MATEMATIKA. Jindřich Vocelka MATURITA NOVÉ GENERACE

MATEMATIKA Jindřich Vocelka

MATURITA NOVÉ GENERACE

VsÏechna praÂva vyhrazena: ZÏaÂdnaÂ cÏaÂst teÂto knihy nesmõÂ byÂt reprodukovaÂna, uchovaÂvaÂna v resÏersÏnõÂm systeÂmu nebo jakkoliv elektronicky, fotograficky cÏi jinak prÏenaÂsÏena bez prÏedchozõÂho põÂsemneÂho souhlasu majitele praÂv a nakladatele teÂto knihy NAKLADATELSTVIÂ SCIENTIA, spol. s r. o.

Napsal PhDr. JindrÏich Vocelka Lektorovala Mgr. Miloslava CÏernaÂ Ó JindrÏich Vocelka, 2010 Cover design Ó JirÏõÂ JiraÂsek, Kameel Machart, 2010 BlizÏsÏõÂ informace a objednaÂvky: NAKLADATELSTVIÂ SCIENTIA, spol. s r. o., KrÏõÂzÏovaÂ 1018/6, 150 05 Praha 5 tel. 233 350 201 · fax 220 510 274 [email protected] · www.scientia.cz ISBN 978-80-86960-50-0

OBSAH

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

PrÏõÂmka............................................................................................................................................ CÏaÂsti prÏõÂmky................................................................................................................................... Rovina............................................................................................................................................ UÂhel ............................................................................................................................................... TrojuÂhelnõÂk .................................................................................................................................... PravouÂhlyÂ trojuÂhelnõÂk .................................................................................................................... CÏtyrÏuÂhelnõÂk .................................................................................................................................... RovnobeÏzÏnõÂk.................................................................................................................................. n-uÂhelnõÂk ........................................................................................................................................ KruzÏnice......................................................................................................................................... Kruh a jeho cÏaÂsti ............................................................................................................................ Obsah a obvod rovinnyÂch uÂtvaruÊ .................................................................................................. ShodneÂ a podobneÂ uÂtvary .............................................................................................................. Elipsa ............................................................................................................................................. Hyperbola ...................................................................................................................................... Parabola ......................................................................................................................................... PrÏõÂmka a krÏivka.............................................................................................................................. PrÏõÂmka a rovina.............................................................................................................................. RovnobeÏzÏnost a kolmost ............................................................................................................... Odchylky prÏõÂmek a rovin ............................................................................................................... Velikost a vzdaÂlenost ..................................................................................................................... GoniometrickeÂ funkce ostreÂho uÂhlu.............................................................................................. MnohosteÏny ................................................................................................................................... VaÂlec a kuzÏel.................................................................................................................................. KulovaÂ plocha a koule, jejich cÏaÂsti ................................................................................................ CÏõÂselneÂ obory ................................................................................................................................. MnozÏina prÏirozenyÂch a celyÂch cÏõÂsel ............................................................................................... KombinacÏnõÂ cÏõÂsla a faktoriaÂly ........................................................................................................ AbsolutnõÂ hodnota ......................................................................................................................... DeÏlitelnost...................................................................................................................................... SoucÏinovyÂ a podõÂlovyÂ tvar rovnic a nerovnic................................................................................. Vztahy mezi korÏeny a koeficienty kvadratickeÂ rovnice ................................................................ Soustavy rovnic .............................................................................................................................. Rovnice rÏesÏeneÂ v mnozÏineÏ komplexnõÂch cÏõÂsel ............................................................................... Nerovnice a jejich soustavy ........................................................................................................... UplatneÏnõÂ substituce prÏi rÏesÏenõÂ uÂloh.............................................................................................. Funkce a jejõÂ vlastnosti................................................................................................................... Graf funkce .................................................................................................................................... NejmensÏõÂ a nejveÏtsÏõÂ ........................................................................................................................ Funkce definovaneÂ na mnozÏineÏ prÏirozenyÂch cÏõÂsel......................................................................... ExponenciaÂlnõÂ funkce a rovnice .................................................................................................... LogaritmickaÂ funkce a rovnice ...................................................................................................... GoniometrickeÂ funkce ................................................................................................................... GoniometrickeÂ rovnice .................................................................................................................. VyÂrazy a vzorce.............................................................................................................................. Parametr ........................................................................................................................................

7 10 13 16 19 22 25 29 33 10 39 42 46 49 52 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 86 88 90 92 95 98 101 104 107 109 111 114 118 121 124 127 130 133 135 138

47 48 49 50

Variace, kombinace, permutace .................................................................................................... PravdeÏpodobnost jevu ................................................................................................................... ZaÂkladnõÂ pojmy statistiky .............................................................................................................. Ï ady............................................................................................................................................... R

141 145 149 153

UÂVOD

V teÂto publikaci najdete padesaÂt zpracovanyÂch hesel, kteraÂ mohou byÂt samostatnyÂmi maturitnõÂmi okruhy, prÏõÂpadneÏ je mozÏneÂ jejich vhodnyÂm spojenõÂm zõÂskat dvacet peÏt dvojic otaÂzek. Hesla jsou dostatecÏneÏ sÏirokaÂ. To proto, aby peÏtice zarÏazenyÂch uÂloh, z nichzÏ neÏktereÂ se daÂle cÏlenõÂ na neÏkolik dõÂlcÏõÂch, na sebe võÂce cÏi meÂneÏ navazujõÂcõÂch uÂkoluÊ, mohla byÂt obsahoveÏ pestraÂ, aby se problematikou dotyÂkala ucÏiva matematiky ruÊznyÂch rocÏnõÂkuÊ strÏednõÂ sÏkoly. UÂlohy jsou sestaveny tak, aby n respektovaly pozÏadavky pro vysÏsÏõÂ u Â rovenÏ spolecÏneÂ cÏaÂsti maturitnõÂ zkousÏky z matematiky, jak jsou uvedeny v dokumentu platneÂho od sÏk. r. 2009/10, kteryÂ zpracovalo Centrum pro zjisÏt'ovaÂnõÂ vyÂsledkuÊ vzdeÏlaÂvaÂnõÂ a schvaÂlilo MSÏMT CÏR (cÏj. 3243/2008-2/CERMAT), Ï motivovaly, vzbuzovaly zaÂjem hledat odpoveÏd' na polozÏenou otn svyÂm obsahem rÏesÏitele pozitivne aÂzku, prÏõÂp. umozÏnÏovaly ruÊzneÂ postupy rÏesÏenõÂ, n rÏesÏenõÂ bylo jednoduche Â. JednoduchyÂm rÏesÏenõÂm nenõÂ ale v zÏaÂdneÂm prÏõÂpadeÏ mõÂneÏna obtõÂzÏnost uÂloh. Jde spõÂsÏe o cÏasovou naÂrocÏnost, slozÏitost vyÂpocÏtu, aby se cÏas prÏedepsanyÂ pro trvaÂnõÂ zkousÏky neztraÂcel naprÏ. hledaÂnõÂm numerickeÂ chyby. PrÏitom student by nemeÏl u zkousÏky jen popisovat, jak by uÂlohu rÏesÏil s tõÂm, zÏe ¹pak bychom dosadiliª, musõÂ naopak dostat prÏõÂlezÏitost prokaÂzat, zÏe dokaÂzÏe uÂkol-uÂlohu vyrÏesÏit jako celek od analyÂzy informacõÂ v textu zadaÂnõÂ azÏ k zaÂveÏrecÏneÂ odpoveÏdi, tedy prokaÂzat i uÂrovenÏ kompetence provaÂdeÏt pocÏetnõÂ operace trÏeba i s vyuzÏitõÂm kalkulaÂtoru. To takeÂ vyÂsÏe uvedenyÂ dokument pozÏaduje... CÏasteÏji, nezÏ je obvykleÂ, je text uÂlohy doplneÏn obraÂzkem nebo naÂcÏrtkem. To proto, aby vstupnõÂ informace byly co nejprÏesneÏjsÏõÂ a jednoznacÏneÂ. DrobnaÂ nepozornost prÏi analyÂze zadaÂnõÂ muÊzÏe neprÏõÂjemneÏ poznamenat pruÊbeÏh celeÂ zkousÏky. UÂlohy jsou uvaÂdeÏny s celyÂm rÏesÏenõÂm. To umozÏnÏuje zkousÏejõÂcõÂmu na prvnõÂ pohled posoudit jejich obtõÂzÏnost, odhadnout, jak je cÏasoveÏ naÂrocÏneÂ rÏesÏenõÂ teÂ ktereÂ uÂlohy. V raÂmecÏcõÂch jsou uvedeny dõÂlcÏõÂ kroky, ktereÂ uÂloha vyzÏaduje, maÂ-li rÏesÏitel dospeÏt ke spraÂvneÂmu rÏesÏenõÂ. Je to osnova, podle nõÂzÏ muÊzÏe zkousÏejõÂcõÂ postupovat, maÂ-li co nejobjektivneÏji posoudit vyÂkon zkousÏeneÂho, tedy jednodusÏe rÏecÏeno navrhnout klasifikaci. Publikace nenõÂ sice ani sbõÂrkou uÂloh ani ucÏebnicõÂ, muÊzÏe vsÏak slouzÏit jako studijnõÂ materiaÂl pro volitelneÂ prÏedmeÏty navazujõÂcõÂ na povinnyÂ prÏedmeÏt. RuÊznorodost uÂloh, jejich seskupenõÂ pod obecneÂ heslo jsou prostrÏedkem k systemizaci ucÏiva, se kteryÂm se zÏaÂci v pruÊbeÏhu studia na strÏednõÂ sÏkole setkali. Je to zdroj pro samostatnou praÂci nebo domaÂcõÂ prÏõÂpravu studentuÊ, pro to, aby jejich prÏedstava o naÂrocÏnosti vysÏsÏõÂ uÂrovneÏ maturitnõÂ zkousÏky z matematiky, byla co konkreÂtneÏjsÏõÂ. Moc bych si prÏaÂl, aby byla i inspiracõÂ pro vyucÏujõÂcõÂ matematice a motivovala je k vymyÂsÏlenõÂ vlastnõÂch a pro studenty zajõÂmavyÂch uÂloh. Autor

Ï IÂMKA TeÂma 1 / PR

Téma 1

1.1

PRÏIÂMKA

PrÏõÂmka t svõÂraÂ s osou x odchylku 45 a je to tecÏna grafu funkce f: y prÏõÂmky t a osy x.

p 6x. Bod Q je pruÊsecÏõÂk

a) NacÏrtneÏte graf funkce f, uved'te jejõÂ definicÏnõÂ obor a obor hodnot. JakyÂmi vzorci jsou urcÏeny funkce g a h, jejichzÏ grafy jsou obrazem grafu funkce f v osoveÂ soumeÏrnosti s osou v ose y a ve strÏedoveÂ soumeÏrnosti se strÏedem v pocÏaÂtku soustavy sourÏadnic? b) ZjisteÏte sourÏadnice bodu Q. VsÏechny hrany pravidelneÂho trojbokeÂho hranolu ABCDEF jsou stejneÏ dlouheÂ, K je strÏed steÏny CBEF.

1.2

a) PopisÏte postup zobrazenõÂ takoveÂho teÏlesa ve volneÂm rovnobeÏzÏneÂm promõÂtaÂnõÂ. b) UrcÏete pruÊsecÏõÂk prÏõÂmky AK a roviny hornõÂ podstavy hranolu. c)

Jak velkaÂ je odchylka $ AK a roviny DEF?

d) MaÂ-li kazÏdaÂ hrana tohoto hranolu velikost a v centimetrech vyjaÂdrÏen celyÂm cÏõÂslem? 1.3

p 3 cm, je jeho objem

UÂloha v ucÏebnici maÂ text: ¹Pokud bychom kazÏdyÂmi dveÏma z n boduÊ, ktereÂ lezÏõÂ na kruzÏnici k, vedli prÏõÂmku, bylo by jich celkem 267. Kolik boduÊ bylo na kruzÏnici umõÂsteÏno?ª a) ZÏofie zjistila, zÏe uÂloha nemaÂ rÏesÏenõÂ. PrÏesveÏdcÏte se, zÏe maÂ pravdu. b) V ucÏebnici je ale uveden vyÂsledek n 24. V textu uÂlohy je proto nejspõÂsÏ chybneÏ uveden uÂdaj o pocÏtu prÏõÂmek. Nahrad'te jej spraÂvnyÂm. c)

Na kruzÏnici k je umõÂsteÏno m ruÊznyÂch boduÊ, m 3. JakaÂ je pravdeÏpodobnost, zÏe naÂhodneÏ zvolenaÂ uÂsecÏka, jejõÂmizÏ krajnõÂmi body jsou neÏktereÂ dva z umõÂsteÏnyÂch boduÊ, nenõÂ stranou m-uÂhelnõÂku A1 A2 ::: Am 1 Am ?

d) UrcÏete nejmensÏõÂ pocÏet vrcholuÊ m-uÂhelnõÂku A1 A2 ::: Am 1 Am , je-li pravdeÏpodobnost, zÏe naÂhodneÏ zvolenaÂ jejich spojnice nenõÂ stranou m-uÂhelnõÂku, veÏtsÏõÂ nezÏ 0,7. V projektu satelitnõÂho meÏstecÏka se pocÏõÂtaÂ i se zrÏõÂzenõÂm zÏeleznicÏnõÂ Z a autobusoveÂ D zastaÂvky. Na plaÂnku s meÏrÏõÂtkem 1 : 10 000 je cÏaÂst zÏeleznicÏnõÂ trateÏ AB nahrazena kruzÏnicovyÂm obloukem k: x2 y2 10 0; x 0; y 0, prÏõÂmyÂ uÂsek daÂlnice pak prÏõÂmx y 1. kou d: 30 10

1.4

UrcÏete body Z a D tak, aby komunikace, kteraÂ je bude spojovat, byla ze vsÏech uÂsecÏek spojujõÂcõÂch oblouk AB a prÏõÂmku d nejkratsÏõÂ. VypocÏõÂtejte i jejõÂ deÂlku zaokrouhlenou na celeÂ desõÂtky metruÊ.

1.5

a)

PopisÏte, co je mnozÏinou vsÏech boduÊ X v rovineÏ, ktereÂ majõÂ od prÏõÂmky p stejnou vzdaÂlenost, jako maÂ bod P. (KteryÂ uÂtvar je tou mnozÏinou v prostoru?)

7


b)

PopisÏte, co je mnozÏinou vsÏech boduÊ Z v rovineÏ, ktereÂ majõÂ od bodu Q veÏtsÏõÂ vzdaÂlenost nezÏ od bodu P.

c)

PopisÏte, co je mnozÏinou vsÏech boduÊ Y v rovineÏ, ktereÂ majõÂ tuteÂzÏ vzdaÂlenost od prÏõÂmky q jako od bodu Q.

d) Charakterizujte popsaneÂ mnozÏiny analyticky, je-li p: x y 2 0; P0; 0, q: x 4 0; Q0; 5.

Ï esÏenõÂ R 1.1

a)

Df Hf h0; 1 1.

· · · ·

g: y h: y b)

naÂcÏrtek grafu funkce, Df ; Hf vzorce funkcõÂ g a h vyÂznam smeÏrnice prÏõÂmky rÏesÏenõÂ soustavy rovnic s parametrem

p p6x 6x

SmeÏrnice prÏõÂmky t je k tg 45 1 ) t: y x c; c 2 R. yxc p Soustava rovnic x c2 6x ) x2 2c 6x c2 0 y 6x ______________ D 36 24c ) jedno rÏesÏenõÂ pro c 1;5. Rovnice prÏõÂmky t je t: y x 1;5, ta protõÂnaÂ osu x v bodeÏ Q 1;5; 0.

1.2

b) $ DAK ? $ ABC + $ A1 D1 k $ AD k $ SK

8

· popis konstrukce rovnostranneÂho trojuÂhelnõÂku ve v. r. promõÂtaÂnõÂ · pruÊsecÏõÂk prÏõÂmky a roviny pomocõÂ pruÊsecÏnice dvou rovin · definice odchylky prÏõÂmky a roviny · strÏõÂdaveÂ uÂhly · velikost vyÂsÏky rovnostranneÂho trojuÂhelnõÂku · goniometrickaÂ funkce · objem kolmeÂho hranolu · obsah rovnostranneÂho trojuÂhelnõÂku · uÂprava vyÂrazu s odmocninou

p p a 3 1 a 3 ) tg p ) 30 . 2 3

c)

4AA1 D1 ) jA1 D1 j a; jAA1 j 2

d)

Objemp hranolu je V Sp v p3 p a 3 4 3 3 a3 p Sp 42 33 0;5 0;5 ) V 122 cm3. CÏõÂslo V je celeÂ. 3 V 4 4 4 va


1.3

a)

b) c)

d)

Body Z a D lezÏõÂ na prÏõÂmce p vedeneÂ pocÏaÂtkem kolmo na prÏõÂmku d p: 3x y 0 k: x2 y2 10 0, d: x 3y 30 0, d \ p ) D3; 9 dveÏ soustavy rovnic k \ p ) Z1; 3 Z D 2; 6 p Na plaÂnku je jZDj 2 10 cm, tj. ve skutecÏnosti asi 630 metruÊ.

1.4

1.5

n n 267, ta nemaÂ prÏõÂmek ) rÏesÏõÂme rovnici · kombinacÏnõÂ cÏõÂslo 2 2 p · rÏesÏenõÂ kvadratickeÂ v mnozÏineÏ N zÏaÂdnyÂ korÏen D 46;2. rovnice v N 24 · rozlisÏenõÂ spojnic (pocÏet 276 ) v textu uÂlohy meÏlo byÂt 276 mõÂsto 267. n 24 ) 2 prÏõÂznivyÂch jevuÊ) m mm 1 · PA m boduÊ urcÏuje uÂsecÏek, z nich m je stran m-uÂhelnõÂku. · uÂprava vyÂrazu 2 2 · rÏesÏenõÂ nerovnice v N PravdeÏpodobnost, zÏe naÂhodneÏ zvolenaÂ spojnice je uÂhloprÏõÂcÏkou, je mm 1 m m 3 2 . PA mm 1 m 1 2 m 3 23 V mnozÏineÏ N rÏesÏõÂme nerovnici > 0;7 ) m > . NejmensÏõÂ pocÏet vrcholuÊ je 8. m 1 3 n boduÊ urcÏuje

a)

V rovineÏ je mnozÏinou sjednocenõÂ prÏõÂmek p1 a p2.

V prostoru je to vaÂlcovaÂ plocha, jejõÂ osou je prÏõÂmka p, rÏõÂdicõÂ kruzÏnice maÂ polomeÏr P0P.

b)

· analyÂza textu, plaÂn postupu · rovnice prÏõÂmky kolmeÂ k daneÂ prÏõÂmce · soustava dvou lineaÂrnõÂch rovnic · soustava lin. a kvadr. rovnice, jejõÂ rÏesÏenõÂ v R R · velikost vektoru · vyuzÏitõÂ meÏrÏõÂtka plaÂnku

· analyÂza textu · dovednost popsat mnozÏinu, uzÏõÂt prÏesnou terminologii · k daneÂ prÏõÂmce danyÂm bodem veÂst rovnobeÏzÏku · k daneÂ prÏõÂmce urcÏit rovnici jejõÂho obrazu v osoveÂ soumeÏrnosti · rovnice paraboly urcÏeneÂ ohniskem a rÏõÂdicõÂ prÏõÂmkou · rovnice osy uÂsecÏky · analytickeÂ vyjaÂdrÏenõÂ poloroviny

MnozÏinou je polorovina , jejõÂzÏ hranicÏnõÂ prÏõÂmkou je osa uÂsecÏky PQ, P 2 .

c)

MnozÏinou je parabola, jejõÂmzÏ ohniskem je bod Q a rÏõÂdicõÂ prÏõÂmkou je q.

d)

· v uÂloze a) je p: x y 2 0; P0; 0; p1 k p; P 2 p1 ) x y c 0 a 0 2 0 c 0 |{z} p1: x y 0 p2 je obraz p1 v osoveÂ soumeÏrnosti s osou p p2: x y 4 0. · v uÂloze b) q: x 4 0; Q0; 5 ) rovnice paraboly bude y n2 2px ProtozÏe vrchol paraboly je V2; 5 a p 4, je rovnice y 52 8x 2. · v uÂloze c) je osou uÂsecÏky PQ prÏõÂmka o: y

m.

2;5 0. MnozÏinou je polorovina x

2;5 0.

9

Ï IÂMKY Â STI PR TeÂma 2 / CÏA

Téma 2

2.1

2.2

CÏAÂSTI PRÏIÂMKY

px jxj y1 x x2 y2 0 d) y2 2x 2jxj 4 2 b) 3 y0 c) xy 2 2x CÏaÂstõÂ uÂtvaru, jehozÏ vsÏechny body splnÏujõÂ uvedenou rovnici, je ve vsÏech prÏõÂpadech poloprÏõÂmka. PrÏesveÏdcÏte se o tom a popisÏte ten uÂtvar. RozhodneÏte takeÂ, zda rovnici je mozÏno poklaÂdat za vzorec, jõÂmzÏ je definovaÂna funkce. Pokud ano, uved'te neÏktereÂ jejõÂ vlastnosti. a)

a)

Na povrchu pravidelneÂho cÏtyrÏbokeÂho jehlanu ABCDV, jehozÏ vsÏechny hrany jsou stejneÏ dlouheÂ, je vyznacÏena jedna z ¹cestª, ktereÂ vedou ze strÏedu L hrany AV prÏes hranu BV (bod K) do vrcholu C. Na cÏaÂsti sõÂteÏ teÏlesa najdeÏte na BV ten bod K0 , pro kteryÂ je ¹cestaª LK0 C nejkratsÏõÂ. VypocÏõÂtejte takeÂ jejõÂ deÂlku.

b) Jehlan ABCDV je pravidelnyÂ a cÏtyrÏbokyÂ, vsÏechny jeho hrany jsou shodneÂ uÂsecÏky. Zobrazte rÏez tohoto jehlanu rovinou LKC, je-li L strÏed hrany AV, K vnitrÏnõÂ bod hrany BV takovyÂ, zÏe jBKj < jVKj. 2.3

Jsou daÂny funkce: a) f: y cosx jxj UrcÏete mnozÏiny Df a Hf , nacÏrtneÏte graf funkce f, stanovte body, v nichzÏ maÂ maximum a minimum. Je to periodickaÂ funkce? b) g: y sin x j sin xj UrcÏete mnozÏiny Dg a Hg , nacÏrtneÏte graf funkce g, stanovte body, v nichzÏ maÂ maximum a minimum. Je to periodickaÂ funkce?

2.4

a)

OrganizaÂtorÏi prÏespolnõÂho beÏhu prÏedpoklaÂdajõÂ, zÏe start bude na rozcestõÂ S, zaÂvodnõÂci nejdrÏõÂve pobeÏzÏõÂ po prÏõÂmeÂ lesnõÂ cesteÏ (SO), v mõÂsteÏ O odbocÏõÂ a budou pokracÏovat lesnõÂm tereÂnem (OC) do cõÂle C. Trat' maÂ celkovou deÂlku 5 km, velikost uÂhlu (|SOC) je 120 , cesty SC a SO svõÂrajõÂ odchylku 35 . VyjaÂdrÏete v procentech, jakou cÏaÂst trati absolvujõÂ zaÂvodnõÂci v lesnõÂm tereÂnu.

b) UmõÂsteÏte poloprÏõÂmky SX, SY, jejichzÏ odchylka je 35 . UplatneÏte stejnolehlost a popisÏte postup konstrukce lomeneÂ cÏaÂry SOC, kteraÂ prÏedstavuje trat' zaÂvodu. JejõÂ deÂlka je 5 cm, j|SOCj 120 , O 2 ! SY a C 2 ! SX. 2.5

Na kazÏdeÂ z obou rovnobeÏzÏnyÂch uÂsecÏek AB, CD je umõÂsteÏno k boduÊ. a) Kolik je mozÏneÂ sestrojit takovyÂch trojuÂhelnõÂkuÊ, aby jejich vrcholy byly neÏktereÂ trÏi z umõÂsteÏnyÂch boduÊ? b) UrcÏete cÏõÂslo k, võÂte-li, zÏe pokud by se pocÏet zvolenyÂch boduÊ na jedneÂ z uÂsecÏek zvyÂsÏil o 1, vzrostl by pocÏet trojuÂhelnõÂkuÊ, ktereÂ je mozÏneÂ sestrojit, o 70.

10


Ï esÏenõÂ R 2.1

a)

c)

y1 x 2 2 2x y 4, x 6 1, funkce konstanta,

x2

y2 xy

b)

0

d)

jLCj2

2.3

a)

y2 2x 2jxj 4 x < 0 ) jyj 2 x 0 ) y2 4x

· · · · · · ·

definicÏnõÂ obor vyÂrazu uÂprava vyÂrazu s absolutnõÂ hodnotou pojem funkce funkce konstanta lineaÂrnõÂ funkce exponenciaÂlnõÂ funkce rovnice paraboly

) dveÏ rovnobeÏzÏneÂ poloprÏõÂmky 1 ) parabolickyÂ oblouk, 1; 0 je jeho vrchol.

Trajektorie je nejkratsÏõÂ, pokud bod K0 je vnitrÏnõÂm bodem uÂsecÏky LC. TrojuÂhelnõÂky ABV a BCV jsou rovnostranneÂ a shodneÂ.

a)

b)

y0

x < 0 ) y 1, x 0 ) y 3x , neklesajõÂcõÂ funkce,

x yx y 0, x 6 0, y 6 0, dvojice kolmyÂch prÏõÂmek bez pruÊsecÏõÂku,

2.2

px jxj 3

a2 a2 2

· cÏaÂst sõÂteÏ jehlanu · uÂsecÏka jako nejkratsÏõÂ spojnice dvou boduÊ · prvky 4LCV · kosinovaÂ veÏta · uÂprava vyÂrazu · rÏez jehlanu rovinou

a a p 2 a cos 120 ) jLCj 7 jednotek. 2 2 Ï ezem je cÏtyrÏuÂhelnõÂk LKCM. R Jeho vrchol M lezÏõÂ na hraneÏ DV a na poloprÏõÂmce KX, prÏitom X je pruÊsecÏõÂk vyÂsÏky teÏlesa VS a uÂsecÏky LC.

Funkce f: y cosx jxj: pro x < 0 je y 1, pro x 0 je y cos 2x, Df R, Hf h 1; 1i, grafem je sjednocenõÂ poloprÏõÂmky a kosinusoidy s periodou p. Funkce maÂ maximum v kazÏdeÂm bodeÏ intervalu 1; 0i, daÂle p pak v bodech x kp, k 2 N, minimum v bodech x 2k 1 ; k 2 N. 2 NenõÂ periodickaÂ.

11


2.4

b)

Funkce g: y sin x j sin xj: · uÂprava vyÂrazu s absolutnõÂ pro sin x < 0 je y 0, pro sin x 0 je y 2 sin x, Df R, Hf h0; 2i, hodnotou · stanovenõÂ mnozÏin D a H grafem je sjednocenõÂ uÂsecÏek, ktereÂ jsou cÏaÂstõÂ osy x a majõÂ deÂlku · znaÂzorneÏnõÂ nebo popis grafu p jednotek, a obloukuÊ sinusoidy. p · zaÂpis maxima a minima Funkce maÂ maximum v bodech x 2kp, · posouzenõÂ, zda je funkce 2 minimum v kazÏdeÂm bodeÏ intervaluÊ h2k 1p; 2kpi, periodickaÂ v obou prÏõÂpadech je k 2 Z. Je periodickaÂ, nejkratsÏõÂ perioda je p 2p.

a)

4SOC, sinovaÂ veÏta + x 5 x ; x 2 0; 5 sin 35 sin 25 5 sin 35 x sin 25 sin 35 x 2;9 km LesnõÂm tereÂnem vede asi 58 % trati.

b)

· · · · ·

sinovaÂ veÏta vyjaÂdrÏenõÂ neznaÂmeÂ z rovnice vyÂpocÏet pocÏtu procent volba vzoru aplikace charakteristickyÂch vlastnostõÂ stejnolehlosti H: S, vzor X, obraz HX je kolineaÂrnõÂ trojice boduÊ, XY k HXY

Vrchol S uÂhlu XSY je strÏed stejnolehlosti H, · pomocnaÂ lomenaÂ cÏaÂra SO0 C0 O0 2 ! SY; 120 ) C0 2 ! SX · poloprÏõÂmka SZ · U 0 ; U 0 2 ! SZ; jSU 0 j jSO0 j jO0 C0 j · U 0 ; U 2 ! SZ; jSUj 5 · O; H: U 0 O0 ! UO · C; H: O0 C0 ! OC ___________________________

lomenaÂ cÏaÂra SOC

2.5

a)

na uÂsecÏkaÂch a a b je po k bodech, k 2 N +

k k, pocÏet trojuÂhelnõÂkuÊ s dveÏma vrcholy na a je 2 k pocÏet trojuÂhelnõÂkuÊ s dveÏma vrcholy na b je takeÂ k, 2 ______________________________ k k k2 k 1. pocÏet trojuÂhelnõÂkuÊ celkem je 2 2

· mozÏnosti pro umõÂsteÏnõÂ trojuÂhelnõÂkuÊ · vyjaÂdrÏenõÂ jejich pocÏtu kombinacÏnõÂmi cÏõÂsly · sestavenõÂ rovnice · uÂprava slozÏiteÏjsÏõÂho vyÂrazu · rÏesÏenõÂ kvadratickeÂ rovnice

b)

12

k1 k 2 k k 1 na uÂsecÏce b je k boduÊ ) pocÏet trojuÂhelnõÂkuÊ je 2 k k1 1 k 1 k 1 k 2k k celkovyÂ pocÏet je 2 2 2 k k k 1 Ï esÏenõÂ rovnice k 70 k 1 2 k R 2 2 2 vede ke kvadratickeÂ rovnici 3k2 k 140 0, v mnozÏineÏ N je jedineÂ rÏesÏenõÂ k1 7, k2 < 0. na uÂsecÏce a je k 1 boduÊ ) pocÏet trojuÂhelnõÂkuÊ je

1.

TeÂma 3 / ROVINA

Téma 3

ROVINA

3.1

UrcÏete to reaÂlneÂ cÏõÂslo d, pro ktereÂ majõÂ roviny ; ; spolecÏnou prÏõÂmku. JakeÂ je parametrickeÂ vyjaÂdrÏenõÂ teÂto prÏõÂmky? : x y 4 0 : x 2y z 2 0

: x 4y z d 0

3.2

Podstavou cÏtyrÏbokeÂho jehlanu ABCDV je rovnobeÏzÏnõÂk, kteryÂ lezÏõÂ v rovineÏ : x y 2z 0. Jeho vrchol V je bodem roviny ": x 2y 6 0, dalsÏõÂ vrcholy jsou body A1; 3; ?, B 1; 1; ?, C 1; 1; ?. a) DoplnÏte z-oveÂ sourÏadnice boduÊ A, B a C, vypocÏõÂtejte i sourÏadnice vrcholu D. b) Je podstavou teÏlesa cÏtverec? c)

3.3

VypocÏõÂtejte velikost vyÂsÏky teÏlesa.

a) V ktereÂ rovinoveÂ soumeÏrnosti S jsou body M0; 1; 2 a N4; 5; 6 navzaÂjem vzor a obraz? b) Kolik existuje osovyÂch soumeÏrnostõÂ So, v nichzÏ M ! N a N ! M? UrcÏete parametrickeÂ vyjaÂdrÏenõÂ asponÏ jedneÂ z teÏchto os. a) ZduÊvodneÏte, procÏ prÏõÂmky PP0 a BQ jsou mimobeÏzÏky, a pak sestrojte tu jejich prÏõÂcÏku, kteraÂ lezÏõÂ v rovineÏ hornõÂ podstavy krychle ABCDEFGH P 2 AE; P0 2 AB; Q 2 CG.

3.4

b) p: x 3 t q: x s : x y z 0 yt y1 s z t; t 2 R z 1 s; s 2 R JakeÂ je parametrickeÂ vyjaÂdrÏenõÂ prÏõÂcÏky r mimobeÏzÏek p a q, kteraÂ lezÏõÂ v rovineÏ ? Je prÏõÂcÏka r k neÏktereÂ z mimobeÏzÏek p, q kolmaÂ? 3.5

kvaÂdr ABCDEFGH

kolmyÂ hranol ABCDEFGH, podstava lichobeÏzÏnõÂk AB k CD

pravidelnyÂ cÏtyrÏbokyÂ jehlan ABCDV

Sestrojte rÏez teÏlesa rovinou MBN a takeÂ prÏõÂmku p, cozÏ je pruÊsecÏnice rovin a $ ABC. (M je vnitrÏnõÂ bod bocÏnõÂ hrany AE, resp. AV, a lezÏõÂ blõÂzÏe bodu A, N je vnitrÏnõÂ bod bocÏnõÂ hrany CG, resp. CV, a lezÏõÂ blõÂzÏe bodu G, resp. V.)

13

TeÂma 3 / ROVINA

Ï esÏenõÂ R 3.1

HledaÂme odpoveÏd' na otaÂzku, pro ktereÂ reaÂlneÂ cÏõÂslo d maÂ soustava rovnic nekonecÏneÏ mnoho trojic rÏesÏenõÂ: xy40 x

2y z 2 0

x 4y

zd0

________________________

)

3y z 2 0 3y z d 4 0

________________________

0y0z6

d ) d 6 ) : x 4y

SpolecÏnou prÏõÂmku p urcÏõÂme naprÏ. jako pruÊsecÏnici rovin a , tj. zvolõÂme x t a dosadõÂme do rovnic obou rovin ) y 4 t a p: x t; y

3.2

4

t; z

10

z60 2y z

2

t,

3t; t 2 R.

a)

DosazenõÂm A1; 3; 2, B 1; 1; 1, C 1; 1; 0, B A C D ) D A C B ) D1; 5; 3.

b)

Jsou sousednõÂ strany rovnobeÏzÏnõÂku shodneÂ uÂsecÏky? p B A 2; 4; 3; C B 0; 2; 1 ) jB Aj 29; jC jB Aj 6 jC Bj ) ABCD nenõÂ cÏtverec.

c)

UrcÏõÂme sourÏadnice vrcholu V a jeho vzdaÂlenost od roviny podstavy teÏlesa: AC ) S0; 2; 1, bodem S prÏõÂmka p ? ) · p: x t strÏed podstavy S 2 (prÏõÂmka p je urcÏena bodem S a normaÂlovyÂm vektorem n~ ) y2t z 1 2t; t 2 R vrchol V je pruÊsecÏõÂk prÏõÂmky p a roviny " (soustava rovnic) )

Bj

p 5,

· V2; 4;

3,

vyÂsÏku teÏlesa urcÏõÂme jako vzdaÂlenost bodu V a roviny nebo jako velikost vektoru ~ uV

S)V

S 2; 2;

4

· jV · · · · · · · ·

3.3

a)

S: M ! N, proto MN ? a S

Rovina soumeÏrnosti je : x y z

b)

Sj

p p 4 4 16 2 6.

plaÂn postupu rÏesÏenõÂ doplneÏnõÂ sourÏadnic boduÊ A, B, C vyÂpocÏet sourÏadnic vrcholu D velikost vektoru strÏed rovnobeÏzÏnõÂku bodem prÏõÂmka kolmaÂ k rovineÏ pruÊsecÏõÂk prÏõÂmky a roviny vzdaÂlenost bodu od roviny nebo opeÏt velikost vektoru MN 2

M0; 1; 2; N4; 5; 6, · S2; 3; 4; ~ n N M 4; 4; 4 · : 4x 4y 4z d 0 · S2

14

· podmõÂnka pro pocÏet rÏesÏenõÂ soustavy rovnic · urcÏenõÂ hodnoty parametru · parametrickeÂ vyjaÂdrÏenõÂ pruÊsecÏnice dvou rovin

9 0.

Osou soumeÏrnosti je kazÏdaÂ prÏõÂmka, kteraÂ lezÏõÂ v rovineÏ a prochaÂzõÂ bodem S. Je to naprÏ. prÏõÂmka SX, kde X0; 0; 9.

· · · ·

vlastnosti S sourÏadnice strÏedu uÂsecÏky normaÂlovyÂ vektor roviny rovnice roviny (obecnaÂ nebo parametrickeÂ) · vlastnosti So · kolmost prÏõÂmky a roviny · rovnice prÏõÂmky, kteraÂ lezÏõÂ v daneÂ rovineÏ a prochaÂzõÂ danyÂm bodem

TeÂma 3 / ROVINA

3.4

a)

$ PP0 \ $ EF fXg, $ BQ \ $ FG fYg, prÏõÂcÏkou je $ XY.

b)

PruÊsecÏõÂky prÏõÂmek p a q s rovinou ) X2; 1; 1; Y 2; 1; 3, prÏõÂcÏka r $ XY ) r: x 2 4m y 1 z 1 4m; m 2 R. SmeÏroveÂ vektory prÏõÂmek p, q, r jsou ~ up 1; 1; 1, ~ uq 1; 1; 1, ~ ur 4; 0; 4 ) ~ up ~ ur 0, ~ uq ~ ur 8 ) p ? r.

procÏ jsou p, g mimobeÏzÏky? konstrukce prÏõÂcÏky r rÏesÏenõÂ soustav rovnic rovnice prÏõÂmky urcÏeneÂ dveÏma body · vyuzÏitõÂ skalaÂrnõÂho soucÏinu pro oveÏrÏenõÂ kolmosti prÏõÂmek

· · · ·

3.5

PraktickeÂ uplatneÏnõÂ zaÂkladnõÂch veÏt: · rovina protõÂnaÂ dveÏ roviny, ktereÂ jsou rovnobeÏzÏneÂ · spolecÏnyÂ bod trÏõÂ rovin, z nichzÏ kazÏdeÂ dveÏ jsou ruÊznobeÏzÏneÂ

15

TeÂma 4 / UÂHEL

Téma 4

UÂHEL

4.1

Z vrcholu V rozhledny je videÏt budova naÂdrazÏõÂ N v hloubkoveÂm uÂhlu 4;2 a turistickaÂ chata H v hloubkoveÂm uÂhlu 5;3 . Velikost uÂhlu " NVH je 82;9 . Podle uÂdaje na informacÏnõÂ tabulce je vyÂsÏka rozhledny 44 metruÊ. Jak daleko je vzdusÏnou cÏarou chata od naÂdrazÏõÂ? (VyÂpocÏet zaokrouhlujte na desõÂtky metruÊ.)

4.2

V kruhu se strÏedem S je umõÂsteÏn pruÊmeÏr AA1 a teÏtiva BY jeho hranicÏnõÂ kruzÏnice k AA1 ? BY, X je pruÊsecÏõÂk AA1 a BY. a) Je-li j|AYBj 20 , urcÏete j|ASBj. b) JakeÂ teÏleso vznikne rotacõÂ uÂtvaru ohranicÏeneÂho mensÏõÂm kruzÏnicovyÂm obloukem AB a uÂsecÏkami AX, BX kolem pruÊmeÏru AA1 ? VypocÏõÂtejte jeho objem, je-li polomeÏr kruhu 10 cm. (VyÂpocÏet zaokrouhlujte na jedno desetinneÂ mõÂsto.)

4.3

a) Velikosti vnitrÏnõÂch uÂhluÊ cÏtyrÏuÂhelnõÂku jsou cÏtyrÏi po sobeÏ jdoucõÂ cÏleny geometrickeÂ posloupnosti s kvocientem q 2. Je to konvexnõÂ uÂtvar? b) Velikosti vnitrÏnõÂch uÂhluÊ n-uÂhelnõÂku jsou cÏleny aritmetickeÂ posloupnosti s diferencõÂ d 4, nejmensÏõÂ je 128 . Kolik maÂ takovyÂ konvexnõÂ n-uÂhelnõÂk vrcholuÊ a jak velkyÂ je jeho nejveÏtsÏõÂ vnitrÏnõÂ uÂhel?

4.4

a) VnitrÏnõÂ uÂhly trojuÂhelnõÂku ABC jsou 75 , 50 . StrÏed S strany a maÂ od strany c vzdaÂlenost d 2;8 cm. Sestrojte ten trojuÂhelnõÂk. b) VypocÏõÂtejte obsah trojuÂhelnõÂku ABC. (VyÂpocÏet zaokrouhlujte na jedno desetinneÂ mõÂsto.)

4.5

16

PrÏõÂmka p je pruÊsecÏnicõÂ rovin a , v nõÂzÏ lezÏõÂ bod Q. JakaÂ je odchylka teÏchto dvou rovin? (DalsÏõÂ informace jsou k dispozici v naÂcÏrtku.)

TeÂma 4 / UÂHEL

Ï esÏenõÂ R 4.1

VzdaÂlenost NH urcÏõÂme jako velikost strany 4NHV. V

n

plaÂn postupu rÏesÏenõÂ hloubkovyÂ uÂhel strÏõÂdaveÂ uÂhly funkce sinus v pravouÂhleÂm trojuÂhelnõÂku · kosinovaÂ veÏta · · · ·

44

H

44 sin 4;2 h h 600 4.2

P 44 sin 5;3 n n 480

d 720 metruÊ.

|AYB je jednõÂm z obvodovyÂch uÂhluÊ prÏõÂslusÏejõÂcõÂch mensÏõÂmu kruzÏnicoveÂmu oblouku AB, |ASB je odpovõÂdajõÂcõÂ strÏedovyÂ uÂhel, proto j|ASBj 40 .

b)

PocÏõÂtaÂme objem kuloveÂ uÂsecÏe

a) b)

4.4

p 6002 4802 2 600 480 cos 82;9

a)

10 v ) v 2;3 cm, 10 r1 r1 BX je jejõÂ podstava ) sin 40 ) r1 6;4 cm, 10 2;3p pv 3r21 v2 3 6;42 2;32 ) V 49;1p cm3 , V 6 6 tj. V 154;3 cm3 . v AX je jejõÂ vyÂsÏka

4.3

d

a)

) cos 40

· obvodovyÂ a strÏedovyÂ uÂhel prÏõÂslusÏejõÂcõÂ teÂmuzÏ oblouku · urcÏenõÂ rotacÏnõÂho teÏlesa · uzÏitõÂ goniometrickeÂ funkce · vyÂpocÏet objemu teÏlesa

1 2 4 8 360 ) 24 ; 48 ; 96 ; 192 , takovyÂ 4uÂhelnõÂk nenõÂ konvexnõÂ. · vyjaÂdrÏenõÂ po sobeÏ Velikosti vnitrÏnõÂ uÂhluÊ n-uÂhelnõÂku jsou jdoucõÂch cÏlenuÊ geome 1 128 ; 2 132 ; 3 136 ; ::: n 128 n 1 4 124 4n , trickeÂ posloupnosti n jejich soucÏet ve stupnõÂch je s 128 124 4n, ale takeÂ n 2 180. · konvexnõÂ cÏtyrÏuÂhelnõÂk 2 · vyjaÂdrÏenõÂ n-teÂho cÏlenu + aritmetickeÂ posloupnosti n · soucÏet jejõÂch prvnõÂch V mnozÏineÏ N rÏesÏõÂme rovnici 128 124 4n n 2 180, 2 n cÏlenuÊ tj. n2 27n 180 0; D 9; n1 12; n2 15. · soucÏet vnitrÏnõÂch uÂhluÊ Pro n 12 je nejveÏtsÏõÂ uÂhel 12 172 ) dvanaÂctiuÂhelnõÂk konvexnõÂ je, n-uÂhelnõÂku pro n 15 je to 15 184 ) patnaÂctiuÂhelnõÂk nikoli. · rovnice a jejõÂ rÏesÏenõÂ Je to dvanaÂctiuÂhelnõÂk. · oveÏrÏenõÂ konvexnosti uÂtvaru · pomocnyÂ trojuÂhelnõÂk A1 B1 C1 (vnitrÏnõÂ uÂhly a ) · S1 S; strÏed B1 C1 a takeÂ strÏed stejnolehlosti H · X1 2 A1 B1 ; SX1 ? A1 B1 · X 2 ! SX1 ; jSXj 2;8 cm · p; p k A1 B1 ; X 2 p · A; B; H: A1 ! A; B1 ! B; A 2 p; B 2 p ·_____________________ C; H: C1 ! C · 4 ABC

podobnost trojuÂhelnõÂkuÊ podle uu volba strÏedu stejnolehlosti H p k Hp kolineaÂrnost boduÊ S, A, HA uplatneÏnõÂ koeficientu podobnosti pro vyÂpocÏet obsahu trojuÂhelnõÂku · goniometrickeÂ funkce · · · · ·

17

TeÂma 4 / UÂHEL

b)

4.5

4CPB 4SP1 B s koeficientem k 0;5: · v 5;6 cm ) 1 v S AP PB v · tg 75 ) AP 1;5 cm 2 AP S 17;4 cm2 . v ) PB 4;7 cm · tg 50 PB

· : x y z 1 0 ) normaÂlovyÂ vektor roviny je ~ n 1; 1; 1, · urcÏõÂme rovnici pro z-ovou sourÏadnici boduÊ prÏõÂmky p: p : t 2 t z 1 0 ) z 3 2t,

· doplneÏnõÂ rovnice prÏõÂmky p · co je nutneÂ znaÂt k vyÂpocÏtu odchylky dvou rovin · urcÏenõÂ dvou nezaÂvislyÂch vektoruÊ roviny · vyÂpocÏet vektoroveÂho soucÏinu · uplatneÏnõÂ vzorce pro odchylku dvou vektoruÊ

p~ q, kde · normaÂlovyÂ vektor roviny je ~ n ~ ~ p 1; 1; 2 je smeÏrovyÂ vektor pruÊsecÏnice p, vektor ~ q, kteryÂ nenõÂ s ~ p rovnobeÏzÏnyÂ, je dalsÏõÂ vektor umõÂsteÏnyÂ v rovineÏ , naprÏ. ~ q Q P; Q0; 2; 0; P0; 2; 3 ) )~ q 0; 0; 3; ~ n ~ p~ q 3; 3; 0, ) · ~ n 1; 1; 1 j1 3 1 3 1 0j p p 0 ) ? . odchylka rovin a je cos 3 18 ~ n 3; 3; 0

18

TeÂma 5 / TROJUÂHELNIÂK

Téma 5

TROJUÂHELNIÂK

V pravidelneÂm trojbokeÂm jehlanu majõÂ vsÏechny bocÏnõÂ hrany velikost b a svõÂrajõÂ uÂhel ", b > 0, " 2 0 ; 120 .

5.1

a) PomocõÂ promeÏnnyÂch b a " vyjaÂdrÏete povrch tohoto teÏlesa. b) UplatneÏte zõÂskanyÂ vzorec a urcÏete povrch jehlanu, je-li b 8 cm a jsou-li bocÏnõÂ steÏny pravouÂhleÂ trojuÂhelnõÂky.

5.2

Je umõÂsteÏna kruzÏnice kS; r a jejõÂ bod C, ve vnitrÏnõÂ oblasti teÂto kruzÏnice je pak bod T jCTj m; m > 0. a) PopisÏte postup konstrukce vsÏech trojuÂhelnõÂkuÊ ABC vepsanyÂch kruzÏnici k, jejichzÏ teÏzÏisÏteÏm je bod T. b) Jakou podmõÂnku musõÂ splnÏovat kladneÂ cÏõÂslo m, maÂ-li mõÂt uÂloha asponÏ jedno rÏesÏenõÂ? c)

Je mozÏneÂ takovyÂ trojuÂhelnõÂk sestrojit, maÂ-li kruzÏnice rovnici x2 y2 16 a umõÂsteÏneÂ body jsou C?; 4 a T3; 0?

d) KruzÏnice k a jejõÂ bod C je umõÂsteÏn. Jak nynõÂ umõÂstõÂte bod T, chcete-li, aby sestrojenyÂ trojuÂhelnõÂk byl rovnoramennyÂ a jeho zaÂkladnou byla strana AB? 5.3

a) Jedna z uÂloh testu byla ¹Obsah 4ABC je S 12 cm2 , dveÏ z jeho stran majõÂ velikost 6 cm a 8 cm. UrcÏete jeho obvod.ª ZbysÏek vypocÏõÂtal, zÏe o 18;1 cm, VojteÏch uvaÂdõÂ v testu, zÏe o 27;5 cm. KteryÂ z vyÂsledkuÊ je chybnyÂ? b) Je 4ABC tupouÂhlyÂ?

5.4

Vrcholy A, B rovnoramenneÂho trojuÂhelnõÂku ABC jsou body prÏõÂmky p: x y 2 0, vrchol B je soucÏasneÏ bodem osy x. Vrchol, kteryÂ lezÏõÂ proti zaÂkladneÏ trojuÂhelnõÂku, je C3; 7. a) UrcÏete sourÏadnice vrcholu A. b) Jakou rovnici maÂ parabola, jejõÂzÏ osa je rovnobeÏzÏnaÂ s osou y, s vrcholem v teÏzÏisÏti 4ABC, prochaÂzõÂ-li bodem B?

5.5

V 4ABC majõÂ strany a a c deÂlku 12 a 20 cm, pro jeho vnitrÏnõÂ uÂhly platõÂ 2. a) Je to tupouÂhlyÂ trojuÂhelnõÂk? AnizÏ urcÏujete deÂlku strany b, zduÊvodneÏte, procÏ jeho obvod je veÏtsÏõÂ nezÏ 52 cm. b) VypocÏõÂtejte polomeÏr kruzÏnice tomuto trojuÂhelnõÂku opsaneÂ.

19


Ï esÏenõÂ R 5.1

a)

p a2 p " 3 b2 3 sin2 2 4 1 Spl 3 b2 sin " 2

· obsah podstavy Sp · obsah plaÂsÏteÏ + · povrch jehlanu

S Sp Spl b2

" 0;5a " ) a 2b sin sin 2 b 2

5.2

b)

b 8; " 90 ) S 64

a)

Popis konstrukce:

p " 3 3 sin2 sin " . 2 2 · · · · ·

p 1 3 3 1 151;4 cm2 . 2 2 · k; S; C; T · ! CT · P; P 2 ! CT; jCPj 1;5 jCTj · p $ PS · q: q ? p; P 2 q · A; B; q \ k fA; Bg _______________________________

· pomeÏr, v neÏmzÏ deÏlõÂ teÏzÏisÏteÏ teÏzÏnici v trojuÂhelnõÂku · pruÊmeÏr kruzÏnice jako jejõÂ osa soumeÏrnosti · postup konstrukce · vyjaÂdrÏenõÂ podmõÂnky pro existenci rÏesÏenõÂ · aplikace vyjaÂdrÏeneÂ podmõÂnky pro konkreÂtnõÂ zadaÂnõÂ (bod lezÏõÂ na kruzÏnici, velikost vektoru) · vlastnosti rovnoramenneÂho trojuÂhelnõÂku

4ABC

b)

4 AsponÏ jedno rÏesÏenõÂ ) bod P je bodem vnitrÏnõÂ oblasti kruzÏnice ) 1;5m < 2r ) m < r. 3

c)

k: x2 y2 16 a C 2 k ) C0; 4 ) m jC

Tj

q 32 42 5 )

T3; 0 d) 5.3

a)

b)

4 platõÂ 5 < 4? 3

r4 Ano, trojuÂhelnõÂk je mozÏneÂ sestrojit.

MaÂ-li byÂt sestrojenyÂ trojuÂhelnõÂk rovnoramennyÂ se zaÂkladnou AB, pak musõÂ body C, S, T lezÏet v prÏõÂmce. 12 0;5 6 8 sin sin 0;5 1 30 + p 2 2 2 6 8 cos 30 4;1, a 6 8 o 18;1 cm Oba majõÂ pravdu. UÂloha maÂ dveÏ rÏesÏenõÂ.

20

vyÂpocÏet velikosti podstavneÂ hrany obsah rovnostranneÂho trojuÂhelnõÂku obsah trojuÂhelnõÂku sus povrch jehlanu, uÂprava vyÂrazu vyÂpocÏet podle vzorce

· · · ·

goniometrickaÂ rovnice v 0 ; 180 kosinovaÂ veÏta vyÂpocÏet obvodu vyÂpocÏet nejveÏtsÏõÂho uÂhlu

2 150 + p a 62 82 2 6 8 cos 150 13;5, o 27;5 cm

TrojuÂhelnõÂk se stranou a 13;5 cm je tupouÂhlyÂ 150 . V druheÂm trojuÂhelnõÂku lezÏõÂ nejveÏtsÏõÂ vnitrÏnõÂ uÂhel proti straneÏ, kteraÂ maÂ deÂlku 8 cm ) 82 4;12 62 2 4;1 6 cos ) 103;1 . Oba trojuÂhelnõÂky jsou tupouÂhleÂ.


5.4

a)

· B2; 0 · C 2 o; o ? p o: x y 4 0 · o \ p ) S; S 1; 3 AB · S ) A 2S 2 A 4; 6.

b)

5.5

a)

ABC 1 13 T )T ; , 3 3 3 2 1 rovnice paraboly je x 3 1 2 x 3

2p y 25 y 39

plaÂn postupu rÏesÏenõÂ bod B rovnice osy uÂsecÏky soustava rovnic obraz bodu ve strÏedoveÂ soumeÏrnosti teÏzÏisÏteÏ trojuÂhelnõÂku vrcholovaÂ rovnice paraboly

13 25 , B je bod paraboly ) 2p 3 39 13 . 3

12 20 12 20 ) sin sin sin sin 2 12 2 sin cos 20 sin 5 0 < < 180 ) sin 6 0 ) cos ) 33;5 ; 67 ) < 90 6

Podle sinoveÂ veÏty je

TrojuÂhelnõÂk nenõÂ tupouÂhlyÂ. UÂhel je nejveÏtsÏõÂ, proto i strana b bude nejdelsÏõÂ, jejõÂ deÂlka bude veÏtsÏõÂ nezÏ 20 cm ) ) 12 20 b > 52. b)

B

· · · · · · ·

2r

a 12 ) r 10;9 cm. sin sin 33;5

· sinovaÂ veÏta · goniometrickaÂ rovnice rÏesÏenaÂ v mnozÏineÏ 0; p · trojuÂhelnõÂkovaÂ nerovnost · vyuzÏitõÂ sinoveÂ veÏty pro vyÂpocÏet r

21

Â HLYÂ TROJUÂHELNIÂK TeÂma 6 / PRAVOU

Téma 6

6.1

PRAVOUÂHLYÂ TROJUÂHELNIÂK

a) VsÏechny hrany pravidelneÂho cÏtyrÏsteÏnu ABCD a pravidelneÂho cÏtyrÏbokeÂho jehlanu KLMNV jsou shodneÂ uÂsecÏky. PrÏirozenyÂmi cÏõÂsly vyjaÂdrÏete pomeÏr objemuÊ obou teÏles. b) Je-li odchylka bocÏnõÂ hrany od roviny podstavy cÏtyrÏsteÏnu a odchylka bocÏnõÂ hrany od roviny podstavy jehlanu, platõÂ < ?

6.2

a) VypocÏõÂtejte velikost uÂhluÊ prÏilehlyÂch k prÏeponeÏ c pravouÂhleÂho trojuÂhelnõÂku ABC, platõÂ-li pro jeho strany 9a2 b2 7c2 . b) MaÂ-li kruzÏnice opsanaÂ tomuto trojuÂhelnõÂku polomeÏr r 5 cm, jakyÂ je jeho obsah?

6.3

TrojuÂhelnõÂk ABC je pravouÂhlyÂ, jABj m, m > 0, D je pata vyÂsÏky. Bod D deÏlõÂ prÏeponu AB na dveÏ uÂsecÏky tak, zÏe jADj 0;25m.

a) PomocõÂ parametru m vyjaÂdrÏete velikost polomeÏruÊ rk kruhu k, jehozÏ pruÊmeÏrem je odveÏsna BC, a rl kruhu l s pruÊmeÏrem CD. b) OveÏrÏte vyÂpocÏtem, zÏe oba polomeÏry jsou veÏtsÏõÂ nezÏ polomeÏr kruhu vepsaneÂho trojuÂhelnõÂku Ï esÏte pro jABj 8 cm. ABC. R 6.4

Dvacet metruÊ od paty domu je prÏõÂvoz. V letnõÂm obdobõÂ tu prÏevoznõÂk zajisÏt'uje prÏepravu osob na druhou stranu rÏeky. VlastõÂk a Zlata se nemohli dohodnout, jak je rÏeka v tomto mõÂsteÏ sÏirokaÂ. DeÏda jim navrhl, at' to tedy vypocÏõÂtajõÂ...

Z okna ve 2. patrÏe domu je videÏt na druheÂm brÏehu kamennyÂ sloupek, ke ktereÂmu prÏevoznõÂk pramici prÏivazuje, v hloubkoveÂm uÂhlu " 9 , z okna 3. patra, tj. vyÂsÏ o 3 metry, v hloubkoveÂm uÂhlu 11 . Jak je rÏeka v tomto mõÂsteÏ sÏirokaÂ? Je to võÂc nezÏ 60 metruÊ, jak odhadovala Zlata, anebo nejvyÂsÏ 50 metruÊ, cozÏ tvrdil VlastõÂk...? 6.5

a) ¹JestlizÏe je jednõÂm z krajnõÂch boduÊ teÏzÏnice trojuÂhelnõÂka strÏed kruzÏnice jemu opsaneÂ, pak je tento trojuÂhelnõÂk pravouÂhlyÂ.ª DokazÏte. b) VyuzÏijte tuto veÏtu pro konstrukci trojuÂhelnõÂku ABC, kteryÂ je pravouÂhlyÂ, prÏepona AB maÂ deÂlku 6 cm, velikost teÏzÏnice ta je t cm t > 0. PopisÏte postup konstrukce a urcÏete mnozÏinu teÏch t, pro neÏzÏ maÂ uÂloha asponÏ jedno rÏesÏenõÂ.

22


Ï esÏenõÂ R 6.1

a)

VsÏechny hrany obou teÏles majõÂ velikost a.

p p a2 3 a 3 , jeho vyÂsÏka je w Obsah rovnostranneÂho trojuÂhelnõÂku o straneÏ a je S . 4 2 · obsah rovnostranneÂho trojuÂhelnõÂku · Pythagorova veÏta pro vyÂpocÏet teÏlesovyÂch vyÂsÏek · uÂprava vyÂrazuÊ s odmocninami · vyjaÂdrÏenõÂ pomeÏru pomocõÂ celyÂch cÏõÂsel · odchylka prÏõÂmky a roviny · funkce tangens

1 1 VcÏ Sp v1 , Vj Sp v2 3 3 v !2 u p!2 r p a p2 u a 3 1 a 3 2 v1 jDTj t , v2 jVSj a2 3 2 2 2 p p p p p 2 3 2 3 1 a2 3 a 6 1 2 a 2 Vj a VcÏ a, a ) VcÏ : Vj 1 : 2 3 3 4 12 6 3 2

6.2

b)

a p 6 p jDTj 3 p 2, tg 2 a jBTj 3 3 2

a)

9a2

b2 7c2 )

a2 c2

JinyÂ postup: Soustava rovnic 9a2

a p 2 jVSj tg 2 p 1 ) < neplatõÂ. jLSj 1 a 2 2

b2 7 7 ) sin2 cos2 ; 2 0 ; 90 9 c2 9 7 ) 70;5 ; 19;5 cos 2 9

b2 7c2 c2 a2 b2 ) a2 8b2 ) tg

b)

6.3

a)

b)

a p 8 atd. b

· uÂprava rovnice s cõÂlem zõÂskat pomeÏr stran · goniometrickeÂ funkce v pravouÂhleÂm trojuÂhelnõÂku · rÏesÏenõÂ goniometrickeÂ rovnice v mnozÏineÏ · sinovaÂ veÏta a polomeÏr kruzÏnice opsaneÂ trojuÂhelnõÂku

a 2r ) 1 1 sin S ab 2r sin 2r sin 2 52 sin 70;5 sin 19;5 15;7 cm2 . b 2 2 2r sin Pro vyÂpocÏet polomeÏru rk vyuzÏijeme Euklidovu veÏtu o odveÏsneÏ: 3 3 m p jBCj2 jABj jBDj ) jBCj2 m m m2 ) rk 3. 4 4 4 Pro vyÂpocÏet polomeÏru rl vyuzÏijeme Euklidovu veÏtu o vyÂsÏce: 1 3 3 m p jCDj2 jADj jBDj ) jCDj2 m m m2 ) rl 3. 4 4 16 8 Pro vyÂpocÏet polomeÏru trojuÂhelnõÂku vepsaneÂho kruhu pouzÏijeme vzorec S4 abc . , kde s 2 s

· · · · · ·

vyuzÏitõÂ EuklidovyÂch veÏt vyÂpocÏet polomeÏruÊ vyÂpocÏet obvodu trojuÂhelnõÂku vyÂpocÏet obsahu trojuÂhelnõÂku vyÂpocÏet porovnaÂnõÂ polomeÏruÊ

23


p · a 2rk 4 3 cm

· c m 8 cm

· b 4 cm

p 1 16 p · 3 1;5 cm · S4 ab 8 3 cm2 2 19 |{z} p p 1;5 cm, rk 2 3 3;5 cm, rl 3 1;7 cm; < rl < rk .

p · s 6 2 3 9;5 cm

6.4

" 9 ; 11 · naÂcÏrtek situace, spraÂvneÂ oznacÏenõÂ hloubkovyÂch uÂhluÊ · strÏõÂdaveÂ uÂhly · vyuzÏitõÂ goniometrickeÂ funkce · soustava rovnic · vyjaÂdrÏenõÂ neznaÂmeÂ · vyÂpocÏet sÏõÂrÏky rÏeky tg "

v x 20

v x 20 tg 9

tg

v3 x 20

v x 20 tg 11

3 ) x 20

3 tg 11

tg 9

) x 63;3

Zlata odhadla sÏõÂrÏku docela prÏesneÏ, rÏeka je v tomto mõÂsteÏ sÏirokaÂ prÏiblizÏneÏ 63 metruÊ. 6.5

a)

b)

24

PlatõÂ: vrcholy trojuÂhelnõÂku ABC lezÏõÂ na kruzÏnici kS; r a jCSj r jtc j + S je strÏed AB a k je Thaletova kruzÏnice s pruÊmeÏrem AB + 4ABC je pravouÂhlyÂ. 1 2 · AST; jASj 3; jTSj jASj 1; jATj t 3 3 · C; jSCj 3 jTSj 3 · B; jABj 2 jASj 6 _______________________________ · vyuzÏitõÂ Thaletovy kruzÏnice 4ABC · pochopenõÂ, jak bude v konstrukci veÏta vyuzÏita · vlastnosti teÏzÏisÏteÏ trojuÂhelnõÂku · postup konstrukce · vyuzÏitõÂ trojuÂhelnõÂkoveÂ nerovnosti pro PodmõÂnka rÏesÏitelnosti vyplyÂvaÂ z trojuÂhelnõÂkoveÂ urcÏenõÂ podmõÂnky nerovnosti pro 4AST: 2 2 jASj jTSj < jAA1 j < jASj jTSj ) 3 1 < t < 3 1 ) t 2 3; 6. 3 3

Ï UÂHELNIÂK TeÂma 7 / CÏTYR

Téma 7

7.1

CÏTYRÏUÂHELNIÂK

a) PopisÏte postup konstrukce rovnoramenneÂho lichobeÏzÏnõÂku ABCD, je-li kladneÂ cÏõÂslo a velikost jeho zaÂkladny AB, kladneÂ cÏõÂslo e velikost uÂhloprÏõÂcÏek AC a BD, " velikost jejich odchylky. b) ZduÊvodneÏte, procÏ je mozÏneÂ urcÏit obsah takoveÂho lichobeÏzÏnõÂku, pokud znaÂme pouze cÏõÂsla e a ". (VypocÏõÂtejte jej pro e 10 cm, " 30 .) 1 Pokud je a e a " 90 , porovnejte velikosti zaÂkladen lichobeÏzÏnõÂku. PlatõÂ 2 jABj > jCDj? 2 p Jedna strana deltoidu ABCD, jehozÏ dva vnitrÏnõÂ uÂhly jsou praveÂ, je dlouhaÂ 4 5 cm, AC je jeho osa Â hloprÏõÂcÏky se protõÂnajõÂ v bodeÏ S tak, zÏe jedna z nich je bodem S rozdeÏlena na dveÏ soumeÏrnosti. U uÂsecÏky, jejichzÏ deÂlky jsou v pomeÏru 1 : 4. c)

7.2

a) PopisÏte konstrukci asponÏ jednoho takoveÂho deltoidu. p Uved'te takeÂ, jak sestrojõÂte uÂsecÏku, kteraÂ maÂ deÂlku 4 5 cm. b) VysveÏtlete, procÏ zadaÂnõÂ uÂlohy nenõÂ jednoznacÏneÂ, a proto uvedeneÂ podmõÂnky splnÏujõÂ dva deltoidy, ktereÂ nejsou shodneÂ. VypocÏõÂtejte obvod obou cÏtyrÏuÂhelnõÂkuÊ. 7.3

V krychli ABCDEFGH je na hraneÏ BC jBCj 4 cm umõÂsteÏn bod K jBKj 1 cm. a) Zobrazte rÏez krychle rovinou " EKG. b) Jak se lisÏõÂ obsah rÏezu od obsahu steÏny krychle? c)

7.4

Je rÏez n-uÂhelnõÂk, ktereÂmu je mozÏneÂ vepsat nebo opsat kruzÏnici?

a) Uved'te alesponÏ dva postupy, jimizÏ oveÏrÏõÂte, zÏe body A1; 1; 0, B2; 0; D0; 0; 2 jsou vrcholy cÏtyrÏuÂhelnõÂku.

1, C0;

2; 3,

b) RozhodneÏte, zda · je ABCD rovnobeÏzÏnõÂk, · neÏktereÂ dveÏ jeho strany jsou shodneÂ, · jsou jeho uÂhloprÏõÂcÏky AC, BD k sobeÏ kolmeÂ. 7.5

PuÊvodnõÂ trasa noveÏ budovaneÂ komunikace pocÏõÂtala s pruÊjezdem na okraji obce. S tõÂm vsÏak obcÏaneÂ nesouhlasili, a tak by meÏl byÂt plaÂnovanyÂ prÏõÂmyÂ uÂsek DC nahrazen obchvatem. VytyÂcÏeneÂ body A, B na plaÂnku majõÂ vzdaÂlenost je 0,15 km a daÂle bylo zmeÏrÏeno, zÏe j|CABj 17 , j|ABCj 115 , j|ABDj 22 , j|DABj 129 . Podle informace projektantuÊ bude obchvat o 78 % delsÏõÂ nezÏ puÊvodneÏ plaÂnovanyÂ pruÊjezd obcõÂ. Bude obchvat delsÏõÂ nezÏ puÊl kilometru?

25


Ï esÏenõÂ R 7.1

a)

V posunutõÂ TDC je obrazem bodu B bod B0 . 4AB0 C je rovnoramennyÂ jACj jB0 Cj e; j|ACB0 j ".

b)

Podle veÏty sss platõÂ 4ACD 4CB0 B. Proto jsou obsahy lichobeÏzÏnõÂku ABCD a 4AB0 C stejneÂ ) S 0;5 e2 sin ". Pro e 10 cm a " 30 je S 25 cm2 . Postup konstrukce lichobeÏzÏnõÂku ABCD je patrnyÂ z obraÂzku.

c)

1 Pro vyÂpocÏet velikosti zaÂkladny c CD v prÏõÂpadeÏ, zÏe a e 2 a uÂhloprÏõÂcÏky lichobeÏzÏnõÂku jsou k sobeÏ kolmeÂ, uplatnõÂme naÂcÏrtek z a): jAB0 j je uÂhloprÏõÂcÏka ve cÏtverci, jeho strana je e + p AB0 0;5e p c e 2 c e 2 0;5 0;9e 2jABj e ) 2jABj > jCDj platõÂ.

7.2

a)

· vyÂznam posunutõÂ pro sestrojenõÂ lichobeÏzÏnõÂku · souhlasneÂ uÂhly o velikosti " · postup konstrukce uÂtvaru · zduÊvodneÏnõÂ rovnosti obsahuÊ lichobeÏzÏnõÂku a trojuÂhelnõÂku · vyÂpocÏet obsahu · vyÂpocÏet velikosti druheÂ zaÂkladny

PrÏi konstrukci deltoidu uplatnõÂme stejnolehlost H se strÏedem C: · CA1 ; jCA1 j 5 cm · S1 ; S1 2 CA1 ; jCS1 j 1 cm · k; Thaletova kruzÏnice s pruÊmeÏrem CA1 · p; p ? CA1 ; S1 2 p · B1 ; D1 ; p \ k fB1 ; D1 g · deltoid A1 B1 CD1 p · D; D 2 ! CD1 ; jCDj 4 5 cm ______________________________________________

· ABCD; H: A1 B1 CD1 ! ABCD p Pomocnou uÂsecÏku, kteraÂ maÂ deÂlku 5 cm, sestrojõÂme podle neÏktereÂ z EuklidovyÂch veÏt, anebo jako aplikaci Pythagorovy veÏty 5 32 22 . b)

DvojznacÏnost zadaÂnõÂ uÂlohy spocÏõÂvaÂ v tom, zÏe neurcÏuje, zda strana o daneÂ deÂlce je kratsÏõÂ nebo delsÏõÂ stranou deltoidu. · 1. mozÏnost: · 2. mozÏnost: 4ACD: (Euklidovapve Ï ta o odveÏsneÏ) d 5d 4 52 ) d 4 jASj 16 cm, jCSj 4 cm + jADj2 p jACj jASj p jADj 20 16 8 5 cm

p 4d 5d 4 52 d2 p p Obvod deltoidu je 24 5 53;7 cm nebo 12 5 26;8 cm.

26

· naÂcÏrtek s uplatneÏnõÂm charakteristickyÂch vlastnostõÂ deltoidu · jak sestrojit p uÂsecÏku o deÂlce 5 · popis konstrukce uÂtvaru · vysveÏtlenõÂ nejednoznacÏnosti zadaÂnõÂ uÂlohy ) duÊsledek pro dalsÏõÂ postup rÏesÏenõÂ · vyÂpocÏet dalsÏõÂ strany a obvodu deltoidu


7.3

a)

EG k LK ) rÏezem je lichobeÏzÏnõÂk LKGE. · · · · ·

b)

c)

7.4

p p 25 4;5 20;5 + obsah lichobeÏzÏnõÂkoveÂho rÏezu je p p 4 2 2 p p S 20;5 256;25 16 cm2 2 Obsahy rÏezu a steÏny krychle jsou prÏiblizÏneÏ stejneÂ. v

LichobeÏzÏnõÂk LKGE je rovnoramennyÂ, proto je mozÏneÂ mu opsat kruzÏnici, je teÏtivovyÂ. Tec pÏnovy ÂpnenõÂ, nelze mu kruzÏnici vepsat, protozÏe soucÏet proteÏjsÏõÂch stran 4 2 2 6 5 5.

A1; 1; 0; B2; 0; a)

rÏez krychle rovinou vlastnosti uÂtvaru, kteryÂ je rÏezem vyÂpocÏet velikostõÂ stran rÏezu stanovenõÂ obsahu rÏezu teÏtivovyÂ a tecÏnovyÂ cÏtyrÏuÂhelnõÂk

1; C0;

stejnyÂ

2; 3; D0; 0; 2

Pokud jsou A, B, C, D vrcholy cÏtyrÏuÂhelnõÂku, pak body lezÏõÂ v teÂzÏe rovineÏ a zÏaÂdneÂ trÏi nelezÏõÂ v prÏõÂmce. SkutecÏnost oveÏrÏõÂme tak, zÏe naprÏ. · urcÏõÂme rovnici roviny " $ ABC a zjistõÂme, zda platõÂ D 2 " nebo · zjistõÂme, nejsou-li $ AB a $ CD mimobeÏzÏky, a zda $ AB 6 $ CD ~ C A vyjaÂdrÏõÂme jako lineaÂrnõÂ kombinaci vektoruÊ ~ nebo · w u D Aa~ vB Jako ukaÂzku volõÂme poslednõÂ postup: ~ C A 1; 3; 3; ~ w u D A 1; 1; 2; ~ v B A 1; 1; 1. ~ a~ PlatõÂ w ub~ v, kde a; b 2 R? Soustava rovnic 1 a b ) 3 a b 3 2a b _______________ Je dvojice a; b 2; 1 rÏesÏenõÂm i 3. rovnice?

b)

nenõÂ

B A 1; 1; 1; C B 2; 2; 4; D ProtozÏe C B 2 A D, je BC k AD.

A.

) a 2; b 1

3 2 2 1 ......... platõÂ. Body A, B, C, D lezÏõÂ v teÂzÏe rovineÏ. C 0; 2;

1; A

D 1; 1;

2.

· Vektory B A a D C rovnobeÏzÏneÂ nejsou, proto je cÏtyrÏuÂhelnõÂk ABCD lichobeÏzÏnõÂk. p p ) · jD Cj 5; jC Bj 24 zÏaÂdneÂ dveÏ jeho strany nejsou shodneÂ. p p jB Aj 3; jA Dj 6 · C A B D k sobeÏ kolmeÂ.

1 2 3 0 3 3 · · · · ·

11 6 0 ) uÂhloprÏõÂcÏky nejsou

metody oveÏrÏenõÂ, zÏe cÏtyrÏi body lezÏõÂ v teÂzÏe rovineÏ vyÂbeÏr metody a jejõÂ aplikace rovnobeÏzÏneÂ vektory velikost vektoru kolmost vektoruÊ

27


7.5

j|CABj 17 ; j|ABCj 115 ; j|ABDj 22 ; j|DABj 129

x 0;15 0;18 sin 115 sin 48

y 0;15 0;12 sin 22 sin 29

PrÏõÂmyÂ uÂsek v plaÂnu maÂ deÂlku prÏiblizÏneÏ cÏtvrt kilometru, deÂlka obchvatu by meÏla byÂt asi 1;78 0;251 0;45 km. A to je meÂneÏ nezÏ 0,5 km.

28

d

p 0;182 0;122 2 0;12 0;18 cos 112

d 0;251 · · · ·

plaÂn dõÂlcÏõÂch krokuÊ rÏesÏenõÂ vyÂpocÏet velikostõÂ dalsÏõÂch uÂhluÊ vyuzÏitõÂ sinoveÂ a kosinoveÂ veÏty vyÂpocÏet deÂlky obchvatu

MATEMATIKA. Jindřich Vocelka MATURITA NOVÉ GENERACE

Recommend Documents