MATEMATIKA A GIMNÁZIUM ÉVFOLYAMAI SZÁMÁRA. Célok és feladatok

HELYI TANTERV / GIMNÁZIUM / MATEMATIKA 9–12.

MATEMATIKA A GIMNÁZIUM 9–12. ÉVFOLYAMAI SZÁMÁRA Iskolánkban a matematika tantárgyat csoportbontásban, differenciáltan oktatjuk. Ez lehetőséget biztosít arra, hogy a tanulók érdeklődését, illetve kialakuló továbbtanulási szándékát rugalmasan figyelembe vegyük. A kilencedik évfolyamtól diákjaink választhatnak az általános és az emelt szintű matematikaoktatás között. A jogszabályoknak megfelelően az iskola biztosítja az emelt szintű érettségire való felkészülés lehetőségét a 11-12. évfolyamon az általános osztályban is. A felkészülés kiemelt fakultáció keretében zajlik. Ennek megfelelően a 9-10. évfolyamon kétféle, a 11-12. évfolyamon négyféle tanterv szerint tanítunk (általános osztály-középszintű érettségi, általános osztály-emelt szintű érettségi, emelt szintű osztály-emelt szintű érettségi, emelt szintű osztály-középszintű érettségi). Valamennyi tanterv tartalmazza a Kerettanterv által meghatározott tananyagot és a fennmaradó időkeret felhasználásának részletezését. A Kerettanterv kiegészítésekor törekedtünk arra, hogy a tananyag spirális felépítése fokozottan érvényesüljön. Emellett fontosnak tartjuk a fogalmak kialakításában az induktív módszer alkalmazását. Az emelt szintű tantervek értelemszerűen előírnak a Kerettanterv követelményein túlmutató tananyagot. A középszintű érettségire való felkészítés folyamán azonban elsősorban a tudás biztossá tételét tartjuk fontosnak, így új anyagrészek beiktatása helyett inkább a gyakorlásra fordítunk több időt. Mivel iskolánk a 9-10. évfolyamon a matematika óraszámát a szabadon tervezhető órakeret terhére megemelte, erre nagyszerű lehetőségünk van. Az egyes évfolyamok óraszámfelosztása a tantervek elején táblázatba foglalva található. Mivel iskolánk szerkezetváltó gimnázium, különösen fontos feladatának tartjuk a 9. évfolyamra újonnan bekerülő tanulók minél gyorsabb felzárkóztatását, egy szintre hozását. Ennek érdekében a felvételi vizsgát követően áprilisban és májusban előkészítő tanfolyamot szervezünk. A nagygimnáziumi tantervek néhány kiegészítéssel átveszik a Kerettanterv alábbi céljait és fejlesztési követelményeit. Célok és feladatok A NAT bevezetőjében felsorolt célok, értékek és kompetenciák a matematika tantárgy oktatásában a következő területeken jelennek meg: A matematikatanítás elsődleges célja, feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A tanulók gondolkodásának fejlesztésében fontos szerepet kap a helyes és kreatív nyelvhasználat, a hallott és olvasott szöveg értése. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást! Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, akár mindennapi problémák önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma

A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 1


ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogatja az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére! A matematika helyi tanterv legfontosabb vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. Fejlesztési követelmények Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A “ha ..., akkor ...” az “akkor és csak akkor” helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 2


A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűségszámítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A 9–12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, a tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is. Ezen általános elveken túlmenően az egyes tantervek speciális célokat és fejlesztési követelményeket tartalmaznak. Kiemelt fontosságúnak tartjuk diákjaink továbbtanulási szándékának támogatását, a sikeres felvételire való felkészítést, illetve lehetőségeinkhez mérten a felsőoktatási intézményekben való helytállás megalapozását. Ez természetesen a különböző szintű matematikaoktatásban résztvevő diákok számára nem ugyanazt jelenti. Minden esetben nagy súlyt helyezünk azonban a vizsgaszituációk begyakorlására. Az alábbiakban külön ismertetjük az egyes csoportokra vonatkozó célokat, feladatokat és fejlesztési követelményeket, illetve a tananyag megválasztásának sajátos szempontjait. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 3


Az általános osztályból középszintű érettségire készülők számára alapvető cél a kimeneti követelmény, vagyis az érettségi vizsga minél sikeresebb teljesítése. Ennek érdekében, mint már említettük, a 9. és 10. osztályban a matematika óraszámát megemeltük, és bizonyos anyagrészeket átcsoportosítottunk. Célunk, hogy az első két évben olyan erős alapokat rakjunk le, hogy a felkészülés a 11-12. évfolyamon a minimális óraszámban se jelentsen gondot, s a diákok ideje felszabaduljon az érdeklődésüknek és orientációjuknak megfelelő tantárgyak magas szintű elsajátítására. Fontosnak tartjuk ugyanekkor a motiváció erősítését részint gyakorlatorientált feladatokkal, részint érdekességekkel (pl. stratégiai játékok) a matematika iránt kevésbé érdeklődő tanulókban is. Azok a diákok, akik az általános osztályból emelt szintű érettségire jelentkeznek, jóval komolyabb feladat elé néznek. Heti óraszámukat ezért a 11-12. évfolyamon hat, majd nyolc órára emeltük. Ebben a csoportban tantervi keretben nem foglalkozunk az országos versenyekre való felkészüléssel, hanem az emelt szintű követelmények teljesítésére koncentrálunk. Természetesen ha tanulói igény mutatkozik és időbeli lehetőség adódik, a versenyfeladatok bevehetőek az órakeretbe. Az emelt szintű oktatást az utolsó két évfolyamon lentebb tárgyaljuk részletesebben. Sajátos helyzetben vannak azok a diákjaink, akik az emelt szintű osztályból csak a középszintű érettségit tűzik ki célul matematikából, hiszen a felső évfolyamokon is emelt óraszámban tanulják ezt a tárgyat. Reményeink szerint egyrészt a középszintű követelmények teljesítése számukra nem fog gondot jelenteni, másrészt ekkora már elkötelezettek más tantárgyak felé. Fontosnak tartjuk ezért, hogy a rendelkezésre álló bőséges időkeretben a matematikát a komplex műveltség részeként mutassuk be nekik. A megszokottnál tágabb teret adunk a tanulói előadásoknak, vitafórumoknak (pl. a valószínűségről), nem elképzelhetetlen a matematikai témákról írt esszék, ismertetők értékelése sem. Az érvelési, kifejezési és íráskészség, a szabatos fogalmazásra való törekvés a humán tárgyakból fakultálók számára is hasznos lehet. Nem tervezzük a kerettantervi anyagot messze meghaladó ismeretek átadását, hiszen ezek a diákjaink az érettségivel tanulmányaikat matematikából várhatóan lezárják. Hangsúlyt helyezünk azonban a logikus gondolkodás és kombinatív készség fejlesztésére, mivel ezek irányultságtól függetlenül a kognitív képességek fontos és gyakorta számonkért részét alkotják. Az emelt szintű osztályból emelt szintű érettségire jelentkező tanulók nagyon előnyös helyzetben vannak, hiszen előbb heti kettő, majd három plusz matematikaórájuk van. Az emelt szintű oktatásban már az alsóbb évfolyamokon is a kerettanterv anyagát meghaladó ismeretek átadását tervezzük. Órai keretben foglalkozunk a 9., 10. és 11. évfolyamon az országos versenyek feladataival, ez azonban nem jelenti azt, hogy a tanórák időszakonként versenyelőkészítőkké alakulnának. A felkészítésben elsődleges célunknak az emelt szintű követelmények teljesítését tartjuk. A tanórai kereten kívül lehetőség van versenyelőkészítő szakkörök szervezésére. Az emelt szintű osztály 12. évfolyamán tanulói igény esetén lehetőség van arra, hogy további két fakultációs órában tanuljanak a diákok matematikát (az említett kereteken felül tehát összesen heti kilenc órában). Ezen órák anyagát a felsőfokú oktatás előkészítését szem előtt tartva az alábbi témák közül válogatjuk: -

A feladatmegoldási rutin elmélyítése A programozás matematikai alapjai, algoritmusok A lineáris algebra elemei A közgazdaságtan matematikai alapjai Komplex számok Középiskolai versenyfeladatok

A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 4


Az alábbiakban az egyes nagygimnáziumi osztályok témakörökre lebontott óraszámait és tananyagát közöljük. Felhasználható órák Általános osztály 9. évfolyam

10. évfolyam

11. évfolyam

12. évfolyam

Gondolkodási módszerek

8

10

2/15

20/20

Számtan, algebra

55

60

40/50

22/35

Függvények, sorozatok

25

6

15/50

20/50

Geometria

50

50

48/60

40/60

16

0/0

20/30

Valószínűség, statisztika Év végi ismétlés

10

6

6/10

28/29

Összesen

148

148

111/185

150/224



ÁLTALÁNOS OSZTÁLY KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI CSOPORT 9. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 148 Gondolkodási módszerek (8 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása.

Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez.

A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése.

Tartalom A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyílt, zárt) A számegyenes mint a valós számok egy modellje, az irracionális számok geometriai szemléltetése. Kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése Esetek leszámlálása felsorolással. Az “akkor és csak akkor” használata – (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos) Állítás tagadásának szabatos megfogalmazása, „és” és „vagy” jelentése matematikai állításokban.

A továbbhaladás feltételei Tájékozottság a racionális számkörben.



Számtan, algebra (55 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása.

A továbbhaladás feltételei A hatványozás értelmezése 0, Az azonosságok ismerete és a hatványozás azonosságai; alkalmazásuk. számok abszolút értéke, normál alakja. . Nevezetes azonosságok: Számok abszolútértéke, kommutativitás, normál alakja asszociativitás, disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat A másodfokú azonosságok alakja, (a ± b)3, a3 – b3 alkalmazása. szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása, Alapműveletek és zárójelek Ezen azonosságok A műveleti azonosságok biztos alkalmazása racionális kezelése a valós számkörben. alkalmazása egyszerű (folyamatos) Műveletek algebrai törtekkel végzett számkörben. A négy végzése számokkal és műveleteknél (Egyszerűsítés, alapművelet egyszerű algebrai algebrai kifejezésekkel, a szorzás, osztás, összevonás.) törtekkel szaknyelv használata. Algebrai kifejezések Algebrai kifejezés értelmezési értelmezési tartományának tartományának fogalma. vizsgálata. Az értelmezési tartomány megváltozásának tipikus esetei. A négyzetes azonosságok és A műveleti azonosságok Egyes változók kifejezése a szorzattá alakítás biztos alkalmazása ismeretlent fizikai, kémiai képletekben alkalmazása egyenletekben, a tartalmazó kifejezésekkel. A lineáris egyenletek megoldáshalmaz és az megoldásának áttekintése Egyenletek megoldása értelmezési tartomány mérlegelvvel, szorzattá összevetése. Szöveges alakítással, értelmezési információk rögzítése matematikai jelekkel. tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Törtes egyenletek. A megoldáshalmaz pontos meghatározása. Azonosság és ellentmondás fogalma.. Szöveges feladatok a gyakorlati élet, valamint a fizikai, kémiai alkalmazások területéről. Szöveges feladatok alaptípusai. Százalékszámítás típusfeladatai, számítások arányos osztással. Tartalom



Fejlesztési feladatok, tevékenységek Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás Az adott feladat szempontjából lényeges és lényegtelen információk megkülönböztetése

Tartalom

Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere,új ismeretlen bevezetése, grafikus módszer) Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák több ismeretlenes egyenletrendszerre. A rendszerező képesség Elsőfokú egyenlőtlenség és fejlesztése. egyszerű egyismeretlenes egyenlőtlenség-rendszerek megoldása Abszolútértékes egyenletek megoldása algebrai és grafikus úton. A matematika iránti érdeklődés Relatív prímek, oszthatósági erősítése az elemi számelmé- feladatok (számolás let alapvető problémáival és maradékokkal, oszthatósági matematikatörténeti szabályok), Példa vonatkozásaival. Induktív számrendszerekre. gondolkodás fejlesztése (próbálgatás, általánosítás).

A továbbhaladás feltételei Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban.

Egyenlőtlenség megoldásának ábrázolása számegyenesen.

3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös.



Függvények, sorozatok (25 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A függvényszemlélet A függvény fogalma, elemi fejlesztése: a hozzárendelések tulajdonságai; a lineáris szabályként való értelmezése függvény, abszolútérték függvény, másodfokú A megfelelő modell függvény, gyakorlati példák megkeresése további függvényekre (pl.: egészrész-, törtrész-, Egyenlet és függvény előjelfüggvény), a fordított kapcsolatának a megismertetése. arány, x a . x Értékkészlet, értelmezési tartomány, zérushely, monotonitás, paritás, szélsőértékek. Az elemi függvények grafikonjainak geometriai tulajdonságai. Célszerű eszközhasználat. Függvénytranszformációk Példák változó és értéktranszformációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén, nyújtás és tükrözés az x tengelyre) Másodfokú függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással, elemi racionális törtfüggvény ábrázolása átalakítással. Két ismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása.

A továbbhaladás feltételei Az alapfüggvények ábrázolása értéktáblázat nélkül, tulajdonságainak ismerete Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével.

Az alapfüggvények transzformációi A teljes négyzetté alakítás módszerének ismerete.



Geometria (50 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban.

Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása.

Derékszögű háromszögekkel kapcsolatos ismeretek alkalmazása gyakorlati feladatokban

Tartalom Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, sugarának meghatározása, körülírt köre, magasságpont, súlypont, a súlyvonal mint területfelező. Thalész tétele és megfordítása, néhány alkalmazás, a kör és érintői, érintősokszög fogalma. Pitagorasz tételének alkalmazása.

A továbbhaladás feltételei Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete.

A nevezetes vonalak ismerete, a háromszög beírt és köréírt körének ismerete, tompaszögű háromszög magasságvonalának meghatározása A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete Érintő szerkesztése Thalészkörrel. Pitagorasz tételének alkalmazása kétlépcsős feladatokban.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek A transzformációk mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése.

Tartalom A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a paralelogramma ekvivalens tulajdonságai). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az alakzatok egybevágósága, sokszögek egybevágóságának feltételei, speciális sokszögek egybevágóságának esetei.

A továbbhaladás feltételei A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben Háromszögek és speciális négyszögek egybevágósági alapeseteinek ismerete.

Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (10 óra)



10. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 148 Gondolkodási módszerek (10 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése A bizonyítási igény további fejlesztése.

Tartalom Tétel és megfordítása (folyamatos) Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulyaelv konkrét példákon keresztül).

A továbbhaladás feltételei A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése.

Változatos kombinatorikai Egyszerű sorba rendezési és feladatok a hétköznapi életből. kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. A tanult matematikai modellek Stratégiai játékok, rejtvények, alkalmazása gyakorlatorientált érdekességek a matematika feladatokban. területéről. A matematika alkalmazhatóságának bemutatása a modern kor legnépszerűbb területein (hightech, informatika, mobilkommunikáció, űrkutatás, stb.) Számtan algebra (50 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A permanencia elve a számfogalom bővítésében.

A továbbhaladás feltételei A valós szám szemléletes Tájékozottság a valós számok fogalma, kapcsolata a halmazán, a racionális és számegyenessel, a valós irracionális számok tizedes tört számok tizedes tört alakja. alakja, nevezetes irracionális Kapcsolat a racionális számok számok ismerete. (közönséges) tört és tizedes tört alakja között Példák irracionális számokra. A definíciók pontos A négyzetgyök fogalma, a A négyzetgyökvonás megfogalmazására való igény négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása fejlesztése azonosságai. Számolás egyszerű esetekben. pontos értékkel irracionális A számolási készség kifejezések esetén, fejlesztése. egyszerűsítések, gyöktelenítések. Tartalom



Fejlesztési feladatok, tevékenységek A hatványfogalom további kiterjesztése.

Tartalom A négyzetgyökvonás azonosságai: ismétlés. Az nedik gyök fogalma, azonosságai. Racionális kitevős hatványok.

A továbbhaladás feltételei A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben Számolás racionális kitevős hatványokkal.

A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése.

A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. A gyökök száma és a diszkrimináns előjele közötti összefüggés ismerete. Másodfokú kifejezés szorzatalakjának felírása. A másodfokú egyenlet és a Két pozitív szám számtani és másodfokú függvény kapcsolata. Törtes másodfokú mértani közepének fogalma. egyenletek. Egyszerű, a diszkrimináns vizsgálatát megkívánó paraméteres másodfokú egyenletek. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között.

Matematikai problémák egyszerűbb feladatra való visszavezethetőségének felismerése.

Másodfokúra visszavezethető Egyenletek megoldása új magasabb fokú egyenletek, ismeretlen bevezetésével egyenletrendszerek egyszerűbb esetekben. megoldása új ismeretlen bevezetésével.

A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezős alak,.

A matematika eszközként való Másodfokú egyenletre és felhasználása gyakorlati és egyenletrendszerre vezető természettudományos szöveges feladatok. problémák megoldásában.

Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása.

Diszkussziós igény az algebrai Ekvivalens és nem ekvivalens Egyszerű négyzetgyökös feladatoknál. lépések egyenletek egyenlet megoldása átalakításánál, egyszerű A megoldások ellenőrzése. négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata. Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban.

Másodfokú egyenlőtlenség Megengedett és nem megoldása szorzattá bontás megengedett lépések körének és számegyenes segítségével. ismerete egyenlőtlenség megoldása során.



Függvények, sorozatok (26 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Függvény és egyenlet A négyzetgyökfüggvény, kapcsolatának elmélyítése A másodfokú függvény ismétlése, a másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség grafikus megoldása

A továbbhaladás feltételei A másodfokú függvény biztos ábrázolása, tulajdonságainak ismerete

Geometria (40 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A transzformációs szemlélet fejlesztése.

Tartalom Az egybevágósági transzformációk ismétlése. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele.A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága.

A továbbhaladás feltételei A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek Kreatív problémamegoldás Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata.

Tartalom

A háromszögek hasonlóságának alapesetei A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja), arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel) Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. A vektorok további A vektorok összege, alkalmazása. különbsége, szorzása számmal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban. Síkbeli tájékozódás, tervezés, A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti a konstrukciós, analizáló képesség és a diszkussziós szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok Egyszerű szerkesztési megismerése. feladatok. A matematika gyakorlati Távolság, magasság és szög felhasználása meghatározása gyakorlati A zsebszámológép és a feladatokban és a fizikában. számítógép alkalmazása Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése.

A továbbhaladás feltételei Az alapesetek ismerete A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál.

Két vektor összegének és különbségének megszerkesztése

Az ívmértékre való átváltás elvégzése.



Valószínűség, statisztika (16 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenő statisztikai adatok elemzése.

A továbbhaladás feltételei Statisztikai adatok és Számsokaság számtani ábrázolásuk (kördiagram, közepének kiszámítása, a oszlopdiagram stb.), számtani középső érték (medián) és a közép, medián, módusz; leggyakoribb érték (módusz) adatok szóródásának mérése ismerete Kördiagram, oszlopdiagram Relatív gyakoriság. adatainak értelmezése. Tartalom

Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra)



11. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 111 Gondolkodási módszerek (2 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód lehetőségének keresése. Számtan, algebra (40 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény mélyítése Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat).

Tartalom Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok

A továbbhaladás feltételei Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása.

A továbbhaladás feltételei A hatványozás kiterjesztése A hatványozás definíciója, negatív egész kitevőre, műveletek, azonosságok pozitív alap esetén racionális ismerete egész és racionális kitevőkre, a hatványozási kitevő esetén. azonosságok: ismétlés Tartalom

A logaritmus értelmezése. A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete. A logaritmus azonosságai.

Az absztrakciós és szintetizáló Exponenciális és képesség fejlesztése logaritmikus egyenletek, Az önellenőrzés igényének fejlesztése.

A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben.

A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet esetén.

. A koncentrációs készség fejlesztése.

Érettségi szituációs gyakorlat

Függvények, sorozatok (15 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényfogalom fejlesztése Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között A bizonyításra való törekvés fejlesztése.

Tartalom

A továbbhaladás feltételei

az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytranszformációk további alkalmazása A négyjegyű függvénytáblázatok, matematikai összefüggések és a zsebszámológép célszerű használata.

Tartalom

A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, tgx és ctgx szabatos definíciója és értelmezési tartománya. Összefüggések a szög szögfüggvényei között (sin2a + cos2a = 1, pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). Az egységkör használata szögvisszakeresésben. Nevezetes szögek felismerése és szögfüggvényeinek meghatározása ívmértékes megadás esetén A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, paritás), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. Számítógép használata a A szögfüggvények függvényvizsgálatokban és a transzformációi: f(x) + c; f(x + transzformációkban c); c f(x); f(cx).

A továbbhaladás feltételei A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x a sinx , x a cosx és x a tgx függvények ábrázolása és tulajdonságai. Szögvisszakeresés egységkörrel és/vagy fúggvénnyel.

Függvények alkalmazása algebrai feladatokban.



Geometria, mérés (48 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Tervszerű munkára nevelés Két vektor skaláris szorzata Az esztétikai érzék fejlesztése. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása Szinusztétel, koszinusztétel Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek A háromszög szinuszos területképlete.

A továbbhaladás feltételei A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása).

A térszemlélet fejlesztése Pontos fogalomalkotásra törekvés

A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése A vektorműveletek tulajdonságai Vektorok a koordinátarendszerben A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve A skaláris szorzat alkalmazásai;

Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat). Vektorok alkalmazásai.

Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektor 90°-os elforgatottja koordinátarendszerben. Szakasz felezőpontja és harmadoló pontja A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenlete.

Vektorok koordinátáinak biztos használata.

A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása.

Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel.

A bizonyítási készség fejlesztése.

Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek Adott probléma többféle megközelítése.

A koncentrációs készség fejlesztése.

Tartalom Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kétismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. A kör érintője. Koordinátageometriai módszerek az érintő meghatározására.

A továbbhaladás feltételei Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenes egyenletét Két egyenes metszéspontjának meghatározása Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata.

Érettségi szituációs gyakorlat.




12. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 150 Gondolkodási módszerek (20 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása.

A továbbhaladás feltételei Kijelentés fogalma, műveletek Az előző években felsorolt kijelentésekkel: „és”, továbbhaladási feltételek. „(megengedő) vagy” , állítás tagadása, ekvivalencia, implikáció A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése.

A gráf modellként való felhasználása.

Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk Feladatok megoldása gráfokkal.

A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai.

A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód lehetőségének keresése Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal.

Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számának meghatározása egyszerű esetekben Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög Véges halmaz részhalmazainak száma Vegyes kombinatorikai feladatok.

Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása.

Tartalom

Számtan, algebra (22 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom Rendszerező összefoglalás Számhalmazok

A továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

Matematikatörténeti ismeretek Számelméleti összefoglalás (könyvtár- és A valós számok és internethasználat). részhalmazai. Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása.

A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek. Egyenletek



Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Nevezetes másod- és Tervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés harmadfokú algebrai Az önellenőrzés fontossága. azonosságok Az egyenletmegoldás módszerei Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek. A problémamegoldó Szöveges feladatok gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése. A koncentrációs készség fejlesztése.



Függvények, sorozatok (20óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek

A továbbhaladás feltételei A sorozat fogalma Számtani és mértani sorozat A matematika alkalmazása a Számtani és mértani sorozat, az esetén az n-dik tag, és az első gyakorlati életben n. tag, az első n elem összege n elem összegének Matematikatörténeti Kamatoskamat-számítás kiszámítása feladatokban feladatok Példák egyéb sorozatokra. Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű A legfontosabb gyakorlati feladatokban. közgazdasági és pénzügyi számítások matematikai alapjainak áttekintése. Rendszerező összefoglalás Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Tartalom



Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az absztrakciós készség fejlesztése A függvényszemlélet fejlesztése A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban.

Tartalom


A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése Az alapfüggvények ábrázolása Függvénytranszformációk f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével.

Geometria, mérés (40 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A térszemlélet fejlesztése Térelemek kölcsönös Az esztétikai érzék fejlesztése. helyzete, távolsága, szöge A síkra merőleges egyenes tételének ismerete Egyszerű poliéderek.

A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése. Térgeometriai ismeretek alkalmazása gyakorlati feladatokban.

A továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A terület- és kerületszámítással A megismert felszín- és kapcsolatos ismeretek térfogat számítási képletek összefoglalása. A poliéderek alkalmazása egyszerű felszíne, térfogata feladatokban. A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata Síkmetszetek alkalmazása egyszerűbb feladatokban, néhány poliéder és forgástest köréírt és beírt gömbje. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényszemlélet fejlesztése A deduktív gondolkodás fejlesztése.

Tartalom


A geometriai transzformációk áttekintése Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik.

A matematika különböző Vektorok, vektorok koordinátái területei közötti összefüggések Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások felhasználása. Derékszögű koordinátarendszer Alakzatok egyenlete Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. Valószínűség, statisztika (20 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom A továbbhaladás tevékenységek feltételei Egyszerű problémák A valós helyzetek Valószínűségi kísérletek, megoldása a klasszikus értelmezése, megértése és a valószínűség becslése, értékelése. kiszámítása egyszerű valószínűségi modell alapján. esetekben A valószínűség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínűsége). A valószínűség kiszámítása konkrét esetekben. Modellalkotásra nevelés Relatív gyakoriság A relatív gyakoriság és a Modell és valóság kapcsolata. A valószínűség klasszikus valószínűség közötti szemléletes kapcsolat modellje. ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása. A leíró statisztika és a valóStatisztikai és mintavételi Az előző években felsorolt színűségszámítás gyakorlati adatok vizsgálata továbbhaladási feltételek. szerepe, alkalmazása (közvélemény-kutatás, A számítógép felhasználása minőség ellenőrzés). statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 24


Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani közép, súlyozott közép, medián, módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell.

A továbbhaladás feltételei Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása.

Felkészülés az érettségire (28 óra)



Általános osztály emelt szintű érettségi csoport 11. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 185 Gondolkodási módszerek (15 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód lehetőségének keresése Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal.


Tartalom Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számának meghatározása egyszerű esetekben Binomiális együtthatók, binomiális tétel, Pascalháromszög Véges halmaz részhalmazainak száma Vegyes kombinatorikai feladatok. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk Feladatok megoldása gráfokkal.



Számtan, algebra (50 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény mélyítése Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat).

A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre, a hatványozási azonosságok: ismétlés

A továbbhaladás feltételei A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész és racionális kitevő esetén.

A logaritmus értelmezése A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete A logaritmus azonosságai.

A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben.

Tartalom




Tartalom


Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése Az önellenőrzés igényének fejlesztése.

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek Paraméteres egyenletek Egészek körében oszthatósági feltétellel megoldható exponenciális egyenletek. Az exponenciális, illetve logaritmus függvény monotonitási tulajdonságának kihasználásával megoldható egyenletek.

A definíció és az azonosságok alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet, egyenlőtlenség esetén.

A koncentrációs készség fejlesztése A vizsgaszituáció gyakorlása.

Emelt szintű érettségi feladatok


Tartalom


Az exponenciális függvény Az exponenciális és a vizsgálata, exponenciális logaritmus függvény folyamatok a természetben A grafikonjainak ismerete. logaritmus és az exponenciális függvény tulajdonságai A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze.




Tartalom

A továbbhaladás feltételei A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x a sinx , x a cosx és x a tgx függvények ábrázolása és tulajdonságai. Szögvisszakeresés egységkörrel és/vagy fúggvénnyel.

A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, tgx és ctgx szabatos definíciója és értelmezési tartománya. Összefüggések a szög szögfüggvényei között (sin2a + cos2a = 1, pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). Az egységkör használata szögvisszakeresésben. Nevezetes szögek felismerése és szögfüggvényeinek meghatározása ívmértékes megadás esetén A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, paritás, korlátosság, konvexitás), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. Számítógép használata a A szögfüggvények Az alapfüggvények ábrái és függvényvizsgálatokban és a transzformációi: f(x) + c; f(x + legfontosabb tulajdonságainak transzformációkban c); c f(x); f(cx). vizsgálata (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, Függvények alkalmazása szélsőérték). Az algebrai feladatokban. alapfüggvények transzformációi.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematika alkalmazása a gyakorlati életben Matematikatörténeti feladatok A legfontosabb közgazdasági és pénzügyi számítások matematikai alapjainak áttekintése.

Bevezetés a matematikai analízisbe Az absztrakciós készség fejlesztése a végtelen fogalmának vizsgálata során.


Tartalom

A továbbhaladás feltételei Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban Kamatoskamat-számítás alkalmazása gyakorlati feladatokban.

A sorozat fogalma Számtani és mértani sorozat, az n.-edik tag, az első n elem összege. A számtani és mértani közép tulajdonság. Áttéréses feladatok Kamatoskamat-számítás, törlesztőrészlet- és gyűjtőjáradékszámítás Példák egyéb sorozatokra (rekurzió, pl. a Fibonaccisorozat). Sorozatok monotonitása, A határérték fogalmának korlátossága, számhalmaz megértése. alsó és felső határa, Határérték fogalma Műveletek és határérték Nevezetes határértékek. A végtelen mértani sor fogalma, összege Emelt szintű érettségi feladatok.

Geometria, mérés (60 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Tervszerű munkára nevelés Két vektor skaláris szorzata Az esztétikai érzék fejlesztése. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása Szinusztétel, koszinusztétel Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek A háromszög szinuszos területképlete.

A továbbhaladás feltételei A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása).



Fejlesztési feladatok, tevékenységek A térszemlélet fejlesztése Pontos fogalomalkotásra törekvés Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása.



A továbbhaladás feltételei A vektorokról tanultak Vektorműveletek és áttekintése, rendszerezése tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való A vektorműveletek tulajdonságai szorzás, skaláris szorzat) Vektorok a Vektorok alkalmazásai koordinátarendszerben A kétszeres szögek A skaláris szorzat szögfüggvényeinek ismerete. koordinátákkal kifejezve. A Trigonometrikus egyenletek skaláris szorzat alkalmazásai; néhány típusának ismerete. addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), tg(a ± b), sin2a, cos2a, tg2a) Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Helyvektor Vektorok koordinátáinak biztos használata. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektor 90°-os elforgatottja koordinátarendszerben. Szakasz osztópontja Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A háromszög súlypontja. Tartalom

Két pont távolsága, szakasz hossza A kör egyenlete.

A kör középponti egyenletének ismerete.





A továbbhaladás feltételei Az egyenes irányára jellemző Tudja felírni különböző adatok: az irányvektor, a adatokkal meghatározott normálvektor, az iránytangens egyenes egyenletét fogalma, kapcsolatuk. Az Két egyenes egyenes egyenlete, különböző metszéspontjának alakjai meghatározása Két egyenes Kör és egyenes kölcsönös párhuzamosságának, helyzetének vizsgálata Érintő merőlegességének feltétele, szerkesztése legalább egyféle két egyenes metszéspontja módszerrel. Pont és egyenes távolsága Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A két ismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. Két kör kölcsönös helyzete. A kör érintője Az érintő meghatározása Thalészkörrel, vektoros és paraméteres módszerrel A parabola mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete Elemi geometriai problémák megoldása koordinátarendszer segítségével. Emelt szintű érettségi feladatok . Tartalom



Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (10 óra) 12. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 224 Gondolkodási módszerek (20 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása.

A továbbhaladás feltételei Kijelentés fogalma, műveletek Az előző években felsorolt kijelentésekkel: konjunkció, továbbhaladási feltételek. diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció. A logikai műveletekre vonatkozó egyszerű azonosságok A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése.

A deduktív gondolkodás fejlesztése.

A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása Példák a teljes indukció megismertetésére A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése, elmélyítése. A kombinatorika és a gráfelmélet alkalmazása a számítástechnikában Bináris kódok.

Tartalom





A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok Közelítő értékek. Egyenletek



Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Nevezetes másod- és Tervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés harmadfokú algebrai Az önellenőrzés fontossága. azonosságok Az egyenletmegoldás módszerei Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek, Vičteformulák Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek. A problémamegoldó Szöveges feladatok gondolkodás, a szövegértés, Paraméteres feladatok. a szövegelemzés fejlesztése. A koncentrációs készség Emelt szintű érettségi fejlesztése feladatok. A vizsgaszituáció gyakorlása.




Függvények, sorozatok (50 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A mindennapi életben is használt fizikai fogalmak matematikai hátterének megértése.

A továbbhaladás feltételei Az összetett függvény fogalma Egyszerű függvények derivált függvényének Függvényhatárérték és meghatározása. folytonosság Differenciahányados, differenciálhányados, derivált függvény A derivált geometriai jelentése Elemi függvények derivált függvényei Deriválási szabályok Függvény érintője A derivált és szélsőérték kapcsolata, szélsőérték keresése függvényeknél és egyszerűbb szöveges feladatokban. Primitív függvény, A matematika alkalmazása a határozatlan integrál. Elemi gyakorlati életben függvények integráljai, Matematikatörténeti feladatok. egyszerűbb integrálási módszerek. Határozott integrál, terület, felszín és térfogatszámítás. Rendszerező összefoglalás Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Az absztrakciós készség A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése fejlesztése A függvényszemlélet Az alapfüggvények fejlesztése ábrázolása. A függvények alkalmazása a Függvénytranszformációk gyakorlatban és a természet- f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx) tudományokban. Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével. A koncentrációs készség Emelt szintű érettségi fejlesztése feladatok . A vizsgaszituáció gyakorlása. Tartalom




A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése A térlátás fejlesztése.

A függvényszemlélet fejlesztése A deduktív gondolkodás fejlesztése.

A továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A terület- és kerületszámítással A megismert felszín- és térfogat számítási képletek kapcsolatos ismeretek alkalmazása összefoglalása A terület és a térfogat fogalma Síkmetszetek célszerű A poliéderek felszíne, alkalmazása. térfogata A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata Síkmetszetek alkalmazása térgeometriai feladatokban Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A geometriai transzformációk áttekintése Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik.



Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A matematika különböző Vektorok, vektorok koordinátái területei közötti összefüggések Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások felhasználása. Derékszögű koordinátarendszer Alakzatok egyenlete Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. A koncentrációs készség Emelt szintű érettségi fejlesztése feladatok . A vizsgaszituáció gyakorlása.


Valószínűség, statisztika (30 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A körülmények kellő figyelembevétele Előzetes becslés összevetése a számításokkal.

Tartalom


Egyszerű valószínűségszámítási problémák Néhány konkrét eloszlás vizsgálata Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén (“és”, “vagy”, “nem”). Geometriai modell A valószínűség meghatározása szerepeltetése a valószínűség geometriai mérték meghatározására. segítségével. A geometriai modellre visszavezethető feladatok A véletlen paradoxonai. A feltételes valószínűség , A feltételes valószínűség teljes valószínűség tétele fogalmának megértése. Bayes-tétel, események függetlensége Egyszerűbb feladatok. A várható érték véges esetben. Tönkremenési probléma egyszerűbb esetekben.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. A koncentrációs készség fejlesztése A vizsgaszituáció gyakorlása.

Tartalom


Statisztikai mintavétel (Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.)

Emelt szintű érettségi feladatok . Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: Egyszerű klasszikus számtani közép, mértani valószínűség-számítási középsúlyozott közép, medián, feladatok megoldása. módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakoriság.

Felkészülés az emelt szintű érettségire (29 óra)



felhasználható órák tagozatos osztály 9. évfolyam

10. évfolyam

11. évfolyam

12. évfolyam

Gondolkodási módszerek

11

12

20/18

25/25

Számtan, algebra

64

62

54/32

40/40

Függvények, sorozatok

30

26

58/40

35/15

Geometria

60

60

54/40

60/40

Valószínűség, statisztika

10

15

24/10

15/12

Év végi ismétlés

10

10

12/8

50/28

Összesen

185

185

222/148

224/160



tagozatos osztály emelt szintű érettségi csoport 9. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 185 Gondolkodási módszerek (11 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása.

Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése.

Tartalom A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyilt, zárt). A számegyenes mint a valós számok egy modellje, az irracionális számok geometriai szemléltetése Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége. Alaphalmaz, üres halmaz fogalma Egyszerű azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Példák véges és végtelen halmazokra. Egyszerű feladatok a logikai szitaformulára. Kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése. Az “akkor és csak akkor” használata – (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos) Egyváltozós és kétváltozós logikai műveletek, a logikai igazság fogalma, implikáció tagadása. Egy-két példa indirekt bizonyításra.

A továbbhaladás feltételei Tájékozottság a racionális számkörben.

Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége.

Állítás tagadásának pontos képzése.


Tartalom




Fejlesztési feladatok, tevékenységek A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása.

Kombinatív készség fejlesztése.

Tartalom A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja.

Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat alakja, (a ± b)3, a3 ± b3, an - bn, a2k+1 + b2k+1, szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása. Műveletek végzése számokkal Ezen azonosságok és algebrai kifejezésekkel, a alkalmazása algebrai törtekkel szaknyelv használata. végzett műveleteknél (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) Algebrai kifejezések értelmezési tartományának vizsgálata. Az értelmezési tartomány megváltozásának tipikus esetei A műveleti azonosságok Egyes változók kifejezése biztos alkalmazása ismeretlent fizikai, kémiai képletekben tartalmazó kifejezésekkel. A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával Törtes egyenletek A megoldáshalmaz pontos meghatározása. Azonosság és ellentmondás fogalma. Elsőfokú paraméteres egyenletek Szöveges feladatok a gyakorlati élet, valamint a fizikai, kémiai alkalmazások területéről.

A továbbhaladás feltételei Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk.

Számok abszolútértéke, normál alakja A másod- és harmadfokú azonosságok alkalmazása.

Műveletek algebrai törtekkel Algebrai kifejezés értelmezési tartományának fogalma.

A négyzetes azonosságok és a szorzattá alakítás alkalmazása egyenletekben, a megoldáshalmaz és az értelmezési tartomány összevetése Szöveges információk rögzítése matematikai jelekkel.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás Az adott feladat szempontjából lényeges és lényegtelen információk megkülönböztetése

Tartalom

Elsőfokú két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere, grafikus módszer, új ismeretlen bevezetése) Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák több ismeretlenes egyenletrendszerre Paraméteres lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldások számának vizsgálata. A rendszerező képesség Abszolútértékes egyenletek fejlesztése. megoldása algebrai és grafikus úton. A matematika iránti érdeklődés Relatív prímek, oszthatósági erősítése az elemi számelmé- feladatok (számolás let alapvető problémáival és maradékokkal, oszthatósági szabályok), a prímszámok matematikatörténeti vonatkozásaival. Induktív száma. Példa gondolkodás fejlesztése számrendszerekre. Összes (próbálgatás, általánosítás). osztó felírása, osztók száma. Négyzetszámok kanonikus alakja, osztóinak száma. Oszthatósági bizonyítások szorzattá alakítással. . Betekintés az országos versenyek feladataiba .

A továbbhaladás feltételei Két ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek biztos megoldása A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban.

Egyenlőtlenség megoldásának ábrázolása számegyenesen. 3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete Számok prímtényezőkre való bontása Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörö Összes osztó felírása prímtényezős alakból.



Függvények, sorozatok (30 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A függvényszemlélet A függvény fogalma, elemi fejlesztése: a hozzárendelések tulajdonságai; a lineáris szabályként való értelmezése függvény, abszolútérték függvény, másodfokú A megfelelő modell függvény, a négyzetgyök megkeresése függvény, gyakorlati példák további függvényekre Egyenlet és függvény (egészrész-, törtrész-, kapcsolatának előjelfüggvény), a fordított megismertetése. a arány, x a x Értékkészlet,értelmezési tartomány, zérushely, monotonitás, paritás, korlátosság, szélsőértékek Az elemi függvények grafikonjainak geometriai tulajdonságai. Célszerű eszközhasználat. Függvénytranszformációk Példák változó és értéktranszformációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén, nyújtás és tükrözés az x tengelyre) Másodfokú függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással, elemi racionális törtfüggvény ábrázolása átalakítással. Két ismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása.

A továbbhaladás feltételei Az alapfüggvények ábrázolása értéktáblázat nélkül, tulajdonságainak ismerete Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével.

Az alapfüggvények transzformációi A teljes négyzetté alakítás módszerének ismerete.



Geometria (60 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban.

Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása.

Tartalom Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése Sokszögek szögösszege, összes átlóinak száma Külső szögek tétele. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, sugarának meghatározása, körülírt köre, magasságpont, súlypont, a súlyvonal mint területfelező. Thalész tétele és megfordítása, néhány alkalmazás, a kör és érintői, érintősokszög fogalma Pitagorasz tételének alkalmazása.

A továbbhaladás feltételei Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete.

A nevezetes vonalak ismerete, a háromszög beírt és köréírt körének ismerete, tompaszögű háromszög magasságvonalának meghatározása A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete Érintő szerkesztése Thalészkörrel.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek A transzformációk mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése.

Tartalom

A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a paralelogramma ekvivalens tulajdonságai) Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az alakzatok egybevágósága, sokszögek egybevágóságának feltételei, speciális sokszögek egybevágóságának esetei. A vektorok további A vektorok összege, alkalmazása. különbsége, szorzása számmal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban. Síkbeli tájékozódás, tervezés, A forgásszög fogalma, a konstrukciós, analizáló ívmérték, a kör középponti képesség és a diszkussziós szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok Egyszerű szerkesztési megismerése. feladatok. Betekintés az országos versenyek feladataiba.

A továbbhaladás feltételei A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben Háromszögek és speciális négyszögek egybevágósági alapeseteinek ismerete.

Két vektor összegének és különbségének megszerkesztése, vektor felbontása merőleges összetevőkre. Az ívmértékre való átváltás elvégzése.



Valószínűség, statisztika (10 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenő statisztikai adatok elemzése.

A továbbhaladás feltételei Statisztikai adatok és Számsokaság számtani ábrázolásuk (kördiagram, közepének kiszámítása, a oszlopdiagram stb.), számtani középső érték (medián) és a közép, medián, módusz; leggyakoribb érték (módusz) adatok szóródásának mérése. ismerete Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése. Tartalom

Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (10 óra)



10. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 185 Gondolkodási módszerek (12 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése A bizonyítási igény további fejlesztése.

Tartalom

A továbbhaladás feltételei A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése.

Tétel és megfordítása (folyamatos) Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulyaelv konkrét példákon keresztül) Változatos kombinatorikai Egyszerű sorbarendezési és feladatok a hétköznapi életből. kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. Betekintés az országos versenyek feladataiba. A tanult matematikai modellek Stratégiai játékok, rejtvények, alkalmazása gyakorlatorientált érdekességek a matematika feladatokban. területéről A matematika alkalmazhatóságának bemutatása a modern kor legnépszerűbb területein (hightech, informatika, mobilkommunikáció, űrkutatás, stb.) Számtan algebra (62 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A definíciók pontos megfogalmazására való igény fejlesztése A számolási készség fejlesztése.

Tartalom A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás azonosságai Számolás pontos értékkel irracionális kifejezések esetén, egyszerűsítések, gyöktelenítések.

A továbbhaladás feltételei A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése.

A permanencia elve a számfogalom bővítésében.

Tartalom A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezős alak, gyökök és együtthatók összefüggése A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Egyszerű szélsőérték-feladatok megoldása. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között. Példák irracionális számokra ( 2 , szakaszok összemérhetetlensége). n egész vagy irracionális

A továbbhaladás feltételei A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása A gyöktényezős alak ismerete.

Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedes tört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete.

A hatványfogalom további kiterjesztése.

A négyzetgyökvonás azonosságai: ismétlés Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. Racionális kitevős hatványok.

A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben Számolás racionális kitevős hatványokkal.

A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése.

Paraméteres másodfokú egyenletek. Másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldási módszerei. Az új ismeretlen bevezetésének módszere

Másodfokú egyenletrendszerek leggyakoribb tipusainak megoldása Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.

Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Egyszerű szélsőértékfeladatok megoldása. Matematikai problémák egyszerűbb feladatra való visszavezethetőségének felismerése.

Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével.

A matematika eszközként való Másodfokú egyenletre vezető felhasználása gyakorlati és szöveges feladatok. természettudományos problémák megoldásában.

Egyenletek , egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével. Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása.



Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Diszkussziós igény az algebrai Ekvivalens és nem ekvivalens feladatoknál. lépések egyenletek átalakításánál, négyzetgyökös egyenletek Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata.

A továbbhaladás feltételei Négyzetgyökös egyenlet megoldása A megoldások ellenőrzése Az értelmezési tartomány és az értékkészlet szerepének ismerete egyenletek megoldásában.

Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban.

Megengedett és nem megengedett lépések körének ismerete egyenlőtlenség megoldása során.

Másodfokú egyenlőtlenség megoldása. A megoldások ábrázolása számegyenesen. Betekintés az országos versenyek feladataiba.



Függvények, sorozatok (26 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Függvény és egyenlet kapcsolatának elmélyítése

Tartalom A gyökfüggvények A másodfokú függvény ismétlése, a másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség grafikus megoldása

A továbbhaladás feltételei A másodfokú függvény és gyökfüggvények biztos ábrázolása, tulajdonságainak ismerete



Geometria (60 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A transzformációs szemlélet fejlesztése.

A továbbhaladás feltételei A körrel kapcsolatos ismeretek A hasonlóság szemléletes bővítése: kerületi és tartalmának ismerete, a középponti szög fogalma, középpontos nagyítás és kerületi szögek tétele; húrkicsinyítés alkalmazása négyszög fogalma, egyszerű gyakorlati húrnégyszögek tétele feladatokban. A kerületi és Párhuzamos szelők és középponti szögek tételének szelőszakaszok tétele ismerete. A szögfelezőtétel. A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága. Kreatív problémamegoldás A háromszögek Az alapesetek ismerete Geometriai ismeretek hasonlóságának alapesetei A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása, biztos számolási A hasonlóság alkalmazásai: alkalmazása egy vagy két készség, zsebszámológép háromszög súlyvonalai, lépéssel megoldható számítási célszerű használata. súlypontja, (újabb bizonyítás feladatoknál. hasonlósággal arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel), körhöz húzott érintő és szelőszakaszok tétele Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. Tartalom




Tartalom


Betekintés az országos versenyek feladataiba. Valószínűség, statisztika (15 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése.

Tartalom

További valószínűségi kísérletek, a valószínűség becslése, kiszámítása egyszerű esetekben. A valószínűség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínűsége). A valószínűség kiszámítása konkrét esetekben. Modellalkotásra nevelés Relatív gyakoriság Modell és valóság kapcsolata. A valószínűség klasszikus modellje.

A továbbhaladás feltételei Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján.

A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.




11. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 222 Gondolkodási módszerek (20 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód lehetőségének keresése Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal.


Tartalom Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számának meghatározása Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög Véges halmaz részhalmazainak száma Vegyes kombinatorikai feladatok. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk Feladatok megoldása gráfokkal. Betekintés az országos versenyek feladataiba.




Tartalom


Bizonyítás iránti igény mélyítése Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat).

A logaritmus értelmezése A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete A logaritmus azonosságai.

A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása


Exponenciális és logaritmikus A definíció és az azonosságok egyenletek, egyenlőtlenségek alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet, Paraméteres egyenletek Egészek körében oszthatósági egyenlőtlenség esetén. feltétellel megoldható exponenciális egyenletek Az exponenciális, illetve logaritmus függvény monotonitási tulajdonságának kihasználásával megoldható egyenletek.. Betekintés az országos versenyek feladataiba.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek A koncentrációs készség fejlesztése A vizsgaszituáció gyakorlása.

Tartalom


Emelt szintű érettségi feladatok .


Tartalom


Az exponenciális függvény Az exponenciális és a vizsgálata, exponenciális logaritmus függvény folyamatok a természetben A grafikonjainak ismerete. logaritmus és az exponenciális függvény tulajdonságai A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze.




Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban Függvények alkalmazása algebrai feladatokban

Tartalom A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, tgx és ctgx szabatos definiciója és értelmezési tartománya Összefüggések a szög szögfüggvényei között (sin2a + cos2a = 1, pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). Az egységkör használata szögvisszakeresésben Nevezetes szögek felismerése és szögfüggvényeinek meghatározása ívmértékes megadás esetén A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, korlátosság, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, paritás), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. A szögfüggvényekről tanultak áttekintése A tanult függvények tulajdonságai (értelmezésitartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás) A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx).

A továbbhaladás feltételei A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x a sinx , x a cosx és x a tgx x a ctgx függvények ábrázolása és tulajdonságai Szögvisszakeresés egységkörrel és függvénnyel.

Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) Az alapfüggvények transzformációi.




Tartalom

A továbbhaladás feltételei Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban Kamatoskamat-számítás alkalmazása gyakorlati feladatokban.

A sorozat fogalma A matematika alkalmazása a Számtani és mértani sorozat, az n-edik tag, az első n elem gyakorlati életben Matematikatörténeti feladatok összege. A számtani és A legfontosabb közgazdasági mértani közép tulajdonság. Áttéréses feladatok és pénzügyi számítások Kamatoskamat-számítás matematikai alapjainak Példák egyéb sorozatokra áttekintése. (rekurzió, pl. a Fibonaccisorozat). Bevezetés az matematikai Sorozatok monotonitása, A határérték fogalmának analízisbe korlátossága, számhalmaz megértése. alsó és felső határa Határérték Az absztrakciós készség fogalma Műveletek és fejlesztése a végtelen fogalmának vizsgálata során. határérték Nevezetes határértékek A mindennapi életben is használt fizikai fogalmak matematikai hátterének megértése.


Függvényhatárérték és Egyszerű függvények derivált függvényének folytonosság. Differenciahányados, meghatározása. differenciálhányados, derivált függvény A derivált geometriai jelentése. Elemi függvények derivált függvényei Deriválási szabályok Függvény érintője A derivált és szélsőérték kapcsolata, szélsőérték keresése függvényeknél és egyszerűbb szöveges feladatokban. Betekintés az országos versenyek feladataiba. Emelt szintű érettségi feladatok.



Geometria, mérés (54 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A térszemlélet fejlesztése Pontos fogalomalkotásra törekvés Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása.

A továbbhaladás feltételei A vektorokról tanultak Vektorműveletek és áttekintése, rendszerezése tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való A vektorműveletek tulajdonságai szorzás) Vektorok a Vektorok alkalmazásai koordinátarendszerben A kétszeres szögek A skaláris szorzat szögfüggvényeinek ismerete. koordinátákkal kifejezve A Trigonometrikus egyenletek skaláris szorzat alkalmazásai; néhány típusának ismerete. addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), sin2a, cos2a) Trigonometrikus egyenletek. Tervszerű munkára nevelés Két vektor skaláris szorzata A szinusztétel és Az esztétikai érzék fejlesztése. A skaláris szorzat a koszinusztétel alkalmazása tulajdonságainak felsorolása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adaSzinusztétel, koszinusztétel. tainak meghatározása). Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek A háromszög szinuszos területképlete. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel.


Tartalom

Helyvektor Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektor 90°-os elforgatottja koordinátarendszerben Szakasz osztópontja A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza A kör egyenlete.







A továbbhaladás feltételei Az egyenes irányára jellemző Az egyenes egy szabadon adatok: az irányvektor, a választott egyenletének normálvektor, az iránytangens tudása fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző Két egyenes alakjai metszéspontjának Két egyenes meghatározása párhuzamosságának, Kör és egyenes kölcsönös merőlegességének feltétele, helyzetének vizsgálata Érintő két egyenes metszéspontja szerkesztése legalább egyféle Pont és egyenes távolsága módszerrel. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A két ismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. A kör érintője. Az érintő meghatározása Thalészkörrel, vektoros és paraméteres módszerrel A parabola mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete Elemi geometriai problémák megoldása koordinátarendszer segítségével. Betekintés az országos versenyek feladataiba. Emelt szintű érettségi feladatok. Tartalom




Tartalom


Egyszerű valószínűségszámítási problémák Néhány konkrét eloszlás vizsgálata Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén (“és”, “vagy”, “nem”). Geometriai modell A valószínűség meghatározása szerepeltetése a valószínűség geometriai mérték meghatározására. segítségével A geometriai modellre visszavezethető feladatok A véletlen paradoxonai. A feltételes valószínűség, A feltételes valószínűség teljes valószínűség tétele fogalmának megértése. Bayes-tétel, események függetlensége Egyszerűbb feladatok. A várható érték véges esetben Tönkremenési probléma egyszerűbb esetekben. A számítógép alkalmazása Statisztikai mintavétel. statisztikai adatok, illetve (Visszatevéses és visszatevés véletlen jelenségek nélküli mintavétel.) vizsgálatára A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. A koncentrációs készség Emelt szintű érettségi fejlesztése feladatok . A vizsgaszituáció gyakorlása. Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (12 óra)



12. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 224 Gondolkodási módszerek (25 óra) Fejlesztési feladatok, A továbbhaladás Tartalom tevékenységek feltételei Az ismeretek Kijelentés fogalma, műveletek Az előző években felsorolt rendszerezése: kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, továbbhaladási feltételek. negáció, ekvivalencia, implikáció A matematika különböző A logikai műveletekre vonatkozó egyszerű területei közti azonosságok összefüggések A halmazelméleti és logikai ismeretek tudatosítása. kapcsolata, rendszerezése. A deduktív gondolkodás fejlesztése.

A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása Példák a teljes indukció megismertetésére A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése, elmélyítése. A kombinatorika és a gráfelmélet alkalmazása a számítástechnikában. Bináris kódok.








Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Nevezetes másod- , harmadTervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés és n-edfokú algebrai Az önellenőrzés fontossága. azonosságok Az egyenletmegoldás módszerei Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek, Vičteformulák Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyenletek. A problémamegoldó Szöveges feladatok gondolkodás, a szövegértés, Paraméteres feladatok. a szövegelemzés fejlesztése. A koncentrációs készség Emelt szintű érettségi fejlesztése feladatok . A vizsgaszituáció gyakorlása.


Függvények, sorozatok (35 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom

Primitív függvény, A matematika alkalmazása a határozatlan integrál. Elemi gyakorlati életben függvények integráljai, Matematikatörténeti feladatok. egyszerűbb integrálási módszerek. Határozott integrál, terület, felszín és térfogatszámítás. Rendszerező összefoglalás


Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az absztrakciós készség fejlesztése A függvényszemlélet fejlesztése A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban. A koncentrációs készség fejlesztése A vizsgaszituáció gyakorlása.

Tartalom


A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése Az alapfüggvények ábrázolása Függvénytranszformációk f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx) Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével. Emelt szintű érettségi feladatok.



A továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A terület- és kerületszámítással A megismert felszín- és térfogat számítási képletek kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A terület és a alkalmazása. térfogat fogalma Síkmetszetek célszerű A poliéderek felszíne, alkalmazása. térfogata A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata Síkmetszetek alkalmazása térgeometriai feladatokban Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényszemlélet fejlesztése A deduktív gondolkodás fejlesztése.

Tartalom


A geometriai transzformációk áttekintése Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik.

A matematika különböző Vektorok, vektorok koordinátái területei közötti összefüggések Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások felhasználása. Derékszögű koordinátarendszer Alakzatok egyenlete Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. A koncentrációs készség Emelt szintű érettségi fejlesztése feladatok. A vizsgaszituáció gyakorlása. Valószínűség, statisztika (14 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A leíró statisztika és a valószínűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára.

Tartalom Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvélemény-kutatás, minőség ellenőrzés).


Összefoglalás: Az előző években felsorolt Adathalmazok jellemzői: továbbhaladási feltételek. számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakoriság A klasszikus valószínűségi modell. Felkészülés az emelt szintű érettségire (50 óra)



Emelt szintű osztály Középszintű érettségi csoport 11. ÉVFOLYAM Számtan, algebra (32 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom


Bizonyítás iránti igény mélyítése Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat).

A logaritmus értelmezése A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete A logaritmus azonosságai

A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása


Exponenciális és logaritmikus A definíció és az azonosságok egyenletek, egyenlőtlenségek alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet, Az exponenciális, illetve egyenlőtlenség esetén. logaritmus függvény monotonitási tulajdonságának kihasználásával megoldható egyenletek.


Érettségi szituációs gyakorlat

Tanulói előadások a logaritmus kialakulásáról, történelmi jelentőségéről a csillagászatban és mérnöki számításokban, valamint jelentőségének csökkenéséről a számítógépek korában.




Tartalom


Az exponenciális függvény Az exponenciális és a vizsgálata, exponenciális logaritmus függvény folyamatok a természetben grafikonjainak ismerete. Biológiai példák exponenciális és logaritmikus folyamatokra, tanulói előadások A logaritmus és az exponenciális függvény tulajdonságai A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze.

Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban

A szögfüggvényekről tanultak áttekintése A tanult függvények tulajdonságai (értelmezésitartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás) A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx)

Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték)

A sorozat fogalma A matematika alkalmazása a Számtani és mértani sorozat, gyakorlati életben az n.-edik tag, az első n elem Matematikatörténeti feladatok összege A legfontosabb közgazdasági A számtani és mértani közép tulajdonság és pénzügyi számítások Áttéréses feladatok matematikai alapjainak Kamatoskamat-számítás áttekintése. Példák egyéb sorozatokra (rekurzió, pl. a Fibonaccisorozat)

Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban Kamatoskamat-számítás alkalmazása gyakorlati feladatokban.

Függvények alkalmazása algebrai feladatokban.

.A matematika szépségének bemutatása, kapcsolata a látszólag távoleső tudományterületekkel A modern matematika beágyazása az általános műveltségbe.

Játék a végtelennel. A mozgás paradoxona és a határérték. Achillesz és a teknősbéka Különböző végtelen számosságok. Tanulói előadások, esszék és vitafórumok.



Fejlesztési feladatok, tevékenységek A koncentrációs készség fejlesztése.

Tartalom



Geometria, mérés (40 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A térszemlélet fejlesztése Pontos fogalomalkotásra törekvés Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása.



Tartalom A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése A vektorműveletek tulajdonságai Vektorok a koordinátarendszerben A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve. A skaláris szorzat alkalmazásai; addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), sin2a, cos2a) Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek. Helyvektor Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektor 90°-os elforgatottja koordinátarendszerben Szakasz osztópontja A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza A kör egyenlete.

A továbbhaladás feltételei Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás) Vektorok alkalmazásai. .






A továbbhaladás feltételei Az egyenes irányára jellemző Az egyenes egy szabadon adatok: az irányvektor, a választott egyenletének normálvektor, az iránytangens tudása fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző Két egyenes alakjai metszéspontjának Két egyenes meghatározása párhuzamosságának, Kör és egyenes kölcsönös merőlegességének feltétele, helyzetének vizsgálata Érintő két egyenes metszéspontja szerkesztése legalább egyféle Pont és egyenes távolsága módszerrel. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A két ismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. A kör érintője. Az érintő meghatározása Thalészkörrel, vektoros és paraméteres módszerrel. A parabola mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete. Számítógépes tervezési, lakberendezési feladatok A koordinátarendszerek fejlődése és szerepe a térképészetben, csillagászatban Tanulói előadások.



Tartalom




A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése.

Tartalom


Egyszerű valószínűségszámítási problémák Néhány konkrét eloszlás vizsgálata Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén (“és”, “vagy”, “nem”). Statisztikai mintavétel (Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.)




12. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 160 Gondolkodási módszerek (25 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása.

A továbbhaladás feltételei Kijelentés fogalma, műveletek Az előző években felsorolt kijelentésekkel: konjunkció, továbbhaladási feltételek. diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció. A logikai műveletekre vonatkozó egyszerű azonosságok A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése.

A deduktív gondolkodás fejlesztése.

A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása Példák a teljes indukció megismertetésére A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése, elmélyítése. A kombinatorika és a gráfelmélet alkalmazása a számítástechnikában Bináris kódok.

Tartalom








Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Nevezetes másod- , harmadTervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés és n-edfokú algebrai Az önellenőrzés fontossága. azonosságok Az egyenletmegoldás módszerei Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek, Vičteformulák Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyenletek. A problémamegoldó Szöveges feladatok gondolkodás, a szövegértés, Paraméteres feladatok. a szövegelemzés fejlesztése. A koncentrációs készség fejlesztése.



Függvények, sorozatok (15 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom Rendszerező összefoglalás

Az absztrakciós készség fejlesztése A függvényszemlélet fejlesztése A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban.


A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése Az alapfüggvények ábrázolása Függvénytranszformációk f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx) Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével.

Geometria, mérés (40 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom




Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A térszemlélet fejlesztése Térelemek kölcsönös Az esztétikai érzék fejlesztése. helyzete, távolsága, szöge A síkra merőleges egyenes tételének ismerete Egyszerű poliéderek.


A függvényszemlélet fejlesztése A deduktív gondolkodás fejlesztése.

A továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A terület- és kerületszámítással A megismert felszín- és kapcsolatos ismeretek térfogat számítási képletek összefoglalása. A terület és a alkalmazása térfogat fogalma Síkmetszetek célszerű A poliéderek felszíne, alkalmazása. térfogata A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata Síkmetszetek alkalmazása egyszerű térgeometriai feladatokban Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A geometriai transzformációk áttekintése Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik.



Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A matematika különböző Vektorok, vektorok koordinátái területei közötti összefüggések Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások felhasználása. Derékszögű koordinátarendszer Alakzatok egyenlete Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. A koncentrációs készség fejlesztése.



Valószínűség, statisztika (12 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A leíró statisztika és a valószínűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára.

Tartalom Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvélemény-kutatás, minőség ellenőrzés).


Geometriai modell A valószínűség meghatározása szerepeltetése a valószínűség geometriai mérték meghatározására. segítségével. A geometriai modellre visszavezethető feladatok A véletlen paradoxonai Viták a valószínűség fogalma körül. Összefoglalás: Az előző években felsorolt Adathalmazok jellemzői: továbbhaladási feltételek. számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakoriság A klasszikus valószínűségi modell. Felkészülés az érettségire(28)


MATEMATIKA A GIMNÁZIUM ÉVFOLYAMAI SZÁMÁRA. Célok és feladatok

Recommend Documents