Matematika I Přednášky: Mgr. Radek Výrut,
katedra matematiky, UL-605,
[email protected] tel.: 377 63 2658
Zkouška: • Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací • Ústní část zkoušky - základní pochopení pojmů Literatura: (i) Karel Rektorys: Přehled užité matematiky (ii) Hans j. Bartsch: Matematické vzorce (iii) Mr. Trial: http://TRIAL.kma.zcu.cz (iv) Mr. Google: http://www.google.cz (*) Josef Polák: Přehled středoškolské matematiky
Základní matematická terminologie Struktura matematického textu: axióm, definice,
věta, lemma, důsledek,} | {z důkaz
poznámka, příklad.
Výrok V je takový jazykový výraz (sdělení), o němž má po obsahové stránce smysl tvrdit, že je buď pravdivý anebo nepravdivý, přičemž nastává právě jedna z těchto možností. Pravdivostní hodnota výroku V je číslo 0 nebo 1, přičemž: - pravdivostní hodnota 1 (pravda), je-li výrok pravdivý, - pravdivostní hodnota 0 (nepravda), je-li výrok nepravdivý. Logické spojky – výroky můžeme negovat nebo spojovat pomocí logických spojek a vytvářet tak složené výroky: Negace: A, ¬A, A0 Konjunkce: A∧B Disjunkce: A∨B Implikace: A⇒B Ekvivalence: A⇔B
A 1 1 0 0
B 1 0 1 0
– – – – –
„negace Aÿ „A a Bÿ, „A a současně Bÿ „A nebo Bÿ „z A plyne Bÿ, „jestliže A, pak Bÿ „A je ekvivalentní s Bÿ, „A právě tehdy když Bÿ.
A A∧B A∨B A⇒B A⇔B 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1
Výroková forma V (x) je takový jazykový výraz (sdělení) obsahující jednu nebo více proměnných x, který se po dosazení přípustných hodnost proměnných stává výrokem.
Základní kvantifikátory: ∀ – „pro každéÿ,„pro všechnaÿ (z ang. All) ∃ – „existuje (alespoň jedno)ÿ (z ang. Exists) ∃! – „existuje právě jednoÿ Základní kvantifikované výroky: ∀x ∈ D : V (x) – „pro všechna x ∈ D platí V (x)ÿ, ∃x ∈ D : V (x) – „existuje (alespoň jedno) x ∈ D takové, že platí V (x)ÿ, ∃!x ∈ D : V (x) – „existuje právě jedno x ∈ D takové, že platí V (x)ÿ.
Množiny Množina M je soubor libovolných navzájem různých objektů m o kterých lze jednoznačně rozhodnout, zda do množiny patří, či nikoli. Každý z objektů m, který patří do množiny M , se nazývá prvek množiny M (píšeme m ∈ M ). Množinové operace: A ⊂ B := {∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B, A ∩ B := {x; x ∈ A ∧ x ∈ B}, A ∪ B := {x; x ∈ A ∨ x ∈ B}, A − B := {x; x ∈ A ∧ x 6∈ B}, A = B ⇐⇒ A ⊂ B ∧ B ⊂ A, A ∼ B ⇐⇒ ∃ f : A → B(f je bijektivní),
– – – – – –
„A „A „A „A „A „A
je podmnožina Bÿ} průnik Bÿ sjednoceno s Bÿ mínus Bÿ (popř. A \ B) je rovno Bÿ. je ekvivalentní s Bÿ.
Mohutnost množiny: • A má konečně mnoho (n) prvků: m(A) = n, • A má nekonečně mnoho prvků: – A má spočetně mnoho prvků: m(A) = m(N) tj. A ∼ N, – A má nespočetně mnoho prvků: m(A) > m(N) tj. A 6∼ N. Disjunktní množiny: A∩B =∅
Číselné množiny reálná čísla R 13 např.: π, 0, −3, 25 ,... iracionální čísla R\Q √ např.: π, e, 2
racionální čísla Q např.: 0, 15 , −4, . . . celá čísla ZZ
např.: 0, ±1, ±2, ±3, . . .
racionální lomená čísla Q \ ZZ např.: 13 , 95 , − 12 13 , . . .
přirozená čísla N např.: 1, 2, 3, 4, . . .
N ⊂ N0 ⊂ ZZ ⊂ Q ⊂ R
N0 = {0} ∪ N
Operace v číselných množinách Vlastnosti operací sčítání a násobení: komutativnost: a + b = b + a, a · b = b · a, asociativnost: a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c, neutralita: a + 0 = a, a · 1 = a, distributivnost: a · (b + c) = a · b + a · c. Uspořádání vždy platí právě jedna z relací: a < b, a = b, a > b a dále pak (i) a < b ∧ b < c =⇒ a < c (ii) a > 0 ∧ b > 0 =⇒ a · b > 0 (iii) a < b =⇒ a + c < b + c
Podmnožiny R(≡ R1), R2, R3 Intervaly - speciální podmnožiny R ha, bi := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} , (a, b) := {x ∈ R : a < x < b} , (a, bi := {x ∈ R : a < x ≤ b} , ha, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b} ,
-
uzavřený interval, otevřený interval, polouzavřený interval, polouzavřený interval,
ha, +∞) := {x ∈ R : a ≤ x} , (a, +∞) := {x ∈ R : a < x} , (−∞, bi := {x ∈ R : x ≤ b} , (−∞, b) := {x ∈ R : x < b} , Omezené číselné množiny Dále předpokládejme, že A ⊂ R, B ⊂ R. (omezené množiny) Když ∃ c ∈ R, ∀x ∈ A : x ≤ c, říkáme, že množina A je shora omezená. Když ∃ d ∈ R, ∀x ∈ A : x ≥ d, říkáme, že množina A je zdola omezená. Množina A je omezená, je-li omezená zdola i shora. Definice
(minimum a maximum množiny) Číslo a ∈ A se nazývá minimem množiny A, platí-li a ≤ x, ∀x ∈ A. Číslo b ∈ A se nazývá maximem množiny A, platí-li x ≤ b, ∀x ∈ A. Značíme a = min A, b = max A. Definice
(absolutní hodnota) Absolutní hodnota reálného čísla x ∈ R je větší z čísel x a −x, tj. Definice
|x| := max{x, −x}. Lemma
1. ∀a, b ∈ R : |a + b| ≤ |a| + |b|, 2. ∀a, b ∈ R : ||a| − |b|| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|, √ 3. ∀a ∈ R : a2 = |a|.
(supremum, infimum) Nechť A je neprázdná podmnožina množiny R. Definice
a) Supremem množiny A je číslo sup A, které má tyto vlastnosti: 1. ∀x ∈ A : x ≤ sup A, 2. ∀ε > 0 ∃ x ∈ A : x > sup A − ε. b) Infimem množiny A je číslo inf A, které má tyto vlastnosti: 1. ∀x ∈ A : x ≥ inf A, 2. ∀ε > 0 ∃ x ∈ A : x < inf A + ε. Lemma
Nechť v množině A ⊂ R existuje max A (resp. min A). Potom max A = sup A (resp. min A = inf A). Věta
(o existenci suprema a infima)
a) Každá neprázdná shora omezená podmnožina množiny R má právě jedno supremum. b) Každá neprázdná zdola omezená podmnožina množiny R má právě jedno infimum. Definice
inf ∅ := +∞,
sup ∅ := −∞.
Lemma
a) A 6= ∅ ⇒ sup A ≥ inf A.
b) A ⊂ B ⇒
sup A ≤ sup B inf A ≥ inf B
c) Konečná množina má vždy maximum a minimum.
