MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET „A” Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév

A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Matematika szakmai vezető: Pálfalvi Józsefné Szakmai tanácsadók: Csahóczi Erzsébet és Szeredi Éva Alkotószerkesztő: Csahóczi Erzsébet és Kozics Anikó Grafika: Király és Társa Kkt, dr. Fried Katalin Lektor: Makara Ágnes Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT0703 © Szerzők: Jakucs Erika, Mendelovics Zsuzsa, Paróczay József, Pusztai Julianna, Takácsné Tóth Ágnes, Vépy-Benyhe Judit Educatio Kht. 2008. Tömeg: 430 gramm Terjedelem: 21,12 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgypedagógiai szakértő: Györfi Lászlóné Tudományos-szakmai szakértő: Vecseiné dr. Munkácsy Katalin Technológiai szakértő: Karácsony Orsolya

tartalom

075. sokszögek, kör 0751. A sokszög szögeinek összege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0752. Háromszögek szerkesztése, egybevágóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0753. Háromszögek szerkesztése, egybevágósága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0754. Speciális négyszögek és sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 076. kerület, terület 0761. Sokszögek területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0762. A kör kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0763. A kör területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 077. Algebra 0771. Fordítás az algebra nyelvére . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0772. Algebrai alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0773. Egyenletek, egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0774. Azonosság, egyenlet, szöveges feladatok gyakorlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 17 29 29

39 55 61

65 71 85 97

078. hasáb, henger 0781. Ismerkedés a hengerrel, hasábbal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 0782. Hasáb és henger felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 0783. Hasáb és henger térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 079. HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 0791. Függvények fogalma, ábrázolása; lineáris függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 0792. Sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

háromszögek, sokszögek

0751. A sokszög szögeinek összege

Készítették: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

6

matematika „A” – 7. évfolyam – 075. sokszögek, kör

tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP 1. Rajzolj egy koordinátarendszert! Adott a B (1; 4) pont. Keress az x tengelyen két olyan rácspontot, melyek a B ponttal együtt a következő tulajdonságú háromszögeket határozzák meg:

a) derékszögű; y

1 x

1

b) egyenlőszárú derékszögű; y

1

1

x

1

x

c) egyenlőszárú hegyesszögű; y

1


tanunlói munkafüzet

7

d) egyenlőszárú tompaszögű. y

1 1

x

Rajzolj mindegyikre egy-egy példát, használj különböző színeket!

e) Hány megoldás van az egyes esetekben? Keress minél több megoldást!

2. a) Vágjatok ki átlátszó lapból 2-2 darabot a következő szögtartományokból: 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 120°, 135°. Építs belőlük háromszögeket a síkon! Keress minél több megoldást! Mely szögekből lehet, melyekből nem lehet háromszöget építeni? b) Rajzoljatok a gömbre háromszögeket, majd mérjétek meg a belső és a külső szögeit! Mekkora lehet a gömbi háromszögek belső, illetve külső szögeinek az összege? 3. Szerkessz szabályos háromszöget, amelynek oldala 6 cm! Szerkeszd meg egyik szögének szögfelezőjét! Milyen alakzatra bontotta a szabályos háromszöget a szögfelező egyenese? Mekkorák ennek az alakzatnak a szögei, illetve az oldalai? Hasonlítsd össze a háromszög szögeinek és a velük szemben lévő oldalak nagyságát! 4. Szerkeszd meg a háromszöget, és számítsd ki a hiányzó belső és külső szögeit!

a) A háromszög egyik oldala 5 cm, a rajta lévő két szög 30° és 75°.

b) Az egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogója 6 cm.

5. S zerkeszthető-e háromszög az alábbi adatokból? Ha az adatok alapján nem tudod eldönteni, rajzold meg a háromszöget!

a) A háromszög két belső szöge 65° és 120°.

b) A háromszög két külső szöge 90°.

c) A háromszög oldalai 4 cm, 5 cm, 8 cm.

d) A háromszög oldalai 3 cm, 4 cm, 7 cm.

e) A háromszög oldalai 4 cm, 5 cm, 10 cm.

8



2. FELADATLAP 1. Egybevágó háromszögekből próbáljatok egyszeres sávot (az alkotó háromszögek mindegyike eléri a sávot határoló mindkét egyenest) kirakni! Jelöljétek különböző színnel a háromszög három oldalát, és szögeit, a szemközti oldalt és szöget azonos színnel! Ismételjétek meg a kísérletet más típusú háromszöggel is! Magyarázzátok meg a tapasztaltakat! 2. Figyeljétek meg az általatok kirakott sávon, milyen összefüggés van a háromszög belső és külső szögei között! Írjátok le az összefüggéseket, majd ezek segítségével határozzátok meg a háromszögek külső szögeinek az összegét! Bizonyítsátok be a megfigyelt összefüggéseket!

EMLÉKEZTETŐ A háromszög belső és külső szögei A háromszög szögeit (α, β, γ)belső szögeknek nevezzük. A háromszög belső szögeinek összege 180°. A háromszög külső szögének nevezzük azt a szöget, amely a háromszög belső szögét 180°-ra egészíti ki. α’ = 180° – α β’ = 180° – β γ’ = 180° – γ

ÁLLÍTÁS: Kapcsolat a háromszög oldalai között: háromszög-egyenlőtlenség A háromszög bármely két oldalának összege mindig nagyobb, mint a harmadik oldal. BIZONYÍTÁS: Két pont között a legrövidebb út a két pontot összekötő szakasz. Ezért C AC + CB > AB b + a > c b a AC + AB > BC b + c > a AB + BC > AC c + a > b

A

c

B

ÁLLÍTÁS: A háromszög belső szögeinek összege 180° BIZONYÍTÁS: A párhuzamos szárú szögek tulajdonságait felhasználva bizonyíthatjuk az állítást. Húzzunk a C csúcson áthaladó, az AB oldal egyenesével párhuzamos egyenest! Az α és δ fordított állású szögpárt alkot, ezért α = δ A β és az ε is fordított állású szögpár, ezért β = ε A C csúcsnál lévő három szög együtt egyenesszöget alkot, ezért δ + γ + ε = 180° Mivel α = δ és β = ε ezért α + γ + β = 180° Tehát az állítás igaz, a belső szögek összege 180°.



9

ÁLLÍTÁS: Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között A háromszögben bármely két szög összege egyenlő a harmadikkal szomszédos külső szöggel: α’ = β + γ β’ = α + γ γ’ = α + β BIZONYÍTÁS: Az γ és η fordított állású szögpárt alkot, ezért γ = η. Az α és a δ egyállású szögek,

ezért α = δ.

Az ábráról leolvasható, hogy:

β’ = η + δ. η = γ és δ = α,

Mivel

β’ = α + γ.

így

Tehát az állítás igaz, bármely külső szög egyenlő a szöggel nem szomszédos két belső szög összegével. Hasonlóan belátható, hogy α’ = β + γ és γ’ = α + β. ÁLLÍTÁS: A háromszög külső szögeinek az összege 360°. BIZONYÍTÁS: Az előző két állítást alkalmazzuk a bizonyításban. α’ = β + γ

β’ = α + γ

γ’ = α + β

α + β + γ = 180° α’ + β’ + γ’ = (β + γ) + (α + γ) + (α + β) = (α + β + γ) + (α + β + γ) = 2 ∙ 180° = 360° Tehát az állítás igaz, a háromszög külső szögeinek az összege 360°. ÁLLÍTÁS: Kapcsolat a háromszög szögei és oldalai között Ugyanabban a háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak, a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van, mint a rövidebb oldallal szemben. Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, akkor abban a háromszögben nagyobb a harmadik oldal, amelyikben a két oldal által bezárt szög nagyobb. BIZONYÍTÁS (szemléletesen):

10



3. FELADATLAP 1. Határozd meg a háromszög hiányzó szögeit, ha

a) egy belső szöge 48° és egy külső szöge 105°;

b) van egy 36°-os és egy 126°-os szöge;

2. Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei, ha az egyik külső szöge

a) 55°

b) 90°

c) 111°.

3. Egy háromszög belső szöge háromszorosa a hozzá tartozó külső szögnek. Hány fokos ez a szög? 4. Számítsd ki az egyenlőszárú háromszög ismeretlen külső és belső szögeit, ha egyik külső vagy belső szöge 64°!

4. FELADATLAP 1. Jelöld ki az alábbi sokszögek egy csúcsát, és rajzold meg az ebből a csúcsból kiinduló átlókat! Hány átló húzható egy csúcsból az egyes esetekben? Hány háromszögre bontottad így a sokszögeket? Számítsd ki a sokszögek belső szögeinek az összegét!

NÉGYSZÖG Egy csúcsból húzható átlók száma Háromszögek száma Belső szögek összege Külső szögek összege Összes átló száma

ÖTSZÖG

HATSZÖG

HÉTSZÖG

NYOLCSZÖG



11

2. Válaszd ki az 1. feladat egyik sokszögét! Jelöld be a külső szögeit! Milyen összefüggés van a külső szög és a mellette lévő belső szög között? Határozd meg a külső szögek összegét! Mennyi a többi sokszög külső szögeinek az összege? 3. a) Határozd meg az alábbi szabályos sokszögek belső, illetve külső szögeinek a nagyságát!

Mit gondolsz, mennyi lehet az n oldalszámú szabályos sokszög szögeinek nagysága?

b) Vizsgáld meg, hogy lehet-e kört rajzolni a sokszögek köré (a körvonal áthalad a sokszög csúcsain)! Hogy nevezzük az ilyen sokszögeket? Hogyan tudnád kijelölni a kör középpontját?

c) Kösd össze a kör középpontját a sokszög csúcsaival! Hogy nevezzük az így létrejött szögeket? Határozd meg ezeknek a szögeknek a nagyságát!

4. Mutasd meg, hogy bármely konvex sokszög külső szögeinek összege 360°!

összegzés ÁLLÍTÁS: A konvex négyszög belső szögeinek összege 360°. BIZONYÍTÁS: Minden konvex négyszöget egy átlója két háromszögre bont, amely háromszögek belső szögei alkotják a négyszög belső szögeit. Ebből következik, hogy a konvex négyszög belső szögeinek összege 360°.

12



ÁLLÍTÁS: Konvex négyszög külső szögeinek összege 360°. BIZONYÍTÁS: a + a’ = 180° b + b’ = 180° g + g’ = 180° d + d’ = 180°

A külső szög a mellette fekvő belső szög kiegészítő szöge. a’ = 180° – a b’ = 180° – b g’ = 180° – g d’ = 180° – d a’ + b’ + g’ + d’ = 4 · 180° – (a + b + g + d ) = 4 · 180° – 360° = 360° ÁLLÍTÁS: Tetszőleges n oldalú konvex sokszög az átlóinak száma:

n · (n –3) 2

BIZONYÍTÁS: Tetszőleges n oldalú konvex sokszög esetén egy csúcsból n –3 átló húzható, mivel önmagába nem húzható átló, a két szomszédos csúccsal pedig nem átló, hanem oldal köti össze. Minden csúcsból n –3 átló húzható, ezeket összegezve az eredmény n · (n –3). Minden átlót kétszer vettünk figyelembe, ezért az átlók száma n · (n –3) 2

ÁLLÍTÁS: Az n oldalú sokszög belső szögeinek összege (n –2) ∙ 180°. BIZONYÍTÁS: Az n oldalú sokszöget az egy csúcsból húzható átlói segítségével (n –2) darab háromszögre bonthatjuk. A háromszögek belső szögeinek az összege, a sokszög belső szögeinek az összegével egyenlő, ezért a sokszög belső szögeinek összege (n –2) ∙ 180° D E

C

A

B

A sokszögek konvex belső szögét 180°-ra kiegészítő szöget a négyszög külső szögének nevezzük. Külső szöget csak konvex négyszög esetében értelmezünk.



13

ÁLLÍTÁS: Bármely sokszög külső szögeinek az összege 360°. BIZONYÍTÁS: Az állítást konvex ötszögre igazoljuk. d’ d g’ g’

e e’

a’ = 180° – a b’ = 180° – b g’ = 180° – g d’ = 180° – d e’ = 180° – e a’ + b’ + g’ + d’ + e’= = 5 · 180° – (a + b + g + d + e) = = 5 · 180° – 3 · 180° = 2 · 180° = 360°

a’a

b

b’

Több oldalú sokszögre hasonlóan bizonyítható az állítás.

Szabályos sokszögek A szabályos sokszögek minden oldala és minden szöge egyenlő. A páros oldalszámú szabályos sokszögek középpontosan és tengelyesen is szimmetrikusak. Minden szabályos sokszög a középpontból egybevágó, egyenlőszárú háromszögekre bontható.

A páratlan oldalszámú szabályos sokszögek tengelyesen szimmetrikusak, középpontosan nem.

A szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, ezért a szabályos sokszög belső szögeinek a nagysága (n –2) · 180° n Minden szabályos sokszög konvex síkidom. Minden külső szöge egyenlő, ezért a szabályos sokszög külső szögeinek a nagysága 360° n

14



5. FELADATLAP 1. Számítsd ki a sokszögek hiányzó belső és külső szögeit!

a) A háromszög egyik belső szöge 20°, a nem mellette lévő egyik külső szög 50°. Milyen háromszög ez?

b) A háromszögnek két külső szöge 110°. Milyen háromszög ez?

c) A rombusz egyik belső szöge 124°.

d) A paralelogramma egyik szöge 161°19’.

e) A húrtrapéz egyik szöge 10°-kal nagyobb a másik szögnél.

d) Szabályos tízszög.

2. A tengelyesen szimmetrikus ötszög 76°-os belső szögét a szimmetriatengely felezi. Mekkorák az ötszög belső szögei, ha az említett szöggel szomszédos szög nagysága 110°?

76°

3. Mekkorák a hatszög belső szögei, ha arányuk 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6?

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Határozd meg a négyszögek és háromszögek ismeretlen külső és belső szögeit!

a) rombusz

b) deltoid

c) húrtrapéz

88°

85°

142° 130°



d) háromszög

e) derékszögű háromszög

15

f) szimmetrikus háromszög

160°

28°

86°

151°

2. Mekkorák annak a tükrös háromszögnek a szögei, melynek egyik szöge

a) 60°

b) 122°

c) 36°?

3. Egy derékszögű háromszög két hegyesszögének aránya 2 : 3. Mekkorák a szögei? 4. Egy derékszögű háromszög egyik szöge kétszerese egy másik szögének. Mekkorák lehetnek a háromszög szögei? 5. Mekkorák annak az egyenlő szárú háromszögnek a szögei, melynek egyik külső szöge

a) 20°

b) 160°?

6. Számítsd ki a háromszög szögeit, ha belső szögeinek aránya 2 : 3 : 7! 7. Számítsd ki a paralelogramma szögeit, ha belső szögeinek aránya 2 : 6 : 2 : 6! 8. Számítsd ki a trapéz szögeit, ha belső szögeinek aránya 4 : 6 : 6 : 8! 9. Milyen négyszögről van szó, ha belső szögeinek aránya 6 : 9 : 6 : 9? Számítsd ki a szögeit! 10. Milyen négyszögről van szó, ha belső szögeinek aránya 1 : 4 : 2 : 3? Számítsd ki a szögeit! 11. Döntsd el, konvex vagy konkáv-e az a négyszög, amelyben a belső szögek aránya

a)

4 : 5 : 6 : 9;

b)

1 : 2 : 5 : 12;

c)

2 : 7 : 9 : 12.

Számítsd ki a belső szögeket!

16



12. Hány átlója van egy konvex sokszögnek, és mennyi a belső szögeinek összege, ha a csúcsainak száma: 7, 9, 15, 100? csúcsok száma

7

9

15

100

átlók száma szögösszeg

13. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelynek ötször annyi átlója van, mint ahány oldala? 14. Mutasd meg, hogy a szabályos sokszög külső szöge egyenlő a középponti szögével! 15. Mekkorák a szabályos sokszög szögei, ha oldalainak száma: 4, 5, 6, 7, 10, 20, 100? 16. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelyben az egy csúcsból húzható átlók száma 5; 8; 20;100? 17. Hány oldalú az a konvex sokszög, melyben a külső szögek összege a belső szögek összegének a harmada? 18. Hány oldalú az a szabályos sokszög, melyről tudjuk, hogy

a) középponti szöge 36°;

b) külső szöge 36°;

c) belső szögeinek összege 3780°;

d) annyi átlója van, ahány oldala;

e) külső és belső szögeinek összege egyenlő?

19. Töltsd ki a táblázatot! A szabályos sokszög oldalainak száma középponti szöge

30°

a felépítő tükrös háromszög alapon fekvő szöge

67,5°

egy belső szöge

156°

egy külső szöge

20°

belső szögeinek összege egy csúcsból húzható átlók száma összes átlójának száma

720° 6

háromszögek, sokszögek 0752. Háromszögek szerkesztése, egybevágóság


18



TUDNIVALÓ Az euklideszi szerkesztés lépései 1. Két pont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval.

A B

2. Két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. B

A 3. Adott pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk.

P

4. Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük.

e

f

5. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.

6. Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.

0752. Háromszögek szerkesztése, egybevágóság


19

1. FELADATLAP A táblázat sorai egy-egy feladatot tartalmaznak, a csillag jelzi, hogy a háromszögnek melyik adatát használhatod fel a szerkesztés során. Minden esetben végezd el a szerkesztést a füzetedben, az adatok az óra elején kapott háromszögre vonatkoznak. Mérőeszközként a körződet, és a vonalzód egy élét használhatod! A megszerkesztett háromszöget másolópapír segítségével hasonlítsd össze az eredeti háromszöggel! Tapasztalatodat a táblázat utolsó oszlopában rögzítsd!

a

b

adat

a (>)

b

c

1.

*

*

*

2.

*

*

3.

*

*

4.

*

*

5.

*

6.

*

*

7.

*

*

*

*

*

tapasztalat

* * * *

8.

g

a) hegyesszögű

b) derékszögű

* *

*

c) tompaszögű

4 cm 6 cm 3 cm

5 cm

5 cm

7 cm 5 cm

4 cm

3 cm

20



összegzés A szerkesztés menete Először készíts színes vázlatot az elemzéshez! Jelöld a vázlaton pirossal azokat az adatokat, melyeket a szöveg megadott, majd sárgával azokat, melyeket ismereteink segítségével mi kikövetkeztetünk, és a szerkesztésben fel fogunk használni! Jelöld a szerkesztés lépéseinek sorrendjét a vázlaton, és írd is le a lépéseket szavakkal! I. Adott egy oldal és a rajta fekvő két szög

Adatok Összefüggések a= β= γ=

Vázlat

A szerkesztés lépései 1. Felveszem az adott hosszúságú szakaszt. 2. A szakasz egyik végpontjához megszerkesztem a β, a másik végpontjához a γ szöget. 3. A két szögszár metszéspontja lesz a háromszög harmadik csúcsa.

II. Adott egy oldal és a két szög, az egyik az oldalon fekvő szög (γ vagy β), a másik az oldallal szemközti szög (α). a) Adatok Összefüggések a= a + b + g = 180° a= b = 180° – (a + g) b=



Vázlat

A szerkesztés lépései 1. Felveszem az adott hosszúságú szakaszt. 2. A szakasz egyik végpontjához megszerkesztem a β, a másik végpontjához a γ szöget. 3. A két szögszár metszéspontja lesz a háromszög harmadik csúcsa.

b) Adatok Összefüggések a= a + b + g = 180° a= g = 180° – (a + b) b=

Vázlat

21

A szerkesztés lépései Megegyezik az a) feladat szerkesztés lépéseivel.

2. FELADATLAP 1. Megszerkeszthető-e egyértelműen a háromszög, ha adott

a) három szöge?

b) három oldala?

c) egyik oldala és két szöge?

d) egyik oldala és egy szöge?

e) két oldala és egy szöge?

f) két oldala és az egyik oldalhoz tartozó magasság?

22



2. Megszerkeszthető-e egyértelműen a derékszögű háromszög, ha adott

a) a két befogója;

b) az egyik befogója és az átfogója;

c) egy szöge és egy oldala;

d) az egyik befogója és legnagyobb szögének szögfelezője;

e) az egyik befogója és a hozzátartozó súlyvonala;

f) az egyik befogója és a háromszög köré írható kör középpontja?

3. Megszerkeszthető-e egyértelműen a tükrös háromszög, ha adott

a) az alapja és a szára?

b) az alapon fekvő szöge?

c) az alapja és az alapon fekvő szöge?

d) az alapja 5 cm és a szárszöge?

e) az alapja és az alaphoz tartozó magassága?

f) a szára és a szárhoz tartozó magassága?

g) a szára és a szárszög szögfelezője?

ÖSSZEGZÉS A háromszög egybevágóságának alapesetei Két alakzat egybevágó, ha pontosan fedésbe hozhatók. Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként megegyeznek.

Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és az általuk közbezárt szög megegyezik.

Két háromszög egybevágó, ha egyik oldaluk és az azon fekvő két szög megegyezik.



23

Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik.

Háromszögek szerkeszthetősége A háromszögszerkesztés egyértelmű, ha a megadott adatokból szerkesztett minden háromszög egybevágó. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott a három oldala. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott két oldala és a közbezárt szög. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott valamelyik oldala és az azon levő két szöge. Egyértelműen megszerkeszthető a háromszög, ha adott két oldala és a nagyobbik oldallal szemközti szög. Nem szerkeszthető meg egyértelműen a háromszög, ha csak a három szöge adott, illetve akkor, ha két oldalát és a kisebbikkel szemközti szögét ismerjük. A megadott adatok: α, β, γ

a, b, α

3. FELADATLAP 1. Ismerjük az ABC háromszög szögeit és oldalait. Szerkeszthetünk-e ugyanilyen háromszöget, ha tetszőlegesen választunk ki az adatokból hármat? Végezzétek el a szerkesztéseket, ha a következő három adatot választjuk ki! a = 6 cm α = 75° b = 5,5 cm β = 60° c = 4,5 cm γ = 45°

a) a, b, c; b) a, b, α; c) a, b, β; d) a, b, γ; e) a, β, γ; f) α, β, γ.

A következő szerkesztési feladatokat a megadott minta szerint végezd el!

24



2. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, ha alapja 5,5 cm, az alapon lévő szöge 45°!

Adatok a = 5,5 cm β = 45°

Összefüggések β = γ = 45°

Vázlat

A szerkesztés lépései 1. Felveszem az a oldalt. 2. Az a oldalra B csúccsal megszerkesztem a β szöget. 3. Az a oldalra C csúccsal megszerkesztem a γ szöget. 4. A két szögszár metszéspontja adja az A csúcsot.

3. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, ha alapja 5 cm, a szárszöge 60°!

Adatok a = 5 cm α = 60°

Összefüggések β = γ = (180° – α) : 2 = 60°

Vázlat

A szerkesztés lépései Megegyezik a 2. feladat szerkesztés lépéseivel.

4. Szerkessz háromszöget a következő adatokból! a) A háromszög oldalai: 6 cm, 8 cm és 10 cm; b) A háromszög két oldala 6 cm és 4 cm, az általuk közbezárt szög 75°; c) A háromszög egyik oldala 5,5 cm, a rajta lévő két szög 30°és 90°; d) A háromszög két oldala 6 cm és 4,5 cm, a nagyobbikkal szemközti szög 105°. 5. Szerkeszd meg a háromszöget, ha oldalai 3 cm, 5 cm és 6 cm! Szerkeszd meg az oldalak felezőpontját, majd kösd össze ezeket a felezőpontokat! Hasonlítsd össze az így kapott háromszög oldalait az eredeti háromszög oldalaival! 6. Szerkessz háromszög szerkeszthető, ha a háromszög két oldala 5 cm illetve 6 cm, az 5 cm-es oldalon fekvő egyik szög 30°! 7. Egy háromszög egyik oldala 8 cm, a másik oldal ennek 75 %-a, a harmadik oldal a másodiknak a kétharmad része. Szerkeszd meg a háromszöget! Melyik oldallal szemközt található a legkisebb szög?



25

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Megszerkeszthető-e egyértelműen a háromszög, ha

a) szögei 40°, 65° és 75°?

b) oldalai 4 cm, 6 cm és 6,5 cm?

c) egyik oldala 5,3 cm és két szöge 45° és 60°?

d) egyik oldala 4 cm és van egy 80°-os szöge?

e) két oldala 3 cm és 4,5 cm, és van 30°-os szöge?

f) egyik oldala 5 cm, a rajtalevő egyik szög 75° és az 5 cm-es oldalhoz tartozó magasság 4 cm?

2. Szerkeszd meg az 1. feladatban megadott háromszögek közül azokat, amelyek egyértelműen megszerkeszthetők! 3. Megszerkeszthető-e egyértelműen a tükrös háromszög, ha

a) alapja 4 cm, szára 5 cm?

b) alapon fekvő szöge 60°?

c) alapja 6 cm és alapon fekvő szöge 45°?

d) alapja 5 cm és szárszöge 105°?

e) alapja 3,8 cm és az alaphoz tartozó magasság 5 cm?

f) szára 8 cm és a szárhoz tartozó magasság 5 cm?

4. Szerkeszd meg az 5. feladatban megadott háromszögek közül azokat, amelyek egyértelműen megszerkeszthetők! A következő feladatokban (1–5.) szerkessz háromszöget a megadott oldalak és szögek ismeretében! A szerkesztéseket az itt látható vázlat jelöléseinek megfelelően végezd! Minden feladatban vizsgáld meg, hányféle háromszög szerkeszthető? VÁZLAT:

5. a) a = 6 cm, b = 7 cm, c = 8 cm

b) a = 5 cm, b = 7 cm, c = 7 cm

c) a = 6 cm, b = 7 cm, c = 5 cm

d) a = 3 cm, b = 7 cm, c = 4 cm

6. a) két oldala 4 cm-es

b) két oldala 5 cm-es, illetve 2 cm –es

c) egyenlőszárú és van 3 cm, illetve 5 cm-es oldala

d) egyenlőszárú és van 3 cm, illetve 6 cm-es oldala

26



7. a) a = 5 cm, b = 4 cm, g = 45°

b) a = 5 cm, b = 7 cm, g = 120°

c) a = 5 cm, b = 7 cm, g = 135°

d) a = 5 cm, b = 7 cm, g = k · 22,5° (a k egész számot jelöl, keresd meg az összes megoldást, és egy ábrán végezd el a szerkesztést!)

8. a) a = 5 cm, b = 4 cm, a = 45°

b) a = 5 cm, b = 4 cm, b = 45°

9. a) a = 5 cm, a = 45°, b = 60°

b) a = 5 cm, a = 45°, g = 60°

c) a = 5 cm, g = 45°, b = 60°

10. a) a = 75°, b = 60°, g = 45°

b) a = 75°, b = 60°, g = 120°

A következő feladatokban (6–8.) el kell döntened két háromszögről, hogy egybevágóak-e, ha az itt mondott adataikban megegyeznek. Válaszaidat indokold! 11. Egybevágó-e két szabályos háromszög, ha páronként egyenlők

a) szögeik;

b) oldalaik?

12. Az alábbi háromszögekről döntsd el, hogy egybevágóak-e?

a)

b) 50° 60°

34°

86° 5 cm

6 cm

6 cm

70°

34° 5 cm

70° 5 cm

c)

5 cm

d)

5 cm

4 cm

4 cm

5 cm

5 cm

6 cm 62° 88°

4,5 cm

4,5 cm

6 cm

20° 5 cm



27

13. Egybevágó-e két egyenlőszárú háromszög, ha páronként egyenlő

a) alapjuk és száruk

b) két oldaluk

c) alapjuk és alapon fekvő szögük

d) alapjuk és szárszögük

e) alapjuk és egy szögük

f) alapjuk és két szögük

g) száruk és az alapon fekvő szögük?

14. Rajzolj egy 5 cm-es szakaszt, jelöld a végpontjait A-val, B-vel! Szerkessz legalább 6 db olyan derékszögű háromszöget, melynek ez a szakasz az átfogója!

Hol helyezkedhetnek el a háromszögek C csúcsai?

a) Jelöld kékkel azokat a C csúcsokat, melyekhez tartozó háromszög egyik befogója 4 cm!

b) Jelöld zölddel azokat a C csúcsokat, melyekhez tartozó háromszög egyenlőszárú!

c) Jelöld pirossal azokat a C csúcsokat, melyekre a háromszögnek van 60°-os szöge!

15. Rajzolj egy 3 cm-es szakaszt, jelöld a végpontjait A-val és B-vel! Szerkeszd meg az összes olyan C pontot, melyekre az ABC háromszög egyenlő szárú!

a) Jelöld pirossal azokat, melyekhez tartozó háromszögben az AB oldal az alap!

b) Jelöld zölddel azokat, melyekhez tartozó háromszögben az AC oldal az alap!

c) Jelöld kékkel azokat, melyekhez tartozó háromszögben a BC oldal az alap!

háromszögek, sokszögek

0753. Speciális négyszögek és sokszögek


30



EMLÉKEZTETŐ A négyszögeknek négy oldaluk és négy szögük van. Egy négyszög lehet konvex vagy konkáv

A négyszögek belső szögeinek összege 360°, külső szögeinek összege szintén 360°. A trapéz olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja. A párhuzamos oldalakat alapoknak, a másik két oldalt száraknak nevezzük. Az alapok távolsága, a trapéz magassága. D

C

d

AB  DC

g m

a + d = 180° b + g = 180°

a

b

A

A tengelyesen szimmetrikus trapéz a húrtrapéz.

B A középpontosan szimmetrikus trapéz a paralelogramma.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek a szemközti oldalai párhuzamosak. c A szemközti oldalak egyenlők. a = c b = d α = γ β = δ

g

d

A szemben lévő szögek egyenlők. d

b

A szomszédos szögek összege 180°. α + β = γ + δ = 180° Az átlók felezik egymást. A téglalap egyenlő szögű paralelogramma.

A négyzet szabályos négyszög.

b

a a

A rombusz egyenlő oldalú paralelogramma.



31

A deltoid olyan négyszög, amelynek van csúcson átmenő szimmetriatengelye. Két-két szomszédos oldala egyenlő.

D

AD = DC és AB = BC

d

Két szöge egyenlő. a=g A szimmetriaátló egyenese merőlegesen felezi a másik átlót.

D

a

E

d g

C b B

DB ⊥ AC és AE = EC A szimmetriaátló egyenese felezi a két szöget, amelyen áthalad.

b B t

a A

t

g C

Speciális négyszögek A speciális négyszögek szimmetria tulajdonságai: A speciális négyszögek minden fontos tulajdonságát kiolvashatjuk a szimmetriájukból. Deltoid: Van egy szimmetria tengelye, ami átló. Húrtrapéz: Van egy szimmetria tengelye, ami két szemközti oldal felezőmerőlegese. Paralelogramma: Van egy szimmetria középpontja, ami az átlók metszéspontja. Rombusz: Tengelyesen szimmetrikus mindkét átlójára, és középpontosan szimmetrikus ezek metszéspontjára. A rombusz egyszerre deltoid és paralelogramma. Téglalap: Tengelyesen szimmetrikus két-két szemközti oldal felezőmerőlegesére, és középpontosan szimmetrikus ezek metszéspontjára. Egyszerre húrtrapéz és paralelogramma. Négyzet: Szimmetrikus a két-két átlójára, két oldal felezőmerőlegesére, és középpontosan szimmetrikus ezek metszéspontjára. Egyszerre rombusz és téglalap.

1. FELADATLAP 1. Legkevesebb hány szög ismerete elegendő, hogy megadd egy négyszög összes szögét? Válaszolj minden speciális négyszög esetében! 2. Két-két db áll rendelkezésedre a következő szögtartományokból: 135°, 120°, 90°, 60°, 45°. Építs belőlük speciális négyszögeket! Milyet lehet, hogyan; milyet nem lehet? 3. Az alábbi esetekben döntsétek el elegendőek-e az adatok a megadott alakzat megszerkesztéséhez! a) A négyzet oldala 6 cm. b) A téglalap egyik oldala 7 cm, egyik szöge 90°. c) A szimmetrikus háromszög alapja 4 cm, szára 5 cm. d) A paralelogramma oldalai 5 cm és 3 cm, egyik szöge 100°. e) A rombusz oldala 3,5 dm. Hány adat szükséges legalább, illetve legfeljebb egy háromszög valamint egy négyszög megszerkesztéséhez? 4. Hány adat szükséges legalább, illetve legfeljebb egy háromszög, valamint egy négyszög megszerkesztéséhez? Gondoljátok végig, mely adatok birtokában lehet valóban megszerkeszteni a) a téglalapot; b) a négyzetet; c) a rombuszt; d) a paralelogrammát?

32



2. FELADATLAP 1. Szerkessz húrtrapézt, melynek egyik alapja 5 cm, van 60°-os szöge, és szára 3 cm! Először készíts színes vázlatot az elemzéshez! Jelöld a vázlaton pirossal azokat az adatokat, melyeket a szöveg megadott, majd sárgával azokat, melyeket ismereteink segítségével mi kikövetkeztetünk, és a szerkesztésben fel fogunk használni! Jelöld a szerkesztés lépéseinek sorrendjét a vázlaton, és írd is le a lépéseket szavakkal.

Adatok AB = 5 cm a = 60° AD = BC = 3 cm

Összefüggések A húrtrapéz alapon fekvő két-két szöge egyenlő. A trapéz egy száron fekvő szögeinek összege 180°.

Vázlat I.

A szerkesztés lépései

A szerkesztés menete

1. Felvesszük az AB oldalt (5 cm). 2. Megszerkesztjük a 60°-os szöget, A illetve B csúccsal. 3. A szögszárakra felmérem az AD illetve BC oldal hosszát (3–3 cm). 4. Összekötjük a CD pontokat.

II. A szerkesztés menete megegyezik a I.-ben leírtakkal, annyi különbséggel, hogy a 2. lépésben 120°-os szöget mérünk fel az AB szakasz két végpontjába.



33

2. Szerkessz paralelogrammát, melynek egyik oldala 6cm, területe 18 cm 2, és hegyesszöge 45°-os! (adatok, összefüggések, vázlat, a szerkesztés lépései, a szerkesztés végrehajtása) 3. Szerkessz trapézt, egyik alapja 5 cm, magassága 3cm, szárai 4cm hosszúak! (adatok, összefüggések, vázlat, a szerkesztés lépései, a szerkesztés végrehajtása)

3. FELADATLAP 1. Szerkessz szimmetrikus trapézt, amelynek

a) egyik alapja 7 cm, szára 4 cm, az ezek által bezárt szög 60°! Szerkeszd meg a körülírt körét!

b) Szerkessz egy négyzetet, amelynek oldala 4 cm! Szerkeszd meg a négyzet beírt körét!

c) Szerkessz egy 3 cm sugarú kör köré négyzetet!

2. Szerkessz trapézt, melynek egyik alapja 6 cm, szárai 4 cm, az általuk bezárt szög 60°!

a) Szerkeszd meg az egyik szárának felezőpontját, majd tükrözd erre a pontra a trapézt!

Milyen alakzatot határoz meg az eredeti trapéz és a tükörképe? Mekkorák ennek az alakzatnak az oldalai?

b) Rajzolj a tükörközépponton átmenő, a trapéz alapjaival párhuzamos egyenest! Milyen hosszú annak a szakasznak a hossza, amelyet az eredeti trapéz metsz ki a párhuzamos egyenesből?

3. Szerkessz deltoidot, ha

a) egyik oldala 5 cm, az ezen lévő két szög 120° illetve 45°!

b) szimmetriaátlója 8 cm, a másik átló 6 cm, egyik oldala 45 mm!

4. Szerkessz húrtrapézt, amelynek

a) alapja 9 cm, szára 4 cm, átlója 8 cm

b) alapjai 5 cm és 3 cm, szára 4 cm.

5. Szerkessz rombuszt, amelynek

a) átlói 6 cm és 4 cm.

b) oldala 55 mm, egyik szöge 70°

c) rövidebbik átlója 5 cm, egyik szöge 105° !

34



TUDNIVALÓ A sokszögek nevezetes körei A konvex négyszög oldalfelező merőlegesei és a négyszög köré írt köre

Ha a konvex négyszög oldalfelező merőlegesei egy ponton mennek át, akkor ez a pont a négyszög köré írt körének a középpontja. Húrnégyszögeknek nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek van köré írt körük. A konvex négyszög belső szögfelezői és a négyszög beírt köre

Ha a konvex négyszög belső szögfelezői egy ponton mennek át, akkor ez a pont a négyszög beírt körének középpontja. Érintőnégyszögeknek nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük. Hasonlóan beszélhetünk húrsokszögekről és érintősokszögekről. A szabályos sokszögeknek van köré írt és beírt köre is.

A trapéz középvonala A trapéz két szárának felezőpontját összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük. A középvonal párhuzamos az alapokkal, hosszúsága a két alap hosszának számtani közepe. C

F1

a

k

F2

a

k

F1

C

k=

a+c 2



35

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Mely négyszögekre igazak a következő tulajdonságok?

A: trapézok

B: szimmetrikus trapézok

C: paralelogrammák

D: téglalapok

E: rombuszok

F: négyzetek

G: deltoidok

a) Tengelyesen szimmetrikusak

b) Középpontosan szimmetrikusak.

c) Van két egyenlő oldaluk.

d) Van két egyenlő szögük.

e) Minden oldaluk egyenlő.

f) Minden szögük egyenlő.

g) Van csúcson átmenő szimmetriatengelyük.

h) Két szomszédos szögük egyenlő.

i) Két szemközti szögük egyenlő.

j) Van két párhuzamos oldal párjuk.

k) Két szomszédos szögük 180°-ra egészíti ki egymást.

l) Átlóik merőlegesek egymásra.

m) Átlóik felezik egymást.

2. Rajzold meg egy szimmetrikus trapéz, egy paralelogramma és egy nem szimmetrikus trapéz egyik átlóját! Van-e a keletkezett két-két háromszög között egybevágó? 3. Melyik fajta négyszögre igaz, hogy az egyik átlója két egybevágó háromszögre bontja? Válaszodat indokold! 4. Melyik fajta négyszögre igaz, hogy a két átlója két-két egybevágó háromszögre bontja? Válaszodat indokold! 5. Melyik fajta négyszögre igaz, hogy a két átlója négy egybevágó háromszögre bontja? Válaszodat indokold! 6. Szerkessz rombuszt az alábbi adatok felhasználásával! Készíts színes vázlatot az adatok elemzéséhez, és szerkesztési vázlatot is! Minden esetben vizsgáld meg a megoldások számát!

a) Oldala 4 cm, hegyesszöge 45º;

b) Oldala 5 cm, magassága 4 cm;

c) Oldala 5 cm, magassága 5 cm;

d) Oldala 4 cm, magassága 5 cm;

e) Oldala 5 cm, egyik átlója 7 cm;

f) Átlói 5, illetve 6 cm hosszúak.

36



7. Szerkessz trapézt! Tudod róla, hogy

a) húrtrapéz, és alapja 8 cm, átlója 6,8 cm, magassága 4,5 cm;

b) húrtrapéz, melynek három oldala 5 cm, egyik szöge 75°;

c) derékszögű trapéz, melynek alapjai 4 cm, ill. 6 cm, egyik átlója 7 cm;

d) egyik szöge 60°-os, az ezt kettészelő átlója 8 cm, alapja 5 cm;

e) 5 cm-es alapján fekvő két szöge 60°és 75°, magassága 3 cm;

f) egyik alapja 3cm, átlói 5 és 6 cm-esek, magassága 3,5 cm;

g) egyik alapja 5 cm, magassága 3 cm, szárai 4 és 5 cm-esek;

h) egyik alapja 5 cm, magassága 3 cm, szárai 4 és 3,5 cm-esek;

i) két alapja 5 és 3 cm, két átlója 4 és 5 cm;

j) két átlója 5 és 6 cm, átlóinak szöge 60°, egyik alapja 5,7 cm;

k) alapjai 2 és 5 cm, az egyik átlója 4 cm, az átlók szöge 60°.

8. Szerkessz deltoidot! Tudod róla, hogy

a) két oldala 2,4 cm és 3,2 cm és a szimmetriaátlója 4 cm.

b) két oldala 2,4 cm és 3,2 cm és a nem szimmetriaátlója 4 cm.

9. Szerkessz trapézt a következő adatokból! a) a

b)

a

m

m

c

d

d b

a és c a trapéz alapjai, b és d a szárai; m a magassága; β az a és b oldal által bezárt szög

10. Szerkessz paralelogrammát a következő adatokból!

a

a

e

b

f

g

a a paralelogramma egyik oldala; e a hosszabb átló, f a rövidebb átló; α a paralelogramma egyik szöge, γ az átlók által bezárt szög.



37

11. Szerkessz deltoidot a következő adatokból! a

e

b

f a

b

a, b a deltoid oldalai; e és f az átlói; β a két oldal által bezárt szög

12. R ajzold meg egy nem szimmetrikus trapéz, egy szimmetrikus trapéz, egy paralelogramma és egy téglalap oldalfelező merőlegeseit! Hány pontban metszik egymást az oldalfelező merőlegesek? Próbáld megindokolni tapasztalataidat! 13. Rajzold meg egy szimmetrikus trapéz, egy paralelogramma és egy rombusz szögfelezőit! Hány pontban metszik egymást a szögfelezők?

a) Van-e olyan szimmetrikus trapéz, amelynek szögfelezői egy pontban metszik egymást?

b) Van-e olyan nem szimmetrikus trapéz, amelynek szögfelezői egy pontban metszik egymást?

14. Rajzolj trapézt, amelynek átlója – mindkét összekötött csúcsnál lévő szögre – szögfelező is! 15. Rajzolj olyan trapézt, amelynek valamelyik oldalfelező merőlegese átmegy a trapéz valamelyik csúcsán, és párhuzamos valamelyik szárral! 16. Rajzolj olyan trapézt, amely középvonalának hossza

a) egyenlő az egyik alapjával!

b) egyenlő mindkét alapjával!

17. Lehet-e húrnégyszög

a) egy konvex deltoid;.

b) egy paralelogramma;

c) egy téglalap;

d) egy rombusz;

e) egy konkáv deltoid?

18. Lehet-e érintőnégyszög

a) egy konvex deltoid;

b) egy paralelogramma;

c) egy téglalap;

d) egy rombusz;

e) egy konkáv deltoid?

kerület, terület

0761. Sokszögek területe

Készítette: vépy-benyhe judit

40

matematika „A” – 7. évfolyam – 076. kerület, terület


1. feladatlap 1. Rajzolj a sávra négyszögeket úgy, hogy egy-egy oldala a két egyenesre illeszkedjék! Milyen négyszögeket kaptál?

Az 1. feladatlap 2. feladatában lévő négyszögek közül melyeket lehet sávba rajzolni (két oldala illeszkedjen a sávot határoló egyenesekre)? És a 3. feladatlap 1. feladatának négyszögei közül?



41

2. Darabolás segítségével állapítsd meg a sokszögek területét és hasonlítsd a piros téglalap (1. számú) területéhez! A sokszögek az 1. tanulói mellékletben szerepelnek.

1

2

3

4

42


1

5

6

7



1

8

9

10


43

44


1

11

12

13




45

összegzés A paralelogramma magassága a) A paralelogramma magassága a paralelogramma párhuzamos oldalegyeneseinek távolsága. A magasságvonal merőleges a két szembenlévő oldalra. (Megj.: A magasságvonal haladhat a paralelogrammán kívül is. A paralelogramma magasságvonalát végtelen sok helyre szerkeszthetjük. Egy paralelogrammának két különböző magassága van, ezek a két szemközti oldalpárhoz tartoznak.) mb

b ma a

b) Emlékeztető: A paralelogramma két sáv (sáv: két, egymással párhuzamos egyenessel határolt síkidom) közös része. A paralelogramma magassága a sávokat határoló párhuzamosok távolsága.

b

mb ma a

mb

ma

2. feladatlap 1. Rajzold meg az alábbi paralelogrammák magasságait derékszögű vonalzó segítségével!

46



2. Szerkeszd meg az alábbi paralelogrammák magasságait! (Euklideszi szerkesztéssel!)

összegzés A paralelogramma területe A paralelogrammát át tudjuk darabolni egy vele egyező területű téglalappá.

ma a

ma a

A téglalap egyik oldala a paralelogramma egyik oldalával egyezik meg, másik oldala pedig a paralelogramma említett oldalához tartozó magasságával. Tparalelogramma= Ttéglalap = a · ma Egy paralelogramma területét tehát a következő képlettel tudjuk kiszámolni: T = a · ma = b · mb, ahol a, illetve b a paralelogramma egy-egy oldala, ma és mb a hozzájuk tartozó magasságok.



47

3. feladatlap Egészítsd ki a síkidomokat téglalappá! Mekkora az alábbi síkidomok területe, ha egy négyzetrács a területegység? Írd alá vagy mellé!

3. 1. 2.

5. 4.

6.

7. 9.

8.

10. 11. 12. 13.

14.

15.

48



összegzés A háromszög területe A háromszöget ki tudjuk egészíteni egy nála épp kétszer nagyobb területű téglalappá.

ma

mb

mc

c

b

mc

ma a mb

A téglalap egyik oldala a háromszög egyik oldalával egyezik meg, másik oldala pedig a háromszög említett oldalához tartozó magasságával. Tháromszög = Ttéglalap : 2 = (a · ma) : 2 =

a · ma 2

Egy háromszög területét tehát a következő képlettel tudjuk kiszámolni: T=

a · ma b · mb c · mc = = , ahol a illetve b a paralelogramma egy-egy oldala, ma és mb 2 2 2

a hozzájuk tartozó magasság.

emlékeztető A deltoid területe A deltoidot ki tudjuk egészíteni egy nála épp kétszer nagyobb területű téglalappá. f f

e

e

A téglalap egyik oldala a deltoid egyik átlójával egyezik meg, másik oldala pedig a deltoid másik átlójával.

Tdeltoid = Ttéglalap : 2 = (e · f) : 2 =

e·f 2



49

A konkáv deltoid területe felírható két közös alapú, egyenlő szárú háromszög területének különbségeként.

A konkáv deltoid ugyancsak befoglalható egy olyan téglalapba, melynek oldalai a konkáv deltoid átlóinak hosszával egyenlők és területe kétszerese a deltoid területének, illetve átdarabolható egy, a deltoid területével megegyező területű téglalappá, melynek oldalai a deltoid szimmetriaátlójával és a másik átló hosszának felével egyenlők.

4. FELADATLAP 1. S zerkessz trapézt, melynek egyik alapja 6 cm, szárai 4 cm! Az említett alap mindkét szárral 60°-os szöget zár be.

a) Szerkeszd meg az egyik szárának felezőpontját, majd tükrözd erre a pontra a trapézt!

Milyen alakzatot határoz meg az eredeti trapéz és a tükörképe? Mekkorák ennek az alakzatnak az oldalai?

b) Rajzolj a tükörközépponton átmenő, a trapéz alapjaival párhuzamos egyenest! Milyen hosszú annak a szakasznak a hossza, amelyet az eredeti trapéz metsz ki a párhuzamos egyenesből? Hogy hívjuk ezt a szakaszt?

50



összegzés A trapéz középvonala A trapéz két szárának felezőpontját összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük. A középvonal párhuzamos az alapokkal, hosszúsága a két alap hosszának számtani közepe. C

F1

a

k

k

F2

F1

k=

a+c 2

C

a

A trapéz területe a

c

(a + c) · m 2

F

m a

c

A paralelogramma egyik oldala a trapéz két alapjának összegével (a + c), a másik oldala a trapéz szárának hosszával egyezik meg. A paralelogramma és a trapéz magassága megegyezik. Tparalelogramma = (a + c) · m. A paralelogramma két egybevágó trapézból „készült”, ezért: Ttrapéz =

(a + c) · m 2

Szabályos sokszögek területe Szabályos páros oldalú sokszögek területét akarjuk meghatározni. Minden szabályos sokszögnél eljárhatunk úgy, hogy a sokszög köré írt kör középpontját összekötjük a sokszög csúcsaival, így egybevágó egyenlőszárú háromszögeket kapunk. Ezeket a háromszögeket egymás mellé rakhatjuk az ábra szerinti elrendezésben. Így egy paralelogrammát kapunk.

ma

K 2 K Tszabályos nyolcszög = Tparalelogramma = · m, ahol K a nyolcszög kerülete, ma a felosztáskor kapott háromszö2 gek magassága.



51

feladatgyűjtemény 1. Mekkora a paralelogramma területe, ha

a) a = 3 cm; ma = 2 cm

b) b = 6 m;

c) egyik oldala 8,5 dm, a hozzá tartozó magasság 500 mm?

mb = 3,5 m

2. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza 5 cm, ehhez az oldalához tartozó magassága 3,5 cm, másik oldala 4 cm. Szerkeszd meg a paralelogrammát! Mekkora a paralelogramma kerülete, területe? 3. Egy paralelogramma területe 44 dm2 . Mekkora az oldalának hossza, ha a hozzá tartozó magasság 40 cm? Létezik-e ilyen paralelogramma? 4. Szerkessz paralelogrammát, ha két oldala 5,4 cm és 6 cm, egyik szöge pedig 30°! A szükséges adatok lemérése után számold ki a területét, kerületét! 5. Derékszögű koordináta-rendszerben egy paralelogramma 3 csúcsának koordinátái: (–1; –3), (–1; 5), (4; 5). Mi a negyedik pont koordinátája? Hány megoldás lehetséges? Minden esetben számold ki a kapott paralelogramma területét, ha a területegység a koordináta-rendszer egy egység oldalú négyzetrácsa! 6. Egy rombusz oldala 4 egység. Hány db ilyen rombuszt tudsz elképzelni? Ezek közül melyiknek a legnagyobb a területe? 7. Egy paralelogramma egyik oldala 6 cm, hozzá tartozó magassága 40 mm. Másik oldala 4,8 cm. Mekkora magasság tartozik ehhez az oldalhoz? 8. Egy rombusz két átlója 8 cm és 60 mm. Mekkora a területe? 9. Mekkora a háromszög területe, ha

a) a = 5 cm; ma = 4 cm

b) c = 7,4 m; mc = 6 m

c) egyik oldala 7 dm, ehhez az oldalhoz tartozó magassága 41 cm?

10. Szerkeszd meg az alábbi háromszöget, és a szükséges adatok lemérése után számold ki a területét többféleképpen!

a = 60 mm; b = 8 cm; c = 1 dm

52



11. Párosítsd össze a háromszögeket azokkal a téglalapokkal, melyeket a kiegészítésükkel kaphatsz! Mi a háromszög és a hozzá tartozó téglalap területének aránya az egyes esetekben?

12. Szerkeszd meg az alábbi háromszöget, és a szükséges adatok lemérése után számold ki a területét többféleképpen! a = 7 cm; b = 30°; b = 5 cm 13. Három testvér egy nagy, trapéz alakú földet örökölt, melynek egyik alapja éppen kétszer akkora, mint a másik. Hogyan osszák fel igazságosan egymás között? a

2a 14. Bizonyítsuk be, hogy a kékre festett terület egyenlő a zöldre festett területtel! (A négyszög egy trapéz, és az átlóit húztuk meg.) C

D O

B

A



53

15. Számold ki a deltoid területét, ha

a) két átlója: e = 3 cm; f = 8 cm! Rajzolj ilyen deltoidot!

b) két átlója: e = 4,3 dm; f = 25 cm!

c) szimmetria átlója 3 m; másik átlója 4,5 m! Létezik-e ilyen deltoid?

16. Egy deltoid területe 66 m2, az egyik átlója 11 m. Mekkora a másik átló? 17. S zerkeszd meg az alábbi deltoidot! Rövidebbik oldala 4 cm, hosszabb oldala 5,5 cm, a két különböző hosszúságú oldal által közbezárt szög 120°. A szükséges adatok lemérése után határozd meg mekkora a deltoid területe! 18. Á kos és édesapja deltoid alakú papírsárkányt készítenek. Ehhez egy 3 m · 4 m oldalhosszúságú téglalap alakú kartonlap áll rendelkezésre. A deltoidot úgy akarják kivágni, hogy a két átlója párhuzamos legyen a papír oldalaival.

Hogyan vágják ki a deltoidot ebből a papírból, hogy a lehető legnagyobb területű deltoidot kapják? Mekkora lesz ennek a deltoidnak a területe? 19. Egy rombusz oldala 6 cm, egyik belső szöge 120°. Szerkeszd meg a rombuszt, majd számold ki többféleképpen a területét! 20. S zámítsd ki az alábbi négyszög területét! (Darabold át a négyszöget, majd szerkeszd meg, és mérd le a szükséges adatokat!)

21. Meghúztuk egy szabályos hatszög átlóit. Mekkora a csillag területe?

54



22. E gy kert lekicsinyített ábráját látod felülnézetben. A kicsinyítés aránya 1:100. Hány kg fűmagot kell vennünk, hogy megfelelő mennyiségű fű nőjön rajta, ha egy m2 -re kb. 30 g fűmag kell?

23. S zerkessz egy 6 cm oldalhosszúságú négyzet minden oldalára egyenlőoldalú háromszöget az ábrán látható módon! A szükséges adatok lemérése után számold ki az így kapott „csillag” területét!

kerület, terület

0762. A kör kerülete


56



emlékeztető A kör: olyan pontok halmaza a síkon, melyek egy adott ponttól adott távolságra helyezkednek el. A pontot a kör középpontjának (az ábrán O pont), a távolságot a kör sugarának (r) hívjuk. A kör átmérője a körív két átellenes pontját összekötő szakasz (d), mely éppen a sugár kétszerese.

O d

r

A kör részei: körív körszelet

húr

átmérő

sugár körcikk körvonal

érintő szelő

1. feladatlap 1. Mérd meg kör alakú tárgyak átmérőjét és kerületét, jegyezd fel a mért adatokat! Számold ki a kerület és az átmérő arányát számológéppel! A tárgy neve 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Átmérő (d) (cm)

Kerület (K) (cm)

Kerület/átmérő (K/d)



57

összegzés Az eddig szerzett tapasztalatok alapján a kör kerületének és átmérőjének hányadosa állandó (a két men�nyiség egyenesen arányos, azaz ha az átmérő kétszeresére, háromszorosára, felére változik, a kerület is éppen a kétszeresére, háromszorosára, illetve felére változik.) Ezt az állandót pi-nek nevezzük. Jele: π (görög betű). Ezért a kör kerülete a következő képlettel számolható:

Kkör = d · π = 2 · r · π A π nem racionális, tehát nem állítható elő törtalakban. A π értéke körülbelül 3,14.

2. feladatlap Feladatlap a gyűjtőmunkához A következő kérdésekre keressétek a válaszokat • interneten, • lexikonokban, • matematikatörténetről szóló könyvekben! 1. Mi a π? Gyűjtsetek róla meghatározásokat! 2. Hogyan közelítették? 3. Mikori az első forrás a π ismeretéről? 4. Hány tizedesjegyig számolták ki a különböző korokban? 5. Mi a jelentése? 6. Miért hívják Ludolph-féle számnak? 7. Találtál-e egyéb érdekességet a π -vel kapcsolatban?

3. feladatlap Feladatok a kör kerületképletének gyakorlására – egyszerű példák 1. Töltsd ki a hiányzó adatokat a táblázatban (használj számológépet)! r d K

5 cm

14 m 8 dm 150,72 cm

18,98 m

2. Mekkora annak a kör alakú edényalátétnek a kerülete, melynek átmérője 25 cm? 3. E gy lovaskocsihoz kerekeket készítenek fából. A kerék átmérője fél méter. A kerék talajon futó részére fémabroncsot szögelnek, melyet hajlékony fémszalagból készítenek. Milyen hosszú fémszalag kell a négy kerékhez? Ha a kerekek éppen 20 teljes fordulatot tesznek, mennyit halad előre a szekér?

58



4. feladatlap Feladatok a kör kerületképletének gyakorlására – összetett példák 1. Anna egy szabályos kör alakú virágágyást tervezett a kertbe. Az átmérője 2,5 m lesz. Kb. hány db petúniapalántát vegyen, ha 40 cm-enként szeretné a virágágyás kerülete mentén végigültetni a petúniákat? Mennyit fog fizetni, ha egy palánta 120 Ft? 2. Éva egy kör alakú terítőt akar készíteni egy asztalra. A kör alakú asztal átmérője 60 cm. Éva úgy tervezi, hogy a terítő mindenhol 40 cm-t lógjon le az asztalról, ha középre teríti. Mekkora lesz a terítő átmérője? Éva szeretné sűrű öltésekkel körbeszegni a terítő szélét. Hány m cérnára lesz szüksége, illetve elég lesz-e egy orsó cérna (50 m) a terítő körbeszegésére, ha kb. a beszegendő hossz háromszorosa fogy cérnából? 3. A szükséges adatok lemérése után döntsd el, mekkora az alábbi alakzatok kerülete? (Az alakzatokat szabályos félkörök, illetve negyedkörök határolják.)

I.

II.

4. F üggönyt szeretnénk tenni a konyhaablakra. Úgy tervezzük, hogy a függöny 6 db szabályos félkörben fog „hullámozni”, amikor behúzzuk. A függöny felülnézetben:

Ha az ablak szélessége 1,5 m, milyen széles függönyt vegyünk, hogy az ábrán látható módon el lehessen rendezni, és az egész ablakot eltakarja?



59

feladatgyűjtemény 1. Rajzolj egy P pontot a füzetedbe! Satírozd kékkel a tőle 3 cm-nél nem nagyobb távolságra lévő pontokat! Satírozd sárgával a tőle 2 cm-nél távolabb lévő pontokat! Az ábra melyik része lett zöld? Milyen tulajdonságú pontok ezek? 2. Nevezd meg, melyik szín, mit jelöl az ábrán: Írd le a füzetedbe!

kerület, terület

0763. A kör területe


62



1. feladatlap 1. Készíts adott sugarú köröket milliméterpapírra, majd számold ki a területüket, végül számold ki a terület és a sugár négyzetének hányadosát, és írd a táblázat megfelelő helyére!

r

1 cm

2 cm

3 cm

5 cm

7 cm

T (mm2) T r2

összegzés A kör területe A táblázat kitöltése során tapasztaltuk, hogy a kör területe és a kör sugarának négyzete egyenesen arányos, hányadosuk állandó. Az arány éppen a kör kerületénél már tanult π. Tehát: Tkör = r2 · π. Ezt a képletet most másképpen is belátjuk. Osszuk a kört egybevágó cikkekre, majd rakjuk ezeket a cikkeket egymás mellé az ábrán látható módon!

r

K 2 A keletkezett „paralelogramma” alapja kb. a kör kerületének fele, a magassága pedig megközelítőleg a kör sugara. (Még jobban hasonlít egy paralelogrammához a kapott síkidom, ha a kört több egybevágó cikkre osztjuk.) T=

K 2 · r = · r · p · r = r2 · p 2 2

0763. A kör területe


63

2. feladatlap 1. Pótold a hiányzó adatokat a táblázatban! r

8 mm

d

1m 6 cm

26 cm

4,7 dm

T

2. P ista bácsi 2 m hosszú kötélen kikötötte legelni a kecskéjét. Mekkora területű füvet tud lelegelni a kecske? 3. M ekkora egy CD lemez írható felülete? A lemez átmérője: 11,8 cm. A belső kör átmérője (melyre nem lehet írni!) 3,9 cm. 4. M ekkora felületen párolog a forró tea egy 8 cm átmérőjű henger alakú bögréből? 5. E gy 1,8 m átmérőjű kör alakú gyerekmedencére szeretnénk télire védőponyvát rakni. Mekkora területű anyagot kell vásárolnunk a boltban? Ha a ponyvát körbe leragasztjuk a medence szélén, hány méter ragasztószalagra lesz szükségünk? 6. Zoli anyukája kijelentette, hogy Zoli csak akkor mehet moziba a barátjával, ha lenyírja a füvet. A fiúnak nem fűlött a foga a munkához, ezért a fűnyírót kikötötte egy, a telek közepén leszúrt karóhoz. Elindította, így a gép „önműködően” levágta a füvet, miközben a kötél, amelyre ki van kötözve, felcsavarodott a karóra. Mekkora területet nyírt le így a fűnyíró, ha a kötél 4,2 méter? Mek kora területet kell még Zolinak lenyírnia, ha a fűvel borított terület 102 m2? Végez-e a fűnyíró a területnek legalább a felével? (Ezt a módszert ne próbáljátok ki otthon!)

3. feladatlap 1. A szükséges adatok lemérése után döntsd el, mekkora az alábbi alakzatok területe? (Az alakzatokat szabályos félkörök, illetve negyedkörök határolják.)

I.

II.

64



2. Egy kecskét kikötnek legelni egy 3 m hosszú kötélen, melyet egy 4 m hosszú, vízszintesen kifeszített drótkötélhez hurkolnak, amin a kötél csúszhat. Milyen alakú területet tud lelegelni a kecske? Mekkora ez a terület? (A drótkötél a kecske fejmagasságában van, tehát a kecske lényegében a drótkötéltől 3 m-re tud eltávolodni minden irányba.) Hány méter drótkötélre lenne szükségünk, ha ugyanezt a területet kívülről akarnánk körbekeríteni? 3. Mekkora a kék vonalak által határolt alakzat kerülete és területe? (A méretek az ábrán találhatók.)

10 cm

I.

10 cm

II.

(A körön kívüli rész területére vagyunk kíváncsiak.)

10 cm

III.

10 cm

IV.

algebra

0771. Fordítás az algebra nyelvére

Készítette: Harsányi Zsuzsa

66

matematika „A” – 7. évfolyam – 077. ALGEBRA


1. feladatlap Olvassátok el az 1. feladatlap 1. feladatát! Beszéljétek meg és értelmezzétek a szöveget! Csomagolópapírra rajzoljátok le a szöveg tartalmát. Személyesítsétek meg a sárkányokat, válasszátok meg a legkisebbet, kérjetek fel valakit egy másik csoportból, hogy vállalja el az anyagbeszerző szerepét. A füzetbe írjátok be, hogy hány olajégőre van szükségük. Rajzoljátok a jelenetet! 1. A hétfejű sárkányok birodalmában nagy tragédia történt: a sárkányok nem tudtak lángot lövellni a torkukban lévő olajégőből, mert elromlottak az olajégők. Elküldték az anyagbeszerzőjüket, hogy szerezzen olajégőt a torkukba. Az anyagbeszerző, aki takarékos sárkány hírében állt, azt remélte, hátha akad egy-két jól működő olajégő. Megvizsgálta hát a sárkányok torkát. Jól tette, ugyanis a legkisebb sárkánynak a két szélső és a középső torka jól működött. Hány olajégőre lenne szüksége a csoportnak? 2. a)

Ha két csoport egyesülne (ennyi sárkány lenne), hány olajégőre lenne szükség?

b) Ha az egész osztály alkotná a sárkányok birodalmát, akkor mennyi olajégőre lenne szükség? c) Ha minden iskolánkban tanuló, dolgozó hétfejű sárkány lenne, hány olajégőre lenne szükség? d) Hány sárkány van, ha az anyagbeszerző 144 olajégőt hoz? e) Hány sárkány van, ha az anyagbeszerző 153 olajégőt hoz?

2. feladatlap A 2. feladatlap feladatain dolgoztok. A szövegek kártyákra vannak ráírva. A kártyákon két-két különböző szöveg van, az egyik szöveg az egyik páré, a másik a másiké. 1. Csoporton belül válasszatok magatoknak párt! 2. Olvassátok el a szöveget, beszéljétek meg a párotokkal! 3. A füzetbe a feladat szövege mellé írjátok le a választ! 4. Cseréljetek a csoporton belül és oldjátok meg az új feladatot! 5. A csoport közösen beszélje meg a két feladat megoldását. 6. Küldjétek tovább a két kártyát a következő csoportnak! 7. Folytassátok a másik csoporttól kapott két kártyával az előzőek szerint, és így tovább addig, amíg az összes feladat mindenkihez el nem jut. 1. Bori és Robi testvérek. Bori az idősebb, ezért neki 300 Ft-tal több a zsebpénze, mint Robinak. Robi zsebpénze „a” Ft. Kettőjüknek mennyi zsebpénze van összesen? Számoljátok ki a kapott kifejezés értékét, ha a= 500 Ft, a= 850 Ft és a= –1350 Ft! 2. I rén „p” éves. Születésekor az édesanyja 26, az édesapja 31 éves volt. Hány évesek hárman együtt? Lehetnek-e hárman együtt 81 évesek? És 100 évesek? És 264 évesek? 3. Éva két zsebében összesen 1000 Ft van. A bal zsebében „a” Ft-tal több van, mint a jobb zsebében. Hány Ft van a jobb zsebében? Mielőtt meghatároznátok azt a kifejezést, amely leírja, hogy mennyi pénz van Éva jobb zsebében, próbálkozzatok adott értékekkel. Pl. legyen a=200 Ft, a=300 Ft, a=600 Ft. Számoljátok ki ezekkel az értékekkel Éva jobb zsebében lévő pénz mennyiségét! 4. Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 12. A tízesek helyén az „a” szám áll. Mi állhat az egyesek helyén? Igaz-e, hogy „a” bármilyen szám lehet? 5. H ány kg-ot kell egy boxmeccs előtt lefogynia annak a pehelysúlyú (helyesebben pehelytömegűnek kéne hívni!) boxolónak, aki „a” kg tömegű? A pehelysúlyú boxoló tömege maximum 57 kg lehet.



67

6. Tavaszi olvadáskor a Kárpátok vízgyűjtő medencéjében lévő folyók vízmagassága „a”-szorosára nő. Mekkora lesz ilyenkor a Tisza vízmagassága, ha általában 350 cm szokott lenni? 7. A Dobogókőtől Rám-szakadékig tartó hosszú túra „a” km-rel hosszabb, mint a rövid túra. A két túra együttes hossza 8 km. Milyen hosszú a rövid túra? Az ábra segít a gondolkodásban. hosszú túra rövid túra hosszú túra

rövid túra

8. A szépalmai üdülőközpont istállójában ötször annyi kanca van, mint amennyi mén. Hány kanca van, ha a mének száma „a”? 9. Balatonfüreden a vitorlásszezon nyitásaként vitorlásversenyt szoktak rendezni. Az egyik évben ezen a napon alig fújt a szél, így csak a nagyon jól felkészült vitorlások tudták teljesíteni a verseny követelményeit. Az „a” számú részvevők tizenötöde feladta a versenyt. Hányan jutottak be a célba? 10. B olyai Farkas ebben az évben lenne „a” éves. Hány éves lenne a fia, János, ha születésekor az apja 27 éves volt. 11. Nagyi „a” darab palacsintát sütött. Ő megevett egyet, a többit igazságosan szétosztotta „n” számú unokája között. Hány palacsinta jutott egy-egy unokának? 12. S zilvi a születésnapjára meghívja barátnőit. A barátnők (számukat jelöljük „b”-vel) elhatározzák, hogy tréfaként, mindenki egyforma nagyságú tortát visz ajándékba. Amikor Szilvi ezt meglátja, gyorsan összehívja a házban lakó gyerekeket (számukat jelöljük „a”-val), két testvérét és szüleit. Mennyi torta jutott egy embernek, ha igazságosan osztották szét a tortákat?

3. feladatlap Melyik ábrához melyik képlet tartozik? Írjátok a képletet a megfelelő ábra alá! A válaszokat indokoljátok!

a

2a

a a

a

a

a

a

a 4a

a a

Képletek: K = 4 a;

a

4a

T= a 2 ;

A= 6 a 2 ;

T=2a 2 ;

A =10 a 2 ;

V =4a 3

68



4. feladatlap 1. Három és fél órát utaztunk repülőgéppel, a órát vonattal. Hány órát voltunk úton? 2. A bal zsebemben b Ft van. Ez kétszer annyi, mint a jobb zsebemben lévő pénz. Hány forintom van összesen? 3. Az anyám 23 évvel idősebb nálam, hány évesek vagyunk ketten együtt, ha én most c éves vagyok? 4. Éva és Juli barátnők. Együttes tömegük 68 kg. Éva d kg-mal könnyebb Julinál. Hány kg Juli? 5. Mondd meg azt a számot, amelyik 200-zal nagyobb az e ötszörösénél! 6. Melyik az a szám, amelyik 9,6-tel nagyobb, mint az f? 7. Három egymást követő természetes szám közül a középső g. Mennyi a három szám összege?

5. feladatlap 1. Gondoltam egy számot. A szám kétszereséhez 5-öt hozzáadtam, majd az összeget megszoroztam 4-gyel, és az így kapott számból kivontam a szám háromszorosát. Eredményül 60-at kaptam. Melyik számra gondolhattam? 2. Találd ki, mi lehet az a betű értéke, ha az 5 ∙ (3a – 2) kifejezés helyettesítési értéke 65. Képzeld el, hogy számkártyákkal próbálkozol! 3. Melyik számra gondolhattam, ha a gondolt szám 4-szeresét kivontam 20-ból, az eredményt megszoroztam 3-mal, és a végén a szorzathoz 5-öt adtam. Eredményül 29-et kaptam. 4. Írd át a következő szövegeket algebrai kifejezésekkel, képletekkel és számold ki a kifejezések helyettesítési értékét! a) A téglalap területét úgy számoljuk ki , hogy a két szomszédos oldal hosszúságát összeszorozzuk. (a = 14 cm és b = 2,5 dm) b) A fizikában a gyorsító erőt úgy számoljuk ki, hogy a test tömegét szorozzuk a gyorsulással. (m = 80 kg; a = 9,8 m/s2) c) A négyzetes oszlop felszínét úgy számoljuk ki, hogy az alapterületét 2-vel szorozzuk és hozzáadjuk a négy oldallap területét. (a = 4cm; b = 10 cm) d) A megtett út hosszát egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén úgy számoljuk ki, hogy a sebességet szorozzuk az eltelt idővel. (v = 80 km/h; t = 3,5 h) 5. Számítsátok ki az algebrai kifejezések helyettesítési értékét! a) 2a 2 , ha a = 4; 2 2 b 3

ha ; b = 1,5

b)

c) 4 a = c2,

d) – 5 cd,

5 e) a –2 ,

f)

| a–1| , a–1

3 és c = –2; 8 7 ha c = 0,3 és d = – 2 ha a =

ha vagy a = 3 vagy a = –3 vagy a = –2; ha vagy a = 2; a = 3; a = 5; a = 0; a = 1; a =–2;



69

1. Találjatok ki két olyan algebrai kifejezést, amelyek közül az egyiknek minden számmal ki lehet számolni a helyettesítési értékét, a másiknak csak bizonyos feltételekkel. 2. Mindkét kifejezéshez adjatok meg három behelyettesítendő értéket! 3. A két kifejezést a behelyettesítendő számokkal küldjék át a jobbra eső csoportnak. 4. Számoljátok ki a másik csoporttól kapott algebrai kifejezések helyettesítési értékét. 5. Ellenőrzésre küldjétek vissza a feladónak. 6. Ellenőrizzétek a másik csoport megoldását.

feladatgyűjtemény A Feladatgyűjtemény első feladatát páros szóforgóval oldjátok meg! – Jelöljétek meg a páros egyik illetve másik tagját betűvel (A, B). – Az A jelű megoldja a a) feladatot, miközben a B jelű figyeli és ellenőrzi a megoldást. – Ezután B jelű megoldja a b) feladatot és az A jelű figyeli és ellenőrzi a megoldást. – Ezután cseréljetek szerepet és így folytassátok a munkát. – A 2., 3., 4. feladatot a párotokkal közösen oldjátok meg. – Az 5., 6., 7. feladatot önállóan végezzétek el. 1. Fejezd ki x segítségével a kérdezett mennyiséget! a) Két zsebemben összesen 280 Ft van. Az egyikben x Ft van. Mennyi van a másikban? b) Péter 7 évvel idősebb Pálnál. Pál x éves. Hány éves Péter? c) Éva 7 évvel idősebb Katinál. Éva x éves. Hány éves Kati? d) Gábornak 5-ször annyi játékkatonája van, mint Áronnak. Gábornak x darab játékkatonája van. Hány katonája van Áronnak? e) Katinak és Zsuzsinak összesen 350 Ft-ja van. Katinak x Ft-tal több van, mint Zsuzsinak. Hány Ft-juk van külön-külön? f) Áginak és Szilvinek összesen 480 Ft-ja van. Áginak x-szer több van, mint Szilvinek. Hány Ft-juk van külön-külön? g) Egy téglalap területe 60 cm2. Egyik oldala x cm. Milyen hosszú a másik oldala? h) Egy téglalap terület x cm2, egyik oldala 5 cm. Milyen hosszú a másik oldala? i)

Egy téglalap kerülete 48 cm. Egyik oldala x cm. Milyen hosszú a másik oldala?

j)

Egy téglalap területe x cm2. Egyik oldala 7 cm. Milyen hosszú a másik oldala?

k) Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge x fok. Hány fokos a harmadik szög? l) Egy háromszög egyik szöge 40O, a másik x fok. Hány fokos a harmadik szög? m) Egy táborban x-szer annyi ötödikes van, mint hatodikos. Hány ötödikes és hány hatodikos van a táborban? n) Pistinek feleannyi fiútestvére van, mint lánytestvére. Összesen x testvére van. Hány fiú és hány lánytestvére van? o) Lucának feleannyi fiútestvére van, mint lánytestvére. Összesen x gyerek van a családban. Hány fiú és hány lány van közöttük? 2. Két szám között 18 a különbség. A nagyobbik szám 48, mennyi a kisebbik? 3. Karcsi az egyik nap elköltött x Ft-ot. A következő nap 600 Ft-tal többet. A két napon összesen 4800 Ft-ja fogyott el. Mennyit költött az első és második napon? 4. Három néni, Ilcsi, Julcsi és Marcsi kertjében is van cseresznyefa. Hány kg cseresznyét szedtek le a saját fájukról, ha tudjuk, hogy Ilcsi néni 5 kg-mal többet szedett, mint Julcsi néni, és Marcsi néninek 3 kg-mal több cseresznye lett a kosarában, mint Ilcsi néninek. Hárman együtt 130 kg cseresznyét szedtek le.

70



5. Találd ki, melyik számra gondoltam! a) Ha a gondolt számhoz hozzáadsz 6-ot, és az összeget elosztod 3-mal, a hányados 24 lesz. b) Ha hozzáadjuk a 20%-át, 12-t kapunk. c) Ha a számból kivonjuk a 40%-át, a különbség 36? 6. Mennyi pénzt vehetnél fel a bankból egy év után, ha 500000 Ft-ot tettél be, és a bank évi kamata 10%?

algebra

0772. Algebrai alapfogalmak


72



EMLÉKEZTETŐ Az összeadás és a kivonás egyenrangú műveletek. Ezért ezt a két műveletet együtt röviden összevonásnak szoktuk nevezni. A számokkal való szorzás és osztás is két egyenrangú művelet. A műveletek sorrendje: először a szorzásokat, osztásokat, majd az összevonásokat végezzük el. Ezt úgy mondjuk, hogy a szorzás és az osztás magasabb rendű művelet, mint az összevonás. Ettől eltérni csak zárójelek alkalmazásával lehet Nem egyenrangú műveletek alkalmazása esetén az utoljára elvégzendő művelet dönti el, hogy az adott kifejezést összegnek (különbségnek) vagy szorzatnak (hányadosnak) nevezzük.

1. feladatlap Műveleti sorrend a racionális számok körében 1. Válogasd szét a kifejezéseket aszerint, hogy melyiket hívjuk összegnek, illetve szorzatnak, majd számítsd is ki!

a) 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 7 =

b)

12 1 ⋅5 + 3⋅ = 4 6 1 c) 4 − 5 ⋅ = 15 4 d) (−2 ) ⋅ (+3 ) + ⋅ 10 = 5 e) 18 : (−9) ⋅ 2 : 4 =

f) 12 : 3 ⋅ (9 − 3) =

3 4 g) 4 − 5 ⋅  −  = 2 5 4 + 2⋅5 h) 4 + = 10 − 4 ⋅ 2 i) x ⋅ y j) x + y k) x ⋅ y + z l) a b + a c m) a ⋅ (b + c)

2. Magyarázzátok meg egymásnak szóforgóval, hogy mi a különbség a kétféle leírás között! A különbözőségeket írjátok le a feladat mellé! a) 20 – 3 · 4 = 20 – 12 = 8 vagy (20 – 3) · 4 = 17 · 4 = 68 b) 2 + 52 = 2 + 25 = 27 vagy (2 + 5)2 = 49 c) 15 – 8 : 2 = 15 – 5 = 11 vagy (15 – 8) : 2 = 3,5 d) 40–2·[4+9 : ( 3 + 7 )]= 4 0 – 2· [ 4 + 0, 9 ] =40– 9,8=30,2 vagy

9   40 − 2 ⋅  4 +  = 40 − 2 ⋅ (4 + 0, 9) = 40 − 9, 8 = 30, 2 3+7 



73

3. Igazak-e az egyenlőségek? A válaszodat indokold! a)

112 − (2 ⋅ 3)2 = 112 − 2 ⋅ 32

b)

(10 − 3)2 = 10 2 − 3 2

c)

2 ⋅ (9 − 5)2 = 2 ⋅ 9 2 − 2 ⋅ 5 2

d)

( −3 − 4) ⋅ (7 + 5) = −(3 + 4) ⋅ (7 + 5)

e)

(3 + 4)2 = 3 2 + 4 2

f)

(54 + 149) ⋅ 3 = 51 + 149 ⋅ 3

g)

(617 + 83) ⋅ 4 = 617 ⋅ 4 + 83 ⋅ 4

4. Zárójelekkel és műveleti jelekkel tedd igazzá az egyenlőségeket! 1 = 4 4 4 4 2 = 4 4 4 4 1 2 3 = 4 4 4 4 4 = 4 4 4 4 1 2 5 = 4 4 4 4 6 = 4 4 4 4 1 2 1 2

3 3 3 3

= 4 4 4

1 = 1 5 = 1 5 6 7 8 9 = 1

TUDNIVALÓ Ha egy kifejezésben: nem szerepel zárójel – Egytagúnak mondjuk a kifejezést, ha csak a szorzás és osztás műveletét kell alkalmazni. pl. 5 ∙ 3 : 2 ∙ 4 : 3 – Többtagúnak mondjuk, ha a műveletek között az összeadás és a kivonás is szerepel. pl. 9 – 7 ∙ 2 + 6 ∙ 3 – 25

szerepel zárójel – Egytagúnak mondjuk a kifejezést, ha az utolsó művelet szorzás vagy osztás, pl. 15 ∙ (3 + 11) : 7 – Többtagúnak mondjuk a kifejezést, ha az utolsó művelet összevonás. pl. 4 ∙ (4 + 2) – 41

2. feladatlap Ismerkedés az algebrai alapfogalmakkal 1. Válogassátok szét az algebrai kifejezéseket aszerint, hogy egytagú vagy többtagú. A válogatáshoz használjátok számok körében szerzett ismereteiteket. a) 4a b) 5x 2 c) 3a+b d) 4ab e) f) g) h) i)

2c–6ab 4 ∙ (a + b) –6uv 2 2 ∙ (e–f)+3ef

j) Fogalmazzátok meg az előzőkhöz hasonlóan, mikor nevezünk egy algebrai kifejezést – összegnek – szorzatnak – egytagúnak – többtagúnak Előbb tisztázzuk, mit nevezünk egy algebrai kifejezés egy tagjának

74



TUDNIVALÓ Ha egy algebrai kifejezésben nem szerepel zárójel

szerepel zárójel

– Egytagúnak mondjuk a kifejezést, ha csak a szorzás és osztás műveletét kell alkalmazni. pl. 2∙ a ∙ b – Többtagúnak mondjuk, ha a műveletek között az összeadás és a kivonás is szerepel. pl. 5 a – 3 b

– Egytagúnak mondjuk a kifejezést, ha az utolsó művelet szorzás vagy osztás. pl. 4 ∙ (a + b) – Többtagúnak mondjuk a kifejezést, ha az utolsó művelet összevonás. pl. 2 ∙ (a – b) + c

Egyneműek azok az algebrai kifejezések, amelyekben ugyanazok a betűk, és a betűk között ugyanazok a műveletek szerepelnek, azaz csak szorzószámban különböznek egymástól.

2. Húzd alá ugyanolyan módon az egyneműeket! 1 a b²; ; 3

–2a ²b; 2 a b²; 3a²b; –4a²b²; 5ab; 6a²b²;

3. Igaz-e, hogy egyneműek a kifejezések? Ha találsz eltérőt, akkor húzd alá!

a)

b)

2 x+y ,

2 x y,

2 yx ,

2y +x

c)

4a 2 b,

(2 a) 2 b,

(– 2 a) 2 b,

–( 2a ) 2 b

4. a)

x + x + x – y – y = ...x ...y

x együtthatója: y együtthatója:

b) x2 + 2x 2 + 3x 2 =...x2

x2 együtthatója:

c) a2 + 2a 2 – 3a 2 + 4a 2 = ... a2

a2 együtthatója:

d) ab + ab + 2ab = … ab

ab együtthatója:

...a + ...b

e) f)

...abc

a együtthatója: b együtthatója: abc együtthatója:

5. Húzd alá az egytagú kifejezéseket, és az együtthatók szerint állítsuk növekvő sorrendbe a kifejezéseket! 3xy;

3x +y 2 ;

4 x ( x +y ) ;

5a 2 b + 2;

4abcd;

5uv 2 ;

6( z – u) 2



75

6. Karikázd be a kakukktojást! a) ab,

– ab,

,

b) 0, 5x 2 ,

3 x 2,

– 3 x 2 + y,

– 4x 2

c) –5a 2 c ,

– 5 bc,

3 cd,

– 5u 2

d)

,

0, 2 5 x y,

3ab2

,

e) 3a +b ,

4 x + 2 y+z , 5 c– 2 b,

7 xy

f) x2,

5 y 2,

– 3z 2 ,

7x,

(a + b)2

3. feladatlap Algebrai kifejezések összevonása 1. Mivel egyenlő? a+a+a+a= 3x + 5x +8x = 4a²b + 5a²b + 7a²b = 2a + 5b = 4n + 3n + 5z + 6z + 7c + c + 6d = 2. Mivel egyenlő?

x + x + x + x – x – x =

5 a – 3 a =

3 a²b – 7a 2 b =

5 a – 3b =

2 ab 2 + 5 a 2 b + 6 ab – 8 ab ² – 3 ab 2 – 2 ab =

TUDNIVALÓ Csak egynemű algebrai kifejezéseket lehet összevonni úgy, hogy az együtthatókat összevonjuk, és a változókat változatlanul leírjuk. Pl.: 5a + 3a = 8a vagy 4ab – 2ab = 2ab. 3. A következő feladatban párban dolgozva játsszátok el Éva és Péter szerepét! Számológépet nem használhattok!

a) Éva és Péter fogadott, hogy ki tudja gyorsabban kiszámolni a következő algebrai kifejezés helyettesítési értékét: 5a – 7a –3 + 9a – 6, ahol a = 4. Éva először összevonta az algebrai kifejezéseket, majd behelyettesítette a megfelelő betű helyére a számot, és így számította ki a helyettesítési értéket. Azaz (írd a pontozott vonalra a gondolatmenetét!):

5a – 7a + 3 + 3a – 6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Péter először behelyettesítette a megfelelő betű helyére a megfelelő számot, külön-külön kiszámolta az algebrai kifejezések helyettesítési értékét, majd elvégezte az összevonást. Azaz (írd a pontozott vonalra a gondolatmenetét!):

5a – 7a + 3 + 3a – 6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76



b) Most cseréljetek szerepet, és ennek megfelelően oldjátok meg a második feladatot. Legyen a = –2 és b = 3; a kifejezés pedig: .

Éva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Péter: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Beszéljétek meg, hogy vajon ki nyerte a fogadást? Indokoljatok!

4. Írd át egyszerűbb alakba!

a) a + ab + 3a + 2ab =

b) x² + xy + y² – 2xy – 4y² – 2x² =

c) 5a – 7ab – 6a + 2a²b² – 3ab =

d) k² + 5k – 6k + 3k – 2k² =

e) 3a² + 5b – a² =

f) x + 2x + 3xy – 5xy – 4x =

1 5. Judit tortát kapott születésnapjára, ennek nagyságát jelöljük t-vel. Laci megette a torta -ét, Andris 5 1 a torta -át. Mennyit ettek meg ketten együtt? 3 6. Ákos Béla Feri pizzát rendeltek vacsorára. A pizza nagyságát jelöljük -vel. Ákos megette a pizza 3 1 1 -át, Béla a pizza -át, Feri pedig az -át. Éppen befejezték a vacsorát, amikor csengettek. Ákos 8 3 6 húga érkezett meg. Mennyi pizza maradt meg neki? 7. Egy cipőboltban a db magas sarkú, b db fűzős cipő és c db csizma van. Hétfőn eladták a magas 2 1 részét, a fűzős részét. Csizmát senki sem vett aznap. Kedden a csizma fogyott jobban, sarkú 5 4 2 1 3 eladták a készlet -ét. A magas sarkú -a és a fűzős cipő -a is elkelt. Szerdán mindenből eladták 3 6 5 a maradékot. Mennyit adtak el szerdán különböző fajtákból?

Hány magas sarkú, hány fűzős cipő és hány csizma lehetett hétfőn az üzletben?

8. Mivel egyenlő? 2m 4m m + + = 3 3 3

a a + = 3 5

(segítség:

ab ab ab ab + + + = 10 3 6 5

2 2 + ) 3 5

7. Jelöld matematikai jelekkel az alábbi matematikai fogalmakat! A számokra a és b betűkkel hivatkozz! a) Két szám összege. b) Két szám különbsége. c) Két szám szorzata. d) Két szám hányadosa. e) Egy szám kétszerese.



f) Egy szám négyzetének a háromszorosa. g) Két szám négyzetének az összege. h) Két szám abszolút értékének a különbsége. i)

Két szám összegének az abszolút értéke.

j)

Két szám összegének a négyzete.

k) Két szám különbségének az abszolút értéke. (Röviden: a két szám eltérése.) l)

Két szám abszolút értékének az összege.

m) Két szám különbségének a négyzete. n) Az egyik szám kétszeresének és a másik szám háromszorosának a különbsége.

4. feladatlap Algebrai kifejezések szorzása 1. Írd le rövidebben! a) 3 ∙ (2a) = b) 3 ∙ 2a = c) 5 ∙ (–4a) = d) –5 ∙ (–4a) = e) (–7) ∙ (4b) = f) –7 ∙ 4b = g) (–12) ∙ (–3c) = h) –12 ∙ (–3c) = i)

2x ∙ 3x =

j)

5y ∙ (–4y) = 

5 ⋅ 2q = 9 2z l) 4 z ⋅ = 3 m) 7z ∙ 4n =  k)

n) 6a ∙ 5b ∙ 2c =  o) 4a ∙ 3a ∙ 5b = p) 2k ∙ 5m ∙ (–4k) =  r) s) t) u) v)

5⋅

2n = 3

77

78



2. Melyik a helyes eredmény? Karikázd be a betűjelét! Tippelj, majd számológéppel ellenőrizzétek! I. Ha a =3537 + 6 9 7, akkor 3 a a) 10611+69 7

b) 35 2 7 + 2 0 9 1

c) 10611+2091

b) 3537 ∙ 2 091

c) 10611 ∙ 2091

II. Ha b=3537 ∙ 6 9 7, akkor 3b a) 10611 ∙ 697 3537 , akkor 3c III. Ha c = 697 10611 a) 697

b)

3537 2091

c)

10611 2091

3. Téglalapok és területük kiszámítására vonatkozó kifejezések szerepelnek a táblázatban. Keresd az összetartozókat, és kösd össze színessel! Minden téglalaphoz két kifejezés tartozik.

2y(x+2)

14x+7

(2+y) ⋅ 3

2xy+4y

5 ⋅ (1+x)

3x+3y

(4+y) ⋅ 3x

5+5x

x ⋅ (3+y)

12x+3xy

7 ⋅ (2x+1)

6+3y



4. Végezd el a szorzást! (b – 3) ∙ 4 = 6x (x – 1) = (k + 2) ∙ 7k = 9d (5 + 2d – 3c) = –2 (3 – 5c) = 5a (2a + 3) = (7y + 8) ∙ (–5y) = 6z (2 + 3) ∙ (–4z) =

5. feladatlap Gyakorló feladatok 1. A következő kifejezéseket írd át zárójel nélkül, és amelyiket lehet, hozd egyszerűbb alakra! a) 2 (–3a)= b) 4b (–2b)= c) 9 (–2a) ∙ (–3,5)=  4   9   1  d)  − a  ⋅  − b  ⋅  − c  =  3   2   3  e) f) 2 (a + 3) = g) 3 (2a – 1) = h) 5 (4 – 3a) = i)

a (a + 1) =

j)

2a (3 – a) =

k) (a + 4) · 5a = l)

2d² ∙ 3d 3

m) 2 (a² + ab) – a (a – b) = n) 3 (a + b) – 5 (a – b) = o) g (g² + g) – 3g (g – g²) = 2. Igaz-e, hogy a következő kifejezések helyettesítési értéke egyenlő? a)  5(a – 3) + 10

vagy 5a – 5

ha a = 1

vagy a = 16 2 7,4 8

b)  4b – 2 (b – 3) + 7

vagy 2b + 13

ha b = –4

vagy b = 65374,26

c)  11 – 2c (3 – c) + 6c

vagy 2c 2 + 11

ha c = – 578 2

d)  10 – 6 (2d – 1) + 3d (1 + d)

vagy 3d 2 – 9d + 16 ha d = 2

vagy d = – 8652

79

80



3. Válogasd ki az igaz egyenlőségeket! a)

5 – 3 (c + 1) = 2 (c + 1)

b)

4d 12d ⋅3 = 5 15

c)

7 e 10 a 7 e 2 a 14 ae ⋅ = ⋅ = 15c 13b 3c 13b 39bc

d) e)

2 ab²+3a( 2 a +b) – 5 b( a+ b)– 4 a² b + 5a b c =3a 3 b 3 c

4. Töltsd ki az alábbi táblázatot! A kifejezés a benne szereplő betű mely értékére lesz Pozitív? Negatív? 0? Értelmetlen?

Pozitív, ha −2( x − 3) + 5( x + 4) − x

feladatgyűjtemény 1. Írd át egyszerűbb alakra! a) a ∙ a ∙ a + a ∙ a ∙ a + a ∙ a ∙ a = b) b ∙ b ∙ b ∙ b – c ∙ c = c) c ∙ d + c ∙ d + c ∙ d – c ∙ d = d) e ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ e ∙ d ∙ e = e) e ∙ f ² ∙ e ∙ f ² ∙ e ∙ f =

Negatív, ha

Nulla, ha

Értelmetlen, ha



81

2. Kösd össze színessel az egyneműeket!

3. Írj az alábbiakhoz néhány velük egynemű kifejezést! a) 2 a b.......................................................... b) a ²b.......................................................... c)

......................................................

d) (a ∙ b)²...................................................... e) –a b²........................................................ f) a3b3.......................................................... g) (a + b)²................................................... 4. Keresd meg a két oszlopban az egymással ekvivalens kifejezéseket! A párosítás eredményeképpen talált betűt írd be az első oszlop megfelelő helyére. Ha az így kapott betűket összeolvasod, egy görög matematikus nevét kapod. 5 ∙ x x3 x2y 5 ∙ x2 x2y2 3 ∙ x ∙ y (x – y) 2 3 ∙ x ∙ y2 (2 ∙ x)3

H O T A S I G Z R

x∙x+x∙x+x∙x+x∙x+x∙x (x – y) ∙ (x – y) x∙x∙y x∙y∙x∙y x+y+x+y+x+y+x+y x∙x∙x x∙y+x∙y+x∙y (–x) + (–x) + (–x) + (–x) + (–x) x ∙ y ∙ y + x ∙ y ∙ y + x ∙ y ∙ y

4 ∙ (x + y)

A

(x + x) ∙ (x + x) ∙ (x + x)

–5x

P

x + x + x + x + x

82



5. Végezd el a kijelölt szorzásokat! a) 4 (x + 3) = b) 5 (x – 7) = c) 3 (8 – x) = d) (–5 + x) ∙ 3 = e) (5x  – 1) ∙ 7 = f) (–10 + 4x) ∙ (–3) = 6. Válaszd ki az igaz állításokat! Azokat, amelyek nem igazak, javítsd ki! 1 a a) a= 3 3 2 2b b= b) 5 5 c) c + c + c + c + c = 5c d) d ∙ d ∙ d ∙ d = 4d e) e ∙ e ∙ e = e3 f f f f) ⋅ = 4 4 16 g) h) (h ∙ 5)2 = h2 ∙ 5 i) j)

4 (2a)= 8 ∙ 2a = 16a

k) b (3a) = 3b ∙ ab = 3ab2 7. Bontsd fel a zárójeleket! a) a + (b – c) = b) a – (b + c) = c) a – (b – c) = d) a ∙ (b + c) = e) a ∙ (b – c) = f) a ∙ (b ∙ c) = g) a : (b ∙ c) = h) a ∙ (b : c) = 8. Palkó egyszerűsítette a törteket, néhányban hibázott. Javítsd ki a hibákat! 6⋅8 a) = 3⋅4 2 16 ⋅ 4 b) = 4⋅4 4 c) d)

= 10 + 3

6 ⋅ 4 ⋅ 12 = 6⋅4⋅4 3 (36 + 12 ) ⋅ 4 = (36 + 12 ) ⋅ 2 f) 2 a+b g) =b a 2 a ⋅ 3b ⋅ 4 c h) = a ⋅ b ⋅ 2c 2

e)



83

9. Válaszd ki az azonosságokat! a) (a + 3) ∙ 2 + 1= 2 ∙ a + 7 10 ⋅ a + 7 b) = 5⋅a +7 2 8⋅x −6 c) = 4⋅x −3 2 d) (a + 2 ∙ a) ∙ a = 3 ∙ a x x 5⋅x e) + = 2 3 6 f) a – (5 – a) = –5 10. Írd fel a síkidom területét sokféleképpen! Számítsd ki, ha 2x

a)

x x

b) c)

x

x = 3, 8 ; x = 0, 3 8 !

11. Írd fel a derékszögű egyenlőszárú háromszög területét többféleképpen! Számítsd ki, ha x

x

a) b)

x

x = 1, 5 ; x = 0, 15 !

x 12. Írd fel a síkidom területét többféleképpen! Számítsd ki, ha a) b)

x

x = 3; x = 1!

13. Írd fel a síkidom területét többféleképpen! Számítsd ki, ha a) x

x=

1 ; 4

b)

x 14. András és Ernő versenyeznek. Az nyer, akinek a síkidomok területének kiszámítására vonatkozóan a legtöbb elképzelése van. Persze az elképeléseket meg is lehet valósítani. Versenyezz velük te is, és írd le megoldásaidat! a

a) a

3

4

84


b)

4

a

5

b

c)

3

a

3

3 b

d)

4

b

3

a

e)

a

b

f)

a

b

c

d


Algebra

0773. Egyenletek, egyenlőtlenségek


86



„Keresd a párod!” Húzzatok egy-egy kártyát a tanárotok által adott pakliból, és találjátok ki, hogy a rajta lévő egyenlőség melyik számra igaz, majd keressétek meg azt a társatokat, akinek a kártyáján lévő egyenlőség ugyanerre a számra igaz. Az így kialakított párban válasszatok magatok mellé egy másik párt, és ez lesz az a csoport, amelyikben a következőkben dolgozni fogtok. Kitalálós játék Válasszatok a csoporton belül egy játékvezetőt! A játékvezető a tanártól kap egy kártyát, amelyen két algebrai kifejezés van. Ezek után a játékvezető megkérdezi: találjátok ki, melyik az a szám, amelyikre ez a két kifejezés egyenlő. A szóforgó módszerével mondjatok egy-egy számot. A csoport behelyettesítéssel ellenőrizze, hogy ez a szám megfelel-e! A játékvezető jegyzi, hány lépéssel találták meg a megfelelő számot.

1. feladatlap A csoporton belül válasszatok az A, B, C, D betűk közül, és oldjátok meg a jelöléseteknek megfelelő feladatot! Ha készen vagytok, társaitoknak sorban magyarázzátok el a feladatok megoldását! Füzetetekbe mind a négy feladatmegoldást írjátok le! —A— 2 ∙ 7 + 6 = 20. Ez egy igaz egyenlőség. Hogyan lehet a 7-et az egyenlőségben szereplő számokkal kifejezni? Ha nem adnánk a 2 ∙ 7-hez hozzá 6-ot, akkor a 20-nál 6-tal kisebb számot, azaz 2 ∙ 7 = 14 igaz egyenlőséget kapnánk. Ha nem szoroznánk meg a 7-et 2-vel, akkor a igaz egyenlőséget kapjuk. Milyen számra igaz a következő egyenlőség? 2x + 6 = 20. Van olyan értéke x-nek, amelyre igaz az egyenlőség. Melyik ez? Folytasd! —B— Ez igaz egyenlőség. Hogyan lehet a 3-at az egyenlőségben szereplő számokkal kifejezni? Ha nem adnánk hozzá a

-höz a 7-et, akkor a 13-nál 7-tel kisebb számot, azaz

igaz

egyenlőséget kapnánk. Ha nem osztanánk el 5-tel a 10∙ 3-at, akkor az eredmény a 6-nak 5-szöröse, azaz 10∙ 3=30 lenne. Ha nem szoroznánk meg a 3-at 10-zel, akkor a 3 = 3 igaz egyenlőséget kapjuk. Milyen számra igaz az egyenlőség? Van olyan értéke x-nek, amelyre igaz az egyenlőség. Melyik ez? Folytasd! —C— 4 ∙ (–2) – 7 = –15 Ez igaz egyenlőség. Hogyan lehet a 2-t az egyenlőségben szereplő számokkal kifejezni? Igaz marad az egyenlőség, ha mindkét oldalát 7-tel növeljük: 4 ∙ (–2) – 7 = –15 /+7 (így szokták jelölni) 4 ∙ (–2) = – 8 Nem változik az egyenlőség, ha mindkét oldalát negyedére csökkentjük, azaz elosztjuk 4-gyel 4 ∙ (–2) =– 8 /:4 –2 = –2 igaz egyenlőséget kapjuk. Milyen számra igaz az egyenlőség? 4∙x –7 = –15 Van olyan értéke x-nek, amelyre igaz az egyenlőség. Melyik ez? Folytasd!



87

—D— 5 · 6+3 –9= – 6 Ez igaz egyenlőség Hogyan lehet a 6-ot az egyenlőségben szereplő 11 számokkal kifejezni? Igaz marad az egyenlőség, ha mindkét oldalát 9-cel növeljük: 5 · 6+3 –9= – 6 / +9 (így szokták jelölni) 11 5 · 6+3 = +3 kapjuk. 11 Nem változik az egyenlőség, ha mindkét oldalát megszorozzuk 11-gyel: 5 · 6+3 = +3 11

/ ∙ 11

5 ∙ 6 + 3 = 33 Nem változik az egyenlőség, ha mindkét oldalából kivonunk 3-at. 5 ∙ 6 + 3 = 33 / –3 5 ∙ 6 = 30 Nem változik az egyenlőség, ha mindkét oldalát elosztjuk 5-tel. 5 ∙ 6 = 30 /:5 6 = 6 igaz egyenlőséget kapjuk. Milyen számra igaz az egyenlőség? 5 x+3 –9 = –6 11 x-nek van olyan értéke, amire igaz ez az egyenlőség. Melyik az? Folytasd!

TUDNIVALÓ Az egyenletek megoldásakor arra törekedtünk, hogy az egyik oldalon csak az ismeretlen, a másik oldalon pedig csak egy szám maradjon. Ennek érdekében az egyenlet – mindkét oldalához ugyanazt a számot vagy kifejezést adhatjuk hozzá, illetve mindkét oldalából ugyanazt a számot illetve kifejezést vonhatjuk ki; – mindkét oldalt ugyanazzal a 0-tól különböző számmal szorozhatjuk, illetve oszthatjuk.

2. feladatlap Mindannyian húzzatok a borítékból három kártyát. Oldjátok meg az egyenleteiteket, majd ellenőrizzétek társatok kidolgozását (ezt írjátok is alá). A tizenkét darab feladat kidolgozását ragasszátok fel egy csomagolópapírra, hogy a tanár ellenőrizhesse. A feladatokat önállóan oldjátok meg, a megoldásokat egyenként beszéljétek meg a társaitokkal! A megoldásokat ne felejtsétek el ellenőrizni! 1. Az A halmaz elemei a következő egyenletek megoldásai. Rendezd az A halmaz elemeit! Hány eleme van az A halmaznak? Melyik x-re igaz, hogy a) 5x – 2 = 28 b) 4 (x – 2) = 24 c)

88 d) e) f) g)


3 (x – 6) – 4x = 5 6 (x – 2) – 2 = 10 4 (2x + 3) – 5x – 7 = – 1 – 3x 7 – 2 (x + 1) – 3 (x – 2) = (4 – 3x) ∙ 2 – 4

h) 2 x + i)


3 7 x+1 = 3+ x 5 2

3  2  1  x + 1 −  x − 2  = x + 1 2  3  3

j) k) 6 (x – 4) + 3 (x – 1) – 5 (x + 2) + 3 (8 – x) = –3 – x l) 3 (x + 7) + 2 (9 – x) = 60 + 4 (x – 5) 1 − 3x m) 2 – x =  4 n) 1,4 – 0,8 (x + 2) + 2,5 (x – 1) = 10,9 2. Oldd meg a szöveges feladatokat következtetéssel, vagy a szövegnek megfelelő egyenlet megoldásával. a) Hány forintja van Péternek és Balázsnak külön-külön, ha Péter pénze ötször annyi, mint Balázsé, és kettőjüknek összesen 4200 Ft-juk van? b) Hány fokosak a háromszög szögei, ha az egyik kétszer akkora, mint a másik, és a harmadik harminc fokos? c) Hány fiú- és hány lánytestvére van Lucának, ha a fiúk száma fele a lányokénak, és összesen kilencen vannak? 3. Egy anya 23 évvel idősebb a fiánál, és 5 évvel fiatalabb a férjénél. Hármuk életkora összesen 96 év. Hány évesek külön-külön? 4. Egy könyvállvány két sorában összesen 66 könyv van. A felsőben 4-gyel több, mint az alsóban. Hány könyv van egy-egy sorban? 5. Egy egyenlő szárú háromszög szárai 1,5-ször akkorák, mint az alapja. Mekkorák a háromszög oldalai, ha tudjuk, hogy kerülete 40 cm? 6. Egy téglalap hosszúsága háromszor akkora, mint a szélessége. Kerülete 72 cm. Mekkorák az oldalai? 7. Gondoltam egy számot, a kétszereséhez 27-et adtam. Így 71-et kaptam. Melyik számra gondoltam? 8. Egy olajoskanna tömege olajjal együtt 8 kg, ha kiöntjük belőle az olaj felét, 4,5 kg lesz a tömege. Hány kilogramm olaj van a kannában? Hány kilogrammos az üres kanna? 9. Válaszd ki a szövegnek megfelelő egyenleteket, majd oldd is meg! a) Melyik számra gondoltam, ha a gondolt számhoz hozzáadtam a szám kétszeresénél kilenccel nagyobb számot, majd az összeg harmadát vettem, és eredményül 10-et kaptam? A:

B: x + (2x + 9) : 3 = 10

C: x + 3 = 10

b) Melyik számra gondoltam, ha a gondolt számhoz hozzáadtam 5-öt, vettem az összeg hatszorosát, majd elvettem belőle 10-et és ebből kivontam a gondolt számot és eredményül 30-at kaptam? A: (x + 5) 6 – 10 – x = 30

B: 6x + 30 – 10 – x = 30

C: x + 30 – 10 – x = 30



89

3. feladatlap Oldjátok meg a betűjeleteknek megfelelő feladatot, és tanítsátok meg a többieknek. A munka akkor fejeződik be, ha mindannyiótok könyvében a feladatlapok ki vannak töltve. Beszéljétek meg közösen a tapasztalataitokat, és rendszerezzétek a megadott szempontok alapján.

—A—

Minden lépés így kezdődik: Mindkét oldalhoz hozzáadunk 2-t. Mindkét oldalból kivonunk 1-et Mindkét oldalt megszorozzuk 4-gyel. Mindkét oldalt megszorozzuk 1 -del. 4 Mindkét oldalt megszorozzuk –3-mal. Mindkét oldalt megszorozzuk –2-vel. Mindkét oldalt megszorozzuk nullával.

4<7

– 4 > –7

1 >0 3

1 − <0 3

Igaz marad-e az állítás?

90



—B—

Minden lépés így kezdődik: Mindkét oldalhoz hozzáadunk 2-t. Mindkét oldalból kivonunk 1-et. Mindkét oldalt megszorozzuk 4-gyel. Mindkét oldalt megszorozzuk 1 -del. 4 Mindkét oldalt megszorozzuk –3-mal. Mindkét oldalt megszorozzuk –2-vel. Mindkét oldalt megszorozzuk nullával.

–3 < 2

3>–2

2 >0 3

4 − <0 5

Igaz marad-e az állítás?



—C—


4,5 < 7,6

–7 > –9

0,6 > 0

1 − <0 2

Igaz marad –e az állítás?

91

92



—D—


1 1 < 3 2

1 1 − >− 3 2

3>0

–5 < 0

Igaz marad –e az állítás?



93

TUDNIVALÓ Az egyenlőtlenség megoldása során az egyenlőtlenség iránya nem változik, ha

változik, ha

1. mindkét oldalához hozzáadunk egy számot 2. mindkét oldalából kivonunk egy számot 3. mindkét oldalát megszorozzuk egy pozitív számmal 4. mindkét oldalát elosztjuk egy pozitív számmal

1. mindkét oldalát megszorozzuk egy negatív számmal 2. mindkét oldalát elosztjuk egy negatív számmal

Vigyázz, 0-val se osztani se szorozni nem szabad az egyenlőtlenséget!

4. feladatlap 1. Milyen x-re teljesülnek az egyenlőtlenségek? A megoldásokat ábrázoljátok számegyenesen.

a) 3x + 4 = 5x

3x + 4 > 5x

3x + 4 < 5x

b) 2x – 3 = 7

2x – 3 > 7

2x – 3 < 7

c) 4 – 5x = –11

4 – 5x > –11 4 – 5x < –11

d) 12 – 3x = 4 + x

12 – 3x < 4 + x 12 – 3x > 4 + x

e) 4 (x – 2) – 2 (x + 3) > x – 5

f) 3 (x – 1) + 2 (x – 5) < 4 (x – 6)

g) 2 (2x – 3) + 5 (x – 2) < 20

2. Milyen x-re teljesülnek az egyenlőtlenségek? x+3 0 x–1

a)

b) |x + 3|  5

c)

d) |x – 2|  3

x–2 0 x +1

5. feladatlap 1. Pistit sajtért küldték az üzletbe. Amikor otthon megkérdezték, hogy miből mennyit vásárolt, Pisti csak az adatokat sorolta. A Trappista sajtból 1 kg 580 Ft-ba, az Anikóból 1 kg 760 Ft-ba kerül. Fél kg-ot vásároltam, összesen 320 Ft-ot fizettem. Pisti édesanyja elővette a számológépet, és próbálgatni kezdett. Ha 49 dkg Anikót vett volna, akkor nem maradt volna pénze Trappistára (miért) Ha 49 dkg Trappistát vett volna, akkor az Anikóból egy dkg-ot kéne vennie (miért) Ha Anikóból 40 dkg lenne, akkor sem maradt volna pénze a másik fajta sajtra (miért). Ha Anikóból 30 dkg-ot vásárolt volna, az 0,3∙760=228 Ft-ba kerülne, de akkor Trappistából pontosan 20 dkg-ot kellett volna vennie, ami 0,2∙580=116 Ft-ba kerülne. Sajnos a 228+116 nem egyenlő 320-al. Pisti már nem bírta tovább türelemmel, és egyenlet segítségével kezdte kiszámolni. Figyelj Anyu!

94



Ha x-szel jelölöm az Anikó mennyiségét, az ára ________ lesz. Ha az Anikó mennyisége x, akkor a Trappistáé ________ dkg lesz, amelynek ára ________ lesz. Tehát 320 = ________ Gyors egyenletmegoldás és ellenőrzés után Pisti válasza: Tehát ________. Anikó és ________ Trappista sajtot vettem. 2. Pontosék Angliába és Németországba mennek nyaralni. Előre kiszámolják, hogy ötször annyi fontra lesz szükségük, mint euróra. Pontos úr 500 000 Ft-ért vásárol valutát. Hány fontot és hány eurót kap érte? A bankban sorban állnak és Pontos úr unalmában számolni kezd. Az árfolyamtábla szerint 1 £ (font) 360 Ft és 1  (euró) 250 Ft. Először becsléssel próbálkozik. 1000 £ = ________ Ft és 200 = ________ Ft. A kettő együtt sokkal kevesebb, mint 500000 Ft. 1100 £ = ________ Ft és 220 = ________ Ft. Ez már 49 000 Ft híján 500 000 Ft. Pontos úr inkább pontosan akarja kiszámolni, azaz egyenlettel oldja meg a problémát. e-vel jelölöm az eurók számát. Az e darab euró 250 ∙ e Ft-ot ér. Ha e az eurók száma, akkor a fontok száma ________, ez ________ Ft-ot ér. A kettő együtt 500 000 Ft.

6. feladatlap —A— 1. Mennyi pénzed van, ha Karcsi pénzével együtt összesen 2500 Ft-od van, és Karcsinak 1120 Ft-tal több pénze van, mint neked? 2. Mekkorák annak a téglalapnak az oldalai és szögei, amelynek az egyik oldala a másik oldal kétharmad része, és a kerülete 150 cm? —B— 1. A Koros családban az anya 25 évvel idősebb a fiánál, és 3 évvel fiatalabb a férjénél. Hármuk életkora 71 év. Hány éves a gyerek? 2. Dolgozói után minden vállalat fizet társadalombiztosítási járulékot. Ez a bruttó bér 40%-a. A Fortuna kisvállalat havonta átlagosan 15370e Ft-ot fizet ki a dolgozóinak. Mennyibe „kerülnek” a dolgozók a vállalatnak? —C— 1. Melyik az a két szám, amelyek közül az egyik 12-vel kisebb a másiknál; ha az egyiket megszorozzuk 6-tal, a másikat 3-mal, akkor az így kapott első szorzat 6-tal nagyobb a másodiknál. 2. Egy téglalap alakú kert szélességének ötszöröse négy méterrel hosszabb, mint a hosszúsága. A bekerítéséhez 58m hosszúságú kerítésre van szükség. Mekkora a kert területe?



95

—D— 1. Két malomban összesen 520000 tonna búzát őrölnek. Az egyikben 1,6-szer többet, mint a másikban. Mennyit őrölnek külön-külön a két malomban? 2. Krisztián egy nagy akváriumot kapott születésnapjára. Zsebpénzéből (3300 Ft) kétféle halat szeretne vásárolni. Hányat vehet az egyes fajtákból, ha az egyik hal darabja 120 Ft, a másiké 260 Ft, és azt ajánlják neki, hogy 20 db halat vegyen összesen. A kereskedőnek összesen 3240 Ft-ot fizetett.

7. feladatlap 1. Egy könyvespolcon összesen 80 könyv van. Az alsó polcon 4-gyel több, mint a középsőn, a legfelsőn 8-cal kevesebb, mint a középsőn. Hány könyv van külön-külön a polcokon? 2. Az iskola ebédlőjét felújították. Az eredetileg téglalap alakú helyiség rövidebb oldalát 4 m-rel meghosszabbították. Így egy olyan négyzet alakú termet kaptak, amelynek területe 28 m²-rel lett nagyobb az eredetinél. Mekkora volt az eredeti ebédlő kerülete? 3. Egy nyolc emeletes lakóházban összesen 320-an laknak. Minden emeleten 2-vel kevesebben, mint az eggyel alacsonyabbon. A legkevesebben a 8. emeleten laknak. Hányan laknak az egyes emeleteken? 4. A tornaterem átépítése során az egyik téglalap alakú öltöző rövidebbik oldalát 0,6 m-rel meghos�szabbították, így abból egy négyzet alakú helyiséget kaptak, amelynek területe 4,8 m2 -rel lett nagyobb, mint az eredeti helyiségé volt. Mekkorák voltak az eredeti méretek? 5. Egy általános iskolában 577 tanuló van. A hatodikosoknál fiatalabbak 3-mal kevesebben vannak, 7-ben és 8-ban 10-zel kevesebben vannak, mint a 6-sok. Hány tanuló van az iskola 6. évfolyamán? 6. Egy téglalap alakú istálló szélességének négyszerese 3 m-rel rövidebb, mint a hosszúsága. A bekerítéshez 60 m kerítés kellett. Mekkora területen élnek a lovak? 7. Egy téglalap alakú könyvtárszoba oldalainak aránya 2 : 5. A területe 40m 2 . Mekkora annak a könyvespolcnak a hossza, amely körbefutja a szoba területét? 8. Erkélyládákba két fajta virágot vásároltunk, muskátlit és petúniát, összesen 50 db-ot. A muskátli ára 30 Ft darabonként, a petúniáé 45 Ft. Összesen 1980 Ft-ot fizettünk. Hányat vettünk az egyes fajtákból? 9. Kelemenék egy másik lakásba költöztek. Képeket, csecsebecséket szeretnének feltenni a falra, ezekhez azonban lyukakat kell fúratni. Több szerelőt is megkérdeztek, hogy mennyiért csinálnák meg. László mester: 1200 Ft kiszállási díjat kér, és egy lyukat 250 Ft-ért fúr. József mester 2500 Ft kiszállási díjat kér, és egy lyukat 120 Ft-ért fúr. Ha összesen 8 lyukat kéne fúrni, melyik mestert érdemes hívni? Ha 10 lyukat kéne fúrni, melyiket? Ha 50 lyukat kéne fúrni, melyiket?

Algebra

0774. Azonosság, egyenlet, szöveges feladatok gyakorlása


98



1. Feladatlap 1. Kati és Pisti számkitalalálóst játszott. Kati azzal hencegett, hogy rögtön meg tudja mondani a műveletsor végeredményét, pedig nem is tudja, hogy Pisti milyen számra gondolt. Találd ki, miért! (A műveletsort Kati határozza meg, és Pisti gondol egy számot.) Kati: (1) Gondolj egy számra! Adj hozzá 2-t, majd az eredményt szorozd meg 3-mal! Ebből vond le a gondolt szám háromszorosának és 4-nek az összegét! Ugye, 2-t kaptál? (2) Gondolj egy számra! Vedd a négyszeresét, adj hozzá 10-et, ezt oszd el 2-vel, majd a hányadosból vond ki az eredeti szám dupláját! A végeredmény 5 lett, ugye? (3) Gondolj egy számra! Adj hozzá 5-öt, és az eredményt szorozd meg 7-tel! Az így kapott számból vond ki a gondolt szám háromszorosát, majd adj hozzá 2-t, és az eredményt csökkentsd a gondolt szám négyszeresével! Ugye, 37 lett a végeredmény? Párban dolgozzatok, és a megadott szempontok alapján válogassátok szét a feladatokat! 2. Melyik egyenlet, melyik azonosság, melyik egyenlőtlenség?

Egyenlet:

Azonosság:

Egyenlőtlenség: a) Valaki gondolt egy számot. Ezt kétszer vette, hozzáadta a gondolt szám háromszorosát; az eredményt megszorozta 3-mal, hozzáadott 5-öt, és amit így kapott, azt elosztotta 2-vel. Ekkor közölte, hogy az eredmény 40. Melyik számra gondolhatott? b) Kemenesék üzleti vállalkozásba fogtak. Mennyit költöttek az első héten, ha a második héten 100 000 Ft-tal többet, a harmadik héten pedig négyszer annyit költenek az üzletre, mint az első héten, és így összesen 2500000 Ft-juk ment el az üzlet beindítására?

c) Milyen számokra teljesül az egyenlet? –(a – b) – c = b – a – c d) Hány éves lehetek, ha az éveim számának kétszereséhez hozzáadom először az éveim számának felét, majd negyedét, akkor 100-nál kevesebbet kapok? e) Milyen a-ra igaz az egyenlőség? 5a – 3(a+2) – 2(a – 4) = 2 f) Milyen b-re igaz az egyenlőség? 2(b – 1) + 2b = 7



99

Egy borítékban megkapjátok az algebrai kifejezéseket. Ezeket kell összepárosítanotok úgy, hogy az egyenlő kifejezések egymás mellé kerüljenek.

a) a – (b + c);

b)

a : a; b

a + b; b a+ab d) ; a c)

n) ac – ad – bc + bd; o) 9x2; p) 1 + b; q) a – b – c;

e) [a : (b + c)] ∙ d;

r) (–1)(–a + b + c);

f) 3x2

s)

g) a : (b + c) ∙ d;

t) (3x)2;

h)

i) (–a) : b;

v) b – (a + c);

j) –(a – b)

w) 1 + ab;

k) b – a

l) a – b + c

m) (–3x)2

a ∙ d; b+c

u)

ad ; b+c

1 ; b

ab ; –b2 a y) . –b x)

Most dolgozzatok párban! Egyikőtök az 1. feladat baloldali egyenletét, a másik a jobboldalit oldja meg. Utána cseréljetek füzetet, és behelyettesítéssel ellenőrizzétek le a párotok megoldását! Ugyanilyen módszerrel oldjátok meg a többi feladatot is!

100



2. Feladatlap 1. Milyen egész számra igaz az egyenlőség? A

B x x + =2 6 7

1.

Megoldások cseréje 2. Megoldások cseréje 3.

2(5x +3)+ ( 5 x – 8 )= 16

5 ( x– 2) +3( 5+4x ) =90

Megoldások cseréje

2. Milyen természetes számra igaz az egyenlőség? 1.

3x+4(x+ 2 ) = 15

5x – 3( x +1) =6 Megoldások cseréje

2. 5x –(8x– 7 ) = – 6 x+13

3x – ( 2x +1) =– 1 Megoldások cseréje

3.

x 2 –2(x + 3 ) – x( x+ 4 ) = – 6

x 2 – 1( x +4) – x ( x– 2) =5


3. Milyen számokra igaz az egyenlőtlenség? A megoldást ábrázold számegyenesen! 1.

6x + 5 > 1

21 – 3x < -3 Megoldások cseréje

2. 8(x–4) – 3(x–4) < 6(x–4)

6(x+2) – 5(x–1) < 3(x–4)

Megoldások cseréje 3.

Egy szám háromszorosához 4-et adva kisebb számot kapunk a szám négyszeresénél. Nagyobb-e a szám 3-nál? Legkevesebb mennyi lehet ez a szám?

Egy szám tízszereséből a szám négyszeresénél eggyel többet elvéve kisebb számot kapunk, mint a szám négyszerese. Lehet-e ez a szám negatív?




4. Írd át úgy az algebrai kifejezéseket, hogy ne legyen benne zárójel! 1.

5 (3–a) + 2 (a–5) =

4 (b–5) – 3 (b+1) = Megoldások cseréje

2.

(a–1) · a + (a–2) · 5 =

(b–2) · 3 + (b–3) · b = Megoldások cseréje

3.

5b · (b+1) – 2 (b+5) =

4a (a–3) – 3 (a+4) =

5. Állításokat írtunk le öt féle algebrai kifejezéssel. Válaszd ki, melyik a kakukktojás! a) Az a szám négyszerese:

8 vagy 2 a

6 vagy 2 a+2a

4 vagy b : 5

vagy b · 0,8

c) A c szám 1,5-szerese: 1 1,5 · c vagy 2c – 2 c vagy c+0,5 c

vagy c+1,5

vagy c · |0,5 – 2|

d) A d szám megnövelve 1,5-del: 3 d · 1,5 vagy d+1,5 vagy 2 +d

vagy |0,5–2| d vagy

4a

vagy 2a + 2a vagy a+3a 4 b) A b szám 5 -e: 4 8 b ·4 vagy b vagy 5 b 10 5

6. Válaszd ki az azonosságokat! a) 8a+6a –10 a = 9 a b) 16b–10 b – 7 b= – b c) 10c+ 11 c– 8 c– 5 c = 9 c d) (a + 3) · 2 + 1= 2a + 7 e) 10a+ 7 = 5a+7 2 f)

8x – 6 = 4x–3 2

g) (a + 2a) · a = 3a h) i)

x x + = 5x 2 3 6 a – (5 – a) = –5

7. Oldjátok meg az egyenleteket! 1 3x =– 2 4 3 5x b) – =– 4 3

a)

c) (2x +13) – (5x –17) = 240 d) (5x – 28) – (3x + 2) + (x – 30) = 120 e) (2x – 1) · 9 = 36 f) 5 (x – 1) – 4 (x – 3) = –20

2 d +3 2

101

102



g) 8 (2x –3) – 3 (5 –x) = 20 h) i)

x+

2 x 3x − =1 3 4

j) k) 2 (5x+3)=8 – 3x l)

y +1 =

n) 2 − x =

5−y 2 1 − 3y 4

8. A 10-nél kisebb természetes számok közül melyek teszik igazzá az egyenlőtlenségeket? a) 2x < 13 b) 3x < 7 c) 6x > 13,5 A szöveges feladatok megoldásának menete: 1. A teljes szöveg figyelmes elolvasása, akár többször is. 2. Az adatok kigyűjtése mértékegységeikkel együtt, ha van. 3. Ha szükséges, a szöveg alapján pontos vagy vázlatszerű rajz készítése. 4. A végeredmény (legalább nagyságrendbeli) becslése. 5. A szövegben szereplő adatok közötti kapcsolat(ok) megkeresése. 6. Az értelmezési tartomány vizsgálata. (Pl.: Lehet-e negatív az eredmény?) 7. Következtetéssel, egyenlet, egyenlőtlenség stb. felírásával a megoldás keresése. 8. A feladat megoldása. 9. A megoldás ellenőrzése a szöveg értelmének megfelelően. 10. Az eredmény megadása a kívánt mértékegységben. 11. Szöveges válasz a kérdésnek megfelelően.

3. Feladatlap 1. Oldd meg az alábbi problémákat! a) Egy két emeletes házban a földszinten lakók felett 90-en laknak. Az első emeleten annyian, mint a földszinten és a második emeleten együtt, a második emeleten lakók alatt pedig 78-an. Hány ember lakik az épület egyes szintjein? b) A mérleg egyik serpenyőjében 5 kg van, a másikban négy egyenlő tömegű csomag, és még 2 kg. Mekkora egy csomagnak a tömege, ha a mérleg egyensúlyban van? c) Karcsi a következő feladatot adta Jóskának: gondolj egy számot, adj hozzá 4-et, az összeget vedd ötször, a szorzatból vonj ki 25-öt, majd a maradék kétszeresét vondd ki a gondolt szám tízszereséből. Miután Józsi megoldotta a feladatot, Karcsi megmondta, mennyi a maradék: 10. Honnan tudta? d) Mennyiért kéne árulni egy doboz kukoricakonzervet? Egy tonna csöves kukorica felvásárlási ára 45000 Ft. A csutka a csöves kukorica 30%-a. A kukoricát gép morzsolja. Az egy tonnára vonatkozó rezsiköltség 2300 Ft. A szállítás tonnánként 6300 Ft. A konzervgyár a nyersanyag feldolgozásáért tonnánként 18960 Ft-ot számít fel. A kereskedő 27%-os árréssel dolgozik. Egy konzervben 300 g-nyi kukoricát raknak.



103

2. Egy péküzlet aznapi péksüteménykészletének 20%-át elvitte a szomszédos óvoda. Délig 53 vásárló átlagosan 4 db-ot vett. Az utolsó 4 db-ot az egyik eladó vette meg. Hány db péksütemény volt nyitáskor az üzletben? 3. Éva mamája nagyon szeret vásárolni. Márciusban hármas találata volt a lottón. Elhatározta, hogy a nyereményét táskára, cipőre és karórára költi. Nagyon sok kirakatot végignézett, mire eldöntötte, hogy melyiket vásárolja meg. Az árakat pontosan nem jegyezte meg, csak annyit tudott, hogy a cipő 7000 Ft-tal volt drágább, mint a táska, és feleannyiba került, mint az óra. Mire bevásárolt, a nyereménye, 73000 Ft mind elfogyott. Mennyibe került a cipő, a táska és az óra? Írd össze, hányféle sorrendben vásárolhatta meg Éva mamája ezeket a dolgokat, ha mindegyiket más-más üzletben szerezte meg? Melyik sorrendet választanád, ha az üzletekről annyit tudsz, hogy az indulási helytől jobbra 500 m-re van az óraüzlet, balra 400 m-re a cipőüzlet, és előre, az útra merőlegesen lévő utcában 300 m-re van a táskabolt. Az üzleteket kis utcák is összekötik, a kiindulási pontra pedig vissza kell érni A válaszodat indokold! 4. Egy zöldségüzletben február 30-án felvásárolták a krumpli mennyiségének kétharmadát és még 5 kg-ot. Így az üzletben csak 11 kg maradt. Hány kg krumpli volt az üzletben? Állapítsd meg, lehete valós a történet? 5. Mennyi pénzed van, ha Évával együtt összesen 3500 Ft-od van, és Évának 1220 Ft-tal van több pénze, mint neked? 6. Melyik számra gondolt Ági, ha a szám kétszerese 27-tel kevesebb a 71-nél? 2 7. Mekkorák annak a téglalapnak az oldalai és szögei, amelynek egyik oldala a másik oldal 3 része, és kerülete 150 cm? 8. A Kovács családban az anya 28 évvel idősebb a fiánál, és 3 évvel fiatalabb a férjénél. Hármuk életkora 74 év. Hány éves a gyerek? 9. Dolgozói után minden vállalat fizet munkavállalói járulékot. Ez a bruttó bér 4%-a. A Fortuna kisvállalat havonta átlagosan 15370e Ft-ot fizet ki a dolgozóinak. Mennyibe „kerülnek” a dolgozók a vállalatnak? 10. Megfigyelték, hogy a Széles Álom úton a Bárhova elágazáson csúcsidőben összesen kb. 6000 autó halad keresztül egy óra alatt. 5 2 Nevesincs felé az autók -a, Seholsincs felé pedig az autók -e megy. Hány autó megy Útsincs 12 3 felé?

104



11. Párosítsd össze a KRESZ-táblákat az utakkal!

12. Nyerő úr 1 200 000 Ft-ot nyert a lottón. Azt a tanácsot kapta, hogy pénzének egy részéért befektetési jegyet, a másik részéért OTP takaréklevelet vegyen. A befektetési jegy évente 18%-ot, a takaréklevél 11%-ot kamatozik. Egy év elteltével 1,35 millió Ft-ja lett. Számold ki, hogy Nyerő úr mekkora értékben vett befektetési jegyet! 13. Egy vadaskertben nyulak és fácánok vannak. Az állatoknak összesen 50 feje és 140 lába van. Hány nyúl és hány fácán van a vadaskertben?

Feladatgyűjtemény 1. Z oli 5 pár fehér és 3 pár kék zoknit tart a a fiókjában. Elég rendetlen fiú, és mosdás után sohase párosítja össze a zoknikat, csak bedobja őket a fiókba. Egy téli reggelen áramszünet volt, és Zolinak sötétben kellett egy pár zoknit kiválasztania. a, Legalább hány darab zoknit kellett kivennie, hogy biztosan legyen köztük egy pár? b, Legalább hány darab zoknit kellett kivennie, hogy biztosan legyen közöttük egy kék színű pár? 2. A londoni Diamond & Sons február utolsó hetében teljes készletét felszámolta. Ennek során: hétfőn eladták a drágakövek felét és még négy darabot; kedden a maradék felét és még kettőt; szerdán ötöt; csütörtökön pedig kettő híján a még meglévő kövek felét. Ezután nyolc drágakő maradt. Hány drágakő volt hétfő reggel?



105

3. Tudjuk, hogy New Yorknak több lakosa van, mint ahány hajszál bármelyik lakos fején, és hogy senki sem teljesen kopasz. Következik-e ebből, hogy kell lennie legalább két lakosnak, akinek pontosan ugyanannyi hajszála van? (A feladat Raymond Smullyan: Mi a címe ennek a könyvnek? Című könyvében – Műszaki Könyvkiadó, 1988 – található.) 4. Egy vonat elindul Bostonból New Yorkba. Egy órával később elindul egy másik vonat New Yorkból Bostonba. A két vonat sebessége pontosan ugyanakkora. Melyik vonat lesz közelebb Bostonhoz, amikor találkoznak? (A feladat Raymond Smullyan: Mi a címe ennek a könyvnek? Című könyvében – Műszaki Könyvkiadó, 1988 – található.) 5. Öt lány: Kati, Éva, Zsuzsi, Panni és Rozi körmérkőzéses pingpongversenye véget ért. Szüleik nem mentek el a versenyre, és ezzel kiérdemelték gyermekeik jogos haragját. A lányok megállapodtak abban, hogy mindegyikük csak „féligazságot” mond otthon a versenyről, azaz egy igaz és egy hamis állítást, ezzel büntetik nemtörődöm szüleiket. A következőket állították a versenyről: Kati: Panni a versenyen második lett. Sajnos én csak harmadik lettem. Évi: Nagyon örülök, mert én lettem az első. Zsuzsi a második helyen végzett. Panni: Második lettem. Rozi lecsúszott a harmadik helyre. Rozi: A negyedik helyen kötöttem ki. Katinak a legjobb, ő lett az első. Zsuzsi: Csak a harmadik lettem. Szegény Évinek csak az utolsó hely jutott. Állítsd össze a helyezések sorrendjét! 6. El lehet-e osztani 10 zseb között 44 forintot úgy, hogy mindegyik zsebbe más és más számú forintos érme kerüljön? Hogyan? 7. Egy meleg nyári napon Péter bevásárolt barátainak a büfében. Vett 13 limonádét, egyenként 150 F-ért, 6 adag virslit és 9 szendvicset. Az eladó szerint összesen 4210 Ft-ot kellett volna fizetnie. „Az nem lehet” – mondta, pedig még nem is tudta, mennyibe kerül a virsli és a szendvics. Miért lehetett ilyen biztos a dolgában? 8. Az Előrelátás Kft. új igazgatója működését azzal kezdte, hogy az alkalmazottak számát megduplázta. A következő hónapban felvett még 7 dolgozót. Ezután megsokallta a beosztottak számát, és elbocsátotta a dolgozók 40%-át. Kisvártatva kiderült, hogy akadozik a munka, nosza gyorsan felvett 15 embert. Az újabb takarékossági intézkedések hatására azonban kénytelen volt a dolgozók egyharmadát elbocsátani. Így már csak 24-en dolgoztak a cégnél. Hányan dolgoztak a cégnél az új igazgató megérkezése előtt? Végül hogyan változott a munkanélküliségi ráta az új igazgató rendelkezéseivel? 9. A matematikaversenyen 10 feladatot kellett megoldani. A versenyzők minden helyesen megoldott feladatért 5 pontot kaptak, a meg nem oldott vagy hibás feladatokért pedig egyenként 4 pontot vontak le. Hány feladatot oldott meg helyesen az a tanuló, akinek az összeszámoláskor 32 pontja volt? És az, akinek 10 pontja volt? Lehet-e valakinek negatív pontja? Lehet-e nulla pontja? Mi lehet a legkevesebb pontszám? Hogyan lehetne a lehetséges pontszámokat általános formában felírni? 10. Egy szabadtéri koncert szünetében 3 mozgóárus perecet árult, 100 Ft-ért darabját. Átlagos jövedelmük az egyik este 22400 Ft volt. Az árusok közül az első 50%-kal, a második 70%-kal nagyobb forgalmat bonyolított le, mint a harmadik. Hány perecet adtak el külön–külön?

106



11. Egy óra árát 25%-kal felemelték, de nem volt elég kelendő, ezért az új árát 25%-kal csökkentették. Végül ki járt jobban; a vevő, vagy az eladó? 12. A tőkéd 1800 000 Ft volt 2 éve. Az egyharmadát részvénybe fektetted, kétötödét betétkönyvben kamatoztatod, a többiért állampapírt vásároltál. A részvény nem kamatozik, de 2 év alatt összesen 30% osztalékot fizettek utánuk. A betétkönyv 10%-ot, az állampapír 15%-ot kamatozott évente. Mennyivel nőtt a tőkéd 2 év alatt? Százalékosan melyik befektetési forma hozott a legtöbbet a konyhára? 13. A természetes számsorban egymást követő három szám összege 56. Évi rögtön tudja, hogy téves az eredmény. Találd ki, honnan jött rá! Javítsd ki úgy az adatokat, hogy legyen megoldása a feladatnak! 14. E gy szám harmada 2-vel nagyobb a nála 12-vel nagyobb szám hatodánál. Melyik ez a szám? 15. A toronyóra 9 órát mutat. Hány órát fog mutatni 4 óra, 17 óra, 60 óra, 2 nap, egy hét, 602 óra múlva? 16. Egy bankban 560 000 Ft egy év alatt 15%-ot kamatozik, de a kamatadó 20%. Megéri betenni a pénzt? Mennyi lesz a kezdeti pénzből? Mennyi a kamatadó? Hány százalékos a valódi, kamatadóval csökkentett kamat? 17. E gy vállalkozás beindításához a Vállalkozói Alapítvány Kuratóriuma Vállalkozási kölcsönt ad. A kölcsön nagysága arányos a vállalkozó magántőkéjével. Fontosék és Tollasék vállalkozói kölcsönt akarnak fölvenni. A két család indulótőkéjének aránya 2:5. Fontosék mennyi kölcsönt kapnak, ha Tollasék 780 000 Ft-ot kaptak? 18. A 200 000 Ft-os tőkédet január 2-án évi 8 %-os kamattal beteszed a bankba. Június 16-án kiderül, hogy mégis szükséged van a pénzre. Mennyi pénzt kapsz, ha a bank minden nap számít kamatot, és nem szökőévről van szó? 19. Zöldék házat akarnak építeni. Már készen vannak az alapozással. A nyolctagú, „Tégladobáló” kőműves csapat a falak felépítését 25 napra vállalja. Zöldék azonban inkább a 15 tagú, „Sörszerető” csoportot bízzák meg a munkával. Ha feltételezzük, hogy minden kőműves teljesítménye egyforma, akkor hány nap alatt lesz ez a csapat készen a falak felhúzásával? És ha egyszerre mindkét csoport dolgozna? És ha még 1000 munkás? 20. B élának és Karcsinak pénzre volt szüksége, ezért a szünetben elmentek szórólapokat osztogatni egy diákszövetkezethez. Béla nemsokára megbetegedett, így Karcsinak egyedül kellett befejeznie a vállalt feladatot. Úgy egyeztek meg, hogy a pénzt 1:4 arányban osztják el egymás közt. Mennyi pénzt kaptak, ha Karcsi 33360 Ft-tal többet kapott, mint Béla? 21. Zöldövezetben lakóparkot építenek. A telek nagysága 1,5 ha (1 ha=10000 m 2). A beépítési rendelet szerint a zöldövezetben a telek nagyságának 33%-ára lehet házat építeni. Három ház építését tervezik úgy, hogy a házak alapterületének az aránya 3:4:5 legyen. Mekkora a házak alapterülete külön-külön és együtt? Egyetértesz-e azzal, hogy a teleknek csak 33%-át lehet felhasználni? (A válaszodat indokold is!)

hasáb, henger

0781. Ismerkedés a hengerrel, hasábbal

Készítette: Vépy-benyhe judit

108

matematika „A” – 7. évfolyam – 078. hasáb, henger


1. feladatlap A körhenger, hasáb fogalma A következő pár órában testekkel fogunk ismerkedni. Eddig is találkoztunk már a téglatesttel, és annak egy speciális fajtájával, a kockával. Most továbblépünk, és megismerkedünk a körhengerekkel, hasábokkal.

1. A képen látható testek közül melyik hasáb? Melyik körhenger? Hengerfelület: Vegyünk egy síkidomot (pl. négyzet, kör, konkáv hatszög, de lehet bármilyen „amőba” alakú görbe vonal…). Ennek a síkidomnak a határvonalának pontjain keresztül húzzunk egymással párhuzamos, a síkot metsző egyeneseket. Ezek a párhuzamos egyenesek hengerfelületet alkotnak. Alkotóknak hívjuk őket. (A síkidom határvonalát pirossal, a párhuzamos egyeneseket feketével jelöltük az ábrán.)

Ilyen hengerfelületeket láthatunk a hétköznapi életben is. Pl.: gázcsővezeték a föld alatt (eltekintünk a kanyaroktól és a végességtől), tubusból kinyomott fogkrém (ha végtelennek tekintjük), két épület között egy függőfolyosó (természetesen végtelennek tekintve)…



109

Ha a hengerfelületet elvágjuk két párhuzamos síkkal, akkor egybevágó alakzatokat metszünk ki.

Elnevezések: alapok (piros): a két határoló síkidom; palást (szürke): a hengerfelületből kivágott véges rész.

Körhengerek:

A körhenger részei: A körhengert két körlap, és egy görbe felület, a palást határolja. A palástot a két körlap pontjait összekötő – párhuzamos és egyenlő hosszúságú – alkotók alkotják. Alaplapok: a két körlap. Palást: A körhengert határoló görbe felület. Magasság: A henger két alaplap síkjainak távolsága. Alkotók: Az alaplapokat összekötő párhuzamos szakaszok.

110



Egy különleges eset:

Henger határfelülete az alaplapok nélkül: palást.

Az egyenes körhenger olyan henger, melynek alaplapjai körök és az alkotói merőlegesek az alaplap síkjára.

Ha egy egyenes körhenger palástját egy alkotó mentén felvágjuk, és kiterítjük, akkor egy téglalapot kapunk. A hasáb: (Az elnevezés eredete: gondoljatok a hasábfákra, amiket baltával hasogatnak tüzelőnek!)



111

A hasáb részei: A hasábot csupa sokszöglap határolja. Alaplapok: a két párhuzamos és egybevágó sokszöglap. Oldallapok: A hasáb többi lapja, ezek paralelogrammák. Palást: az oldallapok együttesen alkotják a hasáb palástját. Magasság: A hasáb alaplapjait tartalmazó síkok távolsága. Alapél: Az alaplapok sokszögeinek oldalai. Oldalél: A hasáb többi éle. Ezek egymással párhuzamosak és egyenlő hosszúságúak. Alkotók: A hasáb két alaplapját összekötő párhuzamos, egyenlő hosszúságú szakaszok. Az oldalélek egyben alkotók is.

Egy különleges eset:

Palást: A hasáb oldallapjainak összessége.

112



Egyenes hasáb: Olyan hasáb, melyek alkotói merőlegesek az alapokra. Ennek oldallapjai téglalapok, magassága megegyezik az alkotó hosszával.

A szabályos sokszögalapú egyenes hasábok különlegesek: az alaplapjuk szabályos sokszög, az oldalélek merőlegesek az alap síkjára. Az oldallapjai téglalapok.

Szabályos hatszögalapú egyenes hasáb

Szabályos ötszögalapú egyenes hasáb

Szabályos háromszögalapú egyenes hasáb

2. Milyen testet kapunk, ha megforgatunk egy téglalapot az egyik, majd a másik oldala mentén? Rajzold le a testeket!

ÖSSZEgzés Az egyenes körhengereket más néven forgáshengereknek is nevezzük.



113

3. Keresd ki az alábbi testek közül a körhengereket, és a hasábokat! Ezek betűjeleit helyes sorrendbe rakva két szót kapsz, melyek együtt értelmes összetett szót alkotnak. Melyik ez a szó? Színezd sárgával a hasábok és a körhengerek alaplapjait! Melyik test forgáshenger?

114



2. feladatlap 1. Keresd meg az alábbi „oszlopok” hálóit! Párosítsd össze a számokat a betűjelekkel! Színezd a hálókon az alaplapokat sárgára!


Test


115

Háló

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

A hasábok hálója A hasábok és hálóik összepárosítása során számos tapasztalatra tettünk szert, ezt most összefoglaljuk: 1. A téglatestnél bármely lap és a vele szemben lévő lap lehet a hasáb alapja. A többi határoló téglalap a palástot alkotja. (A betűjelű háló.) 2. Egy hasábhoz többféle hálót készíthetünk. (Pl. 4. számú testhez C, J betűjelű háló.) 3. Minden egyenes hasábhoz tudunk olyan hálót készíteni, ahol a két alaplapon kívül egy egybefüggő téglalap alkotja a kiterített hálót. Ez a téglalap a palást kiterítve. Ennek a téglalapnak az egyik oldala az alaplap kerületének hosszával egyenlő, míg másik oldalának hossza a hasáb magassága. Megjegyzés: A hasáb magasságát „m” vagy „M” jelöli. Nagy betűkkel általában a pontokat, csúcsokat szoktuk jelölni, de az „M” betű mégis használatos a test magasságának jelölésére, mert gyakran „m” betűvel a test alaplapjának magasságát jelöljük.

116



2. Töltsd ki a táblázatot! Használd a műanyag hasábokat! Próbáld meg kitalálni a szabályt! Hasáb Téglalap alapú egyenes hasáb Derékszögű háromszög alapú egyenes hasáb Szabályos hatszög alapú egyenes hasáb Rombusz alapú egyenes hasáb Deltoid alapú egyenes hasáb Hegyesszögű háromszög alapú egyenes hasáb Ötszög alapú ferde hasáb Paralelogramma alapú ferde hasáb Hasáb, melynek n-szög az alaplapja

A forgáshengerek hálója

csúcsok száma

élek száma

lapok száma



117

feladatgyűjtemény 1. A halmazábrán látható a hengerek csoportosítása. Rajzolj a halmazábra minden részébe még legalább egy odaillő testet! Hol helyezkedik el a halmazábrában a téglatest és a kocka?

118



2. Válaszd ki az alábbi testek közül a körhengereket! Döntsd el, melyek hasábok! Az „oszlopok”-nak színezd sárgára az alaplapjait!

3. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Hasáb alaplapja

csúcsok száma

élek száma

lapok száma

Rombusz 6 6 18 Konkáv ötszög Tizenkétszög 9 24

hasáb, henger 0782. Hasáb és henger felszíne

Készítette: vépy-Benyhe judit

120



1. feladatlap Felszín fogalma 1. Melyik állítás helyes? (Lehet több is igaz.) A sokszöglapokkal határolt test felszíne… 1. a test területe. 2. megmutatja, a test, mekkora részt foglal el a térből. 3. a határoló lapok területének összege. 4. a téglalapok területének szorzataként számolható. 5. a határoló felület nagysága. 6. a sokszöglapok kerületének összege. 7. mindig pozitív szám, mértékegységei mm3, cm3, dm3, m3, stb. 8. a sokszöglapok területei. 9. a test térfogatával egyenlő. 10. mindig pozitív szám, mértékegységei mm2, cm2, dm2, m2, stb.

ÖSSZEGZÉS A felszín Két példa a testek felszínének szemléltetésére: 1. Ha pontosan rásimítunk egy vékony csomagolópapírt a testre, ami sehol nem „lóg le”, hanem mindenütt egy rétegben pontosan befedi a testet, akkor ennek a csomagolópapírnak a területe a test felszíne. (Eltekintünk a ragasztáshoz szükséges többszörös rétegekről.) 2. Ha a testet le kell gyártani például hajlékony, vékony fém lemezekből, vagy fa lapokból, akkor pontosan mekkora területű fém- (fa-) lemezre van szükség. (Eltekintünk a hulladéktól.) Az egyenes hasáb felszíne: A felszín a hasáb határolólapjainak (ezek síkbeli sokszögek) kiterítésével kapott háló területe. Ez a háló a két alaplapból és a palástból áll. Ezért a felszín: Aegyenes hasáb = 2 · Talaplap + Tpalást

Írd le a derékszögű egyenes háromszögalapú hasáb felszínképletét! (Az ábrán látható jelöléseket használd. Alakítsd úgy a képletet, hogy csak a, b, c és m szerepeljen ismeretlenként.) .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................


0782. Hasáb és henger felszíne

121

ÖSSZEGZÉS Forgáshenger felszíne: Megállapíthatjuk, hogy az egyenes hengernél is számolhatjuk a felszínt a kiterített hálójának területeként. Meg kell azonban jegyezni, hogy eddig síklapokról volt csak szó, most azonban pl. az egyenes körhengernél a palást nem síklapokból áll, de kiteríthető egy téglalappá. Ezért: Aforgáshenger = 2 · Talaplap + Tpalást

Írd le az egyenes körhenger felszínképletét! (Az ábrán látható jelöléseket használd. Alakítsd úgy a képletet, hogy csak m és r szerepeljen ismeretlenként.) .................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................

2. feladatlap Hasábok felszíne – egyszerű példák 1. Mérd le a téglatest alakú literes tartós tejes doboz éleinek hosszát? Mekkora darab papírból gyártották? Szerinted melyik az alaplapja? Lásd be, hogy mindegy, hogy a téglalap felszínképletét vagy a téglalap alapú egyenes hasáb felszínképletét használod! 2. Mekkora a háromszögalapú egyenes hasáb felszíne, ha a háromszög oldalai: 3 cm, 4 cm, 5 cm, a hasáb magassága pedig 7 cm? (Szerkeszd meg az alaplapot!) Készítsd el a füzetbe a hálóját! 3. Háromszögalapú hasáb alaplapjáról a következőket tudjuk: egyenlőszárú háromszög, melynek alapja 6 cm, magassága 4 cm. Mekkora a hasáb felszíne, ha magassága 8 cm? Készítsd el a füzetbe a hálóját! 4. Egy fémből készült váza alapja rombusz, melynek oldalhossza 8 cm, a rombusz magassága 6 cm. A váza magassága 22 cm. Mekkora lemez fémből gyártották? Készíts vázlatot az alaplapról! Tüntesd fel a megadott hosszakat!

122



5. Egy papírdoboz alapja paralelogramma, melynek oldalhossza 5 cm és 6 cm, a 6 cm-es oldalhoz tartozó magassága 4 cm. A doboz magassága 8 cm. Mekkora darab papírból készült? Készíts vázlatot az alaplapról! Tüntesd fel a megadott hosszakat! 6. Háromszögalapú hasáb alaplapjáról a következőket tudjuk: egyenlőszárú háromszög, melynek alapja 12 cm, magassága 80 mm, szára 1 dm. Mekkora a hasáb felszíne, ha magassága 0,6 dm? 7. Egy ötszögalapú egyenes hasáb alaplapja:

Számítsd ki a felszínét, ha magassága 7 cm! (A szükséges adatok az ábrán szerepelnek.) 8. Egy ötszögalapú egyenes hasáb alapterületét jelöljük T-vel. Az ötszög oldalai a, b, c, d, és e. Ha m a testmagassága, mekkora a hasáb felszíne?

3. feladatlap Hasábok felszíne – összetett példák 1. Egy erdélyi faragott fából készült íróasztali ceruzatartó dobozka nyolcszög alapú egyenes hasáb. Alaplapjának méretei:

3 cm 2 cm

2 cm

2 cm

1,5 cm 6 cm

Mekkora területű csomagolópapírba tudom becsomagolni, ha a ceruzatartó magassága 10 cm, és hulladékra, illetve csomagolásra 20% kell a csomagolópapírból körülbelül? (A ceruzatartónak nincs fedele, de csomagolópapír természetesen arra a részre is kell.) A ceruzatartó alaplapjának méretei: 2. Mennyi festékre van szükségünk egy egyenes hasáb alakú kerámia váza oldalának egyenletes befestéséhez, ha magassága 3 dm, a váza alaplapja szabályos háromszög, melynek oldala 0,7 dm? 1 liter festék 6 m2 felület befestésére elegendő. (A váza alját nem festjük be, csak az oldalait kívülről.)


0782. Hasáb és henger felszíne

123

3. Szabályos hatszög alapú egyenes hasáb testmagassága 4,5 dm. A hatszög oldala 4 dm. Szerkeszd meg az alaplapot! Állapítsd meg a felszínét! 4. Egy bonbonos doboz alapja szimmetrikus trapéz, melynek szára 1 dm, alapjai 14 cm és 26 cm. A trapéz magassága 8 cm. Ha a doboz magassága 5 cm, mekkora papírból gyártották? (A ragasztásra és illesztésre kb. 10% anyagot hagytak.) Készíts vázlatot az alaplapról! Tüntesd fel a megadott hosszakat! 5. Egy paralelogramma alapú egyenes hasáb magassága és alaplapjának egyik oldala 5 cm. Az alaplapot alkotó paralelogramma másik oldala 4 cm, egyik belső szöge 45°. Szerkeszd meg az alaplapot! A szükséges adatok lemérése után állapítsd meg a hasáb felszínét! 6. Mekkora a felszíne annak a deltoid alapú egyenes hasábnak, melynek alaplapja 4 és 7 cm oldalú deltoid, szimmetriaátlója 9 cm? A test magassága 1 dm.

4. feladatlap Forgáshengerek felszíne – egyszerű példák 1. Mekkora a felszíne a forgáshengernek, ha a) alapkörének sugara 4 cm, magassága 10 cm? Szerkeszd meg a hálóját! b) alapkörének sugara 6 cm, magassága 3 cm? Szerkeszd meg a hálóját! c) alapkörének átmérője 2 m, magassága 0,8 m? 2. Egy forgáshenger alakú gázcső hossza 3 m. Átmérője 20 cm. Hány négyzetméter vaslemezből gyártották? 3. Mekkora a magassága az egyenes körhengernek, ha alapkörének sugara 3 cm, felszíne 169,56 cm2? 4. Egy májkrém konzerv magassága 38 mm, átmérője pedig 54 mm. Mennyi fémlemez szükséges az elkészítéséhez? (A májkonzervet szabályos egyenes körhengernek tekintjük, a tetején és alján körbefutó peremtől eltekintünk.) 5. Egy Túró Rudi keresztmetszetének átmérője kb. 2 cm, hossza 8 cm. Hány cm2 étcsokoládé bevonóval készítették el?

124



5. feladatlap Forgáshengerek felszíne – összetett példák 1. Egy gyerekmedence a strandon forgáshenger alakú. Az oldalát és az alját szeretnénk befesteni. Mennyi festéket vásároljunk, ha 1 liter festék kb. 6 m 2 felület befestésére elegendő, és kétszer akarjuk átfesteni a medencét? A medence fél méter mély, és alapkörének átmérője 2 m? 2. Egy vasúti alagutat felújítanak: A belső falát lemossák nagynyomású vízsugárral. Hány négyzetmétert kell megtisztítani, ha az alagút keresztmetszete egy téglalapból és egy félkörből kirakható? A méretek az alábbi ábrán láthatóak. Az alagút hossza 15 m.

5m

4m

3. Mekkora annak a hengernek a térfogata, melynek alaplapja 153,86 dm 2, és magassága megegyezik az alapkörének átmérőjével?

hasáb és henger 0783. Hasáb és henger térfogata


126



A térfogat A testek térfogata egy olyan szám, ami azt mutatja meg hogy a test a térnek mekkora részét foglalja el. Ennek a számnak 4 fontos tulajdonsága van:

– pozitív szám, – egybevágó testekhez egyenlő szám tartozik, azaz térfogatuk egyenlő, – ha egy testet két testre vágunk szét, a két test térfogatának összege egyenlő az eredeti test térfogatával – szükség van egységre, melynek térfogata 1. Általában az egységoldalú kocka térfogatát választjuk egységnek. A jobb oldali test térfogata 10 egység, mivel 10 egységkockából áll. A térfogat leggyakrabban használt mértékegységei: mm3, cm3, dm3, m3. 10 · 10 · 10 mm3 = 1000 mm3 = 1 cm3. 10 · 10 · 10 cm3 = 1000 cm3 = 1 dm3. 10 · 10 · 10 dm3 = 1000 dm3 = 1 m3.

1. feladatlap 1. Rakd ki 1 cm3 -es kockákból (színes rúdkészletben a fehér kocka) az alábbi egyenes hasábokat, és állapítsd meg a térfogatukat! Az ábra a hasábok alaplapját ábrázolja. Magasságukat m-mel jelöltük.

m = 2 cm

m = 3 cm

m = 2 cm

m = 4,5 cm

ÖSSZEGZÉS Egyenes hasábok térfogata Tapasztaltuk, hogy az egyenes hasábok térfogata úgy számolható, hogy az alaplapjuk területét megállapítjuk, majd szorozzuk a magasságukkal. Pl. Az alábbi hasáb alapterülete 6 cm2, mivel 6 db 1 cm2-es négyzetből lehet kirakni. Épp ugyanennyi 1 cm3-es kocka fér rá. Ebből 2 réteget rakok egymásra, hogy megkapjam a hasábot. Tehát 6 · 2 db 1 cm3-es kockát használtam a hasáb kirakásához. A hasáb térfogata tehát 6 · 2 = 12 cm3.

Általában: Vegyenes hasáb = Talaplap · M.

m = 2 cm


0783. Hasáb és henger térfogata

127

2. feladatlap 1. A megadott adatok alapján döntsd el, mely egyenes hasábok térfogata egyenlő!

Sárga hasáb: Szabályos négyzet alapú egyenes hasáb, melynek alapélei 3 cm, testmagassága 6 cm. Narancs hasáb: Szabályos háromszögalapú egyenes hasáb, alaplapjának területe 4 cm2, testmagassága 9 cm. Piros hasáb: Szabályos hatszög alapú hasáb, alaplapjának területe 10 cm2, magassága 6 cm. Zöld hasáb: 18 cm2 alapterületű szabályos ötszög alapú hasáb, melynek testmagassága 3 cm. Kék hasáb: 3 cm és 4 cm oldalú téglalapalapú hasáb, melynek magassága 5 cm. Lila hasáb: 3 cm magasságú hasáb, 4 cm és 6 cm átlójú deltoid alappal.

EMLÉKEZTETŐ Űrtartalom, térfogat Az űrtartalom megmutatja, hogy egy testben hány liter folyadék fér el. Mértékegysége a liter. 1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml. 100 l = 1 hl. A térfogat azt mutatja meg, hogy mennyi helyet foglal el a test a térből. Az űrtartalom és a térfogat mértékegységei között kapcsolat van: 1 liter folyadék fér el az 1 dm élhosszúságú kockába. Ezért ha ismerjük a test űrtartalmát, ebből meghatározhatjuk a test térfogatát. Az űrtartalomról tehát „üreges”, „üres” test esetében beszélhetünk, hiszen ebbe tudunk folyadékot tölteni. Térfogatról pedig „kitöltött”, „tömör” test esetében. Természetesen ez a két fogalom ugyanaz, hiszen épp annyi helyet fog elfoglalni a test a térből, amennyi folyadék fér bele. (1. megjegyzés: Itt természetesen eltekintünk a test határoló lapjainak, felületének anyagvastagságától. Pl. egy vastag üvegpalack térfogata és űrtartalma nem egészen ugyanaz, hiszen kevesebb bor fér bele, mint amennyi helyet elfoglal a térből. Ezért beszélhetünk belső űrtartalomról és külső térfogatról. Például a mikrohullámú sütők és a mosógépek, mosogatógépek esetén beleírják a használati utasításba a méreteit és a belső űrtartalmát.) (2. megjegyzés: Egy liter, azaz egy dm3 0 C° hőmérsékletű tiszta víz tömege 1 kg.)

128



ÖSSZEGZÉS Forgáshenger térfogata Az egyenes körhenger térfogatát ugyanúgy kell számolnunk, mint az egyenes hasábét. Az alaplapra ismét egységkockákat helyezhetünk, ez lefedi az alaplap területét (ez egy egységnyi vastagságú réteg). A henger magasságának megfelelő mennyiségű egységkocka réteget tudunk egymásra rakni. Tehát a térfogat itt is: Vegyenes henger = Talapkör · m Ha tudjuk egy henger alapkörének sugarát, akkor az alaplap területe a tanult képlettel számolható (r2 · π). Ha a magasságát is ismerjük a hengernek, akkor ki tudjuk számolni a térfogatát.

3. feladatlap Körhenger térfogata 1. Mekkora az r sugarú alapkörű, M magasságú egyenes körhenger térfogata, ha a képletet úgy szeretnénk megkapni, hogy csak r és M szerepeljen ismeretlenként.

2. Mekkora az alábbi egyenes körhengerek térfogata: (M a magasság, r az alapkör sugara, d az alapkörének átmérője.) a) r = 4 cm; M = 10 cm b) r = 3 cm; M = 72 mm c) d = 1 m; M = 2 m d) a henger magassága az alapkör átmérőjének 80%-a, az alapkör sugara 2 dm. Hengerek térfogata: Egyenes hengerek térfogatát szeretnénk meghatározni (Tehát nem kör vagy sokszög alakú az alapja a hengernek, hanem valami egyéb síkidom. Lehet akár szabálytalan, „amőba” alakú.) Képzeljük el, hogy az alaplapot kirakjuk egységkockákkal (természetesen előfordulhat, hogy az egységkockákból párat darabolni kell).

Ezután ezekre a kockákra egy ugyanilyen alakú réteget rakhatunk ugyanennyi egységkockából, majd efölé egy új ugyanilyen réteget, egész addig, míg az egész hengert kirakjuk. (Előfordulhat természetesen, hogy az utolsó rétegnél darabolni kell a kockákat.) Elegendő azt észrevenni, hogy az alaplap kirakásához éppen az alapterület mérőszámának megfelelő számú kocka kellett, míg a rétegek száma épp a henger magasságának mérőszámával egyezik meg. Ezért a térfogat: Vegyenes henger = Talaplap · m



129

feladatgyűjtemény Űrmérték, térfogat mértékegységei 1. Írd be a hiányzó mértékegységeket, mérőszámokat! 8 l = ________ dl = ________ cl = ________ ml = ________ dm3 = ________ cm3 = ________ mm3 500 000 ml = 5 000 ________ = 500 ________ = 50 000 ____ 1,6 dm3 = 1 600 ________ = ________ mm3 = ________ cm3   0,00002 m2 = 0,002 ________ = ________ cm2 = ________ mm2  7 070 dm2 = ________ cm2 = 70,7 ________ = 70 700 000 ________

Hasábok térfogata 2. Mekkora annak a négyzet alapú egyenes hasábnak a térfogata, melynek alapélei 6 cm hosszúak, magassága pedig 15 cm? 3. Egy akvárium téglatest alakú. Magassága 35 cm, szélessége 1 dm, hossza 5 dm. Hány liter víz fér bele? Hány négyzetcentiméter üveglapot használtak fel készítésekor? (Az akváriumnak nincs teteje.) 4. Egy deltoid alapú egyenes hasáb magassága 8 cm. A deltoid szimmetriaátlója 5 cm, másik átlója 4 cm. Mekkora a hasáb térfogata? 5. Egy rombusz alapú egyenes hasáb alaplapjának egyik szöge 60°, minden éle 6 cm. Az alaplap megszerkesztése után mérd le a szükséges adatokat, és határozd meg a hasáb térfogatát! 6. Egy szabályos hatszögalapú egyenes hasáb alapéle 5 cm, oldaléle az alapél 80%-a. Szerkeszd meg az alaplapot, mérd le a szükséges adatokat, majd számold ki a hasáb térfogatát! 7. Egy ház alakját és méreteit látod az alábbi ábrán. Hasáb alakú-e? Ha igen, melyik lap az alaplap, mely lapok alkotják a palástot? Szeretnék a ház fűtőberendezését megtervezni. Hány köbméter levegő van a házban, ha a padlást is beleszámoljuk, és eltekintünk a belső falaktól és a falak vastagságától?

8. Egy parfümöt szabályos háromszögalapú egyenes hasáb alakú keskeny üvegben hoznak forgalomba. Az alapéle 3 cm. Milyen magas a hasáb, ha épp 50 ml parfüm van benne? (A szükséges adatokat mérd le a megszerkesztett alaplapon!) 9. Egy rombuszalapú egyenes hasáb alaplapjának területe 27 dm 2, alapéle 10 dm, oldaléle 1,1 m. Mekkora a térfogata? 10. Egy cég a testápolóját négyzet alapú egyenes hasáb alakú flakonba csomagolja. Mekkora az alaplap oldala, ha a flakon magassága 10 cm, és 250 ml testápoló van benne?

130



Forgáshengerek térfogata 11. A nna bögréjének átmérője 6 cm. Milyen magas a bögre, ha éppen 3 dl kakaó fér bele? (A bögre forgáshenger alakú.) 3 12. Egy felfújható gyerekmedence átmérője 1,4 m. Magassága 0,5 m. Ha a részéig töltjük fel hideg4 vízzel, hány liter vizet kell felhasználnunk? 13. Egy vödör átmérője 20 cm. Milyen magas, ha 10 l víz fér bele?

Hasábok, hengerek térfogata és felszíne – egyszerű feladatok 14. Gyűjtsetek körhenger vagy hasáb alakú használati tárgyakat! (konzervek, torta, befőttesüvegek, palackok, stb.; amit nem tudtok az iskolába hozni, annak a méreteit mérjétek le!) Számoljátok ki a térfogatát, felszínét! Kerekítsetek tizedekre! Nézzétek meg, hogy belefér-e a ráírt űrtartalom! Ha grammban vagy kilógrammban van megadva a töltőanyag mennyisége, számoljátok ki a sűrűségét! (A sűrűség megmutatja, hogy egységnyi térfogaton mekkora tömegű anyag helyezkedik el. A sűrűséget úgy számoljuk, hogy a tömeg és a térfogat arányát vesszük. Mértékegysége a kg/m3, g/dm3...)

15. Egy hagyományos sátor hossza 1,5 m, szélessége 80 cm, a tartórúdja 1 m. Mennyi vászonból varrták, ha a szegésre, hajtásra ráhagyunk 5%-ot? Hány köbméter levegő van benne?

16. Egy háromszögalapú egyenes hasáb alapélei: 5 cm, 7 cm, 78 mm. Magassága 1 dm. Mekkora a térfogata, felszíne?



131

Hasábok, hengerek térfogata és felszíne – összetett feladatok 17. 1350 g tömegű torta átmérője 22 cm, magassága 6 cm. Beborítjuk 2 mm-es marcipánmázzal a tetejét és az oldalát. Hány ml marcipánra van szükségünk? Mekkora a torta sűrűsége (A mázat nem vesszük figyelembe.)

18. Egy átlagos fogkefe fejének hossza kb. 2,5 cm. A tubusból kinyomott fogkrém átmérője 0,8 cm. Ha annyi fogkrémet nyomunk ki, hogy végigérje a fogkefét, hány milliliter fogkrémet használunk el? Körülbelül hány fogmosásra elég egy tubus (75 ml) fogkrém?

19. Egy szabályos nyolcoldalú egyenes hasáb alakú vázát akarunk befesteni. A nyolcszög akkora, hogy épp egy 8 cm átmérőjű körbe tudjuk belerajzolni. Szerkeszd meg a nyolcszöget! Hány cm2 nagyságú területet kell befesteni, ha a váza magassága 2,5 dm? (Csak az oldalát festjük be.) Hány liter víz fér a vázába? 20. Egy 4 cm sugarú egyenes körhengerben víz van. Egy vasgolyót beledobok a vízbe, és azt látom, hogy a vízszint megemelkedik 1 cm-t. Mekkora volt a golyó térfogata? Mi történt volna, ha alumíniumból van a golyó? 21. Egy 5 cm élű tömör fémkockát egy vízzel félig töltött egyenes körhengerbe rakunk. Mennyit emelkedik a vízszint, ha a körhenger átmérője 1 dm? 22. Határozd meg egy „hidacska” építőkocka felszínét és a térfogatát! Az építőelem oldalnézete, méretei az ábrán láthatóak, szélessége 4 cm.

hozzárendelések Függvények, Sorozatok 0791. Függvények fogalma, ábrázolása; lineáris függvények

Készítette: paróczay józsef, pusztai julianna

134

matematika „A” – 7. évfolyam – 079. hozzárendelések…


1. FELADATLAP 1. M egadtunk két halmazt. Az A halmaz néhány európai nagyváros nevét tartalmazza, a B halmaz számokat. Az A halmaz elemeihez úgy rendeltük a B halmaz elemeit, hogy azok a nagyvárosok népességét mutassák. Sorold fel mindkét halmaz elemeit! Írd le a „” jelöléssel, hogy az A halmaz elemeinek melyik B halmazbeli elem felel meg! A halmaz

B halmaz

Párizs

2 millió

Budapest

1,4 millió

Róma

11 millió

Moszkva

3 millió

Stockholm

10 millió

2. Az A halmaz elemei gyümölcsök, a B halmaz elemei termések. Jelöld nyíllal a halmazábrán, hogy melyik gyümölcs melyik terméstípushoz tartozik! A = {szilva; ribizli; szőlő; alma; dió; őszibarack} B = {bogyó; alma; csonthéjas} A halmaz

B halmaz

Szilva

Bogyó

Ribizli Szőlő

Alma

Alma Dió

Csonthéjas

Őszibarack

3. Az A halmaz elemeit az első számegyenesen kék ponttal jeleztük. A B halmaz elemei a második számegyenesen vannak, ezeket nem jelöltük meg. Az A halmaz minden eleméhez rendeljük hozzá a valódi osztóit! Jelöld nyíllal ezt a kapcsolatot! Sorold fel mindkét halmaz elemeit! 0 1

0

5

1

10

2

15

3

20

4

5

25

6

30

7

8


0791. Függvények fogalma, ábrázolása; lineáris függvények

135

4. Ebben a feladatban a hozzárendelést szám párokkal adtuk meg: minden szám pár első jelzőszámához a második jelzőszámát rendeljük hozzá.

(–3; –1); (–2,5; –0,5); ( –1; 1); (1; 3); ( 2; 4); ( 2,5; 4,5).

Add meg az A és B halmazt elemeik felsorolásával, és írd le, hogy milyen szabály szerint rendeltük az A halmaz elemeihez a B elemeit! Ábrázold ezt a kapcsolatot derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy az x tengelyen az A halmaz, az y tengelyen a B halmaz elemei legyenek! Rajzold meg halmazábrán is ezt az összefüggést! 5. Válogasd ki az előző hozzárendelések közül az egyértelműeket!

2. FELADATLAP 1. A z alábbi hozzárendelések közül melyek egyértelműek? Írjátok le a füzetetekbe a kapcsolódó elemeket a „” jelöléssel! a) Alaphalmaz: évszakok. Képhalmaz: a hónapok. Hozzárendelés: minden évszakhoz rendeljük hozzá a hónapok közül a hozzá tartozót! b) Alaphalmaz: a tanult tantárgyak. Képhalmaz: a hét munkanapjai. Hozzárendelés: minden tantárgyhoz rendeljük hozzá azt a napot, amikor órarend szerinti óra van! c) Alaphalmaz: a háromnál kisebb abszolút értékű egész számok. Képhalmaz: az ötnél kisebb nem negatív egész számok. Hozzárendelés: minden alaphalmazbeli elemhez rendeljük hozzá a négyzetét! d) Alaphalmaz: {2,1; ; 5,3; 6}. Képhalmaz: az első 10 természetes szám. Hozzárendelés: Az alaphalmaz minden eleméhez rendeljük hozzá a nála legalább hárommal nagyobb képhalmazbeli számot! e) Alaphalmaz: az 50-nél kisebb természetes számok. Képhalmaz: a 25-nél kisebb természetes számok. Hozzárendelés: Az alaphalmaz minden eleméhez rendeljük hozzá a valódi osztóinak számát! 2. A következő halmazok elemei között létesíts egyértelmű hozzárendelést! Add meg a hozzárendelés szabályát, majd szemléltesd Venn-diagramon az elemek kapcsolatát! a) A = {banán, kivi, eper, málna, meggy, narancs} B = {piros, bordó, sárga, narancs, zöld} b) A = {2; –3; 4; 3; –4} B = {2; 3; 4} c) A = {oxigén, széndioxid, levegő, limonádé} B = {elem, keverék, vegyület}

TUDNIVALÓ Az egyértelmű hozzárendelést függvénynek nevezzük. A hozzárendelési szabály minden alaphalmazbeli elemhez pontosan egy képhalmazbeli elemet, a függvényértéket rendeli.

136



3. FELADATLAP 1. A következő ábrákról három függvény összetartozó értékeit olvashatod le. Az első számegyenes az alaphalmaz, a második számegyenes a képhalmaz elemeit tartalmazza. Nyilakkal jelöltünk néhány összetartozó elempárt. Add meg a három hozzárendelés szabályát, rajzold be a hiányzó nyilakat, és írd be a függvényértékeket!

a) –5

0

5

–5

0

5

b) –10

0

10

0 1

c)

–3

0 1

0 1

2. A különböző játékgépek különböző szabállyal dolgoznak. „Dobjuk be” a játékgépbe egyenként az alaphalmaz (A) néhány elemét! Számítsuk ki a gép saját működési szabálya alapján a bedobott számhoz tartozó, kijövő (K-beli) elemet! Töltsétek ki a táblázatot, amelynek felső sorában a bedobott számok, az alsóban pedig a kiadott számok szerepelnek! a) A = {8-nál kisebb nem negatív egész számok} K = {egész számok}

x 2x – 3

Hozzárendelési szabály: minden A-beli számhoz rendeljük hozzá a kétszeresénél 3-mal kisebb számot! x y Mi lenne a függvényérték, ha a gép befogadóképessége nagyobb lenne, és elfogadná pl. a 10, 50, 100, 125 számokat is?



b) A = {–6-nál nem kisebb negatív egész számok} K = {egész számok}

137

x

Hozzárendelési szabály: rendeljük hozzá minden A-beli számhoz az abszolút értékét! Mely számok lesznek a függvényértékek halmazában?

|x|

x y Ha a gép elfogadja a –6-nál kisebb egész számokat is, hogyan határoznád meg az alaphalmazt, és ebben az esetben mi lenne a képhalmaz? Egészítsd ki az értéktáblázatot néhány ilyen szám párral! c) A = {sokszögek oldalszáma} K = {természetes számok}

4

Hozzárendelés: minden (adott oldalszámú) sokszöghöz rendeljük hozzá az átlóinak a számát! Az ábra a gép működésének egy pillanatfelvétele. Hány eleme lehet az alaphalmaznak, hány a képhalmaznak? Függvény-e ez a hozzárendelés? Miért? Vannak-e a a képhalmaznak „kimaradó” elemei, vagyis olyan természetes számok, amelyek nem értékei az adott függvénynek?

6

5 1. 5.

4.

2. 3.

5

sokszög oldalszáma sokszög átlói nak száma

4. FELADATLAP 1. Egy hordóba esővizet gyűjtünk öntözéshez. Egy tavaszi esős napon az alábbi grafikon szerint változott a hordóban lévő víz mennyisége. A megfigyelésünk fél órán keresztül tartott. Függvény-e az eltelt idő és a víz mennyisége közti kapcsolat? a víz mennyisége (liter)

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

idő (perc)

0

5

10

15

20

25

30

138



a) Készíts táblázatot a grafikon alapján! b) Írd le, hogyan változott a hordóban lévő víz mennyisége! c) Mennyi víz volt a hordóban a vihar elején? d) Leolvasható-e a grafikonról, hogy mikor állt el az eső? e) Hány literrel nőtt a hordóban lévő víz mennyisége? f) 10 perc elteltével mennyi víz volt a hordóban? Hogyan lehet ezt leolvasni? g) Mikor volt 16 liter a hordóban? 2. Emeséék biciklitúrán voltak az Őrségben. A grafikon a csoport sebességének változását mutatja az idő függvényében. Nézd meg figyelmesen az itt látható grafikont, és válaszolj az alábbi kérdésekre! sebesség (km/h)

40 35 30 25 20 15 10 5

idő (perc)

0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

a) Körülbelül mikor volt a legnagyobb a csapat sebessége?

b) Mikor mentek a leglassabban?

c) Voltak-e olyan időpontok, amikor ugyanakkora sebességgel mentek? Írj rá példát!

d) Körülbelül mekkora sebességgel mentek a 30. percben?

e) Írd le, mely időszakokban növekedett a kerékpárosok sebessége?

f) Az út dimbes-dombos területen halad. Lehet-e következtetni a grafikonból arra, hogy mikor kerekeztek dombra fölfelé, és mikor gurultak lefelé?

3. Meggyújtottunk egy 25 cm hosszú gyertyát. Egyenletesen égett, és azt tapasztaltuk, hogy 3 óra alatt a magassága 9 cm-t csökkent. Ábrázoljátok a gyertya magasságát az eltelt idő függvényében!



139

5. feladatlap 1. Ábrázold koordinátarendszerben a függvényt! A tengelyeken 2 négyzetrács legyen az egység. Hozzárendelési szabály: minden A-beli számhoz rendeljük hozzá a felét! a) A = {a 10-nél kisebb abszolút értékű páros számok} Készíts értéktáblázatot! Milyen függvényértékek szerepelnek a képhalmazban? x y=x:2 5

y

x –5

5

–5 b) A hozzárendelési szabály ugyanaz, mint az a) feladatban, de más az alaphalmaz. A = {a 10-nél kisebb abszolút értékű egész számok} Egészítsd ki az előző értéktáblázatot az alaphalmaz új elemeivel! Milyen új függvényértékek kerültek a képhalmazba? Jelöld az előző grafikonon a most kapott pontokat! c) Bővítsük tovább az alaphalmazt! A = {az egész számok}. Hány eleme van? Add meg a képhalmazt! Fel tudjuk-e sorolni az elemeit? Lehetnek-e a függvényértékek között a következő számok:

25,6;

100;

–97;

42,5;

–1206,5;

–50,25;

1 255 130,5?

d) Legyen most az alaphalmaz a racionális számok halmaza, vagyis A = {a racionális számok}. Add meg a képhalmazt! Egészítsd ki az alábbi értéktáblázatot! Lehetnek-e a függvényértékek között a következő számok:

25,6;

100;

Számíts ki minél több értékpárt, és ezeket is jelöld be a grafikonon! x y=x:2

–97;

42,5;

–0,8 –6,5 –3,6

1,2

–1206,5;

1,5

1,8

–50,25;

1 255 130,5?

140



2. Párokban dolgozzatok! A pár egyik tagja az A, másik a B feladatsorral dolgozzon! A megoldás után ellenőrizzétek egymás megoldásait, beszéljétek meg, hogy a két-két feladatot összehasonlítva milyen eltéréseket és milyen egyezéseket találtok!

A a) A = {az egész számok}

Minden egész számhoz rendeljük hozzá a háromszorosánál 2-vel kisebb számot! Mi lehet a képhalmaz? Függvény-e ez a hozzárendelés? Írd le a hozzárendelési szabályt képlet formájában is!

Készíts értéktáblázatot legalább 7 érték párral, és ábrázold grafikonon az összefüggést!

b) A = {racionális számok}

Minden számhoz rendeljük hozzá az abszolút értékét!

Mi lehet a képhalmaz? Függvény-e ez a hozzárendelés? Írd le a hozzárendelési szabályt képlet formájában is!

Készíts értéktáblázatot legalább 7 érték párral, és ábrázold grafikonon az összefüggést!

B a) A = {racionális számok}

Minden egész számhoz rendeljük hozzá a háromszorosánál 2-vel kisebb számot! Mi lehet a képhalmaz? Függvény-e ez a hozzárendelés? Írd le a hozzárendelési szabályt képlet formájában is! Készíts értéktáblázatot legalább 7 érték párral, és ábrázold grafikonon az összefüggést!

b) A = {az egész számok}

Minden számhoz rendeljük hozzá az abszolút értékét! Mi lehet a képhalmaz? Függvény-e ez a hozzárendelés? Írd le a hozzárendelési szabályt képlet formájában is! Készíts értéktáblázatot legalább 7 érték párral, és ábrázold grafikonon az összefüggést!

6. FELADATLAP Az alábbi grafikonok közül melyiket melyik „történettel” tudjátok logikai kapcsolatba hozni? Döntéseiteket indokoljátok! Írjátok fel, melyik tengelyen milyen változást jelöltünk! I.



141

II.

III.

a) Luca barátaival kirándulni ment. 4 óra alatt értek el egy gyönyörű tisztásra. Ott megpihentek, játszottak, majd két óra elteltével hazamentek. A kirándulás során végig egyenletes 3 km/h sebességgel haladtak.

b) Gergő öt napon keresztül napi 100 Ft-ot tett félre zsebpénzéből. Két napig nem tudott félretenni, és a következő napon elköltötte összes félretett pénzét. c) Egy 8 literes kannából másodpercenként 1 liter vizet öntünk ki. A 3. másodpercben 3 másodpercig megálltunk, majd kiöntöttük az összes vizet.

7. FELADATLAP 1. Négyfős csoportban oldjátok meg a feladatot! Osszátok el, hogy ki dolgozzon az a), a b), a c) illetve a d) ponttal! Ha mindenki elkészült a saját munkájával, beszéljétek meg, hogy miben egyeznek meg, miben különböznek a megoldásaitok!

a) 1 m függönyanyag 2000 forintba kerül. Mennyit fizetünk, ha 2 m-t; 2,5 m-t; 2,8 m-t; 3 m-t; 3,2 m-t vásárolunk? Írd le képlettel, hogyan kell kiszámítani a vételárat! Készíts értéktáblázatot, és ábrázold grafikonon, hogyan függ a vételár (v) a vásárolt anyaghossztól (h)! (Az y tengelyen szerepeljen a vételár: 1 cm jelentsen 1000 forintot!)

142


h (m)

2

2,5

2,8


3

3,2

v (Ft) 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

0

1

2

3

4

h (m)

1 óra; 4 2,5 óra; 3 óra alatt? Írd le képlettel, hogyan kell kiszámítani a megtett utat! Készíts értéktáblázatot, és ábrázold grafikonon, hogyan függ a megtett út (s) az időtől (t)!

b) Egy gépkocsi óránként átlag 80 km utat tesz meg. Mekkora utat tesz meg fél óra; 2 óra; 2

t (óra)

2

21 4

2,5

3

1

2

3

4

s (km) 3000

2000

1000

0

0

t (óra)



143

c) A gazda naponta 7 szilvafa gyümölcsét szedi le, hogy a piacra vigye. Hány szilvafát szed meg fél nap; 2 nap; 2,5 nap; 3 nap; 5 nap alatt? Írd le képlettel, hogyan kell kiszámítani az elvégzett munkát! Készíts értéktáblázatot, és ábrázold grafikonon, hogyan függ a megszedett fák száma (f) a munkanapok számától (n)! n (munkanapok száma)

2

2,5

3

5

f (megszedett fák száma)

30

20

10

0

2

0

4

n (munkanapok száma)

6

d) Mekkora a négyzet kerülete, ha oldala: 2 cm; 2,5 cm; 2,8 cm; 3 cm; 3,2 cm? Írd le képlettel, hogyan kell kiszámítani a négyzet kerületét! Készíts értéktáblázatot, és ábrázold grafikonon, hogyan függ a négyzet kerülete az oldal hosszától! a (cm)

2

2,5

2,8

3

3,2

k (cm) 15

10

5

0

0

1

2

3

4

a (cm)

144



2. Ábrázold a következő összefüggésekkel megadott függvényeket! Az alaphalmaz és a képhalmaz a racionális számok halmaza. A grafikont megrajzolhatod más színnel az előző feladat megfelelő koordinátarendszerében.

a) v = 2000 · h

b) s = 80 · t

c) f = 7 · n

d) k = 4 · a

TUDNIVALÓ Az egyenes arányosság grafikonja az origón átmenő egyenes. 3. Kerekecske falucska hegyoldalban épült. A Lejtő utcán a gyalogjárdán lépcsőkőn lehet felmenni az utca végéig.

a) Kezdetben a lépcsők 1 m szélesek és 1 dm magasak. Panni néni gyalogosan, Pali unokája mellette az úttesten kerékpáron halad fölfelé. Ábrázoljuk mindkettőjük emelkedését grafikonon úgy, hogy: az x tengelyen a lépcsők számát, az y tengelyen az emelkedést ábrázoljuk. (Elegendő 4-5 lépcső ábrázolása az emelkedés megfigyeléséhez.) y (dm) 12 10 8 6 4 2 1 0

0

1

2

3

4

x (m)



145

b) A közepétől meredekebb a Lejtő utca, itt az 1 m széles lépcsők 2 dm magasak. Ábrázoljuk ezt is grafikonon! y (dm) 12 10 8 6 4 2 1 0

0

1

2

3

4

x (m)

c) Az utca végén Panni néninek össze kell szednie az erejét, hiszen ezen a szakaszon 1 m-enként 3 dm magasak a lépcsők, de Palinak sem könnyű ezen a kaptatón tolni a kerékpárt. Ábrázoljuk ezt az emelkedést is, majd figyeljük meg a három grafikon meredekségét! Hogyan számítjuk ki a szintkülönbséget az a), a b) és a c) feladatban? Írjuk fel mindhárom függvény képletét! y (dm) 12 10 8 6 4 2 1 0

0

1

2

3

4

x (m)

4. Egy medencében 60 cm magasan áll a víz, amikor megnyitják a lefolyót. Ennek következtében óránként 8 cm-rel csökken a vízszint. Mit gondolsz, ennek a függvénynek is egyenes lesz a grafikonja? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold a vízszintcsökkenést az idő függvényében! Az x tengelyen 2 rács 1 óra, az y tengelyen 2 rács 10 cm legyen! Mit állapíthatsz meg ennek a függvénynek a meredekségéről? Írd le képlettel a függvényt!

146



5. Töltsd ki az értéktáblázatot, amelynek első sorába beírtunk néhány alaphalmazbeli elemet, a második, harmadik és negyedik sorba pedig az itt felsorolt három függvény értékeit kell beírnod. Az alaphalmaz és a képhalmaz legyen a racionális számok halmaza!

a) Minden számhoz hozzárendeljük önmagát.

b) Minden számhoz rendeljük hozzá a –2-szeresét!

c) Minden számhoz rendeljük hozzá a felét!

Számítsd ki mindegyik feladatban az összetartozó érték párok hányadosát! x

–3

–2,4

1 2

–1

1

2

3

y x

y=x y = –2x y=

1 x 2

Milyen összefüggés van az egymáshoz rendelt mennyiségek között? Ábrázold a megadott függvényeket ugyanabban a koordinátarendszerben! (Használj különböző színű ceruzát a különböző grafikonokhoz!) Figyeld meg mindegyik függvény esetében, hogy ha az x tengelyen 1 egységet pozitív irányba lépünk, akkor ez mekkora emelkedést jelent y irányban! Mennyi a függvények meredeksége?

6

y

4

2

–4

–2

0

–2

–4

–6

2

4

x



147

6. Készíts értéktáblázatot a megadott függvényekhez, és ábrázold őket: az alaphalmaz és a képhalmaz a racionális számok halmaza! Figyeld meg mindegyik függvénynél, hogy 1 egység x irányú lépés mekkora emelkedést jelent y irányban! Mennyi a függvények meredeksége?

a) y =

3 x 4

b) y = –

2 x 3

8. FELADATLAP Négyfős csoportban oldjátok meg a feladatokat! Osszátok el, hogy ki dolgozzon az a), a b), a c) illetve a d) ponttal! Minden feladatban készítsetek értéktáblázatot, majd ábrázoljátok a függvényeket! Ha mást nem adunk, az alaphalmaz és a képhalmaz minden esetben a racionális számok halmaza. Ha mindenki elkészült a saját munkájával, nézzétek meg egymás feladatait, ellenőrizzétek a megoldásokat, majd válaszoljatok a feltett kérdésekre! a) 1. Az alaphalmaz és a képhalmaz a pozitív számok halmaza. Hogyan függ a négyzet területe oldalának a hosszúságától? Írd le a függvény képletét is!

2. y = 2 · x – 4

b) 3. Minden egész számhoz rendeljük a négyzeténél 1-gyel nagyobb számot! Írd le a függvény képletét is!

4. y = 3,5 · x

c) 5. Egy téglalap területe 12 cm2, hogyan függ b oldalának hossza az a oldal változásától? Legyen az alaphalmaz: {1; 2; 3; 4; 6; 12}! Írd le a függvény képletét is!

6. y = –x

d) 7. Rendeljük minden számhoz az abszolút értékének az ellentettjét! Írd le a függvény képletét is! 1 8. y = – · x + 1 4 Figyeld meg az ábrázolt nyolc függvényt! Melyek grafikonja egyenes? Írd le ezek képletét! Van-e a megadott függvények között olyan, amely egyenes arányosságot fejez ki? Írd le ezek képletét! Mekkora ezeknek a függvényeknek a meredeksége? Hogyan állapítható meg a képletből a meredekség?

148



9. FELADATLAP 1. Töltsd ki az értéktáblázatot, amelynek első sorába beírtunk néhány alaphalmazbeli elemet, a második, harmadik és negyedik sorba pedig az itt felsorolt három függvény értékeit kell beírnod. Az alaphalmaz és a képhalmaz legyen a racionális számok halmaza! Ábrázold közös koordinátarendszerben a három függvényt!

a) y = 2x

y = 2x + 4 x

y = 2x – 5

–3

–1,5

0

1

2,5

y = 2x y = 2x + 4 y = 2x – 5

y 10

5

–5

5

–5

–10

x

3



b) y = –3x

y = –3x + 4 x

–2

149

y = –3x – 5 –1,5

0

1

1,5

2

y = 3x y = 3x + 4 y = 3x – 5

y 10

5

–5

x

5

–5

–10

2. Ábrázold a halmazábrával megadott hozzárendelést koordinátarendszerben! Minden racionális számhoz a képhalmaz egyazon elemét rendeljük. Függvény-e ez a hozzárendelés? Alaphalmaz

Képhalmaz

y 5

3 16 –1 1000

4 –5

2,5 0

2 3

–99

5

x

150



ÖSSZEGZÉS Lineáris függvények – Elsőfokú függvény: olyan függvény, amelyben az x az első hatványon szerepel, például y = 2x + 4, y = –3x + 4, y = 3x – 2 (x az alaphalmaz, y a képhalmaz eleme). A hozzárendelés szabálya: minden x-hez valahányszorosát, + egy számot rendelünk. Általános képlete: y = a · x + b, vagy f(x) = a · x + b (a és b tetszőleges számok); „a” az a szorzószám, amely a függvény meredekségét jelöli, „b” értéke pedig megmutatja, hogy a grafikon hol metszi az y tengelyt. Grafikonja egyenes. – Konstans függvény: olyan függvény, amely bármely x-hez ugyanazt az állandó y-t rendeli. Grafikonja x tengellyel párhuzamos egyenes. 3. Ábrázold a megadott lineáris függvényeket közös koordinátarendszerben!

a) x  2x – 1

x  3x – 1

b) x  –x + 2

x  –2x + 2

c) x 

2 x + 3 3

1 x–1 3 1 x– x+2 2 x

2 x  – x + 3 3

x3

10. FELADATLAP Ábrázold a két függvény grafikonját közös koordinátarendszerben! Az alaphalmaz a racionális számok halmaza. 1 f(x) = –2x + 4; g(x) = x – 3 3 Olvasd le a grafikonról, hogy mekkora a függvények értéke különböző x helyeken! Írd be ezeket a táblázatba! x

–3

–2

0

1,5

3

4

5

6

f(x) = –2x + 4 g(x) =

1 x–3 3

Jelöld meg zölddel az x tengelyen azokat a pontokat, amelyeknél a két függvény értéke egyenlő! Hány ilyen pont van? Keress olyan pontokat az x tengelyen, amelyeknél az f(x) > g(x), színezd ezeket pirossal. Hány ilyen pont van? Keress olyan pontokat az x tengelyen, amelyeknél az f(x) < g(x), színezd ezeket kékkel. Hány ilyen pont van? Mi a megoldása a következő egyenletnek, egyenlőtlenségeknek: –2x + 4 =

1 x–3 3

–2x + 4 >

1 x–3 3

–2x + 4 <

1 x–3 3



151

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Melyik esemény mikor történt? Rajzolj két halmazt, és kösd össze nyíllal az összetartozó elemeket! A = {896; 1526; 1241; 1456; 1222} B = {Tatárjárás; Mohácsi vész; Honfoglalás; Aranybulla; Nándorfehérvári diadal} 2. Az A halmaz elemeihez rendeld hozzá a B halmaz elemeit! Rajzolj két halmazt, írd be az elemeket! Kösd össze A halmaz elemeiből kiinduló nyíllal, hogy melyik növény hol él! A = {trópusi erdő, szavanna, sivatag} B = {óriáskaktusz, majomkenyérfa, orchidea, lián, akáciák} 3. Az A halmaz elemeihez rendeld hozzá a B halmaz elemeit! Rajzolj két halmazt, és az A halmaz elemeiből kiinduló nyíl jelezze, melyik B halmazbeli elemet rendelted hozzá! A ={víz, neon, argon, grafit, hélium, szén} B ={atomkristály, molekula, nemesgáz} 4. A következő hozzárendelések közül válaszd ki, melyek az egyértelmű hozzárendelések! a) A = {13 éves tanulók } K = {iskolák} Minden tanulóhoz rendeljük hozzá azt az iskolát, ahol tanulmányait végzi. b) A = {az iskolád ablakai} K = {egész számok} Minden ablakhoz rendeljük hozzá az ablakban lévő virágok számát. c) A = {az iskolád osztálytermei} K = {egész számok} Minden osztályteremhez az ablakok számát rendeljük. d) A = {az iskolád tantermei} K = {az iskolában található számítógépek} Minden tanteremhez hozzárendeljük azt a számítógépet, ami a teremben van. e) A = {a sík egy adott P pontja} K = {a sík pontjai} A P ponthoz rendeljük hozzá a tőle 3 cm-re levő pontokat. 5. Állapítsd meg az alaphalmazt, képhalmazt! Mi lehet az ábrázolt hozzárendelés? Függvény-e a hozzárendelés?

D’

t

C

B = B’

C’

A’ A

D

152



6. Készíts számhalmazokkal hozzárendelést! Megadtuk az A halmazt, a B halmaz megadása után keress A-ból B-be hozzárendelést! A = {A 20-nál kisebb pozitív, hárommal osztható számok halmaza} 7. Készíts számhalmazokkal hozzárendelést! Megadtuk az A halmazt, a B halmaz megadása után keress A-ból B-be hozzárendelést! A = {10-nél kisebb pozitív egész számok} 8. Ábrázold koordinátarendszerben a hozzárendelést a megadott számok halmazán! Keress az ábrának megfelelő hozzárendeléseket!

a)

A halmaz

B halmaz 0

1

–2 5

–3

–8

2 10

6

9

–7

11 –4

9

–6 8

10

b)

7

A halmaz

B halmaz

3 4

1 –11

–11,2 –

5 9

–1

0 0,3

0 23 8

3



c)

A halmaz

153

B halmaz

1 47 5 –3 0 0

–32,8

9. Ábrázoljátok a következő hozzárendeléseket külön koordinátarendszerben! a) Legyen az alaphalmaz és a képhalmaz is a racionális számok halmaza. Hozzárendelési szabály: y = 12x b) Legyen az alaphalmaz és a képhalmaz a természetes számok halmaza. Hozzárendelési szabály: a megvásárolt kiflikhez a fizetett értéket rendeljük, ha 1 kifli 12 Ft-ba kerül. Az első tengelyen a kiflik számát, a második tengelyen a kiflikért fizetett értéket ábrázoljátok! Különböző-e a két hozzárendelés grafikonja? Miért? 10. Rendeljünk természetes számokhoz ismét természetes számokat!

k: Kacsák számához hozzárendeljük a lábaik számát.

r: Rókák számához hozzárendeljük a lábaik számát.

s: Sáskák számához hozzárendeljük a lábaik számát.

a) Készíts táblázatot a k, r, s hozzárendelésekhez!

b) Függvények-e ezek a hozzárendelések? Miért? Írásban válaszoljatok!

c) Melyik hozzárendelést kapcsolhatjátok a fent megadottakhoz az alábbiak közül?

f(x) = 6 · x;

g(x) = x + 6;

i(x) = x · 4;

j(x) = 2 · x

d) Ábrázoljátok a k; r; s függvényeket közös koordinátarendszerben! Olvass a grafikonról!

e) Megrajzolhatók-e a grafikonok egy vonallal? Miért? Írásban válaszoljatok!

f) Melyik függvény grafikonja a „legmeredekebb”?

g) Miért az origóból indul ki mindegyik hozzárendelt grafikon?

h) Hány rókának van annyi lába, mint 6 kacsának?

i) Hány kacsához, rókához, sáskához tartozik 24 láb?

j) Ismertek-e olyan állatot, melynél a hozzárendelés v(x) = 10 · x lenne?

154



11. Péter és Pál távirányítású autókkal játszanak. Egymástól 15 m távolságra állnak, egy egyenes útszakaszon. Péter autója 20 másodperc alatt teszi meg Pálig az utat, Pál autója 30 másodperc alatt ér Péterhez. Koordinátarendszerben ábrázoltuk a két autó mozgását. Milyen megfigyeléseket tehetünk? út (méter)

16 14 12 10 8 6 4 2 0

Péter autója Pál autója

idő (másodperc)

0

4

8

12 16 20 24 28 32 36

12. F ürdéshez 5 perc alatt töltöttük meg a 100 literes kádat vízzel. Negyed óráig fürödtünk, majd leengedtük a vizet. A lefolyón percenként 10 liter víz folyik le. Ábrázold az eltelt idő függvényében a kádban levő víz térfogatát! A csap megnyitásához képest mikor volt a kádban 50 liter víz? vízmennyiség (liter)

110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

idő (perc)

0

5

10

15

20

25

30

35

13. Péter kisöccse pancsol a fürdőkádban. 10 perc játék után kihúzza a dugót. 2 perc múlva észreveszi az anyukája, de addigra 10 cm-t csökkent a víz magassága. Az édesanya visszateszi a dugót, és újra enged vizet a kádba 4 percig. Ekkor a víz magassága az eredeti 30 cm-es magasság lesz. Ábrázold a kádban lévő víz magasságát az idő függvényében! h (cm)

30 20 10 0

t (perc)

0

2

5

10

15



155

14. A felsorolt lineáris függvényeket a racionális számok halmazán értelmezzük. Ábrázold a függvényeket koordinátarendszerben, állapítsd meg, hol metszik a grafikonok az x, y tengelyeket!

a) a(x) = 2x

b) b(x) = –x + 8

c) c(x) =

1 x–2 3 d) d(x) = 4 – 3x

15. Válaszd ki a lineáris függvényeket a felsoroltak közül!

f(x) = x –

2 3

g(x) =

5 x

h(x) = |x – 3|

l(x) =

x+7 3

16. Mely függvények grafikonjai párhuzamosak egymással?

f(x) = x + 9

g(x) = 9

i(x) = 5 + 9x

h(x) = 9x

l(x) =

1 x 9

k(x) =

1 9

j(x) = x – 9

17. Van-e olyan lineáris függvény, amelynek grafikonja párhuzamos az y tengellyel? Indokolj! 1 18. H ol metszi egymást az f(x) = 7 és a g(x) = – · x + 5 függvény grafikonja, ha a függvényeket a 2 racionális számok halmazán értelmezzük? 19. Ábrázold közös koordinátarendszerben a lineáris függvényeket! Készíthetsz táblázatot az ábrázoláshoz! Az ábrázoláshoz használj különböző színeket!

a) f(x) =

2 ·x 3

és

g(x) =

2 ·x–4 2

Hol metszi egymást a két függvény grafikonja? Miért? Van-e egyenes arányosság a megadott függvények között? Igaz-e, hogy a g(x) függvény grafikonja az f(x) függvény grafikonja alatt halad? Miért?

b) v(x) = –

3 ·x+1 4

és

u(x) = –

3 ·x–2 4

Hol metszi egymást a két függvény grafikonja? Miért? Van-e egyenes arányosság a megadott függvények között? Igaz-e, hogy a v(x) függvény grafikonja az u(x) függvény grafikonja alatt halad? Miért? 20. A következő hozzárendelési szabályok is lineáris függvényt határoznak meg? Táblázat készítése és ábrázolás után tudsz válaszolni erre a kérdésre. Próbáld megadni a hozzárendelési szabályt a legegyszerűbb alakban!

x+6 2 b) b(x) = 3(x + 2) – (x + 5)

c) c(x) =

a) a(x) =

2x – 2 x–1

156



21. A dd meg a hozzárendelési szabályát annak a lineáris függvénynek, amely a P (–5; 8) és Q (–1; 0) pontokon halad át! 22. A dj meg olyan lineáris függvényt, melynek grafikonja párhuzamos az f(x) = grafikonjával, és olyat is, amely az y tengelyt ugyanott metszi!

8·x–3 függvény 5

hozzárendelések Függvények, Sorozatok 0792. Sorozatok

Készítette: paróczay józsef, pusztai julianna

158



1. FELADATLAP 1. Hol találkozunk a mindennapi életünkben sorozatokkal? Gyűjtsetek minél több példát az otthon, iskolában, üzletekben, intézményekben, tévében, sportversenyeken, fizikában, kémiában, biológiában, az élet bármilyen területén előforduló sorozatokra! 2. Nagymama kincses dobozában sok ilyen gyöngy van. Szívesen ad Neked belőlük, amennyit kérsz, ezért úgy gondolod, hogy egy szép gyöngysorral fogod barátnődet születésnapján meglepni. Tervezd meg és rajzold le, milyen lesz ajándékodban a gyöngyök sora! 3. A fiúk faragott botot készítenek a kiránduláson. Rovátkás díszítést vésnek végig a bot hosszában. Háromféle jelet használnak: > < +. Ezeket elforgatva is alkalmazzák. Tervezz ilyen díszítést, rajzold le, milyen legyen a rovásjelek egymásutánja! 4. Figyeld meg az ábrák sorozatát! Keress hozzájuk valamilyen szabályt, és folytasd aszerint! Írd mindegyik alá, hogy hány pötty van az egyes elemekben! Rajzolj és folytasd a számsorozatot még 3-4 taggal! Rajz nélkül is folytathatod a sorozatot, ha találtál szabályt, amely szerint követik egymást a számok az adott sorban. Hány eleme van ezeknek a sorozatoknak?

a)

b)

c)

5. Figyeld meg a számok sorozatát! Találj ki hozzá szabályt! Ha találtál szabályt, folytasd mindegyik sorozatot még 3-4 elemmel! Írd le, melyik szám van a 25., 52., 100. helyen!

a) 1; 2; 3; 0; 1; 2; 3; 0 …

b) 1; –1; 1; –1; 1; –1 …

c)

d) 11; 21; 31; 41 …

e) 3,3; 3,03; 3,003; 3,0003 …

f) 1; 4; 9; 16; 25 …

1 2 3 4 5 ; ; ; ; … 2 3 4 5 6

0792. Sorozatok


159

2. FELADATLAP 1. Egy sorozat első eleme 1, a második 3. Keress minél több szabályt, amely szerint folytatni lehet a sorozatot! Írd is le a különböző szabállyal képzett sorozatok első 5 elemét! 2. Folytasd négy elemmel a számok sorozatát a megadott szabály szerint! a) 3-mal osztva 1 maradékot adnak: 1; 4; 7; A sorozat elemeit az ábécé kisbetűivel jelöljük, a jobb alsó index utal arra, hogy a sorozat hányadik eleméről van szó. Ebben a feladatban a1 = 1; a2 = 4; a3 = 7. Írd fel ezzel a jelöléssel a sorozat 10.; 15.; 51. elemét!

b) a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; an= 2n

2; 4; 6;

3. Fibonacci (1170–1250?) olasz matematikus híres sorozata a következő: a1 = 1; a2 = 1; a3 és minden következő elem az őt megelőző két szám összege. Írd fel a sorozat első 12 elemét! Nézz utána, hogyan fogalmazta meg az eredeti problémát Fibonacci! (Internet, Sain Márton: Matamatika-történeti ABC) 4. Tekintsük a négyzetszámok sorozatát: a1 = 12, a2 = 22, a3 = 32 … an= n2 Nézd meg az 1. feladatlap 4. feladatában is ezt a sorozatot! Írd le egy sorba az első 10 elemét! Számítsd ki minden szomszédos elem különbségét, és írd az eredeti sorozat számai alá! Milyen sorozatot kaptál? Számítsd ki ebben a sorozatban is a különbségeket, és írd alá a következő sorba! Milyen sorozatot kaptál? 5. 2 m mély kiszáradt kútban egy csiga mászik felfelé. 1 óra alatt 4 dm-t halad, de 1 dm-t visszacsúszik. Mennyi idő alatt jut ki a kútból? Írd fel azt a számsorozatot, amely leírja, hogy az 1, 2… óra alatt mekkora utat tett meg a csiga! Milyen szabály határozza meg ezt a sorozatot? Írd fel a sorozat különbségsorozatát! 6. Írd fel a megadott sorozat első 10 elemét, majd képezd ezek különbségsorozatát! Csoportban dolgozzatok úgy, hogy mindenki egy feladatot oldjon meg, majd összehasonlítva munkátokat, beszéljétek meg a tapasztaltakat!

a) a sorozat elemei azok a számok, amelyeket 4-gyel osztva, a maradék: 2.

b) a sorozat elemei azok a számok, amelyeket 8-cal osztva, a maradék: 2.

c) a1 = 17, a2 = 14, a3 = 11 a sorozat további elemei is 3-mal osztva, 2 maradékot adnak.

d) a1 = 20, a2 = 14, a3 = 8 a sorozat további elemei is 6-tal osztva, 2 maradékot adnak.

TUDNIVALÓ: Számtani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatot, amelyben a második elemtől kezdve bármely elem és az előtte levő különbsége állandó.

160



3. FELADATLAP 1. Párban dolgozzatok! Készíts számsorozatot a párodnak! Add meg a sorozat első elemét és egy szabályt úgy, hogy a sorozat

a) számtani sorozat legyen;

b) biztosan ne számtani sorozat legyen! Oldd meg azt a feladatot, amit kaptál! Beszéljétek meg! 2. Válaszd ki, melyik lehet számtani sorozat! Indokolj! A számtani sorozatokban írd le a d értékét!

41; 44; 41; 44; 41; 44; 41 …

41; 31; 21; 11; 1; –9 …

1 1 1 1 1 ; ; ; ; … 2 3 4 5 6 4 5 1 2 ; ; 1; ; ; 2… 3 3 3 3 3; 9; 27; 81; 243 …

3. Imre 2 éve telket vásárolt. Évente 3 fát ültet, mert szeretne szép gyümölcsöskertet létesíteni. Most 7 szilvafája van. Hány fával vette a telket, és hány gyümölcsfája lesz 5 év múlva? 4. A következő számtani sorozatokban az első négy tagot és a differenciát szeretnénk tudni. Határozd meg az első négy tag és a differencia közül azokat, melyek nincsenek megadva!

a) a1 = –12;

a2 = –8;

b) a1 = 100;

d = 10

c) a3 = 1,4;

d = 0,1

d) a1 = 32;

a4 = 65

e) a2 = 25;

a4 = 13

a3 = –4

4. FELADATLAP 1. Figyeljétek meg a következő sorozatot és írjátok le az első 6 elemét! a1 = 1; a2 = 1 + 2; a3 = 1 + 2 · 2; a4 = 1 + 3 · 2; a5 = 1 + 4 · 2… a) Állapítsátok meg és indokoljátok, hogy számtani sorozat-e? – Mennyi a sorozat 51. eleme? Milyen módszerrel számoltátok ki? – Hogyan számítanátok ki a sorozat n. elemét? Keressetek képletet a számítási eljárásra: an= ? b) Írjátok fel a sorozat 31. tagjától kezdve 9 elemét! – Keressetek olyan elem párokat, amelyek különbsége azonos! Mit tapasztaltok? – S zámítsátok ki az első három elem átlagát (számtani közepét), bármelyik egymás melletti három elem átlagát! Mit tapasztaltok? – S zámítsátok ki az első és harmadik elem számtani közepét, bármelyik második szomszéd elem-pár számtani közepét! Mit tapasztaltok? – S zámítsátok ki az első és ötödik elem átlagát, bármelyik negyedik szomszéd elem-pár átlagát! Mit tapasztaltok? – Számítsátok ki a kilenc szám átlagát! Mit tapasztaltok? – K eress olyan elem párokat, amelyek számtani közepe a 69! – Keressetek minél több olyan elempárt, amelyben a két szám összege 138! Mit tapasztaltatok?

0792. Sorozatok


161

c) Számítsd ki a kilenc szám összegét! Segít a következő felírás:

61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77

77 + 75 + 73 + 71 + 69 + 67 + 65 + 63 + 61

138 +138 +

Vigyázz, ez két sorozat elemeinek összege!

+138 +

= ……… · 138 = ………

2. Egy híres történet minden idők egyik legnagyobb matemetikusáról, Carl Friedrich Gaussról szól. A szájhagyomány szerint a 6 éves kis Gauss általános iskolai tanára, J. G. Büttner diákjait azzal akarta lefoglalni, hogy 1-től 100-ig adják össze az egész számokat. A fiatal Gauss mindenki megdöbbenésére másodpercek alatt előrukkolt a helyes megoldással. Nézd az órát! Neked mennyi időre van szükséged a feladat elvégzéséhez? 3. A következő sorozatok közül válaszd ki, melyik lehet számtani sorozat! Add meg a kiválasztott sorozatok differenciáját és a 15. elemét!

a) 7; 77; 777; 7777…

b) 34; 24; 14; 4…

c) 2; 4; 8; 16…

d) 1; 2; 1; 2; 1; 2…

e) 55; 66; 77; 88…

4. A körcsarnokban a pályához legközelebbi kör mentén 520-an ülnek. Hány férőhelyes a csarnok, ha 25 körgyűrűben ülnek a szurkolók, és minden sorban 20-szal többen, mint a közvetlen előtte levőben? 5. A következő sorozatokat mértani sorozatnak nevezzük. Ha felismerted a szabályt, folytasd mindegyiket 3-3 elemmel! Írd fel a sorozatok különbségsorozatát, felírhatod a különbségsorozatok különbségsorozatát is. Írd fel a sorozatok hányados sorozatát! Hányados sorozat: a szomszédos elemek hányadosainak sorozata.

a) 3; 6; 12; 24;

b) 1; 3; 9; 27;

c) 5; –10; 20; –40;

d) Fogalmazd meg, hogy mit nevezünk mértani sorozatnak.

e) A 3. feladatban is van egy mértani sorozat. Melyik?

Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot. Erről tanúskodik az ún. Rhindpapirusz, amely körülbelül Kr.e. 1750-ből való. Nevét felfedezőjéről, Henry Rhind skót régiségkereskedőről kapta. Ez a mű az elsőként megismert, ókori egyiptomi matematikával foglalkozó írás.

162



6. megtett út (km)

6

5

unoka

4

3

2

1 nagypapa

0

idő (perc)

0

6

10

20

30

40

50

Két szomszédos, 6 km-re lévő faluból egyszerre indult el nagyapa és unokája, hogy találkozzanak. Egyenletes sebességgel mennek, és 6 perc után már 750 m-rel vannak közelebb, mint induláskor (most távolságuk a kék szakasz a grafikonon). Elég-e ennyi, hogy megtudjuk: mennyi idő múlva fognak találkozni? Írd be a táblázatba, hogy útjuk minden újabb 6 percével hogyan változik a távolság köztük! eltelt idő (perc)

0

6

nagyapa és unoka távolsága (km)

6

5,25

távolságváltozás köztük (km)

12

–0,75

Milyen sorozatot alkotnak ezek az egyre csökkenő távolságok? Hosszabbítsd meg a koordinátarendszerben a grafikonjaikat! Húzd be közöttük is – új kék szakaszokkal – a 6 percenkénti távolságaikat!

0792. Sorozatok


163

FELADATGYŰJTEMÉNY 1.

Folytasd a sorozatot! Egy – megérett a meggy, Kettő – feneketlen teknő, Három –

2. Találj szabályt, és folytasd a sorozatot 4-4 elemmel!

a) 7; 10; 13; 16…

b) 1; 2; 4; 7; 11; 16…

c) 96; 48; 24; 12…

d) 2; 2; 4; 6; 10; 16…

3. Megadjuk a sorozat szabályát, írd fel az első 6 elemét!

a) Az első eleme 2, a második és minden következő eleme 12-vel nagyobb, mint az őt megelőző elem.

b) 17-nél nem kisebb páratlan számok sorozata.

c) Az első eleme 100, a második 5-tel kisebb, mint az első, ugyanígy minden eleme 5-tel kisebb, mint az előző elem.

d) Minden elem háromszorosa a sorszámának.

e) Az ötödik tagja –6, és a sorozat minden eleme fele az előző elemnek.

f) Minden eleme a sorszáma kétszeresénél 1-gyel kisebb.

4. Írd fel a megadott sorozatok első öt tagját!

a) a1= 8.

b) a1 = a2 = 2 A harmadik tagtól kezdve, minden tag a kettővel előtte lévő tag kétszeresének és az előtte lévő tagnak az összege. 3 1 c) an = n– 2 2

A másodiktól kezdve minden tag az előzőnél hárommal kisebb.

5. Írd fel a következő sorozat különbségsorozatát, majd a különbségsorozat különbségsorozatát (második különbségsorozat)! Mit tapasztalsz?

1;

2;

5;

10;

17;

26;

37;

50;

…

6. a1= 2. A sorozat minden eleme 3-szorosa az őt megelőzőnek! Írd le egy sorba az első 8 elemét! Számítsd ki minden szomszédos elem különbségét, és írd a különbségsorozatot az eredeti sorozat számai alá! Milyen sorozatot kaptál? Milyen sorozat lenne a második, harmadik különbségsorozat? 7. a1= 1. A sorozat minden eleme –3-szorosa az őt megelőzőnek! Írd le egy sorba az első 7elemét! Számítsd ki minden szomszédos elem különbségét (a másodiktól kezdve minden elemből vond ki az előtte állót), és írd a különbségsorozatot az eredeti sorozat számai alá! Milyen sorozatot kaptál? Milyen sorozat lenne a második, harmadik különbségsorozat?

164



8. Döntsétek el az alábbi sorozatokról, melyik számtani sorozat, melyik nem! A számtani sorozatokat és szabályaikat írjátok le a füzetbe!

a) Ez egy olyan sorozat, melynek minden eleme a 0.

b) Ez egy olyan sorozat, melyben van három egymás utáni, 0-tól különböző, váltakozó előjelű elem.

c) A sorozat bármely elemét megkapjuk, ha az elemsorszám kétszereséből elveszünk 2-t.

d) a1 = 4; a2 = 32; a3 = 54; …

e) A sorozat bármely tagját úgy kapjuk meg, hogy a tag sorszámát megszorozzuk a következő tag sorszámával.

9. Tornyoska település templomának toronyórája csak az egész órákat üti. Mindig annyit, ahány óra van 1-től 12-ig. Egy nap alatt hány ütés hangzik a faluban? 10. Válasszátok ki az állítások közül az igaz állításokat, majd írjátok le a füzetbe azokat! Minden esetben készüljetek fel az érvelésre! a) A számtani sorozatoknál bármely elem – a másodiktól kezdve – nagyobb az őt megelőző elemeknél. b) Nincs olyan számtani sorozat, amelyben 3 elem értéke megegyezik, a többi ezektől különböző. c) Három egymást követő elem közül a középső mindig egyenlő a két szomszédjának átlagával. 11. Sorold fel az alábbi sorozatok első 4 elemét! Milyen sorozatok ezek?

a) an = 7 · n – 1 2 5 c) an = (n + 0,5) · 2 b) an = n +

12. Számítsd ki a számtani sorozat kérdezett elemeit!

a) a1 = –9

d = 11

b) a1 =

1 3 c) a1 = 0,3

2 3 d = –0,8

d=

a5 =

a11 =

a4 =

a10 =

a3 =

a8 =

13. A megadott két adat segítségével számítsd ki a számtani sorozat differenciáját és a kérdezett tagokat!

a) a1 = 100

a3 = 130

d =

a7 =

b) a1 = 5

a7 = –61

d =

a4 =

c) a4 = 6

a9 = 16

d =

a1 =

d) a13 = 20,5

a6 = 47,1

d=

a10 =

14. Összeadtuk egy számtani sorozat első öt elemét. Az összeg 75.

a) Hány ilyen számtani sorozat létezhet? Keress több megoldást!

b) Van-e a sorozatoknak közös eleme?

c) Add meg a tagokat, ha a differencia 4!

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

Recommend Documents