, kde au az jsou racionální čísla; ai dolní aproximace, az horní aproximace
Přípustná hodnota čísla A
Každé reálné číslo x, pro které platí a\ í j x ^ az
23
Vzorce
Střední aproximace a čísla A a = ai
°2
Absolutní chyba aproximace a =
ai
Zápis čísla /I pomocí střední aproximace a absolutní chyby
^4 = a ± a a — cl ^ A ^ a +
Relativní chyba čísla A Součet a rozdíl čísel A = a±a
£\A — — , a ^ O a A + B = (a + b) ± (a + /9) A — B — (a — 6) ± (a + /?)
Součin čísel A . B
A . B = ab ±
. ab přibližné vzorce
p° díi£“ 4 Relativní chyba součinu a podílu
4 - Ť ± fe + 4 )T ¿\{A . B) = £±A + A B
(*)-
A |-s* J = A A + A #
M ocniny a odm ocniny reálných čišel Definice mocniny
Pro každé reálné a a n přirozené Pro každé reálné
Součin mocnin
0
Pro každé reálné a ^ O a n přirozené
a
Pro každé reálné a > 0, r celé číslo a s přirozené číslo Je-li a > 1, pak an > 1.
a ‘ = ]/ar
Mocnina mocniny Mocnina součinu
Pro všechna reálná a a b, pro která jsou definovány mocniny s exponenty r, s, r + i , r.Sy r — s
Mocnina podílu
b^O
Podíl mocnin Definice odmocniny
Součin odmocnin
24
an = a . a ..
0
Pro a ^ 0, 6 ^ 0 a n přirozené
=
ar .a? — ar+* (ar)‘ = a»--* (a . č»)' = ar . br
(i)'-*
ar i a8 = ar~s n ]/a = ¿i, právě když bn — a
ýa . ýé = ýa 6
n Podíl odmocnin
n
b^O 1íb
v
m
“\ I rt
tnn mt
Odmocnina z odmocniny
Pro
Umocnění odmocniny
Pro a > O, j celé, n přirozené
Rozšiřování odmocnitele
Pro a ^ 0 a n, p přirozená
l/a = R
Krácení odmocnitele
Pro a > 0, m celé a n, k přirozená
|/a*ro = l/a“
Geometrický průměr čísel
Pro a a b kladná
x — 1lab
a^
O, m, « přirozená
| / y j = y,'a /«
\8
n
np
tr
Logaritmy Definice logaritmu o základu z
Pro z > 0, z ^ 1 a n> 0
logi n — l, právě když z 1 = n, tedy z [agzn — n
Hodnoty logaritmu
Pro každé z > 0,
logz z = 1 logz 1 = 0 logz z° = a
Logaritmus součinu
Pro a > 0, b > 0
logz (ab) = logz a + log* b
Logaritmus podílu
Pro a > 0, b > 0
logz-T" = logz a — logz b
Logaritmus mocniny
Pro a > 0, n reálné Pro n > 0 a z = 10
logz an — rt. logz a
Logaritmus dekadický
Vzorce
n
IVa) = V ?
Logaritmus přirozený
Pro n > 0 a z = e (e = 2,718 2 8...)
Převod logaritmů s různými základy
log» x = loga x . log«, a
'f /
^
O
log n = logio n = l, tedy 10* = «, IQlogi.» — n ln n = lne n = /, tedy e* = n, elnn = n
Převod logaritmů dekadických ln a — log a . ln 10 = log a . 2,302 59 na přirozené a obráceně log a = ln a . log e = ln a . 0,434 29 (str. 92) Racionální čísla a lom ené výrazy a Zlomek — , a e Z , 6 e N (V literatuře, v níž je O eN , musí být b e N a zároveň b 6 # 0.) a c Rovnost zlomků -r- = — právě tehdy* když ad = bc o a Porovnávání zlomků
a c --- < — , právě když ad < bc o a — > - r > P^vě když ad > bc b a
25
Zlomky i lomené výrazy a . c
- součet a rozdíl
Vzorce
a
c
a d + bc
n
ac
- součin
7 * 7 " u ’ b* * a+°
- dělení zlomkem nebo výrazem
b c ac a :— = a . — = , b ^ 0, c ^ 0 c b b
složený zlomek nebo výraz
—
a
a
d
ad
Procenta Zavedení
1 % z čísla a je
100
p % z čísla a je
Označení údajů v úlohách
100 ,J z - základ ... 100 % p - počet procent ... např. 24 % ... p — 24 i - procentová část
Výpočet
pomocí výpočtu 1 % ze z _
- procentové části 1
- počtu procent
~
z 100
' P
p = j - m = ž:m
z = - .100 P Vzorce finanční aritmetiky na str. 29.
- základu
5 M ocniny a rozklad m nohočlenů (a ± b)2 = a 2 ± 2ab + A2 (a ± A)3 = a 3 ± 3a2A + 3aA2 ± A3 (a + b y = a» + ( j ) a »-!6 + (j ) a”~2A2 + ... + ( „ _ ! i ) abn -1 + 6» a 2 — A2 = (a + b) (a — 6) a 2 + ¿>2 = (a + iA) (a — iA) a 3 + A3 = (A + b) (a2 - ab + A2) a3 — A3 = (a — A) (a2 + aA + A2) a" + A” = (a + A) (a“ -1 — an-2A + an_3A2 — ... + A"*1) pro » liché an — A" = (a — A) (a” *1 -f a"~2A + a” ' 3A2 + ... + An_1) pro n liché i sudé a" — An = (a + A) (an_1 — an_2A + a” ~3A2 — ... + An_1) pro w sudé (a + A + c)2 = a 2 + A2 + e2 + 2aA + 2ac + 2bc x 2 + px + q = (x — r) (x — s); r a s jsou kořeny rovnice x 2 + px -f- q — 0 ; pro r a s platí: r + s = —p, rs — q
26
6 Rovnice s Jednou n e z n ám o u Kořen rovnice l(x) — p(x) Rovnice anulovaná
Každé číslo a z přípustného nebo daného číselného oboru, pro které platí l{d) = p{a). l{x) — p{x) — 0, F{x) = 0
Vzorce Algebraická rovnice n-tého stupně s reálným i koeficienty Definice
anxn + a »-!.*"-1 + ... + aix + ap = 0 ai(i = 0, 1, 2, n) koeficienty, x neznámá dn
Rovnice reciproké
Clfl = =
Rovnice binomická — normovaná -------kořeny
0
a-n = <*>, Gn-i = ai, an-z = a%, ... nebo —
í ^n- 1
—
—
# 1*
fl»
—2 —
—
& 2y
•••
obecně an-k — nebo an-k = — a* Je-li a ^ O , b ^ 0, « přirozené ... axre -f- b — 0 Je-li m ^ O , n přirozené ... xn — m . 360° , . . , 360' 60° \ Pro m > i0 x = ]/m ^cos k -------- h i sin k n » /* k = 0, 1, 2, n— 1 « í/i----í í /180° , , 360° \ , . . /180° , 360°\1 Pro m < 0 x = VT»*I |cos — |- k — —j + 1 srn ^ — h * — ^ J k = 0 ,1 , 2, ..., n — 1
Kvadratická rovnice s reálným i koeficienty Definice Diskriminant Kořeny
Pro a # 0
ax2 + bx + c — 0 D = b2— 4ac
Pro D > 0 — b + ]/D
dva reálné různé kořeny
------- 2a-------b -M Ď *2 =
Pro Z) = 0 dvojnásobný reálný kořen Pro D < 0 dva imaginární komplexně sdružené kořeny
Xl
*2 =
Rozklad v kořenové činitele Vztah mezi kořeny a koeficienty
2a
-b x= 2a -b + i] /m 2a -b -i] /\Ď \ 2a
Jsou-li r a s kořeny rovnice ax2 + bx -f c = 0, pak ax2 + bx -f c = a(x — r) (x — s) = 0 b c r - f - i = ------ ; r . s = — a a
27
axz + c — 0
Rovnice ryze kvadratická - kořeny
J e -li------^ 0 a m >0
Vzorce
J e -li------< 0 a m< 0
/
Xl Xz
x2 — m
-R
xi = ]/m
—V-T c a
Xl = i
*i = i |/| m |
x2=—i yrm
X2 = — l 1/ |— —
Rovnice kvadratická bez absolutního členu
ax2
- kořeny
*1 = 0 , xt = —
Rovnice normovaná - diskriminant
x 3 + px + q = 0 (a = 1) D = pz — 4q Jsou-li r a 5 kořeny, D — (r — j)2.
- rozklad v kořenové činitele
Jsou-li r, j kořeny, (x — r)(x — s) = 0.
X2 = — j/ffl
bx = 0
- vztahy kořenů a koeficientů r + s = —p, r . s = q Rovnice kvadratická s kom plexním i koeficienty Definice
a*2 + bx + c = 0 a, b, c jsou komplexní čísla, z nichž, aspoň jedno je imaginární D = b2 — 4ac D je komplexní číslo
Diskriminant
Kořeny
X
Lineární rovnice Definice
a* x
Kořen Rozbor rovnice ax + b = 0
-b + fĎ 2a
s e ----------------------í--------
= 0 — b
Je-li s = 0 i í = 0, pak kořenem rovnice je každé x Je-li a = 0 a b ^ 0, pak rovnice nemá žádný kořen. Je-li a ^ 0 , je rovnice lineární.
7 Posloupnosti Posloupnost aritm etická Definice rekurentní
Je-li d (diference) libovolné reálné číslo, an+i — a„ + d.
n-tý člen
an = ai + (rt — l ) d
Součet prvních « členů
ín = y (
Pro libovolné dva členy platí
Jsou-li r, s přirozená,
28
an =
On-l + tfn+i
ar = a, + (r — j) á.
Posloupnost geometrická Definice rekurentní
Je-li q (kvocient) libovolné reálné číslo, an+i = a» . q.
n-tý člen
an — a i . q”-1
Součet prvních n členů
Pro q ^ 1
Pro libovolné dva členy platí
ar = a8 . qr
\ an | = ]/tfn+ i. an-1 qn — 1 1 — qn s„ = a i ------- — = ai —------q— 1 1— q sn = n . a%
Pro <7 = 1
Vzorce
Vzorce finanční aritm etiky Vzrůst hodnoty
Částka, hodnota se za určité období zvětší vždy op % z předchozí hodnoty. Je-li ao počáteční hodnota, pak hodnota an po n obdobích je an
P
Pokles hodnoty
Částka, hodnota se za určité období zmenší vždy o p % z předchozí hod noty. Je-li ao počáteční hodnota, pak hodnota an po n obdobích je
Střádání
Na počátku každého úrokovacího období se pravidelně ukládá částka a; na konci období se k úsporám připisuje úrok ve výši p % úspor. Po n ob dobích vzroste vklad na částku an: ^ - » ( r T = r)>
Umořování půjčky
kdcr- ( 1 + w ) -
Má-li být půjčka K, úrokovaná p procenty, splacena pravidelnými splát kami za n let, pak splátky s jsou dány vzorcem
Nekonečná posloupnost a řady Limita posloupnosti
lim an = a, právě když ke každému kladnému reálnému číslu e existuje H-MX)
Nekonečná řada
n e N tak, že všechny členy dané posloupnosti počínaje členem an+1 patří do intervalu (a — e, a + e). O O Je-li (an) posloupnost, pak ai + az + <*3 + ... = 2 a« se nazývá neko nečná řada. "“ 1
Posloupnost částečných součtů íi = ai, s%= ai + <*2, *3 = ¿U + <*2 + «3, ••• Součet nekonečné řady Je-li (sn) konvergentní, tj. je-li lim s„ = s, pak j se nazývá součet ne konečné řady. ”~*'oc Součet nekonečné geometrické řady
Je-li | q \ < 1,
s — —^—— . ^
Číslo e
l i m ( l - f - - '| = e — 2,718 28 n-oo \ n/
29
8 K om binatorika
Vzorce
Počet ¿-členných variací bez opakování z n prvků
Pro ¿ n přirozená
V(k, ti) = n(n — 1) (n — 2 )... (w — ¿ + 1)
nl
n přirozené «= 0
w! = 1 . 2 . 3 ......... (n— 1). n
Počet ¿-členných variací s opakováním z ti prvků Počet permutací ti prvků bez opakování
0! = 1
V \k , n) = nk P(„) =
Počet permutací n prvků s opakováním
Mezi n prvky je r prvků sobě rovných.
Počet ¿-členných kombinací bez opakování z n prvků
Pro ¿ ^ n
F (« , n) = n!
K(k, n) =
n! PW
(n — ¿ )! ¿!
n(n — 1) (n — 2) ... (n — ¿ + 1) ¿T ~
Počet ¿-členných kombinací s opakováním z n prvků Binomický koeficient (kombinační číslo)
K \ k , n ) = { ^ +kk Pro ¿ n přirozená
n\ _
túji—
!)
1)(n — 2) ... (» — ¿ + 1) ¿1
(n -k )ik l
©-»•O-- (;)-.© (!)-(.-»)
důležité hodnoty
= 1
vlastnosti
©+(*:.)-(žíO
Pascalův trojúhelník binomická věta
Viz str. 62, tabulka 4.4 (a -f- 6)", viz str. 26
9 S tatistika a pravděpodobnost Statistický soubor
konečná neprázdná množina M
- rozsah souboru
n, počet všech prvků množiny M
- absolutní četnost hodnot znaku x
tu, číslo, které udává, kolikrát se v souboru vyskytuje hodnota znaku *<
- relativní četnost hodnot znaku *
tli . tli — , v procentech — . 100 ti n
Modus
30
Mod (x), x , ... nejčastěji se vyskytující hodnota mezi xi, xz,..., x*, tj. hod nota s největší četností m
Medián
Med (x ), x , ... prostřední člen mezi hodnotami xi, jsou-li uspořádány podle velikosti
Průměrná hodnota znaku x (aritmetický průměr)
x=
- mají-li hodnoty xt četnost m (vážený aritmetický průměr)
X1 + X 2 + ... +%n — n
1 v = ~
n
Z
i
x<
x m i + x 2n2 + ... + Xkttt X
=
2
n
Xitli
Vzorce
Směrodatná odchylka hodnot s — \ — 2 (*< — #)z znaku ' n <=i maku x Rozptyl hodnot znaku x
í2 = n
2
(*» -
* )2
r --------, kde
Koeficient korelace hodnoty znaku x, yi,y*, —, y n hodnoty znaku y
51*2 k = ^
l i {xí — x ) { y i — 9 )
*1 = 1/ ; - 2
(*< - *)2
* 2 = 1 /^ -
(jy t- ý )2
r n
i« i
2 V n ,»i
Pravděpodobnost Definice pravděpodobnosti jevu A
Jestliže nějaká činnost nebo pokus vedou k n možným výsledkům (množina Q) a jestliže náhodný jev A je určen množinou, která obsahuje tn, m ^Ln, těchto výsledků, potom pravděpodobností náhodného jevu A je číslo P(A ) = f .
Jev A - jistý
- nemožný - náhodný
v případě m — n v případě »2 = 0 v případě 0 < m < n
P(A) = P (0) = 1 P(A) = P(0) = 0 0 < P(A) < 1
P(A') = 1 — P(A) neboli P(A) + P(A') = 1 Jev doplňkový A Pravděpodobnost, že nastane P(A U B) = P(A) + P(B) aspoň jeden z náhodných jevů A, B, když A n B = í Geometrická pravděpodobnost Je-li m{A) míra (velikost) množiny A, /w(í2) míra množiny O a A <= Q, jevu A pak P(A) = * ; m(A), m(íi) jsou vyjádřeny v týchž jednotkách obsahu m(Ll) nebo délky. Jevy A a B <= íi jsou nezávislé, jestliže platí P(A Í1 B) = P (A ). P(B). Nezávislost jevů Pravděpodobnost, že při «-násobném nezávislém opakování jev A (jehož pravděpodobnost je P(A)) nastane právě ¿-krát
31
10 G o n i o m e t r i c k é f u n k c e Definice funkcí
x velikost úhlu otočení Ol do i-> OL, L bod na jednotkové kružnici se středem O sin x = y L cos x = XL
Vzorce
tg x =
srn x cos x
--------- ,
x =£ 90° + k . 180°
cos x sin x
cotg x =
sec x =
1
cos X
X ^ kK,
x ^ k . 180° x ^ ^
+ kn
k celé číslo
x ^ 9 0 ° + k . 180°
cosec x = Periodičnost funkcí
Hodnoty funkcí pro některé hodnoty x
32
srn x
x ^ b z
x ^ k . 180°
sin (x cos (x Pro x, pro která jsou tg (x tg x a cotg x definovány cotg (x
Pro k celé
+ 2kn) = sin x + 2kn) = cos x + krc) — tg x + kn) = cotg x
Hodnoty funkcí pomocí hodnot funkcí z intervalu \ ° > T / ’ <0°’ 90°>
l / ( « ± * ) l - = l / ( 2* ± * ) l = l/(* )l 1/(180° ± 90 I — 1/(360° ± 9>) I = \f(
,(S±,)-U£±,)
= I cof(*)
/(90° ± ? ) l = |/(270° ±
Vzorce
/
sin
cos
tg
cotg
cof
cos
sin
cotg
tg
(0°, 90°)
( ! - ) (90°, 180°)
(* • ¥ ) (180°, 270°)
(270°, 360°)
+
_
_
Znaménka hodnot funkcí
sin * cos * tg * cotg *
+ + + +
—
+ +
—
---
+ — ---
(viz též grafy funkcí v kapitole 7, str. 79 a 89) Hodnoty funkcí záporného argumentu
Pro každé *, pro které je funkce definována
Vztahy mezi funkcemi téhož argumentu
Pro každé x
sin (—x) — —sin x cos (—*) = cos x tg (—*) = —tg x cotg (—x ) = —cotg X
sin2* + cos2* = 1 tg * . cotg x = 1
■Pro každé keZ
Funkce součtu argumentů
Pro každé x a y
sin (x -j-y) sin (x — y) cos (* +j>) cos (* — y)
— sin * cosjy + cos xsin y = sin * cos y — cos * sin y = cos * cos y — sin * sin y = cos x cos y + sin x sin y
tg * + tg 3> Pro všechny hodnoty tg (* + .y ) = 1 — tg * tg y argumentů x, y , pro které jsou funkce tangens a zlomky tg * — tg y definovány . * ( * - ? ) = 1 + t g , tg3, Funkce dvojnásobného argumentu
Pro každé x Pro každé x ^ k . ~ 4
Funkce polovičního argumentu
sin 2* = 2 sin * cos * cos 2* = cos2* — sin2* 2 tg * tg 2* = 1 — tg2*
il-F
— cos *
Pro každé x cos
i\-f-
4 * cos *
33
Pro každé x # k . n, k e Z
Součet a rozdíl funkcí
Pro každé x a y
Vzorce
— COS X
tg
+
COS X
x+>
x —y
sin x + sin y =
2 sin —- — cos —
sin x — sin y =
2 cos — -^-sm —~
cos x
2 cos — ^ - c o s — ■—
x + y . x —y
x+ v
cos y =
x —y
x + v . x —v cos x — cos y = —2 sin — ^— sm — —-
2.3
P la n im e trie a trig o n o m e trie
Úhly
vedlejší
doplňkové
vrcholové
součet primy úhel
součet pravý úhel
shodné
přilehlé
součet 180°
CZ a + ß -f y = 180°
Vnější úhly
a ' = ß + 7) CZ
Věty o shodnosti trojúhelníků sss, usu, sus, Ssu z .v Obsah
34
shodné
shodné
Trojúhelník Cyklická záměna Součet úhlů
střídavé
souhlasné
■a
a . Va
CZ; S — —ab sin y, CZ
- Heronův vzorec
S = y*(í — a) (s — b)(s— c) , s = U + 2 abc 4Š
Poloměr kružnice opsané Poloměr kružnice vepsané Věta sinová
- užití Věta kosinová - užití
Věta tangentová
, CZ
5
b f
\
« " T
a : b : c — sin a : sin (i : sin y
c
>4\
a — b ° — 2r sin a sin /3 sin y Trojúhelník určen podle vět usu, Ssu a2 = b2 c2 — 2bc cos a, CZ Trojúhelník určen podle vět sss, sus , a—b
a — j8 ® 2
« + /?
5 T T = ^ ^ + ?•■
CZ
tg T ----- ---
'g
- užití
Trojúhelník určen podle věty sus
Úhly
tg l = 7 ^ , c Z ; s i n f = y 5 E M E i r , c z a 1 / s(s — a) __ cos — = y — bc 5 ’ cos a
- užití
Vzorce
S '
a ' / aV
/j2 _1_ r%— /j2 2 bc
, CZ
Trojúhelník určen podle věty sss
Trojúhelník rovnostranný Strany Úhly
a = b= c a = /? = y — 60°
Výška
. - f y *
Obsah Poloměry kružnic
r-ý V š,
í - f v r
Trojúhelník pravoúhlý Úhly ostré
a +
= 90° a b sm a = — , cos a = — c c a b tg a = T , cotg a = — o
Obsah
S =
Poloměr kružnice opsané
r =
ab
a
B
35
Pythagorova věta Eukleidova věta - pro výšku - pro odvěsny
Vzorce
c2 = a2 + b2 v 2c = ca . cb a2 = c .c a, b2 — c .ci,
Obdélník Obvod
o — 2(a + b)
Obsah
S=ab
Úhlopříčka
u = ]/a2 + b2
u
Poloměr kružnice opsané
Čtverec Obvod
o = Aa
Obsah
S = a2
Úhlopříčka
u = a |/2
Poloměry kružnic
m
a
r =
2 ’ ^ = 2
c
a + c
Rovnoběžník Obvod Obsah
Lichoběžník Obsah Střední příčka
a + c
í
= — =—
Pravidelný n-úhelník viz též str. 63 Obvod
o = na
Obsah
S=n
Počet úhlopříček
—
Součet vnitřních úhlů
(« — 2). 180°
36
2
^
ť
2
Kružnice a kruh Délka kružnice
o — 2tcr = nd
Obsah kruhu
S = nr 2 = 7c - 74 2nr a ~ 360° **
Délka kruhového oblouku
( r*
íT A lílr A o ť
11 V i l u
Vzorce 1T A c t i i n t ^ A T r Á
Obsah kruhové úseče
Obsah kruhové výseče
Mocnost bodu ke kružnici Obvodový a středový úhel
Elipsa Označení
Obsah Obvod
Konstrukce algebraických výrazů Čtvrtá geometrická úměrná
a: b — c bc x=
37
Konstrukce pomocí Pythagorovy věty
x = |la2 + b2
Vzorce
& 0-11
a :x —x :b x 2 = ab II
Střední geometrická úměrná, geometrický průměr
/ / / / / / // V b
V. X
\
F'
V objem, S povrch, Sp obsah podstavy, Spi obsah pláště, v výška tělesa, u tělesová úhlopříčka, r poloměr H ranol
V = Sp . v S = 2SP *S"pi
K vádr
V — abc S = 2(ab + ac + bc) u = |ta2 + b2 + c2
K = fl8
S = 6a2_ u = a |/3
Válec
2 ^ V = 7crzo = —— v 4 5 = 2nr(r + v)
Jehlan
V = j S v .v
T/
S — Sp + 5pi
38
^
x = ]/a2 — b2 a> b
2.4 S te re o m e trie
Krychle
\
E'
Pravidelný jehlan Vztahy mezi délkami na pravidelném čtyřbokém jehlanu
Vzorce
Komolý jehlan
Rotační kužel
Komolý rotační kužel
Koule a plocha kulová Vrchlík, kulová úseč F =
S = 4nr 2 S — 2nrv
Kulový pás, kulová vrstva ■ k v
v = ^ ( 3 ^ + 3 ^ + tf2)
2.5
V ek to ro v á alg eb ra
Umístění vektoru. u = AB, u = B — A
Vzorce
Jedno umístění vektoru u má počáteční bod A, koncový bod B v rovině
A v prostoru
A[ax, az] B[b1} b2]
A\ai, az, 03] B[bi, ¿2, ¿>3]
Souřadnice počátečního bodu A koncového bodu B Souřadnice vektoru u, u = B—A (symbolická rovnice)
u = (lil, u2)
u = («1, u2> «3)
ui — bi — ai u> = 62 — az
Mi = ¿1 — a\ ui = ¿2 — az W3 = ¿3 — 33
Rovnost vektorů u a v
a zároveň uz = 02
U = V O U\ = Ol a zároveň uz — vz a zároveň U3 = 03
1u 1 = y w + u f
| o | = 1 u\ + u\ + «1
Velikost vektoru Součin vektoru a reálného čísla k Opačný vektor ~ u k vektoru u Rovnoběžnost vektorů u II v
&U = (&Mi, fe/2, &W3)
k u — (ktil, kuz)
—U = (—Ml, —«2, —MS)
— o = ( — Ml, — uz) u || v O v = k u
u ]| v o keR, k 0
Součet vektorů w = u + v
w = (zvi, Wz) Lineární kombinace vektorů vz, ... v„ Skalární součin vektorů u . v
w = (mi + 01, uz + »2) H>1 = Kl + Ol «02 = M2 + 02
v = ku
k > O rovnoběžnost souhlasná
£ < O rovnoběžnost nesouhlasná w = (mi + 01, M2 + 02, M3 + »8) U>1 = «1 + »1 K>2 = Uz + 02 «>8 = MS + Os
aiV i + azYz + ■•■ + a nv n ,
ai e R.
Vi,
U. V — U \V \
Úhel vektorů
COS 99 = COS(p —
Kolmost vektorů
40
U .V = MlOl + M2O2 + M3O3
+ U «V 2
MlOl + UzVz " I * I v- I
U.V
M -M COS (p —
MlOl + «202 + M3O8 \u \ . \
y
\
O á
w —u X v
Vektorový součin - souřadnice - velikost w - poloha w - směr w
W =
(« 2 0 8 — V 2U3 ,
U a V l — V s U ly
U 1V 2 — V 1U2)
| w | = | u | . | v | . sin
Vzorce
2.6 A nalytická g e o m e trie 1 Lineární útvary v rovině a v prostoru v rovině
v prostoru
Souřadnice bodů
A[ai, <12], S[íi, í2]
A[ai, az, as]> Sfris sz, *3]
Souřadnice bodu X
X[x,y]
X[x,y,z]
Délka úsečky AB
| A B | = ]/(éi - ai)2 + (bz - a2)2
| A B | == = |/(il —fll)2+ (^2—a2)2+(^8 —fl3)2
0
A
B
, .. - ,
S = — - — symbolická rovnice
Střed S úsečky AB
íl== H-
ai + ¿1 2
«i + bi
Sl~
az + bz
az + bz
2 -
2
S2~ s8 =
2 a s + b$
Param etrické vyjádření přímky Směrový vektor o přímky AB
u= B—A «1 = 61 — ai u z — bz — a 2
u — (ui, «2)
ui — b i — a i Uz = bz — <32 us — bz — as u = («1, u%, us)
41
X = A + tu
Přímka daná bodem A a směrovým vektorem u
ře R
Vzorce
Přímka daná body A, B x = a i + t(b i — a{)
x = ai + t{bi — ai)
y = a2 + t(b2 — a2)
y — a 2 + t(bz — 02) z — az + *(¿>3 — az)
Polopřímka AB
X — A + tu , t ^ X ~ A -j- tu y t á X = A -}- t u , 0 á X — A ~f" tU y m iS
Polopřímka opačná k >— AB Úsečka AB Úsečka na přímce AB
Odchylka co přímek se směrovými vektory u a v U l V l - f U2V 2 |
1/'«? +
t^ 1 t ¿¿n
I u\vi
COS co = R
. |/t>? +
Podmínka kolmosti přímek
4-U2V2 + U3V3
+ Mí + «3 . 1/»1 + »2 + »3
u .v = 0 MlWl +
«2 »2 =
O
| ttlW l +
v — m .u , d = m . «i
«2 0 2 +
m ^ O
j v i = m . u\
V2 = ffJ . «2
V2 = tn .U2 i
42
o
0 ^ co ^ 90" cos co =
Podmínka rovnoběžnosti přímek
o
1)3 — w . «3
«3 0 3 =
O
Neparametrické rovnice přím ky Koeficienty v rovnici přímky, přímky p, přímky q Úseky přímky na osách souřadnic
a, b, c Cípy b-py Cp aq, bq, Cq p na ose x, q na ose y
Vzorce
Směrnice přímky dané body A, B (*->AB X y)
k — tg 90° , ¿2 — <*2 - ----- -- » ¿»i — ai
Rovnice přímky - obecný tvar
ax + by -f c = 0 , alespoň jeden z koeficientů a, b různý od nuly
- - směrnice
k = —£ ~ ,
- - normálový vektor - směrový vektor
n = (a, b) u = (¿>, —a)
- úsekový tvar
fp + -q = 1
- směrnicový tvar
y = kx + q; k = tg
aii
k—
«2
ui
,
b^O
- dané bodem A a směrnicí k y — as = k(x — a{); y — k (x — a{) + a2 - normálový tvar ax + by + c = 0, znaménko jmenovatele opačné, než má c ± ]/az + A2 i\ M p \i = --------I " ”1 + *OT2 + c l/a* + i 2
Vzdálenost bodu M od přímky p Poloroviny s hraniční přímkou ax + by -f c = 0
ax + A y + c S i O l a x + b y + c ^ 0 ) Poiorovuly °Pačné
Odchylka cd přímek
COS (O =
p, q
tg (O = Podmínka kolmosti přímek />, q Podmínka rovnoběžnosti přímek Posunutí soustavy souřadnic
| QjAq
1 -(-
bpbq |
pokud kp, kq existují a
P _L í o apUq + bvbq — 0 kpkq -- -- 1 aq — m .a p a zároveň bQ— m . b py nebo — Ap V původní soustavě souřadnic Oxy je 0'[tn,«]. V nové soustavě X'[x',jy'] a platí x — x — m, y = y — n.
m ^O
# —1
Rovina v prostoru Určení roviny Parametrické vyjádření - roviny
Vzorce
bodem A[ai, 02, as] a směrovými vektory u = («i, «2, u$) a v = (©1, V2, V3), z nichž žádný není násobkem druhého. X = A -f tu + sv t, s e R
* = ai + tui + sv 1 y = az + tuz + sv2 z = 03 + tu3 + svs
- poloroviny pC
p(A, u) C $p , v = C—A
X =yí+ru+ív t, s € R a zároveň j ^ 0
- poloprostoru QD
g(/í, u, v) D $ q , w = D — ¿4
.Y = /I + ru + jv + nv í, j , r e R a zároveň r Si 0
Rovnice roviny - normálový vektor
ax + ^ + Cir-f-ťf= 0 , n = (a, b, c) ť* (0, 0, 0)
Odchylka rovin q, a
nQ, na normálové vektory rovin cosa =
alespoň jeden z koeficientů a, b, c různý od nuly
I apaj + bgba
cgca
V ^ T X + Ž -Y a l+ b l+ c l Odchylka « přímky p(A, u) od roviny p
cos
=
, a = 90° — /? Iu . . « .
Podmínka kolmosti rovin g, a g 1 or o nc . n„ = 0 a ^ o + ¿e6
V vrchol, F ohnisko, o osa, d řídid přímka, 2p > 0 parametr,
I V F \ = j , x+,y+ (x~,y-) kladné (zá porné) poloosy souřadnic
44
y2= 2px — -2px F e y + x2 = 2py F e y ~ x 2 = —2py V[m, n], o f f x+ (y — n)2 = 2p(x — m)
Rovnice vrcholová
F [0 ,0 ] F e x + Fex~
- obecná - parametrické Vnitřní oblast paraboly
o \ \ x, A ýí 0
Tečna paraboly v bodě T[xo, y 0]
011 y+ (x ~~ m)2= 2p{y — «) y 2 + Ax + By + C = 0 K [ 0 ,0 ], a > 0 x = f 2, y = at F ey+ 2py > x 2 F [ 0 , 0] F e x + yoy = p(x + xo) V[m,n\, o f f x* (yo — n)(y — n) = p(x -f *o — 2m)
Vzorce
Kružnice - označení
r > 0 poloměr, S střed kružnice
Středová rovnice
S[ o, 0]
Rovnice obecná
Sfwi, n]
x 2 y 2 — r2 ( x — m)2 + ( y — n)2 = r 2
M 2 + N 2 — 4L > 0
x 2 + y 1 + Mx + N y + L = 0 s L ^ - y w ] ,
- parametrické
S[0, 0]
x = r cos y ,
Vnitřní oblast kružnice
S[0, 0]
Kruh
S[0, 0] S[0, 0]
x2 + y 2 < r2 x2 -f .y2 sí r 2
Tečna knižnice v bodě T[xo,yo]
5 [ w , n]
r = -i- I/aí 2
N 2 — 4L
= r sin cp
xox + yoy = r 2 (x o — » * )( x — w ) - f C v o — « )C y — « ) =
f2
Elipsa - označení
a > b > 0 poloosy, a = | A S | hlavní poloosa s ohnisky E, F, b = | CS | vedlejší poloosa, S střed elipsy, e excentricita
Excentricita
e = | F S | = | S E j = ]/a2 - b2
Rovnice osová
A S <= x, CS <= y •SfO, 0]
ii-L ^ 1 - 1 a2 ^ b2
n] A S || x, C S \ \ y
Vzorce - obecná - parametrické Vnitřní oblast elipsy
(x — m)2 ( y — n)2 _ a2 b2 ( x — tri)2 | ( y — n)2 = j A S ||y , C S || x b2 aů Předchozí rovnice lze upravit na tvar A x 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, kde A ^ B, A > 0, B > 0. S[0, 0] 0° ^ q>< 360° AS<= x, C 5 c 3;
x = a cos (p, y = b sin v*
u2
S[0, 0]
Tečna v bodě T[xo, j>o]
S[0, 0 ]
- ^ + ^b2 = 1 b2xo* + a^oy = a 2i 2
n] Hyperbola - označení
62(*o — m) (x — m) + a2(y 0 — n ) ( y — n) = afy
0 < a < e, a = \ A S | = | B S | hlavní poloosa s ohnisky E, F; b > 0 vedlejší poloosa, (neleží však na ní žádný bod hyperboly); e excentrická, S střed hyperboly
y =0' \^ c r
0
Vedlejší poloosa Rovnice osová
S[0, 0]
EF a x
5[m, n]
EF || *
1
* = | FS | = | 5 B | li
Excentricita
Qr* II
A
46
\
a2 a2
b2
( x — m)2 a2
( y - n )2 b2
( x - m )2 , ( y - n )2 b2 ^ a2 Předchozí rovnice lze upravit na tvar Ax- — By 2 -f C X + Dy -f- £ = 0, kde A > 0, B > 0. E F \ \y
- obecná
\ /0= S /
B
- parametrické
Vnitřní oblast hyperboly Tečna v bodě T[xo,yo\
S[0, 0] EF <= x 0° á
x=
cos 7.
S[0, 0]
5[0,0]
a2
i2 '
*0*
.yojy
= 1
62xo* — a2.yo.y — a2i 2
S[w, h]
b-(xo — m) (x — m) - a2(jy 0 — n) (>■ = a 2*2
E F \\x —b a
Směrnice asymptot (EF c: x) Rovnice rovnoosé hyperboly s asymptotami v osách soustavy souřadnic nebo rovnoběžnými s osami souřadnic
hlavní osa v přímce se směrnicí k — 1 S[0, 0]
* r = y fl2
•S[m, m]
(x — m) (y — ti) = - a 2
hlavní osa v přímce se směrnicí k = — 1 S[ 0, 0]
S[m, tt]
(.x — m ) ( y — n) = — y a 2
Kulová plocha - označení Rovnice Tečná rovina kulové plochy v bodě T[xo,yo,zo]
x(S, r), 5 střed kulové plochy, r poloměr S[0, 0] x2 + y 2 + z 1 = r 2 S [m , M, ?] (x - w)2 + ( y - n)2 + S fm ,«,
(a r
- ?)2 = r 2
(x0 — m) (x — tri) + (y 0 — ti) Cy — ») + (*o — q) (z — q) = r 2
2.7 D iferenciální a in te g rá ln í p o čet 1 D erivace funkce Derivace funkce v bodě xo
y — /(x)
y = /'( * > ) = lim
X— *xn
Derivace funkce
y=m
Derivace součinu konstanty c y = c ./(x) a funkce
/(*) — /(xo) *0
/(x + A ) - /( x ) y
= / ' ( * ) = lim /»-►0
y = c ./'(x )
Derivace součtu a rozdílu funkcí* Derivace součinu funkcí Derivace podílu funkcí
g(x) Derivace složené funkce Derivace některých elementárních funkcí
/ =/'(*) •£(*) +/(■*) •g \ x )
/(*) > * ( * )# 0 *(*) 1
Vzorce
y = cif’(x) ± a g (x )
y = ci/(*) ± c2£(.v) či, ci konstanty y = m .g { x )
.y =
, g ix)^ 0
y
y =f(g(x)) y = k, k konstanta y = xn pro ta x, pro která je x n definováno y = sin x y = cos x y = tg*,
=
OK*))2
g\x) GK*))2
_
y = / T O )*ř'w y = 0 3»' = wx” ’1
_y = cos x y = — sin x y
1 COS2X
- - -----------------
n x # (2fc + 1) — y = cotg x, x ^ k n
f \x) • £(*) - f ( x ) . g\x)
y = — sin-x
y = eT y = ax, a > 0,
Rovnice tečny ke grafu funkce v bodě [xo, / ( xo)] Lokální extrémy funkcí
48
y — ax ln a
y = ln x, x > 0
y - —
y = loga x a > 0, a # 1, x > 0
.y = x ln a
y= f(x)
y — / ( jco) = /'(* o ) (x — x 0)
v bodě [x0,/(x 0)] lokální minimum lokální maximum
/'(xo) = 0 a zároveň /*(xo) > 0 /'(xo) = 0 a zároveň /"(xo) < 0
2 P r im itiv n í funkce Definice
1
F(x)=/(x);
1
J
/(* ) dx = F(x) + c, c konstanta
Primitivní funkce k součinu konstanty a funkce
y = a, a konstanta
a .fix ) dx = a . j f(x) dx
Primitivní funkce k součtu a rozdílu funkcí
y = af(x) ± bg(x) a, b konstanty
[af(x) ± bg(x)\ dx =
Primitivní funkce některých elementárních funkcí
y = a, a konstanta
a dx — a j dx = ax -f c
= a | /(x) dx ± b J ¿(x) dx Vzorce
rn+l
y = xn, n =/= —1
x n dx =
« + 1
^ = 7
dx — = ln x + c x
y = cos x
cos x dx = sin x -f c
y — sin x
sin x dx = —cos x + c
1
____1_ ^ cos2* 3 ” ' v_” 1 */ 2
1
dx = tg x + c
COS2 X
1
y = - 4-- , x ^ k - K srn2*
/
+ C.
su rx
dx = —cotg x -f- c
e* dx = e® + c
y = ez y — ax, a > 0,
1
ax dx =
ln a
+ c
3 Určitý in te g r á l Definice
F(x) primitivní funkce kfix), a, b reálná čísla, meze b
Záměna mezí
Meze sobě rovné
f{x) dx = [F(*)]> = F(b) - F(a).
a
| /(*) d* = — J /(x) dx
J/(x)dx = 0 a b
Rozdělení intervalu, a < c < b
c
b
J fix ) dx = J f(x) dx + J /(*) dx <2
a
c
b
Obsah plochy omezené grafem funkce y = /(*), osou * a přímkami
5 = J /(*) dx
x = a, x — b;
v
/t o
Objem rotačního tělesa, vytvořeného rotací popsaného obrazce kolem osy *
= 7T J > ( x ) djc
49
3 O TABULKÁCH 3.1
FUNKCÍ
T ab elo v án í h o d n o t funkce
Definice funkce reálné prom ěnné Na množině D(/) je dána funkce / , jc-li ke každému číslu x z dané množiny D(/) (oboru funkce) při řazeno právě jedno číslo y množiny R. Čísla x e D(/) se nazývají hodnoty prom ěnné nebo hodnoty argum entu, čísla j r e R se nazývají hodnoty funkce. Píšeme y = f ( x ) . Pokyny
Tabulka funkce Hodnoty proměnné a jim příslušné hodnoty funkce se zapisují do tabulek, které jsou buď sloupcové, nebo plošné. Tabulka sloupcová Ve sloupcových tabulkách jsou v jednom sloupci hodnoty proměnné a ve druhém sloupci hodnoty funkce, a to tak, že hodnota proměnné a k ní příslušná hodnota funkce jsou v témž řádku. Příkladem je tabulka 1, zachycující část hodnot proměnné a hodnot funkce y = x 2. Např. 1042 = 10 816. Tabulka plošná V tabulce plošné je hodnota funkce příslušná určité hodnotě proměnné uvedena v průsečíku řádku, který má v záhlaví několik prvních číslic hodnoty proměnné, a sloupce, který má v záhlaví zbývající číslice hodnoty proměnné. Příkladem plošné tabulky je tabulka 2. Tabulka 2 n
0
1,0
1,000
1,020
1,040
1,061
1,1 1,2 1,3
1,210 1,440 1,690
1,232 1,464 1,716
1,254 1,488 1,742
1,277 1,513 1,769
1
2
3
4
5
6
7
1,082
1,103
1,124
1,145
1,166
1,188
1,300 1,538 1,796
1,323 1,563 1,823
1,346 1,588 1,850
1,369 1,613 1,877
1,392 1,638 1,904
1,416 1,664 1,932
Tabulka 1 n
n2
100
10 000
101 102 103
10 201 10 404 10 609
104 105 106
10 816 11 025 11 236
9
8
Tabulka 3 1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
5
7
10
12
14
17
19
22
Dvojcifemá skupina - např. 1,2 z čísla 1,23 - je v prvním sloupci a platí pro celý řádek, na jehož počátku je uvedena; třetí číslice - 3 - je uvedena v záhlaví sloupce. Hodnota funkce příslušná číslu 1,23 je uvedena v průsečíku řádku 1,2 se sloupcem 3. Příslušná hodnota funkce je tedy 1,513. Každou tabulku, která obsahuje hodnoty proměnné a k nim příslušné hodnoty funkce, budeme stručně nazývat tabulka funkce. Budeme tedy hovořit o tabulce druhých mocnin, o tabulce goniometrických funkcí apod.
50
Hodnoty prom ěnné Je-li funkce definována na nekonečné množině, např. pro všechna reálná čísla, není možné v žádných tabulkách všechny hodnoty zapsat. Hodnoty proměnné omezíme počtem platných číslic; v našich tabulkách jsou hodnoty proměnné třímístné. Hodnoty proměnné náleží pak do určitého intervalu z oboru funkce. Např. v tabulkách druhých mocnin jsou tříciferné hodnoty proměnné z intervalu <1,00; 9,99); v tabulce goniometrických funkcí jsou hodnoty proměnné z intervalu <0°00'; 90°). Interval je volen tak, aby pomocí známých vlastností funkcí bylo možné určit hodnoty funkce i pro hodnoty proměnné z jiných intervalů oboru funkce. Krok tabulky Hodnoty proměnné rostou v tabulkách obvykle rovnoměrně, tj. tak, že rozdíl dvou po sobě následujících hodnot proměnné je stálý. Tento rozdíl se nazývá krok tabulky. Např. krok tabulky druhých mocnin je 1,01 — 1,00 = 0,01, krok tabulky goniometrických funkcí je 10'. Hodnoty funkce Hodnoty funkce v tabulkách jsou většinou jen aproximace hodnot. Mnohacifemá a iracionální čísla jsou totiž v tabulkách zaokrouhlena. Jsou-li např. zaokrouhlena na čtyři platné číslice (např. 1,513), říkáme, že tabulky jsou čtyřmístné. Tabulková diference Rozdíl dvou po sobě následujících hodnot funkce se nazývá tabulková diference a označuje se písmenem D (někdy d, popřípadě A). Na rozdíl od kroku tabulky není diference stálá, ale mění se podle průběhu funkce. Diference je důležitá pro lineární interpolaci.
3.2 L ineární in terp o la c e funkcí Má-li hodnota proměnné v tabulkách 3 platné číslice, můžeme (za jisté podmínky, kterou nebudeme vy světlovat) z tabulek určit i hodnotu funkce pro hodnotu proměnné se čtyřmi platnými číslicemi tzv. lineární interpolací. (Obdobně z tabulek, v nichž hodnoty proměnné jsou čtyřmístné, můžeme lineární interpolací určit hodnotu funkce pro pěticifernou hodnotu proměnné.) Při lineární interpolaci rostoucích funkcí předpokládáme, že v určitém malém intervalu < a, b > oboru funkce jsou přírůstky hodnot funkce přímo úměrné přírůstkům hodnot proměnné. To znamená, že zvětší-li se hodnota proměnné a o n desetin rozdílu b — a, zvětší se hodnota funkce f(á) o n desetin rozdílu _ D f(b) —/(a) = D (tj. diference). Číslo dn = — n se nazývá oprava hodnoty funkce pro n. Např. z tabulky druhých mocnin vyplývá, že 3,242 = ^ O » 50’ ) D — 0,06 3,252 = 10,56. /
51
Pokyny
Hledáme-li 3,2472, pak přírůstku 0,007, tj. sedmi desetinám z rozdílu sousedních hodnot proměnné, odpo7 0,06 vídá přírůstek — rozdílu hodnot funkce; oprava je tedy
Pokyny
3,2472 == 10,50 + 0,04 = 10,54. Hodnota funkce vypočtená lineární interpolací, může mít absolutní chybu nejvýše rovnou jednotce řádu poslední platné číslice; tzn., že 3,2472 = 10,54 i 0,01. K usnadnění lineární interpolace jsou v tabulkách uvedeny na konci každého řádku zaokrouhlené opravy d„ pro n = 1,2, ..., 9 (viz tab. 3). Opravy platí pro celý řádek i v případě, kdy se diference o jednotku posledního místa liší; přesnější výsle dek bychom proto někdy dostali lineární interpolací. Tam, kde nelze opravy vypočítat jednotně pro celý řádek, je někdy řádek rozdělen na části a opravy jsou vypočteny pro každou část zvlášť (viz např. tabulku 9.2). V tabulce 5.2 je tečkovanou čarou mezi hodnotami funkce a vypočtenými opravami naznačen interval, ve kterém interpolace pomocí vypočtených oprav může vést k chybě větší, než je jednotka posledního místa; v tomto intervalu je proto vhodnější najít přesnější hodnoty interpolací podle vzorce
Interpolace funkcí klesajících Je-li a < b a /( a ) > f(b), je funkce klesající. Pak f(b) — f(a) = D < 0. Když vypočítáme nebo najdeme opravu dn —
| D |, musíme opravu dn od hodnoty /(a ) odečíst!
3.3 Vyhledání hodnoty prom ěnné Až dosud jsme vysvědovali vyhledání hodnoty funkce k dané hodnotě proměnné. Tabulky umožňují i řešení obrácené úlohy: k dané hodnotě funkce určit příslušnou hodnotu proměnné. Pokud je hodnota funkce přímo uvedena v tabulce, stačí vypsat příslušnou hodnotu proměnné ze záhlaví příslušného řádku a sloupce. Není-li hodnota funkce přímo v tabulce, je možné hodnotu proměnné získat lineární interpolací nebo použít nejbližší hodnotu funkce.
Interpolace p ři určování hodnoty prom ěnné Je-li dáno f(h) takové, že f(a) < f(h) < f(b), kde /(a ) a f(b) jsou sousední tabelované hodnoty funkce, pak /(A) — /(a ) je oprava dn a f(b) — j(a) = D je. tabulková diference. Protože platí dn
; joD • n 9 j® n —“# • iqD •
V našich tabulkách jsou opravy uvedeny na kond řádku; k vypočtené opravě dH najdeme příslušné n přímo v nadpisu sloupce. U funkcí rostoucích připisujeme n k hodnotě a jako další číslid hodnoty proměnné; u funkcí klesajících ji v jednotkách řádu k — 1 (kde k je řád poslední platné číslice) od a odčítáme.
3.4 A proxim ace čísel a výpočty s nimi Aproximace hodnot funkce V běžných úlohách z praxe mají údaje obvykle tři a maximálně čtyři platné číslice. V takovém případě neodpovídají vícemístné hodnoty funkce uvedené v tabulkách přesnosti údajů. Je-li např. úhel dán jen
52
i přesností na desítky minut, např. a = 32°40', znamená to, že úhel a je z intervalu <32°35', 32°45'). Pak pro sin a platí sin 32°35' < sin a < sin 32°45' neboli
0,5386 < sin a < 0,5409. Je zřejmé, že v uvedeném příkladu se shodují jen první platné číslice a po zaokrouhlení dvě platné číslice: 0,54. Nemá proto význam uvádět sin 32°40' (je-li hodnota proměnné zaokrouhlena na desítky minut) přes něji než 0,54, další číslice jsou nespolehlivé. Vyhledáme tedy v tabulkách sin 32°40' = 0,5398 a zaokrouh líme na dvě platné číslice: 0,54. Ve vysvětlivkách k jednotlivým tabulkám je proto uvedeno, kolik platných číslic má hodnota funkce, má-li hodnota proměnné určitý počet platných číslic.
Pokyny
Zaokrouhleni hodnot funkce V některých případech je tedy potřeba zaokrouhlit hodnotu funkce na menší počet platných číslic, než udává tabulka. V takovém případě by mohly vznikat chyby při zaokrouhlování čísel, která mají na posledním platném místě číslici 5.
Číslice 5 na posledním m iste Je-li nad číslicí 5 na posledním platném místě pruh (5), vznikla pětka zaokrouhlením (např. 1,49 = 1,5). Máme-li tedy při zaokrouhlování číslici 5 vypustit, pak předchozí číslici ponecháme (nezvětšujeme ji o jednotku). Např. 46,65 = 46,6. Není-li vypouštěná číslice 5 nijak označena, pak při zaokrouhlování předchozí číslici o jednotku zvětšíme. Např. 37,45 == 37,5. Stejně zaokrouhlujeme, je-li nad vypouštěnou číslicí 5 tečka (5); to je v případě, kdy hodnota je přesná a za číslicí 5 jsou samé nuly. Např. 1,52 = 2,25 j pak 2,25 = 2,3.
Výpočty s aproxim acem i čísel Hodnoty funkcí uvedené v tabulkách jsou obvykle zaokrouhlené. Musíme proto s nimi počítat jako s apro ximacemi čísel. Přesná, matematicky zdůvodněná pravidla se probírají v učebnicích matematiky. Pro běžnou praxi stačí tato jednodušší, ovšem hrubší pravidla:
U součtu aproxim ací čísel určím e ten nejnižší řá d sčítanců, který m á platné číslice ve všech sčítancích. Na tento řá d výsledek zaokrouhlím e. Např. v součtu 8,6 45 24,5 16,3 4 49,4
8 = 49,5
jsou platné číslice v desetinách všech sčítanců; za desetinami naznačíme svislou čarou platné číslice, sečteme počínaje setinami a výsledek zaokrouhlíme na desetiny. Obdobně postupujeme u rozdílu: 637,8 - 52,1 5 585,6
5 = 585,7
Součin má tolik platných číslic, kolik jich m á činitel s nejm enším počtem platných číslic. Má-li např. 3,8 dvě platné číslice a 24,3 tři platné číslice, pak součin 3,8 .24,3 má jen dvě platné číslice. I když tedy vypočteme přímo, pomocí logaritmů nebo počítačkou jako součin číslo 92,34, zaokrouhlíme je na dvě platné číslice: 92. Obdobně podíl 24,3 : 3,8 má jen dvě platné číslice, tedy podíl je 6,4. Při um ocnění aproxim ace čísla m á m ocnina tolik platných číslic, kolik platných číslic m á základ. Odmocnina z aproxim ace čísla m á tolik platných číslic, kolik platných číslic m á odmocňované číslo.
53
P ři složitějších výpočtech zaokrouhlujeme dílčí výsledky tak, aby měly o jednu platnou číslici více, než udávají předchozí pravidla; další výpočty provádím e s těmito zaokrouhlenými výsledky a s čísly, která m ají jen o jednu platnou číslici více, než bude zapotřebí ve výsledku. Známe-li některý údaj s libo volnou přesností, pak k získání výsledku s k platnými číslicemi počítáme s údajem zaokrouhleným na k + 1 platnou číslici.
3.5 Grafy funkcí a jejich užití G rafem funkce y = /(x ) nazývám e m nožinu všech bodů o souřadnicích [x, _y], kde x jsou hod noty prom ěnné a y jim příslušné hodnoty funkce. Pomocí tabulek snadno narýsujeme grafy tabeloPokyny
vaných funkcí tak, že k dvojcifemým hodnotám proměnné najdeme dvojciferné hodnoty funkcí a body narýsujeme na milimetrový papír. Grafy nejdůlcžitějších funkcí jsou u tabulek jednotlivých funkcí narýsovány. Grafy mohou sloužit k rych lému vyhledáni přibližné hodnoty funkce při odhadech nebo při kontrole správnosti výpočtu, ke sledování průběhu funkce a ke grafickému řešení některých rovnic, které jinými metodami na střední škole řešit ne dovedeme.
Grafické řešení rovnic Řešíme-li graficky rovnici /(x) = p(x), narýsujeme grafy funkcí y = /(x) a y = p{x) a určíme souřad nice průsečíků obou grafů. Má-li průsečík souřadnice [xo, .yo], pak platí yo = /(xo) a yo = p(x o), takže /(*>) = P (x o ) ;
to však znamená, že xo je kořenem rovnice /(x) = p{x) . 13 3 Např. rovnici 4x® — 13x — 6 = 0 upravíme na tvar x3 = — x - f — 13 3 4 2 a narýsujeme grafy funkd .y = x3 a y = — x + — . Můžeme využít grafu funkce y = x3 na str. 70 nebo šablony grafů funkd Logarex 25 516. 3 y Průsečíky obou grafů mají x-ové souřadnice — — , — — , 2,
3
takže kořeny rovnice jsou — — , — — , 2.
3.6
1
2
2
Ú prava tabulek
Před každou tabulkou funkce nebo před skupinou tabulek je výklad o tom, jak s tabulkou pracovat, pak následují tabulky a grafy funkd.
54
4.1 Rozklad čísel v součin prvočísel Tabulka obsahuje rozklady čísel 1—1 000 v součin prvočísel. Využije se při krácení zlomků, při určování nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele. Tabulka slouží i k vyhledávání všech prvočísel m enších než 1 000; jsou vytištěna polotučně ve sloupci rozkladů.
4.2 Hodnoty a logaritm y hodnot některých konstant Při výpočtech obsahů a objemů geometrických útvarů se často vyskytují výrazy s některými odmocninami nebo se zlomky čísla n. K urychlení výpočtů jsou takové výrazy a jejich logaritmy obsaženy v tabulce 4.2. Např. objem koule se počítá podle vzorce
V = jT zr* ; 4 v tabulce 4.2 najdeme, že — tc = 4,1888, takže počítáme
V = 4,1888 . r 3 .
4.3 Faktoriály Tabulku užíváme např. k určení počtu permutací n prvků podle vzorce V
P(ri) — n\ — n .( n — 1 ) ..........3 . 2 . 1
4.4 Binomičtí součinitelé Tabulku užíváme k určení počtu ¿-členných kombinací z n prvků podle vzorce K(k, n) = ( ” ) a k výpočtu mocnin dvojčlenů podle binomické věty (viz vzorce na str. 26).
4.5 Mocniny čísla 2 Tabulky mocnin používáme např. při zapisování čísel ve dvojkové soustavě.
4.6 Pravidelné m nohoúhelníky V
pravidelném mnohoúhelníku označíme q ... poloměr kružnice vepsané o ... obvod r ... poloměr kružnice S ... obsah opsané
n ... počet stran a ... délku strany
55
Je-li pro pravidelný n-úhelník dáno jedno z čísel a, r, g, o, S, vypočteme pomocí tabulky zbývající čísla. Např. do kruhu o poloměru r = 10,0 cm je vepsán pravidelný sedmiúhelník. Vypočtěte a, q, o, S. Řešení Podle tabulky 4.6 platí:
r : a = 1,1524, o : r = 6,0744
takže
5 : i* = 2,7364 g : r =- 0,9010
a = r : 1,1524, o — r . 6,0744 S = r2 . 2,7364 q = r . 0,9010
tj.
a = 10,0cm : 1,1524 = 8,68cm
o = 10,0 cm . 6,0744 ^ 60,7 cm 5 = 100 cm2 . 2,7364 = 273 cm2 g = 10,0 cm . 0,9010 == 9,01 cm
Obdobně řešíme úlohy s jiným zadáním n-úhelníku.
4.7
Form áty papíru
Normalizované formáty papíru jsou si geometricky podobné a mají poměr stran x : y = 1 : }'2 = = 1 : 1,414. Je to poměr strany čtverce a jeho úhlopříčky y = x \2 . F orm áty téže řady vznikají postupným půlením delší strany, takže obsahy ploch sousedních for mátů téže řady jsou v poměru 1 : 2. Hlavní řada A vychází z formátu, jehož plocha má obsah 1 m2. Jeho strany jsou x = 0,841 m, y = = 1,189 m. Formáty hlavní řady A jsou formáty technických výkresů, sešitů aj. Formáty doplňkové řady B jsou v geometrických středech mezi formáty hlavní řady A; formáty doplň kové řady C jsou v geometrických středech mezi formáty řady A a řady B.
56
4.1 Rozklad čísel v součin prvočísel n
součin
n
součin
n
1 — 249 součin
n
součin
n
součin
50
2 .5 2
100
2 2.5 2
150
2 .3 .5 2
200
23. 5*
3.17 22. 13 53 2.33 5.11 23. 7
101 102
101 2.3.17 103
151 23. 19 32. 17 2.7.11 5.31 22.3.13
201 202
3.67
9
157 2.79 3.53
203 204 205 206 207 208 209
7.29 22. 3.17 5.41 2.103
23 32
51 52 53 54 55 56 57 58 59
10
2.5
11 12
11 22. 3 13 2.7 3.5
1 2
3 4 5 6
7 8
1
2 3 22
5 2.3 7
3.19 2 .2 9 59
103 104 105 106 107 108 109
23. 13 3 .5 .7 2.53 107 22.3 3 109
151 152 153 154 155 156 157 158 159
60
2 2. 3.5
110
2.5.11
160
25. 5
210
2 .3 .5 .7
61 62 63 64 65
111 112
32. 13 2.59 7.17
161 162 163 164 165 166 167 168 169
7.23 2 .3 4 163 22.41 3.5.11 2.83 167 2 3 .3 .7
211 212
113 114 115 116 117 118 119
3.37 24.7 113
132
213 214 215 216 217 218 219
211 22. 53 3.71 2.107 5.43 23.3 3 7.31 2.109 3.73
2.101
3*. 23 2*. 13 11.19
24
66
17 2 .3 2 19
67 69
61 2.31 32. 7 2# 5.13 2.3.11 67 22. 17 3.23
20
2 2. 5
70
2 .5 .7
120
23. 3.5
170
2.5.17
220
22. 5 .11
21 22
3.7
13.17 2 .3 .3 7 223
2.13
7.11 2.3 .1 3 79
2 .3 2. 7 127 27 3.43
2 .3 .2 9 52. 7 2“. 11
33 2 2. 7 29
171 172 173 174 175 176 177 178 179
32. 19 22. 43 173
2.37 3 .5 2 22. 19
123 124 125 126 127 128 129
ll2 2.61 3.41
221 222
23 2 3. 3
71 23. 3 2 73
121 122
23 24 25 26 27 28 29
71 72 73 74 75 76 77 78 79
30
2 .3 .5
80
2*.5
130
2.5.13
31 32 33 34 35 36
81 82 83 84 85
3« 2.41 83
88
23. 11
89
89
131 132 133 134 135 136 137 138 139
131
37 38 39
31 25 3.11 2.17 5.7 22.3 2 37 2.19 3.13
40
23.5
90
2 .3 2. 5
41 42 43 44 45 46 47 48 49
41 2 .3 .7 43
91 92 93
7.13 4.23 3.31
2 2. 11
94 95 96 97 98 99
13 14 15 16 17 18 19
2.11
52
32. 5 2.23 47 2* .3 72
68
2.3 .1 9 5.23 22. 29
3.59 2.89 179
223 224 225 226 227 228 229
227 22. 3.19 229
180
22.3 2. 5
230
2.5 .2 3
181 2 .7 .1 3 3.61 23.23 5.37 2.3.31 11.17 22. 47 33.7
231 232 233 234 235 236 237 238 239
3.7.11 23.29 233
2.67 33. 5 23. 17 137 2.3.23 139
181 182 183 184 185 186 187 188 189
140
22 . 5.7
190
2.5.19
240
2 \3 .5
3.47 2.71 11.13 2“.32 5.29 2.73
241 2.II2 38
2.97 3 .5 .1 3 22. 7 2
241 242 243 244 245 246
97 2 .7 2 32. 11
147 148 149
3 .7 2 22. 37 149
191 192 193 194 195 196 197 198 199
191
2.47 5.19 2 5. 3
141 142 143 144 145 146
197 2 .3 2. 11 199
247 248 249
86
2 2. 3.7 5.17 2.43
87
3.29
22. 31
53
22 . 3 .11
7.19
2 6. 3
193
2 5. 7 32.5 2 2.113
2 .3 2. 13 5.47 22. 59 3.79 2 .7 .1 7 239
2 2. 61 5 .7 2 2.3.41 13.19 23. 31 3.83
57
250—491 n
čísla
součin
n
součin
n
součin
n
součin
n
součin
250
2.5»
300
2*. 3.5*
350
2.5*.7
400
2«. 5*
450
2.3*. 5>
251 252 253 254 255 256
251 22. 3 a. 7 11.23 2.127 3.5 .1 7 2»
301 302 303 304 305 306
7.43 2.151 3.101
351 352 353
3*. 13 2M 1 353
24. 19 5.61 2.3*. 17
354 355 356
257 2.3.43 7.37
307 308 309
307 4.7.11 3.103
357 358 359
407 408 409
401 2.3 .6 7 13.31 2 *. 101 3«. 5 2.7 .2 9 11.37 2*.3.17 409
451 452 453 454 455 456
257 258 259
2 .3 .5 9 5.71 2*. 89 3.7 .1 7 2.179 359
401 402 403 404 405 406
457 458 459
11.41 22. 113 3.151 2.227 5.7.13 23. 3.19 457 2.229 33. 17
260
2*. 5.13
310
2.5.31
360
2*. 3*.5
410
2.5.41
460
2-, 5.23
192
411 412 413 414 415 416 417 418 419
3.137 2*. 103 7.59 2.3*. 23 5.83 25. 13 3.139 2.11.19 419
461 462 463 464 465 466 467 468 469
461 2.3.7.11 463 24. 29 3.5.31 2.233 467 22. 32. 13 7.67
261 262 263 264 265 266
32. 29 2.131 263
311 312 313
311 2». 3.13 313
361 362 363
2». 3.11 5.53 2 .7 .1 9 3.89 2*. 67 269
2.157 3*.5.7 2*. 79 317 2.3.53 11.29
364 365 366
267 268 269
314 315 316 317 318 319
367 368 369
2.181 3.11* 2*.7.13 5.73 2.3.61 367 2«.23 3*. 41
270
2 .3 3. 5
320
2». 5
370
2.5.37
420
2 * .3 .5 .7
470
2.5.47
271 272 273 274 275 276
321 322 323
3.107 2.7.23 17.19
371 372 373
7.53 2*. 3.31 373
324 325 326
2*. 3« 5*. 13 2.163
374 375 376
3.109 2*. 41 7.47
377 378 379
7.61 2*.107 3.11.13
471 472 473 474 475 476 477 478 479
3.157 23. 59 11.43 2.3.79 52.19 22. 7.17
327 328 329
2.11.17 3.5* 2*. 47 13.29 2 .3 3. 7 379
421 422 423 424 425 426 427 428 429
421
277 278 279
271 2«. 17 3.7 .1 3 2.137 5*. 11 2*.3.23 277 2.139 3*. 31
280
2». 5.7
330
2.3.5.11
380
2*.5.19
430
2.5.43
•180
~2^~. 3TŠ
281 282 283 284 285 286 287 288 289
281 2.3.47 283
331 2*. 83 3*. 37
2.7.31 3 .5 .2 9 2*. 109
481 482 483 484 485 486
13.37 2.241 3.7.23
5.7.11 2.193 3*.43 2*. 97 389
431 432 433 434 435 436 437 438 439
431 2 4. 3* 433
2.167 5.67 2*.3.7 337 2.13* 3.113
381 382 383 384 385 386 387 388 389
3.127 2.191 383
7.41 2*. 3* 1?2
331 332 333 334 335 336 337 338 339
19.23 2 .3 .7 3 439
487 488 489
5.97 2.3» 487 23. 61 3.163
290
2.5 .2 9
340
2*.5.17
390
2 .3 .5 .1 3
440
2 *.5.11
490
2.5.7*
291 292 293 294 295 296 297 298 299
3.97 2*. 73 293
341 342 343 344 345 346 347 348 349
11.31 2.3*.19 7* 2*. 43 3.5 .2 3 2.173 347 2*.3.29 349
391 392 393 394 395 396 397 398 399
17.23
441 442 443 444 445 446 447 448 449
32 .72
491 492 493 494 495 496 497 498 499
491 22. 3.41 17.29 2.13.19 3 * .5 .11 2*. 31 7.71 2.3.83 499
58
2*. 71 3 .5 .1 9 2.11.13
2.3.7* 5.59 2». 37 3*. 11 2.149 13.23
2 7. 3
2 3.72
3.131 2.197 5.79 2*. 3*.11 397 2.199 3 .7 .1 9
2.211
3*. 47 2J.53 5*. 17 2.3.71
2.13.17 443 2*.3.37 5.89 2.223 3.149 2«. 7 449
32. 53 2.239 479
2 *. 11*
500 —749 11
součin
n
součin
n
součin
n
součin
n
součin
500
2 2.5 3
550
2 .5 2. 11
600
23 .3 .5 2
650
2 .5 2.13
700
22 . 52.7
501 502 503 504 505 506 507 508 509
3.167 2.251 503
19.29 23. 3.23 7.79 2.277 3.5.37 22.139 557 2 .3 2.31 13.43
601 602 603 604 605 606 607 608 609
601 2.7.43 32 .67 22.151 5.11 2 2.3.101 607 26.19 3 .7 .2 9
651 652 653 654 655 656 657 658 659
3.7.31 22. 163 653
32.73 2.7 .4 7 659
701 702 703 704 705 706 707 708 709
701 2 .3 3. 13 19.37
23 .32.7 5.101 2 . 11 .&3 3.132 22.127 509
551 552 553 554 555 556 557 558 559
510
2 .3 .5 .1 7
560
2 * .5.7
610
2.5.61
660
22.3.5.11
710
2.5.71
511 512 513
7.73 2» 33. 19 2.257 5.103 22 . 3.43
3.11.17 2.281 563
661 662 663
661 2.331 3.13.17
2 2.3.47 5.113 2.283 3«.7 2».71 569
611 612 613 614 615 616 617 618 619
13.47
2.307 3.5.41 23 . 7.11 617 2.3.103 619
664 665
23. 83 5.7 .1 9 2.32.37
669
23.29 22.167 3.223
711 712 713 714 715 716 717 718 719
32.79 23. 89 23.31 2 .3 .7 .1 7 5.11.13 22. 179
11.47 2 .7 .3 7 3.173
561 562 563 564 565 566 567 568 569
520
23.5.13
570
2 .3 .5 .1 9
620
22.5.31
670
2.5 .6 7
720
2 4 .3 2. 5
521 522 523
521 2 .3 2. 29 523
571 22.11.13 3.191
621 622 623
33. 23 2.311 7.89
671 672 673
11.61 25 .3 .7
2.7.41 52.23 2 «. 32
674 675 676
577 2.172 3.193
624 625 626 627 628 629
24.3.13 5* 2.313
527 528 529
22.131 3.52.7 2.263 17.31 2*.3 .11 232
3.11.19 22.157 17.37
677 678 679
22.132 677 2.3.113 7.97
721 722 723 724 725 726
7.103 2.192 3.241
524 525 526
571 572 573 574 575 576 577 578 579
530
2.5.53
580
22. 5.29
630
2.32.5.7
680
531 532 533 534 535 536 537 538 539
32.59 22.7.19 13.41 2 .3 .8 9 5.107 23. 67
7.83 2.3 .9 7 11.53 23.73 32. 5.13 2.293 587 22 .3 .7 2 19.31
631 632 633 634 635 636 637 638 639
631 23. 79 3.211 2.317 5.127 2 2.3 .5 3 72.13 2.11.29 32.71
681 682 683 684 685
3.179 2.269 72 . l l
581 582 583 584 585 586 587 588 589
540
22 .3 8.5
590
2.5 .5 9
640
541 542 543
541 2.271 3.181
591 592 593
544 545 546
2S. 17 5.109 2 .3 .7 .1 3 547 22. 137 32. 61
594 595 596
3.197 2*.37 593 2 .3 3. 11 5.7.17 22. 149
641 642 643 644 645 646
597 598 599
3.199 2.13.23 599
647 648 649
514 515 516 517 518 519
547 548 549
22 . 32 .17
613
666
667 668
2.3.109 5.131 2*.41
673 2.337
2 ° .11
3 .5 .4 7 2.353 7.101 22.3.59 709
3.239 2.359 719
727 728 729
22.181 52.29 2.3.11* 727 23.7 .1 3 3«
23. 5.17
730
2 .5 .7 3
3.227 2.11.31 683
689
3.229 24.43 13.53
731 732 733 734 735 736 737 738 739
17.43 22.3.61 733 2.367 3 .5 .7 2 25. 23 11.67 2.32.41 739
27.5
690
2 .3 .5 .2 3
740
22.5.37
641 2.3.107 643
691 692 693 694 695 696
691 22.173 32.7.11
3.13.19 2.7.53 743
2.347 5.139 23. 3.29
697 698 699
17.41 2.349 3.233
741 742 743 744 745 746 747 748 749
22. 7.23 3.5 .4 3 2.17.19 647
28.34
11.59
686
687 688
33.52
2 2. 32 .19 5.137 2 .7 3
23. 3.31 5.149 2.373 32.83 22.11.17 7.107
59
750 — 1 000 n
součin
n
součin
n
součin
n
součin
n
součin
750
2.3.53
800
2». 5*
850
2.5*.17
900
2*. 3*. 5*
950
2.5*.19
751 752 753 754 755 756 757 758 759
751 24.47 3.251 2.13.29 5.151 2*. 3*. 7
3*. 89 2.401 11.73 2*. 3.67 5.7.23 2.13.31 3.269 23.101 809
851 852 853 854 855 856 857 858 859
23.37 2*. 3.71 853
2*.113 5.181 2.3.151 907 2*. 227 3*.101
951 952 953 954 955 956 957 958 959
3.317 2s . 7.17 953
2.7.61 3*. 5.19 2*. 107 857 2.3 .1 1 .1 3 859
901 902 903 904 905 906 907 908 909
17.53 2.11.41 3 .7 .4 3
757 2.379 3.11.23
801 802 803 804 805 806 807 808 809
760
23.5.19
810
2 .3 4. 5
860
2*. 5.43
910
2 .5 .7 .1 3
960
2 «.3.5
761 762 763
761 2.3.127 7.109 2*. 191 3*. 5.17 2.383
811 812 813 814 815 816
811 2*. 7.29 3.271
861 862 863 864 865
3.7.41 2.431 863
911 24. 3.19 11.83 2.457 3.5.61 2*. 229
961 962 963 964 965 966
13.59
19.43 2.409 3*.7.13
867 869
3.17* 2*.7.31 11.79
911 912 913 914 915 916 917 918 919
7.131 2.3*.17 919
967 968 969
31* 2.13.37 3*.107 2*. 241 5.193 2 .3 .7 .2 3 967 2 S. 11* 3.17.19
764 765 766
2.11.37 5.163 24. 3.17
866
2». 3* 5.173 2.433
2 .3 2. 53 5.191 22. 239 3.11.29 2.479 7.137
767 768 769
2 *.3
769
817 818 819
770
2.5.7.11
820
2*. 5.41
870
2 .3 .5 .2 9
920
23.5.23
970
2.5 .97
771 772 773 774 775 776 777 778 779
3.257 2*.193 773 2.3*.43 5*.31 2*. 97 3.7.37 2.389 19.41
821 822 823 824 825 826 827 828 829
821 2.3.137 823
871 872 873
13.67 2*. 109 3*. 97
921 922 923
971 972 973
2*.103 3 .5 * .11 2 .7.59 827 2*. 3*. 23 829
874 875 876 877 878 879
2.19.23 5*.7 2*. 3.73
924 925 926
877 2.439 3.293
927 928 929
3.307 2.461 13.71 2 2.3.7.11 5*. 37 2.463 32. 103 2S.29 929
977 978 979
971 2s. 3S 7.139 2.487 3 .5 2. 13 24. 61 977 2.3.163 11.89
780
22.3 .5 .13
830
2 .5.83
880
24 . 5.11
930
2.3.5.31
980
2*. 5.7»
781 782 783
3.277 2«. 13 7*. 17 2.3.139 5.167 2*.11.19
881 882 883 884 885
931 932 933
2*.13.17 3 .5 .5 9 2.443
934 935 936
787 22. 197 3.263
33.31 2.419 839
887 889
887 2*. 3.37 7.127
937 938 939
7*. 19 2*. 233 3.311 2.467 5.11.17 2 3 . 3*. 13 937 2 .7 .6 7 3.313
981 982 983 984 985 986 987 988 989
3*.109 2.491 983 23.3.41 5.197 2.17.29
787 788 789
831 832 833 834 835 836 837 838 839
881 2.3*.7* 883
784 785 786
11.71 2.17.23 3*. 29 2«. 7* 5.157 2.3.131
790
2 .5.79
840
23.3.5.7
890
2.5.89
940
2*. 5.47
990
2.3*.5.11
791 792 793 794 795 796
7.113 2*. 3*.11 13.61 2.397 3.5.53 2*. 199 797 2 .3 .7 .1 9 17.47
841 842 843 844 845 846 847 848 849
29* 2.421 3.281
34.11 2*.223 19.47 2.3.149 5.179 27.7
941 942 943 944 945 946
941 2.3.157 23.41 2«. 59 3*.5.7 2.11.43
7.11* 24.53 3.283
897 898 899
3.13.23 2.449 29.31
947 948 949
947 2*.3.79 13.73
991 992 993 994 995 996 997 998 999
991 2*. 31 3.331
5.13* 2.3*. 47
891 892 893 894 895 896
1 000
2 3 .5*
797 798 799
60
2*.211
868
886 888
974 975 976
3 .7 .4 7 2*.13.19 23.43
2.7.71 5.199 2«.3.83 997 2.499 33.37
4.2 H odnoty a logaritm y hodnot některých konstant n 1,4142 0,7071
}l2 1/ 2/2
n
log n
n
log n
0,1505
1/3
1,7321
0,2386
0,8495-1
1/3/2
0,8660
0,9375-1
V3/3
0,5774
0,7614-1
1^3/4
0,4330
j/3/6
0,2887
0,6365-1 0,4604-1
0,4971
1/tc
0,7982 1,0992
l / 2 ir 1/4 jr
0,3183 0,1592
0,2018-1
0,0796
0,9008-2
2,7183 0,3679
e
0,5029-1
log «
1/e
0,4343 0,5657-1
1/í /tt y1/271
0,5642 0,3989
0,7514-1
0,2821 0,7979
0,4504-1 0,9019-1
271
3,1416 6,2832
4tt
12,5664
tc/2
0,1961
2/ k
0,6366
0,8039-1
rc/3
1,5708 1,0472
Vi /4 tt ]/2fn
0,0200
3In
0,9549
0,9800-1
V3/tc
0,9772
0,9900-1
ir/4
0,7854
0,8951-1
4 /tz
1,2732
1,1284
0,0625
0,5236
0,7190-1
6/tt
1,9099
V ď/ tt
it/12
0,2618
1/12/7c
0,1405 0,2910
1,7581
1/180/tt
7,5694
0,8791
tt/360
0,0175 0,0087
12/tt 180/jt
1,3820 1,9544
7t/180
0,4180-1 0,2419-2
0,1049 0,2810 0,5820
1 4j n
TI16
2,0592
V 360/ti
47r/3
4,1888
0,3779-1
j/ 3 / 4 tt
ir
0,9408-3
360/tt
0,6221
3 / 4 tt
Hodnoty k . 2tt, kde k — 1, 2, 3,
3,8197 57,296 114,59 0,2387
10,705 0,6204
0,6009-1
Čísla
1,0296 0,7926-1
10, jsou uvedeny na str. 86 , 87 dole.
4.3 Faktoriály 0! 1! 2!
1 1 2 6
3! 4! 5!
61 7! 8! 9! 10!
24 120
21! 22!
1! 2!
1 2
3! 4! 5!
2 .3 23.3 2 3 .3 .5
23! 24! 25!
11 ! 12!
13! 14! 15!
51 090942 171709 440000 1124 000727 777607 680000 25852 016738 884976 640000 620448 401733 239439 360000 15 511210 043330 985984 000000
23! 24! 25!
21! 22!
720 5040 40320 362880 3 628800
6!
7! 8! 9! 10!
2 4.3 2.5 2 4 .3 2 .5 .7 27.3 2 .5 .7 2 7.3 4 .5 .7 2 8.3 4.5 2.7
11! 12!
13! 14! 15!
2 18.3 9.5 4 .73.11 .13.17.19 219.3 9.5 4 .73. I I 2. 13.17.19 2 19.3 9.5 4 .73. I I 2. 13.17.19.23 222. 310. 5 4. 73 . n 2 . 13.17.19.23 222. 310. 56. 73 . u 2. 13 . 17 . 19.23
39 916800 479 001600 6227 020800 87178 291200 1 307674 368000 26! 27! 28! 29! 30!
16! 17! 18! 19! 20!
403 291461 126605 635584 000000 10888 869450 418352 160768 000000 304888 344611 713860 501504 000000 8 841761 993739 701954 543616 000000 265 252859 812191 058636 308480 000000
2 8 .3 4 .5 2. 7 . 11 2 10.3 5.5 2. 7 . 11 210.35.52.7.11.13 2U.35.5 2.7 2.11.13 2n .38.53.7 2.11.13 26! 27! 28! 29! 30!
20 922789 888000 355 687428 096000 6402 373705 728000 121645 100408 832000 2 432902 008176 640000
16! 17! 18! 19!
20!
215.3«.5 3. 72.11.13
215 .36 .53 .72 .1 1 .1 3 .1 7
216.3 8.5 3.7 2.1 1 .1 3 .17 218.3 8.5 3.7 2.1 1 .1 3 .1 7 .19 218.3 8.5 4.7 2.11.13.17.19
2 2 3 .3 1 0 .5 6 .7 3 .n 2 .1 3 2 .1 7 .19.23 2 2 3 .3 1 3 .5 6 .7 3 .n 2 . 132 .1 7.1 9 .2 3 2 25 .313.56. 7 4. 112 .132 .1 7 .1 9 .23 2 25. 318 .5 6 .74 .1 1 2 .13 2 .1 7. 19 . 2 3 .2 9 2 26.314. 5 7 . 74 . 1 1 2 .1 3 2 .1 7 . 19 . 2 3 .2 9
61
4.4 n
Binom ičtí součinitelé (S)
(?)
1 2 3
1 1 1
2 3
1 3
1
4 5
1 1 1
4 5 6
6 10 15
4 10 20
1 5 15
1 6
1
9
1 1 1
7 8 9
21 28 36
35 56 84
35 70 126
21 56 126
7 28 84
1 8 36
1 9
1
10
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
6 7 8
4.5
©
©
©
©
©
(?)
©
©
(.o)
1
n 1 2 3
'
4 5 6 7 8 9 1
10
Mocniny čísla 2
n
2"
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 8 16 32 64 128 256 512
10 11 12 13 14 15 16 17 18
2” 1 024 2 048 4 096 8 192 16 384 32 768 65 536 131 072 262 144
n
2»
n
2"
n
2n
19 20 21 22 23 24 25 26 27
524 288 1 048 576 2 097 152 4 194 304 8 388 608 16 777 216 33 554 432 67 108 864 134 217 728
28 29 30 31 32 33 34 35 36
268 435 456 536 870 912 1 073 741 824 2 147 483 648 4 294 967 296 8 589 934 592 17 179 869 184 34 359 738 368 68 719 476 736
37 38 39 40 41 42 43 44 45
137 438 953 472 274 877 906 944 549 755 813 888 1 099 511 627 776 2 199 023 255 552 4 398 046 511 104 8 796 093 022 208 17 592 186 044 416 35 184 372 088 832
4.6 Pravidelné m nohoúhelníky n
r:a
r :
q
q:
a
í? : *
o :r
o:g
S
5 :r*
S : q*
3 4 5
0,5774 0,7071 0,8507
2,0000 1,4142 1,2361
0,2887 0,5000 0,6882
0,5000 0,7071 0,8090
5,1962 5,6569 5,8779
10,3923 8,0000 7,2654
0,4330 1,0000 1,7205
1,2990 2,0000 2,3776
5,1962 4,0000 3,6327
6 7 8 9
1,0000 1,1524 1,3066 1,4619
1,1547 1,1099 1,0824 1,0642
0,8660 1,0383 1,2071 1,3737
0,8660 0,9010 0,9239 0,9397
6,0000 6,0744 6,1229 6,1564
6,9282 6,7420 6,6274 6,5515
2,5981 3,6339 4,8284 6,1818
2,5981 2,7364 2,8284 2,8925
3,4641 3,3710 3,3137 3,2757
10
1,6180
1,0515
1,5388
0,9511
6,1813
6,4984
7,6942
2,9389
3,2492
11 12 13 14 15
1,7747 1,9319 2,0893 2,2470 2,4049
1,0422 1,0353 1,0299 1,0257 1,0223
1,7028 1,8660 2,0286 2,1906 2,3523
0,9595 0,9659 0,9709 0,9749 0,9781
6,1981 6,2117 6,2222 6,2306 6,2373
6,4598 6,4308 6,4084 6,3908 6,3767
9,3656 11,1962 13,1858 15,3345 17,6424
2,9735 3,0000 3,0207 3,0372 3,0505
3,2299 3,2154 3,2042 3,1954 3,1883
16 17 18 19
2,5629 2,7211 2,8794 3,0378
1,0196 1,0173 1,0154 1,0138
2,5137 2,6748 2,8356 2,9963
0,9808 0,9830 0,9848 0,9864
6,2429 6,2475 6,2513 6,2546
6,3652 6,3557 6,3478 6,3411
20,1094 22,7355 25,5208 28,4452
3,0615 3,0706 3,0782 3,0846
3,1826 3,1779 3,1739 3,1705
20
3,1962
1,0125
3,1569
0,9877
6,2574
6,3354
31,5688
3,0902
3,1677
24 48 96 192 384
3,8306 7,6449 15,2816 30,5591 61,1162
1,0086 1,0021 1,0005 1,0001 1,0000
3,7979 7,6285 15,2734 30,5550 61,1141
0,9914 0,9979 0,9995 0,9999 1,0000
6,2653 6,2787 6,2821 6,2829 6,2831
6,3193 6,2922 6,2854 6,2837 6,2833
45,5745 183,085 733,124 2933,28 11733,9
3,1058 3,1326 3,1394 3,1410 3,1415
3,1597 3,1461 3,1427 3,1419 3,1417
63
5 F U N K C E x^x3 5.1
D ruhá m ocnina a odm ocnina
V tabulce 5.1 jsou uvedeny hodnoty funkce y = x2, zaokrouhlené na čtyři platné číslice, pro x rostoud po 0,01 v intervalu <1,00; 10,09). Má-li číslo jen dvč (tři) platné čislice, pak i jeho druhá mocnina má jen dvě (tři) platné číslice. Vyhledávání hodnot je popsáno na str. 52.
Příklady: 2,2462
5,018 ... řádek 2,2, sloupec 4 + 27 ... sloupec 6 oprav 5,045
9,3002 == 86,49 ... řádek 9,3, sloupec 0 Má-li 9,3 jen dvč platné číslice, je 9,32 r= 86. Máme-li určit druhou mocninu čísla n, které není z intervalu <1,00; 10,09), napíšeme n jako součin »o • 10*, kde no je číslo z intervalu <1,00; 10,09) a k je celé číslo. Pak n2 = n%. 102*.
Příklady: 80822 = (8,082 . 103)2 = 8,0822 . 10« = 65,32 . 10« 0,015072 = (1,507 . 10-2)2 = 1,5072 . 10-“ = 2,272 . 10~4 Tabulka 5.1 slouží také k hledání druhých odm ocnin čísel. Najdeme-li v tabulce hodnot číslo, jehož druhou odmocninu hledáme, čteme v záhlaví příslušného řádku první dvě platné číslice a v záhlaví příslušného sloupce třetí platnou ďslid. Není-li dané číslo v tabulce, najdeme odmocninu z čísla nejbližšího k danému číslu nebo určíme čtvrtou platnou d slid pomod tabulek oprav v pravé části tabulek.
Příklady: 1/9,734 = 3,12 9,734 ... řádek 3,1, sloupec 2 ^2345 = 1,531 2,341 ... řádek 1,5, sloupec 3 4 ... k diferend 4 nejbližší oprava 3 ve sloupd 1 Uvedeným postupem hledáme druhé odmocniny čísel z intervalu <1,00; 99,80). Máme-li určit druhou odmocninu z čísla n, které není z uvedeného intervalu, vyjádříme n jako součin no . 102*, kde «0 je z in tervalu <1,00; 99,80) (má před desetinnou čárkou jednocifernou nebo dvojdfemou skupinu číslic). Pak j/«o. 102* = ^«o . 10*.
Příklady: ^885,7 = V'8,857. 102 = j/8,857 . 10 = 29,76 ý š 857" = j/88,57 . 102 = ^8837 . 10 = 9,411. 10 = 94,11 y57004 955 = y49,55 . 10-4 = ^49,55 . 10'2 = 7,039 . 1 0 '2 = 0,070 39 Druhá odmocnina má právě tolik platných číslic, jako odmocňované číslo. Např. ^43,00 = 6,558, J/43 = 6,6. Na str. 70 je sestrojen graf funkce y = x2, pomod něhož můžeme odhadovat druhé mocniny a druhé odmocniny, a který umožňuje grafické řešení kvadratické rovnice (str. 54).
64
5.2 T ře tí m ocnina a odm ocnina V tabulce 5.2 jsou uvedeny hodnoty funkce y — xz, zaokrouhlené na čtyři platné číslice, pro x rostoucí po 0,01 v intervalu <1,00; 10,09). Úprava tabulky a postup při hledání třetích mocnin a třetích odmocnin je obdobný jako při hledání dru hých mocnin a odmocnin. Význam tečkované čáry mezi hodnotami funkce a vypočtenými opravami je vysvětlen na str. 52. Máme-li určit třetí mocninu čísla n, které není z intervalu <1,00; 10,09), napíšeme ti jako součin « o -10*, kde no je číslo z intervalu <1,00; 10,09) a k je celé číslo; pak n3 — t il . I®3*Máme-li určit třetí odmocninu z čísla n, které není z intervalu <1,00; 997,0), vyjádříme n jako součin «o. 103Ar, kde no je z intervalu <1,00; 997,0) (má před desetinnou čárkou jednocifernou až třícifernou skupinu číslic); pak . 3 ___________
}/TIq
.
103*
3 _
=
}/„0 . 10* .
Třetí mocnina a třetí odmocnina čísel, která mají čtyři (tři, dvě, jednu) platné číslice, má rovněž čtyři (tři, dvě, jednu) platné aslice. P říklad y : 2,3673 13jl4 + 0jl2 = 13,26 67,83» = (6,783 . 10)3 = 6,7833 . 103 ^ 312,1 . 103 = 312 100 8,043 = 520 (8,04 i 520 mají po třech platných číslicích) 3 _______
^482,5 ==7,843 481,9 ... řádek 7,8, sloupec 4 6 ... diference 6 ve sloupci 3 oprav 3 _________ 3 ____________________3 ______________
|/0,2182 = |/218,2 . ÍO-3 = ]/218,2 . 10-1 = 6,02 . 10“1 = 0,602 Na str. 70 je sestrojen graf funkce y — x:i, pomocí něhož můžeme odhadovat třetí mocniny a třetí od mocniny a který umožňuje grafické řešení rovnic třetího stupně (viz př. na str. 54).
5.1
D ruhá m ocnina Většímu n odpovídá větší n*.
tl
0
1,0
1,000
1,020 1,040 1,061
1,082 1,103 1,124
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
1,210 1,440 1,690
1,232 1,254 1,277 1,464 1,488 1,513 1,716 1,742 1,769
1,960 2,250 2,560
1,7 1,8 1,9
1
2
4
6
8 10 13
15 17 19
1,300 1,323 1,346 1,538 1,563 1,588 1,796 1,823 1,850
1,369 1,392 1,416 1,613 1,638 1,664 1,877 1,904 1,932
2 2 3
5 5 5
9 11 14 10 12 15 11 13 16
16 18 21 17 20 22 19 22 24
1,988 2,016 2,045 2,280 2,310 2,341 2,592 2,624 2,657
2,074 2,103 2,132 2,372 2,403 2,434 2,690 2,723 2,756
2,161 2,190 2,220 2,465 2,496 2,528 2,789 2,822 2,856
3 3 3
7 7 8 6 9 6 9 7 10
12 14 17 12 15 19 13 16 20
20 23 26 22 25 28 23 26 30
2,890 3,240 3,610
2,924 2,958 2,993 3,276 3,312 3,349 3,648 3,686 3,725
3,028 3,063 3,098 3,386 3,423 3,460 3,764 3,803 3,842
3,133 3,168 3,204 3,497 3,534 3,572 3,881 3,920 3,960
3 4 4
7 10 7 11 8 12
14 17 21 15 18 22 16 19
24 28 31 26 30 33 27 31 35
2,0
4,000
4,040 4,080 4,121
4,162 4,203 4,244
4,285 4,326 4,368
4
8 12
16 20 25
29 33 37
2,1 2,2 2,3
4,410 4,840 5,290
4,452 4,494 4,537 4,884 4,928 4,973 5,336 5,382 5,429
4,580 4,623 4,666 5,018 5,063 5,108 5,476 5,523 5,570
4,709 4,752 4,796 5,153 5,198 5,244 5,617 5,664 5,712
4 4 5
9 13 9 13 9 14
17 21 26 18 22 27 19 23 28
30 34 39 31 36 40 33 38 42
2,4 2,5 2,6
5,760 6,250 6,760
5,808 5,856 5,905 6,300 6,350 6,401 6,812 6,864 6,917
5,954 6,003 6,052 6,452 6,503 6,554 6,970 7,023 7,076
6,101 6,150 6,200 6,605 6,656 6,708 7,129 7,182 7,236
5 10 15 5 10 15 5 11 16
20 24 29 20 25 31 21 26 32
34 39 44 36 41 46 37 42 48
2,7 2,8 2,9
7,290 7,840 8,410
7,344 7,398 7,453 7,896 7,952 8,009 8,468 8,526 8,585
7,508 7,563 7,618 8,066 8,123 8,180 8,644 8,703 8,762
7,673 7,728 7,784 8,237 8,294 8,352 8,821 8,880 8,940
5 11 16 6 11 17 6 12 18
22 27 33 23 28 34 24 29 35
38 14 49 40 46 51 41 47 53
3,0
9,000
9,060 9,120 9,181
9,242 9,303 9,364
9,425 9,486 9,548
6 12 18
24 30 37
43 49 55
3,1 3,1 3,2 3,3
9,610
9,672 9,734 9,797
9,860 9,923 9,986
10,24 10,89
10,30 10,37 10,43 10,96 11,02 11,09
10,50 10,56 10,63 11,16 11,22 11,29
10,05 10,11 10,18 10,69 10,76 10,82 11,36 11,42 11,49
6 13 19 1 1 2 1 1 2 1 1 2
25 31 38 3 3 4 3 3 4 3 3 4
44 50 56 5 5 6 5 5 6 5 5 6
3,4 3,5 3,6
11,56 12,25 12,96
11,63 11,70 11,76 12,32 12,39 12,46 13,03 13,10 13,18
11,83 11,90 11,97 12,53 12,60 12,67 13,25 13,32 13,40
12,04 12,11 12,18 12,74 12,82 12,89 13,47 13,54 13,62
1 1 1
1 1 1
2 2 2
3 3 3
3 4 4
4 4 4
5 5 5
6 6 6
6 6 7
3,7 3,8 3,9
13,69 14,44 15,21
13,76 13,84 13,91 14,52 14,59 14,67 15,29 15,37 15,44
13,99 14,06 14,14 14,75 14,82 14,90 15,52 15,60 15,68
14,21 14,29 14,36 14,98 15,05 15,13 15,76 15,84 15,92
1 2 1 2 1 2
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
5 5 6
6 6 6
7 7 7
4,0
16,00
16,08 16,16 16,24
16,32 16,40 16,48
16,56 16,65 16,73
1
2
2
3
4
5
6
6
7
4,1 -»,2 4,3
16,81 17,6-1 18,49
16,89 16,97 17,06 17,72 17,81 17,89 18,58 18,66 18,75
17,14 17,22 17,31 17,98 18,06 18,15 18,84 18,92 19,01
17,39 17,47 17,56 18,23 18,32 18,40 19,10 19,18 19,27
1 2 1 2 1 2
2 3 3
3 3 3
4 1 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
7 8 8
4,4 4,5 4,6
19,36 20,25 21,16
19,45 19,54 19,62 20,34 20,43 20,52 21,25 21,34 21,44
19,71 19,80 19,89 20,61 20,70 20,79 21,53 21,62 21,72
19,98 20,07 20,16 20,88 20,98 21,07 21,81 21,90 22,00
1 2 1 2 1 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
5 5 6
6 7
6
7 7 7
8 8 8
4,7 4,8 4,9
22,09 23,04 24,01
22,18 22,28 22,37 23,14 23,23 23,33 24,11 24,21 24,30
22,47 22,56 22,66 23,43 23,52 23,62 24,40 24,50 24,60
22,75 22,85 22,94 23,72 23,81 23,91 24,70 24,80 24,90
1 2 1 2 1 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
5,0
25,00
25,10 25,20 25,30
25,40 25,50 25,60
25,70 25,81 25,91
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5,1 5,2 5,3
26,01 27,04 28,09
26,11 26,21 26,32 27,14 27,25 27,35 28,20 28,30 28,41
26,42 26,52 26,63 27,46 27,56 27,67 28,52 28,62 28,73
26,73 26,83 26,94 27,77 27,88 27,98 28,84 28,94 29,05
1 2 1 2 1 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 9 8 9 9 10
5,4 5,5
29,16 30,25
29,27 29,38 29,48 30,36 30,47 30,58
29,59 29,70 29,81 30,69 30,80 30,91
29,92 30,03 30,14 31,02 31,14 31,25
1 2 1 2
3 3
4 4
6 6
7 7
8 8
9 10 9 10
n
0
2
3
4
5
6
7
8
5
6
6
7
8
7
8
9
9
1
23
Posune-li se v čísle n desetinná čárka o jedno m ísto, posune se desetinná čárka v čísle n s o dvě místa.
66
7
9
1,145 1,166 1,188
4
5
8
3 1 4
3
4
6
2
2
3
5
1
1
2
9
5.1
D ruhá m ocnina y =
x*
Většímu n odpovídá větší n 2.
1 2
3
4
5
6
7 8
31,02 31,14 31,25 32,15 32,26 32,38
1 1
2 2
3 3
4 5
6 6
7 7
8 8
32,95 33,06 33,18 34,11 34,22 34,34 35,28 35,40 35,52
33,29 33,41 33,52 34,46 34,57 34,69 35,64 35,76 35,88
1 1 1
2 2 2
3 4 4
5 6 5 6 5 6
7 7 7
8 9 10 8 9 11 8 10 11
36,12 36,24 36,36
36,48 36,60 36,72
36,84 36,97 37,09
1
2
4
5
6
7
9 10 11
37,33 38,56 39,82 41,09 42,38 43,69 45,02 46,38 47,75
37,58 38,81 40,07 41,34 42,64 43,96 45,29 46,65 48,02
37,70 37,82 37,95 38,94 39,06 39,19 40,20 40,32 40,45
38,07 38,19 38,32 39,31 39,44 39,56 40,58 40,70 40,83
7 8 8
9 10 11 9 10 11 9 10 11
41,47 41,60 41,73 42,77 42,90 43,03 44,09 44,22 44,36
5 6 8 5 7 8 5 7 8
9 10 12 9 10 12 9 11 12
45,43 45,56 45,70 46,79 46,92 47,06 48,16 48,30 48,44
41,86 43,16 44,49 45,83 47,20 48,58
4 4 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4
5 6 5 6 5 6
6,9
37,21 38,44 39,69 40,96 42,2$ 43,56 44,89 46,24 47,61
5 7 8 5 7 8 6 7 8
9 11 12 10 11 12 10 11 13
7,0
49,00
49,14 49,28 49,42
49,56 49,70 49,84
49,98 50,13 50,27
1
4
6
7 8
10 11 13
7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9
50,41 51,84 53,29 54,76 56,25 57,76 59,29 60,84 62,41
50,55 51,98 53,44 54,91 56,40 57,91 59,44 61,00 62,57
50,98 52,42 53,88 55,35 56,85 58,37
3 4 3 4 3 4 1 3 4 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5
6 6 6
10 11 13 10 12 13 10 12 13
6 6 6
7 9 7 9 7 9 7 9 8 9 8 9
59,91 60,06 60,22 61,47 61,62 61,78 63,04 63,20 63,36
51,41 52,85 54,32 55,80 57,30 58,83 60,37 61,94 63,52
6 6 6
8 9 8 9 8 10
11 12 14 11 13 14 11 13 14
8,0
64,00
64,16 64,32 64,48
64,64 64,80 64,96
65,12 65,29 65,45
2
3
5
6
8 10
11 13 14
8,1 8,2
65,61 67,24 68,89
66,10 67,73 69,39 71,06 72,76 74,48
66,26 66,42 66,59 67,90 68,06 68,23 69,56 69,72 69,89
5 5 5 5 5 5
8 10 8 10 8 10
11 13 15 12 13 15 12 13 15
7 8 10 7 9 10 7 9 10
12 14 15 12 14 15 12 14 16
75,86 76,04 76,21 77,62 77,79 77,97 79,39 79,57 79,74
76,39 76,56 76,74 78,15 78,32 78,50 79,92 80,10 80,28
76,91 77,09 77,26 78,68 78,85 79,03 80,46 80,64 80,82
5 5 5
7 7 7
9 11 9 11 9 11
12 14 16 12 14 16
8,9
75,69 77,44 79,21
3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 2 4 2 4
7 7 7
71,23 71,40 71,57 72,93 73,10 73,27 74,65 74,82 75,00
66,75 68,39 70,06 71,74 73,44 75,17
2 2 2
70,56 72,25 73,96
65,77 67,40 69,06 70,73 72,42 74,13
13 14 16
9,0
81,00
81,18 81,36 81,54
81,72 81,90 82,08
82,26 82,45 82,63
2
4
5
7
9 11
13 14 16
9,1 9,2 9,3
82,81 84,64 86,49
83,91 85,75 87,61 89,49 91,39 93,32
2 2 2
4 5 4 6 4 6
7 9 11 7 9 11 7 9 11
88,36 90,25 92,16 94,09 96,04 98,01
83,54 85,38 87,24 89,11 91,01 92,93
84,09 84,27 84,46 85,93 86,12 86,30 87,80 87,98 88,17
9,4 9,5 9,6
82,99 83,17 83,36 84,82 85,01 85,19 86,68 86,86 87,05 88,55 88,74 88,92 90,44 90,63 90,82 92,35 92,54 92,74
89,68 89,87 90,06 91,58 91,78 91,97 93,51 93,70 93,90
2 2 2
4 6 4 6 4 6
8 9 11 8 10 11 8 10 12
13 15 16 13 15 17 13 15 17 13 15 17 13 15 17 14 15 17
94,28 94,48 94,67 96,24 96,43 96,63 98,21 98,41 98,60
94,87 95,06 95,26 96,83 97,02 97,22 98,80 99,00 99,20
95,45 95,65 95,84 97,42 97,61 97,81 99,40 99,60 99,80
2 2 2
4 6 4 6 4 6
8 10 12 8 10 12 10 12
8
14 16 18 14 16 18 14 16 18
2
4
6
8 10 12
14 16 18
1 2
3
4
n
0
5,5 5,6
30,36 30,47 30,58 31,47 31,58 31,70
30,69 30,80 30,91 31,81 31,92 32,04
5,7 5,8 5,9
30,25 31,36 32,49 33,64 34,81
32,60 32,72 32,83 33,76 33,87 33,99 34,93 35,05 35,16
6,0
36,00
6,1 6,2
6,3 6,4 6,5 6,6
6,7 6,8
8,3 8,4 8,5 8,6
8,7 8,8
9,7 9,8 9,9
1
2
37,45 38,69 39,94 41,22 42,51 43,82 45,16 46,51 47,89
50,69 52,13 53,58 55,06 56,55 58,06 59,60 61,15 62,73
65,93 67,57 69,22 70,90 72,59 74,30
3
50,84 52,27 53,73 55,20 56,70 58,22 59,75 61,31 62,88
4
5
51,12 52,56 54,02 55,50 57,00 58,52
83,72 85,56 87,42 89,30 91,20 93,12
6
51,27 52,71 54,17 55,65 57,15 58,68
7
8
41,99 43,30 44,62 45,97 47,33 48,72
51,55 53,00 54,46 55,95 57,46 58,98 60,53 62,09 63,68
66,91 68,56 70,22 71,91 73,62 75,34
9
42,12 43,43 44,76 46,10 47,47 48,86
51,70 53,14 54,61 56,10 57,61 59,14 60,68 62,25 63,84
67,08 68,72 70,39 72,08 73,79 75,52
10,0 100,00 100,20 100,40 100,60 100,80 101,00 101,20 101,40 101,61 101,81 n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 1 3 1 3
3
1 1 1
5
6
9|
9 10 9 10
10 12 13 11 12 14 11 12 14
7 8
9
Posune-li se v čísle n desetinná čárka o jedno m ísto, posune se desetinná čárka v čísle n 2 o dvě místa.
67
5.2
T řetí m ocnina y —x1 Vétšímu n odpovídá větší n3.
2
6
1,0
1,000
1,030 1,061 1,093
1,125 1,158 1,191
1,1 1,2
1,331 1,728 2,197 2,744 3,375 4,096
1,368 1,405 1,443 1,772 1,816 1,861 2,248 2,300 2,353
1,482 1,907 2,406 2,986 3,652 4,411 5,268 6,230 7,301
1,561 2,000 2,515 3,112 3,796 4,574 5,452 6,435 7,530
1
2 3
4
1,225 1,260 1,295
: 3
7 10
13 17 20
23 26 30
1,602 1,643 1,685 2,048 2,097 2,147 2,571 2,628 2,686 3,308 4,020 4,827 5,735 6,751 7,881
: 4 8 12 : 5 9 14 : 5 11 16 : 6 13 19 : 7 14 22 : 8 16 25 : 9 18 28 : 10 21 31 :11 23 34
16 20 24 19 23 28 22 27 33 25 32 38 29 36 43 33 41 49 37 46 55 41 51 62 46 57 68
28 33 38 44 50 57 64 72 80
8,870 8,999 9,129
:13 25 38
50 63 76 88 101 113
41 4 5 5 5
54 68 81 95 108 122 6 7 9 10 11 13 6 8 9 11 12 14 7 8 10 12 13 15 7 9 11 13 14 16 8 10 12 14 16 18 8 11 13 15 17 19 9 11 14 16 18 20 10 12 15 17 20 22 10 13 16 18 21 23 11 14 17/ 20 22 25
3,177 3,870 4,657 5,545 6,539 7,645
8
3,242 3,944 4,742 5,640 6,645 7,762
9
1,9
4,913 5,832 6,859
2,0
8,000
8,121 8,242 8,365
9,261
9,394 9,528 9,664
9,800 9,938
10,65 12,17
10,79 10,94 11,09 12,33 12,49 12,65
10,08 11,24 11,39 11,54 12,81 12,98 13,14
10,22 10,36 10,50 11,70 11,85 12,01 13,31 13,48 13,65
13,82 15,63 17,58
1,6
1,7 1,8
2,1 2,1 2,2
2,3 2,4 2,5
2,924 3,582 4,331 5,178 6,128 7,189
1,521 1,953 2,460 3,049 3,724 4,492 5,359 6,332 7,415
7
2,803 3,443 4,173 5,000 5,930 6,968
1,4 1,5
2,863 3,512 4,252 5,088 6,029 7,078
3
5
0
1,3
1
4
n
8,490 8,615 8,742
:14 27 1 3 2 3 2 3 2 4 2 4 2 4
5
6 i
7 8
1
33 37 38 42 44 49 50 58 65 74 82 91
57 65 74 83 93 103
15,07 15,25 15,44 16,97 17,17 17,37 19,03 19,25 19,47
2,9
14,35 16,19 18,19 20,35 22,67 25,15
14,53 14,71 14,89 16,39 16,58 16,78 18,40 18,61 18,82
19,68 21,95 24,39
14,00 15,81 17,78 19,90 22,19 24,64
20,57 20,80 21,02 22,91 23,15 23,39 25,41 25,67 25,93
21,25 21,48 21,72 23,64 23,89 24,14 26,20 26,46 26,73
3
5 7 D 7 5 8
3,0
27,00
27,27 27,54 27,82
28,09 28,37 28,65
28,93 29,22 29,50
3
6
3,1 3,2 3,3
29,79 32,77 35,94 39,30 42,88 46,66
30,08 30,37 30,66 33,08 33,39 33,70 36,26 36,59 36,93
41,78 42,14 42,51 45,50 45,88 46,27 49,43 49,84 50,24
3 6 9 3 6 10 3 7 10 4 7 11 4 8 11 4 8 12
13 13 14 15 16
51,06 51,48 51,90 55,31 55,74 56,18 59,78 60,24 60,70
31,55 34,65 37,93 41,42 45,12 49,03 53,16 57,51 62,10
31,86 32,16 32,46 34,97 35,29 35,61 38,27 38,61 38,96
50,65 54,87 59,32
30,96 34,01 37,26 40,71 44,36 48,23 52,31 56,62 61,16
53,58 54,01 54,44 57,96 58,41 58,86 62,57 63,04 63,52
4 8 13 4 9 13 5 9 14
17 21 25 18 22 27 19 23 28
24 25 27 28 30 31 33
4,0
64,00
64,48 64,96 65,45
65,94 66,43 66,92
67,42 67,92 68,42
5 10 15
20 25 30
34 39 44
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,6 4,7 4,8 4,9
68,92 74,09 79,51 85,18 91,13 97,34
69,43 74,62 80,06 85,77 91,73 97,97
70,96 76,23 81,75 87,53 93,58 99,90
71,99 77,31 82,88 88,72 94,82
72,51 77,85 83,45 89,31 95,44
73,03 78,40 84,03 89,92 96,07
73,56 78,95 84,60 90,52 96,70
5 10 16 5 11 16 6 11 17 : 6 12 18 : 6 12 19 : 6 13 19
21 26 31 22 27 33
100,5 101,2
117,6
106,5 107,2 107,9 113,4 114,1 114,8 120,6 121,3 122,0
102,5 109,2 116,2 123,5
103,2 109,9 116,9 124,3
1
104,5 105,2 105,8 111,3 112,0 112,7 118,4 119,1 119,8
101,8 108,5 115,5 122,8
1
103,8
1 1 1
36 41 47 38 43 49 40 45 51 42 48 54 44 50 56 45 51 58 5 5 6 5 5 6 5 6 6 5 6 7
5,0
125,0
125,8 126,5 127,3
128,0 128,8 129,6
130,3 131,1 131,9
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5
132,7 140,6 148,9
133,4 134,2 135,0 141,4 142,2 143,1 149,7 150,6 151,4
135,8 136,6 137,4 143,9 144,7 145,5 152,3 153,1 154,0
157,5 166,4
158,3 159,2 160,1 167,3 168,2 169,1
161,0 161,9 162,8 170,0 171,0 171,9
138,2 146,4 154,9 163,7 172,8
139,0 147,2 155,7 164,6 173,7
139,8 148,0 156,6 165,5 174,7
n
0
7
8
9
2,6
2,7 2,8
3,4 3,5 3,6 3.7 3,8 3,9
110,6
14,17 16,00 17,98 20,12 22,43 24,90
39,65 40,00 40,35 43,24 43,61 43,99 47,05 47,44 47,83
1
69,93 75,15 80,62 86,35 92,35 98,61
2
70,44 75,69 81,18 86,94 92,96 99,25
3
4
31,26 34,33 37,60 41,06 44,74 48,63 52,73 57,07 61,63
71,47 76,77 82,31 88,12 94,20
5
6
2 2
6 6
8
12 15 18 20 21
23 24
34
21 24 27 22 25 29
27 29 30 32
2
3
1 2 1 2 1 2
3 3 3
1
2
2
3 4
5
5 6
1 1 1
2 2 2
2 2
5 5 5
6 6 6
1 1
2 2
3 3
•3 4 3 4 3 4 4 4 4 5
5
6 6
1 2 3
4
6
5 6
30
32 34 36 34 38 36 40 37 42
36 37 38 4 4 4 4
Posunc-li se v čísle n desetinná čárka o jedno místo, posune se desetinná č ý k a v čísle n 3 o tři místa.
68
19
28 30 31 32 3 3 4 4
3
23 24 25 26
16 17 18 19 20
7
6 7 7 7 7 8 7 8 7
7 8
8
9
5.2 T řetí m ocnina y = Většímu ti odpovídá větší n 3. 0
1 5,5 ” , 166,4
1
2 168,2 177,5 187,1 197,1 207,5
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
173,7 183,3 193,1 203,3 213,8
174,7 184,2 194,1 204,3 214,9
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
6 7 8 7 8 9
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 6 5 6 5 6
7 8 7 8 7 8
5/> 5,7 5,8 5,9
175,6 185,2 195,1 205,4
167,3 176,6 186,2 196,1 206,4
169,1 178,5 188,1 198,2 208,5
189,1 190,1 191,1 199,2 200,2 201,2 209,6 210,6 211,7
172,8 182,3 192,1 202,3 212,8
6,0
216,0
217,1 218,2 219,3
220,3 221,4 222,5
223,6 224,8 225,9
1
2
3
4
5
7
8
6,1 6,2
227,0 238,3 250,0 262,1 274,6 287,5
228,1 239,5 251,2 263,4 275,9 288,8
230,3 241,8 253,6 265,8 278,4 291,4
231,5 232,6 233,7 243,0 244,1 245,3 254,8 256,0 257,3
234,9 236,0 237,2 246,5 247,7 248,9 258,5 259,7 260,9
1 1 1
2 2 2
3 3 4
6 6 6
7 7 7
8 9 10 8 9 11 8 10 11
267,1 268,3 269,6 279,7 281,0 282,3 292,8 294,1 295,4
270,8 272,1 273,4 283,6 284,9 286,2 296,7 298,1 299,4
1 1 1
2
4 4 4
6 6
7
3 3
5 5 5 5 5 5
9 10 11 9 10 12 9 11 12
302,1 303,5 304,8 315,8 317,2 318,6 329,9 331,4 332,8
306,2 307,5 308,9 320,0 321,4 322,8 334,3 335,7 337,2
310,3 311,7 313,0 324,2 325,7 327,1 338,6 340,1 341,5
1 1 1
3 3 3
4 4 4
5 6 6
7 7 7
8 8
6,9
300,8 314,4 328,5
9
10 11 12 10 11 13 10 12 13
7,0
343,0
344,5 345,9 347,4
348,9 350,4 351,9
353,4 354,9 356,4
1
3 4
6
7
9
10 12 13
7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9
357,9 373,2 389,0 405,2 421,9 439,0
362,5 377,9 393,8 410,2 427,0 444,2 461,9 480,0 498,7
364,0 365,5 367,1 379,5 381,1 382,7 395,4 397,1 398,7
371,7 387,4 403,6 420,2 437,2 454,8
2 2 2
3 3 3
5 5 5
6 6 6
8 9 8 0 8 10
11 12 14 11 13 14 11 13 15
411,8 413,5 415,2 428,7 430,4 432,1 445,9 447,7 449,5
368,6 384,2 400,3 416,8 433,8 451,2
2 2 2
3 3 4
12 13 15 12 14 15 12 14 16
463,7 465,5 467,3 481,9 483,7 485,6 500,6 502,5 504,4
469,1 470,9 472,7 487,4 489,3 491,2 506,3 508,2 510,1
2 2 2
4 4 4
5 5 5 5
7 8 10 7 9 11 7 9 11
456,5 474,6 493,0
359,4 374,8 390,6 406,9 423,6 440,7 458,3 476,4 494,9
6 6
7 7 8
9 11 9 11 9 11
13 14 16 13 15 17 13 15 17
8,0
512,0
513,9 515,8 517,8
519,7 521,7 523,6
525,6 527,5 529,5
2
4
6
8 10 12
14 16 17
8,1 8,2
531,4 551,4 571,8 592,7 614,1 636,1
533,4 535,4 537,4 553,4 555,4 557,4 573,9 575,9 578,0
543,3 563,6 584,3 605,5 627,2 649,5
545,3 547,3 549,4 565,6 567,7 569,7 586,4 588,5 590,6
2 2 2
14 14 15 15 15 16
8,9
658,5 681,5 705,0
660,8 663,1 665,3 683,8 686,1 688,5 707,3 709,7 712,1
667,6 669,9 672,2 690,8 693,2 695,5 714,5 716,9 719,3
674,5 676,8 679,2 697,9 700,2 702,6 721,7 724,2 726,6
4 6 4 6 4 6 2 4 6 2 4 7 2 4 7 2 5 7 2 5 7 2 5 7
8 10 12 8 10 12 8 10 13
594,8 596,9 599,1 616,3 618,5 620,7 638,3 640,5 642,7
539,4 559,5 580,1 601,2 622,8 645,0
11 14 12 14 10 12 14
16 18 21 16 19 21 17 19 22
9,0
729,0
731,4 733,9 736,3
738,8 741,2 743,7
746,1 748,6 751,1
2
5
7
10 12 15
17 20 22
9,1 9,2 9,3
753,6 778,7 804,4
8 8 8
11 13 16 11 14 16 11 14 17
18 20 23 18 21 23 18 21 24 19 21 24 19 22 25 20 22 25
924,0 926,9 929,7 952,8 955,7 958,6 982,1 985,1 988,0
3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 6 3 6 3 6 3 6
10 13 15 10 13 15 10 13 16
915,5 918,3 921,2 944,1 947,0 949,9 973,2 976,2 979,1
771,1 796,6 822,7 849,3 876,5 904,2 932,6 961,5 991,0
8 8 8
830,6 857,4 884,7 912,7 941,2 970,3
761,0 786,3 812,2 838,6 865,5 893,1
763,6 766,1 768,6 788,9 791,5 794,0 814,8 817,4 820,0
9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9
756,1 781,2 807,0 833,2 860,1 887,5
9 9 9
11 14 17 12 15 17 12 15 18
20 23 26 20 23 26 21 24 27
3
6
9
12 15 18
21 24 27
1
2
3
6,3 6,4 6,5 6,6
6,7 6,8
8,3 8,4 8,5 8,6
8,7 8,8
10,0
B
229,2 240,6 252,4 264,6 277,2 290,1
360,9 376,4 392,2 408,5 425,3 442,5 460,1 478,2 496,8
758,6 783,8 809,6 835,9 862,8 890,3
1000,0 1003,0 1006,0 1009,0 0
1
2
3
170,0 171,0 171,9 179,4 180,4 181,3
541,3 561,5 582,2 603,4 625,0 647,2
841,2 843,9 846,6 868,3 871,0 873,7 895,8 898,6 901,4
1012,01015,1 1018,1 4
5
6
370,1 385,8 401,9 418,5 435,5 453,0
607,6 609,8 612,0 629,4 631,6 633,8 651,7 654,0 656,2
773,6 799,2 825,3 852,0 879,2 907,0 935,4 964,4 994,0
776,2 801,8 827,9 854,7 882,0 909,9 938,3 967,4 997,0
1021,1 1024,2 1027,2 7
8
9
9 9 9 9 9
4
7
8 8
11 13 11 13 11 13
5 6
9 9 9
9 10
16 18 16 18 17 19 17 19 18 20 18 20
7 8
9
Posune-li se v čísle n desetinná čárka o jedno m ísto, posune se desetinná čárka v čísle n 3 o tři místa.
69
70
6 PŘEVODY JEDNOTEK VELIKOSTÍ
ÚHLŮ
Velikosti úhlů se udávají v různých jednotkách: v radiánech (rad), ve stupních (°), v gradech (g) a v díl' cích (ů). Přitom platí: plný úhel = 4 R ^ 2n rad = 360° = 400« = 6 000d . K vyjádření velikostí úhlů v různých jednotkách slouží tabulky 6.1 - 6.4.
6.1
Převod stupňů na radiány
Radián (1 rad) je rovinný úhel, sevřený dvěma poloměry kruhu, které vytínají na obvodě kruhu oblouk stejné délky jako je poloměr. Je tedy 1 rad =
71
= 57°17'45" .
K vyjádření velikosti úhlu ve stupních, je-li dána velikost úhlu v radiánech a obráceně, používáme dále uvedené vztahy nebo tabulky. Je-li a číselná hodnota velikosti úhlu ve stupních a x je číselná hodnota velikosti úhlu v radiánech, pak „ a
* . 180° = 7U a ° . 7t
180° V tabulce 6.1 jsou uspořádány číselné hodnoty velikostí úhlů od 0° do 180° rostoucí po 1°, od 0' do 60 rostoucí po 1' a od 0" do 60" rostoucí po 1" a jim odpovídající číselné hodnoty velikostí úhlů v radiánech.
Příklady: Velikost úhlu 164°36'12" vyjádřete v radiánech: 164° 36'
... 2,86234 rad ... 0,01047 20 rad 12" ... 0,00005 82 rad
164°36'12" = 2,87287
rad
Velikost úhlu 2,87287 rad vyjádřete ve stupňové míře. nejblíže nižší hodnota radiánů 2,87287 rad (ve sloupci se stupni) ... —2,86234 rad ... 164° 0,01053 rad nejblíže nižší hodnota radiánů (ve sloupci s minutami)
... —0,01047 rad ...
36'
0,00006 rad nejbližší hodnota radiánů (ve sloupci s vteřinami) 2,87287 rad = 164°36'12"
...
0,000058 rad ... 12"
Jsou-li velikosti úhlů ve stupňové míře aproximovány, mají číselné hodnoty velikostí úhlů v radiánech menší počet desetinných míst:
71
Velikost úhlu zaokrouhlena na
desítky stupňů
desítky minut
stupně
desítky vteřin,
minuty
vteřiny Číselná hodnota velikosti v radiá nech má nejvýše
1 desetinné místo
2 desetinná místa
3 desetinná místa
4 desetinná místa
5 desetinných míst
Pomocí tabulky 6.1 počítáme také délku oblouku a, který v kružnici o poloměru r přísluší středovému úhlu a; velikost úhlu a vyjádříme v radiánech a použijeme vzorce a — r . x. Podobně podle vzorce S = ~ r-x počítáme obsah kruhové výseče o poloměru r, která má středový úhel velikosti x radiánů.
6.2 Převod stupňů na grady 1« je 1 setina pravého úhlu. Menšími jednotkami jsou decigrad, centigrad, miligrad; píšou se obvyklým způsobem pomocí desetinného čísla, např. 2,6425«. Pro centigrad se podle normy používá i značka c a pro setinu centigradu cc, takže 2,6425* = 2>í64R25cc. Pro převod stupňů na grady platí vzorec
Míry úhlů
pro převod gradů na stupně vzorec «° = 0,9yg, kde a je číselná hodnota velikosti úhlu ve stupních a y je číselná hodnota velikosti úhlu v gradech. Převod urychluje tabulka 6.2.
P řiklad: Velikost úhlu 344°36'12" vyjádřete v gradech. 3 . 9 0 ° = 270° 74° 36'
... 300,00000 8 ... 82,22222« ... 0,66667 8 12" ... 0,00370«
344°36'12" == 382,8926 8 Převod gradů na stupně se provádí obdobně jako u tabulky 6.1 převod radiánů na stupně. Údaj v gradech má právě tolik platných číslic jako údaj ve stupních. Pro převod gradů na radiány platí vztah * rad = 7r
: 200, tj. x rad = 0,015 708 Qy% .
6.3 Převod stupňů na dílce Dílec je jednotka, které se užívá ve vojenství. Zaměřovači přístroje a dalekohledy jsou opatřeny stupnicemi v dílcích. Platí 360° = 6 000d, 90° = 1 5000, 60° = 1 000*1.
72
K vyjádření velikosti úhlu v dílcích, je-li dána velikost úhlu ve stupních a obráceně, používáme vztahy
K° = 0,06 2«1 , kde a je číselná hodnota velikosti úhlu ve stupních a z je číselná hodnota velikosti úhlu v dílcích. Převod urychluje tabulka 6.3. Užívá se obdobně jako tabulka 6.2.
6.4 Převod m inut a vteřin na desetinné zlom ky stupně Při výpočtech potřebujeme někdy velikosti úhlů vyjádřit v desetinných zlomcích stupně, např. na počí tačkách. Rovněž některé tabulky mají hodnoty proměnné goniometrických funkcí v desetinných zlomcích stupně. Pro převod minut a vteřin na desetinné zlomky stupně užijeme tabulku 6.4.
Příklad: Velikost úhlu 7°23'15" vyjádřete ve stupních a desetinných zlomcích stupně. rjO
r jO
23'
... 0,38333° 15" ... 0,00417°
7°23'15" == 7,38750° Pomocí tabulky 6.4 vyjádříme i desetinné zlomky stupně v minutách a vteřinách.
Příklad: Velikost úhlu 6,24358° vyjádřete ve stupních, minutách a vteřinách. 6,24358° ... 6° 0,23333° ... 14' 0,01025° 0,01028° ... 6,24358"
37" 6 14'37"
Naprosto shodně, podle téže tabulky, převádím e hodiny, m inuty a sekundy na hodiny a desetinné zlomky hodiny a naopak.
73
6.1 o
Převod stupňů na radiány rad
0
0,00 000
1
01 745 03 491 05 236 06 981 0,08 727 10 472 12 217 13 963 15 708 0,17 453 19 199 20 944 22 689 24 435 0,26 180 27 925 29 671 31416 33 161 0,34 907 36 652 38 397 40 143 41 888 0,43 633 45 379 47 124 48 869 50 615 0,52 360 54 105 55 851 57 596 59 341 0,61 087 62 832 64 577 66 323 68 068 0,69 813 71 558 73 304 75 049 76 794 0,78 540 80 285 82 030 83 776 85 521 0,87 266 89 012 90 757 92 502 94 248 0,95 993 97 738 0,99 484 1,01 229 02 974 1,04 720
2
3 4 5 6
7 8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
74
O 60 61 62 63 64 65 66
67 68
69 " 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86
87 88
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 1>H 102
103 104 105 106 107 108 109 110 111 112
113 114 115 116 117 118 119 120
rad 1,04 720 06 465 08 210 09 956 11 701 1,13 446 15 192 16 937 18 682 20 428 1,22 173 23 918 25 664 27 409 29 154 1,30 900 32 645 34 390 36 136 37 881 1,39 626 41 372 43 117 44 862 46 608 1,48 353 50 098 51 844 53 589 55 334 1,57 080 58 825 60 570 62 316 64 061 1,65 806 67 552 69 297 71 042 72 788 1,74 533 76 278 78 024 79 769 81 514 1,83 260 85 005 86 750 88 496 90 241 1,91 986 93 732 95 477 97 222 1,98 968 2,00 713 02 458 04 204 05 949 07 694 2,09 440
i ra d = 5701 7 '4 5 ' O 120
1-1 122
123 124 125 126 127 128 129
no 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
Mi 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 1«() 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
rad 2,09 440 11 185 12 930 14 675 16 421 2,18 166 19911 21 657 23 402 25 147 2,26 893 28 638 30 383 32 129 33 874 2,35 619 37 365 39 110 40 855 42 601 2,44 346 46 091 47 837 49 582 51 327 2,53 073 54 818 56 563 58 309 60 054 2,61 799 63 545 65 290 67 035 68 781 2,70 526 72 271 74 017 75 762 77 507 2,79 253 80 998 82 743 84 489 86 234 2,87 979 89 725 91 470 93 215 94 961 2,96 706 2,98 451 3,00 197 01 942 03 687 3,05 433 07 178 08 923 10 669 12 414 3,14 159
!
rad
//
rad
0
0,00000 00
0
0,00000 00
~~1 2
029 09 058 18 087 27 116 36 0,00145 44 174 53 203 62 232 71 261 80 0,00290 89 319 98 349 07 378 15 407 24 0,00436 33 465 42 494 51 523 60 552 69 0,00581 78 610 87 639 95 669 04 698 13 0,00727 22 756 31 785 40 814 49 843 58 0,00872 66 901 75 930 84 959 93 0,00989 02 0,01018 11 1047 20 1076 29 1105 38 1134 46 0,01163 55 1192 64 1221 73 1250 82 1279 91 0,01309 00 1338 09 1367 17 1396 26 1425 35 0,01454 44 1483 53 1512 62 1541 71 1570 80 0,01599 89 1628 97 1658 06 168715 1716 24 0,01745 33
1 2
0 48 0 97 1 45 1 94 0,00002 42 2 91 3 39 3 88 4 36 0,00004 85 5 33 5 82 6 30 6 79 0,00007 27 7 76 8 24 8 73 9 21 0,00009 70 0,00010 18 10 67 11 15 11 64
3 4 5 6
7 8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 •u~ 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
3 4 5 6
7 8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
0,00012 12 12 61
13 09 13 57 14 06 0,00014 54 15 03 15 51 16 00 16 48 0,00016 97 17 45 17 94 18 42 18 91 0,00019 39 19 88 20 36 20 85 21 33 0,00021 82 22 30 22 79 23 27 23 76 0,00024 24 24 73 25 21 25 70 2618 0,00026 66 27 15 27 63 28 12 28 60 0,00029 09
6.2 Převod stupňů na grady o
g
0 1 2
0,00000 1,11111 2,22222
3 4 5
3,33333 4,44444 5,55556 6,66667 7,77778 8,88889
6
7 8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
10,00000 11,11111 12,22222
13,33333 14,44444 15,55556 16,66667 17,77778 18,88889 20,00000 21,11111 22,22222
23,33333 24,44444 25,55556 26,66667 27,77778 28,88889 30,00000 31,11111 32,22222 33,33333 34,44444 35,55556 36,66667 37,77778 38,88889 40,00000 41,11111 42,22222 43,33333 44,44444 45,55556 46,66667 47,77778 48,88889 50,00000 51,11111 52,22222 53,33333 54,44444 55,55556 56,66667 57,77778 58,88889 60,00000 61,11111 62,22222 63,33333 64,44444 65,55556 66,66667
O 60 61 62 63 64 65 66
67 68
69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86
87 88
89 90
g 66,66667 67,77778 68,88889 70,00000 71,11111 72,22222 73,33333 74,44444 75,55556 76,66667 77,77778 78,88889 80,00000 81,11111 82,22222 83,33333 . 84,44444 85,55556 86,66667 87,77778 88,88889 90,00000 91,11111 92,22222 93,33333 94,44444 95,55556 96,66667 97,77778 98,88889 100,00000
/ 0 1 2
3 4 5
g 0,00000
0,01852 0,03704 0,05556 0,07407 0,09259
// 0 1 2
3 4 5
6
0,11111
6
7
0,12963 0,14815 0,16667 0,18519 0,20370
7
8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21
22
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
0,22222
0,24074 0,25926 0,27778 0,29630 0,31481 0,33333 0,35185 0,37037 0,38889 0,40741 0,42593 0,44444 0,46296 0,48148 0,50000 0,51852 0,53704 0,55556 0,57407 0,59259 0,61111 0,62963 0,64815 0,66667 0,68519 0,70370 0,72222 0,74074 0,75926 0,77778 0,79630 0,81481 0,83333 0,85185 0,87037 0,88889 0,90741 0,92593 0,94444 0,96296 0,98148 1,00000
1,01852 1,03704 1,05556 1,07407 1,09259 1,11111
8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
g 0,00000
0,00031 0,00062 0,00093 0,00123 0,00154 0,00185 0,00216 0,00247 0,00278 0,00309 0,00340 0,00370 0,00401 0,00432 0,00463 0,00494 0,00525 *0,00556 0,00586 0,00617 0,00648 0,00679 0,00710 0,00741 0,00772 0,00802 0,00833 0,00864 0,00895 0,00926 0,00957 0,00988 0,01019 0,01049 0,01080
Míry úhlů
0,01111
0,01142 0,01173 0,01204 0,01235 0,01265 0,01296 0,01327 0,01358 0,01389 0,01420 0,01451 0,01481 0,01512 0,01543 0,01574 0,01605 0,01636 0,01667 0,01698 0,01728 0,01759 0,01790 0,01821 0,01852
75
6.3 Převod stupňů na dílce o
d
'
0 1 2
0,00
0 1 2
II 0 1 2
3 4 5
16,67 33,33 50,00 66,67 83,33
6
100,00
6
7
116,67 133,33 150,00 166,67 183,33
7
1,38 1,67 1,94
8
2,22
8
9
2,50 2,78 3,06 3,33 3,61 3,89 4,17 4,44 4,72 5,00 5,28 5,56 5,83
9
8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
200,00
51 52 53 54 55 56 57 58 59
216,67 233,33 250,00 266,67 283,33 300,00 316,67 333,33 350,00 366,67 383,33 400,00 416,67 433,33 450,00 466,67 483,33 500,00 516,67 533,33 550,00 566,67 583,33 600,00 616,67 633,33 650,00 666,67 683,33 700,00 716,67 733,33 750,00 766,67 783,33 800,00 816,67 833,33 850,00 866,67 883,33 900,00 916,67 933,33 950,00 966,67 983,33
60
1000,00
20 21 22
Míry úhlů
d 0,00
6.4 Převod m inut a vteřin na desetinné zlom ky stupně
23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
76
3 4 5
10 ‘l 1 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 11
42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
52 53 54 55 56 57 58 59 60
0,28 0,56 0,83 1,11
6,11
6,39 6,67 6,94 7,22 7,50 7,78 8,06 8,33 8,61 8,89 9,17 9,44 9,72
3 4 5 6
7 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30
10,28 10,56 10,83
31 32 33 34 35 36 37 38 39
11,11
40
11,39 11,67 11,94
41
10,00
12,22
12,50 • 12,78 13,06 13,33 13,61 13,89 14,17 14,44 14,72 15,00 15,28 15,56 15,83 16,11 16,39 16,67
42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
52 53 54 55 56 57 58 59 60
d
1
O
II
O
0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,02
~ Ď"
0,00 000
0,00 000
1 2
01 667 03 333 05 000 06 667 0,08 333
0 1 2
0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,06 0,06 0,06 0,07 0,07 0,08 0,08 0,09 0,09
6
10 000
6
7
11 667 13 333 15 000 0,16 667 18 333
7
0,00 139 167 194
8
222
9
250 0,00 278 306 333 361 389 0,00 417 444 472 500 528 0,00 556 583 611 639 667 0,00 694 722 750 778 806 0,00 833 861 889 917 944 0,00 972
0,10 0,10 0,11 0,11 0,12 0,12
0,13 0,13 0,13 0,14 0,14 0,15 0,15 0,16 0,16 0,17 0,17 0,18 0,18 0,19 0,19 0,19 0,20 0,20 0,21 0,21 0,22 0,22
0,23 0,23 0,24 0,24 0,25 0,25 0,25 0,26 0,26 0,27 0,27 0,28
3 4 5 8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 000
51 52 53 54 55 56 57 58 59
21 667 23 333 0,25 000 26 667 28 333 30 000 31 667 0,33 333 35 000 36 667 38 333 40 000 0,41 667 43 333 45 000 46 667 48 333 0,50 000 51 667 53 333 55 000 56 667 0,58 333 60 000 61 667 63 333 65 000 0,66 667 68 333 70 000 71 667 73 333 0,75 000 76 667 78 333 80 000 81 667 0,83 333 85 000 86 667 88 333 90 000 0,91 667 93 333 95 000 96 667 0,98 333
60
1,00 000
20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
3 4 5
10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39
028 056 083 111
0,01 000 1 028
1 056 1 083
40
0,01 111
41 42 43 44 45 46 47 48 49
1 139 1 167 1 194
50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
1 222
0,01 250 1 278 1 306 1 333 1 361 0,01 389 1 417 1 444 1 472 1 500 0,01 528 1 556 1 583 1 611 1 639 0,01 667
7 GONIOMETRICKÉ
FUNKCE
Definice a vlastnosti goniometrických funkcí jsou uvedeny v kapitole 2 str. 32—34.
7.1 a 7.2 sin a , cos a, tg a , cotg a Tabulky 7.1 a 7.2 obsahují čtyřmístné hodnoty funkcí sin a a cos a, tg a a cotg a pro velikosti úhlů ve stupňové míře rostoucí po 10' v intervalu <0°, 90°) (s výjimkou tg 90° a cotg 0°). Pro funkce tg a a cotg a je dále připojena tabulka 7.2a, obsahující hodnoty funkce tg a (cotg a) pro úhly 76° < a < 90° (0° < a ? g 14°) rostoucí po 1'. Protože sin a = cos (90° — a), tg a = cotg (90° — a), jsou tabulky uspořádány tak, že totéž číslo je hodnotou sinu úhlu (uvedeného v levém krajním sloupci stupňů a v prvním řádku minut) a hodnotou kosinu úhlu doplňkového (uvedeného v pravém sloupci stupňů a v dolním řádku minut). Obdobně pro
funkce tangens a kotangens. Lineární interpolace funkcí sin a a cos a je přípustná v celém intervalu tabulek; místo lineární inter polace funkce tg a (cotg a) pro úhly 76° a < 90° (0° < a g 14°) se užije tabulka 7.2a. Lineární interpolaci usnadňují opravy, vypočtené na konci řádků pro 1 , 2', ..., 9'.
Funkce sin a a tg x jsou v tabelovaném intervalu rostouci, oprava se k hodnotám uvedeným v tabulkách přičítá; funkce cos a a cotg a jsou v tabelovaném intervalu klesající, oprava se od hodnot uvedených v tabulkách odčítá. Příklady: sin 18°26' ——
0,3145 ... řádek 18° vlevo, sloupec 20' shora + 17 ... oprava 17 pro 6' 0,3162
cos 57° 15' ——
0,5422 ... řádek 57° vpravo, sloupec 10' zdola 12 ... oprava 12 pro 5' 0,5410
cotg 40°23'
1
1,178 ... řádek 40° vpravo, sloupec 20' zdola — 2 ... oprava 2 pro 3' 1,176
sin «
=
0,8776; —0,8774 ...
cos a
=
0,1889; « = -0 ,1 8 8 0 ...
a = 61°21' 61°20' ... řádek 61° vlevo, sloupec 20' shora
2 ...
9 ...
+ 1' ... opravě 2 přísluší 1' 79°07' 79°10' ... řádek 79° vpravo, sloupec 10' zdola —3' ... opravě 9 přísluší 3'
tg 88°24' = 35,80 ... tabulka 7.2a, řádek 88°20' vlevo, sloupec 4' shora cotg « = 25,64; » = 2°14' ... tabulka 7.2a, řádek 2°10' vpravo, sloupec 4' zdola Jsou-li proměnné neúplná čísla, mají hodnoty funkce přesnost podle této tabulky: Proměnná s přesností na Hodnota funkce má přesné nejvýše
stupně
desítky minut
minuty
2 platné číslice
3 platné číslice
4 platné číslice
Určení hodnot funkcí pro velikosti úhlů mimo interval tabulek je vysvětleno ve vzorcích na str. 33.
77
7.3 —7.6 sin x , cos x, t g x , cotg x (x v radiánech)
Tabulky 7.3 - 7.6 obsahují čtyřmístné hodnoty goniometrických funkcí pro reálné promčnné rostoucí po 0,01, a to v intervalu <0,00; 3,15) pro funkce sin x a cos x a v intervalu <0,00; 1,57) pro funkce tg x a cotg x. První dvojčíslí proměnné je uvedeno v levém krajním sloupci, třetí číslice je v záhlaví prvního řádku. V tabulkách 7.5 a 7.6 je před některými hodnotami funkce hvězdička. V tom případě je celá část hod noty uvedena až na dalším řádku. Např. tg 1,15 = 2,2345, cotg 0,35 = 2,7395. Lineární interpolace je možná podle zásad vyložených na str. 51 a 52. Při interpolaci je nutné si uvědomit, zda pro daný argument je funkce rostoucí nebo klesající, a podle toho opravu přičítat nebo odčítat. Dále je třeba dát pozor na znaménko hodnot funkce.
P říklad: —0,2563 ... řádek 1,8, sloupec 3 — 49 ... D = 97, di = 9,7, db = 48,5 i 49
cos 1,835 =
—0,2612 Není-li proměnná z intervalů tabulek, určuje se hodnota funkce pomocí celých násobků periody (2n nebo 7t podle funkce) a pomocí vzorců, uvedených na příslušné stránce dole. Příklad: Určete cos 17,24 Řešení: Použijeme vztah cos x = cos (x + k . 2ti), k e Z a od proměnné x = 17,24 odečteme nejbližší násobek 2tz, tj. číslo 3 . 2it == 18,850:
17,24— 18,85 = —1,61
Pak platí
cos 17,24 = cos (—1,61) = cos 1,61 = —0,0392 = —0,040.
Přiklad: Určete tg (-729). Řešení: tg (—729) = —tg 729. Od proměnné 729 odečteme postupně celočíselné násobky n tak, aby rozdíl byl z intervalu
sin
x,
tg x
( - Í 'Ť ) =
729 —628,3 ... 200n: (2tc . 100) 100,7 — 94,2 ...
30rt (3n . 10)
6,5 —
63 0,2
•••
2tz
Pak —tg 729 = —tg 0,2 = —0,2027 = —0,2. Tabulky 7.3 - 7.6 jsou velmi vhodné k řešení jednoduchých goniometrických rovnic. P řík la d y : (k všude celé číslo) sin x — 0,5726 x = 0,61 + 2kn x = 2,53 + 2kr: x = —0,61 + 2kir = 5,67 + 2k7i: sin x = —0,5726 x = —2,53 + 2kn = 3,75 + 2bz x = 0,93 2kn cos x = 0,5978 x = —0,93 + 2kn = 5yi5 + 2bz cos x = —0,5978 x= 2,21 + 2kiz x = —2^1 + 2Jnz = 4,07 + 2kn tg x = —2,1285 x = —1,13 + k7i = 2,01 -f kn cotg x = 1,3431 x = 0,64 + k7i Na str. 79 a 89 jsou uvedeny grafy goniometrických funkd. Využijeme je k odhadu hodnot nebo proměn ných funkd s přesností na dvě platné číslice a k přibližnému řešení goniometrických rovnic podle výkla du na str. 54.
78
X UIS
7.1
sin a
a
30*
40-
50'
60’
1
9'
I*
2'
3'
4'
5'
6'
7’
8'
6 6 6 6 6
9 9 9 9 9
12 12 12 12 12
15 15 15 15 15
17 17 17 17 17
20 20 20 20 20
23 26 23 26 23 26 23 26 23 26
0058 0233 0407 0581 0756
0087 0262 0436 0610 0785
0116 0291 0465 0640 0814
0145 0320 0494 0669 0843
0175 0349 0523 0698 0872
89
85
3 3 3 3 3
0,0872 1045 1219 1392 1564
0901 1074 1248 1421 1593
0929 1103 1276 1449 1622
0958 1132 1305 1478 1650
0987 1161 1334 1507 1679
1016 1190 1363 1536 1708
1045 1219 1392 1564 1736
84 83 82 81 80
3 3 3 3 3
6 6 6 6 6
9 9 9 9 9
12 12 12 12 12
15 15 15 15 15
17 17 17 17 17
20 20 20 20 20
23 26 23 26 23 26 23 26 23 26
1765 1791 1937 1965 2108 2136 2278 2306 2447 2476
1822 1994 2164 2334 2504
1851
79 78 77 76 75
3 3 3 3 3
6 6 6 6 6
8 8 8 8
12 11 11 11 11
15 14 14 14 14
17 17 17 17 17
20 20 20 20 20
23
2193 2363 2532
1880 1908 2051 2079 2221 2250 2391 2419 2560 2588
9
13 14
0,1736 1908 2079 2250 2419
22 22 22 22
26 25 25 25 25
15 16 17 18 19
0,2588 2756 2924 3090 3256
2616 2784 2952 3118 3283
2644 2812 2979 3145 3311
2672 2840 3007 3173 3338
2700 2868 3035 3201 3365
2728 2896 3062 3228 3393
2756 2924 3090 3256 3420
74 73 72 71 70
3 3 3 3 3
6 6 6 6
11 11 11 11 11
14 14 14 14 14
17 17 17 17 16
20 20 20 20
5
8 8 8 8 8
19
22 22 22 22 22
25 25 25 25 24
20 21 22
3502 3665 3827 3987 4147
3529 3692 3854 4014 4173
3557 3719 3881 4041 4200
3584 3746 3907 4067 4226
69
65
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
8 8 8 8 8
U
23 24
0.3420 3448 3475 3584 3611 3638 3746 3773 3800 3907 3934 3961 4067 4094 4120
11 11 11 10
14 14 14 14 13
16 16 16 16 16
19 19 19 19 18
22 22 22 22 21
24 24 24 24 23
25 26 27 28 29
0,4226 4384 4540 4695 4848
4253 4279 4410 4436 4566 4592 4720 4746 4874 4899
4305 4462 4617 4772 4924
4331 4488 4643 4797 4950
4358 4514 4669 4823 4975
4384 4540 4695 4848
5ooo
64 63 62 61 60
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
8 8 8 8 8
10 10 10 10 10
13 13 13 13 13
16 16 16 16 15
18 18 18 18 18
21 21 21 21 20
23 23 23 23 23
30 31 32 33 34
0,5000 5150 5299 5446 5592
5025 5175 5324 5471 5616
5050 5200 5348 5495 5640
5075 5225 5373 5519 5664
5100 5250 5398 5544 5688
5125 5275 5422 5568 5712
5150 5299 5446 5592 5736
59 58 57 56 55
3 3
8 8
10 10 10 10 10
13 13 12 12 12
15 15 14 14 14
18 20 18 20 17 19 17 19 17 19
23 23
2 2 2
5 5 5 5 5
35 36 37 38 39
0,5736 5878 6018 6157 6293
5760 5901 6041 6180 6316
5783 5925 6065 6202 6338
5807 5948 6088 6225 6361
5831 5972 6111 6248 6383
5854 5995 6134 6271 6406
5878 6018 6157 6293 6428
54 53 52 51 50
2 2 2 2 2
5 5 5 5 4
7 7 7 7 7
10
12 12 12 12 11
14 14 14 14 13
17 16 16 16 15
19 18 18 18 18
22 21 21 21 20
40 41 42 43 44
0,6428 6561 6691 6820 6947
6450 6583 6713 6841 6967
6472 6604 6734 6862 6988
6494 6626 6756 6884 7009
6517 6648 6777 6905 7030
6539 6670 6799 6926 7050
6561 6691 6820 6947 7071
49 48 47 46 45
2 2 2
7 7 7
9 9 9
2 2
4 4 4 4 4
6 6
8 8
11 11 11 11 11
13 13 13 13 13
15 15 15 15 15
18 20 18 20 18 20 17 19 17 19
60'
50'
40’
30'
20 '
10*
O'
a'
1'
2' 3'
4'
5'
6'
7'
8'
5 6
7 8
9 10 11 12
t0 *
0 0,0000
20 '
0029 0204 0378 0552 0727
3 4
X,
10*
0175 0349 0523 0698
0 1 2
sin
(« ve stupních)
2022
cos a 80
88
87 86
68
67 66
7 7 7
9 9 9 9
22 22 22
V
7.1 a
sin a 0'
(a ve stupních) 10'
20 '
30'
40'
50’
60'
7092 7214 7333 7451 7566
45 46 47 48 49
0,7071 7193 7314 7431 7547
7112 7234 7353 7470 7585
7133 7254 7373 7490 7604
7153 7274 7392 7509 7623
7173 7294 7412 7528’ 7642
7193 7314 7431 7547 7660
44 43 42 41 40
50 51 52 53 54
0,7660 7679 7698 7771 7790 7808 7880 7898 7916 7986 8004 8021 8090 8107 8124
7716 7826 7934 8039 8141
7735 7844 7951 8056 8158
7753 7862 7969 8073 8175
7771 7880 7986 8090 8192
39 38 37 36 35
55 56 57 58 59
0,8192 8290 8387 8480 8572
8208 8307 8403 8496 8587
8225 8323 8418 8511 8601
8241 8339 8434 8526 8616
8258 8355 8450 8542 8631
8274 8371 8465 8557 8646
8290 8387 8480 8572 8660
34 33 32 31 30
60 61 62 63 64
0,8660 8746 8829 8910 8988
8675 8760 8843 8923 9001
8689 8774 8857 8936 9013
8704 8788 8870 8949 9026
8718 8802 8884 8962 9038
8732 8816 8897 8975 9051
8746 8829 8910 8988 9063
29 28 27 26 25
65
9075 9147 9216 9283 9346
9088 9159 9228 9293 9356
9100 9171 9239 9304 9367
9112 9182 9250 9315 9377
9124 9194 9261 9325 9387
9135 9205 9272 9336 9397
24 23
69
0,9063 9135 9205 9272 9336
70 71 72 73 74
0,9397 9455 9511 9563 9613
9407 9465 9520 9572 9621
9417 9474 9528 9580 9628
9426 9483 9537 9588 9636
9436 9492 9546 9596 9644
9446 9502 9555 9605 9652
9455 9511 9563 9613 9659
19 18 17 16 15
75 76 77 78 79
0,9659 9703 9744 9781 9816
9667 9710 9750 9787 9822
9674 9717 9757 9793 9827
9681 9724 9763 9799 9833
9689 9730 9769 9805 9838
9696 9737 9775 9811 9843
9703 9744 9781 9816 9848
14 13
80 81 82 83 84
0,9848 9877 9903 9925 9945
9853 9881 9907 9929 9948
9858 9886 9911 9932 9951
9863 9890 9914 9936 9954
9868 9894 9918 9939 9957
9872 9899 9922 9942 9959
9877 9903 9925 9945 9962
9
85
0,9962 9976 9986 9994 9998
9964 9978 9988 9995 9999
9967 9980 9989 9996 9999
9969 9981 9990 9997
9971 9983 9992 9997
9974 9985 9993 9998
9976 9986 9994 9998
50'
40'
66
67 68
86
87 88
89 90
*0000
*0000 *0000 *0000
22 21 20
12 11 10
8
7 6
5 4 3 2 1 0
1,0000
60'
30'
20 '
10'
0'
a
eos a 81
7.2 tg
O. O'
(a ve stupních) 20'
30'
40'
50'
60'
0029 0058 0204 0233 0378 0407 0553 0582 0729 0758
0087 0262 0437 0612 0787
0116 0291 0466 0641 0816
0145 0320 0495 0670 0846
0175 0349 0524 0699 0875
89
0,0875 1051 1228 1405 1584
0904 1080 1257 1435 1614
0934 1287 1465 1644
0963 1139 1317 1495 1673
0992 1169 1346 1524 1703
1022 1198 1376 1554 1733
11 12 13 14
0,1763 1944 2126 2309 2493
1793 1974 2156 2339 2524
1823 2004 2186 2370 2555
1853 2035 2217 2401 2586
1883 2065 2247 2432 2617
1914 2095 2278 2462 2648
15 16 17 18 19
0,2679 2867 3057 3249 3443
2711 2899 3089 3281 3476
2742 2931 3121 3314 3508
2773 2962 3153 3346 3541
20 23 24
0,3640 3839 4040 4245 4452
3673 3872 4074 4279 4487
3706 3906 4108 4314 4522
25 26 27 28 29
0,4663 4877 5095 5317 5543
30 31 32 33 34
10'
1'
2'
3'
.4'
5'
6'
7'
8'
9'
85
3 3 3 3 3
6 6 6 6 6
9 9 9 9 9
12 12 12 12 12
15 15 15 15 15
17 17 17 17 17
20 20 20 20 20
23 23 23 23 23
26 26 26 26 26
1051 1228 1405 1584 1763
84 83 82 81 80
3 3 3 3 3
6 6 6 6 6
9 9 9 9 9
12 12 12 12 12
15 15 15 15 15
17 18 18 18 18
20 21 21 21 21
23 24 24 24 24
26 27 27 27 27
1944 2126 2309 2493 2679
79 78 77 76 75
3 3 3 3 3
6 6 6 6 6
9 9 9 9 9
12 12 12 12 12
15 15 15 16 16
18 18 18 19 19
21 21 21 22 22
24 24 24 25 25
27 27 27 28 28
2805 2994 3185 3378 3574
2836 2867 3026 3057 3217 3249 3411 3443 3607 3640
74 73 72 71 70
3 3 3 3 3
6 6 6 6
25 28 26 29 26 29 26 29 26 30
3739 3939 4142 4348 4557
3772 3973 4176 4383 4592
3805 3839 4006 4040 4210 4245 4417 4452 4628 4663
69
4699 4734 4913 4950 5132 5169 5354 5392 5581 5619
4770 4986 5206 5430 5658
4806 5022 5243 5467 5696
4841 5059 5280 5505 5735
0,5774 6009 6249 6494 6745
5812 6048 6289 6536 6787
5851 6088 6330 6577 6830
5890 6128 6371 6619 6873
5930 6168 6412 6661 6916
35 36 37 38 39
0,7002 7265 7536 7813 8098
7046 7310 7581 7860 8146
7089 7355 7627 7907 8195
7133 7400 7673 7954 8243
40 41 42 43 44 45
0,8391 8693 9004 9325 9657 1,0000
8441 8744 9057 9380 9713
8491 8796 9110 9435 9770
60'
50'
40'
0,0000
0175 0349 0524 0699
10
21 22
1110
87 86
9
12
13 13 13 13
16 19 16 19 16 19 16 19 17 20
22 22 22 22
7
10 10 10 10
65
3 3 3 3 4
7 7 7 7 7
10 10 10 10 11
13 14 14 14 14
17 17 17 17 18
20 20 20 20 21
23 26 24 27 24 27 24 27 25 28
30 31 31 31 32
4877 5095 5317 5543 5774
64 63 62 61 60
4 4 4 4 4
7 7 7
11 11 11 11 11
14 14 15 15 15
18 18 19 19 19
22 22 22
23 23
25 29 25 29 26 30 27 30 27 30
32 32 33 34 34
5969 6208 6453 6703 6959
6009 6249 6494 6745 7002
59 58 57 56 55
4 4 4 4 4
8 8 8 8
12 12 12
13 13
16 16 16 17 17
20 20 21 21 22
23 24 25 25 26
27 31 35 28 32 36 29 33 37 29 34 38 30 34 39
7177 7445 7720 8002 8292
7221 7490 7766 8050 8342
7265 7536 7813 8098 8391
54 53 52 51 50
4 5 5 5 5
9 9 9 10 10
13 14 14 14 15
18 22 26 18 23 27 18 23 28 19 24 29 20 25 29
8541 8847 9163 9490 9827
8591 8899 9217 9545 9884
8642 8693 8952 9004 9271 9325 9601 9657 9942 *0000
49 48 47 46 45
5 5 5 6 6
10 10 11 11 11
15 16 16 17 17
20 21 22 22
30'
20 '
1'
2'
3'
10 '
O'
cotg a 82
88
68
67
66
8 8
9
23
31 35 32 36 32 37 34 38 34 39
40 41 41 43 44
23
25 30 26 31 27 32 28 33 29 34
35 36 38 39 40
40 42 43 44 46
45 47 49 50 51
4'
5'
7'
8'
9'
6'
7.2 tg a a
(« ve stupních)
0'
10 '
20 '
30'
40'
50'
60'
1,000
1,012
1,048 1,085 1,124 1,164
1,018 1,054 1,091 1,130 1,171
1,024 1,060 1,098 1,137 1,178
1,030 1,066 1,104 1,144 1,185
1,036 1,072
1,220
1'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
8'
9'
1,150 1,192
44 43 42 41 40
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
2 2 2 2
4 4 4 4 4
4 4 4 4 5
5 5 5 5
5 5 5 5
3
3 3 3 3 4
6
6
4 4 4 4 5
4 5 5 5 5
5
6 6 6 6
6
7
8
45 46 47 48 49
1,150
1,006 1,042 1,079 1,117 1,157
50 51 52 53 54
1,192 1,235 1,280 1,327 1,376
1,199 1,242 1,288 1,335 1,385
1,206 1,250 1,295 1,343 1,393
1,213 1,257 1,303 1,351 1,402
1,265 1,311 1,360 1,411
1,228 1,272 1,319 1,368 1,419
1,235 1,280 1,327 1,376 1,428
39 38 37 36 35
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
2 2 2 2
3
3 3 3 3 4
55 56 57 58 59
1,428 1,483 1,540 1,600 1,664
1,437 1,492 1,550 1,611 1,675
1,446 1,501 1,560 1,621
1,464 1,520 1,580 1,643 1,709
1,473 1,530 1,590 1,653 1,720
1,483 1,540 1,600 1,664 1,732
34 33 32 31 30
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
5 5 5
5
6
7
8
6 6
7 7
8 8
9 9
1,686
1,455 1,511 1,570 1,632 1,698
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
60 61 62 63 64
1,732 1,804 1,881 1,963 2,050
1,744 1,816 1,894 1,977 2,066
1,756 1,829 1,907 1,991 2,081
1,767 1,842 1,921 2,006 2,097
1,780 1,855 1,935
1,792
29 28 27 26 25
1 1 1 1 2
4 4 4 4 5
6
7
8
3 3 3 3
5 5
7 7 7
8 8 8 10
9
10 10 11 11
11 12
1,949 2,035 2,128
1,804 1,881 1,963 2,050 2,145
2
1,868
65
2,161 2,264 2,375 2,496 2,628
2,177 2,282 2,394 2,517 2,651
2,194 2,300 2,414 2,539 2,675
2,318 2,434 2,560 2,699
2,229 2,337 2,455 2,583 2,723
2,246 2,356 2,475 2,605 2,747
24 23
3 4 4 4 5
7 7
9 9
22 21 20
2 2 2 2 2
5 5 6
8
7 7
9
69
2,145 2,246 2,356 2,475 2,605
10 11 12
70 71 72 73 74
2,747 2,904 3,078 3,271 3,487
2,773 2,932 3,108 3,305 3,526
2,788 2,960 3,140 3,340 3,566
2,824 2,989 3,172 3,376 3,606
2,850 3,018 3,204 3,412 3,647
2,877 3,047 3,237 3,450 3,689
2,904 3,078 3,271 3,487 3,732
19 18 17 16 15
3 3 3 4 4
5
8
6 6
9
10 12
8
10 11 12
75
3,732
3,776
3,821
3,867
3,914
3,962
4,011
14
5
9
60'
50'
40'
30'
20 '
10 '
0'
a
1'
2'
66
67 68
1,036 1,072 1,111
2,020 2,112 2,211
1,111
7
6 6 6
10
8
10 11 12
13 14
6 6 6 6
10 10 11
13
7 7 7
13 13 14
13 14 15 17
14 15 14 16 16 18 18 20 19 22
18
21
20 22
23 26 29 32 37
12
13 14 16
13 16 15 17 16 19 18 22 21 25
25 29
23 26 29 33
14
18
23
28
32
37
41
3'
4'
5'
6'
7'
8'
9'
cotg a tg 76° 00' cotg 0° I '
až tg 89° 59' | až cotg 14° 00' j
viz str. 84—85
83
7.2a tg a a 76°00' 10' 20' 30' 40' 50' 77°00' 10' 20'
tg x
4,011 4,061 4,113 4,165 4,219 4,275
1'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
4,016 4,066 4,118 4,171 4,225 4,280
4,021 4,071 4,123 4,176 4,230 4,286
4,026 4,076 4,128
4,031 4,082 4,134
4,036 4,087 4,139
4,041 4,092 4,144
4,046 4,097 4,149
4,181 4,236 4,292
4,187 4,241 4,297
4,192 4,247 4,303
4,198 4,252 4,309
4,337 4,396 4j455
4,343 4,402 4,462
4,349 4,407 4,468
4,517 4,580 4,645
4,523 4,586 4,651
4,529 4,593 4,658
4,355 4,413 4,474 4,536 4,599 4,665
4,360 4,419 4,480 4,542 4,606 4,671
4,718 4,787 4,857 4,930 5,005 5,081
4,725 4,794 4,864 4,937 5,012 5,089
5,161 5,242 5,326
8'
9'
10'
4,203 4,258 4,314
4,051 4,056 4,102 4,107 4,155 4,160 4,208 4,214 4,264 4,269 4,320 4,326
4,061 4,113 4,165 4,219 4,275 4,331
50' 40' 30' 20' 10' 13°00'
4,366 4,425 4,486 4,548 4,612 4,678
4,372 4,431 4,492 4,555 4,619 4,685
4,378 4,384 4,437 4,443 4,498 4,505 4,561 4,567 4,625 4,632 4,691 4,698
4,390 4,449 4,511 4,574 4,638 4,705
50' 40' 30'
4,732 4,801 4,872 4,945 5,020 5,097
4,739 4,745 4,808 4,815 4,879 4,886 4,952 4,959 5,027 5,035 5,105 5,113
4,752 4,822 4,893
4,759 4,829 4,901
4,967 5,043 5,121
4,974 5,050 5,129
4,766 4,836 4,908 4,982 5,058 5,137
4,773 4,843 4,915 4,989 5,066 5,145
20' 10' 11°00'
5,169 5,250 5,335
5,177 5,259 5,343
5,185 5,267 5,352
5,193 5,276 5,361
5,201 5,284 5,369
5,217 5,301 5,387
5,226 5,309 5,396
50' 40' 30'
5,413 5,503 5,595
5,422 5,512 5,605
5,431 5,521 5,614
5,440 5,530 5,623
5,449 5,539 5,633
5,458 5,549 5,642
5,209 5,292 5,378 5,466 5,558 5,652
5,475 5,567 5,662
5,485 5,576 5,671
20' 10' 10°00'
5,710 5,720 5,810 5,820 5,912 5,923 6,019 6,030 6,129 6,140 6,243 6,255
5,730 5,830 5,933 6,041 6,152 6,267
5,740 5,840 5,944
5,749 5,850 5,954 6,062 6,174 6,290
5,759 5,861 5,965
5,769 5,871 5,976
6,073 6,186 6,302
6,084 6,197 6,314
50' 40' 30' 20' 10' 9°00'
6,410 6,535 6,665 6,799 6,940 7,085
6,423 6,548 6,678 6,813 6,954 7,100
6,435 6,561 6,691 6,827 6,968 7,115
20' 10' 8°00' 50' 40' 30' 20' 10' 7°00'
30' 40' 50'
4,331 4,390 4,449 4,511 4,574 4,638
78°00' 10' 20'
4,705 4,773 4,843
30' 40' 50'
4,915 4,989 5,066
4,711 4,780 4,850 4,922 4,997 5,074
79°00' 10' 20
5,145 5,226 5,309 5,396 5,485 5,576
5,153 5,234 5,318 5,404 5,494 5,586
80°00' 10' 20' 30' 40' 50'
5,671 5,769 5,871
5,691 5,789 5,892
5,976 6,084 6,197
5,681 5,779 5,881 5,986 6,096 6,209
5,997 6,107 6,220
5,700 5,799 5,902 6,008 6,118 6,232
81°00' 10' 20' 30' 40' 50'
6,314 6,435 6,561 6,691 6,827 6,968
6,326 6,447 6,573 6,704 6,841 6,983
6,338 6,460 6,586 6,718 6,855 6,997
6,350 6,472 6,599 6,731 6,869 7,012
6,362 6,485 6,612 6,745 6,883 7,026
6,374 6,497 6,625 6,758 6,897 7,041
6,386 6,510 6,638 6,772 6,911 7,056
6,398 6,522 6,651
82°00' 10' 20'
7,115 7,269 7,429 7,596 7,770 7,953
7,130 7,284 7,445 7,613 7,788 7,972
7,146 7,300 7,462 7,630 7,806 7,991
7,161 7,316 7,478 7,647 7,824 8,009
7,176 7,332 7,495
7,191 7,348 7,511
7,253 7,412 7,579
7,682 7,861 8,048
7,222 7,380 7,545 7,717 7,897 8,086
7,238 7,396 7,562
7,665 7,842 8,028
7,207 7,364 7,528 7,700 7,879 8,067
7,735 7,916 8,105
7,753 7,934 8,125
7,269 7,429 7,596 7,770 7,953 8,144
10'
9'
8'
T
6'
5'
4'
3'
2'
1'
0'
30' 40' 50'
sin x,
0'
30' 40' 50'
6,051 6,163 6,278
6,786 6,925 7,071
20' 10' 12°00' 50' 40' 30'
50' 40' 30'
a
cotg a 84
7.2a tg a a
0'
1'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
8'
9'
10'
83°00' 10' 20' 30' 40' 50'
8,144 8,345 8,556 8,777 9,010 9,255
8,164 8,366 8,577
8,184 8,386 8,599 8,823 9,058 9,306
8,204 8,407 8,621
8,223 8,428 8,643 8,869 9,106 9,357
8,243 8,449 8,665 8,892 9,131 9,383
8,264 8,470 8,687
8,284 8,491 8,709
8,324 8,534 8,754
8,345 8,556 8,777
50' 40' 30'
8,915 9,156 9,409
8,939 9,180 9,435
8,304 8,513 8,732 8,962 9,205 9,461
8,986 9,230 9,488
9,010 9,255 9,514
20' 10' 6°00'
84°00' 10' 20' 30' 40' 50'
9,514 9,788 10,08 10,39 10,71 11,06
9,541 9,816 10,11 10,42 10,75 11,10
9,568 9,845 10,14
9,595 9,873 10,17 10,48 10,81 11,17
9,622 9,902 10,20
9,677 9,960 10,26 10,58 10,92 11,28
9,704 9,989 10,29
9,732 10,02 10,32
9,760 10,05 10,35
9,788 10,08 10,39
50' 40' 30'
10,51 10,85 11,20
9,649 9,931 10,23 10,55 10,88 11,24
10,61 10,95 11,32
10,64 10,99 11,35
10,68 11,02 11,39
10,71 11,06 11,43
20' 10' 5°00'
85°00' 10' 20'
11,43 11,83 12,25
11,51 11,91 12,34
11,62 12,03 12,47
11,83 12,25 12,71
50' 40' 30'
12,95 13,46 14,01
13,05 13,56 14,12
11,74 12,16 12,61 13,10 13,62 14,18
11,79 12,21 12,66
12,90 13,40 13,95
11,66 12,08 12,52 13,00 13,51 14,07
11,70 12,12 12,57
12,71 13,20 13,73
11,55 11,95 12,38 12,85 13,35 13,89
11,59 11,99 12,43
30' 40' 50'
11,47 11,87 12,29 12,75 13,25 13,78
13,15 13,67 14,24
13,20 13,73 14,30
20' 10' 4°00'
86°00' 10' 20'
14,36 14,99 15,68
14,42 15,06 15,75 16,51 17,34 18,27
14,48 15,12 15,82
14,54 15,19 15,89
14,61 15,26 15,97
14,67 15,33 16,04
14,73 15,39 16,12
14,80 15,46 16,20
14,86 15,53 16,27
30' 40' 50'
14,30 14,92 15,60 16,35 17,17 18,07
16,59 17,43 18,37
16,67 17,52 18,46
16,75 17,61 18,56
16,83 17,70 18,67
16,92 17,79 18,77
17,00 17,89 18,87
17,08 17,98 18,98
14,92 15,60 16,35 17,17 18,07 19,08
50' 40' 30' 20' 10' 3°00'
87°00' 10' 20'
19,08 20,21 21,47
19,52 20,69 22,02
19,97 21,20 22,60
20,09 21,34 22,75
20,21 21,47 22,90
50' 40’ 30'
22,90 24,54 26,43
23,53 25,26 27,27
19,63 19,74 20,82 20,95 22,16 22,31 23,69 23,86 25,45 25,64 27,49 27,71
19,85 21,07 22,45
30' 40' 50'
19,19 19,30 19,41 20,33 20,45 20,57 21,61 21,74 21,88 23,06 23,21 23,37 24,72 24,90 25,08 26,64 26,84 27,06
24,03 24,20 25,83 26,03 27,94 28,17
24,37 26,23 28,40
24,54 26,43 28,64
20' 10' 2°00'
88°00' 10' 20' 30' 40' 50'
28,64 31,24 34,37 38,19 42,96 49,10
28,88 31,53 34,72 38,62 43,51 49,82
29,12 29,37 31,82 32,12 35,07 35,43 39,06 39,51 44,07 44,64 50,55 51,30
29,62 32,42 35,80 39,97 45,23 52,08
29,88 30,14 32,73 33,05 36,18 36,56 40,44 40,92 45,83 46,45 52,88 53,71
30,41 30,68 33,37 33,69 36,96 37,36 41,41 41,92 47,09 47,74 54,56 55,44
30,96 34,03 37,77
31,24 34,37 38,19
42,43 48,41 56,35
42,96 49,10 57,29
50' 40' 30' 20' 10' l c00'
89°00' 10' 20' 30' 40' 50'
57,29 68,75 85,94
58,26 59,27 70,15 71,62 88,14 90,46 118,5 122,8 180,9 191,0 382,0 429,7
63,66 78,13 101,1 143,2 245,6 859,4
64,86 79,94 104,2 149,5 264,4 1146
66,11 81,85 107,4 156,3 286,5 1719
67,40 83,84 110,9 163,7 312,5 3438
68,75 85,94 114,6 171,9 343,8
50' 40' 30' 20' 10' 0°00'
4'
3'
2'
1'
0'
a
114,6 171,9 343,8 10'
8,800 9,034 9,281
16,43 17,26 18,17
9'
10,45 10,78 11,13
12,80 13,30 13,84
8'
8,846 9,082 9,332
60,31 73,14 92,91 127,3 202,2 491,1 7'
61,38 62,50 74,73 76,39 95,49 98,22 132,2 137,5 214,9 229,2 573,0 687,5 6'
5'
cotg a 85
sin x, tg x
7.3 si n X
(x v radiánech)
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,0000
0100
0200
0300
0400
0500
0600
0699
0799
0899
' 0,1 0,2 0,3
0998 1987 2955
1098 2085 3051
1197 2182 3146
1296 2280 3240
1395 2377 3335
1494 2474 3429
1593 2571 3523
1692 2667 3616
1790 2764 3709
1889 2860 3802
0,4 0,5 0,6
3894 4794 5646
3986 4882 5729
4078 4969 5810
4169 5055 5891
4259 5141 5972
4350 5227 6052
4439 5312 6131
4529 5396 6210
4618 5480 6288
4706 5564 6365
0,7 0,8 0,9
6442 7174 7833
6518 7243 7895
6594 7311 7956
6669 7379 8016
6743 7446 8076
6816 7513 8134
6889 7578 8192
6961 7643 8249
7033 7707 8305
7104 7771 8360
1,0
0,8415
8468
8521
8573
8624
8674
8724
8772
8820
8866
1,1 1,2 1,3
8912 9320 9636
8957 9356 9662
9001 9391 9687
9044 9425 9711
9086 9458 9735
9128 9490 9757
9168 9521 9779
9208 9551 9799
9246 9580 9819
9284 9608 9837
1,4 1,5 1,5 1,6
9854 9975
9871 9982
9887 9987
9901 9992
9915 9995
9927 9998
9939 9999
9949 1,0000
9959
9967
9996
9992
9988
9982
9976
9969
9960
9951
1,0000 9940
9998 9929
1,7 1,8 1,9
9917 9738 9463
9903 9715 9430
9889 9691 9396
9874 9666 9362
9857 9640 9326
9840 9613 9290
9822 9585 9252
9802 9556 9214
9782 9526 9174
9761 9495 9134
2,0
0,9093
9051
9008
8964
8919
8874
8827
8780
8731
8682
2,1 2,2 2,3
8632 8085 7457
8581 8026 7390
8529 7966 7322
8477 7905 7254
8423 7843 7185
8369 7781 7115
8314 7717 7044
8258 7654 6973
8201 7589 6901
8143 7523 6828
2,4 2,5 2,6
6755 5985 5155
6681 5904 5069
6606 5823 4983
6530 5742 4896
6454 5660 4808
6378 5577 4720
6300 5494 4632
6222 5410 4543
6144 5325 4454
6065 5240 4364
2,7 2,8 2,9
4274 3350 2392
4183 3256 2295
4092 3161 2198
4001 3066 2100
3909 2970 2002
3817 2875 1904
3724 2779 1806
3631 2683 1708
3538 2586 1609
3444 2489 1510
3,0
0,1411
1312
1213
1114
1014
0955
0815
0715
0616
0516
3,1
0416
0316
0216
0116
0016 -0,0084
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k . 2jt
6,283
12,566
18,850
25,133
31,416
37,699
43,982
50,265
56,549
62,832
sin (—x) — —sin x
86
sin x = sin (x + k . 2ti), k e Z
7A
(x v radiánech)
COS X
X
0
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
1,0000
9996
9992
9988
9982
9976
9968
9960
0,1 0,2 0,3
0,9950 9801 9553
9940 9780 9523
9928 9759 9492
9916 9737 9460
9902 9713 9428
9888 9689 9394
9872 9664 9359
9856 9638 9323
9838 9611 9287
9820 9582 9249
0,4 0,5 0,6
9211 8776 8253
9171 8727 8196
9131 8678 8139
9090 8628 8080
9048 8577 8021
9004 8525 7961
8961 8473 7900
8916 8419 7838
8870 8365 7776
8823 8309 7712
0,7 0,8 0,9
7648 6967 6216
7584 6895 6137
7518 6822 6058
7452 6749 5978
7385 6675 5898
7317 6600 5817
7248 6524 5735
7179 6448 5653
7109 6372 5570
7038 6294 5487
1,0
0,5403
5319
5234
5148
5062
4976
4889
4801
4713
4625
1,1 1,2 1,3
4536 3624 2675
4447 3530 2579
4357 3436 2482
4267 3342 2385
4176 3248 2288
4085 3153 2190
3993 3058 2092
3902 2963 1994
3809 2867 1896
3717 2771 1798
1,4 1,5 1,5 1,6
1700 0707
1601 0608
1502 0508
1403 0408
1304 0308
1205 0208
1106 0108
1006 0008
0907
0807
—0,0292
0392
0492
0592
0691
0791
0891
0990
1,7 1,8 1,9
—0,1288 —0,2272 —0,3233
1388 2369 3327
1486 2466 3421
1585 2563 3515
1684 2660 3609
1782 2756 3702
1881 2852 3795
1979 2948 3887
2077 3043 3979
2175 3138 4070
2,0
—0,4161
4252
4342
4432
4522
4611
4699
4787
4875
4962
1
1,0000 0,9998
-0,0092-0,0192 1090 1189
sin
tg X
0 2,1 2,2 2,3
—0,5048 —0,5885 —0,6663
5135 5966 6737
5220 6046 6811
5305 6125 6883
5390 6204 6956
5474 6282 7027
5557 6359 7098
5640 6436 7168
5722 6512 7237
5804 6588 7306
2,4 2,5 2,6
—0,7374 —0,8011 —0,8569
7441 8071 8620
7508 8130 8670
7573 8187 8720
7638 8244 8768
7702 8301 8816
7766 8356 8863
7828 8410 8908
7890 8464 8953
7951 8517 8998
2,7 2,8 2,9
—0,9041 —0,9422 -0 ,9 7 1 0
9083 9455 9733
9124 9487 9755
9165 9519 9777
9204 9549 9797
9243 9578 9817
9281 9606 9836
9318 9633 9853
9353 9660 9870
9388 9685 9885
3,0
—0,9900
9914
9926
9938
9948
9958
9967
9974
9981
9987
3,1
—0,9991
9995
9998
9999
k k . 2n
-1,0000 -1,0000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6,283
12,566
18,850
25,133
31,416
37,699
43,982
50,265
56,549
62,832
cos (—x) — cos *
X,
cos X = cos (x + k . 2n), k e Z
87
(x v radiánech)
7.5 tg X X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 ,0
0,0000
0100
0200
0300
0400
0500
0601
0701
0802
0902
0,1 0,2
0,1003 0,2027 0,3093
1104 2131 3203
1206 2236 3314
1307 2341 3425
1409 2447 3537
1511 2553 3650
1614 2660 3764
1717 2768 3879
1820 2876 3994
1923 2984 4111
0,4228 0,5463 0,6841
4346 5594 6989
4466 5726 7139
4586 5859 7291
4708 5994 7445
4831 6131 7602
4954 6269 7761
5080 6410 7923
5206 6552 8087
5334 6696 8253
0,9
0,8423 1,0296 1,2602
8595 0505 2864
8771 0717 3133
8949 0934 3409
9131 1156 3692
9316 1383 3984
9505 1616 4284
9697 1853 4592
9893 2097 4910
*0092 2346 5237
1,0
1,5574
5922
6281
6652
7036
7433
7844
8270
8712
9171
1,1 1,2
1,9648 2,5722 3,602
0,3 0,4 0,5 0,6
0,7 0,8
1,3 1,4 1,5
6,165 6,581 7,055 16,43 19,67 24,50
5,798 14,10
7.6 cotg
*1759 *2345 *2958 9119 3,010 3,113 4,256 4,455 4,673
*0143 *0660 *1198 8198 7328 6503 3,747 3,903 4,072
7,602 8,238 8,989 32,46 48,08 92,62
*3600 *4273 *4979 3,224 3,341 3,467 4,913 5,177 5,471 9,887 10,98 1255,8
12,35
X (x v radiánech) 0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,0
—
100,00
49,99
33,22
24,99
19,98
16,65
14¿6
12,47
0,1 0,2
9,967 4,933 3,2327
X
*
0,3 0,4 0,5 0,6
0,7
7,096 6,617 6,197 4,086 3,916 3,759 *8270 *7395 *6567
9,054 8,293 7,649 4,692 4,472 4,271 1218 0176 *9195 3008 2393 1804 7878 7465 7067 4308 4007 3715 1634 1402 1174 9520 9331 9146 7774 7615 7458
2,3652 1,8305 1,4617
11,08
5,826 5,495 5,200 3,613 3,478 3,351 *5782 *5037 *4328
1241 6683 3431 0952 8964 7303
0702 6310 3154
0184 5950 2885
*9686 5601 2622
*9208 5263 2366
0734 8785 7151
0521 8609 7001
0313 8437 6853
0109 8267 6707
*8748 4935 2116 *9908 8100 6563
0,9
1,1872 0,9712 0,7936
1,0
0,6421
6281
6142
6005
5870
5736
5604
5473
5344
5216
1,1 1,2
0,5090 0,3888 0,2776 0,1725 0,0709
4964 3773 2669 1622 0609
4840 3659 2562 1519 0508
4718 3546 2456 1417 0408
4596 3434 2350
4475 3323 2245 1214 0208
4356 3212 2140
4237 3102 2035
4120 2993 1931
1113 0108
1011
0910
4003 2884 1828 0810
0008
0,8
1,3 1,4 1,5 k
1
k . 7Í 3,142 tg (—x) = —tg X
88
2
3
4
9,425 12,566 6,283 tg * = tg (x + k . tc), k e Z
1315 0308 5
6
7
21,991 18,850 15,708 cotg (— x) = —cotg X
9
8
25,133 cotg
X
28,274
10
31,416
— cotg (x + k . 7t), k e Z
y =tgx
sin X, tg X
89
8
F U N K C E e' , e "
Exponenciální funkce e* a e-*, kde e = 2,718 ... je základ přirozených logaritmů, jsou definovány pro všechna reálná x. V tabulce jsou uvedeny hodnoty těchto funkcí pro x rostoucí po 0,01 v intervalu <0,00; 1,50), pro x rostoucí po 0,1 v intervalu <1,5; 6,0) a pro x e {6,5; 7,0; 8,0; 9,0; 10,0}. K vyhledávání hodnot funkcí pro x minjo uvedené intervaly použijeme vlastností exponenciální funkce, zejména vzorce: e*+v = e * . e* a (ea)b = eab Pomocí hodnot funkcí e1 a e"* určujeme hodnoty hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu podle vzorců: e* — e~x , ez -f- e~z sinh x = ----------- , cosh x = ----- ^----Pro hyperbolický sinus a hyperbolický kosinus platí vztahy: sinh (—ar) = —sinh x, cosh (—x) = cosh x cosh2 x — sinh2 x = 1, sinh x + cosh x = e*
y=e-
y=ex
y= coshx
y=sinhx
90
8 Funkce e*, e‘x X
e*
e~*
X
e*
e~x
X
e*
e~*
0,00
1,0000
1,0000
0,50
1,6487
0,6065
1,00
2,7183
0,3679
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
1,0101 0202 0305 1,0408 0513 0618 1,0725 0833 0942
0,9900 9802 9704 0,9608 9512 9418 0,9324 9231 9139
0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59
1,6653 6820 6989 1,7160 7333 7507 1,7683 7860 8040
0,6005 5945 5886 0,5827 5769 5712 0,5655 5599 5543
1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09
2,7456 7732 8011 2,8292 8577 8864 2,9154 9447 9743
0,3642 3606 3570 0,3535 3499 3465 0,3430 3396 3362
0,10
1,1052
0,9048
0,60
1,8221
0,5488
1,10
3,0042
0,3329
0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19
1,1163 1275 1388 1,1503 1618 1735 1,1853 1972 2092
0,8958 8869 8781 0,8694 8607 8521 0,8437 8353 8270
0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69
1,8404 8589 8776 1,8965 9155 9348 1,9542 9739 9937
0,5434 5379 5326 0,5273 5220 5169 0,5117 5066 5016
1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19
3,0344 0649 0957 3,1268 1582 1899 3,2220 2544 2871
0,3296 3263 3230 0,3198 3166 3135 0,3104 3073 3042
1,20
3,3201
0,3012
0,20
1,2214
0,8187
0,70
2,0138
0,4966
0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29
1,2337 2461 2586 1,2712 2840 2969 1,3100 3231 3364
0,8106 8025 7945 0,7866 7788 7711 0,7634 7558 7483
0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79
2,0340 0544 0751 2,0959 1170 1383 2,1598 1815 2034
0,4916 4868 4819 0,4771 4724 4677 0,4630 4584 4538
1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29
3,3535 3872 4212 3,4556 4903 5254 3,5609 5966 6328
0,2982 2952 2923 0,2894 2865 2837 0,2808 2780 2753
0,30
1,3499
0,7408
0,80
2,2255
0,4493
1,30
3,6693
0,2725
0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39
1,3634 3771 3910 1,4049 4191 4333 1,4477 4623 4770
0,7334 7261 7189 0,7118 7047 6977 0,6907 6839 6771
0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89
2,2479 2705 2933 2,3164 3396 3632 2,3869 4109 4351
0,4449 4404 4360 0,4317 4274 4232 0,4190 4148 4107
1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39
3,7062 7434 7810 3,8190 8574 8962 3,9354 9749 4,0149
0,2698 2671 2645 0,2618 2592 2567 0,2541 2516 2491
0,40
1,4918
0,6703
0,90
2,4596
0,4066
1,40
4,0552
0,2466
0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50
1,5068 5220 5373 1,5527 5683 5841 1,6000 6161 6323
0,6637 6570 6505 0,6440 6376 6313 0,6250 6188 6126
0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99
2,4843 5093 5345 2,5600 5857 6117 2,6379 6645 6912
1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49
4,0960 1371 1787 4,2207 2631 3060 4,3492 3929 4371
0,2441 2417 2393 0,2369 2346 2322 0,2299 2276 2254
1,6487
0,6065
1,00
2,7183
0,4025 3985 3946 0,3906 3867 3829 0,3791 3753 3716 0,3679
1,50
4,4817
0,2231
X
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
e*
e-*
4,4817 0,2231 2019 4,9530 5,4739 0,1827 1653 6,0496 6,6859 1496
2,0
7,3891
0,1353
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
8,1662 9,0250 9,9742 11,0232 12,182 13,464 14,880 16,445 18,174
0,1225 1108 1003 0,0907 0821 0743 0,0672 0608 0550
3,0
20,086
0,0498
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
22,198 24,533 27,113 29,964 33,115 36,598 40,447 44,701 49,402
0,0450 0408 0369 0,0334 0302 0273 0,0247 0224 0202
4,0
54,598
0,0183
4,1 60,340 4,2 66,686 4,3 73,700 4,4 81,451 4,5 90,017 4,6 99,484 4,7 109,947 4,8 121,510 4,9 134,290
0,0166 0150 0136 0,0123 0111 0101 0,0091 0082 0074
5,0 148,41
0,0067
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9
0,0061 0055 0050 0,0045 0041 0037 0,0033 0030 0027
164,02 181,27 200,34 221,41 244,69 270,43 298,87 330,30 365,04
6,0 403,43 6,5 665,14 7,0 1096,6 8,0 2981,0 9,0 8103,1 10,0
22026
0,0025 0,0015 0009 0003 0001 0,0000
91
9 LOGARITMY Definice a pravidla pro počítání s logaritmy jsou uvedeny ve vzorcích v kapitole 2 na str. 25. Pro výpočty jsou nejdůležitější logaritm y o základu 10, zvané dekadické nebo také podle autora, který je poprvé vypočítal, logaritmy Briggsovy. V zápisech dekadických logaritmů vynecháváme označení základu 10 a píšeme stručně log n. Ve vyšší matematice jsou důležité logaritmy, jejichž základem je iracionální číslo e = 2,718 282 (viz str. 29); nazýváme je logaritm y přirozené; užíváme pro ně značku In n. K odhadům logaritmů čísel jsou vhodné grafy funkcí y = log n a y — ln n. Mezi dekadickým logaritmem kladného čísla n a přirozeným logaritmem téhož čísla platí tyto vztahy: ln n = ln 10 . log n, log n = log e . ln n,
9.1
ln 10 = 2,302 585, log e = 0,434 294.
Přirozené logaritm y čísel
V tabulce jsou uvedeny pětimístné hodnoty přirozených logaritmů čísel 1— 100. Přirozené logaritmy čísel z intervalu (0; 1) a větších než 100 hledáme s využitím vlastností logaritmů.
Příklady: ln 0,5 = ln (5 : 10) = ln 5 — ln 10 = 1,60944 — 2,30259 = -0,69315 ln 5 000 = ln (50 . 100) = ln 50 + ln 100 = 3,91202 + 4,60517 = 8,51719 ln 106 = 6 . ln 10 = 6 . 2,30259 = 13,81554
9.2
Logaritm y dekadické
Z definice dekadického logaritmu vyplývá: log 1 = 0; log 10 = 1; log 10° = c Většímu n odpovídá větší logaritmus; platí: je-li 1 ^ «o < 10, je 0 ^ log no < 1 . Každé kladné číslo n můžeme napsat ve tvaru n = no . 10c, kde 1 ^ no < 10 a c je celé číslo (řád první platné číslice); pak platí: log n = log (10° . no) = log 10° + log «o = c + m , kde m — log «o a 0 ^ m < 1. Každý dekadický logaritmus je tedy součtem celého čísla c a čísla m. Číslo c udává řád první platné číslice daného čísla n a nazývá se charakteristika logaritm u; číslo m se nazývá m antisa logaritm u. Všechna čísla, která se liší pouze umístěním desetinné čárky, mají touž mantisu. Hledáme-li logaritmus nějakého čísla, určíme nejprve charakteristiku, která se rovná řádu první platné číslice zleva. Je-li charakteristika kladná nebo nula, napíšeme ji, za ni napíšeme desetinnou čárku a pak při píšeme mantisu nalezenou v tabulkách. Je-li charakteristika záporná, napíšeme nulu, za ni desetinnou čárku, vynecháme místo na mantisu a za ně připíšeme zápornou charakteristiku. Pak z tabulky doplníme mantisu. V tabulce 9.2 jsou uvedeny čtyřmístné mantisy trojcifemých čísel 100—999 a na kond řádků opravy pro čtvrtou platnou číslici.
92
Příklady: log 8 320 =
3,9201
číslo 8 320 má nejvyšší řád tisíce, tedy charakteristiku 3; mantisa řádek 83, sloupec 2
log 0,0456 =
0,6590 —2
číslo 0,0456 má nejvyšší řád setiny, charakteristiku —2; mantisa - řádek 45, sloupec 6
log 1,357 =
0,1303
číslo 1,357 má nejvyšší řád jednotky, charakteristiku 0; mantisa řádek 13, sloupec 5 oprava pro čtvrtou platnou číslici 7
+23 0,1326
(Až do mantis log 209 jsou řádky rozděleny na dvě až čtyři části, protože tabulkové diference nejsou na řádku stejné, takže se opravy pro různé diference liší. Teprve od mantisy log 210 se diference mezi mantisami liší nejvýše o 1, takže zaokrouhlené opravy platí pro celý řádek.) Opačným postupem najdeme k danému logaritmu číslo se čtyřmi platnými číslicemi.
P říklad: log x = 0,9131 —0,9128 x = log
=
y =
8,185 0,6650 - 3 -0 ,6 6 4 6 0,004624
řádek 81, sloupec 8 oprava 3 přísluší čtvrté číslici 5 nebo 6 charakteristika log x — 0, nejvyšším řádem čísla x jsou jednotky řádek 46, sloupec 2 oprava 4 přísluší čtvrté číslici 4 charakteristika logjy j e —3, nejvyšším řádem čísla y budou tisíciny, proto napí šeme 0,00 a doplníme desetinná místa odpovídající mantise.
M antisa logaritm u čísla n m á nejvýše tolik platných číslic, kolik platných číslic m á číslo n. Hledáme-li proto mantisu čísla zaokrouhleného např. na 3 platné číslice, zaokrouhlíme mantisu rovněž na tři platné číslice.
log x
0
O«■■
ě
93
9.1
Přirozené logaritm y čísel 1—100
n
ln n
n
ln n
n
ln n
n
ln n
n
ln n
0,00 000
21 22
41 42 43
3,71 357 3,73 767 3,76 120
61 62 63
4,11 087 4,12 713 4,14 313
81 82 83
4,39 445 4,40 672 4,41 884
64 65
4,15 888 4,17 439 4,18 965
84 85
4,43 082 4,44 265 4,45 435
87 89
4,46 591 4,47 734 4,48 864
0,69 315 1,09 861
23
3,04 452 3,09 104 3,13 549
1,38 629 1,60 944 1,79 176
24 25 26
3,17 805 3,21 888 3,25 810
44 45 46
3,78 419 3,80 666 3,82 864
27 28 29
3,29 584 3,33 220 3,36 730
47 48 49
3,85 015 3,87 120 3,89 182
68
9
1,94 591 2,07 944 2,19 722
69
4,20 469 4,21 951 4,23 411
10
2,30 259
30
3,40 120
50
3,91 202
70
4,24 850
90
4,49 981
11 12
13
2,39 790. 2,48 491 2,56 495
31 32 33
3,43 399 3,46 574 3,49 651
51 52 53
3,93 183 3,95 124 3,97 029
71 72 73
4,26 268 4,27 667 4,29 046
91 92 93
4,51 086 4,52 179 4,53 260
14 15 16
2,63 906 2,70 805 2,77 259
34 35 36
3,52 636 3,55 535 3,58 352
54 55 56
3,98 898 4,00 733 4,02 535
74 75 76
4,30 407 4,31 749 4,33 073
94 95 96
4,54 329 4,55 388 4,56 435
17 18 19
2,83 321 2,89 037 2,94 444
37 38 39
3,61 092 3,63 759 3,66 356
57 58 59
4,04 305 4,06 044 4,07 754
77 78 79
4,34 381 4,35 671 4,36 945
97 98 99
4,57 471 4,58 497 4,59 512
20
2,99 573
40
3,68 888
60
4,09 434
80
4,38 203
100
4,60 517
1 2
3 4 5 6
7 8
ln re = 1,144 73
66
67
86 88
9.2 Mantisy log n 100 - 299 n
0
1
10
0000
0043
2
3
4
0086
0128
0170
5
0212
6
7
0414
0453
0569
0823
6
7 8
9
0374
4 4 4 4
17 17 16 16
22 21 21 20
26 25 25 24
30 30 29 28
39 38 37 36
0755
4 8 12 4 8 11 4 7 11
16 20 24 15 19 23 15 18 22
27 31 35 27 30 34 26 29 33
1106
3 7 11 4 7 11 3 7 10
14 18 21 14 17 21 14 17 20
25 28 32 24 28 31 24 27 30
1430
3 7 10 3 6 10 3 6 9
13 17 20 13 16 19 13 16 19
23 27 30 23 26 29 22 25 28
1703
1732
3 6 9 3 6 9 3 6 9
13 16 19 12 15 18 11 14 17
22 25 28 21 24 27 20 23 26
1987
2014
3 6 3 5
9 8
11 14 17 11 14 16
20 23 26 19 22 25
2253
2279
3 5 8 3 5 8
11 13 16 10 13 15
19 21 24 18 20 23
2504
2529
3 5 8 2 5 7
10 13 15 10 12 15
18 20 23 17 19 22
2742
2765
2 5 7 2 5 7
9 12 14 9 11 13
16 19 21 16 18 20
0334
0607 0645
0792
5
0492 0531
12
4
9
0253 0294
11
1 2 3
8
0864
0899
0682
0719
0934 0969 1004
13
1139
1038
1173 1206
1239
1271
1303
1335 1367
14
1461
1761
1790
1818
1553 1847
1584 1875
1614 1903
1644
1673
1931 1959
16 17 18 19
20
2041 2304 2553 2788
3010
1399
1492 1523
15
1072
2068 2330 2577 2810
3032
2095 2355 2601 2833
3054
2122 2380 2625 2856
3075
2148 2405 2648 2878
2175
2201
2227 .
2430 2672
2455
2480
2695
2718
13 13 12 12
35 34 33 32
2923
2945
2967
2989
2 4 7 2 4 6
9 11 14 8 11 13
16 18 20 15 17 19
3139
3160
3181
3201
2 4 6 2 4 6
8 11 13 8 10 12
15 17 19 14 17 19
2900
3096 3118
9 9 8 8
21 22 23 24 25 26
3222 3424 3617 3802 3979 4150
3243 3444 3636 3820 3997 4166
3263 3284 3464 3483 3655 3674 3838 3856 4014 4031 4183 4200
3304 3324 3345 3502 3522 3541 3692 3711 3729 3874 3892 3909 4048 4065 4082 4216 4232 4249
3365 3560 3747 3927 4099 4265
3385 3404 3579 3598 3766 3784 3945 3962 4116 4133 4281 4298
2 2 2 2 2 2
4 6 4 6 4 6 4 5 3 5 3 5
8 8 7 7 7 7
27 28 29
4314 4472 4624
4330 4487 4639
4346 4502 4654
4362 4518 4669
4378 4533 4683
4393 4548 4698
4409 4564 4713
4425 4579 4728
4440 4594 4742
4456 4609 4757
2 3 5 2 3 5 1 3 4
6 6 6
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3
4
10 10 9 9 9 8
12 12 11 11 10 10
8 9 8 9 7 9 5
6
14 14 13 12 12 11
16 15 15 14 14 13
18 17 17 16 15 15
11 13 14 11 12 14 10 12 13 7
8
9
95
log X O
9.2 M an tisy lo g n 300—639
log X
9
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3
4 5 6
30
4771
4786
4800
4814
4829
4843
4857
4871
4886
4900
1 3 4
6 7 9
10 11 13
31 32 33
4914 5051 5185
4928 5065 5198
4942 5079 5211
4955 5092 5224
4969 5105 5237
4983 5119 5250
4997 5132 5263
5011 5145 5276
5024 5159 5289
5038 5172 5302
1 3 4 13 4 1 3 4
6 7 8 5 7 8 5 6 8
10 11 12 9 11 12 9 10 12
34 35 36
5315 5441 5563
5328 5453 5575
5340 5465 5587
5353 5478 5599
5366 5490 5611
5378 5502 5623
5391 5514 5635
5403 5527 5647
5416 5539 5658
5428 5551 5670
1 3 4 1 2 4 1 2 4
5 6 8 5 6 7 5 6 7
9 10 11 9 10 11 8 10 U
37 38 39
5682 5798 5911
5694 5809 5922
5705 5821 5933
5717 5832 5944
5729 5843 5955
5740 5855 5966
5752 5866 5977
5763 5877 5988
5775 5888 5999
5786 5899 6010
1 2 3 1 2 3 1 2 3
5 6 7 5 6 7 4 5 7
8 8 8
9 10 9 10 9 10
40
6021
6031
6042
6053
6064
6075
6085
6096
6107
6117
1 2 3
4 5 6
8
9 10
41 42 43
6128 6232 6335
6138 6243 6345
6149 6253 6355
6160 6263 6365
6170 6274 6375
6180 6284 6385
6191 6294 6395
6201 6304 6405
6212 6314 6415
6222 6325 6425
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6 4 5 6
7 8 7 8 7 8
9 9 9
44 45 46
6435 6532 6628
6444 6542 6637
6454 6464 6551 6561 6646 6656
6474 6571 6665
6484 6580 6675
6493 6590 6684
6503 6599 6693
6513 6609 6702
6522 6618 6712
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6 4 5 6
7 8 7 8 7 7
9 9
47 48 49
6721 6812 6902
6730 6821 6911
6739 6830 6920
6749 6839 6928
6758 6848 6937
6767 6857 6946
6776 6955
6785 6875 6964
6794 6884 6972
6803 6893 6981
12 3 1 2 3 1 2 3
4 5 5 4 4 5 4 4 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
50
6990
6998
7007
7016
7024
7033
7042
7050
7059
7067
12 3
3 4 5
6
7
8
51 52 53
7076 7160 7243
7084 7168 7251
7093 7177 7259
7101 7185 7267
7110 7193 7275
7118 7202 7284
7126 7210 7292
7135 7143 7218 7226 7300 7308
7152 7235 7316
12 3
3 4 5 3 4 5 3 4 5
6 6 6
7 7
8
1 2 2 1 2 2
54 55 56
7324 7404 7482
7332 7412 7490
7340 7419 7497
7348 7427 7505
7356 7435 7513
7364 7443 7520
7372 7451 7528
7380 7459 7536
7388 7466 7543
7396 7474 7551
1 2 2 1 2 2 1 2 2
3 4 5 3 4 5 3 4 5
6
57 58 59
7559 7634 7709
7566 7642 7716
7574 7582 7649 7657 7723 7731
7589 7664 7738
7597 7672 7745
7604 7679 7752
7612 7686 7760
7619 7694 7767
7627 7701 7774
1 2 2 1 1 2 1 1 2
60
7782
7789
7796
7803
7810
7818
7825
7832
7839
7846
61 62 63
7853 7924 7993
7860 7931 8000
7868 7938 8007
7875 7945 8014
7882 7952 8021
7889 7959 8028
7896 7966 8035
7903 7973 8041
7910 7980 8048
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
6866
n ~ 3,1416, log .i = 0,4971, — = 0,3183, log — = 0,5029 - 1 jZ
71
]j'2 = 1,4142, log ¡2 = 0,1505, ^3 = 1,7321, log
96
0,2386
7 8
8
6
7 7
6 6 6
7 7 7
3 4 5 3 4 4 3 4 4
5 6 5 6 5 6
7 7 7
1 1 2
3 4 4
5
6
7917 7987 8055
1 1 2 1 1 2 1 1 2
3 4 4 3 3 4 3 3 4
5 6 6 5 6 6 5 5 6
9
1 2 3
4 5 6
7 8
5 5
6
9
9.2
Mantisy log n 640—999
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3
4 5 6
7 8
9
64 65 66
8062 8129 8195
8069 8136 8202
8075 8142 8209
8082 8149 8215
8089 8156 8222
8096 8162 8228
8102 8169 8235
8109 8176 8241
8116 8182 8248
8122 8189 8254
1 1 2 1 1 2 1 1 2
3 3 4 3 3 4 3 3 4
5 5 6 5 5 6 5 5 6
67 68 69
8261 8325 8388
8267 8331 8395
8274 8338 8401
8280 8344 8407
8287 8351 8414
8293 8357 8420
8299 8363 8426
8306 8312 8370 8376 8432 8439
8319 8382 8445
1 1 2 1 1 2 1 1 2
3 3 4 3 3 4 2 3 4
5 5 6 4 5 6 4 5 6
70
8451
8457
8463
8470
8476
8482
8488
8494
8500
8506
112
2 3 4
4 5 6
71 72 73
8513 8573 8633
8519 8579 8639
8525 8585 8645
8531 8591 8651
8537 8597 8657
8543 8603 8663
8549 8609 8669
8555 8615 8675
8561 8621 8681
8567 8627 8686
1 1 2 1 1 2 112
2 3 4 2 3 4 2 3 4
4 5 5 4 5 5 4 5 5
74 75 76
8692 8751 8808
8698 8756 8814
8704 8762 8820
8710 8768 8825
8716 8774 8831
8722 8779 8837
8727 8785 8842
8733 8791 8848
8739 8797 8854
8745 8802 8859
1 1 2 1 1 2 1 1 2
2 3 4 2 3 3 2 3 3
4 4 4
77 78 79
8865 8921 8976
8871 8927 8982
8876 8932 8987
8882 8938 8993
8887 8943 8998
8893 8949 9004
8899 8954 9009
8904 8910 8960 8965 9015 9020
8915 8971 9025
1 12 1 1 2 1 1 2
2 3 3 2 3 3 2 3 3
4 4 4 4 4 4
5 5 5
80
9031
9036
9042
9047
9053
9058
9063
9069
9074
9079
1 1 2
2 3 3
4
4
5
81 82 83
9085 9138 9191
9090 9143 9196
9096 9149 9201
9101 9154 9206
9106 9159 9212
9112 9165 9217
9117 9170 9222
9122 9175 9227
9128 9180 9232
9133 9186 9238
1 1 2 1 1 2 1 1 2
2 3 3 2 3 3 2 3 3
4 4 4 4 4 4
5 5 5
84 85 86
9243 9294 9345
9248 9299 9350
9253 9304 9355
9258 9309 9360
9263 9315 9365
9269 9320 9370
9274 9325 9375
9279 9330 9380
9284 9335 9385
9289 9340 9390
1 1 2 1 1 2 1 1 2
2 3 3 2 3 3 2 3 3
4 4 5 4 4 5 4 4 5
87 88 89
9395 9445 9494
9400 9450 9499
9405 9410 9455 9460 9504 9509
9415 9465 9513
9420 9469 9518
9425 9474 9523
9430 9479 9528
9435 9484 9533
9440 9489 9538
0 1 1 0 1 1 0 1 1
2 2 3 2 2 3 2 2 3
3 4 4 3 4 4 3 4 4
90
9542
9547
9552
9557
9562
9566
9571
9576
9581
9586
0 1 1
2 2 3
3 4
91 92 93
9590 9638 9685
9595 9643 9689
9600 9647 9694
9605 9652 9699
9609 9657 9703
9614 9661 9708
9619 9666 9713
9624 9671 9717
9628 9675 9722
9633 9680 9727
0 1 1 0 1 1 0 1 1
2 2 3 2 2 3 2 2 3
3 4 4 3 4 4 3 4 4
94 95 96
9731 9777 9823
9736 9782 9827
9741 9786 9832
9745 9791 9836
9750 9795 9841
9754 9800 9845
9759 9805 9850
9763 9809 9854
9768 9814 9859
9773 9818 9863
0 1 1 0 1 1 0 1 1
2 2 3 2 2 3 2 2 3
3 3 3
4 4 4
4 4 4
97 98 99
9868 9912 9956
9872 9917 9961
9877 9921 9965
9881 9926 9969
9886 9930 9974
9890 9934 9978
9894 9939 9983
9899 9943 9987
9903 9948 9991
9908 9952 9996
0 1 1 0 1 1 0 1 1
2 2 3 2 2 3 2 2 3
3 4 3 4 3 3
4 4 4
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3
4 5 6
7
8
9
5 5 5 5 5 5
0
4
97
log X
fyzikální a chemické tabulky
Ú VO D Jednotky Veličiny jsou pojmy, které se užívají ke kvantitativnímu a kvalitativnímu popisu jevů nebo těles. Veličiny, které mají stejný kvalitativní charakter a lze je vzájemně porovnávat, jsou veličiny stejného druhu. Příklad: vlnová délka žluté sodíkové čáry a poloměr Země jsou veličiny stejného druhu. Vybereme-li ze skupiny veličin stejného druhu jednu, kterou považujeme za referenční (vztažnou) a s níž ostatní porovnáváme (měřením), nazýváme takto vybranou veličinu jednotka. Jednotka je vhodně zvolená referenční veličina používaná při měření veličin stejného druhu. Je zpravidla určena mezinárodní dohodou. Kdybychom volili jednotky všech veličin nezávisle, komplikovaly by se rovnice vyjadřující funkční závis losti mezi veličinami číselnými součiniteli. Proto volíme nezávisle jen několik jednotek, které pak nazýváme základní jednotky; ostatní jednotky z nich odvozujeme a říkáme jim odvozené jednotky. Základní a odvozené jednotky tvoří spolu soustavu jednotek. Soustava jednotek je koherentní, mají-li rovnice mezi číselnými hodnotami stejný tvar jako veličinové rovnice. Rozměrem veličiny vzhledem k základním veličinám nazýváme formální součin všech rozměrových symbolů s příslušnými exponenty (základní veličiny a jejich rozměrové symboly jsou: délka L, hmotnost M , čas T , elektrický proud I, teplota 0 , látkové množství M, svítivost J). Např. rozměrem výkonu je L2M T~3. V praxi je zvykem nahrazovat v rozměru veličiny rozměrové symboly značkami odpovídajících základních jednotek, např. pro výkon m 2 . kg . s~3. Protože korespondence mezi základními veličinami a základními jednotkami je v případě zákonných jednotek jednoznačná, jsou obě vyjádření zaměnitelná. ^ Číselná hodnota veličiny je číslo, kterým musíme vynásobit jednotku, abychom dostali danou veličinu. Číselná hodnota veličiny je určena poměrem této veličiny k její jednotce. Příklad: výška stolu h = 0,8 m; h je výška stolu, m (metr) je jednotka, 0,8 je číselná hodnota. Veličina nezávisí na volbě jednotky, číselná hodnota veličiny však na volbě jednotky závisí. Kolikrát se zvětší (zmenší) jednotka, tolikrát se zmenší (zvětší) číselná hodnota veličiny. Příklad: výška stolu nezávisí na tom, v jakých jednotkách je vyjádřena. Avšak h = 0,800 m - 80,0 cm = 800 mm. Jsou-li v témž sloupci tabulky uvedeny číselné hodnoty ve stejných jednotkách, je uvedena příslušná jednotka pouze v záhlaví tabulky poměrem veličiny a příslušné jednotky ve tvaru zlomku.
P řík lad : číselné hodnoty hustoty q různých látek v kilogramech na krychlový metr jsou v záhlaví tabulky 0 Q označeny takto: ^ ^ 3 . Najdeme-li např. u vody v tabulce číselnou hodnotu 998, znamená to —— = = 998. T uto rovnici můžeme vynásobením (na obou stranách) k g . m -3 uvést do obvyklého tvaru
g = 998 kg . m~3. Číselné hodnoty veličin se v tabulkách uvádějí zpravidla se třemi až čtyřmi platnými číslicemi; větší přes nost není pro praktické použití nutná a leckdy ani nejsou číselné hodnoty s větší přesností známy. Počet platných číslic se u čísel s desetinnou čárkou shoduje vždy s počtem napsaných číslic, např. číslo 2,14 má platné 3 číslice. Uvádí-li se číslo s menším počtem platných číslic, než je počet napsaných číslic, např. 2 140 se třemi platnými číslicemi, lze ho zapsat jako součin desetinného čísla a mocniny 10, tj. 2,14. 103. V některých tabulkách se takový zápis nehodí a pak není počet platných číslic vyznačen. Např. hustota chromniklu je v tabulce zapsána takto: 8 200 k g . m -3. V tomto případě jsou pouze první dvě číslice platnými číslicemi, nuly slouží k vyznačení řádu. Nuly na konci celých čísel ve fyzikálních a chemických tabulkách zpravidla nejsou platnými číslicemi. V tabulkách jsou uvedeny veličiny, které charakterizují vlastnosti látek, vlastnosti jevů a vlastnosti pohybu těles, přeměn energie apod. Ve většině tabulek je shrnuto více veličin dohromady, aby se nemusel pro každou veličinu opakovat seznam látek. Příkladem jsou tabulky tepelných konstant kapalin a plynů. V takových tabulkách pak nejsou vždy všechny údaje; některé údaje nemají význam, jiné třeba nebyly změřeny. Pří slušná místa v tabulkách jsou proškrtnuta. Jednotky a značky veličin jsou převzaty ze státních norem. Nadpisy tabulek jsou pokud možno stručné, pod nadpisem jsou však vždy uvedeny všechny veličiny, které se vyskytují v tabulce, a jejich značky. U tabulek vyjadřujících závislost je uveden též příslušný matematický vztah. V rovnicích a vztazích se někde pro úsporu místa užívají také šikmé zlomkové čáry. Údaje v tabulkách jsou uváděny v jednotkách Mezinárodní soustavy jednotek. Kromě jednotek SI se
101
Jednotky
užívají též násobky a díly jednotek, a to i v kombinacích, např. kV . m m -1 apod. Přednostně se užívají ty jednotky, které se užívají i v praxi. Při zápisu jednotek se v tabulkách neužívají zlomkové čáry, aby nemohlo dojít k omylu. Jmenovatel je vždy vyznačen jako součinitel se záporným exponentem. Z vedlejších jednotek jsou v tabulkách užity pouze elektronvolt a výjimečně i litr. Některé veličiny a zejména látkové konstanty závisí často na vnějších podmínkách. Aby byly údaje těchto veličin srovnatelné, zavádíme tzv. normální podmínky, charakterizované normálním tíhovým zrychlením ga = 9,806 65 m . s-2, normální teplotou rn = 0 ° C a normálním tlakem. Za normální tlak se dříve pova žoval tlak jedné fyzikální atmosféry, odpovídající tlaku rtuťového sloupce 760 mm vysokého, tj. pa = = 1,013 25 . 105 Pa == 1,013 . 105 Pa. Ve spojení se soustavou SI je výhodnější užívat pn = 105 Pa přesně. Přechod na tuto novou hodnotu není dosud ukončen, a proto se v tabulkách setkáme s oběma hodnotami normálního tlaku. Úkolem tabulek je informovat především o číselných hodnotách velikostí veličin. U vektorových veličin proto většinou není respektován jejich vektorový charakter (zápisem ani slovním vyjádřením), který na číselné hodnoty nemá vhv. Podrobnosti o vektorových veličinách jsou uvedeny v učebnicích. Některé státní normy (ČSN) důležité pro fyziku a chemii. ČSN ČSN ČSN ČSN ČSN ČSN ČSN ČSN ČSN ČSN ČSN ČSN ČSN ČSN ČSN
102
01 1001 01 1010 01 1300 01 1301 01 1302 01 1303 01 1304 01 1305 01 1306 01 1307 01 1308 01 1312 01 1326 01 1329 36 9032
Matematické značky Zapisování a zaokrouhlování čísel Zákonné měřicí jednotky Veličiny, jednotky a rovnice. Společná ustanoveni Veličiny, jednotky a značky v mechanice tuhých a poddajných těles Veličiny a jednotky v mechanice tekutin a termomechanice Veličiny a jednotky v akustice Veličiny a jednotky v elektrotechnice Veličiny a jednotky světla a příbuzných elektromagnetických záření Veličiny a jednotky ve fyzikální chemii Veličiny a jednotky v atomové a jaderné fyzice Veličiny a jednotky mechanického kmitání a rázů Veličiny a jednotky ve sdílení tepla a přenosu látky Jednotka decibel pro měření úrovní, útlumů a zisků Vyjádřeme meradch jednotiek pre tlačiarenské zariadenia s obmedzeným súborom znakov
1 Základní jednotky Mezinárodní soustava jednotek (Systéme International ď Unités, zkratka SI) byla v ČSSR uzákoněna v roce 1962 zákonem č. 35/62 Sb. O měrové službě, který stanovil šest základních jednotek: metr, kilogram, sekunda, ampér, kelvin a kandela. Zákon č. 57/75 Sb., kterým se mění a doplňuje zákon č. 35/62 Sb. O měrové službě, doplnil sedmou základní jednotku mol. Definice základních jednotek a další zákonné jednotky stanoví norma ČSN 01 1300 Zákonné měřicí jednotky.
Veličina délka
Základní jednotka
Definice metr je délka dráhy, kterou proběhne světlo ve vakuu
metr
23 299 792 458
hmotnost
kilogram
kilogram je hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu uloženého v Mezinárodním úřadě pro váhy a míry v Sèvres u Paříže
čas
sekunda
sekunda je doba rovnající se 9 192 631 770 periodám záření, které odpovídá přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133
elektrický proud
ampér
ampér je stálý elektrický proud, který při průchodu dvěma přímými rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového průřezu umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti 1 metr vyvolá mezi nimi stálou sílu 2 . 10~7 newtonu na 1 metr délky vodiče
termodynamická teplota
kelvin
svítivost
kandela
kelvin je
kandela je svítivost zdroje, který v daném směru vysílá monochroma tické záření o kmitočtu 540 . 1012 hertzů a jehož zářivost v tomto směru je
látkové množství
mol
•} , , termodynamické teploty trojného bodu vody 273,16
683
wattu na steradián
mol je látkové množství soustavy, která obsahuje právě tolik elemen tárních jedinců (entit), kolik je atomů v 0,012 kilogramu nuklidu uhlíku J|C (přesně). Při udávání látkového množství je třeba elementární entity specifikovat; mohou to být atomy, molekuly, ionty, elektrony, jiné částice nebo blíže určená seskupení těchto částic
M etr byl dřivé definován jako vzdálenost dvou rysek na mezinárodním prototypu m etru, který je uložen v Mezi národním úřadě pro váhy a míry v Sčvres (čti sěvr - předměstí Paříže), měřená při teplotě 0 °C a tlaku 1,013 25 . 106 Pa. Nově přijatá definice nemění velikost metru, pouze ji zpřesňuje. Ve školské fyzice se veličina délka dráhy nazývá krátce dráha. 1 sekunda odpovídá
^
86 400
dne (středního slunečního dne).
Teplota trojného bodu vody je teplotou rovnovážného stavu ledu, vody a vodní páry; trojný bod vody je základní teplotní bod. Termodynamická teplota začíná absolutní nulou. Termodynamická teplota trojného bodu vody je 273,16 K. Nule Celsiovy stupnice přísluší termodynamická teplota 273,15 K přesně. Leži 0,01 K pod trojným bodem vody a je to teplota tuhnuti vody při tlaku 1,013 25 . 105 Pa. Teplota 100 ”C je teplota varu vody při témž tlaku. Teplotní stupeň je v obou stupnicích stejný.
103
Jednotky
2 Jednotky
Zákonné m ěřicí jednotky
Podle normy ČSN 01 1300 Zákonné měřicí jednotky se zákonné měřicí jednotky dělí na: a) základní jednotky, které jsou určeny zákonem, b) odvozené jednotky, které jsou koherentně odvozeny od základních jednotek. Norma ČSN 01 1300 uvádí ještě kategorii tzv. doplňkových jednotek (radián, steradián). S těmito jednotkami se pracuje jako s jednotkami odvozenými, a proto jsou zahrnuty mezi odvozené jednotky. Základní a odvozené jednotky se nazývají souhrnným názvem hlavni jednotky nebo též jednotky SI, c) násobky a díly jednotek - viz tabulku 5, d) vedlejší jednotky, které se odvozují od hlavních jednotek převodním činitelem různým od jedné a které jsou v ČSN 01 1300 jmenovitě uvedeny. O statní jednotky, které nepatří do výše uvedených skupin, nejsou zákonné měřicí jednotky a v ČSSR se nesmějí používat. V této tabulce jsou uvedeny hlavní jednotky, které mají zvláštní název. Hlavní jednotky jsou podrobně uvedeny v tabulce 4, vedlejší v tabulce 6. Veličina
Jednotka
Název rovinný úhel prostorový úhel kmitočet síla tlak, mechanické napití energie, práce, teplo výkon elektrický náboj elektrické napétí, el. potenciál, elektromotorické napětí elektrická kapacita elektrický odpor elektrická vodivost magnetický indukční tok magnetická indukce indukčnost, vzájemná indukčnost světelný tok osvětlení aktivita dávka ekvivalentní dávka
Rozměr 1 1 s -1
m . kg . *-2 m- 1 . kg . s -2 m 2 . kg . s -2 m 2 . kg . s - 3 s.A m 2 . kg . s -3 . A -1 m -2 . kg-1 . s4 . A 2 m 2 . kg . s -3 . A -2 m -2. kg"1, s 3 . A 2 m 2 . kg . s-2 . A -1 k g . s -2 . A -1 ma . kg . s- 2 . A ’ 2 cd m -2 . cd s -1 m 2 . s' 2 m 2 . s -2
Název radián steradián hertz newton pascal joule watt coulomb volt farad ohm siemens weber tesla henry lumen lux becquerel gray sievert
Značka rad sr Hz N Pa J W
C v F
a s Wb T H lm lx Bq Gy Sv
3 Definice některých jednotek Rovinný úhel. Hlavní jednotkou je radián (rad). Radián je úhel, u něhož poměr příslušné délky kruhového oblouku opsaného z vrcholu úhlu k poloměru oblouku se rovná 1. P rostorový úhel. Hlavní jednotkou je steradián (sr). Steradián je prostorový úhel, u něhož poměr obsahu plochy vytknuté příslušným kuželem na povrchu koule, jež má střed ve vrcholu úhlu, ke druhé mocnině poloměru koule se rovná 1. Km itočet. Hlavní jednotkou je hertz (Hz). Hertz je kmitočet periodického jevu, jehož perioda trvá 1 sekundu. Síla, tíha. Hlavní jednotkou je newton (N). Newton je síla, která uděluje tělesu o hmotnosti 1 kg zrychlení 1m . s ~2.
104
H ustota. Hlavni jednotkou je kilogram na krychlový metr (k g . m 3). Kilogram na krychlový metr je hustota homogenní látky, jejíž jeden krychlový metr má hmotnost jeden kilogram. Tlak, mechanické napětí. Hlavní jednotkou je pascal (Pa). Pascal je tlak, který vyvolá síla jednoho newtonu rovnoměrně působící na plochu o obsahu 1 m2 kolmou ke směru síly. D ynam ická viskozita. Hlavní jednotkou je pascalsekunda (Pa . s). Pascalsekunda je dynamická viskozita laminárně proudící tekutiny, v níž při gradientu rychlosti 1 s*1 napříč proudu vzniká tečné napětí 1 Pa. Energie, práce, teplo. Hlavní jednotkou je joule (J). Joule je práce, kterou vykoná stálá síla 1 newtonu působící ve směru síly po dráze 1 m. Výkon, zářivý tok. Hlavní jednotkou je watt (W). Watt je výkon, při němž se vykoná práce 1 joulu za 1 sekundu. M ěrná tepelná kapacita. Hlavní jednotkou je joule na kilogram a kelvin (J . kg - *. K 1). Joule na kilogram a kelvin je měrná tepelná kapacita homogenní látky takové, že těleso o hmotnosti 1 kg z ní vyrobené se zahřeje teplem 1 joulu o 1 kelvin. Elektrický náboj. Hlavní jednotkou je coulomb (C). Coulomb je elektrický náboj, jenž proteče vodičem při stálém proudu 1 ampéru za dobu 1 sekundy. Elektrické napětí. Hlavní jednotkou je volt (V). Volt je napětí mezi konci vodiče, do něhož stálý proud 1 ampéru dodává výkon 1 wattu. Elektrická kapacita. Hlavní jednotkou je farad (F). Farad je kapacita elektrického kondenzátoru, který při napětí 1 voltu pojme náboj 1 coulombu. Elektrický odpor. Hlavní jednotkou je ohm (O). Ohm je odpor vodiče, v němž stálé napětí 1 voltu mezi konci vodiče vyvolá proud 1 ampéru, nepůsobí-li ve vodiči elektromotorické napětí. Elektrická vodivost. Hlavní jednotkou je siemens (S). Siemens je vodivost vodiče, jehož odpor je 1 ohm. Indukčnost. Hlavní jednotkou je henry (H). Henry je vlastní indukčnost uzavřeného obvodu, v němž vzniká elektromotorické napětí 1 voltu, jestliže se elektrický proud procházející tímto obvodem rovnoměrně mění o 1 ampér za sekundu. M agnetický indukční tok. Hlavní jednotkou je weber (Wb). Weber je magnetický indukční tok, který indukuje v závitu jej obepínajícím elektromotorické napětí 1 voltu, zmenšuje-li se tento tok rovnoměrně tak, že za 1 sekundu zanikne. M agnetická indukce. Hlavní jednotkou je tesla (T). Tesla je magnetická indukce, při níž je v ploše s obsahem 1 čtverečného metru umístěné kolmo ke směru magnetické indukce magnetický indukční tok 1 weberu. Intenzita m agnetického pole. Hlavní jednotkou je ampér na metr (A . m ’). Užíval se též nevhodný název ampérzávit na metr (Az . m _1). Ampér na metr je intenzita magnetického pole uvnitř velmi dlouhého solenoidu, u něhož součin proudu a délkové hustoty závitů je 1 ampér na metr. Světelný tok. Hlavní jednotkou je lumen (lm). Lumen je světelný tok vyzařovaný do prostorového úhlu 1 steradiánu bodovým zdrojem, jehož svítivost je ve všech směrech 1 kandela. Osvětlení. Hlavní jednotkou je lux (Ix). Lux je osvětlení plochy, na jejíž každý čtverečný metr dopadá rovnoměrně rozdělený světelný tok 1 lumenu. Jas. Hlavní jednotkou je kandela na čtverečný metr (cd . m~2). Kandela na čtverečný metr je jas zdroje, jehož svítivost na 1 čtverečný m etr zdánlivé plochy zdroje je rov na 1 kandele; zdánlivou plochou se přitom rozumí obsah průmětu skutečné plochy do roviny kolmé ke směru záření. A ktivita. Hlavní jednotkou je becquerel (Bq). Becquerel je aktivita radionuklidu, v němž dochází průměrně k jedné přeměně za 1 sekundu. Dávka (absorbovaná dávka). Hlavní jednotkou je gray (Gy). Gray je dávka, při níž ionizující záření předá 1 kilogramu dané látky střední energii 1 joule.
105
Jednotky
4 Jednotky
Přehled veličin, značek a hlavních jednotek
Tabulka obsahuje názvy a značky vybraných fyzikálních veličin a názvy, značky a rozměry jejich hlavních jednotek. Výrazy uvedené ve sloupci Vztah udávají souvislost dané veličiny s ostatními a v některých pří padech matematicky vyjadřují obvyklou definici veličiny. V tomto sloupci jsou pro úsporu místa použity zlomky se šikmou zlomkovou čárou. Veličina Název délka obsah (plochy) objem úhel (rovinný) prostorový úhel čas perioda kmitočet úhlový kmitočet frekvence otáčení rychlost zrychlení
Jednotka
Značka
Vztah
metr čtverečný metr krychlový metr radián steradián
5 V a, ...
to, íi t
| sekunda
T to
/ (O
f
f
v, ... a
v a
= = = = =
— Aq>/At = Ato/A t
f
i/r 2k /T 1/T Aj/Ař Ad/A t
úhlová dráha úhlová rychlost úhlové zrychlení
(O e
hmotnost hustota
m Q, S
Q
=
m /V
měrný objem
v
v
—
1Iq
hybnost
p
P
= mv
síla tíha tíhové zrychlení
F G g
F
— ma
g
— G/m
moment setrvačnosti
I
I
= mra
moment síly tlak mechanické napětí poměrné prodloužení modul pružnosti v tahu součinitel smykového tření rameno valivého tření viskozita (dynamická) povrchové napětí hmotnostní tok objemový tok
M P a e E f
M P a s E f
= = = = = =
práce energie výkon účinnost rychlost šíření zvuku vlnová délka
w E P V v X
*) r je rameno sily.
106
f n a Qm Qv
Název
rF * ) F /S F /S M /l tr/e F%/Fm
a = F/l Qm — Am/At Qv = AF/A í w = Fl cos a p X
= AlF/Af = e lf
hertz reciproká sekunda reciproká sekunda metr za sekundu metr za sekundu na druhou radián radián za sekundu radián za sekundu na druhou kilogram kilogram na krychlový metr krychlový metr na kilogram kilogram metr za sekundu ) [ newton metr za sekundu na druhou kilogram metr na druhou newton metr | pascal — pascal — metr pascalsekunda newton na metr kilogram za sekundu krychlový metr za sekundu
j joule watt — metr za sekundu metr
Značka m m2 m3 rad sr s
Rozměr m m2 m3 1 1
Hz s-1 s-1 m . s-1 m . s-2
s S '1 s-1 s_l m . s '1 m . s~a
rad rad . s-1 rad . s-2
1 s"1 s— 2
kg k g . m~3
kg m -3 . kg
m 3 . kg-1
m3 . kg-1
kg . m . s-1
m . kg . s-1
N
m . kg . s-2
m . s-2
m . s-2
kg . ma
m2 . kg
N .m Pa — Pa —
m 2 . kg . s~2
m Pa . s N . m-1 kg . s-1 m3 . s-1
m m - 1 . kg . s-1 kg . S‘ 2 k g . s_l m3 . s~l
J
m 2 . kg . s-2
W
m2 . kg . s-a 1 m . s“1 m
—
m . s-1 m
m- 1 . kg . s-2 1 m '1 . kg . s-2 1
Jednotka
Veličina
Jednotky
molámí plynová konstanta měrná plynová konstanta skupenské teplo měrné skupenské teplo elektrický náboj elektrický dipólový moment elektrický proud proudová hustota intenzita elektrického pole napětí, potenciál elektrická indukce
a 1 L
Vztah a I L
Ln N T t Af
= m - P IS*) rxrx , P = 20 log — Po
a
a
= A//(/jAř)**)
P>V
f>
= A V (V iA t) **•)
Q 0
Název
Značka
Rozměr
reciproký metr watt na čtverečný metr decibel
m -1 W . m~2 dB
m -1 k g . s-3 1
fón son kelvin Celsiův stupeň kelvin, Celsiův stupeň
Ph son K °C K, °C
1 1 K K K
} reciproký kelvin
K-»
K -i
joule watt watt na čtverečný metr watt na metr a kelvin
W W .m - 2 W.m~l.K~l
J
m a . kg . s-2 ma . kg . s-3 k g . s~3 m . kg . s-3 . K _1
joule na kelvin joule na kilogram a kelvin joule na kelvin
J .K - i J.k g -i.K -i
m2 . kg . s~2 , K -1 m2 . s ' 2 . K -1
J .K - i
m2 . kg . s“2 . K “1
J joule I
J
m2 . kg . s~2
= AQ /At***) = 0 /S
C c
C c
= Q IA t**) == C/m
S u H G Ar
A S = A Q /T H = U + pV G = H— TS Ar — m jm a
_
_
1
Mr
Mr = mm/ma
—
—
1
n w, ír»i
Ul, = nulm Cmt = m dV
mol — kilogram na krychlový metr mol na krychlový metr kilogram na mol krychlový metr na mol joule na mol a kelvin
mol — kg . m “3
mol 1 m -s .k g
c< M m ,M Vm Cm
Cf Mm Vm Cm
= = = =
nJV min Vln MmC
m o l. m -3 kg . mol-1 m3 . mol-1 J .m o l'1. K-1
m - 3 . mol kg . mol-1 m 3 . mol-1 m2.k g .s_2.K_1. .m ol-1 J.m o l-J.K -1 m 2.kg.s-2.K -1. .m ol-1 m2.s-2 .K -1
Em
Km = pV /(nT)
joule na mol a kelvin
r
r
joule na kilogram a kelvin joule joule na kilogram coulomb coulombmetr
J J • kg-1
C C .m
m 2 . kg . s-2 m2 . s-2 s.A s .A .m
ampér ampér na čtverečný metr volt na metr
A A .m - 2
A m“2 . A
V .m -»
m .k g .s_3.A _1
V C .m - 2
m2.kg.s~3. A-1 m "2. s . A
L l Q p
RmIMm
l
= L/m
P
= rQ
I 3
I J
= AQ /At = U S f)
E
E
- - F/Q
U,
U
= P //tt)
volt coulomb na čtverečný metr
i.
vlnočet intenzita zvuku hladina akustického tlaku hladina hlasitosti hlasitost termodynam. teplota Celsiova teplota teplotní rozdíl součinitel teplotní délkové roztažnosti součinitel teplotní objemové roztažnosti teplo tepelný tok hustota tepelného toku součinitel tepelné vodivosti tepelná kapacita měrná tepelná kapacita entropie vnitřní energie entalpie Gibbsova funkce relativní atomová hmotnost relativní molekulová hmotnost látkové množství hmotnostní zlomek hmotnostní koncentrace molámí koncentrace moláraí hmotnost molámí objem molámí teplo
Značka
<—( 5T (W
Název
*) Plocha kolmá na směr šíření zvuku. **) t je teplota, ***) t je čas. f ) Plocha kolmá ke směru proudových vláken, t t ) Pro stejnosměrný proud.
107
Veličina
Jednotky Název
elektrický indukční tok elektrická kapacita permitiva poměrná permitiva elektrický odpor elektrická vodivost měrný elektrický odpor magnetická indukce magnetický indukční tok intenzita magnetického pole indukčnost permeabilita poměrná permeabilita zářivý tok světelný tok svítivost jas osvětlení osvit rychlost šíření světla ve vakuu rychlost šíření světla v látkovém prostředí index lomu ohnisková vzdálenost optická mohutnost protonové číslo nukleonové číslo aktivita měrná aktivita poločas přeměny dávka střední doba života expozice
Jednotka
Značka N C e £t R G Q D
Vztah N C
= = E = tr = R = G = Q = B =
D S*) Q /U DIE eleo U II 1IR R SIl F ill* * ) B S***)
H L
L
/'r
lir
= u = B IH = /l/fiO
I
= A0/AÍ1
E
= A 0 IA S
E H c v
Název
Značka
Rozměr
coulomb farad farad na metr — ohm siemens ohmmetr tesla weber
C F F .m - ‘ — n s a .m T Wb
s.A m '2.kg_1.s4.A 2 m 'a .k g ^ .s ^ A 2 1 m2.k g .s_3.A ‘ 2 m_ ,.kg_I.s3.A 2 m3.k g .s-3.A -2 kg . s-2 . A '1 m2.k g .s-2. A '1
ampér na metr
A . m_1
m -1 . A
henry henry na metr — watt lumen kandela kandela na čtverečný metr lux luxsekunda
H H . m -1 — W lm cd cd . m_*
m2.k g .s-2. A-2 m .k g .s-2.A -2 1 m3 . kg . s-3 cd cd m-2 . cd
lx lx . s
m - * . cd m - * . s . cd
l metr za sekundu
m . s-1
m . s-1
—
—
metr diop>trie —
m D —
—
—
becquerel becquerel na kilogram sekunda
Bq Bq .k g "1 s
1 m m -1 1 1 B_1 k g '1 . s_1 s m2 . s-2 s kg- 1 . s . A
i n f 9 Z A A a
a
Ti
Ti
= Uf
A
= — A N Ib t = A/m — r . ln 2
D X
X
X
=
AQ/Am
*) Plocha kolmá k indukčním čarám pole. **) Vodič kolmý k magnetickému poli. ***) Plocha kolmá k magnetickému poli.
gray sekunda coulomb na kilogram
Gy s C .k g ->
5 Násobky a díly jednotek Násobky a díly jednotek se tvoří z hlavních nebo vedlejších jednotek násobením nebo dělením vhodnou mocninou deseti. Název násobku nebo dílu hlavní (vedlejší) jednotky se skládá z normalizované předpony a názvu jednotky. Předpona se spojuje s názvem jednotky v jedno slovo. Značka předpony se spojuje se značkou jednotky bez mezery. Při tvoření názvu násobku nebo dílu jednotky se smí užít pouze jedna předpona. Násobky a díly jednotek se tvoří přednostně v řadě s kvocientem 103 pomocí těchto předpon a značek: Před pona Znamená násobek Název
Značka
exa peta tera giga mega kilo milí mikro nano piko femto atto
E P T G M k m n P f a
1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 0,001 0,000 001 0,000 000 001 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 001
10« 1016 10« 10° 10« 103 10-3 10-« 10-9 10-12 10-15 10-18
Ve zvláštních případech lze užít též tyto předpony a značky určující desítkový násobek nebo díl jednotky: Předpona Znamená násobek Název hekto deka deci centi
Značka h da d c
100 10 0,1 0,01
102 101 ío -i 10-2
Jednotky
6 Vedlejší jednotky
Jednotky
Vedlejší jednotky jsou zákonné jednotky a lze je bez omezení používat. Jsou stanoveny jmenovitě normou ČSN 01 1300 Zákonné měřicí jednotky. Vedlejší jednotky lze kombinovat s hlavními jednotkami i s jejich ná sobky a díly, popřípadě s jinými vedlejšími jednotkami. Např.: m3 . m in_1,kW . h ,m g . H , t. ha-1, g . ml*1 Jednotka Vztah k hlavní jednotce
Veličina Název čas rovinný úhel
délka obsah (plošný) objem hmotnost délková hmotnost optická mohutnost energie zdánlivý výkon jalový výkon
minuta* hodina* den* (úhlový) stupeň * (úhlová) minuta* vteřina* grad, gon astronomická jednotka * parsek světelný rok* hektar litr tuna atomová hmotnostní jednotka * tex dioptrie * elektronvolt voltampér var
Značka min h d O / H g, gon AU PC lý ha 1» L t u tex — eV V. A var
60 s 3 600 s 86 400 s (7t/180) rad (tc/ 10 800) rad (ti/648 000) rad (ti/200) rad = 1,495 98 . 10“ m -=- 3,085 7 . 101« m ^ 9,460 5 . 10“ m 10 000 m2 10*8 m3 103 kg :£= 1,660 57 . 10-w kg 10*« k g . m-1 1 m-1 ^ 1,602 19 . 10-1» j
U jednotek označených hvězdičkou nelze tvořit násobky nebo díly pomocí normalizovaných předpon. Užívání dále uvedených vedlejších jednotek je omezeno na některé obory: grad (gon) v geodézii, astronomická jednotka, parsek a světelný rok v astronomii, tex v textilním průmyslu, dioptrie v optice, voltampér a var v elektrotechnice. V astronomii se těž užívají jednotky času: hvězdný den = 23 h 56 min 4,09054 s; tropický rok (1950) = 365 d 5 h 48 min 45,71 s.
7 Jiné jednotky Uvádíme nejběžnčjší dříve nebo jinde užívané jednotky. Tyto jednotky nejsou zákonné jednotky a jejich užívám není v ČSSR dovoleno. Poznámka ,přesně“ za jednotkou znamená, že převodní vztah je určen přesně a na dalších místech jsou jen nuly.
Délka: angstrom yard (čti jard) foot (čti fút)* inch (čti inč)* míle námořní míle versta (rus.)
1A
10-10 m 1 yd 0,914 4 m (přesně) 1 ft 0,304 8 m (přesně) 1 in 0,025 4 m (přesně) 1 mile (čti mail) — 1 609,344 m (přesně) 1 n mile = 1 852 m (přesně) = 1 066,78 m
O bsah: barn čtverečný yard acre (čti akr)
110
1 yd2 1 acre
= 10*28 m2 = 0,836 127 m2 = 4 046,86 m 2
3 fit = 1 yd 12 in = 1 ft 1 mile = 1 760 yd
O bjem : litr (stará definice) /(U K )* * gallonv
\( U S ) * * pint (UK) (čti paint) iiquid pint (US) (čti likwid paint) barrel (US)
H m otnost:
0,001 000 028 m 3 4,546 09 dm 3
11 1 gal(UK) 1 gal(US)
1 pt(UK) 1 liq.pt(US) 1 barrel(US)
Jednotky
3,785 43 dm 3 0,568 261 dm 3 0,473 179 dm 3 158,998 dm 3
*
metrický karát*** metrická technická jednotka hmotnosti pound (avoirdupois) (čti paund) grain (čti grejn) ounce (čti unce)
1 lb 1 grain 1 oz
= 0,200 g = 9,806 65 kg = 0,453 592 37 kg = 0,064 789 91 g (přesně) = 28,349 5 g
1 kp
= 9,806 65 N (přesně)
1 bar 1 pz 1 atm 1 mm H 2O
1 mm Hg
= 105 Pa = 103 Pa = 1,013 25 . 105 Pa (přesně) = 760 Torr = 9,806 65 Pa (přesně) = 1 kp . m ~2 = 133,322 Pa = 1 Torr
1 kp . m 1 cal 1 erg
= 9,806 65 J (přesně) = 4,186 8 J (přesně) = 10-7 J
Sila: kilopond
Tlak: bar pieze fyzikální atmosféra konvenční milimetr vodního sloupce konvenční milimetr rtuťového sloupce
P ráce: kilopondmetr kalorie erg
Výkon: kilopondmetr za sekundu kilokalorie za hodinu erg za sekundu kůň koňská síla
9,806 65 W (přesně) 1 kp . m . s 1 = 1,163 W 1 k ca l. h _1 = = 10-7 W 1 e r g . s _1 = 735,5 W 1 ks 1 HP
= 745,7 W
Elektrické a m agnetické jednotky: proud napětí odpor magnetický tok magnetická indukce intenzita magnetického pole
mezinárodní ampér mezinárodní volt mezinárodní ohm maxwell gauss oersted
1 A int. 1 V int. 1 Cl int. 1M 1G 1 Oe
= 0,999 85 A = 1,000 34 V = 1,000 49 í i = 10-8 w b = IO-4 T = 79,6 A . m _1
Hefnerova svíčka (HK) mezinárodní svíčka (SI) stilb (sb)
1 HK = 0,92 cd 1 SI = 1,02 cd 1 sb = 1 cd . cm -2
lambert (La)
1 La = — sb
phot (ph)
1 ph
Fotom etrické jednotky: svítivost jas
osvětlení
7T
= 1 lm . cm -2 = 104
* Foot se česky nazývá anglická stopa, inch anglický palec. ** (UK) - jednotka anglická, (US) - jednotka americká. *** Ve zlatnictví se používá karát ryzosti zlata, který udává percentuální obsah zlata ve slitině s tím, že 100 % zlata se přiřazuje číslo 24.
111
Radiační jednotky: aktivita radionuklidů ozáření dávka
Obecné tabulky
curie (Ci) rentgen (R) rad
IQ = 3 , 7 . 1010 Bq 1R = 2,58. 10"4 C . kg -1 1 rad = 10~2 Gy
8 M ezinárodní p raktická tep lo tn í stupnice (1968) Mezinárodní praktická teplotní stupnice (Échelle Internationale Pratique de Température - E IP T - 68) slouží k realizaci termodynamické teplotní stupnice pomocí jedenácti přesně reprodukovatelných teplot (rovnovážných stavů), tzv. definičních pevných bodů, a pomocí předepsaných teploměrů. Pro kontrolní účely se uvádějí kromě definičních pevných bodů ještě další, tzv. druhotné referenční body (v tabulce nejsou uvedeny). Mezinárodní praktická teplotní stupnice 1968 se v mezích přesnosti dnešního měření kryje s termo dynamickou teplotní stupnicí. S výjimkou trojných bodů a teplot v druhém řádku jsou všechny rovno vážné stavy při tlaku 101 325 Pa. 7'a8 TC
Teplota trojného bodu rovnovážného vodíku rovnovážného stavu mezi kapalnou fází a párou rovnovážného vodíku při tlaku 33 330,6 Pa varu rovnovážného vodíku varu neonu trojného bodu kyslíku varu kyslíku trojného bodu vody varu vody tuhnutí zinku tuhnuti stříbra tuhnutí zlata
13,81 17,042 20,28 27,102 54,361 90,188 273,16 373,15 692,73 1 235,08 1 337,58
í68
—259,34 —256,108 —252,87 —246,048 —218,789 — 182,962 0,01 100 419,58 961,93 1 064,43
Interpolace se provádí mezi teplotami 13,81 K a 630,74 °C platinovým odporovým teploměrem, mezi teplotami 630,74 °C a 1 064,43 °C termočlánkem platina-platinrhodium, nad teplotou 1 064,43 °C měřením teplotního záření. V roce 1976 byla mezinárodně přijata provizorní teplotní stupnice pro velmi nízké teploty: 0,5 K až 30 K, která přidává 6 níže uvedených hlavních teplot: Teplota supravodivého přechodu kadmia supravodivého přechodu zinku supravodivého přechodu hliníku supravodivého přechodu india varu 4He supravodivého přechodu olova
112
Tw K 0,519 0,851 1,179 6 3,414 5 4,222 1 7,199 9
9 Řady vyvolených čísel Vyvolená čísla tvoří geometrické řady. Užívají se pro odstupňování hodnot součástek a výrobků, kmitočtů apod. Běžně se užívají základní řady R (Renardovy), pro odpory a kondenzátory se užívají řady E. Teore tická hodnota poměru dvou sousedních členů ft
Základní řady R5
R 10
R 20
R 40
poměr sousedních členů 1,60
1,25
1,12
1,06
normální čísla řad 1,00
1,00
1,00 1,12
1,25
1,25 1,40
1,60
1,60
1,60 1,80
2,00
2,00 2,24
2,50
2,50
2,50 2,80
3,15
3,15 3,55
4,00
4,00
4,00 4,50
5,00
5,00 5,60
6,30
6,30
6,30 7,10
8,00
8,00 9,00
10,00
10,00
10,00
1,00 1,06 1,12 1,18 1,25 1,32 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,12 2,24 2,36 2,50 2,65 2,80 3,00 3,15 3,35 3,55 3,75 4,00 4,25 4,50 4,75 5,00 5,30 5,60 6,00 6,30 6,70 7,10 7,50 8,00 8,50 9,00 9,50 10,00
řady je ]/l 0 , kde n je číslo řady. Pro praktické účely se teoretické hodnoty vyvolených čísel za okrouhlují na tři platné číslice, u řad E na dvě platné číslice. Zaokrouhlená čísla se nazývají normální čísla. Např. výkony elektromotorů a kmitočty pro akustická měření jsou odstupňovány podle řady R 10, normalizované průměry drátu podle řady R 40. Hodnoty odporů a kondenzátorů vyrobe ných s tolerancí ± 5 % jsou odstupňovány podle řady E 24, tytéž součástky s tolerancí ± 10 % podle řady E 12 apod.
Řady E3
E6
E 12
E 24
poměr sousedních členů 2,2
1,5
1,2
1,1
normální čísla řad 1,0
1,0
1,0 1,2
1,5
1,5 1,8
2,2
2,2
2,2 2,7
3,3
3,3 3,9
4,7
4,7
4,7 5,6
6,8
6,8 8,2
10,0
10,0
10,0
1,0 1,1 1,2 1,3 1,5 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,7 3,0 3,3 3,6 3,9 4,3 4,7 5,1 5,6 6,2 6,8 7,5 8,2 9,1 10,0
113
Obecné tabulky
10 Acidobazické neutralizační indikátory pK = —log K , kde K je disociační konstanta indikátoru
Záření
Indikátor
Dimethylová žluť Methylová oranž Bromkresolová zeleň Methylová červeň Bromthymolová modř Neutrální červeň Fenolová červeň Fenolftalein Thymolftalein
Meze přechodu pH pK 2 ,9 -4 ,0 3,31 3 ,1 - 4 ,4 3,40 3 ,8 -5 ,4 4,68 4 ,2 — 6,3 4,95 6,0— 7,6 7,1 6,8 — 8,0 7,0 6,8 — 8,4 7,9 8,3 — 10,0 9,4 9,3 — 10,5 10,0
Zbarvení formy Používaný roztok kyselé červené
žluté
0,1 % v 90% ethanolu
červené
oranžové
0,1 % vodný roztok
žluté
modré
0,1 % v 20% ethanolu
červené
žluté
0,2 % v 60% ethanolu
žluté
modré
0,1 % v 20% ethanolu
červené
žluté
0,1 % v 60% ethanolu
žluté
červené
0,1 % v 20% ethanolu
bezbarvé
červené
0,1 % v 60% ethanolu
bezbarvé
modré
0,1 % v 90% ethanolu
Přidávají se 1—4 kapky indikátoru na 10 cm3 titrované tekutiny.
114
zásadité
11
Disociační konstanty kyselin a zásad ve vodných roztocích při 25 “C
Pro disociační konstantu K a kyseliny HA, jejíž disociace je vystižena rovnicí HA + H 2O = HaO+ + A~, platí: ^ (H 3O+) (A-) — (HA) 5 kde symboly v závorkách označují aktivity, které je možné pro zředěné roztoky ztotožnit s číselnými hodno tami molámí (látkové) koncentrace udanými v m o l. dm -8. Pro zásadu B disociujíd podle rovnice B + H 20 = BH+ + O H - obdobně platí: (BH+HOH-) b (B) pKu = —log K &, pKb = —log Kb. Pro konjugovaný pár platí: pATa + píTb = 14 U vícesytných kyselin udává římská číslice příslušný stupeň disociace. (Konstanta 4,8 . 10~13 u kyseliny fosforečné tedy např. odpovídá disociad iontu HPO|~.) Kyselina Benzoová Boritá Bromoctová Bromovodíková Citronová
Fosforečná Chlorečná Chloristá Chloritá Chlomá Chloroctová Dichloroctová Trichloroctová Chlorovodíková Jodičná Jodistá Jodovodíková Kyanovodíková Křemičitá
pK*
I
6,46 ÍO' 5 5,80. IO-10 2,05 io-» R3 1 1 0 ° 7,45 1 0 -«
4,19 9,24 2,69 —9 3,13
HO—C—COOH
II
1,73 10-6
4,76
CHaCOOH HNOa HNOa C 0H 5 OH HF H ,F a H 3 PO4
III
4,02 10-7 sa 2 1 0 1 5,1 1 0 -* 1,05 XO-10
6,40 - 1 ,3 3,3 9,98 3,2 3,45 2,12 7,21 12,32 —3 — 10 2 7,5 2,85 1,49 0,70 - 6 ,1 0,77 1,55 3,29 - 9 ,5 9,31 9,85 11,80 9,66 11,7 2,83 5,69 3,86 3,75 7,17 4,76 4,87 2,97
CbH sCOOH HsBOa CHaBrCOOH HBr CHaCOOH
1
Dusičná Dusitá Fenol Fluorovodíková
X.
Vzorec
HClOs 4 HClOa HCIO CH 2CICOOH CHClaCOOH CCbCOOH HC1 HIOs HIO 4 HsIOo HI HCN H 2S 1O 3
6 ,2
I II III
hqo
H 4S 1O4 Malonová
CHa(COOH>
Mléčná Mravenčí 2-Nitrofenol Octová Propionová Salicylová
CH 2CHOHCOOH HCOOH OaNC«H4OH CHaCOOH CH 3CH 2COOH 2 -HOC 8H 4COOH
I II I II I II
3,53 7,52 6,23 4,80 es 1 na 1 »s 1 3,2 1,40 3,32 2 1,3 1,7 2,82 5,13 Rtf 3 4,93 (20 °C) 1,41 (20 °C) 1,58 (30 °C) 2,18 (30 °C) 2,00 1,49 2,03 1,38 1,77 6,8 1,75 1,34 (19 °C) 1,07
1 0 -4 1 0 -«
10-3 ÍO' 8 10-13 10» 1010 ÍO" 2
10-»
10-3 10-2 10-1 10« 10-1 10-2
10-«
10» 10-10 IO-10 10-!2 IO-1 0 10-12 10-3 10-6 10-« 10-« 10-8 10-5 10-8 10-3
115
Obecné tabulky
Vzorec
Kyselina
Obecné tabulky
Sírová
HaSOí
Siřičitá
H 2SO3
Sulfan
H,S
Šťavelová
(COOH)a
Uhličitá
H 2CO3
Zásada Amoniak Anilin Diethylamin Dimethylamin Ethylamin Hydrazin Hydroxylamin Methylamin Pyridin Triethylamin Trimethylamin
Vzorec NHs C«H5NHa (C H s C H a ) a N H ( C H 3)2N H C H sC H aN H s N 2H 4 N H aO H C H 3N H 2 C sH sN ( C H s C H í) a N (C H a Ja N
/Ca I II I II I II I II I II
« 1 , 10s 1,20 . IO'2 (18 °C) 1,54 . 10-2 (18 °C) 1,02 . IO"’ 9 ,1 . IO"8 1 , 1 . io - « 5,9 . 10-« 6 ,4.10-* 4,30. 10-7 5 ,6 1 .10-u
Kb 1,79 . IO"6 4,27 . 10-w 8,51 . 10-< 5,89 . 10-< 4,68 . 10-* 8,71.10-7 8,91. 10-» 5,25 . 10—« 1 ,7 0 .10-« 5,89 . 10-* 6,31. IO“8
pK t —3 1,92 1,81 6,99 7,04 11,96 1,23 4,19 6,37 10,25
pKb 4,75 9,37 3,07 3,23 3,33 6,06 8,05 3,28 8,77 3,23 4,20
12 Součiny rozpustnosti látek při te p lo tě 25 °C ve vodných roztocích Pro pevnou látku MaLb, která v roztoku disociuje na ionty Mb+ a L a ~, je součin rozpustnosti defino ván vztahem K a = (Mb+)a . (La~)»>, kde symboly v závorkách označují aktivity iontů v nasyceném roztoku. Pro zředěné roztoky je možné tyto aktivity ztotožnit s číselnými hodnotami molární (látkové) koncentrace udanými v m o l. dm -3. Látka AgBr AgsCOa AgCl AgaCr04 Agl AgíPOi AgaS AgaS04 Al(OH)3 BaCOa BaCr04 BaS04 BiiSs CaCOs CaCjO-i CaFa Ca(OH)i C aS04 Cd(OH)a CdS Co(OH)a Co(OH)s CoS (a)
m Cr(OH)a Cr(OH>8 CuQ CuBr Cul Cu(OH)a CuS Fe(OH)a Fe(OH)s
Látka
K. 5 . 10-1» 8 . 10-12 2 . 10-1« 3 . 10-1« 8 . 10-17 1 . ío-i« 6 . 10-50 2 . 10-* 1 . 1 0 - 33 5 . 10-» 1 . io -i° 1 . lO-io 1 .1 0 - ” 5 . 10"» 2 . 10"» 3 . 10-n 4 . 10-« 2 . 10-5 4 . IO-15 2 . 10-2« 6 . IO-15 3 .1 0 -“ 4 . IO-21 2 . 10-S5 1 . 10-17 1 . 10-80 2 . 10-7 ' 5 . 10-9 1 . 10-12 1 . 10-2° 6 . 10-«« 8 . 10-1« 4 . 10-40
*) Rovnovážná konstanta reakce
FeS HgaBra HgaCla Hgala Hga(OH)a Hg(OH)a HgS (černý) HgaSO, MgCOa MgNH4P 0 4 Mg(OH)a Mn(OH)a MnS (růžový) Ni(OH)a NiS (a) PbBra PbCOs PbCla PbCr04 Pbla Pb(OH)a PbS P b S 04 SbaSa *) Sc(OH)a Sn(OH)a SnS SrCOs SrCr04 Sr(OH)a SrS04 Zn(OH)a ZnS (sfalerit)
2 .1 0 - «
i - As2S3(s) + 3 HjO = A s(OH)3 +
3 . 10~i»
2 AgCN(s) = Ag+ + Ag(CN)i (iC,(AgCN) = 1 . 10-1«)
5 . 10-1* 7 . lO-23 1 . ío-i« 5 . 10-2» 2 . 10-24 4 . 10-2« 1 . 10-52 1 . 10-7 1 . 10-5 2 . 10-i8 1 . ío -u 7 . 10-1“ 3 . 10-1° 6 . 10-1« 3 . 10-1» 9 . 10-« 6 . IO-14 2 . 10-5 3 . 10-1« 1 . 10-9 6 . 10-1« 1 . 10-28 2 . 10"8 2 .1 0 -» 3 2 . 10-80 8 . ÍO-26 1 . 10-25 1 . io-i° 2 . ÍO*5 3 . 10-4 3 . 10-7 3 . ÍO"" 2 . ÍO“24
je
i - SbaSs(s) + 3 HaO = Sb(OH)„ + y HaS(g)
2
K„
^
HaS(g)
5 . 10-«
117
Obecné tabulky
¡2
00
13 Prvky a jejich vlastnosti Z - protonové (atomové) číslo; A r - relativní atomová hmotnost, údaje z roku 1981 vztahující se k uhlíkovému standardu A rC iC ) — 12 přesně. Interval spolehlivosti je ± 1 a.menší na posledním desetinném místě nebo ± 3 , je-li uvedeno označení + (pravděpodobnost vý skytu odchylky přesahující tyto intervaly je asi 10 % —15 %). Index g označuje existenci geologicky výjimečných vzorků s neobvyklým izotopovým složením, m - možnost změny izotopového složení při výrobě komerčně dodávaných látek, r - velký rozsah přírodního izotopo vého složení zabraňující přesnějšímu stanovení A r, hodnoty označené indexem L se týkají izotopu daného prvku s nejdelším poločasem. V závorce jsou uvedena hmotnostní čísla nejstálejšího izotopu, ft - teplota tání při tlaku 101,3 kPa; rv - teplota varu při témže tlaku, není-li v závorce uveden jiný tlak; clark - hmotnostní zlomek prvku v zemské kůře; ppm (parts per million, viz str. 17) označuje jednu milióntinu; sub sublimuje. Název prvku
Latinský název
Značka
Z
Aktinium Américium Antimon Argon Arsen Astat Baryum Berkelium Béryllium Bismut Bor Brom Cer Cesium Cín Curium Draslík Dusík Dysprosium Einsteinium Erbium Europium Fermium Fluor Fosfor Francium Gadolinium Gallium Germanium Hafnium Helium
Actinium Americium Stibium Argon Arsenicum Astatium Baryum Berkelium Beryllium Bismuthum Borům Bromům Cerium Caesium Stannum Curium Kalium Nitrogenium Dysprosium Einsteinium Erbium Europium Fermium Fluorum Phosphorus Francium Gadolinium Gallium Germanium Hafnium Helium
Ac Am Sb Ar As At Ba Bk Be Bi B Br Ce Cs Sn Cm K N Dy Es Er Eu Fm F P Fr Gd Ga Ge Hf He
89 95 51 18 33 85 56 97 4 83 5 35 58 55 50 96 19 7 66 99 68 63 100 9 15 87 64 31 32 72 2
A t
227,0278L (243) 121,75 + 39,948 sr • 74,921 6 (210) 137,33* (247) 9,012 18 208,980 4 10,81” r 79,904« 140,12* 132,905 4 118,69 + (247) 39,098 3 14,006 7 162,50 + (252) 167,26 + 151,96* (257) 18,998 403 30,973 76 (223) 157,25 + * 69,72 72,59 + 178,49+ 4,002 60*
Oxidační číslo 3 ,5 3, 4, 5, 6 - 3 , 3, 5 - 3 , 3, 5 (-1 ) 2 3 ,4 2 3 ,5 - 3 ,3 - 1 , 1, 3, 5, 7 3 ,4 1 ( - 4 ) , 2, 4 3,4 1 - 3 , 1 , 2, 3, 4, 5 3 3 3 2 ,3 3 —1 - 3 , 1,3, 4, 5 1 3 1,3 2 ,4 4
ft °C
ív XT
1 050 994 ± 4 630,74 — 189,2 817 (2,8MPa) 302 725 — 1 278 ± 5 271,3 2 079 - 7 ,2 798 ± 2 28,40 231,968 1 1340 + 40 63,25 —209,86 1 409 — 1 522 822 ± 5 — —219,62 44,1 bflý (27) 1311+1 29,78 937,4 2 227 ± 20 —272,2 (2,6 MPa)
3 200 ± 300 2 607 1 750 — 185,7 613 sub 337 1 640 — 2 970(0,7kPa) 1 650 ± 5 2 550 sub 58,78 3 257 669,3 2 270 — 759,9 — 195,8 2 335 — 2 510 1 597 — — 188,14 280 bíty (677) 3 233 2 403 2 830 4 602 —268,934
clark ppm
_ -0,4 1,7 500 — 3 0,1 11 2 70 3 2 — 2 . 104 19 4 — 3 1,3 — 640 1,1 . 103 — 7 17 1,4 2
Rok objevu 1899 1944 — 1894 — 1940 1774 1950 1798 — 1808 1826 1803 1860 — 1944 1807 1772 1886 1952 1843 1901 1952 1886 1669 1939 1880 1875 1886 1923 1868
ce
Hliník Holmium Hořčík Chlor Chrom Indium Iridium Jod Kadmium Kalifornium Kobalt Krypton Křemík Kyslík Lanthan Lawrencium Lithium Lutécium Mangan Měď Mendelevium Molybden Neodym Neon Neptunium Nikl Niob Nobelium Olovo Osmium Palladium Platina Plutonium Polonium Praseodym Promethium Protaktinium Radium Radon Rhenium Rhodium Rtuť Rubidium Ruthenium Samarium Selen
Latinský název Aluminium Holmium Magnesium Chlorům Chromium Indium Iridium Iodum Cadmium Californium Cobaltum Krypton Silicium Oxygenium Lanthanum Laurenrium Lithium Lutetium Manganům Cuprum Mendelevium Molybdaenum Neodymium Neon Neptunium Niccolum Niobium Nobelium Plumbum Osmium Palladium Platinum Plutonium Polonium Praseodymium Promethium Protactinium Radium Radon Rhenium Rhodium Hydrargyrum Rubidium Ruthenium Samarium Selenium
Značka
Z
AI Ho Mg Cl Cr In Ir I Cd Cf Co Kr Si O La Lr Li Lu Mn Cu Md Mo Nd Ne Np Ni Nb No Pb Os Pd Pt Pu Po Pr Pm Pa Ra Rn Re Rh Hg Rb Ru Sm Se
13 67 12 17 24 49 77 53 48 98 27 36 14 8 57 103 3 71 25 29 101 42 60 10 93 28 41 102 82 76 46 78 94 84 59 61 91 88 86 75 45 80 37 44 62 34
At 26,981 54 164,930 4 24,305« 35,453 51,996 114,82« 192,22+ 126,904 5 112,41 (251) 58,933 2 83,80®m 28,085 5 + 15,999 4+*r 138,905 5 + « (260) 6,941 + «™ 174,967 54,938 0 63,546+ r (258) 95,94« 144,24 + « 20,179«™ 237,048 2L 58,69 92,906 4 (259) 207,2«r 190,2« 106,42« 195,08+ (244) (209) 140,907 7 (145) 231,035 9L 226,025 4L« (222) 186,207 102,905 5 200,59 + 85,467 8 + « 101,07+« 150,36 + « 78,96 +
Oxidační číslo (1), 3 3 2 - 1 , 1 , 3, 1, 2, 3, 1,3 1, 3, 4, - 1 , 1, 3, 2 3 2 ,3
4, 5, 6, 7 4, 5, 6 5, 6 5, 7
- 4 , 2, 4 —2, (— 1) 3 3 1 3 2, 3, 4, 6, 7 1 ,2 ,3 2 ,3 2, 3, 4, 5, 6 3 —
2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 4 1,2, 3 ,4 , 5 2 ,3 2 ,4 2, 3, 4, 5, 6, 8 2 ,3 ,4 2, 3, 4, 6 3, 4, 5, 6 2 ,4 ,6 3 ,4 3 3 ,4 ,5 2 —
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 2, 3, 4, 6 1,2 1 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 2 ,3 - 2 , 4, 6
ít °C 660,37 1470 648,8 — 100,98 1 857, ± 20 156,61 2 410 113,5 320,9 — 1 495 — 156,6 1 410 —218,4 920 ± 5 —
180,54 1 656 ± 5 1 244 ± 3 1 083,4 ± 0,2 —
2 617 1 010 —248,67 640± 1 1 453 2 468 ± 10 —
327,502 3 045 ± 30 1 554 1 772 641 254 931 ± 4 (1 080) 1 600 700 —71 3 180 1 965 ± 3 —38,87 38,89 2 310 1 072 ± 5 217
íy ’č 2 467 2 720 1 090 —34,6 2 672 2 080 4 130 184,35 765 — 2 870 — 152,3 2 355 — 182,962 3 454 —
1342 3 315 1 962 2 567
clark ppm
Rok objevu
br— 4 r— I 00
Název prvku
1827 1879 1775 1774 1797 1863 1804 1811 1817 1950 1735 1898 1824 1774 1839 1961 1817 1907 1774
“1 2 ,1 .1 0 “ 150 90 0,2 0,4 0,1 21 — 2,9 . 105 4,7 . 10® 29 —
30 1 1,0 . 103 1,9 . 10*
—
4 612 3 127 —246,048 3 902 2 732 4 742 —
1 740 5 027 ± 100 3 140 3 827 ± 100 3 232 962 3 212 (2 460) —
1 140 —61,8 (5 627) 3 727 ± 100 356,58 686 3 900 1 778 685
—
1 30 — —
60 20 —
15 —
0,01 — — —
9 — — — —
7 . ÍO-4 —
0,08 120 —
7 0,05
—
1955 1778 1885 1898 1940 1751 1801 1958 —
1803 1803 1741 1940 1898 1885 1945 1917 1898 1900 1925 1804 —
1861 1844 1879 1817
Název prvku
Latinský název
Značka
Z
Síra Skandium Sodík Stroncium Stříbro Tantal Technecium Tellur Terbium Thallium Thorium Thulium Titan Uhlík Unnilhexium Unnilpentium Unnilquadium Uran Vanad Vápník Vodík Wolfram Xenon Ytterbium Yttrium Zinek Zirkonium Zlato Železo
Sulfur Scandium Natrium Strontium Argentum Tantalum Technetium Tellurium Terbium Thallium Thorium Thulium Titanium Carboneum Unnilhexium Unnilpentium Unnilquadium Uranium Vanadium Calcium Hydrogenium Wolframium Xenon Ytterbium Yttrium Zincum Zirconium Aurum Ferrum
S Sc Na Sr Ag Ta Tc Te Tb TI Th Tm Ti C Unh Unp U nq U V Ca H W Xe Yb Y Zn Zr Au Fe
16 21 11 38 47 73 43 52 65 81 90 69 22 6 106 105 104 92 23 20 1 74 54 70 39 30 40 79 26
Ar 32,06r 44,955 9 22,989 77 87,62* 107,868 2 + « 180,947 9 (98) 127,60+« 158,925 4 204,383 232,038 1L« 168,934 2 47,88 + 12,011'
Oxidační číslo - 2 , 2, 4, 6 3 1 2 1,2 2, 3, 4, 5 4 ,6 ,7 - 2 , 4, 6 3 ,4 1,3 2 ,3 ,4 3 2, 3 ,4 - 4 , 2, 4
(Hahnium Ha, Nielsbohrium Ns) (Kurčatovium Ku, Rutherfordium Rf) 238,028 9*™ 3 ,4 , 5, 6 50,941 5 2, 3, 4, 5 2 40,08* 1,007 94 ± 7*®r - 1 , 1 183,85 + 2, 3, 4, 5, 6 131,29+*” 173,04+ 2,3 88,905 9 3 65,38 2 2 ,3 ,4 91,22 196,966 5 1,3 55,847+ 2, 3, 4, 6
ty
clark ppm
Rok objevu
112,8 1 539 97,81 769 961,93 2 996 2 172 449,5 1 360 ± 4 303,5 1 750 1 545 ± 15 1 660 ± 10 3 652 subl
444,674 2 832 882,9 1 384 2 212 5 400 4 877 989,8 ± 3,8 3 041 1 457 ± 10 (4 790) 1 727 3 287
4 . 102 10 2,5 . 104 340 0,07 2 — 0,001 4 1 1,2 0,3 5 . 103 2,2 . 102
1879 1807 1808 — 1802 1937 1782 1843 1861 1828 1879 1791 —
1 132 ± 0,8 1 890 ± 10 839 ± 2 —259,14 3 410 ± 20 — 111,9 824 ± 5 1 523 ± 8 419,58 1 852 ± 2 1 064,434 1 535
3 818 3 380 1 484 —252,87 5 660 — 107 ± 3 1 193 3 337 907 4 377 3 080 2 750
2,5 1,0 . 102 3 . 10* — 1,4 — 0,3 29 80 170 4 . 10~3 5,0 . 104
ft °C
_
1789 1801 1808 1766 1783 1898 1907 1843 — 1789 —
14 O bsazení elektronových podslupek v atom ech Slupka
K
Podslupka
ls
2s
N
M
L 2p
3s
3p
3d
4s
4p 4d
O 4f
5s
5p 5d 5f
Prvek 1. H 2. He
1 2
Prvky
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Li Be B C N O F Ne
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6
11. 12. 13. 14. 15. 16.
Na Mg AI Si P S
18. Ar
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6 6 6 6 6
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6
19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
17. a
K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
1 2 3 5 5 6 7 8
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2
10 10 10 10 10 10 10 10
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 3 4 5 6
121
Prvky
122
Slupka
* P
O K
L
M
Q
N
Podslupka
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
Prvek 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86.
Ir Pt Au Hg TI Pb Bi Po At Rn
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
18 18 18 18 18 18 18 18 18 18
32 32 32 32 32 32 32 32 32 32
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
7 9 10 10 10 10 10 10 10 10
2 1 1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6
87. F r 88. Ra
2 2
8 8
18 18
32 32
2 2
6 6
10 10
2 2
6 6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18
32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 10 6 10 6 10 2 6 10 3 6 10 4 6 10 6 6 10 7 6 10 7 6 10 9 6 10 10 6 10 11 6 10 12 6 10 13 6 10 14 6 10 14
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103.
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
Prvky
• 1 2 1 2 1 1 1
1
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
123
15 Stabilní nuklidy a jejich výskyt Z - protonové (atomové) číslo; A - nukleonové (hmotnostní) číslo; » - p r o c e n tn í zastoupení v prvcích zemské kůry. Značka
Z
H D He
2
Li
3
Be B
4 5
C
6
N
7
O
8
1
* F Ne
9 10
Na Mg
11 12
AI Si
13 14
P S
15 16
a
17
Ar
18
K
19
Ca
Sc Ti
20
21 22
V Cr
23 24
Mn
25
124
A
Výskyt (n>) %
1 2 3 4 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 36 35 37 36 38 40 39 40**) 41 40 42 43 44 46 48 45 46 47 48 49 50 51 50 52 53 54 55
99,984 4 0,015 6 ~ io - < 99,999 9 7,39 92,61 100 18,83 81,17 98,9 1,1 99,62 0,38 99,757 0,039 0,2065 100 90 0,27 9,73 100 78,60 10,11 11,29 100 92,28 4,07 3,05 100 95,06 0,74 4,18 0,016 75,4 24,6 0,307 0,060 99,633 93,3 0,011 6,7 96,96 0,64 0,13 2,13 0,003 3 0,18 100 7,95 7,75 73,45 5,51 5,34 100 4,3 83,78 9,5 2,4 100
Značka
A
Z
Fe
26
Co Ni
27 28
Cu
29
Zn
30
Ga
31
Ge
32
As Se
33 34
Br
35
Kr
36
Rb
37
Sr
38
Y Zr
39 40
Nb Mo
41 42
-
54 56 57 58 59 58 60 61 62 64 63 65 64 66 67 68 70 69 71 70 72 73 74 76 75 74 76 77 78 80 82 79 81 78 80 82 83 84 86 85 87*) 84 86 87 88 89 90 91 92 94 96 93 92 94 95 96 97 98 100
Výskyt (to) % 5,81 91,64 2,21 0,34 100 67,76 26,16 1,25 3,66 1,16 68,9 31,1 48,89 27,81 4,16 18,5 0,620 60,1 39,9 20,55 27,37 7,8 36,4 7,8 100 0,87 9,5 8,3 24,0 48,0 9,3 50,5 49,5 0,35 2,01 11,50 11,48 57,1 17,5 72,8 27,2 0,56 9,86 7,02 82,56 100 51,5 11,23 17,11 17,40 2,80 100 15,9 9,2 16,5 15,7 9,45 23,75 9,62
Značka
Z
Ru
44
Rh Pd
45 46
Ag
47
Cd
48
In
49
Sn
50
Sb
51
Te
52
J Xc
Cs Ba
53 54
55 56
A 96 98 99 100 101 102 104 103 102 104 105 106 108 110 107 109 106 108 110 111 112 113*) 114 116 113 115*) 112 114 115 116 117 118 119 120 122 124 121 123 120 122 123-*) 124 125 126 128 130 127 124 126 128 129 130 131 132 134 136 133 130 132 134 135 136 137 138
Výskyt (to) % 5,68 2,22 12,81 12,70 16,98 31,34 18,27 100 0,8 9>3 22,6 27,2 26,8 13,5 51,9 48,1 1,215 0,875 12,39 12,75 24,07 12,26 28,86 7,58 4,5 95,5 0,90 0,61 0,4 14,07 7,54 23,98 8,62 33,03 4,78 6,11 57,25 42,75 0,05 2,43 0,85 4,59 6,97 18,72 31,72 34,46 100 0,094 0,088 1,90 26,23 4,07 21,17 26,96 10,54 8,95 100 0,101 0,097 2,42 6,59 7,81 11,32 71,79
Značka
Z
La
57
Ce
58
Pr Nd
59 60
Sm
62
Eu
63
Gd
64
Tb Dy
65 66
Ho Er
67 68
Tm Yb
69 70
Lu
71
Hf
72
Ta W
73 74
A 138*) 139 136 138 140 142*) 141 142 143 144*) 145 146*) 148 150 144 147*) 148*) 149*) 152 154 151 153 152*) 154 155 156 157 158 160 159 156*) 158 160 161 162 163 164 165 162 164 166 167 168 170 170 168 170 171 172 173 174 176 175 176*) 174*) 176 177 178 179 180 181 180 182 183
Výskyt (to) % 0,089 99,911 0,193 0,250 88,48 11,07 100 27,13 12,20 23,87 8,30 17,18 5,72 5,60 3,16 17 14 15 26 20 47,77 52,23 0,20 2,15 14,78 20,59 15,71 24,78 21,79 100 0,0524 0,0902 2,294 18,88 25,53 25 28,18 100 0,25 2,0 35,0 24,4 29,0 10 100 0,06 4,21 14,26 21,49 17,02 29,58 13,38 97,5 2,5 0,18 5,03 18,47 27,10 13,84 35,11 100 0,122 25,77 14,24
125
Prvky
Značka
Výskyt (to) %
Z
W
74
Re
75
Os
76
Prvky Ir
77
Pt
78
Au
79
184 186 185 187*) 184 186*) 187 188 189 190 192 191 193 192 194 195 196 198 197
30,68 29,17 31,7 62,93 0,018 1,59 1,64 13,3 16,1 26,4 41,0 38,5 61,5 0,8 30,2 35,3 26,6 7,23 100
Značka
Z
Hg
80
TI
81
Pb
82
Bi Th U
83 90 92
*) Nuklidy, jejichž poločas přeměny T. > 1010 roku. 2
**) Nuklidy, jejichž poločas přeměny 7 .10® roku < T, < 1010 roku. 2
126
A 196 198 199 200 201 202 204 203 205 204*) 206 207 208 209*) 232*) 234 235**) 238**)
Výskyt (to) % 0,15 10,1 17,0 23,3 13,2 29,6 6,7 29,1 70,9 1,5 25,1 21,1 52,3 100 100 0,005 1 0,71 99,28
16 N ejdůležitější elem entární částice <2 -n á b o j; s -s p in ; m - klidová hmotnost; me - klidová hmotnost elektronu; r - střední doba života; # - redukovaná Planckova konstanta, H = hj2n, viz tab. 77 Značka Název
Druh
Anti částice
Částice Elektromagnetické záření
foton (obecně) foton gama
Lehké částice (leptony)
neutrino**) elektron mion
Střední částice (mezony)
v e~
v e+ *)
7t®
pion
kaon
Těžké částice (baryony)
f Y
h
u
nta
Q e
1
0
0
0
1/2 1/2 1/2
(0) 5,486.10-4 0,113 4
(0) 1 206,8
0 TI TI
0
0,144 9
264,1
0
S
stabilní stabilní stabilní 2 ,2 .1 0 -»
r + Y
¡X+ + V;í
7T-
0
0,149 8
273,1
±1
2,6 . 10-8
K+
K-
0
0,529 9
966,60
±1
K°
K°
0
0,534 2
973,8
1,2.10-8 10~10(») 5,1 . 10*8 (T)
P
P~ n A
1/2 1/2 1/2
1,007 1,009
1 836,03 1 838,56
hyperon lambda
n A
1,197
2 183,0
0
2,5 . 10-10
hyperon sigma
2+
2+
1/2
1,277
2 327,3
±1
0,8 . 10-10
2°
vo
1/2
1,279
2E°
1/2 1/2
1,284
2 333,4 2 343,0
0
2~
5,8 . 10-20 1,5 . 10-10
1,408
1/2
1,415
proton neutron
hyperon ksí
S° 5”
2 573,0 2 585,6
±1 0
+1 0
TI
e~ + Vji + Ve
0,8 . 10-1«
K+
0
Nejpravdě podobnější rozpad
stabilní 925
2,9 . 10-10 1,6 . 10-1°
*) Tato antičástice se nazývá pozitron **) Rozlišujeme elektronové neutrino ve a mionové neutrino v,*
to
-TJ -» <
¡¿+ + vn ■8-: 7i- + 7t+ t: rr+ + e_+ v e p+ + e- + ve
1p + + j n + j p+ + jn +
7t~ 7t° K° 7t+
A + y n + 7t~ A +7ť> A + n~
17
H m otnostní schodky jad er některých prvků
B - hmotnostní schodek (defekt) jádra. Je to rozdíl mezi součtem hmotností všech nukleonů obsažených v jádře a celkovou hmotností jádra. E\ - vazebná energie, £j = Bc2; c - rychlost šíření světla, c ~ 3 . 108 m . s-1; l u = 1,660 44 . 10-27 kg.
Prvek
Prvky
Značka
Vodík
B 10-3u
Ei MeV
2,35
2,19
Helium
fH e
8,18
7,61
Helium
30,29
28,20
Lithium
3 Li
34,31
31,94
Lithium
3 Li
42,01
39,11
Beryllium
jBe
62,3
58,0
Radium
2I |R a
1 838,0
1 711,0
Aktinium
2i,»Ac
1 845,0
1 718,0
Thorium
2foTh
1 873,0
1 744,0
Protaktinium
2|Í P a
1 868,0
1 739,0
Uran
238t i 92U
1 908,0
1 776,0
128
18 Radioaktivní přem ěnové řady Ve sloupci Název jsou uvedeny historické názvy nuklidů.
Název
Značka
Přeměna
Poločas přeměny U ran - radiová řada
Uran I
2^28U
UI
4,5 . 10» r
Uran Xi
2& T h
UXi
24,1 d
Uran X 2
2 91 Pa
ux2
1,14 min
Uran II
292U
U II
2,3 . 10* r
P a
Ionium
2?oTh
Io
8 ,3 . 10» r
a
Radium
288Ra
Ra
1 590 r
Radon
2IÍR n
Rn
3,825 d
Radium A
284Po
RaA
3,05 min
Radium B
2182Pb
RaB
26,8 min
Radium C
?83BÍ 214» 84l ° 2 1 0 'T'i 81 1 1
RaC
19,7 min
RaC'
1,5 . 10-> s
Radium C' Radium C "
RaC"
1,32 min
Radium D
2iŠPb
RaD
22,2 r
Radium E
21 8 »
RaE
5,04 d
Radium F
2 8 4Po
RaF
139 d
Radium G
282?b
RaG
00
OC P
oc oc a P P
\o c
a \ Pr P
a
p
1
.
Thoriová řada Thorium
2f ÍT h
Th
1,39 . 1010 r
oc
Mezothorium 1
2f 8Ra
M s-Th 1
6,7 r
P
Mezothorium 2
228Ar 8 9 AC
M s-Th 2
6,13 h
P
Radiothorium
22oTh
R d-Th
1,90 r
a
Thorium X
2L8+ 8Ra
ThX
3,64 d
oc oc
Thoron
Tn
54,5 s
2¥;Po
ThA
0,158 s
'I'horium B
2 8 2Pb
ThB
10,6 h
Thorium C
2 1 2 d; 8 :iki 212p
T hC
60,5 min
84 O 20 8npi 81 11
T hC '
3 . 10-7 s
T hC "
3,1 min
2SfPb
T hD
00
Thorium A
Thorium C' Thorium C" Thorium D
a P P / J\ <
>
\
\
^
p
129
Značka
Název
Poločas přcmčny
Přeména
Aktiniová řada
Prvky
Aktinouran
235 fj 92u
AcU
7,13.10» r
Aktinium Y
231T h 90
UY
24,6 h
Protaktinium
231Pa 91* a
Pa
3,2 . 104 r
Aktinium
2S97A c
Ac
21,7 r
Radioaktinium
2lo7T h
RdAc
18,9 d
Aktinium K
2??Fr
AcK
21 min
Aktinium X
AcX
11,4 d
An
3,92 s
Aktinium A
’ ¿|R« 219Rn 86Kn 2l l po
AcA
1,83 . IO '3 s
Aktinium B
2 “ Pb
AcB
36,1 min
Aktinium C
2 83®' 211Po 84
AcC
2,16 min
AcC'
0,52 s
207-n 81 11 20 7p_ 82
AcC"
4,76 min
AcD
oo
Aktin on
Aktinium C' Aktinium C " Aktinium D
Neptuniová řada
Plutonium
2$}Pu
Pu
10 r
Ameridum
295A n>
Am
500 r
Neptunium
2!lN p
Np
2,25 . 10« r
Protaktinium
2jJP a
Pa
27,4 d
a.
Uran
2 3 3 tt
U
1,63 . 10» r
P
Thorium
2 lo9T h
Th
7 . 103 r
Radium
2IlRa
Ra
14,8 d
a a
Aktinium
2 289/\c 5Ae
Ac
10 d
P
Francium
221cr 87*^
Fr
4,8 min
a
Astat
218?At
At
0,021 s
92U
Bismut
2I !
Bi
47 min
Polonium
2| 3Po
Po
4,2 . 10-* s
Thallium
208?T1
TI
2,20 min
Olovo
Z82P b
Pb
3,3 h
20*>
Bi
00
Bismut
130
k
P> a.
19
H ustota, součinitel tep lo tn í délkové roztažnosti a m ěrná tep eln á kapacita některých prvků při te p lo tě 20 °C
«20 - hustota při 20 °C; cc2o - součinitel teplotní délkové roztažnosti při 20 °C; ¿20 - měrná tepelná kapacita při 20 °C
(?20 k g . m~3
Prvek
Antimon Arsen Baryum Beryllium Bismut Bor Cer Cesium Cín Draslík Fosfor (bílý) Gallium Germanium Hliník Hořčík Chrom Iridium Jod Kadmium Kobalt Křemík Lithium Mangan Měď Molybden Nikl Olovo Osmium Palladium Platina Rhenium Rhodium Rubidium Selen Síra jednokl. kosočtv. Sodík Stříbro Tantal Titan Uhlík amorf. diamant Uran Vanad Vápník Wolfram Zinek Zirkon Zlato Železo
Sb As Ba Be Bi B Ce Cs Sn K P Ga Ge AI Mg Cr Ir I Cd Co Si Li Mn Cu Mo Ni Pb Os Pd Pt Re Rh Rb Se S Na Ag Ta Ti C U V Ca W Zn Zr Au Fe
6 690 5 720 3 760 1 850 9 800 2 340 6 800 1 870 7 280 862 1 820 5 900 5 300 2 700 1 740 7 100 22 500 4 930 8 640 8 800 2 330 534 7 300 8 930 10 200 8 900 11 340 22 480 12 000 21 450 20 500 12 400 1 520 4 400 1 960 2 060 971 10 500 16 600 4 530 2 300 3 500 19 050 6 000 1 540 19 300 7 130 6 530 19 290 7 860
<X20 10-» K -1
0,011 0,005 —
0,013 0,014 0,008 —
0,097 0,027 0,083 0,125 0,018 —
0,024 0,026 0,008 0,006 0,093 0,030 0,012 0,002 0,056 0,023 0,017 0,005 0,013 0.029 0,006 0,012 0,009 —
0,009 0,090 0,037 0,080 0,074 0,072 0,019 0,006 0,009 0,008 0,013 —
0,008 0,025 0,004 0,029 —
0,014 0,012
C20 k j .k g "1 . K -‘
Prvky
0,208 0,330 —
1,750 0,124 1,047 —
0,230 0,227 0,741 0,754 0,377 0,308 0,896 1,017 0,440 0,134 0,218 0,231 0,389 0,703 3,391 0,486 0,383 0,251 0,446 0,129 0,130 0,247 0,133 0,137 0,248 0,348 0,335 —
0,720 1,206 0,234 0,138 0,611 0,837 0,495 0,117 0,502 0,649 0,134 0,385 0,272 0,129 0,452
131
20 Vlastnosti důležitých anorganických sloučenin M i - relativní molekulová hmotnost; tv - teplota varu při témž tlaku
q-
hustota při 20 °C, není-li v závorce uvedena jiná teplota; ít - teplota tání při tlaku 101,3 kPa;
Zkratky: b - bílý, bb - bezbarvý, č - černý, čv - červený, f - fialový, h - hnědý, hž - hnědožlutý, m - modrý, o - oranžový, r - rozkládá se, rž - růžový, š - šedý, z - zelený, ž - žlutý, subl - sublimuje, (—8 H 2O, 780) značí, že 1 mol látky uvolňuje 8 molů vody při teplotě 780 °C Látka
Mr
AgBr AgMOs AI2O 3 BaCl2 . 2 H zO BaCOs Ba(NOs)2 Ba(OH)2 . 8 H 2O BaSOí CO COa CS 2 CaCU CaCl2 . 6 HzO C aC 03
bromid stříbrný dusičnan stříbrný oxid hlinitý dihydrát chloridu bamatého uhličitan bamatý dusičnan bamatý oktahydrát hydroxidu barnatého síran bamatý oxid uhelnatý oxid uhličitý sirouhlík chlorid vápenatý hexahydrát chloridu vápenatého uhličitan vápenatý
187,77 169,87 101,96 244,27 197,34 261,34 315,47 233,39 28,01 44,01 76,13 110,99 219,08 100,09
CaO C aS 04 . 2 H aO CdCl2 Cd(NOs)2 . 4 H 2O CdSOj C 0 CI2 .6 H 2O CuCl2 C u(N 0 3)2 .3 H 20 CuO C u S 0 4 . 5 H 2O CuS04 FeClu F e S O j. 7 H aO H 3BO 3 HBr HC1 HF HNOs H 3PO 4 HsS H 2SO 4
oxid vápenatý dihydrát síranu vápenatého chlorid kademnatý tetrahydrát dusičnanu kademnatého síran kademnatý hexahydrát chloridu kobalnatého chlorid mědnatý trihydrát dusičnanu mčdnatého oxid mědnatý pentahydrát síranu mčdnatého síran mědnatý chlorid železitý heptahydrát síranu železnatého kyselina trihydrogenboritá bromovodík chlorovodík fluorovodík kyselina dusičná kyselina trihydrogenfosforečná sulfan (sirovodík) kyselina sírová
56,08 172,17 183,32 308,48 208,47 273,93 134,45 241,60 79,54 249,68 159,60 162,21 278,01 61,83 80,92 36,46 20,01 63,01 98,00 34,08 98,07
e kg . m~3 6 473 (25) 4 352 3 965 (25) 3 097 4 430 3 244 (23) 2 180 (16) 4 480 1,250 1,977 1 270 (15) 2 150 1 680 (17) 2 710 (calc.) 2 930 (arag.) 3 300 2 320 4 050 (25) 2 455 (17) 4 690 1 924 (25) 3 386 (25) 2 320 (25) 6 400 2 284 3 603 2 898 1 898 1 435 (15) 3,388 1,267 0,91 1 527 1 825 1,190 1 840
°C
ty •c
700 r 432 444 r 212 2 980 2 072 962 (—H 2 0 , 113) 1 560 — — 592 r 78 (—8 HaO, 780) 1 580 — — 191 — 199 —78,5 subl —56,6 (500 kPa) — 110,08 46,3 > 1 600 782 (—6 H 2O, 200) (— 4 H 20 , 30) 899 r 1 339 (137 kPa) — 520 (-»-calc.) 2 614 2 850 (—2 H 20 , 163) (— 1,5 H 2O, 128) 960 568 132 59,6 — 1 000 (—6 HaO, 110) 86 993 r (CuCl) 620 114,5 (—H N O 3, 170) — 1326 (—5 H 2O, 150) (—4 H 20 , 110) 200 650 r 315 r 306 64 (—6 H 20 , 90) (—7 H aO, 300) ( - H 2O, 169) (— 1,5 H 20 , 300) —87 — 67 — 112 —85 19,5 —83 —41,6 83 42,4 (—0,5 H 2O, 213) —85,5 — 60,7 10,4 338 r
Barva ž bb bb bb b bb b b bb bb bb bb bb bb b bb bb b b čv h m č m bz hž z bb bb bb bb bb bb bb bb
Látka KBr bromid draselný KC1 chlorid draselný chlorečnan draselný KClOa uhličitan draselný K 2CO3 dichroman draselný K2CT207 KI jodid draselný manganistan draselný K M n04 dusičnan draselný KNOs KOH hydroxid draselný síran draselný K 2SO4 chlorid lithný LiCl LÍ2CO3 uhličitan lithný LÍ2 SO4 síran lithný M gS 04 . 7 H 2O heptahydrát síranu hořečnatého MnCla . 4 HjO tetrahydrát chloridu manganatého MnOa oxid manganičitý tetraboritan sodný NaaB407 Na2[B405(0H )4]. 8 HaO oktahydrát tetrahydroxotetraboritanu disodného (borax) NaBr bromid sodný NaCl chlorid sodný NaClOs chlorečnan sodný N32C03 . 10 HaO dekahydrát uhličitanu sodného hydrogenuhličitan sodný NaHCOs dusičnan sodný NaNOs NaOH hydroxid sodný Na3P 0 4 . 12 HaO dodekahydrát fosforečnanu sodného NH 4CI chlorid amonný hydrogenuhličitan amonný NH 4 HCO3 síran amonný (NH4)2S04 NÍSO4 . 7 HaO heptahydrát síranu nikelnatého PbCla chlorid olovnatý dusičnan olovnatý Pb(N03)2 PbO oxid olovnatý Pb30 4 oxid olovnato-olovičitý Pb02 oxid olovičitý SO 2 oxid siřičitý SO3 (trimer) oxid sírový SnCla . 2 HaO dihydrát chloridu cínatého SnCLi chlorid cíničitý síran strontnatý SrS04 ZnCla chlorid zinečnatý ZnS04 síran zinečnatý ZnS04 . 7 HsO heptahydrát síranu zinečnatého
Air
Q
tt
ty
kg . m '3
°C
°C
734 770 356 891 398 681 r < 240 334 360,4 1 069 605 723 845 (— 6 H 2O, 150) 58 (—H 2O, 106) ( - O 2, 535) 741 75 (—8 HaO, 60)
1435 1 500 subl 400 r r 500 r 1 330 — 400 r 1 327 1 689 1 382 1310 r — ( - 7 HaO, 200) ( - 4 HaO, 198) — 1 575 r (— 10 HaO, 320)
b f bb b bb bb bb bb bb rž č bb bb
1 390 1413 — (-H a O , 33,5) — 380 r 1 390 (— 12 HaO, 100)
bb bb bb b bb bb bb bb
119,00 74,55 122,55 138,21 294,18 166,00 158,03 101,10 56,11 174,25 42,39 73,89 109,94 246,47 197,91 86,94 201,22 381,37
2 750 1 984 2 320 2 428 2 676 3 130 2 703 2 109 2 044 2 662 2 068 2 111 2 221 1 680 2 010 5 026 2 367 1 730
(25)
102,89 58,44 106,44 286,14 84,00 84,99 40,00 380,12
3 203 2 165 (25) 2 490 (15) 1 440 2 159 2 261 2 130 1 620
748 801 255 32,5 (—CO2, 270) 307 318,4 73,4 r
53,49 79,06 132,13 280,85 278,1 331,2 223,2 685,6 239,2 64,06 80,06 225,63 260,50 183,68 136,29 161,44 287,54
1 527 1 580 1 769 (50) 1 948 5 850 4 530 9 530 9 100 9 375 2,927 1 970 (1) 2 710 (15) 2 226 3 960 2 910 3 540 (25) 1 957 (25)
340 subl 36 r 235 r 99 (—H 2O, 32) 501 470 886 500 r 290 r — 72,7 16,8 37,7 —33 1 605 283 600 100
(19)
(16) (25) (17)
—
subl —
( - 6 HaO, 103) 950 —
1 470 —
— — 10
44,8 —
144 r 732 — (—7 HaO, 280)
Barva bb bb bb bb 0
bb bb bb z b bb ž, čv čv h bb bb b bb bb b bb bb
134
21
V lastnosti důležitých organických sloučenin
Air - relativní molekulová hmotnost; g - hustota při 20 °C, není-li v závorce uvedena jiná teplota; ít - teplota tání při tlaku 101,3 kPa; ív - teplota varu při témž tlaku, není-li v závorce uveden jiný tlak Zkratky: rozkl - rozkládá se, subl - sublimuje, tuh - tuhne, expl - exploduje, stabil - stabilizovaný, r - rozpustný, vr - velmi rozpustný, m r - málo rozpustný, nr - nerozpustný, rt - rozpustný za tepla, 1 - kapalina, g - plyn Látka Acetaldehyd Acetofenon Aceton Acetylen Acetylchlorid Acetylsalicylová kyselina Adipová kyselina Akrolein Akrylová kyselina a-Alanin-(L) Allylalkohol o-Aminobenzoová kyselina Anilin Antracen Antrachinon Azobenzen
Vzorec CHsCHO CHsCOCeHs CH 3 COCH3 C H =C H CH 3COCI 2 -CH 3OCOC6H 4COOH HOOC(CH2)4COOH c h 2= c h c h o c h 2= c h c o o h c h 3c h (n h 2)c o o h c h 2= c h c h 2o h 2-H2NC6H4COOH c »h 5n h 2 CitHjo C i 4H 802 C«H5N = N C 8H 6
Air 44,05 120,15 58,08 26,04 78,50 180,16 146,14 56,06 72,06 89,09 58,08 137,14 93,13 178,23 208,22 182,23
.CONH. Barbiturová kyselina
H2C ( x conh
>c o
Q kg . m“8 778 1 028 790 1,175 1 105 —
1360 841 1051 1 424 854 1 412 1 022 1 283 1 438 — cis 1 203 trans
128,09
_
t\
ív
“* c — 122 19,6 —95,4 —81 — 112 135 153 —87 13 297 rozkl — 129 146 —6,0 216 286 71 68,5
20,8 202 56,2 —84 51,5 140 rozkl 216 (2 kPa) 53 141 97,1 subl 184 340 379,8 —
296 (13 kPa)
Rozpust nost ve vodě vr nr vr mr rozkl rt mr r vr r vr rt rt nr nr —
nr
248 rozkl
_
mr
— 26 (—56 tuh) 5,5 128 122,4 48,1 - 1 5 ,3 —39 71 180 rozkl — 30,8 8 — 108,9 — 138,4 —89,5 — 114,7
—
nr
/
Benzaldehyd
CsHsCHO
106,13
1045
Benzen Benzidin Benzoová kyselina Benzofenon Benzylalkohol Benzylchlorid Bifenyl Biuret Brombenzen Bromoform 1,3-Butadien Butan 1-Butanol 2-Butanol
CeHs 4,4'-NH2C«H4C«H4N H 2 CeHsCOOH CsHsCOCoHs CeHsCHüOH CeHsCHaCl Cel IsCgHö NH(CONH2)2 CeHsBr CHBra c h 2= c h — c h = c h 2 c h 3c h 2c h 2c h 3 CH3CH2CH2CH2OH CH3CH2CH(OH)CH3
78,11 184,24 122,12 182,22 108,14 126,59 154,21 103,08 157,01 252,73 54,09 58,12 74,12 74,12
877 — 1 266 (15) 1 146 (19) 1 041 1 100 866 —
1 495 2 889 621 2,703 810 807
80,10 — 249 305,9 205,4 179 256 — 156 149,5 - 4 ,4 “ 0,5 117,2 99,5
nr mr mr nr nr — nr r nr nr nr nr mr mr
Vzorec
Látka 1-Butylen
C Ho=CHCH2CH3 CHsCOOH
Citronová kyselina
A ir
56,12 192,13
I
tv
11 kg . m-3 2,45 (16) 1 542 (18)
°C
Rozpust nost ve vodě
-185,3
- 6 ,3
11
155
rozkl
vr
80,7 161,1 155,6
nr
174.1 34.6 302
nr mr nr nr vr r vr nr nr mr nr nr
HO—C -C O O H
I
Cyklohexan Cyklohexanol Cyklohexanon
CHzCOOH CíHI2 CaHuOH CeHioO CH3(CH2)8CH3
84,16 100,16 98,15 142,29 74.12 169,23 30.07 46.07 88.12 45.09 106.17 150.18 108,97 64,52 28,05 74.08 91.07 94,11 30,03 98,92 180,16
779 962 948 730 714 1 160 1,356 789 900 683 867 1 046 1 460 898 1,25 (0) 917 1 108 1 058 815 (—20) 139 (0) 1 598
Dekan Diethylether Difenylamin Ethan Ethanol Ethylacetát Ethylamin Ethylbenzen Ethylbenzoát Ethylbromid Ethylchlorid Ethylen Ethylformiát Ethylnitrát Fenol Formaldehyd Fosgen D-Fruktosa
(CsH5)2NH CH 3 CH 3 C 2H 5OH CH 3COOC2H 5 C 2H 5N H 2 C6H 5C 2H 5 CeHsCOOCüHs C2H5Br C 2H5C1 c h 2= c h 2 HCOOC2H5 C2H5ONOs C6H5OH HCHO COCl2
Ftalanhydrid
C0H .1 /
Ftalová kyselina Fumarová kyselina
l,2-C6H4(COOH)s HOOCCH=CHCOOH (trans)
166.13 116,07
1 593 1 635
Furan Gallová kyselina D-Glukosa
C4H 4O
C6H12O6
68.08 170,12 180,16
951 1 694 (6) 1 562 (18)
Glycerol Glyceroltrinitrát
HOCH2CH(OH)CH2OH C3H 5(0N 02)3
92.10 227,09
1 261 1 593
Glycin Glykol Hexachlorbenzen Hexan
h 2n c h 2c o o h h o c h 2c h 2o h
75.07 62.07 284,78 86,18
1 161 1 109 1 629 (21) 660 (20)
2 0c 2h s
c hs
CsHiäOs ,CO.
\ O \c o ^
3,4,5-(OH)3C(,H2COOH
CsClc C H 3 ( C H 2) 4 C H 3
6,5 25,1 — 16,4 (—26 tuh) —27,9 — 116 55 — 183,3 — 117,3 — 83,6 — 81 — 95 — 34,6 — 118,6 — 136,4 — 169 —80 — 94,6 43 —92 — 118 103 131,6
148.12
—
88,6
78.4 77.1 16.6 136.2 213 38.4 12,3 -1 0 4 54 87.2 182
mr mr
—21 8,3 295 subl
ozkl vr mr rt
210 rozkl 165 subl — 85,6 253 rozkl al46-147rozkl /J148-150rozkl 18 13 (stabil) 2 (nestab) 262 rozkl - 1 1 ,5 230 — 95
290 rozkl 256 expl
mr mr vr vr vr mr
198 322 subl 69
vr vr nr nr
31,4
Vzorec
Látka
M,
Hydrochinon Chloraceton Chloral Chloralhydrát Chlorbenzen Chloroform Isopren Jantarová kyselina Jodoform m-Kresol o-Kresol p-Kresol Kyanovodík Laktosa
l,4-C 6H4(OH) 2 CH 3 COCH2CI CCI3 CHO CCl3CH(OH)2 CeHsCl CHCI3 CH2=C(CH3)CH=CH2 HOOC(CH2)2COOH c h i3 l,3-CH3CeH4OH l,2-C H 3CeH4OH 1,4-CH3C«H40H HCN C i 2H22Oii
1 1 0 ,1 1
Malonová kyselina Máselná kyselina Methan Methanol Methylacetylen Methylbenzoát Methylchlorid 2-Methyl-2-propanol Mléčná kyselina D, L Močovina Mravenčí kyselina Naftalen Nitrobenzen Octová kyselina Oktan Olejová kyselina Palmitová kyselina Pentan Propan 1-Propanol Propanová kyselina Propylen Pyridin Pyrogallol Pyrokatechin Resorcin
CH2(COOH)2 CH3(CH2)2COOH CH 4 CHsOH CH3C =C H CeHsCOOCHs CH3C1 (CH3)3COH CH 3 CHOHCOOH H2NCONH2 HCOOH C10H8 C«HäN02 CHsCOOH CH3(CH2)6CH3 Ci 7H33COOH C 15 H 31 COOH CH3(CH2)3CH3 c h 3c h 2c h 3 c h 3c h 2c h 2o h c h 3c h 2c o o h c h 2= c h c h 3 C 5H 5N l,2,3-C«H3(OH)3 l,2-CeH4(OH)2 l,3-C«H4(OH)2
104,06 88,11 16,04 32,04 40,07 136,15 50,49 74,12 90,08 60,06 46,03 128,17 123,11 60,05 114,23 282,47 256,43 72,15 44,10 60,10 74,08 42,08 79,10 126,11 110,11 110,11
Sacharin
/ CO\ C6H4 ( )N H
183,19
Sacharosa
Cl2H22Oll
342,30
x so2/
92,53 147,39 165,40 112,56 119,38 68,12 118,09 393,73 108,14 108,14 108,14 27,03 342,30
íi
Q
řv
kg . m ~ 3 1 358 1 150 1 512 1 908 1 105 1 483 681 1 572 (25) 4 008 1 034 1 027 1 018 688 (1) a — ß \ 590 1 619 (16) 956 0,717 791 — 1 089 2,31 789 1 206 (21) 1 323 1 220 1 168 (22) 1 204 1 049 702 894 853 626 2,01 804 993 1,81 (16) 982 1 453 (4) 1 344 1 272
1
828 1 581 (17)
173 — 44,5 - 5 7 ,5 57 —45,6 —63,5 — 146 188 123 12 31 35 — 13 223 253 135,6 - 4 ,5 — 182 -r-93,9 — 102,7 — 12,3 — 97 25,5 18 135 8,4 80,5 5,7 16,6 — 56,8 13,4 63 — 130 — 189,7 — 126,5 — 20,8 — 185,2 —42 133 105 111
286 119 97,8 96,3 132 61,2 34 235 rozkl 210 expl 203 191 202 26 — 140 rozkl 165,6 — 154 65 —24 199,6 - 2 4 ,1 82,3 122 (1,6 kPa) rozkl 100,7 218 210,8 117,9 125,7 216 (0,7 kPa) 222 (2,1 kPa) 36,1 — 42,1 97,4 141 -47,4 115,5 309 245 281
Rozpust nost ve vodé vr r r r nr nr nr rt nr mr rt rt vr vr vr vr mr vr r nr nr vr vr r vr nr nr vr nr nr nr nr nr vr vr r vr r r r
229 rozkl 185—186 rozkl
r
Vzorec
Látka Salicylová kyselina Stearová kyselina Styren Šťavelová kyselina Šťavelová kyselina - dihydrát Teraftalová kyselina T etrachlorbenzen T etrachlormethan Toluen Tribromfenol Trichlor benzen Trinitrobenzen Trinitrofenol Trichloroctová kyselina Vinná kyselina (L) Vinylchlorid m-Xylen o-Xylen p-Xylen
2 -HOC 6H 4COOH C17 H 35COOH
C6H5C H = C H 2 (COOH)2 (COOH)2 . 2HaO l,4-CeH4(COOH)2 1,2,3,5-CsH 2C14
ca4
CsHsCHs 2,4,6-Br3CeHaOH 1,3,5-C8H3C13 1,3,5-C«H3(N02)3 2,4,6-(NOa)3C6H2OH CClsCOOH HOOCCH—CHCOOH i i I 1 OH OH CH2=CHC1 1,3-C6H4(CH3)2 l,2-CeH4(CH3)2 1,4-CeHi(CH3)a
Air
e k g . m~s
138,12 284,49 104,15 90,03 126,07 166,13 215,89 153,82 92,14 330,80 181,45 213,11 229,10 163,39 150,09
1443 941 906 1 900 1 653 — — 1594 867 2 550 — 1 688 1 767 1 620 1 760
62,50 106,17 106,17 106,17
— 864 880 861
(17) (19)
(19) (25)
ÍT
ft °C 159 71,2 —30,6 189,5 rozkl 101,5 rozkl — 54,5 —23 —95 95 63 121 122 58 170 — 153,8 —47,9 —25,2 13,3
°c 211 subl 360 rozkl 145,2 157 subl subl 246 76,8 110,6 280 subl 208 315 rozkl — expl 197,5 — - 1 3 ,4 139,1 144,4 138,3
Rozpust nost ve vodě r nr nr r r nr nr nr nr mr nr mr rt vr r nr nr nr nr
22 H ustoty pevných látek q-
hustota při běžných teplotách (okolo 20 °C) U většiny látek závisí hustota na jejich fyzikálním stavu (např. na vlhkosti apod.) a na chemickém složení. Údaje v tabulce jsou proto přibližné. U sypaných nebo pórovitých látek je uvedena objemová hmotnost (podíl hmotnosti a celkového objemu včetně mezer), která je menší než hustota téže látky. Tyto látky jsou v tabulce označeny hvězdičkou.
Látka
Vlastnosti látek
Asfalt Azbest Bakelit Beton Bronz Celofán Celuloid Cihly* Cukr Čedič Diamant Dřevo balsové Dřevo dubové Dřevo jehličnaté Dřevo mahagonové Dural Ebonit Elektron Grafit (tuha) Guma (pryž) Guma pěnová* Chromnikl Igelit Invar Kamenina Kaolín Klih Konstantan Korek Kosti Křemen Křída Kůže Led Lůj Malta vápenná Manganin Máslo Mastek Mosaz Ocel
138
e kg . m~8 1 300 2 100 — 2 800 1 300 1 800 — 2 200 8 700 — 8 900 1 420 1 400 1 400 — 2 000 1 600 2 900 3 500 100 — 300 700— 1 000 400 — 600 700 2 800 1200 1 800 2 100 1 150 — 1 350 50 — 500 8 200 1 390 8 130 2 200 — 2 500 2 200 1 270 8 800 200 — 350 1 700 — 2 000 2 600 1 800 — 2 600 850— 1000 917 900 — 970 1 700 8 400 920 2 700 8 600 7400 — 8000
Látka
Pájka (cín) Papír Parafín Pertinax Pískovec Plexisklo Polystyren Polyvinylchlorid Porcelán Prešpán RaSelina Rula Sádra* Sklo křemenné Sklo olovnaté Sklo tabulové Slída Sníh (čerstvě padlý)* Sníh vlhký* Stearin Sůl kuchyňská Šamot Šedá litina Teflon Tělo lidské* (při vdechnutí) Tělo lidské* (při vydechnutí) Tuky Uhlí dřevné* Uhlí hnědé* Uhlí černé* Vápenec Vápno hašené* Vápno pálené* Vinidur Vosk Woodův kov Xylolit Zdivo cihlové duté Zdivo cihlové plné Žula
Q k g . m-3 8 200 700 — 1 100 870 — 930 1 300— 1 400 1 900 — 2 700 1 180 1 050 1 200 — 1 500 2 100 — 2 400 1 350 330 — 410 2 400 — 2 700 800 — 1 200 3 600 — 4 700 2 600 — 4 200 2 400 — 2-600 2 600 — 3 200 125 200 — 800 970 2 160 1 700 — 2 200 7 250 2 100 — 2 300 960 1040 920 — 950 300 — 600 1 200 — 1 500 1 200 — 1 500 2 710 1 100 — 1 300 900— 1 300 1 350 950 — 980 9 700 715 1 200 1 600 2 600 — 2 900
23 Mechanické vlastnosti pevných látek E - modul pružnosti v tahu; G - modul pružnosti ve smyku; - pevnost v tahu; a v - pevnost v tlaku; /i - Poissonův poměr (poměr poměrného příčného zkrácení a poměrného prodloužení materiálu) Uvedené veličiny závisejí na složení a tepelném a mechanickém zpracování látek. Pevnost v daku je udána, jen když se liší od pevnosti v tahu. || po směru vláken, X kolmo k směru vláken Modul pružnosti Látka
Ocel Ocel pro lana Temperovaná litina Šedá litina Hliník Dural Elektron M éd Mosaz Nikl Zinek Cín Olovo Stříbro Zlato Platina Dřevo jehličnaté || Dřevo jehličnaté X Dřevo dubové || Dřevo dubové J_ Žula Čedič Vápenec Cihly Sklo Ebonit Xylolit Bakelit
Pevnost
E 103 MPa
G 103 MPa
Ot MPa
220 220
85 85
—
—
350—800 až 2 000 320—520 200—560 70— 190 150—520 160—330 180—450 300—500 500— 1 000 120—500 30—70 15—20 150—400 120—300 200—400 73
33
—
4—7
—
60— 140 66—68 72 42—45 120—130 100—110 205—220 100 55 15— 17 75—80 80 170 10
24—57 26—28 27 16—18 42—47 43 75 40 15 6,5 28 28 62 0,3
av MPa 0,30 — —
0,26 0,33 0,34 0,29 0,34 0,3—0,4 0,30 0,25 0,33 0,40 0,38 0,42 0,38
10
0,3
12,5
12,5
0,6
92
40
—
12,5
0,6
15
12—15
—
27—51 52— 115 35 —
60—80 3,7
— — — —
20—30 — —
9—15
4,2— 5,6 —
4—7 —
30—90 40—70 3 25
75—230 300 80—220 10—50 320— 1 200 120 22,5 120—200
— — — —
0,2—0,3 — — “
139
Vlastnosti látek ■. .
2U
T vrdost některých látej;
Mohsova stupnice tvrdosti: 1. mastek, 2. sůl kamenná, 3. kalcit, 4. fluorit, 5. apatit, 6. živec (ortoklas), 7. křemen, 8. topaz, 9. korupd, 10. diamant
Vlastnosti látek
Látka
Tvrdost
Achát Alabastr Antracit Antimon Aragonit Azbest Asfalt Augit Baryt Beryl Beryllium Bismut Boritá kyselina Bor Bronz fosforová Cesium Cin Dolomit Draslík Fluorit Fosfor Gallium Germanium Grafit Hematit Hliník Hořčík Chrom Indium Iridium Iridium-osmium Kadmium Kalcit Kaolinit Karborundum Kobalt Křemelina
6—7 1,7 2,0 3,0 3,5 2,0 1—2 6,0 3,3 7,8 5,0 2,5 3,0 9,5 4,0 0,2 1,8 3,5 0,5 4,0 0,5 1,5 6,25 1,2 6,0 2,9 2,0 9,0 1,2 6,5 7,0 2,0 3,0 2,5 9,5— 10 5,5 1,5
140
Látka Křemík Lithium Magnetit Mangan Měd Mořská pěna Mosaz Mramor Nikl Ocel Olovo Opál Ortoklas Osmium Palladium Platina Platinairidium Pyrit Rubidium Sádrovec Selen Síra Sklo Slída Sodík Stříbro Stroncium Tellur Vanad Vápník Vosk 0°C Woodův kov Zinek Zirkon Zlato Železo
Tvrdost 7,0 0,6 6,0 5,0 3,0 2,5 3 ,5 - 4 3—4 3,8 5—8,5 1,5 4—6 6,0 7,0 4,8 4,3 6,5 6,3 0,3 1,6—2 2,0 2,0 4 ,5 -6 ,5 2,8 0,4 2,7 1,8 2,3 6,0 1,5 0,2 3,0 2,5 8,0 2,5 4,5
25 T epelná vodivost některých pevných látek A20 - součinitel tepelné vodivosti při teplotě 20 °C
Látka Stříbro 99,98 % Měď elektrolytická Hliník 99,75 % Wolfram Mosaz Železo 99,92 % Platina Cín Ocel 0,2 % C Bronz 90 % Cu, 10 % Sn Olovo Bronz 75 % Cu, 25 % Sn Žula Led (0°C) Čedič Beton armovaný Sníh 800 kg . m “3 (0 °C) Cihly
Látka
Ajo W . m -‘ . K -1
Tabulové sklo Betonový panel Asfalt Sníh 500 kg . m "3 (0 °C) Fíbr Bakelit Celuloid Plexisklo Linoleum Dřevocement Polystyren Igelit Vinidur Azbest Sníh 150 kg . m“3 (0 °C) Plsť Skelná vlna
0,60— 1,0 0,46—0,74 0,7 0,46 0,3 0,23 0,22 0,2 0,19 0,17 0,16 0,15 0,15 0,12 0,12 0,04—0,09 0,03—0,05
A20 W . m - i . K '1 418 395 229 163 106 73 70,3 64 50 42 34,7 26 2,9—4,0 2,2 1,67 1,5 1,3 0,28— 1,2
Vlastnosti látek
26 Složení některých slitin
Název Pájka (Cín) Pájka (Olovo) Hliníková bronz Fosforová bronz Zrcadlová bronz Zvonovina Nikelin Mosaz Konstantan Nichrom Platiniridium Platinrhodium Woodův kov Nástrojová ocel Ocel pro trvalé magnety Nerez, ocel kalitelná Nerez, ocel nekalitelná Niklová ocel Invar Bílá litina Šedá litina Dural Heuslerova slitina
Složení v % (hmotnostní zlomek) 67 Sn, 33 Pb 67 Pb, 33 Sn 90 Cu, 10 AI 79,7 Cu, 10 Sn, 9,5 Sb, 0,8 P 67 Cu, 33 Sn 78 Cu, 22 Sn 80 Cu, 20 Ni 62 Cu, 38 Zn 60 Cu, 40 Ni 60 Ni, 24 Fe, 16 Cr, 0,1 C 90 Pt, 10 Ir 90 Pt, 10 Rh 50 Bi, 25 Pb, 12,5 Cd, 12,5 Sn 99 Fe, 1 C 94,5 Fe, 5 W, 0,5 C 14— 17 Cr, 0,3—0,5 C, zbytek Fe 18 Cr, 8 Ni, zbytek Fe 74,2 Fe, 25 Ni, 0,8 C 63,8 Fe, 36 Ni, 0,2 C 3—4 C, zbytek Fe 3— 4 C, 1— 2,5 Si, zbytek Fe 93,7 AI, 4,3 Cu, 1,4 Mg, 0,6 M n 55 Cu, 30 Mn, 15 AI
Q k g . m -3
ft °C
8 200 9 400 7 600 8 800 8 600 8 700 8 500 8 100 — 8 600 8 800 8 170 21 610 19 800 10 600 7 800 7 500 — 8 300 7 700
240 275 1 050 900 745 870 1 185 940 1 280 1350 1 850
8 100 8 000 7 600 7 000 2 750 — 2 870
1 500 1 495 1 150 — 1 400 1 150 650
66 1 350 1 380
141
27
R ozpustnost pevných látek ve vodě
mt - hmotnost bezvodé látky, která se rozpustí ve 100 g vody; w - hmotnostní zlomek rozpuštěné (bezvodé) látky v nasyceném roztoku; o - hustota nasyceného roztoku; t - teplota. Vzorec udává složení pevné fáze, která je v rovnováze s nasyceným roztokem. Pokud je počet molekul krystalové vody jiný než v uvedeném vzorci, je vytištěn v závorce u příslušné hodnoty mT. t
0
Vlastnosti látek
142
100 m, g
Látka AgNOa AlCla . 6 H 20 BaCC>3 BaCla . 2 H aO Ba(OH)2 . 8 HaO B a(N 03)a BaS04 CaCla . 6 H aO CaCla . 2 HaO CaO . HaO C aS04 . 2 HaO C d (N 0 3)a .4 HaO CdCla . 2,5 HaO C d S 0 4 . 8/3 HaO CuCla . 2 HaO Cu(NOa)a - 6 HaO C uS 04 . 5 HaO FeCl3 . 6 HaO F eS 04 . 7 HaO KBr KC1 KClOa KI kno3 K 2CraO? KaCOs . 3/2 HaO k 2s o 4 L iC l. HaO LiaCOs L iaS04 . HaO MgCla . 6 HaO M gS 04 . 7 HaO MnCla . 4 HaO M nS 04 . 5 HaO N aB r.2 HaO NaCl NaNOa NaClOa NaaBiO? . 10 HaO Na2C 0 3 . 10 HaO NaaCraO? . 2 HaO NaOH N aaS04 . 10 HaO NHiCl NH 4HCO 3 NH4NOa (NHl)a S 0 4 N i S0 4 . 7 HaO PbCla P b (N 0 3> SnCI2 SrCl2 . 6 HaO ZnCla Z nS 04 .7 HaO
20
115 44,9 — 30,7 1,50 4,95 — 60,3 — 0,130 0,176 — 90,1 75,75 70,65 81,8 14,8 74,5 15,65 54,0 28,15 3,3 127,8 13,25 4,68 105,5 7,33 69,2 (2) 36,2 52,8 30 (10 °C) 63,6 52,9 (7) 79,5 35,6 (2) 70,7 80,5 1,0 6,86 163,2 43,2 (4) 4,6 29,7 11,9 118,5 70,4 27,9 0,672 8 36,4 83,9 44,1 208 (3) 41,6
219,2 45,6 0,0022 (18 °C) 35,7 3,48 9,06 2,4 . 10-4 74,53 — 0,123 0,203 6 (18 °C) 153 111,4 76,69 77,0 125,2 20,77 91,94 26,58 65,85 34,24 7,3 144,51 31,66 12,49 111,5 11,11 82,82 1,33 34,8 54,57 35,6 73,62 62,88 90,49 35,88 88,27 98,82 2,5 21,66 180,16 109,2 (2) 19,0 37,56 21,22 187,7 75,44 37,8 0,99 52,22 299,8 (15 °C) 53,85 368 (2,5) 53,8
1024 — 0,006 5 58,7 159 (3) (109 °C) 34,2 3,9 . 10-» 159 (2) 159,0 0,052 0,161 9 — 147(1) 84,6 (80 °C) 107,9 247 (3) 73,6 — 31,6 (1) 104,9 56,20 56,20 208 245,2 103 156 24,10 127,5 — 31,0 72,7 48,0 (1) 115 (2) 35,5 (1) 121,2 (0) 39,2 176 204 52,5 44,5 440 (0) (80 °C) 341 42,3 (0) 77,3 355 871 102 77,9 (1) 3,31 127,3 — — 614 60,5 (1)
20
20
w
í? kg . m -3
68,7 31,3 2,2 . 10-3 (18 °C) 26,3 3,36 8,31 2,4 . 10-< 42,7 — 0,123 0,203 60,5 52,7 43,4 43,5 55*6 17,2 47,9 21,0 39,7 25,5 6,8 59,1 24,0 11,1 52,7 10,0 45,3 1,31 25,8 35,3 26,3 42,4 38,6 47,5 26,4 46,9 49,7 2,4 17,8 64,3 52,2 16,1 27,3 17,5 65,2 43,0 27,4 0,98 34,3 75 (15 °C) 35,0 — 35,0
2 180 — — 1 280 1 040 1 069 — 1 430 — 1 001 1 001 — — 1 616 1 550 — 1 196 1 520 1 225 1 370 1 174 1 042 1 710 1 160 1077 1 580 1 081 1 290 — 1 230 1 331 1 310 1 499 1 487 — 1 201 1380 — — 1 194 — — 1 150 1 075 1 070 1 308 1247 — 1 007 1 400 2 070 1390 — 1470
28 Měrné spalné teplo a výhřevnost paliv Měrné spalné teplo i výhřevnost jsou určeny podílem tepla, které se uvolní při dokonalém spálení paliva, ochladí-li se spaliny na původní teplotu paliva, a hmotnosti paliva. U měrného spalného tepla se počítá, že voda vzniklá reakcí i původně obsažená v palivu je v kapalném stavu; u výhřevnosti se počítá, že voda zůstane v plynném stavu. Palivo Acetylen Antracit Benzin (střední frakce) Benzen Butan Dřevo (suché) průměrně Ethanol Koks Methan Petrolej Propan Svítiplyn Uhli hnědé Uhlí černé Vodík
Měrné spalné teplo k j . kg-i
Výhřevnost k j . kg“‘
50 120 31 400—34 300 46 000 41 980 49 610 18 000 29 700 31 000 55 560 46 000 50 360 39 800 18 500—29 300 29 300—33 500 143 000
18 800—32 700 42 700 40 200 43 500 16 000 26 800 30 690 49 610 44 400 50 000 18 800 10 500—17 200 20 900—31 400 95 500
—
Vlastnosti látek
143
I erm ochem icke uaaje
IV
A /ř? - standardní molámí slučovací entalpie; AG°, - standardní molámí slučovad Gibbsova funkce; S° - standardní molární entropie; Cp - molární tepelná kapacita při konstantním tlaku. Údaje všech uve dených veličin platí pro teplotu 25 °C a dak 101 325 Pa; (aq) označuje hypotetický ideální roztok o jednot kové molalitě (rozpuštěná látka se chová jako v nekonečně zředěném roztoku).
Anorganické látky
Látka
Vlastnosti látek
AgBr (j ) AgCl (s) AgNOa (s) AlCls (*) AUOa (a korund) BaCh (s) BaCla. 2 HaO (s) BaSOi (s) Br, (1) Br, (g) Br (g) HBr (g) C (grafit) C (diamant) C (g) CO (g) COa (g) CO , (aq) C O ," (aq) CaCOs (kalcit) CaCla (s) CaCla (aq) CaO ($) Ca(OH)a (s) Ca(OH)j (aq) C aS04 (s) CaS04 . 2 HaO (s) Caa(P04)a (s) C li (g) c i (g) HCl (g) H Q (aq) CuSO« (s) CuSO« (aq) CuSO« . 5 HaO (s) Fs (g)
F (g)
H F (g) H P (aq) FeCOs (siderit) FeCla (*) FeCla (s) FeaOj (hematit) FeaO« (magnetit) Ha (g) H (g) HaO (g) HaO (1) la (g) I (g) I* (*) HI (g) H I (aq)
144
kj . mol-1
AG? kj . mol-1
— 100,4 — 127,07 — 124,4 —705,2 — 1675 — 858,1 — 1460,1 — 1 473,2 0 30,91 111,88 — 36,4 0 1,897 717 — 110,5 —393,5 —413,8 —677,1 — 1 206,9 —795,8 —877,13 —653,13 —986,17 — 1 002,8 —1 434,1 —2 022,6 —4 120,8 0 121,3 —92,30 — 167,16 —771,4 —844,5 — 2 279,7 0 78,99 — 271,1 — 332,6 —740,57 —341,8 —399,4 —824,2 — 1 118 0 217,97 —241,82 —285,83 62,438 106,84 0 26,5 —55,19
—96,5 — 109,80 —33,5 —630,1 — 1 582 —810,4 — 1 296,5 — 1 362,3 0 3,14 82,429 —53,51 0 2,900 671 — 137,2 —394,4 —386,0 —527,9 — 1 128,8 —748,1 —816,05 —603,54 —898,51 —868,14 — 1 321,9 — 1 797,4 —3 884,8 0 105,3 —95,31 — 131,3 — 661,9 —679,1 — 1 880,056 0 61,92 —273,2 —276,5 —666,72 —302,3 —334,1 —742,2 — 1 015 0 203,26 —228,59 — 237,18 19,36 70,28 0 1,7 —51,59
AH°(
5°
Cp
J . mol-1. K-*
J . mol'1. K-1
107,1 96,2 140,2 109,3 50,92 123,7 203 132 152,23 245,4 174,91 198,6 5,694 2,38 158 197,9 213,7 118 —56,9 92,9 105 59,8 38,2 83,39 74,5 107 194,1 236 223,0 165,1 186,8 56,5 109 79,5 300 202,7 158,7 173,7 - 9 ,6 92,9 117,9 142,3 87,40 146 130,59 114,60 188,72 69,91 260,6 180,68 116,14 206,5 237
52,38 50,79 93,1 91,13 79,04 75,1 162,0 101,8 75,689 36,0 20,79 29,1 8,644 6,116 21 29,2 37,1 — — 81,88 72,84 — 42,13 87,49 — 99,66 186,0 227,8 33,95 21,8 29,12 — 136 100
— 280 31,3 22,74 29,1
— 82,13 76,65 96,65 103,8 147 28,84 20,79 33,58 75,291 36,9 20,79 54,44 29,2 142
I
Látka KBr (s) KC1 (s) KClOa (s) KMnOí (s) KNOs (s) K 2SO4 (s) KOH (s) MgCla (s) MnCla (s) MnOa (s) Na (g) N (g) N H3 (g) NH 4CI (s) (NH4)aS04 (s) HNOs (X) HNO 3 (aq) NO (g) NOa (g) N 2O4 (g) Na (s) Na (g) NaaCÓs (s) NaaCOs . 10 HaO (s) NaHCOa (s) NaCl (s) NaNOs (s) NaaS04 (s) Oa (g) 0 (g) O3 (g) P (bílý) P (červený) Pí (g) PCI3 (l) PCls (g) P4O9 (s) P4OX0 (s, šestereč.) PbCl2 (s) PbO (s, červ.) PbOz (s) Pba04 (s) PbS04 (8) S (s, kosočtvereč.) S (s, jednoklon.) Ss (g) H 2 SO4 (1) H 2 SO4 (aq) SOa (g) SOs (g) Si (s) SiCU (1) SÍH4 (g) S 1O2 (křemen) Sn (s, bílý) Sn (s, šedý) Sn (g) SnCU (1) SnOz (s) Zn (s) Zn (g) ZnCla (s) ZnC03 (s) ZnO (s) Z nS04 (s)
5® J . mol“1 . K '1
P
AHf kj . mol-1
AG\\ kj . mol-1
—392,2 —435,9 —391,2 —813,4 —492,71 — 1 433,7 —425,8 —641,6 —481,29 —520,03 0 472,704 —46,11 —314,4 — 1 180,9 — 173,2 —207,4 90,25 33,2 9,16 0 107,7 — 1 131 —4 082 —947,7 —411,0 —466,68 — 1 384,5 0 249,17 143 17,4 0 128,9 —320 —342 — 1 640 —2 940 —359,4 —219,0 —277,4 — 718,8 —919,94 0 0,3 101,2 —813,99 —909,27 —296,83 —395,7 0 —687,0 31 —910,94 0 - 2 ,1 302 — 511,3 —580,7 0 130,72 —415,1 —812,7 —348,3 — 982,8
—379,2 —408,3 —289,9 —713,8 —393,1 — 1 316,4 —379 —592,1 —440,53 —465,18 0 455,579 — 16,5 —203,0 —901,90 —79,91 — 111,3 86,57 51,30 97,82 0 77,32 — 1 048
96,44 82,68 143,0 171,7 132,9 176 78,87 89,62 118,2 53,05 191,5 153,19 192,3 94,6 220,0 155,6 146 210,65 240,0 304,2 51,46 153,6 136
52,3 51,3 — — 96,27 131,2 64,89 71,38 72,93 54,14 29,12 20,79 35,1 84,1 187,5 — 86,6 29,84 37,2 77,28 28,2 20,8 111,0
—851,9 —384,0 -3 6 5 ,9 — 1 266,8 0 231,75 163 12,0 0 72,4 —272 —278
102 72,38 116,3 149,5 205,03 160,95 238,8 41,1 22,8 128,9 217 364,5
87,78 50,50 93,05 133,0 29,35 21,91 39,2 23,84 21,2 67,1 — 112,8
—2 675 - 3 ,1 4 — 189,2 —215 — 601,6 —813,20 0 0,1 49,16 —690,06 —744,62 . — 300,19 —371,9 0 —619,90 56,9 —856,67 0 0,1 267,3 —440,1 —519,7 0 95,178 —369,43 —731,57 —318,3 —874,4
228,9 135,6 66,5 71,80 212,1 148,6 31,9 33 430,20 156,9 20 248,1 256,6 18,8 240 204,5 41,84 51,55 44,14 168,38 259 52,3 41,6 160,87 108 82,4 43,64 128
211,7 77,07 45,77 61,17 154,9 103,2 22,59 24 156,1 138,9 290 39,9 50,67 20,0 145,3 42,84 44,43 27,0 25,0 21,26 165 52,59 25,4 20,79 67,53 79,71 40,3 114,3
0
J . m ol'1 . K"1
Vlastnosti látek
145
O rg an ick é látky, A /í" - standardní molární spalná entalpie
Látka
AH°f k j . mol"1
AG? k j . mol-1
S° J . mol-1 .K "1
— 166,3 —215,6 —247,6 31,6 19,0 110,2 — 126,1 - 0 ,1 —6,99 — 11,2 — 123,1 — 156,2 —273,2 — 165,2 — 124 —84,68 —454,8 — 234,4 —277,0 52,3 226,7 —479,0 —165,0 —224,4 — 198,8 10,8 —81,96 —74,85 —201,1 —239,0 — 134,5 —359,2 —424,7 15,9 —484,1 —891,6 — 146,4 — 173,1 —20,9 —28,1 —31,8 — 103,8 20,4 —510,7 —589,5 103,9 —827,2 — 133 — 132 12,0 —24,4
— 133,3 — 153,1 — 155,7 149,1 124,3 151,0 — 17,2 71,3 65,86 62,97 31,8 26,7 — 116,6 —79,62 —70,42 —32,8 —323,2 — 167,9 — 174,2 68,24 209,2 —332,7 —50,42 1,8 3,8 89,2 —58,45 —50,83 — 162,4 — 166,8 —20,9 — 184,7 —361,4 146,2 —390 — - 8 ,4
264,2 294,9 200 191,3 173,3 278,7 310,1 305,6 300,8 296,5 298,2 204,3 253 208,5 179 229,1 167 282,6 161,0 219,2 200,8 259,4 144,0 326,0 296,1 209,2 234,2 186,3 239,7 127,2 294,6 192,9 129,0 224,2 161 — 348,9
79,12 71,84 69,9 —23,6 62,8 383,5 — 418,1 202,4 —697,9 — 63 —72 113,8 110,1
345,8 346,3 340,4 270,2 266,6 — 178 237,6 120 216,2 203 221,0 247,4
AH°c k j .m ol 1
~'p J.m o l-i . K J f
Vlastnosti látek
Acetaldehyd (g) Aceton (g) Aceton (1) Anilin (1) Benzen (1) 1,3-Butadien (g) Butan (g) 1-Buten (g) c/j-2-Buten (g) trans-2-Buten (g) Cyklohexan (g) Cyklohexan (1) Diethylether (1) 1,2-Dichlorethan (1) Dichlormethan (1) Ethan (g) 1,2-Ethandiol (1) Ethanol (g) Ethanol (1) Ethen (g) Ethin (g) Ethylacetát (1) Fenol (s) Heptan (1) Hexan fl) Chlorbc.nzen (1) Chlorrr.ethan (g) Methan (g) Methanol (g) Methanol (1) 2-Methylpropan (g) 2-Methyl-2-propanol (1) Mravenčí kyselina (1) Nitrobenzen (1) Octová kyselina (1) Palmitová kyselina (s) Pentan Cg) Pentan (1) 1-Pen ten (g) cjs-2-Penten (g) íranj-2-Penten (g) Propan (g) Propen (g) Propanová kyselina (1) Salicylová kyselina (s) Styren (1) Šťavelová kyselina Tetrachlormethan (1) Trichlormethan (1) Toluen (1) />-Xylen
146
—
— 1 180 — — 1 790 —3 396 —3 268 —2 539 —2 874 —2 715 —2 708 —2 704 —3 853 —3 920 —2 727 — 1 112 —550 — 1 560 — 1 190 — — 1 367 — 1 411 — 1 299 —2 246 —3 060 —4 811 —4 164 -t- 3 110 —687 —890,3 —
— 739 —2 860 — 2 645 —255 —3 107 —875 — 9 979 —3 536 —3 510 —3 351 (1) —3 343 (1) —3 339 (1) —2 220 —2 052 — 1 527 —3 023 —4 390 —255 —258 —402 —3 911 —4 554
54,64 74,89 126,4 192,0 81,67 80,12 97,45 85,65 78,91 87,82 106,2 156 171 129 — 52,47 150 65,44 112 42,84 43,93 — 135 224,9 189,1 150 40,8 35,7 43,89 81,17 96,82 220,1 99,04 186 124 80,2 120 — 109,6 101,7 108,4 73,60 64,31 — — 182,6 —
— —
157,2
30 Délky, úhly a disociační entalpie vazeb v některých jednoduchých m olekulách d - délka vazby (rovnovážná vzdálenost atomových jader); a - vazebný úhel (úhel spojnic atomových jader); H o - molární disociační entalpie vazby při 25 °C (užívá se též označení vazebná energie); p - elektrický
dipólový moment molekuly, prům. - průměrná hodnota pro daný typ vazby. Vazby v radikálech jsou uve deny v závorkách.
Molekula
H2 Na Oa F2 Cla Bra Ia
Molekula
d pm
Hd kj . mol-1
74,6 109,7 120,8 141,7 198,8 229,0 262,2
435,78 945,33 498,34 158,3 242,93 193,86 152,53
Tvar
d pm
H t> kj . mol"1
P 10-*® C . m
HF HC1 HBr HI CO NO IC1
91,6 127,7 141,4 160,4 113 115 229
569,9 431,49 366,31 298,39 1 076,5 630,6 211
6,07 3,60 2,73 1,47 0,37 0,51
a
Vazba
0
oc=o
COa CSa NaO
lineární lineární lineární
—
HaO
lomený
105
H 2S
lomený
92
f 2o
CIO2
lomený lomený lomený
103 110 117
SO2
lomený
120
cuo
Molekula
—
SC=S O N=N N N =0 HO—H (O -H ) HS—H (S -H ) F—O—F prům. Q —O—Cl prům. OCl—O (Cl—O)
d pm 116,3 155,4 112,6 118,6 95,8 134 141 170 149
o s= o
143
(S = 0 ) 0N =0 0 0 —0 HC—CH HCC—H
119 128 120 106
Hv kj . mol-1
P 10-*® C . m
532 500 481 167 499 428 381 353 190 205 250 272 552 522 305
0 0 — 6,14 3,23 — 2,60 5,44 1,05 0 0
NO 2 O3 C 2H 2
lomený lomený lineární
134 118
bf3
rovinný
120
Bn-F prům.
129
594
BCI3
rovinný
120
B—Cl prům.
172
393
0
143
454
0
SO3
rovinný
—
120
VI
S = 0 prům.
962 523
0
Vlastnosti látek
Molekula
Tvar
a O
d pm
Hd k j . mol-1
P 10-3° C . m
H aC =0 O H C -H (OC—H) HaN—H (H N —H) (NT-H)
123 106 102
732 370 127 435 377 356
4,90
Vazba
rovinný
HCH HCO
125 117
NHa
jehlan
H NH
107
3
jehlan
HPH
93
P —-H prům.
142
330
1,93
PCU P4
jehlan tetraedr
C1PC1 PPP
100 60
P—Cl prům. P—P prům.
204 221
328 210
2,60 0
CCU CH 4
tetraedr tetraedr
C1CC1 HCH
109,5 109,5
C—Cl prům. CH 3—H
177 109
340 430 474 444 339
0 0
203 107 134 111 154 139 108 219 204 158
380 431 682 410 368 510 413 322
0 0
326
0
C H aO
ph
•
Vlastnosti látek
(C H a — H )
(C H -H ) (C -H ) s íq 4 CH 2CH 2 C H aC H
tetraedr rovinný
3
benzen
rovinný
PCU
trojboký dvojjehlan čtyřboký dvojjehlan
SF„
148
CISiCl HCH HCC HCH
109,5 116 122 109
CCC HCC C1PC1
120 120 120 90 90
FSF
SÍ--C1 prům. C H 2CH —H H 2C—CH 2 H 3CH 2C—H H 3C—CHs C—C prům. H —C prům. axiální ekvatoriální F jS —F „V L
S—F prům.
318
0 0 0
31
H ustota, dynam ická viskozita, tep eln á vodivost, objem ová roztažnost a povrchové napětí kapalin při 20 °C
£20 - hustota při 20 °C ; rj20 - dynamická viskozita při 20 °C ; A20 - součinitel tepelné vodivosti při 20 °C ; /?20 - součinitel teplotní objemové roztažnosti při 20 °C ; cr2o - povrchové napětí při 20 °C
Kapalina
Aceton Anilin Benzín Benzen Diethylether Ethanol Glycerol Glyceroltrinitrát Chloroform Kyselina dusičná Kyselina mravenčí Kyselina octová Kyselina sírová Methanol Olej ricinový Olej terpentýnový Olej transformátorový Petrolej Rtuť Sirouhlík T etrachlormethan Toluen Voda
Vzorec
CsHeO CoHjN C oH b C 4H 10O C2H«0 C 3H 803 C 3H 509 N 3 CH C b H N 03 C H 202 C 2H 402 H 2S 04 c h 4o — CioHia — — Hg CSz CCLi c 7h 8 H aO
£20 kg . m -3 790 1 022 700—750 877 714 789 1 261 1 593 1 483 1 527 1 220 1 049 1 840 791 960 855 866 760—860 13 546 1 263 1 594 867 998
,
»?20 10"3 Pa . s 0,33 4,43 0,53 0,65 0,24 1,20 1 480 — 0,58 0,91 1,78 — 25,4 0,58 987 1,49 31,6 — 1,55 0,31 0,97 0,59 1,00
W .m -i.K -1
(¡20 10-3 K -1
0,180 0,172 0,131 0,154 0,138 0,182 0,285 — 0,129 — 0,257 0,193 0,314 0,212 0,181 — 0,124 0,151 9,30 0,160 0,108 0,151 0,598
1,43 0,85 — 1,06 1,62 1,10 0,50 — 1,28 1,24 1,02 1,07 0,57 1,19 0,69 0,97 — 0,96 0,18 1,19 1,22 1,08 0,18
/.20
<720 IO- 3 N . m -1 23,3 40,5 — 29,1 16,4 22,0 62,5 — 26,5 — 37,8 28,0 — 22,7 36,4 27 — 27 491 33,8 25,9 28,4 73,0
Kapaliny
32 Z ávislost tlaku a hustoty sytých vodních p ar na tep lo tě t - teplota; p - tlak; g - hustota t
Kapaliny
t
P
e
t
P
10* Pa
g . m~3
X“
102 Pa
4,8 6,8 9,4
50 55 60
123,3 157,6 199,2
17,06 23,33 31,73
12,8 17,3 23,0
65 70 75
250,1 311,6 385,4
30 35 40
42,40 56,26 73,73
30,3 39,6 51,2
80 85 90
473,6 578,0 701,1
45 50
95,86 123,3
95 100
845,3 1 013,2
P
e
102 Pa
g . m~3
—50 —45 —40
0,039 0,069 0,124
0,038 0,067 0,117
0 5 10
6,106 8,666 12,27
—35 —30 —25
0,223 0,373 0,627
0,198 0,333 0,55
15 20 25
—20 — 15 — 10
1,027 1,653 2,600
0,88 1,38 2,14
—5 0
4,013 6,106
3,24 4,84
t
t
P
X
105 Pa
100 105 110
1,013 1,208 1,433
150 160 170
115 120 125
1,691 1,985 2,321
180 190 200
130 135 140
2,701 3,130 3,614
145 150
4,155 4,760
—
—
P
t
P
t
P
10» Pa
XT
105 Pa
XT
10« Pa
4,760 6,180 7,920
250 260 270
39,78 46,95 55,05
350 360 370
165,4 186,7 210,5
10,03 12,55 15,55
280 290 300
64,20 74,45 85,92
372 374 —
215,7 220,8 —
210 220 230
19,08 23,20 27,98
310 320 330
98,69 112,9 128,6
—
—
—
—
—
—
240 250
33,48 39,78
340 350
146,1 165,4
—
—
—
—
Teplota rosného bodu tT je teplota, při níž by byly vodní páry obsažené ve vzduchu právě syté. Zjistí se měřením. Relativní vlhkost
kde ftr - hustota syté páry při teplotě tr rosného bodu, Qt - hustota syté páry při teplotě t vzduchu.
150
Kapaliny
33 Závislost tep lo ty varu vody na tlaku p - tlak; fv - teplota varu
Závislost lze přibližně vyjádřit rovnicí číselných hodnot:
Í - 7 ‘,6 + 28.— V rozmezí (0,9— 1,075) . 105 Pa jsou odchylky od správné hodnoty menší než 0,1 % .
96
0,90
0,92
0,94
34 T epelné konstanty kapalin
Kapaliny
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
10» Pa
Závislost teploty varu vody na tlaku.
tt - teplota tání; lt - měrné skupenské teplo tání; řv - teplota varu; /v - měrné skupenské teplo varu; ík - kritická teplota; />k - kritický tlak; - hustota v kritickém stavu; c^o - měrná tepelná kapacita při 20 °C. Údaje kromě kritických jsou udány při tlaku 10® Pa.
Tání Látka
Aceton Anilin Benzín Benzen Diethylether Ethanol Glycerol Glyceroltri nitrát Chloroform Kyselina dusičná Kyselina mravenčí Kyselina octová Kyselina sírová Methanol Olej ricínový Olej terpentýnový Olej transfor mátorový Petrolej Rtuť Sirouhlík Tetrachlormethan Toluen Voda
152
Var
Kritický stav
V O ca O
Vzorec
CaHeO C«H7N — CgH» C 4 H 10 O CaH sO CsHgOa CsHisOsNa CHCla HNOa
h
ít °C
k j . kg"1
—95,4 —6,0 — 5,5 — 116,3 — 117,3 18,6 13,2 —63,5 —41,6
96 113 — 127 100,5 105 200 96 80 40
Iv
tk
P*
k j . kg-1
°C
105 Pa
56,2 184,4 — 80,1 34,6 78,4 290 — 61,2 83
523 448 — 396 360 879 — — 247 481
236 425,7 — 288,6 194 243 — — 260 —
58,8 51,4
řv _5č
e* kg . m -3
tt 8 >— 1
47,1 35,6 61,8 — — 53,8 —
252 — — 305 265 280 — — 496 —
2,16 2,06 2,09 1,74 2,33 2,47 2,43
—
—
—
2,18
56,0 — — — —
351 — — — —
2,03 1,38 2,47 1,93 1,80
0,97 1,72
CHjO*
8,4
276
100,7
494
CaH 4Oa H aS 0 4 CH 4 O — CioHu
16,6 10,4 93,9
194 109 100
117,9
—
—
406 — 1 101
— 10
—
160
293
321,6 — — — 376
—
—
—
—
—
—
—
—
1,89
—
— —38,8 — 110,1 —22,8
— 11,7 74 15,7
— 356,6 46,3 76,8
—
Hg CSa CCU
301 373 193
— —
— —
— —
277 283
73,6 44,1
441 558
2,14 0,14 1,02 0.85
C7Hg H aO
— 95 0,0
72 332,4
110,6 99,6
356 2257
40,8 221,3
315
—
—
64,7
—
320,6 374,15
—
1,68 4,18
35
Molární hm otnosti, norm ální hustoty a m ěrné plynové konstanty plynů
M m - molární hmotnost; gn - hustota při teplotě 0 °C a tlaku 105 Pa; r - měrná plynová konstanta, r = RmIM m (R m - 8,314 4 J . m o l'* . K~i)
Látka
Acetylen Amoniak Argon Bromovodík Butan Difluordichlormethan Dimethylether Dusík Ethan Ethen Fluor Fosfan (fosforovodík) Helium Chlor Chlorovodík Jodovodík Krypton Kyslík Methan Methylamin Methylfluorid Methylchlorid Neon Oxid dusnatý Oxid dusný Oxid siřičitý Oxid uhelnatý Oxid uhličitý Ozon Propan Propen Sulfan (sirovodík) Vodík Vzduch Xenon
Vzorec
CaHa 3 Ar HBr C4 H 10 CF 2CI3 C2HeO N2 C 2H« C2H4 f2 PHs He CI2 HC1 HI Kr O2 ch4 c h 5n c h 3f c h 3q Ne . NO N 2O SOa CO nh
co 2 o3
CsHg CsHo HaS Ha —
Xe
Mm g . mol-1 26,04 17,03 39,95 80,92 58,12 120,91 46,07 28,01 30,07 28,05 38,00 34,00 4,00 70,91 36,46 127,91 83,80 32,00 16,04 31,06 34,03 50,49 20,18 30,01 44,01 64,06 28,01 44,01 48,00 44,10 42,08 34,08 2,02 28,96 131,30
gn
r
kg . m-3
kj . kg~> . K -1
1,147 0,750 1,759 3,563 2,559 5,324 2,028 1,234 1,24 1,235 1,673 1,479 0,176 2 3,12 1,605 5,632 3,690 1,409 0,707 1,37 1,499 2,277 0,888 1,323 1,938 2,820 1,234 1,951 2,114 1,942 1,853 1,501 0,008 895 1,275 9 5,78
0,319 3 0,488 2 0,208 2 0,102 7 0,143 2 0,068 8 0,180 4 0,296 7 0,276 5 0,296 4 0,218 7 0,244 5 2,078 6 0,117 3 0,228 0 0,065 0 0,099 2 0,259 8 0,518 4 0,267 7 0,244 3 0,164 8 0,412 0 0,277 1 0,188 9 0,129 8 0,296 9 0,188 8 0,173 4 0,188 8 0,197 6 0,244 7 4,116 0 0,287 0 0,063 3
Plyny
153
36 Tepelné konstanty plynů h - teplota tání při 105 Pa; řv - teplota varu při tlaku 105 Pa; fk - kritická teplota; p k - kritický tlak; ok - hustota v kritickém stavu; cp - mérná tepelná kapacita při stálém tlaku při teplotě 15 °C; cPlcv - Poissonova konstanta; »/o - dynamická viskozita při 0 °C; ¿o - tepelná vodivost při 0 °C
Látka
Acetylen Amoniak Argon Dusík Ethan Ethen Chlor Chlorovodík Kyslík Methan Oxid dusnatý Oxid dusný Oxid siřičitý Oxid uhelnatý Oxid uhličitý Sulfan (sirovodík) Vodík Vzduch (bez CO 2)
Vzorec
C2H 2 NH3 Ar Nj C2He C 2H 4 Cis HC1 O2 CH 4 NO N 2O SO 2 CO C0a H2S h2
tt
°c —81 —77,7 — 189,2 —209,86 — 183,3 — 169 — 101 — 112 —218,4 — 182 — 163,6 — 90,8 —72,7 —199 —56,6 —85,5 —259,14
--
ty "X —83,8*) —33,35 — 185,7 — 195,8 —88,6 — 103,9 —34,6 — 85,1 — 182,96 — 154 —151,8 —88,5 —10,0 —191 —78,5 —60,7 —252,9 — 193
ík °C 36,3 132,35 -1 2 2 ,4 4 — 146,9 32,27 9,9 144 51,4 — 118,38 —82,1 —92,9 36,5 157,5 —140,2 31,04 100,4 —239,92 — 140,7
pk 10» p a
ßk kg.m "3
62,42 112,77 48,64 33,98 48,84 51,17 77,11 88,58 50,80 46,41 65,46 72,60 78,82 34,96 73,81 90,08 12,97 38,50
231 235 530,8 311 203 227 573 423 410 162 520 459 524 301 468 348,8 31,02
Cp kJ.k g -1.K _1
cv cv
no 10~®Pa.s
1,604 2,190 0,525 1,037 1,616 1,504 0,481 0,812 0,912 2,212 0,975 0,893 0,635 1,038 0,833 1,060 14,189 1,005
1,26 1,310 1,668 1,404 1,22 1,225 1,355 1,41 1,401 1,31 M 1,303 1,29 1,404 1,304 1,32 1,41 1,40
9,35 9,18 20,96 17,07 8,48 9,07 12,97 13,85 18,9 10,26 17,8 13,5 11,58 16,6 13,9 11,66 8,35 17,1
*) Sublimuje.
I
¿0
lO -sW .m -í.K -1
— 21,8 16,24 23,78 18,0 16,54 7,2 — 23,86 30,14 19,26 14,78
—
22,69 13,90 12,0 174,2 24,28
37 Rozpustnost plynů ve vodě za norm álního tlaku mr - hmotnost látky, která se rozpustí ve 100 g vody při tlaku 1,013 . 105 Pa; t - teplota t ^C
20
0
m,
Plyn Acetylen Amoniak Dusík Ethan Ethen Helium Chlor Chlorovodík Kyslík Methan Oxid dusnatý Oxid uhelnatý Oxid uhličitý Oxid siřičitý Sulfan (sirovodík) Vodík
50
0,117 52,9 0,001 90 0,006 20 0,014 9 0,000 174 0,729 72,1 0,004 34 0,002 32 0,006 17 0,002 84 0,169 11,28 0,385 0,000 160
0,200 89,5 0,002 94 0,013 2 0,028 1 — 1,46 84,5 0,006 95 0,003 95 0,009 83 0,004 40 0,335 22,83 0,707 0,000 192
CaHa NHs Na CaH« CaH4 He Cla HC1 Oa CH4 NO CO COa SOa HaS Ha
_ 23,5 0,001 22 0,002 94 0,001 18 (30 °C) 0,000 169 0,393 59,6 0,002 66 0,001 36 0,003 76 0,001 8 0,076 1 5,41 (40 °C) 0,188 0,000 129
38 S třed n í volná dráha m olekul a jiné konstanty plynů r] - dynamická viskozita; d - průměr molekuly; A - střední volná dráha molekul; z - počet srážek za jed notku času při 0 °C a 1,1013 . 105 Pa
Plyn
Argon Dusík Ethen Helium Kyslík Methan Oxid dusný Oxid uhelnatý Oxid uhličitý Vodík
Ar N* CaH4 He Oa ch4 NaO CO COa Ha
V 10-« P a . s
d nra
A nm
z 109 s-1
20,96 17,07 9,07 18,73 18,9 10,26 13,5 16,6 13,9 8,35
0,368 0,378 0,502 0,218 0,364 0,418 0,470 0,378 0,466 0,274
6,2 5,9 3,3 17,5 6,3 4,8 3,8 5,9 3,9 11,1
6,1 7,8 13,7 6,9 6,7 12,6 9,5 7,8 9,4 15,3
155
Plyny
39
Střední kvadratická rychlost pohybu molekul plynů
í-te p lo ta ; T - termodynamická teplota; R„, - molární plynová konstanta; Rm = 8,314 4 ] . m o l'1 K ! ; M m - molární hmotnost (kg . mol l); - střední kvadratická (efektivní) rychlost pohybu molekul plynu; v - průměrná rychlost pohybu molekul plynu; w - nejpravděpodobnější rychlost pohybu molekul plynu,
H/5 -V
3 RmT
v ■= w
t
— 100
“sc
y
i
«
8
3t í
0
Plyny
156
300
500
715 1 892 449 667 715 570 546 2 666 703 331
828 2 192 521 774 828 660 634 3 090 815 383
100
1 000
v*
Plyn Dusík Helium Chlor Kyslík Oxid uhelnatý Oxid uhličitý Ozon Vodík Vzduch Xenon
0 ,8 1 6 v k,
m . s~l N2 He Cl2 o2 CO C 02 o3 h2 —
Xe
394 1 041 248 369 394 314 302 1 471 388 182
493 1 305 310 461 493 393 377 1 839 485 228
577 1 527 363 539 577 460 441 2152 567 267
1 065 2 828 669 995 1 065 849 814 3 970 1047 492
40
Vzduch
a) Hustota suchého vzduchu Hustota suchého vzduchu q při tlaku p a teplotě t se určí z výrazu
g==
.eo...
jp _ .
l + yt po
oo = 1,276 kg . m -3; p0 = 105 Pa; y = 0,003 66 K "1 b) Složeni atmosférického vzduchu
Ní
o2
Ar
CO*
Hj
9
78,03
20,99
0,933
0,030
0,000 05
75,47
23,20
1,28
0,046
0,001
%
tu %~
He
Kr
X,
0,001 8
0,000 5
0,000 1
0,000 009
0,001 2
0,000 07
0,000 3
0,000 04
Ne
c) Tlak, teplota a hustota vzduchu v různých výškách h - nadmořská výška; p - tlak; t - teplota;
q - hustota vzduchu při tlaku
p a teplotě t
V levé části tabulky je uvedena závislost těchto veličin na nadmořské výšce s tím, že ve výšce 0 m n. m. je t = 15 °C, p = p o — 105 Pa. Pokles teploty s výškou se považuje až do výše 11 km za stálý (dtjdh = = —0,006 5 K . m -1). Pak platí ( T0 = 273,15 K ): , dř h \5'225 P ~ p0 \ + ďh - T0 + t) Pravá část tabulky slouží k informativnímu zjištění nadmořské výšky ze změřeného tlaku. Tabulka vy chází z předpokladu, že tlak u mořské hladiny je 1 000 hPa. Je-li tlak vzduchu u mořské hladiny v ob vyklých mezích, nebudou odchylky z tabulek odečtené výšky zpravidla větší než 2 % . Odpovídající přibližnou výšku najdeme lineární interpolací. h
P
t
m
hPa
*č
É? kg . m-3
0 100 200 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4000 4 500 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000 11 000
1 000 988,2 976,5 942,1 886,9 834,6 784,5 737,1 691,8 649,0 608,2 569,7 533,0 465,6 405,1 351,1 303,3 260,7 223,2
15,00 14,35 13,70 11,75 8,50 5,25 2,00 — 1,25 — 4,50 — 7,75 — 11,00 — 14,25 — 17,50 — 24,00 — 30,50 — 37,00 — 43,50 — 50,00 — 56,50
1,210 1,198 1,184 1,153 1,098 1,045 0,994 0,945 0,898 0,852 0,809 0,770 0,727 0,651 0,582 0,518 0,460 0,407 0,359
P
h
hPa
m
1 000 950 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200
0 431 880 1 349 1 842 2 359 2 907 3 487 4 104 4 764 5 475 6 247 7 090 8 024 9 073 10 274 11 686 -
157
Plyny
d) Redukce tlaku vzduchu na mořskou hladinu h - nadmořská výška; t - teplota; p - měřený tlak; po - tlak ve výšce 0 m n. m.; T - termodynamická teplota; r - měrná plynová konstanta vzduchu ( r =
g
- tíhové zrychlení;
) , r = 287 J . kg- 1 . K '1
\
Tlak vzduchu po ve výšce 0 m n. m. při dané teplotě určíme z výrazu gh po — p{ 1 + £)>
Plyny
kde
k = e rT — 1.
Příklad: Ve výšce 420 m při teplotě 20 °C je tlak 950 hPa. Příslušný tlak při mořské hladině při téže teplotě je po = 950 (1 + 0,050 2) hPa = 998 hPa. t X"
— 30
— 20
— 10
0
20
30
40
h W
h m
158
10
20 40 60
2,8 5,6 8,5
2,7 5,4 8,1
2,6 5,2 7,9
2,5 5,0 7,6
2,4 4,8 7,3
2,3 4,7 7,0
2,3 4,5 6,8
2,2 4,4 6,6
80 100 120
11,3 14,1 17,0
10,9 13,6 16,4
10,5 13,1 15,8
10,1 12,6 15,2
9,7 12,1 14,6
9,4 11,7 14,1
9,0 11,3 13,6
8,7 10,9 13,1
140 160 180
19,9 22,8 25,7
19,1 21,9 24,7
18,4 21,1 23,7
17,7 20,3 22,8
17,0 19,5 21,9
16,5 18,8 21,2
15,9 18,1 20,4
15,4 17,6 19,9
200 220 240
28,6 31,5 34,4
27,4 30,2 33,0
26,4 29,1 31,7
25,4 28,0 30,6
24,4 26,9 29,4
23,6 26,0 28,4
22,7 25,0 27,3
22,1 24,4 26,6
260 280 300
37,3 40,2 43,1
35,7 38,5 41,3
34,4 37,1 39,7
33,1 35,7 38,3
31,9 34,4 36,9
30,8 33,2 35,6
29,6 32,0 34,4
28,9 31,1 33,4
320 340 360
46,0 49,0 51,9
44,1 47,0 49,8
42,4 45,1 47,9
40,9 43,5 46,1
39,4 41,9 44,4
38,0 40,4 41,8
36,7 39,1 41,4
35,7 37,9 40,2
380 400 420
54,8 57,8 60,8
52,6 55,5 58,4
50,6 53,3 56,0
48,7 51,3 53,9
47,0 49,5 52,0
45,3 47,7 50,2
43,7 46,1 48,5
42,4 44,7 47,0
440 460 480
63,8 66,8 69,8
61,2 64,1 67,0
58,8 61,5 64,3
56,6 59,2 61,8
54,6 57,1 59,6
52,6 55,1 57,5
50,8 53,2 55,5
49,3 51,5 53,8
500
72,8
69,8
67,1
64,5
62,2
60,0
57,9
56,1
41
Rychlost šíření zvuku v různých látkách
v - rychlost šíření zvuku. Není-li uvedena teplota, jde o rychlost při běžných teplotách (okolo 20 °C).
Látka
Oxid uhličitý Kyslík Vzduch 0 °C Dusík Vzduch 20 °C Vodní pára Svítiplyn Helium Vodík Diethylether Benzín Methanol Rtuť Voda 4 °C Voda 13 °C Voda 25 °C
v m . s-1 260 317 331 336 343 405 453 971 1 270 1 020 1 170 1 240 1 400 1 400 1 410 1 500
Látka
Mořská voda Kaučuk Korek Olovo Ebonit Beton Stříbro Platina Led Mosaz Dřevo bukové, dubové Méd Cihly Ocel Hliník Sklo
v m . s-1 1 500 40 5u0 1 300 1 570 1 700 2 700 2 800 3 200 3 400 3 400 3 500 3 600 5 000 5 100 5 200
Závislost rychlosti šíření zvuku ve vzduchu na teplotě
Zvuk
159
42
Přehled hladin akustického tlaku
L - hladina akustického tlaku; p - akustický tlak; po - prahový akustický tlak, po = 2 . 10~5 P a; L = 20 log —
Po
L
Druh zvuku
dB
práh slyšení šumění listů při slabém větru klidná zahrada šepot, velmi tichý byt a velmi tichá ulice relativní dcho v obsazeném hledišti kina (divadla) malý šum v bytě obvyklá mluva, živá ulice hluk v kancelářích a obchodech reprodukovaná hudba v uzavřené místností hluk v autech, tramvajích a železničních vozech strojovna, hlučný hostinec, živější ulice, potlesk v sále velmi silná reprodukovaná hudba, velmi živé ulice, podzemní dráha velký orchestr hluk v kabině letadla nýtování, nejsilnější signál auta ve vzdálenosti 7 m, motocykl bez tlumiče kovárna kotlů (pneumatická kladiva) hluk letadla ve vzdálenosti asi 20 metrů práh bolesti
0 10 20 30 30— 35 40 40— 60 40— 70 40— 80 50— 80 70 80 20—80 80— 100 100 110 120 130
Zvuk
43
Tem perované ladění
/ - kmitočet; a1 ^ 440,00 Hz Oktáva
Ca
Ci
C
c
g gis, as a ais, b h
160
ca
c3
c4
1 046,50 1 108,73 1 174,66 1 244,51 1 318,51 1 396,91 1 479,98 1 567,98 1 661,22 1 760,00 1 864,65 1 975,53
2 093,00 2 217,46 2 349,31 2 489,01 2 637,02 2 793,82 2 959,95 3 135,95 3 322,43 3 520,00 3 729,30 3 951,06
/ Hz
Tón c cis, des d dis, es e f fis, ges
c1
16,35 17,32 18,35 19,45 20,60 21,83 23,13 24,50 25,96 27,50 29,14 30,87
32,70 34,64 36,71 38,89 41,20 43,65 46,25 49,00 51,92 55,00 58,27 61,74
65,41 69,29 73,42 77,78 82,40 87,31 92,50 98,00 103,83 110,00 116,54 123,47
130,81 138,59 146,84 155,56 164,81 174,61 185,00 196,00 207,65 220,00 233,08 246,94
261,62 277,18 293,67 311,13 329,63 349,23 369,99 392,00 415,30 440,00 466,16 493,88
523,25 554,37 587,33 622,25 659,25 698,46 739,98 783,99 830,61 880,00 932,33 987,77
44
Součinitelé smykového třen í
fo - součinitel smykového třem, začíná-li pohyb z klidu; / - součinitel smykového tření v pohybu Látka
/o
Ocel na oceli, suchá Ocel na bronzi, suchá Ocel na bronzi, dobře mazáno Ocel na dřevě (průměrně) Dřevo na dřevě (průměrně) Kůže na kovu Kožený řemen na litině Kožený řemen na dřevě Ocel na ledě Dřevo na ledě nebo sněhu Pryž (pneumatika) na náledí Pryž na mokrém asfaltu Pryž na suchém asfaltu Pryž na dlažbě (velké kostky) Pryž na dlažbě (malé kostky) Pryž na betonu
45
/ 0,10 0,16 0,01 0,35 0,30 0,25 0,28 0,27 0,027 0,035 — — — — — —
0,15 0,18 0,1 0,55 0,65 0,60 0,56 0,47 — — 0,1— 0,2 0,2— 0,5 0,55 0,6 0,6—0,7 0,7— 0,8
Ram ena valivého odporu
Ft - síla působící proti pohybu; r - poloměr kola; F n - tlaková síla kola na podložku; £ - rameno valivého odporu rF t = f F n Látka
Tvrdé dřevo na tvrdém dřevu Měkká ocel na měkké oceli Tvrdá ocel na tvrdé oceli Kalené kuličky na kalených kroužcích Pryžová kola na kamenné dlažbě Pryžová kola na válcované silnici Pryžová kola na asfaltu Ocelová kola na kolejnicích Kolo s ocelovými obručemi na asfaltové vozovce Kolo na dlážděné vozovce Kolo na štěrkové vozovce
í
Tření
mm 0,8 0,5 0,03 0,01 2,5 2 1,6 0,5 5 10 15— 60
161
46
Měrný elektrický odpor vodičů
qo - měrný elektrický odpor vodičů při 0 °C; a - teplotní součinitel elektrického odporu
Měrný elektrický odpor v ¡xQ . m = Q.. mm2 . m_1 má stejnou číselnou hodnotu jako odpor drátu délky 1 m a průřezu 1 mm2. U kovů, jejichž a ^ 0,004 K “1 se zvětšuje odpor o 10 % při zvětšení teploty o 25 °C.
Látka
Bronz Cekas (15 % Fe, 65 % Ni, 20 % Cr) Qn Hliník Hořčík Chróranikl (20 % Cr, 80 % Ni) Iridium Kadmium Kanthal (72 % Fe, 5 % AI, 20 % Cr, 3 % Co) Kobalt Konstantan Manganin (86 % Cu, 12 % Mn, 2 % Ni) Měď Molybden Mosaz Nikclin (54 % Cu, 26 % Ni, 20 % Zn) Nikl Olovo Platina Platinrhodium (10 % Rh) Rtuť Stříbro Tantal Uhlíkové vlákno Wolfram Zinek Ocel měkká Litina Transformátorový plech (4 % Si)
Elektřina a magne tismus
162
eo
a
ixíl . m
1 0 -3 K - i
0,17 1,13 0,17 0,027 0,044 1,1 0,053 0,073 1,4 0,06 0,50 0,42 0,018 0,05 0,08 0,38— 0,42 0,07 0,21 0,105 0,2 0,958 0,016 0,14 60 0,053 0,06 0,1 — 0,2 0,6— 1,5 0,5
2 0,4 4,7 4,0 4,0 0,18 4,1 4,0 0,06 6,0 0,05 0,02 4,0 4,7 1,5 0,18 5,8 3,9 3,6 1,7 0,9 3,8 3,2 — 0 ,2 ------ 0,8 4,4 3,8 5 1,9 0,9
47
Elektrické vlastnosti izolantů
er - poměrná permitívita; q-m ěrný elektrický odpor; E p-elektrická pevnost (1 kV . mm*1 = 10® V . m _1)
Látka
Bakelit Dusík Ebonit Ethanol Fíbr Glycerol Jantar Kalafuna Keramika umělá Kyslík Methanol Mikanit Mramor Olej olivový Olej transformátorový Parafín Papír parafinovaný Papír tvrzený Petrolej Polystyren (trolitul) Polyvinylchlorid Porcelán Sklo Slída Terpentýn
Voda Vodík Vzduch (suchý)
6r
4 ,8 - 5 ,3 1,000 61 2 ,5 - 3 ,5 24 3 43 2,8 2,6 až 100 1,00 55 34 4,5— 6 8,5 3,1 2,2 2,0— 2,2 3,5— 6 3 ,5 -5
2,1 2,3—2,5 3 ,4 - 4 ,0 6 5 — 16 5 —8 2 ,1 - 2 ,3 81,6 1,000 26 1,000 60
e
Ev
n .m
k V . mm-1
10»
10 — 35 — 2 málo 6 7 10 — — 30 2 17 25 30 30 25 — 50 45 30 15 70 16
—
1013— 10« — 10«— 10« — >10« 10« 1010— 1013 — — 10« 107— 10» —
— 10«— 10« 10« 1010— 1012
— >10« >10« 10« 1011— 10« 1 0 « — 10« — — — —
— — 3
Elektřina a magne tismus
163
P om ěrn é p erm itiv ity (při 18 °C a 105 Pa)
Pevné látky Břidlice Dřevo (suché) Gutaperča Kamenná sůl Kaučuk Křemen Mastek Mycalex Papír Parafín Porcelán Sklo obyčejné Skla optická Slída Šelak
48
Bt
6 ,6 — 7,4 2— 8 4,4 5,6 2 ,2 — 3 4,4 4 ,1 -6 ,4 8,0 2 — 2,5 2 6 5— 7 až 10 6— 8 3 — 3,7
Kapaliny Benzen Ethanol Ethylether Glycerol Chloroform Kyselina mravenčí Methanol Nitrobenzen Petrolej Ricínový olej Sirouhlík Terpentýnový olej Voda
£r 2,3 24 4,4 43 5,2 58 34 36,4 2,0 4,6 2,6 2,3 81
Plyny Dusík Amoniak Ethylen Ethylchlorid Helium Chlorovodík Kyslík Methan Oxid siřičitý Oxid uhelnatý Oxid uhličitý Vodík Vzduch
Er
1,000 1,007 1,001 1,014 1,000 1,003 1,000 1,000 1,009 1,000 1,000 1,000 1,000
61 2 45 7 07 55 94 5 69 96 26 60
T erm o elek tro m o to rick á napětí
Elektromotorická napětí Ue termočlánků, jejichž druhý vodič je platinový, při teplotách stykových míst 0 °C a 100 °C. (Znaménko + značí, že u teplejšího spoje má platina vyšší potenciál.) Elektromotorické napětí termočlánku ze dvou různých vodičů při teplotách spojů 0 °Ca 100 °C dostaneme jako rozdíl hodnot uvedených v tabulce. -
Příklad: Termočlánek Fe-Cu: 1,8 mV - 0,75 mV = 1,05 mV; termočlánek Fe - konstantan: 1,8 mV — ( - 3 , 4 mV) = 5,2 mV.
Kov
Elektřina a magne tismus
Křemík Antimon Železo Molybden Kadmium Wolfram Méd Zlato Stříbro Zinek
164
mV +45 + 4,7 + 1,8 + 1,2 + 0,9 + 0,8 + 0,75 + 0,7 + 0,7 + 0,7
Kov
Rhodium Iridium Manganin Tantal Cesium Cín Olovo Hořčík Hliník Uhlík
Ue mV + 0,65 + 0 ,6 5 + 0 ,6 + 0 ,5 + 0 ,5 + 0,45 + 0,45 + 0 ,4 + 0,4 + 0 ,3
Kov
Grafit Rtuť Platina Sodík Palladium Draslík Nikl Kobalt Konstantan Bismut
Ue mV + 0,2 0,0 0,0 — 0,2 - 0 ,3 - 0 ,9 -1 -1 -3 -7
,5 ,6 ,4 ,0
49
Polovodivé prvky a látky
ít - teplota tání; //n - pohyblivost elektronů; //p - pohyblivost děr; Ee - šířka zakázaného pásu při 20 °C
Prvky nebo sloučeniny
Skupina
Es
řt °C
cm 2 . V - 1 . s~l
/*P cm 2 . V- 1 . s-1
eV
/¿a
Si Ge C
IV
1 420 936 3 500
1 800 3 800 1 800
600 1 800 1 200
1,1 0,65 5,2
GaP GaAs InSb
AIUBV
1 4o7 i 240 523
2 500 7 000 80 000
1 000 400 4 000
2,3 1,4 0,17
An B VI
1 850 1 000 1 475 1 250 1 040
165 100 200 200 600
ZnS ZnSe CdS CdSe C dTc
50
3,7 2,6 20
2,4 1,8
100
1,4
E lektrochem ické ekvivalenty
A - elektrochemický ekvivalent; m - hmotnost vyloučené látky; Q - prošlý náboj; A = —
Látka
Baryum Bismut Cín Cín Draslík Hliník Hořčík Chrom Mangan Mangan M čd Nikl Nikl Olovo Platina
A
Ion
10-« k g . c -i
Ba2+ Bi3+ Sn2+ Sn4+ K+ AP+
0,712 0,722 0,615 0,308 0,405 0,093 0,126 0,180 0,285 0,190 0,329 0,304 0,203 1,074 0,505
M g2+ C r3+ M n2+ M n3+ Cu2+ Ni2+ Nis+ P b 2+ Pť>+
Látka
Rtuť Sodík Stříbro Vápník Vodík Zinek Zlato Železo Železo Brom Fluor Chlor Kyslík
A
Ion
ÍO-« kg . c -i
H g+ Na+ Ag+ C a2+ H+ Zn2+ Au3+ F e 2t F e 3+ B rF" c io 2-
2,079 0,233 1,118 0,208 0,010 0,339 0,681 0,289 0,193 0,828 0,197 0,367 0,083
Elektřina a magne tismus
165
Proud 1 A vyloučí nebo rozloží Za dobu
1 1 1 1
s min h d
51
cm 3 při 0 °C a 1,013 Pa
mg Cu
Ag 1,1 &8 67,08 4 024,8 96 595,2
H zO
0,329 4 19,764 I 185,84 28 460,2
0,093 34 5,600 4 336,026 8 064,62
E°
Elektroda
V
E lek tro d y p rvn íh o d ru h u L i+ |Li K + |K Ba2+ j Ba Ca2+ |Ca Na+ |Na Mg2+ |Mg B c2+ |Be Al3+ |AI M n2+ |Mn C r2+ |C r Zn2+ |Zn C r3+ |Cr F e 2+ |Fe Cd2+ |Cd Co2+ |Co Ni2+ |Ni Sn2+ | Sn Pb2+ i Pb H + |H a(g) Cu2+ |Cu O H - |Oj (g) I “ |I 2 Hg|+ |Hg Ag+ |Ag Hg2+ |Hg B r - |B r (1)
a-icufe) Au3+ |Au F - 1 Fa (g)
166
0,174 2 10,454 627,26 15 054,2
O2
Ha
0,058 02 3,481 3 208,88 5 013,1
0,116 22 6,973 0 418,38 10 041,2
Standardní elektrodové potenciály při 25 °C vztahující se ke standardní vodíkové elektrodě Elektroda
Elektřina a magne tismus
O 2 4" 2 H2
— 3,040 — 2,931 — 2,912 — 2,868 — 2,71 — 2,372 — 1,847 — 1,662 — 1,185 — 0,913 — 0,761 — 0,744 — 0,447 — 0,403 — 0,28 — 0,257 — 0,137 — 0,126
1
8
0
5 2
0,000 0 0,341 9 0,401
0,535 5 0,797 3 0,799 6 0,851
1,066 1,358 27 1,498 2,866
E° V
E lek tro d y d ru h éh o druhu SOJ - |PbSO j(s), Pb — 0,358 8 I - |Agl(s), Ag — 0,152 24 — 0,040 5 I - |Hgala(s), Hg 0,071 33 B r - |AgBr(s), Ag 0,123 O H - |HgO(s), Hg B r - |Hg2B r2(s), Hg 0,139 23 0,222 33 C l- |AgCl(s), Ag 0,268 08 C l- |HgaClaís), Hg 0,612 5 SO4- |HgaS0 4 (s), Hg 1,691 3 S 0| -| P b S 04(s), PbOa-Pb(s) O xid ačn ě red u k čn í elek trod y — 0,407 C r3+ |C r2+ S4OŽ- |SaO^0,08 Sn4+ |Sn2+ 0,151 B rO - |B r0,761 F e 3f |F e 2+ 0,771 0,920 Hg2- |Hg|+ 1,232 C raO f- |Cr3)ClO j |c i 1,389 1,451 CIO5 i c i 1,455 P b 0 2 |Pb2+ 1,507 M nOí |M n2+ 1,541 5 M n3+ |M n2+ 1,61 Ce4+ |Ce3+ 1,776 HaOa |HaO 2,010 S2O2- | s o | P o ten ciál s ro v n á v a cí kalom elové elek trod y 0,280 0 1 molální KC1 1 molární KC1 0,280 1 0,1 molární KC1 0,333 7 0,241 2 nasycený KC1 nasycený NaCl 0,236 0
52
Měrný elektrický odpor vodných roztoků při 18 °C
\v - hmotnostní zlomek (hmotnost bezvodé soli/hmotnost výsledného roztoku); q - měrný elektrický odpor při teplotě 18 °C Látka
NHUCl
NaCl
C u SO í
ZnSOj
NaOH
H 2S O 1
0,058 0,032 0,024 0,020 0,019
0,051 0,032 0,029 0,030 0,037
0,048 0,026 0,018 0,015 0,014
_6 _
w
ÍJ . m
"% 5 10 15 20 25
KOH
0,149 0,083 0,061 0,051 0,047
0,109 0,056 0,039 0,030 0,025
0,529 0,313 0,238
0,524 0,312 0,241 0,213 0,208
—
—
Qn,o = 2,27 . 105 £1 . m (měrný elektrický odpor čisté vody při 18 °C)
53
Závislost m agnetické indukce a pom ěrné perm eability na intenzitě m agnetického pole
H - intenzita magnetického pole; B - magnetická indukce; //r - poměrná permeabilita; fio - permeabilita vakua, ¡aq — A t . . 10-7 H . m _i Magnetická indukce ve feromagnetickém prostředí není lineární funkcí elektrického proudu, který pole vytváří. Místo proudu se uvádí jako nezávisle proměnná veličina intenzita magnetického pole, která se např. u dlouhého solenoidu v homogenním prostředí určí z výrazu H — N I // (N - celkový počet závitů, / - proud, /- délka solenoidu). Tabulka uvádí příklad závislosti B na H pro některé látky. B ^ ~ fio H *
B
Heuslerova slitina*)
Co
Ni
Fe
H A . m -1
B
B
B ~T
flr
T
fii
T
/‘ r
T
80 120 200
0,580 0,750 0,920
5 800 5 000 3 680
0,065 0,135 0,280
650 900 1 120
__ — 0,021
— — 84
— — 0,012
— — 48
400 800 1 600
1,100 1,230 1,345
2 200 1 230 673
0,433 0,494 0,540
865 494 270
0,057 0,170 0,340
114 170 170
0,040 0,072 0,107
80 72 54
4 000 8 000 12 000
1,485 1,600 1,686
297 160 112
0,585 0,620 0,640
117 62 43
0,596 0,784 0,900
119 78 60
0,154 0,197 0,225
31 20 15
24 000 40 000 80 000
1,840 1,920 2,000
61,3 38,4 20,0
0,670 0,691 0,737
22 14 7,4
— — —
— — —
0,280 0,312 0,367
9,3 6,2 3,7
160 000 240 000 320 000
2,106 2,210 2,313
10,5 7,4 5,8
0,840 0,938 1,040
4,2 3,1 2,6
— —
— — —
0,471 0,575 0,678
2,4 1,9 1,7
400 000 480 000
2,412 2,513
4,8 4,2
— —
— —
—
—
0,779 0,879
1,6 1,5
— —
—
(ir
Elektřina a magne tismus
*) 75,5 % Cu + 14,25 % Mn + 10,25 % AI.
167
54
M agnetické perm eability neferom agnetických látek
fiT - poměrná permeabilita; xm - magnetická susceptibilita; při t — 20 °C, u plynů za normálních podmínek
_ , ,
fir — 1 +
Kra
Látka Argon Baryum Benzen Bismut Cín Dusík Hliník Chrom Iridium
55
y.m
Látka
io-« — 0,011 + 7,1 — 8,0 — 170 + 2,3 — 0,007 + 22 +320 + 40
Xm
Látka
10^ — 20 + 1,85 + 3,4 + 810 8,9 + 0,82 — 0,01 — 17 + 280
Kadmium Kyslík Lithium Mangan M éd Olovo Oxid dusný Oxid dusnatý Platina
Rtuť Síra Stříbro Tantal Vápník Voda Vodík Vzduch Zinek Zlato
y.m T(F» — 31 — 12 — 26 + 180 + 22 — 9 — 0,002 + 0,38 - 14 - 37
Přehled televizních pásem
K - číslo kanálu; /o - nosný kmitočet obrazu; /z - nosný kmitočet zvuku. Ve světě se užívá celá řada růz ných norem. Uvádíme pouze normu D, užívanou v zemích sdružených v O IR T a normu B, užívanou v zemích sdružených v CCIR. Norma D: Bulharsko, Čína, Č SSR , Madarsko, Mongolsko, Polsko, Rumunsko, SSSR . Norma B: Austrálie, Dánsko, Holandsko, Itálie, Jugoslávie, Norsko, NDR, NSR, Rakousko, Švédsko, Švýcarsko, Španělsko, Turecko a další. Kmitočtový rozsah kanálu začíná u obou norem 1,25 MHz pod /o a končí 0,25 MHz nad /2, např. u 2. ka nálu O IR T je (58—66) MHz. Šířka kanálu je u normy D 8 MHz, u normy B 7 MHz. Norma D (O IR T ) Pásmo
K I
II
Záření III
168
fz M Hz
_
_ 56,25 65,75
—
49,75 59,25 —
3 4 5
77,25 85,25 93,25
83,75 91,75 99,75
6 7 8 9 10 11 12 —
175,25 183,25 191,25 199,25 207,25 215,25 223,25 —
181,75 189,75 197,75 205,75 213,75 221,75 229,75 —
— 1 2
Elektřina a magne tismus
/o M Hz
Norma B (CC IR)
—
K 1 2 3 4
fo MHz
/i MHz
41,25 48,25 55,25 62,25
46,75 53,75 60,75 67,75
_
_
_
—
—
—
—
—
—
5 6 7 8 9 10 11 12
175,25 182,25 189,25 196,25 203,25 210,25 217,25 224,25
180,75 187,75 194,75 201,75 208,75 215,75 222,75 229,75
IV. pásmo začíná kanálem 21 (/o = 471,25 MHz). V. pásmo začíná kanálem 38 (/o = 607,25 MHz) a končí kanálem 69. Odstup mezi kanály je u obou norem 8 MHz a nosný kmitočet obrazu se určí ze vztahu: = 463,25 + 8 . (K —20) Nosný kmitočet zvuku je v zemích užívajících normu D 6,5 MHz nad obrazovým, v zemích s normou B jen 5,5 MHz nad obrazovým.
56
Přehled elektrom agn etického záření
/ - kmitočet; X - vlnová délka ve vzduchu A/ = c == 3 . 108 m . s_1 / Hz
Název
Technické střídavé proudy Střídavé proudy při telefonii Radiové vlny Dlouhé vlny Střední vlny Krátké vlny Velmi krátké vlny Mikrovlny Optické záření Infračervené záření Viditelné záření Střední červená Střední oranž Střední žlutá Střední zelená Střední modrá Střední fialová Ultrafialové záření Rentgenové záření Záření gama
A
16 — 102 10* _ 104
1,5 0,5 0,6 0,2 3
. . . . .
104 _
1013
10» 10« 10’ 10« 10«
3 . 105 2 . 10« 2 . 107 3 . 10« 1013
— — — — —
10i2 — 3 . 101« 3 )g . 1Q14
1012 _
3,8 . 1 0 « — 4,6 . 5. 5 ,2 . 5,75 . 6,7 . 7,5 . 7,7 . 10»4 —
7,7 . 1014 1014 1014 10“ 1014 1014 10i4 3 . 101«
3 . 101« — 3 . 1020 > 1 0 18
18 000 km — 3 000 km 3 000 km — 30 km 30 km 2 000 m 600 m 50 m 15 m 1m
— — — — — —
0,03 mm 1 000 m 150 m 15 m 1m 0,03 mm
0,3 mm — 10 nm 0,3 mm — 790 nm 790 nm — 390 nm 650 nm 600 nm 580 nm 525 nm 450 nm 400 nm 400 nm — 10 nm 10 nm — 1 pm < 3 0 0 pm
Záření
169
Mezinárodni tříděni elektromagnetických vln (1985)
Značka
V LF LF MF HF VHF UHF SH F EH F
57
Označeni vln podle kmitočtu velmi nízké nízké střední vysoké velmi vysoké ultra vysoké superiomi extrém ní vysoké
Kmitočet
pod 30 kHz 30 — 300 kHz 300 — 3 000 kHz 3 000 — 30 000 kHz 30 000 k H z— 300 M Hz 300 — 3 000 MHz 3 0 0 0 — 30 000 MHz 3 0 000 — 3 0 0 0 0 0 MHz
Označení vlny
myriametrové kilometrové hektometrové dekametrové metrové decimetrové centimetrové milimetrové
Vlnová délka v metrech nad 10 000 1 0 0 0 0 — 1 000 1 000 — 100 1 0 0 — 10 10— 1 1 — 0,1 0 ,1 — 0,01 0,01 — 0,001
Doporučená osvětlení
E - doporučené osvědení; tabulka uvádí výběr z ČSN 36 0450 - Umělé osvětlení vnitřních prostorů, ČSN 36 0451 - Umělé osvětlení průmyslových prostorů a ČSN 36 0452 - Umělé osvětlení obytných budov.
Prostor
Vnitřní, málo frekventované komunikace Skladové prostory, hygienická zařízení apod. Hrubé práce, pracoviště v domácnosti Běžná výroba, obchodní prostory, kanceláře, učebny, ošetřovny, domácí práce apod. Jemné práce, křes limy, laboratoře, obrábění apod. Velmi jemné práce, napr. hodinářské, rýsovny apod. Mimořádně jemné práce klenotnické, restaurátorské, montáž měřicích přístrojů Speciální výrobny a laboratoře, montáž mikroelektroniky Operační sály, ambulance pro speciální zákroky
E Tx 20 _ 50 50 — 100 100 — 200 200 — 500 500 — 1 000 1 0 0 0 — 2 000 2 000 — 5 000 5 000 — 10 000 20 000 10 000
58
Vlnové délky některých intenzivních čar ve spektrech
X - vlnové délky ve vzduchu při 15 °C a tlaku 1,013 . 105 Pa; f - kmitočty. Jsou uvedeny jen některé vy brané čáry, které jsou vhodné pro kalibraci spektrálních přístrojů. X nm
/ THŽ
Ag
520,907 546,549
575,353 548,360
Ca
422,673 714,815
709,072 419,277
Cd
467,816 479,992 508,582 643,847
640,648 624,397 589,296 465,492
Cs
455,535 459,318
657,920 652,501
Cu
521,820
H
410,174 434,047 486,132 656,278
Prvek
X nm
/ TH z
447,148 471,314 492,193 501,568 587,563 667,815 706,520
670,260 635,894 608,919 597,537 510,082 448,785 424,200
Hg
435,833 546,074 576,960 579,066
687,661 548,837 519,456 517,567
574,347
K
730,679 690,497 616,506 456,680
404,414 404,720 766,491 769,898
741,086 740,526 391,010 389,280
Li
460,286 670,785
651,129 446,798
Prvek
He
X
f
nm
ŤH z
Mg
517,270 518,362
579,399 578,178
Na
588,997 589,593
508,840 508,326
Ne
533,078 540,056 585,249 594,484 614,306 640,225
562,217 554,953 512,099 504,144 487,877 468,125
Zn
468,020 472,216 481,054 518,199 636,235
640,369 634,827 623,018 578,360 471,061
Prvek
Záření
171
59
Index lomu různých látek
n - index lomu dané látky vůči vzduchu; .9 - střední disperze, 9 — tiy — ne/, A- vlnová délka; ř. - řádný paprsek, m. - mimořádný paprsek Fraunhoferova čára
A
B
C
D
E
F
G
H
A um
760,82
686,72
656,28
589,30
527,00
486,14
430,78
396,85
n
Látka
Voda Ethanol Benzen Diethylcther Kassiový olej Sirouhlík Fluorit (kazivec) Křemenné sklo Korunové sklo lehké Flintové sklo těžké Kuchyňská sůl Sylvin Kalcit ř. m. Křemen ř. m.
Látka
Vakuum Vodik Vodní pára Kyslík Vzduch Dusík
Záření
*
172
&
1,432 1,456 1,512
1,331 1,360 1,496 1,351 1,596 1,618 1,432 1,457 1,513
1,333 1,362 1,501 1,353 1,604 1,628 1,434 1,459 1,515
1,335 1,364 1,508 1,355 1,619 1,641 1,436 1,461 1,519
1,337 1,366 1,513 1,357 1,634 1,652 1,437 1,464 1,521
1,341 1,370 1,524 1,361 1,665 1,677 1,440 1,468 1,527
1,343 1,374 1,534 1,364 1,701 1,699 1,442 1,471 1,531
0,006 0,006 0,017 0,006 0,038 0,034 0,005 0,007 0,008
1,735
1,741
1,743
1,752
1,762
1,772
1,792
1,811
0,029
1,537 1,484 1,650 1,483 1,539 1,548
1,539 1,486 1,653 1,484 1,541 1,550
1,541 1,487 1,654 1,485 1,542 1,551
1,544 1,490 1,658 1,486 1,544 1,553
1,549 1,494 1,663 1,489 1,547 1,556
1,553 1,498 1,668 1,491 1,550 1,559
1,561 1,505 1,676 1,495 1,554 1,564
1,568 1,512 1,683 1,498 1,558 1,568
0,012 0,011 0,014 0,006 0,008 0,008
1,329 1,358 1,491 1,349 1,586 1,609 1,431 1,454 1,510
1,330 1,359 1,495 1,350 1,592 1,615
Látka
rtD
0,999 0,999 0,999 0,999 1,000 1,000
71 85 96 98 00 01
Led Methanol Glycerol Ricínový olej Lněný olej Cedrový olej
«D
1,31 1,329 1,469 1,478 1,486 1,505
Látka
Kanadský balzám Flintové sklo lehké Korunové sklo těžké oc-monobromnaftalen Diamant
>tD
1,542 1,608 1,615 1,658 2,417
60
Ionizační práce volných atom ů
IVi - ionizační práce (ionizační energie); Wn - ionizační práce atomu vodíku; Z - protonové číslo Ionizační práce je práce, kterou musíme vynaložit na odstranění elektronu z volného atomu (je větší než výstupní práce - tab. 61 - při níž jsou atomy v krystalické struktuře látky). Číselné hodnoty ionizační práce v eV jsou shodné s číselnými hodnotami ionizačního napětí ve V.
z
Prvek
Wi Wn
PPi eV
Z
_____ _____
Prvek
Wt Wn
eV
Wi
1 2 3
H Hc Li
vodík helium lithium
1,00 1,81 0,40
13,53 24,57 5,41
28 29 30
Ni Cu Zn
nikl mčd zinek
0,56 0,57 0,69
7,63 7,71 9,34
4 5 6
Be B C
beryllium bor uhlík
0,69 0,61 0,83
9,34 8,30 11,27
31 32 33
Ga Ge As
gallium germanium arsen
0,44 0,58 0,72
5,95 7,88 9,80
7 8 9
N O F
dusík kyslík fluor
1,07 1,00 1,29
14,53 13,60 17,42
34 35 36
Se Br Kr
selen brom krypton
0,72 0,88 1,03
9,75 11,84 13,94
10 11 12
Ne Na Mg
neon sodík hořčík
1,59 0,38 0,56
21,51 5,14 7,64
37 38 39
Rb Sr Y
rubidium stroncium yttrium
0,31 0,42 0,49
4,19 5,68 6,60
13 14 15
AI Si P
hliník křemík fosfor
0,44 0,60 0,78
5,95 8,15 10,60
40 41 47
Zr Nb Ag
zirkon niob stříbro
0,51 0,50 0,56
6,95 6,77 7,58
16 17 18
S Cl Ar
síra chlor argon
0,76 0,96 1,16
10,34 13,00 15,69
48 49 50
Cd In Sn
kadmium indium cín
0,66 0,43 0,54
8,93 5,82 7,31
19 20 21
K Ca Sc
draslík vápník skandium
0,32 0,45 0,84
4,33 6,09 6,56
51 52 53
Sb Te I
antimon tellur jod
0,64 0,66 0,77
8,60 8,93 10,42
22 23 24
Ti V Cr
titan vanad chrom
0,50 0,50 0,50
6,83 6,74 6,76
54 55 56
Xe Cs Ba
xenon cesium baryum
0,89 0,29 0,39
12,04 3,92 5,21
25 26 27
Mn Fe Co
mangan železo kobalt
0,55 0,58 0,58
7,43 7,90 7,83
79 80 81
Au
zlato rtuť thallium
0,68 0,77 0,45
9,20 10,42 6,09
Hg TI
173
Záření
61
Výstupní práce elektronů z kovů; mezní vlnové délky fo toelektrickéh o jevu
IFV- výstupní práce; Áo - mezní vlnová délka fotoelektrického jevu; h - Planckova konstanta; c - rychlost
hc
siření světla ve vakuuj / - kmitočet; ¿o = *7^ — > hc = 1,99 . 10 ~25 J . m = 1,24 . 10 "6 eV . m wv
Prvek
Cs Rb K Na Li Ba Ce Ca Tli n Mg Zr Mu Ti Nb Pb Sb Ga Ta Co Mo Sn Bi Cr Cu Hg W Ag Se Te Au Fe Pd Ni As Pt
Záření
174
cesium rubidium draslík sodík lithium baryum cer vápník thorium thallium huičík /irkonium mangan titan niob olovo antimon gallium tantal kobalt molybden cín bismut chrom mčd rtuť wolfram stříbro selen tellur zlato železo palladium nikl arsen platina
Wy eV
Ao nm
/ TH z
1,93 2,13 2,24 2,28 2,36 2,52 2,84 2,96 3,35 3,68 3,69 3,84 3,95 3,95 3,99 4,02 4,05 4,12 4,12 4,18 4,24 4,38 4,44 4,45 4,48 4,53 4,54 4,70 4,72 4,72 4,76 4,77 4,97 5,00 5,11 5,36
642 582 554 544 525 492 437 419 370 337 336 323 314 314 311 308 306 301 301 297 292 283 279 279 277 274 273 264 263 263 260 260 250 248 243 231
476 515 541 551 571 609 686 715 810 889 892 928 954 954 964 973 979 996 996 1 009 1 026 1 059 1074 1 074 1082 1094 1 098 1 135 1 140 1 140 1 153 1 153 1 199 1 208 1233 1297
62
Závislost hm otnosti částice, hm otnosti a energie elektronu na rychlosti
m - hmotnost částice; wo - klidová hmotnost částice; me - hmotnost elektronu; moe - klidová hmotnost elektronu, woe = 9,109 . 10-31 kg; v - rychlost; c - rychlost šíření světla, c = 2,998 . 108 m . s_1; Ee - energie elektronu m
1
"»o
¿ž
1 /
r - i *
Ee = (me — moc) c2 Číselná hodnota energie elektronu v MeV se rovná číselné hodnotě napětí v MV, které je potřebné k urych lení elektronu na tuto energii. v c 0,001 0,002 0,005
v 106m .s -1 0,30 0,60
m mo
me 10-3«
kg
Ee
v
v
m
MeV
c
10sm .s -1
wo
mc 10-30 kg
MeV
Ee
1,5
1,000 00 1,000 00 1,000 01
0,911 0,911 0,911
0,000 000 0,000 001 0,000 006
0,90 0,92 0,94
269,8 275,8 281,8
2,29 2,55 2,93
2,089 2,324 2,67
0,661 0,793 0,986
0,01 0,02 0,05
3,0 6,0 15
1,000 05 1,000 20 1,001 25
0,911 0,911 0,912
0,000 026 0,000 102 0,000 640
0,95 0,96 0,97
284,8 287,8 290,8
3,20 3,57 4,11
2,92 3,25 3,75
1,126 1,316 1,591
0,10 0,20 0,30
30 60 90
1,005 1,021 1,048
0,915 0,930 0,955
0,002 56 0,010 73 0,024 53
0,98 0,985 0,990
293,8 295,3 296,8
5,03 5,79 7,10
4,58 5,28 6,46
2,057 2,45 3,12
0,40 0,50 0,60
120 150 180
1,091 1,155 1,25
0,994 1,052 1,139
0,046 50 0,079 2 0,127 8
0,992 0,994 0,996
297,4 298,0 298,6
7,93 9,13 11,2
7,22 8,32 10,18
3,54 4,16 5,20
0,65 0,70 0,75
195 210 225
1,32 1,40 1,51
1,199 1,275 1,377
0,161 5 0,204 0,262
0,997 0,998 0,999
298,9 299,2 299,5
12,9 15,8 22,4
11,76 14,40 20,37
6,09 7,57 10,92
0,80 0,85
240 255
1,67 1,90
1,518 1,722
0,341 0,455
0,999 5 1
299,7 299,8
31,6 oo
28,78 oo
15,64 00
Záření
175
63
Energie a hm otnosti fotonů
A- vlnová délka; E - energie fotonu; m - hmotnost fotonu; h - Planckova konstanta, h = 6,626 . 10~34 J . s; c - rychlost šíření světla ve vakuu, c = 2,998 . 108 m . s -1; hic — 2 ,2 1 . 10~42 kg . m; hc = 1,99 . 10-25 j . m; me - klidová hmotnost elektronu, me = 9,109 . 10-31 kg
E
m
J
kg
6,20 . 4,13 . 2,48 . 1,24 . 1,24 . 1,24 . 1,24 . 1,24 . 1 ,2 4 . 1 ,2 4 . 1,240 1 ,2 4 . 1,24 . 1 ,2 4 . 1 ,2 4 . 1,24 . 1 ,2 4 .
10-1° 10-» 10-» 10-7 10-« ÍO-5 10-» IO”3 IO"« IO-» 101 102 10« 104 10« 10«
9,93 . 6 ,6 2 . 3,97 . 1 ,9 9 . 1,99 . 1,99 . 1,99 . 1,99 . 1,99 . 1,99 . 1,99 . 1,99 . 1,99 . 1,99 . 1,99 . 1,99 . 1,99 .
1 0 -« IO"2* 10-*» IO"2« IO"2« IO"24 IO“2» 10-22 10-21 IO"2» 10-1® IO -« IO-17 10-1« IO -« 1 0 -n 10-13
1,105 . ÍO"15 7,37 . 1 0 - “ 4,42 . 10-*4 2,21 . IO-»3 2,21 . IO-*2 2,21 . IO -« 2,21 . 1 0 - " 2,21 . IO*8» 2,21 . IO"3* 2,21 . IO '3? 2,21 . ÍO-3« 2,21 . 10-35 2,21 . ÍO '34 2,21 . 10-33 2,21 . 10-32 2,21 . 10-31 2,21 . 10-30
m mi 1,211 . IO-15 8,09 . 10-1« 4,85 . 10-1“ 2,43 . ÍO-“ 2,43 . IO-12 2,43 . IO-11 2,43 . 10-1° 2,43 . 10-» 2,43 . ÍO '8 2,43 . ÍO"7 2,43 . 10-« 2,43 . ÍO"5 2,43 . 10-» 2,43 . ÍO"3 2,43 . ÍO"2 0 1
2 000 m 300 m 50 m 10 m 1m 100 mm 10 mm 1 mm 100 |im 10 ¡im 1 |xm 100 nm 10 nm 1 nm 100 pm 10 pm 1 pm
E ěV
•u OJ
A
2,43
Poznámka: Foton, jehož hmotnost se rovná hmotnosti elektronu, má vlnovou dílku Ác = 2,426 . 1 0 ~12 m (tzv. Comptonova vlnová dílka).
Záření
V
64
Slunce, Z em ě, Měsíc
Slunce Poloměr 695 550 km Hmotnost 1,99 . 1030 kg Střední hustota 1 408,9 kg . m -3 Tíhové zrychlení na rovníku 274,1 m . s-2 Zdánlivý střední poloměr Sklon rovníku k ekliptice Doba rotace siderická Doba rotace synodická Teplota povrchu Zářivý výkon Zdánlivá magnituda Absolutní magnituda Úniková rychlost na povrchu Slunce
= 109,048 poloměrů Země = 333 000 hmotností Země = 0,255 střední hustoty Země = 27,95 tíhového zrychlení na Zemi 15' 5 9 ,63" 7° 15' 0 " 25,4 d 27,3 d 5 770 K 3,83 . 1028 W — 26,8™ + 4 ,7 “ 618 km . s_1
Zem í Rovníkový poloměr Poloměr koule se stejným objemem Zploštění Povrch Země Povrch souší Povrch oceánů Hmotnost Střední hustota Střední rychlost oběhu Úhlová rychlost rotace Země Úniková rychlost na povrchu Země
6,38 . 108 m 6,37 . 108 m 0,003 37 5 1 0 . 108 km2 149 . 10« km3 361 . 108 km2 5,98 . 102< kg 5 520 kg . m “3 29,77 km . s -1 7,27 . 10-» rad . s ' 1 11,2 km . s - 1
M ěsíc Poloměr Hmotnost Střední hustota Střední vzdálenost od Země Nejmenší vzdálenost od Země Největšf vzdálenost od Země Číselná výstřednost trajektorie Sklon trajektorie k ekliptice Tíhové zrychlení na rovníku Zdánlivý střední poloměr Oběžná doba siderická (vzhledem ke hvězdám) Oběžná doba synodická (vzhledem ke Slunci) Úniková rychlost na povrchu Měsíce
1,74 . 10« m 7,35 . 1022 kg 3 340 kg . m -3 384 400 km 356 400 km 407 700 km 0,055 18,3° 1,625 m . s -2 15' 3 3 " 27 d 7 h 43 min 11,5 s 29 d 12 h 44 min 2,8 s 2,38 km . s~l
Astro nomie
177
65
Elem enty tra je k to rií planet
a - střední vzdálenost od Slunce; e - číselná výstřednost (numerická excentricita); i - sklon roviny tra jektorie k rovině ekliptiky; Q - délka výstupního uzlu; co - délka perihélia; T - siderická oběžná doba; Ts - synodická oběžná doba
Planeta
Merkur Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun Pluto
a
0,387 0,723 1,000 1,523 5,202 9,560 19,285 30,265 39,620
i
e
AU 10 33 00 69 57 22 39 32 37
0,205 63 0,006 78 0,016 71 0,093 39 0,048 06 0,051 05 0,046 88 0,007 25 0,251 86
o> 5
O
7,004 5 3,394 5 — 1,849 1,305 2,485 0,774 1,770 17,131
8 2 6 2 3 8
48,157 76,548 — 49,444 100,340 113,546 73,994 131,643 110,222
77,227 131,365 102,688 335,789 15,438 92,864 176,441 359,336 224,421
9 1 6 4 0 2 3 1
8 2 8 7 8 0 3 8 9
T
T»
r
d
0,240 0,615 1,000 1,880 11,862 29,457 84,013 167,793 248,430
85 21 04 89 23 72 12 95 2
115,88 583,92 — 779,94 398,88 378,09 369,66 367,48 366,73
Siderická oběžná doba je skutečná doba oběhu vzhledem ke hvězdám; synodická oběžná doba je doba, za niž se opakuje stejná poloha planety vzhledem ke Slunci a k Zemi.
66
Fyzikální ch arakteristiky planet
m - hmotnost; M% - hmotnost Země; g - tíhové zrychlení na povrchu
Planeta .
Merkur Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun Pluto
Astro nomie
178
m Mz 0,055 0,815 1,000 0,107 317,892 95,168 14,559 17,239 0,002
q - průměrná hustota;
Q
A km
kg . m -3 27 0 0 4
6
5 400 5 248 5 515 3 940 1 330 690 1 600 1 580 700
4 12 12 6 142 120 50 48 3
878 104 756,3 794,4 796 000 800 600 000
dT- rovníkový průměr; T - perioda rotace;
r
g
d
h
min s
58 243
15 0 23 24 9 10 24 18 9
30 14 56 37 50 14 00 24 17
6
04 23 30
—
m . s-2 3,60 8,87 9,82 3,76 26,00 11,20 9,40 12,00
zdánlivá hvězdná magnituda — 1,8 až — 4,3 až — — 2,8 až — 2,6 až — 0,3 až + 5,5 až + 7,6 až + 13,6 až
+ 3 ,3 — 3,3 + 2 ,0 — 1,3 + 0 ,9 + 6 ,3 + 8 ,0 + 1 5 ,9
67
Měsíce planet
d - vzdálenost od planety; T - siderická oběžná doba; Ts - synodická oběžná doba; e - číselná výstřednost; D - průměr; m - zdánlivá hvězdná magnituda (Stav v r. 1985)
Měsíc
d
T
AU
i)
~a~
T. d
h
min
e
D km
4)
m
Z em č 0,002 569
27,322
29
12
44
0,055
3 476
— 12,7
M ars I. Phobos II. Deimos
0,000 063 0,000 157
0,319 1,262
1
7 6
39 21
0,015 0,001
27X 19 16X 10
11,5 12,5
Ju p ite r X V I. Metis X V . Adrastea V. Amalthea X IV . Thebe I. Io II. Europa II I. Ganymed IV . Kallisto X I I I . Leda V I. Himalia V II. Elara X . Lysithea 5) X I I . Ananke X I . Carme V III. Pasiphae IX . Sinope
0,000 0,000 0,001 0,001 0,002 0,004 0,007 0,012 0,074 0,076 0,078 0,079 0,141 0,150 0,157 0,158
848 848 207 478 820 486 156 586 159 723 455 217 773 834 20 5
0,29 0,29 0,498 0,68 1,769 3,551 7,154 16,689 •238,7 250,57 259,65 263,55 631,1 692,5 735 758
1 3 7 16 252 265 276 280 738 824 891 918
6 6 11 16 18 13 4 18 19 23 5 15 17 6 3 19
59 59 57 32 29 18 00 05
0,003 0,013 0,004 0,009 0,002 0,007 0,148 0,159 0,207 0,130 0,169 0,207 0,378 0,275
40 30 265X 140 70 -f- 80 3640 3 130 5 280 4 840 10 - ř 20 170 80 10 20 20 30 40 30
S a tu rn 3) X V . Atlas 1980 S 27 *) 1980 S 26 2) X . Janus X I . Epimetheus I. Mimas II. Enceladus III. Tethys 1980 S 13 2) IV. Dione 1980 S 6 2) V. Rhea V I. Titan V II. Hyperion V III. Japetus IX . Phoebe
0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,008 0,009 0,023 0,086
920 931 947 012 012 241 592 970 970 523 527 524 166 913 797 564
0,602 0,613 0,628 0,695 0,694 0,942 1,369 1,885 1,885 2,733 2,739 4,511 15,910 21,281 79,155 549,148
79 522
14 14 15 16 16 22 8 21 21 17 17 12 22 7 17 11
27 43 04 41 39 37 52 15 15 37 45 19 24 45 48
U ra n * ) V. Miranda I. Ariel
0,000 825 0,001 282
1,414 2,520
2
9 12
57 30
Měsíc
1 1 1 2 2 4 15
21
1
r*14
«a 13 <«15 5,5 6,0 5,1 6,2 19 -f- 20 14,7 19 - r 20 19 18,1 19 17,0 18,6 18 16,5 16 14,5 15,5 12,1 11,7 10,6
0,001 0,029 0,104 0,028 0,163
60 1 4 0 X 80 11 0 X 70 220X 160 140X 100 390 510 1 050 60 1 120 60 1 530 S 5 120 «) 410X 220 1 440 200
0,027 0,003
400 1 330
16,8 14,8
0,002 0,004 0,004 0,007 0,009 0,020 0,004 0,000 0,002
10,7 10,0 8,3 15
10,8 16,5
179
I
d
Měsíc
AU
T d
d
»)
r. h
min
D
e
km
4)
m
II. Umbriel III. Titania IV . Oberon
0,001 786 0,002 930 0,003 919
4,144 8,706 13,463
4 8 13
3 17 11
28 00 16
0,004 0,002 0,001
1 110 1 600 1 600
15,4 13,9 14,3
N eptun I. Triton II. Nereida
0,002 364 0,036 841
5,877 361,568
5 368
21 21
03
0,000 0,748
4 000 «¡300
13,6 18,7
P lu to I. Charon
0,000 13
6,387
0,0
¿ 1 200
x) Rozumí se vzdálenost od středu planety. 2) Satelity zachycené sondami Voyager 1 nebo Pioneer 11, jejichž existence je velmi pravděpodobná. Údaje je však nutno chápat jen jako předběžné. 3) Na základě údajů z průletu Voyageru 1 je uváděno několik typových satelitů, jejichž existence je dosud nejistá a tra jektorie nejsou známy s dostatečnou přesností. Jsou to: • 1981 S 12 na trajektorii satelitu Mimas, asi 180° za Mimasem, průměr asi 10 km ; • ( • • ) 2 satelity na trajektorii Tethys, 99° (236°) před Tethys, průměr 20 km až 30 km, nazvané X I I I . Telesto, X IV . Calypso; • 1981 S 10 ve vzdálenosti 0,002 340 A U , oběžná doba 2,44 d, průměr asi 15 km ; • ( • • ) 1 až 2 satelity na trajektorii Dione, 61° (62°) před Dione a asi 12° před satelitem 1980 S 6 ; • 1981 S 9 ve vzdálenosti 0,003 142 A U , oběžná doba asi 3,8 d, průměr 15 km až 20 km. 4) Údaj tvaru DD x dd znamená satelit nepravidelného tvaru. Dále je možné počítat s nepravidelným tvarem satelitů do průměru 100 km. 6) Podle údajů sondy Voyager 1 má Lysithea menší vzdálenost od Jupitera než Elara. 6) S atmosférou 5 680 km. * ) Sonda Voyager 2 objevila v r. 1986 dalších deset malých měsíců Uranu.
68
Údaje o některých významných planetkách
a —střední vzdálenost od Slunce; e - číselná výstřednost (numerická excentrická); i - sklon roviny trajek torie k rovině ekliptiky; T - siderická oběžná doba kolem Slunce
Jméno
a ÄXT
e
O
i
T i
1 2 3 4 433 588
Ceres Pallas Juno Vesta Eros Achilles
2,77 2,77 2,67 2,36 1,46 5,24
0,08 0,23 0,25 0,09 0,22 0,15
10,6 34,7 13,0 7,1 10,8 10,3
4,60 4,61 4,36 3,63 1,76 11,98
617
Patroclus
5,19
0,14
22,1
11,82
13,7 1,29 1,08
0,38 0,47 0,83
6,9 4,7 23,0
50,7 1,47 1,10
Číslo
Astro nomie
2060 1566
Chiron Hermes Icarus
Poznámka
\ 1 čtyři největší a nejznámější planetky; [ první byla objevena v r. 1801
J
přiblížení k Zemi: 23 000 000 km patří do skupiny Trojanů, 60° před Jupiterem patří do skupiny Trojanů, 60° za Jupiterem největší střední vzdálenost přiblížení k Zem i: 800 000 km malá perihéliová vzdálenost a největší výstřednost
Skupina planetek nazývaná Trojané tvoří rovnostranný trojúhelník se Sluncem a Jupiterem. Mají přibližně stejnou dobu oběžnou jako Jupiter a obíhají kolem Slunce stále přibližně 60° před Jupiterem nebo za ním.
180
69
N ěkteré kom ety a m eteorick é ro je
a) Vybrané krátkoperiodické komety T - doba oběžná; q - vzdálenost komety od Slunce v periheliu T
Název (objevitel)
Encke Tempel 2 W olf 1 Tuttle Schwassmann-Wachmann I Tempel-Tuttle Olbers Pons-Brooks Halley
T
Poslední pozorovaný návrat roku
AU
Počet pozorovaných návratů
3,30 5,26 8,43 13,8 16,1 32,9 69,5 71,0 76,1
1984,2 1983,4 1984,5 1981,0 1974,1 1965,5 1956,5 1954,4 1986,3
0,339 1,364 2,506 1,023 5,538 0,982 1,179 0,774 0,587
53 17 13 10 4 4 3 3 30
b) Hlavni pravidelné meteorické roje Název quadrantidy lyridy éta-aquaridy delta-aquaridy perseidy orionidy tauridy-arietidy leonidy geminidy ursidy
70
Souhvězdí
Maximum dne
Bootes Lyra Vodnář Vodnář Perseus Orión Býk-Beran Lev Blíženci Malá medvědice
4. 29. 3. 29. 12. 22. 6. 17. 14. 23.
I. IV. V. V II. V III. X. X I. X I. X II. X II.
Trvání dní
Hodinový počet
1 2 18 10 20 8 30 4 6 2
35 12 13 20 50 25 12 12 60 15
Mateřská kometa ? Tchatcher Halley ? Swift-Tuttle Halley Encke Tempel-Tuttle ? Tuttle
Paralaxy a vzdálenosti blízkých hvězd
n - roční paralaxa; d - vzdálenost Hvězda
Proxima Centauri a Centauri 61 Cygni Sirius Procyon Vega Polárka
71
d
It
pc
0,763 0,756 0,299 0,376 0,291 0,140 0,008
1,31 1,31 3,34 2,66 3,42 7,15 125,00
Poznámka
po Slunci nej bližší známá hvězda
Astro nomie
první změřená paralaxa (Bessel, 1838) a Velkého psa a Malého psa a Lyry a Malé medvědice (Malého vozu)
181
71
Sp ektrální klasifikace hvězd
T - průměrná povrchová teplota Spektrální třída W O B A F G K M
T
Vzhled spektra
TC
> intenzívní spojité spektrum se širokými emisními čarami vodíku, helia, uhlíku, dusíku aj. (tzv. Wolfovy-Rayetovy hvězdy) jasné spojité spektrum, absorpční čáry ionizovaného helia absorpční čáry neutrálního helia, zesilující se čáry Balmerovy série vodíku nejintenzivnější čáry Balmerovy série vodíku, objevují se čáry ionizovaného vápníku a čáry kovů slábnou čáry vodíku, sílí čáry vápníku a kovů tlusté čáry ionizovaného vápníku, dále slábne série vodíku, zvýrazňují se čáry kovů, zejména železa nejtlustší čáry kovů, objevují se pásy molekul, zejména C N a C H , velmi tenké čáry vodíku mnoho výrazných pásů molekul, zejména TiO
50 000 35 000 20 000 10 000 7 500 6 000 4 500 3 500
Doplňkové třídy jsou: R ,N a S . Hvězdy třídy R mají pásy uhlovodíkových sloučenin, tzv. uhlíkové hvězdy. Hvězdy třídy N mají spektrum podobné spektru hvězd třídy M (ztenčující se pásy CN). Hvězdy třídy S, tzv. zirkonové hvězdy, ve spektru jsou absorpční pásy ZrO. Spektrální třídy jsou dále děleny pomocí číslic 0 až 9 (např. třída B9 je blízká AO, G9 je blízká KO atd.).
72
Základní fyzikální charakteristiky hvězd
Sp - spektrální třída; T - povrchová teplota hvězdy; m - hmotnost; D - průměr; g - hustota; M - abso lutní hvězdná magnituda; symbol O označuje Slunce
Sp
Astro nomie
T
m
K
mo
veleobři
B A F G K M
4 000 3 800 3 000
obři
G K M
5 200 4 100 3 500
hvězdy hlavní posloupnosti
O B A F G K M
bílí trpaslíci
A F G
182
35 22 10 7 5 4 3
000 000 700 400 900 900 600
50 16 13 10 13 16
D
20 40 65 100 200 500
Q QO 0,006 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Ai
3 5 01 002 000 1
-5 -5 -4 -4 -4 -4
,9 ,3 ,7 ,2 ,2 ,2
10 24 76
0,003 0,000 3 0,000 02
+ 0,8 + 0,4 - 0 ,3
32 16 3.0 1,6 1.0 0,76 0,49
20 9 2,2 1,5 1,0 0,83 0,60
0,005 0,025 0,28 0,50 1,0 1,3 2,3
- 5 ,1 - 3 ,2 + 0 ,6 + 3,0 + 4,6 + 6,2 + 8,8
0,6 1,2 3
0,02 0,02 0,02
3,1 3,5 3,8
80 000 150 000 400 000
+ 13 -1-14
73
G alaxie (galaktická soustava) 30 kpc 2 kpc 2,8 . 104i kg - - 1 ,4 . 1011 M 0 1,5 . 10->» J — 21« (10,0 ± 0,8) kpc (8 12) pc, severně 19,7 km . s"1 4,15 AU . r 1 250 km . s 1
Príuněr Galaxie Tloušťka Celková hmotnost Potenciální energie Absolutní hvězdná magnituda Vzdálenost Slunce od středu Galaxie Vzdálenost Slunce od galaktického rovníku Rychlost Slunce vzhledem k blízkým hvězdám Rychlost hvězd v okolí Slunce vzhledem ke středu Galaxie Průměrné magnetické pole v Galaxii je řádu
0,1 n T
Naše Galaxie je spirální soustava; má dva průvodce: Velké a Malé mračno Magellanovo.
74
Místní skupina galaxií
m - zdánlivá magnituda; d - vzdálenost; D - průmčr; M - absolutní magnituda; vT - radiální rychlost; M - hmotnost galaxie
Označení galaxie
Typ
d
D
kpc
kpc
M
'¿-'r km . s~J
_
_
0,9 2,3
8,3 12,04 12,0 8,9 9,73 9,43 8,17 8,16
48 56 70 83 100 190 230 280 460 570 570 680 680
N S
9,61 3,47
680 680
5 40
- 1 4 ,7 — 21,2
— 238
S
5,79
720
17
— 18,9
— 189
Naše Galaxie Velké mračno Magellanovo Malé mračno Magellanovo Soustava v Malé medvědici Soustava v Sochaři Soustava v Draku Soustava v Peci Soustava Lev II. Soustava Lev I. NGC 6822 NGC 147 NGC 185 NGC 205 NGC 221 (M 32) Andromcda
S N N E E E E E E N E E E E
IC 1613
NGC 224 (M 31) Andromeda NGC 589 (M 33) Trojúhelník
m
8,0
30 10 8 1 2,2
1,4 6 ,6 1,6
1,5 2,7 3 2,3 5 2,4
(-2 1 ) — 17,7 — 16,5
_ + 276 + 168
(-9 ) — 11,8 (-1 0 ) — 13,3 , — 10,0 - 1 0 ,4 — 14,8 - 1 4 ,5 — 14,8 — 16,5 — 16,5
M Mo
.................. 1 ,4 . 1011 2,5 . 10"“
2 až 4 . 10« +39
1 až 2 . 107 1,1 . 106
— 32 — 305 — 239 — 214
4 . 10“ 8 . 10»
Typ galaxie označují písmena: E - eliptická, N - nepravidelná, S - spirální N GC je číslo v New General Catalogue of Nebulae and Clusters of Stars, IC - Index Catalogue, M - Messierův katalog
183
75
V esm ír
Hubbleova konstanta H Hubbleův čas 1/H Hustota galaktické látky Hustota záření ve vesmíru rádiové vlny mikrovlny optické záření rentgenové záření Stáří galaxií a kulových hvězdokup Současný stav vesmíru vznikl rozpínáním z velmi hustého a horkého stavu před
(75 ± 2 5 ) k m .s - 1 .M p c - 1 4 . 1017 s = 13 . 10» r 2 . 10~28 kg . m -3 — 0,1 atomu . m -3 IO '20 J . m~3 6,3 . 1 0 -“ J . m -3 1,3 . 10"16 J . m “3 3,2 . 1 0 -17 J . m '3 12 . 109 r 10 . 10» r až 20 . 109 r
Chemické složení vesmíru: na 1 000 atomů vodíku připadá přibližně 85 atomů helia, 1 atom uhlíku, dusíku nebo kyslíku a 0,1 atomu prvků skupiny železa. Hmotnostně: 70 % vodíku, 29 % helia a asi 1 % prvků s větší atomovou hmotností.
76
N ěkteré důležité astronom ické konstanty
(podle doporučení Mezinárodní astronomické unie)
Světelný čas pro astronomickou jednotku Astronomická jednotka Rovníkový poloměr Země Sluneční paralaxa Aberační konstanta (na rok 2000) Hmotnost Slunce Střední den
= = = ar 71 = A = Mq = D =
Poměr hmotností Slunce a Země
Mq — 332 946,0 Mz
Poměr hmotností Měsíce a Země Generální precese Nutační konstanta pro epochu 2000 Sklon roviny ekliptiky ke světovému rovníku pro epochu 2000
Astro nomie
184
AU
/*
P N e
= = = =
499,004 782 s c fA = 1,495 978 70 . 10“ m 6 378 140 m 8,794 148' 20,495 52" 1,989 1 . 103° kg 86 400 s
0,012 300 2 5 029,096 6" 9,210 9" 23° 2 6 '2 1 ,4 4 8 "
77
Přehled důležitých fyzikálních konstant
Normální tíhové zrychlení Gravitační konstanta Avogadrova konstanta M olámí plynová konstanta Normální molámí objem při 1,013 25 . 105 Pa Normální molámí objem při 105 Pa Rychlost šíření svčtla ve vakuu Permitivita vakua Permeabilita vakua Faradayova konstanta Elementární náboj Hmotnostní jednotka Měrný náboj elektronu Klidová hmotnost elektronu Klidová hmotnost protonu Klidová hmotnost neutronu Rydbergova konstanta Planckova konstanta Boltzmannova konstanta Konstanta Wienova zákona Stefanova-Boltzmannova konstanta Solární konstanta Bohrův magneton Jaderný magneton Údaje v tabulce jsou z r. 1973.
__
9,806 65 m . s ' ! (přesně) (6,672 0 ± 0,004 1) . 10"11 N . m2 . kg"2 (6,022 045 ± 0,000 031) . 1023 mol’ 1 (8,314 41 ± 0,000 26) J . mol"1 . K “* (2,241 383 ± 0,000 070) . 10~2 m3 . mol"1 (2,271 081 ± 0,000 070) . 10"2 m3 . m o l'1 2,997 924 58 . 103 m . s ' 1 (přesně) (8,854 187 818 ± 0,000 000 071) . 10->2 F . m ‘ J 4rc . lO -^ H .m "1 (přesně) = 1,256 637. lO ^ H .m -1 (9,648 455 i 0,000 027) . 10< C . mol’ 1 = (1,602 189 2 ± 0,000 004 6) . ÍO“18 C e mu = (1,660 565 5 ± 0,000 008 6) . 10~27 kg e/me = (1,758 804 7 ± 0,000 004 9 ) . 10” C . kg"1 rite = (9,109 534 ± 0,000 047) . 10"31 kg (5,485 97 ± 0,000 09) . 10-« u mp = (1,672 648 5 ± 0,000 008 6) . 10"27 kg = (1,007 276 63 ± 0,000 000 24) u mn = (1,674 954 3 ± 0,000 008 6) . 10"27 kg (1,008 665 4 ± 0,000 001) u Hoo = (1,097 373 177 ± 0,000 000 083) . 107 m “1 — (6,626 176 ± 0,000 036) . 10~3“ J . s h = (1,054 558 7 ± 0,000 005 7) . 1 0 -34 J . s * = (1,380 662 ± 0,000 044) . 10"23 J . K “1 k = (2,897 790 ± 0,000 090) . 1 0 '3 m . K = (5,670 32 ± 0,000 71) . 10~8 W . m "2 . K - 4 a = 1 327 W . m "2 N Mß = (9,274 078 ± 0,000 036) . 10"24 A . m 2 (5,050 824 ± 0,000 0 2 0 ). 10~27 A . m 2 =
gn X
= ATa = Rm = VmO = VmO = = C = eo = /to — F
78
Přehled důležitých fyzikálních vzorců
Přehled vzorců obsahuje důležité fyzikální vzorce probírané na středních školách. Nemá nahradit učebnici,, ale připomenout vzorce, které si žák nezapamatoval. Předpokládá se, že žák vzorce zná a rozumí jim; proto u nich není ani výklad, ani vysvětlení značek. Užívají se značky běžné v učebnicích a značky uvedené v tab. 4. Definiční vzorce veličin jsou v přehledu uvedeny jen výjimečně tam, kde je to nutné pro doplněni vzorců. Pro součty se užívá důsledně sumační znaménko.
a) Mechanika Hustota homogenní látky Objemová hmotnost nehomogenní látky (objem se měří včetně mezer, např. u sypaných látek)
(? = m Qv — ~y
Rovnoměrný pohyb rychlost dráha Průměrná rychlost nerovnoměrného pohybu
v — — = konst. t s = vt Wp =
As At
Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb zrychlení
a = ——
rychlost dráha
v = vo + at s — so + + \ať2
zrychlení*
v a = — = konst.
rychlost* dráha*
v = at — ]j2as s — \aťl = \vt
Volný pád* zrychlení rychlost dráha rychlost dopadu z výšky h Svislý vrh vzhůru («o je počáteční rychlost) výška rychlost
g = 9,8 m . s~2 = konst. v = gt i = \gt2 v — ]/2gh
h = vot — \gt2 v = vo — gt
doba stoupání
T—
výška výstupu
H
* vzorce platí, jen když začíná pohyb z klidu.
186
= konst.
Vo
g v± V° 2g
Rovnoměrný pohyb po kružnici úhlová dráha
s
—
r
As
dráhová rychlost
', ”
úhlová rychlost
a í “
vztah mezi dráhovou a úhlovou rychlostí
Ar v = a>r
perioda pohybu
T= —
2” r /
J
(O
frekvence pohybu dostředivé zrychlení Hybnost tělesa
p = mv
Impuls síly
J = F Ař
Druhý pohybový zákon (zákon síly) je-li m — konst.
F — ma
Tíhová síla
Fa = mg
Dostředivá síla
Ftx = mufir —
Sklon vozovky v zatáčce
tg * =
Výsledná síla Rovnováha sil
gr
F — .2 ^ 1 ¿ r - o ' i-l
M = rF
Moment síly Momentová rovnováha
mvú
2 /ví, = o i- l
Působiště výslednice dvou rovnoběžných sil (obě síly mají k působišti výslednice stejný moment) Moment silové dvojice Mechanická práce působí-li síla ve směru pohybu
n F i = r 2F2
D =Fd W = Fs cos x — Pt cos a = 1 W — Fs
Kinetická energie translačního pohybu tělesa
E\n — \mv*
Potenciální tíhová energie
Ep = mgh
Zákon zachování energie v mechanice
Ep + Ek = konst., mgh + \mv2 = konst.
Různé
Průměrný výkon
187
Výkon urychlující síly Účinnost
Moment setrvačnosti tělesa k ose pro hmotný bod
P = Fv T) =
výkon příkon
W P 7 ,~ W0 ~ P o < 1 = mr2 n
pro tuhé těleso
l=
pro plný válec k ose symetrie
I = \mr2
pro kouli k ose procházející středem
2 mr*2 /i = —
neprocházející těžištěm tělesa (Steinerova věta)
1 = lo + m d 2
Kinetická energie rotujícího tělesa
min
I
= \Io>2
Třed síla
Ft = fF n
Valivý odpor
Fv = - F n r
Jednoduché stroje rovnováha na páce rovnováha na volné kladce rovnováha u kola na hřídeli nakloněná rovina, pohybová složka tíhové síly tlaková síla klín s jednostranným úkosem šroub Vážení na nerovnoramenných vahách ( « 1, mz hmotnosti závaží) Redukce vážení na vakuum* Gravitační síla (Newtonův gravitační zákon) Intenzita gravitačního pole
F\a = F%b F i = \F2 F i R - FiX F — mg sin a F q = mg cos a F : Fi — h : z F\ : Fz = h : 2nr M = Mmmz (l 1 \ m fy « o + (?v I ------------- \ m a \Q ť?m/ Fa — X
= o«
m
K = x
na povrchu planety
K= x
M CR + h f
M_ R
Práce v homogenním gravitačním poli
km0
mimz
K = —
ve výšce h nad povrchem planety
— mo +
2
W - mK{h\ - hz)
* Vážime-li ve vzduchu (ov = 1,2 kg . m -3) mosazným závažím (pm = 8 400 kg . m -3) a závaží má hmotnost mo, vážené těleso hmotnost m a hustotu o, pak při hustotě váženého předmětu 550 kg . m~3 je chyba výsledku při za nedbáni redukce vážení na vakuum 2 o/00) při hustotách váženého předmětu (5 000 —20 000) kg . m~3 je chyba výsledku při zanedbání redukce vážení na vakuum menší než 0,1 o/oo.
188
<£-• <7 ■ ? / ( > " " A ' t - H f
-i
VE.H ‘
' ' « t l /. c o s * = V6 S m * " <£.
Ev = mKh
Gravitační potenciální energie
Vj » o
£P
Gravitační potenciál
Tíhová síla
Fq =
m
A - . Ví,fc Cť>Sov
Fg + F0
Fq = mg
Tíha
2
/I
y= v0-t síwcx -
1
2 . - 0
G = mg
rovvůct Vw/elcVO^ie-
Kruhová rychlost družice
x siv \^
xM
ve výšce h nad povrchem planety
d o b a výs-HAfu.
xM
při povrchu planety
®k0
~ 1T
- v T =
Oběžná doba družice Parabolická rychlost
*
Vk 2x M ~Ř~
r f : T I - a~3r :
Třetí Keplerův zákon
T
2n(R + h)
V
vp
z
_X____
V» c e s *
R + h
- y
4
-
»ko . 1/2
«2
b) Hydromechanika Tlak
P
S
F = pS
Tlaková síla Hydraulický lis Hydrostatický tlak v hloubce
P = Qgh F = QghS
h
Hydrostatická tlaková síla na rovinnou plochu v hloubce h Hydrostatická vztlaková síla Rovnice spojitosti (kontinuity) ideální kapaliny pro ustálené proudění stlačitelné kapaliny Bernoulliova rovnice pro ustálené vodorovné proudění ideální kapaliny
F yz = Vog S v S
vq
=
ko n st.
— ko n st.
p -f- \ q v z — k o n s t .
Rychlost kapaliny vytékající otvorem v nádobě
v — \2hg
Newtonův vzorec pro velikost odporové síly
F = C I qS v2
c) Molekulová fyzika a termodynamika Tepelná kapacita tělesa Měrná tepelná kapacita
C =
Q_ A
t Q
Různé
mAt
189
Kalorimetrická rovnice
(C + wid) (t — ti ) = m ci(t2 — t )
První termodynamický zákon
AU :
■
W+Q AU + W
Q
Střední kvadratická rychlost molekul plynu
4 1 / iV .V 3 kT
»k
m0
- V Střední kinetická energie molekuly Tlak ideálního plynu Stavová rovnice ideálního plynu Stavová zmčna ideálního plynu stálé hmotnosti
E0 =
2
moví = ~ rkT 2
LIL
P = 3 v m ovl PV = N k T = nRmT pv_ = konst. T
Izotermický děj
T = konst.
Izochorický děj
V = konst.
Izobarický děj
P'
Adiabatický děj
pV == konst. P_
T
= konst.
_K
konst.
= konst. T =
pV* = konst.
Měrná tepelná kapacita plynu při stálém objemu
Cy =■
při stálém tlaku
Cp
Poissonova konstanta Práce plynu při izobarickém ději
=
X =
w
=
Van der Waalsova stavová rovnice Hookeův zákon
Teplotní roztažnost pevných látek délková objemová
Různé
Teplotní objemová roztažnost kapalin
190
Qv mAT cv
cv pAV W
Účinnost kruhového děje Účinnost tepelného motoru
Qv mAT
=
Qi f} š í í?max :
(,P + P * ) { V - b ) 0n
1
Ti nRmT ■eE
AI
\ _F_
A/i :
E
l:
Qi
S
h (1 + a At)
V
Vi (1 + ß Ař)
V,
Vi (1 + ß At)
i
h
Ti
Povrchové napětí kapalin Kapilární tlak pro povrch kapaliny kulového tvaru Měrné skupenské teplo
F " = 7 2
a
/>* = -
/ = A m
Vlhkost vzduchu absolutní relativní
ý>
d) Mechanické kmitání, vlnčni a akustika Kmitavý (harmonický) pohyb okamžitá výchylka rychlost zrychlení úhlová frekvence
y = y m sin ojt v = wym cos wt a — —co2y m sin un = 2n
co = ~ Y
=
2* /
Kmitavý pohyb s počáteční fází
y = y m sin (wt i-
Síla vyvolávají harmonický pohyb
F = —ky
Vlastní kmitání oscilátoru úhlová frekvence
a>o
frekvence
fo -
=v 2n
Doba kmitu matematického kyvadla
T:
Postupné vlnění šířící se ve směru osy x
y = y m sin co
2n
n g
= _ym sin 2n Fázová rychlost vlnění
v —
Fáze vlnění
Stojaté vlnění
y
Frekvence chvění pružného vlákna
f
Zákon lomu vlnění
-
sm a sin P
A /=
(-í)( ? - í)
-f
2nx 2k
.
2n
2y m cos - j - x sm — t
21 v\
Různé
V2
191
Intenzita zvuku
' - Í
Rychlost šíření zvuku ve vzduchu Hladina hlasitosti
Vt = (331,82 + 0,61 {*}) m . s~i B — B0 = 10 log 4 - dB
e) Elektřina a magnetismus Coulombův zákon
1 QiQ z 47T6
Fe =
Intenzita elektrického pole bodového náboje
£ = ^FeL ;
Plošná hustota náboje
a
Elektrický potenciál Elektrické napětí
Q ’
Ep * - Q
W
~
IF = QU
o - %
Kapacita deskového kondenzátoru
-
4
W = \CU 2
Spojení kondenzátorů sériové paralelní
- =
c
c =
Ž iéi c- ,
q
1 i-1
Elektrický proud
/ =
A<2 Af
Ohmův zákon pro část obvodu
/ =
pro uzavřený obvod
/ =
Elektrická vodivost Měrný elektrický odpor (rezistivita) Odpor drátu s kruhovým průřezem
192
Q
U = \
Kapacita vodiče
Energie nabitého kondenzátoru
47té
—
U =\E\d Práce v homogenním elektrickém poli
£ = _ L
« - i RS (? =
l
7c a č
i r2
r~ =■ iaa . <x_
Závislost měrného elektrického odporu na teplotě
Q - : go(l + <* A t)
Svorkové napětí zdroje
U-
^
\XJ — £
Ue ~ R iJ
Spojení rezistorů
t
sériové
~Ř 2 u = o
Qi 0 -x
2
r .~L
n
Uet =
2
*-1
Elektrická práce ve vnější části obvodu s konstantním proudem
w = V it
Výkon konstantního proudu
p = UI
Proudový zesilovací činitel tranzistoru
fi
Síla působící na přímý vodič v homogenním magnetickém poli na nabitou částici v magnetickém poli Síla mezi dvěma rovnoběžnými vodiči s proudem
c/
V^ct-h
m
Faradayův zákon
W
¿=*=1
i-l
Q q\
u /c *
Jl_ n
Druhý Kirchhoffův zákon
*
a
í-1
paralelní První Kirchhoffův zákon
E Q
/ A *\ \A/s/ Í/CE " konst.
Va^
/
Mm Fv
m —
F m = B II sin a F m = QvB sin a
F =
H IM 2n
d
Magnetická indukce přímého vodiče
B = jl L
ve středu kruhové smyčky
B
ve středu dlouhé válcové cívky
B
2 tz d
= )T = = ,»
2r N7
i
Moment dvojice sil působících na závit v magnetickém poli
M = ¿J/.S sin a
Intenzita magnetického pole
H
Magnetický indukční tok
d>-. J3S cos a
Faradayův zákon elektromagnetické indukce
Ui
Indukčnost Elektromotorické napětí indukované v cívce
L
t t - C & n <x
_ ^ / u;
~>
1
B <« A
-3
L
4 t
I
Ui — — L
A/ Ař
193
Energie magnetického pole cívky Střídavý proud okamžité hodnoty napětí a proudu efektivní hodnoty napětí a proudu
u — Um sin wt, i
U=
Um. r
1/2
I m sin (o>t —
Im j
I —
+
X
w
Sériové elektrické obvody se střídavým proudem
Z--
impedance fázový posun obvod s odporem
tg
X ■
obvod s indukčností
XL
obvod s kapacitou
Xc
] / R 2
2
x_ R (p =
0,
o 7T
a>L,
wC ’ 9
2
„
ojL
obvod s odporem a indukčností ( RL )
X
obvod s odporem a kapacitou ( RC )
X = —Xc, tg
obvod s odporem, indukčností a kapacitou ( R LC )
Thomsonúv vztah
X l,
tg
o)L — X = wLmo —
ůjC
lIl c
Výkon střídavého proudu v obvodu s odporem
P =
v obvodu s impedancí
P — UJ cos
Transformace napětí proudu
Ul
Ui
Ni
A
Hi
n2
h
Rychlost šíření elektromagnetického vlnění ve vakuu
c—
v prostředí
1
l/fo/ío c
f ) Optika Index lomu absolutní Zákon odrazu
Různé
Zákon lomu
194
1
u)CR
v. sin a sin fl
Vj.
n-i
Ví
nv
» tg
R
1
(oC
«2
Mezný úhel
sm a m = — «1
2_
Zobrazovací rovnice kulového zrcadla
r
tenké čočky Ohnisková vzdálenost kulového zrcadla
J=
tenké čočky
/
Optická mohutnost
l)
(—
/ \n
\ »1
+
—
)
r2 /
0 = 7
Zvětšení příčné
Z= T
úhlové y =
-
a —f f
Zvětšení kulového zrcadla, tenké čočky
f a —f
S
Úhlové zvětšení lupy
y =
mikroskopu dalekohledu
7 ='
Vztah mezi vlnovou délkou vlnění ve vakuu a v optickém prostředí
h
Áo — Xn
l= n s
Optická dráha Interferenční maxima v odraženém svědě minima v odraženém svědě Maxima při ohybu svěda mřížkou
2nd +
kX
2nd + ^ = ( 2 k + l ) j b sin ak = kX
Svítivost
/ =
A& AQ
Osvětlení
E =
A0 AS
E= Wienův posunovací zákon Stefanův-Boltzmannův zákon
cosa
XmT = b
Různé
M0 = o T 4
195
g) Speciální teorie relativity Dilatace času
Ar =
^ ío
V'-J_
Kontrakce délek / I ^
Relativistické skládání rovnoběžných rychlostí
u ——
Relativistická hmotnost
m=
^
\ ' ~ í Celková energie tělesa
E = Eo + J?k — mc2 =
m o c2
y>~? Klidová energie
Eo = moc2
Přírůstek energie tělesa
AE — Amc2
h) Kvantová fyzika, fyzika elektronového obalu a atomového jádra Energie fotonu
E = hf
Hybnost fotonu •
p = —¿r
Hmotnost fotonu
m = -s—
Einsteinova rovnice
hf —
De Broglieho vztah pro vlnovou délku pohybující se částice
A = -----
hf
Ác
-\- \mv2 h
mv
Kinetická energie elektronu ve stacionárním stavu Hmotnostní schodek jádra nuklidu £X Vazebná energie jádra Vazebná energie nukleonu v jádře Zákon radioaktivní přeměny
B = Zmp + (A — Z) « „ — '«) E vj = Bc2 E\ j Ei = ~A~
N(t) = N0c -» , A =
Rychlost vzdalování galaxií
v = Hr
Mezní vlnová délka rentgenového záření
An =
Různé 196
hc
ln 2
T
79
Přehled vzorců pro chem ické výpočty
(Význam symbolů viz tab. 4)
S lo ž e n í lá t e k a j e j i c h s m ě s í Hmotnostní zlomek látky B( v soustavě o celkové hmotnosti m : ro(B ,) =
m = 2 r o ( Bj)
tn
Hmotnostní koncentrace látky Bi v soustavě o celkovém objemu V:
Hmotnostní zlomek prvku D ve sloučenině, která má stechiometrický vzorec DxEy: X . Ar(D) _ Aír(DxEy)
. AÍ(D) Aí(DxEy)
X
**
;
X . /ír(D) X . ^ r(D) + y . A JE )
_ Kl(D) . /4r(E) y — w(E). Ar(D) X
M je molárni hmotnost, Mr je relativní molekulová hmotnost a At je relativní atomová hmotnost. Objemový zlomek látky Bi v soustavě: F (B 0
F (B .) F (B j) je objem, který má čistá látka Bi před smísením.
Objemová koncentrace látky Bj v soustavě o celkovém objemu V:
Pro ideální roztoky, směsi ideálních plynů a pro ty reálné roztoky, u kterých můžeme zanedbat objemové změny, k nimž dochází při smísení, platí: 2 F (B ,) = V,
cp(Bi) = C7(Bj)
M olárni (látkový) zlomek látky Bt : * ( 8 ,) = .
2
« (B i)
M olárni (látková) koncentrace látky B<:
Různé 197
Směšovací rovnice a křížové pravidlo Indexy 1 a 2 označují výchozí roztoky, index 3 roztok výsledný
m\. k>i(B) + m-z . ro2(B) = (mi + m-i) . ws(B) K>3 —
«>2
Wl
W1
W'i
n t2
S w3 — w 2 )
a>l v .
W3
Wl > W2 —
W 2 ^
TO3 )
V i . a (B ) + V2 . c2( B) = (Vi + Vo) . c3(B) (Zanedbávají se objemové změny při míšení.) C3 - C 2 ---------------- =
C1^
Vx -T ř ~
^ 3 - ^ 2 ) . C3
Cl~ C3
Cl >
C2
^ ( c i - c 3) F i . cm,i(B) + V2 . cm>2(B) = (F i + V2) •cm,3(B)
(Zanedbávají se objemové změny při míšení.) Příprava roztoků určitého hmotnostního zlomku: W 2 ttli
tn2 = —---------, 1 — H»2
kde
u>2 - požadovaný hmotnostní zlomek; m
V = Vz —
j
kde
Výpočty na základě c h e m ic k é ro vn ice Jestliže průběh chemické reakce lze vyjádřit rovnicí aA + b B = k K + l L , platí pro: a) Látková (m olární, částicová) množství zreagováných nebo vzniklých látek: h(B) b m(K) k w(L) «(A) — a ’ «(A) — a 5 n(A) “
1 a
3
b) Hmotnost zreagovaných nebo vzniklých látek: w(B) w(A)
b^ AÍ(B) _ b_ Aír(B) a AÍ(A) a M r(A)
c) Objemy vzniklých nebo zreagovaných plynů za předpokladu, že se chovají jako plyny ideální: F(B) _
Různé
V
198
b (A) ~ a
d) Hmotnosti navzájem reagujících roztoků látky A a látky B: wír(B) wr(A)
b Af(B) te(A) a M(A) w(B)
e) Objemy navzájem reagujících roztoků látky A a látky B: F(B )
b AÍ(B) w(A) a Af(A) w(B)
V(A)
Lj (A)
kde g(A),
V(B)
b c(A) a c(B) “
F(A)
b M(B) cm(A) a Aí(A) cm(B)
f) Rovnovážnou konstantu, rovnovážné molární zlomky, koncentrace a popřípadě rovnovážné parciální tlaky
. Sv!
K c = 4 4 1 (-V ') C AC B
Kp =
\c
'>>
£ví = k + 1 __ (c se vesměs udává v m o l. dm-3)
c° = 1 mol . dm-3,
/
pfpť ( ± )
>
a-
b
P° = 325 Pa (nově se doporučuje také p° — 100 000 Pa = 1 bar)
irk „i
Kx =
, XaXb
pro ideální plyny platí K p = K x(p/p0)Evi a K p = K c(RTc°/p°)2vi, kam dosazujeme c° = 1 000 m ol. m -3 ( = 1 m ol. dm-3).
Značka p° se užívá místo běžně užívané značky p . pouze při chemických výpočtech. g) Standardní m olární reakční entalpii (standardní reakční teplo za konstantního tlaku) a Gibbsovu
funkci AH?,T = 2 vi(AH?iT),, kde ( A H ^ i je standardní molární slučovací entalpie (standardní slučovací teplo za konstantního tlaku), látky B](K, L , A, B), vj = k, 1, —a, — b ; AH° T = — 2 vi(AH°>T) ,, kde (AH° x)i je standardní molární spalná entalpie (standardní spalné teplo za konstantního tlaku) látky Bj(K , L , A, B), vi = k, 1, —a, — b ; A G °T = 2 ví(AG í’ x) i , kde (AG°jT) í je standardní molární slučovací Gibbsova funkce látky B i, vj = k, 1, —a, —b. Pro teplotní závislost rovnovážné konstanty platí: .
k
2
K!
ah?
R
/_1_____ 1_\
\T i
T 2/ ’
za předpokladu, že AH° v daném rozmezí teplot nezávisí na teplotě. Dále platí: A G °X = — R T ln K t , kde hodnota AG° x i rovnovážné konstanty K t (při teplotě T ) závisí na volbě standardního stavu
Různé 199
80
Značky pro elektrotechnická schém ata
Značky pro elektrotechnická schémata jsou normalizovány státními normami řady ČSN 0133. Hvězdičkou označené značky jsou příklady. Další značky jsou uvedeny v příslušné normě.
Různé
200
201
REJSTŘÍK A
»
abeceda, latinská, řecká 13 absolutní četnost hodnot 30 - hodnota komplexního čísla 23 reálného čísla 23 - chyba aproximace čísla 24 akustika, hladiny tlaku 160 algebraický tvar kompl. čísla 22 alternativa 1 4 ,2 0 ampér 103 antičástice 127 aproximace čísel 23, 24, 52 — , výpočty s nimi 53 argument funkce 50 - komplexního čísla 22 aritmetika finanční 29 asociativnost 22 asymptoty hyperboly 47 — , směrnice 47
definice jednotek 104 děleno, dělí 17 dělitel největší.společný 17 délka úsečky 18, 41 - vazby 147 - vlnová intenzivních čar 171 derivace funkcí 47— 48 diference tabulková 51 dichotomie 21 díly jednotek 109 disjunkce 1 4 ,2 0 - úplná 20 diskriminant 28 distributivnost 22 doplněk množiny 15 dráha volná střední 155 druhá mocnina a odmocnina 64, 66— 67 důkaz matematickou indukcí 21 - nepřímý 21 - sporem 21
B barva anorganických sloučenin 132 binomická věta 30 binomický koeficient (součinitel) 30, 55, 62 body trojné 112
C clark 118 cyklická záměna
34
Č čára Fraunhoferova 172 částice elementární 127 čísla vyvolená 113 číslo atomové 118 - e 29 - imaginární 22 - kombinační 17, 30 - komplexní 22 - periodické 16 - protonové 118 - racionální 25 - reálné 22, 23 - ryze imaginární 22 čtverec 36
202
E ekvivalence 1 4 ,2 0 ekvivalent elektrochemický 165 elipsa 3 7 ,4 5 - , rovnice 46 energie fotonu 176 - vazebná 147 entalpie disociační vazby 147 - reakční molámí standardní 199 - slučovací molární standardní 144, 199 - spalná molární standardní 146 entropie molární standardní 144 excentrická elipsy 45 - hyperboly 46 extrém y funkcí 48 F faktoriál 18, 55, 61 formáty papíru 56, 63 funkce, definice 50 - cx, e 90— 91 - Gibbsova reakční molámí standardní 199 - Gibbsova slučovací molární standardní 144, 199
- goniometrické 32, 77 — , vzorce 32— 33 - - , tabulky 77— 78 - primitivní 48— 49 - složená, derivace 48 - *2 64, 66— 67 - x 3 65, 68— 69 G galaxie 183 geometrie analytická 41— 47 grad 71 graf funkce cos x 79 c o tg * 89 cx, c~x 90 ln x, log x 94 sin x 79 - - tg x 89 x2, x3 70 — , užití 54 H hladiny akustického tlaku 160 hmotnost atomová relativní 118 - fotonu 176 - molámí plynu 153 - relativní molekulová anorganických sloučenin 132 - relativní molekulová organických sloučenin 134 - , závislost na rychlosti 175 hodnota číselná veličiny 101 hodnoty funkce 51 - konstant 55, 61 - proměnné 51 hranol 38 hustota anorganických sloučenin 132 - kapalin 149 - nasyceného roztoku 142 - normální plynu 153 - organických sloučenin 134 - pevných látek 132 - prvků 118,131 - slitin 141 - sytých vodních par 150 - vzduchu 157 hvězda, fyzikální charakteristiky 182 hyperbola 46
Ch charakteristika logaritmu 92 chyba aproximace, absolutní 24 - aproximace, relativní 24 - podílu aproximaci 24 - součinu aproximací 24 I implikace 1 4 ,2 0 index lomu 172 indikátory neutralizační acidobazické 114 indukce magnetická 167 inkluze 15 integrál určitý 49 integrály funkcí 49 intenzita magnetického pole interpolace 51 intervaly 16 izolanty 163
167
J jednotka imaginární 22 jednotky 101 - hlavní 104, 106 a dále - jiné 110 - SI 104 - vedlejší 110 - základní 103 - zákonné měřicí 104 jehlan komolý 39 - pravidelný 39 jev doplňkový 31 - fotoelektrický 174 jevy nezávislé 31
kvantifikátor existenční 14 s jednoznačností 14 - obecný 14
K
L
kandela 103 kapacita tepelná měrná kapalin -------plynů 154 -------prvků 138 -
152
molární při konstantním tlaku 144 kartézský součin množin 15 kelvin 103 kilogram 103
klasifikace spektrální hvězd koeficient binomický 17 - korelace 31 kolmost přímek 42, 43
- rovin 44 - vektorů 40 kombinace 30 kombinatorika 30 komety 181 komutativnost 22 koncentrace hmotnostní 197 - molární 197 rovnovážná 199 - objemová 197 kongruence 16 konjunkce 1 4 ,2 0 konstanta disociační indikátoru 114 - plynová měrná 153 - Poissonova pro plyny 154 - rovnovážná 199 konstanty astronomické 185 - disociační kyselin 1 1 5 ,1 1 6 zásad 116 konstrukce algebraických výrazů 37 kořen rovnice binomické 27 kvadratické 27 kosinus hyperbolický 90 koule 39 kráceni odmocnitele 25 krát 17 krok tabulky 51 kruh 3 7 ,4 5 kružnice 1 9 ,3 7 - , rovnice 45 krychle 38 kužel rotační 39 komolý 39 kuželosečky 44— 47 kvádr 38
ladění temperované 160 látky polovodivé 165 lichoběžník 36 limita posloupnosti 29 lineární kombinace vektorů 40 logaritmus 25 - dekadický 25, 92 - přirozený 25, 92, 94, 95— 97 lomeno 17
182
M mantisa logaritmu
92
maximum funkce 48 medián 31 Měsíc 177 měsíce planet 179 metr 103 minimum funkce 48 minus 17 minuta 19 mnohoúhelníky pravidelné 55, 63 množina, počet prvků 15 - , — sjednocení 21 - prázdná 15 mocniny 17 - čísla 2 55, 62 - komplexních čísel 22 - mnohočlenů 26 - mocniny 24 - odmocniny 25 - podílu 24 - reálných čísel 24 - součinu 24 mocnost bodu ke kružnici 37 modus 30 Moivre 23 mol 103 molekuly jednoduché, vlastnosti 147 moment dipólový elektrický molekuly 147 monotonie 2 1 ,2 3 N
napětí povrchová kapalin 149 napětí termoelektromotorické 164 násobek nejmenší společný 17 násobky jednotek 109 negace výroku 14, 20 s kvantifikátory 20 nerovnítko 16,19 nerovnosti, reálná čísla 23 - , násobení 23 normy státní ČSN 102 n-tý člen 28, 29 nuklid stabilní 124 O
obdélník 36 objem rotačního tělesa pomocí integrá lu 49 objemy těles 38— 39 oblast vnitřní, vnější, elipsy 46 -------, hyperboly 47 ------ , kružnice 45
203
oblast vnitřní, vnější paraboly oblouk kruhový 37
- kružnice
45
19
obsah plochy pomoci integrálu 49 obsahy rovinných útvarů 34— 37 odchylka přímek 1 8 ,4 2 ,4 3 - přímky od roviny 18, 44 - rovin 1 8 ,4 4 odmocniny 17 - komplexního čísla 23 - reálných čísel 24 - z odmocniny 25 odmocnítko 17 odpor elektrický měrný 1 6 2 ,1 6 3 -------izolantů 163 ------- roztoků 167 odpor valivý 161 operátory logické 20 osvětlení doporučené 170
P parabola 44— 45 rovníce 45 paralaxa blízkých hvězd 181 parametrické vyjádření přímky 41 parts per million 17 Pascalův trojúhelník 30 pás kulový 39 pásma televizní 168 perioda 16 periodičnost funkcí 32 permeabilita magnetická 168 - poměrná 167 permitivita poměrná 1 6 3 ,1 6 4 permutace 30 pevnost elektrická 163 planeta, fyzikální charakteristiky 178 plocha kulová 39, 47 plus 17 počet prvků množiny 15 sjednocení množin 21 podíl aproximací čísel 24 - komplexních čísel 22 - mocnin 24 - odmocnin 25 - zlomků 26 podmínky normální 102 podmnožina 1 5 ,1 9 podobnost 19 podslupky elektronové 121 pohyblivost elektronů, děr 165 pokles hodnoty 29 poloměr kružnice vepsané
204
a opsané trojúhelníku 35 poloosa hlavní, elipsy 45 — , hyperboly 46 - vedlejší, elipsy 45 — , hyperboly 46 poloprostor 18 - , rovnice 44 polopřímka 1 8 ,4 2 polorovina 1 8 ,4 3 rovnice 44 porovnávání zlomků 25 posloupnost aritmetická 28 - částečných součtů 29 - geometrická 29 - nekonečná 29 posunutí soustavy souřadnic 43 potenciál elektrodový standardní 166 povrchy těles 38— 39 práce ionizační 173 - výstupní 174 pravděpodobnost 31 - geometrická 31 pravdivost výroků 20 pravidlo křížové 198 procenta 1 7 ,2 6 promile 17 průměr aritmetický 31 vážený 31 - geometrický 25, 38 - molekul plynu 155 průměrná hodnota znaku x 31 průnik množin 15 - přímek, rovin 19 prvek inverzní 22 - neutrální 22 prvky 118 - polovodivč 165 - , rok objevu 118 předperioda 16 předpony jednotek 109 převod logaritmů 25 převody jednotek velikosti úhlů 71 - srupňů na radiány 7 1 ,7 4 - stupňů na grady 72, 75 - stupňů na dílce 72, 76 - minut a vteřin na stupně 73, 76 přímka 18 - , rovnice 42— 43
ft řada nekonečná 29 řady radioaktivní přeměnové - Renardovy 113 řešení rovnic grafické 54
R radián radioaktivita 129 redukce tlaku vzduchu
relativní četnost hodnot znaku x 30 roje meteorické 181 rovina 18 - , rovnice 44 rovnice algebraická 27 - anulovaná 27 - binomická 27 - lineární 28 - kvadratická 27, 28 - přímek 4 2 ,4 3 - reciproké 27 - roviny 44 - směšovací 198 - symbolická 40 rovnítka 15, 16, 19 rovnoběžník 36 rovnoběžnost nesouhlasná 19 - přímek 19, 42, 43 - souhlasná 19 - vektorů 40 rovnost komplexních čísel 22 - vektorů 40 vlastnosti 21 - zlomků 25 rozbor rovnice 28 rozdíl aproximací čísel 24 - množin 15 - zlomků a lomených výrazů 26 rozklad čísel v součin prvočísel 55, 57— 60 - mnohočlenů 26 v kořenové činitele 2 7 ,2 8 rozměr 106 rozptyl hodnot 31 rozpustnost anorganických sloučenin 142 - organických sloučenin 134 - pevných látek 142 - plynů ve vodě 155 rozsah souboru rozšiřování odmocnitele 25 roztažnost objemová kapalin 149 rychlost střední kvadratická molekul 156 - šířeni zvuku 159
158
129
s
- přilehlé 34 - souhlasné 34 sekunda 103 tabulka funkce, sloupcová, plošná 50 - střídavé 34 shodnost 19 tečna elipsy 46 - vedlejší 34 schodek hmotnostní jádra 128 - vnější v trojúhelníku 34 - hyperboly 47 sinus hyperbolický 90 - vrcholové 34 - ke grafu funkce 48 - v pravidelném mnohoúhelníku 36 sjednocení množin 15 - kružnice 45 - v trojúhelníku 35 sloučeniny anorganické 132 - paraboly 45 - organické 134 umístění vektoru 40 tečná rovina kulové plochy 47 složeni látek 197 umocněno 17 teplo skupenské měrné kapalin 152 - slitin 141 - spalné měrné paliv 143 umořování půjčky 29 - směsí 197 úseč kruhová 37 teplota tání anorganických sloučenin - vzduchu 157 132 - kulová 39 Slunce 177 úsečka 1 8 ,4 2 kapalin 152 směrnice přímky 43 organických sloučenin 134 úseky přímky na osách 43 směrodatná odchylka 31 plynů 154 útvary kvadratické 44— 47 soubor statistický 30 prvků 118 uzavřenost 22 součet aproximaci čísel 24, slitin 141 - komplexních čísel 23 - varu anorganických sloučenin 132 V - n členů posloupnosti 2 8 ,2 9 kapalin 152 - nekonečné řady 29 válec 38 organických sloučenin 134 - vektorů 40 plynů 154 variace 30 - všech ai 18 prvků 118 vektor 4 0 ,4 1 - zlomků a lomených výrazů 26 vody 151 - opačný 40 součin aproximací čísel 24 - normálový 43 termočlánek 164 - komplexních čísel 23 tlak parciální rovnovážný 199 roviny 44 - mocnin 24 - sytých vodních par 150 - směrový 41, 43 - odmocnin 24 veličiny 101, 106 trajektorie planet 178 - vektorů a reál. čísla 40 velikost úhlu 18 tranzitivnost nerovnosti 23 - vektoru 40 skalární 40 trichotomie 23 vektorový 41 vesmír 184 trojúhelník 1 9 ,3 4 - všech <2( 18 věta binomická 30 - Pascalův 30 - Eukleidova 36 - zlomků a lomených výrazů 26 - pravoúhlý 35 - kosinová 35 součinitel délkové roztažnosti teplotní, - rovnostranný 35 prvků 131 - Pythagorova 35 tření smykové 161 - sinová 35 - tepelné vodivosti pevných látek třetí mocnina a odmocnina 65, 68, - tangentová 35 141 69 viskozita dynamická kapalin 149 - teplotní elektrického odporu 162 tvar molekuly 147 plynů 154 součiny rozpustnosti 117 tvrdost 140 vlastnosti anorganických sloučenin souřadnice bodů 41 - vektorů 40 132 Ú spektra 171 - operaci 22 statistika 30 - organických sloučenin 134 úhel konvexní 18 - pevných látek mechanické 139 stav kritický kapalin 152 - nekonvexní 18 - prvků 118 plynů 154 - obvodový 37 stereometrie 38— 39 - rovnosti čísel 21 - orientovaný 19 střádání 29 vlnová délka mezní 174 - pravý 19 vlny elektromagnetické 170 střed úsečky 41 - středový 37 vodivost tepelná kapalin 149 střední geometrická úměrná 38 - vazebný 147 pevných látek 141 - vektorů 40 střední příčka lichoběžníku 36 stupeň 19 - , velikost 18 plynů 154 stupnice teplotní mezinárodní 112 úhlopříčky čtverce 36 vrchlík kulový 39 - tvrdosti Mohsova 140 vrstva kulová 39 - pravidelných mnohoúhelníků 36 vteřina 19 úhly doplňkové 34 T
205
výhřevnost 143 výpočty na základě chemické rovnice 198 - stechiometrickč 197, 198 výrazy lomené 25 výroky 1 4 ,2 0 - složené 20 výseč kruhová 37 vzdálenost bodu od přímky 18, 43 od roviny 44 - dvou rovnoběžek 18 - rovnoběžných rovin 18 vzduch 1 5 7 ,1 5 8 vzorce fyzikální 186 a dále
206
- matematické 20 a dále - pro chemické výpočty 197 a dále vzorec Heronův 35 - Moivreův 23 vzrůst hodnoty 29 vztahy mezi goniom. funkcemi 33 kořeny a koeficienty kvadratické rovnice 27, 28 Z záměna cyklická 34 - mezi 49 záření elektromagnetické
169
závorky 16 Země 177 zlomek 25 - hmotnostní
197
prvku v zemské kůře 118 - molámí 197 rovnovážný 199 - objemový 197 - složený 26 značky matematické 13 a dále - pro elektrotechnická schémata 200 - veličin a jednotek 106 a dále - v počítačkách 1 6 ,1 7
RNDr. Jiří Mikulčák, C S e, Doc. Ing. Dr. tech. Bohdan Klimeš, CSc., RNDr. Jarom ír Široký, C S c, RNDr. Václav Sůla, RNDr. František Zemánek
M A T E M A T IC K É , F Y Z IK Á LN Í A C H EM IC K É TABULKY pro střední š k o ly
O bálku navrhl Ja ro sla v T u šer V ydalo Státn í pedagogické n aklad atelstv í, n. p., v P raze roku 1989 ja k o svou publikaci č. 54-09-12/ 1 b Ed ice P o m o cn é knihy pro žáky O dpovědná redaktorka M arie N o váková V ýtvarn ý red aktor V áclav H anuš T ech n ick á red akto rka Ja n a T aran to v á V ytiskla Polygrafia, n. p., závod 3 , P raha 7, D o bro v sk éh o 27 F o rm á t papíru 84 cm x 108 cm P o čet stran 208 A A 1 6 , 2 8 - V A 18,10 N áklad 2 9 9 500 výtisků T em a tick á skupina a podskupina 03/2 D o tisk 1. vydání C en a vázaného výtisku K č s 2 1 ,0 0 101/23,853
231
4012
1 4 -2 5 7 -8 9
K č s 2 1 ,0 0
