MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK 2015/2016-os tanév TÉMAKÖRÖK: 1. Kombinatorika 2. Valószínűség számítás 3. Gráfelmélet és Logika 4. Egyenletek 5. Egyenlőtlenségek 6. Algebrai azonosságok 7. Függvények 8. Halmazok 9. Trigonometria 10. Síkgeometria 11. Térgeometria (Felszín, térfogat) 12. Koordinátageometria, vektorok 13. Statisztika 14. Hatvány, Gyök 15. Logaritmus, exponenciális 16. Sorozatok 17. Oszthatóság I. Kombinatorika feladatok Elméleti feladatok: 1. Mit értünk n faktoriális alatt? (Milyen feladatban lehetne alkalmazni például a 3 faktoriálist? ) 2. Hányféle 5 jegyű szám készíthető a 0, 3, 5, 6,7 számjegyekből? 3. Számítsa ki
értékét!
4. Hányféleképp választhatunk ki 8 féle fagyiból 3 félét? Gyakorlati feladatok 5. Egy ötfős társaságban hány kézfogás történik, ha mindenki mindenkivel kezet fog egyszer? 6. Egy ötfős család tagjai hányféleképp ülhetnek le egy étteremben egy kerek asztal köré? 7. Egy 5 házból álló házsort szeretnének kifesteni? Hányféle kifestés létezik, ha 7 féle színből lehet választani, és különböző színű házakat szeretnének? Hányféle kifestés lehetséges, ha a házak egyforma színűek is lehetnek? 8. Hányféle lyukasztás lehetséges az alábbi buszjegyen, ha tudjuk, hogy a lyukasztó 2 vagy 3 számot lyukaszt ki a 9 közül? 1 2 3 4
5
6
7
8
9
II. Valószínűség számítási feladatok Elméleti feladatok: 9. Mit jelöl a következő kifejezés: P(A) = 2 Lehetséges ez? 10. Szabályos dobókockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy 1-est vagy 6-ost dobunk? 11. Szabályos dobókockával dobunk. Határozza meg mi a biztos, illetve a lehetetlen esemény ebben az esetben? Gyakorlati feladatok 12. Egy ládában 100 alkatrész van, közöttük 5 selejt. Véletlenszerűen kiválasztunk a ládából egy alkatrészt. Mekkora valószínűséggel lesz a kiválasztott darab hibátlan? 13. Két szabályos dobókockával dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz a dobott számok összege 3?
MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK 2015/2016-os tanév 14. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy háromgyermekes családban csak egynemű gyermekek születnek, ha a lányok és fiúk születésének valószínűsége egyenlő? III. Gráfelmélet, Logika Elméleti feladatok: 15. Határozza meg a következő kijelentés logikai értékét! Van olyan derékszögű háromszög, amelyben az egyik befogó nagyobb, mint az átfogó. A 20 osztható 5-tel és a 20 osztható 6-tal. A Gellért hegy magas. 80 százaléknál kevesebbet értem el a matematika írásbeli érettségi vizsgán. 16. Határozza meg az alábbi gráf csúcsainak fokszámának összegét:
Gyakorlati feladatok 17. Négyen találkoznak. Senki nem fog kezet, akivel aznap már találkozott, de mindenki mással igen. Összesen 4 kézfogás történt. Hány kézfogásra nem került sor? Lehetséges-e, hogy valaki senkivel sem fogott kezet? IV. Egyenletek, egyenletrendszerek Elméleti feladatok: 18. Határozza meg a következő másodfokú egyenlet diszkriminánsának értékét! x 2 − 5 x + 3 = 0 19. Hány valós gyöke van a következő egyenletnek? x 2 − 6 x + 9 = 0 20. Egy állampolgár bruttó 120000Ft-t keres havonta, amelyből 18% személyi jövedelemadót fizet. Mennyi pénze marad a személyi jövedelemadó levonása után? 21. Egy bankba 100000Ft megtakarítást helyeztünk el évi 7%-os kamatos kamatra. Mekkora lesz ezen a számlán az összeg 3 év elteltével? Gyakorlati feladatok 22. Egy szállodában 24 szoba van, összesen 64 férőhellyel. A szobák két-, illetve háromágyasak. Hány kétágyas szoba van? 23. Egy bank 8 %-os kamatot ad évente. Mennyi pénzt tegyünk be fix kamatozású, tartós betétre, hogy 10 év eltelte után 2 millió forintunk legyen? 24. Egy cipő árából engedtek 10%-ot, majd egy újabb leárazásnál még 10%-t engedtek a már kedvezőbb árból. Mennyibe kerülhetett eredetileg a cipő, ha második leárazás után 9720Ft-ért lehetett elhozni. 25. Két ládában együtt 90kg alma van. Azt is tudjuk, hogy az első ládában lévő almák 25%-a ugyanannyi, mint a második ládában lévő almák 20%-a. Mennyi alma van a ládákban? 26. Egy iskola tanulóinak 8%-a jelest, 24%-a jót, 23%-a elégségest, és 5%-a elégtelent kapott matematikából a félévi osztályozás során. Hányan járnak ebbe az iskolába, ha 240-en közepes matematika jegyet kaptak? V. Egyenlőtlenségek Elméleti feladatok: 27. Mely valós x számokra értelmezhető a következő kifejezés? − 3 x − 15 Gyakorlati feladatok 28. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
−3 ≤0 2x − 3
VI. Algebrai azonosságok Elméleti feladatok: 29. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést?
x2 − 9
MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK 2015/2016-os tanév 30. Algebrai azonosságok felhasználásával végezze el a zárójelfelbontást:
(3x − 4)2 =
Gyakorlati feladatok 31. Egyszerűsítse a következő törtet! VII. Függvények Elméleti feladatok: 32. Adja meg az f ( x) =
x+3 4 x 2 − 36
x függvény értelmezési tartományát és értékkészletét!
33. Határozza meg az f ( x) = x 2 − 4 függvény zérushelyét. 34. A f ( x) = x függvény [-2;3] intervallumon értelmezett. Határozza meg a szélsőértékeit! Gyakorlati feladatok
35. Ábrázolja az f ( x) = ( x + 2 ) − 1 függvényt. Határozza meg szélsőértékét és zérushelyét! 2
36. Egy függvény hozzárendelési szabálya f ( x) = 3 x + 1 Milyen értéket vesz fel ez a függvény a (-2) helyen? Hol veszi fel ez a függvény a 2 értéket? VIII. Halmazok Elméleti feladatok: 37. Ábrázolja az A={2,5,7,8} és a B={3,5,6,8} halmazokat Venn-diagramon és határozza meg az A ∪ B A ∩ B és az A B halmazt. 38. Sorolja fel a {2,4,5,6,8} halmaz kételemű részhalmazait! Gyakorlati feladatok 39. Egy25 fős osztályból 12-en egyetemre, 15-en főiskolára adták be a jelentkezésüket. 5 diák egyetemre és főiskolára is jelentkezett Hányan nem akarnak tovább tanulni? IX. Trigonometria Elméleti feladatok: 40. Egy derékszögű háromszög befogója 5cm. Ezzel a befogóval szemközti szög 30˚. Határozza meg a háromszög oldalainak hosszát! 41. Egy kör középpontjától 12cm-re lévő pontból érintőt húzunk a körhöz. Az érintő szakasz hossza 9cm. Mekkora a kör sugara? 42. Egy 24 méter hosszú emelkedő emelkedési szöge 10°-os. Mennyi a szintkülönbség az emelkedő alja és teteje között? Gyakorlati feladatok 43. Egy derékszögű háromszög két befogója 15cm és 22cm hosszú. Mekkora a háromszög köré írt kör sugara? Határozza meg a háromszög szögeit, kerületét, és területét. 44. Egy háromszög három oldala 16cm, 18cm, és 21cm hosszú. Határozza meg a szögeink nagyságát! 45. Egy háromszög 20 cm-es oldalán 42°-os és 64°-os szög található. Határozza meg a hiányzó szöget és az oldalak hosszát. Mekkora a háromszög területe? X. Síkgeometria Elméleti feladatok: 46. Mekkorák a szabályos nyolcszög belső szögei? 47. Egy rombusz átlói 6 és 4 cm hosszúak. Határozza meg a területét és kerületét! Gyakorlati feladatok 48. Egy téglalap alakú telek oldalainak hossza 10 m és 24 m. A tulajdonos a telek egyik sarkában el szeretne keríteni egy négyzet alakú részt konyhakertnek. Az ábrán a tulajdonos vázlatrajza látható. Mekkorák a tervezett négyzet oldalai?
MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK 2015/2016-os tanév 49. Karácsonyra egy nagy piros gömböt vásároltunk ajándékba, melyet a közepén egy aranyszalaggal szeretnénk átkötni. Mennyi szalagot vásároljunk, ha a gömb sugara 18cm és a masni elkészítéséhez 80cm szalagra van szükségünk. 50. Egy tízszintes ház egyik oldalán levő ablakok 2m magasak és 1,5m szélesek. Hány négyzetméter az ablakmentes falfelület, ha minden szinten 10 ablak található, továbbá a ház 35m magas és 20m széles? XI. Térgeometria (Felszín, térfogat) Elméleti feladatok: 51. Egy kocka éle 10cm. Határozza meg a testátló hosszát! 52. Egy lakás belmagassága 2,65m. A legnagyobb helység 53m3 térfogatú. Hány m2 parkettát kell vennünk ebbe a helységbe, ha parkettázni szeretnénk? Gyakorlati feladatok 53. Mennyi üdítőitalt öntünk abba a henger alakú pohárba, amelynek átmérője 8cm, magassága 12cm, ha a pohár magasságának háromnegyedéig töltjük az italt? 54. Hány négyzetméter csempét kell vásárolnunk egy szabályos négyszög alapú, függőleges falú medence kicsempézéséhez, ha a medence oldala 3m hosszú és mélysége 1,5m? (A burkoláshoz a tényleges méretnél 10%-kal többet kell vásárolnunk; a medence alját és oldalát csempézzük.) 55. Egy egyenes forgáskúp alapjának sugara 3cm, a kúp nyílásszöge 60°. Mekkora a kúp magassága és alkotója. Számítsa ki a térfogatát és felszínét. XII. Koordinátageometria, vektorok Elméleti feladatok: 56. Egy egyenes irányvektorának koordinátái (-3;2)? Határozza meg ezen egyenes normálvektorát. 57. A és B pont koordinátái A(5;-2) és B(4;7) Számítsa ki az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit. 58. Egy kör egyenlete (x+1)2+(y-7)2=64 Határozza meg a kör sugarát és középpontjának koordinátáit. Gyakorlati feladatok 59. Metszik-e egymást az alábbi egyenletekkel megadott egyenesek? Adja meg a metszéspont(ok) koordinátáit
x=
y −3 2
y = −2 x + 5
60. Írjuk fel a A(4; 8) ponton átmenő és a 3x – 10y = 2; egyenletű egyenessel párhuzamos, illetve rá merőleges egyenes egyenletét. XIII. Statisztika Elméleti feladatok: 61. Gábor a következő jegyeke szerezte meg az érettségin: Magyar nyelv és irodalom: jeles, történelem: jó, Angol nyelv: jó, Matematika elégséges, Földrajz:közepes. Mennyi Gábor érettségi jegyeinek mediánja és átlaga? 62. Egy osztály matematika dolgozatának eredményei a következők: 2,5,4,4,3,1,5,5,,3,2,2,4,3,3,3,4,1,,5,5,5,4,4,5,5,2, Határozza meg az egyes osztályzatok relatív gyakoriságát! Készítsen kördiagramot! Gyakorlati feladatok 63. Az alábbi táblázat egy téli hónap két hetének napi átlaghőmérsékletét tartalmazza. Készítsen az adatokból diagramot és határozza meg az móduszt, mediánt, átlagot, és szórást!
MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK 2015/2016-os tanév H 2° 0°
K 0° 0°
Sze -1° 1°
Cs -2° 2°
P -1° 3°
Szo -1° 0°
V 0° -1°
64. Egy gimnáziumban 125 tanuló nyelvi érettségire való jelentkezését mutatja az alábbi ábra. Készítsen adattáblázatot, ha tudjuk, hogy minden tanuló pontosan egy nyelvből jelentkezett az érettségire.
12% angol 40% 16%
német Francia Orosz Latin
28%
XIV. Hatvány, Gyök, logaritmus, exponenciális Elméleti feladatok: 65. Határozza meg a következő hatványok értékét:
5-1; (-3)3; − 4 ; 7 − 1 ; 36 0 ?
66. Határozza meg x értékét az alábbi feladatokban: log 3 x = 4 ; log x 32 = 5 ; lg
1 =x 100
67. Határozza meg x értékét, ha log 4 3 − log 4 48 = log 4 x Gyakorlati feladatok 68. Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: 4 x = 2 3 x −5 ⋅ 2 3−5 x 69. 100000Ft-t elhelyeztünk egy bankszámlán évi 6%-os kamatos kamatra. Hány év múlva lesz a számlán200000Ft-t meghaladó összeg? 70. Oldjuk meg az lg2x+lg(5x-15)=2 egyenletet. XV. Sorozatok Elméleti feladatok: 71. Adjon példát olyan mértani sorozatra, amelynek első tagja 1! 72. Adjon példát olyan számtani sorozatra, amelynek első tagja 1! Gyakorlati feladatok 73. Egy színházi nézőtér első sorában 20 ülőhely van. Minden további sorban kettővel többen tudnak helyet foglalni, mint az előzőben. Hányan ülhetnek a kilencedik sorban? 74. Egy könyves szekrényben hét polc van. A legalsó polcon 51 könyv van, és minden polcon hárommal kevesebb, mint az alatta levőn. Hány könyv van ebben a könyvszekrényben? XVI. Oszthatóság Elméleti feladatok: 75. Osztható-e 2-vel, 3-mal, 4-gyel, és 6-tal a 83262? 76. Adja meg 500 prímtényezős alakját. 77. Határozza meg a két tört közös nevezőjét:
1 1 ; 240 315
Gyakorlati feladatok 78. Milyen számjegyeket írjunk x és y helyére, hogy a 123xy szám osztható legyen 15-tel.
