MATEMATIKA AVIATORIAMS

Mečislavas Meilūnas

MATEMATIKA AVIATORIAMS

Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023

Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus Vilnius „Technika“ 2012

VilniAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS

Mečislavas Meilūnas

MATEMATIKA AVIATORIAMS Mokomoji knyga

Vilnius  „Technika“ 2012

M. Meilūnas. Matematika aviatoriams: mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2012, 79 p. [3,5 aut. l. 2012 08 27] Mokomojoje knygoje apžvelgti tie elementariosios matematikos skyriai, kuriuos išmanyti – bent jau tiek, kiek pateikta čia, būtina studijuojantiems matematiką įvairių VGTU specialybių, taip pat ir VGTU Aviacijos instituto studentams. Knygą sudaro keturios dalys: „Aritmetika“, „Geometrijos elementai“, „Algebrinės lygtys ir jų sistemos“ ir „Funkcijos“. Kiekvienoje dalyje pateiktos atitinkamos matematikos šakos pagrindinės sąvokos ir teiginiai, jie iliustruojami pavyzdžiais. Norint kuo geriau įsisavinti žinias, kaip visada, patartina atlikti kuo daugiau pratimų ir išspręsti taikomųjų uždavinių. Kai kurie tam tinkami vadovėliai ir uždavinynai nurodyti literatūros sąraše. Leidinį rekomendavo: A. Gustaičio aviacijos instituto studijų komitetas Recenzavo: doc. dr. Eduardas Lasauskas, VGTU Aviacinės mechanikos katedra

dr. Gerda Jankevičiūtė, VGTU Matematinio modeliavimo katedra

Leidinys parengtas ir išleistas už Europos struktūrinių fondų lėšas, jomis finansuojant VGTU Transporto inžinerijos, Biomechanikos ir Aviacinės mechanikos inžinerijos projektą „Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus“ pagal Lietuvos 2007–2013 m. Žmogiškųjų išteklių veiksmų programos 2 prioriteto „Mokymasis visą gyvenimą“ VP1-2.2-ŠMM-07-K priemonę „Studijų kokybės gerinimas, tarptautiškumo didinimas“. Projekto kodas Nr. VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023, finan­savimo ir administravimo sutartis Nr. VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-023. VGTU leidyklos TECHNIKA 1367-S mokomosios metodinės literatūros knyga

http://leidykla.vgtu.lt Redaktorė Jūratė Balčiūnienė Maketuotoja Birutė Bilotienė eISBN 978-609-457-252-4 doi:10.3846/1367-S © Mečislavas Meilūnas, 2012 © Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 2012

Turinys 1. ARITMETIKA.......................................................................................... 7 1.1. Aritmetiniai veiksmai natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibėse...................................................................... 7 1.1.1. Natūraliųjų ir neneigiamų sveikųjų skaičių aibės................. 7 1.1.2. Neneigiamų sveikųjų skaičių sudėtis.................................... 7 1.1.3. Neneigiamų sveikųjų skaičių daugyba................................. 8 1.1.4. Neneigiamo sveikojo skaičiaus laipsnis............................... 9 1.1.5. Neneigiamų sveikųjų skaičių palyginimas........................... 9 1.1.6. Atimties veiksmas ir būtinybė praplėsti sveikųjų neneigiamų skaičių aibę. Sveikieji skaičiai........................ 10 1.1.7. Sveikojo skaičiaus modulis................................................. 10 1.1.8. Sveikųjų skaičių sudėtis...................................................... 11 1.1.9. Sveikųjų skaičių atimtis...................................................... 11 1.1.10. Sveikųjų skaičių palyginimas............................................. 12 1.1.11. Sveikųjų skaičių daugyba................................................... 12 1.1.12. Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai............................................ 12 1.1.13. Bendrieji dalikliai............................................................... 13 1.1.14. Bendrieji kartotiniai............................................................ 14 1.2. Aritmetiniai veiksmai racionaliųjų skaičių aibėje........................... 14 1.2.1. Racionalieji skaičiai............................................................ 14 1.2.2. Racionaliojo skaičiaus modulis.......................................... 15 1.2.3. Racionaliųjų skaičių palyginimas....................................... 15 1.2.4. Racionaliųjų skaičių sudėtis ir atimtis................................ 16 1.2.5. Racionaliųjų skaičių daugyba ir dalyba.............................. 16 1.2.6. Dešimtainės trupmenos....................................................... 17 1.2.7. Periodinės trupmenos.......................................................... 18 1.2.8. Racionaliojo skaičiaus sveikoji ir trupmeninė dalis........... 18 1.2.9. Periodinių trupmenų palyginimas....................................... 19 1.3. Aritmetiniai veiksmai realiųjų skaičių aibėje.................................. 19 1.3.1. Iracionalieji skaičiai............................................................ 19 1.3.2. Realieji skaičiai................................................................... 20 1.3.3. Realiųjų skaičių dešimtainiai artiniai.................................. 21 3

1.3.4. Realiųjų skaičių sudėtis ir atimtis....................................... 22 1.3.5. Realiųjų skaičių daugyba ir dalyba..................................... 22 1.3.6. Realiųjų skaičių aksiomos.................................................. 23 1.3.7. Realiojo skaičiaus laipsnis su sveikuoju rodikliu............... 24 1.3.8. Aritmetinė n-tojo laipsnio šaknis........................................ 25 1.3.9. Laipsnis su racionaliuoju rodikliu...................................... 25 1.3.10. Laipsnis su realiuoju rodikliu............................................. 26 1.3.11. Aritmetinis ir geometrinis vidurkiai................................... 26 1.3.12. Procentai............................................................................. 27 1.4. Pozicinės skaičiavimo sistemos...................................................... 28 1.4.1. Pozicinės skaičiavimo sistemos sąvoka.............................. 28 1.4.2. Dvejetainė skaičiavimo sistema.......................................... 30 1.4.3. Aštuntainė skaičiavimo sistema.......................................... 30 1.4.4. Šešioliktainė skaičiavimo sistema...................................... 32 2. GEOMETRIJOS ELEMENTAI............................................................. 33 2.1. Taškų koordinatės tiesėje................................................................ 33 2.1.1. Koordinačių tiesė................................................................ 33 2.1.2. Koordinačių keitimas.......................................................... 34 2.1.3. Skaičių intervalai................................................................ 34 2.2. Taškų koordinatės plokštumoje ir trimatėje erdvėje....................... 35 2.2.1. Dekarto koordinačių sistema plokštumoje.......................... 35 2.2.2. Polinė koordinačių sistema................................................. 36 2.2.3. Paprasčiausios geometrinės figūros plokštumoje............... 37 2.2.4. Dekarto koordinačių sistema trimatėje erdvėje.................. 41 2.3. Elementariųjų geometrinių figūrų plotų ir tūrių, homogeniškų kūnų masės skaičiavimas.......................................... 42 3. ALGEBRINĖS LYGTYS IR JŲ SISTEMOS........................................ 44 3.1. Algebriniai reiškiniai....................................................................... 44 3.1.1. Skaitinis reiškinys............................................................... 44 3.1.2. Reiškinys su kintamaisiais.................................................. 44 3.2. Lygtys ir tapatybės.......................................................................... 45 3.2.1. Lygybės............................................................................... 45 3.2.2. Lygtys................................................................................. 45 3.2.3. Tapatybės............................................................................ 46 4

3.2.4. Lygčių ekvivalentumas....................................................... 46 3.2.5. Reiškinių veiksmai.............................................................. 47 3.2.6. Vienanariai.......................................................................... 47 3.2.7. Daugianariai........................................................................ 48 3.2.8. Algebrinės trupmenos......................................................... 48 3.2.9. Tapatybių įrodymas............................................................ 49 3.2.10. Algebrinių reiškinių pertvarkymų pavyzdžiai.................... 49 3.3. Tiesinės lygtys................................................................................. 52 3.3.1. Tiesinė lygtis su vienu kintamuoju..................................... 52 3.3.2. Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais................................. 53 3.4. Kvadratinės lygtys........................................................................... 53 3.4.1. Kvadratinės lygties šaknų formulė..................................... 53 3.4.2. Atskiri kvadratinės lygties atvejai...................................... 54 3.4.3. Vieto teorema...................................................................... 55 3.4.4. Kvadratinio trinario skaidymas........................................... 55 3.5. Lygčių sistemos............................................................................... 56 3.5.1. Lygčių sistema.................................................................... 56 3.5.2. Lygčių sistemų ekvivalentumas.......................................... 56 3.5.3. Dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema....... 57 4. FUNKCIJOS........................................................................................... 60 4.1. Funkcijos sąvoka............................................................................. 60 4.1.1. Funkcijos nusakymas skaičių poromis bei lentele.............. 60 4.1.2. Funkcijos nusakymas formule............................................ 61 4.1.3. Funkcijos grafikas............................................................... 61 4.1.4. Funkcijos monotoniškumas................................................ 62 4.1.5. Funkcijos aprėžtumas......................................................... 63 4.1.6. Lyginės ir nelyginės funkcijos............................................ 64 4.1.7. Periodinės funkcijos............................................................ 65 4.1.8. Viena kitai atvirkštinės funkcijos........................................ 65 4.1.9. Sudėtinės funkcijos............................................................. 66 4.2. Rodiklinė, logaritminė ir laipsninė funkcijos.................................. 66 4.2.1. Rodiklinė funkcija.............................................................. 66 4.2.2. Logaritminė funkcija.......................................................... 67 4.2.3. Logaritmai........................................................................... 68 5

4.2.4. Logaritmavimas ir potencijavimas (antilogaritmavimas)..... 69 4.2.5. Logaritmų pagrindo keitimas.............................................. 69 4.2.6. Dešimtainiai logaritmai...................................................... 70 4.2.7. Skaičius e ir natūralieji logaritmai...................................... 70 4.2.8. Laipsninė funkcija.............................................................. 71 4.3. Trigonometrinės funkcijos.............................................................. 71 4.3.1. Smailiojo kampo ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos................................................... 71 4.3.2. Trigonometrinių funkcijų periodiškumas........................... 74 4.3.3. Lyginės ir nelyginės trigonometrinės funkcijos.................. 74 4.3.4. Trigonometrinės funkcijų tapatybės................................... 75 4.3.5. Redukcijos formulės........................................................... 76 4.3.6. Dvigubojo argumento ir pusės argumento trigonometrinės funkcijos................................................... 77 4.3.7. Trigonometrinių funkcijų sandaugos keitimas suma (skirtumu) ir atvirkščiai............................................. 78 Literatūra...................................................................................................... 79

6

1. ARITMETIKA Aritmetikos sąvokos ir teiginiai aprašo skaičių aibes ir aritmeti­ kos veiksmus tose aibėse. Trumpai apžvelgsime dažniausiai aritmetikoje naudojamas skaičių aibes ir veiksmus, atliekamus su tų aibių elementais (aritmetines operacijas).

1.1. Aritmetiniai veiksmai natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibėse 1.1.1. Natūraliųjų ir neneigiamų sveikųjų skaičių aibės Natūraliųjų skaičių aibė (paprastai žymima N) – tai begalinė aibė, sudaryta iš skaičių, kuriuos žmonija nuo seniausių laikų naudoja skaičiuoti įvairiausiems daiktams (vienas, du, trys ...). Taigi turime: N = {1; 2; 3; 4; …}

(1.1)

Prie visų natūraliųjų skaičių aibės prijungę skaičių 0 (nulį), gauname neneigiamų skaičių aibę N0 = {0; 1; 2; 3; 4; …}

(1.2)

Neneigiamus sveikuosius skaičius žymėsime mažosiomis lotyniškomis raidėmis. Pavyzdžiui, užrašas k = l reiškia, kad kalbame apie tą patį skaičių, pažymėtą skirtingomis raidėmis. Natūraliuosius ir neneigiamus sveikuosius skaičius paprastai rašome dešimtainėje pozicinėje sistemoje, naudodami dešimt skaitmenų: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Pavyzdžiui, užraše 457 dešinysis skaitmuo rodo vienetų skaičių (7), vidurinysis – dešimčių skaičių (5), kairysis – šimtų skaičių (4). Skaitome: keturi šimtai penkiasdešimt septyni. Dažniausiai naudojamos aritmetinės operacijos aibėje N0, kurių rezultatai taip pat priklauso N0 – tai dviejų skaičių sudėtis ir daugyba. Sakoma, kad tų aritmetinių operacijų atžvilgiu ši aibė yra uždara. 1.1.2. Neneigiamų sveikųjų skaičių sudėtis Neneigiamų sveikųjų skaičių aibėje bet kuriuos du skaičius, tarkime, k ir l, atitinka skaičius, žymimas k + l ir vadinamas skaičių k ir 7

l suma. Ženklas „ + “, naudojamas sudėčiai žymėti, vadinamas pliuso ženklu. Skaitydami išraišką k + l, sakome „k plius l“. Skaičiai k ir l vadinami dėmenimis, o veiksmas, kuriuo randama suma, – sudėtimi. Išvardysime savybes, būdingas skaičių sudėčiai. 1o. Perstatymo (komutatyvumo) dėsnis: k+l=l+k (sukeitus dėmenis vietomis suma nesikeičia). 2o. Jungimo (asociatyvumo) dėsnis: (k + l) + m = k + (l + m). Skliaustai kairėje lygybės pusėje reiškia, kad pirmiausia sudedame k ir l, paskui prie gautos sumos pridedame m, dešinėje lygybės pusėje pirmiausia l sudedame su m, o tada pridedame k. Taigi trijų skaičių sumą galima tiesiog užrašyti k + l + m. Šį dėsnį galima apibend­rinti bet kurio skaičiaus dėmenų sumai. 3o. Nulio neutralumo dėsnis: k+0=k (k – bet kuris aibės N0 elementas). 1.1.3. Neneigiamų sveikųjų skaičių daugyba Neneigiamų sveikųjų skaičių suma k + k + ... + k, sudaryta iš n dėmenų, vadinama skaičių k ir n sandauga ir žymima k · n (arba kn). Laikysime, kad bet kuriam k iš N0 galioja taisyklės 1o. k · 1 = k, 2o. k · 0 = 0. Sandaugoje k · 1 skaičiai k ir l vadinami dauginamaisiais, o veiksmas, kuriuo apskaičiuojama sandauga, – daugyba. Panašiai kaip ir sudėtis, daugyba pasižymi perstatymo, jungimo ir vieneto neutralumo dėsniais: 1o. k · l = l · k, 2o. (k · l) · m = k · (l · m), 3o. k · 1 = k. 8

Be to, neneigiamų skaičių sudėtį ir daugybą sieja skirstymo (distributyvumo) dėsnis: 4o. (k + l) · m = k · m + l · n. 1.1.4. Neneigiamo sveikojo skaičiaus laipsnis Tegul k – neneigiamas sveikasis skaičius. Sandauga k · k ·... · k, sudaryta iš n dauginamųjų, vadinama skaičiaus k n-tuoju laipsniu ir žymima kn. Laikysime, kad 1o. k1 = k, 2o. k0 = 1. Skaičius k vadinamas laipsnio kn pagrindu, skaičius n – laipsnio rodikliu. Veiksmas, kuriuo randamas laipsnis, vadinamas kėlimu laipsniu. Skaičiaus k antrasis laipsnis k2 vadinamas skaičiaus k kvadratu, trečiasis (k3) – kubu. Remiantis laipsnio apibrėžimu galima įrodyti, kad 3o. km · kn = km + n, 4o. (kn)m = knm. Čia k, n, m – bet kurie sveikieji skaičiai. 1.1.5. Neneigiamų sveikųjų skaičių palyginimas Laikoma, kad nulis yra mažesnis už bet kurį natūralųjį skaičių (t.  y. kiekvienas natūralusis skaičius yra didesnis už nulį). Taigi, jei k – natūralusis skaičius, tai 0 < k („nulis mažiau už k“) arba k > 0 („k daugiau už nulį“). Apibendrinsime skaičių palyginimo sąvoką esant bet kuriems sveikiesiems neneigiamiems skaičiams. Tarkime, k ir l – bet kurie skirtingi skaičiai iš aibės N0. Tada yra dvi galimybės: arba yra toks vienintelis natūralusis skaičius m, kad k  +  m = l, arba yra toks vienintelis natūralusis skaičius n, kad l + n = k. Pirmuoju atveju skaičius k vadinamas mažesniu už skaičių l ir rašoma k < l („k mažiau už l“) arba skaičius l vadinamas didesniu už skaičių k ir rašoma l > k („l daugiau už k“). 9

Taigi yra trys bet kurių skaičių k ir l iš aibės N0 galimybės: k < l arba k > l, arba k = l. Aibės, kuriose bet kurie du elementai gali būti palyginti, vadinamos visiškai sutvarkytomis, o nelygybės, susiejančios du skaičius – tvarkos sąryšiais. Visos skaičių aibės, kurias čia nagrinėsime, bus visiškai sutvarkytos. 1.1.6. Atimties veiksmas ir būtinybė praplėsti sveikųjų neneigiamų skaičių aibę. Sveikieji skaičiai Kai k ir l – neneigiami sveikieji skaičiai ir k £ l, galima apibrėžti atimties veiksmą (jį žymėsime ženklu „–“ (minus) taip: l – k = m, čia m – toks sveikasis neneigiamas skaičius, kad k + m = l. Skaičius l vadinamas turiniu, k – atėminiu, m – skirtumu. Čia svarbu tai, kad toks sveikasis neneigiamas skaičius m šiuo atveju egzistuoja. Tačiau jei turėsime k > l, tai skirtumas l – k jau nebebus sveikasis teigiamas skaičius, taigi aibė N0 nėra uždara atimties atžvilgiu. Norint išvengti tokiose situacijose kylančių nepatogumų, dar senovėje aibę N0 buvo nutarta papildyti sveikaisiais neigiamaisiais (arba priešingaisiais sveikaisiais) skaičiais –1, –2, ... (minus vienas, minus du, ...). Nauja platesnė aibė, kurią sudaro visi neneigiami sveikieji skaičiai, (taigi visi natūralieji skaičiai ir nulis) ir visi neigiami sveikieji skaičiai, yra vadinama sveikųjų skaičių aibe ir žymima simboliu Z. Taigi Z = {...; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...}. Toliau matysime, kad ši aibė yra uždara sudėties, atimties ir daugybos atžvilgiu. 1.1.7. Sveikojo skaičiaus modulis Sveikojo skaičiaus a modulis | a | apibrėžiamas taip:

a, kai a > 0  a = a, kai a = 0 . − a, kai a < 0  Taigi sveikojo skaičiaus modulis yra sveikasis neneigiamas skaičius. 10

1.1.8. Sveikųjų skaičių sudėtis Neneigiamų sveikųjų skaičių sudėtis jau aptarta 1.1.2 poskyryje. Dabar apibrėšime sveikųjų skaičių sudėtį visais kitais atvejais. Jei a ir b – neigiami sveikieji skaičiai, tai jų suma a + b vadinsime neigiamą sveikąjį skaičių, kurio modulis lygus a + | b |. Taigi šiuo atveju a + b = − ( a + | b |) . Jei a ir b – sveikieji skaičiai, a > 0, b < 0 ir | a |>| b | , tai a + b = a − | b |. Jei a ir b – sveikieji skaičiai, a > 0, b < 0 ir | a |<| b | , tai a + b = − ( b − | a |) . Jei a – sveikasis skaičius, tai a + b = 0 + a = a. Priešingų sveikųjų skaičių suma lygi nuliui, t. y. a + ( − a ) = 0. Sveikųjų skaičių sudėčiai galioja perstatymo, jungimo ir nulio neutralumo dėsniai, visiškai analogiškai tam, kas buvo neneigiamų sveikųjų skaičių atveju. 1.1.9. Sveikųjų skaičių atimtis Kad ir kokie būtų sveikieji skaičiai a ir b, egzistuoja toks vienintelis sveikasis skaičius x, kad a + x = b. Jis yra vadinamas skaičių b ir a skirtumu ir rašoma x = b − a. Nesunku įsitikinti, kad x = b + ( −a ) , t. y. dviejų skaičių skirtumą galima užrašyti ir tam tikros sumos pavidalu. Iš to, kaip apibrėžiama sudėtis ir atimtis sveikųjų skaičių aibėje Z, matome, kad šių operacijų atžvilgiu aibė Z yra uždara. 11

1.1.10. Sveikųjų skaičių palyginimas Laikoma, kad nulis yra mažesnis už kiekvieną teigiamą sveikąjį skaičių, o neigiamas sveikasis skaičius laikomas mažesniu už nulį ir kiekvieną teigiamą sveikąjį skaičių. Iš dviejų neigiamų sveikųjų skaičių mažesniu laikomas tas, kurio modulis didesnis. Jei a < b, tai laikoma, kad b > a. Galima įsitikinti, kad jei a < b, tai a – b < 0, o jei a > b , tai a – b > 0. 1.1.11. Sveikųjų skaičių daugyba Neneigiamų sveikųjų skaičių daugybą jau aptarėme 1.1.3 poskyryje. Apibrėšime sveikųjų skaičių sandaugą visais kitais atvejais. Jei a < b ir b < 0, tai a ⋅b = a ⋅| b | . Taigi dviejų neigiamų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius. Jei a < 0, o b > 0 arba a > 0, o b < 0, tai

t. y.

a ⋅b = − a ⋅| b |. Jei bent vienas iš dauginamųjų lygus 0, sandauga taip pat lygi 0,

a ⋅ 0 = 0 = 0 ⋅ a = 0. Sveikųjų skaičių daugybai būdingi perstatymo, jungimo ir vieneto neutralumo dėsniai: 1°. a · b = b · a, 2°. (a · b) · c = a · (b ·c), 3°. a · 1 = a. Sudėtį ir daugybą sieja skirstymo dėsnis:

(a + b) ⋅ d = a ⋅ d + b ⋅ d ,

čia a, b, c, d – bet kurie sviekieji skaičiai.

1.1.12. Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai Grįžkime kuriam laikui prie natūraliųjų ir sveikųjų teigiamųjų skaičių nagrinėjimo. Tarkime n – neneigiamas sveikasis skaičius. 12

Sandaugos

n · 1, n · 2, n · 3,… yra vadinamos skaičiaus n kartotiniais. Pažymėkime visų skaičiaus n kartotinių aibę Kn. Jei m priklauso aibei Kn, tai yra toks vienintelis natūralusis skaičius x, kad n ⋅ x = m. Tokiu atveju skaičius x vadinamas skaičių m ir n dalmeniu ir žymim mas m : n, arba , skaičius m – daliniu, skaičius n – dalikliu, o veiksmas, n kuriuo randamas dalmuo, – dalyba. Tada sakoma, kad m dalijasi iš n. Dalybos veiksmą galima apibrėžti taip pat aibėse N0 ir Z, tačiau pažymėtina, kad dalybos atžvilgiu aibės N, N0 ir Z nėra uždaros: skaičių m ir n dalmuo priklauso vienai iš tų aibių tada ir tik tada, jei m yra n kartotinis, arba jei m = 0, o n ¹ 0 . Skaičiaus n = 0 visi kartotiniai lygūs 0, todėl, kai m ¹ 0, lygybė 0 · x = m negalima. Iš lygybės 0 · x = 0 vienintelio x nerasime (joje x gali būti bet kuris skaičius). Todėl sakysime, kad dalyba iš nulio negalima. m Jei m = 0, o n ¹ 0, tai = 0. n Tarkime, m – natūralusis skaičius. Kadangi m = m · 1, tai nelygus 1 natūralusis skaičius turi bent du daliklius. Natūralusis skaičius, turintis tik du daliklius, vadinamas pirminiu skaičiumi. Natūralusis skaičius, turintis daugiau kaip du daliklius, vadinamas sudėtiniu skaičiumi. Pavyzdžiui, 17 – pirminis skaičius, 18 – sudėtinis skaičius. Vienetas nelaikomas nei pirminiu, nei sudėtiniu skaičiumi. Galima įrodyti, kad kiekvienas natūralusis skaičius yra pirminių skaičių sandauga (į ją pirminiai daugikliai gali įeiti po vieną ar daugiau kartų). Pavyzdžiui, 360 = 2 ⋅ 180 = 2 ⋅ 3 ⋅ 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 30 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 15 = = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 23 ⋅ 32 ⋅ 5. 1.1.13. Bendrieji dalikliai Kelių natūraliųjų skaičių bendruoju dalikliu vadinamas natūralusis skaičius, iš kurio dalijasi visi tie skaičiai. 13

Tam, kad būtų galima rasti didžiausią bendrąjį daliklį, skaičiai skaidomi pirminiais dauginamaisiais. Didžiausias bendrasis daliklis yra visų bendrų pirminių dauginamųjų sandauga. Pavyzdžiui, 360  = 23 ·32 · 5, 75 = 3 · 52, todėl didžiausias bendrasis daliklis yra 3 · 5 = 15. 1.1.14. Bendrieji kartotiniai Kelių natūraliųjų skaičių bendruoju kartotiniu vadinamas natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš visų tų skaičių. Jei reikia rasti kelių skaičių mažiausią bendrąjį kartotinį, skaičiai skaidomi pirminiais daugikliais (dauginamaisiais). Mažiausią bend­rąjį kartotinį gausime, sudauginę visų į skaidinius įeinančių pirminių dauginamųjų aukščiausius laipsnius. Pavyzdžiui, 360 = 23 ·32 ·5, 75 = 3 · 52, todėl skaičių 360 ir 75 mažiausias bendrasis kartotinis yra 23 ·32 ·52 = 1800.

1.2. Aritmetiniai veiksmai racionaliųjų skaičių aibėje Praplėsime sveikųjų skaičių aibę Z iki tokios skaičių aibės, kurioje dviejų jos elementų a ir b ( b ≠ 0 ) , dalybos veiksmo rezultatas visada bus tos aibės elementas. To reikia tam, kad būtų galima skaičiuoti ne tik atskirus daiktus, bet ir jų dalis, taigi atlikti aritmetinius veiksmus ne tik su sveikaisiais skaičiais, bet ir jų dalimis. 1.2.1. Racionalieji skaičiai Tarkime, m daiktų reikia padalyti į n dalių. Skaičių, reikalingą m vienai gautai daliai įvardyti, išreikšime taip: ; čia m ir n – natūralieji n skaičiai. Jei natūralusis skaičius m yra natūraliojo skaičiaus n kartom  tinis, pavyzdžiui, m = n · k, gausime natūralųjį skaičių k  k =  . n  m Kitais atvejais jau nebus natūralusis skaičius. n Kad apimtume ir nulį, ir neigiamus sveikuosius skaičius, sakysim me, kad užraše skaičius m – sveikasis, n – natūralusis. Taip užran šytus skaičius vadinsime racionaliaisiais skaičiais. Visų racionaliųjų m vadinamas trupmena (paskaičių aibę žymėsime raide Q. Užrašas n 14

prastąja trupmena), m – trupmenos skaitikliu, n – trupmenos vardikliu. Dažnai ir pati trupmena vadinama racionaliuoju skaičiumi. m Kai m – teigiamas skaičius, racionalusis skaičius a = vadinamas n teigiamu, kai m yra neigiamas – neigiamu. Kai m = 0, gauname nulį. −m m Racionalieji skaičiai ir vadinami priešingaisiais racio­ n n naliaisiais skaičiais. 1.2.2. Racionaliojo skaičiaus modulis m Racionaliojo skaičiaus a = moduliu vadinamas skaičius n |m| a = . Taigi, kaip ir sveikojo skaičiaus atveju,

n

a, kai a > 0  a = 0, kai a = 0 . − a, kai a < 0  1.2.3. Racionaliųjų skaičių palyginimas

m ir Iš to, kas psakyta, aišku, jog turime laikyti, kad trupmenos n m⋅k (k – natūralusis skaičius) nusako tą patį racionalųjį skaičių, o n⋅k pačios trupmenos lygios: m m⋅k . = n n⋅k Taip išreiškiama pagrindinė trupmenos savybė: trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginę iš to paties natūraliojo skaičiaus, gauname trupmeną, lygią pradinei trupmenai. m⋅k m keitimas trupmena Kai k > 1, trupmenos vadinamas trup­ n⋅k n m⋅k m – trupmenos keitimas trupmena menos plėtimu, trupmenos n⋅k n prastinimu. m Jei skaičiai | m | ir n turi bendrą daliklį, didesnį už 1, trupmena n vadinama suprastinamąja, jei tokio daliklio neturi – nesuprastinamąja. 15

p m ir . Šias q n m⋅q p⋅n ir trup­menas išplėskime, pakeiskime trupmenomis . Tokios n⋅q q⋅n trup­menos vadinamos bendravardiklėmis (kai n ir q turi bend­rą dalik­lį, didesnį už 1, bendravardiklių trupmenų vardikliai gali būti mažesni už n · q). m vadiname lygiu racionaliajam skaičiui Racionalųjį skaičių a = n p b = ( a = b ) , kai m ⋅ q = n ⋅ p; mažesniu už b ( a < b ) , kai m ⋅ q < n ⋅ p; q didesniu už b ( a > b ) , kai m ⋅ q < n ⋅ p . Lengva įsitikinti, kad: 1) nulis mažesnis už kiekvieną teigiamą racionalųjį skaičių; 2) neigiamas racionalusis skaičius mažesnis už kiekvieną teigiamą skaičių ir nulį; 3) iš dviejų neigiamų racionaliųjų skaičių mažesnis yra tas, kurio modulis didesnis. Nagrinėkime trupmenas (racionaliuosius skaičius)

1.2.4. Racionaliųjų skaičių sudėtis ir atimtis p⋅n m⋅q p m Racionaliųjų skaičų a = ir b = ir b = , arba a = n⋅q q⋅n q n (abu racionaliuosius skaičius išreiškėme bendravardiklėmis trupmem⋅q + n⋅ p nomis), suma vadinamas racionalusis skaičius . n⋅q Racionaliųjų skaičių sudėčiai irgi būdingi perstatymo (komutatyvumo),  jungimo (asociatyvumo) ir nulio neutralumo dėsniai:

a + b = b + a; ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ; a + 0 = a (a, b, c – bet kurie racionalieji skaičiai). Kad ir kurie būtų racionalieji skaičiai a ir b, yra vienintelis racionalusis skaičius x, kad a + x = b. Jis vadinamas racionaliųjų skaičių b ir a skirtumu ir žymimas b – a. Nesunku įsitikinti, kad tas skaičius yra x = b + ( −a ) . 1.2.5. Racionaliųjų skaičių daugyba ir dalyba m p Racionaliųjų skaičių a = ir b = sandauga vadinamas racio­ n q mp nalusis skaičius . nq 16

Racionaliųjų skaičių daugybai irgi būdingi perstatymo (komutatyvumo), jungimo (asociatyvumo) ir vieneto neutralumo dėsniai: a ⋅ b = b ⋅ a;

( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c );

a ⋅1 = a

(a, b, c – bet kurie racionalieji skaičiai). Sudėtį ir daugybą sieja skirstymo (distributyvumo) dėsnis:

( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c. Racionalieji skaičiai, kurių sandauga lygi vienetui, vadinami vie­ nas kitam atvirkštiniais. Taigi a ir a′ yra vienas kitam atvirkštiniai skaičiai, kai a ⋅ a′ = 1 . Kadangi a ⋅ a′ > 0 , tai a ir a′ yra vienodų ženklų skaičiai: kai a > 0, ir a′ > 0; kai a < 0, ir a′ < 0 . m Kiekvienas nelygus nuliui racionalusis skaičius a = turi atvirkšn m m n −n . tinį skaičių a′. Jei a = > 0 , tai a′ = ; jei a = < 0 , tai a′ = n m n |m| Kadangi lygybė 0 ⋅ a′ = 1 negalima, tai nuliui atvirkštinio skaičiaus nėra. Jei a ir b – racionalieji skaičiai ir b ¹ 0 , tai yra vienintelis racionalusis skaičius x, kurį naudojant teisinga lygybė b ⋅ x = a. Jis vadinamas racionaliųjų skaičių a ir b dalmeniu ir žymimas a a ÷ b , arba . Nesunku įsitikinti, kad tas skaičius yra x = a ⋅ b′ ; čia b b′ – skaičiui b atvirkštinis skaičius. 1.2.6. Dešimtainės trupmenos Trupmena, kurios vardiklis yra 10 laipsnis, vadinama dešimtaine trupmena. Jos rašomos be vardiklių. Pavyzdžiui, 2789 2000 + 700 + 80 + 9 2000 700 80 9 = = + + + = 1000 1000 1000 1000 1000 1000 7 8 9 =2+ + + = 2, 789 . 10 100 1000 17

1.2.7. Periodinės trupmenos m Trupmeną (m ir n – natūralieji skaičiai) dešimtaine trupmena n paverčiame skaitiklį dalydami iš vardiklio. Tačiau to dalijimo dažnai negalima baigti. Ir tuo nesunku įsitikinti. Natūralųjį skaičių m dalijant iš natūraliojo skaičiaus n, kiekvieno etapo liekana yra mažesnė už n, todėl gali būti tik n skirtingų liekanų ( 0; 1;…; n − 1) . Vadinasi, ne tolesnė kaip n-toji liekana sutampa su anksčiau gauta liekana, taigi ir m dalmenys pradeda kartotis. Vadinasi, trupmeną (m ir n – natūralieji n skaičiai) versdami dešimtaine trupmena, gausime begalinę dešimtainę trupmeną a, a1 , a2 , a3  , be to, yra tokie natūralieji skaičiai p ir q, kad ak + p = ak , kai k > q. Tokia dešimtainė trupmena rašoma taip: a, a1 … aq aq +1 … aq + p . Ji vadinama periodine trupmena, skaitmenų grupė aq +1 … aq + p – jos periodu. Nagrinėdami ir neigiamus racionaliuosius skaičius gauname, kad kiekvieną racionalųjį skaičių galima išreikšti begaline dešimtaine periodine trupmena (trumpiau – periodine trupmena, kai periodas yra 0, turime baigtinę dešimtainę trupmeną). Galima įrodyti, kad ir atvirkščiai, kiekviena periodinė trupmena išreiškia racionalųjį skaičių.

(

(

)

)

1.2.8. Racionaliojo skaičiaus sveikoji ir trupmeninė dalis Didžiausias sveikasis skaičius, ne didesnis už racionalųjį skaičių r, vadinamas racionaliojo skaičiaus r sveikąja dalimi. Žymima taip: [ r ]. Racionaliojo skaičiaus ir jo sveikosios dalies skirtumas vadinamas racionaliojo skaičiaus trupmenine dalimi. Ji žymima taip: {r}. Taigi {r} = r − [ r ] . Racionaliojo skaičiaus trupmeninė dalis visada yra neneigiamas racionalusis skaičius, mažesnis už 1. Sveikojo skaičiaus trupmeninė dalis lygi 0. Teigiamo racionaliojo skaičiaus r = a, a1 , a2 … sveikoji dalis [ r ] = a, trupmeninė dalis {r} = 0, a1 , a2 ,…an . Neigiamą racionalųjį skaičių galima rašyti taip: r = − ( a + 1) + (1 − 0, a1 , a2 ,… an ) , 18

todėl jo [ r ] = − ( a + 1) , {r} = 1 − 0, a1 , a2 , , an . Prisiminę, kad 1 = 1, 00… ir kaip iš dešimtainės trupmenos atimama dešimtainė trup­ mena, gauname: jei 1 − 0, a1 , a2 ,… = 0, b1 , b2 …, tai su visais natūraliaisiais i. Taigi laikome, kad 0, ( 9 ) = 1 . Neigiamą racionalųjį skaičių kartais patogu rašyti taip: r = b, b1 , b2 …; čia b = −b = [ r ] , 0, b1 , b2 … = {r} . 1.2.9. Periodinių trupmenų palyginimas Sakykime, a = a0 , a1 , a2 ,… an ir b = b0 , b1 , b2 …bn – racionalieji skaičiai (periodinės trupmenos) ir a0 = [ a ] , b0 = [b ]. Skaičiai a ir b vadinami lygiais ir rašoma a = b, kai ai = bi su visais sveikais neneigiamais i. (Čia ir toliau laikoma, kad iš dviejų užrašų c = c0 , c1 ,…cq ir (9) c = c0, c1 …cq′ (0), cq′ = cq + 1, pasirenkamas pirmas.) Kai a0 < b0 arba kai a0 = b0 , ak = bk iki kurio nors k ir ak +1 < bk +1 , sakoma, kad skaičius a mažesnis už skaičių b ir rašoma a < b. Tada dar sakoma, kad skaičius b didesnis už skaičių a ir rašoma b > a.

1.3. Aritmetiniai veiksmai realiųjų skaičių aibėje 1.3.1. Iracionalieji skaičiai Pasirinkę atkarpų matavimo vienetą (centimetrą, milimetrą ar kitą) ir išmatavę atkarpą, gauname atkarpos ilgį nusakantį tam tikrą skaičių. Nustatoma tik apytikslė atkarpos ilgio reikšmė, nors galime įsivaizduoti ir vis tiksliau išmatuojamą atkarpą. Tai būtų baigtinė dešimtainė trupmena, taigi racionalusis skaičius. Pitagoro teorema teikia: stačiojo trikampio įžambinės kvadratas lygus jo statinių kvadratų sumai. Taigi lygiašonio stačiojo trikampio, kurio kiekvieno statinio ilgis lygus 1, įžambinės ilgio kvadratas lygus 2. Įsitikinsime, jog nėra tokio racionaliojo skaičiaus, kurio kvadram – nesuprastinamoji trupmena ir racionatas lygus 2. Tarkime, kad n liojo skaičiaus kvadratas lygus 2, taigi m 2 = 2 ⋅ n 2, todėl m2 dalijasi iš 2. Iš to gauname, kad m dalijasi iš 2 (jei m nesidalytų iš 2, tai ir m2 nesidalytų iš 2), taigi m = 2 ⋅ k , k – sveikasis skaičius. 19

2

Tada ( 2 ⋅ k ) = 2 ⋅ n 2, n 2 = 2 ⋅ k 2, vadinasi, n = 2 ⋅ l , l – sveikasis skaim čius. Iš m = 2 ⋅ k ir n = 2 išeina, kad – suprastinamoji trupmena.

n

Tai prieštarauja darytai prielaidai. Taigi tikrai nėra racionaliojo skaičiaus, kurio kvadratas lygus 2. Darome išvadą: tarus, jog kiekvienos atkarpos ilgis, pasirinkus atkarpų matavimo vienetą, išreiškiamas tik­ ru skaičiumi, išeina, kad yra ne tik racionalieji skaičiai. 2 Sakykime, a 2 = 2 . Kadangi 12 = 1 < 2, o 2 = 4 > 2 , tai 1< a < 2 . Nesunkiai įsitikinsime, kad 1, 4 < a < a1, 5 , 1, 41 < a < 1, 42 , 1, 414 < a < 1, 415 , 1, 4142 < a < 1, 4143

 Taigi galime rasti, kiek norima ženklų po kablelio, todėl galime įsivaizduoti, kad skaičius a išreiškiamas begaline dešimtaine neperiodine trupmena (jei ji būtų periodinė, tai a būtų racionalusis skaičius). Skaičiai, išreiškiami begalinėmis dešimtainėmis neperiodinėmis trupmenomis, vadinami iracionaliaisiais skaičiais. Be iracionaliojo skaičiaus, kurio kvadratas lygus 2, paminėsime dar vieną iracionalųjį skaičių – apskritimo ilgio ir apskritimo skersmens santykį π = 3,14159… Lotynų kalbos žodžio ratio viena iš reikšmių yra santykis. Taigi racionalieji skaičiai yra tie, kuriuos galima išreikšti dviejų sveikųjų skaičių santykiu, iracionalieji – tie, kurie tokiu santykiu neišreiškiami. 1.3.2. Realieji skaičiai Racionalieji ir iracionalieji skaičiai sudaro realiųjų skaičių aibę. Ji žymima raide R. Kiekvieną realųjį skaičių galima išreikšti begaline dešimtaine trup­ mena. Kai ta trupmena yra periodinė, turime racionalųjį skaičių. 20

Kai rašome a = a0 , a1 , a2 … ir a0– sveikasis neneigiamas skaičius, skaičių a vadiname neneigiamu, skaičių a0 – jo sveikąja dalimi ([ a ]), skaičių 0, a1 , a2  – trupmenine dalimi ({a}). Skaičius 0, 00 yra nulis (0). Kai rašome a = − a0 , a1 , a2 … ir a0 – sveikasis neneigiamas skaičius, skaičių a vadiname neteigiamu, skaičių − ( a0 + 1) – jo sveikąja dalimi ([ a ]), skaičių 0, b1 , b2 , (ai + bi = 9� su visais natūraliaisiais i) – trupmenine dalimi ({a}). Skaičius −0, 00… irgi yra nulis (0). Realieji skaičiai a = a0 , a1 , a2, ir b = b0 , b1 , b2 … (a0 = [ a ] , b0 = [b ]) palyginami taip pat kaip ir periodinės trupmenos. Visada arba a = b, arba a < b, arba a > b (teisingas tik vienas iš šių teiginių). Realieji skaičiai a ir b vadinami vienas kitam priešingais, kai a0 + b0 = −1, ai + bi = 9 su visais natūraliaisiais i (primename, kad 0, (9) = 1). Kai a = a0, (0), b = b0, (0), a ir b yra vienas kitam prieštaringi skaičiai, kai a0 + b0 = 0. Skaičiui a priešingas skaičius žymimas –a. Realiojo skaičiaus modulis apibrėžiamas taip pat kaip ir racionaliojo skaičiaus modulis:  a, kai a ≥ 0 . a = − a, kai a < 0 Realiojo skaičiaus modulis yra teigiamas skaičius arba nulis, be to, a = 0 tik tada, kai a = 0. 1.3.3. Realiųjų skaičių dešimtainiai artiniai Realiojo skaičiaus a = a0 , a1 , a2 , a3 …(a0 = [ a ]), dešimtainiu 1 tikslumu su trūkumu vadinamas racionalusis skaičius arti­niu 10n an′ = a0 , a1 ,… an ( 0 ) = a0 , a1 ,… an , kuris gaunamas skaičiaus a skait­ menis, parašytus po an, pakeitus nuliais. Remdamiesi realiųjų skaičių palyginimo taisykle, gauname: an′ ≤ a. 1

tikslumu su pertekliu­ 10n 1 mi vadinamas racionalusis skaičius an′′ = an′ + n . Aišku, kad a < an′′ . 10 Realiojo skaičiaus a dešimtainiu artiniu

21

1.3.4. Realiųjų skaičių sudėtis ir atimtis Sakykime, a ir b – realieji skaičiai, an′ ir bn′ bei an′′ ir bn′′ – jų 1 artiniai n tikslumu su trūkumu ir su pertekliumi. Realusis skaičius, 10 tenkinantis sąlygą an′ + bn′ ≤ c < an′′ + bn′′ , yra skaičius c. Kad ir kuris būtų natūralusis skaičius n, jis vadinamas realiųjų skaičių a ir b suma ir žymimas a + b ( c = a + b ) . Įrodoma, kad yra tik vienas skaičius, atitinkantis tą sąlygą. Realiųjų skaičių sudėčiai būdingi perstatymo (komutatyvumo), jungimo (asociatyvumo) ir nulio neutralumo dėsniai: a + b = b + a;

( a + b ) + c = a + (b + c );

a+0=a

(a, b, c – bet kurie realieji skaičiai). Kad ir kurie būtų realieji skaičiai a ir b, yra vienintelis realusis skaičius x, kad a + x = b. Jis vadinamas realiųjų skaičių b ir a skirtumu ir žymimas b – a. Nesunku įsitikinti, kad tas skaičius yra b + ( − a ). 1.3.5. Realiųjų skaičių daugyba ir dalyba Kad ir kuris būtų natūralusis skaičius n, an′ ir bn′ bei an′′ ir bn′′  – 1 skaičių a ir b artiniai n tikslumu su trūkumu ir su pertekliumi. 10 Įrodoma, kad yra tik vienas skaičius, atitinkantis nurodytą sąlygą. Kitokių realiųjų skaičių sandauga apibrėžiama kaip sveikųjų skaičių sandauga. Realiųjų skaičių daugybai būdingi perstatymo (komutatyvumo), jungimo (asociatyvumo) ir vieneto neutralumo dėsniai: ab = ba;

( ab ) c = a ( bc ) ;

a ⋅1 = a

(a, b, c – bet kurie realieji skaičiai). Sudėtį ir daugybą sieja skirstymo (distributyvumo) dėsnis:

( a + b ) c = ac + bc. 22

Kad ir kurie būtų realieji skaičiai a ir b, kai a ¹ 0, yra toks vienintelis realusis skaičius x, kad bx = a . Jis vadinamas realiųjų skaičių a ir b dalmeniu ir žymimas a : b a arba . b Kai aa′ = 1, skaičiai a ir a′ vadinami vienas kitam atvirkštiniais skaičiais. Nesunku įsitikinti, kad a : b = a ⋅ b′.� 1.3.6. Realiųjų skaičių aksiomos Apibrėžę realiuosius skaičius kaip begalines dešimtaines trupmenas, aptarėme jų veiksmus. Išvardysime pagrindinius teiginius: 1. Kiekvienai skaičių porai ( a, b ) galima priskirti po vieną skaičių a + b. 2. Kad ir kurie būtų skaičiai a, b, c, teisinga lygybė ( a + b ) + c = a + ( b + c ). 3. Kad ir kurie būtų skaičiai a, b, teisinga lygybė a + b = b + a . 4. Yra toks skaičius 0, kad a + 0 = a su visais a. 5. Kiekvieną skaičių a atitinka toks skaičius –a, kad a + ( − a ) = 0. 6. Kiekvienai skaičių porai ( a, b ) galima priskirti po vieną skaičių ab. 7. Kad ir kurie būtų skaičiai a, b, c, teisinga lygybė ( ab ) c = a ( bc ). 8. Kad ir kurie būtų skaičiai a, b, teisinga lygybė � ab = ba . 9. Yra toks skaičius 1, kad a ⋅ 1 = a su visais a. 10. Kiekvieną skaičių a, išskyrus 0, atitinka toks skaičius a′, kad aa′ = 1. 11. Su bet kuriais skaičiais a, b, c teisinga lygybė ( a + b ) c = ac + bc . 12. Skirtingus skaičius galima sujungti ženklu < (mažiau). 13. Jei a ir b – skirtingi skaičiai, tai arba a < b, arba b < a. 14. Jei a < b ir b < c, tai a < c. 15. Jei a < b, o c – bet kuris skaičius, tai a + c < b + c. 16. Jei a < b ir 0 < c, tai ac < bc; jei a < b ir c < 0, tai bc < ac. Sakoma, kad skaičius b didesnis už skaičių a, ir rašoma b > a tada ir tik tada, kai a < b. 23

Kalbėjome apie begalines (turinčias be galo daug skaitmenų po kablelio) dešimtaines trupmenas. Tai atsispindi Archimedo aksiomoje: egzistuoja natūralusis skaičius, didesnis už turimą skaičių. Remiantis (12–16) savybėmis, galima įrodyti šiuos teiginius: a < b tada ir tik tada, kai a – b < 0; a > b tada ir tik tada, kai a – b > 0; a = b tada ir tik tada, kai a – b = 0. Jais patogu remtis įrodant kitas svarbias nelygybių savybes. Paminėsime tokias savybes: 1. Jei skaičiai a ir b yra abu teigiami arba abu neigiami ir a > b, tai 1 1 < . a b 2. Jei a > b ir c > d, tai a + c > b + d. Iš jos gautume: jei teisingos nelygybės kurį nors dėmenį perkelsime iš vienos jos pusės į kitą ir pakeisime to dėmens ženklą, tai gausime teisingą nelygybę. 3. Jei a > b, c > d ir a, b, c, d – teigiami skaičiai, tai ac > bd. 1.3.7. Realiojo skaičiaus laipsnis su sveikuoju rodikliu Jau apibrėžėme teigiamo sveikojo (natūraliojo) skaičiaus laipsnį, kurio rodiklis – neneigiamas sveikasis skaičius, ir nulio laipsnį, kurio rodiklis – teigiamas sveikasis (natūralusis) skaičius. Sakykime, a – realusis skaičius, n ( n > 1) – natūralusis skaičius. Laikysime, kad a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅…⋅ a a1 = a, a 0 = 1( kai a ≠ 0 ) . Išsiaiškinsime, kaip turėtume apibrėžti a–n, kad laipsniams su sveikaisiais rodikliais būtų būdingos laipsnių su neneigiamais sveikaisiais rodikliais savybės. Tada turėtų būti:

a n ⋅ a − n = a ( ) = a 0 = 1. Vadinasi, skaičius a–n turėtų būti skaičiui an atvirkštinis skaičius. Todėl laikysime, kad 1 a−n = 1 ÷ an = n . a n+ − n

24

Aišku, kad a ¹ 0 , t. y. nulio laipsnis su neigiamu sveikuoju rodik­ liu neapibrėžtas. Dabar galime įsitikinti, kad realiojo skaičiaus laipsniui su sveikuoju rodikliu būdingos tokios savybės: a m ⋅ a n = a m+ n ;

(a )

m n

= a mn .

1.3.8. Aritmetinė n-tojo laipsnio šaknis Sakykime, n – natūralusis skaičius, n > 1, a – neneigiamas realusis skaičius. Neneigiamas skaičius x, kurio n-tasis laipsnis lygus a � x n = a , vadinamas aritmetine n-tojo laipsnio šaknimi iš skaičiaus a. Ji žymima n a . Antrojo laipsnio (kvadratinė) šaknis iš skaičiaus a žymima a, trečiojo laipsnio (kubinė) šaknis žymima 3 a . Matematinėje analizėje įrodoma, kad yra vienintelis neneigiamas skaičius, kurio n-tasis laipsnis lygus neneigiamam skaičiui a. Taigi aritmetinė n-tojo laipsnio šaknis iš neneigiamo skaičiaus a n a visada egzistuoja ir yra tik viena. n-tojo ( n ∈ n,n > 1) laipsnio šaknimi iš skaičiaus a vadinamas skaičius, kurio n-tasis laipsnis lygus a. n n , tai ne tik Jei n = 2k (k – natūralusis skaičius), a = a, a ≥ 0 n n bet ir − a = a . Todėl ir tenka išskirti aritmetinę šaknį. Jei n = 2k ir a < 0, tai n a t. y. 2 k a neegzistuoja (kiekvieno skaičiaus lyginis laipsnis yra neneigiamas skaičius). Jei n = 2k + 1, a < 0, tai yra vienintelis teigiamas skaičius, kurio ( 2k + 1) -asis laipsnis lygus –a. Tas skaičius yra 2 k +1 − a . Tada

(

)

( )

(

( −2k +1 −a )

( )

)

(

)

2 k +1

= a . Taigi 2 k +1 a = − 2 k +1 −a . Vadinasi, rašydami 2 k +1 a galime laikyti, kad a – bet kuris realusis skaičius, ir nereikia pabrėžti, kad tai aritmetinė šaknis. 1.3.9. Laipsnis su racionaliuoju rodikliu Tarę, kad n – natūralusis skaičius, n >1, m – sveikasis skaičius, m ¹ 0, a – bet kuris realusis skaičius ir 25

1 = an 0

m = a, a n

n

a = 1,

m 0n

n

am

= 0 ( m > 0 ).

Apibrėžiame laipsnį su racionaliuoju rodikliu. Galima įsitikinti, kad taip apibrėžtam laipsniui su racionaliuoju rodikliu būdingos anksčiau minėtos laipsnių savybės:

( )

a p ⋅ a q = a p + q ;� � � a p

q

= a pq

(a – realusis skaičius, p ir q – racionalieji skaičiai; turima galvoje, kad užrašyti laipsniai yra apibrėžti). 1.3.10. Laipsnis su realiuoju rodikliu Sakykime, a – realusis skaičius, a > 1, a – realusis skaičius, α′n ir ′′ α n – jo artiniai 10–n tikslumu su trūkumu ir su pertekliumi. Skaičius b, tenkinantis sąlygą ′ ′′ aαn ≤ b < aαn su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi n, vadinamas skaičiaus a laipsniu, kurio rodiklis a (rašoma aa). Įrodoma, kad yra tik vienas skaičius, atitinkantis nurodytą sąlygą. Panašiai apibrėžiamas realiojo skaičiaus a ( 0 < a < 1) laipsnis, kurio rodiklis yra realusis skaičius a. Taigi apibrėžėme realiojo skaičiaus laipsnį su realiuoju rodikliu. Pagrindinės jo savybės yra:

( )

a α ⋅ aβ = a α +β ;� � � � � � a α

β

= a αβ

(a, a, b – realieji skaičiai, be to, daroma prielaida, kad užrašyti laipsniai yra apibrėžti). 1.3.11. Aritmetinis ir geometrinis vidurkiai Realiųjų skaičių a1 , a2 , an aritmetiniu vidurkiu vadiname skaičių a=

1 ( a1 + a2 + …+ an ). n 26

Jei a1 , a2 , , an – teigiami realieji skaičiai, galima apibrėžti geo­ metrinį jų vidurkį: a = n a1 ⋅ a2 ⋅…⋅ an . Galima įrodyti, kad teigiamų realiųjų skaičių geometrinis vidurkis visada yra ne didesnis už jų aritmetinį vidurkį, t. y. jei ai > 0, i = 1, ..., n, tai būtinai 1 n a ⋅ a … a ≤ ( a + a + …+ a ) . 1 2 n 1 2 n n Kartais reikia aritmetinį vidurkį apibendrinti, t. y. nustatyti vadinamąjį svertinį vidurkį. Jis apibrėžiamas taip: jei pi , i = 1,…, n – realieji skaičiai ir, be to, a < pi ≤ 1, tai jų svertinis vidurkis

ap =

1 ( p1a1 + p2 a2 + …+ pn an ) . n 1.3.12. Procentai

Viena šimtoji skaičiaus dalis yra vadinama procentu (nuošimčiu), 1 ⋅ a , o p % skaičiaus a yra ji žymima 1 %. Taigi 1 % skaičiaus a yra 100 pa   1 . ⋅a⋅ p =  100 100   Sakoma, kad mokami sudėtiniai procentai, kai kiekvienų metų gale pridedamos metinės palūkanos ir kitais metais skaičiuojamos indėlio palūkanos kartu su priaugusiomis palūkanomis. Įrodoma, kad a litų indėlio, atiduoto p iš procentų, po n metų virs n

p   A = n 1 +   100  litų (sudėtinių procentų formulė). Sudėtinių procentų formulė taikoma daugelyje sričių, pavyzdžiui, prognozuojant gyventojų skaičių, bendrąjį šalies produktą ir panašiai.

27

1.4. Pozicinės skaičiavimo sistemos 1.4.1. Pozicinės skaičiavimo sistemos sąvoka Skaičiavimo sistema, arba skaičiuotė, vadinama skaičių įvardijimo ir žymėjimo (užrašymo) taisyklių visuma. Sutartiniai ženklai, kuriais žymymi skaičiai, paprastai vadinami skaitmenimis. Dažniausiai skaičiai užrašomi skaitmenų baigtinių sekų pavidalu. Skaičiavimo sistemos skirstomos į pozicines ir nepozicines atsižvelgiant į tai, ar skaitmenų reikšmės keičiasi priklausomai nuo jų vietos (pozicijos) sekoje. Nepozicinės skaičiavimo sistemos pavyzdys yra romėniškoji sistema. Sudarant pozicinę skaičiavimo sistemą, pirmiausia pasirenkamas didesnis už vienetą sveikasis skaičius p, toliau vadinamas skaičiavimo sistemos pagrindu. Parenkama p skirtingų ženklų p-tainiams skait­ menims žymėti, tarp kurių yra simbolis nuliui pažymėti. Tokių nuosekliai išdėstytų p ženklų seka vadinama skaičiavimo sistemos baze. Nustatoma vienareikšmė atitinkamybė tarp p-tainių skaitmenų ir skai­ čiavimo sistemos bazės elementų. Dažniausiai naudojamos pozicinės skaičiavimo sistemos, kurių bazės elementai neneigiami arba išdėstyti simetriškai nulio atžvilgiu. Toliau čia nagrinėsime tiktai tuos atvejus, kai bazės elementai neneigiami. 1 pavyzdys. Kasdienėje praktikoje dažniausiai susiduriame su dešimtaine pozicine skaičiavimo sistema. Jos pagrindas lygus dešimčiai, jos bazė neneigiama, ji sudaryta iš dešimties nuosekliai einančių sveikųjų skaičių pradedant nuliu ir baigiant devyniais. Bazės elementams žymėti naudojami simboliai, vadinami arabiškais skaitmenimis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Realusis skaičius užrašomas p-tainių skaitmenų seka, kab­leliu padalinta į du posekius. Jei kiekvienas iš simbolių an , an −1 ,…, a1 , a0 , a−1 ,…, a− m reiškia p-tainį skaitmenį, tai skaičius užrašomas pavidalu (1) an , an −1 ,…, a1 , a0 , a−1 ,…, a− m . Laikoma, kad pozicijos, kuriose užrašyti sekos (1) skaitmenys, yra sunumeruotos tokia tvarka: pozicijos, esančios į kairę nuo kable28

lio, sunumeruotos skaičiais (numeriais) nulis, vienas, du ir t. t. iš de­ šinės į kairę, o pozicijos, esančios į dešinę nuo kablelio, nuosekliai sunumeruotos iš kairės į dešinę skaičiais minus vienas, minus du ir t. t. Šios sunumeruotos pozicijos vadinamos p-tainiais skaičiaus skait­ menimis (skiltimis). Kiekvieną (1) sekos skaitmenį atitinka apibrėžta reikšmė. Nulinėje skiltyje esančio skaitmens reikšmė yra lygi atitinkamam bazės skaičiui. Tam tikroje skiltyje esantis skaitmuo turi reikšmę, p kartų didesnę už tą, kurią turėtų skiltyje, kurios numeris yra vienetu mažesnis (arba reikšmę, p kartų mažesnę už tą, kurios skilties numeris vienetu didesnis). (1) pavidalo p-tainių skaitmenų seka reiškia skaičių, lygų jos skaitmenų reikšmių sumai. Taigi turime: (2) an an −1 … a1a0 , a−1 … a− m = an p n + an −1 p n −1 + …+ + a1 p + a0 + a−1 p −1 + …+ a− m p − m . Skaičiaus skaitmenų, esančių į kairę nuo kablelio, posekis vadinamas skaičiaus sveikąja dalimi. Jei skaičiaus sveikąją dalį pakeisime nuliu, liks skaičiaus trupmeninė dalis. 2 pavyzdys. Tarkime, turime dešimtainę skaičiavimo sistemą, taigi sistemos pagrindas lygus dešimčiai (rašome 10). Skai­čiaus 8401,302, suprantamo kaip dešimtainio, reikšmė yra 8 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 0 ⋅ 101 + 1 ⋅ 100 + 3 ⋅ 10−1 + 0 ⋅ 10−2 + 2 ⋅ 10−3 . Neneigiamiems skaičiams rašyti dešimtainėje sistemoje, be skait­ menų, dar naudojamas ženklas – (minus), rašomas prieš skaičių. Kai kada prieš teigiamą skaičių rašomas ženklas + (plius). Skaičių p-tainėje sistemoje sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba atliekama naudojant sudėties, atimties ir daugybos lenteles pagrindinių skaičių {0,1,…, p} aibėje. Iš (2) formulės matyti, kad skaičiaus daugyba iš skaičiavimo sistemos pagrindo p gali būti atliekama perkeliant kablelį per vieną skiltį į dešinę, o dalybą iš p – perkeliant kablelį per vieną skiltį į kairę. Toliau panagrinėsime kai kurias skaičiavimo sistemas, plačiai naudojamas kompiuterinėse technologijose. 29

1.4.2. Dvejetainė skaičiavimo sistema Nagrinėsime dvejetainę pozicinę skaičiavimo sistemą su neneigiama baze. Šioje sistemoje naudojami du skirtingi skaitmenys 0 ir 1. Skaičius „du“ (sistemos pagrindas) rašomas kaip 10. Užrašant neigiamus skaičius prieš skaitmenų seką dedamas minuso ženklas. Dvejetainės sudėties, atimties, daugybos ir dalybos lentelės yra labai paprastos. Sudėtis

Atimtis

Daugyba

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

0 – 0 = 0 1 – 0 = 0 1 – 1 = 0 10 – 1 = 1

0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1

Naudojantis šiomis lentelėmis dvejetainių skaičių aritmetiniai veiksmai atliekami pagal tas pačias taisykles kaip ir dešimtainės sistemos atveju. 3 pavyzdys. a) sudėtis b) atimtis c) daugyba d) dalyba



1100111,1101 11, 011 11001111101 11001111101 1100111110 1 11001111101 101011110, 0101111

10110,1101 1100111, 011 − 10001,1111 10011,111 100,1110 1111011, 010

+

1011 1001 1001 1001 . 0000

1.4.3. Aštuntainė skaičiavimo sistema Aštuntainėje pozicinėje skaičiavimo sistemoje baziniai skaičiai yra 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7. Sistemos pagrindas (aštuoni) šioje sistemoje rašomas kaip 10. Aštuntainės sistemos sudėties ir daugybos lentelės pagal apimtį artimos atitinkamoms lentelėms dešimtainėje sistemoje. Pateiksime, pavyzdžiui, sudėties lentelę: 30

+

0

1

2

3

4

5

6

7

10

0

0

1

2

3

4

5

6

7

10

1

1

2

3

4

5

6

7

10

11

2

2

3

4

5

6

7

10

11

12

3

3

4

5

6

7

10

11

12

13

4

4

5

6

7

10

11

12

13

14

5

5

6

7

10

11

12

13

14

15

6

6

7

10

11

12

13

14

15

16

7

7

10

11

12

13

14

15

16

17

10

10

11

12

13

14

15

16

17

20

Šią lentelę taip pat galima naudoti kaip atimties lentelę. Aštuntainių skaičių sudėtis ir atimtis atliekama pagal tas pačias taisykles kaip dešimtainėje ar (kaip matėme) dvejetainėje sistemoje. 4 pavyzdys. a) sudėtis +

b) atimtis

327, 71102 35, 67735 365, 61037

−

11076, 01 705, 62 . 10170,17

Sudarius aštuntainių skaičių daugybos lentelę (ją sudaryti rekomenduojame skaitytojui), nesunkiai galime atlikti daugybos ir dalybos veiksmus. c) daugyba 173, 261 16, 35 1150565 562023 1344046 173261 . 3366, 56615 31

1.4.4. Šešioliktainė skaičiavimo sistema Tarkime, kad nagrinėjamos sistemos bazės elementai – neneigiami sveikieji skaičiai nuo nulio iki penkiolikos. Šešioliktainėje sistemoje turi būti šešiolika simbolių tiems skaičiams žymėti, taigi įprastinių dešimtainių skaitmenų neužtenka, didesniems nei 9 skaitmenims žymėti reikia įvesti kokius nors papildomus simbolius. Tam tikslui dažnai naudojamos lotyniškos raidės A, B, C, D, E, F. Šešioliktainės sistemos pagrindas rašomas kaip 10. Aritmetiniai veiksmai šešioliktainėje sistemoje atliekami naudojant atitinkamas sudėties ir daugybos lenteles. Pateiksime šešioliktainėje sistemoje parašyto skaičiaus pavyzdį. Tarkime, turime dešimtainį skaičių 453. Naudodami skaičiaus 16 (šešiolika) laipsnius gauname 453 = 1 ⋅ 162 + 12 ⋅ 16 + 15 . Jei laikysime, kad dešimtainį skaičių 12 atitinka simbolis C, o 15 – simbolis F, turėsime lygybę 45310 = 1CF16 . Šioje lygybėje apatinis indeksas reiškia skaičiavimo sistemos pagrindą.

32

2. GEOMETRIJOS ELEMENTAI Šiame skyriuje trumpai aptarsime kai kurias geometrijos sąvokas ir teiginius, būtinus skaičių ir funkcijų geometrinei interpretacijai suvokti. Geometriniai vaizdiniai praverčia apibrėžiant kai kurias funkcijas (pavyzdžiui, trigonometrines). Jie taip pat reikalingi sprendžiant įvairius praktinius uždavinius (pavyzdžiui, nustatant figūrų plotų, tūrių, kūnų masių ir kitų geometrinių ir fizinių objektų skaitines reikšmes). Apsiribosime tik pačiais paprasčiausiais dalykais, reikalingais toliau skaitant šią knygą. Skaitytojui, norinčiam įgyti daugiau geometrijos žinių, galima rekomenduoti, pavyzdžiui, P. Katiliaus vadovėlį [6]. Pažymėtina, kad kai kurie analizinės geometrijos elementai yra įtraukti į Matematikos studijų modulio programą ir studentai turi galimybę su jais susipažinti pirmojo semestro metu.

2.1. Taškų koordinatės tiesėje 2.1.1. Koordinačių tiesė Tiesėje pasirinkime nesutampančius taškus O ir E. Tarkime, kad atkarpos OE ilgis yra ilgio matavimo vienetas tiesėje.

1 pav. Koordinačių tiesė

Jei M – tiesės taškas, esantis į dešinę nuo taško O, tai atkarpos OM ilgis, išmatuotas matavimo vienetu OE, yra tam tikras teigiamas realusis skaičius a. Jis vadinamas taško M koordinate. Jei N – tiesės taškas, esantis į kairę nuo taško O, tai atkarpos ON ilgis, išmatuotas vienetu OE, – taip pat teigiamas skaičius b, bet taško N koordinate vadinsime neigiamą skaičių – b. Laikoma, kad taško O koordinatė yra 0. Tai, kad taško P koordinatė yra skaičius x, trumpai rašoma kaip P(x). 33

Jei tiesės taškų koordinatės apibrėžtos, tiesė vadinama koordina­ čių ašimi (arba koordinačių tiese), taškas O – koordinačių pradžia, spindulys OE – teigiamuoju koordinačių ašies spinduliu (jo kryptis – teigiamąja koordinačių ašies kryptimi (paveiksle ji žymima rodyk­ le). Priešinga kryptimi nukreiptas spindulys vadinamas neigiamuoju koor­dinačių ašies spinduliu (jo kryptis – neigiamąja koordinačių ašies kryptimi). Pasirinkus atkarpų matavimo vienetą, kiekvieną teigiamąjį skaičių a atitinka atkarpa, kurios ilgis, išmatuotas tuo vienetu, yra a. Taigi, galima sakyti, kad kiekvieną realųjį skaičių x atitinka koordinačių ašies tam tikras taškas. Kai x > 0, tas taškas yra teigiamojo spindulio taškas, kai x < 0 – neigiamojo spindulio taškas; to taško atstumas nuo koordinačių pradžios lygus | x |. Skaičių 0 atitinka koordinačių pradžia. Atstumas tarp taškų A ( X1 ) ir B ( X 2 ) lygus jų koordinačių skirtumo moduliui. Taigi nustatėme abipus vienareikšmę atitiktį tarp tiesės taškų ir realiųjų skaičių. 2.1.2. Koordinačių keitimas 1. Tarkime, O '(m) yra naujoji koordinačių pradžia, taško M senoji koordinatė x, naujoji x ' . Tada x′ = x − m, x = x′ + m . 2. Tarkime, OE ' – naujasis ilgio matavimo vienetas, susietas su senuoju ilgio vienetu OE lygybe OE ′ = kOE. Jei senoji taško M koordinatė yra x, o naujoji x ' , tai, kadangi OM = xOE = x′ ( kOE ) = ( x′k ) OE , 1 tai x = x′k arba x′ = ⋅ x . k 2.1.3. Skaičių intervalai Kadangi tarp realiųjų skaičių aibės elementų ir tarp tiesės taškų yra abipusė vienareikšmė atitiktis, tai kalbant apie realiuosius skaičius 34

dažnai sakoma, kad jie „yra“ realiosios tiesės R taškai. Paprastai imama, kad koordinačių tiesė yra horizontali, teigiamoji kryptis – iš kairės į dešinę. Todėl, kai a < b, sakoma, kad skaičius (taškas) a yra kairiau skaičiaus (taško) b, arba skaičius (taškas) b – dešiniau skaičiaus (taško) a. Jei a < b, b < c (kitaip tariant a < b < c) – sakoma, kad skaičius (taškas) b yra tarp skaičių (taškų) a ir c. Kai a < b, visi realieji skaičiai, esantys tarp skaičių a ir b, sudaro atvirąjį intervalą. Jis žymimas (a; b). Prie (a; b) prijungdami skaičius (taškus) a, b, gauname pusatvirį arba uždarąjį intervalą. Taigi realieji skaičiai (tiesės taškai) x sudaro atvirąjį intervalą, jei a < x < b, pusatvirius intervalus, jei a ≤ x < b � arba � a< x≤b

(žymime atitinkamai [ a; b) arba (a; b ], uždarąjį intervalą (atkarpą) [ a; b] , jei a £ x £ b ). Visais minėtais atvejais skaičiai a ir b vadinami atitinkamo inter­ valo galais (kairiuoju ir dešiniuoju). Kiekvienas tų intervalų vadinamas baigtiniu. Skaičius b – a vadinamas tų intervalų ilgiu. Visi didesni už a realieji skaičiai sudaro begalinį intervalą ( a;+∞ ) (dažniausiai rašoma ( a;∞ ) ), ne mažesni už a – begalinį intervalą [ a; ∞). Analogiškai įvedame intervalus ( −∞;a ), ( −∞;a ]. Visų realiųjų skaičių aibė R (skaičių tiesė) dažnai suprantama ir žymima kaip begalinis intervalas ( −∞; ∞ ) .

2.2. Taškų koordinatės plokštumoje ir trimatėje erdvėje 2.2.1. Dekarto koordinačių sistema plokštumoje Dvi viena kitai statmenos koordinačių ašys, turinčios bendrą pradžią (2 pav.), sudaro plokštumos stačiakampę koordinačių sistemą. Ašis Ox vadinama abscisių ašimi (x-ų ašimi), ašis Oy – ordinačių ašimi (y-ų ašimi), taškas O – koordinačių pradžia. Abscisių ašis dažniausiai yra horizontali ir nukreipta į dešinę, ordinačių ašis – vertikali ir nukreipta aukštyn. 35

2 pav. Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje

Tarkime, M – bet kuris plokštumos taškas, M1 ir M2 – per jį einančių ordinačių ir abscisių ašims lygiagrečių tiesių ir tų ašių susikirtimo taškai (jie dar vadinami taško M projekcijomis koordinačių ašyse). Turėdami kiekvienoje ašyje matavimo vienetus OE1 ir OE2, taškams M1 ir M2 galime priskirti jų koordinates tose ašyse (2 pav.). Taškų M1 ir M2 koordinatės x ir y vadinamos taško M koordina­ tėmis plokštumoje: x – abscise, y – ordinate. Rašoma taip: M ( x; y ). Kai parinkti ašių Ox ir Oy atkarpų matavimo vienetai, dviejų realiųjų skaičių porą ( x; y ) atitinka vienintelis plokštumos Oxy taškas ir atvirkščiai – kiekvieną plokštumos tašką atitinka vienintelė realiųjų skaičių pora. Dėl to skaičių poros ( x; y ) dažnai vadinamos taškais, o jų aibė – skaičių plokštuma. Ji žymima R2 (skaitoma R du). Jei ašių Ox ir Oy atkarpų matavimo vienetai lygūs tarpusavyje (OE1 = OE2), koordinačių sistema vadinama stačiakampe Dekarto koor­dinačių sistema. Tokioje sistemoje lengva atlikti kai kuriuos veiksmus, pavyzdžiui, apskaičiuoti atstumą tarp dviejų plokštumos taškų. Turime: jei A1 ( x1 , y2 ) ir A2 ( x2 , y2 ) – du plokštumos taškai tokiomis koordinatėmis, tai atstumas A1 A2 =

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .

2.2.2. Polinė koordinačių sistema Kai kada taškams ir kreivėms plokštumoje aprašyti patogiau naudoti kitas koordinačių sistemas, ne Dekarto stačiakampę sistemą. Tokios sistemos pavyzdys 0 polinė koordinačių sistema. 36

Aprašysime polinę koordinačių sistemą ir jos ryšį su Dekarto stačiakampe sistema (3 pav.).

3 pav. Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos ryšys su poline koordinačių sistema

Tarkime, taško M koordinatės Dekarto sistemoje yra (x, y). Ašį Ox pavadinsime poline ašimi, o tašką O – poliumi. Priskirsime taškui M du skaičius ( ρ,� ϕ ) (polines koordinates), čia ρ ≥ 0, − Π < ϕ ≤ Π. Taigi: r – atstumas nuo koordinačių sistemos pradžios O iki taško M (kitaip – spindulio vektoriaus OM ilgis), j – kampas, kurį sudaro spindulys OM su Ox ašimi (poline ašimi). Taigi kiekvienam plokštumos taškui, išskyrus koordinačių pradžios tašką O, abipus vienareikšmiai priskiriama ankščiau nurodyta skaičių pora (r, j). Taške O turime r = 0, o kampas j neapibrėžtas. Dekarto stačiakampės taško M koordinatės (x, y) ir jo polinės koor­dinatės ( ρ,� ϕ ) susijusios lygybėmis: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ , y + kΠ , x čia k = 0, jei x ³ 0, k = 1, jei x < 0 ir y > 0 , k = –1, jei x < 0 ir y < 0.  Π , jei y > 0 y  2 Jei x = 0, y ¹ 0, laikome, kad arctg =  . x  Π − , jei y < 0  2 ρ = x 2 + y 2 , ϕ = arctg

2.2.3. Paprasčiausios geometrinės figūros plokštumoje Geometrines figūras plokštumoje galima išdėstyti ir neturint koor­ dinačių sistemos, tačiau tokiu atveju būtų neįmanoma kalbėti apie ats37

tumus, ilgius, plotus ir kitas skaitines reikšmes, būtinas norint išsamiai aprašyti geometrinius objektus ir jų tarpusavio padėtį. Koordinačių sistemos leidžia kiekvienam plokščios geometrinės figūros taškui priskirti skaičių porą (anksčiau matėme, kad tiesės taškui abipus vienareikšmiškai priskiriamas vienas realusis skaičius). Vadinasi, vietoj geometrinių figūrų galime nagrinėti jas atitinkančių skaičių ar skaičių porų aibes, taigi joms nagrinėti galime pasitelkti aritmetiką, ar, kaip vėliau matysime, algebrą ir matematinę analizę. Kartais tas skaičių aibes pavyksta aprašyti paprastomis formulėmis, susiejančiomis jų elementus. Tokiais atvejais turime patogų geometrinių figūrų aprašymą ir galimybę nesunkiai rasti mus dominančias jų skaitines charakteristikas. Paprasčiausias geometrinis objektas yra taškas. Kaip jau žinome, tiesėje jį atitinka vienintelis realusis skaičius, priklausantis nuo pasirinktos koordinačių pradžios taško ir matavimo vieneto. Plokštumoje taško M(a; b) koordinatės gali būti įvairiai interpretuojamos – tai priklauso nuo to, kokią koordinačių sistemą pasirinkome (pvz., stačiakampę Dekarto, polinę ar kokią kitą). Visada reikia nurodyti, kokią koordinačių sistemą naudojame. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje bet kurią tiesę galime aprašyti kaip geometrinę vietą taškų P(x, y), kurių koordinatės tenkina lygtį ax + by = c, čia a, b ir c – realieji skaičiai (jie vienareikšmiškai nusako tą tiesę). 4 pav. pavaizduota tiesė rašoma lygtimi y = 2x + 1.

4 pav. Tiesė 38

Spindulį (pustiesę) sudaro tiesės, išvestos per kurį nors fiksuotą tašką A (pavyzdžiui, koordinačių pradžią) taškai, esantys vienoje pusėje nuo taško A (kairėje arba dešinėje). Tokiu atveju sakoma, kad turime spindulį, išeinantį iš taško A. Kampas – tai geometrinė figūra, kurią sudaro taškas ir du iš jo išeinantys spinduliai (5 pav.)

5 pav. Kampas

Spinduliai vadinami kampo kraštinėmis, bendra jų pradžia – kam­ po viršūne. Kampas, kurio abi kraštinės yra vienoje tiesėje, vadinamas ištiestiniu. Kampo sąvoka mums bus reikalinga trigonometrinėms funkcijoms įvesti, todėl smulkiau panagrinėsime kampų matavimo vienetus ir atskirus kampų tipus. Dažnai kampų matavimo vienetu pasirenkamas laipsnis. Laipsnis – 1 daliai. Kampas, turintis, patai kampas, lygus ištiestinio kampo 180 vyzdžiui, 15 laipsnių, žymimas15°. Taigi ištiestinis kampas turi 180°. Smulkesni kampų matavimo vienetai yra 1 minutė (žymima ¢); 1′ = laipsnio dalis, 60 1 minutės dalis. sekundė (žymima ²); 1′′ = 60 Kampas, lygus 90°, vadinamas stačiuoju, mažesnis už 90° – smai­ liuoju, didesnis už 90°, bet mažesnis už 180°, t. y. didesnis už statųjį kampą, bet mažesnis už ištiestinį kampą – bukuoju. Be kampo laipsnio mato, vartojamas kampo radianinis matas. Tarkime, iš apskritimo centro išvedame du spindulius – kampo kraštines. Kampo kraštinės kirs apskritimą tam tikruose taškuose, tarkime, A ir B. Radianu vadiname tokį kampą, gaunamą, kai apskritimo lanko AB ilgis yra lygus to apskritimo spinduliui. Kadangi ap­skri­timo, ku39

rio spindulys R, ilgis lygus 2PR, tai ištiestinis kampas (180°) turi P radianų (kartais žymima rad, bet parastai šis žymuo praleidžiamas). 180° ≈ 57°18 ' . Vadinasi, vieno radiano kampo laipsninis matas yra Π Π Π Π radianų, radianų, 45° = radianų, 60° = Taigi, 30° = 6 4 3 Π 90° = radianų. 2 Trikampį gauname, jei tris plokštumos taškus A, B ir C, nesančius vienoje tiesėje, poromis sujungiame tiesių atkarpomis (6 pav.).

6 pav. Trikampis

Atkarpas AB, BC, AC vadiname trikampio kraštinėmis, taškus A, B, C – trikampio viršūnėmis, kampus prie atitinkamų viršūnių (juos žymėsime atitinkamai < BAC, < ABC, < BCA) – trikampio kampais. Iš daugelio sąvokų ir teiginių apie trikampį išskirsime šiuos. Vienos trikampio kraštinės ilgis yra ne didesnis už kitų dviejų šio trikampio kraštinių sumą. Visų trijų trikampio kampų suma yra lygi 180° (arba P radianų). Stačiojo trikampio (t. y. tokio, kurio vienas kampas lygus 90°, 7 pav.) kraštinių ilgiai a, b, c susieti tokia lygybe: a 2 + b2 = c2 .

7 pav. Statusis trikampis 40

(Čia a, b – statųjį kampą ribojančios kraštinės, vadinamos stati­ niais, c – likusi trečioji trikampio kraštinė, vadinama įžambine). Šis teiginys vadinamas Pitagoro teorema. 2.2.4. Dekarto koordinačių sistema trimatėje erdvėje Daugelį natūralių ir technologinių procesų galima aprašyti kaip trimačių objektų būsenų kaitą laiko atžvilgiu. Laikoma, kad mus supantys fiziniai kūnai yra trimačiai, plokštumoje apibrėžtos figūros, pvz., trikampių ribojamų taškų aibė (dažnai dėl paprastumo vadinama tiesiog trikampiu), skritulys ir pan., – dvimačiai, tiesės intervalai – vienmačiai, o, tarkime, baigtinė aibė taškų – nulinio matavimo objektai. Apskritai erdvės matavimo (dimensijos) sąvoka yra labai sudėtinga ir nevienareikšmiška; šiuo metu matematikoje nagrinėjami ir taikomi įvairiausiose srityse sudėtingos struktūros trupmeninio mata­ vimo geometriniai dariniai fraktalai. Trimatėje erdvėje taško padėtį nusako trys skaičiai – jo koordinatės. Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema gaunama fiksuojant vieną erdvės tašką (koordinačių pradžią) ir išvedant per jį tris viena kitai statmenas, turinčias kryptį koordinačių ašis (tieses) Ox, Oy ir Oz. Analogiškai, kaip tai atliekama plokštumoje (žr. 2.2.1 skyrelį), bet kurį erdvės tašką M ortogonaliai (statmenai) projektuodami į koordinačių ašis, gauname tris skaičius x, y ir z, reiškiančius atstumus nuo atitinkamų projekcijų iki koordinačių pradžios taško O. Taigi taškui M taip priskirsime jo koordinates. Tai žymėsime kaip M(x, y, z). Taškų aibės erdvėje gali sudaryti įvairių matavimų figūras – paviršius, erdvines kreives, diskrečias taškų aibes ar, kaip jau minėjome, fraktalus. Kuo paprastesnėmis išraiškomis (formulėmis) aprašomi geomet­ riniai objektai, tuo lengviau skaičiuoti jų skaitines charakteristikas (pvz., ilgius, plotus ir pan.). Pateiksime pora geometrinių figūrų trimatėje erdvėje pavyzdžių, kai joms aprašyti užtenka paprasčiausių formulių. Plokštuma – tai geometrinė vieta erdvės taškų (x, y, z), kurių koor­ dinatės susietos lygtimi 41

Ax + By + Cz + D = 0 . Realieji skaičiai A, B, C, D, jei A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 vienareikšmiškai nusako plokštumą (bet ne atvirkščiai! Pagalvokite, kodėl). Tiesę trimatėje erdvėje galima įsivaizduoti kaip dviejų nelygiagrečių plokštumų susikirtimo liniją. Taigi tiesę sudarančių taškų aibę galima aprašyti tiesinių algebrinių lygčių sistema:  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0   A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. Čia turi būti išpildytos sąlygos: A12 + A12 + C12 ≠ 0, A22 + B22 + C22 ≠ 0 , be to, sistemos lygtys neturi būti proporcingos, kitaip tariant, nėra tokio realiojo skaičiaus k, kad būtų teisingos lygybės A1 = kA2, B1 = kB2 C1 = kC2. (Jei toks skaičius egzistuotų, sistema aprašytų dvi lygiagrečias arba dvi sutampančias plokštumas, o ne tiesę.) Yra ir kiti būdai gauti tiesės lygtis. Apie tai rašoma kiekviename analizinės geometrijos vadovėlyje.

2.3. Elementariųjų geometrinių figūrų plotų ir tūrių, homogeniškų kūnų masės skaičiavimas Kaip jau minėjome, laikoma, kad fiziniai kūnai turi tris matavimus, ir juos aprašant labai praverčia trimatės erdvės įvaizdis ir toje erdvėje įvesta koordinačių sistema. Tokiu atveju atsiranda galimybė geometrinius objektus aprašyti skaičiais, funkcijomis ir lygtimis, o tai savo ruožtu leidžia apskaičiuoti praktikoje reikalingus geometrinius ir mechaninius dydžius. Kartais, siekiant sudaryti kuo paprastesnius matematinius modelius ir jei tai priimtina, viena, dvi, o kai kada ir visos trys trimačio kūno dimensijos ignoruojamos, tada vietoj trimačio kūno nagrinėjama, pavyzdžiui, dvimatė plokštelė, vienmatis strypas ar materialusis taškas. Dėl to kyla problema, kaip apskaičiuoti vienmačių objektų ilgius, dvimačių – plotus, trimačių – tūrius. Jei tuos dydžius sugebame apskaičiuoti, tada lengvai galima rasti, pavyzdžiui, homogeniškų (vienalyčių) kūnų mases pagal formulę 42

M = r · S, čia M – masė, r – kūno tankis (masės vienetai į tūrio vienetą trimačiu atveju, masės vienetai į ploto vienetą dvimačiu ir masės vienetai į ilgio vienetą vienmačiu atveju), o S – atsižvelgiant į kūno matavimą (dimensiją) ir suderinus su tankio vienetais, – kūno tūris, plotas arba ilgis. Apskritai skaičiuoti dydžius S – sunkus uždavinys, jį sprendžiant reikia mokėti taikyti integralinio skaičiavimo metodus bei skaitinio integravimo algoritmus. Paprasčiausiais atvejais, kai fiziniai kūnai modeliuojami elementariosiomis geometrinėmis figūromis, minėtiems dydžiams skaičiuoti užtenka gana paprastų, vidurinės mokyklos kurse nagrinėjamų formulių. Paminėsime kai kurias iš jų: intervalo [a; b] ilgis l = b – a, stačiakampio, kurio kraštinės lygios a ir b, plotas S = a · b, spindulio r skritulio plotas S = Pr2, stačiakampio gretasienio, kurio kraštinės lygios a, b ir c, tūris V = a · b · c ir t. t. Ganėtinai ilgus panašių formulių sąrašus galima rasti formulių rinkiniuose ir elementariosios matematikos vadovėliuose.

43

3. ALGEBRINĖS LYGTYS IR JŲ SISTEMOS Šiame skyriuje apžvelgiami kai kurie algebros klausimai: algebrinių reiškinių veiksmai, tapatybių įrodymas, paprasčiausių algebrinių lygčių ir jų sistemų sprendimas. Ši medžiaga būtina studijuojant tiesinę algebrą, vektorių algebrą, matematinę analizę ir kitus matematikos skyrius.

3.1. Algebriniai reiškiniai 3.1.1. Skaitinis reiškinys Skaičius susieję sudėties, atimties, daugybos (kėlimo laipsniu), dalybos ir šaknies traukimo ženklais ir, kai būtina nurodyti veiksmų atlikimo eilę, pavartoję skliaustus, gauname skaitinį reiškinį. Pavyzdžiui, 2 + 3 − 4 ⋅ 53 + 7 − 42 – skaitinis reiškinys. Tai sakinio „du plius trys minus keturis kart penki kubu plius kvadratinė šaknis iš septynių minus keturi kvadratu“ sutrumpintas užrašas. Skaičius, gautas atlikus visus nurodytus veiksmus, vadinamas skaitinio reiškinio reikšme. Kad užrašai būtų trumpesni, dažnai apsieinama be kai kurių skliaustų. Priimta tokia reiškiniuose be skliaustų veiksmų atlikimo eilė: pirmiausia, tokia tvarka kokia parašyta, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimas, paskui – daugyba, galiausiai – sudėtis ir atimtis. Jei reiškinyje yra skliaustų, tai pirma ta pačia tvarka atliekami veiksmai skliaustuose. 3.1.2. Reiškinys su kintamaisiais Skaitinis reiškinys, kuriame vietoj vieno ar kelių skaičių parašytos raidės, vadinamas reiškiniu su kintamaisiais. Pavyzdžiui, 2a − 3b + 5c yra reiškinys su kintamaisiais a, b ir c. Tai sakinio „du padauginti iš a minus trys padauginti iš bė plius kvadratinė šaknis iš penkių, padauginta iš cė“ sutrumpintas užrašas. Tarkime, kad, pavyzdžiui, a = 1, b = −1, c = 5 . Tai įrašę į minėtą reiškinį, gauname skaitinį reiškinį 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ ( −1) + 5 ⋅ 5 . Jo skaitinė reikšmė 10 yra reiškinio su kintamaisiais skaitinė reikšmė, atitinkanti nurodytas kintamųjų reikšmes. 44

3.2. Lygtys ir tapatybės 3.2.1. Lygybės Du reiškinius sujungę lygybės ženklu, gauname lygybę. Jos prasmė nėra vienareikšmė. Paaiškinsime pavyzdžiais. Lygybe 2 + 3 = 5 parašytas teisingas teiginys „du plius trys lygu (yra) penkiems (penki)“. Lygybe 2 · 2 = 5 parašytas klaidingas teiginys „dukart du lygu (yra) penkiems (penki)“. Lygybe a + b = 7 (a ir b – kintamieji) parašytu tiesioginiu sakiniu „a plius bė lygu septyniems“ nepasakyta nei tiesa, nei netiesa, taigi šia lygybe teiginys neparašytas. Tačiau: kai a = 2, b = 5, gauname 2 + 5 = 7, taigi teisingą teiginį; kai a = 2, b = 6, gauname 2 + 6 = 7, taigi klaidingą teiginį. Todėl bendruoju atveju sakoma, kad lygybė a + b = 7 yra tik tam tikra teiginio forma (panašiai, kaip dažnai pateikiama teoremos formuluotės forma „jei..., tai...“). 3.2.2. Lygtys Lygybė su kintamaisiais vadinama lygtimi. Kintamųjų (jie dar vadinami nežinomaisiais) reikšmių, su kuriomis lygybė virsta teisingu teiginiu (kurios tenkina lygtį), rinkinys vadinamas tos lygties sprendi­ niu. Lygties su vienu kintamuoju sprendinys dažnai vadinamas lygties šaknimi. Pavyzdžiui: x2 + y = 5 – lygtis su dviem kintamaisiais (x ir y); 2x + 3 = 11 – x – lygtis su vienu kintamuoju. Kadangi 22 + 1 = 5, tai x = 2, y = 1 (trumpiau – (2; 1)) yra lygties x2 + y = 5 sprendinys. Nesunku patikrinti, kad (–2; 1) (x = –2, y = 1) irgi yra tos lygties sprendinys, o (3; 2) nėra tos lygties sprendinys. 8 8 Skaičius x = yra lygties 2 x + 3 = 11 − x šaknis, nes 2 ⋅ + 3 = 3 3 8 – teisingas teiginys. = 11 − 3 Lygties kairiosios ir dešiniosios pusės reiškinių apibrėžimo sričių bendra dalis vadinama lygties apibrėžimo sritimi. 45

3.2.3. Tapatybės Lygybė, kuri yra teisinga tam tikroje aibėje, vadinama tapatybe toje aibėje. Pavyzdžiui, a + b = b + a, kad ir kurie būtų skaičiai a ir b, todėl tai yra tapatybė realiųjų skaičių aibėje R. Lygybė a = a teisinga tik tada, kai a ≥ 0, todėl tai yra tapatybė neneigiamų realiųjų skaičių aibėje. Kalbant apie tapatybę aibėje, dažnai sakoma, kad kairiosios ir dešiniosios jos pusės reiškiniai tapačiai lygūs toje aibėje. Dažnai kalbama apie reiškinių tapatųjį lygumą jų apibrėžimo sričių bendroje dalyje, todėl tai atskirai ir nenurodoma. Reiškinio keitimas tapačiai jam lygiu tam tikroje aibėje reiškiniu vadinamas reiškinio tapačiuoju per­ tvarkiu toje aibėje. 3.2.4. Lygčių ekvivalentumas Reiškinio su kintamaisiais apibrėžimo sritį sudaro tie į reiškinį įeinančių kintamųjų reikšmių rinkiniai, su kuriais reiškinys turi prasmę. Dvi lygtys, kurių sprendiniai (šaknys) yra vienodi (vienodos), vadinamos ekvivalenčiosiomis. Sprendinių (šaknų) neturinčios lygtys irgi laikomos ekvivalenčiosiomis. Išspręsti lygtį – tai: rasti jos sprendinius (šaknis), kai jų skaičius yra baigtinis; apibūdinti sprendinius (šaknis), kai jų be galo daug; įrodyti, kad lygtis neturi sprendinių (šaknų). Sprendžiant lygtis, dažniausiai viena lygtis keičiama jai ekvivalenčia lygtimi. Tai grindžiama lygčių ekvivalentumo teoremomis. 1 teorema. Jei lygties vienos arba abiejų pusių reiškinius pakei­ sime jiems tapačiais reiškiniais, nepakeisdami lygties apibrėžimo sri­ ties, gausime pradinei lygčiai ekvivalenčią lygtį. 2 teorema. Jei prie abiejų lygties pusių pridėsime po tą patį reiškinį, nepakeisdami lygties apibrėžimo srities, gausime pradinei lyg­ čiai ekvivalenčią lygtį. Išvada. Jei kurį nors dėmenį iš vienos lygties pusės perkelsime į kitą, pakeisdami ženklą priešingu, tai gausime pradinei lygčiai ekvivalenčią lygtį. 46

3 teorema. Jei lygties abi puses padauginsime iš jos apibrėžimo srityje apibrėžto nelygaus nuliui reiškinio, gausime turimai lygčiai ekvivalenčią lygtį. 3.2.5. Reiškinių veiksmai Sakykime, A, B – kurie nors reiškiniai su kintamaisiais x, y, ... , v, apibrėžti kurioje nors aibėje M. Kiekvieną leistiną kintamųjų rinkinį x0, y0, ... , v0 (aibės rinkinį) atitinka skaičiai A0, B0, – reiškinių A, B skaitinės reikšmės. Skaičiai A0 + B0 bei A0, B0 vadinami reiškinių A ir B sumos (žymimos A + B) bei sandaugos (žymimos AB) skaitinėmis reikšmėmis, atitinkančiomis minėtą kintamųjų reikšmių rinkinį. Taip aibėje M apibrėžiame reiškinių su kintamaisiais sumą bei sandaugą. Aišku, kad reiškinių su kintamaisiais sudėčiai bei daugybai būdingos tos pačios savybės kaip ir skaičių sudėčiai bei daugybai: perstatymo, jungimo, skirstymo dėsniai. Galima apibrėžti reiškinių su kintamaisiais sudėčiai ir daugybai atvirkštinius veiksmus: atimtį ir dalybą. 3.2.6. Vienanariai Reiškinys, kuris yra skaičių ir kintamųjų sandauga, vadinamas vienanariu. (Primename, kad vienodų dauginamųjų sandauga yra laipsnis su natūraliuoju rodikliu.) Pavyzdžiui, 4, a, a4(a · a · a · a),   1  1 − a 2b  =  −  ⋅ a ⋅ a ⋅ b  – vienanariai. 3   3  Kai vienanaris užrašytas kaip skaičiaus ir laipsnių, kurių pagrindai yra skirtingi kintamieji, sandauga, turime standartinę vienanario išraišką. Pavyzdžiui 5a3b2 – standartinė vienanario išraiška; 8a3a2b nėra standartinė vienanario išraiška, jo standartinė išraiška yra 8a5b. Standartinės išraiškos vienanario skaitinis dauginamasis vadina2 mas koeficientu. Pavyzdžiui, vienanarių 2a2b, − ab, ab koeficientai 3 2 yra 2, − ,1. 3 Standartinės išraiškos vienanariai, kurių gali skirtis tik koeficientai, vadinami panašiaisiais. Pavyzdžiui, –ab ir ab – panašieji vienana2 riai, a2b ir a 2b – panašieji vienanariai. 3 47

Vienanario laipsnis yra skaičius, lygus visų to vienanario kintamųjų laipsnio rodiklių sumai. Pavyzdžiui, a2b – trečiojo laipsnio vienanaris (2 + 1 = 3), ab – antrojo laipsnio vienanaris, 7 – nulinio laipsnio vienanaris. 3.2.7. Daugianariai Reiškinys, kuris yra kelių vienanarių suma, vadinamas daugiana­ riu. Daugianario dėmenys vadinami daugianario nariais. Pavyzdžiui, 3 + x2 + 2x2 – 4x2 – daugianaris, 3, x2, 2x3, –4x2 – jo nariai. Du nariai (x2 ir –4x2 ) yra panašūs. Remdamiesi daugybos perstatymo, jungimo ir skirstymo dėsniais, gauname: 3 + x 2 + 2 x3 − 4 x 2 = 3 + (1 − 4 ) x 2 + 2 x 2 = 3 − 3 x 2 + 2 x3 . Sutraukę panašiuosius narius, gavome daugianarį, neturintį panašių narių. Toks daugianaris vadinamas standartiniu daugianariu. Jei, sutraukę panašius narius, gauname nulį, turime nulinį daugia­ narį. Vienanaris laikomas atskiru daugianario atveju. Standartinio dau­ gianario laipsniu vadinamas aukščiausias daugianario narių laipsnis. 3.2.8. Algebrinės trupmenos A , kurio A ir B yra vieno arba kelių kintamųjų daugianaB riai, vadinamas algebrine trupmena (toliau – trupmena). Jos api­brėžimo sritis – tos kintamųjų reikšmės, su kuriomis daugianario B reikšmės nelygios nuliui. A C Algebrinės trupmenos ir laikomos lygiomis (tapačiai lygioB D mis), kai AD = BC ir B ¹ 0, D ¹ 0. Kai reiškinių A ir C skaitinės reikšmės, atitinkančios tas pačias kintamųjų reikšmes yra sveikieji skaičiai, reišA C kinių B ir D skaitinės reikšmės – natūralieji skaičiai, ir reikšmės B D yra paprastosios trupmenos. Aišku, kad šiuo atveju čia pateiktas apibrėžimas sutampa su tuo, kuris buvo pateiktas anksčiau. Reiškinys

48

Nesunku patikrinti, kad, trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginę iš nelygaus nuliui daugianario, gauname jai lygią trupmeną: A A⋅C = ( C ≠ 0 ). B B ⋅C A A A⋅C Trupmenos keitimas trupmena vadinamas trupmenos B B B ⋅C A⋅C A A⋅C – trupmenos plėtimu, trupmenos keitimas trupmena B B ⋅C B ⋅C prastinimu. Algebrinių trupmenų veiksmai apibrėžiami analogiškai paprastųjų trupmenų veiksmams realiųjų skaičių aibėje. 3.2.9. Tapatybių įrodymas Tapatybės (A = B) dažniausiai įrodomos vienu iš šių būdų. 1. Vienas iš reiškinių A ir B tapačiai pertvarkomas tol, kol gaunamas kitas iš jų. 2. Abu reiškiniai A ir B pertvarkomi tol, kol gaunamas tas pats reiškinys. 3. Įrodoma, kad reiškinių A ir B skirtumas lygus nuliui. 4. Tarus, kad lygybė A = B teisinga, ji tapačiai pertvarkoma tol, kol gaunama akivaizdžiai teisinga lygybė. (Kadangi tapatybę galime laikyti lygtimi, kurios sprendinys yra bet kuris kintamųjų leistinųjų reikšmių rinkinys, tai pertvarkant lygybę galime taikyti lygčių ekvivalentumo teoremas.) 3.2.10. Algebrinių reiškinių pertvarkymų pavyzdžiai Pateiksime kelis algebrinių reikšmių skaičiavimo uždavinių pavyzdžius. 1. Reikia rasti skaitinio reiškinio 1  1 4, 5 + 2  ⋅ 0, 375 2, 75 : 1,1 + 3  6 3:5− 1 7 3 2, 5 − 0, 4 ⋅ 3 2 − 1, 5 3 4 reikšmę. 49

Sprendimas. Norint rasti skaitinio reiškinio reikšmę, reikia atlikti nurodytus veiksmus, pirmiausia išsiaiškinus jų atlikimo eilę. Trupmenos brūkšnys pakeičia dalybos ženklą ir, rašant atitinkamus reiškinius, apsieinama be skliaustų. Iš čia aišku, kad iš pradžių reikia rasti skaitikliuose ir vardikliuose esančių reiškinių reikšmes. 1 1 Apskaičiuodami 2, 75 : 1,1 + 3 = 2, 5 + 3 , pirma padalijame, 3 3 paskui sudedame: 1 1 2, 75 : 1,1 + 3 = 2, 5 + 3 3 3 1 1 3 2 5 =2 +3 =2 +3 =5 . 2 3 6 6 6

1 3 reikia paprastosiomis trupmenomis. Darant atvirkščiai, atsirastų perio­ dinė trupmena ir atlikti tolesnius veiksmus būtų sunkiau. Suprastinę 5 1 1 , trupmenas ir subendravardikliname. Tada atskirai sudedame 10 2 3 sveikąsias dalis ir trupmenines dalis. Toliau skaičiuojame taip: Apskaičiuoti 2,75 : 1,1 galima dalijant stulpeliu. Sudėti 2,5 ir 3

1 4 10 2, 5 − 0, 4 ⋅ 3 = 2, 5 − ⋅ 3 10 3 = 2, 5 −

4 ⋅ 10 10 ⋅ 3

1 4 1 1 1 = 2 − = 2 −1 = 1 ; 2 3 2 3 6 5 1 5⋅ 6 + 5 6 +1 5 :1 = : 6 6 6 6 =

35 7 35 6 35 ⋅ 6 5 ⋅ 1 : = ⋅ = = =5. 6 6 6 7 6 ⋅ 7 1 ⋅1

UŽDAVINIAI 1 1  375  3   4, 5 + 2  ⋅ 0, 375 =  4 + 2  ⋅ 6 6  1000  6  50

2 3 20 ⋅ 3 5 ⋅ 1 5 =6 ⋅ = = = ; 3 8 3 ⋅ 8 1⋅ 2 2 3 3 2 1 2 − 1, 5 = 2 − 1 = 1 ; 4 4 4 4 5 1 5 5 5 ⋅ 4 1⋅ 2 :1 = : = = = 2; 2 4 2 4 2 ⋅ 5 1 ⋅1 5 5⋅7 1⋅ 7 5: − 2 = −2= − 2 = 5. 7 5 1

Atsakymas: 5. Praktiškai tokio skaitinio reiškinio reikšmė apskaičiuojama greičiau. Čia priminėme pagrindines tokių veiksmų atlikimo taisykles. Daug veiksmų galime atlikti mintinai (taip kai kur daryta jau sprendžiant šį uždavinį). 2. Reikia apskaičiuoti reiškinio 11 7 5 4   8 2 − 0, 84  6 : 2 − ⋅ 4  25  9 12 12 35  A= 1 7, 605 : 7 + 3, 086 2 reikšmę. Sprendimas. 11  62 12 5 144  2 − 0, 84  ⋅ − ⋅  25  9 31 12 35  A= 1, 014 + 3, 086 11  8 12  − 0, 84  −  25 3 7  = = 4,1 11 20 2 − 0, 84 ⋅ 21 = 2, 44 − 0, 8 = 1, 64 = 0, 4. = 25 4,1 4,1 4,1 2

Atsakymas: 0,4. 51

3. Reikia apskaičiuoti reiškinį A=

11  7 4 11  − +   2+ 7 4−2 7 7+2 7 2 7 

Sprendimas. Kadangi

(

−1

+

(1 − 7 )

2

.

) )

7 4+2 7 7 4 11 − − + = 4 − 2 7 7 + 2 7 2 7 42 − 2 7 2

) + 11 7 = − 11 , 2 3 14 72 − ( 2 7 ) 11( 2 − 7 )  3  A= ⋅ −  + 1 − 7 = 2 − 7 − (1 − 7 ) = 1. 2  22 − ( 7 )  11  −

tai

(

(

4 7−2 7

Atsakymas: 1. 4. Reikia apskaičiuoti reiškinio x3 − 6 x skaitinę reikšmę, kai x = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2. Sprendimas. Atkreipę dėmesį į tai, kad esamoji x reikšmė yra dviejų reiškinių suma, x3 apskaičiuoti taikome pertvarkytą sumos 3 kubo formulę: ( a + b ) = a3 + b3 + 3ab ( a + b ) . Gauname: x3 = 40 + 6 3

todėl x − 6 x = 40 . Atsakymas: 40.

(

3

)

20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 ,

3.3. Tiesinės lygtys 3.3.1. Tiesinė lygtis su vienu kintamuoju Tiesine (pirmojo laipsnio) lygtimi su vienu kintamuoju (nežinomuoju) vadinama lygtis ax = b; čia a ir b – kurie nors skaičiai, x – kintamasis. 1 Kai a ¹ 0 , abi lygties puses padauginę iš (padaliję iš a), randaa b me vienintelę jos šaknį x = . a 52

Kai a = 0, turime lygtį 0 · x = b. Kad ir koks būtų x, kairėje pusėje gauname 0. Todėl: a) kai b = 0, lygties šaknis yra bet kuris skaičius; b) kai b ¹ 0, lygtis šaknų neturi. 3.3.2. Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais Tiesine (pirmojo laipsnio) lygtimi su dviem kintamaisiais vadinama lygtis ax + by = c; čia a, b, c – kurie nors skaičiai, x, y – kintamasis. a c 1) Kai a ¹ 0, iš lygties randame, kad y = − x + . b b a) Kai a ¹ 0, lygtis turi be galo daug sprendinių: x reikšmę galime pasirinkti laisvai, atitinkamą y reikšmę randame iš gautos lygybės. Tie taškai (x; y) sudarytų tiesę. Ji vadinama lygties grafiku. Kai c ¹ 0, ta tiesė neina per koordinačių pradžią, kai c = 0, tiesė eina per koordinačių pradžią. b) Jei a = 0, lygtis irgi turi be galo daug sprendinių: x – bet kuris c skaičius, y = . Lygties grafikas, kai c ¹ 0, yra ašiai 0x lygiab greti tiesė; kai c = 0, – ašis 0x. 2) Jei b = 0, turime lygtį ax + 0 ⋅ y = c. c c a) Jei a ¹ 0, tai x = . Lygtis turi be galo daug sprendinių: x = , a a y – bet kuris skaičius. Jos grafikas, kai c ¹ 0, yra ašiai 0y lygiagreti tiesė (8 pav., d); kai c = 0, ašis 0y. b) Jei a = 0, turime lygtį 0 ⋅ x + 0 ⋅ y = c. Jei c ¹ 0, lygtis neturi sprendinių. Jei c = 0, lygtis turi be galo daug sprendinių: ir x, ir y – bet kurie skaičiai. Jos grafikas – visa plokštuma.

3.4. Kvadratinės lygtys 3.4.1. Kvadratinės lygties šaknų formulė Kvadratine lygtimi vadinama lygtis ax 2 + bx + c = 0 ; čia a, b, c – kurie nors skaičiai, a ¹ 0, x – kintamasis. 53

Abi lygties puses padalykime iš a ir išskirkime dvinario kvadratą. Gausime: 2 2 b c b  b   b  x 2 + x + = 0; x 2 + 2 x +   −   + c = 0 a a 2a  2a   2a  arba

2

b  b 2 − 4ac  .  = x+ 2a  4a 2 

Reiškinys b2 – 4ac vadinamas kvadratinės lygties diskriminantu. Pažymėkime jį raide D. Gausime lygtį: 2

b  D   = 2. x+ 2 a 4a  

Jei D ≥ 0, tai

b ± D −b ± D = ; x= . 2a 2a 2a Jei D > 0, lygtis turi dvi šaknis. b Jei D = 0, x = − , taigi lygtis turi vieną šaknį. Kartais sakoma, 2a b kad lygtis turi dvi lygias šaknis: x1 = x2 = − . 2a Jei D < 0, lygtis neturi šaknų (jokio realiojo skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas skaičius). x+

3.4.2. Atskiri kvadratinės lygties atvejai 1. Jei b = 2b1, turime lygtį ax 2 + 2b1 x + c = 0. Iš kvadratinės lygties šaknų formulės gauname: x=

−2b1 ±

t. y.:

x=

( 2b1 )2 − 4ac 2a

−b1 ± b12 − ac a

,

.

D = b12 − ac ≥ 0 . 4 2. Jei c = 0, turime lygtį ax 2 + bx = 0. Ją paprasčiau spręsti, kairiąją pusę suskaidžius dauginamaisiais. Gauname: Aišku, kad tokia lygtis turi šaknų tik tada, kai

54

x ( ax + b ) = 0; x = 0 arba ax + b = 0 . b Taigi lygties šaknys yra: x1 = 0, x2 = − . a 3.4.3. Vieto teorema Kvadratinės lygties ax 2 + bx + c = 0 , kurios D ≥ 0 , šaknų suma b c b c lygi − , sandauga lygi , t. y. x1 + x2 = − , x1 x2 = . a a a a Nagrinėjamu atveju lygties šaknys yra −b − D −b + D , x2 = , D = b 2 − 4ac, 2a 2a taigi, norint įrodyti teoremą, užtenka apskaičiuoti x1 + x2 ir x1x2. Jei a = 1, turime lygtį x 2 + bx + c = 0 (ji vadinama redukuotąja kvadratine lygtimi). Jos šaknys ir koeficientai susiję paprasčiau: šaknų suma x1 + x2 = –b, sandauga x1x2 = c. Teisingas ir šiam teiginiui atvirkščias teiginys, kuriuo dažnai tenka remtis: jei lygties x2 + bx + c = 0 koeficientai yra b = m + n ir c = mn, tai skaičiai m ir n ir yra tos lygties šaknys. Tuomet x 2 + bx + c = = x 2 − ( m + n ) x + mn = x 2 − mx − nx + mn = x ( x − m ) − n ( x − m ) = = ( x − m ) ( x − n ) , ir iš ( x − m ) ( x − n ) = 0 gauname lygties šaknis: = x1 m= , x2 n . x1 =

3.4.4. Kvadratinio trinario skaidymas Daugianario su vienu kintamuoju šaknimi vadinama kintamojo reikšmė, su kuria daugianario reikšmė lygi nuliui. Iš čia gauname, kad daugianario ax2 + bx + c (jis vadinamas kvadratiniu trinariu) šaknys yra kvadratinės lygties ax2 + bx + c = 0 šaknys. Vadinasi, kvadratinis trinaris šaknų turi tik tada, kai tos kvadratinės lygties diskriminantas (jis vadinamas ir kvadratinio trinario diskriminantu) neneigiamas: D = b 2 − 4ac ≥ 0. Sakykime, x1 ir x2 – kvadratinio trinario šaknys. Remdamiesi Vieto b c teorema, turime, kad x1 + x2 = − , x1 x2 = , todėl b = − a ( x1 + x2 ) , a a c = ax1 x2 , ax 2 + bx + c = ax 2 − a ( x1 + x2 ) x + ax1 x2 = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) . 55

Jei D = 0, tai x1 = x2, taigi kvadratinio trinario skaidinys yra toks: 2

ax + bx + c = a ( x − x1 ) . 2

3.5. Lygčių sistemos 3.5.1. Lygčių sistema Kad būtų konkrečiau, nagrinėkime lygtis su dviem kintamaisiais (x ir y). Sakykime, turime dvi (gali būti ir daugiau) lygtis (lygybes su kintamaisiais). Kai reikia rasti visus kintamųjų reikšmių, su kuriomis tenkonama kiekviena sistemos lygtis), rinkinius, sakoma, kad reikia išspręsti lygčių sistemą. Kintamųjų reikšmių rinkinys, tenkinantis kiekvieną sistemos lygtį, vadinamas lygčių sistemos sprendiniu. Pavyzdžiui, x = 2, y = 3, arba (2; 3), yra lygčių sistemos  x + 2 xy = y + 11   x + 2 y −1 = 7 sprendinys, nes 2 + 2 · 2 · 3 = 3 + 11 – teisingas teiginys ir 2 + 2 · 3 – 1 = 7 – teisingas teiginys. Aišku, kad lygčių sistemos sprendinių aibė yra sistemą sudarančių lygčių sprendinių aibių sankirta (bendroji dalis). 3.5.2. Lygčių sistemų ekvivalentumas Lygčių sistemos, kurių sprendiniai vienodi (sprendinių aibės sutampa), vadinamos ekvivalenčiosiomis. Sprendžiant lygčių sistemą, stengiamasi ją pakeisti paprastesne, jai ekvivalenčia, sistema. Remiamasi lygčių sistemų ekvivalentumo teoremomis. 1 teorema. Pakeitę sistemos lygtį jai ekvivalenčia lygtimi, gauna­ me pradinei sistemai ekvivalenčią sistemą. 2 teorema. Lygčių sistema  f ( x, y ) = 0   g ( x, y ) = 0 yra ekvivalenti sistemai f ( x, y ) = 0,   bg ( x, y ) + af ( x, y ) = 0, kai b ¹ 0 . 56

ir

3 teorema. Lygčių sistemos  y = f ( x )   g ( x, y ) = 0

yra ekvivalenčios.

 y = f ( x ) ,   g ( x, f ( x ) ) = 0

3.5.3. Dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema Panagrinėkime lygčių sistemą  a1 x + b1 y = c1 (1)  a2 x + b2 y = c2 su kintamaisiais x ir y, kurios kiekvienos lygties nors vieno kintamojo koeficientas nelygus nuliui. Keitimo būdas. Sakykime, b1 ¹ 0. Tada nagrinėjama sistema ekvivalenti sistemai (žr. lygčių ekvivalentumo 2 ir 3 teoremas bei lygčių sistemų ekvivalentumo 1 ir 3 teoremas): a c  y=− 1 x+ 1,  b1 b1   a x + b  − a1 x + c1  = c ,  2 2  2 b1   b1  arba a c  y=− 1 x+ 1,  b1 b1 (2)  ( a b − a b ) x = c b − c b . 2 1 1 1 2 1  1 2 Iš čia gauname: a) jei a1b2 − a2b1 ≠ 0 , tai iš (2) sistemos antros lygties randame vienintelę tą lygtį tenkinančią x reikšmę; tada iš pirmos lygties randame vienintelę ją atitinkančią y reikšmę; taigi (2) lygčių sistema (vadinasi, ir (1) turi vienintelį sprendinį; b) jei a1b2 − a2b1 = 0, c1b2 − c2b1 ≠ 0 , tai jokia x reikšmė netenkina (2) sistemos antros lygties, todėl (2) lygčių sistema (vadinasi, ir (1) neturi nė vieno sprendinio; 57

c) jei a1b2 − a2b1 = 0 , c1b2 − c2b1 = 0 , tai kiekviena x reikšmė tenkina (2) sistemos antrą lygtį; iš pirmos lygties randame atitinkamą y reikšmę; taigi (2) lygčių sistema (vadinasi, ir (1) turi be galo daug sprendinių. Tiesinės lygties su dviem kintamaisiais sprendinių aibė yra tiesė, todėl dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sprendimas yra dviejų tiesių bendro taško ieškojimas. Minėti trys atvejai atitinka tokias dviejų plokštumos tiesių tarpusavio padėtis: a) tiesės susikerta; b) tiesės yra lygiagrečios; c) tiesės sutampa. Grafinis sprendimas. Kiekvienos lygties sprendinius laikome plokštumos taškų koordinatėmis. Radę po du sistemos kiekvienos lygties sprendinius ir atitinkamus taškus pažymėję koordinačių plokštumoje, brėžiame dvi tieses – lygčių sprendinių aibes. Tų tiesinių bendro taško (jei jis yra) koordinatės (iš paveikslo dažniausiai randamos jų apytikslės reikšmės) yra lygčių sistemos sprendinys. Sudėties būdas. Spręsdami (1) lygčių sistemą keitimo būdu, į ant­ rą lygtį įrašėme y, rastą iš pirmos lygties. Taip iš antros lygties pašalinome (eliminavome) kintamąjį. Tai galima padaryti ir kitaip – taikant 2 teoremą. Aišku, kad taip daryti galima tada, kai nė vienas iš koefi­ cientų a1 , b1 , a2 , b2 nelygus nuliui. Tada (1) sistema ekvivalenti, pavyzdžiui, tokiai sistemai: a1 x + b1 y = c1   b2 ( a1 x + b1 y ) + ( −b1 ) ( a2 x + b2 y ) = c1b2 + c2 ( −b1 ) , arba a1 x + b1 y = c1   ( a1b2 − a2b1 ) x = c1b2 − c2b1; čia antra lygtis gauta (1) sistemos pirmos lygties abi puses padauginus iš b2, antros – iš ( −b1 ) ir gautas lygtis panariui sudėjus. Pastaba. Gautus rezultatus galima suformuluoti taip. Lygybę a1b2 − a2b1 = 0 galime pakeisti lygybe a1 b1 = a2 b2 58

(skaičiai a1 ir b1 proporcingi skaičiams a2 ir b2, todėl, jei, pavyzdžiui, a2 = 0 (tada b2 ¹ 0), tai ir a1 = 0), ir atvirkščiai. Taigi: a) jei a1 b1 ¹ , a2 b2 tai (1) lygčių sistema turi vienintelį sprendinį (tiesės susikerta); b) jei a1 b1 c1 = ≠ , a2 b2 c2 tai (1) lygčių sistema neturi sprendinių (tiesės yra lygiagrečios); c) jei a1 b1 c1 = = , a2 b2 c2 tai (1) lygčių sistema turi be galo daug sprendinių (tiesės sutampa).

59

4. FUNKCIJOS Funkcijos sąvoka yra viena svarbiausių matematikoje. Iš tik­rųjų su funkcijomis jau susidūrėme ir 3-iajame šios knygelės sky­riuje: tiesinis dvinaris ir kvadratinis trinaris yra ne kas kita kaip paprasčiausios algebrinės vieno argumento x funkcijos. Toliau čia pateikiami apibrėžimai, teiginiai ir pavyzdžiai siekiant apžvelgti pagrindines elementariąsias funkcijas ir padėti pasirengti studijuoti matematinės analizės kursą.

4.1. Funkcijos sąvoka Kai kintamojo x reikšmę atitinka vienintelė kintamojo y reikšmė, sakoma, kad y yra x funkcija ir dažniausiai rašoma y = f ( x ) . Kintamasis x vadinamas nepriklausomuoju kintamuoju arba argumen­ tu, y – priklausomuoju kintamuoju. Visos reikšmės, kurias įgyja nepriklausomasis, sudaro funkcijos f apibrėžimo sritį. Ji žymima D ( f ) . Priklausomojo kintamojo reikšmės vadinamos funkcijos reikš­ mėmis. Visos funkcijos reikšmės sudaro funkcijos f reikšmių aibę. Ji žymima E ( f ) . Toliau laikysime, kad ir nepriklausomojo, ir priklausomojo kintamojo reikšmės yra skaičiai, t. y. nagrinėsime skaitines skaitinio argu­ mento funkcijas. 4.1.1. Funkcijos nusakymas skaičių poromis bei lentele Vienas funkcijos nusakymo būdų – surašyti skaičių poras, kurių pirmas skaičius – argumento reikšmė, antras – jį atitinkanti funkcijos reikšmė. Pavyzdžiui, jei skaičius –2, –1, 0, 1, 2 atitinka skaičiai 4, 1, 0, 1, 4, tai tą funkciją f galima nusakyti tokiomis skaičių poromis: ( −2; 4 ) , ( −1;1) , ( 0; 0 ) , (1;1) , ( 2; 4 ) . Tos funkcijos apibrėžimo sritis D ( f ) = {−2; −1; 0;1; 2}, reikšmių aibė E ( f ) = {0;1; 4}. Minėtą funkciją galima nusakyti lentele, pavyzdžiui, į vieną eilutę surašant reikšmes, į kitą – atitinkamas reikšmes. 60

x y

–2 4

–1 1

0 0

1 1

2 4

Galimos ir kitokios lentelės. Pavyzdžiui, dviženklių skaičių kvad­ ratų lentelės dalis tokia. Dešimtys 0 1 2

0 100 400

1 121 441

2 144 484

3 169 529

Vienetai 4 5 196 225 576 625

6 256 676

7 289 729

8 324 784

9 361 841

4.1.2. Funkcijos nusakymas formule Skaitinė funkcija dažnai nusakoma formule – matematiniais ženk­ lais parašytu sakiniu su kintamaisiais. Pavyzdžiui, formulė x −1 y= , 1 < x < 2, x−2 nusako y kaip x funkciją, nes pagal tą formulę galima rasti kiekvieną x reikšmę (iš nurodyto intervalo), atitinkančią y reikšmę (vienintelę). Funkcijos apibrėžimo sritis – intervalas (1; 2 ) . Funkciją nusakant formule y = f ( x ) , jos apibrėžimo sritis dažnai atskirai nenurodoma. Tada funkcijos apibrėžimo sritimi laikoma x −1 reiškinio f ( x ) apibrėžimo sritis. Pavyzdžiui, funkcijos y = x−2 apibrėžimo sritį sudaro visi skaičiai, išskyrus 2 ( x ≠ 2 ) ; funkcijos y = x −1 apibrėžimo sritis – begalinis intervalas 1;∞ ) ( x ≥ 1) . Kai funkcija nusakyta formule, irgi dažnai tenka sudaryti argumento reikšmių ir jas atitinkančių funkcijos reikšmių lentelę. Kadangi neretai argumentas gali įgyti be galo daug reikšmių, tai lentelėje išvardijamos ne visos atitinkamų skaičių poros. 4.1.3. Funkcijos grafikas Funkcijos grafiką sudaro koordinačių plokštumos taškai, kurių abscisės yra argumento reikšmės, ordinatės – atitinkamos funkcijos reikšmės. 61

Tarkime, funkcijos −2 → 4, − 1 → 1, 0,1 → 1, 2 → 4 grafiką sudaro taškai

( −2; 4 ) , ( −1;1) , ( 0; 0 ) , (1;1) ir ( 2; 4 ). Pavyzdžiui, funkcijos y = x2 grafiko dalis pavaizduota 8 pav. Tai – parabolės lankas.

8 pav. Funkcijos y = x2 grafikas-parabolė

Elementariųjų funkcijų grafikai pateikiami vidurinės mokyklos vadovėliuose ir daugelyje aukštosios matematikos vadovėlių. Kai kuriuos iš jų paminėsime tolesniuose skyreliuose. 4.1.4. Funkcijos monotoniškumas Funkcija y = f ( x ) vadinama didėjančiąja intervale ( a; b ), kai, pasirinkus du bet kuriuos to intervalo skaičius x1 ir x2, iš nelygybės x2 > x1 išplaukia nelygybė f ( x2 ) > f ( x1 ) . Kai iš nelygybės x2 > x1 išplaukia nelygybė f ( x2 ) ≥ f ( x1 ), funkcija vadinama nemažėjančiąja. Funkcija y = f ( x ) vadinama mažėjančiąja intervale ( a; b ), kai, pasirinkus du bet kuriuos to intervalo skaičius x1 ir x2, iš nelygybės x2 > x1 išplaukia nelygybė f ( x2 ) < f ( x1 ). Kai iš nelygybės x2 > x1 išplaukia nelygybė f ( x2 ) ≤ f ( x1 ), funkcija vadinama nedidėjančiąja. Kaip pavyzdį išnagrinėkime funkciją y = x2 (jos apibrėžimo sritis – visų realiųjų skaičių aibė R). Kadangi x22 − x12 = ( x2 − x1 ) ( x2 + x1 ) ir 62

iš x2 > x1 gauname x2 – x1 > 0, tai x22 − x12 ženklas sutampa su ženklu. Tačiau suma x2 + x1 su visomis x reikšmėmis x1 ir x2 iš intervalo teigiama tada ir tik tada, kai x1 ir x2 teigiami, neigiama – kai x1 ir x2 neigiami. Vadinasi, funkcija y = x2 yra didėjanti intervale ( 0;∞ ) , mažėjanti intervale ( −∞;0 ) . Tik didėjanti arba tik mažėjanti intervale funkcija vadinama mo­ notonine funkcija, o intervalas – funkcijos monotoniškumo intervalu. 4.1.5. Funkcijos aprėžtumas Funkcija f ( x ) vadinama iš viršaus aprėžta intervale (a; b), kai jos reikšmės f ( x ) nėra didesnės už kurį nors skaičių M : f ( x ) ≤ M , kai a < x < b. Skaičius M vadinamas funkcijos f ( x ) viršutiniu rėžiu intervale (a; b). Funkcija f ( x ) vadinama iš apačios aprėžta intervale (a; b), kai jos reikšmės f ( x ) nėra mažesnės už kurį nors skaičių m: f ( x ) ≥ m, kai a < x < b. Skaičius m vadinamas funkcijos f ( x ) apatiniu rėžiu intervale (a; b). Funkcija, kuri kuriame nors intervale yra ir iš viršaus, ir iš apačios aprėžta, vadinama tame intervale aprėžtąja funkcija. 1 Išnagrinėkime, pavyzdžiui, funkciją y = 2 . Jos apibrėžimo + x 2 sritis – visų realiųjų skaičių aibė R. 1 Kadangi y = 2 > 0 , kai −∞ < x < ∞ , tai ta funkcija yra ap+ x 2 rėžta iš apačios. x2 1 1 Kadangi − 2 = ≥ 0 , kai −∞ < x < ∞ , tai 2 x + 2 2 x2 + 2 1 1 ≤ , kai −∞ < x < ∞ , taigi nagrinėjama funkcija yra aprėžta 2 x +2 2 iš viršaus. 1 aprėžta ir iš apačios, ir iš viršaus, tai Kadangi funkcija y = 2 x +2 ji yra aprėžtoji funkcija.

(

)

63

Intervale ( 0;∞ ) ji mažėja (nes

( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) < 0, 1 1 − = x22 + 2 x12 + 2 x12 + 2 x22 + 2

(

)(

)

kai ( x2 > x1 ) , intervale ( −∞;0 ) – didėja. 4.1.6. Lyginės ir nelyginės funkcijos Lygine funkcija y = f ( x ) vadinama funkcija y = f ( x ) , kurios apibrėžimo sričiai priklauso ne tik x, bet ir –x, be to, teisinga lygybė f ( − x ) = f ( x ). Funkcijos y = x2 apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė R, todėl kartu su kiekviena leistina kintamojo x reikšme reikšmė –x irgi 2 priklauso apibrėžimo sričiai. Kadangi ( − x ) = x 2 , tai funkcija y = x 2 yra lyginė. Sakykime, y = f ( x ) – lyginė funkcija x0 ∈ D ( f ) . Tada jos grafikui priklauso taškai ( x0 ; f ( x0 ) ) ir ( − x0 ; f ( x0 ) ) . Jie simetriški Oy ašies atžvilgiu. Vadinasi, lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies Oy atžvilgiu. Tai supaprastina lyginės funkcijos grafiko braižymą: nubraižę jos grafiką, atitinkantį, pavyzdžiui, neneigiamas x reikšmes, braižome jam simetrišką Oy ašies atžvilgiu dalį. Nelygine funkcija vadinama funkcija y = f ( x ), kurios apibrėžimo sričiai priklauso ne tik x, bet ir –x, be to, teisinga lygybė f ( − x ) = − f ( x ). Funkcijos y = x3 apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė R, todėl kartu su kiekviena leistina kintamojo x reikšme reikšmė –x irgi 3 priklauso apibrėžimo sričiai. Kadangi ( − x ) = − x3 , tai funkcija y = x3 yra nelyginė. Sakykime, y = f ( x ) – nelyginė funkcija, x0 ∈ D ( f ) . Tada jos grafikui priklauso taškai ir ( x0 ;− f ( x0 ) ), ir ( − x0 ; − f ( x0 ) ) . Jie simet­riški koordinačių pradžios taško O ( 0; 0 ) atžvilgiu. Vadinasi, nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas koordinačių pradžios taško O atžvilgiu. Tai supaprastina nelyginės funkcijos grafiko braižymą: nubraižę jos grafiką, atitinkantį, pavyzdžiui, neneigiamas 64

x reikšmes, braižome jam simetrišką koordinačių pradžios taško O atžvilgiu dalį. 4.1.7. Periodinės funkcijos Periodine funkcija vadinama funkcija y = f ( x ) , kurios apibrėžimo sričiai priklauso ne tik x, bet ir x – T bei x + T (T ¹ 0), ir f ( x + T ) = f ( x ), kad ir koks būtų x. Skaičius T vadinamas tos funk­ cijos periodu. Aišku, kad tada ir kiekvienas skaičius nT (n – sveikasis skaičius n ¹ 0) yra tos funkcijos periodas. 4.1.8. Viena kitai atvirkštinės funkcijos Sakykime, y = f ( x ) yra aibėje D apibrėžta funkcija, kurios reikšmių aibė E. Tarkime, kiekvienas skaičius y ∈ E atitinka tik vieną skaičių x, tenkinantį sąlygą f ( x ) = y . Tada aibėje E galima apibrėžti funkciją x = g ( y ), laikant, kad skaičių y ∈ E atitinka tas skaičius x, su kuriuo f ( x ) = y . Funkcija x = g ( y ) vadinama funkcijai y = f ( x ) atvirkštine funkcija. Aišku, kad funkcijai g atvirkštinė funkcija yra f, todėl funkcijos f ir g vadinamos viena kitai (tarpusavy) atvirkštinėmis funkcijomis. Sakykime, y = f ( x ) = x 2 , x ≥ 0. Tada kiekviena y reikšmė atitinka vienintelę x reikšmę: x = y . Taigi šiuo atveju x = g ( y ) = y yra funkcijai y = f ( x ) = x 2 , x ≥ 0, atvirkštinė funkcija (jos yra viena kitai atvirkštinės funkcijos). Kadangi nepriklausomas kintamasis dažniausiai žymimas raide x, priklausomas – raide y, tai ir funkcijai y = f ( x ) atvirkštinė funkcija dažniausiai rašoma lygybe y = g ( x ). Tada, jei (a; b) yra funkcijos y = f ( x ) grafiko taškas, tai (b; a) yra jai atvirkštinės funkcijos y = g ( x ) taškas. Tie taškai yra simetriški tiesės y = x, I ir III ketvirčių kampus dalijančios pusiau, atžvilgiu. Vadinasi, viena kitai atvirkštinių funkcijų y = f ( x ) ir y = g ( x ) grafikai yra simetriški tiesės y = x atžvilgiu. Tai palengvina viena kitai atvirkštinių funkcijų grafikų braižymą: nubraižę vienos funkcijos grafiką, braižome jam simetrišką grafiką. 65

4.1.9. Sudėtinės funkcijos Sakykime, funkcija u = g ( x ) apibrėžta aibėje X, o jos reikšmių aibėje U apibrėžta funkcija y = f ( u ). Tada aibėje X apibrėžta sudėti­ nė funkcija y = f ( u ), arba y = f ( g ( x ) ) . Išnagrinėkime, pavyzdžiui, funkciją y = x 2 − 3 x + 2 . Tai sudėtinė funkcija. Čia u = g ( x ) = x 2 − 3 x + 2, y = u = g ( x ) . Funkcija

y yra apibrėžta su tomis x reikšmėmis, su kuriomis x 2 − 3 x + 2 ≥ 0. Tai intervalų ( −∞;1] ir  2;∞ ) sąjunga.

4.2. Rodiklinė, logaritminė ir laipsninė funkcijos 4.2.1. Rodiklinė funkcija Funkcija, išreikšta formule y = ax (kai a > 0, a ¹ 1), vadinama rodik­line. 9 pav. pavaizduotas tokios funkcijos grafiko eskizas, kai a > 1. Iš skaičiaus laipsnio su bet kuriuo rodikliu apibrėžimo gauname pagrindines rodiklinės funkcijos savybes. 1. Rodiklinės funkcijos y = ax apibrėžimo sritis – visų realiųjų skaičių aibė R. 2. Rodiklinės funkcijos y = ax reikšmės yra teigiami skaičiai (ax > 0, kad ir kuris būtų x); įrodoma, jog rodiklinės funkcijos reikšmių aibė – visų teigiamųjų skaičių aibė R+, t. y. kad ir kuris būtų teigiamas skaičius y, yra skaičius x, tenkinantis sąlygą ax = y. 3. Kad ir kuris būtų a, a0 = 1. Jei a > 1 ir x > 0, tai ax > 1, o jei x < 0, tai ax < 1. Jei 0 < a < 1 ir x > 0, tai ax < 1, o jei x < 0, tai ax > 1. Tuo remdamiesi galime įrodyti: kai a > 1, rodiklinė funkcija y = ax yra didėjanti, t. y. jei x2 > x1, tai ax2 < ax1 (ir atvirkščiai); kai O < a < 1, rodiklinė funkcija y = ax yra mažėjanti, t. y. jei x2 > x1, tai ax2 > ax1 (ir atvirkščiai). 4. Įrodoma, kad rodiklinė funkcija yra tolydi kiekviename skaičių tiesės taške. 66

9 pav. Rodiklinė funkcija

4.2.2. Logaritminė funkcija Tarę, kad ax2 = ax1 (a > 0, a ¹ 1 ), remdamiesi rodiklinės funkcijos savybėmis, gauname, kad x2 = x1. Taigi galime nurodyti tokias rodiklinės funkcijos y > ax savybes: kiekvieną x  R atitinka vienintelis y  R+; skirtingas x reikšmes atitinka skirtingos y reikšmės; kiekvienas y  R+ atitinka tam tikrą x  R. Iš to gauname, kad egzistuoja rodiklinei funkcijai atvirkštinė funkcija: kiekvieną y  R+ atitinka vienintelis x  R, nusakomas lygybe ax = y. Ta funkcija vadinama logaritmine funkcija ir žymima (kaip įprasta, argumentą žymint raide x, funkciją – y) (logaritmas pagrindu a skaičiaus x). Žinome, kad viena kitai atvirkštinių funkcijų grafikai yra simetriški tiesės y = x atžvilgiu. Tuo remiantis 10 paveiksle pavaizduota logaritminės funkcijos grafiko dalis, kai a > 1 (10 pav.).

10 pav. Logaritminė funkcija 67

Išvardysime pagrindines logaritminės funkcijos savybes. 1. Logaritminės funkcijos y = log a x apibrėžimo sritis – visų teigiamų skaičių aibė R+. 2. Logaritminės funkcijos y = log a x reikšmių sritis – visų realiųjų skaičių aibė R. 3. Kad ir kuris būtų a (a > 0, a ¹ 1), loga1 = 0. Kai a > 1, logaritminė funkcija y = loga x yra didėjanti, t. y. jei x2 > x1, tai logax2 > logax1 (ir atvirkščiai). Kai 0 < a < 1, logaritminė funkcija y = loga x yra mažėjanti, t. y. jei x2 > x1, tai logax 2 < logax1 (ir atvirkščiai). 4. Logaritminė funkcija yra tolydi kiekviename apibrėžimo srities taške. 4.2.3. Logaritmai Iš logaritminės funkcijos apibrėžimo gauname:

alog a x = x ( x > 0, a > 0, a ≠ 1) . Ši lygybė vadinama pagrindine logaritmų tapatybe. Ją galime laikyti logaritmo apibrėžimu. Žodžiais jis nusakomas taip: skaičiaus x logaritmu pagrindu a vadinamas rodiklis laipsnio, kuriuo reikia pakelti pagrindą a, norint gauti skaičių x. Iš logaritmo apibrėžimo gauname: = log a 1 0= ; log a a 1. Remdamiesi logaritmo apibrėžimu (pagrindine logaritmų tapatybe) ir laipsnių, kurių pagrindas tas pats, veiksmų savybėmis, įrodome sandaugos, dalmens, laipsnio logaritmų teoremas. 1 teorema. Teigiamų skaičių sandaugos logaritmas yra lygus dauginamųjų logaritmų sumai: log a ( xy ) = log a x + log a y; a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0. 2 teorema. Teigiamų skaičių dalmens logaritmas yra lygus dali­ nio ir daliklio logaritmų skirtumui: x log a = log a x − log a y; y 68

a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0. 3 teorema. Laipsnio, kurio pagrindas teigiamas, logaritmas yra lygus laipsnio rodikliui, padaugintam iš laipsnio pagrindo logaritmo: log a x k = k log a x; a > 0, a ≠ 1, x > 0. Pastaba. Dviejų skaičių x ir y sandauga bei dalmuo teigiami ir tada, kai x ir y neigiami, o kai k – lyginis skaičius (k = 2l , l ∈ Z) , xk apibrėžtas ir tada, kai x – neigiamas. Taigi: log a ( xy ) = log a x + log a y ( xy > 0 ) ; log a

x = log a x − log a y ( xy > 0 ) ; y log a x 21 = 2l log a x .

4.2.4. Logaritmavimas ir potencijavimas (antilogaritmavimas) Logaritmuojamo reiškinio logaritmas išreiškiamas tą reiškinį suda­rančių reiškinių logaritmais. Pavyzdžiui, ( x + y )2 z 3 = 2 log x + y + 3 log z − 2 log | y | log y2 (aišku, logaritmo pagrindas gali būti bet kuris teigiamas, nelygus vienetui, skaičius). Logaritmavimui atvirkštinis veiksmas, kuriuo apskaičiuojame reiškinį, kai žinomas jo logaritmas, vadinamas potencijavimu (antilo­ garitmavimu). Pavyzdžiui, jei 1 log z = log x + log y, 2 tai 1 z = xy 2 , t.y. z = x y ( x > 0, y > 0 ) .

4.2.5. Logaritmų pagrindo keitimas Išlogaritmavę pagrindu b (b > 0, b ¹ 1) pagrindinę logaritmų tapatybę x = alog a x, gauname, kad logb x = loga x × logb a. Iš čia randame: logb x log a x = . logb a 69

Skyrium imant,

1 log k x = log a x ( x > 0; a > 0; a ≠ 1) ; a k 1 log a b = ( a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1) . logb a 4.2.6. Dešimtainiai logaritmai

Skaičiavimo praktikoje dažnai vartojami logaritmai, kurių pagrindas yra 10. Jie vadinami dešimtainiais logaritmais ir žymimi taip: log10 x = lg x. Kiekvieną teigiamą skaičių x galime parašyti standartine išraiška: x = a ⋅ 10n , 1 ≤ a < 10, n – sveikasis skaičius ( n ∈ Z ). Sveikasis skaičius vadinamas skaičiaus eile. Remdamiesi logarit­ mų savybėmis, gauname: lgx = nlga Kadangi 1 ≤ a < 10, tai 0 ≤ lg a < 1. Taigi lg a yra lg x trupmeninė dalis (ji vadinama dešimtainio logaritmo mantise), n – lg x sveikoji dalis (ji vadinama dešimtainio logaritmo charakteristika). Aišku, kad skaičių, besiskiriančių tik eile, mantisės yra lygios ir priklauso tik nuo skaičius sudarančių skaitmenų ir jų eilės. Standartinės išraiškos skaičiaus logaritmo charakteristika apskaičiujama mintinai, o mantisė  – specialiose lentelėse (pavyzdžiui, Bradis V., Keturženklės matemati­ nės lentelės). 4.2.7. Skaičius e ir natūralieji logaritmai Gamtos moksluose, technikoje, matematikoje labai svarbus skaičius e. Jis dažniausiai apibrėžiamas kaip sekos, kurios bendrasis narys n  1 an = 1 +  , riba: n  n  1 lim 1 +  = e . n →∞  n x

 1 Įrodoma, kad funkcijos 1 +  riba, kai x neapibrėžtai didėja ir x  yra ne tik natūralusis, bet ir bet kuris realusis skaičius, irgi lygi skaičiui e: 70

x

 1 lim 1 +  = e. x →∞  x Dar įrodoma, kad

1

lim (1 + x ) x = e .

x →0

Skaičius e – iracionalusis skaičius (jis išreiškiamas neperiodine trupmena): e = 2, 71828… Logaritmas, kurio pagrindas yra skaičius e, vadinamas natūraliuo­ ju logaritmu. Natūralieji logaritmai trumpai žymimi taip: log e x = ln x . Remdamiesi logaritmų pagrindo keitimo formule gauname, kad dešimtainius ir natūraliuosius logaritmus sieja lygybė lg x ln x = . lg e 1 Kadangi lg e = 0, 4343… , tai ( = ln 10 ) = 2, 302… ir lg e ln x  2, 302 lg x . Skaičius 2, 302 vadinamas dešimtainių logarit­mų keitimo natūraliaisiais moduliu. 4.2.8. Laipsninė funkcija Kiekvieną realųjį skaičių p ir kiekvieną teigiamą skaičių x atitinka skaičius xp. Vadinasi, intervale ( 0; ∞ ) , kai p fiksuotas, formule y = xp apibrėžta funkcija. Ji vadinama laipsnine funkcija (su rodikliu p). = x 0= : 0 p 0. Kai p > 0, laipsninė funkcija apibrėžta ir su: Kai p – sveikasis skaičius, laipsninė funkcija apibrėžta ir su neigiamais skaičiais x ( x < 0 ) .

4.3. Trigonometrinės funkcijos 4.3.1. Smailiojo kampo ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

(

)

Sakykime, a – stačiojo trikampio smailusis kampas 00 < α < 90° , a – prieš tą kampą esantis statinis, b – prie to kampo esantis statinis, c – įžambinė (7 pav.). 71

Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusu vadinamas prieš tą kampą esančio statinio ir įžambinės santykis, t. y. a sin α = . c Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusu vadinamas prie to kampo esančio statinio ir įžambinės santykis, t. y. b cos α = . c Stačiojo trikampio smailiojo kampo tangentu vadinamas prieš tą kampą esančio statinio ir prie to kampo esančio statinio santykis, t. y. a tg α = . b Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentu vadinamas prie to kampo esančio statinio ir prieš tą kampą esančio statinio santykis, t. y. b ctg α = . a Iš smailiojo kampo trigonometrinių funkcijų (sinuso, kosinuso, tangento, kotangento) apibrėžimų gauname: (1) tg a =

sin α cos α , ctg α = , tg α / ctg α = 1. cos α sin α

Remdamiesi Pitagoro teorema randame, kad (2) sin 2 α + cos 2 α = 1. Ši lygybė vadinama pagrindine trigonometrijos tapatybe. Remdamiesi (1) ir (2) lygybėmis, randame: (3) sin 2 α =

1 2

1 + ctg α

, cos 2 α =

1 1 + tg 2 α

.

Žinodami vienos smailiojo kampo trigonometrinės funkcijos reikšmę, pritaikę (1) – (3) formules, galime rasti kitų trigonometrinių funkcijų reikšmes.

72

Verta įsidėmėti šią lentelę. a

30°

45°

60°

sin a

1 2

2 2

3 2

cos a

3 2

2 2

1 2

tg a

3 3

1

3

ctg a

3

1

3 3

Kitų smailiųjų kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės randamos specialiose lentelėse (pavyzdžiui, Bradis V. Keturženklės mate­ matinės lentelės). Be kampo trigonometrinių funkcijų nagrinėjamos taip pat ir skai­ tinio argumento trigonometrinės funkcijos. Skaičiaus x sinusu (kosinusu, tangentu, kotangentu) laikysime x radianų kampo sinusą (kosinusą, tangentą, kotangentą). Taip apibrėžtų skaitinio argumento trigonometrinių funkcijų apibrėžimo sritys yra: sinuso ir kosinuso – visų realijų skaičių aibė R; Π tangento – x ≠ + Π ⋅ k , k – sveikasis skaičius; 2 kotangento – x ≠ π ⋅ k , k – sveikasis skaičius. Iš skaitinio argumento trigonometrinių funkcijų apibrėžimo ir kampo trigonometrinių funkcijų savybių gauname pagrindines skaitinio argumento trigonometrinių funkcijų (kad būtų trumpiau, toliau jas vadinsime tiesiog trigonometrinėmis funkcijomis) savybes. 11 ir 12 paveiksluose pateikti atitinkamai sinuso ir tangento grafikai.

73

11 pav. Funkcijos y = sin x grafikas

12 pav. Funkcijos y = tg x grafikas

4.3.2. Trigonometrinių funkcijų periodiškumas Trigonometrinės funkcijos yra periodinės funkcijos. Mažiausias teigiamas sinuso ir kosinuso periodas yra 2p, tangento ir kotangento – p. 4.3.3. Lyginės ir nelyginės trigonometrinės funkcijos Kosinusas yra lyginė funkcija, sinusas, tangentas ir kotangentas – nelyginės funkcijos, t. y. (11) cos ( − x ) = cos x, sin ( − x ) = − sin x

tg ( − x ) = − tg x, ctg ( − x ) = − ctg x.

74

4.3.4. Trigonometrinės funkcijų tapatybės To paties argumento trigonometrinių funkcijų reikšmes sieja tokios tapatybės: sin x sin 2 x + cos 2 x = 1, tg x = , cos x cos x (12) ctg x = , tg x ⋅ ctg x = 1, sin x 1 1 sin 2 x = , cos 2 x = . 2 1 + ctg x 1 + tg 2 x Argumentų sumos bei skirtumo trigonometrinių funkcijų formulės tokios: sin ( x ± t ) = sin x cos t ± cos x sin t , (13) cos ( x ± t ) = cos x cos t  sin x sin t ,

tg ( x ± t ) =

tg x ± tg t . 1 ± tg x tg t

Remdamiesi kai kurių kampų trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėmis, sudarome skaitinio argumento trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelę (kad būtų patogiau, nurodome ir radianų kampo laipsninį matą). 0

p 6

p 4

p 3

p 2

p

0°

30°

45°

60°

90°

180°

3p 2 270°

sin x

0

1 2

2 2

3 2

1

0

–1

cos x

1

3 2

2 2

1 2

0

–1

0

tg x

0

3 3

1

3

–

0

–

ctg x

–

3

1

3 3

0

–

0

x

75

4.3.5. Redukcijos formulės Remdamiesi sumos bei skirtumo trigonometrinių funkcijų formulėmis ir kai kurių argumentų trigonometrinių funkcijų reikšmėmis, gauname formules, vadinamas redukcijos formulėmis. Jos surašytos π lentelėje. Lentelėje dar nurodyta, kad skaičių − x atitinka 90° ir x 2 radianų kampų skirtumas ir pan., bei kurio ketvirčio tas kampas, kai x radianų kampas yra I ketvirčio kampas. t

π −x 2

π +x 2

π− x

π+ x

3π 3π +x −x 2 2 90° + x 180° – x 180° + x 270° – x 270° + x II II III III III cos x sin x –sin x –cos x –cos x

sin t

90° – x I cos x

cos t

sin x

–sin x

–cos x

–cos x

–sin x

sin x

tg t

ctg x

–ctg x

–tg x

tg x

ctg x

–ctg x

ctg t

tg x

–tg x

–ctg x

ctg x

tg x

–tg x

Taigi bet kurio argumento trigonometrinių funkcijų reikšmes gaπ lima rasti, žinant argumento x, kai 0 ≤ x ≤ , trigonometrinių funkcijų 2 reikšmes.  π Intervale 0;  sinusas didėja nuo 0 iki 1, kosinusas mažėja nuo  2 1 iki 0, įgydami kiekvieną reikšmę po vieną kartą. Tangentas tame intervale didėja nuo 0 iki  , kotangentas mažėja nuo  iki 0, įgydami bet kurią skaitinę reikšmę po vieną kartą. Redukcijos formules lengva įsiminti, žinant, kad argumento π ⋅ k + x ( k ∈ Z ) trigonometrinės funkcijos reiškiamos argumento x 2 trigonometrinėmis funkcijomis taip: a) norint lygybės dešinėje pusėje parašyti tinkamą ženklą, užtenπ ka įsivaizduoti, kad 0 < x < (kad argumento reikšmė atitinka 2 I ketvirčio kampą); 76

b) kai k – lyginis skaičius, funkcijos pavadinimas nekeičiamas; kai k – nelyginis skaičius, funkcijos pavadinimas keičiamas: sinusas – kosinusu, kosinusas – sinusu, tangentas – kotangentu, kotangentas – tangentu. 4.3.6. Dvigubojo argumento ir pusės argumento trigonometrinės funkcijos Iš sin ( x + t ) ,cos ( x + t ) , tg ( x + t ) formulių, kai t = x, gauname tokias dvigubojo argumento trigonometrinių funkcijų išraiškas: (14) sin 2 x = 2 sin x cos x; cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x; 2 tg x π tg 2 x = , x ≠ ± + π ⋅ k , k ∈ Z. 2 4 1 − tg x 2 2 2 Iš cos 2x formulės, įrašę cos x = 1 − sin 2 x arba sin x = 1 − cos x, gauname: cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x, cos 2 x = 2cos 2 x − 1. Iš čia (15) 1 − cos 2 x = 2 sin 2 x, 1 + cos 2 x = 2 cos 2 x, todėl

x x 1 − cos x = 2 sin 2 , 1 + cos x = 2 cos 2 . 2 2 x Iš šių formulių, pagal argumento reikšmę nustačius ženklą, ga2 x x lima rasti sin ir . 2 2 Pusės argumento tangento formulė gaunama taip: x x x 2 sin cos sin x 2 2; 2 = tg = 2 cos x 2 x 2 cos 2 2 sin x x (16) tg = ( x ≠ π + 2π ⋅ k , k in Z ) . 2 1 + cos x Panašiai gautume, kad x 1 − cos x (16’) tg = ( x ≠ π ⋅ k , k ∈ Z ). 2 sin x 77

4.3.7. Trigonometrinių funkcijų sandaugos keitimas suma (skirtumu) ir atvirkščiai Iš argumentų sumos bei skirtumo formulių randame: sin ( x + t ) + sin ( x − t ) = 2 sin x cos t , sin ( x + t ) − sin ( x − t ) = 2 cos x sin t , cos ( x + t ) + cos ( x − t ) = 2 cos x cos t , cos ( x + t ) − cos ( x − t ) = −2 sin x sin t. Iš čia: 1 sin x cos t = ( sin ( x − t ) + sin ( x + t ) ) , 2 1 (17) cos x cos t = ( cos ( x − t ) + cos ( x + t ) ) , 2 1 sin x sin t = ( cos ( x − t ) − cos ( x + t ) ) . 2 Iš tų pačių lygybių, tarę, kad x + t = u ,� x − t = v (tada x = u−v ), randame: t= 2 u+v u−v sin u + sin v = 2 sin cos , 2 2 sin u − sin v = 2 cos

u+v u−v sin , 2 2

cos u + cos v = 2 cos

u+v u−v sin , 2 2

cos u − cos v = −2 sin

78

u+v u=v sin . 2 2

u+v , 2

Literatūra Katilius, P. 1973. Analizinė geometrija. Vilnius: Mintis. Kolmogorovas, A. 1981. Algebra ir analizės pradmenys: mokymo priemonė 9–11 klasei. Kaunas: Šviesa. Makaryčevas, J.; Mindiuk, N.; Monachovas, V.; Muravinas, K.; Suvoro­va, S.; Leontjeva, M. 1980. Algebra 8–9 klasėje: mokytojo knyga. Kaunas: Šviesa. Markuševičius, A. 1984. Algebra: vadovėlis 8–9 klasei. Kaunas: Šviesa. Nivenas, A. 1974. Racionalūs ir iracionalūs skaičiai. Vilnius: Mintis. Vaškas, P.; Survila V. 2001. Pakartokime matematiką. Vilnius.

79