öt elemű részhalmaza van egy nyolc elemű halmaznak!

F E L A DAT

2.

3.

Végezd el a következő műveleteket! a) 2^ x - 2h2 + 3^ x + 1h^ x - 1h b) ^3a + 4bh2 - ^4a - 3bh^4a + 3bh c) ^a + 1h^a - 1h^a 2 - 1h d) ^a - b + ch^a - b - ch Számítsd ki a következő kifejezések helyettesítési értékét, ha a = 3 , x = 1 és y = 1 ! 2 2 3 2 a) ^2 + ah - 3^1 - ah^a + 1h + 2^1 - ah2 b) ^3x - yh2 - ^2x + 3yh^2x - 3yh - ^ x + yh2 Végezd el a következő műveleteket! a) ^a + 5h3 b) ^ x + 2h^ x 2 - 2x + 4h 3 c) c x - 2 m 2 d) ^1 + a + a 2h^1 + ah

4.

5.

Egy kocka alakú tartály élhossza x méter. a) Hány köbméter víz fér el a tartályban?

x+2

1.

x

x x

x+2

x+

2

b) Rövid idő múlva még egy kocka alakú tartályt készítenek, amelynek élei x + 2 méteresek. Hány köbméterrel több víz fér el ebben a tartályban, mint az x méter élhosszúságúban? c) Add meg a különbséget az x fogyó hatványai szerint rendezett polinom alakjában! d) Mennyi ez a különbség, ha x = 3?

Végezd el a következő műveleteket! a) ^ x + 2y + 3z h2 b) ^ x - 2y + z h2

6 2 . l e c ke

N E V E Z E T E S S Z O R Z AT O K I I .

87

63

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS I.

BEVEZETŐ

1.

Melyik az a valós szám, amelynek a harmadik hatványa akkora, mint a kilencszerese?

Megoldás Figyeld meg a következő gondolatmenetet! Ha x-szel jelölöm ezt a számot, akkor teljesül rá, hogy (1). x3 = 9x Ezt átalakítva az x 2 $ x = 9 $ x egyenletből adódik, hogy (2). x2 = 9 Két olyan valós szám is van, amelynek a négyzete 9, ez pedig a 3 és a -3. Az egyenletet felírva azt is észrevehetjük, hogy a 0 is megoldása a feladatnak. Hová tűnt a 0 az egyenlet megoldása során? Az (1) egyenletből úgy kaptuk a (2) egyenletet, hogy x-szel osztottunk. Ezt viszont csak akkor tehetjük meg, ha feltételezzük, hogy x ! 0 . Ezzel viszont már eleve kizártuk a megoldások halmazából a 0-t. Ilyenkor mindenképpen meg kell vizsgálni, hogy a 0 lehet-e gyöke az egyenletnek. Vagy van más lehetőség is a megoldásra? Hogyan kellene az x3 = 9x egyenletet úgy átalakítani, hogy a gyököket maradéktalanul megkapjuk? Ha az (1) egyenletet x3 - 9x = 0 alakra hozzuk, az egyenlet bal oldalán álló kifejezést szorzat alakba tudjuk írni: x ^ x 2 - 9h = 0 . Az x 2 - 9 = x 2 - 32 kifejezést – az ismert nevezetes szorzat alapján átalakítva – az egyenlet x^ x + 3h^ x - 3h alakba írható.

Az egyenlet bal oldalán egy szorzat áll. Ennek az értéke akkor és csak akkor 0, ha a tényezők közül valamelyik 0. Ez három lehetőséget jelent: x = 0 vagy x + 3 = 0 , ami azt jelenti, hogy x = - 3 ; vagy x - 3 = 0 , ami azt jelenti, hogy x = 3.

2.

Határozzuk meg az f függvény zérushelyeit, ha a függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, hozzárendelési szabálya pedig x 7- x3 + 5x 2 !

Megoldás Azt kell megvizsgálni, hogy az f függvény melyik valós számhoz rendeli a 0 értéket, vagyis a - x3 + 5x 2 kifejezés helyettesítési értéke milyen x esetén lesz egyenlő 0-val. Tehát a - x3 + 5x 2 = 0 egyenlet megoldásait keressük. A bal oldalon álló kifejezést szorzattá alakítva kapjuk, hogy - x 2 ^ x - 5h = 0 . A szorzat értéke csak úgy lehet 0, ha az x 2 = 0 vagy az x - 5 = 0 , amiből kapjuk, hogy x = 0 vagy x = 5. Tehát az f függvénynek két zérushelye van: a 0 és az 5. A fenti példáinkban láthattuk, hogy bizonyos feladatok megoldása során hasznos lehet az algebrai kifejezések szorzattá alakítása. Bevezető példáink olyan feladatok voltak, amelyek magasabb fokú egyenlet felírásához vezettek. Ezek megoldása során, ha mérlegelvvel dolgozunk, nagyon körültekintőnek kell lennünk ahhoz, hogy az egyenlet valamennyi gyökét felírjuk. A szorzattá alakítással azonban az egyenletek valamennyi gyökét megkaptuk.

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) 2xy3 + 5x 2 y 2

b) x 2 + 3x + xy + 3y

Megoldás a) Ha egy összeg tagjainak van közös szorzótényezője, akkor azt az ab + ac = a(b + c) azonosság alapján szorzat alakba tudjuk írni: a szorzat egyik tényezője a közös tényező lesz. Ezt a módszert kiemelésnek nevezzük, ami tehát akkor alkalmazható, ha egy összeg minden tagjának van közös tényezője. A 2xy3 + 5x 2 y 2 mindkét tagjának az x közös tényezője, ezért az „x-et kiemelhetjük”: 2xy3 + 5x 2 y 2 = x^2y3 + 5xy 2h .

88

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

Közös tényezőjük az y2 is, ezért ha ezt emeljük ki: 2xy3 + 5x 2 y 2 = y 2 ^2xy + 5x 2h . Természetesen xy2 is kiemelhető: 2xy3 + 5x 2 y 2 = xy 2 ^2y + 5xh . Így a tagokban szereplő összes közös tényezőt kiemeltük, a kifejezést már nem tudjuk több tényező szorzatára bontani. b) Ebben a kifejezésben nincs olyan szorzótényező, amely minden tagban előfordul. Most a tagok ügyes csoportosításával, több lépésben történő kiemeléssel juthatunk eredményre. x 2 + 3x + xy + 3y = ^ x 2 + 3xh + ^ xy + 3yh = x^ x + 3h + y^ x + 3h = ^ x + 3h^ x + yh Természetesen a tagok más csoportosításával is szorzattá alakíthatunk: x 2 + 3x + xy + 3y = ^ x 2 + xyh + ^3x + 3yh = x^ x + yh + 3^ x + yh = ^ x + yh^ x + 3h .

F E L A DAT

1.

Alakítsd szorzattá az alábbi kifejezéseket! a) 8x + 24 b) 8xy + 24y c) 8x 2 y + 24xy d) 24x 2 y3 z + 8x 2 y3

2.

Állapítsd meg az alábbi függvények zérushelyeit! (Értelmezési tartományuk a valós számok halmaza.) a) x 7- x + 5 c) x 7 x 2 - 5x 3 2 b) x 7- x + 5x d) x 7 x 4 - 5x 2

3.

Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 15y3 - 5y

4.

Csoportosítással alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) x 2 - 5x + xy - 5y b) 3y - y 2 + 15 - 5y c) 3ax + 4by + 4ay + 3bx d) 10a 2 - 21xy + 14ax - 15ay

5.

Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) x^ y - 2h - 3^2 - yh Vedd észre, hogy: - 3^2 - yh = - 6 + 3y = 3y - 6 = 3^ y - 2h ! b) x 2 - 5x + 5y - xy c) ab - 4a + 8 - 2b

6.

Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) ^2x - 1h^7x 2 - 3x3h = 0 b) 3x 2 + 6x = 8x 2 - 9x c) x 4 + 2x - 3x3 - 6 = 0

b) a - 2a - a c) 7xy - 14x 2 y + 21x 2 y 2 3

2

d) 2 x 4 - 4 x3 + x 3 3 3

H Á Z I F E L A DAT

1.

Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 63y - 9 c) 63y3 - 7y 2 b) 63y 2 - 7y d) 63y3 z 2 - 14yz

2.

Határozd meg az alábbi függvények zérushelyeit! (Értelmezési tartományuk a valós számok halmaza.) a) x 7 8x 2 - 14x b) x 7- 2x3 + 3x 2

3.

Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 20x3 y - 15x 2 y

6 3 . l e c ke

S Z O R Z AT T Á A L A K Í T Á S I .

b) c) d) e)

4.

7x 2 - 14x + 8xy - 16y 2ax + 2bx + a + b x 2 - 2y - xy + 2x xn + 2 + xn

Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) 3x3 = 192x b) x3 + 3x 2 + 3x + 9 = 0

89

64

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS II.

BEVEZETŐ

1.

Döntsük el számológép használata nélkül, hogy 216 - 1 osztható-e 17-tel!

Megoldás A 216 - 1 két szám négyzetének a különbsége, így a nevezetes szorzat alapján felírható két szám összegének és különbségének a szorzataként: 216 - 1 = ^28h2 - 12 = ^28 + 1h^28 - 1h . Ennek a szorzatnak a második tényezője szintén egy nevezetes szorzat: 28 - 1 = ^2 4 + 1h^2 4 - 1h , tehát azt kaptuk, hogy 216 - 1 = ^28 + 1h^2 4 + 1h^2 4 - 1h . Ebből már látszik, hogy osztható 17-tel, hiszen 2 4 + 1 = 17 .

2.

Határozzuk meg az f : R " R, 3x 2 - 24x + 48 függvény zérushelyeit!

Megoldás A függvény hozzárendelési szabályát megadó kifejezést szorzattá alakítjuk. Első lépésben kiemeljük a 3-at, majd ezután észrevehetjük, hogy a másik tényező egy különbségnek a négyzeteként írható fel. 3x 2 - 24x + 48 = 3^ x 2 - 8x + 16h = 3^ x - 4h2 Azt a valós számot keressük, amelyre 3^ x - 4h2 = 0 . Ez az egyenlőség akkor teljesül, ha x - 4 = 0 vagyis x = 4 . Tehát a függvény zérushelye a 4. Már az előző leckében is láttuk, hogy a szorzattá alakítás megkönnyítheti egy feladat megoldását. A bevezető feladataiban felírt kifejezésekben egy-egy nevezetes azonosságot ismerhettünk fel, ennek segítségével történt a szorzattá alakítás. Lehet, hogy a kifejezésben csak kiemelés után vesszük észre a nevezetes szorzatot, és az is lehet, hogy a  szorzattá alakításnál kialakuló tényezőket még további tényezőkre tudjuk bontani.

F E L A DAT

90

1.

Nevezetes szorzatok segítségével alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) x 2 - 49 c) 25a 2 - 36b 2 b) 1 - a 2 d) 1 x 2 - 1 y 2 9 4

2.

Nevezetes szorzatok segítségével alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) x 2 - 22x + 121 b) 100x 2 + 20x + 1 c) 9a 2 - 12ab + 4b 2 d) a 4 + 2a 2 b + b 2

3.

Kiemeléssel és nevezetes szorzatok segítségével alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 50 - 2x 2 c) 15ab 2 - 30ab + 15a 3 b) 63y - 7y d) - y 2 + 4y - 4

4.

Különböző módszerek alkalmazásával bontsd tényezőkre a következő kifejezéseket! a) 3a6 + 18a 4 b + 27a 2 b 2 b) x 2 - y 2 - x - y c) a 4 - b 4 d) a6 - a 4 + 2a3 + 2a 2

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Két pozitív egész szám négyzetének különbsége 15. Mi lehet ez a két szám? Megoldás Jelöljük a két számot a-val és b-vel, és tegyük fel, hogy a 2 b. Ekkor felírhatjuk, hogy a 2 - b 2 = 15 . Az ismert nevezetes szorzat alapján (1). ^a + bh^a - bh = 15 Mivel a és b pozitív egész számok, a + b és a - b is pozitív egészek, tehát a 15-öt két pozitív egész szám szorzataként kell felírni:

15 = 5 ⋅ 3 vagy 15 = 15 ⋅ 1 Az (1) és (2) egyenletekből kapjuk, hogy a + b = 5 és a - b = 3 , amiből a = 4 és b = 1 adódik. Az (1) és (3) egyenletekből kapjuk, hogy a + b = 15 és a - b = 1, amiből a = 8 és b = 7 adódik. Ellenőrizzünk behelyettesítéssel! 42 - 12 = 16 - 1 = 15; és 82 - 72 = 64 - 49 = 15.

(2) (3)

F E L A DAT

5.

Két természetes szám négyzetének különbsége 21. Határozd meg az összes ilyen természetes számot!

6.

Határozd meg az összes olyan n pozitív egész számot, amelyre a) n 2 - 4n + 4 prímszám; b) n 2 - 4 prímszám!

3.

Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) x 4 - 81 c) x 2 y + 3x 2 - 4y - 12 2 3 4 b) x + x - x - x d) x 2 + 10x + 25 - y 2

H Á Z I F E L A DAT

1.

Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 4a 2 - 9 c) 25r 2 + 80r + 64 b) 25 b 4 - 1 d) 9c6 - 12c3 d 2 + 4d 4 49

2.

Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 7c 2 + 14cd + 7d 2 c) 3xy 2 + 6xy + 3x b) a3 b - ab3 d) - x 2 - 2x - 1

E M E LT S Z I N T F E L A DAT O K

1.

Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) x3 - 18x 2 + 108x - 216 c) x3 + 27 b) 125x3 + 75x 2 + 15x + 1 d) 1 - a3

2.

Bizonyítsd be, hogy 518 - 1 osztható 24-gyel és 124-gyel!

3.

Bizonyítsd be, hogy 224 - 1 osztható 15-tel és 17-tel!

6 4 . l e c ke

S Z O R Z AT T Á A L A K Í T Á S I I .

e) a7 - a f) 4a 2 + 4a + 1 - b 2

g) x 2 - y 2 - 10y - 25 h) x 2 - 6x - 16

91

65

EGYENLETEK

BEVEZETŐ Egy park közepére négyzet alakú virágágyat terveztek. A  költségek túl magasak voltak, ezért az eredeti tervben szereplő helyett egy annál 2 m-rel rövidebb oldalú négyzet mellett döntöttek. A virágos terület így az eredetileg tervezetthez képest 38 m2-rel csökkent. Hány méter lett végül a virágágy oldala? Megoldás A virágágy oldala x méter, területe x 2 m2 lett. Az eredetileg tervezett ágyás oldala x + 2 m, területe (x + 2) 2 m2 volt. A szöveg szerint: (x + 2) 2 – x 2 = 38. Egyismeretlenes egyenletet kaptunk. Feladatunk olyan pozitív számot találni az x helyébe, amely megfelel a szöveg feltételeinek, vagyis meg kell adnunk a felírt egyenlet pozitív megoldásait (gyökeit). A bal oldalon elvégezzük a négyzetre emelést és az összevonást: x 2 + 4 x + 4 – x 2 = 38 4 x + 4 = 38

Mérlegelvvel haladhatunk tovább (az egyenlet mindkét oldalából elveszünk 4-et, majd mindkét oldalt elosztjuk 4-gyel): 4 x = 34 x = 8,5 A virágágy tehát végül egy 8,5 m oldalú négyzet lett. Ellenőrzés Eredetileg egy 8,5 + 2 = 10,5 m oldalú, 110,25 m2 területű virágágy szerepelt a tervben. A 8,5 m oldalú virágágy területe (72,25 m2) ennél valóban 38 m2-rel kisebb.

ELMÉLET Már az általános iskolában is és az idei tanévben is sok egyenletet oldottunk meg. Ezek legtöbbször egyismeretlenes egyenletek voltak. Azokat a számokat kerestük, amelyeket az egyenletben szereplő betű helyébe írva fennáll az egyenlőség. Az egyenletek megoldása során eddig legtöbbször a mérlegelvet használtuk. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyökeinek a halmaza nem változik meg, ha az egyenlőségjel két oldalán álló kifejezést (számot) – ugyanannyival növeljük vagy csökkentjük, – ugyanazzal a pozitív vagy negatív számmal megszorozzuk, – ugyanazzal a pozitív vagy negatív számmal elosztjuk. A mérlegelv segítségével sok egyenletből kaphatunk olyan egyszerűbb, másik egyenletet, amelynek a gyökei ugyanazok, mint az eredeti egyenlet gyökei. Az egyenlet rendezése során ügyelj az előjelekre, például ha zárójel vagy törtvonal előtt a kivonás jele vagy egy negatív szorzótényező áll!

92

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

F E L A DAT

1.

Melyik számot írhatjuk az x helyébe, ha 2x − 7 4 − 5x − = x − 1,7? 6 10 Az egyenlet megoldása során alkalmazd a mérlegelvet!

2.

Oldd meg az egyenleteket mérlegelvvel! a) 4x - 2 = 5 - 23 - 6x 3 2 x x x x b) - = - - 3 8 6 3 4 10 c) 2 - 5x - 2 = 10x + 3 8 9

3.

Oldd meg az egyenleteket! Figyelj az előjelekre! 6 x  4 5x  1 3  x   a) 3 2 6 2 2 2x  5  x  3  2 x 1 b) x  2  2



4.









(x – 200) · 2 + 3990 = 7830 egyenletet állította fel. Szerinte az akciós DVD-k eredeti ára darabonként az a) esetben 2400 Ft, a b) esetben 2120 Ft volt. Vajon hogyan gondolkozott Bence? Ellenőrizd Bence megoldását!

5.

Rendezd át az egyenleteket mérlegelv segítségével úgy, hogy az egyenlőségjel egyik oldalán 0 álljon, majd alakítsd szorzattá! Mely számok teszik igazzá az egyenleteket? a) x 2 - 5x = 6x 2 - 25x b) x 2 + 19 - 2x = 10x - 17 c) x 2 - 5x + 15 = 7x - 2x 2 + 3

6.

Egy használtautó-kereskedő egy hónap alatt 20 autót adott el. Hogy kicsit fellendítse a forgalmat, elhatározta, hogy a következő hónapban lemond a haszon egy részéről: minden egyes autót 20 000 Fttal olcsóbban ad. A következő hónapban 30 autót adott el, és így 200 000 Ft-tal több lett a bevétele, mint az előző hónapban. Mennyiért adott eredetileg átlagosan 1-1 autót?

3.

A három könyvespolc vespolc közül a legalsón n kétszer annyi könyv van, mint nt a legfelsőn, és 20%-kal több, mint a középsőn. A három polcon összesen 70 könyv van. Hány könyv van az egyes polcokon?



Egy üzletben az akciós DVD-kből vettünk kettőt azonos árban, és még egy harmadikat, amely nem volt akciós. Ez utóbbi 3990 Ft-ba került. Összesen 7830 Ft-ot fizettünk. Mennyi az akciós DVD-k eredeti ára, ha a kedvezmény mértéke a) 20%; b) 200 Ft? Bence az a) feladathoz az (x · 0,8) · 2 + 3990 = 7830, a b) feladathoz pedig az

H Á Z I F E L A DAT

1.

Oldd meg az egyenleteket a mérlegelv alkalmazásával! a) (x + 4) (x – 4) = x 2 – 2 x b) 100 x – 100 (27 – x) = 1100 x +3 5−x 2 c) − = 12 12 3

2.

Oldd meg az alábbi egyenleteket a mérlegelv alkalmazásával! 5x 2 − 7x a) − = 3x − 13 4 5 b) (2 x − 3) 2 − (2 x − 5) 2 = 40 4x − 5 5x − 4 15 − 3x c) 3 + − = 5 15 10

6 5 . l e c ke

E GY E N L E T E K

93

66

ALAPHALMAZ, ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY, MEGOLDÁSHALMAZ

BEVEZETŐ Amikor egyismeretlenes egyenleteket oldunk meg, akkor olyan számokat keresünk, amelyeket az egyenletben szereplő betű helyébe írva fennáll az egyenlőség. 2x − 9 Ha például a = x egyenletbe az x helyébe 2-t írunk, 5 4−9 akkor azt kapjuk, hogy = 2; –1 = 2, ami nem igaz. 5 De ha az x helyébe (–3)-at írunk, akkor azt kapjuk, hogy −6 − 9 = −3; –3 = –3, ami igaz. 5 2x − 9 Akármelyik valós számot írjuk is be a = x egyen5 letbe az x helyébe, kapunk egy állítást, ami vagy igaz, vagy nem igaz. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy ennek az egyenletnek az értelmezési tartománya az R halmaz. Számításunk azt mutatja, hogy egyenletünknek a –3 a gyöke (a –3 beírása igaz állítást eredményezett), a 2 viszont nem gyöke (a 2 beírása hamis állításra vezetett).

2x − 9 = −3 egyenlettel van dolgunk, ott is kipró5−x bálhatjuk, mit kapunk, ha az x helyébe valamilyen számot írunk.

Ha a

Itt azonban nem választhatjuk bármelyik valós számot, mert ha például az 5-öt választanánk, akkor 0-val kellene osztanunk, ami lehetetlen. Azt mondjuk, hogy ennek az egyenletnek az értelmezési tartománya az R \ {5} halmaz. Ennek a halmaznak már bármelyik elemét behelyettesíthetjük az egyenletbe. Mit tapasztalunk, ha 2-t vagy (–3)-at írunk az x helyébe? 2⋅2−9 −5 2 = −3; = −3; −1 = −3 → nem igaz, 5−2 3 3 −15 7 2 ⋅ (−3) − 9 = −3; = −3; −1 = −3 → nem igaz. 8 8 5 − (−3) 2x − 9 A = −3 egyenletnek sem a 2, sem a –3 nem 5−x gyöke.

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

2x − 9 = −3 egyenletbe az 5−x x helyébe, hogy igaz állítást kapjunk?

Melyik számot írhatjuk a

Megoldás Használjuk a mérlegelvet! Először szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (5 – x)-szel! 2 x – 9 = –3 (5 – x) 2 x – 9 = –15 + 3 x / + 15 2x + 6 = 3x / – 2x 6=x

Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ha az eredeti egyenletbe az x helyére 6-ot írunk, akkor igaz állítás keletkezik: 2⋅6−9 3 = −3; = −3; −3 = − → igaz. 5−6 –1 A mérlegelvvel dolgoztunk, ezért a 6-on kívül más szám nem jöhet szóba. 2x − 9 Tehát a = −3 egyenletnek egy gyöke van, a 6. Az 5−x egyenlet megoldáshalmaza: {6}.

F E L A DAT

1.

94

Határozd meg a kifejezések értelmezési tartományát! 3 + x - 2 - 11 a) 2x - 1 x + 2 x2 b) 22x + 2 3 - 6x - 1 x- 3 x -1 x - 4

2.

Milyen valós számot írhatunk az egyenletbe, hogy igaz állítást kapjunk? 3x - 1 + 4 = 6 3x + 1

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

ELMÉLET Egy egyismeretlenes egyenlet értelmezési tartománya az összes olyan valós számnak a halmaza, amelyeken az egyenletben szereplő valamennyi kifejezésnek értelme van. Egyenletek megoldásakor sokszor az a feladat, hogy az értelmezési tartomány összes eleme közül keressük meg azokat, amelyeknek a behelyettesítésekor az egyenletből igaz állítást kapunk. Ezek a számok az egyenlet gyökei (megoldásai). Az egyenlet gyökei alkotják az egyenlet megoldáshalmazát. Gyakran előfordul, hogy az egyenlet mellé egy alaphalmazt is adunk, és ennek az elemei között keressük a gyököket. Ebben az esetben csak az értelmezési tartomány és az alaphalmaz közös részéből (metszetéből) kerülhetnek ki az egyenlet gyökei. Szöveges feladatok esetében az alaphalmazt a tartalom szabja meg.

alaphalmaz

értelmezési tartomány

csak itt lehetnek az egyenlet gyökei

Az egyenlet megoldásának megkezdése előtt célszerű megvizsgálni az egyenlet értelmezési tartományát. Ezzel a megoldás menete lerövidíthető, és a megoldások ellenőrzése is egyszerűbbé válhat.

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

2.

Oldjuk meg az x 3 = 9 x egyenletet az alábbi alaphalmazokon: a) pozitív számok halmaza; b) nemnegatív számok halmaza; c) egész számok halmaza!

Megoldás A 63. leckében megkerestük az összes olyan valós számot, amelynek a harmadik hatványa egyenlő a 9-szeresével. Ezek: a –3, a 0 és a 3. Közülük a 3 pozitív szám, a többi nem, ezért az a) feladatban egyelemű a megoldáshalmaz: {3}. A b) alaphalmazban a három szám közül kettő van benne, a 0 és a 3, tehát a b) feladatban a megoldáshalmaz: {0; 3}. A –3, a 0 és a 3 is egész szám, így mindhárom benne van a c) feladat alaphalmazában, ezért itt a megoldáshalmaz: {–3; 0; 3}.

3.

Oldjuk meg az

x2 3x egyenletet a valós szá= x−3 x−3

mok halmazán! Megoldás Ennek az egyenletnek a szövegben megadott alaphalmaza R, értelmezési tartománya az R \ {3} halmaz. Ezért a megoldáshalmaz csak R \ {3} valamely részhalmaza lehet. Használjuk a mérlegelvet! Először szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (x – 3)mal: x 2 = 3 x. Mindkét oldalból kivonunk 3 x-et: x 2 – 3 x = 0, vagy másképp: x (x – 3) = 0. Ez akkor és csak akkor áll fenn, ha x = 0 vagy x = 3. A 3 nem gyöke az eredeti egyenletnek, hiszen nincs benne az értelmezési tartományban. Helyettesítsük be a 0-t! 0 0 3⋅0 02 = , vagyis = . 0−3 0−3 −3 −3 Ez igaz, tehát a 0 gyöke az egyenletnek. Más gyöke nem 3x x2 lehet, ezért az egyenlet megoldáshal= x−3 x−3 maza: {0}.

6 6 . l e c ke

A L A P H A L M A Z , É R T E L M E Z É S I TA R T O M Á N Y, M E G O L D Á S H A L M A Z

95

F E L A DAT

3.

Bence és osztálytársa, Dönci meg akarja oldani az 5 x + 10 = x 2 + 2 x egyenletet. Azon vitatkoznak, hogy melyikük megoldása a helyes. a) Bence megoldása: 5 x + 10 = x 2 + 2 x 5 (x + 2) = x (x + 2) 0 = x (x + 2) – 5 (x + 2) 0 = (x + 2) (x – 5) x+2 = 0 vagy x–5 = 0 x = –2 vagy x=5 Tehát az egyenlet megoldáshalmaza: {–2; 5}. b) Dönci megoldása: 5 x + 10 = x 2 + 2 x 5 (x + 2) = x (x + 2) / : (x + 2) 5=x Tehát az egyenlet megoldáshalmaza: {5}. Melyik megoldást tartod jónak, melyiket hibásnak, és miért?

4.

5x 10 egyenlet megol= x−2 x−2 dása során is más eredményre jutott. a) Bence megoldása: 5x 10 = / ⋅ (x − 2) x−2 x−2 5x = 10 x=2 Bence és Dönci az

b) Dönci megoldása: 5x = x−2 10 5x − = x−2 x−2 5x − 10 = x−2 5(x − 2) = x−2 5=

10 x−2 0 0 0 0

Hamis kijelentést kaptunk, tehát az egyenletnek nincs megoldása. Melyik megoldást tartod jónak, melyiket hibásnak, és miért?

5.

Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán! x+ 2 + 3+ x = 1 3- x x- 2 3- x

6.

Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán! x + 1 - x - 1 = ^3x - 2h $ 4 x-1 x+1 x2 - 1

Tehát az egyenlet megoldáshalmaza: {2}.

H Á Z I F E L A DAT

1.

Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 3 − x 3 + 2x 2x a) + = 7− 5 3 15 5(x + 4) 7,5 b) −6 = 2x + 5 2x + 5 c)

(3x + 2)2 + 3x − 2 = 6x + 2 3x − 2

x 2 − 7x =0 d) x2

96

2.

Állapítsd meg az alábbi kifejezések értelmezési tartományát! 5x 2 − 8 7 2 5x − 8 b) 3 + 7x a) 3 +

3.

c) 3 +

5x 2 − 8 7x 2 − 21x

d) 3 : (5 + x) +

5x 2 − 8 7x − 14x + 7 2

Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán! x + 3 - x - 3 = ^3x - 2h $ 3 x- 3 x+ 3 x2 - 9 E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

RÁADÁS Az április tavaszi hónap. A november tavaszi hónap.

– ez egy igaz állítás – ez egy hamis állítás

Írjuk be valamelyik hónap nevét a következő „nyitott mondatba”, a kipontozott részbe: A … tavaszi hónap. Ha a márciust, az áprilist vagy a májust írjuk be, akkor igaz állítást kapunk, a többi hónap beírása esetében pedig hamisat. Most a vizsgált nyitott mondathoz a {január; február; március; április; május; június; július; augusztus; szeptember; október; november; december} halmazt választottuk alaphalmaznak. A nyitott mondat igazsághalmaza a {március; április; május} halmaz.

A logikában azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen eldönthető, hogy a tartalmuk igaz vagy hamis, állításoknak, más szóval: kijelentéseknek nevezzük. Az állítások közé soroljuk azokat a kijelentő mondatokat is, amelyeknek a tartalmát a tapasztalatok alapján igaznak, illetve hamisnak fogadunk el. Az igaz, illetve hamis szó az állítás logikai értéke.

Például A Föld nagyobb, mint a Nap. 12 · 13 = 156. Ma vasárnap van. Tilos a dohányzás! A legszebb virág a rózsa.

– hamis állítás – igaz állítás – igaz vagy hamis állítás aszerint, hogy melyik napon hangzik el – nem állítás, mert nem kijelentő mondat – nem állítás, mert nem dönthető el egyértelműen, hogy a tartalma igaz-e (az emberek más-más virágot gondolnak a legszebbnek)

A logika fogalomkörébe beilleszthetők az egyenletek és az egyenlőtlenségek is.

Ha például az {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, 9} alaphalmazon keressük a 3 · … < 12;

3 · … = 12;

3 · … > 12

nyitott mondatok igazsághalmazát, akkor azt is mondhatjuk, hogy az {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} alaphalmazon meg akarjuk oldani a 3 x < 12 egyenlőtlenséget, a 3 x = 12 egyenletet és a 3 x > 12 egyenlőtlenséget. A 3 · … < 12 nyitott mondat igazsághalmaza (és egyúttal a 3 x < 12 egyenlőtlenség megoldáshalmaza): {1; 2; 3}. A 3 · … = 12 nyitott mondat igazsághalmaza (és egyúttal a 3 x = 12 egyenlet megoldáshalmaza): {4}. A 3 · … > 12 nyitott mondat igazsághalmaza (és egyúttal a 3 x > 12 egyenlőtlenség megoldáshalmaza): {5; 6; 7; 8; 9}.

6 6 . l e c ke

A L A P H A L M A Z , É R T E L M E Z É S I TA R T O M Á N Y, M E G O L D Á S H A L M A Z

97

67

PROBLÉMAMEGOLDÁS EGYENLETEKKEL

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Hajni füvet nyír, de sajnos csak egy régi, kis teljesítményű fűnyírójuk van. Bence segít neki: „Ez a kert körülbelül 600 m2. Ha egyedül csinálod nem végzel sötétedésig sem. Segítek neked. Kölcsönkérjük a szomszéd szuper fűnyíróját is, így együtt megleszünk 1,5 óra alatt, hiszen a szuper fűnyíróval 2 óra alatt én egyedül is le tudnám nyírni az összes füvet.” Mennyi időbe telne a fűnyírás Hajninak egyedül? Megoldás Első módszer (egyenlettel) Foglaljuk táblázatba, mit tudunk Hajni és Bence fűnyírásáról! Hajni

Bence

Egyedül a 600 m -t ennyi óra alatt nyírná le

x óra

2 óra

1 óra alatt ennyi m2-t nyír le

600 x

600 = 300 2

2

2

1,5 óra alatt ennyi m -t nyír le

1,5 ∙

600 x

1,5 ∙ 300 = 450

Hajni és Bence együtt 1,5 óra alatt nyírja le az egész kertet, azaz 600 m2-t. Írjuk fel mindezt egyenlettel, a táblázat utolsó sorának felhasználásával! 1, 5

98

600  450  600 /  450 x 600 1, 5  150 / x x 1, 5600  150 x 900  150 x / : 150 x6

Második módszer (okoskodással) Bence egyedül 2 óra alatt nyírja le a kertet.

1 óra alatt a felét nyírja le.

1,5 óra alatt a 3 -ét nyírja le. 4

Tehát Hajni egyedül 6 óra alatt nyírná le a füvet.

Hajni ezt az 1 kertet nyírta le 1,5 óra alatt. 4

Ellenőrzés Ha Hajni egyedül 6 óra alatt nyír le 600 m2 füvet, akkor 1,5 óra alatt éppen a kert egynegyedét nyírja le, azaz 150 m2-t. Bence, aki 1 óra alatt végez 300 m2-rel, 1,5 óra alatt ennek a másfélszereséről, 450 m2-ről vágja le a füvet. Ketten együtt 150 + 450 = 600 m2-nyit vágnak le, azaz éppen végeznek a fűnyírással a teljes kertben.

Hajninak a teljes kerthez egyedül 4-szer ennyi időre van szüksége, azaz 6 órára.

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

F E L A DAT

1.

Egy kezdő gépírót egy hosszú szöveg legépelésével bíznak meg. Segítségül hívja egyik gyakorlott kollégáját, aki egyedül 2 óra alatt tudná legépelni ezt a szöveget. Ketten együtt dolgozva 1 óra 12 perc alatt elkészülnek a munkával. Mennyi ideig tartott volna a hosszú szöveg legépelése a kezdő gépírónak egyedül? Oldd meg a feladatot egyenlettel és „okoskodással” is!

2.

Pali a matematikaosztályzatainak átlagát számolgatja. Az osztályzatok összege 66. „Érdekes, hogy ha az utolsó három osztályzatomat – egy hármast és két négyest – elhagynám, akkor ugyanannyi lenne a jegyeim átlaga, mint most.” Hány osztályzata lehet Palinak? Oldd meg okoskodással és egyenlettel is!

3.

Egy ékszergyárban 100% aranytartalmú (24 karátos) és 25% aranytartalmú (6 karátos) „törtarany” összeolvasztásával 1 kg 75% aranytartalmú (18 karátos) aranyat kaptak. nyra Hány kilogramm színaranyra volt szükség? Oldd megg a feladatot egyenlettel és „okoskodással” is!

4.

Egy futballcsapat egy idényben 32 mérkőzést játszott. Kettővel kevesebb meccset vesztettek, mint amennyit nyertek, és feleannyi döntetlent játszottak, mint ahány meccset vesztettek. Hány nyert, hány vesztett és hány döntetlen meccsük volt?

2.

Bence 1 óra alatt 20 m2-t ás fel, Hajni 1 óra alatt 16 m2-t. a) Két óra alatt hány m2-t ásnak fel ketten együtt dolgozva? b) Hány óra alatt ásnak fel 120 m2-t egyedül? c) Hány óra alatt ásnak fel 120 m2-t együtt?

3.

Egy liter (1000 gramm) 5%-os és egy liter 2%-os sóoldatunk van. (A százalékos arányon most tömegszázalékot értsünk!) a) Hány gramm só van az egyik, illetve a másik oldatban? b) Összeöntjük a két sóoldatot. Hány százalékos oldatot kapunk?

4.

A boltban csak 100%-os és 12%-os „gyümölcstartalmú” narancslét lehet kapni. A 100%-os nagyon tömény, a 12%-os meg túl vízízű, a kettő között lenne az igazi. Melyikből mennyit keverjünk össze egy kancsóban, hogy 1 liter 34%-os gyümölcstartalmú narancslevet kapjunk?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy nagy építkezésen dolgozó cölöpverő gép 5 óra alatt verné le az összes cölöpöt, egy másik gép viszont egyedül dolgozva 3 óra alatt végezne ezzel a munkával. Mennyi idő alatt készülnek el, ha a két cölöpverő együtt dolgozik?

6 7. l e c ke

P RO B L É M A M E G O L D Á S E GY E N L E T E K K E L

99

68

EGYENLETEK MEGOLDÁSA

CSOPORTMUNKA

1.

Egy papírbolt ügyetlen eladója hasra esett két doboz húsvéti képeslappal, azok szétszóródtak és reménytelenül összekeveredtek.

3.

Egy parkolóórába összesen 13 húsz- és ötvenforintos érmét dobtunk be, hogy kifizessük a 440 forintos parkolási díjat. Melyik érméből hány darabot dobtunk be?

4.

Testnevelésórán éppen a diákok rövidtávfutás-idejét mérik. Minden körben ketten futnak a pályán, azonban a sípszónál az egyikük „kissé” beragadt, amivel 2  értékes másodpercet vesztett. Hogy behozza a lemaradását, 5 m sebességgel futotta végig a távot, s míg a másik diák csak 4,5 m -mal. Így egyszerre érs tek a célvonalhoz.

A dobozokban összesen 1200 képeslap volt, de azt nem tudták, hogy melyikből mennyi. A drágább fajta 180 Ft, az olcsóbb 150 Ft lenne, de a boltvezető úgy határozott, hogy nem vacakolnak a szétválogatással, 180 + 150 eladják az egészet = 165 forintos „átlag2 áron”. Az összes képeslap eladása után kiderült, hogy így 1200 forinttal több bevételük lett, mint amennyit eredetileg vártak. a) Az olcsóbb vagy a drágább képeslapból volt több? b) Melyik fajtából hány képeslap keveredett össze? c) Eredetileg mennyi volt az 1200 képeslap darabonkénti átlagára?

2.

100

Egy befektető 2 500 000 forintot fektetett részvényekbe és kötvényekbe. Egy év alatt a részvények 9%-os nyereséget hoztak, a kötvények 7%-ot. Mennyit fektetett részvénybe, illetve kötvénybe, ha év végére öszszesen 211 000 forint nyereségre tett szert?

a) Melyik gyerek hány másodperc alatt futja le a távot? b) Milyen hosszú a futópálya?

5.

Reggelenként Albert kényelmes, 4 km -s tempóval h sétál iskolába menet. Lemérte, hogy ha reggel negyed nyolckor indul otthonról, akkor éppen idejében érkezik az iskolába. Ma azonban elaludt, ezért fél nyolc-

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

kor indult útnak. Így most 7 km -s tempót kell végig h tartania, hogy a szokásos időpontban érkezzen meg.

6.

A hagyományos, 100 wattos izzó ára 90 Ft, az azonos „fényerejű” 20 wattos energiatakarékos izzó viszont már 1050 Ft-ba kerül. 1 kilowattóra elektromos energia ára 40 Ft. (A 100 wattos izzó 10 óra üzemelés alatt éppen 1 kilowattóra elektromos energiát használ el.) a) Hány üzemóra után lehet azt mondani, hogy gazdaságosabb a 20 wattos izzó működtetése? Napi 4 órás üzemidőt feltételezve, hány nap alatt „térül meg” a drágább izzó vásárlása? b) A hagyományos izzó élettartama kb. 1000 óra, az energiatakarékosé pedig kb. 6000 óra. Hány forint a megtakarítás egy energiatakarékos izzó élettartama alatt? c) Mutassátok be grafikus úton is az energiatakarékos izzó előnyét!

3.

A diákok sífutóversenyén Anti egyenletes sebességgel síel. Öt perccel Anti indulása után indul Zsombor, aki percenként 90 méterrel többet tesz meg, így 20 perc múlva utoléri Antit.

a) Általában mennyi idő alatt teszi meg Albert az iskolába vezető utat? b) Mekkora utat tesz meg Albert otthontól az iskoláig?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy vállalkozó két édességboltot üzemeltet. A két bolt nyitvatartási rendje azonos. A városközpontban álló üzlet naponta átlagosan 12%-kal több bevételt hoz, mint a piactér melletti. Májusban karbantartási munkák miatt három napra be kellett zárni a városközpontban álló boltot; emiatt aztán mindkét boltban ugyanakkora lett a havi összbevétel. Hány napot tartottak nyitva az egyes boltok májusban?

2.

Balázs, Máté és az édesapjuk együtt 78 évesek.

a) Mekkora volt Zsombor sebessége? b) Mennyit síelt Anti, amíg Zsombor utolérte?

4.

6 év múlva az életkoruk aránya 2 : 3 : 7 lesz. Hány éves a két fiú?

6 8 . l e c ke

E GY E N L E T E K M E G O L D Á S A

Egy ellipszis alakú, 300 méter hosszúságú versenypályán üldözéses kerékpárverseny folyik. Tóbiás és Döme a pálya két ellentétes pontjáról indul ugyanabba az irányba. A sebességük állandó: Tóbiásé 8  m , Döméé 9,5 m . Mennyi idő múlva éri utol az s s egyik a másikat?

1 01

RÁADÁS

1.

A villamosmegálló tájékoztatója szerint a következő villamos 12 perc múlva érkezik. A 10 perces villamosút helyett Karcsiék inkább gyalog indultak el, és egy óra alatt tették meg a 4 km-es távot. a) Hány villamos haladt el mellettük és előzte meg őket, ha a villamosok a menetrend szerint 15 perces időközönként követik egymást? b) Hány szemből jövő villamossal találkozhattak, ha a másik végállomásról mindig akkor indul egy-egy villamos, amikor beérkezik egy ellenkező irányú?

Megoldás A villamosok számára vonatkozó egyenletet nehéz felírni, viszont grafikonok segítségével meglepően egyszerű a megoldás. y

4 3,5

y= 4 x 60

3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

x

A vízszintes tengelyen a percekben mért időt, a függőlegesen a km-ben mért megtett utat látjuk. A piros vonal Karcsiék mozgásgrafikonja. A metszéspontok azt jelzik, hogy 3 villamos hagyta el Karcsiékat, és 5 szemből jövő villamost számolhattak meg.

102

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

2.

3.

Egy agár kerget egy nyulat. A távolságuk 50 méter. A nyúl sebessége 30 km , az agár percenként 520 méh tert tesz meg. Utoléri-e az agár a nyulat? Ha igen, mennyi idő alatt? Válasszuk meg a p-vel jelölt számot úgy, hogy a 3 (x + 2) = px + 4 egyenlet gyöke pozitív szám legyen!

Megoldás Próbálgatással könnyen találhatunk ilyen számokat, például ha p = 4, akkor x = 2, 2 ha p = 10, akkor x = . 7 A p összes megfelelő értékét is megkaphatjuk a mérlegelv segítségével:

3 (x + 2) = px + 4 3 x + 6 = px + 4 / – 3x – 4 2 = px – 3 x 2 = x (p – 3). A jobb oldali szorzat 2-vel egyenlő, tehát pozitív. Az x tényezőnek (az egyenlet gyökének) pozitívnak kell lennie. Ez úgy lehetséges, hogy a másik tényező is pozitív: p – 3 > 0, vagyis p > 3. Tehát akkor pozitív az egyenlet gyöke, ha a p-t a 3-nál nagyobb számnak választjuk: 2 x= , ha p > 3. p−3 Okoskodásunkból az is következik (ami nem tartozik hozzá feladatunk megoldásához), hogy ha p < 3, akkor az egyenlet gyöke negatív szám; ha p = 3, akkor az egyenletnek egyáltalán nincs gyöke, mert a 2 = x · 0 azt jelentené, hogy 2 = 0.

ELMÉLET A most vizsgált egyenletben két betű szerepelt. A p-t úgy tekintettük, mintha egy adott szám lenne, az x-et pedig a p értékének megfelelően határoztuk meg. Az ilyen típusú egyenletet paraméteres egyenletnek nevezzük. Példánkban a p volt a paraméter. Egy egyenletben több paraméter is lehet.

4.

Egy apa A éves, a lánya B éves. Hány év múlva lesz az apa 3-szor annyi idős, mint a lánya? (Legyen A ≥ 30 és B > 0.)

Megoldás Mondjuk, hogy x év múlva. Ekkor az apa életkora A + x, a leányé B + x év lesz. Azt tudjuk, hogy az apa életkora 3-szor akkora, mint a leányé, tehát A + x = 3 (B + x). Ebben az egyenletben x az ismeretlen, A és B pedig paraméter. Oldjuk meg az egyenletet a mérlegelv segítségével! A + x = 3B + 3x / – x – 3B A – 3B = 2x / :2 A − 3B x= 2 Ha például az apa 32 éves és a lánya 4 éves, akkor 32 − 12 x= = 10, 2 6 8 . l e c ke

E GY E N L E T E K M E G O L D Á S A

vagyis az apa 10 év múlva (42 évesen) lesz 3-szor annyi idős, mint a lánya, aki akkor 14 éves lesz. A szöveg egy a jövőben megvalósuló eseményről szól, ezért csak pozitív megoldást fogadhatunk el. Ennek feltétele az, hogy az A > 3 B igaz legyen, vagyis az apa jelenlegi életkora több mint háromszorosa legyen a lánya életkorának.

103

69

GRAFIKUS MEGOLDÁSOK

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Sári a piacon madáreledelt vett. Ennek 30%-a fénymag. Ezt az arányt szeretné Sári 50%-ra növelni. Mennyi fénymagot tegyen a piacon vásárolt 40 dkg magkeverékhez?

Megoldás Legyen a szükséges fénymag tömege x dkg. Ha ezt Sári a piacon vásárolt madáreledelhez önti, akkor a keverék tömege (40 + x) dkg lesz, ennek a fele 0,5 (40 + x) dkg fénymag. A megvásárolt 40 dkg madáreledelben 40 · 0,3 = = 12 dkg fénymag volt, ehhez jött még x dkg. Ezért összesen (12 + x) dkg fénymag lesz a keverékben. Tehát 0,5 (40 + x) = 12 + x; 20 + 0,5 x = 12 + x. Oldjuk meg ezt az egyenletet! Első (algebrai) módszer 20 + 0,5 x = 12 + x / –12 – 0,5 x 8 = 0,5 x /·2 16 = x Tehát 16 dkg fénymagot kell Sárinak a piacon vásárolt keverékhez öntenie. Ellenőrzés Ha Sári a 40 dkg magkeverékhez 16 dkg fénymagot önt, akkor 56 dkg magkeveréket kap. Ebben összesen 12 + 16 = 28 dkg fénymag van, és ez valóban 50%-a az 56 dkg-nak.

Ez a két grafikon a (16; 28) pontban metszi egymást. A  metszéspont első koordinátája a 20 + 0,5 x = 12 + x egyenlet gyöke: x = 16. Ugyanazt az eredményt kaptuk, amit az első módszerrel.

2.

Melyek azok a számok, amelyek esetében 1 1 a) x = x + 3; b) x < x + 3? 2 2

Megoldás Rajzoljuk

meg

közös koordináta-rendszerben 1 x  x és az x  x + 3 függvény grafikonját! 2

az

y 6

1 y = x +3 2

5 4

y = |x|

3 2 1

Második (grafikus) módszer Rajzoljuk meg közös koordináta-rendszerben az x  20 + 0,5 x és az x  12 + x függvény grafikonját! y

y = 12 + x

30

y = 20 + 0,5x

20 10

0

104

10

20

30

x

–4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

a) Az ábráról leolvashatjuk, hogy a két grafikon két pontban metszi egymást. Ennek a két pontnak az első koordinátája az adott egyenlet két gyöke. A jobb oldali metszéspont első koordinátája 6, a bal oldalié pedig –2. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy 1 1 6 = ⋅ 6 + 3 és −2 = ⋅ (−2) + 3 is igaz, tehát az 2 2 adott egyenletnek két gyöke van: a –2 és a 6. Az egyenlet megoldáshalmaza: {–2; 6}.

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

1 x + 3 egyenlőtlenség megoldáshalma2 za a ]–2; 6[ intervallum. A felírt egyenlőtlenségnek tehát végtelen sok megoldása van. Ezért az x <

b) Rajzunkról azt is leolvashatjuk, hogy ha –2 < x < 6, akkor az x  x függvény értéke kisebb, mint az 1 1 x  x + 3 függvényé, ezért itt x < x + 3. 2 2 Azt is látjuk, hogy ha x ∉ ]–2; 6[, akkor nem igaz, hogy 1 x < x + 3. 2

F E L A DAT

1.

c) x 2 – 3 = x – 1 d) x 2 – 3 ≤ x – 1

Oldd meg grafikus módszerrel a következő egyenleteket, illetve egyenlőtlenségeket! 1 a) x − 1 = − x + 5 2 1 b) x − 1 < − x + 5 2

A egyenlőtlenség megoldásához a függvényAz áábrázoló programok is használhatók.

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

3.

Melyek azok a számok, amelyek esetében y = 6 – x és 3 y = x + 1 is igaz? 2

Megoldás Egy kétismeretlenes egyenletrendszert kell megoldanunk. Olyan számokat kell találnunk, amelyeket az x és az y helyett az egyenletekbe írva mindkét esetben igaz kijelentést kapunk. A feladatot ismét grafikus úton oldjuk meg. 3 Rajzoljuk meg az y = 6 – x és az y = x + 1 egyenletű 2 3 egyeneseket (amelyek az x  6 – x, illetve az x  x + 1 2 elsőfokú függvények grafikonjai)! A két egyenes metszéspontja a (2; 4) pont. Ha az egyenletekben x helyébe 2-t, az y helyébe pedig 4-et helyettesítünk, akkor mindkét egyenletből egy-egy igaz ki3 jelentést kapunk (4 = 6 – 2 igaz, és 4 = ⋅ 2 + 1 = 3 + 1 is 2 igaz).

6 9 . l e c ke

GRAFIKUS MEGOLDÁSOK

y = 6−x kétismeretlenes egyenletrendszer megol3 x +1 2 dása a (2; 4) rendezett számpár. Az

y=

y 7

y = 3 x +1 2

6 5

(2; 4)

4

y = 6 -x

3 2 1 0

1

2

3

4

5

x

A egyenletrendszer megoldásához a függvényAz áábrázoló programok is használhatók.

105

4.

Egy sokszáz éves, híres feladat nyomán: Egy udvaron tyúkok és nyulak vannak, összesen 7 fejük és 20 lábuk van. Hány tyúk és hány nyúl van közöttük?

Megjegyzés Eredményünket így is megfogalmazhatjuk: Az

x +y =7 2x + y = 10

kétismeretlenes egyenletrendszer meg-

oldása a (3; 4) rendezett számpár.

Első megoldás (egyenletekkel) Mondjuk, hogy x nyúl és y tyúk van közöttük. Összesen 7 fejük van, ami azt jelenti, hogy x + y = 7. Az x nyúlnak 4 x lába, az y tyúknak 2 y lába van. Összesen 20 lábuk van, ami azt jelenti, hogy 4 x + 2 y = 20, vagyis 2 x + y = 10. Az ábrán azt a két egyenest látjuk, amelyeknek az egyenlete: x + y = 7, vagy másképp y = 7 – x (ez az x  7 – x függvény grafikonja); illetve 2 x + y = 10, vagy másképp y = 10 – 2 x (ez az x  10 – 2 x függvény grafikonja). y

Második megoldás (okoskodással) Rajzoljunk le 7 „testet”, mindegyikhez tegyünk két lábat! Ekkor felhasználtunk 14 lábat, maradt még 20 – 14 = 6.

A 6 lábat kettesével odarajzoljuk a 3 testhez,

10 9 8 y = 10 - 2x 7 6 5

ez a 3 (négylábú) rajz szemlélteti a nyulakat, az a 4 test pedig, amelyiknél csak két láb maradt, szemlélteti a tyúkokat.

(3; 4)

4

y=7-x

3 2 1 0

1

2

3

4

5

x

Ez a két egyenes a (3; 4) pontban metszi egymást. Ez azt jelenti, hogy ha x = 3 és y = 4, akkor mindkét egyenletből igaz állítást kapunk. Másképp: az udvaron 3 nyúl és 4 tyúk van.

106

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

F E L A DAT

2.

Oldd meg az egyenletrendszereket grafikus módszerrel! a)

b)

c)

3.

y=x+4

Oldd meg az egyenleteket grafikus úton! Ellenőrizd az eredményeket behelyettesítéssel! a) 1 - 3x = 3 - x

y = −2x + 1

b)

7 x + 5 = 2x + 1 5 c) x 2 - 3 = x - 1

y = 2x − 5 2y = x − 4 x+y = 0

4.

Oldd meg az alábbi feladatot okoskodással! Egy udvaron tyúkok és nyulak vannak, összesen 24 fejük és 66 lábuk van. Hány tyúk és hány nyúl van közöttük?

3.

Oldd meg az egyenletrendszereket grafikus módszerrel!

x + 3y = 6

H Á Z I F E L A DAT

1.

Oldd meg grafikus módszerrel! a) 2 x + 3 = | x | b) 2 x + 3 ≥ | x |

2.

Oldd meg grafikusan az egyenleteket, egyenlőtlenségeket! a) 2 – 3 x = 4 – x b) 2 – 3 x ≥ 4 – x c) (x + 2) 2 = – | x | + 2 d) (x + 2) 2 ≤ – | x | + 2

6 9 . l e c ke

GRAFIKUS MEGOLDÁSOK

a)

b)

4.

y = 2−x y = 0,5x − 1 y = 2x + 2 2y = −x − 4

c)

d)

x + 2y = 6 x − 2y = 2 2x + y + 1 = 0 x − 2y = 2

A vásárban 1 csikóért 2 malacot és 5 tallért kell fizetni, két csikóért viszont 1 malacot és 22 tallért. Hány tallérba kerül 1 csikó, és mennyibe 1 malac? m

1 07

70

EGYENLŐTLENSÉGEK

BEVEZETŐ Hány évesek lehetnek az ötös ikrek, ha tudjuk, hogy 12 év múlva sem éri el az életkoruk összege a 100-at? Megoldás Ha most x évesek, akkor 12 év múlva x + 12 évesek lesznek, az életkoruk összege pedig 5-ször ennyi lesz. A feladat szerint 5 (x + 12) < 100. Egy egyenlőtlenséget kaptunk, amelyet a mérlegelvvel oldunk meg: 5 (x + 12) < 100 / :5 x + 12 < 20 / – 12 x<8 Eredményünk azt mutatja, hogy az ikrek még nem érték el a 8 évet. Ellenőrzés Ha most 8 évesek lennének, akkor 12 év múlva az életkoruk összege 5 · 20 = 100 lenne. Ha pedig már most 8 évesnél idősebbek lennének, akkor ez az összeg 100-nál nagyobb szám lenne.

ELMÉLET Az egyenlőtlenségek megoldására is használhatjuk a mérlegelvet. Ez azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség megoldásainak a halmaza nem változik meg, ha a <, >, ≤, ≥ jel két oldalán álló kifejezést (számot) – ugyanannyival növeljük vagy csökkentjük, – ugyanazzal a pozitív számmal megszorozzuk vagy elosztjuk, – ugyanazzal a negatív számmal megszorozzuk vagy elosztjuk, és ezzel egyszerre a <, >, ≤, illetve ≥ jelet az ellenkezőjére változtatjuk. Tehát a negatív számokkal való szorzás és osztás esetében különösen figyelnünk kell. Nyilvánvaló, hogy ilyenkor meg kell fordítanunk a jelet, mert például 3 < 8, de –3 > –8; –5 < 1, de 5 > –1; –9 < –6, de 9 > 6; vagyis a (–1)-gyel való szorzás megfordítja a nagyságviszonyokat. Ugyanez a helyzet az osztással is.

F E L A DAT

1.

Oldd meg az egyenlőtlenségeket a mérlegelv alkalmazásával! a) –23 – 8 x < –15 (–7 – 8 x)

108

b) 5 (x + 2) 2 – 8 x ≥ 5 x 2 + 12 x

c)

3 − 5x 5 − 4x 7 − ≥− 5 10 20

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

A grafikon alapján döntsük el, melyik természetes számokra igaz, hogy 1 + x ≥ 3 x – 6! y 9

Megjegyzés Az 1 + x ≥ 3 x – 6 egyenlőtlenséget algebrai úton is megoldhatjuk. A mérlegelvet használjuk: 1 + x ≥ 3x – 6 / – 3x – 1 –2 x ≥ –7 / : (–2) x ≤ 3,5. Az utolsó lépésnél a ≥ jelet ≤-re változtattuk. Azt kaptuk, hogy az x természetes számnak 3,5-nél kisebbnek kell lennie. Négy ilyen természetes szám van: a 0, az 1, a 2 és a 3.

y = 3x - 6

8 7 6 5 4

y=1+x

2.

3 2 1 –1 0 –1

1

2

3

4

Van-e olyan, legfeljebb 21 cm kerületű háromszög, amelynek oldalai (cm-ben mérve) x, x + 4 és x + 8 hosszúak?

Megoldás A kívánt tulajdonságú háromszög létezéséhez három feltételnek kell teljesülnie: x > 0 és x + (x + 4) + (x + 8) ≤ 21 (a kerület miatt) és x + 8 < x + (x + 4) (a háromszög-egyenlőtlenség miatt). Meg kell oldanunk a következő egyismeretlenes egyenlőtlenség-rendszert: x > 0 és 3 x + 12 ≤ 21 és x + 8 < 2 x + 4. A második egyenlőtlenséget mérlegelvvel megoldva: x ≤ 3. A harmadik egyenlőtlenséget mérlegelvvel megoldva: 4 < x. Olyan pozitív szám azonban nincs, amelynél egyszerre beteljesülne az, hogy 3-nál nem nagyobb, 4-nél viszont nagyobb. Nincs tehát a szövegnek megfelelő háromszög.

5 x

Megoldás Olyan pontokat kell keresnünk az y = 1 + x egyenletű egyenesen, amelyeknek első koordinátája természetes szám, és amelyekhez legalább akkora második koordináta tartozik, mint az y = 3 x – 6 egyenes megfelelő pontjaihoz. Négy ilyen pont van: (0; 1), (1; 2), (2; 3) és (3; 4). Tehát az N alaphalmazon az 1 + x ≥ 3 x – 6 egyenlőtlenség megoldáshalmaza: {0; 1; 2; 3}.

F E L A DAT

2.

A grafikonok segítségével oldd meg az egyenlőtlenségeket a természetes számok halmazán, majd a valós számok halmazán is! −x − 1 a) 0 ≤ 5 – 2 x b) x + 2 ≤ 5 – 2 x c) 5 – 2 x > 3,5 – 0,5 x d) ≤ 5 − 2x 4 y

y

y

y

6

6

6

5

5

5

5

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

–1 0

7 0 . l e c ke

1

2

3

4

x

–1 0

E GY E N L Ő T L E N S É G E K

1

2

3

4

x

–1 0

–2 –1 0 1

2

3

4

x

–2

1

2

3 x

109

3.

Hány olyan, legfeljebb 21 cm kerületű háromszög létezik, amelynek oldalai (cm-ben mérve) x, x + 2 és x + 4 hosszúak? Hány olyan van ezek között, amelyekre x ∈ N? x+

m xc

5.

Szociális segély igénylésekor a jogosultság egyik feltétele az egy főre jutó jövedelem. A család „létszámát” így határozzák meg: igénylő 1,2, igénylő házastársa 0,9, gyerekenként 0,8. (Tehát egy 3 fős család „létszáma”: 1,2 + 0,9 + 0,8 = 2,9.) A család akkor részesülhet szociális segélyben, ha a család összjövedelmének és a család fentebb leírt módon kiszámított „létszámának” hányadosa nem haladja meg a 26 500 tallért. Az egyik igénylőnek és házastársának két gyermeke volt, és csak a harmadik gyermekük megszületése után váltak jogosulttá a szociális segélyre. Menynyi lehetett a család összjövedelme eredetileg, ha a bevételeik – a harmadik gyermek megszületése után – még a 3. gyermek után járó 13 000 tallér családi pótlékkal megnőtt?

3.

Oldd meg az egyenlőtlenségeket a grafikonok segítségével a valós számok halmazán!

2c

m

x + 4 cm

4.

Oldd meg az egyenlőtlenségeket grafikus úton! a) 2x - 4 # 5 - x b) - x + 5 2 2 x - 4 3 3

H Á Z I F E L A DAT

1.

Juditnak biológiából öt osztályzata van, ezek átlaga 3,8. Hány ötöst kell szereznie, hogy az átlaga 4,3nél nagyobb legyen? Oldd meg módszeres próbálkozással és egyenlőtlenséggel is!

a) 0 ≥ 3 – 2 x

c) 3 – 2 x > – 0,5 x

y

y

5

4

4

3

3

2

2

1

1 –1 0

–1 0 1

2

3

b) 3 – 2 x < 6 + x

2.

110

Oldd meg az egyenlőtlenség-rendszereket! a) 5 – x < 0 és x – 8 ≤ 0 x+3 b) 5 – 4 x ≥ 7 és ≥0 2 4x + 5 14 − 3x c) < 1 és <x 9 4

d)

y

5

4

4

3

3

2

2

1

1

–1 0 1

2

3

2

3

4 x

x+6 ≤ 3 − 2x 2

y

–1 0

1

4 x

1

2

3

4 x

4 x

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

E M E LT S Z I N T F E L A DAT

1.

Hány gyöke van a (c 2 – 9) x = c 3 + 27 egyenletnek a c paraméter különböző értékei esetén?

Megoldás Alakítsuk szorzattá a c 2 – 9 és a c 3 + 27 kifejezéseket! c 2 – 9 = (c + 3) (c – 3) és c 3 + 27 = (c + 3) (c 2 – 3 c + 9), ezért az adott egyenlet így is felírható: (c + 3) (c – 3) x = (c + 3) (c 2 – 3 c + 9). A mérlegelvet szeretnénk használni, osztanánk az x együtthatójával. Ezt azonban csak akkor tehetjük meg, ha az nem egyen(c + 3)(c 2 − 3c + 9) c 2 − 3c + 9 lő 0-val. Ebben az esetben x = = . (c + 3)(c − 3) c−3 52 − 3 ⋅ 5 + 9 19 Ha például c = 5, akkor az egyenlet gyöke = = 9,5. 5−3 2 Ha azonban (c + 3) (c – 3) = 0, akkor ez az osztás nem végezhető el. Ezt az esetet külön meg kell vizsgálnunk. (c + 3) (c – 3) = 0, ha c + 3 = 0, vagy c – 3 = 0, más esetekben (c + 3) (c – 3) ≠ 0. Ha c + 3 = 0,

akkor c = –3,

az egyenlet: 0 · x = 0,

megoldáshalmaza: R.

Ha c – 3 = 0,

akkor c = 3,

az egyenlet: 0 · x = 54,

megoldáshalmaza: Ø.

Tehát az adott egyenletnek nincs gyöke, ha c = 3, c 2 − 3c + 9 egy gyöke van (a ), ha c valós szám, de nem a 3 és nem a –3, c−3 végtelen sok gyöke van, ha c = –3.

2.

Oldd meg a következő paraméteres egyenleteket (a p paraméter)! a) 2 px – 3 p = 2 – 5 px b) px + 5 x = p 2 + 10 p + 25 c) p 2 x – p 2 = 10 p + 25 (x + 1) d) (p + 3) (p – 3) x = p 2 x – 63

3.

Hogyan kell megválasztanunk a 2. feladat részeiben a p paraméter értékét, ha azt akarjuk, hogy adott egyenletnek egy gyöke legyen, mégpedig egy 3-nál nagyobb szám?

4.

A p paraméter megválasztásától függően hány gyökük van a következő egyenleteknek? (A megoldáshoz rajzold meg az x  | x | + | x – 5 | függvény grafikonját!) a) | x | + | x – 5 | = p b) | x | + | x – 5 | = px c) | x | + | x – 5 | = px + 10 d) | x | + | x – 5 | = –px + 10

7 0 . l e c ke

E GY E N L Ő T L E N S É G E K

111

71

KISEBB, NAGYOBB, EGYENLŐ

F E L A DAT s

70

56

42

s= 42 k

Egy kisebb cég fennállásának 10. évfordulójára ünnepséget szervez. A cégvezetés úgy dönt, hogy az ünnepi vacsorán egy-egy vidám ajándéktárgygyal meglepi a 42 alkalmazottat. Az ajándékokat 130 000 Ft-os keretből szeretnék megoldani. Kétféle ajándéktárgy merült fel: egy 2800 Ft-os nyaklánc és egy 3500 Ft-os határidőnapló. Annak a 14 alkalmazottnak, akik a forgalmazással foglalkoznak, mindenképpen naplót szeretnének adni. Hány nyakláncot és hány határidőnaplót vehetnek a 130 000 Ft-ból?

k = 14

1.

s = 28

28

14

0

a) Figyeld meg az egyenletet és az egyenlőtlenségeket! Mit jelenthetnek a betűk? Mit jelentenek az egyenlőtlenségek? Mit jelentenek a koordináta-rendszerben bejelölt részek? k + s = 42; k ≥ 14; 0 ≤ s ≤ 28; 3,5 k + 2,8 s ≤ 130.

112

14

28

42

56

k

b) Gondold végig a feladatot úgy is, hogy csak egy ismeretlent vezetünk be! Ha k db határidőnaplót veszünk, akkor 42 - k db nyakláncra lesz szükség. Írd fel, hogy ezek mennyibe kerülnek összesen! c) A teljes költség nem lehet több 130 ezer forintnál. Mennyi lehet ekkor a k? d) Hányféle megoldás jöhet szóba, ha az összes feltételt figyelembe veszed?

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Az állatkertbe 5290 Ft a „családi” jegy (két felnőtt és két gyerek részére). Minden további gyerek után 890 Ft-ot kell fizetni. Mekkora létszámú gyerekcsoportot vigyen két óvónő az állatkertbe, hogy (az óvónőket is beleértve) az egy főre jutó jegyár 1000 Ft-nál kevesebb legyen?

Megoldás Két óvónő és két gyerek bemehet a családi jeggyel. Jelöljük a további gyerekek számát x-szel. Ekkor a teljes fizetendő összeg 4 + x fő után 5290 + 890 x Ft. 5290 + 890x Az egy főre jutó rész: . Ennek kell 1000 Ft-nál 4+x kevesebbnek lennie.

71 . l e c ke

K I S E B B , N AGYO B B , E GY E N L Ő

5290 + 890x < 1000 egyenlőt4+x lenséget a természetes számok halmazán. Az x + 4 ebben az esetben pozitív, ezért nem fordul meg a  relációs jel, ha megszorozzuk vele az egyenlőtlenség mindkét oldalát. 5290 + 890x / · (4 + x) < 1000 4+x 5290 + 890 x < 4000 + 1000 x / – 5290 890 x < –1290 + 1000 x / – 1000 x –110 x < –1290 / : (–110) x > 11,73 Tekintve, hogy a gyerekek száma természetes szám, a megoldás x ≥ 12, tehát összesen legalább 12 + 2 = 14 gyerekkel kell menniük. Meg kell tehát oldanunk az

Ellenőrzés A 16 belépőért fizetett összeg: 5290 + 12 · 890 = 15 970 Ft. Ez kevesebb 16  000 forintnál, így az egy főre jutó jegyár valóban kevesebb 1000 Ft-nál. Megjegyzés Ekkora csoportnak már érdemes csoportos belépőt rendelni. Ezt ugyan korábban kell elintézni, viszont jóval olcsóbb.

113

2.

Oldjuk meg az (x + 2) (4 – x) > 0 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

Egy kéttényezős szorzat pontosan akkor pozitív, ha mindkét tényező pozitív vagy negatív. Vizsgáljuk ezért mindkét tényező előjelét. Első megoldás Ábrázoljuk az x  x + 2 és x  4 – x elsőfokú függvényeket!

A 4-nél nagyobb számok esetén az első függvény pozitív, a második negatív értékeket vesz fel, tehát ezek a számok sem megoldásai az egyenlőtlenségnek. A –2 és 4 szintén nem megoldás, hiszen ezek bármelyikének behelyettesítésekor az eredeti egyenlőtlenségből a 0 > 0 hamis kijelentést kapjuk. Összefoglalva: az (x + 2) (4 – x) > 0 egyenlőtlenségnek minden –2 és 4 közötti szám gyöke, és más gyöke nincs. Ezért az egyenlőtlenség megoldáshalmaza a ]–2; 4[ nyílt intervallum.

y 6 y=4-x

A (–2)-nél nagyobb és 4-nél kisebb számok esetén mindkét függvény pozitív értékeket vesz fel, ezért ezek a számok mind megoldásai az egyenlőtlenségnek.

y=x+2 5 4 3 2 1

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

x

A (–2)-nél kisebb számok esetén az első függvény negatív, a második pozitív értékeket vesz fel, tehát ezek a számok nem megoldásai az egyenlőtlenségnek.

Második megoldás (x + 2 > 0 és 4 – x > 0) vagy (x + 2 < 0 és 4 – x < 0), (x > –2 és 4 > x) vagy (x < –2 és 4 < x). Az első zárójeles egyenlőtlenségrendszer megoldáshalmaza a ]– 2; 4[ nyílt intervallum, a másodiké pedig az üres halmaz [nincs ugyanis olyan (–2)-nél kisebb szám, amely 4-nél nagyobb lenne]. Tehát az (x + 2) (4 – x) > 0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a ]–2; 4[ nyílt intervallum.

F E L A DAT

2.

Egy alapítványi iskola bevétele az iskola tanulóinak létszámától is függ. Ha az iskolának 100-nál több tanulója van, akkor a helyi önkormányzattól 50 000 tallért és a 100-on felüli létszám után tanulónként még 800 tallér hozzájárulást kapnak. A támogatás feltétele az, hogy a teljes juttatás egy tanulóra jutó összege nagyobb legyen 550 tallérnál, de ne haladja meg a 600 tallért. Mekkora létszám esetén kaphatja meg az iskola az önkormányzati támogatást? Hány megoldása van a feladatnak?

c)

egyenlőtlenséget! M Megoldásaidat a függvényábrázoló programok ssegítségével is ellenőrizheted.

4.

Oldd meg az egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a) ^2x - 5h $ ^3 - 4xh # 0 b)

3.

114

Oldd meg a valós számok halmazán az x+2 a) > 0; 4−x x+2 b) ≤ 0; 4−x

4−x ≤0 x+2

5.

3 - 7x 2 0 12 + 5x

Oldd meg az egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! ^ x + 1h $ ^ x + 2h $ ^ x + 3h 2 0

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

H Á Z I F E L A DAT

1.

Hány olyan P(x; y) pont van a koordináta-rendszer síkjában, amelynek mindkét koordinátája egész szám, továbbá: 1 x – 3 ≥ 0 és y – 6 ≤ 0 és y ≥ x + 2? 2

3.

y 9

4 < 0 egyenlőtlenséget kellett megx oldania. Úgy gondolta, alkalmazza a mérlegelvet. Mindkét oldalt megszorozta x-szel: 4 < 0. Ez hamis kijelentés, tehát az egyenlőtlenségnek nincs megoldása – gondolta Tibor. Jól gondolkodott-e Tibor? Válaszod indokold! Tibornak a

8 7 6 5 4 3 2 1 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

–2

2.

Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! x+3 −x − 2 6 − 2x a) b) <0 ≥ 0 c) ≤0 x+5 −x 2x + 3 M Megoldásaidat a függvényábrázoló programok seggítségével is ellenőrizheted.

71 . l e c ke

K I S E B B , N AGYO B B , E GY E N L Ő

4.

Egy játékban három dobókockával dobunk. A dobott pontok összegét jelöljük p-vel. A játékban nye1 rünk, ha a 2(9 − p) 5 − p szorzat értéke nega3 tív, egyébként veszítünk. Hányféle pontösszeg esetén nyerhetünk?

115

72

ALGEBRAI MÓDSZEREK EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSÁRA

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Oldjuk meg az

5x + 7 y = 19 2x − 7 y = −12

egyenletrendszert!

Megoldás Az első egyenletben 7 y, a másodikban –7 y szerepel. Összeadjuk a két egyenlet bal oldalán álló kifejezéseket és a jobb oldalon álló számokat. Ezek az összegek egyenlők: (5 x + 7 y) + (2 x – 7 y) = 19 + (–12). A zárójelek felbontása és az összevonás után azt kapjuk, hogy 7 x = 7, vagyis x = 1. Ezt beírjuk valamelyik egyenletbe, például az elsőbe: 5 · 1 + 7 y = 19 7 y = 14 y=2 Tehát az

5x + 7 y = 19 2x − 7 y = −12

Ellenőrzés Ha x = 1 és y = 2, akkor 5 · 1 + 7 · 2 = 5 + 14 = 19 és 2 · 1 – 7 · 2 = 2 – 14 = –12. Az egyenletrendszer megoldása azért volt ilyen egyszerű, mert a két egyenletben az egyik ismeretlen együtthatójának ugyanaz volt az abszolút értéke. E megoldási módszer neve: az egyenlő együtthatók módszere.

Oldjuk meg a

Ellenőrzés 3 · 3 + 2 · 1 = 9 + 2 = 11, 2 · 3 + 3 · 1 = 6 + 3 = 9, tehát eredményünk mindkét egyenletnek megfelel. Eszerint az adott egyenletrendszer megoldása a (3; 1) rendezett számpár.

egyenletrendszer megoldása az

(1; 2) rendezett számpár.

2.

Most a második egyenletbe az y helyére beírjuk az 5,5 – 1,5 x kifejezést: 2 x + 3 (5,5 – 1,5 x) = 9. Így egyismeretlenes egyenletet kapunk, amelyből kiszámítjuk az x-et: 2 x + 16,5 – 4,5 x = 9 –2,5 x = –7,5 x=3 Ha x = 3, akkor y = 5,5 – 1,5 x = 5,5 – 4,5 = 1.

3x + 2y = 11 2x + 3y = 9

egyenletrendszert!

Második (összehasonlító) módszer Mindkét egyenletből kifejezzük valamelyik ismeretlent, például az y-t: Az első egyenletből: y = 5,5 – 1,5 x; 2 a másodikból: y = 3 − x. 3 2 Ha az y egyenlő az (5,5 – 1,5 x)-szel is és a 3 − x -szel is, 3 2 akkor ezek egymással is egyenlők: 5,5 − 1,5x = 3 − x, ami3 ből azt kapjuk, hogy x = 3. Ha x = 3, akkor y = 5,5 – 1,5 x = 1. Harmadik módszer (az egyenlő együtthatók módszere) Alakítsuk át az adott

Megoldás Első (behelyettesítő) módszer Az első egyenletből a másik segítségével kifejezzük valamelyik ismeretlent: 3 x + 2 y = 11 2 y = 11 – 3 x y = (11 – 3 x) : 2 = 5,5 – 1,5 x

116

3x + 2y = 11 2x + 3y = 9

egyenletrendszert

úgy, hogy a megoldása ne változzon meg, de az egyik ismeretlen együtthatói egyenlők vagy egymás ellentettjei legyenek! 3x + 2y = 11

/ ⋅ (−2)

−6x − 4 y = −22

2x + 3y = 9

/ ⋅3

6x + 9y = 27

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

Ha egy (x; y) rendezett számpár megoldása mindkét egyenletnek, akkor a bal, illetve a jobb oldalak összeadásával kapott új egyenletnek is megoldása lesz. –6 x – 4 y + 6 x + 9 y = –22 + 27 Ebből az 5 y = 5 egyenletet kapjuk, tehát y = 1. Például az első egyenletbe visszahelyettesítve: 3 x + 2 · 1 = 11, vagyis x = 3. Eredményül most is ugyanazt kaptuk, mint a másik két módszerrel.

3.

1 1   5 x y Oldjuk meg az  egyenletrendszert! 2 1   1  x y

Megoldás A feladat elején leolvashatjuk, hogy x ≠ 0, és y ≠ 0, hiszen 0 nem állhat a nevezőben. Ha az egyenletek két oldalán álló számokat megszorozzuk x-szel és y-nal, akkor már nem lesz tört egyik egyenletben sem, de elég bonyolult egyenletekhez jutunk. Tehát ez a kiindulás nem segít a megoldásban. Ehelyett gondoljunk az egyenletekre úgy, mintha nem x és y lenne az ismeretlen, hanem

1 1 és . x y

1 Vezessünk be új ismeretleneket: jelöljük -et a-val és x 1 -t b-vel! y

()

()

Ezzel a helyettesítéssel a következő egyenleteket kapjuk: a+b=5 * 2a – b = 1 Ezt oldjuk meg az eddig tanult módszerek közül valamelyikkel, például az egyenlő együtthatók módszerével. Ha összeadjuk a két egyenlet bal, illetve jobb oldalán álló számokat, azt kapjuk, hogy: 3a = 6, és ebből a = 2. Ezt az első egyenletbe behelyettesítve: b = 3. De az eredeti feladat nem a-t és b-t kérdezte, hanem x-et és y-t. 1 1 1 a = , ebből x = = a 2 x 1 1 b = 1 , ebből y = = b 3 y Az egyenletrendszer megoldása tehát az

(12; 13) számpár.

Végezd el az ellenőrzést: helyettesítsd be az eredményt az eredeti egyenletekbe! Ezt a feladatot az új ismeretlenek bevezetésének módszerével oldottuk meg.

F E L A DAT

1.

Oldd meg algebrai módszerrel az egyenletrendszereket! a)

b)

2.

7x + 5y = −41 x + 9y = 20 4x − 7 y = 37

c)

12x + 35y = −5 8x − 5y = 8 2 7 + =2 x y

d)

Az iskolai rendezvényre készülve a főszervező diák a székeket számolgatja: „Ez most 20 szék soronként. Ha áthelyeznénk a színpadot, akkor 3 sorral kevesebb lenne ugyan, de soronként 30 szék is elférne, és akkor 50-nel többen tudnának leülni.” Hány szék van most a teremben?

4 7 − = 10 x y

Melyik egyenletrendszernek hány megoldása van? a)

3.

7x − 5y = −1

4.

0,6x − 2y = 8 3x − 10y = 20

b)

0,6x − 2y = 4 3x − 10y = 20

Oldd meg az egyenletrendszereket! 3 2x 5y 4 3x 2y 64 a) ) ^ + h - ^ + h = 5^ y - 3xh + 4^ x - 5yh = - 6 2 2 b) ) ^ x - 1h + 2y = x + 1 2 ^ y - 2h2 + 4x = y + 6

7 2 . l e c ke

A L G E B R A I M Ó D S Z E R E K E GY E N L E T R E N D S Z E R E K M E G O L D Á S Á R A

1 17

H Á Z I F E L A DAT

1.

Oldd meg az egyenletrendszereket algebrai módszerrel! 2x − 9y = 4

a)

2y − 9x = 59 3x 5 2x

b)

15

2.

− +

4y 3 y 6

c)

= 11

=−

1 3

d)

2(5x − 4 y)− 3(2x − y) = −8 4(3y − 2x)+ 2(5x − y) = −4 3 2 = y x 2 3 + =1 x y

3.

Egy nemzetközi expresszbusz a kedvező forgalmi viszonyok miatt 8 km/h-val nagyobb átlagsebességgel tudott haladni, mint amit a menetrend előír, így 48 perccel a kiírt időpont előtt érkezett meg. Egy másik alkalommal a csúszós utak miatt az előírt átlagsebességnél 12 km/h-val lassabban tudott csak haladni, így 1 óra 36 percet késett. Mennyi az előírt átlagsebesség? Mekkora utat kell megtennie a busznak a két végállomás között?

Egy kórház egyik új szárnyában összesen 16 kórterem kialakítását tervezik. A kórtermek kétágyasak vagy négyágyasak lehetnek. a) Az egyik terv szerint összesen 54 ágyat helyeznének el. Hány szoba lehetne kétágyas? b) Egy másik terv legalább 10 kétágyas szoba kialakítását javasolja. Hány ágyat tudnának elhelyezni? c) Az építési engedélyben az szerepel, hogy legfeljebb 8 kétágyas szoba alakítható ki. Hány ágyat tudnak elhelyezni?

E M E LT S Z I N T F E L A DAT

1.

Egy háromszög oldalainak hossza (mm-ben mérve) a, b és c. Tudjuk, hogy a + b = 27, a + c = 31 és b + c = 34. Mekkorák a háromszög oldalai? bm

m

a

m

m

c mm

Három ismeretlenünk és három egyenletünk van. Ezek egy háromismeretlenes egyenletrendszert alkotnak. Első megoldás Arra törekszünk, hogy az egyik ismeretlent „kiküszöböljük”, és kétismeretlenes egyenletrendszerhez jussunk. Az első egyenletből kifejezzük az a-t, és a kapott kifejezést behelyettesítjük a második egyenletbe az a helyébe: a = 27 – b, (27 – b) + c = 31, –b + c = 4. 118

Most egy a b és a c ismeretlenekre vonatkozó egyszerű egyenletrendszert kaptunk:

−b + c = 4 b + c = 34

A két egyenlet bal oldalának összege 2c, a jobb oldaluk öszszege 38, tehát 2c = 38, amiből c = 19. Most már könnyen megkapjuk az a és a b értékét is: b = 34 – c = 34 – 19 = 15 a = 27 – b = 27 – 15 = 12 Tehát a vizsgált háromszög oldalainak hossza: 12 mm, 15 mm és 19 mm. Ellenőrzés Két-két oldal összege 27, 34, illetve 31 mm, és ilyen háromszög valóban létezik.

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

Második megoldás Összeadjuk az

a + b = 27 a + c = 31 egyenletrendszer bal oldab + c = 34

lán lévő kifejezéseket és a jobb oldalukon lévő számokat. Azt kapjuk, hogy 2 a + 2 b + 2 c = 92, vagyis a + b + c = 46. Ha a háromszög kerülete 46 mm, és ismerjük két oldalának az összegét, akkor a harmadik oldal nagyságát azonnal megmondhatjuk: a + (b + c) = a + 34 = 46, tehát a = 12, b + (a + c) = b + 31 = 46, tehát b = 15, c + (a + b) = c + 27 = 46, tehát c = 19. Természetesen ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az első megoldás esetében. 2x + y − z = 3

2.

Oldjuk meg a

x − y + 2z = −1 háromismeretlenes 3x + 2y + z = 2

egyenletrendszert! Megoldás Először „kiküszöböljük” az egyik ismeretlent, például a z-t.

Az első egyenletből: z = 2 x + y – 3. A kapott kifejezést behelyettesítjük a második és a harmadik egyenletbe a z helyébe. Így két olyan egyenletet kapunk, amelyben csak az x és az y szerepel: x – y + 2 (2 x + y – 3) = –1; 5 x + y = 5; 3 x + 2 y + (2 x + y – 3) = 2; 5 x + 3y = 5. Most tehát az

5x + y = 5 5x − 3y = 5

egyenletrendszert kell meg-

oldanunk. Azonnal leolvashatjuk, hogy y = 0 és x = 1. Most már a z-t is könnyen kiszámíthatjuk: z = 2 x + y – 3 = 2 + 0 – 3 = –1. Ellenőrzés A kapott értékeket mindhárom egyenletbe behelyettesítjük: 2 x + y – z = 2 + 0 + 1 = 3; x – y + 2 z = 1 – 0 – 2 = –1; 3 x + 2 y + z = 3 + 0 – 1 = 2. A behelyettesítéssel csupa igaz állítást kaptunk, vagyis a feladatot jól oldottuk meg. Tehát az adott egyenletrendszernek egy megoldása van, az (1; 0, –1) rendezett számhármas.

ELMÉLET Három- vagy többismeretlenes egyenletrendszer esetében általában annyi egyenletre van szükségünk, ahány ismeretlen szerepel az egyenletrendszerben. Gyakran használt algebrai módszer az, hogy az ismeretlenek számát addig csökkentjük, amíg csak egy marad. A kapott egyismeretlenes egyenletet megoldjuk, majd rendre a többi ismeretlent is meghatározzuk.

F E L A DAT

3.

Oldd meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! Z 2x - 4y + 5z = 32 ]] [ 4x + 5y - 3z = - 22 ] x - 6y + 4z = 23 \

4.

Írj fel egyenletrendszert a szöveg alapján, majd oldd meg a feladatot! Pisti és Feri egy ellipszis alakú futópályán tart edzést. Állandó sebességgel futnak. Megfigyelték, hogy amikor egymással szemben futnak, és a startvonaltól indulnak, akkor először 1 perc múlva találkoznak újra. Ha egyirányba indulnának, akkor 9 perc múlva találkoznának össze először. Ha Feri, aki a gyorsabb, 20%-kal csökkentené a sebességét, Pisti pedig 20%-kal gyorsabban futna, akkor egymással szemben futva, 1 perc elteltével még nem találkoznának, ehhez még 10 m hiányozna. Milyen hosszú a pálya? Hány méter futnak a fiúk 1 perc alatt?

7 2 . l e c ke

A L G E B R A I M Ó D S Z E R E K E GY E N L E T R E N D S Z E R E K M E G O L D Á S Á R A

119

73

EGYENLETRENDSZEREK

F E L A DAT

1.

a) Mondjuk, hogy a szamár x kg, az öszvér y kg terhet visz a hátán. Ha az öszvér átadna 100 kgot a szamárnak, akkor a szamár (x + 100) kg, az öszvér (y - 100) kg terhet vinne. Írj fel egy egyenletet ezekkel a kifejezésekkel arról, amit a szamár mond! b) Írj fel hasonló módon egy egyenletet arról is, amit az öszvér állít! c) Oldd meg a két egyenletből álló, két ismeretlenes egyenletrendszert! d) Fogalmazd meg a feladat válaszát! e) Ellenőrizd az eredményedet a szöveg alapján!

Egy sok száz éves feladat: Egy öszvér és egy szamár nagy csomagokkal bandukol az úton. „Ha átadnál nekem 100 kg terhet, akkor éppen kétszer annyit cipelnék, mint te” – mondja a szamár. Az öszvér így felel: „Ha pedig te adnál át nekem 100 kg-ot, akkor az én csomagom háromszor akkora lenne, mint a tiéd.” Mekkora terhet visz a szamár, és mekkorát az öszvér?

ELMÉLET Ha egy problémát (feladatot) egyenlettel vagy egyenletrendszerrel oldunk meg, mindig a tartalomra ügyelve végezzük az ellenőrzést!

F E L A DAT

120

2.

Általában két különbözőféle babkonzervet szoktunk vásárolni. Rendszerint fél évre elegendő mennyiséget veszünk. Az egyik konzerv darabja 360 forint, a másiké 200 forint. A félévi mennyiségért 6600 Ft-ot szoktunk fizetni. Most akciósan vettük, a drágábbat 25%-kal, az olcsóbbat 20%-kal kevesebbért, így összesen 1500 Ft-ot takarítottunk meg. Melyik fajtából mennyit szoktunk venni?

3.

Ha az egyik könyvespolcról 20 könyvet áttennénk a másikra, akkor ezen 4-szer annyi könyv lenne, mint amennyi az elsőn maradt. Ha azonban a második polcról tennénk át 20 könyvet az elsőre, akkor az elsőn annyi könyv lenne, mint amennyi a másodikon volt eredetileg. Hány könyv van a két polcon?

4.

3 kg krumpli és 2 kg narancs 710 Ft-ba kerül, 2 kg krumpli és 3 kg narancs pedig 790 Ft-ba. Hány forintba kerül a krumpli, illetve a narancs kilója?

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

5.

6.

Egy diáknak könnyű, egymásba helyezhető műanyag székeket kell átvinnie a szomszédos terembe egy iskolai rendezvény nézői számára. Ha minden fordulóban eggyel több széket vinne, akkor 2-vel kevesebbszer kellene fordulnia. Ha viszont 1-gyel kevesebb széket vinne mint most, akkor 4-gyel több fordulóban tudná csak elvinni a székeket. Hány széket kell átvinnie, és ez hány fordulóban sikerül? Az automata mosógépek teljesítménye mosás közben nem állandó. Egy bizonyos mosógép esetében a víz melegítésekor 2000 W, egyéb műveleteknél (mosás, szivattyúzás, centrifugázás) pedig átlagosan 400 W az elektromos hálózatból fedezett teljesítmény. Mennyi ideig melegített vizet ez a mosógép, ha az egyórás mosóprogramjának lefutása során összesen 800 Wh elektromos energiát használt fel?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Péternek a kávé-nagykereskedésben mindennap ugyanaz volt az egyik feladata: a 3000  Ft-os és 4000  Ft-os kilónkénti árú kávéfajtákból 17,5  kg 3600 Ft-os kilónkénti árú kávékeveréket kellett készítenie. Hány kilót vegyen az egyik, illetve a másik fajtából?

2.

Két négyzet területe között 72 m2 különbség van. Az egyik négyzet kerülete 16 m-rel nagyobb a másik négyzet kerületénél. Hány méter a négyzetek oldala?

3.

Két szám összege 60, különbsége 5. Melyik ez a két szám?

4.

Egy kis bolt vezetője szeretné fellendíteni a forgalmát, ezért árukészletének egy részét akciósan adná el. Ha az eddig literenként 250 Ft-ért árult tartós tejet 20%, a literenként 450 Ft-ért árult tejfölt pedig 75 Ft-os kedvezménnyel árulná, akkor a teljes készlet kiárusítása esetén 9750 Ft-tal lenne kevesebb e két cikkből a bevétele. Ha a tejet literenként 70 Ft-os kedvezménnyel, a tejfölt pedig 10% kedvezménnyel árulná, akkor 10 650 Ft-jába kerülne az akció. Mennyi tejet és mennyi tejfölt akar akciósan értékesíteni a boltvezető?

RÁADÁS F E L A DAT Egy baráti társaság autós kiránduláson vett részt. Odafelé és visszafelé ugyanazon az úton mentek. Útközben emelkedők, km lejtők és vízszintes útszakaszok is előfordultak. Gyula óvatos vezető: az emelkedőkön átlagosan 60 , a lejtős utakon óra km km 120 sebességgel haladt. 140 km-nyi vízszintes szakasz is volt, ezen Gyula 80 sebességgel vezetett. Odafelé 3 óra óra óra 45 perc, visszafelé 4 óra alatt tették meg az utat. Hány km-re volt az úti céljuk? 7 3 . l e c ke

E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

121

74

RÉGI IDŐK MATEKJA

F E L A DAT

1.

Egy lánytól megkérdezték, hány éves. Így felelt: Annyi vagyok, amennyi, Anyám kétszer ennyi, Apám anyámnál öttel több, Összesen 100 évesek vagyunk. Hány éves volt ez a lány?

2.

Egy apának öt fia volt: 4, 5, 8, 11 és 14 évesek. Megkérdezte tőle a barátja, hogy hány éves. Így felelt: Éppen annyi idős vagyok, mint az öt fiam együttvéve. De most te mondd meg nekem azt, hány év múlva leszek feleannyi idős, mint a fiaim összesen! Oldd meg te is ezt a feladatot!

3.

Démokritosz, görög bölcs körülbelül 2400 évvel ezelőtt élt. Vajon hány évesen halt meg? Mi derül ki ebből a versikéből? Hogy meddig élt Démokritosz harmadát mint férfiú, megtudod, ha kutatod. ki sokat gondol, mélyre lát. Életének ötödrészén És mikor hollófürtjeit gyermekmódra mulatott, aggkor hava födte be, negyedrészét életének tizenhárom évet élt még, friss ifjúként élte át, és úgy szállt a sírba le. (Megjegyzés: A versike téved, Démokritosz még a 90. születésnapját is megérte.)

122

4.

A hagyomány szerint Ljubusa cseh fejedelemnő ahhoz a kérőjéhez ment férjhez, aki a leggyorsabban tudta megfejteni a következő rejtvényt: Hány szilva volt abban a kosárban, amelyből az első kérőjének adta a szilva felét és még 1-et, a második kérőjének a maradék felét és még 1-et, a harmadik kérőjének az újabb maradék felét és még 3-at, ha így a kosárban már egyetlen szem sem maradt?

5.

Egy réges-régi feladat: Egy ember felfogadott egy munkást, ígért neki egy évre 12 aranyat és egy kaftánt. A munkás 7 hónap után elment, és a bérét kérte. Megkapta a kaftánt és még 5 aranyat. A gazda jól számolt, igazságosan adta ki a bért. Vajon hány aranyat ér a kaftán?

6.

Két bokron összesen 25 veréb ült. Az egyik bokorról átrepült a másikra 5, onnan más tájékra szállt 7 veréb. Így a másodikon kétszer annyi veréb lett, mint az elsőn. Hány veréb volt eredetileg az egyik bokron, és hány a másikon?

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

7.

Hány éves János, és hány éves Mihály, ha tudjuk, hogy amikor Mihály annyi idős lesz, mint János

most, akkor együtt 35 évesek lesznek; most pedig János háromszor annyi idős, mint Mihály volt akkor, amikor János annyi idős volt, mint Mihály most?

8.

Mátyás vitéz lovat és nyerget vásárolt magának és a szolgájának. Az egyik nyeregért 25 ezüstöt, a másikért 120 ezüstöt fizetett. Ráró a drágább nyereggel háromszor annyiba került, mint Pejkó az olcsó nyereggel. Pejkó és a drágább nyereg ára együtt azonban csak feleannyi volt, mint Ráróé az olcsóbb nyereggel. Mennyiért vette Mátyás vitéz Rárót?

3.

Két ember valamilyen árut akart vásárolni. Így 2 szólt egyik a másikhoz: „Add nekem a pénzed 3 részét, abból meg az én pénzemből kifizetem az egész árut.” „Add ide te – mondta a másik – a te pénzed felét, és akkor én fizetem ki az árut.” Az áru 120 ezüstbe került. Mennyi pénzük volt?

4.

Két hordóban összesen 480 liter bor van. Ha az első hordóból átöntünk a másodikba annyit, amennyi a másodikban eredetileg volt, azután a másodikból az elsőbe visszaöntünk annyit, amennyi az elsőben maradt, akkor a két hordóban ugyanannyi bor lesz. Melyik hordóban hány liter bor volt eredetileg?

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Egy régiségkereskedő egy festményt és egy értékes sakk-készletet vásárolt 270 ezüstért. A sakk-készletet 25%-kal drágábban adta el, mint amennyiért vette, a festményt pedig másfélszeres áron. Így ezen a két üzleten együtt 40%-ot nyert. Menynyiért vette a sakkot?

Egy csapat halász vízre szállt. Eltervezték, hogy ha naponta 6 tonna halat fognak, akkor még a várható vihar előtt kifogják a megrendelt mennyiséget. Jó volt a fogás, naponta 4 tonnával többet fogtak ki a tervezettnél. Így 3 nappal lerövidítették a halászat tervezett időszakát, és még 6 tonnával többet is fogtak, mint amennyit eredetileg akartak. Mennyi halat fogtak?

74 . l e c ke

R É G I I D Ő K M AT E K JA

123

75

ABSZOLÚT ÉRTÉKES EGYENLETEK II.

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Melyik valós számok esetén teljesül, hogy 2x - 3 = 7 ?

Megoldás Két olyan valós szám van, amelynek abszolút értéke 7. Ezek: 7 és -7. Ha 2x - 3 = 7, akkor 2x = 10 és x = 5. Ha 2x - 3 = -7, akkor 2x = -4 és x = -2. Az egyenletnek tehát két megoldása van: 5 és -2. Ellenőrizve: ;2 ⋅ 5 - 3; = ;7; = 7; illetve ;2 ⋅ (-2) - 3; = ;-7; = 7.

2.

Melyik valós számok esetén teljesül, hogy 2x - 8 = 3x - 7 ?

Megoldás 1. Grafikus megoldás: Ábrázold közös koordináta-rendszerben az egyenlet jobb és bal oldalán álló kifejezést! Olvasd le a grafikonok metszéspontjainak első koordinátáját! Mindenképpen ellenőrizd a megoldást behelyettesítéssel! 2. Algebrai megoldás: Egy kifejezés abszolút értéke egyenlő magával a kifejezéssel, ha az pozitív vagy 0, és egyenlő az ellentettjével, ha a kifejezés negatív. Ez alapján bontsuk a megoldást két esetre! 1. eset: 2x - 8 $ 0 Ez akkor teljesül, ha 2x $ 8 , azaz: ha x $ 4 –1

0

1

2

3

2. eset: 2x - 8 1 0 Ez akkor teljesül, ha 2x 1 8, azaz: ha x 1 4 4

5

Vagyis az első esetben csak 4-nél nagyobb vagy egyenlő számok között keressük a megoldást. Ekkor 2x - 8 = 2x - 8 , hiszen 2x - 8 nem negatív. Ezért az egyenlet ilyen alakra írható: 2x - 8 = 3x - 7 Ezt mérlegelvvel megoldva: x = -1. Össze kell vetni, hogy ez a megoldás eleme-e annak az intervallumnak, amelyben ebben az esetben a megoldást kerestük. -1 nem nagyobb vagy egyenlő, mint 4, ezért ennek az esetnek a -1 NEM megoldása. –1

0

1

2

3

4

5

–1

0

1

2

3

4

5

A második esetben tehát csak 4-nél kisebb számok között keressük a megoldást. Ekkor 2x - 8 = - 2x + 8 , hiszen 2x - 8 negatív. Ezért az egyenlet ilyen alakra írható: -2x + 8 = 3x - 7 Mérlegelvvel megoldva: 5x = 15, azaz x = 3. Össze kell vetni, hogy ez a megoldás eleme-e annak az intervallumnak, amelyben ebben az esetben a megoldást kerestük. 3 kisebb, mint 4, ezért x = 3 megoldása az egyenletnek. –1

0

1

2

3

4

5

Behelyettesítéssel ellenőrizve: 2 $ 3 - 8 = - 2 = 2 és 3 $ 3 - 2 = 2 .

124

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

F E L A DAT

1.

2.

3.

4.

5.

c) Oldd meg az egyenletet mindhárom esetben! Figyelj arra, hogy amikor az abszolútérték-jelen belül szereplő kifejezés negatív, akkor annak abszolút értéke az ellentettje. d) Mindhárom eredményt vesd össze azzal az intervallummal, amelyben épp akkor a megoldást kerestük! Melyik esetben van benne az intervallumban a megoldás, melyik esetben nincs? e) A megoldásokat ellenőrizd behelyettesítéssel!

Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán! a) 48 - 21x = 6 b) 1, 45 = 3, 55 - 2x Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán! a) x - 1 - x - x + 2 = 4 3 4 5 2 b) ^ x - 3h - ^ x - 5h2 = 7 c) ^1 - 2xh $ ^1 + 2xh + ^2x - 1h2 = 10 Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán! a) 3x + 2 = 4x + 2 b) 3 - 5x = 8x - 6

6.

Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán! a) 7 - 7 x = 7 x - 7 4 4 3 b) 1 - x = 4x - 9 5 A lépéseket követve, algebrai úton oldd meg az egyenletet! x + 3 + 2x + 4 = 8 a) Melyik intervallumon lesz x + 3 pozitív vagy 0, és melyiken negatív? Melyik intervallumon lesz 2x + 4 pozitív vagy 0, és melyiken negatív? b) Bontsd 3 esetre a feladatot! A számegyenesen megjelöltünk 3 intervallumot. Mit jelöl a és b?

a x + 3 < 0 és 2x + 4 < 0

7.

Egy bogár 9 m állandó sebességgel repül. Amis kor elkezdjük figyelni, 18 m-re van egy lámpától, és egyenesen a lámpa felé tart. De nem száll le a lámpára, hanem közvetlenül mellette, irányváltoztatás nélkül ugyanolyan sebességgel repül tovább, és távolodik a lámpától. A megfigyelés pillanatától mérve melyik időpontokban volt pontosan 3 m-re a lámpától? Melyik valós számra teljesül, hogy a számegyenesen a 15-től mért távolsága kétszer akkora, mint amennyivel a szám maga nagyobb 3-nál?

0

b x + 3 ³ 0 és 2x + 4 < 0

x + 3 ³ 0 és 2x + 4 ³ 0

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán! a) 34 - 102x = 35 b) 3, 42 = 7, 66 - 2x Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán! a) x + 2 - x + x - 2 = 1 2 3 4 b) ^3x - 1h2 - ^3x + 2h2 = 8

7 5 . l e c ke

A B S Z O L Ú T É R T É K E S E GY E N L E T E K I I .

3.

4.

Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán! a) 7x + 5 = 5x - 5 b) 14 - 9x = 12x - 7 Egy valós számról tudjuk, hogy a számegyenesen a 12,4-től mért távolsága 5,76. Melyik ez a szám?

125

76

GYAKORLÁS

CSOPORTMUNKA

1.

Add meg a kifejezés értelmezési tartományát! 3g - 5 7g - 6 7 x+5 a) b) : +2 + 2 4g 6g x x

2.

Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán! a) ^ x - 1h2 + ^ x + 3h2 = 2 $ ^ x + 4h2 - 2x

5c + 3 c + 10 − c 2 + c 2c + 2

^2x + 1h $ ^2x - 1h

4

-

d)

^3x + 1h $ ^3x - 1h

9

d 2 − 9 d 2 + 4d + 4 ⋅ d 2 − 4 d 2 − 6d + 9

= 3$

^2 - 5xh

12

+ 28 9

3.

Egy biobolt tulajdonosa 2200 Ft kilónkénti árú kesudiót és 1400 Ft egységárú aszalt gyümölcsöt kevert össze, kg majd az így kapott keveréket kis csomagokban árulta. Összesen 10 kilót adott el 25%-os haszonnal, így 22 000 Ft bevételre tett szert. Mennyi kesudiót és mennyi aszalt gyümölcsöt használt fel?

4.

A villanyszámla 2001-ben három részből tevődött össze egy olyan háztartásban, ahol a vízmelegítésre és fűtésre éjszakai áramot is használtak: – alapdíj: ez a mindenkori fogyasztástól független készenléti díj, havonta 240 Ft; – nappali fogyasztás díja: 1 kWh fogyasztás esetén 19,80 Ft; – éjszakai fogyasztás díja: 1 kWh fogyasztás esetén 10,20 Ft. Ezeket az összegeket még 12%-os áfa terhelte. a) Számítsd ki, hogy mennyit fizettek a hó végén, ha 155 kWh nappali és 62 kWh éjszakai „áramot” (elektromos energiát) használtak! b) Hogyan függött a fizetendő összeg a két típusú fogyasztástól? (Jelölje pl. x a nappali, illetve y az éjszakai áramfogyasztást kWh-ban.) c) Mennyi volt a fogyasztásuk abban a hónapban, amelyben 12 350 Ft-ot fizettek, és az éjszakai energiafelhasználás a nappali felhasználásnak a 60%-a volt?

5.

Benő nem nagyon szeret olvasni, de most muszáj legyűrnie a 266 oldalas kötelező olvasmányt. Minden nap olvasott valamennyit, hol pontosan 28 oldalt, hol meg pontosan 14-et. a) Legalább, illetve legfeljebb hány nap alatt olvashatja el Benő a könyvet? b) Ha 12 nap alatt akar a kötelező olvasmány végére jutni, akkor hány alkalommal kell 28 oldalt olvasnia? c) Benő minden nap végén ábrázolta, hogy hány oldalt kell még a kötelező olvasmányból elolvasnia. Melyik grafikon lehet az „igazi”?

260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

126

b)

c)

oldal

nap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

oldal

nap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

oldal

nap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

3.

Oldd meg az egyenleteket! Hány elemű a megoldáshalmazuk? a) (2 x – 1) (5 x + 8) = 0 b) x 2 y + 6 xy + 9 y = 0

4.

Egy moziban a felnőtt belépőjegy 1180 Ft, a gyerekjegy 980 Ft. Egy filmre 43 jegyet adtak el, öszszesen 49 040 forintért. Melyik fajta jegyből hány darabot adtak el?

Egy mosogatógépen háromféle program van. Az I. program egy mosogatáshoz 10%-kal kevesebb elektromos energiát, viszont 20%-kal több vizet használ fel, mint a II. program. A II. program 25%kal több elektromos energiát és 30%-kal kevesebb vizet használ, mint a III. program.

Oldd meg az egyenletrendszereket! a)

7x + 4 y = −10 8y − 9x = 210 3x − 7

b)

5 3y − 7 5

c)

+ +

4y + 5 15 4x + 5 15

=4 =6

5 3 − = −4 x y

Az I. programmal alkalmanként 220 petákba, a II. programmal alkalmanként 200 petákba kerül a mosogatás. Mennyibe kerül egy-egy mosogatás a III. programmal?

6 2 + = 6,4 x y

RÁADÁS

1.

Egy 3000 méter kerületű, ellipszis alakú lovaspálya két szemközti pontjáról indul két lovas, Mari és Pali. A sebességük állandó. Ha egymással szembe lovagolnak, akkor p másodperc múlva találkoznak, ha ugyanabba az irányba indulnak, akkor Mari 15 p másodperc múlva utoléri Palit. Mekkora a sebességük?

2.

Oldjuk meg az

a)

b)

c)

76 . l e c ke

GYA KO R L Á S

x+a = 3a y x + 3a =a y

paraméteres egyenletrendszert!

5px − py = 10p 2 x + y = 2p 2px + 3py = 13p 2 4 px − py = −2p 2

paraméteres egyenletrendszert!

paraméteres egyenletrendszert!

3 + 5x = 7 x−y

3.

Oldjuk meg a

4.

Melyik valós számot jelölheti az x és az y betű, ha 25 (x + y) 2 = (x + y) 4 és (x – y) 2 = 3 (x – y)?

5 + x = −3 x−y

egyenletrendszert!

1 27

77

GYAKORLÁS; TUDÁSPRÓBA

F E L A DAT

1.

Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! (x + 3) 2 + (x + 2) 2 – (x – 3) 2 – (x – 2) 2 = 60.

2.

Oldd meg az egyenletrendszereket!

3.

2 5    17 x y a)   2 3     11  x y

3, 5x  4 y  5 b)  16 y  14 x  2

Két hordóban összesen 160 liter benzin volt. Mindkettőből kivettek 10 liternyit, így az első hordóban maradt benzin negyedrésze ugyanannyi lett, mint a második hordóban maradt benzin harmadrésze. Mennyi benzin volt eredetileg az első hordóban?

4.

Egy folyó sebessége 2 km/óra. Folyásirányban („lefelé”) evezve óránként 10 km-t teszünk meg. Milyen messzire evezzünk, hogy az oda-vissza út összesen 4 óra hosszat tartson?

5.

Egy tört számlálója 6-tal kisebb, mint a nevezője. Ha a számlálójához hozzáadunk 29-et, a nevezőjéhez pedig 11-et, éppen a reciprokával egyenlő törtet kapunk. Melyik ez a tört?

6.

Egy építtető gazda egy bizonyos munka elvégzésére felfogadott egy kőművest a következő feltételekkel: Minden nap, amikor dolgozik, 5 ezüstöt fizet a kőművesnek, de ha nem dolgozik, akkor arra a napra a kőműves tartozik fizetni 7 ezüsttel. Hány napot dolgozott, és hány napot pihent a kőműves, ha 48 nap alatt készült el a munkával, de egy ezüstöt sem keresett, igaz, nem is vesztett rajta?

5.

Két különböző teljesítményű traktor 15 óra alatt a búzaföld hatodrészét szántotta fel. Ha az első traktor egyedül dolgozott volna 12 órát, azután pedig a második 20 órát, akkor a búzaföld ötödét szántották volna fel. Mennyi idő alatt tudja felszántani az egész búzaföldet egyedül az első traktor?

6.

Színezd ki egy x–y koordináta-rendszer síkjában azokat a P(x; y) pontokat, amelyekre igaz, hogy (x – 4) (y + 1) > 0!

TUDÁSPRÓBA I.

128

1.

Egy tört számlálója 6-tal kisebb, mint a nevezője. 1 A tört értéke . Mekkora a számláló? 3

2.

Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán! x- 1 - x- 2 - x- 3 - x- 4 = 5 2 4 10 x 5 x 6 x 7 -c = 4 2 10 m

3.

Oldd meg a negatív egész számok halmazán a következő egyenletet! (x + 5) 2 + (x + 5) (x – 5) – (x – 5) 2 = 20 x + 11.

4.

7850 forintot csupa 50 és 100 forintos érmével fizetünk ki. Az érmék száma összesen 100. Hány 50 forintost használtunk fel?

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

TUDÁSPRÓBA II.

1.

Egy negatív tört számlálója 6-tal kisebb, mint a nevezője. A tört nem írható fel egész szám alakjában. Mi lehet a nevezője?

2.

Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán! 2x - 1 - 3x - 1 - 4x - 1 = 5x - 1 - 6x - 1 - 7x - 1 - 1 ` 2 ` 3 3 3 j 2 6 j

3.

Oldd meg az egyenletrendszert! 3,7x − 8,4 y = 79 9,3x + 4,2y = 72

4.

Egy teremben csak négylábú és háromlábú asztalok állnak, és ezeknek összesen 43 lábuk van. a) Lehet-e 12 asztal a teremben? b) Lehet-e 10 asztal a teremben? c) Mennyi a legkevesebb, és mennyi a legtöbb asztal, ami a teremben lehet?

5.

Oldd meg az egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! 17 a) (5 – x) (2 x + 3) < 0 b) ≥0 x+7

6.

Egészségügyi okok miatt nem tanácsos, hogy sportolás közben a pulzusszám túl magas legyen. Régebben azt javasolták, hogy a maximális pulzusszám ne haladja meg a következő képlet szerinti értéket: megengedett maximális pulzusszám = 220 – életkor. Az újabb kutatások alapján kissé módosították a képletet: megengedett maximális pulzusszám = 208 – (0,7 · életkor). a) Tamás 15 éves. Mekkora a megengedett maximális pulzusszáma a régebbi és az új képlet szerint? b) Hány éves korban lesz a javasolt maximális pulzusszám kisebb 170-nél az újabb képlet szerint? Ez az életkor magasabb vagy alacsonyabb, mint amennyi a régi képlet szerint adódik? c) Van-e olyan életkor, amelyhez a régi és az új képlet szerint is ugyanakkora a megengedett maximális pulzusszám? Ha igen, akkor mekkora ez a pulzusszám, ha nem, akkor miért nem?

RÁADÁS Két borkereskedő érkezik a határhoz. Az egyiknek 64, a másiknak 20 hordó bora van. A határon átvitt bor után vámot kell fizetni, de nincs elegendő készpénzük a kifizetéséhez. Ezért az első kereskedő odaad 5 hordó bort és még 40 ezüstöt, a másik odaad 2 hordó bort, és visszakap 40 ezüstöt. Így már bevihetik árujukat az országba. Mennyit ér egy hordó bor, és mennyi vámot kell utána fizetni?

77. l e c ke

GYA KO R L Á S

129

TÉMAZÁRÓ FELADATGYŰJTEMÉNY 1.

b) 3 $ y 2 $ x : 3 $ y $ x 2

2.

3.

4.

5.

6.

130

c) 3x 2 y $ 1 x $ ^- 5x3 yh $ c- 7 xy m ; 3 2 2 1 d) ^3x - 5y + 2h $ c- x m 2

Írd fel az alábbi kifejezések rendezett alakját és állapítsd meg az együtthatójukat! a) 2 $ x 2 : ^- 2h $ y 2

Hány változósak, hány tagúak, hányadfokúak az alábbi algebrai kifejezések? Add meg a változókat, a tagok fokszámát és a tagok együtthatóinak értékét! 7 xyz3 ; 3a4; 4,7x3y; -2,45c4d2; 8 x5 - 0,5x 4 + x3 - x 2 + 6x + 2 ; 12a3b - 5ab2 + 0,1b3 - 7

7.

8.

Határozd meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékét, ha x = 2 és y = -1 ! a) 4^ y3 - x5h ; b) xy2 + 5xy - 7 xy c) 1 x - y + ; 2 x+ y 2 2 d) x - y + 2y Határozd meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékét a = 3 és b = - 1 esetén! 3 3 a b 2 + a) + b; 3 -1 b) a^b + 3h - ab3 ; c) ^a 0 - bh $ ^- 3ah ; d) ab + 1 - b + 2b 2 7 a Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredményekben vond össze és rendezd a tagokat! a) x 2 + ^2 - 3x - 5x 2h - ^ x 2 - 7h ; b) 3ab - 4a 2 b + 7ab - 2a 2 b + 5ab - ab 2 ; c) xy 2 - y 2 + 5y 2 x + 2y 2 + 2yx 2 ; d) 1 x 2 - 1 y3 + 2 x 2 + y3 - 2x 2 2 3 5 Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredményekben vond össze és rendezd a tagokat! a) b- 3 x3 y 2 z l $ b 4 xyz l ; 4 3 k+ 1 7 k- 1 2 b) x $ x ; 7 2

9.

10 .

11 .

Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredményekben vond össze és rendezd a tagokat! a) ^6x 2 - 3xy + y 2h - ^2y 2 + 2xy - x 2h b) ^n - 3h - ^1 - 2nh + 2^n + 2h c) ^8x - 3yh - 5^4x - 3yh + 2^3y - 7xh d) 5 $ ^2, 4 - 0,3x + 0,16x 2h - 4 $ ^0, 2x 2 + 1,5x - 1h Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredményekben vond össze és rendezd a tagokat! a) ^3x - 5h^5x + 1h ; b) ^3a + 12bh`- a - 1 bj ; 3 2 2 1 1 c) c a b - 1 ab m` ab - 3 a 2bj ; 3 2 2 4 d) 2a `- 5a + 2 1 bj + 5a 2 - 3a^3b - ah 2 Végezd el a következő műveleteket! a) (x - 10)2; c) (c + 7)2; 2 b) (a + 5) ; d) (2 + y)2 Végezd el a következő műveleteket! a) ^ 4 - bh2 ; b) ^ 4x - 1h2 ; c) ^2c + d h2 ; d) ^e - 3f h2 Végezd el a következő műveleteket! a) ^5y - 4xh2 ; b) ^3f + 4hh2 ; c) ^8p - 5qh2 ; 2 d) c x + 1 m 6

12 .

Végezd el a következő műveleteket! 2 a) c a - c m ; 2 3 b) ^ y 2 + 1h2 ; c) ^b3 - 2h2

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

13 .

14 .

Végezd el a következő műveleteket! a) ^ x + yh^ x - yh ; b) ^a + 3h^a - 3h ; c) ^5 - 4d h^5 + 4d h ; d) ^6e + f h^6e - f h Végezd el a következő műveleteket! a) ^2 + 3xh^2 - 3xh ; b) ^a3 - 1h^a3 + 1h ; c) ^ 4z + 5yh^ 4z - 5yh ; y y d) c + 1 mc - 1 m ; 7 2 7 2 e) c a - b mc a + b m ; 10 3 10 3 f) c a - c mc a + c m b a b d

15 .

16 .

Írd fel a következő háromtagú kifejezéseket kéttagú kifejezések négyzeteként! x 2 + 6x + 9 ; x6 + x3 + 1 4

20 .

21 .

22 .

23 .

Végezd el a műveleteket! a) ^a + bh2 - 2ab ; c) 5^a 2 - b 2h + ^a + bh2 ; d) 3^c + d h + 6^d - ch Végezd el a műveleteket! a) ^ y - 1h2 + ^ y - 1h ; b) 4^b - ch - ^b + ch2 ;

24 .

c) ^d + 1h2 - 2^d - 3h ; d) 5x - ^1 - xh2 ; e) ^ y - bh^ y + bh - ^ y - bh2

18 .

19 .

Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) 5c + 5d ; b) 3y - 15x ; c) 6a 2 - 12 ; d) 10x + 100xy Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) 1 abc - 1 abd + 1 bcd ; 2 2 2 2 b) a + a ; c) x5 - x 4 + x3 - x 2 + x ; d) 9b 2 + 18b

T É M A Z Á R Ó F E L A DAT GY Ű J T E M É N Y

Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) 25a 2 - 16b 2 ; b) 100d 2 - 81c 2 ; c) x 2 + 6x + 9 ; d) 4a 2 - 4a + 1 Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) 4b 2 + 20b + 25 ; b) 9x 4 - 24x 2 y + 16y 2 ; c) 4 x 2 - 36 ; 9 d) a 2 b 2 - 49y 2 Szorzattá alakítás segítségével egyszerűsítsd a törteket, végezd el a műveleteket! a) 15a + 30 ; 10a + 20 b) 4a + 4b ; 2a + 2b c) 6d - 12 ; d- 2 d) 4 + 2x2 4- x

b) ^ x - yh2 - x 2 - y 2 ;

17 .

Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) x 2 - y 2 ; b) x 2 - 52 ; c) c 2 - 25 ; d) 9 - a 2 ; e) 100 - x 2 ; f) ^2yh2 - ^3ch2 ;

25 .

Szorzattá alakítás segítségével egyszerűsítsd a törteket, végezd el a műveleteket! y2 - 9 a) ; 2y - 6 2 2 b) b - c ; 4b + 4c 36 a 2 - 49b 2 ; c) 12a - 14b 3y - 15 2 d) 2x + 8 $ 2 ; y - 25 x - 16 b e) 2 1 ; : b - 100 2b + 20 x f) : 2 6x - 6y x 2 - y 2 Végezd el a következő műveleteket! a) ^3x - 5h3 ; c) ^ x + 3h^ x 2 - 3x + 9h ; 3 b) c 3 a 2 + 5b3 m ; d) ^ x + yh^ x3 - x 2 y + xy 2 - y3h 5

1 31

26 .

27 .

Határozd meg az alábbi függvények zérushelyét számolással! (x ! R) a) f^ x h = - 2 x + 3 ; 3 b) f^ x h = - 2x + 3 ; c) f^ x h = x 2 + 2 ; d) f^ x h = x 2 - 9 ; e) f^ x h = ^ x + 3h2 ; f) f^ x h = ^ x - 3h2 Határozd meg az alábbi függvények zérushelyét számolással! (x ! R) a) f^ x h = - x ; b) f^ x h = 3 x + 5 ;

d) c 3 x - 2 m + c 2 x + 5 m - c 7 x - 3 m = 29 4 5 3 3 12 10 5

32 .

a) c 1 x + 1 m + c 2x + 1 m - c 2 x - 3 m = 5 ; 2 4 2 3 4 6 b) 6x + 4 - 2 + 5x = 2 ; 5 3 c) 7x - 3x + 1 = x + 1; 3 2 3 x 7 d) + x-1 - x- 5 = x+1 -1 4 8 2 2

33 .

c) f^ x h = 1 x - 3 ; 2 d) f^ x h = 2 x - 7 - 6 ; e) f^ x h = - x + 3 + 4 ; f) f^ x h = - 2 x + 1

28 .

29 .

30 .

31 .

Határozd meg az alábbi függvények zérushelyét számolással! (x ! R) a) f^ x h = ^ x + 5h2 - 4 ; b) f^ x h = ^ x - 5h2 + 1; c) f^ x h = 2^ x + 6h2 ; d) f^ x h = - 2^ x - 7h2 + 2 Oldd meg a következő egyenleteket a racionális számok halmazán! a) - 7x + 14 = 0 ; b) 5 c x - 1 m = 0 ; 3 c) 5x - 1 = 9 ; d) - 3x + 2 = - x ; e) 2x + 5 = 2x - 1; f) 2x - 2 = 1 - x Oldd meg a következő egyenleteket a racionális számok halmazán! a) ^2x - 7h + ^8 + 3xh = 26 ; b) 8x - ^5 - 4xh = 6 - 2^4x + 9h ; c) ^6x + 3h - 3^3x - 4h = 5^ x - 4h - ^ x + 1h ; d) ^0, 4x + 1,8h - ^1,5x + 1h - 5^- 4x - 0,8h = 3,8 Oldd meg a következő egyenleteket a racionális számok halmazán! a) c 1 x + 1 m - 2 c- x - 1 m - 12 c- 1 x - 3 m = 5 ; 2 4 2 3 4 6 b) 3x^ x + 1h - x^3x - 1h = x - 7 ; c) 4x - 2^ x - 3h - 36x - 3^4 - 2xh + 8 @ = -1;

132

Oldd meg a következő egyenleteket a racionális számok halmazán!

34 .

35 .

36 .

Oldd meg a következő egyenleteket szorzattá alakítással! a) 8x 2 - 16x = 0 ; b) 2x3 + 10x 2 = 0 ; c) 7^ x + 1h - x^ x + 1h = 0 ; d) ^5 - xh^5 + xh + ^5 - xh^2x - 1h - ^5 - xh^ x - 6h = 0 ; e) 2^3x - 6h - x^6 - 3xh - ^2x + 1h^3x - 6h = 0 Mely valós számokra teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek? a) 3x + 2x 1 14 ; 2 9 b) x - 1 - 4 $ 4x - 3 - 2x ; 5 3 5^ x + 1h - 2 3x - 1 c) # 4 - 2x ; 6 4 5^1 - 2xh 7^2x + 3h d) 10 - x ; 1 x3 2 e) ^2x - 10h $ 3 - 5 2 2 4 ^6x - 1h 3 A szorzótényezők előjelének vizsgálatával oldd meg az egyenlőtlenségeket! Ábrázold a megoldáshalmazt számegyenes mentén! a) ^5 + 3xh^ x - 2h 2 0 ; b) ^6x + 4h^5 - 2xh 1 0 ; c) ^10 - 2xh^21 - 3xh $ 0 ; d) ^7x + 1h^3x - 6h^ x - 4h # 0 Oldd meg a következő törtes egyenlőtlenségeket! a) 2x - 6 2 0 ; d) 4 - 2x # 0 ; 8+ x x+ 3 5 x 33 x - 5 # 1; + b) e) 1 0; 7- x 6x c) 4x - 10 $ 0 ; f) 4x - 10 $ - 3 x+ 9 x+ 9

E GY E N L E T E K É S E GY E N L E T R E N D S Z E R E K

37 .

38 .

Határozd meg az alábbi függvények értelmezési tartományát! a) f^ x h = x - 1 - 5 ; x 11 - 3x ; b) f^ x h = x+ 6 c) f^ x h = 6 - 11x ; 3x - 7 d) f^ x h = 6x + 8 - 2 x- 4 Határozd meg az alábbi függvények értelmezési tartományát! a) f^ x h = x + 3 ; b) f^ x h =

x - 4 - 1;

c) f^ x h =

3x + 6 - 5 ;

d) f^ x h =

7x - 5 - 2 + 5x ;

e) f^ x h =

8x + 1 + 6x 2 ;

f)

39 .

40 .

41 .

42 .

43 .

44 .

f^ x h = - 5 x 2 - 1 + 3 - 2x

Oldd meg az egyenletrendszereket a valós számok halmazán! 6x + 5y = 28 9a - 7b = 29 a) b) 3 3 3x - 3y = - 30 15a + 14b = - 3 Oldd meg az egyenletrendszereket a valós számok halmazán! 2a - 1 + 3b + 2 = a + b + 2 _b b 3 5 5 a) 4a + b - b = 3a + b + a` b 2 6 3 a ^ x + 5h2 + ^ y - 5h2 = ^ x - 5h2 + ^ y + 5h2 b) 3 x 2 - 25 = ^ y + 5h2 Gondoltam egy számot, hozzáadtam 8-at, majd az összeget elosztottam 3-mal, így a gondolt szám értékétől néggyel kisebbet kaptam eredményül. Melyik számra gondoltam? Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 11. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az eredeti számnál 63-mal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? Egy apa kétszer annyi idős, mint a fia. Tíz évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint a fia. Hány éves lesz öt év múlva az apa és fia? 50 db színházjegy és mozijegy összesen 108 100 Ft-ba került. Egy színházjegy ára 2500 Ft, egy mozijegy ára 1200 Ft. Hány színház- és hány mozijegyet vásároltak?

T É M A Z Á R Ó F E L A DAT GY Ű J T E M É N Y

45 .

46 .

47 .

48 .

49 .

50 . 51 .

52 .

Egy kalózkapitány minden zsákmányolt arany felét megtartotta magának, a maradékot pedig a legénység között az alábbiak szerint osztotta szét: az első kapott 1000 aranyat és a maradék egytizedét, a második kapott 2000 aranyat és a maradék tizedét, a harmadik kapott 3000 aranyat és a maradék tizedét, és így tovább. Így minden kalóz ugyanannyi pénzt kapott. Hány kalóz között osztotta szét az aranyakat a kapitány és hány aranyat zsákmányoltak összesen? Egy pásztor legelteti a nyáját amelyben tehenek, juhok és kecskék voltak. A nyáj felét a tehenek teszik ki, a juhok a nyáj harmadát és 25 kecskével van kevesebb mint juh. Hány állatot legeltet a pásztor mindegyikből külön-külön? Ha egy teremben a tanulókat négyesével ültetjük, akkor 18 tanulónak nem jut hely. Ezért ötösével ültetjük őket, így 4 pad üres marad. Hány tanuló, és hány pad van? Egy kutya 80 m távolságban meglát egy nyulat, és elkezdi üldözni. A két állat egyszerre kezd futni a kutyát és a nyulat összekötő egyenes mentén. A nyúl 10-et, a kutya 9-et ugrik másodpercenként. Mennyi idő alatt éri utol a kutya a nyulat, ha a kutyaugrás 1 m hosszú, a nyúlugrás pedig csak 80 cm. Egy téglalap egyik oldalát 40%-kal megnöveltük. Hány százalékkal kell csökkenteni a szomszédos oldalt, hogy a terület ne változzon? Hány százalékával változik eközben a téglalap kerülete? 10 liter 30%-os és 24 liter 40%-os oldatot keverünk össze. Mennyi lesz a keverék koncentrációja? Egy vasútállomásról elindul egy személyvonat 60 km h sebességgel, majd 45 perc múlva egy gyorsvonat 105 km sebességgel ugyanabba az irányba. Mikor h éri utol a gyorsvonat a személyvonatot? Egy medence az egyik csapon át 4,5 óra, a másik csapon át 450 perc alatt töltődik fel. Mennyi idő alatt telik meg, ha mindkettőt megnyitjuk?

133

78

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK A SÍKON

BEVEZETŐ A képen egy úgynevezett kaleidoszkópminta látható. Az ilyen mintákban a kép egy részlete ismétlődik a végtelenségig. Milyen módon tudnánk a pirossal kiemelt részletet átvinni a kép egy másik részére, hogy az ott is pontosan illeszkedjen? A különböző színű háromszögek mind ugyanazt a képrészletet ábrázolják. – Eltolás: A kék háromszöget úgy kaptuk, hogy a pirosat egyszerűen odébb toltuk. – Elforgatás: A lila háromszöget úgy kaptuk, hogy a pirosat az egyik csúcsa körül elforgattuk. – Tükrözés: a narancssárga háromszöget a  pirosnak a szaggatott vonallal jelzett tengelyre való tükrözésével kaptuk.

ELMÉLET Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyeknek értelmezési tartománya is és értékkészlete is ponthalmaz. A transzformáció során egy ponthoz hozzárendelt pontot az eredeti pont képének nevezzük. Definíció: Ha egy transzformáció távolságtartó, vagyis bármely két pont távolsága ugyanakkora, mint a képeik távolsága, akkor ezt egybevágósági transzformációnak nevezzük. Egybevágósági transzformációk esetében az egyenes képe egy egyenes, a kör képe egy vele egyenlő sugarú kör, a szög képe egy vele egyenlő szög. Definíció: Ha két ponthalmazhoz van olyan egybevágósági transzformáció, amely az egyiket a másikba viszi át, akkor ezeket a ponthalmazokat egybevágóknak mondjuk. A sík egybevágóságai között fontosak: – pont körüli forgatás, – középpontos tükrözés, – eltolás, – tengelyes tükrözés. A geometriai transzformációk tulajdonságai vizsgálhatók a GeoGebra programmal is.

134

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

1. Pont körüli forgatás Definíció: Adott a síkon egy O pont, és adott egy a irányított szög. A sík minden P pontjához rendeljük hozzá a Pl pontot úgy, hogy – O képe önmaga (azaz Ol = O), – ha P ! O, akkor Pl a síknak az a pontja, melyre OP = OPl, és POPl szög a. A forgatás irányát pozitívnak mondjuk, ha az ellentétes az óramutató járásával, negatívnak mondjuk, ha az megegyezik az óramutató járásával. Ha a forgatás szöge mellé nem írunk előjelet, akkor azt pozitívnak gondoljuk. k¢ C¢

k

C

B A

P

e

80° 80°

P

O = O¢

80° a e¢

B¢ O A¢

Ha a forgatás szöge hegyes- vagy derékszög, akkor minden egyenes akkora szöget alkot az elforgatottjával, amekkora a forgatás szöge.

Az ábrán látható szerkesztés azt mutatja, mi történik egy körrel és egy sokszöggel a sík O pont körüli 80°-os elforgatásakor.

2. Középpontos tükrözés Definíció: Adott a síkon egy K pont. A sík minden P pontjához rendeljük hozzá a Pl pontot úgy, hogy: – K képe önmaga (azaz Kl = K), – ha P ! K, akkor a Pl a PK egyenesének azon P-től különböző pontja, melyre PlK = PK.

C

B

P

k

e A K = K¢ 180°

K = K¢

A¢

e¢

B¢

C¢ k¢ P¢

Ha egy egyenes átmegy a K ponton, akkor egybeesik a képével. Ha egy egyenes nem megy át a K ponton, akkor a képe párhuzamos vele. A síkon a középpontos tükrözés a pont körüli forgatás egy különleges esete: 180°-os forgatás K pont körül. 7 8 . l e c ke

Az ábrán látható szerkesztés azt mutatja, mi történik egy körrel és egy sokszöggel a sík K pontra való tükrözésénél.

E GY B E V Á G Ó S Á G I T R A N S Z F O R M Á C I Ó K A S Í KO N

135

F E L A DAT

1.

Hajtsd végre a négyzetrács felhasználásával a transzformációkat az ötszögön és a körön a füzetedben!

2.

a) Tükrözés a K pontra.

3. K

4.

b) Forgatás a K pont körül +90°-kal.

Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelynek befogói 6 cm és 3 cm hosszúak! Forgasd el a háromszöget a) a derékszögű csúcsa körül; b) az átfogójának felezőpontja körül 90°-kal! Tükrözz egy háromszöget mindhárom oldalának a felezőpontjára! Mit alkot együtt a háromszög és a három képe? Forgasd az ABC háromszöglemezt az O pont körül! (A  füzetedben dolgozz!) Ha elég nagy a forgatás szöge, akkor forgatás közben a háromszöglemeznek több pontja is áthaladhat a megadott P ponton. P C O

A

K B

a) Szerkeszd meg a háromszög egy olyan elforgatottját, amelynek a határvonalára illeszkedik a P pont! Hány megoldása van a feladatnak? b) Szerkeszd meg az ABC háromszöglemezen az összes olyan pontot, amelynek az O pont körüli elforgatottja lehet a P pont is!

H Á Z I F E L A DAT

1.

136

Forgasd el a háromszöget a kör középpontja körül, negatív irányban, 45°-kal! a) b) c)

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

2.

c)

Tükrözd a szabályos sokszöget a körülírt körének középpontjára! a)

3. b)

4.

Szerkessz olyan háromszöget, amelynek oldalhoszszúságai 36 mm, 48 mm és 60 mm, tükrözd a) a legkisebb oldal felezőpontjára; b) a legnagyobb oldal felezőpontjára! A háromszög és a tükörképe együtt egy négyszöget alkot. Sorold fel ennek a négyszögnek a tulajdonságait! Vegyél fel két különböző pontot: A-t és B-t! Szerkeszd meg azt az O pontot, amelyre A-t tükrözve B-t kapjuk!

A GeoGebra programmal ellenőrizheted a szerkesztéseid helyességét is.

RÁADÁS

1. 2.

Vegyél fel egy konvex szöget, és a szögtartományban egy P pontot! Szerkeszd meg azt az egyenest, amelynek a szögtartományba eső részét a P pont felezi! Vegyél fel két párhuzamos egyenest, és közöttük egy P pontot. Szerkeszd meg azt a szabályos háromszöget, amelynek egyik csúcsa P, másik két csúcsa pedig az egyik, illetve a másik egyenesre illeszkedik!

7 8 . l e c ke

E GY B E V Á G Ó S Á G I T R A N S Z F O R M Á C I Ó K A S Í KO N

1 37

79

VEKTOROK ÉS AZ ELTOLÁS

BEVEZETŐ A repülőgépek kötelékben repülnek. Az eseményről másodpercenként felvételt készítenek a földről. Mindegyik repülőhöz odarajzoltuk azt az elmozdulásvektort, amely a következő felvételhez tartozik. Látható, hogy két pilóta kicsit hibázott. Melyik kettő, és milyen hibát követett el? Megoldás A képen látható két alsó gép pilótája hibázott. A legalsó gép nem tartotta az irányt, a felette repülő gép tartotta az irányt, de kicsit nagyobb volt a sebessége, mint a többinek.

ELMÉLET A vektort alapfogalomnak tekintjük, nem adunk rá meghatározást, legfeljebb azt mondhatjuk rá (körülírásként), hogy ez egy irányított szakasz. A vektort az állása, az iránya és az abszolút értéke (hossza) jellemzi. – A vektor állása azt jelenti, hogy melyik egyenesekkel párhuzamos. – Egy álláson belül kétféle irány lehetséges, ezt mutatja a nyíl. – A vektor hosszúságát a vektor abszolút értékének nevezzük. Ábránkon d b – az a, a b, a d és az e egyállású, a c nem egyállású velük. – Az a és az e egyirányú, a b és a d egyirányú, az a és az e a b-vel is és a d-vel ellentétes a c e irányú. – Az a, a d és az e abszolút értéke egyenlő; a b és a c abszolút értéke egyenlő. Ezek miatt az a és az e egyenlő vektorok, az a és a d ellentett vektorok, a d és az e ellentett vektorok, a többi vektor között ilyen kapcsolat nincs. Két vektort egyenlőnek mondunk, ha ugyanaz az állásuk is, irányuk is, abszolút értékük is. Két vektor egymás ellentettje, ha ugyanaz az állásuk és az abszolút értékük, az irányuk pedig ellentétes. Egy v-vel jelölt vektor ellentettjének a jele: –v. A –v vektor ellentettje a v. Tehát az ábra szerinti vektorok esetén például: d = –a és a = –d.

138

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

F E L A DAT

1.

Keress az ábrán egyenlő és ellentett vektorokat! Mely vektorokra igaz, hogy egyenlő hosszúak, de nem egyállásúak egymással?

v

D d

C

c

w E

b

A

2.

u

a e B

Vegyél fel egy P pontot és egy v vektort! Keresd meg azt a Q pontot, amelyre a) P-ből Q-ba mutató vektor v; b) P-ből Q-ba mutató vektor -v; c) Q-ból P-be mutató vektor v; d) P-ből Q-ba mutató vektor hossza megegyezik v hosszával, de nem egyállású v-vel!

ELMÉLET 3. Eltolás Definíció: Adott a síkon egy v vektor. A sík minden P pontjához rendeljük hozzá a Pl pontot úgy, hogy a PPl vektor megegyezik v vektorral.

v

P

k v

e¢

A C

R¢ u P

B

v u

e

u

R

A¢ u C¢

g = g¢ k¢

Ha egy egyenes egyállású az eltolás vektorával, akkor a  képe önmaga, minden más esetben az egyenes és a képe párhuzamos egymással.

B¢

Az ábrán látható szerkesztés azt mutatja, mi történik egy körrel és egy sokszöggel, ha a síkjukban egy adott u vektorral eltoljuk őket.

Egyenlő vektorok ugyanazt az eltolást hozzák létre. Ha egy ponthalmazt eltolunk egy vektorral, utána pedig a képét az ellentett vektorral toljuk el, visszajutunk az eredeti ponthalmazhoz. 7 9 . l e c ke

V E K T O RO K É S A Z E LT O L Á S

139

F E L A DAT

3.

Told el a téglalapot az u, majd a kapott alakzatot a v vektorral!

C

D

v

A

4. 5.

B

u

Melyik vektorral kell eltolni a téglalapot, hogy A csúcsának a képe a téglalap egy másik csúcsa legyen? Told el a háromszöget úgy, hogy az eltolás után egyik csúcsa az egyenesre essen! a) Hány megoldása van a feladatnak? b) Melyik esetben lesz az eltolás vektorának hoszsza a legkisebb?

B A

C

H Á Z I F E L A DAT

1.

Keresd meg az egyenlő vektorokat és az ellentett vektorokat! a) b) r g

h d

f

a

140

u

b e

v

w z q

t s

p

2.

Tolj el a síkjában egy 4 cm átmérőjű körvonalat egy 4 cm hosszú vektorral! Melyik állítás igaz, és melyik hamis? a) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma függ az eltolás irányától is. b) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma csak 0 lehet. c) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma csak 1 lehet. d) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma lehet 2 is.

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

3.

Told el a négyzetet az u vektorral!

Milyen alakzat lett az eredeti és az eltolt alakzat közös része? A közös rész területe hány százaléka az eredeti négyzet területének?

D

4. A C u

Vegyél fel egy kört és benne egy AB húrt! Told el úgy a kört, hogy a) az A pont képe B pont legyen! b) a B pont képe az A pont legyen! Mindkét esetben add meg az eltolás vektorát!

B

RÁADÁS

1.

Egy négyzetes oszlop alapélei 4 cm, oldalélei 8 cm hosszúak. Az oszlop minden lapjának lapközéppontját összekötjük a vele szomszédos lapok középpontjával. a) Hány szakasz keletkezett? b) Ezek a szakaszok hányféle különböző vektort határoznak meg? (azt tekintjük a szakasz által meghatározott vektornak, amely párhuzamos és ugyanolyan hosszú, mint a szakasz.) c) Milyen hosszúak ezek a vektorok?

a táblázatra. A lapocskát nem szabad elforgatni, megmarad L állásban. Rátesszük valahová a táblázatra, és összeadjuk a lapocska körül lévő 12 számot. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

24 25 26 27 28 29 30

31 32

35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

2.

3.

4.

Az előző feladatban szereplő négyzetes oszlopban az oldalfelező pontokat kötjük össze a következő módon: két oldalfelező pontot összekötünk, ha az oldalaknak van közös csúcsa. a) Hány szakasz keletkezett? b) Hányféle különböző vektort határoznak meg ezek a szakaszok? c) Mekkora ezeknek a vektoroknak a hossza? Az órai 5. feladatban szereplő háromszöget told el úgy, hogy az eltolás után egyik csúcsa az egyenesre essen, és pontosan egy közös pontja legyen az eredeti háromszöggel! Egy 10 × 10-es négyzethálós táblázatban 1-től 100-ig felsoroljuk a számokat úgy, hogy a legfelső sorban, bal oldalt kezdjük, az alatta lévő sorban újból balról kezdve folytatjuk, és így tovább. Tartozik a táblázathoz egy L alakú lapocska, amely a táblázat három celláját tudja eltakarni, ha rátesszük

7 9 . l e c ke

V E K T O RO K É S A Z E LT O L Á S

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

a) Hogyan változik meg a lapocska körül lévő számok összege, ha a lapocskát a táblázatban jobbra mozgatjuk? b) Hogyan változik meg a lapocska körül lévő számok összege, ha a lapocskát felfelé mozgatjuk? c) Hová kell elhelyezni a lapocskát, hogy a körülötte lévő 12 szám összeg 867 legyen? d) Készíts egy egyszerű számítógépes programot, amely kiszámolja a 12 szám összegét az összes helyzetben, esetleg nagyobb (pl. 100 × 100-as táblázat) esetén is! e) Hogyan változik a megoldás, ha a táblázatban folyamatosan írjuk a számokat: az első sorban balról jobbra, a következőben jobbról balra, utána megint balról jobbra, és így tovább?

1 41

80

TENGELYES TÜKRÖZÉS

BEVEZETŐ Szép lehet egy tengelyesen szimmetrikus díszítő minta. Szép az emberi arc is, a maga szimmetriájával. Közismert tény azonban, hogy az ember arca sosem tökéletesen szimmetrikus. A digitális technika korában érdekes kísérlet azzal eljátszani, hogyan néznénk ki tökéletesen szimmetrikusan. Számítógépes képszerkesztő program segítségével egy fénykép megfelezhető és tükrözhető. Ha van kedved, próbáld ki!

ELMÉLET 4. Egyenesre vonatkozó (tengelyes) tükrözés Definíció: Adott a síkon egy t egyenes. A sík minden P pontjához rendeljük hozzá a Pl pontot úgy, hogy: – ha P a t egyenes egy pontja, akkor a képe önmaga, – ha P nincs rajta a t egyenesen, akkor a képe az a Pl pont a síkban, amelyre PlP szakasznak felezőmerőlegese a t egyenes. e

a P

P

P b

t = t¢

M

Q = Q¢ t = t¢

t = t¢ a¢

P¢

M

Q = Q¢ b¢

P¢

P¢ e¢

A tengely képe önmaga. Ha a sík egy egyenese merőleges a tengelyre, akkor egybeesik a képével, ha pedig párhuzamos a tengellyel, akkor a képe is párhuzamos vele. Ha egy egyenes metszi a tengelyt, de nem merőleges rá, akkor a képét a tengelyen metszi. Az egyenes és a képe ugyanakkora szöget alkot a tengellyel. Az alsó ábrán látható szerkesztés azt mutatja, hogy mi történik egy körrel és egy sokszöggel, ha a síkjuknak egy t egyenesére tükrözzük őket.

t = t¢

C¢ C k¢

k

P¢ P

A tengelyes tükrözéshez úgy is eljuthatunk, hogy a síkból kilépve a tengely körül elforgatjuk a síkot 180°-kal.

142

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

F E L A DAT

1.

Tükrözd a háromszöget a megadott oldalfelező merőlegesére, illetve a megadott szögfelező egyenesére! Színezd ki az eredeti és a tükrözött háromszöglemez metszetét! Milyen síkidomot kaptál az egyik, illetve a másik esetben?

3.

Tükrözd a háromszöget az e egyenesre, majd a kapott tükörképet az e-vel párhuzamos f egyenesre! Milyen egyetlen egybevágósági transzformációval kapható meg az eredeti háromszögből a második tükrözés után kapott háromszög?

e

f

4.

2.

Vegyél fel egy kört és benne egy AB húrt! Tükrözd a kört AB egyenesére! Hogyan kell felvenni az AB húrt, hogy a tükörkép ugyanaz a kör legyen, mint az eredeti? Mit mondhatunk ekkor a kör egy tetszőleges P pontjáról és a tükörképéről?

Vegyél fel két egyenest, amelyek 30°-os szöget zárnak be egymással! Az egyenesek legyenek e és f, metszéspontjuk legyen K. Vegyél fel egy P pontot, amely egyik egyenesre sem illeszkedik! a) Tükrözd a KP szakaszt e-re, majd a kapott KlPl szakaszt tükrözd tovább f-re! b) Hogyan lehetne egyetlen transzformációval megkapni KP-ből a második tükörképet? c) Végezd el a feladatot úgy is, hogy először f-re tükrözöl, majd a tükörképet e-re! d) Általánosítsd a feladatot!

H Á Z I F E L A DAT

1.

Tükrözd a paralelogrammát az átló egyenesére! A füzetedben dolgozz!

3.

4. 2.

Vegyél fel két egyenlő sugarú kört! Szerkeszd meg azt az egyenest, amelyre tükrözve az egyik kör képe a másik kör!

8 0 . l e c ke

T E N G E LY E S T Ü K R Ö Z É S

Vegyél fel egy 3 cm oldalú négyzetet! a) Tükrözd az egyik oldalegyenesére! b) A kapott képet tükrözd a négyzet egy másik oldalegyenesére! c) Hány közös pontja lehet a második tükörképnek és az eredeti négyzetnek? Vegyél fel egy derékszögű háromszöget, amelynek egyik befogója 24 mm, másik befogója 18 mm. Tükrözd az átfogójára! Milyen alakzatot határoz meg együtt a kép és az eredeti háromszög? Mekkora ennek a területe? 143

E M E LT S Z I N T TÉRBELI TRANSZFORMÁCIÓK ELMÉLET Az egyenes körüli forgatás t

Megadunk egy egyenest, a forgástengelyt (t), egy teljesszögnél kisebb szöget (α) és egy forgatási irányt. Az ábra mutatja, hogyan mozdul el egy P pont a t körül: P-ből a t-re merőleges egyenest (a) és síkot (S) állítunk. Az a és a t metszéspontja A. A forgatás során a P az S síkban, az A középpontú, AP sugarú körön mozdul el, a megadott irány szerint úgy, hogy a PAPʹ szög az α-val legyen egyenlő. Ez a transzformáció is egybevágósági transzformáció.

S P

α

a A

P

F E L A DAT

1.

Egy szabályos 4 oldalú gúlát elforgatunk a magasságának egyenese körül 45°-kal. a) Melyik csúcs hová fordul el? b) Milyen test az eredeti és az elforgatott gúla közös része?

ELMÉLET Középpontos tükrözés a térben Megadunk egy pontot (K). A tér minden egyes pontjához (P) hozzárendeljük a tér egy pontját (Pʹ) úgy, hogy a pont és a képe által meghatározott szakasz felezőpontja a K legyen.

P¢ K P

F E L A DAT

2.

144

Egy gúla alaplapja négyzet, mindegyik oldallapja szabályos háromszög. Tükrözd ezt a gúlát az alaplap középpontjára! a) Hány lapja, hány éle és hány csúcsa van annak a testnek, amelyet a gúla és a képe együttesen alkot? b) Milyen másféle transzformációval kaphatnánk meg a gúlának ugyanezt a képét? E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

ELMÉLET P

A síkra való tükrözés Megadunk egy síkot (S). A tér minden egyes pontjához (P) hozzárendeljük a tér egy pontját (Pʹ) úgy, hogy a pont és a képe által meghatározott szakasz merőleges legyen S-re, és e szakasz felezőpontja S-re illeszkedjen.

S

(Akkor mondjuk, hogy egy ponthalmaz illeszkedik egy másik ponthalmazra, ha az egyik részhalmaza a másiknak.)

P¢

F E L A DAT

3.

Egy asztalra tett kockát tükrözünk a) a fedőlapjának a síkjára; b) az egyik oldallapjának a síkjára; c) az egyik átlós síkjára. Milyen testet alkot az eredeti kocka és a tükörkép együtt?

ELMÉLET P¢

Eltolás a térben

v

v

Megadunk egy vektort. A tér minden egyes pontját elmozdítjuk az adott vektorral.

P e¢ e

F E L A DAT

4.

Egy kocka mindegyik lapjára ragasztunk egy vele egybevágó kockát úgy, hogy ezek pontosan fedik az eredeti kocka lapjait. a) Hány lapja, hány éle és hány csúcsa van a 7 kockából álló testnek? b) Melyik kockát milyen transzformációval állíthatjuk elő az eredeti kockából kiindulva?

8 0 . l e c ke

T E N G E LY E S T Ü K R Ö Z É S

145

Ráadás EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK A GYAKORLATBAN CSOPORTMUNKA Fedezzétek fel, melyik egybevágósági transzformáció ismerhető fel a következő példákban! Az ábrákat vedd fel a füzetedben!

1.

Két kistelepülés (A és B) közelében egyenes országút fekszik. a) A két település között összekötő utat építenek. Milyen hosszú ez az út, ha a lehető legrövidebbre tervezik? (A négyzetháló km-beosztású.) Az országút mentén megállót építenek a távolsági busz számára. Hol legyen a megálló, hogy b) a B településhez a legközelebb legyen? Mekkora ez a távolság? Mekkora távolságra van a megálló az A településtől ebben az esetben? c) az A-ból B-be vezető, a megállót is érintő út hossza a legrövidebb legyen? Mekkora ennek a legrövidebb útnak a hossza? I. eset A

II. eset

B

út zág ors

út zág ors A

B

2.

3.

146

Egy folyó két partján van két falu: A és B. Hová építsék a hidat, hogy a) A-hoz a legközelebb legyen; b) A-ból a legrövidebb úton lehessen B-be jutni? c) A hídépítés magas költségei miatt csak a folyópartra merőleges hidat építenek. Hová építsék a hidat, hogy a legrövidebb úton lehessen A-ból B-be jutni? (Gondold végig azt az esetet, amikor a települések a folyóparthoz képest ugyanígy helyezkednek el, de sokkal keskenyebb a folyó. Majd kezdd el fokozatosan növelni a folyó szélességét!)

A

B

A piros biliárdgolyóval kell eltalálni a feketét úgy, hogy a  piros golyó más golyóhoz nem érhet hozzá, de a biliárdasztalnak a rajzon látható két fala is használható. Hány megoldása van ennek a problémának?

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

4.

A gőzmozdonyok kerekét csuklós szerkezettel hozzák forgásba. Ennek leegyszerűsített változata látható az ábrán. A C1 pont a mozdonykerékhez van rögzítve, a C2 pont pedig a dugattyúrúd végéhez. A merev hajtórúd a C1 és C2 pontok körül is elfordulhat (csuklós szerkezet). A mozdonytesthez rögzített hengerben a dugattyú csak „vízszintesen” mozoghat. a) Milyen mozgást végez a dugattyú, ha hatására a C1 pont 360°-ot fordul az O körül? b) Szerkeszd meg a dugattyú két szélső helyzetét a hengerben! Mekkora a két szélső helyzet távolsága? (Segít az O, C1, C2 és D pontok megszerkesztése!) c) Szerkeszd meg a dugattyú helyzetét abban az esetben, amelyben az OC1 merőleges az OC2O re! Igaz-e, hogy a dugattyú ekkor éppen „félúton” van a két szélső helyzete között?

5.

C2

D

úd hajtór

C1

dugattyúhenger

mozdonykerék

3,5 m

2m

Egy gémeskút működésének három mozzanatát mutatják az ábrák.

dugattyú

V

3,5 m

1m

3,1 m

2,5 m 3,1 m

3,1 m

1m

3,5 m

2,5 m V 1m

2m

2,5 m

2m

V 1,5 m

1,5 m

1,5 m

Az ágas a kút szélétől 1 m-re van a földbe állítva, ezen a gém (vízszintes) forgástengelye 2,5 m magasan van a földtől. A gémnek a kút fölé belógó része a  forgástengelytől mérve 2 m hosszú, a kút 3 m-nél mélyebb, szélessége 1,5 m. a) Milyen magasan van a talajszint felett V az első helyzetben? b) Milyen mélyen van V a talajszint alatt a harmadik helyzetben? c) Szerkeszd meg a második ábrán azt a pályát, amelyen a V mozog, amíg az első helyzetből a harmadik helyzetbe jut! SSzerkeszd meg ezt a feladatot egy számítógépes szerkesztő programmal, pl. a GeoGebra programmal! Ráadás

E GY B E V Á G Ó S Á G I T R A N S Z F O R M Á C I Ó K A GYA KO R L AT B A N

1 47

81

GYAKORLÁS

F E L A DAT

4.

Vedd fel az ábrákat a füzetedben!

1.

Folytasd az előző feladatot! Végezd el a megadott transzformációkat a deltoid képével! Melyik esetben milyen kapcsolatban van egymással az eredeti deltoid és a képének a képe? Melyik esetben jutunk vissza a kiindulási deltoidhoz?

Az ABCD húrtrapéz AC átlójának felezőpontja F. C

D

5.

F

Adott a kör két átmérője a végpontjaival.

B A

B

Ezt a trapézt a) tükrözd az AC átló egyenesére; b) tükrözd az F pontra; c) forgasd el F körül (–30°)-kal; d) told el az FA vektorral! Mindegyik esetben vizsgáld meg, milyen kapcsolatban van egymással az AC átló és a képe, valamint a BD átló és a képe!

2.

3.

148

C O

D

Ezt a kört és a négy átmérővégpontot a) tükrözd a BD átmérő egyenesére; b) tükrözd az O pontra; c) forgasd el O körül (–90°-kal); d) told el az OA vektorral! Mindegyik esetben vizsgáld meg, milyen kapcsolatban van egymással az AC átmérő és a képe, valamint a BD átmérő és a képe!

Folytasd az előző feladatot! Végezd el a megadott transzformációkat a trapéz képével! Melyik esetben milyen kapcsolatban van egymással az eredeti trapéz és a képének a képe? Melyik esetben jutunk vissza a kiindulási trapézhoz? C Az ABCD deltoid AC átlójának felezőpontja F. Ezt a deltoidot D B a) tükrözd az BD átló egyenesére; F b) tükrözd az F pontra; c) forgasd el F körül (–30°)-kal; d) told el az FC vekA torral! Mindegyik esetben vizsgáld meg, milyen kapcsolatban van egymással az AC átló és a képe, valamint a BD átló és a képe!

A

6.

Folytasd az előző feladatot! Végezd el a megadott transzformációkat a kör képével! Melyik esetben milyen kapcsolatban van egymással az eredeti kör és a képének a képe? Melyik esetben jutunk vissza a kiindulási körhöz? Melyik esetben jutunk vissza a kiindulási körhöz úgy, hogy a kör pontjai is az eredeti helyükre kerülnek?

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

ELMÉLET A feladatok alapján tekintsük át az egyes transzformációk néhány tulajdonságát! Melyik transzformáció esetén melyik pont képe egyezik meg az eredeti ponttal? Ilyen pontok – tengelyes tükrözés esetében a tengely pontjai; – középpontos tükrözés esetében csak maga a középpont; – pont körüli forgatás esetében csak maga a középpont, kivéve, ha a forgatás szöge a 360°-os szög többszöröse, mert akkor minden pont ilyen; – eltolás esetében nincs ilyen pont, hacsak nem 0 hosszúságú vektorral történik az „eltolás”. Ezeket a pontokat a transzformáció fixpontjainak nevezzük. Melyik transzformáció esetén melyik egyenes képe egyezik meg az eredeti egyenessel? Ilyen egyenesek – tengelyes tükrözés esetében a tengely és a rá merőleges egyenesek; – középpontos tükrözés esetében a középponton átmenő egyenesek; – pont körüli forgatás esetében, ha a forgatás szöge a 180°-os szög többszöröse, akkor a középponton átmenő egyenesek; más szög esetében nincs ilyen egyenes; – eltolás esetében az eltolás vektorával egyállású egyenesek. Ezeket az egyeneseket a transzformáció fixegyeneseinek nevezzük. Van ezek között olyan egyenes, amely pontonként is fix (ilyen a tengelyes tükrözés tengelye) és van olyan, amelyiknek a pontjai nem fixpontok, az egész egyenes képe mégis önmaga.

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Melyik egyenesre kell tükröznünk az ábrán látható alakzatot, hogy a) a zöld egyenes képe a piros egyenes legyen; b) a piros egyenes képe a zöld egyenes legyen; c) a piros egyenes képe önmaga legyen; d) a csillag önmagának a tengelyes tükörképe legyen?

3.

4.

5. Melyik pontra kell tükröznünk az ábrán látható alakzatot, hogy a) a zöld egyenes képe a piros egyenes legyen; b) a piros egyenes képe a zöld egyenes legyen; c) a zöld egyenes képe önmaga legyen; d) a csillag önmagának a középpontos tükörképe legyen?

8 1 . l e c ke

GYA KO R L Á S

Melyik pont körül és mekkora szöggel forgathatjuk el az ábrán látható csillagot, ha azt akarjuk, hogy a) a képe önmaga legyen; b) minden pontjának a képe önmaga legyen? Egy 5 cm oldalú négyzetet először 24 mm-rel balra, majd 45 mm-rel felfelé toltunk el. a) Szerkeszd meg az eredeti négyzetet és az eltolt képét! b) Rajzold be azt az egyetlen eltolásvektort, amivel a két lépés helyettesíthető! c) Milyen hosszú ez a vektor? Mérd meg, majd igazold az eredményt számítással is! Válaszolj a kérdésekre! a) Melyik transzformáció esetén igaz, hogy minden pont képének a képe az eredeti pont? b) Melyik transzformáció esetén igaz, hogy minden egyenes képének a képe az eredeti egyenes?

149

Ráadás

SZIMMETRIÁK

F E L A DAT

1.

2.

3.

A fotón egy hópihe nagyított ott képe látható. Sorolj fel olyan geometriai transzformációkat, amelyekkel a hópiheforma képe éppen önmaga lesz! Egyes betűk, mint például az O vagy az A tengelyes tükrözéssel önmagukba vihetők át. a) Keress minél több ilyen betűt! b) Próbálj belőlük olyan szavakat összerakni, amelyek jobbról balra olvasva is pontosan ugyanazok, mint balról jobbra olvasva!

4.

5.

Többszörösen összehajtott papírlapokból érdekes „csipketerítő-mintákat” lehet kivágni. A képen látható mintát úgy készítették, hogy egy négyzet alakú lapot háromszor egymás után félbehajtottak, majd bevagdosták. Sorolj fel olyan geometriai transzformációkat, amelyekkel a minta önmagába átvihető!

Az alábbi ábrákba rajzolj be három olyan más-más irányú vektort, amellyel az eltolás a mintákat önmagukba viszi át! A füzetedben dolgozz!

Milyen szimmetriákat találsz az alábbi virágokon?

Egy szabályos hatszöghöz hat olyan egyenes található, amelyre tükrözve önmagába megy át. Ezek a hatszög szimmetriatengelyei. A hat szimmetriatengely egy ponton megy át. Ha erre a pontra tükrözzük a hatszöget, ismét ugyanez a hatszög lesz a képe. Ezért azt mondjuk, hogy ez a pont a szabályos hatszög szimmetria-középpontja.

150

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

ELMÉLET Ha egy síkbeli ponthalmazhoz van olyan egyenes, illetve pont, amelyre tükrözve a tükörkép fedi az eredeti alakzatot, akkor ezt a ponthalmazt tengelyesen szimmetrikus, illetve középpontosan szimmetrikus ponthalmaznak mondjuk. A szóban forgó egyenes a ponthalmaz szimmetriatengelye, a pont pedig a szimmetria-középpontja.

60°

Ha egy szabályos hatszöget elforgatunk a középpontja körül 60°-kal, 120°-kal vagy a 60° más, egész számú többszörösével, akkor a képe az eredeti hatszög lesz. Ezt úgy szoktuk kifejezni, hogy a szabályos hatszög forgásszimmetrikus. Ha egy síkbeli ponthalmazhoz van olyan pont, amely körül egy bizonyos (a teljesszögnél kisebb) szöggel elforgatva a ponthalmaz önmagába megy át, akkor ezt forgásszimmetrikus ponthalmaznak nevezzük.

F E L A DAT

6.

Válaszd ki az ezen az oldalon található ábrák közül azokat, amelyek a) tengelyesen szimmetrikusak; b) középpontosan szimmetrikusak; c) forgásszimmetrikusak!

8.

9.

7.

Add meg az összes olyan 0° és 360° közötti szöget, amellyel a virágot, illetve a mozaikmintát elforgatva a kép önmagába megy át!

Melyik ábrának van szimmetria-középpontja?

Melyik ábrának hány szimmetriatengelye van, a) ha a színeket is figyelembe veszed; b) ha a színeket nem veszed figyelembe?

Ráadás

SZIMMETRIÁK

151

H Á Z I F E L A DAT

1.

Van-e olyan sokszög, amelynek az e és az f egyenes is szimmetriatengelye? Ha van, akkor rajzolj egyet a füzetedbe! a) b)

c)

e

f

e

f

f

e 45°

2.

3. 4.

Szerkessz egy 3 cm sugarú körbe egy szabályos háromszöget és egy szabályos hatszöget úgy, hogy legyen közös szimmetriatengelyük! a) Hány lényegesen különböző eset van? (Két esetet lényegesen különbözőnek nevezünk, ha nem vihetők át egymásba egybevágósági transzformációval.) b) Igaz-e, hogy mindkét szabályos sokszög forgásszimmetrikus? Indokold a válaszodat! Szerkessz olyan szabályos nyolcszöget, amelynek a körülírt köre 3 cm sugarú! Szerkessz egy 1,5 cm oldalú szabályos nyolcszöget! Rajzold meg az összes szimmetriatengelyét, és jelöld meg a szimmetria-középpontját!

E M E LT S Z I N T ELMÉLET Középpontos szimmetria Ha egy testhez van olyan pont, amelyre tükrözve a tükörkép fedi az eredeti alakzatot, akkor ezt a testet középpontosan szimmetrikus testnek mondjuk. A szóban forgó pont a test szimmetria-középpontja. Például a téglatest középpontosan szimmetrikus, szimmetria-középpontja a testátlók metszéspontja.

152

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

Síkszimmetria Ha egy testhez van olyan sík, amelyre tükrözve önmagába megy át, akkor ezt a testet síkszimmetrikus testnek mondjuk. A szóban forgó sík a test szimmetriasíkja.

F E L A DAT

1.

Keress a képeken szimmetriasíkokat!

Testek forgásszimmetriája Minden szabályos hasábnál és gúlánál létezik olyan egyenes, amely körül egy bizonyos konvex szöggel elforgatva a test önmagába megy át. Például a szabályos hatoldalú hasábnál és gúlánál ilyen konvex szög a 60°-os és a 120°-os.

t

t

Ha a szabályos hasáb, illetve gúla alaplapja n-oldalú sokszög (ahol az n valamely 360 a 2-nél nagyobb egész szám), akkor a megfelelő szögek a fokos szög egész számú n többszörösei.

2.

Keress a képeken forgásszimmetriát!

Ráadás

SZIMMETRIÁK

153

82

ÁLTALÁNOS ÉS SZIMMETRIKUS HÁROMSZÖGEK

BEVEZETŐ a¢

Idézzük fel, mit is kell tudnunk a háromszögek oldalairól és szögeiről!

a

c b¢

Akármilyen háromszöget vizsgálunk is, igaz, hogy

b

b

g

g¢

a

bármely két oldal hosszúságának az összege nagyobb, mint a harmadik oldal;

a + b > c; a + c > b; b + c > a

bármely két oldal hosszúságának a különbsége kisebb, mint a harmadik oldal;

| a – b | < c; | a – c | < b; | b – c | < a

mindegyik külső szög egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével;

αʹ = β + γ; βʹ = α + γ; γʹ = α + β

a belső szögek összege 180°;

α + β + γ = 180°

a külső szögek összege 360°.

αʹ + βʹ + γʹ = 360°

Ha egy háromszögnek van két egyenlő hosszúságú oldala, akkor ezeket a háromszög szárainak nevezzük, és azt mondjuk, hogy a háromszög egyenlő szárú.

ELMÉLET A tengelyesen szimmetrikus háromszögnek olyan tulajdonságai is vannak, amelyekkel más háromszögek nem rendelkeznek. Ezek közül a legfontosabbak: – a szimmetriatengely a háromszög egyik oldalának (a háromszög alapjának) felező merőleges egyenese, egyben a háromszög egyik magasságvonala és egyik szögfelezője is; – a szimmetrikusan elhelyezkedő két oldal (a két szár) egyenlő hosszú; – a szimmetrikusan elhelyezkedő két szög (a háromszög alapján fekvő két szög) egyenlő nagyságú. Az is igaz, hogy ha egy háromszögnek van két egyenlő hosszúságú oldala, akkor az tengelyesen szimmetrikus. A három szimmetriatengellyel rendelkező háromszög mindegyik oldala egyenlő, vagyis ez egyenlő oldalú háromszög. A  szimmetria miatt az egyenlő oldalú háromszög mindegyik szöge is egyenlő, 60°-os. Az egyenlő oldalú háromszöget szabályos háromszögnek nevezzük.

a 2

60°

a

a

a

a b 2

b 2

a 2 a

a 2

a 2

a 120° 120° 120°

60°

A szabályos háromszög forgásszimmetrikus.

bb 2 2

60° a 2

a 2

a

Olyan háromszög nincs, amelynek csak két szimmetriatengelye van.

154

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT A gyümölcsszedéshez két létrát kaptunk kölcsön, ezek azonban nem egyforma hosszúak. Oda lehet-e támasztani a létrákat a fához két oldalról úgy, hogy ugyanolyan magasra érjenek? Megoldás A feladat természetesen könnyedén megoldható, mindössze annyi szükséges, hogy a hosszabb létrát (a > b) kisebb szögben támaszszuk a fához, mint a rövidebb létrát (α > β).

ELMÉLET A következő két tétel a nem szabályos háromszögekről szól: Ha a háromszögben két oldal nem egyenlő, akkor a nagyobb oldallal szemközti szög nagyobb, mint amelyik a kisebb oldallal van szemben.

a

És megfordítva: Ha a háromszögben két szög nem egyenlő, akkor a nagyobb szöggel szemközti oldal nagyobb, mint amelyik a kisebb szöggel van szemben.

b

b

a

Tehát ha a > b, akkor α > β, és ha α > β, akkor a > b.

F E L A DAT

1.

Az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszögben AD = AC és BE = BC. a) Mekkorák a rajzon látható hegyesszögek? b) Igazold, hogy a CDE háromszög egyenlő szárú! c) Hány egyenlő szárú háromszög van ezen az ábrán?

B D E

C

2.

3.

A

Egy egyenlő oldalú háromszög oldalai 18 mm-esek. Mekkorák a magasságai? Megjegyzés Gyorsabban számolhatunk, ha tudjuk, hogy a szabályos háromszög maa a 3 a 3 -szerese, az egyenlő szárú gassága mindig a háromszög oldalának 2 2 derékszögű háromszög átfogója pedig mindig a befogó 2-szerese. a a 2 2 (A 32. leckénél megtalálhatók a levezetések.)

a

2 a

a

Egy lejtő hajlásszöge 30°, magassága 5 m. Milyen hosszú a lejtő? lejtő magassága 5 m

lejt őh oss za 30° lejtő hajlásszöge

8 2 . l e c ke

Á LTA L Á N O S É S S Z I M M E T R I K U S H Á RO M S Z Ö G E K

155

4.

Egy derékszögű háromszög egyik szögfelezője 65°-os szöget alkot a  szemközti oldallal. Mekkorák lehetnek ennek a háromszögnek a szögei?

65°

65°

H Á Z I F E L A DAT

1. 2.

3. 4.

Miért nincs középpontosan szimmetrikus háromszög?

5.

a) Mekkora a szabályos háromszög oldala, ha a magassága 17,3 cm hosszú? b) Mekkora az egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója, ha az átfogója 14,1 cm hosszú?

Az ABCD négyzetben AM = AB, és az MK szakasz merőleges az AC átlóra. a) Mekkorák a rajzon látható hegyesszögek? D

M

Egy egyenlő szárú háromszög egyik alapszöge 43°kal kisebb, mint az egyik külső szöge. Mekkorák lehetnek ennek a háromszögnek a szögei? Szerkessz olyan egyenlő szárú háromszöget, amelynek az alapja 4 cm hosszú, és a) az alapjához tartozó magassága 3 cm hosszú; b) a szárához tartozó magassága 3 cm hosszú; c) az egyik szöge 90°-os; d) az egyik szöge 60°-os!

C

a

A

K

a

B

b) Igazold, hogy a BK, KM és az MC szakasz egyenlő hosszú!

RÁADÁS

1.

Az egyik földrész területe Az ábrán az Antarktisz térképe látható. a) Mekkora a távolság a Menzies-hegy és a Déli-sark között? (A becsléshez használd a térkép méretarányát!) b) Becsüld meg az Antarktisz területét a térképen feltüntetett méretarány segítségével! Írd le a számításaidat és azt, hogyan végezted el a becslést!

156

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

2.

Háromszögek A négy háromszög közül melyik az az egy, amelyikre igazak a következő állítások? a) A PQR háromszög derékszögű, és a derékszög az R csúcsnál van. b) Az RQ oldal rövidebb, mint a PR oldal. c) M jelöli a PQ oldal felezőpontját, N pedig a QR oldal felezőpontját. d) S a háromszög egy belső pontja. e) Az MN szakasz hosszabb, mint az MS szakasz. P

Q

M

M

N

S R

S

Q

P

P

R

N

M S

Q

8 2 . l e c ke

R

N

S

N

R

Q

Á LTA L Á N O S É S S Z I M M E T R I K U S H Á RO M S Z Ö G E K

M

P

1 57

83

SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK

BEVEZETŐ Vannak-e szimmetrikusak az alábbi képeken felismerhető négyszögek között? Ha igen, milyen szimmetriákat találsz?

ELMÉLET A négyszögeket aszerint csoportosítjuk, hogy van-e az egyenesszögnél nagyobb szögük:

konvex négyszög (minden szöge kisebb egy egyenesszögnél) Minden négyszögre igaz: a belső szögek összege 360°.

konkáv négyszög (van olyan szöge, amelyik nagyobb egy egyenesszögnél)

Tengelyesen szimmetrikus négyszögek

– – – – – – – 158

húrtrapéz két oldala párhuzamos, ezek az alapok; a másik kettő egyenlő, ezek a szárak; az egy alapon fekvő szögek egyenlők; az egy száron fekvő szögek összege 180°; a szemközti szögek összege 180°; az átlók egyenlők, a szimmetriatengelyen metszik egymást; van olyan kör, amelyik mindegyik csúcsán átmegy.

– – – –

deltoid két-két szomszédos oldala egyenlő; két szemközti szöge egyenlő; az átlói merőlegesek egymásra; a szimmetriatengelyen lévő átló felezi a másik átlót és a deltoid két szögét.

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

Középpontosan szimmetrikus négyszög: paralelogramma. – – – –

két-két szemközti oldala egyenlő; két-két szemközti szöge egyenlő; a szomszédos szögek összege 180°; átlói felezik egymást.

A szimmetrikus négyszögek csoportosítása húrtrapézok

paralelogrammák

deltoidok

F E L A DAT

1.

A szimmetrikus négyszögeket szemléltető ábra alapján döntsd el, melyek igazak az alábbi kijelentések közül! A: Minden rombusz deltoid. B: Minden téglalap rombusz. C: Van olyan téglalap, amelyik rombusz. D: Minden négyzet paralelogramma. E: Minden tengelyesen szimmetrikus trapéz paralelogramma. F: Ha egy négyszög középpontosan is és tengelyesen is szimmetrikus, akkor az téglalap. G: Ha egy tengelyesen szimmetrikus trapéz középpontosan is szimmetrikus, akkor az téglalap. H: Minden négyzet deltoid.

8 3 . l e c ke

S Z I M M E T R I K U S N É GY S Z Ö G E K

I: Van olyan téglalap, amely paralelogramma. J: Van olyan deltoid, amely paralelogramma.

2.

Egy háromszög oldalai 36 mm, 77 mm és 85 mm hosszúak. a) Igazold, hogy a háromszög derékszögű! b) Tükrözd a háromszöget az átfogó felezőpontjára. Milyen síkidomot alkot együtt a két háromszög? Mekkora a területe? c) Tükrözd a háromszöget az átfogó egyenesére! Milyen síkidomot alkot együtt a két háromszög? Mekkora a területe? Milyen hosszúak az átlói?

159

3.

4.

b) Mekkora távolságra van a két párhuzamos húr a kör középpontjától? c) Mekkora a két párhuzamos húr távolsága? d) Mekkorák a négyszög ismeretlen oldalai?

Hányféle olyan négyszög van, amelynek két egymás melletti oldala 24 mm, a másik kettő pedig 35 mm hosszú? Egy 5 cm sugarú kör két párhuzamos húrjának hossza 6 cm, illetve 8 cm. Sorban összekötjük a két húr négy végpontját. Milyen négyszöget kapunk? A húrok kétféleképpen helyezkedhetnek el a körben, ezért kétféle négyszög keletkezhet. Készítsd el az ábrákat a füzetedben! 6 cm

5.

A paralelogramma BD átlója merőleges az AD oldalra. A paralelogramma A-nál levő szöge 60°. Az AB oldal hossza 5,2 cm. D

6 cm

5c m

5c

m 8 cm

8 cm

C

60° A

a) b) c) d)

B

Milyen hosszú a BD átló? Milyen hosszú a paralelogramma többi oldala? Mekkora a paralelogramma területe? Milyen hosszú a paralelogramma két magassága?

a) Van-e a két négyszögnek szimmetriatengelye? Ha van, akkor melyik egyenes?

RÁADÁS

1.

2.

160

Egy biliárdasztalon az egyik átlóval párhuzamosan elindítok egy biliárdgolyót. Hová fog érkezni a  biliárdgolyó, miután mind a négy oldalon visszaverődött? Válaszodat indokold! (Az asztal téglalap alakú, a visszaverődések tökéletesen rugalmasak, a golyó nem az asztal közepéről és nem a legszéléről indul.)

Vegyél fel 3 különböző pontot, legyenek ezek O, K és L! Szerkeszd meg azt a négyzetet, amelynek O a középpontja, a másik két pont, K és L pedig egy-egy szomszédos oldalegyenesre esik! Hány megoldás van? Van-e olyan helyzet, amikor nincs megoldás?

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

H Á Z I F E L A DAT

1.

a) Szerkessz húrtrapézt a füzetedben, ha a körülírt körének sugara 2,5 cm, hosszabbik alapja 4,5  cm, rövidebb alapja pedig 3 cm hosszú! Hány különböző (azaz nem egybevágó) trapéz szerkeszthető?

2,5

3.

Egy konvex deltoidnak egyetlen derékszöge és egyetlen 60°-os szöge van. a) Mekkora a deltoid másik két szöge? b) Mekkora lehet a deltoid kerülete és területe, ha két oldala 18,4 cm hosszú?

cm

4,5 cm

60°

b) Szerkessz konvex deltoidot a füzetedben, amelynek átlói 4 cm, illetve 6 cm hosszúak, egyik szöge 120°-os, a másik három szöge ettől különböző! Hány különböző (azaz nem egybevágó) deltoid szerkeszthető? Mekkora ezeknek a területe?

4.

Egy húrtrapéz hosszabbik alapja és átlói is 6 cm hosszúak. Az átlók merőlegesek egymásra. a) Szerkeszd meg a trapézt! b) Mekkorák a trapéz szögei, mekkora a kerülete és a területe?

6 cm

4 cm

m

6c

6 cm

2.

Egy rombusz rövidebb átlója 7,2 cm, hosszabb átlója 9,6 cm hosszú. Számítsd ki a rombusz kerületét és területét!

7,2 cm 9,6

8 3 . l e c ke

cm

S Z I M M E T R I K U S N É GY S Z Ö G E K

1 61

84

GYAKORLÁS

F E L A DAT

1.

Az ABCDE szabályos ötszöget az ábra szerint két részre vágjuk. Az F pont a B pontnak az AC egyenesre vonatkozó tükörképe.

5.

B

24 m

m

A

mm 24

C

Egy szabályos hatszöget az ábra szerint négy háromszögre bontottunk. Melyiknek a) mekkorák az oldalai; b) mekkorák a szögei; c) mekkora a területe?

F D

E

a) Sorold fel az ABCF négyszög és az AFCDE ötszög tulajdonságait! b) Hány szimmetriatengelye van az eredeti ötszögnek és hány a két részének?

3.

4.

162

Egy szabályos ötszögnek megrajzoljuk két átlóját az ábra szerint. a) Hány egyenlő szárú háromszög keletkezett? b) Mekkorák a hegyesszögek? c) Milyen tulajdonságai vannak a rajzon keletkezett négyszögnek? Rakj össze öt egyforma négyzetből többféle tengelyesen szimmetrikus sokszöget! Melyiknek a) hány szimmetriatengelye van; b) mekkora a kerülete; c) mekkora a területe; d) van szimmetria-középpontja?

Rakj össze többféleképpen az öt négyzetből olyan tengelyesen szimmetrikus ponthalmazt, amely nem sokszög! Melyiknek hány szimmetriatengelye van?

A rajzon látható szabályos nyolcszög alakú ablak üvegét egy olyan négyzet alakú üvegtáblából vágták ki, amelynek oldalai 70 cm-esek.

70 cm

2.

6.

a) Mekkorák a nyolcszög szögei? b) Legfeljebb mekkorák lehetnek a nyolcszög oldalai?

7.

A hotel teraszán Bence talált néhány jópofa, szabályos hatszög alakú bárszéket. a) Mekkorák a méretei annak a téglalap alakú falemeznek, amelyből az ábra szerint kivágták a szék ülőlapját, ha ennek minden éle 15 cm hosszú? b) Hány százalék hulladék keletkezett így?

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

H Á Z I F E L A DAT

1.

b) Az ábra szerint három részre bontottuk a paralelogrammát. Mekkorák a keletkezett háromszögek szögei és oldalai?

Egy négyzet alakú papírlapot kétszer összehajtottunk, majd az ábrán feketére színezett részeket kivágtuk belőle. Papírlap

m

2. hajtás után

8c

1. hajtás után

60° 8 cm

8 cm

c) Mekkora a paralelogramma területe?

3. Melyik alakzathoz jutunk az alábbiak közül? A) C)

Bence szobájában olyan a parketta, hogy három egyforma parkettadarabot az ábra szerint helyeztek el, majd az így kapott nagyobb „paralelogramma” ismétlődik. 8 cm 60°

16 cm

B)

a) Megrajzoltuk az ábra szerinti paralelogramma átlóját. Mekkora az α és a β? Milyen hosszú a megrajzolt átló? b

8c m

2.

D)

60°

a 16 cm

1. 3. 2.

Bence azon gondolkodik, hogy milyen egybevágósági transzformációval vihetők át egymásba a paralelogrammák. Adj meg olyan egybevágósági transzformációt (vagy azok sorozatát), amelyik a) az 1. jelűt a 2. jelűbe; b) az 1. jelűt a 3. jelűbe; c) a 3. jelűt a 2. jelűbe viszi át!

4.

A 15 cm oldalú szabályos hatszög alakú ülőkelapot egy négyzetből vágják ki az ábra szerint. a) Mekkora a négyzet oldala és területe? b) Mekkora a hatszög területe? 15 c) Hány százalék hulladék kecm letkezik?

RÁADÁS A

Az ABC egyenlő szárú háromszög csúcsszöge 45°, szárai 10 cm hosszúak. A B csúcsból húzzuk be azt az egyenest, amely 45°-os szöget zár be AB oldallal. a) Mekkora részekre bontja ez az egyenes az AC oldalt? b) Mekkora a keletkezett háromszögek területe, és így az ABC háromszög területe? c) Mekkora annak a szabályos nyolcszögnek a területe, amely a 10 cm sugarú körbe írható? d) Mekkora annak a szabályos nyolcszögnek a területe, amelynek oldala a cm?

45°

45° B

8 4 . l e c ke

GYA KO R L Á S

C

163

85

A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI I.

BEVEZETŐ A fotókon megjelenő zavaró árnyékok kiküszöbölésére a fényképészetben három fényforrással egyszerre világítják meg a lefényképezni kívánt tárgyat. Ennek az eljárásnak nagyon fontos eleme, hogy a tárgynak a három fényforrás mindegyikétől egyforma távolságra kell lennie. Pontosan hová helyezzük a tárgyat, ha adott a három fényforrás helye?

Megoldás Tudjuk, hogy egy síkban a sík két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok a két pont között húzott szakasz felezőmerőlegesén találhatók. Mivel a tárgynak bármely két lámpától egyforma messze kell lennie, ezért rajta lesz minden olyan szakasz felezőmerőlegesén, amelyet két-két lámpa közé húztunk, azaz az ilyen felezőmerőlegesek metszéspontjában kell lennie.

ELMÉLET Definíció: A háromszög oldalának felezőmerőleges egyenesét a háromszög oldalfelező merőlegesének nevezzük. Tétel: A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást. Ez a pont egyenlő távol van a háromszög csúcsaitól, ezért ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

A háromszög köré írható kör középpontja hegyesszögű háromszög esetében a háromszög belsejében, derékszögű háromszög esetében az átfogó felezőpontjában, tompaszögű háromszög esetében a háromszögön kívüli síkrészben van. 164

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Ez a fotó a párizsi Notre-Dame egyik ún. „rózsaablakáról” készült. Hogyan kell megszerkeszteni az ablak körének középpontját és sugarát, hogy az „illeszkedjen” a háromszögbe, azaz a háromszög oldalai éppen érintsék a kört? Megoldás Tudjuk, hogy egy konvex szögtartományban a szög két szárától egyenlő távolságra levő pontok a szögfelező félegyenesen találhatók. Mivel a kör középpontjának bármely két oldaltól egyforma messze kell lennie, ezért két szögfelezőn is rajta kell lennie, vagyis két szögfelező metszéspontjában van.

ELMÉLET Definíció: A háromszög belső szögének szögfelező egyenesét a háromszög szögfelezőjének nevezzük. (Sokszor így nevezzük az egyenesnek a háromszög belsejébe eső szakaszát is.) Tétel: A háromszög három szögfelezője egy pontban metszi egymást. Ez a pont egyenlő távol van a háromszög oldalegyeneseitől, ezért ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja. Definíció: A háromszög csúcsán átmenő és a szemközti oldal egyenesére merőleges egyenest a háromszög magasságvonalának nevezzük. Magasságnak nevezzük a magasságvonalnak a csúcs és az oldalegyenes közé eső szakaszát, illetve ennek a szakasznak a hosszát. Tétel: A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást. Ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük.

A háromszög magasságpontja hegyesszögű háromszög esetében a háromszög belsejében, derékszögű háromszög esetében a derékszögű csúcsban, tompaszögű háromszög esetében a háromszögön kívüli síkrészben van. 8 5 . l e c ke

A H Á RO M S Z Ö G N E V E Z E T E S VO N A L A I É S P O N TJA I I .

165

F E L A DAT

1.

a) b) c) d)

Szerkeszd meg egy 4 cm oldalú szabályos háromszög beírt és körülírt körét!

4.

a) Számítsd ki e körök sugarát! b) Milyen kapcsolat van e körök sugarai között?

2.

= = = =

30°; 45°; 60°; 90°;

e) α = 120°; f) α = 135°; g) α = 150°?

Egy háromszög körülírt körének sugara 4 cm, egyik oldalának hossza 7,5 cm, magassága 3,5 cm. Szerkeszd meg a háromszöget!

5.

Egy díszítőelem négy egyenlő sugarú kör érintkezését mintázza. Egy kör sugara 25 cm. a) Számítsd ki két-két kör középpontjának távolságát! b) Mekkora területű a „lyukas” rész, amelyet a négy kör íve fog közre?

Van-e olyan hely Mezőhegyesen, amelyik egyenlő távolságra van Újtelep, illetve a 81-es és a 46-os major központjától? 81-es major

α α α α

Árpádtelep

Újtelep Komlósfecskéspuszta

Csatókamrás Kamaráspuszta

11-es major

Mezőhegyes

Belsőperegpuszta 46-os major

3.

Egy háromszög két oldalának a hossza 25 mm, illetve 18 mm, az általuk bezárt szög α. Mekkora a 25 mm-es oldalhoz tartozó magasság, ha

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Szerkeszd meg egy hegyesszögű háromszög körülírt körét, beírt körét és magasságpontját a füzetedben! Szerkessz egy olyan derékszögű háromszöget, amelynek a körülírt köre 2,5 cm sugarú! Szerkeszd meg ennek a háromszögnek a beírt körét!

3. 4.

Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, ha körülírt körének sugara 3,5 cm, szára pedig 6 cm! Egy derékszögű háromszög egyik szöge 26°-os. A beírható kör középpontját összekötjük a háA romszög csúcsaival. Így három háromszöget kapunk. Határozd meg a háromszögek szögeit! K

A GeoGebra programmal ellenőrizheted a gond dolatmeneted és a szerkesztéseid helyességét is. C

166

B

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

E M E LT S Z I N T Bizonyítsuk be a tételeket: 1. Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Bizonyítás Felhasználjuk, hogy a sík két pontjától egyenlő távol lévő pontok halmaza a két pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese. (Ez az állítás a tengelyes tükrözés tulajdonságaiból levezethető.) Az AB és a BC oldalak felezőmerőlegeseinek metszéspontja legyen K. K rajta van az AB oldal felezőmerőlegesén, azért egyenlő távol van A-tól és B-től: KA = KB. K rajta van a BC oldal felezőmerőlegesén, azért egyenlő távol van B-től és C-től: KB = KC. KA = KB és KB = KC ⇒ KA = KC. K egyenlő távol van tehát A-tól és C-től, ezért K rajta van az AC felezőmerőlegesén is. Vagyis AC felezőmerőlegese is átmegy a K ponton. 2. Tétel: A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást. Bizonyítás Felhasználjuk, hogy egy konvex szögtartományban a szög két szárától egyenlő távol lévő pontok halmaza a szögfelező félegyenes. (Ez az állítás a tengelyes tükrözés tulajdonságaiból levezethető.) A CABB és az ABCB szögfelezőinek metszéspontja legyen K. K rajta van a CABB szögfelezőjén, ezért egyenlő távol van AB és AC szögszáraktól. K rajta van az ABCB szögfelezőjén, ezért egyenlő távol van AB és BC szögszáraktól. Ezekből következik, hogy K egyenlő távol van AC és BC szögszáraktól is, ezért K rajta van a BCAB szögfelezőjén is. Vagyis BCAB szögfelezője is átmegy a K ponton. 3. Tétel: A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást. Bizonyítás Felhasználjuk, hogy ha egy négyszög szemközti oldalai párhuzamosak, akkor a négyszög paralelogramma, így a szemközti oldalai egyenlők. Húzzunk párhuzamost a szemközti oldallal az ABC háromszög minden csúcsán át! Jelöljük a kapott háromszöget az ábra szerint AlBlCl-vel. ClBCA négyszög paralelogramma, hisz szemközti oldalai párhuzamosak. Ezért ACl = BC. ABCBl négyszög paralelogramma, hisz szemközti oldalai párhuzamosak. Ezért ABl = BC. Azt kaptuk, hogy az A pont felezőpontja a ClBl oldalnak, ezért az ABC háromszögben az A-ból húzott magasságvonal egyben oldalfelező merőleges az AlBlCl háromszögben. Hasonlóképpen belátható, hogy az ABC háromszög másik két magasságvonala is egyben az AlBlCl háromszög oldalfelező merőlegesei. A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, ezért a három magasságvonal is egy pontban metszi egymást.

8 5 . l e c ke

A H Á RO M S Z Ö G N E V E Z E T E S VO N A L A I É S P O N TJA I I .

C

B¢

A¢

B

A

C¢

167

86

A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI II.

BEVEZETŐ Vágj ki kartonpapírból egy tetszőleges háromszöget! Próbáld meg kiegyensúlyozni a vonalzód élén (sőt: akár a kinyújtott tenyered élén!) úgy, hogy az alátámasztás átmenjen az egyik csúcson! Hogyan kell igazítani a háromszöget? Most próbáld meg kiegyensúlyozni a háromszöget az ujjad hegyén! Hol legyen az alátámasztás?

ELMÉLET Definíció: A háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt a háromszög súlyvonalának nevezzük. Tétel: A háromszög három súlyvonala egy pontban metszi egymást. Definíció: A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja. Tétel: A súlypont harmadolja, vagyis 1 : 2 arányban két részre osztja a súlyvonalat úgy, hogy a háromszög csúcsától van távolabb, az oldalfelező ponthoz közelebb. Definíció: A háromszög két oldalfelező pontját összekötő szakasz a háromszög középvonala. Tétel: A háromszögben a középvonal párhuzamos a háromszög harmadik (általa össze nem kötött) oldalával, és fele olyan hosszú.

A a

sa

Fc

c 2 B

Fc

C

A b 2

a 2

Fb

b 2 a 2

b 2

a 2

Fa

c 2

B

Fb

S

a 2

c 2

b 2

c 2 a 2

Fa

b 2 C

ma

M S

B

A

c 2

a

C

A háromszög nevezetes pontjainak, vonalainak szokásos jelölései: Az A csúcsnál levő szög a, az A csúccsal szemközti oldal az a, A-hoz tartozó súlyvonal sa, az A-hoz tartozó magasság pedig ma. A háromszög magasságpontja M, súlypontja S.

A GeoGebra programmal szemléltethető az állítások érvényessége minden háromszög esetére.

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Megoldás a A két részháromszög egyik oldala egyforma hosszúságú az ábrán , és egyenlő az ehhez 2 az oldalukhoz tartozó magasságuk is (m). A súlyvonal tehát felezi a háromszög terü- B letét, két 50 cm2 területű részre osztja a háromszöget.

(

168

A

Mekkora területű részekre osztja a 100 cm2 területű háromszöget egy súlyvonala;

)

m

a 2

Fa

a 2

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

C

2.

Mekkora területű részekre osztja a 100 cm2 területű háromszöget a három középvonala?

Megoldás A négy keletkező háromszög oldalai: a , b és c . Tehát egybevágók, s így négy egyen2 2 2 területű részre vágják szét az eredeti háromszöget. Az egyes részek területe 25 cm2.

A c 2 c 2 B

b 2

a 2

b 2

c 2 a 2

a 2

b 2 C

lő

F E L A DAT

1.

2.

3.

4.

Van-e olyan háromszög, a) amelynek egyik súlyvonala merőleges a felezett oldalra; b) amelynek egyik súlyvonala egyben szögfelező is; c) amelynek súlypontja egybeesik a körülírt kör középpontjával; d) amelynek súlypontja illeszkedik a háromszög egyik középvonalára?

ennek segítségével, hogy milyen hosszú az átfogóhoz tartozó súlyvonal!

5.

B

Egy szabályos háromszög súlypontja az egyik csúcstól 2,8 cm távolságra van. a) Mekkora a háromszög magassága? b) Mekkora a beírható és a köré írható kör sugara? c) Mekkora a háromszög oldala?

6.

A

Mekkora az ABC háromszög területe? c 4 4 cm 2 a 4

c 2

c 4

a 2

a 4

Az ABCD paralelogramma belső szögfelezői egy négyszöget határoznak meg. D

C E

Egy derékszögű háromszög átfogója 65 cm, egyik befogója pedig 56 cm hosszú. a) Számítsd ki a középvonalainak hosszát! b) Mekkora területű részekre osztja a háromszöget a három középvonala?

C

A

F

B

a) Mekkorák a négyszög szögei? b) Igazold, hogy E és F pontok illeszkednek a paralelogramma középvonalára (szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakaszra)! c) Milyen hosszú az EF szakasz, ha a paralelogramma oldalai a és b?

Egy derékszögű háromszög átfogója 65 cm, egyik befogója pedig 56 cm hosszú. a) Milyen hosszúak a befogókhoz tartozó súlyvonalak? b) Tükrözd a háromszöget az átfogó felezőpontjára! Milyen síkidomot kaptál? Határozd meg

H Á Z I F E L A DAT

Egy háromszög oldalainak hossza 4 cm, 7 cm, 7 cm. a) Szerkeszd meg a köré írt kör O középpontját, az M magasságpontot és az S súlypontot!

8 6 . l e c ke

7 cm

2.

b) Milyen kapcsolatot látsz az OS és az SM szakaszok hossza között?

Mekkorák a 4,8 cm oldalú szabályos háromszög középvonalai és súlyvonalai? 7 cm

1.

3.

Egy egyenlő szárú háromszög alapja 42 cm, szára 29 cm hosszú. Számítsd ki a háromszög középvonalainak és súlyvonalainak hosszát!

4 cm

A H Á RO M S Z Ö G N E V E Z E T E S VO N A L A I É S P O N TJA I I I .

169

2 cm

2 cm

Az ábra szerinti derékszögű háromszögben a derékszögű csúcsot összekötöttük az átfogó felezőpontjával, és összekötöttük a két befogó felezőpontját is. a) Mekkora ez a két szakasz? b) Mekkora a színezett háromszög területe, és mekkora a keletkezett két négyszög területe?

3 cm

2 cm

2 cm

4.

3 cm 3 cm

3 cm

RÁADÁS C

1. Négyszögek középvonalai Egy négyszög két szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakasz a négyszög középvonala.

Fa

S

A paralelogramma középvonala párhuzamos és egyenlő a megfelelő oldalával. A trapéz szárainak felezőpontját összekötő középvonal az alapok összegének fele.

a 2

Fb

P

a+b 2

Q B

a

A

b

a 2

3. Az ábra érdekes kapcsolatot szemléltet: Egy háromszögbe berajzoltuk a középvonalait, aztán az így kapott háromszögbe ismét, és ezt folytatjuk a végtelenségig.

a

2. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást! Megjegyzés: Érdekes, hogy könnyebb bebizonyítani azt, hogy a súlyvonalak milyen arányban metszik egymást, majd ebből következtetni a közös metszéspontra. Bizonyítás Legyenek Fa és Fb az ABC háromszögben oldalfelező pontjai, a két súlyvonal metszéspontja S, az AS és BS szakaszok felezőpontjai pedig P és Q. Az FaFb szakasz az ABC háromszögben középvonal, ezért párhuzamos az a oldallal, és feleakkora hosszúságú. A PQ szakasz az ABS háromszögben középvonal, ezért párhuzamos az a oldallal, és feleakkora hosszúságú. A PQFaFb négyszög paralelogramma, hiszen van két párhuzamos és egyenlő hosszú oldala. A paralelogramma átlói felezik egymást, ezért FaS = SP. Ugyanakkor P felezőpont az SA oldalon, ezért SP = PA. Ezzel beláttuk, hogy az S pont – és ezzel sb súlyvonal is – az sa súlyvonalat 2 : 1 arányban osztja. Ugyanígy belátható, hogy sc is 2 : 1 arányban osztja az sa súlyvonalat, ezért az is áthalad az S osztóponton. A három súlyvonal tehát egy pontban metszi egymást.

170

Feladat: Milyen pontot zárnak közre az egyre kisebb és kisebb háromszögek? Miért? 4. Minden háromszögre igaz: A körülírt kör O középpontja, az M magasságpont és az S súlypont egy egyenesbe esik.

Euler-eg yenes O

M S

Ezt az egyenest a háromszög Euler-egyenesének nevezzük. A súlypont a másik két pont között van, kétszer akkora távolságra M-től, mint O-tól.

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

(L. Euler 1707-től 1783-ig élt, svájci születésű tudós volt. Nevét így ejtjük: ajler.) Megjegyzés: Szabályos háromszög esetében a három nevezetes pont egybeesik, ezért a tétel állítása ebben az esetben is igaz, ámde „semmitmondó”.

Szerkesztése

5. Minden háromszögre igaz: A három oldalfelező pont meghatároz egy kört. Ezen rajta van – a magasságvonalak és az oldalegyenesek három metszéspontja; – a magasságpont és a csúcsok közötti szakaszok felezőpontja. Ezt a kört a háromszög Feuerbach-körének, másképp: a kilenc pont körének nevezzük. A Feuerbach-kör középpontja az Euler-egyenesen van, középen, a körülírt kör középpontja és a magasságpont között. A kör sugara feleakkora, mint a háromszög köré írt kör sugara. (K. W. Feuerbach 1800-tól 1834-ig élt, német gimnáziumi tanár volt. Nevét így ejtjük: fajerbah.)

Euler-egy enes OF O

S

M

Szerkesztése

6. Városnézéseink során könnyen felfedezhetünk olyan díszítőmotívumokat, amelyek egymással érintkező körökből, körívekből épülnek fel. Ezek közül kettőnek a szerkesztése olyan egyszerű, hogy matematikai ismeretek nélkül is könnyen adhatták tovább a mesteremberek tanítványaiknak. Tanulmányozd az ábrákat, és „fejtsd meg” a mesteremberek „titkát”! Hajtsd végre a szerkesztéseket! Ha a jó mesterember a „bűvös” Pitagorasz-tételt is ismerte, akkor könnyen kiszámíthatta, hogy a bal oldali ábra legkisebb körének sugara pontosan harmada a legnagyobb kör sugarának, a jobb oldali ábra kis köreinek sugara pedig pontosan háromnyolcada a nagy körök sugarának. Lásd be, hogy jól okoskodtak! A 4. és 5. feladat állításának általános érvényességgét a GeoGebra programban is szemléltetni lehet.

8 6 . l e c ke

A H Á RO M S Z Ö G N E V E Z E T E S VO N A L A I É S P O N TJA I I I .

171

87

THALÉSZ TÉTELE

ELMÉLET C

Thalész tétele Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal egy harmadik pontjával, derékszögű háromszöget kapunk. A harmadik pont lesz a derékszögű csúcs.

A

B

Másképp: Ha a C pont rajta van az AB átmérőjű körön, de nem esik egybe sem A-val, sem B-vel, akkor a C-ből az AB szakasz derékszögben látszik. B

Thalész tételének megfordítása A derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontjában van. Másképp: Ha a C pontból az AB szakasz derékszögben látszik, akkor C rajta van az AB átmérőjű körön.

C

A

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Hogyan állapítható meg egy kör középpontja, ha csak egy derékszögű vonalzónk van?

Megoldás Illesszük a derékszögű csúcsot a kör egy tetszőleges pontjához, húzzuk meg a két – egymásra merőleges – húrt, és kössük össze a másik végpontjaikat! Thalész tételének megfordítása értelmében az így kapott derékszögű háromszög átfogója éppen a kör egyik átmérője lesz. Ismételjük meg az előző eljárást egy másik ponttal! A kör középpontja a két átmérő metszéspontja lesz.

ELMÉLET Milyen kapcsolatban van egymással egy tétel és a tétel megfordítása? Minden tétel két részből áll: a feltételből és az állításból. Ha a feltételt és az állítást felcseréljük, megkapjuk a tétel megfordítását. Némelyik tételnek a megfordítása is igaz, más tételeké viszont nem feltétlenül. 172

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

Például a Thalész-tételnél: Feltétel

Állítás

Következik-e a feltételből az állítás?

a háromszög egyik oldala a köré írt kör átmérője

a háromszög derékszögű

igen

a háromszög derékszögű

a háromszög egyik oldala a köré írt kör átmérője

igen

Vizsgáljunk meg egy másik tételt ehhez hasonlóan: Ha egy négyszög négyzet, akkor a szögei derékszögek. Feltétel

Állítás

Következik-e a feltételből az állítás?

a négyszög négyzet

a négyszög szögei derékszögek

igen

a négyszög szögei derékszögek

a négyszög négyzet

nem

Ennek a tételnek a megfordítása nem igaz, mert van olyan négyszög, amely nem négyzet, de a szögei derékszögek. Ilyen minden téglalap, amelyeknek nem egyenlők az oldalai.

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

2.

Szerkesszünk a k körhöz érintőket a külső P pontból!

E

k

Megoldás Az érintő merőleges az érintési pontban húzott sugárra. Ezért olyan pontot keresünk a k körön, melyből az OP szakasz derékszögben látszik. Szerkeszszük meg először az OP átmérőjű kört! A két kör az E és G pontokban metszi egymást. Thalész tétele miatt a PEO háromszög derékszögű az E pontnál. Ezért a PE egyenes érinti a k kört. Hasonlóan látható, hogy a PG egyenes is érinti a k kört.

O P

F

G

HEÁLZAI DAT F F E L A DAT D AT

1.

Szerkessz két olyan derékszögű háromszöget, amelynek az átfogója a KL szakasz, és a harmadik csúcsa a k körön van! A füzetedben dolgozz! K

3.

A háromszög egyik oldala mint átmérő fölé kört szerkesztettünk. Magyarázd meg, hogy a megszerkesztett M pont miért a háromszög magasságpontja! M

L

2.

k

M

Helyezd el úgy a KL szakaszt, hogy az előző feladatnak csak egy megoldása legyen! A GeoGebra programban a P pont mozgatásával sszemléltethető a szerkesztés helyessége.

87. l e c ke

THALÉSZ TÉTELE

17 3

4.

Rajzolj egy 2,5 cm sugarú kört! a) Szerkessz egy olyan pontot a körön kívül, amelyből 1 cm hosszú érintőszakasz húzható a körhöz! b) Szerkeszd meg az összes olyan pontot, amelyből a körhöz 1 cm hosszú érintőszakasz húzható!

Q

P

5.

Adott egy kör és belsejében két pont: P és Q. Szerkessz a körbe derékszögű háromszöget (ez azt jelenti, hogy a csúcsai illeszkedjenek a körvonalra), amelynek egyik befogója áthalad a P ponton, másik befogója pedig a Q ponton!

H Á Z I F E L A DAT

1.

e Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelyA nek két csúcsa az A és a B pont, a harmadik csúcsa pedig az e egyenesen van! A  füzetedben dolgozz! Hány megoldása van a feladatnak?

2.

3. B

Kösd össze gondolatban az e egyenes mindegyik pontját A-val és B-vel! Vedd fel az ábrát a füzetedben!

4.

b) Milyen szögben látszik az AB szakasz a körön kívüli pontokból, például a P-ből? c) Milyen szögben látszik az AB szakasz a körön belüli pontokból, például a Q-ból? Egy derékszögű háromszög átfogója 7,6 cm, átfogóhoz tartozó magassága 3 cm. Szerkeszd meg a háromszöget! Az ABC derékszögű háromszög egyik szöge 15°-os, az AB átfogó 12 cm hosszú. C

P

j e

Q A

B

e A

a) Melyik pontokból látszik az AB szakasz derékszögben?

d

T

a) b) c) d)

15° F

B

Mekkora a CF súlyvonal? Mekkora a δ szög? Mekkora az ε és a φ szög? Mekkora a CT magasság?

RÁADÁS Thalész (Kr. e. 624?–548?) matematikus és filozófus, a hét görög bölcs egyike volt, sokan a görög filozófia atyjaként emlegetik. A kis-ázsiai Milétoszban született, föníciai nemesi családban. A tudományok mellett politikával és kereskedelemmel is foglalkozott. Thalész érdekesen magyarázott egyes természeti jelenségeket; a földrengéseket például úgy, hogy a Föld vízen úszik, és a földrengéseket a víz hullámzása okozza. 174

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

Ő volt az első olyan matematikával is foglalkozó tudós, akinek a neve is fennmaradt. Komoly geometriai ismeretekkel rendelkezett, használta a térben elhelyezkedő egyenesek, síkok, testek fogalmát, távolságokkal és szögekkel dolgozott. Megmutatta, hogy a csúcsszögek egyenlők, hogy az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei megegyeznek, és hogy ha két háromszög egy-egy oldala és az azokon fekvő szögek páronként egyenlők, akkor a két háromszög egybevágó. Bebizonyította, hogy a háromszög belső szögeinek összege akkora, mint két derékszög együtt. Foglalkozott a hasonló háromszögekkel is, és kutatásai eredményét gyakorlati célokra is felhasználta. Például a hasonló háromszögek segítségével határozta meg a piramisok magasságát, sőt ilyen módszerrel megmérte hajók távolságát a tengeren. Leghíresebb megállapítása a derékszögű háromszög és a köré írt kör kapcsolatát kimondó tétel, amely máig az ő nevét viseli. Magát az összefüggést az egyiptomi és babiloni papok valószínűleg már Thalész előtt is ismerték, erről azonban nem maradt fenn bizonyíték. A tétel első bizonyítását neki tulajdonítják.

E M E LT S Z I N T 1. Bizonyítsuk be Thalész tételét!

C b

a

Bizonyítás Tudjuk, hogy az ABC háromszög AB oldala a háromszög köré írt kör átmérője. Ha a C-t összekötjük a kör K középpontjával, akkor az ABC háromszöget két egyenlő A szárú háromszögre bontottuk (a szárak a kör sugarával egyenlők). Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlők, ezért ACK <) = α és BCK <) = β. Írjuk fel, hogy a háromszög szögeinek összege 180°! α + α + β + β = 180°; 2 α + 2 α = 180°; α + β = 90°. Eredményünk éppen azt jelenti, hogy az ABC háromszögnek a C csúcsnál derékszöge van.

b

a K

B

2. Bizonyítsuk be Thalész tételének a megfordítását! Bizonyítás Most azt tudjuk, hogy az ABC háromszög derékszögű, és C a derékszögű csúcs. A két hegyesszög összege: α + β = 90°. Osszuk két részre a C csúcsnál fekvő derékszöget az ábra szerint! Az AKC háromszög két szöge egyenlő, ezért ez egy egyenlő szárú háromszög, amelyben KA = KC. A BKC háromszög két szöge egyenlő, ezért ez egy egyenlő szárú háromszög, amelyben KC = KB. Tehát KA = KC = KB, vagyis a K pont az átfogó felezőpontja, és ez egyenlő távolságra van a háromszög mindhárom csúcsától. K tehát a derékszögű háromszög körülírt körének középpontja.

87. l e c ke

THALÉSZ TÉTELE

C

b

a A

B C a

b

b

a A

K

B

17 5

88

A THALÉSZ-TÉTEL ALKALMAZÁSAI

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT

1.

Rajzoljuk meg azt a kört, amelynek átmérője az ABC egyenlő szárú háromszög AC szára! Igazoljuk, hogy ez a kör a háromszög AB alapját annak a felezőpontjában metszi!

C

O

Megoldás Az ábrán P a kör és az AB alap metszéspontja. Thalész tételéből következik, hogy az APC szög derékszög. A C-ből AB-re húzott merőleges viszont nem más, mint az ABC háromszög szimmetriatengelye, tehát P az alap felezőpontja.

2.

A

Az ABC szabályos háromszög oldalai 44 mm-esek, az AB oldal felezőpontja D. Mekkora részekre osztja az AC oldalt a CD átmérőjű kör?

Megoldás Jelöljük a kör és az AC oldal metszéspontját E-vel! Thalész tételéből következik, hogy a CED szög (és így az AED szög is) derékszög. Az AED derékszögű háromszög egyik szöge 60°-os, ezért az AE befogó az AD átfogó fele. Az AD szakasz pedig az AB oldal fele, vagyis 22 mm hosszúságú. Tehát 1 1 AE = AD = ⋅ 22 = 11 (mm), 2 2 az AC oldal másik része pedig AC – AE = 44 – 11 = 33 (mm). Érdekes: az AC oldal egyik része 3-szor akkora, mint a másik.

B

P

C

E A

B

D

F E L A DAT

176

Mekkora a körbe írt négyszög kerülete és területe? (K a kör középpontja.) 10

,4

cm

K

5 cm

Egy szabályos nyolcszög egyik csúcsából meghúzunk két átlót az ábra szerint. Sorold fel a keletkezett négyszögek tulajdonságait!

3.

cm

2.

Egy kör sugara 3,4 cm, s a középpontjától 4,5 cm távol van egy P pont. Milyen hosszúak a P pontból a körhöz húzható érintőszakaszok?

7,8

1.

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

4.

Az ABC háromszög egyenlő szárú, derékszögű. Az AB szakasz 100 cm hosszú. A kör átmegy a C-n, és a felezőpontjában érinti az AB átfogót. a) A kör területének hány százaléka van az ábrán az ABC háromszögön kívül?

5.

C

A

Az egyenlő szárú trapéz átlói merőlegesek a szárakra. Szárának hossza 6,3 cm, átlójának hossza 10,8 cm. a) Mekkora átmérőjű körlemezből lehet kivágni ezt a trapézt? b) Mekkora az ABD háromszög területe és magasságai? c) Határozd meg a rövidebbik alap hosszát! d) Mennyi hulladék keletkezik, ha ebből a körlemezből kivágjuk a trapézt? C

D

B

6, 3

cm

b) Az ABC háromszög területének hány százalékát fedi le a körlap az ábrán?

10,

8c

m

C A

A

B

B

H Á Z I F E L A DAT

1. 2.

Egy téglalap oldalai 3,9 cm és 8 cm hosszúak. Mekkora a köré írható kör sugara? Egy 10 cm sugarú körbe olyan deltoidot írunk, amelynek két 12 cm-es oldala van. a) A deltoid két szögét mérés nélkül meg tudjuk határozni. Melyek ezek? b) Mekkora a másik oldalpár? c) Mekkora a deltoid területe?

12

cm

12

3. 4.

Hány különböző derékszögű háromszöget határoznak meg egy szabályos hatszög csúcsai? Egy 4 egység oldalú szabályos háromszög mindhárom oldalára megrajzoltuk a Thalész-kört. a) Mekkora e körlemezek metszetének területe? b) Hány százaléka ez a háromszög területének?

cm

10 cm

8 8 . l e c ke

A T H A L É S Z -T É T E L A L K A L M A Z Á S A I

177

89

SOKSZÖGEK ÉS KÖRÖK

BEVEZETŐ Minden háromszögnek van körülírt és beírt köre.

Most vizsgáljuk meg, hogy mi a helyzet a négyszögekkel és más sokszögekkel! Könnyen látható, hogy ez a tulajdonság, amellyel minden háromszög rendelkezik, nincs meg minden sokszög esetében. Vannak olyan sokszögek, amelyeknek sem beírt, sem körülírt körük nincs.

A szimmetrikus négyszögekre a következők igazak: – A húrtrapézoknak van körülírt körük (a nevüket is erről a tulajdonságukról kapták), de nem mindegyiknek van beírt köre.

van beírt köre és körülírt köre

körülírt köre van, beírt köre nincs

– A paralelogrammáknak általában sem beírt, sem körülírt körük nincsen, a tengelyesen szimmetrikus paralelogrammák azonban ebből a szempontból kivételt képeznek. – Minden téglalapnak van körülírt köre, minden konvex deltoidnak (így a rombusznak is) van beírt köre.

Vannak olyan sokszögek, amelyeknek csak beírt vagy csak körülírt körük van.

– A téglapok közül csak a négyzeteknek van beírt körük, a deltoidok közül csak a derékszögű deltoidoknak (köztük a négyzeteknek) van körülírt körük. csak beírt köre van

csak körülírt köre van

És olyanok is, amelyek mindkét fajta körrel rendelkeznek.

178

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

ELMÉLET Definíció: Amelyik négyszögnek van beírt köre, azt érintőnégyszögnek, amelyiknek van körülírt köre, azt húrnégyszögnek nevezzük. Érintősokszögnek, illetve húrsokszögnek nevezzük azokat a sokszögeket, amelyeknek van beírt, illetve körülírt körük. A szabályos sokszögek azért is különlegesek, mert mindegyik húrsokszög is és érintősokszög is. A körülírt és a beírt körük koncentrikus (ugyanaz a pont a középpontjuk).

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT 28 mm

Az ábra egy érintőnégyszög három oldalának hosszúságát mutatja. Mekkora a negyedik oldala?

z

u

m

31 mm

39 m

Megoldás Tudjuk, hogy egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők. Az egyenlő szakaszokat azonos betűkkel jelöltük. Az ismeretlen oldal hossza: x + y. A rajzról leolvashatjuk, hogy két-két szemközti oldal hosszának összege x + y + z + u. Ez egyrészt egyenlő 31 + 39 = 70 milliméterrel, másrészt 28 + (x + y) milliméterrel. Tehát az ismeretlen oldal hossza x + y = 70 – 28 = 42 milliméter.

z

u

y

x x

y

ELMÉLET Tétel: Az érintőnégyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő. Vajon igaz-e a tétel megfordítása? A deltoidra mindig igaz, hogy kétkét szemközti oldalának összege egyenlő. Van azonban olyan deltoid, amelynek nincs beírható köre. Keress ilyet! Teljesül azonban a következő tétel: Tétel: Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő, akkor a négyszög egy érintőnégyszög.

8 9 . l e c ke

SOKSZÖGEK ÉS KÖRÖK

17 9

F E L A DAT

1.

2.

a) Milyen négyszög az a paralelogramma, amelynek van körülírt köre? b) Milyen négyszög az a deltoid, amelynek van körülírt köre? c) Milyen négyszög az a paralelogramma, amelynek van beírt köre? d) Milyen négyszög az a téglalap, amelynek van beírt köre? e) Milyen négyszög az a deltoid, amelynek van beírt köre? f) Milyen négyszög az a rombusz, amelynek van körülírt köre?

3.

4.

Egy húrtrapéz alapjainak a hosszúsága 24 mm és 54 mm. A trapéznak mind a négy oldala érinti a zöld kört. 24 mm

Az e egyenes a piros és a kék körnek is érintője. Vonalzód odaillesztésével keress még ilyen tulajdonságú egyeneseket! Hány közös érintője van a két körnek? a)

54 mm

a) Mekkorák a trapéz csúcsaiból a körhöz húzott érintőszakaszok? b) Mekkorák a trapéz szárai? c) Mekkora a trapéz magassága? d) Mekkora a zöld kör sugara?

e

5. b)

Egy szabályos hatszög oldala 1 cm hosszú. a) Számítsd ki a hatszög területét, továbbá a beírt és a köré írt kör területét is! b) Hány százaléka a hatszög területének a két kör területének különbsége?

e

Egy szabályos hatszög területe 17,56 cm2. Mennyi hulladék keletkezik, ha a) a köré írható körből kivágjuk a hatszöget; b) a hatszögből kivágjuk a beírható kört?

H Á Z I F E L A DAT

1.

2. 3.

180

Mekkora a 24 cm kerületű szabályos a) háromszög; b) négyszög; c) hatszög; köré írt kör sugara? Egy négyzet beírt körének sugara 3 cm. Mekkora a körülírt körének sugara?

4.

Egy deltoid két szemközti szöge derékszög. Hoszszabb átlója 6 cm, rövidebb átlója 5 cm hosszú. a) Mekkora a deltoid köré írható kör sugara? b) Szerkeszd meg a deltoidot és a köré írt kört is! c) Szerkeszd meg a deltoid beírt körének középpontját és a beírt kört is!

Egy 8 cm oldalú rombusz egyik szöge 60°-os. a) Mekkora a rombusz területe? b) Mekkora a rombusz beírt körének sugara? E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

RÁADÁS Tétel: Minden érintősokszög területe kiszámítható úgy, hogy a sokszög kerületének a felét megszorozzuk a beírt kör sugarával: t = rs. Bizonyítás Ha a kör középpontját összekötjük a sokszög csúcsaival, akkor a sokszög olyan háromszögekre bomlik, amelyek egyik oldala a sokszögnek is oldala, és az ezekhez tartozó magasság éppen r.

r a

Egy ilyen háromszög területe: a $ r azaz az oldalhosszúság r -szerese. 2 2 az összes háromszög területének összege pedig az oldalhosszúságok összegének (vagyis a sokszög kerületének) r -szerese. Ha 2 a sokszög területét t-vel és a kerületét 2s-sel jelöljük, akkor r = rs. 2 Ezzel a képlettel – háromszögekre vonatkozóan – már a 35. lecke Emelt szint részében is találkozhattunk.

t = 2s ⋅

K I D O L G O Z O T T F E L A DAT Hány olyan kör van a háromszög síkjában, amely a háromszög mindhárom oldalegyenesét érinti? Megoldás Első olvasásra nem nagy a különbség a háromszög mindhárom oldalát érintő beírható körhöz képest. Itt azonban nem az oldalakról, hanem az oldalegyenesekről szól a feladat. Két metsző egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két szögfelező egyenes. A három oldalegyenes esetén a külső szögfelezőket is figyelembe kell venni. Így nem csak egy metszéspont létezik, hanem további három. Ezek olyan köröket határoznak meg, amelyek kívülről érintik a háromszög egyik oldalát, és érintik a másik két oldal meghosszabbítását. Ezeket a köröket a háromszög hozzáírt köreinek nevezzük. Ezeket szemlélteti az ábra.

A

C

B

1. 2. 3.

Mekkora annak a derékszögű háromszögbe írt körnek a sugara, amelynek az átfogója 52 mm, és az egyik befogója 2 cm?

2 cm

F E L A DAT

52 m

m

r

Mekkora a 10 cm-es oldalú szabályos nyolcszög a) beírt körének a sugara; b) területe? Egy szabályos 10 szög oldalai 8 cm hosszúak, a köré írt kör sugara ≈ 13 cm. Mekkora a) a beírt körének a sugara; b) a területe?

8 9 . l e c ke

SOKSZÖGEK ÉS KÖRÖK

181

90

GYAKORLÁS

BEVEZETŐ Elevenítsük fel, hogy: – az n-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege : (n - 2) ⋅ 180°; – a konvex sokszög külső szögeinek összege: 360°; n $ ^n - 3h . – az n-oldalú konvex sokszög átlóinak száma: 2

F E L A DAT

1.

a) Mekkorák a deltoid átlói? b) Mekkora a rézlemez területe? c) Legalább hány százalék a hulladék, ha kör alakú lemezből vágják ki a deltoidot? d) Legalább hány százalék a hulladék, ha téglalap alakú lemezből vágják ki a deltoidot?

Az ábrán egy sokszöget állítottunk össze két négyzetből és két háromszögből.

90°

3.

30°

A 15 cm oldalú szabályos hatszög az ábra szerint helyezkedik el egy négyzetben.

10

45° 45°

15

cm

a) Hány oldalú ez a sokszög, és hány átlója van? b) Van-e szimmetriatengelye, szimmetria-középpontja? c) Mennyi a belső szögeinek összege? Mennyi a külső szögeinek összege? d) Mekkorák az oldalai, a szögei, és mekkora a leghosszabb átlója? e) Mekkora a kerülete és a területe?

2.

m

8c

13

cm

90°

4.

m

8c

182

a) Milyen szimmetriákkal rendelkezik a két sokszögből álló alakzat? b) Számítsd ki a négyzet (berajzolt) átlójának hosszát, majd a négyzet oldalának hosszát is! c) Hány százaléka a hatszög területe a négyzet területének?

Egy rézlemez konvex deltoid alakú. Az oldalainak a hosszúsága 13 cm és 8 cm. A két rövidebb oldal merőleges egymásra.

13

cm

Egy rombusz beírható köre 1,8 cm sugarú, hoszszabbik átlója 8,2 cm. Szerkeszd meg a rombuszt!

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

5.

Az ABCD deltoid oldalai 4 cm és 6 cm, a két 4 cmes oldal között pedig 60°-os szög van. A deltoidot az átlóival négy háromszögre bontottam. A háromszögek köré írható körök középpontjai egy négyszöget határoznak meg. Mekkora ennek a négyszögnek a területe és a kerülete?

6.

Az ABCD trapéz átlóinak felezőpontjai E és F. Milyen hosszú az EF szakasz, ha a trapéz két alapja a és b? b

D

C

E

F

A

a

a) b) c) d) e)

Szerkeszd meg ezt a négyszöget! Sorold fel a tulajdonságait! Mekkora az ismeretlen oldal? Mekkora a négyszög területe? Mekkorák a négyszög átlói?

B

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

3.

4.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 56 mm, átfogója 65 mm. Milyen messze van a súlypontja a háromszög csúcsaitól? Szerkessz olyan húrtrapézt, amelynek a 6 cm-es alapján fekvő szögei 60°-osak, és a szárai 2 cm hoszszúak! Mekkora a rövidebb alapja? Hány szabályos háromszögre bontható ez a trapéz? Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 33  mm és 56 mm. A háromszög egy belső pontját összekötjük a háromszög csúcsaival, és a kapott szakaszokat megfelezzük. Mekkora a felezőpontok által meghatározott háromszög kerülete és területe?

5.

Az ABC háromszöget úgy kaptuk, hogy egy 5 cm átmérőjű körben felvettük az egyik átmérőt, illetve az átmérő egyik végpontjából a kör egyik 1 cm hosszú húrját, majd a húrt meghosszabbítottuk a körvonalon túl 1 cm-rel. A

Az ABCD négyszög két oldala párhuzamos, a másik kettő egyenlő, de nem párhuzamos. D

C

24 mm

25 m

9 0 . l e c ke

39 mm

GYA KO R L Á S

1 cm E 1 cm C

a) Mekkora az ABC háromszög kerülete? b) Mekkora az ABC háromszög területe?

m

A

25 m

m

B

B

183

Ráadás

ÉRDEKES FELADATOK

F E L A DAT

1.

2.

184

Egy szökőkút medencéje négyzet alakú talapzaton áll. A talapzat köré – az ábra szerint – szabályos nyolcszög alakban szeretnének díszburkolatot építeni. A talapzat oldalai 3 méter hosszúak. Mekkora a díszkővel borítandó vízszintes felület?

Az asztalos összecsukható étkezőasztalt készít. Az asztal kinyitva a külső téglalapot formázza, felére összecsukva és elfordítva pedig a belső téglalapot. A kinyitott asztal hosszabbik oldala 180 cm, rövidebbik oldala 120 cm. a) Hány fokos szöggel kell elforgatni a kettéhajtott asztallapot? b) Hova kell szerelni a csapszeget, amely körül a félbehajtás után elforgatjuk az asztallapot?

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

3.

A Malajzia fővárosában, Kuala Lumpurban felépült Petronas ikertornyokat a modern építészet egyik csodájaként tartják számon. A tornyok alaprajzához –  az egymásba kapcsolódó négyzetekhez és körökhöz – az ország uralkodó vallása, az iszlám építészeti stílusa adott ihletet. Szerkeszd meg a bemutatott alaprajzot egy 15 cm oldalú négyzetből kiindulva! – Forgasd el a négyzetet a középpontja körül 45°-kal! – Kösd össze a két négyzet csúcsait, így egy szabályos nyolcszöget kapsz! – Szerkessz olyan köröket, amelyeknek középpontja a két négyzet egy-egy oldalának a metszéspontja és érintik a nyolcszög oldalait!

H Á Z I F E L A DAT A házi feladatok a Petronas tornyokkal kapcsolatosak. A  kérdések arra az alaprajzra vonatkoznak, amelyet a tanóra 3. feladatában leírt módon, 15 cm oldalú négyzetből kiindulva kaphatsz.

1.

Mekkora a „belső” szabályos nyolcszög két szemközti csúcsa közötti távolság? (Figyeld meg a zöld háromszöget!)

Mekkorák a „külső” szabályos nyolcszög oldalai? (Figyeld meg a narancssárga háromszögek oldalait!)

4.

Mekkora a körök sugara?

5.

Mekkora a kicsinyített alaprajz területe?

Mekkora a „külső” szabályos nyolcszög két szemközti oldala közötti távolság? 15 cm

2.

3.

Ráadás

É R D E K E S F E L A DAT O K

185

91

GYAKORLÁS, TUDÁSPRÓBA

F E L A DAT

1.

Egy szabályos nyolcszög egyik csúcsából meghúzzuk az összes átlót.

AB oldalegyenesen. Igazold a háromszögek egybevágóságának egyik alapesetével, hogy APD háromszög egybevágó CBE háromszöggel! D

a) Hány háromszög keletkezik? b) Hány tengelyesen szimmetrikus háromszög van közöttük? c) Melyik háromszögnek mekkorák a szögei? d) Vannak-e merőlegesek a megrajzolt átlók között?

2.

3.

A fénysugár úgy verődik vissza a tükörről, hogy a  beérkező és a visszaverődő fénysugár ugyanakkora szöget zár be a tükörrel. Milyen irányban indítsuk A pontból a fénysugarat, hogy B ponton keresztül verődjön vissza?

A

186

C

A

5.

B

E

Az A településről a B településre szeretnénk eljutni úgy, hogy közben 2 km-t úszunk a folyóban. Melyik a legrövidebb út? B

Egy egyenlő szárú háromszög szárai 6 cm, alapja 3 cm hosszú. Milyen messze van a súlypontja a csúcsoktól?

B

4.

P

A

2 km

6.

A szabályos háromszögek oldala 9 cm. a) Mekkora a színezett körlapok sugara? b) Mekkorra részét színeztük be a háromszögeknek? c) Van-e tengelyes, középpontos vagy forgásszimmetriája az ábráknak?

Az ABCD szimmetrikus trapéz rövidebbik alapján kijelöltem P pontot az ábra szerint. P-ből párhuzamost húztam BD átlóval, ez kijelölte E pontot az

E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

TUDÁSPRÓBA I.

3.

AAlC háromszög súlypontja legyen S. Mekkora az AAlS háromszög területe és kerülete? t

m 25 m

2.

Egy háromszög oldalainak hoszsza 14 mm, 25 mm és 25 mm. Ezt a háromszöget tükrözzük mindhárom oldalegyenesére! A háromszög és a három tükörképe együtt egy sokszöget alkot. a) Hány oldalú ez a sokszög? b) Hány szimmetriatengelye van? c) Mekkora a területe?

25 m m

1.

C

14 mm

S

Egy rombusz egyik tompaszögű csúcsából meghúztuk a magasságot, ez felezi a szemközti oldalt. Mekkorák a rombusz szögei?

A

4.

Tükrözzük az ábra szerint hosszabbik befogójának egyenesére azt a derékszögű háromszöget, amelynek egyik befogója 15 mm, átfogója 39 mm. A keletkező

B

A¢

Egy 50 mm átmérőjű körbe deltoidot írunk, amelynek hosszabbik oldalai 48 mm hosszúak. a) Milyen hosszú a rövidebb oldala? b) Mekkora a területe? c) Mekkorák az átlói?

TUDÁSPRÓBA II.

m 9c

Az ABC derékszögű háromszög egyik befogója 15 mm, átfogója 39 mm. A hosszabbik befogóval párhuzamos középvonallal két részre vágjuk. Mekkora a keletkező trapéz kerülete és területe?

Egy húrtrapéz egyik alapjának a hosszúsága 15 cm, a szárai 9 cm-esek, a körülírt körének átmérője is 15 cm. a) Mekkorák az átlói? b) Mekkora a magassága? c) Mekkora a másik alapja?

m

m 14 mm

4.

Az ABCD paralelogramma A csúcsához tartozó magassága felezi a CD oldalt. BC oldal hossza 4,7 cm. Milyen hosszú az AC átló?

9c

m

3. 25 m

2.

Egy háromszög oldalainak hoszsza 14 mm, 25 mm és 25 mm. Ezt a háromszöget tükrözzük mindhárom oldalfelező pontjára. A háromszög és a három tükörképe együtt egy sokszöget alkot. a) Hány oldalú ez a sokszög? b) Hány szimmetriatengelye van? c) Mekkora a területe?

25 m

1.

C

A

91 . l e c ke

B

GYA KO R L Á S , T U D Á S P R Ó B A

15 cm

1 87

TÉMAZÁRÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

3.

4.

5.

6.

7.

8.

188

Egy 3,5 cm oldalú szabályos háromszöget forgass el 60°-kal az egyik csúcsa körül. Milyen síkidomot határoz meg az eredeti és kép együtt? Milyen hosszúak az átlói? Vegyél fel a füzetedben két metsző egyenest, e-t és f-et, és az egyeneseken kívül egy P pontot! Forgasd el P körül az e egyenest úgy, hogy a képe a) f-fel párhuzamos legyen; b) f-re merőleges legyen!

9. 10 . 11 .

12 . 13 .

Egy 4,4 cm oldalú négyzet egyik csúcsa A, középpontja O. Told el a négyzetet az OA vektorral! Mekkora területű a két négyzet közös része? Egy paralelogramma egyik szöge 45°-os, oldalai 8 cm és 3 cm hosszúak. Told el a paralelogrammát egy 3 cm hosszú, a paralelogramma egyik oldalával párhuzamos vektorral! Mekkora az eredeti és az eltolt paralelogramma által lefedett terület, ha a) a vektor a rövidebb oldallal párhuzamos; b) a vektor a hosszabb oldallal párhuzamos? Vegyél fel a füzetedben két metsző egyenest és egy olyan szakaszt, amely egyik egyenessel sem párhuzamos! Told el a szakaszt úgy, hogy végpontjai az egyenesekre essenek! Hány megoldás van?

14 .

Vegyél fel a füzetedben egy 2,5 cm sugarú kört és egy 4 cm hosszú szakaszt! Szerkeszd meg a körben azt a 4 cm hosszú húrt, amely párhuzamos a szakaszoddal! Hány megoldás van?

15 .

Egy egyenlő szárú háromszög alapja 6 cm, és két szöge 30°-os. a) Mekkora az alaphoz tartozó magassága? b) Mekkora a szárhoz tartozó magassága?

Egy téglalap átlója az egyik oldal kétszerese. Mekkorák a szögei? Ki lehet-e vágni egy 80 × 75 cm-es farostlemezből egy 40 cm-es oldalhosszúságú szabályos hatszöget? Az ABC háromszög A csúcsából induló magasságvonal és súlyvonal az A csúcsnál lévő szöget három egyenlő részre osztja. Hány fokosak a háromszög szögei? Egy deltoidban két szemközti szög 52° és 116°. Mekkora szöget zárnak be az átlók az oldalakkal? Hat szabályos háromszög oldalai 25 mm-esek. Állíts össze belőlük egy olyan sokszöget, amely a) középpontosan is és tengelyesen is szimmetrikus; b) középpontosan szimmetrikus, de tengelyesen nem; c) tengelyesen szimmetrikus, de középpontosan nem; d) sem tengelyesen, sem középpontosan nem szimmetrikus! mm

2.

Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 4,2 cm és 2,3 cm. a) Tükrözd a hosszabbik befogó felezőpontjára! b) Tükrözd az átfogóra! c) Milyen síkidomot határoz meg együtt az eredeti és a tükörkép a két esetben?

25

1.

16 .

Mekkora oldalhosszúságú négyzet alakú alumíniumlemezből lehet kivágni olyan szabályos nyolcszög alakú stoptáblát, amelynek minden oldala 20 cm hosszú? Szerkessz derékszögű háromszöget, ha adott a köré írható kör sugara és az egyik hegyesszöge! Egy háromszög szögei 68° és 76°. Megrajzoljuk a beírható körét, s azt a három pontot, ahol az oldalak érintik a beírható kört. A három érintési pont alkot egy háromszöget. Mekkorák ennek a háromszögnek a szögei? E GY B E V Á G Ó S Á G É S S Í K I D O M O K

17 . 18 . 19 . 20 .

21 .

22 .

23 . 24 .

25 . 26 .

27 .

28 . 29 .

Szerkessz háromszöget, ha adott a köré írható kör sugara, egyik oldala és az oldalon lévő egyik szög!

30 .

Szerkessz háromszöget, ha adott a köré írható kör sugara, egyik oldala és az oldalhoz tartozó súlyvonala! Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, ha adott a köré írható kör sugara és az alapja! Az ABCD négyszöget átlóival négy háromszögre bontottuk. Milyen négyszöget határoznak meg a háromszögek köré írható köreinek középpontjai? Egy háromszöget a középvonalaival négy háromszögre bontunk. Ezek kerületeinek összege 32 cm. Mekkora az eredeti háromszög kerülete? Egy derékszögű háromszög egyik befogója 7 cm. Milyen távol van az átfogó felezőpontja a másik befogótól?

31 . 32 .

33 .

34 .

Egy derékszögű háromszög befogói 45 mm és 28 mm. Milyen messze van a súlypontja a derékszögű csúcstól? Egy derékszögű háromszög egyik befogója 39 mm, átfogója 89 mm. A súlypontját összekötjük a csúcsaival, így három darab háromszögre bontjuk. Mennyi a keletkező háromszögek kerülete?

35 .

Adott a háromszög két csúcsa: A és B, és súlypontja: S. Szerkeszd meg a háromszöget!

36 .

Egy rombusz oldalai 46 mm hosszúak. A rombusz egy belső pontját összekötjük a rombusz csúcsaival, és a szakaszokat megfelezzük. Milyen síkidomot határoznak meg a felezőpontok? Mekkora a felezőpontok által meghatározott négyszög kerülete?

37 .

Egy derékszögű háromszög befogói 20 mm és 21 mm. Milyen messze van a befogók felezőpontjától a derékszögű csúcsból húzott magasság talppontja? Hány derékszöge lehet egy olyan deltoidnak, amelynek van körülírt köre? Rajzolj egy 2 cm sugarú kört! Szerkessz ebbe a körbe egy olyan négyszöget, amelynek pontosan két derékszöge van, és ezek egymással szemköztiek!

T É M A Z Á R Ó F E L A DAT GY Ű J T E M É N Y

38 .

Egy 2,4 cm sugarú körhöz egy külső pontból meghúztuk a két érintőt. Az érintők 120°-os szöget zárnak be egymással. Milyen messze van P a kör középpontjától? Egy háromszög oldalai 15 cm, 20 cm és 25 cm. Mekkora a köré írható kör sugara? Egy deltoid két szemközti szöge derékszög. Két oldalának hossza 15,6 cm és 13,3 cm. Mekkora sugarú kör írható a deltoid köré? Egy ABC háromszögben az A-ból, illetve a B-ből húzott magasságok talppontjai legyenek Ta és Tb! Határozzuk meg az AB oldal ismeretében, hogy milyen távol vannak ezek a talppontok az AB oldal felezőpontjától? Indokold a válaszodat! Egy derékszögű háromszögről tudjuk, hogy az átfogója négyszerese a hozzá tartozó magasságnak. a) Készíts ábrát a háromszögről és a hozzá tartozó Thálész-körről! b) Mekkorák a háromszög szögei? Az ABCD négyszög oldalfelező pontjai egy négyszöget határoznak meg. a) Mit állíthatunk a négyszög szemközti oldalairól? b) Milyen négyszöget kaptunk? Az ABCD négyszög középvonalai egyenlő hosszúak. a) Mit állíthatunk ekkor az oldalfelező pontok által meghatározott négyszögről? b) Mekkora szöget zárnak be az ABCD négyszög átlói? Egy létrát függőlegesen a falhoz támasztunk. A létra lecsúszik a talajra: miközben az alja folyamatosan a talajon marad, teteje végig a falhoz ér. Milyen vonalon mozog a létra közepéhez rögzített kisméretű kampó? Négy egyforma rudat csuklókkal egymáshoz kapcsolunk, majd az utolsó szabad végét az első szabad végével illesztjük össze. Így egy olyan keretet kapunk, amely mindig rombusz alakú, de csuklókkal mozgatható. Egyik rúdját a talajon tartjuk. Milyen pályán mozog a rombusz átlóinak metszéspontja, miközben a keretet mozgatjuk?

189

Ráadás I.

JÁTÉKOK

Rejtvények 1

.

Néhány oszlopban az összes karikát színezd pirosra úgy, hogy minden sorban pontosan egy karika legyen piros!

2

.

Kösd össze az azonos betűket, de csakis a négyzetek középpontján át vízszintesen és függőlegesen haladó, egymást nem metsző vonalakkal!

A B C D A D

C B

3.

.

Számkeresztrejtvény

Vízszintes: a) Egy prímszám négyzete. e) A függőleges j) és a függőleges k) legnagyobb közös osztójának a fele. f) Egy négyzetszám köbe. h) A vízszintes a) négyzetgyöke. j) Szimmetrikus négyzetszám (jegyei fordított sorrendben is ugyanazt a számot alkotják). m) A függőleges i)-nél 1-gyel nagyobb szám. n) A vízszintes h) ötszöröse. o) A vízszintes m)-nél 1-gyel nagyobb szám négyzete. Függőleges: a) 8-cal kisebb a legkisebb olyan természetes számnál, amely 2-vel osztva 1-et, 3-mal osztva 2-t, 4-gyel osztva 3-at, 5-tel osztva 4-et, 6-tal osztva 5-öt ad maradékul. b) Számjegyeinek összege 29. c) Prímszám. d) A függőleges k) egyik prímtényezője. g) A vízszintes m) és a vízszintes o) szorzatának négytizede. i) A függőleges d) kétszerese. j) A függőleges k) fordítottja. k) A vízszintes j)  négyzetgyöke. l) A vízszites m) legnagyobb prímtényezőjének többszöröse.

190

a

c

b

f

e h

d g

i

j

k

m

n

l

o

Ráadás

J Á T É KO K

II.

Fejtörők 1

.

2

.

3

.

Gondolj egy számra, adj hozzá 2-t, szorozd meg 6-tal, adj hozzá 9-et, oszd el 3-mal, vegyél el belőle 7-et, oszd el 2-vel! Így megkapod azt a számot, amelyre gondoltál. Miért? Gondolj egy számra, adj hozzá 5-öt, szorozd meg 2-vel, vegyél el belőle 20-at, adj hozzá 9-et, szorozd meg 3-mal, vond ki a gondolt szám 6-szorosából! Így 3-at kapsz. Miért? Három szoba közül az egyikben kincs van, a másik kettőben pedig egy-egy tigris. A szobák ajtaján szereplő három felirat közül legfeljebb egy igaz. Melyik szobában van a kincs, ha a feliratok a következők:

A) 4

.

5

.

6

.

7

.

8

.

Ráadás

B)

C)

Határozd meg azt a legnagyobb számot, amelyben a harmadik számjegytől kezdve minden számjegy az előző két számjegy összege! A 4 cm oldalú négyzetnek 16 cm2 a területe és 16 cm a kerülete. Van-e még egy olyan téglalap, amelynek annyi négyzetcentiméter a területe, ahány centiméter a kerülete? A téglalap oldalainak hossza csak egész centiméter lehet. Egy szabályos sakktábla bal alsó sarkából elindul egy bábu. Balázs és apa lépteti vagy vízszintesen jobbra valahány mezőt, vagy függőlegesen felfelé valahány mezőt. Az nyer, aki a jobb felső sarokba lép. Először Balázs lépett, és akkor apa azt mondta, hogy Balázs máris vesztett. Honnan tudta apa, hogy ha ő jól játszik, akkor Balázs nem nyerhet? Csongor előkészített 56 gyufaszálat. Balázzsal ezekből felváltva vesznek ki 1, 2 vagy 3 darabot. Az nyer, aki az utolsót veszi el. Balázs azt állította, hogy ő biztosan nyer, ha Csongor kezdi a játékot. Ezt Csongor csak azután hitte el, hogy Balázstól 5-ször kikapott. Mi lehet Balázs trükkje? Csongor egy gyufát kidobott, maradt 55 darab. Kíváncsi volt, így is megveri-e az öccse. Balázs váltig állította, hogy igen, de akkor neki kell kezdenie a játékot. Csongor beleegyezett. Balázs az első húzásnál 3 gyufát vett el. Ezután pedig mindig újra Balázs győzött. Miért? J Á T É KO K

1 91

A FELADATOK VÉGEREDMÉNYEI 40. lecke: 1. Növekvő pontszámhoz tartozó gyakoriságok: 1; 4; 3; 3; 2; 5; 5; 3; 3; 1. 2. a) gyakoriságok: 4; 1; 2; 3; 4; 4; 3; 1; 1; 1; 1. b) gyakoriságok: 4; 5; 7; 10; 14; 18; 21; 22; 23; 24, 25. Relatív gyakoriságok: 0,16; 0,25; 0,28; 0,40; 0,56; 0,72; 0,84; 0,88; 0,92; 0,96; 1,00.

46. lecke: 1. a) lineáris függvény. b) kb. 0,1 litert. c) időtartam = 0,1 · mennyiség. d) 15 perc. e) 1,5 liter. 2. b) Ha a pontokra egyenest illesztünk, akkor 300 forintnál. Ez jelenti az alapdíjat. c) Zérushelye nincs, negatív valósak esetén nem értelmezhető a feladat a szövege miatt.

41. lecke: 1. relatív gyakoriságok: 0,00; 0,00; 0,00, 0,25; 0,40; 0,33; 0,43; 0,50; 0,56; 0,60; 0,64; 0,67; 0,62; 0,64; 0,67; 0,62; 0,65; 0,61; 0,58; 0,60. 2. 150 . 0,5556 és 120 . 0,4444. 270 270 3. 90 . 0,3333; 135 = 0,5 és 45 . 0,1667. 270 270 270 42. lecke: 1. a) 5,65; 9; 4,5; 10. b) 56,5; 90; 45; 100. c) 442; 120; 440; 780. 2. a) 24; 16 és 20. b) medián: 19; terjedelem: 10. 3. a) 47; 100; 60; 100. b) 8 tanuló írt 63%-nál rosszabbat.

47. lecke: 1. a) 0,5 cm. b) 1 cm-rel. c) teljesíti az y = 3x 3 kapcsolatot, azaz 1,5 = 3 ⋅ 0,5. d) teljesíti az y = 4x kapcsolatot, azaz 2 = 4 ⋅ 0,5. 2. Mindegyik a nemnegatív számok halmaza.

43. lecke: 1. a) 32. c) 188 500 Ft. d) átlag . 1428 Ft; nincs ilyen. 2. a) 25 . b) 49 . c) 4. d) 4,75; egyik esetben sem 12 6 egyezik meg a 4,2-es átlaggal. 44. lecke: 1. a) 0. perc Kövespuszta; 11. perc város széle (piros lámpa); 15. perc Alsóváros, 15–16. perc várakozás; 20,5. perc piros lámpa (állítólagos baleset); 24. perc leszállás. b) Alsóvárosnál megállt; 15–16. perc között várakozott, hasonló tempóban lassított, mint az előző piros lámpánál. c) várakozott a busz egy percen keresztül. d) 2–3. perc között átlépte a 70 km megengedett sebesh séget. 2. a) Januártól júliusig növekedett, júliustól decemberig csökkent. A növekedés mértéke összességében kisebb, mint a csökkenésé. Januárhoz képest decemberben olcsóbb lett. b) A) a) –60; b) -93. B) a) 11; b) 3. c) átlagos: 28 . 4,67. C) a) –40; b) –2; c) átlagos: –12. D) pontosan 6 nem állapítható meg. . 305 Ft ; . 240 Ft . 3. a) A. liter liter b) C. c) B. d) B. Ráadás lecke: 2. a) 248; 216; 315,6; 277,6 (ezer Ft). d) 1,5 millió Ft vagy ennél több. 3. a) igaz. b) igaz. c) hamis. d) igaz. e) igaz. 45. lecke: 1. a) 130; 260; 520; 650; 780; 910; 1040; 1170; 1300. b) D = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} = {x ! Z | 1 # x # 10}; R = {130x | x ! Z; 1 # x # 10} 3. a) Da = [–3; 4], Db = {-2; -1; 1; 2}, Dc = [–2; 5]. b) Ra = [-3; 4]; Rb = {0; 1 }; Rc = {4}. c) c. d) b és c. 192

48. lecke: 1. b) f1(x) = 0,5 ⋅ x; f2(x) = 1 ⋅ x; f3(x) = 1,5 ⋅ x. c) 0,5; 1; 1,5. 2. a) ma = -0,25; mb = -1; mc = -2. b) fa(x) = -0,25x; fb(x) = -1x; fc(x) = -2x. c) fa(x) = -0,25x + 3fb(x) = -1x + 3; fc(x) = -2x + 3. 3. a) f párhuzamos c-vel; a párhuzamos e-vel. b) d, c és f egyenesek. c) c és f egyenes 4. a) 3 . b) igen. 2 49. lecke: 1. a) 0 # x 1 5 esetén Kisgázzal, x = 5 esetén mindegy, 5 1 x esetén „7 × 7”-tel. b) 1 tallér illetve 1 4 2 tallér. c) 1 , illetve 1 . d) yKisgáz = 1 x + 1; y 7 × 7 = 1 x + 2 4 2 4 2. e) 2,8 4,8 6,8 km után a Kisgáz-nál 2,4; 3,4 és 4,4 tallért; a „7 × 7”-nél 2,7; 3,2 és 3,7 tallért. f) 6 km, illetve 8 km. 3. fkék = - 2 x – 3; fzöld = - 3 x - 3; fpiros = -2x - 3 3 2 1 3 4. y = x + . 5. a) . 232,7 °C. b) rendre 18 F; 9 F; 1,8 F. 2 2 50. lecke: 2. a) -4,5 és 4,5. b) -1,5. 3. minimumhelyek: - 8 ; 2 és 1. 4. b) x = -3 és y = 2. c) x helyére (-3)-at helyet3 tesítve a függvényértékek egyenlők, mindkét függvény értéke 2. 5. a) fa ^ x h = 4 $ x + 3 vagy fa ^ x h = - 4 $ x - 3 . 3 3 3 3 b) fb ^ x h = - $ x + 2 vagy fb ^ x h = $x- 2 ; 2 2 c) fc ^ x h = - 3 $ x + 1 vagy fc ^ x h = - 3 $ x + 1 . 51. lecke: 2. a) és c) lehet. 3. a) biztos. b) lehetetlen. c) lehetséges. 4. a) f : R+ " R+, f^ x h = x . b) pl: g : [-2; 2] " R, 6. a) igaz. b) nem igaz. 52. lecke: 1. a) f : R; [-1; 3[; -1 és 1; -1; 0; x ≤ 0 esetén szig. mon. csökkenő; 0 # x esetén szig. mon. növekvő. g : R; [0; 3[; -1; 0; -1; x # -1 esetén szig. mon. csökkenő, x # -1 esetén szig. mon. növekvő. 2. (x + 3)2 ; x2 - 4; x2 - 2; (x - 2 )2 ; x2 + 2. 3. a függvénygörbék az f(x) = x2 A F E L A DAT O K V É G E R E D M É N Y E I

függvényhez képest a) x tengelyre vonatkozó tükörképe; b) nyúlik az y tengely mentén; c) zsugorodik az y tengely mentén. 4. a) g(x) függvény. b) h(x) = x2; f^ x h = 1 x 2 . 3 53. lecke: 1. f : legkisebb -27; legnagyobb 1. g : legkisebb -1; legnagyobb 8. f : legkisebb nincs; legnagyobb nincs. 2. a) legkisebb nincs, legnagyobb 3; 4, illetve 2,5. b) legnagyobb 3; nincs, illetve 2,5. Legkisebb 0; 0, illetve nincs. 3. a) legnagyobb 3; nincs, illetve 3. Legkisebb -1; -1; -1. b) legnagyobb 1; 1; 1. Legkisebb -3; nincs, illetve -3. c) legnagyobb 3; nincs, illetve 3. Legkisebb 0; 0; 0. 4. a) f : [-1; 3] " R; f^ x h = - x 2 + 4 . 54. lecke: 1. a) B; D; G. b) rendre: 0; 7,84; 26,01; 144. c) rendre: 0; 2,8 . 1, 67 ; 5,1 . 2, 26 ; 12 . 3, 46 . 3. -3. 5. a) x = 4; y = 5. c) pl. x + 3 = 5 x - 5 Az x = 4 2 helyen egyenlőek a függvény értékek 55. lecke: 1. zérushelyek -3 és 3; -2,5 és 2,5, illetve nincs. Értékkészletek: [-9; 3[; [-6,25; 3[; [4; 3[. 2. zérushelyek 0 és 3; értékkészlet E- 3; 9 E. 3. a) 0; 5; 4 8; 8,75; 9; 8,75; 5; 0 b) C. c) 6 másodperc. d) 9 méter. e) 1 másodperc, illetve 5 másodperc múlva. 4. a) 0 és 6. c) ]-3; 9]. d) x1 = 2; x2 = 4. 5. a) Minimum: 1,125 helyen -19,125. b) Maximum: 2,5 helyen 6,25. 56. lecke: 1. a) 0,5 óra alatt 2,5 tallér; 2 óra alatt 4 tallér. b) 1,5 óra. c) 4,5 tallér. 2. a) 2 másodperc. b) 5 méter. c) 3 másodperc. 3. a) 38 tallér. b) 8 tallér. c) 18 kilométer. e) 16 kilométernél kisebb távon. 4. a) 0 ≤ x ≤ 7, y = -x + 7. b) T(x) = x(7 - x). c) x = 3,5; y = 3,5; T = 12,25. 5. a) . 26 667 forint. b) D = [0; 11]; R = [50; 130]; c) Nem, csak szakaszonként lineáris. 57. lecke: 1. a) 1 és -5. b) 0,3 és -4,3. c) -2. d) nincs megoldás. 2. a) 3x - 7 = 4 vagy - 3x + 7 = 4 . b) 2x + 4 = 2 . c) - x = - 3 . 3. a) 4,5 és 1,5. b) 2 és 6. c) 0 és 4. d) 3. 4. a) 2 és 0. b) 5 és -5. 5. a) -1 és 1. b) -2 és 2. c) 1 és 4. d) -2 és 2. 58. lecke: 2. c) 2; 3. d) 0,24. e) 3,34. 3. c. 4. y = 3 x - 3 . 2 2 59. lecke: 1. a) x ⋅ b - y ⋅ ü. b) bevétel a tejből 3 $ x $ a ; 5 2 1 3 2 1 túróból x $ b ; összesen $ x $ a + x $ b . c) 3 k 2 . 5 4 5 5 4 36 2. igaz: b; c. 3. a) nagy téglalap: 60; kisebbek 16; 24; 8; 12. b) C. 5. a) 5n + 3; ahol n természetes szám. b) 100n, ahol n természetes szám. c) 100n + 23, ahol n természetes szám 6. 72.

A F E L A DAT O K V É G E R E D M É N Y E I

60. lecke: 1. a) 3x5; együttható: 3. b) 2 x3y2 ; együttható: 2 . 3 3 c) -x5; együttható: -1. d) -x5y; együttható: -1. 2. 1 xy3; 5 2 x3y2; -3xy3; 4x3y2. Összevonás után - 14 xy3 és 30 x3y2. 7 5 7 ^7a + 12h ^- x - 1h 3 2 3. a) . b) . c) -2x - 2x + 8x - 4. 20 6 4 4 d) -2a + b. 4. a) -9x y . b) 2a2 - ab + b2. c) -6y3 - 2y + 32. 5. a) -p. b) -14x3 + 28x2 + 2x – 4. c) -2a4 + 4a3 – 2a2 + 14a – 20. d) -15x3 - 2x2y + 8xy2. 6. a) -16x2 + 22x + 6; helyettesítési értéke: 13,5. b) 3x2 - 6xy - 6y2; helyettesítési értéke: -6. 7. a2 + 1. 61. lecke: 1. a) a2 + 20a + 100. b) 9x2 + 42x + 49. c) x2 - 10x + 25. d) 4c2 - 20cd + 25d 2. 2 2. a) x + 14 x + 49 . b) 1 x 2 + 2 xy + 4 y 2 . 9 3 4 3 9 2 2 2 4 1 1 5 c) a - ab + b . d) x + 5x + 5. 25 5 16 2 2 3. a) x - 6x + 9. b) -x2 - 6x - 9. c) x2 + 6x + 9. d) x2 + 6x + 9. 4. a) x6 - 2x3 + 1. b) a2 + 4ab3 + 4b6. c) 16a4 + 40a2b5 + 25b10. d) 49 x8 - 21 x 4 y3 + 9 y6 . 81 18 16 16 5 3 2 6 6 4 4 3 25 5. a) 9a - 12a b + 4a b . b) x y + x y + 9 x2 y2 . 36 25 c) x2k + 2xk + 1 + x2. d) a2n + 2 - 2a2n + 1 + a2n. 6. a) 8x. b) 280. 7. a) (a - 10 )2. b) (y2 + 4)2. c) (2x3 – 3y2 )2. 2 d) c 1 x - 1 y m . 8. a) 49. b) 30ab. c) 36x3y2. d) 0,25. 3 2 62. lecke: 1. a) t2 - 9. b) 4x2 - 25. c) 25b2 - 4a2 d) 4x2y2 - 1. 2. a) t2 - 9. b) 9 - t2. c) a2 - 1. d) 4 - 9x2. 3. a) x4 - 9x2. b) 1 x2 - 49. c) 25a2b4 - 9a4b2. d) x2k - y2. 4. a) 1599. 25 b) 39 996. c) 1681. d) 160. 63. lecke: 1. a) 8(x + 3). b) 8y(x + 3). c) 8xy(x + 3). d) 8x2 y3(3z + 1). 2. a) 5. b) 0 és 5. c) 0 és 5. d) 0; - 5 és 5 . 3. a) 5y(3y2 - 1). b) a(a2 - 2a - 1). c) 7xy(1 - 2x + 3xy). d) 1 x(2x3 - 4x2 + 1). 3 4. a) (x - 5)(x + y). b) (3 - y)(y + 5). c) (3x + 4y)(a + b). d) (2a - 3y)(5a + 7x). 5. a) (y - 2)(x + 3). b) (x - 5)(x y). c) (b - 4)(a - 2). 6. a) 0; 1 és 7 . b) 0 és 3. c) 3 ^- 2h 2 3 és 3. 64. lecke: 1. a) (x + 7)(x - 7). b) (1 + a)(1 - a). c) (5a + 6b)(5a - 6b). d) c 1 x + 1 y mc 1 x - 1 y m . 3 2 3 2 2. a) (x - 11)2. b) (10x + 1)2. c) (3a - 2b)2. d) (a2 + b)2. 3. a) 2(5 + x)(5 - x). b) 7y(3y + 1)(3y - 1). c) 15a(b - 1)2. d) -(y - 2)2. 4. a) 3a2(a2 + 3b)2. b) (x + y)(x - y - 1). c) (a2 + b2)(a + b)(a - b). d) a2(a + 1)(a3 - a2 + 2). 5. 11 és 10; 5 és 2. 6. a) Nincs ilyen. b) 3.

193

65. lecke: 1. 0,8. 2. a) 3,5. b) 2,4. c) -1,2. 3. a) -4. b) -0,5. 4. a) 2400 Ft. b) 2120 Ft. 5. a) 0 és 4. b) 6. c) 2. 6. 80 000 Ft.

4. a) 4414 Ft. b) (240 + 19,8x + 10,2y) ⋅ 1,12. c) 416 kW; 250 kW. 5. a) 10; 19. b) 7. c) harmadik.

66. lecke: 1. a) x ! R; x ! -2; 0; 0,5. b) x ! R; x ! -2; -1; 1; 2; 3. 2. -1. 3. a) jó. b) hibás. 4. a) hibás. b) jó következtetésre jutott, de az x - 2 ! 0 feltételt meg kell tenni. 5. 7. 6. nincs megoldás.

77. lecke: 1. 3. 2. c-1; 1 m . 3. 90 l. 4. 15 km. 5. 17 . 6. 28; 20. 23 3 78. lecke: 3. Háromszöget (mely hasonló az eredetihez). 4. Az adatoktól függően legfeljebb 6 megoldás lehet.

67. lecke: 1. 3 óra. 2. 15 osztályzata. 3. 0,375 kg. 4. nyert: 14; döntetlen: 6; vesztes: 12. 68. lecke: 1. a) olcsóbb fajtából. b) 640; 560. c) 164 Ft. 2. 1 800 000 Ft; 700 000 Ft. 3. 7 db; 6 db. 4. a) 18 s; 20 s. b) 90 m. 5. a) 35 perc. b) 7 km. 6. a) 300 óra; 75 nap. 3 b) 18 690 Ft. 69. lecke: 1. a) x = 4. b) x ˂ 4. c) x1 = 1; x2 = 2. d) -1 # x # 2. 2. a) x = 1; y = 3. b) x = 2; y = -1. c) x = -3; y = 3. 3. a) x1 = -1; x2 = 1. b) x = 20 . 3 c) x1 = -1; x2 = 2. 4. 9 nyúl; 15 tyúk. 70. lecke: 1. a) -1 1 x. b) minden valós szám. c) x # 0,75. 2. a) x # 2,5. b) x # 1. c) x 1 1. d) x # 3. 3. 2 1 x # 5; valós számok esetén végtelen sok; természetes számok esetén három. 4. a) -1 # x # 3. b) -3 # x # 9. 5. legalább 11 050 Ft, legfeljebb 132 250 Ft. 71. lecke: 1. a) k = határidőnaplók száma; s = nyakláncok száma. b) 3,5k + 2,8(42 - k) Ft. c) k # 17,71. d) 4-féle. 2. 30 lehetőség van, a létszám lehet 121; 122; 123; …; 149; 150. 3. a) -2 1 x 1 4. b) x # -2 vagy x 1 4. c) x 1 -2 vagy x # 4. 4. a) x # 0,75 vagy 2,5 # x. b) - 12 1 x 1 3 . 5 7 5. -3 1 x 1 -2 vagy -1 1 x 1 0. 72. lecke: 1. a) (-3; -4). b) (11; 1). c) (0,75; -0,4). d) (0,5; -3,5). 2. a) nincs megoldás. b) végtelen sok. 3. a) (6; -4). b) nincs megoldás. 4. 280. 73. lecke: 1. a) x + 100 = 2(y - 100). b) y + 100 = 3(x - 100). c) (220; 260). 2. 10, 15. 3. 40; 60. 4. 110 Ft, 190 Ft. 5. 24; 8. 6. negyed óra. 74. lecke: 1. 19. 2. 14. 3. 60. 4. 30. 5. 4,8. 6. 11 és 14. 7. 15 és 10. 8. 735 ezüstért. 75. lecke: 1. a) 2; 18 . b) 1,05; 2,5. 2. a) 28; 284 . 7 7 b) 2,25; 5,75. c) 0,25; 0,75. 3. a) 0. b) nincs megoldás. 4. a) x $ 4. b) nincs megoldás. 5. d) -5; 1 . 3 6. 1,33 s; 2,67 s 7. 7. 76. lecke: 1. a) x ! R, x ! 0. b) g ! R, g ! 0; 6 . 7 c) c ! R, c ! 0; -1. 2. a) -2,2. b) 3. 3. 4,5 kg; 5,5 kg.

194

79. lecke: 1. Egyenlőek d és e, u és v; ellentettek a és w, b és c; egyenlő hosszúak de nem egyállásúak például a és v. 5. a) végtelen. b) Amikor az eltolás vektora merőleges az egyenesre, hossza megegyezik a B pont és az egyenes távolságával. 80. lecke: 1. Egyenlőszárú háromszöget; deltoidot. 2. AB a kör átmérője. Ekkor PlP egy AB-re merőleges húr. 3. Eltolással. 4. b) 60°-os forgatással. RÁADÁS LECKE: 1. I. eset. a) 5,39 km. b) B-től 2,24 km, A-tól 4 km. c) 5,39 km. II. eset a) 2,83 km. b) B-től 2,24 km, A-tól 3 km. c) 4,47 km. 2. a) A-ból merőlegest bocsájtunk a folyóra. b) AB egyenesén. c) A-t toljuk el a folyó szélességével, a folyóra merőlegesen B felé. AlB kimetszi a folyó szélét jelentő egyenesből a híd helyét. 3. Három megoldás van. 5. a) 0,732 m. b) 2,73 m. 81. lecke: 2. Visszajutunk a) és b) esetben. 4. Visszajutunk a) és b) esetben. 6. Visszajutunk a kiindulási körhöz a), b) és c) esetben, a) és b) esetben pontonként is. RÁADÁS LECKE: 1. Forgatás, középpontos és tengelyes tükrözés. 2. b) pl. TAT. 3. Középpontos, tengelyes, forgásszimmetria. 4. forgatás, tükrözés. 6. Tengelyesen szimmetrikus 1. és 4. Középpontosan szimmetrikus 2. és 4. Forgásszimmetrikus 2. és 4. 7. a) Részletenként 3 irányban, illetve 4 irányban lehet tengelye. b) Második esetben a tengelyek ugyanúgy 4 irányban, de több helyen lehetnek. 8. 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°. 72°, 144°, 216°, 288°. 82. lecke: 1. a) 22,5°; 45°; 67,5°. c) 4. 2. 15,6 mm. 3. 10 m. 4. 40°és 50°; 20° és 70°. 83. lecke: 1. Hamis: B, E és F. 2. b) Téglalap. 2772 mm2. c) Deltoid. 2772 mm2. 3. Végtelen. Lehet sokféle konvex vagy konkáv deltoid is. 4. Szimmetrikus trapéz. a) Igen. b) 3 cm; 4 cm. c) 7 cm; 1 cm. d) 7,07 cm; 1,41 cm. 5. a) 4,50 cm. b) 2,6 cm; 5,2 cm; 2,6 cm. c) 11,71 cm2. d) 2,25 cm; 4,50 cm. 84. lecke: 1. b) 5; 1 és 2. 2. a) 5. b) 36° és 72°. c) rombusz. 5. a) 24; 24 és 41,6 (mm); 24; 41,6 és 48 (mm). b) 30°, 30° és 120°; 30°, 60° és 90°. c) 249,4 mm2; 498,8 mm2. 6. a) 135°. b) 29 cm. 7. a) 30 cm; 26,0 cm. b) 25%.

A F E L A DAT O K V É G E R E D M É N Y E I

85. lecke: 1. a) 2,31 cm; 1,15 cm. b) fele. 3. a) 9 mm. b) 12,7 mm. c) 15,6 mm. d) 18 mm. e) 15,6 mm. f) 12,7 mm. g) 9 mm. 5. a) 50 cm; 86,6 cm. b) 2-szer 101,3 cm2. 86. lecke: 1. a) igen. b) igen. c) igen. d) nem. 2. a) 4,2 cm. b) 1,4 cm; 2,8 cm. c) 4,85 cm. 3. a) 32,5 cm; 28 cm; 16,5 cm. b) 231 cm2. 4. a) 43,3 cm; 58,4 cm. b) 32,5 cm. 5. 64 cm2. 6. a) 90°. c) a - b . 88. lecke: 1. 2,95 cm. 3. 35,2 cm; 70,56 cm2. 4. a) 18,2%. b) 64,3%. 5. a) 12,5 cm. b) 34,02 cm2; 5,44 cm; 6,3 cm és 10,8 cm. c) 6,15 cm. d) 72,0 cm2. 89. lecke: 1. a) téglalap. b) van két derékszöge. c) rombusz. d) négyzet. e) konvex. f) négyzet. 2. a) 4. b) 3. 3. a) 2,60 cm2; 2,36 cm2; 3,14 cm2. b) 30,2%. 4. a) 12 mm; 27 mm. b) 39 mm. c) 36 mm. d) 18 mm. 5. a) 3,68 cm2. b) 1,63 cm2.

A F E L A DAT O K V É G E R E D M É N Y E I

90. lecke: 1. a) 6; 9. b) Szimmetriatengelye van. c) 720°; 360°. d) 10 cm; 5 cm; 8,66 cm; 120°; 150°; 90°; 19,3 cm. e) 47,3 cm; 143,3 cm2. 2. a) 11,3 cm és 17,4 cm. b) 98,3 cm2. c) 59%. d) 50%. 3. a) tengelyes, középpontos. b) 41 cm; ^a - bh 29 cm. c) 69,5%-a. 5. 9,12 cm2; 13,12 cm. 6. . 2 RÁADÁS LECKE: 1. 5,9 m2. 2. a) 90°-kal. b) Egymásnak megfelelő csúcsokat összekötő szakaszok felezőmerőlegeseinek metszéspontjába. 91. lecke: 1. a) 6. b) 2. c) 22,5°; 22,5°; 135° és 22,5°; 112,5°; 45° és 22,5°; 67,5°; 90°. d) Igen. 2. 2,45 cm; 2,45 cm és 3,87 cm. 4. Két oldalról és a közbezárt szögről belátható, hogy egyenlőek. 5. A-t toljuk el 2 km-rel a folyó mentén, s ekkor keressük meg a folyót érintő legrövidebb utat. 6. a) 2,56 cm; 0,866 cm; 0,289 cm. b) 60,5%; 80,5%; 82,9%. c) Tengelyes és forgásszimmetriája van.

195

SZÁMÍTÓGÉPES MEGOLDÁSOK, SEGÉDPROGRAMOK HASZNÁLATA A programok telepítése előtt győződjünk meg a használati jogosultságról!

1.

Ábrázoljuk a GeoGebra program segítségével (ingyenes matematikai program, letölthető a www.geogebra.org oldalról) a valós számok halmazán értelmezett x  ax + b lineáris függvényt! Vizsgáljuk, hogyan változnak a függvény tulajdonságai az a, illetve a b értékének változtatásával!

Segítség – Hozzunk létre egy-egy csúszkát a, illetve b névvel, állítsuk a lehetséges értékeiket a vizsgálni kívánt eseteknek megfelelően. – Definiáljuk az f függvényt az f (x) = ax + b képlettel (vagy az y = ax + b képlettel egy egyenest, amelyik az f függvény grafikonja). Ekkor a program a csúszkán beállított aktuális értékeknek megfelelően megrajzol egy egyenest. – Változtassuk a csúszkák értékét és figyeljük, hogyan változik a függvény grafikonja (az egyenes meredeksége, illetve az y tengelyen lévő metszéspontja).

2.

Ábrázoljuk a GeoGebra program segítségével a valós számok halmazán értelmezett x  a(x + u) 2 másodfokú függvényeket! Vizsgáljuk, hogyan változnak a függvény tulajdonságai az a, u, illetve a v értékének változtatásával!

Segítség – Hozzunk létre egy-egy csúszkát a, u illetve v névvel, állítsuk a lehetséges értékeiket a vizsgálni kívánt eseteknek megfelelően. – Definiáljuk az f függvényt az f (x) = a(x + u) 2 + v képlettel (vagy az y = a(x + u) 2 + v képlettel egy parabolát, amelyik az f függvény grafikonja). Ekkor a program a csúszkán beállított aktuális értékeknek megfelelően rajzol egy parabolát, ha az a csúszka értéke nem 0. – Ha a = 1, u = v = 0, akkor éppen az origó tengelypontú, felfelé nyitott normál-parabolát kapjuk. – Változtassuk a csúszkák értékét és figyeljük, hogyan változik a függvény grafikonja (a parabola tengelye, tengelypontja, a parabola állása és a normál-parabolához képesti „kövérsége”).

3.

Vizsgáljuk a függvény zérushelyét, szélsőértékét (és monotonitását) a Graph program segítségével! (Ingyenes matematikai szoftver, letölthető a www.padowan.dk oldalról.) A program többek között magyar nyelvű menüvel is futtatható, a kívánt nyelvi környezet a Szerkesztés  Beállítások (angol nyelvű környezetben az Edit  Options) menüpontban választható ki.

Segítség – A programban a Függvény  Függvény beszúrása menüpontban adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát és a függvény értelmezési tartományát, ügyelve a szintaxisra (például tizedes pontot kell használnunk, a négyzetgyök függvény neve sqrt(), az abszolútérték-függvény neve abs(), a hatványkitevőt az AltGr+3 billentyűkombináció lenyomását követően lehet beírni, pl. így: x^5)! Állítsuk be a grafikon színét, vonalvastagságát! – Jelöljük meg a vizsgálni kívánt függvényt és indítsuk el a Számítások menüpontban a Számítás-t. Ekkor megjelenik egy segédtáblázat (jellemzően a képernyő bal alsó részén). – A segédtáblázatban az Illesztés legördülő menüjében kiválaszthatjuk, hogy milyen vizsgálatot szeretnénk. Például a zérushely kereséséhez az „x tengelyhez” sort kell választani. Ezután a kiválasztott függvény grafikonján egérrel kattintva a zérushely közelében, a program azonnal kiírja a segédtáblázatban a zérushelyet (és a „zérushelyhez” tartozó helyettesítési értéket, továbbá az adott helyen az első és második derivált értékét is, ha ezek léteznek).

196

S Z Á M Í T Ó G É P E S M E G O L D Á S O K , S E G É D P RO G R A M O K H A S Z N Á L ATA

4.

Egyenlet, egyenletrendszer és egyenlőtlenség (grafikus) megoldására akár a Graph, akár a GeoGebra program is használható.

Segítség Egyismeretlenes egyenlet, egyenlőtlenség megoldása: – Ábrázoljuk a kiválasztott program segítségével az egyenlet bal, illetve jobb oldalán álló kifejezéssel definiált függvényeket (a megfelelő értelmezési tartományon). – Ha az egyenlet egyik oldalán a 0 áll, akkor olvassuk le az ábrázolt függvény zérushelyét; ha nem, akkor az ábrázolt két függvény metszéspontjának (metszéspontjainak) első koordinátája adja az egyenlet megoldását. – Az egyenlet megoldásának ismeretében az egyenlőtlenség megoldása értelemszerűen adódik. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldása: – Rendezzük y-ra mindkét egyenletet. – Ábrázoljuk a program segítségével a két egyenest. – A két egyenes közös pontjának két koordinátája adja meg az egyenletrendszer megoldását (párhuzamos egyenesek esetén nincs megoldás).

5.

A geometriai transzformációk tulajdonságainak vizsgálata történhet GeoGebra program segítségével is.

Segítség – Adjuk meg a transzformáció jellemző adatát (a tükrözés / forgatás középpontját, vagy a tükrözés tengelyét, vagy az eltolás vektorát) és a transzformálni kívánt pontot (vagy akár egy egész síkidomot, esetleg egy külső forrásból importált képet). – A menüsor alatt található ikonok közül gördítsük le a transzformációs ikont, válasszuk ki a kívánt transzformációt, kattintsunk rá. Ekkor az ikon ábrája a kívánt transzformációnak megfelelően megváltozhat (alaphelyzetben a tengelyes tükrözés ikonja látható). – Egérrel jelöljük ki a transzformálni kívánt objektumot, kattintsunk a transzformáció ikonjára, majd a transzformációt definiáló objektumra (pontra, egyenesre vagy vektorra). Ekkor a program a kiválasztott objektumon végrehajtja a kívánt transzformációt. (Forgatásnál előbb még kéri a forgatás irányát és szögét is.) – Változtassuk folyamatosan a transzformációt definiáló objektumot, és figyeljük meg, hogyan változik meg az eredeti és a transzformált objektum kölcsönös helyzete. – Maradjon változatlanul a transzformációt definiáló objektum, és változtassuk folyamatosan a transzformálni kívánt objektumot. Figyeljük meg, hogyan változik a képalakzat.

6.

Pontdiagram (vonaldiagram) készíthető Graph programmal is.

Segítség – Válasszuk a Függvény  Pontsor beszúrása menüpontot. – A felugró ablak táblázatának „x” jelű oszlopába gépeljük be az x tengelyen ábrázolni kívánt értékeket, az „y” jelű oszlopába pedig a hozzájuk tartozó értékeket. – Válasszuk ki a vizuális megjelenés paramétereit. – Ha kívánjuk, akkor vonaldiagramként is megjeleníthetjük a táblázat adatait, ehhez az Interpoláción belül válasszuk a Lineáris opciót, és adjuk meg a pontokat összekötő vonal stílusát is (folytonos vonal, szaggatott stb.)

S Z Á M Í T Ó G É P E S M E G O L D Á S O K , S E G É D P RO G R A M O K H A S Z N Á L ATA

1 97

PISA-FELADATOK A PISA egy nemzetközi program rövidítése: Programme for International Student Assessment, azaz „a nemzetközi tanulói teljesítménymérés programja”. A kilencvenes évek végén hívta életre a legfejlettebb államokat tömörítő Gazdasági Együttműködési és Fejlesztési Szervezet (OECD), amelynek Magyarország 1996 óta tagja. PISA-felmérést először 2000-ben végeztek. A felmérés célja elsősorban a mindennapi életben használható tudás vizsgálata, emiatt is fontos az ország gazdasági megítélésének szempontjából. A mérést háromévenként ismétlik a matematika, a szövegértés és a természettudomány területén. 2012-ben 65 ország 500 ezer 15 éves tanulója írta meg. Az alábbi feladatok 2003-as feladatsorban szerepeltek. (Kiegészítettük néhány kérdéssel, ezt *-gal jelöltük.)

1.

Csevegés az interneten

Mark (Sydney-ből, Ausztráliából) és Hans (Berlinből, Németországból) gyakran kapcsolatba lépnek egymással internetes csevegővonalon. Ahhoz, hogy csevegni tudjanak, egy időben kell fenn lenniük az interneten. Mark ahhoz, hogy megfelelő időpontot találjon a csevegésre, megnézett egy időzónákat mutató ábrát, és a következőket találta:

Greenwich 0.00

Berlin 1.00 (éjjel)

Sydney 10.00 (délelőtt)

1. kérdés: Amikor Sydney-ben délután 7.00 óra van, hány óra van Berlinben? 2. kérdés: Mark és Hans nem tud csevegni saját helyi idejük szerint délelőtt 9.00 és délután 4.30 között, mivel iskolába kell menniük. Saját helyi idejük szerint este 11.00-től reggel 7.00-ig sem tudnak csevegni, mert alszanak. Mi lenne a megfelelő időpont Marknak Sydney-ben és Hansnak Berlinben a csevegésre?

2.

Színes cukorkák

Robinak édesanyja megengedi, hogy vegyen egy cukorkát egy zacskóból. Robi nem látja a cukorkákat. A következő grafikon a zacskóban lévő különböző színű cukorkák számát ábrázolja.

8 6 4 2

2*. kérdés: Mekkora a valószínűsége annak, hogy Robi piros vagy narancssárga, vagy rózsaszín cukorkát vesz ki a dobozból?

198

A

10%

B

20%

C

25%

D

50%

A

10%

B

20%

C

25%

D

50%

Barna

Lila

Kék

Zöld

Sárga

Rózsaszín

1. kérdés: Mekkora a valószínűsége annak, hogy Robi egy piros cukorkát fog kivenni?

Narancssárga

Piros

0

P I S A - F E L A DAT O K

3.

Tavaszi vásár

A tavaszi vásáron az egyik bódéban a játékot egy szerencsekerék megforgatásával kell kezdeni. Ha a szerencsekerék páros számon áll meg, a játékos kihúzhat egy üveggolyót egy zacskóból. A szerencsekerék és a zacskóban lévő üveggolyók az alábbi képen láthatók. Nyereményt akkor kap valaki, ha fekete üveggolyót húz. Zsuzsi egyszer játszik.

1

4 10

2 6

8

1*. kérdés: Mekkora a valószínűsége, hogy a szerencsekerék páros számon áll meg? A) Lehetetlen. B) Nem nagyon valószínű. C) 50% a valószínűsége. D) Nagyon valószínű. E) Biztos. 2*. kérdés: Ha a szerencsekereket nem kellene megforgatni húzás előtt, akkor mekkora valószínűséggel nyerne Zsuzsi? A) Lehetetlen. B) Nem nagyon valószínű. C) 50% a valószínűsége. D) Nagyon valószínű. E) Biztos. 3. kérdés: Ha Zsuzsi megforgatja a szerencsekereket, akkor mekkora a valószínűsége annak, hogy nyerni fog? A) Lehetetlen. B) Nem nagyon valószínű. C) 50% a valószínűsége. D) Nagyon valószínű. E) Biztos.

4.

Lépcsőminta

1. kérdés: Ákos lépcsőmintát készít négyzetek felhasználásával. A következő lépéseket hajtja végre. Amint látható, egy négyzetet használt az 1. lépésben, három négyzetet a 2. lépésben, és hat négyzetet a 3. lépésben.

1. lépés

2. lépés

3. lépés

Hány négyzetet kell felhasználnia a negyedik lépésben? 2*. kérdés: Ákos kockákból is szeretne lépcsőmintát készíteni. Most a következő módon építkezik.

1. minta

2. minta

3. minta

Hány kocka szükséges a 4. mintához?

P I S A - F E L A DAT O K

199

TARTALOM A tankönyv témakörei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

104

70 Egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

71 Kisebb, nagyobb, egyenlő . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112 116

40 Táblázatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

41 Diagramok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

72 Algebrai módszerek egyenletrendszerek megoldására . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 Számsokaságok statisztikai jellemzői . . . . . . . . .

12

73 Egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

43 Osztályba sorolás, átlagok átlaga . . . . . . . . . . . .

16

74 Régi idők matekja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

44 Változások ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

75 Abszolút értékes egyenletek II. . . . . . . . . . . . . . . .

124

R Grafikonok a mindennapokban . . . . . . . . . . . . . .

24

76 Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

45 A függvények fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

77 Gyakorlás, tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

46 Készítsünk grafikont! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Témazáró feladatgyűjtemény . . . . . . . . . . . . . . . .

130

47 Az egyenes arányosság és a fordított arányosság függvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

48 Egyenesek meredeksége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

78 Egybevágósági transzformációk a síkon . . . . . . .

134

49 Lineáris függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

79 Vektorok és az eltolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

50 Abszolútérték-függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

80 Tengelyes tükrözés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

51 Függvények jellemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

52 Másodfokú függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

R Egybevágósági transzformációk a gyakorlatban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

53 Szélsőértékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

81 Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

54 Négyzetgyökfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

R Szimmetriák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

55 A másodfokú függvény szélsőértéke . . . . . . . . . .

64

82 Általános és szimmetrikus háromszögek . . . . . .

154

56 Gyakorlati feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

83 Szimmetrikus négyszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

57 Abszolút értékes egyenletek I. . . . . . . . . . . . . . . .

70

84 Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

58 Gyakorlás; tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

85 Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai I. . . .

164

Témazáró feladatgyűjtemény . . . . . . . . . . . . . . . .

76

86 Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai II. . .

168

87 Thalész tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

88 A Thalész-tétel alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

200

69 Grafikus megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 A betűk szerepe a számolásban . . . . . . . . . . . . . .

78

89 Sokszögek és körök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178

60 Számolás az algebrában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

90 Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182

61 Nevezetes szorzatok I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

R Érdekes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

62 Nevezetes szorzatok II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

91 Gyakorlás, tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

186

63 Szorzattá alakítás I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Témazáró feladatgyűjtemény . . . . . . . . . . . . . . . .

188

64 Szorzattá alakítás II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

R Játékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

65 Egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

66 Alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A feladatok végeredményei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

94

67 Problémamegoldás egyenletekkel . . . . . . . . . . . .

98

Számítógépes megoldások, segédprogramok használata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

196

68 Egyenletek megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

PISA feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198

TA R TA L O M

Jó tanácsok a tanuláshoz

.JOEJH
B
DÏMPEOBL NFHGFMFMʩ
NØEPO
HPOEPMLPEK

t t t t

Legalább egyszer próbáld ki, megéri!

²SUTE
NFH
B
QSPCMÏNÈU ,ÏT[ÓUT
UFSWFU
B
QSPCMÏNB
NFHPMEÈTÈSB )BKUTE
WÏHSF
B
UFSWFEFU &MMFOʩSJ[E
B[
FSFENÏOZU
ÏT
HPOEPME
ÈU
IPHZBO
MFIFUOF
KBWÓUBOJ
SBKUB Pólya György: A gondolkodás iskolája

t
Olvasd el figyelmesen a tartalomjegyzéket! Milyen logikai rendezőelvet fedezel fel benne? t
Keress a tankönyvben minél több segítséget ahhoz, hogy egy-egy témakör vagy lecke tartalmát gyorsan átlásd! (Például névmutató, kislexikon, kronológia.) t
Nézd át figyelmesen a tankönyv leckéit, hogy megértsd belső szerkezetüket!

/F
BEE
GFM
IB
WBMBNJ
OFIF[FO
ÏSUIFUʩ

t "[POPTÓUTE
B[PLBU
B
SÏT[FLFU
B
MFDLÏCFO
BNFMZFLOFL
B
NFHÏSUÏTF
OFIÏ[TÏHFU
PLP[
B
T[ÈNPESB t &MMFOʩSJ[E
IPHZ
WBOF
PMZBO
T[Ø
BNFMZOFL
B
KFMFOUÏTF
OFN
WJMÈHPT
B
T[ÈNPESB
)B
WBO
JMZFO keresd meg a szó jelentésének magyarázatát a tankönyvben vagy egy lexikonban! t 'PHBMNB[E
NFH
LÏSEÏTFL
GPSNÈKÈCBO
JT
NJ
B[
BNJU
OFN
ÏSUFT[ t 0MWBTE
FM
ÞKSB
B
MFDLÏU
OÏ[E
NFH
ĕHZFMNFTFO
B[
ÈCSÈLBU
ÞHZ
IPHZ
B
QSPCMÏNÈU
PLP[Ø
LÏSEÏTFLSF keresd a választ! t ,FSFTT
FHZ
NÈTJL
LÚOZWFU
QM
MFYJLPO
FODJLMPQÏEJB


WBHZ
B[
JOUFSOFUFO
LVMDTT[BWBT
LFSFTÏTTFM QSØCÈMK
UBMÈMOJ
FHZ
PMZBO
UÏNÈKÞ
PMEBMU
BNJSʩM
UBOVMT[ t
)B
ÓHZ
TFN
TJLFSàM
LÏSK
CÈUSBO
TFHÓUTÏHFU
FHZ
UÈSTBEUØM
B
UFTUWÏSFEUʩM
WBHZ
B
UBOÈSPEUØM

t
"MBLÓUTE
ÈU
B[
BMDÓNFLFU
LÏSEÏTFLLÏ t
)B
WBMBNJ
ÏSEFLFT
ÏT
IBT[OPT
HPOEPMBU
KVU
B[
FT[FECF
SÚHUÚO
ÓSE
MF t
"
MFDLF
FMPMWBTÈTB
VUÈO
WFEE
T[ÈNCB
NJ
WPMU
B[
BNJU
NÈS
LPSÈCCBO
JT
UVEUÈM t
7ÈMBT[E
LJ
NJ
WPMU
B
MFHÏSEFLFTFCC
ÞKEPOTÈH
'PHBMNB[E
NFH
NJÏSU
UBSUPE
F[U
ÏSEFLFTOFL t
(POEPME
WÏHJH
NJ
WPMU
B[
BNJU
LPSÈCCBO
NÈTLÏQQFO
UVEUÈM
WBHZ
HPOEPMUÈM t
'PHBMNB[[
NFH
PMZBO
LÏSEÏTFLFU
BNFMZFL
B
MFDLF
PMWBTÈTB
LÚ[CFO
KVUPUUBL
B[
FT[FECF
EF
BNFMZFLSF
B
MFDLF
ÓSØKB
OFN
UÏSU
LJ
&[FLFU
B
LÏSEÏTFLFU
JT
ÏSEFNFT
FNMÏLF[UFUʩLÏOU
MFÓSOJ

)B
WBMBNJU
T[FSFUOÏM
QPOUPTBO
NFHKFHZF[OJ
GPHMBMLP[[ WFMF
LàMÚO
JT t
t
t
t
t
t
t


















)BT[OÈME
LJ
B
UBOLÚOZW
ÈMUBM
LÓOÈMU
TFHÓUTÏHFLFU



(POEPMLPEK
BSSØM BNJU
UBOVMT[

t
Olvasás közben készíts magadnak jegyzetet! t
"
MFHGPOUPTBCC
SÏT[MFUFLSʩM
ÏT
ÚTT[FGàHHÏTFLSʩM
LÏT[ÓUT
NBHBEOBL
TBKÈU
WÈ[MBUPU t
Készíts kérdéskártyákat azokról az információkról és kérdésekről, amiket a legfontosabbnak tartasz megjegyezni a leckéből!
&[FL
TFHÓUTÏHÏWFM
UFT[UFME
B
UVEÈTPE
ÏT
NFNPSJ[ÈME
B[
JTNFSFUFLFU t
Próbálj emlékezetből egy összefüggésvázlatot készíteni, és annak segítségével elmagyarázni valakinek azt, amiről tanultál!

Mik voltak a legérdekesebb dolgok? Mi az, amit kedvem lenne ebből másnak is megmutatni, elmondani és elmagyarázni? Mikor és hogyan tudnám a tanultakat hasznosítani? .JMZFO
LPSÈCCJ
JTNFSFUFL
ÏT
UBQBT[UBMBUPL
KVUPUUBL
B[
FT[FNCF
LÚ[CFO Mennyire vannak összhangban azzal, amit eddig tudtam? .JL
WPMUBL
B[PL
B[
ÞK
JTNFSFUFL
BNFMZFLLFM
NÈS
LPSÈCCBO
JT
UBMÈM
LP[
UBN .JU
MFOOF
KØ
NÏH
NFHUVEOJ
WBHZ
NFHUBOVMOJ
F
UÏNÈWBM
LBQDTPMBUCBO

)B
FHZ
MFDLF
WBHZ
FHZ

UÏNBLÚS
WÏHÏSF
ÏST[
ÏSUÏLFMK

Raktári szám: FI-503010902/1 ISBN 978-963-682-980-3

GOOGOL A googol a 10100 szám neve, ami az 1-es számjegyből és az azt követő száz darab 0-ból áll. A szám nevét egy kilencéves fiú, Milton Sirotta – Edward Kasner amerikai matematikus unokaöccse – adta 1938-ban. Kasner arra használta a számot, hogy bemutassa a különbséget a végtelen és egy elképzelhetetlenül nagy szám között, lévén a googol nagyobb, mint az ismert univerzum részecskéinek száma. A googolplex egy még nagyobb szám, amelyben az első 1-es számjegy után googol darab nulla áll.

A teljes tankönyv az Okosportálon is megtekinthető.

okosportál.hu Kattanj a tudásra!