Geometricke´ modelova´nı´ ˇ ´ır Zbyneˇk S
Matematicky´ u´stav UK Matematicko-fyzika´lnı´ fakulta
5. rˇ´ıjna 2016
´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
5. rˇ´ıjna 2016
1 / 14
Obsah dnesˇnı´ prˇedna´sˇky
Co je to geometricke´ modelova´nı´? Cı´le prˇedmeˇtu a jeho kontext na MFF. Pla´novana´ te´mata. Jaky´m zpu˚sobem budeme pracovat? Prakticke´ za´lezˇitosti a u´mluva cˇasu.
´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
5. rˇ´ıjna 2016
2 / 14
Co je geometricke´ modelova´nı´? modernı´ teoreticka´ geometricka´ disciplı´na studuje objekty a reprezentace vhodne´ pro geometricke´ aplikace Robotika a kinematika
CAD syste´my
FEM, numericke´ simulace
Geometricke´ modelova´nı´
Pocˇı´tacˇova´ grafika, animace ´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
CAM syste´my
Umeˇle´ videˇnı´, zprac. obrazu 5. rˇ´ıjna 2016
3 / 14
Teoreticke´ a metodologicke´ souvislosti Vza´jemne´ ovlivnˇova´nı´: Vy´pocˇetnı´ geometrie
Diferencia´lnı´ geometrie
Numericka´ matematika
´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
Teorie aproximace
GM
Algebraicka´ geometrie
Symbolicke´ pocˇı´ta´nı´
5. rˇ´ıjna 2016
4 / 14
Spra´vne´ pochopenı´ geometrie je za´sadnı´ Obra´beˇnı´ rotoru turbodmychadla:
pouze rozvinutelne´ plochy je mozˇno obra´beˇt va´lcovou fre´zou, jinak nutneˇ docha´zı´ k podrˇezu chyby jsou cˇasto marneˇ odstranˇova´ny pokusy o vysˇsˇ´ı kvalitu a prˇesnost fre´zova´nı´ na´vrh spra´vne´ho na´stroje je obtı´zˇny´ geometricky´ proble´m ´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
5. rˇ´ıjna 2016
5 / 14
Dva hlavnı´ typy geometricky´ch reprezentacı´ v GM 1
diskre´tnı´ cˇi po cˇa´stech linea´rnı´ objekty, mnohosteˇny, mracˇna bodu˚ prˇedevsˇ´ım v pocˇı´tacˇove´ grafice, animacı´ch, FEM ... paradigmatem je troju´helnı´kovy´ mesh metody vy´pocˇetnı´ geometrie, diskre´tnı´ matematiky, diskre´tnı´ diferencia´lnı´ geometrie ...
2
spojite´ a hladke´ reprezentace, C n parametrizace, implicitnı´ plochy vyuzˇ´ıva´ se zejme´na v CAD, CAM, robotice ... paradigmatem je po cˇa´stech polynomia´lnı´ cˇi raciona´lnı´ parametrizace uzˇ´ıva´ metod diferencia´lnı´ a algebraicke´ geometrie, teorie aproximace ...
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk S
5. rˇ´ıjna 2016
6 / 14
Ra´j raciona´lnı´ch parametrizacı´ Be´zierovy krˇivky majı´ mnoho dobry´ch vlastnostı´ (vysoka´ stabilita, intuitivnı´ ovla´da´nı´ tvaru, efektivnı´ vykreslenı´, vy´pocˇet polohy, omezenı´ konvexnı´m obalem, omezena´ variace)
raciona´lnı´ po cˇa´stech = NURBS (non-uniform rational B-splines) v CAD, CAM syste´mech jsou reprezentova´ny velmi efektivneˇ neraciona´lnı´ reprezentace tradicˇneˇ podporova´ny nejsou ´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
5. rˇ´ıjna 2016
7 / 14
Cı´le prˇedmeˇtu a jeho kontext Pochopit co to je NURBS a spol. (level designer, level programa´tor, level matfyza´k). Motivace, podstata, algoritmy, omezenı´. Kultivovat geometricke´ mysˇlenı´ a dovednosti ve 2d a 3d. Sezna´mit se s neˇktery´mi vy´znamny´mi matematicky´mi koncepty, veˇtami a postupy. Souvisı´ s prˇedmeˇty Matematicka´ analy´za, Linea´rnı´ algebra (ty jedine´ prˇedpokla´da´) Geometrie (diferencia´lnı´) Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku Diskre´tnı´ matematika (vy´pocˇetnı´ geometrie) Matematicke´ modelova´nı´ (obor) Pocˇı´tacˇova´ algebra, Algebraicka´ geometrie, Deskriptivnı´ geometrie, atd.
Sezna´mit se se zajmavy´m software Prˇ´ıpadneˇ se prˇipravit na geometrickou veˇtev magisterske´ho MIT (matematika pro informacˇnı´ technologie) - prˇes struktury. ´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
5. rˇ´ıjna 2016
8 / 14
Pla´novana´ te´mata Parametricky´ popis krˇivky, plochy a teˇlesa. Krˇivosti a podobneˇ. Linea´rnı´, kruhove´, parabolicke´ a kubicke´ splajny. Proble´m interpolace a aproximace. Be´zie´rovy krˇivky, raciona´lnı´ krˇivky, NURBS krˇivky. Vlastnosti a algoritmy. Specia´lnı´ plochy: prˇ´ımkove´, rotacˇnı´, translacˇnı´ a sˇroubove´. Aproximacˇnı´ a interpolacˇnı´ plochy. Bilinea´rnı´ a bikubicka´ Coonsova plocha. Obalove´ krˇivky a plochy. Krˇivky a plochy se zvla´sˇtnı´mi algebraicky´mi vlastnostmi. PH krˇivky a PN plochy. Polygona´lnı´ reprezentace povrchu, triangulace, diskre´tnı´ diferencia´lnı´ geometrie. Deˇlı´cı´ sche´mata (Subdivision), Doo-Sabin a Catmull-Clark. Isogeometricka´ analy´za. ´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
5. rˇ´ıjna 2016
9 / 14
Zpu˚sob pra´ce
Prˇedna´sˇky: definice, algoritmy, tvrzenı´ (obcˇas neˇjaky´ du˚kaz), prˇ´ıklady. Cvicˇenı´: prˇeva´zˇneˇ samostatne´, prˇ´ıklady, studium, implementace. Na prˇ´ısˇteˇ: nainstalovat RHINO a pohra´t si s krˇivkami a jejich rˇ´ıdı´cı´mi body nainstalovat MATHEMATIKU a vykreslit neˇjakou rovinnou krˇivku
Za´pocˇet: prˇedvedenı´ 2-3 kra´tky´ch implementacı´ (vy´beˇr ze seznamu) Zkousˇka: u´stnı´, diskuze nad iplementacemi a algoritmy, obcˇas neˇjaky´ du˚kaz.
´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
5. rˇ´ıjna 2016
10 / 14
Prakticke´ za´lezˇitosti
2/2 Z+Zk, 6 kreditu˚ jazyk: cˇesˇtina (s obcˇasny´mi anglicky´mi vsuvkami) pro studenty oboru matematika je mozˇna´ lepsˇ´ı zapsat si jako NMMB434. cvicˇenı´: v podstateˇ doma´cı´ pra´ce s cca 20 min. ty´dneˇ spolecˇnou diskuzı´ prˇedna´sˇka: KDY a KDE? Motto:
3 dimenze je docela dobry´ pocˇet!
´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
5. rˇ´ıjna 2016
11 / 14
Krˇivka prˇevedena´ na kruhove´ oblouky
Tomuto forma´tu se rˇ´ıka´ G-code a je vyuzˇ´ıva´n v pocˇı´tacˇem rˇ´ızene´m obra´beˇnı´ (CNC).
´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
5. rˇ´ıjna 2016
12 / 14
Be´zierova krˇivka - idea´l geometricke´ho modelova´nı´
Kazˇdou polynomia´lnı´ krˇivku parametrizujeme na intervalu [0, 1]. i-ty´ Bernsteinu˚v polynom stupneˇ n je definova´n jako n i Bin (t) = t (1 − t)n−i i Polynomy B0n (t), . . . , Bnn (t) pevne´ho stupneˇ n tvorˇ´ı ba´zi prostoru polynomu˚ stupneˇ nejvy´sˇe n. Ten ma´ opravdu dimenzi n + 1. Ma´me-li n + 1 bodu˚ Pi ∈ R2 , ktere´ tvorˇ´ı tzv. rˇ´ıdı´cı´ polygon, pak definujeme Be´zierovu krˇivku na intervalu [0, 1] c(t) =
n X
Pi Bin (t).
i=0 ´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
5. rˇ´ıjna 2016
13 / 14
Subdivision
´ UK) - Geometricke´ modelova´nı´ Zbyneˇk Sˇ´ır (MU
5. rˇ´ıjna 2016
14 / 14
