Sokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 7.

A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Szerzõk: BIRÓNÉ FÜLE ZSUZSANNA középiskolai tanár

DR. SZEDERKÉNYI ANTALNÉ ny. gyakorlóiskolai vezetõtanár

Tartalom 1. TERMÉSZETES SZÁMOK, RACIONÁLIS SZÁMOK ........................................................

4

2. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK .........................................................................................................................

29

3. EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK

.....................................................................................

45

4. SÍKGEOMETRIA I. .............................................................................................................................................

70

5. HALMAZOK, KOMBINATORIKA

88

......................................................................................................

6. LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK

..................................................................................

118

7. SÍKGEOMETRIA II. ........................................................................................................................................... 137 8. STATISZTIKA, VALÓSZÍNÛSÉG

.........................................................................................................

162

9. TÉRGEOMETRIA ................................................................................................................................................ 168

S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 7 – A K I T Û Z Ö T T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E

1. Természetes számok, racionális számok 1. A racionális számok alakjai 1 = 1 : 4 = 0,25 4 -5 c) = µ5 : 16 = µ0,3125 16

2 = 2 : 5 = 0,4 5 3 17 d) 2 = = 17 : 7 » 2,428571 7 7

1. a)

b)

e)

-20 = µ20 : 8 = µ2,5 8

f) -5

g)

4 = 4 : 20 = 0,2 20

h)

2 1 = 10 5 115 23 , = = c) 115 100 20

2. a) 0, 2 =

e) -2, 5 = -

1 -41 = = µ41 : 8 = µ5,125 8 8

-5 = µ5 : 8 = µ0,625 8

b) 0,125 =

125 1 = 1000 8

d) 1, 6 = 1 + 0, 6 = 1 +

25 5 = 10 2

f) -0,16 = -

2 5 = 3 3

16 4 = 100 25

1 g) 2, 9 = 2 + 0, 9 = 2 + 9 ◊ 0,1 = 2 + 9 ◊ = 2 + 1 = 3 9 h) -3, 875 = 3. a)

2 9

3875 31 = 1000 8 c) -

b) 1,2

4. a) igaz

b) igaz

5. a) µ3 £ ª < 0

c) igaz

b) 0 < ª £ 3

6. a) 0,17 >

1 6

7. a) 1, 25; 1

1 3 15 = = 1, 5; = 2, 5; 2, 5 2 2 6

b) 0,92 <

12 13

d) 1,6

d) hamis

e) igaz

c) ª < µ3 d) -

növekvõ sorrend: 1,25 < 1,5 < 2,5 15 1 eredeti számokkal: 1,25 < 1 < 2,5 = 6 2 b) 0, 2;

6 12

225 > µ20,5 11

eredeti számokkal: 0, 2 < 4

1 2 < < 0, 6 3 5

15 = 2,5 6

1,25 0

2 1 = 0, 4; = 0, 3 ; 0, 6 5 3

növekvõ sorrend: 0, 2 < 0, 3 < 0, 4 < 0, 6

d) ª > 3

1

1

1 2

1 2 3 5 0

2

3

. 0,6

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

c) -0, 2; -

2 1 = - 0, 4; - = - 0, 3 ; - 0, 6 5 3

. –0,6

növekvõ sorrend: -0, 6 < -0, 4 < -0, 3 < -0, 2 eredeti számokkal: - 0, 6 < -

–0,7 –0,6 –0,5 2 – 5

2 1 < - < -0, 2 5 3

1 3 15 = - = -1, 5; = - 2, 5; - 2, 5 2 2 6 növekvõ sorrend: µ2,5 < µ1,5 < µ1,25 1 15 eredeti számokkal: -2, 5 = < -1 < -1, 25 2 6

d) -1, 25; -1

e) - 0, 2;

–

2 1 = 0, 4; - = - 0, 3 ; - 0, 6 5 3

–2

. –0,6

növekvõ sorrend: -0, 6 < -0, 3 < -0, 2 < 0, 4

–

3 –0,3 –0,2 –0,1 0

15 – = –2,5 6 –3

1

–1,25 –1

1

–1

0

2

1 3 0

–0,6 –0,4 –0,2

0,4

0,2

1 2 eredeti számokkal: -0, 6 < - < -0, 2 < 3 5 1 3 15 = - = -1, 5; = 2, 5; - 2, 5 2 2 6 növekvõ sorrend: µ2,5 < µ1,5 < 1,25 < 2,5 1 15 eredeti számokkal: -2, 5 < -1 < 1, 25 < 2 6

f) 1, 25; -1

8.

–2,5 –3

–1

1 2

–2

15 = 2,5 6

1,25 –1

0

1

2

3

1 142857 142857 = 0,142857 7 ¯ ¯ ¯ 3. 9. 15. 2-es számjegy a tizedes vesszõ után a harmadik, kilencedik, tizenötödik... helyen áll.

9. a) 4-es számjegy

b) 4-es számjegy

c) 8-as számjegy

10. a) 3-as

b) 7-es c) 8-as d) 4-es 5 1 ¡ ¡ 11. Anna: 1 óra = 1,25 óra; Bori: óra = 0,83 óra; Kati: 85 perc =1,416 óra; 6 4 8 ¡ Eszter: óra = 1,3 óra 6 A célbaérés sorrendje: Bori – Anna – Eszter – Kati 9 10 ; 12. a) 12 12

7 8 b) ; 15 15

9 12 0

2 3

10 12 12 12

=1

7 8 15 15 0

2

3

5

5

15 =1 15

5


c)

4 5 ; 30 30

13. G (0; 16)

4 5 30 30 0

1 10

30 =1 30

1 5

I (0; µ64)

H (µ32; 0)

J (128; 0)

14. A tört értéke akkor lesz a legnagyobb, ha a számkártyákból a számlálóba a lehetõ leg-

nagyobb, a nevezõbe a lehetõ legkisebb számot rakják. A tört értéke akkor lesz a legkisebb, ha a számlálóba kerül a lehetõ legkisebb, a nevezõbe a lehetõ legnagyobb kétjegyû szám kerül. Rejtvény: Legnagyobb: 1 : (2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9) = 90720 Legkisebb: (1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8) : 9 = 0,000002755

2. Mûveletek racionális számokkal 1. a) 1 + 2 ◊

1

1- 8 Ê1 ˆ Ê 7ˆ Ë 2 - 4 ¯ = 1 + 2 ◊ 2 = 1 + 2 ◊ Á - 2 ˜ = 1 + ( - 7 ) = -6 Ë 1¯

b) 4 µ 3 ¡ (1 µ 2 ¡ 3) = 4 µ 3 ¡ (µ5) = 4 µ (µ15) = 19 c) 3, 5 - ( 4 ◊ 3 - 9) ◊ d) 1 - 3 ◊ e)

1 1 = 3, 5 - 3 ◊ = 3, 5 - 1, 5 = 2 2 2

7 21 6 21 15 5 Ê 1 5ˆ Ê 2 5ˆ + = 1- 3 ◊ + = 1- 3 ◊ = 1= = = Ë 3 6¯ Ë 6 6¯ 6 6 6 6 6 2

1 1ˆ 1 1 5ˆ Ê Ê 1 1ˆ Ê 4 + 10 ◊ Ë 0, 2 - ¯ = + 10 ◊ = + 10 ◊ = Ë 5 4¯ 2 Ë 20 20 ¯ 2 4 2 =

1

1 1 1 Ê 1 ˆ = - =0 + 10 ◊ Á 20 ˜ 2 2 2 Ë 2 ¯

f) -3 +

1

1ˆ 1 1ˆ 1 4 1 4 3 1 Ê1 Ê 3 + + = -3 ◊ Ë + + = - 3◊ + = - + = Ë 9 27 ¯ 3 27 27 ¯ 3 3 9 9 9 27 9

2. a)

2 Ê 1 2ˆ 20 15 - 12 23 + = + = 3 Ë 2 5¯ 30 30 30

b)

2 Ê 1 2ˆ 20 15 - 12 17 = = 3 Ë 2 5¯ 30 30 30

c)

2 Ê 1 2ˆ 20 15 + 12 7 + = = 3 Ë 2 5¯ 30 30 30

d) 2 - 0,1 ◊ Ê 10 + 200 ˆ = 2 - 1 ◊ 110 = 2 - 11 = 2 - 55 = - 53 = -10 3 Ë 5 2 ¯ 5 10 5 5 5 5 5

6

e) ( -5) ◊

11 Ê 1 2ˆ 1 Ê 2 1 ˆ 1 Ê 5 ˆ 1 Ê 10 ˆ 1 - = ( -5) ◊ - = - = - = Ë 4 4¯ 8 Ë 4¯ 8 Ë 8 ¯ 8 Ë 2 8¯ 8 8

1ˆ Ê1 4ˆ Ê 4 1ˆ Ê 5 4ˆ 3 1 3 3 Ê1 ˆ Ê = ◊ = = ◊ = ◊ f) Ë - 0, 4¯ ◊ Ë 0, 4 2 10 ¯ Ë 2 10 ¯ Ë 10 10 ¯ Ë 10 10 ¯ 10 10 10 100 3. a)

b)

5 1 1 ( -30 ) + 1 29 ◊ ( -18 ) + = ( -10 ) + = = 9 3 3 3 3

2 Ê 1ˆ 1 Ê 4 2 ˆ Ê 1ˆ Ê 4 6 ˆ Ê 1ˆ - + ◊ = - + ◊ = ◊ = Ë 9 3¯ Ë 2¯ Ë 9 9¯ Ë 2¯ 9 Ë 2¯ 9

È 5 Ê 3 ˆ ˘ Ê 2 ˆ Ê 20 9 ˆ Ê 9 ˆ Ê 11ˆ Ê 9 ˆ 99 c) Í - - Ë - ¯ ˙ : = = Ë+ ◊ = ◊ Ë ¯ 4 ˚ 9 12 12 ¯ Ë 2 ¯ Ë 12 ¯ Ë 2 ¯ 24 Î 3

d)

2 4 Ê 3 4 ˆ Ê 7 ˆ 4 Ê 15 8 ˆ Ê 5ˆ 4 7 Ê 5ˆ ◊ = ◊ : ◊ Ë- ¯ = ◊ ◊ Ë- ¯ = Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ 9 9 2 5 5 9 10 10 7 9 10 7

4. a) A negyedik napon:

b) A nyolcadik napon:

1 2 3+8 11 + = = 4 3 12 12 11 3 2 11 + 9 + 8 10 - + = = 12 4 3 12 12

1 résznyi méz fogy el. 12 9 3 Folytatva a gondolatmenetet: Morgónak a 12. napon -ed, azaz csupor méze lesz, 12 4 6 2 ez a 15. napon elfogy. Mivel a 16. napon csupor mézet szerez, ebbõl kétszer = 9 3 1 (vagyis a 17. és 18. napon) tud csupornyit enni, de a 19. napra már nem jut egy 4 rendes adagnyi. 2 5. Egy nap alatt megépítik a vár részét (az éjszakai leomlást is beleszámítva), így a 90 45 nap szükséges a felépítéshez. 1ˆ 2 4 Ê 6. Például: 2 ◊ 1 = 2◊ = Ë 3¯ 3 3

c) Látjuk, hogy négynaponta

7. a) A =

c) A =

2 10
b) A =

1 25
5 10
d) A = -

2 10 >B= 15 3

Ê1 ˆ Ê1 ˆ 0 25 + 1 : Ë3 - , ¯ Ë 3 - 0, 25 + 1¯ 1 1 = =1 8. a) = ( 0, 5 - 1) : ( 0, 75 - 1 - 0, 25) ( 0, 5) : ( -0, 5) 1 Ê1 ˆ Ê1 ˆ 0 25 + 1, 8 : Ë3 - , ¯ Ë 3 - 0, 25 + 1, 8¯ 1 1 = =1 b) = ( 0, 25 - 1) : ( 0, 5 - 1 - 0, 25) ( 0, 75) : ( -0, 75) 1

7


Ê 2 - 0, 5 + 2ˆ : Ê 1 - 0, 25 + 1ˆ Ë ¯ Ë3 ¯ 2 c) 3 =2 = ( 0, 5 - 1) : ( 0, 75 - 1 - 0, 25) ( -0, 5 ) : ( -0, 5) Ê1 ˆ Ê1 ˆ 0 25 + 1 : Ë3 - , ¯ Ë 3 - 0, 25 + 1¯ 1 1 = d) = (1 - 2) : ( 0, 75 - 1 - 0, 25) ( -1) : ( -0, 5) 2 9. a)

1 1 5 + = Ñ 2 3 6

b)

3 12 : = 0, 3 Ò 5 6

c) 0, 7 Ó -

1 1 = 2 5

d)

13 39 1 : = Ð 70 10 21

1 1 2 3 = 3-2 :5 = 1:5 = 1 10. a) 5 6 6 30 2 3 = 4 : Ê - 4 ˆ = -1 b) 2 3 Ë 3¯ -2 3 2-

c) 1 +

1+ d) 11.

12.

1 4 3+ 5

= 1+ 1:

19 5 24 = 1+ = 5 19 19

1 2 1 3 1+ 1+ 1: 3 = 5 :2 = 5 2 = 2 = 2 2 2 3 6

1+

1 2 rész = km 3 3 3 2 6 rész az egész út Þ 3 ¡ km = km = 2 km 3 3 3

Az út hossza:

145555255554314243

1 1 5 rész + rész = rész 3 2 6 6 Összes versenyzõ: 6 1 Karcsi az összes versenyzõ része ® 6 Tehát összesen 6 fõ indult. Karcsi harmadikként ért célba.

3 3 1 2 vagy 13. a) 2 1

2 rész 3

2 1 km = rész 3 3

Cél 1 rész 2

1 rész 3

1 1 3 2 b) vagy 2 3

Rejtvény: a) pl.:

1 1 1 1 1 1 + - + - = 2 2 2 2 2 2

Ê 1 1ˆ 1 1 1 c) pl.: Ë - ¯ ◊ : ◊ = 0 2 2 2 2 2 8

Ê 1 1ˆ 1 Ê 1 1ˆ b) pl.: Ë - ¯ ◊ + Ë + ¯ = 1 2 2 2 2 2

3. Arányos következtetések (emlékeztetõ) 1. a) 1 cm a térképen a valóságban 1 500 000 cm = 15 000 m = 15 km

5-ször akkora távolság 5 ¡ 15 km = 75 km b) 1 cm a térképen a valóságban 15 km 225 km ¢ 15 km = 15 A térképen 15 cm lesz a távolság. 2. Térképen: 5 cm

Valóságban: 20 km = 20 000 m = 2 000 000 cm 5 : 2 000 000 = 1 : 400 000 3. a) Egyenes arány

d) Egyik sem 5h

4.

¢5 1h ¡ 8,5 8,5 h

b) Egyenes arány e) Egyenes arány

c) Egyiksem

600 km egyenes arányosság 600 ¢ 5 = 120 km egyenes arányosság 120 km ¡ 8,5 = 1020 km

1020 km-t tesz meg 8,5 h alatt. 70 adaghoz

5.

¢7 10 adaghoz ¡ 10 100 adaghoz

10,5 kg hús egyenes arányosság 10,5 kg ¢ 7 = 1,5 kg egyenes arányosság 1,5 kg ¡ 10 = 15 kg

100 adaghoz 15 kg hús szükséges. 30 kg-hoz

6.

¡5 150 kg-hoz

20 db doboz egyenes arányosság 20 db ¡ 5 = 100 db

150 kg szõlõt 100 db dobozba csomagolunk. 7. 25 db 7 dl-es üvegbe összesen 25 ¡ 7 = 175 dl gyümölcslét töltöttek. Ha 1 üveg 12,5 dl-

es, akkor 175 ¢ 12,5 = 14 db 12,5 dl-es üvegre van szükség (fordított arányosság). km h km 3 km II. sebessége: 1000 ¡ = 600 h 5 h Az I. repülõ 1 h alatt 1000 km-t tesz meg, akkor 3 h alatt 3000 km-t. Ezt a 3000 km-t km a 600 sebességgel száguldó repülõ 5 h alatt teszi meg, hiszen ez a repülõ 1 h alatt h csak 600 km-t megy.

8. I. sebessége: 1000

9


1 perc alatt

9.

10 (l) egyenes arányosság 10 (l) ¡ 20 = 200 (l) 25 (l) 200 ¢ 25 = 8 perc

¡ 20 20 perc alatt 1 perc alatt 200 (l)

8 perc alatt telik meg másik csapból. 1 kacsához

10.

10 kg egyenes arányosság 10 kg ¡ 20 = 200 kg

¡ 20 20 kacsához 1 kacsához

10 kg egyenes arányosság

15 kacsához

10 kg ¡ 15 = 150 kg

¡ 15

20 kacsa felhízlalásához 50 kg-mal több kukorica szükséges. 11.

5 gyerek

2 óra

1 gyerek

2 óra

¢5 ¡ 12 12 gyerek

2 óra ¢2

12 gyerek

1 óra ¡3

12 gyerek

3 óra

80 db egyenes arányosság 80 ¢ 5 db = 16 db egyenes arányosság 16 db ¡ 12 = 192 db egyenes arányosság 192 db ¢ 2 = 96 db egyenes arányosság 96 db ¡ 3 = 288 db

12 gyerek 3 óra alatt 288 db szendvicset tud elkészíteni. 12.

3 egér

5 sajt

1 egér

5 sajt

¢3 ¡5 5 egér

5 sajt ¡2

5 egér

10 sajt

4 nap fordított arányosság 4 ¡ 3 = 12 nap fordított arányosság 12 ¢ 5 = 2,4 nap egyenes arányosság 2,4 ¡ 2 = 4,8 nap

5 egérnek 10 sajt 4,8 napra elegendõ. 13. András

Balázs Csaba 4 db 5 db 0 db összesen: 9 db szendvics osztoztak 3 db 3 db 3 db András 1 db, Balázs 2 db szendvicset adott át Csabának, aki ezért ezek arányában fizetett a fiúknak. 450 Ft 1 : 2 arányban osztva. 150 Ft µ 300 Ft. Csaba Andrásnak 150 Ft-ot, Balázsnak 300 Ft-ot fizetett. 10

14.

x x + =1 30 40 x =

120 1 = 17 = 17,14 perc alatt melegítik fel együtt a bojlerben a vizet. 7 7

15. 1 t = 100 a + 1 ö

1 ö = 20 a + 0,5 m 1m = 10 a + 0,25 k 1k=8a Visszafelé helyettesítésekkel: 1 m = 10 a + 0,25 ¡ 8 a = 12 a 1 ö = 20 a + 0,5 ¡ 12 a = 26 a 1 t = 100 a + 26 a = 126 a 1 táltos 126 aranyat ér. Rejtvény: Nem lehet tudni, mivel a hét napjai és a között, hogy fúj-e a szél, nincs matematikai összefüggés.

4. Százalékszámítás (emlékeztetõ) 1. a) 100 -

2 500 - 2 498 = = 5 5 5

b) 100 - 100 ◊ c) 100 ◊

2 = 100 - 20 ◊ 2 = 100 - 40 = 60 5

2 = 20 ◊ 2 = 40 5

2. a) 1000 ¡ 1,2 = 1200

b) c) d) e) f)

1,2-szeresére

0,8-szeresére 3-szorosára 1,2-szeresére 2-szeresére 0,005-szeresére

3. a) 500 ¡ 1,5 = 750

b) 500 + 50 = 550 c) 500 ¡ 0,5 = 250 d) 500 ¢ 50 = 10 4. a) 200%-ra (100%-kal nõ)

b) c) d) e) f)

50%-ra (50%-kal csökken) 150%-ra (50%-kal nõ) 500%-ra (400%-kal nõ) 20%-ra (80%-kal csökken) 125%-ra (25%-kal nõ) 11


5. a) 1,25-szorosára

b) 0,92-szeresére 6. a) 40%-kal nõtt

b) 25%-kal nõtt 7. Medve: 50 ¢ 40 = 1,25 ® 25%-kal nõtt a tömege ¡

Elefánt: 140 ¢ 120 = 1,16 » 16,67%-kal (kb.) nõtt a tömege A medvebocs nõtt jobban. Összesen: 45 000 fõ

8. Férfi 80%

Nõ 20%

45 000 ¡ 0,8 = 36 000 fõ Átlagosan 36 000 fõ a férfi. 9. Döntõben szereplõ csapatok szurkolói: 75 000 ¡ 0,3 = 22 500 db-22 500 db

Szervezõk: 75 000 ¡ 0,01 = 750 db Bajnokság csapatai: 75 000 ¡ 0,15 = 11 250 db Nemzetközi Labdarúgó Szövetség: 75 000 ¡ 0,2 = 15 000 db Ismert személyiségek: 3 000 db (VIP) 10. 1200 ¡ 0,15 = 180

180 fõ hoz szendvicset az iskolába. 11. a) Elsõ változás: 1000 ¡ 1,08 = 1080 Ft

Második változás: 1080 ¡ 0,92 = 993,6 Ft Összesen: 993,6 ¢ 1000 = 0,9936 ® 99,36%-os most, azaz 0,64%-kal csökkent az ár. b) Elsõ változás: 1000 ¡ 0,93 = 930 Ft Második változás: 930 ¡ 1,07 = 995,1 Ft Összesen: 995,1 ¢ 1000 = 0,9951 ® 99,51%-os most az áru, azaz 0,49%-kal csökkent az ár. 12.

Fenyõ Tölgy 20% 80% Tölgynek a negyede, azaz 25%-a a fenyõk száma.

13. 100 kg + 100 kg ¡ 4 = 500 kg ® 5-szörösére nõ 14. Eredeti

Új 10 cm 10 cm ¡ 1,1 = 11 cm a) K = 4 ¡ 10 cm = 40 cm K’=4 ¡ 11 cm = 44 cm 44 ¢ 40 = 1,1 10%-kal nõtt a kerülete b) T = 10 cm ¡ 10 cm = 100 cm2 T’= 11 cm ¡ 11 cm = 121 cm2 121 ¢ 100 = 1,21 21%-kal nõtt a területe +10%

12

15. Eredeti

Egyik oldal: 10 cm Másik oldal: 20 cm

Új 10 cm ¡ 0,85 = 8,5 cm 20 cm ¡ 1,15 = 23 cm

a) K = 2 ¡ (20 cm + 10 cm) = 60 cm 63 ¢ 60 = 1,05

K’ = 2 ¡ (23 cm + 8,5 cm) = 63 cm 5%-kal nõtt a kerülete

b) T = 10 cm ¡ 20 cm = 200 cm2 195,5 ¢ 200 = 0,9775

T’ = 23 cm ¡ 8,5 cm = 195,5 cm2 2,25%-kal csökkent a területe

16. a) 19 versenyen indult

d)

b) kb. 10,5%

c) 52,6%

2. helyezés (3 db) 3. helyezés (5 db) 1. helyezés (2 db)

5. helyezés (3 db) 4. helyezés (6 db)

17. a) b)

c)

Eredmény

Jeles

Jó

Közepes

Elégséges

Elégtelen

Nem vizsgázott

Fõ

4

7

1

%

. 23,3

10 . 33,3

6

. 13,3

20

. 3,3

2 . 6,6

%

33,3%

10 9

20%

10

8 7 6

3,3% . 6,66%

7 6

5 4 3

13,3%

4

2 1

1

0

Jeles

Jó

Közepes

Elégséges

Elégtelen

18. a) Jeles: 10% ¡

Jó: 26,6 % ¡ Közepes: 33,3 % Elégséges: 20% ¡ Elégtelen: 3,3 % ¡ Nem írt: 6,6 %

b) Átlag:

23,3%

33,3%

2 Nem vizsgázott

Jeles

Elégséges

Jó

Elégtelen

Közepes

Nem vizsgázott

Jeles Jó

20%

Közepes Elégséges

3,3% 7%

27% 10%

Elégtelen Nem írt

90 ª 3, 2 28

13


19. 42 = 2 ¡ (x + 0,75x)

42 = 3,5x x =12 cm Egyik oldal: 12 cm (Vagy: Következtetéssel: A félkerület 21 cm. Az egyik oldal 100%, a másik 75% Þ 21 cm az 175% Þ akkor a 100% 12 cm.) Másik oldal: 9 cm T = 12 cm ¡ 9 cm = 108 cm2 20. a) 10 km-en

100 km-en b) 10 km-en 40 km-en

7 (l) 7 (l) ¡ 10 = 70 (l) 7 (l) 7 (l) ¡ 4 = 28 (l) ↑ 20% Összes üzemanyag 100% ® 28 (l) ¡ 5 = 140 (l)

21. Az eredeti ár: x.

A 10% leszállítás utáni ár: 0,9 ¡ x, ekkor a haszon: 1,08 ¡ x. Kérdés: Mekkora a haszon x eladási árnál? 1,08 ¢ 0,9 = 1,2 Þ 20% volt a leszállítás elõtt a haszon. 22. 2 ◊ 1, 25 = 2, 5 =

25 5 = 10 2

5 2 reciproka 2 5 1 2 -nek hány %-a a ? 2 5 2 1 2 4 80 1 : = ◊2 = = Æ 80% Æ -et 20%-kal kell csökkenteni 5 2 5 5 100 2 Rejtvény: 1 A gyorshajtók -része nem 5%-a az összes autósnak. 5 1 1 1 ◊ = = 0, 03 = 3, 3% 6 5 30

5. Kamatszámítás. Gazdálkodj okosan! 1. a) 10 000 ¡ 1,07 = 10 700 Ft

b) [(10 000 ¡ 1,07) ¡ 1,07] ¡ 1,07 = 12 250,43 Ft c) 12 250,43 : 10 000 = 1,225043 22,5%-kal növekedett az összeg. 2. a) 10 ¡ 1,05 = 10,5kg

b) 4. nap végén

14

3. 1 év múlva 10 000 ¡ 0,97 = 9700 Ft

2 év múlva 9700 ¡ 0,97 = 9409 Ft 3 év múlva 9409 ¡ 0,97 = 9126,73 Ft 4 év múlva 9127 ¡ 0,97 = 8852,9281 Ft 5 év múlva 8853 ¡ 0,97 = 8587,34 Ft 4. x ¡ 1,05 = 20 000

x » 19 048 Ft 5. [(x ¡ 1,05) ¡ 1,05] ¡ 1,05 = 20 000

x » 17 277 Ft 6. a) {[(10 000 ¡ 1,05) ¡ 1,05] ¡ 1,05} ¡ 1,05 = 12 155 Ft

b) 04 év múlva: 12 155 Ft (Kerekített értékek.) 05 év múlva: 12 763 Ft 06 év múlva: 13 401 Ft 07 év múlva: 14 071 Ft 08 év múlva: 14 774 Ft 09 év múlva: 15 513 Ft 10 év múlva: 16 289 Ft 11 év múlva: 17 103 Ft 12 év múlva: 17 958 Ft 13 év múlva: 18 856 Ft 14 év múlva: 19 799 Ft 15 év múlva: 20 789 Ft 7. 20 000 ¡ 1,25 = 25 000 Ft-ot kell visszafizetni. 8. 30 000 + 20 000 ¡ 1,1 = 52 000 Ft-ba fog ténylegesen kerülni a gép. 9. 50 000 ¡ 1,005 ¡ 1,005 = 50 501,25 Ft.

Ebbõl Józsi mindenképpen kifizet legalább 500 Ft-ot, így marad neki 50 001,25 Ft-ja. Nem érdemes erre az idõre a pénzét bankba tennie. 10. a) 1 év múlva: 20 000 ¡ 1,05 = 21 000 Ft

2 év múlva: (20 000 + 21 000) ¡ 1,05 = 43 050 Ft 3 év múlva: (20 000 + 43 050) ¡ 1,05 = 66 202,5 Ft 4 év múlva: (20 000 + 66 202,5) ¡ 1,05 = 90 512,625 Ft-ja lesz négy év múlva. b) 4. év végén Ákosnak 90 512,625 Ft-ja van, miután itt már nem takarékoskodik, csak bent tartja pénzét a bankban: {[(90 512,625 ¡ 1,05) ¡ 1,05] ¡ 1,05} ¡ 1,05 = 110018,6614 Ft-ja lesz. Rejtvény: 60%-ában csak a vezetõ ült az autóban. Ennek 60%-nak a 75%-ában vezette férfi. Vagyis: 0,6 ¡ 0,75 = 0,45 ® 45% Az összes személyautó 45%-ában utazott pontosan 1 férfi.

15


6. A hatványozás 1. a) 32 = 3 ¡ 3 = 9

b) d) f) h)

c) 73 = 7 ¡ 7 ¡ 7 = 343 e) 26 = 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 = 64 g) 84 = 8 ¡ 8 ¡ 8 ¡ 8 = 4096

53 = 5 ¡ 5 ¡ 5 = 125 104 = 10 ¡ 10 ¡ 10 ¡ 10 = 10 000 63 = 6 ¡ 6 ¡ 6 = 216 10001 = 1000

2. a) 26 kettõ a hatodikon

b) c) d) e) f)

35 három az ötödiken 0,13 nulla egész egytized a harmadikon (µ4)4 mínusz négy a negyediken 56 öt a hatodikon 74 hét a negyediken

3. 29 = 512 4. a) 64

b) 625

c) 216

d) 64

e) 10 000

f) 16 807

5. a) 24 = 16; 42 = 16; 34 = 81; 43 = 64

24 = 42 < 43 < 34 b) 23 = 8; 32 = 9; (µ2)3 = µ8; (µ3)2 = 9 (µ2)3 < 23 < 32 = (µ3)2 c) 2 ¡ 33 = 54; 2 ¡ (33) = 54; (2 ¡ 3)3 = 216; 23 ¡ 3 = 24 23 ¡ 3 < 2 ¡ 33 = 2 ¡ (33) < (2 ¡ 3)3 5

d)

5

1 5 1 1 Ê1 ˆ Ê 1ˆ ◊ 2 = 16; Ë ◊ 2¯ = 1; Ë ¯ ◊ 2 = ; ◊ ( 2 )5 = 16 2 2 2 16 2 5

5

1 5 1 Ê 1ˆ Ê1 ˆ 5 Ë 2 ¯ ◊ 2 < Ë 2 ◊ 2¯ < 2 ◊ 2 = 2 ◊ ( 2 ) 6. a) 101100 > 10099 7. A =

Ê 2ˆ Ë 3¯

2

=

b) 100101 < 101101

c) 101100 < 101101

4 22 4 < B = = 9 3 3

8. 34 = 81, (µ2)6 = 64; µ54 = µ625; (µ4)3 = µ64

µ54 < (µ4)3 < (µ2)6 < 34 9. a) Legkisebb: 11; 12; 13; 14

Legnagyobb: 44 b) 16-féle c) 11 = 12 = 13 = 14 < 21 < 31 < 41 = 22 < 23 < 32 < 24 = 42 < 33 < 43 < 34 < 44 10. a) Legkisebb: 11 = 12 = 13 = 14 = 15 = 16

Legnagyobb: 66 b) 56 > 65 c) 36-féle d) 28-féle 16

11. 2003-ban: 5000

2004-ben: 5000 ¡ 0,88 = 4400 faj 2005-ben: 4400 ¡ 0,88 = 3872 faj 2006-ban: 3872 ¡ 0,88 = 3407 faj 2007-ben: 3407 ¡ 0,88 = 2998 faj 2008-ban: 2998 ¡ 0,88 = 2638 faj 2009-ben: 2639 ¡ 0,88 = 2322 faj 2010-ben: 2322 ¡ 0,88 = 2043 faj 12. 10 perc elteltével: 210 = 1024

1h = 60 perc elteltével: 260 Nem lehetséges, hogy egy baktériumból osztódással 1 óra elteltével 260 db legyen, mivel közben el is pusztul valamennyi. 13. a) 7%-os az éves kamat

b) » 14 026 Ft-ot (14025,5173 Ft) c) 10 000 ¡ 1,086 » 15 869 Ft-ot 0=1 14. a) 2 ______

21 = 2 22 = 4 23 = 8 4 = 16 2 _______ 25 = 32 26 = 64 27 = 128 8 = 256 2 ________ 29 = 512 ¡¡ ¡ A 3. hatvány 8-ra, a 10. hatvány 4-re, a 20. hatvány 6-ra, 2007-dik hatvány 8-ra végzõdik. A szabályt a 4-es maradék adja, a kitevõ 4-gyel osztva mennyi maradékot ad. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. b) 31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 _______ 35 = 243 36 = 729 37 = 2187 38 = 6561 _________ 39 = 19 683 ¡¡ ¡ A 3. hatvány 7-re, a 10. hatvány 9-re, a 20. hatvány 1-re, a 2007-dik hatvány 7-re végzõdik. A szabályt a kitevõk 4-es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. 17


c) 41 = 4 42 = 16 3 = 64 4 _______ 44 = 256 45 = 1024 6 = 4096 4 _________ 47 = 16 384 8 = 65 536 4 ___________ 49 = 262 144 ¡¡ ¡ A 3. hatvány 4-re, a 10. hatvány 6-ra, a 20. hatvány 6-ra, a 2007-dik hatvány 4-re végzõdik. A szabályt a kitevõk 2-es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végzõdik. d) 61 = 6 62 = 36 63 = 216 64 = 1296 65 = 7776 ¡¡ ¡ Bármely kitevõ esetén az eredmény 6-ra végzõdik. Rejtvény: (22)3 = 22 ¡ 22 ¡ 22 = 26 (23)2= 23 ¡ 23 = 26 (22)3 = (23)2

7. Mûveletek azonos alapú hatványokkal 1. a) 26

b) 24

2. a) µ25 = µ32

d) µ23 = µ8 3. a) 33 = 27

d)

63

= 216

c) 23

d) 29

e) 28

f) 26

b) µ25 = µ32 e) µ27 = µ128

c) 25 = 32 f) (µ2)6 = 64

b) 52 = 25 e) 91 = 9

c) 72 = 49 f) 0,14 = 0,0001

4. A = 5; B = µ5; C = 5; D = µ5

B=D
b) 56 > 55

c) 75 > µ(75)

d) 64 = 64

6. a) 212 = 4096

b) 66 = 46 656 f) 2010

c) 515

d) 0,110

e) 350 7. a) 24

b) 35

18

c) 212

d) µ73

e) 0,111

f) 102

8.

22

27

26

29

25

21

24

23

28

Rejtvény: x ¡ 2 = Y2 = Z3 x ◊ 2 = 82 Ô¸ ˝ x = 32 x ◊ 2 = 43 Ô˛ A százlábúnak 68 lába nem fáj.

8. Mûveletek azonos kitevõjû hatványokkal 1. a) 153 = 3375 2. a)

8 27

3. a)

Ê 3◊ Ë

3

b) 104 = 10 000 1 b) 256

c) 212 = 441 25 c) 4

d) 125 = 248 832 161 051 d) 32 768

3

2ˆ 216 27 Ê 6ˆ = = = ¯ Ë ¯ 4 4 64 8 4

1 500 625 Ê7 ˆ b) Ë ◊ 5¯ = 8 4096 2

c)

2

441 Ê 3 ˆ Ê 21ˆ - ◊7 = = Ë 4 ¯ Ë 4¯ 16 5

5

32 768 Ê2 ˆ Ê 8ˆ d) Ë ◊ 4¯ = Ë ¯ = 5 5 3125 4. a)

b)

(32

◊ 5 ) = ( 32 ) ◊ 53 = 36 ◊ 53 = 729 ◊ 125 = 91125 3

(2 ◊ 53 )4 = 2

3

24 ◊ (53 ) = 24 ◊ 512 = 16 ◊ 244140625 = 3906250000 4

2

Ê 72 ˆ Ê 73 ˆ 76 117 649 c) Á 3 ◊ 7˜ = Á 3 ˜ = 6 = Ë3 Ë3 ¯ ¯ 729 3 5

5 5 5 Ê (22 )5 ˆ 5 Ê Ê 210 ˆ Ê 45 ˆ 43 ˆ d) Á 42 ◊ 3 ˜ = Á 3 ˜ = Á 3 ˜ = Á 3 ˜ = (27 ) = 235 Ë 2 ¯ Ë Ë2 ¯ Ë2 ¯ 2 ¯

5. a) (23 ¡ 3)2 < (22 ¡ 3)3

b) (23 ¡ 24)2 < (24 ¡ 22)3

26 ¡ 32 < 26 ¡ 33

(27 )2

= 214 < (26 ) = 218 3

19

S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 7 – A K I T Û Z Ö T T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E 2

3 Ê 25 ˆ c) Á 23 ◊ 2 ˜ < (22 ◊ 22 ) Ë ¯ 2

d)

(26 )2

3 (23 ◊ ( -3))2 > (( -22 ) ◊ 3)

= 212 = (24 ) = 212 3

26 ¡ 32 > µ26 ¡ 33

6. A = 212 ¡ 512

B = (µ2)12 ¡ 59 = 212 ¡ 59 C = µ512 ¡ (µ2)12 = µ(512) ¡ 212 = µ(512 ¡ 212) D = 213 ¡ 513 C
Ó

=3

b)

Ò

=2

c)

Ð

=5

d)

Ñ

=3

8. a)

Õ

=3

b)

Õ

=8

c)

Õ

=6

d)

Õ

=3

9. A = 28 ¡ 312

B = 216 ¡ 312 C = ( 43 ◊ 24 )3 = A
((22 )3 ◊ 24 )

3

= ( 26 ◊ 24 )3 = (210 ) = 230 = 216 ◊ 214 3

20022007 + 20022008 ↑ ↑ 8-ra végzõdõ szám 6-ra végzõdõ szám (A 2002 egymás utáni hatványainak eredményében észrevehetõ szabályosságból állapítható meg, a kitevõk 4-es maradékából.) 8-ra és 6-ra végzõdõ szám összege 4-re fog végzõdni. 1 + 2002 Vagy: 20022007 + 20022007 + 1 = 20022007 + 20022007 ¡ 2002 = 20022007 ◊ ( ) Ø 8-ra végz.

2003

Ø 3-ra végz.

11. a) 23 + 33 = 35; (2 + 3)3 = 125; (µ2)3 + (µ3)3 = µ35

(µ2)3 + (µ3)3

23 + 33

<

<

(2 + 3)3

b) 24 + 34 = 97; (2 + 3)4 = 625; (µ2)4 + (µ3)4 = 97 24 + 34

= (µ2)4 + (µ3)4

<

(2 + 3)4

c) 23 + 32 = 17; (2 + 3)3 = 125; (µ2)3 + (µ3)2 = 1 (µ2)3 + (µ3)2

23 + 32

<

<

(2 + 3)3

12. Mivel a különbözõ jelek helyén azonos számok is állhatnak, ezért a megoldások:

a) Legkisebb: (52 ◊ 52 ) = (54 ) = 58 2

2

Legnagyobb: (53 ◊ 53 ) = (56 ) = 518 3

20

3

Ô

=2

Ö

=2

Ô

=3

Ö

=3

4 72 2 = 7 7 ◊ 33 33 Számlálóba a lehetõ legkisebb kitevõt írjuk, a nevezõbe pedig a legnagyobbat.

b) Legkisebb:

6 73 3 = 7 7 ◊ 22 22 A számlálóba a legnagyobb hatványkitevõt írjuk, a nevezõbe pedig a legkisebbet.

Legnagyobb:

2

c) Legkisebb: 42 = 44 3 Legnagyobb: 43 = 427

Ô

=2 Ô=3

Ö

d) Legkisebb: (42)2 = 42 Legnagyobb: (43)3 = 49

Ô

Ö

=2 Ô=3

=2 Ö=3 =2 Ö=3

Rejtvény: 5 A legnagyobb szám: 5(5 ) = 53125

9. Prímszámvadászat 1. A 2007 összetett szám és páratlan. Páratlan számot egy páros és egy páratlan össze-

geként kaphatunk. Ha egy szám páros, akkor osztható kettõvel, azaz nem prím, kivéve a kettõt. Ha az egyik prímszám a 2 lenne, akkor a másik szám a 2005, ez pedig nem prím szám. Tehát nem írható fel a 2007 két prímszám összegeként. 2. a) 10-nél kisebb prímek: 2; 3; 5; 7

Lehetséges szorzatok 1-et hozzáadva: 2¡3+1=7 2 ¡ 5 + 1 = 11 2 ¡ 7 + 1 = 15 3 ¡ 5 + 1 = 16 3 ¡ 7 + 1 = 22 5 ¡ 7 + 1 = 36 6 különbözõ számot kapunk. b) Az eredmények közül prímek: 7; 11 3. a) 252 = 22 ¡ 32 ¡ 7

c) 300 = 22 ¡ 3 ¡ 52 4. a) (12; 26) = 2

c) (12; 66) = 2 ¡ 3 = 6 5. a) [6; 8] = 23 ¡ 3 = 24

c) [12; 15] = 22 ¡ 3 ¡ 5 = 60

b) 720 = 24 ¡ 32 ¡ 5 d) 2475 = 32 ¡ 52 ¡ 11 b) (8; 40) = 8 d) (35; 60) = 5 b) [8; 20] = 23 ¡ 5 = 40 d) [26; 4] = 22 ¡ 13 = 52

6. a) (23 ¡ 3; 2 ¡ 3 ¡ 5) = 2 ¡ 3 = 6

[23 ¡ 3; 2 ¡ 3 ¡ 5] = 23 ¡ 3 ¡ 5 = 120 b) (7 ¡ 112; 2 ¡ 3 ¡ 73) = 7 [7 ¡ 112; 2 ¡ 3 ¡ 73] = 73 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 112 = 249 018 c) (53 ¡ 72 ¡ 11; 5 ¡ 72 ¡ 113) = 5 ¡ 72 ¡ 11 = 2695 [53 ¡ 72 ¡ 11; 5 ¡ 72 ¡ 113] = 53 ¡ 72 ¡ 113 = 8 152 375 21


d) (2 ¡ 32 ¡ 52 ¡ 7; 5 ¡ 73 ¡ 112) = 5 ¡ 7 = 35 [2 ¡ 32 ¡ 52 ¡ 7; 5 ¡ 73 ¡ 112] = 2 ¡ 32 ¡ 52 ¡ 73 ¡ 112 = 18 676 350 7. a)

c)

8. a)

24 ( 22 ◊ 3 ) ◊ 2 2 = = 60 ( 22 ◊ 3 ) ◊ 5 5

b)

32 ( 23 ) ◊ 22 4 = = 56 7 ( 23 ) ◊ 7

( 2 ◊ 5) ◊ 11 110 11 = = 200 ( 2 ◊ 5) ◊ 22 ◊ 5 20

d)

( 5 ◊ 7) ◊ 1 35 1 = = 700 ( 5 ◊ 7) ◊ 5 ◊ 22 20

1 5 1◊ 3 5 ◊ 22 3 20 23 + = 3 + 3 = + = 8 6 24 24 24 2 ◊3 2 ◊3 N N 23

b)

2◊ 3

1 5 1◊ 5 5◊2 5 10 15 1 + = 2 + = + = = 12 30 2 ◊ 3 ◊ 5 22 ◊ 3 ◊ 5 60 60 60 4 N N

22 ◊ 3

c)

1 7 1◊ 3 7◊2 3 14 17 + = 2 + 2 = + = 4 6 12 12 12 ◊ ◊ 2 3 2 3 N N 22

d)

2◊ 3◊5

2◊ 3

1 5 1 ◊ 22 5◊5 4 25 29 + = 2 + 2 = + = 15 12 60 60 60 ◊ ◊ ◊ ◊ 2 3 5 2 3 5 N N 22 ◊ 3

3◊5

9. Relatív prímek: (4; 7); (7; 30); (7; 50); (21; 50); (4; 21) 10. [15; 20] = 22 ¡ 3 ¡ 5 = 60

Indulástól számítva 60 perc, azaz 1 óra múlva, reggel 6 órakor indulnak ismét el egyszerre a buszok. 11. [4; 6] = 12

A két hajó az indulástól számítva 12 hónap múlva indul el ismét együtt a kikötõbõl. 12. [3; 8] = 24

[6; 8] = 24 [12; 8] = 24 [24; 8] = 24 13. (x; 2 ¡ 52) = 2 ¡ 5

[x; 2 ¡ 52] = 22 ¡ 52

x = 22 ¡ 5 = 20

14. a) (23 ¡ 32 ¡ 5y; 2x ¡ 3 ¡ 53) = 2 ¡ 3z ¡ 52

x=1 b)

[23

y=2

32

¡ x=1

¡

5x

;

2y

33

¡ ¡ 5] = y=4

z=1 24

15. (23 ¡ 3; x) = 2 ¡ 3

Legkisebb kétjegyû szám: 18 Legnagyobb kétjegyû szám: 54

22

¡ 3z ¡ 5 z=3

Rejtvény: Legidõsebb: 17 éves Középsõ: 13 éves Legfiatalabb: 3 éves

10. Nagyon nagy számok 1. a) 2 db százas

b) 2,23 ¡ 103 = 2230 = 2 E + 2 Sz + 3 t + 0 e c) 8,8765 ¡ 104 = 88765 = 8 TE + 8 E + 7 sz + 6 t + 5 e d) 3,44454 ¡ 105 = 344454 = 3 SZE + 4 TE + 4 E + 4 sz + 5 t + 4 e 2. a) 245 = 2,45 ¡ 102

b) 3400 = 3,4 ¡ 103 c) 213,45 = 2,1345 ¡ 102 d) 2342,332 = 2,342332 ¡ 103 3. a) 20 ¡ 102 = 2 ¡ 103

b) c) d) e)

22,12 ¡ 10 = 2,212 ¡ 102 211,1 ¡ 105 = 2,111 ¡ 107 10 ¡ 102 = 1 ¡ 103 25 millió = 2,5 ¡ 107

4. a) 27797 = 2,7797 ¡ 104

b)

Város

Ország

Elõvárosokkal 7

Elõvárosok nélkül

1

Tokió

Japán

3,5197 ¡ 10

8,12431 ¡ 106

2

Mexikóváros

Mexikó

1,9411 ¡ 107

8,538639 ¡ 106

3

New York

USA

1,8718 ¡ 107

8,158957 ¡ 10

6

c) Egy személy rekordja: 3,03621 ¡ 105 Csapatrekord: 4,079381 ¡ 106 d) 5,7 ¡ 104 db 5. a) 14 ¡ 105 = 1,4 ¡ 106

b) 36 ¡ 109 = 3,6 ¡ 1010 c) 15 ¡ 107 = 1,5 ¡ 108 d) 22 ¡ 1010 = 2,2 ¡ 1011 6. a) 3 ¡ 102

b) 4 ¡ 102 c) 0,3 ¡ 103 = 3 ¡ 102 d) 1,2 ¡ 102 7. a) 8 ¡ 105 ¡ 4 ¡ 103 = 32 ¡ 108 = 3,2 ¡ 109

b) (8 ¡ 105) ¢ (4 ¡ 103) = 2 ¡ 102 23


c) 8 ¡ 105 + 4 ¡ 103 = 804 000 = 8,04 ¡ 105 d) 8 ¡ 105 µ 4 ¡ 103 = 796 000 = 7,96 ¡ 105 e)

8 ◊ 105 = 2 ◊ 102 4 ◊ 103

8. a) 2 ¡ 104 ¡ 5,3 ¡ 103 = 10,6 ¡ 107 = 1,06 ¡ 108

b) 1,2 ¡ 105 ¡ 5 ¡ 102 = 6 ¡ 107 c)

15 ◊ 105 = 3 ◊ 102 5 ◊ 103

d)

54 ◊ 105 = 18 ◊ 10 = 1, 8 ◊ 102 3 ◊ 104

9. a) 23 000 = 2,3 ¡ 104

b) 65 800 = 6,58 ¡ 104 c) 42 700 = 4,27 ¡ 104 d) 844 000 = 8,44 ¡ 105 10. a) (2 ¡ 102 ¡ 1,5 ¡ 103)3 = 33 ¡ 1015 = 2,7 ¡ 1016

b) (8 ¡ 104)4 = 4096 ¡ 1016 = 4,096 ¡ 1019 4

c)

Ê 32 000 ˆ = 804 = ( 8 ◊ 10)4 = 4096 ◊ 104 = 4, 096 ◊ 107 Ë 400 ¯

d)

Ê 24 000 ˆ = 2003 = 8 ◊ 106 Ë 120 ¯

3

11. a) 60 ¡ 300 000 km = 18 ¡ 106 km = 1,8 ¡ 107 km

b) 3600 ¡ 300 000 km = 108 ¡ 107 km = 1,08 ¡ 109 km c) 24 ¡ 1,08 ¡ 109 km = 25,92 ¡ 109 = 2,592 ¡ 1010 km d) 365 ¡ 2,592 ¡ 1010 = 946,08 ¡ 1010 km = 9,4608 ¡ 1012 km 12. magasság = M =1 mm

T = 600 km2 = 6 ¡ 1014 mm2 V = M ¡ Talap = 1 mm ¡ 6 ¡ 1014 mm2 = 6 ¡ 1014 mm3 = 6 ¡ 108 dm3 = 6 ¡ 108 (l) 13. a) Fény

1 s alatt 300 000 km-t tesz meg, 1 év alatt 9,4608 ¡ 1012 km-t, 4,2 év alatt 4,2 ¡ 9,4608 ¡ 1012 km = 39,73536 ¡ 1012 km = = 3,973536 ¡ 1013 km-re van ez a csillag a Földtõl.

km h s = 3,973536 ¡ 1013 km

b) v = 515

t =

s 3, 973536 ◊ 1013 km = = 0, 0077156 ◊ 1013 h = 7, 7156 ◊ 1010 h km v 515 h

Az út 7,7156 ¡ 1010 h-ig tartana. 24

Rejtvény: 1 ember karfesztávolsága kb.1,5 m Föld egyenlítõi kerülete kb. 40054,719 km = 4,0054719 ¡ 104 km = 4,0054719 ¡ 107 m 4,0054719 ¡ 107 m/1,5 m » 2,67 ¡ 107 = 26 700 000 fõ Megközelítõleg 26,7 millió ember tudná körülölelni a Földet.

11. Vegyes feladatok 1. 7 + 36 ¢ 4 ¡ 2 = 25

401 = 0, 8003992 501 4001 b) = 0, 80003999 5001

2. a)

c)

4 = 0, 8 5

d)

41 = 0, 8039215 51 4 4001 401 41 < < < 5 5001 501 51

3. a)

b)

1 Ê 2 4ˆ 2 1 2 3 1 1 4 : = + ◊ = + = 15 Ë 3 5 ¯ 3 15 15 2 15 5 15 7 Ê3 5ˆ 7 12 - 5 7 7 49 ◊ - 0,1 ◊ = ◊ = ◊ = 6 Ë5 2¯ 6 20 6 20 120

c) 2 : Ê 10 - 2 ˆ - 2 = 2 : 6 - 2 = 2 ◊ 14 - 2 = 14 - 6 = 8 3 Ë 14 7 ¯ 3 3 14 3 3 6 3 9 9 9 d)

5 1 ˆ 1 1 2 1 Ê 7 + = + = 2008 Ë 2008 2008 ¯ 2004 2008 2008 2008

4. a) Ñ = -

b) Ó =

11 6

120 721

c) Ò = µ0,4 d) Ð = 0,2 2 (l) = 17,7 db 3 2 7 7 17 db csupor lesz tele, a tizennyolcadikba (l) ◊ = (l) méz kerül. Az utolsó 3 10 15 7 csupor részéig telik meg. 10

5. a) (8,5 (l) + 3,3 (l)) ¢

25


6. a)

1 1 2

2¯ 2 3

b)

2 3 1 2

¯ 4 9

1 2

1-

<

4

<

1 3

1 2

>

1 2

1¯ 6 9

<

1 1+

2

¯

2-

c)

<

1 1+

1 1+

1 2

¯ ¯ 2 10 3 9 > = = 3 15 5 15 d)

0, 4 0, 2 < 1 1 212 1 + 0, 5 ¯ 4 15

7. a) Ò =

< 5 8

b) Ò = c) Ò =

8.

Ó= 3 8

13 24

d) Ò = -

¯ 3 9 = 5 15

11 24

6 8

Ó= Ó=

Ñ= 2 8

14 24

Ó= -

10 24

7 8

Ñ= Ñ=

1 8

15 24

Ñ= -

9 24

1020 + 1022 1020 + 1020 ◊ 102 1020 ◊ 101 101 = = = = 5, 05 21 21 21 20 10 + 10 2 ◊ 20 1021 ◊ 2

Az 5-ös számhoz áll a legközelebb. 9.

1 3 1 nap=6 óra alatt -ét szétosztotta. Hátra van még az -e, amihez 2 óra szükséges. 4 4 4 Az egész zsákot 8 óra alatt osztotta szét.

26

10. a) 1793,4+2620,8 kJ = 4414,2 kJ

b) 1612,8+763+134,4 kJ = 2510,2 kJ

c) 604,8+1908 kJ = 2512,8 kJ 11. Arányos téglalapok

2Y = 5 X Æ X =

2 Y 5

1. téglalap

2 3◊ Y 3X 5 = 2 része = 3Y 3Y 5

3X

2. téglalap

2Y

5X 3Y

12. 1 ¢ 9 arány ® 40 dl.

1 dl szörphöz kell 9 dl vizet adni. 4 dl szörp van az üvegben. 13.

◊

5 8

8 fõ

5 nap

8 óra/nap 5 : 8

5 fõ ◊ 5 fõ

4 5

5 nap

fordított arány 12,8 óra/nap

4 : 5 4 nap

fordított arány 16 óra/nap

16 órát kell naponta dolgozniuk, hogy elkészüljenek. 14. 3 kendermagos tyúk 3 nap

1 kendermagos tyúk 3 nap 1 kendermagos tyúk 1 nap 4 gyöngytyúk 1 gyöngytyúk

4 nap 4 nap

1 gyöngytyúk

1 nap

3

30 dkg mag 10 dkg mag 1 10 dkg = 3 dkg magot eszik meg. 3 3 40 dkg mag 10 dkg mag 10 1 dkg = 2 dkg magot eszik. 4 2

1 1 2+3 5 +2 = 5 = 5 dkg-ot esznek meg. 3 2 6 6

15. Felnõtt: 4000-nek 85%-a: 4000 ¡ 0,85 = 3400 fõ

Férfi: 3400-nak 40%-a: 3400 ¡ 0,4 = 1360 fõ 1360 fõ férfi volt az elõadáson. 16. 20 db

1200 Ft 1 db 1200 ¢ 20 = 60 Ft Árleszállítás után: 1 db 60 ¡ 0,8 Ft = 48 Ft 1200 ¢ 48 = 25 25 db-ot vehetnénk az árleszállítás után. 5 db-bal többet.

17. 10%-os kamat

évente 3000 Ft vissza 4 ¡ 3000 Ft = 12 000 Ft

10 000 ¡ 1,1 ¡ 1,1 ¡ 1,1 ¡ 1,1 = = 14 641 Ft Akkor járunk jobban, ha 10%-os kamatra bankba tesszük a pénzt, így 4 év után 14641 Ftunk lesz, míg ha évente 3000 Ft-ot kapunk vissza, csak 12000 Ft-unk lesz. 27


18. a) 12

b) 16 d) nincs a kártyák között ilyen

c) 13 e) 17

19. Nem igaz, például: 64, 36, ….. 20. Legkisebb: µ102 21. a) Ò = 3

b) Ó = 9

c) Ð = 5

d) Ô = 2

22. 1 = B = D = F 3

1 13 1 Ê 1ˆ = 3 < B = = Ë 4¯ 4 4 4

23. a) A =

3

3

1 1 Ê 1ˆ Ê 1ˆ = 6 < D= = 3 Ë 4¯ Ë ¯ 2 2 2

b) C =

3

2

1 1 Ê 1ˆ Ê 1ˆ c) E = = - 3 < F = = 2 Ë 4¯ Ë 4¯ 4 4 4

6

1 1 Ê 1ˆ Ê 1ˆ d) G = = 8 < H = = 6 Ë 4¯ Ë 2¯ 2 2 24. a) Egy sorban, oszlopban, átlóban a hatványkitevõk összege 16 vagy nagyobb legyen.

Több megoldás lehetséges. b) Lásd a) c) A kitevõk összege 10 vagy nagyobb legyen a) b) 9

5

7

9

5

c) 7

3

5 Ò

4

52

56

2

2

2

3

3

25

27

29

35

3 Ò

7

39

56

54

52

27 Ò

29

25

37

39

35

52

56

54

Ò = 27

Ò = 37

Ò = 54

25. [8; 12] = 24

24 s múlva ugatnak egyszerre. 26. [20; 28] = 140

140 s múlva hallhatjuk újra, hogy a két csepp egyszerre csapódik be. 27. a) 7,343 ¡ 1019 t = 7,343 ¡ 1022 kg

b) 81 ¡ 7,343 ¡ 1022 kg = 594,783 ¡ 1022 kg = 5,94783 ¡ 1024 kg

28

2. Algebrai kifejezések 1. Algebrai kifejezés 1. a) x + 5

d)

b) x ¡ 5

x 5

2. 2 ¡ y + x

x+y x+4¡y 2¡x+y 2¡x+2¡y 2¡x+3¡y

c) x µ 5 1 f) x

e) µx

a felsoroltak közül nincs megfelelõ szakasz a) a megfelelõ szakasz c) a megfelelõ szakasz b) a megfelelõ szakasz d) a megfelelõ szakasz e) a megfelelõ szakasz

3. a) 2p + 2q

b) 2p2 + 4pq

c) p ¢ q

d) (p + q) ¢ 2

4. A – 3.; B – 5.; C – 2.; D – 4.; E – 1.

b) 4 ◊ s +

5. a) 28 ¡ 4 ¡ s + b

b 28

6. k µ 0,25k = 0,75k Ft-ba kerül a kabát. 7.

f ◊k 10

8. a) x ¡ m 9.

b) x ¡ m µ y ¡ ü

k◊a dl üdítõ jut egy pohárba. b

10. A szárak hossza:

k-a . 2

11. a) Kati most háromszor annyi idõs, mint amennyi Matyi volt b évvel ezelõtt. Hány évesek

most? b) Kálmán most kétszer annyi idõs, mint amennyi d évvel ezelõtt Peti volt. Most hány évesek? 12. a + b = b + a

a¡b=b¡a

(a + b) + c = a + (b + c) (a ¡ b) ¡ c = a ¡ (b ¡ c)

Rejtvény:

29


2. Behelyettesítés 1. a) Vegyük észre, hogy B = F és C = E.

a = 5 helyettesítés esetén A=8 B=2

C = µ2

D = µ8

E = µ2

F=2

a = µ2 helyettesítés esetén A=1 B = µ5 C=5

D = µ1

E=5

F = µ5

a = 1,4 helyettesítés esetén A = 4,4 B = µ1,6 C = 1,6

D = µ4,4

E = 1,6

F = µ1,6

2 helyettesítés esetén 3 2 1 1 A= 3 B = -2 C= 2 3 3 3 a=

D = -3

2 3

E= 2

1 3

F = -2

b) Vegyük észre, hogy A = E és C = F. b = 1 helyettesítés esetén A=2

B=1

1 2

C=

1 2

D=2

E=2

F=

b = µ2 helyettesítés esetén A = µ4 B=4 C = µ1

D = µ1

E = µ4

F = µ1

b = 4 helyettesítés esetén A=8 B = 16

D=

1 2

E=8

F=2

D=

4 3

E=3

F=

C =2

3 helyettesítés esetén 2 9 3 A=3 B= C= 4 4 b=

2.

3 4

x

µ2,5

µ2

µ1

µ0,5

0

0,5

1

2

2,5

3xµ2

µ9,5

µ8

µ5

µ3,5

µ2

µ0,5

1

4

5,5

3µ2x x µ2 3 xµ2 3

8

7

5

4

3

2

1

µ1 1 µ1 3

µ2 1 µ1 6 1 6

5 6 3 µ 2

µ2

30

2 3 4 µ 3

µ2

µ2

1 3

µ1

1 6 5 µ 6

µ2

µ2 µ

2 3

µ1

5 6

µ0,5

2 3 1 µ 3

µ1

0

1 3

y 8 7 6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6 x

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

3. a) x + y = 4,5

2x + y = 5 x µ 2y = 0,5 µ 2 ¡ 4 = µ7,5 1 1 7 b) 2a µ b + 1 = -4 - + 1 = -3 - = 2 2 2 b µ 2a µ 1 =

7 2

µa + 2b + 1 = 4

x¡y=2

µ2b µ a µ 1 = 0

4. Az a ¡ b µ 3 algebrai kifejezés a = 0 és b = µ1 helyen vett helyettesítési értéke µ3.

1 Az a ¡ b µ 3 algebrai kifejezés a = µ0,1 és b = helyen vett helyettesítési értéke 2 1 1 1 60 61 ◊ -3= = µ3,05. 10 2 20 20 20 . 1 Az a ¡ b µ 3 algebrai kifejezés a = és b = µ2 helyen vett helyettesítési értéke µ3,6. 3 1 2 9 11 ◊ ( -2) - 3 = - - = 3 3 3 3 Az a + 3b µ 1 algebrai kifejezés a = 0 és b = µ1 helyen vett helyettesítési értéke µ4. 1 Az a + 3b µ 1 algebrai kifejezés a = µ0,1 és b = helyen vett helyettesítési értéke 0,4. 2 1 Az a + 3b µ 1 algebrai kifejezés a = és b = µ2 helyen vett helyettesítési értéke µ6,6. 3 1 1 1 21 20 + ( -6 ) - 1 = - 7 = = 3 3 3 3 3 1 Az a µ b algebrai kifejezés a = 0 és b = µ1 helyen vett helyettesítési értéke 1. 2 1 1 a µ b algebrai kifejezés a = µ0,1 és b = helyen vett helyettesítési értéke 2 2 1 Ê 1ˆ 1 1 10 11 ◊ - = = µ0,55. 2 Ë 10 ¯ 2 20 20 20 Az

31


Az

. 1 1 a µ b algebrai kifejezés a = és b = µ2 helyen vett helyettesítési értéke 2,16. 2 3

1 1 1 1 13 ◊ +2 = +2 = 2 = 2 3 6 6 6 a) 140

b) 127

c) 97

d) 75

6. A víz 100 °C-on forr, ez 212 Fahrenheit-fok, és 0 °C-on fagy meg, ez 32 Fahrenheit-fok. 7.

Þ 2¡k+3¡t 8. a)

x

µ2

µ0,5

0

0,5

1

3

y

µ5

µ2

µ1

0

1

5

b) y = 2x µ 1 c)

1 a

9. a + 2;

(µx)2;

10.1 µ x; 11. a) 3

b) 4 g) 14

f) 12 12. a Á Ñb=

1 ¡ (a + b) 2

Ñ2=µ (µ3) Á

1 2

1 x

2x; c) µ6 2Á Ñ 0,5 =

d) 0 5 4

e) 9 1,5 Á Ñ (µ2,5) = µ

1 2

1,2 Á Ñ 3,6 = 2,4

13. Háromféle lehet µ2, 0, 2 14. 8 ilyen szám képezhetõ. Összegük 1444.

Rejtvény: A 7 házban összesen 49 macska megevett 343 egeret. 343 egér megevett 2401 kalászt, melyekben összesen volt 16 807 szem. Ezek a számok a 7 hatványai. 71 + 72 + 73 + 74 + 75 = 19 607

32

3. Mûveleti sorrend Ê Ë

1. a) 20 + 3 2.

xˆ ◊ 10 2¯

b)

Ê 100 ˆ + 25 ◊ 4 - 6 Ë x ¯

Vonjunk ki az y számból 4-et!

Szorozzuk meg a számot 2-vel!

Szorozzuk meg a számot 3-mal!

Szorozzuk meg 6-tal!

Vonjuk ki az 1-bõl!

Adjunk hozzá 1-et!

Adjunk hozzá 3-at!

Osszuk el 3-mal!

Vonjuk ki az 5-bõl!

3. a)

3x + 2 -6 5

b) 53,8

c)

Szorozzuk meg a számot 3-mal!

Adjunk hozzá 2-t!

Osszuk el 5-tel!

Vonjunk ki belõle 6-ot!

4. x

xµ2 3+1

µ2

µ1

0,5

µ0,375

1

µ0,25

2

0

xµ2 +1 3

. 1 µ0,3 µ 3

( (

Êp ˆ +4 Ë2 ¯

0

((

0,5

1

b) 5 ¡ (q µ 2) + 7

3+1

µ2,5

0,5 . 2 0,6 3

1,5

5. C) és E) 6. a) 3 ◊

2

xµ

c)

6-r 9

d)

3s + 4s 7

7. a) az a szám kétszeresébõl levonunk 1-et

b) c) d) e)

a b-nél 3-mal nagyobb számot elosztjuk kettõvel a c-nél 3-mal nagyobb számot szorozzuk 5-tel a d szám felét levonjuk az 1-bõl az e számot kivonjuk az 1-bõl, majd a különbséget kivonjuk a 2-bõl

8. n db 50 forintos 50 ¡ n forint, és ugyanennyit kell fizetni 50 darab n forintos áruért. 9. a) A = C és B = F

b) A = C és B = E és D = F c) A = D és B = E és C = F

10. a) 2(x + 3)

b) x ¡ (2 + 3)

c) 3(x + 2)

d) 2 + (x ¡ 3) 33


Rejtvény: a+a+aµaµa=a a¢a¡a¢a¡a=a

(a µ a) ¢ a + a = a

a¢a¢a¡a¡a=a

vagy

vagy

4. Egytagú és többtagú algebrai kifejezések 1. a) x + y + z = 0,5

b) x + y + z =

x ¡ y ¡ z = µ9

6 2 3 2 9 + 10 19 4 + +0 = + = = =1 10 3 5 3 15 15 5

c) x + y + z = µ3

x¡y¡z=0 x¡y¡z=

2. a) 2a + 3bc kéttagú algebrai kifejezés

b) (a + 3) ¡ 2 (b + 5) egytagú algebrai kifejezés 3. a)

b)

c)

d)

Egytagú: b); többtagú: a) c) d). 4. Egytagú algebrai kifejezések: B) C) D) E) G) 5. a) (2 + x) ¡ (3 + y);

(2 + x) ¡ 3y 2x3y b) 2x + 3y 2x ¡ 3 + y 6. a) többtagú: 60k + p

c) egytagú: 7. a) 2p + 5q

d) 2(p + q) 1 g) p¡2 2 34

m 100

2 ¡ x ¡ (3 + y); (2 + x + 3) ¡ y

2 ¡ (x + 3) ¡ y (x + 3 + y) ¡ 2

2+x+3+y 2 + x3y

(2 + x) ¡ 3 + y

b) többtagú: 7q µ p d) egytagú: 10u 1 pµq 2 e) p ¡ 3q 2 3 h) p◊ q 3 2

b)

c) 1p + 3q 4 7 f) p- q 5 6 i) 2,5p + (µ2)q

75 3 = 18 4 4

8. a) 6

b) µ4 1 f) µ 7

e) 4 3 xy; 2 b) 5 ¡ x ¡ 2 ¡ z;

9. a)

c) x; d) 3xyz; 10. A) 2 ¡ 6ab

E) ba ¡ 12

3 2 h) 4

c) 6

d)

g) 21

5xy;

µ5 ¡ x ¡ 2 ¡ y;

(7 µ 2)xy;

2yx

xz;

10zx; 3 µ x; 5 x ¡ (µ7)yz;

34xz;

µ7zx

9x;

8x

zyx;

µzyx

µ7x; 1 x¡ yz; 2 B) 12 ¡ 1ab 1 F) ab ¡ 24 2

11. a) 4n + 2t

C) 4b ¡ 3a

D) 4b ¡ 3a

G) 12ab

H) a ¡ 6 ¡ 2 ¡ b c) 2x + 3y µ 1z

b) 2k + 3t + 4a

12. a) 1; 2; 3; 6; 9; 18

b) 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 c) 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; d) 1; 2; 4 Minden algebrai kifejezés osztható az m és n természetes számokkal is.

Rejtvény: Ilyen tulajdonságú a következõ 2 egyenlet: 42 + 15 = 23 + 34 43 + 32 = 51 + 24

5. Összevonás – egynemû kifejezések 1. a) 20 ¡ 80

d) 0 2. a) 5 ¡ 1998

b) 6 ¡ 80 e) 78 ¡ 80

c) 3 ¡ 80 f) 888 ¡ 80

b) 2 ¡ 1999

c) 2001

d) 5 ¡ (µ2007) 3. a) 100 ¡ 2007

b) 1 ¡ 1989

c) 0

d) 11

4. n ¡ (75 + 62) = 75 ¡ n + 62 ¡ n =137 ¡ n 5. 2g + t + 3g + m + 2g + m + t = 7g + 2m + 2t 6. a) 5a

b) 2b

7. a) 5x

b) 3y

c) c 11 c) z 12

d) µ3d 11 d) d 30

8. A) B) C) E) 9. a) 2x + 4x + 3y + 5y = 6x + 8y

b) x + 2x + 4 µ 7 = 3x µ 3 c) 2xy + 3xy µ x µ y = 5xy µ x µ y d) 7x2 µ 2x2 + 3x + 4x µ 1= 5x2 +7x µ 1 10. C) a kakukktojás 11. a) 2a µ 3 + a ¡ 4 + 5 = 6a + 2

c 3 2 7 1 - + c +1= c c) 2 2 3 6 2

b) 2b ¡ 3 µ 1 µ b + 2 = 5b + 1

d) 0,8d µ 0,75 + 1,2d µ 0,25 = 2d µ 1 35


12. A) = D)

C) = F)

13. Ez az 1998, hiszen valamely szám duplájából levonva a számot visszakapom az eredetit. 14.

x-

1 2 21x - 7 x - 6 x 8x 8 x- x = = = x 3 7 21 21 21

A hónap 3. hetéig elköltötte a novemberi zsebpénzének a zsebpénzének

8 része. 21

13 részét. Megmaradt a 21

8 32 21 1 = > = 21 84 84 4 Ezek szerint marad elegendõ pénze, hogy megvegye a könyvet. 15. A gondolt szám tízszerese lesz egyenlõ 80-nal. Zsolti a 8-ra gondolt. 16. A kapott szám: 10c + 6c =16c, ami biztosan osztható 1; 2; 4; 8; 16; c; 2c; 4c; 8c; 16c. 17. a) 2x +(1 µ 3x) =1 µ x

c) e) g) i)

b) d) f) h) j)

(5z + 5) µ 3z = 2z + 5 2y µ (2y + 2) = µ2 4x +2 µ (µ3 + 2x) = 2x + 5 µ(y µ 5) + 2y µ 1 = y + 4

µy + (µ4y µ 2) = µ5y µ 2 (4 µ x) + 5x = 4 + 4x 5z µ (3 µ z) = 6z µ 3 1 µ (µx µ 1) + 2x = 2 + 3x 2 + (3z µ 2) µ (2 µ 3z)= µ2 + 6z

Rejtvény: a µ b+c

aµc

a+b

a + 2b µ c

a

a µ 2b + c

aµb

a+c

aµc+b

6. Egytagú algebrai kifejezések szorzása, osztása 1. a) 6 ¡ (1,5 ¡ 1) =9

b) q(1,5p) = 1,5p ¡ q

2. a) Négyféle téglalapot kaphatunk.

b) A területe mindegyik téglalapnak azonos. c) Az a és b oldalú téglalap területe T = 6ab

36

c) q(r ¡ p) = q ¡ r ¡ p

3. a) A terület a négyszeresére növekszik.

c) A terület változatlan marad.

b) A terület a hatszorosára növekszik.

d) Hatod részére csökken a terület.

4. a) 6x

b)

2 x 7

c) µxy

d) 6x2

5. a) 30ab

b) µ18ab

c) 9ab

d) 4,5ab

6. a)

b) 4 ¡ (2x ¡ 3y) = 24xy;

(4 ¡ 2x) ¡ 3y = 24xy;

(4 ¡ 2x) ¡ (4 ¡ 3y) = 96xy

7.

8. a) 24x 9. a)

1 a 2

10. a) 3

e)

ab 2

b) µ30x b) µ

b 4

b) µ4

f)

3 x 10

c) 24x2

d)

c) µ2c

d) µd

c) µb

d) µ12c

2a 3

11. a) Közös tényezõ: 2.

c) Közös tényezõik: x és az 5.

b) Közös tényezõ: 2. d) Közös tényezõik: 3 és az x.

12. a) 12x2

b) µ18y2

c) 60v2

d) 2z2

13. a) 3-mal

b) 10-zel

c) 1-gyel

d) µ2-vel 37


14. a) A térfogata a nyolcszorosára növekszik. b) A térfogata a nyolcadrészére csökken.

c) A térfogata a kétszeresére növekszik. 15. a)

d) A térfogata a felére csökken.

2 x ◊ (3 y ) ◊ 8 2 ◊ x ◊ 3 ◊ y ◊ 8 8 xy = = = 4 xy 12 2 12 2

( - y ) ◊ ( 6 x ) ◊ ( -5 ) y◊ 6 x◊ 5 b) = = 2 xy 15 15 0, 5 x ◊ 12 ◊ ( 6 x ) 6 x ◊ 6 x 6x ◊ 6x c) = = = x2 36 36 36 16. A) = B);

D) = E)

a A) bc

B)

a bc

C)

ac b

D)

ab c

E)

ab c

Rejtvény: 2 2 szorosára változtatjuk vagy részére csökkentjük. 3 3

7. Kéttagú algebrai kifejezés szorzása egytagúval 1. Kétféleképpen számolhatunk: 1. módszer: Egy családi csomagban 1 + 3 joghurt van

összecsomagolva, így összesen (1 + 3) ¡ 5 db-ot vásárolunk. 2. módszer: Összesen 5 db banános és 3 ¡ 5 db epres joghurtot vásárolunk. 2. a) (8x + 8y) ¡ 30 takarmányt kell rendelni.

b) (zx + zy) ¡ 30 = z(x + y) ¡ 30 = 30zx + 30zy takarmányt kell rendelni. 3. A z zacskóban zn narancsos, zm málnás és zc citromos ízû gumicukor van.

Összesen: zn + zm + zc = z ¡ (n + m + c) cukor van a zacskókban. 4. Pontosan annyi víz fér még bele, amennyi abba az akváriumba tölthetõ, melynek alap-

lapja egy a és b oldalhosszúságú téglalap, és magassága m µ h cm.

5. a) a ¡ (b + c)

Kis és nagy alakú füzetet vásárol Dorka az írószer boltban. Mindkét fajta füzetbõl a darabra van szüksége az iskolában. A nagy füzetek b Ft-ba, a kis füzetek c Ft-ba kerülnek. Hány forintot fizet? b) a ¡ (b µ c) Jázmin b darab könyvet kölcsönzött ki a könyvtárból. Ma visszavitte azokat, de kiderült, hogy csak c könyv kölcsönzési határideje nem járt le, és a többi után késedelmi díjat kell fizetnie, könyvenként a Ft-ot. Milyen összegû büntetést fog fizetni?

38

6. a) 2(x + 5) = 2x + 10

b) c) d) e) f) g) h)

(µ3) ¡ (2x + 1) = µ6x + (µ3) = µ6x µ 3 (4y µ 3) ¡ 5 = 20y µ 15 2x ¡ (2 µ 3x) = 4x µ 6x2 (µy) ¡ (5y µ 1) = µ5y2 µ(µy) = µ5y2 + y x ¡ (x µ y) ¡ 2 = 2x2 µ 2xy 2y(3xy + 4y) = 6xy2 + 8y2 5xy(x2 + y2) = 5x3y + 5xy3

2x + 1 2 1 = x + 3 3 3 x +3 -x - 3 - x Ê -3 ˆ = = + c) Ë 2¯ 2 2 2

7. a)

x -8 x = + ( -4) 2 2 2x - 1 1 - 2x 1 = = + (- x) d) 2 2 2

b)

Így is lehet: x +3 x 3 - x Ê -3 ˆ Ê x 3ˆ c) = -1 + = - - = + Ë 2 2¯ Ë 2¯ 2 2 2 2 Ê 2 x 1ˆ 2x - 1 1 Ê 2 x - 1ˆ = -1 = -1Á - ˜ = -x + d) - 2 Ë 2 ¯ 2¯ 2 Ë 2 8. a) (1 + x) ¡ 4 = 1 ¡ 4 + 4x = 4x + 4 ¡ 1

b) (y + 1) ¡ 7 = 7y + 7 ¡ 1=1 ¡ 7 + y ¡ 7

c) (2 + b) ¡ a = 2a + ba = ab + a ¡ 2 9.

T = (a + 8) ¡ b = ab + 8b

T = (3 + x) ¡ y = 3y + xy

T = (b + c) ¡ 5 = 5b + 5c

Rejtvény: A szöveg utasításait követve a következõ algebrai kifejezéshez jutunk. Jelölje a születési dátumot 19xy. v. z. {[(20z + 4) ¡ 5 + v] ¡ 25 + 5} ¡ 4 + xy = 10000z + 100v + xy +2020 Ahol xy jelöli azt a kétjegyû számot, ami a születési év két utolsó számjegyébõl áll. Pl.: Ha 1996. október 21-én születtél, akkor a végeredmény 213116 lesz. Vonjuk le ebbõl a 2020-t. 211096-ot kapunk. Válasszuk el ponttal egymástól a számjegyeket kettesével a következõ módon: 21.10.’96. Ez a születési dátumod angolul vagy németül, hiszen ezeken a nyelveken fordított sorrendben írjuk a napok, hónapok és évek számát.

39


8. Kiemelés 1. A) = 3.

B) = 4.

C) = 1.

D)-nek nincs párja.

2. a) 18x + 6 = 3 ¡ 6x + 6 = 6 ¡ (3x + 1)

5x µ 20 = 5x µ 5 ¡ 4 = 5 ¡ (x µ 4) 14x + 21y = 7 ¡ 2x + 7 ¡ 3y = 7 ¡ (2x + 3y) 9x2 + 3 = 3 ¡ 3x2 + 3 = 3 ¡ (3x2 + 1) 4 µ 2x = 2 ¡ 2 µ 2x = 2 ¡ (2 µ x) µ3x µ 9 = µ3x µ 3 ¡ 3= µ3 ¡ (x + 3) 1 2 1 1 1 x + = x + 2 ◊ = ◊ ( x + 2) g) 3 3 3 3 3

b) c) d) e) f)

h)

2 6 2 2 2 x - = x - 3 ◊ = ◊ ( x - 3) 5 5 5 5 5

3. a) A kakukktojás az 5x µ 5. A többi összeget kiemeléssel szorzattá alakítva mindegyik-

ben közös tényezõ lesz a 2x µ 1. b) A kakukktojás a 15y + 20x. A többi összeget kiemeléssel szorzattá alakítva mindegyikben közös tényezõ lesz a 3x + 4y. 2

6 ◊ ( 2a + 1) 6 ◊ ( 2a + 1) 12a + 6 4. a) = = = 2 ◊ ( 2 a + 1) 3 3 3 1 1

b)

4 ◊ ( 2 b + 1) 4 ◊ ( 2 b + 1) 2 b + 1 8b + 4 = = = 3 12 12 12 3 1

c)

3 ◊ ( c - 2) 3 ◊ ( c - 2) c - 2 3c - 6 = = = 3 9 9 9 3 1

2 ◊ ( 2d + 3) 2 ◊ ( 2d + 3) 2d + 3 4d + 6 = = = d) d+2 2d + 4 2 ◊ ( d + 2) 2 ◊ ( d + 2) 1

5. a) 15m + 6n alakban írható fel a két szám összege.

15m + 6n = 3 ¡ 5m + 3 ¡ 2n = 3 ¡ (5m + 2n) Az összeg egy természetes szám háromszorosa, tehát osztható 3-mal. b) 24m + 42n alakban írható fel a két szám összege. 24m + 42n = 6 ¡ 4m + 6 ¡ 7n = 6 ¡ (4m + 7n) Az összeg egy természetes szám hatszorosa, tehát osztható 6-tal. c) 12m µ 18n = 6 ¡ 2m µ 6 ¡ 3n = 6 ¡ (2m µ 3n) A különbség egy természetes szám hatszorosa, tehát osztható 6-tal. d) 30m µ 45n =15 ¡ 2m µ 15 ¡ 3n = 15 ¡ (2m µ 3n) A különbség egy természetes szám tizenötszöröse, tehát osztható 15-tel. 40

6. a) 2a + 2b = 2 ¡ (a + b)

b) 2ab + 2bc + 2ac = 2 ¡ (ab + bc + ac) 7. A feladat utasításait követve a következõ algebrai kifejezés írja le, mi történik a gondolt

számmal. Jelöje x a gondolt számot. 2 x + 12 + x -4 = x 3 Ha a tört számlálójában elvégezzük az összevonást, egyszerûsíthetünk 3-mal. 1

3 ( x + 4) 3 x + 12 -4 = -4 = x +4-4 = x 3 3 1

Eredményül azt a számot kaptuk, amire Kristóf gondolt. 1

8.

( a + b) + ( b + c) + ( c + a ) 2 a + 2 b + 2 c 2 ◊ ( a + b + c) 2 ◊ ( a + b + c) =2 = = = a + b+ c a+b+c a+b+c a+b+c 1

9. A 8. feladat alapján könnyen belátható, hogy a 14; 21 és 23 összege a három keresett

szám összegének kétszeresével egyenlõ. (a + b) + (b + c) + (c + a) = 2a + 2b + 2c = 2 ¡ (a + b + c) A három szám összege 29. Rejtvény: Jelölje a a bal kezedben lévõ érmék számát, akkor a maradék a jobb kezedben 9 µ a darab. A kijelölt szorzásokat elvégezve az alábbi algebrai kifejezés írja le az érmék számát. 4a + 5 ¡ (9 µ a) = 4a + 45 µ 5a = 45 µ a Arra következtethetünk, hogy az eredmény éppen az eredetileg a bal kezedben lévõ érmék számával kevesebb 45-nél, vagyis 45-bõl az eredményt levonva kapjuk, hogy a bal kezedben mennyi érmét tartasz.

9. Vegyes feladatok 1. a) x + y

e) (x µ y)2

b) x ¡ y

f)

1 1 + x y

c) x2 µ y2

d)

1 x + y

2. c - e tábla marad a második nap után.

2

1. nap

2. nap

c µ e marad

cµe ______ marad 2

41


3. A d diák menetjegye oda-vissza 2 ¡ d ¡ 0.4 ¡ t Ft-ba kerül 60%-os kedvezménnyel.

A kedvezményes jegyre jogosult f felnõtt menetjegye oda-vissza 2 ¡ f ¡ 0.5 ¡ t Ft-ba kerül. Az n fõs társaságból n µ f µ d fõ teljes árú jeggyel utazik, ezen jegyek összesen 2 ¡ (n µ f µ d) ¡ t Ft-ba kerülnek. 2 ¡ (d ¡ 0,4 ¡ t + f ¡ 0,5 ¡ t + (n µ f µ d) ¡ t + n ¡ h) Ft-ot fizetnek összesen. 4. a) 10,25

b) 10

c) 18,5

d) 32,5

5. a) 3 + (x ¡ x + 4) = (3 + x ¡ x) + 4 = 3 + (x ¡ x) + 4; (3 + x) ¡ x + 4;

3 + x ¡ (x + 4); b) (2 ¡ y) µ y + 3 = (2 ¡ y µ y) + 3; 2 ¡ (y µ y + 3); 2 ¡ (y µ y) + 3; 2 ¡ y µ (y + 3); c) (5 ¡ z + 3 ¡ z) + 4 = 5 ¡ z + (3 ¡ z) + 4 = (5 ¡ z) + 3 ¡ z + 4 = 5 ¡ z + (3 ¡ z + 4) 5 ¡ (z + 3) ¡ z + 4; 5 ¡ (z + 3 ¡ z) + 4; 5 ¡ (z + 3 ¡ z + 4); 5 ¡ z + 3 ¡ (z + 4)

6. A dobott számok összegének lehetséges legkisebb értéke: 3 ¡ 1 + 2 ¡ 2 = 7

A dobott számok összegének lehetséges legnagyobb értéke: 3 ¡ 6+2 ¡ 5 = 28 È 3

1 ˘

È

1˘

È 18

15 ˘

È 18

15 ˘

Ê ˆ Ê ˆ 7. Í - - Ê - ˆ ˙ - Í - Ê - ˆ - ˙ = Í -Í = ˙ ¯ Ë Ë ¯ Ë ¯ Ë 3 2 ˚ Î 5 3 2 ˚ Î 30 30 30 ˚ Î 30 30 ¯ 30 ˙˚ Î 5 2

3

2

20

20

5 ˆ Ê 38 15 ˆ 30 Ê 18 = - = =1 Ë 30 30 ¯ Ë 30 30 ¯ 30 2. megoldás: [a µ (b µ c)] µ [(a µ b) µ c] = [a µ b + c] µ [a µ b µ c] = a µ b + c µ a + b + c = 1 = 2c = 2 ◊ =1 2 8. Mindegyik esetben végtelen sok megoldás van. Pl.:

a)

b)

c) 0,5a

a a

0,5a

2a

1 a 2

0,75a 0,25a

3 a 2

d)

2a

e) a 4

a 4 a

a 3

a 3 a 3

a a

9. a) x µ 1 + x + x + 1 = 3x

b) y µ 2 + y µ 1 + y + y + 1 + y + 2 = 5y 42

T = 3a2 T = 4a2 T = b ¡ (b + a) + a ¡ c

10. a) K = 8a

b) K = 10a c) K = 4b + 2a + 2c 11. a) V = 3a3

c) V= b ¡ (b + a) ¡ a +

a2

b) V = a3 + 3a3 = 4a3 ¡ c = a ¡ b2 + a2 ¡ b + a2 ¡ c

12. a) µ6b, mert a három másik szorzat csak együtthatójában különbözik egymástól.

b) 2ab, mert a másik négy kifejezés többtagú algebrai kifejezés. c) 2xy, mert a másik négy kifejezés többtagú algebrai kifejezés. 1 1 d) xy, mert a többi kifejezés együtthatója . 2 4 1 e) ¡ (18z), mert a többi kifejezésben a z együtthatója 6. 2 13. a) -2 +

5 2 +8◊ 12 3

b)

14. a) a + a + a(a + 3)

5 3ˆ Ê - 0, 4 - Ë 1 + ¯ 2 4

b) b ¡ b ¡ b ¡ 1.2 ¡ b ¡ (2 + b)

15. a) 2a + 4 + 3(a µ 2) =

c) d) e) f)

b) 4b µ 2(b + 1) + 3 = = 2a + 4 + 3a µ 6 = 5a µ 2 = 4b µ 2b µ 2 + 3 = 2b + 1 5c + 1 µ (c µ 3) = 5c + 1 µ c + 3 = 4c + 4 2( d + 3) 2d + 6 d+ = d+ = d + d + 3 = 2d + 3 2 2 3e + 2( e - 2 ) 3e + 2e - 4 e e-2 5e - 4 + = = = 2 3 6 6 6 f + 1 f - 1 f + 1 - ( f - 1) f + 1 - f + 1 2 = = = =1 2 2 2 2 2

16. a) K = 2(6 + p) + 2 ¡ 8 vagy K = 2(8 + p) + 2 ¡ 6

T = 8 ¡ (6 + p) vagy T = 6 ¡ (8 + p) b) K = 2(8 µ q) + 2 ¡ 6 vagy K = 2(6 µ q) + 2 ¡ 8 T = 6 ¡ (8 µ q) vagy T = 8 ¡ (6 µ q) c) K = 2 ¡ 6p + 2 ¡ 8p T = 8p ¡ 6p = 48p2 d) K = 2 ¡ 6p + 2 ¡ 8q vagy K = 2 ¡ 8p + 2 ¡ 6q T = 8p ¡ 6q = 6p ¡ 8q = 48p ¡ q 17. a)

1 -szeresére 2

b)

3 -szeresére 2

c)

3 -szeresére 2

d)

2 -szorosára 3

18. (s ¡ t) ¡ v = (v ¡ s) ¡ t szótagból áll a vers.

Lásd József Attila Kedves Jocó! címû versét. 19. B); C); F); G); H); J); I) 20. B); D); E); F); G); I)

43


20. a) hamis

b) igaz c) hamis gc f f 21. 1 ceruza Ft, ezért g Ft-ba g : = db ceruza kerül. c c f 22. A három szorzótényezõt, amiket te választasz meg, rendre összeszorzom, majd a két osz-

tóval elosztva kapok egy eredményt, jelölje ezt a szám Az elsõ öt mûvelet, amit a gondolt számmal elvégzel, helyettesíthetõ az a számmal való szorzással. Ha ezután a hatodik lépésben elosztod a gondolt számmal, újra visszakapod az elsõ öt mûvelet eredményét, azaz a-t. Miután hozzáadod a gondolt számot, könnyen következtethetek a kapott érték alapján az eredetileg gondolt számra, csak le kell vonnom az eredménybõl az a-t. 24. a) (10 + 17) ¡ t = 27t km-t tesznek meg együtt.

Ê 1 1ˆ b) Ë + ¯ ◊ t részét ássák fel együtt. 5 9

44

3. Egyenletek, egyenlõtlenségek 1. Hogyan oldjunk meg feladatokat! 1. Zs + D = 34

D

Zs = D + 11 11 D + 11 + D = 34

Zs Zs D + D = 23 D = 11,5 kg. Zs = 11,5 + 11 = 22,5 kg újságot gyûjtött. 2. 1 nap = 24 óra

24 óra µ 5 ór 40 perc = 18 óra 20 perc Ennek a fele lesz a nappal idejének hossza, vagyis 9 óra 10 perc. Mivel a nap 7 óra 21 perckor kell, akkor 7 óra 21 perc + 9 óra 10 perc = 16 óra 31 perckor nyugszik. 3. Menetjegy ára csak odaútra: m

Helyjegy ára: h 2m + 2h = 2800 h m + h = 1400 m = h + 700 700 Tehát m + h = 1400 így is írható m h + 700 + h = 1400 h + h = 700 Þ h = 350 Ft m = 1050 Ft Helyjegy nélküli vonaton oda-vissza 2100 Ft-ért utaznánk. 4.

D+V = 44 D = V + 50 2 D + V = 88 V + 50 + V = 88 V + V = 38 V = 19 D = 69 Vác 19; Debrecen 69 pontot gyûjtött.

V 50 D

5. Kristóf: (34 + 1) ¢ 5 = 7

Kristóf 7 éves. 6. Anna

Zsuzsi 5x db x db 5x + x = 18 x=3 Zsuzsinak 3 db, Annának 15 db ötöse van.

45


7. Ha Csaba x percig volt pályán, akkor Bálint 2x percig. 90 ¢ 3 = 30 perc.

Bálint 60 percig; Csaba 30 percig játszott. 60. percben történt a csere. 8.

áfonyalekvár mogyorókrém 1 üveg ára: x Ft 1 üveg ára: 3x Ft 4 üveg ára: 4x Ft 3 üveg ára: 3 ¡ 3x Ft 4x + 9x = 4030 x = 310 1 üveg áfonyalekvár 310 Ft, 1 üveg mogyorókrém 930 Ft.

9. 1 év = 225 nap

Hátralévõ napok x

Eltelt napok 225 µ x 4 x = 225 µ x 5 x = 125

100 földi nap telt el. 10. Arany

Ezüst Bronz x 2x + x + 10 2x + x + 2x + x + 10 = 1480 x = 245 Arany: 490 fõ Ezüst: 245 fõ Bronz: 745 fõ 2x

11. 7x µ 8 = 83

x = 13 A gondolt szám a 13. 12. 11. születésnapján: x + 6

12. születésnapján: x + 6 + 6 ¡ 2,5 13. születésnapján: x + 6 + 6 ¡ 2,5 + 6 ¡ 2,5 µ 4 = 172 x = 140 A 11. születésnapján az elõzõ évi 140 cm-nél 6 cm-rel volt magasabb, azaz 146 cm. összes csirke: x db

13. 1 rész 5 Róka

maradék

20% =

4 rész 5 Þ

3 rész: influenza 4

120 db túlélõ 1 rész 4

3 rész = 3 × 120 4 360 db

Influenzában elpusztult 360 db. 4 1 360 + 120

= összes csirke 5 része fi 5 része: 480 : 4 = 120 db. 480 A róka elvitt 120 db-ot. a) 360 db b) 480 db 46

c) 120 db

d) 600 db

14. Bevétel:

CD eladás 1 része 2

bevétel

maradék

1 rész: 2 mill. dollár 3 turné internet

2 része = 2 millió dollár. Þ Internetbõl 1 millió dollár. Þ 3 CD eladás: 1 000 000 + 2 000 000 = 3 000 000 dollar Bevétel: 3 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = 6 000 000 dollar A zenekar bevétele 6 millió dollár volt. A CD eladás utáni maradék

15. 2,5x + 10 000 = 290 000 µ 5 000

x = 110 000 Nagy úr 110 000 Ft-ot keres. x 30 16. > 3 +6 2 x = 15 + 6 3 x = 21 3 x = 63 Júniusban átlagosan 63 mm csapadék hullott. 17. Én most: 44 éves

10 év múlva: 54 54 ¢ 3 = 18 éves voltam, amikor az apám 44 éves ® korkülönbség: 26 év Az apa most: 44 + 26 = 70 éves 10 év múlva az apa 80 éves. 18.

x > 13 + 2 3 +5 x = 60 A színésznõ most 60 éves.

19. 4 ¡ 15 + 3x = 8 ¡ 15

x = 20 Egy margarin tömege 20 dkg.

15 év 5 év

5 év A színésznõ életkora

1 része = 20 év 3

20 év

20 év

20. 2B = 4K ® 1B = 2K

2N + 1K = 3K + 1B ® 2N = 2K + 1B a) 1 banán 2 kiwit ér. b) Ha 2N = 2K + 1B, de 1B = 2K, akkor 2N = 4K ® N = 2K tehát egy kiwi fél narancsot ér.

47


Rejtvény:

2. Hogyan születnek az egyenletek? 1. Gábor: x ¡ 3 µ 4 = 50

Balázs: (x + 12) ¢ 3 = 48

x ¡ 3 = 54 x + 12 = 48 ¡

3

Eszter: (x + 18) ¢ 5 µ 23 = 35

x = 18 x = 132

144 (x + 18) ¢ 5 = 58 x + 18 = 58 ◊5 N

x = 290 µ 18 = 272

290

2. a) 15 ¡ x = 525

x = 525 ¢ 15 x = 35 x µ 35 = 82 x = 82 + 35 x = 117 0,5 ¡ x = 93 x = 93 ¢ 0,5 x = 186 x + 17 = µ17 x = µ17 µ 17 x = µ34 9x + 23 = 122 9x = 122 µ 23 9x = 99 x = 99 ¢ 9 x = 11 8x µ 5 = 99 8x = 99 + 5 8x = 104 x = 104 ¢ 8 x = 13 2x + 17 = 11 2x = 11 µ 17 2x = µ6 x = µ6 ¢ 2 x = µ3 48 = 5x + 13 5x = 48 µ 13 5x = 35 x = 35 ¢ 5 x = 7 6,5 + 2,5x = 19 2,5x = 19 µ 6,5 2,5x = 12,5 x = 12,5 ¢ 2,5 x = 5 4 ¡ (2x + 3) = 76 2x + 3 = 76 ¢ 4 2x + 3 = 19 2x = 19 µ 3 2x = 16 x = 16 ¢ 2 x = 8 x - 2 = 36 ¢ 3 x = 12 + 2 x = 14 -

5 k) 3(x µ 2) + 5 = 41 3( x - 2) = 41 N

b) c) d) e) f) g) h) i) j)

36

l) 2(3x µ 7) µ 3 = 7 x=4 x+2 m) - 4 = -1 3 n)

2( 3 x - 7) = 7 +3 N 10

x+2 = -1 +

4 3 3

3x - 5 3x - 5 -3=1 = 1+ 3 4 4 3x = 21 x = 21 ¢ 3 x = 7 7x - 4 7x - 4 = 10 = 10 - 2 3 3 7x = 28 x = 28 ¢ 7 x = 4

o) 2 +

48

12

3 x - 7 = 10 ¢2 N

3x = 5 +7 N

5

x+2 = 3 ◊3 N

x = 12 ¢ 3

12

x=9µ2

x+2=9

x=7

9

3x - 5 =4 4 7x - 4 =8 3

3x - 5 = 4 ◊4 N 16

7x µ 4 = 8 ¡ 3

3 x = 16 +5

21

7x µ 4 = 24

3. A versenyzõ tömege: x kg.

3x µ 68 = 187 Þ 3x = 187 + 68 A versenyzõ tömege 85 kg.

3x = 255

x = 255 ¢ 3

x = 85

4. a) 3x + x + 2 = 134

4x = 134 µ 2 4x = 132 x = 132 ¢ 4 x = 33 b) 5x µ 3 µ 2x = 72 3x = 72 + 3 3x = 75 x = 75 ¢ 3 x = 25 c) 5x + 3 µ 2x + 9 + 3x = 24 6x + 12 = 24 6x = 24 µ 12 6x = 12 x = 12 ¢ 6 x=2 d) x µ 3x µ 2 + 4x + 8 = 94 2x + 6 = 94 2x = 94 µ 6 2x = 88 x = 88 ¢ 2 x = 44

5. Karcsi gólyalábai: x cm; Karcsi 3 ¡ x cm magas.

3x + x = 210 x = 52,5 Gólyalábak hossza: 52,5 cm Karcsi magassága: 157,5 cm 6.

A túra hossza

1 rész 3

10 km

7. Vidor x

2 1 rész = 10 km Þ rész = 5 km Þ A túra teljes hossza: 15 km. 3 3 Tudor x Szende x Szundi x 31 Þ x + x + x + x + 2x + 4x + 1 = 31 Hapci 2x 10x = 30 Kuka 4x x=3 Morgó 1 Szundi 3 db palacsintát evett. 8. Citrom

Vanília 4x µ 3 x 4x µ 3 + x = 407 x = 82 Vanília: 82 gombóc. Citrom: 325 gombóc.

9. Napóleon

Wellington Blücher x + 5 000 fõ x fõ 52 000 fõ x + 5 000 + x + 52 000 = 191 000 x = 67 000 Napóleon serege: 72 000 fõ. Wellington serege: 67 000 fõ. 49


10. 4x µ 5 = 27

x=8 Katinka oldotta meg helyesen az egyenletet. 3 + x = -3 ¢ -3

-3( 3 + x ) = 2 -5 N

11. a) 5 µ 3(3 + x) = 2

-3

x=1µ3

3+x=1

1

x = µ2 b) 3[3 + 2(x µ 1)] µ 10 = 5

3[ 3 + 2( x - 1)] = 5 + 10

15

2( x - 1) = 5 -3 N

3 + 2(x µ 1) = 5

5

2(x µ 1) = 2

2

x = 1 +1 c) 2 =

3 + 2( x - 1) = 15 ¢3 N x -1= 2 ¢2 N

xµ1=1

1

x=2

x+3 3 + 2 8

16 x+3 3 = + 8 2 8

x + 3 16 3 = 2 8 8

x + 3 13 = 2 8

13 8

x+3= d) 2 ◊

13 ◊2 8

x+3=

2x - 7 3 + =1 5 5

2x - 7 2 = ¢2 5 5 2x = 8 x = 4

2◊

26 8

x+

24 26 = 8 8

2x - 7 3 5 + = 5 5 5

2x - 7 1 = 5 5

2x - 7 =

2◊

x =

26 24 8 8

2x - 7 5 3 = 5 5 5

1 ◊5 5

2x µ 7 = 1

x = 2◊

2 1 = 8 4 2x - 7 2 = 5 5

2x = 1 + 7

12. a) Pl.: Egy szám 2-szereséhez 12-t adtam, így 26-ot kaptam. Melyik ez a szám?

2x + 12 = 26 x=7 b) Gondoltam egy számot, elvettem belõle 3-at, a különbséget elosztottam 6-tal és hozzáadtam 4-hez, így 6-ot kaptam. Melyik számra gondoltam? x -3 4+ = 6 6 x = 15 c) Egy számhoz hozzáadtam a 2-szeresét, 3-szorosát, 4-szeresét, majd kivontam az eredménybõl 2-t, így 48-at kaptam. Melyik ez a szám? x + 2x + 3x + 4x µ 2 = 48 x=5 Rejtvény: pl.: 2x µ 5 µ x µ x = 0

50

3. Mérlegelv I. 1. 3 dkg

0,25 kg

0,25 kg

0,25 kg

3 300 kg = dkg = 75 dkg 4 4 4 zacskó cukorka + 3 dkg = 75 dkg 4 zacskó cukorka = 72 dkg 1 zacskó cukorka = 18 dkg 2. a) x + 2 = 11

/µ2

b) x + 280 = 1007 /µ280 x = 727 d) 5 + x = 21 /µ5 e) 6 + x = 0 /µ6 x = 16 x = µ6 g) x + 1,3 = 2,1 /µ1,3 h) 0,65 + x = 1,03 x = 0,8 x = 0,38

x=9 c) x + 3 = 1 /µ3 x = µ2 f) 7 = x + 1 /µ1 6=x 3. a) x µ 3 = 9

/+3

x = 12 d) µ6 + x = 13 x = 19 g) x µ 4,2 = µ2 x = 2,2

Mindkét oldalról vegyünk el 3 dkg-mot.

/+6 /+4,2

b) x µ 42 = 19 /+42 c) x µ 8 = µ3 x = 61 x=5 e) µ5 + x = 0 /+5 f) 9 = x µ 5 x=5 14 = x h) µ6,3 + x = 0,5 /+6,3 x = 6,8

4. a) 3x = 15

d) g) 5. a)

e)

/¢3 b) 8x = 96 /¢8 c) 18x = 54 x=5 x = 12 x=3 1000x = 80 000 /¢1000 e) 5x = 0 /¢5 f) 3x = µ42 x = 80 x=0 x = µ14 µ4x = 72 /¢µ4 h) µ6x = µ84 /¢µ6 x = µ18 x = +14 x x x = 8 /¡3 b) = 2 /¡8 c) = 1 /¡9 d) 3 8 9 x = 24 x = 16 x=9 2 2 3 6 3 3 x = 8 /¢ f) x= /¢ g) x = µ9 3 3 5 7 5 4 2

4

3 x = 8◊ = 12 2

6 5 10 x = ◊ = 7 3 7

1

h) µ

2 4 x= 7 5

1

/¢µ

3

/µ0,65

/+8 /+5

/¢18

x = 11 11 x = 121 3 /¢ 4

x = - 9◊

4 = -12 3 1

2 7

2

4 Ê 7ˆ 14 x = ◊ = Á ˜ 5 5 2 Ë 1¯ 51

/¡11


6. a) 2x + 1 = 13

d)

f)

h)

j)

l)

/µ1 2x = 12 /¢2 x=6 3x µ 4 = 32 /+4 3x = 36 /¢3 x = 12 9 µ 2x = 17 /µ9 µ2x = 8 /¢(µ2) x = µ4 49 = 4 + 5x /µ4 45 = 5x /¢5 9=x x + 1 = 2 /µ1 2 x = 1 /¡2 2 x=2 2 4µ x = 0 /µ4 5 2 2 µ x = µ4 /¢µ 5 5

b) 12x + 7 = 43 /µ7 c) 4 + 5x = 64 12x = 36 /¢12 5x = 60 x=3 x = 12 e) 21x µ 105 = 0 /+105 21x = 105 /¢21 x=5 g) 4 = 10x µ 26 /+26 30 = 10x /¢10 3=x i) 38 = 13 µ 25x /µ13 25 = µ25x /¢(µ25) µ1 = x 3 k) x µ 2 = 4 /+2 4 3 3 x = 6 /¢ 4 4 4 6 ◊ fi x= 8 3

/µ4 /¢5

Ê 5ˆ x = -4 ◊ Ë - ¯ = +10 2 7. a) 2x = x + 8

/µx

x=8 d) 6x = 4x + 14 2x = 14 /¢2 x=7

/µ4x

g) x = 9 - 2x /+2x 3x = 9 /¢3 x=3 8. a) 4x + 1 = x + 7

/µx

3x + 1 = 7 /µ1 3x = 6 /¢3 x=2 d) 2x µ 3 = x + 1 /µx x µ 3 = 1 /+3 x=4

52

b) 5x = x + 16 /µx 4x = 16 /¢4 x=4 e) 4x = x µ 6 /µx 3x = µ6 /¢3 x = µ2 h) 3x = 54 - 3x /+3x 6x = 54 /¢6 x=9

c) x + 27 = 10x 27 = 9x 3=x f) 2 + 3x = 7x 2 = 4x 1 =x 2 i) 15 µ x = 4x 15 = 5x 3=x

/µx /¢9 /µ3x /¢4 /+x /¢5

b) 5x + 3 = x + 19 /µx c) 3x + 8 = 2x + 12 /µ2x 4x + 3 = 19 /µ3 x + 8 = 12 /µ8 4x = 16 /¢4 x=4 x=4 e) x + 1 = 4x µ 8 /µx f) 2x µ 4 = 6x µ 12 /µ2x 1 = 3x µ 8 /+8 µ4 = 4x µ 12 /+12 9 = 3x /¢3 8 = 4x /¢4 3=x 2=x

g) x µ 5 = 1 µ x /+x h) 2x + 1 = 11 µ 3x /+3x 2x µ 5 = 1 /+5 5x + 1 = 11 /µ1 2x = 6 /¢2 5x = 10 /¢5 x=3 x=2 i) 8 µ 5x = 3 + 5x /+5x 8 = 3 + 10x /µ3 5 = 10x /¢10 5 1 x= = 2 10 9. házszámunk: x

6x < 8x 82

6x + 82 = 8x 82 = 2x 41 = x

/µ6x /¢2

10. gondolt szám: x

11x > 14x 9

11x µ 9 = 14x /µ11x µ9 = 3x /¢3 x = µ3 Ell.: a szám 11-szerese: µ33 a szám 14-szerese: µ42 µ42 < µ33 9

11. Soklábú Állat lábainak száma: x.

Még Több Lábú állat lábainak száma: y. 5x + 20 = y 7x µ 16 = y 5x + 20 = 7x µ 16 /µ5x 20 = 2x µ 16 /+16 36 = 2x /¢2 18 = x Soklábú Állat lábai száma: 18 db Még Több Lábú lábai száma: 110 db

a + b +...+ x =10 ¡ 22 = 220

Rejtvény: A futballcsapat 11 fõbõl áll. a + b +...+ x + y = 11 ¡ 23 = 253

Különbség: y = 33 Þ 33 éves a kiállított játékos.

53


4. Mérlegelv II. 1. a) 3x µ 2 + 6x + 4 = 25

9x µ 2 = 25 9x = 27 x=3

/+2 /¢9

b) 6 + 9x µ 10 + 3x = 0 12x µ 4 = 0 12x = 4

/+4 /¢12 4 1 x= = 12 3 d) x µ 2 µ 2x + 9 = 7 µ 6x /ö.v. 7 µ x = 7 µ 6x /µ7 µx = µ6x /+6x 5x = 0 /¢5 x=0

c) 4x + 3 + x + 5x µ 6 = 2x + 13 /ö.v. 10x µ 3 = 2x + 13 /µ2x 8x µ 3 = 13 /+3 8x = 16 /¢8 x=2 e) 3x µ 5 µ 4x = x + 5 + 5x µ 24 /ö.v. µ5 µ x = 6x µ 19 /+x µ5 = 7x µ 19 /+19 14 = 7x /¢7 2=x f) 3x µ 5 + 7 + 7x µ 9 = 12x + 8 µ 23x + 6 /ö.v. 10x µ 7 = µ11x + 14 /+11x 21x µ 7 = 14 /+7 21x = 21 /¢21 x=1 2. 3 µ 2x = 8 µ 4x

/+2x 3 = 8 µ 2x /µ8 µ5 = µ2x /¢(µ2) 2,5 = x

3. 9x µ 6 = 18 + 5x

/µ5x

4x µ 6 = 18 /+6 4x = 24 /¢4 x=6 4. Egy aranyrúd tömege: x kg.

Aladár Elemér Jonatán 4x 3x 3x + 4x 4x + 3x + 3x + 4x = 156,8 x = 11,2 kg Egy aranyrúd tömege 11,2 kg. 5. Széchenyi Batthyány

x +15 x x + 15 + x = 99 x = 42 Batthyány Lajos: 42 éves volt. Széchenyi István: 57 éves volt. 54

6. n oldalas legyen a novella.

n + 11 ¡ n + 18 = 450 /µ18 12 ¡ n = 432 n = 36 oldalas x x + = 15 7. a) 2 3 3x + 2x /¡6 = 15 6 5x = 90 /¢5 x = 18

b)

2 1 x x = 2 5 15 6 1 x x = 2 15 15

/ö.v.

1

5 x =2 15

/¡3

3

1 x =2 3

c)

x x x + + = 38 2 4 5 10 x 5 x 4 x + + = 38 20 20 20

/k.n. /ö.v.

19 x = 38 20

/¢

2

19 20

20 19

x = 38 ◊

d)

x 3 2x 6

x=6 x +1= - 2 2 3x +1= -2 6 1= 3 =

x -2 6 x 6

/k.n. /-

2x 6

/+2

/¡6

1

x = 40

18 = x

1 8. x + 700 = 3x 3 x = 262,5 kcal Egy zsemle energiatartalma 262,5 kcal. 9.

x x + + 20 = x 3 4

/k.n.

4x 3x 12 x + + 20 = 12 12 12

/ö.v.

7x 12 x + 20 = 12 12 20 =

/-

5x 12 4

x = 20 ◊

/¢

7x 12

5 12

12 = 48 5 1

48-as számú házban lakom.

55


10. a) (x + 3) µ 2x = 15

b) x + (3 µ 2x) = 15 c) (6 µ x) + 4 = 3x µ 2 3 µ x = 15 /µ3 x + 3 µ 2x = 15 /ö.v. 10 µ x = 3x µ 2 /+x µx = 12 /¡(µ1) 3 µ x = 15 /µ3 10 = 4x µ 2 /+2 x = µ12 µx = 12 /¡(µ1) 12 = 4x /¢4 x = µ12 3=x

d) 6 µ (x + 4) = 3x µ 2 6 µ x µ 4 = 3x µ 2 2 µ x = 3x µ 2 2 = 4x µ 2 4 = 4x /¢4 1=x

e) 2000 µ (x + 2) = 1000 /µ2000 µ(x + 2) = µ1000 /¡(µ1) x + 2 = 1000 /µ2 x = 998

/z.bontás /ö.v. /+x /+2

f) 8x µ (2x µ 3) = 16 µ (2x µ 3) 8x = 16 /¢8 x=2

/+(2x µ 3)

11. 7. évfolyam száma: x fõ.

Aggtelek 1 x 2

Hortobágy 1 x 4

Veszprém 1 x 5

Nem szavazott 4

1 1 1 x + x + x +4 = x 2 4 5 x = 80 fõ A hetedik évfolyam 80 fõs. 12. Brigi

6 kg 6x

Erika Pisti Zoli 7 kg 9 kg 12 kg 7x 9x 12(x µ 4) 6x + 7x + 9x + 12(x µ 4) = 2468 x = 74 Ft

13. a) 2(x + 3) + 4x = 21

2x + 6 + 4x = 21 /ö.v. 6x + 6 = 21 /µ6 6x = 15 /¢6 15 5 x = = 6 2 c) 4(x µ 1) = 3(x + 2) 4x µ 4 = 3x + 6 /µ3x x µ 4 = 6 /+4 x = 10

1 kg ... x Ft

1 kg dinnye 74 Ft-ba került. b) x + 3(x µ 2) = 10 x + 3x µ 6 = 10 4x = 16 x=4

d) 9(1 µ x) = 2(x µ 4) 9 µ 9x = 2x µ 8 /+9x 9 = 11x µ 8 /+8 17 = 11x /¢11 6 17 =x 1 = 11 11

56

/+6 /¢4

e) 3 ¡ (2x µ 4) = 2 ¡ (x µ 2) 6x µ 12 = 2x µ 4 /µ2x 4x µ 12 = µ4 /+12 4x = 8 /¢4

f) 5(3 µ 2x) = 3(4x µ 5) 15 µ 10x = 12x µ 15 /+10x 15 = 22x µ 15 /+15 30 = 22x /¢22 30 =x 22

x=2 x=

15 11

14. a) 2(x + 1) µ 8 = 3(2x µ 5) µ 3x

b) 2(2 µ 3x) + 5 = x µ 5 4 µ 6x + 5 = x µ 5 9 µ 6x = x µ 5 /+6x 9 = 7x µ 5 /+5 14 = 7x /¢7 2=x

2x + 2 µ 8 = 6x µ 15 µ 3x /ö.v. 2x µ 6 = 3x µ 15 /µ2x µ6 = x µ 15 /+15 9=x c) 1 µ 5(x µ 1) = 2(2x µ 1) µ x /z.b. 1 µ 5x + 5 = 4xµ 2 µ x /ö.v. 6 µ 5x = 3x µ 2 /+5x 6 = 8x µ 2 /+2 8 = 8x /¢8 1=x 15.

Megmaradt pénz:

Áron x - 200 2

< ¡2

d) 3 ¡ (2x µ 3) µ 4(x µ 2) = x + 19 /z.b. 6x µ 9 µ 4x + 8 = x + 19 /ö.v. 2x µ 1 = x + 19 /µx x µ 1 = 19 /+1 x = 20

Gergõ 2 x + 100 3

2 Êx ˆ - 200 ◊ 2 = x + 100 Ë2 ¯ 3 x = 1500 Áron és Gergõ 1500 Ft-ot kaptak külön-külön. 16. Brokkoli

Gomba x 15 µ x x µ 1,5 = 2 ¡ (15 µ x) Brokkoli: x = 10,5 kg Gomba: 4,5 kg

17. Ha Levente 300 Ft-tal kevesebbet visz, akkor Sanyinak kétszer annyi pénze van, mint

Leventének. Vagyis: Sanyi pénze: (x µ 300) ¡ 2. Zsuzsi Levente Sanyi 2x x (x µ 300) ¡ 2 2x + x + 2(x µ 300) = 5400 3x + 2x µ 600 = 5400 /+600 5x = 6000 /¢5 x = 1200 Levente: 1200 Ft Zsuzsi 2400 Ft Sanyi 1800 Ft 57


18. Anglia

x + 201 +5; x 3

Új-Zéland

Olaszország

Skócia

x + 201

85

116

Angliából felírva: x + 201 /¡3 x = +5 3 3x = x + 201 + 15 /µx 2x = 216 /¢2 x = 108 Új-Zéland 108 + 201 = 309 pontot szerzett. Rejtvény: Tanár Apa x évvel ezelõtt 35 µ x 8(35 µ x) µ x = 4(35 µ x) Most 35 8(35 µ x) 8(35 µ x) µ x = 4(35 µ x) /+x 8(35 µ x) = 4(35 µ x) + x /µ4(35 µ x) 4(35 µ x) = x 140 µ 4x = x /+4x 140 = 5x x = 28 7

Apa most: 8 ( 35 - 29) = 56 éves.

5. Amit nem szabad elfelejteni: az egyenlet alaphalmaza 1. x ÎN

a)

x +2 = 4 3

/¡3

b)

x + 2 = 12 /µ2 x = 10 ÎN d)

5x - 1 = 8 2

/¡2

5x + 1 = 16 /µ1 5x = 15 /¢5 x = 3 ÎN

58

x +7 = 1 /¡2 2

c)

3x - 2 = 5 4

/¡4

3x µ 2 = 20 /+2 3x = 22 /¢3 22 x= ÏN 3

/¡4

x µ 5 = µ8 /+5 x = µ3 ÏN

x + 7 = 2 /µ7 x = µ5 ÏN e)

x +5 = -2 4

f)

1 - 2x = -7 3

/¡3

1 µ 2x = µ21 /µ1 µ2x = µ22 /¢(µ2) 11 = x ÎN

2. x ÎQ–

a)

x -1 + 4 = 2 /µ4 3 x -1 = -2 /¡3 3 x µ 1 = µ6 /+1 x = µ5 ÎQ–

b)

2x + 7 -1= 5 4 2x + 7 = 6 4 2x + 7 = 24 2x = 17 x =

d)

x -3 + 2 = x /¡4 4 x µ 3 + 8 = 4x x + 5 = 4x /µx 5 = 3x /¢3 5 = x ÏQ– 3

e)

/µ7 /¢2

c)

1 - 3x + 5 = 8 /µ5 2 1 - 3x = 3 /¡2 2 1 µ 3x = 6 /µ1 µ3x = 5 /¢(µ3) x= -

5 ÎQ– 3

2x - 1 4 - 3x + x = -2 /¡3 f) - 2 x = 5 /¡2 3 2 2x µ 1 + 3x = µ6 /+1 4 µ 3x µ 4x = 10 5x = µ5 /¢5 4 µ 7x = 10 /µ4 x = µ1 ÎQ– µ7x = 6 /¢(µ7) 6 x = - ÎQ– 7

3x - 4 x + = 1 /¡6 2 3

b)

3(3x µ 4) + 2x = 6 9x µ 12 + 2x = 6 /+12 11x = 18 /¢11 7 x = 1 ÎQ x > 1 11 c)

/¡4

17 ÏQ– 2

3. x ÏQ; x > 1

a)

/+1

4x + 2 x + 3 + = 5 4 2

/¡4

4x + 2 + 2(x + 3) = 20 /z.b. 4x + 2 + 2x + 6 = 20 /ö.v. 6x + 8 = 20 /µ8 6x = 12 /¢6 x = 2 ÎQ x > 1

2x - 5 x - 3 + = 2 x /¡20 4 5 5(2x µ 5) + 4 (x µ 3) = 40x /z.b. 10x µ 25 + 4x µ 12 = 40x /ö.v. 14x µ 37 = 40x /µ14x µ37 = 26x /¢26 37 = x ÎQ de x > / 1 26 nem megoldás

d)

x + 7 2x - 1 = x - 1 /¡14 2 7 7(x + 7) µ 2(2x µ 1) = 14x µ 14 /z.b. 7x + 49 µ 4x + 2 = 14x µ 14 /ö.v. 3x + 51 = 14x µ 14 /µ3x 51 = 11x µ 14 /+14 65 = 11x /¢11 5

10 65 = x ÎQ x > 1 megoldás = 11 11

4. Az iskola énekkara: x fõ.

Szoprán 40 4 2 ◊x = x = x 100 10 5

Alt 1 x 3

Mezzo 14

2 1 x + x + 14 = x 5 3 x = 52,5 nem megoldás, mivel x-szel a gyerekek számát jelöltük és ez csak pozitív egész szám lehet. 59


5. Hugi fogainak száma: x.

Öcsi 52 µ x

Hugi x x (52 µ x) ¡ 2 < 2 +1 x (52 µ x) ¡ 2 + 1 = 2 x = 42 nem megoldás, mivel egy embernek nem lehet 42 db foga. 6. Belgium

Magyarország

Észtország 5610 + 3 x + x - 46 5

5610 + 3x x 5610 + 3 x + x - 46 = 9100 5 x = 10 030 dollár Magyarország egy fõre jutó GDP-je 10 030 dollár volt. délelõtt:

Diák x + 70

du.

y + 70

7.

Felnõtt x Þ x + 70 + x = 110 x = 20 y Þ y + 70 + y = 125 (x; y ÎZ+) 2y = 55 y = 27,5 Nem kaphatunk törtet.

8. Marci és a cukorgyár

Háry Péter 3 Békaember 3 3 x + x < 151100000 5 +2300000 3 x + x + 2300000 = 151100000 5 x = 93000000 Marci és a cukorgyár címû film bevétele 55,8 millió dollár, a Háry Péter 3 címû film bevétele 93 millió dollár volt.

9. a) 3 lábú

4 lábú 28 µ x x 3 ¡ (28 µ x) + 4x = 116 x = 32 db szék Nincs megoldás, mert minden széken ült valaki, így 32 fõnek kellene a teremben lenni a tanárral együtt.

b) 3 ¡ (28 µ x) + 4x = 75 x = µ9 nem lehetséges, mivel darabszám nem lehet negatív. Rejtvény: 12 + 9 ¡ (4x µ 5) + 3x = 44 A bal oldali összeg minden tagja 3-mal osztható, így a bal oldali összegnek is oszthatónak kellene lennie 3-mal, de a 44 nem osztható 3-mal. 60

6. Mikor érdemes egyenleteket használni? 1. A fiúk száma 1-gyel több a lányokénál. Lányok: x fõ; fiúk: x + 1 fõ.

Gabinak kétszer annyi fiútestvére van, mint lánytestvére. A testvérei száma: lány fiú xµ1 < x+1 ¡2

2(x µ 1) = x + 1 x=3 Þ x+1=4 A családban 3 lány- és 4 fiúgyermek van. 2. 3x µ 700 = 700 µ x

x = 350 db 350 db juha van a juhásznak. 3. Apa

3x 3x µ 6

>

Fiú x xµ6

¡4

3x µ 6 = 4 ¡ (x µ 6) x = 18 Az apa 54 éves, a fiú 18 éves. 2 x + 0, 7 x + 8 = x 7 x = 560 560-an jelentek meg az ügyeleten, ebbõl 160-at benntartottak kivizsgáláson, hazaengedtek 392-t.

8. évf.

7. évf.

24 db

6. évf. 5. évf.

tanár

16 db

8 db

16 db

5.

4.

80 az iskolaújság száma.

2. megoldás: Az újságok száma: x db. megvette maradt 1 4 8. o. x x 5 5 4 1 1 4 1 3 7. o. x◊ = x x- x = x 5 4 5 5 5 5 3 3 3 3 6. o. x xx = x 10 5 10 10 3 2 1 3 1 1 5. o. x◊ = x x- x = x 10 3 5 10 5 10 61


1 x =8 10 x = 80 db almák száma: x db vette maradt 1 1 x x 2 2 1 1 1 1 1 1 x◊ = x x - x = x 2 3 6 2 6 3 1 1 4 1 1 1 x x = x x◊ = x 3 15 15 3 5 15 N

6.

1 vevõ: 2. vevõ: 3. vevõ:

8

4 4 x = 8 /: 15 15 2 15 = 2 ¡ 15 = 30 db alma. x = 8◊ 4

2. megoldás: 1. vevõ: 1 rész 2

1 rész 2

2. vevõ: 1 rész 3

2 rész 3

3. vevõ: 1 rész 5

4 rész 5

4 rész = 8 db0 5 1 3. vevõ: rész = 2 db0 5 5 rész = 10 db 5 2 2. vevõ: rész = 10 db 3 1 rész = 5 db0 3 3 rész = 15 db 3 1 1. vevõ: rész = 15 db 2 1 egész rész = 30 db 4. vevõ:

7. Peti

Kati Apa Anya x -6 x -6 6 2 +3 3 3

x x -6 x -6 6+ + +3+2 = x 3 3 x = 21 db. Anya 21 db palacsintát sütött. 62

8. Az elsõ kiesett lap: 163. oldal

– utolsó 316 Þ 154 lap esett ki. – utolsó 631 Þ 469 lap esett ki. Rejtvény: A 36 prímtényezõs felbontása 36 = 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 3. A lehetséges háromtényezõs szorzatok és a hozzá tartozó összegek: 1 ¡ 1 ¡ 36 1 + 1 + 36 = 38 1 ¡ 2 ¡ 18 1 + 2 + 18 = 21 1 ¡ 3 ¡ 12 1 + 3 + 12 = 16 1 ¡ 4 ¡ 39 1 + 4 + 39 = 14 1 ¡ 6 ¡ 36 1 + 6 + 36 = 13 2 ¡ 2 ¡ 39 2 + 2 + 39 = 13 2 ¡ 3 ¡ 36 2 + 3 + 36 = 11 3 ¡ 3 ¡ 34 3 + 3 + 34 = 10 A szorzatok közül 2 esetben egyforma az összeg 1 ¡ 6 ¡ 6-nál és a 2 ¡ 2 ¡ 9-nél is 13. Ezért a matematikus Ágnes még az összegre vonatkozó információból sem tudta kitalálni, hogy hány évesek a gyerekek, ami azt jelenti, hogy csak ez a 2 eset lehetséges. Miután megtudta, hogy van legidõsebb gyerek, ezért csak a 2; 2; 9 esete jó megoldás. A gyerekek 2; 2; 9 évesek.

7. Egyenlõtlenségek 1. a) x ³ 5

c) x £ µ3

b) x ³ 1

2. a) x > µ2 –3

–2

–1

0

1

e) x > µ6

2

c) x ³ 1

d) x £ 1

–3

–2

e) x £ µ1

g) x <

d) x £ 8 1 b) x < 2

7 2

–1

0

1

2

f) x £ µ4

h) x < 0

63


i) x £

15 8

3. a) x £ 3,5

Megoldás: 0; 1; 2; 3, mivel az alaphalmaz a természetes számok halmaza.

b) x £ 1 Megoldás: 0; 1

c) x < 5 Megoldás: 0;1; 2; 3; 4

d) x > µ10 Megoldás: 0; 1; 2; 3;…

e) x £ 2 Megoldás: 0; 1; 2

f) x > µ

14 Megoldás: 0; 1; 2; 3;… 3

h) x > 0 Megoldás: 1; 2; 3;…

g) Nincs megoldás

i) x <

10 Megoldás: 0; 1; 2; 3 3

4. 4x ³ 28

x³7 7-nél kevesebb gólt dobtak. 5. 26 µ x = x

13 = x Veronikának maximum 13 képeslapja lehet. 6. 4x + 2 ¡ 28 > 70

4x + 56 > 70 x > 3,5 Legalább 4 róka járhatott az udvarban. 7. 1,5x µ 23 < 6

x < 19,3 ºC Ezen a napon az átlaghõmérséklet 19,3 ºC-nál kevesebb lehet.

64

8. x + 6 + x + 2x £ 34

x£7 4 kg £ x £ 7 kg A legkisebb dinnye tömege 4 kg vagy annál több, de maximum 7 kg lehetett. 9. 8x > (x + 10) ¡ 3

x>6 A gondolt szám 6-nál nagyobb. (Nem lehet kitalálni melyik számra gondoltam.) Rejtvény: Egy szám 2-szereséhez 4-et adva legalább µ2-t, de legfeljebb 10-et kaptam. Melyik racionális számra gondoltam?

8. Vegyes feladatok 1. a) 4x µ 12 = 0

x = 3 ÎN, tehát jó megoldás. b) x = 1,5 nem megoldás, mert x ÏN. c) 7 µ 3x = 2x µ 3 7 + 3 = 5x 10 = 5x x = 2 ÎN, jó megoldás. x x - = 2 /¡6 d) 3 2 2x µ 3x = 12 µx = 12 x = µ12 ÏN, nem jó megoldás. x -2 e) /µ4 +4 = 7 3 x -2 /¡3 = 3 3 xµ2=9 x = 11 ÎN, jó megoldás. f)

2 - 3x + x = 0 /¡2 2 2 µ 3x + 2x = 0

2 µ x = 0 /+x x = 2 ÎN, jó megoldás.

2. a) 5(3x µ 2) = 3(2x µ 3)

15x µ 10 = 6x µ 9 /µ6x, +10 9x = 1 1 x = ÎQ, tehát jó megoldás. 9 65


b) 2(x µ 4) + 3(3 µ x) = 5x µ 11 2x µ 8 + 9 µ 3x = 5x µ 11 1 µ x = 5x µ 11 /+x + 11 12 = 6x x = 2 ÎQ, tehát jó megoldás. c) 3(3x + 2) µ 2(4x + 3) = 9 9x + 6 µ 8x µ 6 = 9 x = 9 ÎQ, jó megoldás. d)

2x + 2 7 - x + = 5 3 2 2(2x + 2) + 3 ¡ (7 µ x) = 30

/¡6

4x + 4 + 21 µ 3x = 30 x = 5 ÎQ, jó megoldás. 3. a) x µ 3 £ 5

b) 2x + 5 > 4x + 3 /µ2x µ 3 2 > 2x /¢2 1>x 0

x£8 0; 1; 2; ...; 8 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c) 3x µ 6 µ x > 2 + x 2x µ 6 > 2 + x x>8 9; 10; 11; ... ¥ (ÎN) 5

6

7

8

9

10

11

4. a) x < 3

b) x £ µ5

c) 4x µ 8 + 6x + 18 > 4 10x + 10 > 4 10x > µ6 /¢10 6 x> 10 3 x> 5 –1

–

66

3 5

0

1

5. Legutóbbi mérkõzés

Ezt megelõzõ mérkõzés 2x x 2x + x = 33 x = 11 Egyik mérkõzésen 22 pontot, a másikon 11 pontot dobott.

6. x ¡ 3 + 12 < 4 ¡ x µ 3 +2

3x + 12 + 2 = 4x µ 3 3x + 14 = 4x µ 3 x = 17 A gondolt szám a 17. 7. 3x + 12 = 4x µ 3 µ 2

x = 17 A gondolt szám a 17. 8. Dávid

Peti 6x x 6x + x = 91 x = 13 Dávidnak 78 db, Petinek 13 db üveggolyója van.

9.

fej láb x x 34 µ x 4(34 µ x) 2x + 4(34 µ x) = 98 2x + 136 µ 4x = 98 136 µ 2x = 98 3 ¡ 8 = 2x 19 = x 19 db ember, 15 kutya sétál.

ember kutya

10.

db értéke (Ft-ban) 50 Ft: x 50x 100 Ft-os: 78 µ x 100(78 µ x) 50x + 100(78 µ x) = 6200 50x + 7800 µ 100x = 6200 7800 µ 6200 = 50x 1600 = 50x 32 = x 32 db 50 Ft-ossal és 46 db 100 Ft-ossal fizetett.

11. 7.a létszáma: x fõ.

0 2 eltévedt érkezett 1 2 x x 3 3 7.b létszáma: 32 fõ. 67


2 x + 32 = 50 3 2 x = 18 3 x = 27 7.a 27 fõs. 12. Elsõ nap

Második nap x x 3 Összesen: 13 500 Ft x x +x+ = 13 500 6 3 x = 9000 Ft Elsõ napi: 3000 Ft Második napi: 9000 Ft Harmadik napi: 1500 Ft

Harmadik nap x x ¢2 = 3 6

13. Sonkás

Tonhalas Sajtos 1 x 0,3x 176 5 1 x + 0,3x + 176 = x 5 a) 352 db b) sonkás: 70,4 db ~70 db tonhalas: 105,6 db ~ 106 db c) sajtos: sa Ft, sonkás: so Ft, tonhalas: to Ft so + sa + sa + to + so + to = 300 + 250 + 310 2so + 2sa + 2to = 860 so + sa + to = 430 1 sajtos + 1 sonkás + 1 tonhalas = 430 Ft d) 430 µ 300 = 130 Ft a tonhalas 250 µ 130 = 120 Ft a sajtos (vagy: 430 µ 310 = 120 Ft) 310 µ 130 = 180 Ft a sonkás (vagy: 430 µ 250 = 180 Ft) e) 70 ¡ 180 + 106 ¡ 130 + 176 ¡ 120 = 47 500 Ft a napi átlagos bevétel.

14.

Én

Te

Most

2x

y

Volt

y

x

Mivel mindketten egyszerre öregszünk: 2x µ y = y µ x Þ 3x = 2y Þ y = Én

Te

Most

2x

3 x 2

Lesz

2x +

1 x 2

2x

Mivel mindketten egyszerre öregszünk ezért én 2 x + 68

1 5 x = x leszek. 2 2

3 x 2

5 x + 2 x = 54 2 x = 12 y = 18 Én most 24 éves vagyok, Te most 18 éves vagy. 15. Fradi

Újpest

Többi 1 0,4x 0,6x ¡ 144 3 1 0,4x + 0,6x ¡ + 144 = x 3 x = 360 Összesen 360 szurkolója van az iskolának, ebbõl a Fradinak és az Újpestnek 216 fõ szurkol, a Fradinak 144 fõ, az Újpestnek 72 fõ.

16. Messzevisz Bt.

x+4

Távoltravel Kft. x x + 4 + 2x > 50 . x > 15,3

1 (x + 4) + x < 25 3 x < 17,75 . 15,3 < x < 17,75 x = 16 fõ vagy x = 17 fõ Ha a Távoltravel Kft. Buszába 16 fõ, akkor a Messzevisz Bt. Buszába 20 fõ fér el. Ha a Távoltravel Kft. Buszába 17 fõ, akkor a Messzevisz Bt. Buszába 21 fõ fér el. 17.

L + GY = 600 GY + CS = 695 L + CS = 455 a) Gyurika b) Lóri c) Összeadva a három egyenletet: 2L + 2GY + 2CS = 1750 L + GY + CS = 875 Összesen 875 db-ot ettek meg. d) Csöpike: 875 µ 600 = 275 db Lóri: 455 µ 275 = 180 db (vagy: 875 µ 695 = 180) Gyurika: 600 µ 180 = 420 db (vagy: 875 µ 455 = 420)

69


4. Síkgeometria I. 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 1. a) tengelyesen szimmetrikusak: 0; 3; 8; A; C; D; E; H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y

b) középpontosan szimmetrikusak: 0; H; I; N; O; S; X; Z c) tengelyesen is és középpontosan is szimmetrikusak: 0; O; H; I; X 2. a) tengelyesen szimmetrikusak: kõr dáma

b) középpontosan szimmetrikusak: pikk jumbo; kõr dáma; káró 5 c) tengelyesen is és középpontosan is szimmetrikusak: kõr dáma 3. egy szimmetriatengely: Európai Unió, Burundi és Honduras zászlajának.

két szimmetriatengely: Macedónia és Jamaica zászlajának. középpontosan szimmetrikus: Macedónia és Jamaica zászlaja. 4. Az 01 pontra középpontosan szimmetrikus

L betûk.

Az 02 pontra középpontosan szimmetrikus L betûk.

5. pl.: Suzuki, Renault 6. a) A’(0; µ2)

d) D’(2; µ5)

b) B’(µ3; 0) e) E’(µ4; 3); F’(1; 6)

c) C’(µ1; µ4)

7. A); C); D)

Rejtvény: Aladár vegyen el elõször 2 kavicsot, utána 27 darab marad, ami 3-mal osztható. Így ha Béla egyet vesz el, Aladár kettõt s ha Béla kettõt vesz el, Aladár egyet.

70

2. Középpontos tükörképek szerkesztése 1. 1. Felvesszük az ABC háromszöget és az O pontot

2. Az AO szakaszt O ponton túl meghosszabbítjuk, és a meghosszabításra O-ból felmérjük az AO távolságot. Így megkapjuk az A’. 3. Az A’ ponthoz hasonlóan megszerkesztjük a B’ és a C’ pontokat. 4. A kapott csúcspontokat összekötjük, Így megkapjuk az A’B’C’ háromszöget. B’

A

C’ O A’

C

B

2. a) Hegyesszög

1. Felvesszük a hegyesszöget és a O pontot (a tükrözés középpontját) 2. A szög csúcsát jelöljük A-val, majd az O pontból OA körzõnyílással kijelöljük az A’ pontot az O-t tartalmazó szögszáron 3. A másik szögszáron kijelölünk egy tetszõleges pontot, jelöljük B-vel, és kössük össze O-val 4. B pontot tükrözzük az O pontra (B’) 5. Kössük össze az A’ pontot a B’-vel b) Derékszög 1. Felvesszük a derékszöget és a O pontot (a tükrözés középpontját). 2. A szög csúcsát jelöljük A-val, majd az O pontból OA körzõnyílással kijelöljük az A’ pontot az O-t tartalmazó szögszáron. 3. A másik szögszáron kijelölünk egy tetszõleges pontot, jelöljük B-vel, és kössük össze O-val. 4. B pontot tükrözzük az O pontra (B’). 5. Kössük össze az A’ pontot a B’-vel. c) Tompaszög 1. Felvesszük a tompaszöget és a O pontot (a tükrözés középpontját). 2. A szög csúcsát jelöljük A-val, majd az O pontból OA körzõnyílással kijelöljük az A’ pontot az O-t tartalmazó szögszáron. 3. A másik szögszáron kijelölünk egy tetszõleges pontot, jelöljük B-vel, és kössük össze O-val. 4. B pontot tükrözzük az O pontra (B’) 5. Kössük össze az A’ pontot a B’-vel

B

a

b’ O b

A

A’ a’

B’

B a

a1

A

O b’ b

A’ a = 90° a’ B’

B a

a A

b’ O b

71

A’ a’ B’


Minden esetben középpontra tükrözöm a szög csúcsát, majd a középpontot nem tartalmazó szár tükörképét szerkesztem meg. Elegendõ megszerkeszteni a szár egy tetszõleges pontjának tükörképét, majd a képpontot összekötni a szög csúcsának tükörképével. 3. a) A szerkesztés lépései:

1. 2. 3. 4. b)

Felvesszük a 60°-os szöget és az O pontot (a tükrözés középpontját). Kijelölünk a szögszárakon egy-egy pontot (A és B) és a szög csúcsát (C). Az A, B és C pontokat tükrözzük az O pontra. A C’ pontot összekötjük a A’ és B’ képpontokkal így megkapjuk a 60°-os szög képét. c) Hasonlóan járunk el 90°-os és 120°-os szögeknél is.

4. a) A piros háromszöget rövidebb befogójára tengelyesen tükrözve a sárga háromszöget

kapom. Ha középpontosan tükrözöm a piros háromszöget a derékszög csúcsára, megkapom a zöld háromszöget. Ha a piros háromszöget tükrözöm a hosszabbik befogójára, mint tengelyre, akkor a kék háromszöget kapom. b) A sárga háromszöget hosszabbik befogójára tengelyesen tükrözve kapom a zöld háromszöget. A négy háromszög rombuszt alkot. 5. A középpontos tükrözés szimmetriaközéppontja az O.

A szerkesztés lépései: 1. Felvesszük a párhuzamos egyeneseket és az egyenlõ hosszúságú szakaszokat AB = CD 2. Összekötjük az A és C, valamint a B és D pontokat. Az így kapott egyenesek metszéspontja a keresett O pont D A O C B

72

6. A szerkesztés lépései:

1. Vegyük fel a K középpontú 2 cm sugarú c kört és az O pontot. 2. A K pontot kössük össze az O ponttal, majd a K ponttal ellentétes oldalon hosszabbítsuk meg a szakaszt, s a meghosszabbítására mérjük fel az OK távolságot (K’). 3. Szerkesszük meg a K’ középpontú 2 cm sugarú kört (c’).

c’ K’

O c K

7. a) Mivel az átlók merõlegesen felezik egymást a négyzet szemközti csúcsai helyet cse-

rélnek. D = B’

C = A’

O

A

B

73


b) Ha a B pont a szimmetria középpont. 1. Hosszabbítsuk meg az AB és a BC szakaszokat, majd a meghosszabbított egyenesekre tükrözzük az A és C pontokat (A’C’). 2. Kössük össze a D pontot B-vel, majd a meghosszabbított egyenesre tükrözzük a D pontot. (D’) 3. Kössük össze az A’B’C’D’ pontokat. D

C

O B = B’

A’

A

O

C’

D’

c) 1. Vegyük fel az ABCD négyzetet és az O pontot. 2. Tükrözzük A-t O-ra ® A’ 3. Tükrözzük D-t O-ra ® D’ 4. A szakaszfelezés miatt B = C’ és C = B’. Kössük össze A’B’C’D’ pontokat. D

C = B’

A’

O

A

74

B = C’

D’

8. a) O(0; 2)

7

A

6

c

5

B

C’

4

a

2

–7

–6

a

O

1

b –8

b

3

B’ 0 –5

–4

–3

A’

–2

–1

c

C 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–1 –2 –3 –4 –5 –6

Megoldás: A’(µ3; µ2) B’(µ1; 0) C’(µ8; 4). b) O(µ2; 1)

Megoldás: A’(µ7; µ4) B’(µ5; µ2) C’(µ12; 2).

75


c) O(µ1; µ3) 8 7

A

6

c

5

B 4

b

3

a

2 1

C

0 –12 –11 –10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

–1 –2

O

–3 –4 –5

C’

–6 –7

a

–8

B’

b

–9 –10

A’

c

–11 –12

Megoldás: A’(µ5; µ12) B’(-3; µ10) C’(µ10; µ6). Rejtvény: Eltérések a 2. képen: 1. A kosfejtõl jobbra – balra lévõ rózsaszín virág közepében a zöld-sárga köröknek sárga-zöldnek kellene lenniük. 2. A kép alja lefelé mutató tenyerek-karok melletti rózsaszín virágról hiányzik a lila pötty. 3. A kép közepén lévõ száj színezése fordított kellene hogy legyen. 4. A száj melletti sárga virág melletti piros „nyelvnek” kellene lennie. 5. Felette a piros nyelvnek kellene kéknek lennie. 6. A száj alatti 2 kék alakzatban nem kellene a fekete pötty.

3. Szögpárok, a háromszög belsõ szögeinek összege 1. a) fordított állású szögpárok: pl. (AGD¬; GDE¬) (BDC¬; HGF¬)

egyállású szögek: pl. (AGH¬; BDG¬) (GDE¬; HGF¬) b) fordított állású szögpárok: pl. (JIK¬; IKL¬) (MJK¬; MLI¬) egyállású: – 76

c) fordított állású szögpárok: pl. (SNT¬; TQP¬) (POT¬; TRS¬) egyállású: pl. (PQT¬; OTN¬) (TQR¬; NTS¬) 2. a) 25° külsõ szöge 155°

90° külsõ szöge 90° 65° külsö szöge 115°

b) 38° külsõ szöge 142° 110° külsõ szöge 70° 32° külsö szöge 148°

c) 77° külsõ szöge 103° 26° külsõ szöge 154°

3. 30° + 60° + 90°

45° + 75° + 60° 30° + 30° + 120° 60° + 60° + 60° 45° + 45° + 90° 75° + 75° + 30° 4. a) igaz

b) hamis

c) hamis

Rejtvény: Három egyenest határozhatnak meg

a

4. Középpontosan szimmetrikus négyszög: a paralelogramma 1. A háromszög szerkesztése

1. Felvesszük az AB szakaszt 2. A csúcsból 4 cm-es, B csúcsból 3 cm-es körzõnyílással egymást metszõ köríveket rajzolunk (C csúcs) 3. Összekötjük ABC pontokat. Tükrözés lépései: 1. Megszerkesztjük az ABC háromszöget és az O pontot 2. Tükrözzük az ABC pontokat O-ra (A’ = B; B’ = A) 3. Összekötjük A’C’B’ pontokat Paralelogrammát határoznak meg AC’BC pontok, mert 2-2 szemközti oldala egyenlõ hosszú. a) C’

B = A’

4 2

3

O

3 A = B’

C 4

K = (3 + 4) ¡ 2 = 14 [cm] 77


b) B = C’ 2 3

A

4 O

A’ 2 C = B’

4

K = (2 + 4) ¡ 2 = 12 [cm] c)

K = (2 + 3) ¡ 2 = 10 [cm] 2. Az ABA’B’ négyszög paralelogramma, mert az átlói felezik egymást. Szimmetriaközép-

pontja a C csúcs. 3. 1. Felvesszük az ABM pontokat

2. Tükrözzük A és B pontokat M-re (A’; B’) 3. Összekötjük ABA’B’ pontokat.

4. a) 1. Felveszünk egy 6 cm-es AB szakaszt

2. A pontba 30°-os szöget szerkesztünk 3. A keletkezett szögszárra felmérünk 5 cm-t (D csúcs) 4. D csúcsból 6 cm-es és B csúcsból 5 cm-es körzõnyílással egymást metszõ köríveket rajzolunk (C csúcs) 5. Összekötjük ABCD csúcsokat D

C

5 cm

30° 6 cm

A

78

B

e = 3 cm szakaszt, félegyenessé kiegészítjük (vagy 2 felvesszük AC = 6 cm szakaszt, és megfelezzük Þ F) 2. F pontba az óramutató járásával fordított irányban (+) megszerkesztjük a 30°-os szöget. f 3. Erre a szögszárra mindkét irányba F-bõl rámérjük az = 2, 5 cm-t. Þ B; D. 2 4. F-re tükrözzük az A csúcsot Þ (A’ = C).

b) 1. Felvesszük az

D

AF =

f = 2,5 cm 2 F

30° A

A’ = C e = 6 cm

e = 3 cm 2

B

c) 1. Felvesszük az AC = 6 cm szakaszt. 2. C csúcsba +30°-os szöget szerkesztünk. 3. Erre a szögszárra rámérjük a c = 4 cm-t Þ D. 4. D-t tükrözzük az AC felezõpontjára (F) Þ D’ = B.

5. a) igaz

b) hamis f) igaz

e) hamis

c) igaz

d) igaz

6. A paralelogramma akkor téglalap. 7. A paralelogramma akkor rombusz 8. 75°; 105°

68°; 112°

118°; 62°

93°; 87°

Rejtvény: Nincs

79


5. Trapéz 1.

2. a) hamis

b) hamis

3. a) 112°; 137°

d) 95°; 95°; 85°; 85°

c) igaz

d) igaz

b) 70°; 45°; 110°; 135° e) 45°; 135°; 65°; 115°

e) igaz

f) hamis

c) 102°; 37°; 143°

4. a) 1. Felveszem az a oldalt (AB).

2. Az a oldal A csúcsába 60°-os szöget szerkesztek. 3. A szögszárat elmetszem B csúcsból kiinduló e sugarú körívvel (D csúcs) 4. Párhuzamost szerkesztek D-n keresztül a oldallal, erre rámérjük c szakasz hosszát (C). 5. Összekötöm az ABCD csúcsokat.

D

2 cm

C

6,5 cm

a A

6 cm

80

B

b) Az adatokból nem szerkeszthetõ trapéz, mert az a szögszárnak és e-nek nincs közös pontja.

e = 4 cm

a A

B

6 cm

c) Szerkesztés lépései: ugyanaz mint az a) pont 2 cm

D2

C2

5,5 cm

D1

2 cm

a A

C1 5,5 cm 6 cm

B

5.

Rejtvény: Minden sorban a narancs színû síkidomokat „összeadva” egy négyzetet kapunk. E szerint kell a 3. és a 4. sort kiegészíteni.

6. A paralelogramma, a trapéz és a háromszög középvonala 1. a) pl. 1 megoldás:

pl. 2 megoldás:

81


b) Mivel a 4 db kerületének összege a kérdés, ezért a fenti példákban mindkét esetben 4 ¡ (2 ¡ 2 + 2 ¡ 3) = 4 ¡ (4 + 6) = 40 cm 2. Konkáv hatszöget alkotnak. A’

D

B’

C t

A

D’

B

C’

3. Minden esetben háromszöget kapunk azért, mert az eredeti háromszög csúcsai az új

háromszög oldalfelezõ pontjai.

4. a) Középvonalak: 2 cm; 4 cm; 4,5 cm

b) Középvonalak: 2,5 cm; 3,25 cm; 5 cm c) Középvonalak: 5,5 cm; 3 cm; 6,5 cm 5. Igen, megrajzolható.

a) 5 cm + 6 cm + 7 cm + 2,5 cm + 3 cm + 3,5 cm = 27 cm b) 11,8 cm + 13,2 cm + 17 cm + 5,9 cm + 6,6 cm + 8,5 cm = 63 cm 6. K +

K 3 54 = 27 fi K = 27 fi K = = 18 cm. 2 2 3

7. a) a = 4 cm; b = 4 cm; c = 6 cm

1. Felveszem az AB = 6 cm hosszúságú szakaszt 2. Az A és B csúcsokból 4 cm-es sugárral egymást metszõ köríveket rajzolunk (C csúcs) 3. Összekötjük ABC csúcsokat

82

b) a = 4 cm; b = 6 cm; c = 8 cm Szerkesztés lépései: 1. Felvesszük a c oldalt (AB oldalt) 2. A csúcsból 6 cm-es, B csúcsból 4 cm-es körzõnyílással egymást metszõ köríveket rajzolunk (C csúcs) 3 Összekötjük ABC csúcsokat C

A

B

c) a = 4 cm; b = 6 cm; c = 10 cm Ezekbõl az adatokból nem szerkeszthetõ háromszög (háromszög egyenlõtlenség tétele miatt). 8. 1. Felveszem az F1 F2 2 cm hosszúságú szakaszt.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

A szakasz F1 ponjába 60° szöget veszek fel. Az így keletkezett szögszárra felmérek 3 cm-t így megkapom az F3. F1 pontból F2 F3 szakasz hosszúságával köríveket rajzolok. F2 pontból 3 cm-es sugárral köríveket rajzolok (A csúcs). F3 pontból 2 cm-es sugárral köríveket rajzolok (B csúcs, C csúcs). ABC csúcsokat összekötöm.

F

2

C

2

3

B

3

3

60° 2

F

F

1

2

3

A

83


9. A háromszög 2 oldala 4 cm és 10 cm.

A harmadik oldal lehet: 6 és 14 cm közötti egész szám, 7 cm; 8 cm; 9 cm; 10 cm; 11 cm; 12 cm; 13 cm (háromszög egyenlõtlenség tétele miatt). 10. A trapéz „kerületét” járja be, azaz 1980 m-t tesz meg. 11.

c

k=7

F1

F2

c+6

c + c + 6 = 14 2c = 8 c=4 Az alapok 4 cm és 10 cm. 12. Nóráé: bontsuk fel a trapézt két háromszögre egy átlója mentén, s a háromszögek

középvonalára vonatkozó összefüggést alkalmazzuk. Dávidé: például a trapézt tükrözzük egyik szárának felezõpontjára, így a trapéz és tükörképe, egy paralelogrammát alkot. Rejtvény: A 9 gyufaszálból alakítsunk ki egy háromszöget középvonalaival együtt. (Az 5. háromszög az ábrán a nagy háromszög.)

7. Vegyes feladatok 1. a) hamis

b) hamis

c) igaz

e) igaz

f) hamis

g) igaz

d) igaz

2. a) Szerkesztés lépései: Kössük össze A pontot P = A’-vel, majd az így kapott szakaszt

felezzük el. A felezési pont lesz a tükrözés középpontja (O pont). A háromszög tükrözése: 1. Kössük össze B pontot O-val, majd mérjük fel a OB szakasz hosszát az egyenesre (B’) 2 Ismételjük meg az eljárást C ponttal is (C’) 84

b) c) lásd a feladat 3. C pont: (2; µ1)

D pont (1; µ3)

4. D1 pont (2; µ2) Paralelogrammaként kell összekötni, így lesz még 2 megoldás:

D2(µ6; 6) D3(6; 2) y 7

D2(–6; 6)

6 5

B(4; 0)

4 3

D3(6; 2)

2

A(–2; 2)

1 0

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0 –1

1

2

3

4C 5 (4; 0)

6

7

8

9

10 x

–2

D1(2; –2)

5. a) igaz

b) hamis

c) igaz

d) igaz

6. A három pont alkotta háromszöget, az eredeti háromszög középvonalai alkotják.

Szerkesztés: Adott: F1 F2 F3 Párhuzamos egyenesekkel szerkesztve: F1 F2 szakasszal F3 ponton keresztül F1 F3 szakasszal F2 ponton keresztül F2 F3 szakasszal F1 ponton keresztül Az egyenesek metszéspontjai lesznek a háromszög ABC csúcsai.

85


7. a) igaz, mert ABC háromszög középvonala EF szakasz

b) igaz, mert ACD háromszög középvonala HG szakasz c) igaz, mert ABD háromszög középvonala HE szakasz d) igaz, mert BCD háromszög középvonala FG szakasz 8. A négyszög paralelogramma, mert szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlõ hosszú-

ságúak. HG||EF||AC HE||DB||GF lásd 7. feladat 9. a) Átlói egyenlõ hosszúak, mert az oldalfelezõ pontok által meghatározott négyszög min-

den oldala egyenlõ hosszúságú (lehet szimmetrikus trapéz, téglalap, négyzet). b) Átlói merõlegesek egymásra, mert az oldalfelezõ pontok által meghatározott négyszög minden szöge egyenlõ (lehet deltoid, rombusz, négyzet). Pl.:

c) Átlói merõlegesek egymásra és egyenlõ hosszúak. Pl.:

86

10. Igaz, mert a felezõpontok által meghatározott négyszög paralelogramma. 11. a) a = 60°, b = 120°

b) a : e = 1:1 12. A szabályos háromszög minden oldala 2a hosszúságú.

Szerkesztés lépései: 1. Vegyünk fel egy 2a hosszúságú szakaszt (AB szakasz) 2. A és B pontból 2a hosszúságú sugárral, egymást metszõ köríveket rajzolunk (C pont) 3. Összekötjük ABC pontokat C

2a

2a

2a A

B

13. AB = EJ = DC

AB = 2EH + 2IJ = EH + EH + IJ + IJ EJ = EH + HI + IJ A két utolsó egyenletbõl: EH + EH + IJ + IJ= EH + HI + IJ EH + IJ=HI 14. A nyolc paralelogramma hegyesszöge 360° ¢ 8 = 45°, tompaszöge 135°-os.

Ezen kívül a 4 db négyzet szögei: 90°, és a 4 db tengelyesen szimmetrikus háromszög szögei: 90°, 45°, 45°. 15. Kettõ körhinta készíthetõ így:

16. Az északi irány van lefelé a déli pedig felfelé. A keleti és a nyugati irány is helyet cserélt.

® Az eredeti térkép középpontos tükörképe. A sárgára szinezett országok: USA, Brazília, Ausztrália, India, Mongólia, UK, Svédország, Magyarország, Algéria, Zaire.

87


5. Halmazok, kombinatorika 1. Halmazok (részhalmazok) 1. Málta Î A;

Tanzánia Î C; Chile Î B; Ghána Î C; Kanada Î B; Mexikó Î B; Nigéria Î C; Egyiptom Î C. A halmaz elemei továbbá Németország, Magyarország, Ausztria. B halmaz elemei továbbá Nepál, Venezuela, Argentína. C halmaz elemei még Marokkó, Csád, Dél-Afrikai Köztársaság.

2.

Luxemburg Î A;

versek A

B

A walesi bárdok A fülemüle Családi kör

A négyökrös szekér Szeptember végén Nemzeti dal

3. Az A halmaz elemei: Szlovákia, Ukrajna, Románia, Szerbia, Horvátország, Szlovénia,

Ausztria. B halmaz elemei: Aulich Lajos Damjanich János, Dessewffy Arisztid, Kiss Ernõ, Kneziæ Károly, Láhner György, Lázár Vilmos, Leiningen-Westerburg Károly, Nagysándor József, Poeltenberg Ernõ, Schweidel József, Török Ignác, Vécsey Károly. C halmaz elemei: Baradlay Ödön, Baradlay Richárd és Baradlay Jenõ. 4. a) bolygók;

b) Giuseppe Verdi operái; d) festõmûvészek.

c) vonós hangszerek; 5. a) Salamon nem Árpád-házi király volt.

b) Az Eiffel-torony nem Londonban található, mint a többi nevezetesség, hanem Párizsban. 6. a) {21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29};

c) {– 5; – 4; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}; 7. a)

G

E

teve delfin

M strucc papagáj

R mormota

b) 1. igaz; 2. igaz; 3. hamis; 4. hamis. c) R Ì E Ì G; M Ì G.

88

b) {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; d) {11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99}.

8.

sokszögek háromszögek

négyszögek

a) igaz

b) hamis

c) igaz

d) hamis

9. N Ì Z Ì Q. 10. a)

A 235

B

540 230

C

55

4000

2365

300

b) 1. hamis; 2. igaz; 3. igaz; 4. igaz; 5. hamis. c) C Ì B Ì A. 11. a)

N T P D

R

b) R Ì P Ì T Ì N, D Ì N. c) 1. igaz; 2. hamis; 3. igaz; 4. igaz; 5. igaz; 6. hamis. 12. a)

A

B 6

3

15

C

18 12

36

27 9

b) B Ì A; C Ì A. c) Minden 9-cel osztható szám osztható 3-mal is. Minden 6-tal osztható szám osztható 3-mal is. Van olyan 3-mal osztható szám, ami nem osztható 9-cel. Van olyan 3-mal osztható szám, ami nem osztható 6-tal. Ha egy szám osztható 9-cel, akkor osztható 3-mal. Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 3-mal.

89


13. Az 1. 2. és 3. egy kocka kiterített hálója, ha ugyanis ezeket papírból kivágjuk, akkor

a kocka felépíthetõ. A 4. és 5.-bõl nem lehet kockát hajtogatni. kocka kiterített hálója

14. a) igaz 15.

nem kockaháló

b) igaz a konkáv négyszögre

c) igaz a konkáv négyszögre

síkidomok sokszögek négyszögek

ötszögek

Rejtvény: Nem biztos, hogy esni fog, mivel az állítás azt mondja, hogy esõ elõtt dorombol, de ez nem zárja ki, hogy más történés elõtt ne dorombolna.

2. Komplementer halmaz _ 1. A _ = {10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20};

B _ = {10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 21; 31; 41; 51; 61; 71; 81}; C _ = {91; 92; 93; 94; 95; 96; 97; 98; 99}; D = {11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99}. _ _ 2. A = C; D = F. négyszögek

négyszögek C

A

F D

3. a)

b)

90

c)

4. a) ... µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2

µ0,5

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ...

b) +2 +3 +4 +5 +6 +7 ...

... µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1

0 2 3

... µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ...

c)

5. Ha Dorka mindig igazat mond, akkor a gondolt szám 100-nál nem kisebb, páros, 110-

nél kisebb, és 5-tel osztható. Ez a szám a 100. _ 6. a) E -be tartoznak azok a háromjegyû számok, melyek nem tartalmazzák az 1-es számjegyet. _ b) E és E halmazoknak összesen annyi eleme van, ahány háromjegyû szám van. 100tól 999-ig _ 900 szám van. Az E halmaz elemeinek száma 100 + 8 ¡ (10 + 9) = 252. Innen a E halmaz elemeinek száma 900 – 252 = 648. 7. Mivel Ágota és Kati nem tanul olaszt, Éva fog olaszt tanulni, és Veszprémben lakik, hiszen

aki olaszt tanul, az Veszprémben lakik. Ágota nem Szegeden lakik, de nem is Veszprémben, mert Éva a veszprémi lakos. Ágota ezért kecskeméti. Mivel a kecskeméti lány nem angolra jár, ezért õ lesz az, aki németül tanul. Kati tehát Szegen lakik és angolra jár. 8. Három esetet lehet elkülöníteni, ha valamelyik gyerek hazudik.

Gabi igazat mond ,és Viki hazudik. Ekkor A) igaz; B) hamis; C) hamis; Gabi hazudik, és Viki igazat mond. Ekkor A) hamis; B) igaz; C) igaz; Mindketten hazudnak. A) hamis; B) hamis; C) hamis; A D) minden esetben hamis.

D) hamis;

E) hamis;

F) igaz.

D) hamis;

E) hamis;

F) hamis.

D) hamis;

E) igaz;

F) hamis.

9. Szervác mond igazat,és Szeráf a legszerényebb.

Szervác és Szeráf közül lesz valaki a legszerényebb, mert különben mindketten igazat mondanának, ami ellentmond annak, hogy pontosan egyvalaki mondhat igazat. Egyikük hazudik, a másik igazat mond, mikor azt állítja, hogy nem õ a legszerényebb. Szervác nem lehet a legszerényebb, mert ha õ lenne az, akkor Szergej is igazat mondana. Szeráf lesz tehát a legszerényebb közülük. 10. Mivel az 52 lapos francia kártya közt a fele piros, ha két egyenlõ csomagra szedem szét,

az egyik csomagban ugyanannyi piros lesz, mint a másikban a feketék száma.

91


Rejtvény: Géza nem a zöld házban lakik. Õ lakik a sárga házban, mert tudjuk róla, hogy kólát iszik, viszont a kék ház lakójának kedvence az õszibaracklé. Klári lakik középen a zöld házban. Õ az, aki vizet iszik a Géza sárga otthona melletti házban. Norbi a kék színû házban él. Géza

Klári

Norbi

kóla

víz

õszibarack

sárga

zöld

kék

3. Halmazok metszete és egyesítése 1. oroszlán farokbojt

jaguár

2 m körüli testhossz visszahúzható karom

sörény

ragadozó

foltos

hosszú fülek

2. j

ajtó

ly

varjú rejtély

uszály

fúj

bélyeg

pocsolya

3. A

Ernõ

Miklós Szabolcs

Márta

Bence

Csaba

András

Dóra

Oszkár

B

Imre

Orsolya

Bori

Anna

Tímea

A È B = {András; Anna; Bence; Csaba; Ernõ; Imre; Orsolya; Miklós; Oszkár; Szabolcs}; A Ç B = {András; Ernõ; Imre; Oszkár}. 4.

8

0

A

9

4 1

B

2 3 6

5

7

A Ç B = {2; 3; 5}; A È B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

92

5.

négyszögek A B

_ A_ = {Azok a négyszögek, melyeknek van két különbözõ nagyságú szöge.} B = {Azok a négyszögek, melyeknek van két különbözõ nagyságú oldala.} A Ç B = {Azok a négyszögek, melyeknek minden oldala és minden szöge egyenlõ.} A È B = {Azok a négyszögek, melyeknek minden oldala vagy minden szöge egyenlõ.} 6. a) 3;

b) 5; i) 1.

h) 2;

c) 8;

d) 6;

7. a) matek és angol;

b) tesi; d) rajz, matek, angol; e) töri; _ 8. a) A b) A Ç B

_ f) A È C

e) B È C

e) 7;

f) 4;

c) informatika; f) fizika, rajz, matek, angol, informatika. c) A È B

d) B Ç C

_ g) A Ç C

9. A kis lyukas zöld kör és a nagy teli zöld háromszög. 10. A = {0; 4; 8; 12; 16; ...}; B = {0; 6; 12; 18; 24; ...}. 3

1

A

2

4 8

12 20

7

a) b) c) d) e)

24 5

B

0 36

18 6 30

10

A Ç B = {0; 12; 24; 36; ...} A È B = {0; 4; 6; 8; 12; ...} A \ B = {4; 8; 20; ...} B \ A = {6; 18; 30; ...} A » B = {1; 2; 3; 5; 7; 10; ...}

93


11. a) nem (elsõ modern gõzgép: 1769 – II. Rákóczi élt 1676-1735

b) c) d) e) f)

nem (elsõ telefon (Bell): 1876 – Deák élt 1803-1876, Eötvös József 1813-1871 igen (elsõ röntgen kép a XIX. század legvégén – Babits élt 1883-1941 igen (gyufa föltalálása a XIX. század elején – Ady élt 1877-1919) nem (Jókai élt 1825-1904 – József Attila élt 1905-1937) igen (Mozart élt 1756-1791 – Beethoven élt 1770-1827) (de nem találkoztak, mert B. 1792-ben érkezett Bécsbe, éppen Mozart-nál akart tanulni) A képeken sorban II. Rákóczi Ferenc, Deák Ferenc, Beethoven, Ady Endre, Eötvös József és Mozart látható.

12.

Eszter 0h

7h 8h

17 h

23 h 24 h

István 18 h

23 h 7 h

8h

17 h 18 h

A piros színû szakaszok jelölik Eszter és István napirendjében külön-külön a telefonálásra alkalmas szabadidõt. Amikor Budapesten Eszter 11 órakor lefekszik aludni, NewYorkban 17 óra van, és István éppen végez a munkájával. Ekkor vannak legközelebb ahhoz, hogy szabadidejük átfedjen, de Eszternek tovább kellenne ébren maradnia a telefonáláshoz. A jelenlegi idõbeosztásuk nem teszi lehetõvé, hogy beszéljenek. 13.

négyszögek T Z

T Ç Z: a tengelyesen szimmetrikus trapézok. Minden paralelogramma tarpéz, tehát ide tartoznak a téglalapok, a négyzetek, a rombuszok is. T \ Z: a deltoidok és a konkáv tengelyesen szimmetrikus négyszögek. Z \ T: a nem tengelyesen szimmetrikus trapézok. T » Z : a négyszögek, amik nem tengelyesen szimmetrikusak, vagy nem trapézok. 14. a) A = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

B = {36; 72; 108; 144; 180; 216; 252; 288} C = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48} D = {48; 96; 144; 192; 240; 288} b) A és C valamint A Ç C halmazoknak. c) B és D valamint B Ç D halmazoknak.

94

A Ç C = {1; 2; 3; 4; 6; 12} B Ç D = {144; 288} A Ç B = {36} B Ç C = {}

15.

A

A 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ...

... µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1

B

B 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ...

... µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1

C

C

C

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ...

... µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1

AÇB 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ...

... µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1

BÇC 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ...

... µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1

AÇC 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ...

... µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1

AÇBÇC 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ...

... µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1

16. 1. – B); 2. – C); 3. – A); 4. – D). 17. a)

b)

y

y

2

2

1

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6 x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

c)

d)

y

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

–1

1

2

3

4

5

6 x

2

3

4

5

6 x

1

2

3

4

5

6 x

y

6

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

95


18. a) A sárga színnel megjelölt pontok

száma legfeljebb 6 lehet.

b) A sárga színnel megjelölt pontok száma legfeljebb 6 lehet.

Rejtvény: Miután ketten átkeltek a hídon, egyiküknek vissza kell vinni az elemlápát a következõ kettõnek. Háromszor ketten kelnek át, majd kétszer visszaviszi az elemlámpát valaki közülük. Négyen összesen ötször teszik meg az utat. Aki leggyorsabban halad egyedül, az viszi vissza az elemlámpát. 19 perc a legrövidebb idõ, ami alatt átjutnak mind a négyen.

4. Hány eleme van a halmazoknak? 1. Készítsünk halmazábrát a parkoló jármûvekrõl. parkoló jármûvek bicikli 9 nem piros bicikli

piros jármû

3 piros bicikli

5 piros autó

6 nem piros autó

Az ábráról leolvasható, hogy összesen 23 jármû parkol. 2. Mivel minden utas beszél angolul vagy németül, ezért mind a 43 résztvevõ beletartozik

a németül illetve angolul beszélõk halmaza közül valamelyikbe. A 37 angolul beszélõ utas között vannak, akik németül is tudnak. A 16 németül beszélõ utas között vannak olyanok, akik angolul is tudnak. Ha összegezzük a két halmaz elemeinek számát 37 + 16 = 53 éppen a kétnyelven beszélõket számoltuk kétszer, tehát 53 – 43 = 10 az angolul és németül is beszélõ utasok száma. 2. megoldás: Készítsünk halmazábrát! A 37 – x

x

N 16 – x

½A½= 37; ½N½= 16 37 – x + x + 16 – x = 43 53 – x = 43 x = 10

96

3. Készítsünk halmazábrát,és írjuk be az egyes halmazrészekbe az oda tartozó elemek

számát. Tegyük fel, hogy a növendékek közt nincs olyan, aki hegedülni és furulyázni is tanul. Összesen 60-an tanulnak a három hangszer valamelyikén. zeneiskolások furulya 16

5 0

12

zongora 21

6

hegedû

Ha van olyan diák, aki hegedül és furulyázik, akkor következõképpen alakul a halmazábra. Jelöljük x-szel a hegedülni és furulyázni tanulók számát. zeneiskolások furulya 16 – x

5

x 12 – x

zongora 21

6

hegedû

Legfeljebb 12 növendék tanul mindkét hangszeren. Ha 12 diák hegedül és furulyázik, akkor nincs olyan, aki csak hegedülni tanulna. A hegedû mellett furulyáznak 12-en és zongoráznak 6-an. A csak furulyázni tanulók száma ekkor 4. Összesen: 12 + 4 + 32 = 48an járnak ekkor a zeneiskolába. A három hangszer valamelyikén legfeljebb 60 és legalább 48 diák tanul a furulyázni és hegedülni tudók számától függõen. 4. Készítsünk halmazábrát,és írjuk be az egyes halmazrészekbe az oda tartozó elemek

számát. osztály tanulói 6. kötet 21 – x 6

x

7. kötet 12 – x

Jelöljük x-szel azoknak a gyerekeknek a számát, akik mindkét kötetet olvasták. Ekkor éppen x-szel kevesebb gyerek olvasta csak a 6. kötetet a 21 közül, és hasonlóan a 12 gyereknél x-szel kevesebben olvasták csak a 7. kötetet. Összegezzük a halmazrészek elemeinek számát. Eredményül kapjuk az osztálylétszámot, 30-at. 6 + 12 – x + x + 21 – x = 30 39 – x = 30 x = 90 9 tanuló olvasta a 6. és a 7. kötetet.

97



számát. Négyen voltak, akik az angol, a spanyol és a német meccsek közvetítéseit is látták, tehát 4 fõ tartozik a három halmaz metszetébe. Az angol és spanyol forduló közvetítéseit 7-en nézték. Közülük 4-en látták a németet is, õk már szerepelnek a három halmaz metszetében, tehát 3 fõ látta az angol, spanyol meccseket, de a németet nem. 10-en nézték az angolt és a németet is. Közülük 4-en a spanyol forduló mérkõzéseit is látták, tehát 6-an voltak, akik látták a német és angol forduló mérkõzéseit, de a spanyolt nem. Hasonlóan kapjuk meg, hogy 5-en a német és a spanyol fordulót látták, de az angolt nem. Ezek után tudjuk meghatározni azoknak a focirajongóknak a számát, akik pontosan egy forduló mérkõzéseit látták. Az angol forduló mérkõzéseit 17-en követték figyelemmel. Vonjuk le azok számát, akik látták a német vagy a spanyol meccseket is. 17 – 4 – 3 – 6 = 4 A német mérkõzéseket 17-en látták. Vonjuk le azok számát, akik látták az angol vagy a spanyol meccseket is. 17 – 4 – 6 – 5 = 2 A spanyol mérkõzéseket 13-an nézték. Vonjuk le azok számát, akik látták az angol vagy a német meccseket is. 13 – 4 – 3 – 5 = 1 Ezek szerint legalább egy meccset 25-en láttak az osztályból. 7/a angol 4 6 3

4 1

német 2

5

spanyol


számát. osztály 2

matematika 6 3 1

2 5

fizika 3

4

számítástechnika

Az osztálylétszám 26 fõ. 7. A konferencián csak európai, afrikai és egy amerikai elõadó vett részt. 3-an voltak nem

európaiak, tehát 2 afrikai tartott elõadást az egy amerikain kívül, a többiek Európából érkeztek. Õk pontosan 5-en voltak, mert 6 nem afrikai elõadó volt. Vizsgáljuk azt az esetet, amikor csakis angol és francia elõadók vettek részt a konferencián Európából. Az 5 európai közül nem francia elõadók az angolok. Az angolok, az egy 98

amerikai és a két afrikai összesen 5 fõ. Az angolok ezek szerint 2-en voltak. A franciák 3-an lehettek. résztvevõk

3

angol

francia 3

2

Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor Anglián és Franciaországon kívül más európai résztvevõ is jelen volt. Legyen az öt európai közül egy sem angol, sem francia. Ekkor 2 francia és 1 angol elõadó volt jelen, viszont ellentmondásba kerülünk azzal, hogy 6 nem afrikai. résztvevõk európai afrikai

angol

2

1

1

francia

amerikai

2

3

8. Készítsünk halmazábrát a külön a fiúk és a lányok versenyen való szereplésérõl. Írjuk be

az egyes halmazrészekbe az oda tartozó elemek számát. fiúk matematika 7

fizika 5 3

15 fiú jutott be a megyei fordulóba valamelyik tárgyból. lányok matematika 4

fizika 2 2

8 lány jutott be a megyei fordulóba valamelyik tárgyból. 23 tanuló jutott be a két tárgyból legalább az egyik versenyre.

99


9. Színházban keveseben voltak mint moziban. Így legtöbben akkor mentek moziba és

színházba is, ha minden színházlátogató moziban is járt. Ekkor a színházlátogatók halmaza részhalmaza a mozibajárók halmazának. Készítsünk halmazábrát, és írjuk be az egyes halmazrészekbe az oda tartozó elemek számát. osztály mozi

3

színház

10 9

Az osztálylétszám 22 ebben az esetben. A legkevesebben akkor jártak mindkét helyen, ha senki nem jutott el moziba és színházba is. Ekkor a színházlátogatók halmazának és a mozibajárók halmazának metszete üres. Ebben az esetben az osztálylétszám 31. osztály

10

mozi

színház 9

12

10. Készítsünk halmazábrát a matematika-szakkörbe járó és a kosárlabdázó tanulókról.

4 részük, vagyis 12 tanuló kosarazik 5 is. Ezért 3 olyan diák van, aki matematika-szakkörös, de nem kosarazik. Ha 15 tanuló jár összesen matematika-szakkörbe,

iskola matematika 3

kosárlabdázók 12 x – 12

3 3 A kosarasok (x fõ) része matematika szakkörös, ezért x-nek a része egyenlõ 1210 10 vel. 3 x = 12, amibõl x = 40 fõ a kosarasok száma. Közülük aki csak kosarazik, de nem 10 matematika szakkörös 28 fõ.

100

11. Készítsünk halmazábrát. Összesen 30 virágot kell elosztani a tavaszi virágok alaphal-

mazába. A piros virágok és a tulipánok halmazán kívül 6 szál van. A tulipánok harmada piros. Jelöljük a piros tulipánok számát x-szel. Nem piros tulipánból 2x szál virított a kertben. Tudjuk, hogy kétszer annyi piros virág volt, mint tulipán, tehát összesen 6x szál piros virág nyílott. Ebbõl x piros tulipán, tehát 5x piros egyéb virág díszítette a kertet. Összesen 30 virágszálat számolt meg Zsófi. tavaszi virág 6

piros virág 5x

tulipán x 2x

6 + 2x + x + 5x = 30 6 + 8x = 30 8x = 24 x = 30 Éppen 3 piros tulipán nyílott a kertben. 12. Az osztályban mindkét nyelvet tanuló gyerekek a halmazábrán az angolt és franciát

tanulók halmazának metszetébe kerülnek. Jelöljük az õ számukat x-szel. 18 – x fõ tanul csak franciát. 15 – x fõ tanul csak angolt. Ha vannak olyanok, akik mindkét nyelvet tanulják, és más nyelvet senki sem tanul, akkor 3-an többen tanulhatnak csak angolt, mint ahányan csak franciát. 18 – x – (15 – x) = 3 osztály 0

angol 15 – x

francia x 18 – x

Rejtvény: A kezdõ játékos nyer, ha mindig úgy töri a csokoládét, hogy négyzet alakú darab maradjon ellenfelének. Elsõként 6 ´ 6-os négyzetet hagy meg. Ez a nyerõ stratégia, hiszen a második játékos mindig kénytelen lesz a négyzetbõl téglalap alakot törni. A kezdõ játékosnak csak meg kell várnia, amikor elfogy a csokoládé annyira, hogy végül egy sor marad, és akkor letörhet akkora darabot, hogy a másiknak egyetlen négyzetnyi jusson.

101


5. Rendszerezzük a lehetõségeket! 1. a) Az ábrából leolvasható, hogy 36-féle kétjegyû számot kaphatunk. 1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

3 1

3 2

3 3

3 4

3 5

3 6

4

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

b) A 36 szám közül éppen a fele lesz páros, azaz 18. c) Pontosan azok a számok oszthatók 5-tel, amelyek 5 –re végzõdnek. 6 ilyen szám van a 36 között. d) Pontosan azok a számok oszthatók 6-tal, melyek 2-vel és 3-mal is oszthatók egyszerre, azaz a 3-mal osztható páros számok. Az egy oszlopban szereplõ számhatosok egymást követõ számok. 6 egymást követõ szám közül 2 db mindig oszható 3-mal. Közülük az egyik páros, a másik páratlan szám. Minden oszlopban egy darab 6-tal oszható szám lesz, tehát a 36 kétjegyû szám közül 6 osztható 6-tal. 2. Jelölje a járatok kijáratát A; B; C; D.

a) Ha A-n bemegy, három másik járaton mehet ki, tehát 3-féleképpen teheti meg az utat Vakond Vili. Mivel 4 bejárat közül választhat, így a lehetõségek száma 4 ¡ 3 = 12. b) Ha a járatok száma 6, akkor 6 ¡ 5 = 30 a lehetõségek száma. 3. Ha Zsuzsi felvesz egy blúzt az elõadásra, akkor 2 szoknya és egy nadrág közül választja

ki a megfelelõ aljat, tehát 3 féle együtteshez húzza fel majd a két cipõ közül az egyiket. Így összesen 6 lehetõsége lesz az esti öltözék megválasztásához. Mivel 3 blúz van a szekrényében, ezért háromszorozzuk meg a lehetõségek számát, tehát 18 elõadáson tud különbözõ öltözékben megjelenni. Az alábbi nyíldiagramon ábrázoljuk az öltözék megválasztásának lehetõségeit. A sárga blúzhoz a nyilak mentén haladva kapjuk meg a 6 különbözõ összeállítást. Hasonlóan 6-6 öltözék tartozik a piros és a lila blúzokhoz.

102

4. Az elsõ helyen nem szerepelhet nulla. A kettes számrendszerben a 0, 1 számjegyeket

használhatom fel. a) Elsõ helyen az 1-es számjegy állhat, a másik kettõ számjegy mindegyike kétféle lehet, ezért 2 ¡ 2 = 4-féle különbözõ háromjegyû szám képezhetõ. b) Elsõ helyen az 1-es számjegy állhat, az utolsó helyen a nulla, a másik kettõ számjegy kétféle lehet, ezért 2 ¡ 2 = 4-féle különbözõ háromjegyû szám képezhetõ. c) Elsõ helyen az 1-es számjegy állhat, a másik négy számjegy mindegyike kétféle lehet, ezért 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 = 16-féle különbözõ ötjegyû szám képezhetõ. 5. a) Az ötvennél nagyobb számok elsõ számjegye 5 vagy 6. 6 olyan szám van, melynek

elsõ számjegye 5, és 6 olyan szám van, melynek elsõ számjegye 6. Összesen 12 féle kétjegyû számot dobhatunk. b) A 21, 22, 23, 24, 16, 15 számokat kerekítem 20-ra az olyan kétjegyû számok közül, melyet dobhatunk. c) Az elsõ dobás hatféle szám lehet, a második dobás háromféle lehet: a 2, 4, 6. Összesen 6 ¡ 3 = 18-féle páros szám dobható. d) A megfelelõ számok felsorolással is megadhatók: 12, 15, 21, 24, 33, 36, 42, 45, 51, 54, 63, 66. 6. 2 ¡ 2 ¡ 3 = 12-féleképpen állíthatják össze a kirándulás programját. 7. Az 50-nél kisebb kétjegyû számok esetében a tízesek helyén az 1; 2; 3; 4 számjegyek

állhatnak. Az 5-ös számjegytõl kezdõdõen kerekítünk felfelé, ezért az egyesek helyén az 5; 6; 7; 8; 9 számjegyek állhatnak 4 ¡ 5 = 20-féle számot kaphatunk. 8. Az elsõ könyvet bármelyik 5 gyerek megkaphatja. A második sorsoláson csak négy

gyerek vehet részt, hisz aki megkapta az elsõ könyvet, nem kölcsönözhet ki még egyet. Így: 5 ¡ 4 = 20-féle eredménye lehet a sorsolásnak. 9. Mind a három meccs eredményére 3-féle tippünk lehet, ezért 3 ¡ 3 ¡ 3 = 27-féleképpen

tippelhetünk. 10. A kétféle számjegy a 6 és a 2, ami a telefonszámban szerepel. Az utolsó 4 számjegy

kitöltéséhez a 6 és a 2 számjegyet használhatjuk fel. 6

2

2

6

2

2

6

6

2

2

2

6

2

6

6

2

6

2

6

2

6

6

2

2

6

2

6

6

2

6

Összesen 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 = 16 lehetséges telefonszámot kell végighívogatnia. 11. a) Ha csak egy üveget helyez a lámpa elé, ezt 3-féleképpen teheti meg. Ha két színû

üveget használ, akkor 3-féle színhatást érhet el. Végül használhatja egyszerre mindhárom üveget is. Összesen 7 lehetõsége van.

103


b) Igen. Az alábbi táblázatban az elsõ oszlopban jelöljük, hogy melyik lencsét milyen irányba mozgatjuk, a második oszlopban pedig az elért színhatást. B: jelenti, ha a világosító lámpa elé tesszük a lencsét K: jelenti, ha a világosító lámpa elõl elvesszük a lencsét lencsemozgatás

elért színhatás

piros: B

piros

sötétkék: B

lila

piros: K

kék

zöld : B

világoskék

sötétkék: K

zöld

piros : B

sárga

kék : B

fehér

12. Az alábbi nyíldiagramon lefelé haladva a nyilak mentén, megkapjuk az összes

lehetõséget, ahogy Viki, Soma, Robi és Teri a különbözõ színû dodzsemekbe beleülhetnek. Viki csak lila és sárga autóba hajlandó beleülni. Soma csak sárga vagy kék autóval akar dodzsemezni. Robi kéket, sárgát vagy zöldet választ. 5-féleképpen szállhatnak be az autókba, ha mindenkinek figyelembe vesszük az akaratát. V

S

R

T

13. Legfeljebb 800 Ft-ot akarunk költeni. 300 Ft a díszítés, ezért legfeljebb 500 Ft-ot adhatunk

ki virágra. Ennyi pénzért a következõ virágkompozíciókat vásárolhatjuk meg. Legfeljebb 4 szál virágot vásárolhatunk: 4 liliomot; 3 liliomot és egy gerberát; vagy 2 gerberát és 2 liliomot. 3-féle csokrot köthetünk ebben az esetben. Ha három szál mellett döntünk, akkor vásárolhatunk 3 gerberát vagy 3 liliomot; vagy 2 liliomot és egy gerberát; illetve 2 gerberát és egy liliomot; egy rózsát és két liliomot; esetleg mindhárom fajtából egyet-egyet. Ez összesen 6 különbözõ csokor. Ha két szálból készítünk csokrot, akkor bármely két virágfajtából vagy azonos virágokból is összeállíthatjuk, mert a legdrágább rózsa is belefér a költségvetésünkbe. Összesen 6 lehetõségünk van. R

G

L

L

R

G

L

G

R

G

L

R

3 olyan összeállítás van, amely 2-szer szerepel a fenti ábrán, hiszen a ugyanaz a csokor. Így 9 – 3 = 6 különbözõ esetet kapunk.

104

R

L

L

R

Gondolkodjunk másképp. Különbözõ színû virágokból 2 szálas csokrot 3-féleképpen tudunk összeállítani. Ezt szemlélteti a lenti ábra. Egyenessel kötöttük össze az egy csokorba kerülõ virágokat. Látjuk, hogy 3 módon válogathatjuk össze a csokrot. L

G

R

Ezen kívül 3 olyan csokor van, amiben azonos virágokat kötünk össze. Ilyen módon is megkapjuk, hogy 6 esetet különböztethetünk meg, ha két szál virágot kötünk csokorba. Vásárolhatunk egy-egy szál virágot is. Ezt 3-féleképpen tehetem meg. Összesen 18 különbözõ csokrot vásárolhatunk a pénzünkbõl. 14. a) A feladatot átfogalmazhatjuk úgy, hogy hányféleképpen bontható fel az 5 tagok

összegére. 5 = 4 + 1 = 1 + 4. Most két különbözõ vonatnak számít a 4 + 1 és az 1 + 4, mert a kocsik sorrendje is fontos. További esetek: 5=3+2=2+3 5=1+2+2=2+1+2=2+2+1 5=3+1+1=1+3+1=1+1+3 5=2+1+1+1=1+2+1+1=1+1+2+1=1+1+1+2 5=1+1+1+1+1 5=5 Összesen 16 különbözõ eset van. b) Ha a kocsik sorrendje is számít, akkor: 2 db 1 egység és 1 db 3 egység hosszú: 3 féle 1 db 1 egység és 2 db 2 egység hosszú: 3 féle Összesen: 6 lehetõség 15. A menü összeállításánál a szakácsnõ az alábbi ételek elkészítéséhez talált hozzávalókat

a konyhában. Elõételként hideg libamájat tud felszolgálni. 4-féle levest tud fõzni, mert van otthon húsleves, paradicsomleves, tojásleves és májgaluskaleves elkészítéséhez alapanyag. Fõételként pedig bécsi szeletet, vagy vagdaltat süthet. Hányféle menüvel várhatja a vendégeit? 16. Ha 6 különbözõ számjegyet használunk fel a négyjegyû számok megalkotásához,

akkor 64 = 1296 különbözõ számot kapunk, ami még mindig kevés 1500 nevezõ rajtszámához. 7 különbözõ számjegyre lesz szükségünk a rajtszámokhoz. 17. 4-gyel osztva a természetes számokat 4-féle maradékot kaphatunk: 0; 1; 2; 3-at.

Keressük azokat a természetes számokat, melyeket 4-gyel osztva a hányados nem nagyobb a maradéknál. Ilyen szám a 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 15. Rejtvény: Igen, ha az egyik 3-as darabot teljesen szétszedjük, akkor ezekkel a 4 láncdarabot összekapcsoljuk majd az egyik végén még egyet kinyitunk, hogy zárt legyen a lánc. Ez összesen 4 db szem kinyitását jelentette.

105


6. Hányféle sorrend lehetséges? 1. a) Ha a legnagyobbal kezdi, 3 ¡ 2 = 6 különbözõ sorrendben eheti meg az epreket. N

jelöli a legnagyobb epret a nyíldiagramon. Sorszámozzuk méret szerint a fennmaradó 3 epret. N 1

2

3

2

3

1

3

2

1

3

2

3

1

1

2

b) Ugyancsak 3 ¡ 2 = 6 sorrendben eheti meg az epreket, ha a legnagyobbat hagyja utoljára. c) 4 ¡ 3 ¡ 2 = 24 sorrendben eheti meg az epreket. Gondoljunk arra, hogy az a, pontban a nyíldiagramon a kitüntetett legnagyobb eper helyét most bármely másik elfoglalhatja, így a lehetõségek száma megnégyszerezõdik. d) A 24 lehetséges sorrend közül töröljük azt a 6-ot, amelyikben elõször eszi meg a legnagyobbat, majd azt a 6-ot, amelyben utoljára hagyja a legnagyobbat. 12 sorrend marad. 2. a) Döntetlen, mert mindkét gyerek 4 ¡ 3 ¡ 2 = 24 négyjegyû számot tud kirakni a kártyák-

ból. b) A 0 kártyát húzta, mert õ csak négyjegyû számot tud majd kirakni, hiszen amikor a 0 áll legelõl, nem négyjegyû számot kap. c) Igen. Abban az esetben például biztosan nyer, ha Bence páratlan számjegyeket húz. 3. a) Az összes lehetséges sorrend három játékos esetén 3 ¡ 2 ¡ 1 = 6. Az a két eset nem

érdekes számunkra, amikor hármójuk közül a legalacsonyabb játékos, Tibor áll középen. 4 olyan sorrend van, amikor a sorfalban nincs olyan játékos, aki két nála magasabb közt áll. b) 8-féle eset lehetséges. A fiúkat a kezdõbetûikkel jelöljük. A Tibor után magasságban következõ Sándor nem állhat Miklós és János között. Ha a Tibor az elsõ: T, S, M, J; T, S, J, M; T, J, M, S; T, M, J, S. Ha a Tibor, a legkisebb a sor végén áll: S, M, J, T; S, J, M, T; J, M, S, T; M, J, S, T. 4. a) PALI: a = 4 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 = 24.

LALI: b = 12. A két L betû egyforma: 24 : 2 =12. LILI: c = 6. A két L és a két I betû egyforma: 24 : 2 : 2 = 6. b) b a c-nek kétszerese; a az b-nek kétszerese. 106

5. a) 3 ¡ 2 ¡ 1 = 6-féleképpen.

b) 3-féleképpen, mert a zokni felvétele után lehet csak a cipõt felvenni. c) 12-féleképpen. 4 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 = 24 sorrend közül a felében a zokni felvétele megelõzi a cipõ felvételét. 6. 9-féleképpen tehették ezt meg. Kezdõbetûkkel jelöljük a táblázatban, hogy ki kinek a

jelmezbáli tartozékát vitte el. Rita

Bori

Karcsi

Laci

B

R

L

K

B

K

L

R

B

L

R

K

K

L

B

R

K

L

R

B

K

R

B

L

L

K

R

B

L

K

B

R

L

R

B

K

7. Két esetet különböztethetünk meg. Az egyikben mind a három színû virágot elültetjük,

a másikban csak 2 színt ültetünk. Az elsõ esetben háromféleképpen választhatjuk ki azt a színt, ami ismétlõdik. Ha a sárga színt választjuk, akkor ezt háromféleképpen rendezhetjük el a virágágyásokba.

A másik két színû virágot 2-féleképpen ültethetjük el mindhárom ágyásban az üres helyekre. Így összesen 6 elrendezése van a virágoknak, ha a sárga szín ismétlõdik. További 6 eset, ha piros ismétlõdik, és újabb 6 elrendezés, ha a kék színû virágokkal ültetünk be két ágyást. Összesen 18 esetet különböztethetünk meg. Ha csak két színû virágágyások díszítik a fõteret, háromféleképpen válaszhatjuk meg ezt a két színt. A két színnel mindig kétféleképpen rendezhetjük el a virágokat, amennyiben két szomszédos sávba nem ültetünk azonos színû virágot. Ez újabb 3 ¡ 2 = 6 eset. 24 különbözõ módon alakíthatjuk ki a virágágyásokat. 8. a) Az ezresek helyén a 2-es és a 7-es kártya állhat. A százasok helyén a 0 vagy 7 és a

2, attól függõen, melyiket nem választottuk korábban. Négyféleképpen választhatom meg az elsõ két helyet. A tízesek helyét a 0 után még kétféleképpen tölthetem ki, a 7 és 2 után már csak a két 0 áll rendelkezésemre a hely kitöltésére. Ez összesen 6 négyjegyû szám. 2007; 2070; 2700; 7020; 7002; 7200 107


b) Ha a négy számjegy különbözõ lenne, akkor 4 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 = 24 számot kapnék, így azonban 2-2 mindig megegyezik közülük, mert a 0 kétszer szerepel. Az esetek száma ezért 24 : 2 = 12. c) Azokat a számokat keressük, amikor az utolsó számjegy 0. 3 ¡ 2 = 6 ilyen szám van. 2070; 2700; 7200; 270; 720; 7020 9. A páros és páratlan számjegyek felváltva követik egymást, hiszen csak így lesz két egy-

mást követõ szám összege páratlan. A páratlan számjegyeket 6-féleképpen tudom sorba rendezni. _1_5_3; _1_3_5; _3_5_1; _3_1_5; _5_1_3; _5_3_1; _6_2_4; _4_2_6; _2_6_4; _4_6_2; _6_4_2; _2_4_6; _ 1_5_3; _1_3_5; _3_5_1; _3_1_5; _5_1_3; _5_3_1; 4_6_2_; 6_4_2_; 4_2_6_; 2_4_6_; 2_6_4_; 6_2_4_; Közéjük a páros számjegyeket 2-2 sorrendben írhatom be úgy, hogy két egymás utáni összege ne legyen osztható 3-mal. 12 ilyen szám létezik. 10. a) 6-féle lehet a sorrend (3 ¡ 2 ¡ 1 = 6).

b) 4 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 1 = 24-féle lehetett a sorrend. c) 4 ¡ 3 ¡ 1 = 12-féle lehetett a sorrend. 11. 6-féleképpen alkothatnak kört.

12. Az alábbi nyíldiagramon szemléltettük a megoldásokat. A lila négyzetek állnak az X betû

helyén. Ha a szóalkotás szabályai szerint két X nem állhat egymás mellett, nem követheti egymást két lila négyzet a diagramon. Összesen 13 ilyen szó lehet.

13. 6 héten át játszhatnak, mivel 6 különbözõ sorrend lehet (mint a 11. feladat).

(3 ¡ 2 ¡ 1 eset, mert 1 valakit rögzítünk 1 helyre.) 14. a) A magánhangzók sorrendjét cserélgette, úgy hogy 1 db Á, 2 db Ö, 1 db I, 2 db A,

1 db Ú betût használt csak fel. b) Pl.: BÖLAMBIKA BAG Ú FÁN 108

Rejtvény: Legfeljebb 16 szeletet vághatunk, amik azonban nem hagyományos értelemben vett szeletek. Egy e egyenes két részre vágja a pizzát. A következõ egyenes 4 részre. A harmadik egyenest úgy húzzuk meg, hogy messe az elõzõ kettõt, így 7 rész lesz. Ha a negyedik egyenest úgy húzzuk meg, hogy az elõzõeket messe, akkor 11 részt kapunk. Az ötödik egyenessel már legfeljebb 16 részt is kaphatunk.

7. Kapcsolatok 1. kardszárnyú delfin

kék bálna

polip fóka állati plankton

hal növényi plankton

2. a) A lila, rózsaszín és a világoszöld falu ilyen.

b) A narancs a sötétzöld és a lila falu ilyen. 3. 4

2 1

6

8 48 12

109


4. a) Az alábbi nyíldiagramon nyíl mutat a gyõztes felé, ha két játékos játszik egymással. 3 2

4

1

5 6

8 7

b) Az elõzõ ábrához hasonlóan oldható meg. 15 mérkõzést játszik 16 játékos. 5. A családban 4 fiú gyerek és 3 lány gyerek. 6. a) 3 csapat 3 ¡ 2 = 6 mérkõzést fog játszani.

b) 4 csapat 4 ¡ 3 = 12 mérkõzést fog játszani. c) 5 csapat 5 ¡ 4 = 20 mérkõzést fog játszani. 7. A két csoportban 3-3 meccset játszottak, ha mindenki mindenkivel egyszer játszott. Ezt

követõen egy-egy mérkõzést játszottak az elsõ, a harmadik és az ötödik helyért, az összesen 9 meccs. 8. A Föld–Merkúr; Merkúr–Jupiter; Jupiter–Uránusz; Uránusz–Mars járatokon juthat el a

Földrõl a Marsra. 9. Egy szám akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal. Sajnos

nem juthat el az 1-es városból a 9-es városba, mert az olyan városokból, melyek 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot adnak nem repülhet soha olyan városba, melynek száma osztható 3-mal. Csakis az 1; 2; 4; 5; 7; 8 városok közt repülhet többféle útvonalon is, de nem juthat el az 1-es városból a 3; 6; 9 városokba. 10. Vonalak kötik össze a társaság tagjait jelölõ négyzeteket, ha barátok. 1 3

2

5

3 4

A hatodik (zöld) embernek 3 barátja van jelen. Rejtvény: Megkérte a miniszter a királyt, hogy húzzon helyette és azt olvassák fel, így õ tudja, hogy a ki nem húzott cetli a felolvasott ellenkezõje lesz. Mivel a cédulában csak a „Menjen” szó állt, így a király csak ezt húzhatta, így a miniszter maradt.

110

8. Vegyes feladatok 1. A = {kockák}

B = {négyzetes oszlopok} C = {téglatestek} U = {sokszöglapból álló testek} U C B A

a) A Ì B Ì C Ì U. b) Hamis állítás: – van olyan kocka, amely nem téglatest; – nincs olyan négyzetes oszlop, amely nem kocka; – ha egy test téglatest, akkor kocka. 2. a)

N

55

A

D

10

6 15

B

20

C

12 24

16

b) 15 osztható: 3-mal; 6 osztható: 2-vel, 3-mal; 12 osztható: 2-vel, 3-mal, 4-gyel; 24 osztható: 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 8-cal; 16 osztható: 2-vel, 4-gyel, 8-cal; 20 osztható: 2-vel, 4-gyel; 10 osztható: 2-vel. 3. A) Igaz az 1.-re és a 4.-re.

C) Igaz az 1.-re és a 2.-re. E) Igaz a 3-ra és a 4.-re.

B) Egyikre sem igaz. D) Igaz a 2.-re, a 3.-ra, az 5-re és a 6.-ra. F) Igaz a 2.-re.

4. 475; 425; 375; 325.

(Legfeljebb 500, de nagyobb 300-nál, osztható 25-tel, de nem 0-ra végzõdik.)

111


5.

négyszög tengelyesen szimmetrikus

minden oldala egyenlõ

6. a) Hamis;

b) igaz; c) igaz; d) hamis; e) hamis; f) igaz. További állítások: A kis sárga nyilak mind jobbra mutatnak (igaz). A piros nyilak jobbra mutatnak (hamis). Az elsõ négy állítás igaz: ilyen ábra nem készíthetõ, mivel az a) és b) állítás egyszerre nem lehet igaz.

7. Kovács háza kék, õ hazudik. Nagy sárga házban lakik, és szintén hazudik. Varga igazat

mond, mert a háza zöld. 8. Bubu: lány, 13; Dodó: fiú, 13; Lala: fiú, 11; Pepe: lány, 12; titi: lány, 11.

Mivel Bubu és Dodó egykorúak, csakis ellenkezõ nemûek lehetnek, hiszen két azonos nemû és korú gyerek nincs köztük. Mivel Pepe és Titi azonos nemûek, ezért csakis lányok lehetnek, mert három lány de csak két fiú van ötük között és Bubu vagy Dudu közül az egyik gyerek lány, a másik fiú. A két fiú tehát Dodó és Lala. Lala csakis akkor lehet fiatalabb Titinél, ha õ a 11 éves. Ezért Dodó a 13 éves fiú, és Bubu a 13 éves lány. Pepe 12 éves és Titi 11 éves lány. 9. Anna szegedi, Béla kecskeméti, Csilla pécsi, Dezsõ miskolci és Ernõ gyõri lakosok. 10. 2

3 11

3 6

14

12

4 20

4

60 5

10 30

15

18

112

5

11. a) Nulla.

Egy.

Kettõ.

Három.

Négy.

Öt.

Hat.

Végtelen sok.

b) Nulla.

Egy.

Kettõ.

12. a) A 3-mal osztható kétjegyû természetes számokból 90 : 3 = 30 van. (A 90 db kétjegyû

szám közül minden harmadik osztható 3-mal.) 13 db 7-tel osztható kétjegyû szám van. A hárommal és héttel is osztható számok mindkét csoportban szerepelnek: 21, 42, 63, 84. 3-mal vagy 7-tel 30 + 13 – 4 = 39 kétjegyû szám osztható. Ezért a sem 3mal sem 7-tel nem osztható kétjegyû számokból pontosan 90 – 39 = 51 van. b) 45 páratlan kétjegyû szám van, és ezek egyike sem osztható 2-vel és 6-tal.

113


c) 45 páros kétjegyû szám van. 30 hárommal osztható kétjegyû szám van. A két halmaz metszetében 15 szám szerepel, ezek a hattal osztható számok. Közülük 3 szám öttel is osztható. 18 kétjegyû szám osztható 5-tel. Közülük 6 szám osztható 10-zel, de 3-mal nem. 3-mal osztható de 2-vel nem 3 van az 5-tel osztható számok közt. Készítsünk halmazábrát és írjuk bele az egyes részek elemszámát. 24 kétjegyû szám van, amely nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel. kétjegyû számok 24

2 24

3

12

6

3

12

3

6

5

13. Három megoldás lehetséges: B ® A ® Cs ® D; B ® Cs ® A ® D; Cs ® B ® A ® D. 14. 5000-tõl 5049-ig 50 szám van. Ezeket százasokra kerekítve 5000-t kapunk.

5950-tõl 5999-ig szintén 50 szám van. Ezeket százasokra kerekítve 6000-t kapunk. Éppen egyenlõ számú a két halmaz. 15. Ugyanannyi bor van a kancsóban, mint amennyi víz van az üvegben, még pedig mind-

kettõbõl

5 dl. 6

Kiindulás: Elsõ átöntés után: A kancsóban a bor és víz aránya az elsõ átöntés után 1 : 5. A kancsóból kiöntött 1 dl tartalma: 5 1 dl víz, dl bor. 6 6 Második átöntés után:

kancsó 5 dl víz 5 dl víz, 1 dl bor

üveg 7,5 dl bor 6,5 dl bor

5 dl bor, a többi víz 6

5 dl víz, a többi bor 6

16. A kocka ötödik és hatodik lapját a négy négyzet által alkotott téglalap egy-egy

hosszabbik élén kell elhelyezni. 4-4 helyzet van a téglalap mindkét éle mentén. Például egyféle háló az alábbi.

Ami ugyanaz, mint a

átvihetõk egymásba.

114

, mert tengelyes tükrözéssel

Összesen 4 különbözõ háló létezik.

17. a) 16 lehetõség van. Az alábbi nyíldiagramon szemléltettük az eseteket. A nyilak mentén

haladva megkapjuk, hogy milyen tulajdonsággal rendelkezik a bábu. 8 tulajdonság van. henger vagy hasáb

kicsi vagy nagy

világos vagy sötét

lyukas vagy tömör

b) 4 ilyen bábu van. 18. a) 2, 4, 6, 8 számjegyekkel kezdõdhet a szám.

b) A legnagyobb ilyen szám a 880008. c) A legkisebb ilyen szám a 220002. d) 6 ilyen szám van: 220002; 260022; 440004; 480024; 660006; 880008. 19. Nagyon sok megoldás lehet.

Pl. 1. két középsõ számjegy a nulla és az elsõ számjegynél az utolsó 5-tel nagyobb. Pl.: 1006, 3008, 4009. Pl. 2. Egy másik szabály a 2007-re: az elsõ és az utolsó számjegyének összege 9. A pontok helyére a 10 számjegy bármelyike írható: 1..8; 2..7; 3..6; 4..5; 8..1; 7..2; 6..3; 5..4. Összesen 10 ¡ 10 = 100-féleképpen írhatom be a pontok helyére a 10 számjegyet. Þ 900 db ilyen szám létezik. 20. A két virágágyást külön-külön 6-féleképpen ültethetem be. A kör alakú ágyás egyfajta

beültetéséhez választhatpom a háromszög alakú ágyás 6-féle különbözõ elrendezését. Így összesen 36 lehetõségem van a virágok elültetésére. 21. a) Ha a három szín mindegyikét legalább egyszer felhasználják, akkor pontosan 2

kocsi lesz egyszínû. Ismétlõdhet a piros, a sárga vagy a kék szín. Ha a piros szín ismétlõdik, akkor 12 különbözõ vonat lehet. A sárga és a kék szín ismétlõdéséhez is tartozik 12-12 különbözõ vonat. Összesen 36 vonat lehet.

115


b) Ha egy szín ismétlõdik a három közül, akkor 3 egyforma színû kocsi lesz. A nyíldiagramon a kéket választottuk, amely egyszerre 3 kocsi színe lesz.

20 lehetõségem van a kocsik színezésére, ha a kék kocsiból hármat kapcsolok össze. Az összes lehetõséget úgy kapom, ha megháromszorozzuk ezen esetek számát, mert a piros és a sárga is ismétlõdhet. 60 vonat van. Ha a vonat 5 kocsiból áll, akkor ismétlõdhet kétféle szín is, és ezt 3-féleképpen választhatom meg. Az alábbi példán 2 kocsit kékre és 2-t pirosra festünk.

116

További 10 vonat van, ha elöl áll az egyik piros színû kocsi. Ha elöl sárga színû kocsi áll, akkor 6 vonat van.

Összesen 26 vonat van. Ha másik két színt választunk, amely ismétlõdik, újabb 26 esetet kapunk. Összesen 26 ¡ 3 = 78 vonat van. 22. a) Egy lehetõség van az ötszög kirakására, ha 1 piros és 4 kék pálcikánk van.

b) 2 piros és 3 kék pálcikából kétféleképpen lehet szabályos ötszöget kirakni. c) Az elõzõ két eseten kívül lehet 1 kék és 4 piros pálcikás ötszög, amit egyféleképpen rakhatunk ki. 3 piros és 2 kék pálcikából kétféleképpen lehet szabályos ötszöget kirakni. Ha nem egyszínû az ötszög, 6 eset van. 23. a) Ha az egyenes nem illeszkedik semelyik oldalra, akkor legfeljebb 2 pontban metszheti

a hatszögvonalat, ha a hatszög konvex. Ha a hatszög konkáv, legfeljebb 6 pontban metszheti az egyenes.

b) Ha a hétszög konkáv, akkor legfeljebb 6 pontban. 24. 6 ilyen idõpont van még. A következõ 05. hó 5-e, és 5 óra 55 perc;

06. hó 6-a, és 6 óra 6 perc; 07. hó 7-e, és 7 óra 7 perc; 08. hó 8-a, és 8 óra 8 perc; 09. hó 9-e, és 9 óra 9 perc; 11. hó 11-e, és 11 óra 11 perc. 25. A fiú és anyja ülnek a csónakban. 26. Sunyi Sanyának volt lehetõsége a kutyák ellopására, mert 15 óra 7 perckor Alajos

felszállt a buszra, ekkor Gerzson még fél négyig nem ért haza, és Malvin a boltban vásárolt valamikor háromnegyed 3 és fél öt között. Míg Malvin a boltban intézte a bevásárlást, fél négyig mindenki hallótávolságon kívül volt, tehát nem figyelhetett fel az ugatásra. Ekkor követhette el a lopást Sanya.

117


6. Lineáris függvények, sorozatok 1. Sorozatok 1. a) 9; 7; 5; 3; 1; – 1. 2.

b) 9; 8; 6; 2; – 6.

1 3 5 ; 1; ; 2; ; a századik elem 50. 2 2 2

3.

4. 4 D

(Figyeljünk a berajzolt sugárra, a számra, és a 120°-onként beírt betûre!) 5. 384 16

6144 4

32

5

A háromszögben a felsõ szám mindig az elõzõ háromszög felsõ és bal alsó számának szorzata. A bal alsó szám az elõzõ elem bal alsó számának kétszerese. A jobb alsó szám éppen az a szám, ahányadik eleme a sorozatnak a háromszög. 6. a) 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26. Hárommal növekednek.

b) 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23. Prímszámok. c) 2; 5; 10; 17; 26; 37; 50; 65; 82. A tagok különbsége 2-vel nõ. 7. a) 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16.

A számsorozat elsõ tagja az 1. Ha az elem sorszáma páros, akkor 1-gyel nagyobb az elõzõ elemnél. Ha az elem sorszáma páratlan, akkor kettõvel nagyobb az elõzõ elemnél. b) 1; 4; 16; 64; 256; 1024; 4096; 16384; 65536. A számsorozat elsõ tagja az 1. Minden tagot úgy kapok az elõzõ elembõl, hogy megszorzom 4-gyel. c) 1; 8; 27; 64; 125; 216; 343; 512; 729. A számsorozat elsõ tagja az 1. Minden tag a sorszámának harmadik hatványa.

118

8. a) Ha a sorozat tagjának sorszáma osztható hárommal, akkor az elem 0.

Ha a sorozat tagjának sorszáma 3-mal osztva 1-t ad maradékul, akkor az elem 1. Ha a sorozat tagjának sorszáma 3-mal osztva 2-t ad maradékul, akkor az elem 2. b) Az elsõ 15 tag összege 3 ¡ 5 = 15. Az elsõ 73 tag összege (72 : 3) ¡ 3 + 1 = 73. Az elsõ 188 tag összege (186 : 3) ¡ 3 + 1 + 2 = 189. c) A sorozat 27. tagja 0. A 77. tag 2. A 97. tag 1. 9. 43; 45; 47; 49; 51; 53; 55; 57; 59; 61; 63; 65; 67; 69; 71; …

a1 = 43; a2 = 47; a3 = 53; a4 = 61; a5 = 71; a6 = 83; a7 = 97; …; an = 43 + (n – 1)(n + 2) képlettel adható meg a sorozat általános tagja. Ha n – 1 vagy n + 2 osztható 43-mal, akkor a sorozat tagja is osztható lesz 43-mal. Ha n + 2 = 43, n = 41, ekkor az n + 2 = 41 + 2 = 43 Þ an osztható 43-mal; ha n – 1 = 43, akkor n = 44, ekkor n + 2 =46, an = a44 = 43 + 43 ¡ 46 = 2021 osztható 43-mal. Tehát összetett számok is tagjai a sorozatnak. Rejtvény: J, F, M, Á, M, J, J, F, M, Á, M, J. Vagy a megadott betûk a hónapok neveinek elsõ betûje, így a folytatás: A, SZ, O, N, D.

2. Számtani sorozat 1. Számtani sorozat lehet az a), c), d). 2. A) – 2.; B) – 4.; C) – 1.; D) – 3. 3. Ha feltételezzük, hogy a fa egyenletesen növekszik, és minden évben 3 m-t nõ, akkor 5

éves korában 2 m magas volt. Számtani sorozat, ahol a differencia (– 3). 4. A legkisebb és a legnagyobb gyerek között 15 év a korkülönbség. Ha a születési évek

számtani sorozatot alkotnak, akkor a testvérek közötti korkülönbség állandó. Ekkor azonban a korkülönbség osztója a 15 évnek. A családban lehet 6 gyerek 3-3 év különbséggel, vagy lehet 4 gyerek 5-5 év korkülönbséggel. Elvileg lehetséges, de nem valószínû, hogy 16 gyerek van. Ebben az esetben minden évben született egy gyermek. 5. Az elolvasott oldalak számtani sorozatot alkotnak. A sorozat különbsége 16. 6. a) 5; 7; 9; 11; 13.

c) 3; 9; 15; 21; 27; 33. e) 17; 10; 3; – 4; – 11. 7. a) a1 = 9; d = 4; a100 = 405.

b) 7; 5,5; 4; 2,5; 1. d) – 2; 3; 8; 13; 18. b) a1 =4; d = – 2; a100 = – 194.

c) a1 = – 6; d = 5; a100 = 489. 8. a1 = 10; d = 7; a100 = 703. 9. 195 – 8 ¡ 24 = 3.

a) Az elsõ napon 3 km-t futott. b) Az egyes napokon az addig összesen lefutott távok (km-ben) alkotnak számtani sorozatot. 10. a) 18 millió Ft.

b) 12 + 1,5 ¡ (2014 – 2002) = 30 millió Ft. c) 12 + 1,5 ¡ (2100 – 2002) = 159 millió Ft. 119


d)

30 25 20 15

12

13,5

15

16,5

18

19,5

21

22,5

24

10 5 0

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

11. a) A napi elfogyasztott féregmennyiség számtani sorozatot alkot.

A 7. napon 1 + 2 ¡ (7 – 1) = 13 férget eszik meg Harkály Tóni. b) Az n-edik napon elfogyasztott féregmennyiséget a következõ képlettel határozhatjuk meg. 1 + 2 ¡ (n – 1) = 23. Innen n = 12. c) Oldjuk meg az 1 + 2 ¡ (n – 1) = 256 egyenletet! Az egyenletnek nincs megoldása az egész számok körében, ezért nem lesz olyan nap, amikor 256 férget eszik. Vagy 255 vagy 257 darab férget eszik. 12. A naponta elfogyasztott bogármennyiség csökkenõ számtani sorozatot alkot. A kü-

lönbsége d. Az elsõ tag 22. Az n-edik tag an = 22 + d ¡ (n – 1). a5 + a7 = 14. 22 + d ¡ (5 – 1) + 22 + d ¡ (7 – 1) = 14 44 + 10d = 14 d = –3 22; 19; 16; 13; 10; 7; 4. A nyolcadik napon már csak egy bogarat talál az odvas fa tövében. -

-

13. A számtani sorozat három egymás utáni tagja közül a középsõ a két szélsõ átlaga, más

néven számtani közepe. a) Életkoruk átlaga: 36 : 3 = 12. b) Ennyi idõs a középsõ gyerek. c) A legfiatatalabb lehet 11, 10, 9, 8, 7, 6. Ha a legfiatalabb 6 éves, akkor a legidõsebb 18. Miután betöltötte a 18. életévét, õ már nem számít gyereknek, ezért több megoldás nem lehet. Rejtvény: 1-tõl 100-ig a pozitív egész számok számtani sorozatot alkotnak. Vegyük észre, hogy az elsõ és a 100-dik tag összege 101. A második és a 99-dik tag összege szintén 101. A harmadik és a 98. tag összege 101. Általában igaz, hogy az n-dik és a 100 – n + 1-dik tag összege 101. Párba állíthatók íly módon a pozitív egész számok 1-tõl 100-ig. 50 ilyen pár képezhetõ. 1-tõl 100-ig a számok összege 50 ¡ 101 = 5050.

3. Grafikonok a mindennapi életben 1. a) Dani 4 órát utazott a nagymamájához. Közben fél óra telt el az átszállással, amikor

ténylegesen nem utazott, hanem várakozott a csatlakozásra. b) 230 km-re lakik a nagymamájától. c) Fél órát várakozott. d) A nagymama lakhelyétõl 90 kilométerre van az állomás, ahol átszállt. 120

e) Elõbb utazott az Intercityvel, mert másfél óra alatt tett meg 140 km-t, majd a piros szerelvénnyel 2 óra alatt 90 km-t utazott. 2. a) Az elõadás fél 8-kor kezdõdött.

b) Az elõadás két esetleg 3 felvonásból állt. 11 órakor még folytatódhatott az elõadás a harmadik felvonással, habár a büfé bezárt. c) 11 órakor zárt a büfé. d) Összesen 120 liter üdítõ fogyott az estén. e) Ha két szünet volt, amelyek 9-kor és fél 11-kor kezdõdtek, akkor a két szünet alatt 4 összesen 80 liter üdítõ fogyott el az egy óra alatt. Átlagosan 80 : 60 = = 1,33 liter 3 volt a fogyasztás percenként. 3. a) Autóval vitték; iskolában volt; buszozott; gyalogolt.

b) 5 és fél órát töltött az iskolában. c) Délelõtt fél órát utazott az iskolába, délután egy órát. 100%-kal hosszabbodott meg az utazás ideje. 6 km d) 30 perc alatt tett meg 6 km-t az autóval. Az autó átlagos sebessége: = 12 1 h volt. 2 4. a) 360 + 5 ¡ 120 = 960 km. b) megtett út

(km) 960 840 720 600 480 360 240 120

idõpont 0

8

10

12

14

16

18

20 (óra)

c) 14 órakor. Rejtvény: 2005-ben az elõzõ évi nyereséghez képest 1,065-szörös (66/62), míg 2006-ban a 2005. évi nyereséghez képest 1,09-szeres (72/66) volt a változás. Tehát nem igaz, hogy a cég nyeresége megsokszorozódott. A csalás az y tengely kisléptékû beosztásával érhetõ el.

121


4. Hozzárendelések 1. Minden tanulóhoz rendeljük hozzá a születési évét.

Minden tanulóhoz rendeljük hozzá testvéreinek számát. Minden tanulóhoz rendeljük hozzá osztálytársainak számát. 2. Zászlók: 1 2

országok sorban: A, B, C, D. 3 4; 1 – B (Egyesült Királyság); 2 – D (Franciaország); 3 – C (Norvégia); 4 – A (Olaszország).

3. Pl.:

a) Minden osztályhoz rendeljük hozzá az osztályfõnökét. b) Minden áruhoz rendeljük hozzá az árát. c) Minden pozitív egész számhoz rendeljük hozzá a kétszeresét. 4. Pl.:

a) b) c) d)

Minden országhoz rendeljük hozzá a fõvárosát. Minden racionális számhoz rendeljük hozzá a reciprokát. Az osztály tanulóihoz rendeljük hozzá a vezetéknevük kezdõbetûjét. Bármely 10-zel nem osztható pozitív egész számhoz rendeljük hozzá utolsó számjegyét.

5. Londonhoz rendeljük a Tower Bridge-t. Budapesthez a Halász bástyát. Rómához a Co-

losseumot, Párizshoz a Napóleon Diadalívet. 6. a) Minden értelmezési tartománybeli elemhez rendeljük hozzá a kétszeresénél eggyel

kisebb számot. 0 1 2 3 4 5 5

–1 1 3 5 7 9 11

b) Minden értelmezési tartománybeli elemhez rendeljük hozzá a reciprokát. 1

1

2 3

1 3

4 5 6

122

1 5

1 2 1 4 1 6

7. a) (szeptember; 30); (október; 31); (november; 30) szeptember

30

október

31

november

30

b) (0; 0); (2; 8); (4; 64); (6; 216); (8; 512) 0 2 4 6 8

0 8 64 216 512

c) ((1; 2); (1; – 2)); ((4; – 2); (4; 2)); ((– 3; 0); (– 3; 0)); ((– 3; 4); (– 3; – 4)) (1; 2)

(1; –2)

(4; –2)

(4; 2)

(–3; 0)

(–3; 0)

(–3; 4)

(–3; –4)

8. f: (– 2; 4); (– 1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4)

Minden számhoz rendeljük hozzá a négyzetét. g: (Mount Everest; 8848); (Elbrusz; 5462); (MountKosciuszko; 2228); (Aconcagua; 6962) Minden csúcshoz rendeljük hozzá a tengerszint feletti magasságát. h: (1; 5); (2; 10); (3; 15); (4; 20); (5; 25) Minden számhoz rendeljük hozzá az ötszörösét. k: (Verne; Kétévi vakáció); (Verne; Sándor Mátyás); (Jókai; Az aranyember); (Jókai; A kõszívû ember fiai); (Doyle; A sátán kutyája) Minden íróhoz rendeljük hozzá az általa írt mûvet.

5. Függvények 1. A bankkártyám pinkódja a négy legkisebb prímszám csökkenõ sorrendben. 2. Függvények: g; h. 3. f értelmezési tartománya: {Kékes-tetõ; Istállós-kõ; Csóványos; Nagy-Milic}

f értékkészlete: {1014m; 959m; 938m; 895m} g értelmezési tartománya: {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} g értékkészlete: {6; 9; 14; 21; 30; 41; 54; 69; 86}

123


h értelmezési tartománya: {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} h értékkészlete: {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20} 4. f: egyértelmû hozzárendelés, függvény;

g: nem egyértelmû hozzárendelés, nem függvény; h: kölcsönösen egyértelmû hozzárendelés, függvény; k: nem egyértelmû hozzárendelés, nem függvény. 5. a) (0; 1); (1; 1); (1; 0); (2; 0); (2; 1); (2; 2); (3; 0); (3; 0); (3; 1); (3; 2); (3; 3)

Minden értelmezési tartománybeli elemhez hozzárendeli a nála nemnagyobb számot; nem függvény. b) (0; 0); (1; 2); (2; 4); (3; 6) Minden értelmezési tartománybeli elemhez hozzárendeli a kétszeresét; függvény. 6. A = {– 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}, B = Z.

a) A ® B, x ® 3x – 1, kölcsönösen egyértelmû. A

B

µ3 µ2 µ1 0 1 2 3

µ10 µ7 µ4 µ1 2 5 8

b) A ® B, x ® 2 ¡ ½x½, egyértelmû, de nem kölcsönösen egyértelmû. A µ3 µ2 µ1 0 1 2 3

7. a)

µ2 µ1 1 µ 2 0 1 2 3

B 0 2 4 6

µ1 0 1

{

Függvény; értelmezési tartománya: -2; - 1; -

124

}

1 ; 0; 1; 2; 3 ; értékkészlete: {– 1; 0; 1}. 2

b) 1 2

1 2

2 3

3 4

4 5

5

Nem függvény. Rejtvény: x ® x2 – x.

6. A függvények ábrázolása 1. a) f(– 2) = – 5; f(1) = – 2; f(3) = 0;

3 g(– 2) = – 3; g(1) = - ; a g függvény értelmezési tartományának nem eleme a 3. 2 b) Az A pont illeszkedik az f és a g függvényre; a B pont illeszkedik a g függvényre; a C pont illeszkedik az f függvényre; a D pont nem illeszkedik sem az f sem a g függvényre. 2. a)

x

µ2

µ1

0

1

2

3

A(x)

2

1

0

µ1

µ2

µ3

x

µ4

µ2

0

2

4

6

8

B(x)

3

3

3

3

3

3

3

b) Az I (f) függvény grafikonja a D); a II. (g) függvény grafikonja az A); a III. (h) függvény grafikonja a C) a IV. (k) függvény grafikonja a B). 3. a)

b)

y

y

7

22

6

20

5

18

4

16

3

14

2

12

1

10

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

8

6 x

6

–2

4

–3

2

–4 –5

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

2

4

6

125

8

10 12 x


c)

d)

y

y

7 6

5

4

4

3

3

2

2

1

1

–1

x (cm) 3

V (cm )

6

h

5

–6 –5 –4 –3 –2 –1

4. a)

7

k

1

2

3

4

5

6 x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

0,5

1

2

2,5

3

0,125

1

8

15,625

27

b)

1

2

3

4

5

6 x

y 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 –12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

2

4

6

8

10 12 x

c) Nem, mert negatív élhosszúság nem értelmezhetõ. Rejtvény: a)

b)

y

4

3

3

2

2

1

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6 x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

–3

c) Ilyen függvény nincs. 126

y

y=x

4

y=2

1

2

3

4

5

6 x

7. A lineáris függvények 1. a) A hõmérséklet változását nem írja le lineáris függvény.

b) A fizetendõ összeg egyenesen arányos a sajt tömegével, ezért lineáris függvény segítségével ábrázolhatjuk a sajt árát a tömegének függvényében. 2. a) (– 2; 2); (1; 5); (2; 6) 3. a)

b) (3; – 6); (0; 9); (– 1; 14)

x

µ2

µ1

0

1

2

3

f(x)

–6

–3

0

3

6

9

b)

x

µ2

µ1

0

1

2

3

g(x)

4

2

0

µ2

µ4

µ6

2

4

y

y 3

2

2

1

1 1

–1

2

3

5

6 x

–3

µ2

µ1

0

1

2

3

h(x)

–5

–3

µ1

1

3

5

d)

0

1

2

3

k(x)

1

1,5

2

2,5

3

3,5

y

2

1

1 3

k

4

2

2

6 x

µ1

3

1

5

µ2

3

–1

3

x

h

–6 –5 –4 –3 –2 –1

4

5

6 x

–1

–2

–3

–3

µ2

µ1

0

1

2

3

a(x)

0

1

2

3

4

5

x

µ2

µ1

0

1

2

3

c(x)

6

6

6

6

6

6

b) 150 N;

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–2

x

5. a) 100 N;

–1

–2

x

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–3

y

c)

4

–2

4

4. a)

4

3

–6 –5 –4 –3 –2 –1

c)

g

f

4

b)

d)

3

4

5

6 x

x

µ2

µ1

0

1

2

3

b(x)

µ4

µ2

0

2

4

6

x

µ2

µ1

0

1

2

3

d(x)

2

1,5

1

0,5

0

µ0,5

c) 300 N;

e) A földi súly hatoda lesz a a tárgy holdi súlya.

2

d) 30 N. f) f ( x ) =

127

1 x 6


6. a)

y 4

h(x)

f(x) g(x)

3 2 1 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

2

3

4

6 x

5

k(x)

–2 –3

b) f(x) = x + 1; g(x) =

1 x; h(x) = –x – 2; k(x) = – 2. 2

c) f(x) d) f(– 4) = – 3; g(– 6) = – 3; h(1) = – 3. A k függvény nem veszi fel a – 3 értéket. e) Az A(4; 2) pont rajta van a g(x) függvény grafikonján. A B(– 2; 0) pont rajta van a h(x) függvény grafikonján. A C(– 2; – 1) pont rajta van az f(x) és a g(x) függvény grafikonján. A D(– 3; 5) pont nincs rajta egyik függvény grafikonján sem. 7.

y 6

h(x)

f(x)

K

5 4

g(x)

L

3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

k(x)

M

O 1

2

3

4

5

6 x

–2 –3

f(x) az origóban metszi a tengelyeket. g(x) az origóban metszi a tengelyeket. h(x) 2-nél metszi az y tengelyt, és – 1-nél az x-tengelyt. k(x) 3-nál metszi az y tengelyt, és – 3-nál az x-tengelyt. Közös pontok: f(x) Ç g(x) = O(0; 0); f(x) Ç h(x) = M(– 2; – 2); g(x) Ç k(x) = K(3; 6); h(x) Ç k(x) = L(1; 4). Mivel f(x) ª k(x) és g(x) ª h(x) ezért nincs közös pontjuk. Rejtvény: Igen van, pl. f: Q ® Q, f(x) = 5.

128

8. A lineáris függvény meredeksége 5 10 2 = , a sípálya meredeksége - . 4 15 3

1. A hullámvasút meredeksége 2.

Hol metszi az y-tengelyt?

Hol metszi az x-tengelyt?

Mennyi a meredeksége?

Növekvõ vagy csökkenõ?

µ12

3

4

növekvõ

f(x) = 4x µ 12 g(x) = µx + 6

6

6

µ1

csökkenõ

h(x) = µ2x µ 4

µ4

µ2

µ2

csökkenõ

2

növekvõ

k(x) = 2x + 5

5

3. a)

5 2

b)

y g(x)

µ

y

f(x)

6

h(x)

5 4

3 2

g(x)

1

1 1

2

3

4

5

6 x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

A négy függvény 3-nál metszi az y-tengelyt. 4. a) igaz;

h(x)

4

2

–1

k(x)

5

k(x)

3

–6 –5 –4 –3 –2 –1

f(x)

6

b) igaz;

1

2

3

4

5

6 x

A négy függvény grafikonja párhuzamos egyenesek. c) hamis;

d) igaz.

y 18 16 14 12 10 8 6 4 2 –12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

2

4

6

8

10 12 x

–4

5. a) 1000 Ft;

b) 1 200 000 Ft;

c)

1000 1 = ; 30 000 30

d) f(x) =

1 x. 30

6. f(x) grafikonja nem szerepel a kordináta rendszerben, mert az egyenes – 2-nél metszi az

y-tengelyt. g(x) grafikonja a kék egyenes, mert meredeksége 2 és – 3-nál metszi az y-tengelyt. h(x) grafikonja a piros egyenes, mert meredeksége – 2 és 3-nál metsti az y-tengelyt. k(x) grafikonja a zöld egyenes, mert meredeksége 3 és 2-nél metszi az y-tengelyt. 129


7. a)

y 4 3 2 1 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

2

3

4

6 x

5

–2 –3

b) A függvény meredeksége 1. 8. a)

c) f(x) = x + 2. b) f(x) = – 1.

y 4 3 2 1 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

2

3

4

6 x

5

–2 –3

9. a) f(x) = –x + 3;

b) f(x) = 2x + 10.

Rejtvény:

y 4 3 2 1 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

2

3

4

5

6 x

–2 –3

(Az y tengellyel párhuzamos egyenest kell rajzolniuk.)

9. Egyenletek grafikus megoldása 1. a) x = 0;

b) x = 6;

2.

c) x = 10;

y 6

g(x)

5

f(x)

4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2 –3

130

1

2

3

4

5

6 x

d) x = 1.

Grafikus megoldás: az ábráról leolvasva f(x) = g(x) Û x = 4. Algebrai úton: Az x – 2 = 6 – x egyenlet megoldása: 2x – 2 = 6 – x /+x 2x – 2 = 6 /+2 – 22x = 8 /:2 2 – 2x = 4 3. a)

b)

y

y 4

6 5

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

3 2

x ® 2x + 3

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

–6

x = – 8 megoldása az egyenletnek. d)

y 6

x ® 2x – 8

4

4 3

3 2

2

x ® –x – 5

1

1 1

2

3

4

5

6 x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

–3

x = 3 megoldása az egyenletnek. y

3

4

5

6 x

6 5

4

4

3

3

2

2

1

1

–1

2

x ® –2x – 2 y

x ® 3x – 3

5

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1

x = – 4 megoldása az egyenletnek. f)

6

x®4– 1x 2

x®x+3

5

5

e)

10 12 x

–14

y

–1

8

–4

6

–6 –5 –4 –3 –2 –1

6

–12

x = – 4 megoldása az egyenletnek.

x®1–x

4

–10

–3

c)

2

–8

6 x

x ® –1

–2

x®x–5

2

x® 1x+1 2

4

1

2

3

4

5

6 x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

–3

x = 2 megoldása az egyenletnek.

1

2

3

4

5

6 x

x ® –x

x = – 2 megoldása az egyenletnek.

131


g)

h)

y

6

5

5

4

3

2

2

1

1 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

2

3

4

5

x ® –3x + 6

4

x® 1x+1 3

3

x® 1x–1 3

y

6

6 x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

x ® 3 x – 2 –3

Nincs megoldása az egyenletnek. A két egyenes párhuzamos, ezért nem lesz metszéspont.

1

2

3

4

5

6 x

x = 2 megoldása az egyenletnek.

4. A piros egyenes ábrázolja a gepárd által megtett utat az idõ függvényében, ha

m m = 25 a sebessége. A szürke egyenes ábrázolja a gazella által megtett utat perc s m az idõ függvényében, ha sebessége 20 . 30 Másodperc elteltével a gepárd elejti s a gazellát, ha észrevétlenül 150 méterre meg tudja közelíteni. 1500

y(m) 900 800 700 600 500 400 300 200 100 10

20

30

40

50

x(s)

60

5. a) Bence mozgását a piros egyenes írja le, ha átlagsebességével szeretnénk a megtett

utat az eltelt idõ függvényében ábrázolni. A Zsuzsi által megtett utat az idõ függvényében a szürke egyenes szemlélteti. y(km) 72

Zsuzsi

64 56 48 40

Bence

32 24 16 8 1

132

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 x ( h )

b) A Zsuzsi indulásától számított másfél óra múlva Zsuzsi 18 km-re távolodik el a rajttól, Bence pedig 30 km-t gyalogolt. 4 óra 20 perc elteltével Zsuzsi 52 km-t biciklizett, Bence ez idõ alatt 41 és egyharmad km-t gyalogolt a rajttól számítva. c) Bence távolsága a kiindulási ponttól az idõ függvényében f(t) = 4t. Zsuzsi távolsága a kiindulási ponttól az idõ függvényében f(t) = 12t – 72. t az éjfél óta eltelt idõ órában megadva. d) 9 órakor éri utol Zsuzsi Bencét. Rejtvény: Ha feleakkora sebességgel megy gyalog, mint biciklijével, akkor 8 órakor már az út felénél lesz. Mindenképp elkésik az iskolából.

10. Vegyes feladatok 1. a) Az osztály tanulóinak sorozatát kapjuk, ha minden tanuló annyiadik helyen áll a

sorban, ahányadik a névsorban (ábécésorrend alapján). b) A rendszámok ABC szerinti és sorszám szerinti növekvõ sorozata. c) A mezõk szerinti növekvõ sorozat (A1; A2; A3; …). 2. a)

1.

2.

3.

4.

...

1

8

15

22

...

A részek sorszáma 7n – 6 alakú. A 77. részt nem hétfõn sugározzák. b) 6., 13., 20., 27., ... A részek sorszáma 7n – 1. A 77. részt nem szombaton sugározzák. c) 45 perces. (Vasárnap vetítik a 7-tel osztható sorszámú részeket.) d) 30 perces. 3. a) Számtani sorozatot alkot az alakzatokat felépítõ négyzetek száma.

a1 = 1; d = 2; a50 = 99. b) Számtani sorozatot alkotnak a téglatest megfelelõ élei. 1. a1 = 3; d = 1; a50 = 52; 2. a1 = 1; d = 1; a50 = 50; 3. a1 = 1; d = 2; a50 = 99. 4. Számtani sorozatot alkotnak:

1. az egy sorban található számok, az elsõ tag az adott sorban lévõ elsõ szám, d = 1. 2. a háromszög szárain található számok. A jobb oldalon álló számok esetén a1 = 1; d = 2. A baloldalon álló számokra a1 = 1; d = 1. 5. a)

y 10 8 6 4 2

–2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 x

–4 –6

133


b) c) d) e)

d = – 2. a100 = – 188. A sorozat n-dik tagja az az érték, amit az f függvény az n-hez rendel. A függvény grafikonja egyenes lesz.

6. Ha az elsõ három tag átlaga 4, akkor a sorozat második tagja 4. A következõ 3 tag átlaga

egyenlõ az ötödik taggal, vagyis 13-mal. a5 – a2 = 13 – 4 = 9 = 3d, innen d = 3 és an = 1 + 3(n – 1).

+d +d +d +d +d 2. megoldás: a1 æææ Æ 4 æææ Æ a 3 æææ Æ a4 æææ Æ 13 æææ Æ a6

4 + 3d = 13 4 + 3d = 90 4 + 3d = 30 ß a1 = 4 – d = 1 7. a) A h egyértelmû hozzárendelés, és függvény a hét napjaihoz rendeli hozzá annak

kezdõbetûjét. Értelmezési tartománya a hét napjai, értékkészlete a {h, k, sz, cs, p, v}. b) Ez a hozzárendelés nem egyertelmû és nem függvény. Antall József ® 1990– 93; Boross Péter ® 1993– 94; Horn Gyula ® 1994– 1998; Orbán Viktor ® 1998– 2002; Medgyessy Peter ® 2002– 2004; Gyurcsány Ferenc ® 2004– 2009; Bajnai Gordon ® 2009– 2010. c) k egyértelmû hozzárendelés, tehát függvény. Minden értelmezési tartománybeli elemhez hozzárendeli a négyzeténél 4-gyel kisebb számot. d) f egyértelmû hozzárendelés, tehát függvény. Minden értelmezési tartománybeli elemhez hozzárendelei a kétszeresénél 4-gyel kisebb számot. y

f

4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6 x

–2

k –3 –4 –5

8. A függvény a havi jövedelmet írja le a túlórák függvényében. Túlóra teljesítése nélkül a

havi jövedelem 140 000 Ft. 1 túlóra teljesítése 2500 Ft jövedelmet jelent. A túlórák számával egyenes arányban növekszik a kifizetett bér. (8 túlóra = 20000 Ft)

134

9. a) f(x) = x – 100.

b)

y( kg) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 110

120

130

140

150

160

170

180

x (cm)

c) Az értelmezési tartomány legyen nagyobb 100-nál, mert negatív testtömeg nem értelmezhetõ. A valóságot jobban modellezi a függvény, ha az értelmezési tartományt úgy adjuk meg, hogy a változó 110-nél nemkisebb. d) A fiúk és a lányok, illetve a férfiak és nõk ideális testsúlya azonos magasság mellett különbözik. 10. a) Nem jellemezhetõ lineáris függvénnyel.

b) Ugyanabban a boltban, azonos típusú kenyér ára azonos idõpontban jellemezhetõ lineáris függvénnyel. c) Nem jellemezhetõ lineáris függvénnyel. 11.

y 9

f(x)

8 7 6 5

g(x)

4 3

h(x)

2 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 x

A közös metszet a (10; 2). A függvények hozzárendelési szabályába a pont kordinátáit behelyettesítve ellenõrizhetjük, hogy valóban mindhárom egyenesen rajta van a pont. 12. Fanni sebessége az egyes szakaszokon:

1. útban egyedül a bolt felé: 80 3. boltban: 0

m m ; 2. séta a barátnõvel: 20 ; perc perc

m m ; 4. útban hazafelé: 60 . perc perc

14 percig volt távol, és ez idõ alatt 600 métert tett meg. 600 300 m = . Az átlagsebessége 14 7 perc

135


13. a) p(13) = 0,7(220 – 13) = 144,9

13 éves gyereknek 145-ös pulzusszámot kellene fenntartania. b) 126 = 0,7(220 – x) egyenlet megoldása adja meg annak az életkorát, akinek 126-os pulzusszámot kellene fenntartania. x = 40. c) f(x) = 0,7(220 – x) d) y 160 150 140 130 120 110 5

10

15

20

25

30

35

40

50 x

45

14. a) Antal egy ötórás munkáért 22 000 Ft-ot kér.

b) Béla 6 órás munkáért kapott 22 000 Ft-ot. c) Antal bevétele az órákban megadott munkaidõ függvényében: f(x) = 2000 + 4000x. Béla bevétele az órákban megadott munkaidõ függvényében: g(x) = 4000 + 3000x. d) y ( F t ) 30000 25000 20000 15000 10000 5000 1

2

3

4

5

6

7

x(óra)

e) Mindketten 2 órás munkáért kapnak 10 000 Ft-ot. 15. a) m = 0,18; f(x) = 0,18x.

b) 180 000 Ft-ot. c) m = 0,36. d) 1 134 000 Ft-ot. e) 1,7 millió jövedelemhatárig a jövedelem 18%-a a személyi jövedelemadó, 1 700001 Fttól a jövedelem 36%-át fizetjük adóba.

16. a) a1 = – 2; a2 = – 1;

a3 = 0; a4 = 1; a5 = 2.

b) b1 = 4; b2 = 2; b3 = 0; b4 = – 2; b5 = – 4.

c) c1 = 1; c2 = 1,5; c3 = 2; c4 = 2,5; c5 = 3.

y

y

y

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

–1

1

2

3

4

5 x

–1

1

2

3

4

5 x

–1

–2

–2

–2

–3

–3

–3

–4

–4

–4

f(x) = x – 3; 136

g(x) = – 2x + 6;

1

2

3

4

5 x

k(x) = 0,5x + 0,5.

7. Síkgeometria II. 1. A háromszögek csoportosítása, a háromszögek egybevágósága 1. a) hamis;

e) igaz;

b) igaz; f) igaz;

c) hamis; g) hamis;

d) hamis; h) igaz.

2. a) A szerkesztés menete: A

1. Felvesszük a 4 cm-es oldalt (a). 2. A szakasz C végpontjában g = 45°-ot szerkesztünk. 3. A C végpontból 5 cm sugarú körívvel elmetsszük a szög szárát.

b

c

g = 45° a

C

b) A szerkesztés menete: 1. Felvesszük a 6 cm-es oldalt (a = CB). 2. A szakasz C végpontjában g = 75°-ot szerkesztünk. 3. Az C végpontból 5 cm sugarú körívvel elmetsszük a szög szárát.

B

A

b

c

g = 75° a

C

3. a) A szerkesztés menete:

B

B

1. Felvesszük az 5 cm-es oldalt (b). 2. A szakasz C végpontjából a c 4 cm, az A végpontjából 3 cm sugarú körívet rajzolunk. 3. A körívek metszéspontja C b=5 A adja a harmadik csúcspontot. b) Nem szerkeszthetõ ilyen háromszög. (A háromszög egyenlõtlenség tétele miatt.)

137



1. Felvesszük a 4 cm-es oldalt (c). 2. A szakasz A végpontjában 2. a = 30°-ot, a B végpontjában 2. b = 45°-ot szerkesztünk. 3. A két szögszár metszéspontja 3. a C csúcs.

b) A szerkesztés menete: 1. Felvesszük a 4 cm-es oldalt (c). 2. A szakasz A végpontjában 2. a = 15°-ot, a B végpontjában 2. b = 75°-ot szerkesztünk. 3. A két szögszár metszéspontja 3. a C csúcs.

C b

b

b

a c=4

A

C

a

b

a B

c=4

A

a B


B’

1. Felvesszük az 5 cm-es oldalt (b). 2. A szakasz A végpontjában a = 45°-ot szerkesztünk. 3. A C végpontból 4 cm sugarú körívvel elmetsszük a szög szárát (B, B’).

4 B 4 45°

b) A szerkesztés menete: 1. Felvesszük az a = 4 cm-es oldalt. 2. A szakasz B végpontjában b = 75°-ot szerkesztünk. 3. A C csúcsból 5 cm sugarú körívvel elmetsszük a szög szárát (A). 4. Összekötve az A és a C csúcsokat megkapjuk a háromszög harmadik oldalát.

A

b

c

75° B

138

C

b=5

A

a=4

C

6. Két ilyen háromszög van.

Az ABC háromszög szerkesztése: 1. Felvesszük az 7 cm-es oldalt. 2. A szakasz A végpontjában a = 90°-ot szerkesztünk. 3. Az A végpontból 5 cm sugarú körívvel elmetszük a szög szárát (C). 4. Összekötve a C és a B csúcsokat megkapjuk a háromszög harmadik oldalát.

C

5

a B

7

A

Az A’B’C’ háromszög szerkesztése: 1. Felvesszük az A’ kezdõpontú félegyenest. 2. Az A’ pontban a = 90°ot szerkesztünk. 3. Az A’ végpontból 5 cm sugarú körívvel elmetszük a szög szárát (C’). 4. A C’ pontból 7 cm sugarú körívvel elmetszük az A’ kezdõpontú félegyenest (B’). 5. Összekötve a C’ és a B’ csúcsokat megkapjuk a háromszög harmadik oldalát

C’

7

5

a B’

A’

7. A harmadik oldal 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 cm lehet. A legnagyobb kerületû háromszög

oldalai 5, 7, 11 cm. C

7

5

A

11

B

139


8. Az alaprajzon a háromszög két oldala 8 és 6 cm hosszú.

A szerkesztés menete: 1. Felvesszük az 8 cm-es oldalt egy félegyenesre (AB). 2. A szakasz A végpontjában a = 60°-ot szerkesztünk. 3. Az A végpontból 6 cm sugarú körívvel elmetsszük a szög szárát (C). 4. Összekötve a C és a B csúcsokat megkapjuk a háromszög harmadik oldalát. C

a

6 cm

60° 8 cm

A

B

9. A térképen 9,45 cm a Szeged Szolnok távolság, ami a valóságban 141,75 km. Budapest 45°

7 cm Szolnok

13 cm 9,45 cm

Szeged

Rejtvény: Nyolc ilyen háromszög van. Oldalaik: (2; 9; 9), (3; 8; 9), (4; 8; 8), (5; 7; 8), (5; 6; 9), (6; 7; 7), (6; 6; 8), (7; 4; 9)

140

2. A háromszög köré írható kör 1. a) Ezek a pontok az A középpontú 3 cm sugarú körvonalon vannak.

b) Két ilyen pont van. Az A középpontú 3 cm sugarú kör és a B középpontú 6 cm sugarú kör metszéspontjai. c) Az AB szakasz felezõmerõlegesén vannak az ilyen tulajdonságú pontok. d) 3 cm A

3 cm B

3 cm

2. a) Ha a városok egy egyenes mentén helyezkednek el, akkor nincs olyan pont, amelytõl

mindhárom város egyenlõ távolságra van, tehát nem lehet megépíteni a tornyot oly módon, hogy hasonlóan jó vételi viszonyok alakuljanak ki. b) A háromszög oldalfelezõ merõlegeseinek metszéspontja legyen a torony helye. 3. A háromszög szerkesztésésének menete:

1. Felvesszük a 4 cm-es oldalt (AB). 2. A szakasz A és B végpontjából 4 cm sugarú körívet rajzolunk. 3. A körívek metszéspontja adja a harmadik csúcspontot (C). A körülírt kör szerkesztése: 1. Szerkesszük meg az AB oldal felezõmerõlegesét. 2. Szerkesszük meg az AC oldal felezõmerõlegesét. 3. Jelöljük O-val az oldalfelezõ merõlegesek metszéspontját, és rajzoljuk meg az OB sugarú kört.

C

O

r

B

A

141


4. A háromszög szerkesztésésének C

menete: 1. Felvesszük a 3 cm-es oldalt (AB). 2. A szakasz A és B végpontjából 5 cm sugarú körívet rajzolunk. 3. A körívek metszéspontja adja a harmadik csúcspontot (C). A körülírt kör szerkesztése: 1. Szerkesszük meg az AB oldal felezõmerõlegesét. 2. Szerkesszük meg az AC oldal felezõmerõlegesét. 3. Jelöljük O-val az oldalfelezõ merõlegesek metszéspontját, és rajzoljuk meg az OB sugarú kört.

O r

B

A

5. A háromszög alapja 6 cm, szárai

4 cm-esek. A háromszög szerkesztésésének menete: 1. Felvesszük a 6 cm-es oldalt (AB). 2. A szakasz A és B végpontjából 4 cm sugarú körívet rajzolunk. 3. A körívek metszéspontja adja a harmadik csúcspontot (C). A körülírt kör szerkesztése: 1. Szerkesszük meg az AB oldal felezõmerõlegesét. 2. Szerkesszük meg az AC oldal felezõmerõlegesét. 3. Jelöljük O-val az oldalfelezõ merõlegesek metszéspontját, és rajzoljuk meg az OB sugarú kört.

142

C

A O

r

B

6. A kör két tetszõleges húrjának szakaszfelezõ merõlegesének metszéspontja lesz a kör

középpontja. C

A O B

7. Igen. Az oldalfelezõ merõlegesek metszéspontját a csúcsokkal összekötve három

egyenlõ szárú háromszögre bontható a hegyesszögû háromszög. 8. a) Az eredeti medve, farkas, róka házai által bezárt háromszög köré írható körén kell

lenni nyuszika házának. b) Ha a nyuszika háza nem esik egy egyenesre a medve, a farkas és a róka házai közül semelyik kettõvel, akkor a négy pont négy háromszöget határoz meg. A négy háromszög köré írható körének középpontjai azok a pontok, melyek három háztól egyenlõ távolságra vannak. Négy különbözõ helyre tudják felépíteni a kilátót. Ha a nyuszika háza egy egyenesre esik a medve, a farkas és a róka házai közül valamelyik kettõvel, akkor 3 kilátónak alkalmas hely van. Rejtvény: Atavár és Bócújlak szakasszal párhuzamosan fut a sín Péren keresztül. d Atavár

Pér d Bócújlak

Ha Atavár és Bócújlak által alkotott szakasz felezõpontján és Péren át egyidejûleg fut a sín. Atavár d

Pér

F d Bócújlak

143


3. A háromszög belsõ szögfelezõi, a beírható kör 1. A szerkesztés menete:

Az A pontban merõlegest szerkesztünk az OA sugárra. A r O

Gó a

cs

in vannak azok a pontok, melyektõl ugyanakkora távolságra található a két utca. b) Kékkel jelöltük a térképen azokat a pontokat, melyek közelebb vannak a Pinty utcához, mint a Cinke utcához. A Cinke és a Pinty utca egyenesének szögfelezõi határolják a területet.

ly

Pa

2. a) A Cinke és a Pinty utca egyenesének szögfelezõ-

ir

u.

ta

Ri

u.

gó

u.

Ta v a s z t é r

C i n k e

u.

y nt Pi

u .

3. A szerkesztés menete:

A szögszáraktól 3 cm távolságra párhuzamos egyeneseket szerkesztünk. Ezek szögtartományon belüli metszéspontja határozza meg a kör középpontját. Vagy a szögfelezõ és az egyik szögszártól 3 cm távolságra lévõ párhuzamos egyenes metszéspontja határozza meg a kör középpontját.

A O 45° C

B


Az e és f egyenesektõl azonos távolságra 2 párhuzamos egyenespárt szerkesztünk. Az azonos színû egyenesek egyenlõ távolságra vannak e-tõl és f-tõl. Ezek szögtartományon belüli metszéspontjait összekötve kapjuk a szögfelezõt.

e

F E f

144

5. A háromszög szerkesztésének menete:

1. Felvesszük a 5 cm-es oldalt. 2. A szakasz A és B végpontjából 5 cm sugarú körívet rajzolunk. 3. A körívek metszéspontja adja a harmadik csúcspontot (C). a) A körülírt kör szerkesztése: Az O pont szerkesztésének menete: 1. Szerkesszük meg az A csúcsnál lévõ szögfelezõt. 2. Szerkesszük meg a C csúcsnál lévõ szögfelezõt. 3. A szögfelezõk metszéspontja mindegyik oldaltól ugyanakkora távolságra van. b) c) az ábrán látható.

C

O

B

A

6. A P pont egyenlõ távol van az a és b oldalak-

A

tól. A P pont az AB oldal és a C csúcsnál lévõ szögfelezõ metszéspontja.

b P C

a

B

7. Mindhárom esetben a szögfelezõk metszéspontja a beírható kör középpontja.

Megjegyzés: elég csak két szögfelezõt megszerkeszteni, a harmadikat csak ellenõrzésre. 8. Érintõket kell szerkeszteni a körhöz a P, Q, R C

pontokban. Az OP, OR és OQ szakaszokra merõleges egyeneseket szerkesztünk az O, P Q pontokban. Az egyenesek metszéspontjai lesznek a háromszög csúcsai.

Q R A

P B


1. Az O-n keresztül merõleges egyenest szerkesztünk az AB szakaszra. Az AB szakasz és a merõleges egyenes metszéspontját jelöljük T-vel. 2. Megrajzoljuk az O középpontú OT sugarú kört. Ez az ABC háromszögbe írható kör. 3. Az AOB háromszög a és b szöge az ABC háromszög A és B csúcsánál lévõ szögeinek a fele. Ezért másoljuk az a és b szögeket az AO és BO oldalakra. Az így kapott szögszárak a háromszög a és b oldalegyenesei, metszetük a C csúcs.

b c a A

b

T

a O

a

b

C

145

B


10. A kör alakú terítõ középpontja a háromszög

beírható körének középpontja legyen.

C B

O

A

11. Tükrözzük az A és B pontot a szögfelezõre.

B

Szerkesztés menete: 1. A és B pontokon át merõleges egyeneseket (f, g) szerkesztünk az e egyenesre. 2. A P metszéspontból AP hosszúságú körívvel elmetsszük f-t és RB hosszúságú körívvel elmetsszük g-t. A’ és B’ tükörképeket kapjuk. 3. A’B és B’A lesz a keresett szög két szára.

A’

e

R

P

B’ A g

f

12. Négy ilyen kör szerkeszthetõ. A szögfelezõk

metszéspontjaiként kapjuk meg a körök középpontjait. Az O középpontú kör az e, f, g egyenesek által alkotott háromszög beírt köre. A P, Q és R középpontú körök a háromszög hozzáírt körei.

e P

f R O g

Q

Rejtvény: Andi pályája Bandi pályájának kétharmad részével egyenlõ. Andi sebessége egyenlõ Bandi sebességének kétharmad részével, ezért ugyanannyi idõ alatt teljesítik a távot.

146

4. A magasságvonal és a súlyvonal 1. Ez a pont a T pont, az átfogóhoz tartozó ma -

gasság talppontja. Szerkesztés menete: C pontból merõlegest szerkesztünk az AB oldalra. T a merõleges egyenes és az AB oldal metszéspontja.

B

T

3 cm

A

4 cm

C

2. a) Szerkesztés menete:

Szokásos módon megszerkesztjük a 4; 5; 6 cm oldalú háromszöget. 1. A C pontból merõlegest szerkesztünk az AB oldalra. 2. A B pontból merõlegest szerkesztünk az AC oldalra. 3. A merõleges egyenesek metszéspontja a magasságpont. b) Szerkesztés menete: 1. Megszerkesztjük az AB és az AC oldalak felezõpontjait. (F, D) 2. F és D pontokat összekötve a háromszög C és B csúcsaival kapjuk a súlyvonalakat. 3. A súlyvonalak metszéspontja az S súlypont.

5 cm

C

sc

D

a ma

b sa S mb

sb M B

c F

A mc

3. Az egyenlõ oldalú háromszögben a magasságvonal egyben súlyvonal is. Lásd 278. oldal

3. feladat szerkesztése. 4. a) Szerkesztés menete:

C

1. Felvesszük a 4 cm-es magasságot. 2. T végpontjában merõleges egyenest szerkesztünk m-re. 3. Az A végpontból 5 cm-es körívvel elmetsszük a merõlegest. (C, B) 4. Összekötve az A pontot a C és B pontokkal kapjuk a háromszög két oldalát.

5 cm

A

m = 4 cm

T

B

147


b) Szerkesztés menete: 1. Felvesszük az 5 cm-es oldalt (AC szakasz). 2. Az AC szakasszal 3 cm-es távolságra párhuzamos egyenest szerkesztünk. 3. Az C végpontból 5 cm-es körívvel elmetsszük a párhuzamost. (B) 4. Összekötve az A és a C pontot B ponttal, kapjuk a háromszög két oldalát. Diszkusszió: 2 megoldás van. A 2. megoldást szaggatott vonal jelzi (tompaszögû háromszög). B

B’

5 cm m = 3 cm

5 cm

C

5 cm

A

5. a) b = 80°, g = 70°;

b) a = 85°, b = 50°, g = 45°;

c) a = b = 70°, g = 40°. 6. Szerkesztés menete: C

1. Az M pontból merõleges egyenest szerkesztünk az AB oldalra. 2. Összekötjük az A és M pontokat, és a B csúcsból merõlegest bocsátunk az AM egyenesre. 3. A két merõleges egyenes metszéspontja lesz a C csúcs. 4. C-t A és B pontokkal összekötve kapjuk a háromszög két oldalát. 7. Ez a szabályos háromszög.

M

A

B

8. Igen. Felosztható 9 derékszögû három-

szögre, majd mindegyikben behúzom az átfogóhoz tartozó magasságot, és így kétszerezem meg a háromszögek számát.Ezt az eljárást ismételem meg négyszer. 9. Paralelogramma, az átlói felezik egymást.

Rejtvény:

C x x

x

90° A

148

B

5. A háromszög szögeivel kapcsolatos összefüggések 1. a) Ha alapon fekvõ szögei 30°-osak, akkor szárszöge 120°. Külsõ szögei 150°-os és

60°-os.Ha szárszöge 30°, akkor alapon fekvõ szögei 75°. Külsõ szögei 150°-os és 105°-os. b) Ha alapon fekvõ szögei 70°-osak, akkor szárszöge 40°. Külsõ szögei 110°-os és 140°-os. Ha szárszöge 70°, akkor alapon fekvõ szögei 55°. Külsõ szögei 110°-os és 125°-os. c) Ha szárszöge 100°-os, akkor alapon fekvõ szögei 40°. Külsõ szögei 80°-os és 140°-os. 2. a) Harmadik külsõ szöge 140°-os, belsõ szögei 80°, 60° és 40°.

b) Harmadik külsõ szöge 150°-os, belsõ szögei 90°, 60° és 30°. c) Harmadik külsõ szöge 120°-os, belsõ szögei 70°, 50° és 60°. 3. a) b = 80°, g = 70°;

b) b = 50°, g = 90°; d) a = b = 48°, g = 84°.

c) a = b = 55°, g = 70°; 4. a) 40°, 40°, 100°;

b) 60°, 80°, 40°;

5. a) Nincs ilyen háromszög. b) 60°, 20°, 100°;

c) 50°, 60°, 70°. c) 80°, 60°, 40°.

6. 80°, 30° és 70°. 7. 57,5°-os és 77,5°-os. 8.

C 50° 25°

135° 45°

20° 40°

B

A

45°-os. 9. a 2 b 2

A

100°

80°

M g

C

B

AMBè-ben:

a b + + 100∞ = 180∞ 2 2 a +b = 80∞ 2 a + b = 160∞

Így g = 20°. 149


Rejtvény: 3x 90°

4x 60°

30°

5x

20 cm

3x + 4x + 5x = 360° x + 4x + 12x = 360° 3x + 4x + 5x = 30° A legnagyobb szöggel szemben találjuk a leghosszabb oldalt. A 90°-os szöggel szemközti oldal lesz 20 cm. Az ábra szemlélteti, hogy ha a 30°, 60°, 90°-os háromszöget tent gelyesen tükrözzük arra a befogóra amelyen a 30°-os szög taA = A’ lálható, akkor szabályos háromszöget kapunk. Így ennek a háromszögnek minden oldala 20 cm, ugyanis a rövidebb BC be30° 30° 20 cm fogó 10 cm hosszú. 60°

B

60°

B’

C

6. Sokszögek 1. a) 3 átló 4 háromszögre osztja a hatszöget.

b) 12 átló 13 háromszögre osztja a tizenötszöget. c) 85 átló 86 háromszögre osztja a nyolcannyolcszöget. 2. A szabályos hatszög belsõ szögeinek összege 4 ¡ 180° = 720°. 3. Pl.:

a)

b) b 30°

a

b

a

30°

b

30°

b

30°

b

b

a

Szabályos 12-szög: 10 ¡ 180° = 1800°.

150

a

30°

a

b

b

30°

b

Paralelogramma: 2 ¡ 180° = 360°.

c)

d)

b a

b 30°

30°

30°

a

b

a

b

a

30°

b a a

b 30°

b

30°

a 30°

b

Húrtrapéz: 2 ¡ 180° = 360°.

30°

b

a a

30°

b

b

b

Hatszög: 4 ¡ 180° = 720°.

4. 40°, 80°, 120°, 120°. 5. 30°, 90°, 120°, 150°, 150°. 6. Ez a sokszög a tizenkétszög. 7.

5

8

6

4

10

12

13

n

külsõ szögek összege

360°

360°

360°

360°

360°

360°

360°

360°

egy külsõ szög

72°

45°

60°

90°

36°

30°

27,7°

360° n

egy belsõ szög

108°

135°

120°

90°

144°

150°

152,3°

(n – 2) × 360° n

belsõ szögek összege

540°

1080°

720°

360°

1440°

1800°

1980°

(n – 2) × 360° n

csúcsok száma

8. 70°, 140°, 100°, 115°, 115°. 9. 360°. 10. Az ötszög szögei lehetnek: 140°, 140°, 100°, 100°, 60°;

140°, 100°, 100°, 100°, 100°; 140°, 140°, 100°, 80°, 80°. 11. Az ötszög szögei 27°, 54°, 162°, 160° és 137°. 12. Konvex sokszögnek legfeljebb 4 belsõ szöge lehet derékszög.

Rejtvény: 36°-os a csillag csúcsainál fekvõ szög.

7. A háromszögek területe 1. Pl.:

M 500 m

M B

B

B

M

M B

B

M

M B

M B

B

400 m

2. A), C), D), F). 3. T = 0,4 km2, és 204 tonna termés várható. 151


4. T = 6 cm2. C1

C2

C3

3 cm

4 cm

A

5.

B

a ◊ ma 2 12 cm2 = a ◊ ma 6 cm2 =

Vagyis minden olyan háromszög megfelel, aminek egyik oldala és a hozzá tartozó magasság hosszának szorzata 12 cm2. Pl.: a = 1 cm, ma = 12 cm; a = 2 cm, ma = 6 cm; a = 0,5 cm, ma = 24 cm. A szerkesztés menete az elõzõ feladatéval megegyezõ. (Megjegyzés: természetesen nem csak egész számokban gondolkodhatunk.) 6. Tkék =

18 mm ◊ 36 mm = 324 mm2 ; 2

Tzöld =

32 mm ◊ 35 mm = 560 mm2 . 2

Tpiros =

28 mm ◊ 40 mm = 560 mm2 ; 2

7. T1 =

2 cm ◊ 3 cm = 3 cm2 ; 2

T2 =

2 cm ◊ 5 cm = 5 cm2 ; 2

T3 =

4 cm ◊ 3 cm = 6 cm2 ; 2

T4 =

4 cm ◊ 5 cm = 10 cm2 . 2

8. a) Nyolc.

b) T = 18 cm2.

9. Tkék = 4 ◊ 6 -

4◊4 2◊2 2◊6 = 8; 2 2 2

Tzöld = 6 ◊ 6 10. T = 8,96 m2. 11. T = 20 km2.

152

6◊6 6◊4 = 6; 2 2

Tpiros = 4 ◊ 4 -

Tsárga = 6 ◊ 6 -

2◊4 2◊4 2◊2 = 6; 2 2 2

3 ◊ 5 6 ◊1 3 ◊ 6 = 16, 5. 2 2 2

12.

a

ma

b

mb

c

mc

T

K

6 cm

8 cm

10 cm

4,8 cm

8 cm

6 cm

24 cm2

24 cm

5 cm

6 cm

4 cm

7,5 cm

11,21 cm

2,68 cm

15 cm2

10 cm

8,66 cm

9 cm

12 cm

10 cm 13 cm

10 cm

8,66 cm 8,31 cm

12,65 cm

20,21 cm 2

8,66 cm

43,3 cm

8,54 cm

cm2

54

30 cm 34,65 cm

b ◊ mb ˆ Ê a ◊ ma = ˜ 2 2 ¯

13. A szárak 20 cm hosszúak. Á Ë

14. a) Ha az ablaktáblák tömege egyforma, akkor területük azonos. A legrövidebb alaphoz,

a 800 mm-hez tartozik a legnagyobb magasság. A legalacsonyabb a 150 cm széles tábla. 30 m. A 150 cm-es b) Mindegyik ablaktábla 1,5 m2-es. Az 1,1 m-es tábla magassága 11 tábla magassága 2 m. A 800 mm-es tábla magassága

30 15 = m [3,75 m]. 8 4

Rejtvény: A 25%-át.

8. A négyszögek területe 1. a) Trapéz vagy paralelogramma.

b) Egy háromszög területe 18 cm2. 6◊6 c) 1. megoldás: 6 ¡ 15 – 2 ¡ = 90 – 36 = 54 cm2. 2 15 + 3 2. megoldás: trapéz esetén: ¡ 6 = 54 cm2; 2 paralelogramma esetén: 9 ¡ 6 = 54 cm2.

6

3

6

6

6 15 6

9

6

6 9

2. B), C), A), D). 3. A levágott háromszög területe T =

21 ◊ 5 = 52,5 cm2. 2

A lapból paralelogramma maradt. A paralelogramma területe: T = 21 ¡ 29 – 105 = 504 cm2; T = 24 ¡ 21 = 504 cm2. 4. T = 14 ¡ 4 = 56 cm2. 5. T = 2. 6. A), C), D), B). 7. Marci trapézt rajzolt, aminek területe T =

pontosan a négyszöget.

10 + 16 ¡ 5 = 65 cm2. Nem lehet lerajzolni 2

8. A paralelogramma 12 cm-es oldalához tartozó magasság 12 cm. A 16 cm-es oldalhoz

tartozó magasság 9 cm. 153


9. A rét területe 300 m2.

Rejtvény: Pl.:

9. A kör kerülete, területe 1. 454 teljes fordulatot ír le a kerékpár kereke. 2. 58 cm átmérõjû a kereke. 3. a) A nagymutató hegye egy nap alatt 180,9 cm utat tesz meg. A maratoni távot 23 325

nap alatt tenné meg. b) A másodpercmutató hegye egy nap alatt 10851,9 cm utat tesz meg. A maratoni távot 388,83 nap alatt tenné meg. 4. A kör esetében. 5.

3 p. 4

6. A 2 cm sugarú negyedkör területe: 3,14 cm2. 7. a)

p =0,39 része, vagyis kb. 39%-a. 8

c) 1 –

p = 0,215 része, vagyis kb. 21,5%-a. 4

154

b)

p = 0,785, vagyis 78 és fél %-a. 4

1 1 1 része. Kerülete: az elsõ kör kerületének fele ; ; 2 3 4 és még ahány részre osztom a kört, annyiad része kerületnek:

8. Területük az elsõ kör területének

K K K K 5 K K 3 K K 7 + = K; + = K; + = K; + = K. 2 2 2 3 6 2 4 4 2 5 10 9. 5,76 kg.

Rejtvény: Húsz teljes fordulatot tesz az érme.

10. Vegyes feladatok 1. a) Szerkesztés menete:

1. Szerkesszük meg az AB szakasz felezõmerõleges egyenesét. 2. Szerkesszünk a BC egyenestõl 2 cm távolságra párhuzamos egyeneseket. 3. A párhuzamos egyenespár és a felezõmerõleges metszéspontja P és Q egyenlõ távol van A-tól és B-tõl, és 2 cm távol van a BC egyenestõl.

P B

A

C

Q

b) Szerkesztés menete: 1. Szerkesszük meg AB szakasz felezõmerõleges egyenesét. 2. Rajzoljuk meg az C középpontú 2 cm sugarú kört. 3. A felezõmerõleges és a kör metszéspontja P és Q egyenlõ távol van A-tól és B-tõl, és 2 cm-re a C ponttól.

A

B

P

C

Q

155


c) Szerkesztés menete: 1. Rajzoljuk meg az A középpontú 2 cm sugarú kört. 2. Rajzoljuk meg a B középpontú 3 cm sugarú kört. 3. A két kör metszéspontja P és Q 2 cm-re van A-tól és 3 cm-ra van B-tõl.

P 2 cm 3 cm B A

Q

C

d) Szerkesztés menete: 1. Szerkesszünk a BC egyenestõl 3 cm távolságra párhuzamos egyenest 2. Szerkesszünk a AB egyenestõl 2 cm távolságra párhuzamos egyenest. 3. A párhuzamos egyenespárok metszéspontjai P, Q, R, S pontok 2 cm-re vannak AB egyenstõl és 3 cm-re vannak a BC egyenestõl.

Q P

2 cm 3 cm B A 2 cm

3 cm S C

R

156

2. a)

b)

B

c)

B

B

v

v

v

A VÁ

VÁ A

A

A c) esetben a vasútvonal mentén minden pontban egyenlõ távol lesz az állomás a két falutól. 3. a) A mentõállomást az egyenesek alkotta szögek szögfelezõinek metszéspontjaiba

kell tervezni. 4 ilyen pont van O, P, Q, R.

a

P Q

O c

b

R

157


b) A szögfelezõk metszéspontjaiba kell tervezni a mentõállomást. 2 ilyen pont van O és P. a c P O b

c) Nincs ilyen pont. 4. a)

C A

b)

C A

B

c)

C A

B

B

5. 16° 6. 70°-os szöget. 7. 40° és 50°. 8. A derékszögû háromszög szögei 30° és 60°-osak, ezért

a rövidebbik befogója a háromszögnek az átfogó hosszúságának felével egyenlõ. Szerkesztés menete: 1. Felvesszük a 3 cm-es oldalt. 2. A csúcsából 90°-os szöget szerkesztünk. 3. B végpontjából 6 cm-es körívet rajzolunk,a merõlegessel vett metszéspontja a körívnek a C csúcs. 4.A B pontot összekötve a C ponttal kapjuk a harmadik oldalt.

C

9. Igaz. 10. 125°. 11. 78°, 78°, 24°. 12. 38°, 66°, 76°. 13. a) Hat.

b) Belsõ szögek összege 720°, a külsõ szögek összege 360°. c) Kilenc.

158

A

B

14. 108° 36° 36°

72°

15. a) 20 cm;

36°

72°

b) 10 cm.

16. A derékszögû háromszög körülírt kö-

A

rének középpontja az átfogó felezõpontja. Szerkesztés menete: 1. Felvesszük a 3 cm-es oldalt (BC). 2. A B és a C végpontjából 4 cm-es körívet rajzolunk. A körívek metszéspontja O, a háromszög köré írt körének középpontja. 3. Összekötjük a B és O pontokat, majd meghossszabbítjuk a szakaszt O-n túl. 4. Megrajzoljuk az O középpontú OB sugarú kört, amely BO egyenesbõl kimetszi A-t.

4 cm

O

sc 4 cm 4 cm

C

B

3 cm

159


17. a) Szerkesztés menete:

1. Megszerkesztjük a BCOè-et a három ismert oldalaiból. 2. O-ból OB sugarú kört húzunk. 3. BC oldal felezõmerõlegesébõl csak F felezõpontját jelöljük meg, melybõl sa = 3 cm-rel elmetszük a körívet.

B

F C

A

A’

O

b) Szerkesztés menete: 1. Felvesszük az 5 cmes BC szakaszt, majd megszerkesztjük a BCOè -et, és megrajzoljuk az ABCè körülírt körét 4 cm-es sugárral O-ból. 2. Párhuzamost szerkesztünk a BC oldallal 3 cm távolságra. 3. Ahol e párhuzamos a körvolnalat elmetszette ott lesz a keresett A csúcs (ill. A’).

A

O

A’

3 cm B

160

5 cm

C

c) Szerkesztés menete: 1. Felvesszük az 5 cmes oldalt (BC = a). 2. Az a oldallal 3 cm távolságra párhuzamost szerkesztünk. 3. A BC oldal felezõpontja F. 4. Az F pontból 4 cm-es körívet rajzolunk. A körív és a párhuzamos metszéspontja A (A’). 5. A-t összekötve B és C pontokkal kapjuk a másik két oldalt.

18. a) A), E), D)

A

A’

3 cm

B

b) A), B) e) A), B), C), D)

d) Egyik sem.

a = 5 cm F

C

c) A), B), C), D) f) A), B), C), D), E), F)

19. 2280 cm2. 20. 1,75 szerese, vagyis 175%-a.

b) » 2,89 liter.

21. a) 2,5 liter. 22. »21,5%-a. 23. t4 = 12.

24. 1800. (Megjegyzés: 1875 – 75 ingyen = 1800.) 25. Másfél órával korábban P-nél volt Pepi. Most a rózsaszínnel jelölt területen található.

(Megjegyzés: a kék oldalfelezõ merõleges, a zöld vonal szögfelezõ a KLN háromszögben.) K

45 út 117 út P L 17 út N

161


8. Statisztika, valószínûség 1. Adatok elemzése, átlag, medián 1. a)

Mozi-, színház-, hangverseny-látogatások (fõ)

mozi

4000

színház

hangverseny

3495

3500 3000 2500 2000

1426

1373

1500 1000

482

500

398 72

1199 437

393 45

50

42

0

1990

1995

2000

2005 1990

34%

47% 24% 16%

18% 19%

Mozilátogatások

20%

26%

28%

1995 2000

22%

Hangverseny-látogatások

23%

23%

2005

Színházlátogatások

b) 1990-ben átlagosan háromszor több mozilátogatás jutott 1000 lakosra mint 2005-ben. A színházak és hangversenyek látogatottsága nem csökkent ilyen nagy mértékben. 2. Átlag: 31,875; medián: 30. 3. – 4. a) 5;

b) 16;

c) 51;

d) A 2. és a 3. átlaga.

5. a) 2000;

b) 290; c) A medián lehet 200, 180, 220. ¡¡ 6. Átlag: 4,36; medián: 5. A medián jobban jellemzi teljesítményét, mint az átlag. ¡ 7. a) Átlag: 167,3, medián: 167; ¡ b) Átlag: 172,3, medián: 170. 8. 3,2 km. 9. 9 napja.

¡

10. Átlag: 36,4, medián: 20. Az utasok szerint reggel 7 és 8 óra között alig férnek el a

buszon, jóval átlag feletti az utasok száma. Rejtvény: Ha a zsákba három számot teszünk 5; 5; 8-at és kihúzzuk a két ötöst, akkor a visszamaradt szám a nyolcas. Ha 2; 3; 6; 7; 8; 10; számokat tesszük a zsákba, és kihúzzuk a a 2; 3; 7; 8;-at, akkor is 8 a visszamaradt számok átlaga. Általánosan: k db szám átlaga legyen 8 és 2k db szám átlaga legyen 5 a zsákban.

162

2. A módusz, a gyakoriság és a relatív gyakoriság 1. – 2. pl. 104– 108. oldal

a) gyakoriság relatív gyakoriság

1

2

3

4

5

6

7

8

9

57

37

18

14

10

19

3

17

2

» 0,32 » 0,21 » 0,10 » 0,08 » 0,06 » 0,11 » 0,02 » 0,10 » 0,01

b) Az 1 a módusz. 3. – 4. – 5. a) A eset: 20,8 ezer Ft, medián: 15– 25 ezer Ft. Ezt a 25. és a 26. bicikli ára adja.

B eset: 36,25 ezer Ft, medián: 25– 35 ezer Ft, amit a 24. és 25. eladott bicikli ára ad. b)

Eladott biciklik árának relatív gyakorisága (A eset)

Eladott biciklik árának relatív gyakorisága (B eset)

4% 2% 17%

15–25

25–35

25–35 34–45

94%

54%

29%

34–45 45–

c) A eset vonatkozhat a bevásárlóközpontra, B eset vonatkozhat a szaküzletre. 6. Ez egy hétre vonatkozó statisztikai adat.

a) Kérdés: Mennyi a mulasztott napok számának gyakorisága és relatív gyakorisága? A választ ábrázoljuk táblázatban: 0 nap 1 nap 2 nap 3 nap 4 nap 5 nap gyakoriság

17

4

1

5

1

2

relatív gyakoriság

17 30

4 30

1 30

5 30

1 30

2 30

b) Kérdés: Mennyi a mulasztott napok átlaga? Válasz: Összesen 35 napot mulasztott 30 tanuló: »1,17 nap egy tanuló által mulasztott napok száma. c) Kérdés: Mennyi a mulasztott napok módusza és mediánja? Válasz: Módusz: 0 nap, medián: 0 (15. és 16. elem adja meg). 7. a) Az átlag jellemzi a játékos pályán mutatott eredményességét. A gyakoriságból

következtethetünk a teljesítményének egyenletességére. Célszerû oszlopdiagramot választani. b) Az átlaggal jellemezhetõ a forgalom, vagy látogatottság, azaz hány ember fordul meg az étteremben átlagosan 1 óra alatt. A medián megmutatja, hogy az étteremben egy 163


óra alatt megfordult vendégek száma közül melyik a középsõ adat. A móduszból arra következtethetünk, hogy többnyire a nap folyamán hányan vannak az étteremben. A relatív gyakoriság alapján összvethetjük, hogy az étterem forgalma hogyan alakul a különbözõ idõszakokban. Válasszunk kördiagramot. c) Az adatok átlaga megmutatja, hogy átlagosan hány mobiltelefon hibásodik meg. A medián a számadatok közül a középsõ. A móduszból arra következtethetünk, hogy milyen mértékben romlanak el a telefonok, pl ezerbõl 3. A relatív gyakoriság alapján összevethetjük a különbözõ típusokat, esetleg a minõségrõl vonhatunk le következtetéseket. A kör vagy oszlopdiagram is helyes választás. d) Az átlag megmutatja, hogy hány órát tévézik naponta egy gyerek. Végezhetjük a felmérést korcsoportok szerint, vagy a szülõk iskolai végzettsége szerint sorolhatjuk csoportokba a vizsgált gyerekeket. Az elsõ esetben arra vonatkozóan kapunk értékeket, hogy a különbözõ korú gyerekek tévézési szokásai hogyan változnak. Ebben az esetben a módusz alapján megállapíthatjuk, hogy többnyire hány órát tévéznek egy nap életkortól függõen. Válasszunk oszlopdiagramot. 8. a)

A fiúk és a lányok tömege

(fõ)

fiúk

lányok

10 8 6 4 2 0

30–35

b)

35–40

40–45

Fiúk tömegének relatív gyakorisága 9% 0%

4%

45–50

50–55

35–40

55–60

60–65

45–50

4%

17%

70–75

Lányok tömegének relatív gyakorisága

40–45

9%

65–70

4% 4% 20%

50–55 60–65

40–45 11%

27%

70–75 75–80

45–50 50–55

11%

55–60 60–65

65–70 17%

30–35 35–40

4% 4%

55–60

13%

75–80

14%

28%

65–70 70–75

c) A fiúknál a medián a 12. fiú tömege, ami 45-50 közé esik. A fiúknál az átlag 52,22, a módusz 45-50. A lányoknál a medián a 14.és 15. lány tömegének átlaga 51 kg, ami 50-55 közé esik. A lányoknál az átlag 52,32, a módusz 45-50. 9. a)

1 16 = 0, 64 ; b) µ ; 5 25

c) µ

14 5

10. 18.

Rejtvény: Az y tengely mentén abszolút számokban kifejezve adja meg a grafikon az elhunytak számát. Ebbõl nem lehet következtetni a relatív gyakoriságra. Ezt a következtetést akkor lehetne levonni, ha azt vizsgálták volna, hogy 100-100 ember közül az egyes életkorban hányan halnak meg.

164

3. A valószínûség becslése 1. Egyforma esélyük van. 2. a) Nagyobb valószínûséggel húzunk pirosat.

b) Ászt húzunk nagyobb valószínûséggel. c) Ászt húzunk nagyobb valószínûséggel. d) Egyenlõ az esélye. 3. Arról a karikáról, ahol 3 sorsjegy van. 4. Kék színûbõl van 16, sárga színûbõl 6 és zöldbõl 2. 5. C), A), B), D) 6. B), E), A) = C), D) 7. C) < B) = D) < A) 8. a) B) valószínûsége nagyobb.

b) B) valószínûsége nagyobb. c) A két esemény valószínûsége egyenlõ. d) A két esemény valószínûsége egyenlõ. 9. Nagyobb a valószínûsége, hogy egymás mellett ülnek. 10. a) 1;

b) 2;

c) 5.

11. Egy kék, 3 zöld, 6 piros.

Rejtvény: Ha térben képzeljük el a kockákat, akkor ez az elrendezés lehetetlen.

4. Vegyes feladatok 1. Az oszlopdriagramról leolvasható a módusz, a kördiagrammról az egyes balesetek

relatív gyakorisága. Közlekedési balesetek 2006 (esetek száma)

11344

2719

3491

445

2409

11%

569

3%

2%

12000 17%

10000

54%

8000 6000

13%

4000 2000

haladó jármûvek ütközése

0

egyéb

farolás, felborulás, pálya elhagyása

álló jármûnek ütközés

gyalogos elütése

szilárd tárgyaknak ütközés

haladó jármûvek ütközése

szilárd tárgyak ütközés gyalogos elütése álló jármûnek ütközés farolás, felborulás, pálya elhagyása egyéb

165


2. a)

A kiadott könyvek (db)

A kiadott könyvek 1990 – 2005

12898

14000 12000

33%

8986

8749

10000

20%

7464

1990

8000

1995

6000

2000 2005

4000 23%

24%

2000 0

1990

b)

1995

2000

2005

(év)

A könyvek átlagos példányszáma folyamatosan csökkent az évek folyamán.

A kiadott könyvek átlagos példányszáma (db)

15154

16000 14000 12000 10000

7199

8000 6000

3922

3177

2000

2005

4000 2000 0

1990

1995

(év)

3. a) A 7/a-ban 35 fõ, a 7/b-ben 25 fõ.

b)

7/a matematikadolgozat 14%

7/b matematikadolgozat 32% 1-es

34% 9%

1-es 8%

2-es

2-es

4%

3-as 4-es 23%

5-ös

3-as 4-es

28%

5-ös

28%

20%

c) 7/a átlaga 3,34, mediánja 3; a 7/b átlaga 3,68, mediánja 4 (13. elem). 4 a) A papírgyártás a világ energiafelhasználásának 4%-át teszi ki.

b) Hány kg fa, víz felhasználása szükséges egy európai polgár éves papírszükségletének elõállításához? Hány fa kivágását lehet meggátolni, ha az iskolai papírgyûjtés alkalmával a diákok 20 tonna papírt gyûjtenek össze? 30 év alatt ezek a fák hány tonna szén-dioxidot kötnének meg? 5. a) 4 szálas csokor: A; A; A; F

5 szálas csokor: A; D; F; G; G D; D; A; A; G b) 4 szálas csokor nincs 5 szálas csokor: A; B; C; C; G; c) 4 szálas csokor és az átlag 250: A; A; E; F 4 szálas csokor és az átlag kevesebb mint 250: A; B; E; F B; B; E; F A; D; E; F 166

B; F; A; A; A

A; B; D; E B; D; E; F

C; D; E; F

C; E; F; F D; D; E; F D; D; E;G D; E; F; F E; F;F; G E; F; F; F 5 szálas csokor és az átlag 250: A; B; C; D; E C; D; D; D; E B; C, E; F; G A; A; C; E; F Példák 5 szálas csokorra, melyeknél az átlag kevesebb mint 250: C; C; E; F; F B; D; E; G; G D; D; E; G; G F; F; E; G; G A; A; E; F; F B; B; E; F; F A; B; E; F; F A; B; D; E; F A; B; D; E; G 7. a) nem lehet megadni ilyen módon 6 számot

b)1, 1, 1, 1, 2, 594

8. a) átlag 44,93; medián 49; módusz 14.

b) A) nem,

B) nem,

C) igen.

9. Zsófinak 10. A) 11. A) D) B)=C) 12. A) C) B) D) 13. a) 3;

b) 6;

c) 5.

14. 2; 3; 4; 5; 6

167


9. Térgeometria 1. Egyenesek, síkok, testek a térben 1. a) 6

b) Ha három épület egy egyenesbe esik, akkor kevesebb út szükséges.

2. a) ABF sík;

ABH sík;

BFH sík.

H

H

H

G

G

E

E

G E

F

F

F

D

D

D

C

C

A

A B

C A

B

B

b) A, B, D, E, F, G, H pontok vannak rajta az a) pontban megnevezett síkokon. c) Például: AFH, CFH; BDG. 3. a) 9 + 2 (adott);

b) 8 + 2 (adott);

c) 12 + 2 (adott).

4. a) 0 vagy 1;

b) 0, 1, 2 vagy 3;

c) 0, 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6.

5. Nem, mert a kocka élei párhuzamosak vagy merõlegesek egymásra. A térben csak 3

egymásra páronként merõleges irány van, így a negyedik valamelyikkel párhuzamos lesz. 6. a) 2;

b) 4;

c) 8;

d) 11.

7. a) párhuzamosak: ED és FC

AE és FB AD és BC AB, DC és EF b) illeszkednek: CF, CD, ED, EF; párhuzamosak: AB, HG; metszik: GC, HD, FB, AE; c) 45° d) FBCG és AEHD valamint ABHG merõleges a CDEF lapra. A többi oldal 45°-ot zár be vele.

8. a) 4 cm;

b) 5 cm;

c) 5 cm.

9. E) 10. 90° 11. a) ABEF és ABCD

168

b) EFGH merõleges CDHG-re, BCGF-re és ADEH-ra.

12.

13. C) 14. – 15. A BF él 11 cm, a BC él 6 cm és a BA él 13 cm.

Rejtvény: I love matek

2. Henger, hasáb 1. henger: 1. képen a bástya; hasáb: 3. képen a bástya 2. Mind henger, hasáb a 2. és 3. 3. a) 1.-hez 2-t, 2.-hoz 4-et

b) 1.-bõl 1-et, 2.-ból 2-t.

4. Az 5. és 7. nem hasáb és minden páratlan sorszámú nem lesz hasáb. 5. E) 6. a) igen, r = 6 cm, a = 2 cm;

b) c) d) e)

igen, r = 2 cm, a = 6 cm; igen, r = 1 cm, a = 6 cm; igen, r = 3 cm, a = 2 cm; nem.

7. Pl. négyzet alapú hasáb alaplapjai a kék négyzetek, palástja a négy vagy nyolc piros

téglalap.

169


Hatszög alapú hasáb alaplapjai a két zöld hatszög, palástja két piros téglalap, melynek oldalai 1, és 2 egység, továbbá 4 piros téglalap, melynek oldalai 1 és 2,24 egység. A hasáb magassága 1. Deltoid alapú hasáb alaplapjai a két narancs deltoid, palástja a két lila téglalap és a négy piros téglalap, melynek oldalai 1 és 2, 24 egység. A hasáb magassága 2,24. Téglatest, melynek egy-egy oldala a két lila téglalap, a másik négy oldal a 6 db egyforma piros téglalapból állítható össze. Éleinek hossza 4, 47; 2, 24; és 1 egység. Háromszög alapú hasáb alaplapjai két piros háromszög, palástja egy piros négyzet, egy-egy különbözõ piros téglalap. 8. a) négyszög

b) nyolcszög Igen van olyan test, az ötszög alapú gúla.

9.

lap

él

csúcs

a)

6

12

8

b)

7

15

10

c)

7

15

10

d)

8

18

12

c) tízszög

10. a)

b)

c)

d) mint b);

e) mint a).

11. a) hamis

b) igaz

c) igaz

d) igaz

e) hamis

Rejtvény: Hasábok: 3 3

6 6 3 6

6

3

3

3

3. A hasáb és a henger felszíne 1. a) 52 cm2;

b) 412 cm2;

c) 10,125 cm2;

d) 37,25 cm2.

2. a) Ha a körhenger magassága 12,56 cm, r=1,11 cm, A=95,7 cm2. Ha a körhenger

magassága 7 cm, r = 1,99 cm, A » 112,8 cm2. b) Ha a körhenger magassága 10 cm, r = 0,44 cm, A = 29,25 cm2. Ha a körhenger magassága 2,8cm, r = 1,59 cm, A = 43,92 cm2. 3. a) 136 cm2, 8 csúcs, 12 él, 6 lap.

c) 138, 23

cm2,

170

körhenger!

b) 133,84 cm2, 6 csúcs, 9 él, 5 lap.

4. a) 16, 18 dm2;

b) 22 dm2;

c) 38, 40 vagy 50 dm2.

5. 20, 20 és 40 cm. 6. a) A = 46,92 cm2;

b) A = 80,76 cm2;

c) A = 73,84 cm2;

7. a) A = 429 cm2;

b) A = 178 cm2;

c) A = 168 cm2.

2 4 3

2 4 5

3 5

d) A = 141,52 cm2.

5 10

6 10

5 3

5 3 4 2 4 3

4 10

8 5

8

5

6

5 3 4

8. 294 cm2. 9. a) igaz;

b) hamis;

c) hamis;

d) hamis.

10. a) Az alaplap területének négyszeresével, vagyis 400 cm2-rel.

b) Nem, mert csakis a száz páros számú többszörösével lehet nagyobb. 11. 116,76 mm2. 12. 27,96 m2. 13. a) 20 cm;

b) 18.

14. a) 6,5%;

b) 258 cm2.

Rejtvény: A tömbök felületének összege páros számnak kellene lennie, mert minden téglatest kétkét oldallapja egybevágó téglalap. Ha az élek hossza egész szám, egy tömb felülete 2(ab+ac+bc), ami páros szám. A tömbök felületének összege páros számok összegeként áll elõ, vagyis az 1967 nem lehet.

4. A hasáb és a henger térfogata 1. a) A = 350 cm2, V = 375 cm3;

cm2,

cm3;

c) A = 612,1 V = 750 e) A = 780 cm2, V = 1350 cm3.

b) A = 301,2 cm2, V = 234 cm3; d) A = 990 cm2, V = 1800 cm3;

2. V » 269,61 cm3. 3. Az edények minimális magassága: a) m = 12,7 cm;

¡ b) 483,3 cm

4. a) 7,5 cm 5. a) A = 22

cm2,

V=6

cm3;

b) m = 8,8 cm;

c) m » 6,5 cm.

c) » 6985,1 cm = 69,85 m b) A = 22 cm2, V = 5cm3. 171


6. a) A = 408,28 cm2, (m = 4,99 cm);

b) A = 2600,1 cm2, (m = 4,99 cm).

7. Dóra kör alapú hengerei lehetnek V = 183,35 cm3 (r = 1,91 cm) vagy V » 245,14 cm3

(r » 2,55 cm). Nóra hasábjai lehetnek V = 144 cm3 vagy V = 192 cm3. 8. a) 20cm-es oldalát növeljük kétszeresére, vagy a paralelogramma 20 cm-es oldalához

tartozó magasságot növeljük kétszeresére, vagy a hasáb magasságát növeljük kétszeresére. b) Növeljük kétszeresére az egyik oldalát és a hasáb magasságát. c) Növeljük kétszeresére a paraleloramma oldalait és a hasáb magasságát vagy növeljük a testmagasságot nyolcszorosra. 9. Ha egy mázsa fát vásárolunk, jobban járunk, mert így 1 m3 kerül 14 000 Ft-ba, ha egy

hasábot veszünk, akkor 1 m3 15 799 Ft-ba kerül. 10. a) 1,4 cm;

b) 5,6 cm.

11. a) 192 liter;

b) 140,16 kg.

12. a) A vízoszlop tömege 51 250 kg.

b) Az ajtóra nehezedõ nyomás: Mivel 1 kg = 9,80665 N. Innen következik, hogy a vízoszlop 502 590,8125 N erõvel nyomja a 0,5 m2 felületû ajtót, ezért a rá nehezedõ nyomás 1005181,625 N/m2. b) A = 1210 cm2;

13. a) 21 cm;

14. Élek hossza 8, 12 és 16 cm. V = 1536

cm3,

c) »17,7%. A = 832 cm2.

15. 27 300 liter. 16. Az utazótáska térfogata 52,8 dm3, azaz 52,8 liter. A hátizsák a nagyobb. 17. 150 000 m3 földet 8334 fordulóval lehetne elszállítani. 18. V = 25,446 dm3, tehát 25 literes zsákot kell vásárolnia. 50 l-es túl nagy lenne, 10 l-es túl

kicsi. Rejtvény: 7 része fogyott el, tehát pontosan egy reggelire való vaj maradt. 8

5. Vegyes feladatok 1. a) 6;

b) 6.

2. a) 10 cm;

b) 90°;

3. b) a sorozat harmadik eleme:

172

c) 60°; elölnézet

d) 10 cm és párhuzamosak. oldalnézet

felülnézet

c) V1 = 4; V2 = 9; V3 = 16; V4 = 25. A sorozat tagjainak térfogata a négyzetszámok. d) A1 = 18; A2 = 34; A3 = 54; A4 = 78. A sorozat két szomszédos tagjánál a felszínek különbsége számtani sorozatot alkot, melynek különbsége 4. 4. a) 20, 20 és 5 cm; 5. a) A = 169,65

cm2,

b) A = 1017,9 cm2, c) A = 527,8 cm2, 6. a) V =10 000 cm3;

c) 1200 cm2;

b) igen;

d) 20%.

cm3.

V =169,65 V =2290,2 cm3. V =904,8 cm3. b) A = 1600 cm2.

7. 1 800 000 m3 víz, ami 18 000 000 hektoliter. 8. a) 2 m;

b) 577 m2.

9. 80 dm2. 10. a) A = 136 dm2;

b) a hasáb alaplapjának élei 3 és 4 dm, magassága 8 dm.

11. a) 5301,4 liter;

b) 0,994 km.

12. 15 000kg. 13. 645 kg.

173

Sokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Recommend Documents