Matematika képletgyűjtemény a
hallgatói számára
Deriválás Elemi függvények deriváltja f x
f x
f x
f x
f x
f x
sh x ch x
ch x sh x 1 ch 2 x 1 2 sh x
c
0
sin x
cos x
x 1 x
x1 1 2 x
cos x
sin x 1 cos 2 x 1 2 sin x
1
x
tg x ctg x
2 x
ex
ex
arcsin x
ax
a x ln a
arccos x
1 x 1 x ln a
ln x log a x
arctg x arcctg x
th x cth x
1 1 x
1 1 x
1
arsh x
2
x2 1 1
arch x
2
1 1 x2 1 1 x2
x2 1
1 , x 1 1 x2 1 , x 1 1 x2
arth x arcth x
Deriválási szabályok
c f x c f x
f x g x f x g x
f x f x g x f x g x g 2 x g x
f g x f g x g x
f x g x f x g x f x g x
f x 1
1
f f 1 x
Integrálás Elemi függvények primitív függvénye f x
f x dx
f x
f x dx
f x
f x dx
cx C
sin x
cos x C
sh x
ch x C
x
x C , 1 1
cos x
sin x C
ch x
sh x C
1 x
ln x C
tg x
ln cos x C
th x
ln ch x C
2 32 x C 3
ctg x
ln sin x C
cth x
ln sh x C
1 cos 2 x 1 sin 2 x
tg x C
1 ch 2 x 1 sh 2 x 1
th x C
c 1
x ex
ex C
ax
ax C ln a
ln x
x ln x x
log a x
x log a x
x C ln a
ctg x C
1 1 x2
arctg x C
1 1 x2
1 1 x ln C 2 1 x
cth x C arsh x C
x2 1 1
arch x C
x2 1
Integrálási szabályok
c f x dx c f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f g x g x dx F g x C
f x g x dx f x g x f x g x dx
f x
f x
dx ln f x C
1
f ax b dx a F ax b C, a 0
f x f x dx
f 1 x 1
f x dx f g t g t dt t g 1 x
C , 1
Matematika képletgyűjtemény a
hallgatói számára
Határozott integrál alkalmazásai b
i 1 f x dx
Görbe ívhossza
2
a
b
V f 2 x dx
Forgástest térfogata
a
b
A 2 f x 1 f x dx
Forgásfelület felszíne
2
a
b
g 1 b
a
g 1 a
f x dx
Helyettesítéses integrálás
f g t g t dt
Nevezetes helyettesítések
a x dx
x a sin t vagy x a cos t
a 2 x 2 dx
x asht
x 2 a 2 dx
x acht
2
2
Valószínűségszámítás
Szórás
n
i 1
M xi pi ; M
Várható érték 2 i
n
P A P A Bk P Bk ;
Teljes valószínűség tétele Bayes tétel
2
x f x dx x f x dx ;
2
n D x pi xi pi ; D i 1 i 1 n
x f x dx 2
P Bi A
k 1
P A Bi P Bi n
P A B PB k 1
Az eloszlásfüggvény alkalmazása Binomiális eloszlás
Hipergeometriai eloszlás
Poisson eloszlás
Folytonos egyenletes eloszlás
Exponenciális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Transzformációs formulák
k
k
P b F b , P a 1 F a , P a b F b F a n nk P k p k 1 p , k 0,1, 2,..., n; M np, D np 1 p k S N S k nk S S S N n P k , k 0,1, 2,..., min n, S ; M n , D n 1 N N N N 1 N n
k e , k 0,1, 2,..., n,...; M , D k! 0 ha x a 1 xa ha a x b ab ba f x b a F x ha a x b ; M , D 2 2 3 0 különben b a ha b x 1 P k
ex ha 0 x f x 0 különben f x
1 2
x
x m 2
e
2 2
ha x 0 0 1 1 F x ; M , D x ha 0 x 1 e
, x R; F x
x
1
e 2
t m 2 2 2
dt , x R; M m, D
1 2
e
x2 2
, x R; x
1
x
e
2
t2 2
dt , x R; M 0, D 1
xm F x , x 1 x
Matematika képletgyűjtemény a
hallgatói számára
Azonosságok Hiperbolikus függvények értelmezése sh x
e x e x e x e x sh x e x e x ch x e x e x ; ch x ; th x x x ; cth x ; ( x 0) 2 2 ch x e e sh x e x e x
Trigonometrikus azonosságok
Hiperbolikus azonosságok
sin x cos x 1
ch 2 x sh 2 x 1
sin 2 x 2sin x cos x
sh 2 x 2sh x ch x
cos 2 x cos x sin x 1 cos 2 x sin 2 x 2 1 cos 2 x cos 2 x 2
ch 2 x ch 2 x sh 2 x ch 2 x 1 sh 2 x 2 ch 2 x 1 ch 2 x 2
2
2
2
2
Laplace-transzformáció Transzformáció f t
F s L f t
F s
1 s 1 s2
1 s 1 s2
n! s n 1
1 sn
1 sa n!
1 sa 1
s a
s a
1 t tn e at n at
t e
n 1
a s a2 s s2 a2 b s 2 b2 s s 2 b2 2bs
sh at
sin bt
cosbt t sin bt
s 2 b2
s
2
b2
1 t t n 1 n 1!
e at t n 1e at n 1!
n
sh at a
2
2
s 2 b2
t cos bt
f t L1 F s
1 s a2 s s2 a2 1 s 2 b2 s s 2 b2 s
2
ch at
Inverz transzformáció
s 2 b2
ch at
sin bt b cosbt
2
t sin bt 2b
2
t cos bt
s 2 b2 2
s
2
b2
A Laplace-transzformáltra vonatkozó néhány tétel
F s L f t e st f t dt
L f t F s L eat f t F s a
0
L f t s L f t f 0 L f t s 2 L f t s f 0 f 0
L f t F s L t n f t 1 n
dn F s ds n
L f t F s L f t a e as F s
Matematika képletgyűjtemény a
hallgatói számára
Numerikus sorok
1 1 1 1 2 1 ... ... 2 6 22 32 n2 n 1 n
a aq n a aq aq 2 aq 3 ... , q 1,1 1 q n 0
Hatványsorok, Taylor-sorok f
T0 f x
n
0
n!
n 0
xn f 0 f 0 x
f 0 2!
Tx0 f x
x 2 ...
n 0
c 1 1 lim n 1 ; lim n cn ; R cn R
f
n
x0
n!
x x0
n
f x0 0 f x0 x x0
f x Txn0 f x Rn x Txn0 f x
f n 1
n 1!
f x0 2!
x x0
x x0
2
...
n 1
Nevezetes Taylor-sorok
1 x n 1 x x 2 x3 ...; x 1,1 1 x n 0
n
2
sin x 1 n 0
n
2 n 1
3
arctg x 1
x x x x ...; x R 3! 5! 2n 1!
cos x 1
n
n 0
n
n 0
5
x2n x2 x4 1 ...; x R 2! 4! 2n !
n 1
n 1
3
x x x 1 x ...; x R n ! 2! 3! n 0
ex
ln 1 x 1
xn x 2 x3 x ...; x 1,1 n 2 3
x 2 n 1 x3 x5 x ...; x 1,1 3 5 2n 1
x 2 n 1 x3 x5 x ...; x R 3! 5! n 0 2n 1 !
sh x
x2n x2 x4 1 ...; x R 2! 4! n 0 2n !
ch x
Néhány elemi függvény grafikonja 2n-edik hatvány fv.
2n+1-edik hatvány fv.
2n-edik gyök fv.
2n+1-edik gyök fv.
1/x függvény
1/x2 függvény
exponenciális fv.
logaritmus fv.
szinusz fv.
koszinusz fv.
tangens fv.
kotangens fv.
szinusz hiperbolikusz fv.
koszinusz hiperbolikusz fv.
tangens hiperbolikusz fv.
kotangens hiperbolikusz fv.
arkuszszinusz fv.
arkusztangens fv.
areaszinuszhiperbolikusz fv.
areatangenshiperbolikusz fv.
Matematika képletgyűjtemény a sin x y sin x cos y cos x sin y
hallgatói számára
Addíciós tételek
1 sin x y sin x y 2 1 cos x sin y sin x y sin x y 2
cos x y cos x cos y
sin x sin y
1 cos x y cos x y 2 1 sin x sin y cos x y cos x y 2
sin x cos y
cos x cos y
Trigonometrikus Fourier-sor 2π-szerint periodikus függvény Fourier-sora T = 2p-szerint periodikus függvény Fourier-sora f x
a0 an cos nx bn sin nx
f x
a0 an cos nx bn sin nx ; n 1
n 1
2 2 T 2p
Fourier együtthatók a0 an bn
1 1
1 2
x0 2
x0 2
f x dx
a0
x0
f x cos nxdx
an
x0
x0 2
f x sin nxdx
bn
x0
1 p 1 p
x0 2 p
1 2p
x0 2 p
f x dx
x0
f x cos nxdx
x0
x0 2 p
f x sin nxdx
x0
x0 T
1 T
2 T 2 T
f x dx
x0
x0 T
f x cos nxdx
x0
x0 T
f x sin nxdx
x0
A Parseval-formula x0 2 p x0 2
x0
f 2 x dx 2a02 an2 bn2 n 1
f 2 x dx 2 pa02 p an2 bn2 n 1
x0
x0 T
x0
f 2 x dx Ta02
T an2 bn2 2 n 1
