Matematické Základy Informatiky (FI: IB000)

Fakulta Informatiky

Masarykova Univerzita

Matematick´ e Z´ aklady Informatiky (FI: IB000) Doc. RNDr. Petr Hlinˇ en´ y, Ph.D. [email protected] 3. prosince 2012

Obsaˇzný a dobˇre pˇr´ıstupný u ´vod do nezbytných form´ aln´ıch matematických základ˚ u modern´ı informatiky, doplnˇený ˇradou interaktivn´ıch cviˇcen´ı v IS MU. V´ yukov´ y text pro pˇredmˇet IB000 na FI MU od roku 2012, navazuj´ıc´ı zˇcásti na ´ p˚ uvodn´ı v´ yukové texty Uvodu do Informatiky z minul´ ych let.

Verze 1.98 (2012)

c 2006–2012 Petr Hlinˇený, FI MU.

0.1

O tomto textu a jeho studiu

Váˇzen´ı ˇctenáˇri, dostává se vám do rukou výukový text Matematické Základy Informatiky, který je primárnˇe urˇcený pro studenty stejnojmenného pˇredmˇetu na FI MU Brno. Seznamuje ˇctenáˇre s nˇekolika formáln´ımi matematickými oblastmi d˚ uleˇzitými pro u ´ spˇeˇsné studium modern´ı informatiky. Náˇs text svým obsahem volnˇe navazuje na p˚ uvodn´ı slidy pˇredmˇetu IB000 sepsané A. Kuˇcerou do roku 2005 a rozˇs´ıˇrené autorem v letech 2006–11 o volný text a komentáˇre. Od roku 2012 vˇsak byl obsah nˇekterých pasáˇz´ı podstatnˇe zmˇenˇen ˇci pˇr´ımo vymˇenˇen za nový (nejzˇretelnˇejˇs´ı je zahrnut´ı u ´ vodu do graf˚ u). Mimo textu samotného (jak jej zde vid´ıte) jsou z téhoˇz zdoje vytváˇreny i pˇrednáˇskové slidy pˇredmˇetu, které najdete napˇr´ıklad v IS MU. Slidy vˇsak pochopitelnˇe obsahuj´ı jen ˇcást textu a jsou jinak formátovány. Uˇcebn´ı text je psán strukturovaným matematickým pˇr´ıstupem, s velkým d˚ urazem na pˇresnost a formalitu vyjadˇrován´ı v nutných parti´ıch. Na druhou stranu jsou strohá matematická vyjádˇren´ı pokud moˇzno doplnˇena obsáhlými neformáln´ımi komentáˇri, které maj´ı student˚ um ulehˇcit pochopen´ı látky. V ˇzádném pˇr´ıpadˇe vˇsak ˇctenáˇri nemaj´ı zamˇen ˇ ovat neformáln´ı komentáˇre za matematické definice – v pˇr´ıpadˇe nejasnost´ı vˇzdy plat´ı to, co pˇresnˇe ˇr´ıká formáln´ı definice. Interaktivn´ı osnova http://is.muni.cz/el/1433/podzim2012/IB000/index.qwarp

Ned´ılnou souˇcást´ı celého výukového textu jsou interaktivn´ı osnova pˇredmˇetu IB000 v IS MU a z n´ı odkazované online odpovˇedn´ıky slouˇz´ıc´ı k procviˇcován´ı probrané látky na jednoduchých i sloˇzitˇejˇs´ıch pˇr´ıkladech. To je také d˚ uvod, proˇc texto text obsahuje jen velmi málo pˇr´ıklad˚ u k prob´ırané látce; od kaˇzdého studenta oˇcekáváme, ˇze si látku bude procviˇcovat online na zm´ınˇených odpovˇedn´ıc´ıch, obsahuj´ıc´ıch aˇz tis´ıce pˇr´ıklad˚ u des´ıtek typ˚ u. K praktickému pochopen´ı pˇrednesených znalost´ı i k jejich budouc´ım aplikac´ım je takové procviˇcen´ı nezbytné(!). V návaznosti na tyto odpovˇedn´ıky doporuˇcujeme student˚ um diskutovat o prob´ırané látce a svých (ne)´ uspˇeˇs´ıch s cviˇc´ıc´ımi pˇredmˇetu i na pˇredmˇetovém diskuzn´ım fóru v IS.

ii

Obsah 0.1 O tomto textu a jeho studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

1 Z´ akladn´ı formalismy matematiky ´ 1.1 Uvod do matematického dokazován´ı . . 1.2 Význam matematických vˇet . . . . . . 1.3 Struktura matematických vˇet a d˚ ukaz˚ u 1.4 Výroky a základ výrokové logiky . . . 1.5 Stˇr´ıpky matematické logiky . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1 1 2 3 5 6

2 D˚ ukazov´ e techniky, Indukce 2.1 Pˇrehled základn´ıch d˚ ukazových technik 2.2 Vˇety typu tehdy a jen tehdy“ . . . . . ” 2.3 Matematická indukce . . . . . . . . . . 2.4 Komentáˇre k matematické indukci . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

11 11 13 14 16

3 Mnoˇ ziny a jejich prvky 3.1 Pojem mnoˇziny . . . . . . . . . . 3.2 Mnoˇzinové operace . . . . . . . . 3.3 Porovnáván´ı a urˇcen´ı mnoˇzin . . 3.4 Posloupnosti a rekurentn´ı vztahy

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

19 19 20 23 25

4 Relace a funkce, Ekvivalence 4.1 Relace a funkce nad mnoˇzinami . . . . 4.2 Reprezentace koneˇcných relac´ı . . . . . 4.3 Vlastnosti binárn´ıch relac´ı . . . . . . . 4.4 Relace ekvivalence . . . . . . . . . . . 4.5 Rozklady a jejich vztah k ekvivalenc´ım

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

27 27 29 30 32 33

. . . .

35 35 37 39 40

. . . .

5 Uspoˇ r´ adan´ e mnoˇ ziny, Uz´ avˇ ery 5.1 Uspoˇrádán´ı a uspoˇrádané mnoˇziny 5.2 Dalˇs´ı pojmy uspoˇrádaných mnoˇzin 5.3 Hasseovské diagramy . . . . . . . . 5.4 Uzávˇery relac´ı . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

6 Skl´ ad´ an´ı relac´ı a funkc´ı 6.1 Vlastnosti funkc´ı . . . . . . . . . . 6.2 Inverzn´ı relace a skládán´ı relac´ı . . 6.3 Skládán´ı relac´ı v praxi“ . . . . . . ” 6.4 Skládán´ı funkc´ı, permutace . . . . . 6.5 Induktivn´ı definice mnoˇzin a funkc´ı

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

42 42 43 44 46 48

7 Pojem grafu, ve zkratce 7.1 Definice grafu . . . . . . . . . 7.2 Podgrafy a Isomorfismus . . . 7.3 Souvislost graf˚ u, komponenty 7.4 Stromy – grafy bez kruˇznic . . 7.5 Pouˇzit´ı a implementace graf˚ u

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

52 52 55 58 58 60

. . . . .

. . . . .

. . . . . iii

8 Proch´ azen´ı grafu a odvozen´ eu ´ lohy 8.1 Jak obecnˇe proj´ıt souvislý graf . . . 8.2 Vzdálenost v grafu . . . . . . . . . 8.3 Hledán´ı nejkratˇs´ı cesty . . . . . . . 8.4 Problém minimáln´ı kostry . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

63 63 66 67 70

9 Orientovan´ e grafy, Toky v s´ıt´ıch 9.1 Základn´ı pojmy orientovaných graf˚ u. 9.2 Definice s´ıtˇe a toku . . . . . . . . . . 9.3 Nalezen´ı maximáln´ıho toku . . . . . 9.4 Zobecnˇené pouˇzit´ı s´ıt´ı . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

73 73 76 77 81

10 Formalizace a d˚ ukazy pro algoritmy 10.1 Formáln´ı popis algoritmu . . . . . . . . 10.2 O správnosti“ a dokazován´ı program˚ u ” 10.3 Jednoduché indukˇcn´ı dokazován´ı . . . 10.4 Rekurzivn´ı algoritmy . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

84 84 86 87 88

11 Pokroˇ cil´ e dokazov´ an´ı nad algoritmy 11.1 Dokazován´ı koneˇcnosti algoritmu . 11.2 Pˇrehled technik d˚ ukazu indukc´ı . . 11.3 Zaj´ımavé algoritmy aritmetiky . . . 11.4 Dynamický algoritmus . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

91 91 94 97 99

12 Nekoneˇ cn´ e mnoˇ ziny, Zastaven´ı algoritmu 12.1 O nekoneˇcných mnoˇzinách a kardinalitˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Naivn´ı“ mnoˇzinové paradoxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ” 12.3 Algoritmická neˇreˇsitelnost problému zastaven´ı . . . . . . . . . . . . . . .

101 101 102 104

iv

. . . .

. . . .

1

Z´ akladn´ı formalismy matematiky ´ Uvod Zaˇcnˇeme nejprve nˇekolika obecn´ ymi pozn´ amkami ke smyslu a smˇeˇrován´ı celého naˇseho pˇredmˇetu: Jak sami pozn´ ate, studium informatiky neznamená jen nauˇcit se nˇejak´ y pro” gramovac´ı jazyk“, n´ ybrˇz zahrnuje cel´ y soubor dalˇs´ıch relevantn´ıch pˇredmˇet˚ u, mezi nimiˇz najdeme i matematicko–teoretické (formáln´ı) základy modern´ı informatiky. Právˇe odborn´ y nadhled nad celou informatikou vˇcetnˇe nezbytné formáln´ı teorie nejsp´ıˇse odliˇs´ı ˇradového ” programátora“, kter´ ych jsou dnes spousty i bez VSˇ vzdˇelán´ı, od skuteˇcného a mnohem lépe placeného poˇc´ıtaˇcového experta. A na tomto m´ıstˇe nyn´ı pˇrich´ az´ı n´ aˇs pˇredmˇet Matematické Z´ aklady Informatiky, kter´ y vás pr´ avˇe na studium tˇechto form´ aln´ıch základ˚ u modern´ı informatiky pˇriprav´ı. Zaˇc´ın´ ame zostra, pˇresn´ ym matematick´ ym vyjadˇrován´ım, v´ yrokovou logikou a principy logick´ ych u ´sudk˚ u a matematick´ ych d˚ ukaz˚ u. Tak se do tohoto studia s chut´ı dejte. . .

C´ıle Prvn´ım c´ılem této lekce je rozebrat struktury matematick´ ych tvrzen´ı (vˇet) a jejich formáln´ıch d˚ ukaz˚ u. V druhém sledu se nauˇc´ıte ch´ apat smysl matematick´ ych vˇet formáln´ım pohledem v´ yrokové logiky a pracovat s touto formalizac´ı, vˇcetnˇe kvantifikace.

1.1

´ Uvod do matematick´ eho dokazov´ an´ı

Matematika (a tud´ıˇz i teoretická informatika jako jej´ı souˇcást) se vyznaˇcuje velmi pˇr´ısnými formáln´ımi poˇzadavky na korektnost argumentace. Takto korektnˇe postavená argumentace vede od pˇrijatých pˇredpoklad˚ u v elementárn´ıch kroc´ıch smˇerem k poˇzadovanému závˇeru (a nikdy ne naopak!). Definice 1.1. Matematick´ y d˚ ukaz . Uvaˇzme matematickou vˇetu (neboli tvrzen´ı) tvaru Jestliˇze plat´ı pˇredpoklady, pak plat´ı závˇer“. ” D˚ ukaz této vˇety je koneˇcná posloupnost tvrzen´ı, kde •

kaˇzdé tvrzen´ı je bud’ ∗ pˇredpoklad, nebo

∗ obecnˇ e pˇrijatá pravda“ – axiom, nebo

”

∗ plyne z pˇredchoz´ıch a dˇr´ıve dok´ azaných tvrzen´ı podle nˇejakého akceptovaného“

logického principu – odvozovac´ıho pravidla;

•

”

posledn´ı tvrzen´ı je závˇer. Koment´ aˇ r: O potˇrebné u ´rovni formality matematick´ ych d˚ ukaz˚ u a o bˇeˇzn´ ych d˚ ukazov´ ych technikách se dozv´ıme d´ ale v této a pˇr´ıˇst´ı lekci. Nyn´ı si jen celou problematiku uvedeme n´ azorn´ ymi pˇr´ıklady.

Pˇ r´ıklad 1.2. Uvaˇzujme následuj´ıc´ı matematické tvrzen´ı (které jistˇe uˇz znáte). Vˇ eta. Jestliˇze x je souˇctem dvou lichých ˇc´ısel, pak x je sudé.

1

Pozn´ amka pro pˇripomenut´ı: – Sudé ˇc´ıslo je celé ˇc´ıslo dˇelitelné 2, tj. tvaru 2k. – Liché ˇc´ıslo je celé ˇc´ıslo nedˇelitelné 2, tj. tvaru 2k + 1.

D˚ ukaz postupuje v následuj´ıc´ıch formáln´ıch kroc´ıch: tvrzen´ı zd˚ uvodnˇen´ı 1) a = 2k + 1, k celé

pˇredpoklad

2) b = 2l + 1, l celé

pˇredpoklad

3) x = a + b = 2k + 2l + 1 + 1

1,2) a komutativita sˇc´ıtán´ı (axiom)

4) x = 2(k + l) + 2 · 1

3) a distributivnost násoben´ı

5) x = 2(k + l + 1)

4) a opˇet distributivnost násoben´ı

6) x = 2m, m celé

5) a m = k + l + 1 je celé ˇc´ıslo (axiom)

✷

Pˇ r´ıklad 1.3. Dokaˇzte následuj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta. Jestliˇze x a y jsou racionáln´ı ˇc´ısla pro která plat´ı x < y, pak existuje racionáln´ı ˇc´ıslo z pro které plat´ı x < z < y. D˚ ukaz po kroc´ıch (s jiˇz trochu ménˇe formáln´ım zápisem) zn´ı: 1) Necht’ z =

x+y 2

=x+

y−x 2

=y−

y−x . 2

ˇ ıslo z je racionáln´ı, nebot’ x a y jsou racionáln´ı. 2) C´ 3) Plat´ı z > x, nebot’

y−x 2

> 0.

4) Dále plat´ı z < y, nebot’ opˇet

y−x 2

> 0.

5) Celkem x < z < y. Jak ˇctenáˇr vid´ı, tento strohý formáln´ı zápis (i kdyˇz matematicky kompletn´ı) si zaslouˇz´ı aspoˇ n krátký vysvˇetluj´ıc´ı komentáˇr. Takový komentáˇr, at’ uˇz se objev´ı pˇred nebo hned po formáln´ıch argumentech, sice nen´ı souˇcást´ı d˚ ukazu samotného, velmi vˇsak napomáhá správnému pochopen´ı a má své nezastupitelné m´ısto. Konkrétnˇe je zde velmi vhodné poznamenat, ˇze kl´ıˇcový krok (1) popisuje námi vymyˇslenou algebraickou konstrukci, která vede k poˇzadovanému ˇc´ıslu z. Zbylé kroky (2–5) pak jen snadno zd˚ uvodˇ nuj´ı, ˇze nalezené z má vˇsechny poˇzadované vlastnosti. ✷ Pozn´ amka. Alternativn´ı formulace Vˇety z Pˇr´ıkladu 1.3 mohou zn´ıt: – Pro kaˇzdé x, y ∈

Q, kde x < y, existuje z ∈ Q takové, ˇze x < z < y.

– Mnoˇzina racion´ aln´ıch ˇc´ısel je hust´ a.

1.2

V´ yznam matematick´ ych vˇ et

Prvn´ı krok formáln´ıho d˚ ukazu je uvˇedomit si, co ˇr´ıká vˇeta, která se má dokázat; tedy co je pˇredpoklad a co závˇer dokazovaného tvrzen´ı. Pravdivost takového tvrzen´ı pak je tˇreba 2

chápat v následuj´ıc´ım významu: Pro kaˇzdou situaci, ve které jsou splnˇeny vˇsechny pˇredpoklady, je platný i závˇer tvrzen´ı. Koment´ aˇ r: Pˇr´ıklady bˇeˇzné formulace matematick´ ych vˇet: ∗ Koneˇcn´ a mnoˇzina m´ a koneˇcnˇe mnoho podmnoˇzin. ∗ sin2 (α) + cos2 (α) = 1.

∗ Graf je rovinn´ y, jestliˇze neobsahuje podrozdˇelen´ı K5 nebo K3,3 . ˇ Co pˇresnˇe n´ am uvedené matematické vˇety ˇr´ıkaj´ı? Casto n´ am k lepˇs´ımu pochopen´ı toho, co je tvrzeno a je tˇreba dokázat, pom˚ uˇze pouhé rozepsán´ı definic pojm˚ u, které se v dané vˇetˇe vyskytuj´ı.

O pravdivosti implikace Vˇsimnˇete si také, jaký je správný logický význam matematického tvrzen´ı vysloveného touto formou implikace ( jestliˇze . . . , pak . . .“). Pˇredevˇs´ım, pokud pˇredpoklady nejsou ” splnˇeny nebo jsou sporné, tak celé tvrzen´ı je platné bez ohledu na pravdivost závˇeru! Pˇ r´ıklad 1.4. Je pravdivé následuj´ıc´ı matematické tvrzen´ı? Vˇ eta. Mˇejme dvˇe kuliˇcky, ˇcervenou a modrou. Jestliˇze ˇcervená kuliˇcka je tˇeˇzˇs´ı neˇz modrá a zároveˇ n je modrá kuliˇcka tˇeˇzˇs´ı neˇz ta ˇcervená, tak jsou obˇe kuliˇcky ve skuteˇcnosti zelené. To pˇrece nem˚ uˇze být pravda, jak m˚ uˇze být jedna kuliˇcka tˇeˇzˇs´ı neˇz druhá a naopak ” zároveˇ n? Jak mohou být nakonec obˇe zelené? To je celé nˇejaká blbost. . .“ Ano, výˇse uvedené jsou typické laické reakce na uvedenou vˇetu. Pˇresto vˇsak tato vˇeta pravdivá je! Staˇc´ı se vrátit o kousek výˇse ke kritériu – Pro kaˇzdou situaci, ve které jsou splnˇeny vˇsechny pˇredpoklady, je platný i závˇer tvrzen´ı – které je zjevnˇe naplnˇeno. Nenaleznete totiˇz situaci, ve které by byly splnˇeny oba pˇredpoklady zároveˇ n, a tud´ıˇz ve vˇsech takových neexistuj´ıc´ıch situac´ıch si m˚ uˇzete ˇr´ıkat cokoliv, tˇreba ˇze kuliˇcky jsou zelené. ✷ Pˇ r´ıklad 1.5. Anna a Klára pˇriˇsly na pˇrednáˇsku a usadily se do lavic. Proˇc je pravdivé toto matematické tvrzen´ı? Vˇ eta. Jestliˇze Anna sed´ı v prvn´ı ˇradˇe lavic a zároveˇ n Anna sed´ı v posledn´ı ˇradˇe lavic, tak Klára nesed´ı v druhé ˇradˇe lavic. Opˇet je tˇreba se hluboce zamyslet nad významem pˇredpoklad˚ u a závˇeru, ale tentkrát nen´ı situace pˇredpoklad˚ u tak triviálnˇe sporná, jako v Pˇr´ıkladu 1.4. Kdy tedy nastávaj´ı oba pˇredpoklady zároveˇ n? Kdyˇz prvn´ı ˇrada lavic je zároveˇ n ˇradou posledn´ı! Neboli posluchárna má jen (nejvýˇse) jednu ˇradu lavic a Klára tud´ıˇz v druhé ˇradˇe nem˚ uˇze sedˇet. D˚ ukaz je hotov. ✷

1.3

Struktura matematick´ ych vˇ et a d˚ ukaz˚ u

Jak moc formáln´ı“ maj´ı správné matematické d˚ ukazy vlastnˇe být? ” 3

•

Záleˇz´ı na tom, komu je d˚ ukaz urˇcen — konzument mus´ı být schopen snadno“ ovˇeˇrit ” korektnost kaˇzdého tvrzen´ı v d˚ ukazu a plnˇe pochopit, z ˇceho vyplývá.

•

Je tedy hlavnˇe na vás zvolit tu správnou u ´ roveˇ n formálnosti zápisu vˇet i d˚ ukaz˚ u podle situace.

A jak na ten správný matematický d˚ ukaz máme pˇrij´ıt? •

No. . . , nalézán´ı matematických d˚ ukaz˚ u je tv˚ urˇc´ı ˇcinnost, která nen´ı v˚ ubec snadná a vyˇzaduje od vás pˇr´ımo umˇelecké“ vlohy. Pˇresto se j´ı alespoˇ n trochu mus´ıte pˇriuˇcit. ”

Dokazovat ˇ ci vyvracet tvrzen´ı? Pˇredstavme si, ˇze naˇsim u ´ kolem je rozhodnout platnost matematického tvrzen´ı. Jak matematicky správnˇe zd˚ uvodn´ıme svou odpovˇed’? •

Záleˇz´ı na odpovˇedi samotné. . . Pokud je to ANO, prostˇe podáme d˚ ukaz tvrzen´ı podle výˇse uvedených zvyklost´ı. Pokud je odpovˇed’ NE, tak naopak podáme d˚ ukaz negace daného tvrzen´ı.

Pomˇernˇe ˇcastým pˇr´ıpadem pak je matematická vˇeta T , která tvrd´ı nˇejaký závˇer pro ˇsirokou oblast vstupn´ıch moˇznost´ı. Potom plat´ı následuj´ıc´ı: •

Pokud T je pravdivá, nezbývá neˇz podat vyˇcerpávaj´ıc´ı d˚ ukaz platnosti pro vˇsechny vstupy.

•

Avˇsak pokud T je nepravdivá, staˇc´ı uhodnout“ vhodný vstupn´ı protipˇr´ıklad a jen ” pro nˇej dokázat, ˇze závˇer tvrzen´ı nen´ı platný. Koment´ aˇ r: A nyn´ı se znovu vrat’te na zaˇcátek Odd´ılu 1.2 a srovnejte si v´ yˇse uvedené se základn´ımi poznatky o v´ yznamu matematick´ ych vˇet. . .

Pˇ r´ıklad 1.6. Rozhodnˇete platnost následuj´ıc´ıho tvrzen´ı: Pro vˇsechna reálná x plat´ı x2 + 3x + 2 ≥ 0 . D˚ ukaz: Standardn´ımi algebraickými postupy si m˚ uˇzeme upravit vztah na x2 +3x+2 = (x + 1) · (x + 2) ≥ 0. Co nám z nˇej vyplývá? Napˇr´ıklad to, ˇze k poruˇsen´ı daného tvrzen´ı staˇc´ı volit x tak, aby jedna ze závorek byla kladná a druhá záporná. To nastane tˇreba pro x = − 23 . Pro vyvrácen´ı tvrzen´ı nám tedy staˇc´ı zaˇc´ıt volbou protipˇr´ıkladu x = − 23 (nen´ı nutno zd˚ uvodˇ novat, jak jsme jej uhodli“!) a následnˇe dokázat u ´ pravou ” 3 3 1 1 1 x2 + 3x + 2 = (x + 1) · (x + 2) = (− + 1) · (− + 2) = (− ) · (+ ) = − < 0 . 2 2 2 2 4 Dané tvrzen´ı nen´ı platné.

✷

Konstruktivn´ı a existenˇ cn´ı d˚ ukazy Z hlediska praktické vyuˇzitelnosti je potˇreba rozliˇsit tyto dvˇe kategorie d˚ ukaz˚ u (tˇrebaˇze z formálnˇe–matematického pohledu mezi nimi kvalitativn´ı rozd´ıl nen´ı). • D˚ ukaz Vˇety 1.3 je konstruktivn´ı. Dokázali jsme nejen, ˇze ˇc´ıslo z existuje, ale podali jsme také návod, jak ho pro dané x a y sestrojit. 4

•

Existenˇcn´ı d˚ ukaz je takový, kde se prokáˇze existence nˇejakého objektu bez toho, aby byl podán pouˇzitelný návod na jeho konstrukci. ukazu. Pˇ r´ıklad 1.7. ˇcistˇe existenˇcn´ıho d˚ Vˇ eta. Existuje program, který vyp´ıˇse na obrazovku ˇc´ısla taˇzená ve 45. tahu sportky v roce 2012.

D˚ ukaz: Existuje pouze koneˇcnˇe mnoho moˇzných výsledk˚ u losován´ı 45. tahu sportky v roce 2012. Pro kaˇzdý moˇzný výsledek existuje program, který tento daný výsledek vyp´ıˇse na obrazovku. Mezi tˇemito programy je tedy jistˇe ten, který vyp´ıˇse právˇe ten výsledek, který bude ve 45. tahu sportky v roce 2012 skuteˇcnˇe vylosován. ✷ Koment´ aˇ r: To je ale podvod“, ˇze? A pˇrece nen´ı. . . Form´ alnˇe správnˇe to je prostˇe tak a ” teˇcka (2011: tedy dokud n´ am to pan Huˇsa´k vˇsechno nepokaz´ı, ˇze?).

Fakt. Pro informatické i dalˇs´ı aplikované discipl´ıny je d˚ uleˇzitá konstruktivnost d˚ ukaz˚ u vˇet, které se zde objevuj´ı. V matematice ale jsou mnohé pˇr´ıklady uˇziteˇcných a nenahraukazy. ditelných existenˇcn´ıch d˚ ukaz˚ u, tˇreba tzv. pravdˇepodobnostn´ı d˚ Pˇ r´ıklad 1.8.

pravdˇepodobnostn´ıho“ existenˇcn´ıho d˚ ukazu. ” Vˇ eta. Na dané mnoˇzinˇe bod˚ u je zvoleno libovolnˇe n2 podmnoˇzin, kaˇzdá o n prvc´ıch. Dokaˇzte pro dostateˇcnˇe velká n, ˇze vˇsechny body lze obarvit dvˇema barvami tak, aby ˇzádná mnoˇzina nebyla jednobarevná.

D˚ ukaz: U kaˇzdého bodu si hod´ıme minc´ı“ a podle výsledku zvol´ıme barvu ˇcervenˇe ” nebo modˇre. (Nezávislé volby s pravdˇepodobnost´ı 21 .) Pravdˇepodobnost, ˇze zvolených n bod˚ u vyjde jednobarevných, je jen 22n = 21−n . Pro n2 podmnoˇzin tak je pravdˇepodobnost, ˇze nˇekterá z nich vyjde jednobarevná, shora ohraniˇcená souˇctem n2 2| 1−n + ·{z · · + 21−n} = n−1 → 0 . 2 n2

Jelikoˇz je toto ˇc´ıslo (pravdˇepodobnost) pro n ≥ 7 menˇs´ı neˇz 1, bude existovat obarven´ı bez jednobarevných zvolených podmnoˇzin. ✷

1.4

V´ yroky a z´ aklad v´ yrokov´ e logiky

Pojem výroku se dá povaˇzovat za d˚ uleˇzitý pevný most“ mezi bˇeˇznou mluvou a pˇresným ” matematickým formalismem. Jeho správné uchopen´ı napom˚ uˇze chápán´ı významu matematických výrok˚ u a práci s nimi (jako tˇreba v pˇr´ıpadˇe mechanické negace sloˇzeného výroku). Definice 1.9. V´ yrok v pˇrirozené mluvˇe: V bˇeˇzné mluvˇe za výrok povaˇzujeme (kaˇzdé) tvrzen´ı, o kterém má smysl platnˇe prohlásit, ˇze je bud’ pravdivé nebo nepravdivé. Koment´ aˇ r: Uk´ aˇzeme si nˇekolik pˇr´ıklad˚ u – které z nich jsou v´ yroky? ∗ Dnes uˇz v Brnˇe prˇselo. ∗ Pˇredmˇet FI: IB000 se vyuˇcuje v prvn´ım roˇcn´ıku. ∗ Plat´ı 2 + 3 = 6.

5

∗ To je bez problém˚ u. (Co?) ∗ Plat´ı x > 3. ∗ Pro kaˇzdé celé ˇc´ıslo x plat´ı, ˇze x > 3. Vˇsimnˇete si, ˇze pravdivost v´ yroku by mˇelo b´ yt moˇzné rozhodnout bez skryt´ ych souvislost´ı (kontextu), a proto ˇctvrt´ y a p´ at´ y pˇr´ıklad za v´ yroky nepovaˇzujeme. Posledn´ı pˇr´ıklad jiˇz zase v´ yrokem je, nebot’ obor hodnot x je jednoznaˇcnˇe vymezen tzv. kvantifikac´ı.

Z v´ıce jednoduchých výrok˚ u vytváˇr´ıme výroky sloˇzitˇejˇs´ı pomoc´ı tzv. logických spojek. Koment´ aˇ r: Následuje nˇekolik dalˇs´ıch pˇr´ıklad˚ u. ∗ Mnoˇzina {a, b} m´ a v´ıce neˇz jeden prvek a nen´ı nekoneˇcn´ a. ∗ Jestliˇze m´ a Karel pˇres 90 kg váhy, nejedu s n´ım v´ ytahem. ∗ Jestliˇze m´ a tato kráva 10 nohou, pak maj´ı vˇsechny domy modrou stˇrechu. Zastavme se na chv´ıli nad posledn´ım v´ yrokem. Co n´ am ˇr´ıká? Je pravdiv´ y? Skuteˇcnˇe maj´ı vˇsechny domy modrou stˇrechu a pˇred n´ ami stoj´ı kráva s 10 nohama? (Ano, v´ yrok je pravdiv´ y, viz definice ˇci pravdivostn´ı tabulka implikace.)

Schopnost porozumˇet podobným vˇetám je souˇcást lidského zp˚ usobu uvaˇzován´ı a z tohoto hlediska nemá pˇr´ımou souvislost s matematikou (je to pˇrirozená logika“). ” Formáln´ı (matematická) logika pak v podobném duchu definuje jazyk matematiky a pˇritom odstraˇ nuje nejednoznaˇcnosti pˇrirozeného jazyka.

1.5

Stˇ r´ıpky matematick´ e logiky

Vˇsimnˇete si, ˇze podle Definice 1.9 kaˇzdému výroku bˇeˇzné mluvy prostˇe m˚ uˇzeme pˇriˇradit logickou hodnotu 0 (false) nebo 1 (true) a dále se nestarat o jazykový význam. . . Proto (jazykové) výroky v matematice vyjádˇr´ıme výrokovými promˇennými, které znaˇc´ıme velkými p´ısmeny A, B, C, . . . a pˇriˇrad´ıme jim hodnotu 0 nebo 1. Definice: Výroková formule (znaˇc´ıme ϕ, σ, ψ, . . . ) vzniká z výrokových promˇenných pomoc´ı závorek a logických spojek ¬ negace a ⇒ implikace. Zároveˇ n pouˇz´ıváme v zápise následuj´ıc´ıch zkratek ∗ ϕ ∨ ψ (disjunkce / nebo“) je jin´ y zápis formule ¬ϕ ⇒ ψ, ” y zápis formule ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ), ∗ ϕ ∧ ψ (konjunkce / a“) je jin´ ” y zápis formule (ϕ ⇒ ψ) ∧ (ψ ⇒ ϕ). ∗ ϕ ⇔ ψ (ekvivalence) je jin´ Pozn´ amka: Uveden´ a definice je instanc´ı tzv. induktivn´ı definice, j´ıˇz se budeme bl´ıˇze vˇenovat v Odd´ıle 6.5, a proto ji zde uvád´ıme jen v hodnˇe zjednoduˇsené podobˇe. Koment´ aˇ r: Pˇri z´ apise v´ yrokov´ ych formul´ı je potˇreba d´ avat pozor na správné závorkován´ı, aby formule mˇela jednoznaˇcn´ y v´ yznam. Na intuitivn´ı u ´rovni to ilustrujeme takto: Správnˇe a nesprávnˇe

A, (A) ⇒ (B), A ⇒ B, ¬A ⇒ B, A ∨ B ∨ ¬C A ⇒ B ⇒ C — znamená to (A ⇒ B) ⇒ C nebo A ⇒ (B ⇒ C)?

Matematický význam logickým formul´ım pak dodává následuj´ıc´ı definice. emantika (význam) výrokové logiky. Definice 1.10. S´ Necht’ valuace (ohodnocen´ı) je funkce ν : P rom → {0, 1} na vˇsech (dotˇcených) výrokových promˇenných. Pro kaˇzdou valuaci ν definujeme funkci Sν (σ), vyhodnocen´ı formule σ, induktivnˇe (tj. po kroc´ıch) takto: 6

∗ Sν (A) = ν(A) pro kaˇ zdé A ∈ P rom.

1 jestliˇze Sν (ϕ) = 0; 0 jinak. 0 jestliˇze Sν (ϕ) = 1 a Sν (ψ) = 0; ∗ Sν (ϕ ⇒ ψ) = 1 jinak. ∗ Sν (¬ϕ) =

Pozn´ amka: Tento pˇredpis pod´ avá nejen definici funkce Sν , ale také n´ avod na to, jak ji pro dan´ y argument vypoˇc´ıtat.

Pro odvozené logické spojky disjunkce, konjunkce a ekvivalence pak dostaneme následuj´ıc´ı zcela pˇrirozený výsledek (který tak potvrzuje, ˇze jsme definici sémantiky zvolili správnˇe). Tvrzen´ı 1.11. D˚ usledkem Definice 1.10 je následovné: ∗ Sν (ϕ ∨ ψ) = 1

právˇe kdyˇz Sν (ϕ) = 1 nebo Sν (ψ) = 1. ∗ Sν (ϕ ∧ ψ) = 1 právˇe kdyˇz Sν (ϕ) = 1 a souˇcasnˇe Sν (ψ) = 1. ∗ Sν (ϕ ⇔ ψ) = 1 pr´ avˇe kdyˇz plat´ı jedna z následuj´ıc´ıch podm´ınek – Sν (ϕ) = 1 a souˇcasnˇe Sν (ψ) = 1, – Sν (ϕ) = 0 a souˇcasnˇe Sν (ψ) = 0.

Pravdivostn´ı tabulky V praxi ˇcasto vyhodnocen´ı Sν logické výrokové formule zapisujeme do tzv. pravdivostn´ı tabulky. Tato tabulka typicky má sloupce pro jednotlivé promˇenné, pˇr´ıpadné mezifor” ˇ adk˚ mule“ (pom˚ ucka pro snaˇzˇs´ı vyplnˇen´ı) a výslednou formuli. R´ u je 2p (poˇcet valuac´ı), kde p je poˇcet pouˇzitých promˇenných. ˇ aˇri Pro naˇse u ´ˇcely postaˇc´ı uvést pravdivostn´ı tabulku instruktáˇzn´ım pˇr´ıkladem. Cten´ necht’ si vypln´ı podle Definice 1.10 vlastn´ı pravdivostn´ı tabulky dalˇs´ıch výrokových formul´ı, viz také pˇr´ısluˇsné cviˇc´ıc´ı odpovˇedn´ıky v IS MU. Pˇ r´ıklad 1.12. Jaká je pravdivostn´ı tabulka pro formuli (A ⇒ B) ∨ B ∨ C? A 0 0 1 1 0 0 1 1

B 0 1 0 1 0 1 0 1

C 0 0 0 0 1 1 1 1

A ⇒ B (A ⇒ B) ∨ B ∨ C 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 ✷

Splnitelnost formul´ı a tautologie Definice: Formule ϕ ∈ Φ je splnitelná, pokud pro nˇekterou valuaci ν plat´ı, ˇze Sν (ϕ) = 1. Formule ϕ ∈ Φ je vˇzdy pravdivá, neboli výroková tautologie, psáno |= ϕ, pokud pro kaˇzdou valuaci ν plat´ı, ˇze Sν (ϕ) = 1. 7

ˇ Rekneme, ˇze dvˇe formule ϕ, ψ ∈ Φ jsou ekvivalentn´ı, právˇe kdyˇz |= ϕ ⇔ ψ. Tvrzen´ı 1.13. Následuj´ıc´ı formule jsou tautologiemi: ∗ |= A ∨ ¬A ∗ |= ¬ ¬A ⇔ A ∗ |= (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B ∗ |= (¬B ⇒ ¬A) ⇒ (A ⇒ B) ∗ |= (¬A ⇒ (B ∧ ¬B)) ⇒ A Koment´ aˇ r: Jak pozn´ ame tautologii v pravdivostn´ı tabulce?

Kvantifikace a predik´ atov´ a logika Výˇse popsaná výroková logika je velmi omezená faktem, ˇze kaˇzdý výrok mus´ı být ( abso” lutnˇe“) vyhodnocen jako pravda nebo nepravda. Co kdyˇz vˇsak chceme zpracovat tvrzen´ı typu den D v Brnˇe prˇselo“? Jeho pravdivostn´ı hodnota pˇrece závis´ı na tom, co dosad´ıme ” za den D, a tud´ıˇz jej nelze povaˇzovat za výrok výrokové logiky. •

Predikátová logika pracuje s predikáty. Predikáty jsou parametrizované výroky“, ” které jsou bud’ pravdivé nebo nepravdivé pro kaˇzdou konkrétn´ı volbu parametr˚ u. Výrokové promˇenné lze chápat jako predikáty bez parametr˚ u.

•

Predikátov´ a logika je tak obecnˇejˇs´ı neˇz logika výroková; kaˇzdá formule výrokové logiky je i formul´ı predikátové logiky, ale ne obrácenˇe. Koment´ aˇ r: Pro neform´ aln´ı pˇribl´ıˇzen´ı si uvedeme nˇekolik ukázek predik´ at˚ u: ∗ x > 3 (parameterem je zde x ∈ ), ∗ ˇc´ısla x a y jsou nesoudˇeln´ a (parametry x, y ∈ ), ∗ obecnˇe jsou predik´ aty ps´ any P (x, y), kde x, y jsou libovolné parametry.

R

N

Definice: Z predikát˚ u lze vytváˇret predikátové formule pomoc´ı uˇz známých (viz Definice 1.10) výrokových spojek a následuj´ıc´ıch tzv. kvantifikátor˚ u: • ∀x . ϕ pro kaˇzdou volbu parametru x plat´ı formule ϕ“, ” • ∃x . ϕ existuje alespoˇ n jedna volba parametru x, pro kterou plat´ı ϕ“. ” ˇ aˇr by mˇel v tomto m´ıstˇe vz´ıt na vˇedom´ı, ˇze naˇse definice vztahuj´ıc´ı se k Cten´ predikátové logice jsou velmi zjednoduˇsené a nenahrazuj´ı kurz matematické logiky! Pˇresto poskytnou alespoˇ n základn´ı povˇedom´ı o této problematice (a hlavnˇe o pouˇzit´ı kvantifikace v tvrzen´ıch) pro potˇreby matematické formalizace v naˇsem kurzu. Fakt: Je-li kaˇzdá promˇenná – parametr predikátu – v dané formuli kvantifikovaná (tj. formule je uzavˇrená), pak je celá formule bud’ pravdivá nebo nepravdivá. Pˇ r´ıklad 1.14. Ukaˇzme si vyjádˇren´ı následuj´ıc´ıch slovn´ıch výrok˚ u v predikátové logice: •

Kaˇzdé prvoˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 2 je liché; ∀n ∈ . (P r(n) ∧ n>2) ⇒ Li(n) ,

N

pˇriˇcemˇz lze rozepsat Li(n) ≡ ∃k ∈

N . n = 2k + 1. 8

•

Kaˇzdé ˇc´ıslo n > 1, které nen´ı prvoˇc´ıslem, je dˇelitelné nˇejakým ˇc´ıslem y kde n 6= y a y > 1; ∀n ∈ . n > 1 ∧ ¬P r(n) ⇒ ∃y y| n ∧ n6=y ∧ y>1 . ✷

N

Mechanick´ y postup negace v´ yrok˚ u Závˇerem lekce se dostáváme k jednomu specifickému u ´ skal´ı lidského chápán´ı, totiˇz ˇze pˇresný význam formul´ı se zanoˇrenými negacemi je nˇekdy skuteˇcnˇe obt´ıˇzné zjistit (podobnˇe jako v bˇeˇzné ˇreˇci). Nen´ı pravda, ˇze nemohu neˇr´ıct, ˇze nen´ı pravda, ˇze tˇe nemám nerad.“ ” Výrokové formule se proto obvykle prezentuj´ı v tzv. normáln´ım tvaru, kde se negace vyskytuj´ı pouze u výrokových promˇenných, formálnˇe: Definice: Formule ϕ ∈ Φ je v normáln´ım tvaru, pokud se v n´ı operátor negace aplikuje pouze na výrokové promˇenné. Koment´ aˇ r: Napˇr´ıklad, pokud pˇrijmeme pravidlo dvoj´ı negace“ ( |= ¬ ¬A ⇔ A), tak v´ yˇse ” napsanou vˇetu si pˇrevedeme na lépe srozumiteln´ y tvar: Nemus´ım ˇr´ıct, ˇze tˇe m´ am nerad.“ ”

Tvrzen´ı 1.15. Kaˇzdou výrokou formuli lze pˇrevést do normáln´ıho tvaru, pokud k ⇒ povol´ıme i uˇz´ıván´ı odvozených spojek ∧ a ∨. Koment´ aˇ r: Pro ilustraci k ¬(A ⇒ B) je ekvivalentn´ ı A ∧ ¬B, k ¬ C ∧ (¬A ⇒ B) je ekvivalentn´ı ¬C ∨ (¬A ∧ ¬B) a k ¬ (A ⇒ B) ⇒ C je ekvivalentn´ı (A ⇒ B) ∧ ¬C).

Metoda 1.16. Pˇ revod formule ϕ do norm´ aln´ıho tvaru F (ϕ). Pro pˇrevod pouˇzijeme funktory F a G s neformáln´ım významem F (X) jako je pravda, ” ˇze X“ a G(X) jako nen´ı pravda, ˇze X“. Tyto funktory definujeme induktivn´ımi pˇredpisy ” následovnˇe: F (A) = A G(A) = ¬A F (¬ϕ) = G(ϕ) G(¬ϕ) = F (ϕ) F (ϕ ⇒ ψ) = F (ϕ) ⇒ F (ψ) G(ϕ ⇒ ψ) = F (ϕ) ∧ G(ψ) F (ϕ ∧ ψ) = F (ϕ) ∧ F (ψ) G(ϕ ∧ ψ) = G(ϕ) ∨ G(ψ) F (ϕ ∨ ψ) = F (ϕ) ∨ F (ψ) G(ϕ ∨ ψ) = G(ϕ) ∧ G(ψ) F (ϕ ⇔ ψ) = F (ϕ) ⇔ F (ψ) G(ϕ ⇔ ψ) = (F (ϕ) ∧ G(ψ)) ∨ (G(ϕ) ∧ F (ψ)) Pro predikátové formule toto rozˇs´ıˇr´ıme jeˇstˇe o pravidla: F (∀x . ϕ) = ∀x . F (ϕ) F (∃x . ϕ) = ∃x . F (ϕ)

G(∀x . ϕ) = ∃x . G(ϕ) G(∃x . ϕ) = ∀x . G(ϕ)

Koment´ aˇ r: Uvaˇzme formuli ¬(A ⇒ ¬(B ∨ ¬(C ⇒ ¬A))). Uˇzit´ım uvedeného postupu 1.16 z´ıskáme: F(¬(A ⇒ ¬(B ∨ ¬(C ⇒ ¬A)))) F(A) ∧ G(¬(B ∨ ¬(C ⇒ ¬A))) A ∧ (F(B) ∨ F(¬(C ⇒ ¬A))) A ∧ (B ∨ (F(C) ∧ G(¬A))) A ∧ (B ∨ (C ∧ A))

= = = =

9

G(A ⇒ ¬(B ∨ ¬(C ⇒ ¬A))) A ∧ F(B ∨ ¬(C ⇒ ¬A)) A ∧ (B ∨ G(C ⇒ ¬A)) A ∧ (B ∨ (C ∧ F(A)))

= = = =

Formuli A ∧ (B ∨ (C ∧ A)) lze d´ ale zjednoduˇsit na (ekvivalentn´ı) formuli A ∧ (B ∨ C). To ale je jiˇz z naˇseho pohledu matematicky neform´ aln´ı (heuristick´ y) postup.

Uvedené formáln´ı pˇredpisy takto vyjadˇruj´ı intuitivn´ı postup pˇrevodu F (ϕ) do lidsky ” ˇcitelného tvaru“. Navazuj´ıc´ı studium L´ atka této u ´vodn´ı lekce m´ a velmi ˇsirok´ y zábˇer. S potˇrebou formáln´ıho zápisu tvrzen´ı a d˚ ukaz˚ u se setkáte nejen v tomto, ale i ve vˇsech dalˇs´ıch matematick´ ych pˇredmˇetech, které zároveˇ n studujete ˇci budete studovat, a principy budou st´ ale stejné. Proto se je snaˇzte pochopit a zaˇz´ıt uˇz na zde uveden´ ych jednoduch´ ych pˇr´ıkladech a vˇse si procviˇcte. V dalˇs´ı lekci budeme pokraˇcovat pˇrehledem d˚ ukazov´ ych technik. Na druhou stranu je matematická logika v této lekci uvedena jen velmi omezenˇe na nejlehˇc´ı akceptovatelné intuitivn´ı u ´rovni a jej´ı dalˇs´ı rozvoj je ponech´ an samostatn´ ym kurz˚ um. ´ Na FI MU to bude navazuj´ıc´ı pˇredmˇet IB101 Uvod do logiky. Z´ ajemce o studium matematick´ ych hlubin logiky a tˇreba slavn´ ych G¨ odelov´ ych poznatk˚ u m˚ uˇzeme pozdˇeji odkázat na pˇredmˇet MA007 Matematická logika.

10

2

D˚ ukazov´ e techniky, Indukce ´ Uvod Náˇs hlubˇs´ı u ´vod do matematick´ ych formalism˚ u pro informatiku pokraˇcujeme základn´ım pˇrehledem technik matematick´ ych d˚ ukaz˚ u. Tˇrebaˇze matematické dokazován´ı a pˇr´ısluˇsné techniky mohou nˇekomu pˇripadat nepr˚ uhledné (a moˇzn´ a zbyteˇcné), jejich pochopen´ı a zvládnut´ı nen´ı samo´ uˇcelné, nebot’ n´ am pom´ ah´ a si mnoho uvˇedomit o studovan´ ych problémech samotn´ ych. Koneˇcnˇe, jak si m˚ uˇzeme b´ yt jisti sv´ ymi poznatky, kdyˇz bychom pro nˇe nebyli schopni poskytnout d˚ ukazy? Bˇehem studia tohoto pˇredmˇetu pozn´ ate (a ti ménˇe ˇst’astn´ı aˇz s pˇrekvapen´ım u zkouˇsek), ˇze vlastnˇe vˇse, k ˇcemu naˇs´ım v´ ykladem smˇeˇrujeme, se d´ a neform´ alnˇe shrnout slovy nauˇcit se ” pˇresnˇe vyjadˇrovat a b´ yt si sv´ ymi tvrzen´ımi naprosto jisti“ a analogicky nauˇcit se navrhovat ” správné algoritmy a b´ yt si i sv´ ymi programy naprosto jisti“. Z d˚ ukazov´ ych postup˚ u je pro n´ as informatiky asi nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı technika d˚ ukaz˚ u matemym program˚ um (coby iterace atickou indukc´ı, která je svou podstatou velmi bl´ızká poˇc´ıtaˇcov´ cykl˚ u). V dalˇs´ım v´ ykladu budeme indukci hojnˇe vyuˇz´ıvat, pˇredevˇs´ım v Lekc´ıch 10 a 11.

C´ıle C´ılem této lekce je popsat z´ akladn´ı techniky matematick´ ych d˚ ukaz˚ u, z nichˇz nejvˇetˇs´ı d˚ uraz klademe na matematickou indukci. Kaˇzd´ y student by se mˇel alespoˇ n nauˇcit formálnˇe psané d˚ ukazy ˇc´ıst a pochopit. (Pro vysvˇetlen´ı, z Lekce 1 v´ıme, ˇze matematick´ y d˚ ukaz m´ a jednotnou formu“ Definice 1.1, ale nyn´ı se vˇenujeme takˇr´ıkaj´ıc ˇsablonám, podle nichˇz ” takov´ y korektn´ı d˚ ukaz sestav´ıme.)

2.1

Pˇ rehled z´ akladn´ıch d˚ ukazov´ ych technik

V matematice je ˇcasto pouˇz´ıvaných nˇekolik následuj´ıc´ıch zp˚ usob˚ u – technik, jak k danému tvrzen´ı nalézt korektn´ı formáln´ı d˚ ukaz. (Uvˇedomme si, ˇze jedno tvrzen´ı m´ıvá mnoho r˚ uzných, stejnˇe korektn´ıch, d˚ ukaz˚ u; ty se vˇsak mohou výraznˇe l´ıˇsit svou sloˇzitost´ı.) Tyto techniky si v bodech shrneme zde: •

Pˇr´ımé odvozen´ı. To je zp˚ usob, o kterém jsme se dosud bavili. Postupujeme pˇr´ımo od pˇredpoklad˚ u k závˇeru, ale sami poznáte, ˇze taková pˇr´ımá“ ” cesta je obt´ıˇznˇe k nalezen´ı.

•

Kontrapozice (také obrácen´ım ˇci nepˇr´ımý d˚ ukaz). M´ısto vˇety Jestliˇze plat´ı pˇredpoklady, pak plat´ı závˇer.“ ” budeme dokazovat ekvivalentn´ı vˇetu

•

Jestliˇze neplat´ı závˇer, pak neplat´ı alespoˇ n jeden z pˇredpoklad˚ u.“ ” D˚ ukaz sporem. M´ısto vˇety Jestliˇze plat´ı pˇredpoklady, pak plat´ı závˇer.“ ” budeme dokazovat vˇetu Jestliˇze plat´ı pˇredpoklady a plat´ı opak závˇeru, pak plat´ı opak jednoho ” z pˇredpoklad˚ u (nebo plat´ı jiné zjevnˇe nepravdivé tvrzen´ı).“

•

Matematická indukce. Pokroˇcilá technika, kterou zde pop´ıˇseme pozdˇeji. . . 11

Tyto techniky jsou asi nejlépe ilustrovány následovnými pˇr´ıklady d˚ ukaz˚ u. Pˇ r´ıklad d˚ ukazu kontrapozic´ı Definice: Prvoˇc´ıslo je celé ˇc´ıslo p > 1 a nemá jiné dˇelitele neˇz 1 a p. Pˇ r´ıklad 2.1. Na d˚ ukaz kontrapozic´ı (obrácen´ım). Vˇ eta. Jestliˇze p je prvoˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 2, pak p je liché. D˚ ukaz: Obráceného tvrzen´ı – budeme tedy dokazovat, ˇze je-li p sudé, pak p bud’ nen´ı vˇetˇs´ı neˇz 2, nebo p nen´ı prvoˇc´ıslo. Pˇripom´ınáme, ˇze podle definice je p sudé, právˇe kdyˇz lze psát p = 2 · k, kde k je celé. Jsou dvˇe moˇznosti: •

k ≤ 1. Pak p = 2k nen´ı vˇetˇs´ı neˇz 2.

•

k > 1. Pak p = 2 · k nen´ı prvoˇc´ıslo podle definice.

✷

Pozn´ amka: D˚ ukazy kontrapozic´ı pracuj´ı s negac´ı (opakem) pˇredpoklad˚ u a závˇeru. Je-li napˇr. závˇerem komplikované tvrzen´ı tvaru z toho, ˇze z A a B plyne C, vypl´ yv´ a, ˇze z A nebo C plyne A a B“, ” nen´ı pouhou intuic´ı snadné zjistit, co je vlastnˇe jeho negac´ı. Proto se nebojte vyuˇz´ıvat snadného mechanického postupu Metody 1.16 ke správnému znegován´ı“ do normáln´ıho tvaru. ”

Pˇ r´ıklady d˚ ukazu sporem Pˇ r´ıklad 2.2. Jiný pˇr´ıstup k D˚ ukazu 2.1. Vˇ eta. Jestliˇze p je prvoˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 2, pak p je liché. D˚ ukaz sporem: Necht’ tedy p je prvoˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 2, které je sudé. Pak p = 2 · k pro nˇejaké k > 1, tedy p nen´ı prvoˇc´ıslo, spor (s pˇredpokladem, ˇze p je prvoˇc´ıslo). ✷ D˚ ukaz sporem je natolik specifický a d˚ uleˇzitý v matematice, ˇze si zaslouˇz´ı ˇsirˇs´ı vysvˇetlen´ı. Co je vlastnˇe jeho podstatou? Je to (zcela pˇrirozený) pˇredpoklad, ˇze v konzisn odvodit tvrzen´ı i jeho negaci. Jestliˇze tedy ve schématu tentn´ı teorii nelze zároveˇ Jestliˇze plat´ı pˇredpoklady a plat´ı opak závˇeru, pak plat´ı opak jednoho ” z pˇredpoklad˚ u, nebo plat´ı jiné zjevnˇe nepravdivé tvrzen´ı.“ odvod´ıme k nˇekterému pˇredpokladu jeho spor, nebo pˇr´ıpadnˇe jiné tvrzen´ı, které odporuje vˇseobecnˇe pˇrijatým fakt˚ um (pˇresnˇeji axiom˚ um, napˇr´ıklad 0 = 1), pak nˇeco mus´ı být ˇspatnˇe“. Co vˇsak v naˇsem tvrzen´ı m˚ uˇze (nezapomeˇ nte pˇredpoklad konzistence) být ” chybné? P˚ uvodn´ı pˇredpoklady byly dány, takˇze zbývá jedinˇe náˇs dodateˇcný pˇredpoklad, ˇze plat´ı opak závˇeru. Tud´ıˇz opak závˇeru nem˚ uˇze nikdy platit a dvoj´ı negac´ı odvod´ıme, ˇze plat´ı p˚ uvodn´ı závˇer. Pˇ r´ıklad 2.3. Opˇet sporem. √ ˇ ıslo 2 nen´ı racionáln´ı. Vˇ eta. C´ √ D˚ ukaz sporem: Necht √ ’ tedy 2 je racionáln´ı, tj. necht’ existuj´ı nesoudˇelná celá kladná ˇc´ısla r, s taková, ˇze 2 = r/s. 12

– Pak 2 = r 2 /s2 , tedy r 2 = 2 · s2 , proto r 2 je dˇelitelné dvˇema. Z toho plyne, ˇze i r je dˇelitelné dvˇema (proˇc? opˇet na to m˚ uˇzete j´ıt sporem. . . ). – Jelikoˇz r je dˇelitelné dvˇema, je r 2 dˇelitelné dokonce ˇctyˇrmi, tedy r 2 = 4 · m pro nˇejaké m. Pak ale také 4 · m = 2 · s2 , tedy 2 · m = s2 a proto s2 je dˇelitelné dvˇema. – Z toho plyne, ˇze s je také dˇelitelné dvˇema. Celkem dostáváme, ˇze r i s jsou dˇelitelné dvˇema, jsou tedy soudˇelná a to je spor (s definic´ı racionáln´ıho ˇc´ısla). ✷ Koment´ aˇ r: Nev´ıte-li, jak nˇejakou vˇetu dokázat, zkuste d˚ ukaz sporem. . .“ ”

2.2

Vˇ ety typu tehdy a jen tehdy“ ”

Uvaˇzujme nyn´ı (v matematice pomˇernˇe hojné) vˇety tvaru Necht’ plat´ı pˇredpoklady P. Pak tvrzen´ı A plat´ı tehdy a jen tehdy, plat´ı-li ” tvrzen´ı B.“ Pˇr´ıklady jiných jazykových formulac´ı téˇze vˇety jsou: ∗ Za pˇredpoklad˚ u P je tvrzen´ı B nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro platnost tvrzen´ı A. ∗ Za pˇredpoklad˚ u P je tvrzen´ı A nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro platnost tvrzen´ı B. ∗ Necht’ plat´ı pˇredpoklady P. Pak tvrzen´ı A plat´ı pr´ avˇe tehdy kdyˇz plat´ı tvrzen´ı B. Fakt: D˚ ukaz vˇet tohoto tvaru má vˇzdy dvˇe ˇcásti(!). Je tˇreba dokázat: ∗ Jestliˇ ze plat´ı pˇredpoklady P a tvrzen´ı A, pak plat´ı tvrzen´ı B. ∗ Jestliˇ ze plat´ı pˇredpoklady P a tvrzen´ı B, pak plat´ı tvrzen´ı A.

Pˇ r´ıklad 2.4. Na d˚ ukaz typu tehdy a jen tehdy“. ” Vˇ eta. Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdá dvˇe celá ˇc´ısla a, b plat´ı, ˇze a < b právˇe tehdy, kdyˇz 2a < 2b . D˚ ukaz: Nezapom´ınáme, ˇze naˇsim u ´ kolem je dokázat oba smˇery tvrzen´ı (implikace zleva doprava a zprava doleva). Zaˇcneme s prvn´ım: Pˇredpoklad a < b je definiˇcnˇe ekvivalentn´ı tomu, ˇze b = a + k pro nˇejaké pˇrirozené k > 0. Potom 2b = 2a+k = 2a · 2k = ℓ · 2a pro nˇejaké pˇrirozené ℓ = 2k ≥ 2, a tud´ıˇz 2b − 2a = (ℓ − 1) · 2a ≥ 1 · 2a > 0 . T´ım je prvn´ı ˇcást d˚ ukazu hotova. V opaˇcném smˇeru postupujeme z pˇredpokladu 2a < 2b . Vydˇelen´ım obou stran nerovnosti kladným ˇc´ıslem 2a z´ıskáme 2b /2a = 2b−a > 1 . Dále postupujeme sporem. Necht’ tedy a ≥ b, neboli a − b = m ≥ 0. Potom máme 2a−b = |2 · {z . . . 2} ≥ 1. Avˇsak celkovˇe m×

1 = 20 = 2a−b · 2b−a > 1 · 1 = 1 je sporné. Proto zbývá poˇzadovaný závˇer a < b.

✷

Koment´ aˇ r: Je moˇzno se nˇekdy oddˇelenému zpracován´ı obou smˇer˚ u takového tvrzen´ı vyhnout? Ano, staˇc´ı dˇelat pouze tzv. ekvivalentn´ı u ´pravy, ale je to velmi nebezpeˇcné. Co napˇr´ıklad tvrzen´ı a = b pr´ avˇe kdyˇz ax = bx“? To pˇrece dokáˇzeme vyn´ asoben´ım obou stran ” rovnosti stejn´ ym ˇc´ıslem x. . . Je to sice témˇeˇr pravda, ale(!) mus´ıme si vˇsimnout, ˇze n´ asoben´ı obou stran rovnosti je ekvivalentn´ı u ´pravou jen pro x 6= 0; jinak nazpˇet dˇel´ıme nulou (coˇz na svˇetˇe dokáˇze pouze Chuck Norris). Zapamatujte si, ˇze nejlepˇs´ı cestou, jak se takov´ ym chybám a problém˚ um vyhnout, je skuteˇcnˇe poctivˇe dokazovat kaˇzd´ y smˇer ekvivalence zvláˇst’.

13

2.3

Matematick´ a indukce

Pokud se souhrnnˇe pod´ıváme na d˚ ukazové techniky v matematice, vˇsimneme si, ˇze matematická indukce je skoro dvorn´ı“ d˚ ukazovou technikou diskrétn´ı matematiky. To ” proto, ˇze umoˇzn ˇ uje pohodlnˇe dokazovat i sloˇzitá tvrzen´ı po jednotlivých (diskrétn´ıch) kroc´ıch od poˇcáteˇcn´ıho. Uvaˇzme tedy vˇetu ve tvaru: Pro kaˇzdé pˇrirozené (celé) n ≥ k0 plat´ı T (n).“ ” Zde k0 je nˇejaké pevné pˇrir. ˇc´ıslo a T (n) je tvrzen´ı parametrizované ˇc´ıs. n. Pˇr´ıkladem je tˇreba tvrzen´ı: Pro kaˇzdé n ≥ 0 plat´ı, ˇze n pˇr´ımek dˇel´ı rovinu nejvýˇse na 21 n(n + 1) + 1 oblast´ı. e indukce ˇr´ıká, ˇze k d˚ ukazu vˇety Definice 2.5. Princip matematick´ Pro kaˇzdé pˇrirozené (celé) n ≥ k0 plat´ı T (n).“ ” staˇc´ı ovˇeˇrit platnost tˇechto dvou tvrzen´ı: • •

(tzv. báze neboli základ indukce)

T (k0 ) Pro kaˇzdé n ≥ k0 ; jestliˇze plat´ı T (n), pak plat´ı také T (n + 1).

(indukˇcn´ı pˇredpoklad) (indukˇcn´ı krok)

Formálnˇe ˇreˇceno, matematická indukce je axiomem aritmetiky pˇrirozených ˇc´ısel. Pozn´ amka: Pozor, v tomto pˇredmˇetu poˇc´ıtáme 0 za pˇrirozené ˇc´ıslo!

Opˇet jako v pˇredeˇslém si tuto techniku ilustrujeme mnoˇzstv´ım názorných pˇr´ıklad˚ u. Pˇ r´ıklady d˚ ukaz˚ u indukc´ı Pˇ r´ıklad 2.6. Velmi jednoduchá a pˇr´ımoˇcará indukce. Vˇ eta. Pro kaˇzdé pˇrirozené. n ≥ 1 je stejná pravdˇepodobnost, ˇze pˇri souˇcasném hodu n kostkami bude výsledný souˇcet sudý, jako, ˇze bude lichý. D˚ ukaz: Základ indukce je zde zˇrejmý: Na jedné kostce (poctivé!) jsou tˇri lichá a tˇri sudá ˇc´ısla, takˇze obˇe skupiny padaj´ı se stejnou pravdˇepodobnost´ı. Indukˇcn´ı krok pro n ≥ 1: Necht’ psn pravdˇepodobnost, ˇze pˇri hodu n kostkami bude výsledný souˇcet sudý, a pln je pravdˇepodobnost lichého. Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu je psn = pln = 12 . Hod’me nav´ıc (n + 1)-n´ı kostkou. Podle toho, zda na n´ı padne liché nebo sudé ˇc´ıslo, je pravdˇepodobnost celkového sudého souˇctu rovna 3 1 3 l pn + psn = 6 6 2 a stejnˇe pro pravdˇepodobnost celkového lichého souˇctu. Pˇ r´ıklad 2.7. Ukázka skuteˇcné d˚ ukazové s´ıly“ principu matematické indukce. ” Vˇ eta. Pro kaˇzdé n ≥ 0 plat´ı, ˇze n pˇr´ımek dˇel´ı rovinu nejvýˇse na 1 n(n + 1) + 1 2

oblast´ı. 14

✷

D˚ ukaz: Pro bázi indukce staˇc´ı, ˇze 0 pˇr´ımek dˇel´ı rovinu na jednu ˇcást. (Vˇsimnˇete si také, ˇze 1 pˇr´ımka dˇel´ı rovinu na dvˇe ˇcásti, jen pro lepˇs´ı pochopen´ı d˚ ukazu.) 1 Mˇejme nyn´ı rovinu rozdˇelenou n pˇr´ımkami na nejvýˇse 2 n(n+1)+1 ˇcást´ı. Dalˇs´ı, (n+1)n´ı pˇr´ımka je rozdˇelena pr˚ useˇc´ıky s pˇredchoz´ımi pˇr´ımkami na nejvýˇse n + 1 u ´ sek˚ u a kaˇzdý z nich oddˇel´ı novou ˇcást roviny. Celkem tedy bude rovina rozdˇelena naˇsimi pˇr´ımkami na nejvýˇse tento poˇcet oblast´ı: 1 1 1 1 n(n + 1) + 1 + (n + 1) = n(n + 1) + · 2(n + 1) + 1 = (n + 1)(n + 2) + 1 2 2 2 2 ✷ Pˇ r´ıklad 2.8. Dalˇs´ı indukˇcn´ı d˚ ukaz rozepsaný v podrobných kroc´ıch. P . Vˇ eta. Pro kaˇzdé n ≥ 0 plat´ı nj=0 j = n(n+1) 2

•

D˚ ukaz indukc´ı vzhledem k n. P Báze: Mus´ıme dokázat tvrzen´ı T (0), coˇz je v tomto pˇr´ıpadˇe rovnost 0j=0 j = Tato rovnost (zjevnˇe) plat´ı.

0(0+1) . 2

Indukˇcn´ı krok: Mus´ıme dokázat následuj´ıc´ı tvrzen´ı pro n ≥ 0: P P Jestliˇze plat´ı nj=0 j = n(n+1) , pak plat´ı qj=0 j = q(q+1) , kde q = n + 1. 2 2 P a pokusme se dokázat, ˇze pak také Pˇredpokládejme tedy, ˇze nj=0 j = n(n+1) 2 •

q X j=0

j=

q(q + 1) (n + 1)(n + 2) = . 2 2

To uˇz plyne u ´ pravou: q X j=0

j =

n X j=0

j + (n + 1) =

n(n + 1) n(n + 1) + 2(n + 1) (n + 1)(n + 2) + (n + 1) = = 2 2 2

Podle principu matematické indukce je cel´ y d˚ ukaz hotov.

✷

Pozn´ amka: V´ ysledek Pˇr´ıkladu 2.8 je ukázkou tzv. sumaˇcn´ıho vzorce pro posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Jinou ukázkou je tˇreba vztah 1 + 3 + · · · + (2n − 3) + (2n − 1) = 1 + (2n − 1) + 3 + (2n − 3) + · · · = 2n ·

n = n2 , 2

nebo 12 + 22 + · · · + n2 = 16 n(n + 1)(2n + 1) a 13 + 23 + · · · + n3 = (1 + 2 + · · · + n)2 = 41 n2 (n + 1)2 . Odvozován´ı a pr´ ace s jednoduch´ ymi sumaˇcn´ımi vzorci by také mˇela n´ aleˇzet do v´ ybavy schopného informatika, princip matematické indukce je zde kl´ıˇcov´ y.

15

2.4

Koment´ aˇ re k matematick´ e indukci

Pro správné a u ´ spˇeˇsné pouˇzit´ı indukce v dokazován´ı je vhodné si zapamatovat nˇekolik cenných rad: ∗ Z´ akladn´ı trik vˇsech d˚ ukaz˚ u matematickou indukc´ı je vhodná reformulace tvrzen´ı T (n + 1) tak, aby se odvolávalo“ na tvrzen´ı T (n). ” – Dobˇre se vˇzdy pod´ıvejte, v ˇcem se liˇs´ı tvrzen´ı T (n + 1) od tvrzen´ı T (n). Tento rozd´ıl“ budete muset v d˚ ukaze zd˚ uvodnit. ” ∗ Pozor, obˇ cas je potˇreba zes´ılit“ tvrzen´ı T (n), aby indukˇcn´ı krok správnˇe fungoval“. ” ” – Velkým problémem bohuˇzel je, ˇze nen´ı moˇzno podat návod, jak vhodné zes´ılen´ı“ ” nalézt (ani kdy jej v˚ ubec hledat). Jedná se vlastnˇe o pokusy a hádán´ı z kˇriˇst’a´lové ” koule“. ˇ ∗ Casto se chybuje v d˚ ukazu indukˇcn´ıho kroku, nebot’ ten bývá vˇetˇsinou výraznˇe obt´ıˇznˇejˇs´ı neˇz báze, ale o to zrádnˇejˇs´ı jsou chyby v samotné zdánlivˇe snadné bázi!

– Dejte si dobrý pozor, od které hodnoty n ≥ k0 je indukˇcn´ı krok univerzálnˇe platný a jestli pˇr´ıpadnˇe báze nezahrnuje v´ıce neˇz jednu hodnotu. . . Zes´ılen´ı indukˇ cn´ıho kroku Pˇ r´ıklad 2.9. Kdyˇz je nutno indukˇcn´ı krok zes´ılit. . . Vˇ eta. Pro kaˇzdé n ≥ 1 plat´ı s(n) =

1 1 1 1 + + +···+ < 1. 1·2 2·3 3·4 n(n + 1)

1 aze indukce je zˇrejmá, nebot’ 1·2 < 1. D˚ ukaz: B´ Co vˇsak indukˇcn´ı krok? Pˇredpoklad s(n) < 1 je sám o sobˇe pˇr´ıliˇs slabý“ na to, aby bylo ” 1 moˇzno tvrdit s(n + 1) = s(n) + (n+1)(n+2) < 1.

Neznamená to jeˇstˇe, ˇze by tvrzen´ı nebylo platné, jen je potˇreba náˇs indukˇcn´ı pˇredpoklad zes´ılit. Budeme dokazovat Tvrzen´ı. Pro kaˇzdé pˇrirozené n ≥ 1 plat´ı s(n) ≤ 1 −

1 n+1

< 1.

To plat´ı pro n = 1 (nezapomeˇ nte ovˇeˇrit!) a dále uˇz u ´ pravou jen dokonˇc´ıme zes´ılený indukˇcn´ı krok: s(n + 1) = s(n) +

1 1 1 ≤ 1− + = (n + 1)(n + 2) n + 1 (n + 1)(n + 2)

= 1+

−(n + 2) + 1 1 = 1− (n + 1)(n + 2) n+2

✷

Rozˇ s´ıˇ ren´ı b´ aze a pˇ redpokladu Mimo zesilován´ı tvrzen´ı indukˇcn´ıho kroku jsme nˇekdy okolnostmi nuceni i k rozˇsiˇrován´ı samotné báze indukce a s n´ı indukˇcn´ıho pˇredpokladu na v´ıce neˇz jednu hodnotu parametru n. 16

– M˚ uˇzeme napˇr´ıklad pˇredpokládat platnost (parametrizovaných) tvrzen´ı T (n) i T (n+1) zároveˇ n, a pak odvozovat platnost T (n+2). Toto lze samozˇrejmˇe zobecnit na jakýkoliv poˇcet pˇredpokládaných parametr˚ u. – M˚ uˇzeme dokonce pˇredpokládat platnost tvrzen´ı T (j) pro vˇsechna j = k0 , k0 + 1, . . . , n najednou a dokazovat T (n + 1). Toto typicky vyuˇzijeme v pˇr´ıpadech, kdy indukˇcn´ı krok rozdˇel´ı“ problém T (n + 1) na dvˇe menˇs´ı ˇcásti a z nich pak odvod´ı platnost ” T (n + 1). Fakt: Obˇe prezentovaná rozˇs´ıˇren´ı“ jsou v koneˇcném d˚ usledku jen speciáln´ımi instancemi ” základn´ı matematické indukce; pouˇzité rozˇs´ıˇrené moˇznosti pouze zjednoduˇsuj´ı formáln´ı zápis d˚ ukazu. Pˇ r´ıklad 2.10. Kdyˇz je nutno rozˇs´ıˇrit bázi a indukˇcn´ı pˇredpoklad. . . Vˇ eta. Necht’ funkce f pro kaˇzdé n ≥ 0 splˇ nuje vztah f (n + 2) = 2f (n + 1) − f (n). Pokud plat´ı f (0) = 1 a zároveˇ n f (1) = 2, tak plat´ı f (n) = n + 1 pro vˇsechna pˇrirozená n ≥ 0.

D˚ ukaz: Uˇz samotný pohled na daný vztah f (n + 2) = 2f (n + 1) − f (n) naznaˇcuje, ˇze bychom mˇeli rozˇs´ıˇrit indukˇcn´ı pˇredpoklad (a krok) zhruba takto: Pro kaˇzdé n ≥ 0; jestliˇze plat´ı T (n); neboli f (n) = n + 1, a zároveˇ n plat´ı T (n + 1); f (n + 1) = n + 2, pak plat´ı také T (n + 2); f (n + 2) = n + 3. Báze indukce – pozor, zde uˇz mus´ıme ovˇeˇrit dvˇe hodnoty f (0) = 0 + 1 = 1,

f (1) = 1 + 1 = 2 .

uˇze vyuˇz´ıt celého rozˇs´ıˇreného pˇredpokladu, znalosti hodnot Náˇs indukˇcn´ı krok tak nyn´ı m˚ f (n) i f (n + 1), pro ovˇeˇren´ı f (n + 2) = 2f (n + 1) − f (n) = 2 · (n + 1 + 1) − (n + 1) = n + 3 = n + 2 + 1 .

✷

Koment´ aˇ r: Jak by tento d˚ ukaz mˇel b´ yt formulován v tradiˇcn´ı“ indukci? ( Substituc´ı“ ” ” nového tvrzen´ı.)

Z´ avˇ erem mal´ y probl´ em“ ” Pˇ r´ıklad 2.11. Aneb jak snadno lze v matematické indukci udˇelat chybu. Vˇ eta. ( nevˇeta“) ” V kaˇzdém stádu o n ≥ 1 kon´ıch maj´ı vˇsichni konˇe stejnou barvu.

D˚ ukaz indukc´ı vzhledem k n. Báze: Ve stádu o jednom koni maj´ı vˇsichni konˇe stejnou barvu. Indukˇcn´ı krok: Necht’ S = {K1 , . . . , Kn+1 } je stádo o n + 1 kon´ıch. Dokáˇzeme, ˇze vˇsichni konˇe maj´ı stejnou barvu. Uvaˇzme dvˇe menˇs´ı stáda: – S ′ = {K1 , K2 , . . . , Kn }

– S ′′ = {K2 , . . . , Kn , Kn+1 }

17

Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu maj´ı vˇsichni konˇe ve stádu S ′ stejnou barvu B ′ . Podobnˇe vˇsichni konˇe ve stádu S ′′ maj´ı podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu stejnou barvu B ′′ . Dokáˇzeme, ˇze B ′ = B ′′ , tedy ˇze vˇsichni konˇe ve stádu S maj´ı stejnou barvu. To ale plyne z toho, ˇze konˇe K2 , . . . , Kn patˇr´ı jak do stáda S ′ , tak i do stáda S ′′ . ✷ Koment´ aˇ r: Ale to uˇz je podvod! Vid´ıte, kde?

Navazuj´ıc´ı studium Jak jsme jiˇz ˇrekli, matematické d˚ ukazy a jejich ch´ ap´ an´ı jsou nezbytné ke studiu vysokoˇskolsk´ ych matematick´ ych pˇredmˇet˚ u. Bez schopnosti pˇresného vyjadˇrován´ı a ch´ ap´ an´ı definic a vˇet se informatik neobejde, ani pokud se zamˇeˇruje ˇcistˇe aplikovan´ ym smˇerem; viz tˇreba správné pochopen´ı r˚ uzn´ ych norem a specifikac´ı. Na druhou stranu umˇen´ı “tvoˇrit” nové matematické d˚ ukazy je dosti obt´ıˇzné a ned´ a se jemu jen tak snadno nauˇcit – vyˇzaduje to mnoho pokroˇcilé praxe. Jelikoˇz je schopnost formáln´ıho matematického dokazován´ı nezbytná (pˇreváˇznˇe jen) v teoretick´ ych informatick´ ych discipl´ın´ ach, nen´ı tato ˇc´ ast kritická v celém pˇredmˇetu (a u zkouˇsek se objev´ı s menˇs´ım d˚ urazem), ale to neznamená, ˇze byste se j´ı mohli zcela vyh´ ybat. Obzvláˇstˇe techniku matematické indukce by mˇel kaˇzd´ y informatik aspoˇ n trochu ovládat, nebot’ s jej´ım pouˇzit´ım se zajisté jeˇstˇe mnohokr´ ate setkáte v budouc´ım studiu.

18

3

Mnoˇ ziny a jejich prvky ´ Uvod V pˇrehledu matematick´ ych formalism˚ u informatiky se v této a pˇr´ıˇst´ı lekci zamˇeˇr´ıme na základn´ı datové typy matematiky, tj. na mnoˇziny, relace a funkce. Netradiˇcn´ı souslov´ı datové typy“ matematiky zde vol´ıme zámˇernˇe, abychom zd˚ uraznili jejich fundamentálnost ” pro v´ ystavbu navazuj´ıc´ı teorie v analogii k programován´ı. O mnoˇzin´ ach jste sice zajisté slyˇseli uˇz na základn´ı ˇskole, ale podstatou naˇseho pˇredmˇetu je uvést povˇetˇsinou neform´ alnˇe zn´ amé pojmy na patˇriˇcnou formáln´ı u ´roveˇ n nutnou pro teoretické z´ aklady informatiky. V pˇr´ıpadˇe koneˇcné teorie mnoˇzin si zde vystaˇc´ıme s tzv. naivn´ım“ pohledem, kter´ y dostateˇcnˇe matematicky pˇresnˇe vystihuje vˇsechny jejich koneˇcné ” aspekty (o aspektech nekoneˇcn´ ych mnoˇzin se krátce zm´ın´ıme aˇz v Lekci 12).

C´ıle V této lekci si ukáˇzeme prvn´ı krok k seri´ oznˇe vybudované matematické teorii mnoˇzin – tzv. naivn´ı teorii mnoˇzin, která n´ am velmi dobˇre poslouˇz´ı ve vˇsech koneˇcn´ ych pˇr´ıpadech. Na to naváˇzeme zaveden´ım z´ akladn´ıho mnoˇzinového kalkulu, shrnut´ım bˇeˇzn´ ych vlastnost´ı mnoˇzin a uvedeme si pˇr´ıklady rekurzivnˇe definovan´ ych posloupnost´ı.

3.1

Pojem mnoˇ ziny

Poloˇzme si hned na u ´ vod tu nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı otázku: Co je vlastnˇe mnoˇ zina? Na tuto otázku bohuˇzel nen´ı zcela jednoduchá odpovˇed’. . . Abychom se v˚ ubec nˇekam v naˇsem u ´ vodu dostali, spokoj´ıme se zat´ım jen s pˇrirozeným naivn´ım pohledem“. ” Definice naivn´ı teorie mnoˇzin: Mnoˇzina je soubor prvk˚ u a je svými prvky plnˇe urˇcena.“ ” Koment´ aˇ r: Pˇr´ıklady z´ apisu mnoˇzin v´ yˇctem prvk˚ u ∅, {a, b}, {b, a}, {a, b, a}, {{a, b}}, {∅, {∅}, {{∅}}},

{x | x je liché pˇrirozené ˇc´ıslo}.

Co je ale pak prvek? Tady pozor, pojem prvku sám o sobˇe nemá matematický význam, svého významu totiˇz nabývá pouze ve spojen´ı být prvkem mnoˇziny“. Prvky ” mnoˇziny tak m˚ uˇze být cokoliv, mimo jiné i dalˇs´ım mnoˇziny. Koment´ aˇ r: Relativitu v´ yznamu vztahu prvek–mnoˇzina“ si m˚ uˇzeme pˇribl´ıˇzit tˇreba na vz” tahu podˇr´ızen´ y–nadˇr´ızen´ y“ z bˇeˇzného pracovn´ıho ˇzivota. Tam také nem´ a smysl jen ˇr´ıkat, ” ˇze je nˇekdo podˇr´ızen´ ym, aniˇz ˇrekneme také jeho nadˇr´ızeného. Pˇritom i vedouc´ı je nˇekomu jeˇstˇe podˇr´ızen´ y a naopak i ten posledn´ı podˇr´ızen´ y pracovn´ık m˚ uˇze b´ yt p´ anem tˇreba svého psa. Podobnˇe je tomu s mnoˇzinou jako nadˇr´ızenou“ sv´ ych prvk˚ u. ” Ale pˇrece jenom. . . v dobˇre definovaném kontextu lze (omezenˇe) mluvit o prvc´ıch jako samostatn´ ych entit´ ach. Form´ alnˇe se napˇr´ıklad jedná o prvky pevnˇe dané nosné mnoˇziny.

Znaˇ cen´ ı mnoˇzin a jejich prvk˚ u: • x ∈ M x je prvkem mnoˇziny M“, ” • ∅ je pr´ azdná mnoˇzina {}. 19

Koment´ aˇ r: Nˇekteré vlastnosti vztahu b´ yt prvkem“ jsou ” ∗ a ∈ {a, b}, a 6∈ {{a, b}}, {a, b} ∈ {{a, b}}, a 6∈ ∅, ∅ ∈ {∅}, ∅ 6∈ ∅, ∗ rovnost mnoˇzin dle sv´ ych prvk˚ u {a, b} = {b, a} = {a, b, a}, {a, b} = 6 {{a, b}}.

Znaˇ cen´ ı : Poˇcet prvk˚ u (mohutnost) mnoˇziny A zapisujeme |A|. Koment´ aˇ r:

|∅| = 0, |{∅}| = 1,

|{a, b, c}| = 3, |{{a, b}, c}| = 2.

Jednoduch´ e srovn´ an´ı mnoˇ zin Vztah být prvkem mnoˇziny“ pˇrirozenˇe nám podává i zp˚ usob porovnáván´ı mnoˇzin mezi ” sebou. Jedná se o kl´ıˇcovou ˇcást teorie mnoˇzin. Definice: Mnoˇzina A je podmnoˇzinou mnoˇziny B, právˇe kdyˇz kaˇzdý prvek A je ˇ ıkáme také, ˇze se jedná o inkluzi. prvkem B. P´ıˇseme A ⊆ B nebo obrácenˇe B ⊇ A. R´ ∗ Plat´ı {a} ⊆ {a} ⊆ {a, b} 6⊆ {{a, b}}, ∗ A ( B pr´ avˇe kdyˇz A ⊆ B a A 6= B

∅ ⊆ {∅}, (A je vlastn´ı podmnoˇzinou B).

Z naivn´ı definice mnoˇziny pak pˇr´ımo vyplývá následuj´ıc´ı: Definice: Dvˇe mnoˇziny jsou si rovny A = B právˇe kdyˇz A ⊆ B a B ⊆ A. ∗ Podle naivn´ı definice jsou totiˇ z mnoˇziny A a B stejné, maj´ı-li stejné prvky. ∗ D˚ ukaz rovnosti mnoˇzin A = B má obvykle dvˇe ˇcásti: Oddˇelenˇe se dokáˇz´ı inkluze

A ⊆ B a B ⊆ A.

Uk´ azky nekoneˇ cn´ ych mnoˇ zin Znaˇ cen´ ı : Bˇeˇzné ˇc´ıselné mnoˇziny v matematice jsou následuj´ıc´ı

N = {0, 1, 2, 3, . . . } je mnoˇzina pˇrirozených ˇc´ısel, ∗ Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } je mnoˇ zina celých ˇc´ısel, + ∗ Z = {1, 2, 3, . . . } je mnoˇ zina celých kladných ˇc´ısel, zina racionáln´ıch ˇc´ısel (zlomk˚ u). ∗ Q je mnoˇ ∗ R je mnoˇ zina reálných ˇc´ısel. ∗

Koment´ aˇ r: Tyto uvedené ˇc´ıselné mnoˇziny jsou vesmˇes nekoneˇcné, na rozd´ıl od koneˇcn´ ych mnoˇzin uvaˇzovan´ ych v pˇredchoz´ım naivn´ım“ pohledu. Pojem nekoneˇcné mnoˇziny se ” pˇr´ımo v matematice objevil aˇz teprve v 19. stolet´ı a bylo s n´ım spojeno nˇekolik paradox˚ u ukazuj´ıc´ıch, ˇze naivn´ı pohled na teorii mnoˇzin pro nekoneˇcné mnoˇziny nedostaˇcuje. My se k problematice nekoneˇcn´ ych mnoˇzin, Kantorovˇe vˇetˇe a Russelovˇe paradoxu vrát´ıme v závˇeru naˇseho pˇredmˇetu v Lekci 12.

3.2

Mnoˇ zinov´ e operace

Zaˇcnˇeme se základn´ımi operacemi mnoˇzinového kalkulu, které zajisté na intuitivn´ı u ´ rovni jiˇz ovládáte ze ˇskoly. Pro formáln´ı u ´ plnost podáme jejich pˇresné definice, na které se m˚ uˇzete odvolávat v d˚ ukazech.

20

Z´ akladn´ı operace Definice 3.1. Sjednocen´ı ∪ a pr˚ unik ∩ dvou mnoˇzin A, B definujeme A ∪ B = {x | x ∈ A nebo x ∈ B} , A ∩ B = {x | x ∈ A a souˇcasnˇe x ∈ B} .

A∪B

A∩B

∗ Pˇr´ıklady {a, b, c} ∪ {a, d} = {a, b, c, d}, ∗ Vˇ zdy plat´ı distributivita“

” (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

{a, b, c} ∩ {a, d} = {a}.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) a A ∪ (B ∩ C) =

∗ a tak´ e asociativita“ A∩(B∩C) = (A∩B)∩C (stejnˇe pro ∪) a komutativita“ A∩B =

” B ∩ A (stejnˇe pro ∪).

”

Koment´ aˇ r: Asociativita a komutativita operac´ı sjednocen´ı a pr˚ uniku je na jednu stranu zcela pˇrirozená, na druhou stranu vˇsak velmi d˚ uleˇzit´ a napˇr´ıklad pro platnost n´ asleduj´ıc´ı definice.

Definice: Pro libovolný poˇcet mnoˇzin indexovaných pomoc´ı I rozˇs´ıˇrenˇe definujeme [ Ai = {x | x ∈ Ai pro nˇejaké i ∈ I} , \i∈I Ai = {x | x ∈ Ai pro kaˇzdé i ∈ I} . i∈I

N

S ych Koment´ aˇ r: Necht’ Ai = {2 · i} pro kaˇzdé i ∈ . Pak i∈N Ai je mnoˇ T zina vˇsech sud´ pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Necht’ Bi = {x | x ∈ , x ≥ i} pro kaˇzdé i ∈ . Pak i∈N Bi = ∅.

N

N

Mnoˇ zinov´ y rozd´ıl Definice 3.2. Rozd´ıl \ a symetrick´ y rozd´ıl ∆ dvou mnoˇzin A, B definujeme A \ B = {x | x ∈ A a souˇcasnˇe x 6∈ B} , A∆B = A \ B ∪ B \ A .

A\B ∗ Pˇr´ıklady {a, b, c} \ {a, b, d} = {c},

A∆B {a, b, c}∆{a, b, d} = {c, d}.

∗ Vˇ zdy plat´ı napˇr´ıklad A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) apod.

Definice: Pro libovolný poˇcet mnoˇzin indexovaných pomoc´ı koneˇcné I rozˇs´ıˇrenˇe definujeme y poˇcet i ∈ I} . i∈I Ai = {x | x ∈ Ai pro lich´

∆

21

Koment´ aˇ r: Povˇsimnˇete si, ˇze operace rozd´ılu nen´ı asociativn´ı ani komutativn´ı (ostatnˇe stejnˇe je tomu u aritmetického rozd´ılu). Symetrick´ y rozd´ıl uˇz asociativn´ı i komutativn´ı je, nen´ı to vˇsak na prvn´ı pohled vidˇet. Umˇeli byste toto dokázat?

Definice: Necht’ A ⊆ M. Doplnˇek A vzhledem k M je mnoˇzina A = M \ A. Koment´ aˇ r: Jedná se o ponˇekud specifickou operaci, která mus´ı b´ yt vztaˇzena vzhledem k nosné mnoˇzinˇe M ! Je-li M = {a, b, c}, pak {a, b} = {c}. Je-li M = {a, b}, pak {a, b} = ∅. ∗ Vˇ zdy pro A ⊆ M plat´ı A = A ( dvoj´ı“ doplnˇek).

” ∗ Vˇ zdy pro A, B ⊆ M plat´ı A ∪ B = A ∩B a A ∩ B = A ∪B. (Viz Vennovy diagramy.) Uspoˇ r´ adan´ e dvojice a kart´ ezsk´ y souˇ cin Zat´ımco prvky v mnoˇzinách jsou zcela neuspoˇrádané, jsou mnohé situace, kdy mus´ıme pracovat se seˇrazenými“ výˇcty prvk˚ u. V teorii mnoˇzin lze takovéto seˇrazen´ı definovat ” oklikou následovnˇe: Definice: Uspoˇrádaná dvojice (a, b) je zadána mnoˇzinou {{a}, {a, b}}.

Fakt: Plat´ı (a, b) = (c, d) právˇe kdyˇz a = c a souˇcasnˇe b = d. Umˇeli byste toto sami dokázat pˇr´ımo z podané definice? ∗ Co je podle definice (a, a)? Je to (a, a) = {{a}, {a, a}} = {{a}, {a}} = {{a}}.

ezsk´ y souˇ cin dvou mnoˇzin A, B definujeme jako Definice 3.3. Kart´ mnoˇzinu vˇsech uspoˇrádaných dvojic ze sloˇzek z A a B A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} . ∗ Pˇr´ıklady {a, b} × {a} = {(a, a), (b, a)}, {c, d} × {a, b} = {(c, a), (c, b), (d, a), (d, b)}. ∗ Plat´ı ∅ × X = ∅ = X × ∅ pro kaˇ zdou mnoˇzinu X. ∗ Jednoduch´ a mnemotechnická pom˚ ucka ˇr´ıká |A × B| = |A| · |B| .

N

Definice: Pro kaˇzdé k ∈ , k > 0 definujeme uspoˇrádanou k-tici (a1 , · · · , ak ) induktivnˇe – (a1 ) = a1 , – (a1 , · · · , ai , ai+1 ) = ((a1 , · · · , ai ), ai+1 ). Vˇsimnˇete si, ˇze definice pouˇz´ıvá tzv. rekurentn´ı vztah, bl´ıˇze viz Odd´ıl 3.4. Fakt: Plat´ı (a1 , · · · , ak ) = (b1 , · · · , bk ) právˇe kdyˇz ai = bi pro kaˇzdé i ∈ Definice kartézského souˇcinu v´ıce mnoˇzin: Pro kaˇzdé k ∈

N kde 1 ≤ i ≤ k.

N definujeme

A1 × · · · × Ak = {(a1 , · · · , ak ) | ai ∈ Ai pro kaˇzdé 1 ≤ i ≤ k} . ∗ Napˇr´ıklad ∗ Co je A0 ?

Z3 = Z × Z × Z = {(i, j, k) | i, j, k ∈ Z}.

{∅}, nebot’ jediná uspoˇrádaná 0-tice je právˇe prázdná ∅.

Pozn´ amka: Podle uvedené definice nen´ı souˇcin asociativn´ı, tj. obecnˇe nemus´ı platit, ˇze A × (B × C) = (A × B) × C. V matematické praxi je nˇekdy v´ yhodnˇejˇs´ı uvaˇzovat upravenou definici, podle n´ıˇz souˇcin asociativn´ı je. Pro u ´ˇcely této pˇrednáˇsky nen´ı podstatné, k jaké definici se pˇriklon´ıme. Prezentované definice a vˇety funguj´ı“ pro obˇe varianty. ”

22

Potenˇ cn´ı mnoˇ zina Definice 3.4. Potenˇ cn´ı mnoˇ zina mnoˇziny A, neboli mnoˇzina vˇsech podmnoˇzin, je definovaná vztahem 2A = {B | B ⊆ A} . ∗ Plat´ı napˇr´ıklad 2{a,b} = {∅, {a}, {b}, {a, b}}, ∗ 2∅ = {∅},

2{∅,{∅}} = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}},

∗ 2{a}×{a,b} = {∅, {(a, a)}, {(a, b)}, {(a, a), (a, b)}}.

Vˇ eta 3.5. Poˇcet prvk˚ u potenˇcn´ı mnoˇziny splˇ nuje |2A | = 2|A| .

D˚ ukaz: Struˇcnˇe indukc´ı podle |A|: Pro A = ∅ plat´ı |2A | = |{∅}| = 1. Pro kaˇzdý dalˇs´ı prvek b 6∈ A rozdˇel´ıme vˇsechny podmnoˇziny A ∪ {b} napolovic“ na ty neobsahuj´ıc´ı b a ” na ty obsahuj´ıc´ı b, tud´ıˇz A∪{b} 2 = 2 · 2A = 2|A|+1 = 2|A∪{b}| . ✷

3.3

Porovn´ av´ an´ı a urˇ cen´ı mnoˇ zin

Pro obecnou ilustraci formáln´ıho mnoˇzinového kalkulu si ukaˇzme dva d˚ ukazy rovnost´ı mezi mnoˇzinovými výrazy. Podobnˇe lze (rozepsán´ım pˇr´ısluˇsných definic) rutinnˇe dokazovat dalˇs´ı mnoˇzinové vztahy. Vˇ eta 3.6. Pro kaˇzdé dvˇe mnoˇziny A, B ⊆ M plat´ı A ∪ B = A ∩ B. D˚ ukaz v obou smˇerech rovnosti.

•

A ∪ B ⊆ A ∩ B: Pro x ∈ M plat´ı x ∈ A ∪ B, právˇe kdyˇz x 6∈ A ∪ B, neboli kdyˇz zároveˇ n x 6∈ A a x 6∈ B. To znamená x ∈ A a zároveˇ n x ∈ B, z ˇcehoˇz vyplývá poˇzadované x ∈ A ∩ B.

•

A ∪ B ⊇ A ∩ B: Pro x ∈ M plat´ı x ∈ A ∩ B, právˇe kdyˇz x ∈ A a zároveˇ n x ∈ B, neboli kdyˇz zároveˇ n x 6∈ A a x 6∈ B. To znamená x 6∈ A ∪ B, z ˇcehoˇz vyplývá poˇzadované x ∈ A ∪ B. ✷

Vˇ eta 3.7. Pro kaˇzdé tˇri mnoˇziny A, B, C plat´ı A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) . D˚ ukaz (viz ilustraˇcn´ı obrázek). •

A \ (B ∩ C) ⊆ (A \ B) ∪ (A \ C): Je-li x ∈ A \ (B ∩ C), pak x ∈ A a zároveˇ n x 6∈ (B ∩ C), neboli x 6∈ B nebo x 6∈ C. Pro prvn´ı moˇznost máme x ∈ (A \ B), pro druhou x ∈ (A \ C).

•

Naopak A \ (B ∩ C) ⊇ (A \ B) ∪ (A \ C): Je-li x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C), pak x ∈ (A \ B) nebo x ∈ (A \ C). Pro prvn´ı moˇznost máme x ∈ A a zároveˇ n x 6∈ B, z ˇcehoˇz plyne x ∈ A a zároveˇ n x 6∈ (B ∩ C), a tud´ıˇz x ∈ A \ (B ∩ C). Druhá moˇznost je analogická. ✷ 23

Charakteristick´ y vektor (pod)mnoˇ ziny V pˇr´ıpadech, kdy vˇsechny uvaˇzované mnoˇziny jsou podmnoˇzinami nˇejaké koneˇcné nosné mnoˇziny X, coˇz nen´ı neobvyklé v programátorských aplikac´ıch, s výhodou vyuˇzijeme následuj´ıc´ı reprezentaci mnoˇzin. Definice: Mˇejme nosnou mnoˇzinu X = {x1 , x2 , . . . , xn }. Pro A ⊆ X definujeme charakteristický vektor χA jako χA = (c1 , c2 , . . . , cn ), kde ci = 1 pro xi ∈ A a ci = 0 jinak. Uˇziteˇcnost této reprezentace je ilustrována také následovnými fakty. •

Plat´ı A = B právˇe kdyˇz χA = χB .

•

Mnoˇzinové operace jsou realizovány bitovými funkcemi“ ” sjednocen´ı ∼ OR, pr˚ unik ∼ AND, symetrický rozd´ıl ∼ XOR.

Princip inkluze a exkluze Tento d˚ uleˇzitý a zaj´ımavý kombinatorický princip je nˇekdy také nazýván princip zapo” jen´ı a vypojen´ı“. Pouˇz´ıvá se ke zjiˇst’ován´ı poˇct˚ u prvk˚ u mnoˇzin s neprázdnými pr˚ uniky. Vˇ eta 3.8. Poˇcet prvk˚ u ve sjednocen´ı dvou ˇci tˇr´ı mnoˇzin spoˇc´ıtáme: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

1×

A

2×

A

1×

B

B C

D˚ ukaz: Uvedeme si podrobný d˚ ukaz prvn´ıho vztahu |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, pˇriˇcemˇz druhá ˇcást je analogická (viz obrázková ilustrace). Necht’ x ∈ A ∪ B. Pokud x 6∈ B, tak je x ∈ A a prvek x je zapoˇc´ıtán na pravé stranˇe |A| + |B| − |A ∩ B| právˇe jednou v |A|. Obdobnˇe je to v pˇr´ıpadˇe x 6∈ A. Nakonec pro x ∈ A ∩ B je ve vztahu |A| + |B| − |A ∩ B| tento prvek x zapoˇc´ıtán také 1 + 1 − 1 = 1 krát. ✷ Koment´ aˇ r: Vˇsimnˇete si, ˇze Vˇetu 3.8 lze stejnˇe tak vyuˇz´ıt k v´ ypoˇctu poˇctu prvk˚ u v pr˚ uniku mnoˇzin. . .

Pˇ r´ıklad 3.9. Z 1000 televiz´ı jich pˇri prvn´ı kontrole na výrobn´ı lince má 5 vadnou obrazovku, 10 je poˇskrábaných a 12 má jinou vadu. Pˇritom 3 televize maj´ı souˇcasnˇe vˇsechny tˇri vady a 4 jiné jsou poˇskrábané a maj´ı jinou vadu. Kolik televiz´ı je celkem vadných? ˇ sen´ı: Dosazen´ım |A| = 5, |B| = 10, |C| = 12, |A ∩ B ∩ C| = 3, (zde pozor) Reˇ |A ∩ B| = 3 + 0, |A ∩ C| = 3 + 0, |B ∩ C| = 3 + 4 do Vˇety 3.8 zjist´ıme výsledek 17. ✷ 24

Pozn´ amka. Jen struˇcnˇe, bez d˚ ukazu a bliˇzˇs´ıho vysvˇetlen´ı, si uvedeme obecnou formu principu inkluze a exkluze: n \ X [ Aj = (−1)|I|−1 · Ai j=1 ∅6=I⊆{1,...,n} i∈I

(Jeho znalost nebude v pˇredmˇetu vyˇzadována.)

3.4

Posloupnosti a rekurentn´ı vztahy

Uspoˇrádané k-tice (Odd´ıl 3.2) jsou také nazývány koneˇcnými posloupnostmi délky k, neboli seˇrazen´ımi prvk˚ u z dané neprázdné mnoˇziny hodnot (opakován´ı prvk˚ u je povoleno). Tento pohled lze pˇrirozenˇe zobecnit na nekoneˇcné posloupnosti, avˇsak mus´ıme sáhnout k trochu pokroˇcilejˇs´ım pojm˚ um (viz také Odd´ıl 4.1 o funkc´ıch):

N

Definice: Nekoneˇcná posloupnost p je funkc´ı z do svého oboru hodnot H, neboli p : → H. Mimo funkˇcn´ıho“ zápisu p(n) ˇcasto pouˇz´ıváme indexovou“ formu zápisu ” ” funkˇcn´ı hodnoty pn .

N

Pozn´ amka: Oborem hodnot posloupnosti obvykle b´ yv´ a nˇejak´ a ˇc´ıseln´ a mnoˇzina, ale m˚ uˇze to b´ yt i jak´ akoliv jiná mnoˇzina. Také definiˇcn´ı obor posloupnosti m˚ uˇze zaˇc´ınat od nuly nebo i od jedniˇcky, jak je v aplikac´ıch potˇreba. •

Pˇr´ıklady posloupnost´ı: ∗ p0 = 0, p1 = 2, . . . , pi = 2i, . . . je posloupnost sud´ ych nezáporných ˇc´ısel.

∗ 3, 3.1, 3.14, 3.141, . . . je posloupnost postupn´ ych dekadických rozvoj˚ u π. ∗ 1, −1, 1, −1, . . . je posloupnost urˇ cená vztahem pi = (−1)i , i ≥ 0.

∗ Pokud chceme stejnou posloupnost 1, −1, 1, −1, . . . zadat jako qi , i ≥ 1, tak ji

urˇc´ıme vzorcem qi = (−1)i−1 .

•

Posloupnost je rostouc´ı (ˇci klesaj´ıc´ı), pokud pn+1 > pn ( pn+1 < pn ) pro vˇsechna n.

Rekurentn´ı definice posloupnosti Slovem rekurentn´ı oznaˇcujeme takové definice (ˇci popisy), které se v jistých bodech odvolávaj´ı samy na sebe. (Uˇz jste se setkali s rekurz´ı“ pˇri programován´ı? A v´ıte, co ” znamená?) M´ısto nepˇrehledných formáln´ıch definic si rekurentn´ı vztahy uvedeme nˇekolika názornými ukázkami. •

•

•

Zadáme-li posloupnost pn vztahy p0 = 1 a pn = 2pn−1 pro n > 0, pak plat´ı pn = 2n pro vˇsechna n. Obdobnˇe m˚ uˇzeme zadat posloupnost qn vztahy q1 = 1 a qn = qn−1 + n pro n > 1. Potom plat´ı qn = 21 n(n + 1) pro vˇsechna n. Umˇeli byste toto dokázat indukc´ı? Viz Pˇr´ıklad 2.8. Známá Fibonacciho posloupnost je zadaná vztahy f1 = f2 = 1 a fn = fn−1 + fn−2 pro n > 2. Pˇ r´ıklad 3.10. Posloupnost f je zadaná rekurentn´ı definic´ı f (0) = 3

a

f (n + 1) = 2 · f (n) + 1 25

pro vˇsechna pˇrirozená n. Urˇcete hodnotu f (n) explicitn´ım vzorcem v závislosti na n. ˇ sen´ı: V prvn´ı fázi ˇreˇsen´ı takového pˇr´ıkladu mus´ıme nˇejak uhodnout“ hledaný Reˇ ” vzorec pro f (n). Jak? Zkus´ıme vypoˇc´ıtat nˇekolik prvn´ıch hodnot a uvid´ıme. . . f (1) f (2) f (3) f (4)

= = = =

2 · f (0) + 1 = 2 · 3 + 1 = 7 2 · f (1) + 1 = 2 · 7 + 1 = 15 2 · f (2) + 1 = 2 · 15 + 1 = 31 2 · f (3) + 1 = 2 · 31 + 1 = 63

Nepˇripom´ınaj´ı nám tato ˇc´ısla nˇeco? Co tˇreba posloupnost 8 − 1, 16 − 1, 32 − 1, 64 − 1. . . ? Bystrému ˇctenáˇri se jiˇz asi podaˇrilo uhodnout, ˇze p˚ ujde o mocniny dvou sn´ıˇzené o 1. Pˇresnˇeji, f (n) = 2n+2 − 1 (proˇc je exponent n + 2 ? inu proto, aby správnˇe vyˇslo f (0)). Ve druhé nesm´ıme ale zapomenout správnost naˇseho vˇeˇstˇen´ı“ dokázat, nejlépe ” matematickou indukc´ı podle n. • B´ aze: f (0) = 20+2 − 1 = 4 − 1 = 3 plat´ı. •

Indukˇcn´ı krok: za vyuˇzit´ı indukˇcn´ıho pˇredpokladu f (n + 1) = 2 · f (n) + 1 = 2 · (2n+2 − 1) + 1 = 2 · 2n+2 − 2 + 1 = 2(n+1)+2 − 1,

coˇz také plat´ı. Podle principu matematické indukce je nyn´ı dokázáno, ˇze pro zadanou rekurentn´ı posloupnost f plat´ı f (n) = 2n+2 − 1 pro vˇsechna pˇrirozená n. ✷ Navazuj´ıc´ı studium I kdyˇz jste se s “mnoˇzinami” setkávali uˇz od základn´ı ˇskoly, do matematické teorie mnoˇzin asi nahlédnete na VSˇ poprvé. Nezaleknˇete se na u ´vod formality vyjadˇrován´ı, která je bohuˇzel nezbytná, a nauˇcte se s mnoˇzinami a relacemi dobˇre pracovat aspoˇ n na zde ukázané naivn´ı u ´rovni koneˇcné teorie mnoˇzin. (Lehk´ y n´ ahled na obecnˇe nekoneˇcné mnoˇziny a jejich zd´ anlivé paradoxy i informatické aplikace si ukáˇzeme pozdˇeji v Lekci 12. . . ) Dále si srovnejte pojem posloupnosti s pojmem funkce v Odd´ılu 4.1 a také si pozdˇeji povˇsimnˇete bl´ızké koncepˇcn´ı podobnosti rekurentn´ıch definic s induktivn´ımi definicemi mnoˇzin a funkc´ı v Odd´ıle 6.5.

26

4

Relace a funkce, Ekvivalence ´ Uvod V n´ avaznosti na pˇredchoz´ı lekci si podrobnˇe rozebereme matematické formalismy relac´ı a funkc´ı. Na rozd´ıl od mnoˇzin, které se v jisté velmi naivn´ı formˇe objevuj´ı uˇz na základn´ı ˇskole, se relac´ım v jejich abstraktn´ı podobˇe moc pozornosti ve v´ yuce nevˇenuje. Stejnˇe tak s pojmem funkce jste se jiˇz setkali na niˇzˇs´ıch stupn´ıch ˇskol, ale povˇetˇsinou jen ve spojen´ı s aritmetick´ ymi a analytick´ ymi funkcemi tvaru x + 1, x2 − y, ˇci sin x, 1 + cos x2 , atd. Jak uvid´ıte nyn´ı, pojmy relace i funkce jsou zcela abstraktn´ı a neváˇze se nˇe ˇzádn´ y analytick´ y vzorec v´ ypoˇctu ˇci podobné. Pˇritom na pojem (zcela obecné) relace velmi brzo naraz´ı kaˇzd´ y informatik pˇri studiu dat a datab´ az´ı. Nen´ı to vˇsak jen oblast relaˇcn´ıch datab´ az´ı, ale i jiná m´ısta informatiky, kde se obecné funkce a relace skr´ yvaj´ı ˇci pˇr´ımo explicitnˇe objevuj´ı. Nejˇcastˇeji se setkáte s bin´ arn´ımi relacemi, napˇr´ıklad vˇzdy, kdyˇz rozdˇelujete objekty podle shodn´ ych“ znak˚ u (relace ekvivalence), nebo kdyˇz objekty mezi sebou porovnáváte“ ” ” ad´ an´ı). Na tyto dvˇe z´ akladn´ı oblasti se d´ ale zamˇeˇr´ıme. (relace uspoˇr´

C´ıle

´ Ukolem této lekce je vybudovat matematick´ y apar´ at (koneˇcn´ ych) relac´ı, s primárn´ım zamˇeˇren´ım na funkce a bin´ arn´ı relace typu ekvivalence a uspoˇra´d´ an´ı. Ve vztahu k bin´ arn´ım relac´ım je zavedeno mnoˇzstv´ı pojm˚ u, které jsou pozdˇeji uˇziteˇcné v r˚ uzn´ ych oblastech matematiky i informatiky. L´ atka pak plynule pokraˇcuje Lekc´ı 5.

4.1

Relace a funkce nad mnoˇ zinami

Vedle mnoˇzin dalˇs´ım d˚ uleˇzitým základn´ım datovým typem“ matematiky jsou relace, ” kterým vzhledem k jejich mnohotvárnému pouˇzit´ı v informatice vˇenujeme významnou pozornost v této i dvou pˇr´ıˇst´ıch lekc´ıch. Definice 4.1. Relace mezi mnoˇzinami A1 , · · · , Ak , pro k ∈ je libovolná podmnoˇzina kartézského souˇcinu

N,

R ⊆ A1 × · · · × Ak . Pokud A1 = · · · = Ak = A, hovoˇr´ıme o k-árn´ı relaci R na A. Speciálnˇe tak mluv´ıme tˇreba o binárn´ı (k = 2), ternárn´ı (k = 3) nebo unárn´ı (k = 1) relaci. Koment´ aˇ r: Pˇr´ıklady relac´ı. ∗ {(1, a), (2, a), (2, b)} je relace mezi {1, 2, 3} a {a, b}.

N} je binárn´ı relace na N. {(i, j, i + j) | i, j ∈ N} je tern´ arn´ı relace na N. arn´ı relace na N. {3 · i | i ∈ N} je un´

∗ {(i, 2 · i) | i ∈ ∗ ∗

∗ Jak´ y v´ yznam vlastnˇe maj´ı un´ arn´ı a nul´ arn´ı relace na A? Uvˇedomme si, jak obecnˇe je relace definována – jej´ı definice umoˇzn ˇuje podchytit skuteˇcnˇe libovolné vztahy“ mezi prvky téˇze i r˚ uzn´ ych mnoˇzin. V praxi se relace velmi ˇsiroce vyuˇz´ıvaj´ı ” tˇreba v relaˇcn´ıch datab´ az´ıch. . .

27

Funkce mezi mnoˇ zinami Za prvn´ı setkán´ı s instancemi relac´ı se vˇetˇsinou dá povaˇzovat pojem funkce. Pˇritom tradiˇcn´ı ˇskoln´ı“ pojet´ı funkce ji obvykle identifikuje s nˇejakým výpoˇcetn´ım (analytickým) ” pˇredpisem ˇci vzorcem. Pojem funkce je vˇsak daleko obecnˇejˇs´ı a zcela abstraktn´ı. aln´ı) funkce z mnoˇziny A do mnoˇziny B Definice 4.2. (Tot´ je relace f mezi A a B taková, ˇze pro kaˇzdé x ∈ A existuje právˇe jedno y ∈ B takové, ˇze (x, y) ∈ f . Mnoˇzina A se nazývá definiˇcn´ı obor a mnoˇzina B obor hodnot funkce f . Koment´ aˇ r: Neformálnˇe ˇreˇceno, ve funkci f je kaˇzdé vstupn´ı“ hodnotˇe x pˇriˇrazena jed” noznaˇcnˇe v´ ystupn´ı“ hodnota y. (V obecné relaci poˇcty pˇriˇrazen´ ych“ dvojic neomezu” ” jeme. . . )

Na druhou stranu si vˇsimnˇete, ˇze definiˇcn´ı obor i obor hodnot jsou souˇcást´ı definice konkrétn´ı funkce, neboli napˇr´ıklad v ukázce je oborem hodnot B = {a, b, c, d}, pˇrestoˇze samotné c nen´ı hodnotou pro ˇz´ adn´ y vstup.

Znaˇ cen´ ı : M´ısto (x, y) ∈ f p´ıˇseme obvykle f (x) = y. Zápis f : A → B ˇr´ıká, ˇze f je funkce s definiˇcn´ım oborem A a oborem hodnot B. Funkc´ım se také ˇr´ıká zobrazen´ı. Koment´ aˇ r: Pˇr´ıklady funkc´ı jsou tˇreba n´ asleduj´ıc´ı. ∗ Definujeme funkci f : → pˇredpisem f (x) = x + 8. Pak f = {(x, x + 8) | x ∈ ∗

N N Definujeme funkci plus : N × N → N pˇredpisem plus(i, j) = i + j. Pak plus = {(i, j, i + j) | i, j ∈ N}.

N}.

Parci´ aln´ı funkce Definice: Pokud naˇsi Definici 4.2 uprav´ıme tak, ˇze poˇzadujeme pro kaˇzdé x ∈ A nejvýˇse jedno y ∈ B takové, ˇze (x, y) ∈ f , obdrˇz´ıme definici parciáln´ı funkce z A do B. Koment´ aˇ r:

V parci´ aln´ı funkci f nemus´ı b´ yt pro nˇekteré vstupn´ı“ hodnoty x funkˇcn´ı hodnota definována ” (viz napˇr´ıklad f (2) v uvedeném obr´ azku).

Pro nedefinovanou hodnotu pouˇz´ıváme znak ⊥.

Koment´ aˇ r: Následuje nˇekolik pˇr´ıklad˚ u parci´ aln´ıch funkc´ı.

28

∗ Definujeme parci´ aln´ı funkci f :

Z → N pˇredpisem

f (x) = Tj. f = {(x, 3 + x) | x ∈

R R

N}.

3+x ⊥

jestliˇze x ≥ 0, jinak.

a bˇeˇzn´ ym analytick´ ym pˇredpisem f (x) = log x je jen parci∗ Také funkce f : → dan´ áln´ı – nen´ı definována pro x ≤ 0. ˇ jejich (ˇceská) rodn´ ∗ Co je relace, pˇriˇrazuj´ıc´ı lidem v CR a ˇc´ısla?

4.2

Reprezentace koneˇ cn´ ych relac´ı

Oblast´ı, kde informatici nejˇcastˇeji potkaj´ı obecné relace, je bezesporu ukládán´ı dat. To proto, ˇze shromaˇzd’ovaná data, stejnˇe jako relace, pˇredevˇs´ım sleduj´ı vztahy mezi objekty. Na druhou stranu je relaˇcn´ı databáze zcela obecnou ukázkou reprezentace jakékoliv relace, kterou si ilustrujeme pˇr´ıkladem. Pˇ r´ıklad 4.3. Tabulka relaˇcn´ı databáze prezentuje obecnou relaci. Definujme následuj´ıc´ı mnoˇziny ( elementárn´ı typy“) ” ∗ ZNAK = {a, · · · , z, A, · · · , Z, mezera}, ∗ CISLICE = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Dále definujeme tyto mnoˇziny ( odvozené typy“) ” ∗ JMENO = ZNAK15 , PRIJMENI = ZNAK20 ,

VEK = CISLICE3 ,

∈“ JMENO × PRIJMENI × VEK. ” Relaci typu“ ZAMESTNANEC pak lze reprezentovat tabulkou: ” ∗ ZAMESTNANEC

JMENO Jan Petr Pavel Stanislav

PRIJMENI Novák Vichr Z´ıma Novotný

VEK 42 28 26 52

✷

Reprezentace bin´ arn´ıch relac´ı na mnoˇ zinˇ e Jistˇe ˇctenáˇri uznaj´ı, ˇze zadán´ı relace výˇctem jej´ıch sloˇzek nen´ı pro ˇclovˇeka (na rozd´ıl od poˇc´ıtaˇce) t´ım nejpˇr´ıjemnˇejˇs´ım zp˚ usobem. Je tedy pˇrirozené se ptát, jak co nejnázornˇeji takovou relaci, alespoˇ n v jej´ı nejˇcastˇejˇs´ı binárn´ı podobˇe, ukázat. Znaˇ cen´ ı : Binárn´ı relaci R ⊆ M × M lze jednoznaˇcnˇe znázornit jej´ım grafem: • Prvky M zn´ azorn´ıme jako body v rovinˇe. •

Prvek (a, b) ∈ R znázorn´ıme jako orientovanou hranu ( ˇsipku“) z a do b. Je-li a = b, ” pak je touto hranou smyˇcka“ na a. ”

29

Koment´ aˇ r: Pozor, nejedn´ a se o grafy funkc´ı“ zn´ amé z matematické anal´ yzy. ” Napˇr´ıklad mˇejme M = {a, b, c, d, e, f } a R = {(a, a), (a, b), (b, c), (b, d), (b, e), (b, f ), (d, c), (e, c), (f, c), (e, d), (e, f ), (f, b)}, pak: f s a s

s

e sd

s

b s

c

V pˇr´ıpadˇe, ˇze M je nekoneˇcná nebo velká“, m˚ uˇze být reprezentace R jej´ım grafem ” nepraktická (záleˇz´ı také na m´ıˇre pravidelnosti“ R). ” Znaˇ cen´ ı : Binárn´ı relaci R ⊆ M × M lze jednoznaˇcnˇe zapsat také pomoc´ı matice relace – matice A typu M × M s hodnotami z {0, 1}, kde ai,j = 1 právˇe kdyˇz (i, j) ∈ R. Koment´ aˇ r: f s a s

s

e sd

s

b

a b c d e f

→

s

c

4.3

 1 0  0  0  0 0

1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 1 1

0 1 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

 0 1  0 =A 0  1 0

Vlastnosti bin´ arn´ıch relac´ı

Pro zaˇcátek dalˇs´ıho matematického výkladu relac´ı si výˇctem a doprovodnými schematickými obrázky uvedeme pˇet základn´ıch vlastnost´ı binárn´ıch relac´ı, které nás typicky v matematice zaj´ımaj´ı. Definice 4.4. •

Necht’ R ⊆ M × M. Binárn´ı relace R je

reflexivn´ı, právˇe kdyˇz pro kaˇzdé a ∈ M plat´ı (a, a) ∈ R; s

•

s

ireflexivn´ı, právˇe kdyˇz pro kaˇzdé a ∈ M plat´ı (a, a) 6∈ R; s

X

s

X

•

symetrická, právˇe kdyˇz pro kaˇzdé a, b ∈ M plat´ı, ˇze jestliˇze (a, b) ∈ R, pak také (b, a) ∈ R; s b a s

•

antisymetrická, právˇe kdyˇz pro kaˇzdé a, b ∈ M plat´ı, ˇze jestliˇze (a, b), (b, a) ∈ R, pak a = b; a s

X

30

s

b

•

tranzitivn´ı, právˇe kdyˇz pro kaˇzdé a, b, c ∈ M plat´ı, ˇze jestliˇze (a, b), (b, c) ∈ R, pak také (a, c) ∈ R. a b c s

s

s

Následuj´ı dva základn´ı typy binárn´ıch relac´ı; kde R je • relace ekvivalence, pr´ avˇe kdyˇz je R reflexivn´ı, symetrická a tranzitivn´ı; •

ˇcásteˇcné uspoˇrádán´ı, právˇe kdyˇz je R reflexivn´ı, antisymetrická a tranzitivn´ı (ˇcasto ˇr´ıkáme jen uspoˇrádán´ı). Koment´ aˇ r: Pozor, m˚ uˇze b´ yt relace symetrická i antisymetrická zároveˇ n? Ano! Vezmˇete si relaci R = {(x, x) | x ∈ M }, která obˇe jmenované vlastnosti splˇ nuje. Proto pokud jste tˇreba dot´ az´ ani, zda relace je symetrická, nestaˇc´ı se v odpovˇedi odvolávat na fakt, ˇze je antisymetrická(!), nebot’ tyto vlastnosti se nevyluˇcuj´ı. s

s

s

Pˇ r´ıklad 4.5. Nˇekolik pˇr´ıklad˚ u relac´ı definovaných v pˇrirozeném jazyce. Necht’ M je mnoˇzina vˇsech student˚ u 1. roˇcn´ıku FI. Uvaˇzme postupnˇe relace R ⊆ M × M definované takto ∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x a y maj´ı stejné rodné ˇc´ıslo; ∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x má stejnou výˇsku jako y (dejme tomu na celé mm); ∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz výˇska x a y se neliˇs´ı v´ıce jak o 2 mm; ∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x má alespoˇ n takovou výˇsku jako y; ∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x má jinou výˇsku neˇz y (dejme tomu na celé mm); ∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x je zamilován(a) do y.

Zamyslete se podrobnˇe, které z definovaných vlastnost´ı tyto jednotlivé relace maj´ı. Které z nich tedy jsou ekvivalenc´ı nebo uspoˇrádán´ım? ✷ Pˇ r´ıklad 4.6. Jaké vlastnosti maj´ı následuj´ıc´ı relace? ∗ Bud’ R ⊆

ˇ asteˇcné uspoˇrádán´ı, N×N definovaná takto (x, y) ∈ R právˇe kdyˇz x dˇel´ı y. (C´

∗ Bud’ R ⊆

N N

ale ne kaˇzdá dvˇe ˇc´ısla jsou porovnatelná.)

× definovaná takto (x, y) ∈ R právˇe kdyˇz x a y maj´ı stejný zbytek po dˇelen´ı ˇc´ıslem 5. (Ekvivalence.)

∗ Necht’ F = {f | f :

N

N

→ } je mnoˇzina funkc´ı. Bud’ R ⊆ F × F definovaná takto (f, g) ∈ R právˇe kdyˇz f (x) < g(x) pro vˇsechna x. (Ireflexivn´ı, antisymetrická a tranzitivn´ı, ale ne reflexivn´ı – striktnˇe ˇreˇceno nen´ı uspoˇrádán´ım.) ✷

31

4.4

Relace ekvivalence

Nyn´ı se hloubˇeji pod´ıvejme na prvn´ı specifický typ binárn´ı relace zm´ınˇený výˇse: Podle Definice 4.4 je relace R ⊆ M × M ekvivalence právˇe kdyˇz R je reflexivn´ı, symetrická a tranzitivn´ı. Tyto tˇri vlastnosti tedy mus´ı být splnˇeny a ovˇeˇreny k d˚ ukazu toho, ˇze daná relace R je ekvivalence. Koment´ aˇ r: Jak vypadá graf relace ekvivalence? Pomˇernˇe pˇr´ıznaˇcnˇe, jak n´ am ukazuje n´ asleduj´ıc´ı obr´ azek (vˇsimnˇete si absence ˇsipek, která je d´ ana symetri´ı relace).

Neformálnˇe ˇreˇceno; ekvivalence je relace R ⊆ M × M , taková, ˇze (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x a y jsou v nˇejakém smyslu stejné“. ”

Znaˇ cen´ ı . V pˇr´ıpadˇe relace ekvivalence se nˇekdy lze setkat s pojmenován´ım jako ∼ ˇci ≈ m´ısto R. M´ısto (x, y) ∈ R se pak p´ıˇse x ≈ y. Pˇ r´ıklad 4.7. Necht’ M je mnoˇzina vˇsech student˚ u 1. roˇcn´ıku FI. Uvaˇzme postupnˇe relace R ⊆ M × M definované následovnˇe a zkoumejme, zda se jedná o ekvivalence:

∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x má stejnou výˇsku jako y;

∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x má stejnou barvu vlas˚ u jako y; ∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x, y maj´ı stejnou výˇsku a stejnou barvu vlas˚ u; ∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x, y maj´ı stejnou výˇsku nebo stejnou barvu vlas˚ u.

U kterého body se nejedná o relaci ekvivalence a proˇc? Je to posledn´ı pˇr´ıpad, kdy nen´ı splnˇena tranzitivita. ✷ Uvedený pˇr´ıklad ukazuje na náaleduj´ıc´ı univerzáln´ı poznatek, který m˚ uˇze platit (a taky plat´ı) pouze pro pr˚ unik a nikoliv pro sjednocen´ı. Tvrzen´ı 4.8. Necht’ R, S jsou dvˇe relace ekvivalence na stejné mnoˇzinˇe M. Pak jejich pr˚ unik R ∩ S je opˇet relac´ı ekvivalence.

D˚ ukaz (náznak): Jelikoˇz reflexivita a symetrie je zˇrejmá, staˇc´ı snadno ovˇeˇrit platnost tranzitivity na R ∩ S. Necht’ (a, b), (b, c) ∈ R ∩ S, pak podle tranzitivity kaˇzdé samostatné z R, S plyne (a, c) ∈ R a zároveˇ n (a, c) ∈ S. ✷

N N

Pˇ r´ıklad 4.9. Necht’ R ⊆ × je binárn´ı relace definovaná takto: (x, y) ∈ R právˇe kdyˇz |x − y| je dˇelitelné tˇremi. V jakém smyslu jsou zde x a y stejné“? Dávaj´ı stejný zbytek po dˇelen´ı tˇremi. ✷ ” Pˇ r´ıklad 4.10. Bud’ R binárn´ı relace mezi vˇsemi studenty na pˇrednáˇsce FI: IB000 definovaná takto: (x, y) ∈ R právˇe kdyˇz x i y sed´ı v prvn´ı lavici. Uˇz na prvn´ı pohled“ jde o relaci symetrickou a tranzitivn´ı. Proˇc se v tomto pˇr´ıpadˇe ” nejedná o relaci ekvivalence? Protoˇze nen´ı reflexivn´ı pro studenty sed´ıc´ı v dalˇs´ıch lavic´ıch. (Takˇze si dávejte dobrý pozor na správné pochopen´ı definic.) ✷ 32

4.5

Rozklady a jejich vztah k ekvivalenc´ım

Nápln´ı následuj´ıc´ı ˇcásti výkladu je ukázat jiný pˇrirozený pohled na ekvivalence. Tento nový pohled nám matematicky formalizuje pˇredstavu ekvivalence jako rozdˇelen´ı prvk˚ u nosné mnoˇziny M na hromádky“, pˇriˇcemˇz prvky kaˇzdé jednotlivé hromádky jsou si ” navzájem v jistém smyslu stejné“. ” ziny. Necht’ M je mnoˇzina. Definice 4.11. Rozklad mnoˇ Rozklad (na) M je mnoˇzina podmnoˇzin N ⊆ 2M splˇ nuj´ıc´ı následuj´ıc´ı tˇri podm´ınky: – ∅ 6∈ N (tj. kaˇzdý prvek N je neprázdná podmnoˇzina M); – pokud A, B ∈ N , pak bud’ A = B nebo A ∩ B = ∅; S – A∈N A = M. Prvk˚ um N se také ˇr´ıká tˇr´ıdy rozkladu.

Koment´ aˇ r: ∗ Bud’ M = {a, b, c, d}. Pak N = {{a}, {b, c}, {d}} je rozklad na M .

N

N

| k mod 3 = 0}, A1 = {k ∈ | k mod 3 = 1}, A2 = {k ∈ ∗ Necht’ A0 = {k ∈ | k mod 3 = 2}. Pak N = {A0 , A1 , A2 } je rozklad vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel podle zbytkov´ ych tˇr´ıd.

N

N

Kaˇzdý rozklad N na M jednoznaˇcnˇe urˇcuje jistou ekvivalenci RN na M: Vˇ eta 4.12. Necht’ M je mnoˇzina a N rozklad na M. Necht’ RN ⊆ M × M je relace na M definovaná takto (x, y) ∈ RN právˇe kdyˇz existuje A ∈ N taková, ˇze x, y ∈ A.

Pak RN je ekvivalence na M.

•

D˚ ukaz: Dokáˇzeme, ˇze RN je reflexivn´ı, symetrická a tranzitivn´ı (Definice 4.4). Reflexivita: Bud’ x ∈ M libovolné. Jelikoˇz N je rozklad na M, mus´ı existovat A ∈ N takové, ˇze x ∈ A (jinak spor se tˇret´ı podm´ınkou z Definice 4.11). Proto (x, x) ∈ RN , tedy RN je reflexivn´ı.

•

Symetrie: Necht’ (x, y) ∈ RN . Podle definice RN pak existuje A ∈ N taková, ˇze x, y ∈ A. To ale znamená, ˇze také (y, x) ∈ RN podle definice RN , tedy RN je symetrická.

•

Tranzitivita: Necht’ (x, y), (y, z) ∈ RN . Podle definice RN existuj´ı A, B ∈ N takové, ˇze x, y ∈ A a y, z ∈ B. Jelikoˇz A ∩ B 6= ∅, podle druhé podm´ınky z Definice 4.11 plat´ı A = B. Tedy x, z ∈ A = B, proto (x, z) ∈ RN podle definice RN . ✷ Kaˇzdá ekvivalence R na M naopak jednoznaˇcnˇe urˇcuje jistý rozklad M/R na M:

Vˇ eta 4.13. Necht’ M je mnoˇzina a R ekvivalence na M. Pro kaˇzdé x ∈ M definujeme mnoˇzinu [x] = {y ∈ M | (x, y) ∈ R} . Pak {[x] | x ∈ M} je rozklad na M, který znaˇc´ıme M/R a ˇcteme rozklad M podle R“. ”

33

[c]

[h]

[d]

[g] [b]

M

• •

[e] [f ]

[a]

D˚ ukaz: Dokáˇzeme, ˇze M/R splˇ nuje podm´ınky Definice 4.11. Pro kaˇzdé [x] ∈ M/R plat´ı [x] 6= ∅, nebot’ x ∈ [x]. Necht’ [x], [y] ∈ M/R. Ukáˇzeme, ˇze pokud [x] ∩ [y] 6= ∅, pak [x] = [y]. Jestliˇze [x] ∩ [y] 6= ∅, existuje z ∈ M takové, ˇze z ∈ [x] a z ∈ [y]. Podle definice [x] a [y] to znamená, ˇze (x, z), (y, z) ∈ R. Jelikoˇz R je symetrická a (y, z) ∈ R, plat´ı (z, y) ∈ R. Jelikoˇz (x, z), (z, y) ∈ R a R je tranzitivn´ı, plat´ı (x, y) ∈ R. Proto také (y, x) ∈ R (opˇet ze symetrie R). Nyn´ı dokáˇzeme, ˇze [y] = [x]: ∗ ∗

•

[x] ⊆ [y]“: Necht’ v ∈ [x]. Pak (x, v) ∈ R podle definice [x]. Dále (y, x) ∈ R (viz v´ yˇse), ” tedy (y, v) ∈ R nebot’ R je tranzitivn´ı. To podle definice [y] znamená, ˇze v ∈ [y].

[y] ⊆ [x]“: Necht’ v ∈ [y]. Pak (y, v) ∈ R podle definice [y]. Dále (x, y) ∈ R (viz v´ yˇse), ” tedy (x, v) ∈ R nebot’ R je tranzitivn´ı. To podle definice [x] znamená, ˇze v ∈ [x].

Plat´ı

S

[x]∈M/R [x]

= M, nebot’ x ∈ [x] pro kaˇzdé x ∈ M.

✷

Navazuj´ıc´ı studium Mˇejte na pamˇeti, ˇze na pojmech mnoˇzin, relac´ı a funkc´ı jsou vystavˇeny prakticky vˇsechny skuteˇcné datové struktury pouˇz´ıvané v dneˇsn´ı informatice, coˇz m˚ uˇzete vidˇet na relaˇcn´ıch datab´ az´ıch (viz také Lekce 6) a na ˇcasto se vyskytuj´ıc´ıch induktivn´ıch definic´ıch (Odd´ıl 6.5). S relacemi ekvivalence i jimi implicitnˇe definovan´ ymi rozklady mnoˇzin se lze setkat tam, kde nˇejaké objekty “rozdˇelujeme do pˇrihrádek” podle nˇejak´ ych sd´ılen´ ych znak˚ u nebo jin´ ych kritéri´ı. Principy takov´ ych rozklad˚ u vám zajisté byly intuitivnˇe zn´ amy jeˇstˇe dˇr´ıve, neˇz jste v˚ ubec slyˇseli o matematickém pojmu ekvivalence, v této lekci jsme si je jen uvedli na formáln´ıch z´ akladech. Toto form´ aln´ı pojet´ı relac´ı ekvivalence a rozklad˚ u budete potˇrebovat v r˚ uzn´ ych navazuj´ıc´ıch pˇredmˇetech, napˇr´ıklad u teorie automat˚ u.

34

5

Uspoˇ r´ adan´ e mnoˇ ziny, Uz´ avˇ ery ´ Uvod V této lekci d´ ale pokraˇcujeme prob´ır´ an´ım bin´ arn´ıch relac´ı na mnoˇzin´ ach jako n´ astroj˚ u vyjadˇruj´ıc´ıch vztahy mezi objekty. Zamˇeˇrujeme se nyn´ı pˇredevˇs´ım na relace srovnávaj´ıc´ı“ ” objekty podle jejich vlastnost´ı. Takto vágnˇe opsané relace m´ıvaj´ı jasné spoleˇcné znaky, ad´ an´ı. Následnˇe se také které se objevuj´ı ve zde uvedené formáln´ı definici relace uspoˇr´ zab´ yv´ ame zp˚ usobem, jak libovolnou relaci obohatit“ o nˇejakou vlastnost. Tento u ´kol vede ” na rozˇsiˇrován´ı naˇs´ı relace (tj. pˇrid´ aván´ı dvojic) do vzniku jej´ıho takzvaného uz´ avˇeru.

C´ıle Definujeme relace uspoˇra´d´ an´ı a mnohé dalˇs´ı pojmy k nim se vztahuj´ıc´ı, napˇr´ıklad Hasseovy diagramy. Studuj´ıc´ı by mˇeli porozumˇet matematické problematice uspoˇra´dan´ ych mnoˇzin a nauˇcit se je správnˇe pouˇz´ıvat. Z´ avˇerem si ukáˇzeme oper´ atory uz´ avˇer˚ u relac´ı.

5.1

Uspoˇ r´ ad´ an´ı a uspoˇ r´ adan´ e mnoˇ ziny

Podle Definice 4.4 je relace R ⊆ M ×M (ˇcásteˇcné) uspoˇrádán´ı právˇe kdyˇz R je reflexivn´ı, antisymetrická a tranzitivn´ı. Tyto tˇri vlastnosti tedy mus´ı být splnˇeny a ovˇeˇreny k d˚ ukazu toho, ˇze daná relace R je uspoˇrádán´ım. Koment´ aˇ r: Neformálnˇe ˇreˇceno: uspoˇra´d´ an´ı je taková relace R ⊆ M × M , kde (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x je v nˇejakém smyslu menˇs´ı nebo rovno“ neˇz y. Mohou ovˇsem existovat taková ” x, y ∈ M , kde neplat´ı (x, y) ∈ R ani (y, x) ∈ R. (Pak ˇr´ıkáme, ˇze x a y jsou nesrovnatelné.) Jak n´ azornˇe zobrazit (ˇc´ asteˇcné) uspoˇra´d´ an´ı? Pˇr´ıklad zjednoduˇseného zakreslen´ı (jsou vynech´ any ˇsipky vypl´ yvaj´ıc´ı z reflexivity a tranzitivity, viz Odd´ıl 5.3) je zde:

Vˇsimnˇete si, ˇze je nˇekdy zvykem vˇetˇs´ı“ prvky kreslit nad ty menˇs´ı“. ” ”

Znaˇ cen´ ı . Pro vˇetˇs´ı pˇrehlednost se relace uspoˇrádán´ı ˇcasto znaˇc´ı symboly jako ⊑ ˇci m´ısto prostého R. I my tak ˇcasto budeme psát tˇreba x y m´ısto (x, y) ∈ R. Pozn´ amka: Zajisté jste se jiˇz neform´ alnˇe setkali s neostr´ ym“ uspoˇra´d´ an´ım ˇc´ısel ≤ a ostr´ ym“ ” ” uspoˇra´d´ an´ım < . Vˇsimnˇete si dobˇre, ˇze n´ ami definované uspoˇra´d´ an´ı je vˇzdy neostré“. Pokud ” byste naopak chtˇeli definovat ostré“ uspoˇra´d´ an´ı, mˇelo by vlastnosti ireflexivn´ı, antisymetrické a ” tranzitivn´ı. (Pˇr´ıliˇs se vˇsak tato varianta nepouˇz´ıvá.) Nadále budeme pracovat pouze s neostr´ ym uspoˇra´d´ an´ım, ale smyˇcky vypl´ yvaj´ıc´ı z reflexivity budeme pro vˇetˇs´ı pˇrehlednost v obr´ azc´ıch vynech´ avat.

35

Uspoˇ r´ adan´ a mnoˇ zina Matematicky d˚ uleˇzitˇejˇs´ım pojmem neˇz samotná relace uspoˇrádán´ı je uspoˇrádaná mnoˇzina, neboli soubor prvk˚ u s pevnˇe zvoleným uspoˇrádán´ım na nich. r´ adan´ a mnoˇ zina je dvojice (M, ), Definice 5.1. Uspoˇ kde M je mnoˇzina a je (ˇcásteˇcné) uspoˇrádán´ı na M. Definice: Uspoˇrádán´ı na M je lineárn´ı (nebo také u ´plné), pokud kaˇzdé dva prvky M jsou v srovnatelné. Pˇ r´ıklady uspoˇ r´ adan´ ych mnoˇ zin Pˇ r´ıklad 5.2. Necht’ M je mnoˇzina vˇsech student˚ u 1. roˇcn´ıku FI. Uvaˇzme postupnˇe relace uspoˇrádán´ı R ⊆ M × M definované následovnˇe (jedná se vˇzdy o uspoˇrádán´ı?):

∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x má alespoˇ n takovou výˇsku jako y; ∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz y má alespoˇ n takovou výˇsku jako x; ∗ (x, y) ∈ R pr´ avˇe kdyˇz x a y maj´ı stejné rodné ˇc´ıslo.

Ano, i v posledn´ım bodˇe se jedná o uspoˇrádán´ı! (Dobˇre si promyslete, proˇc. Které dvojice jsou v˚ ubec porovnatelné?) ✷ Pˇ r´ıklad 5.3. Dalˇs´ı ukázky uspoˇrádaných mnoˇzin následuj´ı zde:

N ” elitelnosti a dˇel´ı b“ na pˇrirozených ˇc´ıslech, je uspoˇrádaná ∗ (N, | ), kde a|b je relace dˇ ”

arnˇe uspoˇrádaná mnoˇzina, kde ≤ má obvyklý“ význam. ∗ ( , ≤) je line´ mnoˇzina. Toto uspoˇrádán´ı nen´ı lineárn´ı.

∗ Bud’ M mnoˇ zina. Pak (2M , ⊆) je uspoˇrádaná mnoˇzina (ˇr´ıkáme inkluz´ı). Které dvojice

jsou v uspoˇrádán´ı inkluz´ı nesrovnatelné?

✷ Koment´ aˇ r: Zamyslete se také, jak vypadá relace dˇelitelnosti na cel´ ych (tj. i záporn´ ych) ˇc´ıslech. Proˇc se uˇz nejedn´ a o uspoˇra´d´ an´ı? Bl´ıˇze viz konec Odd´ılu 5.2.

Uˇziteˇcnou dovednost´ı je umˇet popsat uspoˇrádán´ı vˇetˇs´ı mnoˇziny“ pomoc´ı malých“ ” ” sloˇzek. Neformálnˇe lze toto uvést následuj´ıc´ımi pˇr´ıklady: Pˇ r´ıklad 5.4. Uspoˇrádán´ı po sloˇzkách“. ” Necht’ (A, ≤A ) a (B, ≤B ) jsou uspoˇrádané mnoˇziny. Definujme binárn´ı relaci ⊑ na A × B pˇredpisem (a, b) ⊑ (a′ , b′ )

právˇe kdyˇz

a ≤A a′ a b ≤B b′ .

Pak (A × B, ⊑) je uspoˇrádaná mnoˇzina. Toto uspoˇrádán´ı se nazývá po sloˇzkách“. ” 36

✷

Pˇ r´ıklad 5.5. Lexikografické uspoˇrádán´ı. Necht’ (A, ≤A ) a (B, ≤B ) jsou uspoˇrádané mnoˇziny. Definujme binárn´ı relaci na A × B pˇredpisem (a, b) (a′ , b′ )

právˇe kdyˇz

bud’ a ≤A a′ a a 6= a′ , nebo a = a′ a b ≤B b′ .

Pak (A×B, ) je uspoˇrádaná mnoˇzina. Nav´ıc pokud ≤A i ≤B jsou lineárn´ı, je i lineárn´ı. Toto uspoˇrádán´ı se nazývá lexikografické. ✷ Fakt: Jsou-li (A1 , ≤1 ), · · · , (An , ≤n ) uspoˇrádané mnoˇziny, kde n ≥ 2, pak mnoˇzinu A1 × · · · × An lze uspoˇrádat tˇreba po sloˇzkách nebo lexikograficky. Vˇsimnˇete si, ˇze lexikograficky se napˇr´ıklad ˇrad´ı slova ve slovn´ıku. . .

5.2

Dalˇ s´ı pojmy uspoˇ r´ adan´ ych mnoˇ zin

K tématu uspoˇrádaných mnoˇzin se vztahuje mnoˇzstv´ı drobných pojm˚ u, které potkáte v r˚ uzných oblastech matematiky i informatiky. Definice 5.6. Necht’ (M, ) je uspoˇrádaná mnoˇzina. • x ∈ M je minim´ aln´ı právˇe kdyˇz pro kaˇzdé y ∈ M plat´ı, ˇze jestliˇze y x, pak x y. (Tj. x je minimáln´ı právˇe kdyˇz neexistuje ˇzádný prvek ostˇre menˇs´ı neˇz x.) x s

Xs •

•

x ∈ M je maximáln´ı právˇe kdyˇz pro kaˇzdé y ∈ M plat´ı, ˇze jestliˇze x y, pak y x. (Tj. x je maximáln´ı právˇe kdyˇz neexistuje ˇzádný prvek ostˇre vˇetˇs´ı neˇz x.) x ∈ M je nejmenˇs´ı právˇe kdyˇz pro kaˇzdé y ∈ M plat´ı, ˇze x y. s

s

s

s

• •

x x ∈ M je nejvˇetˇs´ı právˇe kdyˇz pro kaˇzdé y ∈ M plat´ı, ˇze y x.

x ∈ M pokrývá y ∈ M právˇe kdyˇz x 6= y, y x a neexistuje ˇzádné z ∈ M takové, ˇze x 6= z 6= y a y z x. x s s

X s

•

y x ∈ M je doln´ı závora (mez) mnoˇziny A ⊆ M právˇe kdyˇz x y pro kaˇzdé y ∈ A. y∈A

s

•

x x ∈ M je horn´ı závora (mez) mnoˇziny A ⊆ M právˇe kdyˇz y x pro kaˇzdé y ∈ A. 37

•

x ∈ M je infimum mnoˇziny A ⊆ M právˇe kdyˇz x je nejvˇetˇs´ı doln´ı závora mnoˇziny A. A

s •

x ∈ M je supremum mnoˇziny A ⊆ M, právˇe kdyˇz x je nejmenˇs´ı horn´ı závora mnoˇziny A.

•

A ⊆ M je ˇretˇezec v uspoˇrádán´ı právˇe kdyˇz (A, ) je lineárnˇe uspoˇrádaná mnoˇzina. s s s s

Koment´ aˇ r: Tuto dlouhou definici se sluˇs´ı ponˇekud neform´ alnˇe okomentovat. Za prvé, s pojmy nejmenˇs´ıho a nejvˇetˇs´ıho prvku jste se uˇz intuitivnˇe setkali mnohokr´ at, ale (matematicky slabˇs´ı) pojmy minimáln´ıho a maximáln´ıho p˚ usob´ı nˇekdy problémy. Zapamatujte si proto dobˇre, ˇze minimáln´ıch prvk˚ u m˚ uˇze m´ıt mnoˇzina nˇekolik, jsou to prostˇe vˇsechny ty “vespod”, ale nejmenˇs´ı prvek existuje nejv´ yˇse jeden a je to pouze ten unikátn´ı minimáln´ı prvek mnoˇziny. Stejnˇe pro maxim´ aln´ı. . . Dalˇs´ı pozn´ amka se vztahuje k infimu a supremu mnoˇziny. Jak jsme napsali (a asi totéˇz zn´ ate z matematické anal´ yzy), mnoˇzina nemus´ı m´ıt nejmenˇs´ı ani nejvˇetˇs´ı prvek, ale v mnoha pˇr´ıpadech je lze “nahradit” po ˇradˇe infimem a supremem, které hraj´ı v jist´ ych ohledech podobnou roli. Avˇsak ani supremum a infimum nemus´ı vˇzdy existovat. Pozor! Nˇekteré uvedené definice maj´ı dosti netriviáln´ı chován´ı“ na nekoneˇcn´ ych ” mnoˇzin´ ach. Proto je budeme obvykle uvaˇzovat jen nad koneˇcn´ ymi mnoˇzinami.

Pˇ r´ıklad 5.7. Proˇc má kaˇzdá uspoˇrádaná mnoˇzina nejvýˇse jeden nejvˇetˇs´ı prvek? Tvrzen´ı dokáˇzeme sporem: Necht’ m i n jsou nejvˇetˇs´ı prvky uspoˇrádané mnoˇziny n. Ovˇsem jelikoˇz uspoˇrádán´ı (M, ). Pak podle Definice 5.6 plat´ı n m i m n zároveˇ mus´ı být antisymetrické, pak plat´ı m = n a nejvˇetˇs´ı prvek je jen jeden. ✷ Relace pˇ reduspoˇ r´ ad´ an´ı Mimo uspoˇrádán´ı chápaných striktnˇe antisymetricky se v praxi ˇcasto setkáme s sko” rouspoˇrádán´ımi“, ve kterých nˇekteré oˇcividnˇe r˚ uzné prvky stoj´ı na stejné u ´ rovni naˇs´ı preference. Jak tˇreba uspoˇrádáte r˚ uzné poˇc´ıtaˇce podle výkonu nebo studenty podle známek A–E? To matematicky podchyt´ı následuj´ıc´ı pojem. Definice: Relace R ⊆ M × M je pˇreduspoˇrádán´ı (také kvaziuspoˇrádán´ı, nebo polouspoˇrádán´ı) právˇe kdyˇz R je reflexivn´ı a tranzitivn´ı. Koment´ aˇ r: Rozd´ıl mezi uspoˇra´d´ an´ım a pˇreduspoˇra´d´ an´ım je (neform´ alnˇe ˇreˇceno!) v tom, ˇze u pˇreduspoˇra´d´ an´ı srovnáváme prvky podle kritéria, které nen´ı pro dan´ y prvek jedineˇcné. V pˇreduspoˇra´d´ an´ı takto mohou vznikat bal´ıky“ (tˇr´ıdy) se stejnou hodnotou kritéria, coˇz ”

38

schematicky ilustrujeme na n´ asleduj´ıc´ım obr´ azku. s

s s

s

s

s

s s

s

s

D˚ uleˇzitým poznatkem je, ˇze pˇreduspoˇrádán´ı se aˇz tak moc“ neliˇs´ı od dˇr´ıvˇejˇs´ıho ” uspoˇrádán´ı – pˇrirozenˇe totiˇz odvod´ıme následuj´ıc´ı: Vˇ eta 5.8. Je-li ⊑ pˇreduspoˇrádán´ı na M, m˚ uˇzeme definovat relaci ∼ na M pˇredpisem x∼y

právˇe kdyˇz

x ⊑ y a y ⊑ x.

Pak ∼ je ekvivalence na M, která se nazývá jádro pˇreduspoˇrádán´ı ⊑. Na rozkladu M/ ∼ pak lze zavést relaci definovanou takto [x] [y]

právˇe kdyˇz x ⊑ y.

Pak (M/ ∼, ) je uspoˇrádaná mnoˇzina indukovaná ⊑. Koment´ aˇ r: Pro ukázku si vezmˇeme relaci dˇelitelnosti na jsou dvojice ˇc´ısel stejné absolutn´ı hodnoty.

Z. Pak tˇreba −2 ∼ 2. Jádrem zde

D˚ ukaz (náznak): Tranzitivita a reflexivita relace ∼ vyplývá z tranzitivity a reflexivity relace ⊑. Symetrie ∼ pak je pˇr´ımým d˚ usledkem jej´ı definice. Tud´ıˇz ∼ skuteˇcnˇe je relac´ı ekvivalence a M/ ∼ je platný rozklad nosné mnoˇziny. Tranzitivita a reflexivita relace se opˇet dˇed´ı z relace ⊑. Jej´ı antisymetrie vyplývá následuj´ıc´ı u ´ vahou: Pokud [x] [y] a [y] [x], pak podle naˇs´ı definice x ⊑ y a y ⊑ x, neboli x ∼ y a [x] = [y] podle definice tˇr´ıd rozkladu. Pozor, nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı ˇcást´ı této vˇetve d˚ ukazu je vˇsak jeˇstˇe zd˚ uvodnˇen´ı, ˇze naˇse podaná definice vztahu [x] [y] je korektn´ı, coˇz znamená, ˇze jej´ı platnost nezávis´ı na konkrétn´ı volbˇe reprezentant˚ u x z [x] a y z [y]. ′ ′ Posledn´ı zm´ınˇené tvrzen´ı dokáˇzeme sporem: Necht’ x, x ∈ [x] a y, y ∈ [y] jsou (moˇzná r˚ uzn´ı) reprezentanti dvou zkoumaných tˇr´ıd rozkladu M/ ∼, pro které vˇsak plat´ı x ⊑ y a x′ ⊒ y ′ . Podle definice tˇr´ıdy rozkladu je x ∼ y a x′ ∼ y ′ a z tranzitivity x ⊑ y ⊑ y ′ ⊑ x′ ⊑ x a tud´ıˇz [x] = [y] a na volbˇe reprezentanta skuteˇcnˇe nezáleˇz´ı. ✷

5.3

Hasseovsk´ e diagramy

Motivac´ı zaveden´ı tzv. Hasseovských diagram˚ u uspoˇrádaných mnoˇzin jsou pˇrehlednˇejˇs´ı obrázky“ neˇz u graf˚ u relac´ı. Napˇr´ıklad si srovnejte následuj´ıc´ı ukázky: ”

Definice: Hasseovský diagram koneˇcné uspoˇrádané mnoˇziny (M, ) je jeho (jednoznaˇcné) grafické znázornˇen´ı z´ıskané takto: 39

∗ Do prvn´ı horizont´ aln´ı vrstvy“ zakresl´ıme body odpov´ıdaj´ıc´ı minináln´ım prvk˚ um

” (M, ). (Tj. které nepokrývaj´ı nic. Pojem pokrýván´ı prvku najdete v Definici 5.6.)

∗ M´ ame-li jiˇz zakreslenu vrstvu i, pak do vrstvy i + 1 (která je nad“ vrstvou i) za-

” kresl´ıme vˇsechny nezakreslené prvky, které pokrývaj´ı pouze prvky vrstev ≤ i. Pokud prvek x vrstvy i + 1 pokrývá prvek y vrstvy ≤ i, spoj´ıme x a y neorientovanou hranou (tj. ˇcárou“). ” Pˇ r´ıklad 5.9. Relaci inkluze na ˇctyˇrprvkové mnoˇzinˇe {a, b, c, d} zakresl´ıme Hasseovským diagramem takto:

✷ Koment´ aˇ r: Jak vid´ıme, v Hasseovském diagramu vynech´ aváme“ ty hrany relace , které ” vypl´ yvaj´ı z reflexivity ˇci tranzitivity. To cel´ y obr´ azek v´ yraznˇe zpˇrehledn´ı, a pˇritom nedoch´ az´ı ke ztr´ atˇe informace. Lze vynechat i ˇsipky na hranách, nebot’ dle definice vˇsechny m´ıˇr´ı vzh˚ uru“. Také pojem vrstvy“ v definici je jen velmi neform´ aln´ı, d˚ uleˇzité je, ˇze vˇetˇs´ı ” ” (pokr´ yvaj´ıc´ı) prvky jsou nad menˇs´ımi (pokr´ yvan´ ymi).

5.4

Uz´ avˇ ery relac´ı

Posledn´ım bodem naˇseho výkladu je postup, jak danou relaci m˚ uˇzeme obohatit“ o zv” olenou vlastnost (napˇr´ıklad proto, ˇze naˇse data o relaci jsou ne´ uplná a vlastnost je tak poˇskozena). ˇ a, Definice: Bud’ V (nˇejaká) vlastnost binárn´ıch relac´ı. Rekneme, ˇze V je uzav´ırateln´ pokud splˇ nuje následuj´ıc´ı podm´ınky: ∗ Pro kaˇ zdou mnoˇzinu M a kaˇzdou relaci R ⊆ M × M existuje alespoˇ n jedna relace S ⊆ M × M, která má vlastnost V a pro kterou plat´ı R ⊆ S. ∗ Necht’ I jeT mnoˇzina a necht’ Ri ⊆ M ×M je relace maj´ıc´ı vlastnost V pro kaˇzdé i ∈ I.

Pak relace

i∈I

Ri má vlastnost V .

Fakt: Libovolná kombinace vlastnost´ı reflexivita, symetrie, tranzitivita je uzav´ıratelná vlastnost. Antisymetrie nen´ı uzav´ıratelná vlastnost.

Vˇ eta 5.10. Necht’ V je uzav´ıratelná vlastnost binárn´ıch relac´ı. Bud’ M mnoˇzina a R libovolná binárn´ı relace na M. Pak pro mnoˇzinu vˇsech relac´ı S ⊇ R na M maj´ıc´ıch vlastnost V existuje infimum RV (vzhledem k mnoˇzinové inkluzi), které samo má vlastnost V . Definice: Tuto nejmenˇs´ı“ relaci RV s vlastnost´ı V nazýváme V -uzávˇer relace R. ” Tvrzen´ı 5.11. Necht’ R je binárn´ı relace na M. Pak plat´ı následuj´ıc´ı poznatky. avˇer R je pˇresnˇe relace R ∪ {(x, x) | x ∈ M}. ∗ Reflexivn´ı uz´ 40

↔

∗ Symetrick´ y uzávˇer R je pˇresnˇe relace R= {(x, y) | (x, y) ∈ R nebo (y, x) ∈ R}. ∗ Tranzitivn´ı uz´ avˇer R je pˇresnˇe relace R+ =

kaˇzdou binárn´ı relaci S vrát´ı relaci

S∞

i=1

T i (R), kde T je funkce, která pro

T (S) = S ∪ {(x, z) | existuje y takové, ˇze (x, y), (y, z) ∈ S}

aTi=T · · ◦ T} je i-krát iterovaná aplikace funkce T . | ◦ ·{z i

∗ Reflexivn´ı a tranzitivn´ı uz´ avˇer R je pˇresnˇe relace R∗ = Q+ , kde Q je reflexivn´ı uzávˇer

R.

∗ Reflexivn´ı, symetrick´ y a tranzitivn´ı uzávˇer R (tj. nejmenˇs´ı ekvivalence obsahuj´ıc´ı R) ↔

je pˇresnˇe relace (Q)+ , kde Q je reflexivn´ı uzávˇer R.

∗ Na poˇrad´ı aplikov´ an´ı uzávˇer˚ u vlastnost´ı záleˇz´ı! Koment´ aˇ r: V´ yznam reflexivn´ıch a symetrick´ ych uz´ avˇer˚ u je z pˇredchoz´ıho docela zˇrejm´ y. V´ yznam tranzitivn´ıho uz´ avˇeru R+ je n´ asledovn´ y: Do R+ pˇrid´ ame vˇsechny ty dvojice (x, z) takové, ˇze v R se lze dostat po ˇsipkách“ z x do z. Nakreslete si to na pap´ır pro nˇejakou ” jednoduchou relaci, abyste v´ yznam tranzitivn´ıho uz´ avˇeru lépe pochopili.

s

s

s

s

s

s

s

s

A jak bylo dˇr´ıve ˇreˇceno, antisymetrick´ y uz´ avˇer relace prostˇe nem´ a smysl. Napˇr´ıklad bud’ ∗ R ⊆ × definovan´ a takto: R = {(i, i+ 1) | i ∈ }. Pak R je bˇeˇzné line´ arn´ı uspoˇra´d´ an´ı ≤ pˇrirozen´ ych ˇc´ısel.

N N

N

Pˇ r´ıklad 5.12. Proˇc S pˇri výpoˇctu tranzitivn´ıho uzávˇeru relace na koneˇcné mnoˇzinˇe i + zdy staˇc´ı uvaˇzovat koneˇcnˇe mnoho ˇclen˚ u tohoto podle vzorce R = ∞ i=1 T (R) vˇ sjednocen´ı? Pro odpovˇed’ si uvˇedomme zásadn´ı fakt — pokud T i+1 = T i , tak uˇz plat´ı T i+k = T i pro vˇsechna pˇrirozená k. Neboli je potˇreba sjednotit jen tolik prvn´ıch ˇclen˚ u, dokud se ony zvˇetˇsuj´ı“, coˇz m˚ uˇze nastat jen koneˇcnˇe krát nad koneˇcnou mnoˇzinou. Mimo jiné tak ” vid´ıme, ˇze uvedený popis tranzitivn´ıho uzávˇeru je konstruktivn´ı. ✷ Rozˇ siˇ ruj´ıc´ı studium I v této lekci se pojedn´ avá o l´ atce, kterou urˇcitˇe ˇcten´ aˇri na inuitivn´ı u ´rovni znaj´ı (vˇzdy umˇen´ı si vˇeci uspoˇra´dat“ je jednou ze základn´ıch lidsk´ ych dovednost´ı). Pˇresto správné ” matematické uchopen´ı podstaty uspoˇra´d´ an´ı vyˇzaduje se prokousat nˇekolika nesnadn´ ymi formáln´ımi definicemi. Vˇsimnˇete si, ˇze hlavn´ı tˇeˇzkosti pojmu uspoˇra´dané mnoˇziny se vztahuj´ı k ˇc´ asteˇcn´ ym, tedy ne-line´ arn´ım, uspoˇra´d´ an´ım, kdy bˇeˇznému lidskému uvaˇzován´ı nen´ı zcela intuitivnˇe jasné naklád´ an´ı s nesrovnateln´ ymi dvojicemi. Ostatnˇe to dobˇre zn´ ate ze ˇzivota, kdy seˇrazujete objekty (v´ yrobky, apod) podle v´ıce kritéri´ı a pˇrirozenˇe tak vyvstávaj´ı nesrovnatelné dvojice.

41

6

Skl´ ad´ an´ı relac´ı a funkc´ı ´ Uvod Vrat’me se nyn´ı k l´ atce Lekce 3. Z jej´ıho pokroˇcilého obsahu jsme doposud velmi detailnˇe prob´ırali relace a jejich jednotlivé vlastnosti. Nyn´ı se pod´ıvejme, jak lze relace mezi sebou skl´ adat, coˇz je napˇr´ıklad z´ akladn´ı technika pr´ ace s relaˇcn´ımi datab´ azemi. Je vˇsak i jiné m´ısto, kde jste se zajisté se sklád´ an´ım relac´ı setkali – jedn´ a se o sklád´ an´ı funkc´ı. Jak napˇr´ıklad spoˇc´ıtáte na kalkulaˇcce v´ ysledek sloˇzitˇejˇs´ıho vzorce? Mimo to se jeˇstˇe zobecnˇenˇe vrát´ıme k problematice postupn´ ych“ (induktivn´ıch a ” u. Jedná se vlastnˇe o matematické analogie rekurzivn´ıch prorekurentn´ıch) definic a vztah˚ gram˚ u a jejich správné form´ aln´ı pochopen´ı ocen´ıme mimo jiné i pˇri programován´ı samotném.

C´ıle V této lekci definujeme z´ akladn´ı vlastnosti funkc´ı a pˇredevˇs´ım pop´ıˇseme a podrobnˇe rozebereme sklád´ an´ı relac´ı a n´ avaznˇe sklád´ an´ı funkc´ı jako relac´ı (jako model n´ am poslouˇz´ı permutace). Na z´ avˇer se struˇcnˇe pod´ıváme na problematiku induktivn´ıch definic funkc´ı, coby na rozˇs´ıˇren´ı rekurentn´ıch vztah˚ u z Odd´ılu 3.4.

6.1

Vlastnosti funkc´ı

Funkce je podle Definice 4.2 speciáln´ım pˇr´ıpadem (obvykle binárn´ı) relace, maj´ıc´ım pro kaˇzdou hodnotu levé strany jedinou (funkˇcn´ı) hodnotu pravé strany. V´ıce o funkc´ıch ˇrekne následuj´ıc´ı definice. Definice 6.1. Funkce (pˇr´ıpadnˇe parciáln´ı funkce) f : A → B je

e prostá) právˇe kdyˇz pro kaˇzdé x, y ∈ A, x 6= y plat´ı f (x) 6= f (y); ∗ injektivn´ı (nebo tak´ s

s

X

s

s

∗ surjektivn´ı (nebo tak´ e na“) právˇe kdyˇz pro kaˇzdé y ∈ B existuje x ∈ A takové, ˇze

f (x) = y;

”

s

s

s

Xs

∗ bijektivn´ı (vz´ aj. jednoznaˇcná) právˇe kdyˇz je injektivn´ı a souˇcasnˇe surjektivn´ı. s s s

s s s

Funkce nás coby speciáln´ı pˇr´ıpad relac´ı budou provázet i ve zbytku lekce. Koment´ aˇ r: Následuj´ı jiné ukázky vlastnost´ı funkc´ı. ∗ Funkce plus :

N × N → N je surjektivn´ı, ale nen´ı prostá. 42

∗ Funkce g :

Z → N daná pˇredpisem g(x) =

je bijektivn´ı.

−2x − 1 2x

jestliˇze x < 0, jinak

∗ Funkce ∅ : ∅ → ∅ je bijektivn´ı. ∗ Funkce ∅ : ∅ → {a, b} je injektivn´ı, ale nen´ı surjektivn´ı. ∗ Dok´ azali byste nalézt bijektivn´ı funkci

6.2

N × N → N?

Inverzn´ı relace a skl´ ad´ an´ı relac´ı

K pouˇzitelné práci s relacemi v aplikac´ıch se dostaneme, pokud budeme umˇet relace správnˇe skládat“ a pˇrevracet“. K tomu nás pˇrivedou zase následuj´ıc´ı definice. ” ” ’ Definice: Necht R ⊆ A × B je binárn´ı relace mezi A a B. Inverzn´ı relace k relaci R se znaˇc´ı R−1 a je definována takto: R−1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R} s

A

s

R:

s

B

A s

B s

s

s

s

R−1 :

s

s

R−1 je tedy relace mezi B a A. Koment´ aˇ r: Pˇr´ıklady inverz´ı pro relace–funkce. ∗ Inverz´ı bijektivn´ı funkce f (x) = x + 1 na

Z je funkce f −1(x) = x − 1.

R je parciáln´ı funkce f −1(x) = ln x. Funkce g(x) = x mod 3 nen´ı prostá na N, a proto jej´ı inverz´ı je jen“ relace g−1 = {(a, b) | ”

∗ Inverz´ı prosté funkce f (x) = ex na ∗

a = b mod 3}. Konkr. g−1 = {(0, 0), (0, 3), (0, 6), . . . , (1, 1), (1, 4), . . . , (2, 2), (2, 5), . . . }.

Tvrzen´ı 6.2. Mˇejme funkci f : A → B. Pak jej´ı inverzn´ı relace f −1 je

a) parciáln´ı funkce právˇe kdyˇz f je prostá, b) funkce právˇe kdyˇz f je bijektivn´ı.

D˚ ukaz vyplývá pˇr´ımo z definic funkce a inverze relace.

✷

Následuje kl´ıˇcová definice, pro jejiˇz bliˇzˇs´ı ilustraci odkazujeme také na Pˇr´ıklad 6.4. zen´ı (kompozice) relac´ı R a S. Definice 6.3. Sloˇ Necht’ R ⊆ A × B a S ⊆ B × C jsou binárn´ı relace. Sloˇzen´ı relac´ı R a S (v tomto poˇrad´ı!) je relace S ◦ R ⊆ A × C definovaná takto: S ◦ R = {(a, c) | existuje b ∈ B takové, ˇze (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ S} 43

B s

s

s

s

s

s

s

s

s

A

C

s

S ◦ R:

:S

R:

A

s

s

s

s

s

C

Sloˇzen´ı relac´ı ˇcteme R sloˇzeno s S“ nebo (pozor na poˇrad´ı!) S po R“. ” ” Koment´ aˇ r: Nˇekolik matematick´ ych pˇr´ıklad˚ u sklád´ an´ı relac´ı n´ asleduje zde. ∗ Je-li – A = {a, b}, B = {1, 2}, C = {X, Y }, – R = {(a, 1), (b, 1), (b, 2)},

S = {(1, X)},

pak sloˇzen´ım vznikne relace – S ◦ R = {(a, X), (b, X)}.

∗ Sloˇzen´ım funkc´ı h(x) = x2 a f (x) = x + 1 na

R vznikne funkce

(f ◦ h) (x) = f (h(x)) = x2 + 1. ∗ Sloˇzen´ım tˇechˇze funkc´ı naopak“ ale vznikne funkce (h ◦ f ) (x) = h(f (x)) = (x + 1)2 . ” Pozn´ amka: Nepˇr´ıjemné je, ˇze v nˇekter´ ych oblastech matematiky (napˇr´ıklad v algebˇre pˇri sklád´ an´ı zobrazen´ı) se setkáme s pr´ avˇe opaˇcn´ ym zápisem sklád´ an´ı, kdy se m´ısto S ◦ R p´ıˇse R · S nebo jen RS. Proto je si vˇzdy dobré slovnˇe ujasnit, které poˇrad´ı skládan´ ych relac´ı m´ ame na mysli. My zde zásadnˇe budeme pouˇz´ıvat poˇrad´ı S ◦ R.

6.3

Skl´ ad´ an´ı relac´ı v praxi“ ”

Pod´ıvejme se nyn´ı, jak se skládán´ı relac´ı pˇrirozenˇe objevuje v práci s relaˇcn´ımi databázemi. (Dá se zjednoduˇsenˇe ˇr´ıci, ˇze právˇe v operátoru skládán´ı tabulkových relac´ı tkv´ı hlavn´ı smysl relaˇcn´ıch databáz´ı. . . ) Pˇ r´ıklad 6.4. Skládán´ı v relaˇcn´ı databázi student˚ u, jejich pˇredmˇet˚ u a fakult. Mˇejme dvˇe binárn´ı relace – jednu R pˇriˇrazuj´ıc´ı student˚ um MU kódy jejich zapsaných pˇredmˇet˚ u, druhou S pˇriˇrazuj´ıc´ı kódy pˇredmˇet˚ u jejich mateˇrským fakultám. Malý výsek z tˇechto relac´ı m˚ uˇze v tabulkové reprezentaci vypadat tˇreba následovnˇe.

R:

student (uˇco) 121334 133935 133935 155878 155878

pˇredmˇet (kód) MA010 M4135 IA102 M1050 IB000

S:

pˇredmˇet (kód) MA010 IB000 IA102 M1050 M4135

fakulta MU FI FI FI PˇrF PˇrF

Jak z tˇechto tabulkových“ relac´ı zjist´ıme, kteˇr´ı studenti maj´ı zapsané pˇredmˇety na ” kterých fakultách (tˇreba na FI)?

44

Jedná se jednoduˇse o sloˇzen´ı relac´ı S ◦ R. V naˇsem pˇr´ıkladˇe tabulkové reprezentace vyjde výsledek: student (uˇco) fakulta MU 121334 FI 133935 FI S◦R: 133935 PˇrF 155878 FI 155878 PˇrF ✷ Zobecnˇ en´ e skl´ ad´ an´ı relac´ı V praktických pouˇzit´ıch relaˇcn´ıch tabulek povˇetˇsinou nevystaˇc´ıme jen s binárn´ımi relacemi, takˇze je pˇrirozené se ptát, jestli lze podobnˇe skládat i v´ıce-árn´ı relace. Odpovˇed’ je snadná – lze to a ani nepotˇrebujeme novou definici, vystaˇc´ıme s tou, kterou uˇz máme výˇse uvedenou. Definice: (skl´ ad´ an´ı relac´ı vyˇ sˇ s´ı arity): Mˇejme relace T ⊆ K1 × K2 × · · · × Kk a U ⊆ L1 × L2 × · · · × Lℓ , pˇriˇcemˇz pro nˇejaké m < min(k, ℓ) plat´ı L1 = Kk−m+1 , L2 = Kk−m+2 , . . . , Lm = Kk . Pak relaci T lze sloˇzit s relac´ı U na zvolených m sloˇzkách L1 , . . . , Lm ( pˇrekryt´ı“) s pouˇzit´ım Definice 6.3 takto: ” ∗ Poloˇ zme A = K1 × · · · × Kk−m , B = L1 × · · · × Lm a C = Lm+1 × · · · × Lℓ . ∗ Pˇr´ısluˇsn´ e relace pak jsou R = {(~a, ~b) ∈ A × B | (a1 , . . . ak−m , b1 , . . . bm ) ∈ T } a

S = {(~b, ~c) ∈ B × C | (b1 , . . . bm , cm+1 , . . . cℓ ) ∈ U}.

∗ Nakonec pˇrirozenˇ e poloˇzme U ◦m T ≃ S ◦ R, takˇze vyjde U ◦m T = (~a, ~c) | ex. ~b ∈ B, ˇze (a1 , . . . ak−m , b1 , . . . bm ) ∈ T a (b1 , . . . bm , cm+1 , . . . cℓ ) ∈ U .

Schematicky pro snaˇzˇs´ı orientaci ve sloˇzkách naˇsich relac´ı: T ⊆ U⊆

U ◦m T ⊆

K1 × · · · × Kk−m × Kk−m+1 × · · · × Kk L1 × · · · × Lm ×Lm+1 × · · · × Lℓ

K1 × · · · × Kk−m × | {z } A

|

{z B

}

× Lm+1 × · · · × Lℓ {z } | C

Opˇet je nejjednoduˇsˇs´ı si koncept skládán´ı v´ıceˇcetných relac´ı ilustrovat pˇr´ıkladem. Pˇ r´ıklad 6.5. Skládán´ı v relaˇcn´ı databázi pasaˇzér˚ u a let˚ u u leteckých spoleˇcnost´ı. Pod´ıvejme se na pˇr´ıklad hypotetické rezervace let˚ u pro cestuj´ıc´ı, relace T . Jak známo (tzv. codeshare), letecké spoleˇcnosti si mezi sebou dˇel´ı“ m´ısta v letadlech, takˇze r˚ uzné ” lety (podle kód˚ u) jsou ve skuteˇcnosti realizovány stejným letadlem jedné ze spoleˇcnost´ı. To zase ukazuje relace U.

T :

pasaˇzér Petr Pavel Jan Josef Alena

datum let 5.11. OK535 6.11. OK535 5.11. AF2378 5.11. DL5457 6.11. AF2378

U:

45

datum 5.11. 5.11. 5.11. 6.11. 6.11.

let letadlo ˇ OK535 CSA ˇ AF2378 CSA ˇ DL5457 CSA OK535 AirFrance AF2378 AirFrance

Ptáme-li se nyn´ı, setkaj´ı se Petr a Josef na palubˇe stejného letadla? Pˇr´ıpadnˇe, ˇc´ı letadlo to bude? Odpovˇedi nám dá sloˇzen´ı relac´ı U ◦2 T , jak je posáno výˇse.

U ◦2 T :

pasaˇzér Petr Josef Pavel ...

letadlo ˇ CSA ˇ CSA AirFrance ...

Zkuste se zamyslet, lze tyto dvˇe relace skládat jeˇstˇe jinak? Co by pak bylo významem? ✷

6.4

Skl´ ad´ an´ı funkc´ı, permutace

Soustˇred’me se nyn´ı na dalˇs´ı oblast, kde bˇeˇznˇe a pˇrirozenˇe pouˇz´ıváme skládán´ı relac´ı, aniˇz si to uvˇedomujeme. Fakt: Mˇejme zobrazen´ı (funkce) f : A → B a g : B → C. Pak jejich sloˇzen´ım coby relac´ı v tomto poˇrad´ı vznikne zobrazen´ı (g ◦ f ) : A → C definované (g ◦ f )(x) = g(f (x)) . Koment´ aˇ r: ∗ Jak napˇr´ıklad na bˇeˇzné kalkulaˇcce vypoˇcteme hodnotu funkce sin2 x ? Sloˇz´ıme (v tomto poˇrad´ı) element´ arn´ı“ funkce f (x) = sin x a g(x) = x2 . ” ∗ Jak bychom na element´ arn´ı“ funkce rozloˇzili aritmetick´ y v´ yraz 2 log(x2 + 1) ? Ve ” 2 správném poˇrad´ı sloˇz´ıme funkce f1 (x) = x , f2 (x) = x + 1, f3 (x) = log x a f4 (x) = 2x. ∗ A jak bychom obdobnˇe vyjádˇrili sloˇzen´ım funkc´ı aritmetick´ y v´ yraz sin x + cos x ? Opˇet ’ je odpovˇed pˇr´ımoˇcar´ a, vezmeme elementárn´ı“ funkce g1 (x) = sin x a g2 (x) = cos x, a ” pak je sloˇz´ıme“ dalˇs´ı funkc´ı h(x, y) = x + y. Vid´ıme vˇsak, ˇze takto pojaté sklád´ an´ı“ ” ” uˇz nezapadá hladce do naˇseho zjednoduˇseného formalismu sklád´ an´ı relac´ı. Pro nedostatek prostoru si sklád´ an´ı funkc´ı s v´ıce parametry nedefinujeme, ale sami vid´ıte, ˇze obdobné sklád´ an´ı se v programátorské praxi vyskytuje doslova na kaˇzdém rohu“ a ” ani se nad t´ım nepozastavujeme.

Skl´ ad´ an´ı permutac´ı Po zbytek tohoto odd´ılu se zamˇeˇr´ıme na permutace coby speciáln´ı pˇr´ıpad (bijektivn´ıch) zobrazen´ı. u Definice: Necht’ permutace π mnoˇziny {1, 2, . . . , n} je urˇcena seˇrazen´ım jej´ıch prvk˚ (p1 , . . . , pn ). Pak π je zároveˇ n bijektivn´ım zobrazen´ım {1, . . . , n} → {1, . . . , n} definovaným pˇredpisem π(i) = pi . Tud´ıˇz lze permutace skládat jako relace podle Definice 6.3. Pozn´ amka: Vˇsechny permutace mnoˇziny {1, 2, . . . , n} spolu s operac´ı sklád´ an´ı tvoˇr´ı grupu, zvanou symetrická grupa Sn . Permutaˇcn´ı grupy (podgrupy symetrické grupy) jsou velice d˚ uleˇzité v algebˇre, nebot’ kaˇzd´ a grupa je vlastnˇe isomorfn´ı nˇekteré permutaˇcn´ı grupˇe.

46

Koment´ aˇ r: Pˇr´ıkladem permutace vyskytuj´ıc´ım se v programátorské praxi je tˇreba zoˇ brazen´ı i 7→ (i + 1) mod n (“inkrement”). Casto se tˇreba lze setkat (aniˇz si to mnohdy uvˇedomujeme) s permutacemi pˇri indexaci prvk˚ u pol´ı.

V kontextu pohledu na funkce a jejich skládán´ı coby relac´ı si zavedeme jiný, názornˇejˇs´ı, zp˚ usob zápisu permutac´ı – pomoc´ı jejich cykl˚ u. Definice: Necht’ π je permutace na mnoˇzinˇe A. Cyklem v π rozum´ıme posloupnost ha1 , a2 , . . . , ak i r˚ uzných prvk˚ u A takovou, ˇze π(ai ) = ai+1 pro i = 1, 2, . . . , k − 1 a π(ak ) = a1 . Jak název napov´ıdá, v zápise cyklu ha1 , a2 , . . . , ak i nen´ı d˚ uleˇzité, kterým prvkem zaˇcneme, ale jen dodrˇzen´ı cyklického poˇrad´ı. Cyklus v permutaci m˚ uˇze m´ıt i jen jeden prvek (zobrazený na sebe). Koment´ aˇ r: Nakreslete si (vámi zvolenou) permutaci π obr´ azkem, ve kterém vedete ˇsipku vˇzdy od prvku i k prvku π(i). Pak uvid´ıte, ˇze cykly dle naˇs´ı definice jsou pr´ avˇe cykly tvoˇrené ˇsipkami ve vaˇsem obr´ azku. S t´ımto grafick´ ym zobrazen´ım pro vás nebude problém pochopit n´ asleduj´ıc´ı l´ atku. Napˇr´ıklad permutaci (5, 3, 4, 8, 6, 1, 7, 2) si lze obr´ azkem nakreslit takto: . s6

s1

s5

s8

s4

s2

s3

s7

.

Reprezentace permutac´ı jejich cykly Vˇ eta 6.6. Kaˇzdou permutaci π na koneˇcné mnoˇzinˇe A lze zapsat jako sloˇzen´ı cykl˚ u na disjunktn´ıch podmnoˇzinách (rozkladu) A. D˚ ukaz: Vezmeme libovolný prvek a1 ∈ A a iterujeme zobrazen´ı a2 = π(a1 ), a3 = π(a2 ), atd., aˇz se dostaneme zpˇet“ k ak+1 = π(ak ) = a1 . Proˇc tento proces skonˇc´ı? Protoˇze A ” je koneˇcná a tud´ıˇz ke zopakován´ı nˇekterého prvku ak+1 mus´ı doj´ıt. Nadto je π prostá, a proto nem˚ uˇze nastat π(ak ) = aj pro j > 1. Takto z´ıskáme prvn´ı cyklus ha1 , . . . , ak i. Induktivnˇe pokraˇcujeme s hledán´ım dalˇs´ıch cykl˚ u ve zbylé mnoˇzinˇe A \ {a1 , . . . , ak }, dokud nez˚ ustane prázdná. ✷ Znaˇ cen´ ı permutace jej´ımi cykly: Necht’ se permutace π podle Vˇety 6.6 skládá z cykl˚ u ha1 , . . . , ak i, hb1 , . . . , bl i aˇz tˇreba hz1 , . . . , zm i. Pak zap´ıˇseme π = ( ha1 , . . . , ak i hb1 , . . . , bl i . . . hz1 , . . . , zm i ) .

Koment´ aˇ r: Primitivn´ı pseudon´ ahodné gener´ atory v poˇc´ıtaˇc´ıch iteruj´ı z n´ ahodného poˇcátku permutaci danou vztahem i 7→ (i + p) mod q. Je pochopitelné, ˇze tato permutace nesm´ı obsahovat krátké cykly, lépe ˇreˇceno, mˇela by se skládat z jediného (dlouhého) cyklu. (Pro u ´plnost, jedn´ a se o permutaci mnoˇziny {0, 1, . . . , q − 1}).

Pˇ r´ıklad 6.7. Ukázka skládán´ı permutac´ı daných svými cykly. Vezmˇeme 7-prvkovou permutaci π = (3, 4, 5, 6, 7, 1, 2). Ta se skládá z jediného cyklu h1, 3, 5, 7, 2, 4, 6i. Jiná permutace σ = (5, 3, 4, 2, 6, 1, 7) se rozkládá na tˇri cykly h1, 5, 6i, 47

h2, 3, 4i a h7i. Nyn´ı urˇc´ıme sloˇzen´ı σ ◦ π tˇechto dvou permutac´ı (uˇz pˇr´ımo v zápisu cykly): (h1, 5, 6ih2, 3, 4ih7i) ◦ (h1, 3, 5, 7, 2, 4, 6i) = (h1, 4ih2ih3, 6, 5, 7i) (Nezapom´ınejme, ˇze prvn´ı se ve sloˇzen´ı aplikuje pravá permutace!) Postup skládán´ı jsme pouˇzili následovný: 1 se zobraz´ı v permutaci vpravo na 3 a pak vlevo na 4. Následnˇe 4 se zobraz´ı na 6 a pak na 1. T´ım uzavˇreme“ prvn´ı cyklus h1, 4i. ” Dále se 2 zobraz´ı na 4 a pak hned zpˇet na 2, tj. má samostatný cyklus. Zbylý cyklus h3, 6, 5, 7i urˇc´ıme analogicky. ✷

6.5

Induktivn´ı definice mnoˇ zin a funkc´ı

Vzpomeˇ nme si na definici posloupnosti rekurentn´ım vztahem z Odd´ılu 3.4. Pˇr´ımým zobecnˇen´ım dˇr´ıvˇejˇs´ıch rekurentn´ıch definic je následuj´ıc´ı koncept. Definice 6.8. Induktivn´ı definice mnoˇziny. Jedná se obecnˇe o popis (nˇejaké) mnoˇziny M v následuj´ıc´ım tvaru: •

Je dáno nˇekolik pevných (bázických) prvk˚ u a1 , a2 , . . . , ak ∈ M.

•

Je dán soubor induktivn´ıch pravidel typu Jsou-li (libovolné prvky) x1 , . . . , xℓ ∈ M, pak také y ∈ M. V tomto pˇr´ıpadˇe je y typicky funkc´ı y = fi (x1 , . . . , xℓ ).

Pak naˇse induktivnˇe definovaná mnoˇzina M je urˇcena jako nejmenˇs´ı (inkluz´ı) mnoˇzina vyhovuj´ıc´ı tˇemto pravidl˚ um. Pozn´ amka: Vid´ıte podobnost této definice s uz´ avˇerem relace? (Vˇeta 5.10.) Koment´ aˇ r: • Pro nejbliˇ zˇs´ı pˇr´ıklad induktivn´ı definice se obr´ at´ıme na mnoˇzinu vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, která je form´ alnˇe zavedena n´ asledovnˇe.

N

– 0∈ – Je-li i ∈

N, pak také i + 1 ∈ N. 0

•

Pro kaˇzdé y ∈

1

2

3

4

...

N m˚uˇzeme definovat jinou mnoˇzinu My ⊆ N induktivnˇe takto:

– y ∈ My

– Jestliˇze x ∈ My a x + 1 je liché, pak x + 2 ∈ My .

Pak napˇr´ıklad M3 = {3}, nebo M4 = {4 + 2i | i ∈ •

N}.

Dalˇs´ım pˇr´ıkladem induktivn´ı definice je uˇz zn´ amé zaveden´ı v´ yrokov´ ych formul´ı z Odd´ılu 1.5. Umˇeli byste ted’ pˇresnˇe ˇr´ıci, co tam byly b´ azické prvky a jak´ a byla induktivn´ı pravidla? A jak´ a byla v definici formul´ı role pˇr´ıtomn´ ych závorek? K tomu se bl´ıˇze vyjádˇr´ıme v Definici 6.9.

48

Jednoznaˇ cnost induktivn´ıch definic ˇ Definice: Rekneme, ˇze daná induktivn´ı definice mnoˇziny M je jednoznaˇcná, právˇe kdyˇz kaˇzdý prvek M lze odvodit z bázických prvk˚ u pomoc´ı induktivn´ıch pravidel právˇe jedn´ım zp˚ usobem.

N

Koment´ aˇ r: Definujme napˇr´ıklad mnoˇzinu M ⊆ induktivnˇe takto: – 2, 3 ∈ M – Jestliˇze x, y ∈ M a x ≤ y, pak také x2 + y 2 a x · y jsou prvky M . Proˇc tato induktivn´ı definice nen´ı jednoznaˇcn´ a? Napˇr´ıklad ˇc´ıslo 8 ∈ M lze odvodit zp˚ usobem 2 2 8 = 2 · (2 · 2), ale z´ aroveˇ n zcela jinak 8 = 2 + 2 . V ˇcem tedy spoˇc´ıvá d˚ uleˇzitost jednoznaˇcn´ ych induktivn´ıch definic mnoˇzin? Je to pˇredevˇs´ım v dalˇs´ım moˇzném vyuˇzit´ı induktivn´ı definice mnoˇziny jako základny“ pro ” odvozené vyˇsˇs´ı definice, viz n´ asleduj´ıc´ı Definice 6.9 a tˇreba doplˇ nková Vˇeta 6.12. Struˇcnˇe a neform´ alnˇe ˇreˇceno, hlavn´ı role jednoznaˇcnosti induktivn´ı definice je v moˇznosti pak pˇriˇradit prvk˚ um této induktivn´ı mnoˇziny nˇejak´ y jednoznaˇcn´ y v´ yznam“. ”

Definice 6.9. Induktivn´ı definice funkce z induktivn´ı mnoˇziny. Necht’ mnoˇzina M je dána jednoznaˇcnou induktivn´ı definic´ı. Pak ˇr´ıkáme, ˇze funkce F : M → X je definována induktivnˇe (vzhledem k induktivn´ı definici M), pokud je ˇreˇceno: • Pro kaˇ zdý z bázických prvk˚ u a1 , a2 , . . . , ak ∈ M je urˇceno F(ai ) = ci , kde ci je konstanta. •

Pro kaˇzdé induktivn´ı pravidlo typu “Jsou-li (libovolné prvky) x1 , . . . , xℓ ∈ M, pak také f (x1 , . . . , xℓ ) ∈ M” je definováno F f (x1 , . . . , xℓ ) na základˇe hodnot F (x1 ), . . . , F(xℓ ).

Koment´ aˇ r: Pro pˇr´ıklad se pod´ıvejme tˇreba do manu´ alov´ ych str´ anek unixového pˇr´ıkazu test EXPRESSION: EXPRESSION is true or false and sets exit status. It is one of: ! EXPRESSION EXPRESSION is false EXPRESSION1 -a EXPRESSION2 both EXPRESSION1 and EXPRESSION2 are true EXPRESSION1 -o EXPRESSION2 either EXPRESSION1 or EXPRESSION2 is true [-n] STRING the length of STRING is nonzero STRING1 = STRING2 the strings are equal ...... Vid´ıte, jak tato uk´ azka koresponduje s Definic´ı 6.9 ?

Induktivn´ı definice se struktur´ aln´ı“ indukc´ı ” Závˇerem jeˇstˇe doplˇ nkovˇe zaˇrazujeme malou ukázku, kterak pˇrirozenˇe zkombinovat induktivn´ı definice s pokroˇcilou formou matematické indukce“ v dokazován´ı, s tzv. strukturáln´ı ” indukc´ı. Pˇ r´ıklad 6.10. Jednoduché aritmetické výrazy a jejich význam. Necht’ je dána abeceda Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ⊙, ⊕, (, )}. Definujme mnoˇzinu jednoduchých výraz˚ u SExp ⊆ Σ∗ induktivnˇe takto: 49

– Dekadický zápis kaˇzdého pˇrirozeného ˇc´ısla n je prvek SExp. – Jestliˇze x, y ∈ SExp, pak také (x) ⊙ (y) a (x) ⊕ (y) jsou prvky SExp. (Jak vid´ıme, d´ıky nucenému závorkován´ı je tato induktivn´ı definice jednoznaˇcná.) T´ımto jsme aritmetickým výraz˚ um pˇriˇradili jejich formu“, tedy syntaxi. ” Pro pˇriˇrazen´ı významu“, tj. sémantiky aritmetického výrazu, následnˇe definujme ” funkci Val : SExp → induktivnˇe takto: – Bázické prvky: Val(n) = n, kde n je dekadický zápis pˇrirozeného ˇc´ısla n. – Prvn´ı induktivn´ı pravidlo: Val((x) ⊕ (y)) = Val(x) + Val(y). – Druhé induktivn´ı pravidlo: Val((x) ⊙ (y)) = Val(x) · Val(y).

N

Co je tedy správným významem uvedených aritmetických výraz˚ u? (Pˇr´ıklad 6.11)

✷

N

Pˇ r´ıklad 6.11. D˚ ukaz správnosti pˇriˇrazeného významu“ Val : SExp → . ” Vˇ eta. Pro kaˇzdý výraz s ∈ SExp je hodnota Val(s) z Pˇr´ıkladu 6.10 ˇc´ıselnˇe rovna výsledku vyhodnocen´ı výrazu s podle bˇeˇzných zvyklost´ı aritmetiky. Jelikoˇz pojednáváme o induktivnˇe definované funkci Val, je pˇrirozené pro d˚ ukaz jej´ıch vlastnost´ı aplikovat matematickou indukci. Na rozd´ıl od dˇr´ıve prob´ıraných pˇr´ıklad˚ u zde nevid´ıme ˇzádný celoˇc´ıselný parametr n“, a proto si jej budeme muset nejprve definovat. ” Naˇsi indukci tedy povedeme podle délky ℓ odvozen´ı výrazu s“ definované jako poˇcet ” aplikac´ı induktivn´ıch pravidel potˇrebných k odvozen´ı s ∈ SExp. D˚ ukaz: V bázi indukce ovˇeˇr´ıme vyhodnocen´ı bázických prvk˚ u, kteréˇzto jsou zde dekadické zápisy pˇrirozených ˇc´ısel. Plat´ı Val(n) = n, coˇz skuteˇcnˇe odpov´ıdá zvyklostem aritmetiky. V indukˇcn´ım kroku se pod´ıváme na vyhodnocen´ı Val((x) ⊕ (y)) = Val(x) + Val(y). Podle bˇeˇzných zvyklost´ı aritmetiky by hodnota Val((x) ⊕ (y)) mˇela být rovna souˇctu vyhodnocen´ı výrazu x, coˇz je podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu rovno Val(x) (x má zˇrejmˇe kratˇs´ı délku odvozen´ı), a vyhodnocen´ı výrazu y, coˇz je podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu rovno Val(y). Takˇze skuteˇcnˇe Val((x) ⊕ (y)) = Val(x) + Val(y). Druhé pravidlo Val((x) ⊙ (y)) se doˇreˇs´ı analogicky. ✷ Dodatek: d˚ ukaz pro norm´ aln´ı tvar formule V Odd´ıle 1.5 jsme struˇcnˇe zavedli výrokovou matematickou logiku a výrokové formule. Nyn´ı si snadno m˚ uˇzeme vˇsimnout, ˇze jak definice syntaxe, tak i definice sémantiky výrokové logiky jsou induktivn´ı ve smyslu (po ˇradˇe) Definic 6.8 a 6.9. Také Metoda 1.16 pro pˇrevod formule do normáln´ıho tvaru je induktivn´ı, a proto je na m´ıstˇe následuj´ıc´ı ilustrativn´ı ukázka d˚ ukazu strukturáln´ı indukc´ı: Vˇ eta 6.12. Pro libovolnou výrokovou formuli ϕ plat´ı (viz Metoda 1.16), ˇze a) F (ϕ) je ekvivalentn´ı formule k ϕ v normáln´ım tvaru b) a G(ϕ) je formule v normáln´ım tvaru ekvivalentn´ı negaci ¬ϕ. D˚ ukaz povedeme indukc´ı ke struktuˇre formule, neboli indukci povedeme podle délky“ ” ℓ – poˇctu aplikac´ı induktivn´ıch pravidel pˇri sestavován´ı formule ϕ. • B´ aze indukce (ℓ = 0): Pro vˇsechny atomy, tj. výrokové promˇenné, zˇrejmˇe plat´ı, ˇze F (A) = A je ekvivalentn´ı A a G(A) = ¬A je ekvivalentn´ı ¬A. 50

•

V indukˇcn´ım kroku pˇredpokládejme, ˇze a) i b) plat´ı pro vˇsechny formule ϕ délky nejvýˇse ℓ. Vezmeme si formuli ψ délky ℓ + 1, která je utvoˇrená jedn´ım z následuj´ıc´ıch zp˚ usob˚ u: ∗ ψ ≡ ¬ϕ ( ≡ je definiˇ cn´ı rovn´ıtko“ pro formule). Podle výˇse uvedeného induk-

” tivn´ıho pˇredpisu je F (ψ) = F (¬ϕ) = G(ϕ). Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu pak je G(ϕ) formule v normáln´ım tvaru ekvivalentn´ı ¬ϕ = ψ. Obdobnˇe pro funktor G vyjádˇr´ıme G(ψ) = G(¬ϕ) = F (ϕ). Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu pak je F (ϕ) formule v normáln´ım tvaru ekvivalentn´ı ϕ a to je dále ekvivalentn´ı ¬¬ϕ = ¬ψ podle Tvrzen´ı 1.13.

∗ ψ ≡ (ϕ1 ⇒ ϕ2 ). Podle v´ yˇse uvedeného induktivn´ıho pˇredpisu je F (ψ) = F (ϕ1 ⇒

ϕ2 ) = F (ϕ1 ) ⇒ F (ϕ2 ). Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu jsou F (ϕ1 ) i F (ϕ2 ) formule v normáln´ım tvaru ekvivalentn´ı ϕ1 a ϕ2 . Potom i F (ϕ1 ) ⇒ F (ϕ2 ) je v normáln´ım tvaru dle definice a podle sémantiky ⇒ je ta ekvivalentn´ı formuli (ϕ1 ⇒ ϕ2 ) = ψ. Obdobnˇe rozep´ıˇseme G(ψ) = G(ϕ1 ⇒ ϕ2 ) = F (ϕ1 ) ∧ G(ϕ2 ). Jelikoˇz ∧ je pro nás jen zkratka, výraz dále rozep´ıˇseme G(ψ) = ¬(F (ϕ1 ) ⇒ ¬G(ϕ2 )). Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu (a dvoj´ı negace) jsou F (ϕ1 ) a ¬G(ϕ2 ) po ˇradˇe ekvivalentn´ı formul´ım ϕ1 a ϕ2 . Tud´ıˇz nakonec odvod´ıme, ˇze G(ψ) je ekvivalentn´ı negaci formule ϕ1 ⇒ ϕ2 , coˇz jsme zde mˇeli dokázat.

∗ ψ ≡ (ϕ1 ∨ϕ2 ). Zde si mus´ıme opˇ et uvˇedomit, ˇze spojka ∨ je pro nás jen zkratka, a

pˇrepsat ψ ≡ (¬ϕ1 ⇒ ϕ2 ). Potom podle pˇredchoz´ıch dokázaných pˇr´ıpad˚ u v´ıme, ˇze F (ψ) = F (¬ϕ1 ⇒ ϕ2 ) = F (¬ϕ1 ) ⇒ F (ϕ2 ) je ekvivalentn´ı formuli (¬ϕ1 ⇒ ϕ2 ) = ψ, coˇz bylo tˇreba dokázat. Stejnˇe tak G(ψ) = G(¬ϕ1 ⇒ ϕ2 ) = F (¬ϕ1 ) ∧ G(ϕ2 ) je podle pˇredchoz´ıch pˇr´ıpad˚ u d˚ ukazu ekvivalentn´ı (¬ϕ1 ∧ ¬ϕ2 ) = ¬ψ.

∗ ψ ≡ (ϕ1 ∧ ϕ2 ) a ψ ≡ (ϕ1 ⇔ ϕ2 ) uˇ z dokonˇc´ıme analogicky.

✷

Rozˇ siˇ ruj´ıc´ı studium S formalizac´ı pojmu funkce a jej´ımi vlastnostmi se setkáváte pˇredevˇs´ım v matematice, avˇsak napˇr´ıklad na bijektivn´ı funkce naraz´ıte pˇri uklád´ an´ı dat pˇri volbˇe kl´ıˇce apod. Pro informatiku jsou sp´ıˇse d˚ uleˇzitˇejˇs´ı relace a jejich skl´ ad´ an´ı, na nichˇz je zaloˇzena mimo jiné pr´ ace s relaˇcn´ımi datab´ azemi. Posledn´ı ˇcást´ı lekce je problematika induktivn´ıch definic, které aˇc ve form´ aln´ım pod´ an´ı mohou nejprve vypadat nepochopitelnˇe, jsou ve skuteˇcnosti zcela pˇrirozenou popisnou metodou v mnoha aplikaˇcn´ıch sfér´ ach informatiky a jejich alespoˇ n intuitivn´ı ch´ ap´ an´ı pro vás bude v dalˇs´ım studiu nezbytné. Schválnˇe, zkuste se pod´ıvat zrovna do vaˇs´ı obl´ıbené oblasti informatiky, kde vˇsude induktivn´ı definice, tj. ty odvolávaj´ıc´ı se rekurzivnˇe samy na sebe pro menˇs´ı pˇr´ıpady“, najdete (tˇreba nepˇr´ımo). ”

51

7

Pojem grafu, ve zkratce ´ Uvod Tˇrebaˇze grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastnˇe pouze speciáln´ım pˇr´ıpadem bin´ arn´ıch relac´ı, vydobyly si svou uˇziteˇcnost´ı a n´ azornost´ı d˚ uleˇzité m´ısto na slunci. Dá se bez nadsázky ˇr´ıci, ˇze teorie graf˚ u je asi nejv´ yznamnˇejˇs´ı souˇcást´ı soudobé diskrétn´ı matematiky, a proto se j´ı budeme vˇenovat po tˇri n´ asleduj´ıc´ı lekce. Avˇsak pozor, neplet’me si graf s grafem funkce! u (pˇredstavme si je jako nakreslené punt´ıky“) Neformálnˇe ˇreˇceno, graf se sklád´ a z vrchol˚ ” a z hran, které spojuj´ı dvojice vrchol˚ u mezi sebou. Své d˚ uleˇzité m´ısto v informatice si grafy z´ıskaly dobˇre vyváˇzenou kombinac´ı sv´ ych vlastnost´ı – snadno pochopiteln´ ym n´ azorn´ ym nakreslen´ım a z´ aroveˇ n jednoduch´ ym zpracován´ım na poˇc´ıtaˇc´ıch. D´ıky tˇemto vlastnostem se grafy prosadily jako vhodn´ y matematick´ y model pro popis r˚ uzn´ ych vztah˚ u mezi daty a objekty.

C´ıle Definujeme, co je graf a jaké jsou nejzákladnˇejˇs´ı grafové pojmy (tˇreba hrany a stupnˇe, podgrafy, souvislost). Klademe d˚ uraz na to, aby se ˇcten´ aˇr nauˇcil grafy uchopit“ a pra” covat s nima, také aby správnˇe vidˇel stejnost“ (isomorfismus) graf˚ u. Poté se vˇenujeme ” nejjednoduˇsˇs´ımu druhu graf˚ u, totiˇz strom˚ um. Jedná se vesmˇes o pojmy, které se hojnˇe vyskytuj´ı v obvykl´ ych informatick´ ych aplikac´ıch graf˚ u.

7.1

Definice grafu

Hned na u ´ vod pˇristoup´ıme k formáln´ı definici grafu. Bude se jednat o definici tzv. jednoduchého neorientovaného grafu, který budeme povaˇzovat za základn´ı, pokud neˇrekneme jinak. Svým zp˚ usobem navazujeme na reprezentace relac´ı v Odd´ıle 4.2. Definice 7.1. Graf je uspoˇrádaná dvojice G = (V, E), kde V je mnoˇzina vrchol˚ u a E je mnoˇzina hran – mnoˇzina vybraných dvouprvkových podmnoˇzin mnoˇziny vrchol˚ u; tj. E ⊆ V2 .

Znaˇ cen´ ı : Hranu mezi vrcholy u a v p´ıˇseme jako {u, v}, nebo zkrácenˇe uv. Vrcholy spojené hranou jsou sousedn´ı a hrana uv vycház´ı z vrchol˚ u u a v. Na mnoˇzinu vrchol˚ u známého grafu G odkazujeme jako na V (G), na mnoˇzinu hran E(G). Koment´ aˇ r: Grafy se ˇcasto zad´ avaj´ı pˇr´ımo n´ azorn´ ym obr´ azkem, jinak je lze formálnˇe zadat v´ yˇctem vrchol˚ u a v´ yˇctem hran. Napˇr´ıklad: 1

2 V = {1, 2, 3, 4},

3

4 n

o E = {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {3, 4}

Na graf se lze d´ıvat také jako na symetrickou ireflexivn´ı relaci, kde hrany tvoˇr´ı pr´ avˇe dvojice prvk˚ u z této relace.

52

Stupnˇ e vrchol˚ u v grafu Máme-li graf, ˇcasto nás zaj´ımá, kolik z kterého vrcholu vycház´ı hran-spojnic, neboli kolik má vrchol soused˚ u“. Proto jedn´ım z prvn´ıch definovaným pojm˚ u bude stupeˇ n vrcholu ” v grafu. Definice 7.2. Stupnˇ em vrcholu v v grafu G rozum´ıme poˇcet hran vycházej´ıc´ıch z v. Stupeˇ n v v grafu G znaˇc´ıme dG (v). Koment´ aˇ r: Slovo vych´ azej´ıc´ı“ zde nenaznaˇcuje ˇzádn´ y smˇer; je totiˇz obecnou konvenc´ı u ” neorientovan´ ych graf˚ u ˇr´ıkat, ˇze hrana vych´ az´ı z obou sv´ ych konc˚ u zároveˇ n. 2 s

s2

3 s

s3

stupnˇe 3 s

s3

2 s

4 s

s3

s2

2 s

s5

Napˇr´ıklad v nakreslené ukázce jsou stupnˇe pˇr´ımo zaps´ any u vrchol˚ u.

Definice: Graf je d-regulárn´ı, pokud vˇsechny jeho vrcholy maj´ı stejný stupeˇ n d. n v grafu G znaˇc´ıme ∆(G) a nejniˇzˇs´ı δ(G). Znaˇ cen´ ı : Nejvyˇsˇs´ı stupeˇ Vˇ eta 7.3. Souˇcet stupˇ n˚ u v grafu je vˇzdy sudý, roven dvojnásobku poˇctu hran. D˚ ukaz. Pˇri sˇc´ıtán´ı stupˇ n˚ u vrchol˚ u v grafu zapoˇc´ıtáme kaˇzdou hranu dvakrát – jednou za kaˇzdý jej´ı konec. Proto výsledek vyjde sudý. ✷ Pˇ r´ıklad 7.4. Zodpovˇezte si sami následuj´ıc´ı otázky: ∗ Kolik hran m´ a graf se 17 vrcholy stupˇ n˚ u 4?

∗ Existuj´ı dva r˚ uzné“ grafy se 6 vrcholy stupˇ n˚ u 2?

✷

”

Bˇ eˇ zn´ e typy graf˚ u Pro snadnˇejˇs´ı vyjadˇrován´ı je zvykem nˇekteré bˇeˇzné typy graf˚ u nazývat popisnými jmény. Jde ˇcistˇe o vˇec konvence a autoˇri se mohou v nˇekterých názvech l´ıˇsit (i pˇricházet s novými názvy), avˇsak následuj´ıc´ıch pˇet názv˚ u patˇr´ı k vˇseobecným základ˚ um teorie graf˚ u. Kruˇ znice d´ elky n má n ≥ 3 vrchol˚ u spojených do jednoho cyklu n hranami: 3 s

4 s

Cn

s

5 s

2 s

6 s

...

s

1

n

Cesta d´ elky n ≥ 0 má n + 1 vrchol˚ u spojených za sebou n hranami:

Pn

s

s

s

s

1

2

3

4

53

...

s

s

n n+1

´ u, vˇsechny navzájem pospojované (tj. celkem Upln´ y graf na n ≥ 1 vrcholech má n vrchol˚ n hran): 2 3 s

4 s

Kn

s

5 s

2

1

s

6 s

...

s

n

´ u ve dvou skupinách Upln´ y bipartitn´ı graf na m ≥ 1 a n ≥ 1 vrcholech má m+n vrchol˚ (partitách), pˇriˇcemˇz hranami jsou pospojované vˇsechny m·n dvojice z r˚ uzných skupin: 1

2

3

4

s

s

s

s

. . . ms

Km,n s

s

s

1

2

3

...

s

n

Hvˇ ezda s n ≥ 1 rameny je zvláˇstn´ı název pro u ´ plný bipartitn´ı graf K1,n : 3 s

4 s

Sn

s

5 s

s

6 s

2 s

...

s

1

n

Pˇ r´ıklad 7.5. Zodpovˇezte si sami následuj´ıc´ı otázky: ∗ Pro jakou hodnotu n je u ´ plný graf Kn zároveˇ n cestou?

∗ Pro jakou hodnotu n je u ´ plný graf Kn zároveˇ n kruˇznic´ı?

∗ Pro jak´ e hodnoty m, n > 0 je u ´ plný bipartitn´ı graf Km,n zároveˇ n kruˇznic´ı?

∗ Kolik hran mus´ıte pˇridat do kruˇ znice délky 6, aby vznikl u ´ plný graf na 6 vrcholech?

∗ Pro jak´ e hodnoty m, n > 0 u ´ plný bipartitn´ı graf Km,n neobsahuje ˇzádnou kruˇznici? ✷

Zm´ınka o orientovan´ ych grafech V Lekci 9 si zavedeme také takzvané orientované grafy, které kaˇzdé hranˇe pˇriˇrazuj´ı jistý smˇer. Formálnˇe orientované grafy budou m´ıt mnoˇzinu orientovaných hran A ⊆ V (G) × V (G) a zobraz´ıme je takto. . . s s s

s

s s

54

7.2

Podgrafy a Isomorfismus

Dva základn´ı nástroje pro práci s grafy jsou následuj´ıc´ı; moˇznost popisovat ˇcást grafu“ ” (podobnˇe jako podmnoˇzinu mnoˇziny, avˇsak je nutno se vyvarovat nekorektn´ıch situac´ı) a poznávat stejnost“ dvou graf˚ u. ” u Definice: Podgrafem grafu G rozum´ıme libovolný graf H na podmnoˇzinˇe vrchol˚ V (H) ⊆ V (G), který má za hrany libovolnou podmnoˇzinu hran grafu G maj´ıc´ıch oba vrcholy ve V (H). P´ıˇseme H ⊆ G, tj. stejnˇe jako mnoˇzinová inkluze (ale význam je trochu jiný). Koment´ aˇ r: Na n´ asleduj´ıc´ım obr´ azku vid´ıme zv´ yraznˇené podmnoˇziny vrchol˚ u hran. Proˇc se vlevo nejedn´ a o podgraf? Obrázek vpravo uˇz podgrafem je. s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

Definice: Indukovaným podgrafem je podgraf H ⊆ G takový, který obsahuje vˇsechny hrany grafu G mezi dvojicemi vrchol˚ u z V (H). Stejnost“ graf˚ u ” Pozorný ˇctenáˇr si moˇzná jiˇz pˇri ˇcten´ı pˇredchoz´ıho odd´ılu poloˇzil otázku: Co kdyˇz vezmeme jeden graf (tˇreba kruˇznici délky 4) a nakresl´ıme nebo zap´ıˇseme jej jednou tak, podruhé zase jinak – je to stále tentýˇz graf nebo ne? Viz obrázky dole. Pˇr´ısnˇe formálnˇe ˇreˇceno, kaˇzdé dalˇs´ı nakreslen´ı jistého grafu, tˇreba té kruˇznice C4 , je jiným grafem, ale pˇritom bychom rádi ˇrekli, ˇze r˚ uzná nakreslen´ı téhoˇz grafu jsou stále ” stejná“. Pro tuto stejnost graf˚ u se vˇzil pojem isomorfn´ı grafy. s

s

s

s

s

? =

s

s

s

? =

s

s

s

s

Definice 7.6. Isomorfismus ≃ graf˚ uGaH je bijektivn´ı (vzájemnˇe jednoznaˇcné) zobrazen´ı f : V (G) → V (H), pro které plat´ı, ˇze kaˇzdá dvojice vrchol˚ u u, v ∈ V (G) je spojená hranou v G právˇe tehdy, kdyˇz je dvojice f (u), f (v) spojená hranou v H. Grafy G a H jsou isomorfn´ı, pokud mezi nimi existuje isomorfismus. P´ıˇseme G ≃ H. Fakt: Mˇejme isomorfismus f graf˚ u G a H. Pak plat´ı následuj´ıc´ı ∗ G a H maj´ı stejn´ y poˇcet hran, ∗ f zobrazuje na sebe vrcholy stejn´ ych stupˇ n˚ u, tj. dG (v) = dH (f (v)).

55

Koment´ aˇ r:

s

s

s

s

s

s

s

s

U nakreslen´ ych dvou graf˚ u objev´ıme isomorfismus velmi snadno – pod´ıváme se, jak si odpov´ıdaj´ı vrcholy stejn´ ych stupˇ n˚ u.

Pˇ r´ıklad 7.7. Jsou následuj´ıc´ı dva grafy isomorfn´ı? s

s

s

s

s

s s

s s

s

s

s

Pokud mezi nakreslenými dvˇema grafy hledáme isomorfismus, nejprve se pod´ıváme, zda maj´ı stejný poˇcet vrchol˚ u a hran. Maj´ı. Pak se pod´ıváme na stupnˇe vrchol˚ u a zjist´ıme, ˇze oba maj´ı stejnou posloupnost stupˇ n˚ u 2, 2, 2, 2, 3, 3. Takˇze ani takto jsme mezi nimi nerozliˇsili a mohou (nemusej´ı!) být isomorfn´ı. Dále tedy nezbývá, neˇz zkouˇset vˇsechny pˇr´ıpustné moˇznosti zobrazen´ı isomorfismu z levého grafu do pravého. Na levém grafu si pro ulehˇcen´ı vˇsimnˇeme, ˇze oba vrcholy stupnˇe tˇri jsou si symetrické, proto si bez u ´ jmy na obecnosti m˚ uˇzeme vybrat, ˇze nejlevˇejˇs´ı vrchol prvn´ıho grafu, oznaˇcme jej 1, se zobraz´ı na nejlevˇejˇs´ı vrchol 1′ v druhém grafu (taky stupnˇe tˇri). Oˇc´ıslujme zbylé vrcholy prvn´ıho grafu 2, . . . , 6 v kladném smyslu, jak je ukázáno na následuj´ıc´ım obrázku. Druhý vrchol stupnˇe tˇri, oznaˇcený 4, se mus´ı zobrazit na analogický vrchol druhého grafu (pravý spodn´ı). Pak je jiˇz jasnˇe vidˇet, ˇze dalˇs´ı sousedé 2, 6 vrcholu 1 se zobraz´ı na analogické sousedy 2′ , 6′ vrcholu 1′ v druhém grafu, a stejnˇe je to i se zbylými vrcholy 3, 5. Výsledný isomorfismus vypadá v odpov´ıdaj´ıc´ım znaˇcen´ı vrchol˚ u takto: 6 s

s

5

1 s

5’ s s

2 s

s

4

s

6’

1’ s

3

3’ s

s s

4’

2’ ✷

Abychom mohli s isomorfismem graf˚ u pˇrirozenˇe pracovat, je potˇreba vˇedˇet následuj´ıc´ı fakt: Vˇ eta 7.8. Relace být isomorfn´ı“ ≃ na tˇr´ıdˇe vˇsech graf˚ u je ekvivalenc´ı. ” D˚ ukaz. Relace ≃ je reflexivn´ı, protoˇze graf je isomorfn´ı sám sobˇe identickým zobrazen´ım. Relace je také symetrická, nebot’ bijektivn´ı zobrazen´ı lze jednoznaˇcnˇe obrátit. Tranzitivnost ≃ se snadno dokáˇze skládán´ım zobrazen´ı–isomorfism˚ u. ✷ D˚ usledkem je, ˇze vˇsechny moˇzné grafy se rozpadnou na tˇr´ıdy isomorfismu. V praxi pak, pokud mluv´ıme o grafu, mysl´ıme t´ım obvykle jeho celou tˇr´ıdu isomorfismu, tj. nezáleˇz´ı nám na konkrétn´ı prezentaci grafu. Koment´ aˇ r: Je uveden´ y pˇr´ıstup, tj. zamˇen ˇován´ı konkrétn´ıho grafu za celou jeho tˇr´ıdu isomorfismu, v matematice neobvykl´ y? Ne, napˇr´ıklad uˇz v geometrii jste ˇr´ıkali ˇctverec o stranˇe 2“ ” ˇci jednotkov´ y kruh“ a podobnˇe, aniˇz jste mˇeli na mysli konkrétn´ı obr´ azek, n´ ybrˇz celou ” tˇr´ıdu vˇsech tˇechto shodn´ ych objekt˚ u.

56

Dalˇ s´ı grafov´ e pojmy Definice: Mˇejme libovolný graf G. ∗ Podgrafu H ⊆ G, kter´ y je isomorfn´ı nˇejaké kruˇznici, ˇr´ıkáme kruˇznice v G. ∗ Speci´ alnˇe ˇr´ıkáme troj´ uheln´ık kruˇznici délky 3. ∗ Podgrafu H ⊆ G, kter´ y je isomorfn´ı nˇejaké cestˇe, ˇr´ıkáme cesta v G.

∗ Podgrafu H ⊆ G, kter´ y je isomorfn´ı nˇejakému u ´ plnému grafu, ˇr´ıkáme klika v G.

(Nˇekdy se za kliku povaˇzuje pouze takový u ´ plný podgraf, který je maximáln´ı vzhledem k uspoˇrádán´ı inkluz´ı.)

∗ Podmnoˇ zinˇe vrchol˚ u X ⊆ V (G), mezi kterými nevedou v G v˚ ubec ˇzádné hrany,

ˇr´ıkáme nezávislá mnoˇzina X v G.

∗ Indukovan´ emu podgrafu H ⊆ G, který je isomorfn´ı nˇejaké kruˇznici, ˇr´ıkáme induko-

vaná kruˇznice v G.

Koment´ aˇ r: Uvaˇzujme n´ asleduj´ıc´ı ukázky graf˚ u: 6 s

s5

6 s

1 s

s4

2 s

s5

1 s

s3

s4

2 s

s3

Prvn´ı z ukázan´ ych graf˚ u napˇr´ıklad neobsahuje ˇzádn´ y troj´ uheln´ık, ale obsahuje kruˇznici délky 4, dokonce indukovanou. Druh´ y graf troj´ uheln´ık obsahuje a kruˇznici délky 4 taktéˇz. Prvn´ı graf obsahuje cestu délky 4 na vrcholech 1, 2, 3, 4, 5, ale ta nen´ı indukovan´ a. Indukovan´ a cesta délky 4 v nˇem je tˇreba 2, 3, 4, 5, 6. Druh´ y graf tyto cesty také obsahuje, ale naopak ˇz´ adn´ a z nich nen´ı indukovan´ a. Prvn´ı graf m´ a nejvˇetˇs´ı kliku velikosti 2 – jedinou hranu, kdeˇzto druh´ y graf m´ a vˇetˇs´ı kliku na vrcholech 3, 4, 5. Nejvˇetˇs´ı nez´ avislá mnoˇzina u obou graf˚ u m´ a 3 vrcholy 2, 4, 6.

Pˇ r´ıklad 7.9. Jsou následuj´ıc´ı dva grafy isomorfn´ı? s

s

s

s

s

s s

s s

s

s

s

Postupovat budeme jako v Pˇr´ıkladˇe 7.7, nejprve ovˇeˇr´ıme, ˇze oba grafy maj´ı stejnˇe mnoho vrchol˚ u i stejnou posloupnost stupˇ n˚ u 2, 2, 2, 2, 3, 3. Pokud se vˇsak budeme snaˇzit naj´ıt mezi nimi isomorfismus, nˇeco stále nebude vycházet, ˇze? Co nám tedy v nalezen´ı isomorfismu brán´ı? Pod´ıvejme se, ˇze v druhém grafu oba vrcholy stupnˇe tˇri maj´ı svého spoleˇcného souseda, tvoˇr´ı s n´ım troj´ uheln´ık. V prvn´ım grafu tomu tak nen´ı, prvn´ı graf dokonce nemá ˇzádný troj´ uheln´ık. Proto zadané dva grafy nejsou isomorfn´ı. ✷ Pozn´ amka: V´ yˇse uvedené pˇr´ıklady n´ am ukazuj´ı nˇekteré cesty, jak poznat (tj. naj´ıt nebo vyˇ louˇcit) isomorfismus dvou graf˚ u. Ty vˇsak ne vˇzdy mus´ı fungovat. Cten´ aˇr se m˚ uˇze pt´ at, kde tedy najde nˇejak´ y univerz´ aln´ı postup pro nalezen´ı isomorfismu? Bohuˇzel vás mus´ıme zklamat, ˇzádn´ y rozumn´ y univerz´ aln´ı postup nen´ı zn´ am a zat´ım plat´ı, ˇze jediná vˇzdy funguj´ıc´ı cesta pro

57

nalezen´ı ˇci nenalezen´ı isomorfismu mezi dvˇema grafy je ve stylu vyzkouˇsejte vˇsechny moˇznosti bijekc´ı mezi vrcholy tˇechto graf˚ u. (Tˇech je, jak zn´ amo, aˇz n!)

7.3

Souvislost graf˚ u, komponenty

D˚ uleˇzitou globáln´ı vlastnost´ı graf˚ u je souvislost, tedy moˇznost se v nich pohybovat odkudkoliv kamkoliv podél jeho hran, neboli po cestách v grafu. Tuto vlastnost si nyn´ı upˇresn´ıme. Lema 7.10. Mˇejme relaci ∼ na mnoˇzinˇe vrchol˚ u V (G) libovolného grafu G takovou, ˇze pro dva vrcholy x ∼ y právˇe kdyˇz existuje v G cesta zaˇc´ınaj´ıc´ı v x a konˇc´ıc´ı v y. Pak ∼ je relac´ı ekvivalence. D˚ ukaz. Relace ∼ je reflexivn´ı, nebot’ kaˇzdý vrchol je spojený sám se sebou cestou délky 0. Symetrická je také, protoˇze cestu z x do y snadno v neorientovaném grafu obrát´ıme na cestu z y do x. Pro d˚ ukaz tranzitivity si oznaˇcme P cestu z x do y a Q cestu z y do z. Pak P ∪ Q nemus´ı být cesta; mohou se navzájem prot´ınat. Avˇsak pokud oznaˇc´ıme P ′ ⊆ P ˇcást cesty z x do prvn´ıho vrcholu v pr˚ uniku s Q, tak P ′ ∪ Q uˇz je cesta z x do z. ✷ Definice 7.11. Komponentami souvislosti grafu G nazveme tˇr´ıdy ekvivalence výˇse popsané (Lema 7.10) relace ∼ na V (G). Jinak se také komponentami souvislosti mysl´ı podgrafy indukované na tˇechto tˇr´ıdách ekvivalence. Koment´ aˇ r: Pod´ıvejte se, kolik komponent souvislosti m´ a tento graf: s

s

s

s s

s

s

s

s

s

s s

s

Vid´ıte v obr´ azku vˇsechny tˇri komponenty? Jedna z nich je izolovan´ ym vrcholem, druhá hranou (tj. grafem isomorfn´ım K2 ) a tˇret´ı je to zb´ yvaj´ıc´ı.

Definice 7.12. Graf G je souvisl´ y pokud je G tvoˇrený nejvýˇse jednou komponentou souvislosti, tj. pokud kaˇzdé dva vrcholy G jsou spojené cestou. Pozn´ amka: Prázdn´ y graf je souvisl´ y a m´ a 0 komponent. Koment´ aˇ r: Kter´ y z tˇechto dvou graf˚ u je souvisl´ y?

7.4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

Stromy – grafy bez kruˇ znic

Podrobnˇejˇs´ı studium nˇekterých uˇziteˇcných aspekt˚ u graf˚ u zaˇcneme u toho nejjednoduˇsˇs´ıho u pouˇz´ıvaných typu grafu – na stromech, jeˇz jsou mimo jiné základem mnoha datových typ˚ v informatice. 58

Koment´ aˇ r: s s s s s

s

s

s

s

s

s

s

s

s s

s s s s

s

s s

Charakteristick´ ymi znaky strom˚ u je absence kruˇznic a souvislost. . .

Definice 7.13. Strom je jednoduchý souvislý graf T bez kruˇznic. Koment´ aˇ r: Obecnˇeji les je jednoduch´ y graf bez kruˇznic (nemus´ı b´ yt souvisl´ y). Komponenty souvislosti lesa jsou stromy. Jeden vrchol bez hran a pr´ azdn´ y graf jsou také stromy. Grafy bez kruˇznic také obecnˇe naz´ yv´ ame acyklické.

Vlastnosti strom˚ u Pˇrehled základn´ıch vlastnost´ı strom˚ u je pro nás zároveˇ n pˇr´ıleˇzitost´ı si ukázat nˇekolik nových hezkých matematických d˚ ukaz˚ u a nauˇcit se správnˇe zd˚ uvodˇ novat v oblasti graf˚ u. Lema 7.14. Strom s v´ıce neˇz jedn´ım vrcholem obsahuje vrchol stupnˇe 1. D˚ ukaz: Souvislý graf s v´ıce neˇz jedn´ım vrcholem nem˚ uˇze m´ıt vrchol stupnˇe 0. Proto vezmeme strom T a v nˇem libovolný vrchol v. Sestroj´ıme nyn´ı co nejdelˇs´ı cestu S v T zaˇc´ınaj´ıc´ı ve v: S zaˇcne libovolnou hranou vycházej´ıc´ı z v; v kaˇzdém dalˇs´ım vrcholu u, do kterého se dostaneme a má stupeˇ n vˇetˇs´ı neˇz 1, lze pak pokraˇcovat cestu S dalˇs´ı novou hranou. S s s

v s❢

s❢

s

s

...

s

Pokud by se v S poprvé zopakoval nˇekterý vrchol, z´ıskali bychom kruˇznici, coˇz ve stromˇe nelze. Proto cesta S mus´ı jednou skonˇcit v nˇejakém vrcholu stupnˇe 1 v T . ✷ Koment´ aˇ r: Zamyslete se, proˇc v kaˇzdém stromˇe s v´ıce neˇz jedn´ım vrcholem jsou alespoˇ n dva vrcholy stupnˇe 1 (odpovˇed’ je skrytá uˇz v pˇredchoz´ım d˚ ukaze). Z´ aroveˇ n si odpovˇezte, jestli lze tvrdit, ˇze kaˇzd´ y strom s v´ıce neˇz jedn´ım vrcholem obsahuje tˇri vrcholy stupnˇe 1.

Vˇ eta 7.15. Strom na n vrcholech má pˇresnˇe n − 1 hran pro n ≥ 1. D˚ ukaz: Toto tvrzen´ı dokáˇzeme indukc´ı podle n. Strom s jedn´ım vrcholem má n−1 = 0 hran. Necht’ T je strom na n > 1 vrcholech. Podle Lematu 7.14 má T vrchol v stupnˇe 1. Oznaˇcme T ′ = T − v graf vzniklý z T odebrán´ım vrcholu v. Pak T ′ je také souvislý bez kruˇznic, tud´ıˇz strom na n − 1 vrcholech. Dle indukˇcn´ıho pˇredpokladu T ′ má n − 1 − 1 hran, a proto T má n − 1 − 1 + 1 = n − 1 hran. ✷ Vˇ eta 7.16. Mezi kaˇzdými dvˇema vrcholy stromu vede právˇe jediná cesta.

59

P1 s

D˚ ukaz: s u ❢

s

s

P2

H

s

s

s

s s

s

s v ❢

s

Jelikoˇz strom T je souvislý dle definice, mezi libovolnými dvˇema vrcholy u, v vede nˇejaká cesta. Pokud by existovaly dvˇe r˚ uzné cesty P1 , P2 mezi u, v, tak bychom vzali jejich symetrický rozd´ıl, podgraf H = P1 ∆P2 s neprázdnou mnoˇzinou hran, kde H zˇrejmˇe má vˇsechny stupnˇe sudé. Na druhou stranu se vˇsak podgraf stromu mus´ı opˇet skládat z komponent strom˚ u, a tud´ıˇz obsahovat vrchol stupnˇe 1 podle Lematu 7.14, spor. Proto cesta mezi u a v existuje jen jedna. ✷ D˚ usledek 7.17. Pˇridán´ım jedné nové hrany do stromu vznikne právˇe jedna kruˇznice. D˚ ukaz: Necht’ mezi vrcholy u, v ve stromu T nen´ı hrana. Pˇridán´ım hrany e = uv vznikne právˇe jedna kruˇznice z e a jediné cesty mezi u, v v T podle Vˇety 7.16. ✷ Alternativn´ı charakterizace strom˚ u Z pˇredchoz´ıch tvrzen´ı vyplývá následuj´ıc´ı alternativn´ı charakterizace strom˚ u, která ukazuje d˚ uleˇzitost jich samotných i jako tzv. koster obecných graf˚ u (viz Odd´ıl 8.4). Na dané mnoˇzinˇe vrchol˚ u je (vzhledem k inkluzi mnoˇzin hran) strom •

minimáln´ı souvislý graf (plyne z Vˇety 7.16)

•

a zároveˇ n maximáln´ı acyklický graf (plyne z D˚ usledku 7.17).

Jen tak mimochodem, kolik dokáˇzete nalézt neisomorfn´ıch strom˚ u na 4 nebo 5 vrcholech? Vid´ıte, ˇze jich nen´ı mnoho? Nakreslete si je vˇsechny.

7.5

Pouˇ zit´ı a implementace graf˚ u

Závˇerem si v naˇsem studijn´ım textu nast´ın´ıme nˇekteré základn´ı motivace pro zaveden´ı a pouˇzit´ı graf˚ u pˇri popisu a ˇreˇsen´ı problém˚ u napˇr´ıklad v informatice. Pˇ r´ıklad 7.18. Ukázky nˇekterých problém˚ u ze ˇzivota“ popsatelných grafy. ” Podotýkáme, ˇze tyto ukázky jsou ˇcasto velmi zjednoduˇsené (pro jejich lepˇs´ı pˇr´ıstupnost ˇsirokému okruhu ˇctenáˇr˚ u), ale to neub´ırá jejich motivaˇcn´ımu potenciálu. • Vyjádˇren´ı mezilidských vztah˚ u – maj´ı se rádi“, kamarád´ı se“, nesnesou jeden ” ” ” druhého“, apod: Zde jednotlivé osoby tvoˇr´ı vrcholy grafu a vztahy jsou hranami (ˇcasto neorientované, ale i orientace je pˇr´ıpustná). Vˇsimnˇeme si coby zaj´ımavosti, jak tento model pˇrirozenˇe preferuje párový“ pohled na vztahy – hrany pˇrece spojuj´ı jen dvojice vrchol˚ u. Tˇrebaˇze ” napˇr´ıklad vztah kamarád´ı se“ m˚ uˇze být obecnˇe platný pro vˇetˇs´ı skupinky lid´ı neˇz ” dvojice, stejnˇe se obvykle vyjadˇruje klikou v grafu (kaˇzd´ı dva v naˇsem druˇzstvu jsou dobˇr´ı kamarádi. . . ). Tato obecnˇe poj´ımaná tendence vyjadˇrovat i sloˇzitˇejˇs´ı vztahy tˇemi párovými je vodou na mlýn pouˇzit´ı teorie graf˚ u jako témˇeˇr univerzáln´ıho vyjadˇrovac´ıho prostˇredku v podobných pˇr´ıpadech. 60

Na druhou stranu i teorie graf˚ u disponuje pojmem tzv. hypergrafu umoˇzn ˇ uj´ıc´ıho pouˇzit´ı hran libovolné arity (poˇctu koncových vrchol˚ u), ale rozsah výskytu hypergraf˚ u v teorii i aplikac´ıch je oproti graf˚ um vskutku zanedbatelný. • Vyjádˇren´ı závislost´ı mezi objekty nebo procesy:

Pˇredstavme si situace, ve kterých jednotlivé entity (modelované jako vrcholy) závis´ı na výstupech jiných entit a naopak poskytuj´ı výstupy dalˇs´ı entitám. Typickým pˇr´ıkladem mohou být závislosti jednotlivých krok˚ u výrobn´ıho nebo rozhodovac´ıho procesu. Ty pak vedou k definici orientovaného grafu na dané mnoˇzinˇe vrchol˚ u/entit, tj. pouˇzit´ı hran se ˇsipkami“. Vˇsimnˇeme si, ˇze závislosti ˇcasto bývaj´ı ˇcasového charak” teru (pˇriˇcemˇz smˇer závislosti je implicitnˇe jasný) a pak je nezbytnou doplˇ nkovou podm´ınkou vylouˇcen´ı výskytu orientovaných cykl˚ u v modelovém grafu. Na druhou stranu existuj´ı i situace, kdy cyklické závislosti jsou dovoleny a maj´ı sv˚ uj význam. Pro jeˇstˇe jednu ukázku závislost´ı z bˇeˇzného ˇzivota informatika se pod´ıváme na správu bal´ıˇck˚ u softwaru napˇr´ıklad v Linuxovýxh distribuc´ıch. V tom pˇr´ıpadˇe jsou jednotlivé bal´ıˇcky vrcholy grafu, jejich vyˇzadované závislosti popisuj´ı odchoz´ı hrany a jejich poskytované vlastnosti jsou pˇr´ıchoz´ımi hranami grafu závislost´ı. Korektn´ı instalace zvoleného bal´ıˇcku pak ˇreˇs´ı problém zahrnut´ı vˇsech dalˇs´ıch vrchol˚ u dosaˇzitelných“ ze ” zvoleného. Vˇse je nav´ıc komplikováno správou verz´ı bal´ıˇck˚ u, ale to uˇz je mimo rámec naˇseho u ´ vodn´ıho slova.

• Modelován´ı technických ˇci dopravn´ıch s´ıt´ı grafy:

V takových pˇr´ıpadech bývaj´ı vrcholy grafu jednotlivá technická zaˇr´ızen´ı jako tˇreba rozvodny, routery, kˇriˇzovatky a podobnˇe, kdeˇzto hrany jsou tvoˇreny spojnicemi/veˇ den´ım mezi vrcholy. Casto se zde setkáváme s orientovanými grafy a obecnˇe multigrafy. K této probematice se bl´ıˇze vyjadˇruje Lekce 9.

• Vizualizace vztah˚ u a závislost´ı pro lidského pozorovatele:

Nejen pˇri ˇreˇsen´ı cviˇcných pˇr´ıklad˚ u v naˇs´ı uˇcebnici, ale i v mnoha reálných aplikac´ıch vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch grafy jako modely, je velmi potˇrebné tyto grafy vizualizovat (tj. hezky nakreslit) pro lidského pozorovatele. Jedná se obecnˇe o pomˇernˇe obt´ıˇzný u ´ kol, který pˇresahuje hranice naˇseho textu. ✷

Zpracov´ an´ı grafu poˇ c´ıtaˇ cem Mˇejme jednoduchý graf G na n vrcholech a znaˇcme vrcholy jednoduˇse ˇc´ısly V (G) = {0, 1, . . . , n − 1}. Pro poˇc´ıtaˇcovou implementaci grafu G se nab´ızej´ı dva základn´ı zp˚ usoby, které budeme implicitnˇe vyuˇz´ıvat i v nˇekterých algoritmech následuj´ıc´ıch lekc´ı. • Implementace matic´ı sousednosti, tj. dvourozmˇerným polem g[][], ve kterém g[i][j]=1 znamená hranu mezi vrcholy i a j. • Implementace výˇctem soused˚ u, tj. pouˇzit´ım opˇet dvourozmˇerné pole h[][] a nav´ıc pole d[] stupˇ n˚ u vrchol˚ u. Zde prvky h[i][0],h[i][1],...,h[i][d[i]-1] udávaj´ı seznam soused˚ u vrcholu i. Pozn´ amka: Dávejte si pozor na symetrii hran v implementaci! To znamená, ˇze pokud uloˇz´ıte hranu g[i][j]=1, tak mus´ıte z´ aroveˇ n uloˇzit i hranu g[j][i]=1, jinak se doˇckáte nepˇr´ıjemn´ ych pˇrekvapen´ı. Totéˇz se t´ yk´ a i seznam˚ u soused˚ u.

61

Koment´ aˇ r: Implementace matic´ı sousednosti je hezká svou jednoduchost´ı. Druh´ a moˇznost se vˇsak mnohem lépe hod´ı pro grafy s mal´ ym poˇctem hran, coˇz nast´ avá ve vˇetˇsinˇe praktick´ ych aplikac´ı. (Nav´ıc je implementace v´ yˇctem soused˚ u vhodn´ a i pro multigrafy.) Ke graf˚ um lze do zvláˇstn´ıch pol´ı pˇridat také ohodnocen´ı vrchol˚ u a hran libovoln´ ymi ˇc´ısly ˇci znaˇckami. . .

Rozˇ siˇ ruj´ıc´ı studium Grafy m˚ uˇzeme v informatice potkat doslova na kaˇzdém kroku, mimo jiné hojnˇe uˇz v základn´ıch kurzech algoritmizace. Nejen ˇze grafy (pˇredevˇs´ım stromy) jsou základem mnoha programátorsk´ ych datov´ ych struktur, ale pˇredstavuj´ı i vhodn´ y model pro spoustu praktick´ ych problém˚ u. Onˇech p´ ar lekc´ı teorie graf˚ u v naˇsem uˇcebn´ım textu je jen lehk´ ym u ´vodem, pˇreˇcemˇz na FI MU lze pokraˇcovat v jej´ım studiu v pˇredmˇetu MA010. Rozsáhl´ y matematick´ y u ´vod do teorie graf˚ u je zahrnut ve skvˇelé knize Kapitoly z diskrétn´ı matematiky autor˚ u Jiˇr´ıho Matouˇska a Jaroslava Neˇsetˇrila. Vˇrele ji doporuˇcujeme jako doplˇ nkov´ y studijn´ı zdroj vˇsem, kteˇr´ı chtˇej´ı lépe pochopit grafy z jejich matematické str´ anky.

62

8

Proch´ azen´ı grafu a odvozen´ eu ´ lohy ´ Uvod Na rozd´ıl od pˇredchoz´ı lekce, která se zjednoduˇsenˇe ˇreˇceno zab´ yvala grafy z pohledu matematika, tedy pod´ an´ım definice a obr´ azk˚ u, nyn´ı se hloubˇeji pod´ıváme na grafy z algoritmické ˇci programátorské perspektivy. Proto se v prvé ˇradˇe pod´ıváme na obecné schéma proch´ azen´ı grafu, které je z´ akladem mnoha uˇziteˇcn´ ych algoritm˚ u na grafech. Poté se hloubˇeji zamˇeˇr´ıme na dvˇe specifické grafové u ´lohy – hled´ an´ı nejkratˇs´ı cesty a minim´ aln´ı kostry, hojnˇe se vyskytuj´ıc´ı v mnoha praktick´ ych obmˇen´ ach. Na základˇe obecného schématu si uvedeme jejich jednoduché a velmi efektivn´ı algoritmy.

C´ıle Zjednoduˇsenˇe pod´ ame obecné schéma algoritmu proch´ azen´ı grafu. Definujeme poté dvˇe konkrétn´ı grafové u ´lohy, hled´ an´ı nejkratˇs´ı cesty mezi dvˇema vrcholy a hled´ an´ı nejmenˇs´ı kostry, oboj´ı v grafu s hranami ohodnocen´ ymi re´ aln´ ymi délkami. Na základˇe pˇredchoz´ıho pak vysvˇetl´ıme Dijkstr˚ uv algoritmus pro nejkratˇs´ı cesty a Kruskal˚ uv a Jarn´ık˚ uv algoritmus pro minimáln´ı kostru.

8.1

Jak obecnˇ e proj´ıt souvisl´ y graf

S u ´ lohou procházen´ı grafu se svým zp˚ usobem setkávaj´ı uˇz dˇeti, kdyˇz hledaj´ı cestu z bludiˇstˇe (jejich naivn´ı postup se dá pˇrirovnat k procházen´ı do hloubky“). Celý problém ” má ale mnohem ˇsirˇs´ı zábˇer a s vhodnou implementac´ı dodateˇcných lokáln´ıch funkc´ı lze pouhým prohledán´ım grafu podat odpovˇed’ na jiné zaj´ımavé otázky, jako naj´ıt nejkratˇs´ı cestu, minimáln´ı kostru, komponenty vyˇsˇs´ı souvislosti, apod. Nav´ıc se procházen´ı grafu vyskytuje jako pod´ uloha v jiných algoritmech. Metoda 8.1. Sch´ ema algoritmu pro proch´ azen´ı grafem Pro vytvoˇren´ı co nejobecnˇejˇs´ıho schématu si pom˚ uˇzeme následuj´ıc´ımi datovými stavy a pomocnou strukturou: •

Vrchol grafu: má stavy . . . ∗ iniciaˇ cn´ı – dostane na zaˇcátku,

∗ nalezen´ y – implicitn´ı stav poté, co jsme jej pˇres nˇekterou hranu nalezli (a odloˇzili

•

ke zpracován´ı pozdˇeji), ∗ zpracovan´ y – poté, co jsme uˇz probrali vˇsechny hrany z nˇej vycházej´ıc´ı, ∗ (pˇr´ıpadnˇ e jeˇstˇe stav post-zpracovaný“, po dokonˇcen´ı vˇsech jeho následn´ık˚ u). ” ´ Uschovna: je pomocná datová struktura (mnoˇzina s dodateˇcnými atributy),

∗ udrˇ zuje odloˇzené, tj. nalezené a jeˇstˇe nezpracované vrcholy, spolu s dodateˇcnou

specifickou informac´ı.

•

Zp˚ usob, kterým se vyb´ıraj´ı vrcholy z u ´ schovny ke zpracován´ı, urˇcuje variantu algoritmu procházen´ı grafu.

•

V prohledávaných vrcholech a hranách se volitelnˇe provádˇej´ı dodateˇcné programové akce pro prohledán´ı a zpracován´ı naˇseho grafu.

63

Samotný algoritmus pak pop´ıˇseme v následuj´ıc´ıch obecných bodech. (V této souvislosti dodáváme, ˇze podrobnˇeji se budeme zp˚ usobu formáln´ıho matematického zápisu algoritm˚ u vˇenovat v Lekci 10, ale zde si vystaˇc´ıme s bˇeˇzným jazykem.) e proch´ azen´ı souvisl´ e komponenty G grafu Algoritmus 8.2. Generick´ • Vstup: Souvisl´ y graf G, daný seznamem vrchol˚ u a seznamy vycházej´ıc´ıch hran z kaˇzdého vrcholu, plus pˇr´ıpadné ohodnocen´ı vrchol˚ u a hran. •

Vybereme libovolný poˇcátek prohledáván´ı u ∈ V (G); u ´ schovna U ← {u}.

•

Dokud U 6= ∅, opakujeme:

∗ Zvol´ıme libovolnˇ e v ∈ U; odebereme U ← U \ {v}.

∗ Pokud stav(v) = zpracovan´ y, jdeme zpˇet na start cyklu.

(!) (*)

∗ Pˇr´ıpadnˇ e provedeme libovolnou akci ZPRACUJ(v).

∗ Pro vˇsechny hrany f ∈ E(G) vych´ azej´ıc´ı z v provedeme:

– Necht’ w je druhý konec hrany f = vw; – pokud stav(w) 6= zpracovaný, odloˇz´ıme U ← U ∪ {w}.

(**)

∗ stav(v) ← zpracovan´ y; na start cyklu. •

Souvislý G je celý prohledaný a zpracovaný.

•

Výstup: Pˇr´ıpadné výsledky spoˇc´ıtané bˇehem prohledáván´ı.

Pozor, vˇsimnˇete se, ˇze v bodˇe (**) obecnˇe docház´ı k násobnému ukládán´ı odloˇzených vrchol˚ u, coˇz v praktické implementaci ˇcasto obejdeme pouhou zmˇenou odloˇzeného stavu“. ” Doplˇ nkový bod (*) je nutný jen v pˇr´ıpadˇe, ˇze násobnˇe uloˇzené kopie stejného vrcholu v z˚ ustávaj´ı v u ´ schovnˇe. Nˇ ekter´ e implementace proch´ azen´ı grafu V Algoritmu 8.2 si dobˇre vˇsimnˇete, jak je vlastnˇe proveden krok (!); zvol´ıme libovolnˇe ” v ∈ U“ ? Právˇe tato volba je kl´ıˇcová pro výslednou podobu projit´ı grafu G: •

Procházen´ı do ˇs´ıˇrky“, BFS – u ´ schovna U je implementovaná jako fronta, neboli je ” voleno v ∈ U od prvn´ıch vrchol˚ u vloˇzených do u ´ schovny.

•

Procházen´ı do hloubky“, DFS – u ´ schovna U je implementovaná jako zásobn´ık, neboli ” je voleno v ∈ U od pozdˇeji vloˇzených do u ´ schovny. (Zde je extrémnˇe d˚ uleˇzité, ˇze opakované vloˇzen´ı vrcholu v do U jej posune na vrˇsek zásobn´ıku.)

Dále zm´ın´ıme i tyto dva konkrétn´ı, staré a dobˇre známé algoritmy pˇr´ımo zaloˇzené na prohledáván´ı grafu: • Dijkstr˚ uv algoritmus pro nejkratˇs´ı cestu – z u ´ schovny vyb´ıráme vˇzdy vrchol nejbliˇzˇs´ı (dosud urˇcenou celkovou vzálenost´ı) k poˇcáteˇcn´ımu u. •

Jarn´ık˚ uv algoritmus pro minimáln´ı kostru – z u ´ schovny vyb´ıráme vˇzdy vrchol nejbliˇzˇs´ı (délkou hrany) ke kterémukoliv jiˇz zpracovanému vrcholu.

Pozn´ amka: Jarn´ık˚ uv algoritmus se ve svˇetové literatuˇre se obvykle pˇripisuje Ameriˇcanu Primovi, kter´ y jej vˇsak objevil a publikoval aˇz skoro 30 let po Jarn´ıkovi. A co v´ıce, p˚ uvod problému minimáln´ı kostry je u ´zce sváz´ an s Brnem, jak si ˇrekneme za chv´ıli.

64

Konkr´ etn´ı uk´ azky BFS a DFS Pˇ r´ıklad 8.3. Ukázka pr˚ uchodu následuj´ıc´ım grafem do ˇs´ıˇrky z vrcholu a. f s

s

g s

s

e

j

i

h s

s s a ❢

s

s

d

s

c

b

Znaˇcen´ı v prohledávaném grafu: barevnˇe aktuálnˇe zpracovávaný vrchol a jeho hrany objevuj´ıc´ı nové vrcholy, krouˇzkem a plnou ˇcarou jiˇz zpracované vrcholy a hrany, tlustˇe výsledný strom prohledáván´ı. f s g s

s s

e

j

f s s

d

i s c h s s a s❢ s b f s g

s

s s

j

g s❢

s s

f s s

d

e

i s❢ c h s❢ s❢ s b a s❢ ❢

j

g

❢ s

s s

f s s

d

j

g s❢

s

g s

s

f s s

d

e

i s❢ c h s❢ s ❢ s b a s❢ ❢

e

j

g

s❢

s s

s

d

e s❢ d

j

i s c h s❢ s ❢ s ❢ s b a ❢ f s❢

s❢ d

s❢ j

s

i s c h s❢ s ❢ s s b a ❢

e

i s s c h ❢ s ❢ s b a s❢ ❢ f s

s❢ d

j

s

e

i s c h s❢ s a s❢ s b

e

i s c h s❢ s❢ s b a s❢ ❢ f s

g s

s

g s❢

s❢ e s❢ d

s❢ j

i s❢ c h s❢ s ❢ s ❢ s b a ❢ ✷

Pˇ r´ıklad 8.4. Ukázka pr˚ uchodu pˇredchoz´ım grafem do hloubky z vrcholu a. f s g s

s s

e

j

f s s

d

i s c h s s s s b a ❢ f s g s

s s

j

e

g s

s s

i s❢ c h s s s b a s❢ ❢

j

f s s

d

i s c h s s s b a s❢ ❢ f s

s❢ d

e

g s

s❢ e s

j

s❢ d

s

e

j

s

d

i s❢ c h s s s ❢ s b a ❢ f s

i s❢ c h s s s b a s❢ ❢ 65

g s

s

g s

s❢ e s❢ j

s❢ d

i s❢ c h s s s ❢ s b a ❢

f s g s❢

s❢ e s❢ j

f s s❢ d

i s❢ c h s s s b a s❢ ❢

g s❢

s❢ e s❢ j

f s❢ s❢ d

i s❢ c h s❢ s s b a s❢ ❢

g s❢

s❢ e s❢ j

s❢ d

i s❢ c h s❢ s ❢ s ❢ s b a ❢ ✷

8.2

Vzd´ alenost v grafu

Mimo prohledáván´ı celého souvislého grafu, ˇc´ımˇz se zabýval pˇredchoz´ı odd´ıl, je ˇcastou u ´ lohou se dostat z m´ısta na m´ısto nejkratˇs´ı cestou. Ve zjednoduˇseném podán´ı povaˇzujeme kaˇzdou hranu grafu za jednotkovˇe dlouhou a definujeme následuj´ıc´ı. Definice 8.5. Vzd´ alenost dG (u, v) dvou vrchol˚ u u, v v grafu G je dána délkou nejkratˇs´ı cesty mezi u a v v G. Pokud cesta mezi u, v neexistuje, je vzdálenost definována dG (u, v) = ∞. Koment´ aˇ r: Neformálnˇe ˇreˇceno, vzdálenost mezi u, v je rovna nejmenˇs´ımu poˇctu hran, které mus´ıme pˇrekonat, pokud se chceme dostat z u do v. Speciálnˇe dG (u, u) = 0. s

u s❢

s

s

s

s

s

s❢

v

Fakt: V neorientovaném grafu je vzdálenost symetrická, tj. dG (u, v) = dG (v, u). uheln´ıkovou nerovnost: Lema 8.6. Vzdálenost v grafech splˇ nuje troj´ ∀u, v, w ∈ V (G) : dG (u, v) + dG (v, w) ≥ dG (u, w) . D˚ ukaz. Postupujeme podobnˇe jako v d˚ ukaze Lematu 7.10 – pokud máme cesty P, P ′ mezi u, v a mezi v, w, tak existuje cesta Q ⊆ P ∪ P ′ mezi u, w, jeˇz má zˇrejmˇe délku nejvýˇse dG (u, v) + dG (v, w). Skuteˇcná vzdálenost mezi u, w pak uˇz m˚ uˇze být jen menˇs´ı. ✷ BFS a zjiˇ stˇ en´ı vzd´ alenosti Jak nejsnadnˇeji urˇc´ıme vzdálenost v grafu? Staˇc´ı si povˇsimnout hezkých vlastnost´ı procházen´ı grafu do ˇs´ıˇrky. Vˇ eta 8.7. Algoritmus procházen´ı grafu do ˇs´ıˇrky lze pouˇz´ıt pro výpoˇcet grafové vzdálenosti z daného vrcholu u. Toto je pomˇernˇe jednoduchá aplikace, kdy poˇcáteˇcn´ımu vrcholu u pˇriˇrad´ıme vzdálenost 0, a pak vˇzdy kaˇzdému dalˇs´ımu nalezenému vrcholu v pˇriˇrad´ıme vzdálenost o 1 vˇetˇs´ı neˇz byla vzdálenost vrcholu, ze kterého byl nalezen. D˚ ukaz se op´ırá o následuj´ıc´ı tvrzen´ı:

66

∗ Necht’ u, v, w jsou vrcholy souvisl´ eho grafu G takové, ˇze dG (u, v) < dG (u, w). Pak

pˇri algoritmu procházen´ı grafu G do ˇs´ıˇrky z vrcholu u je vrchol v nalezen dˇr´ıve neˇz vrchol w. V d˚ ukaze postupujeme indukc´ı podle vzdálenosti dG (u, v): Pro dG (u, v) = 0, tj. u = v je tvrzen´ı jasné – vrchol u jako poˇcátek prohledáván´ı byl nalezen prvn´ı. Proto necht’ dG (u, v) = d > 0 a oznaˇcme v ′ souseda vrcholu v bliˇzˇs´ıho k u, tedy dG (u, v ′) = d − 1. Obdobnˇe uvaˇzme libovolného souseda w ′ vrcholu w. Pak dG (u, w ′) ≥ dG (u, w) − 1 > dG (u, v) − 1 = dG (u, v ′) , a tud´ıˇz vrchol v ′ byl nalezen v prohledáván´ı do ˇs´ıˇrky dˇr´ıve neˇz vrchol w ′ podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu. To znamená, ˇze v ′ se dostal do fronty u ´ schovny dˇr´ıve neˇz w ′. Proto sousedé v ′ (mezi nimiˇz je v, ale ne w nebot’ v ′ w nen´ı hranou) jsou pˇri pokraˇcuj´ıc´ım prohledáván´ı také nalezeni dˇr´ıve, neˇz w coby soused w ′ . ✷

8.3

Hled´ an´ı nejkratˇ s´ı cesty

V dalˇs´ım textu se jiˇz budeme vˇenovat graf˚ um s obecnˇe dlouhými“ hranami. Zároveˇ n ” pˇredes´ıláme, ˇze pˇrednáˇsená látka stejnˇe dobˇre m˚ uˇze stavˇet na orientovaných grafech. Definice: Váˇzený graf je graf G spolu s ohodnocen´ım w hran reálnými ˇc´ısly w : E(G) → . Kladnˇe váˇzený graf (G, w) je takový, ˇze w(e) > 0 pro vˇsechny hrany e.

R

Definice 8.8. (v´ aˇ zen´ a vzd´ alenost) Mˇejme (kladnˇe) váˇzený graf (G, w). Váˇzenou délkou cesty P je X dw w(e) . G (P ) = e∈E(P )

Váˇzenou vzdálenost´ı v (G, w) mezi dvˇema vrcholy u, v pak je

w dw G (u, v) = min{dG (P ) : P je cesta s konci u, v} .

Lema 8.9. Váˇzená vzdálenost v nezápornˇe váˇzených grafech (i orientovaných grafech) splˇ nuje troj´ uheln´ıkovou nerovnost. Pˇ r´ıklad 8.10. Pod´ıvejme se na následuj´ıc´ı ohodnocený graf (ˇc´ısla u hran udávaj´ı jejich váhy–délky.) s

s

1

1

1

s

s

1 a

s❢

3

4 s

c

3

1 s❢ b

Vzdálenost mezi vrcholy a, c je 3, stejnˇe tak mezi b, c. Co ale mezi a, b? Je jejich vzdálenost 6? Kdepak, vzdálenost a, b je 5, jej´ı cesta vede po horn´ıch“ vrcholech, jak je ” vyznaˇceno. Povˇsimnˇete si, ˇze tento pˇr´ıklad zároveˇ n ukazuje, ˇze postup prohledáván´ım do ˇs´ıˇrky nen´ı korektn´ı pro hledán´ı vzdálenost´ı ve váˇzeném grafu. ✷

67

Probl´ em nejkratˇ s´ı cesty Problém nejkratˇs´ı cesty mezi dvojic´ı vrchol˚ u prostˇe hledá váˇzenou vzdálenost vrchol˚ u a pˇr´ısluˇsnou cestu. Jedná se patrnˇe o nejznámˇejˇs´ı grafový“ problém v praktických ap” likac´ıch, jenˇz nalezneme od vyhledáván´ı dopravn´ıch spojen´ı, GPS navigac´ı, plánován´ı pohyb˚ u robota, aˇz po tˇreba rozhodovac´ı systémy. Tento problém se nejˇcastˇeji ˇreˇs´ı implementac´ı klasického Dijkstrova algoritmu, který je vhodnou u ´ pravou procházen´ı grafu do ˇs´ıˇrky – vyb´ırá vˇzdy vrchol s nejmenˇs´ı vzdálenost´ı mezi uschovanými vrcholy. Dijkstr˚ uv algoritmus Algoritmus 8.11. Hled´ an´ı nejkratˇ s´ı cesty mezi u a v v kladnˇ e v´ aˇ zen´ em grafu. Tento algoritmus vyuˇz´ıvá promˇennou hodnotu (pole) d(x) k ukládán´ı nalezených vzdálenost´ı do kaˇzdého vrcholu x, vedle samotného vrcholu, pˇriˇcemˇz tuto hodnotu postupnˇe vylepˇsuje“ aˇz do fináln´ıho zpracován´ı vrcholu. ” • Vstup: Souvisl´ y graf G, daný seznamem vrchol˚ u a seznamy vycházej´ıc´ıch hran z kaˇzdého vrcholu, plus váhy w hran. Poˇcáteˇcn´ı vrchol u a koncový v. ´ • Uschovna U ← (u, d(u) = 0) . •

Dokud U 6= ∅, opakujeme:

∗ Zvol´ıme (x, d(x)) ∈ Utakov´ e, ˇze d(x) je minimáln´ı.

Odebereme U ← U \ (x, d(x)) .

∗ Pokud x = v, algoritmus m˚ uˇze skonˇcit.

∗ Pro vˇsechny hrany f ∈ E(G) vych´ azej´ıc´ı z x provedeme:

– Necht’ y je druhý konec hrany f = xy; a necht’ d′ (y) = d(x) + w(f ) (nová cesta do y pˇres x). – Pokud (y, d(y)) 6∈ U, nebo (y, d(y)) d(y) > d′ (y), ∈ U pro odloˇz´ıme U ← U \ {(y, d(y))} ∪ (y, d′ (y)) (výmˇena za novou, lepˇs´ı doˇcasnou vzdálenost do y).

•

Výstup: d(v) udává váˇzenou vzdálenost z u do v.

Pozn´ amka: V konkrétn´ı implementaci Dijkstrova algoritmu nejsp´ıˇse vyuˇzijeme nˇejakou datovou strukturu podporuj´ıc´ı rychlé vkl´ ad´ an´ı prvk˚ u a vyb´ır´ an´ı podle minimáln´ı hodnoty kl´ıˇce – nejlépe tedy haldu, a k tomu pole d[x] pˇr´ımo ukládaj´ıc´ı pr˚ ubˇeˇznˇe aktualizovanou doˇcasnou váˇzenou vzdálenost z u do kaˇzdého x. Koment´ aˇ r: Kl´ıˇcem k pochopen´ı ˇcinnosti Dijkstrova algoritmu je uvidˇet“, ˇze v kaˇzdé jeho ” fázi jsou správnˇe nalezeny vˇsechny nejkratˇs´ı cesty z u vedouc´ı po zpracovan´ ych vrcholech. Postupem prohledáván´ı grafu se tak jednou dostaneme aˇz k urˇcen´ı správné vzdálenosti c´ıle v.

Pˇ r´ıklad 8.12. Ukázka bˇehu Dijkstrova Algoritmu 8.11 pro nalezen´ı nejkratˇs´ı cesty mezi vrcholy u, v v následuj´ıc´ım váˇzeném grafu.

68

2

1

∞ s

s❢

5

∞ s

∞v

2

2

∞

s

3

1

1

3

∞ s

0

2

u

∞

s

5 s❢

s 1

2

∞

ˇ ısla u vrchol˚ Jednotlivé iterace algoritmu jsou zakresleny n´ıˇze. C´ u v obrázc´ıch udávaj´ı pr˚ ubˇeˇznˇe aktualizovanou doˇcasnou vzdálenost z u. ∞ s 1 ∞ v s

2

5

∞ s

3

1

0

2

u 2

s5

5

1 s∞

❢ s

s 1

5 3

1

3

s 2 ❢

5

0

2

u

❢ s

s ❢ 1

3

1

2

s4

s 3 ❢

1 s3 ❢

1

5 3

5 3

1

2

s 2 ❢ 2

u

❢ s

1

2

s5

3 s

1 s3

s 2 ❢

3

2

2

s4

s 3 ❢

1 ❢ s3

1

5 3

2

2

u

1

3

❢ s4 1 ❢ s3

3 5

0 ❢ s

❢ s 1

2

1

2

s❢ 3 s❢

1

2

2

1 5

s❢

2

1

s❢ 4

3

0

s ❢

5

u 4 s❢ 1 5s❢ v

1 s3

4 s 1 6s v

2

2 s❢

s ❢

2 s5

5

0

s 2 ❢

1

2

3

2

1

2

5

u

3 s❢

1

4 s 1 7s v

1

2

2

❢ s3 ❢ s

1

❢ s

1 5

0

❢ s

❢ s4

3

2

5

0

2

1

3

u

s 3 ❢

1

2

2

4 s 1 7s v

2

1 5 v 4 ❢ s s

s ❢

s ❢

s 2 ❢

1

5

0 u

2

2

3

2

2

2

5

2 s

1

2

4 s 1 ∞ v s

∞ s

2

4 s 1 7s v

3 s

2

2

3

2 s

2

2

1 ✷

D˚ ukaz spr´ avnosti Vˇ eta 8.13. Dijkstr˚ uv Algoritmus 8.11 pro kladnˇe váˇzený graf (G, w) vˇzdy správnˇe najde nejkratˇs´ı cestu mezi danými vrcholy u, v. D˚ ukaz vede pˇres následuj´ıc´ı zes´ılené tvrzen´ı indukc´ı: •

V kaˇzdé iteraci Algoritmu 8.11 hodnota d(x) udává nejkratˇs´ı vzdálenost z vrcholu u do x pˇri cestˇe pouze po uˇz zpracovaných vnitˇrn´ıch vrcholech.

V bázi indukce dovolujeme pouze cesty pouˇz´ıvaj´ıc´ı u a x, tj. jen hrany vycházej´ıc´ı z u. Ty jsou v prvn´ı iteraci algoritmu probrány a jejich délky uloˇzeny do U. V kaˇzdém dalˇs´ım kroku je vybrán jako vrchol x ke zpracován´ı ten, který má ze vˇsech nezpracovaných 69

vrchol˚ u nejkratˇs´ı nalezenou vzdálenost od poˇcátku u. V tom okamˇziku je d(x) platnou vzdálenost´ı do x, nebot’ jakákoliv cesta pˇres jiný nezpracovaný vrchol nem˚ uˇze být kratˇs´ı d´ıky nezápornosti vah w. Z toho pak vyplývá, ˇze zpracován´ı vrcholu x správnˇe uprav´ı doˇcasné vzdálenosti odloˇzené do U. D˚ ukaz indukc´ı je hotov. ✷

8.4

Probl´ em minim´ aln´ı kostry

Na závˇer této lekce se zamˇeˇr´ıme jeˇstˇe na jednu tradiˇcn´ı u ´ lohu, která se koncepˇcnˇe podobá problému nejkratˇs´ı cesty. V tomto pˇr´ıpadˇe nebudeme hledat nejkratˇs´ı spojen´ı mezi dvojic´ı vrchol˚ u, ale mezi vˇsemi vrcholy najednou – této u ´ loze se ˇr´ıká minimáln´ı kostra neboli MST ( minimum spanning tree“). V návaznosti na Odd´ıl 7.4 definujeme toto: ” Definice: Podgraf T ⊆ G souvislého grafu G se nazývá kostrou, pokud ∗ T je stromem a ∗ V (T ) = V (G), neboli T propojuje vˇsechny vrcholy G.

Váhou (délkou) kostry T ⊆ G váˇzeného souvislého grafu (G, w) rozum´ıme X dw (T ) = w(e) . G e∈E(T )

em minim´ aln´ı kostry (MST) ve váˇzeném souv. grafu (G, w) Definice 8.14. Probl´ hledá kostru T ⊆ G s nejmenˇs´ı moˇznou vahou (pˇres vˇsechny kostry grafu G). Koment´ aˇ r: Problém minimáln´ı kostry je ve skuteˇcnosti historicky u ´zce svázán s jiˇzn´ı Moravou a Brnem, konkrétnˇe s elektrifikac´ı jihomoravsk´ ych vesnic ve dvacát´ ych letech! Právˇe na z´ akladˇe tohoto praktického optimalizaˇcn´ıho problému brnˇensk´ y matematik Otakar Bor˚ uvka jako prvn´ı v matematické literatuˇre zformuloval a podal ˇreˇsen´ı problému minimáln´ı kostry v roce 1928. Prvn´ı ne-ˇceskou publikac´ı na toto téma je aˇz Kruskal˚ uv hladov´ y algoritmus z roku 1956.

Hladov´ eˇ reˇ sen´ı minim´ aln´ı kostry Následuj´ıc´ı postup tzv. hladového nalezen´ı minimáln´ı kostry pocház´ı od Kruskala. y postup pro minim´ aln´ı kostru grafu (G, w). Metoda 8.15. Hladov´ Mˇejme dán souvislý váˇzený graf G s ohodnocen´ım hran w. •

Seˇrad´ıme vˇsechny hrany G jako E(G) = (e1 , e2 , . . . , em ) tak, ˇze w(e1 ) ≤ w(e2 ) ≤ · · · ≤ w(em ).

•

Inicializujeme prázdnou kostru T = (V (G), ∅).

•

Po ˇradˇe pro i = 1, 2, . . . , m provedeme následuj´ıc´ı: ∗ Pokud T + ei nevytv´ aˇr´ı kruˇznici, tak E(T ) ← E(T ) ∪ {ei }.

(Neboli pokud ei spojuje r˚ uzné komponenty souvislosti dosavadn´ıho T .)

•

Na konci T obsahuje minimáln´ı kostru grafu G (pˇr´ıpadnˇe jednu z nˇekolika takových).

Vˇ eta 8.16. Hladový postup korektnˇe spoˇc´ıtá minimáln´ı kostru váˇzeného grafu (G, w).

70

D˚ ukaz (náznak): Pro spor pˇredpokládejme, ˇze T1 je kostra spoˇc´ıtaná Metodou 8.15 w a T2 nˇejaká minimáln´ı kostra, kde dw ıl |E(T1 )∆E(T2 )| je nejmenˇs´ı. G (T2 ) < dG (T1 ) a rozd´ Necht’ i je nejmenˇs´ı index takový, ˇze ei ∈ E(T1 )∆E(T2 ). Pak nutnˇe ei ∈ E(T1 ) \ E(T2 ) (proˇc?), a tud´ıˇz T2 + ei podle D˚ usledku 7.17 obsahuje kruˇznici procházej´ıc´ı také hranou ej pro j > i. Potom vˇsak T3 = (T2 + ei ) \ {ej } je dalˇs´ı kostrou maj´ıc´ı váhu dw G (T2 ) + w w(ei ) − w(ej ) ≥ dG (T2 ), a proto w(ei ) = w(ej ). Tud´ıˇz T3 je minimáln´ı kostra bliˇzˇs´ı“ T1 ” ve smyslu symetrického rozd´ılu, coˇz je spor s volbou T2 . ✷ Jarn´ık˚ uv (Prim˚ uv) algoritmus Aˇc koncepˇcnˇe velmi jednoduchá, má Metoda 8.15 nˇekteré problematické implementaˇcn´ı detaily, pro které je mnohem ˇcastˇeji pouˇz´ıván následuj´ıc´ı algoritmus (ˇcasto pˇripisován ameriˇcanu Primovi, ale mnohem dˇr´ıve publikován Vojtˇechem Jarn´ıkem v 1930), zaloˇzený na bˇeˇzném procházen´ı grafu. Algoritmus 8.17. Hled´ an´ı minim´ aln´ı kostry ve v´ aˇ zen´ em grafu (G, w). Opˇet mˇejme dán souvislý váˇzený graf G s ohodnocen´ım hran w. N´ıˇze uvedená specifická implementace procházen´ı grafu vyuˇz´ıvá u ´schovnu rozˇs´ıˇreným zp˚ usobem, kdy uklád´ a i pˇr´ıchoz´ı hranu do vrcholu. • Vstup: Souvisl´ y graf G, daný seznamem vrchol˚ u a seznamy vycházej´ıc´ıch hran z kaˇzdého vrcholu, plus váhy w hran. • Vybereme libovoln´ y poˇcátek prohledáván´ı u ∈ V (G); u ´ schovna U ← (u, ∅) . Kostra T = (V (G), ∅). •

Dokud U 6= ∅, opakujeme: ∗ Zvol´ıme (x, e) ∈ U takov´ e, ˇz e w(e) je minimáln´ı (kde w(∅) = 0).

Odebereme U ← U \ (x, e) .

∗ Pˇrid´ ame E(T ) ← E(T ) ∪ {e} (nová hrana do budouc´ı kostry). ∗ Pro vˇsechny hrany f ∈ E(G) vych´ azej´ıc´ı z x provedeme:

– Necht’ y je druhý konec hrany f = xy. – Pokud (y, f ′ ) 6∈ U, nebo (y, f ′ ) ∈U pro nˇejaké w(f ′ ) > w(f ), odloˇz´ıme U ← U \ {(y, f ′ )} ∪ (y, f ) (nalezena kratˇs´ı hrana f mezi zpracovanými a nezpracovanými vrcholy).

•

Výstup: T udává výslednou minimáln´ı kostru.

Pozn´ amka: V konkrétn´ı implementaci postupujeme stejnˇe jako u Dijkstrova Algoritmu 8.11, nejlépe za pouˇzit´ı haldy ukládaj´ıc´ı dvojice (y, f ) podle kl´ıˇce w(f ).

Rozˇ siˇ ruj´ıc´ı studium S bˇeˇzn´ ymi grafov´ ymi algoritmy, které zahrnuj´ı zde uvedené a mnohem v´ıce, se studenti informatiky sezn´ am´ı hloubˇeji v kaˇzdém kurzu n´ avrhu algoritm˚ u. (Nav´ıc jsou bˇeˇzné grafové algoritmy v´ ybornˇe pops´ any na Wikipedii. . . ) Rozˇs´ıˇren´ı postupu prohledáván´ı grafu n´ am napˇr´ıklad umoˇzn´ı vyhledávat 2-souvislé nebo silnˇe-souvislé komponenty. Pro hled´ an´ı nejkratˇs´ı cesty také existuj´ı sofistikovanˇejˇs´ı algoritmy, které jsou schopny pracovat i za pˇr´ıtomnosti z´ aporn´ ych hran (ale bez záporn´ ych cykl˚ u), jako tˇreba Johnson˚ uv algoritmus. My si d´ ale uvedeme jako pˇr´ıklad Floyd-Warshall˚ uv algoritmus s d˚ ukazem správnosti v Lekci 11.

71

Celkovˇe je tˇreba ˇr´ıci, ˇze v naˇsem kurzu se na rozd´ıl od kurz˚ u algoritmick´ ych nezab´ yv´ ame v˚ ubec ot´ azkami programátorské implementace a efektivity, n´ ybrˇz studujeme matematické aspekty grafov´ ych u ´loh a metod jejich ˇreˇsen´ı. Oba pohledy by pak dobˇre vybaven´ y informatik mˇel zn´ at. Pokud m´ ate nav´ıc z´ ajem se dozvˇedˇet v´ıce o zaj´ımavé ˇceské historii problému minimáln´ı kostry, pˇreˇctˇete si v dˇr´ıve zm´ınˇené knize Kapitoly z diskrétn´ı matematiky autor˚ u Jiˇr´ıho Matouˇska a Jaroslava Neˇsetˇrila.

72

9

Orientovan´ e grafy, Toky v s´ıt´ıch ´ Uvod Fakt, ˇze grafy se ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı k modelován´ı r˚ uzn´ ych druh˚ u s´ıt´ı z re´ alného svˇeta, byl vidˇet jiˇz v pˇredchoz´ı lekci. Na rozd´ıl tˇreba od cestn´ıch s´ıt´ı se nyn´ı budeme zab´ yvat typem ’ s´ıt ov´ ych u ´loh, ve kter´ ych nen´ı podstatná délka hran a spojen´ı, n´ ybˇz jejich propustnost. (Typick´ ymi pˇr´ıklady jsou potrubn´ı nebo poˇc´ıtaˇcové s´ıtˇe.) Z´ akladn´ı u ´lohou v této oblasti je problém nalezen´ı maxim´ aln´ıho toku v s´ıti za podm´ınky respektován´ı dan´ ych kapacit hran. I na tento problém si uvedeme jednoduch´ y klasick´ y algoritmus a pˇredevˇs´ım si budeme vˇs´ımat mnoh´ ych d˚ uleˇzit´ ych matematick´ ych d˚ usledk˚ u tohoto algoritmu, jmenovitˇe vázan´ ych aln´ıho toku a minim´ aln´ıho ˇrezu, která pˇrirozenˇe vysvˇetluje optimalitu k tzv. dualitˇe maxim´ ˇreˇsen´ı mnoh´ ych u ´loh. Následnˇe si ukáˇzeme ˇsiroké vyuˇzit´ı tok˚ u v s´ıti, které sah´ a od grafové souvislosti aˇz tˇreba pro problém segmentace obrazu. Jelikoˇz pro zkouman´ y typ s´ıt’ov´ ych u ´loh je kl´ıˇcová implicitn´ı orientace kaˇzdé hrany, v této lekci zaˇcneme samotnou definic´ı orientovaného grafu a základn´ımi vlastnostmi; obdobnˇe u ´vodn´ı l´ atce vyloˇzené o grafech v Lekci 7.

C´ıle Zadefinujeme orientované grafy a uvedeme si jejich základn´ı vlastnosti, vˇcetnˇe orientované souvislosti. Definujeme pojem s´ıtˇe s kapacitami hran a ukáˇzeme si základn´ı algoritmus pro u ´lohu hled´ an´ı maxim´ aln´ıho toku. Probereme nˇekteré d˚ uleˇzité teoretické d˚ usledky postupu nalezen´ı maxim´ aln´ıho toku; pˇredevˇs´ım dualitu toku a ˇrezu, vyˇsˇs´ı u ´rovnˇe souvislosti grafu, hled´ an´ı bipartitn´ıho p´ arován´ı a systém˚ u r˚ uzn´ ych reprezentant˚ u.

9.1

Z´ akladn´ı pojmy orientovan´ ych graf˚ u

Poˇzadavek explicitnˇe vyjádˇrit smˇer hrany pˇrirozenˇe vede na následuj´ıc´ı definici orientovaného grafu, ve kterém hrany jsou uspoˇrádané dvojice vrchol˚ u. (V obrázc´ıch kresl´ıme orientované hrany se ˇsipkami.) s s s

s

s s

Definice 9.1. Orientovan´ y graf je uspoˇrádaná dvojice D = (V, E), kde V je mnoˇzina vrchol˚ u a E ⊆ V × V je mnoˇzina hran – tj. podmnoˇzina vybraných uspoˇrádaných dvojic vrchol˚ u. Pojmy podgrafu a isomorfismu se pˇrirozenˇe pˇrenáˇsej´ı na orientované grafy. Znaˇ cen´ ı : Hrana (u, v) (zvaná také ˇsipka) v orientovaném grafu D zaˇc´ıná ve vrcholu u a konˇc´ı ve (m´ıˇr´ı do) vrcholu v. Opaˇcná hrana (v, u) je r˚ uzná od (u, v) . Speciálnˇe hrana tvaru (u, u) se nazývá orientovaná smyˇcka. Koment´ aˇ r: Orientované grafy odpov´ıdaj´ı relac´ım, které nemus´ı b´ yt symetrické. Mezi stejnou dvojic´ı vrchol˚ u mohou tud´ıˇz existovat dvˇe hrany v obou smˇerech, nebo jen kterákoliv jedna z

73

nich nebo ˇz´ adn´ a. Vˇsimnˇete si také, ˇze orientované grafy implicitnˇe odliˇsujeme od obyˇcejn´ ych pouˇzit´ım p´ısmene D m´ısto dˇr´ıvˇejˇs´ıch G, H.

Napˇr´ıklad orientovaná cesta délky n ≥ 0 je následuj´ıc´ım grafem na n + 1 vrcholech s

s

s

1

2

3

...

s

s

n

n+1

a orientovaná kruˇznice (také cyklus) délky n ≥ 1 vypadá takto: 4 s

3 s

s

2

5 s

s

6

s

...

s

1

n

Definice: Poˇcet hran zaˇc´ınaj´ıc´ıch ve vrcholu u orientovaného grafu D nazveme výstupn´ım stupnˇem d+ cet hran konˇc´ıc´ıch v u nazveme vstupn´ım stupnˇem d− D (u) a poˇ D (u). Koment´ aˇ r: Souˇcet vˇsech v´ ystupn´ıch stupˇ n˚ u je pˇrirozenˇe roven souˇctu vˇsech vstupn´ıch stupˇ n˚ u orientovaného grafu. D˚ ukaz viz Vˇeta 7.3. Vˇsimnˇete si, ˇze nˇekterá literatura pouˇz´ıvá opaˇcn´ a znaménka (−/+) pˇri znaˇcen´ı v´ ystupn´ıch a vstupn´ıch stupˇ n˚ u, ale s t´ım nic nenadˇeláme a ˇcten´ aˇr se prostˇe vˇzdy mus´ı zorientovat a zjistit aktuáln´ı situaci.

Definice: Symetrizac´ı orientovaného grafu D rozum´ıme neorientovaný graf G vzniklý zapomenut´ım smˇeru hran“ v D, pˇresnˇeji V (G) = V (D) a uv ∈ E(G) právˇe kdyˇz ” {(u, v), (v, u)} ∩ E(D) 6= ∅. Souvislost na orientovan´ ych grafech Pojem orientované souvislosti grafu D je natolik fundamentálnˇe odliˇsný od neorientovaného pˇr´ıpadu (coˇz je dáno právˇe jeho smˇerovost´ı“), ˇze si zaslouˇz´ı samostatnou diskusi ” i v naˇsem zbˇeˇzném pohledu na orientované grafy. Uvedeme si na ni odstupˇ novanˇe tˇri základn´ı pohledy: •

Slabá souvislost. Jedná se o tradiˇcn´ı souvislost na symetrizaci grafu D Koment´ aˇ r: Zjednoduˇsenˇe a n´ azornˇe se d´ a ˇr´ıci, ˇze pˇri cestován´ı grafem zapomeneme“ smˇer ” ˇsipek. Na obr´ azku: s❢

s

s

s

s

s❢

Tento pˇr´ıstup sice m˚ uˇze vypadat ponˇekud nesmyslnˇe – proˇc ˇsipky zavádˇet a pak zapom´ınat jejich smˇer, avˇsak brzy u tzv. nenasycen´ ych cest uvid´ıme smysl pˇredstavy, ˇze cesta v orientvaném grafu se tlaˇc´ı“ proti smˇeru hrany. ”

74

•

Dosaˇzitelnost (smˇerem ven“). Orientovaný graf D je dosaˇzitelný smˇerem ven, pokud ” v nˇem existuje vrchol v ∈ V (D) takový, ˇze kaˇzdý vrchol x ∈ V (D) je dosaˇzitelný orientovaným sledem z v.

s v ❢

s

s

s

s

s

s

s

s

Koment´ aˇ r: Podrobn´ ym zkoum´ an´ım n´ asleduj´ıc´ıho obr´ azku zjist´ıme, ˇze jeho graf nen´ı dosaˇziteln´ y smˇerem ven, nebot’ chyb´ı moˇznost dos´ ahnout vrchol b u ´plnˇe vpravo. Na druhou stranu po vypuˇstˇen´ı b je zbyl´ y graf dosaˇziteln´ y ven z vrcholu a vlevo. s

s

a s

s

s s

s

•

s sb

s

Silná souvislost. Necht’ ≈ je binárn´ı relace na vrcholové mnoˇzinˇe V (D) orientovaného grafu D taková, ˇze u ≈ v právˇe kdyˇz existuje dvojice orientovaných cest – jedna z u do v a druhá z v do u v grafu D. Pak ≈ je relace ekvivalence. s u ❢

s

s

s

s v ❢

s

Definice 9.2. Siln´ e komponenty orientovaného grafu D jsou tˇr´ıdy ekvivalance relace ≈ uvedené v pˇredchoz´ım. Orientovaný graf D je silnˇe souvislý pokud má nejvýˇse jednu silnou komponentu. Koment´ aˇ r: Pro ilustraci si m´ırnˇe uprav´ıme dˇr´ıve prezentovan´ y orientovan´ y graf tak, ˇze bude dosaˇziteln´ y z nejlevˇejˇs´ıho vrcholu. Je v´ ysledek silnˇe souvisl´ y? s

s

s s

s

s

s

s s

s

s

s s

s

Ne, na obr´ azku jsou vyznaˇcené jeho 4 silné komponenty. Vpravo zároveˇ n uvád´ıme pro ilustraci obr´ azek kondenzace siln´ ych komponent tohoto grafu, coˇz je acyklick´ y orientovan´ y graf s vrcholy reprezentuj´ıc´ımi zm´ınˇené silné komponenty a smˇery hran mezi nima. Pro zv´ıdavé ˇcten´ aˇre poznamenáváme, ˇze si mohou definici silné komponenty porovnat s jádrem pˇreduspoˇra´d´ an´ı v Odd´ıle 5.2. Kde vid´ıte drobn´ y rozd´ıl?

75

9.2

Definice s´ıtˇ e a toku

Základn´ı strukturou pro reprezentaci s´ıt´ı je váˇzený orientovaný graf (pˇriˇcemˇz implicitn´ı smˇer hran je v tomto kontextu nezbytný). Váhy (hran) v takovém modelu vyjadˇruj´ı kapacity“ jednotlivých spoj˚ u a nás zaj´ımá, jak mnoho uvaˇzované substance dokáˇzeme ” (r˚ uznými cestami) pˇrenést z daného zdroje do stoku. Podstata substance nen´ı d˚ uleˇzitá, ale ta mus´ı být vhodnˇe rozdˇelitelná. Definice 9.3. S´ıt’ je ˇctveˇrice S = (D, z, s, w), kde ∗ D je orientovan´ y graf, ∗ vrcholy z ∈ V (D), s ∈ V (D) jsou zdroj a stok,

∗ w : E(D) →

R+ je kladné ohodnocen´ı hran, zvané kapacita hran.

Koment´ aˇ r: 4

5

s

s

2

3 z

2

1

s

2 1

3

s

5

s

4

Na obr´ azku je zakreslena s´ıt’ s vyznaˇcen´ ym zdrojem z a stokem s, jej´ıˇz kapacity hran jsou ˇ zaps´ any ˇc´ısly u hran. Sipky ud´ avaj´ı smˇer hran, tedy smˇer proudˇen´ı uvaˇzované substance po spojnic´ıch. Pokud smˇer proudˇen´ı nen´ı d˚ uleˇzit´ y, vedeme mezi vrcholy dvojici opaˇcnˇe orientovan´ ych hran se stejnou kapacitou. Kapacity hran pak omezuj´ı maximáln´ı mnoˇzstv´ı pˇren´ aˇsené substance. Pozn´ amka: V praxi m˚ uˇze b´ yt zdroj˚ u a stok˚ u v´ıce, ale v definici staˇc´ı pouze jeden zdroj a stok, z nˇehoˇz / do nˇejˇz vedou hrany do ostatn´ıch zdroj˚ u / stok˚ u. (Dokonce pak r˚ uzné zdroje a stoky mohou m´ıt své kapacity.)

Velikost toku v s´ıti V souladu s praktickými aspekty nás u toku v s´ıti zaj´ımá pˇredevˇs´ım to, jaké mnoˇzstv´ı“ ” substance (velikost toku) se skuteˇcnˇe pˇrenese od zdroje ke stoku. Znaˇ cen´ ı : Pro jednoduchost p´ıˇseme ve výrazech znaˇcku e → v pro hranu e pˇricházej´ıc´ı do vrcholu v a e ← v pro hranu e vycházej´ıc´ı z v. Definice 9.4. Tok v s´ıti S = (D, z, s, w) je funkce f : E(D) → ∗ ∀e ∈ E(D) : 0 ≤ f (e) ≤ w(e),

∗ ∀v ∈ V (D), v 6= z, s :

P

e→v

f (e) =

P

R+0 splˇnuj´ıc´ı

f (e).

e←v

Velikost toku f je dána výrazem kf k =

P

e←z

f (e) −

P

f (e).

e→z

Znaˇ cen´ ı : Tok a kapacitu hran v obrázku s´ıtˇe budeme zjednoduˇsenˇe zapisovat ve formátu F/C, kde F je hodnota toku na hranˇe a C je jej´ı kapacita.

76

Koment´ aˇ r: Neformálnˇe tok znamená, kolik substance je kaˇzdou hranou zrovna pˇren´ aˇseno (ve smˇeru této hrany, proto hrany mus´ı b´ yt orientované). Tok je pochopitelnˇe nez´ aporn´ ya dosahuje nejv´ yˇse dané kapacity hrany. Nav´ıc je nutno v kaˇzdém vrcholu mimo z, s splnit podm´ınku zachován´ı substance“. ” 2/5

2/4

z

0/1

s 0/3

s

0/2

s

0/2

s

3/3

2/2

0/1 3/4

s 3/5

Ve vyobrazeném pˇr´ıkladˇe vede ze zdroje vlevo do stoku vpravo tok o celkové velikosti 5. Pozn´ amka: Obdobnˇe se d´ a velikost toku definovat u stoku, nebot’ plat´ı n´ asleduj´ıc´ı identita odvozen´ a a faktu zachován´ı substance (mimo z, s) v definici toku ! ! X X X X X X X f (e) − f (e) . f (e) − f (e) = f (e) − f (e) = 0= v∈V

e∈E

e←v

e→v

v=z,s

e←v

e→v

Proto velikost toku poˇc´ıtan´ a u zdroje je rovna opaˇcné velikosti toku poˇc´ıtaného u stoku ! ! X X X X f (e) − f (e) . f (e) − f (e) = e←z

9.3

e→s

e→z

e←s

Nalezen´ı maxim´ aln´ıho toku

Naˇs´ım u ´ kolem je naj´ıt co nejvˇetˇs´ı pˇr´ıpustný tok v dané s´ıti. Pro jeho nalezen´ı existuj´ı jednoduché a velmi rychlé algoritmy. Nav´ıc tyto algoritmy maj´ı zaj´ımavé teoretické souvislosti a d˚ usledky uvedené pozdˇeji. ´ hled´ an´ı maxim´ aln´ıho toku v s´ıti S = (D, z, s, w). Definice 9.5. Uloha ´ Ukolem je v s´ıti S naj´ıt tok f ze zdroje z do stoku s podle Definice 9.4 takový, který maximalizuje velikost kf k. Koment´ aˇ r: Tok velikosti 5 uveden´ y v ukázce v pˇredchoz´ı ˇcásti nebyl optim´ aln´ı, nebot’ v této s´ıti najdeme i tok velikosti 6: 2/5 3= 2/4 s s 2/2 1= 0/3 z

0/1

0/2

s

0/2 0/1

3/3

s

s

4= 3/4

4= 3/5

Jak vˇsak pozn´ ame, ˇze vˇetˇs´ı tok jiˇz v dané s´ıti neexistuje? V této konkrétn´ı ukázce to nen´ı obt´ıˇzné, vid´ıme totiˇz, ˇze obˇe dvˇe hrany pˇrich´ azej´ıc´ı do stoku maj´ı souˇcet kapacit 2 + 4 + 6, takˇze v´ıce neˇz 6 do stoku ani pˇritéct nem˚ uˇze. V obecnosti lze pouˇz´ıt obdobnou u ´vahu, kdy najdeme podmnoˇzinu hran, které nelze tokem obej´ıt“ a které v souˇctu kapacit daj´ı velikost ” naˇseho toku. Existuje vˇsak taková mnoˇzina hran vˇzdy? Odpovˇed’ n´ am d´ a n´ asleduj´ıc´ı definice a vˇeta.

77

Pojem ˇ rezu v s´ıti ˇ Definice 9.6. Rez v s´ıti S = (D, z, s, w) je podmnoˇzina hran X ⊆ E(D) taková, ˇze v podgrafu D − X (tj. po odebrán´ı hran X z D) nezbude ˇzádná orientovan´ a P cesta ze z do s. Velikost´ı ˇrezu X rozum´ıme souˇcet kapacit hran z X, tj. kXk = e∈X w(e). Zcela kl´ıˇcovým poznatkem s´ıt’ových u ´ loh je následuj´ıc´ı velmi hezká charakterizace jejich optimáln´ıho ˇreˇsen´ı

Vˇ eta 9.7. Maximáln´ı velikost pˇr´ıpustného toku v s´ıti je vˇzdy rovna minimáln´ı velikosti ˇrezu v n´ı. Koment´ aˇ r: Na n´ asleduj´ıc´ım obr´ azku vid´ıme trochu jinou s´ıt’ s ukázkou netriviáln´ıho minimáln´ıho ˇrezu velikosti 5, naznaˇceného svislou ˇcárkovanou ˇcarou. Vˇsimnˇete si dobˇre, ˇze definice ˇrezu mluv´ı o pˇreruˇsen´ı vˇsech orientovan´ ych cest ze z do s, takˇze do ˇrezu staˇc´ı zapoˇc´ıtat hrany jdouc´ı pˇres svislou ˇcáru od z do s, ale ne hranu jdouc´ı zpˇet. Proto je velikost vyznaˇceného ˇrezu 1 + 4 = 5. 4 2

z

1

s

s

2

1

s 1

3

s

4

s

4

D˚ ukaz Vˇety 9.7 bude proveden následuj´ıc´ım Algoritmem 9.9. Nenasycen´ e cesty v s´ıti Definice: Mˇejme s´ıt’ S a v n´ı tok f . Nenasycená cesta P (v S vzhledem k f ) je neorientovaná cesta v D mezi urˇcenými vrcholy (obvykle ze z do s), tj. posloupnost navazuj´ıc´ıch libovolnˇe orientovaných hran e1 , e2 , . . . , em , kde f (ei ) < w(ei ) pro ei ve smˇeru ze z do s a f (ej ) > 0 pro ej v opaˇcném smˇeru. Hodnotˇe w(ei ) − f (ei ) > 0 pro hrany ei ve smˇeru z u do v a hodnotˇe f (ej ) > 0 pro hrany ej v opaˇcném smˇeru ˇr´ıkáme rezerva kapacity hran. Nenasycená cesta je tud´ıˇz cesta s kladnými rezervami kapacit vˇsech hran. Koment´ aˇ r: Zde vid´ıme pˇr´ıklad nenasycené cesty ze zdroje do stoku s minimáln´ı rezervou kapacity +1. 3/4 1/2 1/1 2/3 2/4 s s s s z s rezerva kapacity: >0 +1 +1 +1 +2 +2 Vˇsimnˇete si dobˇre, ˇze cesta nen´ı orientovan´ a, takˇze hrany na n´ı jsou v obou smˇerech.

Metoda 9.8. Maxim´ aln´ı tok vylepˇ sov´ an´ım nenasycen´ ych cest. Základn´ı myˇslenkou této jednoduché metody hledán´ı maximáln´ıho toku v dané s´ıti je prostˇe opakovanˇe vylepˇsovat tok podél nalezených nenasycených cest. Koment´ aˇ r: Ve v´ yˇse zakresleném obr´ azku nenasycené cesty byla minimáln´ı rezerva kapacity ve v´ yˇsi +1, a tud´ıˇz nasycen´ım této cesty o velikost toku 1 vznik´ a n´ asleduj´ıc´ı fragment

78

pˇr´ıpustného toku v s´ıti: z

4/4

2/2 s

0/1

1/3

s

3/4

s

s

s

Zaj´ımavé je se pod´ıvat, co se stalo s prostˇredn´ımi zpˇetnˇe orientovan´ ymi hranami – fakticky byl jejich zpˇetn´ y tok o 1 sn´ıˇzen/zastaven, pˇriˇcemˇz toto mnoˇzstv´ı nyn´ı teˇce doprava“ (velmi ” neform´ alnˇe ˇreˇceno).

Fakt: Je-li minimáln´ı rezerva kapacity hran nenasycené cesty P ze z do s ve výˇsi r > 0, pak tok ze z do s zvýˇs´ıme o hodnotu r následovnˇe; ∗ pro hrany ei ∈ E(P ) ve smˇ eru ze z do s zvýˇs´ıme tok na f ′ (ei ) = f (ei ) + r, ∗ pro hrany ej ∈ E(P ) ve smˇ eru ze s do z sn´ıˇz´ıme tok na f ′ (ej ) = f (ej ) − r.

Výsledný tok f ′ pak bude opˇet pˇr´ıpustný.

Z´ akladn´ı algoritmus nenasycen´ ych cest Rámcové implementaˇcn´ı podrobnosti Metody 9.8 následuj´ı v popise konkrétn´ıho algoritmu. uv pro tok v s´ıti. Algoritmus 9.9. Ford–Fulkerson˚ • Vstup: S´ ıt’ S = (D, z, s, w) podle Definice 9.3. •

Tok f ← (0, 0, . . . 0).

•

Dále opakujeme následuj´ıc´ı: ∗ Prohled´ aván´ım grafu najdeme mnoˇzinu U vrchol˚ u D, do kterých se dostaneme

ze z po nenasycených cestách. ∗ Pokud s ∈ U, necht’ P znaˇ c´ı nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. – Zvˇetˇs´ıme tok f o minimáln´ı rezervu kapacity hran v P .

• •

Opakujeme kroky výˇse, dokud nenastane s 6∈ U. Výstup: Vyp´ıˇseme maximáln´ı tok f a také minimáln´ı ˇrez jako mnoˇzinu vˇsech hran vedouc´ıch z U do V (D) − U.

Pˇ r´ıklad 9.10. Ukázka pr˚ ubˇehu Algoritmu 9.9 Následuj´ı obrázky jednotlivých krok˚ u algoritmu, kde vˇzdy levý obrázek zvýrazn´ı nenasycenou cestu a vpravo se nasycen´ım zvýˇs´ı celkový tok. 0/4

0/1 s

s

0/2

0/2 0/1

z

s 0/1

0/3

s

s

0/4

79

0/4

tok = 0

0/4

s

0/1

s

0/2 0/1

z

s

0/1 0/3

s

1/4

s

1/1 s

1/2 s

1/1

0/3

s

z

s

1/4

s

1/4

s

s

1/2

0/2 0/1

s

s

3/3

s

2/4

s

1/2 s

s

3/4

s

1/2

3/4 1/1

s 0/1

U

2/4

s

3/3

3/4 1/1

s ❢

s

s ❢

4/4

s

4/4

1/2 s

0/1 3/3

s

4/4

1/2 0/1

z

s

1/2 0/1

z

3/4

s

0/4

1/1

0/1 3/3

s

0/1

0/4 1/1

s

0/2 0/1

z

0/4

s

1/2

0/4

0/1 0/3

s

0/1

0/4

s

s

0/2 0/1

z

0/4

0/2 0/1

z

1/4

0/2

nasyceno

4/4

Závˇereˇcný obrázek pak ukazuje výsledný tok velikosti 5 zároveˇ n se zvýraznˇeným minimáln´ım ˇrezem stejné velikosti. ✷ D˚ ukaz a d˚ usledky Ford–Fulkersonova algoritmu D˚ ukaz správnosti Algoritmu 9.9: Pro kaˇzdý tok f a kaˇzdý ˇrez X v s´ıti S plat´ı kf k ≤ kXk. Jestliˇze po zastaven´ı algoritmu s tokem f nalezneme v s´ıti S ˇrez o stejné velikosti kXk = kf k, je jasné, ˇze jsme naˇsli maximáln´ı moˇzný tok v s´ıti S. (Pozor, zastaven´ı algoritmu jsme zat´ım nezd˚ uvodnili, to nen´ı tak jednoduché.) Takˇze dokaˇzme, ˇze po zastaven´ı algoritmu nastane rovnost kf k = kXk, kde X je vypsaný ˇrez mezi U a zbytkem grafu D. Vezmˇeme tok f v S bez nenasycené cesty ze z do s. Pak mnoˇzina U z algoritmu neobsahuje s. Schematicky vypadá situace takto: f (e) = w(e) z

U

s f (e) = 0

Jelikoˇz z U ˇzádné nenasycené cesty dále nevedou, má kaˇzdá hrana e ← U (odcházej´ıc´ı 80

z U) plný tok f (e) = w(e) a kaˇzdá hrana e → U (pˇricházej´ıc´ı do U) tok f (e) = 0, takˇze X X X X f (e) − f (e) = f (e) = w(e) = kXk . e←U

e→U

e←U

e∈X

Na druhou stranu, kdyˇz v sumˇe uvaˇzujeme vˇsechny hrany grafu indukované na naˇs´ı mnoˇzinˇe U, tj. e ∈ E(D ↾ U), analogicky dostaneme poˇzadované ! ! X X X X X X 0= f (e) − f (e) = f (e) − f (e) − f (e) − f (e) = v∈U

e∈E(D↾U )

=

X e←z

f (e) −

X

f (e)

e→z

!

−

X

e←U

e←v

f (e) −

e→v

X

f (e)

e→U

e←U

!

e→U

= kf k − kXk , tj. kf k = kXk . ✷

Z d˚ ukazu Algoritmu 9.9 pak odvod´ıme nˇekolik zaj´ımavých fakt˚ u: Fakt: Pokud zajist´ıme, ˇze Algoritmus 9.9 vˇzdy skonˇc´ı, zároveˇ n t´ım dokáˇzeme i platnost Vˇety 9.7. Fakt: Pro celoˇc´ıselné kapacity hran s´ıtˇe S Algoritmus 9.9 vˇzdy skonˇc´ı. Pro dalˇs´ı vyuˇzit´ı v teorii graf˚ u je asi nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı tento poznatek: D˚ usledek 9.11. Pokud jsou kapacity hran s´ıtˇe S celoˇc´ıselné, optimáln´ı tok také vyjde celoˇc´ıselnˇe. D˚ ukaz: Postupujeme jednoduchou indukc´ı podle iterac´ı Algoritmu 9.9: Algoritmus zaˇc´ıná s celoˇc´ıselným tokem 0. V kaˇzdé dalˇs´ı iteraci bude na poˇcátku tok vˇsemi hranami celoˇc´ıselný, tud´ıˇz i rezervy kapacit hran vyjdou (rozd´ılem od celoˇc´ıselné kapacity) celoˇc´ıselnˇe. Proto i hodnoty toku budou zmˇenˇeny jen celoˇc´ıselnˇe, coˇz zakonˇcuje indukˇcn´ı krok. ✷

9.4

Zobecnˇ en´ e pouˇ zit´ı s´ıt´ı

Pojmy s´ıtˇe a tok˚ u v n´ı lze v kombinatorické optimalizaci zobecnit a vyuˇz´ıt nˇekolika smˇery. My si zde struˇcnˇe uvedeme následuj´ıc´ı moˇznosti. •

S´ıtˇ e s kapacitami vrchol˚ u: U s´ıtˇe m˚ uˇzeme zadat kapacity vrchol˚ u, neboli kapacitn´ı váhová funkce je dána jako w : + E(D) ∪ V (D) → . Takovou s´ıt’ zdvojen´ım“ vrchol˚ u snadno pˇrevedeme na bˇeˇznou ” s´ıt’, ve které kapacity p˚ uvodn´ıch vrchol˚ u budou uvedeny u nových hran spojuj´ıc´ıch zdvojené vrcholy. Viz neformáln´ı schéma: 5 s z 3 b 5 2 b s s s z 2 3 4 a 4 s s s s a 5 5

R

❀

81

•

S´ıtˇ e s doln´ımi kapacitami: Pro hrany s´ıtˇe lze zadat také jejich minimáln´ı kapacity, tedy doln´ı meze pˇr´ıpustného r´ıpustný tok pak mus´ı splˇ novat ℓ(e) ≤ toku, jako váhovou funkci ℓ : E(D) → + 0 . Pˇ f (e) ≤ w(e) pro vˇsechny hrany e. (V této modifikaci u ´ lohy jiˇz pˇr´ıpustný tok nemus´ı v˚ ubec existovat.)

R

Bipartitn´ı p´ arov´ an´ı Biparitn´ı grafy jsou grafy, jejichˇz vrcholy lze rozdˇelit do dvou mnoˇzin tak, ˇze vˇsechny hrany vedou jen mezi tˇemito mnoˇzinami, neboli podgrafy u ´ plných bipartitn´ıch graf˚ u. Definice: Párován´ı v (nyn´ı biparitn´ım) grafu G je podmnoˇzina hran M ⊂ E(G) taková, ˇze ˇzádné dvˇe hrany z M nesd´ılej´ı koncový vrchol. ´ Koment´ aˇ r: Ulohu nalézt v daném bipartitn´ım grafu co nejvˇetˇs´ı p´ arován´ı lze pomˇernˇe snadno vyˇreˇsit pomoc´ı tok˚ u ve vhodnˇe definované s´ıti. Uveden´ a metoda pouˇzit´ı tok˚ u v s´ıti na ˇreˇsen´ı problému p´ arován´ı pˇritom hezky ilustruje obecn´ y pˇr´ıstup, jak´ ym toky v s´ıt´ıch pomohou ˇreˇsit i u ´lohy, které na prvn´ı pohled se s´ıtˇemi nemaj´ı nic spoleˇcného.

arov´ an´ı Metoda 9.12. Nalezen´ı bipartitn´ıho p´ Pro daný bipartitn´ı graf G s vrcholy rozdˇelenými do mnoˇzin A, B sestroj´ıme s´ıt’ S následovnˇe: A B s s 1 1 z 1 • •

s

s

s

s

s

s

s 1

Vˇsechny hrany s´ıtˇe S orientujeme od zdroje do stoku a pˇriˇrad´ıme jim kapacity 1. Nyn´ı najdeme (celoˇc´ıselný) maximáln´ı tok v S Algoritmem 9.9. Do párován´ı vloˇz´ıme ty hrany grafu G, které maj´ı nenulový tok.

D˚ ukaz správnosti Metody 9.12: Podle D˚ usledku 9.11 bude maximáln´ı tok celoˇc´ıselný, a proto kaˇzdou hranou poteˇce bud’ 0 nebo 1. Jelikoˇz vˇsak do kaˇzdého vrcholu v A m˚ uˇze ze zdroje pˇritéct jen tok 1, bude z kaˇzdého vrcholu A vybrána do párován´ı nejvýˇse jedna hrana. Stejnˇe tak odvod´ıme, ˇze z kaˇzdého vrcholu B bude vybrána nejvýˇse jedna hrana, a proto vybraná mnoˇzina skuteˇcnˇe bude párován´ım. Zároveˇ n to bude nejvˇetˇs´ı moˇzné párován´ı, protoˇze z kaˇzdého párován´ı lze naopak vytvoˇrit tok pˇr´ısluˇsné velikosti a vˇetˇs´ı neˇz nalezený tok v S neexistuje. ✷ Pozn´ amka: Popsaná metoda je z´ akladem tzv. Mad’arského algoritmu pro p´ arován´ı v bipartitn´ıch ´ grafech. Ulohu nalezen´ı maxim´ aln´ıho p´ arován´ı lze definovat i pro obecné grafy a také ji efektivnˇe algoritmicky vyˇreˇsit, ale pˇr´ısluˇsn´ y algoritmus [Edmonds˚ uv] nen´ı jednoduch´ y.

V´ ybˇ er r˚ uzn´ ych reprezentant˚ u Definice: Necht’ M1 , M2 , . . . , Mk jsou neprázdné mnoˇziny. Systémem r˚ uzných repreuzných prvk˚ u zentant˚ u mnoˇzin M1 , M2 , . . . , Mk nazýváme takovou posloupnost r˚ (x1 , x2 , . . . , xk ), ˇze xi ∈ Mi pro i = 1, 2, . . . , k. 82

D˚ uleˇzitým a dobˇre známým výsledkem v této oblasti je Hallova vˇeta plnˇe popisuj´ıc´ı, kdy lze systém r˚ uzných reprezentant˚ u daných mnoˇzin nalézt. Vˇ eta 9.13. Necht’ M1 , M2 , . . . , Mk jsou neprázdné mnoˇziny. Pro tyto mnoˇziny existuje systém r˚ uzných reprezentant˚ u, právˇe kdyˇz plat´ı [ ∀J ⊂ {1, 2, . . . , k} : Mj ≥ |J| , j∈J

neboli pokud sjednocen´ı libovolné skupiny z tˇechto mnoˇzin má alespoˇ n tolik prvk˚ u, kolik mnoˇzin je sjednoceno.

D˚ ukaz: Oznaˇcme x1 , x2 , . . . , xm po ˇradˇe vˇsechny prvky ve sjednocen´ı M1 ∪M2 ∪· · ·∪Mk . Definujeme si bipartitn´ı graf G na mnoˇzinˇe vrchol˚ u {1, 2, . . . , k}∪{x1 , x2 , . . . , xm }∪{u, v}, ve kterém jsou hrany {u, i} pro i = 1, 2, . . . , k, hrany {v, xj } pro j = 1, 2, . . . , m a hrany {i, xj } pro vˇsechny dvojice i, j, pro které xj ∈ Mi . Koment´ aˇ r: Konstrukce naˇseho grafu G je obdobná konstrukci s´ıtˇe v Algoritmu ??: Vrcholy u a v odpov´ıdaj´ı zdroji a stoku, ostatn´ı hrany pˇrich´ azej´ıc´ı do vrcholu xj zn´ azorˇ nuj´ı vˇsechny z dan´ ych mnoˇzin, které obsahuj´ı prvek xj .

Cesta mezi u a v má tvar u, i, xj , v, a tud´ıˇz ukazuje na reprezentanta xj ∈ Mi . Systém r˚ uzných reprezentant˚ u tak odpov´ıdá k disjunktn´ım cestám mezi u a v. Necht’ X je nyn´ı libovolná minimáln´ı mnoˇzina vrchol˚ u v G, neobsahuj´ıc´ı samotné u a v, po jej´ımˇz odebrán´ı z grafu nezbude ˇzádná cesta mezi u a v. Podle této u ´ vahy maj´ı naˇse mnoˇziny systém r˚ uzných reprezentant˚ u, právˇe kdyˇz kaˇzdá taková oddˇeluj´ıc´ı mnoˇzina X má aspoˇ n k prvk˚ u. Poloˇzme J = {1, 2, . . . , k} \ X. Pak kaˇzdá hrana z J (mimo u) vede do vrchol˚ u z X ∩ {x1 , . . . , xm } (aby nevznikla cesta mezi u, v), a proto [ Mj = |X ∩ {x1 , . . . , xm }| = |X| − |X ∩ {1, . . . , k}| = |X| − k + |J| . j∈J

(Prvn´ı rovnost vyplývá z minimality mnoˇziny SX.) Vid´ ıme tedy, ˇze |X| ≥ k pro vˇsechny (minimáln´ı) volby oddˇeluj´ıc´ı X, právˇe kdyˇz j∈J Mj ≥ |J| pro vˇsechny volby J, coˇz je dokazovaná podm´ınka naˇs´ı vˇety. ✷

Pozn´ amka: Tento d˚ ukaz n´ am také d´ avá n´ avod, jak systém r˚ uzn´ ych reprezentant˚ u pro dané mnoˇziny nalézt – staˇc´ı pouˇz´ıt Algoritmus 9.9 na vhodnˇe odvozenou s´ıt’.

Rozˇ siˇ ruj´ıc´ı studium .................................................

83

10

Formalizace a d˚ ukazy pro algoritmy

´ Uvod Po pˇredchoz´ı pˇreváˇznˇe matematické látce se n´ aˇs v´ yklad obrac´ı bezprostˇrednˇe k informatice. Mnoz´ı z vás si asi jiˇz vˇsimli, ˇze umˇen´ı programovat nen´ı zdaleka jen o tom nauˇcit se syntaxi programovac´ıho jazyka, ale pˇredevˇs´ım o schopnosti vytváˇret a správnˇe formálnˇe zapisovat algoritmy. Pˇritom tˇreba situace, kdy programátorem zapsan´ y kód ve skuteˇcnosti poˇc´ıtá nˇeco trochu jiného, neˇz si autor pˇredstavuje, je snad nejˇcastˇejˇs´ı programátorskou chybou – o to z´ akeˇrnˇejˇs´ı, ˇze ji ˇz´ adn´ y chytr´ y“ pˇrekladaˇc nem˚ uˇze odhalit. ” Proto jiˇz na poˇc´ atku studia informatiky je ˇzádouc´ı klást d˚ uraz na správné ch´ ap´ an´ı zápisu algoritm˚ u i na pˇresné d˚ ukazy jejich vlastnost´ı a správnosti. A to je téma, kterému se budeme vˇenovat po pˇreváˇzn´ y zbytek pˇredmˇetu FI: IB000.

C´ıle Bude zaveden zp˚ usob form´ aln´ıho zápisu algoritm˚ u pro potˇreby dalˇs´ıho v´ ykladu, nez´ avisle na konkrétn´ıch programovac´ıch jazyc´ıch. Na tomto formalismu pak bude ukazováno správné ch´ ap´ an´ı chován´ı algoritm˚ u a pˇr´ıklady d˚ ukaz˚ u na konkrétn´ıch mal´ ych“ algoritmech. ” Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı technikou d˚ ukaz˚ u bude matematická indukce.

10.1

Form´ aln´ı popis algoritmu

Pˇred samotným závˇerem naˇseho matematického kurzu si poloˇzme kl´ıˇcovou otázku, co je vlastnˇe algoritmus? Kdyˇz se na t´ım zamysl´ıte, asi zjist´ıte, ˇze to nen´ı tak jednoduché pˇresnˇe ˇr´ıci. Dokonce je to natolik obt´ıˇzná otázka, ˇze si zde m˚ uˇzeme podat jen docela zjednoduˇsenou (ˇci naivn´ı?) odpovˇed’, pˇresto vˇsak dostateˇcnou pro zamýˇslenou demonstraci matematických d˚ ukaz˚ u pro bˇeˇzné algoritmy. Pozn´ amka: Za definici algoritmu je obecnˇe pˇrij´ım´ ana tzv. Church–Turingova teze tvrd´ıc´ı, ˇze vˇsechny algoritmy lze simulovat“ na Turingovˇe stroji. Jedná se sice o pˇresnou, ale znaˇcnˇe ” nepraktickou definici. Mimo Turingova stroje existuj´ı i jiné matematické modely v´ ypoˇct˚ u, jako tˇreba stroj RAM, kter´ y je abstrakc´ı skuteˇcného strojového kódu, nebo také tˇreba tzv. neproceduráln´ı (neimperativn´ı) modely zahrnuj´ıc´ı funkcion´ aln´ı a logické programován´ı.

Konvence 10.1. Zjednoduˇsenˇe zde algoritmem rozum´ıme koneˇcnou posloupnost elementárn´ıch výpoˇcetn´ıch krok˚ u, ve které kaˇzdý dalˇs´ı krok vhodnˇe 1 vyuˇz´ıvá (neboli závis´ı na) vstupn´ı u ´ daje ˇci hodnoty vypoˇctené v pˇredchoz´ıch kroc´ıch. Tuto závislost pˇritom poj´ımáme zcela obecnˇe nejen na operandy, ale i na vykonávané instrukce v kroc´ıch. Pro zápis algoritmu a jeho zpˇrehlednˇen´ı a zkrácen´ı vyuˇz´ıváme ˇr´ıd´ıc´ı konstrukce – podm´ınˇená vˇetven´ı a cykly. Koment´ aˇ r: Vid´ıte, jak bl´ızké si jsou konstruktivn´ı matematické d˚ ukazy a algoritmy v naˇsem pojet´ı? Jedná se nakonec o jeden ze zámˇer˚ u naˇseho pˇr´ıstupu. . . 1

Zv´ıdav´ı studenti si mohou na tomto m´ıstˇe uvˇedomit, ˇze ve sl˚ uvku vhodnˇe“ se skr´ yvá cel´ a hloubka ” Church–Turingovy teze. V ˇza´dném pˇr´ıpadˇe tak nelze mechanicky bez zamyˇslen´ı obracet, ˇze by kaˇzdá posloupnost krok˚ u atd . . . byla algoritmem ve smyslu této teze (viz také Lekce 12).

84

Pˇ r´ıklad 10.2. Zápis algoritmu pro výpoˇcet pr˚ umˇeru daného pole a[] s n prvky. Algoritmus. • Inicializujeme sum ← 0 ; •

postupnˇe pro i=0,1,2,...,n-1 provedeme ∗ sum ← sum+a[i] ;

•

vyp´ıˇseme pod´ıl (sum/n) .

✷

u a ˇr´ıd´ıc´ıch Ve vyˇsˇs´ı u ´ rovni“ formálnosti (s jasnˇejˇs´ım vyznaˇcen´ım elementárn´ıch krok˚ ” struktur algoritmu) se totéˇz dá zapsat jako: umˇ er z daného pole a[] s n prvky. Algoritmus 10.3. Pr˚ input pole a[] délky n; sum ← 0; foreach i ← 0,1,2,...,n-1 sum ← sum+a[i]; done res ← sum/n; output res;

do

Symbolick´ y z´ apis algoritm˚ u Znaˇ cen´ ı . Pro potˇreby symbolického formáln´ıho zápisu algoritm˚ u v pˇredmˇetu FI: IB000 si zavedeme následuj´ıc´ı pravidla: enné nebudeme deklarovat ani typovat, pole odliˇs´ıme závorkami p[]. ∗ Promˇ ∗ Pˇriˇrazen´ı hodnoty zapisujeme a ← b, pˇr´ıpadnˇ e a := b, ale nikdy ne a=b. ∗ Jako element´ arn´ı operace je moˇzné pouˇz´ıt jakékoliv aritmetické výrazy v bˇeˇzném

matematickém zápise. Rozsahem a pˇresnost´ı ˇc´ısel se zde nezabýváme.

∗ Podm´ınˇ ené vˇetven´ı uvedeme kl´ıˇcovými slovy if ... then ... else ... fi , kde

else vˇetev lze vynechat (a nˇekdy, na jednom ˇrádku, i fi).

∗ Pevn´ y cyklus uvedeme kl´ıˇcovými slovy

foreach ... do ... done , kde ˇcást za foreach mus´ı obsahovat pˇredem danou mnoˇzinu hodnot pro pˇriˇrazován´ı do ˇr´ıd´ıc´ı promˇenné.

∗ Podm´ınˇ ený cyklus uvedeme kl´ıˇcovými slovy while ... do ... done . Zde se m˚ uˇze

za while vyskytovat jakákoliv logická podm´ınka.

∗ V z´ apise pouˇz´ıváme jasné odsazován´ı (zleva) podle u ´ rovnˇe zanoˇren´ı ˇr´ıd´ıc´ıch struktur

(coˇz jsou if, foreach, while).

∗ Pokud je to dostateˇ cnˇe jasné, elementárn´ı operace nebo podm´ınky m˚ uˇzeme i ve

formáln´ım zápise popsat bˇeˇzným jazykem.

Vyzbrojeni t´ımto znaˇcen´ım a matematickým aparátem dokazován´ı“ si nyn´ı m˚ uˇzeme ” dovolit se pod´ıvat na mnohé základn´ı (a jednoduché) algoritmy novým kritickým pohledem. 85

Co poˇ c´ıt´ a n´ asleduj´ıc´ı algoritmus? Pˇ r´ıklad 10.4. Je dán následuj´ıc´ı symbolicky zapsaný algoritmus. Co je jeho výstupem v závislosti na vstupech a, b? Algoritmus 10.5. input a, b; res ← 7; foreach i ← 1,2,...,b-1,b do res ← res + a + 2·b + 8; done output res; Nejprve si zkusmo vypoˇc´ıtáme hodnoty výsledku res v poˇcáteˇcn´ıch iterac´ıch cyklu: b = 0: b = 1: b = 2:

res = 7, res = 7 + a + 2b + 8, res = 7 + (a + 2b + 8) + (a + 2b + 8), . . .

Co dále? Výˇcet hodnot naznaˇcuje pravidelnost a závˇer, ˇze obecný výsledek po b iterac´ıch cyklu bude m´ıt hodnotu res = 7 + b(a + 2b + 8) = ab + 2b2 + 8b + 7 . Jak vˇsak toto dokáˇzeme? Nejlépe asi indukc´ı podle vstupn´ı hodnoty b, ale to nen´ı formálnˇe u ´ plnˇe pˇresné, nebot’ s hodnotou b mus´ıme pracovat jako se zcela obecným pevným parametrem a zároveˇ n ji mˇenit(?) podle potˇreb indukce. Pro tuto ˇcást odkazujeme do Odd´ılu 10.3. ✷

10.2

O spr´ avnosti“ a dokazov´ an´ı program˚ u ”

Jak se máme pˇresvˇedˇcit, ˇze je daný program poˇc´ıtá správnˇe“? ” ∗ Co tˇreba ladˇ en´ı program˚ u? Jelikoˇz poˇcet moˇzných vstupn´ıch hodnot je (v principu) neohraniˇcený, nelze otestovat vˇsechna moˇzná vstupn´ı data. ∗ Situace je zvl´ aˇstˇe komplikovaná v pˇr´ıpadˇe paraleln´ıch, randomizovaných, interak-

tivn´ıch a nekonˇc´ıc´ıch program˚ u (operaˇcn´ı systémy, systémy ˇr´ızen´ı provozu apod.). Takové systémy maj´ı nedeterministické chován´ı a opakované experimenty vedou k r˚ uzným výsledk˚ um. (Nelze je tud´ıˇz ani rozumnˇe ladit, respektive ladˇen´ı poskytne jen velmi nedostateˇcnou záruku správného chován´ı za jiných okolnost´ı. . . )

∗ V nˇ ekterých pˇr´ıpadech je vˇsak tˇreba m´ıt naprostou jistotu, ˇze program funguje tak

jak má, pˇr´ıpadnˇe ˇze splˇ nuje základn´ı bezpeˇcnostn´ı poˇzadavky.

– Pro malé“ algoritmy je moˇzné podat pˇresný matematický d˚ ukaz správnosti. ” – Nar˚ ustaj´ıc´ı sloˇzitosti programových systém˚ u a poˇzadavky na jejich bezpeˇcnost si pak vynucuj´ı vývoj jiných spolehlivých“ formáln´ıch verifikaˇcn´ıch metod. ” Koment´ aˇ r: Mimochodem, co to vlastnˇe znamená poˇc´ıtat správnˇe“? ”

86

Uk´ azka form´ aln´ıho d˚ ukazu algoritmu Pˇ r´ıklad 10.6. Je dán následuj´ıc´ı symbolicky zapsaný algoritmus. Dokaˇzte, ˇze jeho výsledkem je výmˇena“ vstupn´ıch hodnot a, b. ” Algoritmus 10.7. input a, b; a ← a+b; b ← a-b; a ← a-b; output a, b; Pro správný formáln´ı d˚ ukaz si mus´ıme nejprve uvˇedomit, ˇze je tˇreba symbolicky odliˇsit od sebe promˇenné a,b od jejich daných vstupn´ıch hodnot, tˇreba ha , hb . Nyn´ı v kroc´ıch algoritmu poˇc´ıtáme hodnoty promˇenných: ∗ ∗ ∗ ∗

a = ha , b = hb , a ← a + b = ha + hb , b = hb , a = ha + hb , b ← a − b = ha + hb − hb = ha , a ← a − b = ha + hb − ha = hb , b = ha ,

V jednotlivých kroc´ıch tak jasnˇe vid´ıme, ˇze pro kterékoliv vstupn´ı hodnoty ha , hb bude ve výsledku obsahem promˇenné a hodnota hb a obsahem promˇenné b hodnota ha . T´ımto jsme s d˚ ukazem hotovi. ✷

10.3

Jednoduch´ e indukˇ cn´ı dokazov´ an´ı

Pˇr´ıklad 10.6 je ponˇekud extrémn´ı ukázkou ve smyslu toho, ˇze v praxi jen málokdy zkoumaný algoritmus udˇelá tak málo krok˚ u, ˇze bychom kaˇzdý krok mohli studovat zvláˇst’. Pˇredevˇs´ım poˇcet krok˚ u (cykl˚ u ˇci iterac´ı) býva promˇenný a závislý na vstupu a pak mus´ı nastoupit lepˇs´ı d˚ ukazové prostˇredky, pˇredevˇs´ım matematická indukce, která je jako ” stvoˇrená“ pro formáln´ı uchopen´ı opakovaných sekvenc´ı v algoritmech. Pˇ r´ıklad 10.8. Dokaˇzte, ˇze následuj´ıc´ı algoritmus v závislosti na vstupech a, b navrát´ı výsledek ab + 2b2 + 8b + 7 (viz Pˇr´ıklad 10.4). Algoritmus 10.9. input a, b; res ← 7; foreach i ← 1,2,...,b-1,b do res ← res + a + 2·b + 8; done output res; V prvé ˇradˇe si z d˚ uvodu formáln´ı pˇresnosti pˇreznaˇc´ıme mez cyklu v algoritmu na foreach i ← 1,2,...,c do .. (kde c = b). To dˇeláme proto, ˇze jinak by se nám pletla hodnota b vstupuj´ıc´ı do pˇriˇrazen´ı do promˇenné res s hodnotou poˇctu provedených iterac´ı cyklu. Poté postupujeme pˇrirozenˇe indukc´ı podle poˇctu c iterac´ı (uˇz nezávisle na vstupn´ı hodnotˇe b); dokazujeme, ˇze výsledek výpoˇctu algoritmu bude res = (a + 2b + 8)c + 7 = ac + 2bc + 8c + 7 .

87

Pro c = 0 je výsledek správnˇe res = 0 + 7. Pokud dále pˇredpokládáme platnost vztahu res = ac + 2bc + 8c + 7 po nˇejakých c iterac´ıch cyklu foreach, tak následuj´ıc´ı iterace pro i ← c + 1 (jej´ıˇz pr˚ ubˇeh na samotné hodnotˇe i nezáleˇz´ı) zmˇen´ı hodnotu na res ← res + a + 2b + 8 = ac + a + 2bc + 2b + 8c + 8 + 7 = = a(c + 1) + 2b(c + 1) + 8(c + 1) + 7 . D˚ ukaz indukc´ı je t´ım hotov.

✷

Pˇ r´ıklad 10.10. Zjistˇete, kolik znak˚ u ’x’ v závislosti na celoˇc´ıselné hodnotˇe n vstupn´ıho parametru n vyp´ıˇse následuj´ıc´ı algoritmus. Algoritmus 10.11. foreach i ← 1,2,3,...,n-1,n do foreach j ← 1,2,3,...,i-1,i do vytiskni ’x’; done done Nejprve si uvˇedom´ıme, ˇze druhý (vnoˇrený) cyklus vˇzdy vytiskne celkem i znak˚ u ’x’. Proto iterac´ı prvn´ıho cyklu (nejsp´ıˇse) dostaneme postupnˇe 1 + 2 + · · · + n znak˚ u ’x’ 1 na výstupu, coˇz jiˇz v´ıme (Pˇr´ıklad 2.8), ˇze je celkem 2 n(n + 1). Budeme tedy dokazovat následuj´ıc´ı tvrzen´ı: u ’x’. Vˇ eta. Pro kaˇzdé pˇrirozené n Algoritmus 10.11 vyp´ıˇse právˇe 21 n(n+1) znak˚ D˚ ukaz: Postupujeme indukc´ı podle n. Báze pro n = 0 je zˇrejmá, neprovede se ani jedna iterace cyklu a tud´ıˇz bude vytiˇstˇeno 0 znak˚ u ’x’, coˇz je správnˇe. Necht’ tedy tvrzen´ı plat´ı pro jakékoliv n0 a poloˇzme n = n0 + 1. Prvn´ıch n0 iterac´ı vnˇejˇs´ıho cyklu podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu vyp´ıˇse (ve vnitˇrn´ım cyklu) celkem 12 n0 (n0 + 1) znak˚ u ’x’. Pak jiˇz následuje jen jedna posledn´ı iterace vnˇejˇs´ıho cyklu s i ← n=n0 +1 a v n´ı se vnitˇrn´ı cyklus j ← 1,2,...,i=n iteruje celkem n = n0 + 1 -krát. Celkem tedy bude vytiˇstˇen tento poˇcet znak˚ u ’x’: 1 1 1 n0 (n0 + 1) + n0 + 1 = (n0 + 1 + 1)(n0 + 1) = n(n + 1) 2 2 2 D˚ ukaz indukˇcn´ıho kroku je hotov.

10.4

✷

Rekurzivn´ı algoritmy

Rekurentn´ı vztahy posloupnost´ı, struˇcnˇe uvedené v Odd´ıle 3.4, maj´ı svou pˇrirozenou obdobu v rekurzivnˇe zapsaných algoritmech. Zjednoduˇsenˇe ˇreˇceno to jsou algoritmy, které se v pr˚ ubˇehu výpoˇctu odvolávaj´ı na výsledky sebe sama pro jiné (pokud moˇzno striktnˇe menˇs´ı) vstupn´ı hodnoty. U takových algoritm˚ u je zvláˇstˇe d˚ uleˇzité kontrolovat jejich správnost a také proveditelnost. My si tuto oblast algoritm˚ u osvˇetl´ıme nˇekolika jednoduchými pˇr´ıklady. Pˇ r´ıklad 10.12. Symbolický zápis jednoduchého rekurzivn´ıho algoritmu. Algoritmus . Rekurzivn´ı funkce factorial(x) if x < 1 then t ← 1; else t ← x · factorial(x-1); return t 88

Co je výsledkem výpoˇctu? Jednoduˇse ˇreˇceno, výsledkem je faktoriál vstupn´ı pˇrirozené hodnoty x, tj. hodnota x! = x · (x − 1) · · · ·· 2 · 1. (Záporné a necelé vstupn´ı hodnoty x pro zjednoduˇsen´ı ignorujeme, ale poctivˇe napsaný program by si samozˇrejmˇe mˇel pˇr´ıpustnost vstupu kontrolovat sám!) Vˇsimnˇete si jeˇstˇe, ˇze algoritmus i pro vstup x = 0 správnˇe vyhodnot´ı 0! = 1. ✷ Fibonacciho ˇ c´ısla Pro dalˇs´ı pˇr´ıklad rekurze se vrát´ıme k Odd´ılu 3.4, kde byla zm´ınˇena známá Fibonacciho posloupnost 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . . Ve skuteˇcnosti tuto posloupnost budeme uvaˇzovat jiˇz od nultého ˇclenu, tj. jako 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . . Algoritmus 10.13. Rekurzivn´ı výpoˇcet funkce fibonacci(x) Pro dané pˇrirozené x ≥ 0 vypoˇc´ıtáme x-té Fibonacciho ˇc´ıslo následovnˇe: if x < 2 then t ← x; else t ← fibonacci(x-1)+fibonacci(x-2); return t Koment´ aˇ r: Správnost Algoritmu 10.13 je v´ıceménˇe zˇrejmá z jeho pˇr´ımé podoby s rekurentn´ım vzorcem v definici Fibonacciho ˇc´ısel. Zamyslete se vˇsak, jak je to s praktickou proveditelnost´ı“ takového algoritmu. . . Vid´ıte (pˇr´ıpadnˇe si zkuste naprogramovat), ˇze ˇcas ” v´ ypoˇctu roste velmi rychle? Tˇrebaˇze hodnotu f ibonacci(30) t´ımto algoritmem spoˇc´ıtáte pomˇernˇe rychle, s v´ ypoˇctem f ibonacci(40) uˇz budete m´ıt vˇetˇs´ı problémy a f ibonacci(50) asi bude mimo vaˇse moˇznosti. To skuteˇcnˇe nen´ı dobr´ y algoritmus! Pod´ıvejte se také na bodouc´ı Pˇr´ıklad 11.5, kter´ y odhaduje, jak mnoho (exponenci´ alnˇe) krok˚ u v´ ypoˇctu je potˇreba. Proto si v dalˇs´ım Pˇr´ıkladu 10.14 uvedeme ponˇekud (ve skuteˇcnosti velmi v´ yraznˇe) lepˇs´ı algoritmus v´ ypoˇctu, podobaj´ıc´ı se pˇrirozenému lidskému postupu psan´ı ˇclen˚ u posloupnosti do ˇra´dku na pap´ır“. Doporuˇcujeme si oba algoritmy zkusit implementovat a mezi sebou ” porovnat.

Pˇ r´ıklad 10.14. Nerekurzivn´ı algoritmus pro Fibonacciho ˇc´ısla. Dokaˇzte, ˇze následuj´ıc´ı algoritmus pro kaˇzdé pˇrirozené n poˇc´ıtá tutéˇz hodnotu jako rekurentn´ı funkce fibonacci(n) v Algoritmu 10.13 (ale mnohem mnohem rychleji). Algoritmus . input n; b[0] ← 0; b[1] ← 1; foreach i ← 2,3,...,n do b[i] ← b[i-1]+b[i-2]; done output b[n] D˚ ukaz: Indukc´ı podle ˇr´ıd´ıc´ı promˇenné i budeme dokazovat, ˇze po i-té iteraci cyklu algoritmu bude vˇzdy platit b[i] = f ibonacci(i): Co se týˇce báze indukce, toto vyplývá z u ´ vodn´ıho pˇriˇrazen´ı. Pro libovolné i ≥ 2 pˇredpokládáme platnost indukˇcn´ıho pˇredpokladu b[j] = f ibonacci(j) pro j ∈ {i − 1, i − 2}. V i-té iteraci cyklu pak nastane b[i] ← b[i − 1] + b[i − 2] = f ibonacci(i − 1) + f ibonacci(i − 2) = f ibonacci(i) podle definice. T´ım je d˚ ukaz hotov pro hodnotu i = n. ✷

89

Rozˇ siˇ ruj´ıc´ı studium Náˇs v´ yklad pohl´ıˇz´ı na algoritmy a programován´ı tzv. proceduráln´ım neboli imperativn´ım paradigmatem. Vedle toho existuj´ı i jiné pˇr´ıstupy k programován´ı, jako zm´ınˇené funkcion´ aln´ı nebo logické. Na FI se s jin´ ymi pˇr´ıstupy studenti sezn´ am´ı tˇreba v pˇredmˇetu Neimperativn´ı programován´ı. Pro n´ aˇs pˇredmˇet vˇsak v´ ybˇer v´ ypoˇcetn´ıho paradigmatu nen´ı nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı. Smyslem této lekce bylo pˇredevˇs´ım ukázat, ˇze u jednoduch´ ych algoritm˚ u lze (a je vhodné) je matematicky form´ alnˇe zapisovat i dokazovat jejich správnost. Samozˇrejmˇe je iluzorn´ı pˇredpokládat, ˇze obdobné d˚ ukazy správnosti pod´ ame i pro velké softwarové projekty ˇc´ıtaj´ıc´ı aˇz mili´ ony ˇra´dk˚ u, ale postupy a techniky nauˇcené pˇri ovˇeˇrován´ı jednoduch´ ych algoritm˚ us u ´spˇechem vyuˇzijete i pˇri kontrole a ladˇen´ı jednotliv´ ych kousk˚ u velk´ ych projekt˚ u. aln´ı verifikace program˚ u se v pˇr´ıpadˇe O mnoha r˚ uzn´ ych pokroˇcil´ ych technikách form´ zájmu dozv´ıte v pokraˇcuj´ıc´ım studiu. Tyto techniky jsou schopny na vhodném modelu“ ru” tinnˇe a matematicky pˇresnˇe ovˇeˇrovat (ne)existenci mnoha bˇeˇzn´ ych programátorsk´ ych chyb.

90

11

Pokroˇ cil´ e dokazov´ an´ı nad algoritmy

´ Uvod Pˇr´ımo navazujeme na Lekci 10 a pokraˇcujeme v ukázkách matematického dokazován´ı nad vybran´ ymi krátk´ ymi algoritmy. V´ yklad jiˇz bude trochu n´ aroˇcnˇejs´ı a m´ısto umˇele pˇrichystan´ ych (a v podstatˇe triviáln´ıch) pˇr´ıklad˚ u se budeme vˇenovat i nˇekolika obecn´ ym dobˇre zn´ am´ ym algoritm˚ um. Dá se ˇr´ıci, ˇze tato lekce je vrcholem“ v naˇs´ı snaze o matem” atické dokazován´ı algoritm˚ u v informatice. Soustˇred’te se v ukázkách d˚ ukaz˚ u na pochopen´ı, jak jednotlivé form´ aln´ı matematické kroky koresponduj´ı s pr˚ ubˇehem algoritm˚ u.

C´ıle Naˇs´ı snahou v tˇechto dvou lekc´ıch je ˇcten´ aˇri ukázat pomˇernˇe vyˇcerp´ avaj´ıc´ı pˇrehled zp˚ usob˚ u a trik˚ u, které lze vyuˇz´ıt k anal´ yze a dokazován´ı správnosti rozumnˇe krátk´ ych algoritm˚ u. Tyto poznatky by mˇely základem toho, aby si ˇcten´ aˇr jako programátor umˇel po sobˇe své algoritmy pˇreˇc´ıst“ a ovˇeˇrit jejich skuteˇcnou správnost na lokáln´ı u ´rovni. ”

11.1

Dokazov´ an´ı koneˇ cnosti algoritmu

Co bývá snad jeˇstˇe horˇs´ı, neˇz chybný výsledek algoritmu? Je to situace, kdy spuˇstˇený algoritmus bˇeˇz´ı do nekoneˇcna“ a v˚ ubec se nezastav´ı. ” Koment´ aˇ r: Vˇsimnˇete si, ˇze jsme se zat´ım v d˚ ukazech Lekce 10 v˚ ubec nezam´ yˇsleli nad ubec skonˇc´ı. (To nen´ı samozˇrejmé a d˚ ukaz koneˇcnosti je nutno v t´ım, zda naˇse algoritmy v˚ obecnosti pod´ avat!) Prozat´ım jsme vˇsak ukazovali algoritmy vyuˇz´ıvaj´ıc´ı jen foreach cykly, pˇritom podle naˇs´ı konvence obsahuje foreach cyklus pˇredem danou koneˇcnou mnoˇzinu hodnot pro ˇr´ıd´ıc´ı promˇennou, neboli n´ aˇs foreach cyklus vˇzdy mus´ı skonˇcit. Ale uˇz v pˇr´ıˇst´ım algoritmu vyuˇzijeme while cyklus, u kterého v˚ ubec nen´ı jasné kdy a jestli skonˇc´ı, a tud´ıˇz bude potˇrebn´ y i d˚ ukaz koneˇcnosti.

Právˇe nad takovou situac´ı a jej´ı moˇznou prevenc´ı se v tomto odd´ıle zamysl´ıme. Pˇredes´ıláme, ˇze dalˇs´ı podnˇetná látka k témuˇz tématu se nacház´ı jeˇstˇe v Lekci 12. Pˇ r´ıklad 11.1. Zastav´ı se vˇzdy výpoˇcet následuj´ıc´ıho primitivn´ıho algoritmu? Algoritmus 11.2. input x; while x>5 do x ← x+1; done output x Odpovˇed’ je samozˇrejmˇe NE, jak kaˇzdý vid´ı pro jakýkoliv vstup x vˇetˇs´ı neˇz 5. Jak vˇsak tuto negativn´ı odpovˇed’ matematicky dokázat? To nen´ı zcela jednoduché, a proto si pom˚ uˇzeme následuj´ıc´ım trikem: • Pˇ redpokládejme pro spor, ˇze Algoritmus 11.2 nˇekdy skonˇc´ı pro x > 5. Necht’ pˇrirozené n > 5 je zvoleno tak, ˇze Algoritmus 11.2 skonˇc´ı pro x = n po nejmenˇs´ım moˇzném poˇctu ℓ pr˚ uchod˚ u cyklem while. Pak jistˇe ℓ > 0, nebot’ na zaˇcátku je podm´ınka x>5 splnˇena z definice n. Po prvn´ım pr˚ uchodu pak x = n + 1 > 5, avˇsak nyn´ı jiˇz Algoritmus 11.2 mus´ı skonˇcit po ℓ − 1 < ℓ dalˇs´ıch pr˚ uchodech cyklu. To je spor s volbou x = n coby vstupn´ı hodnoty s nejmenˇs´ım 91

moˇzným poˇctem pr˚ uchod˚ u (pro x = n + 1 totiˇz do ukonˇcen´ı výpoˇctu probˇehne o jeden pr˚ uchod ménˇe – o ten jeden vykonaný na zaˇcátku naˇs´ı u ´ vahy). ✷ Kdyˇ z algoritmus vˇ zdy konˇ c´ı Na rozd´ıl od pˇredchoz´ı ukázky se budeme dále vˇenovat pozitivn´ım pˇr´ıpad˚ um, kdy algoritmy posluˇsnˇe konˇc´ı své výpoˇcty. Metoda 11.3. Jednoduch´ y d˚ ukaz koneˇ cnosti. Máme-li za u ´ kol dokázat, ˇze algoritmus skonˇc´ı, vhodný postup je následuj´ıc´ı: ∗ Sledujeme zvolen´ y celoˇc´ıselný a zdola ohraniˇcený parametr algoritmu (tˇreba pˇrirozené ˇc´ıslo) a dokáˇzeme, ˇze se jeho hodnota v pr˚ ubˇehu algoritmu neustále ostˇre zmenˇsuje. u a ∗ Pˇr´ıpadnˇ e pˇredchoz´ı pˇr´ıstup rozˇs´ıˇr´ıme na zvolenou k-tici pˇrirozených parametr˚

dokáˇzeme, ˇze se jejich hodnoty v pr˚ ubˇehu algoritmu lexikograficky ostˇre zmenˇsuj´ı. Jedná se zde vlastnˇe o vhodné (a zjednoduˇsené pro daný u ´ˇcel) vyuˇzit´ı principu matematické indukce. Pozor, naˇse parametry“ v˚ ubec nemusej´ı být promˇennými v programu, a ” pˇresto jsou s programem implicitnˇe nerozluˇcnˇe svázány. Koment´ aˇ r: Napˇr´ıklad pro rekurzivn´ı funkci factorial(x) z Pˇr´ıkladu 10.12 pˇr´ımo y se ostˇre zmenˇsuje, pro snadn´ y d˚ ukaz ukonˇcenosti. vyuˇzijeme parametr x, kter´

Zamysl´ıme-li se nad Metodou 11.3 do hloubky (matematické), zjist´ıme, ˇze stejnˇe jako matematická indukce je zaloˇzená na této vlastnosti: V kaˇzdé podmnoˇzinˇe pˇrirozených ˇc´ısel existuje jedno nejmenˇs´ı (tomu se ˇr´ıká dobré uspoˇrádán´ı). Proto garance zmenˇsován´ı pˇrirozené hodnoty parametru algoritmu prostˇe mus´ı znamenat ukonˇcenost jeho výpoˇctu, bez ohledu na to, co náˇs vymyˇslený parametr znamená. Nejlépe je to ilustrovat názornými pˇr´ıklady. Pˇ r´ıklad 11.4. Dokaˇzte, ˇze následuj´ıc´ı algoritmus vˇzdy skonˇc´ı pro jakýkoliv pˇrirozený vstup x. Algoritmus . input x; while x < 100 do y ← 0; x ← x+1; while y < x do y ← y+1; done done Postupujme podle Metody 11.3 – jak vˇsak dosáhneme zmenˇsován´ı parametru“, kdyˇz ” hodnoty promˇenných x,y se zvˇetˇsuj´ı? To nen´ı aˇz tolik obt´ıˇzné, prostˇe budeme hodnoty x,y vhodnˇe odeˇc´ıtat od velké konstanty. Vtip je v tom dobˇre zvolit vzorec parametru (vlastn´ım odhadem chován´ı algoritmu doplnˇeným o poznán´ı, ˇze v promˇenných x,y se nevyskytnou nikdy hodnoty vˇetˇs´ı neˇz 100): p(x, y) = 1012 − 101 · x − y Pak je jiˇz rutinou dokázat, ˇze v pr˚ ubˇehu algoritmu (tj. pokud se aspoˇ n jednou vnoˇr´ı do cyklu) je vˇzdy p(x, y) > 0 a v kaˇzdém pr˚ uchodu vnˇejˇs´ıho i vnitˇrn´ıho cyklu se p(x, y) ostˇre ˇ aˇr necht’ si toto ovˇeˇr´ı sám. zmenˇs´ı. Cten´ ✷ 92

Pˇ r´ıklad 11.5. Dokaˇzte, ˇze následuj´ıc´ı algoritmus (viz dˇr´ıvˇejˇs´ı 10.13) vˇzdy skonˇc´ı pro jakýkoliv pˇrirozený vstup x. Algoritmus . Rekurzivn´ı výpoˇcet funkce fibonacci(x) pro pˇrirozené x. if x < 2 then t ← x; else t ← fibonacci(x-1)+fibonacci(x-2); return t Nyn´ı je na prvn´ı pohled pˇrirozené sledovat pˇr´ımo parametr x. Indukc´ı podle nˇej pak snadno odvod´ıme, ˇze výpoˇcet fibonacci(x) vˇzdy skonˇc´ı, nebot’ jsou rekurzivnˇe volány jen menˇs´ı hodnoty parametru. V ˇcem je tedy moˇzný nedostatek tohoto pˇr´ımého pˇr´ıstupu? V zásadˇe pouze jediný; nez´ıskáme z nˇej ˇzádný rozumný horn´ı odhad poˇctu krok˚ u algoritmu. Pro vysvˇetlen´ı, problém spoˇc´ıvá zhruba v tom, ˇze v bodˇe fibonacci(x-1)+fibonacci(x-2) se výpoˇcet rozvˇetvuje“ a my mus´ıme vhodným ” zp˚ usobem umˇet seˇc´ıst poˇcty krok˚ u obou vˇetv´ı. Na druhou stranu pˇri trikové volbˇe parametru p(x) = 2x pro Metodu 11.3 v kaˇzdé iteraci rekurzivn´ıho volán´ı fibonacci(x) pro x ≥ 2 nastane p(x − 1) + p(x − 2) = 2x−1 + 2x−2 ≤ 2 · 2x−1 − 1 < 2x a poˇcet iterac´ı výpoˇctu fibonacci(n) tak bude vˇzdy nejen koneˇcný, ale podle uvedené u ´ vahy pˇr´ımo striktnˇe menˇs´ı neˇz 2n . Pˇresto, tento algoritmus je velmi pomalý a mnohem lepˇs´ıho výpoˇcetn´ıho ˇcasu výpoˇctu Fibonacciho ˇc´ısel dosáhneme tˇreba s alternativn´ım algoritmem Pˇr´ıkladu 10.14. ✷ Dodatek: Jak konstruovat cykly permutace Pro m´ırnˇe sloˇzitˇejˇs´ı ilustraci výˇse uvedeného konceptu dokazován´ı koneˇcnosti se pod´ıváme na snadný postup nalezen´ı rozkladu permutace na cykly, u kterého vˇsak v˚ ubec nen´ı na prvn´ı pohled jasné, zda má skonˇcit. Algoritmus 11.6. Cykly permutace. Pro danou permutaci π na n-prvkové neprázdné mnoˇzinˇe A = {1, 2, . . . , n} vyp´ıˇseme jej´ı cykly (viz Odd´ıl 6.4) takto: U ← {1, 2, . . . , n} = A; while U6= ∅ do x ← min(U); (nejmenˇs´ı prvek mnoˇziny) zaˇc´ınáme výpis cyklu ’h’ ; while x∈U do vytiskneme x; U ← U\{x} ; x ← π(x) ; done ukonˇc´ıme výpis cyklu ’i’ ; done Jak dokáˇzeme správnost a koneˇcnost tohoto algoritmu? Plat´ı, ˇze pˇr´ımá aplikace indukce podle n nepˇrinese nic podstatného. D˚ ukaz si tentokrát rozdˇel´ıme na dvˇe ˇcásti (podle dvou while cykl˚ u).

93

Vˇ eta. Za pˇredpokladu, ˇze vnitˇrn´ı while cyklus pro jakoukoliv poˇcáteˇcn´ı volbu x skonˇc´ı, vyp´ıˇse cyklus permutace π obsahuj´ıc´ı x a odebere vˇsechny prvky tohoto cyklu z mnoˇziny U, Algoritmus 11.6 vˇzdy skonˇc´ı se správným výsledkem. D˚ ukaz: Postupujeme indukc´ı podle poˇctu cykl˚ u v permutaci π. Jediný cyklus v π (báze indukce) je vypsán dle pˇredpokladu vˇety a mnoˇzina U z˚ ustane prázdná, tud´ıˇz vnˇejˇs´ı while cyklus skonˇc´ı po prvn´ı iteraci a výsledek je správný. Podlˇe Vˇety 6.6 se kaˇzdá permutace dá zapsat jako sloˇzen´ı disjunktn´ıch cykl˚ u. Necht’ π je tedy sloˇzena z ℓ > 1 cykl˚ u. Po prvn´ı iteraci while cyklu zbude v restrikci permutace π na mnoˇzinu U celkem ℓ − 1 cykl˚ u. Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu pak tyto zbylé cykly budou správnˇe vypsány a algoritmus skonˇc´ı. ✷ Koment´ aˇ r: Vid´ıte, ˇze v tomto d˚ ukaze indukc´ı je indukˇcn´ı krok zcela triviáln´ı a d˚ uleˇzit´ y je zde pˇredevˇs´ım z´ aklad indukce?

Vˇ eta. Pokud π je permutace, tak vnitˇrn´ı while cyklus vˇzdy skonˇc´ı a nalezne v π cyklus obsahuj´ıc´ı libovolný poˇcáteˇcn´ı prvek x ∈ U. Nav´ıc vˇsechny prvky nalezeného cyklu odebere z mnoˇziny U. D˚ ukaz: Zde pˇr´ımo zopakujeme argument d˚ ukazu Vˇety 6.6: Vezmeme libovolný prvek x = x1 ∈ U a iterujeme zobrazen´ı xi+1 = π(xi ) pro i = 1, 2 . . . , aˇz dojde ke zopakován´ı prvku xk = xj pro k > j ≥ 1. (To mus´ı nastat, nebot’ A je koneˇcná.) Jelikoˇz prvek xj byl jiˇz odebrán z U, v kroku x = xk dojde k ukonˇcen´ı naˇseho while cyklu. Nadto je π prostá, a proto nem˚ uˇze nastat xk = xj = π(xj−1 ) pro j > 1. Takto byl nalezen a odebrán z U cyklus ha1 , . . . , ak−1 i a d˚ ukaz je hotov. ✷

11.2

Pˇ rehled technik d˚ ukazu indukc´ı

Doposud v naˇsem textu byla matematická indukce pˇredstavována ve své pˇr´ımoˇcaré formˇe, kdy dokazované tvrzen´ı obvykle pˇr´ımo nab´ızelo celoˇc´ıselný parametr, podle nˇejˇz bylo potˇrebné indukci vést. Indukˇcn´ı krok pak prostˇe zpracoval pˇrechod n → n + 1“. To ” vˇsak u dokazován´ı správnosti algoritm˚ u typicky neplat´ı a naˇsim c´ılem zde je ukázat moˇzné techniky, jak správnˇe indukci na dokazován´ı algoritm˚ u aplikovat. Uvid´ıme, jak si z nab´ızej´ıc´ıch se parametr˚ u správnˇe vybrat a jak je pˇr´ıpadnˇe kombinovat. Technika fixace parametru Prvn´ı technika d˚ ukazu prostˇe dopˇredu za nˇekteré parametry dosazuje (obecnˇe zvolené) konstanty. Tato technika je vhodná pro pˇr´ıpady, kdy je sice v algoritmu v´ıce parametr˚ u, ale zjevnˇe“ docház´ı ke zmˇenˇe jen jednoho (nebo ˇcásti) z nich a chován´ı algoritmu ke ” zbylým nemˇenným“ parametr˚ um je dobˇre pˇredv´ıdatelné. ” Pˇ r´ıklad 11.7. Mˇejme následuj´ıc´ı algoritmus. Co je jeho výsledkem výpoˇctu? Algoritmus . input x, y; res ← 0; while x > 0 do res ← res + y; x ← x-1; done output res; 94

Sledován´ım algoritmu zjist´ıme, ˇze hodnota promˇenné res bude nar˚ ustaj´ıc´ım souˇctem y + · · · + y, dokud se x nesn´ıˇz´ı na nulu. Poté odhadneme: Vˇ eta. Pro kaˇzdé x, y ∈

N Algoritmus 11.7 vypoˇc´ıtá hodnotu souˇcinu res = x · y.

Jaký je vhodný postup k d˚ ukazu tohoto tvrzen´ı indukc´ı? Je snadno vidˇet, ˇze na hodnotˇe uleˇzité je sledovat x. Tato vstupu y vlastnˇe nijak podstatnˇe nezáleˇz´ı (lze y fixovat) a d˚ u ´ vaha nás dovede k následuj´ıc´ımu:

N

libovolné ale pro dalˇs´ı u ´ vahy pevné. Dokáˇzeme, ˇze pro kaˇzdý D˚ ukaz: Budiˇz hy ∈ vstup x ∈ je výsledkem výpoˇctu hodnota r0 + x · hy , kde hy byla hodnota vstupu y a r0 byla hodnota v promˇenné res na zaˇcátku uvaˇzovaného výpoˇctu (pro potˇreby indukce, r0 = 0 na u ´ plném zaˇcátku). Podle principu matematické indukce uplatnˇené na parametr x dostáváme snadno: ∗ B´ aze x = 0 znamená, ˇze tˇelo cyklu ve výpoˇctu uˇz ani jednou neprobˇehne a výsledkem bude poˇcáteˇcn´ı r0 .

N

∗ Indukˇ cn´ı krok. Necht’ je tvrzen´ı známo pro x = i a uvaˇzujme nyn´ı vstup x = i + 1 > 0.

Prvn´ım pr˚ uchodem cyklem se uloˇz´ı res ← res + y = r0 + hy = r1 a x ← x − 1 = i. Zaˇcáteˇcn´ı hodnota vstupu y nyn´ı (pro naˇse indukˇcn´ı u ´ vahy) tud´ıˇz je r0 + hy = r1 a podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu je výsledkem výpoˇctu hodnota r1 + i · hy = (r0 + hy ) + i · hy = r0 + (i + 1) · hy = r0 + x · hy .

D˚ ukaz matematickou indukc´ı je t´ımto ukonˇcen.

✷

Koment´ aˇ r: Vˇsimnˇete si, ˇze techniku fixace parametru jsme mlˇcky pouˇzili jiˇz v Pˇr´ıkladˇe 10.8.

Indukce k souˇ ctu parametr˚ u Druhou techniku je vhodné pouˇz´ıt pˇredevˇs´ım v pˇr´ıpadech, kdy se v pr˚ ubˇehu algoritmu vˇzdy nˇekterý parametr zmenˇsuje, ale pokaˇzdé je to nˇekterý jiný parametr, takˇze v indukci se nelze zamˇeˇrit jen na jeden z nich. Jedná se sp´ıˇse o situaci u rekurzivn´ıch algoritm˚ u. Pˇ r´ıklad 11.8. Je dán následuj´ıc´ı rekurentn´ı algoritmus. Algoritmus . Funkce kombinacni(m,n) pro pˇrirozená m, n. res ← 1; if m > 0 ∧ n > 0 then res ← kombinacni(m-1,n) + kombinacni(m,n-1); fi return res; Výˇse uvedený vzorec (a ostatnˇe i název funkce) naznaˇcuje, ˇze funkce má co spoleˇcného s kombinaˇcn´ımi ˇc´ısly a Pascalovým troj´ uheln´ıkem

a+1 b+1

=

a a + , b+1 b

je vˇsak tˇreba správnˇe nastavit“ význam parametr˚ u a, b. . . ” je výsledkem výpoˇctu funkce Vˇ eta. Pro kaˇzdé parametry m, n ∈ m+n kombinacni(m,n) hodnota r = (kombinaˇcn´ı ˇc´ıslo) – poˇcet vˇsech mm prvkových podmnoˇzin (m + n)-prvkové mnoˇziny.

N

95

D˚ ukaz indukc´ı vzhledem k souˇctu parametr˚ u i = m + n: ∗ B´ aze i = m + n = 0 pro m, n ∈ znamená, ˇze m = n = 0. Zde vˇsak s výhodou vyuˇzijeme tzv. rozˇs´ıˇren´ı báze“ na vˇsechny hraniˇcn´ı pˇr´ıpady m = 0 nebo n = 0 zvláˇst’. ” V obou rozˇs´ıˇrených pˇr´ıpadech daná podm´ınka algoritmu nen´ı splnˇena, a proto výsledek výpoˇctu bude iniciáln´ı res = 1. Je toto platná odpovˇed’?

N

Kolik je prázdných podmnoˇzin (m = 0) jakékoliv mnoˇziny? Jedna, ∅. Kolik je mprvkových podmnoˇzin (n = 0) m-prvkové mnoˇziny? Zase jedna, ta mnoˇzina samotná. T´ım je d˚ ukaz rozˇs´ıˇrené báze indukce dokonˇcen. ∗ Indukˇ cn´ı krok pˇrecház´ı na souˇcet i + 1 = m + n pro m, n > 0. Nyn´ı je podm´ınka

algoritmu splnˇena a vykonaj´ı se rekurentn´ı volán´ı

kombinacni(m-1,n) + kombinacni(m,n-1) . Rekurentn´ı volán´ı se vztahuj´ı k výbˇeru podmnoˇzin m − 1 + n = m + n − 1 = i prvkové mnoˇziny, napˇr´ıklad M = {1, 2, . . . , i}. Výsledkem tedy je, podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu pro souˇcet i, poˇcet (m − 1)-prvkových plus m-prvkových podmnoˇzin mnoˇziny M. Kolik nyn´ı je m-prvkových podmnoˇzin (i + 1)-prvkové mnoˇziny M ′ = M ∪ {i + 1}? Pokud ze vˇsech podmnoˇzin odebereme prvek i + 1, dostaneme právˇe m-prvkové podmnoˇziny (z tˇech neobsahuj´ıc´ıch i + 1) plus (m − 1)-prvkové podmnoˇziny (z tˇech p˚ uvodnˇe obsahuj´ıc´ıch i + 1). A to je pˇresnˇe rovno kombinacni(m-1,n) + kombinacni(m,n-1), jak jsme mˇeli dokázat. ✷ Zes´ılen´ı dokazovan´ eho tvrzen´ı Velmi ˇcastou situac´ı pˇri dokazován´ı algoritmu je, ˇze se zaj´ımáme o hodnoty nˇekterých promˇenných nebo výstupy“ nˇekteré funkce, ale ke správnému matematickému d˚ ukazu ” mus´ıme postihnout“ i chován´ı jiných funkc´ı a promˇenných v algoritmu. Taková situace ” pak typicky vede na potˇrebu zes´ılen´ı poˇzadovaného tvrzen´ı v matematické indukci. Pˇ r´ıklad 11.9. Zjistˇete, kolik znak˚ u ’z’ v závislosti na celoˇc´ıselné hodnotˇe n vstupn´ıho parametru n vyp´ıˇse následuj´ıc´ı algoritmus. Algoritmus 11.10. st ← "z"; foreach i ← 1,2,3,...,n-1,n do vytiskni ˇretˇezec st; st ← st . st ; (zˇretˇezen´ı dvou kopi´ı st za sebou) done Zkus´ıme-li si výpoˇcet simulovat pro n = 0, 1, 2, 3, 4 . . . , postupnˇe dostaneme poˇcty ’z’ jako 0, 1, 3, 7, 15 . . . . Na základˇe toho jiˇz nen´ı obt´ıˇzné uhodnout“, ˇze poˇcet ’z’ bude ” (asi) obecnˇe urˇcen vztahem 2n − 1. Toto je vˇsak tˇreba dokázat!

Koment´ aˇ r: Jak z´ ahy zjist´ıme, matematická indukce na naˇse tvrzen´ı pˇr´ımo nezab´ır´ a“, ale ” mnohem lépe se n´ am povede s n´ asleduj´ıc´ım pˇrirozen´ ym zes´ılen´ım dokazovaného tvrzen´ı:

Vˇ eta. Pro kaˇzdé pˇrirozené n Algoritmus 11.10 vyp´ıˇse právˇe 2n − 1 znak˚ u ’z’ a n promˇenná st bude na konci výpoˇctu obsahovat ˇretˇezec 2 znak˚ u ’z’. 96

D˚ ukaz: Postupujeme indukc´ı podle n. Báze pro n = 0 je zˇrejmá, neprovede se ani jedna iterace cyklu a tud´ıˇz bude vytiˇstˇeno 0 = 20 − 1 znak˚ u ’z’, coˇz bylo tˇreba dokázat. 0 Mimo to promˇenná st iniciálnˇe obsahuje 1 = 2 znak ’z’. Necht’ tedy tvrzen´ı plat´ı pro jakékoliv n0 a poloˇzme n = n0 + 1. Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu po prvn´ıch n0 iterac´ıch bude vytiˇstˇeno 2n0 −1 znak˚ u ’z’ a promˇenná st bude n0 obsahovat ˇretˇezec 2 znak˚ u ’z’. V posledn´ı iteraci cyklu (pro i ← n=n0 +1) vytiskneme dalˇs´ıch 2n0 znak˚ u ’z’ (z promˇenné st) a dále ˇretˇezec st zdvojnásob´ıme“. Proto po n ” iterac´ıch bude vytiˇstˇeno celkem 2n0 − 1 + 2n0 = 2n0 +1 − 1 = 2n − 1 znak˚ u ’z’ a v st bude n0 n0 +1 n uloˇzeno 2 · 2 = 2 = 2 znak˚ u ’z’. ✷

11.3

Zaj´ımav´ e algoritmy aritmetiky

Pro dalˇs´ı ukázky d˚ ukazových technik pro algoritmy se pod´ıváme na nˇekteré krátké algoritmy z oblasti aritmetiky. Napˇr´ıklad zbytkové“ umocˇ nován´ı na velmi vysoké exponenty ” je podkladem známé RSA ˇsifry: arn´ı postup umocˇ nov´ an´ı. Algoritmus 11.11. Bin´ Pro daná ˇc´ısla a, b vypoˇcteme jejich celoˇc´ıselnou mocninu (omezenou na zbytkové tˇr´ıdy modulo m kv˚ uli prevenci pˇreteˇcen´ı rozsahu celých ˇc´ısel v poˇc´ıtaˇci), tj. ab mod m, následuj´ıc´ım postupem. res ← 1; while b > 0 do if b mod 2 > 0 then res ← (res·a) mod m ; b ← ⌊b/2⌋ ; a ← (a·a) mod m ; done output res; K d˚ ukazu správnosti algoritmu pouˇzijeme indukci podle délky ℓ binárn´ıho zápisu ˇc´ısla b. Vˇ eta. Algoritmus 11.11 skonˇc´ı a vˇzdy správnˇe vypoˇcte hodnotu ab mod m. D˚ ukaz: Báze indukce je pro ℓ = 1, kdy b = 0 nebo b = 1. Pˇritom pro b = 0 se cyklus v˚ ubec nevykoná a výsledek je res = 1. Pro b = 1 se vykoná jen jedna iterace cyklu a výsledek je res = a mod m. Necht’ tvrzen´ı plat´ı pro ℓ0 ≥ 1 a uvaˇzme ℓ = ℓ0 + 1. Pak zˇrejmˇe b ≥ 2 a vykonaj´ı se alespoˇ n dvˇe iterace cyklu. Po prvn´ı iteraci budou hodnoty promˇenných po ˇradˇe a1 = a2 , b1 = ⌊b/2⌋ a res = r1 = (ab

mod 2

) mod m .

Tud´ıˇz délka binárn´ıho zápisu b1 bude jen ℓ0 a podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu zbylé iterace algoritmu skonˇc´ı s výsledkem res = r1 · a1b1 mod m = ab mod 2 · a2⌊b/2⌋ mod m = ab mod m . ✷ Euklid˚ uv algoritmus Jiˇz z dávných dob antiky pocház´ı následuj´ıc´ı zaj´ımavý a koneckonc˚ u velmi jednoduchý postup–algoritmus pro nalezen´ı nejvˇetˇs´ıho spoleˇcného dˇelitele dvou ˇc´ısel. 97

Algoritmus 11.12. Euklid˚ uv pro nejvˇ etˇ s´ıho spoleˇ cn´ eho dˇ elitele. Pro zadaná pˇrirozená ˇc´ısla p, q poˇc´ıtá následovnˇe: input p, q; while p>0 ∧ q>0 do if p>q then p ← p-q; else q ← q-p; done output p+q;

N

Vˇ eta. Pro kaˇzdé p, q ∈ na vstupu algoritmus vrát´ı hodnotu nejvˇetˇs´ıho spoleˇcného dˇelitele ˇc´ısel p a q, nebo 0 pro p = q = 0. D˚ ukaz opˇet povedeme indukc´ı podle souˇctu i = p + q vstupn´ıch hodnot. (Jak jsme psali, je to pˇrirozená volba v situaci, kdy kaˇzdý pr˚ uchod cyklem algoritmu sn´ıˇz´ı jedno z p, q, avˇsak nen´ı jasné, které z nich.) •

Báze indukce pro i = p + q = 0 je zˇrejmá; cyklus algoritmu neprobˇehne a výsledek ihned bude 0.

•

Ve skuteˇcnosti je zase výhodné uvaˇzovat rozˇs´ıˇrenou bázi, která zahrnuje i pˇr´ıpady, kdy jen jedno z p, q je nulové (Proˇc? Jedná se o vˇsechny pˇr´ıpady, kdy pr˚ uchod cyklem neprobˇehne, neboli touto indukc´ı sledujeme poˇcet pr˚ uchod˚ u cyklem.) Pak výsledek p + q bude roven tomu nenulovému z obou sˇc´ıtanc˚ u, coˇz je v tomto pˇr´ıpadˇe zároveˇ n jejich nejvˇetˇs´ı spoleˇcný dˇelitel.

•

Indukˇcn´ı krok. Mˇejme nyn´ı vstupn´ı hodnoty p = hp > 0 a q = hq > 0 – tehdy dojde k prvn´ımu pr˚ uchodu tˇelem cyklu naˇseho algoritmu. Pˇredpokládejme hp > hq ; poté po prvn´ım pr˚ uchodu tˇelem cyklu budou hodnoty p = hp − hq a q = hq , pˇriˇcemˇz nyn´ı p + q = hp < hp + hq = i.

Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu (jelikoˇz nyn´ı p + q < i) tud´ıˇz výsledkem algoritmu pro vstupy p = hp − hq a q = hq bude nejvˇetˇs´ı spoleˇcný dˇelitel NSD(hp − hq , hq ). Symetricky pro hp ≤ hq algoritmus vrát´ı NSD(hp , hq − hp ). (Kde NSD() krátce oznaˇcuje nejvˇetˇs´ıho spoleˇcného dˇelitele.) D˚ ukaz proto bude dokonˇcen následuj´ıc´ım Lematem 11.13. ✷ Lema 11.13. Pro kaˇzdá pˇrirozená a, b plat´ı NSD(a, b) = NSD(a−b, b) = NSD(a, b−a). Koment´ aˇ r: Vˇsimnˇete si, ˇze dˇelitelnost je dobˇre definována i na z´ aporn´ ych cel´ ych ˇc´ıslech.

D˚ ukaz: Ovˇeˇr´ıme, ˇze c = NSD(a − b, b) je také nejvˇetˇs´ı spoleˇcný dˇelitel ˇc´ısel a a b (druhá ˇcást je pak symetrická). ∗ Jelikoˇ z ˇc´ıslo c dˇel´ı ˇc´ısla a − b a b, dˇel´ı i jejich souˇcet (a − b) + b = a. Potom c je spoleˇcným dˇelitelem a a b. ∗ Naopak necht’ d nˇ ejaký spoleˇcný dˇelitel ˇc´ısel a a b. Pak d dˇel´ı také rozd´ıl a − b. Tedy

d je spoleˇcný dˇelitel ˇc´ısel a − b a b. Jelikoˇz c je nejvˇetˇs´ı spoleˇcný dˇelitel tˇechto dvou ˇc´ısel, nutnˇe d dˇel´ı c a závˇer plat´ı. ✷

Relativnˇ e rychl´ e odmocnˇ en´ı Na závˇer odd´ılu si ukáˇzeme jeden netradiˇcn´ı krátký algoritmus a jeho analýzu a d˚ ukaz ponecháme zde otevˇrené. Dokáˇzete popsat, na ˇcem je algoritmus zaloˇzen? 98

Algoritmus 11.14. Celoˇ c´ıseln´ a odmocnina. √ Pro dané pˇrirozené ˇc´ıslo x vypoˇcteme doln´ı celou ˇcást jeho odmocniny ⌊ x⌋: p ← x; res ← 0; while p > 0 do while (res + p)2 ≤ x p ← ⌊p/2⌋ ; done output res ;

do res ← res + p ;

Pozn´ amka: Zamysleli jste se, jak´ y maj´ı algoritmy v tomto odd´ıle vlastnˇe v´ yznam? Vˇzdyt’ stejné u ´lohy jistˇe sami vyˇreˇs´ıte kaˇzd´ y jednou jednoduchou foreach smyˇckou. Pod´ıvejte se vˇsak (alespoˇ n velmi zhruba) na poˇcet krok˚ u, které zde uvedené algoritmy potˇrebuj´ı vykonat k z´ıskán´ı v´ ysledku, a srovnejte si to s poˇcty krok˚ u onˇech jednoduch´ ych“ algoritm˚ u. ” Pro skuteˇcnˇe velká vstupn´ı ˇc´ısla zjist´ıte propastn´ y rozd´ıl – s takov´ ym jednoduch´ ym“ algo” ritmem, tˇreba ’foreach i ← 1,...b do res ← res·a mod m done’, se pro obrovské hodnoty b v´ ysledku nikdy nedoˇckáte, kdeˇzto Algoritmus 11.11 stále pobˇeˇz´ı velmi rychle. (Spoˇc´ıtáte, jak rychle?) Obdobnˇe je tomu u Algoritmu 11.14.

11.4

Dynamick´ y algoritmus

Lekci zakonˇc´ıme krátkou, ale velmi hezkou ukázkou tzv. dynamického algoritmu, který je znám pod jmény Floyd-Warshall˚ uv. Koment´ aˇ r: Kl´ıˇcovou myˇslenkou dynamick´ ych algoritm˚ u je rozklad problému na podproblémy, jejichˇz ˇreˇsen´ı jsou postupnˇe uklád´ ana pro dalˇs´ı moˇzné pouˇzit´ı. Metoda je obzvláˇstˇe vhodn´ a v pˇr´ıpadech, kdy rozloˇzené pod´ ulohy si jsou podobné a mohou se opakovat.

y v´ ypoˇ cet vˇ sech nejkratˇ s´ıch cest Metoda 11.15. Dynamick´ mezi vrcholy v grafu G na mnoˇzinˇe vrchol˚ u V (G) = {v0 , v1 , . . . , vN −1 }. • Na poˇ cátku necht’ d[i,j] udává 1 (pˇr´ıpadnˇe váhu–délku hrany {vi , vj }), nebo ∞ pokud hrana mezi i, j nen´ı. •

Po kroku t ≥ 0 necht’ plat´ı, ˇze d[i,j] udává délku nejkratˇs´ı cesty mezi vi , vj , který uˇz´ıvá pouze vnitˇrn´ı vrcholy z mnoˇziny {v0 , v1 , . . . , vt−1 } (prázdné v t = 0).

•

Pˇri pˇrechodu z kroku t na následuj´ıc´ı krok t + 1 upravujeme vzdálenost pro kaˇzdou dvojici vrchol˚ u vi , vj – jsou vˇzdy pouhé dvˇe moˇznosti: ∗ Bud’ je cesta d´ elky d[i,j] z pˇredchoz´ıho kroku t stále nejlepˇs´ı (tj. novˇe povolený

vrchol vt nám nepom˚ uˇze),

∗ nebo cestu vylepˇs´ıme spojen´ım pˇres novˇ e povolený vrchol vt , ˇc´ımˇz z´ıskáme menˇs´ı

vzdálenost d[i,t]+d[t,j] → d[i,j]. (Nakreslete si obrázek.)

•

Po N kroc´ıch u ´ prav je výpoˇcet hotov.

V´ ypoˇ cet nejkratˇ s´ıch cest Alternativnˇe si zap´ıˇseme postup této metody aˇz pˇrekvapivˇe krátkým symbolickým algoritmem: 99

Algoritmus 11.16. V´ ypoˇ cet vˇ sech nejkratˇ s´ıch cest; Floyd–Warshall input ’Pole d[,] délek hran (nebo ∞) grafu G’; foreach t ← 0, 1, . . . , N − 1 do foreach i ← 0, 1, . . . , N − 1, j ← 0, 1, . . . , N − 1 d[i,j] ← min( d[i,j], d[i,t]+d[t,j] ); done done output ’Matice vzdálenost´ı dvojic d[,]’;

do

Pozn´ amka: V praktické implementaci pro symbol ∞ pouˇzijeme velkou konstantu, tˇreba MAX INT/2. (Nelze pouˇz´ıt pˇr´ımo MAX INT, nebot’ by pak doˇslo k aritmetickému pˇreteˇcen´ı.)

Vˇ eta 11.17. Algoritmus 11.16 v poli d[i,j] správnˇe vypoˇcte vzdálenost mezi kaˇzdou dvojic´ı vrchol˚ u vi , vj . D˚ ukaz povedeme matematickou indukc´ı podle ˇr´ıd´ıc´ı promˇenné t cyklu. Báze je snadná – na poˇcátku kroku t = 0 udává d[i,j] vzdálenost mezi i a j po cestách, které nemaj´ı vnitˇrn´ı vrcholy (tj. pouze pˇr´ıpadnˇe existuj´ıc´ı hranu). Pˇrejdeme-li na krok t + 1, mus´ıme urˇcit nejkratˇs´ı cestu P mezi i a j takovou, ˇze P pouˇz´ıvá (mimo vi , vj ) pouze vrcholy {v0 , v1 , . . . , vt }. Tuto nejkratˇs´ı cestu P si hypoteticky pˇredstavme: Pokud vt 6∈ V (P ), pak d[i,j] jiˇz udává správnou vzdálenost. Jinak vt ∈ V (P ) a oznaˇc´ıme P1 podcestu v P od poˇcátku vi do vt a obdobnˇe P2 podcestu od vt do konce vj . Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu je pak délka P rovna d[i,t]+d[t,j]. Po proveden´ı kroku t = N − 1 jsme hotovi se vˇsemi vrcholy. ✷ Rozˇ siˇ ruj´ıc´ı studium ..............

100

12

Nekoneˇ cn´ e mnoˇ ziny, Zastaven´ı algoritmu

´ Uvod Bystrého ˇcten´ aˇre m˚ uˇze snadno napadnout myˇslenka, proˇc se vlastnˇe zab´ yv´ ame dokazován´ım správnosti algoritm˚ u a program˚ u, kdyˇz by to pˇrece (snad?) mohl za n´ as dˇelat automaticky poˇc´ıtaˇc samotn´ y. Bohuˇzel to vˇsak nejde a je hlavn´ım c´ılem této lekce ukázat matematické d˚ uvody proˇc tomu tak je. Konkrétnˇe si dokáˇzeme, ˇze nelze algoritmicky rozhodnout, zda se dan´ y algoritmus na svém vstupu zastav´ı nebo ne. Hlavn´ımi n´ astroji, které pouˇzijeme, budou nekoneˇcné mnoˇziny a d˚ ukazová technika tzv. Cantorovy diagon´ aly, která se ve velké m´ıˇre pouˇz´ıvá pr´ avˇe v teoretické informatice. Touto lekc´ı se tak krátce vyman´ıme ze zajet´ı naivn´ı teorie mnoˇzin, která pr´ avˇe v této oblasti m´ a své nepˇrekonatelné limity. (Pro zv´ıdavé – obdobnˇe, ale mnohem sloˇzitˇeji, lze dokázat ˇze ani matematické d˚ ukazy nelze obecnˇe algoritmicky konstruovat. . . )

C´ıle Zavedeme si ve zjednoduˇseném (a st´ ale ponˇekud naivn´ım“) pohledu nekoneˇcné mnoˇziny ” a na nich techniku d˚ ukazu Cantorovou diagon´ alou. Pak tuto kl´ıˇcovou d˚ ukazovou techniku teoretické informatiky vyuˇzijeme k d˚ ukazu algoritmické neˇreˇsitelnosti problému zastaven´ı.

12.1

O nekoneˇ cn´ ych mnoˇ zin´ ach a kardinalitˇ e

Zat´ımco v naivn´ı teorii jsme si velikost koneˇcné mnoˇziny definovali jednoduˇse jako poˇcet jej´ıch prvk˚ u vyjádˇrený pˇrirozeným ˇc´ıslem, pro nekoneˇcné mnoˇziny je situace obt´ıˇzná a mnohem ménˇe intuitivn´ı. Co nám tˇreba brán´ı zavést pro velikost nekoneˇcné mnoˇziny symbol ∞? Ponejv´ıce závaˇzný fakt, ˇze nen´ı nekoneˇcno“ jako nekoneˇcno“ (Vˇeta 12.2)! ” ” Právˇe proto si pro urˇcen´ı mohutnosti nekoneˇcných mnoˇzin mus´ıme vypomoci následuj´ıc´ım pˇr´ımˇerem: Velikosti dvou hromádek jablek dokáˇzeme i bez poˇc´ıtán´ı porovnat tak, ˇze budeme z obou hromádek po ˇradˇe odeb´ırat dvojice jablek (z kaˇzdé jedno), aˇz dokud prvn´ı hromádka nez˚ ustane prázdná – druhá hromádka pak je vˇetˇs´ı (nebo nejvýˇse rovna) té prvn´ı. Definice: Mnoˇzina A je nejvýˇse tak velká“ jako mnoˇzina B, právˇe kdyˇz existuje injek” tivn´ı funkce f : A → B. Mnoˇziny A a B jsou stejnˇe velké“ právˇe kdyˇz mezi nimi existuje ” bijekce. V pˇr´ıpadech nekoneˇcných mnoˇzin pak m´ısto “velikosti” mluv´ıme formálnˇe o jejich kardinalitˇe. s s

s s s

s s s

s s s

Koment´ aˇ r: Uveden´ a definice kardinality mnoˇzin funguje“ velmi dobˇre i pro nekoneˇcné ” mnoˇziny:

N a Z maj´ı stejnou kardinalitu (jsou ”stejnˇe velké“, tzv. spoˇcetnˇe nekoneˇcné). Lze snadno ukázat, ˇze i Q je spoˇcetnˇe nekoneˇcn´ a, tj. existuje bijekce f : N → Q, stejnˇe 2 jako bijekce h : N → N .

∗ Napˇr´ıklad

∗

∗ Existuj´ı ale i nekoneˇcné mnoˇziny, které jsou striktnˇe vˇetˇs´ı“ neˇz libovoln´ a spoˇcetn´ a ” mnoˇzina (pˇr´ıkladem je ve Vˇetˇe 12.2).

R

∗ Pozdˇeji dokáˇzeme, ˇze existuje nekoneˇcn´ a posloupnost nekoneˇcn´ ych mnoˇzin, z nichˇz kaˇzd´ a je striktnˇe vˇetˇs´ı neˇz vˇsechny pˇredchoz´ı.

101

Pro porovnáván´ı velikost´ı mnoˇzin nˇekdy s výhodou vyuˇzijeme následuj´ıc´ı pˇrirozené, ale nelehké tvrzen´ı (bez d˚ ukazu): Vˇ eta 12.1. Pro libovolné dvˇe mnoˇziny A, B (i nekoneˇcné) plat´ı, ˇze pokud existuje injekce A → B a zároveˇ n i injekce B → A, pak existuje bijekce mezi A a B. Cantorova diagon´ ala, aneb kolik je re´ aln´ ych ˇ c´ısel Prvn´ım kl´ıˇcovým poznatkem ukazuj´ıc´ım na neintuitivn´ı chován´ı nekoneˇcných mnoˇzin je následuj´ıc´ı d˚ ukaz, který dal historicky vzniknout metodˇe tzv. Cantorovy diagonály. Vˇ eta 12.2. Neexistuje ˇzádné surjektivn´ı zobrazen´ı g :

N → R.

D˚ usledek 12.3. Neexistuje ˇzádné injektivn´ı (tud´ıˇz ani bijektivn´ı) zobrazen´ı h : Neformálnˇe ˇreˇceno, reálných ˇc´ısel je striktnˇe v´ıce neˇz vˇsech pˇrirozených.

R → N.

D˚ ukaz (Vˇety 12.2 sporem): Necht’ takové g existuje a pro zjednoduˇsen´ı se omezme jen na funkˇcn´ı hodnoty v intervalu (0, 1). Podle hodnot zobrazen´ı g si takto m˚ uˇzeme uspoˇrádat“ dekadické zápisy vˇsech reálných ˇc´ısel v intervalu (0, 1) po ˇrádc´ıch do tabulky: ” g(0) = 0. 1 5 4 2 7 5 7 8 3 2 5 . . . g(1) = 0. 4 ... g(2) = 0. 1 ... g(3) = 0. 3 ... g(4) = 0. 9 ... .. .. .. . . . Nyn´ı sestroj´ıme ˇc´ıslo α ∈ (0, 1) následovnˇe; jeho i-tá ˇc´ıslice za desetinnou ˇcárkou bude 1, pokud v i-tém ˇrádku tabulky na diagonále nen´ı 1, jinak to bude 2. V naˇsem pˇr´ıkladˇe α = 0.21211 . . . Kde se naˇse ˇc´ıslo α v tabulce nacház´ı? (Nezapomeˇ nme, g byla surjektivn´ı, takˇze α nˇekde mus´ı být.) Konstrukce vˇsak ukazuje, ˇze α se od kaˇzdého ˇc´ısla v tabulce liˇs´ı na aspoˇ n jednom desetinném m´ıstˇe, to je spor. (Aˇz na drobný technický detail s rozvojem . . . ¯9.) ✷

12.2

Naivn´ı“ mnoˇ zinov´ e paradoxy ”

Analogickým zp˚ usobem k Vˇetˇe 12.2 lze dokázat následovné zobecnˇen´ı vyjadˇruj´ıc´ı se o jakékoliv mnoˇzinˇe a j´ı pˇriˇrazené striktnˇe vˇetˇs´ı. Vˇ eta 12.4. Necht’ M je libovolná mnoˇzina. Pak existuje injektivn´ı zobrazen´ı f : M → M 2 , ale neexistuje ˇzádné bijektivn´ı zobrazen´ı g : M → 2M . D˚ ukaz: Dokáˇzeme nejprve existenci f . Staˇc´ı ale poloˇzit f (x) = {x} pro kaˇzdé x ∈ M. Pak f : M → 2M je zjevnˇe injektivn´ı. Neexistenci g dokáˇzeme sporem. Pˇredpokládejme tedy naopak, ˇze existuje bijekce g : M → 2M . Uvaˇzme mnoˇzinu K ⊆ M definovanou takto: K = {x ∈ M | x 6∈ g(x)}. Jelikoˇz g je bijektivn´ı a K ∈ 2M , mus´ı existovat y ∈ M takové, ˇze g(y) = K. Nyn´ı rozliˇs´ıme dvˇe moˇznosti: 102

– y ∈ g(y). Tj. y ∈ K. Pak ale y 6∈ g(y) z definice K, spor. – y 6∈ g(y). To podle definice K znamená, ˇze y ∈ K, tj. y ∈ g(y), spor.

✷

Koment´ aˇ r: Dvˇe navazuj´ıc´ı pozn´ amky. • Technika pouˇ zit´ a v d˚ ukazech Vˇet 12.2 a 12.4 se naz´ yv´ a Cantorova diagon´ aln´ı metoda, nebo také zkrácenˇe diagonalizace. Konstrukci mnoˇziny K lze zn´ azornit pomoc´ı n´ asleduj´ıc´ı tabulky:

g(a) g(b) g(c) g(d) .. .

•

a √ √ − − .. .

b − − √ − .. .

c − − − √

d √ √ √ √

.. .

.. .

··· ··· ··· ··· ··· .. .

√ Symbol resp. − ˇr´ıká, ˇze prvek uveden´ y v záhlav´ı sloupce patˇr´ı resp. nepatˇr´ı do mnoˇziny uvedené v z´ ahlav´ı ˇra´dku. Tedy napˇr. d ∈ g(b) a a 6∈ g(d). Mnoˇzina K poté obsahuje ty diagon´ aln´ı prvky oznaˇcené −, tj. pˇrevrac´ı“ v´ yznam diagon´ aly. ” Z toho, ˇze nekoneˇcna mohou b´ yt r˚ uznˇe velká“, lze lehce odvodit ˇradu dalˇs´ıch fakt˚ u. ” V jistém smyslu je napˇr. mnoˇzina vˇsech problém˚ u vˇetˇs´ı neˇz mnoˇzina vˇsech algoritm˚ u (obˇe mnoˇziny jsou nekoneˇcné), a proto nutnˇe existuj´ı problémy, které nejsou algoritmicky ˇreˇsitelné.

Cantor˚ uv paradox Naivn´ı teorie mnoˇzin, jak jsme si ji uvedli i v tomto pˇredmˇetu, trp´ı mnoha neduhy a nepˇresnostmi, které vyplynou na povrch pˇredevˇs´ım pˇri neopatrné manipulaci“ s ” nekoneˇcnými mnoˇzinami. Abychom se tˇemto neopatrnostem“ vyhnuli bez pˇr´ıliˇsné for” malizace, dva základn´ı z tˇechto paradox˚ u si nyn´ı ukáˇzeme. Pˇ r´ıklad 12.5. Uváˇz´ıme-li nyn´ı nekoneˇcnou posloupnost mnoˇzin

N

A1 , A2 , A3 , A4 , · · ·

N

kde A1 = a Ai+1 = 2Ai pro kaˇzdé i ∈ , je vidˇet, ˇze vˇsechny mnoˇziny jsou nekoneˇcné a kaˇzdá je striktnˇe vˇetˇs´ı neˇz libovolná pˇredchoz´ı. Kde vˇsak v tomto ˇrazen´ı mohutnost´ı bude mnoˇzina vˇsech mnoˇzin“? Na tuto otázku, jak ” sami asi c´ıt´ıte, nelze podat odpovˇed’. Co to vˇsak znamená? ✷ ∗ Takto se koncem 19. stolet´ı objevil prvn´ı Cantor˚ uv paradox novˇe vznikaj´ıc´ı teorie

mnoˇzin.

∗ Dneˇsn´ı modern´ı vysvˇ etlen´ı paradoxu je jednoduché, prostˇe mnoˇzinu vˇsech mnoˇzin“

nelze definovat, taková v matematice neexistuje.

Brzy se vˇsak ukázalo, ˇze je jeˇstˇe mnohem h˚ uˇr. . .

103

”

Russel˚ uv paradox Fakt: Nen´ı pravda, ˇze kaˇzdý soubor prvk˚ u lze povaˇzovat za mnoˇzinu. ∗ Necht’ X = {M | M je mnoˇ zina taková, ˇze M 6∈ M}. Plat´ı X ∈ X ?

– Ano. Tj. X ∈ X. Pak ale X splˇ nuje X 6∈ X. – Ne. Pak X splˇ nuje vlastnost X 6∈ X, tedy X je prvkem X, tj., X ∈ X.

∗ Obˇ e moˇzné odpovˇedi vedou ke sporu. X tedy nelze prohlásit za mnoˇzinu. Jak je ale

nˇeco takového v˚ ubec moˇzné?

Koment´ aˇ r: Vid´ıte u Russelova paradoxu podobnost pˇr´ıstupu s Cantorovou diagonalizac´ı? Russel˚ uv paradox se objevil zaˇc´ atkem 20. stolet´ı a jeho jednoduchost“ zasahuj´ıc´ı u ´plné ” základy matematiky (teorie mnoˇzin) si vynutila hled´ an´ı seri´ ozn´ıho rozˇreˇsen´ı a rozvoj formáln´ı matematické logiky. Pro ilustraci tohoto paradoxu, slyˇseli jste uˇz, ˇze v malém mˇesteˇcku ˇzije holiˇc, kter´ y hol´ı ” pr´ avˇe ty muˇze mˇesteˇcka, kteˇr´ı se sami nehol´ı“? Zm´ınˇené paradoxy naivn´ı teorie mnoˇzin zat´ım v tomto kurzu nerozˇreˇs´ıme, ale zapamatujeme si, ˇze vˇetˇsina matematick´ ych a informatick´ ych discipl´ın vystaˇc´ı s intuitivnˇe bezpeˇcn´ ymi“ mnoˇzinami. ”

12.3

Algoritmick´ a neˇ reˇ sitelnost probl´ emu zastaven´ı

Výˇse vysvˇetlené myˇslenky diagonalizace a princip˚ u základn´ıch paradox˚ u naivn´ı teorie mnoˇzin sice vypadaj´ı velmi matematicky“. Pˇresto je vˇsak témˇeˇr beze zmˇeny lze aplikovat ” i na bytostnˇe informatickou otázku, zda lze algoritmicky poznat, pro které vstupy se daný algoritmus v˚ ubec zastav´ı. Negativn´ı odpovˇed’ na tuto otázku je jedn´ım z fundamentáln´ıch výsledk˚ u informatiky a pˇritom má pˇrekvapivˇe krátký a ˇcistý d˚ ukaz diagonalizac´ı. Fakt: Uvˇedomme si (velmi neformálnˇe) nˇekolik základn´ıch myˇslenek. ∗ Program v kaˇ zdém programovac´ım jazyce je koneˇcná posloupnost sloˇzená z koneˇcnˇe mnoha symbol˚ u (p´ısmena, ˇc´ıslice, mezery, speciáln´ı znaky, apod.) Necht’ Σ je mnoˇzina vˇ u. Mnoˇzina vˇsech program˚ u je tedy jistˇe podmnoˇzinou mnoˇziny Ssech tˇiechto symbol˚ a je spoˇcetnˇe nekoneˇcná. Existuje tedy bijekce f mezi mnoˇzinou a i∈N Σ , kter´ mnoˇzinou vˇsech program˚ u. Pro kaˇzdé j ∈ oznaˇcme symbolem Pj program f (j). Pro kaˇzdý program P tedy existuje i ∈ takové, ˇze P = Pi .

N

N

N

∗ Kaˇ zdý moˇzný vstup kaˇzdého moˇzného programu lze zapsat jako koneˇcnou posloup-

nost symbol˚ u z koneˇcné mnoˇciny Γ. Mnoˇzina vˇsech moˇzných vstup˚ u je tedy spoˇcetnˇe u. Pro kaˇzdé nekoneˇcná a existuje bijekce g mezi mnoˇzinou a mnoˇzinou vˇsech vstup˚ j ∈ oznaˇcme symbolem Vj vstup g(j).

N

N

∗ Pˇredpokl´ adejme, ˇze existuje program Halt, který pro dané i, j ∈

ano/ne podle toho, zda Pi pro vstup Vj zastav´ı, nebo ne.

N zastav´ı s výstupem

∗ Tento pˇredpoklad d´ ale dovedeme ke sporu dokazuj´ıc´ımu, ˇze problém zastaven´ı nemá

algoritmické ˇreˇsen´ı.

Vˇ eta 12.6. Neexistuje program Halt, který by pro vstup (Pi , Vj ) správnˇe rozhodl, zda se program Pi zastav´ı na vstupu Vj . D˚ ukaz: Sporem uvaˇzme program Diag s následuj´ıc´ım kódem: 104

input k; if Halt(k,k) = ano

then

while true do ; done

(Program Diag(k) má na rozd´ıl od Halt jen jeden vstup k, coˇz bude d˚ uleˇzité.) Fungován´ı programu Diag lze znázornit za pomoc´ı následuj´ıc´ı tabulky: V0 V1 V2 V3 .. .

P0 √ √ − − .. .

P1 − − √ − .. .

P2 − − − √

P3 √ √ √ √

.. .

.. .

··· ··· ··· ··· ··· .. .

√ Symbol resp. − ˇr´ıká, ˇze program uvedený v záhlav´ı sloupce zastav´ı resp. nezastav´ı pro vstup uvedený v záhlav´ı ˇrádku. Program Diag zneguje“ diagonálu této tabulky. ” Podle naˇseho pˇredpokladu (Diag je program a posloupnost Pi zahrnuje vˇsechny programy) existuje j ∈ takové, ˇze Diag = Pj . Zastav´ı Diag pro vstup Vj ? – Ano. Podle kódu Diag pak ale tento program vstoup´ı do nekoneˇcné smyˇcky, tedy nezastav´ı.

N

– Ne. Podle kódu Diag pak ale if test neuspˇeje, a tento program tedy zastav´ı. Pˇredpoklad existence programu Halt tedy vede ke sporu.

✷

Koment´ aˇ r: Ot´ azkami algoritmické (ne)ˇreˇsitelnosti problém˚ u se zab´ yv´ a teorie vyˇc´ıslitelnosti. Metoda diagonalizace se také ˇcasto vyuˇz´ıvá v teorii sloˇzitosti k d˚ ukazu toho, ˇze dané dvˇe sloˇzitostn´ı tˇr´ıdy jsou r˚ uzné.

Rozˇ siˇ ruj´ıc´ı studium L´ atka této lekce zabrousila aˇz do teoretick´ ych hlubin matematické logiky a teorie mnoˇzin. Dalˇs´ı studium v tˇechto oblastech se d´ a oˇcekávat hlavnˇe u student˚ u specificky zamˇeˇren´ ych teoretick´ ym smˇerem (a m´ıˇr´ıc´ıch sp´ıˇse do akademické neˇz aplikaˇcn´ı sféry), zaj´ımaj´ıc´ıch se o matematiku samotnou nebo o teorii vyˇc´ıslitelnosti. Proto také uvedené pokroˇcilé poznatky nebudou vyˇzadovány u zkouˇsky tohoto pˇredmˇetu.

105

Z´ avˇ erem Gratulujeme vˇsem, kteˇr´ı se naˇs´ım nelehkým uˇcebn´ım textem prokousali“ aˇz sem, a ” pˇrejeme mnoho u ´ spˇech˚ u v dalˇs´ım studiu informatiky. Koneˇcnˇe znovu pˇripom´ınáme, ˇze ned´ılnou souˇcást´ı naˇseho studijn´ıho textu je Interaktivn´ı osnova pˇredmˇetu IB000 v IS MU a v n´ı pˇriloˇzené online odpovˇedn´ıky urˇcené k procviˇcován´ı pˇrednesené látky. http://is.muni.cz/el/1433/podzim2012/IB000/index.qwarp

106

Matematické Základy Informatiky (FI: IB000)

Recommend Documents