MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) x 2 x b)
22( x 1)( x 4) 4
x 1 x 4
x
4
(4 pont) (7 pont)
Megoldás: a)
A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete miatt: (1 pont) x 2;0
Négyzetre emelés után: x 2 x 2 (1 pont) 2 Az x x 2 0 egyenlet gyökei: 2 és 1 . (1 pont) Közülük csak a 1 eleme a fenti intervallumnak (és az átalakítások ezen az intervallumon ekvivalensek), ezért ez az egyetlen megoldás. (1 pont) (A grafikus módszerrel való megoldásért szintén maximális pontszám jár) b) Közös alapra hozva a két oldalt: x 1
4( x 1)( x 4) 4 x 4 . Az exponenciális függvény elhagyhatóak: x 1 x 1 x 4 x 4 Ebből x1 1 vagy
x 4
2
1.
Ebből x 2 3 vagy x 3 5 . Ellenőrzés.
szigorú
monotonitása
miatt
(1 pont) az alapok (1 pont) (2 pont) (1 pont)
(1 pont) (1 pont) Összesen: 11 pont
2) Egy 15°-os emelkedési szögű hegyoldalon álló függőleges fa egy adott időpontban a hegyoldal emelkedésének irányában 3 méter hosszú árnyékot vet. Ugyanebben az időpontban a közeli vízszintes fennsíkon álló turista árnyékának hossza éppen fele a turista magasságának. Hány méter magas a fa? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (12 pont) Megoldás: A szövegnek megfelelő, az adatokat helyesen feltüntető ábra. (2 pont) Az ACB és DFE szögek egyenlők, mivel mindkettő a napsugarak és a függőleges által bezárt szög. (1 pont) A DEF derékszögű háromszögben: a 1 tg (2 pont) 2a 2 (1 pont) 26,57 BAC szög 90 15 75 (1 pont) Így 78,43 . (Szinusztétel az ABC háromszögben:)
(1 pont)
sin 78,43 x sin 26,57 3
x 6,57 A fa tehát körülbelül 6,6 méter magas.
(2 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont
3) Egy 50 adatból álló adatsokaság minden adata eleme a
0;
1; 2
halmaznak. a) Legfeljebb hány 2-es lehet az adatsokaságban, ha az adatok átlaga 0,32? (4 pont) b) Lehet-e az 50 adat mediánja 0, ha az átlaguk 1,04? (7 pont) c) Lehet-e az 50 adat egyetlen módusza az 1, ha az átlaguk 0,62? (3 pont) Megoldás: a)
Ha az 50 adat átlaga 0,32, akkor összegük 50 0,32 16 .
(2 pont)
Mivel az adatsokaság minden adata nemnegatív, legfeljebb 8 darab 2-es lehet az 50 adat között. (8 darab 2-es és 42 darab 0 esetén valóban 0,32 az átlag) (2 pont) b) Indirekt módon tegyük fel, hogy a medián lehet 0, (1 pont) azaz a nemcsökkenő sorozatba rendezett sokaságban a 25. és 26. szám (és így az első 24 szám is) 0. (1 pont) Ekkor összesen legfeljebb 24 szám lehet 1 vagy 2. (1 pont) Az 50 szám összege tehát legfeljebb 48 lehet, (1 pont) az elérhető legnagyobb átlag pedig 0,96. (1 pont) Mivel ez kisebb, mint 1,04 - ellentmondásra jutottunk, (1 pont) azaz nem lehet a medián 0. (1 pont) c) Például 31 darab 1 és 19 darab 0 esetén 0,62 az átlag, valamint 1 a módusz, (2 pont) tehát lehet az 50 adat módusza 1. (1 pont) Összesen: 14 pont
4) Aranyékszerek készítésekor az aranyat mindig ötvözik valamilyen másik fémmel. A karát az aranyötvözet finomságát jelöli. Egy aranyötvözet 1 1 karátos, ha az ötvözet teljes tömegének része arany, a k karátos 24 k aranyötvözet tömegének része arany. 24 Kata örökölt a nagymamájától egy 17 grammos, 18 karátos aranyláncot. Ebből két darab 14 karátos karikagyűrűt szeretne csináltatni. a) Legfeljebb hány gramm lehet a két gyűrű együttes tömege, ha aranytartalmuk összesen sem több mint az aranylánc aranytartalma? (4 pont) b) Kata végül két olyan gyűrűt készíttetett, amelyek együttes tömege 16 gramm. (A megmaradó 14 karátos aranyötvözetet törtaranyként visszakapta.) Az elkészült két karikagyűrű tekinthető két lyukas hengernek, amelyek szélessége (a lyukas hengerek magassága) megegyezik. Az egyik gyűrű belső átmérője 17 mm, és mindenhol 1,5 mm vastag, a másik gyűrű belső átmérője 19,8 mm, vastagsága pedig mindenhol 1,6 mm. Hány mm a gyűrűk szélessége, ha a készítésükhöz használt 14 g karátos aranyötvözet sűrűsége 15 ? (10 pont) cm3 Válaszait egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Megoldás: a)
A 17 gramm 18 karátos ékszer aranytartalma 17
18 12,75 (gramm).(2 pont) 24
14 12,75 (gramm). (1 pont) 24 Ebből x 21,86 , így a két gyűrű együttes tömege legfeljebb 21,9 gramm. (1 pont) m 16 b) A két gyűrű térfogatának összege V 1,0667 cm3 1066,7 mm3 . 15 (2 pont) Egy gyűrű térfogata két henger térfogatának különbsége. (1 pont) Az egyik gyűrű belső sugara 8,5 mm, külső sugara 10 mm, és ha x a keresett szélesség, akkor V1 102 x 8,52 x 87,2x (mm3). (2 pont) A másik gyűrű belső sugara 9,9 mm, külső sugara 11,5 mm, így V2 11,52 x 9,92 x 107,6x (mm3) (2 pont) V V1 V2 , azaz 1066,7 87,2x 107,6x . (1 pont) Ebből x 5,48 mm. (1 pont) A gyűrűk szélessége 5,5 mm. (1 pont) Összesen: 14 pont x gramm 14 karátos ékszer aranytartalma: x
II. 5) Egy iskola alapítványi bálján a korábban szokásos tombolahúzás helyett egy egyszerű lottóhúzást szerveznek. A szelvényt vásárolóknak az első tíz pozitív egész szám közül kellett ötöt megjelölniük. Húzáskor öt számot sorsolnak ki (az egyszer már kihúzott számokat nem teszik vissza). Egy lottószelvény 200 Ft-ba kerül. Egy telitalálatos szelvénnyel 5000 Ft értékű, egy négytalálatos szelvénnyel 1000 Ft értékű, az alapítvány által vásárolt könyvutalványt lehet nyerni. Négynél kevesebb találatot elérő szelvénnyel nem lehet nyerni semmit. a) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a legkisebb kihúzott szám 3. (3 pont) b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a számokat növekvő sorrendben húzzák ki? (4 pont) Az a) és b) kérdésekre adott válaszait három tizedesjegyre kerekítve adja meg! c) Számolással igazolja, hogy (három tizedesjegyre kerekítve) a telitalálat valószínűsége 0,004, a négyes találat valószínűsége 0,099. (4 pont) d) Ha a húzás előtt 240 szelvényt adtak el, akkor mekkora az alapítvány lottóhúzásból származó hasznának várható értéke? (5 pont) Megoldás: a)
10 Az összes eset száma 252 , 5 7 a kedvező esetek száma 35 , 4
(1 pont) (1 pont)
7 4 így a kérdéses valószínűség: p 0,139 (A 13,9% is elfogadható 10 5 válaszként) (1 pont) b) Bármelyik öt szám húzása esetén bármelyik húzási sorrend egyenlően valószínű. (1 pont) Adott öt szám esetén ezek száma 5! 120 . (1 pont)
c)
Ezek közül egy húzási sorrend növekvő. 1 0,008. A keresett valószínűség p 5! 1 1 0,004 A telitalálat valószínűsége: p5 10 252 5
5 5 Négy találat esetén a kedvező esetek száma: 25 , 4 1
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
(2 pont)
25 25 0,099 (1 pont) 10 252 5 d) A szelvények eladásából származó bevétel: 240 200 48000 (Ft) (1 pont) Egy szelvényre vonatkozóan a kiadás várható értéke: (2 pont) p5 5000 p4 1000 0,004 5000 0,099 1000 119 (Ft) Az eladott összes szelvényre a kiadás várható értéke: 240 119 28560 (Ft) (1 pont) Így az alapítvány hasznának várható értéke: 48000 28560 19440 Ft (1 pont) Összesen: 16 pont így a négy találat valószínűsége: p4
6) Egy teherszállító taxikat üzemeltető társaság egyik, elsősorban városi forgalomban alkalmazott kocsijának teljes működtetési költsége két részből tevődik össze: km az üzemeltetési költség x átlagsebesség esetén 400 0,8x Ft h kilométerenként; a gépkocsivezető alkalmazása 2200 Ft óránként. a) Mekkora átlagsebesség esetén minimális a kocsi kilométerenkénti km működtetési költsége? Válaszát -ban, egészre kerekítve adja h meg! (8 pont) b) A társaság emblémájának alaprajzát az f és f függvények grafikonjai által közrezárt síkidommal modellezhetjük, ahol x ha x 0; 4 2 f : 0; 6 , f x x 12x 36 ha x 4; 6 2 Számítsa ki az embléma modelljének területét! (8 pont) Megoldás: a)
A
tehertaxi
működtetésének
kilométerenkénti
teljes
költsége az 2200 üzemeltetésből származó 400 0,8x (Ft) költségből, és a vezető (Ft) x km munkadíjából tevődik össze x átlagsebesség esetén. (1 pont) h A teljes költséget 1 kilométerre forintban az 2200 f : , f x 400 0,8x függvény adja meg. (1 pont) x Az f-nek csak ott lehet szélsőértéke, ahol az első deriváltja 0. (1 pont) 2200 f x 0,8 (1 pont) x2 (1 pont) f x 0 pontosan akkor teljesül, ha 0,8x 2 2200 . Ebből x 2750 52,44 . (1 pont) 4400 0 x 0 , tehát a függvény második deriváltja Mivel f" x x3 mindenhol, így 52,44-ben is pozitív, ezért f-nek itt valóban minimuma van. (1 pont) Tehát (egészre kerekítve) 52 km/h átlagsebességgel esetén minimális a kocsi kilométerenkénti működtetési költsége. (1 pont)
b) Jó ábra. (1 pont) A kérdéses terület: 6 4 x 2 12x 36 T 2 xdx dx (2 pont) 2 4 0 A zárójelben szereplő első tag primitív 2 3 2 függvénye: x 2 x x , (1 pont) 3 3
x3 a második tagé pedig: 3x 2 18x (1 pont) 6 Alkalmazva a Newton-Leibniz tételt: 6 4 2 x3 (1 pont) T 2 x x 3x 2 18x 3 6 0 4 104 16 16 4 40 , tehát az embléma modelljének 2 0 36 2 3 3 3 3 3 40 területe területegység. (2 pont) 3 Összesen: 16 pont
7) Az ABCDEF szabályos hatszögben a rövidebb átló hossza 5 2 . a) Számolja ki a hatszög területének pontos értékét! (6 pont) b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje t1 , a t1 területű hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét t 2 , és így tovább, képezve ezzel a
tn
sorozatot. Számítsa ki a lim t1 t 2 ... tn
határértékét! (Pontos értékkel számoljon!)
n
(10 pont)
Megoldás: a)
Ha a hatszög oldalának hossza a, a rövidebb átló az a oldalú szabályos háromszög magasságának kétszerese, (1 pont) így a 3 5 2 , (1 pont)
5 2 5 6 (1 pont) . 3 3 A szabályos hatszög területe 6 darab a oldalú szabályos háromszög területének összege, (1 pont) 2 a 3 25 3 így T 6 (2 pont) 4 b) A t1 területű szabályos hatszög oldala az ABC háromszög AC oldalához (mely az eredeti hatszög rövidebb átlója) tartozó középvonala, (1 pont) 5 2 hossza a1 , (1 pont) 2 a 2 3 75 3 t1 6 1 (1 pont) 4 4 A következő szabályos hatszög t2 területét megkaphatjuk például úgy, hogy a t1 területű hatszög szomszédos oldalfelező pontjait összekötő szakaszok által a hatszögből levágott háromszögek területének összegét levonjuk t1 -ből. ahonnan a
2
a1 sin120 3 75 3 225 3 2 t2 t1 6 . 2 16 16 A tn sorozat mértani sorozat,
(2 pont) (1 pont)
t2 3 . (1 pont) t1 4 A kérdéses határérték annak a mértani sornak az összege, amelynek első 75 3 3 tagja t1 , hányadosa pedig q . (1 pont) 4 4 t Így lim t1 t2 ... tn 1 (1 pont) n 1q amelynek hányadosa q
75 3 .
(1 pont) Összesen: 16 pont
8) Melyek azok a tízes számrendszerben kétjegyű természetes számok, amelyekben a számjegyek számtani és harmonikus közepének a különbsége 1? (16 pont) Megoldás: (Ha a keresett szám 10a b , akkor – mivel két szám számtani közepe nem kisebb a számok harmonikus közepénél – a feladat szövege szerint) a b 2 1 (ahol a és b nullától különböző számjegyek) (2 pont) 1 1 2 a b Ezt átalakítva: a b 2 a b 2
(2 pont)
Mivel a és b számjegyek, ezért a b 2 a b 36 2
Mivel 2 a b páros, ezért
a b
2
(1 pont)
is, tehát vagy mindkét számjegy páros
vagy mindkettő páratlan. (1 pont) Pozitív páros négyzetszám 36-ig három van: 4, 16 és 36, azaz vagy 2 vagy 4 vagy 6 a két számjegy különbsége. (1 pont) I) a b 2 Ekkor 4 2 a b 2 a b
(1 pont)
(Mivel mindkettő 0-nál nagyobb egész, ezért) csak a 1, b 1 ekkor viszont a számtani és harmonikus közép egyenlő, tehát ágon nincs megfelelő szám. II) Ha a b 4 , akkor a b 8
lehetne, ezen az (1 pont) (1 pont)
Az egyenletrendszert megoldva kapjuk: a 6 és b 2 vagy a 2 és b 6 . III) a b 6
(1 pont) (1 pont)
Ekkor 36 2 a b 18 a b
(1 pont)
(Mivel mindkettő 10-nél kisebb egész, ezért) csak a 9 , b 9 lehetne, ekkor viszont a számtani és harmonikus közép egyenlő, tehát ezen az ágon sincs megfelelő szám. (1 pont) Mivel csak a II) esetben kaptunk megoldást, ezért a megfelelő számok a 26 és a 62. (1 pont) Ellenőrzés: a 2 és a 6 számtani közepe 4, harmonikus közepe 3, tehát megfelelnek a feladat feltételeinek. (1 pont) Összesen: 16 pont
9) Egy körvonalon felvettünk öt pontot, és behúztuk az általuk meghatározott 10 húrt. Jelölje a pontokat pozitív körüljárási irányban rendre A, B, C, D és E. a) Véletlenszerűen kiválasztunk 4 húrt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ezek a húrok egy konvex négyszöget alkotnak? (4 pont) b) Hányféleképpen juthatunk el a húrok mentén A-ból C-be, ha a B, D, és E pontok mindegyikén legfeljebb egyszer haladhatunk át? (Az A pontot csak az út kezdetén, a C pontot csak az út végén érinthetjük.) (4 pont) c) A 10 húr mindegyikét kiszínezzük egy-egy színnel, pirosra vagy sárgára, vagy zöldre. Hány olyan színezés van, amelyben mindhárom szín előfordul? (8 pont) Megoldás: a)
Akkor kapunk négy megfelelő húrt, ha a végpontjaik között az ötből pontosan négy különböző szerepel. A körüljárási iránynak megfelelően minden kiválasztott pontnégyeshez pontosan egy konvex négyszög tartozik. (1 pont) Öt pontból négyet ötféleképpen lehet kiválasztani, ezért a kedvező esetek száma 5. (1 pont) 10 Az összes eset száma: . (1 pont) 4 5 1 A keresett valószínűség: p (1 pont) 0, 024 . 10 42 4 b) Ha mindhárom pontot érintjük, akkor 3 2 1 6 lehetőség van. (1 pont) Ha csak két ponton megyünk át, akkor a lehetőségek száma 3 2 6 . (1 pont) Ha csak egy ponton megyünk át, akkor 3 lehetőség van, de közvetlenül is átmehetünk A-ból C-be, ez még 1 eset. (1 pont) Az összes lehetséges útvonalak száma tehát: 6 6 3 1 16. (1 pont) c) Az összes lehetséges esetből kivonjuk azokat, amikor csak 2 vagy 1 szín szerepel. (1 pont) Mindegyik húrt háromféle színre festhetjük, ezért az összes lehetőség száma 310 59049 . (1 pont) Ha két színt használunk a háromból, akkor az adott két szín segítségével mindegyik húrt kétféleképpen színezhetjük ki, a tíz húrt pedig 210-féleképpen. (1 pont) De ebbe beleszámoltuk azt az esetet is, amikor csak egyetlen színt használunk, ezért a fenti értéket 2-vel csökkenteni kell: 210 2 . (1 pont) A megadott 3 színből kettőt 3-féleképpen választhatunk ki, így a pontosan két színt használó színezések száma 3 210 2 3066 . (1 pont)
Pontosan egy színnel 3-féleképpen színezhetjük ki a húrokat. Tehát a lehetséges színezések száma: 310 3 210 2 3 55980
(1 pont) (2 pont)
(Szintén jó megoldás, hogyha összeszámoljuk az eseteket aszerint, hogy az egyes színekkel hány húrt színezünk ki.) Összesen: 16 pont
