MATEMATIKA BILIARDU PRE VŠETKÝCH (Pokus o konštruktivistický prístup k známej téme)

MATEMATIKA BILIARDU PRE VŠETKÝCH (Pokus o konštruktivistický prístup k známej téme) Hynek Bachratý, Katedra softvérových technológií, Fakulta riadenia a informatiky ŽU, Žilina

Úvod Pri slovnom spojení „biliard a matematika“ pravdepodobne väčšina z nás v podvedomí objaví starú, ale dobre fixovanú a zrejme aj veľmi podobnú spomienku na jednu úlohu z mladosti. Keď som sa pred niekoľkými rokmi rozhodol oprášiť a ponúknuť túto tému deťom na našich aktivitách, siahol som samozrejme po nej. Žiaľ po jej hlbšom preskúmaní a konfrontovaní s čerstvými skúsenosťami mi poriadne zhorkla. Posúďte sami. Na ilustráciu pretlmočím najskôr zadanie úlohy z nemeckého korešpondenčného seminára pre talentovaných žiakov zhruba nášho 7. ročníka ZŠ: „Máme za úlohu trafiť jednou guľou odrazom od mantinelu druhú guľu (na obrázku je nakreslená známa všeobecná situácia). Táto úloha sa rieši nasledujúcim spôsobom: Zostrojíme obraz druhej gule B v osovej symetrii podľa priamky p...“ (nasleduje stručný popis a nákres nám známej konštrukcie). Týmto končí zadanie (!) a nasleduje úloha pre nadané 13 ročné deti: „Dokážte že táto konštrukcia je správna!“ (t.j. rovnajú sa uhly dopadu a odrazu). Nuž pokiaľ sa vám tento spôsob podávania matematiky páči, je najvyšší čas prestať čítať nasledujúci text. My ostatní si povedzme, že ide o kryštalickú ukážku transmisívneho spôsobu predávania objavu - alebo v tomto podaní skôr návodu. Situácia je ale ešte o kus horšia. Takmer rovnaký postup riešenia tejto úlohy objavíte aj v našich najpoužívanejších učebniciach matematiky pre žiakov 8. triedy ZŠ od autorského kolektívu pána Šedivého. Nakoľko nejde o talentovaných žiakov, je im v hotovej forme ponúknutý aj dôkaz správnosti konštrukcie. Začína vám to niečo pripomínať? Skúste si teraz odpovedať na 3 kontrolné otázky: • Stretli ste sa niekedy s iným využitím biliardu v matematike? • Podarilo sa vám kedysi „symetrické“ riešenie spomínanej úlohy objaviť samostatne (alebo vás predbehol učiteľ)? • A zažili ste aspoň raz samostatný objav tohto riešenia u niekoho iného - spolužiaka, kolegu, žiaka? Moje odpovede sú „áno“ (vďaka Vladovi Burjanovi), „nie“, „nie“. Aj keď v úlohe na prvý pohľad vystupuje biliard ako motivačný prvok, podľa môjho názoru bol týmto spôsobom skôr zneužitý ako použitý. Po prekonaní depresívnych pocitov som túto situáciu pocítil ako výzvu pre hľadanie nového prístupu k téme. Stručne bez nároku na úplnosť a hierarchiu uvediem súhrn motívov a cieľov môjho bádania: • Pozitívny osobný vzťah aj ku matematike, aj ku biliardu. • Pevná viera, že motivačná sila biliardu musí viesť k širším a krajším možnostiam jeho využitia. • Podobná viera, že v biliardových úlohách sa musí skrývať viac matematiky ako precvičovanie úloh na osovú symetriu. • Zvedavosť. • Snaha pokúsiť sa priviesť deti k samostatnému objavu riešenia úvodnej úlohy. Po viac ako 5 rokoch práce s témou môžem konštatovať, že sa „zadarilo“. Z biliardov sa stala snáď najrozsiahlejšia téma v oblasti záujmovej matematiky akú poznám. Na základe vlastných skúseností môžem potvrdiť, že sa dá prezentovať pre deti od piateho ročníka ZŠ cez stredoškolákov až po vysokoškolákov (a tiež dospelé auditórium). Časový rozsah môže siahať od 45 minútovej „jednohubky“ až po viachodinový seminár. Téma v sebe určite skrýva 3

výborné možnosti pre prácu SOČ a minimálne pre pedagogicky zameranú prácu ŠVOČ. Niektoré vhodné problémy je možné formulovať ako úlohy do rôznych súťaží. Som tiež presvedčený, že ponúka široké možnosti pre využitie pri vyučovaní. Tak isto sa k jej jednotlivým častiam možno vracať aj po dlhšom časovom odstupe. Téma pokrýva viacero oblastí geometrie, ale aj teórie čísel a ďalších oblastí matematiky, a to od propedeutiky až po úroveň fixovania a používania už zažitých pojmov. Ako čítať V nasledujúcom texte sa pokúsim čitateľa zoznámiť s jednotlivými oblasťami témy. Pôjde ale skôr o poznámky, návody a inšpirácie pre vlastnú prácu. Dôvodov je viacero. Samozrejme v prvom rade nechcem čitateľa obrať o možnosť samostatných objavov. Druhým problémom je rozsah článku. Chcem ale upozorniť na ešte jeden závažný dôvod. Ako som už spomenul, téma je značne rozsiahla a ponúka široké možnosti. Snáď viac ako mnohé iné zvádza k snahe „rýchlo povedať aj toto, stihnúť ešte tamto a spomenúť aj hento“. Myslím si, že v prvom rade by bola škoda čokoľvek uponáhľať. Preto považujem za vhodné až nutné tému si vlastnoručne ohmatať a až na základe vlastnej skúsenosti starostlivo a primerane určiť rozsah, v ktorom ju ponúknuť svojim poslucháčom. Pozor, v celom tu uvedenom rozsahu by téma zabrala mnoho hodín práce s veľmi šikovnými gymnazistami. Odporúčam, aby si čitateľ samostatne vyriešil čo najviac ponúknutých problémov. Navrhujem aj dodržať uvedené poradie, pretože formulácie neskorších úloh niekedy obsahujú návod na riešenie prechádzajúcich. Explicitne formulované úlohy sú určené pre čitateľov tohto článku, nie na priame použitie pre žiakov. Samozrejme v prípade záujmu alebo potreby veľmi rád osobne prekonzultujem všetky nejasnosti alebo príliš otvorené otázky. Začíname Začiatok všetkých biliardových rozprávaní som venoval „spoločenskému“ úvodu. Porozprávali sme si o biliardových herniach, potrebnej výbave a rôznych typoch hier. Vysvetlili sme si rozdiel medzi už miznúcim gulečníkom, poolom, snookrom a čistým, bezdierovým biliardom alias karambolom. Ten posledný treba vychváliť ako hru ozajstných majstrov, lebo v ňom budeme pokračovať. Tento klimatický úvod vždy zaujal a príjemne naladil poslucháčov a umožnil „medzi rečou“ objasniť základné východiská: • Pravidlo rovnakého uhlu dopadu a odrazu gule od mantinelu. • Budeme hrať na „čistom“ obdĺžnikovom stole bez dier. • Pri sledovaní dráh a odrazov si nebudeme všímať rozmer gule, t.j. budeme hrať s „bodmi“. • Ak guľu dobre a silno trafíme, pohybuje sa po stole ak nie do nekonečna, tak aspoň tak dlho ako potrebujeme. Na tabuli sa zároveň objavia prvé obrázky. Úvodné rozprávanie zakončíme upozornením, že nikto učený z neba nespadol, a na začiatok na hranie dostaneme len prázdny stôl a jednu guľu. Uzavreté dráhy a ich kreslenie Na prvý pohľad sa zdá, že s jednou guľou si veľa zábavy neužijeme. V skutočnosti ale ide o najrozsiahlejšiu časť témy. V tomto okamžiku rozdáme poslucháčom štvorčekový papier a začneme experimentovať. Použitie štvorčekového papiera odporúčam pre všetky vekové kategórie, určite pre ZŠ je nutné a ide o dôležitú súčasť témy. Veľmi skoro niekoho napadne „vystreliť“ guľu kolmo na mantinel. Guľa sa rýchlo „zacyklí“ a pohybuje sa po tej istej dráhe. Spýtame sa, či niekto pozná ešte inú podobnú dráhu. Okrem druhej „kolmice“ 4

by sa mala čochvíľa objaviť klasická, kosoštvorcová trajektória. Tento nápad treba patrične vychváliť a ujasniť si na ňom, čo budeme rozumieť pod uzavretými (cyklickými, opakujúcimi sa) dráhami (trajektóriami, obehmi,..). S mladšími žiakmi (alebo keď je to treba) si už pri tejto dráhe môžeme overiť, či je dodržané pravidlo o uhle dopadu a odrazu. Môžeme (najlepšie na tabuli kde nemáme štvorčekovú sieť) použiť „dokreslený“ obrázok a intuitívne konštatovať zhodnosť štyroch menších obdĺžnikov a útvarov v nich. Druhú možnosť ponúka nákres dráhy na štvorčekovom papieri, kde je môžeme zhodnosť uhlov overiť pomocou pomeru akým dráha križuje štvorčekový raster. Tieto spôsoby môžeme na overenie korektnosti odrazov použiť aj neskôr, aj keď postupom času sa dodržiavanie tohto pravidla stane samozrejmosťou a už mu nevenujeme pozornosť. Sledovanie pomeru stúpania dráhy je ale aj dôležitou pomôckou pri jej korektnom kreslení, takže táto skúsenosť sa nestratí. V tomto okamžiku dostávajú všetci chuť na skúmanie ďalších uzavretých dráh. Navrhneme vniesť do skúmania systém. Guľu vždy postavíme do stredu ľavého zvislého mantinelu, a volíme určité miesto na hornom mantineli do ktorého namierime guľu. Nasleduje veľká „maľovacia“ časť práce. Poslucháčom postupne zadávame jednotlivé miesta „zásahov“ a nechávame ich kresliť trajektórie. Je potrebné, aby si ich dostatočne veľa naozaj nakreslil každý z nich. Tempo sa líši, preto úlohy zadávame jednotlivcom, ale snažíme sa koordinovať postup celej skupiny. Počas kreslenia postupne zadávame už aj nižšie uvedené úlohy. Pri závažnejších z nich je ale vhodný plenárny postup, môžeme ich preto prezentovať až keď všetci dosiahnu určitý stupeň vhľadu do problematiky. Ďalej uvediem prehľad oblastí, ktoré sú v tejto etape zaujímavé a povšimnutiahodné. • Samotná práca so štvorčekovým papierom a zoznámenie sa s ním je veľkým prínosom. Pokiaľ si žiaci zvyknú pracovať so štvorčekovým papierom, otvára sa nám široká oblasť ďalšieho využitia (pozri napr. skriptá (1)). V našom prípade nás papier „strategicky“ štvorčekový odbremení (hlavne u mladších poslucháčov) od geometricky ťažkej podmienky zhodnosti uhlov a umožní nám prácu a zbieranie skúseností aj bez nej. Keď sa prípadne k problému uhlov vrátime, budeme na jeho riešenie už omnoho lepšie pripravení. • Samotné kreslenie dráh chytí zväčša za srdce všetkých. Niektorí bezproblémovo postupujú v riešení úloh. Vyskytujú sa ale aj problémy, ktoré treba jednotlivo prebrať a pomôcť odstrániť. Výnimočne sa stretneme s prípadmi, kedy poslucháč vôbec nevyužíva pomoc štvorčekového papiera, a načrtne si obdĺžnik voľne mimo rastra. Tiež prekvapujúca, ale už častejšia situácia je, keď zvolený zvislý počet štvorčekov stola (napriek začiatku v strede mantinelu) je nepárny. K prekonaniu týchto úvodných ťažkostí väčšinou stačí pripomínať možnosť čo najlepšie využiť raster papiera. Správne „jemné“ naladenie rozmeru stola k jednotlivým úlohám je zložitejší problém a vrátime sa k nemu. Druhým častým problémom je nekorektné kreslenie dráhy – od nedodržania pravidla uhlov až po skrúcanie čiary a nedodržanie jej priameho smeru. Tu je skvelým pomocníkom štvorčekový raster, kde je ľahké ukázať resp. nájsť miesta, kde sa pomery križovania rastra líšia (napr. na začiatku čiary je 2:1, po odraze 3:1 a pod.). Uvedomenie si a sledovanie týchto pravidiel je cennou skúsenosťou. • Vyššie spomenutý súvis kreslenia dráh a pomerov križovania rastra smeruje hlavne u mladších žiakov k propedeutike problematiky podobnosti útvarov, koeficientu podobnosti a prípadne aj priamej úmery. Podľa môjho názoru ide o dobrý štart do tejto 5

•

• •

•

•

•

problematiky. Starší majú naopak možnosť použiť a zažiť si tieto poznatky. Ide o jeden z dôležitých prínosov témy. Pri kreslení postupujeme po určitej kaskáde úloh. Postupne navrhujem triafať do ¼, 1/6, 1/8 vodorovnej strany (k problematike nepárnych menovateľov sa ešte vrátime). Následne môžeme prejsť k pomerom 2/4, ¾, 2/6,..,5/6, 2/8, ... 7/8. atď. Spôsob kreslenia sa po prvých úlohách väčšinou vyjasní a na papieri sa objavujú pekné a lákavé ornamenty. Treba ale zvažovať časové hľadisko. Musíme tiež sledovať pozornosť a záujem poslucháčov, vo vhodných okamžikoch zadávať nové a doplňujúce problémy, prípadne prejsť k ďalšej časti. Úloha: Nakreslite si všetky dráhy pre hodnoty menovateľov od 2 po 10. Spomenutá kaskáda úloh nás prirodzene núti znovu otvoriť problém vhodného rozmeru obdĺžnika (pokiaľ chceme, aby nám štvorčekový raster pomáhal pri kreslení). Navrhnúť správny rozmer pre kreslenie napr. „3/8“ dráhy gule nie je úplne triviálne. Vo vhodnom okamžiku preto môžeme na tento problém upriamiť pozornosť. Najskôr stačí zbierať na tabuli dobré a zlé skúsenosti od poslucháčov, potom ich môžeme ešte pred kreslením ďalšej dráhy vyzvať, nech vopred premyslia a navrhnú vhodný rozmer. Podľa veku a úrovne poslucháčov môžeme formuláciu a riešenie tejto úlohy nechať od intuitívnej a praktickej podoby (deti po krátkom zamyslení správne určia potrebný rozmer resp. rozmery), až po formálny zápis minimálneho rozmeru pre polohu zameriavacieho bodu v tvare a/b. Ako inšpiráciu uvádzam ukážky vhodných stolov pre ¾ dráhu. Úloha: Mierime z polohy X kolmého mantinelu do polohy Y vodorovného mantinelu. Aký rozmer na štvorčekovom rastri treba zvoliť pre „dobré“ nakreslenie príslušnej dráhy? (Úloha a jej zadanie má rôzne stupne zovšeobecnenia. Môžeme upresniť, čo rozumieme pod „dobrým“ kreslením. Hodnoty X a Y zadávame ako zlomky, my sme sa zatiaľ obmedzili na hodnotu X=1/2. Úloha sa prirodzene vetví na nájdenie najmenšieho rozmeru alebo na charakteristiku všetkých vhodných rozmerov.) Zaujímavé je, že napriek intenzívnemu využívaniu štvorčekového rastra nezvyknú mať deti problém sledovať a často aj kresliť ukážky dráh na tabuli, kde raster nemáme k dispozícii. Vcelku bez komentára pri prvých obrázkoch používam pomocný omnoho redší a nezávisle od rozmeru nakreslený systém pomocných čiar, ktorý bez väčších problémov vedia deti prebrať a ďalej používať. Pokiaľ sme sa dostali na toto miesto rozprávania, väčšinou už padla otázka o správnom rozmere stolov. Od tej jednoduchej, aký je správny rozmer biliardového stola (veľkostí je viac, ale platí vždy pomer strán 2:1), až po tú najzložitejšiu – či korektná konštrukcia dráhy pre konkrétny rozmer obdĺžnika znamená, že je korektná vo všeobecnosti. V zásade so všetkými vekovými skupinami je možné prísť k názoru, že konkrétny rozmer a pomer strán na obrázku nie je dôležitý. Môžeme si pomôcť analýzou spomenutých „tabuľových“ obrázkov, pri ktorých argumentujeme a pracujeme nezávisle od rozmeru, alebo úvahami o „rozťahovaní“ obrázkov v smere mantinelov. Názorný a často aj prekvapivý je jednoduchý experiment – pokiaľ sa na ľubovolný nákres nepozerám kolmo zhora, ale pod určitým uhlom, obdĺžnik „mení“ svoje rozmery a pomer strán a transformuje sa na iný obrázok. Môže sa pri tom narušiť korektnosť dráhy? Alebo sa naopak dôležité a potrebné geometrické vlastnosti zachovávajú a prenášajú?

6

•

• •

Je načase spomenúť „dráhy s nepárnym menovateľom“. Už experiment s najjednoduchšou z nich (mierime do 1/3) ukáže, kde je problém: guľa sa dostala do rohu. Ponúkajú sa dve možnosti pokračovania. V tom jednoduchšom povieme, že tieto dráhy profesionálni hráči neuznávajú a nebudeme sa im venovať. Môžeme ešte na pár obrázkoch intuitívne zistiť, že podobné problémy prináša každá dráha, ktorá „po vykrátení“ má nepárny menovateľ. Druhou možnosťou je prijať pravidlo, že guľa sa z rohu odráža a vracia po rovnakej dráhe. Trajektóriu tak možno dokresliť a vznikne pekný obrázok, tzv. rybka. Pri zložitejších nepárnych trajektóriách sa ryby množia a vytvárajú akvárium. Tieto obrázky majú hlavne estetický význam a neprinášajú zásadne nové výsledky. Tým je skôr zistenie, že prostredníctvom symetrie sa dajú nepárne dráhy previesť na párne. Zaujímavé je prípadné všeobecné štúdium a charakterizácia „rohových“ dráh. Pre rozhodnutie venovať alebo nevenovať sa nepárnym dráham je ale asi rozhodujúce časové hľadisko. Úloha: Dokážte, že pre X=1/2 a Y=m/(2n+1) je dráha rohová. Platí tvrdenie aj naopak? Až pri prezentácii témy pre žiakov 5. ročníka ZŠ som si uvedomil jej ďalší prínos – určitú propedeutiku zlomkov. Aj keď títo žiaci o zlomkoch ešte na matematike nepočuli, pokyn „namieriť do ¾ mantinelu“ im nerobil problém, pojem dobre poznali z hovorového jazyka. Dával som si ale pozor, aby som nepoužíval klasický zlomkový zápis, hodnoty som písal napr. ako „3Z4“ alebo slovom a nechal deti, nech si volia vlastný spôsob zápisu. Okrem toho, že si neskôr na štvorčekovom papieri (pri správne volenom rozmere) bez väčších problémov vedeli určiť 5/8 alebo 7/10 stola ma veľmi potešili spontánne výkriky a objavy tipu „do 6/8 netreba kresliť, to je to isté ako ¾“.

Uzavreté dráhy a mantinely Pokiaľ nám to čas alebo úroveň poslucháčov dovoľuje, po získaní dostatočného množstva skúseností a tiež obrázkov rôznych uzavretých obehov môžeme pristúpiť k ďalšej časti: skúmaniu ich rôznych číselných charakteristík. Opäť pomocou odvolania sa na skutočnú hru pripomenieme, že za majstrovské údery sa považujú tie, pri ktorých sa guľa odráža od mantinelu. Čím viac odrazov, tým lepšie. Skúsme naše uzavreté dráhy preskúmať z tohto hľadiska. Koľko odrazov od mantinelov obsahujú? A dá sa toto číslo nejakým spôsobom vopred odhadnúť? Podľa veku a úrovne poslucháčov sa nám ponúkajú rôzne možnosti ako sa tejto úlohy zhostiť, akú zvoliť obtiažnosť zadania a akú hĺbku a formalizáciu riešenia. Tu je niekoľko možných prístupov, začneme od jednoduchších úloh: • Pomerne rýchlo nás k „uhádnutiu“ výsledkov vedie prehľadné zorganizovanie a usporiadanie získaných hodnôt. (V tomto okamžiku by ich mal mať k dispozícii aj čitateľ.) Pokiaľ si spočítame počty nárazov pre dráhy typu 1/n a usporiadame ich do tabuľky, stačí sa spýtať aký bude počet nárazov pre nasledujúcu dráhu v poradí: ½ => 4, ¼ => 6, 1/6 => 8, 1/8 => 10, 1/10 => 12, 1/12 => ? Aj najmenšie deti uhádnu resp. vycítia a vedia použiť „vzorček“ a sú schopné smerovať aj k jeho zdôvodneniu. • Hľadanie pravidla pre počet odrazov pre jednoduché dráhy typu 1/n ponúka viacero možností. Môžeme začať zvedomením si a rozdelením odrazov na horné, dolné, ľavé a pravé. Tým sa situácia stane ešte prehľadnejšia. Jedným z možných postupov je potom sledovanie taktu pohybu gule v zvislom smere a jeho porovnanie s vodorovným pohybom. Všímame si hornú, stredovú a dolnú polohu gule. Jej pohyb po vystrelení má potom rytmus (S – na začiatku) H S D S H S D ... Polohy H a D zodpovedajú odrazom od horného a dolného mantinelu. Keďže sme na začiatku mierili do polohy 1/n, nté písmeno v postupnosti zodpovedá nárazu na pravý mantinel, a ďalších n písmen nás privedie späť k ľavému 7

•

• •

•

mantinelu. Dráha sa uzavrela, spočítame horné a dolné odrazy a pridáme 2 odrazy od kolmých mantinelov. Variantom tohto postupu, ktorý súvisí so „zlomkovou zápletkou“ témy, je sledovanie rytmu zlomkov 1/n, 2/n, 3/n z hľadiska výšky gule v týchto momentoch. Čoskoro sa nahliadne, ktoré menovatele zodpovedajú hornej, dolnej a stredovej polohe gule. Postupy pre riešenie tohto jednoduchšieho problému je možné ďalej rozvinúť a použiť v nasledujúcom. Aj pre zložitejšie dráhy všeobecného typu k/n môžeme začať inventarizáciou a tabuľkovaním hodnôt známych dráh. Určitý problém tu prekvapujúco pôsobí krátenie zlomkov. Posúďte sami: 1/8 => 10, 2/8 => 6, 3/8 => 14, 4/8 => 4, 5/8 => 18, 6/8 => 10, 7/8 => 22. Poriadny chaos, ktorý ale zmizne pokiaľ sa obmedzíme len na zlomky v základnom tvare: 1/8 => 10, 3/8 => 14, 5/8 => 18, 7/8 => 22. Sledovaním podobných tabuliek vieme odhadnúť niektoré vzorčeky. Problematika je ale o stupeň zložitejšia. Úloha: Nájdite vzorec pre určenie počtu odrazov pre dráhy typu X=1/2 a Y=m/2n. Silné povahy si môžu zovšeobecniť aj hodnotu X. Táto úloha nie je triviálna a zaujmete ňou už aj vysokoškoláka alebo „áčkového“ olympionika. Okrem rozvinutia vyššie spomenutých metód môžete napr. uvažovať o rozklade „vektora“ prvého úderu na vodorovnú a kolmú zložku a sledovať súvis týchto dvoch hodnôt a z nich plynúceho taktu pohybu vo vodorovnom a zvislom smere. Pri jednej z prezentácií témy sa objavil ešte jeden zaujímavý postup. Ilustrujeme ho na obrázku 5/8 dráhy. Prvý „výstrel“ ide z polohy ½ do polohy 5/8. V ľavom hornom rohu stola sa ale nachádzajú ďalšie rovnobežné dráhy, ktoré by spôsobili rovnaký obeh gule. Pri nich by sme mierili z 3/10 do 3/8 alebo z 1/10 do 1/8 mantinelu. Začína sa objavovať určitá zaujímavá algebra dvojíc zlomkov popisujúcich rovnobežné dráhy. Ešte raz a bez krátenia: (5/10 => 10/16) ~ (3/10 => 6/16) ~ (1/10 => 2/16) Poslednú dvojicu považujeme v určitom význame za „minimálnu“, zodpovedá extrémnej polohe dráhy v ľavom hornom rohu. A načo je to dobré? Okrem samotnej úlohy popisu rovnobežných dráh nám „minimálny“ popis prvého úderu umožňuje iný, ľahší postup riešenia mantinelových (a ďalších) problémov. Úloha: Popíšte „algebru rovnobežných dráh“. Nájdite vzorec pre počet odrazov pomocou hodnôt „minimálnej“ dráhy.

Uzavreté dráhy a ich kríženie Nastal čas na ďalší krok v abecede biliardu. Netešte sa na viac gulí, stále zostávame pri uzavretých dráhach. Teraz si ale budeme všímať, koľkokrát dráha križuje samú seba. Križovanie dráh gúľ pohybujúcich sa po stole je opäť problémom aj skutočného biliardu. Podcenenie tzv. tušov vám často prekazí inak skvelo premyslený úder. Problém je o stupeň ťažší ako počítanie odrazov, je však jeho logickým pokračovaním. Môžeme použiť a rozvíjať postupy (metodické aj matematické) z predchádzajúcich častí. Bojovníci sa majú na čo tešiť: Úloha: Nájdite vzorec pre určenie počtu prekrížení pre dráhy typu X=1/2 a Y=m/2n Ostatným možno trochu nekorektne dám malú radu. Môžete si všimnúť, že po nakreslení dráh sú vzniknuté „ornamenty“ zložené z rôzneho počtu základných tvarov – kosoštvorcov. V biliarde sa tento útvar nazýva diamant, a môžete ho ako pomocné značky nájsť na okrajoch kvalitnejších stolov. Napríklad vyššie nakreslená trajektória 5/8 pozostáva zo 4 stĺpcov po 5 diamantov. Ďalší postup je vcelku jasný. Z popisu rozostavenia diamantov ľahko určíme 8

počet odrazov aj prekrížení dráhy. A zistiť štruktúru diamantov s už získanými skúsenosťami tiež nie je zásadný problém. Úloha: Vytvorte „teóriu diamantov“ a použite ju na riešenie predchádzajúcich úloh. Uzavreté dráhy a čo ešte zostalo Na záver ešte spomeniem niekoľko zaujímavých možností rozvinutia tejto časti témy. Väčšinou k nim došlo náhodne pri niektorej prezentácii témy a zaslúžia si našu pozornosť. • Pri hraní sa s témou na seminári tábora SEZAMu dostal jeden z poslucháčov nápad: a čo nekonečný stôl? Času sme mali dosť, upravili sme preto jeden stôl, vcelku náhodne namierili guľu a vyslali ju do nekonečna. Rozhodujúci rozhovor odznel o chvíľu: „A čo ak tam ten mantinel vrátime?“ „Aha, a kam?“ V tom okamžiku sa nám súčasne rozsvietilo takmer všetkým. Nekonečný pásik je vlastne univerzálnou pomôckou pre zostrojenie ľubovolnej dráhy. Stačí ho mať na priesvitnej fólii a správne skladať... Nebudem vás oberať o potešenie z domýšľania možností tohto triku. Spomeniem len, že s odstupom času ma najviac potešil fakt, že sa tu prvý krát, prirodzene a na detský popud objavila osová súmernosť. • Aj keď na prvý pohľad to tak nevyzerá, silnou zbraňou (alebo pekným spestrením) témy môže byť použitie rekurencie. Takmer v každom okamžiku skúmania uzavretých obehov nás k nemu privedie nevinná otázka „a nedajú sa výsledky z menších stolov použiť na väčšie?“ Už len myšlienka dvojnásobného predĺženia stolu (vo vodorovnom smere) významne pomôže pri riešení väčšiny problémov a úloh. Možností je pri tom samozrejme viac. Pri tomto skúmaní opäť čoskoro narazíme na osovú symetriu. Za povšimnutie tiež stojí skutočnosť, že týmto prístupom sa dá veľmi rýchlo, elegantne a komplexne zvládnuť problematika „nepárnych“ dráh. Ich „zdvojnásobením“ sa dostaneme do známych oblastí a ľahko získavame odpovede na všetky zaujímavé otázky. • Už v predchádzajúcom bola párkrát spomenutá možnosť zovšeobecnenia úvodného úderu. Hodnota X, t.j. poloha gule pri ľavom mantineli môže byť iná ako ½. A vo všeobecnosti nemusí ísť ani o zlomok, môžeme miesto neho používať reálne číslo. Zrejme si vieme predstaviť zdôvodnenie, ktoré naše skúmanie obmedzí na štvorcový stôl so stranou 1. Hodnoty X a Y potom môžu byť reálne čísla z intervalu (0,1). A prečo vlastne musí guľa ležať pri mantineli? • A na záver tejto časti si nemôžem odpustiť klasický obrat: a ako by vyzerali neuzavreté dráhy? Konečne dve gule! Pokiaľ sme sa dopracovali až na toto miesto, čaká nás zaslúžená odmena. Naozaj nadišiel čas obrátiť list a pustiť sa do novej skupiny úloh. A prichádza čas aj na tú klasickú: trafiť jednou guľou druhú. Samozrejme priamy zásah zodpovedajúci nakresleniu úsečky nie je problémom, a rýchlo preto pridávame podmienku zásahu po odraze od mantinelu. Ale pozor, východiská spomenuté na začiatku tohto článku stále zostávajú v platnosti. Tak isto zatiaľ zostávame na štvorčekovom papieri, ktorý riešenie tejto úlohy odkláňa do iných oblastí. A aj keď je možné túto časť témy prezentovať samostatne, prihováram sa za jej zaradenia až po (prípadne stručnejšom) absolvovaní „kurzu“ uzavretých dráh. Tam získané skúsenosti totiž umožňujú omnoho lepšiu prácu. Najskôr na štvorčekoch a pekne pomaly

9

Prvá úloha bude veľmi jednoduchá. Požiadame deti, aby si nakreslili dve gule rovnako vzdialené od mantinelu a namaľovali akým spôsobom môžeme jednou po odraze od mantinelu trafiť druhú. Úloha je veľmi jednoduchá a deti ju zvládnu. Môžeme si na nej objasniť a pripomenúť niektoré dôležité skutočnosti: • Podstatou úlohy je určiť miesto na mantineli, na ktoré máme zamieriť „nábehovou“ guľou (to je tá do ktorej triafame, Angličania ju nazývajú „tágovou“ guľou). • Treba vhodne využiť raster štvorčekového papiera. • Existuje viac „správnych“ rozmerov resp. postavení gulí v rastri. • Máme opäť viacero možností ako si overiť korektnosť dráhy (odrazu). • Konštrukcia je v zásade podobná pri rôznych rozmeroch situácie (vzdialenosť gulí od mantinelu a od seba). Po prvej nasleduje druhá úloha: nábehová guľa je od mantinelu dvakrát ďalej ako druhá. Pri riešení tejto úlohy je určenie správneho rozmeru (umiestnenia v rastri) a overenie korektnosti odrazu mierne zložitejšie, ale skúsenosti z predchádzajúcich častí nás vedú správnym smerom. Pokračujeme v zadávaní ďalších úloh, keď meníme a striedame vzdialeností gúľ od mantinelu. Pomery zostávajú celočíslené, napr. 1:2, 3:1, 1:3, 2:3, 3:4,... Spočiatku deti opäť pracujú samostatne vlastným tempom, časom by sme mali ich postup zladiť, prezentovať výsledky na tabuli atď. Pri riešení tejto kaskády úloh opäť prichádza k slovu podobnosť trojuholníkov, sledovanie pomerov križovanie rastra jednotlivými časťami dráhy, prostredníctvom zadania 2a 3a úloh (pokiaľ k tomu neprídu poslucháči sami pri riešení) môžeme upozorniť na význam kolmých čiar medzi guľami a mantinelmi. Po nakreslení dostatočného množstva obrázkov máme dosť skúseností na formulovanie a vyriešenie niektorých základných a súvisiacich problémov. Tieto sú hlavne pre menšie deti cennými objavmi: • Aké sú pre daný celočíselný pomer vzdialeností vhodné umiestnenia gulí (a mantinelu) v rastri? • V akom pomere potrebujeme deliť vzdialenosť medzi kolmými priemetmi gúľ na mantinel? • Na koľko častí treba mať rozdelenú úsečku, ak ju chceme rozdeliť v celočíselnom pomere A:B? V kreslení na štvorčekovom papieri môžeme pokračovať v podstate neobmedzene. Časom sa ale tento postup vyžije a neprináša ďalšie nové skúsenosti. Už v tejto forme je možné prejsť k úlohám typu „guľa => dolný mantinel => horný mantinel => guľa“ atď., ale nezískame žiadne zásadne nové poznatky. Dosť bolo štvorčekov... Ďalší postup uvediem opäť v komentároch o poznámkach: •

Zásadnou zmenou a rozvitím témy je (v tomto okamžiku vhodné) odstránenie štvorčekového papiera. Pokiaľ pri uzavretých obehoch sa raster dal nahradiť pomocným

3a

2a

2a

3a

10

•

•

rozdelením stola a v podstate sme zopakovali pôvodný postup, teraz sme postavený pred zásadne novú úlohu: rozdeliť danú úsečku v danom celočíselnom pomere. Ide o klasickú geometrickú úlohu, ktorej riešenie vedia objaviť alebo aspoň na ňom zmysluplne pracovať už talentovaní šiestaci. To ale neznamená, že by nezaujala aj stredoškolákov, môžeme len očakávať rýchlejší postup a prechod k ďalším problémom. Je dobré poskytnúť na túto časť deťom dosť času (prípadne aj viac dní) a nechať ich objavovať. Pri dobrej motivácii vedia vymyslieť viacero správnych aj nesprávnych konštrukcií, o ktorých sa dá pri ďalšom stretnutí veľmi užitočne diskutovať. Väčšinou sa objavili aj dve „kánonické“ konštrukcie, ktoré ilustrujem na obrázkoch. Špeciálne kolmé polohy pomocných čiar pritom väčšinou „vyhrávali“ a budili väčšiu dôveru, objavovali sa ale aj „šikmé“ varianty. Opäť môžeme vidieť použitú osovú C symetriu, teraz ako pomôcku pre delenie úsečky. Nájdu 2a a sa ale aj krásne špeciality. Popíšem konštrukciu siedmaka pre delenie úsečky v pomere 2:1. Bodom D A A vediem ľubovolnú úsečku BC tak, aby A bol jej S stredom. Nájdem stred S úsečky DB a spojím ho B s bodom C. Priesečník DA s SC delí DA v pomere 2:1. Čo vy na to? Ďalším prirodzením zovšeobecnením je upustenie od celočíselných pomerov vzdialeností gúľ od mantinelov. V zásade ide o riešenie všeobecnej úlohy zo začiatku tohto textu, aj keď teraz ju poslucháči chápu skôr ako úlohu na delenie úsečky v „geometricky“ zadanom pomere. Aj keď riešenie tohto problému často spočíva len v (netriviálnom) uvedomení si možnosti použiť postup z predchádzajúcej úlohy, odporúčam pokračovať v týchto častiach témy už len s stredoškolskými a staršími poslucháčmi. Pokiaľ sme zvládli predchádzajúcu úlohu, nastal správny čas na pridanie ďalších odrazov od vodorovných mantinelov. Do hry priberieme aj šírku stola, je na nás či začneme s celočíselnými polohami alebo prejdeme rovno k všeobecnému „grafickému“ zadaniu. Možností riešenia je viacero (osové symetrie..), spoľahlivo ale zaberá a aj prirodzenejšie pôsobí konštrukcia s jednou pomocnou priamkou. Treba si len uvedomiť, ktoré kolmé vzdialenosti na ňu (a v akom poradí) nanášať a ako použiť rovnobežné úsečky. Po pochopení tejto konštrukcie nie je problém pridávať ďalšie a ďalšie odrazy od mantinelov.

Poďme do kúta. Na záver popíšem ešte pár ďalších možností rozvíjania témy ku ktorým som sa po pravde takmer nikdy nedostal. Ich ďalšie rozpracovanie teda čaká na príležitosť - dôležitý bude zrejme dostatok času a ešte systematickejšia práca s témou. Najskôr chcem pripomenúť možnosť pridania kolmého mantinelu k úlohe s dvomi guľami. Východiskovou situáciou sú jednoduché rohové údery, keď potrebujeme trafiť guľu s odrazom od vodorovného a následne kolmého mantinelu. Môžeme opäť začať na štvorčekovom papieri s celočíselnými pomermi vzdialeností. V tejto podobe ide hlavne o napínavé kreslenie. Myšlienku potom môžeme ďalej rozvíjať a zovšeobecňovať spôsobmi známymi z predchádzajúcich častí – hlavne „uberaním“ rastra a pridávaním mantinelov. Na tomto mieste je poctivé povedať, že minimálne z hľadiska efektívnosti v tomto mieste už začínajú „vyhrávať“ postupy založené na osovej symetrii. 11

A prečo len obdĺžnik? Ďalším klasickým rozšírením témy biliardov sú netradičné tvary stolov. Úplne vlastným životom žijú úlohy na kruhovom stole, ktoré čitateľ môže nájsť napr. v (2). V duchu tohto článku sa ale dá pokračovať hlavne v skúmaní uzavretých dráh a viacnásobných odrazov na stoloch v tvare rovnostranného trojuholníka a v rôznych pravouhlých trojuholníkoch, najlepšie s rozumnými hodnotami vnútorných uhlov. Ďalšou skupinou stolov sú kosoštvorce a rovnobežníky, nie moc „divoké lichobežníky atď. Ešte o stupeň napínavejším krokom je pridanie ďalšej dimenzie. Biliardové problémy v kocke, kvádri, štvorstene atď. čakajú na svojich riešiteľov... Záver Pokiaľ sa čitateľ dopracoval až na toto miesto, netreba ho zamestnávať ďalšími nápadmi. Zopakujem len ponuku vítaného osobného kontaktu s hlbšími záujemcami o tému. Na záver si ale môžeme naliať čistého vína – skutočný biliard je trochu iná ako matematická disciplína. Uhly dopadov a odrazov sa nerovnajú, gule nie sú body a majú dokonca hmotu a hmotnosť atď. Otvorene povedané, je to fyzika. Necháme ju odborníkom, záujemcom odporúčam zaujímavú stránku (4). Literatúra (1) M.Hejný, D.Jirotková, N.Stehlíková: Čtverečkovaný papír – most mezi geometrií a aritmetikou (2) Bachratá, Bachratý, Burjan: Odborný program matematických krúžkov na II. stupni ZŠ (3) Hejný, Kuřina: Dítě, škola a matematika. (4) http://www.engr.colostate.edu/~dga/pool/ e-mail: [email protected]

12