1
MATEMATIKA 3: 1: PENDAHULUAN Lecturers : Ir. Bachtiar Kurniawan Course : Aeronautical Engineering
Reference(s) 2
Kreizig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, Jon Wiley and Sons, Inc. Purcell, E., Calculus and Geometric Analysis, Mc Graw Hill Leithold, L., Calculus and Geometric Analysis , Harper Row
Rules 3
Hanya 2 kali ijin tidak masuk (misal: sakit harus ada surat keterangan dokter) Nilai berasal dari: 20% Tugas, keaktifan di kelas 30% UTS 50% UAS Attitude: kejujuran (tidak mencontek waktu ujian), sikap
Silabus (0) {skip for ext. S1} 4
Silabus AMTO (Basic Math) o
operasi matematika dasar: tambah, kurang, kali, bagi
o
operasi perpangkatan
o
menghitung luas (area) bangun datar dan volume benda
o
membaca chart dan grafik
o
mengkonversi satuan-satuan fisik
Silabus (1) 5
Aljabar Linear : Matriks, Vektor, Determinan, Sistem Linear o
Matriks, Vektor: penjumlahan dan perkalian skalar.
o
Perkalian Matriks
o
Sistem Persamaan Linear: Eliminasi Gauss
o
Determinan
o
Rank Matriks
o
Inverse Matriks
o
Masalah Nilai Eigen Matriks
Kalkulus Vektor: o
Differential Vektor •
Vektor dalam 2-D dan 3-D
•
Inner Product (dot product)
•
Vector Product (cross product)
•
Fungsi Skalar dan Vektor, Medan (fields). Turunan (derivatives)
Silabus (2) 6
o
•
Turunan Berarah (directional derivative). Gradient Medan Skalar.
•
Divergence Medan Vektor
•
Curl Medan Vektor
Integral Vektor: •
Integral Tunggal (Line integral)
•
Integral Double
•
Theorema Green
•
Integral Permukaan (Surface Integral)
•
Interal Triple. Divergence Theorema Gauss.
•
Theorema Stokes
+ Fungsi Kompleks
Refresh: Basic Math (1) {skip for ext. S1} 7 o
operasi matematika dasar: tambah, kurang, kali, bagi ok
o
operasi perpangkatan ok
o
menghitung luas (area) bangun datar dan volume benda
Rectangler, square, triangle, circle, trapesium Case: hitung luas (area) sayap rectangle, sayap taper, sayap swept-back, sayap delta, irisan fuselage berbentuk linkaran.
Refresh: Basic Math (2) {skip for ext. S1} 8
o membaca chart dan grafik
o mengkonversi satuan-satuan fisik
Matriks dan Vektor (1) 9
Matriks Definisi: Susunan bilangan atau fungsi dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang dalam kurung []. Bilangan-bilangan (atau fungsi-fungsi) tersebut disebut elemen-elemen dari matriks.
Matriks dan Vektor (2) 10
Contoh : 2 baris 3 baris
3 kolom 3 kolom
Matriks Baris Matriks Persegi
= Vektor Baris
Matriks Kolom = Vektor Kolom
Matriks dan Vektor (3) 11
Contoh Pemakaian Matriks
Sistem Linear (Persamaan Simultan): 4x1 + 6x2 + 9x3 = 6 6x1
- 2x3 = 20
5x1 – 8x2 + x3 = 10 Koefisien-koefisien variabel-variabel adalah elemen matriks, katakanlah A,
Matriks dan Vektor (4) 12
A=
Penjualan Suatu Toko M
T
W
Th
F
S
400
330
810
0
210
470
I
0
120
780
500
500
960
II
100
0
0
270
430
780
III
Jika ada 10 toko, maka dapat dibuat 10 matriks serupa. Dengan menjumlahkan 10 matriks tersebut kita akan mendapatkan hasil penjualan untuk sepuluh toko dalam satu minggu. Bisakah anda menyebutkan contoh lainnya?
Matriks dan Vektor (5) 13
Konsep Umum dan Notasi Matriks ditulis dalam huruf kapital cetak tebal, misal A, B, C, dan elemen-elemennya dalam kurung seperti diagonal A = [aij]
utama, ann
Matriks m x n
Matriks persegi n x n
Matriks dan Vektor (6) 14
Penjumlahan Matriks dan Perkalian Skalar
Matriks dan vektor sangat sesuai untuk komputasi salah satu hal yang utama adalah karena matriks dan vektor dapat diperlakukan seperti bilangan biasa. (meaning: semua operasi pada bilangan berlaku juga pada matriks dan vektor)
Matriks dan Vektor (6) 15
Kesamaan Matriks Definisi: Dua matriks A = [ajk] dan B = [bjk] dikatakan sama, atau A = B jika dan hanya jika keduanya mempunyai ukuran sama dan elemen yang bersesuaian (kedudukannya) sama, artinya a11 = b11, a12 = b12, dst. Contoh.
Matriks dan Vektor (7) 16
Penjumlahan Matriks Definisi: Jumlah dua matriks A = [ajk] dan B = [bjk] yang ukurannya sama, ditulis A + B, dan mempunyai elemen ajk + bjk yang dihasilkan dari elemen-elemen yang bersesuaian dari A dan B. Matriks-matriks yang berukuran berbeda tidak dapat dijumlahkan!! Contoh.
Matriks dan Vektor (8) 17
Perkalian Skalar (perkalian matriks dengan bilangan) Definisi: Produk (hasil kali) matriks ukuran mxn A = [ajk] dengan skalar c ditulis cA adalah matriks ukuran mxn cA = [cajk] yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan c. Contoh.
Matriks dan Vektor (9) 18
Aturan Penjumlahan Matriks a. A+B=B+A b. (A + B) + C = A + (B + C) c. A+0=A d. A + (-A) = 0 (matriks nol) Aturan Perkalian Skalar a. c(A + B) = cA + cB b. (c + k)A = cA + kA c. c(kA) = (ck)A d. 1A = A.
Exercise (make perfect) (1) 19
Diketahui −1 𝐴 = −2 0
2 1 4 6 6 3
Tentukan: a. A + B = b. C + 2 D = c. 3A – ½ B = d. A + B – 2C = e. B – (1/4) A =
0 𝐵= 1 4
1 2 5
5 −1 8
Exercise (make perfect) (2) 20
Matrices in modelling networks. (e.g. jaringan listrik, jaringan transportasi,dll) Ketentuan :
3 3
5
2
2
1 1
ajk
4
ground
Hasil :
+1 jika cabang k keluar node j -1 jika cabang k menuju node j
0 jika cabang k tidak menyentuh node j
4
cabang
1
2
3
4
5
Node 1
1
-1
-1
0
0
Node 2
0
1
0
1
1
Node 3
0
0
1
0
-1
Node 4
-1
0
0
-1
0
Exercise (make perfect) (3) 21
Try by your self 4
3
3 5
4
2 6
1
Take your time!!!
1
2
Exercise (make perfect) (4) 22
Sekarang gambarlah networknya jika diketahui matriksnya sbb:
Petunjuk: perhatikan jumlah cabang dan jumlah nodenya, serta terapkan ketentuan tentang keluar dan menuju node
Matriks dan Vektor (10) 23
Perkalian Matriks: perkalian matriks dengan matriks Definisi: A B = C [mxn]
[nxr]
[mxr] j=1,2,…,m k=1,2,…,p
INGAT: Perkalian Matriks bersifat tidak komutatif Contoh.
Matriks dan Vektor (11) 24
Aturan Perkalian Matriks: (kA)B = k(AB) = A(kB) A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC
Matriks dan Vektor (12) 25
Transpose Matriks Definisi: Transpose [mxn] matriks A= [ajk] adalah [nxm] matriks AT dengan AT = [akj]
Contoh.
PRINSIP transpose matriks: baris jadi kolom, kolom jadi baris
Matriks dan Vektor (12) 26
a. b.
c. d.
Aturan transposisi matriks (AT)T = A (A + B)T = AT + BT (cA)T = cAT (AB)T = BT AT
Matriks dan Vektor (13) 27
Contoh: PC108
Kwartal
PC109 Raw component Labor Lain-lain
PC108 PC109
A adalah matriks yang menggambarkan biaya per komputer ( dalam ribuan dollar) dan gambaran produksi untuk tahun 2005 (dikalikan 1000 unit). Tentukan matriks C yang menunjukkan pembagian biaya per kwartal (dalam jutaan dollar) untuk raw material, labor dan lain-lain. Jawab.
28
Merci bien ありがとう Matur Nuwun Hatur Nuhun Obrigado Dank Thanks Mator Sakalangkong Syukron Kheili Mamnun ευχαριστίες Danke Grazias 谢谢 Terima Kasih
