MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET „A” Matematika 5. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 1. félév

A kiadvány KHF/1031-9/2009., KHF/1208-8/2009. engedélyszámon 2009.05.08., 2009.06.15. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Matematika szakmai vezető: Pálfalvi Józsefné Szakmai tanácsadók: Lajos Józsefné, Zsinkó Erzsébet Alkotószerkesztő: Zsinkó Erzsébet Grafika: Király és Társa Kkt, dr. Fried Katalin, Gidófalvi Zsuzsa, Laczka Gyuláné, Pintér Klára, Pusztai Julianna Lektor: Makara Ágnes Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT0501 – H-AMAT0502 © Szerzők: Benczédi-Laczka Krisztina, Gidófalvi Zsuzsa , Jakucs Erika, Lénárt István, Malmos Katalin, Makara Ágnes, Pintér Klára, Pusztai Julianna, Tóth László, Zsinkó Erzsébet Educatio Kht. 2008. Tömeg: 577,5 gramm Terjedelem: 30,38 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgy-pedagógiai szakértő: Herczegné Kaszás Judit Tudományos szakmai szakértő: Hajba Tamás Technológiai szakértő: Nagy Károly

tartalom

051. TERMÉSZETES SZÁMOK 0511. Ismerkedés a nagy számokkal ........................................................................................... 0512. Számrendszerek ................................................................................................................... 0513. Írásbeli műveletek ................................................................................................................ 0514. Az alapműveletek ismeretének mélyítése ........................................................................ 0515. Természetes számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása ...................................... 0516. Közelítő számolás, mérés, kerekítés . ................................................................................. 0517. Tömegjelenségek gyakoriságának vizsgálata ...................................................................

5 17 19 39 51 67 83

052. ALAKZATOK I. rész 0521. A geometria tárgya; pont és egyenes síkon és gömbön ................................................. 91 0522. Távolság és távolságmérés síkon és gömbön ................................................................... 99 0523. Szögtartomány és szögmérés síkon és gömbön .............................................................. 109 053. MÉRÉSEK, KERÜLET, TERÜLET, FELSZÍN 0531. A kerület fogalmának kialakítása . ..................................................................................... 125 0532. A terület fogalmának kialakítása ....................................................................................... 133 0533. A felszín fogalma .................................................................................................................. 143 054. EGÉSZ SZÁMOK 0541. Negatív számok fogalma és modelljei . ............................................................................. 0542. Egész számok ábrázolása számegyenesen, az egész számok abszolútértéke ............ 0543. Összeadás és kivonás az egész számok körében . ........................................................... 0544. Egész számok szorzása, osztása pozitív egész számmal . .............................................. 0545. Műveletek tulajdonságai az egész számok körében . .....................................................

149 159 165 177 189

055. SZÁMEGYENES, KOORDINÁTA-RENDSZER 0551. Számegyenes . ....................................................................................................................... 193 0552. Koordináta-rendszer . .......................................................................................................... 203

természetes számok

0511. Ismerkedés a nagy számokkal

Készítette: pintér klára

6

matematika „A” – 5. évfolyam – 051. természetes számok

tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP 1. Mit látsz az ábrán?

2. Döntsd el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis:

a) A legkisebb természetes szám a 0.

b) Van legnagyobb természetes szám.

c) Minden számnál van 1-gyel nagyobb szám.

d) Legfeljebb kétjegyű szám ugyanannyi van, mint kétjegyű szám.

e) A kétjegyű számok száma 90.

3. Melyik az a négyjegyű szám, amelyben az első számjegy a második harmada, a harmadik számjegy az első és a második összege, az utolsó pedig a második számjegy háromszorosa? 4. Számkeresztrejtvény: a)

b)

d)

c) e)

f) g)

Vízszintes: a) A legkisebb négyjegyű szám, amely egymástól különböző páros számjegyekből áll. e) Számjegyeinek összege 9. f) 50 híján 10 000. g) Visszafelé olvasva ugyanazt a számot kapjuk. Függőleges: b) A legkisebb természetes szám. c) Minden számjegye 3-nak többszöröse. d) A legnagyobb háromjegyű szám. e) 35 tízes.



7

5. Írj 15 természetes számot! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a) Döntsd el a következő állításokról, hogy igaz vagy hamis a felírt számokra:

• Mindegyik kisebb 1000-nél.

• Nincs köztük páros.

• Van köztük 4-re végződő.

• Van olyan, amelyik 50-nél nagyobb.

b) Mondj igaz és mondj hamis állításokat a számokról!

6. A feladat azokra a számokra vonatkozik, amelyeket az alábbi ábrán körbekerítettünk, ezek tartoznak egy halmazba.

a) Írd a következő állítások mellé a fenti halmaz azon számait, amelyekre igaz az állítás!

• Minden számjegye 6-os.

• Van a számjegyei között 6-os.

• Ugyanaz a számjegy többször is előfordul benne.

• Számjegyeinek összege páros.

• Minden számjegye páros.

b) Írj a következő állítások mellé hatjegyű számokat, amelyekre igaz az állítás!

• Minden számjegye páros.

• Számjegyeinek összege páros.

• Pontosan 3 páratlan számjegye van, és számjegyeinek összege páros.

7. Figyeld meg a következő számpiramist!

1. sor

1

2. sor

2

3. sor

3

4. sor

4

5. sor

5 bal átló

3 4

5 6

5 6

7

7 8

9 jobb átló

Folytasd a táblázatot két sorral! Milyen szabályosságot találtál? Milyen szabály alapján következnek a számok a táblázatban átlós irányban?

8



Rejtvények 8. Melyik az az év, amelyikben három hét van? 9. Rakd ki az ábrát 15 gyufaszálból! Vegyél el 9 gyufaszálat, hogy 10 legyen!

2. FELADATLAP 1. Miből mennyi van? A kapott eszközök alapján először becsülj, aztán számolj! a pálcikák száma

a pénz értéke

a gumicukrok száma

a bárányok száma

becslés számolás

2. Írd az előző feladatban kapott számokat a helyiérték-táblázatba! A helyiérték-táblázat mindegyik oszlopa a tőle jobbra levő 10-szerese. ·10 tíz milliós

·10 egy milliós

·10 száz ezres

tízezres

·10

·10

ezres

·10

százas

·10

tízes

egyes



9

3. Egyiptomi számok egyiptomi jel

név

érték

pálca

1 egy

kapu

10 tíz

feltekert kötél vagy kígyó

100 száz

lótuszvirág

1000 ezer

mutatóujj

10 000 tízezer

ebihal

100 000 százezer

imádkozó ember

1 000 000 egymillió

A számok írásakor annyi pálcát írunk, ahány egyes van a számban, annyi kaput, ahány tízes, és így tovább. A jelek sorrendje lényegtelen.

Például a 12-t a következőképpen írták:

Írd fel a következő számokat egyiptomi jelekkel!

a) 25

b) 253

vagy

c) 14 532

4. Mely számokat jelölik a következő egyiptomi jelek?

a)

b)

c)

d)

vagy

d) 2003

.

e) 100 001

10



3. FELADATLAP A nagy számok neve – a helyiérték-táblázat folytatása: Egyezermillió = egymilliárd Egyezermilliárd = egybillió Egyezerbillió = egybilliárd Egyezerbilliárd = egytrillió Vigyázat! Ha az USA-ból származó adatokat olvasunk, ott az „árd”-ra végződő számok kimaradnak: Egyezermillió = egybillió Egyezerbillió = egytrillió Egyezertrillió = egy quadrillió

tudnivaló Számok helyesírása: kétezerig a számokat egybeírjuk. Például: ezerkilencszázkilencvenkilenc. A kétezernél nagyobb számokat a hármas tagozódás szerint kötőjellel írjuk. Például: kétmillió-ötszázhatvanhétezer-négyszáztizennyolc. 1. Keresd meg a betűvel leírt számok számmal leírt párját és kösd össze őket!

Harminckétmillió-ötszáznegyvenezer-hétszázkilenc

23 000 045 097

Háromszázkétmilliárd-ötvennégyezer-hétszázkilencven

Háromszázhúszmillió-ötszáznégyezer-hetvenkilenc

32 540 709

Huszonhárommilliárd-negyvenötezer-kilencvenhét

302 000 054 790

Kétszázhárommillió-négyszázötezer-kilencszázhét

320 504 079

203 405 907

2. Kétezer, tízezer, kilencvenkilencezer, egymillió.

a) Írd le számmal és betűvel a fenti számoknál 1-gyel kisebb és 1-gyel nagyobb számokat! 1-gyel kisebb kétezernél

számmal betűvel

tízezernél

számmal betűvel

kilencvenkilencezernél számmal betűvel egymilliónál

számmal betűvel

1-gyel nagyobb



b) Írd le számmal és betűvel a fenti számoknál 10-zel kisebb és 10-zel nagyobb számokat! 10-zel kisebb kétezernél

10-zel nagyobb

számmal betűvel

tízezernél

számmal betűvel


számmal betűvel

c) Írd le számmal és betűvel a fentieknél 100-zal kisebb és 100-zal nagyobb számokat! 100-zal kisebb kétezernél

100-zal nagyobb

számmal betűvel

tízezernél

számmal betűvel


számmal betűvel

d) Írd le számmal és betűvel a fentieknél 1000-rel kisebb és 1000-rel nagyobb számokat! 1000-rel kisebb kétezernél

számmal betűvel

tízezernél

számmal betűvel


számmal betűvel

1000-rel nagyobb

11

12



3. Olvassátok ki az alábbi épületek építésének évszámait!

Párizs, Diadalív: MDCCCXXXVI –

Párizs, Eiffel-torony: MDCCCLXXXIX –

Athén, Parthenon: CDXLVII –

London, Tower-híd: MDCCCXCIV –

4. Írd fel a mostani dátumot, a születésed dátumát római számokkal!

5. Gyufaszálakból rakd ki a következő műveletet: XXII + XVIII = V. Ez így hamis. Tedd igazzá az egyenlőséget úgy, hogy áthelyezel

a) 1 gyufaszálat;

b) 2 gyufaszálat;

c) 3 gyufaszálat;

d) 4 gyufaszálat.

6. Hogyan lehet egy számból 1-et elvenni, hogy 1-gyel nagyobbat kapjunk? 7. Hogyan lehet 12-nek a fele 7 és 11-nek a fele 6? 8. A Tökéletes Pénztárgépben egymás mellett vannak rekeszek a helyiértékeknek megfelelően: jobbról balra egyesek, tízesek, százasok, ezresek stb. rekesze. A Tökéletes Pénztárgép nem tűri, hogy egy rekeszben 9-nél több pénz legyen, ha már van 10, akkor beváltja az eggyel nagyobb rekeszbe, pl.: 10 db egyes helyett a tízes rekeszbe rak 1 db 10-est. Végezd el a Tökéletes Pénztárgép munkáját a következő pénzekkel! Írd be a számokat a helyiértéktáblázatba, majd írd le a számokat!

a) 23 ezres + 16 tízes

b) 45 tízezres + 18 százas + 36 egyes

c) 8 milliós + 100 százezres + 99 tízezres

d) 123 százas + 84 tízes tíz milliós

egy milliós

száz ezres

tízezres

ezres

százas

tízes

egyes



13

9. Hány 10 forintost kapsz, ha az alábbi pénzösszegeket csupa 10 forintosra váltod fel?

a) 49 ezres + 35 százas

b) 9 százezres + 25 tízezres

c) 2 milliós

d) 345 tízezres + 64 ezres

10. Hány 100 forintost kapsz, ha az alábbi pénzösszegeket csupa 100 forintosra váltod fel?

a) 17 tízezres + 24 ezres

b) 38 százezres + 5 ezres

c) 90 ezres + 26 százezres

d) 50 milliós

11. Írd fel az alábbi számokat! Hány nulla szerepel az egyes számokban?

a) 2 egyes + 15 százas + 50 tízezres

b) 3 százezres + 5 ezres + 2 tízes

c) 18 ezres + 5 milliós + 7 százas

d) 8 százezres + 200 tízes + 9 ezres

12. Egészítsd ki!

a) 9 millió = 6 milliós + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . százezres

b) 150 000 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tízezres

c) 10 500 000 = 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. A kártyákon levő számokat nagyság szerint növekvő sorrendbe írva melyik szót kapod a kártyán levő betűkből? 1100

910

101

99

1010

R

T

É

M

E

14. Írd nagyság szerint csökkenő sorrendbe a következő számokat:

a) 5656, 5566, 6565, 6556, 6655, 5665, 5555, 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) 28 346, 23 468, 42 386, 82 634, 43 682, 42 836, 86 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14



15. Az alábbi számkártyákból készítsd el az összes háromjegyű számot!

2

5

8

a) Hány háromjegyű számot kaptál?

b) Írd őket növekvő sorrendbe!

c) Hogyan változik a 2-es kártya értéke, ha a százas helyiértékről az egyesre rakod át?

d) Hogyan változik a 8-as kártya értéke, ha az egyes helyiértékről a tízesre rakod át?

e) Hogyan változik a szám értéke, ha a 258-ban felcseréled a tízes és az egyes helyiértéken álló számkártyákat?

16. Rakj ki dominókból kétjegyű számokat, a baloldali szám a tízeseket, a jobboldali az egyeseket jelentse!

a) Írj számokat, és nézd meg, hogyan változik a szám, ha a dominót megfordítod!

b) Keress olyan dominót, hogy a szám 54-gyel nőjön, ha megfordítod a dominót!

c) Keress olyan dominót, hogy a szám 36-tal csökkenjen, ha megfordítod a dominót!

d) Keress olyan dominót, hogy a szám 16-tal csökkenjen, ha megfordítod a dominót!

17. a) Melyik az a legkisebb szám, amelynél a számjegyek összege 15?

b) Melyik az a legkisebb szám, amelynél a számjegyek összege 23?

c) Melyik az a legkisebb szám, amelynél a számjegyek összege 33?

d) Melyik az a legnagyobb szám, amelynél a számjegyek összege 15?

4. FELADATLAP 1. Rendezd növekvő sorba!

50 m; 5200 cm; 31 000 mm; 20 dm; 2 km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Tedd ki közéjük a < , > vagy = jeleket: 340 dkg

1000 g

20 kg

2 kg 200 dkg

2t

2000 dkg

3. Mérd meg és írd le a testmagasságodat milliméterben, a tömegedet grammban! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mit gondolsz ezekről az adatokról?



15

4. Számold ki a következőket:

a) 42 tízszeresének a százszorosa.

b) 60 ezerszeresének a tízszerese.

c) 6700 százszorosának a százszorosa.

d) 802 ezerszeresének a százszorosa.

e) 243 tízezerszerese.

5. Váltsd át méterbe az alábbi hosszúságokat, úgy hasonlítsd össze azokat!

700 cm; 80 dm; 40 000 mm! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Váltsd át kilogrammba az alábbi tömegeket, úgy hasonlítsd össze azokat!

3000 dkg; 13 kg; 500 000 g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Számold ki a következőket:

a) 24 000 tizedrészének a századrésze.

b) 400 000 ezredrészének a tizedrésze.

c) 6700 századrészének a százszorosa.

d) 802 ezerszeresének a századrésze.

e) 243 000 000 tízezredrésze.

8. Döntsd el, hogy a számok közül melyik kisebb, vagy esetleg egyenlők, és tedd ki a >, <, = jelek közül a megfelelőt! 190

901

1·1 6·0 10 · 100 4352 + 10

1000 – 100

1000 : 10

1+1

100 100 · 10

1 000 000

0 · 10

1000 : 10

100 000 : 100

10 000 : 10

100 · 100

100 : 100

4352 · 10

1001 · 1000

1 000 000 : 10

16



0511. Tanulói melléklet: helyiérték-táblázat tíz milliós

egy milliós

száz ezres

tízezres

ezres

százas

tízes

egyes


0512. Számrendszerek


18



1. FELADATLAP 1. Rakd ki a következő bankjegyeket, és váltsd át a megfelelő számrendszerbeli Tökéletes Pénztárgépnek megfelelően több lépésben: a) 7 db 1-es b) 4 db 10-ás és 3 db 1-es c) 5 db 100-ás, 6 db 10-ás, 2 db 1-es d) 3 db 1000-ás, 4 db 100-ás, 2 db 10-ás, 3 db 1-es e) 2 db 1000-ás, 6 db 10-ás, 8 db 1-es 16

8

4

2

1

81

27

9

3

1

256 64

16

4

1

625 125 25

5

1

a) b) c) d) e) 2. Kombinatorika feladatok számrendszerekre: Mindegyik számrendszerben (2-es, 3-as, 4-es, 5-ös) oldd meg az alábbi feladatokat! 1. Hány kétjegyű szám van? 2-es

3-as

4-es

5-ös

........................

........................

........................

........................

2. Hány háromjegyű szám van? 2-es

3-as

4-es

5-ös

........................

........................

........................

........................

3. Melyik a legnagyobb háromjegyű szám? 2-es

3-as

4-es

5-ös

........................

........................

........................

........................

4. Hány olyan háromjegyű szám van, melynek számjegyeinek összege 410? 2-es

3-as

4-es

5-ös

........................

........................

........................

........................

5. Hány oldalt tudunk megszámozni egy könyvben 1-től kezdve egyesével, ha legfeljebb 10010 számjegyet írhatunk le? 2-es

3-as

4-es

5-ös

........................

........................

........................

........................


0513. Írásbeli műveletek


20



1. FELADATLAP (ÖSSZEADÁS) 1. Végezd el a következő összeadásokat az egyiptomi számokkal (9. oldal)!

a)

b)

c)

2. Az alábbi számpiramisban minden szám a két alatta levő összege. Töltsd ki a piramis hiányzó mezőit!

8356

263

86

159

427

322

193

3. Keress hiányzó számjegyeket a négyzetek helyére, hogy az első négy szám összege az ötödik legyen!

a)

b)

2

5, 362,

4 56

1, ,

23 8

, 5,

141, 86,

5989. 9157.

4. Bevásárláskor a blokkon a következők szerepelnek forintban:

Tojás

189

Tejföl

185

Camembert sajt

299

Narancslé

365

6 üveg ásványvíz

469

4 joghurt

269

3 csomag Krémrudi

867

Kakaó

585

Mirelit zöldborsó

249

2 parajpüré

418

Kutyaeledel

759

A pénztárcádban két 5000-forintos, egy 2000-forintos és két 1000-forintos van. Mely pénzeket készítenéd elő a fizetéshez? Mennyi a számla végösszege?



21

5. Étteremben ebédelsz, de nem költhetsz többet 2500 Ft-nál. Az alábbi ételek közül választhatsz:

Újházi tyúkhúsleves

450 Ft

Sült burgonya

250 Ft

Gyümölcsleves

345 Ft

Vegyes köret

360 Ft

Zöldség köret

380 Ft

Rántott gomba

570 Ft

Rántott camembert

680 Ft

Uborkasaláta

190 Ft

Csirkesaláta

720 Ft

Céklasaláta

210 Ft

Kerti saláta

450 Ft

Paradicsomsaláta

230 Ft

Hagymás rostélyos

980 Ft

Gundel palacsinta

450 Ft

Bécsi szelet

890 Ft

Túrós palacsinta

340 Ft

Töltött csirkemell

970 Ft

Tiramisu

380 Ft

Szarvaspörkölt

1230 Ft

Somlói galuska

420 Ft

Rostonsült filézett ponty

1040 Ft Ásványvíz

130 Ft

3 dl gyümölcslé

250 Ft

Válassz legalább 4 dolgot, számold ki az árát!

6. Digitális fényképezőgépet vásárolsz, melynek ára 115 899 Ft. Veszel hozzá egy 256 MB-os memóriakártyát (12 900 Ft), egy táskát (2599 Ft), egy akkumulátortöltőt 4 elemmel (3640 Ft). Becsüld meg, hány ezer forintba kerül ez összesen, majd számold ki pontosan! 7. Azokat az európai országokat soroljuk fel területükkel és lakosaik számával együtt, amelyeknek hivatalos nyelve a francia (esetleg más nyelvek mellett): Franciaország: Belgium: Svájc: Luxemburg: Monaco:

543 998 km2 30 514 km2 41 288 km 2 2586 km2 2 km2

49 866 000 fő 9 605 000 fő 6 701 000 fő 6 701 000 fő 22 700 fő

Mekkora területet és hány lakost jelent ez összesen? Végezz kutatást, hányan élnek német, angol nyelvterületen, és mekkora ez a terület! 8. Két összeadást betűkkel írtunk fel úgy, hogy a számjegyek helyett betűket írtunk: A +B C

C +D EA

a) Mennyi a B + D?

b) Melyik betűről tudjuk biztosan, hogy melyik számjegyet jelöli?

c) Ha különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek, akkor hány lehetőség van az összeadások felírására?

22



9. Az alábbi összeadásokban különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek. Melyik melyiket?

a) Y + Y + Y = MY

b) XXX + B = BAAA

c) MA + A = AM

d) ON + ON + ON + ON = GO

10. Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyet 50 806-hoz adva palindrom számot kapunk? Palindrom számnak nevezzük azokat a számokat, amelyek balról jobbra és jobbról balra olvasva ugyanazt a számot adják. Keress további számokat, amelyeket az 50 806-hoz adva palindrom számot kapsz! 11. Öt egymás utáni természetes szám összege 2005. Melyek ezek a számok? 12. Végezd el a következő összeadásokat az 5-ös számrendszerben: a)

23 104 + 13 343

b)

13 342 + 42 314

c)

40 123 2 334 + 21 132

13. Pótold az alábbi 5-ös számrendszerbeli számokban a hiányzó számjegyeket úgy, hogy az első három szám összege a negyedik legyen!

a)

211,

b)

0

3 12,

2, 1

2 32

3 ,

, 43

12 440. 4,

103 032.

14. Mely számrendszerben igaz az összeadás?

a) 10 011 + 111 011 = 1 001 110

b) 12 322 + 31 123 = 110 111

c) 12122 + 20221 = 110120

d) 3233 + 23223 = 32011

e) 100101 + 110111 = 210212



23

2. FELDATLAP (KIVONÁS) 1. Végezd el a következő kivonásokat az egyiptomi számokkal (9. oldal)!

a)

b)

c)

2. Az alábbi számpiramisban minden szám a két alatta levő különbsége. Töltsd ki a piramis hiányzó mezőit!

2138

22676

7455

2131

529

157

68

3. Számítógépet szeretnél vásárolni. A gép 119 999 Ft, a monitor 46 999 Ft, billentyűzet és az egér 2599 Ft, nyomtató 19 999 Ft. Mennyibe kerül összesen? A laptop 199 999 Ft, hozzá egy táska 5490Ft. Becsüld meg a két összeállítás árát! Mennyivel drágább a laptop táskával, nyomtatóval, mint az előző összeállítás? 4. Az alábbiakban a földrészek és Magyarország legmagasabb hegyeit soroltuk fel magasságukkal együtt. Magyarország

Kékes

1015 m

Európa

Mont Blanc

4807 m

Ázsia

Mont Everest

8848 m

Ázsia

K2

8611 m

Afrika

Kibo

5895 m

Észak-Amerika

Mount McKinley

6197 m

Dél-Amerika

Aconcagua

6960 m

Ausztrália

Puntjak Sukarno

5030 m

Antarktisz

Vinson Massif

5140 m

Mennyivel magasabb

a) Európa legmagasabb csúcsa Magyarország legmagasabb csúcsánál?

b) Ázsia legmagasabb csúcsa Európa legmagasabb csúcsánál?

c) Dél-Amerika legmagasabb csúcsa Afrika legmagasabb csúcsánál?

Írj fel és számolj ki még legalább 5 különbséget!

24



5. Az iskolai tanév utolsó napja az év 167. napja, a következő tanév ugyannak az évnek a 243. napján kezdődik. Hány napos a nyári szünet? 6. a) Mennyi a különbség, ha a kisebbítendő 3 452 és 829-cel nagyobb a kivonandónál?

b) Mennyi a különbség, ha a kivonandó 395, kisebbítendő 10 283?

c) Két szám összege 132 587, az egyik szám 83 009, melyik a másik szám?

d) Mennyi a különbség, ha a kivonandó 5 642-vel kevesebb a kisebbítendőnél, ami 38 952?

e) Mennyi a kivonandó, ha a kisebbítendő 42 863, a különbség pedig 8 975?

f) Mennyi a különbség, ha a kivonandó 520, a kisebbítendő pedig négyszerese a kivonandónak?

7. Az a, b, c betűk számjegyeket jelölnek, és 7a2 – 18b = c73. Mennyi az a + b + c? 8. A számpiramisban mindegyik szám a két alatta levő összege. Hol helyezzük el benne, legalább egyszer, az 1, 2, 4, 5 számokat (de többször is szabad), hogy a piramis csúcsában a) a lehető legnagyobb szám álljon?

b) a lehető legkisebb szám álljon?

9. Két szám összege 4862, különbségük 648, melyik ez a két szám? 10. Két kétjegyű pozitív szám összege és különbsége is kétjegyű és ugyanazokból a számjegyekből áll, de fordított sorrendben. Például 33 + 18 = 51 és 33 – 18 = 15. Keress ilyen kétjegyű számokat! 11. Végezd el a következő kivonásokat az 5-ös számrendszerben: a) –

2324 1021

b)

13342 – 4233

c)

42131 – 21242

d)

304412 –123433



25

12. Pótold az alábbi 5-ös számrendszerbeli számokban a hiányzó számjegyeket úgy, hogy az első két szám különbsége a harmadik legyen!

a)

2 – 2

0 1 1

b)

3

3 –

4 1 4 3 2

1 0 4

1 4 1 2

2

13. Mely számrendszerben igaz a kivonás?

a) 110110 – 11001 = 11101

b) 132301 – 23133 = 103102

c) 120112 – 12221 = 100121

d) 231213 – 123331 = 102332

3. FELADATLAP (SZORZÁS) 1. Számold ki a szorzatokat, és a kártyákat rakd a szorzatok szerint növekvő sorrendbe! Melyik szót kapod, ha a kártyákon levő betűket ebben a sorrendben összeolvasod? Próbáld megkeresni a legkisebb szorzatot, és ezt a szorzást végezd el először, utána a következő legkisebbet, és így tovább! N 632 ∙ 943 D 962 ∙ 126 L 689 ∙ 391 E 327 ∙ 508 F 858 ∙ 421 I 442 ∙ 1009 2. Keresd meg a zsákban az alábbi szorzások eredményét! Mielőtt elvégzel egy szorzást, tippeld meg, melyik lesz a szorzat a zsákból! Számold össze, hányszor sikerült eltalálnod a szorzatot!

874 ∙ 56 =

328 ∙ 79 =

664 ∙ 18 =

423 ∙ 37 =

296 ∙ 85 =

507 ∙ 73 =

562 ∙ 263 =

487 ∙ 128 =

842 ∙ 2003 =

356 ∙ 5307 =

147 806; 278 876; 1 686 526; 2 195 100; 48 944; 15 651; 25 160; 10 260; 252 600; 62 336; 25 912; 11 952; 2 452 100; 19 251; 1 889 292; 37 011

621 ∙ 31 = 342 ∙ 30 = 842 ∙ 300 = 692 ∙ 403 = 791 ∙ 3100 = 540 ∙ 4065 =

26



3. Egészítsd ki a következő hiányos szorzásokat! 2 3 2

1

8

·

9

2 9

4 2

5

7 0

5

·

2 4

1

4

2

6

0

1

4. Január 1-jén szeretnéd elkérni az egész éves zsebpénzedet. Mennyi ez, ha a kialkudott zsebpénz havonta 750 Ft? 5. Egy nyaraló társaság strandra készül. A felnőtt belépő 1350 Ft, a kedvezményes belépő (diák, nyugdíjas) 650 Ft. 6 éven aluli gyereknek nem kell fizetni. A társaságban 6 felnőtt, 2 nyugdíjas, 6 diák és 2 hat éven aluli gyerek van. Mennyit fizetnek összesen a belépőért? 6. A Szabadtéri Játékok egyik előadására kiránduló csoport érkezik. 23 jegy a Párizs szektorba szól egyenként 4200 Ft-ért, 12 jegy a London szektorba egyenként 5200 Ft-ért, és 15 jegy a Berlin szektorba egyenként 3200 Ft-ért. Mennyit kell kifizetnie a csoport vezetőjének a jegyekért összesen? 7. Az autónk 6 liter benzint fogyaszt 100 kilométeren. Egy liter benzin 263 Ft. Mennyi volt a kirándulás útiköltsége, ha 2300 km-t tettünk meg? 8. a) Az öt legnagyobb kétjegyű szám szorzata hányszorosa a három legnagyobb kétjegyű szám szorzatának? b) A négy legkisebb négyjegyű szám szorzata hányszorosa a két legkisebb négyjegyű szám szorzatának?

Malom játék: (9–12. feladat) A játékot ketten játsszák. 5 egyforma bábuja van mindkét játékosnak. A soron következő játékos választ egy számot a háromszög alakú keretbe írt számok közül és egyet a négyszög alakú keretbe írt számok közül. Az egyik bábuját leteszi a táblára, arra a mezőre, ami a számok szorzatához legközelebb eső számot tartalmazza. Ugyanazt a párt többször nem lehet választani. A cél három, azonos színű vonalon elhelyezkedő szám megjelölése! Az a játékos nyer, akinek előbb van egy vonal mentén 3 bábuja egymás mellett. Ha ez egyiknek sincs, akkor döntetlen.



9. Malomjáték

490

260

350

240

470

660

530

400

320

4

6

8

59

66

82

27

28



10. Malomjáték

510 440 310

420

660

240

170

370

950

5

7

13

34

47

73



11. Malomjáték

560 2500

1780

1520

780 3170

1200

850

990

15

23

48

37

52

66

29

30



12. Malomjáték

9500 43 070 17 400 38 000

52 980

24 270 20 760

16 880

30 850

29

53

74

328

582

716



31

13. Gondoltam egy ötjegyű számot. Ha mögé írok egy 1-est, akkor a kapott hatjegyű szám 3-szorosa annak a hatjegyű számnak, amit úgy kapok, hogy a gondolt ötjegyű szám elé írok egy 1-t. Melyik számra gondoltam? 14. Melyik számjegyre végződik az első 10 páratlan szám szorzata? 15. Összeadtunk kilenc pozitív egész számot, és azt találtuk, hogy az összegük páros. Kati kiszámolta a szorzatukat és azt mondja, hogy a szorzatuk páratlan. Igaza van-e? Miért? 16. Mi a szabályosság? 11 ∙ 11 111 ∙ 11 1111 ∙ 11 11111 ∙ 11 111111 ∙ 11

111 ∙ 111 1111 ∙ 111

17. Mely számjegyeket jelölik a betűk, ha UM ∙ UM = SUM ? 18. Ha 1 · 3 = 5, 8 · 2 = 18 és 6 · 9 = 21, akkor mennyi 11 · 23; 536 · 29? Hogyan változna az eredmény, ha 6 · 9 = 56 lenne? 19. A szobának van 4 sarka, minden sarokban ül egy macska, minden macska farkán egy macska, minden macskával szemben 3 macska. Hány macska van a szobában?

Az 5-ös számrendszer szorzótáblája: .

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

2

0

2

4

11

13

3

0

3

11

14

22

4

0

4

13

22

31

20. Végezzük el a szorzásokat az 5-ös számrendszerben:

1232 ∙ 3

43103 ∙ 23

14332 ∙ 4

213314 ∙ 42

21. Mely számrendszerben igazak a következő szorzások:

a) 121 ∙ 2 = 1012

b) 1323 ∙ 2 = 3312

c) 132 ∙ 3 = 1001

32



4. FELADATLAP (OSZTÁS) 1. Mintapéldák

MINTAPÉLDA1 Az osztály tanulói kettesével padokban ülnek. Ha 28 fős az osztály, hány padot foglalnak el?

28 : 2 = 14 Osztandó osztó hányados (Ezt a fajta osztást neveztük korábban bennfoglalásnak, de eztán nem illetjük külön névvel, mert lesznek olyan osztások is, amelyek egyik tanult fajtába sem férnek be.) Ellenőrzés: 2 ∙ 14 = 28. Tehát 14 padban ül gyerek. Mi történik, ha az osztály tanulóit ötösével csoportokba szeretnénk osztani? Maradék:

28 : 5 = 5 3

Ekkor az ellenőrzés: 5 ∙ 5 + 3 = 28 Tehát 5 csoport lenne és kimaradna 3 gyerek.

MINTAPÉLDA 2 Az iskola vonósnégyese utcai zenéléssel keresett 3500 Ft-ot. Mennyi jut egy zenésznek, ha egyenlően osztják el a pénzt egymás közt? 3500 : 4 = 875 Ellenőrzés: 4 ∙ 875 = 3500 Tehát 875 Ft jut egy zenésznek.

Jegyezd meg! 0-val nem lehet osztani! 2. Keresd meg a zsákban a hányadosokat! Mielőtt elvégzel egy osztást, tippeld meg, melyik lesz a hányados a zsákból, és számold össze, hányszor sikerült eltalálnod a hányadost!

3872 : 11

8064 : 42

15 820 : 20

9372 : 12

4712 : 19

56 942 : 71

9520 : 17

16 962 : 66

11 256 : 14

34 884 : 57

9000 : 15

8151 : 19

12 926 : 23

30 875 : 95

9282 : 39

42 911 : 83

7000 : 25

53 656 : 76

352, 429, 238, 280, 517, 600, 781, 706, 791, 802, 562, 257, 560, 804, 325, 192, 612, 248



33

3. Végezd el az osztásokat! A kártyákat rakd a hányadosok szerint csökkenő sorrendbe! Melyik szót kapod, ha a kártyákon levő betűket ebben a sorrendben összeolvasod? Próbáld megkeresni a legnagyobb hányadost, és azt az osztást végezni először, utána a következő legnagyobbat, és így tovább. I

9216 : 24

Í

22 491 : 49

Ó

19 845 : 81

L

18 424 : 56

Z

29 016 : 72

V

26 000 : 40

4. Végezd el az osztásokat és ellenőrizz! 4398 : 17

11237 : 31

10324 : 52

11947 : 26

24229 : 48

55247 : 89

5. Végezd el az osztásokat és ellenőrizz!

26790 : 114

173190 : 345

167238 : 513

105820 : 220

178620 : 687

147510 : 990

6. a) Melyik az a szám, amelyet 11-tel osztva a hányados 8, és a maradék 9?

b) Melyik az a szám, amelyet 87-tel osztva a hányados 1133, és a maradék 54?

c) Melyik az a szám, amelyet 49-cel osztva a hányados 696, és a maradék 25?

d) Melyik az a szám, amelyet 61-gyel osztva a hányados 906, és a maradék 56?

7. a) Mi az osztó, ha az osztandó 187, a hányados 12, a maradék 7?

b) Mi az osztó, ha az osztandó 1300, a hányados 56, a maradék 12?

c) Mi az osztó, ha az osztandó 3169, a hányados 38, a maradék 53?

d) Mi az osztó, ha az osztandó 6633, a hányados 72, a maradék 81?

8. Hány csomag lesz, és mennyi marad ki, ha

a) 627 tojást 15-ösével dobozba raknak?

b) 500 teniszlabdát 6-osával dobozba raknak?

c) 356 paprikát 3-asával hálóba raknak?

d) 2000 tízes csomag papír zsebkendőt 16-os csomagba raknak? Számolás előtt becsülj!

9. Az osztálykirándulásról megmaradt 32 734 Ft-ot a 26 gyerek közt egyformán szétosztjuk, mennyi jut egy gyereknek? 10. 2006. január 1. vasárnapra esik. Hány teljes hét (hétfőtől vasárnapig) lesz ebben az évben?

34



Malomjáték (11–14. feladat) A játékot ketten játsszák. 5 egyforma bábuja van mindkét játékosnak. A soron következő játékos választ egy számot a háromszög alakú keretbe írt számok közül és egyet a négyszög alakú keretbe írt számok közül. A téglalapbeli számot elosztja a háromszögbeli számmal, és a táblán a hányadoshoz legközelebbi számot tartalmazó szabad mezőre teszi egy bábuját. Ugyanazt a párt többször nem lehet választani. A cél három, azonos színű vonalon elhelyezkedő szám megjelölése! Az a játékos nyer, akinek előbb van egy vonal mentén 3 bábuja egymás mellett. Ha ez egyiknek sincs, akkor döntetlen. 11. Malomjáték

110

60

320

190

160

40

120

70

100

2

4

6

240

384

648



12. Malomjáték

70 350 770

1001

160

720

460

550

110

5

7

11

770

3850

5005

35

36



13. Malomjáték

480 110

160

230

530 320

390

80

800

26

39

53

4134

12 402

20 670



14. Malomjáték

70 360 50 130

110 220

80

170

140

31

19

50

6900

2400

3300

37

38



14. Igazak vagy hamisak a következő állítások?

a) Ha az osztandó egyenlő az osztóval, a hányados nagyobb 1-nél.

b) A maradék mindig kisebb az osztónál.

c) Szorzat 0, ha legalább az egyik tényezője 0.

d) 0-val nem lehet szorozni.

e) 0-t nem lehet osztani 2-vel.

f) A 0 páros szám.

g) A 0 páratlan szám.

h) 0-val nem lehet osztani.

i) Ha a szorzat egyik tényezője nem 0, akkor a szorzat sem lehet 0.

5. FELADATLAP 1. Gondolj egy négyjegyű számot! Az első számjegyét tedd az elejéről a végére! Az így kapott négyjegyű számot add hozzá a gondolt számhoz! Az összeget oszd el 11-gyel! A hányadosból vond ki a gondolt szám első számjegyének 91-szeresét! Mit veszel észre? 2. Néhány 8-as számjegy és műveleti jelek segítségével állítsuk elő a 100-at! 3. Műveleti jelek és zárójelek segítségével tegyük igazzá az egyenlőséget!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

BINGÓ JÁTÉK 1. 1406 + 986 + 4562 = 2. 12673 – 7895 = 3. 62208 : 18 = 4. 384 + 384 + 384 + 384 = 5. 50001 + 9001 + 801 + 61 + 2 = 6. 68952 – 8997 = 7. 732 ∙ 1001 = 8. 104156 : 26 = 9. (10000 + 1000 + 100 + 10 + 1) ∙ (10000 + 1000 + 100 + 10 + 1) = 10. (8 tízes + 9 százas + 7 egyes) + (8 százas + 2 ezres + 5 egyes) = 11. 238 ∙ 29 = 12. 69992 : 52 = 13. 3892 ∙ 802 + 97932 = 14. (100000 + 10000 + 1000 + 100 + 10 + 1) : 11 = 15. 89001 ∙ 321 = 16. 89734 – 7892 – 3108 = 4006

59 955

3 219 316

123 454 321

28 569 321

6902

732 732

4778

6954

1346

1536

3792

101 010

78 734

3456

59 866


0514. Az alapműveletek ismeretének mélyítése

Készítette: laczka gyuláné

40



1. FELADATLAP 1. A tornaklub utánpótlás csapatában három korosztállyal foglalkoznak. Az I. korcsoportban 38 lány és 19 fiú, a II. korcsoportban 43 lány és 25 fiú, a III. korcsoportban 17 lány és 21 fiú versenyez. Töltsétek ki a táblázatot az adatoknak megfelelően! lány

fiú

összesen

I. korcsoport II. korcsoport III. korcsoport összesen

a) Számítsátok ki kétféle módon, hány tornász versenyez a klubba!

b) Ugyanazt az eredményt kaptátok-e soronként, illetve oszloponként haladva?

c) Milyen sorrendben célszerű elvégezni az összeadást a következő esetekben:

38 + 43 + 17 =

19 + 25 + 21 =

ÖSSZEGZÉS Azokat a számokat, amelyeket összeadunk, tagoknak, vagy összeadandóknak, az összeadás eredményét összegnek nevezzük.

38 

+

tag

43 

=

tag

81  összeg

Az összeadás tagjai felcserélhetőek: 38 + 43 = 43 + 38

d) Mennyivel több a tornász lányok száma a tornász fiúk számánál? e) Ha egy versenyre nem mehet több lány, mint fiú, legalább hány lány marad otthon?

ÖSSZEGZÉS A kisebbítendő és a kivonandó különbségét, a kivonás eredményét, különbségnek vagy maradéknak nevezzük.

98  kisebbítendő

–

65  kivonandó

=

33  különbség, maradék

A kisebbítendő és a kivonandó nem cserélhető fel: 98 – 65 nem egyenlő 65 – 98.



41

2. Kati a hétfői edzésen 1500 m-t úszott gyorsúszásban. 750 m-t hátúszással tett meg. A mellúszást 1200 m-en gyakorolta. Hány métert úszott összesen? Ábrázold számegyenesen, számold ki! 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Kedden és szerdán is ugyanezeket a távokat úszta le Kati, de más sorrendben. Hogyan tehette? Jelöld a számegyeneseken az úszások sorrendjét és a megtett távokat! Kedden: 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Szerdán: 0

Csütörtökön Katinak a gyorsúszásból 800 m-rel kevesebbet kellett megtennie. Mennyit kellett csütörtökön úsznia Katinak? 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Pénteken így szólt az edző: „Ma háton ússzál 800 m-rel kevesebbet”! Mit válaszolhatott Kati? 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

3. Csoportban beszéljétek meg ezt a feladatot! Amikor úgy érzed, hogy van a feladatra egy megoldásod, amit szívesen elmondasz az osztálynak, állj fel! Amikor mindenki feláll, a tanárod megmondja, kinek a megoldását fogja először meghallgatni. Mindenki, így a te ötleted is meghallgatásra kerül majd! Oldjátok meg a következő szöveges feladatot rajz segítségével! Kati cipője 1500 Ft-tal többe került, mint a húgáé. Mennyibe került a két cipő összesen, ha Katié 7000 Ft volt? 4. Ismét az előző módszert használva dolgozzatok! Alkossatok olyan szöveges feladatot, amelynek lehet ez a megoldási terve:

1700 – (680 + 130) =

5. Az alábbi 6 szám felhasználásával készíts olyan összeadásokat, amelynél az összeg ezresre kerekítve 5000, illetve olyanokat, ahol 10 000! Minden számot többször is használhatsz. Becsülj, számolj, ellenőrizz! 831

1554

2066

2709

3487

4228

42


0

2

3

4

6

7

8


9

6. Helyezd el a számkártyákat a kijelölt helyekre mindig más módon! Egy műveletben minden számjegy csak egyszer szerepelhet! Figyeld meg, mely számjegyek álltak az ezresek helyiértékén, amikor a legnagyobb összeget kaptad! És amikor a legkisebbet?

+

+

+

7. Önállóan oldjátok meg a feladatokat! Amikor befejeztétek, párban beszéljétek meg, hogy azonos-e a megoldásotok. Ha nem, beszéljétek meg, ki hogyan gondolkodott. Ha valamelyik feladat megoldásában nem értetek egyet, kézfeltartással jelezzétek! Folytasd a sorozatot egy számmal! Jelöld meg azt a sorozatot, amelynek tagja lehet a 96!

2, 6, 10, 14, 18, 22, …

76, 67, 58, 49, 40, 31, ...

24, 26, 29, 31, 34, 36, ...

36, 28, 29, 21, 22, 14, ...

3, 2, 4, 1, 5, 0, ...

8. 4 fős csoportokban játsszatok ezekkel a kártyákkal:

198

202

344

256

475

425

151

349

63

147

560

240

Válasszatok a csoportotokból valakit, aki vállalja az osztó szerepét. Ő mindhárom játékosnak ad két kártyát. Ezután a játékosok sorban kérhetnek még lapot, ha szükségesnek érzik azt. Az győz, akinek a kezében levő kártyáin a számok összege a legközelebb kerül az ezerhez úgy, hogy azt nem lépi át. Jegyezzétek le győzelmeitek számát! Néhány forduló után cseréljetek, legyen valaki más az osztó!

2. FELADATLAP 1. Egy hatszintes épület 3 lépcsőházból áll. Mindegyik lépcsőház mindegyik szintjén 5 lakás van. a) Hány lakás van az épületben? Keress önállóan megoldást! Amikor készen vagy, írj többféle megoldást arra, hogyan lehet kiszámítani a lakások számát. Mond el, mit számoltatok ki először! Írj többféle megoldást arra, hogyan lehet kiszámítani! b) Tervezz egy olyan házat, amelyben 2-szer ennyi lakás van! Írd le, milyen ez a ház! 2. a) Háromnapos kiránduláson a gyerekek 45 km-t tettek meg. Mindegyik napon ugyanannyit gyalogoltak. Hány km-t haladtak egy-egy nap?

b) Tervezz Te is olyan többnapos kirándulást, amelyen 120 km-t szeretnétek megtenni! Napok száma 1 napi út (km)

6

5

4

3



43

ÖSSZEGZÉS Azokat a számokat, amelyeket összeszorzunk, tényezőknek, a szorzás eredményét szorzatnak nevezzük.

6 

·

tényező: szorzandó

3 

=

tényező: szorzó

18  szorzat

A szorzás tényezői felcserélhetőek: 6 ∙ 3 = 3 ∙ 6 A szorzat értéke nem változik, ha a tényezőket felcseréljük. Az osztás eredményét hányadosnak nevezzük.

45  osztandó

:

3  osztó

=

15  hányados

Az osztandó és az osztó nem cserélhető fel. 3. Párokban dolgozzatok! A feladatok megoldását önállóan végezzétek úgy, hogy a pár egyik tagja összegalakban írja fel a feladat megoldását, a másik szorzatalakban! Ha elkészültetek, beszéljétek meg a megoldást a párotokkal, majd a csoport másik párjával! Ha nem egyezik a véleményetek, kérjetek segítséget! A következő feladatnál cseréljetek szerepet!

a) Egy teherautóval 34 zsák lisztet szállítanak. Hány zsák liszt lesz 8 teherautón, ha mindegyikre ugyanannyi zsákot tesznek?

b) Kati sálat köt. Naponta 18 cm-t halad. Hány cm-t köt egy hét alatt?

c) Egy iskolában minden teremben 28 szék van. Hány széket találunk 5 tanteremben?

d) Egy négyzet alakú asztalka lapjának minden oldala 58 cm. Mennyi az asztal kerülete?

4. Írjátok le az összeadásokat szorzatalakban! Végezzétek el a kijelölt műveleteket!

a) 0 + 0 + 0

b) 0 + 0 + 0 + 0 + 0

5. Számítsátok ki a szorzatokat!

a) 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1

b) 2 · 3 · 4 · 0 · 5 · 6

c) 2 · 1 · 2 · 1 · 2 · 1

d) 342 · 21 · 0

6. Számolj minél egyszerűbben! Írd le a tényezőket a műveletvégzés sorrendjében!

a) 8 · 2 · 6 · 5 · 75 · 5

b) 2 · 15 · 8 · 5 · 5 · 5

c) 50 · 41 · 20 · 2

d) 7 · 125 · 4 · 2

e) 2 · 24 · 5 · 100

44



7. Folytasd a sorozatokat egy-egy számmal!

a) 1; 2; 4; 8; 16;

b) 3; 7; 15; 31; 63;

c) 140; 70; 60; 30; 20;

d) 3; 9; 8; 24; 23;

e) 3; 6; 4; 12; 9;

– Mit gondolsz, melyik sorozat lépi át előbb az 1000-et?

– Mit sejtesz, mennyi lesz az 1000-hez legközelebbi tagja az első és mennyi a második sorozatnak?

– Sejtésedet ellenőrizd számítással!

3. FELADATLAP 1. Számítsd ki!

220 + 37 · 2 – 45 : 5 = 285

2. Írd fel minél többféleképpen a 100-at a 2, 3 5 és 7 számok, műveleti jelek és zárójelek segítségével. 3. Kösd össze azokat a műveletsorokat, amelyeknek ugyanaz az eredménye! Figyelj, hogy ne számolj feleslegesen!

a) 124 : 4 + 56 – 24 · 3 : 4

d) 124 – 24 : 4 + 56 – 3

b) 56 – 24 · 3 : 4 + 124 : 4

e) 56 + 124 : 4 – 24 · 3 : 4

c) 124 : 4 + 56 – 24 : 4 · 3

f) 56 + 124 : 4 – 24 : 4 · 3

4. Írj zárójeleket a műveletsorokba úgy, hogy az eredményük ne változzon! Számítással ellenőrizz!

a) 350 + 6 · 3 =

b) 40 · 3 · 4 · 25 =

c) 720 : 12 : 6 : 2 =

d) 120 : 24 · 80 : 5 =

5. Írd le a lehető legkevesebb zárójellel, de az eredmény ne változzon!

a) 8 + (8 · 8) – (8 : 8) =

b) 8 – (8 : 8) + (8 · 8) =

c) 8 · (8 : 8) – (8 : 8) =

d) (8 · 8) : 8 – (8 : 8) =

Alkoss magad is hasonló feladatokat! Ha a műveletsor vegyesen tartalmazza a négy alapműveletet, akkor először balról jobbra haladva a szorzásokat és az osztásokat végezzük el, azután az összeadásokat és kivonásokat.



45

6. Írj zárójeleket a következő műveletsorokba úgy, hogy az eredmények különbözőek legyenek! Keress több megoldást!

a) 28 · 4 + 24 – 12 + 8 : 2 =

28 · 4 + 24 – 12 + 8 : 2 =

28 · 4 + 24 – 12 + 8 : 2 =

28 · 4 + 24 – 12 + 8 : 2 =

28 · 4 + 24 – 12 + 8 : 2 =

b) 950 : 5 + 45 – 5 · 10 =

950 : 5 + 45 – 5 · 10 =

950 : 5 + 45 – 5 · 10 =

950 : 5 + 45 – 5 · 10 =

950 : 5 + 45 – 5 · 10 =

A zárójelek módosítják a műveletek elvégzésének a sorrendjét.

7. Először tedd ki a számfeladatok közé a <, > vagy = jelek valamelyikét! Számítsd ki és hasonlítsd össze az eredményeket, azután állapítsd meg, jól becsültél-e!

a) (52 + 125) · 7 – 5 =

52 + (125 · 7) – 5 =

b) 47 · 12 : 6 + 3 =

47. (12 : 6 + 3) =

c) (19 + 21 · 4) · 2 =

19 + 21. 4 . 2 =

d) (12 · 3) – (46 : 2 ) =

12 · 3 – 46 : 2 =

8. Végezd el a műveleteket! Figyelj a sorrendre!

a) 8 + (9 · 7 – 11) : 2 =

b) 90 : 9 · 5 + 260 – 28 =

c) 67 – 52 + 72 : 8 =

d) 170 – 36 : 9 + 2 · 15 : 3 =

9. Hány különböző eredménye lehet az alábbi kifejezésnek, ha tetszőleges számú zárójellel módosítjuk?

6·3–4:2

10. Végezd el a kijelölt műveleteket!

a) [3 · (450 – 115) – 210] : 5 + 3450 – 243 =

b) [(13 · 25 + 12 ∙ 15 + 1) : 2 – 42]. 39 =

11. Számítsd ki az egymást követő számok összegét!

1 + 2 + 3 + … + 19 + 20 + 21 =

Változtass néhány összeadást kivonásra! Úgy is végezd el a kijelölt műveleteket! Megválaszthatók-e a + és – jelek úgy, hogy 1-et kapjunk eredményül?

46



12. Válassz a csillagok helyére a 4 alapművelet jelei közül úgy, hogy a lehető legnagyobb, ill. a lehető legkisebb természetes számot kapd eredményül! 1 · 9 · 9 · 4 13. Igazak-e az állítások?

a) 300 – (40 – 10) = 300 – 40 + 10

b) 300 + (40 + 10) = 300 + 40 + 10

c) 300 + (40 – 10) = 300 + 40 – 10

d) 300 – (40 – 10) = 300 – 40 – 10

14. Végezd el a műveleteket!

7 + (9 · 6 – 15) : 3 =

70 : 7 · 2 + 20 – 4 =

4. FELADATLAP 1. Egy kosárlabda szakosztályban négy korosztállyal foglalkoznak. A mini korcsoportban 32 lány és 42 fiú, a serdülő korcsoportban 24 lány és 38 fiú, a kadet korcsoportban 18 lány és 27 fiú, az ifi korcsoportban 16 lány és 13 fiú versenyez. Töltsd ki a táblázatot az adatoknak megfelelően! lány

fiú

összesen

mini korcsoport serdülő korcsoport kadet korcsoport ifi korcsoport összesen

a) Számítsd ki kétféle módon, hányan kosárlabdáznak a szakosztályban!

b) Milyen sorrendben érdemes elvégezni az összeadást a következő esetekben:

c) Mennyivel több a kosárlabdázó fiúk száma a kosárlabdázó lányok számánál?

2. Barnabás nadrágja 2500 Ft-tal kevesebbe került, mint a bátyjáé. Mennyibe került a két nadrág összesen, ha Barnabásé 9500 Ft volt? 3. Egy egy hetes autóversenyen a versenyzők 12 600 km-t tettek meg. Minden nap ugyanannyit autóztak. Hány km-t haladtak 1-1 napon? 4. Egy kollégium minden szobájában 4 ágy van. Hány ágyat találunk 12 szobában? 5. Számolj minél egyszerűbben! Írd le a tényezőket a műveletvégzés sorrendjében!



47

6. Folytasd a sorozatokat két-két számmal!

a) 2, 5, 8, 11, 14, …

b) 3, 6, 12, 24,…

c) 75, 69, 63, 57, ...

d) 2, 5, 11, 23, 47,…

e) 1260, 620, 300, 140,…

7. Kösd össze azokat a műveletsorokat, amelyeknek ugyanaz az eredménye!

a) 125 : 5 + 32 – 16 · 3 : 4

b) 32 – 16 · 3 : 4 + 125 : 5

c) 125 : 5 + 32 – 16 : 4 · 3

d) 125 – 16 : 4 + 32 –3

e) 32 + 125 : 5 – 16 · 3 : 4

f) 32 + 125 : 5 – 16 : 4 · 3

8. Írj zárójeleket a műveletsorokba úgy, hogy az eredményük ne változzon! Számítással ellenőrizz!

250 + 2 · 7 =

8 · 125 · 20 · 4 =

750 : 25 : 3 : 5 =

105 : 15 · 72 : 8 =

9. Végezd el a következő műveleteket! Figyelj a sorrendre!

a) 11 + (5 · 6 – 9) =

b) 75 : 15 · 9 + 134 – 27 =

c) 84 – 32 + 56 : 7 =

d) 230 – 42 : 6 + 2 · 14 : 7 =

10. Igazak-e az állítások?

a) 200 – (50 – 20) = 200 – 50 + 20

b) 200 + (50 + 20) = 200 + 50 + 20

c) 200 + (50 – 20) = 200 + 50 – 20

d) 200 – (50 – 20) = 200 – 50 – 20

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Végezd el a műveleteket balról jobbra haladva!

275 – 76 + 125 – 38 =

Csoportosítsd a számokat, más sorrendben is végezd el a műveleteket!

2. Végezd el a műveleteket balról jobbra haladva!

95 + 128 – 25 – 64 =

Csoportosítsd a számokat, más sorrendben is végezd el a műveleteket!

48



3. Írd a számok közé a „+” vagy a „–” műveleti jeleket, hogy igaz legyen az állítás!

175 – 46 + 25 – 32 = 122

175 + 46 – 25 – 32 = 164

175 – 46 – 25 – 32 = 72

175 + 46 + 25 – 32 = 214

4. Töltsd ki a táblázat üres celláit! 6

12

15

36

72 9

54

12

135 144

21

5. Keresd az egyenlőket anélkül, hogy kiszámolnád a kijelölt műveleteket!

48 ∙ 72

144 ∙ 24

70 ∙ 50

12 ∙ 12 ∙ 20

36 ∙ 96

40 ∙ 80

6 ∙ 64 ∙ 9

20 ∙ 160

Végezz ellenőrzést számológéppel!

6. Számítsd ki a szorzatokat a lehető legegyszerűbben! Írd le, milyen sorrendben végezted el a szorzást!

a) 39 ∙ 4 ∙ 25

b) 25 ∙ 42 ∙ 15 ∙ 4

c) 340 ∙ 10 ∙ 0 ∙ 2

d) 66 ∙ 4 ∙ 8 ∙ 250

7. Mennyi idő alatt lehet megtenni a 24 kilométeres távot gyalog, kerékpárral, busszal és autóval?

a) Számold úgy, hogy egy gyalogos óránként átlagosan 4 km-t, egy kerékpáros 12 km-t, a busz 48 km-t, az autó 96 km-t tesz meg!

b) Az út felénél pihenünk. Mennyi idő telik el a pihenésig az indulástól számítva?

8. Befőzéshez sok cukorra van szükség. Anya kérésére 20 kg cukrot kellene Apával hazavinni.

a) Az üzlet felé haladva azon gondolkodunk, hány csomaggal viszünk, ha van 10 kg-os kiszerelésben. Hány csomag kell, ha csak fél kilós csomagokat találunk? Milyen csomagolásban találhatunk még? Melyik fajtából hány kell?

b) Az üzletbe érve sokféle csomagolásban találtunk cukrot. Az eladó elmondta, mindegyikből 80 csomag van. Hány kiló cukor van a különféle csomagolásokban?

c) Hazafelé azon gondolkodtam, ha a nagy bevásárló csarnokba mindegyik fajtából 5-ször ennyit vinnének, mennyi lenne ott a különféle csomagolásokban. Számold ki te is!



49

9. Egyik szellemi vetélkedőn valaki másfél millió forintot nyert. Hány darab 20 000 forintossal lehet kifizetni ennyi pénzt? Mit gondolsz, ha más bankjeggyel fizetnének, melyikből hány darabra lenne szükség?

a) Gondold végig a bankjegyek darabszámát akkor is, ha valaki kétszer ennyi pénzt nyer!

b) Akkor is kiszámítható a bankjegyek száma, ha csak harmad annyi pénzt nyernek?

10. Találd ki, hány 0-ra végződnek az alábbi műveletek eredményei! Mit gondolsz, hány jegyű lesz a legnagyobb és hány jegyű a legkisebb eredmény?

300 · 40 – 10 + 20 · 150 =

300 · (40 – 10 + 20) · 150 =

300 · (40 – 10 + 20 · 150) =

11. M inden sorba tegyél a számok közé egy „ = ”, egy „ ∙ ” és egy „ : ” jelet olyan sorrendben, hogy igaz állításhoz juss!

120

8

24

40

360 120 8

24

24

360

24

360 120 24

120 8

8 120 360 8

12. Add meg a számokat szorzat és szám összegeként! Keress több megoldást! 226

412

· 80 +

· 78 +

· 40 +

· 59 +

· 70 +

· 61 +

· 60 +

· 71 +

13. Számítsd ki a művelet eredményét,

Ha az összeg tagjai: 8, 11, 20,

Ha a szorzat tényezői: 8, 11, 20.

Dönts az állítások igazságáról!

Ha az egyik tagot 1-gyel megnöveljük, az összeg is 1-gyel nő.

Ha az egyik tényezőt 1-gyel megnöveljük, a szorzat is 1-gyel nő.


0515. Természetes számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása

Készítette: laczka gyuláné

52



1. FELADATLAP 1. Egy kosárban összesen 100 piros és fehér gomb van.

a) Hozzáteszek 13 pirosat. Hány gomb van a kosárban összesen?

b) Hogyan változik a gombok száma, ha további 4 fehér gombot a kosárba teszünk?

c) Hogyan változik a gombok száma, ha még 5 piros gombot a kosárba teszünk?

d) Hogyan változik a gombok száma az eredetihez képest, ha 5 fehér gombot kiveszünk a kosárból?

e) Hogyan változik a gombok száma, ha további 3 piros gombot kiveszünk a kosárból?

2. A következő nyitott mondatokban a p a piros gombok számát, f a fehér gombok számát jelöli. A feladat elején p + f = 100. Párosítsd a nyitott mondatokat az előbbi feladatokkal és írd melléjük az eredményt!

(p + 13 + 5) + (f + 4) =

p + (f – 5) =

(p + 13) + f =

(p + 13) + (f + 4) =

(p – 3) + (f – 5) =

3. Két kártyacsomagunk van A és B. Tudjuk, hogy a két kártyacsomagban összesen 100 kártya van.

a) Az A kártyacsomagból átteszünk 20 kártyát a B kártyacsomagba. Az eredetihez képest hogyan változik az A – B különbség?

b) A B kártyacsomagból átteszünk 20 kártyát az A kártyacsomagba. Az eredetihez képest hogyan változik az A – B különbség?

4. Két ujjam távolsága a földtől b és j. A bal kezem b, a jobb kezem j magasságban van. A magasságaik különbsége 40 cm. Tehát b – j = 40. Minden részfeladat elején ebből induljunk ki.

a) Mennyi lesz a különbség, ha a bal kezem ujját 10 cm-rel megemelem?

b) Mennyi lesz a különbség, ha a bal ujjamat 10 cm-rel lejjebb rakom?

c) Mennyi lesz a különbség, ha a jobb kezem ujját 5 cm-rel megemelem?

d) Mennyi lesz a különbség, ha a jobb ujjamat 5 cm-rel lejjebb rakom?

e) Mennyi lesz a különbség, ha a jobb ujjamat 10 cm-rel lejjebb, a balt 12 cm-rel feljebb rakom?

f) Mennyi lesz a különbség, ha mindkét ujjamat ugyanannyival feljebb teszem?

5. Párosítsd a következő nyitott mondatokat az előbbi feladatokkal, és írd mindegyik mellé oda az eredményt is!

(b – 10) – j =

b – (j – 5) =

(b +10) – j =

(b + 23 ) – (j +23) =

b – (j + 5) =

(b + 12) – (j – 10) =



53

6. Számold ki az alább kijelölt műveleteket, majd egészítsd ki a hiányos mondatokat!

132 + 64 =

232 + 64 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . növeltük az összeadás első tagját, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nőtt az összeg.

217 + 51 =

217 + 101 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeadás második tagját, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeg.

500 – 81 =

600 – 81 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a kisebbítendőt, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a különbség.

970 – 65 =

970 – 75 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a kivonandót, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a különbség. 7. Számold ki az alább kijelölt műveleteket, majd egészítsd ki a hiányos mondatokat!

320 + 47 =

300 + 47 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeadás első tagját, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeg.

218 + 25 =

218 + 15 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeadás második tagját, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . az összeg.

680 – 40 =

640 – 40 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a kisebbítendőt, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a különbség.

1000 – 470 =

1000 – 400 =

Ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a kivonandót, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a különbség. 8. Számold ki a következő műveletsor eredményét. Azután tegyél be egy zárójel-párt a műveletsorba minél többféleképpen. A csoportotokon belül osszátok szét a feladatokat és számoljátok ki, melyik esetben mennyi lesz a végeredmény. Ahol az eredmény nem változott, ott kékkel színezzétek át a zárójeleket. Ahol megváltozott, ott piros színű legyen a zárójel-pár.

200 – 10 + 66 – 20 + 40 – 50 =

54



ÖSSZEGZÉS Összeadás során a tagokat tetszőlegesen csoportosíthatjuk, a zárójelet el is hagyhatjuk, be is tehetjük, az összeg nem változik. Ha a műveletsorban kivonás is van, akkor is szabadon csoportosíthatunk az összeadásjelektől elkezdve. Egy összeadásjel után el is hagyhatjuk a zárójelet, be is tehetjük a zárójelet. 9. Fejben számolj! A következő feladatok eredményét könnyen kiszámolhatod fejben, ha ügyesen zárójelezel, azaz, ha ügyesen csoportosítod a benne szereplő műveleteket.

128 + 19 – 9 + 13 +17 =

92 + 24 + 16 + 35 – 25 = 121 – 21 + 26 + 52 – 42 = 132 + 18 + 51 – 31 + 9 =

10. A feladathoz kaptok egy borítékot, benne 4 kártyával. Alkossatok műveletsort ezekkel. Felváltva húzzatok közülük egy-egy kártyát és alkossatok láncfeladatot a húzások sorrendjében, majd számítsátok ki a feladatot!

240

Keverjétek össze a kártyákat, és húzzatok újra!

240

Keverjétek össze a kártyákat, és húzzatok újra!

240

Beszéljétek meg, mit tapasztaltatok!

=

=

=

Ha egy műveletsorban csak összeadás és kivonás szerepel, akkor a műveletvégzés sorrendjét felcserélhetjük, csupán arra kell ügyelnünk, hogy a számok és az előttük álló műveleti jelek összetartoznak, csak együtt lehet cserélgetni őket.

MINTAPÉLDA Ha a következő műveletsorban ügyesen cserélgetjük a hozzáadás és elvétel sorrendjét, akkor könnyen megkaphatjuk az eredményt fejben is: 528 + 133 – 13 + 90 + 52 – 18 Megoldás: Az 528-ból először érdemes 18-at elvenni, azután 90-et hozzáadni, így 600-at kapunk. Ha ehhez ezután hozzáadunk 133-at és el is veszünk 13-at, akkor éppen 720-at kapunk, amihez könnyen hozzá tudjuk adni az 52-t. 528 + 133 – 13 + 90 + 52 – 18 = 528 – 18 + 90 + 133 – 13 + 52 = 772



55

11. Fejben számolj! Változtasd ügyesen a műveletek sorrendjét!

1211 + 625 – 37 – 111 + 47 – 10 = 532 + 457 – 44 – 32 + 54 – 10 = 1574 + 27 – 500 + 26 – 17 + 32 = 245 + 57 – 121 – 145 + 821 – 500 = 1335 + 758 – 74 – 235 + 94 – 10 =

2. FELADATLAP 1. Oldd meg a következő feladatokat! A feladat megoldásához használhatsz számegyenest. A megoldási tervet szorzatalakban írd fel! Figyeld meg a szorzat változását a tényezők változásától függően! a) Mennyit fizetünk 4 m szalagért, ha 1 m ára 20 Ft?

1m

1m

1m

1m

b) Mennyit fizetünk, ha kétszer ennyi szalagot veszünk?

c) Mennyit fizetünk, ha fele ennyi szalagot veszünk?

d) Mennyit fizetünk 2 m szalagért, ha 1 m ára 40 Ft?

e) Mennyit fizetünk 2 m szalagért, ha 1 m ára 10 Ft?

f) Mennyit fizetünk 8 m szalagért, ha 1 m ára 10 Ft?

2. A pároddal közösen fejezzétek be a következő mondatokat! Ha az egyik tényező a kétszeresére nő, a szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ha az egyik tényező a felére csökken, a szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ha mindkét tényező a kétszeresére nő, a szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ha egyik tényező a felére csökken, a másik pedig a kétszeresére nő, a szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. A pároddal közösen dolgozz! a) A páros egyik tagja számítsa ki a 16 ∙ 53 szorzatot! A másik tag az első tényező felezésével, a második tényező egyidejű kétszerezésével kapott szorzást végezze el! Hasonlítsátok össze a szorzatokat!

b) Írjatok ki a szorzótáblából 3 olyan párt, amelyekben az egyik tényező felére csökken (pl.: 8 ∙ 9; 4 ∙ 9)! Hasonlítsátok össze a szorzatokat!

c) Írjatok ki a szorzótáblából 3 olyan párt, amelyekben az egyik tényező háromszorosára nő! Hasonlítsátok össze a szorzatokat!

4. Végezzétek el a szorzásokat, azután az egyik tényezőt növeljétek négyszeresére!

a) 250 ∙ 6 =

b) 25 ∙ 8 =

Hasonlítsátok össze az egy feladathoz tartozó 2-2 szorzatot!

56



5. Az alábbi szorzatokban mindkét tényező változik. Meg lehet-e előre állapítani, hogy miképp fog változni a szorzat? Próbáljátok meg! a) 12 ∙ 12 6 ∙ 6 4 ∙ 4 3 ∙ 3 b) 24 ∙ 18 12 ∙ 36 48 ∙ 9 4 ∙ 108 6. Változtassátok a tényezőket a következő szorzatokban úgy, hogy 10; 100, 1000 legyen az egyik tényező, és a szorzat ne változzék!

a) 25 ∙ 8 =

b) 125 ∙ 16 =

c) 138 ∙ 5 =

d) 248 ∙ 50 =

7. Változtassátok az adott szorzatokban a két tényezőt, az egyiket szorozzátok, a másikat osszátok ugyanazzal a számmal úgy, hogy az egyik 0-ra végződő szám legyen!

a) 4 ∙ 55 =

b) 25 ∙ 104 =

8. a) Határozzátok meg, mennyi lehet A illetve B értéke, ha tudjuk, hogy A ∙ B = 150!

b) A nélkül, hogy elárulnám, mi van a kártyák hátoldalán, találd ki, hogy mennyi lesz a szorzat értéke, ha

– az A kártyán levő számot megszorzom 3-mal;

– a B kártyán levő számot elosztom 5-tel;

– az A kártyán levő számot elosztom 3-mal, és a B kártyán levő számot megszorzom 5-tel;

– az A kártyán levő számot elosztom 5-zel és a B kártyán levő számot megszorzom 5-tel;

– az A kártyán levő számot megszorzom 2-vel, a B kártyán levő számot megszorzom 7-tel;

– az A kártyán levő számot elosztom 5-tel és a B kártyán levő számot is elosztom 5-tel

36 : 12 = 3

9. a) Növeld az osztandót a négyszeresére és végezd el az osztást! Figyeld meg a hányadost!

b) Csökkentsd az osztót a harmadára, és végezd el úgy az osztást! Hogyan változott a hányados?

c) Növeld az osztandót és az osztót is ötszörösére és végezd el az osztást!

d) Növeld az osztandót a kétszeresére és változtasd az osztót úgy, hogy a hányados ne változzon! Végezd el a műveletet!



57

10. Egy autó kötelező biztosítása 3 év alatt 120 000 Ft volt. A díj azonos volt minden évben.

a) Hány Ft volt a biztosítás évi díja?

b) Ha a gépjármű tulajdonos CASCO biztosítást is kötne, a biztosítás díja háromszorosa lenne. Hány Ft lenne az éves díj?

11. V áltoztasd a 150 : 5 osztásban az osztót úgy, hogy a hányados felére, harmadára, ötödére, hatodára, tizedére csökkenjen! Alkoss szöveget a feladathoz! 12. V áltoztasd az osztandót és az osztót úgy, hogy 100, vagy 1000 legyen az osztó, és a hányados ne változzék!

a) 186 : 20

b) 984 : 200

c) 1346 : 500

d) 729 : 250

13. A tejfölös poharakat 18 ládába helyezték el.

a) Azonos feltételek mellett hány ilyen láda kell, ha a tejfölös poharak száma harmadára csökken?

b) Azonos feltételek mellett hány ládába fér el az eredeti tejfölös poharak számának háromszorosa?

14. a) Határozzátok meg, mennyi lehet C illetve D értéke, ha tudjuk, hogy C : D = 6!

b) Anélkül, hogy elárulnám, mi van a kártyák hátoldalán találd ki, hogy mennyi lesz a hányados értéke, ha

– az C kártyán levő számot megszorzom 3-mal;

– a D kártyán levő számot elosztom 5-tel;

– a C kártyán levő számot elosztom 3-mal, és a D kártyán levő számot megszorzom 2-vel;

– a C kártyán levő számot elosztom 5-tel, és a D kártyán levő számot is elosztom 5-tel;

– a C kártyán levő számot megszorzom 2-vel, a D kártyán levő számot is megszorzom 2-vel;

– a C kártyán levő számot elosztom 2-vel, és a D kártyán levő számot elosztom 4-gyel!

15. Számold ki a következő műveletsor eredményét. Azután tegyél be egy zárójel-párt a műveletsorba minél többféleképpen. A csoportotokon belül osszátok szét a feladatokat és számoljátok ki, melyik esetben mennyi lesz a végeredmény. Ahol az eredmény nem változott, ott kékkel színezzétek át a zárójeleket. Ahol megváltozott, ott piros színű legyen a zárójel-pár.

600 : 2 ∙ 6 ∙ 10 : 5 = ÖSSZEGZÉS Szorzásnál a tagokat tetszőlegesen csoportosíthatjuk, a zárójelet el is hagyhatjuk, be is tehetjük, a szorzat nem változik. Ha a műveletsorban osztás is van, akkor is szabadon csoportosíthatunk a szorzásjelektől elkezdve. Egy szorzásjel után el is hagyhatjuk a zárójelet, be is tehetjük a zárójelet.

58



16. Fejben számolj! A következő feladatok eredményét könnyen kiszámolhatod fejben, ha ügyesen zárójelezel, azaz, ha ügyesen csoportosítod a benne szereplő műveleteket.

16 ∙ 66 : 11 : 3 = 24 ∙ 63 : 7 : 3 = 79 ∙ 55 : 5 : 11 = 12 ∙ 320 : 8 : 4 =

17. A feladathoz kaptok egy borítékot, benne 4 kártyával. Alkossatok műveletsort ezekkel. Felváltva húzzatok közülük egy-egy kártyát és alkossatok láncfeladatot a húzások sorrendjében, majd számítsátok ki a feladatot!

60

Végezzétek el az előző tevékenységet még néhányszor!

60

=

60

=

60

=

a) Fogalmazzátok meg, miben egyeznek, és miben különböznek ezek a feladatok!

=

b) Beszéljétek meg a tapasztalatok okát! Ha egy műveletsorban csak szorzás és osztás szerepel, akkor a műveletvégzés sorrendjét felcserélhetjük, csupán arra kell ügyelnünk, hogy a számok és az előttük álló műveleti jelek összetartoznak, csak együtt lehet cserélgetni őket.

MINTAPÉLDA Ha a következő műveletsorban ügyesen cserélgetjük a szorzás és osztás sorrendjét, akkor könnyen megkaphatjuk az eredményt fejben is: 360 ∙ 14 : 120 ∙ 9 : 3 : 7 = Megoldás: A 360-at először érdemes 120-szal, majd utána 3-mal elosztani, így 1-et kapunk. Azután 90-et hozzáadni. Ha ezt ezután megszorozzuk 14-gyel, és el is osztjuk 7-tel, akkor éppen 2-t kapunk, amit könnyen meg tudunk szorozni 9-cel. 360 ∙ 14 : 120 ∙ 9 : 3 : 7 = 360: 120 : 3 ∙ 14 : 7 ∙ 9 = 18 18. Fejben számolj! Cserélgesd ügyesen a műveletek sorrendjét! 555 ∙ 32 : 111 : 55 ∙ 7 : 4 = 66 ∙ 240 : 10 : 3 : 22 ∙ 2 = 72 ∙ 56 : 4 : 7 : 9 : 8 = 64 : 120 : 8 ∙ 480 : 4 ∙ 5 = 750 : 9 : 5 : 150 ∙ 81 ∙ 10 =



59

3. FELADATLAP 1. Készítsetek a feladatokhoz alkalmas ábrát!

a) Egy iskolásokat szállító autóbuszon 32 ülőhely és 17 állóhely van. Legfeljebb hány tanulót tudnak elszállítani, ha 4 ilyen buszt vesznek igénybe? Számítsátok ki többféleképpen!

b) Micimackó egy mézes csupra tele mézzel 84 dkg. A csupor 36 dkg. Hány dkg méz van csuprában, ha mindegyik tele van?

c) Egy állatkereskedésben 6 kakadu, és 18 hullámos papagáj van. Két kalitkába rakják őket úgy, hogy ugyanannyi madár kerüljön mindkét fajból mindkettőbe. Hány madár lesz egy kalitkában? Számolj kétféleképpen!

d) Süsü egy hét alatt minden nap ugyanannyi rózsafát ültetett, összesen 84et. A királyi kertész ugyanilyen módszerrel dolgozva egy hét alatt összesen 70 rózsafát ültetett. Hány rózsafával ültetett Süsü többet egy nap alatt a királyi kertésznél?

2. Alkossatok szöveget a következő műveletekhez!

a) (62 + 25) ∙ 4 =

b) 12 ∙ 7 – 5 ∙ 7 =

3. Számold ki kétféleképpen!

a) (60 + 50) ∙ 7 = (60 ∙ 7) + (50 ∙ 7) =

b) (75 + 20) ∙ 7 =

c) (81 + 45) : 9 =

d) (72 – 56) : 8 =

4. Írd le a számítás tervét többféle alakban!

a) Egy ládában 15 kg alma van. A másik ládában ugyanilyen almából 18 kg van. Mennyibe kerül a két láda alma, ha kilója 120 Ft?

b) Egy csokoládégyárban 600 tábla mogyorós csokoládét és 250 tábla fehér csokoládét csomagoltak dobozokba. Minden dobozba 50 tábla fér. Mennyivel több dobozt töltöttek meg mogyorós csokoládéval, mint fehér csokoládéval?

5. Melyik az a szám, amelyik a 263 és a 85 összegének hatszorosánál 2-vel kevesebb? 6. Mely számok írhatók a keretbe úgy, hogy az egyenlőség igaz legyen?

a) 420 ∙ 28 + 420 ∙

b) 54 ∙ 225 –

∙ 225 = 20 ∙ 225

c) 860 : 20 –

: 20 = 500 : 20

= 420 ∙ 100

60



7. Töltsd ki a következő táblázatot! Melyek azok a sorok, amelyek megegyeznek? a

5

25

10

b

4

5

20

c

9

4

300

a∙b∙c (a ∙ c) ∙ b (a ∙ b) ∙ c (a ∙ c) ∙ (b ∙ c) (a + b) ∙ c a∙c+b∙c

8. Hány kg almát vitt 10 ládában a zöldséges boltba a kereskedő, ha bármelyik almával teli láda 13 kg, a láda pedig 2 kg? 9. Írd le zárójeles feladatként és számítsd ki:

a) 32, 24 és 40 összegének nyolcadrésze;

b) 32 és 24 különbségének negyedrésze meg 40 és 16 összegének négyszerese.

10. A számok közé tegyél műveleti jeleket úgy, hogy igaz állításokat kapj! Használhatsz zárójeleket is.

35

42

3 = 21

35

42

3 = 161

35

42

3 = 49

11. A virágboltban csokrokat kötnek. Minden csokorba csak 5 tulipán és 7 nárcisz kerül. 3 csokorba hány szál virágot kötnek? 12. A naposok az asztalokra asztalonként 12 tányért tesznek ki. Majd a hiányzók miatt minden asztalról 4 tányért visszavisznek. Hány tányér kerül 5 asztalra? 13. Technika órán a gyerekek színes lapból hajtogatnak. Minden háromfős csoport 6 piros és 9 sárga lapot kap. Hány lapból hajtogathat egy-egy tanuló, ha a színes lapokat egyenlően kellett szétosztani maguk között? 14. A z iskola 20 labdát kap. Ebből 8 kosárlabda, a többi pöttyös gumilabda. Hány pöttyös labdát kap egy-egy osztály, ha 4 osztály között egyenlően osztják szét őket?



61

4. FELADATLAP 1. Ádám 145 cm magas, míg Katalin 130 cm. (Minden részfeladatnál ebből induljunk ki.)

a) Mennyi Ádám és Katalin magasságának különbsége?

b) Mennyi lesz a különbség, ha Ádám feláll egy 40 cm magas székre?

c) Mennyi lesz a különbség, ha Katalin feláll egy tornapadra mely 15 cm magas?

d) Mennyi lesz a különbség, ha Katalin a lépcsőn 1 lépcsőfokkal lejjebb áll (1 lépcsőfok 20 cm)?

2. Keresd meg az egyenlő eredményű műveletsorokat számolás nélkül, majd számolással ellenőrizd a megoldásod!

a) 360 – 38 + 92 – 65 + 25

b) 360 + 92 – 38 – 25 + 65

c) 360 + 25 – 65 – 38 + 92

d) 360 – 65 + 92 – 38 + 25

e) 360 – 38 + 92 – 25 + 65

f) 360 – 92 + 38 – 25 + 65

3. Számold ki a következő műveletsor eredményét. Azután tegyél be egy zárójel-párt úgy, hogy a műveletsor eredménye ne változzon!

110 + 10 – 30 + 50 – 20 = 4. Fejben számolj!

a) 168 + 27 – 7 + 14 + 16 =

b) 227 + 42 – 22 + 36 + 4 =

c) 923 + 835 – 46 – 223 + 56 – 10 =

d) 1332 – 57 + 752 – 122 + 77 – 52 =

5. Végezd el a szorzásokat, azután az egyik tényezőt növeld háromszorosára! Hogyan változik a feladatokhoz tartozó 2-2 szorzat?

a) 300 · 2 =

b) 30 · 4 =

6. Az alábbi szorzatokban mindkét tényező változik. Állapítsd meg, hogyan változik a szorzat!

a) 18 · 18

9 · 9

6 · 6

3 · 3

b) 12 · 12 24 · 16 3 · 128 48 · 8

62



7. a) Határozd meg, mennyi lehet A illetve B értéke, ha tudjuk, hogy A · B = 75.

b) Anélkül, hogy elárulnám, mi van a kártyák hátoldalán, találd ki, hogy mennyi lesz a szorzat értéke, ha

– az A kártyán levő számot megszorzom 2-vel;

– a B kártyán lévő számot elosztom 5-tel;

– az A kártyán levő számot elosztom 5-tel, és a B kártyán lévő számot megszorzom 3-mal;

– az A kártyán levő számot elosztom 3-mal, és a B kártyán levő számot megszorzom 3-mal!

8. Változtasd a 120 : 3 osztásban az osztót úgy, hogy a hányados a felére, negyedére, nyolcadára, tizedére csökkenjen! 9. Egy építkezésre 24 teherautó földet rendeltek. Hány ilyen teherautó kell, ha a föld mennyiségének a fele is elég? 10. a) Határozd meg, mennyi lehet A illetve B értéke, ha tudjuk, hogy A : B = 8.

b) Anélkül, hogy elárulnám, mi van a kártyák hátoldalán, találd ki, hogy menyi lesz a hányados értéke, ha

– az A kártyán lévő számot megszorzom 2-vel;

– a B kártyán lévő számot elosztom 4-gyel;

– az A kártyán lévő számot elosztom 2-vel, a B kártyán lévő számot megszorzom 4-gyel;

– az A kártyán lévő számot elosztom 6-tal, és a B kártyán lévő számot is elosztom 6-tal!

11. Számold ki a következő műveletsor eredményét. Azután tegyél be egy zárójel-párt a műveletsorba, minél többféleképpen úgy, hogy az eredmény ne változzon!

300 : 2 · 3 · 10 : 5 =

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Melyik több? Mennyivel?

a) 1228 – (516 + 20)

b) 3416 – (1398 – 3)

c) 978 – (614 – 34)

1228 – 516 + 20 3416 – 1398 – 3 978 – 614 + 34

2. Csoportosítsd a tagokat a könnyebb számolás érdekében!

490 + 530 + 270 =

370 + 110 + 430 + 290 =

617 + 220 + 83 + 76 =

206 + 154 + 44 + 16 =



3. Döntsd el, melyik állítás igaz!

190 + (20 + 10) = 190 + 20 + 10

190 – 20 – 10 = 190 – (20 – 10)

190 – (20 + 10) = 190 – 20 + 10

190 + 20 – 10 = 190 + (20 – 10)

(190 + 20) – 10 = 190 + 20 – 10

(190 – 20) – 10 = 190 – 20 – 10

4. A műveletek elvégzése nélkül döntsd el, melyik nagyobb és mennyivel!

a) 792 + 395

800 + 400

816 + 1722

800 + 1700

3178 + 406

3200 + 400

789 + 931

800 + 920

b) 975 – 343

2612 – 285

863 – 175

782 – 277

960 – 343 612 – 300 865 – 175 785 – 280

5. Változtasd az 1410 + 620 összeg tagjait úgy, hogy az összeg

a) 100-zal növekedjen;

b) 5-tel csökkenjen;

c) ne változzon!

6. A 250 + 70 + 81 összeg tagjait változtasd úgy, hogy az eredmény ne változzon!

a) Két tagját növeld, a harmadikat csökkentsd!

b) Egy tagját növeld, másik két tagját csökkentsd!

7. Valamelyik tag változtatásával soronként növeld az összeget 10-zel!

2325 + 15 =

63

64



8. Töltsd ki a táblázatot! Két szám különbsége 30. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

biztos

lehet, de nem biztos

lehetetlen

A különbségben a kisebbítendőt növelem, akkor nő a különbség. A különbségben a kivonandót növelem, akkor csökken a különbség. A különbségben a kisebbítendőt csökkentem, akkor nő a különbség. A különbségben a kivonandót csökkentem, akkor csökken a különbség. A különbségben a kivonandót növelem, a kisebbítendőt csökkentem, akkor a különbség csökken. A különbségben a kivonandót növelem, a kisebbítendőt csökkentem, akkor a különbség csökken.

9. Írd fel az összeadásokat szorzatok összegeként! Használd a számjegyek valódi értékeit! a) 3456 b) 12345 c) 49073 456 2345 9073 56 345 40073 + 6 45 9003 + 5 + 3 17. Hasonlítsd össze a szorzatokat!

a) Írj a szorzótáblákból 5 olyan párt, amelyekben az egyik tényező felére, harmadára, negyedére, ötödére, hatodára csökken!

b) Írj a szorzótáblákból 5 olyan párt, amelyekben az egyik tényező háromszorosára, négyszeresére, ötszörösére, hatszorosára nő!

18. Könnyítsük meg a szóban számolást! Alakítsd át a szorzatokat úgy, hogy az egyik tényező egy jegyű legyen, de a szorzat ne változzék!

pl.: 38 ∙ 12 =



76 ∙ 6 =

23 ∙ 21 =



………….

42 ∙ 14 =



………….

17 ∙ 32 =



………….

19 ∙ 24 =



………….

19. Változtasd az osztandót és az osztót, hogy 10 legyen az osztó, és a hányados ne változzék!

a) 430 : 5 =

b) 520 : 20 =

c) 350 : 2 =

d) 975 : 5 =



65

20. Számítsd ki az alábbi műveleteket, és hasonlítsd össze az egy-egy feladathoz tartozó eredményeket!

a) (12 + 10) ∙ 5 =

12 + 10 ∙ 5 =

b) (25 + 15) ∙ 4 =

25 + 15 ∙ 4 =

c) (17 + 21) ∙ 8 =

17 + 21 ∙ 8 =

d) (42 – 8) ∙ 3 =

42 – 8 ∙ 3 =

21. Becsülj, melyik lesz a legkisebb! Sejtésedet ellenőrizd számítással!

450 – 150 : 5 + 25 =

(450 – 150) : 5 + 25 =

450 – 150 : (5 + 25) =

(450 – 150) : (5 + 25) =

450 – (150 : 5 + 25) =

22. A legegyszerűbben végezd el az osztásokat!

(32 + 48 + 80) : 8 =

(72 – 48) : 4 =

(65 + 45 – 35) : 5 =


0516. Közelítő számolás, mérés, kerekítés

Készítették: TÓTH LÁSZLÓ, PUSZTAI JULIANNA

68



1. FELADATLAP 1. Olvassátok el a következő hírcsokrot! Húzzátok alá a benne szereplő számadatokat egyenes vagy hullámos vonallal aszerint, hogy pontos vagy közelítő értékekre vonatkoznak!

a) Az országgyűlési választásokon a 386 képviselői hely elosztásáról 6 millió ember szavazhatott. Összesen 12 párt állított jelöltet, és a független jelöltek száma is meghaladta a 100-at.

b) Mindössze 120 ezer kilométer távolságban süvített el a Föld mellett 2005. június 14-én egy kisbolygó. Ha becsapódott volna a Földbe, nem okozott volna olyan méretű katasztrófát, mint a 65 millió évvel ezelőtti társa. Az akkori kozmikus találkozás okozhatta a dinoszauruszok uralmának a végét. A Földközelbe került égitest átmérője alig több mint 340 méter, de ezzel a méretével is körülbelül akkora kárt tehetett volna, mint 1908-ban, a Szibériában becsapódott Tunguzka meteorit, amely 20 km sugarú körben letarolta az erdőt.

c) Általában nem könnyű bekerülni az egyetemekre. A legkedveltebb szakokon gyakran legalább 400 pont kell a bejutáshoz.

d) A Harry Potter sorozat 6. kötetét már az első nap 10 millióan vásárolták meg világszerte.

e) 78 000 néző előtt az első félidei 0 : 3-ról fordított a Bajnokok Ligája döntőjében a Liverpool.

f) Az Ötös Lottó 41. heti nyerőszámai a következők: 2, 5, 17, 36, 73. A 41. héten egy telitalálatos szelvény akadt, a tulajdonosa így 1 milliárd 713 millió forinttal lett gazdagabb.

2. Az előző feladatban olvasható hírek alapján döntsétek el, hogy az alábbi adatok közül melyik fedheti a valóságot!

a) A képviselői helyek száma 400.

b) 107 pártoktól független jelölt indult.

c) 6 687 869 embernek volt szavazati joga

d) A kisbolygó a Föld–Hold távolság felével haladt el a Föld mellett. (A Hold átlagos távolsága a Földtől 384 000 km.)

e) A kisbolygó mérete körülbelül tizede a Holdénak. (A Hold átmérője mintegy 3400 km.)

f) 50 millió éve egy égitest becsapódása pusztíthatta ki a dinoszauruszok nagy részét.

g) Az egyetemnek erre a szakára be lehetett jutni: 134 ponttal, 135 ponttal, 136 ponttal.

h) Az új Harry Potter kötetet 9 876 543 példányban adták el az első napon világszerte.

i) A nézők pontos száma 78 888 volt, a félidőben 4 gólos volt az angol csapat hátránya.

j) Majdnem félmillió Ft-tal kapott kevesebb pénzt a legutóbbi nyertes az újságban megjelent nyereménynél.



69

3. Döntsétek el, hogy a következő mennyiségek közül melyiket érdemes (lehet) pontos és melyiket közelítő értékkel megadni!

a) Távolság: lakóhelyem és az iskola távolsága – a maratoni futás távja.

b) Tömeg: egy birkózóé a mérkőzése előtt – egy labdarúgóé a mérkőzés után.

c) Idő: egy nyári napon a napsütéses idő hossza (13 óra) – június 21-én napkeltétől napnyugtáig terjedő idő (15 óra 48 perc). A sarkkörön túl a nyári hónapokban a nap egyáltalán nem megy le, tehát 24 órán keresztül a horizont felett tartózkodik. Az egy képre sűrített felvételsorozat Norvégia legészakibb részén (Nordkapp) készült az éjfélt megelőző és azt követő órákban. Tudod-e, milyen hosszú a nappal ilyenkor a Déli-Sarkvidéken?

2. FELADATLAP 1. Kerekítsétek a következő számokat tízesekre, százasokra, ezresekre!

a szám

tízesekre

százasokra

ezresekre

kerekített értéke 3

0

0

0

9

10

0

0

45

50

0

0

77

80

100

0

333

330

300

0

500

500

500

1000

2345

2350

2300

2000

6750

6750

6800

7000

299 792

Keressetek szabályszerűségeket a táblázat kitöltésénél!

a) Mikor jelenik meg először 0 a táblázat valamelyik sorában?

b) Mely számokat írhattátok változatlanul többször is egymás mellett és miért?

c) Igaz-e, hogy az eredeti szám kerekített értékei a tőle balra lévő szám kerekített értékével is megegyeznek?

d) Írjatok példát olyan számra, ahol a százasokra kerekített érték ezresekre kerekítve nem ugyanannyi, mint az eredeti szám ezresekre kerekített értéke!

70



2. Kerekítsétek a következő adatokat! Vitassátok meg, mely helyiértékre vonatkozzon a kerekítés és miért!

a) A májusi telefonszámla 9482 Ft volt.

b) A Miskolc–Tokaj–Tiszafüred–Miskolc kerékpár körtúra hossza 222 km.

Melyik két város között lehetett a túra legrövidebb, illetve leghosszabb része? Körülbelül hány km hosszúak lehettek az egyes szakaszok? Ha délelőtt 10-kor indultak a versenyzők és délután 15 órakor értek vissza, akkor körülbelül mikor lehettek Tokajban, illetve Tiszafüreden?

c) A fény 299 792 km-t tesz meg másodpercenként.

d) Magyarország városainak száma 252.

További kérdések:

e) Legalább mennyivel kellett volna kevesebbnek lennie a telefonszámlának, hogy százasokra kerekítve 9400 Ft legyen?

f) Legalább mennyivel kellett volna kevesebbnek lennie a telefonszámlának, hogy ezresekre kerekítve 8000 Ft legyen?

g) Legfeljebb mennyivel lehetett több a számlánk, ha ezresekre kerekítve 10 000 Ft volt?

3. A számegyeneseken egy-egy szám helyét ponttal jelöltük. Adjátok meg a számok kerekített értékét!

Kerekítsétek A-t és B-t tízesekre, C-t és D-t százasokra, E-t és F-et ezresekre! Satírozzátok be az első számegyenesnek azt a részét, melynek kerekített értékei megegyeznek B kerekített értékével, a második számegyenesnek azt a részét melynek 10-esre kerekített értéke egyenlő D 10-esre kerekített értékével! A 3. számegyenesnek azt a részét színezzétek, melynek százasokra kerekített értéke 4500!

a) Soroljátok fel azokat a számokat, melyek tízesre kerekített értéke ugyanannyi, mint A, illetve B tízesre kerekített értéke!

b) Adjátok meg azokat a számokat, amelyek százasokra kerekített értéke ugyanannyi, mint C, illetve D százasokra kerekített értéke!

c) Melyik a legkisebb és a legnagyobb azon számok közül, amelyek ezresekre kerekített értéke megegyezik F ezresekre kerekített értékével? Hány ilyen szám van?



71

4. Jelöld be a számegyenesen azokat a számokat, melyek

a) tízesre kerekített értéke 130,

b) százasokra kerekített értéke 6700,

c) ezresekre kerekített értéke 77 000!

5. Töltsétek ki az alábbi TOTO-t a kerekítésről tanultak alapján!

a) Egy autó 100 km-es úton egészekre kerekítve 7 liter benzint fogyasztott. Mennyit fogyaszthatott 200 km úton? 1 – Pontosan 14 litert X – 13 és fél és 14 és fél liter között 2 – 13 és 15 liter között

b) Péter pulzusa alvás közben tízesekre kerekítve 70 volt. Mennyit dobbanhatott a szíve 5 perc alatt? 1 – Pontosan 350-et X – 325 és 375 között 2 – 300 és 400 között

c) Hány olyan kétjegyű szám van, amelynek tízesre kerekített értéke egyenlő a számjegyek felcserélésével kapott szám tízesre kerekített értékével? 1 – nincs ilyen szám X – 1 ilyen szám van 2 – több ilyen szám is van

d) Egy téglalap oldalai cm-ekben olyan egész számok, melyek közül a rövidebbnek 40, a hosszabbnak 50 cm a tízesre kerekített értéke. Melyik állítás igaz? 1 – a területe kisebb lehet, mint 1500 m². X – a kerülete százasokra kerekítve 200 cm 2 – A hosszabb oldal több, mint 20 cm-rel nagyobb a rövidebb oldalnál.

e) Egy háromjegyű szám tízesekre kerekítve 2-vel kisebb, százasokra kerekítve tízzel nagyobb lesz, mint eredetileg volt. 1 – 1 ilyen szám van X – több ilyen szám van 2 – ilyen szám nincs f)

A vas olvadáspontja százasokra kerekítve 1500 fok. 1 – Lehet, hogy 1445 fokon megolvad. X – Biztos, hogy 1500 fokon megolvad. 2 – Biztos, hogy 1550 fokon megolvad.

6. A Mariana-árok, a Föld felszínének legmélyebb része, a Csendes-óceánban található. Legalább és legfeljebb milyen mélyen lehet, ha

a) százasokra kerekítve 11 000 m,

b) ezresekre kerekítve 11 000 m mély?

72



7. Legalább és legfeljebb

a) hány méter magas lehet a lakihegyi rádióadó, ha tízesekre kerekített magassága 310 m?

b) hány méter hosszú Magyarország leghosszabb hídja, az Árpád-híd, ha hossza százasokra kerekítve 900 méter?

c) hány km 2 a Balaton felszíne – azaz víztükrének területe, ha tízesekre kerekített értéke 590 km2? Mennyi a területe százasokra kerekítve?

d) hány km lehet a Balaton partvonalának hossza, ha tízesekre kerekítve 200 km hosszú?

e) A Balaton hossza 78 km, szélessége 15 km. Mekkora lenne annak a téglalapnak a kerülete, melybe a Balaton pontosan elférne? Mivel magyarázod, hogy a partvonal hossza ennél nagyobb, pedig a Balaton területe kisebb, mint a bennfoglaló téglalapé? 78 km

15 km

8. Az amatőr ökölvívás súlycsoportjainak táblázata alapján döntsd el, hogy legalább és legfeljebb hány kg lehet a teljes csapat tömege, ha minden súlycsoportban egy versenyző indul! A súlycsoport melletti szám jelenti, hogy legfeljebb hány kg lehet az adott súlycsoportbeli versenyző. Ökölvívás súlycsoportok: Papírsúly (45-48 kg-ig) Légsúly (51 kg-ig) Harmatsúly (54 kg-ig) Pehelysúly (57 kg-ig) Könnyűsúly (60 kg-ig) Kisváltósúly (63 és fél kg-ig) Váltósúly (67 kg-ig) Nagyváltósúly (71 kg-ig) Középsúly (75 kg-ig) Félnehézsúly (81 kg-ig) Nehézsúly (81-91 kg-ig)

Hogyan lehetne könnyen megállapítani a két lehetséges csapat összsúlyának különbségét?



73

3. FELADATLAP 1. Kerekítsd a kétjegyű számokat tízesekre, a háromjegyűeket százasokra, a négyjegyűeket ezresekre! 37; 534; 1775; 149; 7491; 677; 3044; 508; 1508; 300; 6543 2. a) Add össze a következő számok előzőek szerinti kerekített értékeit fejben!

34 + 71 + 28 + 84 

82 + 15 + 33 + 74 

178 + 321 + 701 + 680 

549 + 32 

78 + 780 

b) Az előzőek szerinti kerekítés után a kerekített értékek összeszorzásával becsüld meg az eredményt!

43 · 77 

38 · 84 

26 · 53 

378 · 725 

107 · 484 

978 · 823 

487 · 84 

967 · 133 

355 · 763 

Melyik eredmény térhet el leginkább a pontos szorzattól? Miért?

3. Melyik közelítés ad pontosabb eredményt a következő összeadásnál, illetve szorzásnál? A pontos eredmény kiszámításával ellenőrizd a véleményed!

76 + 37

80 + 40,

vagy

70 + 40

329 + 742

300 + 700,

vagy

300 + 800

15 · 25

20 · 30,

vagy

10 · 30,

vagy

20 · 20

4. Az előző feladat megoldási módszereire gondolva próbáld közelíteni a tagokat, illetve a tényezőket úgy, hogy minél pontosabb eredményt kapj!

47 + 78 + 89 + 27 

341 + 648 + 440 + 733 

23 · 34 

45 · 55 · 63 

5. a) Két egész szám tízesre kerekített értékét adtuk meg. Mennyi lehet legalább és legfeljebb a két szám összege, illetve szorzata?

A  30; B  70

……... < A + B < …..…. ……... < A · B < ……... b) Két egész szám százasokra kerekített értékét adtuk meg. Mennyi lehet legalább és legfeljebb a két szám összege, illetve szorzata?

C  800; D  100

……... < C + D < ……...

……... < C · D < ……...

74



TUDNIVALÓ A mérés összehasonlítás. Eredménye egy mennyiség, amely a mérőszámból és a mértékegységből áll.

EMLÉKEZTETŐ hosszúság mértékegységei:

1 mm

< 10

1 cm

< 10

1 dm

< 10

1m

< 1000

1 km

űrtartalom mértékegységei:

1 ml

< 10

1 cl

< 10

1 dl

< 10

1l

< 100

1 hl

4. FELADATLAP 1. Gyakorold a mértékváltást! a)

2 és fél m

= ............. dm = ............. cm = ............. mm

b)

............. m

= ............. dm = 500

c)

............. m

= 60

d)

............. km = 42 000

cm = ............. mm

dm = ............. cm = ............. mm m

= ............. dm

............. .............

e)

3 és fél l

= ............. dl

= ............. cl

= ............. ml

f)

............. l

= ............. dl

= 200

cl

= ............. ml

g)

............. l

= 65

dl

= ............. cl

= ............. ml

h)

............. hl

= 1500

l

= ............. dl

............. .............

2. a) Hány dm lehet a szoba oldala, ha m pontossággal mérve 4 m?

b) Egy tolltartó 2 dm. Pontosabban mérve hány cm lehet a hosszúsága?

c) Az egyenes vonalzó 30 cm. Hány mm lehet?

d) Egy vödörben körülbelül 4 l víz van. Hány dl lehet ez?

e) Lehet-e pontosan 5 dl ital a félliteres üdítős üvegben? Hány ml lehet benne, ha az előírás szerint legfeljebb fél cl eltérés lehet a megadott űrtartalomtól?

3. Becsüljétek meg három azonos magasságú edény (henger, gömb és kúp) űrtartalmát! (A gömb vagy üreges, vagy két félgömbre osztható legyen) Melyiké a legnagyobb? Hányszorosa lehet a legkisebbnek? Töltsétek meg folyadékkal (esetleg rizzsel, homokkal), majd annak segítségével határozzátok meg az űrtartalmukat!



75

5. FELADATLAP 1. Csoporttársaiddal beszéljétek meg:

– Mit lehet elvégezni 1 óra alatt?

– Milyen állapot, történés, eseménysor tarthat egy hétig?

– Mi minden történhet 1 év alatt?

2. Mekkora a tömege? Becsülj és mérj! Először becsüld meg, hogy a mérendő tárgyaknak (személyeknek) mekkora lehet a tömege! Becslésedet, majd az elvégzett mérés eredményét is írd a táblázatba! 1. méréssorozat: válasszátok ki két társatokat, akiknek testtömegére kíváncsiak vagytok és két iskolatáskátokat, amelynek tömegét mérni szeretnétek! A mérési eredményeket kg pontosság¬gal olvassátok le! a vizsgált tömegű tanuló neve illetve A vizsgált tömegű táska tulajdonosa

becsült tömege (kg)

mért tömege (kg)

2. méréssorozat: Becsüld, majd mérd meg a zacskóban lévő élelmiszerek tömegét dkg pontossággal! a mérendő anyag neve


mért tömege (kg)

3. méréssorozat: Becsüld, majd mérd meg a tálcán található tárgyak tömegét g pontossággal! a mérendő tárgy neve


mért tömege (kg)

EMLÉKEZTETŐ az idő mértékegységei:

1 másodperc

<

1 perc

60 a tömeg mértékegységei:

1g

< 10

<

1 óra

60 1 dkg

1000

< 100

<

1 nap

24 1 kg

< 100

<

1 év

365 1q

1000

< 10

1t

76



3. Gyakoroljuk a mértékváltást! a)

4 kg

= ............. dkg

= ............. g

b)

2 és fél kg

= ............. dkg

= ............. g

c)

............. kg

=

= ............. g

d)

............. kg

= ............. dkg

=

= ............. kg

= ............. dkg

e) f)

3 t

............. dkg =

2800 skg

1500 kg

g)

1 óra = ............. perc

h)

3 óra = ............. perc

i)

48 óra = ............. nap

j)

5 nap = ............. óra

k)

1 hét = ............. óra

l)

10 év

12000 g

= ............. t = ............. másodperc

= ............. hónap

6. FELADATLAP 1. Egy községen átvezető úton gépjárműszámlálást tartottak. Az eredményeket táblázatba foglalták.

a) Töltsd ki a táblázat üres mezőit! január 15.

március 30.

július 20.

november 1.

2–3 óra

14

27

41

19

7–8 óra

413

543

650

368

13–14 óra

399

488

745

339

20–21 óra

209

354

512

218

összesen százasokra kerekítve napi forgalom

b) Hogyan tudnál következtetni az egész napos forgalomra?

c) Hogyan tudnál következtetni az egész éves forgalomra?

d) Az év melyik időszakában lehet itt a legnagyobb a forgalom?

e) Igaz-e, hogy mindig a reggeli csúcsforgalom idején a legnagyobb a forgalom?

f) Mi okozhatja az egyetlen eltérést?

g) Becsüld meg az átlagos napi forgalmat – télen, – tavaszi, őszi időszakban, – nyáron! Becsüld meg az éves forgalmat!



77

2. Panni kiszórta a karácsonyra kapott drazsét egy tálcára, hogy megszámolja. Segítsünk neki! Hogyan segíthet a számlálásban a képre rajzolt négyzetháló?

Hány négyzetre osztottuk az eredeti képet?

Keresd meg, melyik cellában van a legtöbb, illetve a legkevesebb drazsé.

Mennyi lehet a számuk egy átlagos cellában?

Hogyan becsülheted meg a cukorkák számát?

3. Hogyan tudnád egy kiló rizsben lévő rizsszemek, vagy hasonló tömegű mákban szereplő mákszemek számát közelítőleg megadni? Találjatok ki „gazdaságos” módszereket a számlálás egyszerűsítésére! A vérünkben lévő vörös vértestek számának becslését hasonló módon végzik. Egy csepp vér elegendő a vizsgálathoz. Annak a rácsnak az oldalai mindössze 5 század mm és a számlálást mikroszkóp alatt végzik. Így is elegendő pontossággal tudnak következtetni a teljes számra. Egy felnőttnek összesen mintegy 5 (és fél) liter vére van, és mintegy 5 milliárd vörös vértest van minden ml vérben. Próbáld leírni és kimondani ennek alapján egy emberben lévő vörös vértestek átlagos számát. Az átlagos sejtszám: 5 · 5 000 000 000 · 1000 = 4. Vedd kézbe Molnár Ferenc: A Pál utcai fiúk című könyvét! A 20. és 87. oldalak közül melyik oldalon található több betű? Miért érdemes több oldalt is megvizsgálni? Az a és az e betű közül melyik fordul elő többször a 20. oldalon? Ennek alapján állíthatjuk-e, hogy a könyvben is gyakrabban fordul elő ez a betű? Végezzük el a számlálást a 87. oldallal is! Ugyanazt a következtetést vonhatjuk le? Ha tudjuk, hogy a könyv összesen 112 oldalas, hozzávetőleg mennyi lehet az a illetve az e betűk száma? Mit gondoltok, ha az a mellé az á betűket is odaszámítjuk, változik-e a sorrend? Mi indokolhatja, hogy a betűk száma kevesebb, mint a becslésünk szerint várhattuk? 20. oldal összes betű a betűk száma e betűk száma á betűk száma

87. oldal

a két oldal együtt

78



0516. – 1. tanulói melléklet

Részletek Molnár ferenc: A pál utacai fiúk című könyvéből A Pál utcai fiúk 20. oldal – Itt, az Üllői úton? – Dehogy! Megkerüljük a kertet. Hátul sokkal alacsonyabb a fal! Azzal befordultak a sötét kis utcába, ahol a kőfalat csakhamar deszkapalánk váltotta fel. Itt baktattak a palánk mellett, keresve valami alkalmas helyet, ahol be lehetne mászni. Egy helyen, ahová az utcalámpa világossága nem hatolt el, megállottak. A deszkapalánkon belül, közvetlenül a palánk mellett egy nagy akácfa állott. – Ha itt fölmászunk – suttogta Boka –, akkor ezen az akácfán könnyű lesz lemászni. És azért is jó, mert a fa tetejéről messzire elláthatunk, s megfigyelhetjük, hogy nincsenek-e a közelben. Ezt a másik kettő is helyeselte. S a következő pillanatban már hozzá is fogtak a munkához. Csónakos leguggolt, s kezével a palánknak támaszkodott. Boka óvatosan felállott a vállára, és benézett a kerítésen. Nagy csöndben voltak, egyikük se pisszent. Miután Boka meggyőződött arról, hogy nincs a közelben senki, intett a kezével. Nemecsek pedig odasúgta Csónakosnak: – Emeld! És Csónakos beemelte a palánkon az elnököt. Az elnök felkapaszkodott a palánk tetejére, s ekkor recsegni-ropogni kezdett alatta a korhadó alkotmány. – Ugorj be! – súgta Csónakos. Még néhány roppanás hallatszott, s a következő pillanatban tompa puffanás. Boka benn volt, egy veteményeságy kellős közepén. Utána Nemecsek mászott be, majd Csónakos. De Csónakos előbb felmászott az akácfára, ő értett a fára mászáshoz, mert ő vidéki fiú volt. A másik kettő alulról kérdezgette: – Látsz valamit? Fojtott hang felelt a fa tetejéről: – Nagyon keveset, mert sötét van. – A szigetet látod? – Azt látom. – Van ott valaki? Csónakos figyelmesen hajolt jobbra-balra az ágak közt, s merően nézett a sötétbe, a tó felé. – A szigeten nem látni semmit a fáktól meg a bokroktól... de a hídon... Itt elhallgatott. Följebb mászott egy ággal. Onnan folytatta: – Most már jól látom. A hídon két alak áll. Boka csöndesen szólt: – Ott vannak. A hídon, azok az őrök. Aztán újra recsegtek az ágak. Csónakos lemászott a fáról. Nagy csöndben állottak ott hárman, s azon gondolkoztak, hogy most mitévők legyenek. Legubbaszkodtak egy bokor mögé, hogy senki meg ne láthassa őket, s ott csöndes, suttogó hangon indult meg a tanácskozás. – A legjobb lesz – mondta Boka –, ha most itt a bokrok mentén valahogy eljutunk a várromig. Tudjátok... van ott egy várrom, arra jobbra, egy domb szélébe van beépítve.



79

A Pál utcai fiúk 87. oldal – Ejha! – mondta Áts Feri. – Ez éljenzés volt! A kisebbik Pásztor izgatottan szólt: – Aki bajban van, nem szokott éljenezni! Talán mégse kellett volna oly biztosra venni, hogy a bátyám serege győzni fog... És Áts Feri, aki okos fiú volt, most már érezte, hogy nem sikerült a számítása. Sőt már azt is érezte, hogy ezzel az egész serege elvesztette a csatát, mert most őneki magának kell a Pál utcaiak egész seregével fölvenni a harcot. Az utolsó reménye, a várva várt trombitajel pedig nem harsant fel... Hanem felharsant ehelyett egy másik trombitajel. Egy ismeretlen trombita hangja, mely a Boka seregének szólt. Ez azt jelentette, hogy a Pásztor serege utolsó szál emberéig el van fogva, be van zárva, és hogy most kezdődik meg a támadás a telek felől. S valóban, a trombitajelre kettéoszlott a Mária utcai hadsereg, s egyik része a kunyhó mellett, másik része pedig a hatos erőd mellett bukkant fel, kissé megtépett ruhában, de csillogó szemmel, diadalmas jókedvben, egy győzelmes csata tüzében megedzve. Most már teljes bizonyossággal tudta Áts Feri, hogy Pásztor serege meg van verve. Egy-két pillanatig farkasszemet nézett az újonnan érkezett két zászlóaljjal, s hirtelen a fiatalabbik Pásztorhoz fordult. Izgatottan mondta: – De hát ha megverték őket, hol vannak? Ha kiszorították őket az utcára, miért nem sietnek hozzánk? Kinéztek a Pál utcára, sőt Szebenics elrohant a Mária utcáig. Sehol senki. Egy téglás szekér cammogott végig a Mária utcán, s néhány járókelő ment csöndesen a dolga után. – Sehol senki! – jelentette kétségbeesve Szebenics. – De hát mi lett velük? És csak most jutott eszébe a kunyhó. – Ezeket bezárták! – kiáltott magánkívül a haragtól. – Ezeket megverték, és bezárták a kunyhójukba! Most pedig – az iménti cáfolat helyett – megerősítést kapott a kijelentése. Tompa dübörgés hallatszott a kunyhó felől. A bezártak öklükkel verték a deszkát. De hiába. A kis kunyhó ezúttal a Pál utcai fiúk pártján volt. Nem engedte kidönteni sem az ajtaját, sem az oldalát. Keményen állta az ökölcsapásokat. És a foglyok pokoli hangversenyt rendeztek benne. Lármájukkal magukra akarták vonni Áts Feri seregének figyelmét. Wendauer, szegény, akitől elvették a trombitát, tölcsért csinált a két tenyeréből, és abba trombitált torkaszakadtából. Áts Feri a seregéhez fordult. – Fiúk – kiáltotta –, Pásztor elvesztette a csatát! Rajtunk áll, hogy megmentsük a vörösingesek becsületét! Előre! És úgy, ahogy állottak, egyetlen széles sorban bevonultak a telekre, és futólépésben támadtak. De Boka most már megint a kunyhó tetején állott Kolnayval, s a lába alatt dörömbölő, lármázó, visító pokolmuzsikát túlharsogva kiáltotta: – Fújd meg a trombitát! Roham! Erődök, tűz! És a sáncárkok felé rohanó vörösingesek egyszerre meghőköltek. Sorjában négy erőd kezdte őket bombázni. Egy pillanatra elborította őket a homokfelhő, nem láttak.

80



0516. – 2. tanulói melléklet INTERNET források: Nappalok hossza: Bár meteorológiai értelemben már június elején kezdetét vette a legmelegebb évszak, a nyári napfordulóhoz valójában június 21-én 8 óra 46 perckor érkezünk el – a csillagászati nyár csak ekkor köszönt be. Ez egyben az év legvilágosabb napja, mely a leghosszabb nappali periódussal és a legrövidebb éjszakával bír. Központi csillagunk már reggel 4 óra 47 perckor felkel, és egészen 20 óra 45 percig megvilágít bennünket éltető sugaraival. A nappal hossza tehát 15 óra 58 perc, ellentétben például a téli napfordulóval, amikor mindössze 8 óra 56 percig nem kellett lámpát gyújtanunk otthonainkban és irodáinkban. http://www.evelet.hu:8080/ujsagok/evelet/archivum/2005/25/115 Balaton párolgási adatai: Amivel viszont minden strandra járó találkozik: a Balaton vízszintje jelentősen csökkent. Ebben a kánikulában naponta körülbelül hárommillió köbméter víz párolog el a tóból, ami láthatóan 2-3 centiméteres vízszintcsökkenéssel jár. http://www.zalamedia.hu/khely/0706/sz.html Ökölvívás súlycsoportjai: Ökölvívás – amatőr: Papírsúly (48 kg) Légsúly (51 kg) Harmatsúly (54 kg) Pehelysúly (57 kg) Könnyűsúly (60 kg) Kisváltósúly (63,5 kg) Váltósúly (67 kg) Nagyváltósúly (71 kg) Középsúly (75 kg) Félnehézsúly (81 kg) Nehézsúly (91 kg) http://www.magyar.sport.hu/sport/sportag/kuzdosport/kuzdosport.htm 1 mm3 vérben található vörösvérsejtszám: kb. ötmillió. http://www.vital.hu/themes-inter/book/book.htm?t=385



81

Vörösvérsejtszám meghatározása 1. Mikroszkópos számlálás Bürker-kamrában *Bürker-kamra: – vastag tárgylemez, középen vonalhálózattal – beosztás: kis és nagy négyzetek, téglalapok – kis négyzet területe: 1/400 mm2 – beosztás fölé fedőlemez kerül, alatta 0,1 mm mély vájat *menete: – vörösvérsejt-pipettába (Melanger) vért szívunk fel – 0,5 jelig: 200x higítás, 1 jelig: 100x higítás – 101-es jelig Hayem-oldatot szívunk fel – összerázás, 2-3 csepp eltávolítása szűrőpapírral – Bürker-kamra vájatának feltöltése, néhány percig állni hagyjuk – sejtszámlálás 40 kis négyzetben, majd átlagolás 1 kis négyzetre *számítás: – db/mm3 = átlag x 4000 x higítás – T/l = (db/mm3) / 106 *életani értékek (T/l): szm: 7; ló: 9,5; juh: 12; sertés: 6,52. Hematológiai automatával http://www.georgikon.hu/tanszekek/takarmany/diagnosztika.htm A maratoni futás és az angol királynő: A maratoni futás távja száz-egynéhány méterrel hosszabb, mint az eredeti Athén-Maraton távolság. Ennek mi az oka? A legenda szerint az első versenyen a királyi lelátót kellett ennyivel odébb építeni... Van valami valóságalapja, még ha nem is pontosan igaz. Az első újkori olimpiát Athénban rendezték 1896-ban. A legnagyobb érdeklődés a Michel Bréal nyelvész és történész által megálmodott maratoni futást övezte. Walter Umminger A sport krónikája című könyve szerint a Philippidész futása ugyan nem hitelesített, de valószínű. Már a 490-es marathóni csata előtt segítségért szalajtották Spártába az athéni Philippidészt, hogy közölje a perzsa partraszállás hírét. A 255 km-es távot 24 óra alatt tette meg Argoliszba, Arkadia hegyein keresztül futva. Miután egy napig hiába tárgyalt a spártaiakkal, 24 óra alatt ismét visszafutott. A Marathóntól Athénig tartó utat egyébként 40,42 km-nek mondták, valójában azonban csak 36,7 km volt. Az első olimpiákon még csak körülbelül mérték le a legendás ókori hírvivő által állítólag lefutott távot. Az 1908-as londoni olimpiára 42 kilométerre növelték a távot, ennyi volt ugyanis az út a Windsori kastélyból a White-City stadionig. Ezt a 42 kilométert aztán még meg kellett toldani 195 méterrel, miután Alexandra királynő tiltakozását fejezte ki amiatt, hogy a futók nem a stadion királyi díszpáholya előtt érnek célba. Az ezt követő olimpiai játékokon megint más távokat futottak a maratonisták. A végleges és ma is érvényes hosszt 1921-ben rögzítette a nemzetközi atlétikai szövetség (IAAF), és 1924-ben már eszerint zajlott a verseny. http://urbanlegends.freeblog.hu/archives/2005_Jan_urbanlegends.htm#404890 A megyei jogú városok száma a fővárossal együtt: 23, a többi városé 229, a községeké pedig csaknem 2900 volt. Budapesten több mint 1,7 millióan éltek, utána Debrecen következett majdnem 205 ezer lakossal, majd a százezren felüliek, sorrendben Miskolc, Szeged, Pécs, Győr és Székesfehérvár. Legkisebb városunk Visegrád és Zalakaros volt, mindkettő 2000 alatti lélekszámmal. http://portal.ksh.hu/pls/portal/docs/PAGE/KSHPORTAL/SZOLGALTATASOK /SAJTOSZOBA/ HIRARCHIVUM/HIREK_ARCHIVUM2004/EVKONYV.DOC


0517. Tömegjelenségek gyakoriságának vizsgálata (Kiegészítés a természetes számok halmazához)

Készítette: GIDÓFALVI ZSUZSA – korrekció: Zsinkó Erzsébet

84



1. FELADATLAP A. A. Milne Amikor még kicsik voltunk. (When We Were Very Young) A három róka

The Three Foxes

Egyszer volt, hol nem volt három kicsi róka, Nem húztak harisnyát születésük óta, De mindnek volt zsebkendője, ha folyna az orra, Zsebkendőjét mind a három dobozban tartotta.

Once upon a time there little foxes Who didn’t wear stockings, and they didn’t wear sockses, But they all had handkerchiefs to blow their noses, And they kept their handkerchiefs in cardboard boxes.

Az erdőben éldegéltek, három kicsi házban, Nem jártak télikabátban s nem jártak nadrágban. Mezítláb futottak mindig széltében-hosszában. S Egérékkel fogóztak, ha unatkoztak hárman.

They lived in the forest in three little houses, And they didn’t wear coasts, and they didn’t wear trousies. They ran through the woods on their little bare tootdies, And they played „touch last” with a family of mouses.

Nem a High Street-i boltokba mentek vásárolni, Megszerezték az erdőben, ami kellett holmi, A folyóból csak piócát sikerült kifogni, Aztán méhekre vadásztak, csípésük: ehol ni!

They didn’t go shopping in the High Street shopses. But caught what they wanted in the woods and copses. They all went fishing, and they caught three wormses, They went out hunting, and they caught three wopses.

Elmentek a vidámparkba s nyertek is a rókák Három csokis kuglófot és három almatortát, Hintáztak, elefántoltak, élvezték a mókát, Aztán a célbadobást kókusszal gyakorolták.

They went to a Fair, and they all won prizes Three plum-puddingses and three mince-pieses. They rode on elephants and swang on swingses, And hit three coco-nuts at coco – nut shieses.

Ezt mesélte el nekem a három kicsi róka, Aki vászonzsebkendőjét dobozban tartotta. Az erdőben éldegéltek három kicsi házban, Nem jártak télikabátban s nem jártak nadrágban, S zoknit, harisnyát sem húztak születésük óta.

That’s all that I know of the three little foxes Who kept their handkechiefs in cardboard boxes. They lived in the forest in three little houses, But they didn’t wear coast and they didn’t wear trousies. And they didn’t wear stockings and they didn’t wear sockses.

1. Becsüljétek meg, hogy a magyar (M) és az angol (A) nyelvű szövegben hány szó, hány betű, hány magánhangzó és hány mássalhangzó szerepel! A becslést írjátok a táblázatba!

Becslés szavak száma M I. csoport II. csoport III. csoport IV. csoport

A

betűk száma M

A

magánhangzók száma M

A

mássalhangzók száma M

A

0517. Tömegjelenségek gyakoriságának vizsgálata


85

2. Becsüljétek meg, hogy a magyar (M) és az angol (A) nyelvű szöveg első három versszakában hány szó, hány betű, hány magánhangzó és hány mássalhangzó szerepel! A becslést írjátok a táblázatba!

Becslés szavak száma M

betűk száma

A

M

A


A


A

I. csoport II. csoport III. csoport IV. csoport 3. Számoljátok meg, hogy a magyar (M) illetve az angol (A) nyelvű szöveg első három versszakában hány szó, hány betű, hány magánhangzó és hány mássalhangzó szerepel! A számlálás eredményét írjátok a táblázatba!

Számlálás szavak száma M

betűk száma

A

M

A


A


A

I. csoport II. csoport III. csoport IV. csoport Azt, hogy a magyar szövegben 170 magánhangzó szerepel, a magánhangzók gyakoriságának nevezzük az adott szövegben. 4. A meserészlet címében és első három versszakában vizsgáld meg milyen betűk szerepelnek, számold meg, hogy melyik hányszor fordul elő! Az eredményeidet írd be az alábbi táblázatba!

A magyar nyelvű szöveg első három versszakában előforduló betűk gyakorisága a

á

b

c

d

e

é

f

g

h

i

í

j

k

l

m

n

o

ó

ö

ő

p

q

r

s

t

u

ú

ü

ű

v

w

x

y

z

86



Az angol nyelvű szöveg első három versszakában előforduló betűk gyakorisága a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

5. Összesítő táblázat a magyar és angol nyelvű szöveg első három versszakában előforduló betűk gyakoriságáról. betűk

a

á

b

c

d

e

é

f

g

h

i

í

j

k

l

m

n

o

ó

ö

ő

p

q

r

s

t

u

ú

ü

ű

v

w

x

y

z

magyar angol magyar angol magyar angol magyar angol magyar angol

87



6. Készíts gyakorisági diagrammot! Magyar nyelvű szöveg diagramja

Betűk előfordulási gyakorisága adott szövegben 80 70 60 50 40 30 20 10 0

a

á

b

c

d

e

é

f

g

h

i

í

j

k

l

m

n

o

ó

ö

Fogalmazz meg igaz állításokat a grafikon segítségével!

Angol nyelvű szöveg diagramja

ő

p

q

r

s

t

u

Betűk előfordulási gyakorisága adott szövegben 80 70 60 50 40 30 20 10 0

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

Fogalmazz meg igaz állításokat a grafikon segítségével!

7. Hasonlítsd össze a két grafikont! Gyűjts róluk igaz állításokat!

w

x

y

z

ú

ü

ű

v

w

x

y

z

88



8. A.A. Mille: Amikor még kicsik voltunk című könyvéből Teddy Mackó

Teddy Bear

Egy medvének, ha lusta ő Bizony hamar pocakja nő Így csodálkozni nem lehet, Hogy Teddy Mackónak ily kerek, Egyetlen mutatványa van; Az ágyról földre zuhan. De vissza már kecmereg, Mivel túlságosan merev.

A bear, however hard he tries, Grows tubby without exercise. Our Teddy Bear is short and fat, Which is not to be wondered at; He gets what exercise he can By falling off the ottoman, But generally seems to lack The energy to clamber back.

A kövérség olyan dolog, Mely töprengésre ad okot; És Teddy eltöprenghetett, Hogy teltsége miből ered. Így szólt: „Bár lennék ösztövér, És nem ilyen telt, sőt, kövér. De igazán nem jó dolog, Hogy kint sosem mozoghatok.

Now tubbiness is just the thing Which gets a fellow wondering; And Teddy worried lots about The fact that he was rather stout. He thought: „If only I were thin! But how does anyone begin? He thought: „It really isn’t fair To grudge me exercise and air.”

A négy versszak közül kettőben megszámoltuk, melyik betű hányszor fordul elő bennük. Melyik versszakból készültek a táblázatok és a grafikonok?

1. táblázat

a

á

b

c

d

e

é

15

5

1

4

6

20

1

f

g

h

i

í

j

k

1

7

5

5

1

1

8

l

m

n

o

ó

ö

ő

9

11

12

7

2

1

2

p

q

r

s

t

u

ú

1

0

7

6

7

3

1

ü

ű

v

w

x

y

z

0

0

6

0

0

9

5

a

á

b

c

d

e

é

15

0

9

7

6

28

0

f

g

h

i

í

j

k

4

5

11

8

0

0

2

l

m

n

o

ó

ö

ő

6

3

8

14

0

0

0

p

q

r

s

t

u

ú

0

0

15

10

19

5

0

ü

ű

v

w

x

y

z

0

0

1

6

2

5

0

2. táblázat



1. sz. grafikon

2. sz. grafikon

89

alakzatok I. rész

0521. A geometria tárgya; pont és egyenes síkon és gömbön

Készítették: lénárt istván, makara ágnes

92

matematika „A” – 5. évfolyam – 052. alakzatok I. rész


1. FELADATLAP 1. Válogasd szét a képen látható tárgyakat geometriai és nem geometriai tulajdonságok szerint!

2. Rajzolj vonalakat gyufásdobozra, pingponglabdára, flakonra! 3. V álogasd szét minél többféle szempont alapján a Síkbeli vonalak kártyakészlet (1. tanulói melléklet) lapjait! 4. Gyűjtsd össze tapasztalataid alapján a testek, felületek, vonalak geometriai tulajdonságait!

ÖSSZEGZÉS Mindennapi életünkben tárgyak vesznek körül bennünket. Ha a tárgyaknak az alakját és a méretét figyeljük, akkor geometriai szempontból vizsgáljuk azokat. Ha egy tárgyat geometriai tulajdonságai szerint vizsgálunk, akkor a tárgyat geometriai testnek szokás nevezni. A testeket felületek határolják. A felületek lehetnek görbék vagy síklapok. A síklapú testeket lapok határolják. A lapok élekben, az élek csúcsokban találkoznak. A felületekre rajzolhatunk vonalakat. A vonalak egyenesek vagy görbék lehetnek.

2. FELADATLAP 1. Rajzoljatok pontot a lapra zsírkrétával, filctollal, hegyes ceruzával, és nézzétek meg nagyítóval! Mit gondoltok a megrajzolt pontokról? 2. Rajzoljatok pontot a gömbre! 3. Rajzoljatok fél pontot! 4. Rajzoljatok különböző vonalakat a lapra és a gömbre! Gyűjtsetek példákat vonalakra! Mondjatok a valóságban fellelhető dolgokat, amelyekről azt mondhatjuk, hogy „vonal alakú”.



93

5. Rajzoljatok egy görbe és egy egyenes vonalat a síkra! Rajzolj egy görbe és egy egyenes vonalat a gömbre! Találsz-e olyan vonalat a sárgadinnye héján, amit gömbi egyenes vonalnak gondolsz?

6. Mondjatok példát síkfelületre! Mondjatok görbe felületre! Próbáljátok megfogalmazni, mi a geometriában a sík! 7. Mondjatok példákat olyan tárgyakra, amelyeknek a geometriai alakja olyan, mint a gömb, a téglatest, a kocka, a tórusz!

ÖSSZEGZÉS A geometria a tárgyak kiterjedésével, alakjával, méreteivel foglalkozik. Az igazi pont, amit a matematikában pontnak nevezünk, csak a mi képzeletünkben létezik: még soha, senki sem látta. Semmije sincs, csak a helye. Nincs kiterjedése, csak azt tudjuk róla, hol van. A geometriában a pontot ezentúl kis ×-szel jelöljük meg, az × szárainak metszésében képzeljük a pont helyét. A pontokat rajzon nagy betűkkel szokás elnevezni. Az igazi vonalnak nincs vastagsága, de nemcsak helye van, mint a pontnak, hanem alakja és hosszúsága is. Geometriai vonal csak a képzeletünkben létezik. A síkot úgy képzeljük, mintha egy kis edényben lévő víz felületét minden irányban bármilyen nagyságban kiterjesztenénk, és mindenhol változatlan maradna. Azt mondjuk, hogy az igazi síknak nincs vastagsága, és minden irányban végtelen. Ez is csak a képzeletünkben létezik.

3. FELADATLAP 1. a) Rajzoljatok két pontot a füzetbe, zsineg segítségével keressétek meg a legrövidebb utat a két pont között!

b) Hosszabbítsátok meg ezt a vonalat mind a két irányban, amíg csak lehetséges! Milyen vonalat kaptatok?

c) Lehetne-e ezt a vonalat tovább folytatni mind a két irányban? Milyen vonal lesz ez?

2. Most játsszuk el ugyanazt a gömbön, amit eddig a síkon eljátszottunk!

94



3. Rajzoljatok vonalzóval egyenest a síkra! Fordítsátok meg a vonalzót, és így is rajzoljátok meg ugyanezt az egyenest! Próbáljátok ugyanezt a gömbön a gömbfólia segítségével! 4. Vegyétek elő a gömbvonalzót! Látjátok, ezen is van skálabeosztás, ez mutatja a legrövidebb utat a gömbön. Rajzoljatok két pontot a gömbre, és kössétek össze azokat a vonalzó mentén! Milyen vonalat kaptatok? Lehetne-e ezt a vonalat tovább folytatni mind a két irányban? Milyen vonal lesz ez? A gömbvonalzónak mindegyik éle ugyanilyen vonalat rajzol? Azok is, amelyek mentén nincs skálabeosztás?

ÖSSZEGZÉS Síkfelületen két különböző pont között az egyenes szakasz mutatja meg a legrövidebb utat. Az egyenes szakasz mindkét irányban akármeddig meghosszabbítható, végtelen hosszú. Ezt a végtelen hosszú vonalat nevezzük egyenes vonalnak. A gömbfelületen két különböző gömbi pont között a gömbi főkörív, vagy más néven gömbi szakasz mutatja meg a legrövidebb utat. Ha a gömbi főkörívet mindkét irányban meghosszabbítjuk, akkor ez a vonal körbeéri a gömböt, és gömbi körré változik. Ez a gömbi kör abban különbözik a gömb többi körétől, hogy ez a lehető legnagyobb kör, amit a gömbre rajzolhatunk. Ezt a legnagyobb gömbi kört gömbi főkörnek, vagy gömbi egyenesnek nevezzük. 5. Gyakoroljátok a gömbvonalzó használatát! Rajzoljatok gömbi köröket a vonalzó segítségével! Felváltva dolgozzatok, egymást segítve!



95

6. Figyeljétek meg egy vízcsepp útvonalát, ha ferde síklapon halad, és ha a gömbön halad! 7. K épzeld azt, hogy az almák tökéletesen gömb alakúak! Melyik vágásvonal halad gömbi egyenesen, vagyis főkörön?

8. Jelölj ki egy pontot a síkon! Hány egyenes húzható a síkon ezen a ponton át? Jelölj ki egy pontot a gömbön! Hány főkör húzható a gömbön ezen a ponton át? 9. Rajzoljatok egy egyenes vonalat a síkra, és jelöljetek ki rajta egy pontot! Mit gondoltok, hány részre, hány egyenes darabra bontja szét ez a pont az egyenest? 10. Rajzoljatok egy főkört a gömbre, és jelöljetek ki rajta egy pontot! Mit gondoltok, hány részre, hány főkör darabra bontja szét ez a pont a főkört? 11. S zínezzétek ki a különböző egyenes darabokat más-más színnel! Színezzétek ki a különböző főkör darabokat más-más színnel! 12. a) Rajzolj a papír síkjára egy egyenest, és jelölj ki rajta két pontot! Hány részre osztja a két pont az egyenest? Színezd a különböző részeket más-más színnel! Melyik rész véges? Melyik rész végtelen? b) Rajzolj a gömbre egy főkört, és jelölj ki rajta két pontot! Hány részre osztja a két pont a főkört? Színezd a különböző részeket más-más színnel! Melyik rész véges? Melyik rész végtelen? 13. a) Vegyél fel két pontot a síkon! Hány egyenest tudsz rajzolni ezeken a pontokon át? b) Vegyél fel két pontot a gömbön! Hány főkört tudsz rajzolni ezeken a pontokon át?

96



ÖSSZEGZÉS A síkban egy megadott pontján át végtelen sok egyenes húzható. Ez a gömbön is így van: egy adott gömbi ponton át végtelen sok gömbi főkör megy át. A síkban két megadott pontján át egyetlen egyenes húzható. A gömbön más a helyzet. Általában igaz, hogy két pontot egyetlen gömbi főkör köt össze. Ha a két pont átellenes (egymással szemközt helyezkednek el a gömbfelületen), akkor végtelen sok gömbi főkör illeszkedik rájuk. A pont az elképzelt, végtelen hosszú egyenest két darabra bontja. Ezeknek az egyenes daraboknak félegyenes a nevük. A pont a főkört nem bontja két darabra. Az egyenest két pontja három részre bontja: Két végtelen félegyenesre és egy szakaszra. A két pont közötti véges egyenes darab neve: szakasz. A főkört két pontja két véges főkörívre bontja.

4. FELADATLAP 1. Rajzoljatok egy egyenes vonalat a füzet lapjára és egy gömbi főkört a gömbre! Figyeljétek meg, hogyan osztja szét az egyenes a síkot és a kör a gömböt! Fogalmazzatok meg azonosságot és különbözőséget! 2. És ha feljebb rajzoljuk az egyenest, most már úgy, hogy a két tartomány a füzetlapon nem látszik egyformának? És ha csak egy pici csücsök marad az egyenes darab egyik oldalán, és a füzetlap legnagyobb része a másik oldalra kerül? És ha máshová rajzoljuk a főkört? 3. Rajzoljatok vonalat a skálázott él és a skálázatlan él mentén! Hasonlítsátok össze a két vonalat és a keletkezett részeket! Fogalmazzátok meg a különbséget! Ha a skálázott élek mentén vágnánk szét a gömböt, egyforma darabokat kapunk? És ha bármely skálázatlan él mentén vágnánk ketté a gömböt, egyforma darabokat kapnánk-e?



97

4. a) Képzeld a narancsot tökéletes gömbnek, és rajta piros, kék és zöld befőttes gumit tökéletes főköröknek! Melyik befőttes gumi osztja szét két egyforma félgömbre a narancs felületét?

b) Képzeld a papír síkján rajzolt narancssárga vonalakat végtelen egyeneseknek! Melyik egyenes osztja szét két egyforma félsíkra a végtelen síkot?

5. Vedd a kezedbe a színesrúd-készlet egy darabját!

a) Mutass rajta két olyan lapot, amelyek nem metszik egymást! Milyen helyzetűnek mondtuk a test nem metsző lapjait?

b) Mutass két olyan lapot, amelyek metszik egymást! Húzd végig az ujjadat a két lap közös részén! Hogyan neveztük azt az egyenes darabot, amelyben két szomszédos lap találkozik?

c) Keress három olyan lapot, amelyek „találkoznak”! Mi a három lap közös része? Hogyan neveztük ezt?

6. Vedd a kezedbe ismét a színes rudat! Húzd végig az ujjadat a párhuzamos éleken! Keress metsző éleket! Keress olyanokat, amelyek nem metszők, de nem is párhuzamosak! 7. Két ceruzával (amit képzeletünkben most végtelen hosszú egyenesnek gondolhatunk) mutass párhuzamos, metsző, kitérő egyeneseket! 8. Hasáb felületére rajzoljatok párhuzamos, metsző, kitérő egyeneseket! Dolgozzatok párban! 9. Gyűjts a környezetedben párhuzamos vonalakat! 10. Figyeljétek meg két főkör illetve két egyenes lehetséges helyzetét! Használjatok két félgömbfóliát és a síkfóliákra rajzolt egyenes vonalakat! Dolgozzatok párban! 11. a) Rajzoljatok különböző helyzetben két főkört a gömbre!

Tudjátok meg, hogyan állhat két főkör a gömbön egymáshoz képest!

Hogyan osztják szét a főkörök a gömb felületét?

Hány színnel színezhetnénk ki a részeket?

b) Rajzoljatok különböző helyzetben két egyenes vonalat a síkra!

Gondoljátok meg, hogyan állhat két egyenes egymáshoz képest!

Hogyan osztják szét az egyenesek a síkot?

Hány színnel színezhetnénk ki a részeket?

c) Lehet-e két gömbi főkör párhuzamos? Rajzoljatok két párhuzamos főkört!

98



12. a) Rajzolj két metsző egyenest a síkra, és jelöld a metszéspontjukat! Hány egyenes húzható ezen a ponton át a síkon? b) Rajzolj két főkört a gömbre, és jelöld a metszéspontjaikat! Hány főkör húzható ezeken a pontokon át a gömbön? 13. Keresd meg a földgömbön az Egyenlítőt és a Ráktérítőt! Azt mondja valaki: „Nem igaz, hogy nincsenek párhuzamos főkörök a gömbön, hiszen az Egyenlítő párhuzamos a Ráktérítővel.” Igaza van-e?

ÖSSZEGZÉS A síkot egy egyenese két végtelen tartományra: két félsíkra osztja. A gömböt egy főköre két félgömbre osztja. A két félgömb véges. A térben két egyenes lehet metsző, párhuzamos vagy kitérő. A sík két egyenese párhuzamos helyzetű, vagy metszik egymást. A gömbön csak egymást metsző főkörök rajzolhatók. Két főkör 2 átellenes pontban metszi egymást.

alakzatok I. rész

0522. Távolság és távolságmérés síkon és gömbön


100



1. FELADATLAP 1. Válogatások Darabos és folytonos mennyiségek: Ha mozijegyet veszel, vagy megszámolod, hány gyerek van az osztályban, akkor egy természetes számot kell mondanod: „Három jegyet kérek.” „Húsz gyerek van az osztályban.” Nem mondhatod: „Három és fél mozijegyet kérek” vagy „Húsz és egynegyed gyerek van az osztályban. Ezek darabos mennyiségek. Ha porcukrot veszel, vagy megméred a testsúlyodat, akkor nemcsak egész számot, hanem bármilyen pozitív számot mondhatsz: „Kérek negyed kiló porcukrot”. „Negyvenegy és fél kiló vagyok.” Akármilyen kis mennyiséget is mondhatsz, ha van olyan eszköz, amivel még azt a kis mennyiséget is meg lehet mérni. Ezek folytonos mennyiségek. Sokszor nehéz eldönteni, hogy darabos vagy folytonos mennyiséggel van-e dolgunk. A paprikát árulják darabra is, és súlyra is, tehát hol darabos, hol folytonos mennyiségre gondolunk: „Kérek két darab paprikát.” „Kérek negyed kiló paprikát.” A tanár által adott kártyakészletben olyan mennyiségek képeit látod, amelyekről el lehet dönteni, hogy darabosak-e vagy folytonosak: Találd ki, melyik kártya mit ábrázol, és válogasd szét a kártyákat aszerint, hogy darabos vagy folytonos mennyiségeket ábrázolnak!

alma

autó

betű

utazás

víz

sebesség

SMS-üzenet

fekvőtámasz

gól

puszi

hangerősség

idő

testmagasság



101

2. Folytassátok a megkezdett válogatást! Adjatok címkét a halmazoknak!

3. Álljatok padsoronként magasság szerint növekvő sorba! Hozzatok létre két-két sorból egy magasság szerint növekvő sort! Az új sorokat felhasználva az összes gyereket rendezzétek magasság szerint növekvő sorba!

Olvasmány a hosszúságmérés egységeiről A műszaki szakemberek szerint: „Csak az van, amit mérni lehet”. A régi korokban országonként, tartományonként különböző, és többnyire önmagában sem egységes mér¬tékeket használtak. Ezek közül sokat ma is használunk, némelyekkel regényekben találkozunk. A tudományos kutatások, a műszaki fejlesztések alapja, hogy a mérhető mennyiségeket minél pontosabban megadják. Ma sok olyan iparág van, amely a termékeihez (pl. számítógépek, autók) szükséges alkatrészeket a világ legkülönbözőbb pontján állíttatja elő. Ezeket az alkatrészeket csak akkor lehet összeszerelni, ha az előírások szerint µm (mikrométer: a méter milliomod része) pontossággal illeszkednek egymáshoz. A szakemberek összeállítottak egy egységes mértékrendszert, rövidítve SI (Système Internationale d’Unités), amelynek használata 1960-tól Magyarországon is kötelező. Az SI rendszerben a hosszúságmérés egysége a méter. (A „méter” a görög „metron” szóból ered.)

A méter története A hosszúság mérésének egy új alapegységének meghatározását, a francia Akadémia (L’Académie française) által javasolt mérés elvégzését a Párizsban 1791. március 26.-án összehívott nemzetgyűlés rendelte el. Az új alapegységet méternek nevezték el, és csillagászati mérésekkel a Föld Párizson áthaladó délkörének negyvenmilliomod részeként definiálták. (A legújabb mérések szerint az akkor megállapított méter 0,2 mm-rel rövidebb a délkör negyvenmilliomod részénél, tehát meglepően jó!) Hamarosan elkészítették egy „méterrudat”, amit ősméternek tekintettek. Nézd meg a rajzon az alakját!

a méter etalon szerkezete

102



1878-ban Párizsban létrejött a Nemzetközi Mértékügyi Bizottság, amelynek elnöke csaknem húsz évig Kruspér István műegyetemi professzor volt. Elkészítettek 30 db számozott másolatot az ősméterről, amelyeket sorsolással osztottak szét a résztvevő országok között. Magyarországnak a 14. számú jutott. A nemzeti ősmétert különleges bánásmódban részesítették. A Budapesti Nemzeti Bank pincéjében őrizték egy gyapottal kibélelt, lepecsételt ládában. A gyapotbélés egy réztokot, az pedig magát a méterrudat tartalmazó, bársonybélésű tokot rejtette. Készítettek két, a nemzeti ősméterhez hasonló „használati főmintát”. Az Országos Mérésügyi Hivatalban ezekkel ellenőrizték a sárgaréz alapanyagú méterrudakat, amelyek alapján a mérőeszköz-gyártók dolgoztak. 1983-ban a Nemzetközi Súly- és Mértékügyi Hivatal Bay Zoltán magyar fizikus méter-definícióját fogadta el. Eszerint egy méter az a távolság, amit a fény légüres térben 1 másodpercnek a 299792458-ad része alatt megtesz. 4. A történetírók szerint a hosszúság volt az első mennyiség, amit mértek az emberek. Ehhez a saját testrészeiket használták. Kösd össze, melyik mértékegység körülbelül milyen hosszú lehetett!

hüvelyk

42 cm

kisarasz

75 cm

nagyarasz

25 mm

láb

32 cm

könyök

16 cm

lépés

21 cm

Méréssel ellenőrizd, hogy milyen hosszú a kisaraszod, a nagyaraszod és egy lépésed!

5. Nézzétek meg, néhány régi mértékegység mennyit ér cm-ben! Készítsetek csoportonként egy-egy plakátot, amelyen rajzzal bemutatjátok a régi mértékegységeket! Hüvelyk A római eredetű mértékegység egész Európában általánosan használt volt. Magyarországon a 13. századtól alkalmazták. Elnevezései más nyelveken: latinul digitus; németül Zoll (ejtsd: coll); angolul inch (ejtsd: incs). Sok fajtája van, a legelterjedtebb az angol hüvelyk (2,54 cm) és a bécsi hüvelyk (2,63 cm) Ujj Latinul digitus. Magyar mértékként 1244-től ismert. 1 ujj = 4 árpaszem = kb. 1,7 – 1,9 cm 1 királyi ujj = 1,953 cm Láb Latinul pes. Magyar mértékként 1266-tól ismert.. 1 láb = 16 ujj ~ 18,9-33,6 cm; a gyakorlatban általában 31,6 cm. Arasz Régi hosszmértékegység. Kisarasz: a hüvelykujj hegyétől a mutatóujj hegyéig Nagyarasz: a hüvelykujj hegyétől a kisujj hegyéig A ruhák anyagát rőfben mérik a rőfösök, egy rőf 78 cm hosszú.



103

6. Keress a környezetedben olyan távolságokat, amelyek nem hosszabbak 3 lépésnél! 7. Zsinegből vagy cérnából vágj le akkora darabot, amelyik becslésed szerint éppen körüléri a legnagyobb kör mentén a rajzgömböt! Utána próbáld rá a gömbre, és becsüld meg, mennyit tévedtél! Hosszabb zsineg kellett volna, mint amennyit levágtál, vagy rövidebb? Számoljátok össze, hány gyereknek volt túl rövid a zsinege, hánynak volt túl hosszú? (Ne csalj! Elrontod a játékot, ha előbb próbálod rá a zsineget a gömbre!) Próbáld ki ugyanezt a gömbi szögmérő kerületével! Mielőtt megmérnéd, becsüld meg, hogy szerinted hányad része a szögmérő kerülete a nagy gömbi kör kerületének! 8. Pótold a hiányzó mértékegységeket!

Egy alma körmérete 24

.................... .

Egy kád mélysége 6 és fél .................... .

Egy szoba magassága 265 .................... .

Egy CD vastagsága 1

.................... .

9. Keress olyan tárgyat, ami körülbelül olyan széles, mint a tanterem ajtaja és az egyik ablaka együttvéve!

ÖSSZEGZÉS A mérés azt jelenti, hogy a megmérendő mennyiséget összehasonlítjuk az egységül választott mennyiséggel. Tehát a mérés összehasonlítást jelent. A mérés eredménye a mennyiség, ami mérőszámból és mértékegységből áll. Pl. Azt mondjuk egy mérés végén: „A terem szélessége 6 méter.” mennyiség: 6 méter mérőszám: 6 mértékegység: méter

2. FELADATLAP 1. Mérd meg a tankönyved nagyobbik oldalát kisarasszal, piros rúddal, vonalzóval! Mérési eredményeidet írd be a megfelelő helyre!

............. kisarasz

< a tankönyvem nagyobb oldalának hossza < ............. kisarasz

............. piros rúd < a tankönyvem nagyobb oldalának hossza < ............. piros rúd

............. cm

< a tankönyvem nagyobb oldalának hossza < ............. cm

............. mm

< a tankönyvem nagyobb oldalának hossza < ............. mm

104



2. Becsüld meg párod magasságát dm-pontossággal! Hány dm-nél magasabb, hány dm-nél alacsonyabb! Írd le matematikai jelekkel! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Becsüld meg a magasságát cm-pontossággal! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ezt követően kérdezd meg tőle, mekkora a magassága! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mennyit tévedtél? Ellenőrizhettek méréssel! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Pároddal gyűjtsetek példát olyan távolságokra, amelyeket

mm-pontossággal

cm-pontossággal

méterpontossággal

km-pontossággal

érdemes megadni!

4. Írd a nyilakra a megfelelő műveleteket és számokat!

· 1 mm

· :

1 cm

· :

1 dm

· :

1m

· :

1 km

:

5. Becsléssel rajzolj a füzetedbe, azután a gömbre 3 cm, 25 mm, fél dm hosszúságú szakaszt! Hasonlítsátok össze a rajzaitokat, beszéljétek meg, kié lehet legközelebb a kért hosszúsághoz! Ellenőrizzétek méréssel! Hogyan lehet megmérni a távolságot a füzetben? Hogyan lehet megmérni a gömbön? 6. Rajzolj a papír síkjára egy egyenes vonalat, és jelölj ki rajta két pontot! Hány részre osztja a két pont az egyenest? A részek közül melyiket lehet megmérni, melyiket nem? Miért? 7. Mindegyik sárga vonalon a szomszédos kék pontok a valóságban egymástól 1 cm-re vannak. Jelöld a vonalakon a következő hosszúságokat! 1 cm, 2 cm, 20 mm, 2 és fél cm, 4 cm, 35 mm, 3 cm. Mielőtt hozzákezdenél, gondold meg, hogy melyik távolságot melyik vonalon fogod megjelölni! Amit jelöltél, írd a vonalra! Van-e olyan távolság, amelyiket nem tudsz pontosan, csak közelítőleg bejelölni? Ha van ilyen, azt húzd alá!



105

8. Dolgozzatok csoportban! Mérjétek meg a tankönyvetek rövidebbik oldalát tetszőleges mértékegységgel (pl. a füzet egy négyzetének oldalhosszával, fogpiszkálóval, egymás mellé helyezett egyforma pénzérmékkel, hüvelykkel stb.) Ne áruljátok el, rejtsétek a mérést a többi csoport elől! A füzetbe csak a mérőszámot írjátok le! Gyűjtsétek a táblára a mérőszámokat, és döntsétek el, melyik csoport milyen mértékegységet választott! 9. Rajzolj a gömbre egy főkört, és jelölj ki rajta két pontot! Hány részre osztja a két pont a főkört? A részek közül melyiket lehet lemérni, melyiket nem? Miért?

10. M i legyen a gömbön a távolság mértékegysége? Itt is sokféle mértékegységet használtak az emberek, ugyanúgy, mint a síkon.

ÖSSZEGZÉS

A gömbvonalzó alap-főkörén, amit az ábrán kék színnel jelöltünk, 360 skálabeosztást látsz. Nevezzük el a két szomszédos skálabeosztás közti gömbi távolságot 1 gömbi lépésnek! Ekkor egy teljes főkör hossza 360 gömbi lépés. Legyen két gömbi pont távolsága – az őket összekötő rövidebb főkör hossza, – ha mindegyik főkör-darab egyforma hosszú, akkor bármelyiküknek a hossza. 11. Mekkora a földgömbön az Északi-sark és Déli-sark gömbi távolsága?

Mekkora az Északi-sark és az Egyenlítő valamelyik pontjának gömbi távolsága?

Körülbelül hol vannak azok a pontok, amelyek az Északi-sarktól 45 gömbi lépés távolságra esnek? Mutasd meg ezeket a földgömbön!

106



3. FELADATLAP 1. Képzeld azt, hogy a képen látható mindhárom paradicsom tökéletes gömb!

Mind a három gömb-paradicsomon bejelölünk két, egymással átellenes pontot. Ha gömbi lépésekben mérjük a gömbi távolságot, melyik paradicsomon a legnagyobb a két pont gömbi távolsága? 2. a) Mekkora a legnagyobb távolság két különböző pont között a síkon?

b) Mekkora a legnagyobb távolság két különböző pont között a gömbön?

c) Mekkora a legkisebb távolság két különböző pont között a síkon?

d) Mekkora a legkisebb távolság két különböző pont között a gömbön?

3. a) Jelölj ki két pontot egy főkörön! Mérd meg a távolságukat gömbi távolságegységekben, a gömbvonalzó beosztása mentén!

b) Jelölj ki a gömbön ilyen távolságra eső két pontot:

90 gömbi lépés; 60 gömbi lépés; 45 gömbi lépés; 30 gömbi lépés; 120 gömbi lépés; 180 gömbi lépés.

c) Ha egy főkör egyik pontjától elindulsz, és akkora óriás-ugrásokkal haladsz előre, hogy egy ugrás akkora, mint 90 gömbi lépés, akkor hány ugrással érsz vissza a kiindulópontba?

d) Hány ugrással érsz vissza a kiindulópontba, ha egy óriás-ugrás 60 gömbi lépés; 45 gömbi lépés; 120 gömbi lépés; 180 gömbi lépés?



107

4. Kövesd Kolumbusz Kristóf útjának történetet térképen és a gömbön! Honnan indult és hova érkezett? (Spanyolország déli részéből indult és a Bahama-szigetek egyikére érkezett.) – Földrajzi atlasz világtérképén; – Gömbön! Körülbelül hány évszázad/évezred telt el Kolumbusz felfedezése óta? Körülbelül hányszor annyi tengert, mint szárazföldet találunk a Földön? Mutasd meg egy almán vagy narancson ezt az arányt! Kolumbusz Kristóf 1492 augusztusában (két évvel Hunyadi Mátyás király halála után) indult el három hajóval Spanyolországból. Célja az volt, hogy a gömbölyű Földön nem kelet felé, hanem nyugat felé hajózva érjen Japánba, Kínába és Indiába. Kisebbnek gondolta a Földet, mint amekkora valójában, és azt hitte, hogy a Föld felszínének nagyobbik részét szárazföld borítja, tehát kevés hely marad a tenger számára. Ezért azt remélte, hogy nyugat felől hamar eléri majd Ázsia partjait. Ázsia helyett azonban, két hónapi hajózás után, ismeretlen szigetekhez ért, amelyek a mai Közép-Amerika Bahama-szigetcsoportjához tartoznak. Máig sem tudjuk pontosan, hogy melyik szigeten kötött ki először. Legtöbben a mai San Salvador szigetére, az ott lakó indiánok nyelvén Guanahaní szigetére szavaznak. Kolumbusz meg volt győződve arról, hogy Ázsiába érkezett. Következő évben, 1493 márciusában ért vissza Spanyolországba, ahol nagy ünnepléssel fogadták. Évekkel később egy másik utazó, Amerigo Vespucci volt az első, aki már nem Ázsiának, hanem „Új Világ”-nak tekintette az újonnan felfedezett földeket. Amerigo Vespucci után nevezték el az új világrészt Amerikának. Még ezek után is sokan keresték a nagy összefüggő déli kontinenst. Csak a tizennyolcadik században, majdnem háromszáz évvel Kolumbusz felfedezése után, derült ki, hogy a Föld felszínének körülbelül háromnegyedét víz borítja, a szárazföldekre csak a maradék, körülbelül negyedrész jut. 5. Keresd meg a földgömbön az Egyenlítőt! Keresd meg az Északi- sarkot és a Déli-sarkot! Keresd meg Afrikát, és húzd végig az ujjadat a partvonalán! 6. Rajzolj a gömbre egy piros főkört! Legyen ez az Egyenlítő! Próbáld meg most rárajzolni a gömbre Afrikát, körülbelül úgy, ahogyan a képen látod!

Jelöld meg Afrika legészakibb, legdélibb, legkeletibb és legnyugatibb pontját! Körülbelül hány gömbi lépés távolságra van a legészakibb pont a legdélibb ponttól? Előbb becsüld meg, aztán mérd meg a gömbvonalzóval! Körülbelül hány gömbi lépés távolságra van a legkeletibb pont a legnyugatibb ponttól? Előbb becsüld meg, aztán mérd meg a gömbvonalzóval!

108



7. A Föld, amelyen élünk, majdnem gömb alakú. A gömbnek képzelt Föld főkörének kerülete 360 gömbi lépés, kilométerben mérve körülbelül 40 000 kilométer. Egy gömbi lépés ezért 40 000 kilométernek a 360-ad része, ami körülbelül 110 kilométernek felel meg. Számítsd ki, hogy Afrika legészakibb pontja körülbelül hány kilométerre esik a legdélibb ponttól! Számítsd ki, hogy Afrika legkeletibb pontja körülbelül hány kilométerre esik a legnyugatibb ponttól! 8. Készíts vakföldgömböt úgy, hogy a kontinensformákat körülrajzolod! Nem baj, ha nem egészen pontos a rajzod! A kontinensformák sem pontosak, csak kontinens-vázlatok. A szigeteket pedig nem is ábrázoljuk ezen a vakföldgömbön. Jelölj be öt földrajzi helyet: a helység, ahol az iskolád van; az Északi-sark; a Déli-sark; Fokváros Afrika déli csücskén (a gólyák Magyarországról odáig repülnek, ha jön az ősz); és még egy város, amit válassz meg magad, bárhol a világon! Becsüld meg akármelyik kettőnek a távolságát gömbi lépésben és kilométerben, azután mérd meg a távolságot gömbvonalzóval és számolj!

alakzatok I. rész 0523. Szögtartomány és szögmérés síkon és gömbön


110



1. FELADATLAP 1. Rajzolj a gömbre egy pontot, és két olyan főkör-darabot, amely a pontból indul! Hosszabbítsd meg a két főkör-darabot addig, amíg újra találkoznak! Milyen hosszú lesz ekkor a két főkör-darab? Hány részre osztottad így az egész gömb felületét? Próbáld ki ugyanezt egy narancson úgy, hogy a héjából kivágsz egy darabot!

2. Rajzolj a síkra egy pontot, és két olyan félegyenest, amely a pontból indul! Hosszabbítsd meg a két félegyenest addig, amíg csak tudod! Hol találkozik ismét a két félegyenes? Hány részre osztottad a két félegyenessel a síkot? Színezd különböző színekkel a részeket! 3. Rajzolj a síkra egy pontot! Most ebből a pontból indíts két olyan félegyenest, amelyek egy egyenesre illeszkednek! Hosszabbítsd meg a két félegyenest addig, amíg csak tudod! Hol találkozik ismét a két félegyenes? Hány részre osztottad a két félegyenessel a síkot? Színezd különböző színekkel a részeket! 4. Rajzolj a gömbre egy pontot, és két olyan főkör-darabot, amely a pontból indul, és ugyanarra a főkörre illeszkednek! Hosszabbítsd meg a két főkör-darabot addig, amíg újra találkoznak! Hány részre osztottad így az egész gömb felületét? 5. C soportosítsd a síkidomokat kétfelé! Az egyik halmazba kerüljenek azok, amelyeknek akármelyik két pontját összeköthetjük a síkidom belsejében haladó szakasszal (ezeket konvex síkidomoknak nevezzük)! A másik halmazba a többi síkidomot helyezd (ezeknek a neve: konkáv síkidom)! Válogasd ki a síkidomok közül azokat, amelyeket csak egyenes darabok (szakaszok) határolnak! 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

0523. Szögtartomány és szögmérés síkon és gömbön


111

6. Melyik szöget tennéd a konvex síkidomok közé?

ÖSSZEGZÉS A gömbön: Az egy pontból induló két főkör-darab a két szögszár. A két szögszár két szögcsúcsban találkozik. A szögszárak a gömb felületét két szögtartományra osztják. Meg kell jelölnünk, hogy a két tartomány közül melyikre gondolunk. Ha csak szögtartományról beszélünk, akkor mindig a kisebbik szögtartományra gondolunk.

A síkon: Az egy pontból induló két félegyenes a két szögszár. A két szögszár egy szögcsúcsban találkozik. A szögszárak a sík felületét két szögtartományra osztják. Meg kell jelölnünk, hogy a két tartomány közül melyikre gondolunk. Ha csak szögtartományról beszélünk, akkor mindig a kisebbik szögtartományra gondolunk.

A szögeket úgy jelöljük meg, hogy a körzőnket a szög csúcsába szúrjuk, és a szög két szára közé ívet rajzolunk:

a

b

A szögeket a görög ábécé kisbetűivel szokás elnevezni: α (alfa), β (béta), γ (gamma). A betűket beleírjuk a szögtartományba.

112



Azokat a síkidomokat, amelyeknek akármelyik két pontját összekötő szakasz a síkidom belsejében van, konvexnek nevezzük. Az olyan síkidomokat, melyeknél valamelyik összekötő szakasz kilép a síkidomból, konkávnak nevezzük.

Azokat a síkidomokat, amelyeket egymáshoz kapcsolódó szakaszok határolnak, sokszögeknek nevezzük. Ezek sokszögek:

Ezek nem sokszögek:

2. FELADATLAP 1. Rajzoljatok a gömbre közös pontból kiinduló két fél főkört! (Ezek a ponttal szemközti pontban is metszik egymást.)

Hány részre bontja a két fél főkörív (meridián) a gömbfelületet? Nevezzük mindkét részt gömbi szögtartománynak! A két gömbi szögtartomány közül válasszuk ki a kisebbiket, ezt színezzétek ki! Ezzel fogunk most foglalkozni. Szóforgóval gyűjtsetek erről minél több információt, írjátok ezeket egy lapra!



113

2. Tanárotoktól páronként kaptok gömbfóliából kivágott gömbi szögtartományokat. Külön papírlapokra gyűjtsétek mindegyik szögtartománynak a tulajdonságait! Hasonlítsátok össze, írjátok le az azonosságokat és a különbözőségeket! 3. A mérést követően a csoportban gyűjtsétek össze az alakzatokat! Keverjétek össze a róluk gyűjtött információkat! Sorban húzzatok ez utóbbiakból egyet. Aki húzott, olvassa fel, és válassza ki, melyik gömbfólia-darabról szólhatott az információ! 4. Válasszatok az alábbi tulajdonságok közül minél kevesebbet, ami elegendő ahhoz, hogy ezt ismerve gömbkétszögre gondoljunk! 2 csúcsa van 2 oldala van 2 szöge van mindegyik oldala 180 gömbi távolságegység 2 gömbi félkör határolja 2 csúcsa, a gömbön átellenes pont. 5. Papírból nyírjatok ki különböző nagyságú szögtartományokat – páronként 2-2 darabot! Figyeljétek meg a síkbeli szögtartományoknál azokat a tulajdonságokat, amelyeket a gömbi kétszög esetében! Hány csúcsa van a szögtartománynak? Hány oldala, vagyis szögszára van a szögtartománynak? Milyen hosszúak a szögszárak? Hány szöge van a síkbeli szögtartománynak? 6. Miben különböznek a síkbeli szögtartományok? Hajtogass papírból derékszögmérőt, és ezzel hasonlítsd össze a szögek nagyságát! Így csoportosítsd a szögeket: – derékszögnél kisebb – derékszög, – 1 derékszögnél nagyobb, de két derékszögnél kisebb – két derékszöggel egyenlő, két derékszögnél nagyobb – 4 derékszöggel egyenlő! 7. Vizsgálódjatok Magyarország térképén! Tegyetek a térképre egy átlátszó papírt, és húzzatok Budapesttől dél felé, közel a Duna vonalán egy félegyenest! Húzzatok egy másik félegyenest ugyancsak Budapesttől indulva, a Balaton keleti széle felé! Hajtogassatok ekkora szöget! Mit gondolsz, ha átfordítod ezt a szöget az utóbb húzott egyenes másik oldalára, belefér-e a szögtartományba a Balaton? 8. Töltsd ki a táblázatot! két félegyenes/ félfőkör által határolt szögtartomány csúcsainak száma határoló vonalainak hossza a szögtartomány szögeinek száma

síkon

gömbön

114



ÖSSZEGZÉS A gömbkétszög olyan gömbi alakzat, amelyet két félfőkör határol. A szögeket nagyságuk szerint a következőképpen csoportosítjuk síkon és gömbön: Hegyesszög (derékszögnél kisebb) Derékszög Tompaszög (derékszögnél nagyobb, de 2 derékszögnél kisebb) Egyenesszög (2 derékszöggel egyenlő) Homorú szög (2 derékszögnél nagyobb) Teljes szög (4 derékszöggel egyenlő)

hegyesszög

derékszög

tompaszög

homorúszög

egyenesszög

teljes szög

3. FELADATLAP 1. Állj szembe a táblával, és jobb kezedet nyújtsd előre, a tábla felé!

a) Csinálj „hátraarcot”, „jobbra át”-ot, „balra át”-ot!

b) Most végezz teljes fordulatot, negyed fordulatot, fél fordulatot, három negyed fordulatot, negyed fordulatnál kisebb fordulatot!

c) Mutasson a jobb kezed a tábla felé! Fordulj annyit, hogy a jobb kezed az ajtó felé mutasson! Mennyit fordultál? Hányféleképpen tudod teljesíteni a feladatot?

2. Az alábbi rajzot úgy készítettük, mintha a játszótér felett lettünk volna. Eszter bal kezét előrenyújtva áll házukkal szemközt.

a) Rajzold be, merre mutat, ha „hátraarcot”, „jobbra át”-ot, „balra át”-ot csinál! Használj zöld ceruzát!



115

b) Merre mutat, ha bal felé teljes fordulatot, negyed fordulatot, fél fordulatot, háromnegyed fordulatot, negyed fordulatnál kisebb fordulatot végez? Ezt kékkel rajzold!

c) Mutasson a jobb keze a ház felé! Forduljon annyit, hogy a jobb keze a ház felé mutasson! Men�nyit fordult? Hányféleképpen tudja teljesíteni a feladatot?

3. Párban dolgozzatok! Jelöljetek ki egy pontot a gömbön, és illesszétek rá a kis „sapkát” úgy, hogy annak középpontja a ponton legyen! A gömbön jelöljétek meg piros ponttal a piros vonal végét, zölddel a zöld vonal végét, feketével a fekete vonal végét és kékkel a kék vonal végét!

a) Forgassátok körbe a piros vonalat úgy, hogy visszaérjen a piros ponthoz! Merrefelé mutat most a fekete vonal? Számít-e, hogy jobbra vagy balra forgattuk a süveget?

b) Most csináljatok félfordulatot a süveggel! Hová kerül a piros vonal vége? A többi pont vége melyik ponthoz kerül? Számít-e, hogy jobbra vagy balra forgattuk a süveget?

c) Tegyetek negyed fordulatot a süveggel! Először jobbra, mint az óramutató. Hová kerül a piros vonal vége? És a többi vonalé? Ha balra indultok negyed fordulat után ugyanahhoz a pontokhoz kerülnek-e a vonalak?

d) Forgassátok tovább még egy negyeddel! Hová értünk? Voltunk-e már itt? Melyik fordulatnál? 4. Keressetek további példákat gömbi szögtartományokra valóságos tárgyak körében!

116



4. FELADATLAP 1. Helyezzetek el két félgömbfóliát a gömbön úgy, hogy azok négy egyforma gömbi tartományt határozzanak meg! 2. A gömbvonalzó segítségével rajzolj merőleges főköröket! Keress különféle módszereket a rajzolásra! 3. Vedd kézbe a gömbi szögmérőt! Figyeld meg: négyféle skálabeosztás van rajta! Mennyi a skálabeosztás a gömbi szögmérő négy skálája mentén? Előbb becsüld meg, aztán számlálj! 4. Hány szög van összesen a négy gömbi tartományban? Hogyan lehetne ezeket megmérni? Mekkorák ezek a szögek? Végezz mérést! 5. Állítsátok elő a gömbön

a) a derékszög felét;

b) a derékszög harmadát;

c) 60 fokos szögtartományt;

d) gömbi egyenesszöget;

e) jelöljetek egyenlő szögeket!

A gondolkodásban segíthet a kép:

6. Rajzolj három gömbi főkört két átellenes ponton keresztül, úgy, hogy hat körülbelül egyforma szögtartományra bontsd a gömbfelületet! Mérd meg a gömbi szögmérővel a szögtartományok szögeit! Összesen hány helyen mérhetjük meg itt a szögeket? Mekkora szöget kaptál volna, ha sikerül egyenlő részekre osztanod a gömböt? Mekkora lett az eltérés a te gömbödön? 7. Rajzolj 15, 30, 45, 60, 120 és 180 fokos gömbi szögtartományokat! 8. A piros, a kék és a sárga szögtartományokat úgy rendeztük el, hogy a közös részük egy sötét (majdnem fekete) háromszöget adjon. Tanárotok bemutat egy hasonló elrendezést. Először becsüljétek meg, hány fokos a piros, a kék és a sárga szögtartomány, azután mérjetek!



117

ÖSSZEGZÉS Két gömbi főkört merőlegesnek nevezünk, ha a gömb felületét négy egyforma részre osztják fel. A merőleges főkörök egymással derékszöget zárnak be. A gömbi szöget fokokban mérjük. A derékszög nagysága 90 ° (90 fok).

Szögmérésnél először kiválasztunk egy gömbi szögtartományt, amit elnevezünk 1 gömbi szögegységnek vagy 1 gömbi foknak. (Röviden 1°.) Olyan szögtartományt választunk szögegységnek, amiből 360 darab éppen lefedi az egész gömböt. Ez a szögtartomány olyan keskeny, hogy nehéz megrajzolni:

Szögmérésnél azt mérjük, hogy a szögegység hányszor fér rá az adott szögtartományra.

A gömbi szög mértékét, a gömbi szöget gömbi szögmérővel mérhetjük. A szögmérő középpontját odaillesztjük a két szögcsúcs közül akármelyikhez, és megmérjük a gömbi szöget. Mind a két szögcsúcsnál ugyanazt a szögmértéket kapjuk.

118



5. FELADATLAP 1. Két színes fóliadarabból állítsatok elő párhuzamos és metsző egyeneseket! Mozgassátok az egyeneseket különböző helyzetbe, jegyezzétek le, milyen helyzetbe kerültek, hány részre osztották a síkot, hány szögtartomány keletkezett, és milyenek ezek a szögek! Ha úgy gondoljátok, hogy vannak köztük egyenlők, azt papírhajtogatással ellenőrizzétek! Figyeljétek meg azt is, hogy mi lesz az a tartomány ahol a két félsík átfedi egymást? 2. Keressetek a tanteremben olyan egyenes vonalakat, amelyek merőlegesek egymásra! Csoportban gyűjtsenek minél több, egymásra merőleges helyzetű vonalat, lehetőleg ne csak vízszintes és függőleges helyzetűt!

ÖSSZEGZÉS Két félsík közös része egy szögtartomány, ha a két határoló egyenes metszi egymást, vagy pedig síksáv, ha a két határoló egyenes párhuzamos.

Két félgömb közös része mindig egy gömbkétszög, vagyis egy gömbi szögtartomány.

3. Rajzolj a füzetedbe egy egyenest, helyezd rá az egyik fólián található egyenest úgy, hogy merőlegesek legyenek egymásra! Forgasd el az egyenest úgy, hogy a két egyenes által bezárt kisebbik szög körülbelül fél derékszög legyen! Munkádat ellenőrizd papírból hajtogatott derékszögmérővel! 4. Mekkora szöget zár be két merőleges egyenes? Hány fokkal mérhető az egyenesszög? 5. Rajzolj a füzetedbe egy pontból kiinduló félegyeneseket, amelyek által bezárt szög körülbelül: 45°, 30°, 120°, 60°, 1°

Hogyan tudnád ellenőrizni a becslésedet?



119

6. Becsüld meg, azután szögmérővel mérd meg a szöget!

becslés: .............

becslés: .............

becslés: .............

mérés: .............

mérés: .............

mérés: .............

7. Rajzolj a szögmérővel 20, 40, 60, 80, 100, 120 és 180 fokos szögtartományokat!

ÖSSZEGZÉS Azokat az egyeneseket, amelyek 4 egybevágó szögtartományra bontják a síkot, egymásra merőleges egyeneseknek nevezzük. Szögmérésnél először kiválasztunk egy síkbeli szögtartományt, amit elnevezünk 1 síkbeli szögegységnek, vagy 1 foknak (1°). Olyan szögtartományt választunk szögegységnek, amiből 360 darab éppen lefedi az egész síkot. Ez a szögtartomány olyan keskeny, hogy nehéz megrajzolni. (A babiloniak a teljes szöget (teljes körülfordulás) 360 egyenlő részre osztották. Akkor még 1 évet 360 naposnak hittek, és erre vezették vissza.) Egy ilyen részt 1 foknak nevezték, és 1°-nak jelölték.)

Szögmérésnél azt mérjük, hogy a szögegység hányszor fér rá az adott szögtartományra.

120



Síkbeli szöget síkbeli szögmérővel mérhetünk.

6. FELADATLAP 1. A gömbvonalzó segítségével szerkesszünk egymásra merőleges gömbi egyeneseket, vagyis főköröket! (Segíthet, ha megfigyeled a képen a gömbvonalzóról készült fotókat. A kékkel és a pirossal színezett élek merőlegesek egymásra.) Minden gömbi egyeneshez tartozik két sarkpont – akárcsak a Földön az egyenlítőhöz az Északi és Déli sark. Ha egy ilyen sarkponton át tetszőleges egyenest húzol, akkor az merőleges lesz az eredeti egyenesre – akárcsak a Földön az Északi és Déli sarkokon áthaladó hosszúsági körök merőlegesek az egyenlítőre.

2. A következő képen azt is láthatod, hogyan lehet a vonalzó segítségével megtalálni egy egyeneshez a sarkpontját. A gömbvonalzó alapfőkörének, mint egyenlítőnek, egyik sarkpontja a nyergen levő fél napocska középpontja:

A sarkpont nem más, mint az alapfőkör egyik gömbfelületi, gömbi középpontja.

3. Hajtogass tépett szélű papírlapból merőleges egyeneseket!



121

4. Rajzolj egy egyenest és rá egy merőleges egyenest a derékszögű vonalzó két rövidebb oldalát használva! 5. Rajzolj egy egyenest és rajta kívül egy pontot a síkon. Rajzolj a ponton keresztül az egyenesre merőleges egyenest! 6. Rajzolj egy egyenest, és vegyél fel rajta egy pontot! Rajzolj ebben a pontban az egyenesre merőleges egyenest! 7. Á llíts elő párhuzamos egyenes párt papírlap hajtogatásával! 8. Rajzolj egy egyenest és derékszögű síkvonalzó segítségével két másik egyenest, amelyek merőlegesek erre! Hogyan állnak az egyenesre merőleges egyenesek egymáshoz képest? 9. Rajzoljunk a gömbre egy egyenest és gömbi vonalzó segítségével két másik egyenest, amelyek merőlegesek erre! Hogyan állnak az egyenesre merőleges egyenesek egymáshoz képest? Párhuzamosak-e egymással? Próbáljuk ki azt a csúsztatásos módszert adott főkörre merőleges, két főkör rajzolására, amit a síkbeli egyenesekkel már kipróbáltunk! 10. Négyzetrácsos papírból vágd ki az alábbi kockahálókat!

ÖSSZEGZÉS – Párhuzamos egyenesek rajzolása eltolással Egyenes vonalzó mentén (mint egy kis sínen) elcsúsztatjuk a háromszögvonalzót:

122



– Párhuzamos rajzolása merőleges egyenes segítségével: Rajzolunk egy a egyenest; a egyenesre állítunk egy merőleges b egyenest; a b egyenesre állítunk egy c egyenest. Az a és a c egyenesek párhuzamosak egymással.

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Rajzolj a síkon két olyan pontot, amelyek távolsága egymástól 60 mm! 2. Rajzolj a gömbre két olyan pontot, amelyek távolsága egymástól 60 gömbi lépés! 3. Rajzolj egy egyenest, és mérj ki rajta 5 cm-es szakaszt! 4. Rajzolj egy főkört a gömbre, és mérj ki rajta 30 gömbi lépés hosszúságú főkörívet! 5. Derékszögű vonalzóval rajzolj négyzetet, amelynek oldalhosszúsága 4 cm! 6. Rajzolj konvex háromszöget, négyszöget, ötszöget! 7. Rajzolj olyan négyszögeket, amelyeknek van két párhuzamos oldala! 8. Rajzolj olyan négyszögeket, amelyeknek van két egymásra merőleges szomszédos oldala! 9. Rajzolj olyan négyszögeket, amelyeknek van két egyenlő hosszúságú oldala! 10. Rajzolj konkáv (nem konvex) háromszöget, négyszöget, ötszöget! 11. Vegyél a kezedbe egy kockát! Jelöld meg egy élét! Számláld meg, hány ezzel az éllel párhuzamos és hány, ehhez az élhez képest kitérő éle van a kockának! 12. Jelöld meg a kocka egyik lapjának átlóját! Keress olyan lapátlót, amely kitérő helyzetű! 13. A kocka nem látszó lapjain olyan jelzés van, mint a vele szemközti lapon. Készíts két különböző kockahálót, és rajzold rá a lapokon található jelzéseket!



123

14. Szívószálakból cérnával összefűzve vagy hurkapálcikákból gyurmagolyók felhasználásával készíthetsz kockát. A rajzon ilyen kockát látsz. Csúcsait betűkkel jelöltük meg. A csúcsokat minden lehetséges módon összekötjük. Az a feladatod, hogy az így kapott szakaszok között keresd meg:

– az egyenlő hosszúságúakat

– a párhuzamosokat

– az egymásra merőlegeseket

– a kitérő szakaszokat

– azokat, amelyekre síkot fektethetünk!

Válaszaidat indokold megmutatással, magyarázattal!

15. „Rácsozz be” egy sima, tépett szélű papírlapot! Vonalzó segítségével négyzetrácsot készíts! Ha ügyes vagy, készíts téglalap-rácsot is! 16. Szögek mérőszámát úgy adtuk meg, hogy a szögmérés egysége a derékszög. Rajzold meg a szögeket! Számold át fokokba a mérőszámukat, majd ellenőrizd számolásodat szögmérővel!

2 harmad;

fél;

másfél;

2;

3;

1 hatod.

17. A szögmérés egysége a derékszög. Rajzolj olyan szögeket, amelyekre igaz

1 < α < másfél;

2 < β < 3;

0 < γ < fél!

18. K ét metsző egyenes négy tartományra osztja a síkot. A keletkezett négy szög közül az egyik 83°. Mekkora a másik három szög? 19. A gömbfelületet két főkör négy tartományra osztja. A keletkezett 8 szög közül az egyik 83°. Mekkorák a többiek? 20. Mérd meg két különböző háromszög alakú vonalzó szögeit! 21. R ajzolj két párhuzamos egyenest! Rajzolj harmadik egyenest, amely elmetszi a párhuzamosokat! Hány szög keletkezett így? Mekkorák ezek a szögek? 22. Hány fokos szöget zárnak be az óramutatók?

124



23. Hány fokot fordult el az óra nagymutatója 15 perc alatt, 20 perc alatt, 30 perc alatt, 50 perc alatt? 24. Katicabogár sétálni indul. Útja egyenes. Először megtesz 3 cm-t, megpihen egy kicsit. Megy tovább, 50 mm után talál egy pajzstetves rózsát, megebédel. Jóllakottan folytatja útját, szép lassan bandukolva még 4 cm 3 mm-t tesz meg, aztán visszafordul. Mennyi utat kell megtennie, hogy visszaérjen kiindulási helyéhez? Rajzold le Katicabogár útját! 25. Katicabogár egy kocka A csúcsából indul, és az éleken sétálgat. Milyen úton mehet (mindig csak az éleken), hogy visszaérkezzen az A csúcsba, és egy élen ne menjen kétszer? Segíthet, ha kézbe veszel egy kockát, és a csúcsait betűkkel megjelölöd. 26. Katica a síkon sétál. Rajzold le az útját vonalzóval, szögmérővel! Az indulási pontját jelöld A-val! Tehát elindul, és megy egyenesen 35 mm-t, akkor balra fordul. Így halad 4 cm-t, ott úgy változtatja irányát, hogy az új útja 60 fokot zár be az előbbivel, és ezen az úton egyenesen 5 cm-t sétál. Megáll, szuszog. (Hová érkezhetett? Jelöld B-vel!) Nagyon elfáradt, s a legrövidebb úton szeretne visszaérkezni az A pontba. Sehol semmi akadály, akármerre mehet. Mérd meg mekkora az a távolság, amit a visszaúton meg kell tennie! 27. Katica a gömbön sétál. Rajzold le az útját vonalzóval, szögmérővel! Az indulási pontját jelöld A-val! Mindig főkörök mentén halad. Tehát elindul, és megy 30 gömbi lépést, akkor derékszögben befordul balra, és ezen a főkörön halad 50 gömbi lépést. Megáll, gondolkodik, majd elfordul úgy, hogy a két út 60 fokos szöget zár be. Ezen az úton megy még 40 gömbi lépést. (Hol lehet most? Jelöld B-vel.) Mivel elfáradt, a lehető legrövidebb úton szeretne A-ba visszajutni. Rajzold le és mérd meg a visszafelé útját! 28. K ét félsíknak mi lehet a közös része? Előbb gondold ki, azután vizsgáld meg fóliák segítségével! 29. K ét félgömb-fóliának mi lehet a közös része? Előbb gondold ki, azután vizsgáld meg fóliák segítségével! 30. K aticabogár egy kocka felületén úgy sétál, hogy csak a lapok átlóin halad. Az A csúcsból indul, és ugyanazon az átlón csak egyszer megy végig. Hányféleképpen tervezheti meg az útját, ha sétája végén ismét az A csúcsban szeretne lenni? Találd meg a legrövidebb és a leghosszabb séta-utat!

mérések, kerület, terület, felszín

0531. A kerület fogalmának kialakítása

Készítette: pusztai julianna

126

matematika „A” – 5. évfolyam – 053. mérések, kerület…

1. feladatlap 1. A rajzok mutatják, hogy mit mértünk. Javítsd, ha valahol hibát találsz, pótold, ha valahol hiányt látsz!

TUDNIVALÓ A téglalap legfontosabb tulajdonságai: Tükrös négyszög. Szemben lévő oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak. Szomszédos oldalai merőlegesek egymásra. Mind a négy szöge egyenlő: derékszög. Átlói egyenlőek és felezik egymást. A négyzet: Olyan téglalap, amelynek minden oldala egyenlő.




127

2. A négyzethálós füzetlapra tegyél fóliát! Rajzolj a négyzethálós rácsra olyan téglalapokat, amelyeknek kerülete 4, 6, 8, 10, 20 egység! Keress több megoldást! Írd táblázatba az összegyűjtött megoldásokat! kerület

egyik oldal

másik oldal

ellenőrzés

2. FELADATLAP EMLÉKEZTETŐ 1 mm

< · 10

1 cm

< · 10

1 dm

< · 10

1m

< · 1000

1 km

1. Dominózzatok a dominókészlettel! Tanárotok elmondja a játékszabályokat!

EMLÉKEZTETŐ A kerület a határoló oldalak hosszainak összege. 2. Számozd meg a sokszögeket a kerületük nagysága szerint! Kezdd a sorszámozást a legkisebb kerületűvel! Becslésedet ellenőrizd méréssel!

128



3. FELADATLAP 1. Drótból téglalapokat hajtogatunk. Melyik téglalaphoz milyen hosszú drótra lesz szükségünk?

a) a = 23 mm,

K=

b) a = 85 dm,

b = 56 dm

K=

c) a = 125 mm,

b = 39 mm

b = 25 cm

K=

2. Négyzet alakú terítők szélére díszítő zsinórt varrunk. Van egy 18 cm, egy 1 m, egy 17 dm és egy 75 cm hosszú zsinórunk. Be tudjuk-e szegni velük a terítőket?

a) a = 420 mm

b) a = 7 cm 5 mm

K= K=

c) a = 4 dm 3 cm 2 mm

K=

3. Számítsd ki a háromszög kerületét, ha oldalai:

a = 15 cm

K=

b = 230 mm

c = 33 cm

4. Egy téglalap egyik oldala 28 cm, a másik oldal ennél 2 dm-rel nagyobb. K = ? 5. Egy négyzet oldala 90 mm, egy másik négyzet oldala fél cm-rel kisebb. Mennyivel nagyobb az első négyzet kerülete a másodikénál? 6. Egyenlőoldalú háromszög oldala 6 cm, egy másiké 12 cm, a harmadiké 18 cm, a negyediké 24 cm. Mit gondolsz a kerületükről? Miért gondolod ezt? 7. Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek kerülete: a) K = 20 cm 8. Mekkora a téglalap másik oldala, ha a) egyik oldala 2 m, és kerülete: 6 m



129

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Határozd meg a rácssokszögek kerületét, ha az egység 1 rács; továbbá, ha az egység 1 cm!

2. Mérd meg a szobád oldalainak hosszát! Milyen hosszú szegőléc kell a padló bekerítéséhez? (Gondolj az ajtóküszöbre is!) Van-e otthon a lakásotokban olyan helyiség, amelyben a padló kerülete körülbelül 8 méter? A lakásotok melyik helyiségében kisebb 20 méternél a padló kerülete? 3. Gyakoroljuk a mértékváltást!

a) Fejezd ki méterben: 3 km, 12 km, 4 és fél km, negyed km!

b) Fejezd ki deciméterben: 8 m, 35 m, 2 és fél m, tizedméter, 5 tized m!

c) Fejezd ki cm-ben: 8 dm, 5 dm 3 cm, 15 dm 2 cm, 3 m, 5 század m!

d) Fejezd ki cm-ben: 5 m, 10 dm, fél m, 3 m 2 dm 6 cm!

4. a) Melyik nagyobb, tedd ki a relációs jeleket!

15 m

150 cm

2 km

2100 m

3500 dm

3500 cm

9 km

900 dm

750 m

7 km

5700 cm

57 m

b) Rendezd növekvő sorrendbe a mennyiségeket!

5 m; 50 mm; 500 cm; 5 km; 5000 dm

5.

Mérd meg a négyzet oldalát, és számítsd ki a kerületét!

Mekkora lenne annak a négyzetnek a kerülete, amelynek kétszer ekkorák az oldalai?

130



6. Rajzolj téglalapot, amelynek oldalai: a = 3 cm és b = 47 mm! Számítsd ki a kerületét! 7. Számítsd ki a téglalap kerületét, ha oldalai:

a) a = 4 dm és b = 29 cm

b) a = 32 cm és b = 1 m 15 cm

c) a = 1 km 200 m és b = 620 m!

8. Számítsd ki a négyzet kerületét, ha oldala:

a) a = 17 cm

b) a = 1 dm 25 mm

c) a = 2 m 4 dm 5 cm !

9. Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek kerülete:

a) K = 20 cm

b) K = 36 mm

c) K = 232 dm

d) K = 2 m 28 cm?

10. Mekkora a téglalap másik oldala, ha

a) egyik oldala 2 m és kerülete: 6 m

b) kerülete 40 cm, egyik oldala 12 cm

c) kerülete 30 dm, egyik oldala 70 cm?

11. Számítsd ki a sokszögek kerületét!

a) háromszög oldalai: 23 mm, 4 cm, 3 cm

b) egyenlő oldalú háromszög 1 oldala: 2 dm 8 cm

c) egyenlő oldalú hatszög 1 oldala: 7 cm

d) egyenlő oldalú ötszög oldala: 5 dm

e) egyenlő oldalú hétszög oldala: 2 és fél cm

12. Egy téglalap alakú kert hossza 84 m, szélessége ennél 24 m-rel rövidebb. Dróthálóval bekerítjük. 4 m-enként tartóoszlopokat ásunk be. Hány tartóoszlop szükséges? 13. Ennek a teleknek a négy sarkára 4 cölöpöt állítottak. Milyen hosszú drótot kell a cölöpök között kifeszíteni a telekhatár kijelölésére?

A cölöpök távolságát mérd meg vonalzóval! 1 mm a valóságban 2 m-t jelent.



131

14. Ami a térképen 1 cm, az a valóságban 100 m. Milyen hosszú út vezet a tó körül? (Cérnával mérd meg a tó kerületét!)

15. A z ábrán látható várfal alaprajz méretei néhány helyen elmosódtak. Ha figyelmesen tanulmányozod a rajzot, megállapíthatod a hiányzó adatokat, és kiszámíthatod a fal hosszát. Ugye, meg tudod csinálni?



….. m 3m

3m 5m

15 m

2m

 ….. m

8m


0532. A terület fogalmának kialakítása


134



1. feladatlap 1 1. 1 cm2 -es négyzetrács, és 4 cm2 -es négyzetrács fóliáját illesszétek a falevélre és számoljátok meg mindkét négyzethálón, hogy hány négyzet van teljesen a levél belsejében, és hány fedi le teljesen a levelet!

......

< T < ......





......

......

......

< T < ......

2.

Hány ilyen

lappal

és hány ilyen

fedhető le az ábra ?

T=......

lappal

T= ......

3. Mekkora a területe a sokszögeknek a háromfajta egységgel mérve?

T = …………

T = …………

T = …………

T = …………

T = …………

T = …………

T = …………

T = …………

T = …………

T = …………

T = …………

T = …………



135

4. A téglalapok területének méréséhez 1 cm oldalú négyzetlapokat használunk. Az 1 cm² egységterületekkel rakd ki a téglalapokat, és számold meg, hány db fedi le a teljes területét!

T = 1 cm2 ∙ .......... = .......... cm2

T = 1 cm2 ∙ .......... = .......... cm2

T = 1 cm2 ∙ .......... = .......... cm2

2. FELADATLAP TUDNIVALÓ 1 mm2

< 100

1 cm2

< 100

1 dm2

< 100

1. Melyik igaz, melyik hamis?

1 m² lefedhető 100 dm²-rel.

1 cm² lefedéséhez nem elegendő 10 dm².

1 dm² lefedéséhez 10 cm²-es négyzetnél több kell.

1 km² ugyanakkora, mint 100 m².

1 m² -nyi terület 100 -szor nagyobb, mint 1 cm².

1 ha a területe egy 10 m oldalhosszú négyzetnek.

1 m2

< 10 000

1 ha

< 100

1 km2

136



2. Írd be a hiányzó mérőszámot!

1 m² = .............. dm² = .............. cm² = .............. mm²

1 ha = ..............

1 km² = .............. ha = . . . . . . . . . . a = . . . . . . . . . . m²

1 km² = .............. m²

1 dm² = .............. cm²

1 ha = .............. m²

1 m² = .............. cm²

a = ..............

m²

3. Írd be a hiányzó mértékegységet!

100 cm² = 1 ..............

1 m² = 10 000 ..............

100 dm² = 1 ..............

1 dm² = 10 000 ..............

100 ha = 1 ..............

1 ha = 10 000 ..............

4. Írd be a hiányzó mérőszámot!

5 m² = .............. dm²

400 dm² = .............. m²

25 m² = .............. dm²

14 000 dm² = .............. m²

8 dm² = .............. mm²

140 000 cm² = .............. m²

TUDNIVALÓ A téglalap területe: A négyzet területe:

T = a · b. T = a · a.

5. Rajzold le a téglalapot, és számítsd ki a területét! A csoport minden tagja más-más feladatot oldjon meg, majd hasonlítsátok össze, hogy ki, milyen adatokkal, milyen eredményt kapott! a) a = 4 cm b) a = 46 mm c) a = 8 cm d) a = 20 mm b = 23 mm b = 40 mm b = 46 mm b = 46 mm 6. Rajzolj olyan téglalapokat a négyzethálós füzetedbe, amelyeknek oldalai cm-ben mérve egész számok, és területe mindegyiknek 16 cm²! Mekkora a kerületük, és melyiknek a legkisebb a kerülete? 7. Rajzolj olyan téglalapokat a négyzethálós füzetedbe, amelyeknek oldalai cm-ben mérve egész számok, és kerülete mindegyiknek 16 cm! Mekkora a területük, és melyiknek a legnagyobb a területe?



137

3. FELADATLAP 1. Határozzuk meg a sokszögek területét! Mindegyik sokszöget egy vagy két vágással átdarabolhatod vele egyenlő területű téglalappá. Tervezd meg, hogyan fogod vágni! Előre berajzolhatod a vágás vonalát. Ha jól sikerült a darabolás, ragaszd ide az összeillesztett téglalapot!

 1.

T1 = .............. cm2

2.

T2 = .............. cm2 3.

T3 = .............. cm2 4.

T4 = .............. cm2

138



2. Figyeld meg a téglalap T1, valamint a belerajzolt sokszög T2 területét! Határozd meg mindkettőt! Rajzold be a képzeletbeli vágásvonalakat, és színezd azonos színnel az egyenlő területrészeket! A tapasztalatokat beszéljétek meg egymással! a) Háromszögek kiegészítése

T1 = .............. cm2

T1 = .............. cm2

T1 = .............. cm2

T2 = .............. cm2

T2 = .............. cm2

T2 = .............. cm2

T1 = .............. cm2

T1 = .............. cm2

T1 = .............. cm2

T2 = .............. cm2

T2 = .............. cm2

T2 = .............. cm2

b) Négyszögek kiegészítése

3. Zsuzsi és bátyja szüleiktől a kertjükben egy 7 m oldalú, négyzet alakú kiskertet kaptak művelésre. 1 m-es sávot veteményeskertnek hagytak, az ábrán jelzett területekre virágokat ültettek, a közepét pedig napozáshoz füvesítették. Mekkora a veteményes, a virágos és a füves terület?

veteményes



FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Határozd meg a következő síkidomok kerületét, majd területét! Ésszerűsítsd a munkádat!

2. Állítsd területük szerinti nagyságrendbe!

A

B

C

D E

3. Hány cm², hány mm² a sokszögek területe?

4. Melyik sokszög területe 1 cm²?

5. Hány 1 m²-es lappal tudnád a szobád padlóját lefedni? Becsülj, mérj, számolj! 6. Számítsd ki az alakzatok területét! a) b) 5 cm 5 cm

c)

5 cm

139

140



7. Egy téglalap alakú kert hosszúsága 24 m, szélessége 12 m. Mekkora a kert területe? 8. 4 m széles bekötőutat építenek a főúttól a faluig. A falu 5 és fél km-re van a főúttól. Mekkora felületet kell aszfaltozni? 9. Egy négyzet alakú szoba területe 25 m². Mekkora az oldala? 10. Mekkora a négyzet területe, ha a kerülete 48 cm? 11. Mekkora a téglalap egyik oldala, ha T = 2 dm² és a másik oldal 25 cm? 12. Melyik a nagyobb mennyiség? Tedd ki közéjük a megfelelő jelet (< > =)!

4 m² .............. 400 dm²

82 cm² ..............

8 dm²

5000 m² ..............

5 ha

750 cm² .............. 75 200 mm² 3 m² ..............

3000 cm²

10 km² .............. 10 000 ha

13. Pótold a hiányzó mérőszámokat! A füzetedbe dolgozz!

a) 5 cm² = .......... mm²

b) 1500 mm² = .......... cm²

25 cm² = .......... mm²

20 500 mm² = .......... cm²

2 és fél cm² = .......... mm²

350 mm² = .......... cm²

c) 3 dm² = .......... cm² = .......... mm²

45 000 mm² = .......... cm² = .......... dm²

3 és fél m² = .......... dm² = .......... cm² = .......... mm²

f) .......... cm² = 700 dm² = .......... m²

32 dm² = .......... cm² = .......... mm²

e) 6 m² = .......... dm² = .......... cm² = .......... mm²

d) 50 000 mm² = .......... cm² = .......... dm²

.......... mm² = .......... cm² = 5000 dm² = .......... m²

g) 4 ha = .......... m²

h) 70 000 m² = .......... ha

24 ha = .......... m²

250 000 m² = .......... ha

5 és fél ha = .......... m²

35 000 m² = .......... ha

i) 6 km² = .......... ha = .......... m²

j) .......... m² = 300 ha = .......... km²

2 és fél km² = .......... ha .......... m²

4 500 000 m² = .......... ha = .......... km²



14. Hány hektár a téglalap területe, ha: a) a = 600 m és b = 500 m

141

b) a = 17 km és b = 17 km?

15. Számítsd ki a téglalapok területét!

a) a = 7 és fél dm, b = 250 cm

b) a = 105 cm és b = 2 m

16. Számítsd ki a téglalap ismeretlen oldalát, ha

a) az ismert oldala 6 cm és a területe 48 cm²;

b) az ismert oldala 70 cm és a területe 3500 cm²;

c) az ismert oldala 6 dm és a területe 36 dm²;

d) az ismert oldala 70 cm és a területe 3 és fél m²;

e) az ismert oldala 12 km és a területe 36 ha;

f) az ismert oldala 9 m és a területe 8100 dm²!

17. E gy kert szélessége 18 m, hosszúsága 42 m. A rajta lévő ház alapterülete 156 m². Mekkora terület marad művelésre? 18. A téglalap egyik oldala 4 cm, kerülete 22 cm. Számítsd ki a területét! 19. Egy téglalap alakú telek 25 m széles. Kerülete 130 m. Van-e 1 hektár a területe? 20. Számítsd ki a 0531. modul feladatgyűjteményének 15. feladatában szereplő vár területét!


0533. A felszín fogalma


144



TUDNIVALÓ A téglatest legfontosabb tulajdonságai: – 6 téglalap határolja, – a szemben lévő lapok párhuzamosak és egybevágóak, a szomszédos lapok merőlegesek egymásra. – A téglatestnek 12 éle és 8 csúcsa van. – 4-4 él párhuzamos és egyenlő hosszú. Az egy csúcsból kiinduló élek merőlegesek egymásra. A kocka: – olyan téglatest, amelynek határoló lapjai egybevágó négyzetlapok. – minden éle egyenlő hosszú. Hálózat: a test határoló lapjai a síkban kiterítve. Felszín: a testet határoló lapok területeinek összege. Jelölése: A

1. FELADATLAP 1. Számítsd ki a kocka felszínét, ha egy éle:

a) a = 8 cm;

b) a = 15 dm

c) a = 8 cm 2 mm

d) a = 3 és fél dm

2. E gy kocka éle 5 cm. Számítsd ki a felyzínét! Mekkora a felszíne a 10 cm, 15 cm élű kockáknak? Hogyan változik a kocka feszíne, ha az éle kétszer, háromszor akkora? 3. 8 db egységkockából rakj össze egy nagyobb kockát! Mekkora ennek egy éle? Mekkora a felszíne?

a) Hányszorosa a nagyobb kocka felszíne az egységkocka felszínének?

b) Hányszorosa a nagyobb kocka felszíne az egységkockák együttes felszínének?

2. FELADATLAP 1. Számítsd ki annak a téglatestnek a felszínét, amelynek a hálózatát itt látod! Egy csúcsból kiinduló élei: a = 5 cm; b = 4 cm; c = 3 cm. Mit gondolsz, kisebb vagy nagyobb a test felszíne 1 dm²-nél?

a = 5 cm b = 4 cm

c = 3 cm

T1 = T2 = T3 = A=



145

2. Ennek a doboznak nincs fedele. Számítsd ki, mennyi karton szükséges az elkészítéséhez, ha a = 3 dm; b = 2 dm; c = 8 cm! Segíti a számítást, ha lerajzolod a doboz kicsinyített hálózatát.

c

b

a 3. Rajzold le az ábrán látható téglatest hálózatát, és számítsd ki a felszínét! (Készíts vázlatrajzot!)

c = 3 cm b = 3 cm a = 4 cm

4. a) Mekkora egy 45 mm oldalélű kocka hálózatának területe (a kocka felszíne)?

b) Elfér-e ez a hálózat egy füzetlapon? a = 45 mm

b = 204 mm

c = 140 mm

5. Számítsd ki a téglatestek felszínét! Minden feladat elvégzése előtt készíts vázlatrajzot a testről!

a) a = 18 dm

b = 70 cm

c=2m

b) a = 2 dm 2 cm

b = 15 cm

c = 8 cm

c) a = b = 30 cm

c = fél méter

d) a = b = c = 80 cm

146



3. FELADATLAP 1. A szoba hosszúsága 5 m 5 dm, szélessége 4 m, Magassága 3 m. (Váltsd dm-be az adatokat, és úgy számolj!)

a = 5 m 5 dm

ablak

b=4m

m=3m ajtó

ajtó

a) Hány m² a parketta területe?

b) Hány m hosszú szegőléc szükséges a parketta köré, ha a két ajtó szélessége összesen 3 m?

(Ide nem kell szegőléc.)

c) Mekkora falfelületet kell befesteni, ha az ablak és az ajtók összesen 7 m² területűek?

(Ezt nem kell befesteni.)

2. Írd be a hiányzó mérőszámokat, mértékegységeket! a)

1 és fél m

b)

............. m²

c)

2 m

d)

= ............. dm

=

150 .............

=

1500 dm²

=

150 000 .............

= ............. mm

=

43 ............. =

e)

940 cm²

f)

4 3 ha

43 000 m

=

= ............. mm² =

=

430 000 .............

3. Építsetek testeket 1, 2, 3, … egységkocka felhasználásával! Figyeljétek meg és határozzátok meg a felépített testek felszínét, készítsetek a füzetetekbe jegyzeteket ily módon: db 1 2 3 4 5 6

a különálló kockák felszínének összege (egység)

az összetett test felszíne (egység)



147

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Tervezd meg annak a téglatestnek a hálózatát, amelynek élei: 1 cm; 2 cm; 3 cm! Több, egymástól különbözőt is készíts! Négyzethálós lapon dolgozz, vágd ki a hálózatokat és hajtogasd össze a testeket! Számíts felszínt! 2. Melyik alakzat lehet téglatest hálója? Mérd meg a megfelelő éleket, és számítsd ki a hálózat területét, vagyis a téglatest felszínét!

3. Számítsd ki a téglatestek felszínét – figyelve a mértékegységekre –, ha éleik:

a) a = 7 cm, b = 1 dm, c = 15 cm

c) a = 85 mm, b = 3 cm, c = fél dm

b) a = 2 dm, b = 15 cm, c = 5 dm

d) a = 32 dm, b = 7 dm, c = 70 cm !

4. Számítsd ki a kocka felszínét, ha egy éle:

a) 20 cm

b) 5 dm 7 cm

c) 2 és fél m

5. Ha ismerjük a kocka felszínét, hogyan számíthatjuk ki egy határoló lapjának területét? Mekkora a kocka egy határoló lapjának területe, ha a) A = 54 cm2 b) A = 150 cm² c) A = 12 cm²? Milyen hosszú lehet ezeknek a kockáknak egy éle? 6. Apuka Panni lányának akváriumot készített. Az akvárium fél m hosszú, 25 cm széles és 30 cm magas. Mekkora a felhasznált üveg területe?

148



7. Édesapa Pisti fiának 1 m hosszú, 60 cm széles és 60 cm magas nyúlketrecet készített deszkából. Mekkora a nyúlketrec deszkával borított részének a külső felszíne? Mekkora területű drótháló került az ól elejére?

8. 2 m hosszú, másfél m széles, 30 cm magas dobogót készítenek deszkalécekből. Mekkora felületet kell a lécekkel beborítani, ha a dobogó alulról nyitott marad? Hány db-ot használnak fel 2 m hosszú, 15 cm széles lécekből?

egész számok

0541. Negatív számok fogalma és modelljei

Készítették: HUMENYÁNSZKYNÉ HEGEDŰS HAJNALKA, ZSINKÓ ERZSÉBET FOTÓ, ÁBRA: KÁMÁN BALÁZS

150

matematika „A” – 5. évfolyam – 054. egész számok


1. FELADATLAP 1. M érd meg a hőmérsékletet a megadott időpontokban, és írd a mérési eredményedet a megfelelő helyre! Figyeld az időjárás-jelentést (rádióban, tv-ben, napilapban vagy Interneten), és ez alapján írd be a táblázatba a napi minimum és maximum hőmérsékleteket! Napok:

H

K

Sz

Cs

P

Sz

V

Reggel (7 órai hőmérséklet) Délután (14 órai hőmérséklet) Este (20 órai hőmérséklet) Napi minimum hőmérséklet Napi maximum hőmérséklet

2. A táblázatban található adatokat november elején mérték. Mit tudsz leolvasni a táblázatról? Válaszolj a kérdésekre!

12 óra

14 óra

16 óra

Hétfő

4 °C

2 °C

0 °C

Kedd

2 °C

0 °C

Szerda

0 °C

Csütörtök

5 °C

6 °C

Péntek

3 °C

0 °C

–1

°C

–2

°C

–4

°C

5 °C –

1 °C

a) Melyik nap volt a leghidegebb? b) Hogyan változott a hőmérséklet az egyes napokon? Jelöld nyilakkal! c) Melyik napokon csökkent a hőmérséklet 4°C-kal 4 óra alatt? d) Melyik napon változott legkevesebbet a hőmérséklet? Ekkor csökkent vagy nőtt a hőmérséklet? e) 14 órakor melyik napon volt a leghidegebb? Hány fok volt ezen a napon? f) Szerdán hány órakor volt a leghidegebb? Hány fok volt ekkor?



151

3. A képek mutatják, hogy milyen szituációkban hangozhattak el a képek mellett olvasható mondatok, amelyek némelyike hiányos. Pótold a hiányokat, és írd le a számokat a megfelelő előjellel ellátva! a) Ha a hegy lábánál állunk, a hegy magasságát pozitív számmal jelölhetjük: +963 m. A felvonó által megtett szintkülönbség 963 m. M ost a hegy tetején vagyunk. Ehhez képest milyen mélyről indultunk? Írd le negatív számmal!

b) Ez az autó egy áruház előtt áll. A vezetője érdeklődik a parkoló bejáratánál. Ezeket a válaszokat kapja: A parkoló a 2. szinten van a föld alatt. Élelmiszerboltot a földszinten talál. A mozi a 3. emeleten van. Parkoló: Élelmiszerbolt: Mozi: c) A kép egy telefonszámla összesítője. A telefonszámla 3950 Ft. M iként jelentkezik a családi kasszában a telefonszámlán olvasható 3950 Ft? Előjeles számmal:

d) A hét elején a várható hőmérséklet A hét végére várható hőmérséklet: Éjszaka: Nappal:

e) Körülbelül 25 méter mélyen kell lennie a roncsnak. Előjeles számmal:

152



f) A repülőgépen felszállás után a pilóta köszönti az utasokat, és néhány információt ad: Jelenleg a repülőgép magassága Ebben a magasságban a hőmérséklet:

g) A történet Kr. e. 72-re tehető. Előjeles számmal:

h) A ház befejezéséhez legalább 1 millió Ft hitelre lenne szükség. Előjeles számmal:

i) A terhelés összesen 93 336 Ft. Előjeles számmal:

j) A barlang legalacsonyabb pontja a föld felszínétől számítva 50 méter mélyen van. Előjeles számmal:



153

4. Melyik feladat megoldása adható meg negatív számmal?

a) Gabi 15 kockából épített tornyot. A 2 éves testvére 12-t ledöntött belőle. Hány emeletes torony maradt állva? Ezután Gabi 18 kockából úgy épített tornyot, hogy alulról az 5. és a 6. kocka közé egy nagyobb papírlapot tett. Ez az építmény egy üzletközpont szintjeit jelölte a kockákkal, a papírlap pedig az utca szintjét. A 2 éves Pisti a 18 kockából 16-ot ledöntött. A megmaradt kockák hányadik szintjeit jelölik az üzletközpontnak?

b) Pistinek 20 színes üveggolyója van. Zsolti 22-t kért tőle kölcsön. Hány golyóval kevesebbet adhatott ennél Pisti Zsoltinak?

c) A 217 oldalas könyvből Marcsi naponta 20 oldalt olvas el. Mennyi lesz vissza a könyvből Marcsinak két hét múlva?

d) Egy busz 5-ször áll meg a két végállomás között. A végállomáson felszáll 8 utas, az első megállóban leszállnak ketten és felszállnak 7-en, a második megállóban 9-en szállnak le és felszáll 3 utas. A következő megállóban 11-en szállnak le, de ugyanennyien fel is szállnak. Az utolsó előtti megállóban nem száll le senki, de 6 utas felszáll. Hányan érkeznek a végállomásra?

e) Jocó kerékpározik az utcájukban. A kaputól jobbra indul, megy 150 métert, aztán megfordul, kerekezik 200 métert, ismét megfordul és 70 méter után újból irányt vált. A kaputól számítva hol van körülbelül 90 méter megtétele után?

f) Tegnaptól a Tisza vízállása Tokajnál 60 cm-t süllyedt. Emlékeim szerint tegnap 45 cm volt a vízszint. Kiszáradt a Tisza?

g) Sanyi most 8 éves. Az öccse csak 3. Hány év múlva lesz Sanyi 2-szer annyi idős, mint az öccse?

h) A Dunán csónakosok eveznek a Római parttól fölfele. 5 km-t lehúztak egyfolytában, aztán elfáradtak, és pihentek egy kicsit a csónakban. A víz sodorta őket lefelé. Mikor észrevették, már 1 km-rel lejjebb voltak. Ismét belehúztak. 8 km után ugyanannyi ideig pihentek, mint az előbb. Már csak 3 km volt vissza a célpontig. Visszafelé végig bírták egy szuszra. Mikor megérkeztek, azt mondták, hogy lefelé 15 kilométeren keresztül eveztek. Hová érkeztek?

i) Az ásatásokon 3000 éves edényeket találtak. Mikor készültek ezek az edények?

2. FELADATLAP 1. Vízparton gyakran megfigyelhetjük a valóságban látott kép tükröződését a vízben. Egészítsd ki a rajzot!

154



2. a) Olvasd le, mit mutatnak a hőmérők!

b) Mondd el, mit mondana egy meteorológus az erről a hétről szóló időjárás-jelentésben!

c) Mit mutathat a középső hőmérő?

.......................................................................... Fogalmazd meg, mi történhetett péntektől vasárnapig! d) Csoportban készítsetek a téli időszak egy hetéről várható időjárás-jelentést! Írjátok egy lapra! Jelöljétek a hőmérőkön a szövegben található hőmérsékleteket, aztán jelöljétek nyíllal, hogyan változott egyik napról a másikra a hőmérséklet!



155

3. Jelöld meg az időszalagon a feltüntetett eseményeket! Viszonyítsd az éveket a jelenlegi évhez!

most

– Születésed. – Iskolakezdésed. – Testvéreid születése. – 9. évfolyamos leszel. – Felnőtté válsz. 4. Használd az időszalagot! Kr. e.

–300

–200

Kr. u.

–100

Hannibál pun vezér Nagy Sándor Makedón uralkodó

0

100

200

300

400

hunok Európában Jézus kora

500

600

700

800

Mohamed az iszlám alapítója

a) Olvass le eseményeket az időszalagról! Ki élt előbb, Hannibál vagy Nagy Sándor?

b) Sorold fel az időszalagról az időszámítás előtt élt személyeket!

c)

Jelöld az időszalagon az alábbi eseményeket: – a Spartacus vezette rabszolgafelkelés – a magyar honfoglalás – Pitagorasz kora

d) Körülbelül mennyi idő telt el Pitagorasz kora és a magyarok honfoglalása között? És azóta?

e) Mondj olyan eseményeket, amelyek között 200 évnél kevesebb telt el! Fogalmazd meg ezt a kapcsolatot a kiválasztott események között szöveges formában!

5. a) Rajzold le, mi van a pénztárcákban! Jelöljön a

2 Ft és 6 Ft adósság


1 Ft-ot, a

1 Ft-ról szóló adósságot!



Jelöld meg, melyik pénztárca tartalma a legértékesebb! A pénztárcák között nyilakkal jelöld, hogyan változott a pénztárca tulajdonosának „vagyoni helyzete”, meséld is el, mi történhetett!

156



b) Tegyél mindegyik pénztárcába annyi forintot és adósságcédulát, hogy azok mindegyikében az összérték 4 forint legyen! Rajzold bele a pénztárcákba, hogy melyikbe miből és mennyit tettél! Jegyezd le a pénztárcák tartalmát a matematika nyelvén!

c) Rajzolj a két pénztárcába annyi pénzt illetve adósságcédulát, hogy az első pénztárca tartalma 5 forinttal többet érjen, mint a második pénztárca tartalma! Egyikben se legyen 6 forintnál több pénz! Adj többféle megoldást! Írd a pénztárcák alá, melyikbe mennyi pénzt tettél!

> 5

> 5

> 5

> 5

6. Ancsa szeret vásárolni, így néha nem elég a heti költőpénze, gyakran kölcsönkér a nővérétől, aki időnként el is enged valamennyit Ancsa adósságából, vagy úgy ad neki pénzt, hogy Ancsának nem kell visszaadnia. Ancsa esténként mindig készít egy elszámolást. Figyeld meg a táblázatot, hogyan változott Ancsa „vagyoni helyzete” a hét során, és fogalmazd meg, mikor mi történhetett. H 5 Ft

K –2 Ft

Sz – 5 Ft

Cs – 5 Ft

Melyik napon mondhatta Ancsa, hogy – Ma rosszabbul állok, mint tegnap. – Tegnaphoz képest ma jobb a helyzet. – Tegnap sem álltam jobban, mint ma. – Már két napja romlik a helyzetem. – Ma nincs tartozásom. Szerinted mennyit költött Ancsa a héten? Biztos vagy benne?

P 4 Ft

Sz 0

V –2



157

7. Jelöld a számok helyét és az ellentettjüket azon a számegyenesen, amelyiken pontosabban tudod jelölni! 2, 5, 10, 0, –7, –3, 8, 35, –20

A

0

1

D

E

Mely számok helyét jelölik a betűk?

F

B

G

H 0 10

I

J

Mely számok helyét jelölik a betűk?

ÖSSZEGZÉS Azokat a számokat, amelyek – kisebbek 0-nál, negatív számoknak; – nagyobbak 0-nál, pozitív számoknak nevezzük. A 0 nem negatív és nem pozitív szám. Természetes számok: 0, 1, 2, 3… Negatív egész számok: –1, –2, –3… Egész számok: 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3… 8. a) Igaz-e?

A 3 pozitív egész szám.

A –2 nem természetes szám.

A –1-nél nagyobb és 5-nél kisebb egész számok mindegyike természetes szám.

A –5-nél nagyobb és 1-nél kisebb egész számok mindegyike negatív egész szám.

b) Dönts az állításokról, melyik igaz, melyik hamis!

Van olyan természetes szám, amelyik egész szám.

Nem minden egész szám negatív szám.

Nincs olyan negatív egész szám, amelyik nem egész szám.

Van olyan természetes szám, amelyik nem pozitív egész szám.

egész számok

0542. Egész számok ábrázolása számegyenesen, az egész számok abszolút értéke

Készítette: ZSINKÓ ERZSÉBET

160



1. FELADATLAP 1. Helyezz a játékmező 0 pontjára egy bábut! Feldobunk 10 piros-kék korongot. Annyit lépj a bábuval jobbra, ahány korong a piros oldalára esik, és onnan lépj annyit balra, ahány korong a kék oldalára esik! 10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a) Tippeld meg, hogy 10 dobásból melyik helyre fog érkezni a legtöbbször a bábu! Írd le, és a játék során jegyezd az érkezési helyeket!

b) Mit gondolsz, melyik biztos (b), melyik lehetetlen (n) és melyik lehet, de nem biztos (l), hogy bekövetkezik a következő 10 dobás során?

1. A bábu legalább egyszer érkezik a kék 10-es mezőre.

2. A bábu a piros 3-as mezőre érkezik legalább egyszer.

3. A bábu egyszer sem érkezik a piros 1-es mezőre.

4. A bábu a 0-ra érkezik a leggyakrabban.

5. Annyiszor érkezik a bábu a kék 4-es mezőre, mint a piros 4-esre.

6. Többször érkezik a bábu a piros 5-ös mezőre, mint a kék 1-esre.

7. Kék mezőre kevesebbszer érkezik a bábu, mint pirosra.

8. Többször érkezik a bábu a piros 1-esre, mint a kék 10-esre.

9. A bábu mindig páros mezőre érkezik.

c) Hogyan kellene változtatni a korongok számát, hogy legyen esélye a bábunak akár a piros 1-esre, akár a kék 1-esre érkezni? Adj meg 4-nél nagyobb, de 12-nél kisebb számú korongot, és gyűjtsd össze, milyen dobásokkal érkezhet a bábu a piros 1-es, és milyenekkel a kék 1-es mezőre!

Piros 1-esre érkezik: Korongok száma Piros Kék

Kék 1-esre érkezik: Korongok száma Piros Kék

0542. Egész számok ábrázolása számegyenesen…


161

2. Jelöld a számok körülbelüli helyét a számegyenesen!

a) –15; 20; – 5; – 8; 25; 13; a 9 ellentettje; a – 6 ellentettje; a 10 ellentettjének az ellentettje; a –12 ellentettjének az ellentettje.

0

b) Melyik számokat jelöltük a számegyeneseken?

A

B

E

I

25

C

F

J

G

K

L

D

0

1

H

0

10

0

M

c) Adj meg öt olyan számot, amelyek helye a számegyenes bejelölt szakaszán van!

0

200

150

d) Keresd meg és írd le azokat az egész számokat, amelyek a számegyenesen a 0-tól legfeljebb négy egységre jelölhetők!

–5

5

3. A hiányzó számjegyeket dobókockával határozd meg! Minden dobás után írd a számot valamelyik kijelölt helyre! Nyersz, ha igaz állításhoz jutsz.

a) – 400 < –

b) –300 < –

< –100

c) – 400 < –

<–

162



4. Játsszunk kukás játékot! Keverd össze az alábbi számkártyákat: –20, –19, …, 0, …, 20, 21! Húzz 5 számot a kártyák közül! Minden húzás után írd a kihúzott számot valamelyik vonalra! Ha valamelyik kihúzott számnak már nincs jó helye, azt dobd a kukába! A cél, hogy minél kevesebb szám kerüljön a kukába!

.......... < .......... < .......... < .......... < ..........

2. FELADATLAP 1. a) Egy hőmérővel a 0 °C-on olvadó jég hőmérsékletét mértük. Mikor mozdul el többet a hőmérő higanyszála, ha bevisszük a 18 °C meleg szobába, vagy betesszük a –20 °C hőmérsékletű mélyhűtőbe? b) Ki tesz meg nagyobb távolságot a lifttel, aki a parkoló – 4 szintjéről megy fel a földszintre, vagy aki a 4. emeletről megy le a földszintre?

c) Mi van közelebb időben a mai naphoz – a tanév kezdete vagy a naptári év vége – a naptári év kezdete vagy a tanév vége – a tanév kezdete vagy a tanév vége – a naptári év kezdete vagy a naptári év vége?

d) K inek a kezében van több pénz, aki éppen ki akarja egyenlíti 300 forintos tartozását, vagy aki vásárolni szeretne egy buszjegyet?

TUDNIVALÓ Egy számnak a számegyenesen a 0-tól való távolságát a szám abszolút értékének nevezzük. A számot, amelynek az abszolút értékét akarjuk meghatározni, két függőleges vonal közé írjuk. Például: –5 abszolút értékét így jelöljük: | –5 | 2. a) Írd le számmal a jelölt abszolút értékeket! | 5 | = | –10 | =

| – 5 | =

| –200 | =

b) Melyik az a szám, amelynek abszolút értéke 7: 12:

|0|= | 200 | = 0:

c) Melyik igaz (i), melyik nem igaz (n)?

1. Egy szám abszolút értéke nem lehet negatív szám.

2. Egy szám abszolút értéke biztosan pozitív.

3. Nincs olyan szám, amelynek negatív lenne az abszolút értéke.

4. Negatív számnak pozitív az abszolút értéke.

5. Pozitív számnak negatív az abszolút értéke.

6. A szám nem lehet negatív, ha az abszolút értéke pozitív.

0542. Egész számok ábrázolása számegyenesen…


163

3. Töltsd ki a táblázatot! x

12

–8

–x

–10

15

| x|

–7

4

|– x|

–9

6 –3

–| x|

2

| x| + |– x| |x + –x|

4. Milyen egész számokat írhatunk a négyszögek helyére, hogy igaz állításokat kapjunk?

a)

b) –5 <

c) |

d) –5 < |

< 5

:

<5 |<5 |<5

: : :

5. A számegyenes melyik szakaszán vannak azok az egész számok, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatot? Kösd mindegyik nyitott mondathoz a megfelelő ábrát!

|

–6 <

|

–5 < –

–1 | < 6

<6

|<6

<5

–10

–5

0

5

10

–10

–5

0

5

10

–10

–5

0

5

10

–10

–5

0

5

10

164



6. Lépkedj a számegyenesen, és válaszolj a szövegben megfogalmazott kérdésekre!

a) Gabi 3 órával ezelőtt úgy döntött, hogy 5 óra múlva elmegy a barátnőjéhez. Mennyi idő múlva indul Gabi?

b) Anya már 2 órával ezelőtt azt mondta, hogy 1 óra múlva itthon lesz. Mennyit késett az ígért időponthoz képest Anya?

c) Ha Tomi még egy óráig bírja az edzést, akkor ma 3 órát edz egyfolytában. Mikor kezdett Tomi edzeni?

d) A ncsát már 6 évvel ezelőtt felvették a főiskolára. Legfeljebb hány éve dolgozik már Ancsa, ha a főiskola befejezéséig még nem volt munkaviszonya? Úgy tudom, hogy a főiskolán 8 félév után lehet diplomát kapni.

egész számok

0543. Összeadás és kivonás az egész számok körében

Készítette: ZSINKÓ ERZSÉBET FOTÓ, ÁBRA: KÁMÁN BALÁZS

166



1. FELADATLAP 1. Egy hét első öt napján naponta ötször megnéztük az ablakba tett hőmérőt: 8, 10, 12, 14, 16 órakor.

Foglald az adatokat táblázatba! – Hétfőn: – 4, 3, –2, 1, 0 fokot mértünk. A hőmérséklet folyamatosan emelkedett.

Melyik adatot mikor jegyezhettük fel?

– Kedden is ugyanazokat a hőmérsékleteket mértük, mint hétfőn, de más sorrendben.

Reggeltől estig a hőmérsékletek abszolút értéke emelkedett. – Szerdán is – 4 fokról indult, de minden leolvasásnál 2 fokkal többet észleltünk.

– Csütörtökön is – 4 fokról indult, délig emelkedett 1-1 fokot minden leolvasásnál, aztán elkezdett hűlni, először 1, aztán 2 fokot hűlt az előző méréshez képest – Pénteken nem emelkedett 0 fok fölé, igaz nem csökkent – 4 fok alá sem. Minden leolvasáskor más értéket mutatott a hőmérő. 8 órakor

10 órakor

12 órakor

14 órakor

16 órakor

Hétfőn Kedden Szerdán Csütörtökön Pénteken

2. Add meg a hiányzó hőmérsékleteket, illetve hőmérséklet-változásokat!

a)

b)

5

5

5

+2

5

5

5

–2

+3

0

0

0

0

0

0

–5

–5

–5

–5

–5

–5

–2

0 +5

2

0

–3



c)

d)

5

5

5

5

5

5

–3 0

0

0

0

0

0

–5

–5

–5

–5

–5

–5

+5

+5

3. Jelöld a két hőmérőn, milyen változást ír le a számfeladat! –3

3–5

–3

–5

+5

5

5

5

5

5

5

0

0

0

0

0

0

–5

–5

–5

–5

–5

–5

3 –5

4. Mikor lesz melegebb, ha

a) 2 fokról 3 fokkal csökken a hőmérséklet, vagy –3 fokról 2 fokot emelkedik? b) –2 fokról 3 fokkal emelkedik a hőmérséklet, vagy –3 fokról 2 fokot emelkedik?

c) 2 fokról 3 fokkal csökken a hőmérséklet, vagy 3 fokról 2 fokot csökken?

A továbbiakban a pénztárca értékén a benne lévő pénz összértékét értjük.

5. Rakj ki adósság és vagyonkártyákkal 2 Ft, –2 Ft, 4 Ft és – 4 Ft értékű pénztárcát!

167

168



6. a) Tegyél hozzá valamit, hogy mindegyik pénztárca tartalma 3 Ft-ot érjen!

b) Vegyél el valamit, hogy mindegyik pénztárca tartalma 3 Ft-ot érjen!

7. a) Mennyit ér összesen a két pénztárca tartalma?

b) Melyik pénztárca tartalma értékesebb, és mennyivel?

c) Mikor lesz több pénz a pénztárcákban: ha mindegyikhez 3 Ft-ot teszünk, vagy ha mindegyik tulajdonosnak elengedik 3 Ft-os tartozását?



8. Egy folyó vízszintjéről különböző hónapokban jegyeztük fel ezeket az adatokat: 20 cm, 45 cm, –15 cm, –22 cm, –10 cm, 15 cm.

a) Hogyan változott a vízszint egyik méréstől a másikig?

b) Mennyi a legnagyobb különbség két vízszint között?

9. Hasonlítsd össze, mi készült előbb, és állapítsd meg, körülbelül hány évszázad a különbség!

Athén, Parthenón, Kr. e. V. század.

Mexikó, X. század.

Jordánia, Kr. e. 300 körül

Pisai ferdetorony, 1173.

Indonézia, 800 körül

169

170



2. FELADATLAP 1. Mindegyik gyereknek volt készpénze és valamennyi adóssága is. Írd le számfeladattal, és számold ki, kinek mennyi pénze lesz a feladatban megfogalmazott esemény után!

a) Annának 8 Ft-ja volt, kapott még 15 Ft-ot.

b) Béla egyik zsebében talált 7 Ft-ot, a másikban 9 Ft-ról szóló adósságot.

c) Cilinek 9 Ft-ja volt, mégis 27 Ft-ért vásárolt cukorkát.

d) Daninak 12 Ft-ja volt, mikor Nagymamája elengedte 20 Ft-os adósságát.

e) Edének 6 Ft-os adóssága volt, de kapott 20 Ft zsebpénzt.

f) Ferinek 20 Ft-ja volt, ez 30 Ft-tal több mint amennyi az öccsének, Gábornak volt. Feri Gábornak adta az összes pénzét.

2. Számítsd ki, mennyi lesz vagy mennyi volt a hőmérséklet, ha a) a reggeli – 8 °C-ról délig 4 fokkal emelkedik;

b) a déli –2 °C-ról estig 3 fokkal emelkedik;

c) estétől reggelig 5 fokkal emelkedett, és reggelre 2 °C lett!

3. Athénben a Parthenón Kr.e. 450 körül épült. Rómában a Colosseum építése körülbelül 370 évvel későbbre tehető. Mikor épült a Colosseum? 4. Püthagorasz korát a történetírók körülbelül i. e. 570-480-ig becsülik. Ha igaz ez a becslés, hány évet élt Püthagorasz? 5. A bolygók átlaghőmérséklete nagyon különböző. Ha kitöltöd a hiányzó adatokat, mindegyiket megtudhatod. Mit lehetne még megtudni ezekből az adatokból? Vénusz 40 °C

Merkúr … °C

Merkúr 337 °C

Mars … °C

Jupiter … °C

Neptunusz –231 °C Uránusz … °C

Szaturnusz –145 °C



171

6. Döntsd el, melyek igazak az alábbi állítások közül!

a) Két pozitív szám összege biztosan pozitív.

b) Ha két szám összege pozitív, akkor a számok is pozitívak voltak.

c) Ha két szám összege 0, akkor az egyik szám a másik ellentettje.

d) Ha egy számot növelek, akkor annak abszolút értéke is nő.

e) Két szám összege biztosan nagyobb bármelyik tagjánál.

f) Ha két szám összege negatív, akkor valamelyik tagja biztosan negatív.

7. Megadjuk néhány tudós, filozófus, uralkodó születésének és halálának évszámát vagy életkorát. Számítsd ki a táblázat hiányzó adatait! Neve

Születési éve

Halálának éve

Arkhimédész

Kr. e. 287

Kr. e. 212

Octavianus

Kr. e. 63

Eukleidész

Ahány évet élt

51 Kr. e. 300

Thalész

Kr. e. 624

Bolyai János

65

Kr. e. 548

1802

58

8. Hasonlítsd össze a két hőmérséklet-változást!

reggel

szombaton –5

este

–3

reggel

vasárnap –3

este

–5

5

5

5

5

0

0

0

0

–5

–5

–5

–5

172



9. Állapítsd meg az alábbi pénztárcák tartalmának értékét!

a) Vegyél el mindegyikből 2 Ft-ot! Mennyi marad?

b) Vegyél el mindegyikből –2 Ft-ot! Mennyi marad?

10. Állapítsd meg, igaz-e!

a) Két negatív szám különbsége is lehet pozitív.

b) Két pozitív szám különbsége nem biztos, hogy pozitív.

c) Ha kisebb számból veszünk el nagyobb számot, az eredmény biztosan negatív szám lesz.

d) Egy szám növelhető kivonással.

11. Egészítsd ki, hogy igaz legyen!

a) Ha egy számból elveszünk egy másikat, akkor az ugyanannyi lesz, mint ha hozzáadjuk .........

..................................................................... .

b) Ha egy számból elveszünk egy ................................. számot, akkor az eredmény nagyobb lesz.

c) Ha egy számból elveszünk egy pozitív számot, akkor az eredmény ................................. lesz.

12. a) Töltsd ki, ami hiányzik! +3 –8

–6 –2

4

7 + –2

– –5



b) Rajzold le nyilakkal! – – 6 = 7

7+

= –6

13. a) Írd rá a nyilakra, mi változott!

–4

9

–4

9

173

174



b) Tegyél valamit, hogy a pénztárca értéke megváltozzon! Írd le számfeladattal is!

–2

–2

14. Fogalmazd meg másként is!

a) A szám 5-tel csökken, ha a számból 5-öt elveszünk. b) A szám 12-vel csökken, ha a számhoz –12-t hozzáadunk. c) A szám 5-tel nő, ha a számhoz 5-öt hozzáadunk. d) A szám 12-vel nő, ha a számból –12-t elveszünk.

15. Hol változtatna zárójelhasználat a művelet eredményén? (Egy műveletsoron belül több megoldás is lehet!) ___ + –___ – –___ + +___ = ___

a)

+

b)

+

c)

+

___ + +___ + –___ + –___ = ___ ___ – +___ – –___ + –___ = ___

3. FELADATLAP 1. Fogalmazz meg kérdést a nyitott mondatokhoz, aztán keresd a megoldást! a) 12 – .......... = –2

e) – 6 – .......... = –2

i) .......... – 12 = –2

b) 12 + .......... = –2

f) – 6 + .......... = –2

j) .......... + 12 = –2

c) –12 – .......... = +2

g) – 6 – .......... = +2

k) .......... – –12 = +2

d) –12 + .......... = –2

h) – 6 + .......... = +2

l) .......... + –12 = –2



175

2. Melyik a nagyobb? Mennyivel? Röviden indokold a választ! +18 + –17 a) +18 + –7 b) –18 + –7 c) +18 + –7

–18 + –17 +8 + –17

d) +18 – –7 e) –18 + –7

+18 – –17 –18 – –17

f) +18 – –7

+8 – –17

3. Folytasd a sorozatokat az általad felismert szabály szerint!

a) 200, 172, 144, …

b) 100, 70, 72, … c) 100, – 50, 150, –100, …

Mit sejtesz, melyik sorozatnak lesz előbb – 500-nál kisebb tagja?

a) 200, 172, 144,

b) 100, 70, 72, c) 100, – 50, 150, –100,

4. A bűvös négyzetekben a sorok, az oszlopok és az átlók mentén található összegek egyenlők. Keresd meg, mi lehet az üres mezőkön! –19

–28 –10

–16

–79

–22

– 58 8

12

–23

5 –1

–25

– 86

–93

–37 –2

–72

5. Helyezd el a – 5, 6, –7, 8 számokat az alsó sorban valamilyen sorrendben! Építsd fel a piramist

a) összeadással! Törekedj arra, hogy a csúcsszám a lehető legnagyobb legyen!

176



b) kivonással (a bal oldali számból vond ki a jobb oldalit)! Törekedj arra, hogy a csúcsszám a lehető legkisebb legyen!

6. Töltsd ki a táblázatot! Írd le nyitott mondattal, melyik szabályra gondoltál!

a) x

3

–7

–2

y

10

0

5

x

3

–7

–2

5

y

10

0

5

–7

z

13

–7

3

–9

5

–11 –3

b) –9

–11 –3

–7

–9

–12

7. A táblázatból megtudhatod néhány megfigyelőállomáson mért hőmérsékleti értéket egy téli és egy nyári napon. Mire kaphatsz választ a táblázatból? Kérdezz! Debrecen

Kecskemét

Szeged

MosonSzombatmagyaróvár hely

Nyár

34

33

34

33

Tél

–17

–14

–14

–13

Keszthely

Pécs

Kékestető

30

31

32

25

–15

–17

–14

–13

8. Nyári nyaralásra gyűjt a család. Az egyik utazási iroda ajánlata szerint egy éjszakára 4 főre körülbelül 100 Euró egy apartman. Egy hetet szeretnénk a tengerparton tölteni. Az egyéb kiadásokra is körülbelül ennyit szánunk. Most van a számlánkon 250 000 Ft. A befizetésig még 6 hónap van vissza. Minden hónapban 248 000 Ft jön a számlára, de abból a havi kiadás körülbelül 180 000 Ft. Anya szerint addig hűtőszekrényt is kellene cserélnünk, már ki is nézett egyet, 68 000 Ft-ért. Ha addig más nem romlik el, van-e esély a nyaralásra? Számolj közelítő értékekkel! 9. Írd le nyitott mondattal, válaszolj a kérdésre, és fogalmazz meg róla szöveges feladatot! a) Mennyit vegyünk el –2-ből, hogy 5-öt kapjunk?

b) Melyik számból vegyünk el 5-öt, hogy –2 maradjon? c) Mennyit kapunk, ha 5-ből –2-t elveszünk?

egész számok

0544. Egész számok szorzása, osztása pozitív egész számmal


178



1. FELADATLAP 1. Párosítsd a szövegeket és a nyitott mondatokat! Nyári estéken, üdülőhelyeken sokan mennek el sétálni. Így történik ez egy Duna-parti egyenes töltésen, amelyről a következő feladat szól. Az egyszerűség kedvéért mondjuk azt, hogy +3 km-es az óránként megtett út, ha valaki jobbra sétál, és –3 km-es, ha balra sétál. +3 ⋅ 1 =

– Ancsa jobbra sétál. Hol lesz 2 óra múlva?

– Bori balra sétál. Hol lesz 2 óra múlva?

– Cili jobbra sétál. Hol lesz 1 óra múlva?

+3 ⋅ 2 =

– Dóri jobbra sétál. Mennyi idő alatt tesz meg 3 km-t?

+3 ⋅

– Dóri 1 órát sétált. Merre haladt, ha most –3-nál áll?

–3 ⋅ 2 =

3 ⋅ 1 = –3

–3 ⋅ 1 =

2. FELADATLAP 1. a) Írd fel összegalakban, majd számold ki a szorzatokat! – 4 · 3 =

–6 · 4 =

–4 · 6 =

–8 · 3 =

–3 · 8 =

b) Melyik állítás igaz, melyik hamis?

A fent kijelölt szorzatok között van kettő, amelyekre igaz, hogy

– az egyik tényezőinek cseréjével létrejön a másik szorzat;

– bennük a szorzótényező egyenlő;

– a szorzandók egyenlők;

– ugyanazt a számot adják.

2. Végezz becslést, aztán ellenőrizd számítással! Melyik nagyobb? –4 · 7 a) – 4 · 6

b) – 4 · 6 c) – 4 · 6

–3 · 6 –8 · 3

=3



179

3. a) Becsüld meg, a számegyenesen melyik két tízes között lesz a szorzat helye! –3 ∙ 7 –4 ∙ 7 –9 ∙ 3 –6 ∙ 3 +9 ∙ 3 – 5 ∙ 5

b) Keresd meg a szorzat hiányzó tényezőjét, ha a szorzat a jelölt szakaszra esik!

4. Becsüld meg, melyik pénztárca tartalma éri a legkevesebbet! Mekkora érték van a pénztárcákban? Számold ki többféleképpen!

–10 5

– 20 2 2

5

– 20

–20

–10 – 10

– 10

– 20

–10

1

1

5. Páros játék. Kié a nagyobb? Mindkét játékos húzzon egy-egy kártyát a 0, –1, –2, –3, – 4, – 5, – 6, –7, – 8, –9 számkártyákból, és dobjon egy számot dobókockával! A húzott számot szorozzátok meg a dobott számmal és hasonlítsátok össze, kié a nagyobb szorzat! A nagyobb szám tulajdonosa kap egy pontot, 10 játék után hirdessétek ki a győztest! 6. K erülj minél közelebb a –100-hoz, de ne legyen a keletkezett számod kisebb –100-nál! Mindegyik játékos húzzon az előző feladatban található kártyakészlet lapjai közül egy számot, ez lesz a szorzandó. Mindenki annyi kártyát húzhat a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 kártyakészlet kártyái közül, ahányat csak akar (a kártyák visszaadhatók). Ezek a kártyák lesznek a szorzók. Az nyeri a játékot, akinek a legjobban sikerül felülről megközelíteni a –100-at! 7. H úzz a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 kártyakészletből három számot és írd ezeket valamilyen sorrendben az üres helyekre! Hányféle szorzatot tudsz így kijelölni?

–

∙

Becsléssel állítsd a szorzatokat növekvő sorrendbe!

8. Milyen számokat írhatsz az üres keretekbe? Keress több megoldást!

–

Szervezzetek a feladatból játékot!

2 < –5 ⋅

180



9. A tanár által adott társasjáték kártyakészletének lapjaival és tábláján játsszatok 4 fős csoportban! Szükség van még az alábbi számkártyákra: 0, 4, 8, 16, – 4, – 8, –16. Minden játékos helyezzen egy bábut a játékmező közepére, és döntsétek el, ki melyik csíkon lépked. A játék szabályai: – A sorra kerülő játékos húz egy kártyát. Mielőtt megnézné, döntenie kell: egyedül lép, vagy valamelyik társával megosztja a kártyán lévő lépésszámot (ő határozhatja meg, hogy kivel), vagy 4 egyenlő részre osztják a pontokat a csapatban. – Pozitív szám húzásakor a középpont irányába kell elindulni (kivéve a kezdőlépéskor), negatív szám húzásakor ellentétesen. Ha a lépésszám nem juttat éppen a középpontba, túl kell azon haladni. – A pályáról kilépve egy kört kimarad a játékos, vagy ha mindenki kilépett, az a játékos marad ki, aki a kilépést okozta. A pályáról kilépő játékos csak pozitív lépéslehetőséggel léphet vissza. A játék nyertese: aki először tér vissza a középpontba. 10. Páros játék. Kié a nagyobb? Mindkét játékos húzzon egy-egy kártyát az előző feladat kártyáiból, és dobjon egy pénzérmével! Aki az érmével fejet dob, az 2-vel, aki írást, az 4-gyel ossza el a húzott számot! Hasonlítsátok össze a hányadosokat! A nagyobb szám tulajdonosa kap egy pontot. 10 játék után hirdessétek ki a győztest! 11. Egészítsd ki! /3

18

9

–18

–9

·3 –9

18

12. Két gép helyett egy! Írd le, hogyan működhetnek a gépek külön-külön és összekapcsolva!

Szabály:

36

–6

12

–2

6

–1

–12

18 6

–2

–24

8 1

–3



181

13. Adósság- és vagyonkártyákkal rakd ki, és olvasd le a kirakásról a nyitott mondatok megoldását! ·

4

=

–24 /

4

=

–32 /

4

=

·

4

= –32

/

6

= –4

–4

·

= –24

= –10

–10

·

= – 60

–6

– 60 /

14. Használd az alábbi kártyákat:

1

3

9

27

81

/

/

·

·

=

–1

–3

–9

–27

–81

Rakj ki a kártyakészlet lapjaiból igaz egyenlőségeket! A szorzó és az osztó pozitív szám legyen! Keress több megoldást! 15. Keresd a sorozat hiányzó tagjait és folytasd a sorozatot 3 taggal! –1, –2, ……., …….., –16, –32, ……, ……., ……. 16. Két gép helyett egy! Írd le, hogyan működhetnek a gépek külön-külön és összekapcsolva!

36

–6

6

–1

36

–6

–12

18

–24 –3

–12

– 48

Szabály:

17. Építsd fel a piramist szorzással! a)

b) –12 000

10

30 –8

2

5

–4

–5

5

182



18. Melyik állítás igaz, melyik hamis?

a) A negatív szám 5-szöröse nagyobb, mint az 5-öd része.

b) A negatív szám 2-szerese nagyobb, mint a 3-szorosa.

c) A negatív szám fele nagyobb, mint a harmada.

d) Van olyan szám, amelyiknek a 10-szerese kisebb, mint a tizede.

e) Minden szám 10-szerese nagyobb, mint a kétszerese.

f) Van olyan szám, amelynek a fele egyenlő a kétszeresével.

g) Ha egy számot két pozitív számmal szorzunk, akkor a nagyobb számmal vett szorzat nagyobb lesz.

h) Nem minden szám 10-szerese nagyobb, mint a tizede.

19. H asználd a 2. tanulói mellékletben található számháromszöget (amelyben –4 van a felső háromszögben)! A következő feladatokban ügyelj arra, hogy ha van a számok között negatív, az mindig az első szám legyen a kijelölt számfeladatban!

a) Takarj le a 2 háromszög területű fóliával (sárga színű) 2-2 számot, amelyek szorzata egyenlő! Gyűjtsd ki ezeket a szorzatokat! –2 · 32 = ....................................................................

b) Készíts 3 tényezős szorzatokat is, 2-2 tényezőt kapcsolj össze zárójellel (zöld színű fólia)! –2 · (32 · 1) = ...............................................................

c) Folytasd 4 tényezős szorzatokkal (kék színű fólia)! –2 · [(32 · 1) · 16] = ........................................................ 20. Használd a 2. tanulói mellékletben található számháromszöget (amelyben –64 van a felső háromszögben)! A következő feladatokban ügyelj arra, hogy ha van a számok között negatív, az mindig az első szám legyen a kijelölt számfeladatban!

a) Takarj le a 2 háromszög területű fóliával 2-2 számot, amelyek hányadosa egyenlő!

Gyűjts ilyen osztásokat! –32 / 16 = ..................................................................

b) Készíts 3 szám felhasználásával két osztást tartalmazó számfeladatot! Használj zárójelet! –32 / (16 / 4) = .............................................................

c) Készíts 3 szám felhasználásával egy szorzást és egy osztást tartalmazó számfeladatot! Használj zárójelet! –32 · (16 / 4) = .............................................................



21. Egészítsd ki! Írj róluk számfeladatot! 24

24

........

/2

........

·6

·6

/2

12

12

........

·3

........

/6

/6

·3

4

4

/ 10

........

·2

........

·2

/ 10

30

30

........

........

10 /2

........

/6

10 ........

183

184



22. Töltsd ki a táblázat üres mezőit! ∙

4

5

15 –10 –10

–6

–20 –14

–35 –3

a) Takard le az első sort (a szorzót) és keress kapcsolatokat a táblázatban soronként!

b) Takard le az első oszlopot (a szorzandót) és keress kapcsolatokat a táblázatban oszloponként!

23. H úzzatok a – 50-nél nem kisebb és az 50-nél kisebb számok közül egyet, és dobjatok két piros és két fekete dobókockával négy számot! A piros kockákkal kidobott számok legyenek pozitívak, a feketékkel dobott számok negatívak. Felhasználva az összeadás, kivonás, szorzás valamint az osztás műveletét, közelítsétek meg a kihúzott számot a dobott számok segítségével! Az nyeri a játékot, aki a lehető legközelebb kerül a kihúzott számhoz! 24. Hol változtatja meg a zárójel a művelet eredményét? Számolás nélkül tedd ki a számfeladatok közé az „=” vagy a „” jelet, és indokold meg a véleményedet! Bizonytalanság esetén számolással ellenőrizz! –10 ∙ (9 ∙ 3) a) (–10 ∙ 9) ∙ 3

b) (–10 ∙ 9) / 3 c) (–270 / 9) / 3

–10 ∙ (9 / 3) –270 / (9 / 3)

d) (–270 / 9) ∙3 e) (–10 + –7) ∙ 3

–270 / (9 ∙ 3)

f) (–10 ∙ 9) + 3 g) (–10 + 9) ∙ 3

–10 + (–7 ∙ 3) –10 ∙ (9 + 3) (–10 ∙ 3) + (9 ∙ 3)

3. FELADATLAP 1. Dobjon minden játékos három dobókockával, amelyek közül egy dobókockán a 2-est, 3-ast és az 5-öst lássátok el negatív előjellel!

a) Szorozzátok össze a dobott számokat! Versenyezzetek, a csoportban kié lett a legnagyobb szorzat!

b) Egy valaki végezze el a dobást és mondja meg a számok szorzatát! A többiek szükség esetén kérdezhetnek a dobott számok tulajdonságaira. Az nyer, aki a leghamarabb kitalálja a dobott számokat. c) Gyűjtsétek össze, mely dobásokkal lehet a szorzat –24!



2. a) Hogyan folytatnád a sorozatokat? A: –1, – 6, –2, –12, – 4, –24, – 8, – 48, –16 … B: –1, – 8, –2, –16, – 4, –32, – 8, – 64, –16 … b) Mit gondolsz, mekkora különbség lesz az A és B sorozatok 111. tagjai között? És a 20. tagok között mennyi lesz a különbség?

c) Melyik sorozatnak lesz tagja a –100?

d) Melyik sorozat csökken előbb –100 alá?

3. Írd le nyitott mondattal és válaszolj a kérdésre! a) Melyik szám 5-szöröse a – 50?

b) Melyik számot osztottuk 5-tel, ha – 50-t kaptunk? c) Mennyivel osztottuk a –100-at, ha hányadosul –25-öt kaptunk? d) Melyik számot szoroztuk 5-tel, ha – 80-at kaptunk? e) Hányszor vegyük a –20-at, hogy –120-at kapjunk?

4. Fogalmazz meg a nyitott mondathoz kérdést! Kezdd így: Melyik az a szám…?

a)

∙ 4 = –16

b)

∙ 8 = – 88

d)

/ 4 = –16

e) – 88 / 8 =

c) – 6 ∙

= –36

f) – 60 /

= –1

5. Töltsd ki a táblázat üres mezőit! A gép szabálya: (

+

)∙7= 6

–6

–12

5

–1

4

8

–

1 –3

–7

(

–4

7

–14

–2 –5

– 42

)/2= 9

–6

–12

5

–2

4

8

1 –3

–7

7

–14

–7 –5

–4

185

186



7. Egy téli napon délután 4 órától másnap hajnali 4-ig óránként 2 fokkal csökkent a hőmérséklet. Hány fokkal mutatott hajnalban kevesebbet a hőmérő, mint előző nap délután 4 órakor? Mennyit mutatott a hőmérő hajnali 4-kor, ha előző nap délután 4 órakor 0 °C-ot mértek? 8. Hirtelen jött lehűlés következtében 4 óra alatt 0 °C-ról –12 °C-ra esett a hőmérséklet. Mennyit változott óránként, ha egyenletes volt a hőmérséklet-csökkenés? Mennyit mutatott volna a hőmérő, ha még 2 óráig így változott volna a hőmérséklet? 9. Egy héten mért napi hajnali hőmérsékleteket a grafikon mutatja. hétfő

kedd

szerda

csütörtök

péntek

szombat vasárnap

4 2 0 –2 –4 –6 –8 –10

Adj időjárás-jelentést a grafikon alapján!

Melyik két érték között ingadozott a heti hajnali hőmérséklet?

Mértek-e egyforma értékeket?

Melyik két szomszédos nap között volt a legnagyobb hőmérséklet-ingadozás?

Mikor emelkedett és mikor csökkent a hőmérséklet? Mennyit változott a hőmérséklet egyik napról a másikra? 10. Egy háztartási gép vásárlásakor 36 000 forintot kell majd havi egyenlő részletekben visszafizetnünk 3 év alatt. Mennyi lesz a havi törlesztés? 11. K i vett fel nagyobb hitelt? Marcsi 8 hónapon keresztül havi 2500 Ft-ot fizet, Gábor 1 éven keresztül havi 2200 Ft-ot törleszt. 12. E gy tengerparton két fúrógép működik. Az egyik 6 m-t halad lefelé naponta, a másik 2 méterrel többet. A tengerszinthez képest milyen mélyre jutnak 2 hét alatt? Mennyivel mélyebbre jut az egyik, mint a másik? 13. Melyik egész számra igaz, hogy 5-szöröse kisebb –20-nál, de nagyobb – 80-nál? 14. Két egész szám összege –20. Az egyik 3-szor akkora, mint a másik. Melyik ez a két szám?



187

15. Gondoltam egy számot. Hozzáadtam a 4-szeresét, majd vettem az 5-öd részét, és csökkentettem 9-cel. Így jutottam –10-hez. Melyik számra gondoltam? 16. Egy szám, a kétszeresének és a háromszorosának a szorzata – 6. Melyik ez a szám? 17. Egy szám, a hatszorosának és a felének a szorzata –24. Melyik ez a szám? 18. Van-e olyan egész szám, amelyből kivonva ellentettjét, majd a különbséget felezve negatív számhoz jutunk? 19. Két gép a következő módon működik:

1. gép: a bedobott számnak veszi a 10-szeresét és hozzáad 40-et.

2. gép: a bedobott számot felezi és hozzáad 2-t.

Van-e olyan szám, amit bedobva a gépekbe, azok ugyanazt a számot dobják ki?

20. Fogalmazz meg szöveges feladatot a következő nyitott mondathoz! ∙ 9 + 30) / 3 –

∙ 4 = 20

(

Így kezdd: Gondoltam egy számot…!

21. A megadott számok közül mely számok teszik igazzá a nyitott mondatot? – 12 <

∙4

a) –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3

c) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e) – 6, – 5, – 4, –3

b) – 6, – 5, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 d) – 6, – 5, – 4, –3, –2, –1 f) – 8, –7, – 6, – 5, – 4

22. A megadott számok közül mely számok teszik igazzá a nyitott mondatokat? Hasonlítsd össze a nyitott mondatokat és a megoldásaikat is! – 6, – 5, – 4, – 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

a)

+ 12 =

∙ 4

b)

+ 12 <

c)

+ 12 >

∙ 4

d)

+ 12

∙4 ∙4

23. A megadott számok közül mely számok teszik igazzá a nyitott mondatokat? – 5, – 4, – 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

a)

– 12 =

c)

+ 10 =

e)

– 10

∙ 4 ∙ 3 ∙ 3

b)

– 10 =

∙4

d)

– 10 =

∙3

f)

– 10

∙3

egész számok

0545. Műveletek tulajdonságai az egész számok körében


190



1. FELADATLAP 1. Hogyan változik a – 48 ∙ 24 szorzat, ha

a) az első tényezőt a felére, a másodikat a kétszeresére változtatjuk;

b) az első tényezőt a negyedére, a másodikat a kétszeresére változtatjuk;

c) az első tényezőt a felére, a másodikat a hatszorosára változtatjuk;

d) az első tényezőt a felére, a másodikat a harmadára változtatjuk?

Azt is becsüld meg, melyik szorzat lesz a legnagyobb, melyik a legkisebb!

Sejtéseidet ellenőrizd számológéppel!

2. Megváltoztattam a – 84 ∙ 12 szorzatot, –2016-ot kaptam. Mit gondolsz, melyik két számot szoroztam össze, ha

a) csak a szorzandót változtattam;

b) csak a szorzót változtattam;

c) mindkét tényezőt változtattam?

3. Számold ki többféleképpen! Végezz olyan átalakításokat, amelyek könnyítik a számolást!

a) – 47 + 96 = ........................................

b) – 47 + –96 = ........................................

c) 47 + 96 =

d) 47 + –96 = ........................................

e) – 47 – 96 = ........................................

f) – 47 – –96 = ........................................

g) 47 – 96 =

........................................

h) 47 – –96 =

........................................

........................................

4. Írj mindegyik mondathoz egy konkrét példát! A számokat az egész számok köréből válogasd! Melyik igaz (i), melyik hamis (h)?

a) Ha egy összeg mindkét tagját ugyanannyival növeljük, az összeg nem változik.

b) Ha egy különbségben a kisebbítendőt és a kivonandót ugyanannyival növeljük, a különbség nem változik.

c) Ha egy összeg valamelyik tagjához hozzáadunk egy számot, a másik tagjához pedig ennek ellentettjét adjuk, az összeg nem változik.

d) Ha egy különbségben a kisebbítendőhöz hozzáadunk egy számot, a kivonandóhoz pedig ennek ellentettjét adjuk, a különbség nem változik.

e) Ha egy összeg egyik tagját valamennyivel növeljük, a másik tagot pedig ugyanennyivel csökkentjük, az összeg nem változik.

f) Ha egy különbségben a kisebbítendőt valamennyivel növeljük, a kivonandót pedig ugyan ennyivel csökkentjük, a különbség nem változik.

0545. Műveletek tulajdonságai az egész számok körében


191

5. Egészítsd ki, hogy igaz legyen az állítás!

a) Ha egy szorzat egyik tényezőjét a felére változtatom és a másikat ........................................ akkor a szorzat változatlan marad.

b) Ha az osztandót a kétszeresére változtatom és az osztót ............................................ akkor a hányados változatlan marad.

6. Válassz a felsorolt számok közül olyan számokat, amelyek összege 0! Keress többféle megoldást!

+27

–4

–6

–

10

–14 –7

+

3

7. Írd a számokat a megadott alakjukban a megfelelő helyre! –3 ∙ 5 + –15; –3 ∙ 5 – –15; (–3 – –3) ∙ 5;

49 / 7;

a)

–12 / 3;

13 ∙ 0;

negatív

pozitív egész szám

b) nem pozitív

nem negatív egész szám

(+3 – –3) ∙ 5; –7 ∙ 0

számegyenes, koordinátarendszer

0551. Számegyenes


194

matematika „A” – 5. évfolyam – 055. SZÁMEGYENES…


1. FELADATLAP 1. Az alábbi hőmérők az egyes napokon a reggeli hőmérsékletet mutatják Celsius fokban.

Hétfő

Kedd

Szerda

Csütörtök

A B C D E F G H I

Péntek

J

0 5

a) Olvasd le a hőmérsékleteket, és írd a hőmérők alá!

b) Keresd meg, hogy a számegyenes melyik betűjeléhez melyik hőmérő által mutatott hőmérséklet tartozik! Írd a hőmérők alá a megfelelő betűjelet!

2. Írd az alábbi számegyeneseken látható osztópontok alá a hiányzó számokat! Mennyinek felel meg egyes számegyeneseken egy 1 cm hosszúságú szakasz? –2

2

0

10

40

0

0

–10 000

50

75

1000

5000 10 000

0

4

20 000

20 000

100 000

0551. Számegyenes


195

A számegyenesen az ábrázolandó számok nagyságrendjétől függ, hogy milyen hosszú szakasz felel meg 1 egésznek, ezt egységnek nevezzük. A számegyenesen bizonyos pontok alá odaírtuk a nekik megfelelő számokat. Egy ilyen pont és az egység ismeretében a számok helyét meghatározhatjuk. Az ilyen pontot viszonyítási pontnak nevezzük. Viszonyítási pontnak többnyire a 0-t választják, de bármely más pont is megfelel. 3. Kukac Kázmér az ábrán látható hálózat P pontjában tanyázik. A hálózat pontjait az ábra szerint létrák kötik össze, csak ezeken tud közlekedni. Kukac Kázmér szeretne eljutni a B pontban levő almához, de felfele haladva mindig csak nagyobb számhoz mehet, lefele pedig csak annál kisebb számhoz, mint ahol éppen van. Milyen útvonalat válasszon? Segíts neki! Ábrázold számegyenesen az útvonal pontjait!

A

C

–2

B

D F

I

–1

L

–11

–9

–10

G J

E

K M

–6

–3

–1

–7

–12

O

–9

0

N

–2

–1

–8

P

H

–5

4. Ábrázold egy számegyenesen a felsorolt számokat! Ügyelj az egység megválasztására! a) –7; – 5; 2; 6; 9; 11

b) –10; 5; 15; 20; 30; 50 c) –200; – 50; 150; 300; 400; 650. d) –1000, – 500; 500; 1500; 4500; 5500. e) – 5000; 10 000; 15 000; 25 000; 50 000; 60 000.

Számegyenes rajzolása: – rajzoljunk egy egyenest; – nyíllal jelöljük a növekedés irányát; – határozzuk meg az egységet és a viszonyítási pontot, ehhez két szám helyének bejelölése is elegendő. 5. Ábrázold számegyenesen a következő adatokat: a) Néhány város Budapesttől mért távolsága kilométerben: Amszterdam: 1145; Belgrád: 350; Bukarest: 630; London: 1430; Róma: 805; Bécs: 214; Párizs: 1230; Varsó: 750 b) Történelmi események évszámai: Arkhimédész: Kr.e. 250; Eukleidész: Kr.e. 300; Római Birodalom bukása: 476; Honfoglalás: 896; Aranybulla: 1222. Nándorfehérvári diadal: 1456; Szabadságharc: 1848

196



6. O lvasd le a számegyenesről az adatokat! Írd le mindegyik esetben, mely értékek közé kell esnie a valódi adatnak!

a)

Budapest Washington

Párizs

0

New York

Madrid Szentpétervár

1000 000

Városok lakossága (elővárosok nélkül):

New York:

.........................

Párizs:

.........................

Budapest:

.........................

Szentpétervár: .........................

Madrid:

.........................

Washington:

.........................

MK

b)

MB E

K A

ME

0 1000

Hegycsúcsok magassága méterben:

ME: Mount Everest (Nepál-Tibet, Himalája): .........................

K: Kilimandzsáró (Afrika):

.........................

MB: Mont Blanc (Európa):

.........................

E: Erebusz (Antarktisz):

.........................

MK: Mount Kosciusko (Ausztrália):

.........................

A: Aconcagua (Argentína):

.........................

0551. Számegyenes


197

7. Karikázd be a felsorolt számok közül azokat, amelyek a számegyenes bejelölt részére esnek, és húzd át azokat, amelyek nem! Karikázd be a felsorolt állítások közül azokat, amelyek igazak a számegyenes bejelölt részén levő minden számra, és húzd át azokat, amelyek nem!

I.

0 – – – – Számok: 4; 3; 2; 1; 3; 5; 6; 7; 9; 12 Áll1ítások:

a) legalább 5

b) nagyobb vagy egyenlő, mint 5

c)

<5

d)

5

e) nem kisebb, mint 5

f) legfeljebb 5

II.

Számok: – 4; –3; –2; –1; 3; 5; 6; 7; 9; 12 Állítások:

a) nagyobb, mint 3

b)

c) kisebb vagy egyenlő, mint 3

d) legfeljebb 3

III.

Számok: – 4; –3; –2; –1; 3; 5; 6; 7; 9; 12 Állítások: a) legfeljebb –2

b)

c) kisebb vagy egyenlő, mint –2 d) nem nagyobb, mint –2

0

3

>3

–2

0

> –2

 –2 f) legalább –2

IV.

Számok: – 4; –3; –2; –1; 3; 5; 6; 7; 9; 12 Állítások:

a) kisebb, mint 7

b)

c) nem kisebb, mint 7

d) legalább 7

5

e)

0

<7

7

198



8. Karikázd be a felsorolt számok közül azokat, amelyek a számegyenes bejelölt részére esnek, és húzd át azokat, amelyek nem! Karikázd be a felsorolt állítások közül azokat, amelyek igazak a számegyenes bejelölt részén levő minden számra, és húzd át azokat, amelyek nem!

I.

Számok: – 4; –3; –2; –1; 0; 2; 5; 6; 8; 10 Állítások: a) legalább –1 és legfeljebb 6

b) –1 

c) nagyobb vagy egyenlő mint –1 és kisebb vagy egyenlő mint 6 d) legfeljebb –1

II.

Számok: –12; –9; – 8; – 5; –3; –2; 0; 3; 4; 6 Állítás: a) nagyobb, mint –8 és kisebb, mint –3

b) – 8 <

c) nagyobb, mint –3 d) kisebb, mint – 8

III.

Számok: 81; 99; 100; 101; 178; 229; 308; 349; 350; 351 Állítások:

a) nagyobb vagy egyenlő, mint 100 és kisebb, mint 350

b) 100 

< 350

c) 350 >

 100

d) nem kisebb, mint 350

IV.

Számok – 62; 893; 4599; 5000; 5001; 6500; 8210; 9999; 10 000; 10 001; 21 001 Állítások:

a) nagyobb, mint 5000 és kisebb vagy egyenlő, mint 10 000

b) 5000 <

c) legfeljebb 10 000 és nagyobb, mint 5000

d) legalább 10 000

–1

0

6

6

–8

–3

0

< –3

0

100

0

 10 000

350

5000

10 000


0551. Számegyenes

199

9. Ábrázold számegyenesen különböző számokkal azokat a félegyeneseket, illetve szakaszokat, amelyek a következő feltételeknek megfelelő számokat tartalmazzák!

a) Legalább 5 és legfeljebb 12 b) Nem kisebb, mint –1

c) Nagyobb, mint – 8

d) Kisebb vagy egyenlő, mint 4

e) Legfeljebb 0

f) 6 <

 10

g) 8 >

2

10. Peti és Kati barkochbáznak. Peti gondolt egy intervallumra, melynek két végpontja –10 és 10 közé eső egész számok. Az alábbiakban leírjuk Kati kérdéseit és Peti válaszait. Találd ki te is a gondolt intervallumot! Kati

Peti

Az intervallumba eső minden szám 0-nál nagyobb?

nem

Az intervallumba eső minden szám 0-nál kisebb?

nem

Minden szám legfeljebb 5?

igen


nem


igen

A 4 az intervallumhoz tartozik?

igen

Minden szám legalább – 5?

nem

Minden szám legalább –7?

igen

Van az intervallumban – 6-nál kisebb szám?

nem

A –6 az intervallumhoz tartozik?

nem

11. Hány olyan egész szám van, amely nagyobb, mint 2005, de nem nagyobb, mint 2006? 12. H ány olyan egész szám van, amely kerekítve 2000? Ábrázold számegyenesen ezek helyét! (Például: százasokra kerekítve 1949  1900

a) Ha tízesekre kerekítünk?

b) Ha százasokra kerekítünk?

c) Ha ezresekre kerekítünk?

13. A z 1, 2, 3, 4 számkártyákból hány háromjegyű szám rakható ki (egy számjegy sem fordul elő többször)? Ezek közül hány tartozik a következő intervallumba: legalább 234 és legfeljebb 342? Melyik az a legrövidebb intervallum, melybe beleesik az összes ilyen háromjegyű szám? Jelöld számegyenesen a számokat!

200



2. FELADATLAP 1. Írd le szöveggel és számokkal a nyilak által jelzett műveleteket! Például:

7

0

16

Ahhoz, hogy a 7-ről a 16-ra ugorjunk, 9-et kell hozzáadni. 7 + 9 = 16

a)

0

100

0

100

0

1000

0

10

0

100

0

1000

200

b)

c)

d)

e)

200

f)

g)

0

10

0551. Számegyenes


201

2. Háromnapos biciklitúránk első napján 35 km-t, a másodikon 40, a harmadikon 45 km-t tettünk meg. Hány kilométeres volt a túra? Ábrázold számegyenesen, meddig jutottunk az egyes napokon! A túra végén hány kilométerre voltunk az indulás helyétől? 3. Egy hetes kirándulásra 5000 Ft zsebpénzt kaptál. Első három nap naponta 700 Ft-ot költöttél, a negyedik napon csak 400 Ft-ot. Mennyi pénzed maradt az utolsó két napra, ha az ötödik napon egyáltalán nem költöttél? Ábrázold számegyenesen, mennyi pénzed volt az egyes napokon! 4. H a a 210 oldalas könyvet egy hét alatt szeretnéd elolvasni úgy, hogy mindennap ugyanannyit olvasol, hány oldalt kell naponta elolvasnod? Ábrázold számegyenesen! 5. Egy torony kupolával együtt 180 m. A kupola 140 m-rel alacsonyabb a kupola nélküli toronynál. Milyen magas a kupola?

6. Egy tolltartó ceruzákkal együtt 2100 Ft. A tolltartó üresen 500 Ft-tal kerül többe, mint a ceruzák. Mennyibe kerül az üres tolltartó? Ábrázold! 7. A 200 1000 egyenlőtlenségbe a téglalap helyére a következő kártyák közül választunk, majd elvégezzük a műveletet, és ellenőrizzük az egyenlőtlenséget. Hány kártya teszi igazzá az egyenlőtlenséget?

·5

+100

–2000

:5

: 50

–2000

· 10

: 10

+10

8. Mely számok azok, amelyekre igaz, hogy

a) a nála 5-tel nagyobb szám nem nagyobb 50-nél;

b) a nála 20-szal kisebb szám legalább 10;

c) 3-szorosa nem több 1200-nál;

d) a 100-adrésze nem kevesebb, mint 15;

e) a 20-at ennyivel csökkentve nem kapunk 5-nél kisebb számot;

f) 600-at hozzáadva 1400-nál nagyobb vagy egyenlő számot kapunk;

g) megszorozva vele a 6-ot, a kapott szám 90-nél nem lesz kisebb;

h) 6-nál többször van meg benne a 25;

i) a 45 legalább 7-tel kisebb nála?

Írd fel és jelöld számegyenesen ezeket a számokat!

202



9. Mely számok azok, amelyekre igaz az állítás?

a) A szám 2-szeresénél 3-mal nagyobb szám legalább 15.

b) A szám 10-szeresénél 25-tel nagyobb szám legfeljebb 75.

c) A szám 5-szörösénél 10-zel kisebb szám nem kisebb, mint 25.

d) A szám 100-szorosánál 200-zal kisebb szám nem nagyobb 1200-nál.

e) A szám 2-szeresénél 5-tel nagyobb szám nem kisebb, mint 15 és nem nagyobb, mint 55.

f) A szám felénél 10-zel kisebb szám legalább 10, de legfeljebb 20.

10. a) Egy dobókockát 4-szer feldobva a dobott számok összegének mi a lehetséges legnagyobb és legkisebb értéke? Ábrázold számegyenesen azt a szakaszt, ahova a dobott számok összege kerülhet!

b) Hányszor kell dobni a dobókockával, hogy a dobott számok összege biztosan legalább 8 legyen? Ennyi dobás esetén mennyi lesz a dobott számok összegének lehetséges legnagyobb értéke? Ábrázold számegyenesen azt a szakaszt, ahova a dobott számok összege kerülhet!

11. N égy egyforma csokoládét szeretnék venni, de csak 1000 Ft-om van, és a vacsorához szükséges ennivalók 800 Ft-ba kerülnek. Legfeljebb hány forintos csokoládét vehetek? 12. M ennyibe kerülhet egy muskátli, ha 9 darab ára 1000 Ft-nál több, de 10 darab ára 1200 Ft-nál kevesebb? 13. A kalózok kincses ládájában legfeljebb 10 kg arany van. A kapitány kivesz pontosan 10 dkg aranyat. Legkevesebb hány dekagramm marad a ládában? 14. Milyen nap lesz 6 nappal tegnapelőtt után, ha holnap előtt 4 nappal 12-e volt? 15. A számegyenesre 4 pontot rajzoltunk, A, B, C, D pontokat. Elárulom, hogy az A és B pontok távolsága 2 egység, a B és C pontok távolsága 9 egység, a C és D pontok távolsága 3 egység, míg az A és D pontok távolsága 4 egység. Hogyan helyezkedhetnek el a pontok a számegyenesen? 16. A számegyenes 2, 7 és 10 pontjában üldögél egy-egy hangya. Hol találkozzanak, hogy összesen a legkevesebbet kelljen gyalogolniuk? Hol találkozzanak, ha a 14 és a 16 pontban üldögélő társaik is csatlakozni szeretnének, és őket is figyelembe veszik?

JÁTÉK Helyezzünk egy bábut a számegyenes 0 pontjára. Egy érme feldobásával döntünk, hogy mit lépünk: fejdobás jelenti azt, hogy 1-et előre, írás azt, hogy 2-t hátra. Kísérletezzünk! – Mely pontokba juthatunk 5 dobással? – Melyik pontba jutunk a legnagyobb eséllyel, melyikbe a legkisebb eséllyel?

számegyenes, koordinátarendszer

0552. Koordináta-rendszer


204



1. FELADATLAP 1. A régészek feltártak egy ősemberbarlangot, ahol különböző leleteket találtak. A leletek eredeti helyének feljegyzésére a négyzet alakú barlangot kisebb négyzetekre osztották (ábra), és minden tárgyról feljegyezték, melyik kis négyzetben találták. A feljegyzés a következő volt:

Sziklarajz –

C1

Koponya –

F3

Agyagedény –

A3

Kőbalta –

H7

Lábszárcsont –

E5

Dárda –

G8

A

B

C

D

E

F

G

H

1

2

3

4

5

6

7

8

Rajzold be az ábra megfelelő négyzetébe azt a tárgyat, amelyet a barlangban a négyzetnek megfelelő helyen találtak! Rajzolj további tárgyakat, és add meg a helyüket!



205

2. Térkép

Keresd meg a térképen a következő utcákat, helyeket! Melyik téglalapba esnek? Határozd meg a téglalapot, melyik betű oszlopában és melyik szám sorában van! Vadaskert Révész u. Tutaj u. Keresd meg a következő utcákat, helyeket, ha tudod, hogy a térkép meghatározott részében vannak. Víztorony

D3

Galagonya u.

A3

Párkány u.

F4–G2

Soó Rezső sétány

C4–D4

206



3. A torpedó-játék: 2 játékos játssza. A bal oldali négyzetbe mindenki belerajzolja a saját hajóit: 4 db 1 négyzetből, 3 db 2 négyzetből álló, 2 db 3 négyzetből álló és 1 db 4 négyzetből álló hajót (az egy hajóhoz tartozó négyzeteknek van közös oldala, a hajó valamelyik másik négyzetével). A játék célja az ellenfél hajóinak kilövése. Minden lépésben egyet lőhetnek.(Pl.: A2), amit a jobb oldali táblán jelölnek. A

B

C

D

E

F

G

A

H

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

B

C

D

E

F

G

H

4. Fejtsd meg az alábbi üzenetet, ha a titkosírásban minden betűt két szám helyettesít a tábla szerint (Pl.: 21 = Y). A titkosírás táblája

1

2

3

4

5

6

7

1

Z

Y

X

W

V

Ű

Ü

2

M

L

K

J

Í

I

Ú

3

N

C

B

Á

A

H

U

4

O

D

E

É

F

G

T

5

Ó

Ö

Ő

P

Q

R

S

Az üzenet: 63142213 53457453 22432232 1411731332

5. Tengerre (óceánra) vagy szárazföldre esnek a szélességi és hosszúsági körök által meghatározott alábbi helyek a Földön?

a) északi szélesség 48°, keleti hosszúság 20°

b) északi szélesség 60°, keleti hosszúság 0°

c) északi szélesség 40°, nyugati hosszúság 80°

d) déli szélesség 40°, nyugati hosszúság 40°

e) déli szélesség 20°, keleti hosszúság 140°



207

2. FELADATLAP TUDNIVALÓ A koordináta-rendszer – A síkon a hely meghatározásához két adat szükséges. – Két, egymást a 0 pontban metsző számegyenes koordináta-rendszert alkot. – A számegyenesek: x tengely, y tengely. – A számegyenesek metszéspontja a koordináta-rendszer középpontja, az origó. – Ha a számegyenesek merőlegesek egymásra, ekkor derékszögű koordinátarendszerről beszélünk. – A derékszögű koordináta-rendszert szokás Descartes-féle koordinátarendszernek is nevezni. Descartes (1596–1650) francia matematikus, filozófus minden probléma megoldását matematikai probléma megoldására akarta visszavezetni, a koordináta-rendszer segítségével minden geometriai probléma megoldását algebrai probléma megoldására.

– Az A pont első koordinátája 5, második koordinátája 2, röviden: A (5; 2) (a bevezető példáknál előfordult szóhasználattal az A pont az 5 oszlopában és a 2 sorában van). – A B pont első koordinátája 2, a második koordinátája 5, röviden: B (2; 5). – Az A és B pontok koordinátái ugyanazok, csak más sorrendben, emiatt a pontok helye különböző. Egy pont koordinátáinak sorrendje nem felcserélhető. – Az origó koordinátái: O (0; 0)

208



1. Olvassuk le a koordináta-rendszerben jelölt pontok koordinátáit! Figyeljetek a koordináták sorrendjére!



209

2. Olvassuk le a koordináta-rendszerben jelölt pontok koordinátáit! Figyeljük meg az A, B, C, D pontok közös tulajdonságát, és az X, Y, Z pontok közös tulajdonságát. Ábrázoljuk a P (2; 3) pontot!

3. A kalózok találtak egy régi térképet, melyen egy koordináta-rendszer látható. A titkosírás megfejtése után kiderült, hogy a kincs az A (–1; 4) és B (6; –3) pontokat összekötő szakasz és a C (0; –2) és D (4; 4) pontokat összekötő szakasz metszéspontjában van. Melyek a kincs helyének koordinátái? y

1 0

1

x

210



4. Ábrázoljuk a pontokat és kössük össze őket a felírás sorrendjében. Milyen alakzatot kapunk?

a) A (6; 0), B (4; 2), C (–2; 0), D (– 4; 1), E (–3; 0), F (– 4; –2), G (–3; –1), H (4; – 4), A (6; 0)

b) A (7; 1), B (8; 1), C (8; 5), D (9; 6), C (8; 5), E (3; 5), F (2; 6), G (2; 5), H (1; 4), I (2; 3), J (3; 4), K (3; 1), L (4; 1), M (4; 3), N (7; 3), A (7; 1).

c) A (0; –2), B (0; 3), C (2; –2), D (3; –2), E (4; –1), F (4; 2), G (3; 3), H (2; 3), C (2; –2), I (6; –2), J (7; –2), K (8; –1), L (8; 2), M (7; 3), N (7; 4), M, O (6; 3), P (6; 4), O, R (5; 2), S (5; –1), I (6; –2)

5. Ábrázolj olyan pontokat, amelyek első koordinátája: b)

– 3;

e) – 5;

a) 2;

Írd fel a pontok koordinátáit!

Hol helyezkednek el azok a pontok, amelyek első koordinátája azonos?

Hol helyezkednek el azok a pontok, amelyek első koordinátája 0?

c) 0;

d) 7;

6. Ábrázolj olyan pontokat, amelyek második koordinátája: b) – 4;

e) – 8;

a) 1;

Írd fel a pontok koordinátáit!

Hol helyezkednek el azok a pontok, amelyek második koordinátája azonos?

Hol helyezkednek el azok a pontok, amelyek második koordinátája 0?

c) 0;

d) 6;

7. Adott egy négyzet három csúcsa koordinátáival, add meg a negyedik csúcs koordinátáit!

a) (–2; 0), (– 5; 0), (– 5; 3)

b) (–1; 1), (–1; –2), (2; 1)

c) (4; –3), (9; –3), (9; 2)

d) (–3; 0), (0; –3), (3; 0)

e) (0; 0), (2; – 5), (7; –3)

8. Adott egy négyzet két szomszédos csúcsa koordinátáival, add meg a többi csúcs koordinátáit!

a) (–3; 2), (0; 2)

b) (3; –2), (3; – 5)

c) (2; 3), (7; 3)

d) (2; 2), (5; 5)

e) (–2; 0), (–7; 2)

9. Adott egy téglalap három csúcsa koordinátáival, add meg a negyedik csúcs koordinátáit!

a) (0; 2), (0; 0), (4; 0)

b) (6; 4), (9; 4), (9; –1)

c) (–2; –2), (–2; –1), (3; –1)

d) (– 4; 1), (–1; 1), (–1; 5)



211

3. FELADATLAP 1. Folytassuk az ábrán látható spirálok rajzát! Olvassuk le a töréspontok koordinátáit. Milyen szabályosság figyelhető meg a koordinátákra vonatkozóan. A következő szakasz megrajzolása előtt jósoljuk meg a végpontjának koordinátáit! y

1 0

1

x

2. Az 1-2-3. ábra alakzatok esetén olvassuk le a töréspontok koordinátáit. Az 1. ábra töréspontjaira végezzük el a következőt: a pont első koordinátája helyett írjuk annak ellentettjét. Ábrázoljuk ezeket a pontokat, figyeljük meg milyen alakzatot kapunk, ha ugyanolyan sorrendben összekötjük őket, mint az eredeti alakzat esetén. y

1 0

1

1. ábra

x

212



A 2. ábra töréspontjaira végezzük el a következőt: a pont első koordinátája helyett írjunk nála 10-zel nagyobbat. Ábrázoljuk ezeket a pontokat, figyeljük meg milyen alakzatot kapunk, ha ugyanolyan sorrendben összekötjük őket, mint az eredeti alakzat esetén.

y

1 0

x

1

2. ábra

A 3. ábra töréspontjaira végezzük el a következőt: a pont második koordinátája helyett írjuk annak ellentettjét. Ábrázoljuk ezeket a pontokat, figyeljük meg milyen alakzatot kapunk, ha ugyanolyan sorrendben összekötjük őket, mint az eredeti alakzat esetén. y

1 0

x

1

3. ábra



213

3. Ábrázoljuk koordináta-rendszerben a következő pontokat, és kössük össze ebben a sorrendben: A (0; 0), B (–1; 0), C (–1; 2), D (–4; 2), E (–2; 5), F (–3; 5), G (–1; 8), H (–2; 8), I (0; 11). Mindegyik pont első koordinátáját változtassuk az ellentettjére, és ábrázoljuk ezeket a pontokat is. Milyen alakzatot kapunk? 4. Keressük a felsorolt pontok közös tulajdonságát! Ábrázoljuk a pontokat, és keressünk további ilyen tulajdonságú pontokat!

a) (–5; –5), (–2; –2), (0; 0), (3; 3), (4; 4)

b) (–5; –3), (–3; –1), (1; 3), (2; 4), (4; 6)

c) (–4; –8), (–1; –2), (0; 0), (2; 4), (3; 6)

d) (–1; 4), (0; 3), (2; 1), (3; 0), (5; –2)

5. Keressük meg, melyik pont a kakukktojás! Indokold meg, miért

a) (–1; –2), (–1; –1), (–1; 0), (1; 2), (–1; 2)

b) (–1; 1), (0; 0), (1; –2), (2; –2), (3; –3)

c) (–1; –2), (0; –1), (1; –2), (2; –2), (3; –2)

d) (–1; –2), (0; –1), (1; 0), (2; 2), (3; 2)

6. A felsorolt pontokat osszuk csoportokba úgy, hogy az egy csoportba kerülő pontoknak legyen közös tulajdonsága!

(–4; 9), (–3; 6), (–2; 2), (–1; 1), (0; 5), (1; –1), (2; 3), (3; 0), (4; –4), (5; –2), (6; –1)

7. Az alábbi állítások közül melyek azok, amelyek igazak a koordináta-rendszerben jelölt minden pont koordinátáira?

(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G)

x ∙ y páros szám x és y összege páros szám x>y x + y =10 x – y páratlan szám x nagyobb 0-nál, de nem nagyobb 10-nél y legalább 1, de legfeljebb 8.

214



8. A koordináta-rendszerben színezzük

a) pirosra azokat a pontokat, amelyek mindkét koordinátája pozitív;

b) kékre azokat a pontokat, amelyek első koordinátája negatív, második koordinátája pozitív;

c) zöldre azokat a pontokat, amelyek mindkét koordinátája negatív;

d) sárgára azokat a pontokat, amelyek első koordinátája pozitív, második koordinátája negatív.


a) pirosra azokat a pontokat, amelyek első koordinátája legalább 1 és legfeljebb 3, második koordinátája pozitív;

b) kékre azokat a pontokat, amelyek első koordinátája pozitív; második koordinátája legalább 1 és legfeljebb 3;

c) zöldre azokat a pontokat, amelyek első koordinátája nem kisebb –3-nál és nem nagyobb –1-nél, második koordinátája negatív;

d) sárgára azokat a pontokat, amelyek első koordinátája negatív, második koordinátája pedig nagyobb vagy egyenlő mint –3, és kisebb vagy egyenlő mint –1.


a) pirosra azokat a pontokat, amelyek első koordinátája legalább 2 és legfeljebb 5, második koordinátája 1 és 6 közé esik;

b) kékre azokat a pontokat, amelyek első koordinátája –5-nél nagyobb és –1-nél kisebb, második koordinátája legalább 1 és legfeljebb 3;

c) zöldre azokat a pontokat, amelyek első koordinátája nem kisebb –3-nál és nem nagyobb 2-nél, második koordinátája –3 és –4 közé esik;

d) sárgára azokat a pontokat, amelyek első koordinátája –1-nél nagyobb és 2-nél kisebb, második koordinátája pedig nagyobb, vagy egyenlő mint –2, és kisebb, vagy egyenlő mint 1.

11. Tévelygő minden reggel a koordináta-rendszer (0; 0) pontjából indul. Minden egységnyi lépés előtt feldob egy érmét, ha írást dobott, akkor az x tengellyel, ha fejet, akkor az y tengellyel párhuzamosan lép. Az érmét újra feldobja, ha írás, akkor pozitív, ha fej, akkor negatív irányba lép egyet. Jelöljük különböző színekkel, hova juthatott az egyes napokon, ha

– hétfőn 8-at lépett;

– kedden 10-nél nem dobott több fejet;

– szerdán legalább 5 írást és legfeljebb 12 fejet dobott;

– csütörtökön ugyanannyi fejet dobott, mint írást, de összesen sem dobott 16-nál többet;

– pénteken több fejet dobott, mint írást, de ez sem volt 8-nál több!



215

4. FELADATLAP 1. Peti magasságának növekedését mutatja az alábbi grafikon, születésétől kezdve. Olvasd le a grafikonról, hogy

a) mekkora volt születésekor, 1, 3, 6, 10 éves korában;

b) melyik évben nőtt a legtöbbet;

c) mekkora lenne 11 éves korában, ha minden évben ennyit nőtt volna;

d) várhatóan milyen magas lesz 12 éves korában!

2. Peti tömegének gyarapodását jegyezték le az alábbi táblázatban, születésétől 1 éves koráig havonta. Ábrázold az adatokat grafikonon! Hónap Tömeg (dkg)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

320

420

500

580

660

720

770

820

860

890

910

940

950

3. Rajzoljunk grafikont a következő történethez! Kati gyalog indult az iskolába fél 8-kor. Eszébe jutott, hogy nem vitte magával a tornazsákját, megállt, megnézte a táskáját, tényleg nem találta. Futott hazáig, felkapta a tornazsákot, biciklire pattant, és épp beért az iskolába 8 órára.

216



4. Melyik grafikon mutatja legjobban azt, hogy Marcsi egyenletesen sétált a fa felé. Milyen útvonalon sétálhat a többi grafikon esetén?

A

B

C

D

5. Melyik grafikon mutathatja azt, hogy Kristóf a szobortól nem messze áll? Milyen útvonalon sétálhat a többi grafikon esetén?

A

C

B

D

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

Recommend Documents