MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. EMELT SZINT I. x4 0 egyenlőtlenség egész megoldásainak a halmazát, B x 3 pedig az x 3 4 egyenlőtlenség egész megoldásainak a halmazát. Elemei felsorolásával adja meg az A B , az A \ B és az A B halmazt! (11 pont)
1) Jelölje A az
Megoldás: Egy tört nempozitív, ha vagy a számlálója és a nevezője ellenétes előjelű, vagy a számlálója nulla, de a nevezője nem. (1 pont) Első eset x 3 0 és x 4 0 (1 pont) Ebből x 3 és x 4 (1 pont) Ezért az A halmaz elemei {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2} (1pont) Ez az abszolútértékes egyenlőtlenség akkor teljesül, ha 4 x 3 4 (1 pont) Azaz 7 x 1 (1 pont) Ezért a B halmaz elemei {-6; -5; -4; -3; -2; -1; 0} (1 pont) (1 pont) A B 4; 3; 2; 1; 0
A \ B 1;2
A B 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0
(1 pont) (1 pont) Összesen: 11 pont
2) Az ábrán egy mosógép vázlatos rajza látható. A kisebb, 1 cm sugarú kerék a motor tengelyéhez kapcsolódik, és egy hajtószíj segítségével forgatja meg a mosógép dobjához rögzített, 20 cm sugarú kereket, amitől a dob és benne a ruhák forognak mosás közben. A két kerék tengelye párhuzamos, a tengelyek távolsága 46 cm. (A hajtószíj a tengelyekre merőleges síkban van.) Milyen hosszú a feszes hajtószíj? (13 pont) Megoldás: Jó ábra felrajzolása (1 pont) A keresett hajtószíjhossza az egymással egyenlő hosszú E1E2 és E3E4 érintőszakaszokból, valamint a rövidebb E1 E3 körívből és a hosszabb E2 E4 körívekből áll (1 pont) Az O1-en keresztül az E1E2 érintőszakasszal húzott párhuzamos metszéspontja O2E2-vel legyen M (1 pont) Az O1MO2 derékszögű háromszögből
E 1E 2 O1M 462 192 1755 41,9cm 19 cos 46 ahonnan 65,6 A hosszabb E2 E4 körívhez tartozó középponti szög 360 2 228,8 228,8 A hosszabb E2 E4 körív hossza így 2 20 360 79 cm A rövidebb E1 E3 körívhez tartozó középponti szög 2 131,2 131,2 A rövidebb E1 E3 körív hossza így 2 360 2,3 cm Innen a feszes hajtószíj hossza megközelítőleg 2 41,9 79,9 2,3 166 cm
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)
(1 pont) (1 pont) Összesen: 13 pont
3) Tekintsük a következő, egyszerű gráfokra vonatkozó állítást: Ha a gráf minden pontjának fokszáma legalább 2, akkor a gráf biztosan összefüggő. a) Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás! Válaszát indokolja! (2 pont) b) Fogalmazza meg az állítás megfordítását! Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás megfordítása! Válaszát indokolja! (4 pont) Tekintsük a következő halmazokat: P = {összefüggő gráfok}, Q = {egyszerű gráfok}, R = {kört tartalmazó gráfok}.
c) Helyezze el az alábbi gráfok ábrájának sorszámát a fenti halmazábrán a megfelelő helyre! (4 pont)
d) Rajzoljon egy 6 pontú fagráfot az 5. ábrára és helyezze el ennek a sorszámát is a fenti halmazábrában a megfelelő helyre! (3 pont)
Megoldás: a)
Az állítás hamis (1 pont) Bármilyen jó ellenpélda, ami nem összefüggő, egyszerű gráf és minden pont fokszáma legalább 2 (1 pont) b) Az állítás megfordítása: Ha a gráf összefüggő, akkor minden pontjának fokszáma legalább 2 (2 pont) Az állítás hamis (1 pont) Bármilyen ellenpélda, összefüggő gráf, aminek van elsőfokú pontja (1 pont) c) A következő behelyettesítés a jó:
(1-1 pont minden jó helyre) d) Bármilyen jó 6 pontú fa, például:
Az 5-ös sorszám elhelyezése a P Q \ R halmazba
(2 pont) (1 pont) Összesen: 13 pont
4) a) Egy bank olyan hitelkonstrukciót ajánl, amelyben napi kamatlábat számolnak úgy, hogy az adott hitelre megállapított éves kamatlábat 365-tel elosztják. Egy adott évben a hitelfelvételt követően minden napra kiszámolják a napi kamat értékét, majd ezeket december 31én összeadják, és csak ekkor tőkésítik (azaz a felvett hitel értékéhez adják). Ez a bank egy adott évben évi 8%-os kamatlábat állapított meg. Éva abban az évben a március 1-jén felvett 40 000 Ft után október 1-jén újabb 40 000 Ft hitelt vett fel. A két kölcsön felvétele után mennyi kamatot tőkésít a bank december 31-én? (A hitelfelvétel napján és az év utolsó napján is számítanak napi kamatot.) (5 pont) b) Ádám is vett fel hiteleket ettől a banktól évi 8%-os kamatos kamatra. Az egyik év január 1-jén éppen 1 000 000 Ft tartozása volt. Több hitelt nem vett fel, és attól kezdve 10 éven keresztül minden év végén befizette az azonos összegű törlesztőrészletet. (A törlesztőrészlet összegét a bank már az éves kamattal megnövelt tartozásból vonja le.) Mekkora volt ez a törlesztőrészlet, ha Ádám a 10 befizetés után teljesen visszafizette a felvett hitelt? Válaszát ezer forintra kerekítve adja meg! (9 pont) Megoldás: A március 1-jén felvett hitel 365 31 28 306 napig, Az október 1-jén felvett hitel pedig 31 30 31 92 napig kamatozik 8 A napi kamatláb % 365 8 Az első hitel kamata 40000 306 2683Ft 365 100 8 A második hitel kamata pedig 40000 92 807 Ft 365 100 Összesen 3490 Ft kamatot tőkésít a bank december 31-én b) Ha x Ft volt az évi törlesztőrészlet, akkor 1000000 1,08 x 1,08 x ... 1,08 x 0 a)
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (2 pont)
Rendezve 1000000 1,0810 x 1,089 1,088 ... 1 0
(2 pont)
A zárójelben egy mértani sorozat első 10 tagjának összege van 1,0810 1 S10 14,487 1,08 1
(1 pont)
Az egyenletből x
1000000 1,0810 S10
(1 pont) (1 pont)
x 149025 Tehát ezresekre kerekítve 149000 az éves törlesztőrészlet.
(1 pont) (1 pont)
Összesen: 14 pont
II. 5) Az ABCD húrtrapéz köré írt körének egyenlete x 3 y 2 100 . A húrtrapéz szimmetriatengelyének egyenlete 2x y 4 . A trapéz AB 2
2
alapjának egy belső pontja P 5;1 , BC szárának hossza pedig 10 2 egység. Határozza meg a trapéz csúcsainak koordinátáit! (16 pont) Megoldás: A trapéz alapjának egy normálvektora az (1; 2) vektor A P 5;1 ponton áthaladó AB alap egyenlete x 2y 3
(1 pont) (1 pont)
Ennek a trapéz köré írt körrel való metszéspontjait tehát a trapéz két csúcsának koordinátáit az x 32 y 22 100 egyenletrendszer megoldásai alkotják (1 pont) x 2y 3 Az x 2y 3 kifejezést behelyettesítve a kör egyenletébe az y 2 4y 12 0 másodfokú egyenletet kapjuk. (1 pont) Jelölje a trapéz köré írt kör középpontját K. Mivel a kör sugara 10 egység, a trapéz szárai pedig 10 2 egység hosszúak, az AKD és a CKB háromszögek derékszögűek. (2 pont) Ezért KA(-10; 0) vektor 90°-os elforgatottja a KD vektor, a KB(6; -8) vektor 90°-os elforgatottja pedig a KC vektor. (1 pont) Ezért vagy KD(0; 10) vagy KD(0; -10) (2 pont) Azaz vagy D(3; 12), vagy D(3; 8) (1 pont) A (3; -8) pont a trapéz szimmetriatengelyének A-val ellentétes oldalán van, így a jó megoldás D(3; 12) (1 pont) Hasonlóan vagy KC(8; 6) vagy KC(-8; -6) (2 pont) Azaz C(11; 8) vagy C(-5; -4) (1 pont) A (-5; -4) pont a trapéz szimmetriatengelyének B-vel ellentétes oldalán van, így tehát C(11; 8) (1 pont) Összesen: 16 pont
6) Egy 1 méter oldalú négyzetbe egy második négyzetet rajzoltunk úgy, hogy a belsőnégyzet minden csúcsa illeszkedjen a külső négyzet egy-egy oldalára. A belső és a külső négyzet oldalainak aránya 5 : 7. a) Milyen arányban osztja két részre a belső négyzet csúcsa a külső négyzet oldalát? Az arány pontos értékét adja meg! (10 pont) A belső négyzetbe egy újabb, harmadik négyzetet rajzolunk úgy, hogy a harmadik és a második négyzet oldalainak aránya is 5 : 7. Ezt az eljárást aztán gondolatban végtelen sokszor megismételjük. b) Mekkora lesz a kapott négyzetek kerületeinek az összege, ha a kiindulási négyzet kerülete is tagja a (végtelen sok tagú) összegnek? (6 pont) Megoldás: a)
Jó ábra felrajzolása
(1 pont)
A belső négyzet oldala 5/7 méter (1 pont) A belső négyzet a külső négyzet oldalait x és 1 – x-re bontja (1 pont) A felosztás mind a 4 oldalon ismétlődik (1 pont) Pitagorasz-tétel szerint x 1 x 2
2
2
5 7
(1 pont)
24 (1 pont) 0 49 4 3 Ennek megoldásai x1 x2 7 7 3 4 Ahonnan 1 x1 1 x2 7 7 A belső négyzet a külső négyzet oldalait 3:4 arányban osztja b) Jó ábra felrajzolása (1 pont) 5 K1 4, K 2 4 7 minden további négyzet 5/7 szerese a megelőzőnek (1 pont) A négyzetek kerületének összege egy végtelen mértani 5 sor összege, melynek hányadosa q (1 pont) 7 Mivel q 1 ezért a sor konvergens (1 pont)
Ahonnan 2x 2 2x
A végtelen mértani sor összege: 1 S K1 K 2 ... K1 1 q 4 14 5 1 7 Tehát a négyzetek kerületének összege 14 méter
(2 pont) (1 pont) (1 pont)
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 16 pont
7) Egy üzemben olyan forgáshenger alakú konzervdoboz gyártását szeretnék elkezdeni, amelynek térfogata 1000 cm3. A doboz aljának és tetejének anyagköltsége 0,2 cm2 Ft, míg oldalának anyagköltsége 0,1 cm2 Ft. a) Mekkorák legyenek a konzervdoboz méretei (az alapkör sugara és a doboz magassága), ha a doboz anyagköltségét minimalizálni akarják? Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Számítsa ki a minimális anyagköltséget is egész forintra kerekítve! (13 pont) A megtöltött konzervdobozokat tizenkettesével csomagolták kartondobozokba. Egy ellenőrzés alkalmával 10 ilyen kartondoboz tartalmát megvizsgálták. Minden kartondoboz esetén feljegyezték, hogy a benne található 12 konzerv között hány olyat találtak, amelyben a töltősúly nem érte el az előírt minimális értéket. Az ellenőrök a 10 kartondobozban rendre 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 3, 0 ilyen konzervet találtak, s ezeket a konzerveket selejtesnek minősítették. b) Határozza meg a kartondobozonkénti selejtes konzervek számának átlagát, és az átlagtól mért átlagos abszolút eltérését! (3 pont) Megoldás: a)
Ha r a doboz alapkörének sugara m pedig a doboz magassága cm-ben mérve, V 1000 akkor V r 2m ahonnan m 2 2 (1 pont) r r Az alap- és a fedőlap együttes anyagköltsége r függvényében 0,2 2r 2 (1 pont) V 200 A palást anyagköltsége 0,1 2r 2 (2 pont) r r A teljes anyagköltség r > 0 esetében 200 (1 pont) f r 0,4r 2 r Az f függvénynek a pozitív számok halmazán ott lehet minimuma, ahol deriváltja 0. (1 pont) 200 (2 pont) f ' r 0,8r 2 r 200 (1 pont) f ' r 0 ha r 3 4,3 0,8 400 (1 pont) f '' r 0,8 3 0 , ezért itt valóban minimális f értéke r Minimális anyagköltséghez tartozó magasság 1000 m 2 17,2 cm (1 pont) r Tehát a minimális anyagköltség forintra kerekítve 70 Ft (2 pont) b) Az adatok átlaga 0,7 (1 pont) A minta átlagtól mért átlagos abszolút eltérése 6 0,7 2 0,3 1,3 2,3 (2 pont) 0, 84 10 Összesen: 16 pont
8) Egy építőkészletben a rajzon látható négyzetes hasáb alakú elem is megtalálható. Két ilyen építőelem illeszkedését az egyik elem tetején kiemelkedő négy egyforma kis henger és a másik elem alján lévő nagyobb henger szoros, érintkező kapcsolata biztosítja. (Ez azt jelenti, hogy a hengerek tengelyére merőleges síkmetszetben a nagyobb kört érinti a négy kisebb kör, amelyek középpontjai egy négyzetet határoznak meg.) Tudjuk, hogy a kis hengerek sugara 3 mm, az egymás melletti kis hengerek tengelyének távolsága pedig 12 mm. a) Mekkora a nagyobb henger átmérője? Válaszát milliméterben, két tizedesjegyre kerekítve adja meg! (5 pont) A készletben az építőelemek kék vagy piros színűek. Péter 8 ilyen elemet egymásra rak úgy, hogy több piros színű van köztük, mint kék. Lehet, hogy csak az egyik színt használja, de lehet, hogy mindkettőt. b) Hányféle különböző szín összeállítású 8 emeletes tornyot tud építeni? (4 pont) A gyárban (ahol ezeket az építőelemeket készítik) nagyon ügyelnek a pontosságra. Egymillió építőelemből átlagosan csupán 20 selejtes. András olyan készletet szeretne vásárolni, melyre igaz a következő állítás: 0,01-nál kisebb annak a valószínűsége, hogy a dobozban található építőelemek között van selejtes. c) Legfeljebb hány darabos készletet vásárolhat András? (7 pont) Megoldás: a)
Jó ábra rajzolása (1 A kis kör kp-ja egy 12 mm oldalú négyzetet alkot (1 Ennek az átlója 12 2 (1 Mivel ez éppen 2R 6 (1
d 2R 12 2 6 10, 97
pont) pont) pont) pont)
(1 pont)
b) A piros elemek száma 5, 6, 7 vagy 8 lehet (1 pont) Ha a piros elemek száma k, akkor az építhető tornyok 8 száma (1 pont) k Így az ilyen tornyok száma összesen: 8 8 8 8 (2 pont) 56 28 8 1 = 93 5 6 7 8 c) Annak a valószínűsége, hogy egy kiválasztott kocka nem selejtes 1000000 20 (1 pont) 0,99998 1000000 Annak a valószínűsége, hogy egy n kockát tartalmazó dobozban egyik kocka sem selejtes 0,99998n (1 pont)
Ha annak a valószínűsége, hogy a dobozban van selejtes kisebb 0,01-nál, akkor annak a valószínűsége, hogy a dobozban nincs selejtes, legalább 0,99 (1 pont) n Megoldandó a 0,99998 0,99 n (1 pont) A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt n lg 0,99998 lg 0,99 lg 0,99 Ebből n 502,5 lg 0,99998 Tehát András legfeljebb 502 darabos készletet vehetett
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 16 pont
9) Egy dobozban 17 darab egyforma sugarú golyó van. A golyók közül 8 darab sárga és 9 darab zöld. a) Visszatevés nélkül kihúzunk a dobozból 3 golyót. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott 3 golyó egyszínű? (4 pont) b) Ha úgy húzunk ki a dobozból 5 golyót, hogy a kivett golyót minden egyes húzás után visszatesszük, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy 3 alkalommal sárga golyót, 2 alkalommal pedig zöld golyót húzunk? (4 pont) c) A golyók meg vannak számozva 1-től 17-ig. Mennyi annak a valószínűsége, hogy visszatevés nélkül 3 golyót kihúzva a golyókon található számok összege osztható 3-mal? (8 pont) Válaszait három tizedesjegyre kerekítve adja meg! Megoldás: a)
17 Az összes kihúzási lehetőségek száma (1 pont) 3 8 9 Három sárga golyót féleképpen, három zöldet pedig féleképpen 3 3 húzhatunk ki (1 pont) 8 9 A kedvező esetek száma így (1 pont) 3 3
8 9 3 3 7 A keresett valószínűség 0, 206 34 17 3 8 b) Sárga golyó húzásának valószínűsége 17 9 Zöld golyó húzásának valószínűsége 17 A kérdéses valószínűség binomiális eloszlást követ 3 2 5 8 9 Ezért p 0, 292 3 17 17
(1 pont)
(1 pont) (1 pont) (2 pont)
c)
A kihúzott három szám összege pontosan akkor osztható 3-mal, ha vagy mindhárom ugyanazt a maradékot adja 3-mal osztva, vagy 3-as maradékaik páronként különbözik (2 pont) 0 maradékot a 3, 6, 9, 12, 15 számok adnak, közülük három szám húzása a 5 következő képen lehetséges: (1 pont) 3
6 1 maradékot adnak az 1, 4, 7, 10, 13, 16 számok, itt féleképpen 3 lehetséges, mint a 2 maradékot adó 2, 5, 8, 11, 14, 17 esetében (2 pont) A páronként különböző maradékot adó húzások száma 5 62
(1 pont)
5 6 A kedvező esetek száma 2 5 62 3 3
(1 pont)
17 Mivel az összes esetek száma , ezért a keresett valószínűség: 3 p
230 0, 338 680
(1 pont) Összesen: 16 pont
